Algoritm de rezo lvare a unui sistem de m ecuații [606992]

Licență

Algoritm de rezo lvare a unui sistem de m ecuații [606992]

Byadmin ianuarie 1, 2024

5
INTRODUCERE

Matricele și determinanții își au originile în seco lul 2 î.e.n. cu toate că urmele lor se pot
vedea încă din secolul 4 î.e.n. Însă ele nu au existat decât spre sfârșitul secolul ui 17 când
ideea reapare și se dezvoltă . Începuturile matricelor și determinanților apar d atorită studiului
sistemelor de ecuații liniare. Babilonienii au f o s t p r i m i i c a r e a u studiat probleme care
anticipează sistemele de ecuații liniare iar câteva dintre acestea sunt păstrate pană în ziua azi pe
tăblițe de lut.
De exemplu o plăcuță datând din anul 300 î.e.n. con ține următoarea problemă:
„Două terenuri care au împreună 1800 sunt cultivate cu grâu. De pe primul teren s-au
recoltat
dintr-un bușel (aproximativ 36 l)/ în timp ce de pe al doilea teren se recoltează

buleș/ . Dacă producția totală e de 1100 bușeli, care est e mărimea fiecărui teren?”
De asemenea în manuscrisele chinezești dintre 200- 100 î.e.n. s-au găsit informații despre
matrice. Un exemplu în acest sens este documentul “ 9 Capitole din Arta Matematicii” scris în
timpul dinastiei Han. Problema descoperită în acest document este la fel structurată ca și în
exemplul babilonian:
“Avem 3 tipuri de cereale, dintre care o grămadă di n primul tip de cereale, două din al doilea și
una din al treilea tip și cântăresc împreună 39 măs uri. Două grămezi din primul tip, trei din al
doilea și o grămadă din al treilea au împreună 34 m ăsuri. Una din primul tip, două din al doilea
și trei din al treilea fac 26 măsuri. Câte măsuri d in fiecare tip de cereale conține fiecare
grămadă?”
În continuare autorul a făcut ceva cu adevărat rema rcabil. El a aranjat coeficienții sistemului
de 3 ecuații liniare cu 3 necunoscute într-un tablo u:
1 2 3
2 3 2
3 1 1
26 34 39

Remarcabil este faptul că autorul, cu 200 ani î.e. n. instruia cititorul că poate înmulți coloana
din mijloc cu 2 și apoi o scădeampe cea din dreapta de câte ori este posibil, apoi înmulțim prima
coloana cu 3 și o scădem pe ultima de câte ori e po sibil. Obținem astfel:

0 0 3
4 5 2

6
8 1 1
39 24 39

Apoi prima coloană este înmulțită cu 5 și a doua se scade din prima de câte ori e posibi l,
obținând astfel:
0 0 3
0 5 2
36 1 1
99 24 39
Această metodă cunoscută acum ca metoda de eliminar e a lui Gauss, devine foarte
cunoscută abia în secolul al XIX-lea. Apoi, în “Ars Magna” (1545), Cardan dă o regulă pentru
rezolvarea unui sistem de două ecuații cu două necu noscute pe care a numit-o “regula de modo”.
Această regulă stă la baza regulii lui Cramer pentr u rezolvarea unui sistem de 2 ecuații cu 2
necunoscute, ea nu a fost finalizată, nu s-a ajuns la definiția determinantului dar a fost un pas
important pentru obținerea acestei definiții.
Multe rezultate standard de teoria elementară a mat ricelor au apărut cu mult înainte ca
matricele să devină subiect de investigație. D e exemplu, de Witt în “Elements of curves” a
publicat o parte a comentariilor din versiunea lati nă a geometriei lui Descartes (apărută in 1660)
care arată cum printr-o transformare a axelor putem reduce ecuația unei conice date la forma ei
canonică. Aceste raționamente făcute de Witt sunt e chivalente de fapt cu reducerea unei matrice
simetrice la forma diagonală, dar de Witt nu a gâ ndit niciodată în acești termeni.
Conceptul de determinant a apărut în Japonia și E uropa în același timp. Seki
(matematician japonez care a trăit între 1642-1708) a fost totuși primul care a publicat în
1683 “Metode de rezolvare a problemelor disim ulate” care conțin metode matriceale scrise în
tabele în același mod ca și metodele chinezești des crise mai înainte. Fără a avea un
corespondent pentru cuvântul “determinantului”, Sek i a introdus determinanții și a dat metode
generale pentru calcularea lor bazate pe exemple. S eki a fost pregătit să găsească determinanți de
ordin 2,3,4,5 și i-a aplicat în rezolvarea ecuați ilor dar nu a sistemelor de ecuații liniare. Tot
în anul 1683, au apărut determinanții și în Europa și în același timp Leibniz (matematician german
care a trăit între 1646-1716) îi scria lui L’Hopita l că sistemul de ecuații
10 + 11
+ 12 = 0
20 + 21
+ 22 = 0
30 + 31
+ 32 = 0
are soluție pentru că
10·21·32+11·22·30+20·31·12=10·22·31+11·20·32+12·21· 30
care este condiția ca matricea coeficienților să ai bă determinantul 0.

7
De remarcat este faptul că Leibniz nu a folosit co eficienți dar a folosit două caractere, adică
indici dubli pentru marcarea coeficienților, unul c are să indice cărei ecuații îi aparține necunoscuta ,
deci 21 indică ceea ce noi numim azi . Leibniz era convins că o bună notație era cheia
progresului deci el a experimentat diverse notații pentru coeficienții sistemului. Manuscrisele sale
nepublicate conțin mai mult de 50 de metode di ferite pentru scrierea coeficienților sistemului cu
care el a lucrat timp de 50 ani începând cu anul 16 78. Numai două publicații (1700 sau 1710)
conțin rezultate legate de coeficienții unui sistem și el utilizează același notații care au fost
menționate în scrisoarea către L’Hopital. Leibniz a folosit cuvântul rezultantă pentru anumite
sume combinatoriale de termeni ai unui determinant. El a demonstrat diverse rezultate, incluzând
ceea ce este d e f a p t regula lui Cramer. El a știut că un determinant poate fi dezvoltat după
orice coloană, ceea ce azi se cheamă dezvoltarea lu i Laplace. Pe lângă studierea coeficienților
sistemelor de ecuații care l-au condus la determ inanți, Leibniz a studiat coeficienții sistemelor
de ecuații de gradul al II-lea (sau forme pătratice ) care îl conduc la teoria matricelor.
În anul 1730 MacLaurin a scris un tratat de algebră care n-a fost publicat până în anul
1748, la doi ani după moartea sa. El conține primel e rezultate publicate despre determinanții
proveniți din regula lui Cramer pentru sisteme de 2 ecuații cu 2 necunoscute, 3 ecuații cu 3
necunoscute și a indicat cum putem lucra pentru sis teme de 4 ecuații cu 4 necunoscute.
Cramer a indicat metoda generală pentru sistemele d e n ecuații cu n necunoscute în articolul
“Introducere în analiza curbelor algebrice”. El și- a pus problema găsirii ecuației unei curbe plane
care trece printr-un număr de puncte dat. Regula ap are în Appendix-ul acestui articol dar nu e
dovedit acest lucru. Tot Gabriel Cramer a formulat în 1750 regula
de rezolvare a sistemului linear

+ + =

+ + =

+ + =
ca un cât de determinanți

=
, =
și =
,
D fiind determinantul coeficienților sistemului, determinantul obținut din D înlocuind coloana
coeficinților lui x prin termenii liberi. Tot Cramer a fost cel care a observat că un determinat este de
fapt o funcție lineară omogenă de elementele fiecăr ei linii și a fiecărei coloane.
Apoi au început să apară regulat lucrările despre determinanți. În anul 1764 Bezout
(matematician francez care a trăit între 1730-1783) a mai elaborat metode de calcul ale
determinaților asemănătoare cu ale lui Vandermonde. În 1771 Theophile Vandermonde a introdus
determinantul care îi poartă numele:

8
= 1 1 1

= − ! − ! − !
În 1772 Laplace (matematician francez care a trăit între 1749-1827) a susținut că metodele
prezentate de Cramer și Bezout nu sunt de fapt prac tice și într-un referat unde el a studiat teoria
perturbărilor planetare a folosit determinanții. În acest referat el a introdus și ecuația seculară
" − # … %
− # … %…
%…
% …
……
%& − #" = 0

despre care a arătat că are toate rădăcinile reale. Surprinzător este faptul că Laplace a folosit
cuvântul rezultant pentru ceea ce azi numim determinant . El a introdus noțiunea de determinant de
ordin general și a făcut observația că dacă schimbăm două linii între ele, determinantul își schimbă
semnul apoi ca o consecință, a arătat că dacă un de terminant are două linii identice, atunci valoarea
sa este nulă. Tot el a enunțat următoarea teoremă:
“Un determinant de ordinal n este egal cu suma celor '&% produse pe care le obținem
înmulțind minorii de ordin m extrași dintr-o matrice arbitrară formată cu m linii ale determinantului
prin complementele lor algebrice respective”.
Lagrange (matematician francez care a trăit între 1736-1813) a studiat complet determinanții
de ordinal al treilea și identități cu aceștia și a plublicat articolul în anul 1773. Acest articol de
mecanică conține pentru prima dată interpretarea vo lumului ca și determinant. Lagrange a arătat că
tetraedrul care are vârfurile în (0,0,0 !, *
, , !, *′
′, ′, ′! are volumul

+[
′′′ − ′
′′ !+ ′
′′ −
′′ !+ "
′−
′!].
Tot el a introdus noțiunea de determinant reciproc al unui determinant de ordinul al treilea, format
prin înlocuirea fiecărui element cu complementul să u și a arătat că un determinant reciproc este
pătratul determinantului dat.
Începând cu anul 1771 Leonhard Euler a studiat dete rminanții ortogonali, în legătură cu
problema deplasărilor. Se numește determinant ortog onal un determinant de forma:

Pentru care avem următoarele relații pătrate între elemente:
+ + = + + = + + = 1,
+ + = + + = + + = 0

9
Analog vom defini determinantul ortogonal de orice ordin. Euler a demonstrat pentru n=3 că
orice element al unui determinant ortogonal este eg al cu complementul său, iar Joseph Lagrange a
arătat că determinantul ortogonal are valoarea ±1 .
Din problemele legate de teoria generală a conicelo r și a cuadricelor a fost inițiată în secolul
al 18-lea și teoria formelor pătratice. În anul 177 3 Joseph Lagrange a introdus forma binară
0
, !=
+ 2
+
și forma ternară
0
, , !=
+ 2
+ + 2
+ 2 + .
El a arătat, pentru n=2 , că dacă efectuăm o transformare liniară

= 1
′+ 1 ′
= 1
′+ 1 ′
atunci pentru noua formă
0′
′, ′!= ′
′2+ 2 ′
′′+ ′′2
avem relația dintre discriminanții formelor și ai t ransformării
3 ′ ′
′ ′3 = 41 1
1 1 4
· 4
4.
Euler a observat că un determinant de ordinul 3 con ține numai 3 parametri independenți, iar
unul de ordinul 4 conține 6 parametri și a exprimat sub formă rațională celelalte elemente în funcție
de acești parametri, în cazurile n=3,4 menționate. Tot el a emis următoarea regulă: “Considerăm un
determinant nenul B= 678 6 de ordin n, ale cărui elemente de pe diagonala pri cipală au valoarea 1
iar celelalte sunt strâmb simetrice 78 + 87 = 0, 78 = 1. Dacă 978 este complementul algebric al
lui 78 , punem
77 =:;;<=
:, 78 =:;>
:, ? ≠ A, atunci determinantul 678 6 este ortogonal. “
Termenul “determinant” a fost introdus pentru prima oară de către Gauss (matematician
german care a trăit între 1777-1855) în “Discuții a ritmetice” , în timp ce se studiau formele
pătratice. Dar acest concept nu este același cu det erminantul pe care îl știm noi în ziua de azi. În
aceeași lucrare Gauss a aranjat coeficienții formel or pătratice într-un sistem de axe rectangulare.
El a descris înmulțirea matricelor și a descris și construcția inversei unei matrice. Metoda
eliminării a lui Gauss (a cărei idee a apărut prim a oară în textul “9 Capitole din Arta
Matematicii” scris în anul 200 i.e.n., dar despre c are Gauss nu știa nimic), a fost utilizată de
acesta în lucrarea sa care studia orbitele asteroid ului Pallas. Utilizând observațiile asupra
asteroidului făcute între 1803 și 1809, Gauss a obț inut un sistem de 6 ecuații liniare cu 6

10
necunoscute. Gauss a dat sistematic metode pe ntru rezolvarea acestor ecuații care precizează
eliminarea Gaussiană a coeficienților matricelor.
În anul 1812 Cauchy (matematician francez care a tr ăit intre 1789-1875) a utilizat
determinanții în sensul modern. La el găsim primele însemnări mai complete despre determinanți și
noi rezultate despre minori.

11
CAPITOLUL I – PARTEA ȘTIINȚIFICĂ

1.MATRICE
1.1.Noțiunea de matrice – proprietăți generale
Acest concept l-am întâlnit încă din ultimul an de gimnaziu, atunci când s-a pus problema
rezolvării unui sistem de două ecuații cu două necu noscute x, y, de forma BCD + EF = G
CH D + EH F = GH .
Acestui sistem i-am asociat un tablou pătratic, car e conține coeficienții necunoscutelor (în prima
linie sunt coeficienții lui x, y din prima ecuație, iar în a doua linie figurează coefienții lui x, y din
ecuația a doua): I
HHJ.
Am numit acest tablou de matrice pătratică (sau matricea sistemului). Pe cele două coloane al e
matricei figurează coeficienții lui x (pe prima col oană a, H) și respectiv coeficienții lui y (pe a doua
coloană b, H).
Definiție: Se numește matrice cu m linii și n coloane (sau de tip m×n) un tablou cu m linii și n
coloane de forma:
K … %
… %
… … … …
& & … &% L
ale cărui elemente 78 sunt numere complexe.
Uneori această matrice se notează și A = 78 ! unde i = 1, MNNNNNN și j = 1, ONNNNN . Pentru elementul 78 ,
indicele i arată linia pe care se află elementul, i ar al doilea indice j indică pe ce coloană este sit uat.
Mulțimea matricilor de tip m×n cu elemente numere reale se notează prin *&,%ℝ! . Aceleași
semnificații au și mulțimile *&,%ℤ!; *&,%ℚ!; *&,%ℂ!.
Cazuri particulare:
1. O matrice de tipul 1×n (deci cu o linie și n coloane) se numește matrice linie si are forma A
= … %!.

12
2. O matrice de tipul m×1 (cu m linii si o coloana) se numește matrice coloană si are forma B
= K

…
&L .
3. O matrice de tip m×n se numește nulă (zero ) dacă toate elementele ei sunt zero. Se notează
cu O = K0 0 … 0
0 0 … 0
… … … …
0 0 … 0L.
4. Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloa ne, atunci matricea se numește
pătratică .

A = K … %
… %
… … … …
% % … %% L.
Sistemul de elemente … %% ! reprezintă diagonala principală a matricei A, iar
suma acestor elemente + + … + %% se numește urma matricei A notată cu
Tr T! = ∑ 77 %
7V . Sistemul de elemente % %W … %! reprezintă diagonala secundară a
matricei A.
Mulțimea acestor matrice se notează *%ℂ!. O matrice foarte importantă este
X% = K1 0 … 0
0 1 … 0
… … … …
0 0 … 1L numită matricea unitate (pe diagonala principală are toate elementele
egale cu 1, iar în rest sunt egale cu 0).
1.2.Operații cu matrice
1.2.1. Egalitatea a doua matrice
Definiție: Fie A = 78 !, B 78 ! ∈ * &,%ℂ!. Spunem ca matricele A, B sunt egale și scriem
A = B dacă 7 8 = 7 8, ∀! i = 1, MNNNNNN, ∀! j = 1, ONNNNN.
Exemplu: Să se determine numerele reale x, y astfel încat să avem egalitate de matrice:
[
+ 1
+
0
− 2\ = I2 −
− 1
0 9 − 2
J.

13
Soluție: Matricele sunt egale dacă elementele corespunzatoar e sunt egale, adică:
^
+ 1 = 2

+ = −
− 1
0 = 0

− 2 = 9 − 2
. Rezolvând acest sistem găsim soluția x = 1, y = −3.

1.2.2. Adunarea matricelor
Definiție: Fie A = 78 !, B =78 !, C = 78 !∈ * &,%ℂ!. Matricea C se numește suma matricelor A,
B dacă 78 = 78 + 78 , ∀! i = 1, MNNNNNN, ∀! j = 1, ONNNNN.
Observații:
1. Doua matrice se pot aduna dacă sunt de același tip , adică dacă au același număr de linii și
același număr de coloane, deci A, B ∈ * &,%ℂ!.
2. Explicit adunarea matricelor A, B înseamnă:

K … %
… %
… … … …
& & … &% L + K … %
… %
… … … …
& & … &% L =
K + + … %+ %
+ + … %+ %
… … … …
&+ & &+ & … &% + &% L.
Exemplu: Să se calculeze A + B pentru:
1. A = I1 −1 2
3 0 1J, B = I0 5 −3
10 1 5J
2. A = I1 1
−1 1J, B = I0 1
1 0J.
Soluții:
1. A + B = I1 −1 2
3 0 1J + I0 5 −3
10 1 5J = I1 + 0 −1 + 5 2 − 3
3 + 10 0 + 1 1 + 5J = I1 4 −1
13 1 6J
2. A + B = I1 1
−1 1J + I0 1
1 0J = I1 + 0 1 + 1
−1 + 1 1 + 0J = I1 2
0 1J.

14
Proprietăți ale adunării matricelor:
cd (Asociativtatea adunării). Adunarea matricelor este asociativa , adică:
T + 9 !+ C = A+ 9 + ' !, ∀! A, B, C ∈ * &,%ℂ!.
c e fghijkjlmljkjnk koipărll !. Adunarea matricelor este comutativă , adică:
A + B = B + A, ∀! A, B ∈ * &,%ℂ!.
cs(Element neutru). Adunarea matricelor admite matricea nulă ca element neutru , adică ∃
(&,% ∈ * &,%ℂ! astfel încât:
A + (&,% = A, ∀! A ∈ * &,%ℂ!.
cu(Elemente opuse). Orice matrice A ∈ * &,%ℂ! are un opus, notat – A, astfel încât:
A + − T! = (&,%.
1.2.3. Înmulțirea cu scalar a matricelor
Definiție: Fie ℷ ∈ C și A = 78 ! ∈ * &,%ℂ!. Se numește produsul dintre scalarul ℷ ∈ C și
matricea A, matricea notate ℷA ∈ * &,%ℂ! definită prin ℷA = ℷ78 !.
Observație: A înmulți o matrice cu un scalar revine la a înmulț i toate elementele matricei cu acest
scalar.
Deci ℷA = Kℷ ℷ … ℷ %
ℷ ℷ … ℷ %
… … … …
ℷ& ℷ& … ℷ &% L.
Exemplu: Fie A = w
−3 5
0
1x. Atunci 6A = I3 −18 30
0 4 6J.
Proprietăți ale înmulțirii matricelor cu scalari:
zd ℷµT! = ℷµ!A, ∀! ℷ, µ ∈ C, ∀! A ∈ * &,%ℂ!
ze ℷT + 9 ! = ℷA + ℷB, ℷ ∈ C, ∀! A, B ∈ * &,%ℂ!
zs ℷ + µ!A = ℷA + µA, ∀! ℷ, µ ∈ C, ∀! A ∈ * &,%ℂ!

15
zu 1 ⋅ A = A, 1 ∈ C, ∀! A ∈ * &,%ℂ!
1.2.4. Înmulțirea matricelor
Definiție: Fie A = |7 !∈ * &,%ℝ!, B =78 !∈ * %,}ℝ!. Produsul dintre matricele A și B (în
această ordine), notat AB este matricea C = |8 !∈ * %,}ℝ! definită prin
|8 = ∑ |7 78 %
7V~ , ∀! k = 1, MNNNNNN, ∀! j = 1, ONNNNN.
Observații:
1. Produsul AB a două matrice se poate efectua doar da că A ∈ * &,%ℝ!, B ∈ * %,}ℝ!, adică
numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul d e linii ale lui B , când se obține o
matrice C = AB ∈ * &,}ℝ!.
2. Dacă matricele sunt pătratice A, B ∈ * %ℝ! atunci are sens întotdeauna atat AB cât și BA ,
iar, în general, AB ≠ BA adică înmulțirea matricelor nu este comutativă.
Proprietăți ale înmulțirii matricelor:
d(Asociativitatea înmulțirii). Înmulțirea matricelor este asociativă, adică:
T9 !C = A 9' !, ∀!A ∈ * &,%ℂ!, ∀!B ∈ * %,}ℂ!, ∀!' ∈ * },ℂ!.
e(Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea ). Înmulțirea matricelor este
distributivă în raport cu adunarea, adică:
T + 9 !C = AC + BC, C T + 9 ! = CA + CB, ∀!A, B, C matrice pentru care au sens
operațiile de adunare și înmulțire.
s(Element neutru). Dacă X% ∈ * %ℂ! este matricea unitate, atunci:
X%A = A X% = A, ∀!A ∈ * %ℂ!.
Se spune că X% este element neutru în raport cu operația de înmulțire a matricelor.
1.2.5. Puterile unei matrice
Definiție: Fie A ∈ * %ℂ!. Atunci A = A, A = A ⋅ A, A = A ⋅ A, …, A% = A%W ⋅ A, ∀! n ∈ ℕ∗.
(Convenim A~= X).
Teorema lui Cayley-Hamilton. Orice matrice A ∈ * %ℂ! își verifică polinomul caracteristic det(A
– ℷI) = 0.

16
Pentru n = 2, A = I
J ⇒ det A = 4
4 = ad – bc,
A – ℷI = I
J – ℷI1 0
0 1J = I − ℷ
− ℷJ.
det A – ℷI = 0 ⇔ 4 − ℷ
− ℷ4 = 0 ⇔ − ℷ ! − ℷ ! – bc = 0 ⇒ ad – + d !ℷ + ℷ – –
bc = 0 ⇒ ℷ- + d !ℷ + ad – bc = 0, polinom caracteristic.
Generalizat:
A – TrA ! ⋅ AWd + detA !⋅ I = 0.
1.2.6. Transpusa unei matrice
Definiție: Fie A ∈ * %ℂ!o matrice notată A = 78 ! cu i = 1, MNNNNNN și j = 1, ONNNNN.
Atunci A = a cu k = 1, ONNNNN și l = 1, MNNNNNN, unde a = a pentru orice k = 1, ONNNNN si l = 1, MNNNNNN, se
numește transpusa matricei A.
Se observă că A este o matrice tipul O, M ! și se obține din matricea A luând liniile drept
coloane, respectiv coloanele drept linii.
Caz particular: Dacă A este o matrice pătratică de ordinul n, atunci transpusa sa A este de
asemenea o matrice pătratică de ordinul n. Dacă k = l , atunci a = a și deci diagonala
principală a matricei A este aceași diagonală principală cu a matricei A.
Proprietăți:
1. Dacă A, B ∈ * &,%ℂ!, atunci T + 9 ! = A + B;
2. Dacă A ∈ * &,%ℂ!, B ∈ * %,}ℂ!, atunci A ⋅ 9 ! = B ⋅ A;
3. Dacă A ∈ * &,%ℂ! si a ∈ ℂ, atunci aA ! = a A.

17
1.3. Exerciții propuse

1.3.1. Exerciții din manualele școlare și culegeri de prob leme

Exercițiul nr.1:
a) Fie matricea A∈ ℝ!; A = I1
0 1J, a ≠0. Să se calculeze A si Ași apoi să se determine
A, n ∈ℕ* în funcție de n.
b) Să se afle x,y,u,v, numerele reale astfel încât I1 1
0 1J I

J = I1 0
1 1J
Exercițiul nr.2:
Fie T ∈ * %ℂ! astfel încât T= ( %.
a) Arătați că T − X % și T + X % sunt matrici inversabile.
b) Calculați T − X % !W + T + X % !W.
Exercițiul nr.3:
Fie matricea A ∈ *ℂ!, A = 3 0 0
0 2 0
0 0 1.
a) Să se arate că A este inversabilă și calculați TW.
b) Să se găsească o matrice B ∈ *ℂ!, astfel încât A ∙ B = A + X.
c) Să se determine numărul matricelor X ∈ *ℂ! care sunt soluții ale ecuației
~ = A.
Exercițiul nr.4:
Fie A ∈ *%ℂ! o matrice inversabilă. Să se arate că:
a) Dacă AB = AC , unde B,C ∈ *%ℂ!, atunci B = C .
b) Dacă TWB = B ∙ TW, unde B ∈ *%ℂ!, atunci AB = BA .
c) Matricea T este inversabilă și TW = TW!.
Exercițiul nr.5:
Fie matricele: A = 1 0 0
1 −1 0
0 0 1, B = 1 1 0
0 −1 0
0 0 1, C = 1 0 0
0 1 0
0 0 1.
a) Calculați AB și BA.
b) Calculați determinantul și rangul lui A.

18
c) Verificați că T = 9 = X.
d) Să se arate că matricea A este inversabilă și să se determine inversa sa.
e) Să se calculeze determinantul matricei X = T + T+ ⋯ + T~~ .
f) Să se arate că T9 !%≠ X ∀!O ∈ ℕ∗.

1.3.2. Exerciții date la examenul de Bacalaureat și admit ere facultăți

Exercițiul nr.1:
Se consideră matricele X = I1 0
0 1J și A(x) = I
+ 2

1 −2J, unde x este un număr real.
a) Arătați că det( A(1))= −7.
b) Demonstrați că
T !− T
! =
− !T0! , pentru orice numere reale x și y.
c) Determinați nhumerele reale a, știind că T −1!+ T!T0! = + 7!X.
Examenul de bacalaureat – 2018
Proba scrisă la MATEMATICA- Proba E.c), Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ști ințe ale naturii
Exercițiul nr.2:
Fie G = ∈ С|= 1£, ¤ ∈ G \ 1£ și matricele A = 1 1 1
1 ¤ ¤
1 ¤¤; B = ¤¤ 1
¤ ¤1
1 1 1.
a) Să se arate că A este inversabilă și să se calculeze TW.
b) Să se rezolve ecuațiile mariceale AX = B și Y A = B.
Admitere, Universitatea București, 2005
Exercițiul nr.3:
Să se cerceteze dacă matricea
a) A = I1 0
0 −1J; b) A = 0 0 1
0 1 0
1 0 0
este inversabilă și în caz afirmativ să se calculez e inversa sa.

Exercițiul nr.4:
Considerăm ¥% matricea pătratică de ordinul n ≤ 3, ale cărei elemente sunt toate egale cu 1. Să se
arate că:

19
a) ¥% = O¥ %;
b) X% − ¥% este inversabilă și avem X% − ¥ %!W = X% −
%W¥%, unde X% este matricea
unitate de ordin n(n > 1).
Admitere, Universitatea Pitești, 1995
Exercițiul nr.5:
Fie A = 0 1 −1
1 1 2
3 1 0 și B = 0T!, unde 0!= − 3 + 2X și X este matricea unitate de
ordinul 3. Atunci (alegeți răspunsul corect):
a) B = 0 −3 5
4 3 −5
−8 1 1; b) B = −4 −3 2
4 −1 1
−8 2 0; c) B = X.
Admitere, Universitatea „Constantin Brâncoveanu”, P itești, 2005
Exercițiul nr.6:
Fie matricele:
A = 2 −1 −1
−1 2 −1
−1 −1 2; B = 1 1 1
1 1 1
1 1 1; * =
A +
2B, t ∈ ¨∗.
a) Să se calculeze T, 9, AB și BA.
b) Să se arate că dacă t, t’ ∈ R, atunci **H = *H.
Admitere, Facultatea de Matematică, 2005

1.3.3. Exerciții date la concursuri și olimpiade școlare

Exercițiul nr.1:
Se consideră matricea A = 2 1 −1
6 3 −3
−4 −2 2. Determinați
∈ ℝ astfel încât T + T+ T+ ⋯ +
T~© =
T .
Concursul național de matematică aplicată ”Adolf Ha imovici”
Etapa locala – Constanța 2018
Filiera teoretică, profilul real, specializarea sti ințele naturii
Indicație: Se arată că T= 7T și apoi prin inducție matematică se demonstrează c ă T%= 7%WT.

20
Finalizare:
=ă2«=¬ W
+.

Exercițiul nr.2:
Se consideră matricea A = 1 1 1
1 1 1
1 1 1 ∈ * ℝ!.
a) Să se arate că T= 3T.
b) Calculați T%.
Concursul național de matematică aplicată ”Adolf Ha imovici”
Etapa locala – Constanța 2018
Filiera tehnologică, profilul tehnic, toate special izările
Indicație: Se arată prin inducție matematică relația T%= 3%WT.

Exercițiul nr.3:
Fie T, 9 ∈ * ℝ!, T ≠ 9 .
Să se arate că dacă T= 9 și T= 9, atunci T%= 9%, ∀ O ∈ , O ≥ 2 .
Olimpiada națională de matematică
Etapa locala – Constanța 2018
Indicație: Notăm cu = ¯T, = ¯9 și folosind relația lui Cayley se obține T= T, 9= 9 ,
apoi T = 9, T = 9 ⟹ − !9 = ( .
Finalizare: T%= 9%= ( .

Exercițiul nr.4:
Se consideră matricea A = 1 0 0
2
4
+ 1 3

0 0 1 ,
∈ ℝ .
a) Demonstrați că T
!∙ T!= T
+ +
!, ∀
, ∈ ℝ .
b) Determinați m,n ∈ ± astfel încât TM!∙ TO!= T−1! .
c) Există matricea ∈ * ℝ! pentru care ∙ = T I−
J ?

Olimpiada națională de matematică
Etapa locala – Constanța 2018
Indicație: Se obține relația det ∗ != det !!≥ 0, det IT−
!J = −1 , contradicție.
Finalizare: Nu există matrice cu această propietate .

