.algebra Liniara [630323]

1. Spații și subspa ții liniare (vectoriale)

1.1
Să se arate c ă mulțimea M m,n(ℝ) a matricilor de ordinul (m,n) cu elemente reale
formează spațiul liniar peste ℝ.

Rezolvare
Fie ()
n,1jm,1ijia A
=== , ()
n,1jm,1ijib B
=== , ∈jiaℝ, ∈jibℝ.
Definim cele dou ă operații ale spa țiului vectorial:
()
n,1jm,1iji jib a BA
==+=+ și ()
n,1jm,1ijia A
==α=α .

Verific ăm întâi propriet ățile de grup:

G1. Asociativitatea
Trebuie s ă arătăm că: (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C
()∀A,B,C∈ M m,n(ℝ).
Avem: (A + B) + C = ()()( )
n,1jm,1iji ji ji
n,1jm,1iji
n,1jm,1iji ji c b a c b a
==
==
==++= + +
()()( )
n,1jm,1iji ji ji
n,1jm,1iji ji
n,1jm,1iji c b a c b a)CB(A
==
==
==++= ++ =++ .
G2. Elementul neutru este matricea nul ă ()
n,1jm,1i0 O
=== ALGEBR Ă LINIARĂ 1
≶

G3. Elementul simetric
()()∈ =∀
==
n,1jm,1ijia A M m,n(ℝ) ()()∈ −=−∃
==
n,1jm,1ijia A M m,n(ℝ)
a.î. A + (-A) = (-A) + A = O
G4. Comutativitatea
()∈∀ B,A M m,n(ℝ) avem: ()
n,1jm,1iji jib a BA
==+=+
()
n,1jm,1iji jia b AB
==+=+
deci: A + B = B + A ()∈∀ B,A M m,n(ℝ).

Verific ăm acum propriet ățile legii externe:

1) ()()()()()A a a A
n,1jm,1iji
n,1jm,1iji αβ= αβ=βα=βα
==
== ()()∈ =∀
==
n,1jm,1ijia A
∈ M m,n(ℝ) ()∈βα∀,ℝ.

2) () A A Aβ+α=β+α ()∈∀A M m,n(ℝ), ()∈βα∀,ℝ

Avem: ()()()()()=β+α= β+α= β+α
==
==
==
n,1jm,1iji ji
n,1jm,1iji
n,1jm,1iji a a a a
()()()() A A a a a a
n,1jm,1iji
n,1jm,1iji
n,1jm,1iji
n,1jm,1iji β+α= β+ α=β+ α=
==
==
==
==.

3) () B A BA α+α=+α , ()∈∀ B,A M m,n (ℝ), ()∈α∀ℝ.
Avem: ()()()() .B A b a b a BA
n,1jm,1iji
n.1jm,1iji
n,1jm,1iji ji α+α= α+ α= +α=+α
==
==
==

4) ()∈∀=⋅ A A A1 M m,n(ℝ).
()() A a a1A1
n,1jm,1iji
n,1jm,1iji = = ⋅=⋅
==
==.
Notă
1 este scalarul cunoscut din ℝ.

1.2
Să se arate c ă mulțimea S a șirurilor de numere reale convergente formeaz ă spațiu
vectorial peste ℝ.

Rezolvare
Fie {} {} ∗ ∗∈ ∈ Nnn Nnn b, a două șiruri din S. Avem:
{}{} { } S b a b ann n nn nn ∈+=+
{} { } ∈α ∈α=α ,S a ann nn ℝ
deoarece și șirurile {}nn nba+ și {}nnaα sunt convergente.
Se verific ă ușor propriet ățile spațiului vectorial, elementul neutru fiind {0}, iar
simetricul lui {}nna e s t e șirul {}nna− .

1.3
Să se arate c ă mulțimea 0Sa șirurilor de numere reale convergente c ătre zero
formează un subspa țiu al lui S (vezi 1.2).

Rezolvare
Faptul c ă S S0⊂ este evident.
Fie {}{}nn nn y,x două șiruri din S 0 adică {}{} .0 y,0 xnn nn → →
Rezultă: {} 0 yxn n→+ și {} 0 xn→α , deci {}0 n n S yx∈+ , {}0 nn S x∈α . Cum 0Sc o nține și
șirul {0}, rezult ă că 0S este subspa țiu vectorial al lui S.

1.4
Fie C [a,b] mul țimea func țiilor reale de variabil ă reală definite și continue pe [a,b]
⊂ℝ. Să se arate c ă C [a,b] formeaz ă spațiu vectorial peste ℝ.

Rezolvare
Definim cele dou ă operații astfel:
(f + g)(x) = f(x) + g(x) ( ∀) f,g ∈ C [a,b] și (∀) x ∈ [a,b].

() ( ) ( ) xf xfα=⋅α (∀) f ∈ C [a,b], ( ∀) x ∈ [a,b] și (∀) α∈ℝ.
Funcțiile f + g, α f ∈ C [a,b] fiind și ele definite și continue pe [a,b]. Propriet ățile G 1 – G 4 se
verifică ușor. Elementul neutru este func ția O unde O(x) =0 ( ∀) x ∈ [a,b], iar opusul lui f
este – f, unde
(- f) (x) = – f(x) ( ∀) x ∈ [a,b].
Vom verifica propriet ățile legii externe:

1) ()() f f⋅αβ=β⋅α (∀) f ∈ C[a,b] și ()∈βα∀,ℝ.
Fie x ∈ [a,b]. Avem: ()[]()()[]()().xf xf xf αβ=αβ=β⋅α

2) ()[]() () ()[]()() []b,ax undexg xf xgxf xgf ∈ α+α=+⋅α=+α .
Deci: α (f+g)=αf + αg (∀) f,g ∈ C [a,b] și (∀) x ∈ [a,b], (∀) α ∈ ℝ.

3). ()[] () ( ) () ()()xf xf xf xf β+α=⋅β+α=⋅β+α (∀) x ∈ [a,b].
Deci: f f f) ( β+α=β+α (∀) f ∈ C [a,b] și ()∈βα∀,ℝ.

4). ff1=⋅ (∀) f ∈ C [a,b].

1.5
Să se arate c ă (){ ∈ =− it
1n 21 x/0,x,…,x,x X ℝ,}1n,1i−= este un subspa țiu liniar al lui
(ℝn,ℝ).

Rezolvare
Este evident c ă ⊂Xℝn. Avem:
() ( ) = + =+− −t
1n 21t
1n 21 0,y…,y,y o,x,…,x,xyx ( )t
1n 1n 2 21 1 0,y x,…,yx,yx−−+ ++=
() ( )t
1n 2 1t
1n 21 0,x ,…,x,x 0,x,…,x,x x− − ααα= α=α
Deci: x + y ∈ X, αx ∈ X (∀) x,y ∈ X și α ∈ ℝ.
Elementul neutru O=(0,0,…0,0) ∈X deci X este subspa țiu al lui (ℝn,ℝ).

2. Sisteme de vectori liniari dependen ți, independen ți. Bază a unui
spațiu vectorial. Me toda Gauss-Jordan

Metoda Gauss-Jordan sau regula dreptunghiului poate fi prezentat ă schematic
astfel:

unde am notat cu † pivotul, adic ă elementul în locul c ăruia vrem s ă obținem 1 (desigur el
trebuie s ă fie ≠ 0). Linia pivotului † se împarte la † iar pe coloana pivotului punem zero
(în locul pivotului se ob ține 1).
Să se studieze natura sistemului de vectori:
2.1



=


=


−=12v,02v,21v3 2 1 .

Rezolvare
Fie 


−=102221A . Deoarece r A =2< num ărul vectorilor, re-zult ă că vectorii sunt
liniar dependen ți (am notat r A rangul matricii A).
Fie : av 1 + bv 2 + cv 3 = 0 ⇒


=


+


+


−⇒00
12c02b21a
∈−−=−=⇒

=+=++−⇒ c,4c5b,2ca0c a20c2b2aℝ
Relația devine: 0 cv v4c5v2c
3 2 1 =+−−
Pentru c ≠ 0 obținem dependen ța liniară : 0 v4 v5v23 2 1 =−+

2.2



−=



−=


−=


=22v,11v,13v,03v4 3 2 1 † . † .
x . +
†. x
-.+
† .x
-.+
† † † † x – . +
, , ,

Rezolvare
Vectorii sunt liniar dependen ți deoarece =<= 42 rA numărul vectorilor.
Fie rela ția: av 1 + bv 2 + cv 3 + dv 4 = 0 ⇒

=+−=−+−⇒0d2cb0d2cb3a3
Varianta 1 : Rezolvând sistemul în mod obi șnuit obținem:
() ∈α=β−α=β−α= c,2 b,232a ℝ , ∈β=dℝ , adică:
()() 0 v3 v3 v2 3v2 24 3 2 1 =β+α+β−α+β−α
Varianta 2 : Aplicăm metoda Gauss-Jordan. Sistemul se scrie:


−=−=−
d2cbcd2b3a3

-3 c d2−
0 1 c d2+−
1 -1
3cd2−
0 -2d+c
1 0

0
1 3c2d4+−
-2d+c

Considerând: c = α∈ℝ , d = β∈ℝ, obținem:
β=α=β−α=β−α= d, c,2 b,34 2a

2.3




−−=


−=


−=


−=1 121v,1011v,1202v,031 1v4 3 2 1

Rezolvare 3
1

Avem patru vectori în M 2,2(ℝ). Fie: av 1 + bv 2 + cv 3 + dv 4 = 0
Rezultă:



=−+=− +=++ −=+−−
0 d c b0 d b2 a30 d2 c a0 d c b2 a

Fie A matricea sistemului. Avem:
0 13
01 11 2 33 2 0
0 01 11 0 2 33 0 2 01 1 2 1
1 1 1 01 0 2 321 0 11 1 2 1
A ≠=
−−−
−
−−−−−
=
−−−−−
=
Rezultă că sistemul are doar solu ția banală: a = b = c = d = 0, deci vectorii sunt liniar
independen ți.
Deoarece dim M 2,2(ℝ) = 4 vectorii da ți formeaz ă o bază în M 2,2(ℝ).

