Analiz a matematic a [604818]

Analiz a matematic a
Chi s Codrut a

2

Cuprins
1 Serii numerice 5
1.1 Denit ii. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Criterii de convergent  a pentru serii cu termeni pozitivi . . . 8
1.3 Criterii de convergent  a pentru serii cu termeni oarecare . . . 16
1.4 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Serii de puteri 23
2.1 Suma unei serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Operat ii cu serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Derivarea seriilor de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Integrarea seriilor de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Formula lui Taylor 35
3.1 Serii Taylor pentru funct ii de dou a variabile . . . . . . . . . 38
3.2 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Not iuni de topologie ^ n Rn41
5 Funct ii de mai multe variabile 45
5.1 Denit ii. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6 Limite. Continuitate 49
6.1 Limita unei funct ii ^ ntr-un punct . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2 Continuitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.3 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3

4 CUPRINS
7 Derivate part iale 55
7.1 Derivate part iale de ordinul ^ nt^ ai . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.2 Derivate part iale de ordin superior . . . . . . . . . . . . . . 57
7.3 Gradient. Diferent ial a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.3.1 Diferent ierea funct iilor compuse . . . . . . . . . . . . 62
7.4 Hessiana unei funct ii ^ ntr-un punct . . . . . . . . . . . . . . 64
7.5 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8 Extreme locale ale funct iilor de mai multe variabile 67
8.1 Extreme necondit ionate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.2 Extreme condit ionate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.3 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9 Elemente de calcul integral 77
9.1 Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.1.1 Primitive reductibile la primitivele funct iilor rat ionale 79
9.2 Funct ii integrabile. Integrala denit a . . . . . . . . . . . . . 80
9.3 Aplicat ii ale integralelor denite . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9.3.1 Aria subgracului unei funct ii continue  si pozitive . . 83
9.3.2 Lungimea gracului unei funct ii derivabile cu derivata
continu a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9.3.3 Volumul unui corp de rotat ie . . . . . . . . . . . . . . 84
9.3.4 Aria suprafet elor de rotat ie . . . . . . . . . . . . . . 84
9.3.5 Centre de greutate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
10 Ecuat ii diferent iale 87
10.1 Introducere ^ n teoria ecuat iilor diferent iale . . . . . . . . . . 87
10.2 Ecuat ii diferent iale de ordinul I . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.2.1 Ecuat ii cu variabile separabile . . . . . . . . . . . . . 89
10.2.2 Ecuat ii diferent iale omogene . . . . . . . . . . . . . . 92
10.2.3 Ecuat ii diferent iale liniare de ordinul I . . . . . . . . 93
10.2.4 Ecuat ii diferent iale de tip Bernoulli . . . . . . . . . . 95
10.3 Modele matematice ale cre sterii populat iei . . . . . . . . . . 97
10.3.1 Modelul lui Malthus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
10.3.2 Modelul lui Verhulst . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

1
Serii numerice
1.1 Denit ii. Exemple
Denit ie. Fie (an)n1un  sir de numere reale  si sn=Pn
i=1ai;n1. Cu-
plul ((an)n1;(sn)n1) se nume ste serie numeric a  si se noteaz aP
n1ansau
P
nansauP1
n=1an.
Elementulanse nume ste termen general al seriei, elementele  sirului ( an)n1
se numesc termenii seriei ;
elementele  sirului ( sn)n1se numesc sumele part iale ale seriei, iar elemen-
tulsnse nume ste suma part ial a de rang n .
Denit ie. O serie de numere realeP
n1anse nume ste convergent a dac a
 sirul (sn)n1al sumelor part iale este convergent; dac a  sirul sumelor part iale
are limit a, aceast a limit a se nume ste suma seriei ,  si scriem
limn!1sn=s=)X
n1an=s:
^In particular,
limn!1sn=1=)X
n1an=1;
limn!1sn=1 =)X
n1an=1:
Dac a  sirul sumelor part iale nu are limit a, atunci seria se nume ste oscilant a .
Dac a o serie este oscilant a sau are suma 1, ea se nume ste divergent a .
Exemplu. Dac ar2Reste un num ar real, seriaP1
n=0rnse nume ste seria
geometric a de rat ie r.
5

6 1. SERII NUMERICE
Fier= 1. Atunci suma part ial a de ordin na seriei geometrice este
sn= 1 + 1 +:::+ 1|{z}
n+1=n+ 1:
Deoarece lim n!1(n+ 1) =1, seriaP1
n=01neste diveregent a.
Pentrur6= 1, suma part ial a de ordin na seriei geometrice este
sn=1rn+1
1r:
Propozit ie. FieP1
n=0rno serie geometric a.
(i)Dac ajrj<1, atunci seria geometric a este convergent a , cu suma
1
1r:
(ii)Dac ajrj1, atunci seria geometric a este divergent a.
Demonstrat ie. (i) Dac ajrj<1, atunci lim n!1rn+1= 0, astfel c a
limn!1sn=1
1r, deci seria este convergent a, cu suma1
1r.
(ii)Dac ajrj>1, atunci lim n!1jrjn+1=1, deci suma este divergent a.
Dac ar= 1, am v azut mai sus c a seria geometric a diverge.
Dac ar=1, atunci  sirul sumelor part iale alterneaz a ^ ntre valorile 0  s1,
deci  si aceast a serie este divergent a.
Exemplu. 12
3+ (2
3)2


=P1
n=1(2
3)n=1
1(2
3)=3
5.
Observat ie. Uneori, a sa cum am v azut  si ^ n exemplele de mai sus, primul
termen al unei serii nu este neap arat a1.P1
n=1(1
2)n siP1
n=21
lnnsunt exemple
de asemenea serii. ^In al doilea caz, trebuie s a ^ ncepem cu n= 2, deoarece
1
ln 1nu este denit.
Exemplu. Putem scrie num arul1
3ca
1
3= 0;33333:::=3
10+3
100+3
1000+:::+3
10n+::::
Aceast a expresie este o serie, av^ and termenul general an=3
10n. Putem
demonstra c a aceast a serie este convergent a:
3
10+3
100+3
1000+:::+3
10n+:::=3
10(1 +1
10+1
100+:::+1
10n+:::) =
=3
101X
k=0(1
10)k=3
10
1
11
10=3
10
10
9=3
9=1
3:

1.1. DEFINIT  II. EXEMPLE 7
De altfel, orice num ar subunitar xpoate  g^ andit ca suma unei serii con-
vergente, deoarece dac a x= 0;a1a2a3:::an:::, atunci
x=a1
10+a2
100+a3
1000+:::+an
10n+:::=1X
n=1an
10n:
Ocondit ie necesar a de convergent  a a unei serii numerice este urm atoarea:
Propozit ie. FieP
n1ano serie convergent a de numere reale. Atunci  sirul
(an)n1este convergent la 0.
Demonstrat ie. Fies=P1
k=1ak. Pentru dou a sume part iale consecutive
avem atunci
sn=nX
k=1= (a1+a2+:::+an1) +an=sn1+an;
deci
an=snsn1:
Atunci
limn!1an= limn!1(snsn1) = limn!1snlimn!1sn1=ss= 0:
Rezult a atunci urm atoarea condit ie sucient a de divergent  a :
Corolar. FieP
n1ano serie de numere reale. Dac a  sirul ( an)n1nu are
limit a sau are limit a nenul a, atunci seria dat a este divergent a.
Observat ie. Dac aP
n1aneste o serie pentru care lim n!1an= 0, nu
rezult a neap arat c a seria dat a este convergent a.
Contraexemplu. Seria armonic aP
n11
neste divergent a, cu sumaP
n11
n=
1, ^ n ciuda faptului c a lim n!11
n= 0:
S a presupunem c a seria dat a ar  convergent a cu sumaP
n11
n=s. Fie
sn= 1 +1
2+


+1
n:
Rezult a deci c a lim n!1sn=s. Dar
s2nsn=1
n+ 1+1
n+ 2+


+1
2n>1
2n+1
2n+


+1
2n|{z}
n=n
1
2n=1
2
 si obt inem c a
s2n>1
2+sn;(8)n1:

8 1. SERII NUMERICE
Trec^ and la limit a ^ n ultima relat ie, obt inem:
s1
2+s;
ceea ce este absurd. Prin urmare presupunerea facut a nu poate  adev arat a,
deci seria armonic a este divergent a.
O proprietate important a a seriilor convergente este urm atoarea:
Propozit ie. FieP
n1an siP
n1bndou a serii convergente cu sumele s,
respectivt,  si e;2R. Atunci seriaP
n1(an+bn) este convergent a
 si are suma s+t.
Demonstrat ie. Fiesn, respectiv tn, sumele part ial a de rang nale celor
dou a serii. Atunci suma part ial a de rang na serieiP
n1(an+bn) este
sn+tn,  si avem
limn!1(sn+tn) =limn!1sn+limn!1tn=s+t:
Corolar. Presupunem c a seriaP
n1(an+bn) este convergent a pentru
anumite constante ;2R. AtunciP
n1aneste convergent a dac a  si nu-
mai dac aP
n1bneste convergent a.
Observat ie. Din convergent a serieiP
n1(an+bn) nu rezult a ^ ns a
convergent a seriilorP
n1an siP
n1bn.
Contraexemplu. SeriaP
n1((1)n+ (1)n+1) este convergent a, ^ n timp
ce seriileP
n1(1)n siP
n1(1)n+1sunt divergente.
1.2 Criterii de convergent  a pentru serii cu
termeni pozitivi
Denit ie. Spunem c a seriaP
n1aneste cu termeni pozitivi dac a orice
termen al s a este pozitiv: an>0;(8)n1.
Propozit ie. S irul sumelor part iale ale unei serii cu termeni pozitivi este
strict cresc ator.
Demonstrat ie. Fie (sn)n1 sirul sumelor part iale ale unei serii cu termeni
pozitiviP
n1an. Atunci
sn+1sn=an+1=)sn+1>sn;8n1;

1.2. CRITERII DE CONVERGENT  A PENTRU SERII CU TERMENI POZITIVI 9
deci  sirul (sn) este cresc ator.
Corolar. O serie cu termeni pozitivi are ^ ntotdeauna sum a(nit a sau nu).
C^ ateva criterii pentru studiul seriilor cu termeni pozitivi sunt:
C1) SeriaP
n1ancu termeni pozitivi este convergent a dac a  si numai dac a
 sirul (sn)n1al sumelor part iale este m arginit.
Demonstrat ie. S irul (sn) al sumelor part iale este monoton, astfel c a el
este convergent dac a  si numai dac a este m arginit. Proprietatea enunt at a
rezult a atunci imediat.
C2) Primul criteriu al comparat iei.
FieP
n1an,P
n1bndou a serii de numere reale nenegative, astfel ^ nc^ at
(9)n02N:anbn;(8)nn0:
Atunci au loc propriet at ile:
(a)P
n1bnconvergent a =)P
n1anconvergent a.
(b)P
n1andivergent a =)P
n1bndivergent a.
Demonstrat ie. Dac a not am cu sn, respectivtn, sumele part iale de rang n
ale seriilorP
n1an siP
n1bn, atunci din inegalitatea din enunt  rezult a c a
snsn0tntn0;(8)nn0:
(a) Dac a seriaP
n1bneste convergent a, atunci lim n!1tn<1, de unde
rezult a c a lim n!1sn=tn+sn0tn0<1, deciP
n1aneste convergent a.
(b) Dac a seriaP
n1aneste divergent a, atunci lim n!1sn=1, de unde
rezult a c a lim n!1tn=sn+tn0sn0=1, deciP
n1bneste divergent a.
Exemplu. S a studiem convergent a sau divergent a serieiP1
n=11pn.
Deoarece1pn1
n;(8)n1,  si deoarece seriaP1
n=11
neste divergent a,
rezult a c aP1
n=11pneste divergent a.
Exemplu. Vom studia natura serieiP1
n=11
n!.
Dac an4, atuncin!2n, deci1
n!1
2n. Deoarece seriaP1
n=11
2neste o
serie geometric a, cu rat ia1
2<1, ea este convergent a, de unde rezult a c a

10 1. SERII NUMERICE
seriaP1
n=11
n!este convergent a.
Observat ie. Dac a pentru un num ar natural oarecare N, seriaP1
n=N+1an
este convergent a, atunci seriaP1
n=1aneste convergent a. De asemenea,
dac a seriaP1
n=N+1aneste divergent a, atunci seriaP1
n=1aneste divergent a.
Adunarea unui num ar nit de termeni la o serie nu afecteaz a deci
convergent a sau divergent a seriei .
Denit ie. Spunem c a dou a serii de numere realeP
n1an,P
n1bnau
aceea si natur a dac a ambele sunt convergente sau ambele sunt divergente.
Notat ie. Not am acest lucru prinP
n1anP
n1bn
C3) Al doilea criteriu al comparat iei.
FieP
n1an,P
n1bndou a serii de numere reale nenegative astfel ^ nc^ at
limn!1an
bn=l:
Atunci au loc urm atoarele:
(a) Dac a 0 <l<1, cele dou a serii au aceea si natur a.
(b) Dac al= 0  siP
n1bneste convergent a, atunciP
n1aneste convergent a.
(c) Dac al=1 siP
n1bneste divergent a, atunciP
n1aneste divergent a.
Demonstrat ie. (a) Deoarece lim n!1an
bn=l, exist a un num ar natu-
ralN, astfel ^ nc^ atan
bn2(ll
2;l+l
2);(8)nN. Prin urmare au loc
l
2bnan3l
2bn;(8)nN. Deoarece seriaP
n1bnare evident aceea si
natur a ca  si seriileP
n1l
2bn siP
n13l
2bn, pe baza primului criteriu de
comparat ie rezult a armat ia din enunt .
(b) Dac al= 0, atunci exist a un num ar natural N, cu proprietatea c a
an
bn<1;(8)nN. Dar atunci an<bn;(8)nN, de unde aplic^ and primul
criteriu de comparat ie se obt ine proprietatea enunt at a.
(c) Dac al=1, atunci exist a un num ar natural N, cu proprietatea c a
an
bn>1;(8)nN. Dar atunci an>bn;(8)nN, de unde aplic^ and primul
criteriu de comparat ie se obt ine proprietatea enunt at a.
Exemplu. Vom ar ata c aP
n1n
n2+1este divergent a.
Fiean=n
n2+1,bn=1
n. Atunci lim n!1an
bn= 1, deci seriileP
n1an si
P
n1bnau aceea si natur a . DarP
n11
neste divergent a, deci  siP
n1n
n2+1
este divergent a.

1.2. CRITERII DE CONVERGENT  A PENTRU SERII CU TERMENI POZITIVI 11
C4) Al treilea criteriu al comparat iei.
FieP
n1an,P
n1bndou a de numere reale nenegative, astfel ^ nc^ at :
(9)n02N:an+1
anbn+1
bn;(8)nn0:
Atunci au loc propriet at ile:
(a)P
n1bnconvergent a =)P
n1anconvergent a.
(b)P
n1andivergent a =)P
n1bndivergent a.
Demonstrat ie. Inegalitatea
an+1
anbn+1
bn;(8)nn0
poate  transcris a ^ n forma
an+1
bn+1an
bn;(8)nn0;
de unde rezult a c aan
bnan0
bn0;(8)nn0, adic a
an
an0bn
bn0;(8)nn0:
Deoarece seriileP
n1an siP
n1an
an0, respectivP
n1bn siP
n1bn
bn0au aceea si
natur a, din ultima inegalitate  si primul criteriu de comparat ie rezult a armat iile
din enunt .
C5) Criteriul condens arii.
FieP
n1ano serie de numere reale pozitive, ai c arei termeni formeaz a un
 sir descresc ator, convergent c atre 0. Atunci seriaP
n1anare aceea si natura
ca  si seriaP
n02na2n.
Demonstrat ie. Deoarece  sirul sumelor part iale al serieiP
n1aneste
monoton, seria este convergent a dac a  si numai dac a  sirul sumelor part iale
este m arginit, sau, ceea ce este echivalent(datorit a monotoniei), dac a  si nu-
mai dac a  sirul sumelor part iale are un sub sir m arginit.
Deoarece  sirul ( an) este descresc ator, avem inegalit at ile
2ka2ks2k+1s2k2ka2k+1;(8)k2N:
Adun^ and inegalit at ile acestea pentru k=0;n1, obt inem atunci
n1X
k=02ka2ks2n1
2nX
k=12ka2k;(8)n2N:

12 1. SERII NUMERICE
Din primul criteriu de comparat ie deducem atunci c a seriileP
n1an si
P
n02na2nau aceea si natur a.
Aplicat ie(Seriile armonice generalizate).
Fie>0 un num ar real pozitiv. SeriaP
n11
nse nume ste seria armonic a
generalizat a de grad . Termenii ei sunt pozitivi  si descresc c atre 0, astfel
c a putem folosi criteriul condens arii pentru a studia convergent a ei. Prin
urmare
X
n11
nX
n02n1
(2n):
Studiem acum seriaP
n02n1
(2n). Avem
X
n02n1
(2n)=X
n02
2n
=X
n01
21n
:
Aceasta este o serie geometric a, de rat ie1
21. Ea este convergent a dac a  si
numai dac a rat ia este subunitar a. Aceast a condit ie este ^ n cazul nostru
1
21<1() 21>1()1>0()>1:
Am obt inut deci urm atorul rezultat:
Seria armonic a generalizat a de grad este8
<
:convergent a, dac a >1
divergent a, dac a 1
C6) Criteriul r ad acinii(al lui Cauchy).
FieP
n1ano serie de numere reale pozitive  si e l=limnpan. Atunci:
(a) Dac al<1, seriaP
n1aneste convergent a.
(b) Dac al>1, seriaP
n1aneste divergent a.
(c) Dac al= 1, natura serieiP
n1anpoate  oricare.
Demonstrat ie. (a) Dac al <1, atunci exist a n02Ncu proprietatea c a
npan<l+1
2;(8)nn0. Dar atunci are loc
an< l+ 1
2!n
;(8)nn0:
Deoarece seriaP1
n=1(l+1
2)neste geometric a, cu rat ia subunitar a, ea este o
serie convergent a,  si atunci din primul criteriu de comparat ie rezult a c a seria
P1
n=1aneste convergent a.
(b) Dac al >1, atunci pentru orice n02Nxat putem g asi n2Ncu

1.2. CRITERII DE CONVERGENT  A PENTRU SERII CU TERMENI POZITIVI 13
nn0astfel ^ nc^ at an>1. Dar atunci nu putem avea lim n!1an= 0.
Prin urmare, conform criteriului necesar de convergent  a, seriaP1
n=1annu
este convergent a.
(c) Dac al= 1, este sucient s a indic am dou a serii cu aceast a proprietate,
dintre care una s a e convergent a, iar cealalt a s a e divergent a. Consider am
seriileP1
n=11
n siP1
n=11
n2. Deoarece pentru orice funct ie polinomial a Pcu
coecientul dominant pozitiv are loc
limn!1nq
P(n) = 1;
rezult a c a limnq
1
n=limnq
1
n2= 1, dar prima serie este divergent a, iar a doua
convergent a.
^In foarte multe situat ii este util a urm atoarea
C6') Variant a practic a a criteriului r ad acinii
FieP
n1ano serie de numere reale pozitive astfel ^ nc^ at exist a limita l=
limn!1npan. Atunci:
(a) Dac al<1, seriaP
n1aneste convergent a.
(b) Dac al>1, seriaP
n1aneste divergent a.
(c) Dac al= 1, natura serieiP
n1anpoate  oricare.
Exemplu.P
n1n
2neste convergent a, 82R.
^Intr-adev ar,
npan=ns
n
2n!1
2<1 =)
=)X
n1n
2nconvergent a :
Exemplu.P
n21
(lnn)neste convergent a.
Observ am ^ n primul r^ and c a seria ^ ncepe de la n= 2 deoarece1
(ln 1)1nu este
denit.
npan=ns
1
(lnn)n=1
lnn!0<1 =)
=)X
n21
(lnn)nconvergent a :
C7) Criteriul raportului(al lui d'Alembert).
FieP
n1ano serie de numere reale pozitive. Atunci:

14 1. SERII NUMERICE
(a) Dac a liman+1
an<1,seriaP
n1aneste convergent a.
(b) Dac a (9)n02N,astfel ^ nc^ atan+1
an1;(8)nn0seriaP
n1aneste
divergent a.
(c) Dac a liman+1
an= 1, natura serieiP
n1anpoate  oricare.
Demonstrat ie. (a) Dac a liman+1
an<1, atunci exist a n02Nastfel ^ nc^ at
an+1
an<l+1
2;(8)nn0. Dar atunci
an+1
an<l+ 1
2=(l+1
2)n+1
(l+1
2)n;(8)nn0:
Deoarece seriaP1
n=1(l+1
2)neste convergent a, din al treilea criteriu de convergent  a
rezult a c a seriaP
n1aneste convergent a.
(b) Dac a (9)n02N, astfel ^ nc^ atan+1
an1;(8)nn0, atunci rezult a c a
anan0;(8)nn0. Dar atunci nu putem avea lim n!1an= 0. Prin
urmare, conform criteriului necesar de convergent  a, seriaP1
n=1annu este
convergent a.
(c) SeriileP1
n=11
n siP1
n=11
n2au proprietatea c a liman+1
an= 1. Prima dintre
ele este divergent a, iar a doua este convergent a.
Ca ^ n cazul criteriului r ad acinii,  si pentru criteriul raportului avem o
C7') Variant a practic a a criteriului raportului
FieP
n1ano serie de numere reale pozitive astfel ^ nc^ at exist a limita l=
limn!1an+1
an. Atunci:
(a) Dac al<1, seriaP
n1aneste convergent a.
(b) Dac al>1, seriaP
n1aneste divergent a.
(c) Dac al= 1, natura serieiP
n1anpoate  oricare.
Exemplu. Ar at am c aP
n1n
2neste convergent a.
Cu notat ia an=n
2n, avem
an+1
an=n+ 1
2n!1
2<1 =)
=)X
n1n
2nconvergent a :
C8) Criteriul lui Kummer.
FieP
n1ano serie de numere reale pozitive.