21

Exercițiul nr.5:
Determinați toate numerele naturale ³ ≥ 1 și O ≥ 2 cu propietatea ca există T, 9 ∈ * %±! astfel
încât T= ( % și T|9 + 9T = X % .
Olimpiada națională de matematică
Etapa județeană, 2015
Indicație: Se arată că pentru ³ ≥ 3 ș? ³ = 2 se obțin contradicții cu T= ( %. Deci k=1 și n este
natural par. Apoi pentru n=2, T = I0 1
0 0J și 9 = I0 0
1 0J, iar pentru n=2k, matricele bloc diagonale
A și B, de dimensiune 2k care au pe diagonala princ ipală k matrice I0 1
0 0J și respectiv k matrice
I0 0
1 0J, iar restul coeficienților nuli.

Exercițiul nr.6:
Fie n un număr natural impar și matricele T, 9 ∈ * %'!, cu propietatea că T − 9!= ( %.
Arătați că det T9 − 9T != 0.
Olimpiada națională de matematică
Etapa județeană, 2019
Indicație: Se notează cu C=A-B și conform teoremei lui Sylvester se obține 2Oµ '!− O ≤
Oµ (%!= 0, Oµ'! ≤%W
, n impar. După calcule Oµ T9 − 9T != Oµ 'T − T' !≤
Oµ 'T !+ Oµ T' !≤ 2Oµ '!≤ O − 1 < O .

22
2.DETERMINANȚI
2.1. Determinanți de ordinul 2 și 3
Fie A = 78 ! ∈ * &,%ℂ! o matrice pătratică. Vom asocia acestei matrici un număr notat det T!
numit determinantul matricei A.
Definiție: Dacă A = 78 ! ∈ * %ℂ! este o matrice pătratică de ordinul întâi, atunci
det T! = .
Definiție: Determinantul matricei A = I
J este numărul
det T! = – = 4
4
și se numește determinant de ordinul 2. Produsele , se numesc termenii dezvoltarii
determinantului de ordin 2.
Definiție: Determinantul matricei A =

este numărul
det T! = + + – – –
și se numește determinant de ordinul 3. Produsele care apar în formulă se numesc termenii
dezvoltării determinantului de ordin 3.
Pentru calculul determinantului de ordin 3 se utili zează trei tehnici simple:
i. Regula lui Sarrus: Fie determinantul de ordin 3, d = 678 67.8V, NNNN . Pentru a calcula un astfel de
determinant se scriu sub determinant primele doua l inii apoi se face produsul elementelor de pe
diagonală:
 Produsul elementelor de pe o diagonală descendentă este cu semnul plus.
Avem trei astfel de produse: , , ;
 Produsul elementelor de pe o diagonală ascendentă e ste cu semnul minus.
Avem trei astfel de produse: , , .
Suma celor șase produse dă valoarea determinantului d de ordin 3.Acest procedeu de
calcul se numește “regula lui Sarrus”.

23
ii. Regula triunghiului: Am văzut că determinantul de ordin 3 are în dezvolt area sa șașe termeni,
trei cu semnul plus și alți trei cu semnul minus.
Primul termen cu plus se găsește înmulțind element ele de pe diagonala principală, iar
ceilalți doi, înmulțind elementele situate în vârfu rile celor două triunghiuri care au o latură
paralelă cu diagonala principală. După aceeași regu lă, referitoare la diagonala secundară, se
obțin termenii cu minus.
Observație: Cele două reguli amintite mai sus se aplică doar determinanților de ordin 3.
Exemplu: Să se calculeze prin una din cele două metode de ma i sus determinantul:
d = −3 0 1
0 2 −1
3 1 0
Soluție: Regula triunghiului:
d = -3 ⋅ 2 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 0 ⋅ (-1) – [3 ⋅ 2 ⋅ 1 + (-3) ⋅ 1 ⋅ (-1) + 0 ⋅ 0 ⋅ 0] =
= 0 + 0 + 0 – (6 + 3 + 0) = -9
i.i.i. Recurența (sau dezvoltarea după o linie, res pectiv o coloană)
Determinantul de ordin 3 are 3! = 6 termeni dintre care trei sunt cu semnul plus, iar
ceilalți cu semnul minus.
Are loc următoarea proprietate:
det T!=−1!· 4
4 + −1!· 4
4 + −1!· 4
4 (1)
= −1!· 4
4 + −1!· 4
4 + −1!· 4
4. (2)
Observații:
1. Egalitatea (1) se mai numește dezvoltarea determinantului după elementele liniei întâi,
iar egalitatea (2) se numește dezvoltarea determinantului după elementele colanei întâi.
2. Formulele (1) si (2) sunt relații de recurență, deoarece determinantul de ordin 3 se exprimă
cu ajutorul unor determinanți de ordin inferior (2) .

24
2.2 Determinantul de ordin n ≥ 4
Vom defini în continuare determinantul de ordin n prin recurență cu ajutorul determinanților
de ordin n – 1 . Pentru aceasta sunt necesare unele precizări.
Fie A = 78 ! ∈ * %C!.
Definiție: Se numește minor asociat elementului 78 determinantul matricei pătratice T78 de ordin n
– 1 obținut prin suprimarea liniei i și colanei j din matricea A. Se notează acest minor prin det T78
sau 78 .
Definiție: Se numește complement algebric al elementului 78 numărul −1!7·8 det T78 .
Exponentul lui −1! este suma dintre numărul liniei i și coloanei j pe care se află 78 .
Definiție: Determinantul matricei A = 78 ! de ordin n este suma produselor elementelor din prima
linie cu complemenții lor algebrici adică
det T! = – + + … + −1!%·%%.
Observații:
1. Elementelor, liniilor și coloanelor matricii A le v om spune de asemenea elementele, liniile și
coloanele determinantului
det T! = ¹ … %
… %
… … … …
% % … %% ¹
2. Formula din definiție spunem că reprezintă dezvoltarea determinantului de ordin n după
elementele primei linii.
3. Definiția determinantului de mai sus este încă puți n eficientă (o vom ilustra ulterior pentru n
= 4 ). De aceea se impune sabilirea unor proprietăți al e determinaților care să fie comode atât
din punct de vedere al teoriei cât și din punct de vedere al calculului. Aceste proprietăți vor
fi prezentate în paragraful următor.
4. Continuând cu explicitarea determinanților de ordin n–1 din definiție , , … ,%! se
obține pentru det T! o suma de produse de elemente din determinant, fie care produs
continând elemente situate pe linii și coloane dife rite.
5. Determinantul este o funcție det : *%C!→ C.

25
Exemplu: Să se calculeze determinantul de ordin 4, d = ¹1 0 −1 2
1 −2 0 0
0 1 1 −1
1 −1 0 0¹.
Soluție: Aplicăm definiția dată mai sus pentru n = 4 și dezv oltăm determinantul după elementele
liniei întâi. Avem:
d = 1 ⋅ −2 0 0
1 1 −1
−1 0 0 – 0 ⋅ 1 0 0
0 1 −1
1 0 0 + −1! ⋅ 1 −2 0
0 1 −1
1 −1 0 – 2 ⋅ 1 −2 0
0 1 1
1 −1 0 =
= 0 – 0 – 1 + 2 = 1,
Unde determinanții de ordin 3 i-am calculat prin un a din metodele prezentate la determinanții de
ordin 3.
2.3. Proprietățile determinanților
Formula determinantului de ordin 2 este simplă, cea a determinantului de ordin 3 se complică
(vezi regula lui Sarrus) iar pentru un determinant de ordin n ≥ 4 apar calcule laborioase. Pentru un
determinant de ordin 4 avem 4! = 24 termeni în form ula sa, pentru n = 5 avem 5! = 120 termeni de
calculat și tot așa. Din aceste motive, pentru simp lificarea calculului determnanților s-au prezentat o
serie de proprietăți ale acestora.
Proprietatea 1: Determinantul unei matrice coincide cu determinantu l matricii transpuse, adică
dacă A ∈ * %C!, atunci det T!= det A.
Observație: Această proprietate ne arată că ori de câte ori ave m o proprietate adevarată referitoare
la liniile unui determinant, aceeași proprietate es te adevarată și pentru coloanele acestuia.
Proprietatea 2: Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dint r-o matrice sunt nule, atunci
determinantul matricei este nul.
Proprietatea 3: Dacă într-o matrice schimbăm două linii (sau două c oloane) între ele obținem o
matrice care are detrminantul egal cu opusul determ inantului matricei inițiale.
Proprietatea 4: Dacă o matrice are două linii (sau două coloane) id entice, atunci deteriminantul
său este nul.

26
Proprietatea 5: Dacă toate elementele unei linii (sau a unei coloan e) ale unei matrice sunt
înmulțite cu un număr ɑ,obținem o matrice al cărei determinant este egal cu ɑ înmulțit cu
determinantul matricei inițiale.
Proprietatea 6: Dacă elementele a două linii (sau coloane) ale unei matrice sunt proporționale,
atunci determinantul este nul.
Proprietatea 7: Dacă linia i a unei matrice A este suma a doi vecto ri, atunci determinantul ei este
egal cu suma a doi determinanți corespunzători matr icelor care au aceleași linii ca A, cu excepția
liniei i unde au câte unul din cei doi vectori.
¹¹ … %
… … …
7+ 7 … 7% + 7%
… … …
% … %% ¹¹=¹¹ … %
… … …
7 … 7%
… … …
% … %% ¹¹+¹¹ … %
… … …
7 … 7%
… … …
% … %% ¹¹.
Obsevație: O proprietate analoagă are loc și pentru coloane.
Proprietate 8: Dacă o linie (o coloană) a unei matrice pătratice este o combinație liniară de
celelalte linii (coloane), atunci determinantul mat ricei este zero.
Proprietatea 9: Dacă la o linie (o coloană) a matricei A adunăm ele mentele altei linii (coloane)
înmulțite cu același număr, atunci această matrice are același determinant ca și matricea A.
Proprietatea 10: det X%! = 1 (Determinantul matricei unitate este egal cu 1).
Proprietatea 11: det ℷT!= ℷ det T!, A ∈ * %C!.
Proprietatea 12: Dacă A = 78 ! este o matrice triunghiulară (sau diagonală), atun ci
det T!= … %% . ( Valoarea determinantului este egală cu produsul ele mentelor de pe
diagonala principală).
Proprietatea 13: Dacă A, B ∈ * %C!, atunci det T9 != det T! ⋅ det 9! (Determinantul produsului
a două matrici pătratice este egal cu produsul dete rminantilor acelor matrici).
Caz particular: det T%! = det T!%, n ∈ ℕ∗.

27
2.4. Calculul inversei unei matrice
Definiție: Fie A ∈ * %C!. Matricea A se numește inversabilă dacă există matricea B ∈ * %C! cu
proprietatea că A ⋅ B = B ⋅ A = X%, X% fiind matricea unitate.
Matricea B din definiție se numește inversa matricii A și se notează B = TW. Deci
A ⋅ AW = AW ⋅ A = X%.
Teoremă: Matricea A ∈ * %C! este inversabilă dacă și numai dacă det T!≠ 0. O astfel de matrice
se numește nesingulară.
Construcția lui AW presupune următorii pași:
Pasul 1: (Construcția transpusei)
Dacă A = K … %
… %
… … … …
% % … %% L, atunci construim transpusa lui A,
T = K … %
… %
… … … …
% % … %% L.
Pasul 2: (Construcția adjunctei)
Matricea T∗ = K−1!· −1!· … −1!·%%
−1!· −1!· … −1!·%%
… … … …
−1!%·% −1!%·% … −1!%·%%% L
obținută din T, înlocuind fiecare element cu complementul său alg ebric se numește adjuncta
matricei A.
Pasul 3: (Construcția inversei) Se ține cont de teorema precedenta și se gasește că :
A∗ ⋅ A = A ⋅ A∗ = K 0 0 … 0
0 0 … 0
… … … … …
0 0 0 … L, iar de aici I
ș A∗JA = A I
ș A∗J = X%.
Ultimele egalitați arată că AW =
»¼ ½! ⋅ A∗

28
2.5. Metode de calcul al determinanților
1.Metoda reducerii la forma triunghiulară – constă în transformarea detreminantului (folosind
proprietățile) într-unul subdiagonal (când toate elementele de pe deasupra diagonalei pr incipale sunt
egale cu zero) sau supradiagonal (când toate elementele de sub diagonala principală sunt nule). În
acest caz, valoarea determinantului va fi egală cu produsul elementelor de pe diagonala principală.
Exemplu: Calculați determinantul următor:
D = ¹¹

…

… … … … …

… %¹¹
Scăzând prima linie din toate celelalte obținem un nou determinant de forma:
D = ¹¹

…

− −
0 … 0

− 0 −
… 0
… … … … …

− 0 0 … %−
¹¹
Și după ce dăm factor comun pe −
în prima coloană, pe −
în a doua coloană și tot așa
până la %−
în ultima coloană, obținem valoarea determinantul ui:
D = ( −
! ( −
) … ( %−
) ⋅ ¹¹¾=
¾=W
¾2W
¾¿W…
¾ÀW
−1 1 0 … 0
−1 0 1 … 0
… … … … …
−1 0 0 … 1¹¹;
D = ( −
! ( −
) … ( %−
) ⋅ ¹¹1 +
¾=W
¾2W
¾¿W…
¾ÀW
−1 1 0 … 0
−1 0 1 … 0
… … … … …
−1 0 0 … 1¹¹
Și adunând primei coloane toate celelalte obținem u n determinant supradiagonal, adică cu toate
elementele de sub diagonala principală egale cu zer o:

29
D = ( −
! ( −
) … ( %−
) ⋅
⋅¹¹1 +
¾=W+
¾2W+
¾¿W+ ⋯ +
¾ÀW
¾2W
¾¿W…
¾ÀW
0 1 0 … 0
0 0 1 … 0
… … … … …
0 0 0 … 1¹¹
Iar valoarea acestuia va fi egală cu produsul eleme ntelor diagonalei principale, adică:
D = x(−
! ( −
) … ( %−
) ⋅ (
+
¾=W +
¾2W +
¾¿W + … +
¾ÀW)
2.Metoda transformării liniare – constă în privirea determinantului ca o funcție pol inomială în
una sau mai multe necunoscute, egal ca valoare cu p rodusul factorilor primi ce rezultă din
descompunerea acesteia.
Exemplu: Calculați determinantul:
D = ¹0

0
0

0¹
Adunăm prima coloană cu celelalte coloane și obține m determinantul:
D = ¹
+ +

+ + 0

+ +
0¹ = (
+ + ! ¹1

1 0
1 0

1
0¹
Adunăm primele două coloane, le scădem pe ultimele și obținem:
D = ¹
− −

− − 0
+ −
0

+ −

0¹ = ( + −
! ¹−1

−1 0
1 0

1
0¹

Analog, adunăm prima și a treia coloană, apoi scăde m a doua și a patra, obținem:
D = ¹ −
−

+ − 0
− −
0

+
−
0¹ = (
− + ! ¹−1

1 0
−1 0

1
0¹

30
În final, adunăm prima și a patra coloană, apoi scă dem a doua și a treia coloană:
D = ¹ −
−

+ − 0
+
− 0

−
−
0¹ = (
+ − ! ¹−1

1 0
1 0

−1
0¹

Deoarece x, y, z sunt diferite, (
+ + ! , ( + −
! , (
− + ! si (
+ − ! sunt prime între
ele două câte două și de aici rezultă că determinan tul este divizibil prin produsul acestor factori
primi.
D = −1(
+ + ! ( + −
! (
− + ! (
+ − !
3.Metoda recurenței – este cea mai bună alegere în cazul determinanțilo r mai dificili. Ea se
bazează pe scrierea termenului general sub o altă f ormă, transformarea determinantului inițial într-
unul în care apar determinanți de ordin inferior și apoi folosirea inducției.
Exemplu: Calculați determinantul următor:
D = ¹¹

…

… … … … …

… %¹¹
Rescriem determinantul astfel: % = ¹¹

…

… … … … …

…
+ %−
!¹¹ apoi îl
descompunem în suma de doi determinanți:
% = ¹¹

…

… … … … …

… %W

…

¹¹ + ¹¹
…
0

…
0
… … … … …

… %W 0

…
%−
¹¹
Dacă scădem ultima coloană a primului determinant d in toate celelalte coloane și dezvoltăm al
doilea determinant după ultima coloană, obținem:
% = x(−
! ( −
) … ( %W −
) + ( %−
) %W

31
(relația de recurența). Urmând acelasi algoritm, ob ținem:
% = x(−
! ( −
) … ( %W −
)
+ x(−
) ( −
) … ( %W −
) ( %−
) + %W(%W −
) ( %−
),
Adică:
% = x(−
! ( −
) … ( %W −
)
+ x(−
) ( −
) … ( %W −
) ( %−
)
…+
(−
) … ( %−
) + −
! ( −
) … ( %−
)
Și tot așa, folosind faptul că = = x + −
! vom obține rezultatul final:
% = x(−
! ( −
) … ( %−
) ⋅ (
+
¾=W +
¾2W +
¾¿W + … +
¾ÀW).
4.Metoda reprezentării determinantului ca o sumă de determinanți (de același tip)
Exemplu: Calculați determinantul următor:
% = K+ + … + %
+ + … + %
… … … …
%+ %+ … %+ %L
Fixând prima linie, putem descompune acest determinant în suma de doi determinanți, apoi
fiecare dintre aceștia în suma de câte doi determin anți și tot așa, obținând în final 2% determinanți în
momentul în care am ajuns în ultima linie a determi nantului inițial.
Dacă în fiecare descompunere considerăm pri ma variabilă de tipul 7 și cea de-a doua de tipul
8, atunci liniile din determinanții obținuți prin de scompunere vor fi de tipul 7, 7, …, 7
(proporționale) sau de tipul , , …, % (egale). Când n > 2 cel puțin două linii din prima
categorie vor fi egale în fiecare determinant, de u nde obținem conform proprietăților
determinanților că % = 0.
Atunci, = + , = 4
4 + Á
Á = ( − )( − )

32
2.6. Clase de determinanți
1. Determinantul Vandermonde
Determinantul Vandermonde se notează cu V(, , … , %) și este definit prin
V(, , … , %) = ¹1 1 … 1
… %
… … … …
%W%W… %%W¹ , n ∈ ℕ și , , … , % ∈ ℂ
Vom calcula valoarea lui prin două metode:
Metoda I : Efectuând – Â%W + Â% –Â%W + Â% , … . . , – Â%W + Â%, obținem:
V(, , … , %) = ¹¹1 1 1 … 1
0 – – … % –
0 – ! – ! … %% – !
… … … … …
0 %W – ! %W – ! … %%WO − !¹¹ =
( – )( – ) … ( % – )V(, ,… , %), relație ce reprezintă o relație de recurență.
Deci, V(, , … , %) = ( – ) ( – ) … ( % – ) V(, ,… , %),
V (, , … , %) = ( – ) ( – ) … ( % – ) V(, ,… , %),
…………………………………… …………………………………………… ………………
V(%W, %W, … , %) = (%W – %W)( % – %W)V(%W,%).
În final obținem:
V(, , … , %) = ∏ 8− 7! Å7Æ8Å%
Metoda a II-a : Fie polinomul P(x) = V( , , … , %W,
) de gradul n – 1. Observăm că P(! =
P() = … = P(%W) = 0 (am exclus cazul banal în care două dintre nu merele , , … , %W sunt
egale). Deducem că polinomul P este de forma:
P(x) = a∏
− |!%W
|V
Dezvoltând după ultima linie, a fiind coeficientul lui
%W deducem că
a = V (, , … , %W !, deci

33
V(, , … , %W,
) = V (, , … , %W,)∏
− |!%W
|V
Pentru x = %, obținem:
V(, , … , %) = V(, , … , %W )∏ %− |%W
|V )

Ținând seama de această relație de recurență și de egalitatea V(, ) = ( , ), obținem:
V(, , … , %) = ∏ Å7Æ8Å% 8− 7!
2. Determinantul polinomial
Fie Ç7 ∈ ℂ[x] polinom de grad cel mult n – 1 , i = 1, ONNNNN si fie
8 ∈ ℂ, j = 1, ONNNNN.
Determinantul det Ç 7(
8!! = ¹Ç
! Ç
! … Ç
%!
Ç
! Ç
! … Ç
%!
… … … …
Ç%
! Ç %
! … Ç %
%!¹ se numește determinant polinomial.
Dacă Ç
) = +
+ … + %
%W,
Ç
) = +
+ … + %
%W
…………………………………………… …..
Ç%
) = % + %
+ … + %%
%W și notăm P = Ç7| !7,|V,% NNNNN matricea coeficienților polinoamelor
Ç7 , i = 1, ONNNNN observând egalitatea ( Ç7(
8)) = ( Ç7| )(
8|W), deducem că
ÈÉ Ç 7
8!= ÈÉ Ç ∙
,
, . . . ,
%!
3. Determinantul circular
Fie , , … , % ∈ ℂ. Se numește determinant circular al numerelor , , … , % și se
notează C(, , … , %) determinantul
C(, , … , %) =
⎝⎜⎛… %
…
…
… … … …
%… %W⎠⎟⎞
Pentru calculul lui considerăm ecuația binomă
% – 1 = 0, n ≥ 2, ale cărei rădăcini sunt ɛ, ɛ, … , ɛ%
numite radacini de ordinul n ale unității și construim un determinant Vandermon de de forma:

34
V(ɛ, ɛ, … , ɛ%) = ¹¹1 1 … 1
ɛ ɛ … ɛ %
ɛɛ… ɛ %
… … … …
ɛ%Wɛ%W… ɛ %%W¹¹
Înmulțim și obținem:
C(, , … , %) ∙ V(ɛ, ɛ, … , ɛ%)
=¹¹+ ɛ + ⋯ + %ɛ%W+ ɛ+ ⋯ + %ɛ%W… + ɛ%+ ⋯ + %ɛ%%W
+ ɛ+ ⋯ + ɛ%W+ ɛ+ ⋯ + ɛ%W… + ɛ%+ ⋯ + ɛ%%W
… … … …
%+ ɛ+ ⋯ + %Wɛ%W%+ ɛ+ ⋯ + %Wɛ%W… %+ ɛ%+ ⋯ + %Wɛ%%W¹¹
Considerăm polinomul f (x) = + x + … + %
%W astfel că produsul anterior devine:
¹ɛ%0ɛ ! ɛ%0ɛ ! … ɛ %%0ɛ %!
ɛ%W0ɛ ! ɛ%W0ɛ ! … ɛ %%W0ɛ %!
… … … …
ɛ0ɛ ! ɛ 0ɛ ! … ɛ %0ɛ %!¹
=f ( ɛ! ∙ 0 ɛ!∙ … ∙ 0 ɛ%!∙ ¹ɛ%ɛ%… ɛ %%
ɛ%Wɛ%W… ɛ %%W
… … … …
ɛ ɛ … ɛ %¹
Ultima linie se poate aduce pe prima linia prin n – 1 schimbări. Procedând la fel cu toate celelalte
linii obținem C(, , … , %! ∙ ɛ, ɛ, . . . , ɛ %!= −1!%W !·%W !·⋯··∙ 0ɛ!∙ 0ɛ!∙ … ∙
0ɛ%!∙ ɛ, ɛ, … , ɛ %!= −1!ÀÀÑ= !
2 ∙ 0ɛ!∙ 0ɛ! ∙ … ∙ 0 ɛ%! ∙ ɛ, ɛ, . . . , ɛ %!, de unde prin
simplificare cu V(ɛ, ɛ, … , ɛ%) obținem: C(, , … , %) = −1!ÀÀÑ= !
2 ∙ 0ɛ!∙ 0ɛ! ∙ … ∙
0ɛ%!, unde f (ɛ! = + ɛ + ⋯ + %ɛ%W iar ɛ este o rădăcina a ecuației
% – 1 = 0, n ≥ 2.
4. Determinantul Cauchy
Fie 7, 8 ∈ ℂ, ?, A = 1, O NNNNN. Se numește determinant Cauchy al numerelor 7, 8, determinantul de
forma:
¾;,Ò>! = ¹¹
¾=·Ò=
¾=·Ò2…
¾=·Ò=

¾2·Ò=
¾2·Ò2…
¾2·ÒÀ… … … …

¾À·Ò=
¾À·Ò2…
¾À·ÒÀ¹¹

35
Pentru calculul său scădem ultima linie din celelal te linii, dăm factor comun pe linii și coloane, apo i
scădem ultima coloană din celelalte coloane și dăm din nou factor comun. Se obține astfel relația de
recurență:
%=À<=
¾À·ÒÀ ∙ ∏¾ÀW¾ Ó!Ò ÀWÒÓ!
¾À·¾ Ó!Ò À·ÒÓ!%W
|V
de unde
¾;,Ò>! = Ô¾ =,¾2,…,¾ À!ÔÒ =,Ò2,…,Ò À!
∏ ¾;À
;,>Õ=·Ò>!
5. Funcții polinomiale de tip determinant
Voi prezenta o metodă de stabilire a unor proprietă ți ale determinanților cu ajutorul unor funcții
polinominale de tipul ÈÉT +
9! , unde A, B ∈ * % ℂ!.
Teoremă: Fie A, B ∈ * % ℂ!. Atunci 0
! = ÈÉT +
9! este un polinom de grad ≤ O iar
termenul liber este egal cu ÈÉ T și coeficientul lui
% este egal cu ÈÉ 9 .
Demonstrație: Din dezvoltarea lui ÈÉT +
9! cu definiția determinantului, rezultă că f este un
polinom de grad ≤ O iar termenul liber este egal cu 00! = ÈÉ T . Coeficientul lui
% este
determinat de:
lim %→ÚÛ !
À = lim %→Ú
ÀÈÉT +
9! = lim %→Ú det
T + 9! = ÈÉ9
6. Derivarea unui determinant
Teoremă: Fie 078 : ℝ → ℝ, funcții derivabile pe ℝ, i, j ∈ 1,2, … , O £ iar f : ℝ → ℝ,
f (x) = ¹0
! 0
! … 0 %
!
0
! 0
! … 0 %
!
… … … …
0%
! 0 %
! … 0 %%
!¹
Arătați că f este derivabilă pe ℝ și:
f’(x) = ∑¹¹0
! 0
! … 0 %
!
… … … …
08′
! 0 8′
! … 0 8′
!
… … … …
0%
! 0 %
! … 0 %%
!¹¹ %
8V

36
Demonstrație : Faptul că funcția f este derivabilă pe ℝ rezultă din aceea că dacă func țiile µ, µ, … ,
µ% sunt derivabile pe ℝ, atunci funcția µ∙ µ ∙ … ∙ µ% este derivabilă pe ℝ și
(µ∙ µ ∙ … ∙ µ%)` = ∑ µ∙ µ ∙ … ∙ µ` 8 ∙ . .. ∙ µ %%
8V
Apoi scriem relația
f (x) = ∑ ɛȚ!∙ 0ß!
!∙ 0ß!
!∙ … ∙ 0` 8ß 8!
!∙ … ∙ 0 %ß %!
! ß∈à À
care prin derivare se transformă în relația pe care o aveam de demonstrat:
f ` ( x) = ∑ ∑ ɛȚ! ∙ 0ß
!∙ 0ß!
!∙ … ∙ 0 ` 8ß 8!
!∙ … ∙ 0 %ß %!
! ß∈à À%
8V

2.7. Exerciții propuse

2.7.1. Exerciții din manualele școlare și culegeri de pro bleme

Exercițiul nr.1:
Să se rezolve ecuația : "

"= 0.
Exercițiul nr.2:
Dacă
,
,
sunt rădăcinile ecuației
- 2
+ 2x + 17 = 0 să se calculeze valoarea
determinantului d = xxx
xxx
xx x.
Exercițiul nr.3:
Calculați determinanții:
a) ∆= ¹cos T cos 9 cos '

æçè ½
æçè :
æçè é

èê ½
èê :
èê é¹, unde A, B, C sunt unghiurile unui triunchi ABC ;
b) ∆= "'+TÇ
'ëTÇ
'TÇ".

37
Exercițiul nr.4:
Să se calculeze determinanții:
a) 1 0 0
2 −3 0
−5 4 7 ; b) 0 0
0 0
0 0

Exercițiul nr.5:
Fie ω ∈ ℂ o rădăcină a ecuației
+
+ 1 = 0 . Să se calculeze determinantul matricei
A = 1 ì ì
ìì 1
1 ìì.

Exercițiul nr.6:
Se dă ecuația:
+ 2
+ 3
+ 4 = 0 , cu rădăcinile
,
,
. Calculați Δ =

.
Exercițiul nr.7:
Rezolvați ecuația ÈÈW¾ÈW
ÈW¾ÈÈW
ÈWÈWÈ¾ = 0, unde ∈ ℝ .

2.7.2. Exerciții date la examenul de Bacalaureat și admite re facultăți

Exercițiul nr.1:
Se consider matricele A = I1 −5
2 6J, 9 = I6 5
−2 1J și X = I1 0
0 1J.
a) Arătați că det A=16.
b) Determinați numărul real a pentru care T ∙ 9 = X .
c) Demonstrați că det
T +
9! ≥ 49 , pentru orice număr real nenul x.
Examenul de bacalaureat – 2018
Proba scrisă la MATEMATICA- Proba E.c), Varianta 2
Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calif icările profesionale

38
Exercițiul nr.2:
Să se rezolve ecuația 2
0

−1

2 −5 4 = 0.
a)
= 0,
= 3; b)
= −ë
; c)
= 3; d)
= 0,
= 4; e)
= 0;
Admitere, Universitatea “Politehnica” din București , 2005

Exercițiul nr.3:
Se considera matricele A = 0 1 0
0 0 1
1 0 0 și B = T++ë + Të~ − Tăë~ . Dacă Δ = det B, atunci
a) Δ = 3; b) Δ = 0; c) Δ = 4; d) Δ = 2; e) Δ = 1.
Admitere, A.S.E. București, 2005
Exercițiul nr.4:
Se consideră 0x! = î?O
−ïî
sin 2

ïî
−î?O
cos 2

1 + sin 2
1 1. Aduceți 0x! la forma cea mai simpla.
a) 0x! = î?O
; b) 0x! = − 2sin 2x ; c) 0x! = ïî 2
; d) 0x! = ïî
;
e) 0x! = −ïî 2
.
Admitere, Universitatea “Politehnica” din Timișoara , 2005

2.7.3. Exerciții date la concursuri și olimpiade școlare

Exercițiul nr.1:
Să se demonstreze că 1 − −
1 − −
1 − − ≥ 0, ∀ , , ∈ ¨.
Concursul național de matematică aplicată ”Adolf Ha imovici”
Etapa locala – Constanța 2018
Filiera teoretică, profilul real, specializarea sti ințele naturii
Indicație: Prin operații cu linii și coloane se obține ∆= 1 − − − !≥ 0, ∀ , , ∈ ℝ.

