Analiza Econometrica a Seriilor de Timp

Universitatea Ecologică din București

Facultatea de Științe Economice

Master:Management Financiar

Lucrare de disertație

Coordonator științific:

Prof.univ.dr.Jula Dorin

Absolvent:

Carp (Brumar) Jesica

Universitatea Ecologică din București

Facultatea de Științe Economice

Master:Management Financiar

Analiza econometrică a seriilor de timp

Coordonator științific:

Prof.univ.dr.Jula Dorin

Absolvent:

Carp (Brumar) Jesica

București, 2016

CUPRINS:

Lista tabelelor și a figurilor

Introducere

Capitolul 1-Introducere în analiza seriilor de timp

1.1.Definire,clasificare,factori de influență ,tipuri de modele de timp.

1.2.Modele econometrice de timp cu două componente:trend și variabilă reziduală.

1.3.Modele econometrice de timp cu trei componente:trend, sezonalitate și variabilă reziduală.

Capitolul 2-Modele staționare liniare pentru analiza seriilor de timp.

2.1.Modele autoregresive de medie mobilă-ARMA

2.2.Principalele concepte ale metodologiei Box-Jenkins

2.2.1.Funcția de autocorelație (AC)

2.2.2.Funcția de autocorelație parțială (PAC)

2.2.3.Procese nestaționare

2.3.Etapele elaborării unui model ARMA(autoregresive moving average)-Procedeul Box-Jenkins

Capitolul 3-Studiu de caz privind analiza econometrică a seriiei de timp-PIB.

3.1.Etapele analizei seriei de timp utilizand Eviews

Concluzii

Bibliografie

Anexe

Capitolul 1.Introducere în analiza seriilor de timp

Analiza seriilor de timp se realizează prin descompunerea seriilor pe componente și evidențierea relațiilor cantitative dintre componente,aceste relații reflectă modelul de dezvoltare al fenomenului care se măsoară cu ajutorul seriei cronologice și se utilizează pentru prognoza evoluției viitoare a acestuia.

1.1.Serii de timp-definire, calsificare, factori de influență, tipuri de modele de timp.

1.1.1.Seria de timp denumită și serie cronologică sau serie dinamică reprezintă un set de date (valori) ale unei variabile care sunt întregistrate la anumite momente sau intervale regulate de timp.

Seria cronologică este formată din două șiruri de valori unul care definește momentul, timpul sau perioada la care se referă datele(t=1,2,3,…,n) și unul reprezentat de valorile variabilei (nivelul) notat cu .

1.1.2.Tipuri de serii de timp

Seriile cronologice, în funcție de tipul variabilelor observate se pot împărți în serii de momente sau de intervale.

Seriile de momente mai sunt numite și serii de stoc și sunt seriile formate din valori ale unei variabile înregistrate la anumite momente echidistante în timp care fac referire la variabilele de stoc. Aceste serii se caracterizează prin faptul că indicatorii prezentați nu pot fi însumați deoarece la un anumit moment nivelul cumulează momentele anterioare tuturor nivelurilor. Termenii acestor serii se mai numesc și mărimi de stoc deoarece aceiași mărime , este luată în calcul de mai multe ori.

Seriile de intervale fac referire la variabilele de flux, care cuprind valori rezultate din cumularea nivelurilor întregistrate de fenomenul studiat pe parcursul unei întregi perioade. Aceste serii se caracterizează prin faptul că indicatorii au posibilitatea de însumare a mărimilor succesive. Caracteristica acestei serii are o deosebită importanță atât în formarea seriilor, în iterațiile de optimizare a mărimilor dar, totodată și în analiza economică care este necesară pentru stabilirea rezultatelor pe intervale mai mari de timp.

1.2.3.Componentele seriilor cronologice

În analiza seriilor de timp se pornește, în general, de la ipoteza că o asemenea serie se poate descompune în componente elementare și acestea sunt:

trendul sau tendința generală cu acțiune de lungă durată, ce imprimă fenomenelor tendința de evoluție a acestora, acțiunea acestor factori studiindu-se în funcție de unitățile de timp pentru care a fost măsurat fenomenul analizat.

componenta ciclică(sau componenta sezonieră, cu acțiune pe perioade mai mici de un an) cu acțiune pe perioade mai mare de un an ce imprimă o evoluție oscilantă a fenomenului în cazul unor serii construite pe perioade lungi de timp.

variația întâmplătoare(accidentală) se referă la un număr mare de perioade de timp. Aceste variații se produc sub influența unor factori aleatorii, iar acțiunea acestora nu se realizează cu regulariate în timp.

