Abordari Metodice Privind Aplicarea Complexa a Tehnologiilor Computationale In Procesul de Predare Invatare
CUPRINSUL
ADNOTARE
AННОТАЦИЯ
ANNOTATION
LISTA ABREVIERILOR
INTRODUCERE
1. CONCEPTE ȘI TENDINȚE ACTUALE LA APLICAREA TEHNOLOGIILOR COMPUTAȚIONALE ÎN PROCESUL DE PREDARE-ÎNVĂȚARE ÎN CURSUL LICEAL DE INFORMATICĂ
1.1. Paradigme noi în procesul de predare-învățare al cursului liceal de informatică
1.2. Aplicarea tehnologiilor informaționale în studiul informaticii din alte țări. Studiu comparativ
1.3. Regândirea tehnologiilor didactice în predarea cursului de informatică
1.4. Concluzii la capitolul 1
2. REPERE TEORETICO-METODOLOGICE DE UTILIZARE A TEHNOLOGIILOR COMPUTAȚIONALE
2.1. Analiza comparativă de utilizare a softurilor matmatice în procesul de predare-învățare
2.2. Elaborarea modelului didactic de predare-învățare a compartimentului modelare și
metode de calcul
2.3. Metodologia utilizării modelului elaborat
2.3.1. Aspecte metodologice privind predarea-învățarea sistemului software matematic MAPLE
2.3.2. Metode și mijloace privind expunerea procesului de modelare
2.3.3. Abordări didactice în predarea-învățarea unităților de învățare din cursul liceal de metode numerice
2.4. Concluzii la capitolul 2
3. ARGUMENTAREA EXPERIMENTALĂ A EFICIENȚEI MODELULUI DIDACTIC ȘI A METODOLOGIEI ELABORATE
3.1. Descrierea și desfășurarea experimentului pedagogic
3.2. Prelucrarea inițială a datelor experimentale
3.3. Analiza statistică a rezultatelor experimentale
3.4. Concluzii la capitolul 3
CONCLUZII GENERALE ȘI RECOMANDĂRI
BIBLIOGRAFIE
ANEXE
Anexa 1. Rezultatele elevilor obținute la testare
Anexa 2. Indicii variabilității
Anexa 3. Variante de teste de evaluare
Anexa 4. Fragment din suportul didactic pentru compartimentul „Modelare și metode de calcul”
Anexa 5. Chestionar
DECLARAȚIA PRIVIND ASUMAREA RĂSPUNDERII
CURRICULUM VITAE
ADNOTARE
Mihălache Lilia
Abordări metodice privind aplicarea complexă a tehnologiilor computaționale în procesul de predare-învățare a compartimentului „Modelare și metode de calcul” în cursul liceal de informatică
Teză de doctor în pedagogie, Chișinău 2013
Structura tezei: introducere, trei capitole, concluzii, bibliografie din 194 titluri, 5 anexe, 131 pagini text de bază, 33 figuri, 20 tabele. Rezultatele obținute sunt publicate în 19 lucrări științifice.
Cuvinte cheie: tehnologia informației și comunicațiilor, sistem software matematic, model matematic, metode de calcul, metode de soluționare.
Domeniul de studiu: Pedagogie. Teoria și metodologia instruirii (Informatica).
Scopul cercetării: fundamentarea teoretică și elaborarea unui model de predare-învățare a compartimentului „Modelare și metode de calcul” din cursul liceal de informatică.
Obiectivele cercetării: (1) analiza posibilităților noilor tehnologii informaționale și didactice, sistemelor software matematice privind argumentarea necesității implementării lor în procesul de studiere al cursului liceal de informatică; (2) elaborarea modelului didactic de predare-învățare a compartimentului „Modelare și metode de calcul” prin aplicarea complexă a tehnologiilor computaționale; (3) fundamentarea bazelor metodologice de implementare a modelului didactic elaborat în cursul liceal de informatică; (4) validarea experimentală a modelului didactic elaborat și demonstrarea eficienței acestuia în procesul de predare-învățare la compartimentul cercetat; (5) analiza, argumentarea, sistematizarea rezultatelor cercetării și formularea concluziilor și recomandărilor practice
Problema științifică importantă soluționată: a fost elaborat un model didactic de predare-învățare a disciplinei „Modelare și metode de calcul” din cursul liceal de informatică prin intermediul SSM.
Importanța teoretică rezidă în: (1) fundamentarea teoretică a modelului didactic privind predare-învățare a compartimentului „Modelare și metode de calcul” din cursul liceal de informatică; (2) elaborarea metodologiei de aplicare a modelului elaborat în studiu.
Valoarea aplicativă a lucrării: aprobarea și implementarea modelului didactic de instruire, elaborat de autor, bazat pe SSM MAPLE în procesul de predare-învățare a compartimentului „Modelare și metode de calcul”.
Implementarea rezultatelor științifice a fost realizată prin aplicarea tehnologiilor computaționale la lecțiile de informatică profil real, compartimentul „Modelare și metode de calcul” în Liceul Teoretic „Ion Creangă”, municipiul Chișinău.
AННОТАЦИЯ
Mихэлаке Лилия
Методические подходы для применения компьютерных технологий при обучении главы „Моделирование и вычислительнные методы” из школьного курса информатики.
Диссертация на соискание ученой степени доктора педагогических наук, Кишинэу, 2013
Структура диссертации: введение, три главы, выводы, библиография состоящая из 194 наименований, 5 приложения, 131 страниц основного текста, 33 фигуры, 20 таблиц. Полученные данные опубликованы в 19 научных работ.
Ключевые слова: информационные и коммуникационные технологии, системы компьютерной математике (СКМ), численные методы, методы решения.
Область исследования: Педагогика. Теория и методология обучения (информатика).
Цель исследование: Теоретические основы и составление модели обучения главы „Моделирование и вычислительнные методы” из лицейского курса по информатике.
Задачи исследования: (1) анализ новых информационных и дидактических технологий и аргументация необходимости внедрения их в образовательный процесс при изучении информатики в лицеях; (2) составление и внедрение модели и методология утилизации в процессе обучения главы „Моделирование и численные методы”; (3)обоснование методологических основ для осуществления обучения разработанной модели при изучении информатики в лицеях; (4) экспериментальная проверка составленной дидактической модели и доказательство эффективности процесса обучения по исследованной главе; (5) анализ, рассуждения, результаты систематических исследований, выводы и практические рекомендации.
Новизна и оригинальность научного исследования работы: было создана модель обучения главы „Моделирование и вычислительнные методы”.
Теоретическая значимость исследования: (1) Разработка этой методологии является основоновополагающей для обучения главы „Моделирование и вычислительнные методы”; из лицейского курса по информатике. (2) Разработка методологии и применение разработоной модели для изучения практического значения.
Практичесаяе значимость работы: утверждение и внедрение дидактической модели обучения разработоная автором, основанная на SSM MAPLE в процессе обучения отдела „Моделирование и вычислительнные методы”.
Внедрение научных результатов была достигнута при использовании компьютерных технологий на уроках информатики в классах реального профиля при изучении главы „Моделирование и вычислительнные методы” в теоретическом лицее „Иoн Крянгэ” муниципия Кишинэу.
ANNOTATION
Mihalache Lilia
Methodological approaches for applying complex computerized technologies in teaching and learning of the compartment: „Modeling and computational methods” for high-schools computer science” module.
PhD thesis in pedagogy, Chisinau, 2013.
Structure of the thesis: introduction, three chapters, conclusion, bibliography containing 194 titles, 5 annexes, 131 pages of text, 33 figures, 20 tables. The obtained results are published in 19 scientific papers.
Keywords: Information and Communications Technologies, mathematical software system (MSS), mathematical model, calculation methods, methods of solving.
Field of study: Pedagogy. Theory and Methodology of Instruction. (Computer Science).
Research purpose: The elaboration of a theoretical model for teaching-learning of the compartment „Modeling and computational methods” for high-schools computer science.
Research objectives: (1) analysing possibilities of the new teaching and informational technologies, mathematical software systems, regarding their rationale use, for the study of computer science course in national high schools; (2) developing new teaching methodologies for teaching-learning section of the "Modeling and computational methods" by applying the advanced computerised technologies; (3) substantiation of the methodological bases for the implementation of the teaching model developed during studying process of computer science in high schools; (4 experimental validation of the developed teaching model, and proving the effectiveness of the teaching-learning process under the investigated topic; (5) experimental validation of the developed teaching model, and proving the effectiveness of the teaching-learning process under the investigated topic.
Important scientific issue resolved: it was elaborated a model of teaching-learning of the compartment „Modeling and computational methods” for High Schools “Computer Science” course through MSS.
The theoretical significance consists in: (1) elaboration of the methodological substantiation of a didactic model concerning the teaching and learning of the compartment „ Modeling and computational methods” for high-schools Computer Science module; (2) developing the methodology for applying the model developed in this study.
The practical importance of the work: approval and implementation of the teacher training model, developed by the author, based on MSS in the teaching-learning process of the compartment „Modeling and computational methods”.
Implementation of the scientific results was accomplished through the application of computerized technologies in the real time profile, for the duration of Computer Science module, studying the particular compartment of „ Modeling and computational methods” in „Ion Creanga” school, Chisinau city, Republic of Moldova.
LISTA ABREVIERILOR
TIC – tehnologia informației și comunicațiilor
UNESCO – Organizația Națiunilor Unite pentru Educație, Știință și Cultură (United Nations Educational, Scientific and Cultural Organization)
SSM – sistem software matematic
ȘTS – știință, tehnică, societate
DICSIM – Dezvoltarea școlilor TIC capabile în Moldova
AEL – Advanced eLearning
UTM – Universitatea Tehnică a Moldovei
USM – Universitatea de Stat din Moldova
UST – Universitatea de Stat din Tiraspol
GPP – Gândește în pereche și prezintă
SINELG – Sistemul Interactiv de Notare pentru Eficientizarea Lecturii și Gândirii
KWL – Știu, Vreau să știu, Am învățat (KWL – Know, Want to know, Learn)
INTRODUCERE
Actualitatea și importanța problemei abordate
Implementarea noilor tehnologii informaționale și de comunicații (TIC) în educație capătă coerența și profunzimea unei paradigme care, considerăm noi, devine caracteristică pentru tinerele generații, ce sunt obligate prin definiție să însușească și să aplice eficient produsele noilor „izbucniri tehnologice”, la soluționarea problemelor cotidiene specifice unei societăți postindustrializate.
O societate postindustrializată este, în primul rând, și o societate informațională care presupune existența și funcționarea unui sistem educațional eficient și durabil ce creează premize optime și oferă șanse reale tinerelor generații să-și realizeze potențialul creator și să-și cultive cunoștințele și abilitățile necesare pentru a face față problemelor socio-economice stringente cu care se confruntă țara noastră în procesul de integrare europeană.
Aderarea Republicii Moldova la procesul de la Bologna a scos în evidență o serie de probleme ce țin de implementarea noilor tehnologii informaționale în învățământul universitar și preuniversitar din țara noastră. O problemă majoră se referă la utilizarea eficientă a tehnologiilor computaționale (sistemelor software matematice) în procesul de predare-învățare a informaticii din treapta liceală, în general, cât și a compartimentului „Elemente de modelare și calcul numeric”, în particular. Acest fapt a determinat tema cercetării: Abordări metodice privind aplicarea complexă a tehnologiilor computaționale în procesul de predare-învățare a compartimentului „Modelare și metode de calcul” în cursul liceal de informatică.
Astfat din Tiraspol
GPP – Gândește în pereche și prezintă
SINELG – Sistemul Interactiv de Notare pentru Eficientizarea Lecturii și Gândirii
KWL – Știu, Vreau să știu, Am învățat (KWL – Know, Want to know, Learn)
INTRODUCERE
Actualitatea și importanța problemei abordate
Implementarea noilor tehnologii informaționale și de comunicații (TIC) în educație capătă coerența și profunzimea unei paradigme care, considerăm noi, devine caracteristică pentru tinerele generații, ce sunt obligate prin definiție să însușească și să aplice eficient produsele noilor „izbucniri tehnologice”, la soluționarea problemelor cotidiene specifice unei societăți postindustrializate.
O societate postindustrializată este, în primul rând, și o societate informațională care presupune existența și funcționarea unui sistem educațional eficient și durabil ce creează premize optime și oferă șanse reale tinerelor generații să-și realizeze potențialul creator și să-și cultive cunoștințele și abilitățile necesare pentru a face față problemelor socio-economice stringente cu care se confruntă țara noastră în procesul de integrare europeană.
Aderarea Republicii Moldova la procesul de la Bologna a scos în evidență o serie de probleme ce țin de implementarea noilor tehnologii informaționale în învățământul universitar și preuniversitar din țara noastră. O problemă majoră se referă la utilizarea eficientă a tehnologiilor computaționale (sistemelor software matematice) în procesul de predare-învățare a informaticii din treapta liceală, în general, cât și a compartimentului „Elemente de modelare și calcul numeric”, în particular. Acest fapt a determinat tema cercetării: Abordări metodice privind aplicarea complexă a tehnologiilor computaționale în procesul de predare-învățare a compartimentului „Modelare și metode de calcul” în cursul liceal de informatică.
Astfel, actualitatea temei de cercetare este determinată de: (a) transformările socio-economice în societatea contemporană; (b) dezvoltarea ultra-rapidă a tehnologiilor computaționale în plan mondial; (c) necesitatea implementării eficiente și pe scară largă a tehnologiilor informației și comunicației (TIC) în procesul de predare-învățare a diverselor discipline în învățământul universitar și preuniversitar; (d) necesitatea elaborării noilor metodologii și strategii didactice privind utilizarea tehnologiilor computaționale în procesul de predare-învățare a cursului liceal de informatică.
Gradul de cercetare
Nivelul de dezvoltare socio-economic al Republicii Moldova are conexiune directă cu sistemul de educație care stabilește criteriile privind performanțele academice și „impune” un anumit nivel de pregătire profesională a viitorilor specialiști ce vor fi implicați, ulterior, în economia națională. Dar calitatea învățământului superior, din țara noastră, depinde direct de calitatea și eficiența învățământului preuniversitar. Din aceste considerente curriculumurile care țin de învățământul preuniversitar trebuie în permanență să se actualizeze și să se axeze pe cele mai noi realizări din știință, tehnică și tehnologii informaționale. Țările care dispun de strategii clare de dezvoltare socio-economică, cât și de creșterea continuă a educației, precum Germania, SUA, Japonia, Marea Britanie, Franța, etc., dispun de un enorm potențial științific, didactic și tehnologic de cercetare privind implementarea TIC în procesul de predare-învățare în învățământul preuniversitar și universitar. La fel sunt interesante și cercetările efectuate atât de savanții din regiune cât și din țara noastră. În contextul respectiv putem menționa diverse abordări: abordarea privind utilizarea noilor tehnologii informaționale în procesul de studii este reflectată în lucrările cercetătorilor Van J.J. Cuilenburg, O. Scholten, G.W. Noomen, A. Gremalschi, V.M. Monahov, V.V. Rubțov, N.V. Robert, T. Fulea, ș.a; problema privind dezvoltarea învățământului la distanță este abordată de către C. Apostol, A. Braicov, S. Corlat ș.a; abordarea privind constituirea și instruirea în clase virtuale aparține G. Michael Moore, C. Masalagiu ș.a; specificul de utilizare a softurilor matematice în procesul de studiu al matematicii a fost cercetată de către I. Lupu, Lica Dionis, V.P. Djakonov, A.V. Matrosov, M.N. Kirsanov, V.Z. Aladyev, D.P. Goloskokov, O.A. Sdvijkov, A.N. Vasilyev M. Ivan, L. Zastînceanu, V. Osipov, O.M. Nica, ș.a; utilizarea calculatorului în procesul de studii este o problemă care a atras atenția pedagogilor, metodicienilor și psihologilor: A. Gremalschii, B.C. Gherșunskii, A.P. Erșov, M.P. Lapcik, I. Camerzan, ș.a; studierea problemei modelării și calculului numeric este una actuală și analizată de B.V. Biriukov, A.D. Mîșkin, M.P. Lapcik, A.P. Mihailov, V. Cabac, L. Chiriac, S. Corlat, , A.G. Sevostyanov, R.M. Buneci, ș.a.
În urma examinării studiilor efectuate putem menționa că există mai multe sisteme software matematice care ar putea fi utilizate în procesul de predare-învățare din învățământul preuniversitar: MATHEMATICA, MATLAB, MATHCAD, DERIVE, REDUCE, MAPLE, etc. Este necesar de menționat faptul că unul dintre cele mai populare softuri este MAPLE (www.maplesoft.com) și se utilizează cu succes, în prezent, în sistemele educaționale din mai multe țări.