39
Exercițiul nr.2:
Fie n ∈ ℕ, n ≥3 și a, a, …, aW, a termini consecutivi ai unei progresii geometrice.
Să se calculeze
¹¹ … %W %
… %
ë…
… … … … … …
%W %… %W %W
% … %W %W¹¹
.
G.M. prof. Aurel Ene
(Festivalului Internațional de Matematică și Inform atică PIATRA NEAMȚ
Concurs de matematică – proba individuală(clasa a X I-a)
Indicație: După n-1 schimbări de linii, prima linie va ajunge ultima, iar determinantul obținut este
produsul elementelor diagonalei secundare înmulțite cu semnul permutării
I1 2 3
O O − 1 O − 2 … O
… 1J.
Se obține, în final ∆= %∗ −1!%W∗ −1!éÀ=∗ 1 − ñ%!%W= %∗ −1!À2ÑÀ<2
2∗ 2 − ñ%!%W.

Exercițiul nr.3:
a) Fie 1 ∈ ¨· si A ∈ *ℝ! astfel încât det 1X+ T! = 0. Demonstrați că
det T! = 1.
b) Arătați că există 1 ∈ ¨_∗ și A ∈ *ℝ! astfel încât det 1X+ T! = 0 și
det T! ≠ 1.
prof. Dan Popescu, Suceava
(Festivalului Internațional de Matematică si Inform atică PIATRA NEAMȚ
Concurs de matematică – proba individuală(clasa a X I-a))
Indicație: Se alege T = I
J , = + = ¯T, = − = ÈÉT.
După calcule det 1X+ T!= + 1 − !+ 1 − !+ 1 − != 1 + 1 − !,
sumă care este nulă numai dacă 1 − = 0, ?ă det T!= 1.

40
Exercițiul nr.4:
Fie T ∈ * '! astfel încât det T+ T + X != det T− T + X != 3.
Demonstrați că TT+ X != 2X .
Olimpiada națională de matematică
Etapa județeană, 2016

Indicație: Se alege T = I

ÉJ, 1 = ¯T, ó = det T! . Se obține T+ T + X =1 + 1 !T + 1 −
ó!X . În final din ecuațiile 1 + 1 !1 + ó !+1 − ó != 3 și 1 − 1 !1 − ó !+1 − ó != 3
deducem că 1 = 0, ó = 2 î ó = −1 .

Exercițiul nr.5:
Fie O ∈ , O ≥ 2 ș? T, 9 ∈ * %ℝ!. Arătați că există un număr complex z, cu ||= 1 , având
propietatea că ¨ÈdetT + 9!! ≥ det T! + det 9!, unde Re(w) reprezintă partea reală a
numărului w.
Olimpiada națională de matematică
Etapa județeană, 2019
Indicație: Se notează cu 0!= det T + 9 !. Apoi, din propietățile determinațolor de obține
0!= det T!+ ∗ + ⋯ + %W ∗ %W+ det 9!∗ %.
După calcule, ¨È det T + ℰ|«∗ 9!!≥
%∗∑ ¨ÈI0 ℰ|!J%W
|V~ = det T!+ det 9! .

41
2.8. Aplicații ale determinaților în geometria plană

Ecuația dreptei sub formă de determinant
Ecuația dreptei determinată de punctele T
, !, T
, ! se poate scrie sub formă de
determinant de ordinul 2 sau 3 astfel : 4
−
−

−
− 4 = 0 sau
1

1

1 = 0 .
Aplicație : Scrieți ecuația dreptei care trece prin punctele A−1,3 !, B0,2!
a) folosind determinantul de ordinul 2;
b) folosind determinantul de ordinul 3.
Soluție :
a) Din 4
−
−

−
− 4 = 0 ⇒ Á
+ 1 − 3

− 0 − 2Á = 0 ⇒
+ 1 ! − 2 !− − 3 !
= 0 ,
ceea ce ne duce la forma finala a ecuației :
+ − 2 = 0.
b) Din
1

1

1 = 0 ⇒
1
−1 3 1
0 2 1 = 0 ⇒ 3
− 2 − 2
+ = 0 ⇒
+ − 2 = 0.

Condiția de coliniaritate a trei puncte
Relația de coliniaritate a celor trei puncte T
, !, T
, !, T
, ! se poate scrie sub
formă de determinant de ordinul 2 sau 3, astfel : 4
−
−

−
− 4 = 0 sau
1

1

1 = 0 .
Aplicație : Să se arate că punctele A−2; −1 !, B4; 8!, C6; 11 ! sunt coliniare.
Soluție : Scriem ecuația dreptei T9! sub formă de determinant :
1
−2 −1 1
4 8 1 = 0 . Condiția ca
punctul C să fie coliniar cu punctele T, 9 este echivalentă cu condiția ca punctul C să aparț ină
dreptei T9! . Acest lucru se întamplă dacă înlocuind coordonate le lui ',
=
ö și = é, ecuația
dreptei T9! se verifică, adică 6 11 1
−2 −1 1
4 8 1 = 0 .

42
Aria unui triunghi
Fie T
, !, T
, !, T
, ! vârfurile unui triunghi. Atunci :
#½=½2½¿=
∙|∆|, unde ∆=
1

1

1
Poziția relativă a unei drepte față de o parabolă
Studiul funcției afine µ
!= M
+ O a condus la faptul că graficul acesteia este o dre aptă. Studiul
funcției 0
!=
+
+ , ≠ 0 a condus la faptul că graficul acesteia este o par abolă.
Soluțiile unui sistem de două ecuații de forma B
+
+ =
M
+ O = cu ≠ 0 reprezintă din punct de
vedere geometric coordonatele punctelor de intersec ție dintre dreaptă și parabolă :
 Dacă dreapta intersectează parabola în două puncte distincte sistemul are două soluții
distincte și dreapta este secantă parabolei.
 Dacă dreapta intersectează parabola într-un singur punct, sistemul are soluție unică și
dreapta este tangentă parabolei.
 Dacă dreapta nu intersectează parabola, sistemul de ecuații nu are soluții și dreapta este
exterioară parabolei.
Poziția relativă a două parabole
Prin rezolvarea sistemului de ecuații : B
+
+ =
M
+ O
+ ÷ = cu , M ≠ 0 se obțin punctele de
intersecție dintre cele două parabole :
 Dacă = M, = O, = ÷ , sistemul are o infinitate de soluții, iar cele do uă parabole coincid
 Dacă = M, = O, ≠ ÷ , sistemul este incompatibil, cele două parabole nu se
intersectează și au aceeași axa de simetrie.
 Dacă = M, ≠ O, ≠ ÷ , sistemul are o singură soluție, cele două parabol e se
intersectează într-un singur punct ale cărui coordo nate sunt soluțiile sistemului.
 Dacă ≠ M , ecuația
+
+ = M
+ O
+ ÷ poate avea:
 1) ∆> 0 . Sistemul are două soluții iar parabolele se inter sectează în două puncte ale
căror coordonate sunt soluțiile sistemului.
 2) ∆= 0 . Sistemul are o singură soluție iar parabolele sun t tangente, coordonatele
punctului de tangență fiind soluțiile sistemului.

43
 3) ∆< 0 . Sistemului este incompatibil, iar parabolele nu s e intersectează.

2.9. Exerciții propuse

2.9.1. Exerciții din manualele școlare și culegeri de pro bleme

Exercițiul nr.1:
În reperul cartezian xOy se consideră punctele A 2,1!, B 1,2! si Cn, −n !, n ∈ ℤ.
a) Să se scrie ecuația dreptei CC.
b) Să se arate că oricare ar fi n ∈ ℤ, nenul, punctele O, C, C· sunt coliniare.
c) Să se calculeze aria triunghiului ABC .
Exercițiul nr.2:
Se consideră matricea *
!= 1 1 1
2 3 1

2
− 1 1, unde x este număr real.
a) Calculați det* 0!.
b) Demonstrați că 2*
!− * −
!= * 3
!, pentru orice numpr real x.
c) În reperul cartezian xOy se consideră punctele (0,0!, TO, 2O − 1 ! ș? 9 O, 2O− 1!, unde
n este număr natural, O ≥ 2. Demonstrați că aria triunghiului OAB este număr nat ural.
Examenul de bacalaureat – 2016
Proba scrisă la MATEMATICA – Proba E.c), Simulare c ls XII
Filiera teoretică, profilul real, științele naturii
Exercițiul nr.3:
În reperul cartezian xOy se consideră punctele O(0,0), A(0,2), B(3,5) și C(6,8).
a) Determinați ecuația dreptei AC.
b) Verificați dacă punctele A, B și C sunt coliniare.
c) Demonstrați că aria triunghiului AOB este egală cu aria triunghiului BOC.
Examenul de bacalaureat – 2014
Proba scrisă la MATEMATICA – Proba E.c), Simulare c ls XI
Filiera teoretică, profilul real, științele naturii

44
Exercițiul nr.4:
Pentru n număr natural se consideră matricea T = 0 0 1
2O + 1 O 1
2O+ 1 O1 .
a) Calculați suma elementelor matricei A.
b) Determinați numerele naturale n pentru care matricea A are determinantul diferit de zero.
c) În reperul cartezian xOy se consideră punctele (0,0! ș? T %2O + 1, O !, O ∈ ℕ, O ≥ 2.
Determinați valorile numărului natural n, O ≥ 2 pentru care aria triunghiului (T %T%2 este
egală cu O− 3 .
Examenul de bacalaureat – 2013
Proba scrisă la MATEMATICA – Proba E.c), Model
Filiera teoretică, profilul real, științele naturii

2.9.2. Exerciții date la examenul de Bacalaureat și admite re facultăți

Exercițiul nr.1:
Dreapta care trece prin punctele T1,2! și 92,5! are ecuația:
a) x – 3y = 1 ; b) 2 x – y = 0 ; c) x – 2y = 0 ;
d) 3x – y = 1 ; e) x + 3y = 1 ; f) 3 x + y = 1 .
Admitere, Universitatea “Politehnica” din București , 2005
Exercițiul nr.2:
Se consideră punctele T1,1!, 92,3! și '5, −1 !.
a) Scrieți ecuația dreptei AB .
b) Aflați aria triunghiului ABC .
Admitere, Universitatea “Agora”, Oradea, 2005

Exercițiul nr.3:
Se consideră determinantul , != 1 1 1
1
1, unde a și b sunt numere reale.
a) Arătați că , != 2.

45
b) Verificați dacă , != − 1 ! − 1 ! − !, pentru orice numere reale a și b.
c) În reperul cartezian xOy se consideră punctele Ç%O, O!, unde n este un număr natural nenul.
Determinați numărul natural n , n≥ 3, pentru care aria triunghiului ÇÇÇ% este egală cu 1.
Examenul de bacalaureat – 2013
Proba scrisă la MATEMATICA – Proba E.c), Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea mat ematică-informatică

Exercițiul nr.4:
Se notează cu , , ! determinantul matricei T, , != 1 1 1
2 2 2
333 ∈ * ℝ!.
a) Calculați 0,1, −1 !.
b) Determinați numerele reale x pentru care matricea T, , ! are rangul egal cu 2.
c) Arătați că dacă a, b, c sunt lungimile laturilor unui triunghi și , , != 0, atunci
triunghiul este isoscel .
Examenul de bacalaureat – 2012
Proba scrisă la MATEMATICA – Proba E.c), Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea mat ematică-informatică

Exercițiul nr.5:
Se consideră punctele T%2%, 3%!, unde O ∈ ℕ .
a) Scrieți ecuația dreptei T~T.
b) Demonstrați că punctele T, T, ș? T nu sunt coliniare.
c) Determinați numărul natural n pentru care aria triunghiului T%T%·T%· este egală cu 216 .
Examenul de bacalaureat – 2011
Proba scrisă la MATEMATICA – Proba E.c), Varianta10 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ști ințele naturii

Exercițiul nr.6:
Se consideră matricea T
!=

+ 1 1
2
1
3 0 1, unde x este număr real.
d) Arătați că detT 0! = 1.
e) Determinați numărul real x, pentru care T
!+ T
+ 2 != 2T 2!.

46
f) În reperul cartezian xOy se consideră punctele *O, O + 1 !, 2, O! ș? Ç3, 0! . Determinați
numărul natural n, știind că punctele M, N și P sunt coliniare .
Examenul de bacalaureat – 2017
Proba scrisă la MATEMATICA – Proba E.c), Varianta 4
Filiera teoretică, profilul real, științele naturii

2.9.3. Exerciții date la concursuri și olimpiade școlare

Exercițiul nr.1:
a) Să se rezolve în R inecuația
1 2
2
1
1 2
≥ 0.
b) Să se arate că există o singură dreaptă care trece prin punctul B(7, -2) și pentru care distanța
de la punctul A(4, -6) la această dreaptă să fie eg ală cu 5.
Concursul național de matematică aplicată ”Adolf Ha imovici”
Etapa locala – Constanța 2018
Filiera tehnologică, profilul tehnic, toate special izările
Indicație: Se scrie ecuația dreptei, se calculeaza distanța c erută și apoi se obține panta dreptei
M = −
ceea ce face unică dreapta respectivă.

47
3. SISTEME DE ECUAȚII LINIARE
Forma generală a unui sistem de m ecuații liniare cu n necunoscute este:
^
+
+ ⋯ + %
%=

+
+ ⋯ + %
%=
… … … … … … … … … … … … … … … … … …
&
+ &
+ ⋯ + &%
%= & (1)
Numerele 78 ∈ ℝ, i = 1, MNNNNNN, j = 1, ONNNNN se numesc coeficienții necunoscutelor iar
, …,
% ∈ ℝ sunt
necunoscutele sistemelor. Numerele , …, & ∈ ℝ se numesc termeni liberi . Dacă toți termenii
liberi sunt nuli, atunci sistemul de ecuații liniar e se numește sistem liniar omogen .
Sistemul de ecuații (1) poate fi scris mai condensa t astfel: ∑ 78
8= 8%
8V , i = 1, MNNNNNN.
Acestuia i se asociază urmatoarele matrice:
A = K … %
… %
… … … …
& & … &% L (matricea coeficienților sau matricea sistemului)
X = K

…

%L (matricea necunoscutelor) , B = K

…
&L (matricea termenilor liberi)
T̅ = K … %
… %
… … … … …
& & … &% &L (matricea termenilor liberi)
Cu ajutorul acestor matrice putem scrie forma matriceală a sistemului de ecuații liniare:
A ∙ X = B
Un sistem de numere ( 1, 1, … , 1 %!, 17 ∈ ℝ, i = 1, ONNNNN se numește soluție a sistemului de ecuații (1)
dacă înlocuind necunoscutele
,
, … ,
% cu aceste numere, toate ecuațiile sistemului sunt
verificate, ceea ce se scrie sub forma:
ù 78 18= 8, ? = 1, M NNNNNN%
8V

48
Din punct de vedere al existenței soluției și al nu mărului de soluții, un sistem de ecuații liniare po ate
fi:
1. Sistem incompatibil , când nu are nici o soluție

Exemplu : Fie sistemul de ecuații liniare B2
−
= 5
2
−
= 1 . Dacă ar exista perechea ( 1, 1! care să
verifice cele două ecuații, atunci ar trebui ca 5 = 1, ceea ce este fals. Așadar, sistemul este
incompatibil.
2. Sistem compatibil, care are cel puțin o soluție.
a) Un sistem compatibil cu o singură soluție se num ește sistem compatibil determinat.
Exemplu: Sistemul de ecuații B
+ 2
= 5

+
= 3 are soluție unică
= 1 si
= 2.
b) Un sistem compatibil cu mai multe soluții se num ește sistem compatibil nedeterminat.
Exemplu: Sistemul de ecuații B2
+ 2
= 3
4
+ 2
= 6 are o infinitate de soluții de forma ( 1, 3 − 2 1 ),
1 ∈ ℝ .
Observație: Orice sistem liniar omogen este compatibil. Se obs ervă că o soluție a acestuia este
(0,0,… 0) numită și soluție banală.
Problema esențială care se pune în legătură cu un s istem de ecuații liniare este dacă acesta este
compatibil sau incompatibil, iar în caz de compatib ilitate, care este numărul soluțiilor și cum se
determină mulțimea acestora.
3.1.Sisteme de ecuații liniare de tip Cramer
Fie ( S) un sistem de n ecuații cu n necunoscute, n ≤ 4.
^
+
+ ⋯ + %
%=

+
+ ⋯ + %
%=
… … … … … … … … … … … … … … … … … …
%
+ %
+ ⋯ + %%
%= %
Folosind următoarele sisteme de notații:

49
A = K … %
… %
… … … …
% % … %& L ∈ * % ×% (ℝ),
X = K

…

%L ∈ * % × (ℝ) și B = K

…
&L ∈ * ×% (ℝ),
sistemul se scrie sub formă matriceală A∙ = 9 .
Definiție: Un sistem de n ecuații liniare cu n necunoscute cu proprietatea că matricea sistemului
are determinantul nenul se numește sistem de tip Cr amer .
Dacă sistemul ( S) este de tip Cramer ( d = det(A) ≠ 0! , atunci matricea A a sistemului este matrice
inversabilă în *%(ℝ) și matricea X a necunoscutelor este X = TW∙ 9.
Pornind de la această exprimare a matricei X a necu noscutelor, vom deduce o regulă de determinare
element cu element a soluției (
,…,
%) a sistemului.
Formula de dezvoltare după linie
Teoremă: În determinantul de ordinul n, d = 678 6Å7Å%
Å8Å%, pentru orice i = 1, ONNNNN are loc egalitatea d =
7û7+ 7û7+ 7û7+ ⋯ + 7% û7% , numită dezvoltarea determinantului d după linia i .
Teorema lui Cramer: Un sistem de tip Cramer este compatibil determinat , iar soluția lui este dată
de formulele:

=
det T!,
2 =
detT!, … ,
|=|
det T!, 1!
unde | este determinantul obținut din determinantul matri cei A a sistemului înlocuind coloana k
(coloana coeficienților necunoscutei
|) cu coloana formată din termenii liberi, k = 1, ONNNNN.
Demonstrație:
Fie ( S) un sistem de n ecuații cu n necunoscute, n≤ 4, de tip Cramer, cu scrierea matriceală

50
A ∙ = 9. Deoarece A este matrice inversabilă avem relația X = TW∙ 9. Cu notațiile adoptate
pentru matricele X si B și știind că TW=
»¼ ½!Kû û … û %
û û … û %
… … … …
û% û% … û %& L,
cu û78 = −1!7·878 numit complement algebraic al elementului 78 din matricea A, avem:
K

…

%L =1
det T!Kû û … û %
û û … û %
… … … …
û% û% … û %% L ∙ K

…
%L,
ceea ce duce la relația:
K

…

%L =1
det T!Kû û … %û%
û û … %û%
… … … …
û% û% … %û%% L.
Aplicând egalitatea a două matrice se obțin formule le după care se calculează fiecare necunoscută

, … ,
%:

=1
det T!û + û + ⋯ + %û%!=
det T!

=1
det T!û + û + ⋯ + %û%!=
det T!
…………………………………………… ………………………………….

%=1
det T!û%+ û%+ ⋯ + %û%% !=%
det T!,
unde | este determinantul obținut din determinantul matri cei A a sistemului înlocuind coloana k
(coloana coeficienților necunoscutei
|) cu coloana formată din termenii liberi, k = 1, ONNNNN.
Observație: Formulele (1) se numesc formulele lui Cramer. Pentru n = 2 si n=3 aceste formule au
fost obținute atunci când s-a definit determinantul de ordin 2, respectiv 3.
Exercițiu rezolvat: Să se rezolve sistemul de ecuații liniare folosind regula lui Cramer:

51
^2
−
+
−
= 0
3
+ 2
−
= 2
2
− 2
−
= 3

+
+
+ 3
= 3
Soluție : Matricea sistemului în care A = K2 −1 1 −1
3 2 0 −1
2 −2 −1 0
1 1 1 3L și ÈÉT! = −65 ≠ 0.
Rezultă că sistemul este de tip Cramer și are soluț ie unică dată de formulele lui Cramer:

=ș=
»¼ ½! ,
=ș2
»¼ ½! ,
=ș¿
»¼ ½! ,
=șý
»¼ ½! .
Dar = ¹0 −1 1 −1
2 2 0 −1
3 −2 −1 0
3 1 1 3¹ = −65, = ¹2 0 1 −1
3 2 0 −1
2 3 −1 0
1 3 1 3¹ = 0,
= ¹2 −1 0 −1
3 2 2 −1
2 −2 3 0
1 1 3 3¹ = 65 și = ¹2 −1 1 0
3 2 0 2
2 −2 −1 3
1 1 1 3¹ = −65.
Așadar, soluția sistemului de ecuații este sistemul de numere (1,0, −1,1).
3.2.Studiul compatibilităților sistemelor de ecuați i liniare și rezolvarea acestora
Am stabilit anterior ce este un sistem de ecuații l iniare de tip Cramer și care este metoda de
rezolvare a acestuia. În continuare vom considera u n sistem oarecare de m ecuații liniare cu n
necunoscute , O ≤ 4 . Compatibilitatea unui astfel de sistem este dată de următorul rezultat:
Teorema Kronecker-Capelli : Un sistem de ecuații liniare este compatibil dacă și numai dacă
OµT = OµT ̅, unde A este matricea sistemului iar T̅, este matricea extinsă.
Demonstrație : Să presupunem mai întâi că sistemul este compatib il. Fie ( 1, 1, … , 1%) o soluție a
sa. Deci avem relațiile ∑ 78 18= 8, ? = 1, M NNNNNN.%
8V
Dacă OµT = , se observă că = OµT ̅. Pentru a demonstra că avem egalitatea rangurilor
este suficient să arătăm că orice minor ̅ț·, de ordin + 1 al matricei T̅ este nul.
Daca ̅ț·, nu conține coloana termenilor liberi, atunci el e ste minor al matricei A și prin urmare
este nul, deoarece OµT = . Dacă ̅ț·, conține coloana termenilor liberi, atunci el este de
forma:

52
¹7=>=7=>2… 7 >27=
72>=72>2… 72>72
… … … … …
7Ñ=>=7Ñ=>2… 7=> 7Ñ=¹.
Din relațiile de mai sus se obține ∑ 7Ó> 18= 7Ó%
8V , ³ = 1, + 1 NNNNNNNNNN. Înlocuind pe 7Ó, cu ³ =
1, + 1NNNNNNNNNN în ̅ț· se observă că ̅ț· se poate scrie ca o sumă de n minori de forma:
¹7=>=7=>2… 7=> 7=18
72>=72>2… 72> 7218
… … … … …
7Ñ=>=7Ñ=>2… 7Ñ=> 7Ñ=18¹ = ¹7=>=7=>2… 7=> 7=>
72>=72>2… 72> 72>
… … … … …
7Ñ=>=7Ñ=>2… 7Ñ=> 7Ñ=>¹ ∙ 1 8
Din acești minori de ordin + 1 ai lui A sunt toți nuli, deoarece OµT = , deci suma lor este
zero, adică ̅ț·= 0.
Reciproc , fie OµT = OµT ̅= . Există deci un minor de rang r, nenul, al matrice i A astfel
încât toți minorii de rang + 1 sunt nuli. Putem presupune că acesta este la inter secția primelor r
linii si primelor r coloane ale matricei A, adică ¹ … ț
… ț
… … … …
ț ț … țț ¹ ≠ 0.
Deoarece OµT = , rezultă că orice minor de ordin + 1 care se obțin din acesta prin bordarea
sa cu elementele corespunzătoare ale coloanei terme nilor liberi și cele ale uneia dintre liniile ramas e
este nul. Procedând ca la calculul rangului unei ma trice, rezultă că există 1, 1, …, 1ț astfel încât
coloana termenilor liberi ai matricei T̅ să fie combinație liniară de coloanele matricei
corespunzătoare minorului ales, cu coeficienții 1, 1, …, 1ț . Deci au loc relațiile ∑ 7| 1|=%
|V
?, ?=1,M . Acestea arată că 11, 1, …, 1,0, …,0 este o soluție a sistemului, adică sistemul este
compatibil.
Observație: Considerăm OµT = OµT ̅= . Minorul de ordin r care dă rangul matricei A se
numește minor principal sau determinant principal și se va nota cu }. Necunoscutele sistemului de
ecuații liniare ai căror coeficienți formează minor ul principal se numesc necunoscute principale iar
celelalte necunoscute se numesc necunoscute secundare . Ecuațiile sistemului care corespund liniilor
minorului principal se numesc ecuații principale iar celelalte ecuații se numesc ecuații secundare .
Orice minor al matricei T̅ care se obține din determinantul principal prin bo rdarea (completarea) cu
o linie formată din coeficienții necunoscutelor pri ncipale dintr-o ecuație secundară și cu o coloană
formată din termenii liberi ai ecuațiilor principal e și termenul liber al ecuației secundare alese, se

53
numește minor caracteristic. Minorii caracteristici se vor nota ö=, ö2… iar numărul acestora este
egal cu numărul ecuațiilor secundare ale sistemului . Toți minorii de ordinul + 1 ai matricei T̅ sunt
nuli, deci și toți minorii caracterstici sunt nuli.
Astfel, teorema Kronecker-Capelli poate fi enunțată sub urmatoarea formă echivalentă:
Teorema lui Rouche : Un sistem de ecuații liniare este compatibil dacă și numai dacă toți minorii
caracteristici sunt nuli.
Exercițiu rezolvat : Să se studieze compatibilitatea sistemului de ecuaț ii :
2
− 3 + = −1

+ 2 + 5 = 4
3
− + 6 = 3
Matricea sistemului de ecuații, respectiv matricea extinsă a acestuia sunt:
T = 2 −1 1
1 2 5
3 −1 6 ∈ * ℝ!, T̅= 2 −3 1 −1
1 2 5 4
3 −1 6 3 ∈ * ,ℝ!
Avem det T!= 2 −3 1
1 2 5
3 −1 6 = 0 și minorul 42 −3
1 24 = 7 ≠ 0 . Rezultă că OµT = 2 și
}= 42 −3
1 24. Astfel, matricea T̅ are un singur minor caracteristic notat
ö== 2 −3 −1
1 2 4
3 −1 3 = 0
Conform teoremei lui Rouche rezultă că sistemul est e compatibil.
3.3. Metoda lui Gauss
Fie ( S) sistemul de m ecuații liniare cu n necunoscute, O ≤ 4 :
^
+
+
+
=

+
+
+
=
… … … … … … … … … … … … … … … … … …
&
+ &
+ &
+ &
= &

54
Definiții :
 Sistemul ( S) este echivalent cu un sistem ( #) și se scrie #~# dacă au aceeași mulțime de
soluții.
 Se numește transformare elementară de tipul 1 a sistemului ( S) orice permutare a două ecuații
ale sistemului.
 Se numește transformare elementară de tipul 2 a sistemului ( S) o operație prin care se adună o
ecuație cu o altă ecuație înmulțită eventual cu un număr nenul.
Metoda lui Gauss sau metoda eliminării succesive este metoda prin care un sistem ( S) este
transformat într-un sistem echivalent ( S’ ) de formă triunghiulară sau trapezoidală prin tran sformări
elementare succesive de tipul 1 sau 2. Un astfel de sistem are forma:
⎩⎪⎨⎪⎧
+
+
+
=

+
+
=

+
=

=
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
0 = &
Sistemul ( S’ ) se rezolvă începând cu ultima ecuație. Pot apărea urmatoarele situații:
 Dacă în sistemul ( S’ ) apar ecuații de forma 0 = |, cu |≠ 0, atunci sistemele ( S) si ( S’ )
sunt incompatibile.
 Dacă în sistemul ( S’ ) nu apar ecuații contradictorii, atunci sistemul e ste compatibil.
 Dacă apar necunoscute secundare, ele se notează par ametric, se trec în al doilea membru și
se continuă cu rezolvarea sistemului triunghiular f ormat.
Exercițiu rezolvat :
Să se rezolve prin metoda lui Gauss următorul siste m de ecuații liniare:
^2
− + − É = −1
3
− + É = −3
2
− − 3É = 3
2
+ 2 − 2 + 5É = −6
Soluție : Eliminăm necunoscuta x din ultimele trei ecuații. Pentru aceasta, vom înmulți prima
ecuație cu −
și o adunăm la a doua ecuație, apoi înmulțim prima ecuație cu −1 și o adunăm pe
rând la a treia, respectiv a patra ecuație (transfo rmări de tipul 2). Se obține sistemul echivalent

55
⎩⎨⎧2
− + − É = 1
3 − 5 + 5É = −9
− − 2É = 1
3 − 3 + 6É = −7. După o transformare de tipul 1, permutând ecuația a treia cu cea de-a patra,
se obține sistemul echivalent
⎩⎨⎧2
− + − É = 1
3 − 5 + 5É = −9
3 − 3 + 6É = −7
− − 2É = 1. Eliminăm necunoscuta y din a treia ecuație,
având ca ecuație de referință ecuația a doua ți obț inem sistemul echivalent ^2
− + − É = 1
3 − 5 + 5É = −9
−2 − É = −2
− − 2É = 1.
Eliminăm ecuația z din a patra ecuație, având ca ec uație de referință a treia ecuație, prin înmulțirea
celei de-a patra ecuații cu −2 și adunarea cu a treia ecuație. Obținem astfel un sistem scris în formă
triunghiulară astfel:
^2
− + − É = 1
3 − 5 + 5É = −9
−2 − É = −2
−3É = 4. Pornind de la ultima ecuație către prima se va obț ine ca și soluție a
sistemului inițial, sistemul de numere I0; 2;ë
; −
J iar sistemul este compatibil determinat.
Concluzie: Algoritmul de stabilire a compatibilităț ii unui sistem de ecuații liniare
1) Se calculează Oµ T ≤ min M, O !
2) Se compară Oµ T = cu m
a) Dacă Oµ T = M , atunci sistemul ( S) este compatibil
b) Dacă Oµ T < M , atunci se calculează minorii caracteristici (numă rul lor egal cu
m−!.
Dacă există cel puțin un minor caracteristic nenul, atunci sistemul ( S) este
incompatibil. Daca toți minorii caracteristici sunt nuli, atunci sistemul ( S) este
compatibil. Ecuațiile care au coeficienți în determ inantul principal (determinant ce a
dat rangul matricei) se numesc ecuații principale iar celelalte se numesc ecuații
secundare .
3) Stabilim dacă ( S) este compatibil determinat sau compatibil nedeter minat prin compararea
rangului matricei cu n.
a) Dacă Oµ T = O , atunci sistemul ( S) este compatibil determinat și se rezolvă cu
formulele lui Cramer
b) Dacă Oµ T < O , atunci sistemul ( S) este compatibil nedeterminat.

