ANALIZOR SPECTRAL VIRTUAL BAZAT PE TEHNICI DE ESTIMARE SPECTRALĂ ȘI POLISPECTRALĂ CONDUCĂTOR ȘTIINȚIFIC: Col. conf. univ. dr. ing. Teofil-Cristian… [303493]

ROMÂNIA

MINISTERUL APĂRĂRII NAȚIONALE

ACADEMIA TEHNICĂ MILITARĂ

“FERDINAND I”

FACULTATEA DE SISTEME ELECTRONICE ȘI INFORMATICE MILITARE

Specializarea: Transmisiuni

ANALIZOR SPECTRAL VIRTUAL BAZAT PE TEHNICI DE ESTIMARE SPECTRALĂ ȘI POLISPECTRALĂ

CONDUCĂTOR ȘTIINȚIFIC:

Col. conf. univ. dr. ing. Teofil-Cristian OROIAN

ABSOLVENT: [anonimizat] ___________ file

Inventariat sub nr_______

Poziția din indicator: ____

Termen de păstrare: _____

BUCUREȘTI

2018

ABSTRACT

This paper explains a [anonimizat]. The virtual spectral analyzer created includes the graphical interface and the microphone connected to the sound card of a laptop.

The first chapter of this paper is intended both to explain the project hypothesis and to present the adopted solution. The second chapter is intended to present the theoretical notions regarding the spectral and polyspectral analysis and estimation of the signals. [anonimizat], both for the synthetic signals and for the real signals. The following chapter describes the operation of the graphical interface of the spectral analyzer.

[anonimizat], as well as possible improvements to the system development.

REZUMAT

Această lucrare explică o variantă de implementare a metodelor de analiză spectrală și polispectrală în domeniul audiofrecvență a surselor de semnal acustic bazate pe prelucrarea semnalelor prin statistici de ordinul doi și trei. Analizor spectral virtual creat cuprinde interfața grafică și microfonul legat de placa de sunet a unui laptop.

[anonimizat]. Capitolul al doilea este destinat prezentării noțiunilor teoretice privind analiza și estimarea spectrală și polispectrală a semnalelor. [anonimizat] a [anonimizat], cât și pentru semnale reale. În capitolul următor este descrisă funcționarea interfeței grafice a analizorului spectral.

[anonimizat].

CAPITOLUL 1

Introducere

Cadrul general al proiectului

Progresul constant și sigur în domeniul instrumentelor virtuale (Virtual Instruments) are ca rezultat soluțiile mai complexe și mai sofisticate. [anonimizat], [anonimizat]. Astfel, dacă semnalul este transformat în domeniul frecvență utilizând Transformata Fourier ecuațiile vor avea complexitatea de rezolvare redusă. Totodată, dacă semnalele trebuie procesate spre a [anonimizat], o [anonimizat]r de prelucrare a semnalelor.

În acest context, utilizarea unui analizor spectral virtual devine imperativă pentru o implementare practică, cu beneficii care se regăsesc la nivelul costurilor mult mai reduse și o rată de portabilitate mai eficientă în comparație cu sistemele care utilizează instrumente clasice de analiză spectrală. Însă, analizoarele spectrale virtuale au nevoie de cele mai bune tehnici de programare pentru a asigura stabilitatea și viteza de procesare, aceasta fiind o problemă pentru că instrumentele dețin atât parte hardware, cât și parte software desemnată. Implementarea analizoarelor spectrale virtuale este facilitată de medii de dezvoltare software integrate precum LabView, Matlab, SigView.

Pașii principali în proiectarea unui astfel de analizor spectral virtual sunt: alegerea cardului de achiziție de date (Data Acquisition Card – DAQ) și, ceea ce este la fel de important, alegerea setului de proceduri de funcționare. Cardul de achiziție de date are o influență mare asupra eficienței întregului instrument virtual. În cazul de față, întrucât se studiază domeniul audiofrecvență a fost utilizată placa de sunet integrată ca mediu de achiziție de semnal. O altă problemă este proiectarea software, care, în acest caz, este partea principală a fazei de creație.

O problemă-cheie în această activitate trebuie să fie evaluarea capabilității instrumentului de a lucra în modul "în timp real", care înseamnă achiziționarea simultană de eșantioane și efectuarea de operații matematice. Acest lucru este posibil numai dacă nu există întârzieri din oricare dintre aceste module. Prezentele soluții comerciale în instrumentația virtuală pentru analiza spectrului oferă mai degrabă dispozitive simple, nici una dintre ele care lucrează în "timp real", având câteva trucuri care pot fi aplicate, de exemplu, prin eșantionare rapidă și după colectarea probelor, procesându-le în modul off-line.

Scopul și obiectivele cercetării

Definirea noțiunilor de bază privind prelucrarea numerică a semnalelor și

din teoria estimării.

2. Studiul estimatorilor funcției de autocorelație și ai spectrului de putere pentru semnale numerice (periodograma, periodograma mediată, estimatorul modificat al lui Welch, corelograma). Metode de reducere a dispersiei estimatorilor. Implementarea algoritmilor în MATLAB și studiul comparativ al acestor.

3. Principiile generale privind prelucrarea semnalelor prin statistici de ordin superior; studiul estimatorului biperiodogramă. Implementare în MATLAB.

4. Realizarea unei interfețe grafice interactive care să ilustreze, prin rezultatele afișate, funcționarea metodelor abordate; se va prevedea posibilitatea alegerii de către utilizator a parametrilor implicați în estimare și posibilitatea achiziționării de semnale prin intermediul plăcii de sunet a calculatorului. Se va descrie platforma utilizată și interfața realizată în MATLAB.

.

CAPITOLUL 2

Noțiuni și definiții importante

Analizor spectral

Ce este un analizor de spectru?

Un analizor spectral se ocupă cu măsurarea amplitudinii unui semnal de intrare în domeniul frecvență în toată gama de frecvențe a instrumentului. Principala utilizare este de a măsura densitatea spectrală de putere a semnalelor utile și perturbatoare. Semnalul de intrare măsurat este unul electric; există, totuși, posibilitatea de a analiza spectral și unde acustice și optice prin utilizarea unui traductor. Acestea ajută în comprehensia funcționării unui dispozitiv/sistem, unui semnal/semnale care trebuie analizate în domeniul frecvență, unde semnalele complexe sunt separate în componentele lor de frecvență.

Analiza în domeniul frecvență prezintă mai multe avantaje. De exemplu, un semnal bruiat puternic ininteligibil pe osciloscop devine descifrabil pe analizorul spectral, întrucât este redusă cantitatea de zgomot prezentă în măsurătoare mulțumită capacității analizorului de a îngusta banda măsurătorii. Facilitează măsurarea frecvenței, puterii, componentelor armonice, modulația și a zgomotului semnalului. Cu valorile acestea măsurate, THD, banda ocupată, stabilitatea semnalului, puterea, distorsiunea intermodulatorie, SNR și alte măsurători pot fi determinate utilizând doar un analizor spectral.

Simplu spus, oricine a încercat vreodată să regleze un simplu radio pe bază de tranzistor și-a folosit urechile și degetele pentru a simula funcția unui analizor de spectru. Când mutați cadranul prin intervalul de frecvențe, puteți auzi puterea semnalului și lățimea de bandă a frecvențelor (canalelor) utilizate, a zgomotului inerent care însoțește semnalul. Dacă aceste informații ar fi transferate într-un format grafic, rezultatul ar arăta foarte mult ca afișajul unui analizor de spectru.

Analizorul de spectrul urmărește grafic amplitudinea (intensitatea semnalului în dB) în axa y față de frecvența (în Hz sau MHz) în axa x. Versiunile anterioare ale analizorului au inclus, de asemenea, ajustarea intervalului și a punctului central pentru frecvențele observate și markerii pentru frecvențele de interes.

Amplitudinea este de obicei reprezentată grafic pe o scară logaritmică, în timp ce frecvența este pe o scală liniară simplă. Spanul se referă la gama de frecvențe afișate pe ecran.

Un analizor spectral virtual aduce toate avantajele celui ,,clasic”, ale instrumentului hardware, plus atenuarea costurilor de proiectare și fabricare, întrucât utilizează doar o placă de achiziție(placa de sunet) și software desemnat.

Istoricul analizoarelor de spectru

La mijlocul secolului al XIX-lea, conceptul de analizor spectral ar fi părut într-adevăr științifico-fantastic, din moment ce însăși natura undelor electrice și magnetice nu fusese încă descoperită. Apoi, în anul 1865, James Clerk Maxwell a publicat revoluționara sa lucrare „O teorie dinamică a câmpului electromagnetic”, care pentru prima oară a caracterizat cu acuratețe comportamentul undelor electrice și magnetice naturale prin aer cu viteza luminii – undele radio. Înainte de aceasta descoperire, oamenii de știință, cât și practicanții au observat anomalii precum transmisii perceptibile sau „scântei” coincidinte între stâlpii de telegraf, dar le-au atribuit „eterului” sau, chiar, le-au negat.

Pentru ca descoperirea lui Maxwell să fie folosita au trecut decenii. În 1885, Heinrich Hertz a demonstrat că undele electrice pot fi emise și recepționate pe calea aerului și a primit onoare corespunzătoare de a avea unitatea de măsură a frecvenței denumită după el.

În anii 1940, descoperirea lui Maxwell era din ce în ce mai folosită întrucât inovațiile și utilizările radio progresau an după an. Ca orice „dimensiune ascunsă” abilitatea umană de a o vedea și analiza era limitată. Astfel, osciloscopul a fost creat ca o unealtă capabilă să măsoare voltajul semnalului în domeniul timp prin plotarea vizuală a undelor pe un afișaj mic cu tub catodic. Acest instrument a avut multe aplicații utile în domeniul științei și ingineriei, dar era nevoie de mai multă inovație pentru a continua evoluția tehnologică. Descoperirea analizorului de spectru la începutul anilor 1960 a fost un salt uriaș înainte.

Utilizările practice ale analizoarelor spectrale

De la începuturile umile ale analizoarelor de spectru cu peste 50 de ani în urmă, aplicabilitatea și funcționalitatea lor au continuat să progreseze.

Utilizarea sporită a tehnologiei Wi-Fi și revoluția telefonului mobil au subliniat necesitatea unei tehnologii de ultimă generație de analizoare de spectru de domeniul frecvențelor radio (RF). Pe măsură ce rețelele de telecomunicații se extind, analizoarele de spectru sunt utilizate pentru a determina gradul de utilizare a frecvenței și interferența într-o arie dată. De asemenea, acestea pot fi folosite pentru a determina acuratețea unui emițător fără fir prin compararea frecvențelor și lărgimilor de bandă ale unui semnal de ieșire cu un semnal de intrare recepționat. Echilibrul dintre portabilitate și funcționalitate este extrem de important cu acest tip de aplicare pe teren.

Este necesară o ecranare RF pentru echipamente electronice care se vor afla în vecinătatea sistemelor de imagistică RMN, deoarece electronica poate emite semnale neintenționate care ar putea distorsiona rezultatele imaginilor. Similar, compatibilitatea electromagnetică (CEM) se ocupă cu emisiile nedorite produse de dispozitive electrice sau electronice și influența lor asupra transmisiilor de comunicații wireless existente. Un analizor de spectru este un instrument de testare ideal pentru oricare dintre aceste scenarii.

Aplicațiile analizoarelor de spectru în zona RF sunt la fel de diverse ca semnalele care călătoresc prin undele de aer și dincolo. Există multe alte aplicații ale analizoarelor de spectru în afara zonei RF, iar lista de aplicații va continua să crească fără îndoială .

