Algebra liniară reprezintă de multă vreme unul din instrumente le fundamentale ale [628777]

1

INTRODUCERE

Algebra liniară reprezintă de multă vreme unul din instrumente le fundamentale ale
matematicii, atât la nivel liceal cât și universitar. Noțiunile de algebră liniară se regăsesc în
programele școlare încă din clasele gimnaziale (unde apar metodele de rezolvare a
sistemelor de două ecuații liniare cu două necunoscute), c ontinuând cu clasele superioare
de liceu (nivel la care se predau matricele de tip m ori n, determinanții de ordin n și
sistemele de m ecuații liniare cu n necunoscute) până la nivel universitar (unde apar noțiuni
mai dificile legat e de spații vectoriale, spații euclidiene, valori proprii și vectori proprii,
alte metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare ).
Lucrarea de față, „ Aspecte metodice în predarea și învățarea elementelor de
algebră liniară ”, se dorește a sitematiza din punct de vedere ști ințific și metodic noțiuni
legate de matrice, determinanți și rezolvarea sistemelor de ecuații liniare, prezentând
aspecte teoretice demonstrate, aplicații practice de nivel mediu și avansat, subiecte date la
diverse olimpiade, dar și o introducere în pred area acestor noțiuni cu ajutorul
calculatorului.
Ideea de curs asistat de calculator a devenit o obișnuință, extinzându -se la toate
nivelele didact ice. Rolul calculatorului este vital în viața științifică, didactică și socială,
rezultatele calculelor de d urată sunt acum instantaneu obținute cu ajutorul unor pachete
software de specialitate. Scopul utilizării computerului nu trebuie să fie limitarea activității
cerebrale solicitate printre altele și de instrumental matematic, ci îmbunătățirea lor, o
înțeleg ere profundă a noțiunilor matematicii și o dezvoltare a acestora privite din alt unghi.
În realizarea cursului opțional de algebră liniară asistată de calculator, suportul
software este reprezentat de pachetul Mathematica aparținând companiei Wolfram
Resea rch.,Inc. Conținutul matematic al cursului, ce tratează elemente de algebră liniară,
este prezentat explicit și se alinia ză programei școlare și manual elor în vigoare.

2

PARTEA ȘTIINȚIFICĂ

3

CAPITOLUL I. MATRICE

1. Definirea matricelor

Definiție : Se dau două numere, m și n, naturale. Un tablou de forma
𝐴= 𝑎11⋯𝑎1𝑛
⋮⋱⋮
𝑎𝑚1⋯𝑎𝑚𝑛

se numește matrice cu m linii și n coloane (sau matrice de tipul m x n).

Putem scrie matricea condensată astfel 𝐴= 𝑎𝑖𝑗 1≤𝑖≤𝑚
1≤𝑗≤𝑛 .
Elementul de pe linia i și coloana j se notează cu aij.

Notăm 𝑀𝑚,𝑛 𝑲 mulțimea matricelor cu m linii, n coloane și elemente în mulțimea K,
unde K poate fi orice mulțime de numere, N, Z, Q, R, C. Atunci scriem 𝐴∈𝑀𝑚,𝑛 𝐾 .

Exemple de matrice:
1) 𝐴= 12
34 este o matrice cu 2 linii și 2 coloane.
2) 𝐴= 6
0
−2 este o matrice cu 3 linii și 1 coloană.

Definiție: Se numește matrice pătratică o matrice în care numărul de linii m este egal cu
numărul de coloane n.
Dacă matricea este pătratică, acest lucru este simbolizat astfel: A ∈𝑀𝑛 𝐾 .

Exemplu:
1) 𝐴= 3 0−5
4 10 8
2−2 6 este o matrice pătratică cu 3 linii și 3 coloane.

4
2. Cazuri particulare de matrice

Matricea linie este o matrice de tipul 1 x n, adică are o linie și n coloane și are forma
𝐴= 𝑎1…𝑎𝑛
Matricea coloană este o matrice de tipul mx1, adică are m linii și o coloană și are forma
𝐴= 𝑎1
⋮
𝑎𝑚
Matricea unitate este o matrice pătratică ce are ca elemente pe diagonala principală 1,
iar în rest zerouri.
𝐼𝑚=
10
01⋯00
00
⋮⋱⋮
00
00⋯10
01
Matricea nulă este o matrice , nu neapărat pătratică, c e are toate elementele egale cu zero.
𝑂𝑚𝑛= 0⋯ 0
⋮⋱⋮
0⋯ 0 .

3. Transpusa unei matrice

Definiție: Fie 𝐴∈𝑀𝑚,𝑛 𝐾 o matrice. Se numește transpusa matricei A o matrice n linii și
m coloane care se obține transpunând liniile în coloane, notată 𝐴𝑡, cu 𝐴𝑡∈𝑀𝑛,𝑚 𝐾 .

Exemplu:
1) Fie matricea 𝐴= 2−5
0 4
8−1 . Transpusa acesteia va fi 𝐴𝑡= 20 8
−54−1 .

Proprietăți ale matricei transpuse:
1) Matricea transpusă transpusei este egală cu matricea inițială.
𝐴𝑡 𝑡=𝐴, ∀𝐴∈𝑀𝑚,𝑛 𝐾
2) Suma două matrice transpuse este egală cu suma matricelor transpusă.
𝐴𝑡+𝐵𝑡= 𝐴+𝐵 𝑡,∀ 𝐴,𝐵∈𝑀𝑚,𝑛 𝐾

5
3) Produsul dintre un scalar și o matrice transpusă este egal cu transpusa produsului
dintre scalar și matricea inițială.
𝛼∙𝐴𝑡= 𝛼∙𝐴 𝑡 ,∀𝛼∈𝐾,𝐴∈𝑀𝑚,𝑛 𝐾
4) Produsul a două matrice transpuse este egal cu produsul celor două matrice în
ordine inversă, transpus.
𝐴𝑡∙𝐵𝑡= 𝐵∙𝐴 𝑡,∀𝐴∈𝑀𝑚,𝑛 𝐾 ,𝐵∈𝑀𝑝,𝑚 𝐾

4. Egal itatea a două matrice

Definiție: Fie 𝐴= 𝑎𝑖𝑗 și 𝐵= 𝑏𝑖𝑗 , două matrice 𝐴,𝐵∈𝑀𝑚,𝑛 𝐾 . Matricele sunt
egale, A=B, dacă 𝑎𝑖𝑗=𝑏𝑖𝑗,∀ 1≤𝑖≤𝑚,∀1≤𝑗≤𝑛.
Egalitatea a două matrice înseamnă că, dacă A și B sunt egale, atunci fiecare element al
matricei A este egal cu elementul de pe poziți a corespunzătoare a matricei B.

Exemplu :
1) Aflați x și y astfel încât matricele să fie egale 3𝑥−2 5
𝑦+4 2−1 = 36 5
92−1
Evident 𝑥−2=6, 𝑥=8, iar 𝑦+4=9, 𝑦=5.

5. Adunarea a două matrice

Observație: Adunarea de matrice A și B este definită numai în cazul matricelor de același
tip (care au același număr de lini i și același număr de coloane).

Definiție: Fie 𝐴= 𝑎𝑖𝑗 și 𝐵= 𝑏𝑖𝑗 , două matrice 𝐴,𝐵∈𝑀𝑚,𝑛 𝐾 . Suma matricelor
este o nouă matrice 𝐶=𝐴+𝐵, de același tip cu matricele inițiale, ale cărei elemente se
obțin după regula 𝑐𝑖𝑗=𝑎𝑖𝑗+𝑏𝑖𝑗,∀ 1≤𝑖≤𝑚,∀1≤𝑗≤𝑛.
Suma matricelor se realizează adunând elementele de pe aceleași poziții.

Exemplu :
1) Fie matricele 𝐴= 5−4
2 3 și = 32
79 . Suma acestora va fi 𝐴+𝐵= 8−2
9 12 .

6
Proprietăți ale adunării matricelor
1) Asociativitatea adunării matricelor este evidentă
Oricare ar fi matricele 𝐴= 𝑎𝑖𝑗 , 𝐵= 𝑏𝑖𝑗 , 𝐶= 𝑐𝑖𝑗 , cu 𝐴,𝐵,𝐶∈𝑀𝑚,𝑛 𝐾
avem :
𝐴+𝐵 +𝐶=𝐴+ 𝐵+𝐶 .

2) Comutativitatea
Oricare ar f i matricele 𝐴= 𝑎𝑖𝑗 , 𝐵= 𝑏𝑖𝑗 cu 𝐴,𝐵∈𝑀𝑚,𝑛 𝐾 , avem :
𝐴+𝐵=𝐵+𝐴.

3) Elementul neutru este matricea nulă 𝑂𝑚𝑛= 0… 0
………
0… 0 , 𝑂𝑚𝑛∈𝑀𝑚,𝑛 𝐾 ,
matrice care are toate elementele egale cu zero. Astfel, oricare ar fi matricea
𝐴= 𝑎𝑖𝑗 , cu 𝐴∈𝑀𝑚,𝑛 𝐾 avem :
𝐴+𝑂𝑚𝑛=𝑂𝑚𝑛+𝐴=𝐴.

4) Elementele simetrizabile . Fiecare matrice 𝐴∈𝑀𝑚,𝑛 𝐾 are un simetric, numit
opusa matricei, −𝐴∈𝑀𝑚,𝑛 𝐾 , în care apar elementele matricei A cu semn
schimbat −𝐴= −𝑎𝑖𝑗 , astfel încât avem :
𝐴+ −𝐴 = −𝐴 +𝐴=𝑂𝑚𝑛.

Fiind îndeplinite cele patru condiții, mulțimea matricelor împreună cu operația de adunare
a matricelor formează o structură de grup abelian .
𝑀𝑚𝑛 𝐾 ,+ grup abelian .

6. Înmulțirea unei matrice cu un scalar

Definiție: Fie 𝐴∈𝑀𝑚,𝑛 𝐾 , 𝐴= 𝑎𝑖𝑗 o matrice și 𝑡∈𝐾 un scalar. Matricea
𝒕𝑨= 𝒕𝒂𝒊𝒋 , ∀ 1≤𝑖≤𝑚,∀1≤𝑗≤𝑛. 𝑡𝐴∈𝑀𝑚,𝑛 𝐾
În cazul în care A este înmulțit cu un scalar t, se obține o nouă matrice tA, de
același tip ca matricea inițială, în care fiecare element din A este înmulțit cu numărul t .

7
Exemplu :
1) Fie matricea coloană A = 6
0
−2 . Produsul dintre matricea A și scalarul 5 va fi
5𝐴= 30
0
−10 .

Proprietăți ale înmulți rii matricelor cu scalar
Oricare ar fi scalarii 𝛼,𝛽∈𝐾 și matricele 𝐴,𝐵∈𝑀𝑚𝑛 𝐾 avem
1) 𝛼 𝛽𝐴 = 𝛼𝛽 𝐴
2) 𝛼 𝐴+𝐵 =𝛼𝐴+𝛼𝐵
3) 𝛼+𝛽 𝐴=𝛼𝐴+𝛽𝐴
4) 1∙𝐴=𝐴.

7. Înmulțirea matricelor

Observație: Înmulțirea a două matrice se poate efectua doar dacă numărul de coloane al
primei matrice este egal cu numărul de linii al celei de -a doua matrice.
Matricele ∈𝑀𝑚,𝑛 𝐾 , 𝐴= 𝑎𝑖𝑗 și 𝐵∈𝑀𝑛,𝑝 𝐾 , 𝐵= 𝑏𝑗𝑘 se pot înmulți
deoarece numărul de coloane al mat ricei A este egal cu numărul de linii al matricei B, și
anume n. Matricea produs va avea numărul de linii egal cu numărul de linii al matricei A,
adică m, iar numărul de coloane egal cu cel al matricei B, adică p.

Definiție: Fie matricele 𝐴∈𝑀𝑚,𝑛 𝐾 , 𝐴= 𝑎𝑖𝑗 și 𝐵∈𝑀𝑛,𝑝 𝐾 , 𝐵= 𝑏𝑗𝑘 . Se
numește produsul celor două matrice, o nouă matrice, 𝐶 ∈𝑀𝑚,𝑝 𝐾 , 𝐶= 𝑐𝑖𝑘 , unde
elementele acesteia se obțin după regula
𝑐𝑖𝑘= 𝑎𝑖𝑗𝑏𝑗𝑘𝑛
𝑗=1

Elementul de pe poziția ik al matricei produs se obține înmulțind câte un element
din linia i a matricei A cu elemental corespunzător din coloana j a matricei B și apoi
însumând rezultatele.

8
Exemplu :
Fie matricele 𝐴= 5−4
2 3 și = 32
79 . Produsul acestora va fi
𝐴∙𝐵= 5∙3−4∙75∙2−4∙9
2∙3+3∙72∙2+3∙9 = −13−26
27 31 .

Proprietăți ale înmulți rii matricelor

1) Asociativitatea înmulțirii matricelor
Oricare ar fi matricele 𝐴∈𝑀𝑚,𝑛 𝐾 , 𝐴= 𝑎𝑖𝑗 ,𝐵∈𝑀𝑛,𝑝 𝐾 , 𝐵= 𝑏𝑗𝑘
𝐶= 𝑐𝑘𝑙 ,𝐶∈𝑀𝑝,𝑟 𝐾 , avem 𝐴∙𝐵 ∙𝐶=𝐴∙ 𝐵∙𝐶 .

2) Distributivitatea înmulțirii matricelor față de adunare
Oricare ar fi matricele 𝐴∈𝑀𝑚,𝑛 𝐾 , 𝐴= 𝑎𝑖𝑗 , 𝐵∈𝑀𝑛,𝑝 𝐾 , 𝐵= 𝑏𝑗𝑘 ,
𝐶= 𝑐𝑗𝑘 ,𝐶∈𝑀𝑛,𝑝 𝐾 , avem 𝐴∙ 𝐵+𝐶 =𝐴∙𝐵+𝐴∙𝐶.
Această proprietate poartă numele de distributivitatea la stânga a înmulțirii
matricelor față de adunarea acestora.
Și, de asemenea, oricare ar fi matricele 𝐴∈𝑀𝑚,𝑛 𝐾 , 𝐴= 𝑎𝑖𝑗 și 𝐵∈𝑀𝑚,𝑛 𝐾 ,
𝐵= 𝑏𝑖𝑗 , 𝐶= 𝑐𝑗𝑘 ,𝐶∈𝑀𝑛,𝑝 𝐾 avem 𝐴+𝐵 ∙𝐶=𝐴∙𝐶+𝐵∙𝐶.
Această proprietate poartă numele de distributivitatea la dreapta a înmulțirii
matricelor față de adunarea acesto ra.

3) Comutativitatea
În general, înmulțirea matricelor nu este comutativă.
Produsul a două matrice este uneori imposibil de efectuat, deoarece trebuie
respectată condiția enunțată la început, și anume trebuie ca numărul de coloane al
primei matrice să fie egal cu numărul de linii al celei de -a doua matrice.

Exemplu: Fie matrice le 𝐴∈𝑀𝑚,𝑛 𝐾 , 𝐴= 𝑎𝑖𝑗 și 𝐵∈𝑀𝑛,𝑝 𝐾 , 𝐵= 𝑏𝑗𝑘
Produsul 𝐴∙𝐵 se poate calcula, obținându -se o matrice de tipul m x p. Însă
produsul 𝐵∙𝐴 nu se poate efectua, deoarece numărul de coloane al lui B, adică p,
este diferit de numărul de linii al lu i A, care este m.

9
Iar în cazul matricelor pătratice, deși înmulțirea se poate efectua, rezultatele
obținute în urma realizării produselor sunt diferite.
În general, oricare ar fi matricele 𝐴,𝐵∈𝑀𝑚 𝐾 , 𝐴= 𝑎𝑖𝑗 și 𝐵= 𝑏𝑖𝑗 , putem
spune că avem adevărat ă relația 𝐴∙𝐵≠𝐵∙𝐴.

În plus, în cazul matricelor pătratice, avem următoarele proprietăți:
4) Există un element neutru în raport cu înmulțirea matricelor, acesta fiind matricea
unitat e, definită anterior:
𝐼𝑚=
10
01⋯00
00
⋮⋱⋮
00
00⋯10
01
Astfel, oricare ar fi matricea 𝐴∈𝑀𝑚 𝐾 , avem 𝐴∙𝐼𝑚=𝐼𝑚∙𝐴=𝐴.

5) Elementele simetrizabile . Nu toate matricele au un simetric . Condiția de existență
a acestui simetric va fi discutată în capitolul următor.

Proprietatea de asociativitate se păstrează și în cazul matricelor pătratice, i ar elementul
neutru este definit doar pe acest tip de matrice.
Atunci mulțimea matricelor pătratice împreună cu operația de înmulțire a matricelor
formează o structură de monoid, notată 𝑀𝑚 𝐾 ,∙ .

Distributivitatea operației de înmulțire la stânga, respectiv la dreapta, a matricelor față
de adunare rămâne valabilă și în cazul matricelor pătratice. Cum 𝑀𝑚 𝐾 ,+ grup
abelian , iar 𝑀𝑚 𝐾 ,∙ monoid , putem spune că mulțimea matricelor pătratice de ordin n,
cu 𝑛∈𝑵,𝑛≥2, împreună cu operațiile de adunare și înmulțire ale matricelor formează o
structură de inel.
Deci 𝑀𝑚 𝐾 ,+,∙ inel, denumit inelul matricelor pătratice de ordin n cu elemente
din K.

10
8. Aplicații

1. Să se rezolve ecuația 𝑋2= 7 2 8
3 26 24
15 30 56 , știind că elementele matricei verifică
relația 𝑥𝑖𝑗=0 pentru 𝑖+𝑗=4.
(Gazeta Matematică , 1970)

Rezolvare:
Din condiția enunțului avem 𝑥13=𝑥22=𝑥31=0, deci matricea devine
𝑋= 𝑎𝑏0
𝑐0𝑑
0𝑒𝑓 . Calculăm 𝑋2= 𝑎2+𝑏𝑐𝑎𝑏 𝑏𝑑
𝑎𝑐𝑏𝑐+𝑑𝑒𝑑𝑓
𝑐𝑒 𝑒𝑓𝑑𝑒+𝑓2 .
Din relațiile 𝑎2+𝑏𝑐=7
𝑎𝑏=2
𝑎𝑐=3 obținem
𝑏=2
𝑎
𝑐=3
𝑎
𝑎2+2
𝑎∙3
𝑎=7 cu soluțiile 𝑎1=1, 𝑎2=−1, 𝑎3= 6,
𝑎4=− 6. Înlocuind în celelalte ecuații obținem și celelalte necunoscute, c u soluțiile
finale
𝑋1= 120
304
056 și 𝑋2= −1−2 0
−3 0−4
0−5−6 .

2. Fie 𝐴,𝐵,𝐶,𝐷∈𝑀𝑛 𝐶 ,𝑛≥2,𝑘∈𝑅 astfel încât 𝐴𝐶+𝑘𝐵𝐷=𝐼𝑛 și 𝐴𝐷=𝐵𝐶.
Demonstrați că 𝐶𝐴+𝑘𝐷𝐵=𝐼𝑛 și 𝐷𝐴=𝐶𝐵.
(Olimpiada de matematică, faza județeană, Constanța, 2016)

Rezolvare:
Considerăm 𝑘≠0. Fie o constantă 𝑤∈𝐶 astfel încât 𝑤2=−𝑘. Și fie matricele
𝑋=𝐴+𝑤𝐵, 𝑌=𝐶−𝑤𝐷, 𝑍=𝐴−𝑤𝐵, 𝑈=𝐶+𝑤𝐷.
Calculăm 𝑋𝑌=𝐴𝐶−𝑤𝐴𝐷+𝑤𝐵𝐶−𝑤2𝐵𝐷. Cum 𝐴𝐷=𝐵𝐶 obținem
𝑋𝑌=𝐴𝐶+𝑘𝐵𝐷=𝐼𝑛. Analog 𝑍𝑈=𝐴𝐶+𝑤𝐴𝐷−𝑤𝐵𝐶−𝑤2𝐵𝐷=𝐼𝑛.
Atunci și 𝑌𝑋=𝐼𝑛 și 𝑈𝑍=𝐼𝑛.
Calculăm 𝑌𝑋=𝐶𝐴+𝑤𝐶𝐵−𝑤𝐷𝐴−𝑤2𝐵𝐷 = 𝐶𝐴+𝑘𝐷𝐵 −𝑤 𝐷𝐴−𝐶𝐵 = 𝐼𝑛.
Analog 𝑈𝑍=𝐶𝐴−𝑤𝐶𝐵+𝑤𝐷𝐴−𝑤2𝐷𝐵= 𝐶𝐴+𝑘𝐷𝐵 +𝑤 𝐷𝐴−𝐶𝐵 =𝐼𝑛
De unde se obține 𝐶𝐴+𝑘𝐷𝐵=𝐼𝑛 și 𝐷𝐴−𝐶𝐵=𝑂𝑛.

11
În cazul 𝑘=0 avem 𝐴𝐶=𝐼𝑛 de unde 𝐶𝐴=𝐼𝑛, adică C este inversa matricei A.
Înmulțim relația 𝐴𝐷=𝐵𝐶 cu A la dreapta și devine 𝐴𝐷𝐴=𝐵𝐶𝐴, de unde 𝐴𝐷𝐴=𝐵.
Înmulțim și această relație cu C la stânga și avem 𝐶𝐴𝐷𝐴=𝐶𝐵 adică 𝐷𝐴=𝐶𝐵.

3. Se consideră matricea 𝑋 𝑎 = 1+𝑘𝑎𝑘𝑎
𝑎 1+𝑎 , unde 𝑎∈𝐶∗, 𝑘∈𝑁∗. Calculați
𝑋(𝑎)𝑛.
(prof. Dicu Florentina, Rm. Vâlcea, Olimpiada de matematică, etapa locală, Constanța,
2016 )

Rezolvare:
Matricea se rescrie 𝑋 𝑎 = 1+𝑘𝑎𝑘𝑎
𝑎 1+𝑎 = 10
01 +𝑎 𝑘𝑘
11 =𝐼2+𝑎𝐴.
Calculăm 𝑋 𝑎 𝑋 𝑏 = 𝐼2+𝑎𝐴 𝐼2+𝑏𝐴 =𝐼2+𝑏𝐴+𝑎𝐴+𝑎𝑏𝐴2.
Dar 𝐴2= 𝑘2+𝑘𝑘2+𝑘
𝑘+1𝑘+1 = 𝑘+1 𝑘𝑘
11 = 𝑘+1 𝐴.
Atunci 𝑋 𝑎 𝑋 𝑏 =𝐼2+𝑏𝐴+𝑎𝐴+𝑎𝑏 𝑘+1 𝐴=𝐼2+ 𝑎+𝑏+𝑎𝑏 𝑘+1 𝐴.
Realizăm o descompunere a coeficientului lui A
𝑎+𝑏+𝑎𝑏 𝑘+1 =𝑎𝑏 𝑘+1 +𝑎+𝑏+1
𝑘+1−1
𝑘+1= 𝑎 𝑘+1 +1 𝑏+1
𝑘+1 −
1
𝑘+1
= 𝑘+1 𝑎+1
𝑘+1 𝑏+1
𝑘+1 −1
𝑘+1.
Adică 𝑋 𝑎 𝑋 𝑏 =𝑋 𝑘+1 𝑎+1
𝑘+1 𝑏+1
𝑘+1 −1
𝑘+1 .
Pentru 𝑎=𝑏 relația devine 𝑋(𝑎)2=𝑋 𝑘+1 𝑎+1
𝑘+1 2
−1
𝑘+1 .
Îl determinăm și pe 𝑋(𝑎)3=𝑋 𝑘+1 2 𝑎+1
𝑘+1 2
−1
𝑘+1 .
Putem deduce că 𝑋(𝑎)𝑛=𝑋 𝑘+1 𝑛−1 𝑎+1
𝑘+1 𝑛
−1
𝑘+1 , relație pe care o
demonstrăm prin inducție. Etapa de verificare este adevărată pentru 𝑛=2. Presupunem
faptul că relația este adevărată pentru pasul n și o demonstrăm pentru pasul 𝑛+1.

𝑋(𝑎)𝑛+1=𝑋 𝑎 𝑛𝑋 𝑎 =𝑋 𝑘+1 𝑛−1 𝑎+1
𝑘+1 𝑛
−1
𝑘+1 𝑋 𝑎 =

12
=𝑋 𝑘+1 𝑘+1 𝑛−1 𝑎+1
𝑘+1 𝑛
−1
𝑘+1+1
𝑘+1 𝑎+1
𝑘+1 −1
𝑘+1 =
=𝑋 𝑘+1 𝑘+1 𝑛−1 𝑎+1
𝑘+1 𝑛
𝑎+1
𝑘+1 −1
𝑘+1 =
=𝑋 𝑘+1 𝑛 𝑎+1
𝑘+1 𝑛+1
−1
𝑘+1 . q.e.d.

