Activitatea de Rezolvare Si Compunere de Probleme de Aritmetica In Invatamantul Primar

CAP I: INTRODUCERE

1.1. Rolul matematicii în etapa actuală

În epoca actuală ritmul alert al dezvoltării și competiției în toate domeniile de activitate ne impune să gândim repede și bine, iar afirmația că este nevoie de matematică este insuficientă. Se poate susține că nu se poate trăi fără matematică.

Matematica s-a născut din nevoile practice ale omului, iar apoi s-a cristalizat ca știință deschisă, capabilă de un progres permanent, de o perpetuă aprofundare, descoperire și creare a unor teorii noi. Dezvoltarea rapidă a științei, a acumulării în ritm tot mai intens a informațiilor, impun cu acuitate dezvoltarea culturii matematice, care trebuie să-și facă loc tot mai mult în cultura generală a unui om. Aceasta cu atât mai mult, cu cât astăzi matematica are aplicabilitate nu numai în domeniul tehnicii, fizicii, chimiei, biologiei, ci și în științele sociale.

Ca atare, încă din clasele mici ale învățământului elementar, se impune stimularea intelectului, a gândirii logice, a judecății matematice la elevi, încât matematica să devină o disciplină plăcută, atractivă, convergentă spre dezvoltarea raționamentului, creativității și muncii independente.

Matematica este știința conceptelor cele mai abstracte, de o extremă generalitate. Ca “abstracțiuni ale altor abstracțiuni” ele se construiesc la diferite “etaje“, prin inducție, deducție și transducție. Matematica este o excelentă școală de formare a gândirii în etape, care ordonează lucrurile conform complexității lor, care dezvoltă spiritul metodic de abstragere a faptelor date din experiență și intuiție, de cele ce decurg logic din ele. Ea dezvoltă gândirea recurentă, ne învață să abordăm studiul proceselor cu o infinitate de etape prin reducerea lor la procesele cu un număr finit de etape.

Tot matematica dezvoltă gândirea combinatorie, gândirea analogică, dezvoltă capacitatea de a descoperi o structură comună în fenomene aparent diferite.

În condițiile în care în știința contemporană asistăm la o veritabilă “constelație” a modurilor de gândire inductibile (analitic – constructiv, axiomatic – deductiv, statistic, algoritmic recursiv, analogic etc.), intervenția matematicii ne apare evidentă nu doar de natură instrumentală, care ar înarma o gândire formată și educată prin alte mijloace, ci și una esențială, constitutivă prin abordarea problemelor din orice domeniu de cunoaștere care a atins un nivel relativ înalt de maturizare teoretică.

În clasele I-IV se însușesc noțiunile de bază, “instrumentele” cu care elevul va “opera” pe tot parcursul vieții și pe care se clădește întregul sistem al învățământului matematic.

Dacă sunt predate în mod sistematic, ținându-se seama de particularitățile de vârstă ale elevilor, dacă sunt însușite în mod conștient și temeinic, cunoștințele de matematică aduc o contribuție deosebită la dezvoltarea gândirii logice și creatoare, la dezvoltarea spiritului de receptivitate a elevilor încă din ciclul primar. Prin învățarea matematicii se cultivă o serie de atitudini: de a gândi personal și activ, de a folosi analogii, de a analiza o problemă și a o descompune în probleme simple etc. De asemenea se formează și o serie de aptitudini pentru matematică: capacitatea de a percepe selectiv, capacitatea de a trece de la aspectul diferențial la cel integral sau invers, plurivalența gândirii, capacitatea de a depune un efort concentrat. Cu ”echipamentul” pe care-l dau aceste patru clase, elevul face întreaga “călătorie” în domeniul acestei științe. Mulți copii întâmpină dificultăți în învățarea matematicii pentru că nu-și însușesc la timp aceste noțiuni. Important este ca învățătorul să respecte valoarea “formativă” a matematicii și să prezinte elevilor aceste noțiuni la nivelul particularităților psihice de înțelegere.

Utilizarea și apoi transferul noțiunilor matematice nu se realizează prin simpla transmitere a acestora de la învățător la elev, ci prin îndelungate și dirijate procese de căutare și descoperire a lor de către elevi. De aici, caracterul dinamic, activ și relativ dificil al învățării matematicii, mai ales prin efort propriu al elevului. Activitățile matematice necesită astfel o bună mobilizare a tuturor comportamentelor psihicului uman, cu precădere a inteligenței și a gândirii. Odată cu însușirea noțiunilor matematice prin efort intelectual elevul învață și anumite tehnici de investigare și rezolvare cu caracter tot mai general. Modalitățile didactice prin care elevul este pus în situația de a căuta și descoperi, de a rezolva situații noi, neînvățate anterior, sunt denumite metode euristice. În cadrul lor întâlnim de multe ori încadrate orientările didactice moderne: modelarea, problematizarea, învățarea prin descoperire. În categoria acestor strategii se înscriu metodele de predare –învățare –evaluare care privesc atât activitatea elevului cât și a învățătorului și care își sporesc eficiența formativă cu cât îl implică mai mult pe elev, adică sunt mai activizante, mai participative.

Se poate afirma că matematica modernă, prin caracterul său riguros, științific și generativ al sistemului ei noțional și operativ pe care îl cuprinde, este investită în bogate

valențe educativ – formative, nu numai în direcția formării intelectuale, ci și în ceea ce privește contribuția ei la dezvoltarea personalității umane pe plan rațional, afectiv, volitiv, având o importantă contribuție la formarea omului ca personalitate.

În același timp matematica se adresează și laturii afective: câte bucurii, câte nemulțumiri – întovărășite uneori cu lacrimi – nu trăiesc copiii în procesul activităților matematice. În primele clase se naște la copil atractivitatea, dragostea sau repulsia pentru matematică. Dacă elevul simte că pătrunde în miezul noțiunilor matematice, dacă gândirea lui este stimulată sistematic, făcând un efort gradat, iar el simte că ființa lui adaugă ceva în urma fiecărui “antrenament”, dacă el trăiește bucuria fiecărui succes mare sau mic, atunci se cultivă interesul și dragostea pentru studiul matematicii.

Prin reforma preconizată în învățământul românesc, sistemele și metodele de educație se cer continuu perfecționate, fiindcă învățământul trebuie să meargă alături de viață, cu manifestările ei zilnice, cu tendințele ei vitale. Școala trebuie să înțeleagă rolul său de ghid al vieții cotidiene și viitoare pentru elevi.

Studiul matematicii în școala primară își propune să asigure pentru toți elevii formarea competențelor de bază vizând: calculul aritmetic, noțiuni intuitive de geometrie, măsurare și măsuri.

În învățământul actual s-a produs o schimbare în modul de construire a programei de matematică. Astfel, în ansamblul său, noua concepție vizează următoarele: schimbări în abordarea conținuturilor, în învățare (trecerea de la memorizare la explorare-investigare), în predare (trecerea de la ipostaza de transmițător de informații a învățătorului la cea de organizator al unor activități variate de învățare pentru toți elevii, în funcție de nivelul și ritmul propriu de dezvoltare al fiecăruia). Acestea impun ca învățătorul să-și schimbe în mod fundamental orientarea în activitatea la clasă. Astfel, mediul realizat de către învățător în clasă trebuie să fie stimulativ și diversificat încât să ofere elevului o motivație susținută, favorabilă unei activități de grup , de rezolvare interactivă a unor probleme, de manifestare a solidarității și a unei competiții deschise, drepte și productive.

În cadrul procesului de învățământ, obiectivele coroborate cu celelalte componente ale sale sunt determinante pentru alegerea modalităților, a mijloacelor și căilor de realizare a activității instructiv-educative. Metodele folosite trebuie să aibă un caracter mobilizator, activizant, care să mărească potențialul creator al elevilor prin angajarea lor la un efort personal în actul învățării.

Matematica făcută cu “creionul și hârtia“, respectiv cu “creta și tabla” capătă mai puțină importanță și devine mult mai importantă utilizarea unei varietăți de obiecte care trebuie manipulate în procesul învățării; se trece de la memorare de reguli și socotit la activitate de rezolvare de probleme prin tatonări, încercări, implicare activă în situații practice, căutare de soluții dincolo de cadrul strict al celor învățate.

În ceea ce privește evaluarea, s-au produs și aici schimbări semnificative: s-a făcut trecerea de la subiectivismul și rigiditatea notei la transformarea evaluării într-un mijloc de autoapreciere și stimulare a copilului. Motivația schimbării notei cu calificative la învățământul primar este aceea că noul sistem permite o evaluare mult mai obiectivă, pe niveluri de performanță superioară, medie și minimă. De asemenea, în utilizarea calificativelor accentul este pus pe dezvoltarea spiritului de echipă și nu asupra competiției. Astfel devine mult mai importantă evaluarea ca parte integrantă a instrucției, cu rol stimulator-dinamizator în activitatea didactică.

În zilele noastre societatea are nevoie de un om cu gândire creatoare, inventiv, explorator, îndrăzneț, de aceea este necesară modernizarea matematicii, perfecționarea învățământului în vederea sporirii eficienței sale formative. Dar nu orice perfecționare, orice introducere a noului înseamnă modernizare, ci căutarea de noi mijloace, folosirea celor existente cu scopul de a mări eficiența, de a asigura calitatea însușirii, de a forma oamenii capabili să stăpânească cunoștințele și deprinderile necesare și să le poată aplica în viață, în producție.

Se poate spune că modernizarea predării matematicii trebuie concepută operațional – epistemologic, vizând deopotrivă asimilarea spiritului ipotetic – deductiv și axiomatic al matematicii și modalitățile sale de intervenție pentru înțelegerea lumii înconjurătoare, învățarea matematicii pornind de la fundamente (principii), legi și categorii. În sfera matematicii acționează principiul pedagogic conform căruia, cu cât obiectivele studierii ei sunt formulate mai precis, în sarcini concrete, relativ limitate și descriu comportamente pe cât posibil observabile, cu atât ele dau posibilitatea realizării funcției de orientare a tuturor aspectelor predării și învățării, oferind astfel educatorului posibilitatea de a forma, a măsura și a aprecia cât mai obiectiv rezultatele și progresele matematice ale elevilor din ciclul primar.

Metodele de învățământ sunt căile folosite de elevi și învățători cu scopul ca elevii să se formeze, atât prin activitatea îndrumată de învățători, cât și prin cea organizată independent și diferențiat.

Având în vedere că nici metodele clasice nu sunt lipsite de virtuți, pentru activizarea elevilor pot fi îmbinate în mod armonios metodele clasice cu cele moderne. Ele dispun de o sensibilitate deosebită privind adaptarea la condiții noi. Pornind de la ideea că învățământul activ se realizează cu ajutorul metodelor active, se impune extinderea utilizarii metodelor moderne, active, care dezvoltă gândirea, capacitatea de investigație a elevilor, precum și participarea lor la însușirea cunoștințelor, la munca independentă, deprinderea de a aplica în practică cele însușite.

O eficiență sporită o constituie utilizarea în orele de matematică a acelor metode care au o mare valoare formativă, care stimulează dezvoltarea celor mai reprezentative forțe ale activității intelectuale (gândirea creatoare și originală, inteligența, imaginația constructivă). Asemenea metode se disting prin caracterul lor activ-participativ, care suscită din partea elevilor o activitate propice exercitării și utilizării inteligenței lor.

Modernizarea învățământului matematic înseamnă, pentru cei mai mulți specialiști tocmai potențarea valențelor formative de care dispune matematica.

1.2.Activitatea de rezolvare și compunere de probleme în cadrul orelor de matematică la clasele I-IV

Activitatea ce se depune pentru rezolvarea problemelor prezintă importanță atât de mare, încât întreaga desfășurare a procesului de însușire a cunoștințelor de aritmetică, de formare a priceperilor și deprinderilor este orientată în scopul dezvoltării capacității de rezolvare a problemelor, în mare măsură este subordonată acestui scop. De aceea rezolvarea problemelor presupune existența unui întreg complex de priceperi și deprinderi, presupune cunoașterea în condițiile cele mai bune a operațiilor aritmetice, însușirea pe deplin a tehnicii acestor operații și dezvoltarea aptitudinilor de a sesiza relațiile dintre datele unei probleme.

Prin urmare, din punct devedere instructiv, rezolvarea problemelor constituie aplicarea cunoștințelor dobandite în legatură cu operațiile aritmetice și proprietățile lor, clasificarea, consolidarea și aprofundarea acestor cunoștințe. În general se poate spune că rezolvarea problemelor constituie cel mai nimerit mijloc pentru realizarea scopurilor pe care le urmărește predarea aritmeticii.

Munca desfășurată pentru rezolvarea problemelor are și un important rol educativ, prin contribuirea valoroasă pe care o aduce la dezvoltarea în general a facultăților mintale, cu deosebire a gândirii, antrenând în cea mai mare măsură operațiilor logice de analiză și sinteză, de comparație, de abstractizare și generalizare.

De asemenea, rezolvarea problemelor stimulează inițiativa și contribuie la formarea unei atitudini conștiente și corecte față de muncă, la dezvoltarea voinței, a perseverenței, a spiritului de răspundere față de îndeplinirea sarcinilor, la dezvoltarea încrederii în forțele proprii.

Rezolvarea problemelor prezintă apoi importanța deosebită și din punctul de vedere practic, prin sesizarea și întelegerea relațiilor dintre mărimi, prin soluționarea matematică a diferitelor aspecte ale proceselor de producție și ale împrejurărilor vieții sociale, deoarece viața de toate zilele și activitatea în diferitele ramuri ale producției bunurilor materiale ne pune în față noi și variate probleme pentru a căror rezolvare nu este suficientă cunoașterea exclusivă a tehnicii de calcul. În general, munca de rezolvare a problemelor dezvoltă gandirea, îmbogățește volumul de cunoștințe al elevilor și contribuie la formarea deprinderilor de exprimare în limbaj matematic.

Sarcina principală a învățătorului când pune în fața elevilor o problemă este să-i conducă pe aceștia la o analiză profundă a datelor, analiză care să le permită o serie de reformulări, care să îi apropie de soluție. Necesitatea analizei riguroase a datelor este cu atât mai mare în clasele mici, cu cât știm că elevul întâmpină dificultăți în această direcție, în special datorită lipsei unei vederi de ansamblu (a perspectivei) asupra problemei și conștientizării întregului raționament de rezolvare a acesteia.

1.3.Motivarea alegerii temei

Încă din primii ani , copilul încearcă să-și rezolve singur situațiile ,,de viață” cu care se întâlnește . El descoperă , pune întrebări , creează ,,probleme” și încearcă să-și rezolve ,,problemele” .

A acționa , a greși , a ezita , a clasifica , a alege , a evalua efectele , a căuta modalități atunci când intră în impas , iată situațiile în care este (și trebuie pus) un copil spre a-l pregăti pentru viață .

Ajuns la școală copilul trebuie să intuiască , să descopere , să cunoască situațiile în care cunoștințele lui dobândite la ora de matematică se pot aplica și el trebuie să se convingă treptat că posibilitățile de a rezolva o problemă de viață sunt mult mai mari dacă gândește problema în termeni matematici .

Pentru micul elev situațiile de viață prind sens matematic , iar lecțiile de matematică capătă sens în activitățile de cunoaștere a lumii .

Tocmai de aceea noile concepții pedagogice privind studiul matematicii în școala primară sunt axate pe o optică constructivistă :

A face matematică înseamnă a rezolva probleme !

Și, nu întâmplător, dintre cele 12 standarde curriculare de performanță vizate la sfârșitul ciclului primar, nu mai puțin de cinci se referă la rezolvarea problemelor și la modalități de rezolvare a lor.

Dar ce înseamnă ,,a rezolva o problemă” ? Înseamnă a găsi o ieșire dintr-o dificultate , a găsi o cale de a ocoli un obstacol, a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil.

A găsi soluția unei probleme este o performanță specifică inteligenței , iar inteligența este apanajul speciei umane, se poate spune că, dintre toate îndeletnicirile omenești, cea de rezolvare a problemelor este cea mai caracteristică.

Spre deosebire de exercițiu în care majoritatea elevilor aplică un set de reguli de rutină, pentru a ajunge la un răspuns, pentru a rezolva o problemă, faci pauză și reflectezi pentru găsirea versiunii matematice a problemei.

De o importanță deosebită devine acum transformarea în exercițiu a versiunii matematice ca rezultat al conștientizării operațiilor matematice necesare. Înțelegerea situațiilor aditive, situațiilor subatractive, situațiilor multiplicative, situațiilor de împărțire devine esnțială pentru reușita acestei transformări. Iar după transformare, cunoscând cele patru operații și proprietățile lor, nu mai este o problemă atât la propriu cât la figurat ca să obținem soluția.    

Fiecare copil poate fi “ descris” și în termeni de creativitate, datorită faptului că toți au o mare nevoie de noutate, văzută ca un factor central al dezvoltării umane.În termeni piagetieni, la copilul mic, procesele asimilării și adaptării și primele scheme și planuri de reacție sunt achiziții creative.Fiecare copil este creativ pentru că ne apare capabil de a produce idei și obiecte, pe care niciodata mai inainte nu le-a auzit, văzut sau produs, pornind de la propriile achiziții, evaluări și diferențieri făcute în sistemul individual intern și extern de referințe.

Creativitatea este văzută din ce în ce mai mult ca o condiție a supradotării intelectuale sau talentului, pentru că acei copii care sunt astfel, vor trebui și să poată  “genera” ceva deosebit : o idee sau un nou concept, un produs deosebit în orice domeniu etc., ori acest fapt presupune o relație strânsă între creativitate și aptitudinile mintale superioare.

A stimula pe cei creativi pare a fi tot atât de important ca educația specială a copiilor supradotați intelectual, dar din păcate mulți dintre cei creativi din clasele obișnuite, sunt ignorați și plasați în ultima bancă sau pentru a fi mai bine observați și disciplinați, în prima bancă.

Având în vedere receptivitatea maximǎ a vârstei școlare mici, care obligǎ la preocupări pentru un proces formativ timpuriu, cred că, în cadrul procesului educativ din școala primară, stimularea creativității ar trebui sǎ dețină un loc deosebit. Copilul de azi trebuie modelat pentru a deveni omul creator de mâine, pentru a participa creativ la modelarea acestui „tot dinamic” care este viața. Totodată creativitatea îl ajută să se dezvolte, să se realizeze și să transforme activ mediul înconjurător, determinând astfel schimbările viitoare.