În timp ce undele de sunet ocupă frecvențe mult mai mici decât undele radio și călătoresc prin aer cu o viteză mai mică, premisa de bază a frecvenței față de amplitudine este la fel de aplicabilă în lumea audio. Inginerii în domeniul audio ar putea folosi un analizor de spectru pentru a compara puterea sunetului la intrare și ieșire la un concert live, ajustând în același timp nivelurile de volum pentru diferite frecvențe în mod corespunzător și scăzând volumul pentru frecvențe care generează feedback nedorit sau zgomot. Mai multe aplicații științifice ale analizorilor spectrului audio includ analiza armonicilor unui semnal audio și proiectarea dispozitivelor cu ultrasunete.

Deși lumina vizibilă este adesea percepută ca o apariție naturală care nu are legătură cu undele de frecvență radio, ele sunt ambele forme de radiații electromagnetice. Lumina se întâmplă să devină vizibilă la frecvențe mult mai mari decât cele ocupate de undele radio. Deoarece lumina are atât frecvență și intensitate inerente, analizorul de spectru poate fi un instrument extrem de util pentru studiul surselor vizibile, ultraviolete și infraroșii.

Astronomia, fibra optica si tehnologia laser sunt doar cateva dintre aplicațiile analizoarelor spectrale optice. Echipamentele de analiză chimică și biologică includ adesea functțonalitatea analizei spectrale optice ca parte a sistemului. În acest fel, din spectrul optic reflectat al unei substanțe poate fi extrasă „amprenta” pentru a caracteriza substanțe similare în studiile viitoare. Analizoarele spectrale optice necesită o complexitate suplimentară pentru a capta în mod eficient frecvența și intensitatea undelor luminoase. Deoarece frecvențele sunt relativ ridicate, sensibilitatea trebuie să fie la fel de mare pentru a capta informații precise. Interferometrele ar putea fi utilizate pentru a capta frecvența luminei, în timp ce o fotodiodă poate fi uneori folosită pentru a capta intensitatea.

Tipuri de analizoare spectrale

În primele lor forme, cele un radio și un analizor spectral erau foarte asemănătoare. Numai calitatea și designul mixerului și oscilatorului, împreună cu utilizarea unui afișaj mai degrabă decât a unui difuzor, au făcut analizorul spectrulal mai mult decât un receptor radio.

Tradițional, un analizor spectral conținea componente de bază precum: un oscilator local, un mixer, un filtru trece bandă și un senzor de putere. Pentru a face măsurari în frecvență analizorul spectral se acordă pe fiecare frecvență și măsoară puterea pentru a oferi rezultate. Unele analizoare spectrale încă operează în modul acest numit serial.

A fost designul inițial de analizor de spectru, a utilizat principiul superheterodină, inventat de Edwin Armstrong în 1918, folosind un oscilator local pentru a genera un semnal care este apoi combinat cu semnalul de intrare pentru a translata frecvența. În acest mod ingenios, reglarea frecvenței semnalului poate fi controlată folosind oscilatorul atunci când este combinat cu frecvența de intrare la mixerul circuitului. Într-un astfel analizor de spectru, oscilatorul este continuu "plimbat" prin gama dorită de frecvențe la o rată constantă, iar această bandă este reflectată pe monitorul.

Fig. 2.1 Arhitectura tradițională simplificată a unui analizor spectral

Multe din analizoarele spectrale moderne sunt bazate pe același principiu de funcționare ca ca analizoarele spectrale vectoriale. Această arhitectură este ilustrată în Fig.2.2 și folosește un oscilator local pentru a mixa semnalul de radiofrecvență pentru a produce o frecvență intermediară de bandă largă. În loc să revină la oscilatorul local pentru fiecare frecvență, analizorul calculează Transformata Fourier Rapidă a semnalului de frecvență intermediară. Transformata Fourier Rapidă poate oferi o plajă largă de informații despre putere și frecvență după doar o singură achiziție de semnal. Cum era de așteptat, un analizor spectral modern are ahitectura similară.

Fig. 2.2 Arhitectura unui analizor spectral vectorial

După cum ilustrează diagrama, un convertor analog-digital (ADC) captează un spectru mai larg de date. Prin achiziționarea unui spectru mai larg, se poate capta și informația de fază a semnalului RF. În plus, acest lucru permite unui analizor de semnale vectorial să efectueze măsurători de spectru cu un simplu calcul FFT. Atenuarea și nivelul de referință sunt proiectate pentru a măsura multe tipuri de semnale RF cu cea mai mare gamă dinamică posibilă. O modalitate de a maximiza intervalul dinamic pe o gamă largă de semnale este de a utiliza atenuarea pentru a regla nivelul semnalului la amplitudinea ideală pentru un semnal dat. În mod tipic, analizoarele RF sunt proiectate să aibă o gamă largă de niveluri de referință sau atenuare, specificate în decibeli (dB). Nivelul de referință este de obicei setat la un nivel de putere care este puțin mai mare decât puterea maximă așteptată. Instrumentul aplică apoi un câștig sau o atenuare corespunzătoare semnalului. Atenuarea sau amplificarea este de obicei aplicată cât mai aproape posibil de capătul frontal RF pentru a menține un nivel constant al semnalului la mixer și pentru a atinge un interval dinamic maxim pe semnalul analizat.

Fig. 2.3 Un atenuator este adăugat înainte de stagiul de mixare a unui analizor de radiofrecvență

Atenuarea sau câștigul programabil este important deoarece permite unui instrument RF să măsoare semnale la o varietate de niveluri de putere. De exemplu, dacă ați atașa o antena de bandă largă la un analizor de semnal, ați observa că multe dintre semnalele de comunicații fără fir care funcționează pe bază de aer funcționează la niveluri de putere foarte diferite. Majoritatea posturilor de radio FM pot fi observate la amplitudini maxime de aproximativ -50 dBm. Prin contrast, dacă nu sunteți aproape de o stație de bază, este greu să găsiți semnale în banda celulară GSM care sunt mai mari de -70 dBm. În plus, într-un scenariu și mai extins, semnalele GPS din banda de 1,57 GHz ar putea funcționa la niveluri de putere de -157 dBm și mai jos.

Analizoarele spectrale FFT (Fast Fourier Transform). Prima utilizare a tehnologiei digitale în analizoarele spectrului de frecvențe, analizorul FFT (Fast Fourier Transform) este numit după transformarea matematică care se utilizează pentru a rupe forma de undă în diferitele componente ale spectrului său de frecvență prin convertirea semnalului de la domeniul temporal la frecvență, analizorul FFT descompune semnalul, apoi îl reasamblează pe afișaj, cu ajutorul unui convertor analog-digital. Utilizând această tehnologie poate să fie capturată și faza semnalului. Ironic, omul responsabil pentru această descoperire, Joseph Fourier, a murit deja (1830) înainte ca Maxwell să fi publicat chiar descoperirile sale.

Printre limitările analizorului FFT sunt inerentele "pete oarbe" în timp care apar între ciclurile de procesare a semnalului. Deoarece vitezele procesorului au crescut exponențial, această limitare poate fi rezolvată prin captarea datelor continuu, suprapunerea ciclurilor de colectare a datelor și analizarea formei de undă foarte repede astfel încât nu se pierde nimic. De aici se a primit denumirea de "analizor în timp real". Acest tip de analizor de spectru utilizează de asemenea FFT, dar cu mai multă putere de procesare, are capabilitatea să analizeze și să stocheze istoricul nemodificat al comportamentului semnalului. Evenimentele tranzitorii sau schimbările rapide de semnal care pot fi importante pentru utilizator sunt întotdeauna capturate atunci când se utilizează un analizor de spectru în timp real.

De obicei, analizoarele seriale se utilizează la frecvențe înalte (radiofrecvență și microunde), iar analizoarele în timp real, mai mult la frecvențe joase (audiofrecvență).

Principii de funcționare

Cel mai elocvent tip de analizor de spectru pentru comprehensia funcționării a unuia virtual este analizorul Fourier.

Un analizor în timp real de tip Fourier are la bază transformata Fourier, care permite trecerea semnalului din domeniul timp în domeniul frecvență și invers. Transformata Fourier directă ce calculează componentele unui semnal pe axa frecvențelor este dată de relația:

(2.1.1)

Iar transformata Fourier inversă este definită:

(2.1.2)

Existența unui algoritm de calcul rapid pentru evaluarea transformatei Fourier discrete (TFD) face atrăgătoare ideea utilizării acesteia în aproximarea transformatei Fourier a semnalelor analogice. TFD este avantajoasă mai ales pentru semnalele analogice de joasă frecvență unde analizoarele de spectru analogice sunt scumpe și imprecise. În plus, la sistemele numerice stabilitatea în timp este garantată, iar precizia mult mai ușor de controlat.

Aceste analizoare spectrale s-au impus definitive mai ales după apariția procesoarelor de semnal specializate pe algoritmul TFR(Transformata Fourier Rapidă), algoritm cunoscut și sub denumirea FFT(Fast Fourier Transform). Acest tip de analizoare au denumiri de catalog ca: ,,FFT Spectrum Analyzer”, ,,Digital Spectrum Analyzer”, ,,Fourier Analyzer”.

Odată ce echipamentul este pornit și o intrare a fost selectată, setările de bază constau în selectarea frecvenței centrale, lățimii intervalului și nivelurilor de referință pentru amplitudine (axa y). Lățimea benzii de rezoluție (RBW – Resolution Bandwidth), lățimea benzii video (VBW – Video Bandwidth) și reglarea timpului de ștergere sunt folosite pentru a controla precizia măsurătorilor și a imaginii rezultate pe ecran. Deoarece RBW stabilește lățimea filtrului care se deplasează peste semnal, un RBW mai mic înseamnă o rezoluție mai mare și o imagine mai detaliată și mai exactă a semnal.

Dincolo de aceste setări de bază și controale, caracteristicile suplimentare pot fi plasate în mod obișnuit într-una din cele două categorii – practice și plăcute. Primele analizoare de spectru comerciale au încorporat deja caracteristici practice precum reglajul de span, markerii de frecvență și ajustarea timpului de curățare. Caracteristicile suplimentare care sunt foarte de dorit pentru aproape orice tip de aplicație: includ markeri de zgomot, căutare de vârf, generatoare de urmărire și porturi suplimentare de intrare pentru canale multiple analiză.

Pentru analizoarele de spectru RF, includerea unui demodulator permite utilizatorului să "asculte" semnalul analizat. Măștile spectrale iau utilitatea marcatorilor la un alt nivel prin crearea unei contururi pentru semnalul "acceptabil" și profilul de zgomot, apoi vă spun dacă sunteți sau nu în specificație.

Cu nivelul actual de integrare a calculatorului în designul spectrului de frecvențe radio, majoritatea caracteristicilor frumoase care oferă împrumut de utilizare, programabilitate și conectivitate sunt mai strâns legate de dezvoltarea software-ului decât de hardware. Seturile de caracteristici disponibile acum prin software sunt practic nelimitat. Unele dintre caracteristicile software mai utile și mai interesante includ:

Captarea imaginilor în format .jpg sau .pdf;

Memorie și caracteristici de rechemare;

Ecranul tactil afișează;

Rutine de analiză a zgomotului de fază programabile;

Analiza spectrală

Analiza spectrală constă în descompunerea unei mărimi, care

variază în funcție de timp, în componente frecvențiale. Este una din

tehnicile cele mai obișnuite în prelucrarea semnalelor.

Analiza spectrală experimentală este un instrument de investigație de

neînlocuit în numeroase domenii. Instrumentele de măsură, care realizează

automat această operație, se numesc analizoare spectrale. Principalele

tehnici de analiză spectrală se împart în două clase principale:

– tehnicile directe (filtrare selectivă, metoda periodogramei etc.);

– metodele indirecte (metoda corelogramei, metodele parametrice etc.).

Analiza spectrală experimentală diferă de modelul său teoretic, din

principalul motiv că observarea semnalului se face pe parcursul unei durate

de timp limitate (un număr finit de eșantioane – în cazul numeric). Aceasta

ne obligă să definim noțiunea de estimator. De fapt, această densitate

spectrală, definită prin transformata Fourier a funcției de autocorelație,

rezultă în practică în urma calculului asupra observațiilor pe o durată

limitată.