9. Definirea matricelor și operații cu matrice
în pachetul de algebră liniară al programului Mathematica

9.1. Definirea unei matrice

1. Introducerea unei matrice poate fi realizată în mai multe moduri. O posibilitate este
aceea de a o declara efectiv . Elementele unei linii sunt enumerate, despărțite prin virgulă,
declarate între acolade, iar liniile sunt despărțite între ele prin virgulă.
Deoarece în programul Mathematica elementele unei matrice ele pot fi funcții,
pentru ca programul să le recunoască ca numere, este recomandat ca declararea matricelor
să se facă între paranteze rotunde.

Exemplu:
In[]:= (M= {{1,3,5},{2,7,9}})
Out[]= M= {{1,3,5},{2,7,9}}

2. Comanda MatrixForm
Folosind această comanda elementele se vor afișa sub aspectul tabelar cunoscut.
Comanda poate fi dată la sfârșitul unei comenzi anterioare, despărțită prind două simboluri
slash sau poate fi dată ca o comandă de sine stătătoare, punând numele matricei între
paranteze pătrate.

Exempl e:
1) In[]:= M// 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑥𝐹𝑜𝑟𝑚

13
Out[]= 135
279
2) In[]:=𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑥𝐹𝑜𝑟𝑚[M]
Out[]= 135
279

3. Comanda Table[expr,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax}]
O altă posibilitate de creare automată a unei matrice ale cărei elemente sunt
rezultatul unei expresii este utilizarea acestei comenzii . Aceasta generează iterativ o listă
de valori a expresiei expr, când i ia valori între imin și imax , iar j ia valori între jmin și
jmax .

Exempl e:
1) In[]:=𝑇=𝑇𝑎𝑏𝑙𝑒[3,{𝑖,1,4},{𝑗,1,2}]
Out[]= {{3,3},{3,3},{3,3},{3,3}}
2) In[]:= S = Table[i+j,{i,1,4},{j,1,3}]//MatrixForm
Out[]//MatrixForm= 234
345
4
556
67

4. Comanda ConstantArray[a,{m,n}]
Această comandă creează o matrice cu m linii și n coloane, în care toate elementele
sunt egale cu a.

Exempl e:
1) In[]:= M=ConstantArray[4,{2,3}]//MatrixForm
Out[]//MatrixForm= 444
444
2) Pentru a crea matricea nulă se folosește aceeași comandă ConstantArray , în care
valoarea lui a să fie 0.
In[]:=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝐴𝑟𝑟𝑎𝑦[0,{3,3}]//𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑥𝐹𝑜𝑟𝑚
Out[]//MatrixForm= 000
000
000

14
5. Comanda DiagonalMatrix[{ 𝒂𝟏,𝒂𝟐,…,𝒂𝒏}]
Pentru crearea unei matrice pătratice, care are elemente nenule doar pe diagonala
principală, se folosește această comandă, în care elementele ca re nu sunt nule sunt
enumerate, și declarate între acolade.

Exemple :
1) In[]:=𝐷𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑥 [{1,2,3}]//𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑥𝐹𝑜𝑟𝑚
Out[]//MatrixForm= 100
020
003
2) Declararea matricei unitate se realizează ușor folosind această comandă
In[]:= I3=DiagonalMatrix[{1,1,1}]//MatrixForm

Out[]//MatrixForm= 100
010
001

6. Comanda IdentityMatrix[n]
Acestă comandă generează matricea unitate de ordin n.

Exemple:
1) In[]:= IdentityMatrix[4]
Out[]= {{1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}, {0, 0, 0, 1}}

2) In[]:= IdentityMatrix[3]//MatrixForm
Out[]= 100
010
001

7. Comanda SparseArray [{pos 1->val1,pos 2->val2,…},{m,n}]
O altă modalitate de declarare a unei matrice o reprezint ă folosirea acestei comenzi .
Astfel se creează o matrice cu m linii și n coloane, unde fiecărei poziții pos din matrice i se
atribuie valoarea val corespunzătoare, iar pozițiile nespecificate iau valori nule.

15
Exemple:
1) In[]:= A = SparseArray[{{1, 1} -> 5, {2, 3} -> 7, {3, 3} -> 3, {1, 3} -> 4},{3,3} ]
Out[]= SparseArray[<4>, {3, 3}]

2) Vizualizarea matricei în formă tabelară se face folosind comanda MatrixForm,
prezentată anterior.
In[]:= MatrixForm[A]
Out[]//MatrixForm= 504
007
003

8. Comenzile RandomInteger[{imin,imax},{m,n}] ,
RandomReal[{imin,imax},{m,n}]
Fiecare dintre aceste comenzi creeaz ă o matrice cu m linii și n coloane, cu elemente
întregi, respectiv reale, determinate aleatoriu, în intervalul imin, imax .

Exemple:
1) In[]:= T=RandomInteger[{ -5,8},{3,3}]
Out[]= {{1, -5, 7}, { -1, -5, 6}, {6, 6, 8}}

2) In[]:= U=RandomReal[{0,10},{3,3}]
Out[]= {{6.52405, 7.88691, 5.81698}, {7.42298, 5.6315, 7.54916}, {0.39058,
5.64518, 4.76104}}

9.2 Determinarea transpusei și a urmei unei matrice

1. Comanda Transpose [m]
Transpusa unei matrice se ob ține prin utilizarea acestei comenzi, unde m reprezintă o
matrice anterior definită, sau care poate fi definită în momentul aplic ării comenzii.

Exemple:
1) In[]:= Transpose[{{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}}]
Out[]={{1,4,7},{2,5,8},{3,6,9}}

16
2) In[]:= (A={{1,4},{2,5}})//MatrixForm
Out[]= 14
25

In[]:= Transpose[A]
Out[]= 12
25

2. Comanda Tr[m]
Cu această comandă se obține suma elementelor de pe diagonala principală
matricei, adică suma elementelor urmei matricei.

Exempl u:
In[]:= Tr[{{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}}]
Out[]= 15

9.3 Operații cu matrice

1. Adunarea matricelor se real izează folosind operatorul „ +”.

Exemple :
Declar ăm întâi matricele
In[]:= A={{1,2,3},{4,5,6}}
Out[]= {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}}

In[]:= A//MatrixForm
Out[]//MatrixForm= 123
456

In[]:= B={{3, -4,-2},{2,0,10}}
Out[]= {{3, -4, -2}, {2, 0, 10}}

In[]:= B//MatrixForm
Out[]//MatrixForm= 3−4−2
2 0 10

17

Suma matricelor se realizeaz ă folosind simbolul plus, astfel:
In[]:= A+B
Out[]= {{4, -2, 1}, {6, 5, 16}}

In[]:= A+B//MatrixForm
Out[]//MatrixForm= 4−2 1
6 5 16

2. Înmulțirea unei matrice cu un scalar se realizeză scri ind matricea alături de
scalarul cu care dorim să o înmulțim.

Exemple :
Să înmulțim matricea A, declarată mai sus, cu 10:
In[]:= 10A
Out[]= {{10, 20, 30}, {40, 50, 60}}
Sau
In[]:= 10*A
Out[]= {{10, 20, 30}, {40, 50, 60}}

3. Înmulțirea a două matrice se realizează scriind matricele cu semnul punct între ele.

Exemple :
In[]:= M={{1,2},{10,14}}
Out[]= {{1, 2}, {10, 14}}

In[]:= M//MatrixFrom
Out[]//MatrixForm= 1 2
10 14

In[]:= M.M
Out[]= {{21, 30}, {150, 216}}

In[]:= M.M//MatrixForm

18
Out[]//MatrixForm = 21 30
150 216 .

4. Comanda MatrixPower[A,n] returnează matricea An , pentru n număr întreg.

Exemplu:
In[]:= (A={{1,2,3},{0, -3,2},{4,0,1}}) //MatrixForm
Out[]//MatrixForm = 1 2 3
0−32
4 0 1

In[]:= MatrixPower[A,3]//MatrixForm
Out[]//MatrixForm= 53 38 41
−8−11 38
60 −8 53

19

CAPITOLUL II. DETERMINANȚI

1. Determinanți de ordin unu și doi

Defniție: Dacă 𝐴= 𝑎11 ∈𝑀1(𝐾), adică A reprezintă o matrice cu un singur element,
atunci valoare a determinantului de ordin unu este 𝑑𝑒𝑡 𝐴 =𝑎11.

Pentru a afla valoarea determinantului de ordin doi, considerăm un sistem de două ecuații
liniare cu două necunoscute
(1) 𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥2=𝑏1
𝑎21𝑥1+𝑎22𝑥2=𝑏2
Notăm cu A matricea coeficienților sistemului (1) , care reprezintă o matrice pătratică de
ordin doi.
𝐴= 𝑎11𝑎12
𝑎21𝑎22
Rezolvăm sistemul folosind metoda reducerii, conform noțiunilor studiate în școala
gimnazială. Obținem următoarea soluție
(2) 𝑥1=𝑏1𝑎22−𝑎12𝑏2
𝑎11𝑎22−𝑎12𝑎21 , 𝑥2=𝑏2𝑎11−𝑎21𝑏1
𝑎11𝑎22−𝑎12𝑎21, când 𝑎11𝑎22−𝑎12𝑎21≠0.
Numitorul fracțiilor îl numim determinantul matricei A sau determinant de ordin doi , notat
det(A) sau 𝑎11𝑎12
𝑎21𝑎22 .

Definiție: Oricărei mat rice de ordin doi, 𝐴= 𝑎11𝑎12
𝑎21𝑎22 ∈𝑀2(𝐾), îi asociem un număr
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎11𝑎12
𝑎21𝑎22 =𝑎11𝑎22−𝑎12𝑎21 numit determinantul de ordin doi al matricei
A.

Exemplu:
Fie m atrice a 𝐴= 1−5
3 4 .
Acesteia îi asociem determinantul 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 1−5
3 4 =1∙4− −5 ∙3=19.

20
2. Determinanți de ordin trei

Fie sistemul de trei ecuații liniare cu trei necunoscute:
(3) 𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥2+𝑎13𝑥3=𝑏1
𝑎21𝑥1+𝑎22𝑥2+𝑎23𝑥3=𝑏2
𝑎31𝑥1+𝑎32𝑥2+𝑎33𝑥3=𝑏3
Notăm cu A matricea coeficienților sistemului (3). A este o matrice pătratică de ordin trei.
𝐴= 𝑎11𝑎12𝑎13
𝑎21𝑎22𝑎23
𝑎31𝑎32𝑎33
Rezolvăm sistemul folosind metoda reducerii. Înmulțim convenabil astfel încât să
eliminăm necunoscuta 𝑥3. Sistemul se transformă într -un nou sistem cu două ecuații și
două ne cunoscute:
(4) 𝑎11𝑎23−𝑎21𝑎13 𝑥1+ 𝑎12𝑎23−𝑎22𝑎13 𝑥2=𝑏1𝑎23−𝑏2𝑎13
𝑎11𝑎33−𝑎31𝑎13 𝑥1+ 𝑎12𝑎33−𝑎32𝑎13 𝑥2=𝑏1𝑎33−𝑏3𝑎13
Din nou înmulțim convenabil pentru a elimina necunoscuta 𝑥2 și obținem următoarea
fracție:
(5) 𝑥1=𝑏1𝑎22𝑎33+𝑏2𝑎13𝑎32+𝑏3𝑎12𝑎23−𝑏1𝑎23𝑎32−𝑏2𝑎12𝑎33−𝑏3𝑎13𝑎22
𝑎11𝑎22𝑎33+𝑎12𝑎23𝑎31+𝑎13𝑎32𝑎31−𝑎13𝑎31𝑎22−𝑎12𝑎21𝑎33−𝑎23𝑎32𝑎11
Numitorul fracției din ecuația de mai sus îl notăm det(A) și îl numim determinant de ordin
trei, sau determinantul matricei A . Notăm acest număr astfel:
det 𝐴 = 𝑎11𝑎12𝑎13
𝑎21𝑎22𝑎23
𝑎31𝑎32𝑎33

Definiție: Numim determinant de ordin trei numărul notat 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎11𝑎12𝑎13
𝑎21𝑎22𝑎23
𝑎31𝑎32𝑎33 ,
care se calculează astfel :
𝑑𝑒𝑡 𝐴 =𝑎11𝑎22𝑎33+𝑎12𝑎23𝑎31+𝑎13𝑎32𝑎21−𝑎13𝑎31𝑎22−𝑎12𝑎21𝑎33−𝑎23𝑎32𝑎11.
Această formulă de calcul poartă numele de metoda triunghiului de calculare a
determinantului.

Exemplu: Fie matricea 𝐴= 5 41
−320
1 06 .
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 5 41
−320
1 06 =60+0+0−2−0+72=130.

21

Deoarece metoda triunghiului este destul de dificil ă de memorat, putem face
următorii pași în calcularea determinantului: scriem primele două linii al e matricei sub
elementele iniți ale ale matricei, obținându -se un tablou cu 5 linii și 3 coloane.
det 𝐴 = 𝑎11𝑎12𝑎13
𝑎21𝑎22𝑎23
𝑎31𝑎32𝑎33
𝑎11𝑎12𝑎13
𝑎21𝑎22𝑎23
Primele trei produse, care vor avea semnul plus, vor fi obținute din înmulțirea elementelor
de pe diagonala pricipal ă și a următoarelor diagonale de dedesubt. Celelalte trei produse,
care vor avea semnul minus, vor fi ob ținute din înmulțirea elementelor de pe diagonala
secundar ă și a următoarelor diagonale de dedesubt, obținându -se în final aceeași termeni:
det 𝐴 =𝑎11𝑎22𝑎33+𝑎12𝑎21𝑎33+𝑎13𝑎32𝑎31−𝑎13𝑎31𝑎22−𝑎12𝑎23𝑎31−𝑎23𝑎32𝑎11.
Această regulă de calcul poartă numele de regula lui Sarrus.

3. Determinanți de ordin n

Definiție: Fie o matrice pătratică de ordin n, 𝐴= 𝑎11…𝑎1𝑛
………
𝑎𝑛1…𝑎𝑛𝑛 ∈𝑀𝑛 𝐾 . Se numește
determinant de ordin n al matricei A numărul notat
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎11…𝑎1𝑛
………
𝑎𝑛1…𝑎𝑛𝑛 = 𝜀(𝜎)𝑎1𝜎(1)𝑎2𝜎(2)… 𝜎∈𝑆𝑛𝑎𝑛𝜎(𝑛) ,
unde 𝑆𝑛 reprezintă mulțimea tuturor permutărilor de grad n, iar 𝜀(𝜎) este signatura
permutării 𝜎.
Produsul 𝑎1𝜎(1)𝑎2𝜎(2)…𝑎𝑛𝜎(𝑛) poartă numele de termen al determinantului de ordin n.

Aplicație: n=2 Vom determina valoarea determinantului de ordin 2, conform formulei de
mai sus.
𝑆2= 12
12 , 12
21 reprezintă cele două permutări de grad 2. Atunci determinantul
devine
det 𝐴 = 𝜀 𝜎 𝑎1𝜎 1 𝑎2𝜎 2 = −1 0
𝜎∈𝑆2𝑎11𝑎22+ −1 1𝑎12𝑎21= 𝑎11𝑎22−𝑎12𝑎21.

22
Formula respectă definiția dată anterior.

Aplicație: n=3 Vom verifica acum formula în cazul determinantului de ordin trei.
Permutările de grad trei sunt următoarele:
𝑆3= 123
123 , 123
132 , 123
213 , 123
231 , 123
312 , 123
321 .
Determinantul devine
det 𝐴 = 𝜀(𝜎)𝑎1𝜎(1)𝑎2𝜎(2) 𝜎∈𝑆3𝑎3𝜎(3)=
= −1 0𝑎11𝑎12𝑎13+ −1 1𝑎11𝑎23𝑎32+ −1 1𝑎12𝑎21𝑎33+
+ −1 2𝑎12𝑎23𝑎31+ −1 2𝑎13𝑎21𝑎32+ −1 3𝑎13𝑎22𝑎31=
=𝑎11𝑎22𝑎33+𝑎12𝑎23𝑎31+𝑎13𝑎32𝑎21−𝑎13𝑎31𝑎22−𝑎12𝑎21𝑎33−𝑎23𝑎32𝑎11.
Formula respectă și această definiție.

Această formulă nu este eficientă în calcularea valorilor determinanților de ordin
mai mare sau egal cu patru, din cauza numărului mare de termeni ce apar. Pentru a afla un
determinant de ordin patru trebuie să calculăm 4!=24 termeni, pentru a calcula un
determinant de ordin cinci trebuie să calculăm 5!=120 termeni, ș.a.m.d. De aceea vom
prezenta unele proprietăți ale determinanților de ordin n, necesare pentru a determina o
metodă mai ușoară de calcul .

4. Proprietăți ale determinanților de ordin n

Prop rietatea 1: Determinantul unei matrice este egal cu determinantul matricei transpuse.
Adică oricare ar fi 𝐴∈𝑀𝑛 𝐾 , atunci det 𝐴 =det⁡(𝐴𝑡). Adică
𝑎11…𝑎1𝑛
………
𝑎𝑛1…𝑎𝑛𝑛 = 𝑎11…𝑎𝑛1
………
𝑎1𝑛…𝑎𝑛𝑛

Demonstrație:
Să considerăm matricea 𝐴=(𝑎𝑖𝑗) și transpusa acesteia 𝐴𝑡=(𝑎𝑗𝑖), cu 1≤𝑖,𝑗≤𝑛.
Deci 𝑎𝑖𝑗 𝑡=𝑎𝑗𝑖, ∀1≤𝑖,𝑗≤𝑛. Atunci avem formula determinantului
𝑑𝑒𝑡𝐴= 𝜀 𝜎 𝑎1𝜎(1)𝑎2𝜎(2)…𝑎𝑛𝜎(𝑛) 𝜎𝜖𝑆𝑛 (1)

23
Iar
𝑑𝑒𝑡𝐴𝑡= 𝜀 𝜏 𝑎1𝜏(1)𝑡𝑎2𝜏(2)𝑡…𝑎𝑛𝜏(𝑛)𝑡
𝜏𝜖𝑆𝑛 = 𝜀 𝜏 𝑎𝜏(1)1𝑎2𝜏(2)2…𝑎𝜏(𝑛)𝑛 𝜏𝜖𝑆𝑛. (2)
Notăm 𝜎 𝑖 =𝑘𝑖, atunci 𝑖=𝜎−1 𝑘𝑖 iar produsul
𝜀 𝜎 𝑎1𝜎(1)𝑎2𝜎(2)…𝑎𝑛𝜎 𝑛 =𝜀 𝜎 𝑎𝜎−1(𝑘1)𝑘1𝑎𝜎−1(𝑘2)𝑘2…𝑎𝜎−1(𝑘𝑛)𝑘𝑛=
= 𝜀 𝜎−1 𝑎𝜎−1(𝑘1)𝑘1𝑎𝜎−1(𝑘2)𝑘2…𝑎𝜎−1(𝑘𝑛)𝑘𝑛 deoarece 𝜀 𝜎 =𝜀(𝜎−1).
Deoarece numerele 𝑘1,𝑘2,…,𝑘𝑛 sunt numerele 1,2,…,𝑛 eventual scrise în altă ordine, iar
înmulțirea numerelor este comutativă, atunci
𝜀 𝜎 𝑎𝜎−1(𝑘1)𝑘1𝑎𝜎−1(𝑘2)𝑘2…𝑎𝜎−1 𝑘𝑛 𝑘𝑛=𝜀 𝜎−1 𝑎𝜎−1(𝑘1)𝑘1𝑎𝜎−1(𝑘2)𝑘2…𝑎𝜎−1(𝑘𝑛)𝑘𝑛 .
Ceea ce înseamnă că orice termen din suma (1) se regăsește undeva ca termen în suma (2).
Adică det 𝐴 =det⁡(𝐴𝑡). □

Observație: Ceea ce am demonstrat mai sus ne arată că orice proprietate adevărată
referitoare la liniile unui determinant rămâne adevărată și pentru coloanele acestuia.

Exemplu: Fie matricea 𝐴= 5 41
−323
1 06 .
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 5 41
−323
1 06 =60+0+12−2−0+72=142.
𝑑𝑒𝑡 𝐴𝑡 = 5−31
4 2 0
1 3 6 =60+0+12−2−0+72=142.

Proprietatea 2: Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) ale u nei matrice sunt egale
cu zero , atunci determinantul acesteia este zero.

Demonstrație:
Presupunând că toate elementele de pe o linie oar ecare i sunt nule, în calculul
determinantului, fiecare termen este un produs de elemente. Unul dintre aceste elemente
este întotdeauna un element de pe linia i, atunci produsul este zero. Deci valoarea
determinantului este zero. □

24
Exemplu: Fie matricea 𝐴= 5 4 1
0 0 0
1−26 .
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 5 41
0 00
1−26 =0+0+0−0−0−0=0.

Proprietatea 3: Dacă într -o matrice inversăm elementele a două lin ii (sau coloane) între
ele, obținem o nouă matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului
matricei inițiale.

Demonstrație:
Fie matricea
𝐴=
𝑎11𝑎12
……
𝑎𝑖1𝑎𝑖2⋯𝑎13
…
𝑎𝑖𝑛………𝑎𝑗1𝑎𝑗2
……
𝑎𝑛1𝑎𝑛2⋯𝑎𝑗𝑛
…
𝑎𝑛𝑛

Schimbând liniile i și j între ele obținem matricea
𝐴,=
𝑎11𝑎12
……
𝑎𝑗1𝑎𝑗2⋯𝑎13
…
𝑎𝑗𝑛………𝑎𝑖1𝑎𝑖2
……
𝑎𝑛1𝑎𝑛2⋯𝑎𝑖𝑛
…
𝑎𝑛𝑛

Matricea 𝐴, are determinantul
det⁡(𝐴,)= 𝜀 𝜎 𝑎1𝜎(1)𝑎2𝜎(2)…𝑎𝑗𝜎(𝑖)…𝑎𝑖𝜎(𝑗)…𝑎𝑛𝜎(𝑛) 𝜎𝜖𝑆𝑛.
Fie transpoziția 𝜏=(𝑖𝑗), deci 𝜏 𝑖 =𝑗, 𝜏 𝑗 =𝑖, iar 𝜏 𝑘 =𝑘, cu 𝑘≠𝑖,𝑗.
Atunci det 𝐴, = 𝜀 𝜎 𝑎1𝜎 1 𝑎2𝜎 2 …𝑎𝑗𝜎 𝑖 …𝑎𝑖𝜎 𝑗 …𝑎𝑛𝜎 𝑛 𝜎𝜖𝑆𝑛
= 𝜀 𝜎 𝑎1𝜎𝜏(1)𝑎2𝜎𝜏(2)…𝑎𝑗𝜎𝜏(𝑖)…𝑎𝑖𝜎𝜏(𝑗)…𝑎𝑛𝜎𝜏(𝑛) 𝜎𝜖𝑆𝑛.
Cum 𝜀 𝜎𝜏 =𝜀(𝜎)𝜀(𝜏)= – 𝜀(𝜎), avem
det 𝐴, =− 𝜀 𝜎𝜏 𝑎1𝜎𝜏(1)𝑎2𝜎𝜏(2)…𝑎𝑗𝜎𝜏(𝑖)…𝑎𝑖𝜎𝜏(𝑗)…𝑎𝑛𝜎𝜏(𝑛) 𝜎𝜖𝑆𝑛.
Când 𝜎 parcurge toate permutările lui 𝑆𝑛 atunci și 𝜎𝜏 parcurge toate permutările lui 𝑆𝑛,
deci dacă notăm 𝜎𝜏=𝜎, avem
det 𝐴, = − 𝜀 𝜎, 𝑎1𝜎,(1)𝑎2𝜎,(2)…𝑎𝑛𝜎,(𝑛) 𝜎.𝜖𝑆𝑛, deci det 𝐴 =det 𝐴, . □

25
Exemplu: Fie matricea 𝐴= 231
053
416 .
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 231
053
416 =60+0+36−20−0−6=70.
Schimbăm liniile 2 și 3 între ele, atunci determinantul matricei modificate astfel este:
𝑑𝑒𝑡 𝐴, = 231
416
053 =6+20+0−0−36−60=−70.

Proprietatea 4: Dacă într -o matrice elem entele a două linii (sau coloane) sunt identice,
atunci valoarea determinantul ui este nul ă.

Demonstrație:
Fie matricea 𝐴=(𝑎𝑖𝑗) cu 1≤𝑖,𝑗≤𝑛 în care liniile i și j sunt identice, adică
𝑎𝑖𝑘=𝑎𝑗𝑘, oricare ar fi 1≤𝑘≤𝑛. Schimbând liniile i și j între ele, obținem o nouă
matrice notată 𝐴,, care este egală cu matricea inițială, A. Conform proprietății anterioare,
avem det 𝐴, =−det 𝐴 . Cum 𝐴=𝐴,, și det 𝐴, =det 𝐴 . Deci det 𝐴 =−det 𝐴 ,
adică det 𝐴 =0. □

Exemplu: Fie matricea 𝐴= 053
053
416 care are pr imele două linii identice. Calculăm
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 053
053
416 =0+0+60−60−0−0=0.