1.2. CRITERII DE CONVERGENT  A PENTRU SERII CU TERMENI POZITIVI 15
(a) Dac a exist a un  sir ( tn) de numere pozitive, un num ar r >0  sin02N
cu proprietatea c a
tnan
an+1tn+1r;(8)nn0;
atunci seriaP
n1aneste convergent a.
(b) Dac a exist a un  sir ( tn) de numere pozitive cu proprietatea c a seria
P1
n=11
tneste divergent a  si un num ar natural n02Ncu proprietatea c a
tnan
an+1tn+10;(8)nn0;
atunci seriaP
n1aneste divergent a.
Demonstrat ie. (a) Din inegalitatea tnan
an+1tn+1r, deducem c a
ran+1tnantn+1an+1;(8)nn0;
de unde obt inem  sirul de inegalit at i
ran0+1tn0an0tn0+1an0+1
ran0+2tn0+1an0+1tn0+2an0+2
::: ::: :::
ran+1tnantn+1an+1:
Adun^ and aceste inegalit at i, obt inem c a
r(snsn0)tn0an0tn+1an+1tn0an0;(8)nn0;
deci
snsn0+1
rtn0an0;(8)nn0;
adic a  sirul sumelor part iale este m arginit,  si cum el este  si monoton cresc ator,
este convergent. SeriaP
n1aneste deci convergent a.
(b) Inegalitatea tnan
an+1tn+10 este echivalent a cuan
an+1tn+1
tnsau
tn
tn+1an+1
an. Deoarece seriaP1
n=11
tneste divergent a, din al treilea criteriu
de comparat ie rezult a c a seriaP
n1aneste divergent a.
C9) Criteriul lui Raabe  si Duhamel.
FieP
n1ano serie de numere reale pozitive.
(a) Dac a exist a un num ar >1  si un num ar natural n02Nastfel ^ nc^ at
n an
an+11!
;(8)nn0;

16 1. SERII NUMERICE
atunci seriaP
n1aneste convergent a.
(b) Dac a exist a un num ar natural n02Nastfel ^ nc^ at
n an
an+11!
1;(8)nn0;
atunci seriaP
n1aneste divergent a.
Demonstrat ie. Aplic am criteriul lui Kummer, consider^ and  sirul tn=n.
Putem scrie
tnan
an+1tn+1=n an
an+11!
1:
(a) Not^ and r=1, avemr>0  si este ^ ndeplinit a condit ia
tnan
an+1tn+1r;(8)nn0;
care conform criteriului lui Kummer ne asigur a convergent a seriei date.
(b) Dac an
an
an+11
1;(8)nn0, atunci
tnan
an+1tn+10;(8)nn0;
 si seriaP
n1aneste divergent a.
Variant a practic a a criteriului Raabe-Duhamel
FieP
n1ano serie de numere reale pozitive  si s a presupunem c a exist a
l= limn!1n(an
an+11). Atunci:
(a) Dac al>1, atunci seriaP
n1aneste convergent a.
(b) Dac al<1, atunci seriaP
n1aneste divergent a.
(c) Dac al= 1, natura serieiP
n1anpoate  oricare.
1.3 Criterii de convergent  a pentru serii cu
termeni oarecare
Denit ie. O serieP
n1ande numere reale se nume ste serie absolut con-
vergent a dac a are proprietatea c a seriaP
n1janjeste convergent a. O serie
convergent aP
n1ancu proprietatea c a seriaP
n1janjeste divergent a se
nume ste serie semiconvergent a .

1.3. CRITERII DE CONVERGENT  A PENTRU SERII CU TERMENI OARECARE 17
Denit ie. Un  sir (un)n1se nume ste  sir fundamental(sau  sir Cauchy ) dac a
este satisf acut a urm atoarea condit ie:
(8)">0 =)(9)n":jun+punj<"; (8)nn"; p2N:
Se poate demonstra c a un  sir de numere reale este convergent dac a  si numai
dac a este fundamental. In cazul seriilor obt inem atunci urm atorul criteriu
de convergent  a:
C1) Criteriul lui Cauchy.
FieP
n1ano serie de numere reale. AtunciP
n1aneste convergent a dac a
 si numai dac a
(8)">0 =)(9)n"1 :n+pX
k=n+1ak<"; (8)nn"; p2N:
Corolar. Orice serie absolut convergent a este convergent a.
Corolar. Printr-o permutare a termenilor unei serii absolut convergente se
obt ine tot o serie absolut convergent a, av^ and aceea si sum a.
C2) Criteriul lui Abel.
Dac a seria de numere realeP
n1anare  sirul sumelor part iale ( sn)n1m arginit,
iar (n)n1este un  sir de numere pozitive descresc ator la 0, atunci seria
P
n1n
aneste convergent a.
Denit ie. O serieP
n1anse nume ste serie alternant a dac a are loc relat ia
an
an+1<0;(8)n1. O asemenea serie se scrie
u1u2+u3u4+:::+u2n1u2n+:::;
undeun>0;(8)n1 sauun<0;(8)n1.
Pentru serii alternante are loc urm atorul criteriu de convergent  a:
C3) Criteriul lui Leibniz.
FieP
n1(1)nano serie alternant a de numere reale. Dac a  sirul ( an)n1
este monoton convergent la zero, atunci seria este convergent a.

18 1. SERII NUMERICE
Exemplu. SeriaP
n1(1)n1
neste convergent a, deoarece  sirul (1
n)n1de-
scre ste c atre zero.

1.3. CRITERII DE CONVERGENT  A PENTRU SERII CU TERMENI OARECARE 19
CRITERII DE CONVERGENT  A
(Tabel recapitulativ)
Criterii Descriere Exemple  si comentarii
Criteriul de SeriaP1
n=0rnesteP1
n=01
2neste
convergent  aconvergent a, cu suma convergent a, cu suma 2
pentru seriile1
1rdac ajrj<1
geometricedivergent a dac ajrj1P1
n=02neste divergent a
Criteriul Dac a (an)n1nu converge Dac aan!0 atunci
sucient la 0, atunciP1
n=0anP1
n=0anpoate
de divergent  a este divergent a. convergent a(P1
n=01
n2)
sau divergent a(P1
n=01
n)
CriteriulDac a 0anbn;(8)n Nu este necesar ca
comparat iei (sauan+1
anbn+1
bn;(8)n)anbn(sauan+1
anbn+1
bn,
 siP1
n=0bneste convergent a, etc.) pentru tot i n2N,
atunciP1
n=0an ci doar pentru nN,
este convergent a. undeN2Neste xat
Dac a 0bnan;(8)n (convergent a sau
(sauan+1
anbn+1
bn;(8)n) divergent a unei serii
 siP1
n=0bneste divergent a, nu este afectat a
atunciP1
n=0an de valorile primilor
este divergent a. c^ atorva termeni)
Criteriul deP1
n=01
neste Seriile armonice
convergent  a divergent a dac a 1 generalizate se folosesc
pentru serii convergent a dac a >1: pentru studiul naturii
armonice unor serii cu ajutorul
generalizate criteriilor de comparat ie

20 1. SERII NUMERICE
Criteriul Dac aan0;bn0 Acest criteriu se folose ste
comparat iei  si exist al>0 pentru a studia natura unei
cu limit a astfel ^ nc^ at seriiP1
n=0an si
limn!1an
bn=l; putem g asi o serie
atunci seriileP1
n=0bn, astfel ^ nc^ at
P1
n=0an,P1
n=0bn (a) cunoa stem natura
sunt e serieiP1
n=0bn
ambele convergente, (b) Limita lim n!1an
bneste
e ambele divergente u sor calculabil a
Criteriul Dac aan>0  si Dac al= 1, atunci
raportului limn!1an+1
an=l; seria poate
(D'Alembert) atunciP
n1aneste convergent a(P1
n=11
n2)
convergent a sau divergent a(P1
n=11
n).
dac al<1  si
divergent a
dac al>1.
Criteriul Dac aan>0  si Dac al= 1, atunci
r ad acinii l= limn!1npan, seria poate
(Cauchy) atunciP
n1aneste convergent a(P1
n=11
n2)
convergent a sau divergent a(P1
n=11
n).
dac al<1  si * Criteriul r ad acinii
divergent a se aplic a cel mai
dac al>1. frecvent atunci c^ and an
este de forma an= (:::)n
(P1
(lnn)n=P(1
lnn)n)
Criteriu pentru SeriaP
n1(1)nan,Dac aan6!0
serii alternante cuan0, este seria este divergent a.
(Leibniz) convergent a dac a Criteriul lui Leibniz
(i) limn!1an= 0  si se aplic a
(ii) (an)n1este numai dac a
descresc ator termenii seriei sunt
cu semne alternante
Criteriul Dac aP
n1janj Pentru studiul convergent ei
convergent ei converge, atunci serieiP
n1janj
absoluteP
n1anconverge se pot folosi criteriile
absolut de convergent  a
pentru serii cu
termeni pozitivi

1.4. PROBLEME PROPUSE 21
1.4 Probleme propuse
Calculat i sumele urm atoarelor serii
1.P
n01
4n 2.P
n21
2n
3.P
n0100
5n 4.P
n21
n(n+1)
5.P
n01
(n+1)(n+2)6.P
n22(n+3)
3n
7.P
n45(n2)
6(n+1) 8.P
n05n
100
9.P
n31
n(n1)10.P
n0
1
2n+1
5n
Studiat i natura urm atoarelor serii
11.P
n12n
n2 12.P
n1rn
nr0;r2(0;1)
13.P
n1rn
nr0;r114.P
n2n!
nn
15.P
n1nn
(2n)!16.P
n1en
n5
17.P
n1en
n!18.P
n1n2
3
10k
19.P
n2n
(lnn)n 20.P
n13n+n
n!+2
21.P
n14n
n3 22.P
n1pnlnn
n3+1
23.P
n134n+5
nn 24.P
n1n2n!
(2n)!
25.P
n1(2n)!
n2n!26.P
n1(n!
nn)n
27.P
n1(nn
n!)n28.P
n2en
(lnn)n
29.P
n1(lnn)n
n230.P
n1(n
3n+2)n
A
at i care dintre urm atoarele serii sunt convergente, absolut convergente,

22 1. SERII NUMERICE
respectiv divergente
31.P
n1(1)n32.P
n1(1)n+1
2n
33.P
n2(1)n
nlnn34.P
n1(1)n
n3
2
35.P
n2(1)nn
lnn36.P
n1(1)nlnn
n
37.P
n1(1)n+1
5n438.P
n1sinn
2
39.P
n0cosn
240.P
n1(3)n
n!
41.P
n1n!
(3)n42.P
n1(2)n
n2
43.P
n1n2
(2)n 44.P
n2(1)n+1p
n(n+1)
45.P
n2(1)nn2
n3+146.P
n1cos(n
6)
n2
47.P
n1sin(n
7)
n3 48.P
n1(1)n(n+2)
n(n+1)
49.P
n2(1)nn(n+1)
(n+2)3 50.P
n2(1)nn(n+1)
(n+2)4
51.P
n1(1)n2n
n52.P
n1(1)n+1
n!
53.P
n1(1)nnn
n!54.P
n1(1)npn
n+3
55.P
n2(1)n(n2+3)
n3+4

2
Serii de puteri
Denit ie. Fieaun num ar real oarecare  si ( an)n2Nun  sir de numere.
Numim serie de puteri (sau serie Taylor )centrat a ^ n punctul a, cu coecient ii
an, seria
1X
n=0an(xa)n;
^ n care num arul x2Rreprezint a o variabil a.
Exemplu. Seriile urm atoare sunt c^ ateva serii de puteri centrate ^ n 0:
1 +x+x2+:::+xn+:::
1x
3+x2
5:::+ (1)nxn
2n+1+:::
1 +x
1!+x2
2!+:::+xn
n!+:::
Denit ie. Seriile de puteri centrate ^ n punctul 0 se mai numesc  si serii
MacLaurin .
Denit ie. (i) Spunem c a o serie de puteri converge ^ n punctul xdac a seria
P1
n=0an(xa)neste convergent a. ^In caz contrar spunem c a seria diverge
^ nx.
(ii) Spunem c a o serie de puteri converge pe o mult ime Ddac a ea converge
^ n orice punct x2D.
Exemplu. Vom ^ ncerca s a determin am punctele x2R^ n care converge
seria de puteri
1X
n=0xn
3n= 1 +x
3+x2
32+x3
33+:::
23

24 2. SERII DE PUTERI
Solut ie. Aln-lea termen al seriei este an=xn
3n. Aplic am criteriul raportului
pentru a studia convergent a seriei
1X
n=0xn
3n:
Avem
limn!1jan+1j
janj=x
3:
Deducem c a pentru x2Rcujxj<3, seria init ial a este absolut convergent a,
iar dac ajxj>3, deoarece lim n!1janj=16= 0, seria este divergent a. S a
consider am acum separat cazul c^ and jxj= 3.
Pentrux= 3, seria init ial a de puteri devine
1X
n=0xn
3n=1X
n=03n
3n=1X
n=01n;
care este evident divergent a.
Pentrux=3,
1X
n=0xn
3n=1X
n=0(3)n
3n=1X
n=0(1)n;
care diverge de asemenea.
Problema central a ^ n studiul seriilor de puteri este determinarea mult imii
numerelor reale pentru care seria este convergent a.
Denit ie. Mult imea
K=(
x2R1X
n=0an(xa)n-convergent a)
;
se nume ste mult imea de convergent  a a seriei.
Observat ie. Oricare ar P1
n=0an(xa)no serie de puteri centrat a ^ n
punctula, are loca2K, deoarece pentru x=a, seria de puteri devine
a0+ 0 + 0 +:::+ 0 +:::
Prin urmare,Keste o mult ime nevid a.
Lem a. (i) Dac a o serie de puteriP1
n=0an(xa)nconverge ^ ntr-un punct
t2R, atunci ea converge absolut ^ n orice punct x2Rcujxaj<jtaj.

25
(ii)Dac a o serie de puteriP1
n=0an(xa)ndiverge ^ ntr-un punct t2R,
atunci ea diverge ^ n orice punct x2Rcujxaj>jtaj.
Demonstrat ie. (i) Din criteriul necesar de convergent  a rezult a c a lim n!1an(t
a)n= 0. Prin urmare exist a n02Ncu proprietatea c a jan(ta)nj<
1;(8)nn0. Pentrunn0avem atunci c a
jan(xa)nj=jan(ta)nj
(xa)n
(ta)n=jan(ta)nj
xa
tan
<xa
tan
:
Deoarece seria geometric aP1
n=0xa
tande rat ie subunitar a este convergent a,
din primul criteriu al comparat iei  si inegalitatea de mai sus rezult a c a seria
P1
n=0an(xa)neste absolut convergent a.
(ii) Dac a seriaP1
n=0an(xa)nar  convergent a, atunci ar rezulta, con-
form punctului (i), c a seriaP1
n=0an(ta)nar  absolut convergent a,  si
deci convergent a. Acest lucru ar contrazice ^ ns a ipoteza. Prin urmare, pre-
supunerea c a seriaP1
n=0an(xa)nar  convergent a nu poate  corect a,
deciP1
n=0an(xa)neste divergent a.
Teorema I a lui Abel. Pentru orice serie de puteriP1
n=0an(xa)nexist a
un num arR, cu 0R1 , astfel ^ nc^ at
a) Seria este absolut convergent a pe intervalul deschis ( aR;a+R).
b) Seria este divergent a pentru orice xcujxaj>R.
Demonstrat ie. Fie
R= sup(
jtaj2[0;1)1X
n=0an(ta)n- convergent a)
:
Din lema de mai sus rezult a c a num arul Rveric a toate armat iile din
enunt ul teoremei.
Denit ie. Num arulRdin enunt ul teoremei de mai sus se nume ste raza de
convergent  a a seriei de puteri, iar intervalul deschis I= (aR;a+R) se
nume ste intervalul de convergent  a al seriei de puteri.
Observat ie. Armat ia teoremei I a lui Abel se poate sintetiza ^ n relat ia
(9)R2[0;1] : (aR;a+R)K [aR;a+R]:
Observat ie. ^In cazul c^ and R2(0;1), teorema lui Abel nu spune
nimic despre convergent a sau divergent a seriei de puteri^ n capetele

26 2. SERII DE PUTERI
aR sia+Rale intervalului de convergent  a. Convergent a seriei
de puteri ^ n aceste puncte se studiaz a separat, folosind diverse
criterii de convergent  a(cum ar  criteriul necesar, criteriile de
comparat ie, Raabe-Duhamel, Leibniz,. . . ) .
Este util a  si urm atoarea
Propozit ie. Dac a seria de puteri este absolut convergent a ^ ntr-unul dintre
capeteleaRsaua+Rale intervalului de convergent  a, atunci ea este
absolut convergent a  si ^ n cel alalt cap at.
Demonstrat ie. Avem c a
jan(aRa)nj=jan(R)nj=janRnj=jan(a+Ra)nj;
de unde rezult a c a armat ia propozit iei este trivial a.
Raza de convergent  a a unei serii de puteri este dat a de
Teorema lui Cauchy  si Hadamard. FieP1
n=0an(xa)no serie de puteri
 siRraza sa de convergent  a. Dac a not am
!=limnq
janj;atunciR=1
!:
(Folosim aici convent iile uzuale1
0=1,1
1= 0.)
Demonstrat ie. Fiex2Run num ar real oarecare. Atunci
limnq
jan(xa)nj=jxajlimnq
janj=jxaj!:
(i) Dac ajxaj<1
!, atunci
limnq
jan(xa)nj<1;
de unde, conform criteriului r ad acinii, rezult a c a seriaP1
n=0an(xa)neste
absolut convergent a.
(ii) Dac ajxaj<1
!, atunci
limnq
jan(xa)nj>1;
de unde rezult a c a termenul general al serieiP1
n=0an(xa)nnu converge
la 0, deci seria este divergent a.
Din cele demonstrate la (i)  si (ii) obt inem c a num arul
R=1
!

27
este raza de convergent  a a seriei date.
Exemplu. 1) Pentru seria
1 +x+x2+:::+xn+:::=1X
n=0xn
avemnq
janj= 1;(8)n2, deci!= 1,  si atunci R= 1.
2) Pentru
1 +x
1!+x2
2!+:::+xn
n!+:::=1X
n=01
n!xn;
nq
janj=nq
1
n!,!=limnq
1
n!= 0,  siR=1.
Uneori raza de convergent  a poate  g asit a pe o cale ceva mai simpl a:
Propozit ie. FieP1
n=0an(xa)no serie de puteri. Dac a exist a limita
limn!1jan+1j
janj, atunci
!= limn!1jan+1j
janj;
deci pentru raza de convergent  a R=1
!avem ^ n acest caz
R= limn!1janj
jan+1j:
Exemplu. Determin am mult imea de convergent  a a seriei de puteri
x
1+x2
2+x3
3+:::+xn
n+:::
Coecientul termenului general al seriei date este an=1
n. Deoarece exist a
limn!1jan+1j
janj= limn!1n
n+1= 1, avem != 1, deciR= 1. Intervalul
de convergent  a este deci I= (1;1)  si pentru mult imea de convergent  a K
avemIK [1;1]. R am^ ane s a mai studiem convergent a seriei de puteri
^ n capetele intervalului de convergent  a.
Pentrux= 1, seria de puteri devine seria armonic a, care este divergent a.
Deci 162K.
Pentrux=1, seria de puteri devine o serie alternant a, pentru care mod-
ulele termenilor formeaz a un  sir descresc ator, convergent la 0. Conform cri-
teriului lui Leibniz, aceasta este o serie convergent a, deci rezult a c a 12K.
Am dedus astfel c a mult imea de convergent  a a seriei de puteri date este
K= [1;1).

