Adrianbld99@gmail.com 379 Licentaa Text

1 Capitolul 1 Trigonometria plană 1.1 Unghiuri. Clasificarea și măsurarea unghiurilor. Semidreptele (a) și (b) care au originea în același punct O definesc un u nghi notat cu (a, b) ̂ sau ∡aOb. Și originea O a semidreptelor se numește vârful unghiului ,iar cele doua semi drepte sunt laturile lui. Avem u nghiul ∡AOB care se consideră orientat pozitiv dacă semidreapta OA se poate suprapune peste semidreapta OB printr -o rotație în sens invers acelor de ceasornic (sens trigonometric sau sens pozitiv) .Iar d ouă unghiuri sunt congruente dacă prin suprapunere coincid. Și se numesc unghiuri adiacente două unghiuri care au o latură comună, vârful comun și celelalte laturi de o parte și de alta a laturii comune. Bisectoarea unui unghi este semi dreapta cu origi nea în vârful unghiului ,situată în interiorul unghiului și care formează cu laturile unghiului inițial unghiuri congruente. Două drepte sunt perpendiculare dacă semidreptele lor formează unghiuri adiacente congru- ente. Un unghi cu laturile perpen diculare se numește unghi drept . Avem un cerc cu centrul în punctul O și de rază r. Și un unghi cu vârful în O care se numește unghi la centru . Dacă A și B sunt intersecțiile laturilor unui unghi la centru cu cercul, spunem că unghi ul ∡AOB determină arcul de cerc AB̂. Domeniul mărginit de razele 𝑂𝐴̅̅̅̅,𝑂𝐵̅̅̅̅și de arcul 𝐴𝐵̂ se numește sector de cerc . Dacă A′ este cealaltă intersecție a dreptei (OA) cu cercul, atunci segmen- tul 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅ este diametru al cercului ¸si are lungimea 2r. Un diametru împarte cercul în două arce egale numite semicercur i. Fie d ouă puncte M și N de pe cerc astfel încât segmentul 𝑀𝑁̅̅̅̅̅ are lungime mai mică decât 2r formează o coardă . Domeniul plan mărginit de o coardă 𝑀𝑁̅̅̅̅̅ și arcul corespunzător 𝑀𝑁̂ formează 2 un segment de cerc. Un unghi care are vârful pe cerc și laturile sunt coarde ale cercului se numește unghi înscris în cerc. Pe același cerc, la unghiuri la centru congruente corespund arce congruente și reciproc. Lun- gimea unui a rc este proporțională cu mărimea unghiului la centru corespunzător. C ompararea un- ghiurilor se face prin compararea arcelor determinate pe același cerc de către unghiurile la centru. Unități de măsură pentru unghiuri: • radian – unghiul pentru care raportul dintre arcul corespunzător și rază este 1°. Cercul în- treg are 2π radian i, un semicerc are π radiani, iar unghiul drept are radiani • grad sexagesimal – unghiul congruent cu a 90 -a parte a unghiului drept, notat 1°. A 60 -a parte dintr -un grad sexagesimal se numește minut sexagesimal, notat 1′, iar a 60 -a parte dintr -un minut sexagesimal se numește secundă sexagesimală, notată 1′′. Avem 10 = 60′ = 3600′′ • grad centesimal – unghiul congruent cu a 100 -a parte a unghiului drept, notat 1𝑔. A 100 -a parte dintr -un grad centesimal se numește minut centesimal, notat 1𝑐, iar a 100 -a parte dintr -un minut centesimal se numește secundă centesimală, notată 1𝑐𝑐. Avem 1𝑔= 100𝑐=10000𝑐𝑐 După mărime, unghiurile se clasifică astfel: • unghi nul: 00 = 0rad = 0g • unghi ascuțit: 00 < α0 < 900 sau 0 sau 0g < αg < 100g • unghi drept • unghi obtuz: 900 < α0 < 1800 sau 100g < αg < 200g • unghi alungit: 180° =2𝜋𝑟𝑎𝑑 =200𝑔 3 • unghi supraobtuz (sau reflex ): 180 °< 𝛼 °< 360° sau 𝜋 < 𝛼̂< 2𝜋 sau 200 𝑔< 𝛼𝑔 < 400𝑔 • unghi complet : 3600 = 2πrad = 400g Cercul are lungimea de 2𝜋𝑟 iar aria interiorului cercului este 𝜋𝑟2 iar aceste formule cores- pund la unghiul complet, pentru un arc oarecare ∝ deducem c ă lungimea unui arc de cerc este 𝐿𝑎𝑟𝑐=π𝑟α0 180=α̂r iar aria unui sector de cerc este 𝐴sector =π𝑟2α0 360=α̂𝑟2 2 Considerăm în plan un sistem de coordonate cartezian xOy. Care s e numește cerc trigono- metric cercul cu centrul în originea O și de rază r = 1. Iar orientarea pozitivă a arcelor pe cerc este dată de sensul trigonometric (invers acelor de ceasorni c). Lungimea circumferinței unui cerc de rază r este 2π𝑟, deci lungimea cercului trigonometric este 2π. Pe cercul trigonometric, oricărui unghi la centru de măsură α∈[0,2π] corespunde pe cerc un arc de măsură egală, măsurat în sens trigonome tric de la punctul (1; 0) la un punct P de pe cerc. După cum ∝ este ascuțit, obtuz sau supraobtuz, punctul corespunzător P este în cadranul I, II, III sau IV. Pentru valori mai mari decât 2𝜋(sau negative) putem găsi de asemenea puncte co respunză- toare pe cercul trigonometric ∀𝑡∈R,∃α∈[0,2π],k∈Z astfel încât t=α+2kπ Definim funcția 𝑓 : 𝑅 → Γ prin 𝑓(𝑡)=𝑃 unde P este unicul punct de pe cercul trigonometric Γ pentru care arcul orientat pozitiv măsurat pe cerc din punctul (1 ,0) până la P are lungimea α. 4 1.2 Funcții trigonometrice Funcția definită anterior se numește fu ncție de trecere de la dreapta reală la cerul trigonometric și are următoarele proprietăți: • nu este injectivă f(𝑡)=f(𝑡+2π) • este surjectivă • este peri odică de perioadă principală 2π Cu ajutorul acestei funcții sunt definite funcțiile cos și sin: cos:R→[−1,1],cos𝑡=𝑥𝑝 sin:R→[−1,1],sin𝑡=𝑦𝑃 așadar cosinusul și sinusul in 𝑡∈ℝ sunt abscisa, respectiv ordonata ordonată unicului punc t de pe cercul trigonometric corespunzător lui t. În valorile lui t pentru care cos𝑡≠0 se definesc : tg𝑡=sin𝑡 cos𝑡,sec𝑡=1 cos𝑡 În valorile lui pentru care sin𝑡≠0 se definesc: ctg=sin𝑡 cos𝑡,cosec 𝑡=1 sin𝑡 Într-un triunghi dreptunghic având unul din unghiurile ascuțite θ obținem sin𝜃=𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑎 𝑜𝑝𝑢𝑠 ă 𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑧 ă,ctg𝜃 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑎 𝑎𝑙ă𝑡𝑢𝑟𝑎𝑡 ă 𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑧 ă tgθ=𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑎 𝑜𝑝𝑢𝑠 ă 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑎 𝑎𝑙ă𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑡ă,ctg𝜃 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑎 𝑎𝑙ă𝑡𝑢𝑟𝑎𝑡 ă 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑎 𝑜𝑝𝑢𝑠 ă sec θ=ipotenuză teta alăturată ,cosec𝜃ipotenuză cateta opusă Astfel avem sin(π 2− θ)=cosθ, cos(π 2−θ)=sinθ, tg(π 2− θ)=ctg ctg(π 2−θ)=tgθ,sec(π 2−θ)=cosec θ,cosec (π 2−θ)=sec Din teorema lui Pitagora se obține formula fundamentală a trigonometriei sin2𝜃+cos2𝜃=1 5 Valorile funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile importante din primul cadran sunt : Valorile funcțiilor trigonometrice pentru unghiuri din cadranele II, III ¸si IV pot fi calculate folosind următo arele formule de reducere la primul cadr an: sin(𝜋−𝜃)=sin𝜃,cos(𝜋−𝜃)=−cos𝜃 sin(𝜋+𝜃)=−sin𝜃,cos(𝜋+𝜃)=−cos(𝜋+𝜃) sin(2𝜋−𝜃)=−sin𝜃,cos(2𝜋−𝜃)=cos𝜃 sin(−𝜃)=−sin𝜃,cos(−𝜃)=cos𝜃 Proprietăți ale funcției 𝑠𝑖𝑛: - este funcție impară :sin(−𝑥)=−sin𝑥 - este funcție periodică de perioadă 2 π: sin(𝑥+2𝜋)=sin𝑥 - este continuă și derivabilă pe ℝ: (sin𝑥)′=cos𝑥 θ 0 𝜋 4(450) 𝜋 3 (600) sinθ 0 1 2 √2 2 √3 2 1 cosθ 1 √2 2 √3 2 1 2 0 tgθ 0 √3 3 1 √3 ∞ ctgθ ∞ √3 1 0 6 - dezvoltarea în serie de puteri: - grafic Proprietăți ale funcției cos: - este funcție pară :cos(−𝑥)=cos𝑥 - este funcție periodică de perioadă 2 π: cos(𝑥+2𝜋)=cos𝑥 - este continuă și derivabilă pe R: (cos𝑥)′=−sin𝑥 - dezvoltarea în serie de puteri: - grafic Proprietăți ale funcției tg: - este funcție impară: 𝑡𝑔(−𝑥)\ =−𝑡𝑔𝑥 - este funcție periodică de perioadă 𝜋:𝑡𝑔(𝑥+𝜋)=𝑡𝑔𝑥 - este continu ă și derivabilă pe : 7 - grafic Proprietăți ale funcției ctg: - este funcție impară: ctg(− x) = −ctgx - este funcție periodică de perioadă 𝜋:𝑐𝑡𝑔(𝑥+𝜋)=𝑐𝑡𝑔𝑥 - este continuă și derivabilă pe (𝑐𝑡𝑔 𝑥)′=−1 sin2𝑥 -grafic Proprietăți ale funcției sec: - este funcție pară : sec(−𝑥)=sec𝑥 - este funcție periodică de perioadă 2𝜋: - este continuă și derivabilă pe - grafic: 8 Proprietăți ale funcției cosec: - este funcție impar :𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 (−𝑥)=−𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 - este funcție periodică de perioadă 2 π: - este continuă și derivabilă pe ℝ∖{𝑘𝜋;𝑘∈𝑍} - grafic : 9 1.3 Formule trigonometrice Folosind formula fundamentală trigonometriei sin2𝑥+cos2𝑥=1 Se obțin următoarele relații între pătratele funcțiilor trigonometrice sin2 x cos2 x tg2 x ctg2 x sin2 x sin2 x 1 − cos2 x cos2 x 1 − sin2 