Proprietatea 5: Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrice sunt
înmulțite cu un număr t, atunci obținem o nouă matrice al cărei determinant are valoarea
egală cu determinantul matricei inițiale înmulțit cu t.

Demonstrație:
Considerăm matricea 𝐴=(𝑎𝑖𝑗) cu 1≤𝑖,𝑗≤𝑛 și notăm cu 𝐴,=(𝑎𝑖𝑗,) cu
1≤𝑖,𝑗≤𝑛, noua matrice care se obține din A, prin înmulțirea liniei i cu numărul t.
Atunci avem 𝑎𝑟𝑗,=𝑎𝑟𝑗, când 𝑟≠𝑖 și 1≤𝑗≤𝑛, iar 𝑎𝑖𝑗,=𝑡𝑎𝑖𝑗, oricare 1≤𝑗≤𝑛.
Ceea ce înseamnă că det⁡(𝐴,)= 𝜀 𝜎 𝑎,
1𝜎(1)𝑎,
2𝜎(2)…𝑎,
𝑖𝜎(𝑖)…𝑎,
𝑛𝜎(𝑛) 𝜎𝜖𝑆𝑛

26
= 𝜀 𝜎 𝑎1𝜎(1)𝑎2𝜎(2)…(𝑡𝑎𝑖𝜎 𝑖 )…𝑎𝑛𝜎(𝑛) 𝜎𝜖𝑆𝑛 =
=𝑡 𝜀 𝜎 𝑎1𝜎(1)𝑎2𝜎(2)…𝑎𝑖𝜎 𝑖 …𝑎𝑛𝜎(𝑛) 𝜎𝜖𝑆𝑛 =𝑡 det⁡(𝐴).
Adică det 𝐴, =𝑡 det⁡(𝐴). □

Exemplu: Fie matricea 𝐴= 2−50
4 1 3
−2 7 6 .
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 2−50
4 1 3
−2 7 6 =12+0+30−0+120−42=120.
Înmulțind linia a doua cu 3, obținem matricea 𝐴= 2−50
12 3 9
−2 7 6 .
𝑑𝑒𝑡 𝐴, = 2−50
12 3 9
−2 7 6 =36+0+90−0+360−126 =360 =3∙120 =
=3∙𝑑𝑒𝑡⁡(𝐴).

Proprietatea 6: Dacă elementele a două linii (sau coloane) ale unei matrice sunt direct
proporționale, atunci valoarea determinantul ui matricei este nul ă.

Demonstrație:
Considerăm matricea 𝐴=(𝑎𝑖𝑗) cu 1≤𝑖,𝑗≤𝑛, în care liniile oarecare i și j sunt
direct proporționale, ceea ce înseamnă că există un număr nenul t astfel încât 𝑎𝑗𝑙=𝑡𝑎𝑖𝑙,
∀ 1≤𝑙≤𝑛. Conform proprietății anterioare, determinantul matricei A se obține ca produs
dintre t și determinantul unei matrice care are două linii egale. Aplicând Proprietatea cu
numărul 4, obținem faptul că determinantul este nul. □

Exemplu: Fie matricea 𝐴= 2−50
4 1 3
8 2 6 , cu liniile a doua și a treia proporționale.
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 2−50
4 1 3
8 2 6 =2∙ 2−50
4 1 3
4 1 3 =0.

Propr ietatea 7: Într-o matrice 𝐴=(𝑎𝑖𝑗) cu 1≤𝑖,𝑗≤𝑛, presupunem că elementele unei
linii se pot scrie ca sumă a două alte elemente, adică elementele liniei i sunt de forma
𝑎𝑖𝑗=𝑎𝑖𝑗,+𝑎𝑖𝑗,, , ∀ 1≤𝑗≤𝑛. Dacă 𝐴,, respectiv 𝐴,,, sunt matrice le care s e obțin din A

27
înlocuind fiecare element de pe linia i cu un element corespunzător 𝑎𝑖𝑗,, respectiv 𝑎𝑖𝑗,,,
atunci 𝑑𝑒𝑡 𝐴 =𝑑𝑒𝑡 𝐴, +𝑑𝑒𝑡⁡(𝐴,,).

Demonstrație:
Fie det⁡(𝐴)= 𝜀 𝜎 𝑎1𝜎(1)𝑎2𝜎(2)…𝑎𝑖𝜎 𝑖 …𝑎𝑛𝜎(𝑛) 𝜎𝜖𝑆𝑛
= 𝜀 𝜎 𝑎1𝜎(1)𝑎2𝜎(2)…(𝑎𝑖𝜎 𝑖 ,+𝑎𝑖𝜎 𝑖 ,,)…𝑎𝑛𝜎(𝑛) 𝜎𝜖𝑆𝑛
= 𝜀 𝜎 𝑎1𝜎(1)𝑎2𝜎(2)…𝑎𝑖𝜎 𝑖 ,…𝑎𝑛𝜎(𝑛) 𝜎𝜖𝑆𝑛+ 𝜀 𝜎 𝑎1𝜎(1)𝑎2𝜎(2)…𝑎𝑖𝜎 𝑖 ,,…𝑎𝑛𝜎(𝑛) 𝜎𝜖𝑆𝑛
=det 𝐴, +det⁡(𝐴,,). □

Definiție: Fie matricea 𝐴=(𝑎𝑖𝑗) cu 1≤𝑖,𝑗≤𝑛. Spunem că linia i este o combinație
liniară de celelalte linii, dacă există numerele 𝑡𝑗 , cu 1≤𝑡≤𝑛, 𝑡≠𝑖, astfel încât
𝑎𝑖𝑗=𝑡1𝑎1𝑗+𝑡2𝑎2𝑗+⋯+𝑡𝑖−1𝑎𝑖−1,𝑗+𝑡𝑖+1𝑎𝑖+1,𝑗+⋯+𝑡𝑛𝑎𝑛𝑛, oricare ar fi 1≤𝑗≤𝑛.
Asupra numerelor 𝑡𝑗 nu se pune nici o condiție, adică unele dintre ele pot fi nule.
Analog se definește ceea ce reprezintă o combinație liniară de celelalte coloane, adică o
coloană j a matricei A.

Exemplu: Fie matricea 𝐴= 2−50
4 1 3
8−93 , cu linia a treia combinație liniară a primelor
două. Adică avem 𝑡1=2 și 𝑡2=1 astfe l încât 8=2∙2+1∙4, −9=2∙ −5 +1∙1,
3=2∙0+1∙3.
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 2−50
4 1 3
8−93 = 2− 5 0
4 1 3
4−10 0 + 2−50
4 13
4 1 3 =0.

Proprietatea 8: Dacă o linie (sau coloan ă) a unei matrici pătratice reprezintă o
combinație liniară de celelalte linii (sau coloane), atunci determinantul matricei este nul.

Demonstrație:
Presupunem că o linie oarecare i a matricei date A este o combinație liniară de
celelalte linii. Conform proprietății anterioare, determinantul matricei A este o sumă de
determinanți care au două linii direct proporționale, de unde, conform Proprietății 6, toți
determinanții sunt nuli. De unde rezultă că și determinantul matricei A este nul. □

28
Exemplu: Fie matricea 𝐴= 37 5
−12 3
2 9 8 , cu linia a treia combinație liniară (adică
suma) a celorlalte două. Conform proprietății 7, determinantul matricei este nul.

Proprietatea 9: Dacă la o linie (sau coloană) a matricei A adunăm elementele altei linii
(sau coloane), înmulțit ă cu un același num ăr, atunci această nouă matrice va avea același
determinant ca și matricea inițială A.

Demonstrație:
Fie matricea 𝐴=(𝑎𝑖𝑗) cu 1≤𝑖,𝑗≤𝑛. La linia i a matricei adunăm elementele
liniei j, înmulțite cu un număr t. Obținem o matrice 𝐴,, care are acel eași linii ca și matricea
A, mai puțin linia i, ale cărei elemente se scriu de forma 𝑎𝑗𝑟+𝑡𝑎𝑖𝑟, cu 1≤𝑟≤𝑛.
Conform Proprietății 7, determinantul matricei 𝐴, este suma a doi determinanți. Primul este
determinantul matricei A, iar al doilea este det erminantul unei matrice care are două linii
proporționale. Conform Proprietății 6, acest al doilea determinant este nul. Deci avem
det 𝐴, =det 𝐴 . □

5. Reguli de calcul a determinanților

5.1. Dezvoltarea dup ă o linie (sau coloană) a unui determinant

Definiție: Fie 𝐴= 𝑎𝑖𝑗 ∈𝑀𝑛 𝐾 o matrice pătratică. Se numește minor asociat
elementului 𝑎𝑖𝑗 un determinant obținut prin suprimarea liniei i și a coloanei j din matricea
A.
Ordinul unui minor este cu o unitate mai mic decât ordinul matricei din care se obține.
Notăm minorul cu ∆𝑖𝑗.

Definiție: Se numește complement algebric al elementului 𝑎𝑖𝑗 un număr obținut prin
suprimarea liniei i și a coloanei j din matricea A, înmulțit cu -1 la puterea sumei dintre i și
j.
Notăm complementul algebric cu 𝛿𝑖𝑗=(−1)𝑖+𝑗∆𝑖𝑗.

29
Unui determinant de ordin n i se pot asocia 𝑛2 minori de ordinul 𝑛−1, deci și 𝑛2
complemenți algebrici.

Teorema 1: Un determinant de ordin n, 𝑑= 𝑎𝑖𝑗 , cu 1≤𝑖,𝑗≤n, este egal cu
𝑑=𝑎𝑖1𝛿𝑖1+𝑎𝑖2𝛿𝑖2+⋯+𝑎𝑖𝑛𝛿𝑖𝑛, ∀ 1≤𝑖≤𝑛
Egalitatea reprezintă dezvoltarea determinantului 𝑑 după linia i.

Demonstrație:
Notăm cu 𝑆=𝑎𝑖1𝛿𝑖1+𝑎𝑖2𝛿𝑖2+⋯+𝑎𝑖𝑛𝛿𝑖𝑛.
Și considerăm termenul oarecare 𝑎𝑖𝑗𝛿𝑖𝑗=(−1)𝑖+𝑗𝑎𝑖𝑗𝑑𝑖𝑗din sumă.
În cazul în care 𝑖=𝑗=1, un termen oarecare din dezvoltarea determinantului 𝑑11
de ordin 𝑛−1 este de forma 𝑎2𝑘2𝑎3𝑘3…𝑎𝑛𝑘𝑛 unde numerele 𝑘2,𝑘3,…,𝑘𝑛 sunt numerele
2, 3, … n, dar eventual care apar în altă ordine. Obținem că termenul 𝑎2𝑘2𝑎3𝑘3…𝑎𝑛𝑘𝑛 care
provine din dezvoltare a determinantului 𝑑11 este egal cu (−1)𝑙, unde l este numărul de
inversiuni ale permutării
𝜎= 2 3…
𝑘2𝑘3…𝑛
𝑘𝑛
Adică semnul termenului 𝑎11𝑎2𝑘2𝑎3𝑘3…𝑎𝑛𝑘𝑛 care a provenit din produsul 𝑎11𝛿11 este
(−1)1+1∙ −1 𝑙=(−1)𝑙.
Dar semnul termenului 𝑎11𝑎2𝑘2𝑎3𝑘3…𝑎𝑛𝑘𝑛 din dezvoltarea determinantului d este
egal cu (−1)𝑟, unde r este numărul de inversiuni ale permutării
𝜏= 1
1 2 3…
𝑘2𝑘3…𝑛
𝑘𝑛
Cum 𝑘𝑛>1, oricare ar 𝑛>1, permutările 𝜎 și 𝜏 au același număr de inversiuni, deci
𝑟=𝑙. Deci termenul 𝑎11𝑎2𝑘2𝑎3𝑘3…𝑎𝑛𝑘𝑛 care a provenit din termenul 𝑎11𝛿11 are același
semn ca și cel provenit din dezvoltarea determinantului d.
Să considerăm acum cazul general. Schimbăm liniile și coloanele astfel încât
elementul 𝑎𝑖𝑗 să fie în locul elementului 𝑎11, iar minorul 𝑑𝑖𝑗 să rămână neschimbat. Astfel
linia i și coloana j devin linia 1 respectiv coloana 1, apoi linia 1 devine linia 2, linia 2
devine linia 3, și așa mai departe până la linia 𝑖−1 care devine linia i. Analog co loana 1
devine coloana 2, coloana 2 devine 3, și așa mai departe, până când coloana 𝑗−1 devine
coloana j.

30
Determinantul obținut astfel îl notăm cu 𝑑,. Aplicând proprietatea 3 a
determinanților avem 𝑑=(−1)𝑖+𝑗𝑑,. Mai mult , determinanții 𝑑11,,=𝑑𝑖𝑗. Termenul
𝑎1𝑘1𝑎2𝑘2…𝑎𝑖−1𝑘𝑖−1𝑎𝑖+1𝑘𝑖+1…𝑎𝑛𝑘𝑛este un termen oarecare al dezvoltării determinantului
𝑑𝑖𝑗. Conform relației 𝑑=(−1)𝑖+𝑗𝑑, și ținând seama de prima parte a demonstrației,
obținem că semnul termenului (−1)𝑖+𝑗𝑎1𝑘1𝑎2𝑘2…𝑎𝑖−1𝑘𝑖−1𝑎𝑖𝑗𝑎𝑖+1𝑘𝑖+1…𝑎𝑛𝑘𝑛 provenit din
produsul 𝑎𝑖𝑗𝛿𝑖𝑗 este același cu cel dat de dezvoltarea determinantului d. Deci, fiecare
termen din produsul 𝑎𝑖𝑗𝛿𝑖𝑗 luat cu semnul său este un termen cu același semn, și anume al
determinantului d. Cum produsul 𝑎𝑖𝑗𝛿𝑖𝑗 conține 𝑛−1 ! termeni, atunci toți termenii care
apar în suma de mai sus sunt în număr de 𝑛−1 !∙𝑛=𝑛!. Deci în suma anterioară se
găsesc toți termenii determinantului d, inclusiv semnul. Adică are loc egalitatea 𝑑=𝑆 . □

Teor ema 2: Considerând determinantul de ordin n, 𝑑= 𝑎𝑖𝑗 , cu 1≤𝑖,𝑗≤𝑛. Atunci
oricare ar fi 1≤𝑗≤𝑛 are loc egalitatea
𝑑=𝑎1𝑗𝛿1𝑖+𝑎2𝑗𝛿2𝑖+⋯+𝑎𝑛𝑗𝛿𝑛𝑖
Egalitatea reprezintă dezvoltarea determinantului 𝑑 după coloana j.

Cele două teoreme dau procedee prin care calculul unui determinant de ordin n se
transformă în calculul a n sau mai puțini determinați de ordin n-1. Pentru a ușura calculele,
în obținerea unei valori a unui determinant se recomandă dezvoltarea după acea li nie sau
coloană care are cele mai multe elemente nule.

5.2. Consecințe ale teoremei de dezvoltare a unui
determinant după o linie (sau coloană)

Consecința 1: Pentru un determinant de ordin n, 𝑑= 𝑎𝑖𝑗 , cu 1≤𝑖,𝑗≤𝑛, pentru orice
𝑖≠𝑗 are loc egalitatea
𝑎𝑖1𝛿𝑗1+𝑎𝑖2𝛿𝑗2+⋯+𝑎𝑖𝑛𝛿𝑗𝑛=0

31
Demonstrație:
Fie determinantul 𝑑,=
𝑎11𝑎12…
……
𝑎𝑖1
…𝑎𝑖1
…
𝑎𝑛1𝑎𝑖2
…𝑎𝑖2
…
𝑎𝑛2…𝑎1𝑛
…𝑎𝑖𝑛
…𝑎𝑖𝑛
…
𝑎𝑛𝑛
care s -a obținut din determinantul d în
care linia j a fost înlocuită cu linia i . Deoarece 𝑑, are două linii egale aplicând Proprietatea
a 4-a a determinanților avem 𝑑,=0. Dezvoltând determinantul după linia j , conform
primei teoreme, obținem egalitatea. □

Consecința 2: Pentru un determinant de ordin n, 𝑑= 𝑎𝑖𝑗 , cu 1≤𝑖,𝑗≤𝑛, pentru orice
𝑖≠𝑗 are loc egalitatea
𝑎1𝑗𝛿1𝑖+𝑎2𝑗𝛿2𝑖+⋯+𝑎𝑛𝑗𝛿𝑛𝑖=0

Demonstrație:
Fie determinantul de ordin n, 𝑑,= 𝑎𝑗𝑖 , cu 1≤𝑗,𝑖≤𝑛. Conform primei
proprietăți a determinanților, determinantul unei matrice este egal cu determinantul
matricei transpuse. Deci 𝑑,= 𝑎𝑗𝑖 = 𝑎𝑖𝑗 =𝑑, astfel dezvoltarea după coloana j devine de
fapt dezvoltarea după linia j. Conform proprietății a treia, dacă schimbăm două linii (sau
coloane) între ele, atunci obținem un determinant egal cu opusul determinantului inițial. Iar
conform consecinței anterioare, avem egalitatea
𝑎𝑖1𝛿𝑗1+𝑎𝑖2𝛿𝑗2+⋯+𝑎𝑖𝑛𝛿𝑗𝑛= − 𝑎𝑖1𝛿𝑗1+𝑎𝑖2𝛿𝑗2+⋯+𝑎𝑖𝑛𝛿𝑗𝑛 =0. □

Exemplu: Să calculăm determinantul 𝑑= 1 2−1 4
3 1 4−5
2
6 0
−5 3
4 0
−4 .
Deoarece a treia linie conține două element e nule, vom face dezvoltarea determinantului
după această linie:
𝑑=(−1)3+1∙2∙ 2−1 4
1 4−5
−5 4−4 +(−1)3+3∙3∙ 1 2 4
3 1−5
6−5−4
Calculăm fiecare determinant de ordin trei în parte, folosind proprietățile determinanților
sau definiția:

32
2−1 4
1 4−5
−5 4−4 =−32+16−25+80−4+40=75.
1 2 4
3 1−5
6−5−4 =−4−60−60−24+24−25=−149.
Valoarea finală a determinantului de ordin patru este
𝑑=2∙75+3∙ −149 =−297.

6. Aplicații

1. Fie 𝐴,𝐵 ∈𝑀2 𝑍 cu 𝑑𝑒𝑡⁡(𝐴𝐵)≠0.
a) Arătați că 𝑑𝑒𝑡 𝐴+𝐵 +𝑑𝑒𝑡 𝐴−𝐵 =2 𝑑𝑒𝑡 𝐴 +𝑑𝑒𝑡⁡(𝐵)
b) Arătați că Tr 𝑑𝑒𝑡 𝐴𝐵+𝐵𝐴 𝐼2−(𝐴𝐵−𝐵𝐴)2 ⋮8
(Olimpiada de matematică, faza locală, Gorj, 2016)

Rezolvare:
a) Avem 𝐴= 𝑎11𝑎12
𝑎21𝑎22 și 𝐵= 𝑏11𝑏12
𝑏21𝑏22 .
Atunci 𝐴+𝐵= 𝑎11+𝑏11𝑎12+𝑏12
𝑎21+𝑏21𝑎22+𝑏22 iar 𝐴−𝐵= 𝑎11−𝑏11𝑎12−𝑏12
𝑎21−𝑏21𝑎22−𝑏22 .
det 𝐴+𝐵 −det 𝐴−𝐵 = 𝑎11+𝑏11 𝑎22+𝑏22 − 𝑎12+𝑏12 𝑎21+𝑏21 −
− 𝑎11−𝑏11 𝑎22−𝑏22 +(𝑎12−𝑏12)( 𝑎21−𝑏21)=
=2(𝑎11𝑎22−𝑎12𝑎21+𝑏11𝑏22−𝑏12𝑏21=2 det 𝐴 +det⁡(𝐵) .
b) 𝐴𝐵= 𝑎11𝑏11+𝑎12𝑏21𝑎11𝑏12+𝑎12𝑏22
𝑎21𝑏11+𝑎22𝑏21𝑎21𝑏12+𝑎22𝑏22
𝑇𝑟 𝐴𝐵 =𝑎11𝑏11+𝑎12𝑏21+𝑎21𝑏12+𝑎22𝑏22.
𝐵𝐴= 𝑎11𝑏11+𝑎21𝑏12𝑎12𝑏11+𝑎22𝑏12
𝑎11𝑏21+𝑎21𝑏22𝑎12𝑏21+𝑎22𝑏22 .
𝑇𝑟 𝐵𝐴 =𝑎11𝑏11+𝑎12𝑏21+𝑎21𝑏12+𝑎22𝑏22.
Observăm că 𝑇𝑟 𝐴𝐵 =𝑇𝑟(𝐵𝐴), adică 𝑇𝑟 𝐴𝐵−𝐵𝐴 =0.
Aplicăm Relația Cayley -Hamilton 𝐴2−𝑇𝑟 𝐴 ∙𝐴+det 𝐴 ∙𝐼2=𝑂2, pentru matricea
𝐴𝐵−𝐵𝐴, și obținem 𝐴𝐵−𝐵𝐴 2+𝑑𝑒𝑡 𝐴𝐵−𝐵𝐴 ∙𝐼2=𝑂2, de unde rezultă că
𝐴𝐵−𝐵𝐴 2=−𝑑𝑒𝑡 𝐴𝐵−𝐵𝐴 . Înlocuind în relația din enunț, aceasta devine:
det 𝐴𝐵+𝐵𝐴 𝐼2− 𝐴𝐵−𝐵𝐴 2=det 𝐴𝐵+𝐵𝐴 𝐼2+𝑑𝑒𝑡 𝐴𝐵−𝐵𝐴 𝐼2.

33
Conform punctulu i a), avem mai departe
(det 𝐴𝐵+𝐵𝐴 +𝑑𝑒𝑡 𝐴𝐵−𝐵𝐴 )𝐼2=2 𝑑𝑒𝑡𝐴𝐵+𝑑𝑒𝑡𝐵𝐴 𝐼2=4det⁡(𝐴𝐵)𝐼2.
Tr det 𝐴𝐵+𝐵𝐴 𝐼2−(𝐴𝐵−𝐵𝐴)2 =𝑇𝑟 4det 𝐴𝐵 𝐼2 =8det⁡(𝐴𝐵)⋮8.

2. Fie A o matrice de ordinul doi cu elemente reale și At matricea transpusă. Știind
că det ( A+At ) = 8 și det ( A+2At ) = 27. Să se calculeze det A.
(Gazeta Matematică nr. 11 / 2014)

Rezolvare:
Fie A = 𝑎𝑏
𝑐𝑑 , atunci transpusa va fi At = 𝑎𝑐
𝑏𝑑 . Calculând suma obținem
A + At = 2𝑎𝑏+𝑐
𝑐+𝑏 2𝑑 .
Valoarea determinantului devine det (A + At ) = 4ad – b2 -2bc–c2 .
Calculăm a doua sumă și valoarea celui de -al doilea determinant:
A +2At = 3𝑎𝑏+2𝑐
𝑐+2𝑏 3𝑑 iar det (A +2 At ) = 9ad – 2b2 – 5bc -2c2 .
Obținem sistemul:
4ad − b2 −2bc –c2=8
9ad – 2b2 – 5bc −2c2=27
Înmulțim prima ecuație cu -2 și o adunăm cu cea de -a doua relație. Avem ad – bc = 11,
adică det A = 11.