28 2. SERII DE PUTERI
2.1 Suma unei serii de puteri
Denit ie. FieP1
n=0an(xa)no serie de puteri  si Kmult imea sa de
convergent  a. Pentru ecare x2K s a not am
(x) =1X
n=0an(xa)n=a0+a1(xa) +a2(xa)2+:::+an(xa)n+:::
Am denit astfel o funct ie :K! R:x7!(x). Funct ia aceasta se
nume ste suma seriei de puteriP1
n=0an(xa)n.
Observat ie. Suma unei serii de puteri este o funct ie denit a numai pe
mult imea de convergent  a a seriei de puteri, de si funct iile putere an(xa)n
care sunt termenii seriei de puteri sunt denite pe ^ ntreaga mult ime Ra
numerelor reale.
Exemplu. 1) Seria
1 +x+x2+:::+xn+:::=1X
n=0xn
are mult imea de convergent  a este K= (1;1). Pentru orice x2K, seria
corespunz atoare(care este o seria geometric a) are suma
(x) = 1 +x+x2+:::+xn+:::=1
1x:
Funct iaf:Rnf1g! R:x7!1
1xeste ^ ns a diferit a de , deoarece are
un alt domeniu de denit ie.
Funct ia sum a asociat a unei serii de puteri are urm atoarele propriet at i:
Propozit ie. Sumaunei serii de puteriP1
n=0an(xa)neste o funct ie
continu a pe intervalul de convergent  a.
Teorema II a lui Abel. FieP1
n=0an(xa)no serie de puteri  si Rraza sa
de convergent  a. Dac a seria este convergent a ^ n punctul aR(sau ^ na+R),
atunci suma a seriei este continu a ^ n acest punct.
Observat ie. Prin urmare, suma unei serii de puteri este o funct ie continu a
pe ^ ntregul ei domeniu de denit ie.

2.2. OPERAT  II CU SERII DE PUTERI 29
2.2 Operat ii cu serii de puteri
Propozit ie. FieP1
n=0an(xa)n siP1
n=0bn(xa)ndou a serii de puteri
centrate ^ ntr-un acela si punct a,  si eun num ar real nenul oarecare. Dac a
R1 siR2sunt razele de convergent  a ale celor dou a serii, atunci:
1) raza de convergent  a Ra seriei sum aP1
n=0(an+bn)(xa)nveric a ine-
galitatea
Rinf(R1; R2):
2) raza de convergent  a a seriei
1X
n=0an(xa)n=1X
n=0an(xa)n
esteR1.
3) raza de convergent  a R0a seriei produsP1
n=0cn(xa)n, ai c arei coecient i
sunt dat i prin
cn=a0bn+a1bn1+:::+anb0=nX
k=0akbnk;
veric a inegalitatea
R0inf(R1; R2):
Observat ie. Mult imea seriilor de puteri centrate ^ ntr-un punct formeaz a
un spat iu vectorial ^ n raport cu operat iile de adunare (1)  si ^ nmult ire cu
scalari (2), respectiv un inel^ n raport cu operat iile de adunare (1)  si^ nmult ire
(3).
2.3 Derivarea seriilor de puteri
Denit ie. FieP1
n=0an(xa)no serie de puteri:
a0+a1(xa) +a2(xa)2+:::+an(xa)n+:::
Seria care are ca termeni derivatele termenilor acestei serii,
a1+ 2a2(xa) + 3a3(xa)2+:::+nan(xa)n1+:::
este de asemenea o serie de puteri, pe care o vom numi seria derivatelor
serieiP1
n=0an(xa)n. Pentru cele dou a serii are loc atunci urm atoarea

30 2. SERII DE PUTERI
proprietate:
Propozit ie. Dac aP1
n=0an(xa)neste o serie de puteri, av^ and suma ,
atunci:
1) Seria derivatelor are aceea si raz a de convergent  a.
2) Funct ia este derivabil a pe intervalul de convergent  a,  si derivata sa 0
coincide pe acest interval cu suma seriei derivatelor.
Corolar. O serie de puteri poate  derivat a "termen cu termen".
Exemplu. Seria derivatelor a seriei de puteri
1 +x+x2+:::+xn+:::
este
1 + 2x+ 3×2+:::+nxn1+:::
Deoarece pentru suma primei serii de puteri avem
1 +x+x2+:::+xn+:::=1
1x;(8)x2(1;1);
suma seriei derivatelor va
1 + 2x+ 3×2+:::+nxn1+:::=1
(1x)2;(8)x2(1;1):
2.4 Integrarea seriilor de puteri
Propozit ie. Dac aP1
n=0an(xa)neste o serie de puteri, av^ and suma ,
atunci:
1) SeriaP1
n=0an
n+1(xa)n+1este o serie de puteri cu aceea si raz a de convergent  a.
2) Sumaa serieiP1
n=0an
n+1(xa)n+1este o primitiv a a funct iei .
Corolar. O serie de puteri poate  integrat a "termen cu termen".
Exemplu. Consider am seria de puteri
1x2+x4x6+:::+ (1)nx2n+:::
care este convergent a pentru x2(1;1). Suma ei este
1x2+x4x6+:::+ (1)nx2n+:::=1
1 +x2;(8)x2(1;1):

2.5. PROBLEME PROPUSE 31
Integr^ and termen cu termen ^ n ultima relat ie, obt inem
arctg(x) =xx3
3+x5
5x7
7+:::+ (1)nx2n+1
2n+ 1+:::; (8)x2(1;1):
Deoarece pentru x= 1, seria 11
3+1
51
7+:::+ (1)n1
2n+1+:::este
convergent a(conform criteriului lui Leibniz), din teorema a II-a a lui Abel
deducem c a

4= arctg(1) = lim
x!1arctg(x) =
= lim
x!1(xx3
3+x5
5x7
7+:::+ (1)nx2n+1
2n+ 1+:::) =
= 11
3+1
51
7+:::+ (1)n1
2n+ 1+:::
Am obt inut deci identitatea

4= 11
3+1
51
7+:::+ (1)n1
2n+ 1+:::;
care a fost descoperit a de Leibniz. Pentru demonstrat ia convergent ei seriei
din membrul drept, el a folosit pentru prima dat a criteriul de convergent  a
pentru serii alternante care ast azi ^ i poart a numele.
2.5 Probleme propuse
Determinat i intervalele de convergent  a  si domeniile de convergent  a ale urm atoarelor
serii de puteri:

32 2. SERII DE PUTERI
1:P1
n=0xn2:P1
n=1xn
n2n
3:P1
n=1x2n1
2n14:P1
n=12n1x2n1
(4n3)2
5:P1
n=1(1)n1xn
n6:P1
n=0(n+1)5x2n
2n+1
7:P1
n=0(1)n(2n+ 1)2xn8:P1
n=0xn
n!
9:P1
n=0n!xn10:P1
n=1xn
nn
11:P1
n=1(n
2n+1)2n1xn12:P1
n=03n2xn2
13:P1
n=1n
n+1(x
2)n14:P1
n=1n!xn
nn
15:P1
n=2xn1
n3nln(n)16:P1
n=0xn!
17:P1
n=0n!xn!18:P1
n=1xn2
2n1nn
19:P1
n=1xnn
nn 20:P1
n=1(1)n1(x5)n
n3n
21:P1
n=1(x3)n
n5n 22:P1
n=1(x1)n
n9n
23:P1
n=1(1)n1(x2)2n
2n24:P1
n=1(x+3)n
n2
25:P1
n=1nn(x+ 3)n26:P1
n=1(x+5)2n1
2n4n
27:P1
n=1(x2)n
(2n1)2n 28:P1
n=1(1)n+1(2n1)2n(x1)n
(3n2)2n
29:P1
n=1n!(x+3)n
nn 30:P1
n=1(x+1)n
(n+1)ln2(n+1)
31:P1
n=1(x+2)n2
nn 32:P1
n=1(1 +1
n)n2(x3)n
Prin derivare sau integrare, s a se calculeze sumele seriilor de puteri:

2.5. PROBLEME PROPUSE 33
33.x+x2
2+x3
3+:::+xn
n+:::
34.xx2
2+x3
3:::+ (1)n1xn
n+:::
35.x+x3
3+x5
5+:::+x2n1
2n1+:::
36.xx3
3+x5
5:::+ (1)n1x2n1
2n1+:::
37.1 + 2x+ 3×2+:::+ (n+ 1)xn+:::
38.13×2+ 5×4:::+ (1)n1(2n1)x2n2+:::
39.1
2 + 2
3x+ 3
4×2+:::+n(n+ 1)xn1+:::
G asit i sumele seriilor:
40.1
x+2
x2+3
x3+:::+n
xn+:::
41.x+x5
5+x9
9+:::+x4n3
4n3+:::
42.11
3
3+1
5
32:::+ (1)n1 1
(2n1)
3n1+:::
43.1
2+3
22+5
23+:::+2n1
2n+:::

34 2. SERII DE PUTERI

3
Formula lui Taylor
Denit ie. Fief:I!Ro funct ie, derivabil a de nori ^ ntr-un punct
a2I. Pentru ecare x2Iputem atunci deni polinomul
Tn(x) =f(a) +f0(a)
1!(xa) +f"(a)
2!(xa)2+:::+f(n)
n!(a)(xa)n:
PolinomulTn(x) se nume ste polinomul Taylor de gradul n(sau de ordinuln)
asociat funct iei f^ n punctul a.
Denit ie. Dac a pentru ecare x2Inot am
Rn(x) =f(x)Tn(x);
atunci vom putea scrie
f(x) =f(a) +xa
1!f0(a) +(xa)2
2!f"(a) +:::+(xa)n
n!f(n)(a) +Rn(x);
oricare ar  x2I. Aceast a egalitate se nume ste formula lui Taylor de
ordinulncorespunz atoare funct iei f^ n punctul a. Funct iaRnse nume ste
restul de ordinul nal formulei lui Taylor .
Observat ie. Polinomul lui Taylor Tn(x) are proprietatea c a
T(k)
n(a) =f(k)(a);(8)k=0;n:
Corolar. Restul de ordinul nal formulei lui Taylor este o funct ie derivabil a
denori ^ n punctul a si
R(k)
n(a) = 0;(8)k=0;n:
35

36 3. FORMULA LUI TAYLOR
Observat ie. Pentru restul Rnde ordinnal formulei lui Taylor are loc
proprietatea
limx!aRn(x)
(xa)n= 0:
Propozit ie. Dac afeste derivabil a de nori ^ n punctul a2I, atunci exist a
o funct ie(x) denit a pe Iastfel ca
limx!a(x) = 0 =(a)
 si astfel ca pentru orice x2Is a avem
f(x) =f(a) +xa
1!f0(a) +(xa)2
2!f"(a) +:::+
+(xa)n
n!f(n)(a) +(xa)n
n!(x):
^In continuare vom presupune c a feste derivabil a de n+ 1 ori pe ^ ntreg
intervalulI. Pentru restul de ordinul nal formulei lui Taylor vor  atunci
valabile urm atoarele formule:
1) Pentru orice num ar natural p, cu 1pn+ 1 exist acuprins ^ ntre a
 sixastfel c a
Rn(x) =(xa)p(x)np+1
n!pf(n+1)():
^In aceast a form a, Rnse nume ste restul lui Schl omlich-Roche pentru formula
lui Taylor.
2) Dac a ^ n formula de mai sus punem p= 1, obt inem restul lui Cauchy
pentru formula lui Taylor:
Rn(x) =(xa)(x)n
n!f(n+1)():
3) Dac a ^ n formula de la 1) lu am p=n+ 1, obt inem restul lui Lagrange
pentru formula lui Taylor
Rn(x) =(xa)n+1
(n+ 1)!f(n+1)():
Observat ie. Punctul intermediar depinde de a,x,n sip. Prin urmare,
punctulnu este neap arat acela si pentru cele trei formule de mai sus.
Observat ie. Deoareceeste cuprins ^ ntre a six, exist a un num ar (care
depinde de asemenea de a,x,n sip) astfel ^ nc^ at 0 << 1  si
=a+(xa):

37
Dac a not am h=xa, atunci=a+h,  si formula lui Taylor se va scrie
f(a+h) =f(a) +h
1f0(a) +h2
2f"(a) +:::+hn
n!f(n)(a) +Rn;
unde restul Rnpoate avea una din formele:
Rn=hn+1(1)np+1
n!pf(n+1)(a+h) (Schl omlich-Roche);
Rn=hn+1(1)n
n!f(n+1)(a+h) (Cauchy);
Rn=hn+1
(n+1)!f(n+1)(a+h) (Lagrange) :
Exercit iu. Scriet i formula lui Taylor cu restul lui Lagrange ^ n punctul 0
pentru urm atoarele funct ii:
1)f:R!R,f(x) =ex.
2)f:R!R,f(x) = sin(x).
3)f:R!R,f(x) = cos(x).
4)f: (1;1)!R,f(x) = ln(1 +x).
Denit ie. Fief:I!Ro funct ie indenit derivabil a ^ ntr-un punct
a2I. Atunci putem considera seria urm atoare:
f(a) +xa
1!f0(a) +(xa)2
2!f"(a) +:::+(xa)n
n!f(n)(a) +:::
Aceast a serie de puteri se nume ste seria Taylor a funct iei f^ n punctul
a. Ea are o raz a de convergent  a 0 R1 , o mult ime de convergent  a
nevid aKcare cont ine cel put in punctul a,  si un interval de convergent  a
(aR;a+R)K. Pe mult imeaKeste denit a funct ia sum a Ta acestei
serii de puteri.
Sumele part iale ale seriei Taylor a funct iei f^ n punctul asunt evident
polinoamele Taylor asociate funct iei f^ n punctul a. Deoarece pentru nu-
merexa
ate "aproape" de num arul a, polinoamele Tn(x) aproximeaz a din
ce ^ n ce mai bine funct ia f(x), se pune ^ ntrebarea dac a vom putea scrie
f(x) =T(x);(8)x2I\K:
R aspunsul la aceast a ^ ntrebare este dat de urm atoarea
Teorem a. Seria Taylor a funct iei f^ n punctul aeste convergent a ^ ntr-un
punctx2I\Kc atre valoarea f(x) a funct iei f^ nxdac a  si numai dac a val-
orile ^ nxale resturilor Rnale formulelor lui Taylor formeaz a un  sir ( Rn(x))
convergent c atre 0.

38 3. FORMULA LUI TAYLOR
3.1 Serii Taylor pentru funct ii de dou a vari-
abile
Dezvoltarea ^ n serie Taylor a unei funct ii f(x;y) ^ n jurul unui punct ( a;b)
are forma
f(x;y) =f(a;b) +1
1![(xa)@
@x+ (yb)@
@y]f(a;b)+
+1
2![(xa)@
@x+(yb)@
@y]2f(a;b)+:::+1
n![(xa)@
@x+(yb)@
@y]nf(a;b)+:::;
unde
[(xa)@
@x+ (yb)@
@y]f(a;b) =@f
@x(a;b)(xa) +@f
@y(a;b)(yb);
[(xa)@
@x+ (yb)@
@y]2f(a;b) =@2f
@x2(a;b)(xa)2+
+2@2f
@x@y(a;b)(xa)(yb) +@2f
@y2(a;b)(yb)2;
 s.a.m.d.
3.2 Probleme propuse
1.Ar atat i c a
i)ex= 1 +x
1!+x2
2!+:::+xn
n!+:::;(8)x2R
ii) sin(x) =xx3
3!+x5
5!:::+ (1)n1x2n1
(2n1)!+:::;(8)x2R
iii) cos(x) = 1x2
2!+x4
4!:::+ (1)nx2n
(2n)!+:::;(8)x2R
iv) ln(1 +x) =xx2
2+x3
3:::+ (1)n1xn
n+:::;(8)x2(1;1]
v) ln(1x) =xx2
2x3
3:::xn
n:::;(8)x2[1;1)
vi) (1 +x)m= 1 +m
1!x+m(m1)
2!x2+:::+m(m1):::(mn+1)
n!xn+:::;(8)x2
(1;1)
2.Determinat i dezvolt arile ^ n serie MacLaurin ale urm atoarelor funct ii,
indic^ and  si intervalele ^ n care este valabil a ecare dezvoltare:

3.2. PROBLEME PROPUSE 39
i)f(x) =ax; ii) f(x) = sin(x+
4);
iii)f(x) = cos(x+a); iv) f(x) = sin2(x);
v)f(x) = ln(2 +x); vi) f(x) =2x3
(x1)2;
vii)f(x) =3x5
x24x+3; viii) f(x) = cos2(x);
ix)f(x) =x
1+x2; x) f(x) =1p
4x2;
xi)f(x) =ch(x); xii) f(x) =sh(x);
xiii)f(x) = ln(1+x
1x); xiv) f(x) = (1 +x) ln(1 +x);
xv)f(x) = ln(x+p
1 +x2); xvi)f(x) =arctg (x);
xvii)f(x) = arcsin(x); xviii) f(x) = ln(1 +x2×2));
xix)f(x) = (1 +x)ex; xx) f(x) =3p8 +x.
3.Scriet i primii trei termeni nenuli ai dezvolt arilor ^ n serie MacLaurin ale
urm atoarelor funct ii:
i)f(x) =tg(x);ii)f(x) =th(x);iii)f(x) = ln(cos(x));
iv)f(x) =ecos(x);v)f(x) =esin(x):
4.Dezvoltat i funct ia f(x) =x32×25x2 ^ n serie de puteri ale lui x+4.
5.Dezvoltat i funct ia f(x) = ln(x) ^ n serie de puteri ale lui x1.
6.Dezvoltat i funct ia f(x) =1
x^ n serie de puteri ale lui x1.
7.Dezvoltat i funct ia f(x) =1
x2^ n serie de puteri ale lui x+ 1.
8.Dezvoltat i funct ia f(x) =1
x2+3x+2^ n serie de puteri ale lui x+ 4.
9.Dezvoltat i funct ia f(x) =px^ n serie de puteri ale lui x+ 2.
10.Dezvoltat i funct ia f(x) = cos(x) ^ n serie de puteri ale lui x
2.
11.Dezvoltat i funct ia f(x) = ln(x) ^ n serie de puteri ale lui1x
1+x.
12.Dezvoltat i funct ia f(x) =xp1+x^ n serie de puteri ale luix
1+x.
13.Folosind dezvoltarea funct iei arctg (x), a
at i num arul cu o zecimal a
exact a.

40 3. FORMULA LUI TAYLOR
14.Folosind dezvoltarea funct iei ex, a
at i num arul ecu trei zecimale exacte.
15.Dezvoltat i ^ n serie de puteri ale lui x siyurm atoarele funct ii:
i)f(x;y) = sin(x) sin(y), ii)f(x;y) = ln(1xy+xy),
iii)f(x;y) = sin(x2+y2), iv)f(x;y) =arctg (x+y
1xy)
v)f(x;y) =1x+y
1+xy.
16.Fief(x;y) =ax2+ 2bxy+cy2. Dezvoltat i f(x+h;y+k) ^ n serie de
puteri ale lui h sik.
17.Dezvoltat iex+y^ n serie de puteri ale lui x2  siy+ 2.
18.Dezvoltat i sin( x+y) ^ n serie de puteri ale lui x siy
2.
19. Scriet i formula lui Taylor de ordinul doi ^ n punctul (0 ;0) pentru
urm atoarele funct ii:
i)f(x;y) =excos(y), ii)f(x;y) = (1 +x)1+y.

