Analiza Comportamentului Pilotului Uman de Avion ¸ si a Oscila¸ tiilor Induse Absolvent Diaconu Raluca Coordonator ¸ S.l.dr.ing. Bogdan D. Ciubotaru… [626837]

Universitatea Politehnica Bucure¸ sti
Facultatea de Automatic ˘a ¸ si Calculatoare
Departamentul de Automatic ˘a ¸ si Ingineria Sistemelor
LUCRARE DE LICEN¸ T ˘A
Analiza Comportamentului Pilotului
Uman de Avion ¸ si a Oscila¸ tiilor Induse
Absolvent: [anonimizat]
¸ S.l.dr.ing. Bogdan D. Ciubotaru
Bucure¸ sti, 2019

Cuprins
List˘ a de figuri ii
List˘ a de tabele iii
1. Introducere 1
2. Regulator 2
2.1. Compensatorul Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2. Parametrizarea Youla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3. Oscila¸ tii Induse de c˘ atre Pilot 10
3.1. Modelarea Comportamentului Uman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1.1. Modelul de Precizie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.2. Modelul Cross-Over . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.3. Modelul Tustin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2. Oscila¸ tiile Induse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.1. Panta Varia¸ tiei de Faz ˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.2. Criteriul Dropback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4. Aplica¸ tie pentru un avion civil 21
4.1. Modelul longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2. Reglarea la referin¸ t ˘a treapt ˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2.1. Modelul de Precizie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2.2. Modelul Cross-Over . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.3. Modelul Tustin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5. Concluzii 41
Anexe 43
A. Transformare liniar frac¸ tionar˘ a inferioar˘ a 43
B. Accidente 45
Bibliografie 46
ii

List˘ a de figuri
2.1. Structura de reglare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2. Structura de reglare (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3. Structura de reglare (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4. Sistemul echivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.1. Sistemul în bucl ˘a închis ˘a ce con¸ tine modelul pilotului . . . . . . . . . . . . . 10
3.2. Diagramele Bode ale blocului cu întârziere de faz ˘a . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3. Diagramele Bode ale blocului cu avans de faz ˘a . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4. Schema simplificat ˘a a modelului pilotului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.5. Exemplu de frecven¸ t ˘a de t ˘aiere a amplitudinii . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.6. Panta Medie a Varia¸ tiei de Faz ˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.7. Limitele Nivelurilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.8. M ˘asurarea Dropback-ului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.9. Limitele zonelor determinate de Criteriul Dropback . . . . . . . . . . . . . . 20
4.1. Procesul rezultant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2. Raspunsul la treapt ˘a în cazul utiliz ˘arii Modelului de Precizie . . . . . . . . 27
4.3. R ˘aspunsul liber al sistemului în cazul utiliz ˘arii Modelului de Precizie . . . . 28
4.4. R ˘aspunsul la treapt ˘a în cazul utiliz ˘arii Modelului Cross-Over . . . . . . . . 32
4.5. R ˘aspunsul liber al sistemului în cazul utiliz ˘arii Modelului Cross-Over . . . . 33
4.6. R ˘aspunsul la treapt ˘a în cazul utiliz ˘arii Modelului Tustin . . . . . . . . . . . 37
4.7. R ˘aspunsul liber al sistemului în cazul utiliz ˘arii Modelului Tustin . . . . . . 38
A.1. Transformare liniar frac¸ tionar ˘a inferioar ˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
iii

List˘ a de tabele
4.1. Valorile parametrilor Modelului de Precizie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2. Efectele varierii timpului mort în cazul Modelului de Precizie . . . . . . . . 29
4.3. Valorile parametrilor Modelului Cross-Over . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.4. Efectele varierii timpului mort în cazul Modelului Cross-Over . . . . . . . . 34
4.5. Valorile parametrilor Modelului Tustin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.6. Efectele varierii timpului mort în cazul Modelului Tustin . . . . . . . . . . . 39
iv

1. Introducere
ACESTA ESTE UN DRAFT ¸ SI TREBUIE TRATAT CA ATARE
Dezvoltarea de modele de pilot McRuer Tustin Kleinman
Acesta lucrarea abordeaza proiectarea regulatorului kalman si extinderea in sens
youla pt a obtine performante mai bune
Oscila¸ tiile induse de c ˘atre pilot (PIO) pot fi v ˘azute ca o destabilizare a sistemului
format din avion ¸ si pilot, ce apar în situa¸ tiile în care este necesar ˘a interven¸ tia uman ˘a, iar
aeronova nu r ˘aspunde la comenzile acestuia în mod corespunz ˘ator.
1

2. Regulator
2.1. Compensatorul Kalman
Compensatorul Kalman reprezint ˘a un instrument adesea utilizat ¸ si cu un puternic impact
în teoria controlului, atât pentru rezultatele puternice pe care le ofer ˘a, cât ¸ si pentru
modalitatea u¸ soar ˘a de ob¸ tinere a acestuia.
Se consider ˘a urm ˘atorul sistem liniar, invariant în timp, cu timp continual, descris
de rela¸ tiile /braceleftBigg
˙x(t) =Ax(t) +Bu(t), x (t0) =x0∈Rn,
y(t) =Cx(t) +Du(t),(2.1)
undeu(t)∈Rmreprezint ˘a vectorul comenzilor, x(t)∈Rnvectorul st ˘arilor ¸ siy(t)∈Rp
vectorul ie¸ sirilor, dimensiunile matricelor fiind A∈Rn×n,B∈Rn×m,C∈Rp×n¸ siD∈
Rp×m, iarx0este condi¸ tia ini¸ tial ˘a.
Pentru sistemul dat de (2.1), se cere un regulator Kastfel încât sistemul în bucl ˘a
închis˘a s˘a respecte urm ˘atoarele dou ˘a cerin¸ te:
• s˘a fie intern stabil;
• s˘a urm ˘areasc ˘a referin¸ ta de tip treapt ˘a.
Cea mai important ˘a proprietate a unui sistem este stabilitatea, iar aceasta este
îndeplinit ˘a atunci când spectrul matricei de stare Λ(A)⊂C−. Dac ˘a aceast ˘a cerin¸ t ˘a nu
este respectat ˘a, atunci se poate folosi o reac¸ tie constant ˘a dup ˘a stare pentru a stabiliza
sistemul în bucl ˘a închis ˘a.
Primul pas în construirea unui regulator stabilizator, care s ˘a regleze la referin¸ t ˘a
treapt ˘a, este verificarea propriet ˘a¸ tilor de controlabilitate ¸ si observabilitate ale sistemului
prezentat anterior.
Controlabilitatea reprezint ˘a proprietatea unui sistem de a trece dintr-o stare în alta,
atunci când îi este aplicat ˘a o comand ˘a. Pentru a valida respectarea acestei caracteristici
trebuie analizat ˘a matricea de controlabilitate a sistemului dinamic, construit ˘a pe baza
perechii (A,B), respectiv
R= [B AB A2B … An−1B], (2.2)
undeR∈Rn×nm.
Un sistem este controlabil dac˘a ¸ si numai dac ˘a matricea Rare rang întreg pe linii.
Observabilitatea caracterizeaz ˘a capacitatea unui sistem de a se determina valoarea
unei st ˘ari pe baza informa¸ tiilor oferite la ie¸ sire. Verificarea acestei propriet ˘a¸ ti se face
2

Capitolul 2. Regulator
construind matricea de observabilitate pe baza perechii (C,A), respectiv
Q=
C
CA
CA2
…
CAn−1
, (2.3)
undeQ∈Rnp×n.
Un sistem este observabil dac˘a ¸ si numai dac ˘a matriceaQare rang întreg pe coloane.
Dac˘a sistemul este controlabil ¸ si observabil, atunci este stabilizabil ¸ si alocabil, deci
se poate construi o reac¸ tie constant ˘a dup˘a stare,F∈Rm×n, astfel încât spectrul matricei
de stare corespunz ˘atoare buclei închise, A+BF, s˘a fie inclus în C−.
Comanda generat ˘a de reac¸ tia constant ˘a dup˘a stare,u(t) =Fx(t), necesit ˘a utilizarea
vectorului de stare. Impedimentul care apare în aceast ˘a situa¸ tie const ˘a în faptul c ˘a starea
nu este mereu accesibil ˘a, iar în acest caz se apeleaz ˘a la un estimator de stare, care pe
baza intr ˘arilor ¸ si a ie¸ sirilor sistemului va genera o aproximare a st ˘arii sistemului. Pentru
a construi estimatorul de stare se impune condi¸ tia ca sistemul s ˘a fie observabil.
Pe baza acestei ipoteze estimatorul este dat de
/braceleftBigg
˙w(t) = (A+LC)w(t) +Bu(t) +LDu (t)−Ly(t),
ˆx(t) =w(t),(2.4)
undew(t)este m ˘arimea de stare a estimatorului, iar L∈Rn×peste o matrice pentru care
se respect ˘a rela¸ tia Λ(A+LC)⊂C−.
Pe baza no¸ tiunilor introduse anterior se poate contrui compensatorul Kalman descris
de /braceleftBigg˙ˆx(t) = (A+LC+BF+LDF )ˆx(t)−Ly(t),
u(t) =Fˆx(t),(2.5)
unde matricea sa de transfer are urm ˘atoarea form ˘a
K(s) =/bracketleftBigg
AKBK
CKDK/bracketrightBigg
=/bracketleftBigg
A+LC+BF+LDF−L
F 0/bracketrightBigg
. (2.6)
Sistemul rezultant va avea spectrul egal cu reuniunea spectrelor matricelor (A+BF)
¸ si(A+LC). Astfel polii sistemului ob¸ tinut se impun folosind procedura de alocare ce
presupune aplicarea algoritmului lui Ackermann.
Regulatorul astfel ob¸ tinut este stabilizator, dar nu asigur ˘a urm ˘arirea la treapt ˘a, iar
pentru implementarea acestei calit ˘a¸ ti se apeleaz ˘a la Principiul Modelului Intern. Acesta
afirm˘a c˘a existen¸ ta unui pol în 0pe calea direct ˘a asigur ˘a urm ˘arirea la treapt ˘a. Problema
ce poate ap ˘area const ˘a în existen¸ ta unui zerou în 0, iar acest impediment este evitat dac ˘a
se respect ˘a urm ˘atoarea ipotez ˘a
rang/bracketleftBigg
−A−B
C 0/bracketrightBigg
=n+p. (2.7)
3

Capitolul 2. Regulator
Considerând urm ˘atoarea configura¸ tie de reglare, unde Kreprezint ˘a regulatorul sta-
bilizator rezultant ¸ si Pprocesul, respectiv
P K
Figura 2.1.: Structura de reglare
trebuie introdus un pol egal cu 0pe calea direct ˘a.
Acest lucru se poate realiza punând un integrator în serie cu regulatorul, de forma
I(s) =1
s=/bracketleftBigg
01
10/bracketrightBigg
. (2.8)
P KS IK
Figura 2.2.: Structura de reglare (2)
Urm˘atoarea sarcin ˘a de îndeplinit const ˘a în simpla înseriere a integratorului cu pro-
cesul, ob¸ tinându-se astfel un proces rezultant, PS, pentru care se va calcula compensatorul
Kalman pe baza regulilor enun¸ tate anterior.
KSP IPS
Figura 2.3.: Structura de reglare (3)
4

Capitolul 2. Regulator
Pe baza compensatorului ob¸ tinut la pasul trecut se calculeaz ˘a regulatorul final, sta-
bilizator ¸ si care regleaz ˘a la referin¸ t ˘a treapt ˘a,K, doar înseriindu-l pe Kscu blocul integra-
torului.
Dup˘a închiderea buclei r ˘amân înc ˘a dou˘a propriet ˘a¸ ti importante de verificat, acestea
fiind buna definire ¸ si stabilitatea intern ˘a. În continuare se va apela la o ipotez ˘a ce va sim-
plifica problematica bunei definiri ¸ si evaluarea stabilit ˘a¸ tii interne, respectiv se va schimba
semnul de pe reac¸ tie din −în+, iar regulatorul se va scrie drept −K.
Sistemul din Figura 2.1 este echivalent cu sistemul din Figura 2.4, unde w1¸ siw2
reprezint ˘a semnalele de intrare, iar u¸ siucsemnalele de ie¸ sire.
P
Ku w1
w2y
yc uc+
+
Figura 2.4.: Sistemul echivalent
Sistemul prezentat în Figura 2.4 are proprietatea de a cuprinde dou ˘a configura¸ tii de
reglare; dac ˘aw2este considerat intrare ¸ si yie¸ sire, atunci este vorba despre configura¸ tia
clasic˘a în care regulatorul se afl ˘a pe calea direct ˘a, iar dac ˘aw1este intrare ¸ si yie¸ sire, atunci
se consider ˘a c˘a regulatorul este pe calea de reac¸ tie.
Un alt avantaj asigurat de sistemului echivalent const ˘a în analiza bunei definiri ¸ si
a stabilit ˘a¸ tii interne într-un mod facil. Dac ˘a sistemul din Figura 2.4 este bine definit în
sens strict, atunci ¸ si sistemul din Figura 2.1 este bine definit în sens strict. Echivalen¸ ta
se conserv ˘a ¸ si în cazul stabilit ˘a¸ tii interne, respectiv stabilitatea intern ˘a a sistemului din
Figura 2.4 asigur ˘a stabilitatea intern ˘a a sistemului ini¸ tial.
Buna definire a sistemului în bucl ˘a închis ˘a este asigurat ˘a atunci când toate matricele
de transfer sunt proprii.
Stabilitatea intern ˘a a sistemului este respectat ˘a atunci când toate matricele de trans-
fer în bucl ˘a închis ˘a sunt stabile.
Atunci când avem la dispozi¸ tie realiz ˘arile de stare pentru proces ¸ si pentru regulator
P=/bracketleftBigg
AB
CD/bracketrightBigg
, K =/bracketleftBigg
AKBK
CKDK/bracketrightBigg
,
undeD¸ siDKreprezint ˘a transferurile la infinit, buna definire se poate verifica analizând
proprietatea de inversabilitate a urm ˘atoarelor matrice
I−DKD, I−DDK,/bracketleftBigg
I−DK
−D I/bracketrightBigg
, (2.9)
5