56
Necunoscutele care au coeficienți în determinantul principal se numesc necunoscute
principale , iar celelalte se numesc necunoscute secundare , iar soluția sistemului inițial este soluția
sistemului format de ecuațiile principale în care n ecunoscutele secundare notate 1, ó,… se trec în
partea dreaptă a ecuațiilor.
3.4. Aplicații ale sistemelor de ecuații liniare

1. În fizică
Prima teoremă a lui Kirchoff : Suma algebrică a intensităților curenților din l aturile legate într-un
nod al rețelei este nulă, ∑|= 0, unde | este intensitatea curentului din latura k, conside rată cu
semnul plus dacă sensul curentului este orientat di nspre nod, și cu semnul minus dacă sensul
curentului este orientat spre nod.
A doua teoremă a lui Kirchoff :Suma algebrică a tensiunilor electromotoare (impr imate) dintr-un
ochi al unei rețele este egală cu suma căderilor de tensiune din laturile ochiului ∑¥|=∑¨||;
căderea de tensiune într-o latură este considerată pozitivă dacă sensul de parcurgere al acestei latur i
coincide cu cel ales pentru curentul respectiv – ac eeași regulă este valabilă și pentru tensiunea
electromotoare.
Aplicația 1 : Să se calculeze curenții din laturile rețelei ele ctrice din figura de mai jos dacă se
cunosc: ¥= 40, ¥= 20 , ¨= 2, ¨= 2, ¨= 1, ¨= 8, ¨ë= 4, ¨+= 6.

57
Soluție : Se observă că rețeaua are patru noduri ( un nod e ste punctul de întâlnire a cel putin trei
laturi iar o latură este porțiunea de circuit cupri nsă între două noduri) notate cu T, 9, ' î? , șase
laturi și trei ochiuri notate X, XX î? XXX .
Pentru curenții din cele șase laturi și parcurgerea ochiurilor se aleg sensurile indicate în figură.
Aplicând prima teoremă a lui Kirchoff în nodurile T, 9, ' și cea de-a doua teoremă în ochiurile
X, XX și XXX se obține sistemul de ecuații liniare între necuno scutele X, X, X, X, Xë, X+ :
⎩⎪⎨⎪⎧X+ X += X
X+ X += X ë
X+ X ë= X
X¨+ X ¨+ X ¨= ¥
X¨+ X ë¨ë+ X ¨= ¥
X+¨++ X ë¨ë+ X ¨= 0
iar după ce înlocuim valorile pentru ¨, ¨, ¨, ¨, ¨ë, ¨+ rezultă sistemul liniar :
⎩⎪⎨⎪⎧X+ X +− X = 0
X+ X +− X ë= 0
X+ X ë− X = 0
2X+ 8X + X = 40
2X+ 4X ë+ X = 20
6X++ 4X ë+ 8X = 0
cu soluția : = 5T, = 1T, = 6T, = ë= 3T, += 2T.

58
Aplicația 2 : Să se calculeze curenții din laturile rețelei el ectrice din figura de mai jos.

Soluție : Se observă că rețeaua are două noduri notate cu T, 9 și două ochiuri. Atât pentru curenții
din laturi cât și pentru parcurgerea ochiurilor se aleg sensurile indicate în figură. Aplicând prima
teoremă a lui Kirchoff în nodurile T, 9 și cea de-a doua teoremă în cele două ochiuri se o bține
sistemul de ecuații liniare în necunoscutele X, X, X :
X+ X = X
15 − 2X − 4X − 5X = 0
20 − 4X − 2X = 0
sistem echivalent cu :
X− X + X = 0
7X− 4X = 15
4X− 2X = 20
ceea ce se poate scrie sub formă matriceală :
1 −1 1
7 4 0
0 4 20
15
20 ⇔ 1 0 0
0 1 0
0 0 10,2
3,4
3,2
întrucât nu avem variabile libere, obținem soluțiil e sistemului : X= 0,2T, X = 3,4T si X= 3,2T .

59
2. În Chimie
Analize chimice de amestecuri multicomponente
Dacă se pune problema analizei prin spectrofotometr ie IR a unui amestec de mai mulți componenți,
cunoscându-se dinainte spectrul de absorbție indivi dual al acestora, se poate realiza această
determinare utilizând legea Lambert-Beer. În confor mitate cu legea amintită, în cazul în care
componentele nu interacționează unele cu altele, se poate admite aditivitatea absorbanțelor adică:
absorbanța unei substanțe aflate în amestec cu alta este aceeași cu cea pe care ar avea-o substanța
dacă ar fi singură în celulă. Datorită numărului ma re de linii, metoda este aplicabilă și în domeniul
IR, în special pentru amestecuri de gaze.
Aplicația 1 : Să considerăm un amestec de trei compuși, fiecar e având o concentrație finită
simbolizată '½, ':, 'é. Pentru determinarea prin analiză a substanțelor T, 9 și ' se alege o câte o
bandă caracteristică, diferită, pentru fiecare, cu maximele , și . Chiar dacă maximele sunt
diferite la fiecare din cele trei lungimi de undă, se constată că toate cele trei substanțe absorb lum ina
dar într-o măsura foarte diferită. Să notăm cu T, T și T absorbanțele măsurate pentru cele trei
lungimi de undă , si . Evident, în virtutea celor amintite anterior, fie care din cele trei
absorbanțe măsurate reprezintă contribuția tuturor celor trei substanțe. Pentru fiecare din cele trei
substanțe ( T, 9 și '!, la fiecare din cele trei lungimi de undă ( , și ) cunoscându-se
coeficienții molari de extincție ¤(Substanță, Lungime de undă) se pot scrie, în cazul unei celule cu
lungimea b constantă, pe baza existenței aditivităț ii absorbanțelor următoarele ecuații :
¤(A , 7! ∙ ' ½+ ¤(B , 7! ∙ ' :+ ¤(C , 7! ∙ ' é= T 7/b, unde i=1, 2, 3.
Se obține un sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute '½, ':, 'é (adică chiar concentrațiile).
Soluția se află analitic :

'½
':
'é = w¤A, ! ¤B, ! ¤C, !
¤A, ! ¤B, ! ¤C, !
¤A, ! ¤B, ! ¤C, !xW
∙ T
T
T
Practic pot interveni mai mult de trei lungimi de u ndă. Sistemul, deși are în acest caz mai multe
ecuații decât necunoscute, se poate rezolva și cond uce la rezultate mai precise. În cazul anterior,

60
notând matricea coeficienților [ ¤], matricea absorbanțelor [A] și matricea concentraț iilor
(necunoscutelor) [C], se poate scrie soluția sistem ului precedent mai simplu astfel :
[C] = [¤]W∙[A]
Aplicația 2: Reacții chimice – Arderea propanului
Să se echilibreze următoarea reacție chimică '
©+ ( → '( +
(.
Soluție : Ecuația chimică nu ne oferă suficiente informații despre această reacție. Pentru că nu se
poate ca o molecula de '
© să reacționeze exact ca o moleculă de ( și să rezulte o moleculă de
'( și una de
(. În realitate, toate aceste substanțe vor particip a la reacție în anumite proporții
exacte pe care noi le vom calcula în continuare, ba zându-se pe această ecuație chimică.
Dacă luăm
molecule de propan care să reacționeze cu
molecule de oxigen, vor rezulta

molecule de dioxid de carbon și
molecule de apă. Noi vom determina valorile acesto r
necunoscute cu ajutorul unui sistem de ecuații. De asemenea, trebuie să ținem cont de faptul că
aceste necunoscute considerate trebuie să fie numer e întregi pozitive, deoarece nu putem lua decât o
astfel de cantitate dintr-o moleculă de substanță.
Legea conservării materiei ne spune că numărul atom ilor fiecărui element din stânga ecuației
trebuie să fie egal cu numărul acestora din partea dreaptă a ecuației (numărul atomilor dintr-o
substanță rămâne același după o reacție chimică). A șa că vom obține următoarele ecuații pentru
fiecare substanță în parte :
3
=
pentru atomii de carbon ;
8
= 2
pentru atomii de hidrogen ;
2
= 2
+
pentru atomii de oxigen.

Scrie sub forma unui sistem : 3
−
= 0
3
− 2
= 0
2
− 2
−
= 0, un sistem omogen ce conține cel puțin o soluție
banală (
=
=
=
= 0! , dar care însa nu ne mulțumește. Vom alcătui matri cea sistemului :

61
3 0 −1 0
8 0 0 −2
0 2 2 −10
0
0 ⇔
⎝⎜⎜⎛1 0 0 −1
4
0 1 0 −5
4
0 0 1 −3
4¹¹0
0
0
⎠⎟⎟⎞

Considerând
variabila liberă, vom obține în funcție de aceasta soluțiile:

=

;
= −ë

;
= −

.
Dacă îi dăm valori lui
vom obține seturi de valori pentru
,
,
, cu condiția să fie numere
întregi pozitive, deci în același timp și
trebuie să fie multiplu de 4.
Cea mai mică valoare a soluțiilor va fi
= 4;
= 1,
= 5;
= 3 și astfel putem scrie ecuația
inițială sub formă completă :
'
©+ 5( → 3'( + 4
(.
3. În Științele Economice
În prezent și în viitor este clar pentru oricine că o simplă observație a unui fenomen economic, fără
un studiu matematic și statistic aprofundat, nu mai este satisfăcătoare și nu poate fi acceptată fără
urmări. Folosirea metodelor matematice în practica economică constituie o preocupare cu efecte
benefice în rezolvarea problemelor economice actual e.
Persoana interesată de studiul fenomenelor economic e trebuie să aibă o pregătire interdisciplinară.
Studierea globală a aspectelor calitative și cantit ative ale unui fenomen economic necesită un
anumit volum de noțiuni, concepte și metode matemat ice care considerate ca un ansamblu dau un
așa numit model matematic atașat fenomenului studia t.
Un alt motiv care pledează pentru utilizarea matema ticii în studiul proceselor economice este
dorința omului de a atinge un anumit optim.

Aplicația 1: Optimizarea producției unei întreprinderi
Să considerăm o întreprindere care își desfășoară a ctivitatea de producție în următoarele condiții :
i) În intreprindere se desfășoară activități Aê, i = 1, n NNNNN ;
ii) Există m factori disponibili F,j= 1, mNNNNN ;
iii) Se cunosc coeficienții tehnici de utilizare a celor m factori în cele n activități.
Soluție : Vom încerca să obținem descrierea matematică a a ctivității de producție.

62
Pentru realizarea modelării acestui program de prod ucție vom nota cu
7 nivelul activității T8, cu 7
volumul (cantitatea) disponibil in factorul 8 și cu 78 factorul de proporționalitate al consumului 8
pentru cantitatea T8.
Acum putem scrie restricțiile:
^
+
+ ⋯ + %
%≤

+
+ ⋯ + %
%≤
…
&
+ &
+ ⋯ + &%
%≤ &
Restricțiile de mai sus reprezintă condițiile în ca re întreprinderea poate să îți desfășoare activitat ea.
Ele se pot scrie și sub formă matriceală :
T = 78 – matricea coeficienților tehnici,

=
,
, … ,
%! – vectorul coloană al nivelului producției,
', ', … , ' % – vectorii coloană din matricea ,
T, ' ~ – vectorul coloană al volumelor disponibile.
Acum, condițiile de mai sus se pot scrie sub forma :
'
+ '
+ ⋯ + ' %
%≤ ' ~ ,
sau
T
≤ ' ~
Până aici am urmărit descrierea tehnologică a produ cției, dar orice proces de producție urmărește și
o motivație economică, de exemplu să se realizeze o eficiență maximă. Practic, finalul acestui
proces este optimizarea unei anumite funcții, care de fapt realizeaza optimizarea funcționării unui
proces economic.
Aplicația 2: Problema dietei (nutriției)
Una dintre problemele celebre de gospodărire este p roblema alimentării cât mai ieftine și realizarea
unor cerințe de alimentație conform cu un scop prop us.
O alimentație se consideră bună dacă se oferă anumi te substanțe în cantități minimale precizate.
Evident că aceste substanțe se găsesc în diferite a limente cu prețuri cunoscute. Se cere să se
stabilească o dietă (rație) care să fie corespunzat oare și totodata cât mai ieftină. Substanțele care
intră într-o dietă se numesc substanțe nutritive sa u principii nutritive.
Soluție : Vom obține în continuare modelul matematico-econo mic pentru problema dietei.

63
Fie #, #, … , # & substanțele nutritive care trebuie să intre în com punerea dietei în cantități minimale
, , … , & si T, T, … , T % alimentele de care dispunem cu prețul corespunzăto r pe unitate
, , … , %.
Notăm cu 78 numărul de unități din substanța #7, ? = 1, M NNNNNN care se gasesc într-o unitate din alimentul
T8, cu A = 1, O NNNNN . Se cere să se afle
,
, … ,
% numărul de unități din alimentele T, T, … , T % astfel
incât să se obțină o rație acceptabilă la un preț c ât mai mic.
Datele problemei se prezintă de obicei într-un tabe l de forma :

Alimente
Substanța cd ce … c … c Minim necesar din S
zd … 8 … %
… … … … … … … …
z 7 7 … 78 … 7% 7
… … … … … … … …
z & & … &8 … &% &
Preț alimente … 8 … %
Unități de
consum

…
8 …
%
Cantitatea din substanța #7 care se realizează este 7
+ 7
+ ⋯ + 7%
% care din cerința
problemei trebuie să fie ≥ 7, ? = 1, M NNNNNN. Ajungem astfel la restricțiile :
^
+
+ ⋯ + %
%≤

+
+ ⋯ + %
%≤
…
&
+ &
+ ⋯ + &%
%≤ &
Natura datelor cu care lucrăm impun condiții de nen egativitate așa că :

≥ 0,
≥ 0, … ,
&≥ 0
Funcția obiectiv care exprimă costul unei rații est e dată de :
0 =
+
+ ⋯ + %
%.
Problema dietei cere să determinăm
,
, … ,
% astfel încât 0 să fie minimă. O astfel de dietă se
numește optimă. Orice dietă care satisface aceste r estricții se numește admisibilă.

64
Modelul dietei poate fi folosit și în alte situații , ca de exemplu în problema furajării raționale (în
zootehnie), chestiunea amestecului optim (în ameste curi de benzină sau uleiuri auto, în realizarea
unor sortimente de băuturi sau înghețată ș.a.).

Aplicația 3 : O fabrică de mobilă produce trei tipuri de mese, A, B si C. Fiecare masă trece prin trei
etape : prelucrare, asamblare și finisare. Capacita tea maximă a fabricii pentru sculptură este de 200
ore, pentru prelucrare este 195 ore și pentru finis are este 165 ore. Pentru fiecare masă A sunt
necesare 6 ore de prelucrare, 5 ore la asamblare și 4 ore la finisare, pentru masa B 3 ore de
prelucrare, 4 ore la asamblare și 3 ore la finisare , iar pentru masa C 1 ora pentru prelucrare, 1 ora la
asamblare și 2 ore la finisare. Determinați numărul de mese de fiecare tip care pot fi produse
utilizând la maxim capacitatea fabricii.
Soluție : Notăm cu x – numărul de mese tip A, y – numărul d e mese tip B și cu z – numărul de mese
tip C.
Cele 200 de ore destinate sculptării sunt descrise de ecuația 6
+ 3 + = 200 .
Cele 175 de ore destinate asamblării sunt descrise de ecuația 5
+ 4 + = 195 .
Cele 135 de ore destinate finisării sunt descrise d e ecuația 4
+ 3 + 2 = 165 .
Deci sistemul ce trebuie rezolvat este :
6
+ 3 + = 200
5
+ 4 + = 195
4
+ 3 + 2 = 165
T̅= 6 3 1 200
5 4 1 195
4 3 2 165 , ÈÉT = 6 3 1
5 4 1
4 3 2 = 48 + 12 + 15 − 16 − 30 − 24 = 5 = ∆
∆
= 200 3 1
195 4 1
165 3 2 = 1600 + 495 + 585 − 660 − 600 − 1170 = 250 si

=∆
=ë~
ë= 50 (scaune tip A)
∆ = 6 200 1
6 195 1
4 165 2 = 2340 + 800 + 825 − 780 − 1170 − 2000 = 15 si
=∆
=ë
ë= 3 (scaune tip B)

65
∆ = 6 3 200
5 4 195
4 3 165 = 3960 + 2340 + 3000 − 3200 − 3510 − 2475 = 115 si
=∆
=ë
ë= 23 (scaune tip C)
4. În studierea traficului rutier
Urmărind intensitatea traficului rutier într-o inte rsecție, pe o anumită perioadă de timp, se pot
impune condiții asupra variabilelor implicate, ofer ind condiții asupra unei semaforizări
corespunzătoare a acesteia. La nivelul unui oraș re țeaua străzilor studiată cu ajutorul sistemelor de
ecuații liniare oferă o imagine completă asupra int ensității traficului în anumite zone.
Aplicația 1 : Să se calculeze intensitatea traficului rutier în zona din imagine, știind că în punctul A
traficul măsoară 85 mașini/oră, în punctul B intră 120 mașini/oră, în punctul C circulă 70
mașini/oră, iar în punctul D, 45 mașini/oră.

Soluție : Legea I a lui Kirchoff se poate aplica și în genu l acesta de probleme. O putem adapta atât
pentru fiecare intersecție (« Numărul total al mași nilor ce intră în intersecție este egal cu numărul
total al mașinilor care ies din ea »), cât și pentr u tabloul general (« Numărul total al mașinilor ce
intră într-o zonă de trafic este egal cu numărul to tal al mașinilor care ies din ea »).

66

Considerând cele patru intersecții T, 9, ', respectiv întreaga zonă din imagine, precum și țin ând
cont de notațiile din a doua figură, putem scrie ec uațiile ce reies din aplicarea acestei legi astfel :
Pentru intersecția A vom scrie ecuația : 85 =
+

Pentru intersecția B vom scrie ecuația :
+
+ 45 = 120
Pentru intersecția C vom scrie ecuația :
+
= 70 +

Pentru intersecția D vom scrie ecuația : 70 = 45 +
ë
Pentru întreaga zonă vom scrie ecuația : 85 +
= 120 +
ë

Obținem astfel sistemul :
⎩⎪⎨⎪⎧85 =
+

+
+ 45 = 120

+
= 70 +

70 = 45 +
ë
85 +
= 120 +
ë⇔
⎩⎪⎨⎪⎧
+
= 85

+
= 75

−
+
= 70

ë= 20

−
ë= 35
Apoi scriem matricea
⎝⎜⎛0 0 0 1 −1
1 1 0 0 0
1 0 1 0 0
0 1 −1 1 0
0 0 0 0 1¹¹35
85
75
70
25 ⎠⎟⎞⇔
⎝⎜⎛1 0 1 0 0
0 1 −1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0¹¹75
10
60
25
0⎠⎟⎞
Și astfel obținem soluțiile :
⎩⎪⎨⎪⎧
= 75 −

= 10 +

= ?Èă

= 60

ë= 25

67
Observăm că datele nu sunt suficiente pentru determ inarea tuturor soluțiilor. Pentru determinarea lui

avem nevoie de studierea traficului pe un segment suplimentar de stradă și doar după
determinarea acestuia se pot afla exact și
,
.
Aplicația 2: În figura de mai jos este identificat traficul dint r-o zonă a unui oraș.Săgețile indică
direcția de deplasare a mașinilor. Numerele indicat e pe figură reprezintă numărul de mașini care
intră sau ies din intersecție. La fiecare din cele patru intersecții se află semafoare care dirijează
circulația. Pentru a evita blocajele, toate mașinil e care intră într-o intersecție trebuie să o părăse ască.
a) Să se determine
,
,
,

b) Pentru
=300, determinați
,
,
.

Soluție:
a) Deoarece toate mașinile care intră într-o inter secție trebuie să o și părăsească, pentru fiecare
intersecție obținem următoarele ecuații:
b-dul A ∩ b-dul C: 300+1200=
+

b-dul A ∩ b-dul D:
+
=500+800
b-dul B ∩ b-dul C:
+
=1300+700
b-dul B ∩ b-dul D: 1400+400=
+

68
Sistemul pe care îl avem de rezolvat este: ^
+
= 1500

+
= 1300

+
= 2000

+
= 1800 , un sistem de patru ecuații liniare și
patru necunoscute. Matricea sistemului și matricea extinsă a sistemului sunt:
A = K1 0 0 1
1 1 0 0
0 0 1 1
0 1 1 0L si T̅ = K1 0 0 1 1500
1 1 0 0 1300
0 0 1 1 2000
0 1 1 0 1800 L
Cum Δ = ¹1 0 0 1
1 1 0 0
0 0 1 1
0 1 1 0¹ = ¹1 0 0 0
1 1 0 −1
0 0 1 1
0 1 1 0¹ =0, rang T!=3.
Fie determinantul principal Δ}= 1 0 0
1 1 0
0 0 1=1, deoarece determinantul caracteristic
Δö= ¹1 0 0 1500
1 1 0 1300
0 0 1 2000
0 1 1 1800 ¹ = ¹1 0 0 1500
1 1 0 −200
0 0 1 2000
0 1 1 1800 ¹ =0, însemna că sistemul este compatibil simplu
nedeterminat cu necunoscuta secundară
. (Teorema lui Rouche)
Luând sistemul format din ecuații principale avem
= 1500 − 1

+
= 1300

= 2000 − 1, unde
=1, 1 ∈ ℝ
Soluția sistemului este: S= 1500 − 1, 1 − 200,2000 − 1 !, 1 ∈ ℝ £.
c) Pentru
=300, obținem soluția sistemului S= 1200,100,1700,300 !£.

3.5. Exerciții propuse

3.5.1. Exerciții din manualele școlare și culegeri de pro bleme
Exercițiul nr.1:
Să se stabilească dacă următoarele sisteme sunt com patibile iar în caz afirmativ, să se rezolve:
i. B
+ + = 2

+ 2 + 3 = 3

69
ii. B3
− + 2 = 3
6
− 2 − = 11
iii. B2
− + = 3
4
− 2 + 2 = 6
Exercițiul nr.2:
i. Să se discute după valorile parametrului real α, sistemul
+ + = 1

+ + = 2 − 1

+ + = 31 + 1
ii. Să se rezolve și să se discute după valorile pa rametrului real ℷ, următorul sistem de ecuații liniare:
x + 2y+ℷ − 3 !z= 5
−x + ℷ − 5 !y+ 2z= −1
2x +y+z= ℷ
Exercițiul nr.3:
Să se rezolve prin metoda lui Gauss următoarele sis teme de ecuații liniare:
i. ^
+ + = 2
2
− − 2 = −2

+ 4 + 5 = 8
2
+ 5 + 6 = 10
ii. ^2
− 3 + = −1

+ 2 − 3 = 0

− 12 + 11 = −1
4
− 15 + 9 = 0
Exercițiul nr.4:
a) Găsiți matricea X ∈R!astfel încât X I1 2
0 1J+I−2 1
3 −3J=I1 2
3 1J
b) Să se determine m ∈ R astfel încât sistemul următor să fie compatibil și apoi
rezolvați-l: x +y= 1
x − 2y= −1
3x +y= m
Exercițiul nr.5:
Folosind metoda Gauss, să se discute și să se rezol ve sistemele:

70
a)
+
= 3

+ 3
=
3
+
= 1; b)
⎩⎪⎨⎪⎧
−
= 2
2
+
= 5

−
+
=

+
−
= 2

−
+
= 1 − , în care a și b sunt parametri
reali.
Exercițiul nr.6:
Să se rezolve sistemul M
− !+ −
= 0
−2
− !+ M −
!+ −
= 0
−
− !+ 3−
!= 0, m ∈ R.
Exercițiul nr.7:
Rezolvați în ℤ~ sistemul 4
+ 5 + 9 = 7

+ 5 + 9 = 2
3
+ 4 + 2 = 1
Exercițiul nr.8:
Discutați natura sistemului ^M
+ M + + É = 0

+ M + M + É = 0

+ + M + MÉ = 0
M
+ + + MÉ = 0 în funcție de m ∈ ℝ și determinați mulțimea
soluțiilor sistemului.

Exercițiul nr.9:
Fie sistemul 3
+ 2 − = 0

+ 7 + 2 = 0
2 − 3 !
+ 12 + 5 = 0, a ∈ ℝ.

a) Arătați că sistemul are soluții nenule pentru orice a ∈ ℝ.
b) Determinați valorile lui a pentru care soluțiile sistemului sunt numere în pro gresie
geometrică.

71
3.5.2. Exerciții date la examenul de Bacalaureat și admite re facultăți
Exercițiul nr.1:
Se consideră matricea *M! = 2M 1 1
1 2M 1
1 1 2M și sistemul de ecuații 2M
+ + = −1

+ 2M + = 0

+ + 2M = 1unde
m este număr real.
a) Arătați că det (M(0))=2.
b) Determinați numerele reale m , știind că det (M(m))=0.
c) Pentru M = −1 , demonstrați că, dacă (a,b,c) este o soluție a sis temului, cel mult unul dintre
numerele a, b și c este întreg.

Examenul de bacalaureat 2018, Proba E.c)
Proba scrisă la MATEMATICA, Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea mat ematică-informatică
Exercițiul nr.2:
Se consideră sistemul: 2x +y+ 3z= 0
x + 2y+ 3z= 0
x +y+ m z = 0, m ∈ ℝ.
a) Calculați determinantul matricei sistemului.
b) Determinați valorile reale ale lui m pentru care si stemul are soluție unica.
c) În cazul m = 2, determinați soluția x~,y~,z~! a sistemului pentru care x~>0 și
x~ +y~+ z~= 3.
Examenul de bacalaureat 2012, Proba E.c)
Proba scrisă la MATEMATICA, Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea mat ematică-informatică
Exercițiul nr.3:
Se consideră matricea AM!= M 1 −1
1 M −1
−1 1 M și sistemul M
+ − = 1

+ M − = 1
−
+ + M = 1, unde m este un
număr real.
a) Calculați det T2!.