Însă, în același timp, putem constata faptul că există o serie de probleme care frânează procesul de implementare a sistemelor software matematice în procesul de predare-învățare a informaticii, treapta liceală, inclusiv la compartimentul Modelare și metode de calcul:
Cunoașterea insuficientă de către profesorii de informatică din liceu a sistemelor software matematice;
Familiarizarea insuficientă a elevilor din liceu cu performanțele sistemelor software matematice;
Lipsa unor abordări metodologice ample care ar contribui la utilizarea TIC în învățământul preuniversitar;
Lipsa unor manuale de informatică care ar trata compartimentul „Elemente de modelare și calcul numeric” prin prisma implementării sistemelor software matematice moderne.
În contextul celor menționate a fost formulată problema cercetării: fundamentarea teoretico-metodologică a procesului de predare-învățare al compartimentului „Modelare și metode de calcul” din cursul liceal de informatică și elaborarea metodologiei privind aplicarea tehnologiilor computaționale în studierea disciplinei respective prin intermediul SSM.
Obiectul cercetării îl reprezintă implementarea TIC, în mod special, sistemele software matematice în procesul de predare-învățare a compartimentului „Modelare și metode de calcul”.
Scopul cercetării: fundamentarea teoretică și elaborarea unui model de predare-învățare a compartimentului „Modelare și metode de calcul” din cursul liceal de informatică prin intermediul SSM.
Obiectivele cercetării:
Analiza posibilităților noilor tehnologii informaționale și didactice, sistemelor software matematice privind argumentarea necesității implementării lor în procesul de studiere al cursului liceal de informatică.
Elaborarea modelului didactic de predare-învățare a compartimentului „Modelare și metode de calcul” prin aplicarea complexă a tehnologiilor computaționale.
Fundamentarea bazelor metodologice de implementare a modelului didactic elaborat în cursul liceal de informatică.
Validarea experimentală a modelului didactic elaborat și demonstrarea eficienței acestuia în procesul de predare-învățare la compartimentul cercetat.
Analiza, argumentarea, sistematizarea rezultatelor cercetării și formularea concluziilor și recomandărilor practice.
Realizarea obiectivelor de cercetare a antrenat:
Metode teoretice: documentarea științifică, descrierea, analiza, comparația, sinteza, generalizarea.
Metode experimentale: proiectarea, observația, experimentul psihopedagogic, convorbirea, lucrul individual, chestionarul de opinie.
Metode de analiză: prelucrarea statistică a datelor obținute în urma efectuării experimentului, analiza cantitativă și calitativă a rezultatelor.
Problema științifică importantă soluționată: a fost elaborat un model didactic de predare-învățare al compartimentului „Modelare și metode de calcul” din cursul liceal de informatică prin utilizarea eficientă a SSM.
Importanța teoretică a lucrării rezidă în:
Fundamentarea elaborării metodologice a unui model didactic privind predare-învățare a compartimentului „Modelare și metode de calcul” din cursul liceal de informatică.
Elaborarea metodologiei de aplicare a modelului elaborat în procesul de studiere a informaticii, treapta de liceu.
Valoarea aplicativă a lucrării:
Aprobarea și implementarea modelului didactic de instruire, elaborat de autor, bazat pe SSM MAPLE în procesul de predare-învățare a compartimentului „Modelare și metode de calcul”.
Elaborarea unui set de lucrări de laborator model, în baza SSM, care poate fi utilizat de profesorii de informatică din liceu.
Proiectarea și elaborarea unor materiale didactice noi la compartimentul „Modelare și metode de calcul”.
Etapele cercetării. Experimentul pedagogic s-a desfășurat în Liceul Teoretic „Ion Creangă”, mun. Chișinău, în trei faze: de constatare, de formare și de control. În experiment au fost implicați circa 57 elevi clasa IX și 165 elevi ai claselor a XII, profil real în perioada anilor 2007-2011.
Implementarea rezultatelor științifice a fost realizată prin aplicarea tehnologiilor computaționale la lecțiile de informatică profil real, compartimentul „ Modelare și metode de calcul” în Liceul Teoretic „Ion Creangă”, municipiul Chișinău.
Aprobarea rezultatelor cercetării a fost realizată în cadrul seminarelor catedrei Didactica matematicii, fizicii și informaticii, în ședința comună a catedrelor Didactica matematicii, fizicii și informaticii și Informatică și tehnologii informaționale, desfășurat în Chișinău, Universitatea de Stat din Tiraspol, la ședința catedrei Matematică, Fizică, Informatică, L.T. „Ion Creangă”, mun. Chișinău, în cadrul cursurilor de perfecționare a cadrelor didactice, specialitatea informatică desfășurate la Centrul Tehnologii Informaționale și Comunicaționale în Educație și în cadrul cursurilor de perfecționare a cadrelor didactice specialitatea informatică, organizate de către catedra Informatică și tehnologii informaționale,UST. Rezultatele tezei au fost prezentate la diverse foruri științifice:
Conferința științifico – practică „Promovarea tehnologiilor informaționale și comunicaționale în educație”, 26-27 iunie 2009, Chișinău RM.
Conferinței Internaționale, Tradiții, valori și perspective în științele educației, ediția a IV, Cluj-Napoca, 2009.
Conferința științifică: „Modernizarea învățământului preuniversitar și universitar în contextul integrării europene”, Chișinău, noiembrie 2009, UST.
Simpozion – Concurs internațional „Confluențe”. Colegiul Național „Dimitrie Cantemir”, Onești, România, 11-12 decembrie 2009.
Conferința Științifică Internațională „Învățământul universitar din Republica Moldova la 80 ani”. Chișinău UST, 28-29 august, 2010
International Conference. Matematics & Information tehnologies: Research and education (MITRE-2011), dedicated to the 65th anniversary of the Moldova Stat University, Chișinău, August 22-25, 2011.
The 19th Conference on applied and industrial mathematics, CAIM 2011, September 22-25, 2011, Iași Romania.
The 20th conference on applied and industrial matematics, dedicaded to academician Mitrofan Ciobanu. Communications in education, Chișinău, august 22-25, 2012.
Forumul de idei pedagogice „Dialoguri Chișinăuiene”, Ediția I, Chișinău, 24-26 februarie 2011.
Rezultate lucrării au fost publicate în 19 lucrări științifico-didactice, dintre care 3 în reviste de profil recomandate de CNAA.
Structura și volumul tezei. Lucrarea este constituită din introducere, 3 capitole, concluzii generale, adnotări în limbile română, rusă și engleză, bibliografie, anexe.
Sumarul compartimentelor tezei. În Introducere este argumentată actualitatea temei de cercetare, este descrisă necesitatea de utilizare a tehnologiilor informației la obiectul informatica, este stabilită problema cercetării și determinat gradul ei de cercetare, sunt formulate problema, scopul și obiectivele cercetării, sunt scoase în evidență noutatea științifică, importanța teoretică și valoarea aplicativă
În capitolul 1 Concepte și tendințe actuale în aplicarea tehnologiilor computaționale în procesul de predare-învățare în cursul liceal de informatică sunt analizate noile paradigme ale procesului de predare-învățare a informaticii. Sunt expuse unele idei despre utilizarea TIC în educație, care permit modificarea concepțiilor referitoare la predarea-învățarea informaticii prin crearea unui mediu de învățare, în care elevii sunt implicați activ și motivați pentru studiile și cunoștințele acumulate. S-a efectuat o analiză comparativă în ceea ce privește implementarea TIC în educație pentru unele țări europene. S-a constatat, în urma cercetării literaturii, că la studierea informaticii trebuie să se țină cont de: principiile didactice de utilizare a TIC ce trebuie să completeze principiile de învățare existente dar nu să le înlocuiască; componentele procesului de predare-învățare – obiectivele, conținutul, metodele și formele de activitate caracteristice profesorului și elevilor, cât și TIC care au un randament vădit în direcția cognitivă, demonstrativă și evaluativă.
În capitolul 2 Repere teoretico-metodologice de utilizare a tehnologiilor computaționale sunt abordate principalele concepte terminologice în ceea ce privește utilizarea sistemelor software matematice în predare-învățare și, în mod deosebit, utilizarea SSM MAPLE în informatică la studierea compartimentului „Modelare și metode de calcul”. Un rol deosebit îl au metodele și mijloacele descrise privind procesul de modelare. Prin exemple concrete sunt elucidate principalele avantaje de utilizare a TIC în studierea metodelor numerice.
Capitolul 3 Argumentarea experimentală a eficienței modelului didactic și a metodologiei elaborate descrie etapele experimentului pedagogic, care au inclus etapa de constatare, de formare și de control, și prezintă rezultatele obținute prin diverse prelucrări statistice, iar eficacitatea experimentului este demonstrată prin teste statistice psihopedagogice.
CONCEPTE ȘI TENDINȚE ACTUALE LA APLICAREA TEHNOLOGIILOR COMPUTAȚIONALE ÎN PROCESUL DE PREDARE-ÎNVĂȚARE ÎN CURSUL LICEAL DE INFORMATICĂ
Paradigme noi în procesul de predare-învățare al cursului liceal de informatică
În 1985 în instituțiile medii de învățământ din Republica Moldova a fost introdus un obiect nou de studiu „Bazele informaticii și tehnicii computaționale”. Partea de baza a cursului a fost programarea. Ca limbaj de programare se studia limbajul BASIC, iar mai târziu s-a făcut trecerea la limbajul Pascal. Ca utilizator se studia sistemului de operare MS-DOS, interfața NortonComander și un redactor textual. Mai apoi pentru studierea algoritmică s-au creat diverși executanți (Furnica, Cangur, Robocert, Konstruktor etc.). O dată cu dezvoltarea rapidă a tehnicii de calcul acest obiect și-a modificat atât structura, cât și poziția în sistemul de învățământ, făcându-se trecerea de la disciplina „Bazele informaticii și tehnicii computaționale” la disciplina „Informatica”. Astăzi, în Republica Moldova informatica se studiază ca disciplină atât la treapta gimnazială la aria curriculară „Matematică și Științe”, cât și la treapta liceală la aria curriculară „Tehnologii”.
Mulți cercetători ca A.P. Erșov [1, 2, 3], Iu.I. Șemachin [4, 5], Iu. A. Șreider [6], A.D. Ursul [7, 8] au studiat problema informaticii ca disciplină de studiu.
Cristea S. definește informatica ca știința care studiază modul de prelucrare, stocare și valorificare a informației cu ajutorul unor tehnologii specifice. Structura termenului informatica constituie corelația dintre două domenii: domeniul informației și matematică, adică infor – de la informație și matică – de la matematică [9].
Chiriac L., L. Mihălache îl citează pe Biriukov B., care definește informatica ca unitate a trei componente: „Informatica=Hardware + Software + Brainware”, unde Hardware – reprezintă mijloacele tehnice, posibilitățile din punct de vedere tehnice necesare pentru realizarea scopului formulat. Software – reprezintă softul, programele, mijloacele care permit prelucrarea datelor inițiale și bazelor de date în dependență de obiectivele propuse. Brainware – reprezintă componenta intelectuală, dar nu numai algoritmii de prelucrare a bazelor de date, ci și cunoștințele speciale și generale care sunt „implantate” atât în mijloacele tehnice, cât și în programele elaborate [10, p. 164]. Datorită acestei componente, informatica nu se reduce numai la însușirea dispozitivelor calculatorului și programării.
În procesul de informatizare a învățământului vizavi de termenul „informatică” ca element al interdisciplinarității se regăsește și noțiunea „tehnologia informației și comunicațiilor”. Inițial numită „informatica pentru toți”, mai apoi trecând la altă noțiune „noile tehnologii ale informației și comunicațiilor”. Aceasta din urmă a fost redenumită „tehnologia informației și comunicațiilor”, prin ștergerea adjectivului „noile” și utilizată în cele mai multe cazuri a acronimului TIC, sau TICE, litera E utilizată în educație.
În raportul „Tehnologia informației și comunicațiilor în educație", efectuat de către UNESCO tehnologia informației și comunicațiilor (TIC) în scurt timp a devenit unul din pilonii societății moderne [11]. Alt document UNESCO specifică că societatea secolului XXI, pe lângă denumirea societate informațională, este regăsită și ca societate bazată pe cunoștințe (Knowledge-based society) [12]. Noua societate bazată pe cunoștințe are argumente care vizează că baza cunoștințelor se dublează la fiecare 2-3 ani; peste 7000 de articole științifice și tehnice sunt publicate zilnic; elevii școlilor din țările industrializate sunt impuși să însușească un volum de informații mult mai mare decât bunicii lor pe perioada întregii vieți; se presupune că în următoarele trei decenii vor fi tot atâtea schimbări câte au fost în perioada ultimelor trei secole [13]. Deci, se poate afirma că la baza proceselor științifice, tehnologice, economice, sociale, culturale etc., se află informația și cunoașterea. Economistul Roger E. Bohn arată că acum este important să înțelegem cunoașterea tehnologică și anume cunoașterea despre modul de a produce bunuri și servicii. Cunoașterea este dependentă de procesul de învățare. Este de reținut și formularea lui Bohn pentru conceptul de învățare: „Learning is evolution knowledge over time” (Învățarea este evoluția cunoașterii în timp) [14]. Dezvoltarea societății de astăzi se realizează prin corelarea dintre cunoaștere și învățare.
În lucrarea „Educație pentru schimbare și creativitate”, V.M. Cojocaru scrie: „Întemeierea demersurilor transformatoare se poate produce fie în interiorul formelor tradiționale de educație, care trebuie să se „îmbibe” de spirit prospectiv, fie la nivelul unor „noi educații”, în special educației pentru schimbare (dezvoltare)”. Autoarea menționează: „S-a impus cu destulă pregnanță o nouă atitudine ale cărei trăsături esențiale ar fi: centrarea pe cel care învață, tendința spre non-directivitate, formarea competenței generale și a acelor speciale, opțiunea pentru metodele active, autenticitatea, preocuparea pentru a pune în valoare potențialul creativ. Se revine cu insistență asupra ideii că obiectivul principal al pedagogiei noi este de a învăța să înveți” [15, p. 15].
În prezent, multe țări întreprind o serie de eforturi pentru a efectua schimbări în procesul de predare-învățare spre a pregăti tinerii pentru o societate bazată pe informații și tehnologie. În raportul UNESCO este specificat că tehnologiile informaționale afectează conceptele de predare și învățare prin modul în care profesorii și elevii au acces la cunoștințe și pot modifica procesul de predare și învățare. Pedagogul și filozoful german Herman Nohl, argumentând această teză prin raportul între cultura materială (accentul este pus pe informare) și cultura formală (accentul este pus pe gândire, pe formarea personalității), conchide că forma interioară a subiectului nu poate fi separată de conținutul pe care îl cuprinde, și invers [12]. Astfel, tehnologiile informaționale asigură un șir de instrumente și metode care pot facilita trecerea de la mediul de învățare centrat pe profesor și pe manuale la un mediu colaborativ, interactiv, care este centrat pe procesul de învățare.
Unele idei despre TIC în educație le găsim și la Gordon Lev. El afirmă că utilizarea TIC și a tehnologiilor multimedia în educație poate schimba radical sistemul actual de învățământ. Organizarea procesului de învățământ poate deveni mai inovativ, în sensul că acesta va realiza pe scară largă principiile analitice, practice și experimentale de învățare, care vor direcționa întregul proces de învățare al fiecărui elev [16]. Deci, direcția perfectării cunoștințelor "despre ceea ce" se schimbă treptat spre direcția perfectării cunoștințelor „despre aceea cum”. Analizând orientările conceptuale ale conținutului educației, în decursul dezvoltării omenirii, analizăm și determinăm ce instrumente educaționale eficiente să utilizăm în procesul de predare-învățare. În ultimele trei decenii cercetările în domeniul procesului de învățare evidențiază noi concepte [17, 18, 19, 20]. Spre deosebire de modelul tradițional de predare-învățare, noua paradigmă a procesului de predare-învățare se bazează pe următoarele afirmații: autonomie în învățare (elevii capabili să-și descopere și să-și construiască cunoașterea); responsabilitate (pentru propriul proces de învățare); gândire critică (transformarea și nu reproducerea cunoașterii); reflexivitate (capacitatea de îmbunătățire continuă a proceselor de învățare și nu numai); capacitatea de a învăța pe tot parcursul vieții; valorificarea potențialului fiecărui elev [21]. De asemenea, se evidențiază că necesitatea implementării tehnologiilor informaționale și de comunicații în educația formală și nonformală este determinată de următorii factori:
Creșterea explozivă a volumului de informații impune trecerea de la un proces de instruire bazat pe memorarea cunoștințelor la unul ce asigură dezvoltarea abilităților de achiziționare a acestora.