Capitolul 2. Regulator
iar matricea de transfer a sistemului în bucl ˘a închis ˘a este dat ˘a de
HR=/bracketleftBigg
(I−GK)−1G GK (I−GK)−1
K(I−GK)−1G K (I−GK)−1/bracketrightBigg
. (2.10)
Este suficient ca numai una din cele trei matrice s ˘a fie inversabil ˘a pentru ca sistemul
în bucl ˘a de reac¸ tie s ˘a fie bine definit în sens strict. Se poate observa c ˘a aceast ˘a proprietate
este respectat ˘a dac˘a procesul este strict propriu sau dac ˘a se impune un regulator cu
matricea de transfer la infinit nul ˘a,K(∞) = 0.
Stabilitatea intern ˘a a sistemului în bucl ˘a închis ˘a este asigurat ˘a dac˘a acesta este bine
definit în sens strict ¸ si dac ˘a se respect ˘a una din urm ˘atoarele condi¸ tii:
•P∈RH∞¸ siK(I−PK)−1∈RH∞;
•K∈RH∞¸ siP(I−KP)−1∈RH∞;
•P∈RH∞,K∈RH∞¸ si(I−PK)−1∈RH∞.
Spa¸ tiulRH∞con¸ tine toate matricele de transfer ra¸ tionale, proprii, stabile ¸ si cu
elemente analitice în C+∪C0, norma acestora numindu-se H∞.
2.2. Parametrizarea Youla
În cadrul acestei sec¸ tiuni sunt prezentate Teoreme ¸ si Defini¸ tii din (Oar ˘a ¸ si Ciubotaru
2019), acestea conturând un fundament ce st ˘a la baza rezultatelor ob¸ tinute în aceast ˘a
lucrare.
Pentru sistemul dat de (2.1)se cere regulatorul Kce stabilizeaz ˘a intern bucla de
reac¸ tie. Se consider ˘a respectat ˘a proprietatea de bun ˘a definire în sens strict a buclei.
Teorema 2.2.1.Dac˘aP∈RH∞, atunci clasa tuturor regulatoarelor Kpentru care siste-
mul în bucl ˘a închis ˘a este intern stabil este dat ˘a de rela¸ tia
Q(I+PQ)−1, unde Q∈RH∞. (2.11)
Dac˘aPnu este stabil, atunci se recurge la factoriz ˘ari coprime.
Defini¸ tia 2.2.1.Putem numi matricele M,N∈RH∞coprime la dreapta dac ˘a acestea
sunt caracterizate de acela¸ si num ˘ar de coloane ¸ si exist ˘a alte dou ˘a matriceXr,Yr∈RH∞,
astfel încât s ˘a fie respectat ˘a Identitatea lui Bezout la dreapta
/bracketleftBig
XrYr/bracketrightBig/bracketleftBigg
M
N/bracketrightBigg
=XrM+YrN=I. (2.12)
Defini¸ tia 2.2.2.Putem numi matricele ˜M,˜N∈RH∞coprime la stânga dac ˘a acestea sunt
caracterizate de acela¸ si num ˘ar de linii ¸ si exist ˘a alte dou ˘a matriceXl,Yl∈RH∞, astfel
încât s ˘a fie respectat ˘a Identitatea lui Bezout la stânga
/bracketleftBig˜M ˜N/bracketrightBig/bracketleftBigg
Xl
Yl/bracketrightBigg
=˜MXl+˜NYl=I. (2.13)
6

Capitolul 2. Regulator
Defini¸ tia 2.2.3.Pentru matricele M¸ siNcoprime la dreapta peste RH∞, se poate formula
o factorizare coprim ˘a la dreapta a lui PpesteRH∞de urm ˘atoarea form ˘a
P=NM−1. (2.14)
Defini¸ tia 2.2.4.Pentru matricele ˜M¸ si˜Ncoprime la stânga peste RH∞, se poate formula
o factorizare coprim ˘a la stânga a lui PpesteRH∞de urm ˘atoarea form ˘a
P=˜M−1˜N. (2.15)
Defini¸ tia 2.2.5.Atunci când se pot scrie factoriz ˘arile coprime (2.13)¸ si(2.14), iarM,N,
˜M,˜N¸ siXr,Yr,Xl,Yl∈RH∞respect ˘a urm ˘atoarea rela¸ tie
/bracketleftBigg
XrYr
−˜N ˜M/bracketrightBigg/bracketleftBigg
M−Yl
N Xl/bracketrightBigg
=I, (2.16)
se poate afirma c ˘aPeste caracterizat de o factorizare dublu coprim ˘a.
Pe baza no¸ tiunilor introduse anterior se poate analiza stabilitatea intern ˘a a buclei
de reac¸ tie, pornind de la factoriz ˘arile coprime la stânga ¸ si la dreapta ale procesului ¸ si ale
regulatorului
P=NM−1=˜M−1˜N,
K=XY−1=˜Y−1˜X.
Teorema 2.2.2.Sistemul în bucl ˘a închis ˘a este intern stabil dac ˘a este respectat ˘a una din
urm˘atoarele cerin¸ te:
•/bracketleftBigg
M Y
N X/bracketrightBigg
este inversabil ˘a înRH∞;
•/bracketleftBigg˜Y−˜X
−˜N ˜M/bracketrightBigg
este inversabil ˘a înRH∞;
•˜MY−˜NXeste inversabil ˘a înRH∞;
•˜YM−˜XNeste inversabil ˘a înRH∞.
Teorema 2.2.3.Pentru oricare factoriz ˘ari coprime la dreapta ¸ si la stânga ale lui P=
NM−1=˜M−1˜NpesteRH∞, atunci clasa tuturor regulatoarelor care stabilizeaz ˘a intern
bucla de reac¸ tie poate fi determinat ˘a folosind una dintre urm ˘atoarele rela¸ tii echivalente:
•K= (Xl+MQ)(Yl+NQ)−1, undeQ∈RH∞¸ sidet(I+Y−1
lNQ)(∞)/negationslash= 0, iarXl
¸ siYlrespect ˘a Defini¸ tia 2.2.2;
•K= (Yr+Q˜N)−1(Xr+Q˜M), undeQ∈RH∞¸ sidet(I+Q˜NY−1
r)(∞)/negationslash= 0, iarXr
¸ siYrrespect ˘a Defini¸ tia 2.2.1;
• Dac ˘aXr,Yr,Xl,Ylrespect ˘a Defini¸ tia 2.2.5, atunci
K= (Xl+MQ)(Yl+NQ)−1=(Yr+Q˜N)−1(Xr+Q˜M)=TLFI (J,Q),
unde J este dat de
J=/bracketleftBigg
XlY−1
lY−1
r
Y−1
l−Y−1
lN/bracketrightBigg
,
iarQ∈RH∞¸ sidet(I+Y−1
lNQ)(∞)/negationslash= 0, iar no¸ tiuni suplimentare referitoare la
Transformarea Liniar Frac¸ tionar ˘a Inferioar ˘a se g ˘asesc în Anexa A.
7

Capitolul 2. Regulator
Atunci când este disponibil ˘a o factorizare coprim ˘a la stânga ¸ si la dreapta pentru
proces ¸ si pentru regulator
P=NM−1=˜M−1˜N,
K=XY−1=˜Y−1˜X,
alegerea parametrului Q∈RH∞se poate face apelând la urm ˘atorul rezultat
Q=M−1(X(˜MY−˜NX)−1−Xl), (2.17)
undeXr,Yr∈RH∞respect ˘a identitatea
˜MYl−˜NXl=I.
Teorema 2.2.4.Pornind de la realizarea de stare a procesului
P=/bracketleftBigg
AB
CD/bracketrightBigg
,
dac˘a perechea (A,B)este stabilizabil ˘a ¸ si perechea (C,A)este detectabil ˘a, atunci exist ˘a
dou˘a matrice,F∈Rm×n¸ siL∈Rn×p, astfel încât Λ(A+BF)¸ siΛ(A+LC)∈C−, iar în
aceste condi¸ tii se poate ob¸ tine un compensator Kalman care stabilizeaz ˘a sistemul în bucl ˘a
de reac¸ tie ¸ si se calculeaz ˘a folosind rela¸ tia
K(s) =/bracketleftBigg
AKBK
CKDK/bracketrightBigg
=/bracketleftBigg
A+LC+BF+LDF−L
F 0/bracketrightBigg
. (2.18)
Pe baza Teoremei 2.2.4se poate scrie o factorizare dublu coprim ˘a a luiPde forma
/bracketleftBigg
M−Yl
N Xl/bracketrightBigg
=
A+BFB−L
FI0
C+DFD I
, (2.19)
/bracketleftBigg
XrYr
−˜N ˜M/bracketrightBigg
=
A+LC−(B+LD)L
F I 0
C−D I
. (2.20)
Tot pe baza Teoremei 2.2.4 se poate scrie matricea Jastfel
J=
A+BF+LC+LDF−L B +LD
F 0I
−(C+DF)I−D
. (2.21)
Din rela¸ tia (2.19)se poate observa un rezultat remarcabil, compensatorul stabilizator
central este chiar compensatorul Kalman descris în prima parte a acestui capitol, care se
ob¸ tine prin impunerea lui Q= 0, fapt demonstrat în continuare.
Demonstra¸ tia 2.2.1.Punctul de pornire este reprezentat de urm ˘atoarea scriere a lui J,
respectiv
J=/bracketleftBigg
J11J12
J21J22/bracketrightBigg
,
8

Capitolul 2. Regulator
urmând aplicarea formulei
K=TLFI (J,Q) =J11+J12Q(I−J22Q)−1J21. (2.22)
Dac˘a se impune
Q= 0,
rezultatul ecua¸ tiei (2.22) devine
K=TLFI (J,Q) =J11+J12Q(I−J22Q)−1J21/bracehtipupleft/bracehtipdownright/bracehtipdownleft/bracehtipupright
0,
iarJ11este
J11=/bracketleftBigg
A+LC+BF+LDF−L
F 0/bracketrightBigg
.
Se poate observa c ˘a forma lui J11¸ si formula compensatorului Kalman sunt identice.
9

3. Oscila¸ tii Induse de c˘ atre Pilot
3.1. Modelarea Comportamentului Uman
Majoritatea studiilor f ˘acute pân ˘a în anul 1965 aveau ca scop modelarea comportamentului
pilotului drept un regulator ce avea o singur ˘a m˘arime de reglat. În urma acestei expertize
au fost ob¸ tinute modele ce func¸ tionau pe baza minimiz ˘arii unei erori, acest lucru însemnând
c˘a pilo¸ tilor le era afi¸ sat ˘a diferen¸ ta dintre valoarea de urm ˘arit a parametrului ¸ si valoarea
real˘a, iar ace¸ stia ac¸ tionau în mod adecvat.
Pilot Aeronav ˘ aθr+
−θe θNeliniarit ˘a¸ ti
Figura 3.1.: Sistemul în bucl ˘a închis ˘a ce con¸ tine modelul pilotului
În exemplul ilustrat, intrarea este considerat ˘aθ, unghiul de tangaj. Rolul pilotului
este acela de a minimiza eroarea obtinut ˘aθe, ¸ si anume diferen¸ ta dintre referin¸ ta primit ˘a,
θr, ¸ si ie¸ sirea sistemului, θ.
Analizând ie¸ sirile modelelor s-a constatat c ˘a o parte din acestea depind în mod liniar
de eroarea dat ˘a ca intrare, îns ˘a existau ¸ si „resturi”. Aceste reziduuri scot în eviden¸ t ˘a partea
care descrie comportamentul aleator al pilotului ¸ si reprezint ˘a o component ˘a important ˘a în
studiul ¸ si modelarea modului de ac¸ tionare uman, îns ˘a este de obicei omis, motivul principal
pentru care se recurge la aceast ˘a variant ˘a constând în lipsa unor modele matematice
concrete ale acestor microcomponente. Trebuie îns ˘a remarcat c ˘a pentru probleme cu
un grad ridicat de complexitate, efectul acestor reziduuri este sim¸ tit ¸ si devine necesar ˘a
utilizarea unui model care sa prezic ˘a evolu¸ tia lor.
În aceast ˘a lucrare va fi evitat acest fenomen, fiind utilizat ˘a doar componenta liniar ˘a
a modelului, aceasta având la baz ˘a o func¸ tie de transfer ¸ si variate reguli de alegere a
parametrilor acesteia. Precizia dorit ˘a în replicarea comportamentului uman afecteaz ˘a
într-o m ˘asur˘a foarte mare complexitatea func¸ tiei de transfer.
În continuare vor fi analizate ¸ si prezentate trei modele distincte de pilot, acestea fiind
caracterizate de complexit ˘a¸ ti diferite, respectiv modelul de Precizie, modelul Cross-Over
¸ si modelul Tustin.
10

