Analiza Muzicala Si Sinteza In Matlab

Introducere

“Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.” ~ Albert Einstein

Istoria instrumentelor muzicale datează de zeci de mii ani. Fragmente de flaute osoase și fluiere au fost găsite la situri neanderthaliene. Chiar recent, un flaut vechi 9.000 de ani descoperit în China, s-a dovedit a fi, în simplitatea lui, cel mai vechi instrument muzical din lume. Aceste instrumente timpurii arată că oamenii au fost mult timp preocupați de producerea sunetelor pe înălțimi, și anume sunete ce conțin predominant o singură frecvență. Într-adevăr, găurile de mărimea degetului pe aceste flaute indică faptul că acești muzicieni preistorici au avut unele concepte de scalare muzicală.

Muzica și matematica sunt strâns legate între ele. De asemenea, ele joacă joacă roluri foarte diferite în societate. Cu toate acestea, intre ele există o legătură mult mai strânsă decât se percepe în mod uzual. Coardele vibrează la anumite frecvențe. Undele sonore pot fi descrise prin ecuații matematice. Violoncelul are o anumită formă, în scopul de a rezona cu corzile într-un mod, de asemenea, matematic. Chiar și tehnologia necesară pentru a face o înregistrare digitală pe un CD se bazează pe matematică. Această lucrare identifică astfel de legături în trei zone diferite, și se încheie cu perspectiva conform căreia muzica are de multe ori unele caracteristici matematice si, mai important, că aspectele artistice pot fi găsite de asemenea în matematică. La urma urmei, matematica este limba pe care fizicienii o folosesc pentru a descrie lumea naturală și toate aceste lucruri ce apar în lumea naturală. Nu numai că fizicienii, chimiștii și inginerii folosesc matematica pentru a descrie lumea fizică, dar și, de asemenea, pentru a prezice rezultatul unor procese fizice.

Poate cineva găsi, în mod similar, o "ecuație" pentru a descrie o porțiune de muzică? Sau, chiar mai bine, se poate găsi o "ecuație" pentru a prezice rezultatul unei porțiuni muzicale? Putem modela sunetul prin ecuații, deci putem, de asemenea, modela lucrări de muzică prin intermediul ecuațiilor? Muzica este, până la urmă, o mare sumă de sunete individuale, nu? Ar trebui să investim timp și bani pentru a găsi aceste ecuații, astfel încât întreaga omenire să se poate bucura de muzică previzibilă, ușor de descris?

Răspunsul la toate aceste întrebări este, în fapt, unul previzibil și ușor de descris: o serie de "NU-uri" categorice! Nu există o ecuație care să modeleze orice lucrare de muzică și noi nu ar trebui să petrecem timp în căutarea sa. Cu toate acestea, există anumite structuri matematice inerente în toate lucrările de muzică, și aceste structuri matematice nu sunt date de ecuații. Limbajul matematic este un instrument convenabil pentru a înțelege și comunica această structură de bază.

De fapt, una dintre preocupările centrale ale teoriei muzicii este de a găsi o modalitate bună de a auzi o porțiune de muzică și de a comunica aceasta. Oricine a auzit vreodată Drei Klavierstücke a lui Stockhausen (1952) știe că acest lucru nu este întotdeauna atât de ușor de făcut. La un nivel superior, filozoful scoțian David Hume al secolului al XVIII-lea a spus că mintea primește impresii și că odată ce aceste impresii devin tangibile și pline de viață, devin idei. Teoria muzicală ne furnizează categorii conceptuale pentru a organiza și a înțelege muzica. Impresiile noastre auditive devin idei vivace prin intermediul acestor categorii conceptuale. În vederea găsirii unei modalități bune de a asculta o piesă muzicală, trebuie a se înțelege muzica în așa fel încât aceasta să devină tangibilă.

Teoreticienii de muzică se folosesc de multe ori de puterea formidabilă a matematicii în procesul lor de creare de categorii conceptuale. Numerele întregi discrete … -2, -1, 0, 1, 2 … sunt deosebit de bine adaptate pentru etichetarea înălțimii sunetului, sau a clapelor de la pian. Aria matematicii numită combinatorică permite posibilitatea de numărare a multiplelor moduri de combinare a înălțimilor, deci a numerelor. Acest lucru oferă taxonomii și clasificări ale diferitelor mulțimi care apar. Teoria Grupurilor, un alt domeniu al matematicii pure, descrie modul in care se leagă mulțimile și înălțimile și modul în care acestea pot fi transformate de la unul la altul. În acest sens, matematica pură oferă un cadru convenabil pentru teoreticianul de muzică de a comunica moduri utile de a percepe o lucrare muzicală.

Teoria muzicală nu există doar pentru cei care ascultă. Teoria muzicală este, de asemenea, utilă compozitorului. Bach, Mozart și Beethoven au fost foarte bine pricepuți în teoria muzică a epocilor respective și au aplicat-o zi de zi. Această discuție abstractă are relevanță la fel de bine pentru artist. Un pianist clasic poate cânta mii și mii de note într-un singur concert, tot din memorie. Cum poate un pianist clasic face asta? Este necesar ca pianistul clasic de a memora fiecare notă individuală? Desigur că nu. Teoria muzicii furnizează artiștilor un sistem de recunoaștere a tiparelor, iar acest lucru întărește memoria muzicală. O bucată de muzică nu constă din mai multe sunete individuale, izolate, ci mai degrabă din mai multe idei țesute împreună. Pe de altă parte, aceeași memorie muzicală permite ascultătorului de a concepe o piesă de muzică ca un întreg, mai degrabă decât evenimente individuale izolate. Teoria muzicii nu se limitează la muzică clasică. Muzicienii de jazz folosesc, de asemenea, teoria muzicii la improvizații și compoziții proprii. Muzica non-occidentală, de asemenea, se pretează la analize în cadrul teoriei muzicii.

CUM RELAȚIONEAZĂ MATEMATICA CU MUZICA

Pentru mulți oameni, matematica este o enigmă. Caracterizată prin impresia de numere și calcule predate la școală, este deseori însoțită de sentimente de respingere și dezinteres, și este considerată a fi strict rațională, abstractă, rece și lipsită de sentimente.

Pe de-altă parte, muzica exprimă mai degrabă legătura cu emoții, sentimente și cu viața în sine. Este prezentă în toate activitățile zilnice. Oricine a cântat un cântec, a apăsat o clapă pe un pian, a suflat într-un flaut și prin urmare a creat muzică. Este ceva cu care oamenii pot interacționa, este o formă de expresie și face parte din existența fiecăruia.

Motivația pentru investigarea legăturilor între aceste două aparent opuse, prin urmare, nu este foarte evidentă și nu este clar în ce aspecte ale ambelor subiecte o astfel de relație poate fi de urmărit. Mai mult decât atât, dacă se acceptă unele aspecte matematice în muzică, cum ar fi ritmul și înălțimea sunetelor, este mult mai dificil de imaginat orice muzicalitate în matematică. Numărabilitatea și ordinea puternică a matematicii nu par să coincidă cu un model artistic.

Cu toate acestea, există diferite aspecte care indică acest tip de relație. În primul rând, cercetările au demonstrat că acei copii ce știu să cânte la pian arata de multe ori bune abilități de raționament, cum ar fi cele aplicate în rezolvarea puzzle-uri, a jocului de șah sau efectuarea de deduceri matematice (Motluk, 1997 : 17).În al doilea rând, s-a observat intr-o anchetă particulară că procentul de studenți care au urmat un curs de muzica a fost de aproximativ unsprezece la suta peste media în rândul celor care urmau cursuri de matematică (Henle, 1996: 18). Această afinitate a matematicienilor pentru muzică nu este doar un fenomen recent, acesta fiind menționat anterior de către Bloch în 1925 (1985: 181).

Vom încerca să analizăm relația dintre matematică și muzică din trei puncte de vedere diferite. Primul descrie câteva idei despre armonie, tonuri și acordaje generate de grecii antici, a doua prezintă exemple de matematică în compoziții muzicale și ultimele luminează atributele artistice ale matematicii. Această misiune va arăta că matematica și muzica nu fac astfel de contrarii puternice deoarece acestea se consideră de obicei, dar există legături și asemănări între ele, ceea ce poate explica de ce unor muzicieni le place matematica si de ce matematicienii, în general, iubesc muzica.

Tonul și acordurile muzicale : percepția lui Pitagora a muzicii

In perioada Greciei antice, matematica și muzica au fost puternic conectate. Muzica a fost considerată ca o disciplină strict matematică, ce avea la bază relații, raporturi și proporții. În Quadrivium (curriculum-ul de la Școala lui Pitagora), muzica a fost plasată la același nivel ca și aritmetica, geometria și astronomia. Această interpretare a neglijat în totalitate aspectele creative ale performanței muzicale. Muzica a fost știința sunetului și armoniei.

Noțiunile de bază în acest context, au fost cele de consonanță și disonanță. Oamenii au observat foarte devreme că două note diferite, nu sună întotdeauna plăcut (consonant), atunci când sunt cântate împreună. Mai mult decât atât, grecii antici au descoperit că la o notă cu o anumită frecvență numai acele note ale căror frecvențe au fost multipli întregi ai primei ar putea fi combinate în mod corespunzător. Dacă, de exemplu, a fost luata o notă de frecvență 220 Hz, notele de frecvențe 440 Hz, 660 Hz, 880 Hz, 1100 Hz și așa mai departe, ele sună cel mai bine atunci când sunt cântate împreună cu prima.

În plus, examinările de sunete diferite au arătat că acești multipli întregi ai frecvenței de bază apar întotdeauna într-o intensitate slabă atunci când nota de bază este cântată. Dacă vibrează o coardă a cărei lungime definește o frecvență de 220 ​​Hz, sunetul generat conține, de asemenea, componente ale frecvențelor 440 Hz, 660 Hz, 880 Hz, 1100 Hz și așa mai departe. În timp ce ascultătorii percep în special nota de bază, intensitățile așa-numitei armonii, definesc caracterul unui instrument. Este în primul rând o urmare a acestui fenomen că o vioară și o trompetă nu sună la fel, chiar dacă acestea cântă aceeași notă.

Cel mai important raport de frecvență este de 1:2, care se numește o octavă în sistemul apusean de partituri. Două note diferite într-o asemenea relație sunt adesea considerate in principal aceleași (și, prin urmare, sunt date cu același nume), variază doar în înălțimea lor, dar nu și în caracter. Grecii au observat într-o octavă “o identitate ciclică”. Următoarele rapoarte construiesc cvinta muzicală, (2:3), cvarta (3:4), terța majora (4:5) și terța minoră (5:6), care au toate importanța lor în crearea de acorduri.

Diferența între o cvintă și o cvartă a fost definită ca un ton întreg, ceea ce duce la un raport de 8:9. Aceste rapoarte corespund nu numai frecvențelor sunetelor respective, dar si lungimilor relative ale coardelor, ceea ce a făcut ușor de a găsi notele consonante pornind de la o frecvența de bază. Spre exemplu, scurtarea unei coarde la două treimi din lungimea sa creează un interval muzical de o cincime.

Toate aceste studii de raporturi și proporții "armonice" erau esența muzicii în timpul lui Pitagora. Această percepție, cu toate acestea, și-a pierdut din importanță la sfârșitul Evului Mediu, atunci când s-a dezvoltat muzica mai complexă. În ciuda raporturilor "perfecte", s-au produs noi disonanțe atunci când s-au folosit anumite acorduri, chei diferite sau o scară mai mare de note.