Globalizarea economiei, creșterea fluxurilor internaționale de informații, tehnologii, produse și de capital creează o competiție globală în domeniul competențelor.
Impactul tehnologiilor moderne modifică natura muncii și tipul de deprinderi și reduce ponderea locurilor de muncă ce necesită calificări joase.
Factori asemănători găsim și la autorii V. Marcu și M. Marinescu [22]. Aceștia menționează că educația își spune cuvântul în toate domeniile, afirmându-se permanent în triada Ș.T.S. (Știință-Tehnologie-Societate), însă pe parcursul implementării tehnologiilor computaționale formula anterioară se completează și avem o nouă formulă: S.Ș.T.S. (Societate-Știință-Tehnologie-Societate), cântărind ponderea educației. Înaintea segmentului Știință-Tehnologie, în apariția științei și tehnologiei, societatea intervine cu atitudini, sentimente, pasiuni, la sfârșitul segmentului intervenția societății este mai puternică cu privire la impactul social al științei și tehnologiei. Este un final cu răspuns dublu, însă menirea unei societăți educate este alegerea drumului spre progresul și bunăstarea ei. Ținem să afirmăm că omul, din punct de vedere bio-psihic, rămâne aproximativ același, dar noul care permanent intervine trebuie redirecționat corect.
Astfel, triadă bazata pe informatizarea societății împreuna cu noile concepte de implementare în educație a TIC, ține atît de formarea competențelor prin obiective și tehnologii didactice, cît și de educația prin profesor și elevi, ca rezultat, duc la formarea unei societăți a științei și TIC, importante în producere (fig. 1.1.)
Fig. 1.1. Triada societății informatizate
Reieșind din obiectivele și prevederile concepțiilor moderne referitoare la educație, sunt relevante unele concluzii care vizează starea actuală în R. Moldova la acest capitol [23, 24]. Dintre acestea remarcăm că în prezent procesul de implementare al tehnologiilor informației și de comunicare în sistemul educațional pe scară largă în învățământul preuniversitar din țara noastră se confruntă nu atât cu insuficiența de calculatoare și accesul limitat la Internet, cât cu atitudini învechite ale unor profesori, care nu doresc trecerea la ceva nou și modern. Alt factor care trebuie menționat în acest sens este lipsa suportului metodologic și a softurilor educaționale destinate realizării instruirii asistate de calculator. Deși calculatoarele se utilizează enorm , ele nu sunt utilizate pentru instruire în măsura în care ar fi necesar. Conform datelor unui sondaj, ponderea cetățenilor R. Moldova care utilizează calculatorul și Internetul este de circa 40%, în cazul persoanelor tinere, din grupul de vârsta 16-25 de ani, această pondere este cu mult mai mare decât media pe țară, atingând circa 80%. Cauzele acestor fenomene sânt multiple, însă un rol important în extinderea domeniilor de utilizare îl au formarea de competențe digitale, mobilizarea cadrelor didactice și crearea de softuri educaționale atractive, ce ar putea fi utilizate atât la lecții, cât și în procesul de pregătire individuală. Această statistică o găsim descrisă de către A. Gremalschi, efectuată de Agenția Suedeză pentru Dezvoltarea și Cooperarea Internațională, PNUD Moldova, 2010 [25, p. 2]. Deci, informatizarea devine o opțiune de politică educațională cu intervenții atât la nivelul planului de învățământ, cât și al programelor școlare, al procesului instructiv-educativ, formării cadrelor didactice, menajamentului sistemului.
Folosirea tehnologiilor informaționale în orice domeniu, inclusiv și în cel de învățământ, reprezintă un avantaj esențial prin nelimitarea cantității de informație folosită.
Tehnologizarea învățământului și educației în țările dezvoltate are la bază următoarele caracteristici și atribute ale modelului instruirii și educației: determinarea într-un mod cât mai exact a obiectivelor și orientarea spre rezultate concrete; pregătirea și consultarea materialelor utile pentru realizarea obiectivelor proiectate; formarea, aplicarea și respectarea unui mecanism de stabilire a evaluării rezultatelor, corecția și completările orientate spre atingerea scopului propus; testarea probelor obținute după corecție [26, 27]. În țările dezvoltate Irlanda, Franța, Canada, Anglia, SUA activează centre de tehnologii pedagogice, care permanent perfecționează metodele și modalităților de utilizare în domeniul tehnologiilor și științei în instruire [28, p. 177]. În acest context, profesorul V. Mîndîcanu notează: „Dacă în prezent știința pedagogică din Moldova atestă tot mai mulți adepți ai concepției educației tehnologice sau culturii tehnologice, faptul se datorează maturizării intelectuale și experienței empirice de instruire tehnico-practică” [28, p. 169].
Pentru a beneficia de oportunitățile propuse de către tehnologiile informaționale, instituțiile de învățământ trebuie să implementeze și să utilizeze noile tehnologii în procesul de predare-învățare, precum și să adopte un concept diferit de cel tradițional de predare-învățare. Se are în vedere crearea unui mediu de învățare, în care elevii sunt implicați și motivați și își asumă propria responsabilitate pentru studiile făcute și cunoștințele, capacitățile, atitudinile acumulate.
În acest sens în figura 1.2. avem modelul relației subiecților în mediul computațional de predare-învățare .
Fig. 1.2. Relațiile subiecților în mediului computațional de predare-învățare
Din relația Profesor – Elevi – Sistemul de învățământ fiecărui subiect i se punctează niște funcții corespunzătoare procesului de învățământ. Profesorului îi revin următoarele funcții:
direcționarea spre mediului computațional al unor funcții care duc la formarea competențelor;
elaborarea resurselor computaționale metodico-științifice în procesul de predare-învățare a informaticii (implementarea softurilor personale sau elaborate de alții);
utilizarea efectivă a unui soft educațional în procesul de predare-învățare;
utilizarea metodelor de colaborare și cooperare între elevi pentru studierea noilor tehnologii computaționale;
monitorizarea profesorilor de alte discipline pentru utilizarea și proiectarea lecțiilor cu ajutorul TIC.
Funcțiile elevilor sunt:
formarea priceperilor și deprinderilor de lucru cu ajutorul TIC;
mânuirea metodelor și modurilor de căutare avansată a informațiilor, prelucrarea și transmiterea ei;
căutarea informației, formarea abilităților de a analiza și a utiliza informația găsită;
formarea competențelor de a utiliza cunoștințele pentru rezolvarea problemelor din diverse domenii și sfere sociale.
Funcțiile mediului computațional de predare-învățare sunt:
permiterea accesului la diverse surse informaționale și prelucrarea informației;
asigurarea procesului de învățământ cu materiale metodico-didactice;
asigurarea procesului de comunicare între subiecții procesului de învățământ;
dirijarea procesului de studiu;
asigurarea procesului de învățământ cu materiale interactive multimedia;
asigurarea accesului la noile resurse informatice etc.
Mediul computațional de predare-învățare permite rezolvarea problemelor didactice din diverse domenii de tip informatic, de cunoaștere, de cultură etc.
Interacțiunea dintre subiecți influențează asupra formei de comunicare dintre elev și profesor, transformând învățarea într-o relație de parteneriat, astfel se dezvoltă abilitățile de a învăța, se modifică metoda de verificare a cunoștințelor, crește modalitatea de învățare individuală, se pune accentul pe motivare. Totodată perspectiva TIC în educație ține și de interdisciplinaritate. Astfel, această latură relativ nouă, ține și de implementarea diverselor softuri în educație. În informatică, în linii mari, o au implementarea softurilor matematice, acestea fac ca obiectul Informatica să fie considerat nucleul interdisciplinarității în învățământul modernizat. Astăzi, problema implementării softurilor matematice se studiază în mai multe instituții de învățământ din R. Moldova, Rusia, România, etc. În R. Moldova cercetări în această direcție o găsim la Universitatea din Tiraspol (L. Chiriac [29], I. Lupu [30]), Universitatea Pedagogică din Bălți (L. Zastînceanu [31]), Universitatea Tehnică din Moldova (V. Osipov [32]); în Rusia: Universitatea de Stat din Smolensk (V.P. Djakonov [33, 34, 35, 36]), Universitatea de Stat din Sankt-Petersburg (A.V. Matrosov [37]), Universitatea Pedagogică din Moscova (O.V. Manturov [38]), etc: în România: Universitatea „Constantin Brâncuși” din Târgu-Jiu (M. R. Buneci [39]), Universitatea de Vest Timișoara (S. Mariș, L. Brăescu [40]), etc. Se observă că implementarea se efectuează mai mult la nivelul învățământului superior în pregătirea cadrelor didactice sau inginerești. În licee ar fi binevenită implementarea acestora mai ales la predarea-învățarea compartimentului „Modelare și metode de calcul” disciplina informatică, în diverse compartimente ale matematicii, fizicii și altor discipline de studiu. Astfel putem să punctăm unele idei în ceea ce privesc noile paradigme de utilizare ale softurilor matematice în informatică cum ar fi:
– individualizarea învățării;
– motivarea;
– învățarea interactivă;
– individualizarea conținutului;
– schimbări în statutul profesorului;
– schimbări în tehnicile de evaluare;
– schimbări în cadrul organizatoric de desfășurare a activității de predare-învățare.
Ideile punctate ne permit să afirmăm că învățarea nu mai ține doar de demersurile profesorului, ci de rodul unor interacțiuni ale elevului cu cel care conduce învățarea, cu calculatorul, cu sursele de informare puse la dispoziție.
Aplicarea tehnologiilor informaționale în studiul informaticii din alte țări. Studiu comparativ
Tehnologiile informațiionale și comunicațiilor (TIC) oferă toate oportunitățile de dezvoltare a sistemelor educaționale ale țărilor din comunitatea mondiala. În acest proces global UNESCO are misiunea de a stimula pe deplin consolidarea capacităților fiecărui stat în utilizarea TIC în educație. Realizarea acesteia este importantă prin acordarea de asistență efectivă statelor – membre ale UNESCO pentru utilizarea TIC în educație și este un obiectiv strategic al Institutului UNESCO pentru tehnologii informaționale în educație [16]. Conform autoarei T. Fulea [41] care îi citează pe autorii Van J.J.Cuilenburg, O. Scholten, G.W. Noomen [42, p. 27] experții Institutului Noilor Tehnologii din Învățământ de pe lângă Universitatea din Columbia (SUA), inițiatorii proiectului „The Advanced Media in Education Project” afirmă că „învățământul secolului douăzeci și unu trebuie să asigure elevii cu deprinderi intelectuale și tehnice, care le-ar oferi realizarea completă a potențialului”. În același context, E. Noveanu vorbește despre concepția filosofilor români: P. Andrei, C. Rădulescu-Motru, T. Vianu: „conceperea filosofiei învățământului ca sistem integrat bio-psiho-socio-cosmic, permite înțelegerea obiectivelor educației într-un context informațional universal” [43, p. 40].
Noțiunea de tehnologie provine din limba greacă techne- măiestrie și logos- știință. Adică tehnologia este măiestria de a crea un obiect. Mai târziu noțiunea de tehnologie capătă un sens mai amplu: „Tehnologia este un ansamblu de cunoștințe despre metodele și procedeele de creare a obiectelor, în procesul de producere al cărora are loc schimbarea calitativă a obiectelor create” [44, p. 8]. Referitor la metodele și procedeele de aplicate în activitate acestea se regăsesc și în tehnologiile pedagogice: „Tehnologiile pedagogice reprezintă reuniunea abilităților profesionale care determină succesul activității educative” [45, p. 6].
B.H. Boar consideră că tehnologiile informaționale permit pregătirea, colectarea, transportul, regăsirea, memorarea, accesul, prezentarea și transformarea informației sub orice format (grafică, text, voce, video și imagine) [46]. Aceste acțiuni/mișcări pot avea loc între oameni, între oameni și echipamente și/sau între echipamente. Reprezentarea tehnologiilor informaționale este redată schematic în figura 1.3.
Fig. 1.3. Reprezentarea schematică a noțiunii de tehnologii informaționale
Cu siguranță, tehnologiile informaționale au suscitat imaginația și interesul majorității oamenilor de știință. Astfel, noțiunea de tehnologie informațională evoluează rapid și integrează sensuri din ce în ce mai complexe. Prin urmare, tehnologiile informaționale se pot defini astfel: „Ansamblu de metode ale proceselor de producere și ale resurselor tehnice, unite într-un lanț tehnologic, care asigură acumularea, păstrarea, transmiterea și afișarea informației, cu scopul diminuării dificultății procesului de utilizare a resurselor informaționale și pentru mărirea operativității și securității lor.
Din analiza comparativă a reformelor curriculare din unele țări europene, și nu numai, se desprinde necesitatea educației de a ține pasul cu evoluțiile din noile tehnologii informatice și de comunicare. Principala necesitate educativă fiind legată de intervenția noilor tehnologii și includerea lor în sistemul educativ. În mod logic se urmărește realizarea unui echilibru între toate dimensiunile personalității subiecților educați cu toate dimensiunile și domeniile importante ale cunoașterii și culturii.
Reformele curriculare ce țin de noile tehnologii au avut loc în mai multe țări, precum: Marea Britanie, Danemarca, Germania, Suedia, Statele Unite, Japonia, etc. În toate aceste țări noua educație tehnologică devine o componentă esențială a curriculumului [22, p. 5]. Vom analiza pentru unele dintre ele în ce măsură s-a reușit implementarea TIC în educație.
Pentru prima dată Legea engleză din 1988, stabilea necesitatea educației pentru noile tehnologii, și construia programe ale educației tehnologice centrate pe evoluțiile din noile tehnologii informatice și de comunicare. Noua educație tehnologică devenea o componentă a curriculumului național. Astăzi, în curriculumul național al Marii Britanii, în mod clar, este stipulat că TIC este ca disciplină de studii pentru mai multe trepte și totodată această disciplină trebuie să poată avea aplicabilitate în majoritatea disciplinelor. Utilizarea TIC este un instrument cheie care duce la formarea competențelor la elevi pentru viață. Astfel TIC este recunoscut ca fiind o parte esențială a setului de instrumente pentru profesorul modern, adică un profesor calificat în mod inedit utilizează TIC în cadrul procesului de predare-învățare-evaluare pentru formarea și dezvoltarea creativității și gândirii critice la elevi [47].
TIC în Irlanda, ca și în alte țări dezvoltate, este un element important în educație. Guvernul Irlandei efectuează investiții substanțiale pentru implementarea TIC în educație începând din anul 1997. Inițial proiectul de implementare ținea doar de școlile auxiliare pe o arie destul de îngustă. În urma raportului prezentat ce conținea un aviz pozitiv despre realizarea acestuia, a început un val nou numit Școlile IT 2000, care a avut la bază obiectivele: formarea cadrelor didactice în domeniul TIC; investirea financiară în echipamente, calculatoare, etc.; extinderea TIC la nivel național; creșterea accesului și utilizarea Internetului; integrarea TIC în procesul de predare-învățare-evaluare. Începând cu 2004 s-a propus ca TIC să fie inclus în diverse discipline de studiu la decizia școlii, iar în curriculum să fie vizat în secțiunea „Utilizarea TIC în predarea-învățarea Științelor” (Științe și TIC) [48].
În Franța Legea din 1989 începe cu redefinirea idealului educativ, a misiunilor educației și procedurile de evaluare. Astăzi, curriculum-ul național este centralizat și este orientat spre scopul final. În cadrul curriculum-ului, profesorii sunt relativ liberi să-și aleagă propria abordare pedagogică. Astfel, TIC nu este predată ca disciplină separată. Acesta este încorporat în toate disciplinele, atât la nivel primar cât și secundar. Impactul TIC asupra elevilor depinde în mare măsură de abordările pedagogice ale profesorilor și formarea deprinderilor la elevi necesare pentru secolul XXI, cum ar fi colaborarea sau cercetarea [49].
Responsabilitățile pentru TIC în școlile din Estonia sunt partajate între Ministerul Educației și Fundația Tiger Leap. TIC este considerat a fi un instrument în curriculum. Cu toate acestea, cele mai multe școli predau TIC ca disciplină separată. În momentul de față, nu există o programă oficială a disciplinei TIC pentru școli și predarea acesteia depinde foarte mult de competențele cadrelor didactice. Adică, în dependență de aptitudinile și profesionalismul profesorului, elevul ar putea ajunge la niveluri mult mai ridicate decât cele prevăzute în planul de învățământ sau invers [50].