x cos2 x tg2 x tg2 x ctg2 x ctg2 x Formulele funcțiilor trigonometrice ale sumei și diferenței (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) (1.6) (1.7) (1.8) 10 Consecințe ale formulelor pe ntru sumă (1.9) (1.10) (1.11) (1.12) (1.13) Din formulele pentru cos2𝑥 obținem : (1.14) Înlocuind găsim (1.15) (1.16) Adunând ș i scăzând formulele pentru sumă și diferență găsim: cos(𝛼+𝛽)+cos(𝛼−𝛽)=2cos ∝cos𝛽 cos(𝛼+𝛽)−cos(𝛼−𝛽)=−2sin∝sin𝛽 sin(𝛼+𝛽)+sin(𝛼−𝛽)=2sin∝cos𝛽 sin(𝛼+𝛽)−sin(𝛼−𝛽)=2cos ∝sin𝛽 Notăm 𝛼+ 𝛽 = 𝑥,𝛼 – 𝛽 = 𝑦. Atunci și avem: (1.17) (1.18) (1.19) (1.20) 11 1.4 Funcții trigonometrice inverse 1. Restricția funcției sin la intervalul este bijectivă, deci inversabilă. Definim funcți a in- versă Proprietăți ale funcției arcsin: - monoton crescătoare și impară 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (−𝑥)=−𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 - continuă și derivabilă - grafic 2. Restricția funcției cos la intervalul [0 ,π] este bijectivă, deci inversabil ă. Definim funcția inversă 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 :[−1,1]→[0,𝜋] Proprietăți ale funcției 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 : - arccos (cosx )=x,∀x∈[0,π],cos(arccosx )=x,∀x∈[−1,1] 12 - monoton descrescătoare și arccos (−x)=π–arccos - continuă și derivabilă - grafic 3. Restricția funcției tg la inter valul este bijectivă, deci inversa bilă. Definim funcția inversă Proprietăți ale funcției arctg: - - monoton crescătoare și impară: 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (−𝑥)=−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 - continuă și derivabilă: - grafic: 4. Restricția funcției 𝑐𝑡𝑔 la intervalul ( 0,𝜋) este bijectivă, deci inversabilă. Definim funcția invers Proprietăți ale funcției 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 : - arcctg (ctgx )=x,∀x∈(0,π), - ctg(arcctgx )=x,∀x∈R 13 - monoton descrescătoare și arcctg (−x)=π–arcctgx - continuă și derivabilă : - grafic 5. Relații între funcțiile tr igonometrice și inversabile lor : Arcsin x arccos x arctg x arcctg x Sin X √1−𝑥2 cos √1−𝑥2 x Tg 𝑥 √1−𝑥2 √1−𝑥2 𝑥 x ctg √1−𝑥2 𝑥 x (1.21) (1.22) (1.23) (1.24) 14 1.5 Ecuați i și inecuații trig onometrice 1. ecuația sin𝑥= 𝑎 dacă |𝑎|≤1 ⇒𝑥=𝑘𝜋+(−1)𝑘arcsin 𝑎,𝑘∈ℤ dacă |𝑎|≤1 ⇒ nu există soluții 2. inecuația sin𝑥> 𝑎 dacă 𝑎≥1⇒ nu există soluții dacă 𝑎 < −1 mulțimea soluțiilor este ℝ dacă −1 ≤ 𝑎<1⇒ mulțimea soluțiilo r este ⋃(2𝑘𝜋+arcsin 𝑎,(2𝑘 + 1)𝜋 −arcsin 𝑎) 𝑘∈ℤ 3. inecuația sin𝑥< a dacă 𝑎≥ −1⇒nu există soluții dacă 𝑎 > 1 ⇒_ mulțimea soluțiilor este ℝ dacă −1<𝑎≤1 mulțimea soluțiilor este ⋃((2𝑘−1)𝜋 −arcsin 𝑎,2𝑘𝜋 +arcsin 𝑎) 𝑘∈ℤ 4. ecuația cos𝑥= 𝑎 dacă |𝑎|≤1⇒x =2kπ ±arccos a,k ϵℤ dacă |𝑎|>1⇒ nu există soluții 5. inecuația cos𝑥> 𝑎 dacă 𝑎≥1⇒ nu există soluții dacă 𝑎<−1⇒ mulțimea soluțiilor este ℝ dacă −1≤𝑎<1⇒ mulțimea soluții lor este ⋃(2𝑘𝜋 −arccos 𝑎,2𝑘𝜋 +arccos 𝑎) 𝑘∈ℤ 15 6. inecuația cos𝑥< 𝑎 dacă 𝑎≤1⇒ _ nu există soluții dacă 𝑎>1⇒ mulțimea soluțiilor este R dacă −1<𝑎≤1⇒ mulțimea soluțiilor este ⋃(2𝑘𝜋 +arccos 𝑎,(2𝑘+1)𝜋 −arccos 𝑎) 𝑘∈ℤ 7. ecuația 𝑡𝑔 𝑥 = 𝑎 ⇒ 𝑥 = 𝑘𝜋+ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑎,𝑘 𝜖ℤ 8. inecuația 𝑡𝑔 𝑥>𝑎⇒ mulțimea soluțiilor este ⋃(𝑘𝜋 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑎,𝑘𝜋+𝜋 2 ) 𝑘∈ℤ 9. inecuația 𝑡𝑔 𝑥 < 𝑎 ⇒ mulțimea soluțiilor este ⋃( 𝑘𝜋−𝜋 2 ,𝑘𝜋 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑎) 𝑘∈ℤ 10. ecuația 𝑐𝑡𝑔 𝑥 = 𝑎 ⇒𝑥 = 𝑘𝜋+ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑎,𝑘 𝜖 ℤ 11. inecuația 𝑐𝑡𝑔 𝑥 > 𝑎 mulțimea soluțiilor este ⋃( 𝑘𝜋 ,𝑘𝜋+𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑎 ) 𝑘∈ℤ 12. inecuația 𝑐𝑡𝑔 𝑥 <𝑎⇒ mulțimea soluțiilor este ⋃( 𝑘𝜋+𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑎,𝑘𝜋 +𝜋 ) 𝑘∈ℤ 16 Capitolul 2 Trigonometria sferică 2.1 Geometria sferei Definiția 2.1 Se numește suprafață sferică (sau sferă) locul geometric al punctelor din spațiu egal depărtate de un punct fix C numit centrul sferei . Spațiul mărginit de supraf ața unei sfere se numește bilă s au glob, iar dacă nu există pericol de confuzie se va numi tot sferă. Un segment de dreaptă care unește centrul sferei cu orice punct de pe suprafața ei se numește rază a sferei, i ar segmentul de dreaptă care unește două puncte de pe suprafața sferei și trece prin centrul acesteia se numește diametru . Avem sferă de rază R cu centrul în punctul 𝐶(𝑎,𝑏,𝑐). Impunând condiția ca un punct oare- care 𝑀(𝑥,𝑦,𝑧) de pe suprafața sferei să fie la distan ța R de cen trul C se o bține: (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 + (𝑧 − 𝑐)2= 𝑅2 care se numește ecuația sferei. În cazul particular în care centrul este chiar originea 𝑂(0,0,0) gă- sim ecuația 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑅2 Poziția relativ ă a dreptelor și sferelor Suprafața sferică și dreapta poate avea un punct comun, două puncte comune sau niciun punct comun. O secantă intersectează suprafața sferei în două puncte. Partea dintr -o secantă cu- prinsă în interiorul sferei se num ește coardă . Coarda cea mai lungă este diametru al sferei, iar cen- trul sferei se află la jumătatea diametrului. Tangenta la o sferă este o dreaptă care intersectează sfera într -un singur punct. Prin orice punct al unei sfere se pot duce o infinitate de tangente, toate 17 fiind coplanare și formând planul tangent în acel punct. Raza sferei corespunzătoare acestui punct este perpendiculară pe planul tangent. Poziția relativă a planelor și sferelor Suprafață sferică și planele pot avea în comun un cerc, un punct, sau niciun punct. În primul caz, centrul cercului de intersecție între plan și sferă este piciorul perpendicularei din centrul sferei pe plan. Dacă centrul sferei C este inclus în plan, atun0ci centrul cercului de intersecție est e chiar C. Se poate ca un plan să intersectează o sferă după un cerc dacă distanța h de la centrul sferei la acel plan este mai mică decât raza R. Raza cercului de intersecție este 𝑟=√𝑅2−ℎ2, deci în va- loarea maximă R atunci planul este ta ngent în sferă(deci intersecția este formată dint r-un singur punct), iar daca ℎ> 𝑅 planul nu intersectează sfera. Prin două puncte A și B care sunt situate pe o sferă și nu sunt diametral opuse, se poate duce un fascicol de plane, care intersectează sfera după un fascicol de cercuri. Dintre acestea, cel mai mic cerc (ca lungime) este cel care are diametrul AB, iar cel mai mare are centrul chiar în centrul sferei. Acesta din urmă, a cărui rază coincide cu raza sferei se numește cerc ma re al sferei, iar toate celelalte sunt numite cercuri mici . Arcul AB de pe cercul mare al sferei care trece prin aceste puncte este cel mai scurt drum (pe sferă) dintre punctele A și B, deci este corespondentul în geometria sferică a segmen tului de dreaptă din geometria plană. Acest arc se numește linie geodezică pe sferă, iar lungimea lui se 18 numește distantă sferică între cele două puncte de pe sferă. Iar prin oricare două puncte de pe o sferă (care nu sunt diametral opuse) trece un unic cerc mare al sferei. Oricare două cercuri mari ale unei sfere se intersectează în două pun cte diametral opuse. Un plan care intersectează o sferă după un cerc (mare sau mic) împarte suprafața sferică în două calote sferice , și sfera (globul) în două segmente sferice . Aceste calote si segmente sunt egale dacă planul trece prin centrul sferei . Două plane paralele delimitează dintr -o sferă o zonă sferică . O zonă sferică este mărginită de două cercuri de pe sferă, dintre care cel mult unul poate fi cerc mare. Două cercuri mari delimi- tează dintr -o sferă patru pene sferice . Zona di ntr-o sferă delimitată de o suprafață conică circu- lară cu vârful în centrul sferei se numește sector sferic . Vom avea o sferă cu centrul în origin e și de rază R și 𝑀(𝑥,𝑦,𝑧) un punct de pe sferă. No- tăm cu 𝑀’ proiecția lui 𝑀 pe planul, 𝑥𝑂𝑦 cu 𝜑 unghiul dintre OM și planul 𝑥𝑂𝑦 și cu 𝜃 unghiul dintre 𝑂𝑀’și 𝑂𝑥. Atunci avem: {𝑥=𝑅cos𝜑cos𝜃 𝑦=𝑅cos𝜑sin𝜃 𝑧=𝑅sin𝜑 care se numește ecuațiile parametrice ale sferei . Fie un u nghiul 𝜃∈[−180° ,180° ] care se numește longitudine și unghiul 𝜑∈[−90°,90°] se numește latitudine , iar împreună (𝜃,𝜑)se numesc coordonate sferice. Curbele de pe sfe ră obținute prin fixarea uneia dintre