3. Fie matricea 𝐴∈𝑀2 𝐶 , astfel încât 𝑑𝑒𝑡 𝐴2+𝐴+𝐼2 =𝑑𝑒𝑡 𝐴2−𝐴+𝐼2 =3.
Să se arate că 𝐴2 𝐴2+𝐼2 =2𝐼2.
(Olimpiada de matematică, Etapa județeană, București, 2016)

Rezolvare:
Fie matricea = 𝑥𝑦
𝑧𝑡 , cu 𝑥,𝑦,𝑧,𝑡 ∈𝐶. Conform relației Cayley -Hamilton avem
𝐴2−𝑇𝑟 𝐴 𝐴+det 𝐴 𝐼2=𝑂2. De unde rezultă că
𝐴2+𝐴+𝐼2= 1+𝑇𝑟 𝐴 𝐴+ 1−det 𝐴 𝐼2.
Calculăm determinantul acestei matrice:
𝐴2+𝐴+𝐼2= 1+𝑥+𝑡 𝑥𝑦
𝑧𝑡 +(1−𝑥𝑡+𝑦𝑧) 10
01 =

34
= 𝑥+𝑥2+𝑥𝑡+1−𝑥𝑡+𝑦𝑧 𝑦+𝑥𝑦+𝑦𝑡
𝑧+𝑥𝑧+𝑡𝑧 𝑡+𝑥𝑡+𝑡2+1−𝑥𝑡+𝑦𝑧 .
Notăm 𝑇𝑟 𝐴 =𝑥+𝑡=𝑢 și det 𝐴 =𝑥𝑡−𝑦𝑧=𝑑. Matricea devine
𝐴2+𝐴+𝐼2= 𝑥+𝑥𝑢+1−𝑑𝑦(1+𝑢)
𝑧(1+𝑢)𝑡+𝑥𝑡+1−𝑑 , iar determinantul acesteia este
(𝑥+𝑥𝑢+1−𝑑)( 𝑡+𝑥𝑡+1−𝑑)- 𝑦𝑧 1+𝑢 2=3.
Continuând calculele avem
(1−𝑑)2+ 1−𝑑 𝑢 1+𝑢 +𝑑(1+𝑢)2=3, de unde
(1−𝑑)2+ 𝑑+𝑢 1+𝑢 =3.
Analog, calculând cea de -a doua matrice avem
𝐴2−𝐴+𝐼2= 1−𝑇𝑟 𝐴 𝐴+ 1−det 𝐴 𝐼2, care devine
𝐴2−𝐴+𝐼2= 1−𝑥−𝑡 𝑥𝑦
𝑧𝑡 +(1−𝑥𝑡+𝑦𝑧) 10
01 =
= 𝑥−𝑥2−𝑥𝑡+1−𝑥𝑡+𝑦𝑧 𝑦−𝑥𝑦−𝑦𝑡
𝑧−𝑥𝑧−𝑡𝑧 𝑡−𝑥𝑡−𝑡2+1−𝑥𝑡+𝑦𝑧 .
Folosind aceleași notații 𝑇𝑟 𝐴 =𝑥+𝑡=𝑢 și det 𝐴 =𝑥𝑡−𝑦𝑧=𝑑, matricea devine
𝐴2−𝐴+𝐼2= 𝑥−𝑥𝑢+1−𝑑𝑦(1−𝑢)
𝑧(1−𝑢)𝑡−𝑥𝑡+1−𝑑 , cu determinantul
(𝑥−𝑥𝑢+1−𝑑)( 𝑡−𝑥𝑡+1−𝑑)- 𝑦𝑧 1−𝑢 2=3.
Realizând calculele obținem
(1−𝑑)2+ 1−𝑑 𝑢 1+𝑢 +𝑑(1+𝑢)2=3, de unde
(1−𝑑)2+ 𝑑−𝑢 1−𝑢 =3.
Egalând relațiile
(1−𝑑)2+ 𝑑+𝑢 1+𝑢 =(1−𝑑)2+ 𝑑−𝑢 1−𝑢 ,
rezultă 𝑢 1+𝑑 =0.
Dacă 𝑢=0 atunci ecuația (1−𝑑)2+ 𝑑+𝑢 1+𝑢 =3 și ecuația (1−𝑑)2+
𝑑−𝑢 1−𝑢 =3 vor avea soluțiile 𝑑=2 și 𝑑=−1.
Pentru 𝑑=2, înlocuind în relația Cayley -Hamilton obținem 𝐴2+2𝐼2=𝑂2, adică
𝐴2=−2𝐼2, de unde 𝐴2 𝐴2+𝐼2 =(−2𝐼2)(−2𝐼2+𝐼2)=2𝐼2, adică re lația cerută.
Pentru 𝑑=−1, înlocuind în aceeași relație, obținem 𝐴2−𝐼2=𝑂2, adică 𝐴2=𝐼2, de unde
𝐴2 𝐴2+𝐼2 =2𝐼2, adică relația din enunț.
Pentru 𝑑=−1, înlocuind în relațiile noastre, obținem 𝑢=0, caz deja discutat.

35
7. Calculul deter minanților ș i al minorilor unei matrice
în pachetul de algebră liniară al programului Mathematica

1. Comanda Det[m]
Această comandă este folosită pentru calculul d eterminantul ui unei matrice , unde m
este o matrice anterior definită, sau chiar definită în momentul declarării comenzii.

Exemple:
1) In[]:= Det[({{a 1,1, a1,2}, {a 2,1, a2,2}})]
Out[]= -a1,2 a2,1+a1,1 a2,2

2) In[]:= Det[({{a 1,1, a1,2, a1,3},{a 2,1, a2,2, a2,3},{a 3,1, a3,2, a3,3}})]
Out[]= -a1,3 a2,2 a3,1+a1,2 a2,3 a3,1+a1,3 a2,1 a3,2-a1,1 a2,3 a3,2-a1,2 a2,1 a3,3+a1,1 a2,2 a3,3

3) In[]:= Det[{{1,2,3},{4,5,6},{4,8,12}}]
Out[]= 0

2. Comanda Minors [m]
Calculul minorilor unei matrice se realizeaz ă imediat cu ajutorul acestei comenzi.
Ea returnează valorile minorilor de ordin n-1 ale matricei m de dimensiune n, organizați
sub forma unei liste sau matrice. Un element (i,j) reprezintă valoarea minorului obținut
prin tăierea liniei (n-i+1) și a coloanei (n-j+1)

Exemple:
1) In[]:= (A=MatrixForm[{{1,0,9},{3,8,2},{5,2,7}}])
Out[]//MatrixForm= 109
382
527

In[]:= Minors[A]//MatrixForm
Out[]= Minors 11 11−34
−18−38 2
−72−25 8

36

CAPITOLUL III. RANGUL UNEI MATRICE. INVERSA UNEI MATRICE

1. Rangul unei matrice

Definiție: Considerăm o matrice A cu m linii și n coloane , cu elemente din corpul K
𝐴= 𝑎11…𝑎1𝑛
………
𝑎𝑛1…𝑎𝑛𝑛 ∈𝑀𝑛 𝑲
Și fie k un număr natural, cu proprietatea că este cuprins între 1 și cea mai mică
valoare dintre m și n. Alegem în A k linii, i 1,i2….i k , și k coloane, j 1,j2…..jk , elemente care se
găsesc la intersecția acestor linii și coloan e și formează o matrice pătratică de ordin k:
𝑎𝑖1𝑗1𝑎𝑖1𝑗2
𝑎𝑖2𝑗1𝑎𝑖2𝑗2…𝑎𝑖1𝑗𝑘
…𝑎𝑖2𝑗𝑘……
𝑎𝑖𝑘𝑗1𝑎𝑖𝑘𝑗2……
…𝑎𝑖𝑘𝑗𝑘 ∈𝑀𝑛 𝑲
Determinantul acestei matrice se numește minor de ordin k al matricei A.

Observ ație: Din matricea A se pot obține 𝐶𝑚𝑘∙𝐶𝑛𝑘 minori de ordin k ai matricei A.

Să aflăm ordinele minorilor nenuli ai matricei A și , mai ales, ordinul cel mai mare
al acestor minori nenuli.
Să considerăm A o matrice cu m linii și n coloane , care nu are toate elementele
nule. Atunci există minori nenuli de un anumit ordin k
1 . Există un număr finit de minori
ai matricei A , deci trebuie să exist e cel puțin un număr natural r, 1
), min( nm r , pentru
care minor ul de ordin r este nenul, iar toți minorii de ordin mai mare decât r, dacă există,
sunt zero.

Definiție: Fie A
 Mm,n(K) o matrice care nu are toate elementele nule. Spunem că
matricea A are rangul r dacă există un minor de ordin r al matricei A nenul , iar toți
minorii de ordin mai mare, dacă există , sunt nuli.
Notăm rang A=r .

37
Observ ație: Matricea nulă are rangul 0, adică rang( Om,n) =0.

Teoremă: Fie A∈𝑀𝑚𝑛 𝑪 , o matrice care nu are toate elementele nule. Matricea A are
rangul r <=> există un minor de ordin r al matricei A nenul, iar toți minorii de ordin
r+1, dacă există, sunt nuli.

Demonstrație:
Din definiție , dacă r este rangul matricei A, atunci toți m inorii care au rangul mai
mare sunt nuli, deci evident și cei de ordin r+1 sunt nuli. □

Proprietate: Rangul unei matrice nu se schimbă dac ă la elementele unei linii (sau coloan e)
adunăm elementele altei linii (respectiv coloane ), înmulțită cu un element din corpul K.

Algoritm de calcul a rangului unei matrice:
Fiind dată o matrice nenulă, aceasta are neapărat un minor nenul de ordinul întâi
(putem lua orice element nenul al matricei).
Dacă am găsit un minor de ordin k nenul, îl bordăm pe rând cu elementele
corespunzătoare ale uneia dintre liniile și uneia dintre coloanele rămase obținând astfel toți
minori i de ordinul k+1 care îl conțin. Dacă toți acești minori sunt nuli, rangul matricei este
k. Însă, d acă cel puțin u nul dintre aceștia , de ordinul k+1, este nenul, atunci reținem unul
dintre ei și continuăm procedeul.
Numărul minorilor de ordinul r+1 care trebuie considerați astfel este (m-r)(n-r), în
loc de
1r
mC
1r
nC , ceea ce reduc e semnificativ numărul determinanților ce trebuie calculați .

Exemplu: Să se determine rangul matricei 𝐴= 2 451
3−168
1−517 .
Conform algoritmului, avem un minor de ordin unu nenul, să zicem elementul de pe
linia 1 și coloana 1 , 2 =2≠0, adică rangul matricei va fi mai mare sau egal cu 1.
Bordăm acest minor cu elementele oricărei linii, respectiv a oricărei coloane. Alegem linia
și coloana următoare 2 4
3−1 =−2−12=−14≠0, adică rangul matricei va fi mai
mare sau egal cu 2.

38
Pornind de la acest minor nenul, bordăm cu elementele liniilor și coloanelor
rămase, adică cu elementele liniei 3 și cu cele ale coloanelor 3 și 4, obținându -se doi
minori
2 45
3−16
1−51 =0 și 2 41
3−18
1−57 =0.
Cum toți minorii de ordin 3 sunt nuli, rezultă că rangA=2.

2. Matrice inversabile

Defini ție: O matrice pătratică, se numește singulară ( sau degenerată) dacă valoarea
determinantului acesteia este zero. Matricea se numește nesingulară ( sau nedegenerată)
dacă valoarea determinantului acesteia este diferit de zero.

Definiție: O matrice pătratic ă de ordin n se numește inversabilă dacă există o altă matrice
pătratică de același ordin, notată 𝐴−1astfel încât 𝐴∙𝐴−1=𝐴−1∙𝐴=𝐼𝑛.
Matricea 𝐴−1 poartă numele de inversa matricei A. Dar și A este inversa matricei 𝐴−1.
Iar inversa inversei este matricea inițială, adică 𝐴−1 −1=𝐴.

Teoremă: Inversa unei matrice, dacă există, este unică.

Demonstrație:
Fie 𝐴∈𝑀𝑛 𝑲 . Presupunem că există două matrice 𝐵 și 𝐵, de ordin n, cu
proprietatea că 𝐴∙𝐵=𝐵∙𝐴=𝐼𝑛 și 𝐴∙𝐵,=𝐵,∙𝐴=𝐼𝑛. Din asociativitate avem
𝐵,=𝐵,∙𝐼𝑛=𝐵,∙ 𝐴𝐵 = 𝐵,𝐴 𝐵=𝐼𝑛∙𝐵=𝐵, adică 𝐵=𝐵,. □

Teoremă: O matrice pătratică 𝐴∈𝑀𝑛 𝑲 este inversabilă (sau nesingulată) dacă și numai
dacă valoarea determinantului acesteia este nenul.

Demonstrație:
Să demonstrăm implicația directă, adică dacă 𝐴∈𝑀𝑛 𝑲 este inversabilă rezultă că
𝑑𝑒𝑡𝐴≠0.
Dacă 𝐴 este inversabilă atunci există 𝐴−1∈𝑀𝑛 𝑲 astfel încât 𝐴∙𝐴−1=𝐼𝑛.

39
Atunci 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴∙𝐴−1 =𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐼𝑛 =𝑛. Și cum 𝑛=𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴∙𝐴−1 ≤𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴 , rezultă
că 𝑛=𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴 , adică cel mai mare minor nenul este de ordin n, iar acesta este chiar
determinantul matricei A, adică 𝑑𝑒𝑡𝐴≠0.
Să demonstrăm implicația inversă, adică dacă 𝑑𝑒𝑡𝐴≠0 atunci 𝐴∈𝑀𝑛 𝑲 este
inversabilă. Vom construi inversa ace stei matrice. Fie matricea inițială:
𝐴= 𝑎11…𝑎1𝑛
………
𝑎𝑛1…𝑎𝑛𝑛 ∈𝑀𝑛 𝑲
Atunci matricea
𝐴∗= 𝐴11…𝐴𝑛1
………
𝐴1𝑛…𝐴𝑛𝑛 ∈𝑀𝑛 𝑲
o vom numi matricea adjunctă a matricei A. Aceasta este alcătuită din complemenți
algebrici. Fiecare element de pe poziția ji este complementul algebric al elementului 𝑎𝑖𝑗 al
matricei A. Conform Teoremei de dezvoltare a unui determinant după o linie (Capitolul II,
Punctul 5, Consecința 1), avem
𝐴∙𝐴∗=𝐴∗∙𝐴= 𝑑0
0𝑑… 0
… 0……
0 0… 0
…𝑑 , unde 𝑑=𝑑𝑒𝑡𝐴. Împărțind prin d egalitățile ob ținem
𝐴∙ 1
𝑑𝐴∗ = 1
𝑑𝐴∗ 𝐴=𝐼𝑛, adică matricea A este inversabilă. □

Exemple:
1) Să calculăm inversa matricei 𝐴= 234
345
456
𝑑𝑒𝑡𝐴= 234
345
456 =0, matricea este singulară, deci nu admite inversă.
2) Să calculăm inversa matricei 𝐴= 0−12
3−45
0 1 4
𝑑=𝑑𝑒𝑡𝐴= 0−12
3−45
0 1 4 =18.
Calcul ăm complemenții algebrici 𝐴11=(−1)1+1 −45
1 4 =−21,…,
𝐴33=(−1)3+3 0−1
3−4 =3, pe care îi scriem în matricea adjunctă transpuși :

40
𝐴∗= −21 63
−12 06
3 03 . Iar inversa este 𝐴=1
𝑑𝐴∗=
−7
61
31
6
−2
301
3
1
601
6 .

3. Aplica ții

1. Fie 𝐴∈𝑀𝑛 𝑹 cu proprietatea c ă 𝐴2015+𝐴2016+𝐴2017=𝑂𝑛 și fie matricea
𝐵=𝐴2+𝐴+𝐼𝑛. Arătați că 𝐼𝑛−𝐴𝐵 este inversabilă.
(prof. Cristian Petru Pop, Olimpiada de matematică, faza locală, Cluj, 2015)

Rezolvare:
Din relația 𝐴2015+𝐴2016+𝐴2017=𝑶𝑛 avem 𝐴2015 𝐼𝑛+𝐴+𝐴2 =𝑶𝑛,
Adică 𝐴2015∙𝐵=𝑶𝑛. Înmulțim relația cu 𝐵2014 și obținem 𝐴2015∙𝐵2015=𝑶𝑛, sau
(𝐴𝐵)2015=𝑶𝒏. Putem fol osi acest lucru în următoarea relație astfel 𝐼𝑛− 𝐴𝐵 2015=𝐼𝑛,
sau 𝐼𝑛2015− 𝐴𝐵 2015=𝐼𝑛. Scriem ca produs de doi termeni
𝐼𝑛−𝐴𝐵 𝐼𝑛+𝐴𝐵+(𝐴𝐵)2+⋯+(𝐴𝐵)2014 =𝐼𝑛, adică matricea 𝐼𝑛−𝐴𝐵 este
inversabilă și are inversa 𝐼𝑛+𝐴𝐵+(𝐴𝐵)2+⋯+(𝐴𝐵)2014.

2. Fie o matrice pătratică cu elemente întregi având determinantul egal cu 2. Să se
demonstreze că cel puțin un co mplement algebric al matricei A este un număr întreg
impar.
(Olimpiada de matematică, faza locală, Suceava, 2015)

Rezolvare:
Fie A matricea pătratică cu elementele întregi și determinantul egal cu 2 și 𝐴∗
adjuncta matricei A. Cum 𝐴∙𝐴−1=𝐼𝑛 și 𝐴−1=1
𝑑𝑒𝑡𝐴∙𝐴∗, rezultă că 𝐴∙1
𝑑𝑒𝑡𝐴∙𝐴∗=𝐼𝑛, sau
𝐴∙𝐴∗=𝑑𝑒𝑡𝐴∙𝐼𝑛=2𝐼𝑛. Rezultă că det 𝐴∙𝐴∗ =det 2𝐼𝑛 , adică 𝑑𝑒𝑡𝐴∙𝑑𝑒𝑡𝐴∗=2𝑛.
Dar 𝑑𝑒𝑡𝐴=2 deci 𝑑𝑒𝑡𝐴∗=2𝑛−1.
𝐴∗ este alcătuită din complemenții algebrici ai lui A. Să presupunem că toți
complemenții algebrici ai lui A sunt numere întregi pare, atunci 𝐴∗ este alcătuită din
numere întregi pare. Calculând determinantul adjunctei, putem scoate factor de pe fiecare

41
linie un 2 și avem det 𝐴∗ =2𝑛∙𝑘, unde k este un număr întreg. Dar 𝑑𝑒𝑡𝐴∗=2𝑛−1, de
unde rezultă că 2𝑘=1 adică 𝑘=1
2, contradicție cu presupunerea noastră. Adică cel puțin
un complement algebric al matricei A este un număr întreg impar.

4. Determinare a rangului și a inversei unei matrice
în pachetul de algebră liniară al programului Mathematica

1. Comanda MatrixRank[m]
Aceast ă comandă determină rangul matricei m, definită în momentul declarării
comenzii sau definită într-o comandă anterio ară separată .

Exemple:
1) In[]:= (A={{1,2,3},{0, -3,2},{4,0,1}})//MatrixForm
Out[]//MatrixForm= 1 2 3
0−32
4 0 1
2) In[]:= (B={{1,5},{2,10}})
Out[]= {{1, 5}, {2, 10}}

In[]:= MatrixRank[B]
Out[]= 1

2. Comanda Inverse[m]
Cu ajutorul acestei comenzi se determină inversa unei matrice m.

Exemple:
1) In[]:= Inverse[{{1,2},{4,5}}]//MatrixForm
Out[]= −5
3 2
3
4
3−1
3

2) În cazul în care matricea nu este inversabilă, se afișează un mesaj care anunță
acest lucru.
In[]:= (S=Table[i+j,{i,1, 3},{j,1, 3}])//M atrixForm

42
Out[]= M atrixForm 234
345
456
In[]: = Inverse[S]
Inverse::sing:
Matrix {{2, 3, 4}, {3, 4, 5},{4, 5, 6}} is singular.

In[]: = Det[S]
Out[]= 0

3) În cazul calculării inversei unei matrice, aplicația este utilă prin faptul că se poate
verifica corectitudinea calculului fiecărui pas
In[]:= (A={{0, -1,2},{3, -4,5},{0,1,4}})
Out[]= {{0, -1, 2}, {3, -4, 5}, {0, 1, 4}}

In[]:= A//MatrixForm
Out[]//MatrixForm= 0−12
3−45
0 1 4

In[]:= Det[A]
Out[]= 18

In[]:= Inverse[A]//MatrixForm
Out[]//MatrixForm
−7
61
31
6
−2
301
3
1
601
6

43

CAPITOLUL IV. SISTEME DE ECUAȚII LINIARE

1. Noțiuni generale

Definiție: Fie ( K,+,∙) un corp comutativ. Se numește sistem de m ecuații liniare cu n
necunoscute un sistem de forma:
𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥2+⋯+𝑎1𝑛𝑥𝑛=𝑏1
𝑎21𝑥1+𝑎22𝑥2+⋯+𝑎2𝑛𝑥𝑛=𝑏2…
𝑎𝑚1𝑥1+𝑎𝑚2𝑥2+⋯+𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛=𝑏𝑚 (1)
unde am notat cu 𝑥1,𝑥2,… 𝑥𝑛 necunoscutele, 𝑎𝑖𝑗 coeficientul necunoscutei 𝑥𝑗 de pe linia i
iar termenii liberi sunt notați cu 𝑏1,𝑏2,…,𝑏𝑚.

Matricea 𝐴= 𝑎𝑖𝑗 1≤𝑖≤𝑚
1≤𝑗≤𝑛 se numește matricea coeficienților sistemului.
Matricea 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑏𝑖 1≤𝑖≤𝑚
1≤𝑗≤𝑛 obținută prin bordarea coloanei termenilor liberi la
coloanele matricei A se numește matricea extinsă a sistemului.

Sistemul de ec uații se mai poate scrie sub formă de ecuație matriceală 𝐴∙𝑋=𝐵.
Un sistem de numere 𝑠1,𝑠2,…,𝑠𝑛 se numește soluție a sistemului dacă, înlocuind în
fiecare ecuație a sistemului pe 𝑥𝑖 cu 𝑠𝑖, acestea rămân adevărate.

Se numește sistem incompatibil un sistem de ecuații care nu are soluții.
Se numește sistem compatibil un sistem de ecuații care are cel puțin o soluție .
Dacă sistemul admite o soluție unică, atunci se numește compatibil determinat , iar dacă
admite mai multe soluții se nume ște compatibil nedeterminat .
Se numește sistem omogen un sistem în care toți termenii liberi sunt nuli.

44
2. Sisteme cu n ecuații liniare și cu n necunoscute
(de tip Cramer)

Definiție : Sistemul cu n ecuații liniare și n necunoscute:
𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥2+⋯+𝑎1𝑛𝑥𝑛=𝑏1
𝑎21𝑥1+𝑎22𝑥2+⋯+𝑎2𝑛𝑥𝑛=𝑏2…
𝑎𝑛1𝑥1+𝑎𝑛2𝑥2+⋯+𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛=𝑏𝑛 (2)
cu proprietatea că determinantul matricei sistemului este nenul se numește sistem de tip
Cramer.

Teoremă: Sistemul de mai sus are soluție unică de forma 𝑥𝑖=𝑑1
𝑑 unde d=detA.

Demonstrație:
Sistemul poate fi scris de forma A∙X=B. Cum 𝑑=𝑑𝑒𝑡𝐴≠0 rezultă că A este
inversabilă și, înmulțind la stânga cu inversa matricei A se obține 𝑋=𝐴−1∙𝐵.
Cum 𝐴−1=1
𝑑 𝐴11…𝐴𝑛1
………
𝐴1𝑛…𝐴𝑛𝑛 , unde 𝐴𝑖𝑗 reprezintă compleme nul algebric al elementului
𝑎𝑖𝑗, putem rescrie sistemul:
𝑥1
𝑥2…
𝑥𝑛 =1
𝑑 𝐴11…𝐴𝑛1
………
𝐴1𝑛…𝐴𝑛𝑛 ∙ 𝑏1
𝑏2…
𝑏𝑛 =
1
𝑑 𝐴𝑖1𝑏𝑖𝑛
𝑖=1
1
𝑑 𝐴𝑖2𝑏𝑖𝑛
𝑖=1…
1
𝑑 𝐴𝑖𝑛𝑏𝑖𝑛
𝑖=1

Deci 𝑥𝑗=𝑑𝑗
𝑑= 𝐴𝑖𝑗𝑏𝑖𝑛
𝑖=1
𝑑=𝐴1𝑗𝑏1+𝐴2𝑗𝑏2+⋯+𝐴𝑛𝑗𝑏𝑛
𝑑 , cu 1≤𝑗≤𝑛. □

Numerele 𝑥𝑗 cu 1≤𝑗≤𝑛 reprezintă soluția sistemului compatibil determinat (2),
numite formulele lui Cramer .

45
3. Sisteme de m ecuații liniare cu n necunoscute

Teorema Kronecker -Capelli: Un sistem de ecuații liniare (1) este compatibil dacă și
numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse, adică
rangA=rang 𝐴 .