Pornind de lacomponența factorilor ce determină evoluția unui fenomen, descrierea statistică a seriilor de timp se poate realiza cu ajutorul următoarelor modele:

1.Modelul aditiv:

Unde:

t=1,2,3,…,n

2.Modelul multiplicativ:

Unde:

t=1,2,3,…,n

unde:

componenta trend, efect al acțiunii factorilor esențiali;

componenta ciclică(sezonieră);

componenta accidentală (aleatoare) care exprimă evoluția factorilor întâmplători asupra evoluției fenomenului.

Pentru a utiliza un anumit tip de model aditiv sau multiplicativ este necesară reprezentarea grafică a fenomenului.

În modelul aditiv amplitudinea componentei sezoniere și a variației accidentale sunt presupuse ca fiind constante în timp.Grafic aceasta înseamnă că seria prezintă oscilații de amplitudine constantă în jurul tendinței.

yt

f(t)

0 t

Fig.1.Modelul aditiv

În modelul multiplicativ, amplitudinea componentei sezoniere și a variației accidentale nu sunt constante în timp ce se modifică proporțional cu tendința. Aceste modele se recomandă să fie utilizate dacă oscilația fenomenului față de tendință se amplifică sau se diminuează odată cu creșterea numerelor perioadelor de timp.

yt yt

f(t) f(t)

0 t 0 t

Fig.2.a)Modelul multiplicativ -se amplifică Fig.2.b)Modelul multiplicativse diminuează

În funcție de natura fenomenului studiat, modelele de mai sus pot fi:

-modele cu o singură componentă (staționare):

-modele cu două componente : trend și variabilă reziduală:

-modele cu trei componente: trend, sezonalitate și variabilă reziduală:

-modele cu patru componente –se utilizează mai rar, în cazuri mai speciale, deoarece necesită serii lungi de valori:

În următoarele subcapitole vom analiza modelele econometrice de timp cu două componente și modelele cu trei componente.

1.2.Modele econometrice de timp cu două componente: trend și variabilă reziduală.

În modelele de prognoză, metoda extrapolării este fundamentată pe modelele econometrice de timp și ocupă un loc important datorită modului de calcul care este ușor și a prognozelor relativ exacte pe termen scurt și mediu.

Modelul econometric de timp presupune parcurgerea următoarelor etape:

identificarea funcției de ajustare;

estimarea parametrilor modelului;

verificarea semnificației modelului;

estimarea valorilor viitoare ale fenomenului utilizat.

a) Din reprezentarea grafică a seriei dinamice deducem exprimarea matematică a modului de ajustare. Dacă graficul punctelor empirice nu poate fi asimilat de graficul unei anumite funcții matematice, putem alege în funcție de forma cronogramei o anumită funcție sau grup de funcții.

În ajustarea seriilor cronologice mulțimea funcțiilor care pot fi folosite este foarte largă, iar în general acestea se împart în două categorii.

funcții liniare

funcții neliniare

(funcții putere)

(funcții exponențiale)

(polinom de grad n)

(funcție logistică)

Deoarece funcțiile de ajustare neliniare pot fi liniarizate prin logaritmare, vom putea trata numai cazul liniar.

b) Estimarea parametrilor modelului de ajustare.

Pentru estimarea parametrilor putem utiliza mai multe procedee dar, cele mai folosite sunt:

metoda punctelor empirice;

metoda celor mai mici pătrate.

Pentru primul procedeu estimarea parametrilor presupune alegerea arbitrară a unui număr de puncte de pe cronogramă, egal cu numărul parametrilor . Introducem în funcția de ajustare valorile coordonatelor acestor puncte și obținem un sistem de k ecuații cu k necunoscute (k= numarul parametrilor respectivi).

După rezolvarea sistemului de ecuații se obțin valorile parametrilor, iar apoi cu ajutorul funcției de ajustare vom calcula valorile teoretice ale fenomenului respectiv.

Atunci când funcția de ajustare este folosită nu numai pentru descrierea evoluției fenomenului ci și pentru efectuarea de previziuni procedeul recomandat a fi utilizat este metoda celor mai mici pătrate.

Datorită faptului că foarte multe funcții neliniare pot fi transformate în funcții liniare, metoda celor mai mici pătrate va fi prezentată numai pentru cazul liniar.

Grafic cel mai bun criteriu aplicat în cazul metodei celor mai mici pătrate este dreapta care asigură cea mai bună ajustare a punctelor empirice pentru care se minimizează suma pătratelor abaterilor dintre punctele de pe grafic și punctele care au aceiași abscisă pe dreapta de regresie, abaterile fiind măsurate vertical.

Analitic, notăm F( suma pătratelor abaterilor u dintre valorile întregistrate ale variabilei respective (y) și valorile calculate (ŷ).