Capitolul 3. Oscila¸ tii Induse de c ˘atre Pilot
3.1.1. Modelul de Precizie
Un exemplu de func¸ tie de transfer ob¸ tinut ˘a în urma unui compromis f ˘acut în raport cu
precizia, descris ˘a de (Gibson 1999), este
HP(s) =Kp(TLs+ 1)
(Tls+ 1)e−τs
(TNs+ 1), (3.1)
unde semnifica¸ tiile parametrilor sunt urm ˘atoarele:
•Kp- amplificare dat ˘a de pilot;
•τ- timp de reac¸ tie;
•TN- întârziere neuro-muscular ˘a;
•TL- component ˘a compensatorie cu avans de faz ˘a;
•Tl- component ˘a compensatorie cu întârziere de faz ˘a.
Timpul de reac¸ tie, τ, reprezint ˘a perioada în care pilotul ac¸ tioneaz ˘a asupra sistemu-
lui, valoarea sa aflându-se în intervalul [0.1,0.3]secunde.
Întârzierea neuro-muscular ˘a reprezint ˘a timpul necesar pilotului de a lua o decizie,
începând din momentul în care vede valoarea ob¸ tinut ˘a la ie¸ sire.
Pentru situa¸ tiile în care r ˘aspunsul sistemului este foarte lent, pilotul are nevoie s ˘a
anticipeze ce comand ˘a trebuie dat ˘a, acesta fiind rolul constantei TL.
Parametrul Tleste necesar pentru ac¸ tionarea lent ˘a de c˘atre pilot a man¸ sei, cu scopul
de a evita apari¸ tia oscila¸ tiilor induse.
Componenta
e−τs
(TNs+ 1)
reprezint ˘a partea r ˘aspunz ˘atoare de limit ˘arile umane, precum timpul mort sau întârzierea
neuro-muscular ˘a.
Termenul
Kp(TLs+ 1)
(Tls+ 1)
descrie comportamentul compensatoriu al operatorului uman. Parametrii acestui bloc
sunt ajustabili, valorile lor fiind alese în concordan¸ t ˘a cu sarcina ce urmeaz ˘a a fi realizat ˘a,
iar efectele lor sunt descrise în continuare.
Conform (Ciubotaru ¸ si al¸ tii 2018), componenta propor¸ tional ˘a,Kp, are dou ˘a efecte
complementare asupra sistemului, unul benefic ¸ si unul cu impact negativ. Cre¸ sterea va-
lorii acestui parametru va determina o cre¸ stere a l ˘argimii de band ˘a, astfel inducând un
r˘aspuns mai rapid, ¸ si în acela¸ si timp va cre¸ ste amplificarea c ˘aii directe, fenomen ce va
asigura o rejec¸ tie mai bun ˘a a perturba¸ tiilor, acestea dou ˘a fiind avantajele compens ˘arii
propor¸ tionale. Ca dezavantaj se contureaz ˘a o sensibilitate mai mare în raport cu zgomo-
tul ¸ si incertitudinile de modelare, deoarece va cre¸ ste amplificarea ¸ si in cazul frecven¸ telor
înalte.
11

Capitolul 3. Oscila¸ tii Induse de c ˘atre Pilot
In func¸ tie de valorile parametrilor TL¸ siTlse disting dou ˘a situa¸ tii, respectiv TL<
TlsauTL> Tl, iar pentru a eviden¸ tia influen¸ ta acestor dou ˘a elemente trebuie rescris ˘a
componenta compensatorie sub urm ˘atoarea form ˘a
TL
Tls+1
TL
s+1
Tl,
¸ si se analizeaz ˘a polul1
Tl¸ si zeroul1
TL.
Frecven ¸ t˘a[rad/sec ]Amplitudine [dB]
0
Frecven ¸ t˘a[rad/sec ]Faz˘a[rad]020log/parenleftBig
TL
Tl/parenrightBig1
Tl1
TL
1
Tl1
TL
Figura 3.2.: Diagramele Bode ale blocului cu întârziere de faz ˘a
Dac˘a zeroul este mai mare decât polul, respectiv1
TL>1
Tl, adic˘aTL< Tl, atunci
este vorba despre un bloc cu întârziere de faz˘ a . Efectele acestui bloc constau în cre¸ sterea
amplific ˘arii în bucl ˘a pentru frecven¸ te mai mici decât polul1
Tl, asigurând o rejec¸ tie mai
bun˘a a perturba¸ tiilor, dar în acela¸ si timp este introdus ˘a o cantitate de faz ˘a negativ ˘a în
zona de medie frecven¸ t ˘a, iar dac ˘a marginea de faz ˘a nu este suficient de mare se poate
ajunge în instabilitate. Aceste efecte sunt prezentate în Figura 3.2, grafic inspirat din
(Ciubotaru ¸ si al¸ tii 2018).
Frecven ¸ t˘a[rad/sec ]Amplitudine [dB]
0
Frecven ¸ t˘a[rad/sec ]Faz˘a[rad]
020log/parenleftBig
TL
Tl/parenrightBig1
Tl1
TL
1
Tl1
TL
Figura 3.3.: Diagramele Bode ale blocului cu avans de faz ˘a
Conform (Ciubotaru ¸ si al¸ tii 2018), dac ˘a zeroul este mai mic decât polul, respectiv
1
TL<1
Tl, adic˘aTL>Tl, atunci este vorba despre un bloc cu avans de faz˘ a . Consecin¸ tele
12

Capitolul 3. Oscila¸ tii Induse de c ˘atre Pilot
utiliz˘arii acestui bloc implic ˘a o cre¸ stere a amplific ˘arii în bucl ˘a în cazul frecven¸ telor mai mari
decât polul1
Tl, asigurând un r ˘aspuns mai rapid al sistemului, concomitent cu ad ˘augarea
unei cantit ˘a¸ ti de faz ˘a pozitiv ˘a în zona de medie frecven¸ t ˘a ¸ si inducerea unei sensibilit ˘a¸ ti
fa¸ t˘a de zgomote ¸ si incertitudini de modelare, deoarece va cre¸ ste amplificarea in cazul
frecven¸ telor înalte.
În (Kleinman, Baron ¸ si Levison 1970) se afirm ˘a c˘a aceast ˘a manier ˘a de a privi modelul
pilotului pleac ˘a de la ipoteza c ˘a operatorul uman este preg ˘atit, bine inten¸ tionat ¸ si dispus
adapt ˘arii, ac¸ tionând în mod optim în privin¸ ta sarcinii pe care o are de îndeplinit, ¸ tinând
cont de limit ˘ari.
Pornind de la aceast ˘a presupunere, luând în considera¸ tie limit ˘arile de tip psihologic
¸ si fizic ale omului ¸ si ignorând componentele ce au caracter neliniar, poate fi prezentat ˘a o
schem ˘a simplificat ˘a a modelului uman precum cea din Figura 3.4, inspirat ˘a din (Kleinman,
Baron ¸ si Levison 1970).
Timp mort
(τ)Component ˘a
CompensatorieÎntârziere
neuro−muscular ˘aElement de
Execu ¸ tieDinamica
AvionuluiEcrany
yp ucu
vy vu
Figura 3.4.: Schema simplificat ˘a a modelului pilotului
Se consider ˘a c˘a pilotul ac¸ tioneaz ˘a asupra unui singur canal de comand ˘au(t)¸ si are
acces la multiple ie¸ siri y(t) = [y1(t)y2(t)… yp(t)]. Acest model este conceput drept
o înseriere a trei blocuri: timpul mort al pilotului, componenta compensatorie ¸ si întârzierea
de tip neuro-muscular. Componenta compensatorie confer ˘a un caracter optimal modelului
în ceea ce prive¸ ste luarea de decizii, acest principiu însemnând c ˘a pilotul încearc ˘a s˘a
g˘aseasc ˘a cea mai bun ˘a solu¸ tie pentru situa¸ tia în care se afl ˘a.
Elementele vu(t)¸ sivy(t)reprezint ˘a zgomote introduse în sistem ¸ si au ca scop carac-
terizarea comportamentului imprevizibil al omului; vy(t)este un zgomot ad ˘augat la ie¸ sire
¸ si depinde atât de calitatea, tipul, forma ecranului folosit în afi¸ sarea lui y(t), cât ¸ si de
unghiul sau distan¸ ta de la care omul prive¸ ste.
Pilotul prime¸ ste în continuare o variant ˘a pu¸ tin perturbat ˘a a ie¸ sirii,yp(t), m˘arime ce
va fi procesat ˘a de componenta compensatorie, rezultând comanda uc(t);vu(t)contureaz ˘a
diverse erori ce pot ap ˘area în executarea unei manevre. În urm ˘atorul pas se adaug ˘a
întârzierea neuro-muscular ˘a ¸ si rezult ˘a comanda u(t)transmis ˘a elementului de execu¸ tie.
13

Capitolul 3. Oscila¸ tii Induse de c ˘atre Pilot
3.1.2. Modelul Cross-Over
Func¸ tia de transfer caracteristic ˘a modelului Cross-Over, descris ˘a pe larg în (McRuer ¸ si
al¸ tii 1965), este
YpYc(s) =ωce−τs
s, (3.2)
unde semnifica¸ tiile parametrilor sunt urm ˘atoarele:
•Yp- dinamica dat ˘a de pilot;
•Yc- dinamica aeronavei;
•τ- timp de reac¸ tie;
•ωc- frecven¸ ta de t ˘aiere a amplitudinii.
Parametrul ωc, respectiv frecven¸ ta de t ˘aiere a amplitudinii, reprezint ˘a frecven¸ ta în
care modulul func¸ tiei de transfer în bucl ˘a deschis ˘a este egal cu 1, adic ˘a amplitudinea
acesteia este de 0dB, rezultat vizibil pe diagrama Bode a amplitudinii. Un exemplu de
identificare al acestei frecven¸ te este prezentat în Figura 3.5.
Frecven ¸ t˘a[rad/sec ]
ωcAmplitudine [dB]
0
10−1100101102
Figura 3.5.: Exemplu de frecven¸ t ˘a de t ˘aiere a amplitudinii
Dup˘a cum se poate observa din rela¸ tia (3.2), Modelul Cross-Over con¸ tine atât di-
namica pilotului, cât ¸ si dinamica avionului, practic, acesta descrie comportamentul buclei
deschise. Modelul dat de rela¸ tia (3.3) încearc ˘a s˘a eviden¸ tieze faptul c ˘a pilotul aflat în bucl ˘a
încearc ˘a s˘a induc ˘a un comportament al c ˘aii directe de tip integrator în jurul frecven¸ tei de
t˘aiere a amplitudinii.
În [3] sunt analizate diverse exemple de func¸ tii de transfer pentru Yp¸ siYc, îns˘a în
lucrarea de fa¸ t ˘a s-a considerat c ˘aYc=Kc, undeKc= 1, astfel încât Ypr˘amâne de forma
urm˘atoare
Yp(s) =Kpe−τs
s, (3.3)
undeKpreprezint ˘a amplificarea dat ˘a de pilot ¸ si Kc= 1amplificarea dat ˘a de modelul
aeronavei.
Aceast ˘a ipotez ˘a a fost impus ˘a deoarece este de interes strict modelul pilotului, acesta
fiind înseriat ulterior cu un model de avion, urmând analiza cuplajului celor dou ˘a compo-
nente.
Un aspect important ce trebuie precizat în studiul acestui model este legat de limi-
tarea amplific ˘arii dat ˘a de c ˘atre pilot, deoarece o valoarea prea mare va duce sistemul în
14

Capitolul 3. Oscila¸ tii Induse de c ˘atre Pilot
instabilitate. Acest fenomen este justificat de deplasarea frecven¸ tei de t ˘aiere a amplitu-
dinii spre dreapta odat ˘a cu cre¸ sterea amplific ˘arii, iar în cazul în care aceasta cre¸ ste prea
mult ¸ si ajunge s ˘a fie egal ˘a cu frecven¸ ta în care faza este −180◦, atunci se atinge punctul
caracterizat de amplitudinea de 0dB¸ si faza−180◦, echivalent cu punctul de coordonate
(−1,0)de pe diagrama Nyquist, adic ˘a acel punct care indic ˘a instabilitatea.
În continuarea lucr ˘arii se consider ˘a c˘a func¸ tia de transfer a pilotului dat ˘a de modelul
Cross-Over este
HP(s) =Kpe−τs
s. (3.4)
3.1.3. Modelul Tustin
Func¸ tia de transfer caracteristic ˘a modelului Tustin este
HP(s) =Kp(TLs+ 1)e−τs
s, (3.5)
unde semnifica¸ tiile parametrilor sunt urm ˘atoarele:
•Kp- amplificare dat ˘a de pilot;
•τ- timp de reac¸ tie;
•TL- component ˘a compensatorie cu avans de faz ˘a.
Modelul Tustin reprezint ˘a una dintre primele încerc ˘ari de a modela comportamentul
pilotului, studiu f ˘acut de c ˘atre Tustin înc ˘a din 1944, iar acest model este considerat a fi
cel mai pu¸ tin precis, detalii suplimentare fiind disponibile în (Tustin 1947).
3.2. Oscila¸ tiile Induse
În cadrul acestei sec¸ tiuni se va face o descriere a oscila¸ tiilor induse de c ˘atre pilot, studiu
conturat pe baza (Gibson 1999), ulterior prezentând dou ˘a critrii de analiz ˘a a acestor
oscila¸ tii.
Oscila¸ tiile induse de c ˘atre pilot (PIO) reprezint ˘a un fenomen întâlnit în aeronau-
tic˘a, acestea rezultând din încercarea pilotului de a controla aeronava prin compensarea
efectelor cauzate de comenzi introduse anterior. De exemplu, introducerea unor comenzi
consecutive, dar cu rezultate opuse, duce la pierderea controlului ¸ si la apari¸ tia unor astfel
de oscila¸ tii.
Deoarece denumirea de „oscila¸ tii induse de pilot” ar sugera faptul c ˘a pilo¸ tii sunt
cei responsabili, s-a dorit înlocuirea acesteia cu alte sintagme, precum „cuplaj aeronav ˘a-
pilot”, „pilot în bucl ˘a” sau „oscila¸ tii asistate de pilot”. Cauza acestui fenomen poate fi
reprezentat ˘a de dinamica aeronavei, a pilotului sau a celor dou ˘a combinate.
În (McRuer 1995) se afirm ˘a c˘a au fost identificate în cazul pilo¸ tilor tineri mai multe
situa¸ tii în care au fost prezente aceste oscila¸ tii, îns ˘a experien¸ ta nu reprezint ˘a o solu¸ tie a
acestei probleme, iar mul¸ ti pilo¸ ti experimenta¸ ti ascund faptul c ˘a au întâlnit PIO, refuzând
s˘a î¸ si asume c ˘a au pierdut controlul avionului pentru pu¸ tin timp. Realitatea este c ˘a niciun
antrenament nu este suficient de bun pentru a preg ˘ati pilo¸ tii pentru astfel de situa¸ tii
nepl˘acute ¸ si periculoase.
15

