Algebra Matricelor

Cuprins

Capitolul I-Algebra matricelor

Definiții

Clasificarea matricelor

Operații care implică matricele

Capitolul II-Grupuri de matrice

Capitolul III-Teorema Cayley-Hamilton

Capitolul IV-Aplicații

4.1. Valori proprii, vectori proprii

4.2. Polinomul minimal

Bibliografie

Declarație de autenticitate

Raport antiplagiat

Capitolul 1

Algebra matricelor

1.1. Definiții

Definiție.

Un set de numere (reale sau complexe) aranjate într-un tablou dreptunghiular de m liniii și n coloane

este numit o matrice (de numere). Rândurile și coloanele matricei sunt numite liniile matricei.

Numerele care compromit matricea dată se numesc elementele (sau intrările) matricei.

Aici, primul indice reprezintă numerele de pe rândul elementului iar cel de-al doilea indice reprezintă numerele de pe coloana elementului.

O matrice se mai poate scrie și astfel:

,

sau

.

1.2. Clasificarea matricelor

A. Matrice linie

Definiție.

O matrice de tipul (cu o linie și n coloană) se numește matrice linie (sau vector linie) și are forma

.

Un vector din plan, în reperul ,

poate fi scris ca o matrice linie cu două coloane de forma

.

Exemplu:

B. Matrice coloană

Definiție.

O matrice de tipul (cu m linii și o coloană) se numește matrice coloană (sau vector coloană) și are forma

.

Vectorul

din reperul îl putem scrie ca o matrice coloană cu două linii de forma

.

Exemplu:

și

C. Matricea zero (nulă)

Definiție.

O matrice de tipul cu toate elementele egale cu zero se numește matricea zero (nulă) și se notează cu

sau O.

D. Matricea pătratică de ordinul n

Definiție.

Matricea care are numărul de linii egal cu numărul de coloane, adică se numește matrice pătratică de ordinul n și are forma

.

Definiție.

Sistemul ordonat de elemente

reprezintă diagonala principală a matricei A, iar suma acestor elemente

se numește urma matricei A, notată

(Tr provine din prescurtarea cuvântului francez trance=urmă).

Sistemul ordonat de elemente

se numește diagonala secundară a matricei A.

Mulțimea matricelor pătratice de ordinul n cu elemente numere complexe o notăm cu în loc de .

Exemplu de matrice pătratică de ordin n:

Exemplu de aplicație la urma matricei:

Două matrice au proprietățile

și

.

Să se determine și .

Rezolvare:

Avem

deci

.

Apoi,

deci

.

Soluția sistemul

este

, .

E. Matricea unitate

Definiție.

O matrice de tipul are pe diagonala principală toate elementele egale cu 1, iar în rest sunt elemente egale cu 0 se numește matricea unitate.

.

Uneori pentru scrierea ei se utilizează simbolul lui Kronecker

Deci,

.

Matricele unitate de ordinul 2 și respectiv 3 sunt

.

F. Matrice Hermite

Definiție.

Fie , unde A este o matrice iar este matricea conjugată.

Avem

.

Definiție.

Fie , . A este hermitiană sau autoadjunctă dacă

.

Observație.

Orice matrice reală simetrică este hermitiană.

Exemplu:

.

Proprietăți ale matricelor Hermite.

1. Toate valorile proprii ale unei matrice Hermite sunt reale.

2. Dacă A este hermitiană, atunci .

3. Doi vectori proprii oarecare ai unei matrice Hermite, corespunzând la valori proprii diferite, sunt ortogonali.

4. A este hermitiană (respectiv reală simplă)

(respectiv ).

5. Orice matrice Hermite este simplă.

6. Oricare ar fi A o matrice hermitiană (respectiv reală simplă) în (respectiv ), există o bază ortonormată formată din vectori proprii a lui A.

7. Matricea A este normală dacă și numai dacă A este unitar asemenea cu matricea diagonală a valorilor sale proprii.

8. Orice matrice normală este simplă.

G. Matrice idempotente

Definiție.

Matricea pătratică se numește idempotentă dacă

.

Aceasta implică în mod evident

.

Teoremă.

Fie matricea A matrice idempotentă din , unde K este un corp comutativ. Atunci avem

1. este idempotentă;

2. ;

3. ;

4. .

Exemplu de matrice idempotentă :

.

Exemplu de matrice idempotentă :

.

Proprietăți ale matricelor idempotente.

1. Orice matrice idempotentă din , unde K este un corp comutativ algebric închis, este simplă.

2. Orice valoare proprie a unei matrice idempotentă din , unde K este un corp comutativ algebric închis, este egală sau cu 0 sau 1.

3. Fie A o matrice din , unde K este un corp comutativ algebric închis. A este idempotentă și are rangul și șiruri de vectori cuasibiortogonale de vectori din astfel încât

.

