Analiza Si Evaluarea Curriculumului

În cadrul procesul de reformă a învățământului romămesc, analiza si evaluarea Curriculumului ca document de politică educațională a constituit o etapa necesară. Rezultatele semnificative obținute în urma acestei evaluări au fost corelate cu elemente de politică educațională, cu realitatea educațională a școlii, cu evaluarea școlară si cu elemente semnificative ale realităților sociale. Aceste aspecte au constituit elementele de ordin conceptual și operațional care au ghidat revizuirea programelor școlare.

Procesul de revizuire curriculară a început cu clasele primare si s-a concretizat în noi programe la toate disciplinele de învățământ.

Astfel, în anul 2013 se aprobă și intră în vigoare noua programă de studiu pentru clasa pregătitoare, clasa I și clasa a II a, iar în anul 2014 se aprobă noua programă pentru clasa a III a și a IV a, urmând ca implementarea ei să înceapă din anul școlar 2016-2017.

Programa de studiu pentru clasa pregătitoare, clasa I și clasa a II a, propune o nouă abordare respectiv integrarea matematicii cu științele naturii în cadrul disciplinei Matematica și explorarea mediului.

Principalele motive care au determinat abordarea integrată a matematicii și a unor elemente de științe ale naturii în cadrul aceleiași programe sunt următoarele:

învățare holistică la această vârstă are mai multe șanse să fie interesantă pentru elevi, fiind mai apropiată de universul lor de cunoaștere.

Contextualizarea învățării prin referirea la realitatea înconjurătoare sporește profunzimea înțelegerii conceptelor și a procedurilor utilizate.

Armonizarea celor două domenii: matematică și științe permite folosirea mai eficientă a timpului didactic și mărește flexibilitatea interacțiunilor.

Programa disciplinei Matematică și explorarea mediului a fost elaborată potrivit unui nou model de proiectare curriculară, centrat pe competențe, având următoarea structură: notă de prezentare, competențe generale, competențe specifice și exemple de activități de învățare, conținuturi, sugestii metodologice.

Competențele sunt ansambluri structurate de cunoștințe, abilități și atitudini dezvoltate prin învățare, care permit rezolvarea unor probleme specifice unui domeniu sau a unor probleme generale, în contexte particulare diverse.

Competențele generale vizate la nivelul disciplinei Matematică și explorarea mediului jalonează achizițiile de cunoaștere și de comportament ale elevului pentru întregul ciclu primar.

Competențele specifice sunt derivate din competențele generale, reprezintă etape în dobândirea acestora și se formează pe durata unui an școlar.

Programa pentru clasa pregătitoare, clasa 1 și clasa a II a propune următoarele competențe generale:

Utilizarea numerelor în calcule elementare

Evidențierea caracteristicilor geometrice ale unor obiecte localizate în spațiul înconjurător

Identificarea unor fenomene/relații/ regularități/structuri din mediul apropiat

Generarea unor explicații simple prin folosirea unor elemente de logică

Rezolvarea de probleme pornind de la sortarea și reprezentarea unor date

Utilizarea unor etaloane convenționale pentru măsurări și estimări

Aceste competențe sunt în concordanță cu obiective majore specifice ciclulul achizițiilor fundamentale, cum ar fi acomodarea la cerințele sistemului școlar și alfabetizarea inițială: asimilarea elementelor de bază ale principalelor limbaje convenționale (scris, citit, calcul aritmetic); stimularea copilului în vederea perceperii, cunoașterii și stăpânirii mediului apropiat; stimularea potențialului creativ al copilului, a intuiției și a imaginației acestuia; formarea motivării pentru învățare, înțeleasă ca o activitate socială.

Conținuturile învățării reprezintă totalitatea achizițiilor necesare elevului pentru alfabetizarea cu elemente de bază ale celor două domenii integrate. Astfel, ele sunt grupate pe următoarele domenii: numere, figuri și corpuri geometrice, măsurări, date, Științele vieții, Științele Pământului, Științe fizice.

Sugestiile metodologice includ strategii didactice, proiectarea activității didactice, precum și elemente de evaluare continuă.

Un alt element de noutate este acela că actuala programă școlară propune o ofertă flexibilă, care permite cadrului didactic să modifice, să completeze sau să înlocuiască activitățile de învățare exemplificate. Se urmărește astfel realizarea unui demers didactic personalizat, care să asigure formarea competențelor prevăzute de programă, în contextul specific al fiecărei clase și al fiecărui elev. Includerea clasei pregătitoare în învățământul general și obligatoriu implică o perspectivă nuanțată a curriculumului la acest nivel de vârstă. Este necesară o abordare specifică educației timpurii, bazată în esență pe stimularea învățării prin joc, care să ofere în același timp o plajă largă de diferențiere a demersului didactic, în funcție de nivelul de achiziții variate ale elevilor.

Studiul disciplinei Matematică și explorarea mediului, început în clasa pregătitoare, se continuă până în clasa a II-a, urmărind o dezvoltare progresivă a competențelor, precum și a celorlalte achiziții dobândite de elevi, prin valorificarea experienței specifice vârstei elevilor, prin accentuarea dimensiunilor afectiv-atitudinale și acționale ale formării personalității elevilor. Programa de Matematică și explorarea mediului pentru clasa pregătitoare a fost structurată astfel încât să promoveze un demers didactic centrat pe dezvoltarea unor competențe incipiente ale elevului de vârstă mică, în scopul construirii bazei pentru învățări aprofundate ulterioare.