În ultimii zece ani România trăiește așa-zisa ,,revoluție informatică”. Dar în școli această ,,revoluție informatică” pare să devină o politică oficială a statului român, devenind un subiect important al programelor de guvernare. În acest context, L. Antonesei afirmă că ,,învățarea asistată de ordinator pare să devină o simplă componentă, importantă, e adevărat, dar totuși o componentă a unui proiect educativ mult mai amplu și mai ambițios, referitor la educația pentru noile tehnologii sau la noua educație tehnologică” [51]. Un reper important de implementare a educației tehnologice este „Încurajarea utilizării noilor tehnologii informatice și de comunicații, în mod specific, în cadrul tuturor celorlalte discipline și activități formale și non-formale provocate de școală și încurajarea relațiilor cu vastul domeniu reprezentat de educația informală [52]. În același curriculum sunt explicate oportunitățile modulului Tehnologia Informației și a Comunicațiilor și anume de a-și forma competențe tehnice în legătură cu utilizarea calculatorului, a Internetului și a prelucrării informației. Instruirea interactivă specifică acestei discipline contribuie și la conștientizarea faptului că un bun utilizator al calculatorului are șanse mai mari de reușită în acțiunea de integrare socio-profesională. Din dorința de a pregăti un utilizator și nu un creator de soft, prezentul curriculum vizează formarea unui specialist care să perceapă calculatorul ca pe un instrument de lucru absolut necesar în condițiile modernizărilor tehnologice, un instrument prin care să-și valorifice superior capacitatea de muncă și creativitatea și să-și reducă timpul de lucru.
În Republica Moldova TIC au fost implementate în sistemul de învățământ în mai multe etape. Una din aceste etape a fost implementarea programului prezidențial „SALT”, după care s-a efectuat ușor instruirea pentru utilizarea și implementarea softului educațional AEL pentru diverse discipline școlare. Un alt proiect, TEMPUS-TACIS, realizat în cadrul Inițiativei Comunității Europene e-Lerning de către un consorțiu de universități din Spania, Suedia, Portugalia și Republica Moldova este DICSIM (Dezvoltarea de școli ICT capabile în Moldova). Unul din obiectivele acestui proiect a fost de a forma circa 1000 de profesori, inclusiv directori de școli, în domeniul integrării TIC în procesul de învățământ, astfel încât aproximativ 40 de licee să devină ICT capabile. În urma acestor proiecte și altor implementări în 2010 s-a efectuat trecerea de la curriculumul bazat pe obiective la curriculumul bazat pe competențe. Curriculumul actual este axat pe elev și îi dă răspunsuri la următoarele întrebări: 1) Cum să învețe? 2) Ce trebuie să știe să facă după învățare? 3) Ce unități de conținuturi îi oferă mai multe posibilități de realizare în formarea capacităților și atitudinilor? Schema din figura 1.4, regîndită de o echipă de profesori din cadrul liceului „I. Creangă”, m. Chișinău, reflectă studierea discipliei informatica în baza curriculumului modernizat. La baza acesteia se află suportul metodologic recomandat și materialul metodic elaborat de profesori; tehnologii didactice, tehnologii computaționale ș.a, care au ca rezultat formarea competențelor la informatică.
Fig.
Fig. 1.4. Schema studierii informaticii în baza curriculumului modernizat
Astfel, competența ajunge în actualitatea de studiu, termen impus, de curriculum dar și necesar în planul învățământului. Înainte profesorul trebuia să ofere elevilor cunoștințe, acesta învăța ca să știe, astăzi accentul se pune pe formarea abilităților și deprinderilor, adică elevul învață ca să poată face anumite lucruri.
Termenul de competență are numeroase accepții: pornind din domeniul profesional-tehnic către educație, căpătând valențe complexe în acest domeniu. Proiectarea curriculumului pe competențe vine în întâmpinarea achizițiilor cercetărilor din psihologia cognitivă, conform cărora prin competență se realizează, în mod exemplar, transferul și mobilizarea cunoștințelor și a deprinderilor în situații/contexte noi și dinamice. Curriculumul anului 2010, care a propus trecerea de la obiective la competențe și includerea explicită a competențelor digitale în categoria competențelor-cheie pe care trebuie să le formeze/performeze sistemul educațional, va avea un impact benefic de lungă durată asupra învățământului. Pentru obiectul informatica au fost stabilite unsprezece competențe specifice ce trebuie formate/performate la elevi: (1) formarea unei viziuni științifice asupra componentei informatice în societatea contemporană; (2) cunoașterea proceselor, principiilor și metodelor de codificare și decodificare a informației în scopul realizării comunicării interumane – sistem informatic; (3) identificarea structurii generale a sistemelor digitale, a principiilor de funcționare a sistemelor de transmitere, stocare și prelucrare a informației; (4) elaborarea modelelor informatice ale obiectelor, sistemelor și proceselor frecvent întâlnite în activitatea cotidiană; (5) aplicarea metodelor de algoritmizare, de formalizare, de analiză, de sinteză și de programare pentru soluționarea problemelor legate de prelucrarea automatizată a informației; (6) translarea algoritmilor frecvent utilizați într-un limbaj de programare de nivel înalt; (7) colectarea, păstrarea și prelucrarea informației cu ajutorul aplicațiilor software specializate; (8) crearea și elaborarea documentelor Web; (9) efectuarea experimentelor virtuale, rezolvarea problemelor de activitate cotidiană și elaborarea de modele ale fenomenelor studiate, folosind aplicații, laboratoare și medii digitale educaționale; interpretarea rezultatelor obținute; (10) folosirea competențelor informatice pentru căutarea și selectarea informațiilor în interes de autoinstruire și de orientare profesională; (11) respectarea dreptului de autor asupra resurselor digitale, a normelor de etică și securitate informațională, protejarea de infracțiunile informatice [53, p.6-7, 54]. În noul Curriculum , ca competență de bază în Matematică, Științe și Tehnologie, în domeniul tehnologiei informației și a comunicațiilor este regăsită: competența de a utiliza în situații reale instrumentele cu acțiune digitală și competența de a crea documente în domeniul comunicativ și informațional și de a utiliza serviciile electronice, inclusiv rețeaua Internet, în situații reale.
Rezumând, vom afirma că, implementarea tehnologiilor informaționale în procesul de predare-învățare-evaluare este o prioritate, cu toate că multe țări și-au conturat și transpus în viață programe naționale de informatizare, în ciuda faptului că există suficiente elemente care subliniază, incontestabil, un aport benefic al folosirii tehnologiilor informaționale, se pare că, așa cum subliniază V. de Landsheere [55], nici o țară nu pare să aibă în momentul de față un punct de vedere clar în ceea ce privește impactul acestor noi medii asupra școlii.
Regândirea tehnologiilor didactice în predarea cursului de informatică
Specificul disciplinei Informatica impune utilizarea activă a calculatorului electronic în calitate de mijloc de predare-învățare. Fiind un instrument universal, el poate înlocui, în funcție de dispozitivele periferice conectate, ansamblul de resurse educaționale și aplicații software, toate mijloacele tehnice tradiționale. Posibilitatea de comunicare prin intermediul rețelei Internet cu resursele informaționale extinde și mai mult gama metodelor de utilizare a calculatorului în scopuri educaționale.
Totuși, trebuie să ținem cont că un mijloc de învățare, chiar și calculatorul, nu este eficient în sine, ci numai ca element component al unui sistem de forme, metode, mijloace și resurse, care se completează și se integrează intr-o strategie de instruire sau autoinstruire coerentă.
Procesul general de predare-învățare a disciplinei Informatica este elaborat în baza sistemului de competențe pentru învățământul preuniversitar. Astfel calculatorul este mijlocul utilizat cel mai frecvent pentru formarea competențelor specifice și integrarea tehnologiei informației și comunicațiilor în procesul de predare-învățare-evaluare. Utilizarea competențelor TIC în cadrul disciplinelor informatice a avut ca scop stimularea și intensificarea dezvoltării gândirii critice, înțelegerii realității și contribuirea în mod esențial la dezvoltarea competențelor generale pentru informatică. Utilizarea corectă și la momentul oportun a mijloacelor de învățare permite să se evidențieze următoarele caracteristici ale procesului educațional: flexibilitatea, generalitatea și paralelismul [56, p. 25]. Totodată în procesul de predare-învățare un rol deosebit îl au și tehnologiile didactice.
Analizând termenul de tehnologie didactică constatăm că acesta semnifică: ansamblul mijloacelor audio-vizuale utilizate în practica educațională (în sens restrâns) și în sens larg – ansamblul structurat al metodelor, mijloacelor de învățare, al strategiilor de organizare ale predării-învățării, puse în aplicație la interacțiunea dintre profesor și elev printr-o strânsă corelare a lor cu obiectivele pedagogice, cu conținuturile transmise, formele de realizare ale instruirii, formele de evaluare [57, p. 81].
După cum menționează C. Negară, noțiunea de tehnologie didactică poate fi examinată la trei nivele diferite:
a. la nivelul didacticii generale, tehnologia didactică este o punte de legătură dintre teoriile didactice și practicile pedagogice. Altfel spus, pentru a utiliza în practică teoriile didactice, ele trebuie tehnologizate, adică descrise sub formă de proceduri de lucru;
b. la nivelul instituției de învățământ, tehnologia didactică acoperă întreg procesul de învățământ, de la formularea scopurilor până la diagnosticarea rezultatelor. În acest caz, tehnologia didactică reprezintă o parte a sistemului didactic al instituției de învățământ;
c. la nivelul activității cadrului didactic, tehnologia didactică apare ca mod de realizare a acestei activități, mod care conduce la rezultate garantate [58, p. 37].
Ultima semnificație a termenului tehnologie didactică este cea mai răspândită. Există mai multe definiții ale noțiunii tehnologie de didactică [59, 60, 61, 62].
Tehnologia didactică este o parte componentă a sistemului de instruire, legată de procesele didactice, mijloacele și formele de organizare ale procesului de instruire, afirmă cercetătorii V. Bespaliko, M. Oleșkov, V. Monahov, Iu. Kareakin în [63, 64, 65]. Iu. V. Kareakin mai menționează că tehnologiile didactice au unele și aceleași scopuri comune, acestea reprezintă: atingerea garantată a rezultatelor în procesul de predare-învățare; repetitivitatea și reproducerea [65].
Aplicarea corectă a tehnologiilor didactice moderne este pe măsura numai a unui profesor profesionist. Pe de altă parte, în prezența unei tehnologii didactice, profesorul devine un mijloc de realizare a intențiilor elaboratorilor tehnologiei. Tehnologia didactică este orientată spre rezolvarea problemelor tactice ale instruirii. Menționăm că tehnologia didactică nu se ocupă cu problematica selectării conținuturilor, motivației studenților, principiilor de construire ale disciplinelor de studiu. Spre sfârșitul sec. XX, pedagogia a fost pătrunsă de spiritul tehnologizării. Preocuparea masivă de elaborare a unor tehnologii universale de instruire a distras atenția cercetătorilor de la problematica teoriei generale a instruirii [66].
La momentul actual viteza de modernizare a tehnologiilor de producere întrece viteza de schimbare a generațiilor, se dovedește necesară nu numai o pregătire suplimentară și perfecționare, dar și o însușire repetată a diferitor forme de activități în perioada unei vieți. De aceea în societatea informațională apare problema instruirii continue și instruirea continuă devine o parte componentă a vieții fiecărei persoane, care se dorește persoană de succes. În aceste condiții informatizarea semnifică schimbarea întregului sistem de instruire și orientarea lui spre cultura informațională modernă.
Există mai multe clasificări ale TIC. În mediul computerizat de predare-învățare găsim utilizarea următoarei clasificări: tehnologii multimedia; tehnologii de prelucrare a informației grafice; tehnologii de prelucrare a informației textuale; tehnologii de prelucrare a datelor numerice; tehnologii de păstrare, căutare și sortare a informației; tehnologii de comunicare în rețea;
Aceste tehnologii se bazează pe performanțele calculatorului personal și se modifică o dată cu programele soft care apar și se dezvoltă periodic.
Din punct de vedre metodologic tehnologiile informaționale în instruire trebuie prelucrate cu o orientare spre aplicația lor concretă. Unele dintre tehnologiile existente pot contribui la eficientizarea procesului de studiu, iar altele sunt utile pentru învățarea independentă a materiei de studiu recomandate și în obținerea unor informații suplimentare la tema indicată.
Deci, în rezultatul utilizării noilor tehnologii informaționale se creează noi posibilități în instruirea elevilor. După opinia unanimă a autorilor: T.C. Jupp, C. Roberts, J. Cook-Gumpers [67], L.A. Suchman [68], L.L. Quintanar, C.R. Crowell, P. J. Moskal [69], J. Habenstreit [70], W. Kuhman [71], V. de Landsheere [55], noile tehnologii bazate pe informatică sporesc capacitățile individului, dezvoltând abilitatea sa de a reacționa în cadrul unei lumi logice și abstracte și de a cuprinde o problemă mai largă și mai profundă.
Calculatorul este prezentat ca o unealtă nouă, care servește ca intermediator al activității umane, căreia i se transmite unele din funcțiile pe care le îndeplinea tradițional creierul uman (calcule, modelări, unele aprecieri, etc.).
Analiza publicațiilor, referitoare la această temă [72, 73, 74], arată că utilizarea calculatorului în instruire are atât avantaje, cât și dezavantaje. Profesorul trebuie să cunoască avantajele, dar și dezavantajele, pentru a diminua efectul lor nefast. Progresul tehnologiilor computaționale micșorează posibilitatea apariției emoțiilor negative la utilizarea ei, dar nu ridică bariera psihologică, care apare la interacțiunea unor persoane cu tehnica modernă.
Din aceste considerente putem menționa că utilizarea TIC în procesul de predare-învățare a informaticii întâlnește atât avantje, cât și dezavantaje. În figura 1.5 sunt menționate un șir de astfel de particularități.
Fig. 1.5. TIC în procesul de predare – avantaje și dezavantaje
Cât de efective sunt acestea în procesul de predare-învățare-evaluare, în mare măsură, depinde de măiestria profesorului și interesul elevului.
În procesul organizării studiului profesorul trebuie să se bazeze pe: principiul accesibilității; analiza obiectivelor lecției, conținutul și logica studierii materialului; pregătirea elevilor pentru însușirea noului conținut; determinarea materialului de verificare a cunoștințelor; realizarea metodologiei de predare-învățare a materialului de studiu.
Arta de a preda constă nu numai în strictețea științifică de expunere a materiei de studiu, dar și în includerea în această activitate a tuturor formelor de influență asupra elevului.
TIC ca și tehnologiile didactice trebuie să încadreze în structura lor toate componentele procesului de predare-învățare: obiective, conținut, metode și forme de activitate caracteristice profesorului și elevilor. Este necesar să se țină cont că calculatoarele și tehnologiile informației sunt doar instrumente de dirijare a procesului de predare-învățare pentru elevi. Remarcăm faptul că datorită ajutorului TIC avem un randament înalt la demonstrarea informației educaționale și permit reprezentarea acestora nu numai cantitativ, dar și calitativ.
Utilizând TIC, profesorii deseori recurg la ajutorul acelor elevi care posedă dexterități mai bune în utilizarea calculatorului. Acești elevi sunt ca monitori și își ajută colegii în studierea materialului. În multe cazuri această tehnică este mai efectivă din punct de vedere psihologic pentru elevi, decât atunci când moderator este profesorul. Totodată elevul – moderator, demonstrând colegilor materia de studiu, poate asimila informația la un nivel mai înalt.
Profesorul este conștient de faptul că TIC sunt atât de vaste, încât o persoană singură nu poate însuși toate posibilitățile softului aplicat și deseori sunt situații când elevii cunosc unele tehnici de lucru cu TIC mai bine decât profesorul. Acest fapt deseori confirmă că profesorul are rolul de inițiator al elevilor în procesul de studiu și învățarea fiind centrată pe elev. Cunoștințele fundamentale ale profesorului în domeniul informaticii îi permite de a se orienta mai rapid în utilizarea noilor tehnologii ale informației.
Direcțiile de utilizare a TIC în educației sunt: studierea informaticii; formarea viziunii informatice asupra lumii; studierea altor discipline de studiu; formarea competențelor de utilizare a tehnologiilor computaționale în diverse domenii de activitate; formarea competențelor de căutare a informației; utilizarea resurselor Internetului pentru studiu.
