Algebre Hopf. Module Hopf Si Integrale

CAPITOLUL 1

ALGEBRE ȘI COALGEBRE

Algebre și module

Fie k un corp comutativ. Vom da în continuare două definiții echivalente ale noțiunii de k-algebră.

Definiția 1: Un inel unitar A se numește k-algebră dacă există :kA morfism unitar de inele astfel încât Im Z(A).

Z(A)=bA; ba=ab, aA.

Definiția 2: Se numește k-algebră un triplet (A, M, u), unde A este un k-spațiu vectorial, M:AAA și u:kA sunt morfisme de k-spații vectoriale astfel încât următoarele diagrame sunt comutative:

AAA IM AA AA

uI Iu

MI M kA M Ak

AA M A A

Notații: Prin I am notat aplicația identitate a lui A: I:AA, I(a)=a, aA.

Săgețile nedenumite din a doua diagramă sunt izomorfismele canonice:

can: AkA, , .

can’:AAk,, .

Cele două definiții de mai sus sunt echivalente. Într-adevăr, plecând de la prima definiție, luăm M(ab)=a.b și u= și vom obține comutativitatea celor două diagrame. Pentru implicația inversă, definim multiplicarea ab=M(ab), care definește pe A o structură de inel unitar, cu elementul identitate la înmulțire u(1), și luăm chiar u.

M se numește multiplicarea algebrei A, iar u se numește unitate.

Definiție: Fie V și W două k-spații vectoriale. Definim aplicația V,W:VWWV, V,W(vw):=wv.

este izomorfism de k-spații vectoriale.

Observație: Fie (A, M, u) o k-algebră. Definim Mop:AAA, Mop=MA,A. Atunci Aop=(A, Mop, u) este o k-algebră, numită algebra opusă a lui A.

Definiție: O k-algebră A se numește comutativă dacă următoarea diagramă este comutativă:

AA A,A AA

M M

A

Definiție: Fie (A, MA, uA) și (B, MB, uB) două k-algebre. Aplicația k-liniară f:AB se numește morfism de k-algebre dacă următoarele diagrame sunt comutative:

AA ff BB

A f B

MA MB ; uA uB

k

A f B

Definiție: Fie A o k-algebră. Se numește A-modul stâng o pereche (M, ), unde M este un k-spațiu vectorial și : AMM este un morfism de k-spații vectoriale astfel încât următoarele diagrame sunt comutative:

AAM I AM AM

I

MI ;

kM

AM A M

Definiție: Fie A o k-algebră și (M, ), (N, ) două A-module stângi. Aplicația k-liniară f :MN se numește morfism de A-module stângi dacă următoarea diagramă este comutativă:

AM If AN

M f N

Putem deci defini în acest moment categoria A-modulelor stângi peste algebra A. Obiectele acestei categorii sunt toate A-modulele stângi, iar morfismele între două obiecte sunt morfismele de A-module stângi.

Categoria A-modulelor stângi se notează cu .

Similar se definește un A-modul drept. Singura diferență este aceea că aplicația de structură a modulului drept M este de forma :MAM.

Categoria A-modulelor drepte se notează cu .

Exemple

Algebra grupală

Fie G un grup. Notăm kG k-modulul liber de bază G.

kG= familie de suport finit }, având ca bază mulțimea G, sau mai precis {1ssG}kG, unde 1 este unitatea lui k.

Vom defini pe kG o operație algebrică notată multiplicativ astfel:

.

(as)sG, (bt)tG sunt familii de suport finit și deci rezultă că și este familie de suport finit.

În acest fel kG devine o k-algebră, numită algebra grupală a lui G peste k.

2)Fie A un k-spațiu vectorial de bază {ci|iN}. Pe A definim o structură de algebră prin relația:

,

iar apoi prin extindere liniară a înmulțirii pe A.

Elementul identitate la înmulțire este c0.

O să demonstrăm acum că înmulțirea astfel definită este asociativă, adică o să arătăm că (cncm)cp=cn(cmcp), n, m, pN.

.

.

Se observă că am obținut astfel egalitatea dorită, deci A este o k-algebră.

1.2 Coalgebre și comodule

COALGEBRE

Definiție: Se numește k-coalgebră un triplet (C,,), unde C este un k-spațiu vectorial, :CCC și :Ck sunt morfisme de k-spații vectoriale astfel încât urmatoarele diagrame sunt comutative:

C CC C

can can’

I kC Ck

I I

CC I CCC CC

Aplicațiile și se numesc comultiplicarea, respectiv counitatea coalgebrei C. Comutativitatea primei diagrame se mai numește coasociativitate.

Definiție: Fie (C, , ) o k-coalgebră. Un k-subspațiu I al lui C se numește coideal dacă (I)CI+IC și (I)=0.

Definiție: Fie (C, , ) o k-coalgebră. Un k-subspațiu D al lui C se numește subcoalgebră dacă (D)DD.

Exemple

Fie S o mulțime nevidă. kS este k-spațiul vectorial de bază S. Atunci kS este o k-coalgebră, cu: :CCC, (s)=ss, sS.

:Ck, (s)=1, sS.

și definite ca mai sus verifică într-adevăr comutativitatea celor două diagrame din definiția coalgebrei:

((I))(s)=(I)((s))=(I)(ss)=sss,

((I))(s)=(I)((s))=(I)(ss)=sss.

((I))(s)=(I)(ss)=1s, can(s)=1s (I)=can;

((I))(s)=(I)(ss)=s1, can’(s)=s1 (I)=can’.

Corpul k este o k-coalgebră, cu comultiplicarea :kkk, (a)=a1, ak, și counitatea :kk, (a)=a, aA. Această coalgebră este un caz particular al exemplului descris mai sus, pentru S o mulțime cu un singur element.

Fie C un k-spațiu vectorial cu baza . Atunci C este o coalgebră, cu: :CCC, ,

:Ck, .

Deci prima diagramă este comutativă.

Fie n1 și MC(n, k) un k-spațiu vectorial de dimensiune , cu o bază a sa. Atunci C este o coalgebră, cu:

:CCC,

:Ck,

Comutativitatea celor două diagrame se verifică analog ca la exemplul 2).

Fie C un k-spațiu vectorial cu baza . Atunci C este o coalgebră, cu: :CCC, , 1in.

:Ck, , 1in.

,

.

Deci prima diagramă este comutativă.

.

.

.

.

Fie (S,) mulțime parțial ordonată și local finită( adică pentru orice x,yS, cu xy, mulțimea {zS|x z y} este finită).

Fie T={(x,y)SS|xy} și C k-spațiul vectorial de bază T. Atunci C este o coalgebră, cu: :CCC, ,

:Ck, ,

pentru orice (x,y)T.

Definiție: O k-coalgebră C se numește cocomutativă dacă următoarea diagramă este comutativă:

CC C,C CC

C

Definiție: Fie (C, C,C), (D,D,D) două coalgebre. O aplicație k-liniară f:CD se numește morfism de coalgebre dacă următoarele diagrame sunt comutative:

C C CC C

C

f ff ; f k

D

D D DD D

Coasociativitatea generalizată

Fie (C, , ) o k-coalgebră. Conform definiției, avem relația: (I)=(I).

Pentru nN, n2, definim inductiv (de n+1 ori) astfel:

2=(I),

n=(In-1)n-1, n2

C n-1 (de n ori)

n In-1

(de n+1 ori)

Propoziție: Fie (C, , ) o coalgebră. Atunci, n2 și p{0,1,…,n-1}, avem:

n=(IpIn-p-1)n-1.

Demonstrație: Demonstrația se face prin inducție după n2. Pentru fiecare n trebuie să arătăm că relația are loc pentru orice p{0, 1, … , n-1}.

Fie n=2. Din definiție, 2=(I). Pe de altă parte, din condiția de coasociativitate a lui , avem că (I)=(I). Deci 2=(I)= (I). Prima egalitate corespunde pentru p=0, cea de-a doua pentru p=1.

Presupunem acum egalitatea adevărată pentru n și o demonstrăm pentru n+1.

Fie p{0,1,…,n}.

(IpIn-p)n=(IpIn-p)(Ip-1In-p)n-1

=(Ip-1(I)In-p)(Ip-1In-p)n-1

=(Ip-1(I)In-p)n-1

=(Ip-1(I)In-p)n-1

=(Ip-1(I)In-p)(Ip-1In-p)n-1

=(Ip-1In-p+1)n.

Pentru p=0 are loc prin definiție că n+1=(IpIn-p)n. Din relația demonstrată mai sus rezultă printr-o inducție după p că egalitatea are loc pentru orice p{0, … , n-1}.

Sigma notație

Fie (C,,) o k-coalgebră. :CCC, .

Notăm (c) = c1c2 ; (c1 și c2 sunt simboluri) .

Condiția de coasociativitate a lui în notația sigma se scrie astfel:

Condiția de counitate a lui în notația sigma se scrie astfel:

.

Morfism de coalgebre în notația sigma:

Fie C și D două coalgebre și f:CD morfism de coalgebre. Comutativitatea primei diagrame din definiția morfismului de coalgebre se scrie astfel:

În sigma notație, o k-coalgebră este cocomutativă dacă: .

COMODULE

Definiție: Fie (C, , ) o k-coalgebră. Se numește C-comodul drept o pereche (M, ), unde M este un k-spațiu vectorial, iar M:MMC este o aplicație k-liniară, astfel încât următoarele diagrame sunt comutative:

M M MC M M MC

M MIC ; can’ IM

MC IM MCC Mk

Definiție: Fie (M, M) și (N, N) două C-comodule drepte. O aplicație k-liniară f:MN se numește morfism de C-comodule drepte dacă următoarea diagramă este comutativă:

M M MC

f fIC

N N NC

Putem acum defini categoria C-comodulelor drepte peste o k-coalgebră C, unde obiectele sunt C-comodulele drepte, iar morfismele sunt chiar morfismele de comodule drepte. Această categorie este notată astfel: MC.

Observație: În cele ce urmează, pentru simplitate, dacă (M, M) este un C-comodul drept, vom nota MMC.

Observație: În mod analog se definesc C-comodulele stângi peste o k-coalgebră C. Diferența constă în faptul că aplicația de structură a unui C-comodul stâng M este de forma: M:MCM. Condițiile care trebuie îndeplinite sunt: (IM)M=(IC) și (IM)M=can.

Categoria C-comodulelor stângi se notează cu: .

Sigma notația pentru comodule

Fie MMC ; M:MMC. Pentru orice element mM, notăm:

.

m(0) și m(1) trebuie privite ca niște „poziții”, prima fiind în M, iar cea de-a doua în C.

Folosind notația sigma, definiția comodului drept se scrie acum prin următoarele e
Observație: În cele ce urmează, pentru simplitate, dacă (M, M) este un C-comodul drept, vom nota MMC.

Observație: În mod analog se definesc C-comodulele stângi peste o k-coalgebră C. Diferența constă în faptul că aplicația de structură a unui C-comodul stâng M este de forma: M:MCM. Condițiile care trebuie îndeplinite sunt: (IM)M=(IC) și (IM)M=can.

Categoria C-comodulelor stângi se notează cu: .

Sigma notația pentru comodule

Fie MMC ; M:MMC. Pentru orice element mM, notăm:

.

m(0) și m(1) trebuie privite ca niște „poziții”, prima fiind în M, iar cea de-a doua în C.