Analiza spectrală se referă la caracterizarea în domeniul frecvență a

unui semnal și răspunde la întrebări de tipul:

– puterea/energia semnalului este repartizată majoritar la frecvențele

joase sau înalte?

– sunt rezonanțe în spectrul semnalului? [carte dsp]

Introducere în estimarea spectrală

Principalul obiectiv al estimării spectrale este determinarea densității spectrale de putere, termen cunoscut în lucrările de specialitate scrise în limba engleză sub acronimul de PSD (Power Spectral Density), a unui proces aleator. Funcția PSD joacă un rol fundamental în analiza proceselor aleatoare staționare întrucât cuantifică distribuția totală de putere ca o funcție de frecvență. Estimarea PSD-ului este bazată pe un set finit de date/eșantioane observate într-un proces. O presupunere necesară este ca procesul aleator să fie staționar în sens larg, anume, ca statisticile de ordinul I și al II-lea să nu se schimbe în timp. PSD-ul estimat oferă informații despre structura procesului aleator, informații ce pot fi utilizate ulterior pentru modelarea, prezicerea sau filtrarea procesului observat.

Primele descoperiri signifiante pentru estimarea spectrală ce vor pune bazele pentru descoperiri viitoare au fost făcute la începutul secolului al XVIII-lea. Aceste descoperiri includ una dintre cele mai importante progrese din istoria matematicii, transformata Fourier. Conform lui Fourier, o funcție arbitrară poate fi reprezentată ca o sumare infinită de funcții de sinusuri și cosinusuri. Ulterior, apare teoria spectrală de ecuații diferențiale Sturm-Liouville, care a fost urmată de reprezentările spectrale din fizica cuantică si clasică realizate de către John von Neuman și, respectiv, Norbert Wiener. Teoria statistică de estimare spectrală a început, practic, în anul 1949 când Tukey a introdus a metodă numerică de calcul a spectrului din date empirice. O piatră de hotar foarte importantă pentru dezvoltarea ulterioară a domeniului a fost descoperirea transformatei Fourier rapide (TFR), cu denumirea în limba engleză Fast Fourier Transform (FFT), în anul 1965. La scurt timp după aceea, în anul 1967, a venit lucrarea lui John Burg, care a propus o abordare fundamental nouă a estimării spectrale, bazată pe spectrul entropiei maxime, cunoscut înainte ca spectrul Markov. În anii care au urmat, munca sa a fost continuată de mulți cercetători care au dezvoltat numeroase proceduri noi de estimare a spectrului și care le-au aplicat în diverse domenii științifice. Astăzi, estimarea spectrului este o disciplină științifică vitală care joacă un rol major în multe științe aplicate, cum ar fi: radar, analiza semnalului vocal, acusctica subacvatică, prelucrarea semnalelor biomedicală, sonar, seismologie, analiza vibrațiilor, economie, meteorologie, mecanică etc. Utilizarea estimării spectrale, în mod explicit, pe domenii: în economie se utilizează pentru determinarea unei periodicități în evoluția indicatorilor (economici, bursieri etc.), pe când în meteorologie se folosește pentru determinarea unor cicluri de variație ale mărimilor meteorologice, în mecanică pentru monitorizarea vibrațiilor provocate de un motor și determinarea stabilității părților componente, în analiza semnalului vocal ajută la înțelegerea procesului de producere a semnalului vocal pe baza DSP (Digital Signal Procesessor) și pentru algoritmi de compresie dezvoltați pe baza cunoașterii spectrului de putere, iar la radare și sonare analiza spectrală oferă informații cu privire la localizarea țintei. [Djuric, P.M. & Kay S.M. “Spectrum Estimation and Modeling”

Digital Signal Processing Handbook]

Procese aleatoare

Obiectul de interes al estimării spectrale este constituit de procesele aleatoare. Un proces sau semnal aleator, numit și stochastic, este un proces care se desfășoară în timp și este guvernat, cel puțin în parte, de legi probabilistice. Importanța teoretică și practică a studiului semnalelor aleatoare rezidă în faptul că semnalele purtătoare de informație, indiferent de natura lor, și zgomotele care apar în procesul transmisiunii sunt modelate cel mai bine prin astfel de semnale. Acestea, procesele aleatoare, reprezintă fluctuații ale unei anumite cantități care nu pot fi descrise în totalitate de o funcție deterministă.

Un semnal în timp discret sau o serie temporală este un set de observații luate secvențial în timp, spațiu sau din altă variabilă independentă.

Un semnal în timp discret x(n) este, în esență, o secvență de numere reale sau complexe numite eșantioane. Deși indicele întreg poate reprezenta orice variabilă fizică (de exemplu, timpul, distanța), în general vom face referire la acesta ca timp. În plus, în această lucrare luăm în considerare doar serii de timp cu observații care apar la intervale de timp egal distanțate. Semnalele în timp discret pot apărea în mai multe moduri. Foarte adesea, un semnal în timp discret este obținut prin eșantionarea periodică a unui semnal continuu, adică x (n) = xc (nT), unde T = 1 / Fs (secunde) este perioada de eșantionare și Fs (eșantioane pe secundă sau hertz) este frecvența de eșantionare. În alte momente, eșantioanele unui semnal în timp discret se obțin prin acumularea unei cantități (care nu are o valoare instantanee) pe intervale egale de timp, de exemplu, numărul de mașini pe zi care circulă pe un anumit drum. În cele din urmă, unele semnale sunt în mod inerent de timp discret, de exemplu, prețurile zilnice pe piața bursieră. Caracteristicile cheie ale unei serii de timp sunt că observațiile sunt ordonate în timp și că observațiile adiacente sunt dependente (înrudite). Atunci când observațiile succesive ale seriei sunt dependente, putem folosi observațiile din trecut pentru a prezice valorile viitoare. Dacă predicția este exactă, seriile se consideră a fi deterministe. Cu toate acestea, în cele mai multe situații practice nu putem prezice exact o serie de timp.

Astfel de serii sunt numite aleatoare sau stochastice, iar gradul de predictibilitate al acestora este determinat de dependența dintre observațiile consecutive. Cazul final al întâmplării apare atunci când fiecare eșantion de semnal aleator este independent de toate celelalte probe. Un astfel de semnal, care este complet imprevizibil, este cunoscut sub numele de zgomot alb și este folosit ca un bloc de construcție pentru a simula semnale aleatorii cu diferite tipuri de dependență. Pentru a sintetiza, caracteristica fundamentală a unui semnal aleatoriu este incapacitatea de a preciza cu precizie valorile acestuia. Cu alte cuvinte, un semnal aleatoriu nu este previzibil, nu se repetă niciodată și nu găsim o formulă matematică care să ofere valorile sale ca o funcție de timp. Ca rezultat, semnalele aleatoare pot fi descrise matematic doar prin folosirea teoriei proceselor stochastice.
  Tehnicile de procesare a semnalelor, în funcție de obiectivul lor principal, pot fi clasificate după cum urmează:

• Analiza semnalelor. Scopul principal este de a extrage informații utile care pot fi folosite pentru comprehensia procesului de generare a semnalului sau caracteristicile de extragere care pot fi utilizate în scopul clasificării semnalelor. Majoritatea metodelor din acest domeniu sunt tratate în cadrul disciplinelor de estimare spectrală și modelare a semnalului.

• Filtrarea semnalelor. Obiectivul principal al filtrării semnalelor este îmbunătățirea calității unui semnal conform unui criteriu acceptabil de performanță. Filtrarea semnalelor poate fi împărțită în zonele de filtrare selectivă a frecvențelor, filtrare adaptivă și prelucrare a matricei. Aplicațiile tipice includ anularea zgomotului și interferențelor, anularea ecoului, egalizarea canalului, deconvoluția seismică, controlul activ al zgomotului etc.

Fig. 2-1 Clasificarea metodelor de analiza și procesare a semnalelor aleatoare

Închei această secțiune cu un exemplu de semnal care apare în aplicații practice. Deși descifrarea acestui semnal este departe de a fi completă scopul este pentru a ilustra natura aleatorie și semnificația lui în aplicațiile de prelucrare a semnalului.

Fig. 2-2 Spectrograma și forma de undă acustică pentru "semnalul" de exprimare. Benzile orizontale mai întunecate prezintă rezonanțele tractului vocal, care se schimbă în funcție de timp, în funcție de sunetul sau fenomenul produs.

Generarea de vorbire implică trei procese: generarea excitației sonore, articularea de către tractul vocal și radiația din buze și / sau nări. Dacă excitarea este un tren cvasi-periodic de impulsuri de presiune a aerului, produs de vibrația corzilor vocale, rezultatul este un sunet exprimat. Sunetele fără voce sunt produse prin crearea mai întâi a unei constricții în tractul vocal, de obicei către capătul gurii. Apoi generăm turbulențe prin forțarea aerului prin constricție la o viteză suficient de mare. Excitația rezultată este o formă de undă în bandă largă noiselike.
Spectrul excitației este modelat de tubul de tracțiune vocală, care are un răspuns de frecvență care seamănă cu rezonanța conductelor de organe sau a instrumentelor de suflat. Frecvențele rezonante ale tubului de tracțiune vocală sunt cunoscute ca frecvențe formante, sau pur și simplu formative. Schimbarea formei tractului vocal își schimbă răspunsul de frecvență și are ca rezultat generarea de sunete diferite. Deoarece forma tractului vocal se schimbă încet în timpul discursului continuu, presupunem de obicei că acesta rămâne aproape constant pe intervale de ordinul 10 ms.[Statistical and AdaptiveSignal Processing]

Elemente de teoria estimării

Fie un parametru θ , care caracterizează un proces stohastic și

un estimator realizat pe baza a N observații x[i] cu (0 ≤ i ≤ N −1):

Eroarea sistematică sau deplasarea unui estimator reprezintă diferența dintre valoarea adevărată a mărimii ce trebuie estimată și valoarea medie a estimatului său:

(2.1)

unde E(.) reprezintă valoarea medie statistică.

Eroarea medie pătratică a unui estimat este definită de:

(2.2)

Varianța (dispersia) unui estimat poate fi definită de relația:

(2.3)

O varianță redusă indică o slabă dispersie a estimărilor în jurul valorilor . Un estimator converge dacă deplasarea B și varianța tind către zero atunci când numărul de observații N tinde către infinit.

Consistența unui estimat se exprima prin următoarea relație: dacă , atunci se poate spune că estimatul este “consistent”.

Aspecte teoretice ale estimării spectrale

Densitatea spectrală de putere a unui proces aleator staționar în sens larg este, teoretic, transformata Fourier a funcției de autocorelație:

(2.4)

Funcția de autocorelație statistică este:

(2.5)

Din aceste relații pot fi trase următoarele concluzii:

Estimarea spectrului necesită o secvență de autocorelație de lungime infinită;

Estimarea secvenței de autocorelație necesită estimarea mediei;

Estimarea spectrului de putere pentru un proces staționar în sens larg este echivalentă cu estimarea funcției de autocorelație.

(2.6)

Din relațiile (2.4) și (2.6) se observă două moduri de calculare a densității spectrale de putere:

una directă (relația 2.6), în care se calculează pătratul modulului transformatei Fourier;

una indirectă (relația 2.4), în care se calculează întâi funcția de autocrelație și apoi transformata sa Fourier.

În practică nu se dispune de mulțimea realizărilor procesului pe baza căruia să se evalueze funcția de autocorelație, astfel încât este de dorit a se estima funcția de autocorelație a procesului pe baza unei singure realizări particulare. Pentru ca acest lucru să fie posibil este necesar ca procesul să fie ergodic atât în medie cât și în corelație, adică atât valoarea medie temporală, cât și valoarea funcția de autocorelație temporală să tindă cu probabilitate 1 la corespondentele lor statistice. Proprietatea de ergodicitate justifică folosirea funcției de autocorelație temporale ca un estimat al funcției de autocorelație statistice. Mai mult, transformata Fourier a acestui estimat furnizează un estimat al spectrului densității de putere.