72
b) Arătați că det TM! = M – m.
c) Determinați valorile reale ale lui m pentru care de t TM! = 0.
d) Verificați dacă, pentru m = 3, tripletul I
,
,
J este soluție a sistemului #!.
e) Pentru m = 2, rezolvați sistemul #!.
f) Pentru m = 0, aratați că sistemul #! nu are soluții.
Examenul de bacalaureat 2012, Proba E.c)
Proba scrisă la MATEMATICA, Varianta 5
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializa rea învățător-educatoare
Exercitiul nr.4:
Fie sistemul x − 2y− 8z= −65
3x +y− 3z= 22
x +y+z= 28 , unde x, y, z ∈ ℝ și matricea asociată sistemului
A = 1 −2 −8
3 1 −3
1 1 1.
a) Aratați că rangul matricei A este egal cu 2.
b) Rezolvați sistemul în ℝ × ℝ × ℝ.
c) Determinați numărul soluțiilor sistemului din mulți mea ℕ × ℕ × ℕ
Examenul de bacalaureat – 2010, ProbaE.c)
Proba scrisă la MATEMATICA, Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea mat ematică-informatică
Exercițiul nr.5:
Pentru m ∈ ℝ se consideră matricea A = 1 −1 −1
1 3 −1
m 0 2 și sistemul de ecuații
− − = −2

+ 3 − = −2
M
+ 2 = 4,
unde x, y, z ∈ ℝ.
a) Calculați determinantul matricei A.
b) Determinați m ∈ ℝ pentru care matricea A este inversabilă.
c) Rezolvați sistemul pentru m = −1.
Examenul de bacalaureat – 2010
Proba scrisă la MATEMATICA- Proba E.c), Varianta 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ști ințe ale naturii

73
Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calif icările profesionale
Exercițiul nr.6:
Fie sistemul M
+ + = 0

+ 3 + 2 = 0
−
− + 4 = 0 m ∈ ℝ.
a) Să se determine m ∈ ℝ pentru care matricea sistemului are determinantul
nenul.
b) Să se determine m ∈ ℝ astfel încât sistemul să admita cel puțin două solu ții.
c) Să se determine m ∈ ℝ pentru care dreptele : M
+ + 1 = 0,
:
+ 3 + 2 = 0, : −
− + 4 = 0 sunt concurente.
(Bacalaureat 2009)
Exercițiul nr.7:
Fie sistemul −
+ + 2 + 4 ! = 1
+ 2 !
+ + + 1 ! = 1
+ 1 !
+ 2 + 1 ! + 3 = 2 , a ∈ ℝ.
a) Arătați că determinantul matricei sistemului este 3+ 9− 3 − 9 .
b) Determinați valorile lui a pentru care sistemul este compatibil determinat.
c) Pentru a = −2 rezolvați sistemul.
Exercițiul nr.8:
Se dă matricea M = 1 1 1
M 2 3
M23, unde m este un parametru real.
a) Rezolvați ecuația det *! = 0.
b) Se consideră sistemul de ecuații liniare
+ + = 0
M
+ 2 + 3 = 0
M
+ 2 + 3 = 0.
(i) Determinați m pentru care sistemul are numai soluția banală.
(ii) Rezolvați sistemul pentru m = 2, m = 3.
(Bacalaureat 1992)

74
Exercițiul nr.9:
Se dă sistemul
+ 2 + = 1
2
+ M + = 2

− 3 + 2 = 3 , unde m este un parametru real.
a) Determinați m pentru ca sistemul să aibă soluție unică.
b) Pentru m = 10 rezolvați sistemul.
(Bacalaureat 1990)
Exercițiul nr.10:
Pentru ce m ∈ ℝ sistemul 4
+ M = 0
− = 0
2
+ + = 0 are soluție diferită de cea banală?
(Bacalaureat 1987)
Exercițiul nr.11:
Soluția sistemului
+ + 2 = 2

− + 3 = 5
2
+ + = 2 este:
a) 1,1, −1 !; b) −1,1,1 !; c) 1, −1,1 !; d) 0,0,1 !; e) nu există.
Admitere, Universitatea “Transilvania” din Brașov, 2005
Exercițiul nr.12:
Dacă sistemul
+ 2 + = 1

− + 2 = 1
M
− + 7 = O. admite o soluție de forma 1, , !, atunci:
a) 2m = n ; b) m = 4n ; c) 4m = n ; d) m = n ; e) m = n + 3.
Admitere, Universitatea Tehnică Cluj-Napoca, 2005

75
CAPITOLUL II – PARTEA METODICĂ

1. CARACTERISTICI ALE PROCESULUI DE PREDARE-ÎNVĂȚARE Î N
DIDACTICA MODERNĂ

1.1. Strategia didactică: caracterizare, tipologie
Strategia didactică este unul din „instrumentele de finitorii” ale activității didactice. De
aceea cunoașterea modului de elaborare, desfășurare și evaluare a strategiei didactice este o
condiție necesară pentru eficiența oricărei activit ăți didactice. I. Cerghit definește strategia de
instruire ” ca un mod de abordare a predării și învățării, de c ombinare și organizare optimă a
metodelor și mijloacelor avute la dispoziție, precu m și a formelor de grupare a elevilor, în
vederea atingerii obiectivelor urmărite ”.
Conceptul de strategie didactică se bucură de mai m ulte accepțiuni care subliniază
complexitate acestuia și importanța înțelegerii lui pentru practica didactică.
Analizând definițiile propuse conceptului de strate gie didactică I.Cerghit identifică
următoarele accepțiuni:
 Strategia – un mod de gândire și acțiune;
 Strategia – structură procedurală;
 Strategia – tactică (reacție la reacțiile ele vilor, cu niște soluționări practice,
metodice, prompte și punctuale ivite pe parcurs);
 Strategia – înlănțuire de decizii;
 Strategia – rezultat al contopirii strategiei de pr edare și strategiei de învățare.
Problema strategiei didactice este o problemă de competență didactică, ce presupune
cunoștințe de specialitate dar și psiho-pedagogice care fundamentează alegerea unei strategii
potrivite în funcție de anumiți factori: discipl ina predată, caracteristicile clasei de elevi, for ma
de organizare, materialele didactice avute la dispo ziție etc.
Pentru a putea elabora o strategie cât mai adecvată specificului elevilor și a disciplinei pe
care o predă, profesorul trebuie să cunoască eleme ntele constitutive ale strategiei didactice.
Acestea sunt (după Panțuru):
 obiectivele/finalitățile strategiei de instruire;
 subiectul și obiectul strategiei de instruire (cadr ul didactic și elevul, fiecare cu rolurile
și responsabilitățile sale; dacă profesorul este m anagerul strategiei de instruire, cel

76
care o proiectează, realizează și evaluează, elevii sunt principalii beneficiari ai acesteia.
Colaborarea dinte profesor și elevi se concretizeaz ă în rezultatele obținute/competențele
formate);
 tipurile de activități și conținuturile strategiei de instruire (aceste componente sunt
decisive pentru formarea competențelor);
 timpul alocat strategiei de instruire (timpul este una dintre resursele care condiționează
calitatea instruirii);
 metodele de instruire (sunt cele care reprezintă in strumentele de lucru ale profesorului cu
elevii și care trebuie alese cu grijă pentru a obți ne ceea ce ne propunem);
 mijloace de instruire (utilizarea unor mijloace de instruire noi pot stimula interesul
pentru învățare);
 formele de organizare a instruirii (frontal, pe gru pe sau individual);
 interacțiunile și relațiile instrucționale (aceste relații care apar între elevi sau între elevi
și profesor definesc atmosfera psihologică a clasei , decisivă pentru învățare. Să nu uităm
faptul că specialiștii în științele educației subli niază rolul stimulativ al emoțiilor în
învățare! Important este și stilul profesorului, ca re imprimă o anumită coloratură afectivă
climatului învățării);
 deciziile instrucționale.
Fiecare dintre aceste componente are un rol hotărât or în determinarea strategiei, cu atât
mai mult cu cât între aceste componente se stabilesc strânse legături. Astfel, obiectivele
strategiei de instruire care se deduc din competenț ele prezentate în programă, vor preciza
tipurile de activități și competențele pe care dori m să le formăm. Aceste conținuturi și
activități însă nu se aleg prin ele însele, „rupte” de celelalte componente. În funcție de timpul
avut la dispoziție (una sau două ore), de mijloace și materialele didactice avute la dispoziție, nu
în ultimul rând în funcție de potențialul și nevoil e de formare ale elevilor și experiența
profesorului, putem adapta conținutul și tipurile d e activități pentru a obține eficiența maximă
posibilă.
L. Vlăsceanu propune șase parametri de construcție a strategiei:
1. organizarea elevilor;
2. organizarea conținutului;
3. modul de prezentare-asimilare a cunoștințelor;
4. frecvența, continuitatea intervențiilor profesor ului;
5. modul de programare a exercițiilor aplicative;
6. natura probelor de evaluare.

77
Pentru a evidenția mai bine aspectele specifice vom analiza tipurile de strategii descrise în
literatura pedagogică. Astfel, unul din criteriile folosite în clasificarea strategiilor este
reprezentat de logica gândirii, rezultând următoar ele tipuri de strategii:
 strategii inductive
 strategii deductive
 strategii analogice
 strategii transductive
 strategii mixte.
La elevii din clasele mai mari pot fi utilizate str ategiile deductive, ce reprezintă un demers
descendent al gândirii de la principii, teorii, la fapte/cazuri concrete.
Un alt criteriu folosit în clasificarea strat egiilor didactice ține de gradul de
dirijare/nondirijare al învățării:
 strategii algoritmice (imitative, explicativ-reprod uctive, explicativ-intuitive, algoritmice,
programate);
 strategii nealgoritmice (explicativ-investigative , conversativ-euristice, descoperirea
independentă, problematizante, observarea investi gativă, inductiv-experimentale,
creative);
 strategii mixte.
În acord cu un învățământ formativ, centrat pe comp etențe, se impune utilizarea
strategiilor nealgoritmice sau activ-participative. Această strategie este indicată deoarece are
efecte formative evidente nu numai în plan cognitiv (deoarece îi antrenează pe elevi într-un
efort de căutare, de selectare, analiză și comparaț ie a informațiilor) dar și în plan social (dezvoltă
spiritul de colaborare, de comunicare eficientă cu colegii) și chiar personal (elevii lucrând
împreună cu colegii își pot conștientiza propriile resurse, posibilități și limite; pot fi resurse de
învățare pentru alți colegi sau pot învăța de la al ții).
Frecvent folosite, sunt strategiile mixte, mult mai ușor de adaptat specificului temei de
studiat, al mijloacelor didactice avute la dispoziț ie și la specificul elevilor. Acestea combină,
într-un mod fericit, explicațiile profesorului cu activitatea independentă a elevilor, dirija rea
profesorului cu momente de creativitate ale e levilor. În acest caz,competența profesorului
de a organiza și fructifica efectele formativ e ale situației de învățare este decisivă.
Bineînțeles că nu există o „rețetă” a unei strategi i eficiente în sine. Profesorul, prin
experiența și competența sa, este cel care stabileș te modul cel mai adecvat de desfășurare al
activității, ținând cont de o serie de „factori cri tici”ce stau la baza elaborării strategiei de instr uire
(după Panțuru):

78
 tipurile de obiective vizate;
 nivelul de școlaritate: primar, gimnazial, particul aritățile grupului de elevi;
 tipurile de elevi din colectivele respective, sub a spectul: natura motivației școlare,
capacități intelectuale, stil cognitiv, factori de personalitate;
 natura disciplinei de învățământ/ structura sa logi co-teoretică;
 timpul avut la dispoziție;
 echipamente și materiale necesare;
 particularitățile cadrului didactic.
Adoptarea unei anumite strategii didactice este o p roblemă de responsabilitate și
competență, cu atât mai mult cu cât, în contextul r eformei învățământului, trebuie să avem în
vedere formarea unor competențe , a atitudinilor și valorilor față de școală, viață, muncă.

1.2. Metode didactice
Prin metodă didactică (în limba greacă odos – cale și metha – spre) se înțelege o acțiune
proiectată conform unui program care anticipează o suită de operații ce trebuie îndeplinite în
vederea atingerii unui rezultat bine determinat.
Pentru o predare/învățare activ-participativă, prof esorul trebuie să-și aleagă o varietate de
metode. Desigur, profesorul trebuie să cunoască fun cțiile și importanța metodelor; să știe că
metodele se clasifică după criteriul organizăr ii muncii, în baza surselor de informații,
conform tipului de activitate de învățare, că efici ența lecției depinde și de legătura dintre
obiectivul propus și metoda aleasă. Este foarte imp ortant ca metoda aleasă să ducă la motivația
interioară și să promoveze relații democratice.

A. Metode didactice în care predomină acțiunea de comunicare:
a) orală expozitivă
Expunerea
Povestirea Explicația Prelegerea

79 b) oral interogativă

c) scrisă

B. Metode didactice în care predomină acțiunea de cercetare a realității :
a) în mod direct

b) în mod indirect

C. Metode didactice în care predomină acțiunea practică, operațională
a) Reală

b) Simulată

Conversația
Conversația
euristică Dezbaterea
(discuția) Problematizarea
Lectura explicativă Activitatea cu manualul
Observația Experimentul (demonstrativ,
imaginar sau de laborator)
Demonstrația Modelarea
Exercițiul Lucrările practice și
cele de laborator Studiul de caz Algoritmizarea
Jocul didactic Jocul de roluri
(dramatizarea)

80 D. Metode didactice în care predomină acțiunea de programare specială a
instruirii:

Conversația euristică (socratică) (după Bontaș) este o formă de conversație bazată pe
învățarea conștientă, folosind dialogul ca proces d e descoperire, de creație, de naștere a
cunoștințelor.
Dezbaterea (discuția) valorifică procedeul întrebărilor orientate spre un schimb organizat
de informații semnificative pentru soluționarea uno r probleme, dezvoltarea unor capacități de
stăpânire a materiei.
Brainstorming-ul (asaltul de idei) elaborează în cadrul unui anumit grup, în mod spont an
și în flux continuu, anumite idei, modele, soluții noi, originale, necesare rezolvării unor probleme
sau teme.
Etapele brainstorming-ului:
a) anunțarea temei;
b) elaborarea soluțiilor;
c) încheierea ședinței de asalt;
d) evaluarea datelor și stabilirea concluziilor.
Regulile brainstorming-ului:
1. Aprecierile critice sunt interzise.
2. Imaginația este absolut liberă. Fiecare poate sp une prima idee venită în minte.
3. Se cere mai multă cantitate decât calitate .
4. Se încurajează ideile cele mai neobișnuite.
Sinectica este o modalitate de creație în cadrul gr upului, ca urmare a unor combinații și
analogii eterogene, uneori chiar fără o legăt ură evidentă între datele problemei de
rezolvat. Sinectica se aseamănă în anumite privințe cu brainstorming-ul în ceea ce privește
desfășurarea ședinței de creație, interpretarea și stabilirea concluziilor, dar se permite
evaluarea critică în timpul elaborării ideilor, sol uțiilor, fără a limita inițiativa în creație.
Problematizarea urmărește realizarea obiectivelor propuse prin lans area și rezolvarea unor
situații – problemă. Elementele obligatorii ale sit uațiilor-problemă sunt: experiența trecută (datele
cunoscute) și noutatea (datele necunoscute). Tensiu nea dintre aceste două elemente imprimă
gândirii elevului un sens explorator. Instruirea
programată Instruirea asistată pe
calculator

81 Etapele problematizării:
1. Momentul inițial (crearea tipului de problematiz are).
2.A) Momentul tensional (evidențierea contradicției dintre cunoscut și necunoscut).
Se cunosc trei tipuri de contradicții care pot cond uce la crearea situațiilor de problemă:
– contradicții dintre cunoștințele științifice și c ele obținute din viața de toate zilele ;
– contradicții dintre cunoștințele noi și cele obți nute anterior.
– contradicțiile realității obiective.
2.B) Elaborarea variantelor de soluționare a contra dicțiilor.
3. Momentul rezolutiv (alegerea soluției optime).
Modelarea reprezintă modalitatea de studiu al unor obiecte, f enomene, procese,
etc. prin intermediul unor copii materiale și ideal e ale acestora, denumite modele, capabile să
reproducă caracteristicile esențiale ale realității studiate sau să ofere informații despre
aceasta.
Algoritmizarea este modalitatea de a studia un fenomen, obiect sau proces prin
intermediul unor prescripții, denumite algoritmi.
Studiul de caz (metoda cazului) este modalitatea de a analiza o si tuație care există sau
poate să apară într-o acțiune, într-un fenomen sau sistem, denumită caz, în vederea studierii
lui, asigurând luarea unei decizii optime în domeni ul respectiv.
Jocul didactic – este metoda prin care informațiile, cunoștințel e, deprinderile se
însușesc prin simulare într-un joc. În acest caz, j ocul este folosit ca pretext pentru a face
învățarea mai antrenantă, mai plăcută și este utili zat mai mult în sfera învățământului
preșcolar și primar, mai puțin în învățământul lice al. Jocul didactic interdisciplinar este o
activitate în care se îmbină sarcini didactice din domenii de cunoaștere diverse, într-o
structură unitară, axată pe învățare.
Instruirea programată organizează acțiunea didactică, aplicând principiil e ciberneticii
la nivelul activității de predare-învățare-evaluare .
Instruirea asistată pe calculator valorifică principiile de modelare și de analiză
cibernetică ale activității de instruire, în cont extul noilor tehnologii informaționale. în
ultima vreme, pe piață au apărut unele resurse dida ctice programate, care pot fi folosite la
diferite etape ale lecțiilor .

82 Selectarea metodelor didactice în funcție de obiect ive
(după I.Cerghit)

Eficiența lecției va depinde nu numai de modul de i nteracțiune complexă a
componentelor ei, ci și de felul cum este integrată ea în procesul de învățământ, ca sistem de
funcționalitate, pentru că în lecție se obiec tivează elementele acestuia (obiective, resurse,
conținut, strategii și evaluarea rezultatelor).
În esență, fiecare lecție trebuie orientată spre at ingerea unor anumite finalități (scop și
obiective concrete), realizată printr-un anumit con ținut, pus în valoare de profesor și elevi,
folosind strategii optime (combinații de metode, te hnici, mijloace de învățământ).

Metode și tehnici interactive de grup
În condițiile în care azi societatea se confruntă c u o explozie de informații din orice
domeniu de activitate, sistemul educațional are un rol extrem de dificil: acela de a forma
personalități care să știe să aleagă corect informația și să extragă esențialul din general. Obiective
de conținut Tipuri de acțiuni/verbe
realizate de elev
Metode didactice adecvate
Învățarea
conceptelor  a defini,
 a distinge,
 a asimila,
 a recunoaște.  lectura,
 o bservația,
 expunerea,
 instruirea programată.
Învățarea
regulilor  a sintetiza,
 a deduce,
 a formula,
 a modifica,
 a demonstra,
 a defini,
 a clasifica.  convorbirea euristică,
dezbaterea,
 studiul de caz,
 exercițiul.
Formarea
de
deprinderi  a exersa,
 a executa,
 a efectua,
 a rezolva,
 a construi.  exercițiul,
 experimentul de
laborator, exerciții
aplicative,
 elaborarea de proiecte,
 lucrări practice.

83 Școala de astăzi trebuie să știe cum să motiveze pe elev să învețe și cum să
faciliteze procesul învățării, organizând și dezvoltând strate gii de lucru interactive, punând
accentul pe utilitatea cunoștințelor și pe necesita tea însușirii lor pentru a se descurca în viață.
Rolul profesorului de astăzi este nu de a îndopa el evii cu diverse cunoștințe, ci de a le arăta ce
au de făcut cu acestea.
Astăzi școala promovează învățarea prin cooperare ca formă superioară de interacțiune
psihosocială, bazată pe sprijin reciproc, pe tolera nță, pe efort susținut din partea tuturor,
îndreptat către același scop. Motivația este rezultatul acțiunii conjugate a tuturor membri lor ce
urmăresc un destin comun. Atenția este îndreptată a supra procesului de elaborare împreună, prin
colaborare, a demersurilor de realizare a sarcinii. Evaluarea urmărește acordarea ajutorului
imediat, având mai mult o funcție corectivă, amelio rativă, ducând la reducerea stresului. Ea se
realizează prin raportarea la progresul individului și are în vedere atât participarea fiecărui
membru la procesul elaborării în comun cât și rez ultatele echipei.
Activitățile propuse elevilor în scopul sporir ii gradului de implicare activă și
creativă în școală, trebuie să asigure: stimularea gândirii productive, a gândirii critice, a gândirii
divergente și laterale, libertatea de exprimare a cunoștințelor, a gândurilor, a faptelor. În
acest sens apar ca adecvate activitățile care cer s pontaneitate și contribuie la dezvoltarea
independenței în gândire și acțiune. Utilizarea talentelor și a capacităților specifice fiecărui
individ în parte, incitarea interesului către nou ș i oferirea satisfacției găsirii soluției după
depunerea unui efort de căutare, dezvoltarea capaci tății de organizare prin întocmirea de
portofolii asupra activității proprii, sunt coordon ate majore ale învățării prin cooperare.
Aceste metode interactive de grup se pot clasifica după funcția lor didactică în:
I. Metode de predare-învățare interactivă
 metoda predării/învățării reciproce (Reciprocal tea ching – Palinscar);
 metoda Jigsaw (Mozaicul);
 metoda învățării pe grupe mici – STAD (Student Team s Achievement Division);
 metoda turnirurilor între echipe – TGT (Teams/Games /Tournaments);
 metoda schimbării perechii (Share-Pair Circles);
 metoda piramidei (a bulgărelui de zăpadă).

Prin metoda predării/învățării reciproce elevii sunt puși în situația de a fi ei înșiși prof esori
și de a explica colegilor rezolvarea unei probleme. Astfel copiii sunt împărțiți pe grupe de câte
patru, în care fiecare are un rol bine definit: unu l este rezumător (cel care face un scurt rezumat
al textului citit), unul este întrebătorul grupului(cel care pune întrebări clarificatoare), a ltul

84 este clarificatorul (el trebuie să aibă o viziune de ansamblu și să î ncerce să răspundă
întrebărilor grupului), iar cel de-al patrulea copil este prezicătorul (cel care își va imagina,
în colaborare însă cu ceilalți care va fi cursul evenimentelor). Elevii aceleiași grupe vor
colabora în înțelegerea problemelor și rezolvarea s arcinilor de lucru, urmând ca frontal să se
concluzioneze soluțiile. Grupele pot avea probleme diferite pe aceeași temă, sau pot avea
probleme diferite. Ei pot lucra pe fișe diferite, urmând ca în completarea lor să existe o strânsă
colaborare, sau pot lucra pe o singură fișă, pe car e fiecare să aibă o sarcină precisă. Avantajele
acestei metode de lucru sunt indiscutabile: stimule ază și motivează, ajută elevii în învățarea
metodelor și tehnicilor de lucru, tehnici de muncă intelectuală pe care le poate folosi apoi și în
mod independent, dezvoltă capacitatea de exprimare, atenția, gândirea cu operațiile ei și
capacitatea de ascultare activă, stimulează capacit atea de concentrare asupra textului problemei.
Jigsaw (în engleză jigsaw puzzle înseamnă mozaic) sau “metoda grupurilor
interdependente” este o strategie bazată pe învățarea în echipă (tea mlearning). Fiecare elev are
o sarcină de studiu în care trebuie să devină exper t. El are în același timp și responsabilitatea
transmiterii informațiilor asimilate, celorlalți co legi. Metoda presupune o pregătire temeinică a
materialului dat spre studiu elevilor. Educatorul p ropune o temă de studiu pe care o împarte în
patru sub-teme. Pentru fiecare temă în parte educat orul trebuie să dea un titlul, sau pentru
fiecare să pună o întrebare. Fiecare membru al grup ei va primi ca obiect de studiu materiale
necesare fiecărei sub-teme, pentru care va alcătui și o schemă. La sfârșit elevii își comunică ce au
învățat despre sub-tema respectivă. Aranjarea în cl asă a grupurilor trebuie însă să fie cât mai
aerisită, astfel încât grupurile să nu se deranjeze între ele. Obiectul de studiu poate constitui și
o temă pentru acasă, urmând ca în momentul constitu irii mozaicului fiecare “expert” să-și
aducă propria contribuție.
Metoda piramidei sau metoda bulgărelui de zăpadă are la bază împletirea activității
individuale cu cea desfășurată în mod cooperativ, î n cadrul grupurilor. Ea constă în încorporarea
activității fiecărui membru al colectivului într- un demers colectiv mai amplu, menit să ducă
la soluționarea unei sarcini sau a unei probleme da te. Această metodă are mai multe faze: faza
introductivă – profesorul enunță problema, faza luc rului individual – fiecare elev lucrează
individual timp de 5 minute la soluționarea problem ei, faza lucrului în perechi – elevii se consultă
cu colegul de bancă, sunt notate toate soluțiile ap ărute, faza reuniunii în grupuri mai mari –
elevii de consultă asupra soluțiilor în grupuri alc ătuite dintr-un număr egal de perechi, faza
raportării soluțiilor în colectiv și faza deciziona lă. Ca și celelalte metode care se bazează pe
lucrul în perechi și în colectiv, metoda piramidei are avantajele stimulării învățării prin cooperare,
al sporirii încrederii în forțele proprii prin test area ideilor emise individual, mai întâi în grupuri

85 mici și apoi în colectiv. Dezavantajele înregistrat e sunt de ordin evaluativ, deoarece se poate
stabili mai greu care și cât de însemnată a fost co ntribuția fiecărui participant.
II. Metodele de fixare și sistematizare a cunoștințelor și de verificare
 harta cognitivă sau harta conceptuală (Cognitive ma p, Conceptual map);
 fishbone maps (scheletul de pește);
 pânza de păianjăn (Spider map–Webs);
 tehnica florii de nufăr (Lotus Blossom Technique);
 metoda R.A.I.

III. Cele mai cunoscute și mai folosite metode sunt cel e de rezolvare de
problem prin stimularea creativității
 brainstorming;
 starbursting (Explozia stelară);
 metoda Pălăriilor gânditoare (Thinking hats – Edwar d de Bono);
 patru colțuri (Four corners);
Brainstorming-ul este o metodă interactivă de dezvoltare de idei no i ce rezultă din
discuțiile purtate între mai mulți participanți, în cadrul căreia fiecare vine cu o mulțime de
sugestii. Rezultatul acestor discuții se soldea ză cu alegerea celei mai bune soluții de
rezolvare a situației dezbătute. Calea de obținere a acestor soluții este aceea a stimulării
creativității în cadrul grupului, într-o atmosferă lipsită de critică, fără inhibiții, rezultat al
amânării momentului evaluării. Specific acestei met ode este și faptul că ea cuprinde două
momente: unul de producere a ideilor și apoi moment ul evaluării acestora.
Starbursting (eng.“star”=stea și ”burst”=a exploda), este o meto dă nouă de dezvoltare a
creativității, similară brainstormingului. Scopul m etodei este de a obține cât mai multe întrebări și
astfel cât mai multe conexiuni între concepte. Este o modalitate de stimulare a creativității
individuale și de grup. Organizată în grup, starbur sting facilitează participarea întregului colectiv,
stimulează crearea de întrebări la întrebări, așa c um brainstormingul dezvoltă construcția de idei
pe idei. Modul de procedare este simplu. Se scrie p roblema a cărei soluție trebuie “descoperită”
pe o foaie, apoi se înșiră cât mai multe întrebări care au legătură cu ea. Un bun punct de plecare îl
constituie cele de tipul „Ce?, Când?, Cum?, De ce?” – unele întrebări ducând la altele din ce în ce
mai complexe care necesită o concentrare tot mai ma re.
Este foarte important să educăm imaginația copiilor pentru că a fi un om imaginativ
înseamnă să te poți adapta în situații diverse. O m etodă didactică de educare a imaginației

86 copilului este “metoda pălăriilor gânditoare ”. Aceasta este o tehnică interactivă, de
stimulare a creativității participanților care se b azează pe interpretarea de roluri în funcție de
pălăria aleasă. Sunt 6 pălării gânditoare , fiecare având câte o culoare: alb, roșu, galben, ve rde,
albastru și negru. Membrii grupului își aleg pălări ile și vor interpreta astfel rolul precis, așa cum
consideră mai bine. Rolurile se pot inversa, partic ipanții sunt liberi să spună ce gândesc, dar
să fie în acord cu rolul pe care îl joacă. Culoarea pălăriei este cea care definește rolul: pălăria
albă este neutră, participanții sunt învățați să gândească obiectiv, pălăria roșie dă frâu libe r
sentimentelor, oferă o perspectivă emoțională asupr a evenimentelor. Pălăria neagră este
perspective gândirii negativiste, pesimiste, pălări a galbenă este simbolul gândirii pozitive și
constructive, al optimismului. Cel ce stă sub pălăr ia verde trebuie să fie creativ. Gândirea laterală
este specifică acestui tip de pălărie. Cere un efor t de creație. Pălăria albastră este dirijorul
orchestrei și cere ajutorul celorlalte pălării. Gân ditorul pălăriei albastre definește problema,
conduce întrebările, recorelează informațiile pe pa rcursul activității, formulează ideile principale
și concluziile la sfârșit. Monitorizează jocul și a re în vedere respectarea regulilor. Acest nou tip
de metodă de predare – învațare este un joc în sine . Copiii se împart în șase grupe – pentru șase
pălării. Ei pot juca și câte șase într-o singură gr upă. Împărțirea elevilor depinde de materialul
studiat. Pentru succesul acestei metode este import ant însă ca materialul didactic să fie bogat, iar
cele șase pălării să fie frumos colorate, să-i atra gă pe elevi. Marele avantaj al acestei metode
este acela că dezvoltă competențele inteligenței li ngvistice, inteligenței logice și inteligenței
interpersonale.

IV. Metode de cercetare în grup
 tema / proiectul de cercetare in grup;
 experimentul pe echipe;
 portofoliul de grup.
Specific metodelor interactive de grup este faptul că ele promovează interacțiunea dintre
mințile participanților, dintre personalitățile lor , ducând la o învățare mai activă și cu rezultate
evidente. Acest tip de interactivitate determi nă “identificarea subiectului cu situația de
învățare în care acesta este antrenat”, ceea ce duc e la transformarea elevului în stăpânul propriei
formări. Interactivitatea presupune atât cooperare a, cât și competiția, ambele implicând un
anumit grad de interacțiune.
CUBUL – Se anunță tema pusă în discuție apoi se împarte cl asa în 6 grupuri. Se prezintă
elevilor un cub din carton cu fețele divers colorat e. Pe fețele acestuia sunt notate cuvintele:

87 descrie, compară, asociază, analizează, aplică și a rgumentează. Se atribuie rolurile membrilor
fiecărui grup:
 “cititorul”- rostogolește cubul și anunță grupului cerința înscrisă pe fața de deasupra;
 ”ascultătorul activ” repetă sarcina, o reformuleaz ă pentru a fi înțeleasă de fiecare
membru, adresează întrebări profesorului;
 ”interogatorul” solicită idei, legate de modul de r ezolvare a sarcinii, de la membrii
grupului;
 ”rezumătorul” va fi “raportorul” grupului, va trage concluziile, le va nota și le va
comunica întregii clase.
Elevii vor lucra pe grupe (unii la tablă, alții pe caiete, alții pe foi) apoi „raportorul” grupului va
prezenta întregii clase modul în care grupul său a rezolvat cerința. În final, se aduc lămuriri,
completări de către profesorul “consultant” /”participant”/ “observator”.
Avantaje: permite diferențierea sarcinilor de învăț are, stimulează gândirea logică și sporește
eficiența învățării (elevii învață unii de la alții ).
TURUL GALERIEI – Elevilor li se comunică sarcina de lucru apoi se fo rmează grupurile.
Timp de câteva minute elevii lucrează în grup, pe o foaie de format mare (afiș) apoi prezintă în
fața clasei afișul, explicând semnificația celor sc rise pe el și răspund întrebărilor puse de colegi. Se
expun afișele pe pereți, acolo unde dorește fiecare echipă iar lângă fiecare afiș se lipește câte o
foaie goală. Se cere grupurilor să facă un tur, cu oprire înfața fiecărui afiș și să noteze pe foaia a lba
anexată, comentariile, sugestiile, întrebările lor. Fiecare grup va citi comentariile făcute de
celelalte grupe și va răspunde la întrebările scris e de acestea pe foile albe.
Avantaje: elevii oferă/primesc feed-back referitor la munca lor, au șansa de a compara produsul
muncii cu al altor echipe și de a lucra în mod orga nizat si productiv.
Acestea sunt numai câteva dintre metodele interacti ve de lucru în echipă. Fiecare dintre ele
înregistrează avantaje și dezavantaje, important fi ind însă momentul ales pentru desfășurarea lor.
Profesorul este acela care are puterea decizională și capacitatea de a alege ceea ce știe că se poate
desfășura în propriul colectiv de elevi. În teoria și practica didactică contemporană, problematica
instruirii interactive cunoaște abordări șt iințifice noi, complexe, interdisciplinare,
susținute de argumente ce susțin participarea activă și reflexivă a elevilor în procesele
învățării și evaluării.