Demonstrație:
Demonstrăm implicația directă: sistemul (1) este compatibil deci rangA=rang A .
Fie nume rele 𝑠1,𝑠2,…,𝑠𝑛 soluția sistemului, atunci 𝑎𝑖𝑗𝑠𝑗𝑛
𝑖=1 =𝑏𝑖, cu 1≤𝑖≤𝑚. Notăm
cu r= rangA care verifică r ≤rang A .
Calculăm minorii 𝑑 de ordin 𝑟+1 ai matricei extinse. Acei minori care conțin doar
elemente ale matricei A sunt nuli. Acei minori care conțin termenii liberi sunt de forma:
𝑑 = 𝑎𝑖1𝑗1𝑎𝑖1𝑗2…𝑎𝑖1𝑗𝑟𝑏𝑖1
𝑎𝑖2𝑗1𝑎𝑖2𝑗2…𝑎𝑖2𝑗𝑟𝑏𝑖2…
𝑎𝑖𝑟+1𝑗1…
𝑎𝑖𝑟+1𝑗2………
𝑎𝑖𝑟+1𝑗𝑟𝑏𝑖𝑟+1 .
Cum 𝑏𝑖𝑘sunt termeni liberi, aceștia verifică relațiile 𝑎𝑖𝑘𝑗𝑠𝑗𝑛
𝑗=1 =𝑏𝑖𝑘, cu 1≤𝑘≤𝑟+1.
Înlocuind în minorii matricei extinse obținem:
𝑑 =
𝑎𝑖1𝑗1𝑎𝑖1𝑗2…𝑎𝑖1𝑗𝑟 𝑎𝑖1𝑗𝑠𝑗𝑛
𝑗=1
𝑎𝑖2𝑗1𝑎𝑖2𝑗2…𝑎𝑖2𝑗𝑟 𝑎𝑖2𝑗𝑠𝑗𝑛
𝑗=1
…
𝑎𝑖𝑟+1𝑗1…
𝑎𝑖𝑟+1𝑗2……
𝑎𝑖𝑟+1𝑗𝑟 𝑎𝑖𝑟+1𝑗𝑠𝑗𝑛
𝑗=1
=

= 𝑎𝑖1𝑗1𝑎𝑖1𝑗2…𝑎𝑖1𝑗𝑟𝑎𝑖1𝑗𝑠𝑗
𝑎𝑖2𝑗1𝑎𝑖2𝑗2…𝑎𝑖2𝑗𝑟𝑎𝑖2𝑗𝑠𝑗
…
𝑎𝑖𝑟+1𝑗1…
𝑎𝑖𝑟+1𝑗2………
𝑎𝑖𝑟+1𝑗𝑟𝑎𝑖𝑟+1𝑗𝑠𝑗 𝑛
𝑗=1=
= 𝑠𝑗∙ 𝑎𝑖1𝑗1𝑎𝑖1𝑗2…𝑎𝑖1𝑗𝑟𝑎𝑖1𝑗𝑠𝑗
𝑎𝑖2𝑗1𝑎𝑖2𝑗2…𝑎𝑖2𝑗𝑟𝑎𝑖2𝑗𝑠𝑗
…
𝑎𝑖𝑟+1𝑗1…
𝑎𝑖𝑟+1𝑗2………
𝑎𝑖𝑟+1𝑗𝑟𝑎𝑖𝑟+1𝑗𝑠𝑗 𝑛
𝑗=1 .
Acești minori conțin doar elemente ale matricei A, deci sunt nuli. Cum toți minorii de
ordin 𝑟+1 ai matricei extinse sunt nuli, rezultă că rangul acesteia este 𝑟.

46
Să demonstrăm reciproca: dacă rangA=rang A atunci sistemul este compatibil.
Dacă rangA=rang 𝐴 = 𝑟 atunci există un minor de rang 𝑟, nenul al matricei A iar toți minorii
de rang 𝑟+1 sunt nuli. Să spunem că acesta se află la intersecția primelor r linii și
primelor r coloane ale matricei A, adică :
𝑎11…𝑎1𝑟
………
𝑎𝑟1…𝑎𝑟𝑟 ≠0
Acest lucru este realizabil, deoarece ecuațiile și necunoscutele se pot renumerota
convenabil. Deoarece rangA= 𝑟, înseamnă că orice minor de ordin 𝑟+1, obținut prin
bordarea determinantului de mai sus cu elementele corespunzătoare ale uneia dintre liniile
rămase și ale co loanei termenilor liberi, este nul. Rezultă că există numerele 𝑠1,𝑠2,…,𝑠𝑟
astfel încât coloana termenilor liberi a matricei 𝐴 să fie combinație liniară de coloanele
matricei corespunzătoare minorului ales, cu coeficienții 𝑠1,𝑠2,…,𝑠𝑟. Deci au loc relațiile :
𝑎𝑖𝑘𝑠𝑘𝑟
𝑘=1 =𝑏𝑖, cu 1≤𝑖≤𝑚. Acest e relații arată că numerele 𝑠1,𝑠2,…,𝑠𝑟,0,…,0
reprezintă o soluție a sistemului (1), adică sistemul e compatibil. □

Observație: Pentru a putea folosi această teoremă în probleme, trebuie calculat întâi
rangului matricei A. Adică trebuie să găsim un minor nenul, 𝑑, al lui A, iar toți minorii de
ordin mai mare, care îl conțin pe d să fie nuli. Acest minor se numește minor principal.
Apoi, trebuie să verificăm că orice minor al matricei 𝐴 , care îl c onține pe d și care
nu e minor al lui A, este de asemenea nul. Un astfel de minor de ordin 𝑟+1, obținut prin
bordarea la d cu elementele corespunzătoare ale coloanei termenilor liberi, precum și cu
cele ale uneia dintre liniile rămase, se numește minor ca racteristic.
Astfel, teorema lui Kronecker – Capelli se poate reformula astfel:

Teorema lui Rouche: Un sistem de ecuații (1) este compatibil dacă și numai dacă toți
minorii caracteristici sunt nuli.

Algoritm de determinare a soluțiilor unui sistem de forma (1)
Am notat cu m numărul de ecuații, cu n numărul de necunoscute,
Pas 1. Determin ăm rangul matricei, notat cu 𝑟, dat de determinantul principal nenul
Pas 2. Aplicăm Teorema lui Rouche pentru a verifica compatibilitatea sistemului.
Dacă teorema este verificată putem trece la pasul următor. Dacă există un minor
caracteristic nenul, atunci sistemul este incompatibil.

47
Pas 3. După o ren umero tare convenabilă, obținem termenii determinantului
principal ca fiind coeficienții primelor 𝑟 necunoscute din prim ele 𝑟 ecuații ale sistemului.
Din Teorema Kronecker -Capelli obținem faptul că celelalte ecuații ale sistemului (1)
reprezintă combinații liniare ale primelor 𝑟 ecuații. De aceea este suficient să rezolvăm
sistemul
𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥2+⋯+𝑎1𝑛𝑥𝑛=𝑏1
𝑎21𝑥1+𝑎22𝑥2+⋯+𝑎2𝑛𝑥𝑛=𝑏2…
𝑎𝑟1𝑥1+𝑎𝑟2𝑥2+⋯+𝑎𝑟𝑛𝑥𝑛=𝑏𝑟 (3)
Pas 4. Dacă 𝑟=𝑛 atunci sistemul este compatibil determinat, iar soluția unică se
poate determina cu ajutorul formulelor lui Cramer.
Dacă 𝑟<𝑛 atunci sistemul este compatibil nedeterm inat, adic ă admite o
infinitate de soluții. Necunoscutele cu 𝑥1,𝑥2,… 𝑥𝑟 le vom numi principale, celelalte le vom
numi secundare și le vom atribui valori arbitrare 𝑥𝑟+1=𝛼𝑟+1,𝑥𝑟+2=𝛼𝑟+2,…,𝑥𝑛=𝛼𝑛 .
În sistemul (3), trecem în partea dreaptă a eg alului termenii care conțin necunoscutele
secundare și rezolvăm acest sistem folosind formulele lui Cramer.

Exemplu: Să se rezolve sistemul
𝑥+𝑦+𝑧=2
2𝑥−𝑦−2𝑧=−2
𝑥+4𝑦+5𝑧=8
2𝑥+5𝑦+6𝑧=10
Avem m=4 ecuații, n=3 necunoscute.
Determinăm rangul matricei: 1 =1≠0, d= 1 2
2−1 =−5≠0, minor ob ținut din
coeficienții primelor două ecuații și ai primelor două necunoscute. Aces ta este
determinantul principal, deoarece minorii de ordin trei sunt nuli:
1 1 1
2−1−2
1 4 5 =0, 1 1 1
2−1−2
2 5 6 =0.
Rezultă că rangA= 𝑟=2.
Avem x, y necunoscute principale, z necunoscută secundară. Primele două ecuații sunt
principale, a treia și a patra ecuație vor fi secundare.
Verificăm compatibilitatea sistemului, calculând deteminanții caracterisitici pentru
ecuațiile secundare:

48
1 1 2
2−1−2
1 4 8 =0, 1 1 2
2−1−2
2 5 10 =0.
Sistemul este compatibil simplu nedeterminat. Notăm necunoscuta 𝑧=𝛼, și rezolvăm
sistemul echivalent:
𝑥+𝑦=2−𝛼
2𝑥−𝑦=−2+2𝛼
Soluțiile sistemului sunt de forma 𝛼
3,6−4𝛼
3,𝛼 ,𝛼∈𝑹.

4. Sisteme de ecuații liniare omogene

Forma generală a unui sistem de ecuații liniare omogen este:
𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥2+⋯+𝑎1𝑛𝑥𝑛=0
𝑎21𝑥1+𝑎22𝑥2+⋯+𝑎2𝑛𝑥𝑛=0…
𝑎𝑚1𝑥1+𝑎𝑚2𝑥2+⋯+𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛=0 (4)

Observație: Un sistem omogen are cel puțin o soluție, și anume soluția nulă, 0,0,…,0 .
Dacă rangul matricei sistemului, 𝑟, este egal cu numărul de necunoscute, n, atunci sistemul
admite doar soluția nulă ca soluție unică. Dacă rangul matricei sistemului, 𝑟, este mai mic
decât numărul de necunoscute, n, atunci atunci sistemul admi te și alte soluții, care se pot
determina folosind același algoritm general prezentat anterior.

Exemplu: Să se rezolve sistemul
𝑥+2𝑦+3𝑧−𝑡=0
−2𝑥+𝑦+3𝑧+𝑡=0
𝑥+7𝑦+12𝑧−2𝑡=0
−𝑥+3𝑦+6𝑧=0
Avem m=4 ecuații, n=4 necunoscute.
Determinăm rangul matricei: 1 =1≠0, d= 1 2
−21 =5≠0, minor ob ținut din
coeficienții primelor două ecuații și ai primelor două necunoscute. Avem patru minori de
ordin trei, obținuți prin bordarea la determinantul d a coeficienților corespunzători
necunoscutelor z și t, respectiv a coeficienților ecuațiilor 3 și 4:

49
1 2 3
−21 3
1 712 =0, 1 2−1
−21 1
1 7−2 =0, 1 2 3
−21 3
−13 6 =0, 1 2−1
−2 1 1
−13 6 =0,
Deoarece toți sunt nuli, determinantul principal rămâne d.
Fiind sistem omogen este cu siguranță compatibil (toți minorii caracte ristici conți n
coloana termenilor liberi , deci vor fi nuli). Avem x, y necunoscute principale, z, t
necunoscute secundare. Primele două ecuații sunt principale, a treia și a patra ecuație vor
fi secundare. Atunci s istemul este compatibil dublu nedeterminat . Notăm necunoscutele
𝑧=𝛼, 𝑡=𝛽 și rezolvăm sistemul echivalent:
𝑥+2𝑦=−3𝛼+𝛽
−2𝑥+𝑦=−3𝛼−𝛽
Soluțiile sistemului sunt de forma −9𝛼+𝛽
5,3𝛼+3𝛽
5,𝛼,𝛽 ,𝛼,𝛽∈𝑹.

5. Metoda eliminării Gauss de rezolvare a sistemelorde ecuații liniare

Definiție: Se numește transformare elementară a unui sistem de ecuații (1) o schimbare a
formei sistemului prin care o ecuație, eventual înmulțită cu un scalar, se adună la o altă
ecuație a sistemului. Tot transformare elementară se consideră și schimbarea ordinii
ecuațiilor din sistem.

Notăm tranformarea liniei i a sistemului astfel: 𝐿𝑖+𝑡𝐿𝑘−>𝐿𝑖.
Scopul aplicării acestor transformări elementare este de a obține un sistem liniar
echivalent (cu aceleași soluții) dar mai simplu decât cel inițial.

Teoremă: Orice sistem liniar de forma (1) este echivalent cu un sistem de formă
„triunghiulară”.

Metoda eliminării lui Gauss aduce sistemul (1) la o formă „triunghiulară” sau
„cvasitriunghiulară” folosind transformări elementare.
În urma aplicării 𝐿𝑘−𝑎𝑘1
𝑎11𝐿1−>𝐿𝑘, cu 2≤𝑘≤𝑚 obținem sistemul echivalent, în
care necunoscuta 𝑥1 apare doar în prima ecuație:

50
𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥2+⋯+𝑎1𝑛𝑥𝑛=𝑏1
𝑎22,𝑥2+⋯+𝑎2𝑛,𝑥𝑛=𝑏2, …
𝑎𝑚2,𝑥2+⋯+𝑎𝑚𝑛,𝑥𝑛=𝑏𝑚,
În urma aplicării 𝐿𝑘−𝑎𝑘2,
𝑎22,𝐿2−>𝐿𝑘, cu 3≤𝑘≤𝑚 obținem un sistem echivalent,
în care necunoscuta 𝑥2 apare doar în a doua ecuație. Același tip de transformare se repetă
până când sistemul (1) devine de forma „triunghiulară”:
𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥2+⋯+𝑎1𝑛𝑥𝑛=𝑏1
𝑎22,𝑥2+⋯+𝑎2𝑛,𝑥𝑛=𝑏2,
…
𝑎𝑟𝑠,𝑥𝑠+⋯+𝑎𝑟𝑛,𝑥𝑛=𝑏𝑟,
0=𝑏𝑟+1,
…
0=𝑏𝑚, (5)
Dacă rangul matricei sistemului este egal cu numărul de ecuații , atunci 0=𝑏𝑖, nu mai apar.

Exemplu: Să se rezolve sistemul
𝑥+𝑦+𝑧=2
2𝑥−𝑦−2𝑧=−2
𝑥+4𝑦+5𝑧=8
2𝑥+5𝑦+6𝑧=10
Aplicăm transformarea 𝐿𝑘−𝑎𝑘1
1𝐿1−>𝐿𝑘 pentru ecuațiile a doua, a treia și a
patra, și obținem un sistem echivalent:
𝑥+𝑦+𝑧=2
−3𝑦−4𝑧=−6
3𝑦+4𝑧=6
3𝑦+4𝑧=6
Deja se observă că ultimele două ecuații sunt identice. Putem renunța la ultima.
Aplicăm transformarea 𝐿3+𝐿2−>𝐿3 pentru ecuați a a treia și obținem un nou sistem:
𝑥+𝑦+𝑧=2
−3𝑦−4𝑧=−6
0=0
Ultima expresie reprezintă un adevăr, ceea ce înseamnă că sistemul este compatibil,
nedeterminat. Rămân de rezolvat primele două ecuații, determinând necunoscutele x și y în
funcție de 𝑧=𝛼.
Soluțiile sistemului sunt de forma 𝛼
3,6−4𝛼
3,𝛼 ,𝛼∈𝑹.

51
6. Aplicații

1. Să se discute după parametrii reali a, b și c compatibilitatea sistemului și să se
rezolve:
𝑎𝑥+ 𝑎+1 𝑦+ 𝑎+2 𝑧=𝑎+3
𝑏𝑥+ 𝑏+1 𝑦+ 𝑏+2 𝑧=𝑏+3
𝑥+𝑐𝑦+𝑐2𝑧=𝑐3
(Admitere Matematică, Universitatea București, 1985)

Rezolvare:
Calculăm determinantul matric ei sistemului, scăzând elementele pimei coloane din
celelalte:
𝑑= 𝑎𝑎+1𝑎+2
𝑏𝑏+1𝑏+2
1𝑐𝑐2 = 𝑎 1 2
𝑏 1 2
1𝑐−1𝑐2−1 = 𝑎 1 0
𝑏 1 0
1𝑐−1 𝑐−1 2 =
= 𝑐−1 2 𝑎−𝑏 .

Cazul I: Dacă 𝑑≠0, adică 𝑎≠𝑏 și 𝑐≠1, sistemul este compatibil determinat.
Aflăm soluția
∆𝑥= 𝑎+3𝑎+1𝑎+2
𝑏+3𝑏+1𝑏+2
𝑐3𝑐𝑐2 =𝑐 𝑎+3𝑎+1𝑎+2
𝑏−𝑎𝑏−𝑎𝑏−𝑎
𝑐21𝑐 =

=𝑐 𝑏−𝑎 𝑎+3𝑎+1𝑎+2
1 1 1
𝑐21𝑐 =𝑐 𝑏−𝑎 2𝑎+1 1
0 1 0
𝑐2−1 1𝑐−1

=𝑐 𝑎−𝑏 (𝑐−1)2
Analog
∆𝑦= 𝑎𝑎+3𝑎+2
𝑏𝑏+3𝑏+2
1𝑐3𝑐2 = −(2𝑐+1) 𝑎−𝑏 (𝑐−1)2

∆𝑧= 𝑎𝑎+1𝑎+3
𝑏𝑏+1𝑏+3
1𝑐𝑐3 =(𝑐+2) 𝑎−𝑏 (𝑐−1)2
Soluția sistemului este 𝑐,−2𝑐−1,𝑐+2 .

Cazul II: Dacă 𝑎=𝑏≠0 și 𝑐∈𝑹 atunci 𝑑=0, sistemul devine
𝑎𝑥+ 𝑎+1 𝑦+ 𝑎+2 𝑧=𝑎+3
𝑥+𝑐𝑦+𝑐2𝑧=𝑐3

52
Determinăm rangul matricei noului sistem.
Dacă 𝑎𝑎+1
1𝑐 =𝑎𝑐−𝑎−1=0 și 𝑎𝑎+2
1𝑐2 =𝑎𝑐2−𝑎−2=0 din prima relație
rezultă că 𝑐=𝑎+1
𝑎, înlocuim în a doua 𝑎∙𝑎2+2𝑎+1
𝑎2 =𝑎+2, adică 1=0, fals. Deci unul
dintre determinanți este nenul (să presupunem că primul) și rangul matricei este doi.
Notăm 𝑧=𝛼 și rezolvăm sistemul echivalent:
𝑎𝑥+ 𝑎+1 𝑦=𝑎+3− 𝑎+2 𝛼
𝑥+𝑐𝑦=𝑐3−𝑐2𝛼

Soluția sistemului este 𝑎+1 𝑐3− 𝑎+3 𝑐+[𝑎 𝑐+2 − 𝑎+1 𝑐2]𝛼
𝑎+1−𝑎𝑐,𝑎+3−𝑎𝑐3−(𝑎+2−𝑎𝑐2)𝛼
𝑎+1−𝑎𝑐,𝛼 ,𝛼∈𝑹.

Cazul III: Dacă 𝑎≠𝑏 și 𝑐=1, atunci 𝑑=0, sistemul devine
𝑎𝑥+ 𝑎+1 𝑦+ 𝑎+2 𝑧=𝑎+3
𝑏𝑥+ 𝑏+1 𝑦+ 𝑏+2 𝑧=𝑏+3
𝑥+𝑦+𝑧=1
Rangul matricei este doi, deoarece avem 𝑎𝑎+1
𝑏𝑏+1 =𝑎−𝑏≠0. Analog notăm 𝑧=𝛼 și
rezolvăm sistemul echivalent:
𝑎𝑥+ 𝑎+1 𝑦=𝑎+3−(𝑎+2)𝛼
𝑏𝑥+ 𝑏+1 𝑦=𝑏+3−(𝑏+2)𝛼
Iar soluția sistemului este 𝛼−2,3−2𝛼,𝛼 ,𝛼∈𝑹.

2. Să se rezolve sistemul 5+3𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗=5,50
𝑗=1 𝑐𝑢 1≤𝑖≤50,
unde 𝑎𝑖𝑗= 1,𝑑𝑎𝑐ă 𝑖=𝑗
0,𝑑𝑎𝑐ă 𝑖≠𝑗 , cu 1≤𝑖,𝑗≤50.

Rezolvare:
Sistemul se scrie:
8𝑥1+5𝑥2+5𝑥3+⋯+5𝑥50=5
5𝑥1+8𝑥2+5𝑥3+⋯+5𝑥50=5…
5𝑥1+5𝑥2+5𝑥3+⋯+8𝑥50=5
Calculăm determinantul matricei sistemului:
∆= 8 5 5… 5
5 8 5… 5…
5…
5……
5… 8 = 8+5∙49 1
15
8… 5
… 5
………
1 5… 8 =253 1
0 5
3… 5
… 0
………
0 0… 3 =

53
=253∙349.
Determinantul este nenul. Sistemul are m=50 ecuații, n=50 necunoscute și rangul matricei
𝑟=50. Deci este un sistem compatibil determinat care se rezolvă cu formulele lui Cramer.
∆𝑥1= 5 5 5… 5
5 8 5… 5…
5…
5……
5… 8 =5∙ 1
15
8… 5
… 5
………
1 5… 8 =5∙ 1
0 5
3… 5
… 0
………
0 0… 3 =5∙349.
Analog și pentru celelalte necunoscute.
Soluția sistemului este 5
253,5
253,…,5
253 .

7. Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare în p achetul
de algebră liniară al programului Mathematica

1. Comanda Solve[{ec1,ec2,…},{var1,var2,…}]
Există mai multe posibilități de abordare a unui sistem de ecuații liniare. Cea mai
simplă cale este cea care folosește comanda de mai sus. Ecua țiile sunt introduse pe rând,
toate cuprinse între acolade. Analog pentru variabile. Trebuie menționat faptul că această
comandă este folosită nu doar pentru rezolvarea sist emelor de ecuații liniare, ci a oricăror
ecuații sau inecuații declarate.

Exemplu:
In[]:= Solve[{2x+4y==8,3x -5y==1},{x,y}]
Out[]= {{x -> 2, y -> 1}}

O alt ă formă a comenzii este următoarea Solve[ec1 && ec2 &&…},{var1,var2,…}]

Exemplu:
In[]:= Solve[x -2y-z==2 && 2x -y-z==1 && 2x+y+z==3,{x,y,z}]
Out[]= {{x -> 1, y -> -2, z -> 3}}

Dacă sistemul este compatibil nedeterminat, rezultatul este doar una dintre soluții,
însă apare un mesaj de atenționare a acestui fapt.

54
Exemplu:
In[]:= Solve[x -2y-z==2 && 2x -y-z==1 && 2x -4y-2z==4,{x,y,z}]
Solve::svars: Equations may not give solutions for all "solve" variables.
Out[]= {{y -> -1 – x, z -> 3 x}}

Dacă sistemul este incompatibil, comanda nu returnează nici o soluție

Exemplu:
In[]:= Solve[x -2y-z==2 && 2x -y-z==1 && 2x -4y-2z==5,{x,y,z}]
Out[]= {}

2. Comanda LinearSolve [m,b]
Aceasta este o altă metodă de a rezolva un sistem de ecuații liniare. Găsește
vectorul de necunsocute x, care verifică ecuația m.x=b, unde m reprezintă matricea
coeficienților sistemului, iar b reprezintă vectorul coloană al termenilor liberi. Atât
matricea m cât și vectorul b pot fi def inite anterior sau în momentul aplicării comenzii.

Exemple:
1) In[]:= 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟𝑆𝑜𝑙𝑣𝑒[{{𝑎,𝑏},{𝑐,𝑑}},{𝑥,𝑦}]
Out[]= {𝑑𝑥−𝑏𝑦
−𝑏𝑐+𝑎𝑑,𝑐𝑥−𝑎𝑦
𝑏𝑐−𝑎𝑑}

2) In[]:= LinearSolve[{{3,4},{8,2}},{2,1}]
Out[]= {0, 1}

Dacă sistemul este compatibil determinat, funcția va returna unica soluție. Pentru
un sistem compatibil nedeterminat, se va afișa o soluție aleasă din infinitatea de soluții,
fără a anunța faptul că există și alte soluții. În cazul incompatibilității se va preciza printr –
un mesaj imposibilitatea găsirii soluției.

Exemple:
1) Cazul sistemului compatibil determinat
In[]:= P={{1,3},{2,8}}
Out[]= {{1, 3}, {2, 8}}

55
In[]:= R={7,18}
Out[]= {7, 18}

In[]:= LinearSolve[P,R]
Out[]= {1, 2}

2) Cazul sistemului compatibil nedeterminat – se afi șează doar una dintre soluții
In[]:= P={{1,3},{4,12}}
Out[]= {{1, 3}, {4, 12}}

In[]:= R={10,40}
Out[]= {10, 40}

In[]:= LinearSolve[P,R ]
Out[]= {10, 0}

3) Cazul sistemului incompatibil
In[]:= P={{1,3},{4,12}}
Out[]= {{1, 3}, {4, 12}}

In[]:= R={5,21}
Out[]= {5, 21}

In[]:= LinearSolve[P,R]
LinearSolve::nosol: Linear equation encountered that has no solution.
Out[]= LinearSolve[{{1, 3}, {4, 12}}, {5, 21}]

56

PARTEA ȘTIINȚIFICĂ

57

CAPITOLUL V. PRINCIPIILE DIDACTICE

1. Sistemul principiilor didactice

„Procesul de învățământ a evoluat de la empirism la o știință aplicată și urmare a
acestui fapt didactica se ocupă acum cu proiectarea, organizarea și cu metodologia
procesului de învățământ .” (I.Radu, 1995)
„Educarea -instruirea are caracter teleologic; un ansamblu de norme și reguli
interdependente, care acționează la mai multe niveluri (macro/microstructural,
instituțional/funcțional ș.a.m.d.) pe un interval cuprins între obligativitate și op ționalitate
circumscriu normativitatea sistemului/procesului de învățământ. ” (C. Cucoș, 1996)
Pe baza analizei și interpretǎrii aspectelor pozitive oferite de teoria pedagogicǎ și de
practica instructiv –educativǎ din școala contemporanǎ , pedagogia științificǎ a stabilit un
sistem de principii didactice, fiecare din ele având cerințe specifice, proprii.
Aceste principii sunt:
 Principiul însușirii conștiente și active a cunoștințelor , priceperilor și
deprinderilor
 Principiul intuiției sau al unitǎții dintre senzorial și rațional, dintre concret și
abstract în procesul de învǎțǎ mânt
 Principiul legǎrii teoriei de practicǎ
 Principiul accesibilitǎții sau al orientǎrii dupǎ particularitǎțile de vâr stǎ și
individuale ale elevilor
 Principiul sistematizǎrii și continuitǎții
 Principiul însușirii temeinice a cunoștințelor, priceperilor și deprinderilor

Formularea principiilor didactice și numǎrul lor sunt aproximativ acel eași în
majoritatea lucrǎrilor pedagogice care abordeazǎ pro blematica lor.