Folosind notația sigma, definiția comodului drept se scrie acum prin următoarele ecuații:

.

Definiția morfismului de comodule drepte se scrie cu sigma notația astfel:

.

Pentru C-comodulele stângi, notația sigma este următoarea: dacă M:MCM este aplicația care definește structura de comodul stâng a lui M, atunci notăm . Definiția comodulului stâng se scrie în sigma notație astfel:

Exemple

1)Fie (C, , ) o k-coalgebră. Atunci C este și comodul drept și comodul stâng peste ea însăși via .

Fie C:CCC, C:=. O sa arătăm că (C, C) este un C-comodul drept.

.

, ceea ce este adevărat din condiția de coasociativitate a lui .

, relație ce este de asemenea adevărată din condiția de counitate a lui .

Deci într-adevăr, (C,C) este un C-comodul drept via .

În mod analog se demonstrează că .

2)Fie C o coalgebră și (M, M)MC. Fie X un k-spațiu vectorial. Atunci XM devine un C-comodul drept via morfismul strucutural XM: XMXMC, XM:=IXM.

.

În particular, cum C este un C-modul drept via , XCMC, oricare ar fi X un k-spațiu vectorial.

Analog, dacă (N, N) și X este un k-spațiu vectorial, atunci NX, via morfismul structural NX:NXCNX, NX:=NIX.

.

În particular, CX, oricare ar fi X un k-spațiu vectorial.

3)Fie S o mulțime nevidă și C=kS k-spațiul vectorial de bază S, înzestrat cu structura de coalgebră(:CCC, (s)=ss; :Ck, (s)=1, sS). Atunci MMC există o familie (Ms)sS de k-spații vectoriale astfel încât M=sSMs.

„”M=sSMs.

Definim M:MMC, M(ms)=mss, msMs, sS.

.

. .

Deci prima condiție din definiția comodulului drept este îndeplinită.

și cea de-a doua condiție este îndeplinită.

Așadar, M=sSMs este un C-comodul drept.

„” Fie (M, )MC; :MMC.

Fie mM;

Pentru fiecare sS, definim .

Demonstrăm că Ms={mM|(m)=ms}.

„” (m)=ms mMs ( din definiția Ms).

„” Fie msMs. Arătăm că (ms)=mss.

Din proprietățile comodului, avem că (I)(m)=(I)(m), mM (1)

.

.

Revenind în relația (1), obținem:

.

Dacă mM, atunci . Deci .

Mai rămâne de arătat că suma e directă. Pentru aceasta este suficient să arătăm că dacă , atunci ms=0, sS.

Fie deci .

Dar , și atunci ms=0, sS.

Observație:Fie (C, , ) o k-coalgebră. Notăm op:CCC, op(c) = c2c1. Atunci (C, op, ) este tot o k-coalgebră, pe care o notăm cu Ccop.

Demonstrație: Fie cC.

(opI)op(c) = (opI)(c2c1)=(c2)2(c2)1c1=c3c2c1

(Iop)op(c) = (Iop)(c2c1)=c2(c1)2(c1)1=c3c2c1.

Deci op este coasociativă. Este clar atunci că (C, op, ) este o k-coalgebră.

Propoziție: Categoriile MC și sunt izomorfe.

Demonstrație: Fie F: MC, F= identitatea pe obiecte și morfisme.

Fie MMC, M:MMC, M(m)=m(0)m(1).

M este un Ccop- modul stâng, via M:MCcopM, M(m):=m(1)m(0).

.

Deci prima condiție de comodul este satisfăcută.

, deoarece M este un C-comodul drept.

Așadar, .

O să demonstrăm acum și invers. Fie G: MC, G= identitatea pe obiecte și morfisme.

Fie N, N:NCcopN, N(n)=n(-1)n(0).

N este un C-comodul drept, via N:NNC, N(n)=n(0)n(-1).

.

Deci prima condiție de comodul drept este îndeplinită.

, deoarece N este un Ccop-comodul stâng.

Așadar, NMC.

Aplicațiile F și G sunt inverse una celeilalte. Într-adevăr, dacă plecăm cu MMC, aplicând F, M devine un Ccop-comodul stâng, iar apoi aplicând G, M capătă o structură de C-comodul drept, care coincide cu cea inițială.

Analog se întâmplă dacă plecăm cu N.

1.3Duala unei algebre/coalgebre

O să amintim mai întâi câteva noțiuni de algebră liniară.

Fie V un k-spațiu vectorial. Notăm V*:=Hom(V, k).

Lema 1: Fie M și N două k-spații vectoriale. Atunci:

1.M,N : Hom(M, N*)(MN)*, definit prin M,N(f)(mn):=f(m)(n), fHom(M, N*), mM, nN, este un izomorfism de k-spații vectoriale.

2.M,N : M*NHom(M, N), definit prin M,N(fn)(m):=f(m)n, fM*, nN, mM, este morfism injectiv de k-spații vectoriale. Dacă în plus N este finit dimensional, atunci M,N devine izomorfism de k-spații vectoriale.

3.M,N : M*N*(MN)*, definit prin M,N(fg)(mn):=f(m)g(n), fM*, gN*, mM, nN, este morfism de k-spații vectoriale. Dacă în plus N este finit dimensional, atunci M,N devine izomorfism de k-spații vectoriale.

Lema 2: Fie V și W două k-spații vectoriale și f:VW un morfism de k-spații vectoriale. Atunci f*:W*V*, definit prin f*():=f, W*, este tot un morfism de k-spații vectoriale.

Observație: Fie V un k-spațiu vectorial de dimensiune n și fie B={e1,…,en} o bază a sa. Pentru orice , definim ei:Vk prin ei(ej):=ij, . Atunci {e1,…,en} este o bază pentru V*, numită baza duală asociată bazei B.

Avem relațiile:

.

ALGEBRA DUALĂ

Avem acum toate pregătirile necesare pentru a construi algebra duală asociată unei coalgebre.

Fie așadar (C, , ) o coalgebră.

C,C *

C*C* (CC)* C*, C,C definit ca la punctul 3. al lemei 1.

Definim aplicația MC*:=*C,C.

Pentru orice f, gC*, notăm MC*(fg) cu fg. Atunci, cC, din definiție obținem că:

(fg)(c) = MC*(fg)(c) = (*C,C)(fg)(c) = *(C,C(fg))(c) =(C,C(fg))(c) = C,C(fg)((c)) =C,C(fg)(c1c2)=f(c1)g(c2).

k k* * C*, unde (a)(b):=ab, a,bk.

Definim :=*.

Pentru orice ak și cC, avem:

(a)(c)=(*)(a)(c)=*((a))(c)=((a))(c)=(a)((c))=a(c).

Definim :=(1k)=.

Propoziție: (C*, MC*, ) este o k-algebră, numită algebra duală asociată coalgebrei C.

Demonstrație: Fie f, g, hC* și cC.

((fg)h)(c)=(fg)(c1)h(c2)=f((c1)1)g((c1)2)h(c2)=f(c1)g(c2)h(c3).

(f(gh))(c)=f(c1)(gh)(c2)=f(c1)g((c2)1)h((c2)2)=f(c1)g(c2)h(c3).

Deci „” este asociativă.

Arătăm acum că este elementul unitate:

(f)(c)=(f)(c)=f(c1)(c2)=f((c2)c1)=f(c), cC.

(f)(c)=(f)(c)=(c1)f(c2)=f((c1)c2)=f(c), cC.

Am demonstrat deci că (C*, MC*, ) este o k-algebră.

Exemple: 1)Fie S o mulțime nevidă și C=kS coalgebra definită ca în exemplul 1) de la „Coalgebre”. Atunci algebra duală este (kS)*=Hom(kS, k), cu:

(fg)(s)=f(s)g(s), f, g(kS)*, sS

(s)=(s)=1, sS.

Notăm cu Set(S, k) algebra funcțiilor între S și k. Aplicația : (kS)*Set(S, k), care asociază unui morfism f(kS)* restricția sa la S, este un izomorfism de algebre.

2)Fie C coalgebra definită în exemplul 2) de la „Coalgebre”. Atunci algebra duală C* are multiplicarea definită prin:

,

și unitatea dată de:

.

C* este izomorfă cu algebra seriilor formale k[[X]], un izomorfism canonic fiind dat de:

:C*k[[X]], .

O să demonstrăm în continuare că este într-adevăr izomorfism. Pentru început, să arătăm că este morfism de algebre.

Fie f, gC*. Atunci avem:

.

Deci este morfism de algebre. este chiar izomorfism, inversul său fiind: -1:k[[X]]C*, .

.

.

COALGEBRA DUALĂ

Problema duală care se pune este următoarea: dându-se o algebră (A, M,u), se poate introduce o structură canonică de coalgebră pe A*? Nu putem realiza o astfel de construcție într-un mod similar algebrei duale a unei coalgebre datorită faptului că nu există un morfism canonic (AA)*A*A*. Totuși dacă A este finit dimensională, morfismul canonic A,A: A*A*(AA)* este bijectiv și putem folosi .

Fie deci (A, M, u) o algebră finit dimensională.

A* M* (AA)* A*A*

Definim aplicația :=M*.

Observăm că pentru fA*, dacă (f)=i gihi , unde gi, hiA*, atunci f(ab)=igi(a)hi(b), a, bA*. De asemenea, dacă (g’j, h’j)j este o familie finită de elemente din A* astfel încât f(ab)=j g’j(a)h’j(b), a,bA, atunci i gihi=j g’jh’j, aceasta rezultând datorită injectivității lui .

În concluzie, pentru orice fA*, putem defini (f)=i gihi, pentru orice (gi, hi)A* pentru care f(ab)=igi(a)hi(b), a, bA*.

(A, M, u) fiind o algebră finit dimensională, este posibil să exprimăm comultiplicarea coalgebrei duale în funcție de o bază a lui A și de baza duală din A*. Fie deci (ei)i=1,n o bază în A și (ei)i=1,n baza duală în A*. Atunci (ejel)j,l=1,n este o bază a lui A*A*. Rezultă ca pentru un element fA*, există niște scalari (aj,l)j,l=1,n astfel încât . Ținând cont de definiția comultiplicării rezultă că pentru s, t fixați, avem:

.

Am obținut așadar că

.

Această formulă este de multe ori foarte utilă și va fi folosită și în lucrarea de față în cele ce urmează.

A* u* k* ’ k , unde ’ este izomorfismul canonic, ’(*):=*(1k), *k*.

Definim aplicația :=’u*.

Pentru orice fA*, avem: (f)=(’u*)(f)=’(fu)=(fu)(1k)=f(u(1k))=f(1A).

Propoziție: Fie (A, M, u) o algebră finit dimensională. Atunci (A*, , ) este o coalgebră, numită coalgebra duală asociată algebrei finit dimensionale A.

Demonstrație: Am văzut mai sus că fA*, . Vom demonstra acum că astfel definită este coasociativă.

.

.

Deci este coasociativă.

De asemenea,

.

Analog se arată și că , deci și proprietățile counității sunt verificate.

Exemplu: Fie A=Mn(k) algebra de matrici nxn. Atunci coalgebra duală este exact coalgebra de comatrici Mc(n,k). Într-adevăr, fie (eij)i,j=1,n baza canonică a lui A, și fie (Eij)i,j=1,n baza duală în A*. Reamintim că avem relația:

ei,seu,v=s,uei,v, i,s,u,v=1,n.

.

.