Explicația pentru acest fenomen a fost incomensurabilitatea treimii, cincimii si octavei atunci când sunt definite prin raporturi întregi. Prin adăugarea mai multor intervale de aceste tipuri la o nota de baza, nu se ajunge din nou la o octavă din nota de baza. Cu alte cuvinte, o octavă (1:2) nu poate fi subdivizată într-un număr finit de intervale egale de acest tip pitagoreic (x: x +1 | x fiind un număr întreg). Adăugarea unor tonuri întregi definite de raportul 9:8 la o notă de bază cu frecvența f, de exemplu, nu creează o nouă notă cu frecvența , , sau similară. Totuși, adăugarea de șase tonuri întregi într-o notă, aproape creează prima octavă definită de frecvență dublă: .

Având în vedere aceste caracteristici ale intervalelor pitagoreice, s-a dezvoltat nevoia unui alt sistem de reglare. Mai multe încercări au fost făcute, dar numai unul s-a păstrat până în zilele noastre: sistemul de divizare a unei octave în douăsprezece semitonuri egale, introduse de Johann Sebastian Bach in secolul al 18-lea. Fondarea pe raportul 1:2 pentru octave, toate celelalte intervale pitagoreice au fost ușor ajustate pentru a se potrivi cu acest nou model. Astfel, un ton întreg nu mai este definit prin raportul: , ci prin două semi-tonuri (fiecare exprimate prin), obținându-se valoarea numerică: .

Controversele în cadrul acestui proces de revenire este că urechea umană preferă încă intervalele lui Pitagora "pure", în timp ce o scară temperată este necesară în linii melodice complexe, cântate la instrumente cu corzi. Muzicienii zilelor noastre sunt nevoiți sa se confrunte cu aceste mici disonanțe, în scopul de a acorda un instrument intr-un mod care se potrivește acestui model.

Cu evoluția acestui model matematic tot mai complicat pentru acordarea unui instrument, și cu creșterea importanței muzicalității și a performanței, muzica și matematica în acest aspect au pierdut relația strânsă cunoscută în timpurile antice grecești. Din moment ce intervalul uniform temperat nu mai poate fi exprimat ca un raport ( este un număr irațional), muzicienii au învățat să acordeze instrumentele prin antrenarea si formarea urechii lor muzicale, mai degrabă decât prin aplicarea principiilor matematice. Muzica, din acest punct de vedere, s-a eliberat de sub dominația matematică. (Garland, 1995 : 36-67; Reid, 1995; McClain,1978 : 3-5)

Muzica matematică: numere Fibonacci și proporția de aur în compozițiile muzicale

Întrebările despre tonuri și de acordaje muzicale sunt un aspect în care gândurile matematice intră în lumea muzicii. Cu toate acestea, muzica – cel puțin într-o percepție modernă – nu constă numai în note și armonie. Mai importante sunt schimbările de note, în raport cu timpul, și anume aspectul ritmului și al melodiei. Aici, conceptele matematice sunt din nou omniprezente. Nu doar că notația muzicală simbolică este în toate aspectele sale foarte matematică, dar, de asemenea, particularitățile aritmetice și reflecțiile geometrice pot fi găsite în compoziții muzicale.

Un aspect foarte interesant al conceptelor matematice în compoziții muzicale este apariția de numere Fibonacci și teoria proporției de aur. Formațiunea este un sir infinit de numere întregi numite după Leonardo de Pisa (alias Fibonacci), un matematician medieval. Prin intermediul primilor doi membri care sunt ambii 1, fiecare nou membru al secvenței este format prin adăugarea de două precedente (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 …). Cu toate acestea, caracteristica lor cea mai importantă în acest context este faptul că secvența de raporturi Fibonacci (care este raportul dintre un număr Fibonacci cu adiacentă mai mare) converge la o limită constantă, numit raportul de aur, proporția de aur sau secțiunea de aur (0.61803398 …).

Mai comună este interpretarea geometrică a secțiunii de aur: O diviziune a unei linii în două părți inegale se numește de aur dacă relația dintre lungimea întregii linii la lungimea părții mai mari este aceeași ca relația dintre lungimea părții mai mari la lungimea părții mai mici. Această proporție nu poate fi găsită numai în forme geometrice (de exemplu lungimea unei diagonale referitoare la lungimea unei laturi într-un pentagon), dar, de asemenea în natură (de exemplu, lungimea trunchiului în raport cu diametrul unor specii copaci, cum ar fi molidul Norvegia) (Garland, 1995: 113). Datorită considerațiilor bine echilibrate, frumoase și dinamice, secțiunea de aur a găsit diverse aplicații în domeniul artelor, mai ales în pictură și fotografie, în care elementele importante împart lungimea unei imagini sau lățimea (sau ambele) conform proporției de aur. Cu toate acestea, o astfel de divizare nu este neapărat efectuată conștient, dar rezultă într-o impresie de frumusețe si armonie.

Diverse studii au descoperit că același concept este, de asemenea, foarte frecvent în compozițiile muzicale. Secțiunea de aur – exprimată prin raporturi Fibonacci – este fie folosită pentru generarea de schimbări ritmice, fie pentru a dezvolta o linie melodică (Garland, 1995: 116).

În plus, studiul lui James A. Rothwell (1977) a dezvăluit exemple ale proporției de aur în diverse perioade muzicale. În timp ce caracteristicile compozițiilor examinate au variat destul de mult, importanța organizării proporționale a fost în mare parte similară. S-a descoperit că locații structurale importante, marcate de evenimente melodice, ritmice sau dinamice, au împărțit compoziția în două părți, simetric sau in proporția de aur.

Astfel, un exemplu bine cunoscut este refrenul "Aleluia" în piesa Mesia, a lui G. F. Handel. Întrucât este format din 94 de măsuri, una dintre cele mai importante evenimente (intrarea solo trompete: "Regele Regilor"), se întâmplă în măsurile 57-58, după aproximativ 8/13 din întreaga piesă. În plus, se poate găsi o structură similară în ambele diviziuni din întreaga piesă. După 8/13 din primele 57 de măsuri, respectiv, pe măsura 34, intrarea temei "Împărăția slavei …" marchează un alt punct esențial, și după 8/13 din al doilea 37 de măsuri, în măsura 79 ("Și El va împărăți …), din nou, importanța locației este executată de către apariția de trompete solo (Rothwell, 1977: 89). Este greu de spus dacă Handel a ales aceste locuri în mod deliberat, dar, cel puțin, acest fenomen subliniază importanța secțiunii de aur nu numai vizual, dar, de asemenea, în spectacolele artistice.

Un alt studiu (mai, 1996: 118-119) a arătat că, în aproape toate sonatele lui Mozart , relația dintre expunere, dezvoltare și recapitulare se conformează cu proporția de aur. Aici, din nou, nu se poate stabili dacă Mozart a fost conștient de aplicarea proporției de aur, chiar dacă există suficiente dovezi care sugerează atracția lui față de matematică.

Este probabil mai puțin important să se evalueze dacă oamenii iau matematica în considerare atunci când aceștia aplică sau percep proporția de aur decât să observați că armonia și frumusețea – cel puțin în acest aspect – poate fi exprimat prin mijloace matematice. Rapoartele Fibonacci în legătură cu divizarea unei compoziții, precum și raporturi întregi în legătură cu intervalele pitagoreice sunt exemple că armonia poate fi uneori descrisa de numere întregi pare și, prin urmare, are un aspect foarte matematic. Acest lucru ar putea fi o modalitate de a introduce o idee suplimentară: că frumusețea este inerentă în matematică.

Matematică muzicală: Reflecții asupra unui aspect artistic al matematicii

Toate aceste aspecte ale modelelor matematice în sunet, armonie și compoziție nu explică în mod convingător afinitatea remarcabilă a matematicienilor pentru muzică. A fi un matematician nu înseamnă doar descoperirea numerelor peste tot în jur și savurarea doar a problemelor cu puternice conotații matematice. Prin urmare, relația esențială se presupune a se găsi la un alt nivel.

Este de remarcat faptul că afinitatea menționată mai sus nu este reciprocă. Muzicienii nu arată, de obicei, același interes pentru matematică la fel ca și matematicienii pentru muzică. Prin urmare, trebuie să presupunem că aspectul decisiv nu poate sta în aritmetică, partea din matematică pe care oamenii o consideră uneori a fi, de fapt, întregul subiect. Cel mai probabil, mai degrabă aria gândirii matematice, a concentrării mintale și a rezolvării de probleme este cea care creează aceste conexiuni.

Un exemplu dat de ambele Henle (1996: 19) și Reid (1995) este omniprezența cuvintelor precum frumusețe, armonie și eleganță în cercetarea matematică. În timp ce muzicienii, uneori, dezvoltă o melodie deosebit de bine formată sau se aplică o armonie remarcabilă, matematicienii caută de multe ori dovezi "simple" și elegante. Mai mult, senzațiile din rezolvarea unei probleme matematice par a fi similare cu cele care apar atunci când se efectuează o lucrare muzicală. Cel mai important este aspectul creativ, care se află în aceste două discipline.

Dovezi interesante pentru această idee au fost prezentate de către Henle, care a comparat istoria muzicii cu istoria matematicii bazate pe următoarele trei argumente principale (1996: 19):

"Matematica are multe din caracteristicile unei arte.

Privită ca artă, se pot identifica perioadele artistice în matematică: Renaștere, Baroc, Clasicism și Romantism

Aceste perioade coincid foarte bine și își împart multe din caracteristici cu epocile muzicale corespunzătoare, dar sunt semnificativ diferite de cele ale picturii și literaturii. "

Cu privire la concepte cum ar fi dualismul (Baroc), universalitate (Clasicism) și eternitate (Romantism), el evidențiază asemănări surprinzătoare între evoluția din matematică și muzică.

Mai mult decât atât, el subliniază necesitatea unei schimbări în educația matematică spre un stil mult mai muzical. "Elevii ar trebui să facă matematică împreună (așa cum fac matematicienii profesioniști ), nu singuri. […] Și, în sfârșit, elevii trebuie să interpreteze matematic; ei ar trebui să cânte matematica și să danseze matematica". Acest lucru i-ar ajuta, probabil, pe oameni să înțeleagă ceea ce matematica este cu adevărat, și anume nu divin, ci muritor; nu lege, ci gust. (Henle, 1996: 28)

În ciuda aspectului extrem de speculativ în astfel de idei, acesta este, probabil, punctul de vedere fundamental atunci când se caută conexiuni între matematică și muzică. Este muzicalitatea într-un mod matematic de gândire care atrage matematicienii de muzică. Cu toate acestea, este dificil pentru oamenii care nu sunt familiarizați cu acest tipar special de mentalitate, să înțeleagă esența. Prin urmare, este probabil – așa cum a fost declarat de către Reid (1995) – că gradul de înțelegere al unor astfel de relații este proporțional cu gradul de înțelegere al observatorului de atât al matematicii, cât și al muzicii.

Concluzie

În paragrafele de mai sus am încercat să subliniez trei abordări diferite la întrebarea referitoare la care este modul în care matematica și muzica relaționează. Primul a arătat particularitatea percepției față de muzică a grecilor antici, punând mai puțină importanță pe melodie și mișcare decât pe tonalitate, acordaj și armonia statică. În cel de-al doilea, conceptul porțiunii de aur a fost pus în legătură cu proporțiile numerelor și apariția lor în diferite compoziții. Cu toate acestea, abordarea cea mai fundamentală a fost cea de-a treia, în care s-au descoperit legături cu privire la aspectul artistic al modului matematic de gândire.