H. Matrice simetrică

Definiție.

O matrice pătratică de ordinul , se numește simetrică dacă

.

echivalent cu

.

Prin urmare, într-o matrice simetrică elementele de pe diagonala principală rămân pe loc, iar celelalte sunt simetrice în raport cu această diagonală.

Deci, este suficient să știm elementele de pe diagonala principală și de deasupra acesteia, pentru a completa celelalte elemente prin simetrie față de diagonala principală.

Dacă matricea este o matrice simetrică, atunci forma ei este:

a) pentru,

.

b) pentru ,

.

Teoremă.

Mulțimea matricelor simetrice de ordin n formează un subspațiu vectorial al lui de dimensiune

.

Demonstrație.

Într-adevăr, dacă și sunt simetrice, atunci sunt de asemenea simetrice.

Corespondența

este un izomorfism între spațiul matricelor simetrice de ordin n și spațiul aritmetic .

Exemplu:

Să se verifice dacă matricea

coincide cu transpusa sa.

Rezolvare.

Dacă

atunci

.

Am obținut astfel că

.

I. Matrice antisimetrică

Definiție.

O matrice pătratică de ordin , se numește antisimetrică dacă

,

echivalent cu

.

Dacă punem , atunci

de unde

,

ceea ce arată că într-o matrice antisimetrică elementele de pe diagonala principală sunt egale cu zero.

În plus, dacă se cunosc elementele de deasupra diagonalei principale, atunci pentru a le obține pe cele de sub diagonala principală, le simetrizăm pe cele de deasupra diagonalei și le schimbăm semnul.

Analog procedăm dacă se cunosc elementele de pe diagonala principală și de sub aceasta.

Dacă A este o matrice antisimetrică, atunci forma ei este

a) pentru n=2,

.

b) pentru n=3,

.

Teoremă.

Mulțimea matricelor simetrice de ordin n formează un subspațiu vectorial al lui de dimensiune

.

Cum subspațiile precedente sunt disjuncte și orice matrice pătratică de ordin se poate scrie unic, ca o sumă dintre o matrice simetrică și una antisimetrică atunci avem:

,

de unde, spațiul vectorial al matricelor pătratice de ordin n este suma directă dintre subspațiul matricelor simetrice și subspațiul matricelor antisimetrice.

Exemplu:

Să se arate că matricea

nu coincide cu transpusa sa.

Rezolvare.

Deoarece

rezultă că

Se observă că

adică, matricea A nu coincide cu transpusa sa.

1.3. Operații care implică matricile

Egalitatea de matrice

Două matrici

și

sunt considerate egale dacă au aceeași dimensiune și elementele corespondente sunt egale, și scriem

.

Suma și diferența matricelor

Suma a două matrici

și

de aceeași dimensiune este matricea , de aceeași dimensiune, cu elementele egale cu suma elementelor corespunzătoare și a matricelor și .

Adică:

.

Astfel,

.

Următoarele proprietăți derivă direct din definiția unei matrice sumă:

(asociativitatea)

(comutativitatea)

Exemplu:

La magazinul G s-a cerut, după primele două luni, situația vânzării mărfurilor M, pe cele două luni împreună.

Patronul magazinului a făcut urmatoarea operație:

.

Analog se definește diferența celor 2 matrici:

.

Exemplu:

Pentru a defini scăderea se va cere să se scrie matricea vânzărilor suplementare la cele trei sucursale pe luna februarie față de luna ianuarie:

.

C. Înmulțirea unei matrici cu un scalar

Produsul unei matrice cu un scalar (sau produsul unui scalar cu matrice ) este o matrice în care elementele sunt obținute prin înmulțirea tuturor elementelor a lui

cu scalarul, adică

.

Din definiția produsului cu un scalar cu o matrice rezultă următoarele proprietăți:

,

,

,

,

.

unde sunt matrici, iar scalari.

Dacă matricea A este o matrice pătratică de ordin n atunci

.

Matricea

este numită opusa (inversa aditivă) a lui A.

Este ușor de observat ca dacă și au aceleași dimensiuni, atunci

.

Exemplu:

În luna aprilie, în urma unor reorganizări, la magazinul G s-a facut o vânzare de două ori mai mare ca în luna martie, la toate cele trei sucursale și la toate mărfurile. Contabilul care a notat matricea vânzării în luna aprilie a făcut urmtoarea operație:

.

D. Înmulțirea de matrici

Presupunem

și

sunt matrici de dimensuni și respectiv .

Dacă numărul de coloane a matricei este egal cu numărul de liniii a matricei B, atunci

(1)

Pentru aceste matrici se poate defini produsul lor, matricea de dimensiuni , unde

și

, .

Din definiție rezultă regula de înmulțire a matricelor: pentru a obține elementul de pe linia și coloana a unui produs de două matrici, se înmulțesc elementele de pe linia a primei matrici cu elementele din coloana a celei de-a doua matrice și se adună produsele.