Cultivarea gândirii creatoare a devenit o sarcină importantă a școlii. Trecerea de la un învățământ bazat pe transmitere de informații și asimilare de cunoștințe la unul în care să predomine gândirea creatoare, elevul participând activ la dobândirea cunoștințelor, se poate face doar punând cultivarea imaginației alături de educarea gândirii și nu în plan secundar. Metodele și procedeele variate utilizate vor menține trează atenția, concomitent cu cultivarea și încurajarea creativității. Creativitatea este cu atât mai importantă, cu cât progresele înregistrate în ultimii ani în toate domeniile sunt semnificative, iar cei care doresc „să țină pasul” trebuie să dobândească în anii de școală capacități și abilități care să-i ajute să se descurce pe mai departe singuri.

Preocupările numeroase pentru studiul creativității, pentru găsirea și utilizarea unor metode de antrenare și dezvoltare a creației, la nivel individual și de grup, sunt justificate de cerințele sociale prezente și de viitor.

Pornind de la locul și rolul matematicii în general și în special de la importanța deosebită pe care o au activitățile matematice în dezvoltarea raționamentului și logicii copiilor, de la necesitatea înțelegerii cât mai clare a cunoștințelor matematice ce se predau în învățământul primar, care se aprofundează în ciclul gimnazial, precum și a dificultăților ce le întâmpină în formarea anumitor noțiuni matematice la copiii de vârstă școlară, la identificarea metodelor potrivite pentru rezolvarea problemelor, am optat pentru alegerea acestei teme.

CAP II: Rezolvarea exercițiilor și problemelor în ciclul primar

2.1 Conceptele de exercițiu și problemă

Noțiunea de exercițiu

Din fr. exercice, lat. exercitium.EXERCÍȚIU înseamnă „practică”. Activitate fizică sau intelectuală, repetată sistematic, spre a dobândi sau a forma anumite deprinderi, abilități etc. Exercițiul, ca metodă de învățământ, îmbracă o mare varietate de forme. Ele pot fi grupate după:

a). conținutul obiectului de învățământ;

b). natura specifică a deprinderilor ce urmează a fi formate;

c).etapele formării deprinderilor;

d). gradul de contribuție al inițiativei, spiritului de independență al elevilor în efectuarea lor

Exercițiu matematic, exercițiu în scopul formării și consolidării deprinderilor de calcul în domeniul matematicii, spre exemplu, exercițiu aritmetic, exercițiu algebric, exercițiu de calcul infinitezimal etc.; presupune efectuarea de operații de tipul respectiv. Se deosebește de problemă, care propune o anume situație ce se cere lămurită pe temeiul datelor, ipotezei propuse prin text și la care, prin raționament, se ajunge la un șir de operații, a căror efectuare conduce la rezultatul problemei. Exercițiul matematic facilitează efectuarea operațiilor ce se cer utilizate pentru rezolvarea problemelor.

Noțiuni de problemă

Noțiunea de problemă are un conținut larg și cuprinde o gamă largă de preocupări și acțiuni din domenii diferite.În sens psihologic, “o problemă” este “orice situație, dificultate, obstacol întâmpinat de gândire în activitatea practică sau teoretică pentru care nu există un răspuns gata formulat.” În general, orice chestiune de natură practică sau teoretică care reclamă o soluționare, o rezolvare, poartă numele de problemă.

Cu alte cuvinte, ținând seama de faptul că orice poces de gândire este declanșat de o întrebare pe care și-o punesau i se pune omului, se admite că formularea unui răspuns clar și precis la o astfel de întrebare constituie o problemă. Limitându-ne la matematică, admitem că prin problemă se înțelege orice chestiune a cărei soluționare se poate obține prin procese de gândireși calcul. Astfel, problemele de aritmetică constituie răspunsuri la anumite întrebări referitoare la preocupări și acțiuni bazate pe date numerice. Ele au ca nete comune:

structura lor, prin care se stabilesc relații de dependență între anumite valori, cantități sau mărimi exprimate prin numere;

felul de soluționare, modalitatea stabilirii răspunsului, care se obține cu ajutorul unor operații aritmetice în care intervin valorile numerice respective.

După structura lor, problemele de aritmetică se clasifică în două categorii:

probleme simple, adică problemele a căror rezolvare cer o singură operație aritmetică;

probleme compuse, adică probleme a căror rezolvare cer două sau mai multe operații aritmetice, indiferent dacă ele sunt de acelaswi fel, sau sunt operații de feluri și ordine diferite.

Problemele compuse pot avea caracter general, rezolvându-se cu ajutorul unor procedee generale de calcul, dar pot avea structura matematică deosebită, rezolvarea lor făcându-se prin procedee speciale, specifice fiecărui grup. Problemele din această din urmă categorie se numesc probleme tipice.

În activitatea de la clasă n-am cerut elevului să rezolve o problemă, să dea răspunsul numeric, ceea ce ar subîntelege rezolvarea, ci am urmărit ca el să ințeleagă sensul problemei, să fie în stare să explice legătura dintre date cu propriile lui cunoștințe și în ultimă instanță să o rezolve.

S-a ajuns la concluzia că în fața învățătorilor, trebuie să stea permanent în vedere rolul tridimensional al rezolvării de probleme-instructiv-educativ-practic- nici una nu trebuie neglijată. Preocuparea principală este de a găsi căi și modalități eficiente, momentul cel mai propice al lecției în care să intervină cu o sarcină care să ridice “probleme” și să-l mobilizeze pe elev la toate eforturile pentru a rezolva după un efort propriu.

Rezolvarea problemelor pune la încercare în cel mai înalt grad capacitățile intelectuale ale elevilor, le solicită acestora toate disponibilitățile psihice, în special inteligența, motiv pentru care în ciclul primar se acordă o mare importanță rezolvării problemelor de matematică. Valoarea formativă a rezolvării de probleme sporește, pentru că participarea și mobilizarea intelectuală a elevilor la o astfel de activitate este superioară altor demersuri matematice, elevii fiind puși în situația de a descoperi ei înșiși modalitățile de rezolvare, de a formula ipoteze și de a le verifica, de a face asociații de idei, corelații inedite.

În rezolvarea problemelor de matematică, reprezentarea grafică poate avea două puncte de bază: să ilustreze rezolvarea clasică sau să constituie un mod aparte de rezolvare. Această ultimă funcție îi ajută pe elevi să-și reprezinte intuitiv nu numai condițiile inițiale, dar și soluția problemei. Datorită particularităților psihice ale copiilor de 6 ani ca: dezvoltarea concretă a gândirii, rolul hotărâtor al senzațiilor vizuale și chinestezice în declanșarea unor procese de trecere de la gândirea concretă, plasticității simțului nervos, metoda figurativă ocupă un rol important fată de celelalte metode în rezolvarea problemelor la clasele I – IV. Are o puternică eficiență în ceea ce privește dezvoltarea gândirii matematice la școlarii mici.

2.2 Clasificarea problemelor de aritmetică după mai multe criterii: conținut, complexitate, metodă de rezolvare

Problemele de aritmetică ar putea fi clasificate după mai multe criterii:
1.După conținut, ele se clasifică în practice (probleme referitoare la numere) și teoretice (probleme referitoare la numere, operații și proprietățile operațiilor).
2.După complexitate, ele se clasifică în probleme simple (în general cu o singură operație sau cu un grup dat de operații) și probleme complexe, cu două sau mai multe operații legate între ele.
3.După gradul de generalitate, ele se clasifică în probleme tipice (și probleme compuse obișnuite.
4.După metoda de rezolvare, ele se clasifică în probleme cu aplicare directa a operațiilor și probleme reductibile la o metodă ( falsa ipoteză, mersul invers,metoda grafică, etc. ).

Rezolvarea problemelor simple

În rezolvarea problemelor simple, momentul cel mai important îl constituie stabilirea operației corespunzătoare și justificarea alegerii acestei operații. Întrucât activitatea de rezolvare a problemelor simple se introduce chiar din clasa I, rezolvându-se la început probleme de adunare și scădere în cercul numerelor 1-10, apoi în cercul numerelor pana la 20, stabilirea operației corespunzătoare constituie un proces de gândire dificil, în desfășurarea căruia elevii trebuie inițiati și conduși cu mult tact și deosebită răbdare.

Inițierea elevilor în stabilirea operației corespunzătoare rezolvării unei anumite operații.

Ținând seama de faptul că gândirea copilului este concretă, legată de imaginile lucrurilor, el poate urmări procesele de gândire numai dacă lucrează efectiv cu obiectele specificate în problemă, sau cu reprezentările acestora, primele probleme care se rezolvă trebuie să fie problemele formulate pe baza acțiunilor care se petrec în mod real în fața elevilor, a căror autenticitate mintea elevului nu o pune la îndoială, trecându-se treptat la acțiuni bazate pe reprezentări, adică la acțiuni veridice, dar pe care elevii doar și le imaginează pe baza reprezentărilor pe care și le-au format.

Pentru concretizarea unor operații bazate pe reprezentări se utilizează numărătorul cu bile, obișnuindu-i pe copii să se desprindă de concret, mai întâi cu ajutorul bilelor sau bețișoarelor substituind mintal obiectele din probleme, pentru ca mai apoi să renunțe complet la concretizarea datelor problemei, făcându-se toate calculele numai mintal. În felul acesta, elevii sunt conduși și ajutați să facă trecerea treptată de la gândirea concretă la cea abstractă.

Pentru stabilirea operației corespunzătoare fiecărei probleme simple se pornește de la întrebarea problemei și cu ajutorul unui proces de gândire se stabilește corespondența dintre această întrebare și unul din cazurile specificate mai sus.

2.3.Etapele rezolvării problemei

2.3.1.Etapele rezolvării problemei simple

Deși problemele simple par ușoare, învățătorul trebuie să aducă în atenția copiilor toate genurile de probleme care se rezolvă printr-o singură operație aritmetica. În general, problemele simple sunt ușor înțelese și rezolvate de către elevi.

Rezolvarea problemelor compuse nu înseamnă rezolvarea succesivă a unor probleme simple!Nu rezolvarea problemelor simple la care se reduce problema compusă constituie dificultatea principală într-o problemă cu mai multe operații, ci legătura dintre verigi, construirea raționamentului.

În cadrul acestei activități elevii sesizează mersul raționamentului și învață să elaboreze tactica și strategia rezolvării prin elaborarea planului de rezolvare a problemei.

Examinarea unei probleme compuse se face prin metoda analitică sau sintetică. În practică s-a demonstrat că metoda sintezei este mai accesibilă, dar solicită mai mult gândirea elevilor. Metoda analitică pare mai dificilă, dar solicită mai mult gândirea elevilor și folosind-o ii ajută pe copii să privească problema în totalitatea ei, să aibă mereu în atenție întrebarea problemei.

O atenție deosebită trebuie să acorde învățătorul problemelor ce admit mai multe procedee de rezolvare. Și aceasta pentru ca prin rezolvarea lor se cultivă mobilitatea gândirii, creativitatea sa,se formează simțul estetic al școlarilor. Formarea priceperilor de a găsi noi procedee de rezolvare constituie o adevărată “gimnastică a minții”, educându-se astfel atenția spiritul de investigație și perspicacitate al elevilor.

Pentru rezolvarea problemelor elevii trebuie să parcurgă cinci etape principale și anume:

cunoașterea enunțului problemei,

înțelegerea enunțului problemei,

analiza și schematizarea problemei,

rezolvarea propriu-zisă a problemei,

verificarea rezolvării problemei și punerea rezolvării sub forma de exercițiu.

a). Enunțul problemei. A enunța o problemă înseamnă a comunica elevilor conținutul ei, utilizând în acest scop cetirea textului problemei sau enunțarea ei pe dinafară. Este preferabil cea de-a doua formă, deoarece comunicarea livberă se face cu mai multă convingere, cu o mai naturală modulare a vocii, contribuind astfel într-o măsură mai mare la înțelegerea conținutului problemei.

b). Însușirea enunțului problemei. Pentru ca elevii să pătrundă înțelesul unei probleme, enunțul ei trebuie să fie urmat de următoarele completări:

– repetarea problemei de către propunător, cu scrierea datelor pe tablă și pe caiete;

– explicarea cuvintelor sau a expresiilor neînțelese;

– repetarea problemei de către elevi;

– ilustrarea problemei cu ajutorul materialului didactic: bețișoare, cuburi, planșe cu figuri mobile etc.

c). Separarea întrebării de conținut; astfel încât să se precizeze clar ceea ce se dă în problemă și ceea ce se cere.

d). Alegerea operației corespunzătoare pe baza cazurilor care determină întrebuințarea diferitelor operații, scrierea operației respective și efectuarea calculului.

e). Formularea răspunsului problemei, arătarea semnificației lui și scrierea acestui răspuns.

EXEMPLE:

1. Daniela a cules 5 ciuperci, iar Irina a cules 10 ciuperci.
Câte ciuperci au cules împreună ?

Rezolvare :
Câte ciuperci au cules împreună ?
5+10=15(ciuperci)
Răspuns :15ciuperci

2. Află numerele cu 12 mai mari decât : 45, 63 si 15.

Rezolvare :
45+12=57
63+12=75
15+12=27
Răspuns : 57, 75 si 27

3.Într-un coș sunt 13 mere, iar în alt coș sunt cu 21 mai multe mere decât in primul.
Câte mere sunt în al doilea coș?

Rezolvare:
Câte mere sunt în al doilea coș ?
13+21=33(mere)
Răspuns:33mere
4.Ionel avea o cutie cu 20 bomboane.El a mâncat 10 bomboane.

Câte bomboane i-au mai rămas ?

Rezolvare :
Câte bomboane i-au mai rămas ?
20-10=10(bomboane)
Răspuns :10 bomboane

5.Afla numerele cu 30 mai mici decât :70, 90, 80.

Rezolvare :
70-30=40
90-30=60
80-30=50
Răspuns :40, 60, 50.

Rezolvarea problemelor compuse

Introducerea problemelor compuse. Pentru a introduce primele probleme compuse, adică pentru a realiza trecerea de la problemele simple la cele compuse, există două posibilități:

regizarea unei acțiuni care să cuprindă două faze distincte, formularea problemei astfel încât să cuprindă cele două faze ale acțiunii și apoi rezolvarea acestei probleme.

Rezolvarea succesivă a două probleme simple astfel formulate încât rezultatul primei probleme să constituie un element al celei de-a doua.

EXEMPLU:

Trei fii moștenesc de la tatăl lor 319 oi.După ce primul fiu vinde 22 de oi, al doilea 35 de oi și al treilea 10 oi, numărul oilor din fiecare turmă este egal.Câte oi a moștenit fiecare fiu?

Rezolvare:

22+35+10=67(numărul oilor vândute în total)

319-67=252(numărul total al oilor rămase după vânzare)

1+1+1=3(numărul părților egale cuprinse în suma oilor rămase)

252:3=84(numărul oilor rămase fiecărui fiu ,după vânzare)

84+22=106(numărul oilor moștenite de primul fiu)

84+35=119(numărul oilor moștenite de al doilea fiu)

84+10=94(numărul oilor moștenite de al treilea fiu)

2.3.2.Etapele de rezolvare a problemelor compuse

Rezolvarea problemelor compuse solicită într-o măsură mai mare gândirea logică decât în cazul rezolvării problemelor simple, datorită faptului că, pe lânga examinarea separată a fiecărei probleme simple ce intră in componența prblemei compuse respective, cu stabilirea operațiilor corespunzătoare, este necesară punerea în corespondență a problemei simple, sesizarea legăturilor organice dintre ele, a dependenței lor reciproce, astfel încât să se poată stabili succesiunea acestor probleme în vederea găsirii rezultatului final.

Pentru a asigura desfășurarea procesului de gândire prin care se caracterizează examinarea unei probleme compuse, este necesar să se clasifice în prealabil textul problemei, să se ajungă la înțelegerea de către elevi a împrejurărilor care au generat acea problemă, să se arate pas cu pas care sunt judecățile ce intervin în analiza prblemei, cum se înșiruiesc ele, cum depind una de alta și cum se condiționează reciproc să se recompună apoi diferitele părți ale problemei într-un tot unitar, să se facă abstractizări și generalizări.

De aceea rezolvarea unei probleme compuse trebuie să treacă prin următoarela etape:

a). Enunțul problemei. După cum s-a arătat și la problemele simple, a enunta o problemă înseamnă a comunica pentru prima dată conținutul ei, a spune sau a citi textul acesteia. O problemă se enunță prin comunicarea în cuvinte a conținutului ei , propunătorul modulându-și vocea astfel ca să scoată în evidență atât împrejurările în care se petrece acțiunea, cât mai ales datele problemelor și relațiile dintre ele.

b). Însușirea enunțului problemei. În vederea analizei unei probleme elevii trebuie să înțeleagă, să pătrundă și să-și însușească conținutul acelei probleme. Însușirea enunțului unei probleme presupune următoarele:

– repetarea enunțului de către propunător, cu scrierea datelor pe tablă și pe caiete;

– explicarea cuvintelor sau a expresiilor neînțelese;

– repetarea problemei de către 2-3 elevi;

– ilustrarea enunțului.

c). Examinarea problemei.Procesul de gândire care are loc în scopul precizării problemei simple care alcătuiesc o problemă compusă și a succesiunii lor, astfel încât întrebarea ultimei probleme simple să coincidă cu întrebarea finală a problemei date, se numește examinarea sau analiza problemei.

Există două metode principale pentru examinarea unei probleme:

Metoda analitică. A examina o problemă prin metoda analitică înseamnă a porni de la întrebarea problemei, a stabili datele, în general necunoscute, cu ajutorul cărora se poate formula problema simplă a cărei întrebare să coincidă cu întrebarea problemei date, apoi a stabili alte date cu ajutorul cărora să se formuleze alte probleme simple precedente și așa mai departe până se ajunge la prima problemă simplă care se poate formula pe baza datelor problemei compuse respective, date ce trebuie să fie ambele cunoscute. Pornind de la această problemă simplă se arată în mod succesiv toate problemele simple care pot fi formulate, fiecare utilizând datele celei precedente, până se ajunge la problemă simplă ale cărei rezultat este însăși rezultatul problemele date.

Metoda sintetică. A examina o problemă prin metoda sintetică înseamnă a orienta atenția elevilor asupra a două din datele problemei compuse și a formula cu acestea o problemă simplă, a cărei întrebare coincide cu întrebarea problemelor compuse date.

În aplicarea acestei metode trebuie să se aibă grijă ca să se formuleze numai acele probleme simple care converg spre întrebarea finală. Această pentru motivul că în cadrul unor probleme compuse se pot formula și probleme simple ce nu converg spre rezultatul final și care abat atenția și gândirea elevilor pe căi lăuntrice.