2.4
Fie în ℝn vectorii a,b,c liniar independen ți. Să se stabileasc ă natura sistemului de
vectori {3a-2b+c, 2a+b, a+2b}.

Rezolvare
Fie scalarii γβα,, din ℝ astfel încât:
() ( ) ()0 b2a ba2 cb2a3 =+γ++β++−α
Rezultă: () ( ) 0c b2 2 a 2 3 =α+γ+β+α−+γ+β+α .
Vectorii a,b,c fiind liniar independen ți, trebuie s ă avem:

=α=γ+β+α−=γ+β+α
00 2 20 2 3
⇒ ⇒=γ=β=α 0 vectorii da ți sunt liniar independen ți.
2.5
Fie vectorii:




=




−=




−=
011
v,
110
v,
221
v3 2 1
Putem determina scalarii α,β∈ℝ astfel încât: v 1 = αv2 + βv3 ?

Rezolvare
Varianta 1 :
Fie




−−=
01 211 2101
A . Avem: ==⇒≠= 3 r.01 AA numărul vectorilor.
Rezultă că vectorii sunt liniar independen ți deci ∌ α,β∈ℝ astfel încât s ă aibă loc rela ția
dată.
Varianta 2 :
⇒

=α−−=β+α=β
⇒




β+




−α=




−⇒β+α=
221
011
110
221
v v v3 2 1
⇒sistem incompatibil ⇒ ∌ α,β∈ℝ a.î. să aibă relația dată.

2.6
Fie vectorii :




=




=




=




=32 4
32 3
32 2
32 1
ddd1
v,
ccc1
v,
bbb1
v,
aaa1
v, a , b , c , d ∈ℝ.
Ce condi ții trebuie s ă îndeplineasc ă a,b,c,d astfel încât vectorii s ă fie liniar dependen ți?

Rezolvare
Fie A matricea vectorilor.
Avem: = =
3 3 3 32 2 2 2
d c b ad c b ad c b a1 1 1 1
A
) cd)(bd)(bc)(ad)(ac)(ab( −−−−−−=
Pentru ca vectorii s ă fie liniar dependen ți trebuie ca r A < 4 adică 0 A=. Aceasta are loc
dacă: ba= sau ca= sau da= sau cb= sau db= sau cd=.

2.7
Fie vectorii:




−=




−=




−−=



−
=
636
v,
212
v,
642
v,
321
v4 3 2 1

Forma ți toate bazele posibile în ℝ3 cu acești vectori.

Rezolvare
Putem forma cel mult 4 C3
4= baze în ℝ3 cu vectorii da ți.
Pentru {}321 v,v,v a v e m : ⇒=
−−−−
0
2 6 31 4 22 2 1
vectorii sunt liniar dependen ți ⇒ nu
formează bază în ℝ3.
Pentru {}421 v,v,v avem: ⇒=
−−−−
0
6 6 33 4 26 2 1
nu formeaz ă bază în ℝ3.
Pentru {}431 v,v,v a v e m : ⇒=−−−
0
6 2 33 1 26 2 1
nu formeaz ă bază în ℝ3.
Pentru {}432 v,v,v avem: ⇒=
−−−− 0
6 2 63 1 46 2 2
nu formeaz ă bază în ℝ3.
Rezultă că nici un triplet din cei 4 vectori nu poate forma baz ă în ℝ3.

2.8
Să se studieze natura sistemului de vectori:





=




=




=
m11
v,
11m
v,
1m1
v3 2 1 , m∈ℝ.

Rezolvare
Dac ă




=
m1111m1m1
A, avem ()()2m1m A2+−−= .

Discuție

I) Dacă m∈ℝ\{-2,1} atunci 0 A≠ deci vectorii sunt liniar independen ți și formeaz ă bază
în ℝ3.
II) 1m=⇒ ⇒<=⇒




= 31 r
111111111
AA vectori liniar dependen ți.
Avem: v 1 = v 2 = v 3
III) 2 m−=⇒⇒ =⇒




−−−
= 2 r
2 1 11 1 21 2 1
AA vectori liniar dependen ți.
Fie combina ția liniară:
⇒

=−+=++−=+−
⇒=++
0c2 b a0c b a20c b2 a
0 cv bv av3 2 1 a = b = c = α ∈ ℝ ⇒
⇒ dependen ța vectorilor este 0 v v v3 2 1 =++ .

2.9
Fie




−−
=
2213021111 02
A și fie 4,1i,ai= vectorii coloan ă din A.
Care afirma ție este adev ărată?
a) {}4321 a,a,a,a formeaz ă bază în ℝ3.
b) {}432 a,a,a nu formeaz ă bază în ℝ3.
c) {}431 a,a,a formeaz ă bază în ℝ3.
d) {}321 a,a,a formeaz ă bază în ℝ3.
e) Vectorul a 2 se poate scrie ca combina ție liniară de a 1, a3, a4.
f) Cu vectorii {}4321 a,a,a,a putem forma cel pu țin 3
4c baze în ℝ3.

Rezolvare
a) O bază în ℝ3 nu poate fi format ă din 4 vectori, deci afirma ția e falsă.

b) Fie .
22102111 0
B



−
= Avem: ==≠= 3 r,02 BB numărul vectorilor ⇒ vectorii sunt
liniar independen ți ⇒ formeaz ă baz ă
în ℝ3 ⇒ afirmație falsă.
c) Fie




−−
=
22 302111 2
B cu ⇒≠−= 02 B vectori liniar independen ți ⇒ afirmație
adevărată.
d) Fie ⇒≠=⇒




−−
= 04 B
2132111 02
B afirmație adevărată.
e) Fie A matricea vectorilor {}4321 a,a,a,a.
Avem: r A = 3 < num ărul vectorilor ⇒ { }4321 a,a,a,a liniar dependen ți ⇒ există scalarii
α, β, γ, δ astfel încât: 0 a a a a4 3 2 1 =δ+γ+β+α⇒
⇒

=δ+γ+β+α= γ+β+α−=δ+γ− α
0 2 2 30 20 2

δ−=γ+β+α=γ+β+α−δ−=γ− α
⇒
2 2 30 22
⇒
⇒ 2δ−=β=α , γ = 0, δ ∈ ℝ.
Obținem rela ția: a 2 = 2a 4 – a 1 ⇒ afirmație adevărată.
f) Cu vectorii {}4321 a,a,a,a se pot forma cel mult 3
4C baze în ℝ3 deci afirma ția dată este
falsă.

2.10
Fie vectorii:




−=




−=




−=



−
=
1211
v,
a010
v,
0121
v,
01a1
v4 3 2 1 , a∈ℝ.
Pentru ce valori ale lui a vectorii nu formeaz ă bază în ℝ4.

Rezolvare
Fie =
− −−− +=
−−−−
=
1 a1 12 0 3 31 1 1 1a1 0 0 0
1 a 0 02 01 11 1 2 a1 01 1
A
() .2aa3
a1 10 3 31 1 1a
+=
−−− +
−=
Pentru ca vectorii s ă nu formeze baz ă în ℝ4 trebuie s ă fie liniar dependen ți deci
0 A= adică {} .0,2 a−∈
2.11
Să se exprime vectorul




−=
0121
v în baza unitar ă și apoi în baza B = {v 1, v2, v3,
v4} unde:




−=




−=



−
=




−=
1211
v,
0121
v,
0131
v,
3010
v4 3 2 1 .

Rezolvare
Avem:




⋅+




⋅−




⋅+




⋅=




−
1000
0
0100
1
0010
2
0001
1
0121

deci coordonatele lui v în baza unitar ă {e1, e2, e3, e4} sunt 1, 2, -1, 0.
Observăm că vectorul v face parte din baza B și se poate scrie:
4 3 2 1 v0 v1 v0v0v ⋅+⋅+⋅+⋅= deci are coordonatele 0, 0, 1, 0 în baza B.

2.12
Fie B = {v 1, v2} bază în ℝ2 unde: 


=


=43v,21v2 1 .

Să se exprime vectorii 


−=


=11b,13a în aceast ă bază.
Rezolvare
Dacă notăm cu A matricea bazei avem: a B b,aA1−= B bA1−= .
Aplicăm metoda Gauss-Jordan:
A a b
3
2 4 3
1 -1
1
1 3

0 3

-5 -1

3
1 0
0 1 -9/2
5/2 7/2
-3/2

Deci: a B


−=2/52/9, bB



−=2/32/7.
Verificare : .a13
43
25
21
29=


=


+


−
.b11
43
23
21
27=


−=


−




2.13
Fie în ℝ3 baza B = {v 1, v2, v3} unde:
.
153
v,
310
v,
112
v3 2 1




=




=




−=
Determina ți vectorul v ∈ ℝ3 care are în baza dat ă coordonatele
vB =




416
.