Noua Programa a disciplinei Matematică pentru clasa a III a și a IV fost elaborată respectând acelașii nou model de proiectare curriculară, centrat pe competențe, având aceeași structura cu Programa de Matematică și explorarea mediului pentru clasa pregătitoare, clasa I și clasa a II a: notă de prezentare, competențe generale, competențe specifice și exemple de activități de învățare, conținuturi, sugestii metodologice

Competențele pentru clasa a III a și a IV vizează îndeplinirea obiectivului major al Ciclul de dezvoltare, respectiv formarea capacităților de bază necesare pentru continuarea studiilor. Acestea sunt:

Identificarea unor relații / regularități din mediul apropiat

Utilizarea numerelor în calcule

Explorarea caracteristicilor geometrice ale unor obiecte localizate în mediul apropiat

Utilizarea unor etaloane convenționale pentru măsurări și estimări

Rezolvarea de probleme în situații familiare.

Conținuturile învățării se regăsesc în inventarul achizițiilor necesare elevului pentru alfabetizarea din domeniul matematicii și sunt grupate pe următoarele domenii: numere și operații cu numere, elemente intuitive de geometrie, unități și instrumente de măsură, organizarea și reprezentarea datelor.

Sugestiile metodologice includ strategii didactice, proiectarea activității didactice, precum și elemente de evaluare continuă

I.2 Particularități ale predării – învățării matematice în ciclul primar. Formarea reprezentărilor și conceptelor matematice

Sau

Particularități ale formării noțiunilor matematice în ciclul primar

Sarcina principală a învățământului preșcolar este aceea de a asigura pregătirea copiilor pentru activitatea școlară. Acesta are un rol preponderent formativ la nivelul dezvoltării gândirii, inteligenței, spiritului de observație ale copiilor. În cadrul jocurilor logico-matematice, copii își exersează operațiile de analiză, sinteză, comparație abstractizare și generalizare.

La grădiniță copilul învață să formeze colecții cu mulțimi de obiecte, descoperă, observă proprietățile caracteristice, stabilesc relații și efectuează operații cu obiecte. Făcând exerciții de logică pe mulțimi concrete în cadrul jocurilor logico-matematice, copiii sunt familiarizați și iși însușiesc unele noțiuni de bază despre mulțimi și relații, dobândind astfel pregătirea necesară pentru înțelegere numărului natural și a relațiilor cu numere naturale pe baza mulțimilor: conjuncția, disjuncția, negația, implicația, echivalența.

Exercițiile de gândire logică constau în exerciții de clasificare (formarea mulțimilor după una sau mai multe însușiri), comparare (stabilirea unei mulțimi cu mai multe sau mai puține însușiri decât mulțimea dată, fară a număra elementele), de ordonare ( după un model dat, după unul sau mai multe criterii stabilite).

Activitățile cu conținut matematic la grădiniță se realizează cu materiale suport (obiecte, imagini, simboluri), acestea constituind o bază reală prin care se dezvoltă gândirea copilului. Astfel se realizează dezvoltarea intelectuală a copiilor de natură să optimizeze procesul de integrare în ciclul primar.

Logica dicactică a învățământului matematic are drept fundament logica internă a științei matematice și se construiește ținând seama de particularitățile psihice ale celor cărora se adresează.

Specificul gândirii copilului de vârstă școlară mică are o proprietate esențială, aceea de a fi concret-intuitivă și stă la baza proiectării activităților matematice.

Capitolul II Metodologia rezolvării și compunerii de probleme

II.1 Noțiunea de problemă matematică

Noțiunea de problemă are un conținut complex și cuprinde o gamă extinsă de preocupări și acțiuni din domenii diferite: matematic, didactic, fiziologic, psihologic.

Referindu-ne la matematică, prin problemă înțelegem o situație a cărei soluționare se poate obține prin procese de găndire și de calcul. Problema de matematică reprezintă transpunerea unei situații practice sau a unui complex de situații practice în relații cantitative și în care pe baza valorilor numerice date și aliate într-o anumită dependență unele de altele și față de una sau mai multe valori necunoscute, se cere determinarea acestor valori necunoscute.

Matematicianul P.P.Neveanu definește problema „ca un obstacol cognitiv in relațiile dintre subiect si lumea sa, iar asumarea sarcinii de a depăși obstacolul, precum si demersurile cognive si tehnice intreprinse in acest scop, conturează domeniul rezolvării problemelor”.

Plasându-ne în spațiul didactic, Gagne, afirma că pentru rezolvarea unei probleme, elevul trebuie sa fie capabil „să-și actualizeze acele reguli învățate anterior”, pe care, combinându-le după o strategie, ajunge independent la o idee, „ o regula de ordin superior”, ceea ce inseamna de altfel ca elevul rezolvă problema.

Din punct de vedere fiziologic, rezolvarea problemelor se bazează pe „actualizarea legăturilor nervoase temporare elaborate anterior și pe conectarea unor noi legături”.

În sens psihologic, o „problemă” este orice situație, dificultate, obstacol întâmpinat de gândire în activitatea practică sau teoretică pentru care nu există un răspuns gata formulat; este „o dificultate sau un obstacol cognitiv care implică una ori mai multe necunoscute ce nu pot fi rezolvate adecvat datorită insuficienței sau ineficienței sistemului de răspunsuri ale subiectului”

Din punct de vedere taxonomic, putem distinge între exercițiu și problemă astfel: exercițiile implică operații de cunoaștere, extrapolare, transfer specific, simpla aplicarea a unor proprietăți. Rezolvarea unei probleme presupune operații de analiză, sinteză si evaluare.