Este evident că acestea sunt doar exemple pentru investigarea unei astfel de relație și că alte comparații ar putea fi încercate. Cu toate acestea, cele trei teorii reprezintă, probabil, conceptele și ideile de cele mai multe ori discutate și sunt deosebit de adecvate pentru a furniza o primă impresie asupra acestui subiect.

Oricare ar fi legăturile dintre muzică și matematică, ambele sunt, evident, încă foarte diferite ca și discipline, și nu ar trebui să se încerce ca una sa se impună celeilalte. Ar fi greșit să se încerce explicarea tuturor formelor de muzică prin mijloace matematice, precum și faptul că nu ar avea niciun sens studierea matematicii numai din punct de vedere muzical. Totuși, ar fi necesar dacă aceste relații ar fi introduse în educația matematică, pentru a o elibera de conotațiile adesea prea serioase.

Este important să se arate oamenilor că matematica, într-un fel, este la fel de mult o artă, precum este și o știință. Acest lucru, probabil, ar modifica percepția comună, iar oamenii ar înțelege mai bine esența și universalitatea ei.

___________________________________________________________________

Instrumente muzicale

Sursele de sunet ale instrumentelor muzicale sunt vibrațiile mecanice, acustice sau electrice. În acest sens, câteva exemple familiare sunt vibrațiile de:

coarde (vioară, chitară, pian, etc.)

bare sau tije (xilofon, Glockenspiel, celesta, clopoței, clarinet, etc.)

membrane (tobe, banjo etc.)

plăci sau scoici (cinel, gong, Bell, etc.)

aer într-un tub (orgă, instrumente de suflat din lemn sau alamă, balafon etc.)

aer într-un recipient închis (toba, vioara, sau corp chitara etc.)

În majoritatea instrumentelor, producerea sunetului depinde de comportamentul colectiv al mai multor vibratoare, care pot fi slab sau puternic cuplate împreună. Aceasta cuplare, împreună cu un feedback neliniar, poate provoca instrumentului ca întreg să se comporte ca un sistem vibrant complex, chiar dacă elementele individuale sunt vibratoare relativ simple.

In continuare vom discuta despre fizica oscilatoarelor mecanice și acustice, modul în care acestea pot fi cuplate împreună, și modul în care acestea radiază sunetul. Din moment ce nu discutăm despre instrumente muzicale electronice, nu ne vom ocupa de oscilatoare electrice decât în cazul în care ne ajuta, prin analogie, pentru a înțelege oscilatoarele mecanice și acustice.

Scurt istoric instrumente muzicale

Pianul

Pianul este un instrument muzical extrem de răspândit, în care sunetul este produs de lovirea unor corzi metalice tensionate ce sunt fixate pe o placă de rezonanță din lemn, de către niște ciocănele acoperite cu pâslă, mecanismul facându-se prin intermediul unei claviaturi.

Pianul, inventat de Bartolomeo Cristofori (1655-1731) în jurul anului 1709, este unul dintre cele mai versatile dintre toate instrumentele muzicale. Cel mai vechi pian existent, construit de către Cristofori în 1721, este expus la Muzeul Metropolitan de Artă din New York. Mecanismul cheie al lui Cristofori a fost adoptat și de alți fabricanți de pian, printre care și Gottfried Silbermann, care i-a arătat unul dintre pianele sale lui Bach. Industria de construire a pianelor, practicată de Andreas și Nannette Stein, a înflorit în Viena în secolul al XVIII-lea. Pianele vieneze, ca acelea utilizate de Mozart, au avut, în general, rame din lemn și două corzi pentru fiecare notă.

Pianul a continuat să se dezvolte în prima parte a secolului al XIX-lea. Intervalul tonal a crescut de la 5 la octave. Broadwood în Anglia și Erard în Franța, au devenit cei mai importanți constructori de piane. Au fost de asemenea adoptate acțiunea de dublă declanșare (inventată de Sebastian Erard), utilizarea a trei corzi (pentru toate notele, mai puțin cele mai joase), și cadrul de fier al pianului. Încrucișarea corzilor joase cu cele ascuțite a fost patentată pentru utilizarea în piane de concert de către Henry Steinway în 1859.

Chitara

Chitara (ori ghitara) este un instrument muzical cu coarde ciupite. Are în componență un gât lung, delimitat cu ajutorul tastelor (mici bare de metal amplasate perpendicular pe partea anterioară a gâtului, pe direcția acestuia), și o cutie de rezonanță cu fețe plane. În lateral, caracteristicile chitării dau corpului forma consacrată de clepsidră. Acordajul standard în cvarte perfecte (cu o singură excepție) aduce cu cel al instrumentelor din familia violei (viola da gamba, violone ș.a.).

Există două tipuri de chitare moderne: acustice și electrice.
Familia chitarelor acustice include chitara clasica, chitara flamenco, chitara portugheză, chitare flat-top, chitare arcuite, chitare rezonator (Dobro), chitare cu 12 corzi și chitara acustică bass (inclusiv guitarron sau chitarrone, utilizate în muzica Mariachi) .

Chitara modernă cu șase corzi este un descendent al instrumentului spaniol din secolul al șaisprezecelea “vihuela”, care își are rădăcinile în antichitate. Cuvântul modern, chitara, a fost adoptat din spaniolul “guitarra”, derivat din mult mai vechiul cuvânt grecesc “kithara”. Chitara din perioada Renașterii, care n-a fost luată prea în serios, avea patru perechi de corzi duble. În timpul Barocului, o a cincea pereche a fost adăugată. La sfârșitul Barocului, corzile duble au fost înlocuite de corzi singulare, și o a șasea coardă a fost adăugată. Deși Boccherini si alți compozitori ai secolului al optisprezecelea au inclus chitara în anumite arii muzicale personale, stabilirea chitării ca instrument de concert a avut loc în mare parte în secolul al nouăsprezecelea. Fernando Sor (1778-1839) a fost primul dintr-un lung șir de compozitori spanioli de arii muzicale pentru chitară.

Cercetătorii de chitară au acordat o atenție considerabilă rezonanțelor corpului chitării, și modul în care rezonanțele de joasă frecvență pot fi considerate ca fiind cauza vibrațiilor cuplate ale plăcii de sus, a plăcii din spate, și a aerului închis. S-a experimentat de-a lungul timpului cu diferite modele de consolidare, în special în placa superioară. Spre deosebire de vioară, care s-a schimbat foarte puțin de-a lungul mai multor decenii, chitara este încă în evoluție.

Vioara

Vioara este un instrument muzical cu coarde și arcuș. Coardele sunt acordate în cvinte perfecte și sunt desfășurate peste partea anterioară a cutiei de rezonanță, vibrând atunci când arcușul este tras peste ele sau când sunt ciupite. Acesta este cel mai mic, și totodată membrul ce poate atinge cele mai înalte note muzicale din familia instrumentelor cu coarde si arcuș, ce include, de asemenea, viola, violoncelul si contrabasul. Aceasta este folosită de muzicieni dintr-o mare varietate de genuri muzicale, printre care muzica barocă, clasică, jazz, muzica folk, rock and roll și soft rock. La vioară a ajuns să se cânte în multe culturi muzicale non-occidentale din întreaga lume.

Instrumentele din familia viorii s-au dezvoltat în Italia, în secolele al șaisprezecelea și al șaptesprezecelea și au atins un vârf în secolul al optsprezecelea, în mâinile unor maeștri precum Antonio Stradivari, Giuseppe Guarneri del Gesu, Giovanni Paolo Maggini, Gasparo da Salò.

Sunetul unei viori depinde de forma sa, de lemnul din care este confecționată, de grosime, și de lacul ce acoperă suprafața exterioară. Lacul și în special lemnul din componența sa continuă sa se îmbunătățească cu vârsta, ceea ce face ca numărul limitat de viori vechi să le facă atât de dorite în întreaga lume.

Ce este muzica?

Ori de câte ori auziți un flautist cântând, un semnal este trimis dinspre degetele sale, către urechile ascultătorilor. În timp ce se cântă la el, flautul vibrează. Vibrațiile se propagă prin aer și se transmit, prin canalul auditiv, in urechea interna, la timpan. Aceste vibrații sunt oscilații rapide in presiunea aerului, oscilații ce sunt detectate ca sunet de către ureche.

Elementele de bază

Cel mai simplu model al unui sunet muzical este o undă sinusoidală unde domeniul (axa x) este timpul și amplitudinea (axa y) este presiunea.

Unde: P presiunea, exprimata in decibeli sau Pascali

t timpul, in secunde

A amplitudinea (inaltimea undei) sau volumul, in dB sau Pascali

frecventa, in hertz

T perioada, in secunde; este duratia unei unde.

Figura 1. Unda sinusoidala cu amplitudinea A = 60 dB și frecvența = 100Hz

În general, un sunet are două caracteristici: înălțime și volum. Înălțimea, sau nota redată, corespunde cu frecvența undei. Notele înalte au frecvențe înalte, astfel încât presiunea variază rapid. Notele mici au frecvențe joase. Frecvența este măsurată în Hertz (Hz), care este numărul de unde pe secundă.

Figura 2. Două note, ambele cu amplitudinea A = 60 dB. Nota mai joasă are frecvența = 100Hz (continuu). Nota mai înaltă are frecvența = 125Hz (punctat).

Figura 3. Game de frecvențe de diferite instrumente, în Hz. frecvențele sonore variază de la 20Hz la 20,000 Hz.

Volumul sau intensitatea, corespunde amplitudinii presiunii. Când cineva aude muzica tare, cum ar fi la un concert rock, oscilațiile presiunii mari pot fi resimțite de către organism.

Figura 4. O notă puternică la A = 60 dB (solid) și o notă liniștită la A = 40 dB (punctată). Ambele note au o frecvență de = 100Hz.

Presiunea este în mod normal măsurată în Pascali, care este forța pe unitatea de suprafață (1 Pa = 1 N/m2). Cele mai multe sunete sunt mai mici de 1 Pa, în timp ce cele zgomotoase sunt între 5 și 10. Scara in decibeli este una de presiune logaritmica, folosită pentru volum, astfel încât sunetele liniștite sunt răspândite. Pascalii se convertesc în decibeli, după cum urmează:

Constanta a fost aleasă deoarece este considerat a fi pragul limită al auzului. Astfel, , deoarece, atunci când , .

Frecvențele octavelor și armonicelor

Pentru a înțelege de ce anumite combinații de note fac armonie și altele nu, vom studia cel mai simplu instrument, o coardă. Formula pentru frecvența unei coarde vibrante este:

Unde frecvența se măsoară in Hz = 1/sec

Lungimea, in metri

Tensiunea, in Newton, N=kg*m/sec2

Densitatea coardei reprezintă grosimea sa, în kg/m

Frecvența ori înălțimea se poate modifica în 3 feluri:

prin tensionarea coardei: ↑tensiunea rezultă↑ frecvența

folosirea unei coarde mai groase: ↑densitatea rezultă↓ frecvența

folosirea degetelor pe taste: ↓lungimea rezultă↑ frecvența

Concret, frecvența este invers proporțională cu lungimea șirului. Acest lucru înseamnă că dacă am înjumătăți lungimea șirului, frecvența se va dubla. Se pare că o frecvență de două ori reprezintă o notă mai sus cu o octavă. Folosind acestea, putem construi graficul de mai jos:

Figura 5. Octavele coardei vibrante

Secvența frecvențelor acestor octave: 55, 110, 220, 440 este o secvență geometrică. O secvență geometric este o secvență în care termenul anterior este înmulțită cu o constantă. În acest caz, constanta este 2. Un exemplu foarte simplu de o secvență geometrică este 2, 4, 8, 16, 32, etc. Dacă această secvență ar fi fost reprezentată grafic, ar arăta ca o funcție exponențială.