4
Not iuni de topologie ^ n Rn
Spat iul vectorial Rnare o structur a de spat iu euclidian denit a de produsul
scalar  si de norma asociat a. Cu ajutorul normei se poate deni pe Rno
distant  a:
d:RnRn!R; d (X;Y ) =jjXYjj;(8)X;Y2Rn:
Propriet at ile funct iei distant  a sunt:
1)d(X;Y )0, (8)X;Y2Rn.
2)d(X;Y ) = 0()X=Y.
3)d(X;Y ) =d(Y;X), (8)X;Y2Rn.
4)d(X;Y )d(X;Z) +d(Z;Y), (8)X;Y;Z2Rn.
O funct ie cu propriet at ile funct iei distant  a de mai sus se mai nume ste  si
metric a ,  si spunem c a ( Rn;d) este un spat iu metric .
Denit ie. FieX2Rn sir2R+.
Bila deschis a de centru X si raz areste mult imea
B(X;r) =fY2Rnjd(X;Y )<rg:
Bila ^ nchis a de centru X si raz areste mult imea
B(X;r) =fY2Rnjd(X;Y )rg:
Sfera de centru X si raz areste mult imea
S(X;r) =fY2Rnjd(X;Y ) =rg:
41

42 4. NOT  IUNI DE TOPOLOGIE ^INRN
Denit ie. FieX2Rn siVRn.Vse nume ste vecin atate a lui X
dac a exist a r >0 cu proprietatea c a B(X;r)V. Mult imea vecin at at ilor
punctuluiXo vom nota cuV(X), iar dac a Veste o vecin atate a lui X,
vom scrieV2V(X).
Denit ie. O mult ime D2Rnse nume ste mult ime deschis a dac a este
vecin atate pentru orice punct al s au, i.e.
(8)X2D(9)r>0 :B(X;r)D:
Vom nota cuDmult imea mult imilor deschise incluse ^ n Rn.
Complementarele mult imilor deschise se numesc mult imi ^ nchise .
O mult ime compact a este o mult ime ^ nchis a  si m arginit a.
Propozit ie. Mult imile deschise incluse ^ n Rnau urm atoarele propriet at i:
1)Rn;;2D .
2) Dac aD1;D22D, atunciD1\D22D.
3) Dac a (Di)i2I2D este o familie oarecare de mult imi deschise, atunci
[i2IDi2D.
Denit ie. O familieTde submult imi ale lui Rncare satisface condit iile
din propozit ia de mai sus, se nume ste topologie pe Rn.
Observat ie. Mult imeaDa mult imilor deschise din Rnformeaz a deci o
topologie pe Rn.
Denit ie. Perechea ( Rn;D) fomeaz a un spat iu topologic .
Denit ie. FieMRno submult ime oarecare a spat iului topologic
(Rn;D).
Interiorul lui M(notatInt(M)) este cea mai mare mult ime deschis a
cont inut a ^ n M. Avem
Int(M) =fX2RnjM2V(X)g:
Exteriorul lui M(notatExt(M)) este interiorul mult imii complementare
luiM^ nRn:
Ext(M) =fX2Rnj(9)r>0 :B(X;r)\M=;g:

43
^Inchiderea( sauaderent a lui M)(notat aM) este cea mai mic a mult ime
^ nchis a care cont ine M si este complementara exteriorului mult imii M:
M=fX2Rnj(8)r>0 =)B(X;r)\M6=;g=
=fX2Rnj(8)V2V(X) =)B(X;r)\M6=;g:
Mult imea punctelor de acumulare a lui M(notat aM0) este
M0=fX2Rnj(8)V2V(X) =)B(X;r)\MnfXg6=;g:
Frontiera lui M(notat aFr(M)) const a din punctele aderente at^ at lui M,
c^ at  si complementarei lui M:
Fr(M) =fX2Rnj(8)V2V(X) =)B(X;r)\M6=;6=B(X;r)nMg:
Mult imea punctelor izolate ale mult imii M(notat aIz(M)) const a din
punctele aderente ale lui Mcare nu sunt puncte de acumulare:
Iz(M) =MnM0:

44 4. NOT  IUNI DE TOPOLOGIE ^INRN

5
Funct ii de mai multe variabile
5.1 Denit ii. Exemple
Denit ie. FieDRno submult ime a spat iului Rn. O funct ie f:D!
Rse nume ste funct ie(scalar a) de nvariabile. Mult imeaDeste domeniul de
denit ie al lui f, notatDom (f), iar mult imeaff(X)jX2Dgse nume ste
imaginea funct iei f,  si o not am Im(f).
Observat ie. Uneori nu se indic a domeniul de denit ie al unei funct ii, ci
doar spat iul Rn^ n care este inclus acesta. ^In acest caz se consider a de
regul a c a domeniul de denit ie este domeniul maxim de denit ie, pentru
care au sens toate calculele care se fac pentru determinarea imaginii unui
vector prin funct ia a c arei lege de corespondent  a este indicat a.
Exemplu. 1) Pentru funct ia f:R4!R, denit a prin
f(x1;x2;x3;x4) =x2
1+x2
2+x2
3+x2
4;
domeniul de denit ie este R4, iar imaginea este R+.
2) Fief:DR4!R, dat a de legea de corespondent  a
f(x1;x2;x3;x4) =1
x2
1+x2
2+x2
3+x2
41:
Domeniul de denit ie nu este indicat, astfel c a trebuie considerat ca ind
domeniul maxim de denit ie al expresiei care dene ste legea de corespondent  a
prin care este denit a funct ia. Astfel,
Dom (f) =fX2R4jx2
1+x2
2+x2
3+x2
416= 0g=
45

46 5. FUNCT  II DE MAI MULTE VARIABILE
=fX2R4jd(X;0)6= 1g=R4nS(0;1):
Imaginea funct iei festeRn(1;0].
Denit ie. Fief:DRn!Ro funct ie de nvariabile. Gracul funct iei
feste mult imea
Gf=f(X;xn+1)2Rn+1jX2D; xn+1=f(X)g:
Exemplu. Gracul funct iei f:B(0;1)R2!R, denit a prin f(X) =q
1jjXjj2este semisfera "superioar a" S+(0;1)R3.
Denit ie. Fief:DRn!Ro funct ie de nvariabile  si 2R.
Linia de nivel a luifeste mult imeaL(f) =f(x1;x2;:::;xn) =X2
D; f(X) =g. Ea se mai nume ste preimaginea( sauimaginea invers a) a lui
 si se mai noteaz a  si f1().
5.2 Probleme propuse
Determinat i domeniile  si imaginile funct iilor urm atoare
1.f(x;y) =px2+y2; 2.f(x;y) =p1 +x+y;
3.f(x;y) =x
y; 4.f(x;y) =p1x24y2;
5.f(x;y) =p1x2+ 4y2;6.f(x;y) = sin(x+y);
7.f(x;y) =ex+ey; 8.f(x;y) =1
(x2y2)3=2;
9.f(x;y) = tan(xy); 10.f(x;y) =r
x+y
xy;
11.f(x;y) =r
xy
x+y; 12.f(x;y) = sin1(x+y);

5.2. PROBLEME PROPUSE 47
13.f(x;y) = cos1(xy); 14.f(x;y) =y
jxj;
15.f(x;y) =x2y2
x+y; 16.f(x;y) = ln(1 +x2y2);
17.f(x;y) =x
2y+2y
x; 18.f(x;y;z ) =x+y+z;
19.f(x;y;z ) =px+y+z; 20.f(x;y;z ) =1p
x2+y2+z2;
21.f(x;y;z ) =1p
x2y2+z2; 22.f(x;y;z ) =px2y2z2;
23.f(x;y;z ) = ln(x2y3z+ 4); 24.f(x;y;z ) =xy
z;

48 5. FUNCT  II DE MAI MULTE VARIABILE

6
Limite. Continuitate
6.1 Limita unei funct ii ^ ntr-un punct
Fief:DRn!Ro funct ie de nvariabile,A= (a1;a2;:::;an)2D0
un punct de acumulare al domeniului de denit ie al funct iei f sil2R.
Denit ie. Spunem c a funct iafare limital^ n punctul Adac a pentru
orice vecin atate Ua luilexist a o vecin atate Va luiAcu proprietatea c a
f(X)2U;(8)X2V\DnfAg.
O form a echivalent a a denit iei de mai sus este:
Denit ie. Funct iafare limital^ n punctulAdac a pentru orice vecin atate
Ua luilexist a>0 astfel ^ nc^ at f(X)2U;(8)X2D;0<d(X;A)<.
Dac al2Reste un num ar nit, putem transcrie denit iile de mai sus
^ n forma urm atoare:
Denit ie. Funct iafare limital^ n punctul Adac a pentru orice " > 0
exist a>0 astfel ^ nc^ at
jf(X)lj<"; (8)X2D;0<d(X;A)<:
Observat ie. Aceast a ultim a variant a a denit iei poart a  si numele de "cri-
teriul"".
^In cazul c^ and l=1, putem formula denit ia ^ n modul urm ator:
Denit ie. Funct iafare limita1^ n punctul Adac a pentru orice M2R
exist a>0 astfel ^ nc^ at
f(X)>M; (8)X2D;0<d(X;A)<:
49

50 6. LIMITE. CONTINUITATE
Asem an ator, pentru l=1 avem
Denit ie. Funct iafare limita1^ n punctulAdac a pentru orice m2R
exist a>0 astfel ^ nc^ at
f(X)<m; (8)X2D;0<d(X;A)<:
Exemplu. Vom ar ata c a
lim
X!(4;1;0;3)(x1+ 2×2x3+ 3×4) = 7:
Solut ie. Fie" >0 dat. Vom c auta s a determin am  >0 cu proprietatea
c a
jx1+ 2×2x3+ 3×47j<"
dac a
0<q
(x1+ 4)2+ (x21)2+x2
3+ (x43)2<
Pentru aceasta, s a observ am c a putem folosi inegalitatea modulului  si scrie:
jx1+ 2×2x3+ 3×47j=jx1+ 4 + 2×22x3+ 3×49j
jx1+4j+j2x22j+jx3j+j3x49j=jx1+4j+2jx21j+jx30j+3jx43j:
Fiecare dintre numerele jx1+ 4j,jx21j,jx30j,jx43jmai mic sau egal
cuq
(x1+ 4)2+ (x21)2+x2
3+ (x43)2:
Prin urmare, rezult a c a
jx1+ 2×2x3+ 3×47j7q
(x1+ 4)2+ (x21)2+x2
3+ (x43)2=
= 7
d((x1;x2;x3;x4);(4;1;0;3)):
Fie acum=1
7". Dac ad(X;(4;1;0;3))< , atunci conform inegalit at ii
de mai sus are loc:
jf(X)7j=jx1+ 2×2x3+ 3×47j7= 7"
7="
 si deci
lim
X!(4;1;0;3)(x1+ 2×2x3+ 3×4) = 7:
Exemplu. Vom ar ata c a pentru funct ia
f:R5nf0g! R; f(x1;x2;x3;x4;x5) =x2
1x2
2+x2
3x2
4+x2
5
x2
1+x2
2+x2
3+x2
4+x2
5

6.2. CONTINUITATE 51
nu exist a lim X!0f(X).
Solut ie. Vom ar ata acest lucru demonstr^ and c a putem obt ine dou a valori
diferite apropiindu-ne de 0 pe dou a c ai diferite. Fie X!0 cux1=x2=
x3=x4= 0  six5! 0, adic a ne apropiem de 0 de-a lungul axei Ox5.
Atunci avem
f(X) =x2
5
x2
5= 1;
astfel c a
lim
(0;0;0;0;x5)!0f(X) = 1:
Fie acumX!0 cux1=x2=x3=x5= 0  six4!0. Atunci
f(X) =x2
4
x2
4=1;
astfel c a
lim
(0;0;0;x4;0)!0f(X) =1:
Deoarece am obt inut dou a rezultate diferite, deducem c a limita nu poate
exista.
Observat ie. Ret inet i deci c a limita unei funct ii ^ ntr-un punct, dac a exist a,
este unic a. Sau, cu alte cuvinte, dac a apropiindu-ne de punctul a^ n mai
multe moduri obt inem limite diferite, atunci funct ia nu are limit a ^ n punctul
A.
6.2 Continuitate
Denit ie. Fief:DRn!Ro funct ie de nvariabile reale  si A2D.
Spunem c a funct iafeste continu a ^ n punctul Adac a pentru orice vecin atate
Ua luif(A) exist a o vecin atate Va punctului Aastfel ^ nc^ at f(X)2U,
pentru orice X2V\D.
Observat ie. Dac aAeste un punct izolat al mult imii D, atunci exist a
o vecin atate Va sa, astfel ^ nc^ at V\D=fAg. Dar atunci, pentru orice
vecin atateUa luif(A) are locf(X)2U, pentru orice X2V\D(deoarece
Aeste singurul element din V\D sif(A) se a
 a ^ n orice vecin atate a sa).
^Inseamn a c a orice funct ie este continu a ^ n orice punct izolat al domeniului
s au de denit ie.
Observat ie. Dac aA2Deste ^ ns a un punct de acumulare al lui D, atunci

52 6. LIMITE. CONTINUITATE
funct iafeste continu a ^ n Adac a  si numai dac a fare limit a ^ n punctul A
 si aceast a limit a este egal a cu f(A).
Exemplu. Funct iaf:R5!Rdenit a prin f(0) = 0  si
f(x1;x2;x3;x4;x5) =x2
1x2
2+x2
3x2
4+x2
5
x2
1+x2
2+x2
3+x2
4+x2
5;(8)X6= 0
nu are limit a ^ n 0, prin urmare nu este continu a ^ n 0.
Continuitatea ^ ntr-un punct poate  studiat a  si ea cu ajutorul unui "cri-
teriu"", deoarece denit ia continuit at ii^ ntr-un punct este echivalent a cu
urm atoarea:
Denit ie. Funct iaf:DRn!Reste continu a ^ ntr-un punct A2D
dac a pentru orice ">0 exist a>0 astfel ^ nc^ at
jf(X)f(A)j<"; (8)X2D; d(X;A)<:
Denit ie. (i) Un polinomp(X) =p(x1;x2;:::;xn) ^ n variabilele x1,x2,
. . . ,xneste o sum a nit a de termeni(numit i monoame) de forma
xm1
1xm2
2:::xmn
n;
undem1;m2;:::;mn2N, iar2R.Gradul unui monom este suma
m=m1+m2+:::+mn, iar gradul unui polinom este cel mai mare dintre
gradele monoamele sale.
(ii) O funct ie rat ional a r(X) =r(x1;x2;:::;xn) ^ n variabilele x1;x2;:::;xn
este o funct ie care poate  scris a ca raportul dintre dou a polinoame:
r(X) =p(X)
q(X):
Propozit ie. (i) Orice polinom ^ n nvariabile este continuu ^ n orice punct
dinRn.
(ii) Orice funct ie rat ional a r=p=qeste continu a ^ n orice punct A2Rncu
proprietatea c a q(A)6= 0.
(iii) Dac af sigsunt dou a funct ii continue ^ ntr-un punct Aatuncif+g si
fgsunt cotinue ^ n A.
(iv) Dac af sigsunt continue ^ n A sig(A)6= 0, atunci f=geste continu a ^ n
A.

6.3. PROBLEME PROPUSE 53
(v) Dac afeste continu a ^ n A, iarhest eo funct ie de o variabil a, care este
continu a ^ n punctul f(A), atunci funct ia compus a hfeste continu a ^ n A.
Exemplu. p(X) =x3
1×5
2×8
53x1x4
2×2
4+ 5×2
1×3
2×4
3×2
4x5este continu a ^ n orice
punxtAdinR5.
Exemplu.
r(X) =x2
1x5x4
4+x1x2
2×3
3×5
5x6
1x2x3
5
x12×2+ 3×34×4+ 2×56
este continu a ^ n orice X2R5, cu except ia acelor Xcare satisfac egalitatea
x12×2+ 3×34×4+ 2×5= 6:
Observat ie. O mult ime de vectori care veric a o egalitate ca cea de mai
sus se nume ste hiperplan. ^In general, un hiperplan ^ n Rneste o mult ime de
forma
H=fX2Rnja1x1+a2x2+:::+anxn=bg
undea1;a2;:::;an;bsunt numere reale.
Exemplu. Funct ia sin( x2
1+2x1x4x4
3×5
5) este continu a ^ n orice adinR5, -
ind o compus a a funct iei continue de o variabil a sin  si a unei funt ii continue.
6.3 Probleme propuse
Vericat i cu ajutorul denit iei valorile limitelor
1. lim
(x;y)!(1;2)(3x+y) = 5 2. lim
(x;y)!(3;1)(x7y) = 10
3. lim
(x;y)!(5;2)(ax+by) = 5a2b4. lim
(x;y)!(0;0)2x2y
x2+y2= 0
5. lim
(x;y)!(4;1)(x2+ 3y2) = 19 6. lim
(x;y)!(1;1)x
y= 1
Ar atat i c a urm atoarele limite nu exist a

54 6. LIMITE. CONTINUITATE
7. lim
(x;y)!(0;0)x+y
xy8. lim
(x;y)!(0;0)xy
x2y2
9. lim
(x;y)!(0;0)ax2+by
cx2+dy; a;b;c;d> 010. lim
(x;y;z )!(0;0;0)xy+2xy+3yz
x2+y2+z2
11. lim
(x;y)!(0;0;0)xyz
x3+y3+z3
Calculat i limitele urm atoare
12. lim
(x;y)!(0;0)3xyp
x2+y213. lim
(x;y)!(0;0)x3+y3
x2+y2
14. lim
(x;y)!(4;3)1+xy
1xy15. lim
(x;y)!(1;2)ln(1 +ex+y)
16. lim
(x;y)!(1;1)xy
x2y2 17. lim
(x;y)!(2;5)sh
x+1
y2
18. lim
(x;y)!(0;0;0)yx2+z3
x2+y2+z219. lim
(x;y)!(4;1;3)ln(xyz+ 4x3y5z)
Studiat i continuitatea funct iilor urm atoare ^ n origine.
20.f(x;y) =8
><
>:3xyp
x2+y2(x;y)6= (0;0)
c (x;y) = (0;0)
21.f(x;y) =8
<
:xy
jxj+jyj(x;y)6= (0;0)
c (x;y) = (0;0)
22.f(x;y;z ) =8
<
:yzx2
x2+y2+z2(x;y;z )6= (0;0;0)
c (x;y;z ) = (0;0;0)

7
Derivate part iale
7.1 Derivate part iale de ordinul ^ nt^ ai
Denit ie. Fief:DRn!Rno funct ie de nvariabile, denit a pe
o mult ime deschis a DdinRn si eA2Dun punct xat al domenilui de
denit ie. Spunem c a funct iafeste derivabil a part ial ^ n raport cu variabila
xi^ n punctul Adac a exist a  si este nit a limita
lim

xi!0f(a1;:::;ai1;ai+
xi;ai+1;:::;an)f(a1;:::;ai1;ai;ai+1;:::;an)

xi:
Atunci c^ and exist a, limita de mai sus se noteaz a cu@f
@xi(A).
Denit ie. Fief:DRn!Rno funct ie de nvariabile  si Dio mult ime
inclus a ^ n domeniul Dde denit ie al funct iei. Spunem c a feste derivabil a
part ial ^ n raport cu variabila xipeDidac afeste derivabil a part ial ^ n raport
cuxi^ n orice punct A2Di.
Denit ie. Derivata part ial a a unei funct ii f:DRn!Rn^ n raport
cu variabila xieste funct ia ( @f=@xi) :Di!Rdenit a de limita de mai
sus pe mult imea punctelor pe care feste derivabil a part ial ^ n raport cu
variabilaxi.
Observat ie. Din denit ia derivatei part iale^ n raport cu o variabil a se poate
constata c a ea se calculeaz a x^ and toate celelalte variabile constante(egale
cu componentele corespunz atoare ale punctului ^ n care se face calculul),
apoi deriv^ and dup a variabila respectiv a. ^In consecint  a, atunci c^ and cal-
cul am derivate part iale putem folosi regulile de derivare pentru funct ii de o
55