Distincția între exercițiu și problemă poate fi subiectivă, aceeași sarcină didactică pentru un elev poate constitui o adevărată problemă iar pentru un altul un simplu exercițiu.

Această idee privind deosebirea dintre exercițiu și problemă o găsim și la Brânzei D.:„un enunț admite interpretarea ca problemă în funcție de adresant, cu experiența sa matematică și cu exigențele sale față de propozițiile matematice și de contextul în care apar”.

Tot D. Brânzei afirmă că „problemele constituie motivul, mijlocul și scopul învățării matematice școlare. Motivul poate fi privit din perspectiva curiozității elevilor, mijlocul-stadiul exclusiv al teoriei nu poate certifica în ce măsură aceasta a fost însușită creativ iar scopul- majoritatea elevilor învață matematica pentru a avea rezultate bune la examenele în care rezolvarea de probleme este prioritară, adesea exclusivă” Rezolvarea sistematică a problemelor de orice tip sau gen are drept efect formarea la elevi a unor seturi de priceperi, deprinderi și atitudini pozitive care le dau posibilitatea de a rezolva în mod independent probleme, de a compune ei înșiși probleme.

II.2 Clasificarea problemelor matematice

G.Polya clasifică problemele în probleme ,,de aflat" si probleme ,,de demonstrat". Aceasta clasificare este inspirata dintr-o traditie care dureaza înca de la Euclid, termenul de problemă ,, de aflat" corespunzând celui de problemă, iar cel de problemă ,,de demonstrat" corespunzând termenului de theoremă.

„Scopul ” unei probleme ,,de aflat" este de a găsi necunoscuta problemei. Scopul unei probleme ,,de demonstrat" este de a arăta că o anumita afirmație este adevarată sau falsă. Uneori, cele doua operații – de aflare si de demonstrare – se pot întâlni în aceeași problemă. În matematicile elementare predomina ,,problemele de aflat".

Referindu-ne la ciclul primar, putem clasifica problemele de matematică, astfel:

După finalitate și după sfera de aplicabilitate, le structurăm în probleme teoretice și aplicații practice ale noțiunilor învățate;

Probleme teoretice urmăresc prin rezolvarea lor dezvoltarea puterii de judecată, asimilarea temeinică a cunoștințelor teoretice din aritmetică, formarea gustului pentru studiul matematicilor.

Probleme practice se bazează pe situații concret fiind inspirate din lumea înconjuratoare. Pot fi legate de procesul de productie, asa cum se desfasoara el în realitate în uzine, pe ogoare, în laboratoare, aplicatii tehnice, din calcule financiare, din comert etc….

După conținutul lor, problemele de matematică pot fi geometrice, de mișcare, de aflare a densității unui amestec sau aliaj etc.;

După numărul operațiilor, vom identifica probleme simple și probleme compuse.

Problemele simple sunt cele care, de regulă, se rezolvă printr-o singură operație aritmetică și pe care le întâlnim încă de la gradiniță .

Problemele compuse sunt acelea care, în șirul de raționamente și operații de rezolvare includ, într-o dependență logică, mai multe probleme simple;

După gradul de generalitate al metodei folosite în rezolvare, avem probleme generale (în rezolvarea cărora vom folosi fie metoda analitică, fie metoda sintetică) și probleme tipice (particulare) rezolvabile printr-o metodă specifică: grafică, reducere la unitate, a falsei ipoteze, a comparației, a mersului invers;

O categorie aparte de probleme cu multiple valențe formative sunt cele recreative, rebusistice, de perspicacitate și ingeniozitate (numite și nonstandard).

II.3 Metode de rezolvare a problemelor matematice

Etape de rezolvare a problemelor

matematice

În activitatea de rezolvare a unei probleme se parcurg mai multe etape. În fiecare etapă are loc un proces de reorganizare a datelor și de reformulare a problemei, pe baza activității de orientare a rezolvitorului pe drumul soluției problemei.

În stabilirea etapelor se ține cont de diverse aspecte cum ar fi:

structura unei probleme în general;

tipologia problemelor;

atitudinea subiectului în fața unei probleme sau experiențalui cognitivă.

I. Neacșu identifică două categorii de activități care conduc la rezolvarea unei probleme Aceste sunt:

Activități principale: cunoașterea enunțului problemei, înțelegerea conținutului problemei, analiza problemei și întocmirea planului logic, alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii judecăților din planul logic, anunțarea rezultatului.

Activițăți suplimentare: verificarea rezultatului, scrierea problemei sub formă de exercițiu, găsirea altei căi sau metode de rezolvare, generalizare, compunere de probleme după o schemă asemănătoare.

G. Polya, distinge în demersul de rezolvare a unei probleme „patru faze ale muncii”:

Etapele rezolvării unei probleme, adaptare după G. Polya

Fiecare dintre aceste faze iși are importanța sa. Se poate întâmpla ca un elev să aibă o sclipire, să sară toți pașii premergători și să descopere direct soluția problemei. Aceste idei strălucite sunt de dorit. Dar se poate întâmpla ceva cu totul indezirabil și neplăcut dacă elevul sare una dintre cele patru faze, în cazul când nu are o idee corectă.

Cel mai neproductiv este atunci când elevul se apucă să calculeze sau să construiască fără a fi înțeles problema.

În general este neindicat și să clarificăm detaliile problemei înainte de a ne da seama de legătura principală sau înainte de a fi întocmit un plan de rezolvare. Numeroase greșeli pot fi evitate dacă, în cadrul realizării planului de rezolvare, elevul își verifică fiecare pas. Unele dintre cele mai bune efecte ale problemei se pot pierde dacă elevul omite să reexamineze și să reconsidere soluția completă.