F(

Metoda celor mai mici pătrate constă în determinarea pentru un set de observații, a acestor valori și care minimizează funcția F(

După impunerea condițiilor de minim pentru funcția F în raport cu respectiv se calculează derivatele parțiale de ordin unu și se egalează cu 0(zero), după rezolvarea calculelor se obține sitemul de ecuații normale:

Odată calculați estimatorii parametrilor șise va trece la determinarea valorii ajustate ale tendinței pe baza funcției de regresie:

c) Verificarea semnificației modelului

Determinarea estimatorilor parametrilor din ecuația de regresie se face pe baza unei selecții.Fiind variabile aleatoare pot lua orice valoare într-un anumit interval.

Testarea semnificației estimatorilor înseamnă evaluarea riscului ca parametri să fie zero (ipoteza nulă ,notată ) și alternativ, a gradului de încredere în valorile estimate, grad determinat ca fiind complementar riscului evaluat prin ipoteza nulă.În analiză și în prognoză sunt preferați acei estimatori care sunt nedeplasați , sunt consistenți și prezintă o dispersie cât mai mică.

Pentru analiza semnificației estimatorilor calculăm statisticile:

și

Unde:

și sunt estimatori nedeplasați ai abaterilor standard calculate pentru parametrii modelului.

Abaterea standard se calculează prin extragerea rădacinii pătrate din valorile corespunzătoare ale dispersiilor.

Dispersia erorilor unui estimator nedeplasat este calculată după următoarea expresie:

Astfel, sub ipoteza , statistica urmează o distribuție Student cu n-2 grade de libertate.Iar , dacă valoarea absolută a testului este mai mare decât o valoare critică obținută din tabelele distribluției t Student , respingem ipoteza nulă

d)estimarea valorilor viitoare ale fenomenului utilizat se realizează prin prognoză.

Prognoza în sensul econometric reprezintă anticiparea cantitativă a unor evenimente , în care se pornește de la un set de informații disponibile.

Pentru realizarea prognozei vom porni de la ecuația de regresie:

, t=1,2,…,n;

Iar, în acestă relație erorile sunt normal distribuite, de medie nulă, nu sunt heteroscedastice, nu sunt autocorelate și nu sunt independete în raport cu (variabila explicativă).

Pentru realizarea unei prognoze este necesară aniciparea a două elemente , primul este determinarea valorii medii a variabilei Y la un moment viitor n+1 iar, orizontul de prognoză t+1 se calculează astfel:

iar, al doilea este calculul dispersiei erorilor de prognoză care se calculează pornind de la următoarea relație:

Iar apoi se demonstrează că un indicator nedeplasat pentru dispersia erorilor de prognoză este:

Pentru a calcula intevalul de prognoză pentru pornim de la relația:

unde:

este valoarea din distribuția t-Student,testul bilateral, pentru n-2 grade de libertate, valoare corespunzătoare unui grad de încredere de (1-).

2.2.Modele econometrice de timp cu trei componente :tend, sezonalitate și variabilă reziduală

Acest model se aplică atunci când seria de timp se construiește pe subperioade anuale(luni, trimestre, semestre) și pe mai mulți ani.

Dacă este acceptată existența celor trei componente – trend, sezonalitate și variabilă reziduală, atunci seria poate fi modelată cu ajutorul unui model de forma:

Pentru a decide structura modelului se utilizează două metode: metoda grafică și metoda analizei varianței.

Metoda grafică, constă în construirea de curbe suprapuse efectuate pe subperioade de timp. În cazul în care din reprezentarea grafică rezultă forma unor curbe suprapuse crescător sau descrescător având un punct de maxim sau de minim se acceptă ipoteza unui model cu trei componente, iar dacă curbele se intersectează, aceasta denotă inexistența componentei trend, fenomenul fiind staționar.

Metoda analizei variației utilizează descompunerea variației globale a fenomenului yt pe cele trei componente, iar variația lui yt , provocată de factori esențiali, de factori sezonieri și factori reziduali.

Deoarece seria de timp pe baza căreia se urmărește descrierea econometrică reprezintă doar un segment din evoluția de lungă durată a acestuia, ea poate fi asimilată unui sondaj, așadar se impune verificarea semnificației indicatorilor calculați pe perioada de timp analizată.

Testarea semnificației rezultatelor se face cu ajutorul testului Fisher-Snedecor.

Cazul unui model structurat pe trei componente –se efectuază astfel:

a)estimarea componentei sezoniere și calculul seriei corectate de variații sezoniere;

b)estimarea componentei trend pe baza seriei de sezonalitate și a componentei reziduale;

c)verificarea verisimilității modelului;

d)utilizarea modelului la explicarea, stimularea și prognoza fenomenului analizat.

a)Componenta sezonieră o putem exprima sub formă relativă coeficienții de sezonalitate sau sub formă absolută .

Componenta sezonieră se calculează în raport cu tendința .

Sezonalitatea în funcție de modalitățile de exprimare a tendinței se poate determina prin:

1.procedeul mediilor aritmetice- constă în compararea valorilor empirice cu mediile anuale și calculul mediilor artimetice ale acestor valori pe subperioade.