Rezolvare
Din v B vA1−= rezultă v = Av B unde A este matricea bazei. 1
-2

Rezultă: .
131524
416
131511302
v




=








−=
Verificare : . v
131524
153
4
310
1
112
6 =




=




⋅+




⋅+




−⋅

2.14
Fie în ℝ3 bazele: B {}321 a,a,a= , B1 {}321 b,b,b= unde:




=



−
=




=



−
=



−
=




=
513
b,
021
b,
241
b,
202
a,
011
a,
542
a3 2 1 3 2 1 .
a) Să se verifice c ă B, B1 sunt baze în ℝ3.
b) Să se afle coordonatele lui




=
312
v în fiecare din aceste baze.
c) Să se determine matricea de trecere C de la baza B1
la baza B.
d) Să se afle coordonatele vectorilor a 1, a2, a3 în baza B1.

Rezolvare
a) Fie A, respectiv B matricile bazelor B respectiv B 1.
Avem: 0 16
50 212 431 1
B,0 22
2 0 50 1 42 1 2
A ≠=−
=≠=−−
=
Rezultă că ambele sisteme de vectori formeaz ă baze în ℝ3.
b) vA v1−=B , .vB v1
1−=B aplicăm metoda Gauss-Jordan:

A v

-1 -2
4 1 0
5 0 2
2
1
3 2

3 B v
1 -1 3
4 2 1
2 0 5 2
1
3
1 -1 3
0 -11
0 2 -1 2
-7
-1
1 0 7/6
0 1 -11/6
0 0 5/6
-7/6
4/3
1 0 0
0 1 0
0 0 1 1/4
-1/4
1/2

Deci: v B




−=
2/3136
111, vB1




−=
211
41.

Propunem cititorului s ă verifice c ă:






+ −+ −
=
3 2 13 2 1
b21b41b41a223a1113a116
v.

c) Din: vB vvA v
11
1−−
==
BB ⇒
1B B BvA v1−=

Știm pe de alt ă parte că vB = C-1vB1 unde C este matricea de trecere de la B1 la B. Trebuie
să avem: C-1 = A-1B, deci: C = B-1A. Avem:
B A

-1 3

4 2 1

2 0 5
2 -1 -2

4 1 0

5 0 2

1 -1 3

0 -11

0 2 -1
2 -1 -2

-4 5 8

1 2 6 1 -1/2 -1
0 4
0 5/2 7 1
-3
-2
1 0 -1/3
0 1 4/3
0 0 1/2
-1
1/2
1 0 0 0 1 0
0 0 1 6/11
-13/11
3/22
11/36
8/3
1
6 6

1 0 7/6

0 1 -11/6

0 0
4/3 -1/6 -2/3

-2/3 5/6 4/3

7/3 1/3 10/3

1 0 0

0 1 0

0 0 1
5/16 -5/16 -17/8

15/16 17/16 29/8

7/8 1/8 5/4
Deci:



 −−
=
20 2 1458 17 1534 5 5
161C
d) Matricea de trecere C de la baza B1 la B are prin defini ție drept coloane, coordonatele
vectorilor 321 a,a,a d i n B în baza B1. Avem deci:



−
=



−
=



−
=




=
102917
81
205834
161a,
2175
161a,
14155
161a3 2 11 1 1 B B B
Propunem cititorului s ă verifice c ă: ,b1614b1615b165a3 2 1 1 ++=
3 2 1 3 3 2 1 2 b810b829b1817a,b162b1617b165a ++−= ++−= .

2.15
Fie în ℝ4 baza B = {v 1, v2, v3, v4} unde:




=




−=




−=




−=
1001
v,
0112
v,
1120
v,
1111
v4 3 2 1 și fie




−=
4243
vB .
Determina ți vectorul v ∈ ℝ4 ale cărui coordonate în baza B sunt v B.

Rezolvare
Din formula v A v1−=B unde A este matricea bazei,
rezultă BvAv⋅= . 8/3

Avem:




−=




+++−−−−++
=




−⋅




−− −=
1111311
4 4 32 4 32 8 34 4 3
4243
101 101 1 101 2112 01
v.
2.16
Fie în ℝ2 baza B = {a,b}.
a) Dacă: c = 3a – b, d = 4a + b, s ă se arate c ă vectorii c,d formeaz ă de asemenea o baz ă
B1 = {c,d} în ℝ2.
b) Fie x ∈ ℝ2 astfel încât 


=35xB . Să se afle coordonatele vectorului x în baza B1.

Rezolvare
a) Trebuie s ă arătăm că vectorii c,d ∈ ℝ2 sunt liniar independen ți.
Fie ∈βα=β+α ,,0d c ℝ. Avem:
() () ( ) () 0b a4 3 0 ba4 ba3 =β+α−+β+α⇒=+β+−α .
Deoarece vectorii a,b formeaz ă bază în ℝ2 rezultă că sunt liniar independen ți,
deci:

=β+α−=β+α
00 4 3 de unde α = β = 0
b) Varianta 1
Fie C matricea de trecere de la B la B1, adică matricea care

are pe coloane coordonatele vectorilor c,d în baza B. Rezultă că:




−=1143C. Știm că B B1xC x1−= .
Aplicând metoda Gauss-Jordan ob ținem:

C Bx

4
-1 1
5 3 6

1 4/3
0 5/3
14/3

1 0 0 1 -1
2

Deci: 


−=21x
1B .
Varianta 2 :
Fie α,β coordonatele vectorului x în baza B1.
Avem: () ()()()b a4 3 ba4 ba3 d c x β+α−+β+α=+β+−α=β+α=
Dar: 


=35xB . Rezultă sistemul: 2 ,135 4 3=β−=α⇒

=β+α−=β+α.

2.17
Fie ()xnP spațiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult n, cu coeficien ți reali. Fie
vectorul () ()xnn
n 1 0 xa…xa a xP P∈+++= .
a) Determina ți coordonatele lui P(x) în baza B = {1,x,…,xn}.
b) Determina ți coordonatele lui P(x) în baza B1 = {1,x-a,…,(x-a)n}
a ∈ ℝ.

Rezolvare
a) Coordonatele lui P(x) în baza B sunt chiar coeficien ții polinomului: n 10 a,…,a,a .
b) Fie n 10 b,…,b,b coordonatele lui P(x) în baza B1. Avem:
n
n 1 0 )ax(b…)ax(b b)x(P −++−+=
1n
n 2 1 )ax(nb…)ax(b2 b)x(P−−++−+=′
2n
n 3 2 )ax(b)1n(n…)ax(b23 b2)x(P−−−++−⋅⋅+=′′
3n
n4 3
)ax(b)2n)(1n(n…)ax(b234 b23)x(P
−−−−+++−⋅⋅⋅+⋅⋅=′′′

ΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚ
n)n(b12)…2n)(1n(n)x(P ⋅⋅−−= .
Făcând în rela țiile de mai sus x = a, ob ținem: 7/3

!n)a(Pb,…,!k)a(Pb,,!3)a(Pb,!2)a(Pb),a(P b),a(P b
)n(
n)k(
k3 2 1 0
= =′′′=′′=′= =Κ

Rezultă că avem:
n)n(
2)ax(!n)a(P…)ax(!2)a(P)ax)(a(P)a(P)x(P − ++−′′+−′+= .

3. Sisteme de ecua ții și inecuații liniare.
Soluții de baz ă ale unui sistem de ecua ții liniare

Facem întâi o scurt ă prezentare teoretic ă.

Fie sistemul de ecua ții liniare AX = b unde:

() =




=




= ===
n21
m21
n,1jm,1iji
xxx
X,
bbb
b, a A
Μ Μ matricea necunoscutelor.

Presupunem m rA= și n m<. Putem deta șa deci din A o matrice B cu 0 B≠. Fie S
matricea r ămasă. Partajăm și matricea X în BX și SX unde BXconține necunoscutele
principale, iar SX pe cele secundare.
Avem: AX = b ⇒() ⇒=+⇒=


b SX BX bXXS/BS B
SB
s1 1
B SXBbB X− −−=⇒ .
Această formulă dă necunoscutele principale în func ție de cele secundare.
Pentru 0 XS= obținem b B X1
B−= (formula care d ă soluția de
bază BX).

Notă
Sistemul are cel mult m
nC s o l uții de bază.

3.1

a) Să se determine 3 solu ții de bază ale sistemului:



=







−+






−
10
xx
2113
xx
0 31 2
43
21.
b) Aflați coordonatele vectorilor 4,1i,ai= în baza B }a,a{43= unde ia reprezint ă
coloanele necunoscutelor ix din sistem.

Rezolvare
a) Sistemul de ecua ții liniare este:

=+−=++−
1 x2 x x30 x x3 x x2
4 3 14 3 2 1
Fie 


−=0 31 2B c u 03 B≠= și 



−=2113S.
Sistemul are cel mult 6 C2
4= soluții de bază.

nec. pr. Baza 1a 2a 3a 4a b

1x

2x
1a

2a
-1 3 1

3 0 -1 2
0

1
1 -1/2 3/2 1/2

0 -11/2 1/2 0

1

1 0 2/3

0 1 -11/3 1/3
1/3

2/3

3x

2x
3a

2a
-3 0 1 -2

-11 1 0
-1

-3

3x

4x
3a

4a
1/7 -2/7 1 0

11/7 -1/7 0 1
-1/7

3/7
Avem:





−=




−−=




=7/37/100
X,
0130
X,
003/23/1
X3 2 1
Propunem cititorului s ă afle solu țiile corespunz ătoare bazelor:
{} {} {}31 42 41 a,a,a,a,a,a 2
3/2
-1/3
-7

b) Coordonatele vectorilor ia în baza {}43a,a=B sunt date de coloanele din ultima
iterație, adică:



=


=



−−=


=10a,01a,7/17/2a,7/117/1a4 3 2 1 B B B B .
Verificăm doar pentru vectorii 1a și 2a:
1 4 3 a32
21
711
13
71a711a71=


=


+



−=+
2 4 3 a01
21
71
13
72a71a72=


−=


−



−−=−− .