Înțelegerea conținutului problemei. „Elevul trebuie să înțeleagă problema. Dar nu este deajuns numai să o înțeleagă, el trebuie să fie animat de dorința de a o rezolva. Dacă elevului îi lipsește înțelegerea și interesul, vina nu este tocmai a lui; problema trebuie să fie bine aleasă, nici prea grea , nici prea ușoară, naturață și atractivă, iar un anumit timp trebuie consacrat expunerii ei firești și interesante”.

Elevul trebuie să înțeleagă enunțul verbal al problemei, să fie capabil să facă trecerea din limbajul în limbajul matematic, să pună în evidență părțile principale ale problemei, necunoscuta, datele, condiția. În demersul didactic, învățătorul poate numai rareori să se disperseze de întrebările: Care este necunoscuta? Care sunt datele? Care este condiția?

Această faza a rezolvării unei probleme G. Polya o sintetizează în două subfaze:

Ințelegerea problemei

Munca pentu o mai bună înțelegere.

Analiza problemei și întocmirea planului logic de rezolvare. Drumul de la înțelegerea problemei, până la întocmirea unui plan poate fi dificil. Întradevăr, pasul principal în a obține soluția unei probleme este elaborarea planului de rezolvare. Este posibil ca această idee să se cristalizeze treptat. Sau după încercări neîncununate de succes și după o perioadă de ezitări, ea poate să apară dintr-o dată „ca o scânteie”, ca o „idee strălucită”.

În această etapă de rezolvare profesorului îi revine sarcina de al direcționa pe elev, prin întrebări bine inspirate. Cea mai importantă calitate a întrebării (așa cum afirmă și Polya) este aceea de ai indica un pas care ar fi putut să-i vină în minte și elevului.

Firește, nu putem spera la o idee bună în absența cunoștințelor aferente subiectului. Ideile bune se intemeiază pe experiența din trecut și pe cunoștințele dobândite anterior (Polya). Simpla reamintire nu este suficientă pentru o idee bună, dar nu putem avea o idee bună dacă nu împrospătăm anumite cunoștințe corespunzătoare. Așa cum metaforic spunea Polya: „materialele singure nu sunt suficiente pentru a clădi o casă, dar nu putem clădi o casă dacă nu am strâns materialele necesare”. Atunci când facem apel la cunoștințele matematice dobândite anterior, trebuie să considerăm concludente și anumite probleme cu un anumit grad de înrudire, rezolvate cu elevii. De aceea este de multe ori cazul ca profesorul să înceapă cu întrebarea: Cunoaștem vreo problemă înrudită?

Dificultatea constă în faptul că de obicei există mai multe probleme înrudite in vreun fel cu problema ce face obiectul rezolvării. Cum putem alege punctul sau cele câteva aspecte care ne sunt întradevăr de folos?În această situație G.Polya face o recomendare de real folos: Să cercetăm necunoscuta! Să ne gândim la o problemă cunoscută, având aceiași necunoscută sau una similară.

După ce elevii au identificat o problemă rezolvată anterior se trece la explorarea modului său de rezolvare. Iată o problemă înrudită cu a noastră și rezolvată anterior. Am putea să o folosim?

Bine alese și formulate, întrebările adresate de către profesor conduc de cele mai multe ori la declanșarea unei desfășurări concrete a ideilor. Atunci când nu au efectul scontat, trebuie găsit un alt punct de contact adecvat și să exploram diversele aspecte ale problemei. Se poate reformula problema? Se încearcă generalizări, particularizări, analogii reducerea unei părți din condiție. Modificarea problemei poate conduce la o problemă auxiliară adecvată: Înainte de a rezolva problema propusă, să rezolvăm mai întâi o problemă înrudită.

Considerând diverse modificări, experimentând cu diferite probleme auxiliare, elevii se pot îndeparta de problema în cauză. Profesorul poate interveni cu o întrebare potrivită pentru a reface legătura: Au fost utilizate toate datele? A fost utilizată întreaga condiție?

Elaborarea unui plan de lucru, elaborarea ideii soluției nu este simplă, necesitând concentrare, cunoștințe dobândite anterior, o deprindere bună de muncă intelectuală.

Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii judecăților din planul logic. Odată întocmit planul de rezolvare, aplicarea lui nu ar trebui să pună mari probleme rezolvitorului, mai ales dacă la nivel de colectiv, a participat activ la conceperea lui.

Aceasta etapa constă în alegerea și efectuarea calculelor conform planului de rezolvare, în conștientizarea semnificației rezultatelor parțiale obținute și evident, anunțarea rezultatului final.

În practică pedagogică am observat că dificultatea apare atunci când elevul desemnat să rezolve la tablă problema a „a acceptat” planul, „l-a preluat”, „l-a memorat”, fără să-și interiorizeze strategia de rezolvare. În această situație se recomandă ca profesorul să insiste ca elevul să-și verifice fiecare pas pentru a ajunge cu satisfacție la ideea finală.

Privire retrospectivă. Aruncând o privire retrospectivă asupra soluției complete, reconsiderând și reexaminând rezultatul și calea rezolutivă parcursă, elevii își consolidează cunoștințele și își dezvoltă aptitudinile de a rezolva probleme.

Dacă deducția este complicată erorile sunt oricând posibile. De aceea se recomandă verificarea rezultatului, prin aceeași metodă sau printr-un alt procedeu simplu, rapid și intuitiv. Natural, preferăm o cale scurtă și intuitivă uneia lungi și greoaie.