58
2. Principiul însușirii conștiente și active a cunoștințelor

A învǎța conștient înseamnǎ a înțelege cunoștințele memorate, importanța și
necesitatea însușirii lor. Elevii trebuie să înțeleagă ceea ce li se predă, să fie motivați să
învețe, să conștientize ze necesitatea studiului.
Pentru a înțelege ceea ce li se predă trebuie ca profesorul să prezinte adecvat
materialul didactic, să apeleze la noțiuni anterioare care să aibă legătură cu noile
cunoștințe, expunerea la noi informații trebuie făcută în mod log ic, coerent și accesibil
elevilor, noile cunoștințe trebuie clar definite. În plus este necesar să se folosească metode
precum clasificarea, comparația, analiza, sinteza, generalizarea. Respectând condițiile
menționate se as igură premisele psihologice și p edagogice necesare înțelegerii
cunoștințelor noi și a altor elemente de conținut.
Motivația elevilor de a învăța este de două tipuri: externă și internă. Cea externă
este determinată de factori externi, cum ar fi: dorința de a primi note m ari, un premiu sa u o
recompensǎ promisǎ, teama de a fi verificați și de a primi o notǎ micǎ , teama de pedeapsǎ ,
dorința de a se evidenția și de a se impune în colectivul clasei. Cunoștințele dobândite din
motive externe nu sunt de durată și vor dispărea din memoria elevulu i după ce trece
pericolul pedepsei sau după ce primește recompensa dorită. O astfel de practică de a învăța
sporadic, doar pentru recompensă sau de frica de a nu fi pedepsit , nu este de dorit deoarece
nu dezvoltă la elev capacitatea de a învăța sistematic.
Pe de altă parte, există elevi motivați intern de interesul și pasiunea pentru
cunoașterea aprofundatǎ și tem einicǎ a unui domeniu anume, convingerea elevului cǎ
informațiile, priceperile, deprinderile pe care și le însușește contribuie la formarea și
dezvoltarea personalitǎții sale, dorința de a își însuși o profesie și de a deveni folositor
societǎții pr in practicarea ei cu competențǎ, dorința și nevoia de a rezolva cu ajutorul
cunoștințelor te oretice unele probleme practice, t rebuința de cunoaștere, nevoia de a ști,
plǎcerea de a învǎța. Aceste motive interne fac ca elevul să fie permanent interesat de
lecții și de celel alte forme de activitate destinate instruirii lor.
Ỉnsușirea conștientǎ și activǎ a cunoștințelor, întemeierea procesului de învǎțar e pe
operațiile gândirii dezvoltă elevilor capacitatea de a gândi independent, de a interpreta
critic materialul teoretic și faptic, de a formula idei, puncte de vedere, ipoteze și soluții noi,
originale, de a le interpreta și de a argumenta p rin prisma un ei viziuni personale.

59
3. Principiul intuiției

Din perceperea materialului didactic, a unor exemple, a unor fapte concrete,
folosindu -se de intuiție, elevii dobândesc deprinderi noi, formează generalizări, realizează
logica proc sului de învățământ.
Acest principiu vizează în principal folosirea materialului didactic, care trebuie să
fie reprezentativ pentru conținutului lecției, să fie prezentat la momentul p otrivit în
desfășurarea lecției. E levii au rolul lor, să participe activ la lecție, să urmeze expl icațiile
profesorului către elementele esențiale ale materialului prezentat. Profesorul trebuie să
selecteze cu grijă materialul intuitiv, în funcție de scopul lecției, trebuie să aleagă un loc
vizibil pentru toți elevii în care să îl prezinte sau să îl ex pună.
Materialele intuitive pot fi instrumentele, aparatele, substanțele folosite în
laborator, corpuri geometrice, diagrame, grafice, machete, truse, scheme, desene, fotografii
ale unor obiecte sau fenomene, înregistrări, videoclipuri, mostre.
Acest prin cipiu asigură legătura dintre senzorial și rațional, de aceea mai este
denumit și „principiul core lației dintre senzorial și rațional în procesul de învǎțǎmânt ”.

4. Principiul legǎrii teoriei de practicǎ

„Spre deosebire de alte științe cum ar fi biologia, fizica, chimia, legăturile
matematicii cu realitatea nu sunt atât de ușor de remarcat. În acest sens, anumite domenii
ale matematicii au apărut din nevoia de a lămuri unele situații ivite în cadrul altor
discipline. Astfel: calculul integral și d iferențial își bazează conceptele fundamentale pe
necesitatea rezolvării unor probleme de mecanică; teoria matematică a jocurilor de
strategie a fost inițiată în timpul celui de -al doilea război mondial pentru a soluționa
probleme de tactică și strategie m ilitară; teoria probabilităților a pornit de la studiul
jocurilor de noroc și s -a dezvoltat în cadrul mecanicii, fizicii, economiei, lingvisticii.”( C.
T. Dan & S. T. Chiosa, 2008 )
Cu ajutorul profesorului, elevii aplică noțiunile teoretice în diverse a ctivități pentru
a își forma noi deprinderi. Este evident necesară implicarea activă a elevilor în
desfășurarea lecției, participarea efectivă la realizarea activităților, sarcinilor, problemelor
propuse de către profesor. Cu cât activitățile sunt mai vari ate, cu atât deprinderile elevilor
vor fi mai diverse.

60
Câteva dintre modalitățile de aplicare a cunoștințelor în practică ar fi : rezolvare a de
exerciții și probleme, efectuarea unor operații de calcul , mǎsurare, analize , efectuarea unor
experiențe și lucr ǎri practice în laborator, atelier, realizarea unor sch eme, proiecte pe baza
cunoștințelor însușite , vizite în unitǎți economice, social –culturale.
Aplicând acest principiu elevii își formeazǎ convingerea privind importanța și
necesitatea cunoștințelor teo retice pentru viața și activitatea omului, își dezvoltǎ spiritul de
observație, gândirea, memo ria, voința, imaginația.

5. Principiul accesibilitǎții

Acest principiu se referă la respectarea în cadrul proiectării unei lecții a niveluri lor
diferite de dezvoltare a elevilor de la o vârstǎ la alta , a memori ei, gândir ii, limbajul ui,
imaginați ei, atenți ei. Astfel trebuie adaptate conținuturile prezentate, nivelul de dificultate,
metodele de predare, volumul temelor.
Profesorul trebuie să țină cont nu doa r de particularitățile specifice vârstei elevilor,
dar și de nivelul de pregătire al lor, de specificul fiecărui individ în parte, de nivelul
fiecăruia de dezvoltare intelectuală.
„Nu simpla potrivire a încǎrcǎturii cognitive sau a metodelor de acțiune du pǎ
particularitǎțile de vârstǎ, ci realizarea integralǎ a capacitǎților de învǎțare ale copiilor în
raport cu vârsta lor, solicitarea acestora la eforturi cât mai mari, dar obiectiv posibile,
constituie esența acestui principiu.” (C. Postel nicu, 2000 )
Pentru a stimula dezvoltarea capacităților intelectuale, noțiunile predate trebuie să
respecte regula trecerii de la ușor la greu, d e la cunoscut la necunoscut, de la particular la
general.

6. Principiul sistematizǎrii și a continuitǎții cunoștințelor

Acest principiu se referă la organizarea logică a noțiunilor ce trebuie predate de
către cadrul didactic. Această continuitate este asigurată de programele școlare, de
manuale, culegeri. Această succesiune coerentă a cunoștințelor se ap lică nu doar la niv elul
programelor, ci și la nivelul unității de învățare și la nivelul fiecărei lecții în parte. Cum

61
există multiple legături între domeniile de studiu, realizarea de corelații între cunoștințe se
poate face chiar și la nivel interdisciplinar.
Sistematizare a cunoștințelor este necesară pentru ca elevii să își poată forma o
imagine de ansamblu asupra unui domeniu studiat, sau mai mult, asupra societății, a
naturii, a genezei.

7. Principiul însușirii temeinice a cunoștințelor

„Informațiile, priceperile și deprinderile ce trebuie însușite de elevi reprezintă o
bază pe care aceștia vor putea clădi specializări proprii fiecăruia. Ele constituie un ajutor în
formarea unei maniere personale de gândire, de cercetare, pentru fiecare elev. De aceea
învățăturile tr ansmise de școală ar trebui reținute până când elevul le va putea folosi. La
baza predării oricarei discipline se află necesitatea pătrunderii informațiilor în memoria de
lungă durată și păstrarea lor un timp mai îndelungat. Exact acesta este și sensul exp resiei
învățare temeinică. Profesorii nu doresc doar să comunice informații și să dezvăluie
propriile lor abilități și deprinderi de învățare. Rolul lor este să ajute elevii să stocheze
materia predată într -un fel de bibliotecă vie.” (O. Constantinescu, 20 14)
Pentru a se realiza învățarea temeinică trebuie respectate toate principiile de mai
sus. În plus elevii trebuie să cunoască motivul învǎțǎrii, a importanței și utilitǎții
cunoștințelor , priceperilor și deprinderilor.

62

CAPITOLUL VI. METODE DE PREDARE ÎNVĂȚARE

1. M etode de predare -învățare a matematicii

Metoda didactică reprezintă calea, parcursul realizat de către elev cu ajutorul
profesorului, pentru a dobândi anumite priceperi sau a își însuși anumite informații.
Profesorul trebuie să dețină și să stăpânească anumite metode specifice obiectului pentru a
realiza o activitate de predare de succes.
Literatura de specialitate clasifică metodele în următoarele trei mari tipuri:
A. Metode de transmitere și însușire a cu noștinț elor pe cale orală, cum ar fi povestirea,
descrierea, explica ția, instructajul, conversația euristica, discuția
colectivă , problematizarea, sau pe cale scrisă, cum ar fi munca c u manualul, instruirea
programată.
B. Metode de explorare și descoperire directă a obiectelor și fenomenelo r, cum ar fi
observația dirijată, semidirijată, efectuarea experiențelor și experimentelor, studiul de caz,
sau descoperire indirectă , ca de exemplu demonstrația .
C. Metode bazate pe acțiune reală , ca exercițiul, lucrarea practică, algoritmizarea, sau prin
acțiune fictivă , precum jocul didactic, proiectul didactic.
„Strategiile didactice sunt modalități complexe de organizare și conducere a
procesului de instruire pe baza combinării metodelor, a mijloa celor de învățământ și a
formelor de grupare a elevilor, în scopul realizării obiectivelor pedagogice. Ele contribuie
la optimizarea procesului de instruire și de formare a personalității elevilor.” (C. T. Dan, S.
T. Chiosa, 2008)
În continuare vom discuta metodele care se pretează cel mai bine în predarea matematicii.

63
2. Demonstrația didactică

Conform Dicționarului explicativ al limbii române, demonstrația reprezintă o
dovedire pe bază de argumente logice, conform unei înșiruiri de calcule, a realității unui
fapt, a adevărului unei teoreme, a conținutului unei formule.
Folosind surse intuitive, prin demonstrație se construiesc interpre tări, se realizea ză
constatări c e duc la asimilarea unor noțiuni. Demostrația didactică reprezintă prezentarea
logică a unor procese cunoscute anterior, cu ajutorul cărora elevii iau cunoștință de noi
concepte sau noi noțiuni. Demonstrația didactică este una dintre cele mai folosite metode
în predarea matematicii, fiind folosită la explica rea oricăror teoreme, leme, consecințe,
proprietăți prezentate clasei, cu condiția ca nivelul de înțelegere al clasei să o permită.
Exemplu d e utilizare:
Demonstrați următoarea proprietate a determinanților:
Dacă toate liniile (sau coloanele) unei matrice sunt egale cu zero , atunci determinantul
acesteia este zero.
Această proprietate poate fi ușor demonstrată de către elevi, pentru determina nți de
orice ordin, după ce le sunt prezentate metodele de calcul ale determinanților.
Folosind teorema de dezvoltare după o linie sau după o coloană a unui determinant ,
elevii pot presupune că o linie oarecare, i, conține elemente nule, deci determinant ul va
arăta astfel:
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎11…𝑎1𝑛…
0
………
0
…
𝑎𝑛1…𝑎𝑛𝑛
Dezvoltând după linia i, obținem:
𝑑𝑒𝑡 𝐴 =𝑎𝑖1𝛿𝑖1+𝑎𝑖2𝛿𝑖2+⋯+𝑎𝑖𝑛𝛿𝑖𝑛=0∙𝛿𝑖1+0∙𝛿𝑖2+⋯+0∙𝛿𝑖𝑛=0. □

64
3. Conversația

Conversa ția reprezintă o metodă folosit ă la fiecare lecție, î n predarea noilor
cuno ștințe, în verificarea cuno ștințelor asimilate, în sistematizarea unor noțiuni, în fixarea
cuno știntelor predate, în rezolvarea problemelor. Aceasta poate avea un caracter
individual, în special c ând se folose ște în verificare, sau fron tal, atunci c ând se antreneaz ă
toată clasa la elaborarea r ăspunsurilor. Metoda conversa ției este în special utilă î n
dezvoltarea limbajului natural dar ș i prin î mbog ățirea acestuia prin ad ăugarea elementelor
limbajului matematic specific .
Instrumentul de lucru al metodei este întrebarea. Cadrul didactic trebuie să fie un
maestru al acestui instrument. Întrebarea trebuie să solicite gândirea, să ridice suspiciuni,
să crească curiozitatea elevului, să facă apel la memoria acestuia, la cunoștințele deja
asimilate pe baza cărora să construiască altele noi. Î ntreb ările trebuie s ă fie precise, î n
contextul con ținutului, s ă fie exprimate concis, simplu și clar .
Exemplu de utilizare:
Metoda conversației didactice poate fi folosi tă la lecția introductivă în predarea
sistemelor de ecuații liniare sau ca aplicație practică pe tema ecuațiilor matriceale.
Următoarea problemă are un enunț cunoscut, dar o interpretare nouă pentru elevii de liceu.
În programa clasei a VI -a apare tema Regul a de trei simplă . Dar, dacă elevii clasei au
abilități matematice dezvoltate , profesorul poate să prezinte și Regula de trei compusă , iar
problemele au un enunț asemănător cu următoarea problemă:
„Trei muncitori sapă un șanț. Lucrând împreună timp de 6 or e, sapă un șanț cu
lungimea de 11 m. Dacă primul muncitor lucrează timp de 1 oră, al doilea timp de 2 ore,
al treilea timp de 3 ore, șanțul va avea 3 m. Iar dacă primii doi lucrează 8 ore fiecare iar
al treilea 9 ore, vor săpa un șanț cu lungimea de 15m. C e lungime va avea un șanț la care
lucrează cei tei muncitori simultan timp de o oră?”
La nivelul clasei a XI -a, problema se reinterpretează sub forma unui sistem de
ecuații liniare. Mai întâi vom pune datele problemei, adică timpii de lucru, sub forma un ei

65
matrice A. Iar lungimea șanțului creat de fiecare echipă în parte vor reprezenta elementele
matricei coloană, B.
𝐴= 666
123
889 , 𝐵= 11
3
15 .
Problema ne cere să determinăm cât lucrează cei trei muncitori într -o oră. Vom
nota cu x, y, z lungimea șanțului săp at de primul, al doilea și respectiv al treilea muncitor
într-o oră. Avem matricea coloană a necunoscutelor 𝑋= 𝑥
𝑦
𝑧 .
Putem rescrie problema printr -o ecuație matriceală 𝐴∙𝑋=𝐵 sau prin sistemul de ecuații:
6𝑥+6𝑦+6𝑧=11
𝑥+2𝑦+3𝑧=3
8𝑥+8𝑦+9𝑧=15
Sistemul este de tip Cramer și are soluția 1,1
2,1
3 . □

4. Învățarea prin descoperire

„Metodă didactică euristică, învățarea prin descoperire reprezintă o formă de
participare activă și interactivă a elevilor în procesul de învățământ și constă în efectuarea
de activități și investigații proprii, independente orientate în direcția reconstru cției și
redescoperirii adevărurilor științifice. Desigur că, în activitatea școlară, descoperirea nu
este pură, autentică, ci este, practic, o semidescoperire sau o pseudodescoperire întrucât
este necesară intervenția profesorului.” (A. A. Vlaicu, 2013)
Prin această metodă elevul trebuie să descopere misterul, necunoscutul propus de
către profesor. Acesta la rândul lui, trebuie să îl ghideze pe elev pe drumul corect.
Profesorul trebuie să cunoască îndeaproape problema, inclusiv erorile de judecată cel ma i

66
des întâlnite. Această tehnic ă de lucru funcționează dacă elevul are o pregătire solidă, o
bază temeinică anterioară pe care să se bazeze descoperirile ulterioare. Metoda dezvoltă
gândirea, reprezentarea, memoria, limbajul, motivația de a studia. Se cons ideră că, o dată
descoperit misterul de către elev, acesta îl va reține o lungă perioadă de timp, deoarece
reprezintă un succes, o victorie, și este în natura umană să rețină și să reprezinte o mândrie
trăirea acestor momente.
Învățarea prin de scoperire poate fi de tip inductiv, deductiv sau analogic, dup ă
natura ra ționamentelor utilizate. Descoperirea este inductiv ă cand elevii , analiz ând o serie
de cazuri particulare, infereaz ă o regu lă general ă care apoi este demonstrat ă. În
descoperirea de tip deductiv elevii ob țin rezultate noi (pentru ei) aplic ând ra ționamente
asupra cuno ștințelor anterioare, combin ându-le între ele sau cu noi informa ții. Acest tip de
descoperire apare la toate nivelurile instruirii școlare ș i la toate disciplinele matematice.
Descoperirea prin analogie const ă în transpunerea unor rela ții, algoritmi, la contexte
diferite, dar analoage într-un sens bine precizat.
Exemplu de utilizare:
În programa de matematică de gimnazi se predau sistemele de 2 ecuații liniare cu 2
necunoscute cu metodele de rezolvare, cea a substituției și cea a reducerii . La nivel liceal ,
în clasa a XI -a, elevii pot aplica aceleași metode și pentru sisteme care au un număr mai
mare de ecuații și necunoscute.
1. Să se rezolve sistemul de ecuații, fol osind metoda substituției 5𝑥+3𝑦=11
−2𝑥+8𝑦=14 .
Se poate exprima necunoscuta x din a doua ecuație în funcție de y, apoi se poate
substitui în prima ecuație.
𝑥=8𝑦−14
2
5∙8𝑦−14
2+3𝑦=11 => 5∙ 4𝑦−7 +3𝑦=11 cu soluția unică (1,2).
2. Să se rezolve sistemul de ecuații, folosind metoda substituției 5𝑥+3𝑦+𝑧=14
−2𝑥+8𝑦−𝑧=11
𝑥+𝑦+𝑧=6
Folosind doar noțiunile din gimnaziu, fără a mai primi nici un fel de alte indicații,
elevii pot descoperi soluția acestui sistem, dacă realizează că se p oate reduce la un sistem
de doar două ecuații cu două necunoscute.

67
Necunoscuta z din a treia ecuație se poate exprima în funcție de celelalte două
necunoscute, astfel sistemul devine
5𝑥+3𝑦+(6−𝑥−𝑦)=14
−2𝑥+8𝑦−(6−𝑥−𝑦)=11
𝑧=6−𝑥−𝑦
Sistemul s -a simpli ficat, conține doar necunoscutele x și y, și se poate rezolva la
nivel de gimnaziu.
4𝑥+2𝑦=8
−𝑥+9𝑦=17 cu soluția unică (1,2,3).
Dacă nivelul clasei permite, se pot rezolva sisteme cu mai mult de trei ecuații și
necunoscute, care să fie compatibile nedet erminate sau incompatibile. □

5. Problematizarea

Folosind metoda problematizării, elevul este pus în fața unor dificultăți create
obiectiv de către profesor. Dificultățile, fie ele practice sau teoretice, trebuie să creeze o
stare de conflict constructiv în mintea elevului, care să îl determine pe acesta , prin
mijloacele lui proprii (noțiuni anterior dobândite, cunoștințe conexe situației problemă,
capacitate creativ -cognitivă), să le depășească. Această metodă dinamică, euristică, îl
determină pe elev să învețe ceva nou.
Situațiile conflictuale în care poate fi pus elevul pot fi:
 când există un dezacord între vechile cunoștințe ale elevului și cerințele impuse
de rezolvarea unei noi probleme;
 când elevul tre buie să aleagă dintr -un sistem de cunoștințe, chiar incomplete,
numai pe cele necesare în rezolva rea unei situații date;
 când elevul este pus în fața unei contradicții între modul de rezolvare posibil
din punct de vedere teoretic și imposibilitatea aplicării lui în practică;
 când elevului i se cere să aplice în condiții noi cunoștințele asimilate ante rior.

68
Pentru ca metoda să poată fi a plica tă cu succes, trebuie îndeplinite anumite condiții ,
cum ar fi: elevii trebuie să fie obișnuiți să participe activ la orele de matematică , să fie
obișnuiți cu lucrul individual sau pe grupe, să fie antrenați în rezol varea de probleme, să își
arate creativitatea și originalitatea, să fie înțelegători față de colegi, să aibe spirit de echipă.
Pe de altă parte profesorul nu reprezintă un evaluator strict care vânează greșeli, ci trebuie
să poarte rolul unui colaborator, să creeze o relație bazată pe simpatie și încredere.
Prin aplicarea în predare a problematizării, rezultatul final este întotdeauna
descoperirea soluției problemei puse. Ea solicită elevul să gândească, îi pune la încercare
voința, îi dezvoltă imaginația și îi îmbogățește experiența rezolvării de diverse probleme.
Exemplu de utilizare:
Metoda se poate aplica în cadrul unei ore de fixare și sistematizare a cunoștințelor,
la finalul unității de învățare Matrice . Următoarea problemă solicită cunoștințele proaspăt
acumulate, dar și inventivitatea:
Fie mulțimea tuturor matricelor de tip mxn cu elementele egale cu +1 sau -1, astfel
încât produsul numerelor de pe fiecare linie și fiecare coloană să fie -1. Aflați o relație
între m și n.
Elevii vor avea strateg ii diferite de abordare a problemei, dar majoritatea vor face
încercări, vor simula matrice de tip 1×2, 2×2, 2×3, 3×3 ș.a.m.d.
𝑋1= 1−1 , 𝑋2= 1−1
−1 1 ,𝑋3= −1 1
1−1 ,𝑋3= 1−1 1
−1 1−1 ,
𝑋4= −1 1 1
−1−1−1
−1 1 1
Empiric, elevii observă faptul că doar unele ti puri de matrice verifică condiția din
enunț, și anume cele pătratice, cum sunt matricele 𝑋2,𝑋3,𝑋4. Mai mult, poziționarea
elementelor de +1 și −1 nu este unică, după cum este exemplificat pentru matricele
𝑋2,𝑋3. Este necesară o generalizare a cazur ilor particulare găsite.
Cum matricea avea 𝑚 linii și 𝑛 coloane, putem alege o completare cu elemente a
𝑚−1 linii și 𝑛−1 coloane, în total fiind 𝑚−1 𝑛−1 elemente. Deoarece pe fiecare

69
poziție se poate pune unul dintre cele două elemente, numărul total de posibilități este
2 𝑚−1 𝑛−1 . În funcție de completarea cu elemente pe primele 𝑚−1 linii și 𝑛−1
coloane, avem o completare unică pe ultima linie și ultima coloană, astfel încât să se
respecte condiția din enunț, conform căreia produsul elementelor să fie −1.
Poziția 𝑚𝑥𝑛 a matricei trebuie să verifice condiția, de asemenea, atât pe linii cât și
pe coloane. Astfel, produsul elementelor de pe linii, −1 de 𝑚 ori, dă (−1)𝑚, iar produsul
elementelor de pe coloane, în total −1 de 𝑛 ori, dă (−1)𝑛. De unde rezultă că (−1)𝑚=
(−1)𝑛, adică 𝑚=𝑛. Deci, într -adevăr, matricele pătratice sunt cele care verifică condițiile
din enunț. □

6. Algoritmizarea

Algoritmul reprezintă o suită de reguli, raționamente, indicații, operații, cu scopul
de a rezolva un anumit tip de problemă. Metoda de învățare implică aplicarea unui
algoritm pentru a îndeplini sarcina de lucru. În rezolvarea de exerciții și probleme sau în
cazul instruirii asistate de calculator se pot utiliza algoritmi. Însă cadrul didactic nu trebu ie
să folosească doar această metodă rutinantă, ci, pornind de la o metodă euristică, împreună
cu elevii trebuie să determine un algoritm, o suită de operații cu care să soluționeze
problema. Învățarea prin descoperire și cea algoritmizată nu sunt în opoz iție, ci într -o
relație de completare și de continuitate.
Exemplu de utilizare:
Algoritmizarea, ca metodă de rezolvare, poate fi aplica tă la unitatea de învățare
Determinanți , în calculul determinanților de ordin superior, atunci când se aplică metoda
dezvoltării după o linie sau coloană, sau când se aplică metoda reducerii la un ordin mai
mic.