Am obținut deci că A* este izomorfă cu Mc(n,k).

Propoziție: Fie C o coalgebră finit dimensională și C* algebra duală. Atunci categoriile MC și sunt izomorfe.

Demonstrație: Fie F:MC, F=identitatea pe obiecte și morfisme.

Fie MMC; M:MMC, M(m)=m(0)m(1).

M devine un C*-modul stâng, via c*m=c*(m(1))m(0), c*C*, mM.

Fie c*, d*C* și fie mM. Avem: c*(d*m)= c*(d*(m(1))m(0))= d*(m(1))c*m(0)= d*(m(1))c*((m(0))(1))(m(0))(0) = (c*d*)(m(1))m(0)=(c*d*)m.

Fie mM. Atunci: m=m=(m(1)m(0)’m.

Deci într-adevăr, M este un C*-modul stâng.

O sa demonstrăm acum și invers.

Considerăm bază în C și baza duală în C*.

Fie acum N. Atunci NMC, via .

Deci prima condiție de comodul drept este satisfăcută.

, deci și cea de-a doua condiție de comodul drept este satisfăcută.

Așadar N este într-adevăr un C-comodul drept.

Aplicațiile F și G sunt inverse una alteia.

Fie M un C-comodul drept, via M; aplicând F, M devine un C*-modul stâng și aplicând mai departe G, M devine din nou un C-comodul drept, via ’M. O să arătăm că M=’M.

.

Fie acum N un C*-modul stâng via „”; aplicând G, N devine un C-comodul drept, iar apoi aplicând F devine un C*-modul stâng, via „”. O să arătăm că =.

Rezultă așadar că într-adevăr categoriile MC și sunt izomorfe.

1.4Teorema de finitudine

Definiție: Fie C o coalgebră și (M, M)MC. Se numește subcomodul al lui M orice k-subspațiu vectorial N al lui M, astfel încât M(N)NC.

Definiție: Fie (C, , ) o coalgebră. DkC se numește subcoalgebră a lui C dacă (D)DD.

Teorema de finitudine(teorema fundamentală pentru coalgebre): Fie (C, , ) o coalgebră.

1)Dacă MMC și mM, atunci există N un subcomodul finit dimensional în M astfel încât mN;

2)Dacă cC, atunci există D o subcoalgebră în C finit dimensională, astfel încât cD;

3)Subcoalgebra generată de un element( sau de o mulțime finită de elemente) este finit dimensională.

Demonstrație: 1)Fie (M,)MC; :MMC.

Fie (ci)iI bază în C.

Fie mM. Atunci .

Iau N:=km, (wi)iF. Clar NkM și N-finit dimensională. De asemenea, din modul cum am definit N, este evident că mN.

Rămâne de arătat că (N)NC. Este suficient să arătăm că (m)NC și că (wi)NC, iF.

(m)NC.

(M, )MC (I)(m)=(I)(m). (1)

Revenind acum în relația (1), obținem:

.

2)Aplicăm punctul 1) pentru M=C și =. Atunci, pentru cC, rezultă că există un subcomodul V finit dimensional astfel încât cV și (V)VC.

Fie (vi)i=1,t bază în V.

; wjiC, . (2)

Iau D:=V+kwjii,j=1,n=kvi, wjii,j=1,t.

dimk(D) t+t2, deci D este finit dimensional; cVcD.

Rămâne de arătat că (D)DD. Este suficient să arătăm că (vi), respectiv (wji) sunt din DD. Cum pentru vi este clar, din (2), singurul lucru care mai trebuie demonstrat este că (wji)DD.

Din coasociativitate, știm că (I)(vi)=(I)(vi). (3)

.

.

Revenind în (3), obținem:

.

3)Fie cC. Subcoalgebra generată de c este: .

Din punctul 2), există o coalgebră finit dimensională fie ea E, care îl conține pe c. Evident E este un element al intersecției, deci <c>E. Cum E este finit dimensională, rezultă că și <c> este finit dimensională.

CAPITOLUL AI DOILEA

ALGEBRE HOPF ȘI MODULE HOPF

2.1 Bialgebre

Fie H un k-spațiu vectorial înzestrat simultan cu o structură de algebră (H, M u) și cu una de coalgebră (H, , ). Vom descrie în continuare situația în care cele două structuri sunt compatibile.

Reamintim că pe HH avem o structură de produs tensorial de coalgebre și structura de produs tensorial de algebre; de asemenea, să ne reamintim că pe k există o structură canonică de coalgebră, descrisă pe larg în exemplele de la paragraful „Coalgebre”(k:kkk, k(a)=1a=a1; k:kk, k(a)=a, ak).

Propoziție: Următoarele afirmații sunt echivalente:

1)M, u sunt morfisme de coalgebre;

2), sunt morfisme de algebre.

Demonstrație: M este morfism de coalgebre dacă și numai dacă următoarele diagrame sunt comutative:

HH M H HH M H

(1) (2)

HH ; HH

HHHH MM HH kk k

u este morfism de coalgebre dacă și numai dacă următoarele două diagrame sunt comutative:

k u H k u H

(3) (4)

k ; k

kk uu HH k

O să vedem acum ce înseamnă că și sunt morfisme de algebre. Astfel, este morfism de algebre dacă și numai dacă cele două diagrame de mai jos sunt comutative:

H HH H HH

(1’) (2’)

M MHH ; u uHH uu

HH HHHH k k kk

Pe de altă parte, este morfism de algebre dacă și numai dacă diagramele următoare sunt comutative:

H k H k

(3’) (4’)

M u uk

HH kk k

Aplicația :kkk care apare în diagramele de mai sus este inversa lui k și este definită astfel: (ab)=ab, a, bk.

O să demonstrăm acum că MHH()=(MM)HH.

Fie g, hH. Avem:

(MHH())(gh)=MHH( g1g2h1h2)=g1h1g2h2.

((MM)HH)=(MM)(g1h1g2h2)=g1h1g2h2.

Deci egalitatea are într-adevăr loc, de unde rezultă că diagrama (1) este comutativă dacă și numai dacă diagrama (1’) este comutativă.

Se observă de asemenea că diagramele (2), (3), (4) respectiv sunt comutative dacă și numai dacă diagramele (3’), (2’), (4’) sunt comutative respectiv.

Propoziția este așadar demonstrată.

Observație: Folosind sigma notația, condițiile ca și să fie morfisme de algebre se scriu astfel:

(1)=11, (gh)=g1h1g2h2, g, hH

(1)=1, (gh)=(g)(h), g, hH.

Definiție: Un k-spațiu vectorial H, înzestrat cu o structură de algebră (H, M, u) și una de coalgebră (H, , ), astfel încât M și u sunt morfisme de coalgebre se numește bialgebră.

Definiție: Fie H o bialgebră. Un k-subspațiu L al lui H se numește subbialgebră dacă L este și subalgebră și subcoalgebră a lui H.

Definiție: Fie H o bialgebră. Un k-subspațiu I al lui H se numește biideal dacă I este ideal bilateral în H și coideal în H.

Propoziție: Dacă H este o bialgebră finit dimensională, atunci H* este o bialgebră și în plus :HH**, definită prin (h)(f)=f(h), hH, fH*, este izomorfism de bialgebre.

Demonstrație: O să demonstrăm mai întâi că H* este o bialgeră.

Privind H cu structura de coalgebră, structura de algebră a lui H* este dată de:

(fg)(h)=f(h1)g(h2), f, gH*, hH

1H*=H.

Pe de altă parte, luând H cu structura de algebră, structura de coalgebră a lui H* este dată de:

H*(f)=f1f2 f(gh)=f1(g)f2(h), fH*, g, hH.

H*(f)=f(1H), fH*.

Trebuie să arătăm acum că H* și H* sunt morfisme de algebre.

H*(1H*)=H*(H)=H(1H)=1k.

Fie f, gH*. Avem:

H*(fg)=(fg)(1H)=f(1H)g(1H)=H*(f)H*(g).

Deci H* este morfism de algebre.

H*(1H*)=1H*1H* H*(H)=HH H(gh)=H(g)H(h), g, hH, ceea ce este adevărat pentru că H este morfism de algebre.

Fie f, gH*. Trebuie să arătăm că H*(fg)=H*(f)H*(g).

Dacă H*(f)=f1f2 și H*(g)=g1g2, vrem să arătăm că H*(fg)=f1g1f2g2.

Fie h, lH. Avem:

(fg)(hl)=f((hl)1)g((hl)2)=f(h1l1)g(h2l2)=f1(h1)f2(l1)g1(h2)g2(l2)=f1(h1)g1(h2)f2(l1) g2(l2)= (f1g1)(h)(f2g2)(l).

Deci H*(fg)=f1g1f2g2.

Știm deja că este izomorfism de algebre și izomorfism de coalgebre, și deci este izomorfism de bialgebre.

Exemple:

1)Corpul k cu structura lui de algebră și cu structura canonică de coalgebră prezentate în capitolele anterioare este o bialgebră.

Să arătăm ca într-adevăr și care dau lui k structura de coalgebră sunt morfisme de algebre.

(1)=11; (1)=1.

Fie a, bk. Avem: (ab)=ab1; (a)(b)=(a1)(b1)=ab1.

(ab)=ab; (a)(b)=ab.

Deci și sunt morfisme de algebre.

2)Fie G un grup și H=kG algebra grupală. H are, așa cum am văzut, și o structură de coalgebră( (g)=gg, (g)=1, gG).

(1)=11;(1)=1.

Fie g, hG. Avem: (gh)=ghgh; (g)(h)=(gg)(hh)=ghgh.

(gh)=1; (g)(h)=1.

Deci și sunt morfisme de algebre, ceea ce înseamnă că H=kG este o bialgebră.

3)Fie H un k-spațiu vectorial de bază {ci|iN}. Am văzut deja că H are o structură de algebră, dată de:

, 1=c0,

și o structură de coalgebră:

.

Rămâne atunci de arătat doar că și definite ca mai sus sunt morfisme de algebre.

Deci este morfism de algebre.

(cn)(cm)=n,0m,0

.

Se observă că cele două relații sunt egale cu 1 dacă m=n=0 și sunt 0 în rest. Rezultă că și este morfism de algebre.

4)Fie (H, M, u, , ) o bialgebră. Atunci Hop, Hcop, Hop, cop sunt bialgebre, unde:

Hop=(H, Mop, u, , ),

Hcop=(H, M, u, cop, ),

Hop, cop=(H, Mop, u, cop, ).

Mop:HHH, Mop(ab)=M(ba), a, bH.

cop:HHH, cop(a)=a2a1, aH.

Definiție: Fie H, L două bialgebre. O aplicație k-liniară f:HL se numește morfism de bialgebre dacă este morfism de algebre și de coalgebre între algebrele, respectiv coalgebrele subiacente celor două bialgebre.

Definiție: O bialgebră H se numește comutativă (respectiv cocomutativă) dacă algebra (respectiv coalgebra) subiacentă lui H este comutativă (respectiv cocomutativă).

2.2 Algebre Hopf

Fie (C, , ) o coalgebră și (A, M, u) o algebră. Hom(C, A)=Homk(C, A) este o k-algebră, în care multiplicarea și elementul identitate sunt date după cum urmează:

(fg)(c):=f(c1)g(c2), f, gHom(C, A), cC.

1Hom(C, A):=u.

Propoziție: În contextul de mai sus, Hom(C, A) este o k-algebră.