cele doua coordonate sferice sunt: • 𝜃 = constant: semicercuri mari numite meridiane 19 • 𝜑 = constant: cercuri numite paralele. În particular , 𝜑=0 este un cerc mare numit ecu- ator. Suprafața de ecuație 𝑋2 𝑎2 +𝑦2 𝑏2+𝑧2 𝑐2=1 se numește elipsoid de semiaxe a, b, c . Dacă toate semiaxele sunt egale între el se obține o sferă. Dacă doar doua semiaxe sunt egale , elipsoidul se numește elipsoid de rotație. Astfel, un elipsoid de rotație în jurul axei Oz are ecuația În geodezie Pământul este considerat un elipsoid de rotație cu raza ecuatorială 𝑎 ≅6378 𝑘𝑚 și raza polară 𝑏≅6357 𝑘𝑚. În realitate forma Pământulu i este neregulată și se numește geoid, dar abaterile de la o formă care se pretează calculelor matematice sunt mici în raport cu mărimile care intervin în aceste calcule. Într -o primă aproxima re, Pământul poate fi considerat o sferă (glob) de rază me die 𝑅 = 6371 ,221 𝑘𝑚. 2.2 Biunghi sferic. Triunghi sferic Orice distanță dintre puncte le aflate pe o sferă se măsoară prin arce de cercuri mari. Atunci c ând raza sferei este foarte mare, ace ste distanțe pot fi aproximate prin segmentele de dreaptă dintre punctele respective. Lungimea arcului de cerc mare 𝐴𝐵 ̂ dintre două puncte A și B depinde de mă- rimea razei R și de unghiul la centru ∝: 𝑙(𝐴𝐵 )̂ = 𝑅∙∝ =𝜋∙𝑅∙∝ 180 după cum ∝ este măsurat în radiani sau grade sexagesimale Se consideră dou ă cercuri mari care se intersectează în două puncte diametral opuse N și S se nu- mesc poli. Și porțiunea din suprafața sferei mărginită de două arce de cerc mare cu extremitățile în polii N ș i S se numește biunghi sau fus sferic . Iar orice plan perpendicular pe diametrul NS intersectează planele celor două cercuri mari după câte o dreaptă, unghiul ∝ dintre aceste două drepte fiind egal cu unghiul diedru dintre planele celor două cerc uri mari. Tangentele într -un pol la ambele cercuri mari sunt perpendiculare pe dia- metrul NS, deci formează același unghi. ∝. [Type here] x2 a2+y2 a2+z2 b2=1 20 În cartografie sunt folosite fusuri (biunghiuri) sferice ale căror unghiuri sunt de 6°, numite benzi meridiane Gauss -Kruger. Dacă aria sferei de rază R este 4𝜋𝑅2 și corespunde la un unghi la centru de 2𝜋 radiani (sau 360°), atunci aria fusului sferic corespunzăto r unghiului ∝ este: 𝐴 = 2 ∙𝑅2∙∝ =𝜋∙𝑅2∙𝛼 90 după cum ∝ este măsurat în radiani sau grade sexagesimale. O bandă meridiană Gauss -Kruger are aria 𝐴 = 𝜋∙𝑅2 ∙6° 90= 𝜋𝑅2 15= 8.501 .665 𝑘𝑚2 Vom avea o sferă de centru O și rază R, iar pe această sferă fie cercul mare C (cu centrul în O și de rază R). Iar o d reapta ca re va trece prin O și este perpendiculară pe planul cercului mare C intersectează suprafața sferei în două puncte diametral opuse N și S care se numesc polii cer- cului mare considerat C. Cercul C se numește polara punctelor N și S (sau ecuator pen tru pol ii N și S). Dacă se alege un sens de parcurgere pe cercul C, se pot deosebi polii: un pol drept și unul stâng, sau pol nord și pol sud. Astfel încât distanța dintre două puncte de pe o sferă se măsoară în grade sau radiani pe ar- cul de cerc mar e ce trece prin aceste puncte, găsim că toate punctele de pe cercul mare C sunt la aceeași distanță (90°)față de polii N și S. Arcul de cerc mare care unește polul unui cerc de pe sferă cu un punct al cercului este constant (90°) și se numește rază polar ă sau rază s ferică a cercu- lui. Intersecția dintre suprafața sferei și un alt plan perpendicular pe NS (altul decât cel ecuato- rial) este un cerc mic 𝛤 cu centrul pe NS și de rază 𝑟 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑 unde 𝜑 este latitudinea corespunzătoare paralelei 𝛤. Biunghi sferic Triunghi sferic 21 Definiția 2.2. Se numește triunghi sferic porțiunea de pe suprafața unei sfere mărginită de trei arce de cerc mare (numite laturile triunghiului sferic), care se intersectează două câte două în trei puncte numite vârfurile triunghiului sferic. Vor fi date trei puncte A, B și C pe o sferă astfel încât să nu fie două diametral opuse și nici toate trei pe același cerc mare al sferei, ex istă trei cercuri mari care unesc câte două din aceste puncte și se intersectează și în punctele diametral opuse A, B și C. Suprafața sferei este astfel îm- părțită în opt părți, fiecare mărginită de câte trei arce de cerc mare de măsură mai mică de 180°, numite triunghiuri sferice euleriene . Unghiurile unui triunghi sferic sunt unghiurile diedre dintre planele cercurilor mari corespun- zătoare. Într -un triunghi sferic eulerian, atât laturile (notate cu a, b, c) cât și unghiurile (notat e cu A, B, C) s unt mai mici de 180°. Iar planele cercurilor mari corespunzătoare triunghiului sferic ABC se intersectează în centrul O al sferei și formează unghiul triedru OABC. Triunghi ul sferic poate fi obținut prin intersecția suprafeței sferei cu un triedru cu vâr ful în O. Și unghiurile triunghi- ului sferic sunt egale cu unghiurile diedre ale triedrului corespunzător, iar laturile triunghiului sfe- ric sunt egale cu unghiurile plane ale triedrului. Prin i ntersecția a două sfere concentrice cu același triedru vor fi două triunghiuri sferice asemenea ale căror elemente (exprimate în unități de unghi) sunt egale. Biunghiul sferic este împărțit printr -un arc de cerc mare în două triunghiuri sferice numite tri- unghiuri conjugate sau suplementare , iar un triunghi sferic se numește dreptunghic dacă are cel pu- țin un unghi de 90°. Astfel că u n triunghi sferic se numește quadratic (sau rectilater ) dacă are cel puțin o latură de 90°. 2.3 Proprietăți ale triunghiurilor sferice 2.3.1 Egalitatea triunghiurilor sferice Două triunghiuri sferice situate pe aceeași sferă sunt egale(congruente) dacă sunt la fel așezate și au egale câte: 1. două laturi și unghiul cuprins între ele(cazul L.U.L) 2. o latura și cele două unghiuri alăturate (cazul U.L.U) 3. trei laturi (cazul L. L.L) 4. trei unghiuri (cazul U.U.U) 22 2.3.2 Triunghiuri sferice polare Definiția 2.3. Vom avea triunghiul sferic ABC. Și se consideră pe sfera suport punctele 𝐴1,𝐵1,𝐶1 astfel încât: • 𝐴1 este pol al arcului de cerc mare BC • 𝐵1 este pol al arcului de c erc mare CA • 𝐶1este pol al arculu i de cerc mare AB Triunghiul sferic 𝐴1,𝐵1,𝐶1 se numește triunghi sferic polar în raport cu triunghiul ABC. Teorema 2.1 1. Suma dintre un unghi al triunghiului sferic ABC și latura corespunzătoare a tri- unghiului său polar A1B1C1este egală cu 180°. 2. Suma dintre o latură a triunghiului sferic ABC și unghiul corespunzător al triunghiului său polar A1,B1,C1este egală cu 180°. Dacă notăm cu 𝑎1,𝑏1,𝑐1și 𝐴1,𝐵1,𝐶1 laturile, respectiv unghiurile triunghiului polar 𝐴1𝐵1𝐶1, atunci avem: 𝑎1+𝐴=180° 𝑎+𝐴1=180° 𝑏1+𝐵=180° și 𝑏+𝐵1=180° 𝑐1+𝐶=180° 𝑐+𝐶1=180° Triunghiuri sferice polare 23 2.3.3 Relații de ordine între elementele unui triunghi sferic Se dau l aturile a, b, c care verifică inegalitățile: 𝑎<𝑏+𝑐, 𝑏<𝑐+𝑎, 𝑐<𝑎+𝑏 𝑎>|𝑏−𝑐|, 𝑏>|𝑐−𝑎|, 𝑐>|𝑎−𝑏| Dacă se not ăm cu 𝑆=𝑎+𝑏+𝑐 2 semiperimetrul triunghiului sferic, atunci 𝑠 > 𝑎,𝑠 > 𝑏, 𝑠 > 𝑐 Laturile a, b, c verifică 0°<𝑎+𝑏+𝑐<360° Se scrie inegalitatea anterioară pentru triunghiul sferic polar, obținem 180° <𝐴+𝐵+𝐶<540° Așa c ă diferența dintre suma unghiurilor unui triunghi sferic și 180° se numește excesul sferic al triun ghiului și se notează cu ε=𝐴+𝐵−180° ∈(0°,360° ) Scriind inegalitățile (1,1) pentru triunghiul polar, se obține 𝐵+𝐶−𝐴<180°,𝐶+𝐴−𝐵<180° ,𝐴+𝐵−𝐶<180° 2.4 Formulele fundamentale ale trigonometriei sferice Formulele lui Gauss -Euler pentru cosinusurile laturilor cos𝑎=cos𝑏∙cos𝑐+sin𝑏∙sin𝑐∙ 𝑐𝑜𝑠𝐴 (2.6) cos𝑏=cos𝑐∙cos𝑎+sin𝑐∙sin𝑎∙ 𝑐𝑜𝑠𝐵 (2.7) cos𝑐=cos𝑎∙cos𝑏+sin𝑎∙sin𝑏∙ 𝑐𝑜𝑠𝐶 (2.8) Formulele lui Gauss -Euler pentru cosinusurile unghiurilor: cos𝐴 = −cos𝐵 ∙ cos𝐶 + sin𝐵 ∙sin𝐶 ∙cos𝑎 (2.9) cos𝐵 = −cos𝐶∙cos𝐴 +sin𝐶 ∙ sin𝐴 ∙cos𝑏 (2.10) cos𝐶 = −cos𝐴∙cos𝐵 + sin𝐴∙ sin𝐵∙cos𝑐 (2.11) 24 Teorema sinusurilor din trigonometria sferică: sin𝑎 𝑠𝑖𝑛𝐴=sin𝑏 sin𝐵=sin𝑐 sin𝐶=𝐾 unde K se numește modulul triunghiului sferic și este definit pr in 𝐾2=1−𝑐𝑜𝑠2 𝐴−𝑐𝑜𝑠2𝐵−𝑐𝑜𝑠2𝐶−2𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵𝑐𝑜 𝑠𝐶 𝑠𝑖𝑛2𝐴𝑠𝑖𝑛2𝐵𝑠𝑖𝑛2𝐶 În orice triunghi sferic, unghiului mai mare i se opune latura mai mare și reciproc. Un triunghi sferic care a re două laturi egale se nume ște isoscel , triunghiu l sferic care a re toate laturile egale se n umește echilater al, iar triungh iul care nu este isoscel sau echilateral se nu- mește scalen . Triunghiurile sferice cu o latură de 90° se numesc quadratice , triunghiurile sferice cu două laturi de 90° se numesc biquadratice , iar triunghiurile sferice cu toat e laturile de 90° se nume sc triquadratice . Un triunghi sferic cu un unghi de 90° se nume ște dreptunghic , triunghiu l sferic cu două un- ghiuri de 90° se nume ște bidreptunghic , iar triunghiu l sferic cu toate unghiurile de 90° se nu- mește tridreptung hic. Astfel că un triunghi sferic fără unghiuri drepte se numește oblic . Un tri- unghi sferic oblic se numește ascuțit dacă are toate unghiurile ascuțite, respectiv obtuz dacă are cel puțin un unghi obtuz . 