Când privim retrospectiv soluția avem posibilitatea de a cerceta conexiunile cu alte probleme. Elevii vor găsi această privire retrospectivă interesantă dacă au depus un efort serios și dacă au conștiința lucrului bine făcut. Sunt dornici să vadă ce ar mai putea realiza prin efortul lor și cum ar putea lucra la fel de bine altă dată. Elevii trebuie încurajați să își imagineze situații în care ar putea utiliza din nou procedeul folosit sau ar putea aplica rezultatul obținut.

Exemplificări ale metodelor de rezolvare a

problemelor matematice

Rezolvarea problemelor simple

Ținându-se cont de particularitățile de vârstă, rezolvarea primelor probleme se realizează numai pe cale intuitivă, în plan concret (au mai venit … rățuște, au plecat … iepurași, au zburat … rândunici etc.), ilustrate prin imagini sau prin acțiuni ale copiilor, sub formă de joc de rol (de exemplu, copilul vine la magazin, cumpără, plătește). În această etapă activitatea de rezolvare a problemelor este foarte aproape de aceea de calcul. Dificultatea pe care o întâmpină copiii este aceea de transpunere a acțiunilor concrete în relații matematice.

În enunțul unei probleme, în prima fază, formulat de copil sau de învățător nu se spune “5 rățuște + 2 rățuște” ci “ pe lac erau 5 rățuște și au mai venit 2 rățuște” sau nu se spune “6 rândunici – 3 rândunici” ci se spune că “pe o creangă erau 6 rândunici din care au zburat 3 rândunici”. Elevii trebuie să traducă în relații matematice acțiunile exprimate în enunțul problemei. Cei mai mulți reușesc să facă acest lucru pe baza experienței pe care o au din perioada preșcolară sau din primele operații cu mulțimi de la începutul clasei I.

Deosebit de atractive sunt, la clasa I, problemele sub formă de versuri:

Radu are 3 pisici. Un băiat, cumințel,

Lângă ele mai vin 5. 3 copii cheamă la el.

Pleacă două, supărate. Și-alți 2 vin ca să se joace

Câte au rămas de toate? În total, acum sunt ….

La fel de plăcute sunt jocurile ce dezvăluie miracolul combinațiilor, dezvoltă imaginația, flexibilitatea gândirii și plăcerea căutărilor : Am pe catedră, ascunse, 7 bile : unele albe, altele negre. Spuneți-mi, fără să le vedeți, câte ar putea fi albe și câte negre?

În general, problemele simple sunt ușor înțelese și rezolvate de către elevi. Pentru depășirea și evitarea unor dificultăți în rezolvarea de probleme trebuie să se aibă în vedere: rezolvarea unui număr mare de probleme, analiza temeinică în rezolvarea fiecărei probleme, prezentarea unor probleme cu date incomplete, prezentarea unor probleme a căror întrebare lipsește, prezentarea unor povestiri matematice, completarea unui text cu date conform cu realitatea, compunerea de probleme cu anumite date sau după scheme date, etc..

Uneori, din lipsa unei atente analize a enunțului unei probleme care poate conține expresii ce sugerează vizibil o anumită operație matematică, se poate ajunge la erori de rezolvare prin aplicarea mecanică, automatizată, a unui model de rezolvare.

De exemplu, o problemă care induce fals operația de adunare poate fi: “La colțul jucăriilor se află trei mingi. Câte mașinuțe sunt, dacă în total sunt 8 jucării: mingi și mașinuțe?”. Expresia „în total” din enunțul problemei sugerează adunarea, dar analiza enunțului și stabilirea relațiilor logice dintre informații conduce spre soluția corectă.

Alte exemple de probleme care indică, prin expresiile limbajului matematic folosit, alte operații matematice decât cele corecte:

De pe o sârmă au zburat 6 rândunele. Câte rândunele erau pe sârmă, dacă au rămas 4? Expresia au rămas indică pentru micul rezolvitor de probleme operația de scădere, dar după o analiză mai atentă poate deduce operația corectă ce conduce la aflarea rezultatului.

Maria are de două ori mai multe bile galbene decât roșii. Dacă ea are 21 bile galbene, câte bile roșii are? (falsă problemă de înmulțire).

Fiul are 7 ani. Câți ani are mama, dacă vârsta fiului este de cinci ori mai mică decât a mamei? (falsă problemă de împărțire).

Elevii trebuie învățați să analizeze, să judece întregul context, să stabilească corect relațiile dintre părțile implicate în problemă.

Rezolvarea de probleme simple este unul dintre primii pași orientați spre exersarea flexibilității și fluenței gândirii.

Exemplu de rezolvare a unei probleme simple în care am exemplificat parcurgerea etapelor importante în rezolvarea acesteia.

Rezolvarea problemelor compuse

Trecerea de la probleme simple la probleme compuse se face în momentul în care programa specifică faptul că se pot rezolva probleme cu două operații.

Rezolvarea problemelor compuse necesită descompunerea în probleme simple. Pentru a veni în sprijinul elevului sunt necesare următoarele etape: citirea conștientă a enunțului, analiza și întocmirea planului de rezolvare, realizarea planului de rezolvare după schemă stabilită, rezolvarea propriu-zisă.

În fiecare dintre aceste etape, datele problemei apar în combinații noi, reorganizarea lor la diferite niveluri ducând spre soluția finală. E vorba de un permanent proces de analiză și sinteză, prin care elevul separă și reconstituie, desprinde și construiește raționamentul ce conduce la soluția problemei.