Capitolul 3. Oscila¸ tii Induse de c ˘atre Pilot
Un factor cu mare influen¸ t ˘a asupra frecven¸ tei de apari¸ tie a PIO este reprezentat de
timpul mort al pilotului, deoarece acesta are un efect negativ asupra marginii de faz ˘a. De
asemenea, exist ˘a situa¸ tii în care este nevoie de un r ˘aspuns rapid al sistemului, iar pilotul
poate fi indus în eroare de lipsa reac¸ tiei imediate a avionului, acesta impunând ulterior o
comand ˘a mai agresiv ˘a, iar modul s ˘au de a ac¸ tiona va duce la apari¸ tia nedorit ˘a a oscila¸ tiilor
induse.
PIO sunt prezente în mare parte în cazul ateriz ˘arii, acestea fiind caracterizate de
un grad mai ridicat de risc, deoarece pilotul preia controlul într-o m ˘asur˘a mai mare, iar
responsabilit ˘a¸ tile sale cresc. Frecven¸ ta de apari¸ tie a oscila¸ tiilor este mai crescut ˘a ¸ si în
cazul altor situa¸ tii în care pilotul este mai implicat în sarcina pe care o are de îndeplinit,
precum zborul în forma¸ tie, urm ˘arirea precis ˘a a unei ¸ tinte, alimentarea cu combustibil
f˘acut˘a în timpul zborului, aterizarea pe suprafa¸ ta unui portavion sau evitarea rapid ˘a a
unor obstacole nea¸ steptate.
Amploarea acestor PIO variaz ˘a, se pot manifesta drept oscila¸ tii de o amplitudine
mic˘a, u¸ sor de redresat ¸ si controlat, ce apar de obicei în cazul pilo¸ tilor cu pu¸ tin ˘a experien¸ t ˘a.
În acela¸ si timp, PIO pot fi caracterizate de o amplitudine crescut ˘a, acestea devenind
periculoase ¸ si cauzatoare de accidente.
Majoritatea cazurilor în care au fost depistate oscila¸ tii semnificative au avut la baz ˘a
erori cauzate de sistemele interne ale avionului sau de fenomene din mediul extern, care
în urma cupl ˘arii cu pilotul au condus la efecte nefavorabile în momentul în care acesta
încerca s ˘a controleze aeronava.
Atunci când sunt analizate cauzele oscila¸ tiilor, se iau în considerare urm ˘atoarele trei
posibilit ˘a¸ ti:
• Pilotul;
• Dinamica aeronavei;
• Elementul declan¸ sator.
Un exemplu de element declan¸ sator este apari¸ tia unui comportament imprevizibil,
de tip neliniar, în cazul sistemelor de control.
A¸ sa cum spune ¸ si numele, PIO sunt prezente atunci când pilotul intervine ¸ si ac¸ tioneaz ˘a,
influen¸ tând ¸ si men¸ tinând astfel oscila¸ tiile. Pentru a putea elimina acest fenomen, pilotul
trebuie s ˘a ia o decizie, variantele sale constând în men¸ tinerea nemi¸ scat ˘a a elementelor de
control manual, eliberarea acestora sau încercarea de a da comenzi line, cu un grad redus
de agresivitate. Cea din urm ˘a este cel mai greu de realizat, deoarece aplicarea de comenzi
într-un mod calm, în condi¸ tiile în care sunt prezente oscila¸ tii puternice, este împotriva
instinctului uman.
Pot fi identificate trei tipuri de PIO:
• De categoria I;
• De categoria II;
• De categoria III.
Diferen¸ ta dintre cele trei const ˘a în existen¸ ta sau lipsa de neliniarit ˘a¸ ti în cadrul
buclei ce con¸ tine pilotul ¸ si avionul. PIO de categoria I sunt cele mai u¸ sor de în¸ teles ¸ si
recunoscut, acestea fiind caracteristice sistemelor liniare. Dac ˘a apar fenomene neliniare,
16

Capitolul 3. Oscila¸ tii Induse de c ˘atre Pilot
precum satura¸ tia, atunci este vorba despre PIO de categoria II. Cele de categoria III sunt
cele mai periculoase, au loc rar ¸ si sunt dificil de identificat.
În func¸ tie de clasa în care se încadreaz ˘a PIO, pot fi enun¸ tate criterii pe baza c ˘arora
s˘a se examineze cât de predispuse sunt sistemele la apari¸ tia unor astfel de oscila¸ tii.
Un criteriu trebuie s ˘a îndeplineasc ˘a trei condi¸ tii pentru a putea fi utilizat, acesta
necesitând a fi:
• valabil;
• selectiv;
• aplicabil.
Proprietatea de valabilitate presupune c ˘a un criteriu se folose¸ ste de elemente în-
tâlnite în mediul de interes, adic ˘a acesta trebuie s ˘a fac˘a referire la cuplajul pilot-avion,
întârzieri, agresivitatea ¸ si comportamentul pilotului.
Selectivitatea este proprietatea care asigur ˘a existen¸ ta unei delimit ˘ari concrete între
situa¸ tiile favorabile ¸ si cele ce trebuie evitate.
Aplicabilitatea reprezint ˘a proprietatea care descrie cât de u¸ sor de folosit ¸ si de în¸ teles
este un criteriu.
Utilizarea acestor criterii are ca scop predic¸ tia apari¸ tiei oscila¸ tiilor, de aceea este
recomandat ˘a aplicarea a cât mai multe dintre ele, pentru a se putea ob¸ tine un rezultat
valid. De asemenea, aceste verific ˘ari trebuie f ˘acute în stadiul de proiectare, ele fiind inutile
în examinarea situa¸ tiilor în care oscila¸ tiile au avut deja loc.
În aceast ˘a lucrare vor fi analizate PIO de categoria I, iar în acest caz vor fi folosite
dou˘a criterii Gibson prezentate în (Hendarko 2002), unul evaluat în domeniul timp, altul
în domeniul frecven¸ tial.
3.2.1. Panta Varia¸ tiei de Faz˘ a
Acest criteriu se aplic ˘a pentru func¸ tia de transfer pe calea direct ˘a a unghiului de tangaj,
respectivθ(t). Gibson afirm ˘a în (Gibson 1999) c ˘a frecven¸ ta în care faza este egal ˘a cu
−180◦joac˘a un rol important în analiza calit ˘a¸ tilor zborului, numind-o chiar „frecven¸ ta
PIO”.
Acesta a introdus un instrument ce reprezint ˘a diferen¸ ta dintre valoarea fazei în
frecven¸ ta PIO, ω(−180), ¸ si valoarea fazei în dublul aceleia¸ si frecven¸ te, 2ω(−180), numit
Panta Medie a Varia¸ tiei de Faz ˘a, a¸ sa cum este prezentat în Figura 3.6.
Pentru a calcula valoarea acestui parametru se aplic ˘a urm ˘atoarea formul ˘a
PMVF =−∆faz˘a
ω(−180)=
=−(ϕ2ω(−180)+ 180)
ω(−180)[◦/Hz]. (3.6)
17

Capitolul 3. Oscila¸ tii Induse de c ˘atre Pilot
∆faz˘aAmplitudine
Faz˘a
2ω(−180)ω(−180)ω
Figura 3.6.: Panta Medie a Varia¸ tiei de Faz ˘a
Pe baza valorii frecven¸ tei ω(−180)¸ si a Pantei Medii a Varia¸ tiei de Faz ˘a, se verific ˘a
urm˘atorul grafic ¸ si se analizeaz ˘a cât de sensibil ¸ si de predispus este sistemul la apari¸ tia
oscila¸ tiilor.
Panta Medie
a Fazei
[◦/Hz]
ω(−180)[Hz]250
200
150
100
50
0
00.2 0.6 0.4 0.8 11.2N1N2N3
Figura 3.7.: Limitele Nivelurilor
Nivelurile din Figura 3.7 au urm ˘atoarele semnifica¸ tii:
• Nivelul 1 caracterizeaz ˘a sistemele care prezint ˘a ¸ sanse mici de apari¸ tie a PIO, iar,
dac˘a acestea apar, atunci sunt minore.
• Nivelul 2 cuprinde sistemele mai predispuse la PIO, dar cu ¸ sanse mici ca acestea s ˘a
fie periculoase.
• Nivelul 3 înglobeaz ˘a sistemele pentru care apari¸ tia oscila¸ tiilor poate duce la dezastre.
18

Capitolul 3. Oscila¸ tii Induse de c ˘atre Pilot
3.2.2. Criteriul Dropback
Acest criteriu se aplic ˘a pentru func¸ tia de transfer pe calea direct ˘a a ratei de tangaj, q(t).
Aplicarea criteriului const ˘a în calcularea a dou ˘a raporturi
qm
qss¸ siDB
qss, (3.7)
undeqmreprezint ˘a valoarea maxim ˘a a r˘aspunsului sistemului, qsseste valoarea în regim
sta¸ tionar a lui q(t), iarDBeste valoarea dropback-ului.
Dropback-ul reprezint ˘a diferen¸ ta dintre valoarea unghiului de tangaj, θ, în momentul
în care pilotul elibereaz ˘a man¸ sa ¸ si valoarea de regim sta¸ tionar a unghiului de tangaj de
dup˘a eliberare.
Dac˘a se lucreaz ˘a cu referint ˘a de tip treapt ˘a negativ ˘a ¸ si parametrul DBeste negativ,
atunci acesta reprezint ˘a, de fapt, suprareglajul. Este de dorit ca valoarea dropback-ului
sa fie cât mai mic ˘a, eventual nul ˘a pentru a se asigura o urm ˘arire cât mai bun ˘a.
În continuare se aplic ˘a acest criteriu pentru referin¸ t ˘a de tip treapt ˘a pozitiv ˘a, deoa-
rece oscila¸ tiile pot ap ˘area, de fapt, atunci cand pilotul preia controlul. În acest caz, valorile
negative ale dropback-ului eviden¸ tiaz ˘a lipsa suprareglajului, ceea ce implic ˘a un r ˘aspuns
lent al sistemului, iar valorile pozitive reprezint ˘a un indicator al posibilit ˘a¸ tii apari¸ tiei unor
oscila¸ tii abrupte.
În figura 3.8 din (Saussié, Akhrif ¸ si Saydy 2005) sunt reprezentate grafic valorile
elementelor DB¸ siDB
qss, calculate pe baza r ˘aspunsului la treapt ˘a al unghiului de tangaj si
al ratei de tangaj. R ˘aspunsul unghiului de tangaj este unul de tip ramp ˘a, deoarece acesta
se ob¸ tine prin integrarea ratei de tangaj, respectiv a unei trepte.
DB
qssq, θ
Timp (sec)qss
DBq
θ
Figura 3.8.: M ˘asurarea Dropback-ului
19

Capitolul 3. Oscila¸ tii Induse de c ˘atre Pilot
Metoda de calcul a raportuluiDB
qssdescris ˘a în (Saussié, Akhrif ¸ si Saydy 2005) const ˘a
în scrierea func¸ tiei de transfer de la referin¸ ta primit ˘a de pilot la ie¸ sire, respectiv la rata de
tangaj,q, sub forma
q
ref=a0+a1s+a2s2+…
b0+b1s+b2s2+…, (3.8)
urmând aplicarea urm ˘atoarei formule
DB
qss=a1
a0−b1
b0. (3.9)
Evaluarea raportuluiqm
qssse realizeaz ˘a într-un mod facil f ˘acând apel la r ˘aspunsul ratei
de tangaj, se vor re¸ tine dou ˘a valori, respectiv valoarea maxim ˘a ¸ si valoarea din regimul
permanent.
Dup˘a calcularea celor dou ˘a raporturi se verific ˘a graficul din Figura 3.9 pentru a se
determina zona în care este încadrat sistemul testat.
Dac˘a valoarea raportuluiDB
qsseste negativ ˘a, atunci sistemul este caracterizat de un
r˘aspuns lent, iar cu cât este aceast ˘a valoare mai departe de 0, cu atât este sistemul mai
lent. Dac ˘a se ob¸ tineDB
qss>0.3, atunci se vor înregistra oscila¸ tii puternice ¸ si periculoase,
iar dac ˘a valoarea acestui raport este mai mic ˘a decât 0.3, dar în afara zonei caracterizate
de un r ˘aspuns satisf ˘ac˘ator, atunci pot ap ˘area oscila¸ tii, dar acestea vor fi u¸ soare ¸ si lipsite
de risc.
0 0.313.0qm
qss
DB
qssSatisf˘ac˘ator Lent Oscila¸ tii bru¸ steOscila¸ tii u¸ soare
Figura 3.9.: Limitele zonelor determinate de Criteriul Dropback
Trebuie men¸ tionat c ˘a pentru valori mai mici decât 1ale raportuluiqm
qss, nu are sens
aplicarea acestui criteriu, deoarece nu exist ˘a suprareglaj, de aceea zona ce caracterizeaz ˘a
un comportament satisf ˘ac˘ator, din graficul prezentat în Figura 3.9, este limitat ˘a inferior pe
axaOYde aceast ˘a valoare. Existen¸ ta suprareglajului este indicat ˘a pentru a se asigura o
vitez˘a de r˘aspuns acceptabil ˘a, deoarece pot ap ˘area cazuri în care este nevoie de executarea
unei manevre bru¸ ste.
20