2.5 Formule deduse din formulele fundamentale Din for mulele (2.6) -(2.8) obținem formulele celor cinci elemente ale lui Gauss: sin𝑎cos𝐵 = sin𝑐cos𝑏 −sin𝑏cos𝑐cos𝐴 sin𝑎cos𝐶= sin𝑏cos𝑐−sin𝑐cos𝑏cos𝐴 sin𝑏cos𝐶=sin𝑎cos𝑐− sin𝑐cos𝑎cos𝐵 sin𝑏cos𝐴=sin𝑐cos𝑎−sin𝑎cos𝑐cos𝐵 sin𝑐cos𝐴 =sin𝑏cos𝑎−sin𝑎cos𝑏cos𝐶 sin𝑐cos𝐵=sin𝑎cos𝑏−sin𝑏cos𝑎cos𝐶 25 Folosind teorema sinusurilor găsim sin𝐴cos𝐵 =sin𝐶cos𝑏 − sin𝐵cos𝑐cos𝐴 sin𝐴cos𝐶 =sin𝐵cos𝑐 − sin𝐶cos𝑏cos𝐴 sin𝐵cos𝐶 =sin𝐴cos𝑐 − sin𝐶cos𝑎cos𝐵 sin𝐵cos𝐴 =sin𝐶cos𝑎 − sin𝐴cos𝑐cos𝐵 sin𝐶cos𝐴 =sin𝐵cos𝑎 − sin𝐴cos𝑏cos𝐶 sin𝐶cos𝐵 =sin𝐴cos𝑏 − sin𝐵cos𝑎cos𝐶 care se numesc formulele modificate ale celor cinci elemente . Formulele celor patru elemente (sau formu lele cotangentelor ale lui Viete ): cos𝑎cos𝐴=𝑐𝑡𝑔 𝑐sin𝑎−𝑐𝑡𝑔 𝐶sin𝐵 cos𝑎cos𝐶=𝑐𝑡𝑔 𝑏sin𝑎−𝑐𝑡𝑔 𝐵sin𝐶 cos𝑏cos𝐶=𝑐𝑡𝑔 𝑐sin𝑏−𝑐𝑡𝑔 𝐴sin𝐶 cos𝑏cos𝐴=𝑐𝑡𝑔 𝑐sin𝑏−𝑐𝑡𝑔 𝐶sin𝐴 cos𝑐cos𝐴=𝑐𝑡𝑔 𝑏sin𝑐−𝑐𝑡𝑔 𝐵sin𝐴 cos𝑐cos𝐵=𝑐𝑡𝑔 𝑎sin𝑐−𝑐𝑡𝑔 𝐴sin𝐵 Ecuația ( 2.6), prima egalitate din (2.12) și prima ecuație din (2.13) pot fi scrise compact sub forma matriceală (cos𝑎 sin𝑎sin𝐵 sin𝑎cos𝐵)=(cos𝑐0 sin𝑐 0 1 0 sin𝑐0−cos𝑐)=(cos𝑏 sin𝑏sin𝐴 sin𝑏cos𝐴) (2.16), care împreună cu permutările circulare corespunzătoare se numesc formulele lui Bessel . Funcțiile trigonometrice ale jumătății de unghi : (2.17) (2.18) 26 unde Formulele de mai sus se numesc formulele lui Borda pentru unghiurile unui triunghi sferic, iar invariantul M este egal cu tangenta razei cercului sferic înscris în triunghiul sferic dat. Funcțiile trigonometrice ale jumătății de latură: (2.19) (2.20) unde Formulel e de mai sus se numesc formulele lui Borda pentru laturile unui triunghi sferic, iar invariantul N este egal cu cotangenta razei sferice a cercului circumscris triunghiului sferic. Folosind formulele lui Borda pentru unghiurile triunghiului sferic polar, găsim: (2.21) unde 27 Formulele lui Delambre: (2.23) precum și cele o obținute prin permutări circulare. Formulele lui Neper: (2.24 ) precum și cele obținute prin permutări circulare. Formulel e de control ale lui Gauss: (2.25) Formulele lui Cagnoli pentru excesul sferic: (2.26) 28 Formulele lui L'Huilier : 𝑡𝑔𝜀 4=√𝑡𝑔𝑠 2𝑡𝑔𝑠−𝑎 2𝑡𝑔𝑠−𝑏 2𝑡𝑔𝑠−𝑐 2 𝑡𝑔(𝐴 2−𝜀 4)=√𝑡𝑔𝑠−𝑏 2𝑡𝑔𝑠−𝑐 2 𝑡𝑔𝑠 2𝑡𝑔𝑠−𝑎 2 𝑡𝑔(𝐵 2−𝜀 4)=√𝑡𝑔𝑠−𝑐 2𝑡𝑔𝑠−𝑎 2 𝑡𝑔𝑠 2𝑡𝑔𝑠−𝑏 2 𝑡𝑔(𝐶 2−𝜀 4)=√𝑡𝑔𝑠−𝑎 2𝑡𝑔𝑠−𝑏 2 𝑡𝑔𝑠 2𝑡𝑔𝑠−𝑐 2 2.6 Rezolvarea triunghiurilor sferice Se consider ă doar triunghiuri sferice euleriene, deci cu laturi și unghiuri mai mici decât 180°.Iar valorile acestora se obțin ca funcții trigonometrice din formulele fundamentale ale trigonometriei sferice și din cele deduse din acestea. Când rezultă mai multe valori po sibile, soluția se alege prin considerente geometrice, cu ajutorul unor inegalități: 1. Latura mai mare se opune unghiului mai mare. 2. La unghiu ri ascuțite (mai mici de 90°) se opun laturi mai mici de 90°, iar la unghiuri obtuze (mai mari de 90°) se opun latu ri mai mari de 90°. 3. Dacă suma a două laturi este mai mare (respectiv mai mică) decât 180°, atunci și suma un- ghiurilor opuse acestor două laturi este mai mare (respectiv mai mică) decât 180°. 29 2.6.1 Rezolvarea triunghiurilor sferice dreptunghice Din formula (2.6) pentru cosinusul laturii a se obține : cos𝑎=cos𝑏∙cos𝑐+sin𝑏∙sin𝑐∙sin𝐴⇒cos𝑎=cos𝑏∙cos𝑐 (2.28) Din formulele (2.9) -(2.11) pentru cosinusurile unghiurilor se obține: cos𝐴=−cos𝐵∙ cos𝐶+sin𝐵∙sin𝐶∙ cos𝑎⇒ cos𝐴=𝑐𝑡𝑔𝐵 ∙𝑐𝑡𝑔𝐶 (2.29) cos𝐵=−cos𝐶∙ cos𝐴+sin𝐶∙sin𝐴∙ cos𝑏⇒ cos𝐵=sin𝐶∙cos𝑏 (2.30) cos𝐶=−cos𝐴∙ cos𝐵+sin𝐴 ∙sin𝐵∙ cos𝑐⇒ cos𝐶=sin𝐵 ∙cos𝑐 (2.31) Din teorema sinusurilor (2.12) se obține: sin𝐴∙ sin𝑏=sin𝑎 ∙sin𝐵 ⇒sin𝑏=sin𝑎∙sin𝐵 (2.32) sin𝐴∙ sin𝑐=sin𝑎 ∙sin𝐶⇒sin𝑐=sin𝑎 ∙sin𝐶 (2.33) Din formulele celor 4 elemente (2.15) se obține: cos𝑏cos𝐶 = 𝑐𝑡𝑔𝑎 sin𝑏 − 𝑐𝑡𝑔𝐴 sin𝐶 ⇒ cos𝐶=𝑐𝑡𝑔𝑎 𝑡𝑔𝑏 (2.34) cos𝑏cos𝐴 = 𝑐𝑡𝑔𝑐sin𝑏 − 𝑐𝑡𝑔𝐶sin𝐴 ⇒sin𝑏= 𝑐𝑡𝑔𝐶 𝑡𝑔𝑐 (2.35) cos𝑐cos𝐴 = 𝑐𝑡𝑔𝑏𝑠sin𝑐− 𝑐𝑡𝑔𝐵sin𝐴⇒ sin𝑐= 𝑐𝑡𝑔𝐵 𝑡𝑔𝑏 (2.36) cos𝑐cos𝐵= 𝑐𝑡𝑔𝑎sin𝑐− 𝑐𝑡𝑔𝐴sin𝐵⇒ cos𝐵 = 𝑐𝑡𝑔𝑎𝑡𝑔𝑐 (2.37) Folosind funcțiile trigonometrice ale complementului unui unghi cele 10 formule anterioare se res- criu astfel: sin(90°−𝑎)=sin𝑏∙sin𝑐 (2.38) sin(90°−𝐴)=𝑡𝑔(90°−𝐵)∙𝑡𝑔(90°−𝐶) (2.39) sin(90°−𝐵)=cos(90°−𝐶)∙cos𝑏 (2.40) sin(90°−𝐶)=cos(90°−𝐵)∙cos𝑐 (2.41) sin𝑏=cos(90°−𝑎)∙cos(90°−𝐵) (2.42) 30 sin𝑐=cos(90°−𝑎)∙cos(90°−𝐶) (2.43) sin(90°−𝐶)=𝑡𝑔(90°−𝑎)∙𝑡𝑔𝑏 (2.44) sin𝑏=𝑡𝑔(90°−𝐶)∙𝑡𝑔𝑐 (2.45) sin𝑐=𝑡𝑔(90°−𝐵)∙𝑡𝑔𝑏 (2.46) sin(90°−𝐵)=𝑡𝑔(90°−𝑎)∙𝑡𝑔𝑐 (2.47) Pentru cele 10 formule există o regulă mnemotehnică (a pentagonului) stabilită de Neper și Maudu it Diagrama Neper -Mauduit Sinusul oricărui unghi din diagramă este egal cu: • produsul tangentelor a dou ă unghiuri adiacente acestuia; • produsul cosinusurilor a două unghiuri opuse (neadiacente). Un triunghi sferic dreptunghic poate fi rezolvat dacă se dau (în afară de A = 900) următoarele elemente: 1. ipotenuza a și o catetă b (sau c); 2. cele două catete b și c; 3. ipotenuza a și un unghi alăturat ei B (sau C); 4. o catetă și un unghi alăturat ei ( b și C, sau c și B); 5. cele două unghiuri B și C; 31 6. o catetă și unghiul opus ei ( b și B, sau c și C). Cazurile 1 -5 dau soluție unică, iar cazul 6 dă două s oluții deoarece elementele ce rămân de de- terminat se obțin prin sinusul lor, ceea ce conduce la două valori suple mentare una alteia. Din formulele (2.38) -(2.47) pot fi deduse următoarele reguli: • Dacă b și c se află în același cadran atunci 𝑎 < 90°, iar dacă se află în cadrane diferite atunci 𝑎 > 90°; • Dacă B și C se află în același cadran atunci 𝑎 < 90°, iar dacă se află în cadrane di- ferite atunci 𝑎 > 90° • Valorile catetei și a unghiului opus ei se află în același cadran . 2.6.2 Rezolvările triunghiurilor sfer ice oarecare Un triunghi sferic quadratic se rezolvă prin trecerea la triunghiul sferic polar, care este drep- tunghic și se aplică formulele corespunzătoare Fie u n triunghi sferic oarecare el poate fi rezolvat dac ă din cele 6 ele mente ale sale (3 laturi și 3 unghiuri: a, b, c, A, B, C) sunt cunoscute 3. Distingem 6 cazuri, și anume acelea când se dau: 1. trei latur i; 2. trei unghiuri; 3. două laturi și unghiul dintre ele; 4. latură și două unghiuri alăturate ei; 5. două laturi și un unghi opus uneia dintre ele; 6. două unghiuri și o latură opusă unuia dintre ele. Observații: Cazurile 1 -4 au soluție unică. Cazurile 5 și 6 au două soluții care apar datorită utilizării sinu- surilor pentru determinarea primului element, rezultând două soluții supl ementare. 