Se consideră un proces staționar în sens larg x[n] care este observat numai în intervalul 0 ≤ n ≤ N −1. Pe baza acestei observări de durată finită se poate estima funcția de autocorelație în mai multe moduri.

Se definește ca o măsură a performanțelor unui estimator neparametric un factor de calitate dat de raportul dintre pătratul mediei puterii spectrului estimat și dispersia sa:

(2.7)

unde prin A se specifică tipul de metodă folosită iar x este vectorul de date al cărui spectru se estimează. Cei doi estimatori sunt consistenți.

Metode clasice de estimare spectrală (neparametrice)

Metoda directă (Periodograma)

Estimatul corespunzător al densității spectrale de putere este:

(2.8)

Înlocuind ecuația (2.6) în (2.8) rezultă:

(2.9)

unde .

Relația (2.9) a estimatului spectrului de putere se numește periodogramă. Valoarea medie a periodogramei este:

(2.10)

Interpretarea acestei relații este că media spectrului estimat este transformata Fourier a funcției de autocorelație înmulțită cu o fereastră triunghiulară. Produsului din domeniul timp îi corespunde în domeniul frecvență operația de convoluție:

(2.11)

unde este transformata Fourier a ferestrei Bartlett, iar densitatea spectrală de putere care se dorește a fi estimată. Ca urmarea a acestei convoluții, spectrul estimat este o versiune netezită a spectrului semnalului și suferă de fenomenul de scurgere spectrală din cauza lungimii finite a datelor.

Spectrul estimat este asimptotic nedeplasat, deoarece

,

iar .

În concluzie, spre deosebire de funcția de autocorelație estimată, periodograma nu este un estimat consistent al densității spectrale de putere. Pxx(f) este un estimat asimptotic nedeplasat pentru Γxx(f), dar, pentru o secvență de durată finită, valoarea sa medie este deplasată. Spectrul estimat suferă de efecte de netezire și scurgere spectrală, cauzate de înmulțirea cu ferestra Bartlett.

Factorul de calitate pentru periodogramă este:

ceea ce arată independența performanțelor estimatorului de lungimea vectorului de date.

Trebuie subliniat faptul că expresiile de varianță sunt semnificative numai în contextul proceselor aleatoare; transformata Fourier, în sine, este un instrument foarte util pentru analiza semnalelor deterministe.

Estimarea periodogramei poate fi realizată în mai multe moduri, prin:

• Netezirea (filtrarea) în domeniul frecvență;

• Înmulțirea secvenței de autocorelare cu o funcție de fereastră de întârziere;

• Înmulțirea datelor din domeniul temporal cu o funcție de fereastră;

• Medierea mai multor estimatori de periodogramă.

Metoda Bartlett (Periodograma mediată)

Având la dispoziție un segment de date de lungime N pentru a reduce varianța estimatului divizăm segmentul în K segmente de lungime M nesuprapuse (N=K×M). Pentru fiecare dintre aceste segmente se calculează periodograma:

cu i=0,1…K-1 (2.12)

În final cu cele K periodograme se realizează o medie rezultând așa numita

periodogramă mediată:

(2.13)

Se demonstrează că:

iar .

O primă concluzie este aceea că varianța se reduce iar dacă N →∞ și M este finit K →∞ și estimatorul devine consistent. Pentru un segment de date de lungime N fixă putem reduce varianța estimatorului crescând K, cu prețul reducerii rezoluției cu un factor K=N/M.

Fig. 2.3. Comparație între spectrul de putere calculat cu metoda periodogramei mediate cu o fereastră Bartlett și spectrul de putere calculat utilizând o fereastră dreptunghiulară ale aceluiași semnal sinusoidal cu frecvența de 1kHz, cu o frecvență de eșantionare de 8kHz și cu un zgomot alb Gaussian adăugat cu o varianță =0.001.

Metoda Welch (Periodograma mediată modificată)

Welch realizează două modificări la metoda Bartlett. Prima constă în posibilitatea suprapunerii segmentelor ce se obțin din vectorul inițial iar a doua modificare constă în aplicarea unei ferestre fiecărui segment.

Fie x[n] o secvență de N. Segmentele se vor obține astfel:

xi[n]=x[n+iD] n=0,1…..M-1

i=0,1……K-1

Vor rezulta K segmente, fiecare de lungime M. Dacă D=M segmentele nu se suprapun. Periodograma rezultată este:

i=0,1…..L-1 (2.14)

unde U este un factor de normalizare, ales astfel încât:

(2.15)

Puterea spectrală estimată în acest caz devine:

Pentru N infinit și M finit, estimatorul devine consistent.

Coeficientul de calitate este:

Se observă o pierdere a rezoluției în cazul în care K crește și N rămâne fix și o varianță mai mare atunci când segmentele sunt suprapuse. Avem de-a face cu un compromis varianță-rezoluție ca și în cazul precedent.

Fig. 2.4. Comparație între spectrul de putere calculat cu metoda periodogramei mediate modificate prin metoda Welch când segmentele se suprapun și spectrul de putere când segmentele nu se suprapun ale aceluiași semnal sinusoidal cu frecvența de 1kHz, cu o frecvență de eșantionare de 8kHz și cu un zgomot alb Gaussian adăugat cu o varianță =0.001.

Metoda Blackman-Tukey

Se poate considera că una din cauzele performanțelor slabe ale estimatorului

periodogramă constă în performanțele slabe ale estimatorului folosit pentru funcția de autocorelație rxx[m]. Într-adevăr

poate avea fluctuații mari, datorită lipsei vreunei medieri. O posibilitate ar consta în eliminarea termenilor lui rxx[m] pentru m ≥ M M ≤ N. Estimatorul devine:

(2.16)

Aceasta poartă numele de corelogramă.

O posibilitate de ameliorare ar consta în micșorarea ponderii valorilor rxx[m] pentru m mare (apropiat de N-1) utilizând o funcție fereastră:

(2.17)

unde w[n] are lungimea 2M-1 și valoarea zero pentru |m| ≥ M.

Se demonstrează că:

unde

Rezultatele tuturor acestor metode arată o oarecare superioritate ale metodelor Welch și Blackman-Tukey față de metoda Bartlett, însă diferența în performanță este relativ mică. Principala observație este aceea că odată cu creșterea lungimii vectorului de date N cresc performanțele estimaților, de la această regulă făcând excepție doar periodograma.

În cazul estimaților considerați, factorul de calitate se calculează cu relațiile:

unde N este lungimea secvenței iar Δf este lățimea de bandă la 3dB a lobului principal al ferestrei considerate. Pentru o rezoluție dată putem mări calitatea estimatului mărind lungimea vectorului de date.

Metode parametrice de estimare spectrală

În cazul metodelor neparametrice transformata Fourier era folosită în estimarea densității spectrale de putere a unui semnal. Calculul transformatei Fourier impune constrângeri care determină limitări severe în rezoluția frecvențială, limitări ce devin inacceptabile dacă este necesar să se analizeze semnale de scurtă durată. În plus, aceste metode suferă de un fenomen numit scurgere spectrală (spectral leakege) ca efect al convoluției dintre spectrul unei ferestre cu spectrul semnalului care determină o lărgire a spectrului. Acest lucru poate conduce la mascarea unor componente spectrale de amplitudine mică. Cu ajutorul metodelor parametrice o parte din dezavantajele metodelor clasice sunt înlăturate.

Una din principalele limitări ale metodelor neparametrice era aceea că estimatul funcției de autocorelației rxx [m] era zero pentru m ≥ N. Metodele moderne pornesc de la stabilirea unui model al procesului ce a generat eșantioanele de date, bazat pe existența unor informații apriori sau a unor ipoteze. Vor trebui parcurse următoarele etape:

• selectarea modelului corespunzător seriei temporale respective;

• estimarea (identificarea) parametrilor modelului respectiv pornind de la datele (observațiile) de care se dispune;

• calculul estimatorului spectral prin înlocuirea parametrilor estimați în formula densității spectrale de putere specifice modelului.

Modele pentru procese aleatoare

Modelele parametrice se bazează pe considerația că secvența de date x[n] este ieșirea unui sistem liniar caracterizat de o funcție de transfer rațională de forma:

(2.18)

Ecuația cu diferențe corespunzătoare:

(2.19)

unde w[n] este secvența de date din intrarea sistemului. Cu observația că dacă semnalul de intrare este un proces staționar atunci și ieșirea sistemului este un proces staționar, se poate scrie că densitatea spectrală de putere a lui x[n] este:

(2.20)

Cu presupunerea că semnalul [ ] w n este un proces de tip zgomot alb cu dispersia și cu medie nulă densitatea spectrală de putere devine:

sau în domeniul Z (2.21)

Se pot identifica astfel trei modele corespunzătoare celor trei forme sub care se poate prezenta funcția de sistem H(z) :

• modelul ARMA (autoregresiv cu medie alunecătoare) denumit și poli-zerouri cu:

(2.22)

H(z) are q zerouri și p poli.

• modelul MA (medie alunecătoare) denumit și numai-zerouri cu:

(2.23)

• modelul AR (autoregresiv) denumit și numai-poli cu:

(2.24)

Dintre cele trei modele liniare cel mai folosit este pe departe modelul AR. Avantajele acestuia sunt:

• spectrul dedus cu un model AR de ordin mic are o rezoluție satisfăcătoare; • parametrii modelului se calculează relativ ușor în raport cu parametrii modelului ARMA. Pe de altă parte, calculul densității spectrale de putere cu ajutorul modelului MA este într-un fel asemănător periodogramei, de aceea modelul MA nu este folosit în metodele parametrice.

Estimarea spectrului de putere pentru semnale modelate AR

Relațiile dintre funcția de autocorelație și parametrii modelului sunt:

(2.25)

Dacă se adoptă un model AR(p) pentru datele observate, relația dintre parametrii modelului și secvența de autocorelație se obține din (2.25), pentru q=0, adică:

(2.26)

În acest caz parametrii {ak} se obțin din soluția sistemului de ecuații:

(2.27)

care reprezintă ecuațiile Yule-Walker sau normale.

Dispersia poate fi obținută din ecuația:

(2.28)

Ecuațiile (2.27) și (2.28) sunt de obicei combinate în una singură, de forma:

(2.29)

sau

(2.30)

Realizând inversa matricei [γ] se pot calcula parametrii modelului AR. Pentru un ordin p al modelului AR, trebuie calculate 1 p + valori ale funcției de autocorelației γxx. O soluție recursivă eficace în mod particular pentru această problemă se poate obține cu ajutorul algoritmului Levinson-Durbin.

În afara eficacității, sale acest algoritm permite determinarea ordinului adecvat pentru un model AR, ceea ce este deosebit de util, deoarece nu este cunoscut apriori. Algoritmul Levinson-Durbin pune în evidență faptul că eroarea de predicție este o funcție necrescătoare cu ordinul modelului, nu are un minim absolut și nu permite să alegem un ordin care să fie asociat cu cea mai mică eroare din toate modelele posibile. Există mai multe criterii folosite în alegerea ordinului modelului.

Două din cele mai bune criterii pentru selectarea ordinului modelului au fost propuse de Akaike:

Criteriul erorii de predicție finale FPE (Final Prediction Error) în care ordinul este selectat astfel încât să se minimizeze indicele de performanță

(2.31)

unde este dispersia estimată a erorii de predicție liniară.

Criteriul informației Akaike AIC(p), (Akaike Information Criterion) se bazează pe alegerea ordinului care minimizează cantitatea

(2.32)

Ordinul p al modelul se alege astfel încât să minimizeze cantitatea din (2.31) sau (2.32).

Pentru a calcula parametrii modelului trebuie cunoscute valorile funcției de autocorelație. Acestea nu sunt cunoscute apriori, ci trebuie estimate din secvența de date avută la dispoziție, ceea ce presupune un număr de observații mult mai mare decât ordinul modelului AR.