Principiile didactice utilizate la predarea-învățarea informaticii le găsim formulate la mai mulți autori ca I. Magdaș [75], C. Masalagiu, I. Asimioaei [76], M.P. Lapcik [77], V.A. Krasilinicova [78], I. Camerzan [122]. Sutem de acord cu Sofronova N.V. [79] care formulează șapte principii didactice de utilizare a TIC în procesul de predare-învățare. Aceste principii completează principiile didactice de predare-învățare a informaticii și reflectă particularitățile învățării cu utilizarea TIC. Primele trei principii se referă nemijlocit la procesul de învățământ cu utilizarea softurilor la disciplina informatica. Celelalte se referă la procesul de învățământ cu utilizarea TIC în predarea disciplinelor generale:
Principiul înțelegerii problemelor aplicative. Acest principiu permite elevilor să înțeleagă unde, când și cum se utilizează aplicațiile în studiu. Scopul învățării în acest caz presupune: realizarea înțelegerii de către elevi a rezolvării problemelor concrete prin selectarea corectă a softului corespunzător acesteia; formarea competențelor pentru selectarea corectă a instrumentarului de rezolvare a problemelor aplicative.
Principiul universalității aplicării softului. Acest principiu presupune înțelegerea de către elevi a posibilităților de utilizare a unui soft. De exemplu, când se studiază SSMaple este necesar să aducem la cunoștință elevilor că există și alte aplicații care prelucrează datele numerice și totodată că pot fi elaborate programe ce prelucrează datele numerice, și în același timp se efectuează calcule conform formulelor, creează grafice, diagrame, etc.
Principiul utilizării optime a aplicațiilor pentru rezolvarea problemelor didactice la diverse discipline. De exemplu, la studierea modelării computaționale trebuie și este necesar de construit modelele obiectelor și proceselor de diversă natură – fizice, chimice, biologice utilizând aplicații textuale, grafice, calcul tabelar, baze de date. Acestea permit să se înțeleagă mai bine noțiunea de modelare și modalitatea de realizare a acesteia cu ajutorul TIC.
Principiul de utilizare a softurilor pentru dezvoltarea creativității la elevi. Acest principiu se utilizează în practică mai puțin, cu toate că tehnologiile informaționale moderne permit dezvoltarea gândirii logice, orientarea în spațiu și alte calități ale elevilor. Deseori la dezvoltarea calităților de cercetare se utilizează metoda proiectelor, care se poate utiliza atât la începutul studiului informaticii, cât și pe tot parcursul studiului acesteia.
Principiul utilizării complexe a softurilor la lecții. Acest principiu permite să se obțină o învățare efectivă prin utilizarea complexă a diverselor mijloace didactice. Actualmente profesorii de informatică, împreună cu metodicienii și programatorii creează aplicații complexe pentru studiul disciplinelor. Aceste aplicații permit învățarea, verificarea cunoștințelor, conțin și permit plasarea suportului metodic pentru profesori, părinți, etc.
Principiul utilizării optime a mijloacelor programării pentru realizarea softurilor educaționale. Pentru realizarea softurilor sunt necesare surse și timp, implicarea unui colectiv întreg de programatori, profesori, metodicieni și psihologi. În arsenalul acestora există resurse universale și specializate pentru învățare, evaluare, formarea competențelor, etc.
După cum am mai menționat, unul dintre aspectele principale de utilizare a calculatorului la lecții este dezvoltarea gândirii creative a elevilor. Un mijloc optim în acest caz este introducerea în mijloacele de instruire computaționale a elementelor de interactivitate. Termenul interactivitate" semnifică a interacționa, a influența unul asupra altuia. Această proprietate a tehnologiilor computaționale este absolut unică în comparație cu televiziunea, prelegerile, cărțile, filmele instructive etc. Principiul interactivității a devenit un principiu euristic al instruirii asistate de calculator, deoarece este legat de niște caracteristici fundamentale ale procesului de instruire: interacțiunea și influența reciprocă a instruitului și a celui ce instruiește. În general, existența feed-back-ului este o trăsătură caracteristică a oricărui program computațional calitativ.
Astfel, reieșind din premisele psihopedagogice ale utilizării calculatorului în instruire și a specificului aplicării lui putem face următoarele recomandări privind alegerea și utilizarea informației de studiu, care poate fi inclusă în programele de instruire cu ajutorul TIC:
materia de studiu trebuie bine structurată și segmentată;
utilizarea la maximum a elementelor de interactivitate, în special, la rezolvarea problemelor;
realizarea obligatorie a prezentărilor atractive și demonstrative în programele standard, dar fără a face exces de ele, utilizându-le doar la momentele oportune ;
crearea unui sistem de asistență (Help) pe nivele, încorporat în programele de instruire;
utilizarea maximă a posibilităților multimedia a calculatorului;
intercalarea lecțiilor tradiționale cu cele asistate de calculator.
În fond, în opinia lui I. Cerghit [80] tehnicile moderne rezultă din asocierea anumitelor tehnologii informaționale concepute să pună în valoare materiale utilizate (ex.: soft ). Diversitatea lor ca și a suporturilor informaționale la care apelează este o dovadă în plus a preocupării profesorilor de a valorifica produsele tehnicii în spațiul școlar, totodată trebuie să se țină cont de observațiile psihologilor, care demonstrează ca: dacă materialul de învățământ s-a prezentat numai oral, după 3 ore este reținut în proporție de 70%, iar după 3 zile doar de 10%; dacă a fost prezentat numai vizual din 72% reținut după 3 ore mai rămân 20% după 3 zile; în schimb dacă el a fost transmis oral și vizual după 3 ore se rețin 85% din date, iar după 3 zile s-au păstrat 65% din ele.
Mediul de învățământ computațional include în procesul de studiu abordări noi cum ar fi: posibilitățile adiționale și caracteristicile învățământului, figura 1.6. Vom analiza caracteristicile învățământului prin prisma mijloacelor computaționale, care sunt divizate în 2 clase: psihopedagogice și tehnologice [78, p.98].
Caracteristicile psihopedagogice includ: medierea – comunicarea prin sau cu ajutorul TIC; individualitatea – selectarea interlocutorului personal și planului de studiu; independență – de timp și spațiu; estetică – formarea culturii de comunicare.
Caracteristicile tehnologice includ: distribuția – utilizarea rețelelor de socializare pentru comunicare cu interlocutorii; virtualitatea – crearea unui mediu temporar pentru comunicare; ergonomie – respectarea normelor sanitaro-igienice pentru desfășurarea lecțiilor; extensibilitatea – includerea unui număr nelimitat de interlocutori.
Fig. 1.6. Caracteristica învățământului în mediul computațional
Dirijarea procesului de predare-învățare cu ajutorul TIC necesită o atenție deosebită în combinarea strategiilor didactice, formelor de lucru și analiza posibilităților de învățare computerizată. Pentru realizarea modelului de învățământ computațional este necesar de a lua în calcul legitățile procesului de învățământ și situații pedagogice des întâlnite.
Tehnologiile computaționale realizează funcțiile didactice în mare măsură mai mult decât alte materiale didactice, eliberează profesorul de multe elemente ajutătoare în procesul de studiu, aceasta se referă în primul rând, la verificarea realizării lucrului fiecărui elev, ceea ce este dificil cu ajutorul tehnologiilor didactice tradiționale în clasele numeroase. TIC la lecții permit studierea individualizată nu numai din considerentul că profesorul are mai mult timp liber, dar și diversificarea și libertatea în unele cazuri de utilizare a TIC. Acest fapt permite ca profesorul să ofere mai multă atenție elevului care are un potențial înalt de învățare și dorința de a studia aprofundat o temă sau alta [81].
În procesul de predare-învățare-evaluare profesorul trebuie să țină cont că utilizarea TIC, oricât de avansată ar fi, nu oferă o învățare de calitate, iar procesul de studiu nu este perfect fără a planifica minuțios fiecare etapă a activității prin determinarea funcțiilor și formelor de lucru.
În figura 1.7 sunt redate schematic funcțiile și formele de utilizare a tehnologiilor computaționale pentru disciplina informatică. Analiza activității mai multor pedagogi, spune că tehnologiile computaționale încadrează în sine mai multe funcții: teoretică, de informare-ilustrare-demonstrare, realizarea motivației, etc. Acestea la rîndul său sunt destul de efective la lecții și permit să se efectueze dirijarea învățării, demonstrarea experimentelor, modelarea proceselor, autoperfecționarea, etc.
Fig. 1.7. Funcțiile și formele de utilizare a tehnologiilor computaționale
Spre deosebire de tehnologiile clasice de învățământ, cele moderne, prin utilizarea tehnologiilor computaționale, au randament superior nu doar în direcția cognitivă, demonstrativă sau a evaluării, ci mai ales, în spațiul cultivării sentimentelor și motivației pentru învățătură. Trebuie să menționăm că și accesibilitatea mijloacelor de învățământ este o proprietate importantă și este determinată de complexitatea formelor de activitate cu ajutorul tehnologiilor computaționale .
Concluzii la capitolul 1
Necesitatea implementării TIC în procesul de predare-învățare este determinată de expansiunea tehnologiilor informaționale în toate domeniile de activitate umană. Acest fapt scoate în evidență conexiunile interdisciplinare și caracterul informaticii ca factor integrator.
Bunele practici și experiența pozitivă a țărilor care activ implementează TIC în activitățile educaționale demonstrează creșterea culturii informaționale și a gândirii algoritmice avansate în rândul tinerii generații și posibilitatea implementării nemijlocite în practică a cunoștințelor obținute și abilităților cultivate.
Implementarea TIC presupune, în primul rând, creșterea continuă a nivelului profesional al profesorilor de informatică și aplicarea strategiilor și tehnologiilor didactice moderne în procesul de predare-învățare al informaticii. Acest fapt este determinat și de asigurarea învățământului liceal cu echipamentul electronic necesar avansat, manualele și cărțile performante din domeniu, dar și posibilități financiare pentru profesorii de informatică de a se autoperfecționa.
Spre deosebire de tehnologiile clasice de învățământ, implementarea TIC au randament superior nu doar în direcția cognitivă, demonstrativă sau a evaluării, ci mai ales, în spațiul cultivării sentimentelor și motivației pentru învățătură și pentru studierea permanentă a noilor tehnologii informaționale.
TIC ca și tehnologiile didactice trebuie să încadreze în structura lor toate componentele procesului de predare-învățare: obiective, conținut, metode și forme de activitate caracteristice profesorului și elevilor. Este necesar să se țină cont că calculatoarele și tehnologiile informației sunt doar instrumente de dirijare a procesului de predare-învățare pentru elevi.
REPERE TEORETICO-METODOLOGICE DE UTILIZARE A
TEHNOLOGIILOR COMPUTAȚIONALE
Analiza comparativă de utilizare a softurilor matematice în procesul de predare-învățare
În scopul rezolvării problemelor de matematică au fost elaborate diverse softuri matematice care, tradițional, acopereau toate compartimentele din matematica clasică. În dependență de producători, ori autori, softurile respective aveau diferite denumiri: sistem algebric computațional [82], soft matematic [83], sistem analitic de calcul [84], soft computațional matematic [85], sistem electronic de calcule matematice sau sistem software matematic [32, 86]. Noi, în lucrarea respectivă, vom utiliza termenii soft matematic ori sistem software matematic care considerăm că reflectă mai adecvat produsele date.
Inițial, softurile matematice erau divizate în două clase: sisteme pentru calcule numerice și analitice (simbolice). Din prima clasă făceau parte sistemele: EURICA, MATLAB, MATHCAD, tabelele electronice Microsoft Excel; la grupa a doua se atribuiau sistemele: DERIVE, MUPAD, MATHEMATICA, MAPLE. Astăzi această divizare se consideră depășită. Softurile enumerate anterior au fost dezvoltate în așa măsură încât au fost denumite sisteme matematice universale, care efectuează calculul atât numeric, cât și analitic. Dintre acestea fac parte MATLAB, MATHCAD, MATHEMATICA și MAPLE.
Toate sistemele electronice de calcul matematic includ în sine un vast arsenal de elemente pentru rezolvarea problemelor din diverse domenii etc.
Analizând un sistem software matematic putem spune că acesta este un sistem integrat constituit din trei componente:
Nucleul – care conține funcțiile de bază ale sistemului.
Subsistemul de interfață, acesta constă din interfață care poate fi de tip text sau grafică. În interfața de tip text comenzile sunt preluate și executate secvențial fiind dificilă revenirea la comanda anterioară. În cazul interfeței grafice dialogul cu utilizatorul se realizează prin intermediul uneia sau mai multor ferestre, fiecare corespunde unui document care conține comenzi, răspunsuri, sau texte descriptive introduse de utilizator.
Ansamblu opțional de pachete, conține funcții suplimentare destinate soluționării problemelor specifice unui anumit domeniu. Pentru a utiliza funcțiile din cadrul lor, pachetele trebuie încărcate explicit. Posibilitatea de a adăuga pachete noi de funcții oferă un caracter flexibil sistemelor software matematice.
Totodată, pentru a fi reprezentativ și aplicabil un sistem software matematic (SSM) are următoarele caracteristici care îl diferențiază de alte sisteme de programare: (1) definirea și utilizarea obiectelor matematice; (2) efectuarea prelucrărilor matematice (numerice, simbolice și grafice); (3) dispune de un limbaj avansat de programare; (4) interfață prietenoasă și flexibilă; (5) conexiunea rapidă cu alte sisteme (Excel, Word, etc.); (6) posibilitatea de a elabora și utiliza documente; (7) completitudinea sistemului.
În figura 2.1 este redat schematic un astfel de sistem.
Fig. 2.1. Schema unui sistem software matematic
Din figură se observă că principalele prelucrări care le poate efectua un SSM sunt grupate în 3 categorii: numerice, simbolice și grafice.
Profesorul Lica Donis, unul din promotorii tehnologiilor informației în domeniul educației din R. Moldova consideră că: „softurile matematice Matlab, MathCAD, Mathematica, MAPLE etc., recunoscute în lumea întreagă, sunt nu numai medii de calcul, ci și platforme instructive” [87].
Djakonov V.P. consideră SSM un ansamblu de elemente teoretice, algoritmice, hardware și software, care permit calcularea efectivă cu ajutorul calculatorului a diverselor tipuri de probleme matematice cu un grad mare de vizualizare a tuturor etapelor de calcul [88, 89, 90]. Hazec R., Petraskova V. susțin aceeași ideie [91].
O analiză comparativă de utilizare a softurilor matematice în lume o găsim la Djakonov V.P. [92], clasamentul este efectuat în baza căutărilor Google al link-urilor softurilor matematice pentru anul 2009. Vizavi de această statistică vom indica și clasamentul pentru ianuarie 2013 în tabelul 2.1.
Tabelul 2.1. Clasamentul softurilor matematice
Conform rezultatului din tabel se observă că primul loc îl ocupă softul MAPLE, care inițial era orientat la rezolvarea problemelor din domeniul educației și instruirii, iar astăzi, utilizat în mai multe domenii de activitate.
Vom efectua o descriere succintă a unor softuri matematice.
Mathematica (www.wolfram.com). Este un sistem integrat care permite efectuarea de calcule simbolice și numerice precum și vizualizarea rezultatelor. Există atât variante utilizate cu succes în diverse domenii practice cât și, nemijlocit, pentru educație.
MatLab (www.mathworks.com). Este un sistem integrat care excelează prin facilitățile oferite pentru modelare și simulare precum și pentru colecția foarte mare de „toolbox-uri” dedicate unor domenii științifice și inginerești variat. Facilitățile de calcul simbolic au fost extinse prin interfațarea cu MAPLE. SciLab (http://www.scilab.org/) este o variantă gratuită a lui MatLab caracterizată prin facilități de bază și interfață similară cu cea din MatLab fără a pune însă la dispoziția utilizatorilor instrumente similare „toolbox-urilor” din Matlab.
MathCad (www.mathsoft.com). Este tot un sistem integrat orientat în particular către facilitarea calculelor numerice și vizualizarea grafică a rezultatelor. Deși posedă facilități de calcul simbolic, acestea nu le egalează pe cele oferite de Mathematica sau MAPLE.
MAPLE (www.MAPLEsoft.com) este un pachet de programe de înaltă performanță, extrem de puternic și util în rezolvarea diferitelor probleme. El poate fi folosit de ingineri, oameni de știință și matematicieni, asistându-i în soluționarea anumitor tipuri de probleme ce necesită calcule simbolice și numerice complicate. MAPLE este un exemplu de sistem de calcul algebric (Computer Algebra System), adică este capabil să lucreze cu probleme în forma simbolică, „să înțeleagă” funcțiile și expresiile, dar să și efectueze manipulări algebrice cu acestea.
Dacă facem o analiză comparativă, ca exemplu, între MAPLE și MATHEMATICA, atunci putem spune că MAPLE câștigă în expresivitate și reprezentare grafică, iar MATHEMATICA ne oferă rezultate în calcule mai efective [93].
La implementarea TIC în procesul de studii trebuie să atragem atenția la următoarele elemente ca vizibilitatea, interactivitatea și vizualizarea etapelor de rezolvare a problemelor.
Acestor criterii corespunde softul MAPLE, din acest considerent el poate fi utilizat la lecțiile de matematică, fizică și informatică. Dar și din considerentul costului în comparație cu alte softuri el este mai ieftin.