32 Controlul soluțiilor se face evaluând excesul sferic pe două căi (cu definiția 𝜀 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 − 180° și apoi cu ( 2.27)) sau cu formulele ( 2.25). Caz Date Formule Condiții de existență 1 a, b, c (2.6) − (2.8), (2.17) sau ( 2.18) pentru A,B,C 0°< 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 < 360° 𝑎 + 𝑏 > 𝑐, 𝑏 + 𝑐 > 𝑎, 𝑐 + 𝑎 > 𝑏 2 A, B, C (2.9) − (2.11),(2.19) sau ( 2.20) pentru a, b, c 180° < 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 < 540° A + B < 180° + C B + C < 180° + A C + A <180° + B 3 b, c, A (2.6) − (2.8) ⇒ a (2.24) ⇒ B,C 4 a, B, C (2.24) ⇒ b, c (2.9) − (2.11) ⇒ A 5 b, c, B (2.12) ⇒ C (2.24) ⇒ a, A 1 soluție sau 2 dacă sin c ⋅ sin B ≤ sin b Se rețin valorile lui C pentru care A − B și a − b au același semn; A + B − 180° și a + b − 180° să fie de același semn 33 6 B, C, b (2.12) ⇒ c (2.24) ⇒ a, A o soluție sau 2 dacă sin b ⋅ sin C ≤ sin B Se rețin valorile lui c pentru care A − B și a − b au același semn; A + B −180° și a + b − 180° să fie de același semn 2.7 Alte probleme privind triunghiurile sferice Înălți mea într -un triunghi sferic este un arc de cerc mare dus printr -un vârf și perpendicular pe latură opusă, iar lungimea unei înălțimi măsoară distanța (pe sferă) de la un vârf la latura opusă. Înălțimea împarte un triunghi sferic în două dreptunghice. Folosind fo rmulele de la triunghiuri dreptunghice se obține: 𝑠𝑖𝑛 ℎ𝑎 = 𝑠𝑖𝑛 𝑐 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝐵 = 𝑠𝑖𝑛 𝑏 𝑠𝑖𝑛𝐶 𝑠𝑖𝑛 ℎ𝑏 = 𝑠𝑖𝑛 𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝐶 = 𝑠𝑖𝑛 𝑐 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑠𝑖𝑛 ℎ𝑐 = 𝑠𝑖𝑛 𝑏 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝐴 = 𝑠𝑖𝑛 𝑎 𝑠𝑖𝑛𝐵 Iar o altă metodă de rezolvare a triunghiurilor sferice (metoda înălțimii) constă în calcularea elementelor triunghiului prin rezolvarea triunghiurilor dreptunghice determinate de o înălțime. Într-un triun ghi sferic isoscel ABC (cu AB= AC), înălțimea din A este și mediană (împarte BC în două părți egale), și bisectoarea (împarte unghiul A în două părți egale) și mediatoare ( per- pendiculara pe BC dusă prin mijlocul lui BC). Avem b isectoarele unghiuril or unui triunghi sferic care sunt concurente în centrul cercului înscris în triunghi. Cu raza 𝜌 a acestui cerc este dată de constanta M din formulele lui Borda pen- tru unghiurile unui triunghi sferic. La fel și mediatoarele unui triunghi sferic sunt concurente în centrul cercului circumscris triunghiului. Raza 𝑟 a acestui cerc este dată de constanta N din formu- lele lui Borda pentru laturile unui triunghi sferic. 34 Și medianele unui triunghi sferic sunt concurente în centrul triunghiului. Aria unui triu nghi sferic este 𝑆=𝜋𝑅2 180𝜀 unde R este raza sferei iar 𝜀 este excesul sferic (exprimat în grade). Dacă excesul sferic este ex- primat în radiani, atunci 𝑆=𝜀𝑅2 2.8 Poligoane s ferice Definiți a 2.4 Poligon ul sferic este o figură geometrică pe sup rafața unei sfere formată dintr -un număr finit n de arce de cercuri mari (care nu sunt unul în prelungirea altuia), strict mai mici de 180°, numite laturi . Fie p unctele de intersecție ale arcelor de cercuri care formează poligonul se numesc vârfu- rile poligonului. Și poligon ul sferic se numește convex dacă pentru orice latură a sa, toate vârfurile nesituate pe latura considerată se află de aceeași parte a cercului mare pe c are se află acea latură. În caz contrar, poligonul se numește concav . Astfel u nghiu rile unui poligon convex nu pot avea mai mult de 180°. Iar un poligon convex cu n laturi (și n vârfuri) se poate descompune în 𝑛 − 2 triunghiuri prin unirea unui vârf cu toate cele- lalte. Oricar e ar fi două puncte situate în interiorul unui poligon convex, arc ul de cerc mare (unic) care le unește este inclus în interiorul poligonului. Triunghiurile sferice sunt poligoane sferice con- vexe, dar biunghiurile sferice nu sunt (deoarece au laturile de 180°). Patrulater ul sferic convex este un poligon sferic convex cu patru laturi (și patru unghiuri). Aria unui patrulater sferic convex situat pe o sferă de raza˘ R este unde 𝜀 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 − 360° se numește excesul sferic al patrulaterului. Aria unui poligon sferic convex cu n vârfuri M1M2 ...M n situat pe o sferă de rază R este unde 𝜀= ∑ 𝑀𝑘𝑛 𝑘=1 −(𝑛−2)⋅180 se numește excesul sferic al poligonului. Iar un poligon sferic regulat este un poligon sferic convex cu toate cele n laturi egale. 35 2.9 Legătura între trigonometria sferică și trigonomet ria plană Dacă sunt trei puncte necoliniare în spațiu care determină un plan și în acest plan un triunghi unic și în schimb, există o infinitate de sfere pe a căror suprafață sunt situate cele trei puncte date. Fie raza sferei cât mai mare, atunci curbura suprafeței este mai mică, apropiindu -se de o suprafață plană. Astfel ,când 𝑅→∞, unghiurile de pe suprafața sferică se apropie de unghiurile obișnuite plane iar excesul sferic 𝜀→0. Dacă a, b, c sunt laturile unui triunghi sferic (măsu rate în radiani), atunci lungimile arcelor co- respunzătoare sunt 𝑎̅=𝑎⋅𝑅, 𝑏̅=𝑏⋅𝑅,𝑐̅=𝑐⋅𝑅 și converg către lungimile laturilor triunghiului plan corespunzător atunci când 𝑅→∞. Dacă raza sferei este mare ,atunci a, b, c sunt mici iar pentru u nghiuri mici putem aproxima 𝑡𝑔 𝑥=𝑥. Formula lui L’Huilier 𝑡𝑔𝜀 4=√𝑡𝑔𝑠 2𝑡𝑔𝑠−𝑎 2𝑡𝑔𝑠−𝑏 2𝑡𝑔𝑠−𝑐 2 devine 𝜀 4=√𝑠 2∙𝑠−𝑎 2∙𝑠−𝑏 2∙𝑠−𝑐 2 Înlocuind se obține iar aria triunghiului sferic devine 𝑆=𝜀⋅𝑅2=√𝑠̅(𝑠̅⋅𝑎̅)(𝑠̅−𝑏̅)(𝑠̅−𝑐̅) adică formula lui Heron din trigonometria plană. 36 Înlocuind în teorema sinusurilor din trigonometria sferică se obține Folosind dezvoltările în serie de puteri ale funcției sin rezultă: care prin trecere la limita cu 𝑅→∞ devine adică teorema sinusurilor din trigonometria plană Înlocuind în prima formulă Gauss -Euler se obține Folosind dezvoltările în serie de puteri ale funcțiilor sin și cos rezultă: Efectuând calculele și trecând la limită cu 𝑅→∞ se obține 𝑎̅2=𝑏̅2+𝑐̅2−2𝑏̅𝑐̅⋅cos𝐴 adică teorema cosinusului din trigonometria plană Înlocuind în formula de control a lui Gauss Folosind dezvoltările în serie de puteri ale funcției tg rezultă: 37 și trecând la limită 𝑅→∞ se obține adică teorema tangentei din trigonometria p lană. Notăm cu 𝐴̅,𝐵̅,𝐶̅ unghiurile triunghiului plan crespunzător triunghiului sferic ABC. Pentru eva- luarea diferenței dintre unghiurile triunghiului plan și ale celui sferic se pornește de la și folosind formulele pentru funcțiile trigonometrice ale jumătății unghiului din trigonometria plană și sferică precum și dezvoltările în serie ale funcțiilor sin și cos se obține Ignorând termenii ce conțin puteri mari ale lui și aproximând 𝑠𝑖𝑛𝑥 ≃𝑥 pentru mic rezultă și analog așadar fiecare unghi al triunghiului plan este mai mic decât un- ghiul corespunzător al triunghiului sferic cu o treim e din exces. 38 Capitol ul 3. Aplicațiile trigonometriei plane 3.1 Relații între laturi și unghiuri într -un triunghi oarecare Avem un triunghi oarecare cu vârfurile în punctele A,B,C (se notează ∆𝐴𝐵𝐶 ),iar unghiurile sunt notate cu A, B ¸si C și măsura lor este cuprinsă între 0° și 180° (în radiani între 0 și π): 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180° Dacă toate unghiurile sunt ascuțite ( 𝐴,𝐵,𝐶 < 90°) triunghiul se numește ascuțitunghic , dacă un unghi este obtuz (cu măsura între 90° și 180°) se numește obtuzun ghic, iar dacă are un unghi drept ( 90°) se numește dreptunghic . Laturile se notează cu 𝑎 = 𝐵𝐶,𝑏 = 𝐶𝐴,𝑐 = 𝐴𝐵 și verifică inegalitățile: a < b + c, b < c + a, c < a + b (3.1) a > ∣b − c∣, b > ∣c − a∣, c > ∣a − b∣ (3.2) Triunghi ul care are două laturi egale se numește isoscel , un triunghi cu toate laturile egale se nu- mește echilateral , iar un triunghi cu laturile oarecare se mai numește și triunghi scalen . Notăm cu ha ,hb , hc înălțimile triunghiului duse din A,B, respe ctiv C. Avem: Teorema sinusurilor: 39 Aria △ABC este Deducem că sin , iar teorema sinusurilor devine unde R este raza cercului circumscris triunghiului. Avem și Teore ma proiecțiilor: 𝑎=𝑐cos𝐵+𝑏cos𝐶𝑏=𝑎cos𝐶+𝑐cos𝐴𝑐=𝑏cos𝐴+𝑎cos𝐵 Teorema lui Pitagora generalizată: 𝑎 2= 𝑏2 + 𝑐2−2𝑏𝑐cos𝐶𝑐2=𝑎2 + 𝑐2−2𝑎𝑐cos𝐶𝑐2 = 𝑎2+ 𝑏 2− 2𝑎𝑏cos𝐶 Teorema cosinusului: Avem: 𝑝=𝑎+𝑏+𝑐 2 Așadar cos a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC 40 , deci Teorema tangentei: ⇒ Formulele lui Mollweide : ⇒ și atunci obținem și analog 41 3.2 Formule pentru diverse elemente ale unui triunghi 1. Aria triunghiului 2. Raza cercului circumscris triunghiului 3. Raza cercului înscris în triunghi 4. Înălțimea triunghiului ℎ 𝑎= 2𝑅sin𝐵sin𝐶 ℎ 𝑏= 2𝑅sin𝐴sin𝐶 ℎ 𝑐= 2𝑅sin𝐴sin𝐵 5. Bisectoarea triunghiului 6.Medianele triunghiului 42 3.3 Rezolvarea triunghiurilor Fie A BC un triunghi dreptunghic în (𝐴=90°). Lungimile catetelor sunt AB=c și AC=b, iar lungimea ipotenuzei este BC=a. Avem: • Unghiuri le ascuțite sunt complementare deoarece suma ung hiurilor este 180°. 