Metoda sintetică este mai ușoară, este mai accesibilă alevilor datorită faptului că nu necesită un proces de gândire de mare profunzime. De aceea este întrebuințată cu precădere mai ales în primele trei clase. Întrebuințarea acestei metode care nu sunt necesare, tocmai datorită faptului că procesul de gândire nu este orientat în mod clar spre întrebarea finală, pentru că nu pornește de la această întrebare.

Metoda analitică formulează probleme simple în funcție de întrebare finală, deci apelează numai la acele probleme simple ce converg spre întrebarea finală și care participă la stabilirea răspunsului corespunzător acestei întrebări. Ea este mai grea fiindcă presupune un proces de gândire continuu și de profunzime, fapt pentru care există tendința de a fi în general ocolită. Dar întrebuințarea acestei metode contribuie în mare parte la dezvoltarea gândirii logice și numai cunoașterea și întebuințarea ei creează posibilitatea rezolvării de către elevi a problemelor în mod independent. De aceea este necesar ca pe masură ce elevii dobândesc priceperea de a examina problema prin metoda sintetică, să se treacă treptat la întrebuințarea metodei analitice.

În legătură cu cele două metode generale de examinare a unei probleme, trebuie să menționăm că procesul analitic nu poate fi izolat de cel sintetic, întrucât cele două metode formează o unitate în cadrul proceselor de gândire, astfel că nu poate fi vorba de utilizarea cu exclusivitate a uneia sau alteia din aceste metode. În analiza unei probleme intervin ambele metode ca laturi separate a pocesului unitar de gândire, dar în anumite momente, una din ele este dominantă.

d). Stabilirea planului de rezolvare. Concluziile care rezultă din examinarea unei probleme se concretizează în planul de rezolvare. Aceasta arată etapele succesive ala procesului de gândire care a avut loc în examinarea problemei, fiecare punct al planului reprezentând întrebarea uneia din problemele simple în care s-a descompus problema dată.

Planul de rezolvare poate fi formulat prin propoziții interogative sau prin propoziții afirmative. Formularea planului de rezolvare prin propoziții afirmative constituie o etapă superioară în dezvoltarea gândirii elevilor și a formării priceperilor și deprinderilor de rezolvare a problemelor. De aceea, întrebuințând în clasele I – II cu precădere formularea interogativă, trebuie să se treacă treptat, în clasele III – IV la formularea afirmativă.

Planul de rezolvare se întocmește întotdeauna oral, uneori și scris. Rezolvarea unei probleme cu plan scris se face cu scopul de a demonsta elevilor felul cum se desfășoară procesul de examinare a problemei și a-i deprinde cu formularea concluziilor ce se desprind din această examinare.

e). Stabilirea operațiilor, scrierea lor și efectuarea calculelor. Prin formularea planului de rezolvare și eșalonarea pe puncte a problemelor date, aceasta se descompune în tot atâtea probleme simple, care urmează să fie rezolvate în ordinea stabilită. Dar pentru rezolvarea unei probleme simple, așa cum s-a arătat la capitolul respectiv, este necesar să se stabilească, pe baza unui nou proces de gândire, operația corespunzătoare, să se scrie această operație și apoi să se efectueze mintal sau scris.

EXEMPLE

Problemă. O fermă agricolă a contractat predarea a 2/5 din producția sa de grâu, restul distribuindu-se asociaților săi..Să se calculeze cantitatea de grâu ce revine unui asociat pentru un hectar, daca suprafața totală însămânțată a fost de 648 ha, producția medie la hectar fiind de 3 800 kg .

Rezolvare :
Metoda sintetică

a) Cunoscând suprafața însămânțată și producție medie la hectar se poate afla producția totală.
648*3 800=2 462 400 ( kg)

b) Cunoscând producția totală și ce parte din ea a fost contractată se poate afla cantitatea de grâu ce trebuie predată conform contractului .
2 462 400*2 :5=
= 4 924 800 :5
= 984 960 ( kg)

c)Cunoscând producția totală și cantitatea de grâu ce trebuie predată se poate afla cantitatea de grâu ce se repartizează asociaților.
2 462 400-984 960=1 477 440 (kg)

d)Cunoscând întreaga cantitate de grâu ce se repartizează asociaților se poate afla cantitatea de grâu ce revine unui asociat pentru un hectar .
1 477 440 :648=2280 (kg)

Metoda analitică

a)Pentru a afla ce cantitate de grâu revine unui asociat pentru un hectar, ar trebui să știm întreaga cantitate ce se repartizează asociaților.Fie « C » cantitatea de grâu ce se repartizează asociaților și « X » cantitatea de grâu ce revine unui asociat pentru un hectar.
X=C :648

b)Pentru a afla cantitatea de grâu ce se repartizează asociaților, ar trebui să facem o operație de scădere.
Fie « T » cantitatea totală .
C=T-2/5T

c)Pentru a face această operație ar trebui să știm ce cantitate de grâu se livrează conform contractului, adică să aflăm 2/5 din cantitatea totală.

d)Pentru a afla ce cantitate de grâu se livrează conform contractului ar trebui să cunoaștem producția totală.
T=3 800*648
T=2 462 400 (kg)

În continuare aflăm 2/5T
2/5T=2*2 462 400:5
=4 924 800:5
=984 960 (kg)

Prin înlocuiri succesive obținem « C » și în final « X »
C=T-2/5T
C=2 462 400-984 960
C=1 477 440 (kg)
X=C:648
X=1 477 440:648
X=2 280 (kg)
Răspuns:2 280 (kg)

Atunci când rezolvăm probleme de matematică trebuie să avem în vedere următoarele: înțelegerea problemei și exprimarea în limbaj matematic a relațiilor dintre mărimile care apar în textul acesteia.

De regulă atunci când avem de rezolvat o problemă încercăm să o încadrăm într-un anumit tip.Voi prezenta acum rezolvarea unei probleme prin metoda figurativă. Esențial în rezolvarea problemelor cu această metodă este realizarea unui desen, o figură, care corespunde enunțului dat.

Problemă: Un număr este cu 3 mai mare decât altul. Să se afle numerele, știind că suma lor este 25.

Rezolvare(I) . Din enunț ne dăm seama că nu cunoaștem 2 numere, că unul dintre ele este cu 3 mai mare și că suma celor 2 numere este 25. Realizăm următorul desen:

Observăm că, dacă am elimina din sumă numerelor 3, adică am lua din numărul mai mare 3 unități, cele două numere devin egale.

25-3=22

22: 2=11(numărul mai mic)

11+ 3= 14(numărul mai mare)

Verificare: 11+14=25

Rezolvare(II) . Se poate realiza și următorul desen:

Observăm că, dacă am adăuga la numărul mai mic 3 unități, suma ar crește cu 3 și numerele devin egale.

25+ 3=28

28: 2=14.

Am aflat în acest mod numărul mai mare. Celălalt va fi:

14-3=11

Răspuns: 11 și 14.

2.4.Rezolvarea și compunerea de probleme – modalitate de dezvoltare a creativității școlarului mic

Prin rezolvarea și compunerea de probleme formăm copiilor priceperi și deprinderi de a analiza o situație dată, de a intui și descoperi calea de rezolvare. În acest mod, rezolvarea problemelor contribuie la cultivarea și dezvoltarea capacităților creatoare ale gândirii, la sporirea flexibilității ei, a capacităților anticipativ- imaginative, la educarea perspicacității și a spiritului de inițiativă, la dezvoltarea încrederii în forțele proprii.

Problemele matematice, prin însuși enunțul lor ce face referință la aspecte din mediul apropiat copiilor, generează la copii un simț al realității, formându-le deprinderea de a rezolva și alte probleme practice pe care viața le pune în fața lor.

Însușirea cunoștințelor de matematică prevăzute în programă implică activizarea elevilor, antrenarea și stimularea lor în descoperirea și formularea definițiilor și regulilor, în aplicarea acestora. De aceea, compunerea și rezolvarea problemelor este una din principalele categorii de activități prin mijlocirea cărora se însușesc cunoștințe de matematică și se realizează obiectivele majore ale predării matematicii.

Rezolvarea de probleme și, mai ales compunerea acestora, prezintă o importanță deosebită pentru dezvoltarea flexibilității, originalității, precum și la dezvoltarea formelor variate sub care se prezintă imaginația creatoare. Prin activitatea de compunere și rezolvare de probleme, elevii sunt antrenați în căutarea, descoperirea unor adevăruri și sunt solicitați să le folosească în diferite situații. În căutarea soluțiilor la problemele complicate, elevii se folosesc întotdeauna de un material informativ, iar posibilitățile de rezolvare rapidă și corectă a problemei depind și de volumul și de profunzimea acestui material. Ipotezele, soluțiile posibile pe care le elaborează subiectul în rezolvarea unei probleme nu apare la întâmplare, ci ele iau naștere pe baza asociațiilor, a cunoștințelor asimilate anterior. Cu cât aceste cunoștințe sunt mai largi, mai profunde, mai temeinice, cu atât sunt mai mari șansele ca ipotezele care se nasc în mintea celui care rezolvă să ducă mai repede și mai profund la soluție.

La toate vârstele, dar mai ales în prima etapă de școlarizare, relația interes- efort-randament se afirmă cu pregnanță ca o modalitate de corelare a factorilor care dinamizează procesul dezvoltării intelectuale. Cultivarea interesului ca mobil al activității intelectuale susținute, prezintă o importanță pedagogică deosebită mai ales pentru domeniile de cunoaștere care solicită intens activitatea gândirii, cum sunt cunoștințele matematice.

Având în vedere aceste considerații pedagogice, cadrul didactic trebuie să utilizeze o multitudine de soluții didactice care să stimuleze interesul și dorința de efort a micilor elevi pentru dobândirea cunoștințelor. Toate eforturile trebuie să fie îndreptate spre utilizarea unor procedee care să solicite imaginația elevilor, să le impună o prelucrare creatoare a cunoștințelor dobândite.

Încă în perioada numerației, la clasa I, după ce s-a avut în vedere însușirea temeinică a compunerii și descompunerii numerelor naturale, se pot pune în fața elevilor întrebări-problemă care-i obligă să construiască ipoteze și să încerce diferite soluții pe baza ipotezelor.

Exemple:

,, Într-o cutie erau 7 bile mari și 8 bile mici. Dintre acestea au dispărut 6 bile.

Câte bile din fiecare fel au putut rămâne?”

7 + 8 = 15

15 – 6 = 9

Din cele 9 bile au putut fi: 1 mare – 8 mici

2 mari – 7 mici

3 mari – 6 mici

4 mari – 5 mici

5 mari – 4 mici

6 mari – 3 mici

7 mari – 2 mici

,, Într-o cutie erau 2 bile mari, 6 bile mijlocii și 7 bile mici. Dintre acestea au dispărut 3 bile.

Câte bile au putut rămâne din fiecare fel?”

2 + 6 + 7 = 15

15 – 3 = 12

Din cele 12 bile au putu fi: 0 mare – 6 mijlocii – 6 mici

1 mare – 6 mijlocii – 5 mici

2 mari – 6 mijlocii – 4 mici

0 mare – 5 mijlocii – 7 mici

1 mare – 4 mijlocii – 7 mici

2 mari – 3 mijlocii – 7 mici

Elevii au sarcina să pună în evidență modul de compunere și descompunere a unui număr atunci când numărul de soluții este limitat de anumite condiții ce trebuie îndeplinite simultan.

În fața oricărei probleme, elevul trebuie pus în situația de a gândi ca în fața unei probleme noi, necunoscute și numai după acest act de gândire (cunoașterea sau chiar recunoașterea problemei de față) să poată trece la încadrarea problemei ,,individuale” în categoria unui nou tip de probleme căruia îi aparține.

Pentru a forma la elevi o gândire creatoare, ei trebuie puși în situații variate, mereu noi. În acest caz se utilizează o varietate de procedee:

complicarea treptată a unei probleme rezolvate;

rezolvarea problemei prin noi și variate procedee și alegerea căii celei noi, rapide;

reformularea problemei prin introducerea necunoscutei drept cunoscută.

Rezolvarea problemelor matematice poate deveni o activitate de tip creativ în măsura în care elevii reușesc să vadă că diversitatea infinită a problemelor are la bază o lege de generare, că orice problemă, simplă sau complexă, este produsul unei dezvoltări și că, la rândul ei, poate fi dezvoltată.

Pentru a înțelege aceasta, elevii trebuie să participe la descoperirea legii după care dintr-un numaăr determinat de structuri primare derivă treptat, tinzând spre infinit, întregul câmp problematic.

Nicolae Oprescu în lucrările sale despre învățământul matematic, în ciclul primar, consideră trei ,,capacități” mai importante în rezolvarea problemelor:

1. capacitatea de a înțelege semnificația valorilor numerice, ale datelor problemei și a relațiilor ce se dau ca elemente cunoscute.

2. capacitatea de a înțelege condiția problemei (relația ascunsă între datele problemei și valoarea necunoscută) de a dirija raționamentul pe calea aflării necunoscutei.

3. capacitatea cuprinderii în raza gândirii nu a unor secvențe din raționamentul problemei, nu a unor fragmente succesive pe care, să le pună cap la cap, ci a întregului raționament de rezolvare a problemei, fiind vorba de formarea unei gândiri sintetice.

În rezolvarea problemelor, învățătorul trebuie să înlăture tendința de a dirija pas cu pas către soluții deoarece aceasta frânează mișcarea liberă a gândirii.

Un rol deosebit în dezvoltarea creativității elevilor îl joacă transpunerea rezolvării unei probleme sub formă de exercițiu cu datele problemei sau înlocuindu-le cu litere, indiferent dacă este sau nu o problemă tipică.

O asemenea activitate cu elevii este o muncă de creație, de gândire, de stabilire de legături logice pentru a putea pune sub forma unui exercițiu ceea ce, de fapt, se realizează în mai multe etape, prin exerciții diferite. Dacă se înlocuiesc numerele din exerciții (datele problemei) prin litere, atunci procesul devine complet prin generalizare.

Exemplu:

,,La o librărie erau 900 de culegeri. Într-o zi s-au vândut 210 culegeri, a doua zi s-au vândut de două ori mai multe, iar în a treia zi cu 60 mai multe decât în prima zi.

Este suficientă cantitatea inițială pentru a vinde culegeri și în următoarele zile?”

Se analizează problema sintetic și analitic. Se pune rezolvarea problemei sub forma unui singur exercițiu:

I zi a II-a zi a II-a zi

210 + 420 + 270 = 900

900 – 900 = 0

R: nu ajung și pentru zilele următoare

900 – [ 210 + (210 x 2) + (210 + 60) ] = 900 – (210 + 420 + 270) = 900 – 900 = 0

Activitatea de compunere a problemelor prezintă o importanță deosebită pentru dezvoltarea flexibilității gândirii, a originalității, a creșterii interesului pentru problemele reale ale vieții, pentru dezvoltarea imaginației.

Compunerea de probleme este o activitate complexă, elevul fiind obligat să respecte structura exercițiilor sau a figurii date și, în raport cu acesta, să elaboreze textul problemei – text al cărui raționament să reclame rezolvarea oferită.

Compunerea de probleme este foarte dificilă, mai ales pentru elevii ce întâmpină greutăți în însușirea cunoștințelor, deoarece cere un limbaj matematic corespunzător, un efort minuțios gradat din partea elevilor, înlăturând rigiditatea gândirii.

Vom porni demersul nostru de la considerentul că, în predarea matematicii în clasele primare, rezolvarea și compunerea problemelor constituie una dintre activitățile cele mai importante care, alături de celelalte activități contribuie la dezvoltarea la elevi a gândirii creatoare, flexibile și mobile. În procesul rezolvării și compunerii problemelor, elevii dobândesc o serie de cunoștințe cu importanță deosebită pentru activitatea practică, activitate pentru care de fapt îi pregătește școala.

La matematică, orice raționament, orice rezolvare de probleme constituie în același timp și o manifestare a creativității gândirii.

Găsirea soluțiilor pentru sporirea caracterului practic-aplicativ al matematicii trebuie să constituie o preocupare a oricărui învățător. Îmbinând cu tact și pricepere metodele clasice cu cele moderne, se poate obține randamentul scontat, astfel pregătind elevii pentru integrarea lor în viața socială. Adoptând cele mai eficiente strategii didactice, se poate insufla elevilor dragostea pentru matematică, formând la aceștia deprinderi de rezolvare a problemelor de aritmetică, dezvoltându-le gândirea, logica, imaginația. Lecțiile organizate cu introducerea unui joc didactic matematic au asigurat participarea activă a elevilor la dobândirea cunoștințelor, la formarea unui stil de muncă intelectuală, lecția devenind o modalitate de organizare a activității de învățare. Creșterea nivelului de pregătire a elevilor prin folosirea jocurilor didactice demonstrează utilitatea lor .

În scopul stimulării potențialului creativ al elevilor, învățătorul trebuie să intervină conștient și activ pentru îndepărtarea blocajelor creativității elevilor, să preia și să dezvolte în mod organizat potențialul creativ al fiecărui copil.

Activitatea de compunere de probleme, folosită matematic, în mod gradat, concomitent cu activitatea de rezolvare de probleme, constituie un mijloc eficient de educare a creativității gândirii elevilor.

Tipuri de probleme si metodele prin care se rezolva ele – noțiunea de problemă “tip”

Prin problemă tipică se înțelege o construcție matematică a cărei rezolvare se realizează pe baza unui algoritm specific fiecărei tip. O asemenea problemă se consideră teoretic rezolvată în momentul în care i-am stabilit tipul și suntem în posesia algoritmului ei de rezolvare. Pentru identificarea metodei ( algoritmului ) prin care se pot rezolva astfel de probleme, trebuie începută rezolvarea lor încă din clasele mici, deoarece se pare că rezolvarea acestor probleme dă multă bătaie de cap elevilor .

Dintre problemele tipice întâlnite la clasele I-IV cele mai frecvent întâlnite sunt :

probleme de numerație ;

probleme care pot fi rezolvate prin metoda figurativă ( grafică ) ;

probleme care se rezolvă folosind regula de trei simplă și de trei compusă( metoda reducerii la unitate );

probleme care pot fi rezolvate prin metoda aducerii la același termen de comparație ;

probleme de eliminare prin înlocuire ;

probleme care pot fi rezolvate prin metoda ipotezelor ( falsei presupuneri ) ;

probleme care se rezolvă prin metoda mersului invers ( gen rest din rest ) ;

probleme de mișcare cu două variante : – în același sens ;

– în sensuri contrare ;

probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor ;

probleme nonstandard ( recreative , rebusistice , de perspicacitate , etc . )

2.6.Metode de rezolvare a problemelor tipice la clasele I-IV

2.6.1.Probleme de numerație

Pentru aceste tipuri de probleme nu există o metodă standard de rezolvare. Acestea se rezolvă în general ținând cont de :

proprietatea numerelor în sistemul zecimal de numerație ;

proprietățile operațiilor cu numere ;

observarea unor particularități a datelor și rezultatelor .