Demonstrație: O să arătăm mai întâi că înmulțirea definită mai sus este asociativă.

Fie f, gHom(C, A) și cC. Avem:

((fg)h)(c)=(fg)(c1)h(c2)=f((c1)1)g((c1)2)h(c2)=f(c1)g(c2)h(c3).

(f(gh))(c)=f/(c1)(gh)(c2)=f(c1)g((c2)1)h((c2)2)= f(c1)g(c2)h(c3).

Deci „” este într-adevăr asociativă.

Să verificăm acum proprietățile elementului neutru. Fie fHom(C, A), cC.

(f(u))(c)=f(c1)(u)(c2)=f(c1)(c2)1=f(c).

Analog se arată că uf=f.

Așadar, u este element neutru.

Observație: Dacă A=k, atunci „” definit mai sus este chiar produsul de convoluție definit pe algebra duală a coalgebrei C. De aceea și în cazul în care A este o algebră arbitrară vom numi înmulțirea „” tot convoluție.

Fie acum H o bialgebră. Din cele de mai sus, putem defini pe Hom(H, H) o structură de algebră.

Să observăm că aplicația identitate I:HH este un element al lui Hom(H, H).

Definiție: Fie H o bialgebră. O aplicație liniară S:HH se numește antipod al bialgebrei H dacă este inversul aplicației identitate I:HH în raport cu convoluția în Hom(H, H).

Definiție: O bialgebră H care are antipod se numește algebră Hopf.

Observație: Am definit antipodul ca fiind inversul aplicației identitate în Hom(H, H), ceea ce înseamnă că într-o algebră Hopf antipodul este unic determinat.

Faptul că S este antipod se scrie: SI=IS=u.

În notația sigma, această relație devine:

S(h1)h2=h1S(h2)=(h)1, hH. (A)

Definiție: Fie H o algebră Hopf cu antipodul S. Un biideal I se numește ideal Hopf dacă S(I)I.

Propoziție: Fie H o algebră Hopf finit dimensională. Atunci H* este algebră Hopf, cu antipodul SH*:H*H*, SH*(f):=fSH, fH*.

Relația care definește antipodul SH* este echivalentă cu: SH*(f)(h)=f(SH(h)), fH*, hH.

Demonstrație: Am demonstrat deja că H* este bialgebră. Rămân atunci de verificat doar proprietățile antipodului pentru SH*.

Avem relația: H*(f)=f1f2 f(gh)=f1(g)f2(h), fH*, g, hH.

Trebuie să arătăm că f1SH*(f2)=H*(f)1H*, fH* f1SH*(f2)=f(1H)H, fH*.

Fie hH. Avem:

(f1SH*(f2))(h)= (f1SH*(f2))(h)= f1(h1)SH*(f2)(h2)= f1(h1)f2(SH(h2))= f(h1SH(h2))= f((h)1H)= f(1H)(h).

Analog se demonstrează că și SH*(f1)f2=H*(f)1H*, fH*.

Deci într-adevăr SH* este antipod, ceea ce încheie demonstrația.

Definiție: Fie H și B două algebre Hopf. O aplicație f:HB se numește morfism de algebre Hopf dacă este morfism de bialgebre.

Se pune însă problema dacă un morfism de algebre Hopf nu trebuie să se comporte bine și în raport cu antipozii. Propoziția următoare arată că acest lucru se întâmplă întotdeauna.

Propoziție: Fie H și B două algebre Hopf cu antipozii SB și SH. Dacă f:HB este un morfism de bialgebre, atunci SBf=fSH.

Demonstrație: Considerăm algebra Hom(H, B). SBf și fSH sunt elemente din această algebră. Vom demonstra că ambele sunt inversabile și au același invers f; cum inversul unui element într-o algebră este unic, va rezulta că sunt egale.

Fie hH. Avem:

((SBf)f)(h)=(SBf)(h1)f(h2)=SB(f(h)1)f(h)2=B(f(h))1B=H(h)1B,

deci SBf este invers la stânga pentru f.

(f(fSH))(h)=f(h1)(fSH)(h2)=f(h1SH(h2))=f(H(h)1H)=H(h)1B.

Deci fSH este invers la dreapta pentru f.

Rezultă atunci că SBf=fSH.

Putem acum defini categoria k-algebrelor Hopf, în care obiectele sunt algebrele Hopf peste corpul k, iar morfismele sunt chiar morfismele de algebre Hopf. Această categorie o vom nota cu Hopfk.

O să prezentăm acum câteva proprietăți de bază ale antipodului.

Propoziție: Fie H o algebră Hopf cu antipodul S. Atunci:

S(hg)=S(g)S(h), h, gH și S(1)=1;

(S(h))=S(h2)S(h1) și (S(h))(h), hH.

Proprietatea 1. arată că S este antimorfism de algebre, iar 2. arată că S este antimorfism de coalgebre.

Demonstrație: 1. Considerăm HH cu structura de produs tensorial de coalgebre și H cu structura de algebră. Are sens atunci să vorbim de algebra Hom(HH, H).

Considerăm aplicațiile F, G, M:HHH, definite astfel:

F(hg)=S(g)S(h), G(hg)=S(hg), M(hg)=hg, h, gH.

Vom demonstra că M este invers la stânga pentru F și invers la dreapta pentru G. Din unicitatea inversului, va rezulta apoi că F=G.

Fie h, gH. Avem:

(MF)(hg)=M((hg)1)F((hg)2)=M(h1g1)F(h2g2)=h1g1S(g2)S(h2)= h1(g)1S(h2)=(h)(g)1=HH(hg)1=uHHH(hg).

Deci MF= uHHH.

Pe de altă parte,

(GM)(hg)=G((hg)1)M((hg)2)=G(h1g1)M(h2g2)=S(h1g1)h2g2= S((hg)1)(hg)2=(hg)1=uHHH(hg).

Deci GM= uHHH.

Rezultă așadar în mod clar că F=G.

Pentru a demonstra a doua parte a afirmației 1., aplicăm proprietatea antipodului pentru elementul 1H. Obținem S(1)1=(1)1 S(1)=1.

2.Considerăm acum H cu structura de coalgebră și HH cu structura de produs tensorial de algebre; atunci are sens să vorbim de algebra Hom(H, HH).

Considerăm aplicațiile F, G:HHH, definite prin:

F(h)=(S(h)), G(h)=S(h2)S(h1), hH.

O să arătăm că este invers la stânga pentru F și invers la dreapta pentru G, de unde va rezulta că F=G.

Fie hH. Avem:

(F)(h)=(h1)F(h2)=(h1)(S(h2))=(h1S(h2))=((h)1)=(h)11= uHHH(h).

Deci F= uHHH.

Pe de altă parte,

(G)(h)=G(h1)(h2)=(S((h1)2)S((h1)1))((h2)1(h2)2)= (S(h2)S(h1))(h3h4)=S(h2)h3S(h1)h4=S((h2)1)(h2)2S(h1)h3=(h2)1 S(h1)h3= 1S(h1)((h2)1)(h2)2=1S(h1)h2=1(h)1=uHHH(h).

Deci G= uHHH.

Rezultă atunci că F=G.

Pentru a doua parte, plecăm de la proprietatea antipodului și avem relația: h1S(h2)=(h)1. Aplicăm și obținem: (h1)(S(h2))=(h) (S((h1)h2))=(h) (S(h))=(h), hH.

Propoziție: Fie H o algebră Hopf cu antipodul S. Atunci următoarele afirmații sunt echivalente:

S2=I,

S(h2)h1=(h)1, hH,

h2S(h1)=(h)1, hH.

Demonstrație: „1.2.” Din proprietatea antipodului avem că S(h1)h2=(h)1, hH. Aplicăm S și obținem: S(h2)S2(h1)=S((h)1), hH S(h2)h1=(h)1, hH.

„2.1.” Știm că I este inversul lui S în raport cu convoluția. Vom demonstra că și S2 este invers la dreapta al lui S în raport cu convoluția. Va rezulta atunci din unicitatea inversului că S2=I.

Fie hH. Avem:

(SS2)(h)=S(h1)S2(h2)=S(S(h2)h1)=S((h)1)=(h)1.

Așadar, într-adevăr S2=I.

„1.3.” Știm că h1S(h2)=(h)1, hH S2(h2)S(h1)=S((h)1), hH h2S(h1)=(h)1, hH.

„3.1.” Fie hH. Avem:

(S2S)(h)=S2(h1)S(h2)=S(h2S(h1))=S((h)1)=(h)1,

deci S2 este invers la stânga pentru S. Din unicitatea inversului, rezultă atunci că S2=I.

Corolar: Fie H o algebră Hopf comutativă sau cocomutativă. Atunci S2=I.

Demonstrație: Fie H comutativă.

Din proprietatea antipodului, știm că S(h1)h2=(h)1, hH. Din comutativitate, rezultă că h2S(h1)=(h)1, hH. Conform propoziției precedente, aceasta este echivalent cu S2=I.

Dacă H este cocomutativă, atunci știm că h1h2=h2h1, hH. Atunci, din S(h1)h2=(h)1, hH, rezultă că S(h2)h1=(h)1, hH, ceea ce este echivalent cu S2=I.

Observație: Fie H o algebră Hopf cu antipodul S bijectiv. Atunci:

S-1(hg)=S-1(g) S-1(h), h, gH și S-1(1)=1,

( S-1(h))= S-1(h2) S-1(h1), ( S-1(h))=(h), hH.

h2 S-1(h1)= S-1(h2)h1=(h)1, hH.

Demonstrație: 1.S:HH bijectiv; h, gH. Rezultă că există a, bH astfel încât h=S(a), g=S(b).

Atunci S-1(hg)= S-1(S(a)S(b))= S-1(S(ba))=ba,

S-1(g) S-1(h)= S-1(S(b)) S-1(S(a))=ba,

deci prima relație este demonstrată.

S-1(1)= S-1(S(1))=1.

2.Se demonstrează analog.

3.Din proprietatea antipodului, știm că h1S(h2)=S(h1)h2=(h)1, hH. Aplicăm S-1 și obținem: h2S-1(h1)=S-1(h2)h1=(h)1, hH.

Următoarea observație pe care o facem rezultă imediat din cele demonstrate mai sus. Deci:

Observație: Fie H o algebră Hopf cu antipodul S. Atunci bialgebra Hop, cop este algebră Hopf cu același antipod S.

Dacă în plus S este bijectiv, atunci bialgebrele Hop și Hcop sunt algebre Hopf cu antipodul S-1.

Observație: Fie H o algebră Hopf și MHM. Atunci MMH, cu mh:=S(h)m, mM, hH.

Demonstrație: Arătăm că (mh)k=mhk, mM, h, kH

(mh)k= S(k)S(h)m= S(hk)m= mhk.

Analog se arată că dacă NMH, atunci NHM, cu hn:=nS(h), nN, hH.

Dacă antipodul S este bijectiv și MHM, atunci MMH și cu m’h:=S-1(h)m, mM și hH. Rezultă atunci că avem următorul izomorfism de categorii: MHHM.

2.3Exemple de algebre Hopf

1)Algebra grupală. Fie G un grup și H:=kG algebra grupală asociată ( H={gGagg| agk, supp(ag)} ). Înmulțirea este definită de relația:

(ag)(bh)=(ab)(gh), a, bk, g, hG.

Știm că pe H se poate introduce o structură de coalgebră, în care (g)=gg, (g)=1, gG.