Produsul se poate face dacă și numai dacă matricea A conține atâtea linii câte coloane conține matricea B.

În particular, este posibilă doar înmulțirea matricelor pătratice de același ordin.

Exemplu:

Fie matricile

și

.

Să se calculeze produsul celor două matrice.

Rezolvare:

de unde

E. Transpusa unei matrice

Dacă într-o matrice

înlocuim liniile cu coloanele, atunci obținem transpusa lui , deci

și este o matrice de dimensiune .

În particular, transpusa unui vector linie

este vectorul coloană

.

Transpusa unei matrice are următoarele proprietăți :

Transpusa transpusei unei matrici este matricea inițială:

Transpusa unei sume este egală cu suma transpusei fiecarei matrici:

Transpusa unui produs este egal cu produsul transpuselor, matricele fiind luate în ordine inversă:

Într-adevăr, elementul de pe rândul și coloana a matricei este egal cu elementul de pe rândul și coloana a matricei :

.

Această expresie este o sumă de produse a elementelor de pe rândul a matricei cu elementele de pe coloana a matricei , adică este egală cu elementele comune a matricei .

Dacă este matrice pătratică, atunci

.

Matricea se numește matrice simetrică dacă ea coincide cu transpusa

Din rezultă:

O matrice simetrică este și pătratică, adică

.

Elementele simetrice față de diagonala principală sunt egale sau

.

Produsul

este o matrice simetrică, deoarece:

.

Exemplu:

Fiind dată matricea

,

să se calculeze transpusa acestei matrice.

Rezolvare:

.

F. Inversa unei matrice

Definiție.

Inversa unei matrice dată este o matrice care atunci când este înmulțită la dreapta sau la stânga cu matricea dată, rezultă matricea unitate.

Notăm inversa matricei cu .

Deci, prin definiție avem:

unde I este matricea unitate.

Inversa unei matrice date se numește matricea inversă.

Definiție.

O matrice pătratică este numită nesingulară dacă determinantul este diferit de 0, în caz contrar ea se numește matrice singulară.

Teoremă.

Orice matrice nonsingulară are inversă.

Observație.

Inversa a matricei A este unică. Mai mult, fiecare inversă la dreapta (sau inversă la stânga) a matricei coincide cu inversa (dacă există).

Într-adevăr, dacă

atunci, înmulțim această ecuație cu și obținem

sau

.

Similar vom demonstra dacă

atunci

.

Prin urmare, când verificăm relația o ecuație este suficientă.

Observație.

O matrice pătratică singulară nu are invers.

Într-adevăr, atât timp cât matricea este singulară,

.

Din avem:

sau

ceea ce este imposibil și astfel, afirmația este demonstrată.

Exemplu:

Să se calculeze inversa matricei

.

Rezolvare:

Pentru a calcula inversa matricei A, mai intai calculăm determinantul, matricea transpusă și .

de unde

.

Transpusa este

,

iar

.

Se calculează astfel:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

de unde

.

Știm că inversa matricei se calculează dupa formula:

.

Rezultă:

sau

sau

.

G. Ridicarea la putere a matricelor pătrate de ordinul doi sau trei

Pentru ridicareăm determinantul, matricea transpusă și .

de unde

.

Transpusa este

,

iar

.

Se calculează astfel:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

de unde

.

Știm că inversa matricei se calculează dupa formula:

.

Rezultă:

sau

sau

.

G. Ridicarea la putere a matricelor pătrate de ordinul doi sau trei

Pentru ridicarea la exponent natural , a unei matrice de ordinul 2 sau 3 avem la dispoziție următoarele metode:

Metoda I.

Să se calculeze știind că

.

Rezolvare.

Pentru a calcula se calculează câteva puteri : până cand se intuiește rezultatul.

La noi,

,

,

Prin inducție matematică rezultă

.

Metoda II.

În anumite cazuri o parte din elementele matricei sunt greu de intuit.

Fie matricea

.

Să se calculeze , .

Rezolvare.

Se poate presupune că este de forma:

,

iar și se determină calculând în două moduri :

,

respectiv

Astfel,

sau

ș.a.m.d.

Metoda III.

În anumite cazuri se poate scrie ca o suma de două matrice care comută și pentru care puterile se calculează mai ușor.

Fie

.

Să se calcuze ,.

Rezolvare.

Putem scrie

,

unde

și

.

Este cunoscut că, în cazul în care și sunt comutative, atunci putem aplica formula lui Newton.

În cazul acesta,

.

Se calculează:

,

de unde rezultă

, pentru ,

iar

.

Atunci

sau

.

Observație.

Acest exemplu poate fi luat mai general considerând de tipul:

H. Valoarea absolută și norma unei matrice

Inegalitatea

între două matrice și de aceeași dimensiune înseamnă că

.