Trebuie de menționat faptul că majoritatea softurilor matematice au posibilitatea de a importa și exporta date. De exemplu fișierul din MAPLE îl putem exporta în diverse formate ca HTML, LATEX, RTF, păstrându-se formatul documentului, structura formulelor, ceea ce este destul de convenabil. O particularitate importantă este și faptul că se pot importa în documentul MAPLE, imagini, sunet, video, formule. Importarea și exportarea se poate efectua și între MAPLE și Microsoft Excel, Microsoft PowerPoint, Microsoft Paintbrush. Datorită tehnologiilor Internet în MAPLE există comanda care permite deschiderea sursei Internet sau un fișier MAPLE, care se află în alt calculator în rețea, nepărăsind softul de calcul analitic.
Se menționează și faptul că SSM funcționează nu numai sub sistemul de operare Windows, dar și sub Linux, UNIX etc.
O caracteristică importantă în sistemul de studii este interfața, care poate fi modificată, imaginea suprafeței de lucru de către utilizator și anume (culoarea, dimensiunea, stilul, fontul etc.), modul de lucru în câteva regime (text, grafic, simbolic), etc.
Ținând cont de tendințele moderne ale educației este necesară implementarea în studiul informaticii a diverselor softuri matematice, care permit elevilor să-și dezvolte creativitatea, să-și îmbunătățească gândirea algoritmică și logică, să-și formeze competențe de utilizare a acestora în viitoarea profesie.
O problemă importantă în pedagogie este găsirea, selectarea și analiza diverselor tehnologii și metode de utilizare în procesul de predare-învățare. Implementarea în procesul de studii a TIC, mai cu seamă a softurilor matematice, permit formarea la elevi a gândirii vizuale, care dirijează imaginile de la ecranul calculatorului. Astfel elevii înțeleg și rezolvă diverse teorii matematice prin tehnologii ușor de utilizat [85, p. 344].
Un SSM din punct de vedere a pedagogiei este o sursă didactică, care utilizat în baza unei metodologii de predare-învățare permite optimizarea procesului de studiu, iar din punct de vedere a informaticii – sursă, care permite automatizarea rezolvării problemelor matematice din diverse domenii a științei, tehnicii utilizând interfața destinației utilizatorului, metode analitice, metode de calcul de rezolvare a problemelor matematice [94].
Utilizarea sistemelor software matematice totodată duc și la formarea principiilor didactice. Din acest considerent putem menționa unele idei:
Utilizarea SSM în procesul de studii duce la stimularea procesului de activitate creativă și inițiativă a elevilor. Astfel accentul se pune pe învățare centrată pe elev;
Utilizarea SSM combină forma de învățare individuală și în grup la realizarea unei secvențe de exercițiu realizat individual ca parte complexă a unui exercițiu de către elev; Astfel realizându-se principiul individualizării și colectivizării cu dezvoltarea individuală a individului;
Importanța ilustrativă și practică de utilizare a SSM duce la însușirea conștientă și activă, formând cunoștințe durabile;
Cu utilizarea SSM se realizează principiul de orientare profesională, exprimat prin formarea la elevi a competențelor pentru viitoarea specialitate posibilă în domeniul informaticii, matematicii, fizicii, științelor tehnice și naturale etc. Astfel, se formează abilități de a formula clar problema examinată din punct de vedere matematic; abilități de analiza rezultatele obținute; competențe de utilizare individuală a SSM la rezolvarea problemelor;
Cu utilizarea SSM se realizează principiul științific, așa cum SM oferă posibilitate elevilor să demonstreze progrese în domeniul științelor de a genera noi idei despre metodele de cunoaștere, despre metodele de cercetare și de simulare la calculator;
Utilizarea SSM în școală conduce la realizarea principiul sistematizării. Acest principiu contribuie la creșterea calității învățării, astfel încât elevul să-și formeze viziuni de interdisciplinaritate și să poată reflecta conținutul logic cu abilitățile cognitive;
Cu utilizarea SSM se realizează principiul învățării avansate prin formarea la elevi a cunoștințelor, aptitudinilor, competențelor de a se adapta la societatea informațională modernă.
Problema implementării SSM în sistemul de învățământ este actuală, modernă și corespunde necesităților diverselor domenii practice.
Mulți cercetători pedagogi, matematicieni și informaticieni studiază posibilitățile aplicării SSM în practică, utilizându-le în procesul didactic.
Apare tot mai multă literatură ce tratează aplicarea SSM în diverse domenii. Putem menționa unii autori I. Lupu [30], L. Chiriac [29], L. Zastînceanu [31 ], V. Osipov [39], R.M. Buneci [38], Octavia-Maria Nica [95], Lica Dionis [87], Mircea Ivan [96], V.P. Djakonov [97, 98, 99, 100, 101,102], A.V. Matrosov [103], M.N. Kirsanov [104], V.Z. Aladyev [105, 106, 107, 108,109, 110], D.P. Goloskokov [111], O.A. Sdvijkov [112], A.N. Vasilyev [113], Iu.Iu. Tarasevici [114, 115], B.M. Manzon [116], G.V. Prohorov [117, 118].
Experiența de implementare a SSM în învățământ atât la nivel universitar, cât și preuniversitar este descrisă la R.I. Ivanovskii [119, 120, 12,], K.V. Titov descrie cursul elaborat de utilizare a SSM pentru studenți, în viziunea nostră destul de reușit, în lucrarea sa [123].
Experiența de implementare SSM în școală o găsim în România, Rusia, Belorusia, Ukraina, în cele mai multe cazuri a softului Mathematica.
Un interes deosebit îl are articolul [124], în care softul matematic este reprezentat ca instrument de programare, se trec în revistă unele elemente comparative între instrucțiunile limbajului Pascal cu instrucțiunile SSM. În articol se analizează o problemă concretă, rezolvarea acesteia este propusă în Pascal, MAPLE, MATLAB și MATCAD. Autorii prezintă softul matematic ca fiind interdisciplinar dintre matematică și informatică, concentrat atât asupra algoritmilor pentru programarea simbolică, cât și în limbaje universale de programare. Idei asemănătoare le găsim la autorii Iu.G. Ignatyev [125, 126, 127, 128], A.I. Ghibadulina [129, 130, 131, 132, 133, 134, 135], D.N. Fahrutdinova [136, 137], A.N. Sarkeeva [138, 139, 140 ], M.R. Bagautdinov [141], N.R. Agheeva [142], L.I. Rozakova [143], A.R. Samigulina [144] etc.
Articole despre SSM și modalitatea de aplicare le găsim și în multe materiale a diverselor conferințe internaționale [145, 146, 147, 148, 149]. Utilizarea MAPLE este redată pe multe site-uri, unul din acestea este site-ul companiei WaterlooMAPLE www.MAPLEsoft.com, unde sunt multe indicații de utilizare, exemple și posibilități din diverse domenii. Unele articole despre aplicabilitatea sistemelor MAPLE, MatLab, STATISTICA, MATHEMATICA le găsim pe http://window.edu.ru/resource, exponenta.ru, etc.
Utilizarea MAPLE-ului în școală la orele de matematică este descris în A.I. Ghibadulina [150, 129], D.N. Fahrutdinova [151], A.N. Sarkeeva [152, 153], V. Osipov [32], la lecțiile de informatică în cursul liceal utilizarea SSM rămâne, însă, a fi o întrebare deschisă. În continuare vom încerca să elucidăm unele abordări didactice în privința utilizării acestora la predarea-învățarea compartimentului „Modelare și metode de calcul”.
Elaborarea modelului didactic de predare-învățare a compartimentului modelare și metode de calcul
Analiza literaturii de specialitate privind studierea compartimentului „Modelare și metode de calcul” a permis sintetizarea unui model de predare-învățare prin utilizarea tehnologiilor computaționale în cursul liceal de informatică (fig. 2.2).
Modelul didactic dat se deosebește de modelele didactice similare de predare-învățare a compartimentelor informaticii prin:
scopul propus – predarea-învățarea compartimentului „Modelare și metode de calcul” din cursul liceal de informatică prin utilizarea tehnologiilor computaționale;
obiectivele formulate care duc la formarea subcompetențelor vizate pentru compartimentul în studiu, competențelor specifice disciplinei informatica;
conținuturile din modelul propus este determinat de necesitatea aplicării acestora în studiul interdisciplinar și formarea unei viziuni informatice de modelare a proceselor, fenomenelor, de utilizare a TIC la rezolvarea modelelor matematice, realizate în baza problemelor propuse pentru rezolvare;
principiile didactice tradiționale, care permit organizarea și desfășurarea procesului de predare-învățare, nu pot fi excluse, în același timp modelul propus se bazează pe o serie de principii didactice ce reflectă utilizarea TIC în predare-învățare: principiul înțelegerii problemelor aplicative; principiul universalității; principiul înțelegerii organizării structurii logice a unei aplicații; principiul utilizării optime a aplicațiilor pentru rezolvarea problemelor didactice la diverse discipline; principiul de utilizare a softurilor pentru dezvoltarea creativității la elevi; principiul utilizării complexe a softurilor la lecții; principiul utilizării optime a mijloacelor programării pentru realizarea softurilor educaționale (descrise în 1.3, p. 34);
Fig. 2.2. Modelul didactic de predare-învățare a compartimentului Modelare și metode de calcul prin utilizarea tehnologiilor computaționale
predarea-învățarea compartimentului în studiu se realizează într-un mediu computațional, unde ca mijloc principal de predare-învățare este utilizat calculatorul, iar ca instrumente sunt utilizate softurile MAPLE, MS Excel, Pascal. Accentul în procesul de predare-învățare este pus pe metoda Brainstorming, metoda proiectelor, Știu-Vreau să știu-Învăț, rezolvarea problemelor;
predarea învățarea este realizată prin lecții teoretice, lecții practice, lucrul independent, consultații cu aplicarea noilor tehnologii didactice dirijate de profesor;
evaluarea este efectuată atât de profesor (evaluarea sumativă, formativă), cât și de elevi (coevaluarea);
rezultatele evaluării permit efectuarea ajustării la predarea Elementelor de modelare, la formularea problemelor propuse pentru rezolvare, la alcătuirea testelor, la metodele de optimizare a soluțiilor.
Menționăm că în lucrarea [58] este examinat un model didactic general privind formarea profesorilor de informatică, tehnologia informației și a comunicațiilor.
Metodologia utilizării modelului elaborat
Aspecte metodologice privind predarea-învățarea sistemului software matematic MAPLE
MAPLE este o elaborare în parteneriat a universității Waterloo (statul ONTARIO, Canada) și școala tehnică superioară (ETHZ, Elveția), iar pentru comercializare a fost fondată compania Waterloo MAPLE. Disponibil pe o varietate de platforme (Windows, Unix, Dos, Macintosh, Sun) și reprezintă unul dintre cele mai răspândite sisteme de calcul algebric. În continuare vom trece în revistă cele mai importante caracteristici SSM MAPLE pentru a facilita procesul de expunere al materialului din punct de vedere didactic.
Astfel, MAPLE pune la dispoziția utilizatorilor un meniu de calcul matematic relativ ușor de folosit în calculul matematic, simbolic și numeric. El funcționează în regim de interpretor, cu viteză sporită și folosește notații pur matematice. Aritmetica exactă este principala sa forță, lucrul cu fracții și radicali evitând erorile de rotunjire. Fără a avea o limită a numărului de cifre pentru numerele întregi, calculele în virgulă mobilă sunt efectuate cu o precizie arbitrară ce poate fi controlată de utilizator. MAPLE dispune de un număr foarte mare de funcții predefinite (peste 3500) cu ajutorul cărora se pot rezolva diverse probleme matematice. El conține o serie de capacități pentru grafica 2D, 3D și pentru generarea animației. MAPLE include, de asemenea, un limbaj de programare procedural complet, cu o sintaxă specifică programării structurate. Pe baza acestuia, utilizatorul are posibilitatea de a elabora programe proprii, de a defini noi funcții. La nivel de date, MAPLE poate fi conectat cu alte limbaje de programare (C, Pascal, Excel, Fortran). Acești factori sunt doar o parte din cei care au determinat răspândirea în întreaga lume a acestui produs informatic, în special în mediile științifice universitare și de cercetare. MAPLE poate lucra ca un calculator convențional cu numere întregi sau în virgulă mobilă. Cele mai importante tipuri numerice implementate în MAPLE sunt: integer, rational, float, complex.
Caracteristicile indicate, și multe altele, trebuie punctate, atunci când este vorba despre implementarea SSM MAPLE în predarea-învățarea compartimentului „Modelare și calcul numeric”. Studierea MAPLE în școlile din Republica Moldova nu este prevăzută conform curriculumului actual la disciplina informatică. Însă, conform planurilor de studii în multe licee sunt studiate cursuri opționale la diverse discipline, iar în alte instituții sunt formate clase experimentale bazate pe anumite profiluri unde se studiază după program avansat. Aceste posibilități ne-au permis să ținem un curs de inițiere în MAPLE, în instituția unde am realizat experimentul pedagogic, liceul teoretic „Ion Creangă”, municipiul Chișinău.
Pentru clasele a IX, care studiau informatica din clasa a V-a, profil matematică-informatică, a fost suplimentată cu o oră opțională, destinată inițierii în MAPLE, pe lângă ora prevăzută conform curriculumului la informatică.
Ulterior, la treapta liceală a fost prevăzută o oră opțională la informatică și pentru clasa a XII-a profil real, în scopul continuării studierii SSM MAPLE la un nivel avansat și în care se efectuează o sinteză a materialului studiat în clasa IX.
Astfel conform proiectării și organizări riguroase a procesului de studiu elevii acestor clase au avut posibilitate să studieze SSM MAPLE atât în clasa IX cât și în clasa XII. Totodată, ținem să menționăm că în clasa XII studierea MAPLE s-a efectuat și de către elevi, care au venit din alte școli și nu au studiat MAPLE în clasa a IX la cursul opțional.
Proiectul cursului opțional la informatică este indicat în Tabelul 2.2.
Pentru realizarea acestui proiect la lecțiile de informatică și studierea cât mai efectivă a MAPLE au fost folosite diverse metode, forme de organizare și materiale didactice. Vom descrie unele metode didactice, utilizate de noi, privind predarea-învățarea MAPLE.
Tabelul 2.2. Proiectarea cursului opțional SSM MAPLE
Luând în considerație faptul că fereastra de lucru al MAPLE-ului conține elemente asemănătoare cu elementele ferestrelor de lucru al aplicațiilor cunoscute de către elevi studiate în clasele gimnaziale MS Word, MS Excel, s-a aplicat cu succes metoda brainstormingului care ne-a permis să evidențiem unele paralele în funcționarea acestora [154].
În contextul respectiv metoda asaltului de idei, este una dintre cele mai utile metode în studierea MAPLE deoarece stimulează creativitatea elevilor și duce la descoperirea unor soluții inovatoare pentru problemele puse în discuție, definind totodată un cadru propice pentru instruirea școlară. Astfel se dezvoltă o atmosferă constructivă, fiecărei idei acordându-i-se maximum de atenție, diminuându-se o serie de factori inhibitori și blocaje ale spontaneității în gândire, care produc rutina intelectuală.
Metoda presupune parcurgerea mai multor etape. Prima, de ordin cantitativ, care dezvoltă cât mai multe idei. Acestea se pot emite pe trei căi: calea progresiv – liniară ( presupune evoluția unei idei prin completarea ei până la emiterea ideii – soluție de rezolvare a problemei), calea catalitică (ideile sunt propuse prin analogie sau previn apariția unei idei noi, opuse celei care a generat-o) și calea mixtă ( o idee poate dezvolta simultan soluții complementare și soluții opuse ei).
De exemplu, pentru tema Interfața MAPLE, profesorul proiectează fereastra de lucru a MAPLE-ului și propune elevilor, prin analogie cu aplicațiile studiate, să enumere elementele ferestrei și să le determine pe cele noi: butonul meniului System, linia de titlu, bara de meniuri, zona de lucru a ferestrei, barele de defilare, bare de selecție, bordura ferestrei, bara de formule, etc.
În a doua etapă urmează o de reflecție, de evaluare și selecție a ideilor sau soluțiilor propuse. Din toate elementele indicate de către elevi, profesorul efectuând o reflecție le selectează pe cele corecte și le completează pe cele necunoscute.
În astfel de activități elevii se integrează rapid și eficient, deoarece nu se permite critica asupra ideilor propuse. Această metodă se poate folosi la predarea mai multor teme a cursului opțional ca Algoritmi ciclici. Instrucțiunea FOR, WHILE, Algoritmi ramificați. Instrucțiunea IF, unde elevii ar putea să aplice cunoștințele deja acumulate în studiul limbajului Pascal și prin analogie să sugereze idei la rezolvare diferitor probleme în MAPLE.