Astfel, frecvențele octavelor formează o secvență geometrică.

Acest fapt are multe manifestări fizice, cum ar fi:

Instrumentele joase trebuie să fie mult mai mari decât instrumentele de înălțime. În general, un instrument care este mai jos cu o octavă trebuie să fie de două ori mai mare. De exemplu, în familia corzilor, progresând de la vioară, violă, violoncel, la contrabas, violoncelul este mare, iar contrabasul este foarte mare.

Tuburile orgilor trebuie să se dubleze, de asemenea, pentru a putea coborî o octavă. Acesta este motivul pentru care tuburile orgilor din bisericile catolice, dacă sunt aranjate în ordine descrescătoare, aproximează o curbă exponențială.

Tastele de pe o chitară sunt departe una de cealaltă la gât și apropiate lângă corp, un model care apare, de asemenea, pe hârtia grafică logaritmică. Tastele chitarei și hârtia logaritmică ambele urmează un model exponențial invers.

Dacă am putea urmări coarda noastră simplă vibrând cu ajutorul unei camere de filmat cu încetinitorul, am vedea că vibrează în mai multe moduri, după cum se arată mai jos. Modul principal este frecvența fundamentală sau prima armonică, și dă notei frecvența specificată. Coarda poate vibra în moduri mai ridicate, sau armonice, la momente diferite sau simultan.

Figura 6. Armonicile coardei vibrante

Secvența frecvențelor acestor armonici: 55, 110, 165, 220, 275, 330 formează o secvență aritmetică. O secvență aritmetică este o secvență în care se adaugă o constantă termenului precedent. În acest caz, constanta este de 55. Un exemplu simplu al unei secvențe aritmetice este 2, 4, 6, 8, 10, 12.

Pentru a rezuma punctele importante:

Frecvențele octavelor formează o secvență geometrică.

Frecvențele armonicilor formează o secvență aritmetică.

Cele două caracteristici ale unui sunet muzical sunt volumul si înălțimea. Cum se poate face însă diferența dintre un flaut și o vioară, în condițiile în care ambele redau aceeași notă, cu aceeași intensitate? Dacă am măsura presiunea aerului pe rând, în preajma unui flaut, a unui oboi și a unei vioare, fiecare redând aceeași notă La (440 Hz), graficul trasat ar arăta astfel:

Figura X. Variația presiunii cu timpul în cazul celor 3 instrumente

Semnalele presiunii arată foarte diferit între ele, deși amplitudinea si frecvențele fundamentale sunt aceleasi. Această difernță este cauzată de amplitudinile relative ale armonicilor superioare. Aceasta se poate vedea trasând separat graficul volumului fiecărei armonici, după cum urmează:

Figura X. Amplitudinile armonicilor unui flaut, oboi si vioară, pe nota La (middle A)

În matematica avansată, aceștia se numesc coeficienți Fourier ai formelor de undă din figura X. Analiza Fourier este folosită pentru a calcula acești coeficienți pentru un semnal dat.

Se poate observa că armonicile flautului sunt constituite in cea mai mare parte din fundamentala la 440 Hz si armonica secundară, la 880 Hz. Când măsurăm presiunea aerului din preajma unui flaut, vedem suma acestor două armonici. Aceasta este echivalent cu a adăuga două curbe sinusoidale, după cum urmează:

Figura X. Însumarea primei și celei de-a doua armonice la flaut.

Cel de-al 3-lea grafic reprezintă semnătura undei de presiune a flautului. Același proces poate fi folosit pentru a produce undele de presiune ale oboiului și ale vioarei, dar pentru asta trebuie adăugate celelalte armonice din figura precedentă.

Muzica sintetizată imită instrumentele prin combinarea armonicilor, la fel cum am făcut și pentru flaut, mai sus. Cu toate astea, muzica sintetizată sună adesea fals, deoarece armonicele sale sunt constante, în timp ce muzica reală are armonice care se schimbă subtil, pe măsură ce muzicianul variază timbrul, vibrato-ul și frazarea muzicală.

Intervale și interferențe

Atunci când sunt redate două unde sinusoidale de frecvențe apropiate, apar interferențe. Acestea pot fi auzite, de exemplu, acționând două corzi de chitară identice tensionate la mică diferență una de cealaltă.

Figura X. Suprapunerea a două oscilații de frecvență apropiată.

Se poate observa cum cele două curbe din primul grafic variază între aliniere totală și în opoziție. Curba de sumare din al doilea grafic este dublată atunci când aceste două grafice sunt aliniate și se anulează reciproc atunci când sunt in opoziție de fază.

Interferențele ating nivelul maxim atunci când separarea frecvențelor este între o jumătate de pas și o terță minoră. Atunci când separarea e mai mică de atât, interferențele sunt prea lente pentru a putea fi percepute de urechea umană. Când gradul de separare este mai mare, ele devin prea rapide pentru a putea fi auzite. Aceasta se poate vedea in graficul de mai jos.

Figura X. Consonanța în funcție de gradul de separare al frecvențelor.

Astfel, putem concluziona că frecvențele apropiate interferează și creează disonanțe.

Matematica armonicilor și a corzilor vibrante este un exemplu minunat de matematică ce ne înconjoară în fiecare zi. Muzica, una dintre tradițiile noastre cele mai vechi și universale, este în același timp cuantificabilă și emoțională, deopotrivă matematică și emoționantă. Putem afirma astfel, că matematica nu este deloc seacă și plictisitor, cum ar putea crede unii, dar captivantă, interesantă și distractivă.

Fizica instrumentelor muzicale

Răspunsul la întrebarea ce ne-o putem pune cu privire la relevanța undelor sinusoidale în discuția despre percepție înălțimii sunetelor stă în ecuația diferențială din mișcarea armonică simplă, pe care o vom discuta puțin mai jos. Pe scurt, soluțiile ecuației diferențiale sunt funcțiile sau, echivalent,

Ecuația de mai sus reprezintă ceea ce se întâmplă atunci când un obiect este
supus unei forțe către o poziție de echilibru, magnitudinea forței
fiind proporțională cu distanța de punctul de echilibru.

Majoritatea notelor muzicale nu constau într-o singură undă sinusoidală. De exemplu, în urma ciupirii unei coarde, va rezulta o undă periodică dar va consta, de obicei, într-o sumă de sinusoide cu diverse amplitudini. Vor apărea astfel diferite vârfuri diferite ale amplitudinii vibrațiilor membranei bazilare, și un semnal mult mai complex va fi trimis la creier. Descompunerea unei oscilații periodice ca o sumă de sinusoide se numește analiza Fourier, care este subiectul unui capitolul ulterior.

Mișcarea armonică

Considerând o particulă de masă m supusă unei forțe F către poziția de echilibru, y=0 și a cărei amplitudine este proporțională cu distanta de pozitia de echilibru,

.

Aici, k este doar o constantă de proporționalitate. Legea de miscare a lui Newton ne da ecuatia

,

Unde

este acceleratia particulei si t reprezinta timpul. Combinand aceste ecuatii, vom obtine ecuatia diferentiala de ordin 2

Vom nota cu ẏ și pe cu ÿ. Astfel, ecuația devine

Soluțiile acestei ecuații sunt

Coarde vibrante

Considerând o coardă vibrantă ancorată la ambele capete, și atașând in mijlocul acesteia o bilă cu masa m a bilei mult mai mare decât masa corzii și exercitând o forță F asupra bilei înspre poziția de echilibru a carei amplitudine este proporțională cel puțin pe distanțe mici cu distanța y de la poziția de echilibru,

Conform secțiunii de mai sus, ecuatia diferentiala are solutiile

unde constantele A si B sunt determinate de către poziția inițială și viteza bilei.

Daca masa coardei este uniform distribuita, atunci mai multe „moduri” de a vibra sunt posibile. De exemplu, punctul median al corzii poate ramane stationar, in timp ce cele doua jumătăți vibrează în opoziție de fază. La o chitara, aceasta poate fi obtinuta atingând mijlocul corzii in timp ce aceasta se ciupește și eliberând-o imediat. Efectul va fi un sunet cu exact o octavă mai sus de înălțimea naturală a corzii, sau exact dublul frecventei sale inițiale. Procedeul acesta este o practica comuna intre chitariști. Daca fiecare jumătate vibrează cu o undă sinusoidală pură, atunci mișcarea unui oricare alt punct decat cel median va fi descris de functia

Daca este atins punctul la exact o treime din lungimea corzii fix in timpul ciupirii acesteia, efectul va fi un sunet cu o octava si o cvintă perfectă deasupra inaltimii naturale a corzii, sau exact triplul frecventei acesteia. Din nou, daca cele trei parti ale corzii vibreaza cu o unda sinusoidala pura, cu oscilatia mediana in opozitie de faza cu cele doua exterioare, atunci miscarea unui punct nestationar de pe coarda va fi descris de ecuatia

In general, o coarda ciupita va vibra cu o mixtura a tuturor modurilor descrise de multipli naturali ai frecventei, cu amplitudini variabile. Amplitudinile implicate depinde de maniera exacta in care coarda este ciupita sau lovita. De exemplu, o coarda lovita de un ciocanel, asa cum se intampla in cazul pianului, va avea un set cu totul diferit de amplitudini decat in cazul coardei ciupite. Ecuatia generala de miscare a unui punct tipic de pe coarda va fi

Cum poate o coarda vibra cu un numar de frecvente diferite, in acelasi timp? Aceasta formeaza subiectul teoriei seriilor Fourier si ale ecuatiei undei, la care voi reveni in sectiunile urmatoare.

Unde sinusoidale și spectrul în frecvență

De vreme ce unghiurile în matematică sunt măsurate in radiani și un cerc cuprinde 2π radiani, o undă sinusoidală cu frecvența ν exprimată în Hz, amplitudinea maximă c și faza ϕ va corespunde unei unde sinusoidale de forma

Cantitatea se numește vitează unghiulară. Rolul unghiului ϕ este de a ne spune unde sinusoidala intersectează axa timpului. De exemplu, o unda exprimată printr-un cosinus, se leaga de una sinusoidala prin relatia

Aceasta este deci o undă cosinusoidală este de fapt o sinusoidală cu faza diferită.

De exemplu, tonalitatea concertelor moderne plasează nota La (A) deasupra notei Do (middle C) la 440Hz, ceea ce ar putea fi reprezentat de o unda de forma

Aceasta poate fi convertita intr-o combinație liniară de sinusuri si cosinusuri folosind formulele standard pentru sinusul si cosinusul unei sume:

Avem, deci

Unde si

De asemenea, ,

Putem încheia aceasta secțiune prin introducerea conceptului de spectru, care joaca un rol foarte important in înțelegerea notelor muzicale. Spectrul unui sunet este un grafic ce indică amplitudinile a diferitor frecvente sonore. Pentru moment nu voi intra in prea multe detalii, lăsând noțiunea la un nivel intuitiv și voi ilustra printr-o imagine a spectrului unei coarde vibrante cu frecvența fundamentală .

Acest grafic ilustrează un sunet cu un spectru in frecvență discret

……………………………………………………………………………………………………..