În acest sens, oricare două matrice nu sunt întotdeauna comparabile. Folosind termenul de valoarea absolută (coeficient) a matricei înseamnă

unde sunt modulele elementelor matricei

Dacă și sunt matrice pentru care au sens operațiile sau atunci:

(a)

(b)

(c) , unde este un scalar.

În cazul particular, avem:

,

unde este un număr natural.

Prin norma unei matrice înțelegem un număr real care satisface următoarele condiții:

(a) cu dacă și numai dacă

(b) , (este scalar) și în particular,

(c)

(d) ( și sunt matrice pentru care pentru au sens operația de înmulțire.)

Ca și exemplu particular, pentru matricea pătratică avem:

,

unde p este număr natural.

Prezentăm în continuare cea mai importanta inegalitate între normele matricei și matricei de aceeași dimensiune. Folosind condiția (c), avem:

de unde

.

Similar:

prin urmare

.

Numim norma canonică dacă următoarele 2 condiții sunt adevărate:

Dacă , atunci

iar pentru matricea scalară avem

.

Din inegalitatea

( și sunt matrice) rezultă inegalitatea

.

În particular,

.

În continuare, pentru orice matrice cu dimensiuni arbitrare se consideră următoarele trei norme, care sunt ușor de calculat:

(norma m);

(norma l);

(norma k).

Exemplu.

Fie

.

Să se calculeze norma m, norma l și norma k.

Rezolvare.

Avem:

În particular, pentru vectorul

normele acestea au următoarele valori:

(valoarea absolută a unui vector).

Dacă vectorul are componente reale, atunci avem:

.

Verificăm condițiile pentru normele , și .

Este evident faptul că sunt îndeplinite condițiile și însă trebuie să arătăm că și condițiile și sunt îndeplinte.

Presupunem și , unde și sunt de aceeași dimensiune.

Avem:

Similar

.

În plus,

Aplicăm inegalitatea lui Cauchy

și rezultă:

.

Condiția este echivalentă cu celelalte 3 norme.

Verificăm dacă și condișia este îndeplinită. Presupunem matriceade dimensiuni și matricea de dimensiunile .

Condiția ca prima matrice să se poate înmulți cu ce-a de-a doua matrice, este necesar ca și matricea să aiba dimensiunea .

Avem:

Similar

În plus:

Aplicând inegalitatea Cauchy și luând în considerare , obținem:

.

Prin urmare, condiția este îndeplinită pentru normele care le-am luat în considerare.

Arătăm că normele sunt și canonice.

Dacă este cel mai mare element, în modul, elementul matricei de dimensiune , atunci este evident că avem:

și

Astfel

.

Mai mult, dacă , atunci

.

În plus, dacă , unde și , atunci

.

Din definiția normelor , și rezultă că următoarele inegalități sunt adevărate:

De altfel, pentru fiecare normă avem , atunci condiția este îndeplinită.

Am demonstrat că normele și sunt canonice.

Notăm că matricea este matricea unitate de ordin n, atunci

și

.

I. Rangul unei matrice

Fie o matrice dreptunghiulară:

.

Cu liniile și coloanele matricei, se pot forma, în cazul , un număr de determinanți de ordinul . Dacă dintre acești determinanți de ordinul există ce puțin unul diferit de zero, atunci rangul matricei este egal cu Dacă toți sunt nuli, atunci formăm determinanții de ordin

Dacă cel puțin unul dintre ei este diferit de zero, vom spune că matricea are rangul . Dacă nu, continuăm această cercetare până când ajungem la un determinant de ordinul .

Definiție.

Se spune că matricea nenulă are rangul și se scrie , dacă este cel mai mare ordin al determinantului nenul, care se poate forma cu liniile și coloanele matricei

De aici, rezultă că toți determinanții de ordin mai mare ca , care se pot forma cu liniile și coloanele matricei , sunt nuli.

Exemplu.

Fie matricea

,

de ordin

Cu liniile și coloanele matricei putem forma determinanți de ordinul Observăm că primele două coloane sunt proporționale, coloana a patra este suma coloanelor a doua și a treia, iar a treia coloană este prima adunată cu ultima. De aici rezultă că toți determinanții de ordinul sunt nuli.

În matrice găsim minori de ordinul diferiți de zero, de exemplu

,

astfel că

Rangul unei matrice se poate determina fie conform celor de mai sus, fie prin aducerea matricei la forma canonică diagonală.

Pentru aducerea unei matrice la această formă, se efectuează asupra matricei transformări elementare care nu modifică rangul unei matrice și anume:

schimbarea a două linii (sau coloane) între ele;

înmulțirea elementelor unei linii (coloane) c un număr ;

adunarea, la elementele unei linii (cloane) a elementelor altei linii (coloane), înmulțite cu.

Definiție.