3.2
Fie sistemul de inecua ții:

−≥++−≥−+−≤+−
1 x2 x2 x3 x x x2 x x x2
3 2 13 2 13 2 1
.
a) Scrieți sistemul de ecua ții atașat, aflați trei solu ții de baz ă ale lui și soluțiile
corespunz ătoare sistemului de inecua ții.
b) Fie: : fℝ3→ℝ, ()3 2 1 321 x4 x3x5 x,x,xf −+= .

Pentru ce solu ție de baz ă de la a) f î și atinge minimul?

Rezolvare
a) Înmulțim relația a doua și a treia cu (-1) și adăugăm variabilele de compensare
.0 y,0 y,0 y3 2 1 ≥≥≥ Obținem:

=+ −−−= + +−+= ++−
1 y x2 x2 x3 y x x x2 y x x x2
3 3 2 12 3 2 11 3 2 1
.3,2,1i0yi=≥

nec.
pr. Baza 1a 2a 3a 4a 5a 6a b
1y

2y

3y 4a

5a

6a
2 -1 1 1 0 0

-1 +1 0 1 0

-1 -2 -2 0 0 1
2

3

1 






= =
000
X,
132000
X1 1
1y

1x

3y 4a

1a

6a
0 1 -1 1 -2 0

1 -1 1 0 1 0

0 -1 0 1 1
-4

3

4 







=−=
003
X,
404003
X2 2
1y

1x

2x 4a

1a

2a
0 0 -4/3 1 -5/3 1/3

1 0 4/3 0 2/3 -1/3

0 1 1/3 0 -1/3 -1/3
-8/3

5/3

-4/3







−=−−
=
03/43/5
X,
003/803/43/5
X3 3

Soluțiile de baz ă 3 2X,X nu corespund deoarece au 0 y1<.
b) Avem de calculat doar valoarea lui f pentru solu ția X 1.
Avem: () ( ) 0 0,0,0f Xf1 = = .
3.2
Fie sistemul de inecua ții:

≥−≤+
1 x x23 x2 x
2 12 1.
a) Să se scrie sistemul de ecua ții atașat, să se afle toate solu țiile de baz ă ale sistemului
de ecuații și soluțiile corespunz ătoare sistemului de inecua ții.
b) Fie f:ℝ2↦ℝ, ()2 1 21 x x5 x,xf += . Să se afle pentru ce solu ție de baz ă f își atinge
maximul.
Rezolvare
a) Sistemul de ecua ții atașat este:

=− −= ++
1 y x x23 y x2 x
2 2 11 2 1, 0 y,0 y2 1 ≥≥ . 1
-3

nec.
pr. Baza 1a 2a 3a 4a b
1y
2y 3a
4a
1 2 1 0

2 -1 0
3

1

2 1 0

-2 1 0 1
3

-1 1X







=
−=
00
X;
1300
1
nu corespunde pentru c ă are
y2 = -1 < 0
1x

2y 1a

4a
1 2 1 0

0 5 1
3

5 2X






 = =
03
X;
5003 2

1x

1y
1a

3a
1 0 -1/2

0 5/2 1 1/2

1/2

5/2 3X 




= =02/1X;
02/502/1
3
2x

1y 2a

3a
-2 1 0 1

5 0 1
-1

5 4X







−=−=
10
X;
0510
4
2x

2y 2a

4a
1/2 1 1/2 0

0 -1/2 1
3/2

-5/25X 




=
−=2/30X;
2/502/30
5
nu corespunde: y 2 = -5/2 < 0
2x

1x 2a

1a
0 1 2/5 1/5

1 0 1/5 -2/5
1

1 6X







= =
11
X;06
011

b) Avem: () () ()()6 xf,1 xf,2/5 xf,15 xf6 4 3 2 = −= = = .
Pentru 


=03X2 funcția f își atinge maximul. Solu ția 2X este degenerat ă deoarece
are o component ă nulă.

4. Operatori liniari. Vectori proprii

4.1
Care dintre urm ătorii operatori sunt liniari? -1
-1
2
-1/2
-2
-5/2

a) U: ℝ2 ↦ℝ4, U(x)




+−+
=2 12 112 1
x4 xx x3xx x2
, unde ∈


=
21
xxx ℝ2
b) U: ℝ2 ↦ℝ2, U(x)



−+=
2 122
1
x xx2 x, unde ∈


=
21
xxx ℝ2
c) U: ℝ3↦ℝ3, U(x)




++−
=
23 13 2 1
x3x x2x4 x x
, unde ∈




=
321
xxx
xℝ3
d) U: ℝ3↦ℝ2, U(x)



−+++=
3 23 2 1
x x4 x2 x3 x, unde ∈




= 321
xxx
x ℝ3

Rezolvare
Reamintim c ă dacă X,Y sunt dou ă spații vectoriale definite pe acela și corp de
scalari K, aplica ția U:X↦Y este operator liniar dac ă:
() () Xy,x )y(U)x(U yxU ∈∀ +=+
()() K ,Xx )x(U )x(U ∈α∀∈∀ α=α
sau:
() ()() K , ,Xy,x ),y(U )x(U y xU ∈βα∀∈∀β+α=β+α .
a) Fie: ∈


=
21
xxx ℝ2, ∈


=
21
yyy ℝ2.
Avem: () =




β+α+β+αβ−α−β+αβ+αβ+α+β+α
=



β+αβ+α=β+α2 2 1 12 2 1 11 12 2 1 1
2 21 1
y4 x4 y xy x y3 x3y xy x y2 x2
y xy xU y xU
,)y(U)x(U
y4 yy y3yy y2
x4 xx x3xx x2
2 12 112 1
2 12 112 1
β+α=




+−+
β+




+−+
α=
()∈∀ y,xℝ2 ()∈βα∀,ℝ.
Rezultă că U este operator liniar.

b)
() =



β+αβ+α=β+α
2 21 1
y xy xU y xU




β−α− β+αβ+α+αβ+β+α=
2 2 1 12 2 112
12 2
12
y x y xy2 x2 yx2 y x




β−β+α−αβ+β+α+α==



−+β+



−+α=β+α
2 1 2 122
1 22
12 122
1
2 122
1
y y x xy2 y x2 xy yy2 y
x xx2 x)y(U )x(U

Deoarece: () U)y(U)x(U y xU ⇒β+α≠β+α nu este operator liniar.
c)
()
=




β+αβ+α+ β+αβ+α+β−α−β+α
==




β+αβ+αβ+α
=β+α
2 23 3 1 13 3 2 2 1 13 32 21 1
y3 x3y x y2 x2y4 x4 y x y xy xy xy x
U y xU

)y(U)x(U
y3y y2y4 y y
x3x x2x4 x x
23 13 2 1
23 13 2 1
β+α=




++−
β+




++−
α=,
()∈∀ y,xℝ3, ()∈βα∀,ℝ.
U este operator liniar.

d)
()




β−α−β+α+β+α+β+α+β+α==




β+αβ+αβ+α
=β+α
3 3 2 23 3 2 2 1 13 32 21 1
y x y x4 y2 x2 y3 x3 y xy xy xy x
U y xU





β−β+ α−αβ+β+β+β+α+α+α+α==



−+++β++



−+++α=β+α
3 2 3 23 2 1 3 2 13 23 2 13 23 2 1
y y x x4 y2 y3 y 4 x2 x3 xy y4 y2 y3 yx x4 x2 x3 x)y(U)x(U

Deoarece () U)y(U)x(U y xU ⇒β+α≠β+α nu este operator liniar.

4.2

Fie operatorul liniar:
U:ℝ3↦ℝ2, ∈




=



++−−+= 321
3 2 13 2 1
xxx
x,x2 x xx4 x x3)x(U ℝ3.
a) Scrieți matricea operatorului corespunz ătoare bazelor canonice.
b) Calculați U(x) pentru



−
=
625
x .
c) Calculați U(x) pentru 



−=24x.

Rezolvare
a) Fie B }ee,e{3,21= , B1 }e,e{21′′= bazele canonice (unitare) din ℝ3 respectiv ℝ2.

Varianta1 :
()
2 1 3 32 1 2 22 1 1 1
e2 e4 )e(U24
100
U)e(Ue e)e(U11
010
U eUe e3)e(U13
001
U)e(U
′+′−= ⇒


−=




=′+′= ⇒


=




=′−′= ⇒



−=




=
⇒ 



−−
=
2 41 11 3
A

Varianta 2 :
U(x) se mai poate scrie v sub forma:








−−=
321
xxx
2 114 13)x(U.
Știm că dacă A este matricea corespunz ătoare bazelor canonice avem:xA)x(Ut= .
Rezultă că: 



−−=2 114 13At deci




−−
=
2 41 11 3
A
b) Avem:


−=



++−+−=



−
1937
12 2 524 2 15
625
U.
c) U(x) nu are sens deoarece: ∉



−=24x ℝ3.

4.3
Operatorul U: ℝ2↦ℝ3 are matricea corespunz ătoare bazelor unitare




−−=13 061 2A. S ă se calculeze U(v) unde 



−=45v.

Rezolvare



−
=



−



−−
=⇒=
261710
45
1 63 10 2
)v(U vA)v(Ut.