Teoria Fourier

Cum poate o coardă să vibreze cu un număr de frecvențe diferite, în același timp? Această problemă a ocupat mintea multora dintre marii matematicieni și muzicieni ai secolului al XVII-lea și al XVIII-lea. Printre cei a căror muncă a contribuit la soluționarea acestei probleme se numără Marin Mersenne, Daniel Bernoulli, familia Bach, Jean-le-Rond d'Alembert, Leonhard Euler, și Jean Baptiste Joseph Fourier.

În acest capitol, vom discuta despre teoria lui Fourier de analiza armonica. Aceasta este descompunerea unui unde periodice într-o sumă (de obicei infinit)de sinusuri si cosinusuri. Frecvențele implicate sunt multipli întregi ai frecvenței fundamentale a undei periodice, și fiecare are o amplitudine care poate fi determinata ca o integrală.

Fourier a introdus ideea că funcțiile periodice pot fi analizate prin utilizarea seriilor trigonometrice, după cum urmează. Funcțiile cos θ și sin θ sunt periodice cu perioada 2π, în sensul că acestea îndeplinesc

.

Cu alte cuvinte, traducerea de 2π de-a lungul axei θ părăsește aceste funcții neafectata. Există multe alte funcții f (θ), care sunt periodice de perioadă 2π, ceea ce înseamnă că ele satisfac ecuația

.

Avem nevoie doar sa specificam functia f pe intervalul semi-deschis [0, 2π) și apoi ecuația de mai sus determină valoarea la toate celelalte valori ale θ.

O funcție periodică de perioadă 2π

Alte exemple de funcții periodice cu perioada 2π sunt funcțiile constante, si funcțiile cos (nθ) și sin(nθ) pentru orice n număr natural.Valorile negative pentru n sa nu ne dea mai mult,deoarece

,

.

Mai general, putem scrie orice serie de forma

,

unde an si bn sunt constante. Deci este o constantă – motiv pentru care factorul va fi explicat în timp util. O astfel de serie este numit serie trigonometrică. Cu condiția că nu există probleme de convergență, o astfel de serie va defini o funcție care îndeplinește .

Întrebarea care apare în mod natural în această etapă este, în ce măsură putem găsi o serie trigonometrica a cărei sumă este egală cu o funcție periodică data? Pentru a începe să răspund la această întrebare, ne întrebăm mai întâi:fie data o funcție definită de o serie trigonometrica, cum pot coeficienții an și bn sa fie reintrodusi?

Răspunsul se află în formulele (pentru m ≥ 0 și n ≥ 0)

Aceste ecuații pot fi demonstrate prin utilizarea ecuațiilor pentru a rescrie produsul de funcții trigonometrice din interiorul integralelor ca o sumă înainte de integrare. Factorul suplimentar pentru m=n=0 va determina coeficientul lui in fata lui a0. Acest lucru sugerează că, în scopul de a găsi coeficientul am, vom multiplica cu și integra. Să vedem ce se întâmplă atunci când se aplică acest proces ecuației. Cu condiția putem trece integral prin sume infinite, doar ca un singur termen oferă o contribuție de zero. Deci, pentru avem

Astfel vom obține, pentru m> 0,

În aceleași condiții, vom obține pentru m> 0

Funcțiile am si bm sunt definite prin ecuații și sunt numite coeficienții Fourier ai functiei .

Putem explica acum aspectul coeficientului de o jumătate din fața a0 în ecuație. Și anume, deoarece π este jumătate din 2π și avem

a0=

ceea ce înseamnă că formula pentru coeficientul am deține este valabilă pentru m ≥ 0.

Ar fi frumos să credem că atunci când vom folosi ecuații și pentru a defini am și bm, partea dreaptă a ecuației converge întotdeauna la Acest lucru este valabil pentru anumite funcții f, dar, din păcate, nu pentru toate funcțiile .

Desigur, se poate folosi orice interval de lungime 2π, reprezentând o perioadă completă, în loc de integrare de la 0 la 2π. Uneori este mai convenabil, de exemplu, să se integreze de la la :

În practică, variabila θ nu va corespunde destul cu timp, pentru că perioada nu este neapărat 2π secunde. Dacă perioada este T secunde apoi frecvența fundamentală este dată de ν = 1 / T Hz (Hertz, cicluri pe secundă ). Substituția corecta este θ = 2πνt.Inlocuind F (t) = f (2πνt) = f (θ) si substituind,seria Fourier i-a forma:

și următoarea formulă pentru coeficienții Fourier.

EXEMPLU: Unda rectangulară sună vag ca forma de undă produsă de clarinet, unde armonicele impare domină. Funcția definită prin pentru și pentru (și apoi se extinde la toate valorile de θ, făcând-o periodică, ).

Această funcție are coeficienți Fourier

)

)

=

=

Astfel, seria Fourier pentru această undă rectangulară este:

(sin θ + sin 3θ + sin 5θ + . . . ).

Analizând primii termeni din această serie, putem remarca anumite caracteristici importante.

Prima observație este că aceste grafice par a fi convergente la o unda rectangulară. Dar ele par a converge destul de lent, devenind cu tot mai multe hopuri în proces. În continuare, se poate observa ceea ce se întâmplă în punctul de discontinuitate al funcției originale. Coeficienții Fourier nu au depins de valoarea asignata funcției în punctul de discontinuitate, așa ca nu ne putem aștepta sa recuperam acea informație. In schimb, seria converge către o valoare egala cu media valorii maxime si a celei minime a funcției. Acesta este un fenomen general, ce va fi discutat cu alta ocazie.

În cele din urmă, există un fenomen foarte interesant, care se întâmplă chiar în apropiere de discontinuitate. Apare un suprareglaj, care apare sa nu se micșoreze.

Acest lucru nu înseamnă că seria nu converge corect. La fiecare valoare dată lui θ, seria este converge bine. Problemele apar doar atunci când ne uităm la valorile lui θ tot mai aproape de punctul de discontinuitate. Aceasta este din cauza lipsei de convergență uniformă. Acest suprareglaj este cunoscut ca fenomenul Gibbs.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Analiza muzicală și Sinteza în Matlab

Înainte de orice discuții referitoare la sintetizarea fișierelor, se impune introducerea unor cunoștințe de baza cu privire la claviatura de pian si notațiile muzicale.

Amplasarea clapelor pe un pian. Clapele sunt dispuse in doua seturi folosite in redarea celor 12 note ale scării muzicale occidentale, intr-o combinație de clape mai lungi (albe) si mai scurte (negre – semitonurile), care repetă intervalul unei octave.

Figura X. Dispunerea tastelor pe claviatura de pian. Cheile principale sunt hașurate. Notația C4 indică faptul că nota C se află în octava a 4-a.

In figura de mai sus, putem vedea cum notele muzicale pot fi identificate după numărul octavei si literele desemnate notelor (A, B, C,…, G). Tastatura este divizata in octave, unde notele fiecărei octave reprezintă dublul frecventei notelor din octava imediat precedenta. Luând ca exemplu nota A4, recunoscuta ca „A-440”, întrucât reprezintă nota A cu frecventa de 440 Hz. De notat este faptul ca fiecare octava conține 12 note, cu ultimul A la frecventa 2×440 Hz = 880 Hz. Asta presupune ca rația notelor adiacente diferă in frecventa cu un factor de . Pentru a rezuma, pentru octava celor 12 note de la A4 la A5, avem:

Muzicienii citesc partitura, care le spune ce note sa cânte si cat de mult sa dureze acestea. Notele sunt așezate pe o partitura muzicala. Fiecare rând muzical este constituit din 5 linii orizontale paralele. Poziția fiecărei note in cadrul acestor linii paralele va determina frecventa notei, iar forma sa va determina durata acesteia in comparație cu celelalte note. Cu cat este mai sus pe rândul muzical, cu atât va avea nota o frecventa mai înaltă atunci când este redata. Notele pot fi de asemenea plasate deasupra rândului (frecvente foarte înalte) sau sub acesta (note de frecvente joase)

Figura X. Notația muzicală este o diagramă în timp și frecvență unde poziția verticală indică frecvența notei.

Muzica digitala – analiza

Semnale digitale

Cea mai comuna metoda de reprezentare digitala a unui sunet presupune digitizarea unui semnal analog prin discretizarea acestuia intr-un numar considerabil de esantioane pentru fiecare secunda, atribuind numere binare inaltimii fiecarui esantion, proces numit cuantificare.

Aplicand procedeul„sample and hold” semnalului, obtinem o forma de unda in scara, pentru care daca digitizam esantioanele, fiecare din ele e ajustat la valoarea cea mai apropiata de cea acceptata.

Pentru a evita cazul in care un semnal de intensitate joasa poate fi ignorat, putem folosi o metoda de micsorare a distorsiunii datorata digitizarii, numit dithering, care presupune adaugarea semnalului unui zgomot cu o amplitudine apropiata de jumatate din valoarea dimensiunii treptei si trecut printr-un circuit rezistor-capacitiv pentru a-l netezi, acesta va aproxima in linii destul de mari semnalul original.

Fișiere WAV, MP3 si MIDI

WAV este un format comun fisierelor audio digitale, fisier constituit dintr-un antet ce cuprinde o bucata de tip RIFF de 12 octeti, o bucata de tip FORMAT de 24 de octeti si apoi restul de informatie de tip DATA, ce ocupa restul fisierului. Alte formate uzuale sunt AIFF (Mac-intosh) si AU (Sun Microsystems – computere Unix).

Formatul MP3 este diferit, intrucat aceste foloseste compresia de date. Cateva din tehnicile de compresie se refera la ignorarea anumitor frecvente care ar trece oricum neobservate de urechea umana, stergerea unor sunete care de altfel sunt mascate, pastrarea acuratetei pe anumite portiuni in defavoarea altora mai putin importante, folosirea algoritmului Hoffman de codare sau combinarea unui semnal stereo, toate in vederea unei compresii utile.

MIDI este prescurtarea de la „Musical Instrument Digital Interface”, un protocol agreat international de transmisie a informatiei muzicale intre diferite dipozitive digitale. Acesta nu contine informatii sub forma de forma de unda, ci transmite mesaje continand o curta lista cu paramentri abstracti: timpi, volum, reverb, informatii specifice, etc.

Functii delta si esantionare

O modalitate de reprezentare a procesului de esantionare a unui semnal este prin multiplicarea printr-un sir de functii delata Dirac. Fie N rata de esantionare, masurata in esantioane pe secunda, si t = 1/N intervalul dintre doua esantionari. Se defineste functia de esantionare cu spatierea t:

daca f(t) reprezinta un semnal analogic atunci:

f(t)

reprezinta semnalul esantionat. El a fost digitizat in raport cu timpul, dar nu cu amplitudinea semnalului. Integrala semnalului digitizat f(t) pe orice perioada de timp aproximeaza integrala semnalului analogic f(t) pe acelasi interval, inmultit cu rata de esantionare.

Transformata Fourier a unui semnal esantioant este data de:

Pentru a intelege o alta metoda de reprezentare a unui semnal esantionat cu ajutorul transformatei Fourier este nevoie de formula de insumare a lui Poisson

Teorema lui Nyquist

Teorema lui Nyquist spune ca frecventa maxima care poate fi reprezentata atunci cand se digitizeaza un semnal analogic este exact jumatatea ratei de esantionare. Frecventele mai mari de aceasta limita vor da nastere unor frecvente nedorite sub frecventa Nyquist. Ce se intampla cu frecventele egale cu cea a lui Nyquist depinde de faza. Daca intreg spectrul de frecvente al semnalului este sub frecventa Nyquist atunci, teorema esantionarii spune ca semnalul poate fi reconstruit din reprezentarea sa digitizata.