56 7. DERIVATE PART  IALE
variabil a.
Observat ie. Atent ie! Chiar dac a pentru calculul unei derivate part iale de-
riv am practic ^ n raport cu o singur a variabil a, x^ and celelalte variabile, o
derivat a part ial a este o funct ie de nvariabile.
Exemplu. Derivatele part iale ale funct iei f(X) =x2
1x2
2+ 3x1x2x3x4
x1
sunt:
@f
@x1= 2×1+ 3x2x3+x4
x2
1@f
@x3= 3x1x2
@f
@x2=2×2+ 3x1x3@f
@x4=1
x1
Notat ie. Frecvent vom folosi ^ n loc de@f
@xinotat iafxi, sau pentru simpli-
tatefi; astfel derivatele part iale din exemplul de mai sus se scriu fx1=f1=
2×1+ 3x2x3+x4
x2
1,fx2=f2=2×2+ 3x1x3,  s.a.m.d.
Observat ie. Spre deosebire de cazul funct iilor de o singur a variabil a, o
funct ie care este derivabil a part ial ^ n raport cu toate variabilele nu este ^ n
mod necesar continu a ^ n acel punct.
Exemplu. Fief:R2!R, denit a prin
f(x;y) =8
<
:xy
x2+y2(x;y)6= (0;0)
0 (x;y) = (0;0):
Ar atat i c a fx sifyexist a ^ n punctul (0 ;0), dar c a fnu este continu a ^ n
origine.
Solut ie. Vom ar ata ^ n primul r^ and c a nu exist a lim (x;y)!(0;0)f(x;y), decif
nu poate  continu a ^ n origine. ^In acest scop, vom considera ^ nt^ ai ( x;y)!
(0;0) cuy=x. Pentru acest caz avem atunci:
xy
x2+y2=x2
x2+x2=1
2;
astfel c a dac a ar exista lim (x;y)!(0;0)f(x;y), aceasta ar  egal a cu1
2. S a
consider am acum ( x;y)!(0;0) cuy=x. Atunci
xy
x2+y2=x2
x2+x2=1
2;
de unde ar rezulta c a lim (x;y)!(0;0)f(x;y) ar  egal a cu1
2. Prin urmare
limita nu poate exista  si deci funct ia fnu este continu a ^ n origine. Pe de

7.2. DERIVATE PART  IALE DE ORDIN SUPERIOR 57
alt a parte avem
fx(0;0) = lim

x!0f(0 +
x;0)f(0;0)

x= lim

x!0(0+
x)
0
(0+
x)2+020

x=
= lim

x!00

x= lim

x!00 = 0:
Analog, obt inem c a fy= 0. Astfel ^ n punctul (0 ;0) exist a ambele derivate
part ialefx sify, chiar dac a funct ia fnu este continu a ^ n acest punct.
7.2 Derivate part iale de ordin superior
Pentru funct ii de o variabil a, y=f(x) derivatele de ordinul I si alII-lea
sunt date de
y0=df
dx siy" =d2f
dx2=d
dx df
dx!
:
Cu alte cuvinte, derivata de ordinul al doilea este derivata derivatei de
ordinul ^ nt^ ai.
Asem an ator, pentru o funct ie de dou a variabile z=f(x;y), putem
deriva ecare din "primele" derivate @f=@x  si@f=@y ^ n raport cu ecare
din variabilele x siy, obt in^ and astfel patru derivate part iale de ordinul doi :
Denit ie. Fief:DR2!Ro funct ie de dou a variabile, z=f(x;y),
derivabil a part ial ^ n raport cu ambele variabile pe D, astfel ^ nc^ at ecare
derivat a part ial a este de asemenea derivabil a part ial. Se pot obt ine atunci
derivatele part iale de ordinul doi ale funct iei f^ n urm atoarele moduri:
(i) Deriv^ and de dou a ori ^ n raport cu x:
@2z
@x2=@2f
@x2=fxx=@
@x @f
@x!
:
(ii) Deriv^ and ^ nt^ ai ^ n raport cu x si apoi ^ n raport cu y:
@2z
@y@x=@2f
@y@x=fxy=@
@y @f
@x!
:
(iii) Deriv^ and ^ nt^ ai ^ n raport cu y si apoi ^ n raport cu x:
@2z
@x@y=@2f
@x@y=fyx=@
@x @f
@y!
:

58 7. DERIVATE PART  IALE
(i) Deriv^ and de dou a ori ^ n raport cu y:
@2z
@y2=@2f
@y2=fyy=@
@y @f
@y!
:
Observat ie. Derivatele part iale @2f=@x@y  si@2f=@y@x se numesc derivate
part iale mixte de ordinul doi .
Observat ie. ^In notat ia "fract ionar a", a calcula @2f=@x@y ^ nseamn a a
deriva ^ nt^ ai ^ n raport cu variabila y,  si apoi ^ n raport cu x, adic a de-
riv am ^ n ordinea invers a aparit iei variabilelor la numitorul "raportului de
derivare"(asem an ator cu situat ia ^ nt^ alnit a la compunerea funct iilor), spre
deosebire de notat ia "indicial a" fyx, ^ n care ordinea scrierii variabilelor core-
spunde ordinii ^ n care efectu am deriv arile part iale.
Exemplu. Fiez=f(x;y) =x3y2xy5. Vom calcula derivatele part iale
de ordinul doi ale lui f.
Solut ie. Avemfx= 3x2y2y5 sify= 2x3y5xy4. Derivatele part iale de
ordinul al doilea sunt:
fxx=@
@x(fx) = 6xy2fxy=@
@y(fx) = 6x2y5y4
fyx=@
@x(fy) = 6x2y5y4fyy=@
@y(fy) = 2×320xy3:
Asem an ator putem deni derivate de ordinul doi  si ^ n cazul unei funct ii
denvariabile:
Denit ie. Fief:DRn!Ro funct ie de nvariabile, derivabil a part ial
peD^ n raport cu ecare variabil a, astfel ^ nc^ at ecare derivat a part ial a este
la r^ andul ei derivabil a part ial. Derivata part ial a de ordinul doi ^ n raport cu
variabilelexi sixjeste atunci funct ia
@2f
@xj@xi=@
@xj @f
@xi!
=fxixj:
Adesea, pentru a simplica notat ia, vom scrie fij^ n loc defxixj.
Observat ie. ^In exemplul de mai sus am avut fxy=fyx. Acest lucru nu
este ^ nt^ ampl ator. Mai exact, are loc urm atoarea teorem a(proprietatea a
fost observat a de L.Euler care a enunt at ^ n 1734 rezultatul, demonstrat mai
t^ arziu de c atre Schwarz):
Teorem a. (Criteriul lui Schwarz) Dac af:DRn!Reste o

7.3. GRADIENT. DIFERENT  IAL A 59
funct ie denvariable, iar A2Dun punct din domeniul de denit ie, ^ n care
f,fi,fj,fij sifjisunt continue, atunci are loc egalitatea
fij(A) =fji(A):
Corolar. Dac a o funct ie fadmite derivate mixte continue, atunci aceste
derivate mixte sunt egale.
Denit ie. Fief:DRn!Ro funct ie de nvariabile. ^In mod analog
celui ^ n care am denit derivate part iale de ordinul doi, se pot deni derivate
part iale de ordin tpentru orice num ar t2N:
@tf
@xt1
i1@xt2
i2:::@xtk
ik
undek2N,t1;t2;:::;tk2Ncut1+t2+:::+tk=t, iari1;i2;:::;ik2
f1;:::;ng. Cum criteriul lui Schwarz se extinde ^ n mod natural la derivate
part iale de orice ordin, vom scrie cel mai adesea pentru o derivat a de ordin
tmai simplu
@tf
@xt1
1@xt2
2:::@xtnn;
undet1;t2;:::;tn2Ncut1+t2+:::+tn=t.
Denit ie. O funct ief:DRn!Rdenvariabile se nume ste funct ie
de clas aCkpeD( si scriemf2Ck(D)) dac afadmite derivate part iale de
ordinulkpeD, iar acestea sunt funct ii continue pe D.
Denit ie. O funct ief:DRn!Rdenvariabile se nume ste funct ie
de clas aC1peD( si scriemf2C1(D)) dac afeste de clas aCkpeDpentru
orice num ar natural k.
Observat ie. Orice polinom de nvariabile este o funct ie de clas a C1pe
Rn.
7.3 Gradient. Diferent ial a
Denit ie. Fief:DRn!Ro funct ie de nvariabile denit a pe o
mult ime deschis a DRn siA2Dun punct al domeniului de denit ie
cu proprietatea c a feste derivabil a part ial ^ n raport cu ecare variabil a ^ n

60 7. DERIVATE PART  IALE
punctulA. Vectorul notat rf(A), care are drept componente derivatele
part iale ale funct iei f^ n punctul A
rf(A) = @f
@x1(A);@f
@x2(A);:::;@f
@xn(A)!
se nume ste gradientul lui f^ n punctulA. Dac afeste derivabil a part ial pe
D, atunci gradientul lui feste funct ia vectorial a(i.e., cu domeniul de valori
un spat iu vectorial) rf:D!Rn, denit a prin
rf(X) = @f
@x1(X);@f
@x2(X);:::;@f
@xn(X)!
;(8)X2D:
Exemplu. Fief:R4!R,f(X) =x2
1x2
2+ 3x1x2x3x4
x1. Vom
determinarf.
Solut ie. Conform denit iei gradientului lui f, avem
rf(X) = (fx1(X);fx2(X);fx3(X);fx4(X)) =
= (2×1+ 3x2x3+x4
x2
1;2×2+ 3x1x3;3x1x2;1
x1):
Denit ie. Fief:DRn!Ro funct ie de nvariabile denit a pe o
mult ime deschis a DRn siA2Dun punct al domeniului de denit ie.
Spunem c a feste diferent iabil a ^ n punctul Adac a exist a o aplicat ie liniar a
T:Rn!R si o funct ie g:V0!R, undeV0este o vecin atate a
originii spat iului Rn, astfel ^ nc^ at A+V0D, lim
X!0g(
X)
jj
Xjj= 0  si are
loc egalitatea
f(A+
X)f(A) =T(
X) +g(
X):
Dac a funct ia feste diferent iabil a ^ n punctul A, forma liniar a Tde mai sus
se nume ste diferent iala funct iei f^ n punctul A si se noteaz a dAf.
Exemplu. Orice form a liniar a f:Rn!Reste diferent iabil a ^ n orice
punctA2Rn sidAf=f;(8)A2Rn.
Demonstrat ie. Datorit a aditivit at ii formei liniare fare loc egalitatea
f(A+
X)f(A) =f(
X) + 0;
astfel c a este ^ ndeplinit a condit ia din denit ia de mai sus, cu T=f si
g= 0(funct ia constant nul a).

7.3. GRADIENT. DIFERENT  IAL A 61
O formul a a diferent ialei unei funct ii este dat a de urm atoarea
Propozit ie. Fiefderivabil a part ial ^ n raport cu toate variabilele pe o
vecin atate a unui punct Aal domeniului de denit ie, astfel ^ nc^ at derivatele
part iale sunt continue ^ n A. Atuncifeste diferent iabil a ^ n punctul A si
dAf(H) = (rf(A);H) =
=@f
@x1(A)
h1+@f
@x2(A)
h2+:::+@f
@xn(A)
hn;(8)H2Rn:
Am v azut ceva mai devreme c a o funct ie derivabil a part ial ^ ntr-un punct
nu este neap arat continu a ^ n acel punct. Altfel stau lucrurile ^ n cazul unei
funct ii diferent iabile ^ ntr-un punct:
Propozit ie. Dac af:DRn!Reste o funct ie diferent iabil a ^ n
punctulA2D, atuncifeste continu a ^ n acel punct.
Demonstrat ie. Trebuie s a ar at am c a lim X!Af(X) =f(A). Deoarece f
este diferent iabil a ^ n A, are loc egalitatea
f(X)f(A) = (rf(A);XA) +g(XA):
Conform inegalit at ii Cauchy-Buniakowski-Schwarz, avem c a
0j(rf(A);XA)jjjrf(A)jj
jjXAjj;
de unde rezult a c a lim X!A(rf(A);XA) = 0. De asemenea,
lim
X!Ag(XA) = lim
X!Ag(XA)
jjXAjj
jjXAjj= 0:
Prin urmare, lim X!A(f(X)f(A)) = 0, de unde rezult a armat ia din
enunt .
Alte propriet at i ale funct iilor diferent iabile sunt date de urm atoarea
Propozit ie. Fief sigfunct ii denvariabile, diferent iabile pe o mult ime
deschis aDRn, iar2Run scalar oarecare. Atunci funct iile f+g si
fsunt diferent iabile pe D si au loc egalit at ile
r(f+g) =rf+rg;r(f) =rf:
Observat ie. Din aceast a propozit ie deducem c a mult imea funct iilor diferent iabile
pe o mult ime deschis a are o structur a de spat iu vectorial real.

62 7. DERIVATE PART  IALE
7.3.1 Diferent ierea funct iilor compuse
Indic am aici c^ ateva formule care reprezint a analoagele pentru funct ii de mai
multe variabile ale formulei de derivare a unei funct ii compuse cunoscute
pentru funct ii de o singur a variabil a:
(fg)0(t) = (f0g)(t)
g0(t):
Propozit ie. Fief:DRn!Ro funct ie diferent iabil a de nvariabile  si
g1;g2;:::;gn:IR!Rfunct ii derivabile de o variabil a, cu proprietatea
c a
g(t) = (g1(t);g2(t);:::;gn(t))2D; (8)t2I:
Atunci funct ia fg:I!R, dat a de (fg)(t) =f(g1(t);g2(t);:::;gn(t))
este o funct ie derivabil a de o variabil a  si are loc egalitatea
(fg)0(t) = (rf(g(t));g0(t)) =
=@f
@x1(g(t))
g0
1(t) +@f
@x2(g(t))
g0
2(t) +:::+@f
@xn(g(t))
g0
n(t);(8)t2I;
undeg0(t) = (g0
1(t);g0
2(t);:::;g0
n(t)).
Exemplu. Fiez=f(x;y) =xy2 si ex= cost siy= sint. Atunci
z=z(t)  siz0(t) =@f
@x
x0(t) +@f
@y
y0(t) =
=y2(sint) + 2xy(cost) = (sin2t)(sint) + 2(cost)(sint)(cost) =
= 2 sintcos2tsin3t:
Propozit ie. Fief:DRn!Ro funct ie diferent iabil a de nvariabile
 sig1;g2;:::;gn:GRm!Rfunct ii diferent iabile de mvariabile, cu
proprietatea c a
g(Y) = (g1(Y);g2(Y);:::;gn(Y))2D; (8)Y2G:
Atunci funct ia h=fg:G!R, denit a prin h(Y) = (fg)(Y) =
f(g1(Y);g2(Y);:::;gn(Y)) este o funct ie diferent iabil a de mvariabile  si au
loc egalit at ile
@h
@yj=@f
@x1@g1
@yj+@f
@x2@g2
@yj+:::+@f
@xn@gn
@yj;(8)j=1;m:

7.3. GRADIENT. DIFERENT  IAL A 63
Exemplu. Fiez=f(x;y) = sinxy2. Dac ax=r
s siy=ers, s a se
calculeze@z
@rschi@z
@s.
Solut ie. T  in^ and cont de formulele de mai sus, putem scrie
@z
@r=@f
@x@x
@r+@f
@y@y
@r= (y2cosxy2)
1
s+ (2xycosxy2)
ers=
e2(rs)
scosr
se2(rs)
+2re2(rs)
scosr
se2(rs)
 si
@z
@s=@f
@x@x
@s+@f
@y@y
@s= (y2cosxy2)

r
s2
+ (2xycosxy2)
(ers) =
re2(rs)
s2cosr
se2(rs)
2re2(rs)
scosr
se2(rs)
:
Denit ie. FieX;Y2Rn.Segmentul [X;Y ]care une ste X siYeste
mult imea
[X;Y ] =fV2Rnj(9)t2[0;1] :V=tX+ (1t)Yg:
Observat ie. X= 1X+ (11)Y2[X;Y ]  siY= 0X+ (10)Y2[X;Y ].
Putem formula acum o extindere a teoremei cre sterilor nite a lui Lagrange
Propozit ie. Fief:DRn!Ro funct ie diferent iabil a pe D si
X;Y2Dcu proprietatea c a [ X;Y ]D. Atunci exist a un punct C2[X;Y ]
cu proprietatea c a
f(Y)f(X) = (rf(C);YX):
Demonstrat ie. Fieg: [0;1]!Rdenit a prin g(t) =f(X+t(Y
X)) = (fh)(t), undeh: [0;1]!Rn,h(t) =X+t(YX). Atunci
h(t) =X+t(YX)2[X;Y ];(8)t2[0;1],g(0) =f(X),g(1) =f(Y)  sig
este o funct ie derivabil a. Aplic^ and teorema lui Lagrange pentru funct ia g,
rezult a c a exist a t02(0;1) cu proprietatea c a
g(1)g(0) =g0(t0)(10) =g0(t0):
Dar
g0(t) = (rf(h(t));h0(t)) = (rf(h(t));YX);
astfel c a pentru C=h(t0) obt inem
f(Y)f(X) =g(1)g(0) =g0(t0) = (rf(h(t0));YX) = (rf(C);YX):
Armat ia este deci demonstrat a.

64 7. DERIVATE PART  IALE
7.4 Hessiana unei funct ii ^ ntr-un punct
Denit ie. Fief:DRn!Ro funct ie de nvariabile derivabil a part ial
de dou a ori ^ n raport cu ecare variabil a pe mult imea deschis a DRn si
A2Dun punct al domeniului de denit ie al lui f.Matricea hessian a a
funct ieif^ n punctul Aeste matricea
Hf(A) =0
BBBBBBBBBBBBB@@2f
@x2
1(A)@2f
@x1@x2(A):::@2f
@x1@xn(A)
@2f
@x2@x1(A)@2f
@x2
2(A):::@2f
@x2@xn(A)
…………
@2f
@xn@x1(A)@2f
@xn@x2(A):::@2f
@x2n(A)1
CCCCCCCCCCCCCA
Observat ie. Dac a derivatele part iale mixte ale funct iei fsunt continue, din
criteriul lui Schwarz rezult a c a matricea hessian a a funct iei feste simetric a.
Exemplu. Fief:DR3!R, denit a prin
f(x;y;z ) = ln(x+ 2y+ 3z)
 siA= (2;2;5). Vom determina matricea hessian a a funct iei f^ n punctul
A.
Solut ie. Derivatele part iale de ordinul ^ nt^ ai ale funct iei fsunt
@f
@x=1
x+ 2y+ 3z;@f
@y=2
x+ 2y+ 3z;@f
@z=3
x+ 2y+ 3z:
Derivatele de ordinul al doilea sunt
@2f
@x2=1
(x+2y+3z)2@2f
@x@y=2
(x+2y+3z)2@2f
@x@z=3
(x+2y+3z)2
@2f
@y@x=2
(x+2y+3z)2@2f
@y2=4
(x+2y+3z)2@2f
@y@z=6
(x+2y+3z)2
@2f
@z@x=3
(x+2y+3z)2@2f
@z@y=6
(x+2y+3z)2@2f
@z2=9
(x+2y+3z)2

7.5. PROBLEME PROPUSE 65
Astfel c a matricea hessian a a funct iei f^ n punctul A= (2;2;5) este
Hf(2;2;5) =0
BBBBBBBBBBBBB@1
4412
4413
441
2
4414
4416
441
3
4416
4419
4411
CCCCCCCCCCCCCA
Denit ie. Forma p atratic a care are drept coecient i elementele matricei
hessieneHf(A) ale unei funct ii f:DRn!Rdenvariabile ^ ntr-un
punctA2Dse nume ste forma hessian a asociat a funct iei f^ n punctul A.
Vom nota cu hf;Aaceast a form a p atratic a
hf;A(z1;z2;:::;zn) =@2f
@x2
1(A)z2
1+@2f
@x2
2(A)z2
2+:::+@2f
@x2
n(A)z2
n+
+2@2f
@x1@x2(A)z1z2+ 2@2f
@x1@x3(A)z1z3+:::+ 2@2f
@x1@xn(A)z1zn+
+2@2f
@x2@x3(A)z2z3+:::+ 2@2f
@xn1@xn(A)zn1zn
(Am presupus aici c a derivatele mixte sunt egale, a sa cum este cazul aproape
^ ntotdeauna.)
Exemplu. Pentru cazul funct iei f:DR3!R,f(x;y;z ) = ln(x+
2y+ 3z), pentru care am determinat mai sus matricea hessian a ^ n punctul
A= (2;2;5), forma hessian a ^ n acela si punct este
1
441(z2
1+ 4z2
2+ 9z2
3+ 4z1z2+ 6z1z3+ 12z2z3):
7.5 Probleme propuse
Calculat i@z=@x  si@z=@y pentru funct iile urm atoare
1.z=x2y 2.z=xy23.3exy3
4.z= sin(x2+y3)5.z= 4x=y56.z=eytg(x)
7.z= ln(x3y52)8.z=pxy+ 2y39.z= (x+ 5ysinx)4=3
Calculat i derivatele part iale de ordinul ^ nt^ ai  si doi ale funct iilor urm atoare
^ n punctele indicate:

66 7. DERIVATE PART  IALE
10.f(x;y;z ) =xyz, ^ n (2 ;3;4)
11.f(x;y;z ) =px+ 2y+ 3z ^ n (2;1;3)
12.f(x;y;z ) =xy
z^ n (3;1;2)
13.f(x;y;z ) = sin(x2y2+z) ^ n (0;1;0)
14.f(x;y;z ) = ln(x+ 2y+ 3z) ^ n (2;2;5)
15.f(x;y;z ) =tgxy
z^ n (1;2;2)
16.f(x;y;z ) =y3z5
x2y+z^ n (4;0;1)
17.f(x;y;z ) =exy(ch(z)sh(z)) ^ n (2;3;0)
18.f(x;y;z ) =px2+y2+z2 ^ n (a;b;c )
19. Costurile de product ie ale unui fabricant pentru a produce xunit at i
din produsul A siyunit at i din produsul Beste dat de
C(x;y) =50
2 +x+125
(3 +y)2:
Calculat i costul marginal al ec arui produs.
20.Venitul realizat de acela si fabricant este dat de
V(x;y) = ln(1 + 50 x+ 75y) +q
1 + 40x+ 125y:
Calculat i venitul marginal realizat cu ecare produs.