Se spune că o matrice , de tipul , are forma canonică diagonală dacă elementele sunt egale cu , iar toate celelalte elemente sunt egale cu zero:

Evident, reprezintă rangul matricei .

Exemplu.

Să se determine rangul matricei

prin aducere la forma canonică diagonală.

Se observă că linia a doua conține elementul , motiv pentru care schimbăm prima linie cu a doua. Avem

cu

.

(Semnul dintre cele două matrice specifică obținerea matricei prin transformări elementare din matricea , transformări care nu modifică rangul.)

În matricea înmulțim coloana întâi cu și o adunăm la coloana a treia, înmulțim coloana întâi cu și o adunăm la coloana a patra, pentru a obține pe linia întâi toate elementele egale cu zero, cu excepția elementului ;

.

Procedând analog, facem ca elementele de pe coloana întâi să fie egale cu zero, cu excepția elementului (se înmulțește linia întâi cu și se adună la linia a doua, apoi se înmulțește linia întâi cu și se adună la linia a treia.)

Avem:

Rezultă

J. Limita unei matrice

Presupunem că avem o succesiune de matrice

,

de aceleași dimensiuni ().

Prin limita succesiunilor matricelor înțelegem matricea

O succesiune de matrici având o limită se numește șir convergent.

Lema 1.

Pentru ca o succesiune de matrice să conveargă la matricea este necesar și suficient ca

,

unde este orice normă canonică a lui

Aici

.

Într-adevăr, dacă

atunci

pentru unde și este o matrice care are toate elementele sunt unități.

Din proprietățile normei, avem

pentru , prin urmare

În schimb, condiția este valabilă. Atunci pentru avem

,

dar cum

atunci

.

De altfel, dacă

,

atunci avem

prin urmare

.

Corolar.

Secvența

dacă și numai dacă

unde este o normă canonică.

Este ușor să de observat faptul că dacă

și

atunci

,

în ipoteza în care operațiile corespunzătoare au sens.

În particular, dacă este o matrice constantă astfel încât înmulțirea matricelor și să fie posibilă, atunci

și

.

Lema 2.

Pentru ca o succesiune de matrice să fie convergentă este necesar și suficient să fie convergentă Cauchy, și anume: pentru orice există un astfel încât pentru

unde este o normă canonică.

Într-adevăr, dacă inegalitatea este adevărată, atunci pentru fiecare element a matricei putem aplica inegalitatea inegalitatea lui Cauchy și prin urmare există:

.

Invers, dacă există

apoi din lema 1

, cu

atunci inegalitatea este adevarată.

Capitolul II

Grupuri de matrice

Fie și mulțimea matricelor pătratice de ordinul n cu elemente numere reale.

După cum se știe, mulțimea împreună cu adunarea matricelor formează un grup comutativ, iar împreună cu înmulțirea matricelor formează un monoid necomutativ.

În continuare se vor pune în evidență câteva submulțimi ale mulțimii , care împreună cu înmulțirea matricelor formează grupuri.

A. Grupul liniar general de grad n

Definiție.

Fie . Se știe că matricea este inversabilă în monoidul dacă și numai dacă . Mulțimea unităților monoidului se notează și avem :

=.

Teoremă.

Perechea este grup necomutativ, numit grup liniar general de grad n peste .

Demonstrație.

Fie . Rezultă că

,

deci

.

Așadar, mulțimea este parte stabilă a mulțimii în raport cu înmulțirea matricelor.

Înmulțirea matricelor este asociativă și admite elementul neutru . Deoarece

,

rezultă că .

În consecință, înmulțirea matricelor pe mulțimea admite element neutru și anume matricea .

Dacă . atunci

și se obține că

.

În concluzie, este grup.

B. Grupul matricelor ortogonale

Fie .

Definiție:

Matricea se numește matrice ortogonală dacă

.

Mulțimea matricelor ortogonale de ordinul n se notează .

Proprietăți:

1. Dacă , atunci

.

Într-adevăr, din se obține că

.

Din relația se obține succesiv:

Așadar,

.

2. Există incluziunea .

Teoremă.

Perechea este un grup necomutativ, numit grupul matricelor ortogonale de ordinul n.

Demonstrație.

Fie . Rezultă că

și

.

Avem:

Așadar, , iar mulțimea este parte stabilă a mulțimii în raport cu înmulțirea matricelor.

Să verificăm axiomele grupului.

(G1) Axioma asociativității.

Înmulțirea matricelor pe mulțimea este asociativă, fiind operație indusă de înmulțirea matricelor pe (proprietate de ereditate a asociativității).

(G2) Axioma elementului neutru.

Deoarece

se obține că

,

deci

.

Rezultă că este elementul neutru al înmulțirii matricelor pe mulțimea .

(G3) Axioma elementelor simetrizabile.

Fie . Din proprietatea 1 rezultă că

,

deci matricea este inversabilă în monoidul . Din relația

se deduce că

.