4. Aplica¸ tie pentru un avion civil
În cadrul acestui capitol se urm ˘are¸ ste implementarea unei proceduri de proiectare a unui
regulator pentru modelul longitudinal al unui avion civil, respectiv RCAM1, descris în
(Helmersson, Sheen ¸ si Lambrechts 1995), dezvoltat de GARTEUR2.
Un element important în acest studiu este reprezentat de pilotul aflat în bucl ˘a, de
aceea au fost studiate trei modele matematice diferite de operator uman, iar pentru fiecare
în parte se va propune o solu¸ tie ce const ˘a în proiectarea unui compensator Kalman, ulterior
f˘acând o extindere în sens Youla.
Dup˘a ce se ob¸ tin regulatoarele stabilizatoare se va face o analiz ˘a a oscila¸ tiilor induse
de c˘atre pilot, iar rezultatele vor fi generate prin evaluarea a dou ˘a criterii Gibson, unul
în timp ¸ si altul în frecven¸ t ˘a. De asemenea, se va studia ¸ si efectul timpului de reac¸ tie al
pilotului asupra predispunerii sistemului la astfel de oscila¸ tii.
4.1. Modelul longitudinal
Am folosit sistemul descris de urm ˘atoarele ecua¸ tii pe stare
/braceleftBigg
˙x(t) =Alonx(t) +Blonu(t), x (t0) =x0∈Rn,
y(t) =Clonx(t) +Dlonu(t),(4.1)
unde matricele Alon,Blon,Clon¸ siDlonau valorile ob¸ tinute din (Helmersson, Sheen ¸ si
Lambrechts 1995), respectiv
Alon=/bracketleftBigg
−0.9800−0.0160
77.0000−0.6700/bracketrightBigg
, Blon=/bracketleftBigg
−2.4000
−6.5000/bracketrightBigg
,
Clon=
1.0000 0.0000
0.0000 1.0000
0.0000 0.0290
, Dlon=
0.0000
0.0000
0.0000
.
Acest model are în componen¸ t ˘a dou ˘a st˘ari, o intrare ¸ si trei ie¸ siri, acestea fiind
urmatoarele:
x=/bracketleftBigg
q
w/bracketrightBigg
, u =δE, y =
q
˙z
V
, (4.2)
unde elementele componente au urm ˘atoarele semnifica¸ tii:
1Research Civil Aicraft Model
2Group for Aeronautical Research and Technology in EURope
21

Capitolul 4. Aplica¸ tie pentru un avion civil
•q- rata de tangaj [grd/s];
•w- viteza iner¸ tial ˘a de pe axa Z raportat la sistemul de referin¸ t ˘a asociat avionului
[m/s];
•δE- unghiul de deflec¸ tie al elevatorului [grd];
•˙z- viteza corespunz ˘atoare axei Z raportat la sistemul de referin¸ t ˘a asociat P ˘amântului
[m/s];
•V- viteza total ˘a a avionului [m/s];
Referin¸ ta pe care o are de urm ˘arit sistemul este reprezentat ˘a de rata de tangaj, q
[m/s], ce se dore¸ ste a fi men¸ tinut ˘a pe 0.
Spectrul matricei de stare a sistemului este
Λ(Alon) =/bracketleftBig
−0.8250±1.0991i/bracketrightBig
, (4.3)
de unde se poate observa c ˘a sistemul este stabil.
Func¸ tia de transfer a elementului de execu¸ tie este
HEE=1
0.15s+ 1,
cu matricea de transfer
MTEE=/bracketleftBigg
−6.667 2
3.333 0/bracketrightBigg
,
iar pe canalul de intrare intervine o intârziere de 0.12secunde, aproximat ˘a ulterior, ajun-
gând la urm ˘atoarea form ˘a
HÎ=−0.06s+ 1
0.06s+ 1,
echivalentul s ˘au pe stare fiind
MTÎ=/bracketleftBigg
−16.67 8
4.167−1/bracketrightBigg
.
Conectând toate aceste componente rezult ˘a procesul ce va fi utilizat în cadrul acestei
lucr˘ari, având realizarea pe stare urm ˘atoare
A=
−0.9800−0.0160−8.0000 0.0000
77.0000−0.6700−21.6667 0.0000
0.0000 0.0000−6.6667 8.3333
0.0000 0.0000 0.0000−16.6667
, B =
0.0000
0.0000
−2.0000
8.0000
,
C=
1.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 1.0000 0.0000 0.0000
0.0000 0.0290 0.0000 0.0000
, D =
0.0000
0.0000
0.0000
.
4.2. Reglarea la referin¸ t˘ a treapt˘ a
În cadrul acestei sec¸ tiuni se va realiza reglarea la referin¸ t ˘a treapt ˘a pentru trei cazuri, în
func¸ tie de modelul utilizat pentru pilot.
22

Capitolul 4. Aplica¸ tie pentru un avion civil
Prin înserierea componentelor descrise anterior ¸ si a pilotului se ob¸ tine procesul re-
zultant din Figura 4.1, unde q,˙z¸ siVsunt ie¸ sirile modelului longitudinal, qrefeste o
referin¸ t ˘a de tip treapt ˘a ¸ siupeste comanda dat ˘a de pilot.
Întârziere pe
canalul de comunica ¸ tieElement de
Execu ¸ tieModel
LongitudinalPilotqqref
up
uε
˙z
V−+
Figura 4.1.: Procesul rezultant
Scenariul de lucru impus presupune ¸ si asigurarea urm ˘atoarelor performan¸ te:
• timp de cre¸ stere tc62sec;
• timp tranzitoriu tt610sec;
• suprareglaj σ<5%;
unde m ˘arimea reglat ˘a în aceast ˘a situa¸ tie este reprezentat ˘a de rata de tangaj, de aceea
matricea de transfer a pilotului se afl ˘a pe canalul corespunz ˘ator luiq.
4.2.1. Modelul de Precizie
Sistemul ce caracterizeaz ˘a comportamentul pilotului este descris de urm ˘atoarea func¸ tie de
transfer
Hp=Kp(TLs+ 1)
(Tls+ 1)e−τs
(TNs+ 1),
având matricea de transfer de forma
MTp=
−16.94−8.896−1.126 2
8 0 0 0
0 2 0 0
−1.196 0.9713 0.08446 0
,
unde parametrii au urm ˘atoarele valori
Parametru Valoare
Kp 0.15
τ 0.15 [sec]
TN 0.1 [sec]
TL 5.9 [sec]
Tl 3.7 [sec]
Tabela 4.1.: Valorile parametrilor Modelului de Precizie
Valorile prezentate în Tabela 4.1 sunt provenite din [ 1].
23

Capitolul 4. Aplica¸ tie pentru un avion civil
Sistemul ob¸ tinut prin conectarea blocurilor din Figura 4.1, notat cu P, are urm ˘atoarea
realizare pe stare
AP=
−0.98−0.016−8 0 0 0 0
77−0.678−21.6667 0 0 0 0
0 0−6.667 8.333 0 0 0
0 0 0 −16.67 0 0 0
−2 0 0 0 −16.94−8.896−1.126
0 0 0 0 8 0 0
0 0 0 0 0 2 0
, BP=
0
0
−2
8
0
0
0
,
CP=
0 0 0 0−1.196 0.9713 0.08446
0 1 0 0 0 0 0
0 0.029 0 0 0 0 0
, DP=
0
0
0
.
Analizând procesul se poate observa c ˘a urm ˘arirea la treapt ˘a nu poate fi îndeplinit ˘a,
deoarece pe calea direct ˘a nu este prezent niciun integrator. În acest sens se va înseria un
integrator, astfel fiind respectat Principiul Modelului Intern.
În final, rezult ˘a urm ˘atoarea realizare pe stare corespunz ˘atoare procesului ce con¸ tine
o component ˘a integratoare, ce va fi folosit ˘a în continuare
APs=
−0.98−0.016−8 0 0 0 0 0
77−0.678−21.6667 0 0 0 0 0
0 0−6.667 8.333 0 0 0 0
0 0 0 −16.67 0 0 0 0
−2 0 0 0 −16.94−8.896−1.126 0
0 0 0 0 8 0 0 0
0 0 0 0 0 2 0 0
0 0 0 0 −1.1959 0.9713 0.0845 0
, BPs=
0
0
−2
8
0
0
0
0
,
CPs=
0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0.029 0 0 0 0 0 0
, DPs=
0
0
0
,
aceasta fiind realizarea procesului notat cu Ps.
Urm˘atorul pas const ˘a în verificarea condi¸ tiilor necesare ¸ si suficiente de controlabi-
litate ¸ si observabilitate în scopul g ˘asirii unui regulator stabilizator. Rangul matricei de
controlabilitate este egal cu 8, iar acest rezultat favorabil se conserv ˘a ¸ si în cazul rangului
matricei de observabilitate, ¸ si acesta fiind egal cu 8, deci maxim. În concluzie, sistemul
este controlabil ¸ si observabil, respectiv minimal, deci se pot c ˘auta solu¸ tii pentru rezolvarea
problemei stabiliz ˘arii, respectiv aloc ˘arii.
Pe baza acestei ipoteze se poate începe procedura de calculare a unui compensator
Kalman stabilizator.
Pentru a se putea regla la referin¸ t ˘a treapt ˘a trebuie respectat ˘a condi¸ tia
rang/bracketleftBigg
−APs−BPs
CPs 0/bracketrightBigg
=n+p.
Deoarece se face reglare pe un singur canal, respectiv primul, se va utiliza doar prima
linie a matricei CPs. În urma verific ˘arii reiese c ˘a rangul matricei este egal cu 9, rezultat
24

Capitolul 4. Aplica¸ tie pentru un avion civil
îmbucur ˘ator, întrucât num ˘arul de st ˘ari,n, este 8 ¸ si num ˘arul de ie¸ siri, p, este 1, în acest
fel se poate continua sinteza, deoarece lipsa zerourilor în 0 este asigurat ˘a.
Prin numeroase c ˘aut˘ari ¸ si aloc ˘ari de poli a fost ob¸ tinut ˘a urm ˘atoarea matrice de
reac¸ tie dup ˘a stare
F=/bracketleftBig
17.5−1.4−10.3−3.2−83.9−271.6 595 1972 .4/bracketrightBig
, (4.4)
iar spectrul alocat este
ΛF={−8±6.3j,−0.38,−5.09±6j,−11,−8.3,−8,}.
Cum este nevoie de o m ˘asurare a st ˘arii, a fost necesar s ˘a se fac ˘a apel la utilizarea
unui estimator de stare, unde matricea aferent ˘a acestuia, L, a fost ob¸ tinut ˘a tot în urma
unei proceduri de alocare de poli, aceasta fiind
L=
−2.4760−4.6442−0.1347
−15.0418 5.7634 0.1671
−8.4219−9.2138−0.2672
12.5505 11.0283 0.3198
87.7106−2.2824−0.0662
−80.4305 1.7721 0.0514
7.0947−0.1831 0.0053
9.3285−0.2247−0.0065
, (4.5)
iar spectrul de estimare este
ΛL={−0.04,−0.21,−0.34,−7.6±7.64j,−5±6.04j,−7.7}.
Urm˘atorul pas const ˘a în aplicarea formulei matricei de transfer corespunz ˘atoare
compensatorului Kalman, respectiv
Ks(s) =/bracketleftBigg
A+LC+BF+LDF−L
F 0/bracketrightBigg
pentru ob¸ tinerea lui Ks. Acest rezultat va fi înseriat cu un integrator, rezultând astfel
regulatorul Kstabilizator cu ac¸ tiune integral ˘a, respectiv care regleaz ˘a la referin¸ t ˘a treapt ˘a,
undeKare realizarea pe stare urm ˘atoare
AK=
−0.98−0.016−8 0 0 0 0 0 0
2.47−0.98−4.66−8 0 0 0 0 −2.47
15.04 77 5 .09−21.67 0 0 0 0 −15.04
8.42−35.06−6.49 13.97 14.81 167.8 543.2−1190 3936
12.55 140.2 0.13−82.54−42.57−671.3−2173 4760−1577
−87.71−2−2.28 0 0 −23.6−8.72−1.12 87.71
80.43 0 1 .77 0 0 16 0 0 −80.43
−7.09 0−0.18 0 0 0 2 0 7 .09
−9.32 0−0.22 0 0 −1.19 0.98 0.08 9.32
,
25