EXEMPLU :

1. Aflați 7 numere naturale consecutive a căror sumă este 35.

REZOLVARE :

Problema se reduce la găsirea a șapte numere. Aceste șapte numere trebuie să îndeplinească simultan două condiții: să fie consecutive, iar suma lor să fie egală cu 35. Notând primul număr cu a, evident numărul consecutiv va fi a + 1, următorul va fi a + 1 + 1 = a + 2 , până ajungem la al șaptelea număr , egal cu a + 6 .

De aici deducem că : a+(a+1 )+ ( a+2 )+( a+3 )+(a+4 )+ ( a+5 )+ ( a+6 ) = 35

Deci : 7a+ 21 =35

7a= 35 –21

7a =14

a= 2

Aflând primul număr , putem găsi și celelalte numere care vor fi : 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 .

Așadar , cele șapte numere căutate vor fi : 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 .

Verificare : 2+3+4+5+6+7+8= 35

2= 2

3= 2+1

4= 3+1

5= 4+1

6= 5+1

7= 6+1

8= 7+1

2.6.2.Probleme care pot fi rezolvate prin metoda figurativă ( grafică )

Aceste probleme nu pot fi incluse strict în categoria celor tipice, deoarece nu putem găsi un algoritm de rezolvare aplicabil tuturor problemelor de acest fel.

Această metodă constă în reprezentarea prin desen a mărimilor necunoscute și fixarea în desen a relațiilor dintre ele și mărimile date în problemă.

Ea ajută la formarea schemei problemei, la ținerea în atenție a tuturor condițiilor problemei și la concentrarea asupra lor. În rezolvarea unei probleme care face apel la această metodă ne sprijinim pe raționament, folosind înțelesul concret al operațiilor. Se pune totuși întrebarea : “În ce fel trebuie făcută figura ? ” Aceasta depinde și de nivelul rezolvitorului .Figura schematică a problemei trebuie să însemne o schematizare a enunțului pentru a păstra în atenție relațiile matematice și nu toate aspectele concrete ca într-o fotografie .

Figurarea se poate face : a) prin segmente :

EXEMPLU 1:

Trei grupe de elevi au recoltat împreună 320 de kg de plante medicinale. Prima grupă a recoltat cu 20 de kg mai puțin decât a doua, iar a treia, mai mult cu 10 kg decât a doua. Să se afle :

Câte kg de plante medicinale a recoltat fiecare grupă ?

Ce valoare s-a realizat din vânzarea plantelor medicinale, dacă un kg de plante s-a plătit cu 4 lei ?

REZOLVARE :

Vom reprezenta printr-un segment de dreaptă cantitatea cea mai mică de plante medicinale culese ( adică cantitatea culeasă de prima grupă ).

Reprezentăm printr-un alt segment de dreaptă cantitatea de plante medicinale culese de a doua grupă. Acest segment va fi cât primul și încă 20. La a treia grupă reprezentarea se va face printr-un segment de dreaptă egal cu cel de-al doilea și încă 10, astfel :

Gr.I

Gr.II

Gr.III

Din desenul făcut observăm că dacă din cantitatea totală de 320 kg . scoatem surplusul recoltat de a doua și a treia grupă față de prima, adică 20 + 20 + 10, obținem 320-50=270 ( kg ) adică de trei ori cantitatea culeasă de prima grupă .

Obținem astfel următoarele rezultate :

Cantitatea culeasă de grupa I : 270 : 3 = 90 ( kg )

Cantitatea culeasă de grupa a II – a : 90 + 20 = 110 ( kg )

Cantitatea culeasă de grupa a III- a : 110 + 10 = 120 ( kg )

VERIFICARE : 90 kg + 110 kg + 120 kg = 320 kg

Valoarea realizată din vânzare este :

320 4=1280 ( lei )

b ) figurarea prin desen

EXEMPLU :

Dacă o gospodină așază câte două mere pe o farfurie, îi rămâne un măr. Dacă așază câte trei mere, rămâne o farfurie goală. Câte mere și câte farfurii a avut gospodina ?

Se observă că problema are două enunțuri distincte .

– Dacă gospodina așază câte două mere pe o farfurie, rămâne un măr;

– Dacă merele sunt așezate câte trei pe o farfurie, rămâne o farfurie goală.

Se mai poate observa că datele problemei sunt mărimi “ discrete ” – mere și farfurii, mărimi ce pot fi puse în corespondență după criterii desprinse din analiza textului.

Astfel, din analiza primei părți a enunțului se desprinde ideea că mulțimea merelor și mulțimea farfuriilor pot fi puse în corespondență în felul următor:

Fiecărei farfurii îi corespunde câte un măr, situație în care un măr rămâne “ izolat ”.

Din a doua parte a textului, constatăm că cele două mulțimi pot fi din nou puse în corespondență, de data aceasta fiecărei farfurii îi corespund câte trei mere, situație în care o farfurie rămâne goală.

Cele două situații pot fi ilustrate prin următorul desen :

I.

II.

Observăm că a doua parte a textului ne precizează că o farfurie trebuie să rămână goală.

Cum procedăm ?

Luăm din ea cele două mere ( care au fost așezate înainte, conform primei părți a enunțului ) și le așezăm lângă mărul “ izolat ”.

Avem acum : 2 + 1 = 3 ( mere ) neașazate pe farfuriile care conțin câte două mere.

Pentru a respecta a doua parte a enunțului ( pe o farfurie se așază câte trei mere ) facem diferența dintre 3 ( câte mere trebuie să fie pe o farfurie ) și 2 ( câte mere sunt în prezent pe o farfurie ) pentru a ști câte mere trebuie să completăm la cele două existente pe fiecare farfurie : 3-2=1.

Așadar, cele trei mere “ izolate ” le așezăm câte una, pe trei farfurii cu câte două mere și obținem astfel trei farfurii cu câte trei mere. Dar mai există o farfurie goală. Numărul de farfurii este 3 ( a câte 3 mere ) + 1 ( goală ) = 4 farfurii, iar numărul merelor este, conform primului enunț ( mere ) sau

( conform celui de-al doilea enunț )

c ) figurarea schematică

EXEMPLU :

Într-o curte aleargă găini și purcei, în total 40 de capete și 100 de picioare. Câte găini și câți purcei sunt ?

Figurăm cele 40 de vietăți prin ovale :

(……………………………… 40 ………………………………..)

Mai avem de figurat picioarele. Nu știm câte vom desena cu 4 picioare și câte cu 2, dar cert este faptul că fiecare vietate are cel puțin 2 picioare .

(…………………………. 40 …………………………..)

Am desenat deci ( picioare ), dar în realitate avem 100 de picioare. Cu diferența de 100-80=20(picioare), procedăm astfel: la fiecare două picioare mai desenăm două picioare, căci purceii au fiecare câte 4 picioare :

Găsim astfel numărul vietăților cu 4 picioare ( purcei ) 20 : 2 = 10 ( purcei )

Restul de vietăți rămase ( cu două picioare ) sunt găini : 40-10=30

VERIFICARE : ( picioare )

OBSERVAȚIE : Problema poate fi rezolvată și prin metoda ipotezelor !

d) figurarea prin litere

EXEMPLU :

Un țăran are de cinci ori mai multe găini decât rațe. Vinde 5 găini și cumpără 3 rațe și astfel numărul găinilor devine de trei ori mai mare decât al rațelor.Câte găini și câte rațe a avut țăranul la început ?

REZOLVARE :

Notăm prin R rațele și prin G găinile .

Există două enunțuri distincte. Realizăm corespondența conform primului enunț: fiecărei rațe îi corespund 5 găini .

G G G

G R G G R G G R G

G G G G ……………………………..G G

Potrivit celui de-al doilea enunț, după ce țăranul vinde 5 găini și cumpără 3 rațe, obținem grupe de forma :

G

R

G G

Cum obținem aceste grupe ?

Îndepărtăm câte o găină de la 5 grupe ( găinile vândute ) și adăugăm 3 rațe :

G

G R R R G

G G

Formăm grupe :

G

R

G G

Din cele cinci grupe “ descoperite ” ( rămase cu câte 4 găini ) iau câte o găină și o așez la grupele de rațe ( cumpărate) care deocamdată nu au găini. Pentru ca aceste grupe să fie complete , mai am nevoie de 4 găini . De unde le iau ? Descompletez încă două grupe de forma :

G

G R G

G G

Iau câte două găini de la fiecare, pe care le plasez grupelor cu găini “ incomplete ”:

G G G

R R R

G G G G …………………………… G G

Acum toate grupele sunt de această formă.

Avem : 5 + 2 + 3 = 10 astfel de grupe. Deci, în prezent țăranul are 10 rațe și 30 de găini, prin urmare, la început avea:

30 + 5 = 35 ( găini ) și

10 – 3 = 7 ( rațe )

VERIFICARE :

e ) figurarea cu ajutorul diagramelor

EXEMPLU :

Într-o clasă cu 16 băieți există o echipă de fotbal, una de baschet și una de handbal. Doi băieți practică toate cele trei sporturi, iar câte un băiat practică câte două sporturi. Dacă în echipa de fotbal joacă 11 băieți, în cea de handbal 7, iar în cea de baschet 5, să se determine câți băieți joacă numai fotbal, câți joacă numai baschet și câți joacă numai handbal.

De la început se poate constata din enunțul problemei că este vorba de trei mulțimi : mulțimea fotbaliștilor, a handbaliștilor și a baschetbaliștilor, nedisjuncte între ele, deoarece au elemente comune ( câte doi băieți practică toate cele trei sporturi, iar câte un băiat practică câte două sporturi ) .

Figurăm cele trei sporturi prin diagrame colorate diferit :

În partea de intersecție a celor trei mulțimi scriem cifra 2 ( căci cele trei mulțimi au două elemente comune, doi elevi practicând toate trei sporturile ). În locul de intersecție a câte două mulțimi scriem cifra 1 ( fiecare două mulțimi au câte un element comun, deoarece câte un băiat practică câte două sporturi ). Observând atent desenul, se poate afla numărul elevilor care practică numai câte un sport :

16-2-1-1-1= 11 ( elevi )

Numărul elevilor care joacă numai fotbal este :

11- ( 2+ 1+ 1 ) = 7 ( elevi )

Elevii care joacă numai handbal :

7 – ( 2+ 1 + 1 ) = 3 ( elevi )

Elevii care joacă numai baschet :

5 – ( 2+ 1 + 1 )= 1 ( elev )

VERIFICARE :

7 + 3 + 1 = 11 elevi ,

11 + 2 ( care practică toate sporturile ) + 3 ( care practică câte două sporturi ) = 16 elevi

Limbajul grafic, materializat în reprezentările grafice este foarte apropiat de cel noțional. El face legătura între concret și logic, între reprezentare și concept. Între aceste niveluri, interacțiunea este logică și continuă. Ea este mijlocită de formațiuni mixte de tipul conceptelor figurate, al imaginilor esențializate sau schematizate, care beneficiază de aportul inepuizabil al concretului. Imaginile mintale, ca modele parțial generalizate și reținute într-o formă figurativă, de simbol sau abstractă, îl apropie pe copil de logica operației intelectuale. Ele devin sursa principală a activității gândirii și imaginației, mediind cunoașterea realității matematice. 

Utilizarea acestor metode se bazează cu deosebire pe operațiile de analiză și sinteză ale gândirii, motiv pentru care se numesc metoda analitică și metoda sintetică. Modul de prezentare și soluționare a problemelor se va face prin respectarea particularitșților de vârstă de la concret–intuitiv (cum ar fi manipularea obiectelor, a instrumentelor de măsură; decupaje și asamblări de figuri geometrice), la reprezentare grafică imagistică (probleme pe baza unor imagini cu concretizarea relațiilor între mărimi prin segmente, diagrame, săgeți etc.), la descompunerea problemelor compuse în probleme simple, fără a fi rezolvate succesiv, deoarece nu acest fapt interesează, ci construirea raționamentului, legătura dintre secvențe. În cadrul acestor activități, elevii sunt dirijați să sesizeze mersul raționamentului și să învețe să elaboreze tactica și strategia soluționării prin elaborarea planului de rezolvare a problemei.

2.6.3.Probleme care se rezolvă folosind regula de trei simplă și regula de trei compusă ( metoda reducerii la unitate )

În manualul de clasa a IV-a sunt introduse și probleme care se rezolvă aplicând regula de trei simplă sau compusă, iar ca metodă este folosită reducerea la unitate, când intervin mărimi direct sau invers proporționale . Se va explica elevilor noțiunea “ regula de trei simplă ” și “ reducerea la unitate ”. Se pornește de la observația că în asemenea probleme se dau trei numere cu ajutorul cărora se află al patrulea număr.

Dacă folosim metoda reducerii la unitate, cel de-al patrulea număr se poate afla calculând mai întâi valoarea unei unități, apoi se va afla valoarea totală corespunzătoare mai multor unități ( al patrulea număr ).

De asemenea, pentru înțelegerea acestui tip de problemă, elevii trebuie să cunoască noțiunea de “mărimi direct proporționale” și “mărimi invers proporționale”. Mărimile care stau în relația “când una se mărește de un număr de ori și cealaltă se mărește de același număr de ori” sunt direct proporționale, iar două mărimi care stau în relația “când una se mărește de un număr de ori, cealaltă se micșorează de același număr de ori” sunt mărimi invers proporționale.

Metoda reducerii la unitate prezintă avantajul că este foarte accesibilă elevilor și poate fi utilizată într-o gamă variată de probleme. Singura dificultate este de a reuși să se stabilească felul dependenței între mărimi ( direct sau invers proporționale ).

EXEMPLUL :

Dacă 4 mingi costă 16 lei, cât vor costa 9 mingi?

REZOLVARE :

Notăm cu x prețul căutat .

4 mingi ……………………………………………… 16 lei

9 mingi ……………………………………………… x lei

Dacă 4 mingi costă 16lei, putem afla direct prețul a 9 mingi? Ce trebuie să cunoaștem mai întâi?

( prețul unei mingi )

O minge va costa mai mult sau mai puțin decât 4 mingi?

( mai puțin )

De câte ori ?

( de patru ori )

După ce aflăm prețul unei mingi, putem afla prețul a 9 mingi?

9 mingi vor costa mai mult sau mai puțin decât una ?

( mai mult )

De câte ori?

(de 9 ori)

Deci: 4 mingi ……………………………………………….16 lei

1 minge………………………………………………..16: 4= 4 lei

9 mingi ……………………………………………….49= 36 lei

Prin regula de trei simplă, problema se rezolvă astfel:

4 mingi ……………………………………………….16lei

9 mingi ……………………………………………….x lei

Cele două mărimi fiind direct proporționale înmulțim numerele aflate pe diagonală și împărțim la cel de-al treilea număr:

x= 36

EXEMPLUL 2

8 zidari pot zidi o clădire în 18 zile. Câți zidari sunt necesari pentru a termina lucrarea în 6 zile?

REZOLVARE:

Se scriu datele problemei având grijă ca mărimea necunoscută (numărul zidarilor ) să fie scrisă ultima.

18 zile ……………………………………………..8 zidari

6 zile ……………………………………………..x zidari

Folosind metoda reducerii la unitate judecăm astfel:

Dacă în 18 zile lucrarea este terminată de 8 zidari, atunci de câți zidari ar fi nevoie pentru ca lucrarea să fie terminată într-o singură zi?

Evident, avem nevoie de mai mulți zidari, adică de zidari. Dacă însă lucrarea trebuie terminată în 6 zile, atunci numărul zidarilor va fi de 6 ori mai mic, adică 144:6=24 zidari.

18 zile……………………………………………..8 zidari

1 zi ……………………………………………….(zidari)

6 zile……………………………………………….144:6=24 (zidari)

Folosind regula de trei simplă, stabilim întâi dependența mărimilor, invers proporționale în cazul de față, deoarece de câte ori se micșorează numărul zilelor de atâtea ori crește numărul zidarilor.

18 zile……………………………………………..8 zidari

6 zile……………………………………………..x zidari

Regula aplicată în cazul mărimilor invers proporționale este: înmulțim numerele situate pe orizontală și împărțim la al treilea număr.

În practică, o mărime poate depinde de mai multe mărimi și anume, cu unele din ele să stea în raport direct proporțional, iar cu altele în raport invers proporțional.

De exemplu, o lucrare ce trebuie executată de niște muncitori depinde de :

numărul de muncitori ;

numărul de zile în care trebuie terminată;

numărul orelor lucrate zilnic;

productivitatea muncii.

Numărul de zile în care se va efectua o lucrare depinde , la rându-i de:

numărul de muncitori ce o execută;

numărul orelor lucrate zilnic;

productivitatea muncii;

volumul de muncă.

În al doilea caz spunem că numărul de zile este direct proporțional cu volumul de muncă și invers proporțional cu numărul de muncitori, cu numărul orelor lucrate zilnic și cu productivitatea muncii, fapt care se poate stabili prin raționament direct.

Problemele care se rezolvă prin regula de trei compusă exprimă dependența direct sau invers proporțională a unei mărimi față de alte două sau mai multe mărimi. Ele au în general un caracter practic –aplicativ, întrucât ilustrează prin elemente matematice o serie de situații reale, întâlnite în viața cotidiană sau în diferite faze ale unui proces de producție.Rezolvarea acestui gen de probleme presupune aplicarea succesivă a regulii de trei simplă, asociind mărimii care conține necunoscuta, pe rând, câte una din celelalte mărimi și exprimând valoarea necunoscutei în funcție de aceastea .

În cazul când în problemă intervin trei mărimi, schema așezării datelor va fi :

Mărimile

Valorile

Se numește “ regula de trei compusă ” deoarece problema se despică în mai multe probleme, în fiecare dintre acestea aplicându-se regula de trei simplă. Există și aici două metode de rezolvare a problemelor cu regula de trei compusă ,și anume :

metoda reducerii la unitate ;

metoda proporțiilor ,

EXEMPLUL 1 :

Lucrând câte 8 ore zilnic, 10 tipografi au tipărit în 8 zile 8 volume a 480 pagini fiecare, cu 40 de rânduri la o pagină și 30 de litere într-un rând. În cât timp 8 tipografi, lucrând 7,5 ore pe zi vor tipări 12 volume a 360 pagini fiecare, cu 50 de rânduri la o pagină și 40 de litere într-un rând ?