Folosind această relație se obține

deci

,

iar elementul simetric al matricei A în este matricea .

Înmulțirea matricelor nu este comutativă. În concluzie este grup necomutativ.

Fie:

, , ,

, , .

Mulțimea formează un grup în raport cu înmulțirea.

De asemenea și mulțimea matricelor:

, ,

,

formează un grup în raport cu înmulțirea matricelor.

Exemplu:

Fie matricea

.

Mulțimea formează un grup în raport cu înmulțirea matricelor.

Observație.

Deoarece avem un exemplu de grup ciclic cu 4 elemente.

Bineînțeles, cu ajutorul matricelor se pot da exemple de inele fără divizori ai lui zero sau de inele fără element unitate.

Exemplu 1.

Fie mulțimea matricelor de tipul:

formează un inel fără divizori ai lui zero.

Exemplu 2.

Fie mulțimea matricelor de tipul:

formează un inel comutativ, cu element unitate și fără divizori ai lui zero.

Exemplu 3.

Fie mulțimea matricelor de tipul:

formează un inel comutativ cu element unitate și divizori ai lui zero.

Exemplu 4.

Fie mulțimea de matrice de tipul:

este un inel neunitar care are element unitar la stânga orice matirce de forma:

,

dar nu are element unitar la dreapta.

Exemple.

1. Se consideră matricea

,

pentru și mulțimea

.

Să se verifice că , unde

.

Să se demonstreze că

.

Să se arate că este grup comutativ.

Rezolvare.

a)

b)

c) Conform punctului b)

deci G este parte stabilă a lui în raport cu “”.

G1) Asociativitatea

Înmulțirea matricelor pe mulțimea G este asociativă deoarece este operație indusă de înmulțirea matricelor pe .

G2) Comutativitatea

 “” comutativă.

G3) Elementul neutru

astfel încât , deci este element neutru.

G4) Elementele simetrizabile

astfel încât

de unde

este simetricul lui .

2. Fie

.

Să se arate că este grup comutativ.

Rezolvare:

Fie

.

Calculăm puterile matricei A, pentru a determina mulțimea M.

.

de unde

.

Am obținut

de unde

.

Înmulțirea matricelor pe mulțimea M este asociativă deoarece este operație indusă de înmulțirea matricelor pe .

Alcătuim tabla operației de înmulțire pe M:

3. Fie

.

Să se arate că G este grup comutativ în raport cu înmulțirea matricelor.

Rezolvare.

.

G este parte stabilă a lui în raport cu înmulțirea matricelor dacă și numai dacă

.

Fie matricea

si matricea

.

unde

de unde

G1) Asociativitatea

înmulțirea matricelor pe G este asociativă.

G2) Comutativitatea

“” comutativă

Fie

și

.

Atunci

de unde

G3) Elementul neutru

Verificăm dacă echivalent cu

și

.

Avem

,

de unde rezultă că astfel încât .

G4) Elementele simetrizabile

astfel încât .

Fie

, .

,

,

de unde

deci

.

4. Fie

Să se arate că (G,) este grup abelian.

Rezolvare.

G parte stabilă a lui în raport cu „·” dacă și numai dacă [].

unde , deci G este parte stabilă.

„·” pe G este asociativă fiind operație indusă de înmulțirea matricelor pe .

„·” comutativă dacă și numai dacă

Avem:

deci, „·” este comutativă.

G3) Elementul neutru

,

deci astfel încât

G4) Elementele simetrizabile

astfel încât de unde rezultă

sau

,

de unde

.

Capitolul III

Teorema Cayley-Hamilton

Teoremă.

Orice matrice pătrată satisface propria ecuație caracteristică.

Demonstrație.

Fie

și matricea adjunctă a matricei .Fiecare element din va fi un polinom în de grad mai mic sau egal cu . Rearanjând termenii putem scrie:

cu , matrice de tipul independente de .

Avem:

sau

Din relațiile și obținem:

Înmulțind ambii membri ai acestor egalități la stînga prin matricele indicate și adunând rezultatele obținem:

,

deci

.

Exemple.

1. Să se calculeze inversa matricei:

.

Rezolvare.

Polinomul caracteristic al matricei este:

Cum are termenul liber rezultă că A este inversabilă.

Conform teoremei Cayley-Hamilton:

,

adică

de unde

sau

.

Atunci:

Într-adevăr:

2. Să se calculeze inversa matricei:

Rezolvare.

Polinomul caracteristic al matricei este:

Cum are termenul liber rezultă că matricea este inversabilă.

Conform teoremei Cayley-Hamilton avem:

,

adică

sau

adică

Avem:

de unde rezultă

sau

.

3. Fie

.

Să se calculeze ,

Rezolvare.

Polinomul caracteristic al matricei este:

Conform teoremei lui Cayley-Hamilton avem:

sau

sau

.