Metoda Burg

Metoda elaborată de Burg se bazează tot pe algoritmul Levinson-Durbin pentru a determina estimații parametrilor modelului , singura diferență fiind aceea că parametrii modelului AR sunt determinați direct din datele x[n] evitând astfel estimarea autocorelației segmentului de date.

Avantajul major este acela că metoda dă rezultate bune și pentru lungimi reduse ale vectorului de date spre deosebire de metoda Yule-Walker unde, după cum se va vedea rezultatele nu sunt satisfăcătoare. Apar însă și dezavantaje, precum apariția a două linii spectrale în locul uneia singure efect denumit line splitting sau apariția unor componente spectrale (vârfuri) false la ordine prea mari.

Analiză spectrală de ordin superior

Momentele de ordin superior sunt generalizări naturale ale funcției de autocorelație, și cumulanții sunt combinații neliniare specifice ale acestora momente.

Cumulantul de ordinul întâi al unui proces staționar este media, C1x:=E{x(t)}. cumulanții de rang superior sunt invariabili pentru o schimbare a mediei; prin urmare, este convenabil să le definim sub ipoteza medierii zero; dacă procesul are media nenulă înseamnă că scădem media și apoi aplicăm următoarele definiții la rezultatul procesului:

(2.33)

(2.34)

(2.35)

unde și este egal cu C2x(m) pentru un proces cu valori reale. Cumulantul de ordinul I este media procesului și cumulantul de ordinul al II-lea este funcția de autocovariație (autocovarianță). De reținut că pentru procesele complexe, sunt multiple căi pentru definirea cumulanților în funcție de ce termeni sunt conjugați.

Cumulanții zero-lag (zero-întârziere) au denumiri speciale: C2x(0) este varianța și este, de obicei, notat cu ; C3x(0,0) și C4x(0, 0, 0) sunt de obicei notate cu γ3x și γ4x. Iar cantitățile normalizate și poartă denumirile de skewness (indică asimetria) și kurtosis (indică excesul – parametru statistic folosit pentru caracterizarea curbelor granulometrice cumulative; fiind un coeficient de ascuțime, el măsoară dezvoltarea medie a curbei între diametrele corespunzătoare). Aceste cantități normalizate sunt invariante cu schimbările. Dacă x(n) este distribuit simetric skewness-ul lui este neapărat zero, dar nu și vice versa, iar dacă x(n) este distribuit Gaussian, atunci kurtosis-ul lui este zero, dar nu și vice versa.

Dacă x(n) este un proces independent și identic distribuit cumulanții săi sunt nenuli și se află doar la origine. Dacă x(n) este independent statistic de y(n) și z(n)=x(n)+y(n), atunci

cu relații similare rămânând valabile pnetru cumulanții de toate ordinele. Această proprietate de aditivitate simplifică analiza bazată pe cumulanți.

Cumulanții unui proces staționar de valoare reală sunt simetrici în argumentele lor, adică

Prin urmare, regiunea fundamentală a suportului nu este întregul plan k-D. De exemplu, pentru k = 2, C2x (k), k≥ 0, specifică C2x (k) oriunde. Este ușor de arătat că regiunea nonredundantă pentru C3x (k, l) este secțiunea conică

și pentru C4x(k,l,m) este conul

Polispectrul ordinul k este definit ca Transformatele Fourier corespunzătoare

secvenței de cumulanți:

(2.21)

(2.36)

(2.37)

care sunt, respectiv, spectrul de putere, bispectrul și trispectrul. De reținut că bispectrul este o funcție de două frecvențe, în timp ce trispectrul este o funcție de trei frecvențe. Spre deosebire de spectrul de putere, care are valori reale și non-negative, bispectrul și trispectra au valori complexe.

Pentru un proces cu valoare reală, proprietățile de simetrie ale cumulanților sunt transferate proprietățile de simetrie ale polispectrei. Spectrul de putere este simetric: S2x (f) = S2x (-f). Proprietățile de simetrie ale bispectrului sunt date de:

(2.38)

Prin urmare, o regiune nonredundantă de sprijin pentru bispectru este triunghiul cu vârfuri (0,0), (1 / 3,1 / 3) și (1 / 2,0), considerând o frecvență de eșantionare normalizată de 1Hz.

Similar cu corelația încrucișată, putem defini, de asemenea, cumulanți încrucișați; de exemplu:

(2.39)

Bispectrul încrucișat este definit de:

(2.40)

Rețineți că bispectrumul S3x (f1,f2) este un caz special al bispectrului încrucișat obținut atunci când x = y = z.

De ce statistici de ordin superior?

Motivația de a folosi cumulanții și polispectrul de ordin k> 2 este dată de

(mk = (m1,…, mk-1)):

• Dacă z(n)=x(n)+y(n) și x(n) și y(n) sunt procese independente între ele, atunci Ckz (mk) = Ckx (mk) + Cky (mk).

• Dacă x(n) este Gaussian, atunci Ckz (mk) = 0, k>2.

• Deci, dacă z(n)=x(n)+w(n), unde w(n) este Gaussian și independent de x(n)

atunci, pentru k>2, Ckz(mk)=Ckx(mk). Astfel, putem recupera cumulantul de ordin superior al unui semnal non-Gaussian, chiar și în prezența zgomotului alb Gaussian.

• Fie x(n) un proces liniar, adică: , unde u(n) este

independent și identic distribuit. Atunci, rezultă că:

(2.41)

(2.42)

(2.43)

(2.44)

(2.45)

(2.46)

unde . De reținut că spectrul de putere nu poartă informații despre faza lui H(f). În schimb, dacă u(n) este non-Gaussian, informațiile de fază pot fi recuperate de la polispectrul de ordin superior. Astfel, se poate renunța la ipoteza fazei minime standard, care este necesară atunci când procesul este utilizat de statistici gaussiene sau numai de ordinul doi.

• Orice proces poate fi întotdeauna considerat a fi un proces liniar cu privire la statisticile sale de ordinul doi; adică Ryy, putem găsi întotdeauna {h(k)} și un proces necorelat u(n), astfel încât Ryy(m) = Rxx(m), unde . Cu alte cuvinte, secvența de autocorelație

nu poate da nici o dovadă de neliniaritate. În schimb, cumulanții de ordin superior pot da dovadă de neliniaritate.

• Procesele de forma a căror fază este a

polinomială în timp t, se numesc procese de fază polinomială; Transformatele Fourier ale unor astfel de procese tind să fie plane, în timp ce felii bine definite de spectru de ordin superior dezvăluie structura care permite estimarea lui p și a lui ak.

Pentru a rezuma, cumulanții sunt utili:

(1) dacă zgomotul aditiv este Gaussian și semnalul este non-Gaussian;

(2) sistemul liniar este o fază non-minimă (care este, fază mixtă);

(3) procesul este neliniar.

Estimarea bispectrului și a bispectrului încrucișat

Estimatul natural al bispectrului încrucișat este transformata Fourier a secvenței de ordinul trei de cumulanți, adică

(2.47)

unde XN(f) este transformata Fourier a lui . Acest estimat, cunoscut și ca biperiodograma încrucișată, nu este un estimat consistent. Ca și în cazul puterii

spectrale, estimatul poate deveni consistent printr-o netezire adecvată.

Bispectrul și biperiodogramele sunt cazuri speciale obținute când x = y = z.

Netezirea poate fi realizată prin înmulțirea estimatorilor cumulantului de ordinul trei printr-o funcție fereastră de întârziere. Fie w(t,s) o funcție fereastră 2-D, a cărei transformată Fourier bidimensională este finită și non-negativ; mai mult, presupunem

Funcția fereastră, w(t,s), trebuie să satisfacă și proprietățile de simetrie ale cumulanților de ordinul trei. De exemplu, ferestrele de întârziere bidimensionale pot fi derivate din ferestre de întârziere unidimensionale după cum urmează:

w(t,s)=w(t)w(s)w(t-s)

care satisface condițiile de simetrie ale lui C3x(m,n).

Luați în considerare fereastra cu parametrii scalați, wM(t,s) = w(t/M, s/M) și

o estimare netezită:

(2.48)

Sub ipoteza că bispectrul încrucișat Sxyz(f1,f2) este suficient de neted, estimarea netezită este cunoscută ca fiind consistentă, cu varianța dată de:

(2.35)

pentru 0<f1<f2<π. Condiția de consistență implicată este și , când și .

O cale alternativă pentru a realiza netezirea în domeniul frecvență, ca în cazul spectrului de putere, putem segmenta datele în înregistrări K de lungime L=N/K, putem calcula și media biperiodogramele, iar apoi să efectuăm netezirea în domeniul frecvență, folosind filtrul din domeniul frecvență: WM(f1,f2), care este transformata Fourier a lui wM(t,s). În acest caz

(2.49)

pentru 0<f1<f2<π. Utilizarea unei ferestre nu este imperativă în acest caz ținând cont că termenul K este mare; totuși, acest lucru nu asigură că interferență va ajunge la zero. C.L. Nikias and A.P. Petropulu "Higher-Order Spectra Analysis" Prentice Hall, 1993.

% M.B. Priestley, "Non-linear and Non-stationary Time series Analysis", Academic Press, London, 1988.

Rezumat

În acest capitol au fost prezentate elemente de teorie imperative atât analizei, cât și estimării spectrale. Aceste considerații teoretice fundamentale au fost utilizate pentru a prezenta dezvoltarea metodelor folosite pentru analiză și estimare spectrală. Aceste metodologii vor fi folosite în următoarele capitole în care mai multe tipuri de semnale vor fi cercetate, cu emfază pe cele din domeniul audiofrecvenței.

CAPITOLUL 3

Aspecte practice

Achiziția semnalului de la placa de sunet

Utilizând placa de sunet încorporată a laptopului personal, dispozitiv ubicuu al erei noastre, se poate realiza, prin intermediul microfonului, achiziția de semnal audio. Placa de sunet facilitează intrarea și ieșirea semnalelor audio cu frecvențe variate între 20 și 20 KHz. Cardul funcționează ca un convertor simplu analogic la digital. Rata maximă de eșantionare la care placa de sunet obișnuită obține date este de aproximativ 44,1 KHz. Astfel putem achiziționa și genera semnale până la frecvențe de aproximativ 20 kHz cât timp este satisfăcut criteriul lui criteriul Nyquist.

Se poate folosi conectorul jack stereo de 3,5 mm TRS (tip, ring, sleeve), prezentat în Fig. 3.1, pentru generare și semnalele de achiziție. Conectorul stereo TRS oferă acces atât la dreapta, cât și la stânga canale ale plăcii de sunet. Astfel, putem utiliza ambele canale ca intrări analogice (AI) sau Ieșiri analogice (AO) sau unul ca AI și celălalt drept AO. Jack-ul stereo TRS tată este conectat cu omologul său, conector mamă, deja disponibil în computer.

Fig. 3.1 Jack-ul stereo TRS care intră în mufa plăcii de sunet

Calculatoarele personale și cele mai multe laptopuri au carduri de sunet care au prize line-in, line-out și microfon. De obicei, acestea sunt colorate cu culoarea albastru deschis, verde și roz, respectiv. Diferența dintre intrările de intrare și microfon este că ele sunt utilizate pentru nivele diferite de semnal de intrare. Semnalele de amplitudine mai slabe sau mai mici sunt în general furnizate intrare microfon a plăcii de sunet, care include un pre-amplificator încorporat care amplifică semnalul de intrare, în timp ce priza de intrare trebuie furnizată cu semnale de intrare mai puternice. În cazul nostru, demonstrăm că, pentru obținerea datelor, conectorul TRS este conectat la mufa de microfon a plăcii de sunet și în mufa de ieșire pentru generarea de semnale.

A doua componentă a DAQ bazată pe plăci de sunet este software-ul. În cazul nostru alegerea făcută este mediul de dezvoltare MATLAB.