Scriem datele :

i i d d d d

8 h /zi……10 tipografi…8 zile……8 volume…….480 pg……..40 rânduri……..30 litere

7,5h/zi…….8 tipografi….x zile….12 volume…….360 pg……..50 rânduri……..40 litere

Stabilim raportul de proporționalitate :

dacă numărul orelor scade, numărul zilelor va crește ( proporționalitate inversă ) ;

dacă numărul de tipografi scade, numărul zilelor va crește ( proporționalitate inversă);

dacă numărul volumelor crește, numărul zilelor va crește ( proporționalitate directă ) ;

dacă numărul de pagini scade, numărul zilelor va scădea ( proporționalitate directă ) ;

dacă numărul rândurilor crește, numărul zilelor va crește ( proporționalitate directă ) ;

dacă numărul literelor dintr-un rând crește, numărul zilelor va crește ( proporționalitate directă).

Așadar, după ce am stabilit raporturile de proporționalitate, putem calcula pe x ( numărul zilelor ):

Răspuns : 20 zile

EXEMPLUL 2 :

 O persoană cumpără 5 kg de mere și plătește 15 lei. Dacă va cumpăra 7 kg de mere de aceeași calitate, cât va plăti?
Rezolvare. 

Dacă 5 kg de mere valorează 15 lei, atunci 1 kg va costa de 5 ori mai puțin, adică 15 lei : 5 = 3 lei.

7 kg de mere vor costa de 7 ori mai mult, adică 3 lei x 7 = 21 lei.

Calculele se pot așeza astfel:
5 kg ………………………………..15 lei
1 kg…………………….15 lei : 5 = 3 lei
7 kg…………………….3 lei x 7 = 21 lei

EXEMPLUL 3: Într-o curte sunt găini și  purcei. În total sunt 40 de capete și 100 de picioare.Câte găini  și  câți purcei sunt?

Această problemă se poate rezolva prin metoda figurativă, dar se poate rezolva și prin metoda falsei ipoteze. Se presupune că toate animalele sunt de un fel: de exemplu, găini.

Atunci ar avea 40·2 = 80 picioare. Dar ele nu au 80 picioare, ci 100.De aici rezultă  că sunt și pucei.

Diferența este: 100 – 80 = 20 picioare. Diferența dintre numărul de picioare ale unui purcel și găină este 4 – 2 = 2 picioare. Deci diferența obținută este de la 20 : 2 = 10 purcei. Numărul de găini este 40 – 10 =30 găini

2.6.4.Metoda retrogradă (mersului invers)

Problemele de acest gen au un enunț la care se evidențiază denumirea și în general, se formulează în felul următor:

Cineva are de parcurs un drum. În prima zi parcurge o anumită parte din el. A doua zi o parte din rest. A treia zi, o parte din noul rest, iar în ultima zi ceea ce a rămas, adică „a” kilometri.

Care esre lungimea drumului?

Această problemă își începe rezolvarea cu ultima etapă de mers, observând ce parte reprezintă din ultimul rest. Găsim astfel ultimul rest. Observăm cât reprezintă acest rest din restul precedent, în sens invers enunțului, de unde și numele metodei „Metoda mersului invers”.

Ca exemplu, următoarea problemă concretă:

„Colectivul clasei a IV-a a făcut o excursie și a călătorit cu trenul, cu autocarul, cu bicicletele și pe jos. Cu trenul a parcurs jumătate din întreaga distanță, cu autocarul jumătate din distanța rămasă, iar cu bicicletele un sfert din cât mai rămăsese. Restul distanței, adică 30 km, i-a parcurs pe jos.

Câți km a măsurat întregul parcurs?”

Rezolvare: Se întocmește schema urmărind mersul firesc al enunțului:

În rezolvarea problemei propuse pornesc de la aflarea distanței parcursă cu bicicleta (cât reprezintă ¼) : 30:3=10 (km)

Apoi se află distanța parcursă cu autocarul:

30+10=40 (km)

Distanța parcursă cu trenul este:

40×2= 80 (km)

Întregul parcurs (întreaga distanță) măsoară:

80+40+10+30= 160 (km) R: 160 km.

„M-am gândit la un număr, l-am înmulțit cu 5, la rezultat am adunat 42, suma obținută am împărțit-o la 7, iar din cât am scăzut 11 obținând 200.

La ce număr m-am gândit?”

Rezolvare:

Care este ultima operație făcută?

„din cât am scăzut 11 obținând 200”

Deci: x – 11 = 200

x=200+11

x=211

Problema dată devine:

„M-am gândit la un număr, l-am înmulțit cu 5, la rezultat am adunat 42, suma obținută am împărțit-o la 7 și am obținut 211.”

Care este ultima operație?

„suma am împărțit-o la 7 și am obținut 211”

Deci: x:7=211

x=211×7

x=1477

Problema dată devine:

„M-am gândit la un număr, l-am înmulțit cu 5, la rezultat am adunat 42 și am obținut 1477”

Care este ultima operație?

„rezultatul adunat cu 42 ne dă 1477”

Deci: x+42=1477

x=1477-42

x= 1435

Problema dată devine:

„M-am gândit la un număr care înmulțit cu 5 obținem 1435”

Deci: Xx5=1435

x= 1435: 5 x= 287 Numărul căutat este 287. R: x=287.

2.6.5.Metoda falsei ipoteze (metoda presupunerilor)

Această metodă constă în a face o ipoteză oarecare (deși de obicei se pleacă de la ipoteza „toate la un fel”), nu în ideea de a nimeri răspunsul, ci pentru a vedea nepotrivirea cu enunțul și ce modificări trebuie să facem asupra ei. Deci, metoda se numește a falsei ipoteze, pentru că se bazează pe presupunerea că ipoteza nu ar fi conformă adevărului.

Problemele a căror rezolvare se bazează pe metoda presupunerilor sau ipotezelor, a falsei ipoteze, se pot clasifica în două categorii, în funcție de numărul ipotezelor care sunt necesare pentru orientarea raționamentului și determinarea rezultatelor. Astfel avem:

a) probleme din prima categorie, din care fac parte problemele pentru rezolvarea cărora este sufiecientă o singură ipoteză;

b) probleme din a doua categorie, din care fac parte problemele pentru rezolvarea cărora sunt necesare două sau mai multe ipoteze succesive.

a) Exemplu: „18 caiete de 48 file și respectiv 200 file au îpreună 2080 file. Câte caiete sunt de fiecare fel?”

Soluția I:

Încercăm o ipoteză oarecare și anume că toate caietele sunt cu 48 file, atunci obținem:

Diferența de 1216 file apare din faptul că printre caietele luate în considerare sunt și unele cu 200 file, adică cu 152 file mai mult.

Atunci, numărul caietelor care au 200 file se obține astfel:

, iar numărul caietelor cu 48 de file va fi:

R: 8 caiete cu 200 file

10 caiete cu 48 file

Verificare:

Soluția II:

Se poate porni și de la ipoteza că toate caietele au 200 file. Atunci obținem:

Diferența de 1520 file apare din faptul că printre caietele luate în considerare sunt și unele cu 48 file, adică cu 152 file mai puțin:

Atunci, numărul caietelor care au 48 de file se obține astfel:

, iar numărul caietelor cu 200 file va fi:

R: 8 caiete cu 200 file

10 caiete cu 48 file

Verificare:

.

b) Exemplu: „Într-o clasă se află un anumit număr de bănci. Dacă în fiecare bancă se vor așeza câte doi elevi, atunci 7 dintre ei nu vor avea loc; dacă în fiecare bancă se vor așeza câte 3 elevi, atunci 5 bănci vor rămâne neocupate. Să se afle numărul elevilor și numărul băncilor”.

Rezolvare:

Presupunem că sunt 8 bănci. Atunci numărul elevilor va fi:

, dacă se vor așeza câte 2.

Dacă se așează câte 3:

Diferența este:

Presupunem că sunt 9 bănci. Numărul elevilor, dacă se vor așeza câte doi va fi:

Dacă se așează câte 3:

Diferența este:

Presupunem că sunt 10 bănci.

Numărul elevilor, dacă se vor așeza câte doi va fi:

Dacă se așază câte 3:

Diferența este:

Se constată că, mărind numărul băncilor cu 1, diferența între numărul de elevi se micșorează cu 1.

Această diferență trebuie să fie 0.

Pentru că numărul de elevi este același, înseamnă că trebuie să mărim numărul de bănci cât s-a presupus inițial cu 14, deci vor fi:

Au fost:

Verificare:

2.6.6.Metoda comparației

Comparația apare, în aritmetică, mai ales în problemele în care două mărimi necunoscute sunt legate între ele prin două relații liniare, bine precizate, caz în care rezolvarea unor astfel de probleme se face prin eliminarea uneia dintre mărimi prin reducere, adică prin adunarea sau scăderea relațiilor înmulțite cu numere convenabil alese sau prin substituție (înlocuire). Observăm, prin urmare, că este vorba de rezolvarea acelor probleme care prin metode algebrice s-ar rezolva cu ajutorul unor sisteme de ecuații liniare particulare. Desigur, pot fi mai multe mărimi decât două în relații liniare, numărul acestor relații fiind egal, bineînțeles, cu numărul mărimilor.

Exemple:

a) Eliminarea unei necunoscute prin scădere

„5 pixuri și 7 caiete costă împreună 29 lei, iar 5 pixuri și 4 caiete costă 23 lei. Cât costă un pix și un caiet?”

Rezolvare (Metoda aritmetică – etape)

e1) Scrierea datelor din problemă:

5 pixuri ………………… 7 caiete …………………. 29 lei

5 pixuri…………………. 4 caiete …………………. 23 lei

e2) Raționament aritmetic:

Comparând mărimile (pixuri și caiete), care apar în relația anterioară, constatăm următoarele:

– avem același număr de pixuri: 5

– diferă numărul de caiete, respectiv sumele în lei, adică:

7 – 4 = 3 (caiete) ……………… 29 – 3 = 6 (lei)

Deci: 3 caiete………….. 6 lei

Atunci: 1 caiet costă ,

Iar 4 caiete:

Atunci: 5 pixuri …………………. 4 caiete………………….23 lei

(8 lei)

Deci: 5 pixuri………………….. 23 – 8 = 15 lei, iar 1 pix:

e3) Concluzie:

1 pix costă 3 lei

1 caiet costă 2 lei

Verificare:

b) Eliminarea unei necunoscute prin înlocuirea ei

„3 stilouri și 4 cărți costă împreună 275 lei. Cât costă 1 stilou și o carte, știind că o carte costă de două ori mai mult decât un stilou?”

Rezolvare: (Metoda aritmetică – etape)

e1) Scrierea datelor problemei:

3 stilouri ………………. 4 cărți………………275 lei

1 carte ————— 2 stilouri

———————————————————

1 stilou → ? lei 1 carte → ? lei

e2) Raționament aritmetic:

Știind (din ipoteză, din datele problemei) că o carte costă cât 2 stilouri, vom „înlocui” (elimina) cărțile prin stilouri cu scopul de-a „scăpa” de o necunoscută și de-a rămâne doar cu o necunoscută: stilouri, adică:

3 stilouri ………………….. (4×2) stilouri……………….275 lei

=> 11 stilouri ………….. 275 lei => 1 stilou: 275 ÷ 11 = 25 lei

e3) Concluzie: 1 stilou costă 25 lei

1 carte costă: 25 × 2 = 50 lei

Verificare:

Matematica este o disciplină creativă și pasionantă. Ea poate produce momente de plăcere și încântare când elevul rezolvă o problemă pentru prima dată, descoperă o rezolvare mai elegantă a problemei sau vede pe neașteptate conexiuni ascunse. Cu toate acestea, pentru un număr însemnat de elevi, matematica rămâne o mare necunoscută fără prea multe soluții pentru ei, dacă nu este legată de viața lor de zi cu zi și nu este aplicată în practică.

Accentul cade pe utilizarea unor metode activ- participative. Caracteristic pentru aceste metode este participarea, implicarea activă, angajarea deplină, cu toate resursele posibile, a subiectului în actul învățării. Activizarea învățării presupune folosirea unor metode, tehnici și procedee care să-l implice activ pe elev în procesul de învățare, urmărindu-se dezvoltarea gândirii, stimularea creativității, dezvoltarea motivației pentru învățare. Elevul este ajutat să înțeleagă lumea în care trăiește și să aplice în diferite situații de viață ceea ce învață.

Pentru a mări eficiența formativă a învatamântului în clasele I-IV, se cere asigurarea în primul rând a calității cunoștințelor pe care și le însușesc copiii. Metodele și mijloacele de învățare trebuie să pună accentul pe copil. Ele trebuie sa insiste pe motivație și de aceea se axează pe activitățile ludice și pe acelea care corespund intereselor elevilor. În scopul realizării acestui deziderat, trebuie găsite procedee care să solicite activitatea elevilor. Copilul trebuie îndrumat în permanență ca tot ceea ce scrie să treaca prin filtrul gândirii. Mijloacele de învățământ rămân cel mai adesea manualele care se cer mereu îmbunătățite, însă nu este obligatorie folosirea lor, importantă este respectarea programei, consider că este necesar a fi folosite mai mult fișele de lucru și alte materiale didactice adecvate. Prin modelare, joc didactic , problematizare, învățarea prin descoperire elevul este pus în situația de a căuta , a descoperi, de a rezolva situații noi, neînvățate anterior. Acestea privesc atât activitatea elevului cât și pe cea a învățătorului .

Matematica este știința cea mai operativă, care are cele mai multe și mai complexe legături cu viața. Ea se învață pentru a fi utilă. Nu există vreun domeniu al vieții în care matematica să nu-și găsească aplicabilitatea. Utilizarea și apoi transferul noțiunilor matematice nu se realizează prin simpla transmitere a acestora de la învățător la elev, ci prin îndelungate și dirijate procese de căutare și descoperire a lor de către elevi. De aici, caracterul dinamic, activ și relativ dificil al învățării matematicii, mai ales prin efort propriu al elevului. Activitățile matematice necesită astfel o bună mobilizare a tuturor comportamentelor psihicului uman, cu precădere a inteligenței și a gândirii. Odată cu însușirea noțiunilor matematice prin efort intelectual elevul învață și anumite tehnici de investigare și rezolvare cu caracter tot mai general.

Metodele particulare de rezolvare a problemelor de aritmetică trebuie să facă parte din cultura aritmetică a oricărui elev ce termină clasele primare.

Rezolvarea aritmetică a problemelor de orice tip sau gen are drept efect formarea la elevi a unor seturi de priceperi și atitudini pozitive care le dau posibilitatea de a rezolva în mod independent probleme, de a compune ei înșiși probleme.

CAP III: CERCETARE PEDAGOGICĂ

3.1. Metodologia cercetării

Cercetarea pedagogică este o acțiune de observare și investigare, pe baza căreia cunoaștem, ameliorăm sau inovăm fenomenul educațional.

Practica educativă constituie, pentru cercetător, o sursă de cunoaștere, un mijloc de experimentare, de verificare a ipotezelor și de generalizare a experienței pozitive. În același timp, cercetarea pedagogică, prin concluziile ei, contribuie la inovarea și perfecționarea procesului de învățământ și de educație.

Rolul cercetării pedagogice constă în: explicarea, interpretarea, generalizarea și inovarea fenomenului educațional prin schimbări de structură, sau prin introducerea de noi metodologii mai eficiente.

Metodele de cercetare ale pedagogiei pot fi clasificate în funcție de obiectivele fundamentale urmărite. Din acest punct de vedere, putem vorbi despre :

metode de culegere a datelor (observația, experimentul, interviul, chestionarul, metoda cazului, testul etc.) ;

metode de prelucrare a datelor (metoda statistică, metoda matematică, reprezentarea grafică) ;

metode de interpretare a concluziilor (metoda istorică, metoda hermeneutică, metoda psihanalitică etc.).

Obiectivele cercetării

descoperirea creativității individuale ;

educarea și dezvoltarea creativității individuale prin metode și mijloace educaționale;

Ipoteza cercetării

Pornind de la datele din literatura de specialitate , se formulează urmatoarea ipoteză :

Daca se utilizează în activitatea didactica metode , mijloace și tehnici diverse , creând o atmosfera permisivă elevilor , se educă și se dezvoltă capacitatile creatoare ale acestora , precum și încercările originale de a găsi soluții variate de rezolvare a situațiilor problematice .

3.4. Desfășurarea cercetării

3.4.1. Lotul experimental

Eșantionul de studiu s-a desfășurat la clasa a IV-a de la Liceul Tehnologic Nr. 1 Dobrești, Școala Gimnazială Nr. 2 Luncasprie, cu un efectiv de 13 elevi, în anul școlar 2014-2015. Cei mai mulți dintre ei au împlinit vârsta de 10 ani pe parcursul anului 2015, iar prezența în acest an a fost de peste 95% zilnic, absențele fiind doar din motive obiective (condiții cimatice, probleme de sănătate). Părinții copiilor nu au studii superioare, 23% dintre aceștia au terminat liceul, 77% au terminat doar 8 clase, cu toate acestea constatându-se o mare deschidere spre cunoaștere, dorind să asigure copiilor o mai bună educație decât au ei.

O situație specială o reprezintă o elevă cu retard mintal, nivelul IQ-ului=45 și multe probleme de sănătate fizică. Aceasta urmează tratamente recomandate de psihologul școlii și medicul specialist.

a)      vârstă :

b)      sex:

c)     performanțe școlare:

3.4.2. Metode și instrumente folosite

Ca metodă am folosit experimentul pedagogic. Metoda experimentului pedagogic. Experimentul pedagogic este o „observație provocată” și constă în producerea sau modificarea intenționată a fenomenelor cu scopul de a le urmări în condiții favorabile.

Această metodă are următoarele caracteristici : fenomenul ce urmează a fi cercetat se produce „sintetic”, în condiții determinate ; se repetă producerea fenomenului respectiv în anumite condiții ; condițiile de producere se supun unor variații sistematice ce pot fi controlate.

Etapele experimentului ,care are un caracter procesual, sunt:

Etapa inițială-etapa prin care se află nivelul cunoștințelor elevilor de la care se pornește.S-a realizat prin aplicarea unei probe de cunoștințe.

Etapa experimentală-s-a desfășurat în perioada octombrie 2014-aprilie 2015,etapă în care am susținut lecții experimentale, folosind diverse metode de rezolvare și compunere a problemelor de matematică în mod creativ, aplicând teste de verificare periodică a eficienței acestora.