Relația sezonalității absolute

Sezonaliatea relativă se calculează ca medii aritmetice simple pe subperioade în raport cu valorile empirice față de mediile anuale .

2.Metoda mediilor eșalonate- se bazează pe estimarea valorilor tendinței pe subperioade pe cale grafică, pe baza mediilor anuale. Acestea se ordonează pe grafic pe locul pe care îl ocupă și se unesc cu segmente de dreaptă.

Pe baza coeficienților provizorii de sezonalitate se calcuează coeficienții de sezonaliate ca medii aritmetice simple ale acestora.

Calculul seriei corectate de variații sezoniere se face prin raportarea valorilor empirice ale fenomenului la coeficienții se sezonalitate

3.Metoda mediilor ciclice- se bazează pe exprimarea valorilor tendinței tot pe cale grafică.

Seria se reprezintă grafic și se unesc punctele de maxim cu segmentele de dreaptă și punctele de minim tot cu segmenetele de dreaptă, apoi perpendicularele ridicate din mijlocul subperioadelor se prelungesc până acestea întâlnesc segmentele și se marchează mijlocul distanței dintre punctele de minim sau de maxim și aceste segmente de dreaptă.

Metodele mediilor eșalonate și mediile ciclice în comparație cu alte metode de estimare a componentei sezoniere oferă o informație suplimentară, respectiv permit specificarea pe cale grafică a funcțiilor analitice cu care se poate descrie tendința seriei cronologice.

4.Metoda mediilor mobile- sunt medii artimetice simple calculate dintr-un anumit număr de termeni. De cele mai multe ori numărul termenilor din care se calculează mediile mobile este egal cu numărul subperioadelor anuale.

Dacă mediile mobile se calculează dintr-un număr par (m=4) se parcurg următoarele etape:

-calculul mediilor mobile provizorii:

Aceste medii nu cuantifică nivelul fenomenului pentru o anumită perioadă de timp de accea este necesară operația de cetrare pentru calcularea mediilor definitive

Coeficienții provizorii de sezonalitate se calculează cu relația:

Coeficienții de sezonalitate se calculează cu realția:

Valorile desezonaliate sau seria corectată de variații sezoniere se calculază cu relația :

5.Metoda tendinței analitice- constă în estimarea valorilor tendinței fenomenului cu ajutorul unei funcții de ajustare, specificată pentru valorile reale ale fenomenului , iar apoi se vor calcula coeficienții de sezonaliate după aceleși principii ca și în cazurile precedente.

Capitolul 2.Modele staționare liniare pentru analiza seriilor de timp.

2.1 Modele autoregresive de medie mobilă-ARMA

Modelul auoregresiv și de medie mobilă (mixt) ARMA reprezintă ”cazul general” și este considerat ca fiind una dintre cele mai indicate reprezentări pentru elaborarea de prognoze în economie, mai ales în situațiile în care nu ne este cunoscută evoluția variabilelor cauzale.

Econometricienii americani George E.P. Box și K.G.M. Jenkins au elaborat spre sfârșitul anilor 1960 așa numitele modele sochastice de prognoză.Box & Jenkins au propus o metodologie de previziune a unei variabile, utilizând ca și bază de date doar trecutul și prezentul acesteia. Popularitatea de care se bucură aceste modele este foarte mare datorită:

-calității previziunilor generate;

-flexibilității modelelor;

-rigurozității în ceea ce privește fundamentarea matematică a modelului;

-este o metodă adecvată și pentru previziunea unor variabile cu o evoluție neregulată.

Modele elaborate de Box & Jenkins au fost introduse într-o perioadă în care modelele econometrice calsice , în princial cele macroeconomice cu mai multe ecuații au condus frecvent la previziuni mai slabe decât metodele simple univariante.

Un model de tip ARMA(p,q) are o componentă de tip autoregresiv și o componentă de tip medie mobilă:

Unde:

p=ordinul părții autoregresive;

q=ordinul mediei mobile;

=un proces de tip zgomot alb

Procesul de tip zgomot alb este o succesiune de variabile aleatoare independente și identic repartizate cu medie zero.

Când q=0 se obține modelul autoregresiv de ordin p, notat AR(p):

Iar pentru p=0, se obține modelul mediei mobile de orinMA(q):

Pentru elaborarea unor astfel de modele avem la bază următoarele considerente:

-Partea autoregresivă surprinde mecanismele interne de generare ale procesului;

-Partea medie modilă surprinde asimilarea treptată a abaterilor accidentale din afara sistemului.

Modelele ARMA(autoregressive moving average) sunt modele univariate.În aceste modele variabila dependent este modelată în funcție de propriile observații.

Clasa modelelor ARMA cuprinde următoarele modele:

modele autoregresive –AR;

modele cu medii mobile-MA;

modele care combină cele două tipuri de procese-ARMA.