4.4
Fie operatorii liniari U, V: ℝ3↦ℝ2,




+++=



−−+=
3 13 2 1
2 13 2 1
x3 xx4 x x2)x(V,x x2x x x)x(U
a) Care este operatorul U + V ?
b) Dacă A,B,C sunt matricile corespunz ătoare bazelor unitare din ℝ3 respectiv ℝ2,
stabiliți legătura dintre A,B,C.

Rezolvare
a) Prin defini ție: (U + V)(x) = U(x) + V(x) ( ∀) x ∈ ℝ3.
Deci:




+−++==



++++



−−+=+
3 2 13 2 13 13 2 1
2 13 2 1
x3 x x3x3 x2 x3x3 xx4 x x2
x x2x x x)x)(VU(

b) U(X)




−−=⇒











−− =
011 121
A
xxx
01 21 1 1xA
321t





=⇒










=
340112
B
xxx
301412xB
)x(V
321t





−=⇒











−=+
3 31 23 3
C
xxx
31 332 3xC
)x)(VU(321t

Observăm că: C = A + B.

4.5
Fie operatorii liniari U,V: ℝ2↦ℝ2,




−−=



+−−=
2 12 1
2 12 1
x4 x2x3 x)x(V,x2 xx5 x3)x(U
a) Calculați operatorul W = U ‧V.
b) Fie A,B,C matricele lui U,V,W corespunz ătoare bazelor canonice.
Ce rela ție există între A,B,C?
c) Există U-1, V-1? Dacă da, care sunt?
d) Dacă A1, B1, C1 sunt matricele lui U-1, V-1, W-1 corespunz ătoare bazelor canonice, ce
relație există între A 1, B1, C1?

Rezolvare
a) ()[] =



−−= =⋅=
2 12 1
x4 x2x3 xU xVU)x(VU)x(W




−+−=



−++−+−−=
2 12 1
2 1 2 12 1 2 1
x5 x3x11 x7
x8 x4 x3 xx20 x10 x9 x3
b) 



−−=⇒











−−=2 51 3A
xx
2 15 3xA
)x(U
21t





−−=⇒











−−=4 32 1B
xx
4 23 1xB
)x(V
21t





−−=⇒











−−=5 113 7C
xx
5 3117xC
)x(W
21t

Avem: [] xBA]xB[U)x(VU)x(Wt t t⋅⋅== = .
Rezultă: A BC BA Ct t t⋅=⇒⋅= .

Verificare : C5 113 7
2 51 3
4 32 1AB =



−−=



−−




−−=⋅ .
c) Un operator liniar U se poate inversa dac ă și numai dac ă nucleul s ău:
Ker U{ }0)x(U/ xn= ∈=
conține doar vectorul 0.
Pentru U avem: Ker U = {x ∈ℝ2/ 0 x2 x,0 x5x32 1 2 1 =+−=− .
Deoarece sistemul omogen:

=+−=−
0 x2 x0 x5 x3
2 12 1 are determinantul ≠ 0≠ ⇒ are doar solu ția
banală, deci ()1U }0{UKer−∃⇒= .
Fie U-1(y) = x unde ∈


=
21
yyy ℝ2.
Rezultă: U(x) = y adic ă: ℝ

()y A x yxAy x2 xy x5 x3 1t t
2 2 11 2 1−=⇒=⇒

=+−=−, unde A este matricea operatorului U
corespunz ătoare bazelor canonice.
Avem: ()


=−
3152A1t
Deci 



++=






=−
2 12 1
21 1
x3 xx5 x2
xx
3152)x(U

Notă
Dac ă A este matricea lui U atunci A-1 este matricea lui U-1 (considerând bazele
canonice).

Pentru operatorul V avem:
Ker V = {x ∈ ℝ2/ V(x) = 0} ⇒ 0 x x0 x4 x20 x3 x
2 1
2 12 1==⇒

=−=− ⇒
⇒ Ker V = {0} ⇒ ()1V−∃ .
Fie V-1(y) = x.
Atunci: () ().y Bx yxBy x4 x2y x3 xy)x(V1t t
2 2 11 2 1−=⇒=⋅⇒

=−=−⇒=
Dar: ()



−−=⇒



−−=−
1234
21B4 32 1B1t
Rezultă: ()



+−+−=







−−=⋅=−−
2 12 1
211t 1
x x2x3 x4
21
xx
1234
21)x( B)x(V .
d) Dacă =



−−=2 51 3A matricea lui U, atunci 


==−
3512A A1
1 = = matricea lui U-1.
Dacă =



−−=4 32 1B matricea lui V, atunci
=


−−==−
2/12/31 2B B1
1 matricea lui V-1.
Avem:
() =



++=⋅=− − −
2 12 1 1 1 1
x3 xx5 x2V)x(VU)x(W





−−−−=



++ −−++−−=
2 12 1
2 1 2 12 1 2 1
x7 x3x11 x5
21
x3 x x10 x4x9 x3 x20 x8
21
și are matricea 



−−−−=7 113 5
21C1 .
Dacă operatorul W = U ‧V are matricea C = B ‧A atunci W-1 are matricea
1 1 1
1 BA C C−−−== .
Propunem cititorului s ă verifice aceast ă relație

4.6
Fie operatorul U: ℝ3↦ℝ2, 



++−=
2 13 2 1
x x2x2 x x5)x(U. S ă se afle matricea
operatorului U corespunz ătoare bazelor B ={a 1, a2, a3} din ℝ3 și B1 ={e 1, e2}, unde:
,
011
a,
102
a,
111
a3 2 1




−=




=




−= 


=


=10e,01e2 1 .

Rezolvare
Avem:2 1 1 e e818
1 22 1 5
111
U)a(U +=


=



−++=




−=.
2 1 2 e4 e12412
42 10
102
U)a(U +=


=


+=




=.
2 1 3 e e616
1 21 5
011
U)a(U +=


=



−+=




−= .
Rezultă: =




=
1641218
A matricea lui U corespunz ătoare celor dou ă baze.

4.7
Fie U: ℝ2↦ℝ2 un operator liniar care are matricea corespunz ătoare bazelor
canonice 


−=3 01 2A. S ă se determine spectrul și vectorii proprii ai lui U. Exist ă o bază
în ℝ2 în care matricea operatorului U s ă fie diagonal ă?

Rezolvare
Prin spectrul unui operator U în țelegem mul țimea valorilor proprii ale lui U. Valorile
proprii sunt r ădăcinile ecua ției:
0 A=Ιλ− unde Ι este matricea unitate. Avem:
⇒=+λ−λ⇒=λ−−λ−⇒=Ιλ− 06 5 0301 20 A2
3 ,22 1 =λ=λ⇒ .
Vectorii proprii se g ăsesc rezolvând ecua ția x )x(Uλ= .
Cazul I : x2)x(U 2 =⇒=λ .
Știind că xA)x(Ut= rezultă:

=+−=⇒


=







−2 2 11 1
21
21
x2 x3 xx2 x2
x2x2
xx
3102
Dacă x1 = a ∈ ℝ atunci vectorii proprii sunt

∈


}0{\ a,aa.
Cazul II : a x0 x
x3x3
xx
3102×3)x(U 3
21
21
21
==⇒


=







−⇒=⇒=λ ∈ℝ.
Vectorii proprii sunt ∈




a,a0ℝ, }0a≠.
Deoarece spectrul lui U este format din dou ă valori distincte 3 ,22 1 =λ=λ , rezultă că
vectorii proprii sunt liniar independen ți și formeaz ă o bază în ℝ2.
De exemplu pentru a = 1, vectorii:







10,11 formeaz ă bază în ℝ2.
Matricea diagonal ă a lui U este:



3002.

ℝ

4.8
Fie operatorul liniar U: ℝ3↦ ℝ3,




+−++−+−
= 2 13 2 13 2 1
x xx x2 xx x x2
)x(U .
a) Să se determine valorile și vectorii proprii ai lui U.
b) Să se găsească o bază în ℝ3 în care matricea operatorului s ă fie diagonal ă.

Rezolvare
a) Avem: ⇒=Ιλ−




−−−
= 0 A,
01 11 211 1 2
A
()
() () 3 ,1 ,0 0 310 2 0
1 11 211 1 2
3 2 12
=λ=λ=λ⇒=λ−−λλ⇒⇒=λ+λ−λ−⇒=
λ−λ−−−−λ−
⇒
valorile proprii.
Cazul I : ⇒

= +−=++−=+−
⇒=⇒=λ
0 x x0 x x2 x0 x x x2
0)x(U 0
2 13 2 13 2 1

⇒ a xa xx
32 1
−===, a ∈ ℝ
Deci vectorii proprii corespunz ători lui 01=λ sunt


∈




−}0{\ a,
aaa
.
Cazul II : ⇒

= +−=++−=+−
⇒=⇒=λ
3 2 12 3 2 11 3 2 1
x x xx x x2 xx x x x2
x)x(U 1
⇒=∈==⇒

=−+−=++−=+−
⇒0 xa x x
0 x x x0 x x x0 x x x
32 1
3 2 13 2 13 2 1

⇒ mulțimea vectorilor proprii este


∈




}0{\ a,
0aa
. ℝ
ℝ
ℝ

Cazul III : ⇒

= +−=++−=+−
⇒=⇒=λ
3 2 12 3 2 11 3 2 1
x3 x xx3 x x2 xx3 x x x2
x3)x(U 3
a xa,a2 xa x
0 x3 x x0 x x x0 x x x
321
3 2 13 2 13 2 1
=∈=−=
⇒

=−+−=+−−=+−−
⇒ ℝ.
Mulțimea vectorilor proprii este:


∈



−
}0{\ a,
aa2a

Având 3 2 1 λ≠λ≠λ , vectorii proprii sunt liniar independen ți și formeaz ă bază în ℝ3.
Rezultă că vectorii:



−








− 121
,
011
,
111 formeaz ă bază în ℝ3 și matricea lui U corespunz ătoare
acestei baze e matricea diagonal ă:




300010000 .