Rezolvarea unei probleme se face, de regulă, prin metoda analitică sau prin metoda sintetică.

A rezolva o problemă prin metoda sintetică înseamnă a orienta gândirea elevilor asupra datelor problemei. Cu ajutorul a două date cunoscute se formează o problemă simplă al cărei rezultat constituie un element al unei noi probleme simple, procesul reluîndu-se până se ajunge la rezultatul final. Atenția și gândirea elevilor trebuie îndreptată doar spre formularea acelor probleme simple care converg spre soluția căutată. Elevii pot pierde din vedere întrebarea finală, fiind tentați să calculeze mărimi ce nu sunt necesare găsirii răspunsului final.

Metoda analitică presupune orientarea gândirii elevilor către întrebarea finală a problemei. Se stabilesc datele necunoscute, iar pe baza lor se îndreaptă spre cele cunoscute. Se va afla ce date sunt necesare pentru a răspunde la întrebarea problemei, se alcătuiește o problemă simplă, iar dacă aceasta nu are toate datele necesare, se formează o nouă problemă simplă, procedul reluîndu-se până se ajunge la datele cunoscute ale problemei.

Metoda analitică pare mai dificilă, dar solicită mai mult gândirea elevilor și, folosind-o, îi ajută să privească problema în totalitatea ei, să aibă mereu în atenție întrebarea problemei.

Rezolvând probleme prin metoda sintetică, elevii își dezvoltă gândirea reproductivă, iar rezolvarea problemelor prin metoda analitică le dezvoltă gândirea productivă, creatoare.

Se mai poate menționa faptul că procesul analitic nu apare și nu se produce izolat de cel sintetic, întrucât cele două operații ale gândirii se găsesc într-o strânsă conexiune și interdependență, ele condiționându-se reciproc și realizându-se într-o unitate inseparabilă.

De aceea nu poate fi vorba de utilizarea în mod exclusiv a uneia sau alteia dintre aceste metode: în examinarea unei probleme intervenind ambele operații ca laturi separate ale procesului unitar de gândire, însă în anumite momente sunt situații când una devine dominantă.

Astfel, descompunerea unei probleme compuse în problemele simple din care este alcătuită constituie în esență un proces de analiză, iar formularea planului de rezolvare, cu stabilirea succesiunii problemelor simple, constituie un proces de sinteză.

Din aceste motive, cele două metode apar deseori sub denumire unică: metodă analitico-sintetică.

O mare atenție trebuie să se acorde problemelor care presupun mai multe moduri de rezolvare. Astfel, se dezvoltă prin rezolvarea lor mobilitatea gândirii, creativitatea, simțul estetic, se formează priceperi de a găsi noi procedee de rezolvare, se educă atenția, spiritul de investigație și perspicacitate ale elevilor. De cele mai multe ori elevii nu găsesc de la început mai multe căi de rezolvare. Învățătorul are sarcina de a dirija gândirea elevilor prin întrebări ajutătoare spre găsirea altor modalități de rezolvare.

Exemplu de rezolvare a unei probleme compuse în care am exemplificat parcurgerea etapelor importante în rezolvarea acesteia.

Rezolvarea problemelor tipice

Prin problemă tipică se înțelege acea construcție matematică a cărei rezolvare se realizează pe baza unui algoritm specific. O asemenea problemă se consideră teoretic rezolvată în momentul în care a fost încadrată într-o anumită categorie / tip și algoritmul de rezolvare este cunoscut.

Elevii trebuie să fie antrenați în căutarea procedeului de rezolvare. Analiza prezintă un anumit tip de raționament ce constituie mijlocul principal pentru căutarea procedeului rezolvării, elevul descoperind legătura și dependența dintre mărimile date în problemă. În momentul descoperirii algoritmului de rezolvare pentru un tip de probemă, rezolvarea mai multor probleme de același tip contribuie la formarea deprinderilor de rezolvare.

Metoda figurativă este o metodă ce constă în reprezentarea grafică a mărimilor necunoscute și marcarea prin desen a relațiilor dintre mărimile date în problemă.

Figura reprezintă o schematizare a enunțului și a relațiilor matematice date.

Problemele care se rezolvă prin metoda figurativă se pot împărți în două categorii:

a) cu date sau mărimi care pot fi numărate una câte una și se pot pune în corespondență după anumite criterii, situație în care mărimile se figurează prin simboluri;

b) cu date sau mărimi pe care le putem figura prin segmente.

Exemplu de rezolvare a unei probleme prin metoda figurativă în care am exemplificat parcurgerea etapelor importante în rezolvarea acesteia.

Observații metodologice:

Această problemă am rezolvat-o cu elevii în cadrul unei activităti cuprinsă în programul formativ. Am observat că înțelegerea modului de rezolvare a decurs foarte anevoios. Nici un elev nu a reușit să parcurgă succesiunea logică a raționamentelor, deși acest tip de probleme este prevăzut în Programa școlară, iar conținuturile au fost parcurse la clasă.

Aceasta se datorează faptului că, nivelul clasei este foarte scăzut, dovedit și de rezultatele obținute la testarea inițială, dar și pentru că acest tip de probleme implică raționamente mult mai dificile. Cele două relații ale problemei sunt reprezentate separat elevului revenindu-i sarcina să le compare și să deducă acele acțiuni potrivite care să conducă la aflarea rezultatului.

Drept urmare, am intervenit cu o altă problemă bazată pe situația concretă din clasă (în clasă sunt 11 bănci și 18 de elevi prezenți), astfel:

Prin observație au stabilit că 9 bănci sunt ocupate cu doi elevi și două bănci sunt libere.