Etapa finală-este etapa în care se măsoară nivelul final al variabilelor dependente.S-a aplicat o probă de verificare a cunoștințelor ,analizând și comparând rezultatele inițiale cu cele finale.

Indicatorul :

Aplicarea creatoare a programei analitice și manualului pentru clasa a IV-a . S-a introdus ca obiectiv specific – recapitularea și sistematizarea: scop, mijloc și tehnică de evaluare în același timp .

Acțiunea :

Verificarea experimentală a introducerii organizatorului cognitiv (rezolvarea de probleme-metode) în predarea-învățarea, consolidarea, recapitularea și sistematizarea, evaluarea la matematică, clasa a IV-a .

Instrumente de lucru:

– planificarea calendaristică la disciplina matematică ;

– analiza structurii logice a conținutului manualului.

3.4.3. Desfășurarea cercetării

Etapa inițială

Nume__________________________Prenume___________________________

Data:29.09.2014,

Școala Gimnazială Nr. 2 Luncasprie

Clasa a IV-a

Institutor Luca Nicoleta

An școlar 2014-2015

Disciplina Matematică

PROBA DE EVALUARE INIȚIALĂ

Ancuța a scris trei numere cu litere. Tu scrie-le cu cifre!

două sute treizeci și șase ………………

nouă mii patruzeci …………….

șase sute cincizeci de mii două sute trei. …………….

Descompune numărul în mii, sute, zeci și unități, completând casetele date:

3 856 = ………. +……… + ……. +……

Compară numerele, scriind semnul matematic potrivit în casetă :

845 □ 315

6 284 □ 9 934

49 672 □ 48 672

Rezolvă exercițiile și unește rezultatul cu denumirea operației pe care ai efectuat-o:

a) 482 + 288 = sumă

b) 2507- 828 = cât

c) 24 x 7 = diferență

d) 54 : 9 = produs

Calculează.

(532 – 475) x 10 – 484 :2 + 3x (374+108) =

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Află numărul necunoscut.

a x 7 = 56 9 x a = 342 a : 6 = 83

_______________ ________________ ______________

_______________ ________________ ______________

_______________ ________________ ______________

Mihai are 6 creioane roșii, de trei ori mai multe creioane albastre și cu 45 mai multe decât creioanele albastre creioane portocalii.Câte creioane are Mihai ?

Rezolvă problema cu grafic !

TEST DE EVALUARE INIȚIALĂ

BAREM DE EVALUARE / DE NOTARE

Descriptori de performanță

Rezultate obținute în etapa inițială

Etapa experimentală

Clasa a IV-a

Obiectul : matematică

Subiectul : Probleme care se rezolvă prin metoda figurativă  

Tipul lecției : mixtă (consolidare – evaluare )

Sistemul de lecții :

2 ore predare – învățare

      2 ore consolidare – evaluare formativă

      1 – 2  ore evaluare sumativă

  Scopul sistemului de lecții : 

–     consolidarea noțiunii de problemă și problemă tip și metode aritmetice de rezolvate a problemelor , prin reactualizarea, recapitularea , completarea și sistematizarea cunoștințelor din clasele I – IV;

–     verificarea nivelului cunoștințelor , priceperilor și deprinderilor , a capacității de exprimare orală și scrisă a elevilor prin terminologia matematică ;

–      dezvoltarea și consolidarea capacităților cognitive , competențele de rezolvare de probleme , precum și a metodelor și tehnicilor de muncă individuală , creatoare ;

–    abordarea interdisciplinară și intradisciplinară a temei ;

–    dezvoltarea interesului pentru rezolvarea și compunerea de probleme .

1.Reactualizarea cunoștințelor :

– sarcină didactică colectivă

– analiza planșei cu problema 1

– citirea enunțului problemei în întregime

          2.Verificarea cunoștințelor :

– sarcină didactică diferențiată pe grupe; aplicație individuală :

          Problema 1

          Rodica , Ioana și Andreea au cules împreună 108 flori . Rodica a cules de 3 ori mai multe decât Ioana , iar amândouă au cules dublul numărului de flori culese de Andreea .

          Câte flori a cules fiecare fetiță ?

Grupa nr . 1 :

Completați spațiile cu cuvintele care lipsesc :

 ,,Pentru primul buchețel Rodica culege …….flori , Ioana aduce ……floare , Andreea culege ……flori .   Deci numărul total de flori ,108 se pot face  buchețele de …….flori        [3flori +1floare+2flori ]”  

Grupa nr . 2 :

Completați spațiile corect cu cuvintele care lipsesc :

 ,, Ioana  a cules …………………………………………….decât  Rodica”.

 ,, Andeea a cules …………………………….   .decât Rodica și Ioana împreună”

 ,, ……..flori reprezintă numărul total de flori culese de cele trei fete , dar …….în în mod egal”.

Grupa nr . 3 :

Gândiți-vă și scrieți cele trei nume ale fetițelor în ordinea crescătoare , apoi descrescătoare , în funcție de indicațiile despre numărul obiectelor fiecăreia :

1……………………………… 2……………………………………… 3…………………………………………..

3……………………………………….. 2……………………………………….. 1…………………………………………

          3. Consolidarea noțiunii de problemă  :

– sarcină didactică colectivă ;

– dezbatere , problematizare , exerciții creatoare , demonstrația .

Planșa :   Problema 1

text scris + reprezentare grafică   

1 .  Indică metoda prin care se rezolvă acestă problemă !

2 . Argumentați !

3 . De ce nu se poate rezolva prin plan ca ,,problemele de aflat”?

4 . Delimitați pe planșă : enunțul , datele , necunoscutele , condițiile  !

5 . Ce fel de mărimi are acestă  problemă tip ?

6 . Precizați în ce categorie se încadrează ?

7 . Ce sarcină de lucru aveți de îndeplinit ?

8 . Cum sunt prezentate condițiile ?

9 . Stabiliți ordinea corectă , logică ! ( după mărimea cea mai mică)

Planșa : Problema 1  – text ordonat logic

10 . Verificați respectarea condițiilor pe desen !

11 . Ce termeni cuprinde problema ? La ce se referă aici ,,dublul  ”?

12 . Ce desprindem , ce învățăm din această problemă ?

13 . Ce categorie de probleme reprezintă această problemă ?

        ( probleme în care cunoaștem suma a două sau mai multe numere și raportul dintre ele )

14 . Explicați  rezolvarea ! Faceți proba !

Probleme pentru elevi de performanță –clasa a IV-a

1.                 Suma a trei numere este 134.

a)     Dacă din fiecare se scade același număr se obțin numerele 30, 35 și respectiv 51;

b)    Dacă la fiecare se adaugă același număr, se obțin numerele 48,53 și respectiv 69.

Aflați numerele date.

2.  Aflați trei numere, știind că suma primelor două este 72, suma ultimelor două este 93, iar suma dintre primul și al treilea este 127.

3.  În două coșuri sunt 99 mere. Dacă s-ar lua 17 mere din primul coș și s-ar pune în al doilea, în primul coș ar rămâne cu 25 mere mai multe ca în al doilea.

     Câte mere sunt în fiecare coș?

4.     Continuă tu șirul cu încă trei numere:

11, 12, 21, 111, 112, ……, …….., ……..

5.     Un băiat are atâția frați câte surori are, dar sora lui are de două ori mai mulți frați decât surori. Câți frați și câte surori sunt?

6.     Dacă trei litri de apă au temperatura de 60 grade Celsius, ce temperatură are un singur litru de apă?

7.     Este vineri, 22 martie. În ce lună va fi următorul vineri 22?

8.     Aflați suma a patru numere știind că:

a.      Suma primelor două dintre acestea este 42;

b.     Numărul al treilea este mai mare decât numărul al patrulea cu 32;

c.     Al patrulea număr, dacă ar fi mai mare cu 37 ar egala suma primelor două numere.

9.     Într-un teanc sunt cu 11 caiete mai multe decât în al doilea. Câte caiete trebuie transferate în al doilea teanc pentru ca în acesta să fie cu trei caiete mai mult decât în celălalt?

10. Care sunt cele trei numere consecutive pare, din a căror sumă, dacă scădem suma numerelor consecutive impare ce se află între ele, obținem 16 ?

11. Calculați:

3a + 5b + 2c   dacă: a + b = 54           b + c = 56

4a + 8b + c     dacă: 3a + 8b = 70      a + c = 30

Pentru elevi de performanță

Să se afle cel mai mic nr. natural a care împărțit la un număr natural b  dă câtul 18 și restul 7.

2.                Dacă a + b = 24 ; b + c = 32, calculați a + 3b +2c = ?

3.     90 + = 100

4.              Un liliac a mâncat în patru nopți 1050 muște. În fiecare noapte a mâncat cu 25 muște mai multe decât în noaptea precedentă. Câte muște a mâncat în a patra noapte?

5.             Suma a patru nr. naturale este 1206. Să se afle fiecare număr, știind că al doilea este cu 6 mai mare decât primul luat de patru ori, al treilea este egal cu suma primelor două numere  plus 6, iar al patrulea nr. este egal cu diferența dintre al treilea  și al doilea , micșorată cu 6.

6.Se dau nr. a, b, c, d, e astfel încât:

-a este de trei ori mai mare ca b;

-c este cu 6 mai mare decât b;

-d este de 3 ori mai mare decât c;

-e este de 2 ori mai mic decât d.

          Să se afle numerele, știind că c + d =  208.

7.               Avem 30 grinzi de 3 și 4 metri lungime, a căror sumă a lungimilor este 100 m. Cu câte tăieturi se pot realiza din aceste grinzi butuci cu lungimea de un metru?

8.                Dintr-o carte a căzut o parte din ea. Prima pagină a acestei părți avea numărul 387, iar numărul ultimei pagini era format din aceleași cifre, dar în altă ordine. Câte pagini are partea care a căzut?

Analiza și sinteza, compararea, alegerea și justificarea, recunoașterea și distingerea (discriminarea) 

Dintre două probleme  , pe cea care se rezolvă prin metoda figurativă  :

1 . Problema 2 :

          Într-o livadă sunt 300 meri și cu 200 mai mulți pruni decât meri   . Află numărul total al pomilor din livadă .

          Sau

          Într-o livadă sunt 800 de pomi . 300 pomi sunt meri , iar pruni sunt cu cu 200 mai mult decât meri .

          Află numărul prunilor .

     Problema 3 :

          Într-o livadă sunt 1000 pomi , meri și pruni .

          Află câți meri și câți pruni sunt , dacă numărul prunilor este cu 200 mai mare decât numărul merilor .

2 . Ce condiții trebuie să îndeplinească o problemă pentru a fi tip ?

3 . Sunt alcătuite din aceleași  condiții  problemele ?

4 . Deci , prin ce se deosebește problema 2 de  problema 3 ?

5 . Spre care dintre ele înclinăm s-o considerăm problemă de aflat ? Spre care dintre ele înclinăm s-o considerăm problemă prin metoda figurativă ?

6 . Recitiți problema 2! Comparați-o cu problema 3 !

7 . Care problemă are nevoie de reprezentare grafică pentru rezolvarea ei ?

8 .Spre care dintre ele înclinăm s-o considerăm prin metoda figurativă după necunoscutele ei ?

9 .  Spune rezolvarea fiecărei probleme printr-o singură expresie !

10 . Care este întrebarea la fiecare problema ? Se deosebesc ?

12 . Comparați  algoritmul de rezolvare  a celor două probleme  !

4 . Anunțarea lecției :

–         anunțarea sarcinilor diferențiate ale fiecărei grupe ;

–         anunțarea obiectivelor urmărite ;

Rezolvarea sarcinilor didactice din fișe

Grupa nr . 1 :

FIȘA DE EXERCIȚII

Grupa nr . 2 :

FIȘA DE REZOLVARE DE PROBLEME  

Grupa nr . 3 :

FIȘA DE DEZVOLTARE

–         sarcină didactică diferențiată pe grupe

–         aplicare individuală

–         verificare orală , prin aprecieri calitative

FIȘA 1

1 .     Calculează :

    a)  ( 10 –1+9 : 9 ) x 0=

    b)1000:100+10 x 9-1=

2.    Rezolvă  exercițiile , apoi  valorile  necunoscutelor  regăsește-le  printre  datele  importante  din  literatura  română :

     a)   ) 48 843 : 81 – 3 + y ) : 7 = 145 + 205   

     b) x 4 = 100

     c)  90 + ( 3 045 + m ) : 44 + 9 999 – 10 000 = 200

3.     Găsește  numerele  notate  cu  F , R , U , M , O , S  ,  știind  că :

     R + U + M = 48             S = 4  x  M              U + M = 13                M = 24 : 8           

 M + O = 180 : U

                                                         F + R + U + M + O + S = 94

4.     Suma  a  patru  numere  naturale  este  74 . Știind  că  fiecare  dintre  ele  este  cu  5  mai  mare  decât  cel  dinaintea  lui , să  se  afle  numerele .

5.        Suma  a  trei  numere  naturale   este  514 . Al  doilea  număr  este  dublul  primului  și  cu  14  mai  mic  decât  al  treilea . Află  numerele .

6.      Perimetrul  unui  teren  dreptunghiular  este  de  600 m . Lungimea  întrece  dublul  lățimii  cu  60 m .

         Care  sunt  dimensiunile  terenului ?

7.      Cele  90  de  apartamente  ale  unui  bloc  sunt  cu  2  și  cu  3  camere . Dacă  numărul  camerelor  este  210 , care  este  numărul  apartamentelor  cu  3  camere ?

8.      Valoarea  lui  a  din  egalitatea    a + 24 + a + 39 + a = a + a + a + a    este  :

                         A)   63 ;                        B)   36 ;                               C)  9 .      

9.    În  grădina  bunicului  sunt  4  gutui . Crengile  copacilor  sunt  reprezentate  prin  numere  consecutive . Pe  fiecare  creangă  atârnă  câte  10  fructe . Bunicul  a  cules  în  total  260  de  gutui .

       Câte  crengi  are  fiecare  gutui ?

10.     Determină  pe  m  din  egalitățile :

          a)    m : m + m x 0 + m – m : m =  10                               

b)  m x 1 x 2 x 3 + m x 2 x 2 = 100

FIȘA 2

Metoda  figurativă

1.        La  o  florărie  s-au  adus  430  fire  de  trandafiri  și  garoafe . Dacă  trandafiri  erau  cu  76   mai  puțini  decât  garoafe , câte  fire  s-au  adus  din  fiecare  fel  de  floare ?

2.        În  două  depozite  sunt  168 400 kg  de  lemne . În  primul  depozit  se  află  o  cantitate  de  7  ori  mai  mică  decât  în  al  doilea  . Ce  cantitate  de  lemne  se  află  în  fiecare  depozit ?

3.       Suma  a  patru  numere  naturale  consecutive  impare  este  448 . Care  sunt  numerele ?

4.      Diferența  a  două  numere  este  135 . Dacă  le  împarți , obții  câtul  4  și  restul  12 .

         Care  sunt  numerele ?

5.     Într-o  livadă  sunt  620  de  pomi . Meri  sunt  de  2  ori  mai  mulți  decât  caiși  și  cu  15  mai  puțini  decât  peri . Câți  pomi  sunt  de  fiecare  fel  în  livadă ?

FIȘA 3

1.   Calculează :

   a)     30 + : 2 =                                             ( 92 )

   b)     10 x : 5 =                                        ( 160 )

2.   Află  valoarea  numărului  necunoscut  din  egalitățile :   

    a)  682 – 9 x 8 + 8 x 7 – 63 : 7 – m  =  329 – 9 x 6 – 6 x 6 – 81 : 9                              ( 427 )

    b)   y x 5 + 36 x 4 + 36 x 3 + 36 x 2 = 504                                                                     ( 36 )

3.   Suma  a  trei  numere  este  986 . Să  se  afle  numerele , știind  că  al  doilea  este  cu  2  mai  mare  decât    primul  și  de  2  ori  mai  mic  decât  al  treilea .                                                                                                                                  ( 245 ; 247 ; 494 )

4.    Într-o  ladă  se  găsesc  305  portocale  și  lămâi . După  ce  s-au  vândut  26  de  portocale  și  14  lămâi , au  rămas  în  ladă  de  4  ori  mai  puține  portocale  decât  lămâi .Câte  portocale  și  câte  lămâi  au  fost  la  început  în ladă?                                                                                                                                             ( 79 ; 226 )

5.     Dimensiunile  unui  dreptunghi  sunt  exprimate  prin  numere  impare  consecutive . Perimetrul  său  este  de  320 m .  Află  dimensiunile  dreptunghiului .                                                                                                                                             ( 79 ; 81 )

6.    Calculează  dimensiunile  unui  dreptunghi , știind  că  are  perimetrul  de  570 cm , iar  lățimea  este  jumătate  din  lungimea  sa .                                                                                                                                               ( 95 ; 190 )

7.     Suma  a  trei  numere  este  80. Dacă  împărțim  primul  număr  la  al  doilea , obținem  câtul  1  și  restul  egal  cu  al  treilea  număr . Află  numerele , știind  că  al  treilea  număr  este  cu  20  mai  mic  decât  al  doi lea  număr .                                                                                                                                   (  10 ; 30 ; 40 )

8.    La  ora  de  educație  fizică , elevii  unei  clase  sunt  așezați  în  rând  câte  unul .Un  elev  constată  că    cei  5  elevi  din  spatele  său  reprezintă  un  sfert  din  numărul  elevilor  din  fața  sa .

        Câți  elevi  participă  la  ora  de  educație  fizică ?

Etapa finală

5 . Evaluare formativă

Elevul…………………

Clasa…………………

TEST-GRILA

    Matematica  

1)Cangurul calculează:  4+0+4×0+4:4+4×4=

Rezultatul este:

A)0             B)4              C)20            D)21            E)1

2)Carmen rupe 10 betișoare în două.Jumătate sunt rupte din nou în două. Câte bețișoare a obținut?

A)20            B)30            C)60            D)40            E)25

3) 4 cărți diferite pot fi așezate în câte moduri?

A)4              B)5              C)6              D)7              E)8

4) Ceasul meu o ia înainte cu 3 minute pe oră. După cât timp a înaintat cu jumătate de oră?

A)20ore       B)o zi          C)30ore       D)6 ore        E)600minute.

5)La fiecare 6 ore, iau o pastilă. Cât timp voi lua 10 pastile?

A)3 zile        B)2 zile        C)2 zile si 10 ore    D)24ore       E)2zile si 6 ore.

6)În curtea școlii sunt 15 băieți și 18 fete. De câți copii mai este nevoie pentru a se împărți în grupe de cîte 10?