70
O altă posibilitate de aplicare a metodei este în cazul determinării rangului unei
matrice, după cum a și fost prezentat în cadrul acestei lucrări la capitolul III . Un alt
algoritm prezentat îl reprezintă cel de rezolvare a sistemelor cu 𝑚 ecuații și 𝑛 necunoscute,
descris în capitolul IV. Ambii algoritmi se pot folosi în predare pentru toate nivelurile de
clase.
Un alt algoritm folosit este cel cu ajutorul căruia se determină inversa unei matrice,
calcul ce conține o serie de pași clari, indiferent de ordinul matricei, și pe care îl vom
prezenta în cele ce urmează:

Algoritm de determinare a inversei unei matrice pătratice:
Fie A o matrice pătratică.
Pas 1. Calcul ăm determinantul, detA.
Dacă acesta este nul, matricea nu este inversabilă.
Dacă acesta este nenul, matricea este inversabilă și putem trece la Pasul 2.
Pas 2. Realizăm transpusa matricei, 𝐴−1.
Pas 3. Determinăm adjuncta matricei, 𝐴∗=(𝛿𝑖𝑗), unde co mplemenții algebrici
𝛿𝑖𝑗=(−1)𝑖+𝑗∙𝐴𝑖𝑗, iar minorii 𝐴𝑖𝑗 se obțin din transpusa matricei prin suprimarea
liniei i și a coloanei j.
Pas 4. Calculăm inversa ca fiind raportul dintre matricea adjunctă și valoarea
Determinantului 𝐴−1=1
𝑑𝑒𝑡𝐴∙𝐴∗. □

71
7. Exercițiul

Metoda exerci țiului este frecvent folosit ă în activitatea de predare -învățare a
matematicii pe î ntreaga perioad ă de școlarizare. Prin exerci ții se înțelege repeta rea
conștientă a unei ac țiuni, folosind un set de reguli, un ansamblu de operații asemănătoare,
cu scopul de a obișnui elevul cu un anumit model sau de a îmbun ătăți performan țele unei
metode . Utilitatea metodei se manifestă mai mult în fixarea cunoștințelor, contribuind la
profunzimea întelegerii noțiunilor și la evitarea confuziilor. E ste recomandat ca metoda
exercițiului să fi e combin ată cu alte metode active de predare. Orice capitol din
matematică abundă cu mod ele diverse de probleme și este important ca elevii să realizeze
exerciții numeroase pentru a își îns uși cât mai multe dintre modele.
După introducerea unor no țiuni noi, a unor procedee noi, primele exerci ții ce se
propun sunt exercițiile de antrenament , în cadrul c ărora elevii repet ă de câteva ori opera ția,
fie descris ă de profes or, fie descoperit ă de ei cu ajutorul profes orului. După înțelegerea
regulii, a opera țiilor, elevii o repetă de câteva ori pentru formarea deprinderii de a o folosi.
Aceste exerci ții se numesc exerciții de bază . După introducerea unei noi no țiuni ș i dup ă
derularea exerci țiilor de antrenament și a celor de baz ă sunt necesare exerci ții în care s ă se
urmareasc ă și întărirea deprinderilor anterioare odat ă cu deprinderile noi . Aceste exerci ții
se numesc exerciții paralele . După introducerea fiec ărei formule, a fiec ărui algoritm,
trebuie avut ă în vedere trecerea prin toate cele trei categorii de exerci ții.
Exercițiile propuse trebuie să respecte anumite condiții: e nunțul trebuie formulat
astfel încât să poată fi înțeles de către elevi, c unoștințele necesare rezolvării trebuie să fie
anterior cunoscute, pe parcursul rezolvării elevul trebuie să manifeste exactitate și precizie,
elevul trebuie să înțeleagă rezolvarea în detaliu.
Această metodă reprezintă baza fără de care nu se poate trece la un nivel superior
de înțelegere a matematic ii. O dată însușite modelele prezentate prin realizarea de exerciții
suficiente, elevul poate trece la activitatea creatoare sau la descoperirea prin for țe proprii
de noi rezultate.

72
Exemplu de utilizare:
Exercițiul, ca metodă de învățare, se poate folosi în toate cazurile prezentate în
această lucrare, în efectuarea operațiilor cu matrice, în calculul determinanților, în
determinarea inversei unei matrice, a rangului acesteia, în rezolvarea ecuațiilor matriceale
și a sistemelor de ecuații liniare.
Propun o scurtă suită de exerciții de antrenament consti tuite sub forma unei f ișe de
lucru pe tema Operații cu matrice :

Fișă de lucru – Matrice și operații cu matrice
Se dau matricele 𝐴= 10
31 și 𝐵= 2 5
−3−2 . Calculați:
1) A+B 5) 𝐴2 9) (𝐴+𝐵)2
2) A-B 6) 𝐴4 10) 𝐴∙𝑋=𝐵, Determinanți
matricea X
3) 2A+4B 7) 𝐴𝑛 11) 𝑋∙𝐴=𝐵, Determinanți
matricea X
4) 3A-5B 8) 𝐴−1 12) 𝐴∙𝑋∙𝐵=𝐼2 Determinanți
matricea X
□
Profesorul are nevoie de: „competență relațională, capacitate de a promova relații
de cooperare și competiție, un stil de lucru cooperant pentru a asigura unitatea clasei,
pentru a obține un înalt grad de coeziune al acesteia, pentru a stimula tendințele centripete
în locul celor centrifuge, pentru a forma conștiința comunitară (de grup) a elevilor de care
se ocup ă” (I. Cerghit, 2008).

73

CAPITOLUL VII. ASPECTE ORGANIZATORICE

1. Proiectarea unui op țional

„Curriculum -ul la decizia școlii trebuie văzut ca parte a întregului curriculum și nu
ca lipsit de relevanță în legătură cu cel național în vigoare sau fiind în contradicție cu
acesta. Elevul are nevoie de a experimenta un curriculum coerent, și nu unul fragmentat,
incoerent. Astfel, curriculum -ul la decizia școlii trebuie să fie planificat împreună cu cel
național și integrat acestuia. ” (Bennett B., 2007)
În sis tmemul de învățământ românesc, la nivel liceal, e xistă patru t ipuri de opțional la
decizia școlii (CDȘ) , și anume: de aprofundare , de extindere , ca disciplină nouă sau
opțional integrat. Prin opționalul de aprofundare înțelegem acel tip de CDȘ derivat dint r-o
disciplină studiată în trunchiul comun sau la nivelul curriculumului diferențiat , la care sunt
adăugate unități de învățare noi, cu scopul de a aprofunda competențel e din curriculum ul
obligatoriu. Opționalul de extindere este acel tip de CD Ș derivat dintr -o disciplină studiată
în trunchiul comun sau la nivelul curriculumului diferențiat , care , după cum este și numit,
urmărește extinderea competențelor specifice și a noilor conținuturi. În cazul introducerii
de noi obiecte de studiu, sau a uno r teme noi ce nu se află printre cele prevăzute în
planurile cadru, se alege o pționalul ca disciplină nouă . Ultimul tip, opționalul integrat ,
reprezintă acel tip de opțional care introduce o disciplină nouă de studiu , organizată în
jurul unei teme din cad rul unei singure discipline sau la nivel interdisciplinar. Cu excepția
opțional ului de aprofundare , caz în care se folosește aceeași rubrică din catalog cu
disciplina sursă, toate celelalte tipuri de opțional se notează într -o nouă rubrică în catalog.
În elaborarea programei de opțional profesorul urmărește o schemă de proiectare,
care, la final, urmează m odelul programelor d in trunchi ul comun. Astfel programa
CDȘului trebuie să conțină:
 argument
 competențe specifice și conținuturi
 valori si atitudini
 sugestii metodologice .

74
Argument ul explică necesitatea cursul ui propus, care sunt nevoi le elevilor cărora se
adresează , ce competențe urmărește să form eze. Partea de competențe și conținuturi
elaborează detaliat explicațiile din argument. De exemplu, în cazul unui opțional de
aprofundare, pentru anumite competențe existente deja în trunchiul comun se vor elabora
noi conținuturi. Pe când, în cazul opționalelor ca disciplină nouă și a celui integ rat se vor
elabora noi teme, noi unități de învățare specifice disciplinei, respectiv disciplinelor, iar
competențele vor fi proiectate cu scopul de a se putea realiza un transfer facil a
informațiilor între cele din trunchiul comun și a celor din opțional . În partea de valori și
atitudini se vor redacta însușirile pozitive dorite a se obține de la elevi prin studierea
opționalului. Iar s ugestiile metodologice vor include t ipuri de activități de învățare ,
modalități de evaluare , tipuri de probe care defines c opționalul propus.
În continuare este prezentat un opțional ca disciplină nouă , la nivelul clasei a XI -a,
propus pentru elevii ce urmează specializările Matematică -Informatică sau Științe ale
naturii. Opționalul permite elevilor să aibe o nouă perspectiv ă a raționamentului matematic,
aceea a studiului asistat de calculator.

75
Denumire a opționalului : Elemente de algebră liniar ă asistată de calculator
Aplicații în pachetul Mathematica
Tipul: ca disciplină nouă
Clasa: a XI-a
An școlar: 2017 -2018
Durata: un an școlar
Număr de ore pe săptămână: 1 oră
Aria curriculară: Matematică și științe

Argument

Alegerea acestei teme este impusă ca o necesitate și ca o completare a programei
școlare specifice clasei a XI -a.
Folosirea în diferite domenii practice a elementelor de algebră liniară, determină
formularea unor probleme matematice care operează cu date reale, ce trebuie rezolvate. De
cele mai multe ori, valorile acestea fac destul de anevoioase calculele standard, utilizarea
computerului în astfel de situații fiind binevenită.
Folosirea unui software matematic, care să rezolve prob leme cu date de dimensiuni
mari, înlesnește elevului înțelegerea noțiunilor studiate la cursul obligatoriu, îl ajută să -si
verifice propriile calcul e și să găsească metode noi de rezolvare a anumitor probleme.
Tema propusă oferă posibilitatea de a trata și rezolva probleme cu date de
dimensiuni mari, aproape imposibil de rezolvat cu hârtia și creionul, într -un timp scurt,
eficient, erorile umane ce p ot aparea fiind excluse într -un rezultat al comenzilor software –
ului Mathematica , cel care va fi folosit ca instrument matematic.

Competențe generale

1. Cunoașterea și înțelegerea conceptelor, a terminologiei și a procedurilor de calcul
matematic specifice software -ului Mathematica .

76
2. Dezvoltarea capacităților de explorare/investigare și rezolvare de probleme utilizând
software -ul Mathematica .
3. Dezvoltarea ca pacității de a comunica folosind limbajul matematic și cel specific
informatic.
4. Dezvoltarea interesului și a motivației pentru studiul și aplicarea matematicii folosind
calculatorul în contexte variate.

Competențe specifice și conținuturi

Competențe sp ecifice
Conținuturi
La sfârșitul cursului opțional elevul va fi
capabil: In timpul acestui curs opțional se recomandă
următoarele activități:
I1. să recunoască noțiunea de matrice
(linie, coloană, diagonală,
superior/inferior triunghiulară),
transpusă unei matrice, determinant,
urma matricei, adjuncta matricei,
minor al determinantului  familiarizarea cu mediul soft
 utilizarea comenzilor
 exerciții pentru definirea matricelor și
punerea lor sub diferite forme,
utilizând metodele matematice
tradiționale și cele oferite de
Mathematica
 exerciții pentru calculul transpusei,
determinantului, minorilor
I2. să cunoască și să aplice operațiile
cu matrice și determinanți prin metode
clasice și utilizând computerul
I3. să cunoască pe scurt și alte noțiuni
adiacente celor studiate la c ursul
obligatoriu de matematică  exerciții pentru fiecare operație în
parte, combinare a acestor operații,
 considerarea unor matrice sau
determinanți de dimensiuni mari
 exerciții matematice de calcul ,
verificarea calculelor cu ajutorul
comenzilor din Mathematica
I4. să rezolve sisteme de ecuații
folosind metodele învățate și metodele
numerice  exerciții pentru calculul rangului unei
matrice
 exerciții pentru determinarea soluției

77
unui sistem compatibil
 aplicații în Mathematica pentru
determinarea soluției sistemului,
aplicând metode numerice; compararea
rezultatelor și a timpului de execuție

II. Dezvoltarea capacităților de explorare/investigare și rezolvare de probleme
utilizând software -ul Mathematica .

Competențe specifice Conținuturi
La sfârșitul cursului opțional elevul va fi
capabil: În timpul acestui curs opțional se recomandă
următoarele activități:
II1. să formuleze consecințe posibile
ce decurg dintr -un set de ipoteze, să
construiască generalizări și
reprezentări gr afice ale rezultatelor  exerciții de verificare a unor rezultate
obținute prin metode clasice.
Generalizări
 identificarea tipului de problem ă și
alegerea comenzilor optime pentru
rezolvarea ei

III. Dezvoltarea capacității de a comunica folosind limbajul matematic și cel specific
informatic.

Competențe specifice Conținuturi
La sfârșitul cursului opțional elevul va fi
capabil: In timpul acestui curs opțional se recomandă
următoarele activități:
III1. să prezinte într -o manieră clară,
corectă și concisă, oral sau în scris,
succesiunea operațiilor din rezolvarea
unui exercițiu cu ajutorul
calculatorului, folosind terminologia și
notațiile adecvate
 redactarea rezultatului unui exercițiu
prin metode cla sice
 argumentarea metodei utilizate în
rezolvarea unui exercițiu folosind
Mathematica

78
III2. să discute în cadrul unui grup
avantajele și dezavantajele utilizării
unei metode de rezolvare sau a unei
modalități de prezentare a unui demers
matematic și inf ormatic  discutarea în grup a metodelor de
rezolvare matematice și cu ajutorul
software -ului și justificarea avantajelor
metodelor utilizate

IV. Dezvoltarea interesului și a motivației pentru studiul și aplicarea matematicii
folosind calculatorul în contexte variate.

Competențe specifice Conținuturi
La sfârșitul cursului opțional elevul va fi
capabil: In timpul acestui curs opțional se recomandă
următoarele activități:
IV1. să manifeste perseverență și
gândire creativă pentru găsirea unor
metode noi neimplementate în
programul Mathematica  abordarea unor situații noi, prezentarea
posibilității de programare facilă a unor
metode neimplementate
IV2. să manifeste interes în studiul
matematicii și cu ajutorul altor
programe software de specialitate  compararea metodelor de rez olvare,
evidențierea avantajului metodei
software
 compararea rezultatelor obținute și cu
alte programe software (Maple,
Octa ve)
 rezolvarea unor probleme practice
utilizând Mathematica

79
Conținuturi

Partea I

1. Prezentarea software -ului Mathematica (apartenența, utilizarea comenzilor de bază,
prezentarea general ă a tuturor pachetelor aparținând ariilor matematice studiate în
liceu) 3 ore
2. Prezentarea funcțiilor specifice ale software -ului, cu care vom lucra și a pachetelor din
care fac parte 3 ore

Partea a II -a

1. Matrice . Operații cu matrice
Construcție, clasific are. Transpusa unei matrice 2 ore
Operații: adunare, înmulț irea a dou ă matrice, înmul țirea cu scalar 2 ore
Calculul puterii n a unei matrice 2 ore

2. Determinanți
Prezentare. Proprietăți. Tipuri speciale de determinanți 2 ore
Calculul determinaților numerici și simbolici 2 ore
Aplicații:
Inversa unei matrice. Adjuncta unei matrice 3 ore
Ecuații matriceale 3 ore
Aplicații în geometrie 4 ore

3. Sisteme liniare
Prezentare 2 ore
Rangul unei matrice. Minori 2 ore
Metode de rezolvare a sistemelor liniare. Ele mente de calcul numeric 5 ore

80
Valori și atitudini

 Exprimarea unu i mod de gândire creativ
 Conștientizarea impactului social, economic și moral al informaticii
 Manifestarea unor atitudini favorabile față de știință și cunoaștere în general
 Manifestarea disponibilității de a evalua/autoevalua activități practice
 Manif estarea inițiativei și a disponibilității de a aborda sarcini variate

Sugestii metodologice

 Realizarea documentației aferente și a testimonialelor de bună funcționare
 Discuții de abordare a problemelor care apar pe parcursul desfășurării activităților
 Dezbateri pe tema asumării rolurilor în echipă în funcție de interesele și aptitudinile
individuale
 Analiza produselor finale din punctul de vedere al conținutului și al designului

Modalități de evaluare

 Metode de evaluare inițială (evaluare orală, tes t de evaluare inițială)
 Metode de evaluare continuă (observa ția, conversația, evaluarea orală, lucrări
practice individuale/de grup)
 Metode de evaluare sumativă: portof oliu, lucrare practică

Bibliografie

1) https://www.wolfram.com/language/fast -introduction -for-math -students/en/
2) http://www.johnboccio.com/MathematicaTutorials/03MathematicsAndAlgorithms.pdf
3) Secțiunea „Help” a programului Mathematica

81
2. Lecția

Lecția reprezintă modalitatea cadrului didactic de organizare a activității, într -o
unitate delimitată de timp, în care elev ii sunt informați, formați, instruiți, educați.
Profesorul trebuie să identifice competențele specifice lecției, să stabilească resursele
educaționale ce le va folosi, să anticipeze strategii didactice optime învățării și să
stabilească instrumente de eval uare a rezultatelor acesteia.
„Lecția prezintă trei categorii de variabile:
o funcționale (scop, obiective);
o structurale (resurse umane și materiale, conținut, metode, mijloace, forme de
grupare a elevilor, timp, spațiu școlar);
o operaționale (desfășurarea p ractică: strategii de instruire și evaluare).” (I.Cerghit,
2016)

Conform lui Robert Gagne și lui John Briggs, lecția ar trebui să conțină următoarele
„momente”:
 captarea atenției elevilor prin stârnirea intereselor acestora;
 informarea cu privire la obiectivele de atins;
 reactualizarea și performarea unor capacități formate anterior;
 prezentarea elementelor de conținut specifice;
 dirijarea învățării;
 obținerea performanței;
 asigurarea feedbackului;
 evaluarea performanțelor obținute;
 consolidarea retenței și a capacității de transfer.

Principalele categorii / tipuri de lecție , după care un cadru didactic își organizează
activitatea, sunt:
o Lecția mixtă
o Lecția de comunicare / însușire de noi cunoștințe
o Lecția de formare de priceperi și deprinderi
o Lecția de fixare și sistematizare
o Lecția de verificare și apreciere ale rezultatelor școlare.

82
Un anumit tip de lecție va avea aceeași structură, va urmări aceleași finalități, se va
desfășura după o aceeași succesiune de etape. Constituirea variantelor de lecții este
determinată de specificul obiectului de învățământ, particularitățile elevilor, condițiile
materiale locale, competențele cadrului didactic.
Lecția mixtă urmărește realizarea mai multor scopuri sau sarcini didactice,
comunicare, sistematizare, fixare, verificare. Este tipul de lecție cel mai frecvent întâlnit în
practica educativă , datorită diversității activităților implicate și sarci nilor multiple pe care
le îndeplinește.
Lecția de comunicare / însușire de noi cunoștințe urmărește dezvoltarea unor
capacități și atitudini intelectuale , însușirea unor noi cunoștințe . Etapa de t ransmitere de
informații ocupă cea mai mare parte a timpului. Prin strategii specifice, profesorul trebuie
să prezint e noul conținut , să dirijez e învățarea elevilor, să asigur e o participare activă a
acestora până la obținerea performanței vizate .
Lecția de formare de priceperi și deprinderi se întâlnește la o varietate de obiecte
de învățământ care au ca obiectiv formarea și exersarea deprinderilor intelectuale
(matemat ică, gramatică), deprinderilor motorii (educație fizică, tehnologică, lucrări de
atelier) sau capacităților creatoare (muzică, desen, compunere). În desfășurarea acestui tip
de lecție moment ul organizatoric dobândește o importanță sporită în cazul în care exersarea
se bazează pe utilizarea unor mijloace de învățământ specifice (atelier, laborator) .
Explicarea și demonstrarea modelului acțiunii de executat sunt realizate , de regulă , de
cadrul didactic, în vederea formării la elevi a modelului intern al acțiu nii respective .
Exersarea propriu –zisă se realizează mai întâi sub îndrumarea cadrului didactic și apoi
independent, sub forma unor exerciții variate, dozate și gradate .
Lecția de fixare și sistematizare vizează consolidarea cunoștințelor însușite, dar și
aprofundarea lor și completarea unor lacune și se realizează prin recapitulare . În cadrul
acestui tip de lecție elevii trebuie să poată realiza conexiuni în contexte din ce în ce mai
largi ale cunoașterii. Cadrul didactic trebuie să preciz eze elevilor care este planul de
recapitulare înaintea desfășurării orei. Pe durata acestor lecții trebuie să se clarific e și să se
elimin e confuziil e elevilor, să se realiz eze scheme sau sinteze care să pună în relație tot
ceea ce reprezintă esențialul la nivelul conținu tului analizat , elevii trebuie să realizeze
lucrări pe baza cunoștințelor recapitulate . Concret , în funcție de specificul disciplinei,
activitățile pot fi: rezolvare de exerciții și probleme, analize gramaticale, analize literare,
realizarea unor luc rări având caracter tehnic, etc.

83
Lecția de verificare și apreciere a rezultatelor școlare urmărește constatarea
nivelului de pregătire a elevilor, dar și actualizarea și încadrarea cunoștințelor în noi cadre
de referință și semnifica ție, cu consecințe imp ortante asupra viitoarelor trasee de învățare.
În cadrul acestui tip de lecții aprecierea verific ării orale, practic e sau a celei asistate de
calculator se face la sfârșitul orei, iar cea a verificării scrise în următoarea întâlnire a
cadrului didactic cu elevii .
Practica ne demonstrează că t oate lecții le sunt perfecti bile, iar atractivitatea lor
depinde atât de tactul pedagogic al cadrului didactic cât și de particularitățile elevilor.
Orice lecție trebuie planificată și organizată conform unui plan. În co ntinuare
prezentăm un astfel de plan de lecție pe tema Rezolvarea sistemelor de ecuații , elaborată ca
parte a opționalului prezentat la punctul anterior.

84
Proiect didactic

Clasa: a XI-a
Obiectul: Elemente de algebră liniar ă asistată de calculator
Aplicații în pachetul Mathematica
Titlul lecției: Rezolvarea sistemelor de ecuații cu ajutorul calculatorului
Tipul lecției: Însușire de noi cunoștințe
Durata: 50 minute
Scopul lecției: Consolidarea deprinderii de a rezolva diverse sisteme de ecuații folosind
software -ul Mathematica
Competențe generale: I, II, III, IV
Competențe specifice:
1. Să rezolve diferite sisteme de ecuații
2. Să interpreteze rezultatele obținute
3. Să aplice diferite metode pentru rezolvarea sistemelor

Strategii didactice:
Metode și procedee:
 De transmitere și însușire a cunoștințelor: explicația, conversația, problematizarea
 De explorare și descoperire: observarea sistem atică, demonstrația

Forme de organizare:
 Activ itate frontală
 Activitate individuală, asistată de calculator

Resurse:
 Materiale didactice: fișa de lucru, fișa de comenzi, prezentarea PowerPoint
 Mijloace de învățământ: laptopul, pachetul software, videoproiectorul
 Oficiale: programa, planificarea

Bibliografie:
1) Burtea, M., Burtea, G., Matematică clasa a XI -a. Exerciții și probleme , Editura
Carminis, Pitești, 2017
2) https://www.wolfram.com/language/fast -introduction -for-math -students/en/

85
Momentele
lecției Compe –
tențe Activități de învățare Strategii didactice Metode de
evaluare Metode Mijloace Forme de
organizare
Moment
organizatoric
(5 min)  Elevii sunt o rganiz ați în laboratorul informatic
 Deschid programul Mathematica
 Profesorul notează absenții, pregăt ește materialele didactice Conversația Frontală
Reactua –
lizarea
cunoștințelor
(5 min ) C.S.1  Elevii răspund oral la o serie de întrebări:
– Ce este un sistem de ecuații liniare?
– Ce tipuri de sisteme liniare cunoașteți (d.p.d.v. al
compatibilității) ?
– Câte soluții poate avea un sistem?
Conversația Laptopul
Video –
proiectorul
Prezentarea
PPT
Frontală Chestionarea
orală
Evaluarea
calitativă
Observarea
Captarea
atenției
(3 min)  Profesorul scrie pe tablă următorul
sistem de ecuații, sistem care a fost rezolvat și în cadrul orei de
matematică:




3 3 71 3 334 3 2 4
z y xty xzyxtz y x

 Elevii vizualizează un scurt film în care,cu ajutorul
programului Mathematica, rezolvarea sistemului este
instantanee.
Conversația

Explicația Laptopul

Video –
proiectorul

Prezentarea
PPT
Frontală Observarea

86
Anunțarea
titlului și a
obiectivelor
(2 min)  Profesorul anunță titlul lecției „ Rezolvarea sistemelor de
ecuații liniare cu ajutorul calculatorului” și obiectivele
urmărite
 Profesorul scrie pe tablă titlul lecției
 Elevii își notează în caiete Conversația Caietul
elevului Frontală
Transmiterea
noilor
cunoștințe
(30 min ) C.S.1
C.S.2
C.S.3  Profesorul înmânează Fișa de instrucțiuni (fișa conține
comenzile programului și exemple pentru fiecare comandă)
 Elevii urmăresc fișa, notează sintaxele comenzilor,
exemplele prezentate, notează pe caiete și le testează cu
ajutorul programului Mathematica.