2.2. Principalele concepte ale metodologiei Box-Jenkins

Fie un proces aleator () unde tZ. Pentru observația aferentă momentului t, variabila aleatoare yt se definește :

–         media variabilei

–         varianța

–         covarianța

Definitie. Un proces este stationar de ordinul doi dacă verifică următoarele trei conditii:

1.media este constantă în timp ;

2.varianța este constantă în timp ;

3.covarianța ,

unde: k=s-t

Funcția de autocovarianță pentru un process staționar devine:

unde .

Un proces stationar are proprietatea de a reveni la medie ori de cate ori se îndeparteaza prea mult de la aceasta.

În cronograma, manifestarea seriei staționare se realizează sub forma unor fluctuații cu amplitudine relativ constantă în jurul unei medii constante, independente de timp. Nestaționalitatea în medie este specifică seriilor cu tendință, iar nestaționalitatea în varianță se observă prin modificarea în timp a amplitudinii fluctuațiilor.

Zgomot alb (white noise). Un caz particular de proces stationar, este cel de tip zgomot alb acesta fiind o succesiune de variabile aleatoare independente si identic repartizate, cu medie zero. Astfel:

–         

–     

–    .

2.2.1. Funcția de autocorelație (AC)

Fie un proces staționar. Funcția de autocorelație se defineste prin:

și masoară corelația liniară dintre două variabile Yt și Yt-k separate de k unități de timp.

Obs.:

1. se regăsește coeficientul de corelație liniară dintre și ;

2.;

3.;

4. funcția de autocorelație este o funcție pară.

Funcția de autocorelație pentru un proces de tip zgomot alb, devine:

variabille fiind necorelate.

În faza de identificare a unui model de tip ARIMA estimarea funcției de autocorelație este o etapa importantă. Graficul funcției de autocorelație se numeste corelogramă și oferă informații importante privind comportamentul seriei.

Estimarea coeficienților de autocorelație

Coeficientul de autocorelație se estimează prin:

respectiv

dacă este suficient de mare lungimea seriei.

Testarea semnificativității coeficieților de autocorelație

Testarea semnificativității coeficientului de autocorelație :

(nu difera semnificativ de zero)

se realizeaza utilizand statistica [anonimizat] un nivel de semnificatie , ipoteza nula nu se respinge daca .

2.2.2. Functia de autocorelație parțială (PAC)

Coeficientul de autocorelație parțială între doua variabile separate de k unități de timp notat prin este coeficientul de regresie a variabilei în modelul autoregresiv AR(k):

și măsoară informația adiționala adusă de variabila în explicarea comportamentului prezent .Coeficienții de autocorelație parțială înregistrează valori între -1 și 1.

Estimarea coeficienților de autocorelație parțială

Estimare coeficienților de autocorelație parțială constă în estimarea coeficienților de regresie pentru mai multe regresii. Astfel, se estimează cu coeficientul de regresie a variabilei în modelul autoregresiv AR.

În practică, se utilizează ecuațiile Yule-Walker, acestea redau relațiile dintre coeficienții de autocorelație și coeficienții de autocorelație parțială.

Testarea semnificativității coeficineților de autocorelație parțială

Testarea semnificativității coeficientului de autocorelație parțială :

(nu difera semnificativ de zero)

se realizeaza utilizand statistica [anonimizat] varianta estimatorului coeficientului de autocorelatie partiala se urmatoarea expresie:

Pentru un nivel de semnificatie , ipoteza nula nu se respinge daca .

2.2.3. Procese nestaționare

Dacă nu verifică una sau mai multe din cerințele din definiția procesului stationar acesta este nestaționar .În cazul proceselor nesaționare media și varianța nu sunt constante în timp, astfel că în economie majoriatea seriilor sunt nestaționare.

Detectarea nestaționalității se realizează cu ajutorul cronogramei și corelogramei, respeciv uilizarea unor este de stașionaritate.

Din cronogramă seria este nestaționară dacă media respectiv varianța nu sunt constante în timp.

Din corelogramă autocorelațiile unei serii staționare se apropie rapid de zero, odată ce k crește. Pentru o serie nestaționară autocorelațiile sunt mari și pozitive pentru un număr mare de valori ale lui k.

Modelele ARMA sunt adecvate seriilor staționare, astfel că acestea au fost generalizate pentru serii nestaționare ce devin staționare prin diferențiere, iar modelele rezultate sunt denumite modele autoregresive-integrate-medie mobila ARIMA(p, d, q) unde d este ordinul de diferențiere necesar pentru staționalizarea seriei.

3.2. Modelul autoregresiv- proprietățile funcțiilor de autocorelație și respectiv de autocorelație parțială

a) Funcția de autocorelație

Consideram un model autoregresiv de ordinul unu AR(1) sau ARIMA(1,0,0):

iar este zgomot alb cu: media ;

varianța .

Dacă coeficientul procesul este staționar.