88 1.3. Mijloace de învățământ folosite în procesul de pred are – învățare

Alături de metodologia didactică, mijloacel e de învățământ reprezintă o
subdiviziune a tehnologiei instruirii și autoinstru irii – un proces complex, care vizează toate
etapele procesului de învățământ, urmărind leg ăturile stabilite între acestea: proiectare,
realizare, (auto)evaluare, (auto)reglare.
Sintagma „mijloace de învățământ” se referă la ansa mblul materialelor naturale – obiecte
din realitatea înconjurătoare, în forma lor natural ă: minerale, plante, animale, aparate, instalații,
etc. sau realizate intenționat: modele, planșe, hăr ți, manuale, cărți, fișe de lucru, chestionare,
teste, portofolii, jocuri didactice, care sprijină atingerea obiectivelor activității instructiv –
educative. De asemenea, sintagma „mijloace de învă țământ” include ansamblul cerințelor
pedagogice de selectare și integrarea lor în strate giile didactice, în viziune sistemică și de
valorificare eficientă în procesul instructiv – edu cativ.
Valențele psiho-pedagogice ale mijloacelor de învăț ământ se referă la faptul că ele
 asigură caracterul intuitiv, concret – senzorial și sugestiv al activității de învățare;
 asigură transmiterea și însușirea de informații bo gate, bine selectate și prelucrate din
punct de vedere didactic.
Mijloacele de învățământ dobândesc valoare de instr umente pedagogice – se interpun între
logica științei și logica elevului, înlesnesc și op timizează comunicarea profesor – elev,
interacțiunile care se stabilesc în clasă.
Dezvoltarea ansamblului mijloacelor de învățământ, valorificarea lor eficientă în
activitățile didactice și soluționarea unor problem e practice ale instrucției și educației, au
demonstrat și demonstrează că activitatea didactică nu se restrânge la transmiterea verbală a
cunoștințelor și că limbajul verbal nu constituie u nicul instrument de predare al cunoștințelor. În
funcție de caracteristicile situației de instruire, se utilizează mijloacele de învățământ ale căror
funcții și virtuți le fac eficiente în contextul ed ucațional respectiv.
Cele mai importante funcții pedagogice sunt:
 Funcția stimulativă – dezvoltarea motivației interne a elevilor pentru studiu, în
trezirea curiozității și a dorinței de cunoaștere;
 Funcția formativă – este asigurată de contribuția lor la exersarea și dezvoltarea
gândirii și a operațiilor acestora: analiza, sintez a, comparația, abstractizarea,
generalizarea, etc;

89  Funcția informativă – este datorată faptului că mijloacele de învățămân t oferă, în
mod direct, un volum de informații despre diferite obiecte, fenomene, procese,
evenimente;
 Funcția ilustrativă și demonstrativă – este exercitată atunci când mijloacele de
învățământ sunt valorificate ca material demon strativ, ca substitute ale
realității, însoțind explicațiile profesorului;
 Funcția de investigare experimentală și de formare a priceperilor și
deprinderilor intelectuale și practice – este asigurată în contextele
educaționale cu caracter experimental, în care elevii își formează și exersează
priceperi și deprinderi intelectuale și practice;
 Funcția ergonomică – este funcția de raționalizare a eforturilor profeso rilor și
elevilor în timpul activităților de predare – învăț are, respectiv de reducere a
ponderii acțiunilor repetitive, rutiniere, de efici entizare a acțiunii de organizare și
ghidare a activităților elevilor;
 Funcția substitutivă – este asigurată de facilitățile pe care le oferă une le mijloace
de învățământ care permit realizarea învățământ ului la distanță (de exemplu
televiziunea, computerele, rețele de calculatoare, Internet);
 Funcția de evaluare – este datorată faptului că unele mijloace de învățăm ânt pot
servi la verificarea și evaluarea nivelului d e cunoștințe, priceperi, deprinderi,
competențe ale elevilor;
 Funcția estetică – este asigurată în contextele educaționale în care e levii
receptează, înțeleg și evaluează frumosul, resp ectiv valori cultural – artistice,
morale, sociale;
 Funcția de orientare a intereselor elevilor – este realizată în secvențele în care
mijloacele de învățământ le oferă acestora informaț ii în legătură cu anumite
profesiuni și status-uri, imagini, comentarii.
Pornind de la particularitățile de vârstă și indivi duale ale elevilor și de la caracteristicile
situației de instruire, profesorul proiectează și organizează secvențe de instruire care să
contribuie într-o măsură cât mai mare și cât mai ef icient la formarea și informarea elevilor,
recurgând la mijloace de învățământ pe care le cons ideră cele mai adecvate și mai eficiente.
După C. Cucoș, mijloacele de învățământ sunt împărț ite în două mari categorii:
a)Mijloace de învățământ ce cuprind mesaj didactic
– Obiecte substitutive, funcționale și acționale: mac hete, mulaje, modele.
– Suporturi figurative și grafice: hărți, planșe, alb ume fotografice, panouri.

90 – Mijloace simbolico-raționale: tabele cu formul e, scheme structurale sau
funcționale.
– Mijloace tehnice audio-vizuale: diapozitive, filme, materiale audio-video.
b)Mijloace de învățământ care facilitează transmite rea mesajelor didactice
– Instrumente, aparate și instalații de laborator
– Instrumente muzicale și aparate sportive
– Computere și orice dispozitiv media
– Jocuri, simulatoare didactice.
Mijloacele de învățământ se dovedesc a fi utile, în măsura în care sunt integrate organic
în contextul lecțiilor și li se imprimă o finalitat e pedagogică. Eficiența utilizării mijloacelor de
învățământ ține de inspirația și experiența didacti că a profesorului, în a alege și a–și sprijini
discursul pe un suport tehnic.

2. ELEMENTE DE DEONTOLOGIE A EVALUĂRI I ÎN
CONTEXTUL CREȘTERII CALITĂȚII ACTULUI EDUCAȚIONAL

Lumea se află într-o continuă schimbare. Pent ru a putea transmite informații
corecte și reale trebuie să fim foarte bine informa ți și să avem o serie de abilități. În opinia celor
mai mulți, noi nu producem nimic. Însă toți au trec ut mai mult sau mai puțin prin școală…este
greu pentru ei să recunoască meritul cadrelor didac tice fără de care ei nu ar putea scrie, citi sau
chiar vorbi.
Calitățile pe care trebuie să le aibă un educator s unt din ce în ce mai multe iar
standardele pe care ar trebui să ni le impunem fiec are sunt dintre cele mai înalte.
Personal,consider că cel mai bun criteriu de evalua re a unui cadru didactic îl constituie, pe lângă
rezultatele elevilor săi, și recunoștința pe care a ceștia i-o poartă. Ce răsplată poate fi mai mare ca
aceea când un fost elev îți mulțumește pentru ceea ce l-ai învățat ?
Formarea cadrului didactic începe pe băncile școlii și nu se termină niciodată. Pentru a
putea desfășura o muncă de calitate trebuie să f ii la curent cu toate schimbările, cu toate
noutățile. De aceea în această meserie înveți tu pe ntru a-i învăța pe alții. Formarea continuă a
devenit o necesitate. Este nevoie de această formar e continuă pentru a putea face față afluxului
de informații, pentru a ne adapta strategiile la mi jloacele
noi pe care le avem la dispoziție, dar, mai ales, l a elevul din ziua de azi.
În opiniile multora, performanțele elevilor sunt le gate de dăruirea și calitatea corpului
profesoral, de dotarea materială a școlii. Elevii e voluează într-un mediu care le determină

91 succesele și eșecurile. Eficiența lor la învățătură , chiar motivația, depind de mediul social
organizat de adulți.
Statutul social al profesorului în societatea conte mporană pare să fie statutul clasei
mijlocie. Meseria de profesor nu se găsește între c ele mai solicitate, dar nici între cele evitate.
Profesiunea intelectuală, respectată, nu distribuie deținătorului putere, influență sau venituri
superioare dar conferă prestigiu și satisfacții, vo cația fiind considerată u nul dintre motivele de
bază în alegerea acestei profesiuni. Principala cal itate a profesorului este vocația pedagogică
și eu cred că cele mai multe discuții care s-au pur tat asupra trăsăturilor de personalitate ale
profesorilor au fost despre aptitudinea pedagogică.
Tactul pedagogic sau lipsa de tact apar numai pe fundalul interacțiu nii profesor – elev.
În opinia profesorilor, tactul pedagogic presu pune: calm, echilibru, aprecierea corectă și
obiectivă a elevilor, conștiinciozitate, perseve rență, spirit de răspundere în activitatea
pedagogică.
Profesorul nu este dor un transmițător de in formații, care se rezumă la a da
indicații elevilor, ce și cum să învețe, ci și un a ntrenor care, prin întrebări analitice, stimulând
gândirea elevilor, creează premise pentru ca acești a, prin găsirea independentă a răspunsurilor, să
ajungă la o mai bună înțelegere a problemei; trezir ea interesului elevilor, stimularea motivației
acestora. A organiza învățarea, înseamnă a găsi met odele cele mai adecvate, a construi secvențe
instructive bazate pe logica obiectivă a discipline i, a trezi interesele elevilor și a stimula
performanțele.
Evaluarea efectuată de către profesor asupra rezult atelor elevilor constituie o activitate
deosebit de complexă care exercită un impact profun d la nivelul beneficiarilor atât din punct
de vedere pedagogic, cât și din perspectiva psiholo gică și socio -morală. Evaluarea rezultatelor
școlare furnizează datele necesare în vederea adopt ării celor mai bune decizii educaționale,
apreciază măsura în care rezultatele învățării sunt în concordanță cu obiectivele educaționale
propuse, vizează totalitatea proceselor și a produs elor care măsoară natura și nivelul
performanțelor atinse de elevi.
Profesorul de matematică are in vedere faptul că ob iectivele operaționale susțin și
determină structura și felul rezultatelor care, la rândul lor, converg spre diferite tipuri de achiziț ii
obținute, exprimate prin cunoștințe achiziționate, capacitate de aplicare a acestora în actul de
formare de priceperi și deprinderi, trăsături de pe rsonalitate, conduite si capacități intelectuale,
redate în raționamente, argumente și interpretări a le faptelor din natură și societate.
Între evaluare și activitatea de predare învățare s e poate identifica o relație complexă, care
explică și orientează procesul educațional, reclamâ nd ca:

92 – procesele evaluative să susțină și să stimule ze activitatea de predare –
învățare, indiferent de obiectivele evaluării;
– reglarea activității de predare-învățare pe baza re zultatelor școlare să se
realizeze continuu și permanent;
– cunoașterea rezultatelor și explicarea aces tora, predicția rezultatelor probabile
în secvențele următoare au rolul de a regla procesu l didactic prin acțiunile evaluative.
Rezultă de aici, că acțiunile evaluative sunt prezente în toate activit ățile didactice,
independent de complexitatea și dimensiunile ei . Acțiunile evaluative nu se suprapun
actului didactic, dar se află într-un raport de int eracțiune funcțională (I.T.Radu, 2005).
Profesorul de matematică proiectează activitatea de evaluare concomitent cu proiectarea
demersului de predare – învățare și în deplină conc ordanță cu acestea. Finalul fiecărei unități de
învățare presupune evaluarea sumativă.
În proiectarea probelor de evaluare apar următoarel e întrebări:
 Care sunt obiectivele de referință, competențele și
conținuturile pe care trebuie să le rezolve elevii?
 Care sunt performanțele minime, medii și superioare pe care
le pot realiza elevii?
 Pentru ce tip de evaluare optez? Cu ce instrumente voi realiza
evaluarea?
 Cum voi folosi datele oferite de instrumentele de e valuare
administrate pentru a eliminablocajele ivite în for marea
elevilor și pentru a asigura progresul școlar?
Stabilirea criteriilor de apreciere reprezintă o pr oblemă specifică evaluării și se pune
problema trecerii de la prioritatea acordată criteriului subiectiv (profesorul este suveran în
acordarea notei, adică fiecare profesor apreciază î n funcție de ceea ce se consideră că trebuie să
știe elevii) la criterii obiective , cât mai detașate de evaluator. În acest context s -a introdus
distincția între aprecierea raportată la normă și l a criteriu. Astfel, raportarea la nivelul general a l
clasei (evaluarea criterială) se corelează cu o bie ctivele operaționale propuse, care evidențiază
distincția dintre normă și criteriu. De regulă, rez ultatele școlare constatate pun în evidență
valoarea efectelor activității de învățare. De acee a după efectuarea măsurării rezultatelor se
impune formularea răspunsurilor la următoarele într ebări :
 rezultatele obținute sunt satisfăcătoare ?
 rezultatele sunt în concordanță cu așteptările ?
 rezultatele marchează un progres în pregătirea elev ului ?

93  rezultatele pot fi ameliorate ?
Răspunsurile la aceste întrebări se dau în urma int erpretării rezultatelor care se axează pe
diferite criterii valorice, condiția este ca apreci erea rezultatelor să fie realizarea unei evaluări
obiective. Urmează luarea unor decizii și măsuri de ameliorare a activității de predare – învățare,
cu respectarea calității evaluării.
Un bun profesor trebuie sa fie capabil de o mare va rietate de stiluri didactice, să-și regleze
stilul prin adaptare, în funcție de situațiile ivit e, asigurând flexibilitate și eficiență .
Profesorul de matematică este creativ în conceperea și conducerea lecțiilor numai dacă
are o consistentă pregătire pedagogică, metodică și de specialitate, precum și o deschidere
suficient de largă pentru a proiecta corect actul d idactic.
Atingerea unui randament superior în activitatea di dactică nu este posibilă fără
cunoașterea și aplicarea corectă a strategiilor did actice. Strategiile euristice și algoritmice sunt
consolidate de strategiile evaluativ-stimulative.
In condițiile unui stil didactic elevat, riguros și performant, o condiție esențială este
raportarea evaluării la componentele actului didact ic. În felul acesta, instrumentele de
evaluare, metodele și tehnicile adecvate trebuie să fie cât mai flexibile, să asigure validitatea și
fidelitatea, pentru ca măsurarea rezultatelor învăț ării să fie reală, obiectivă și
exactă.
Profesorul de matematică trebuie să se distingă pri n:
 competența profesională;
 integritate;
 obiectivitate;
 confidențialitate.
Profesorul de matematică trebuie să fie în permanen ță preocupat de succesul școlar, care
reprezintă o stare de concordanță a capacității de învățare a elevului și a exigențelor școlare, de
aceea este necesară punerea de acord a solicitărilo r profesorului de geografie cu capacitățile de
învățare ale elevilor și de adaptare a acestora la activitatea școlară, trebuie să se axeze pe
alternanța dintre metodele tradiționale de evaluare și cele complementare.
Personalitatea profesorului evaluator se bazează pe două dimensiuni importante care pot
fi puse în legătură cu etica procesului evaluativ:
• dimensiunea profesionalismului său, care poate fi a nalizat sub aspectul cunoștințelor și
abilităților pe care el le are în domeniul specialității precum și, în domeniul teoriilor ș i
practicilor evaluative;

94 • dimensiunea atitudinii pe care el o adoptă în decursul procesului evaluativ (aspect
care se află într-o relație directă cu caracterul ș i cu setul de valori morale la care el aderă, cu
atașamentul său la valorile acceptate din punct de vedere social).
Evaluarea rezultatelor școlare ale elevilor trebuie să fie cât mai obiectivă, evaluările
perfect obiective reprezintă o aspirație perpetuă a evaluatorilor.

2.1. TIPOLOGIA ITEMILOR – definiție și caracterizar e generală
Instrumentul de evaluare se compune din itemi care solicită tehnici de declanșare/
prezentare/ redactare a răspunsurilor. Cele trei co ncepte sunt intim asociate. Deși vizează realități
diferite ale procesului evaluativ, se află într-o s trânsă interdependență. Între itemii de evaluare,
tehnicile de evaluare și instrumentele de evaluare este o legătură indisolubilă.
Itemul poate fi definit ca o unitate de măsurare ca re include un stimul și o formă
prescriptivă de răspuns, fiind formulat cu in tenția de a suscita un răspuns de la cel
examinat, pe baza căruia se pot face interferențe c u privire la nivelul achizițiilor acestuia într-o
direcție sau alta. El poate fi prezentat singular s au în strânsă relație cu alți itemi de același tip
(sau tipologii diferite), poate presupune alegerea sau elaborarea răspunsului într- un timp strict
determinat sau fără limită de timp.
Itemii trebuie să respecte aceleași exigențe de pro iectare, administrare și scorare indiferent
de natura testului în care sunt incluși (tes te elaborat e de profesor, teste standardizate,
teste formative, sumative etc).
Literatura de specialitate oferă mai multe cl asificări ale itemilor. Criteriul
asigurării obiectivității în notarea sau aprecierea elevilor este, fără îndoi ală, cel mai important.
După acest criteriu identificăm:
– itemi obiectivi
– itemi semiobiectivi
– itemi subiectivi
Voi prezenta în continuare cele trei categorii de i temi cu avantaje și dezavantaje.
ITEMII OBIECTIVI presupun întotdeauna alegerea răspunsului corect dintr-o
listă anterior elaborată și pusă la dispoziția celu i examinat. Acești itemi se mai numesc
itemi cu răspuns dat sau itemi închiși deoarece ele vul nu este nevoit sa elaboreze răspunsul ci
să îl aleagă din mai multe variante posibile. Astfe l, răspunsul este identic pentru toți
candidații iar evaluatorii corectează în același mo d. Clasificarea acestui tip de item se face în
funcție de natura stimulului sau în funcție de natu ra răspunsurilor solicitate:

95 a. Itemi cu răspuns dual – solicită alegerea uneia din cele două posibilităț i de
răspuns: adevărat/fals, corect/greșit, potrivit/nep otrivit.
Acest tip de item este alcătuit dintr-o instrucțiun e pentru cel examinat, unul sau mai
multe enunțuri conținând sarcina de rezolvat, însoț ite de variantele de răspuns DA/NU, A/F
etc. Uneori există și alternativa ca examinatul să plaseze, nu să bifeze aprecierile de acest tip,
în relație cu itemii corespunzători.
AVANTAJE
– obiectivitate ridicată în evaluarea rezultatelor;
– evaluarea unui număr mare de conținuturi într-un ti mp relativ scurt, dat fiind faptul că
răspunsurile sunt deja formulate iar examinatul ind ică doar valoarea de adevăr a
acestora;
– precizia și simplitatea sarcinilor de rezolvat creș te fidelitatea și obiectivitatea
acestui tip de itemi;
– punctajul se acordă sau nu, în funcție de marcarea răspunsului corect;
– favorizează evaluarea unor comportamente asociate u nor nivele taxonomice diferite
(cunoaștere, înțelegere, aplicare);
– favorizează un feed-back rapid;
– proiectarea este relativ simplă;
– rezultatele sunt ușor de cuantificat.
DEZAVANTAJE:
– validitate relativ mică datorată simplității itemil or de acest tip;
– încurajează o învățare bazată pe recunoaștere (unel e răspunsuri corecte pot fi
ghicite prin eliminare sau chiar ghicite);
– defavorizează elevul care a rezolvat corect o parte din problemă și întâmpină dificultăți
în rezolvarea acesteia pe parcurs;
– nu permite verificarea raționamentului, a modului d e exprimare și chiar de redactare a
soluției;
– nu pot fi folosiți în evaluarea unor rezultate de î nvățare complexe.
EXIGENȚE DE PROIECTARE:
– evitarea adevărurilor banale în redactarea testului ;
– evitarea formulărilor lungi, greoaie, chiar inexact e ce induc elevul în eroare;
– evitarea includerii în același enunț a două idei ca re nu se află în relație directă și pot
dezorienta elevul;
– evitarea enunțurilor negative, mai ales cele care i nclud o dublă negație;

96 – trebuie să existe un echilibru între numărul enunțu rilor adevărate și cele false pentru a
nu determina elevul să greșească prin generalizarea unei reguli pe care poate considera
că a deprins-o din rezolvarea itemilor anteriori.
b. Itemi cu alegere multiplă – solicită alegerea unui răspuns dintr-o listă d e
alternative. Pot servi atât la măsurarea unor comportamente specifice nivelurilor
taxonomice superioare, cât și a comportamentelor as ociate cu analiza și evaluarea. Acest tip de
itemi sunt utilizați în cazul probelor de evaluare, permițând măsurarea rezultatelor învățării:
cunoașterea terminologiei, a definițiilor, a principiilor, metodelor sau procedeelor.
Un item cu alegere multiplă este format din două el emente:
– tulpina (problema) – formulată printr-o întrebare di rectă sau un enunț
incomplet;
– o serie de răspunsuri propuse, din care una este co rectă (sau cea mai bună) iar
celelalte au rolul de distractori (variante incorecte), constituind obstacole ce tre buie
depășite de examinați în alegerea răspunsului corect. Distractorii trebuie să fie
stimulativi, nu derutanți.
Dacă discutăm despre natura răspunsului solicitat, acest tip de itemi pot fi proiectați în
două variante:
– itemii cu răspuns corect – presupun alege rea răspunsului corect care
completează un enunț, dintr-o listă de alternative pusă la dispoziția elevului. (Se
aseamănă cu itemii semiobiectivi tip răspuns scurt, de completare, însă în acest caz
elevul alege răspunsul, nu îl elaborează).
– itemii cu răspunsul cel mai bun sunt preferați pent ru analiză și evaluare, mai multe
dintre răspunsurile pe care elevul trebuie să le an alizeze sunt acceptabile, dar în
măsură diferită, elevul trebuind să indice cea mai potrivită variantă.
AVANTAJE:
– pot acoperi conținuturi diverse la un nivel de prof unzime satisfăcător;
– proiectarea, administrarea și scorarea este relativ simplă;
– asigură o obiectivitate ridicată în evaluarea rezul tatelor;
– au eficiență crescută, având în vedere volumul mare de conținuturi ce poate fi evaluat
într-o singură sesiune de evaluare;
– punctajul se acordă sau nu, în funcție de marcarea răspunsului corect.
DEZAVANTAJE:
– nu permit evaluarea capacităților creative ale elev ilor, a capacității de sint eză;

97 – itemii care solicită precizarea celui mai bun răspu ns sunt dificil de proiectat –
distractorii trebuie să fie suficienți de contrasta nți în raport cu răspunsul corect iar
alternativele să fie în același timp, omogene;
– scorarea itemilor de mai sus poate genera dezacordu ri între evaluatori în cazul în care
există mai mult de o variantă de răspuns corectă;
– uneori răspunsurile corecte pot fi ghicite sau găsi te prin eliminare.
EXIGENȚE DE PROIECTARE:
– răspunsurile să fie formulate corect gramatical și să aibă , pe cât posibil, aceeași
lungime;
– „tulpina” itemului trebuie să fie formulată clar, l ogic și complet, evitându-se
impreciziile și ambiguitățile, să evite formulările negative ce pot pune în încurcătură
elevul;
– distractorii să aibă legătură cu problema ilustrată în enunț, trebuie să constituie
răspunsuri plauzibileastfel încât să stimuleze elev ul în analiza fiecărui posibil răspuns;
– evitarea folosirii expresiilor de tipul „toate cele de mai sus” sau „niciuna”;
– dacă un test include mai mulți itemi cu alegere mul tiplă, poziția răspunsului corect
trebuie să varieze pentru a descuraja specularea lo cului alternativei ce trebuie bifată.
c. Itemi de împerechere sau de asociere – presupun stabilirea unei corespondențe între
două liste de afirmații sau concepte, date, informa ții plasate de obicei în două coloane diferite (în
prima – stimulii sau premisele iar în cea de-a doua – răspunsurile).
AVANTAJE:
– obiectivitate ridicată în evaluarea rezultatelor;
– ușor de proiectat și de administrat;
– punctajul se acordă sau nu, în funcție de marcarea răspunsului corect;
– pot viza nivele taxonomice inferioare dar și superi oare;
– itemii de tip pereche sunt cei mai complecși dintre itemii obiectivi, fiind practic
construiți dintr-o serie de itemi cu alegere multip lă. Posibilitatea ca elevul să ghicească
răspunsul corect este redusă prin elaborarea listei de răspunsuri în așa fel încât să
conțină și distractori.
DEZAVANTAJE:
– nu permit evaluarea capacităților creative ale elevului, a capacității de organizare
a informației;
– proiectarea poate fi dificilă în cazul în care se v izează respectarea omogenității
premiselor și alternativelor de răspuns;

98 – în majoritatea situațiilor acești itemi sunt utiliz ați pentru a aprecia acuratețea asimilării
informațiilor de tip factual, deși se pretează și î n evaluarea comportamentelor asociate
înțelegerii, aplicării și chiar analizei.
EXIGENȚE DE PROIECTARE:
– premisele și alternativele de răspuns trebuie să ac opere un spectru omogen astfel
încât elevul să nu poată asocia elementele din cele două liste prin excluderea
răspunsurilor atipice, fără legătură logică cu cele lalte;
– răspunsurile trebuie prezentate într-o anumită ordine: fie cronologic, fie alfabetic
astfel încât să se evite dezorientarea elevului;
– numărul premiselor trebuie să fie mai mic decât num ărul răspunsurilor propuse pentru
a se evita relaționarea elementelor prin excludere;
– toate premisele și răspunsurile să fie plasate pe o singură pagină pentru a nu
genera confuzii sau omisiuni.
ITEMII SEMIOBIECTIVI solicită elevului operarea cu noțiuni matematice în tr- un
ritm mai alert decât fusese obișnuit, claritate în exprimare, demonstrarea înțelegerii noțiunilor
învățate.
a. Itemi cu răspunsuri scurte și itemi de completare sunt două categorii de itemi
similari; proiectarea, administrarea și notarea răs punsurilor se supun acelorași exigențe. În cazul
primei categorii, răspunsul se solicită printr-o în trebare directă sau printr-un enunț direct, în timp
ce itemii de completare constau în completarea unui cuvânt sau a unei sintagme într-un text
lacunar.
Aceste tipuri de itemi permit evaluarea de r ezultate diverse ale activității de
învățare dar la nivele taxonomice inferioare: cunoașterea terminologiilor, a regulilor,
metode și procedee de acțiune, interpretarea unor d ate simple, capacitatea de a utiliza simboluri
matematice, capacitatea de rezolva probleme simple de matematică.
AVANTAJE:
– acoperă o arie largă de conținut;
– se construiesc relativ ușor;
– permit o notare obiectivă;
– permit evaluarea unui număr mare de concepte, depri nderi, priceperi.
DEZAVANTAJE:
– nu permit testarea unor nivele cognitive superioare : analiză, sinteză, rezolvare
de probleme;
– fiecare zonă de conținut necesită un număr mare de itemi;

99 – răspunsul foarte scurt limitează dezvoltarea unor a bilități complexe.
EXIGENȚE DE PROIECTARE:
– este recomandat să nu se utilizeze un text din manu al pentru a nu se încuraja
memorarea mecanică;
– este indicat ca unitățile de măsură să fie precizat e atât în formularea întrebării cât și
în spațiul lacunar (asta va sugera evaluatorului că un răspuns greșit din partea elevului
nu este cauzat de o eroare de citire sau înțelegere a întrebării);
– este indicat ca spațiul liber furnizat să sugereze dacă răspunsul va conține un cuvânt
sau mai multe, propoziții sau fraze (în ultimele si tuații spațiile libere vor avea aceeași
lungime pentru a nu oferi elevului indicii privind răspunsul).
b. Itemii structurați constituie de fapt un set de întrebări care au în c omun un element
sau se referă la același concept, fenomen. Un astfe l de item este alcătuit dintr-un material-stimul
(reprezentat printr-un desen, text, tabel etc) și o suită de subîntrebări conectate prin conți nut
cu materialul-stimul. Practic, subîntrebările ghide ază răspunsurile elevului și îi oferă un cadru în
care își realizează demersul.
AVANTAJE:
– permit aprofundarea unei teme din diferite perspect ive;
– stimulează creativitatea elevului;
– evaluează comportamente corespunzătoare unor nivele taxonomice
înalte:aplicare și uneori chiar analiză;
– permit abordarea întrebărilor structurate de căt re un număr mare de elevi, măcar
în prima parte, deoarece itemii sunt organizați în funcție de gradul lor de dificultate;
– asigură atractivitatea evaluării prin utilizarea un or materiale-stimul de tipul graficelor,
diagramelor etc;
– permit transformarea unor itemi de tip eseu într-o serie de itemi obiectivi și
semiobiectivi iar asta determină o creștere a fidel ității evaluării.
DEZAVANTAJE:
– elaborarea schemelor de corectare și notare este ma i dificilă;
– în unele situații răspunsurile la întrebări sunt co nectate între ele și asta trebuie să se
evidențieze clar în schema de notare.
EXIGENȚE DE PROIECTARE:
– se recomandă ca subîntrebările să fie indepen dente astfel încât să nu
condiționeze răspunsurile la un item de răspunsuril e itemilor anteriori;
– itemii trebuie să fie strict conectați la materialu l-stimul pentru a nu orienta

100 eronat elevul către speculații inutile;
– subîntrebările trebui proiectate gradat din pu nct de vedere al nivelului de
dificultate, din cel puțin două motive: pentr u a asigura evaluarea unor capacități
cu nivele crescânde de complexitate dar și p entru a încuraja abordarea subiectului
de către elev;
– fiecare subîntrebare testează unul sau mai multe ob iective.
ITEMII SUBIECTIVI solicită răspunsuri deschise care în funcție de vo lumul
răspunsului așteptat pot avea caracter restrictiv sau extins. Acest tip de itemi permite
evaluarea unor obiective complexe ale învățării car e evidențiază originalitatea, creativitatea și
carcaterul personal al răspunsului. Ei reprezintă f orma tradițională de evaluare în țara noastră,
sunt ușor de construit, solicită răspunsuri deschis e și evaluează procese cognitive de nivel înalt.
Se pot delimita două categorii de itemi subie ctivi: itemi de tip rezolvare de
probleme și itemi de tip eseu (structurat sau nestructurat).
Natura acestor itemi imprimă o notă subiectivă asup ra calculării punctajului chiar dacă
se elaborează un barem de corectare foarte riguros.
a.Itemi de tip rezolvare de probleme presupun prezentarea unor situații- problemă,
nefamiliare care nu dispun de o soluție predetermin ată, precum și antrenarea acestuia pentru
identificarea unor soluții prin parcurgerea unor et ape: identificarea problemei, culegerea și
selectarea datelor relevante, formularea și validar ea uno r ipoteze, identificarea metodei de
rezolvare, propunerea unei soluții, evaluarea soluț iei și formularea concluziei asupra rezolvării
realizate.
Situațiile-problemă pot fi:
– închise , când elevului îi sunt puse la dispoziție toate da tele necesare rezolvării, scopul
este precizat clar iar succesiunea cerințelor s ugerează și etapele de rezolvare;
– deschise , când elevul dispune doar de datele cele mai impor tante, procesul de
rezolvare este doar sugerat iar demersul propriu-zi s trebuie ales de către cel examinat.
Elaborarea și rezolvarea problemelor necesită mai m ult timp și uneori implică și existența
unor resurse materiale. Capacitatea de a rezo lva probleme se dezvoltă prin exercițiu de-a
lungul unei perioade lungi de timp. De aceea, când se folosește rezolvarea de probleme ca metodă
de evaluare, trebuie să se înceapă cu cerințe simpl e.
AVANTAJE:
– permite formularea unei gândiri productive;
– stimulează gândirea creativă a elevilor și încuraje ază transferul de proceduri și metode
de rezolvare a problemelor în interiorul aceluiași domeniu sau domenii diferite;

101 – încurajează elevul să analizeze comparativ mai mult e metode, căi de rezolvare a unei
probleme, să ia decizii cu privire la alegerea cele i mai potrivite;
– permite utilizarea unor materiale diverse, unele di ntre ele favorizând contactul cu
elemente ale vieții cotidiene;
– favorizează activitățile de lucru în echipă (dacă s unt proiectați în acest sens) și
dezvoltarea abilităților autoevaluative;
– oferă posibilitatea analizei erorilor.
DEZAVANTAJE:
– timpul de administrare și de corectare este mai îndelungat decât în cazul
itemilor obiectivi și subiectivi;
– elaborarea schemei de corectare și notare est e dificilă, lăsând uneori loc
interpretărilor subiective ale evaluatorului;
– notarea fiecărui elev trebuie făcută nuanțat, în fu ncție de ajutorul acordat de profesor
sau colegi, notându-se de asemenea și contribuția fiecărui elev în cadrul grupului.
EXIGENȚE DE PROIECTARE:
– activitatea se poate desfășura individual sau în gr up, în funcție de natura și conținutul
problemei;
– situația-problemă trebuie să fie adecvată nivelului de vârsta și de pregătire al
elevilor;
– sarcinile de evaluat trebuiesc conectate la o biectivul de evaluare vizat și
conținuturile disciplinei;
– schema de notare și corectare trebuie elaborată cu deosebită atenție, pentru a
minimiza efectele subiectivității evaluatorului.
b.Itemi de tip eseu presupun elaborarea de către elev a unor răspunsuri complexe, având
suficientă libertate în explicare, argumentare etc. Așa cum ne putem da seama și din denumirea
lui, acest tip de item nu se pretează disciplinelor exacte, fiind un instrument de evaluare cu
precădere în domeniile „umaniste”, așa că nu vom in sista asupra lui.