Inductiv,

de unde rezultă

.

4. Fie

.

Să se calculeze .

Rezolvare.

Polinomul caracteristic al matricei :

Conform teoremei Cayley-Hamilton:

sau

sau

.

Atunci:

Astfel

.

Avem:

Calculăm

Din ultimele 2 egalități reiese:

unde

sau

sau

cu soluțiile

și

și astfel:

Avem:

Scădem cele două relații și obținem:

de unde

Astfel am obținut

și

Avem:

5. Să se determine matricele pentru care

.

Rezolvare.

Avem:

de unde

.

Atunci, din teorema Cayley-Hamilton avem:

de unde rezultă

ecuație care conduce la

.

Atunci:

de unde rezultă

sau

.

Capitolul IV

Aplicații

4.1. Valori proprii, vectori proprii

Definiție.

Fie un corp comutativ. Elementul este valoare proprie pentru matricea dacă există un vector nenul cu proprietatea , iar se numește vector propriu pentru corespunzător valorii proprii .

Proprietăți .

1. Dacă sunt vectori proprii pentru matricea A, corespunzători valorii proprii , atunci pentru orice vectorul este un vector propriu pentru matricea corespunzător aceleași valori proprii .

2. Dacă , este valoare proprie pentru , iar este vectorul propriu corespunzător, atunci:

a) pentru orice este valoare proprie pentru , iar este vectorul propriu corespunzător

b) pentru orice polinom , numărul este valoare proprie pentru matricea , iar este vectorul propriu corespunzător pentru ;

c) dacă este matrice inversabilă atunci (o matrice inversabilă nu poate avea valori proprii nule) și numărul este valoare proprie pentru iar este vectorul propriu corespunzător.

3. Reciproc:

a) singurele valori proprii ale matricei sunt de forma, unde este valoare proprie pentru ;

b) singurele valori proprii ale matricei sunt de forma , unde este valoare proprie pentru ;

c) singurele valori proprii ale matricei inverse sunt de forma .

Teoremă.

Un număr este valoare proprie pentru matricea dacă și numai dacă

.

Demonstrație.

Mulțimea vectorilor proprii corespunzători lui , coincide cu mulțimea soluțiilor nenule ale ecuației vectoriale în :

adică

.

Această ultimă ecuație este echivalentă cu un sistem algebric de n ecuații cu n necunoscute care admite soluții diferite de soluția banală.

Dar , echivalent cu faptul că este rădăcină a polinomului det unde este matricea unitate de ordinul.

Reciproc, dacă atunci sistemul admite soluție diferită de soluția banală și deci există astfel încât.

Definiție.

se numește polinomul caracteristic al matricei , iar ecuația polinomială se numește ecuația caracteristică a matricei.

Observație.

Valorile proprii ale matricei sunt rădăcinile polinomului caracteristic.

Proprietate.

Dacă atunci:

unde este suma tuturor minorilor diagonali de ordin din matricea .

Consecințe.

1. Ecuația caracteristică a matricei este o ecuație algebrică de gradul n ale cărei rădăcini sunt valorile proprii ale matricei și deci:

unde

.

Se observă că este inversabilă dacă și numai dacă toate valorile sale proprii sunt nenule.

2. Dacă și este o valoare proprie a sa, atunci este valoare proprie pentru matricea .

Într-adevăr,

și din

rezultă concluzia.

3. Fie. Matricele și au aceleași valori proprii.

Trebuie arătat că

=.

Avem cazurile

a) sau.

b) dacă , fie matricea inversabilă pentru o infinitate de valori .

Conform a) avem:

pentru o infinitate de valori , de unde rezultă că cele două funcții polinomiale în , care rezultă din dezvoltarea celor doi determinanți, sunt egale, pentru orice , deci și pentru , atunci avem:

=.

4. Fie valorile proprii ale matricei . Dacă , atunci valorile proprii matricei sunt iar

=.

Lemă.

Fie ,-corp, un polinom matriceal și . Atunci dacă și numai dacă astfel încât .

Exemple.

1. Să se determine valorile proprii și vectorii proprii pentru matricele:

și

.

Rezolvare.

Dacă , atunci valorile proprii ale matricei sunt rădăcinile în ale polinomului caracteristic

.

Dacă este o valoare proprie, atunci vectorii proprii corespunzători lui sunt acei vectori coloană nenuli astfel încât

.

Concret,

și

Imaginea celor două matrice (adică mulțimile de valori proprii) vor fi:

și respectiv

.

Pentru vectorii proprii a lui sunt:

astfel încât

deci

Pentru vectorii proprii a lui sunt:

Pentru matricea și , se determină cu deci

rezultă

În concluzie, pentru scriind că , rezultă

deci

nedeterminat și vectorii corespunzători vor fi vectorii nenuli de forma

.