MATLAB (provine de la Matrix Laboratory) este un mediu de dezvoltare pentru analiză statistică și calcul numeric conținând limbajul de programare ce îi poartă denumirea, creat de MathWorks. Acesta permite manipularea matricilor, vizualizarea funcțiilor, implementarea algoritmilor, crearea de interfețe și poate interacționa cu alte aplicații.

Pentru a putea face uz de semnalul provenit de la microfon prin intermediul plăcii de sunet în MATLAB va trebui să utilizăm funcția audioDeviceReader care funcționează după principiul prezentat în Fig. 3.2.

Fig. 3.2 Diagrama de funcționare a audioDeviceReader aparținând MATLAB indicând curgerea datelor când achiziția se face monocanal

Proprietățile audioDeviceReader specifică driverul, dispozitivul (placa de sunet), rata de eșantionare, adâncimea de biți, dimensiunea buffer-ului și maparea canalelor dintre canalele de intrare ale dispozitivului și coloanele care ies din obiectul audioDeviceReader. Obiectul comunică aceste specificații driverului o dată la configurare.

Bucla de procesare în timp real ține seama de următorii pași:

Microfonul preia sunetul și trimite un semnal electric continuu pe placa de sunet.

Placa de sunet efectuează conversia analog-digital la o rată de eșantionare, mărimea buffer-ului și adâncimea de biți specificată în timpul configurării.

Convertorul analog-digital înregistrează eșantioane audio în buffer-ul plăcii de sunet. Dacă buffer-ul este plin, noile eșantioane sunt scoase. Aceste eșantioane sunt denumite depășiri (overrun).

AudioDeviceReader utilizează driverul pentru a trage iterativ cel mai vechi cadru din buffer-ul pentru placa de sunet.

Proprietățile audioDeviceReader sunt următoarele:

audioDeviceReader.Driver – driver folosit pentru a accesa dispozitivul audio;

audioDeviceReader.Device – dispozitivul utilizat pentru a achiziționa eșantioane audio, se folosește comanda getAudioDevices ca în Fig.3.3 pentru a obține o listă cu dispozitivele disponibile;

Fig. 3.3 Rezultatul comenzii getAudioDevices

audioDeviceReader.NumChannels – numărul canalelor de intrare achiziționate de dispozitivul audio depinzând de hardware;

audioDeviceReader.SamplesPerFrame – dimensiunea cadrului citit de la dispozitivul audio, totodată specificând și mărimea buffer-ului și numărului de coloane din matricea returnată de audioDeviceReader;

audioDeviceReader.SampleRate – indică frecvența de eșantionare folosită de dispozitiv pentru a achiziționa date audio, în Hz.

audioDeviceReader.BitDepth – tipul de date folosite de dispozitiv pentru a achiziționa date audio;

audioDeviceReader.ChannelMappingSource – sursa de mapare între canalele audio ale dispozitivului de intrare și coloanele matricii de la ieșirea funcției;

audioDeviceReader.OutputDataType- tipul de date de la ieșire.

Implementarea, testarea și analizarea funcționării algoritmilor de estimare spectrală în MATLAB

Pentru crearea și implementarea în practică a algoritmilor de estimare spectrală, îi vom testa mai întâi folosind semnale sintetice simulate în MATLAB, ca apoi să le aplicăm pe semnale reale.

Cu ajutorul interfeței MATLAB vom genera un semnal sintetic căruia îi vom atribui unui semnal sinusoidal sintetic o frecvență de 10 Hz, 20 Hz și 30 Hz, o frecvență de eșantionare de 4000 Hz. Valori alese aleatoriu, cu excepția formei sinusoidale, întrucât vom hrăni microfonul tot cu un semnal sinusoidal pentru a putea compara eficiența algoritmilor.

Scriptul care va genera și afișa acest semnal sintetic este prezentat în Fig.3.4.

Fig. 3.4 Generarea și afișarea semnalului sinusoidal sintetic

Iar observarea acestor semnale simulate în domeniul timp se poate face în Fig.3.5.

Fig. 3.5. Semnale sinusoidale cu zgomot alb Gaussian aditiv cu un Răspuns Semnal Zgomot (RSZ) de 10dB având frecvența de: a) 10 Hz, b) 20Hz și c)30Hz

Similar vom proceda și pentru achiziția de semnal sinusoidal prin microfon.

Doar că de data aceasta ne vom folosi de omologul lui audioDeviceReader, anume blocul audioDeviceWriter, pentru a genera semnalele cu pricina. Principiul de funcționare al audioDeviceWriter se regăsește în Fig.3.6

Fig. 3.6. Diagrama de funcționare a audioDeviceWriter aparținând MATLAB

Blocul audioDeviceWriter scrie probele audio pe un dispozitiv de ieșire audio.

Parametrii blocului Writer al dispozitivului audio specifică driver-ul, dispozitivul și atributele dispozitivului, cum ar fi rata de eșantionare și adâncimea de biți.

Fluxul de date al blocului audioDeviceWriter:

Un cadru de semnal audio este introdus în blocul audioDeviceWriter.

Blocul audioDeviceWriter utilizează driverul specificat pentru a trece cadrul (intrarea dispozitivului) la tamponul dispozitivului audio specificat.

Dispozitivul audio efectuează conversia digitală la analogică la rata de eșantionare specificată și adâncimea de biți.

Dispozitivul audio emite o bucată analogică la difuzor.

Astfel că pentru generarea semnalelor vom utiliza interfața Simulink din cadrul MATLAB prezentă în Fig. 3.6.

Fig. 3.7 Schema block realizată în Simulink pentru generarea de semnal sinusoidal pe difuzor având frecvența de eșantionare 44100 Hz, 1024 de eșantioane pe cadru și frecvența de 500 Hz, urmând apoi să fie schimbată.

Totodată, există posibilitatea utilizării funcției sound() în cadrul unui script. Astfel, vom utiliza scriptul prezentat în Fig.3.4. dimpreună cu funcția sound() pentru a genera sunete. Iar pentru achiziția acestora și reprezentarea în domeniul timp vom utiliza scriptul din Fig. 3.8.

Fig. 3.8 Scriptul din cadrul MATLAB care realizează achiziția și afișarea în domeniul timp a semnalului capturat

În Fig. 3.9. se observă că zgomotul alb real manifestă acelasi tip de distribuție ca cel generat în MATLAB din Fig. 3.5. întrucât zgomotul alb Gaussian aditiv este cel mai apropiat de aleatorismul celui real. Zgomotul alb fiind doar un semnal discret ale cărui eșantioane sunt considerate secvențe seriale necorelate ale variabilelor aleatoare cu media zero și varianța finită. În funcție de context, se poate observa că eșantioanele sunt independente și sau distribuție, cu alte cuvinte variabilele aleatoare independente și distribuite uniform sunt cea mai simplă reprezentare a zgomotului alb. În particular, dacă fiecare eșantion are o distribuție normală cu media zero, se presupune a fi zgomot alb Gaussian.

Se presupune adesea incorect că zgomotul Gaussian (adică zgomotul cu o distribuție amplitudine Gaussiană) se referă în mod necesar la zgomotul alb, totuși nici proprietatea nu implică cealaltă. Gaussianitatea se referă la distribuția probabilității în ceea ce privește valoarea, în acest context probabilitatea ca semnalul să se încadreze într-un anumit interval de amplitudini, în timp ce termenul "alb" se referă la modul în care puterea semnalului este distribuită (independent) în timp sau între frecvențe.

Fig. 3.9.Semnalul audio capturat de microfon și placa de sunet în domeniul timp. Semnal sinusoidal cu a) 500Hz, b)1000Hz,c)1500Hz și d) suma primelor trei.

Implementarea, testarea și analizarea funcționării algoritmului pentru estimarea neparametrică a densității spectrale de putere folosind Transformata Fourier Rapidă

Densitatea spectrală de putere (PSD) poate fi estimată prin calcularea mărimii pătratului TFD. În MATLAB, acest lucru este realizat prin simpla utilizare a comenzii fft(). Comanda fft() necesită, în principiu, două intrări – vectorul de semnal de intrare și numărul de puncte DFT (N). Parametrul N determină rezoluția frecvenței (cât de mulți Hz reprezintă fiecare binar DFT) spectrului pe baza frecvenței de eșantionare care este dată de

FrecventaResolutie=(FrecventaEsantionare/ N),

se referă la abilitatea de a discrimina caracteristicile spectrale și este un concept cheie al analizei performanței spectrului de estimare.

Datorită modului în care funcționează algoritmul FFT, convenția este de a seta N la puterea de 2 care este următoarea deasupra lungimii semnalului de intrare. De exemplu, dacă lungimea semnalului de intrare este 1000, atunci N=1024*(2^10). Cu toate că acest lucru nu este obligatoriu, acesta face doar o implementare eficientă și mai rapidă a FFT. Cu toate acestea, se recomandă să nu se stabilească N<lungimea semnalului de la intrare, deoarece FFT va utiliza apoi numai primele N probe ale datelor pentru a estima PSD și a trunchia restul datelor.

Voi prezenta scriptul în MATLAB care afișează Densitatea Spectrală de Putere utilizând FFT a unui semnal simulat și a unuia real, voi face uz de funcțiile prezentate anterior în Fig. 3.4. și Fig. 3.8. Rutina ce va realiza FFT-ul și afișează în domeniul frecvență densitatea spectrală de putere a semnalului sintetic se regăsește în Fig. 3.10.

Fig. 3.10. Scriptul din cadrul MATLAB care realizează afișarea și estimarea densității spectrale de putere utilizând FFT

În Fig.3.11. este densitatea spectrală de putere estimată cu ajutorul FFT aplicată sumei a trei semnale sinusoidale de 1500Hz, 3000Hz, 4500Hz, în două ipostaze:a) fără zgomot și b)cu zgomot. Astfel se poate observa estimatul în condiții de simulare atât curat (fără zgomot) cât și cu zgomot alb Gaussian aditiv evidențiind funcționalitatea estimatului prin FFT, întrucât se pot observa amplitudinile celor trei frecvențe și în condiții de zgomot; drept dovadă în ambele grafice avem trei spike-uri la 1500Hz, 3000Hz și 4500Hz, dar diferență pe axa Oy în putere.

În Fig.3.12 se regăsește estimarea densității spectrale de putere cu ajutorul FFT pe semnalul provenit din achiziția cu ajutorul plăcii de sunet, semnal ce va poseda aceleași caracteristici ca cele sintetice din Fig.3.11., o diferență constând în faptul că zgomotul va fi real, preluat de microfon și nu adăugat în mediul de simulare. Astfel că încarcarea spectrală diferă de cea din mediul simulat și, deși vârfurile sunt în aceleași poziții, restul spectrului are distribuția diferită.

Fig. 3.11. Graficele rezultate în urma estimării densității spectrale de putere cu ajutorul FFT-ului aplicată aceluiași semnal (o sumă de trei sinusuri cu frecvențele de 1500 Hz, 3000Hz, 4500Hz) în două ipostaze: a)fără zgomot și b)cu zgomot alb Gaussian aditiv de 10 dB.

Fig. 3.12. Graficul rezultat în urma estimării densității spectrale de putere cu ajutorul FFT-ului aplicată aceluiași semnal (o sumă de trei sinusuri cu frecvențele de 1500 Hz, 3000Hz, 4500Hz) preluat de la microfon.

Este destul de evident din figura de mai sus că estimarea PSD obținută folosind FFT este destul de zgomotoasă și zgâriată, cu multe frecvențe diferite care contribuie la semnal. De asemenea, frecvențele mai joase contribuie la cea mai mare parte a puterii în semnal și frecvențele mai mari au un conținut redus de putere.