8
Extreme locale ale funct iilor de
mai multe variabile
Orice funct ie continu a denit a pe o mult ime compacte are urm atoarea pro-
prietate remarcabil a:
Teorema lui Weierstrass Fief:KRn!Ro funct ie continu a
av^ and drept domeniu de denit ie o mult ime compact a KRn. Atunci
exist a dou a puncte X1;X22K si dou a numere reale m;M2Rcu propri-
etatea c a
m=f(X1)f(X)f(X2) =M; (8)X2K:
Denit ie. Numerele reale m siMpoart a numele de minim global , respec-
tivmaxim global al funct ieif, iar punctele X1 siX2^ n care se ating aceste
valori se numesc punct de minim global , respectiv punct de maxim global .
Denit ie. Fief:DRn!Ro funct ie de nvariabile  siA2Dun punct
al domeniului de denit ie. Punctul Ase nume ste punct de maxim(minim)
local al funct iei fdac a exist a o vecin atate Va sa cu proprietatea c a
f(X)f(A)(resp.f(X)f(A));(8)X2V\D:
Valoareaf(A) a funct iei f^ n punctul Ase nume ste maxim local (respectiv
minim local ) al funct iei f.
Valorile minime sau maxime(locale sau globale) ale unei funct ii se numesc
extreme ale funct iei, iar punctele ^ n care se ating aceste valori se numesc
67

688. EXTREME LOCALE ALE FUNCT  IILOR DE MAI MULTE VARIABILE
puncte de extrem .
8.1 Extreme locale necondit ionate ale funct iilor
diferent iabile
Propozit ie. Fief:DRn!Ro funct ie diferent iabil a de nvariabile
denit a pe mult imea deschis a DRn siA2Dun punct de extrem local.
Atunci
rf(A) = 0:
Demonstrat ie. FieA= (a1;a2;:::;an)  sihi:Ii!Rfunct ia denit a
prinhi(x) =f(a1;:::;ai1;x;ai+1;:::;an) pe un interval Iicu propietatea
c aai2Ii si (a1;:::;ai1;x;ai+1;:::;an)2D;(8)x2Ii. Conform enunt ului,
rezult a c ahieste derivabil a pe Ii siaieste un punct de extrem local pentru
funct iahi. Conform teoremei lui Fermat, avem atunci
h0
i(ai) = 0:
dar din denit ia lui hirezult a c a
h0
i(ai) =@f
@xi(A):
Prin urmare, obt inem c a
@f
@xi(A) = 0;(8)i=1;n;
adic arf(A) = 0.
Denit ie. Un punctAse nume ste punct critic al unei funct ii fdac af
este diferent iabil a ^ n A sirf(A) = 0.
Observat ie. Din propozit ia de mai sus avem c a orice punct de extrem local
al unei funct ii diferent iabile este un punct critic. Reciproca nu este ^ n gen-
eral adev arat a, adic a nu orice punct critic este neap arat un punct de extrem.
Exemplu. Fief:R2!R,f(x;y) = 1 +x2+ 3y2. Atuncirf(x;y) =
(2x;6y), astfel c a singurul punct critic al funct iei feste (0;0), care este

8.1. EXTREME NECONDIT  IONATE 69
evident un punct de minim local( si chiar global).
Exemplu. Fief:R2!R,f(x;y) = 1x23y2. Atuncirf(x;y) =
(2x;6y), care se anuleaz a numai pentru (0 ;0), care este un punct de
maxim local( si chiar global).
Exemplu. Fief:R2!R,f(x;y) =x2y2. Avemrf(x;y) =
(2x;2y), deci singurul punct critic este (0 ;0). Acesta ^ ns a nu este nici
punct de maxim local, deoarece ^ n orice vecin atate a sa se g asesc puncte
(x;y) cujxj>jyj, pentru care f(x;y)>0, nici punct de minim local,
c aci orice vecin atate a sa cont ine puncte ( x;y) cujxj<jyj, pentru care
f(x;y)<0.
Denit ie. Un punct critic al unei funct ii derivabile fcare nu este punct
de extrem local al funct iei f, se nume ste punct- sa al lui f.
Pentru a recunoa ste care dintre punctele critice ale unei funct ii sunt
puncte de extrem local, vom utiliza polinoamele de aproximare ale lui Tay-
lor:
Fief:DRn!Ro funct ie diferent iabil a de nvariabile, denit a
pe mult imea deschis a D,  si eA2Dun punct critic al lui f. Conform
teoremei lui Taylor, ^ ntr-o vecin atate VDa punctului Aputem scrie
f(X) =T2(f;A)(X) +R2(f;A)(X);(8)X2V;
undeT2(f;A)(X) este polinomul Taylor de ordinul 2 asociat funct iei f^ n
jurul punctului A, iarR2(f;A)(X) este restul formulei lui Taylor de ordinul
2, despre care  stim c a
lim
X!AR2(f;A)(X)
jjXAjj2= 0:
Polinomul Taylor de ordinul 2 asociat lui f^ n jurul lui Aeste
T2(f;A)(X) =f(A) +@f(A)
@x1(x1a1) +:::+@f(A)
@xn(xnan)+
+@2f(A)
@x2
1(x1a1)2+:::+@2f(A)
@x2
n(xnan)2+
+2@2f(A)
@x1@x2(x1a1)(x2a2) +:::+ 2@2f(A)
@xn1@xn(xn1an1)(xnan)

708. EXTREME LOCALE ALE FUNCT  IILOR DE MAI MULTE VARIABILE
Cu notat iile  si denit iile din paragraful precedent putem scrie
T2(f;A)(X) =f(A) + (rf(A);XA) +hf;A(XA):
T  in^ and cont de faptul c a Aeste un punct critic, din formula lui Taylor de-
ducem urm atoarea aproximare, valabil a ^ ntr-o vecin atate a punctului critic
A:
f(X)f(A) +hf;A(XA);
sau
f(X)f(A)hf;A(XA):
Deducem c a un punct critic este
punct de minim, dac a hessiana hf;Aeste pozitiv denit a.
punct de maxim, dac a hessiana hf;Aeste negativ denit a.
punct- sa, dac a hessiana hf;Aeste nedenit a.
^In celelalte situat ii, c^ and hessiana este semidenit a, punctul critic poate
de oricare din cele trei tipuri(minim, maxim, punct- sa).
Exemplu. Fief(x;y) = 2×324xy+ 16y3. Vom determina natura
punctelor critice ale lui f.
Solut ie. Gradientul lui festerf(x;y) = (6×224y;24x+ 48y2), astfel
c a punctele critice ale lui fsunt solut iile sistemului
8
<
:x24y= 0
x2y2= 0()8
<
:4y44y= 0
x= 2y2
Solut iile acestui sistem sunt (0 ;0)  si (2;1). Matricea hessian a a funct iei f
^ ntr-un punct oarecare ( x;y) este
Hf(x;y) =0
@12x24
24 96y1
A
Forma hessian a este atunci
hf;(x;y)(z1;z2) = 12xz2
1+ 96yz2
248z1z2:
Pentru punctul critic (0 ;0), forma hessian a este
hf;(0;0)(z1;z2) =48z1z2;

8.2. EXTREME CONDIT  IONATE 71
care este o from a nedenit a, deci (0 ;0) este un punct- sa. ^In punctul critic
(2;1) avem
hf;(2;1)(z1;z2) = 24z2
1+ 96z2
248z1z2= 24((z1z2)2+ 3z2
2);
deci forma hessian a este pozitiv denit a, astfel c a punctul (2 ;1) este un
punct de minim local.
Etapele pe care le parcurgem deci c^ and dorim s a determin am punctele
de extrem local ale unei funct ii dierent iabile denite pe o mult ime deschis a,
sunt:
Calcul am derivatele part iale de ordinul ^ nt^ ai  si de ordinul doi.
Determin am punctele critice.
Pentru ecare punct critic ^ n parte construim forma hessian a asociat a
funct iei ^ n acel punct  si studiem denirea(pozitiv a, negativ a sau "non"),
studiu din care deducem dac a punctul critic este un punct de extrem lo-
cal(minim sau maxim) sau un punct- sa.
8.2 Extreme locale condit ionate. Regula mul-
tiplicatorilor lui Lagrange
^In probleme de optimizare c aut am de multe ori s a determin am valori ex-
treme(locale sau globale) a unei funct ii ale c arei variabile nu sunt "libere",
ci condit ionate de anumite restrict ii:
8
>>>>>>>>><
>>>>>>>>>:max(min)[f=f(x1;x2;:::;xn)]
g1(x1;x2;:::;xn) = 0
g2(x1;x2;:::;xn) = 0
:::::::::::::::::::::
gm(x1;x2;:::;xn) = 0
Pentru puncte de extrem condit ionat este valabil a urm atoarea propri-
etate
Propozit ie. Fief;g1;:::;gm:DRn!Rfunct ii diferent iabile de n
variabile,  si A2Dr=fX2Djgj(X) = 0;(8)j=1;mg. Dac a punctul

728. EXTREME LOCALE ALE FUNCT  IILOR DE MAI MULTE VARIABILE
Aeste un punct de extrem local al funct iei f^ n raport cu mult imea Dra
punctelor din Dcare respect a condit iile g1(X) = 0, . . . ,gm(X) = 0, atunci
exist a numere reale 1;:::;m2Rcu proprietatea c a
rf(A) =1rg1(A) +:::+mrgm(A):
Denit ie. Numerele1;:::;mcare au ap arut mai sus poart a numele de
multiplicatori ai lui Lagrange .
Vom prezenta ^ n continuare Metoda multiplicatorilor lui Lagrange
pentru determinarea punctelor de extrem local condit ionat ale unei funct ii.
Fie decif;g1;:::;gm:DRn!Rfunct ii diferent iabile de nvariabile,
 siDr=fX2Djgj(X) = 0;(8)j=1;mgmult imea punctelor din Dcare
respect a condit iile g1(X) = 0,. . . ,gm(X) = 0. Etapele pe care le parcurgem
pentru a determina punctele de extrem local ale funct iei f^ n raport cu
mult imeaDrsunt:
Construim funct ia lui Lagrange L:DRm!Rasociat a funct iei f
 si condit iilor exprimate cu ajutorul funct iilor g1;:::;gm:
L(x1;:::;xn;1;:::;m) =f(x1;:::;xn)
1g1(x1;:::;xn):::mgm(x1;:::;xn):
Calcul am derivatele part iale de ordinul ^ nt^ ai  si doi ale funct iei lui La-
grange(pentru derivatele de ordinul al doilea este sucient s a calcul am doar
derivatele ^ n raport cu variabilele xi).
Rezolv am sistemul de ecuat ii rL(x1;:::;xn;1;:::;m) = 0:
8
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:@f
@x1(X;)1@g1
@x1(X;):::m@gm
@x1(X;) = 0
@f
@x2(X;)1@g1
@x2(X;):::m@gm
@x2(X;) = 0
:::::::::::::::::::::::::::
@f
@xn(X;)1@g1
@xn(X;):::m@gm
@xn(X;) = 0
g1(x1;:::;xn) = 0
:::::::::::::::::::::::::::
gm(x1;:::;xn) = 0

8.2. EXTREME CONDIT  IONATE 73
aceasta este doar o transcriere a condit iilor rf(A) =1rg1(A) +:::+
mrgm(A),g1(A) = 0,. . . , gm(A) = 0, pe care trebuie s a le verice un
punct de extrem condit ionat.
Pentru ecare solut ie ( A;) a sistemului de mai sus, studiem semnul pe
care ^ l poate lua forma p atratic a
hf;A;:Rn!R; hf;A;(z1;:::;zn) =@2L(A;)
@x2
1z2
1+:::+@2L(A;)
@x2
nz2
n+
+2@2L(A;)
@x1@x2z1z2+ 2@2L(A;)
@xn1@xnzn1zn;
ale c arei variabile nu sunt libere, ci veric a condit iile
dA(gj)(z1;:::;zn) = 0;(8)j=1;m
(corespunz atoare faptului c a vrem s a compar am valoarea funct iei f^ n punc-
tulAdoar cu valori ale lui f^ n puncte dintr-o vecin atate a lui Acare se
g asesc ^ n mult imea Dr). Aceste condit ii se pot transcrie sub forma
8
>>>>>>>>><
>>>>>>>>>:@g1
@x1z1+@g1
@x2z2+:::+@g1
@xnzn= 0
@g2
@x1z1+@g2
@x2z2+:::+@g2
@xnzn= 0
:::::::::::::::::::::::: :::
@gm
@x1z1+@gm
@x2z2+:::+@gm
@xnzn= 0
Din acest sistem vom putea exprima mdintre variabilele zk^ n funct ie de
celelaltenm, astfel c a, ^ nlocuind ^ n forma p atratic a hf;A;, vom ajunge
s a studiem denirea unei forme p atratice cu nmvariabile independente.
^In funct ie de rezultatul obt inut, vom putea deduce natura punctului critic
A2Dr:
– dac a forma p atratic a este pozitiv denit a, atunci Aeste un punct de
minim local condit ionat.
– dac a forma p atratic a este negativ denit a, atunci Aeste un punct de
maxim local condit ionat.
– dac a forma p atratic a este nedenit a, atunci Anu este punct de extrem
local condit ionat.
Exemplu. Fief:R3!R, denit a prin f(x1;x2;x3) =x2
1+x2
2+x2
3,
 si eg1;g2:R3!R,g1(x1;x2;x3) = 2×1+x2+x32,g2(x1;x2;x3) =

748. EXTREME LOCALE ALE FUNCT  IILOR DE MAI MULTE VARIABILE
x1x23×34. Vom ^ ncerca s a determin am punctele de extrem local ale
luif^ n raport cu condit iile g1(x) = 0  sig2(x) = 0.
Solut ie.^In primul r^ and construim funct ia lui Lagrange
L:R5!R; L (x1;x2;x3;1;2) =x2
1+x2
2+x2
3
1(2×1+x2+x32)2(x1x23×34):
Derivatele part iale ale funct iei lui Lagrange sunt
@L
@x1= 2×1212@L
@1=(2×1+x2+x32)
@L
@x2= 2×21+2;@L
@2=(x1x23×34)
@L
@x3= 2×31+ 32
iar cele de ordinul doi sunt
@2L
@x2
1=@2L
@x2
2=@2L
@x2
3= 2;
@2L
@x1@x2=@2L
@x1@x3=@2L
@x2@x3= 0;
Sistemul asociat este
8
>>>>>>>>><
>>>>>>>>>:2×1212 = 0
2×21+2 = 0
2×31+ 32 = 0
2×1+x2+x32 = 0
x1x23×34 = 0
Solut ia acestui sistem este
44
31;1
31;27
31;30
31;28
31
, deci avem un singur punct
critic,a=
44
31;1
31;27
31
,  si corespunz ator valorile multiplicatorilor sunt =
30
31;28
31
.
Forma p atratic a asociat a este
hf;a;(z1;z2;z3) = 2z2
1+ 2z2
2+ 2z2
3;
iar variabilele z1;z2;z3satisfac condit iile
dA(g1)(z1;z2;z3) = 0  si dA(g2)(z1;z2;z3) = 0;

8.3. PROBLEME PROPUSE 75
adic a sistemul de ecuat ii
8
<
:2z1+z2+z3= 0
z1z23z3= 0
cu solut iaz1=2
3z3; z2=7
3z3; z32R.
Forma p atratic a hf;A;se poate scrie atunci ca o form a p atratic a de o
singur a variabil a(i.e., o funct ie de gradul II):h(z3) =124
9z2
3, care este
evident pozitiv denit a, astfel c a punctul A=
44
31;1
31;27
31
este un punct
de minim local condit ionat.
8.3 Probleme propuse
Determinat i punctele de extrem local  si valorile extreme locale corespunz atoare
ale urm atoarelor funct ii(domeniul de denit ie se presupune c a este cel maxim
posibil):
1.f(x;y) = 7×28xy+ 3y2+ 1
2.f(x;y) =x2+y33xy
3.f(x;y) =xy2+x2y3xy
4.f(x;y) =1
y1
x4x+y
5.f(x;y) =x4+y42×2+ 4xy2y2
6.f(x;y) =1+xyp
1+x2+y2
7.f(x;y;z ) =x2+y2+z22x+ 4y6z11
8.f(x;y;z ) =x+y2
4x+z2
y+2
z(x>0;y> 0;z > 0).
Determinat i puntele de extrem condit ionat ale funct iilor urm atoare
9.f(x;y) =xy dac ax+y= 1
10.f(x;y) =x+ 2y dac ax2+y2= 5
11.f(x;y) =x2+y2dac a 3x+ 2y= 6
12.f(x;y;z ) =x2y+ 2zdac ax2+y2+z2= 9
13.f(x;y;z ) =xy2z3dac ax+y+z= 12(x>0;y> 0;z > 0)
14.f(x;y;z ) =xyz dac ax+y+z= 5,xy+xz+yz= 8

768. EXTREME LOCALE ALE FUNCT  IILOR DE MAI MULTE VARIABILE

9
Elemente de calcul integral
9.1 Primitive
Denit ie. Fief:I!Ro funct ie denit a pe un interval IR. Spunem
c afadmite primitive pe Idac a exist a o funct ie F:I!R, astfel ^ nc^ at
a)Feste derivabil a pe I;
b)F0(x) =f(x);(8)x2I.
Funct iaFse nume ste o primitiv a a funct iei f.
Propozit ie. Fief:I!Ro funct ie care admite primitive pe I. Dac a
F1;F2:I!Rsunt dou a primitive ale lui f, atunci exist a o constant a
C2Rcu proprietatea c a F2(x) =F1(x) +C;(8)x2I.
Denit ie. Fief:I!Ro funct ie care admite primitive. Mult imea
primitivelor lui fse nume ste integrala nedenit a a funct iei f, notat a
Z
f(x)dx
Not^ and cuCmult imea funct iilor constante denite pe I, dac aFeste o
primitiv a a lui f, atunci
Z
f(x)dx=F+C:
Propozit ie. O funct ie care admite primitive are proprietatea lui Darboux.
Propozit ie. O funct ie continu a pe un interval admite primitive pe acel
interval.
Propozit ie. Dac af;g:I!Rsunt funct ii care admit primitive, iar
2R, atuncif+g si
fsunt funct ii care admit primitive. Pentru
77

78 9. ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL
acestea,R(f(x) +g(x))dx=Rf(x)dx+Rg(x)dx;
R(
f(x))dx=
Rf(x)dx:
Propozit ie. (formula de integrare prin p art i) Dac af;g:I!R
sunt funct ii derivabile cu derivate continue, atunci funct iile f0g sifg0admit
primitive pe I si
Z
f0(x)g(x)dx=f(x)g(x)Z
f(x)g0(x)dx:
Teorem a. (prima metod a de schimbare de variabil a) FieI;JR
dou a intervale  si :I!J,f:J!Rdou a funct ii cu propriet at ile:
a)este derivabil a pe I;
b)fadmite primitive pe J.
Atunci funct ia ( f)
0admite primitve pe I, iar dac aFeste o primitiv a
a luif, atunciFeste o primitiv a a lui ( f)
0, astfel c a
Z
f((x))
0(x)dx=F((x)) +C:
Observat ie. ^In aplicarea primei metode de schimbare de variabil a dis-
tingem:
– o funct ie de integrat h:I!R;
– se caut a dou a funct ii cu propriet at ile din teorema de mai sus, astfel ^ nc^ at
h(x) =f((x))
0(x);(8)x2I;
– se caut a o primitiv a Fa luif;
– se determin a o primitiv a Ha funct ieihprinH=F:
Z
h(x)dx=Z
f((x))
0(x)dx=F((x)) +C:
Teorem a. (a doua metod a de schimbare de variabil a) FieI;JR
dou a intervale  si :I!J,f:J!Rdou a funct ii cu propriet at ile:
a)este bijectiv a, derivabil a, cu derivata nenul a;
b) funct iah= (f)
0admite primitive.
Atunci funct ia fadmite primitive, iar dac a Heste o primiiv a a lui h, atunci
H1este o primitiv a a lui f, astfel c a
Z
f(x)dx=H(1(x)) +C:
Observat ie. ^In aplicarea celei de-a doua metode de schimbare de variabil a
distingm:

9.1. PRIMITIVE 79
– funct ia de integrat f:J!R;
– se caut a:I!J, bijectiv a, derivabil a  si cu derivata nenul a;
– se construie ste funct ia h(t) =f((t))
0(t);
– se caut a o primitiv a Ha funct ieih;
– se obt ine o primitiv a Fa funct ieifprinF=H1:
Z
f(x)dx=Z
h(1(x))
1
0((x))dx=H(1(x)) +C:
9.1.1 Primitive reductibile la primitivele funct iilor rat ionale
^In acest paragraf, prin R(x;y;z;::: ) vom ^ nt elege o funct ie rat ional a ^ n vari-
abilelex;y;z;:::
Integrale de formaRR(x;xr1;xr2;:::)dx
Dac ar1=p1
q1; r2=p2
q2;:::2Q, iarn=c:m:m:m:c: al numerelor naturale
q1; q2;:::, se face substitut ia x=tn.
Integrale de formaRR(ex)dx,2R
Se face substitut ia ex=t.
Integrale de formaRR(x;n1p
ax+b;n2p
ax+b;:::)dx
Dac an=c:m:m:m:c: al numerelor naturale n1;n2;:::, se face substitut ia
np
ax+b=t.
Integrale de formaRR(x;nq
ax+b
cx+d)dx
Se face substitut ianq
ax+b
cx+d=t()ax+b
cx+d=tn.
Integrale de formaRR(x;p
ax2+bx+c)dx
Se face una dintre substitut iile lui Euler : i) Dac aa > 0, alegemt=p
ax2+bx+cxpa.
ii) Dac ac>0  si 062I, alegemt=p
ax2+bx+cpc
x.
iii) Dac ab24ac> 0,ax2+bx+c=a(xx1)(xx2)  six162I, alegem
t=q
axx2
xx2.