2. Fie trei numere reale strict pozitive. Să se arate că matricea are doi vectori proprii de componente cu

Rezolvare.

Valorile proprii sunt rădăcinile ecuației

deci

Se observă că sunt reale și de semn contrar, deoarece

.

Pentru vectorii proprii sunt nenuli și deci

și

Unul din acești vectori proprii este:

În mod similar, pentru matricea are vectorul propriu:

Notăm și și rezultă că matricea are vectorii de componente :

și

4.2. Polinomul minimal

Fie K un corp comutativ și inelul polinoamelor cu o nedeterminată și cu coeficienții din K. este domeniu de integritate, cu unitate, fără divizori ai lui zero.

Definiție.

Fie K un corp comutativ. Polinomul este polinom anulator pentru matricea dacă .

Un polinom nenul anulator pentru A, de grad minim (gradul lui este ) și cu coeficientul termenului dominant 1 este polinom minimal pentru A.

Teoremă.

Dacă este polinom minimal pentru A și este polinom anulator al lui A, atunci .

Demonstrație.

Se aplică teorema împărțirii,

.

Dar, prin absurd

,

cum

și

se ajunge la o contradicție.

Corolar.

Polinomul minimal al unei matrice este unic.

Demonstrație.

Presupunem că există două polinoame minimale ale matricei A, notați și . Avem

și

de unde rezultă

și atunci

.

Teoremă.

Fie , polinomul caracteristic, polinomul minimal și c.m.m.d.c al elementelor nenule din matricea polinomială , având coeficientul termenului dominant 1. Atunci

.

Demonstrație.

Fie definit prin , astfel încât orice divizor comun al elementelor nenule din este o constantă, înlocuind obținem:

de unde

.

Dar

și trebuie să aratăm că

.

Are loc

,

este divizor la stânga,

prin urmare avem:

adică este polinomul anulator, de unde

.

Împărțind la stânga cu avem

.

Cum

și se obține

și prin înmulțire cu obținem

.

Comparând cele rezultate și câtul la dreapta este unic, avem

este divizor comun pentru elementele nenule din și deci o constantă egală cu 1.

Teoremă.

Fie și

polinomul caracteristic, diferite atunci

este polinomul minimal. Prin definiție, este indicele lui .

Demonstrație.

O rădăcină a lui de ordin de multiplicitate m este rădăcină a lui de ordin de multiplicitate , iar pe de altă parte, orice rădăcină a lui este și rădăcină a lui, cum rezultă din

.

Corolar.

Polinomul caracteristic coincide cu polinomul minimal la orice matrice din care are toate valorile proprii simple.

Teoremă.

Două matrici asemenea din corp comutativ, au același polinom minimal.

Demonstrație.

Fie și polinomul lor caracteristic, și polinoamele lor minimale. Avem

.

Pe de altă parte:

adică

Prin urmare și cum, în mod evident, de asemenea rezultă

și .

Pentru o matrice, polinomul caracteristic nu este neapărat de grad minim în mulțimea polinoamelor cu .

Fie atunci există un unic polinom unitar cu proprietățile:

a) ;

b) pentru orice cu rezultă că .

Mai mult, este polinomul unitar de grad minim în mulțimea polinoamelor cu .

Teoremă.

Fie . Atunci:

a) polinomul minimal divide polinomul caracteristic;

b) polinomul minimal și polinomul caracteristic au aceleași rădăcini (posibil cu multiplicități diferite).

Bibliografie

Demidovich, L.P., Maron, I.A., (1981).

Computational Mathematics.

Moscow: English translation, Mir Publisher

Niță, Ana, Stănășilă, Tatiana, (1997).

1000 de probleme rezolvate și exerciții fundamentale.

București: Editura Bic All

Bălan, Vladimir, (1999).

Algebră liniară, Geometrie analitică.

București: Editura Fair Partners

Popa, Maria, Popa, Valeriu (1995).

Unele aspecte ale predării teoriei matricelor în liceu.

Bacău: Editura ,,Publicațiile seminarului pedagogic”

Petrescu, Gheorghe, (1993).

Algebra liniară și geometrie.

București: Editura Hyperion XXI

Bibliografie

Demidovich, L.P., Maron, I.A., (1981).

Computational Mathematics.

Moscow: English translation, Mir Publisher

Niță, Ana, Stănășilă, Tatiana, (1997).

1000 de probleme rezolvate și exerciții fundamentale.

București: Editura Bic All

Bălan, Vladimir, (1999).

Algebră liniară, Geometrie analitică.

București: Editura Fair Partners

Popa, Maria, Popa, Valeriu (1995).

Unele aspecte ale predării teoriei matricelor în liceu.

Bacău: Editura ,,Publicațiile seminarului pedagogic”

Petrescu, Gheorghe, (1993).

Algebra liniară și geometrie.

București: Editura Hyperion XXI