A)4              B)5              C)6              D)7              E)8.

7)Dan este cu 5 ani mai mare decât sora lui.Peste câți ani va avea dublul vârstei surorii sale?

A)2              B)3              C)4              D)5              E)10.

8)Scrie numărul cincisprezece milioane cincisprezece mii cincisprezece:

A015 115 115        B0150 150 150      C)15 15 15       D)15 015 015.

          E)15 015 015 015 15 015 015 015      

9)Pisicile dorm 2/3 din zi. Câte ore dorm pe săptămână?

A)112                    B)16            C)56            D)49            E)114

10)Este ora 8:53.Peste două ore și 30 minute va fi;

A)10:53       B)10:30        C)11:30       D)11:23       E)11:33.

11) Operația al cărei rezultat  nu este 15 este:

A) 6x(3-1)+3         B)6+9                   C)6-2×3+3   D)15-15:15+1        E)15×1.

12) Cifra înlocuită cu o literă este:                 5a7+299=886

A)7              B)8              C)9              D)6              E)5

13)Care din numerele următoare are cifra unităților mai mică decat toate celelate cifre ale sale?

A)413          B)203          C)97            D)244          E)5 015

14)Azi e miercuri 2 aprilie.Tot miercuri va fi pe:

A) 10 aprilie            B)16 aprilie  C)9 aprilie    D)22 aprilie        E) 31 aprilie .   

15) Cât este jumătatea jumătății lui 20?

A)10            B)5              C)40            D)4              E)2.

16)Dana împarte prietenelor sale câte 2 acadele. Îi rămân 5 acadele.  Dacă le-ar da câte 3, un copil ar rămâne fără  acadele. Câte prietene are Dana?

A)5              B)6              C)7              D)8              E)9.

17)Perimetrul unui dreptunghi este de 48 cm. Lungimea este dublul lățimii. Cât este lungimea?

A)16cm       B)8cm         C)160cm     D)4cm         E)12cm.

18)Câte cifre se folosesc pentru scrierea unei cărți cu 155 pagini?

A)357          B)389          C)155          D) 305         E)105

6 . Tema de creație  ( la alegere ) :

– rezolvare de probleme date prin metoda figurativă ( categorii );

– compunere de probleme după model grafic ;

– compunere de probleme după relații date .

I. STANDARD DE PERFORMANȚĂ:

Exprimarea orală și scrisă într-o manieră concisă și clară a modului de calcul și a rezultatelor unor exerciții și probleme. 

II. OBIECTIV DE EVALUAT :

Să exprime pe baza unui plan simplu de idei în scris demersul parcurs în rezolvarea unei probleme.

Citește cu atenție apoi rezolvă prin metoda grafică următoarea problemă:

 Suma a două numere este 130, iar diferența dintre ele este 30. Care sunt numerele?

III.DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ:/

1.  Reprezintă schematic în desen numerele, suma si diferența lor.

2. Rezolvă problema prin metoda grafică:

a) o operație ;

b) două operații;

c) trei operații.

Barem de corectare

S: 1,2(a)

B: 1,2(a,b)

F.B.: 1, 2(a,b,c)

2. I.   STANDARD DE PERFORMANȚĂ :

Formularea și rezolvarea de probleme care presupun efectuarea a cel mult trei operații. 

II.  OBIECTIV DE EVALUAT :

     Să compună exerciții și probleme cu numere naturale .

Compune și rezolvă o problemă folosind următoarele informații: 50; de 3 ori mai mult ; cu 20 mai puțin.

III. DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ:

1. Compune probleme corect:

a) enunțul problemei cu datele menționate

b) înlanțuirea logică a ideilor

c) pune întrebarea corect;

2. Rezolvă problema corect

a) 1 operație corectă

b) 2 sau mai multe operații

Barem:

S: 1(a) 2(a)

B: 1(a,b,c) 2(a)

F.B: 1(a,b,c) 2(a,b).

RAPORTUL FINAL AL LUCRĂRII

I . Alegerea temei

3.5. Concluzii

Elevii își însușesc și utilizează principiile organizării cognitive ale problemei.

Deci, în același timp, îndeplinesc cerințele unei compoziții și care este problemă.

Și se constată , în plus, că elevii au fost exersați înaintea experimentului în creații libere de diferite tipuri, deoarece compozițiile lor se remarcă printr-un mod de concepere și stil de exprimare încărcat de simboluri.

Modul de redactare a temei în celelalte grupuri se deosebește :

Grupul care lucrează în aplicație prin strategii de descifrare a enunțului problemei, cunoaște principiile organizării cognitive și compune oral, probleme, dar preferă să aleagă, în scris, rezolvare de probleme după algoritm dat . Rezultă că și-a spus cuvântul modul de instruire anterior experimentului (axat pe explicarea limbajului matematic; creații libere pornind de la relații) și se impune sporirea acțiunilor de încadrare a problemelor într-un tip.

Grupul care lucrează în aplicație pe limbaj matematic, stăpânește noțiunea de problemă . Rezultă că grupul întâmpină greutăți la unificarea principiilor de alcătuire a unei compoziții, deoarece preferă să rezolve.

Acest obiectiv poate fi reînvățat prin analiză și delimitare pe texte a părților principale, prin exerciții de ordonare, exerciții de dezvoltare a unor părți din problemă . Se constată că grupul are elevi introvertiți , predispuși gândirii divergente, meditației profunde, care au o putere mare de concentrare pe probleme care ridică probleme, ca și mediul lor familial. Caută sprijinul și siguranța unui text pe care îl abordează foarte atent și critic.

Analizând rezultatele probelor finale se poate spune cu certitudine că elevii clasei a IV-a au capacitatea de a rezolva și compune probleme în mod creativ, iar varietatea metodelor și procedeelor utilizate contribuie în mod cert la dezvoltarea creativității lor.

Analizând din punct de vedere calitativ, am observat schimbări în bine și în ceea ce privește atitudinea față de învățare în orele de matematică, și datorită faptului că am lucrat diferențiat, dând posibilitatea fiecăruia să-și valorifice potențialul individual. Astfel elevii au devenit mai încrezători în forțele proprii, mai activi și au avut mai multă inițiativă. Deoarece am utilizat mult și munca pe grupe, am observat o mai bună colaborare și o mai mare implicare.

Astfel, noi învățătorii avem datoria de a organiza activități de învățare atractive, variate care să-l solicite pe fiecare elev în scopul de a-și dezvolta capacitățile lui intelectuale.

CAP IV: CONCLUZII FINALE

4.1. Concluzii finale

Multă vreme creativitatea a fost considerată har divin, pe care îl aveau puțini oameni. Se mai credea că sunt atâtea talente (talent și geniu = creativitate) câte s-au afirmat. Și întrucât de afirmat s-au afirmat doar foarte puține, înseamnă că nu toți oamenii pot să fie „înzestrați”, ci doar o mică parte dintre ei. Concepția, conform căreia talentele (și geniile) sunt înnăscute, a fost depășită.

Discuțiile însă continuă cu privire la căile concrete de interacțiune dintre influențele mediului și ale eredității, dintre învățare, maturizare și dezvoltare. S-a căzut și în extrema cealaltă, a absolutizării rolului factorilor sociali. Din punct de vedere științific, corect este să se caute și să se găsească modalități prin care toți factorii interacționează, contribuie la formarea comportamentului creator, întrucât numai în interacțiune pot avea eficiența așteptată. Într-un fel se prezintă însă comportamentul creator la adult, și altfel, se manifestă el la elev. Al. Roșca (1981) scria: „creativitatea copilului este diferită de creativitatea autentică pe care o întâlnim la adult, în sensul că produsul activității sale creatoare nu este nou. Este însă, nou pentru el și este realizat în mod independent.

De exemplu, rezolvarea de către un elev a unei probleme de matematică pe o cale diferită, eventual mai elegantă decât cea din manual, sau decât cea care a fost prezentată de profesor la clasă, este considerată creatoare chiar dacă modul de rezolvare găsit de elev nu este nou pentru știință” (Roșca, 1981, p. 185). Pentru a le diferenția și mai bine am numit comportamentul creator al elevului creativitate în formare, iar comportamentul creator al adultului creativitate cristalizată..

Acțiunea de formare a comportamentului creator este recomandabil să înceapă cât mai de timpuriu. Pentru că interacțiunea și combinarea originală a factorilor creativității se face simțită de la vârste mici, mulți elevi din clasele școlii primare manifestă, în mod spontan, curiozitate, independență, imaginație bogată, adică unele caracteristici ale creativității în formare.

Educatorul, pentru a putea dezvolta creativitatea elevilor săi trebuie ca el însuși să dea dovadă de spirit inventiv și inovator. În activitatea sa la catedră el poate introduce noi metode de predare, poate informa, altfel, neobișnuit, atractiv lecțiile sale, poate lucra, în mod original, cu elevii. În felul acesta influența sa pozitivă asupra elevilor va fi mult mai bine receptată și benefică pentru stimularea creativă a acestora.

Pentru a mări eficiența formativă a învățământului în clasele I-IV, se cere asigurarea în primul rând a calității cunoștințelor pe care și le însușesc copiii. Metodele și mijloacele de învățare trebuie să pună accentul pe copil. Ele trebuie să insiste pe motivație și de aceea se axează pe activitățile ludice și pe acelea care corespund intereselor elevilor. În scopul realizării acestui deziderat, trebuie găsite procedee care să solicite activitatea elevilor. Copilul trebuie îndrumat în permanență ca tot ceea ce scrie să treacă prin filtrul gândirii. Mijloacele de învățământ rămân cel mai adesea manualele care se cer mereu îmbunătățite, însă nu este obligatorie folosirea lor, importantă este respectarea programei, consider că este necesar a fi folosite mai mult fișele de lucru și alte materiale didactice adecvate. Prin modelare, joc didactic , problematizare, învățarea prin descoperire elevul este pus în situația de a căuta , a descoperi, de a rezolva situații noi, neînvățate anterior. Acestea privesc atât activitatea elevului cât și pe cea a învățătorului .

Matematica este știința cea mai operativă, care are cele mai multe și mai complexe legături cu viața. Ea se învață pentru a fi utilă.

Profesorii creativi găsesc cu ușurință și în cunoștință de cauză modalități adecvate pentru formarea și dezvoltarea comportamentului creator al elevilor . Am reușit să-i determin pe elevi să manifeste un interes tot mai mare pentru acest obiect, să depună eforturi sporite plasând activitatea creatoare în diferite momente ale lecției. Am constatat că activitatea de rezolvare de probleme cât și cea cu caracter creator are o puternică valoare formativă de ordin afectiv, motivațional. Aceasta datorită faptului că elevii nu se simt suprasolicitați, ci dacă perseverez, ei le doresc, le așteaptă și de la un timp le solicită. Se observă că, după îndeplinirea sarcinilor cu caracter creator sunt parcă mai pregătiți pentru alte activități, par mai recreați și mai odihniți.Ei sunt bucuroși când reușesc și nemulțumiți când rezolvările dau greș.

Chiar și elevii timizi sau care intâmpină greutăți doresc să încerce, să obțină rezultate bune. Pentru reușita dezvoltării activității, a gândirii cu operațiile și calitățile sale, un rol important revine învățătorului. De aceea am manifestat receptivitate la tot ce este mai nou, la tot ce le place copiilor, la tot ce pot ei rezolva.

„În esență, este vorba de o nouă abordare a procesului de instruire, în sensul unei schimbări complete a stilului. Predarea orientată spre creativitate implică un set de condiții favorabile, iar hotărârea este încurajarea copiilor să lucreze și să gândească îndrăzneț, să-și elaboreze propriile proiecte și să se debaraseze de ideea că, în școală, orice activitate trebuie să fie strict dirijată și controlată de profesor” (D. Sălăvăstru, 2004, p. 116).

4.2. Anexe

ANEXA NR 1: PROIECT DE ACTIVITATE DIDACTICĂ

Clasa: a IV-a

Arie curriculară: „Matematică și științe”

Disciplina: Matematică

Tema: „ Probleme diverse”

Tipul lecției:Verificare și sistematizare a cunoștințelor

Obiectiv general: Consolidarea deprinderii de rezolvare a problemelor aplicând metodele învățate; Educarea atenției și dezvoltarea operațiilor gândirii ( analiză, sinteză, comparație, algoritmizare)

Obiective operaționale:

O1: să exprime pe baza unui plan simplu, oral sau în scris demersul parcurs în rezolvarea unei probleme;

O2: să utilizeze corect algoritmii de calcul pentru expresiile numerice conținând cele patru operații și paranteze;

O3: Să găsească rapid „cheia” rezolvării unor probleme;

O4: să manifeste interes pentru analiza și rezolvarea unor probleme practice prin metode aritmetice;

O5. să depășească blocaje în rezolvarea de probleme încercând noi căi de rezolvare.

Strategie didactică:

metode și procedee: exercițiul, explicația, observația, jocul didactic, problematizarea;

forme de organizare a activității:frontal, pe echipe, individual;

material didactic: fișe de muncă independentă și pe echipe, planșe;

material bibliografic:

Anexa 1

PLANȘA PRETEXT PENTRU DESFĂȘURAREA ACTIVITĂȚII SUB FORMĂ DE JOC DIDACTIC

Anexa 2

EXERCIȚIILE SCRISE DE ZMEU PE FIECARE UȘĂ:

Ușa 1: ( 1987 + 5 : 5 – 1986) : 1 + 80 : 10 =

Ușa 2 : 1 + ( 4 x 5 – 3 – 18 : 2) : 2 + 24 : 6 =

Ușa 3: 16 – 8 x ( 2 + 8 : 2) : 6 =

Ușa 4: ( 56 : 8 + 9 x 5 + 33 : 3) : 9 =

Ușa 5 : [12 x 5 + ( 12 – 121 : 11) + 5]: 11 =

Ușa 6: 3 + [( 4 : 2 + 4 x 2) : 5 ] =

Ușa 7: [ 28 + 2 x ( 3 : 3 + 9 : 3)] : 9 =

Ușa 8: [16 + ( 10 + 3 : 3 + 9 : 3)] : 10 =

Ușa 9: 1 + {2 + 3 x [ 5 + 2 x ( 3 + 1)]}: 41 =

Ușa 10: [( 2 x 3 + 45 : 15) : 9 + 1 ] : 2 =

TABELUL FOLOSIT ÎN ACTIVITATEA DE EVALUARE

REALIZÂND CORESPONDENȚA DINTRE LITERELE ȘI NUMERELE SCRISE PE FIECARE UȘĂ, ELEVII VOR DESCOPERI CALIFICATIVUL PRIMIT DE EI.

Anexa 3

PROBLEMELE DATE SPRE REZOLVARE:

Problema 1: Suma a 5 numere consecutive este 95. Să se afle numerele.

Problema 2: Două loturi de pământ au împreună 42 ha. După ce din primul lot se seamănă 18 ha, iar din al doilea 6 ha, suprafețele nesemănate ale celor două loturi sunt egale. Câte hectare are fiecare lot?

Problema 3: Trei elevi au împreună 170 000 lei. Primul are cu 15 000 lei mai mult decât al doilea și cu 5 000 lei mai puțin decât al treilea. Câți lei are fiecare?

Problema 4.Cabana „ Trei ursuleți” este situată la poalele unui munte, iar cabana „Alpinistul” este în vârful acestuia. Distanța dintre cabane este de 12 km. Un grup de excursioniști, pleacă de la cabana „ Trei ursuleți” și urcă muntele cu viteza de 2 km/h. Timp de două ore admiră peisajul de la cabana „Alpinistul”, se odihnesc și iau masa. Coboară cu viteza de 6 km/h. Știind că au plecat de la cabana „ Trei ursuleți” la ora 7:00 , calculează la ce oră s-au înapoiat.

Problema 5: Distanța dintre localitățile A și B este de 720 km. Din localitatea A pornește către localitatea B un camion care are viteza de 40 km/h, iar din B către A un autoturism cu viteza de 50 km/h.

Dacă ambele vehicule pornesc la ora 7 dimineața, să se afle la ce oră se vor întâlni și la ce distanță de localitatea B.

Problema 6: Suma a trei numere este 340. Suma primelor două este mai mare decât suma ultimelor două cu 80, iar al doilea număr este cu 50 mai mare decât al treilea. Să se afle cele trei numere.

Problema 7: Suma dintre un număr și triplul său este 158 000 . Care sunt numerele?

Problema 8: Un lăstun negru zboară cu viteza medie de 110 km/h. În cât timp străbate distanța de 440 km?

Problema 9: distanța dintre două orașe A și B este de 90 km. Un biciclist pleacă din A la ora 8 și sosește în B la ora 11. Află câți km a parcurs biciclistul într-o oră.

Problema 10: Un dreptunghi are perimetrul de 400 cm. Lungimea este cu 50 cm mai mare decât lățimea. Află aria dreptunghiului.

Notă : Fiecare echipă alege doar 3 bilețele conținând enunțul problemelor propuse spre rezolvare , problema rămasă fiind rezolvată la final prin colaborarea între echipe.

Anexa 4

SFATURILE SCRISE DE FĂT – FRUMOS PE FIECARE CHEIE:

(CORESPUNZĂTOARE NUMĂRULUI PROBLEMEI ALESE)

1.Atenție la reprezentarea grafică!

2.Folosește corect parantezele!

3. Folosește metoda grafică!

4. Folosește formula de aflare a timpului când se cunosc viteza și spațiul!

5.În fiecare oră distanța dintre vehicule se micșorează cu suma dintre vitezele lor !

6.Atenție la reprezentarea primului număr în raport cu al treilea!

7.Folosește împărțirea la 4!

8.Aplică formula potrivită!

9.Atenție la timp!

10.Aplică metoda grafică, apoi formula potrivită!

ANEXA NR.2: PROIECT DE ACTIVITATE DIDACTICĂ

PROIECT DIDACTIC

Unitatea de învățământ: Școala Gimnazială Nr. 2 Luncasprie

DATA:

INSTITUTOR: Luca Nicoleta

CLASA: a IV-a

ARIA CURRICULARĂ: MATEMATICĂ ȘI ȘTIINȚE ALE NATURII

DISCIPLINA: MATEMATICĂ

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE: FRACȚII

SUBIECTUL LECȚIEI: Exerciții și probleme cu fractii

TIPUL LECȚIEI :- de consolidare a cunoștințelor și deprinderilor

OBIECTIV CADRU:

O.C.2-dezvoltarea capacităților de explorare/investigare și rezolvare de probleme

OBIECTIVE DE REFERINȚĂ:

– 1.3 Să utilizeze numere fracționare pentru a exprima subdiviziuni ale întregului

– 1.4 Să efectueze operații de adunare și scădere cu numere fracționare.