Capitolul 4. Aplica¸ tie pentru un avion civil
BK=
1 0 0
0 4.64 0.13
0−5.76−0.16
0 9.21 0.26
0−11.03−0.31
0 2.28 0.06
0−1.77−0.05
0 0.18 0.53
0 0.22 0.65
,
CK= [0 17.53−1.36−10.32−3.23−83.91−271.6 595−1972 ], DK= [0 0 0 ].
Urmeaz ˘a acum extinderea în sens Youla, procedur ˘a ce va fi efectuat ˘a pornind de
la realizarea pe stare a compensatorului stabilizator central, K. Pa¸ sii ce necesit ˘a a fi
parcur¸ si presupun g ˘asirea matricelor F¸ siLastfel încât spectrele matricelor APs+BPsF¸ si
APs+LCPss˘a fie formate din valori proprii cu partea real ˘a negativ ˘a, calcularea matricei
J¸ si alegerea unui Qstabil.
Înlocuind în formula (2.21), Jreiese
AJ=
−215.2 47.32−953 465.9 2072−1168−3434 6996
96.11−33.2 420−187.5−902 5066 1492 −3042
38.78−23.55 231.7−63.49−555.9 2957 866 .2−1784
27.34−6.783 124.5−47.01−286.8 1575 463 −944.9
77.83−19.68 342.2−161.1−736.2 4184 1235 −2505
19.06 2.51 91.46−74.62−205.3 1115 334 −672.7
−50.57 8.36−192.3 99.52 390.5−2309−681.9 1376
−19.18 12.9−48.9−19.47 73.71−568.7−160.6 327.6
,
BJ=
21.32 6.751 0.1958−6.853
−1.94−12.69−0.3681 2.972
−38.89−5.003−0.1451 1.754
−5.098−1.303−0.03779 0.9254
21.08−4.104−0.119 2.442
−38.84 1.221 0.03542 0.6739
−41.38 1.802 0.05227−1.332
−95.38 3.842 0.1114−0.2841
,
CJ=
29.22−7.542 138 .6−65.93−301.9 1707 501 .5−1022
0.09149−0.02006 0.00457 0 .04786 0 .1432 0.794 0.2949−0.501
−0.2111−0.1312−0.7637−0.189 0.01955 0.3548−0.2104 0.3858
0.006121−0.003804−0.02215−0.005481 0.000567 0.01029−0.006101 0.01119
,
DJ=
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
,
iar Q a fost ales astfel încât s ˘a respecte condi¸ tiile din Teorema 2.2.3, respectiv
Q(s) =/bracketleftBigg
−0.11 0 0
1 0 0 0/bracketrightBigg
.
Un alt aspect important luat în considerare în procesul de alegere al lui Q a fost
reprezentat de dimensiune, deoarece dimensiunea regulatorului rezultat este egal ˘a cu suma
dimensiunilor lui J¸ siQ, în concluzie impunându-se un num ˘ar cât mai mic de st ˘ari pentru
elementulQ.
26

Capitolul 4. Aplica¸ tie pentru un avion civil
Clasa tuturor compensatoarelor care stabilizeaz ˘a intern bucla de reac¸ tie este dat ˘a
de urm ˘atoarea rela¸ tie
KY=TLFI (J,Q),
respectiv
AKY=
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
21.32−215.2 47.32−953 465.9 2072−1168−3434 6996−6.85
−1.94 96.11−33.2 420−187.5−902 5066 1492 −3042 2.97
−38.89 38.78−23.55 231.7−63.49−555.9 2957 866 .2−1784 1.75
−5.09 27.34−6.78 124.5−47.01−286.8 1575 463 −944.9 0.92
21.08 77.83−19.68 342.2−161.1−736.2 4184 1235 −2505 2.44
−38.84 19.06 2.51 91.46−74.62−205.3 1115 334 −672.7 0.67
−41.38−50.57 8.36−192.3 99.52 390.5−2309−681.9 1376−1.33
−95.38−19.18 12.9−48.9−19.47 73.71−568.7−160.6 327.6−0.28
1 0.09−0.02 0.14 0.05 0.14 0.79 0.29−0.5−0.1
,
BKY=
1 0 0
0 6.751 0.1958
0−12.69−0.3681
0−5.003−0.1451
0−1.303−0.03779
0−4.104−0.119
0 1.221 0.03542
0 1.802 0.05227
0 3.842 0.1114
0 0 0
,
CKY= [0 29.22−7.542 138.6−65.93−301.9 1707 501 .5−1022 1 ],
DKY= [0 0 0 ].
În Figura 4.2 sunt reprezentate r ˘aspunsurile la treapt ˘a, atât pentru sistemul reglat
folosind compensatorul Kalman, respectiv graficul albastru, cât ¸ si sistemul ob¸ tinut prin
extinderea în sens Youla, respectiv graficul ro¸ su. Se poate observa c ˘a cele dou ˘a r˘aspunsuri
se aseam ˘an˘a foarte mult, fapt confirmat ¸ si de performan¸ tele evaluate pe baza acestora,
diferen¸ tele de timp ¸ si de suprareglaj fiind minore.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−0.200.20.40.60.811.2
Timp (secunde)AmplitudineYoula
Figura 4.2.: Raspunsul la treapt ˘a în cazul utiliz ˘arii Modelului de Precizie
27

Capitolul 4. Aplica¸ tie pentru un avion civil
Performan¸ tele asigurate sunt afi¸ sate în continuare:
• timp de cre¸ stere tc= 0.4635sec62sec;
• timp tranzitoriu tt= 1.1658sec610sec;
• suprareglaj σ= 0.2904%<5%;
iar în cazul regulatorului stabilizator central, K:
• timp de cre¸ stere tc= 0.4611sec62sec;
• timp tranzitoriu tt= 1.1585sec610sec;
• suprareglaj σ= 0.5604%<5%.
În Figura 4.3 sunt prezentate r ˘aspunsurile libere ale celor trei canale, rata de tangaj,
viteza vertical ˘a a centrului de greutate ¸ si viteza total ˘a a aeronavei pentru condi¸ tii ini¸ tiale
nenule. Este vizibil faptul c ˘a timpii de stabilizare sunt respecta¸ ti, ace¸ stia fiind mai mici
de2sec.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2−1012·10−2Rata de tangaj [grd/s ]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.4−0.200.20.4AmplitudineViteza vertical ˘a a centrului de greutate [m/s]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2−1012·10−2
Timp (secunde)Viteza total ˘a a aeronavei [m/s]
Figura 4.3.: R ˘aspunsul liber al sistemului în cazul utiliz ˘arii Modelului de Precizie
În continuare se vor aplica cele dou ˘a criterii Gibson cu scopul de a se analiza cât de
predispus este sistemul la apari¸ tia oscila¸ tiilor induse.
Întâi se va aplica Panta Medie a Varia¸ tiei de Faz˘ a , criteriu ce presupune identificarea
frecven¸ tei în care faza este de −180◦¸ si aplicarea formulei
PMVF =−(ϕ2ω(−180)+ 180)
ω(−180)[◦/Hz].
28

Capitolul 4. Aplica¸ tie pentru un avion civil
În cazul acesta, valoarea PMVF ob¸ tinut ˘a este
PMVF =−(−342 + 180)
1.6711= 96.9406 [◦/Hz].
Deoarece valoarea PMVF dep˘a¸ se¸ ste pragul de 85◦/Hz, sistemul studiat este inclus
în clasa sistemelor de Nivel 2, adic ˘a este predispus la PIO, dar oscila¸ tiile care apar nu
reprezint ˘a un pericol.
Aplicarea criteriului Dropback const˘a în evaluarea a dou ˘a raporturi, valorile acestora
fiindqm
qss= 1.0056 ¸ siDB
qss=−0.0715.
Verificând Figura 3.7 se poate observa c ˘a sistemul se afl ˘a în stânga zonei care include
sistemele cu un comportament satisf ˘ac˘ator, acest rezultat însemnând c ˘a r˘aspunsul este
pu¸ tin lent.
Um˘atorul pas al acestei analize const ˘a în varierea timpului de reac¸ tie al pilotului ¸ si
observarea efectului indus de acesta asupra rezultatelor criteriilor.
τ= 0.1secτ= 0.15secτ= 0.2 secτ= 0.25secτ= 0.3sec
PMVF [◦/Hz]19.1322 96.9406 101.4019 103.0442 99.3769
qm
qss1 1.0056 1 1 1.0652
DB
qss1.4723 -0.0715 -0.5720 -2.5384 -6.6857
Tabela 4.2.: Efectele varierii timpului mort în cazul Modelului de Precizie
Pe baza rezultatelor din Tabela 4.2 se poate trage concluzia c ˘a odat ˘a cu cre¸ sterea
valorii timpului mort, raportulDB
qssscade, astfel îndep ˘artându-se de zona sistemelor cu
r˘aspuns satisf ˘ac˘ator, încadrându-se în zona de r ˘aspuns lent, ceea ce este normal din mo-
ment ce pilotul ac¸ tioneaz ˘a dup ˘a un timp mai îndelungat.
La polul opus se afl ˘a situa¸ tia în care operatorul uman ac¸ tioneaz ˘a prea brusc, adic ˘a
timpul de reac¸ tie este minim, respectiv de 0.1sec. În acest caz sistemul intr ˘a în zona de
oscila¸ tii puternice, acesta fiind unul din motivele pentru care este indicat ca pilotul s ˘a
men¸ tin ˘a man¸ sa într-o pozi¸ tie fix ˘a sau chiar s ˘a se retrag ˘a, adic ˘a s˘a ias˘a din bucl ˘a, pân ˘a la
momentul în care oscila¸ tiile dispar.
Asupra raportuluiqm
qssnu se înregistreaz ˘a schimb ˘ari semnificative, valoarea lui fiind
în jurul lui 1, iar în cazurile în care acest punct este dep ˘a¸ sit, atunci se poate anticipa
prezen¸ ta unui mic suprareglaj.
Indicatorul r ˘amas, ¸ si anume Panta Medie a Varia¸ tiei de Faz ˘a, cre¸ ste, încadrând
sistemul în Nivelul 2 de oscila¸ tii.
Un rezultat interesant se poate observa pentru cazul particular în care timpul mort
este de 0.1sec, în aceast ˘a situa¸ tie se înregistreaz ˘a o valoarea a PMVF de 19.1322 [◦/Hz],
însemnând c ˘a sistemul este încadrat în zona de Nivel 1, adic ˘a exist ˘a pu¸ tine ¸ sanse ca astfel
29

Capitolul 4. Aplica¸ tie pentru un avion civil
de oscila¸ tii s ˘a apar ˘a. Aceast ˘a concluzie intr ˘a în contradic¸ tie cu informa¸ tiile deduse pe
baza valorii raportuluiDB
qssdescrise mai sus, iar acest fenomen nu face altceva decât s ˘a
demonstreze c ˘a nu este suficient ˘a aplicarea unui singur criteriu, indicat fiind s ˘a se verifice
cât mai multe criterii înc ˘a din faza de proiectare.
4.2.2. Modelul Cross-Over
Sistemul ce caracterizeaz ˘a comportamentul pilotului este descris de urm ˘atoarea func¸ tie de
transfer
Hp=Kpe−τs
s,
având matricea de transfer de forma
MTp=
−6.667 0 1
1 0 0
−0.15 1 0
,
unde parametrii au urm ˘atoarele valori
Parametru Valoare
Kp 0.15
τ 0.15 [sec]
Tabela 4.3.: Valorile parametrilor Modelului Cross-Over
Precum în cazul Modelului de Precizie, valorile sunt provenite din [ 2].
Sistemul ob¸ tinut prin înserierea modelului longitudinal ¸ si a pilotului descris de Mo-
delul Cross-Over, notat cu P, are urm ˘atoarea realizare pe stare
AP=
−0.98−0.016−8 0 0 0
77−0.67−21.67 0 0 0
0 0−6.667 8.333 0 0
0 0 0 −16.67 0 0
−2 0 0 0 −13.33 0
0 0 0 0 1 0
, BP=
0
0
−2
8
0
0
,
CP=
0 0 0 0−0.075 0
0 1 0 0 0 0
0 0.029 0 0 0 0
, DP=
0
0
0
.
Atât rangul matricei de controlabilitate, c⸠t ¸ si rangul matricei de observabilitate
sunt egale cu 6, num ˘arul st ˘arilor fiind tot 6, rezultând astfel c ˘a procesul este controlabil ¸ si
observabil, deci este posibil ˘a calcularea unui compensator stabilizator. Problema urm ˘aririi
referin¸ tei de tip treapt ˘a este rezolvat ˘a de integratorul aflat pe calea direct ˘a, mai exact în
func¸ tia de transfer a pilotului.
Prin respectarea urm ˘atoarei condi¸ tii este asigurat ˘a lipsa zeroului în 0 de pe canalul
corespunz ˘ator ratei de tangaj, respectiv
rang/bracketleftBigg
−AP−BP
CP 0/bracketrightBigg
=n+p= 6 + 1 = 7 ,
30