Implementarea, testarea și analizarea funcționării algoritmului pentru metoda directă de estimare a densității spectrale de putere (Periodograma)

Pentru acest algoritm vom folosi funcția implementată de MATLAB pentru determinarea periodogramei, anume periodogram(). Ca orice altă funcție din MATLAB output-ul (informațiile de ieșire) se pun înainte egalului adică:

[pxx,f] = periodogram(x,fereastra(),nfft,fs);

iar cele de intrare între parantezele funcției. Această funcție returnează estimatul periodograma densității spectrale a puterii (PSD), pxx, al semnalului de intrare, x, găsit utilizând o fereastră la alegere de aceeași lungime ca x. Când x este un vector, acesta este tratat ca un singur canal. Când x este o matrice, PSD este calculată independent pentru fiecare coloană și stocată în coloana corespunzătoare pxx. Dacă x este reală, pxx este o estimare PSD unilaterală. Dacă x este complex, pxx este o estimare PSD pe două fețe. Numărul de puncte, nfft, în transformarea discretă Fourier (TFD) este maximum de 256 sau următoarea putere a lui două mai mare decât lungimea semnalului. Iar f este un vector de frecvență , în cicluri pe unitatea de timp. Rata de eșantionare, fs, este numărul de eșantioane pe unitatea de timp. Dacă unitatea de timp este în secunde, atunci f este în cicluri/secundă (Hz). Pentru semnale cu valoare reală, f se întinde pe intervalul [0,fs/2] atunci când nfft este par și [0,fs/2) când nfft este impar. Pentru semnale cu valoare complexă, f acoperă intervalul [0,fs), fs trebuie să fie cea de-a patra intrare a periodogramei.[mathworks]

Astfel voi aplica funcția semnalelor sintetice, dar și celor reale procedând ca în subcapitolul anterior. Adică voi afișa periodograma sumei celor trei semnale sinusoidale cu zgomot și fără, dar și periodograma semnalelor provenite de la microfon. Lucru observabil în Fig.3.13. și în Fig.3.14.

Fig. 3.13. Graficele rezultate în urma estimării densității spectrale de putere cu ajutorul periodogramei aplicată aceluiași semnal (o sumă de trei sinusuri cu frecvențele de 1500 Hz, 3000Hz, 4500Hz) în două ipostaze: a)fără zgomot și b)cu zgomot alb Gaussian aditiv de 10 dB.

Fig. 3.14. Graficul rezultat în urma estimării densității spectrale de putere cu ajutorul FFT-ului aplicată aceluiași semnal (o sumă de trei sinusuri cu frecvențele de 1500 Hz, 3000Hz, 4500Hz) preluat de la microfon.

Practic, nu se observă nicio diferență între estimatul cu periodograma și cel pe bază de FFT, adică îmbunătățirea față de FFT are un aport insignifiant pentru că periodograma nu este un estimator consistent, întrucât varianța nu tinde la zero chiar dacă lungimea datelor tinde la infinit. Astfel că s-au găsit metode de îmbunătățire ale acestui estimator.

Implementarea, testarea și analizarea funcționării algoritmului pentru metoda Bartlett (Periodograma Mediată)

Metoda lui Bartlett (cunoscută și ca metoda periodogramelor mediate) oferă o modalitate de a reduce varianța periodogramei în schimbul unei reduceri a rezoluției, comparativ cu periodogramele standard. O estimare finală a spectrului la o anumită frecvență este obținută prin medierea estimărilor din periodograme (la aceeași frecvență) derivate dintr-o porțiune care nu se suprapune din seria originală.

Pentru a implementa metoda lui Bartlett în MATLAB vom utiliza funcția BartPeriodo care funcționează după următorii pași:

Segmentul original de date N este împărțit în segmente de date K (care nu se suprapun), fiecare având lungimea M.

Pentru fiecare segment, calculați periodograma prin calcularea transformării discrete Fourier (versiunea TFD care nu se împarte cu M), apoi calculați magnitudinea pătrată a rezultatului și împărțind-o cu M.

Rezultatul periodogramei de mai sus pentru segmentele de date K.

Medierea reduce varianța, în comparație cu segmentul original de date N.

Rezultatul final este o serie de măsurători de putere versus „bin”-ul de frecvență. Un bin de frecvență este obținut prin discretizarea unei frecvențe, astfel „Engelberg, S. (2008), Digital Signal Processing: An Experimental Approach, Springer,„că atunci când folosim TFD frecvențele continue devin bin-uri de frecvență.

În Fig.3.15. observăm clar cum pierdem rezoluția odată cu reducerea varianței, întrucât cu cât crește numărul de segmente mediate cu atât semnalele converg mai mult într-unul singur, dar se poate spune că mediere este eficientă pentru semnalele care nu au nevoie de rezoluție ridicată, deoarece diferența dintre semnalul simulat fără zgomot și cel cu zgomot este insesizabilă.

Fig. 3.15. Periodograme mediate aplicate aceluiași semnal simulat (sinus cu trei frecvențe 1500Hz, 3000Hz, 4500Hz) cu și fără zgomot alb Gaussian cu o mediere inițială de 8 segmente a) și b), apoi cu suprapunere când sunt 2,4,8 și 16 segmente.

Fig. 3.16. Periodograme mediate aplicate aceluiași semnal achiziționat prin microfon (sinus cu trei frecvențe 1500Hz, 3000Hz, 4500Hz) cu 2,4,8 și 16 segmente.

Implementarea, testarea și analizarea funcționării algoritmului pentru metoda Welch (Periodograma Modificată)

Ideea de bază din spatele metodei Welch este de a folosi o tehnică de fereastră în mișcare, unde FFT-ul este calculat în fiecare fereastră, iar PSD-ul este apoi calculat ca o medie a FFT-urilor pe toate ferestrele. Acest lucru este realizat prin utilizarea comenzii pwelch() din MATLAB.

Estimarea PSD prin metoda lui Welch depinde de trei parametric:

lungimea ferestrei – window(win);

procentul de suprapunere a ferestrei – noverlap;

numărul de puncte FFT – N (este egal cu lungimea ferestrei);

În plus, se pot alege diferite funcții de ferestre, fereastra Hanning este cea mai utilizată, deoarece are o rezoluție bună a frecvenței și o scurgere spectrală redusă.

Alegerea acestor doi parametri – 1) window și 2) noverlap afectează estimările PSD.

Numărul de segmente în care vor fi împărțite toate datele se determină prin window și noverlap. Mai întâi, să ne setăm noverlapul la 50% (în MATLAB, noverlap este de obicei specificat în eșantioane, astfel încât suprapunerea de 50% se traduce prin 0,5*win) pentru a ilustra efectul diferitelor dimensiuni ale ferestrelor. Să alegem câștigul de 0.25 secunde, 1 secundă și 5 secunde. Este evident că o dimensiune a ferestrei mai mică va crește numărul total de ferestre în care vor fi împărțite datele. Acest lucru va ajuta la obținerea unor estimări netede ale PSD, deoarece efectele aleatorii ale zgomotului sunt medii. Cu toate acestea, dezavantajul la o dimensiune mai mică a ferestrei (care este folosită pentru a seta valoarea lui N) este că rezoluția frecvenței este compromisă deoarece distanța dintre două puncte de frecvență crește și aceasta duce la o rezoluție de frecvență mai mică.

Fig. 3.17. Reprezentarea variației ferestrei Hanning la un semnal sinusoidal simulat cu 3 frecvențe (fără zgomot) folosind metoda Welch

Fig. 3.18 Reprezentarea variației ferestrei Hanning la un semnal sinusoidal simulat cu 3 frecvențe cu zgomot alb Gaussian folosind Metoda Welch

Acest punct de vedere fundamental este evident în Fig.3.17 și Fig.3.18., unde putem vedea că atunci când dimensiunea ferestrei este de aproximativ 0,25 secunde, obținem un PSD foarte neted (datorită numărului mai mare de ferestre până la medie dar cu o rezoluție redusă.

În schimb, prin creșterea ferestrei la 0,5 secunde, am îmbunătățit rezoluția frecvenței și, astfel, vedem că avem un lob mai. Deși numărul total de ferestre a scăzut acum datorită lungimii ferestrelor care a crescut, este încă suficient de mare pentru a anula efectele zgomotului aleatoriu. Pe creșterea suplimentară a dimensiunii ferestrei la 1 secundă, observăm că estimările PSD au doar o rezoluție de frecvență mai mică, dar devin mai zgomotoase, deoarece efectele zgomotului nu sunt anulate datorită numărului mai mic de ferestre.

Pentru a ilustra efectul noverlapului variabil (0%, 25%, 50% si 75%), sa stabilim fereastra la 1 secunde (ceea ce se traduce la aproximativ 500 de probe, ceea ce reprezinta si numarul de puncte DFT in cazul nostru). Rezultatele sunt prezentate mai jos. Rețineți că, dacă se suprapune 0%, PSD este relativ mai zgomotos și mai greu decât în cazul suprapunerii, de exemplu, de 50%. Prin mărirea procentului de suprapunere (pentru o anumită dimensiune a ferestrei), creștem numărul total de ferestre, ceea ce ajută la diminuarea efectelor zgomotului. Cu toate acestea, există o limită în acest sens.

Pentru a ilustra efectul noverlapului (suprapunerii) variabil (0%, 25%, 50% si 75%), sa stabilim fereastra la 1. Rezultatele sunt prezentate mai jos, în Fig.3.19. De reținut că, dacă se suprapune 0%, PSD este relativ mai zgomotos și mai greu decât în cazul suprapunerii, de exemplu, de 50%. Prin mărirea procentului de suprapunere (pentru o anumită dimensiune a ferestrei), creștem numărul total de ferestre, ceea ce ajută la diminuarea efectelor zgomotului. Cu toate acestea, există o limită în acest sens.

Creșterea procentului de suprapunere la 90% sau chiar 99% nu poate ajuta prea mult datorită unei corelații mărite între eșantioanele de fereastră, astfel că medierea nu va anula efectul zgomotului. În cazul exemplelor noastre de date, putem constata că nu există o diferență semnificativă între suprapuneri de 50% și 75%.

Următoarele puncte cheie trebuie să fie reținute:

1) Folosind metoda Welch se poate obtine un PSD mai netedă.

2) Alegerea ferestrelor foarte scurte pentru a calcula PSD poate duce la rezultate slabe, mai ales dacă interesul este în analizarea frecvențelor mai mici.

3) Ferestrele mai lungi pot duce la o rezoluție mai bună a PSD, dar pot duce la PSD zgomotos. Trebuie să găsit un echilibru aici, în funcție de frecvențele de interes.

4) Numărul de puncte TFD trebuie să fie întotdeauna mai mare sau egal cu lungimea datelor sau ferestrei.

5) ferestrele foarte suprapuse nu garantează o estimare mai ușoară a PSD datorită unei corelații înalte între ferestre.

Fig. 3.19. Reprezentara grafică a suprapunerii variabile în cazul Metodei Welch de estimare a PSD în două cazuri: fără zgomot și, respectiv, cu zgomot alb Gaussian

Implementarea, testarea și analizarea funcționării algoritmului pentru metoda Blackman-Tukey (Corelograma)

Corelograma construiește o estimare a spectrului de putere utilizând o transformare Fourier rapidă (FFT) fereastră a funcției de autocorelare a seriilor de timp. A fost dezvoltată de Blackman și Tukey (1958) și se bazează pe teorema Wiener-Khinchin, care afirmă că dacă transformarea Fourier a unei serii x(t) este X(f) și dacă funcția de autocorelare a seriei este R , atunci transformarea Fourier a lui R produce PX(f)=|X(f)|2 sau spectrul de putere al lui x(t). Rezultatul estimat al spectrului de putere se numește o corelogramă.