4.9
Să se determine o baz ă în care operatorul U: ℝ4↦ ℝ4,




=
411
xx0x
)x(U a r e m a t r i c e a
diagonal ă.
Rezolvare
Vom c ăuta să găsim o baz ă formată din vectorii proprii. Ecua ția caracteristic ă este:
() ,0 0 1 0
10 0 00 0 00 0 00 1 0 1
2 12 2=λ=λ⇒=λ−λ⇒=
λ−λ−λ−λ−

14 3=λ=λ .
Pentru 0=λ din U(x) = 0 ob ținem: x 1 = x4 = 0, x 2 = a∈ℝ, x3 = b∈ℝ. ℝ

Vectorii proprii sunt:






≠+ ∈




0 b a, b,a,
0ba02 2.
Pentru
∈=∈===
⇒




=




⇒=λ
b xa x x0 x
xxxx
xx0x
143 12
4321
411
ℝ.
Vectorii proprii sunt






≠+∈




0 b a, b,a,
ba0a2 2.
Vectorii:




=




=




=




=
1000
e,
0101
e,
0100
e,
0010
e4 3 2 1 formeaz ă o bază în ℝ4 și U(e 1) = U(e 2) =
0, U(e 3) = e 3, U(e 4) = e 4 și matricea

corespunz ătoare acestei baze este:




1000010000000000
.

5. Funcționale liniare , biliniare , pătratice

5.1
Să se cerceteze dac ă următoarele func ționale sunt liniare:
a) f: ℝ4↦ℝ, f(x)4 3 2 1 x x4 x x5 ++−=
b) f: ℝ3↦ ℝ, f(x)32
2 1 x4 x x2−+=
c) f: ℝ2↦ ℝ, f(x) 7 x x62 1−+= .

ℝ
ℝℝ

Rezolvare
a) Verificăm dacă: () ∈βα∈∀β+α=β+α ,, y,x ),y(f)x(f )y x(f4ℝ.
Avem: () =




β+αβ+αβ+αβ+α
=β+α
4 43 32 21 1
y xy xy xy x
f y xf
() ()
)y(f )x(fy y4 y y5 x x4 x x5y x y4 x4 y x y5x5
4 3 2 1 4 3 2 14 4 3 3 2 2 1 1
β+α==++−β+++−α==β+α+β+α+β−α−β+α=

Rezultă că f este func țională liniară.
b) () +αβ+α+β+α=




β+αβ+αβ+α
=β+α222
22
1 1
3 32 21 1
yx2 x y2 x2
y xy xy x
f y xf
3 32
22y4 x4 y β−α−β+
( )( )=−+β+−+α=β+α32
2 1 32
2 1 y4 y y2 x4 x x2 )y(f )x(f
32
2 1 32
2 1 y4 y y2 x4 x x2 β−β+β+α−α+α=
Cum () ⇒β+α≠β+α )y(f)x(f y xf f nu e func țională liniară.
c) () 7 y x y6 x6y xy xf y xf2 2 1 1
2 21 1−β+α+β+α=



β+αβ+α=β+α .
( )( )=−+β+−+α=β+α 7 y y6 7 x x6 )y(f )x(f2 1 2 1
⇒β−β+β+α−α+α= 7 y y6 7 x x62 1 2 1 f nu e func țională liniară.

5.2
Fie f: ℝ4↦ ℝ, ∈




= +−+=
4321
4 3 2 1
xxxx
x,x3 x x5x2)x(fℝ4.
a) Să se arate c ă f este func țională liniară.
b) Să se determine matricea A corespunz ătoare bazei canonice.

ℝ

Rezolvare
a) +β+α−β+α+β+α=β+α )y x()y x(5)y x(2)y x(f3 3 2 2 1 1
)y(f )x(f)y3 y y5 y2()x3 x x5 x2( )y x(34 3 2 1 4 3 2 1 4 4
β+α==+−+β++−+α=β+α+
b) Varianta 1 :
Fie B = {e 1,e2,e3,e4} baza canonic ă în ℝ4.
Avem: 1
0100
f)e(f a5
0010
f)e(f a,2
0001
f)e(f3 3 2 2 1 −=




===




===




=
3
1000
f)e(f a4 4 =




== .
Rezultă că:




−=
3152
A. Varianta 2 :
()




−=⇒−=⇒







−=
3152
A 3152 A
xxxx
)3152(xA
)x(ft
4321t
.

5.3
Fie ℝ3↦ ℝ, ∈




= +−=
321
3 2 1
xxx
x,x2 x x4)x(fℝ.
a) Să se arate c ă f este func țională liniară.
b) Să se afle matricea A corespunz ătoare bazei canonice
B = {e 1, e2, e3}.

c) Să se afle matricea B corespunz ătoare bazei B1 = {v 1, v 2, v 3} unde:




=




=




=
110
v,
011
v,
101
v3 2 1 .

Rezolvare
a) =β+α+β+α−β+α=β+α )y x(2)y x()y x(4)y x(f3 3 2 2 1 1
∈∀β+α=+−β++−α= y,x)(,)y(f)x(f )y2 y y4()x2 x x4(3 2 1 3 2 1 ℝ.
b) Varianta 1 :
()




−=⇒−=⇒







−=
214
A 21 4 A
xxx
)21 4(xA
)x(ft
321t

Varianta 2
:

c) Varianta 1 :
Fie C matricea de trecere de la B la B1 adică:




=
101110011
C
Matricea C are pe coloane coordonatele vectorilor din B1 în baza B.
Atunci: A CBt= adică:




=




−




=
136
214
110011101
B.





−=




=⇒=




==−=




===




==
214
aaa
A 2
100
f)e(f a,1
010
f)e(f a,4
001
f)e(f a
321
3 32 2 1 1

Varianta 2 :
Avem:





=




=⇒
=




===




===




==
136
bbb
B
1
110
f)v(f b3
011
f)v(f b6
101
f)v(f b
321
3 32 21 1

5.4
Să se stabileasc ă natura sistemului de func ționale liniare:
3 2 1 33 2 1 23 2 1 1
x x2x )x(fx x2x)x(fx2 x x3)x(f
++−=−+=+−=
, f:ℝ3↦ℝ.

Rezolvare
Fie:

=+−=++−=−+
⇒=++
0 c b a20 c2 b2 a0 c b a3
0)x(cf)x(bf)x(af3 2 1
Determinantul sistemului fiind ≠ 0 ⇒ sistemul are doar solu ția banală a = b = c = 0 ⇒
funcționalele sunt liniar independente.

5.5
Fie: f: ℝ2 x ℝ2↦ ℝ, 22 12 21 yx6 yx2 yx5)y,x(f +−= ,
∈


=
21
xxx ℝ2, ∈


=
21
yyy ℝ2
a) Arătați că f este o fun țională biliniară.
b) Scrieți matricea A a lui f în baza canonic ă B = {e 1, e2}
c) Scrieți matricea B a lui f în baza B1 = {a, b} unde:



=



−=21b,13a.

Rezolvare
a) Arătăm întâi liniaritatea în raport cu primul argument:
∈ ∀ β+α=β+α z,y,x)().z,y(f)z,x(f )z,y x(f ℝ2, α, β ∈ ℝ.
Avem: −β+α=



β+αβ+α=β+α21 21
21
2 21 1zy5 zx5zz,y xy xf)z,y x(f
+ +−α=β+α+β−α− )zx6zx2 zx5( zy6 zx6zy2zx222 12 21 22 22 12 12
)z,y(f)z,x(f )zy6zy2 zy5(22 12 21 β+α= +−β+ .
Liniaritatea în raport cu al doilea argument:
∈∀ β+α=β+α z,y,x)(,)z,x(f)y,x(f )z y,x(f ℝ2, α, β ∈ ℝ.

Avem: −β+α=



β+αβ+α=β+α21 21
2 21 1
21zx5 yx5z yz y,xxf)z y,x(f
).z,x(f)y,x(f )zx6zx2 zx5()yx6 yx2 yx5( zx6 yx6zx2yx2
22 12 2122 12 21 22 22 12 12
β+α= +−β++ +−α=β+α+β−α−
b) Varianta 1 :
Dacă A este matricea corespunz ătoare bazei unitare, atunci: yAx)y,x(ft= .
Pe de alt ă parte putem scrie:
.yy
6250)x,x()y,x(f
21
2 1 







−= Rezultă: 



−=6250A .
Varianta 2 :
⇒
=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=


= =−=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=


= ==⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=


= ==⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=


= =
611601210510,10f)e,e(f a2 01611200501,10f)e,e(f a510600211510,01f)e,e(f a000610201501,01f)e,e(f a
22 2212 2121 1211 11





−=⇒6250A
c) Varianta 1 :
Fie 


=
22 2112 11
b bb bB matricea lui f corespunz ătoare bazei B1.

Avem:
30 22612221521,21f)b,b(f b29 )1(26322)1(1513,21f)a,b(f b202)1(61)1(223521,13f)b,a(f b3 )1)(1(63)1(2)1(3513,13f)a,a(f b
22211211
=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=


==−=−⋅⋅+⋅⋅−−⋅⋅=



−===⋅−⋅+⋅−⋅−⋅⋅=



−==−=−−⋅+⋅−⋅−−⋅⋅=



−−==
Rezultă:




−−=3029203B.