Capitolul 4. Aplica¸ tie pentru un avion civil
unde este utilizat ˘a doar prima linie a matricei CP.
Matricea de reac¸ tie dup ˘a stare a fost ob¸ tinut ˘a printr-o procedur ˘a de alocare de poli,
respectiv
F=/bracketleftBig
26.7282−0.7080−18.1349−6.3275−150.9232−972.7803/bracketrightBig
, (4.6)
iar spectrul alocat este
ΛF={−12±8j,−4.9,−8±9j,−1.1}.
Matricea estimatorului, L, a fost ob¸ tinut ˘a tot în urma unei proceduri de alocare de
poli, aceasta fiind
L=
−0.9707−7.8583−0.2279
−0.1563 7.9712 0.2312
−1.9834−16.7924−0.4870
2.4372 21 .0727 0.6111
−15.1601−0.4613−0.0134
2.0681 0.0154 0.0004
, (4.7)
iar spectrul de estimare este
ΛL={−1.04,−1.3,−1.09,−7.6±10.64j,−0.7}.
Compensatorul Kalman rezultat este caracterizat de urm ˘atoarea realizare de stare
AK=
−0.98−7.88−8 0 0 .14−0.97
77 7.38−21.67 0 0 .02−0.15
−53.46−15.39 29.6 20.99 302.1 1944
213.8 15.43−145.1−67.29−1208−7780
−1−0.461 0 0 −4.39−15.16
0 0.015 0 0 0 .68 2.06
, BK=
0.97 7.85 0.22
0.15−7.97−0.23
1.98 16.79 0.48
−2.43−21.07−0.61
15.16 0.46 0.01
−2.06−0.01−0.04
,
CK= [26.73−0.708−18.13−6.327−150.9−972.8], DK= [0 0 0 ].
Pornind de la compesatorul stabilizator central se face extinderea în sens Youla ¸ si
se calculeaza matricea J, respectiv
AJ=
200.1−172.2−76.47−216.8 1312−6920
81.5−67.03 14.02−28.74 461.7−2434
−86.9 54.8 48.21 136.1−546 2879
34.46−22.47−15.95−41.38 215.8−1138
−7.293 6.208 4.133 9.906−51.06 258.5
3.369−2.9−1.99−4.62 22.87−122.5
,
BJ=
2.848 28.08 0.8143−7.163
0.07291−6.027−0.1748−2.519
0.3576−4.648−0.1348 2.978
0.03946 1.605 0.04654−1.178
−15.08−1.479−0.0429 0.2836
−3.057 0.7083 0.02054−0.1235
,
CJ=
−30.28 20 .3 9.062 30 .34−183.3 966.6−0.03875 0 .02148
0.006038−0.002994−0.4757 0.8912 0.007816−0.7873−0.6092 0.09189
−0.009912 0 .01846 0.0002267−0.02283−0.01767 0.002665−0.0002874 0 .0005355
,
31

Capitolul 4. Aplica¸ tie pentru un avion civil
DJ=
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
,
iar Q a fost ales astfel
Q(s) =/bracketleftBigg
−0.11 0 0
1 0 0 0/bracketrightBigg
.
Clasa tuturor compensatoarelor care stabilizeaz ˘a intern bucla de reac¸ tie va fi dat ˘a
de
AKY=
200.1−172.2−76.47−216.8 1312−6920−7.163
81.5−67.03 14.02−28.74 461 .7−2434−2.519
−86.9 54.8 48.21 136 .1−546 2879 2 .978
34.46−22.47−15.95−41.38 215 .8−1138−1.178
−7.293 6.208 4.133 9 .906−51.06 258.5 0.2836
3.369−2.9−1.99−4.62 22.87−122.5−0.1235
−0.03875 0.02148 0.006038−0.002994−0.4757 0.8912−0.1
,
BKY=
2.848 28.08 0.8143
0.07291−6.027−0.1748
0.3576−4.648−0.1348
0.03946 1.605 0.04654
−15.08−1.479−0.0429
−3.057 0.7083 0.02054
1 0 0
,
CKY= [−30.28 20.3 9.062 30.34−183.3 966.6 1 ],
DKY= [0 0 0 ].
R˘aspunsurile la intrare treapt ˘a sunt prezentate în Figura 4.4, în cazul utiliz ˘arii
Modelului Cross-Over fiind vizibil ˘a o diferen¸ t ˘a mic˘a de performan¸ te.
0 1 2 3 4 5 6 7 8−0.200.20.40.60.811.2
Timp (secunde)AmplitudineKalman
Youla
Figura 4.4.: R ˘aspunsul la treapt ˘a în cazul utiliz ˘arii Modelului Cross-Over
Se poate observa c ˘a performan¸ tele sunt asigurate, acestea fiind:
• timp de cre¸ stere tc= 1.7787sec62sec;
32

Capitolul 4. Aplica¸ tie pentru un avion civil
• timp tranzitoriu tt= 4.9455sec610sec;
• suprareglaj σ= 2.2355%<5%;
iar în cazul regulatorului stabilizator central, K:
• timp de cre¸ stere tc= 1.7594sec62sec;
• timp tranzitoriu tt= 5.3807sec610sec;
• suprareglaj σ= 2.6347%<5%.
R˘aspunsul liber al sistemului este reprezentat în Figura 4.5 ¸ si se poate vedea cum
timpul de stabilizare pentru rata de tangaj este mai mic de 2 secunde.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.1−5·10−205·10−20.1Rata de tangaj [grd/s ]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−4−2024AmplitudineViteza vertical ˘a a centrului de greutate [m/s]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.1−5·10−205·10−20.1
Timp (secunde)Viteza total ˘a a aeronavei [m/s]
Figura 4.5.: R ˘aspunsul liber al sistemului în cazul utiliz ˘arii Modelului Cross-Over
Urm˘atorul pas al acestei lucr ˘ari const ˘a în aplicarea criteriilor Gibson în timp ¸ si în
frecven¸ t ˘a, cu scopul de a se verifica predispunerea mai mare sau mai mic ˘a a sistemului la
apari¸ tia oscila¸ tiilor induse.
Întâi se va aplica Panta Medie a Varia¸ tiei de Faz˘ a , criteriu ce presupune identificarea
frecven¸ tei în care faza este de −180◦¸ si aplicarea formulei
PMVF =−(ϕ2ω(−180)+ 180)
ω(−180)[◦/Hz].
33

Capitolul 4. Aplica¸ tie pentru un avion civil
În cazul acesta, valoarea PMVF ob¸ tinut ˘a este
PMVF =−(−310 + 180)
2.3873= 54.4543 [◦/Hz].
Valoarea ob¸ tinut ˘a este una satisf ˘ac˘atoare, deoarece PMVF este plasat ˘a sub pragul
de 85◦/Hz, acest rezultat însemnând c ˘a sistemul este unul de Nivel 1, adic ˘a pot fi prezente
oscila¸ tii induse, dar frecven¸ ta lor de apari¸ tie este mic ˘a, iar cele care apar nu reprezint ˘a un
pericol.
Pentru aplicarea criteriului Dropback se calculeaz ˘a valorile celor dou ˘a raporturi,
acestea fiindqm
qss= 1.0271 ¸ siDB
qss=−1.2417.
Pe baza Figurii 3.7 se poate identifica zona din care face parte sistemul, respectiv
zona ce caracterizeaza sistemele lente, rezultat asem ˘an˘ator cu cel ob¸ tinut în cazul utiliz ˘arii
Modelului de Precizie.
În continuare se vor lua în considerare diferite valori ale timpului de reac¸ tie al
pilotului ¸ si se va analiza impactul acestuia asupra informa¸ tiilor ob¸ tinute prin verificarea
criteriilor Gibson.
τ= 0.1secτ= 0.15secτ= 0.2secτ= 0.25secτ= 0.3sec
PMVF [◦/Hz]48.8248 54.4543 57.8951 58.6118 60.8986
qm
qss3.2635 1.0271 1.0234 1.0188 1.0183
DB
qss2.8706 -1.2417 -1.4684 -1.5208 -1.5521
Tabela 4.4.: Efectele varierii timpului mort în cazul Modelului Cross-Over
Concluzia dedus ˘a anterior se p ˘astreaz ˘a valid ˘a, respectiv rezultatele criteriilor sunt
alterate odat ˘a cu cre¸ sterea timpului mort al pilotului, sistemul fiind caracterizat de un
r˘aspuns din ce în ce mai lent.
Valoarea indicatorului PMVF cre¸ ste concomitent cu timpul mort al pilotului, dar
chiar ¸ si cea mai mare valoare a acestuia, respectiv 60.89◦/Hz], nu dep ˘a¸ se¸ ste limita de
85◦/Hz], adic˘a pragul superior al Nivelului 1, deci nu sunt semnalate mari diferen¸ te din
punct de vedere frecven¸ tial.
Deoarece raportulqm
qsseste supraunitar în toate cele cinci cazuri, acest ˘a informa¸ tie
indic˘a prezen¸ ta unui suprareglaj.
Situa¸ tia nefast ˘a descris ˘a de un timp de reac¸ tie foarte scurt se întâlne¸ ste ¸ si în cazul
Modelului Cross-Over. Se poate observa c ˘a o reac¸ tie brusc ˘a a pilotului face întregul
sistem s ˘a fie predispus la oscila¸ tii periculoase. Nu doar raportulDB
qssindic˘a o astfel de
problem ˘a serioas ˘a, ci ¸ si valoarea raportuluiqm
qsscare dep ˘a¸ se¸ ste limita superioar ˘a, respectiv
3, sugereaz ˘a îndep ˘artarea de zona ce înglobeaz ˘a sistemele caracterizate de un r ˘aspuns
satisf˘ac˘ator.
34

Capitolul 4. Aplica¸ tie pentru un avion civil
De¸ si am putea fi indu¸ si în eroare de rezultatul mul¸ tumitor oferit de valoarea PMVF
în cazul unei ac¸ tion ˘ari rapide, nu trebuie s ˘a ne oprim aici, fiind necesar ˘a efectuarea altor
analize suplimentare, adic ˘a trebuie verificate în acela¸ si timp ¸ si alte criterii, pentru a se
putea enun¸ ta un verdict, fapt dovedit ¸ si în cazul de fa¸ t ˘a.
4.2.3. Modelul Tustin
Sistemul ce caracterizeaz ˘a comportamentul pilotului este descris de urm ˘atoarea func¸ tie de
transfer
Hp=Kp(TLs+ 1)e−τs
s,
având matricea de transfer de forma
MTp=
−6.667 0 4
1 0 0
2.913 0.25−0.885
,
unde parametrii au urm ˘atoarele valori
Parametru Valoare
Kp 0.15
τ 0.15 [sec]
TL 5.9 [sec]
Tabela 4.5.: Valorile parametrilor Modelului Tustin
Valorile parametrilor din Tabela 4.5 sunt alese conform cu sursa (Jirgl, Havlikova ¸ si
Bradac 2014).
Prin conectarea pilotului cu modelul longitudinal rezult ˘a urm ˘atorul sistem, notat
cuP, ¸ si are realizarea pe stare descris ˘a mai jos
AP=
−0.98−0.016−8 0 0 0
77−0.67−21.67 0 0 0
0 0−6.667 8.333 0 0
0 0 0 −16.67 0 0
−4 0 0 0 −13.33 0
0 0 0 0 1 0
, BP=
0
0
−2
8
0
0
,
CP=
0.885 0 0 0 5 .863 0.5
0 1 0 0 0 0
0 0.029 0 0 0 0
, DP=
0
0
0
.
Verificând propriet ˘a¸ tile de controlabilitate ¸ si observabilitate se calculeaz ˘a rangul ma-
tricei de controlabilitate ¸ si rangul matricei de observabilitate, ambele rezultând egale cu
6, num ˘arul st ˘arilor fiind tot 6, astfel procesul este unul controlabil ¸ si observabil, deci este
posibil ˘a calcularea unui compensator stabilizator. Problema urm ˘aririi referin¸ tei de tip
treapt ˘a se simplific ˘a într-un mod considerabil, deoarece aceasta este rezolvat ˘a de integra-
torul aflat pe calea direct ˘a, mai exact în func¸ tia de transfer a pilotului.
35

Capitolul 4. Aplica¸ tie pentru un avion civil
Cu toate acestea, cerin¸ ta urm ˘atoare trebuie îndeplinit ˘a pentru a se asigura lipsa
zeroului în 0 pe calea direct ˘a a ratei de tangaj
rang/bracketleftBigg
−AP−BP
CP 0/bracketrightBigg
=n+p= 6 + 1 = 7 .
Apelând la procedura de alocare de poli a fost ob¸ tinut ˘a matricea de reac¸ tie dup ˘a
stare, astfel încât cerin¸ tele impuse în raport cu performan¸ tele sistemului s ˘a fie îndeplinite,
respectiv
F=/bracketleftBig
18.7845 0.3652−16.6058−6.3744−5.6146−67.0105/bracketrightBig
, (4.8)
iar spectrul alocat este
ΛF={−14±8j,−5.9,−11±5j,−0.2}.
Matricea estimatorului, L, a fost ob¸ tinut ˘a tot în urma unei proceduri de alocare de
poli, respectiv
L=
0.9463−1.2431−0.0361
−2.7742−5.6628−0.1642
1.1285−1.7987−0.0522
−1.4383 1.6216 0.0470
1.3882−0.0337−0.0010
−0.4627 0.0022 0.0001
, (4.9)
iar spectrul de estimare este
ΛL={−1.04,−6.7,−14,−6.6±7j,−0.3}.
Compensatorul Kalman rezultat are urm ˘atoarea realizare pe stare
AK=
−0.14−1.26−8 0 5 .54 0.47
74.54−6.33−21.67 0−16.26−1.38
−36.57−2.53 26.54 21.08 17.85 134.6
149 4.54−132.8−67.66−53.35−536.8
−2.77−0.03 0 0 −5.19 0.69
−0.40 0.22 0 0 −1.71−0.23
, BK=
−0.94 1.24 0.03
2.77 5.66 0.16
−1.12 1.79 0.05
1.43−1.62−0.47
−1.38 0.03 0.09
0.46−0.23−0.006
,
CK= [18.78 0.3652−16.61−6.374−5.615−67.01], DK= [0 0 0 ].
Pe baza matricei de transfer a compesatorului stabilizator central se face extinderea
în sens Youla ¸ si se calculeaza elementul Jastfel
AJ=
−14.53−41.66 13.32−3.418−115.9−16.93
15.1−20.17 15.07 12.39−23.57−2.829
−33.56 121.4−89.26−7.408 301.8 17.75
90.1−185 155.7 35.64−385−20.15
−10.81 19.32−17.8−6.072 39.37 3.75
41.79−42.86 51.23 21.29−67.39−4.075
,
BJ=
1.565 2.887 0.08374−1.836
0.3526−2.301−0.06674−0.4188
0.6411−4.203−0.1219 4.827
−1.666−0.7493−0.02173−6.279
−0.09323 0.3408 0.009883 0 .6504
−2.882−2.739−0.07943−1.142
,
36