Dezavantajul teoremei lui Nyquist este necesitatea de a trece semnalul printr-un filtru trece-jos inainte da a-l digitiza pentru a scoate toate frecventele care nu indeplinesc aceasta teorema.

Transformata Z

Pentru semnalele digitale, este de multe ori, mai convenabil sa folosim transformata Z, decat transformata Fourier. Transformata Fourier a unui semnal digital este periodica, cu perioada egala cu frecventa de esantionare N deci, contine multa informatie redundanta. Ideea transformatei Z este de a inveli tranformata Fourier in jurul cercului unitate in planul complex. Acest lucru se obtine prin alegerea:

astfel incat atunci cand isi schimba valoarea cu N=1/se duce exact o data in jurul cercului unitate in planul complex, intalnindu-se la frecventa Nyquist la z=-1.

Filtre digitale

Subiectul filtrelor digitale este vast in literatura. Se considera diagrama urmatoare:

Daca este intrarea si este iesirea, atunci relatia care reprezinta diagrama de mai sus este:

Relatia cu transformata Z este:

Asta ne spune de raspunsul inf racventa al filtrului. O frecventa corespunde punctelor de pe cercul unitate in planul complex, cu frecventa de esantionare injumatatita corespunzatoare lui .

Mai general, daca relatia dintre transformata Z dintre semnalele de intrare si iesire, F(z) si G(z) este data de:

G(z)=H(z)F(z)

atunci, functia H(z) se numeste functia de transfer a filtrului.

Timpul de scadere. Timpul de scadere al unui filtru pentru o anumita frecventa este definit ca timpul necesar pentru ca amplitudinea frecventei respective sa ajunga la 1/e din valoarea sa initiala.

Transformata Fourier discreta

Se presupune ca lungimea unui semnal este M si ca = 0 atunci cand nu este indeplinita conditia 0Atunci transformta Fourier este:

Aceasta este o functie periodica de cu perioada N = 1/ asa cum s-a observat si mai inainte.

Cum sunt doar M parti de informatie in acest semnal, s-ar crede ca se poate reconstrui semnalul original din valoarea transformatei Fourier la M puncte diferite ale lui , dar nu este intotdeauna asa. In realitate, pentru M un numar pozitiv si k un intreg in intervalul 0 atunci:

Daca = 0 cu exceptia cazurilor cand 0 atunci semnalul digital poate fi recuperat din valorile lui

pentru 0formula devine:

Transformata Fourier rapida

Transformata Fourier rapida sau algoritmul Cooley-Tukey este o forma de organizare a muncii necesare determinarii transformatei Fourier discretain asa fel incat sa fie necesare mai putine operatii aritmetice decat prin metoda normala.

Pentru a explica cum functioneaza aceasta metoda, putem sa presupunem ca M este numar par. Atunci putem imparti suma in doua cu termenii pari intr-o parte si cei impari in cealalta:

Observatia foarte importanta este aceea ca valoarea lui este foarte asemanator cu valoarea lui F(k). Observand de asemenea, faptul ca

Deci, se pot calcula valorile lui F(k) si in acelasi timp pentru jumatate din munca necesara prin metoda normala.

Sinteza sunetelor muzicale

In general, sunetele muzicale tind sa aiba rareori un spectru in frecventa static. Evolutia in timp a spectrului unei note poate fi oarecum intelesa prin incercarea de a imita in mod sintetic sunetul unui instrument. Sintetizarea unor sunete mecanice si reci este chiar mai greu decat s-ar putea crede, datorita usurintei cu care urechea reuseste sa identifice niste sunete create cu ajutorul unor algoritmi matematici si sa le asocieze unui sunet sintetic. Suntem astfel nevoiti sa admitem complexitatea chiar si a celor mai simple sunete produse de instrumente conventionale.

Anvelope si Oscilatoare de frecventa joasa(OFJ)

Orice metoda se foloseste pentru sintetizarea sunetelor, o atentie deosebita trebuie acordata anvelopelor si de aceea este necesara o discutie preliminara despre acestea. Foarte putine sunete constau dintr-un spectru static in timp. Majoritatea instrumentelor muzicale au un atac clar definit la inceputul sunetului, urmat de o decadere. Cea mai folosita abreviere este ADSR pentru anvelopele de atac/decadere/sustinere si relaxare.

Nu a fost inteles cu totalitate pana la inceputul secolului al douazecilea, cand sinteza electronica isi facea primii pasi, faptul ca portiunea de atac a unei note este cea mai importanta pentru urechea umana atunci cand vine vorba de identificarea unui instrument.

La un sintetizator tipic, sunt mai multe generatoare de anvelope. Fiecare determina cum amplitudinea iesirii unei componente a sistemului variaza cu timpul. Este foarte important de inteles faptul ca amplitudinea semnalului final nu este singurul atribut al unei anvelope. De exemplu, atunci cand un clopot suna, initial, spectrul frecventei este foarte bogat, dar foarte multe partiale dispar foarte rapid lasand un sunet mai pur. Imitarea unui astfel de comportament cu ajutorul sintezei FM este relativ usor prin atribuirea unei anvelope unui semnal modulator, care controleaza timbrul.

Un generator de anvelopa produce o anvelopa a carei forma este determinata de un set de parametrii programabili. Acesti parametrii sunt, in general, dati sub forma unor niveluri sau rate.

Conceptul oscilatoarelor de frecventa joasa este similar cu cel al anvelopelor. Acestea produc o iesire care de obicei este in intervalul 0.1 – 20 Hz si a carui forma de unda arata de obicei ca un triunghi, ca dintii unui fierastrau, ca o sinusoida sau ceva aleator. OFJ este folosit pentru producerea unor schimbari repetate intr-un parametru controlabil.

Parametrii asociati cu OFJ sunt rata(frecventa), adancimea(amplitudinea), forma undei, si timpul de atac. Timpul de atatc este folosit atunci cand efectul este introducerea graduala la inceputul une note.

Sinteza aditiva

Sinteza aditiva este cea mai usoara de inteles metoda de sinteza care este in realitate inversul analizei Fourier a unui semnal. Pentru a sintetiza un unda periodica, generam componentele Fourier la amplitudinile corecte si le amestecam. Aceasta este o metoda ineficienta de sinteza(atunci cand este comaprata cu altele) deoarece pentru a produce o nota cu un numar mare de armonice, un numar mare de unde sinusoidale vor trebui sa fie amestecate. Fiecareia i se va asocia o anvelopa pentru a crea dezvoltarea notei in timp. Ina cest fel, este posibil sa se controleze dezvoltarea timbrului in timp si la fel si amplitudinea. De exemplu, daca efectul dorit este de a produce o forma de unda a carei faza de atac sa fie bogata in armonice si care apoi sa scada la un ton mai pur atunci, componentele de frecventa mai inalta vor avea o anvelopa ce va scadea mai rapid decat componentele de frecventa joasa.

Faza nu este importanta atunci cand este vorba de perceptia sunetelor neoscilante, dar este mai importanta in perceptia transientelor.

In unele feluri, sinteza aditiva este o idee veche. Un organ tipic dintr-o catedrala sau biserica are un numar de registrii de stop care determina care conducte sunt folosite pentr producerea unei note. Efectul acestui lucru este atunci cand se elibereaza o singura clapa se pot activa un numar de conducte legate din punct de vedere al armonicelor. Primele intrumente eletrice precum organul Hammond opereaza pe exact acelasi principiu.

Modelarea fizica

Ideea modelarii fizice este de a lua un sistem fizic precum un instrument muzical si de a-l imita digital. De exemplu, atunci cand este analizata ecuatia unei unde pentru o coarda vibranta se gaseste solutia generala a lui d’Alambert:

.

Avand in vedere faptul ca timpul este cuantificat (esantionat) la o perioada de t, are sens sa cuantizam pozitia de-a lungul coardei la intervale de x = ct. Atunci, la momentul nt si la pozitia mx valoarea lui y este:

Pentru simplificare se scrie:

y−(n) = f(nc), y+(n) = g(nc)

unde y- si y+ reprezinta partile undei care merg la stanga, respectiv la dreapta corzii. Atunci, la momentul nt si la pozitia mx avem:

y = y−(m + n) + y+(m − n).

Este o idee buna sa impartim coarda intr-un numar intreg de puncte sa spunem l = Lx. Atunci, conditiile limita la x=0 si x=l sunt:

y−(n) = −y+(−n)

y+(n + 2L) = y+(n).

Asta inseamna ca la captele corzii semnalul este negat si transmis catre celalalt set de intarzieri. Atunci partea initiala este reprezentata prin setarea valorilor lui y−(n) si lui y+(n) in mod convenabil la t=0 pentru 0. Gandind in termeni de filtre digitale, transformata Z a semnalului y+

Y+(z) = y+(0) + y+(1)z−1 + y+(2)z−2 + . . .

satisface

Y+(z) = z−2LY+(z) + (y+(0) + y+(1)z−1 + · · · + y+(2L − 1))

sau

(z) =

Polii sunt distantati in mod egal pe cercul unitateastfel incat frecventele de rezonanta sa fie multiplii de N/2L, unde N este frecventa de esantionare. Cum polii sunt chiar pe cercul unitate, frecventa de rezontata du scade niciodata.

Pentru a face coarda mai realista, putem sa facem sa se piarda energie la un capat, fapt reprezentat prin multiplicarea cu un factor constant -µ cu 0 < µ 1, in loc sa negam.

Efectul pe care il are acest factor in analiza filtrului este de a muta polii usor in interiorul cercului

(z) =

Modelul de mai sus tot nu este foarte complicat deoarecetimpul de scadere este independent de frecventa. Cu toate acestea, este usor de modificat prin inlocuirea factorului constant µ cu un filtru digital mai complicat.

Algoritmi de sintetizare

a) Karplus–Strong

– acest algoritm ofera corzi si instrumente de percutie foarte bune.

– tehnica de baza este modificarea metodei descrise mai sus si consta dintr-o intarziere digitala urmata de un proces de aproximare.

b) Modularea amplitudinii si frecventei

– acesta este un concept vechi si familiar si reprezinta o modalitate de transmitere a semnalelor audio pe un purtator de radio frecventa.

– in cazul AM frecventa purtatorului este de obicei, in intervalul 500-2000 KHz, care este mult mai mare decat frecventa semnalului purtat.

– pentru FM frecventa purtatoruluie ste in intervalul 90-120 MHz care este de asemeanea, mai mare decat cea a semnalului purtat.

c) Sintetizarile Yamaha DX7 si FM

– Yamaha DX7 a fost primul sintetizator digital comercial la un pret destul de scazut pentru a putea fi cumparat la o scara larga. Lucreaza prin sintetizare FM cu sase operatori programabili.

Alte metode de sinteza

Esantioanarea nu este in realitate o metoda de sinteza, dar este folosita adesea in sintetizatoarele digitale. Este folosita pentru esantionarea sunetelor la doar o colectie mica de sunete inalte si apoi pentru translatarea acestor puncte inalte prin largirea sau compresarea formei de unda pentru a umple golurile. Translatarea punctelor inalte introduce zgomote de frecventa inalta, ceea ce vine de la faptul ca rata de esantionare nu este este translatata in acelasi timp.