Ambele periodogramele și corelogramele sunt de obicei efectuate pe versiuni ponderate ale seriei de timp sau ale funcțiilor de autocorelare pentru a reduce scurgerile de energie (estimări de putere ridicată artificial la frecvențe îndepărtate de frecvențele reale de vârf). Press et al. (1989, pp. 423-424) remarcăm că "atunci când selectăm un șir de puncte N eșantionate pentru estimarea spectrală a periodogramei, noi înmulțim în mod efectiv un flux infinit de … date … printr-o funcție de fereastră în timp, una care este zero, cu excepția timpului total de eșantionare [NDt], și este unitate în timpul respectiv." Marginile ascuțite ale acestei funcții de fereastră conțin multă putere la frecvențele cele mai înalte, care sunt transmise semnalului ferestrei și conduc la scurgeri de curent. Un argument similar poate fi făcut și pentru corelograme. Ponderea datelor sau a funcției de corelare prin diferite forme conice (înălțime în centru și cădere spre laturi) este o abordare tradițională acceptată pentru reducerea scurgerilor de energie.

S-ar putea să observați că diferitele ferestre de aceeași lățime dau rezultate similare. Alegerea mai importantă este cât de largi ar trebui să fie ferestrele. Medierea asociată cu ferestrarea unei serii reduce rezoluția metodelor, de la intervalele de frecvență de 1 / N, la intervale de frecvență ferestre de aproximativ 1 / M (de exemplu, Kay 1988, p. 81). Astfel, ferestrele mai largi produc o rezoluție spectrală mai mare și invers.

Cu toate acestea, există un compromis între rezoluția mai mare și varianța crescândă a estimării spectrale. La extrem, o singură aplicare (M = N) directă a FFT într-o serie de timp nedeclarată are ca rezultat o periodogramă cu o deviație teoretică standard a estimărilor egală cu estimările la fiecare frecvență, indiferent de numărul de observații din seria cronologică (Press et al., 1989, p. 423). Medierea rezultatelor din multe ferestre scurte de date din seria (sau autocorelația) crește în mod eficient numărul de eșantioane independente utilizate în estimare și, prin urmare, reduce varianța de estimare. Kay (1988, secțiunea 4.5) arată că varianța unui spectru de putere obținut printr-o corelogramă fereastră este de 2M / 3N din puterea estimată la fiecare frecvență. Astfel, o fereastră mai îngustă ar trebui utilizată pentru a netezi spectrul și pentru a reduce erorile de eșantionare pe estimare. În practică, Kay (1988) recomandă ca ferestrele să nu fie mai mari de o cincime până la o zecime din numărul total de puncte de date (pentru a obține reducerile variantelor de variație dorite) și nu cu mult mai mici (pentru a păstra capacitatea de a distinge între puterile la frecvențele vecine și pentru a obține reducerile de scurgere dorite).

Pentru a implementa metoda lui Bartlett în MATLAB vom utiliza funcția black_tukey .

Fig. 3.20. Reprezentara grafică a estimatorului Blackman-Tukey cu fereastră Hanning în două cazuri: fără zgomot și, respectiv, cu zgomot alb Gaussian

Fig. 3.21. Reprezentara grafică a estimatorului Blackman-Tukey cu fereastră Hanning în cazul achiziției de semnal de la microfon

Implementarea, testarea și analizarea funcționării algoritmului pentru estimarea biperiodogramei

Bispectrul este o extindere de ordinal 3 al estimării spectrale de putere. Un spectru convențional de putere descompune puterea unei serii de timp peste frecvență. În contrast, bispectrul descompune cel de-al treilea moment (neclaritatea, cunoscut ca skewness) unei serii de timp peste frecvența. Bispectrul estimate poate fi folosit pentru a detecta neliniaritățile asimetrice într-o serie de timp.

Pentru a implementa biperiodograma în MATLAB vom utiliza funcțiile puse la dispoziție de setul de instrumente HOSA – Higher Order Statistics Analysis CITAT, anume funcțiile BISPECI, utilizată pentru estimarea bispectrului folosind metoda indirectă, și BISPECD, utilizată pentru estimarea bispectrului folosind metoda directă bazată pe FFT.

În Fig.3.22. sunt afișate rezultatele grafice aplicării funcției de biperiodogramă unui semnal sintetic cu zgomot.

Fig. 3.22. a)Semnalul mediat. b) Cumulantul de ordin 3. c)Amplitudinea bispectrului. d)Faza bispectrului.

Fig. 3.23.Bispectrul tridemensional folosind metoda directă al unui semnal sintetic.

Fig. 3.24. Bispectrul tridemensional estimat folosind metoda directă al unui semnal constând din suma a 3 sinusoide achiziționat de microfon.

În figurile de mai sus se observă, în manieră tridimensională, estimarea realizată asupra semnalelor.

Fig. 3.25. Conturul bispectrului de la Fig.3.24.

Rezumatul capitolului

În acest capitol au fost prezentate și analizate metodele de estimare spectrală și polispectrală și implementarea lor în MATLAB, propuse anterior în noțiunile teoretice. În urma compartării acestor metoda atât cu semnale sintetice, cât și cu semnale reale achiziționate de la microfon se poate spune că nu există o metodă optimă de analiză și estimare în general, ci că există o metodă optimă pentru aplicația/nevoia în cauză care trebuie aleasă din cele prezentate în cadrul capitolului.

CAPITOLUL 4

Realizarea interfeței grafice în MATLAB

Pentru realizarea unei interfețe grafice (GUI – Graphical User interface), MATLAB pune la dispoziție AppDesigner, un mediu de dezvoltare bogat care oferă vizualizări de aspect și cod, o versiune complet integrată a editorului MATLAB și un set mare de componente interactive, care integrează cele două sarcini principale ale construirii de aplicații – stabilirea componentelor vizuale și comportamentul aplicațiilor de programare. App Designer generează automat un cod orientat pe obiecte care specifică aspectul și designul aplicației. Apoi se poate utiliza o versiune integrată a editorului MATLAB pentru a defini comportamentul aplicației. Astfel se tastează în linie de comandă „appdesigner” și prin intermediul aplicației se pot selecta butoane ce îndeplinesc funcții specific, căsuțe în care se poate atribui o valoare sau un șir de caractere, grafice în care se prezintă rezultate în urma apăsării unui buton. După realizarea configurației dorite, se apasă Run și MATLAB generează automat fereastra create de utilizator și codul din spatele interfeței ce poate fi modificat și completat cu funcții și comenzi.

Fig. 4.1 Interfață grafică pentru analizor spectral virtual

Metoda de a crea o interfață grafică nu este o soluție recomandată din cauza faptului că pentru a putea rula are nevoie de mai multe declarări de variabile, iar în cazul în care programul folosit este unul încarcat, s-ar putea produce confuzii între variabile și scriptul va rula mai încet, rezultând într-o execuție mai lentă a comenzilor de la butoane. Totuși, s-a realizat un GUI prezentat în Fig.4.1. Codul folosit este afișat în anexa ABCDE.

La rularea codului pentru GUI va apărea o interfață grafică ce permite prelucrarea semnalelor atăt a celor achiziționate de la microfon, cât și a celor simulate, după cum se poate observa în partea stânga jos se poate alege tipul de „Semnal intrare” cu ajutorul unui comutator care oferă două posibilități „Simulare” și „Microfon”. Din „Panou” se poate alege frecvența de eșantionare a tipului de semnal ales, dar și lungimea spectrală, se poate alege metoda de afișare și prelucrare a semnalului de intrare din meniul tip listă denumit „Metoda” și anume: „Timp”, „FFT”, „Periodograma”, „Periodograma mediată”, „Periodograma Modificată”, „Corelograma”, „Biperiodograma directă”, „Biperiodograma indirectă”; iar în cazul periodogramelor va defini utilizabil câmpul fereastră din care se poate alege tipul de fereastră dorit (dreptunghiulară, Hamming, Hanning, Bartlett etc.) din meniul tip listă „Fereastră”. Prin apăsarea butonului „Latență” se afișează latența de procesare a semnalelor achiziționate de la microfon, ca în Fig.4.2.

Fig. 4.2 Rezultatul apăsării butonului „Latență”

Apăsarea butonului „Start”, din stânga sus, va începe achiziția și afișarea pe axe a semnalului de la microfon, dar și afișarea celor simulate, pe când butonul „Stop” va înceta activitatea de achiziție. În cazul în care se dorește vizionare unui segment mai mic de semnalul afișat slider-ul de sub axe denumit „Xlim” oferă această posibilitate, pe când butonul „Zoom” oferă posibilitatea deschiderii unei ferestre noi pentru vizionare pe tot ecranul ca în Fig. 4.3., această fereastră nouă dispunând și ea de buton de oprire denumit „Stop” pentru a putea opri achiziția de semnal.

Fig. 4.3 Rezultatul apăsării butonului „Zoom”

Sub axe se regăsește butonul „RSZ”, iar lângă un dreptunghi cu text care afișează încontinuu Raportul Semnal pe Zgomot în valoare numerică, iar prin apăsarea butonului se va deschide o nouă fereastră ce utilizează funcția MATLAB snr() pentru a afișa RSZ-ul, ca în Fig.4.4., fapt ce facilitează comprehensia RSZ-ului asupra semnalului achiziționat.

Fig. 4.4 Rezultatul apăsării butonului „RSZ”

În cazul în care se dorește utilizare de semnalele sintetice, pe interfața grafică va deveni vizibil un noua panou prezentat în Fig.4.5., în cadrul acestui panou se poate alege tipul de semnal de afișat, anume: sinus, cosinus, dinte de fierăstrău, dreptunghiular, chirp; se pot scrie amplitudinea, numărul maxim de perioade, frecvența, factorul de umplere al semnalului dreptunghiular, factorul de formă al semnalului dinte de fierăstrău și durata semnalului chirp. Din comutatorul „On/Off” se poate alege dacă sau nu semnalul să conțină zgomot alb Gaussian, iar din potențiometrul denumit „Zgomot” se poate alege amplitudinea zgomotului adăugat.

Fig. 4.5 Interfața grafică în modul „Simulare”

CAPITOLUL 5

Concluzii

Domeniul prelucrării semnalelor și mai cu seamă prelucrarea semnalelor de analiză și estimare spectrală și polispectrală sunt domenii de anvergură și necesită un volum de cunoștințe din domenii conexe pentru a rezolva problemele specifice, anume am făcut uz de părți software (MATLAB) și hardware (placa de sunet) îmbinate cu aplicarea cunoștințelor provenite de la materiile „Semnale și sisteme analogice”, „Prelucrarea numerică a semnalelor”, „Teoria probabilităților și statistică”, „Prelucrarea statistică a semnalelor” și „Informatică aplicată”.

Pentru scopul declarat în lucrare, au fost tratate următoarele aspecte:

Au fost definite noțiunile de bază necesare înțelegerii conținutului lucrării, precum și scenariul în care se aplică studiul efectuat în lucrare

Analiza metodelor de estimare spectrală și polispectrală

Studierea și modelarea unor metode statistice pentru extragerea componentelor unui semnal achiziționat

Realizarea unei interfețe grafice folosind programul MATLAB, adunând într-un tot unitar, metodele analizate în lucrare.

În urma studierii aspectelor prezentate mai sus s-au formulat următoarele concluzii:

Prin analiza Fourier se determină o imagine de ansamblu a spectrului, din care se pot identifica ușor frecvențele;

Spectrul calculat prin mediere cu ferestre nesuprapuse determină netezirea nivelului semnalului și o slabă identificare a purtătoarelor, însă estimează destul de bine componenta de zgomot, nu reprezintă un bun detector de semnal;

Metoda Welch oferă o densitate spectrală de putere mai netedă;

Metoda Blackman-Tukey este un compromis între rezoluția mai mare și varianța crescândă a estimării spectrale;

Biperiodograma oferă informații utile în detectarea neliniarităților asimetrice într-o serie de timp.

Se poate afirma că obiectivele asumate la începutul lucrării au fost atinse, conținutul poate fi extins prin completarea studiului folosind și alte metode (trispectrul) și de asemenea se pot găsi și variante de modelare și simulare mult mai apropiate de realitate prin folosirea efectivă a circuitelor electronice programabile și implementarea algoritmilor studiați în lucrare pentru a vedea spectrul de radiofrecvență utilizând un Software Defined Radio (SDR).