𝐵+𝐶=90° • Teorema lui Pitagora: 𝑎2=𝑏2+𝑐2 • Funcțiile trigonometrice în triunghiul dreptunghic: • Aria triunghiului: Un triunghi dreptunghic poate fi rezolvat dacă sunt cunoscute(în afară de unghiul drept 𝐴=90°) următoarele elemente: 1. cele două catete b și c 2. ipotenuza a și o catetă b (sau c) 3. ipotenuza a și un unghi ascuțit B (sau C) 4. catetă și unghiul opus ei( b și B (sau c și C) 43 Caz Date Necunoscute Unghiuri Laturi Arie 1 b, c B, C, a, S a2 = b2 +c2 𝑆=1 2𝑏𝑐 2 a, b B,C, c, S c2 = a2 −b2 3 a, B C, b ,c, S C = 900 − B b = a sin B c = a cos B 4 b, B C, a, c, S C = 900 − B Un triunghi oa recare poate fi rezolvat dacă sunt cunoscute următoarele elemente: 1. două laturi și unghiul dintre ele (cazul L.U.L.) 2. o latură și două unghiuri (cazul U.L.U.) 3. toate cele trei laturi (cazul L.L.L.) 4. două laturi și unghiul opus uneia dintre ele (cazul L.L.U. ) Caz Date Necu- noscute Unghiuri Laturi L.U.L. a, C, b A, B, c {𝐴 + 𝐵 = 180° −𝐶 𝑡𝑔 𝐴−𝐵 2=𝑎−𝑏 𝑎+𝑏∙𝑐𝑡𝑔𝐶 2 c2 = a2 + b2 − 2abcosC U.L.U. B, a, C A, b, c 𝐴 + 𝐵 = 180° −(𝐵 +𝐶) L.L.L. a, b, c A,B,C Verificare ∶ A + B + C = 1800 44 L.L.U. a, b, A B, C, c 𝑠𝑖𝑛 𝐵 = 𝑏𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑎 C = 1800 − (A + B) c2 − 2bccosA + b2 − a2 = 0 (ecuație de gr. 2 în c) Observații: • În cazul L.U.L. triunghiul poate fi construit grafic, deci existența lui este asigurată cu soluție unică. Latura nec unoscută se determină cu teorema lui Pitagora generali- zată, iar unghiurile necunoscute se obțin din sistemul pentru suma și diferența lor (ca în tabel) sau cu teorema sinusurilor • În cazul U.L.U. triunghiul există și este unic dacă și numai dacă suma unghiu rilor date este mai mică de 1800. Unul din unghiurile date poate să nu fie alăturat laturii date deoarece din suma unghiurilor rezultă și celălalt unghi a lăturat. Laturile necu- noscute se calculează cu ajutorul teoremei sinusurilor. • În cazul L.L.L. triung hiul există și este unic determinat dacă și numai dacă pentru laturile date sunt îndeplinite inegalitățile triunghiului. Unghiurile se determină cu aju- torul teoremei cosinusului sau cu formulele jumătății de arc în funcție de laturi. • În cazul L.L.U. triun ghiul există dacă și numai dacă ecuația de gradul doi obținută din teorema lui Pitagora generalizată are cel puțin o rădăcină strict pozitivă. 45 Exemple: 1. Să se rezolve triunghiurile dreptunghice în care se cunosc: a) 𝐴 = 90°,𝑏 = 3𝑚,𝑐 = 4𝑚; b) 𝐴 = 90°,𝑎 = 15𝑚,𝑐 = 5𝑚; c) 𝐴 = 90°,𝑎 = 100 𝑚 ,𝐵 = 69°21′14′′ ; d) 𝐴 = 90°,𝑐 = 10𝑚,𝐶 = 22°30′ Rezolvare: a) 𝐵 = 36°52′12′′ ,𝐶 = 53007′48′′ ,𝑎 = 5𝑚,𝑆 = 6𝑚2 b) 𝐵 = 70°32′44′′ ,𝐶 = 19027′16′′ ,𝑏 = 14.142136 𝑚,𝑆 = 35.355339 𝑚2 c) 𝐶 = 20°3 8′46′′ ,𝑏 = 93.577607 𝑚,𝑐 = 35.259487 𝑚,𝑆 = 1649 .749199 𝑚2 d) 𝐵 = 67°30′,𝑎 = 26.131259 𝑚,𝑏 = 24.142136 𝑚,𝑆 = 120 ,710678 𝑚2 2. Să se rezolve triunghiurile în care se cunosc: a) 𝑎 = 2.25 ,𝑏 = 8,𝐶 = 36°44′ Rezolvare : c2 = a2+b2−2abcosC = 69.0625 −36cos36 .7333330 = 40.211098 ⇒ c = 6.341222. Din teorema tangentelor ⇒ ⇒ A − B = −118.7622190. Avem de asemenea A + B = 1800 − C = 143016′ = 143.2666660. Rezolvând sistemul găsim 𝐴 = 12.252224° = 12°15′08′′ ș𝑖 𝐵 = 131 .014442° = 131°52′′ . Aria este b) 𝑎 = 4,𝐴 = 14015′ ,𝐵 = 112°37′12′′ ; Rezolvare : 𝐶 = 180° − (𝐴 + 𝐵) = 180° − 126°52′12′′ = 53°07′48′′ = 53.13° Laturile b și c se obțin din teorema sinusurilor: 46 Aria este 𝑎 = 19,𝑏 = 34,𝑐 = 49; Rezolvare : Condițiile de existență a triunghiului sunt îndeplinite. Avem semiperimetrul 𝑝 = 51,𝑝−𝑎 = 32,𝑝−𝑏 = 17,𝑝−𝑐 = 2, de unde găsim: 𝑡𝑔𝐴 2=√(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐) 𝑝(𝑝−𝑎)=0.144338 ⇒𝐴=16.426421° =16°25′35′′ 𝑡𝑔𝐵 2=√(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑐) 𝑝(𝑝−𝑏)=0.271694 ⇒𝐵=30.400027° =30°24′ 𝑡𝑔𝐶 2=√(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏) 𝑝(𝑝−𝑐)=2.309401 ⇒𝐶=133 .173551° =133°10′25′′ Aria este √𝑝(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐)=235 .5588910 c) 𝑎 =2,𝑏 = 2,𝐵 = 45 ; Rezolvare : Din teorema lui Pitagora generalizată ⇒ 𝑏2 = 𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵 ⇒ 𝑐2 − 2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑎2 − 𝑏2 = 0⇒𝑐 2− 2𝑐 + 2 = 0 ecuație care are singura rădăcină pozitivă 𝑐 = 1 + √3 = 2.732051 . . Aria este d) ; Rezolvare : Din teorema lui Pitagora generalizată ⇒ b2 = a2+c2−2accosB ⇒ a2 − 2accosB + c2 − b2 = 0 ⇒ a2 − 8a + 12 = 0 ecuație care are două rădăcini pozitive, deci problema are două soluții: 47 Pentru 153026′06′′ Aria este S 1= 26°53′54′′ ⇒ Pentru Aria este S 1 = 3. Să se rezolve triunghiurile în care se cunosc: a) 𝑎 = 14,𝑐 = 13,𝐵 = 67°°22′49′′ ; b) 𝑏 = 15,𝐴 = 14°15′,𝐶 = 53°07′48′′ ; c) 𝑎 = 5,𝑏 = 12,𝑐 = 13; d) 𝑏 = 5.064 ,𝑐 = 7.458,𝐶 = 10°32′48′′ ; e) 𝑎 = 1000 ,𝐴 = 50°,𝐵 = 75°; f) 𝑎 = 112 ,𝑏 = 86,𝑐 = 98; g) 𝑎 = 13.9,𝑐 = 8.43,𝐴 = 126°43′ ; h) 𝑎 = 2.018 ,𝑏 = 1.466 ,𝐶 = 58°47′ ; i) 𝑎 = 1,𝑏 = 2,𝑐 =√3 Rezolvare : a) 𝑏 = 15,𝐶 = 53°07′48′′ ,𝐴 = 59°29′23′′ 𝑆 = 84; b) 𝑎 = 4,𝑐 = 13,𝐵 = 112° 37′12′′,𝑆 = 24; c) 𝐴 = 22°37′12′′,𝐵 = 67°22′48′′,𝐶 = 900 ,𝑆 = 30; d) 𝐴 = 162° 18′48′′,𝐵 = 7°08′24′′ ,𝑎 = 12.379 ,𝑆 = 5.737 ; 48 e) 𝑏 = 1260 .6,𝑐 = 1069 .3,𝐶 = 55°,𝑆 = 516311 ; f) 𝐴 = 74°40′17′′,𝐵 = 47°46′39′′,𝐶 = 57033′04′′,𝑆 = 4064 .1; g) 𝐵 = 24°1 1′,𝐶 = 29°06′ ,𝑏 = 7.102 ,𝑆 = 24; h) 𝐴 = 76°19′07′′,𝐵 = 44°53′53′′ ,𝑐 = 1.776 ,𝑆 = 1.265 ; i) . 4. La distanța de 7 .62 metri un turn se vede sub unghiul de 78°. Care este înălțimea turnului? R: 35.85 m 5. Un pod orizontal peste un râu are lungimea de 400 m. Dintr -un capăt A al podului se observă un punct situat pe suprafața apei exact sub pod un obiect P sub un unghi de de- clinație de 5°. Din capătul celălalt B al podului, obiectul P se vede sub unghiul de declin a- ție de 7°. Să se determine la ce înălțime față de suprafața apei este situat podul. R: 20.435 m 6. Un om observă un arbore sub unghiul de elevație de 46°. După ce merge 2m în di- recția arborelui, găsește unghiul de elevație de 50°. Care este înălțimea arborelui? R: 15.8 m 7. Un avion este văzut simultan de doi observatori situați în același plan cu verticala avionului la distanța de 320 m unul de celălalt, sub unghiurile de elevație de 52°, respectiv 57°. Să se calculeze altitudinea la care zboară avionul. R: 2426 .5 m 8. Dintr -un punct situat în planul orizontal al solului se vede o clădire înaltă sub un unghi de elevație de 11°29′ . Din alt punct situat cu 30 m mai aproape de baza clădirii un- ghiul este de 13°18′. Să se determine înălțimea clădirii. R: 43.34 m 9. Dintr-un punct situat la poalele unui deal, acesta se observă sub un unghi de 200. Din alt punct situat în plan orizontal mai aproape de deal cu 100 m, acesta se vede sub un unghi de 250. Să se afle înălțimea relativă a dealului. R: 165.85 m 10. Un stâlp cu înălț imea de 3 m lasă î n lumina soarelui o umbră cu lungimea de 5 m. Care va fi lungimea umbrei când soarele va fi cu 100 mai sus pe bolta cerească? R: 3.456 m 49 11. Un releu TV este situat în vârful unui deal de pantă 150 și se vede dintr -un punct si- tuat mai în va le sub un unghi de 11024′. Urcând pe pantă în direcția releului 50 m, unghiul sub care se vede releul este 17036′. Să se calculeze înălțimea releului. R: 28.645 m 12. Un balon este observat la două stații P și Q, situate la același nivel orizontal, P fiind la 1000 metri la nord de Q. La un moment dat balonul apare din P în direcția 33012′ NE, sub unghiul de elevație 53025′12′′, iar din Q apare în direcția 21027′ NE. Să se determine înălțimea la care este situat balonul. R: 2419.74 m 13. Se observă di n două punct e A și B de pe malul unui râu, situate la distanța de 150 metri, un reper P de pe malul opus. Sunt măsurate unghiurile ∡PAB = 51020′ și ∡PBA = 62012′. Să se calculeze lățimea râului . R: 113 m 3.4 Trigonometrie și geometrie în spațiu Două plane neparalele care se int ersectează formeaz ă o dreaptă. Iar aceste plane se împart în patru semiplane (două câte două opuse) care au în comun dreapta de intersecție. Semiplane le formează un unghi diedru , dreapta ce limitează semiplane le se numește origi- nea diedrului sau muchia diedrului , iar semi planele se numesc fețele diedrului . Unghi ul plan corespunzător unui unghi diedru se înțelege ca fii nd unghiul format de două semidrepte conținute în cele două semiplane și perpendiculare pe muc hia diedrului. Iar planul bi- secto r al unghiului diedru este planul care conține muchia diedrului și care face cu fețele diedrului unghiuri plane corespunzătoare egale. Va fi un unghi diedru de măsură α. Dacă ABC este un triunghi de arie S situat pe una din fețele diedrului, atunci ar ia proi ecției A′B′C′ pe cealaltă față a diedrului este S′ = S cosα Se consideră și un al treilea plan care nu este paralel