Am demonstrat deja că în acest fel algebra grupală devine o bialgebră.

Până acum nu am folosit decât faptul că G este un monoid. Existența antipodului este însă direct legată de inversabilitatea elementelor lui G. Într-adevăr, fie aplicația S:kGkG, definită prin S(g)=g-1, gG. Această aplicație ( extinsă liniar ) este antipod al bialgebrei kG. Se poate verifica foarte ușor că S verifică proprietatea antipodului:

S(g1)g2=S(g)g=g-1g=1=(g)1, gG.

Analog se demonstrează și că g1S(g2)=(g)1, gG.

KG este o algebră Hopf cocomutativă.

Este clar că dacă G este un monoid care nu este grup, atunci bialgebra kG nu este algebră Hopf.

Dacă G este grup finit, atunci bialgebra kG este finit dimensională și prin urmare și pe (kG)* avem o structură de algebră Hopf, duală celei de pe kG.

Știm că {g|gG} este bază în kG. Baza duală în (kG)* este {pg|gG}, unde pg:kGk, pg(h)=gh, hG.

Structura de algebră a lui (kG)* este dată de:

– pgph=ghpg, g, hG.

(pgph)(x)=ghpg(x), xG.

– gGpg.

Se verifică imediat că înmulțirea astfel definită este asociativă și că este într-adevăr element neutru.

Spunem că {pg|gG} este un sistem complet de idempotenți ortogonali.

Structura de coalgebră a lui (kG)* este dată de:

– ,

– .

(aceasta reiese din modul cum a fost descrisă construcția coalgebrei duale a unei algebre finit dimensionale).

Până acum am dat structura de bialgebră a lui (kG)*.

Antipodul este aplicația S: (kG)* (kG)*, definită prin S(pg)=, gG.

(kG)* este o algebră Hopf comutativă. Ea este și cocomutativă dacă și numai dacă G este grup abelian.

Înainte de a continua cu exemplele de algebre Hopf, vom demonstra următoarea propoziție:

Propoziție: Fie H o bialgebră, S:HH un antimorfism de algebre și X un sistem de generatori pentru H( ca algebră ). Dacă

x1S(x2)=S(x1)x2=(x)1H, xX (1) atunci S este antipod.

Demonstrație: Trebuie să demonstrăm că relația (1) are loc pentru orice element din H. Cum X este un sistem de generatori pentru H, este suficient să demonstrăm că dacă (1) are loc pentru x, yX, atunci are loc și pentru produsul xy.

Fie deci x, yX.

(xy)1S((xy)2)=x1y1S(x2y2)=x1y1S(y2)S(x2)=x1S(x2)(y)1H=(x)(y)1H=(xy)1H.

În mod analog se arată că și S((xy)1)(xy)2=(xy)1H și astfel propoziția este demonstrată.

2)Algebra tensorială. Reamintim mai întâi definiția categorială a algebrei tensoriale pentru că vom avea nevoie de aceasta la construcția unor aplicații ce vor îmbogăți structura.

Definiție: Fie V un k-spațiu vectorial. Se numește algebră tensorială a lui V o pereche (T(V), i), unde T(V) este o k-algebră și i:VT(V) este un morfism de k-spații vectoriale astfel încât este satisfăcută următoarea proprietate de universalitate: pentru orice k-algebră A și pentru orice morfism k-liniar f:VA, există un unic morfism de algebre :T(V)A astfel încât i=f.

V i T(V)

f

A

Algebra tensorială a unui spațiu vectorial există și este unică până la un izomorfism. Prezentăm pe scurt construcția acesteia.

Notăm: T0(V)=k, T1(V)=V

(de n ori), n2.

Notăm T(V)=n0Tn(V). Pe T(V) definim o înmulțire în modul următor: dacă v=v1…vnTn(V) și w=w1…wmTm(V), atunci

vw=v1…vnw1…wmTn+m(V).

Înmulțirea arbitrară a două elemente din T(V) se obține extinzând prin liniaritate formula de mai sus. În acest fel T(V) devine o algebră cu elementul unitate 1T0(V).

Fie i:VT(V), definită prin i(v)=vT1(V), vV. i este o aplicație k-liniară și injectivă.

Perechea (T(V), i) este o algebră tensorială.

Propoziție: Fie V un k-spațiu vectorial. Atunci există o unică structură de algebră Hopf pe T(V), cu (v)=v1+1v, (v)=0 și S(v)=-v, vV.

Demonstrație: T(V) este algebră generată de V.

Fie aplicația f:VT(V)T(V), definită prin f(v)=v1+1v, vV. Evident f este o aplicație k-liniară.

V i T(V)

F !

T(V)T(V)

Din proprietatea de universalitate a algebrei tensoriale rezultă că există un morfism de algebre :T(V)T(V)T(V) astfel încât i=f, adică (v)=v1+1v, vV.

Fie acum aplicația g:Vk, definită prin g(v)=0, vV. g este evident k-liniară.

V i T(V)

g !

k

Folosind aceeași proprietate de universalitate, rezultă că există un unic morfism de algebre :T(V)k, astfel încât i=g (v)=0, vV.

Demonstrăm acum că (T(V), , ) este o coalgebră.

Fie vV. Avem:

(I)(v)=(I)(v1+1v)=v11+1v1+11v.

(I)(v)=(I)(v1+1v)=v11+1v1+11v.

Deci este coasociativă.

Să verificăm acum și proprietatea de counitate a lui .

(v)1+(1)v=v.

v(1)+1(v)=v.

Rezultă că într-adevăr (T(V), , ) este coalgebră. Cum și sunt morfisme de algebre prin construcție, înseamnă că T(V) este bialgebră.

Construim acum un antipod. Considerăm algebra opusă T(V)op a lui T(V) și aplicația h:VT(V)op, definită prin h(v)=-v, vV. h este o aplicație k-liniară.

V i T(V)

h

T(V)op

Proprietatea de universalitate a algebrei tensoriale ne arată că există un unic morfism de algebre S:T(V)T(V)op astfel încât Si=h S(v)=-v, vV.

S astfel obținut devine antimorfism de algebre de la T(V) la T(V). Rămâne de verificat proprietatea antipodului. Conform propoziției demonstrate înainte, este suficient să verificăm proprietatea (A) pentru elementele vV.

Fie vV. Avem:

S(v)1+S(1)v=-v+v=0=(v).

vS(1)+1S(v)=v-v=0=(v).

Deci într-adevăr S este antipod.

Observație: Fie v=v1…vnTn(V). Atunci S(v)=(-1)nvn…v1.

Demonstrație: S(v)=S(v1…vn)=S(v1…vn)=S(vn)…S(v1)=(-1)nvn…v1= (-1)nvn…v1.

T(V) nu este algebră Hopf comutativă, dar este cocomutativă.

3)Algebra simetrică. Reamintim mai întâi definiția algebrei simetrice a unui spațiu vectorial.

Definiție: Fie V un k-spațiu vectorial. Se numește algebră simetrică a lui V o pereche (S(V), i), unde S(V) este o k-algebră comutativă, și i:vS(V) este un morfism de k-spații vectoriale astfel încât este satisfăcută următoarea proprietate de universalitate: pentru orice k-algebră comutativă A și orice morfism k-liniar f:VA, există un unic morfism de algebre :S(V)A astfel încât i=f.

V i S(V)

f

A

Algebra simetrică a unui k-spațiu vectorial există și este unică până la un izomorfism. Ea se construiește astfel: se consideră idealul I al algebrei tensoriale T(V) generat de toate elementele de forma vw-wv, v, wV.

Notăm S(V)=T(V)I.

V i T(V) p T(V)I V pi S(V),

unde i este incluziunea canonică, iar p este proiecția canonică.

(S(V), pi) este o algebră simetrică a lui V.

Demonstrăm că S(V) are o structură de algebră Hopf. Pentru aceasta este suficient să arătăm că I este un ideal Hopf al lui T(V).

Știm că I este ideal al algebrei tensoriale. Rămâne de arătat că este coideal și că S(I)I.

Fie v, wV. Avem:

(vw-wv)=(v)(w)-(w)(v)=(v1+1v)(w1+1w)-(w1+1w)(v1+1v) =(vw-wv)1+1(vw-wv)IT(V)+T(V)I.

Deci (I) IT(V)+T(V)I.

(vw-wv)=(v)(w)-(w)(v)=0 (I)=0.

Rezultă că I este coideal.

S(vw-wv)=S(w)S(v)-S(v)S(w)=(-w)(-v)-(-v)(-w)I S(I)I.

Așadar I este într-adevăr ideal Hopf și atunci S(V) este algebră Hopf.

Evident S(V) este comutativă. Ea este și cocomutativă, ca algebră factor a unei algebre Hopf cocomutative.

4)Algebra envelopantă a unei algebre Lie. O să dăm mai întâi câteva definiții ajutătoare.

Definiție: Fie L un k-spațiu vectorial. L se numește algebră Lie dacă există o aplicație k-liniară [ , ]:LLL astfel încât:

[x, y]=-[y, x], x, yL;

[x, [y, z]]+[y, [z, x]]+[z, [x, y]]=0, x, y, zL (inegalitatea lui Jacobi).

Definiție: Fie L, T două algebre Lie. O aplicație k-liniară f:LT se numește morfism de algebre Lie dacă f([x, y])=[f(x), f(y)], x, yL.

Exemplu: Fie A o k-algebră. Atunci pe k-spațiul vectorial A avem o structură de algebră Lie AL:=A, cu [x, y]:=xy-yx, x, yA.

[y, x]=yx-xy, x, yA prima proprietate din definiție este satisfăcută.

[x, [y, z]]+[y, [z, x]]+[z, [x, y]]=x(yz-zy)-(yz-zy)x+y(zx-xz)-(zx-xz)y+z(xy-yx)-(xy-yx)z=0 este verificată și inegalitatea lui Jacobi.

Definiție: Fie L o algebră Lie. Se numește algebră envelopantă a lui L o pereche (U(L), i), unde U(L) este o k-algebră, iar i:LU(L) este un morfism de algebre Lie astfel încât este satisfăcută următoarea proprietate de universalitate: oricare ar fi o k-algebră A și oricare ar fi f:LA morfism de algebre Lie, există și este unic :U(L)A morfism de algebre astfel încât i=f.

L i U(L)

f

A

Algebra envelopantă a unei algebre Lie există și este unică până la un izomorfism. Construcția ei se face astfel: se consideră algebra tensorială T(L) a k-spațiului vectorial L și I idealul lui T(L) generat de toate elementele de forma xy-yx-[x, y], cu x, yL. Notăm U(L)=T(L) I. Avem

L i T(L) p U(L) ,

unde i este incluziunea canonică iar p este proiecția canonică.

(U(L), pi) este algebra envelopantă a algebrei Lie L.

Propoziție: Dacă L este algebră Lie, atunci există o unică structură de algebră Hopf pe U(L), cu (l)=l1+1l, (l)=0, S(l)=-l, lL.

Demonstrație: Este suficient să demonstrăm că I este ideal Hopf în T(L). Știm că I este ideal al algebrei T(L), deci rămâne de arătat că I este coideal și că S(I)I.

Fie x, yL. Avem:

(xy-yx-[x, y])=(xy-yx-[x, y])1+1( xy-yx-[x, y])IT(L)+T(L)I.

( xy-yx-[x, y])=0.

Deci I este coideal.