80 9. ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL
De asemenea, se pot folosi substitut ii trigonometrice :
i) PentruRR(x;p
a2x2)dx, alegemx=asin (t) saux=acos (t).
ii) PentruRR(x;p
a2+x2)dx, alegemx=atg(t).
iii) PentruRR(x;p
x2a2)dx, alegemx=asec (t).
Integrale de formaRxm(axn+b)pdx, cum;n;p2Q
Se face una dintre substitut iile lui Ceb^  sev :
i) Dac ap2Z sim+1
n=r
s, alegemt= (xn)1
s.
ii) Dac am+1
n2Z sip=r
s, alegemt= (axn+b)1
s.
iii) Dac am+1
n+p2Z sip=r
s, alegemt= (a+bxn)1
s.
Integrale de formaRR(sin(x);cos(x))dx
i) Dac aR(sin(x);cos(x)) =R(sin(x);cos(x)), alegemt=cos(x).
ii) Dac aR(sin(x);cos(x)) =R(sin(x);cos(x)), alegemt=sin(x).
iii) Dac aR(sin(x);cos(x)) =R(sin(x);cos(x)), alegemt=tg(x).
iv)^In celelalte cazuri se poate folosi substitut ia t=tgx2.
9.2 Funct ii integrabile. Integrala denit a
Denit ie. Fief: [a;b]!Ro funct ie, denit a pe un interval [ a;b],
=
(a=x0<x 1<x 2<:::<x n1<xn=b) o diviziune a intervalului, iar =
(1;2;:::;n) un sistem de puncte intermediare(i.e. i2[xi1;xi];(8)i=
1;n).Suma Riemann asociat a funct iei f, diviziunii
 si sistemului de
puncte intermediare este num arul real

(f;) =nX
i=1f(i)
(xixi1):
Denit ie. O funct ief: [a;b]!Rse nume ste funct ie integrabil a
Riemann dac a exist a un num ar I2Rastfel ^ nc^ at pentru orice " > 0,
exist a">0 cu proprietatea c a pentru orice diviziune
= ( a=x0<x 1<
x2<:::<x n1<xn=b) cu normajj
jj=maxi=1;n(xixi1)<" si orice
sistem de puncte intermediare = (1;2;:::;n), cu2[xi1;xi];(8)i=

9.2. FUNCT  II INTEGRABILE. INTEGRALA DEFINIT A 81
1;nare loc inegalitatea j
(f;)Ij<".^In acest caz, num arul Ise nume ste
integrala denit a a funct iei fpe intervalul [a;b]  si se noteaz a
I=Zb
af(x)dx:
Observat ie. Pentru o funct ie integrabil a Riemann f: [a;b]!R, inte-
gralaI=Rb
af(x)dxeste unic determinat a.
Observat ie. Orice funct ie integrabil a Riemann pe un interval este m arginit a.
Teorem a. O funct ief: [a;b]!Reste integrabil a Riemann dac a  si nu-
mai dac a pentru orice  sir de diviziuni (
n)n1,
n= (a=xn
0<xn
1<:::<
xn
ln=b) cu limn!1jj
njj= 0  si orice sisteme de puncte intermediare aso-
ciate acestora n= (n
1;n
2;:::;n
ln), cun
i2[xn
i1;xn
i], atunci  sirul sumelor
Riemann corespunz atoare ( 
n(f;n))neste convergent. ^In acest caz lim-
itele tuturor acestor  siruri coincid, iar dac a I2Reste limita lor comun a,
atunciZb
af(x)dx= lim
jj
njj! 0
n(f;n) =I:
Denit ie. Fief: [a;b]!R si
= (a=x0< x 1< ::: < x n=b)
o diviziune a intervalului [ a;b]. Pentru ecare i=1;n, not ammi=
infx2[xi1;xi]f(x)  siMi= supx2[xi1;xi]f(x).Suma inferioar a Darboux
asociat a funct iei f si diviziunii
este num arul s
(f) =Pn
i=1mi(xi
xi1).Suma superioar a Darboux asociat a funct iei f si diviziunii

este num arul S
(f) =Pn
i=1Mi(xixi1).
Teorem a. O funct ie m arginit a f: [a;b]!Reste integrabil a Riemann
dac a  si numai dac a pentru orice ">0 exist a">0 cu proprietatea c a pen-
tru orice diviziune
a intervalului [ a;b] cujj
jj< "are loc inegalitatea
S
(f)s
(f)<".
Teorem a. Orice funct ie monoton a f: [a;b]!Reste integrabil a.
Teorem a. Orice funct ie continu a f: [a;b]!Reste integrabil a.
Teorem a. (Leibniz-Newton) Dac af: [a;b]!Reste o funct ie
integrabil a Riemann care admite primitive, iar Feste o primitiv a a sa,
atunciZb
af(x)dx=F(b)F(a):
Propozit ie. (liniaritatea integralei) Dac af;g: [a;b]!Rsunt dou a
funct ii integrabile, iar ;2R, atunci funct ia 
f+
geste integrabil a

82 9. ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL
 siZb
a(
f(x) +
g(x))dx=
Zb
af(x)dx+
Zb
ag(x)dx:
Propozit ie. (aditivitatea integralei) Dac af: [a;b]!Reste o funct ie
integrabil a Riemann, iar c2(a;b), atunci
Zb
af(x)dx=Zc
af(x)dx+Zb
cf(x)dx:
Corolar. Dac af: [a;b]!Reste o funct ie integrabil a Riemann, atunci
Ra
af(x)dx= 0 ;
Ra
bf(x)dx=Rb
af(x)dx:
Propozit ie. Dac af;g: [a;b]!Rsunt dou a funct ii integrabile, cu
proprietatea c a f(x)g(x);(8)x2[a;b], atunci
Zb
af(x)dxZb
ag(x)dx:
Teorema de medie Dac af: [a;b]!Reste o funct ie continu a, atunci
exist ac2(a;b), astfel ^ nc^ at
Zb
af(x)dx=f(c)
(ba):
Teorema de existent  a a primitivelor pentru funct iile continue Dac a
f: [a;b]!Reste o funct ie continu a, x02[a;b]  siy02R, atunci funct ia
F: [a;b]!R, denit a prin
F(x) =Zx
x0dx+y0
este o primitiv a a funct iei f, pentru care F(x0) =y0.
Propozit ie. (formula de integrare prin p art i) Dac af;g: [a;b]!
Rsunt dou a funct ii derivabile, cu derivatele continue, atunci
Zb
af(x)
g0(x)dx= (f(x)
g(x))jb
aZb
af0(x)
g(x)dx;
unde (f(x)
g(x))jb
a=f(b)
g(b)f(a)
g(a).
Propozit ie. (formula de schimbare de variabil a(I)) Fieh: [a;b]!
Ro funct ie cu proprietatea c a exist a dou a funct ii : [a;b]!I sif:

9.3. APLICAT  II ALE INTEGRALELOR DEFINITE 83
I!R, astfel ^ nc^ at este derivabil a cu derivata continu a, fcontinu a, iar
pentru orice x2[a;b],h(x) =f((x))
0(x). Atunci
Zb
ah(x)dx=Zb
af((x))
0(x)dx=Z(b)
(a)f(t)dt:
Propozit ie. (formula de schimbare de variabil a(II)) Fief: [a;b]!
Ro funct ie continu a  si : [c;d]![a;b] o funct ie bijectiv a  si derivabil a,
cu derivata nenul a. Atunci
Zb
af(x)dx=Z1(b)
1(a)f((t))
0(t)dt:
9.3 Aplicat ii ale integralelor denite
9.3.1 Aria subgracului unei funct ii continue  si pozi-
tive
Denit ie. Fief: [a;b]!Ro funct ie continu a, cu f(x)0;(8)x2[a;b].
Mult imea
f=f(x;y)2R2jx2[a;b];0<yf(x)g
se nume ste subgracul funct iei f.
Propozit ie. Fief: [a;b]!Ro funct ie continu a, cu f(x)0;(8)x2
[a;b]. Atunci
Aria (f) =Zb
af(x)dx:
Corolar. Dac af;g: [a;b]!Rsunt dou a funct ii continue, cu g(x)
f(x);(8)x2[a;b], iar
g;f=f(x;y)2R2jx2[a;b]; g(x)<yf(x)g;
atunci
Aria (g;f) =Zb
a(g(x)f(x))dx:
9.3.2 Lungimea gracului unei funct ii derivabile cu
derivata continu a
Propozit ie. Fief: [a;b]!Ro funct ie derivabil a cu derivata continu a.
Lungimea gracului funct iei feste atunci
l(f) =Zb
aq
1 + (f0(x))2dx:

84 9. ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL
9.3.3 Volumul unui corp de rotat ie
Denit ie. Fief: [a;b]!Ro funct ie continu a, cu f(x)0;(8)x2[a;b].
Mult imea
Cf=f(x;y;z )2R3jx2[a;b];q
y2+z2f(x)g
se nume ste corp de rotat ie generat prin rotirea aubgracului funct iei
f^ n jurul axei Ox.
Propozit ie. Fief: [a;b]!Ro funct ie continu a, cu f(x)0;(8)x2
[a;b]. Atunci volumul corpului de rotat ie Cfeste
Vol(Cf) =
Zb
af2(x)dx:
9.3.4 Aria suprafet elor de rotat ie
Denit ie. Fief: [a;b]!R+o funct ie derivabil a cu derivata continu a.
Suprafat a de rotat ie generat a de rotirea gracului funct iei f^ n
jurul axei Oxeste mult imea
Sf=f(x;y;z )2R3jx2[a;b];q
y2+z2=f(x)g:
Propozit ie. Fief: [a;b]!R+o funct ie derivabil a cu derivata continu a.
Aria suprafet ei de rotat ie Sfeste
Aria (Sf) = 2
Zb
af(x)
q
1 + (f0(x))2dx:
9.3.5 Centre de greutate
Def O plac a plan a Pse nume ste omogen a dac a exist a o constant a >0,
numit a densitate supercial a , astfel ^ nc^ at masa oric arei port iuni AP
a pl aciiPs a e dat a de m(A) =
Aria (A).
Propozit ie. Dac aP1,P2, . . . ,Pnsunt pl aci plane omogene cu aceea si
densitate supercial a  si av^ and interioarele disjuncte dou a c^ ate dou a, de
centre de greutat Gi(xi;yi); i=1;n, atunci reuniunea pl acilor are centrul
de greutate Gcu coordonatele date de
xG=Pn
i=1xi
Aria (Pi)
Pn
i=1Aria (Pi); yG=Pn
i=1yi
Aria (Pi)
Pn
i=1Aria (Pi):

9.3. APLICAT  II ALE INTEGRALELOR DEFINITE 85
Propozit ie. Fief: [a;b]!Ro funct ie continu a, cu f(x)0;(8)x2
[a;b]. Atunci placa plan a omogen a Pfreprezentat a prin subgracul fal
funct ieifare centrul de greutate Gcu coordonatele date de
xG=Rb
ax
f(x)dx
Rb
af(x)dx; yG=1
2
Rb
af2(x)dx
Rb
af(x)dx:
Propozit ie. Fief;g: [a;b]!Rdou a funct ii continue, cu proprietatea
c ag(x)f(x);(8)x2[a;b]. Placa omogen a Pg;freprezentat a de mult imea
g;fare atunci coordonatele centrului de greutate date de
xG=Rb
ax
(f(x)g(x))dx
Rb
a(f(x)g(x))dx; yG=1
2
Rb
a(f2(x)g2(x))dx
Rb
a(f(x)g(x))dx:

86 9. ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL

10
Ecuat ii diferent iale
10.1 Introducere^ n teoria ecuat iilor diferent iale
Fenomenele din natur a  si societate au adesea un pronunt at caracter dinamic,
ele ind procese evolutive ^ n timp conform unor legi proprii. Exemple de
asemenea fenomene pot  evolut ia unui grup biologic sau social, precum  si
o react ie chimic a.
Studiul unui asemenea proces evolutiv presupune urm arirea unui num ar
de parametri care caracterizeaz a procesul sau fenomenul respectiv. ^In lim-
baj matematic, acest grup de parametri reprezint a starea sistemului sau a
procesului  si formeaz a un grup de funct ii dependente de timp. De exem-
plu, starea unei populat ii poate  descris a prin num arul de indivizi din care
este compus a. Starea unei react ii chimice poate  dat a, dup a caz, de tem-
peratura sau concentrat ia uneia sau mai multor substant e care particip a la
react ie.
Starea sistemului apare relativ rar ca o funct ie explicit a de timp, ci,
mult mai adesea, ca solut ie a unei anumite ecuat ii care descrie o lege ce
guverneaz a fenomenul respectiv.
Modelarea matematic a a unui fenomen dinamic revine la stabilirea aces-
tor ecuat ii, care sunt ^ n majoritatea cazurilor ecuat ii diferent iale.
Denit ie. Se nume ste ecuat ie diferent ial a de ordinul I o ecuat ie
de forma
F(x;y;y0) = 0; (10.1)
87

88 10. ECUAT  II DIFERENT  IALE
undeF:DR3!Reste o funct ie, x2I= (a;b)Reste variabila
independent a, y=y(x) ese funct ia necunoscut a, iar y0=y0(x) este derivata
de ordinul I a funct iei necunoscute.
Observat ie. Relat ia (10.1) se nume ste forma general a(implicit a) a
ecuat iei diferent iale.
Denit ie. Dac a ecuat ia (10.1) se poate transcrie ^ n forma
y0=f(x;y); (10.2)
atunci aceasta se nume ste forma explicit a( saunormal a) a ecuat iei
diferent iale.
Denit ie. Se nume ste solut ie( sauintegral a) a ecuat iei diferent iale
(10.1) sau (10.2) o funct ie y=y(x),y:IR!R, derivabil a pe I
pentru care
F(x;y(x);y0(x)) = 0;(8)x2I:
Denit ie. Se nume ste solut ie general a( sauintegral a general a) a
ecuat iei diferent iale (10.1) o familie de funct ii f(x;C)jC2Rgpentru care
F(x;(x;C);0(x;C)) = 0;(8)x2I; C2R:
Denit ie. Se nume ste solut ie particular a a ecuat iei diferent iale (10.1)
o funct iey=1(x) care se obt ine din solut ia general a d^ and o valoare par-
ticular a constantei reale C.
Denit ie. O solut ie a ecuat iei diferent iale, care nu se poate obt ine prin
particularizarea constantei dintr-o solut ie general a, se nume ste solut ie sin-
gular a .
Observat ie. A rezolva sau a integra o ecuat ie diferent ial a ^ nseamn a deter-
minarea tuturor funct iilor y=y(x) care veric a, pentru xdintr-o anumit a
mult ime o relat ie de forma (10.1).
Denit ie. Gracul unei solut ii y=y(x) a ecuat iei se nume ste curb a in-
tegral a a ecuat iei date.
Denit ie. Prin problema Cauchy ata sat a unei ecuat ii (10.1) se
^ nt elege problema determin arii acelo solut ii ale ecuat iei care veric a o egal-
itate de forma
y(x0) =y0; (10.3)

10.2. ECUAT  II DIFERENT  IALE DE ORDINUL I 89
undex02I, iary02Rsunt xate. Relat ia (10.3) se nume ste condit ie
init ial a .
Observat ie. O problem a Cauchy const a deci dintr-o ecuat ie diferent ial a  si
o condit ie init ial a:8
<
:y0=f(x;y)
y(x0) =y0(10.4)
Teorem a. Fie ecuat ia diferent ia a y0=f(x;y), undef:DR!R,
(x0;y0)2D. Dac afsatisface condit iile
(i)feste continu a pe D;
(ii)fadmite derivata part ial a@f
@ycontinu a pe D,
atunci exist a un interval ( x0h;x 0+h)  si o funct ie unic a y=y(x) denit a
pe acest interval, care s a e solut ie a problemei Cauchy.
Observat ie. Din punct de vedere geometric, rezolvarea problemei Cauchy
revine la determinarea unei cubr integrale a ecuat iei care s a treac a prin
(x0;y0)
Observat ie. Dac ay=(x;C) este o solut ie general a a ecuat iei diferent iale,
atunci problema Cauchy se poate rezolva dac a exist a C2Rcu proprietatea
c ay0=(x0;C).
10.2 Ecuat ii diferent iale de ordinul I
Primele ecuat ii diferent iale de ordinul I au fost rezolvate ^ n secolul XVII,
odat a cu aparit ia calcului integral:
y0=f(x); x2I; (10.5)
undef:IR!Reste o funct ie continu a. Solut ia acestei ecuat ii este
y(x) =y0+Zx
x0f(t)dt:
10.2.1 Ecuat ii cu variabile separabile
Denit ie. Se nume ste ecuat ie cu variabile separabile o ecuat ie de
forma
y0=f(x)
g(y); (10.6)
undef: (a;b)!R sig: (c;d)!Rsunt funct ii continue, iar gnu se
anuleaz a ^ n nici un punct din intervalul ( c;d)(a;b;c;d;2R).