cu cele două plane care formează unghiul diedru, atunci toate trei au un punct comun și se intersectează două câte două după câte o dr eaptă, 50 formând trei muchii care trec prin punctul comun planelor. Spațiul este împărțit de cele trei plane în opt părți numite octanți . Astfel că p orțiunea din spațiu determinată de un octant se mai numește și unghi spațial sau unghi triedru . Elementel e unui triedru 𝑂𝑥𝑦𝑧 sunt: • vârful triedrului O • muchii (semidreptele 𝑂𝑥,𝑂𝑦,𝑂𝑧) • fețe plane ( 𝑥𝑂𝑦 ,𝑦𝑂𝑧 ,𝑥𝑂𝑧), fiecare dintre ele fiind un unghi • plan unghiuri diedre având ca muchii 𝑂𝑥,𝑂𝑦,𝑂𝑧. Bisectoarea unui triedru este semidreapta de intersecți e a planelor bisectoare ale celor trei die- dre for mate de fețele triedrului. Iar în orice triedru unghiul unei fețe este mai mic decât suma ce- lorlalte două unghiuri. Așadar un triedru peste care cele trei semidrepte sunt perpendiculare doua câte doua se num ește triedru tridreptunghic, iar un reper drept este un reper în care prin rotirea semiaxei pozitive 𝑂𝑥 spre semiaxa pozitivă 𝑂𝑦 în sens pozitiv, se obține sensul pozitiv al semia- xei pozitive Oz după regula mâinii drepte sau a burghiului Se cons ideră mai multe (cel puțin trei) plane ce au un punct com un se obține un unghi mărginit de mai multe fețe plane, numit unghi poliedru . Dacă interiorul unui unghi poliedru nu este inter- sectat de niciunul din planele care îl formează, acesta se numește ungh i poliedru convex ; în caz contrar unghiul se numește unghi poliedru concav . Un plan care intersectează toate fețele unui unghi poliedru convex determină prin punctele de intersecție cu muchiile poliedrului un poligon convex. Dacă acest poligon convex este inscriptibil într -un cerc, atunci acest cerc împreună cu vârful un- ghiului poliedru determină o suprafață conică în care este înscris poliedrul convex. Un unghi solid este o porțiune din spațiu mărginită de suprafața unui con circular drept. Unghiurile sol ide se măsoară în steradiani . Un steradian est e egal cu unghiul solid care, având vârful în centrul unei sfere, decupează pe aceasta o arie egală cu pătratul razei. Sfera are în total 4π steradiani (aria sferei fiind 4 πr2). 51 Unghiurile solide se mai măsoar ă în grade pătrate , notate (0)2 sau deg2. Ele măsoară porțiuni din suprafața unei sfere analog cum gradele măsoară porțiuni din lungimea unui cerc. Astfel, dacă un grad are radiani, atunci un grad pătrat are 3.0462 ⋅ 10−4 steradiani. O sferă întreagă are 4 . 3.5 Aplicații practice ale trigonometriei în topografie și ge- odezie 3.5.1 Determinarea înălțimii unui obiect vertical 1. Dacă punctul de la baza obiectului ce trebuie măsurat este accesibil 2. Notăm cu h înălțimea obiectului, d distanța de la observator la b aza obiectului și α unghiul de elevație (determinat cu teodolitul). Atunci ℎ=𝑑 𝑡𝑔∝ 3. Dacă punctul de la baza obiectului este inaccesibil (metoda 1) Se determină cu ajutorul teodo- litului unghiurile de elevație α și β ale obiectului din două puncte distinct e coliniare cu baza obiectului, aflate la di stanța d unul de celălalt. Atunci : . 4. Dacă obiectul este situat pe un plan înclinat (de pantă 𝑡𝑔𝜑) atunci: . 5. Dacă punctul de la baza obiectului este inaccesibil (metoda 2) 52 • Fie P1 ¸si P2 două puncte în planul orizontal necoliniare cu baza obiectului B. • Notăm cu γ1 și γ2 unghiurile făcute de BP1 și BP2 cu P1P2, și cu α1,α2 unghiurile de elevație măsurate în P1, respectiv P2. • Dacă d este distanța dintre P1 ¸si P2, atunci: o • Dacă se cunoaște doar unul dintre ung hiurile γ1 și γ2, avem 𝐵𝑃1 = ℎ𝑐𝑡𝑔𝛼1 ș𝑖 𝐵𝑃2 = ℎ𝑐𝑡𝑔𝛼2, iar aplicând teorema cosinusului în △BP1P2 pentru unghiul cunoscut se obține h. 3.5.2 Determinarea distanței dintre două puncte 1. Determinarea distanței dintre două puncte accesibile despărțite printr -un obstacol ▪ Fie A ¸si B cele două puncte despărțite printr -un obstacol. ▪ Se alege un punct C din care se văd punctele A ¸si B și se măsoară distanțele AC = b și BC = a. ▪ Se determină unghiul C = ∡ACB . ▪ Distanța c = AB se determină din triun ghiul ABC cu teorema lui Pitagora ge- neralizată: c2 = a2 + b2 − 2abcosC 2. Determinarea distanței dintre un punct accesibil ¸si unul inaccesibil • Fie punctul accesibil A și un punct B inaccesibil observatorului. 53 • Se alege un punct C din care se văd punctele anterioare A și B, punctul B fiind despărțit de punctele A și C printr -un obstacol. • Se măsoară distanța CA = d și unghiurile ∡CAB = α și ∡ACB = γ • Pentru determinarea distanței AB = x se aplică teorema sinusurilor în triunghiul ABC . Obțin em 3. Determinarea distanței dintre două puncte vizibile dar inacc esibile ▪ Fie A și B cele două puncte inaccesibile observatorului. ▪ Se aleg alte două puncte C și D din care se văd punctele A și B dar sunt des- părțite printr -un obstacol de acestea. ▪ Se măsoară distanța CD = d, precum și unghiurile ∡ACB = α1, ∡BCD = α2, ∡ADB = β1 și ∡ADC = β1. ▪ Din teorema sinusurilor aplicată în triunghiul BCD rezultă ▪ Din teorema sinusurilor aplicată în triunghiul ACD rezultă ▪ Distanța căutată se obține din triunghiul ABC : AB2 = AC2 + BC2 − 2AC ⋅ BC ⋅ cosα1 54 Capit olul 4. 4. Aplicațiile trigonometriei sferice 4.1 Geometria analitică a sferei Fie o sferă cu centrul în originea O a unui sistem de coordonate cartezian și de rază R, deci având ecuația 𝑥2+𝑦2+𝑧2=𝑅2 și 𝑀(𝑥,𝑦,𝑧) un punct de pe sferă. Notăm cu M′ proiecția lui M pe planul 𝑥𝑂𝑦 , cu ϕ unghiul din- tre OM ¸si planul 𝑥𝑂𝑦, ¸si cu θ unghiul dintre OM′ și 𝑂𝑥. Atunci avem: {𝑥=𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦=𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑧=𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑 care se numesc ecuațiile parametrice ale sferei . 55 Unghiul θ ∈ [−1800,1800] se numește longitudine , unghiul 𝜑 ∈ [−900,900] se numește latitu- dine, iar împreun ă (𝜃,𝜑) se numesc coordonate sferice . Curbele de pe sferă obținute prin fixarea uneia dintre cele două coordonate sferice sunt: θ = constant: semicercuri mari numite meridiane . θ = 0 se numește meridianul zero . ϕ = constant: cercuri numite paralele . ϕ = 0 se numește ecua tor. Ecuatorul se mai numește cercul de bază al sistemului de coordonate sferice . Meridianul zero completat cu antimeridianul său formează un alt cerc mare, perpendicular pe ecuator, care se numește alt cerc mare, perpendicular pe ecuator, care se numește cercul principal al sistemului de coordonate sferice . Punctul de intersecție dintre ecuator și meridianul zero se numește punctul principal al sistemul ui de coordonate sferice și are coordonatele sferice 𝜑 = 0,θ = 0. Latitudinea 𝜑= 90° o are doar un punct, numit polul nord și notat cu N. Latitudinea 𝜑 = −90° o are doar un punct, numit polul sud și notat cu S. Dreapta NS se numește axă polar ă. Fie dou ă puncte de pe suprafața sferei date prin coordonatele lo r sferice M1(𝜃1,𝜑1), M2(𝜃2,𝜑2). Distanța sferică dintre cele două puncte este dată prin Considerând un al treilea punct pe sferă M3(θ3,ϕ3), în mod analog se pot calcula M1M3 și M2M3. Rezolvând triunghi ul sferic M1M2M3 se poate calcula aria cu formula Excesul sferic poate fi calculat direct cu formula unde și 56 Locul geometric al punctelor de pe sferă situate la o distanță sferică determinată ρ de un punct fix al sferei C(𝜃0,𝜑0) este un cerc mic al sferei de rază sferică ρ și centru sf eric C. Ecuația analitică a acestui cerc se obține impunând condiția ca distanța dintre punctul curent al cercului 𝑀(𝜃,𝜑) și centrul C să fie ρ: sinφsinφ0 + cosφcosφ0 cos(θ − θ0) = cosρ În cazul particular ρ = 900 se obține ecuația cercului ma re cu polul în punctul C: sinφsinφ 0+ cosφcosφ0 cos(θ − θ0) = cos90° = 0 sau echivalent cos ( 𝜃− 𝜃0) = −𝑡𝑔𝜑𝑡𝑔 𝜑0 Ecuația cercului mare care trece prin două puncte de pe sferă M1(𝜃1,𝜑1), M2(𝜃2,𝜑2) este 𝑡𝑔𝜑𝑠𝑖𝑛 (𝜃2 − 𝜃1) + 𝑡𝑔𝜑1 𝑠𝑖𝑛(𝜃 − 𝜃2) + 𝑡𝑔𝜑2 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃) =0 4.2 Coordona te geografice și probleme de geodezie Pământul poate fi considerat o sferă cu raza medie R = 6371 .221 km, iar ecuațiile parame- trice ale suprafeței sale sunt: {𝑥=𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦=𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑧=𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑 Longitudinea 