Obs.:Dacă procesul este nestaționar, are o evoluție explozivă, explonențială(în practică acest comportament este rar întâlnit.

Dacă se regăsește mersul aleator.

Procesul este de tip zgomot alb de medie .

Considerăm un model autoregresiv de ordinul unu AR(1) cu medie zero :

unde .

Proprietate. Dacă atunci procesul AR(1)este staționar. Funcția de autocorelație a unui proces autoregresiv de ordinul unu AR(1) are expresia:

Obs.: În cazul vom regăsi varianța unui proces nestaționar de tip mers aleator.

Astfel, funcția de autocorelație este independentă de t și are expresia:

.

Obs.: Atunci cand funcția de autocorelație descrește exponențial;

descrește sinusoidal.

b) Funcția de autocorelație parțială

Din definiția funcției de autocorelație parțială rezulă că, coeficienții de autocorelație parțială a unui model AR(p) sunt egali cu zero, pentru k mai mare decât p.

3.3. Modelul medie mobilă- proprietățile funcțiilor de autocorelație și respectiv de autocorelație parțială.

Intr-un model de tip medie mobila sunt utilizate erorile inregistrate in trecut ca si variabile explicative:

.

a) Funcția de autocorelație

Consideram un model medie mobila de ordinul unu MA(1) sau ARIMA(0,0,1) cu medie zero:

Proprietate. Un model de tipul MA(1) este staționar iar funcția sa de autocorelație se anulează pentru.Funcția de autocorelație a unui proces de tipul MA(1) are expresia:

Semnul coeficientului de autocorelație este invers semnului lui .

Proprietate. Functia de autocorelatie a unui model de tipul MA(q) se anuleaza pentru . Funcția de autocorelație a unui proces de tipul MA(q) are expresia:

Funcția de autocorelație parțială a unui model medie mobilă se compară în mod similar cu funcția de autocorelație a modelelor autoregresive.

Daca media procesului este nenulă atunci modelul include și un termen liber, termenul fiind egal cu media.

3.4. Etapele de elaborare a unui model ARIMA (autoregresiv integrat medie mobilă)

Etapele privind elaborare a unui model ARIMA (p,d,q)

Se identifică modelul ;

Se estimează parametri modelului ;

Se testează validitatea modelului. Daca modelul nu este valid atunci se respecifică modelul și se reiau etapele anterioare.

Se utilizează modelul în generarea de previziuni.

Modelarea ARIMA presupune următoarele:

– verificarea stationalității. Dacă se seria este nestaționară atunci se diferențiază până când devine staționară, rezultând ordinul de diferențiere d ( d = 1, 2);

– ținînd seama de forma funcției de autorelație și de autocorelație parțiala estimate pentru seria diferențiată se stabilesc valori plauzibile;

– se estimează modelul selectat;

– se testează validitatea modelului.Avem două grupe de teste:

– teste privind comportamentul reziduurilor;

– teste privind semnificația coeficienților ai, bi;

– generarea previziunilor, în baza modelului estimat.

3.4.1 Identificarea modelului

Este cea mai importanta etapă dar și cea mai dificilă. Forma funcțiilor de autocorelație și autocorelație parțială estimate indică modele posibile (teoretice) iar, apoi se vor compara funcțiile estimate cu cele teoretice specifice fiecarui model și se vor alege unu sau mai multe modele teoretice ce par adecvate.

a) Stabilirea ordinului de diferențiere. Daca o serie este nestaționară în medie se vor calcula diferențele de ordin 1 eventual 2, pentru a se stabili ordinul de diferențiere d.

b) Stabilirea valorilor plauzibile pentru p și q. După eventualele transormări aplicate datelor inițiale, în scopul staționarizării seriei, se va stabili un model adecvat, de tip autoregresiv medie mobilă ARMA(p,q), pentru datele care au fost obținute în urma diferențierii în cazul celor staționare. Dacă un model AR(p) sau MA(q) cu număr mic de parametri ( p respectiv q 4) nu este adecvat atunci se va încerca un model mixt ARMA ce combină ambele părți.

În practică dispunem doar de estimații pentru funcția de autocorelație respectiv autocorelație parțială. Așadar, vom căuta:

–         cea mai mică valoare a lui k începând de la care funcția de autocorelație parțială nu diferă semnificativ de zero. Obținem valoarea plauzibilă pentru p, ordinul modelului autoregresiv AR(p);

–         cea mai mică valoare a lui k începând de la care funcția de autocorelatie nu difera semnificativ de zero. Obținem valoarea plauzibilă pentru q, ordinul modelului medie mobilă MA(q).

Determinarea ordinelor p, q pentru un model mixt este un proces relativ incert deoarece există și posibilitatea selectării modelului ce minimizează diferite criterii construite utilizând funcția de verosimilitate.