Fișa de instrucțiuni

 Sintaxa funcției Solve[listă ecuații, listă necunoscute]
-ecuații cu o necunoscută
In[]:= Solve[x^2 -3x+2==0,x]
Out[]= {{x -> 1}, {x -> 2}}
-ecuații cu două necunoscute
In[]:= Solve[2x+4y==6 && 3x -5y==8,{x,y}]
Out[]= {{x ->31
11 –, y -> 1
11}}
-ecuațiile cu rezultatul reprezentat și printr -o aproximare
numerică: Conversația

Explicația

Problema –
tizarea

Exercițiul

Demon –
strația

Algorit –
mizarea Fișa de
instrucțiuni

Prezentarea
PPT

Laptopul

Videoproie
ctorul

Fișa de
lucru
Individuală Observarea
sistematică a
elevilor
(implicarea
activă în
rezolvarea
problemelor)

Analizarea
răspunsurilor
date

87
In[]:= NSolve[x^5 – 2 x + 3 == 0, x]
Out[]= {{x -> -1.42361}, {x -> -0.246729 – 1.32082 I}, {x ->
-0.246729 + 1.32082 I}, {x -> 0.958532 – 0.498428 I}, {x ->
0.958532 + 0.498428 I}}

 Sintaxa funcției LinearSolve[m,b] – găsește
vectorul/matricea X care verifică ecuația m.X=b, m și b putând
fi atât vector cât și matrice, astfel încât ecuația să aibă sens.
In[]:= (m={{3,7},{2,9}})
Out[]= {{3, 7}, {2, 9}}
In[]:= (b={{2,6},{1,5}})
Out[]= {{2, 6}, {1, 5}}
In[]:= LinearSolve[m,b]
Out[]= 11
13,19
13 , −1
13,3
13

– cazul sistemului de ecuații care nu are soluții – apare un mesaj
corespunzător.
In[]:= (m={{3,9},{6,18}})
Out[]= {{3, 9}, {6, 18}}
In[]:= (b={{2,6},{1,5}})
Out[]= {{2, 6}, {1, 5}}
In[]:= LinearSolve[m,b]

88
LinearSolve::nosol: Linear equation encountered that has no
solution.
Out[]= LinearSolve[{{3, 9}, {6, 18}}, {{2, 6}, {1, 5}}]

– cazul sistem ului compatibil nedeterminat – funcția va returna
una dintre soluțiile posibile.
In[]:= M={{1,3},{4,12}}
Out[]= {{1, 3}, {4, 12}}
In[]:= B={10,40}
Out[]= {10, 40}
In[]:= LinearSolve[M,B]
Out[]= {10, 0}

 Sintaxa funcției NullSpace[m] – rezolvă sistemele de
ecuații omogene m.X=0.
In[]:= (M={{{1, 4, 5}, {3, 7, 10}, {2, 6, 8}}})
Out[]= {{1, 4, 5}, {3, 7, 10}, {2, 6, 8}}
In[]:= NullSpace[M]
Out[]= {{ -1, -1, 1}}

 Profesorul înmânează Fișa de lucru (fișa conține exemple
de sisteme de ecuații liniare)
 Elevii rezolvă aplicațiile din fișă cu ajutorul programului

89
Mathematica, notează pe caiete sintaxele folosite.

Asigurarea
feed-backului
(3 min ) C.S.1
C.S.2
C.S.3  Profesorul reamintește elevilor comenzile prezentate
 Întreabă sintaxe de comenzi folosite la orele anterioare Conversația
Explicația
Frontală Analiza
răspunsurilor
date
Evaluarea
(2 min )
 Profesorul n otează răspunsurile elevilor
 Elevii își autoapreciază contribuția adusă la desfășurarea
orei Conversația Frontală Aprecieri
verbale
Notarea
răspunsurilor

90
Fișa de i nsrucțiuni

1. Rezolvarea ecuațiilor folosind funcția Solve[listă ecuații, listă necunoscute]

-ecuații cu o necunoscută
In[]:= Solve[x^2 -3x+2==0,x]
Out[]= {{x -> 1}, {x -> 2}}
-ecuații cu două necunoscute
In[]:= Solve[2x+4y==6 && 3x -5y==8,{x,y}]
Out[]= {{x ->31
11 –, y -> 1
11}}
-ecuațiile numerice pot avea rezultatul reprezentat și printr -o aproximare
numerică:
In[]:= NSolve[x^5 – 2 x + 3 == 0, x ]
Out[]= {{x -> -1.42361}, {x -> -0.246729 – 1.32082 I}, {x -> -0.246729 + 1.32082
I}, {x -> 0.958532 – 0.498428 I}, {x -> 0.958532 + 0.498428 I}}

2. LinearSolve[m,b] – găsește vectorul/matricea x care verifică ecuația m.X=b, m și
b putând fi atât vector cât și matrice, astfel încât ecuația să aibă sens.

In[]:= (m={{3,7},{2,9}})
Out[]= {{3, 7}, {2, 9}}

In[]:= (b={{2,6},{1,5}})
Out[]= {{2, 6}, {1, 5}}

In[]:= LinearSolve[m,b]
Out[]= 11
13,19
13 , −1
13,3
13

 În cazul în care sistemul de ecuații nu are soluții, va apare un mesaj corespunzător.

In[]:= (m={{3,9},{6,18}})

91
Out[]= {{3, 9}, {6, 18}}

In[]:= (b={{2,6},{1,5}})
Out[]= {{2, 6}, {1, 5}}

In[]:= LinearSolve[m,b]
LinearSolve::nosol: Linear equation encountered that has no solution.
Out[]= LinearSolve[{{3, 9}, {6, 18}}, {{2, 6}, {1, 5}}]

 În cazul în care m.X=b reprezintă ecuația unui sistem compatibil nedeterminat,
funcția va returna una dintre soluțiile posibile.

In[]:= M={{1,3},{4,12}}
Out[]= {{1, 3}, {4, 12}}

In[]:= B={10,40}
Out[]= {10, 40}

In[]:= LinearSolve[M,B]
Out[]= {10, 0}

3. NullSpace[m] – rezolvă sisteme omogene (găsește o soluție a ecuației m.X=0)

In[]:= (M={{{1, 4, 5}, {3, 7, 10}, {2, 6, 8}}})
Out[]= {{1, 4, 5}, {3, 7, 10}, {2, 6, 8}}

In[]:= NullSpace[M]
Out[]= {{-1, -1, 1}}

92

Fișă de lucru

1. Să se rezolve următo arele sistem e de ecuații folosind funcția Solve:
a)




3 3 71 3 334 3 2 4
z y xty xzyxtz y x
b)




3 3 7 51 3 33 2 74 3 2 4
z y xty xz yxtz y x

2. Să se rezolve următorul sistem de ecuații folosind funcția LinearSolve


65 21 21 2
tzy xtzy xtzy x

3. Să se rezolve sistemul de ecuații de mai jos folosind pe rând cele două funcții
LinearSolve și Solve. Să se compare rezultatele.




10 6 5 28 5 42 2 22
z y xz y xz yxzyx

4. Să se verifice dacă pentru sistemul de mai jos matricea este inversabilă. În caz
afirmativ să se calculeze soluția sistemului folosind inversa matricei.




6 5 2 2 23 32 3 21 2
tz y xtzxz yxtzyx

5. Să se rezolve următorul sistem omogen :


0 2 5 40 6 5 30 4 2
z y xz y xz y x

93
Fișa de lucru – cu rezolvări

1. Să se rezolve următo arele sistem e de ecuații folosind funcția Solve:
a)




3 3 71 3 334 3 2 4
z y xty xzyxtz y x
b)




3 3 7 51 3 33 2 74 3 2 4
z y xty xz yxtz y x

Rezolvare:
a) In[]:= Solve[4x+2y -3z-t==-4 && x+y -z==-3 && -3x+3y+t==1 && x -7y+3z== –
3,{x,y,z,t}]
Solve::svars: Equations may not give solutions for all "solve" variables.
Out[]= {{y -> 3 + x, AppendColumns[{2, 6, 7}, {4, 9, 0}] -> 6 + 2 x, t -> -8}}

Sistemul este compatibil simplu nedeterminat, soluția afișată este cea generală.

b) In[]:= Solve[4x+2y -3z-t==-4 && 7x+y -2z== -3 && -3x+3y+t==1 && 5x -7y-3z== –
3,{x,y,z,t}]
Out[]= {{x -> −9
50, y ->−3
50 -(–), AppendColumns[{2, 6, 7}, {4, 9, 0}] -> 21
25, t -> 16
25}}

2. Să se rezolve următorul sistem de ecuații folosind funcția LinearSolve



65 21 21 2
tzy xtzy xtzy x

Rezolvare:
In[]:= (M={{1, -2,1,1},{1, -2,1,-1},{1, -2,1,5}})
Out[]= {{1, -2, 1, 1}, {1, -2, 1, -1}, {1, -2, 1, 5}}
In[]:= (B={1, -1,6})
Out[]= {1, -1, 6}
In[]:= LinearSolve[M,B]
LinearSolve::nosol: Linear equation encountered that has no solution.
Out[]= LinearSolve[{{1, -2, 1, 1}, {1, -2, 1, -1}, {1, -2, 1, 5}}, {1, -1, 6}]

Sistemul este incompatibil.

94
3. Să se rezolve sistemul de ecuații de mai jos folosind pe rând cele două funcții
LinearSolve și Solve. Să se compare rezultatele.





10 6 5 28 5 42 2 22
z y xz y xz yxzyx

Rezolvare:
In[]:= Solve[x+y+z==2 && 2x -y-2z== -2 && x+4y+5z==8 &&
2x+5y+6z==10,{x,y,z}]
Solve::svars: Equations may not give solutions for all "solve" variables.
Out[]= {{y -> 2 – 4 x, AppendColumns[{2, 6, 7}, {4, 9, 0}] -> 3 x}}
In[]:= (M={{1,1,1},{2, -1,-2},{1,4,5},{2,5,6}})
Out[]= {{1, 1, 1}, {2, -1, -2}, {1, 4, 5}, {2, 5, 6}}
In[]:= (B={2, -2,8,10})
Out[]= {2, -2, 8, 10}
In[]:= LinearSolve[M,B]
Out[]= {0, 2, 0}

Observ ăm că folosind comanda Solve se obține o soluție generală, iar folosind comnada
LinearSolve se obține o soluție unică.

4. Să se verifice dacă pentru sistemul de mai jos ma tricea este inversabilă. În caz
afirmativ să se calculeze soluți a sistemului folosind inversa matricei.




6 5 2 2 23 32 3 21 2
tz y xtzxz yxtzyx

Rezolvare :
In[]:= (L={{2, -1,1,-1},{2, -1,-3,0},{3,0, -1,1},{2,2, -2,5}})
Out[]= {{2, -1, 1, -1}, {2, -1, -3, 0}, {3, 0, -1, 1}, {2, 2, -2, 5}}
In[]:= Det[L]
Out[]= 18

Determinatul matricei este nenul deci matricea este inversabil ă.

95

In[]:= (M=Inverse[L])//MatrixForm
Out[]//MatrixForm=
−1
6−1
6
−11
6−5
62
3−1
6
7
3−5
6
1
2−1
6
1
11
3−1
31
6
−4
32
3

In[]:= X=M.B
Out[]= −3
2,−11
2,1
6,5
3 .
5. Să se rezolve sistemul omogen :


0 2 5 40 6 5 30 4 2
z y xz y xz y x
Rezolvare:
In[]:= (G={{1,2,4},{3,5,6},{4,5, -2}})
Out[]= {{1, 2, 4}, {3, 5, 6}, {4, 5, -2}}
In[]:= NullSpace[G]
Out[]= {{8, -6, 1}}

Sistemul este compatibil nedeterminat, admite o infinitate de solu ții, dintre care este
afișată doar una. Verificarea rezultatului:

In[]:= (H={8, -6,1})
Out[]= {8, -6, 1}
In[]:= G.H
Out[]= {0, 0, 0}

96
3. Tema pentru acasă

„Temele pentru acasă trebuie să fie de așa natură încât să fie efectuate cu ușurință.
Scopul lor nu este de a permite împărțirea elevilor în foarte buni și slabi, ci de a controla
dacă toți elevii și -au însușit un ansamblu anume de cunoștinte prealabile.” (R. Gagne,
1965)
Tema pentru acasă constituie o obișnuință zilnică, pentru elevi, cadre didactice și
părinți. Aceasta este constituită din sarcini încredințate elevilor de către profesori cu scopul
de a forma sau de a autof orma cunoștințe. Cadrul didactic inițiază tema pentru acasă, o
controlează și o valorifică în predarea noilor lecții sau pentru notarea elevilor.
Încredințarea temei se face de obicei la finalul lecției, după ce elevul și -a însușit
cunoștințe le predate. A ceasta trebuie să conțină lucruri folositoare și interesante pentru
elevi, iar subiectele propuse spre rezolvare să fi avut un echivalent lucrat în clasă.
Profesorul are datoria de a corecta temele elevilor, de a face aprecieri asupra conținutului
temei, g enerale dar și individuale și de a da explicații la nivelul clasei, rezolvându -se cele
mai dificile probleme, cele care nu au putut fi abordate de majoritatea elevilor clasei.

4. Evaluarea

În practica școlară curentă m etodele tradiționale de evaluare su nt probele orale,
scrise, p ractice .
Probele orale „apreciază întreaga personalitate . Modul de prezentare, ținuta,
privirea direct ă sau nu, prezența de spirit, prestigiul, concentrarea atenției, demn sau servil,
șarmul sunt importante. ” (H. Pieron, 1963)
Probele orale au avantajul de a fi o modalitate flexibilă de evaluare și dau
posibilitatea profesorului de a observa și corecta erorile elevului imediat. Însă sunt
cronofage, reprezintă o sursă de stres pentru unii elevi și au un grad mare de subiectivita te.
De aceea este dorit ca acest tip de evaluare să fie folosit doar în cazul în care anumite
capacități sau abilități nu pot fi evaluate cu ajutorul probelor scrise (ca de exemplu:
capacitatea de comunicare verbală).

97
Probele scrise măsoară cu acuratețe n ivelul performanțelor unui grup. S e
realizează sub forma extemporalelor (cuprind câteva întrebări din lecția curentă), a
lucrări lor de control (care se dau la sfârșitul un ei unități de învățare), a tezelor (l ucrări
scrise semestriale ) sau a e xamene lor naționale (evaluări naționale, bacalaureat) .
Acest tip de evaluare este economi c din punct de vedere a resurselor temporare,
oferă obiectivitate , dă posibilitatea elevilor de a elabora răspunsul în ritmul propriu, cu un
nivel de stres minim. Un dezavantaj maj or îl reprezintă faptul există o distanță mare în
timp între momentul evaluării, al constatării anumitor greșeli sau lacune și momentul
remedierii acestora.
Probele scrise mai pot lua forma testelor de plasament (cu scopul de a grupa elevii
astfel încât să poată începe un nivel de educație aproximativ de la același nivel ), a testelor
de diagnostic (formativ sau de progres , cu scopul de a evalu a progresul elevilor în
învățarea anumitor elemen te punctuale din cadrul unei discipline) sau a testelor sumativ e (
cu scopul de a evalua o parte mai vast ă de materie, și de a indica nivelul atins de elevi la
sfârșitul unei perioade de învățare).
Probe le practice verific ă modul în care elevii efectuează diferite lucrări specifice
unor obiecte de învățământ. Au avantajul de a întări legătura dintre teorie și practică și de a
evalua competențe de analiză, sinteză, practice. Pe de altă parte sunt consumatoare de timp
și de resurse. Pot fi folosite în cazul în care este necesar ca elevii să observe și să
înregistrez e date, să interpreteze rezultatele înregistrate, să se obișnuiască cu folosirea unor
aparate sau materiale.
Alte metode complementare de evaluare ar fi observarea sistematică a activității
și a comportamentului elevilor (prin fișe de observații curente , liste de control, fiș e de
caracterizare psiho -pedagogică ), investigația (cu enunțare a sarcinii de lucru , identificarea
modalităților de a se obține informațiile , strângerea datelor , stabilirea metodei de utilizare ,
elaborarea unui raport final), proiectul (cu enunțarea sarcinii de lucru, distribuirea
rolurilor, colectarea materialelor , prelucrarea și organizarea acestora, r ealizarea produsului ,
susținerea prezent ării), portofoliul (poate conține: lucrări scrise , teste, fișe, proiecte ),
autoevaluarea (cu scopul de a de î și autoeval ua și valoriz a propriile atitudini și
comportamente).
În cele ce urmează propunem o lucrare sumativă dată la sfârșitul clasei a XI -a,
partea de algebră.

98
Test sumativ

Clasa: a XI-a
Disciplina: Matematică (Algebră)
Specializar ea: Matematică -Informatică
Timp de lucru: 45 min

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
(10p) 1. Stabiliți valoarea de adevăr a propoziției:
„Orice sistem de ecuații liniare omogen are cel puțin o soluție.” A F
(10p) 2.
Valoarea determinantului ∆= 1𝑎𝑏
−𝑎11
−𝑏11 este:
a) 1; b) 𝑎−𝑏 2; c) 𝑎+𝑏 2; d) 𝑎2+𝑏2.
(16p) 3. Fie matrice a 𝐴= 1−1
−2 1 . Formați perechi de enunțuri adevărate:
a) 𝐴𝑡 i) 3−2
−4 3

b) 𝐴∗ ii) −1−1
−2−1

c) 𝐴−1 iii) 11
21

d) 𝐴2 iv) 1−2
−1 1
(15p) 4. Fie matrice le 𝐴= 2 2
−1−1 și 𝑋=𝐼2+𝑎𝐴, cu 𝑎∈𝑹.
Aflați 𝑋 1 ∙𝑋 2 ∙…∙𝑋(2018 ).
(21p) 5.

Fie sistemul de ecuații: 𝑎𝑥+𝑦+𝑧=4
𝑥+𝑏𝑦+𝑧=3
𝑥+2𝑏𝑦+𝑧=4 cu parametrii 𝑎,𝑏∈𝑹.
a) Aflați valorile lui 𝑎,𝑏 astfel încât sistemul să fie compatibil determinat
b) Aflați valorile lui 𝑎,𝑏 astfel încât sistemul să fie compatibil
nedeterminat
c) Aflați valorile lui 𝑎,𝑏 astfel încât sistemul să fie incompatibil.
(18p) 6. Fie matricele 𝐴,𝐵∈𝑀𝑛 𝑹 astfel încât 𝐴3=𝐴2 și 𝐴+𝐵=𝐼𝑛. Să se demonstreze că
matricea 𝐼𝑛+𝐴𝐵 este inversabilă.
Barem de corectare

99

1. A (10p)
2.
Calcul direct: ∆=1−𝑎𝑏−𝑎𝑏+𝑏2+𝑎2−1=(𝑎−𝑏)2
răspuns corect b) (10p)
3. a)-iv), b) -iii), c) -ii), d) -i)
Se acordă patru puncte pentru fiecare pereche corectă. (16p)
4.

Determinarea matricei 𝑋 𝑎 = 1+2𝑎𝑎
6𝑎 1+3𝑎
Calcul 𝑋 𝑎 ∙𝑋 𝑏 =𝑋 𝑎+𝑏+𝑎𝑏 =𝑋( 𝑎+1 𝑏+1 −1)
Demonstrarea prin inducție matematică a relației
𝑋 𝑎1∙𝑎2∙…∙𝑎𝑛 =𝑋 𝑎1+1 𝑎2+1 … 𝑎𝑛+1 −1
Deducerea relației
𝑋 1 ∙𝑋 2 ∙…∙𝑋 2018 =𝑋 2∙3∙…∙2019−1 =𝑋 2019 !−1 (2p)
(3p)

(8p)

(2p)

5.
a) Determinantul matricei sistemului 𝑑𝑒𝑡𝐴=𝑏(1−𝑎)
Un minor de ordin 2 nenul este 𝑎1
11 =𝑎−1
Sistemul este compatibil determinat dacă 𝑏≠0,𝑎≠1.

b) Dacă 𝑎=1,𝑏≠0 atunci sistemul devine 𝑥+𝑦+𝑧=4
𝑥+𝑏𝑦+𝑧=3
𝑥+2𝑏𝑦+𝑧=4
Minorul nenul 1𝑏
12𝑏 =𝑏≠0.
Determinantul caracterisitic 1 1 4
1𝑏 3
12𝑏4 =2𝑏−1.
Sistemul este compatibil nedeterminat dacă 𝑏=1
2.

c) Sistemul este incompatibil dacă 𝑏≠1
2.
Dacă 𝑏=0 sistemul devine 𝑎𝑥+𝑦+𝑧=4
𝑥+𝑧=3
𝑥+𝑧=4 incompatibil.

(3p)
(2p)

(2p)

(2p)

(2p)

(3p)

(4p)

(3p)
6. 𝐵=𝐼𝑛−𝐴

𝐼𝑛+𝐴𝐵=𝐼𝑛+𝐴∙ 𝐼𝑛−𝐴 =𝐼𝑛+𝐴−𝐴2
(3p)

(5p)

100
(𝐼𝑛+𝐴−𝐴2)∙ 𝐼𝑛−𝐴+𝐴2 =𝐼𝑛2−(𝐴−𝐴2)2=𝐼𝑛2−𝐴2+2𝐴3−𝐴4=𝐼𝑛

(𝐼𝑛+𝐴𝐵) 𝐼𝑛−𝐴𝐵 =𝐼𝑛 deci matricea 𝐼𝑛+𝐴𝐵 este inversabilă.
(7p)

(3p)

101
BIBLIOGRAFIE

1. Bennett, B., Curriculum la decizia școlii.Ghid pentru profesorii de liceu, Editura
Atelier Didactic, București, 2007
2. Brânzei, D., Brânzei, R., Metodica predării matematicii , Editura Paralela 45, Pitești ,
2017
3. Burtea, M., Burtea, G., Matematică clasa a XI -a. Exerciții și probleme , Editura
Carminis, Pitești, 2017
4. Cerghit, I., Perfecționarea lecției în școala modernă , Editura Didactică și
Pedagogică, București , 1983
5. Cerghit, I., Metode de învățământ , Editura Polirom , București , 2016
6. Cerghit, I., Neacșu, I., Negreț, I., Pânișoară, I. O., Prelegeri pedagogice , Editura
Polirom, Iași, 2001
7. Chiosa, S. T., Dan, C. T., Didactica matematicii , Editura Universitaria, Craiova,
2008
8. Covalciuc, F. G., Handa, M., Vasiluță, A., Determinanți și sisteme de ecuații.
Aspecte metodice , Editura Crizon, Constanța, 2010
9. Cucoș, C., Pedagogie, Editura Polirom, București , 2006
10. Ganga, M., Matematică. Manual pentru clasa a XI -a, Editura Mathpress, Ploiești ,
2016
11. Gardner, H, Mintea disciplinată , Editura Sigma, București , 2004
12. Ionescu, M., Radu, I., Didactica modernă, ediția a II -a, Editura Dacia, Cluj, 20 04
13. Manolescu, M., Evaluarea școlară un contract pedagogic , Editura Fundației
„Dimitrie Bolintineanu”, București , 2002
14. Năstăsescu, N., Niță, C., Stănescu, I., Matematică. Elemente de algebră superioară.
Manual pentru clasa a XI -a, Editura Didactică și Pedagogică, București , 2000
15. Nicola, I., Tratat de pedagogie școlară , Editura Didactică și Pedagogică, București ,
1996
16. Postelicu, C ., Fundamente ale didacticii școlare , Editura Aramis, București, 2000
17. Singer, M.,Voica, C., Învățarea matematicii. Elemente de didactică aplicată.
Ghidul Profesorului , Editura Sigma, București , 2002
18. Stan, E., Managementul clasei , Editura Aramis, București, 2006

102
19. Vlaicu, A. A., Optimizarea predării si învățării matematicii în liceu prin utilizarea
predominantă a problematizării , Editura Presa Universitară Clujeană, Cluj Napoca,
2013
20. www.reference.wolfram.com
21. http://pages.mtu.edu
22. http://www.mathtutordvd.c om/public
23. https://www.scientificcomputing.com/article
24. www.mateinfo.ro /subiecte -olimpiada -matematica/
25. https://www.olimpiade.ro/disciplina/matematica
26. http://problemerezolvatedematematica04.blogspot.com/p/matrice -si-determinanti