S(xy-yx-[x, y])=-( xy-yx-[x, y])I.

Rezultă că I este ideal Hopf și prin urmare U(L) este algebră Hopf.

T(L) este algebră Hopf cocomutativă. Cum U(L) este o algebră factor a lui T(L), rezultă că și U(L) este cocomutativă.

5)Algebra Hopf 4-dimensională a lui Sweedler

Fie H k-algebra generată de x și c care satisfac relațiile: c2=1, x2=0, xc=-cx. Atunci H are dimensiune 4 ca un k-spațiu vectorial, cu baza {1, c, x, cx}.

Structura de coalgebră a lui H este indusă de:

(c)=cc, (x)=cx+x1,

(c)=1, (x)=0.

Într-adevăr, se verifică imediat că este coasociativă și că este counitate.

(I)(c)=(I)(cc)=ccc; (I)(c)=(I)(cc)=ccc.

(I)(x)=(I)(cx+x1)=ccx+cx1+x11;

(I)(x)=(I)(cx+x1)=ccx+cx1+x11.

(c1)c2=(c)c=c; c1(c2)=c(c)=c.

(x1)x2=(c)x+(x)1=x; x1(x2)=c(x)+x(1)=x.

Deci (H, , ) este coalgebră.

Mai mult, în acest fel H devine chiar bialgebră, care are în plus antipodul S, definit de S(c)=c, S(x)=-cx.

Se verifică imediat proprietatea antipodului:

c1S(c2)=cS(c)=c2=1=(c)1; S(c1)c2=S(c)c=c2=1=(c)1.

x1S(x2)=cS(x)+xS(1)=-x+x=0=(x)1; S(x1)x2=S(c)x+S(x)1=cx-cx=0=(x)1.

Acesta a fost primul exemplu de algebră Hopf necomutativă și necocomutativă.

6)Algebra Hopf de polinoame

k[X] este o k-algebră. Pe această algebră introducem o structură de coalgebră în felul următor. Din proprietatea de universalitate a algebrei de polinoame obținem că există un unic morfism de algebre : k[X] k[X] k[X], (X)=X1+1X.

(I)(X)=(I)(X1+1X)=X11+1X1+11X.

(I)(X)=(I)(X1+1X)=X11+1X1+11X.

Folosind din nou proprietatea de universalitate a algebrei de polinoame rezultă că este coasociativă.

În mod analog se obține că există un unic morfism de algebre : k[X]k, (X)=0.

(X)1+(1)X=X; X(1)+1(X)=X.

Deci este counitate.

Așadar k[X] împreună cu și devine o bialgebră.

Folosind din nou proprietatea de universalitate a algebrei de polinoame obținem și un antipod pentru acestă bialgebră: S(X)=-X.

În acest fel am indus o structură de algebră Hopf pe algebra de polinoame k[X]. Această algebră Hopf este comutativă și cocomutativă.

7)M(n)= este o k-algebră comutativă. Pe acestă algebră introducem o structură de coalgebră dată de: .

În acest fel M(n) devine o bialgebră comutativă.

Ea nu este algebră Hopf. Punem condiția ca det(Xij) să fie inversabil și definim GL(n)=k[Xij, Z]/(Zdet(Xij)-1). GL(n) este o algebră Hopf cu:

(Z)=ZZ, (Z)=1.

Antipodul este S(Xij)=ZAij, unde Aij este complementul algebric al lui Xji în .

Pentru Z=1, obținem SL(n)=k[Xij]/(det(Xij)-1), care este o algebră Hopf numită algebra specială generală.

8)Planul cuantic

Fie k-corp și qk, q diferit de 0 și de 1.

Kq(x, y):=k{x, y| xy=qyx}. Kq(x, y) este o algebră.

Pe Kq(x, y) putem defini și o structură de coalgebră, dată de:

(x)=xx, (y)=y1+xy;

(x)=1, (y)=0.

În acest fel Kq(x, y) devine o bialgebră. Ea nu este însă și algebră Hopf. Într-adevăr, dacă ar fi algebră Hopf cu antipodul S, din proprietatea (A) a antipodului am avea:

XS(x)=(x)1 xS(x)=1 x este element inversabil în Kq(x, y), ceea ce nu este adevărat.

Putem însă localiza bialgebra Kq(x, y) astfel încât x sa fie element inversabil și atunci ea devine o algebră Hopf.

Fie deci . Obținem kq(x, y)={x, y, x-1| xy=qyx, xx-1=x-1x=1} , care este o algebră Hopf( localizatul planului cuantic ) cu antipodul S, definit prin:

S(x)=x-1

S(y)=-x-1y.

Această algebră Hopf este necomutativă și necocomutativă, de dimensiune infinită.

9)Fie SLq(2)=k(a, b, c, d| ba=qab, db=qbd, ca=qac, dc=qcd, bc=cb, ad-da=q-1-q)bc, ad-q-1bc=1). SLq(2) definită astfel are o structură de algebră.

Pe SLq(2) dăm o structură de coalgebră astfel:

(a)=aa+bc, (b)=ab+bd, (c)=ca+dc, (d)=cb+dd.

(a)=1, (b)=0, (c)=0, (d)=1.

Mai mult, în acest fel SLq(2) devine o bialgebră.

Ea este chiar algebră Hopf cu antipodul S definit prin:

S(a)=d, S(b)=-qb, S(c)=-q-1c, S(d)=a.

10)Fie H un k-spațiu vectorial de bază {ci|iN}. Am văzut deja că H este bialgebră. Rămâne să arătăm că bialgebra H are un antipod. Cum H este cocomutativă, este suficient să arătăm că există o aplicație liniară S:HH cu proprietatea că S(h1)h2=(h)1, pentru orice h într-o bază a lui H.

Vom defini S(cn) prin recurență după n0.

Pentru n=0 luăm S(c0)=S(1)=1.

Presupunem că am definit s(c0),…,S(cn-1) astfel încât să fie verificată proprietatea antipodului. Atunci definim S(cn)=-S(c0)cn-…-S(cn-1)c1.

Este clar că proprietatea antipodului se verifică atunci și pentru cn.

Așadar H este o algebră Hopf, care este evident comutativă și cocomutativă.

2.4Deformarea comultiplicării pe algebre Hopf

Fie H o algebră Hopf și RR1R2HH un element inversabil.

Fie H(R)=H (ca algebră ) și fie (R):HHH, definită prin (R)(h)=R(h)R-1 hH.

Ne interesează în ce condiții (H(R), MH, uH, (R), H) este o algebră Hopf.

Observație: Notăm U=R-1=U1U2. Atunci (R) poate fi scrisă:

(R)(h)= R(h)U= R1h1U1R2h2U2, hH.

Vom mai nota R=r=r1r2 și U=u=u1u2.

Definiție: Un element inversabil RHH se numește Harrison cociclu dacă are loc următoarea relație:

R1(r1)1R2(r1)2r2= R1r1(R2)1r2(R2)2 (CH)

Relația (CH) se mai poate scrie:

R12((R1)R2)=R23(R1(R2)) în HH.

Lemă: Fie RHH un Harrison cociclu. Atunci:

(R1)(R2)(U1)(U2)=1;

R1(R2)= (R1)R2= (R1)(R2)1H;

(U1)1u1(U1)2u2U2= U1(U2)1u1(U2)2u2;

U1(U2)= (U1)U2= (U1)(U2)1H;

=R1S(R2) este inversabil și -1=S(U1)U2.

Demonstrație: 1.Știm că U=R-1, deci RU=11 R1U1R2U2=11.

Aplicăm și obținem:

(R1)(R2)(U1)(U2)=1.

2.Avem egalitatea (CH):

R1(r1)1R2(r1)2r2= R1r1(R2)1r2(R2)2. Aplicăm II și obținem:

R1(r1)1(R2)((r1)2)r2= R1(r1)((R2)1)r2(R2)2 R1(R2)r11r2 =R11(r1)r2R2, adică (R1(R2)1H1H)R13=(1H1H(r1)r2)R13 R1(R2)1H1H= 1H1H(r1)r2 (1)

Dacă aplicăm multiplicarea, obținem:

R1(R2)=(R1)R2.

Aplicând în (1) I, avem:

R1(R2)=(R1)(R2)1H.

3.Partea stângă (dreaptă ) a egalității care trebuie demonstrată este chiar partea stângă (dreaptă) din (CH).

4.Relația rezultă din 3. în mod analog cum a fost demonstrată egalitatea 2. din (CH).

5.Trebuie să demonstrăm că -1=1H și că -1=1H.

Să arătăm mai întâi că -1=1H, ceea ce este echivalent cu a arăta că R1S(R2)S(U1)U2=1H.

În egalitatea (CH) înmulțim la stânga cu U23 și, ținând cont și de faptul că UR=11, obținem:

R1(r1)1U1R2(r1)2U2r2= R1(R2)1(R2)2.

Aplicăm MH(ISI) și o să avem:

R1(r1)1S((r1)2)S(R2)S(U1)U2r2= R1S((R2)1)(R2)2,

adică

R1S(R2)S(U1)U2(r1)r2= R1(R2).

Utilizând punctul 2., avem:

R1S(R2)S(U1)U2(r1)(r2)= (R1)(R2)1H.

Înmulțim la dreapta cu (u1)(u2), și ținând cont de egalitatea de la 1., obținem:

R1S(R2)S(U1)U2= 1H.

Am demonstrat așadar că -1=1H.

Analog se arată că -1= 1H, utilizând egalitatea 3. în loc de (CH).

Teoremă: Fie H o algebră Hopf și RHH un Harrison cociclu. Atunci H(R) este o algebră Hopf cu antipodul S(R):H(R)H(R), definit prin S(R)(h)= S(h)-1.

Demonstrație: Cum din definiție H(R) este algebră, avem de verificat pentru început doar condițiile de coalgebră.

Am văzut că (R):H(R) H(R) H(R) este dată de (R)(h)= R1h1U1R2h2U2.

Să verificăm mai întâi condiția de counitate.

R1h1U1( R2h2U2)= R1h1U1(R2)(h2)(U2)= R1(R2)hU1(U2)=

(R1)(R2)h(U1)(U2)=h.

(R1)(h1)(U1) R2h2U2= (R1)R2h(U1)U2= (R1)(R2)h(U1)(U2)=h.

Deci este counitate.

Să demonstrăm acum că (R) este coasociativă. Fie hH. Avem:

(I(R))(R)(h)= (I(R))( R1h1U1R2h2U2)= R1h1U1r1(R2)1(h2)1(U2)1u1

r2(R2)2(h2)2(U2)2u2= (R1r1(R2)1r2(R2)2)(h1h2h3)(U1(U2)1u1(U2)2u2)=

(R1(r1)1R2(r1)2r2)(h1h2h3)((U1)1u1(U1)2u2U2).

((R)I)(R)(h)= ((R)I)( R1h1U1R2h2U2)= r1(R1)1(h1)1(U1)1u1

r2(R1)2(h1)2(U1)2u2 R2h2U2= (r1(R1)1r2(R1)2R2)(h1h2h3)((U1)1u1(U1)2u2

U2).

Deci într-adevăr (R) este coasociativă.

Cum (R) este morfism de algebre și este de asemenea morfism de algebre, rezultă că H(R) este bialgebră.