Sinteza prin wavetable este o metoda inrudita cu esantioanrea in care fisiere audio inregistrate digital sunt folosite ca materie primara pentru producerea sunetelor care sunt un fel de hibrid intre sinteza si esantionare.

Sinteza granulara este o metoda prin care sunetele vin in pachete mici numite granule ale caror durate sunt de obicei, de ordinul a zeci de milisecunde. Mii de astfel de granule sunt folosite in fiecare secunda pentru crearea unei texturi.

SUBTITLU (can’t think of an appropriate one)

Studiul seriilor Fourier din punct de vedere muzical oferă o perspectiva mare în conceptele matematice de bază și fizica ale instrumentelor muzicale. Instrumentele disponibile în Matlab permit analizarea cu ușurință a formelor de undă și a armonicelor sunetelor înregistrate și sintetizarea personală. Aceste experimente stimulează înțelegerea modului în care o formă de undă este compusă dintr-o sumă de serii Fourier și cum acest lucru se leagă de reprezentarea în frecvență.

Coarda ciupită. Una dintre problemele standard ce se impun este ecuația de undă cu condiții de margine Dirichlet,

Fizic, ne putem gândi la u (x, t) ca fiind deplasarea unei coarde ciupite de chitară cu deplasarea inițială α(x) și viteza inițială β(x). Termenii suplimentari pot fi adăugati la ecuația undelor pentru a ține cont de rigiditate corzii și amortizarea interna. Soluția, obținut prin separarea de variabile, este

unde

sunt coeficienții Fourier ai lui α (x) și β (x). Folosind identitatea trigonometrică putem rescrie soluția ca

Figura 1. Forme de undă ale corzii vibrante

Soluția este o suprapunere a mai multor forme de undă, în care fiecare dintre ele oscilează cu o frecvență diferită, precum în figura de mai sus. Primul factor din sumă, , este o reprezentare a corzii vibrante. Al doilea factor, , arată cum aceasta formă de undă vibrează cu timpul. A n-a formă de undă are o frecvență de , un defazaj de , și amplitudinea fiecărui mod este . Un muzician ar numi frecvența fundamentală și , ,… armonicele sale. Porțiunea fiecărei note de pe tastatură este asociata cu o frecvență fundamentala specifica. De exemplu un A descrescător are o frecvență fundamentală de 55 Hz, iar armonicile apar la 110, 165, 220, 275,… De reținut că armonicile formează o secvență aritmetică, = n . Acest lucru se datorează faptului că un șir cu obiective fixe poate fizic sa vibreze numai în modurile indicate în coloana 1 din figura 1. Viteza de undă C poate fi dovedita a fi rădăcina pătrată a tensiunii corzii de peste densitatea de linie. Astfel porțiunea unei corzi este descrisă de trei parametri,

Acest lucru are sens, căci strângerea unei coarde de chitară crește înălțimea sunetului, în timp ce alegerea corzilor mai lungi sau mai groase scade din înălțime. Un chitarist modifica înălțimea în timp ce cântă prin scurtarea corzii cu ajutorul tastelor de pe gâtul chitării.

Soluția

descrie o coardă vibrantă, dar și alte instrumente sunt similare. Atunci când un instrument care vibrează, pune aerul înconjurător în mișcare, produce oscilații ale tensiunii. Acestea sunt undele de sunet detectate de ureche. Astfel, un microfon aproape de coarda vibrantă ar înregistra

Fizic, amplitudinea pn descrie energia asociată fiecărei armonici. Spectrul de putere este distribuția energiei între armonici, în acest caz, vectorul [p1, p2, p3,. . .]. Pentru sunete reale puterea este concentrată în primele 10 până la 20 de armonici și spectrul de putere este o funcție continuă de frecvență.

Analiza armonică.

În acest moment există o mulțime de experimente pe care un student (sau instructor) le-ar putea efectua. Întrebări despre cum spectrul de armonici se modifica pentru diferite instrumente și note pot fi investigate cu ajutorul Matlab. Funcția analyze .m descrisă mai jos, folosește funcțiile wavread si fft din Matlab pentru a calcula puterea spectrului unei unde Microsoft (.wav). O funcție similară numită auread poate fi folosită pentru fișierele audio UNIX.

function analyze(file)

% Functia Matlab analyze(file)

% traseaza graficul formei de unda si a spectrului de putere al unui fisier .wav

[y, Fs] = wavread(file); % y reprezinta datele sunetului, Fs este frecventa de esantionare

t = (1:length(y))/Fs; % timpul

ind = find(t>0.1 & t<0.12); % setam durata graficului formei de unda

figure; subplot(1,2,1)

plot(t(ind),y(ind))

axis tight

title(['Forma de unda a fisierului ' file])

N = 2^12; % numarul punctelor de analizat

c = fft(y(1:N))/N; % calculul fft

p = 2*abs( c(2:N/2)); % calculul puterii pentru fiecare frecventa

f = (1:N/2-1)*Fs/N; % corespondenta frecventei cu p

subplot(1,2,2)

semilogy(f,p)

axis([0 4000 10^-4 1])

title(['Puterea spectrala a fisierului ' file])

Graficele produse de analyze.m pot fi folosite în identificarea înălțimii și a volumului unei probe de sunet. F igura 2 prezintă rezultatele A redus, A de mijloc, A inalt cantata la un pian. Formele de undă pe stânga sunt variațiile de presiune cu timpul detectate de microfon. Amplitudinea undei este o măsură a oscilațiilor sale de presiune și corespunde volumului sunetului. Volumul este, de obicei măsurat în decibeli, logaritmul presiunii. Unii nu se gandesc de obicei la sunet în termeni de presiune, dar simt undele de presiune a sunetului la un concert sau în apropierea echipamentelor cu voce tare ca fiind o experiență obisnuita.

Forma undei Spectru

Timp, s frecvență, Hz

Figura 2. Analiza notelor de pian folosind analyze.m

Din formele de undă din figura 2 se poate vedea imediat caracterul periodic al fiecărui sunet și gasirea perioadei T1 fundamentală. Frecvențele fundamentale corespunzătoare () sunt 220 Hz, 440 Hz, 880 Hz pentru cele trei note și pot fi văzute ca primele vârfuri de pe spectrele de putere. Frecvența fundamentală se dublează cu fiecare octavă, și armonicele sunt spațiate în proporție cu , cum era de așteptat. Spectrul este nenul între armonici, deoarece undele nu sunt perfect periodice.

Se poate observa că diferența de frecvență dintre două armonice consecutive este frecvența fundamentală. Mintea umană folosește inconștient acest fapt pentru a identifica o anumita tonalitate, chiar dacă armonicile fundamentale și inferioare lipsesc. Acesta este modul în care difuzoarele mici de la o chitara bas fac sunete joase fără a produce frecvențe mici.

Mintea umană poate de asemenea identifica un număr aparent infinit de instrumente, chiar dacă se cântă aceeași tonalitate cu același volum. Cum se diferențiază semnalul de presiune al unui saxofon fata de cel al unei viori? Figura de mai jos prezintă forma de undă și spectrul a mai multor instrumente redate in tonalitatea A3 (220 Hz). Formele de undă arăta complet diferit, dar toate au aceeași perioada fundamentală de 0.0045 secunde. Timbrul, sau calitatea sunetului unui instrument, se datorează puterilor relative ale armonicelor. Un sunet pur, compus doar din fundamentală, este strident și metalic, precum un diapazon. Puterea în armonicile superioare adaugă căldura si culoare tonului.

Forma de undă Spectrul

Știm că sunetele muzicale pot fi analizate pentru a măsura distribuția de putere în armonici. Pentru un anumit instrument, această distribuție este cheia pentru sintetizarea sunetului. Având o frecvență f1 fundamentală și putere pn asociată cu armonica n, forma de undă este sintetizată

Funcția synthesize.m detaliată mai jos creează datele necesare undelor acustice în acest fel, și apoi convertește datele într-un fișier de tip wave cu ajutorul funcției Matlab wavwrite. Frecvențele mai mari sună mai puternic pentru urechea umană decât frecvențele mai mici cu același nivel de decibeli (aceeași amplitudine). Concret, atunci când se face alegerea spectrului de putere pentru a crea un sunet, frecvențele cuprinse între 3000 și 5000 Hz ar trebui să aibă o zecime din amplitudinea pe care o au frecvențele mai mici, în scopul de a produce același volum aparent.

function synthesize(file,f,d,p)

% Functia Matlab synthesize(file,f,d,p)creaza un fisier audio

%% .wav al unui sunet in care se pot specifica

%% frecventa fundamentala si amplitudinile armonicilor

% file este un sir de caractere ce da numele fisierului .wav

%% ce va fi sintetizat

% f frecventa fundamentala in Hz

% d este durata in secunde

% p un vector de lungime n al amplitudinilor

% De exemplu, synthesize('test.wav', 220, 3, [1 .8 .1 .04])

% creaza o mostra de 3 secunde la 220 Hz cu armonicile

% specificate.

Fs=22050; nbits=8; % frequency and bit rate of wav file

t = linspace(1/Fs, d, d*Fs); % time

y = zeros(1,Fs*d); % initialize sound data

for n=1:length(p);

y = y + p(n)*cos(2*pi*n*f*t); % sythesize waveform

end

y = .5*y/max(y); % normalize. Coefficent controls volume.

wavwrite( y, Fs, nbits, file)

Muzica sintetizată timpurie a folosit un spectru de putere constant în timp, ceea ce facea sunetele sa sune fals, metalic. În realitate, spectrul de putere se schimbă in functie de cum variază muzicianul volumul, vibrato-ul și frazarea. Tastaturile moderne variază spectrul de putere in timp, pentru a ține cont de atacul și decadența loviturii unei coarde de pian sau ciupirea unui banjo. Muzica sintetizată s-a îmbunătățit dramatic din anii ‘60, dar niciodată nu ar putea fi la fel de variabila sau expresiva ca un muzician cantand live la un instrument.

Capitolul 4. Aplicatia

În acest proiect am folosit MATLAB pentru a genera sinusoide discrete de o octavă cu note muzicale utilizând o frecvență de eșantionare la alegere. Apoi am redat octava la diferiți multipli ai frecvenței de eșantionare și am observat schimbarea de tonalitate. Am continuat prin adăugarea de comenzi pentru a controla durata notei și pentru a produce schimbări de octavă, fără a schimba eșantionarea sau frecvența de reconstrucție. În cele din urmă, am adăugat accente la fiecare notă, pe care le-am folosit pentru a reda un scurt fragment muzical.

Codul MATLAB cu comentarii

Setarea de eșantionare și Reconstrucție a Frecvenței

Fs1 = 44100; %Setarea frecventei de esantionare

Fr = Fs1; %Setarea frecventei de reconstructie

Fs = Fs1; %Multiplul frecventei de esantionare ce urmeaza a %fi folosita

T = 1/Fs; %Perioada de esantionare

Ritm=0.2;

În primul rând, am ales ca Fs1 să fie 44100 Hz, care este rata de eșantionare standard pentru majoritatea plăcilor audio de calculator atunci când se înregistrează muzică sau se fac probe audio. De asemenea, am ales să mențin frecvența reconstrucție, Fr, constantă la Fs1 în scopul de a folosi Fs ca frecvența de eșantionare ce trebuie modificată pentru a produce schimbări în sunet. Implicit, Fs = Fs1, pentru a nu exista nicio schimbare în sunet. Dacă stabilim Fs = 2 * Fs1, tonalitatea va coborî o octavă (frecvența se înjumătățește) iar la F = 0.5 * Fs1 frecvența se va dubla.