SCOPUL LECȚIEI: -consolidarea cunoștințelor despre fracții și a deprinderilor de a efectua operații cu fracții

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

O1-să rezolve cel puțin două dintre sarcinile referitoare la fracții, folosindu-se de cunoștințele asimilate la clasă;

O2-să să identifice tipul a cel puțin două fracții, folosind lista dată;

O3-să afle cel puțin o fracție dintr-un număr, folosindu-se de cunoștințele asimilate la clasă;

O4-să compare cel puțin două fracții, folosind lista dată;

O5-să rezolve cel puțin două operații cu fracții, folosindu-se de cunoștințele asimilate la clasă.

STRATEGIA DIDACTICĂ:

a)METODE ȘI PROCEDEE: -explicația,exercițiul, conversația, ciorchinele, Știu/ Vreau să știu/ Am aflat, metoda cadranelor, jocul didactic.

b) MIJLOACE DE ÎNVĂȚĂMÂNT:manualul, caiete de lucru în clasă, planșă didactică, jetoane, fișe de lucru.

c) FORME DE ORGANIZARE A ACTIVITĂȚII: -frontală, pe grupe, în perechi, independentă.

RESURSE: UMANE: 13 elevi; TEMPORALE: 50 de minute .

LOCUL DE DESFĂȘURARE: sala de clasă

FORME ȘI STRATEGII DE EVALUARE:continuă,orală,scrisă,observare sistematică.

BIBLIOGRAFIE :

1. Gherman, Angelica -,,Culegere de exerciții și probleme de matematică pentru clasele I-IV”, Editura Elis, București, 2005;

2.Mariana Mogoș -,,MATEMATICA-COMPETENȚE ȘI PERFORMANȚĂ”,Editura Paralela 45,2010

3. Neacșu, I. -,,Metodica predării matematicii la clasele I-IV”, Editura Didactică și Pedagogică”, București, 1988;

4. Oprea, Crenguța-Lăcrămioara -,,Strategii didactice interactive”, Editura Didactică și Pedagogică”, București, 2006;

5.Programa școlară pentru clasa a IV-a,București,2005;

6. www.didactic.ro.

ANEXA 1:

FRACȚII

ANEXA 2:

ANEXA 3:

Într-o livadă s-au plantat 252 de meri și peri. Perii reprezintă 1 din numărul total al pomilor fructiferi. 4

Câți meri și câți peri s-au plantat ?

Rezolvă problema cu ajutorul graficului și al întrebărilor.

Graficul ,vă rog!

1.Câți peri sunt ?

2.Câți meri sunt ?

Răspuns:_______________________________

ANEXA 4:

Numele și prenumele:………………………………………………….

FIȘĂ DE EVALUARE

1. Scrie ce fracție din desen reprezintă suprafața colorată în fiecare caz:

___ ___ ___

2. Află:

a) 3 din = b) 5 din = c) 4 din =

4 8 5

3.Într-o cutie sunt 24 de bile roșii și verzi. Dacă 3 din numărul total de bile sunt roșii,află câte bile sunt verzi. 4

Bibliografie generală și de specialitate

Aron, I., (1967), „Metodica predării aritmeticii la clasele I – IV”, E.D.P., București

Bejat, M., (1971), „Talent, inteligență, creativitate”, Editura Științifică, București

Berar, I., (1991), „Atitudinea matematicii la școlari”, Editura Academiei române

Călugărița, A., (1997), „Exerciții și probleme de matematică pentru clasele I- IV”, Editura Universul Pan, București

„Creativitatea în învățământ –auxiliare curriculare, mijloace de învățământ”, Editura Terra, Focșani, 2004

Fryer, M., „Predarea și învățarea creativă”, Chișinău, Editura Uniunii Scriitorilor, 1996

Ionescu, M., (1972), „Clasic și modern în desfășurarea lecțiilor”, Editura Dacia, Cluj

Lăndău, E.,(1979), „Psihologia creativității”, E.D.P, București

Manolache A., Mușter D., Nica I., Văideanu G., (1979), „Dicționar de pedagogie”, E.D.P., București

Neveanu- Popescu, P., (1978), „Dicționar de psihologie”, Editura Albatros,București

Piaget, J., Inhelder, B., „L’image mentale chez l’enfant”, P.U.F, Paris, în Bejat, M., „Talent, inteligență, creativitate”

Roșca, Al., (1981), „Creativitate generală și specifică”, Editura Academiei, București

Sălăvăstru , D.( 2004), „Psihologia educației,” , Editura Polirom, Iași

Stoica, A., (1983), „Creativitatea elevilor”, E.D.P., București

Tomșa, G., „Dimensiunile creativității. Cultivarea ceativității la școlari în procesul de învățământ”, în „Revista de Pedagogie”, nr.7-8, 1992

Torrance, E. P., „Explorations in creative thinking in the early school years: a progress report ( Exploatarea gândirii creative în primii ani de școală: înregistrarea progreselor realizate)”, în Lăndău, E., „Psihologia creativității”

www.didactic.ro

www.wikipedia.org

http://www.contabilizat.ro/file/cursuri_de_perfectionare/economie_generala/Psihologie%20scolara/cap6.pdf

http://www.didactic.ro/lectii-invatamant-primar-19-proiect-de-activitate-didactica-matematica–p48790-t0

http://bibliotecascolara.ro/Muntean_Adelia_Maria/Valente_formative_ale_activitatii-Muntean_Adelia_Maria.pdf

http://www.scritub.com/stiinta/matematica/CREATIVITATEA-MATEMATIC-REZOLV113514248.php

http://probleme-rezolvate.blogspot.ro/search?updated-max=2013-11-18T12:01:00+02:00&max-results=15

http://probleme-rezolvate.blogspot.ro/2013/05/metode-de-rezolvare-problemelor-de.html

http://stepbystep56craiova.wikispaces.com/file/view/Lucrare+de+matematica.doc

Bibliografie generală și de specialitate

Aron, I., (1967), „Metodica predării aritmeticii la clasele I – IV”, E.D.P., București

Bejat, M., (1971), „Talent, inteligență, creativitate”, Editura Științifică, București

Berar, I., (1991), „Atitudinea matematicii la școlari”, Editura Academiei române

Călugărița, A., (1997), „Exerciții și probleme de matematică pentru clasele I- IV”, Editura Universul Pan, București

„Creativitatea în învățământ –auxiliare curriculare, mijloace de învățământ”, Editura Terra, Focșani, 2004

Fryer, M., „Predarea și învățarea creativă”, Chișinău, Editura Uniunii Scriitorilor, 1996

Ionescu, M., (1972), „Clasic și modern în desfășurarea lecțiilor”, Editura Dacia, Cluj

Lăndău, E.,(1979), „Psihologia creativității”, E.D.P, București

Manolache A., Mușter D., Nica I., Văideanu G., (1979), „Dicționar de pedagogie”, E.D.P., București

Neveanu- Popescu, P., (1978), „Dicționar de psihologie”, Editura Albatros,București

Piaget, J., Inhelder, B., „L’image mentale chez l’enfant”, P.U.F, Paris, în Bejat, M., „Talent, inteligență, creativitate”

Roșca, Al., (1981), „Creativitate generală și specifică”, Editura Academiei, București

Sălăvăstru , D.( 2004), „Psihologia educației,” , Editura Polirom, Iași

Stoica, A., (1983), „Creativitatea elevilor”, E.D.P., București

Tomșa, G., „Dimensiunile creativității. Cultivarea ceativității la școlari în procesul de învățământ”, în „Revista de Pedagogie”, nr.7-8, 1992

Torrance, E. P., „Explorations in creative thinking in the early school years: a progress report ( Exploatarea gândirii creative în primii ani de școală: înregistrarea progreselor realizate)”, în Lăndău, E., „Psihologia creativității”

www.didactic.ro

www.wikipedia.org

http://www.contabilizat.ro/file/cursuri_de_perfectionare/economie_generala/Psihologie%20scolara/cap6.pdf

http://www.didactic.ro/lectii-invatamant-primar-19-proiect-de-activitate-didactica-matematica–p48790-t0

http://bibliotecascolara.ro/Muntean_Adelia_Maria/Valente_formative_ale_activitatii-Muntean_Adelia_Maria.pdf

http://www.scritub.com/stiinta/matematica/CREATIVITATEA-MATEMATIC-REZOLV113514248.php

http://probleme-rezolvate.blogspot.ro/search?updated-max=2013-11-18T12:01:00+02:00&max-results=15

http://probleme-rezolvate.blogspot.ro/2013/05/metode-de-rezolvare-problemelor-de.html

http://stepbystep56craiova.wikispaces.com/file/view/Lucrare+de+matematica.doc

Anexe

ANEXA NR 1: PROIECT DE ACTIVITATE DIDACTICĂ

Clasa: a IV-a

Arie curriculară: „Matematică și științe”

Disciplina: Matematică

Tema: „ Probleme diverse”

Tipul lecției:Verificare și sistematizare a cunoștințelor

Obiectiv general: Consolidarea deprinderii de rezolvare a problemelor aplicând metodele învățate; Educarea atenției și dezvoltarea operațiilor gândirii ( analiză, sinteză, comparație, algoritmizare)

Obiective operaționale:

O1: să exprime pe baza unui plan simplu, oral sau în scris demersul parcurs în rezolvarea unei probleme;

O2: să utilizeze corect algoritmii de calcul pentru expresiile numerice conținând cele patru operații și paranteze;

O3: Să găsească rapid „cheia” rezolvării unor probleme;

O4: să manifeste interes pentru analiza și rezolvarea unor probleme practice prin metode aritmetice;

O5. să depășească blocaje în rezolvarea de probleme încercând noi căi de rezolvare.

Strategie didactică:

metode și procedee: exercițiul, explicația, observația, jocul didactic, problematizarea;

forme de organizare a activității:frontal, pe echipe, individual;

material didactic: fișe de muncă independentă și pe echipe, planșe;

material bibliografic:

Anexa 1

PLANȘA PRETEXT PENTRU DESFĂȘURAREA ACTIVITĂȚII SUB FORMĂ DE JOC DIDACTIC

Anexa 2

EXERCIȚIILE SCRISE DE ZMEU PE FIECARE UȘĂ:

Ușa 1: ( 1987 + 5 : 5 – 1986) : 1 + 80 : 10 =

Ușa 2 : 1 + ( 4 x 5 – 3 – 18 : 2) : 2 + 24 : 6 =

Ușa 3: 16 – 8 x ( 2 + 8 : 2) : 6 =

Ușa 4: ( 56 : 8 + 9 x 5 + 33 : 3) : 9 =

Ușa 5 : [12 x 5 + ( 12 – 121 : 11) + 5]: 11 =

Ușa 6: 3 + [( 4 : 2 + 4 x 2) : 5 ] =

Ușa 7: [ 28 + 2 x ( 3 : 3 + 9 : 3)] : 9 =

Ușa 8: [16 + ( 10 + 3 : 3 + 9 : 3)] : 10 =

Ușa 9: 1 + {2 + 3 x [ 5 + 2 x ( 3 + 1)]}: 41 =

Ușa 10: [( 2 x 3 + 45 : 15) : 9 + 1 ] : 2 =

TABELUL FOLOSIT ÎN ACTIVITATEA DE EVALUARE

REALIZÂND CORESPONDENȚA DINTRE LITERELE ȘI NUMERELE SCRISE PE FIECARE UȘĂ, ELEVII VOR DESCOPERI CALIFICATIVUL PRIMIT DE EI.

Anexa 3

PROBLEMELE DATE SPRE REZOLVARE:

Problema 1: Suma a 5 numere consecutive este 95. Să se afle numerele.

Problema 2: Două loturi de pământ au împreună 42 ha. După ce din primul lot se seamănă 18 ha, iar din al doilea 6 ha, suprafețele nesemănate ale celor două loturi sunt egale. Câte hectare are fiecare lot?

Problema 3: Trei elevi au împreună 170 000 lei. Primul are cu 15 000 lei mai mult decât al doilea și cu 5 000 lei mai puțin decât al treilea. Câți lei are fiecare?

Problema 4.Cabana „ Trei ursuleți” este situată la poalele unui munte, iar cabana „Alpinistul” este în vârful acestuia. Distanța dintre cabane este de 12 km. Un grup de excursioniști, pleacă de la cabana „ Trei ursuleți” și urcă muntele cu viteza de 2 km/h. Timp de două ore admiră peisajul de la cabana „Alpinistul”, se odihnesc și iau masa. Coboară cu viteza de 6 km/h. Știind că au plecat de la cabana „ Trei ursuleți” la ora 7:00 , calculează la ce oră s-au înapoiat.

Problema 5: Distanța dintre localitățile A și B este de 720 km. Din localitatea A pornește către localitatea B un camion care are viteza de 40 km/h, iar din B către A un autoturism cu viteza de 50 km/h.

Dacă ambele vehicule pornesc la ora 7 dimineața, să se afle la ce oră se vor întâlni și la ce distanță de localitatea B.

Problema 6: Suma a trei numere este 340. Suma primelor două este mai mare decât suma ultimelor două cu 80, iar al doilea număr este cu 50 mai mare decât al treilea. Să se afle cele trei numere.

Problema 7: Suma dintre un număr și triplul său este 158 000 . Care sunt numerele?

Problema 8: Un lăstun negru zboară cu viteza medie de 110 km/h. În cât timp străbate distanța de 440 km?

Problema 9: distanța dintre două orașe A și B este de 90 km. Un biciclist pleacă din A la ora 8 și sosește în B la ora 11. Află câți km a parcurs biciclistul într-o oră.

Problema 10: Un dreptunghi are perimetrul de 400 cm. Lungimea este cu 50 cm mai mare decât lățimea. Află aria dreptunghiului.

Notă : Fiecare echipă alege doar 3 bilețele conținând enunțul problemelor propuse spre rezolvare , problema rămasă fiind rezolvată la final prin colaborarea între echipe.

Anexa 4

SFATURILE SCRISE DE FĂT – FRUMOS PE FIECARE CHEIE:

(CORESPUNZĂTOARE NUMĂRULUI PROBLEMEI ALESE)

1.Atenție la reprezentarea grafică!

2.Folosește corect parantezele!

3. Folosește metoda grafică!

4. Folosește formula de aflare a timpului când se cunosc viteza și spațiul!

5.În fiecare oră distanța dintre vehicule se micșorează cu suma dintre vitezele lor !

6.Atenție la reprezentarea primului număr în raport cu al treilea!

7.Folosește împărțirea la 4!

8.Aplică formula potrivită!

9.Atenție la timp!

10.Aplică metoda grafică, apoi formula potrivită!

ANEXA NR.2: PROIECT DE ACTIVITATE DIDACTICĂ

PROIECT DIDACTIC

Unitatea de învățământ: Școala Gimnazială Nr. 2 Luncasprie

DATA:

INSTITUTOR: Luca Nicoleta

CLASA: a IV-a

ARIA CURRICULARĂ: MATEMATICĂ ȘI ȘTIINȚE ALE NATURII

DISCIPLINA: MATEMATICĂ

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE: FRACȚII

SUBIECTUL LECȚIEI: Exerciții și probleme cu fractii

TIPUL LECȚIEI :- de consolidare a cunoștințelor și deprinderilor

OBIECTIV CADRU:

O.C.2-dezvoltarea capacităților de explorare/investigare și rezolvare de probleme

OBIECTIVE DE REFERINȚĂ:

– 1.3 Să utilizeze numere fracționare pentru a exprima subdiviziuni ale întregului

– 1.4 Să efectueze operații de adunare și scădere cu numere fracționare.

SCOPUL LECȚIEI: -consolidarea cunoștințelor despre fracții și a deprinderilor de a efectua operații cu fracții

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

O1-să rezolve cel puțin două dintre sarcinile referitoare la fracții, folosindu-se de cunoștințele asimilate la clasă;

O2-să să identifice tipul a cel puțin două fracții, folosind lista dată;

O3-să afle cel puțin o fracție dintr-un număr, folosindu-se de cunoștințele asimilate la clasă;

O4-să compare cel puțin două fracții, folosind lista dată;

O5-să rezolve cel puțin două operații cu fracții, folosindu-se de cunoștințele asimilate la clasă.

STRATEGIA DIDACTICĂ:

a)METODE ȘI PROCEDEE: -explicația,exercițiul, conversația, ciorchinele, Știu/ Vreau să știu/ Am aflat, metoda cadranelor, jocul didactic.

b) MIJLOACE DE ÎNVĂȚĂMÂNT:manualul, caiete de lucru în clasă, planșă didactică, jetoane, fișe de lucru.

c) FORME DE ORGANIZARE A ACTIVITĂȚII: -frontală, pe grupe, în perechi, independentă.

RESURSE: UMANE: 13 elevi; TEMPORALE: 50 de minute .

LOCUL DE DESFĂȘURARE: sala de clasă

FORME ȘI STRATEGII DE EVALUARE:continuă,orală,scrisă,observare sistematică.

BIBLIOGRAFIE :

1. Gherman, Angelica -,,Culegere de exerciții și probleme de matematică pentru clasele I-IV”, Editura Elis, București, 2005;

2.Mariana Mogoș -,,MATEMATICA-COMPETENȚE ȘI PERFORMANȚĂ”,Editura Paralela 45,2010

3. Neacșu, I. -,,Metodica predării matematicii la clasele I-IV”, Editura Didactică și Pedagogică”, București, 1988;

4. Oprea, Crenguța-Lăcrămioara -,,Strategii didactice interactive”, Editura Didactică și Pedagogică”, București, 2006;

5.Programa școlară pentru clasa a IV-a,București,2005;

6. www.didactic.ro.

ANEXA 1:

FRACȚII

ANEXA 2:

ANEXA 3:

Într-o livadă s-au plantat 252 de meri și peri. Perii reprezintă 1 din numărul total al pomilor fructiferi. 4

Câți meri și câți peri s-au plantat ?

Rezolvă problema cu ajutorul graficului și al întrebărilor.

Graficul ,vă rog!

1.Câți peri sunt ?

2.Câți meri sunt ?

Răspuns:_______________________________

ANEXA 4:

Numele și prenumele:………………………………………………….

FIȘĂ DE EVALUARE

1. Scrie ce fracție din desen reprezintă suprafața colorată în fiecare caz:

___ ___ ___

2. Află:

a) 3 din = b) 5 din = c) 4 din =

4 8 5

3.Într-o cutie sunt 24 de bile roșii și verzi. Dacă 3 din numărul total de bile sunt roșii,află câte bile sunt verzi. 4