3. PROIECTAREA DIDACTICĂ
Proiectarea oricărei activități umane este o cara cteristică a acțiunii eficiente, a
responsabilității și a competenței celui care reali zează acțiunea. Activitatea didactică, care are
drept scop formarea ființei umane nu poate să facă abstracție de proiectarea acestor activități.
Proiectarea didactică reprezintă procesul deliberat iv, de fixare mentală a pașilor ce vor fi
parcurși în realizarea instruirii și educației.

102 Pedagogii americani R.M. Gagne și L.J. Briggs folosesc pentru proiectarea didactică
sintagma „design instrucțional”, în sensul de act d e anticipare și de prefigurare a unui demers
educațional, astfel încât să fie admisibil și tradu ctibil în practică.

3.1. Tipuri de proiectare didactică
L.Vlăsceanu distinge două tipuri de proiectări avân d drept criteriu perioada de timp:
proiectarea globală și proiectarea eșalonată.
Proiectarea globală are ca referință o perioadă mai mare de instruire – ciclu sau an de
studii – și operează cu obiective, conținuturi și c riterii de evaluare mai largi, ce au în vedere
activitățile din instituțiile școlare. Concretizare a acestui tip de proiectare se realizează îndeosebi
prin dimensionarea planurilor de învățământ și a programelor.
Proiectarea eșalonată se materializează prin elaborarea programelor de in struire
specifice unei discipline și apoi unei lecții, apli cabile la o anumită clasă de elevi.
Așadar putem observa faptul că, proiectarea globală creează cadrul, limitele și
posibilitățile proiectării eșalonate. Cadrul didact ic realizează o proiectare eșalonată, raportându-
se la trei planuri temporale: anul școlar, semestru l școlar, ora școlară. El realizează o proiectare
anuală și semestrială a disciplinei pe care o predă , apoi o proiectare a unităților de învățare.
Documentul orientativ pentru elaborarea acestor pla nificări este programa școlară a disciplinei
respective.
Modelul curricular al proiectării pedagogice presup une următoarele caracteristici:
– este centrat pe obiective și propune acțiuni didact ice specifice procesului complex de
predare-învățare-evaluare;
– punctul de plecare îl constituie obiectivele stabil ite pentru elev în spiritul unui învățământ
formativ, bazat pe valorificarea potențialu lui de autoinstruire – autoeducație a fiecărui
elev/student;
– între toate elementele activității didactice (obiec tive-conținut-metodologie- evaluare) se
stabilesc raporturi de interdependență, determina te de rolul central al obiectivelor
pedagogice;
– asigură echilibru dintre pregătirea de specialitate a formatorilor (concepută interdisciplinar,
cu o disciplină „principală” și cel puțin una „secu ndară”) și pregătirea psihipedagogică.
(Cucoș,pp.313-314).

103 3.2. Etapele proiectării didactice
I. Jinga și I. Negreț propun un algoritm al proiectării didactice sub forma
răspunsurilor la patru întrebări:
I. Ce voi face? Precizarea în mod clar a obiectivelor
educaționale
II. Cu ce voi face?
Stabilirea resurselor educaționale
III. Cum voi face? Stabilirea strategiei educaționale po trivite
pentru realizarea obiectivelor
IV. Cum voi ști dacă am realizat ceea
ce trebuia? Stabilirea unui sistem de evaluare a eficienței
activității pe care o vom realiza.

Etapa precizării obiectivelor – este cea mai importantă etapă deoarece identificare a și
stabilirea clară a obiectivelor este garanția succe sului în educație, toate celelalte componente ale
procesului de învățământ: conținutul, strategiile d e predare-învățare și evaluare raportându-se la
obiectivele stabilite. Realizarea acestei etape este nu numai dificilă, dar și de mare
responsabilitate pentru educator deoarece el va tre bui să delimiteze, să formuleze conduite și
achiziții educative pe care să le redea în termeni de comportamente concrete,
identificabile și comensurabile.
Etapa a doua – analiza resurselor – cuprinde operațiile de identificare a
conținutului învățământului, a resurselor psihologi ce și a celor materiale care determină buna
desfășurare a procesului de învățământ.
Etapa a treia – elaborarea strategiei didactice – este etapa în care creativitatea și
experiența didactică a educatorului pot fi valorifi cate la maximum. Această etapă mai este
cunoscută și ca „ etapa celor 3 M ” – adică: Metode – Mijloace – Materiale . Combinația celor
trei variabile (3M) în proiectarea didactică trebuie astfel realizată încât fiecare variabil ă să
potențeze valoarea celeilalte, ajungându-se în fina l la creșterea eficienței procesului didactic.
Etapa a patra – evaluarea – vizează stabilirea tehnicilor de evaluare a rezulta telor
învățării în concordanță cu obiectivele operațional e formulate în etapa întâia. Prin evaluare se va
stabili raportul obiective/rezultate cât și eficien ța activității didactice în raport cu resursele.
Conform noului curriculum, planificarea/proiectarea calendaristică/semestrială este un
document administrativ, care asociază într-un mod p ersonalizat elemente ale programei cu
alocarea de timp considerată optimă de către cadrul didactic, pe parcursul unui an școlar.

104 Proiectarea pedagogică a unei unități de învățare detaliază proiectarea semestrială și
presupune următoarele activități:
 precizarea obiectivelor specifice unității de înv ățare respective, pornind de la
obiectivele de referință formulate în proiectarea s emestrială;
 analiza conținutului capitolului/ unității de învăț are;
 delimitarea activităților/ lecțiilor care asigură r ealizarea obiectivelor specifice
corelate cu conținuturile unității de învățare;
 formularea obiectivelor operaționale (concrete) cor espunzător fiecărui obiectiv
specific;
 precizarea resurselor necesare realizării obiective lor operaționale;
 metodologia de evaluare a realizării obiectivelor o peraționale.
De menționat că, în concepția actuală, prin unitate de învățare se înțelege
„O structură didactică deschisă și flexibilă, care are următoarele caracteristici:
 determină formarea la elevi a unui comportame nt specific, generat prin
integrarea unor obiective de referință sau competen țe specifice;
 este unitară din punct de vedere tematic;
 se desfășoară în mod sistematic și continuu pe o pe rioadă de timp;
 se finalizează prin evaluare.”

105 3.3.Proiectarea unității de învățare
Unitatea de învățare : SSIISSTTEEMMEE DDEE EECCUUAAȚȚIIII LLIINNIIAARREE
Disciplina : Matematică
Clasa : a XI-a A
An școlar : 2019-2020
Profesor : Cojocaru-Apostolachi Anca-Mihaela

Competențe specifice :
C1 : Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea mat riceală a unui proces
C2 : Aplicarea algoritmilor de calcul în situații prac tice
C3 : Stabilirea unor condiții de existență și/sau comp atibilitate a unor sisteme
C4 : Rezolvarea unor sisteme utilizând algoritmi speci fici
C5 : Identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora
C6 : Optimizarea rezolvării unor probleme sau situații -problemă prin alegerea unor strategii și
metode adecvate

Sugestii metodologice :
M1: Folosirea unor idei și reguli matematice în abord area unor probleme practice sau
pentru structurarea unor situații diverse
M2: Utilizarea unor formule standard în rezolvarea de probleme
M3: Analiza secvențelor logice în etapele de rezolvar e
M4: Citirea corectă și conștientă a enunțului unei pr obleme M5:
Reformularea unei probleme echivalente sau înrudite M6:
Inițierea sau realizarea creativă a unor investigaț ii
M7: Folosirea unor reprezentări variate pentru antici parea unor rezultate
M8: Precizarea modului de alcătuire a unei succesiuni de date și verificarea pe cazuri
particulare a regulilor descoperite
M9: Imaginarea și folosirea unor reprezentări variate pentru depășirea unor dificultăți

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE „SISTEME DE ECUAȚII LINIARE”

Nr.
crt.
Etape ale
proiectării Detalieri ale
etapelor Compet.
specifice
Conținuturi

Activități de învățare

Resurse

Evaluare

1. Actualizarea
Identificarea setului de cunoștințe Se identifică achizițiile anterioare necesare în înțelegerea și
prelucrarea noului
conținut

C2

C6 Matrice inversabile din *
%ℂ!, O ≤ 4 .
Ecuații matriceale Rangul unei matrice Exerciții recapitulative de determinare a inversei unei matrice pătratice(dacă există), de rezolvare a unor ecuații matriceale și de determinare a rangului unei matrice date, cu sau fără parametri. Activitate frontală și pe grupe, utilizănd fișe de lucru, problematizare, manualul, metoda exercițiului.
Evaluare orală inițială Observarea sistematică a elevilor

2.
Învățarea pregătitoare , prin
situații-problemă desprinse din cotidian. Problematizarea,
învățarea prin descoperire pe baza unor exemple relevante. Se oferă pretextul-
problemă relevant.
Se valorifică adaptând experiența la situații-
problemă prezentate, în
vederea pregătirii noului
conținut.

C1

C6 Sisteme de ecuații liniare.
No țiuni generale
Alternarea prezentării conținuturilor cu moduri variate de antrenare a gândirii. Exprimarea prin simboluri specifice a relațiilor matematice dintr-o problemă. Analiza secvențelor logice în etapele de rezolvare a unei probleme. Exprimarea rezultatelor rezolvării unei
probleme în limbaj matematic.

Activitate frontală și pe grupe. Expunerea sistematică, conversația euristică. Metoda descoperii. Problematizarea.
Evaluare orală Evaluare frontală

Nr.
crt.
Etape ale
proiectării Detalieri ale
etapelor Compet.
specifice
Conținuturi

Activități de învățare

Resurse

Evaluare

3. Suportul noțional

Esențializarea și sistematizarea noțiunilor ce decurg din prelucrarea exemplelor și situațiilor problemă
Se sistematizează rezultatele teoretice ce decurg din situațiile
problemă prezentate.
Se exersează conținutul noțional pe exemple semnificative.

C3

C4

C5

C6 Sisteme de ecuații liniare de tip Cramer

Studiul compatibilității sistemelor de ecuații liniare și rezolvarea acestora
Punerea elevului în situația ca el s
ă formuleze
sarcini de lucru adecvate Obținerea de soluții sau interpretări variate
pentru aceeași unitate informațională
Formularea de sarcini rezolvabile prin activitatea de grup Sugerarea unui algoritm al învățării, prin ordonarea sarcinilor Analiza capacității metodelor de a se adapta la situații concrete Utilizarea rezultatelor și a metodelor pentru crearea de strategii de lucru
Expunerea
Evaluare orală
și
prin teme de
muncă independentă în clasă, tema
pentru acasă
Evaluare continuă prin observarea sistematică a elevilor

4. Modelarea Determinarea unor aplicații relevante
Se dezvoltă unele rezultate teoretice, identificând strategii de rezolvare a unor
probleme

C2, C3

C4, C5

C6 Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare cu parametrii Discuții
Obținerea de soluții sau interpretări variate
pentru aceeași unitate informațională
Formularea de sarcini rezolvabile prin activitatea de grup Sugerarea unui algoritm al învățării, prin ordonarea sarcinilor
Expunerea Conversația euristică Exercițiul Problematizarea
Evaluare orală, individuală

Nr.
crt.
Etape ale
proiectării Detalieri ale
etapelor Compet.
specifice
Conținuturi

Activități de învățare

Resurse

Evaluare

5. Exersarea
direcțională Sistematizarea ce conduce la strategii de rezolvare Se exersează rezultate teoretice, identificând strategii de rezolvare

C3, C4

C5, C6 Rezolvarea de
probleme
Analiza secvențelor logice în etapele de rezolvare a unor probleme Manual Culegere Fișe de lucru Lucrul în echipe Evaluare scrisă

6. Aprofundare,
generalizare Transferarea cunoștințelor dobândite cu contexte variate. Se optimizază soluții C2, C3

C4, C5

C6 Probleme cu caracter aplicativ
Utilizarea rezultatelor și a metodelor
pentru crearea de strategii de lucru
Transferul și extrapolarea soluțiilor unor
probleme pentru rezolvarea acestora
Manual Culegere Fișe de lucru Lucrul în echipe Tema pentru acasă
Evaluare orală, frontală și individuală

DETALIERI DE CONȚINUT ALE ETAPELOR:

1.Actualizarea
Competențe specifice vizate: C2, C6
Sugestii metodologice: M1, M2, M3
Sugestii de detaliere a conținuturilor: se rezolvă exercițiile din fișa de lucru nr. 1

2.Învățare pregătitoare prin situații-problemă
Competențe specifice vizate: C1, C6
Sugestii metodologice: M1, M3, M4, M5, M6, M7
Sugestii de detaliere a conținuturilor:

Să considerăm următoarea problemă-suport:
“Într-un bazin apa curge prin trei robinete i dentice. Dacă primul robinet se
deschide timp de 6 ore, al doilea 4 ore și al treil ea 3 ore, în bazin se adună 390 dal apă. Dacă
primul robinet se deschide 5 ore, al doilea 2 ore ș i al treilea 3 ore, atunci în bazin vor fi 305
dal apă. Dacă primul robinet este deschis 3 ore, al doilea 7 ore și al treilea 3 ore, atunci în
bazin vor fi 405 dal apă.
Câți dal de apă curg într-o oră prin fiecare robine t?”
Vom organiza datele problemei în următorul tabel de tip matriceal:

Robinetul I
(nr. ore) Robinetul II
(nr. ore) Robinetul III
(nr. ore) Cantitatea de apă
(dal)
6 4 3 390
5 2 3 305
3 7 3 405

Vom nota cu x, y, z debitul robinetelor I, II și III. Datele referitoar e la numărul de ore de funcționare
a celor trei robinetele consemnăm într-o matrice de ordinul 3, notată cu A, cele referitoare la
cantitatea totală de apă le consemnăm într-o matric e coloană B , iar datele care identifică
necunoscutele problemei le scriem într-o matrice co loană X. Astfel se obțin matricele:
T = 6 4 3
5 2 3
3 7 3 , 9 = 390
305
405 , =

Corelarea celor trei categorii de date consemnate î n matricele A, B, X de mai sus cu elemente din
mulțimea R o vom face exprimând cantitatea totală de apă ca fi ind suma cantităților de apă furnizate

de fiecare robinet în parte în timpul funcționării. În felul aceste se obține următorul model
matematic al problemei:
6
+ 4 + 3 = 390
5
+ 2 + 3 = 305
3
+ 7 + 3 = 405
Acest model este un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute x, y, z cu exponentul 1, numit
sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute.
Determinarea valorilor celor trei necunoscute se fa ce pe baza unor considerente
legate de matrice și determinanți (detalii CAP.I).

3.Suportul noțional
Competențe specifice vizate: C3, C4, C5, C6
Sugestii metodologice: M1, M2, M3, M8, M9
Sugestii de detaliere a conținuturilor (detalii CAP .I).

4.Modelarea
Competențe specifice vizate: C2, C3, C4, C5, C6
Sugestii metodologice: M1, M2, M3, M6, M8
Sugestii de detaliere a conținuturilor: se rezolvă exercițiile din fișa de lucru nr. 1

5.Exersarea direcționată
Competențe specifice vizate: C2, C3, C4, C5, C6
Sugestii metodologice: M1, M2, M3, M6, M8
Sugestii de detaliere a conținuturilor: se rezolvă sistemele de ecuații din fișa de lucru nr.2 și 3

6.Aprofundare, generalizare
Competențe specifice vizate: C2, C3, C4, C5, C6
Sugestii metodologice: M1, M3, M6, M7, M9
Sugestii de detaliere a conținuturilor: se rezolvă exercițiile din fișa de lucru nr.4 și 5.

3.4.Proiecte de tehnologie didactică

PROIECT DE TEHNOLOGIE DIDACTICĂ

Numele și prenumele cadrului didactic : Cojocaru-Apostolachi Anca-Mihaela
Unitatea Școlară: Liceul Teoretic „Carmen Sylva” Eforie
Data: aprilie 2020
Disciplina : Matematică
Clasa : a XI-a A
Unitatea de învățare:
Titlul lecției : Sisteme de ecuații liniare
Tipul lecției : Lecție de recapitulare și sistematizare a cunoști nțelor
Durata: 50 minute

Obiectivul fundamental: Formarea deprinderilor și priceperilor în vederea r ezolvării corecte a
sistemelor de ecuații liniare precum și a abilități lor ce se impun la rezolvarea sistemelor cu
parametrii în situații impuse, asigurând astfel niv elul de cultură generală în matematică,
utilizarea lor în studiul altor capitole precum și promovarea examenului de bacalaureat și a
examenelor de admitere în învățământul superior.

Competențe specifice:
C1: Aplicarea algoritmilor de calcul în situații pr actice.
C2: Rezolvarea unor ecuații și sisteme utilizând al goritmi specifici.
C3: Stabilirea unor condiții de existență și/s au compatibilitate a unor sisteme și
identificarea unor metode adecvate de rezolvare a a cestora.
C4: Optimizarea rezolvării unor probleme sau situaț ii-problemă prin alegerea unor strategii
și metode adecvate.

Obiective operaționale: La sfârșitul activității elevii vor fi capabili:
1. Să rezolve sisteme de ecuații liniare alegând me toda adecvată.
2. Să stabilească ce condiții se impun pentru deter minarea unor parametrii în funcție de
contextul problemei.

3. Să rezolve sisteme de ecuații liniare cu parametri, făcând discuție asupra naturii
sistemului după valorile acestora și aflând soluții le atunci când acestea există.
Strategii didactice:

Metode și procedee de învățare:
– De transmitere: conversația, explicația;
– De expunere directă: observația organizată; examinarea documentară;
– De expunere indirectă: demonstrația;
– De acțiune reală : exercițiul.

Mijloace (resurse): culegere, manual, fișe de lucru.

Stilul de învățare:
– Stilul vizual – va fi favorizat de vizualizarea informațiil or în formă tipărită
(aplicarea comunicării de tip non-verbal);
– Stilul auditiv – va fi favorizat de ascultarea, redarea și explica rea informațiilor
(comunicare verbală);
– Stilul practic – va fi favorizat de aplicarea informațiilor obținu te.

Documentare bibliografică:
1. Marius Burtea, G. Burtea – Manual de ma tematică pentru clasa a XI-a, Ed.
Carminis, București, 2007;
2. M. Ganga – Matematică, manual pentru clasa a XI-a, Ed.Mathpress, București,
2006;
3. G. Constantinescu, C. Zîrnă – Pas cu pas prin matematică, Ed. Crizon, Constanța, 2009.

113
Scenariul didactic:

1. Captarea atenției (2’)
Profesorul asigură condițiile ergonomice, verifică materialul didactic și prezența elevilor, le
captează atenția prin prezentarea fișei de lucru și a obiectivelor urmărite pe parcurs.

2. Reactualizarea cunoștințelor asimilate anterior (7’)
Se realizează o clasificare a sistemelor din punct de vedere al existenței soluției și al numărului de
soluții cu ajutorul elevilor, folosind metoda ciorchinelui , astfel:
– Se scrie în mijlocul tablei titlul temei ce urmează a fi recapitulată, „ Sisteme de
ecuații liniare ”;
– Elevii vor fi solicitați să își noteze toate tipuri le de sisteme cunoscute în jurul temei din centru,
trasând linii de legătură între acestea și tema ini țială;
– Pe măsură ce își amintesc tipurile de sisteme și le notează, elevii vor trasa linii între
toate cuvintele (ideile) ce par a fi conectate.

Se reamintește algoritmul de stabilire a compatibil ității unui sistem (folosind proprietatea de
compatibilitate a lui Rouche), precum și modul de d eterminare a mulțimii soluțiilor sistemului
folosind metoda ciorchinelui astfel:
– Se scrie în mijlocul tablei tema: „Algoritm de rezo lvare a unui sistem de m ecuații
cu n necunoscute, n≤ 4”;
– Elevii vor fi solicitați să își noteze toate noțiun ile pe care le au în minte în legătură
cu acest algoritm, stabilind corespondența înt re acestea și tema centrală prin
trasarea unor linii;

114 – În timp ce își amintesc alte etape, elevii le notea ză și vor trasa linii între toate ideile
ce par a fi conectate;
– Activitatea se oprește în momentul în care se epuiz ează toate ideile.

3. Anunțarea competențelor (1’)

4. Prezentarea fișei de lucru și rezolvarea exercițiil or conținute de aceasta (22’)

5. Asigurarea transferului – obținerea de performanțe (15’)
Se discută și se rezolvă exercițiile mai grele de p e fișa de lucru apoi se notează răspunsurile primit e.
6. Asigurarea feed-back-ului (3’)
Se dă tema pentru acasă (exercițiile rămase nerezol vate de pe fișa de lucru precum și

115
Fișa nr. 1

1. Fie sistemul de ecuație 2x +y+ 3z= 1
M
+ − 2 = 1
2M − 1 !O + 2 + = 0
a) Pentru n=1 arătați ca tripletul (-1; 0,1) este sol uție a sistemului.
b) Determinați m ∈ ¨ pentru care sistemul este compatibil determinat.
c) Rezolvați sistemul pentru m =2.
d) Rezolvați sistemul pentru m =3.

2. Se consideră sistemul de ecuații matriceale: B
+ 5 = 6
2
+ = M
a) Determinați m ∈R, știind că sistemul admite soluția: x = – 4, y = 2;
b) Pentru m = 3, să se rezolve sistemul.

3. Scrieți matricea asociată sistemului, matricea term enilor liberi și matricea termenilor
necunoscuți si apoi scrieți sub formă matriceală si stemul:

 
0 2 42 21 2
3 2 12 13 2 1
x xxx xx xx
.Nu se cere
rezolvarea sistemlui.

4. Dacă ( x, y, z) este soluția sistemului:


7 2 27 3 20 3
z y xz yxzyx
, atunci: x+y+z este:
a)0; b)1; c)-1; d)2; e) – 2. (Incercuiți u nicul răspuns corect dupa ce rezolvați sistemul pri n
ce metoda doriți și efectuați suma soluțiilor).

5. Se consideră sistemul:


0 2 20 2 20 2 2
mzy xz myxz y mx
.

a) Să se determine m R, astfel încât sistemul să admită numai soluția ba nală ( 0,0,0).

b) Pentru m = – 4, rezolvați sistemul.

116

Fișa nr. 2

1. Scrieți sub formă matriceală sistemul:

 
0 41 3 24 2
2 13 23 2 1
xxx xx xx
.
2. Scrieți sistemul de ecuații liniare asociat matrice i extinse:




 
0 1 412 3023 0111 230

3. Se consideră sistemul:


000
mzyxz myxzy mx
.

a) Să se determine m R, astfel încât sistemul să admită numai soluția ba nală.

b) Pentru m = – 2, rezolvați sistemul.

4. Dacă ( x, y, z) este soluția sistemului:


7 2 27 3 20 3
z y xz yxzyx
, atunci: x+y+z este:
a)0; b)1; c)-1; d)2; e) – 2.

5. a) Să se determine , , , astfel încât sistemul:



4 3 2 14 3 2 14 3 2 1
10 6 53 3 91 4 3 2
x x x xx x x xx x x x
să fie
compatibil, iar matricea sistemul ui să aibă rangul 2.

b) Cu: , ,  determinați, la punctul a), rezolvați sistemul obț inut.

117 Fișa nr. 3

1. Se consideră sistemul


a azyxz ayxzy ax
11
, .Ra
a)Pentru ce valori ale lui ,Ra sistemul are solutie unică ?
b) Să se rezolve sistemul in cazul 2a .
c)Aratati ca daca , 1 , 2 \Ra sistemul are solutii intregi.

2. Se consideră sistemul


b azyxzyxzy x
71 21 2
, unde a și b sunt parametri reali.
a) Să se determine Ra pentru care determinantul sistemului este egal cu zero.
b) Să se determine valorile parametrilor Rba, pentru care sistemul este incompatibil.
c) Să se arate există o infinitate de valori ale n umerelor a și b pentru care sistemul admite o soluț ie (x ,y ,z ), cu
x, y, z în progresie aritmetică.
3. Fie A matricea coeficienților sistemului


0 20 30 2
zy xmzyxzyx
, unde R m
a) Să se calculeze det A .
b) Să se determine R m astfel încât sistemul să admită soluții nenule.
c) Să se arate că, dacă m =0 , atunci expresia
2
02
02
02
02
02
0
x y zx y z
este constantă, pentru orice soluție nenulă (x 0,y 0, z0) a sistemului.

4. Se consideră sistemul de ecuații liniare


4 223 3 2
z y nxmzyxz y x

a) Să se determine m și n pentru care sistemul admi te soluția ( 2, 2, 1)
b) Pentru 2n sa se rezolve sistemul .
c) Să se determine m și n pentru care sistemul est e compatibil nedeterminat.

118 Fișă nr. 4

1. Să se rezolve sistemele de ecuații liniar e
a). 2 3 9
5 2 2 5
3 2 x y z
x y z
x y z    
   
    b). 3 2 8
2 3 1
5 9 4 22 x y z
x y z
x y z    
   
    c). 2 4 2
2 5 9 7
3 5 4 x y z
x y z
x y z    
    
    

2. Să se rezolve sistemele liniare omogene :
a). 2 3 3 0
3 4 5 0
5 2 0 x y z
x y z
x y z    
   
    b). 4 2 0
11 4 0
2 0 x y z
x y z
x y z    
   
    c). 5 10 5 0
2 4 2 0
2 0 x y z
x y z
x y z    
   
   

3. Să se rezolve sistemele de ecuații liniare:
a). 2 2
2 1
2 3 x y z
x y z
x y z    
   
    b). 2
2 2 2
2 2 2
3 2 x y z t
y z t
x y t
x y z     
       
    c). 2 3 6
3 2 4
5 4 8 x y z
x y z
x y z    
   
   

4. Să se rezolve și să se discute după valorile parame trului real  sistemele:
a). 1
2
3 1 x y z
x y z
x y z 
 
     
    
     b). 2 ( 3) 5
( 5) 2 1
2x y z
x y z
x y z 

    
     
    c). ( 1) 0
( 1) 0
0x y z
x y z
x y z 

    
    
   

5. Se dă sistemul 2 1
2 4 4
4 2 x y z
x y z
mx y z    
   
    unde m este real
a) să se determine m real pentru care soluția sistemul ui este (1;2;-2).
b) să se rezolve ecuația 21 1 2
2 1 4 7 ,
1 4 m m
m   unde este real.
c) pentru m=4 să se rezolve sistemul .