Obs.: Dacă sunt mai multe modele ce par a fi adecvate atunci se va reține cel cu număr minim de coeficienți.

3.4.2 Estimarea parametrilor modelului

Forma restransa a unui model ARMA(p,q) cu medie zero este:

respectiv a unui model ARIMA(p,q):

Considerăm un model AP(p):

Metoda clasică a celor mai mici pătrate min conduce la estimatori, pentru parametrii , regăsind ecuațiile Yule-Walker; acestea sunt relații între coeficienții de autocorelație și parametrii coeficienților modelului.

Analog, dacă se înmulțește relația cu va rezulta

Dacă în prealabil s-au calculat estimații pentru coeficienții de autocorelație, din sistemul de ecuații:

putem obține estimații pentru coeficienții modelului și .

Metoda clasică a celor mai mici patrate min respectiv ecuațiile Yule-Walker conduc la estimatori ce nu sunt eficienți deoarece există coliniaritate între variabilele explicative din model .

Daca modelul include și o componentă medie mobilă, MA(q) sau ARMA(p,q) atunci apare o neliniaritate în raport cu parametrii .

În mod normal se utilizează metoda verosimilității maxime; și se recurge la utilizarea unor algoritmi de optimizare neliniara , acestea fiind metode iterative specifice rezolvării modelelor neliniare în raport cu parametrii.

3.4.3 Teste de validitate a modelului

Pentru a vedea daca modelul estimat surprinde adecvat modul de generare a datelor (caracterul inertial respectiv cel de asimilare a socurilor) este utila in prealabil o analiza comparativa a functiei de autocorelatie respectiv de autocorelatie partiala estimate, pentru seria initiala Yt respectiv pentru seria generata de model. O asemanare intre corelogramele acestora indica faptul ca model surprinde adecvat mecanismul de generare a datelor. Deasemenea se pot analiza radacinile unitate ale polinoamelor autoregresive respectiv medie mobila.

Se parcurg aici doua grupe de teste: teste de semnificativitate a coeficientilor modelului respectiv teste referitoare la reziduuri (pentru a vedea daca sunt de tip zgomot alb).

Teste privind semnificativitatea coeficientilor

Se testează dacă (sau ) diferă semnificativ de zero:

se realizeaza utilizand statistica Student

ce urmeaza asimtotic legea normala N(0,1).

Pentru un nivel de semnificatie , ipoteza nula nu se respinge daca .

b) Teste privind reziduurile

Dacă modelul este bine specificat, atunci reziduurile din modelul estimat sunt generate de un proces de tip zgomot alb , cu medie zero și normal distribuit.

Autocorelarea reziduurilor. Pentru detectarea unor dependente in seria reziduurilor se examineaza functia de autocorelatie si de autocorelatie partiala a reziduurilor. Daca reziduurile sunt necorelate, atunci acesti coeficienti nu trebuie sa fie semnificativ diferiti de zero.

Se utilizeaza statistica student ce converge asimtotic la legea normala , cu varianta estimatorului coeficientului de autocorelatie estimat prin . Pentru un nivel de semnificatie , ipoteza necorelarii reziduurilor nu se respinge daca sau echivalent . Identic decurge si testarea semnificativitatii autocorelatiilor partiale ale reziduurilor.

Se utilizeaza aici si teste mai puternice de autocorelatie, fiind teste globale de semnificativitate a coeficientilor de autocorelatie a reziduurilor, testandu-se o ipoteza de forma:

pentru care

Testul Ljung-Box sau statistica Q:

Daca atunci se respinge ipoteza nula, fiind necesara respecificarea modelului. Atunci cand Q nu difera semnificativ de zero, primele M autocorelatii sunt nesemnificative. In practica M se considera arbitrar, sugerandu-se valori intre 10 si 20.

Investigarea normalitatii reziduurilor. Coeficientul de asimetrie respectiv de boltire si analiza histogramei ofera o prima imagine asupra formei distributiei erorilor. Coeficientii de asimetrie respectiv boltire sunt calculati in baza momentelor centrate:

;

unde este momentul centrat de ordin j.

Pentru testarea normalitatii erorilor se recomanda, in literatura de specialitate, utilizarea testului Jarque-Bera (1981), bazat pe coeficientii de asimetrie si boltire. Valoarea calculata a acestei statistici este furnizata implicit de majoritatea softurilor odata cu alte statistici descriptive. Daca un esantion de T observatii provine dintr-o distributie normala atunci coeficientul de asimetrie calculat in baza observatiilor urmeaza asimptotic legea normala N(0, 6/T) iar coeficientul boltirii legea N(3,24/T). Jarque si Bera obtin prin insumarea celor doua variabile normale independente statistica:

,

ce urmeaza legea . Valoarea critica corespunzatoare nivelului de semnificatie se determina din tabelul de distributie a legii 2, numarul gradelor de libertate fiind 2. Zona critica este .