A mai rămas de arătat că aplicația S(R) definită în enunț este antipod. Fie hH. Avem:

S(R)(R1h1U1)R2h2U2= r1S(r2)S(R1h1U1)S(u1)u2R2h2U2=

r1S(r2)S(U1)S(h1)S(R1)S(u1)u2R2h2U2= r1S(r2)S(U1)S(h1)S(u1R1)u2R2h2U2=

r1S(r2)S(U1)S(h1)h2U2= r1S(r2)S(U1)U2(h)=(h).

În mod analog se arată că R1h1U1S(R)(R2h2U2)=(h), hH.

Observație: Dacă W, R sunt cocicluri Harrison și xH este element inversabil, cu W=(x-1x-1)R(x), atunci aplicația x:H(R)H(R), definită prin x(h)=x-1hx, hH este izomorfism de algebre Hopf.

Demonstrație: Faptul că x este morfism de algebre este imediat.

Să demonstrăm că este și morfism de coalgebre. Fie hH. Avem:

(Wx)(h)= W(x-1hx)W-1= (x-1x-1)R(x)(x-1)(h)(x)(x-1)R-1(xx)=

(x-1x-1)R(h)R-1(xx).

((xx)(R))(h)= x(R1h1U1)x(R2h2U2)= x-1R1h1U1xx-1R2h2U2x=

(x-1x-1)R(h)R-1(xx).

Clar x este aplicație bijectivă, si deci demonstrația s-a încheiat.

CAPITOLUL AL TREILEA

MODULE HOPF

3.1Module Hopf

În această secțiune vom considera tot timpul că H este o algebră Hopf.

Definiție: Fie M un k-spațiu vectorial. M se numește H-Hopf modul drept dacă are o structură de H-modul drept( acțiunea unui element hH pe un element mM va fi notată cu mh ) și o structură de H-comodul drept dată de aplicația :MMH, (m)=m(0)m(1), astfel încât pentru orice mM, hH să avem:

(mh)=m(0)h1m(1)h2.

O să prezentăm în continuare care sunt interpretările relației din definiția unui H-Hopf modul drept.

Pe HH avem o structură de produs tensorial de algebre. Se verifică imediat că MH are o structură de modul drept peste HH, dată de:

(mh)(gp)=mghp, mhMH, gpHH.

Cum :HHH este un morfism de algebre, obținem că MH capătă o structură de H-modul drept prin restricția scalarilor via , dată de:

(mh)g=mh1gh2, mhMH, gH.

Astfel se observă că relația de compatibilitate din definiția precedentă înseamnă exact faptul că este morfism de H-module drepte.

Putem da de asemenea și o interpretare duală a acestei relații. Astfel, considerăm acum HH cu structura de produs tensorial de coalgebre. Atunci MH are o structură de comodul drept peste HH definită prin:

mh m(0)h1m(1)h2.

Multiplicarea algebrei H M:HHH este un morfism de coalgebre și atunci prin corestricția scalarilor MH are o structură de H-comodul drept, dată de:

mh m(0)h1m(1)h2.

În aceste condiții relația de compatibilitate din definiția precedentă se mai poate exprima și prin faptul că aplicația :MHH care dă structura de H-modul drept a lui M este morfism de H-comodule drepte.

Definiție: Fie M și N două H-Hopf module drepte. Aplicația f:MN se numește morfism de H-Hopf module drepte dacă f este în același timp morfism de H-module drepte și morfism de H-comodule drepte.

Observație: Se poate defini categoria H-Hopf modulelor drepte, notată , în care obiectele sunt H-Hopf modulele drepte, iar morfismele sunt chiar morfismele de H-Hopf module drepte.

Exemplu: Fie V un k-spațiu vectorial. Pe VH definim o structură de H-modul drept, dată de:

(vh)g=vhg, vV, h, gH,

și o structură de H-comodul drept, dată de aplicația

:VHVHH, (vh)=vh1h2, vV, hH.

Atunci VH, cu aceste două structuri, devine un H-Hopf modul drept.

Pentru a demonstra acest lucru, trebuie să verificăm relația de compatibilitate.

((vh)g)=(vhg)=v(hg)1(hg)2=vh1g1h2g2=((vh1)g1)h2g2 =(vh)(0)g1(vh)(1)g2 relația este satisfăcută.

Definiție: Fie (M, ) un H-comodul drept, :MMH. Mulțimea

McoH={mM| (m)=m1}

este un subspațiu vectorial al lui M care se numește subspațiul coinvarianților lui M.

Definiție: Fie M un H-modul stâng. Mulțimea

MH= {mM| hm=(h)m, hH}

se numește subspațiul invarianților lui H.

Observație: McoH este un subspațiu vectorial al lui M, deci putem considera pe McoHH o structură de H-Hopf modul drept, definită ca în exemplul precedent.

Teoremă( teorema fundamentală pentru module Hopf ): Fie H o algebră Hopf și M un H-Hopf modul drept. Atunci aplicația f: McoHHM, definită prin f(mh)=mh, m McoH, hH, este un izomorfism de module Hopf.

Demonstrație: Știm că M este un H-Hopf modul drept. Notăm cu :MMH aplicația care dă structura de H-comodul drept a lui M; (m)=m(0)m(1).

Considerăm funcția g:MM, definită prin g(m)=m(0)S(m(1)), mM.

Fie mM. Avem:

(g(m))=(m(0)S(m(1))=(m(0))(0)(S(m(1)))1(m(0))(1)(S(m(1)))2= (m(0))(0)S((m(1))2)(m(0))(1)S((m(1))1)=m(0)S(m(3))m(1)S(m(2))= m(0)S(m(2))(m(1))1S((m(1))2)= m(0)S(m(2))(m(1))1= m(0)S(m(2)(m(1)))1= m(0)S((m(1))2((m(1))1))1= m(0)S(m(1))1= g(m)1.

Acest calcul ne arată că g(m) McoH, mM.

În aceste condiții are sens să definim aplicația F:M McoHM, F(m)=g(m(0))m(1), mM.

Vom arăta că F este inversa lui f.

Fie m McoH și hH. Avem:

(Ff)(mh)=F(mh)=g((mh)(0))(mh)(1)=g(m(0)h1)m(1)h2=g(mh1)h2= (mh1)(0)S((mh1)(1))h2=m(0)(h1)1S(m(1)(h1)2)h2=m(h1)1S((h1)2)h2=m(h1)h2= mh.

Deci Ff=I.

Invers, fie mM. Avem:

(fF)(m)=f(g(m(0))m(1)=(m(0))(0)S((m(0))(1))m(1)=m(0)S(m(1))m(2)= m(0)S((m(1))1)(m(1))2= m(0)(m(1))= m.

De aici rezultă că și fF=I.

Așadar f este inversabilă, deci bijectivă. Rămâne de arătat că f este morfism de H-module drepte și morfism de H-comodule drepte.

Pentru a arăta că f este morfism de H-module drepte trebuie să demonstrăm că f((mh)h’)=f(mh)h’, m McoH, h, h’H.

f((mh)h’)= f(mhh’)= mhh’= f(mh)h’.

f este morfism de H-comodule drepte dacă și numai dacă următoarea diagramă este comutativă:

McoHH f M

I

McoHHH fI MH

Fie m McoH, hH. Avem:

(f)(mh)= (mh)= (mh)(0)(mh)(1)= mh1h2.

(fII)(mh)= (fI)(mh1h2)= mh1h2.

Deci diagrama este comutativă și teorema complet demonstrată.

O să vedem în continuare cum putem construi antipodul din teorema fundamentală pentru module Hopf.

Fie deci H o bialgebră și categoria modulelor Hopf.

HH are o structură de H-comodul drept via aplicația:

: HHHHH, (gh)=gh1h2, g, hH.

Cu acest , HH are două structuri de module Hopf, și anume:

(HH, , ), unde (hg)l:=hgl, h, g, lH,

(HH, , ), unde (hg)l:=hl1hl2, h, g, lH.

Lemă: Fie H o bialgebră astfel încât aplicația : (hH, , ) (HH, , ), definită prin (hl)=hl1hl2, h, lH, este izomorfism în . Atunci H este algebră Hopf.

Demonstrație: Cum H este bialgebră din ipoteză, este suficient să construim un antipod.

Fie inversul lui . Vom demonstra că aplicația S:HH, S(h):=(I)(1h), hH, este antipod pentru H.

Vom folosi notația: (1y)=y0y1HH, yH.

Atunci, din modul cum am definit aplicația S, vom avea că:

S(y)=y0(y1), yH.

Știm că este morfism de H-comodule drepte, ceea ce înseamnă că:

()(1y)=((I))(1y), yH.

De aici rezultă că:

(y0y1)=(I)(1y1y2) y0(y1)1(y1)2=(1y1)y2 y0(y1)1(y1)2=(y1)0(y1)1y2.

Aplicăm II și obținem:

y0(y1)1(y1)2(y1)3=(y1)0(y1)1y2y3 (1)

Acum, știind că și sunt aplicații inverse una alteia, avem că:

()(1y)=1y, yH (y0y1)=1y y0(y1)1(y1)2=1y.

Rezultă că:

y0((y1)1)(y1)2(y1)3=1y.

Folosind (1), obținem în continuare:

(y1)0((y1)1)y2y3=1y S(y1)y2y3=1y.

Aplicăm acum I și o să avem:

S(y1)y2=(y)1H, yH (*)

În plus, S(1H)=1H.

Fie acum aplicația :HHHH, definită prin (xy)=xS(y1)y2, x, yH.

()(xy)= (xS(y1)y2= xS(y1)y2y3=x(y1)y2= xy, x, yH.

Aplicând , obținem:

(xy)=(xy),

adică

(xy)=xS(y1)y2, x, yH.

În particular, (11)=11.

Știm că este și morfism de H-module drepte, adică

((11)a)=(11)a, aH (a1a2)=1a, aH a1S(a2)a3=1a, aH.

Aplicăm I și rezultă că:

a1S(a2)=(a)1H, aH. (**)

Din relațiile (*) și (**) rezultă că într-adevăr S este antipod și demonstrația se încheie.

Teoremă: Fie H o bialgebră și presupunem că aplicația M:Mco(H)HM, definită prin M(mh)=mh, mM, hH, este izomorfism în , M. Atunci H are antipod.

Demonstrație: Este suficient să iau M=(HH, , ).

Atunci (HH)co(H)hkH.

În aceste condiții HH devine aplicația :(HH, , )(HH, , ) definită anterior.

Folosind acum lema, demonstrația este incheiată.

Concluzie: Fie H o bialgebră. Atunci următoarele afirmații sunt echivalente:

H are antipod;

Aplicația :HHHH, definită prin (hl)=hl1l2, h, lH, este bijectivă.

Demonstrație: 1)2) Iau -1(xy)=xS(y1)y2, x, yH. Se demonstrează imediat că și -1 sunt aplicații inverse una alteia. Fie x, yH. Avem:

(-1)(xy)=(xS(y1)y2)= xS(y1)y2y3= xy.

(-1)(xy)=-1(xy1y2)= xy1S(y2)y3= xy.

2)1) Este clar din lemă.

3.2Integrale pentru algebre Hopf

Fie H o bialgebră. Am văzut în capitolele anterioare că atunci pe H* avem o structură de algebră duală structurii de coalgebră de pe H, în care înmulțirea este dată de convoluție.

Notație: Fie h*, g*H*. Atunci .

Definiție: O aplicație TH* se numește integrală la stânga a bialgebrei H dacă h*T=h*(1)T, h*H*.

Mulțimea integralelor la stânga ale lui H se notează cu s.