119
6. Se consideră sistemul


0 211
zy xzyxmzyx

a) Să se determine parametrul real m a stfel încât sistemul să fie compatibil determinat.
b) Pentru } 1 { \Rm să se rezolve sistemul

7. Se consideră sistemul de ecuații:


3) 1 ( 3 4 52 ) 1 () 1 ( 2
z m y xm mzy mxmz myx
.
a) Pentru ce valori ale parametrului real m sistemul e ste compatibil determinat?
b) Să se rezolve sistemul pentru : i) m= 1; ii) m= – 1.

8. Să se rezolve și să se discute după valorile parame trului real  sistemele:
a)
22
2 1
2 2 x y z
x y z
x y z  
    
   
    b) 8
2 2 6
2 4 x y z
x y z
x y z 
   
   
   
9. Fie sistemul : 2 1
2
2 4 x y z
x y z
x y z 
   
   
    , R .
a) Să se determine solutia (  x , y , z    ) sistemului de ecuații.
b) Să se determine mulțimea  / ( ) 1 } A R y     f

120 Fișa nr. 5
Probleme aplicate ce pot fi rezolvate
cu ajutorul sistemelor de ecuații liniare

1. O fabrică de mobilă produce două tipuri de mese A și B. Fiecare masă trece prin două etape:
asamblare și finisare. Capacitatea maximă a fabrici i pentru asamblare este de 195 ore și pentru finisa re
de 165 ore. Pentru fiecare masă A sunt necesare 4 o re la asamblare și 3 ore la finisare, iar pentru ma sa
B o oră la asamblare și 2 ore la finisare. Determin ați numărul de mesede fiecare tip care pot fi produ se
utilizând la maxim capacitatea fabricii.

2. Un teatru cu o capacitate de 300 de locuri a vân dut la un spectacol toate biletele. Un bilet pentru
copii costă 2 €, pentru studenți 3 €, iar pentru ad ulți 4 €. Se știe că numărul adulților a fost jumăt ate din
numărul copiilor și studenților, iar la acea reprez entație s-au încasat 900 € . Determinați numărul de
spectatori din fiecare categorie.

3. Pentru efectuarea căreiva lucrări, doi muncitori au primit 255 lei. Primul muncitor a lucrat 10 zil e,
iar al doilea 9 zile. Ce sumă de bani a primit fiec are muncitor dacă se știe că primul a primit pentru 5
zile de muncă cu 15 lei mai mult decît al doilea pe ntru 3 zile de muncă?

4. Dacă lungimea unui teren de formă dreptunghiular ă se va mari cu 4 m, iar lățimea se va micșora cu 2
m, atunci aria lui se va mari cu 8 m 2. Dacă insă lungimea se va micșora cu 3 m, iar lăți mea se va mari
cu 1 m, atunci aria terenului se va micșora cu 23 m2 . Aflați dimensiunile terenului

5. Un muzeu înregistrează o încasare de 5580 lei pe ntru o zi obișnuită, în urma vizitării muzeului de
către 140 de adulți și 55 de copii. După o reducere de preț – cu 25 % pentru un adult și 50 % pentru un
copil , muzeul a încasat 4520 lei în rezultatul vi zionării a 180 de adulți și a 20 copii. Care a fost prețul
inițial al biletului?
exerciții asemănătoare din manual).

121 PROIECT DE TEHNOLOGIE DIDACTICĂ

Numele și prenumele cadrului didactic: Cojocaru-Apostolachi Anca-Mihaela
Unitatea Școlară: Liceul Teoretic „Carmen Sylva” Eforie
Data: aprilie 2020
Disciplina: Matematică
Clasa: a VIII-a B
Unitatea de învățare:
Titlul lecției: Rezolvarea prin metoda reducerii a sistemelor de ecuații de forma:
B
+ + = 0

+ + = 0, unde coeficienții , , , , , ∈ ¨.
Tipul lecției: Mixtă
Durata: 50 minute

Obiectivul fundamental: Formarea deprinderilor și priceperilor în vederea r ezolvării corecte a
sistemelor de ecuații precum și a abilităților ce s e impun la rezolvarea sistemelor cu parametrii în
situații impuse, asigurând astfel nivelul de cultur ă generală în matematică, utilizarea lor în stud iul
altor capitole precum și promovarea examenului de evaluare națională.

Competențe specifice:
C1: Recunoașterea și descrierea elementelor unui siste m de două ecuații cu două necunoscute;
C2: Aplicarea procedeelor de rezolvare a sistemelor de ecuații;
C3: Exprimarea, în limbaj matematic a rezolvării sistem elor ;
C4: Determinarea soluției unui sistem și efectuarea verificării .

Obiective operaționale: La sfârșitul activității elevii vor fi capabili:
1. Să rezolve sisteme de două ecuații liniare prin metoda reducerii sau substituției.
2. Să rezolve aplicații cu ajutorul sistemelor de e cuații studiate (determinarea coordonatelor punctul ui
de intersecție a graficelor a două funcții; identif icarea unei perechi de numere care verifică o ecuaț ie
sau un sistem a cărui soluție este dată; determinar ea unei funcții de forma f :R→R, f(x)= ax+b, al cărei
grafic conține două puncte date).
3. Să identifice unii termeni matematici folosind procedee specifice gramaticii.
4. Să determine sisteme echivalente cu sistemul dat ;

122 5. Să identifice probleme care se rezolvă cu ajutor ul sistemelor de ecuații liniare.

Strategii didactice:

Metode și procedee de învățare:
– De transmitere: conversația, explicația;
– De expunere directă: observația organizată; examinarea documentară; exer cițiul,
jocul didactic.
– De expunere indirectă: demonstrația; mozaic – învățarea prin cooperare, în vățarea
prin descoperire.
– De acțiune reală : exercițiul.

Mijloace (resurse): culegere de exerciții, manual, fișa de l ucru.

Stilul de învățare:
– Stilul vizual – va fi favorizat de vizualizarea informațiil or în formă tipărită
(aplicarea comunicării de tip non-verbal);
– Stilul auditiv – va fi favorizat de ascultarea, redarea și explica rea informațiilor
(comunicare verbală);
– Stilul practic – va fi favorizat de aplicarea informațiilor obținu te.

Documentare bibliografică:
1. Manual pentru clasa a VIII-a, Ed. Sigma;
2. Anton Negrilă, Maria Negrilă – Matematică , clasa a VIII, Ed. Paralela 45
3. Mircea Fianu, Marius Perianu – Matematică pentru c lasa a VIII-a,
Ed. Clubul Matematicienilor;
4. Gabriela Constantinescu – Pas cu pas prin matema tică, clasa a VIII-a, Ed. Crizon;

123 Scenariul didactic:

1. Captarea atenției (2’)
Profesorul asigură condițiile ergonomice, verifică materialul didactic și prezența elevilor, le
captează atenția prin prezentarea fișei de lucru și a obiectivelor urmărite pe parcurs.

2. Reactualizarea cunoștințelor asimilate anterior (7’)
Cu ajutorul elevilor, se reamintește metoda substit uției pentru rezolvarea unui sistem de două ecuații
liniare cu două necunoscute învățată într-o oră ant erioară.

3. Prezentarea noului conținut (8’)
Se scrie în mijlocul tablei titlul temei ce urmează a fi p r e z e n t a t ă , „ Rezolvarea sistemelor
prin metoda reducerii”;
Elevii vor fi solicitați să își noteze în caiete no ul conținut. Lecția decurge cu participarea activă a
elevilor la oră. Se prezintă noua metodă de rezolva re a unui sistem de ecuații.

4. Prezentarea fișelor de lucru și rezolvarea exe rcițiilor conținute de acestea (10’)
Se împart elevilor fișele de lucru și se oferă indi cații pentru rezolvarea acestora.

5. Asigurarea transferului – obținerea de performanțe (20’)
Se discută și se rezolvă exercițiile mai grele de p e fișele de lucru apoi se notează răspunsurile
primite.

6. Asigurarea feed-back-ului (3’)
Se dă tema pentru acasă (exercițiile rămase nerezol vate de pe fișele de lucru precum și exerciții
asemănătoare din culegeri).

124 FIȘA DE LUCRU I

I. Rezolvați următoarele sistemele prin metoda substit uției:

1. B
= 2
2
+ 3 = 4 ;

2. B
− 2 = 3
=
+ 1 ;

3. B = 3

2
+ = 3 .

II. Rezolvați următoarele sistemele prin metoda reducer ii:

1. B
+ + 2 = 0

− − 4 = 0 ;

2. B3
+ = 7
2
− = 8 ;

3. B−2
+ = 5

− = −4 .

125 FIȘA DE LUCRU II

I. Rezolvați următoarele sisteme de ecuații:

1. B8
− 3 = 2
2
− 5 + 1 = 0 ,
, ! ∈ ℝℝ ;

2. B
− 2 !+ + 4 !=
+ 2 !
− 2 !+
3
+ 2 = 50 ,
, ! ∈ ℝℝ ;

3.
W·++
··= 1
+
W·−
··= −1 ,
, !∈ ℝℝ .

II.
1. Aflați funcția 0: ℝ → ℝ, 0
!=
+ știind că punctele T√3; 4! și
9−√3; −2! aparțin graficului funcției.

2. Determinați numerele raționale a și b știind că est e adevărată egalitatea:
2√3+ 5 − 1 = 3 √3 − 2 + 7 .

126 3.5. Teste de evaluare

PROIECT DE TEHNOLOGIE DIDACTICĂ

Profesor : Cojocaru-Apostolachi Anca-Mihaela
Unitatea de învățământ: Liceul Teoretic „Carmen Sylva“ Eforie
Data : aprilie 2020
Clasa: a XI-a A
Disciplina: matematică/algebră
Unitatea de învățare: Sisteme de ecuații liniare
Titlul lecției: „Test de evaluare sumativă : Sisteme de ecuații liniare”
Tipul lecției: Lecție de verificare și apreciere a rezultatelor șc olare
Durata : 50 de minute

Competențe de evaluat asociate testului “Sisteme de ecuații liniare”:
C1. Să stabilească dacă o matrice din Mn(C), n=2,3 este inversabilă;
C2. Să determine inversa unei matrice inversabile d in Mn(C), n=2,3, utilizând definiția, transformări
elementare de linii sau matricea adjunctă;
C3. Să scrie un sistem de ecuații liniare sub for mă matriceală;
C4. Să scrie sistemul de ecuații liniare asociat unei matrice extinse;
C5. Să rezolve problema compatibilității unui sist em liniar de cel mult trei necunoscute;
C6. Să rezolve un sistem de ecuații liniare de cel mult trei necunoscute printr-una dintre metodele
învățate: metoda matriceală, metoda lui Cramer sau metoda lui Gauss.

STRATEGIE DIDACTICĂ:
 Metode de învățare/instruire: conversația, problematizarea, algoritmizarea, rezolvarea de exer ciții și
probleme;
 Forme de organizare a clasei: individuală;
 Forme de evaluare: evaluare prin probă scrisă – test docimologic;

127  Resurse materiale: test de evaluare sumativă;
 Resurse procedurale: rezolvarea de probleme/ situații problemă;
 Resurse psihologice: Capacitatea de învățare de care dispun elevii clase i. Elevii posedă cunoștințe
legate de stabilirea existenței inversei unei matri ce și în caz afirmativ de calculul inversei unei ma trice
din M n(C), n=2, 3. De asemenea am insistat mult pe rezolv area problemei compatibilității unui sistem
liniar de cel mult trei necunoscute. Elevilor le-au fost prezentate diferite metode de rezolvare a
sistemelor de ecuații liniare (metoda matriceală, m etoda lui Cramer, metoda lui Gauss) și au fost
rezolvate o serie de sisteme prin aceste metode. De oarece la momentul predării lecțiilor legate de
sisteme liniare, elevilor li s-a descris câmpul de aplicabilitate al acestora, consider că elevii ar t rebui să
fie motivați și să prezinte interes în rezolvarea i temilor din test;
 Tipuri de itemi folosiți :
1.Itemi obiectivi – cu alegere duală ;
– de împ erechere ;
– cu ale gere multiplă .
2. Itemi semiobiectivi – de completar e.
3. Itemi subiectivi – rezolvare de problem e
 Surse bibliografice:
– Mircea Ganga – Matematică – Manual pentru clasa a X I-a ( TC+CD), Editura Mathpress, 2006;
– Valentin Nicula, Petre Simion – Matematică, Exerci ții și probleme propuse și rezolvate, Ed.
Niculescu, 2015;
– G. Constantinescu, C. Zîrnă – Pas cu pas prin matem atică, Ed. Crizon, Constanța, 2009.

128 SCENARIUL DIDACTIC :
1. Momentul organizatoric.
Pregătirea colectivului pentru activitate. Captarea și păstrarea atenției (2 min)
Profesorul se asigură de condițiile optime pentru d esfășurarea lecției: curățenie, lumină, ținută, ord ine,
disciplină. Verifică prezența elevilor și pregăteșt e materialele necesare pentru lecție. Este preocupa t de
pregătirea psihologică a elevilor pentru lecție, de trezirea interesului elevilor pentru activitatea c e
urmează a o desfășura;
Elevii raportează absenții și pregătesc toate mater ialele necesare desfășurării în bune condiții a lec ției
(caiete de teme, de casă, manual, culegere etc.).
Activitatea comună desfășurată de către profesor și elevi se realizează printr-o conversație frontală.
2. Sensibilizarea, trezirea interesului pentru lecție (3 min)
Profesorul informează elevii asupra competențelor de evaluat u rmărite și împarte elevilor testele de
evaluare sumativă individuale .
Precizarea tematicii și a conținutului ce urmează a fi verificat a fost adus la cunoștința elevilor an terior
desfășurării acestei lecții.
Elevii pregătesc foaia de test și primesc de la pro fesor testul cu itemii ce trebuie rezolvați.
3. Verificarea conținuturilor însușite legate de sisteme de ecuații liniare (tema, cunoșt ințe
dobândite de elev) (45 min )
Profesorul verifică prin sondaj, calitativ și canti tativ, tema pentru acasă și corectează unele greșel i și
confuzii făcute de elevi în caiete. În tot acest ti mp supraveghează elevii care dau test și dacă este cazul
intervine cu lămuriri vizavi de modul de rezolvare al testului.
Elevii prezintă caietele de teme profesorului și lu crează independent itemii din test.
4. Aprecierea rezultatelor – în ora următoare;
Profesorul corectează testul în afara orelor de cur s, face o analiză și o interpretare a acestuia, ia
cunoștință de nivelul de pregătire al elevilor și r ealizează pe baza baremului o notare obiectivă iar la
următoarea întâlnire cu elevii le prezintă acestora rezultatele, făcând o analiză a lucrărilor, soldat ă cu
aprecieri generale:
– sunt evidențiate greșeli tipice sau cu o frecve nță mai mare;
– se fac unele precizări și se dau explicații supl imentare pentru înlăturarea lacunelor și
corectarea greșelilor;
– sunt prezentate unele lucrări reprezentative (fo arte bune sau foarte slabe).

TEST – Sisteme de ecuații liniare
Notă: Toate subiectele sunt obligatorii.
Timpul efectiv de lucru este de 50 minute.
Se acordă 10 puncte din oficiu.

1. Citește cu atenție afirmațiile de mai jos. În cazul în care apreciezi că afirmația este
adevărată, încercuiește litera A. În caz contrar încercuiește litera F și înlocuiește, în spațiul
liber, cuvintele subliniate cu altele care fac afir mația adevărată.

A F a. Sistemul liniar omogen are întotdeauna doar soluția banală. ( )
A F b. Sistemul compatibil nedeterminat este sistemul care nu are nici o soluție.
(_______)
A F c. O matrice  32,n , M An  C este inversabilă dacă și numai dacă 0 detA.
(_______)
A F d. Un sistem liniar cu numărul de ecuații egal cu numă rul de necunoscute și
0 detA se numește sistem Cramer . ( )
A F e. Sistemul incompatibil este sistemul care are mai mult de o soluție. (___ _____)
2. Înscrie în spațiul din fața fiecărui număr din colo ana A, litera din coloana B care cores-
punde tipului de sistem menționat în coloana A.
A B
1.


7 6y 4×4 3y 2x
D. sistem compatibil determinat cu două
ecuații și două necunoscute
2.


8 6y 4×4 3y 2x
E. sistem liniar omogen de două ecuații și două
necunoscute
3.


2 2yx4 3y 2x
P. sistem incompatibil
4.


0 2yx0 3y 2x
Q. sistem compatibil nedeterminat

5.


0 2zx0zy1y x
R. sistem liniar de trei ecuații și două
necunoscute
S. sistem compatibil determinat de trei ecuații
și trei necunoscute
3. Se consideră sistemul:


1z 4 y mx4zyx 23 z 3 y 2 x
, Rm .
I) Valoarea parametrului real m astfel încât următoru l sistem să aibă soluție unică
este:
a) 3\ m R b) 10 m c) 3 m d) 3\ mR
II) Valoarea parametrului real m pentru care tripletul 1 , 3 , 0 este soluție a
sistemului:
a)
R m b) 1 m c) 0 m d) Rm
4. Scrie sub formă matriceală sistemul:


0yx 41 z 3 y4z 2 yx
.
5. Scrie sistemul de ecuații liniare asociat următoare i matrice extinse: 




52
1 234.
6. Completează elementele lipsă din matricea extinsă î n urma transformărilor indicate:
 


















0 1 02 3 1 2 3 1
4 1 2 46
1293 1 22
2 11 L L 3L51
L L 2L31
.
7. Să se scrie sistemul de ecuații liniare pentru matr icea extinsă de la subiectul 6 și utilizând
rezultatele obținute să se determine soluția sistem ului.
8. Să se rezolve următorul sistem utilizând metoda mat riceală sau regula lui Cramer:


3y 4 x5y 3 x 2
.

Barem de corectare si notare :

1.a) F, cel puțin ; 1.b) F, incompatibil ;
1.c) F, 0detA ; 1.d) A ;
1.e) F, compatibil nedeterminat
2 p  5 =10 p

2. (1,P); (2,Q); (3,D); (4,E); (5,S); 2 p  5 =10 p
3. I. Condiția ca sistemul să aibă soluție unică: 0detA
15m5
41m112321



3\m015m5 R răspuns a)

5p

II. răspuns d)
5p
4. Forma matriceală a unui sistem liniar:
BXA , unde A este matricea sistemu-
lui, X este matricea coloană a necunos-
cutelor și B este matricea coloană a
termenilor liberi;















014
zyx
014310211

2p

4p
5.


5yx 22y 3x 4 6p
6. 211 LL 2L31
41246
1293






 231
3p

2L51
231






050
12LL 3231




010




02
1001
3p

3p

3p
7. sistemul


4yx 26y 9x 3
soluția sistemului:


0y2x
3p

3p
8. Metoda matriceală:
Scrierea sistemului sub forma BXA










 35
yx
4132
Calculul lui detA=11
detA 0A inversabilă
Calculul lui





112
111113
114
A1 prin orice
metodă
Soluția sistemului este BAX1
1y,1x

sau Metoda lui Cramer:

3p
2p
2p

6p

2p

Calculul lui 0114132Adet 
Observarea faptului că 0 și avem un
sistem Cramer
Calculul lui 114335
x 
Calculul lui 113152
y 
Soluția sistemului dată de formulele lui
Cramer: 1xx , 1yy
 .
2p

3p

4p
Oficiu 10p
Total 100p

ANALIZA REZULTATELOR ADMINISTRĂRII
INSTRUMENTULUI DE EVALUARE

Administrarea testelor scrise reprezintă o etapă vi tală în desfășurarea fiecărei evaluări.
Instrumentul de evaluare aplicat de mine este un te st de progres școlar, concretizat într-un test de
cunoaștere și înțelegerea conceptelor, a terminolog iei și a procedurilor de calcul specifice
matematicii, precum și de dezvoltare a capacitățilo r de a comunica utilizând limbajul matematic.
Fiind un test elaborat de profesor si nu unul standardizat, am încercat în
proiectarea lui:
1. Să asamblez itemii, respectând matricea de speci ficație, prin atingerea în mod
gradat si echilibrat a tuturor nivelelor taxonomice ;
2. Să elaborez itemii prin corelare cu obiec tivele de evaluare, obiectivele de
referință alese și obiectivul cadru corespunzător;
3. Să construiesc un barem de corectare si notare e xplicit, care să permită o notare
obiectivă a testului.
Timpul de lucru efectiv pentru test este de 50 de minute iar punctajul maxim
acordat este de 90 de puncte, la care se adaugă 10 puncte din oficiu.
Instrumentul care conferă validitate testului este matricea de specificații. Aceasta
realizează corespondența dintre competențele de eva luat (corespunzătoare nivelurilor taxonomice)
și unitățile de învățare/conceptele-cheie/conținutu rile/temele specifice programei școlare de
matematică pentru clasa căreia i se adresează testu l. Competențele de evaluat se stabilesc prin
derivare din competențele generale și/sau din competențele specifice ale programei școlare.
Matricea de specificații este un instrument care certifică faptul că testul măsoară
competențele de evaluat propuse si că testul are va liditate de conținut:
a) liniile matricei precizează conținuturile abordate;
b) coloanele matricei conțin competențele de eval uat corespunzătoare nivelurilor
cognitive.
Profesorul care creează testul de evaluare stabileș te ponderea fiecărui conținut ce
urmează a fi evaluat, în funcție de competențele de evaluat specificate în matrice.

Matricea de specificații pe baza căreia a fost elab orat testul de evaluare sumativă este
următoarea:
C ompetențe

Conținuturi C1
C2 C3
C4 C5 C6 TOTAL
Studiul
compatibilității
sistemelor 1-10p
3-10p 20p
Forma matriceală
Inversa unei
matrice 4-6p
5-6p 12p
Propietăți ale
sistemelor 2-10p
6-12p 22p
Rezolvarea
sistemelor prin
metode învățate 7-6p
8-30p 36p
TOTAL 22p 12p 20p 36p 90p

Colectivul de elevi este eterogen, 5 elevi particip ând la concursuri școlare cu rezultate
bune, restul lucrând după programa școlară, tema pe ntru acasă propusa la școală.
Distribuția pe tranșe de note (număr elevi prezenți: 28 din 28 ):
Note
cuprinse < 4,99 5 – 5,99 6 – 6,99 7 – 7,99 8 – 8,99 9 – 9,99 10
6 3
5 3 3 5 6 2
Media clasei: 6,86
PPrroommoovvaabbiilliittaattee::
788,,5577%%

Diferențele sesizate între notele la lucrări și med iile notelor din timpul semestrului se
datorează faptului că:
 ajutați de profesor, se descurcă mai bine în oral d ecât în scris;
 sunt muncitori, execută cu plăcere toate sarcinile pe care le primesc prin
diversele forme de evaluare propuse de profesor: fi șe de lucru, portofolii
individuale și de grup;
 rezultatele obținute în timpul semestrului reflectă într-un procent mai mare
atitudinea acestor elevi fața de procesul de învă țare pe când rezultatele
obținute la test reflectă, evident, mai mult cunoștințele și strategiile dobândite
în aceasta perioadă de timp.
Recomandări de optimizare a procesului de evaluare:
 corectarea testului la clasă;
 recapitularea sintezei teoretice;
 rezolvarea subiectelor propuse în fișa de lucru;
 rezolvarea mai multor probleme practice;
 antrenarea și implicarea mai mult a elevilor cu rez ultate scăzute;
 nivelul clasei fiind mai ridicat, problemele mai di ficile ar trebui rezolvate în
număr mai mare la ora de pregătire suplimentară; ar trebuie să se țină cont de
nivelul cerințelor de la examenul de bacalaureat;
 subiectele cu răspuns deschis să aibă o pondere mai mare la următorul test și dacă
este posibil acesta să dureze mai mult.

CONCLUZII

Lucrarea prezentată a avut ca punct de plecare dori nța ameliorării procesului instructiv-
educativ și a rezultatelor acestuia, materializate în performanțele elevilor. Constatând scăderea
alarmantă a motivației pentru învățare și în deoseb i a interesului față de disciplina matematică, am
dorit să concep o serie de strategii care să îi at ragă pe elevi către studiu, ca mai apoi să le forme ze
un ansamblu de capacități, abilități și deprinderi esențiale în vederea susținerii Examenului Național
de Bacalaureat, dar și a celui de Evaluare Național ă la sfârșitul clasei a VIII-a.
Considerând că acest capitol Sisteme de ecuații liniare are un statut aparte în programa
școlară de matematică am decis să organizez demersul experimental pe aces t segment de conținut.
Tema aceasta a fost adesea inclusă în subiectele da te la proba scrisă a Examenului de Bacalaureat,
cu precădere la specializarea matematică-informatică , fapt care indică importanța studierii ei. De
asemenea, probleme care se rezolvă cu ajutorul sist emelor de două ecuații cu două necunoscute, se
regăsesc foarte des în variantele date la Examenul de Evaluare Națională. Prin urmare, am
considerat oportună abordarea acestui subiect în ca drul unei cercetării experimentale, cu scopul de a
identifica strategiile didactice eficiente în direc ția ameliorării rezultatelor elevilor.
Conținutul lucrării este structurat ca un suport d e curs pentru unitatea Sisteme de ecuații
liniare din programa de matematică de clasa a XI-a, struct urat în două părți. Partea științifică este
alcătuită din trei subcapitole: matrice, determinați și sisteme care formeaza teoria necesară
promovării cu brio a examenului de bacalaureat, fie care dintre ele fiind urmat de câte un set de
probleme cu diferite grade de dificultate, precum ș i probleme date la examenul de bacalaureat și la
admitere în universități.
Partea a doua, cea metodică, are la bază transpuner ea informațiilor științifice prezentate în
context didactic. Mi-am propus să verific în ce măs ură adoptarea strategiilor didactice moderne
determină activizarea elevilor, creșterea motivație i pentru învățare și ameliorarea performanțelor
școlare. Am constatat că elevii s-au simțit atrași de forma pe care o lua activitatea de predare-
învățare. De asemenea, atractivă li s-a părut și m unca în echipă. Chiar și elevii care de multe ori
manifestă un interes scăzut față de educație, lucrâ nd în perechi sau în grupuri omogene ori
eterogene, s-au mobilizat și au contribuit la soluț ionarea sarcinilor alocate.
În proiectele de tehnologie didactică sunt prezenta te diferite metode de abordare a lecțiilor
atât la nivel gimnazial, cât și la cel liceal. S-a observant că adoptarea strategiilor didactice care
favorizează cogniția constituie modalitatea eficent ă de obținere a succesului școlar. Cu toate
acestea, este necesară conștientizarea limitelor pe care le presupune recursul la strategiile moderne

de predare-învățare. Dezavantajul principal, are în vedere factorul timp . Dacă proiectarea lor este de
durată, aplicarea la clasă a strategiilor cognitive implică un consum de timp la fel de semnificativ. În
condițiile supraîncărcării programei școlare, acest aspect constituie un dezavantaj demn de luat în
considerare. De aceea, sunt de părere că este ideal ă găsirea unui echilibru între modern și tradiționa l
în ceea ce privește activitatea de predare. Totodat ă, utilizarea în exces a unor strategii, chiar și a
celor cognitive, poate deveni la un moment dat mono tonă. Desigur, există varianta adoptării unor
metode, tehnici și mijloace de învățământ cât mai v ariate, în scopul evitării saturației. Dar mai
există și posibilitatea alternării strategiilor mod erne cu cele tradiționale.
Din punct de vedere al evaluării, s-a prezentat un test de evaluare sumativă care conține
difetite tipuri de itemi, concepuți în așa fel încâ t fiecare elev participant-activ la orele de curs s ă
poată obține reultate semnificative. Privind strict din perspectiva eficienței strategiilor cognitive în
procesul de evaluare s-a observant o creștere a rez ultatelor obținute de elevi, dar și a motivației
pentru învățare. De aceea putem afirma că acestea a u un grad ridicat de eficiență.

BIBLIOGRAFIE

I. ȘTIINȚIFICĂ
1. Ganga M. – Matematică, Manual pentru clasa a XI-a, Ed. Mathpress, 2006
2. Jantschi L., Nașcu H.I. – Chimie analitică și instr umentală, Academic Pres &
Academic Direct, 2009
3. Mihăileanu N. – Istoria matematicii, Ed. științific ă și enciclopedică, București, 1981
4. Năstăsescu C. , Niță C. – Matematică, Manual pentru clasa a XI-a, M1, Ed. Didactică
și pedagogică, 2004
5. Popescu O., Raischi C. – Matematici aplicate în eco nomie, Ed. Didactică și
pedagogică, București, 1993
6. Postolache M. – Matematică, Manual pentru clasa a X I-a , M2, Ed. Fair Partners,
2006
7. Simion P. , Nicula V. – Matematică, Exerciții și te ste de evaluare pentru bacalaureat,
Ed. Niculescu, 2017
8. www.subiecte.edu.ro
9. www.mateinfo.ro
10. www.didactic.ro

II. METODICĂ
1. Cerghit I. – Metode de învățare, Ed. Didactică și p edagogică, București, 1997
2. Cucoș C. – Pedagogie, Ed. Polirom, Iași, 1996
3. Panțuru S. – Elemente de teoria și metodologia inst ruirii, Ed. Univ. Transilvania,
Brașov, 2002
4. SNEE – Ghidul examinatorului, Ed. Aramis, București , 2001
5. Suport curs DeCeE

Copyright Notice

© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.

Acest articol: Algoritm de rezo lvare a unui sistem de m ecuații [606992] (ID: 606992)

Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.

Algoritm de rezo lvare a unui sistem de m ecuații [606992]

Copyright Notice

Descoperirea Si Exploatarea Vulnerabilitatilor Mihai Dinescu V1.0 [307650]

Almășan Alexandru Final 2017 Corr [305055]

Acte necesare pentru înscrierea la concursul de admitere [620657]

MARCEL SULTĂNESCU (cas. CHIRILĂ ) [303766]

Implementarea unui sistem de evacuare a apei pluviale în zone defavorizate [309327]

MANAGEMENT MANAGEMENT ȘȘCOLAR COLAR –MANAGEMENT EDUCA MANAGEMENT EDUCA ȚȚIONAL IONAL [632120]

Copyright Notice

Similar Posts