Investigarea heteroscedasticitatii reziduurilor. Testul multiplicatorilor lui Lagrange pentru heteroscedasticitate de tip ARCH(p) presupune:

–         estimarea reziduurilor din ecuatia ce defineste modelul;

–         estimarea regresiei auxiliare (ce fundamenteaza testul):

;

–         testarea ipotezei nule in ecuatia de regresie auxiliara:

(nu exista efect ARCH).

Daca ipoteza nula este adevarata, statistica LM definita prin:

,

unde este coeficientul de determinatie aferent regresiei auxiliare iar T este lungimea seiei de timp, urmeaza asimptotic legea. Ipoteza omoscedasticitatii (varianta constanta in timp) se respinge daca LM calculat este superior valorii critice.

3.4.4. Elaborarea previziunilor

Odata elaborat si validat, modelul ARIMA este utilizat pentru generarea de previziuni. Se elaboreaza:

a)      previziuni punctuale

b)      intervale de previziune.

a)      Previziuni punctuale

Pentru un orizont de previziune h, atasam momentului T+h, unde T este originea efectuarii previziunii, variabila aleatoare . O previziune punctuala, notata este data de media (sau speranta matematica) variabilei , aceasta medie fiind conditionata de istoricul variabilei. In general

Previziunile se obtin in baza informatiilor disponibile pana la momentul T. Previziunile punctuale se obtin pas cu pas, pentru calculul unei previziuni fiind necesare valorile previzionate aferente perioadelor anterioare pentru termenii autoregresivi dar si pentru erorile . Reguli de urmat:

–         termenii autoregresivi pentru (adica se substituie cu previziunile obtinute la pasii anteriori;

–         termenii autoregresivi pentru se inlocuiesc cu valorile inregistate, aici fiind cunoscuti termenii seriei (,, );

–         termenii eroare pentru (adica) se inlocuiesc cu zero, (se inlocuiesc cu media acestora , deoarece erorile sunt de tip zgomot alb, cu media 0; previziunile optime sunt date de media acestora).

–         termenii eroare pentru (adica) se inlocuiesc cu reziduurile estimate din model (spre exemplu , pentru .

Daca seria a fost diferentiata / logaritmata in prealabil atunci se va tine seama ca acest aspect in elaborarea previziunii (de regula se aplica operatia inversa transformarii). In general este utila scrierea concentrata a modelului, utilizand operatorul de diferentiere L.

b) Determinarea intervalului de previziune

Eroarea de previziune:

.

Presupunem ca erorile modelului sunt normal distribuite. Eroarea de previziune urmeaza de asemenea legea normala:

rezulta

.

Din distributia legii normale de probabilitate, pentru o probabilitate P fixata se determina k astfel incat:

rezulta intervalul de previziune:

Calculul variantei erorii de preziune necesita punerea modelului sub forma mediei mobile cu un numar infinir de termeni (orice model ARMA poate fi pus in aceasta forma):

sau

unde este polinomul coeficientilor.

Din forma redusa a modelui ARMA rezulta , astfel coeficientii polinomului C se obtine egaland coeficientii termenilor de forma Lj , j=1,2,. in egalitatea .

Utilizand forma medie mobila:

rezulta

.

Pentru dispersia erorii de previziune se utilizeaza estimatia sa .

Observatie. Calitatea modelului de a genera previziuni adecvate poate fi verificata pe baza unor previziuni "de proba", utilizand ultimele observatii disponibile ca si secventa "martor" de observatii. In etapa elaborarii modelului se are in vedere seria cronologica ce nu contine aceasta secventa martor si se masoara acuratetea previziunii printr-un indicator sintetic de tip MSE, MAPE sau RMSE (ce trebuie sa fie minim).

Capitolul 3. Studiu de caz privind estimarea modelelor ARMA.

Modelele ARMA(autoregeresive moving average) sunt modele univariate- modele prin care variabila dependentă este modelată în funcție de propriile observații.

Acestă clasă de modele cuprinde:

Modele autoregresive(AR);

Modele cu medii mobile(MA)

Modele ARMA- care combină cele două tipuri de procese.

Modele ARMA- acest proces utilizează atât procesul AR cât și procesul MA, astfel că analiza și prognoza seriilor de timp poate fi îmbunătățită. Prin combinarea celor două procese se obține un model generalizat, autoregresiv medii mobile(ARMA).

Graficul seriei utilizate este:

Testul de staționalitate ADF

Testul de saționalitate PP

Funcția de autocorelație a acestei serii este prezentată în graficul de mai jos:

Atât funcția de autocorelație (care pornește de la o valoare ridicată și scade gradual) cât și funcția de autocorelație parțială( care scade brusc) indică că acestă serie este preponderent un proces AR.

Estimarea modelului MA

Analiza rădăcinilor ecuației:

Estimarea modelului AR

Estimarea modelului ARMA