Varianta 2 :

Dacă C este matricea de trecere de la B la B1, atunci: ACCBt= .
Rezultă:




−−=



−



−+=



−



−


−=3029203
2113
17492
2113
6250
211 3B

5.6
Fie func ționala biliniar ă:
f: ℝ3 x ℝ3 ↦ℝ, 33 32 21 31 yx4 yx6 yx2 yx5)y,x(f ++−=
a) Determina ți matricea A corespunz ătoare bazei canonice
B = {e 1, e2, e3}.
b) Determina ți matricea B corespunz ătoare bazei B1 = {v 1, v 2, v 3} unde:




=




=




−=
021
v,
110
v,
213
v3 2 1

Rezolvare

a) Avem:



−
=⇒










−=
40 060 052 0
A
yyy
40 060 052 0
)x,x,x(yAx
)y,x(f321
321t
.
b) Fie C matricea de trecere de la B la B1 adică matricea care are pe coloane
coordonatele vectorilor v 1, v2, v3 în baza unitar ă B.
Avem:




−=
012211103
C.
Din relația: CACBt= rezultă:
⇒




−




−−
=




−



−



−
=
012211103
172 0100 0176 0
012211103
40 060 052 0
02111 021 3
B




−−
=⇒
4 15360 10206 11 40
B
Verificăm de exemplu elementele b ii, i = 1, 2, 3 l ăsând cititorului celelalte elemente:
402242)1(6)1(32235
213
,
213
f)v,v(f b11 11 =⋅⋅+⋅−⋅+−⋅−⋅⋅=




−−= =
10114116102105
110
,
110
f)v,v(f b22 22 =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=




= =
4 004026212015
021
,
021
f)vv(f b33 33 −=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=




= =Să se aduc ă la
forma canonic ă următoarele func ționale pătratice și să se stabileasc ă natura lor.

5.7
∈




= −−+−= 321
2
3 322
2 212
1
xxx
x,x xx6 x3 xx2 x)x,x(f ℝ3.

Rezolvare
Metoda Jacobi
Matricea func ționalei pătratice este:





−−− −−
=
1 3 03 3 10 1 1
A .
Minorii principali sunt:
0 11 A ,02311 1,01 ,013 2 1 0 ≠−==∆≠=−−=∆≠=∆≠=∆ .
Știind că dacă toți 3,2,1i,0i=≠∆ avem:
2
3
32 2
2
21 2
1
10y y y )x,x(f∆∆+∆∆+∆∆= rezultă: 2
32
22
1 y112y21y)x,x(f −+=
Funcționala este nedefinit ă.
Metoda Gauss
2
3 322
22
2 1 x xx6 x2)x x()x,x(f −−+−= .
Făcând transformarea :

==−=
3 32 22 1 1
x yx yx x y
care este nedegenerat ă (are determinantul
01≠= ), obținem:
2
32
3 22
12
32
32
3 22
12
3 322
22
12
3 322
22
1
y211y23y2 y y y49y23y2 yy)yy3 y(2 y y yy6 y2 y)x,x(f
−

−+=−




−

−+==− −+=−−+=
.
Facem transformarea nedegenerat ă:
3 33 2 21 1
y zy23y zy z
=− ==

și obținem: 2
32
z2
1 z211z2 z)x,x(f −+= .

Notă
Observ ăm că indiferent de calea pe care s-a ajuns la forma canonic ă, numărul
coeficien ților pozitivi (respectiv negativi) este constant (teorema iner ției).

5.7
∈




= +−= 321
31 32 21
xxx
x,xx4 xx xx3)x,x(f ℝ3.

Rezolvare
Metoda Jacobi nu poate fi explicat ă deoarece:




−− =
0 2/1 22/1 0 2/32 2/3 0
A are minorul principal 01=∆ .
Metoda Gauss
Fie transformarea:

=−=+=
3 32 1 22 1 1
y xy y xy y x

Rezultă: =+++−−=32 31 32 312
22
1 yy4 yy4 yy yy y3 y3)y,y(f
=+−+=++−=322
2 312
1 32 312
22
1 yy5 y3)yy y(3 yy5 yy3 y3 y3
322
22
32
3 1 yy5 y3 y41y21y3 +−




−

+=
Făcând transformarea:



==+ =
3 32 23 1 1
y zy zy21y z
rezultă:
=−

−−=−+−=2
3 322
22
12
3 322
22
1 z43zz35z3 z3 z43zz5 z3 z3)z,z(f
2
32
32
3 22
1 z43z3625z65z3 z3 −




−

−−= .

Fie:

3 33 2 21 1
z uz65z uz u
=− ==

Rezultă: 2
32
22
1 u34u3 u3)u,u(f +−= .
Matricea formei canonice este matricea diagonal ă:




−=
340 003 000 3
A
și are minorii principali: 0 12 ,09 ,033 2 1 <−=∆<−=∆>=∆ .
Rezultă că f este nedefinit ă.

Notă
Am v ăzut că 32 312
22
1 yy5 yy3 y3 y3)y,y(f ++−= .
Matricea acestei func ționale este:




− =
0 2/52/32/53 02/3 0 3
B cu:
0 12 ,09 ,03 ,13 2 1 0 ≠−=∆≠−=∆≠=∆=∆ .
Aplicând metoda Jacobi ob ținem forma canonic ă:
2
32
22
1 z43z31z31)z,z(f +−= .

5.9
Fie func ționala pătratică:
f: ℝ3 ↦ ℝ, 2
3 312
2 212
1 x3 xx2 x xx4 ax)x,x(f ++++= .
Să se determine valorile lui a ∈ ℝ astfel încât func ționala să fie pozitiv definit ă.

Rezolvare
Matricea formei p ătratice este:




=
30101212a
A.

Punem condi ția:
0 A ,04a122a,0a3 2 1 >=∆>−= =∆>=∆ .
Rezultă: 313a> .

6. Probleme propuse

Stabiliți natura urm ătoarelor sisteme de vectori și în caz de dependen ță să se determine
relația respectiv ă:

6.1




−=




−=
503
v,
412
v2 1 în ℝ3.

6.2



=



−=


−=40v,23v,14v3 2 1 în ℝ2.

6.3



−
=




=




−=
111
v,
213
v,
120
v3 2 1 în ℝ3.

6.4



−=



−=68v,34v2 1 în ℝ2.

6.5




−−=



−
=




−=
13m
v,
102
v,
1m13 2 v1 în ℝ3 , m∈ℝ

6.6




=




−=



−
=




−=
2010
v,
1100
v,
2102
v,
1111
v4 3 2 1 în ℝ4.

6.7
Fie vectorii:




−=




−=



−
=
507
v,
212
v,
1233 2 v1.
Determina ți scalarii α, β ∈ ℝ astfel încât: 3 1 2 v v v β+α= .

6.8
Fie vectorii a, b, c, d liniar independen ți . Care este natura sistemului de vectori
}db2,dcba,d4a,c2a3{ −++++− ?

6.9
Fie vectorii




=




=




=23
22
21
cc1
v,
bb1
v,
aa1
v , a, b,c ∈ ℝ.
Ce condi ții trebuie s ă îndeplineasc ă a, b, c pentru ca vectorii s ă fomeze o baz ă în ℝ3?

6.10
Fie matricea:




−− −
=
3 12 02 01 22 43 1
A și fie 4,1i,ai= vectorii coloan ă.
Care afirma ție este adev ărată?:
a) Vectorii a 1, a2, a3, a4 formeaz ă o bază în ℝ4.

b) Vectorii a 1, a3, a4 nu formeaz ă o bază în ℝ3.
c) Vectorii a 1, a2, a3, a4 sunt liniar dependen ți.
d) Vectorii a 1, a2, a3 sunt liniar independen ți.
e) Vectorii a 2, a3, a4 formeaz ă o bază în ℝ3.

6.11
Fie b i, i = 1, ,2, 3 vectorii linie din A în exerci țiul 6.10.
Care afirma ție este adev ărată?:
a) }b,b{31 sunt liniar dependen ți.
b) }b,b,b{3 21 sunt liniar independen ți.
c) }b,b{3 2 sunt liniar independen ți.

6.12
Fie vectorii:




=



−
=




=




−=
4321
v,
2011
v,
12a3
v,
1102
v4 3 2 1 , a∈ℝ
Determina ți parametrul real a astfel încât v 3 să fie dependent de v 1, v2, v4.

6.13
Pentru ce valori ale lui a ∈ ℝ, vectorii din 6.12 formeaz ă bază în ℝ4?

6.14
Fie B }v,v,v{3 21 bază în ℝ3.
Este și B1 }v v,v v,v v{2 1 3 2 3 1 + + −= bază în ℝ3?

6.15
Fie în M2,2 (ℝ) vectorii:




−=



−=



−=


−=5121v,2103v,1112v,3021v4 3 2 1



=4321v

Formeaz ă }v,v,v,v{4321 bază în M2,2 (ℝ)? Dacă da, aflați coordo-natele lui v în aceast ă
bază.

6.16
Fie B },v,v{21= bază în ℝ2 unde: 


=


=20v,53v2 1 .
Aflați coordonatele lui 


=1110v în aceast ă bază.

6.17
Fie vectorii:




=




=




=



−
=
412
v,
101
v,
120
v,
521
v3 2 1 .
Aflați coordonatele lui v în baza B =} v,v,v{321 .

6.18
Fie vectorii:




−=




−=




−=




=
013
v,
111
v,
102
v,
cba
v3 2 1
Determina ți a, b, c ∈ ℝ astfel încât coordonatele lui v în baza
B =} v,v,v{321 să fie chiar a, b, c.