𝜃 ∈ [−180 °,180 °] și latitudinea 𝜑∈ [−90°,90°] se numesc coordona- tele geografice ale punctelor de pe suprafața globului. Fiecare punct este la i ntersecția dintre un meridian θ = θ0 și o paralel ă 𝜑 = 𝜑 0. • 𝜃 = 0° se numește meridianul zero sau meridianul Greenwich; • Dacă 𝜃 ∈ (0°,180°) punctul este în emisfera estică; • Dacă 𝜃 ∈ (−180 °,0°) punctul este în emisfera vestică; 57 • Punctele de longitudine 𝜃 = ±180 ° sunt situate pe antimeridianul Greenwich care completează meridianul zero până la un cerc mare; • 𝜑=0° se numește ecuator; • Dacă 𝜑∈ (0°,90°) punctul este în emisfera nordică; Dacă 𝜑∈ (−90°,0°) punctul este în emisfera sudică; Latitudinea 𝜑=90° o are un singur punct, și anume polul nord; Latitudinea 𝜑 = −90° o are un singur punct, și anume polul sud; 4.3 Navigație maritimă și aeriană Dacă punctul de plecare și cel de sosire sunt situate la distanțare mare, este recomandată navigația pe arcul de cerc mare care unește cele două puncte, care se numește ortodomă și este cel mai scurt drum dintre cele două puncte pe sfera terestră . A = punctul de plecar e B = punctul de sosire d =𝐴𝐵̂ =distanța ortodromică ∝ = cursul(capul) inițial 𝛽 = cursul(c apul) final V = vertexul(punctul de pe ortodromă cel mai apropiat de polul geografic). Distanța ortodromică 𝑑 se calculează cu formula cos𝑑= 𝑠𝑖𝑛𝜑1 𝑠𝑖𝑛𝜑2 + 𝑐𝑜𝑠𝜑1 𝑐𝑜𝑠𝜑 2𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃2) Dacă se cunoaște d, unghiurile ∝ș𝑖 𝛽se pot calcula din teorema sinusurilor în triunghiul ANB : 58 Unghiurile se pot calcula și direct folosind formulele celor 4 elemente: 𝑐𝑡𝑔𝛼 = 𝑡𝑔𝜑2 𝑐𝑜𝑠𝜑1 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 (𝜃2 − 𝜃1) − 𝑠𝑖𝑛𝜑1 𝑐𝑡𝑔(𝜃 2− 𝜃1) 𝑐𝑡𝑔𝛽 = −𝑡𝑔𝜑1𝑐𝑜𝑠𝜑2 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 (𝜃2− 𝜃1) + 𝑠𝑖𝑛𝜑2 𝑐𝑡𝑔(𝜃2 − 𝜃1) Coordonatele geografice (𝜃𝑣 ,𝜑𝑣) ale vertexului V se calculează prin rezolvarea unuia din triunghiurile sferice dreptunghice NVA sau NVB : 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝜑1 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑡𝑔(𝜃 𝑣− 𝜃1)= 𝑠𝑖𝑛𝜑1 𝑡𝑔𝛼 𝑐𝑡𝑔(𝜃𝑣 − 𝜃2) = 𝑠𝑖𝑛𝜑2 𝑡𝑔𝛽 4.4 Astronomia sfe rică Pentru un observator situat pe Pământ, bolta cerească apare ca o calotă sferică pe a cărei s uprafață se deplasează astrele (spre Est datorită rotației Pământului). Centrul O al acestei sfere se poate considera punctul observatorului ( sferă cerească topocentrică ) sau centrul Pământului ( sferă ce- rească geocentrică ). Distanța dintre centrele acestor sfere este raza Pământului, care este neglija- bilă în raport cu distanțele la majoritatea astrelor. Axa de rotație a sferei cerești se numește axa lumii , iar punctele de intersecție ale acesteia cu sfera cerească se numesc poli cerești , notați cu PN ¸si PS. Semicercurile mari care unesc polii cerești se numesc meridiane cerești . Planul care trece prin centrul sferei cerești și este perpendicular pe axa lumii PNPS se numește plan ecuatorial ceresc , iar intersecția acestuia cu sfera cerească e ste un cerc mare numit ecuator ceresc . Ecuatorul ceresc împarte sfera cerească în două emisfere: emisfera cerească boreală și emisfera cerească australă . Direcția vertical ă (gravitațională)într -un punct de observație se numește verticala locului , iar planul tangent sferei terestre în acest punct (deci perpendicular pe verticala locului) se numește plan orizontal . Planul orizontal intersectează sfera cerească după un cerc m are numit orizont matema- tic, iar punctele de intersecție ale verticalei locului cu s fera cerească se numesc zenit (notat cu Z și situat deasupra observatorului) și nadir (notat cu Na și diametral opus zenitului). Orice plan care conține verticala locului ZNa se numește plan vertical și intersectează sfera ce- rească după un cerc mare numit cerc vertical . Orizontul matematic și ecuatorul ceresc se intersec- tează în două puncte diametral opuse numite punctele cardinale est E și vest W. 59 Axa lumii PNPS și verticala locului ZNa determină un plan numit plan meridian al locului care intersectează sfera cerească după meridianul ceresc al locului iar planul orizontal după o dreaptă numită meridiana locului . Orizontul matematic este intersectat de meridian a locului în două puncte diametral opuse numite puncte cardinale nord N și sud S. Se notează cu Q și Q′ cele două puncte diametral opuse în care meridianul ceresc al locului intersectează ecuatorul ceresc. • Fie un astru T situat pe sfera cerească. • Înălțim ea deasupra orizontului h ∈ [−900,900] este unghiul făcut de raza OT cu planul orizontului. • Distanța zenitală z ∈ [00,1800] este măsura arcului de cerc vertical TZ, adică z = 900 − d. • Azimutul a ∈ [00,3600] este unghiul diedru făcut de planul vertical al lui T cu planul meri- dian al locului, măsurat pe orizontul matematic de la punctul sud S spre vest. • (h,z) se numesc coordonate orizontale (sau zenitale ) ale astrului T ¸si au ca plan funda- mental planul orizontului matematic ¸si verticala locului drept axa˘ fundamentala˘. In mișcarea sa aparentă d iurnă dinspre est spre vest, astrul T descrie un arc de cerc mic paralel (paralel ceresc ) cu ecuatorul ceresc. El apare deasupra orizontului dintr -un punct de răsărit al astrului și se deplasează până într -un punct de apus al astrului (intersecțiile parale lului ceresc cu orizontul). Astrul T atinge o înălțime maximă hmax la intersecția paralelului ceresc cu meridianul locu- lui într -un punct numit punct de culminație superioară U. Punctul diametral op us pe paralelul ceresc situat pe meridianul locu lui se numește punct de culminație inferioară K. Planul determinat de axa lumii PNPS ¸si T se numește plan orar al astrului și intersectează sfera cerească după un cerc mare numit cercul orar al astrului sau cercul de declinație . 60 • Declinația δ ∈ [−900,900] a astrului T este unghiul făcut de raza OT cu planul ecuatorial ceresc. p = 900 − δ ∈ [00,1800] se numește distanța polară cerească . • Unghiul orar τ ∈ [00,3600] este unghiul diedru dintre planul me ridian al locului și planul orar a l astrului. • (δ,τ) se numesc coordonatele orare ale astrului T și au ca plan fundamental planul ecuato- rului ceresc și axa lumii drept axă fundamentală. Folosind formulele trigonometriei sferice fie în coordonate zen itale, fie în coordonate orare, pot fi studiate numeroase probleme de astronomie, printre care: • Determinarea coordonatelor astronomice ale unui astru pe baza unor observații; • Studiul mișcării diurne și anuale a Soarelui sau a Lunii; • Relațiile dintre coordo natele astronomice ale unui astru; • Determinarea răsăritului și apusului unui astru în orice loc de pe Pământ; • Determinarea latitudinii și longitudinii unui punct de observație; • Măsurarea timpului pe baza unor fenomene astronomice periodice. Exemp le: 1.Să se determine distan ța dintre Baia Mare ( 47°40′𝑁,23°35′ 𝐸) și Cluj Nap oca (46°46′13.5804′′𝑁 23°35′29.1228′′𝐸) Rezolvare : 𝜃1=47.6567° ,𝜑1=23.5850° și 𝜃2=46.7700439° ,𝜑2=23.591423° cos𝐵𝐶̂=sin𝜑1sin𝜑2+cos𝜑1cos𝜑2cos(𝜃2−𝜃1) cos𝐵𝐶̂=0.400109 ∙0.400211 +0.916467 ∙0.9164226 ∙(0.999880 )=0.999898 𝐵𝐶̂=0.81835 43° 𝐵𝐶=𝜋𝑅 180∙107 .5274 =𝜋∙6371 .221 180∙0.8183543 =90.9538 km 61 2. Să se calculeze perimetrul și aria triunghi ului Bermude lor Miami : 25°48′47′′𝑁,80°08′03′′𝑊 San Juan: 18°27′00′′𝑁,66°04′00′′𝑊 Bermu da: 32°17′35′′𝑁,64°46′55′′𝑊 Rezolvare : Miami: 𝑀1(𝜃 1= −80.134167 °,𝜑1 = 25.813056 °) San Juan: 𝑀2(𝜃2 = −66.195374 °,𝜑2 = 18.231960 °) Bermuda: 𝑀3(𝜃 3= −64.781944 °,𝜑3 = 32.293056 °) 𝑐𝑜𝑠𝑀1𝑀2̂ = 𝑠𝑖𝑛𝜑1𝑠𝑖𝑛𝜑2 + 𝑐𝑜𝑠𝜑1 𝑐𝑜𝑠𝜑2𝑐𝑜𝑠 (𝜃2 − 𝜃1)= 0.966082 ⇒𝑀1𝑀2̂ = 14.965305 0 ⇒ 𝑀1𝑀2̂ = 1664 .074636 𝑘𝑚 𝑐𝑜𝑠𝑀1𝑀3̂ = 𝑠𝑖𝑛𝜑1 𝑠𝑖𝑛𝜑3 + 𝑐𝑜𝑠𝜑1 𝑐𝑜𝑠𝜑3cos(𝜃3 – 𝜃1)= 0.966457 ⇒ ⇒ 𝑀1𝑀3̂ = 14.881842 0 ⇒𝑀1𝑀3 = 1654 .793926 𝑘𝑚 cos𝑀2𝑀3̂ = 𝑠𝑖𝑛𝜑2 𝑠𝑖𝑛𝜑3 + 𝑐𝑜𝑠𝜑2 𝑐𝑜𝑠𝜑3 𝑐𝑜𝑠(𝜃3 − 𝜃2)= 0.969794 ⇒𝑀2𝑀3̂ =14.118400° ⇒𝑀2𝑀3=156 .902608 𝑘𝑚 ∝=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑐𝑡𝑔𝜃3−𝜃2 2∙cos𝜑2−𝜑3 2 cos𝜑2+𝜑3 2)=89.3560 263° 62 𝛽=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑐𝑡𝑔𝜃3−𝜃1 2∙cos𝜑1−𝜑3 2 cos𝜑1+𝜑3 2)=83.2696532° 𝛾=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑐𝑡𝑔𝜃2−𝜃1 2∙cos𝜑1−𝜑2 2 cos𝜑1+𝜑2 2)=83.5205873° 𝜀=180° −2(∝−𝛽−𝛾)=0.7860693° ⇒𝑆=𝜋𝑅2 180∙𝜀=556915 𝑘𝑚2 [Type here] 63