Deoarece că SSM MAPLE aplicat în predarea-învățarea informaticii este o abordare relativ nouă și totodată este efectiv în învățarea interdisciplinară, elevii vor fi implicați activ în studierea SSM prin metoda Știu-Vreau să știu-Am învățat.
Știu-Vreau să știu-Am învățat (KWL- Know, Want to know, Learn), reprezantat în tabelul 2.3 este o strategie de conștientizare de către elevi a ceea ce știu sau cred ca știu referitor la un subiect și totodată a ceea ce nu știu sau nu sunt siguri că știu și ar dori să știe sau să învețe. Metoda îi activează pe elevi și îi face conștienți de procesul de învățare și oferă elevilor posibilitatea de a-și verifica nivelul cunoștințelor [155].
Prin acest exercițiu se încurajează participarea fiecărui elev prin conștientizarea eventualelor lacune și prin motivarea acoperirii acestora, se stimulează atenția și gândirea, oferă posibilitatea elevilor de a-și dezvolta competențele necesare unei abordări complexe și integratoare.
De exemplu, etapele tehnicii pentru tema „Algoritmi ciclici. Instrucțiunea FOR și WHILE în MAPLE” prin prisma KWL vor fi următoarele:
Se anunță tema de către profesor;
Elevilor li se propune să inventarieze ideile pe care consideră că le dețin cu privire la subiectul temei care se va studia din cursul de informatică ca exemplu: cuvintele cheie ale instrucțiunilor; tipul de probleme ce se rezolvă cu ajutorul acestor instrucțiuni; formatul general; erorile care se efectuează la utilizarea acestora, etc. Aceste idei vor fi notate în rubrica Știu a tabelului;
În rubrica Vreau să știu elevii completează ideile despre care au anumite îndoieli în privința instrucțiunilor FOR și WHILE și ce ar dori să cunoască la subiectul dat pentru softul MAPLE.
În baza rubricii Vreau să știu profesorul propune studierea conținutului temei. Elevii însușesc noile cunoștințe prin diverse probleme, exerciții și noile idei asimilate le notează în rubrica Am învățat;
Ideile notate în tabel elevii le utilizează în continuare pentru lucrul individual, analizând nivelul actual al cunoștințelor.
Tabelul 2.3. ȘVÎ (KWL)
Această metodă se poate aplica, practic, la toate temele din cursul opțional de informatică din clasele a IX-a și a XII-a.
Dacă analizăm MAPLE ca un instrument ce trebuie permanent examinat și cercetat, ținând cont de apariția noilor versiuni ale sistemului: MAPLE 6 – 1999, MAPLE 7 – 2001, MAPLE 8 – 2002, MAPLE 9 – 2003, MAPLE 10 – 2005, MAPLE 11 – 2007, MAPLE 12 – 2008, MAPLE 13 – 2009, MAPLE 14 – 2010, MAPLE 15 – 2011 și posibilităților de utilizare a acestuia în diverse domenii, este necesară utilizarea în procesul de studiu a unor metode de învățare prin cercetare. Analizând literatura privind diversitatea metodelor, putem spune că la studierea MAPLE a fost aplicată și metoda proiectelor [156, 157]. Această metodă este optimă în studierea SSM, deoarece MAPLE-ul este un sistem complex cu un conținut vast de instrumente utile la rezolvarea diverselor probleme, care cer o studiere amplă și profundă pentru realizarea modelului acestor probleme.
Învățarea bazată pe proiect a fost lansată de Dj. Dyui (1859-1952) și elevul său William H. Kilpatrick, prin lucrarea The project method (1918). Proiectul, după cum se știe, este o metodă interactivă de predare-învățare, care presupune o micro-cercetare sau o investigare sistematică a unui subiect care prezintă interes pentru elevi.
Metoda proiectului este fundamentată pe principiul învățării prin acțiune practică, cu finalitate reală, ceea ce îi conferă și motivația necesară. Elevul trebuie să învețe să acționeze după ce a gândit în prealabil și să ajungă la concluzia că o activitate proiectată se desfășoară mai rapid, iar greșelile pot fi evitate în mai mare măsură de la început, dacă efortul prealabil de gândire a fost mai mare și mai îndelungat. Proiectul are un rol extrem de mare în dezvoltarea intelectuală, iar elevii trebuie să fie instruiți să lucreze mai mult în faza proiectivă (pregătirea activităților) decât în procesul de realizare.
În pedagogia proiectivă modernă proiectul este înțeles ca o temă de cercetare orientată spre atingerea unui scop bine precizat ce urmează a fi realizat prin îmbinarea cunoștințelor teoretice cu activitatea practică. Pentru aceasta, elevii își aleg sau primesc o temă, pe care o realizează în forme variate de studiu, de investigație și de activitate practică, fie individual fie în echipă. Elevul/elevii învață și din cercetare și din activitatea practică, pe cât e posibil însușește conținutul științific, aplicându-l în activitatea practică. În funcție de natura concretă a activității de fiecare dată elevul/elevii prezintă o lucrare la sfârșitul cursului (dosar documentar, ghid, etc.). Elevii sunt puși în situația de a anticipa: un rezultat, căile de a ajunge la el, materialele și mijloacele ce se vor utiliza. Anticiparea rezultatului presupune o reprezentare a ceea ce urmează să se efectueze, în sensul unei prefigurări cât mai clare a acestuia. De la o astfel de clarificare rezultă și celelalte activități și anume: elaborarea etapelor prin care trece lucrarea, selectarea materialelor necesare, alegerea mijloacelor și procedeelor de lucru, stabilirea termenelor de execuție (dacă este cazul), a diferitelor responsabilități (dacă este o activitate în grup) și alte elemente specifice domeniului în care se proiectează. Proiectarea se bazează pe un program complet de lucru, în care sunt cuprinse toate elementele necesare unei astfel de lucrări. Etapele implementate de noi corespund conceptului privind realizarea unui proiect din sursa [158, p. 56-70]. Astfel, de exemplu:
La etapa „Selectarea temei propuse pentru cercetare”, tema selectată „Tablouri”.
Stabilirea obiectivelor cercetării: să determine modalitățile de definire a tablourilor în MAPLE, analizând diverse surse; să utilizeze tablourile la rezolvarea problemelor; să demonstreze rezultatele obținute, etc.
Planificarea activităților, care conține: distribuirea responsabilităților în cadrul grupului (în cazul unui proiect care se realizează în grup); identificarea surselor de informare: cărți, resurse electronice, programe realizate în MAPLE; stabilirea și procurarea resurselor (materialelor) necesare: instalarea pe calculatoarele personale a SSM MAPLE; stabilirea unui calendar al desfășurării activităților (analiza și distribuirea realistă a timpului necesar); alegerea metodelor ce vor fi folosite.
Cercetarea sau investigarea propriu zisă ( care se derulează de regulă pe o perioadă mai mare de timp, timpul este indicat de către profesor): elevul/elevii realizează programe MAPLE în baza unor probleme concrete care prezintă interes pentru un public mai larg, le testează, modifică după necesitate algoritmul de realizare, etc.
Realizarea produselor finale în corespundere temei de cercetare. Elevul/Elevii includ rezultatele obținute, programele realizate, calcule complexe, în diverse rapoarte, lucrări etc., care permit să demonstreze lucrul efectuat de elevi.
Prezentarea rezultatelor/transmiterea acestora celorlalți colegi sau/și altor persoane (elevi din școală, profesori, etc.).
Evaluarea cercetării/activităților derulate (individual sau în grup, de către cadrul didactic sau de către comisia preselectată pentru a evalua proiectele. Evaluarea permite verificarea cunoștințelor elevilor asupra noțiunilor, instrucțiunilor, utilizate în cercetare.
Pe parcursul studiului softului MAPLE elevii au elaborat proiecte pentru diverse teme propuse. Proiectele au fot prezentate și apreciate în cadrul conferințelor locale și municipale. Aici putem menționa și cercetarea efectuată prin metoda proiectului al elevului Anghelov Oleg, elev clasa a XII, tematica proiectului „Rezolvarea ecuațiilor transcendente prin utilizarea SSM MAPLE”, care a fost prezentată la conferința „Muncă. Talent. Cutezanță-2008” și evaluată cu locul I. În această lucrare elevul a efectuat descrierea rezolvării ecuațiilor transcendente prin metodele numerice studiate in clasa a XII cu utilizarea MAPLE, de asemenea în lucrare a fost analizat sondajul „Utilizarea tehnologiilor informației în studiul informaticii” realizat în mai multe instituții de învățământ. S-au sondat studenții de la facultățile ce pregătesc specialiști IT al universităților USM, UTM, ASEM, anul de studii 2007-2008.
Atât metodele didactice descrise, cât și alte metode care vor fi descrise în proiectul lecției, eficientizează studierea MAPLE în școală.
Metode și mijloace privind expunerea procesului de modelare
Expunerea procesului de modelare rămâne a fi o problemă majoră, pentru școală și instituțiile universitare, atât din punct de vedere metodic cât și științific.
Modelul este sistemul, care nu se deosebește de obiectul real, fenomenul examinat, privind unele proprietăți, considerate esențiale și se deosebesc după alte proprietăți, considerate neesențiale. În același timp lipsa în modelul construit a elementelor neesențiale nu este mai puțin importantă, ca prezența elementelor esențiale [159]. Procesul de elaborare și aplicare al modelului construit se numește modelare.
În opinia noastră, în procesul de predare a cursurilor liceale, se sesizează cinci direcții legate de procesul de modelare:
Prima direcție se referă la construcția modelelor după caracteristicile generale ale obiectului de modelare. În această categorie putem include:
modele de comportament (graficul unei funcții, program pe calculator, creșterea populației);
modele de structură (structura calculatorului, structura frunzei, structura scheletului uman).
A doua direcție se referă la construcția modelelor după sfera de activitate a subiectului modelării. În categoria respectivă sunt incluse:
modele aplicate direct în activitatea practică (calcularea ariei, volumul diferitelor figuri geometrice);
modele de instruire (harta geografică, programe demonstrative, diverse și utilaje fizice sau chimice).
A treia direcție se referă la elaborarea modelelor după rolul pe care îl au dirijarea obiectului de modelare. Astfel, avem următoarele modele:
modele de optimizare (algoritmul pentru repartizarea optimală a resurselor, optimizarea devizului de cheltuieli);
modele de simulare(simularea fulgerului la lecțiile de fizică, simularea unui proces economic);
modele de prognozare (clasificarea diverselor semne ale naturii privind prognozarea temperaturii, presiunii, semne naturale vizavi de evoluția anotimpurilor);
modele etalon (etalonul kilogramului, etalonul metrului).
A patra direcție se axează pe factorul de timp. Din acest punct de vedere deosebim:
modele statice (fotografia unui elev, programul de activitate pentru o săptămână, formula pentru calcularea ariei triunghiului);
modele dinamice determinate (algoritmul lui Euclid, algoritmul de soluționare al ecuației pătrate);
modele dinamice probalistice (evoluția unei populații de brotăcei).
A cincea direcție ține de elaborarea modelelor după componentele principale ale obiectului de modelare. În acest sens deosebim:
modele informaționale (formule matematice, ecuații chimice, programul de televiziune, schema logică a algoritmului);
modele ideale/abstracte (examinarea gazului ideal în fizică, simbolul infinitului în matematică);
modele mininaturale/reale (examinarea gazului ideal în fizică, simbolul infinitului în matematică);
modele mininaturale (macheta unei clădiri, unui avion, vapor).
Menționăm că diferite modele pot fi ilustrate prin unele și aceleași exemple. Astfel, graficul unei funcții este model: informațional, de comportament, de instruire și dinamic determinat. Algoritmul lui Euclid este model: informațional, de comportament, de instruire, dinamic determinat și aplicat direct în activitatea practică. Unele chestiuni privind clasificarea modelelor sunt expuse în [10, 163, 164]. În toate cazurile menționate, elaborând modelele respective, sunt cultivate abilități și sunt atinse performanțe, care țin de înțelegerea procesului de modelare, formarea erudiției computaționale și creșterea culturii algoritmice.
Dacă ne vom referi la modele informaționale atunci putem spune că modelele informaționale reprezintă acea informație, despre obiectul cercetat, descrisă într-o anumită formă, ce reflectă cele mai esențiale proprietăți.
Pe noi ne va interesa modelele informaționale a căror obiect examinat este descris cu ajutorul simbolurilor matematice. Acest tip de modele se mai numesc modele matematice. Modelele matematice se întâlnesc la modelarea proceselor studiate la diferite discipline: matematică, fizică, biologie, geografie, etc. [160, 161]. Astfel corelarea dintre modelare și disciplinele de studiu este redată schematic în figura 2.3.
Fig. 2.3. Corelarea dintre modelare și disciplinele de studiu
Modele de lucru se reduc la construirea prin intermediul aparatului matematic cunoscut a unei asemănări simplificate abstracte a sistemului ori a procesului cercetat. Se evidențiază câțiva parametri și în continuare, schimbând valoarea lor, în dependență de scopul propus, se studiază comportarea sistemului respectiv. Succint, construcția modelului matematic, în viziunea noastră, presupune realizarea următoarelor etape fundamentale:
Se formulează exact întrebările la care modelul trebuie să dea răspuns. Se identifică componentele principale și se determină relațiile dintre ele. În cazul când nu se stabilește legătura, dependența funcțională între componentele evidențiate este imposibilă construirea modelului adecvat.
La a doua etapă, utilizând aparatul matematic cunoscut, se descrie procesul studiat. Relațiile între componentele fundamentale, stabilite anterior, sunt „expuse” într-o formă matematică exactă. Astfel modelul construit reprezintă o expresie, o relație matematică strictă a ipotezei formulate anterior.
La ultima etapă se verifică modelul construit, confruntându-se rezultatele obținute, schimbând valoarea unor parametri, cu realitatea. La o diferență substanțială a rezultatelor, modelul respectiv se perfecționează sau se respinge. Prin intermediul calculatoarelor se verifică foarte ușor corectitudinea modelului obținut. Schimbând datele inițiale, pot fi controlate, verificate diferite variante, care se referă la simplificarea ori complicarea structurii modelului cercetat.
Elaborarea modelelor matematice
Să examinăm, mai detailat, procesul de elaborare al modelelor matematice. Prin model matematic vom înțelege sistemul de relații matematice care descriu proprietățile esențiale ale fenomenului ori procesului studiat. Unele idei în acest sens au fost descrise în [162, 163, 164, 165]. După cum menționează Neculai Andrei „Modelarea matematică a început încă cu lucrările lui Galileo Galilei (1564-1642) și s-a consolidat după apariția calculului diferențial elaborat de Isaac Newton (1642-1727) și Gottfried Leibniz (1646-1716). Această cale de reprezentare a naturii în simboluri matematice, deschisă de acești adevărați oameni de știință și consolidată de-a lungul timpului de Johann Bernoulli (1667-1748), Leonhard Euler (1707-1783), Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), Carl Fredrich Gauss (1777-1855), Heinrich Hertz (1857-1894), ș.a. s-a manifestat cu o amploare și acuratețe deosebită atât în domeniul tehnico-ingineresc cât și în domeniul economic și social” [166].
Totodată noțiunea de modelare matematică este descrisă și în lucrările lui Cabac V. [167], Mihailov A.P. [168], Sevostyanov A.G. [169], Mîșkin A.D. [170].
Pentru construcția modelelor matematice adecvate, care ar reflecta cu exactitate procesele studiate, este necesar, în opinia noastră, realizarea următorilor pași:
Colectarea cunoștințelor empirice. În prezent, utilizând calculatoarele moderne, procesul de colectare și depozitare al informației inițiale se perfecționează continuu. Crearea bazelor de date, prin intermediul softurilor moderne, facilitează enorm construcția modelelor matematice. Informația care reprezintă un bogat material factologic se acumulează în baza observărilor efectuate și a experiențelor desfășurate ciclic, într-o perioadă de timp.
Identificarea componentelor și proprietăților esențiale. Identificarea, mai ales, în sistemele supraorganismice studiate a componentelor esențiale și stabilirea legăturilor principale între ele, permite determinarea „momentelor cheie” în elaborarea viitoarelor modele. Evidențierea proprietăților esențiale ale fenomenului real studiat este un proces care necesită un efort deosebit din partea experților implicați. Considerăm această etapă foarte importantă în construcția viitorului model.
Formularea exactă a problemelor. Formularea cât mai explicită și exactă a problemelor care trebuie să fie soluționate prin intermediul modelului, necesită abilități deosebite. Fără obiective formulate concret și clar, este imposibilă aplicarea disciplinelor matematice. În dependență de scopul propus, se va desfășura în continuare, procesul de matematizare al fenomenului biologic studiat.