Le-am cerut elevilor să se așeze căte unul în bancă iar 7 elevi au rămas în picioare.

Pe baza celor observate, le-am solicitat elevilor să compună o problemă:

Bunicule, câți elevi am fost astăzi prezenți dacă am fost așezați căte doi în bancă și două bănci au rămas libere, iar daca doamna învățătoare ne-ar fi așezat căte unul în bancă 7 elevi am fi rămas 7 elevi în picioare?

Am trecut apoi la rezolvarea problemei tot în planul concret, astfel: cei 7 elevi rămași în picioare au completat 7 bănci cu căte doi elevi. Cei patru elevi singuri în bancă i-am grupat căte doi, formănd încă două bănci ocupate cu câte doi elevi. Am completat cele 9 banci cu câte doi elevi. Deci elevilor este egal cu 9 x 2 =18 elevi.

Am adunat cele 9 bănci ocupate cu cele două libere și am confirmat prin rezultat cele 11 bănci din clasă.

Eficacitatea demersului propus s-a demonstrat prin:

Elevii au dovedit că au înțeles modalitatea de rezolvare a acestui tip de probleme. Revenind la problema inițială toți elevii au reușit să o rezolve individual.

Plecând de la situația concretă analizață, elevii au compus și alte probleme, schimbând „relațiile dintre necunoscute”: ce se înțâmplă dacă elevii se așează câte 3 în bancă, etc.

Problemă care se rezolvă prin metoda figurativă în care se cunoaște suma și diferența.

Problemă care se rezolvă prin metoda figurativă în care se cunoaște sumă și câtul.

Problemă care se rezolvă prin metoda figurativă în care se cunoaște diferența și câtul

Observații metodologice:

Pentru că nu este o problemă foarte complicată în cadrul programului de cercetare am încercat și o rezolvare algebrică, folosindu-mă de cunoștințele elevilor dobândite până în clasa a IV, propunându-mi astfel o „obișnuire” a elevilor cu rigorile clasei a V a.

Pentru o mai bună înțelegere și pentru a asigura fluența rezolvării, am propus sistematizarea rezolvării în patru etape:

Citirea conștientă a problemei cu delimitarea clară ipotezei (ce se dă în problemă) și concluziei (ce se cere);

Introducerea notațiilor corespunzătoare;

Transpunerea din limbaj comun în limbaj matematic a „ceea ce se dă”;

Efectuarea calculelor și obținerea rezultatelor.

Citirea conștientă a problemei cu delimitarea clară ipotezei (ce se dă în problemă) și concluziei (ce se cere);

Ce știm?

Peste 3 ani mama lui Ionuț va fi de trei ori mai în vârstă decât fiul său.

Acum trei ani mama lui Ionuț era cu 20 de ani mai în vârstă decât fiul său.

Ce nu știm?

Vârstele celor mamei și fiului.

Introducerea notațiilor corespunzătoare (pentru introducerea notațiilor am îndrumat elevii să cerceteze necunoscutele).

Notăm cu M vârsta mamei

F vârsta fiului

Facem transpunerea din limbaj comun în limbaj matematic (am îndrumat elevii să cerceteze „ce se dă ” în problemă):

„Peste 3 ani mama lui Ionuț va fi de trei ori mai în vârstă decât fiul său.”

Trebuie să tinem cont că peste trei ani vârsta lui Ionuț va crește tot cu trei ani.

M + 3 = 3 x (F + 3)

Acum trei ani mama lui Ionuț era cu 20 de ani mai în vârstă decât fiul său. Am stabilit că în și în prezent diferența de vârstă este tot de 20 de ani, deci:

M = F +20

Prelucrăm convenabil relațiile, folosindu-ne doar de cunoștințele dobândite.

M + 3 = 3 x (F+3) aplicăm distributivitatea înmulțirii față de adunare și obținem:

M + 3 = 3 x f + 9 scădem 3 în ambii termeni ai egalității:

M + 3 – 3 = 3 x F + 9 – 3

M = 3 x F + 6

Comparăm relația obținută cu M = F + 20 și deducem că:

M = 3 x F + 6 3 x F + 6 = F + 20 (am adus la un singur termen al comparației)

M = F + 20

3 x F + 6 = F + 20 scădem 6 în ambii termeni:

3 x F + 6 – 6 = F + 20 – 6 obținem:

3 x F = F+14 transcriem convenabil relațiile:

F + F + F = F + 14 deducem prin comparație că:

F + F = 14 deci:

F = 14 : 2

F = 7 Vârsta fiului este de 7 ani.

Dacă mama este cu 20 ani mai mare,

M = 7+20

M = 27 ani

Elevii au privit cu interes abordarea propusă, dovedind că au înțeles modul de rezolvare.

Problemă care se rezolvă prin metoda figurativă în care se cunoaște o fracție dintr-un întreg

Probleme de egalare a datelor (metoda comparației)

Metoda comparației se folosește în rezolvarea problemelor în care cele două mărimi care se dau sunt comparate, valorificându-se în rezolvare relația de proporționalitate care poate exista între ele. Se urmărește eliminarea unei necunoscute fie prin înlocuirea ei, fie prin reducere și aducere la același termen de comparație.

Abordarea problemelor prin metoda comparației se realizează prin parcurgerea următorilor pași:

Se ordonează datele problemei astfel încât mărimile de același fel să fie așezate pe aceeași coloană;

Se compară cele două sau mai multe situații distincte, aducându-le dacă este cazul, la același termen de comparație;

Se elimină una din necunoscutele problemei;

Se determină cealaltă necunoscută a problemei;

Înlocuind valoarea aflată se și cealaltă necunoscută.