Observație: s este un subspațiu vectorial al lui H*. Mai mult, s este chiar un ideal bilateral al algebrei H*.

Demonstrație: Faptul că s este subspațiu vectorial este evident.

O să demonstrăm că este ideal bilateral.

Fie g*H* și Ts. Atunci pentru orice h*H*, avem:

h*(Tg*)= (h*T)g*= (h*(1)T)g*= h*(1)Tg* Tg*s.

h*(g*T)= (h*g*)T=(h*g*)(1)T= h*(1)g*(1)T= h*(1)g*T g*Ts,

ceea ce încheie demonstrația.

Exemple: 1)Fie G un grup. Am arătat că atunci H=kG are o structură de algebră Hopf.

Fie aplicația p1H*, definită prin p1(g)=1,g, gG. Atunci p1 este integrală la stânga pentru H.

Într-adevăr, fie h*H*. Atunci pentru orice gG, avem:

(h*p1)(g)= h*(g)p1(g)= 1,gh*(g)= h*(1)p1(g).

2)Fie H un k-spațiu vectorial de bază {ci|iN}. Am arătat că atunci H este o algebră Hopf. Reamintim că structura de algebră este dată de:

, 1=c0,

iar cea de coalgebră de:

.

Știm că există un izomorfism de algebre :H*h[[X]], (h*)=n0h*(cn)Xn, h*H*.

Fie T o integrală la stânga a lui H. Atunci pentru h*H*, avem:

h*T=h*(1)T.

Aplicând , obținem:

(h*)(T)=h*(1)(T).

Cum h*(1)=(h*)(0), rezultă că (T) este o serie formală pentru care F(T)=F(0)(T), pentru orice serie formală F. Alegem F0 astfel încât F(0)=0 și obținem că (T)=0. Dar este un izomorfism de algebre și de aici rezultă că s=0.

3)Fie k un corp de caracteristică zero și H=k[X] algebra Hopf de polinoame. Atunci H nu are integrale nenule.

Într-adevăr, fie TH* o integrală. Atunci pentru orice h*H*, avem că h*T=h*(1)T (#).

Cum (X)=X1+1X, aplicând egalitatea de mai sus în X obținem:

h*(X)T(1)+h*(1)T(X)=h*(1)T(X) h*(X)T(1)=0.

Alegem h* astfel încât h*(X)0 și atunci rezultă că T(1)=0.

Demonstrăm acum prin inducție că T(Xn)=0, nN.

Avem formula:

.

Atunci aplicând relația (#) pentru Xn+1 obținem:

.

Alegem din nou h* astfel încât h*(X)0 și atunci rezultă că T(Xn)=0.

Prin urmare T=0.

În cele ce urmează vom lucra cu H algebră Hopf finit dimensională, caz în care mai există o modalitate foarte utilă de a lucra cu integralele. Dăm următoarea definiție:

Definiție: Un element tH se numește integrală la stânga în H dacă ht=(h)t, hH; t’H se numește integrală la dreapta în H dacă t’h=(h)t’, hH.

Mulțimea integralelor la stânga( respectiv dreapta ) în H se notează cu ( respectiv ). și sunt subspații vectoriale ale lui H.

Exemple: 1)Fie G un grup finit. Am văzut că H=kG are o structură de algebră Hopf. Atunci t=gGg este o integrală la stânga ( și la dreapta ) în H.

Fie hG. Avem: ht=h(gGg)=gGhg=uGu=t;

(h)t=1t)t.

Deci într-adevăr t este o integrală la stânga în H.

Analog se demonstrează că t este și integrală la dreapta.

2)Fie G un grup finit. Știm că H=(kG)* este o algebră Hopf. Atunci aplicația p1(kG)*, definită prin p1(g)=1,g, gG, este o integrală la stânga ( și la dreapta ) în H.

Știm că {g|gG} este bază în kG. Baza duală în (kG)* este {pg|gG}, unde pg:kGk, pg(h)=gh, hG.

Fie deci ph(kG)* și gG. Avem:

(php1)(g)=ph(g)p1(g)=h,g1,g;

((ph)p1)(g)=(ph)p1(g)=h,11,g.

Observăm că dacă g=h=1, ambii membri sunt egali cu 1, iar altfel ambii sunt 0. Deci p1 este o integrală la stânga în H.

Analog se demonstrează că este și integrală la dreapta.

3)Fie H algebra Hopf 4-dimensională a lui Sweedler. Atunci x+cx este o integrală la stânga în H, iar x-cx este o integrală la dreapta în H.

x(x+cx)=x2+x(cx)=-x2c=0; (x)(x+cx)=0.

c(x+cx)=cx+c2x=cx+x; (c)(x+cx)=x+cx.

Deci x+cx este integrală la stânga în H.

Calcule similare ne arată că x-cx este integrală la dreapta în H.

Se observă că în exemplele de mai sus, spațiile integralelor la stânga, respectiv la dreapta, sunt 1-dimensionale. Prezentăm în continuare o teoremă care ne arată că acest lucru este valabil în general pentru o algebră Hopf finit dimensională.

Mai întâi o să reamintim câteva rezultate din secțiunile anterioare și o să demonstrăm o lemă ajutătoare.

Vrem să demonstrăm în primul rând că M=H* devine un H-Hopf modul drept.

H* este un H*-modul stâng. Conform unui rezultat pe care l-am demonstrat la secțiunea „Coalgebre și comodule”, H* devine un H-comodul drept, cu :H*H*H, , fH*, unde (ci)i=1,n și (ci)i=1,n sunt bazele duale din H, respectiv H*.

Invers, dacă (f)=f(0)f(1), atunci H* este un H*-modul stâng, cu multiplicarea dată de gf=g(f(1))f(0), gH*.

Pe de altă parte, H* este un H-modul stâng cu acțiunea definită astfel: dacă hH și h*H*, atunci (hh*)(g)=h*(gh), gH. Cum H este algebră Hopf, rezultă că această structură de H-modul stâng a lui H* induce o structură de H-modul drept a lui H* în felul următor: dacă hH și h*H*, definim h*h=S(h)h*. Avem atunci (h*h)(g)=h*(gS(h)), gH.

Lemă: H* este un H-Hopf modul drept, cu și ca mai sus.

Demonstrație: Știm că H* este un H-modul drept și un H-comodul drept. Rămâne atunci să arătăm că:

(h*h)=(h*(0)h1)h*(1)h2,

ceea ce este echivalent cu a arăta că:

g*(h*h)=g*(h*(1)h2)(h*(0)h1),

f, gH*, hH.

Fie gH. Avem:

(g*(h*(1)h2)(h*(0)h1)(g)=g*(h*(1)h2)h*(0)(gS(h1))=(h2g*)(h*(1)) h*(0)(gS(h1))= ((h2g*)h*)(gS(h1))= (h2g*)((gS(h1))1)h*((gS(h1))2)=

(h2g*)(g1S(h1)1)h*(g2S(h1)2)= (h3g*)(g1S(h2))h*(g2S(h1))=

g*(g1S(h2)h3)h*(g2S(h1))=g*(g1(h2))h*(g2S(h1))=g*(g1)h*(g2S(f))=(g*(h*h))(g).

Am obținut ceea ce doream, deci demonstrația lemei se încheie.

Teoremă: Fie H o algebră Hopf finit dimensională. Atunci:

și sunt 1-dimensionale;

antipodul S al lui H este bijectiv și S(s)=d;

Demonstrație: 1.Conform lemei, M=H* este un H-Hopf modul drept. Din teorema fundamentală de izomorfism pentru module Hopf știm că :McoHHM, (fh)=fh, este izomorfism de H-Hopf module drepte. Deci MMcoHH dim M=dim(McoH)dimH.

Dar dim M=dimH*=dimH. Rezultă atunci că dim(McoH)=1.

(H*)coH=(H*)H*={ fH*|gf=H*(g)f, gH*}= dim()=1.

Înlocuind H cu H* obținem exact ceea ce doream.

2.Fie f, f0. Fie hkerS.

(fh)= fh= Shf= 0. Cum este injectiv, rezultă că fh=0 h=0.

Deci S este injectivă. Cum H este finit dimensională, rezultă că S este și surjectivă, și deci bijectivă.

Este clar acum că S()=și deci este tot 1-dimensională.

Teorema Maschke: Fie H o algebră Hopf finit dimensională. Atunci H este algebră semisimplă (t)0 pentru o integrală la stânga tH.

Demonstrație: „” Presupunem că H este semisimplă.

Știm că ker() este un ideal al lui H de codimensiune 1. Privim ker() ca pe un submodul stîng al lui H. Cum H este semisimplă, rezultă că ker() este sumand direct în H, deci există un ideal stâng I al lui H astfel încât H=ker()I.

Fie 1=z+h, cu zker(), hI.

Evident h0 (altfel ar rezulta că z=1ker(), ceea ce este fals ). I fiind de dimensiune 1, rezultă atunci că I=kh.

Fie acum gH. Atunci ghI. Atunci reprezentarea lui gh în suma directă H=ker()I este: gh=0+gh.

Pe de altă parte, g se scrie g=(g-(g)1)+(g)1 gh=(g-(g)1)h+(g)h, cu (g)hI și (g-(g)1)ker().

Dar reprezentarea unui element din H ca sumă de două elemente din ker() și I este unică, și atunci rezultă că (g-(g)1)h=0;

(g)h=gh.

Cea de a doua relație ne spune că h este integrală la stânga în H.

Acum, știm că hI și că I ker() =0 hker() (h)0.

„” Știm că (t)0, pentru o integrală la stânga t din H. Alegem o astfel de integrală t astfel încât (t)=1.

Fie M un H-modul stâng și N un H-submodul al lui M. Pentru a arăta că H este semisimplă trebuie să arăt că N este sumand direct în M.

Fie :MN o aplicație liniară astfel încât (n)=n, nN.

Definim aplicația P:MN, P(m)=t1(S(t2)m), mM.

Demonstrăm că P(n)=n, nN.

P(n)=t1(S(t2)n)= t1S(t2)n= (t)1n= n.

În continuare arătăm că P este un morfism de H-module stângi. Fie deci mM, hH. Vrem să arătăm că hP(m)=P(hm).

hP(m)= ht1(S(t2)m)= h1t1(S(t2)(h2)m)= h1t1(S(t2)S(h2)h3m)=

h1t1(S(h2t2)m)= (h1)1t1S((h1)2t2)h2m)= (h1t)1(S((h1t)2)h2m)=

(h1)t1(S(t2)h2m)= t1(S(t2)hm)= P(hm).

Am arătat deci că P este un morfism de H-module stângi cu proprietatea că P(n)=n, nN. Rezultă atunci că N este sumand direct ca H-modul în M, mai exact M=N ker(P), ceea ce încheie demonstrația.

Observație: Fie G un grup finit și H=kG. Am văzut că t=gGg este o integrală la stânga a lui H. Atunci (t)=|G|1k. Teorema anterioară ne arată că algebra Hopf kG este semisimplă dacă și numai dacă |G|1k0, deci dacă și numai dacă caracteristica lui k nu divide ordinul grupului. Aceasta este binecunoscuta teoremă a lui Maschke pentru grupuri.

Bibliografie

1.„Hopf algebras and their actions on rings”-Susan Montgomery

2.”Algebre Hopf”- Sorin Dăscălescu, Constantin Dăscălescu, Șerban Raianu