90 10. ECUAT  II DIFERENT  IALE
Observat ie. Funct iagind continu a  si nenul a, p astreaz a semn constant
pe intervalul ( c;d). F ar a a restr^ ange generalitatea, putem presupune c a
g >0 pe (c;d)(^ n caz contrar, ^ nlocuim f sigcuf, respectivg). Fie
y=y(x),y: (a;b)! (c;d), o solut ie a ecuat iei (10.6). Atunci putem
"separa variabilele":
y0=f(x)
g(y)()y0(x)
g(y(x))=f(x);(8)x2(a;b):
Deoarecefeste continu a, f si eF: (a;b)!Ro primitiv a a sa. De
asemenea, e G: (c;d!Ro primitiv a a funct iei1
g. Rezult a c a G0=1
g,
Gy: (a;b)!Reste derivabil a  si
(Gy)0(x) =G0(y(x))
y0(x) =1
g(y(x))
y0(x) =f(x);(8)x2(a;b);
astfel c a (Gy)0=f. Dar atunci ( Gy)0=F0, astfel c a exist a o constant a
real aC2Rcu proprietatea c a Gy=F+C. Rezult a c a
y(x) =G1(F(x) +C);(8)x2I(a;b): (10.7)
Reciproc, e y=y(x) de forma (10.7). Atunci
y0(x) = (G1(F(x) +C))0= (G1)0(F(x) +C)
(F(x) +C)0=
=1
G0(G1(F(x)+C))
F0(x) =1
G0(y(x))
f(x) =f(x)
(1
g)(y(x))=
=f(x)
g(y(x));
astfel c ay=y(x) este solut ie a ecuat iei (10.6). Am demonstrat astfel
urm atoarea
Propozit ie. Fief: (a;b)!R sig: (c;d)!Rdou a funct ii
continue cu g6= 0 pe (c;d). Atunci ecuat ia cu variabile separabile
y0=f(x)
g(y)
are solut ia general a
y=y(x); y(x) =G1(F(x) +C);(8)x2I(a;b);
undeF: (a;b)!Reste o primitiv a a funct iei f,G: (c;d)!Reste o
primitiv a a funct iei1
g, iarC2Reste o constant a real a.

10.2. ECUAT  II DIFERENT  IALE DE ORDINUL I 91
Observat ie. C^ and avem de rezolvat o ecuat ie diferent ial a cu variabile
separabile, de forma y0=f(x)
g(y), proced am astfel:
1) separ am variabilele:y0(x)
g(y(x))=f(x).
2) integr am  si obt inemRdy
g(y)=Rf(x)dx, egalitate care este echivalent a cu
Gy=F+C,C2R.
3) Scriem solut ia general a
y(x) =G1(F(x) +C); C2R:
4) Dac a avem date  si condit ii init iale, i.e. avem de rezolvat problema Cauchy
8
<
:y0=f(x)
g(y)
y(x0) =y0
solut ia se obt ine consider^ and ^ n solut ia general a C=G(y0)F(x0), sau,
echivalent rezolv^ and ^ n raport cu y=y(x) ecuat ia
Zy(x)
y0dt
g(t)=Zx
x0f(s)ds: (10.8)
Exemplu. 1) S a consider am ecuat ia y0= 2x
(1 +y2). Pentru a o
rezolva, separ am ^ n primul r^ and variabilele:
y0
1 +y2= 2x:
Prin integrare, avem c a
Zdy
1 +y2=Z
2xdx;
de unde, t in^ and cont de
Zdy
1 +y2=arctg (y) +C siZ
2xdx =x2+C;
obt inem c a
arctg (y(x)) =x2+C ; cuC2R:
Solut ia general a a ecuat iei date este atunci
y(x) =tg(x2+C); C2R:
2) S a consider am problema Cauchy
8
<
:y0= 2x
y
y(1) = 2

92 10. ECUAT  II DIFERENT  IALE
Determin am solut ia general a a ecuat iei diferent iale din cadrul sistemului:
y0= 2x
y()y0
y= 2x=)Rdy
y=R2xdx()
()ln(jyj) =x2+C; C2R()y=ex2+C; C2R
()y=eC
ex2; C2R()y(x) =K
ex2; K=eC2R:
Pentru a rezolva problema Cauchy, determin am constanta nenul a Kastfel
^ nc^ at s a e vericat a condit ia init ial a y(1) = 2:
y(1) = 2()K
e12= 2()K
e= 2()K=2
e:
Obt inem astfel solut ia
y(x) =2
e
ex2= 2ex21:
Observat ie. Am  putut rezolva problema Cauchy  si direct, f ar a s a mai
scriem solut ia general a a ecuat iei diferent iale, folosind egalitatea integralelor
denite:
Ry(x)
2dt
t=Rx
12sds()ln(y(x))ln(2) =x212()
()ln(y(x)) =ln(2) +x21()y(x) =eln(2)+x21()
()y(x) = 2ex21:
10.2.2 Ecuat ii diferent iale omogene
Denit ie. O ecuat ie diferent ial a se nume ste ecua zie diferent ial a omogen a
dac a poate  adus a la forma
y0=fy
x
: (10.9)
Pentru a rezolva ecuat ia se consider a funct ia auxiliar a
z(x) =y(x)
x: (10.10)
Din relat ia de mai sus obt inem succesiv:
y(x) =x
z(x) =)y0(x) =z(x) +x
z0(x):
^Inlocuind ^ n relat ia (10.9), t in^ and cont de (10.10), obt inem atunci ecuat ia
z(x) +x
z0(x) =f(z(x)), sau, echivalent,
z0=f(z)z
x; (10.11)

10.2. ECUAT  II DIFERENT  IALE DE ORDINUL I 93
care este o ecuat ie cu variabile separabile. Rezolv^ and aceast a ecuat ie se
g asesc solut iile z=z(x), care ne permit, cu ajutorul relat iei (10.10) s a
scriem solut iile ecuat iei omogene (10.9):
y=y(x) =x
z(x):
Exemplu. S a consider am ecuat ia 2 xyy0=x2+ 3y2.^Imp art ind ecuat ia
prinx2se obzine
2xyy0
x2= 1 +3y2
x2() 2y
x
y0= 1 + 3
y
x2()
()y0=1+3(y
x)2
2y
x;
care reprezint a o ecuat ie diferent ial a omogen a. Cu notat ia z(x) =y(x)
x
obt inem ecuat ia cu variabile separabile
z0=1
x
1 + 3z2
2zz!
:
Pentru rezolvarea acesteia scriem succesiv:
2z
z0
1+z2=1
x=)R2z
1+z2dz=R1
xdx()
()ln(1 +z2) =ln(jxj) +C; C2R() 1 +z2=eln(jxj)+C; C2R()
()z2=x
eC1; C2R()z=p
K
x1; K=eC2R:
Putem scrie atunci solut ia ecuat iei init iale:
y(x) =p
K
x1; K2R:
Dac a ^ n plus am avea  si o condit ie init ial a, ca de exemplu y(1) = 2, deter-
min am constanta K^ nc^ at s a e vericat a aceast a condit ie:
1
p
K
11 = 2 =)p
K1 = 2()K1 = 4()
()K= 5:
Solut ia problemei Cauchy este atunci
y(x) =xp
5x1:
10.2.3 Ecuat ii diferent iale liniare de ordinul I
Denit ie. O ecuat ie diferent ial a de forma
y0+P(x)
t=Q(x); (10.12)

94 10. ECUAT  II DIFERENT  IALE
^ n careP;Q :IR!Rsunt dou a funct ii continue, se nume ste ecuat ie
diferent ial a liniar a de ordinul I .
Observat ie. Denumirea provine de la faptul c a at^ at funct ia necunoscut a
y, c^ at  si derivata sa y0apar numai la puterea ^ nt^ ai.
Observat ie. Dac aQ(x) = 0, ecuat ia se nume ste ecuat ie liniar a omogen a
de ordinul I , ^ n caz contrar ea numindu-se ecuat ie liniar a neomogen a
de ordinul I .
Pentru rezolvarea ecuat iei (10.12) vom folosi metoda variat iei constan-
telor :
1) Vom determina solut ia general a y=(x;C) a ecuat iei omogene y0+
P(x)
y= 0, dup a care
2) Vom ^ nlocui constanta Ccu o funct ie C(x), pe care o vom determina
^ n a sa fel ^ nc^ at funct ia y=(x;C(x)) s a e solut ie a ecuat iei neomogene
y0+P(x)
y=Q(x).
Fie deci ecuat ia omogen a
y0+P(x)
y= 0:
Aceasta este o ecuat ie cu variabile separabile, pentru care putem scrie suc-
cesiv:
y0=P(x)
y()y0
y=P(x) =)Rdy
y=RP(x)dx=)
=)ln(jyj) =RP(x)dx+C; C2R()
()y(x) =eC
eR
P(x)dx; C2R()
()y(x) =K
eR
P(x)dx; K=eC2R
Pentru ecuat ia neomogen a c aut am aum o solu zie de forma
y(x) =K(x)
eR
P(x)dx;
prin "varierea constantei" K. Pentru funct ia yde mai sus avem
y0(x) =K0(x)
eR
P(x)dx+K(x)
eR
P(x)dx
(P(x)):
^Inlocuind ^ n ecuat ia (10.12) obt inem
K0(x)
eR
P(x)dx+K(x)
eR
P(x)dx
(P(x))+
+K(x)
eR
P(x)dx
P(x) =Q(x)()
()K0(x) =Q(x)
eR
P(x)dx=)
=)K(x) =RQ(x)
eR
P(x)dxdx+K1; K12R:

10.2. ECUAT  II DIFERENT  IALE DE ORDINUL I 95
Obt inem atunci solut ia general a a ecuat iei (10.12):
y(x) =Z
Q(x)
eR
P(x)dxdx+K1

eR
P(x)dx; K12R:
Exemplu. S a consider am problema Cauchy
8
<
:y0+ 2xy=x3
y(0) =e1
2
Ecuat ia diferent ial a din cadrul problemei este una liniar a de ordinul I, cu
P(x) = 2x siQ(x) =x3. Solut ia sa general a va  de forma
y(x) =Z
x3
eR
2xdxdx+K

eR
2xdx; K2R:
AvemZ
2xdx =x2+C
 si
Rx3
ex2dx=1
2Rx2

2x
ex2
dx=1
2Rx2

ex20dx=
1
2
x2
ex2R(x2)0
ex2dx
=1
2(x2ex2ex2) =1
2
ex2(x21);
astfel c a
y(x) =1
2
ex2(x21) +K

ex2=1
2(x21) +K
ex2; K2R:
Dtermin am acum constanta K2R, astfel ^ nc^ at s a e vericat a condit ia
init ial ay(0) =e1
2:
1
2
(1) +K
e0=e1
2()K=e
2;
 si solut ia problemei Cauchy este
y(x) =1
2(x21) +e
2
xx2=1
2
x21 +e1x2
:
10.2.4 Ecuat ii diferent iale de tip Bernoulli
Denit ie. O ecuat ie diferent ial a de forma
y0+P(x)
y=Q(x)
y; (10.13)
^ n careP;Q :IR!Rsunt dou a funct ii continue, cu Qneidentic nul a,
iar2Rnf0;1g, se nume ste ecuat ie diferent ial a de tip Bernoulli.

96 10. ECUAT  II DIFERENT  IALE
Observat ie. Valorile exceptate ale exponentului corespund unor ecuat ii
liniare de ordinul I(omogen a pentru = 1, respectiv neomogen a pentru
= 0).
Pentru rezolvarea ecuat iei (10.13), ^ mp art im ecuat ia prin y, obt in^ and
y0
y+P(x)
y1=Q(x);
sau, echivalent,
(1)y0
y+ (1)P(x)
y1= (1)Q(x);
Consider m funct ia auxiliar a z(x) =y(x)1, pentru care z0= (1)y0y.
^Inlocuind ^ n relat ia de mai sus, avem c a
z0+ (1)P(x)
z= (1)Q(x);
care este o ecuat ie liniar a de ordinul I ^ n raport cu funct ia necunoscut a
z=z(x). Rezolv^ and aceast a ecuat ie, din solut ia sa z=z(x) putem obt ine
o solut iey=y(x) =z(x)1
1a ecuat iei de tip Bernoulli init iale.
Exemplu. S a consider am ecuat ia diferent ial a
y0+ 4xy=xpy:
Aceasta este o ecuat ie de tip Bernoulli, ^ n care P(x) = 4x,Q(x) =x, iar
=1
2. Pentruz=z(x) =y(x)1=q
y(x) obt inem atunci ecuat ia liniar a
z0+ 2xz=x
2;
a c arei solut ie general a are forma
z(x) =Zx
2
eR
2xdx+K

eR
2xdx; K2R:
Obt inem
z(x) =1
4
ex2+K

ex2=1
4+K
ex2:
Prin urmare,
y(x) = (z(x))1
1= (z(x))2=1
4+K
ex22
; K2R:

10.3. MODELE MATEMATICE ALE CRES TERII POPULAT IEI 97
10.3 Modele matematice ale cre sterii populat iei
Dac ap(t) este populat ia unei anumite specii dintr-un anumit areal la un
momentt, iard(p;t) este diferent a dintre rata natalit at ii  si cea a mor-
talit at ii, atunci ^ n ipoteza c a populat ia este izolat a(i.e. nu au loc emigr ari
 si imigr ari), viteza de cre stere a populat iei va
p0(t) =d(p;t):
10.3.1 Modelul lui Malthus
Un model simplicat de cre stere, propus de Malthus, presupune c a aceast a
vitez a de cre stere este proport ional a cu p:
p0(t) =
p(t);cu2R;constant.
Consider^ and c a ^ ntr-un moment t0, populat ia este p0, obt inem o problem a
Cauchy:8
<
:p0(t) =
p(t)
p(t0) =p0
Solut ia acestei probleme se obt ine separ^ and variabilele t sip,  si integr^ and:
p0(t)
p(t)==)Rp(t)
p0dp
p=Rt
t0ds()
()ln(p(t))ln(p0) =(tt0)()ln(p(t)) =ln(p0) +(tt0)()
()p(t) =p0
e(tt0):
Ultima relat ie reprezint a legea malthusian a de cre stere a populat iei .
10.3.2 Modelul lui Verhulst
Un alt model, mai realist, a fost propus de biologul olandez Verhulst ^ n
1837. Modelul s au ia ^ n considerare  si interact iunile dintre indivizii unei
specii(mai exact, efectul inhibitor al aglomer arii). El a considerat o ecuat ie
de forma
p0(t) =
p(t)
p2(t);
^ n care; > 0 sunt constante, cu foarte mic a ^ n comparat ie cu .
Consider^ and c a la un moment t0, populat ie este p0, se obt ine problema
Cauchy8
<
:p0(t) =
p(t)
p2(t)
p(t0) =p0

98 10. ECUAT  II DIFERENT  IALE
Ecuat ia diferent ial a din cadrul problemei,
p0
p=
p2;
este o ecuat ie Bernoulli cu coecient i constant i P(t) = siQ(t) =, de
exponente= 2. Trec^ and la funct ia auxiliar a z=z(t),z=p1e=p12=1
p,
obt inem ecuat ia liniar a neomogen a cu coecient i constant i
z0+ (1e)P(t)
z= (1e)Q(t)()z0+
z=;
pentru care solut ia general a este dat a de
z(t) =R
eR
dtdt+K

eR
dt= (R
etdt+K)
et=
=


et+K

et=
+K
et:
Folosind condit ia init ial a p(t0) =p0, rezult a c a z(t0) =1
p0, astfel c a

+K
et0=1
p0=)
=)K=
1
p0


et0=1
p0
(p0)
et0
Rezult a c a
z(t) =
+1
p0
(p0)
et0
et=
=1
p0

p0+ (p0)
e(tt0)
 si obt inem legea lui Verhulst:
p(t) =1
z(t)=p0
p0+(p0)
e(tt0)=
=p0
e(tt0)
p0
e(tt0)+(p0)

Bibliograe
[1]Angel,A.R., Porter,S.R., A Survey of Mathematics with Applica-
tions, Addison-Wesley, New York, 1997
[2]Batschelet,E., Introduction to Mathematics for Life Scientists,
Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1971
[3]Cret ,F., Elemente de Modelare  si Matematici Speciale, Editura MIR-
TON, Timi soara, 2000
[4]Cret ,F., Otiman,P., Elemente de Matematici aplicate ^ n economia
agroalimentar a, Editura Agroprint, Timi soara, 2002
[5]Cret ,F., Rujescu,C., Boldea,M., Rotariu,L., Ivan,M., Ele-
mente de Matematici Speciale, teorie  si aplicat ii, Editura MIRTON,
Timi soara, 2000
[6]M.Craioveanu, I.D.Albu Geometrie an a  si euclidian a, Editura Fa-
cla, Timi soara, 1982.
[7]G.Chidio san, D.Criveanu, Gh.David, M.Popa Culegere de
Probleme{Matematici  si Cercet ari operat ionale, Tipograa Univer-
sit at ii din Timi soara, Timi soara, 1990.
[8]J.Curwin, R.Slater Quantitative Methods for Bussiness Decisions,
Chapmann & Hall, London, 1994.
[9]B.Demidovich Problems in Mathematical Analysis, Mir Publishers,
Moscow, 1976.
[10]D.K.Faddeev, I.S.Sominskii Culegere de probleme de algebr a supe-
rioar a, Editura Tehnic a, Bucure sti, 1954.
99

100 BIBLIOGRAFIE
[11]D.Flondor, N.Donciu Algebr a  si Analiz a matematic a{culegere de
probleme, Editura didactic a  si pedagogic a, Bucure sti, 1979.
[12]Garfunkel,S., Moore,D.S., Introduction to Contemporary Mathe-
matics, W.H.Freeman & Co, New York, 1988
[13]S.I.Grossman Multivariable Calculus, Linear Algebra, and Dieren-
tial Equations, Harcourt Brace Jovanovich, 1986.
[14]Iaglom,A.M., Iaglom,I.M., Probleme nelementare tratate elemen-
tar,Editura Tehnic a, Bucure sti, 1983
[15]Ion D.Ion, N.Radu Algebr a, Editura didactic a  si pedagogic a, Bu-
cure sti, 1991.
[16]Gh.Ivan Init iere ^ n Algebra liniar a, Tipograa Universit at ii din
Timi soara, Timi soara, 1993.
[17]Mihoc, M. Matematici aplicate ^ n economie(Algebr a liniar a), Ti-
pograa Universit at ii "Babe s{Bolyai" din Cluj{Napoca, Cluj{Napoca,
1995.
[18]Miller,C.D., Heeren,V.E., Hornsby,E.J., Mathematical Ideas,
Scott, Foresman & Co, London, 1990
[19]Muja,A., Diatcu,E., Matematica pentru economi sti, Editura Victor,
Bucure sti, 1999
[20]M.Nicolescu, N.Diculeanu, S.Marcus Analiz a Matematic a, Edi-
tura didactic a  si pedagogic a, Bucure sti, 1971.
[21]Orman,G.V., Capitole de matematici aplicate, Editura Albastr a,
Cluj-Napoca, 1999
[22]I.P.Popescu Geometrie an a  si euclidian a, Editura Facla, Timi soara,
1984.
[23]Popescu,O., Raischi,C., B adin,V., Butescu,V., Firic a,O.,
Toma,M., Woinaroski,S., Matematici aplicate ^ n economie, Editura
Didactic a  si Pedagogic a, Bucure sti, 1993

BIBLIOGRAFIE 101
[24]M.Postnikov Linear Algebra and Dierential Geometry ("Lecture
Notes in Geometry"-Semester II), Editura Mir, Moscova, 1982.
[25]I.Purcaru Matematici generale  si elemente de optimizare, Editura
Economic a, Bucure sti, 1997.
[26]Pusztai,A., Ardelean,Gh., LATEX, Ghid de utilizare, Editura
tehnic a, Bucure sti, 1994
[27]Rus,I.A., Iancu,C., Modelare matematic a, Casa de editur a TRAN-
SILVANIA PRESS, Cluj-Napoca, 2000
[28]S abac,I.Gh., Matematici speciale, Editura Didactic a  si Pedagogic a,
Bucure sti, 1965
[29]P.Stanciu, D.Criveanu, Gh.David, W.Fuchs Matematici aplicate
^ n economie, Editura Facla, Timi soara, 1981.
[30]Tan,S.T., College Mathematics, for the managerial and social sci-
ences, Prindle, Weber & Schmidt, Boston, 1983
[31]A.Thuizat, G.Girault Alg ebre lin eaire et applications, Collection
Durrande, Paris, 1977.
[32]C.Udri ste, C.Radu, C.Dicu, O.M al ancioiu Probleme de algebr a,
geometrie  si ecuat i diferent iale, Editura didactic a  si pedagogic a, Bu-
cure sti, 1981.
[33]Vasiliu,D.P., Vasiliu,A.M.D., Metode cantitative ^ n probleme eco-
nomice, Editura "Tribuna economic a", Bucure sti, 2000
[34]Vogel,A., Funktionentafeln und statistische Tabellen, Verlag Konrad
Wittwer, Stuttgart, 1979
[35]Waner,S., Costenoble,S.R., Finite Mathematics applied to the real
world, Harper Collins College Publishers, New York, 1996