Problemă care se rezolvă prin metoda comparației (aducerea la un termen de comparație)

Tot în categoria problemelor ce se rezolvă prin metoda aducerii la același termen de comparație sunt și problemele de eliminare a unei mărimi prin înlocuire.

Problemele de eliminare a unei mărimi prin înlocuire (substituție) sunt probleme care se rezolvă prin înlocuirea unei mărimi cu alta, pe baza relațiilor cantitative dintre ele.

Problemelă care se re de eliminare a unei mărimi prin înlocuire (substituție)

Probleme de presupunere. Metoda falsei ipoteze

În rezolvarea problemelor de acest tip se pleacă de la întrebarea problemei și se face o presupunere arbitrară asupra uneia dintre datele necunoscute, se reface problema pe baza presupunerii.

Rezultatele obținute pe baza presupunerii se modifică (în plus sau în minus), după cum presupunerea făcută este mai mare, respectiv mai mică decât rezultatul real. Refăcând problema, se ajunge la un rezultat care nu concordă cu cel real din problemă. Acesta este fie mai mare, fie mai mic decât valoarea dată în enunț. În acest moment se compară rezultatul obținut pe baza presupunerii cu cel real, din punct de vedere al câtului și se observă „de câte ori” s-a greșit prin presupunerea făcută, obținându-se un număr (coeficient de corecție) cu ajutorul căruia „se corectează” presupunerea în sensul micșorării sau a măririi de acest număr de ori.

Problemă care se rezolvă prin metoda falsei ipoteze

Problemă care se rezolvă prin metoda mersului invers

Probleme care se rezolvă prin încercări

Activitatea de rezolvare de probleme prin încercare – eroare urmărește să trezească curiozitatea elevilor pentru aflarea rezultatelor unor exerciții și probleme (clasa a II-a), să determine elevii să manifeste inițiativă în a propune modalități diverse de abordare a unei probleme (clasa a III-a) și să caute noi căi de rezolvare a acestora (clasa a IV-a). Problemele care se rezolvă prin încercări apar precizate în Curriculumul Național, în secțiunea Conținuturile învățării, în mod distinct, la clasa a IV-a. Multe probleme pe care elevul nu reușește să le rezolve utilizând metode standardizate (de exemplu, metoda grafică pentru probleme de sumă și diferență) pot fi abordate și rezolvate în final prin încercări (chiar dacă procedeul se poate dovedi a fi mai anevoios).

Problemele care se rezolvă prin încercări îi obișnuiește pe elevi cu nevoia de a-și reorganiza propriile cunoștințe, pentru a recurge la noi structuri cognitive, îi orientează spre descoperirea de noi procedee de acțiune și de verificare a soluțiilor găsite. Prin folosirea frecventă a acestui tip de problemă se constată o perfecționare a procedurilor de descoperire inductivă folosită de copii: căutare, tatonare, încercare, selecție în raport cu un set de condiții date.

Probleme de logică

Problemele de logică nu necesită în mod deosebit deprinderi de calcul. Pentru a găsi soluția este suficient un raționament logic.

Problemele de logică vizează cultivarea și exersarea creativității elevilor (îndrăzneală, istețime, spirit inovator, flexibilitatea și originalitatea gândirii, nonconformism), crearea unor situații generatoare de motivație intrinsecă ce favorizează stimularea interesului pentru matematică, exersarea gândirii divergente, dezvoltarea plăcerii și priceperii de a raționa riguros, educarea unor trăsături volitive pozitive pentru întrega conduită a elevului (tenacitate, concentrare, voința de a învinge, dorința de autodepășire controlată didactic etc.). Acest tip de probleme sunt preferate de către elevi, îi stimulează, îi amuză, fiind deseori o cale atractivă pentru însușirea noțiunilor matematice.

Chiar dacă rezolvarea problemelor de logică este precizată în programa școlară la matematică doar la clasa a IV-a, problemele de logică pot fi „presărate” pe parcursul întregului ciclu primar, în diverse momente ale lecțiilor, în cadrul tuturor disciplinelor de învățământ, nefiind abordabile doar la matematică. Ele constituie de multe ori un liant între diversele discipline (având un pronunțat caracter interdisciplinar), găsindu-și aplicabilitatea imediată și fiind în majoritatea cazurilor inspirate din problemele întâlnite în viața de zi cu zi.

Exemple:

* Fiecare dintre cei 4 frați are o soră. Câți copii are familia?

* Anul trecut, Oana și Mihaela aveau împreună 30 de ani. Câți ani au împreună anul acesta?

Probleme de probabilități

Este foarte important ca elevul de azi, viitorul adult, să poată judeca și interpreta corect unele evenimente din viața cotidiană, să poată calcula probabilitatea (șansa) ca acestea să se producă, să le poată ordona și clasifica pe o scală a șanselor de realizare (de la sigur sau imposibil) sau pe o scală a preferințelor (de la foarte plăcut la foarte neplăcut).

Exemple:

Care dintre evenimentele următoare sunt sigure? Dar posibile? Dar imposibile?

Dan va deveni înalt de 40 m.

Dacă astăzi este luni, ieri a fost duminică.

Mă voi uita la televizor săptămâna aceasta în fiecare seară.

Adunând un număr cu 1, se obține succesorul său.

Dintr-o sămânță de dovleac a răsărit un stejar.

Exemplu de tipul Suma Gauss