6.19
Fie:




−−=




−=




−=




−=




−−
=
2211
v,
1210
v,
2203
v,
1021
v,
2111
v4 3 2 1
a) Arătați că } v,v,v,v{4321 formează bază în ℝ4.
b) Determina ți coordonatele lui v în baza canonic ă.
c) Determina ți coordonatele lui v în baza B = }v,v,v,v{4321 .
d) Care este matricea de trecere de la baza canonic ă la baza B?

6.20
Fie vectorii: 


=


−=



−=


=40d,12c,11b,23a.
a) Arătați că B = {a, b}, B1 ={c, d} sunt baze în ℝ2.
b) Aflați coordonatele vectorului 



−−=14v î n b a z e l e B, B1.
c) Aflați legătura dintre v B, vB1 .
d) Care este matricea de trecere de la B la B1?
e) Care este matricea de trecere de la B1 la B?

6.21
Care este baza unitar ă în M2,3(ℝ)? Dar în M3,2(ℝ)?

6.22
Fie




−−− −
=
3 21 00 21 11 m312 1 0 2
A, m ∈ ℝ.
a) Determina ți parametrul m astfel încât vectorii coloan ă din A să formeze baz ă în ℝ4.
b) Aflați valorile lui m pentru care vectorii linie din A formeaz ă bază în ℝ4.
c) Pentru valorile lui m de la a), b) matricea A este inversabil ă?

6.23
Afla ți soluțiile de baz ă ale sistemului:

=+−+−−=−+−
0 x2 x x3 x1 x x x x2
4 3 2 14 3 2 1

6.24
Fie a i vectorii necunoscutelor x i din sistemul:

−=++=−+−=+−+−
1 x2 x x30 x x3 x x2 x x x2 x
4 3 24 3 2 14 3 2 1

a) Arătați că B =} a,a,a{321 formeaz ă bază în ℝ3.

b) Găsiți soluția de baz ă corespunz ătoare lui B.

6.25
Fie sistemul de ecua ții:

=++−+−=−++−
1 x x4 x x x2 x x x2 x x3
5 4 3 2 15 4 3 2 1
Găsiți soluția de baz ă care are x 1 = x2 = x 3 = 0 .

6.26
Fie sistemul de inecua ții:

≤++−≥+−
2 x2 x x20 x x2 x
3 2 13 2 1
Scrieți sistemul de ecua ții atașat. Aflați soluțiile de baz ă ale acestuia și soluțiile
corespunz ătoare sistemului de inecua ții.

6.27
Care dintre urm ătorii operatori este liniar:
a) U: ℝ2 ↦ ℝ3,




++−−−
=
3 x4 x9 x2x3 x5
)x(U
2 112 1
, x ∈ ℝ2
b) U: ℝ2 ↦ ℝ2, 



−+−=
2 12 1
x x3x6 x2)x(U , x ∈ ℝ2
c) U: ℝ3 ↦ ℝ2, 



− −+−=
3 132
2 1
x x4x x2 x)x(U, x ∈ ℝ3
d) U: ℝ2 ↦ ℝ4,




+−
=22
112 1
xx
x2xx5 x4
)x(U, x ∈ ℝ2

6.28
Fie operatorii liniari U, V: ℝ3 ↦ ℝ3,




−+++−
=




++−+−
=
2 13 23 2 1
3 23 13 2 1
x4 xx xx7 x x2
)x(V,
x xx x2x2 x x
)x(U

a) Determina ți matricile A, B ale lui U respectiv V în bazele canonice.
b) Calculați U‧V și matricea lui C în bazele canonice.
c) Calculați V‧U și matricea lui D în bazele canonice.
d) Ce legătură există între A, B, C, D?

6.29
Fie operatorii liniari U, V de la 6.28 cu matricile A, B în bazele canonice. S ă se afle
operatorul U-V. Dac ă C este matricea lui U-V corespunz ătoare bazelor canonice, s ă se
afle legătura dintre A, B, C.

6.30
Fie operatorul U: ℝ2 ↦ ℝ2, 



++=
2 12 1
x4 xx6 x2)x(U
a) Este U operator liniar?
b) Există U-1(x). Dacă da, calcula ți-l.
c) Dacă A, B sunt matricile lui U respectiv U-1, ce legătură există între A și B?

6.31
a) Să se afle valorile și vectorii proprii ai operatorului U de
la 6.30.
b) Există o bază în ℝ2 în care matricea lui U s ă fie diagonalizat ă?

6.32
Fie operatorul liniar U: ℝ3 ↦ ℝ3,




+−+−+
=
2 13 13 2 1
x xx3 xx x x2
)x(U
a) Scrieți ecuația caracteristic ă a operatorului U.
b) Ce reprezint ă soluțiile ei?

6.33
Care dintre urm ătoarele func ționale sunt liniare:
a) f: ℝ3 ↦ ℝ, 5 x2 x6 x2)x(f3 22
1 −+−= , x ∈ ℝ3.
b) f: ℝ4 ↦ ℝ, 4 3 2 1 x2 x x9x12 )x(f −++−= , x ∈ ℝ4.
c) f: ℝ2 ↦ ℝ, 3
2 1x x6)x(f −= , x ∈ ℝ2.
d) f: ℝ3 ↦ ℝ, 3 2 1 x9 x x5)x(f +−= , x ∈ ℝ3.

6.34
Fie f: ℝ5 ↦ ℝ, 5 4 3 2 1 x12 x x6 x3x2 )x(f ++++−= , x ∈ ℝ5.
a) Arătați că f este func țională liniară.
b) Scrieți matricea lui f în baza unitar ă.

6.35
Fie f: ℝ3 ↦ ℝ, 3 2 1 x9 x x6)x(f +−= .
a) Arătați că f este func țională liniară.
b) Scrieți matricea lui f în baza canonic ă.
c) Scrieți matricea lui f în baza B =} v,v,v{321 unde:




−−−
=




=




−=
111
v,
101
v,
112
v3 2 1 .

6.36
Determina ți natura sistemului de func ționale liniare:
3 2 1 33 2 1 23 2 1 1
x x x2 )x(fx x x )x(fx6 x2 x3 )x(f
−+ =+−−=++ =
, fi: ℝ3 ↦ ℝ, i = 1, 2, 3.

6.37
Care este leg ătura dintre urm ătoarele func ționale liniare:
2 1 42 1 32 1 22 1 1
x x )x(fx9 x2 )x(fx x6 )x(fx x3 )x(f
−−=+ =− =+−=
, fi: ℝ2 ↦ ℝ, 4,1i= .

6.38
Care dintre urm ătoarele func ționale sunt biliniare:
a) f: ℝ3 x ℝ2 ↦ ℝ, 2 13 21 x6 yx yx2)y,x(f +−=
b) f: ℝ2 x ℝ2 ↦ ℝ, 22 12 11 yx14yx9yx3)y,x(f +−= .
c) f: ℝ2 x ℝ3 ↦ ℝ, 12 32 22
1 yx4 yx yx)y,x(f +−=

6.39
Fie func ționala biliniar ă:
f: ℝ3 x ℝ3 ↦ ℝ, 23 22 12 31 yx2 yx4 yx yx3)y,x(f ++−= .
a) Aflați matricea ei A în baza canonic ă.
b) Aflați matricea ei B în baza B = }c,b,a{ unde:




−−=




−−
=




−−
=
110
c,
011
b,
101
a.
c) Care este leg ătura între A și B?

6.40
Fie func ționala biliniar ă:
f: ℝ2 x ℝ3↦ℝ, 11 21 12 31 yx2 yx6 yx5 yx3)y,x(f −++= , x∈ℝ2, y∈ℝ3
a) Să se afle matricea A corespunz ătoare bazelor canonice din ℝ2 respectiv ℝ3.
b) Să se afle matricea B corespunz ătoare bazelor B = }a,a{21
din ℝ2 și B1 = } b,b,b{321 din ℝ3 unde:




=




=




=



−=


−=
110
b,
101
b,
011
b,23a,12a3 2 1 2 1
c) Care este leg ătura între A și B?
Indicație
b) ()
3,2,1j2,1ijib B
=== unde ), b,a(f bji ji= , i=1,2; j=1,2,3.
Se obține: 


 −−−=27 13 2218 7 13B.
c) Dacă C este matricea de trecere de la baza canonic ă din ℝ2 la
baza B iar C 1 este matricea de trecere de la baza canonic ă din ℝ3 la B1, atunci: B = Ct
A C 1.

6.41
Scrie ți matricea func ționalei pătratice:
f: ℝ4 ↦ ℝ, 432
42
3 322
2 42 312
1 xx5 x x xx8 x12 xx9 xx6 x4)x,x(f +−+−++−= , x∈ℝ4.

6.42
Fie func ționala pătratică:
f: ℝ3 ↦ ℝ, 322
22
1 31 xx6 x x xx2)x,x(f −+−= .
Stabiliți natura ei aducând-o la forma canonic ă.

6.43
Stabili ți natura func ționalei pătratice:
f: ℝ3 ↦ ℝ, 32 21 31 xx xx2 xx6)x,x(f +−= .

6.44
Aduce ți la forma canonic ă și stabiliți natura urm ătoarei func ționale pătratice:
f: ℝ2 ↦ ℝ, 21xx4)x,x(f=

6.45
Fie func ționala pătratică:
f: ℝ3 ↦ ℝ, 322
32
2 21 312
1 xx2 x x3 xx6 xx4 ax)x,x(f −+−+−= , a∈ℝ.
Pentru ce valori ale lui a func ționala este pozitiv definit ă? Dar negativ definit ă?