Figura 1. Efectul de Modificare a frecvenței de eșantionare într-o notă

Setarea duratei notei

N = Ritm*Fs1 % Numărul de eșantioane necesar atingerii duratei dorite

L = 1; % valoarea implicita pentru L (L=1 => nu avem schimbări in durata)

n = @(L) 1:L*N; % matricei n i se atribuie un multiplicator întreg, L, care poate reduce sau mări durata unei note (de ex. 1/2 nota, 1/4 nota, etc.)

Variabila N se înmulțește cu un număr, cu scopul de a produce note de o lungime rezonabilă în timp la momentul redării la difuzoare. Prin modificarea multiplicatorului se poate schimba în mod eficient ritmul notelor de ieșire. Matricea, n, este o funcție care ia argumentul L, care scalează lungimea matricei pentru a determina durata mai lungă sau mai scurtă a notei. L este setat implicit la 1, pentru a nu exista nici o schimbare durată.

Generare de sinusoide

%Generarea sinusoidei generale

%m este octava dorita, care este transformat in multiplicatorul adecvat de catre functia oct

%L este lungimea dorita a notei (exprimata in sferturi de nota)

%fN este frecventa notei

note = @(m, L, fN) sin(2*pi*oct(m)*fN*T*n(L)); % nota standard note la %frecventa fundamentala 

fA = 440.00;

fGS = fA*2^(-1/12);

fG = fGS*2^(-1/12);

fFS = fG*2^(-1/12);

fF = fFS*2^(-1/12);

fE = fF*2^(-1/12);

fDS = fE*2^(-1/12);

fD = fDS*2^(-1/12);

fCS = fD*2^(-1/12);

fC = fCS*2^(-1/12);

fAS = fA*2^(1/12);

fB = fAS*2^(1/12);

Pentru a genera sinusoidala standard, am pornit de la un semnal de timp continuu standard, sin(2πf), și l-am convertit în timp discret cu f = nT. Am adăugat apoi o funcție de schimbare de octavă pentru a mări sau micșora frecvența de eșantionare.v. Se poate observa că funcția nota ia un al treilea argument, fN, care va determina ce notă muzicală este generată de sinusoidă. Vedem că sinusoida este construita ca în următorul pseudocod:

Note = functia octavei dorite si duratia = sin(2*pi*down/upsample*freq.*T*n(L));

Funcțiile oct și n vor deveni foarte utile in crearea muzicii, deoarece compozitorul poate schimba octava și durata fiecărei note direct, fără sa trebuiască să se creeze toate ce 88 de note din tastatura muzicala standard. Astfel, tastaturile digitale ar avea nevoie de a stoca în memorie doar 12 mostre de sunet pentru fiecare instrument presetat pentru a fi capabile de a cânta toate cele 88 note.

Setarea octavelor

m = 0; % se stabileste intrarea implicita pentru functia oct de schimbare a octavei

function y = oct(m)

if m >= 0

    y = 2^m;

end

if m < 0

    y = 1/2^(-m);

end

Variabila m este octava dorită și reprezintă intrarea pentru funcția oct care generează multiplicarea adecvată pentru a schimba octava unei o note. Vedem deci, pentru a deplasa nota în sus cu o octavă introducem 1 pentru m, care e tradus în 2 de funcția oct. Invers, introducem -1, care este apoi tradus în 0.5.

Figura 2. Reprezentarea vizuală a unei Octave translatată

Prin mutarea unei octave folosind sub-eșantionarea, vedem de două ori mai multe cicluri ale formei de undă în cadrul aceluiași număr de eșantioane, care ne spune că frecvența de ieșire s-a dublat la 880 Hz. Se observă de asemenea că sub-eșantionarea are același efect asupra notei ca schimbarea frecvenței de eșantionare. Prin urmare, avantajul procesului de sub-eșantionare este că ne permite să modificăm tonalitatea, fără a schimba eșantionarea sau frecvența de reconstrucție.

Generarea notelor muzicale cu conotații

namp = 1; % setarea amplitudinii la frecventa naturala

hamp = 0.8; % setarea amplitudinii armonicilor superioare (overtones)

% fiecare nota paseaza argumentele m si L functiei de deasupra

% doua overtone-uri sunt adaugate fiecarei note

C = @(m, L) namp*note(m, L, fC) + hamp*note(m, L, 0.5*fC) + hamp*note(m, L, 2*fC);

CS = @(m, L) namp*note(m, L, fCS) + hamp*note(m, L, 0.5*fCS) + hamp*note(m, L, 2*fCS);

D = @(m, L) namp*note(m, L, fD) + hamp*note(m, L, 0.5*fD) + hamp*note(m, L, 2*fD);

DS = @(m, L) namp*note(m, L, fDS) + hamp*note(m, L, 0.5*fDS) + hamp*note(m, L, 2*fDS);

E = @(m, L) namp*note(m, L, fE) + hamp*note(m, L, 0.5*fE) + hamp*note(m, L, 2*fE);

F = @(m, L) namp*note(m, L, fF) + hamp*note(m, L, 0.5*fF) + hamp*note(m, L, 2*fF);

FS = @(m, L) namp*note(m, L, fFS) + hamp*note(m, L, 0.5*fFS) + hamp*note(m, L, 2*fFS);

G = @(m, L) namp*note(m, L, fG) + hamp*note(m, L, 0.5*fG) + hamp*note(m, L, 2*fG);

GS = @(m, L) namp*note(m, L, fGS) + hamp*note(m, L, 0.5*fGS) + hamp*note(m, L, 2*fGS);

A = @(m, L) namp*note(m, L, fA) + hamp*note(m, L, 0.5*fA)+ hamp*note(m, L, 2*fA);

AS = @(m, L) namp*note(m, L, fAS) + hamp*note(m, L, 0.5*fAS) + hamp*note(m, L, 2*fAS);

B = @(m, L) namp*note(m, L, fB) + hamp*note(m, L, 0.5*fB) + hamp*note(m, L, 2*fB);

Pentru a produce un sunet ceva mai natural am adăugat câte două overtonuri pentru fiecare notă. Fiecare nota este o sumă a trei instanțe ale sinusoidei generale definite mai devreme. Prima instanță este nota cântată la frecvența standard în octava dorită introdusă de utilizator. Ultimele două cazuri sunt nota cântată pe o octavă mai joasă și cea cântată cu o octavă peste octava dată ca intrare. Fiecare instanță se înmulțește fie cu namp pentru a seta amplitudinea frecvenței naturale sau hamp, care stabilește amplitudinea frecvențelor armonice. Prin modificarea valorilor de namp și hamp se pot crea diferite amestecuri de frecvențe naturale și armonici, fenomen similar cu ceea ce se întâmplă atunci când ciupim o coardă sau creăm o notă prin vibrații fizice. Astfel, prin adăugarea de și mai multe nuanțe și modelând corespunzător amestecul, devine posibilă modelarea instrumentelor fizice în domeniul digital.

Figura 3. Reprezentarea vizuală a armonicilor într-o notă

Vedem că atunci când sunt adăugate armonici, perioada tonurilor se modifică în cea a armonicilor sale.

Redarea unei compoziții

% definirea resturilor

er = zeros(1, .125*N); % eigth rest

qr = zeros(1, .25*N); % quarter rest

hr = zeros(1, .5*N); % half rest

tr = zeros(1, .75*N); % three-quarter rest

wr = zeros(1, N); % whole rest

%Jingle Bells

%note; exemplu: A=C(1,1)=1/4 -> C3

jbseq1 = [A(0,1) qr A(0,1) qr A(0,2) qr];

jbseq2 = [A(0,1) qr C(1,1) qr F(0,1) qr G(0,1) qr A(0,4) qr];

jbseq3 = [AS(0,1) qr AS(0,1) qr AS(0,1) qr AS(0,0.5) qr AS(0,1) qr A(0,1) qr A(0,1) qr A(0,0.5) er A(0,0.5) qr A(0,1) qr G(0,1) qr G(0,1) qr A(0,1) qr G(0,2) qr C(1,2) qr];

jbseq4 = [AS(0,1) qr AS(0,1) qr AS(0,1) qr AS(0,1) qr AS(0,1) qr A(0,1) qr A(0,1) qr A(0,0.5) er A(0,0.5) qr C(1,1) qr C(1,1) qr AS(0,1) qr G(0,1) qr F(0,4)];

jbseq5 = [C(0,1) qr A(0,1) qr G(0,1) qr F(0,1) qr C(0,3) qr C(0,0.5) er C(0,0.5) qr C(0,1) qr A(0,1) qr G(0,1) qr F(0,1) qr D(0,4) qr];

jbseq6 = [D(0,1) qr AS(0,1) qr A(0,1) qr G(0,1) qr E(0,4) qr C(1,1) qr C(1,1) qr AS(0,1) qr G(0,1) qr A(0,4) qr];

jbseq7 = [C(0,1) qr A(0,1) qr G(0,1) qr F(0,1) qr C(0,4) qr C(0,1) qr A(0,1) qr G(0,1) qr F(0,1) qr D(0,4) qr];

jbseq8 = [D(0,1) qr AS(0,1) qr A(0,1) qr G(0,1) qr C(1,1) qr C(1,1) qr C(1,1) qr C(1,0.5) er C(1,0.5) qr D(1,1) qr C(1,1) qr AS(0,1) qr G(0,1) qr F(0,1) wr C(1,2) qr];

jbseq9 = [AS(0,1) qr AS(0,1) qr AS(0,1) qr AS(0,1) qr AS(0,1) qr A(0,1) qr A(0,1) qr A(0,0.5) er A(0,0.5) qr C(1,1) qr C(1,1) qr AS(0,1) qr G(0,1) qr F(0,4) qr ];

%cântec construit in secvente care uneori se repeta, jbsequences

jbells = [jbseq1 jbseq1 jbseq2 jbseq3 jbseq1 jbseq1 jbseq2 jbseq4 jbseq5 jbseq6 jbseq7 jbseq8 jbseq1 jbseq1 jbseq2 jbseq3 jbseq1 jbseq1 jbseq2 jbseq3 jbseq9];

% iesirea melodiei reconstruita la frecventa Fr

sound(0.25*jbells, Fr); % multiplicatorul din fata melodiei seteaza volumul

Pentru a simplifica procesul de compozițional, am împărțit melodia în mai multe secvențe, pentru a le putea reda câte una pe rând de îndată ce sunt gata sa fie adăugate vectorului jbells. De asemenea, multe dintre secvențe se repetau în cântec, și astfel am redus semnificativ cantitatea de note necesare la intrare.

În cele din urmă, piesa este redată la Fr folosind comanda de sunet și un multiplicator în fața vectorului cântecului, în scopul de a-i controla nivelul volumului.

CONCLUZIE

Prin acest proiect am făcut un prim pas interesant în a demonstra capacitatea muzicală a programului MATLAB . Sunt astfel de părere că este posibilă modelarea unui instrument sau crearea unui sintetizator decent cu ajutorul MATLAB. Adăugarea de semnale modulatoare, filtre, și un secvențiator de pas ar putea închega o aplicație care sa constituie un instrument decent de producție de muzică digitală. Astfel, explorarea în continuare a muzicii în MATLAB ar putea produce modalități pentru muzicieni de a obține abilități de prelucrare a semnalelor și de programare, în timp ce inginerii si programatorii și-ar putea folosi abilitățile tehnice pentru a înțelege mai bine muzica.