Capitolul 4. Aplica¸ tie pentru un avion civil
CJ=
−11.58 27.19−21.04−6.186 61.78 4.48−1.605 1.39
1.247 2.304 0.8985−4.819−0.6122 0.1917 0.4044 0.3737
−0.0683 0.5298−0.01775 0.005559 0.01173 0.01084−0.001981 0.01536
,
DJ=
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
,
iar Q a fost ales astfel
Q(s) =/bracketleftBigg
−0.11 0 0
1 0 0 0/bracketrightBigg
.
Clasa tuturor compensatoarelor care stabilizeaz ˘a intern bucla de reac¸ tie este dat ˘a
de
AKY=
−14.53−41.66 13.32−3.418−115.9−16.93−1.836
15.1−20.17 15.07 12.39−23.57−2.829−0.4188
−33.56 121.4−89.26−7.408 301.8 17.75 4.827
90.1−185 155.7 35.64−385−20.15−6.279
−10.81 19.32−17.8−6.072 39.37 3.75 0.6504
41.79−42.86 51.23 21.29−67.39−4.075−1.142
−1.605 1.39 1.247 2.304 0.8985−4.819−0.1
,
BKY=
1.565 2.887 0.08374
0.3526−2.301−0.06674
0.6411−4.203−0.1219
−1.666−0.7493−0.02173
−0.09323 0.3408 0.009883
−2.882−2.739−0.07943
1 0 0
,
CKY= [−11.58 27.19−21.04−6.186 61.78 4.48 1 ],
DKY= [0 0 0 ].
În urm ˘atoarea figur ˘a sunt reprezentate r ˘aspunsurile la intrare treapt ˘a în cazul uti-
liz˘arii Modelului Tustin, fiind vizibil ˘a o îmbun ˘at˘a¸ tire în raport cu timpul de cre¸ stere ¸ si cu
timpul tranzitoriu a performan¸ telor asigurate de compensatorul Kalman.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12−0.200.20.40.60.811.2
Timp (secunde)AmplitudineKalman
Youla
Figura 4.6.: R ˘aspunsul la treapt ˘a în cazul utiliz ˘arii Modelului Tustin
37

Capitolul 4. Aplica¸ tie pentru un avion civil
Se poate observa c ˘a performan¸ tele sunt asigurate, acestea fiind:
• timp de cre¸ stere tc= 0.5551sec62sec;
• timp tranzitoriu tt= 6.2879sec610sec;
• suprareglaj σ= 0.0268%<5%;
iar în cazul regulatorului stabilizator central, K:
• timp de cre¸ stere tc= 0.4930sec62sec;
• timp tranzitoriu tt= 4.5807sec610sec;
• suprareglaj σ= 1.3673%<5%.
Pentru a se vedea r ˘aspunsul sistemului în condi¸ tii ini¸ tiale nenule a fost introdus
graficul din Figura 4.7.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.4−0.200.20.4Rata de tangaj [grd/s ]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−20−1001020AmplitudineViteza vertical ˘a a centrului de greutate [m/s]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.4−0.200.20.4
Timp (secunde)Viteza total ˘a a aeronavei [m/s]
Figura 4.7.: R ˘aspunsul liber al sistemului în cazul utiliz ˘arii Modelului Tustin
Urm˘atorul pas const ˘a aplicarea criteriilor Gibson cu scopul de a analiza cât de
predispus este sistemul la apari¸ tia oscila¸ tiilor induse.
Întâi se va aplica Panta Medie a Varia¸ tiei de Faz˘ a , criteriu ce presupune identificarea
frecven¸ tei în care faza este de −180◦¸ si aplicarea formulei
PMVF =−(ϕ2ω(−180)+ 180)
ω(−180)[◦/Hz].
38

Capitolul 4. Aplica¸ tie pentru un avion civil
În cazul acesta, indicatorul PMVF este
PMVF =−(−266 + 180)
3.5969= 23.9095 [◦/Hz].
Valoarea ob¸ tinut ˘a este una acceptabil ˘a, deoarece PMVF nu trece de limita superi-
oar˘a de 85◦/Hz, acest rezultat indicând c ˘a sistemul este unul de Nivel 1, adic ˘a pot exista
câteva PIO, dar frecven¸ ta lor de apari¸ tie este mic ˘a, iar cele care apar prezint ˘a un grad de
risc minor.
R˘amâne de aplicat ¸ si criteriului Dropback care const ˘a în evaluarea a urm ˘atoarelor
dou˘a raporturi, acestea fiind
qm
qss= 1 ¸ siDB
qss=−0.9728.
Pe baza limitelor reprezentate în Figura 3.7 se poate identifica regiunea din care face
parte acest sistem, respectiv zona ce caracterizeaza sistemele lente, deoarece raportulDB
qss
este negativ.
În continuare se dore¸ ste evaluarea indicilor ob¸ tinu¸ ti pe baza criteriilor Gibson pentru
o plaj ˘a de valori a timpului de reac¸ tie al pilotului ¸ si analiza efectelor cauzate de c ˘atre
acesta.
τ= 0.1secτ= 0.15 secτ= 0.2secτ= 0.25secτ= 0.3sec
PMVF [◦/Hz]26.5025 23.9095 24.4034 23.7959 25.6092
qm
qss1.5956 1 1 1 1
DB
qss0.9563 -0.9728 -1.3603 -1.3768 -1.3520
Tabela 4.6.: Efectele varierii timpului mort în cazul Modelului Tustin
Din punct de vedere frecven¸ tial, pentru toate cele cinci valori ale timpului mort se
ob¸ tine o valoare a PMVF în jur de 25 [◦/Hz], ceea ce reprezint ˘a un rezultat foarte bun,
deoarece indiferent de cât de lent sau rapid este operatorul uman, sistemul se va comporta
corespunz ˘ator, iar apari¸ tia unor oscila¸ tii puternice este pu¸ tin probabil ˘a, eventual pot exista
câteva PIO minore.
Dac˘a se ia ca referin¸ t ˘a raportulqm
qss, atunci se poate observa c ˘a nu exist ˘a suprareglaj,
deoarece raportul este egal cu 1, mai pu¸ tin în cazul τ= 0.1sec, acest rezultat indicând
un r˘aspuns lent al sistemului.
Concluziile deduse pe baza modelelelor anterioare în ceea ce priveste raportulDB
qss
sunt respectate ¸ si în cazul de fa¸ t ˘a, valoarea acestuia sc ˘azând pe m ˘asur˘a ce timpul de
reac¸ tie al pilotului este din ce în ce mai mare, inducând un r ˘aspuns întârziat.
În final, ¸ tinând cont de rezultatele prezentate în Tabelele 4.2, 4.4 ¸ si 4.6, ce ilus-
treaz˘a consecin¸ tele cre¸ sterii timpului mort al pilotului, se poate contura o concluzie care
s˘a eviden¸ tieze importan¸ ta unei ac¸ tion ˘ari moderate în amplitudine a operatorului uman.
39

Capitolul 4. Aplica¸ tie pentru un avion civil
Dac˘a pilotul intervine prea brusc, atunci oscila¸ tiile vor fi amplificate, rezultatul putând fi
dezastruos, iar dac ˘a acesta reac¸ tioneaz ˘a mult prea lent, comanda trimis ˘a va ajunge prea
târziu ¸ si sistemul nu va mai r ˘aspunde corespunz ˘ator. În concluzie, este de dorit ca pilotul
s˘a fie vigilent, dar s ˘a nu reac¸ tioneze într-un mod prea rapid, calea de mijloc fiind cea mai
sigur˘a.
40

5. Concluzii
41

Anexe
42

A. Transformare liniar frac¸ tionar˘ a inferioar˘ a
Se consider ˘a dou˘a sistemey=Hu¸ siyc=Hcucavând urm ˘atoarele realiz ˘ari pe stare
H=/bracketleftBigg
H11(s)H12(s)
H21(s)H22(s)/bracketrightBigg
=
AB1B2
C1D11D12
C2D21D22
, (A.1)
Hc=/bracketleftBigg
AcBc
CcDc/bracketrightBigg
. (A.2)
Defini¸ tia A.0.1.Sistemul din rela¸ tia (A.1)poart˘a numele de sistem generalizat, iar intr ˘arile
¸ si ie¸ sirile sale sunt împ ˘ar¸ tite în dou ˘a clase, fiecare având diferite roluri.
HcHu1y1
u2 y1
uc yc
Figura A.1.: Transformare liniar frac¸ tionar ˘a inferioar ˘a
O transformare liniar frac¸ tionar ˘a inferioar ˘a a luiHcuHcreprezint ˘a un sistem
realizat prin impunerea u2=yc¸ siuc=y2. Condi¸ tia ca aceast ˘a conexiune s ˘a fie posibil ˘a
const˘a în verificarea num ˘arului de ie¸ siri ale blocului H22, care trebuie s ˘a fie egal cu num ˘arul
de intr ˘ari ale blocului Hc, iar num ˘arul de ie¸ siri ale lui Hcs˘a fie egal cu num ˘arul intr ˘arilor
luiH22.
Buna definire a conexiunii este asigurat ˘a dac˘a matricea urm ˘atoare este inversabil ˘a
/bracketleftBigg
I−Dc
−D22I/bracketrightBigg
. (A.3)
43

Capitolul A. Transformare liniar frac¸ tionar ˘a inferioar ˘a
Matricea de transfer rezultant ˘a se ob¸ tine astfel
HR=TLFI (H,Hc) =H11+H12Hc(I−H22Hc)−1H21, (A.4)
HR=
A+B2˜S−1DcC2B2˜S−1CcB1+B2˜S−1DcD21
Bc˜S−1C2Ac+Bc˜S−1D22CcBc˜S−1D21
C1+D12Dc˜S−1C2D12˜S−1CcD11+D12Dc˜S−1D21
,(A.5)
undeS=I−D22Dc¸ si˜S=I−DcD22sunt inversabile.
44

B. Accidente
Tehnologiile folosite în aeronautic ˘a sunt într-o continu ˘a evolu¸ tie, iar tot acest progres
vine cu un cost, deoarece interac¸ tiunile dintre pilot ¸ si avion ajung s ˘a fie din ce în ce mai
complexe, iar acest rezultat genereaz ˘a accidente, atât în cazul avioanelor civile, cât ¸ si în
cazul celor militare.
Aici sunt prezentate câteva exemple de accidente produse în urma apari¸ tiei oscila¸ tiilor
induse.
1. F9000, Bucure¸ sti, România, 1999 – apari¸ tia unei serii rapide ¸ si violente de oscila¸ tii
a condus la pr ˘abu¸ sirea avionului, accidentul soldându-se cu un num ˘ar ridicat de
decese. Cauza a fost identificat ˘a ¸ si a constat în ac¸ tionarea în mod necorespunz ˘ator a
pilo¸ tilor în urma unor mici defec¸ tiuni ale sistemului de control responsabil de tangaj.
2. A333, Canada, 2014 – din cauza unei ploi puternice a fost redus ˘a vizibilitatea, iar
pilo¸ tii nu au putut men¸ tine direc¸ tia pe pista de aterizare. Pe lâng ˘a problema indus ˘a
de lipsa vizibilit ˘a¸ tii, echipajul a fost surprins ¸ si de o schimbare nea¸ steptat ˘a a vitezei
vântului, r ˘aspunsul pilo¸ tilor fiind întârziat, ajungându-se la apari¸ tia PIO.
3. JAS 39 Gripen, Suedia, 1989 – erori cauzate de sistemele interne ale avionului ¸ si un
r˘aspuns lent al pilotului au condus la pr ˘abu¸ sirea prototipului în momentul ateriz ˘arii.
4. F-22 Raptor, California, 1992 – avionul s-a pr ˘abu¸ sit în urma unor oscila¸ tii violente
ce au ap ˘arut în momentul în care acesta ateriza.
45

Bibliografie
Ciubotaru, B.D. ¸ si al¸ tii. Sinteza Sistemelor Liniare cu Aplica¸ tii în Aeronautic˘ a . Edi-
tura Politehnica Press, Bucure¸ sti.
Gibson, J. Development of a Design Methodology for Handling Qualities Excellence
in Fly by Wire Aircraft , pags. 78–79, 156–159, 172–173.
Helmersson, A., Sheen, P. ¸ si Lambrechts, P. RCAM Preliminary Design Document .
GARTEUR.
Hendarko, M. Development of a Handling Qualities Evaluation Toolbox on the Basis
of Gibson Criteria . Institute of Technology Bandung, Indonesia, pags. 2–4.
Jirgl, M., Havlikova, M. ¸ si Bradac, Z. The Dynamic Pilot Behavioral Models , pag. 1193.
Kleinman, D.L., Baron, S. ¸ si Levison, W.H. An Optimal Control Model of Human
Response, Part I: Theory and Validation . vol. 6, pags. 1–3.
McRuer, D.T. Pilot-Induced Oscillations and Human Dynamic Behavior . NASA,
pags. 2–3.
McRuer, D.T. ¸ si al¸ tii. Human Pilot Dynamics in Compensatory Systems . vol. 341,
pag. 143.
Oar˘a, C. ¸ si Ciubotaru, B.D. Reglare Robust˘ a ¸ si Aplica¸ tii . Facultatea de Automatic ˘a
¸ si Calculatoare, Universitatea „Politehnica” Bucure¸ sti.
Saussié, D., Akhrif, Q. ¸ si Saydy, L. Longitudinal Flight Control Design with Handling
Quality Requirements . École Polytechnique de Montréal.
Tustin, A. The Nature of the Operator’s Response in Manual Control, and Its Im-
plications for Controller Design , pag. 1.
46