Descrierea matematică a proceselor. Descrierea matematică a legăturilor principale între componentele esențiale depistate anterior necesită implicarea experților matematicieni și informaticieni. Aplicarea aparatului matematic potrivit, pentru „îmbrăcarea” proceselor biologice, geografice, ecologice, etc., într-o formă strictă și precisă rămâne a fi cea mai dificilă problemă, în concepția noastră, a cercetătorilor contemporani. Multiplicitatea factorilor naturali ai diferitelor procese biologice, de exemplu, nu se „subordonează” complet teoriilor matematice moderne. Abstractizarea, în acest sens, rămâne a fi una dintre cele mai importante probleme ce se cere rezolvată în mileniul trei. Modelul matematic al fenomenului natural, examinat, reprezintă nu altceva, decât descrierea lui prin intermediul limbajului matematic, aplicând diverse teorii matematice.
Selectarea metodelor de soluționare. După ce modelul matematic a fost elaborat este necesar să se decidă referitor la metodele de soluționare. De exemplu, dacă modelul matematic reprezintă un sistem de ecuații liniare, atunci poate fi selectată una dintre numeroasele metode existente pentru rezolvarea numerică a lui. În cazul când nu se găsește o metodă potrivită, pentru realizarea obiectivelor propuse, este necesar să se modifice una dintre metodele existente, ori să se elaboreze o metodă nouă.
Elaborarea algoritmilor. Înainte de-a utiliza calculatorul, metoda selectată trebuie să fie expusă sub formă de algoritmi: scheme logice, instrucțiuni, etc. Acest proces va facilita enorm scrierea programului. Se știe că diferite limbaje de programare, sunt orientate spre soluționarea problemelor de diferite tipuri. În acest caz se alege cel mai potrivit limbaj de programare pentru scrierea programului respectiv.
Lansarea programului la calculator. Programul alcătuit se introduce pe calculator. Lansând programul, se extrage informația inițială din baza de date, creată anterior, pentru a fi prelucrată. În dependență de scopul propus, informația inițială poate fi prelucrată „din diferite puncte de vedere”, obținând astfel răspuns la mai multe întrebări.
Analiza rezultatelor obținute. La ultima etapă în mod obligatoriu se face analiza rezultatelor obținute, verificându-se astfel modelul elaborat. Dacă rezultatele sunt în concordanță cu realitatea modelul se acceptă, în caz contrar se perfecționează ori se respinge. Modelul matematic construit corect ne dă posibilitatea să controlăm experimental diferite ipoteze, să reproducem astfel procesele examinate a căror sesizare directă ar suscita cheltuieli materiale și timp.
Erorile care apar în procesul modelării
În procesul modelării unor fenomene reale, simulării experimentului se comit anumite erori. Vom scoate în evidență cele mai semnificative erori, din punctul nostru de vedere, despre care trebuie atenționați elevii ori studenții și de care trebuie să țină cont în procesul realizării experimentului preconizat.
Erorile care țin de formularea problemei
Modelarea, conform definiției date mai sus, „neglijează” unele proprietăți neesențiale ale prototipului. Aceste sunt erorile formulării problemei. Erorile de acest tip pot fi evoluate numai în cazul când se va construi un model mai exact și mai complicat. Dar acest lucru nu este întotdeauna posibil. Din punct de vedere metodic se recomandă să se examineze în ce moment proprietățile „neesențiale” pot să se manifeste ca proprietăți „esențiale” ale modelului.
Erorile datelor inițiale
Informația inițială, care trebuie prelucrată, aproape întotdeauna se cunoaște cu un anumit grad de exactitate, altfel spus cu o anumită aproximație. Aceste și sunt erorile datelor inițiale. Cu cât modelul construit este mai sofisticat cu atât probabilitatea este mai mare că datele inițiale vor fi mai aproximative, deoarece necesită obținerea unui volum mai mare de informație din diferite surse. Erorile datelor inițiale în procesul prelucrării se extind asupra rezultatelor intermediare și finale. Extinderea erorilor poate să crească ori să descrească.
Erorile metodelor
Se știe că există diferite metode matematice care pot fi utilizate pentru soluționarea problemelor după ce modelul a fost elaborat. În acest sens se pot selecta metode mai exacte ori mai puțin exacte. De exemplu, în cazul când trebuie rezolvată o integrală, aplicarea metodei Simpson care se consideră mai exactă decât metoda trapezelor, va da un rezultat mai bun. Gradul de exactitate a metodei alese poate să crească, „din interior”, modificând parametrii modelului. Un procedeu clasic în acest sens ține de divizarea parametrilor în jumătate, comparându-se de fiecare dată după un anumit criteriu rezultatele obținute, până când se va ajunge la precizia dorită. Astfel se mărește gradul de exactitate a metodei selectate. Evaluarea erorilor se face în dependență de metoda selectată.
Erorile instrumentelor
Instrumentele utilizate atât la colectarea datelor, cât și la prelucrarea lor „imprimă” din start anumite erori. În cazul când se colectează datele empirice indiferent de tipul instrumentelor folosite se comit anumite erori, care sunt inevitabile, și depind de gradul de exactitate a instrumentelor. În procesul de prelucrare a datelor, de cele mai multe ori acest lucru se produce la calculator, la realizarea operațiilor se efectuează rotunjiri, și erorile respective în principiu pot să se acumuleze. Aceasta este eroare a calculatorului. Din punct de vedere teoretic, evaluarea unor astfel de erori se face destul de anevoios.
Procesul de modelare matematică, care în viziunea noastră, în virtutea unor circumstanțe obiective ori subiective, nu sunt tratate destul de profund în procesul de predare-învățare a analizei numerice în clasa 12. Menționăm următoarele:
Obiectivele centrale în cadrul predării-învățării analizei numerice, presupun însușirea metodelor numerice și aplicarea lor la soluționarea unor probleme concrete, descrierea matematică a cărora este foarte clară și exactă. Chiar dacă această abordare este corectă din punct de vedere al asimilării materiei propuse, acest fapt nu îndeamnă elevii, mai ales cei cu pregătirea peste nivelul mediu, la o atitudine creatoare privind elaborarea, obținerea modelului matematic, prin intermediul căruia ar putea fi rezolvată problema respectivă.
În manualele existente, la compartimentul modelare, nu sunt destule probleme, destinate elevilor, ce ar conduce la elaborarea modelelor matematice, selectarea metodelor numerice, elaborarea algoritmilor și testarea rezultatelor obținute la calculator. Parcurgerea etapelor fundamentale, care țin de modelarea matematică, în opinia noastră, le va cultiva elevilor o viziune generală privind integritatea procesului examinat și le va dezvolta o atitudine creatoare vizavi de abordarea acestui proces.
Prin intermediul analizei numerice în general, și însușirea subiectelor care se referă la modelare, în particular, se poate realiza eficient conexiunea cu alte discipline studiate de elevi în cursul liceal: fizică, chimie, biologie, geografie, etc. Chestiunile care țin de legăturile interdisciplinare pot fi tratate cu succes anume în procesul modelării matematice a diverselor fenomene (chimice, biologice, ecologice, etc.) cercetate. De aceste aspecte metodice nu întotdeauna se ține cont la predarea metodelor numerice.
În paragraful 2.3.3 vom aduce ca exemple unele probleme ale căror modele matematice sunt elaborate și soluționate cu ajutorul unor metode numerice.
Rezolvarea problemelor de acest tip, duce la creșterea încrederii elevilor referitor la posibilitățile lor de a construi modele matematice, de a găsi metode numerice adecvate și de a analiza rezultatele obținute.
Abordări didactice în predarea-învățarea unităților de învățare din cursul liceal de metode numerice
Implementarea noilor tehnologii informaționale în educație capătă coerența și profunzimea unei paradigme, care considerăm noi, devine caracteristică pentru tinerele generații, care sunt obligate prin definiție să însușească și să aplice eficient produsele noilor „izbucniri tehnologice”, la soluționarea problemelor cotidiene specifice unei societăți postindustrializate. Nu în zadar, cunoscutul savant-pedagog Jacques Delors susținea că „Educația are dificila misiune de a transmite o cultură acumulată de secole, dar și o pregătire pentru un viitor în bună măsură imprevizibil [171] Din această perspectivă considerăm că fiecare profesor de informatică trebuie să asigure un echilibru rațional între cele două tipuri de învățare: învățare inovatoare și învățarea de menținere, iar la nivelul demersurilor instructiv-educative să mențină echilibru între dimensiunea informativă și cea formativă.
Predarea-învățarea compartimentelor Elemente de modelare și calcul numeric în școală se efectuează prin utilizarea limbajului de programare Pascal de către majoritatea profesorilor din R. Moldova, iar analiza surselor propuse pentru studiul acestor compartimente în liceu, în perioade diferite, confirmă acest fapt: Corlat S., Ivanov L. [172], Botoșanu M., ș.a. [173], Gremalschi A., Corlat S., Braicov A. [174].
Ținând, însă, cont de implementările tehnologiilor informației în societate și în educație este necesară modificarea modelului de predare învățare al compartimentului menționat. Aici apar un șir de întrebări: Care este noul model? Cum va fi primit de către elevi? Ce oportunități ne oferă modelul dat în predarea informaticii?, etc.
Analizând sistemul actual de predare-învățare al informaticii, sistemele software matematice existente, ansamblul strategiilor didactice, indicăm schematic predarea-învățare a compartimentului „Modelare și calcul numeric”, figura 2.4.
Studierea compartimentului Modelare și calcul numeric in cursul liceal de informatică trebuie să înceapă cu motivația, care din primele momente va captiva atenția elevilor. Aceasta trebuie să încadreze întreg compartimentul de studiu prin exemple, secvențe video, calcule numerice complicate, grafică, tehnologii noi, etc.
Fig. 2.4. Corelarea compartimentului Modelare și calcul numeric
cu disciplinele de studiu prin SSM
În continuare vom indica unele abordări metodice și teoretice succinte pentru temele ce se studiază în clasa a XII, profil real, compartimentul Elemente de modelare și calcul numeric.
Chestiuni didactice privind predarea compartimentului Soluționarea ecuațiilor algebrice și transcendente
La rezolvarea numerică a ecuațiilor algebrice și transcendente un rol important îl are localizarea rădăcinilor (separarea soluțiilor) prin metoda analitică. Pentru a localiza rădăcinile analitic sunt necesare unele noțiuni teoretice, care sunt cunoscute elevilor din cursul de matematică. Aceste noțiuni le reamintim utilizând diverse strategii didactice bazate pe învățarea centrată pe elev.
Una din cele mai vechi probleme care nu și-a pierdut esența în zilele noastre este determinarea rădăcinilor ecuației f(x) =0, unde f(x) este o funcție continuă și strict monotonă pe segmentul [a, b]. Pentru determinarea soluțiilor sunt necesare de parcurs două etape:
(1) Localizarea rădăcinilor și (2) Determinarea soluției cu ajutorul metodelor de calcul.
Pentru prima etapă este necesar de explicat elevilor cum se localizează rădăcinile analitic și grafic. Pentru aceasta vom analiza unele afirmații:
Vom spune că rădăcina ζ a ecuației f(x) = 0 este localizată pe segmentul [a, b] dacă pe acest segment nu există alte rădăcini.
Folosind unele afirmații cunoscute din matematică se poate analitic de localizat rădăcinile ecuației f(x) = 0. Elevilor li se reamintește următoarele afirmații:
Afirmația 1. Dacă funcția f(x) este continuă pe segmentul [a, b] și ia valori de semn opus la capetele acestui segment (adică f(a)f(b) < 0 ), atunci ecuația f(x) = 0 are cel puțin o rădăcină pe segmentul [a, b].
Afirmația 2. Dacă funcția f(x) este continuă și strict monotonă pe segmentul [a, b] și ia valori de semn opus la capetele acestui segment, atunci ecuația f(x) = 0 are pe segmentul [a, b] o rădăcină și numai una singură.
Afirmația 3. Dacă funcția f(x) este continuă pe segmentul [a, b] și ia valori de semn opus la capetele segmentului, iar derivata f'(x) își păstrează semnul pe segmentul [a, b], atunci pe segmentul [a, b] există o rădăcină a ecuației f(x) = 0 și această rădăcină este unică.
Etapa a doua, de determinare a soluției cu ajutorul metodelor de calcul, presupune utilizarea metodelor: metoda bisecției, metoda coardelor, metoda tangentelor. Metodele indicate sunt descrise în mai multe surse [39, 40, 175, 176, 177, 178, 179] și nu vom efectua descrierea lor, pentru a exclude repetările. În Anexa 4, propunem programe MAPLE pentru metodele Bisecției.
Vom analiza unele repere pentru metode care nu sunt încadrate în curriculumul la informatică și sunt binevenite pentru studiu utilizând metoda proiectului. Astfel a fost propusă pentru cercetare Metoda modificată a coardei prin analogie cu metoda coardei, studiată de către elevi la orele de curs și din diverse surse [175].
Metoda coardei din alt punct de vedere.
Considerăm funcția f(x) continuă și strict monotona pe segmentul [a, b] și în extremitățile lui are semne contrare. Nu e necesar că funcția f(x) să fie de două ori derivabilă.
După cum se știe metoda coardei constă în înlocuirea curbei y = f(x) printr-o coardă dusă prin punctele A(a,f(a)) și B(b,f(b)). În continuare, spre deosebire de expunerea metodei coardei în sens clasic, ne va interesa nu ecuația coardei, ci punctul ei de intersecție cu axa Ox, pe care îl vom găsi din asemănarea triunghiurilor Axa și Bxb, (Vezi figura 2.5).
y
B
a x b
Ox
A
Fig. 2.5. Metoda coardei
Avem deci: . De unde găsim, că . După aceasta, determinăm f(x) și verificăm dacă se îndeplinește condiția f(a)*f(x)<0. Dacă e așa, atunci punctul a rămâne neschimbat, iar în calitate de b considerăm punctul x, adică b = x. În caz contrar a = x și b rămâne neschimbat. Acum aplicăm același procedeu față de segmentul nou obținut: ducem coarda prin punctele respective și din asemănarea triunghiurilor obținem noul punct de intersecție x cu axa Ox.
Procedeul se repetă până atunci, când | xi+1 – xi | devine mai mic decât precizia data . În calitate de rădăcină se consideră numărul .
În același mod se va studia și „Metoda mixtă a coardelor și tangentelor”. Pentru metoda aceasta vom concretiza doar unele momente.
Regulă. În calitate de aproximație inițială se alege acel capăt al segmentului [a, b] în care semnul funcției f(x) coincide cu semnul derivatei de ordinul doi f"(x).
Deci, dacă f'(x)f"(x)<0, atunci metoda tangentelor permite aproximarea prin lipsă, iar metoda coardelor permite aproximarea prin adaos.
Evident, că și desigur .
Procedeul se oprește atunci când , unde este precizia dorită.
Schema logică a metodei modificate a coardei.
Fig. 2.6. Schema logică a metodei coardei
Ca valoare a rădăcinii se va lua media aritmetică a ultimilor valori obținute:
, unde și – este aproximarea rădăcinii respectiv prin lipsă și adaos.
Din punct de vedere practic, la identificarea aproximației inițiale, atât pentru metoda Newton-Rafson, care se studiază în cursul liceal, cât și pentru metoda mixtă a coardelor și tangentelor pot să apară anumite dificultăți, care țin de determinarea derivatelor. Necesitatea de a găsi derivata de ordinul întâi și derivata de ordinul doi a funcției f(x) nu întotdeauna se realizează ușor. Dacă mai luăm în considerație faptul că funcția f(x) poate să fie destul de complicată, atunci diferențierea analitică se efectuează destul de dificil în sens tehnic. Este și mai complicat de găsit derivatele atunci când expresia analitică a funcției nu se cunoaște. Autorii propun o altă abordare în asemenea cazuri.
Menționăm, că formula Newton-Rafson (formula respectivă, dar ceva mai târziu decât Newton a fost obținută, în anul 1690, și de către Rafson). este substituită în programul de mai jos printr-o formulă aproximativă. Și anume, luând în considerație formula aproximativă pentru calcularea derivatei de ordinul unu:
(2.1)
formula recurentă, după înlocuirea expresiei pentru , are forma:
(2.2)
Formula aproximativă pentru calcularea derivatei de ordinul doi ușor se obține din (2.1):
(2.3)
În relațiile de mai sus vom considera x=E, unde E reprezintă precizia necesară pentru calcularea rădăcinilor. În felul acesta nu va fi necesar să se calculeze manual derivata de ordinul 1 și derivata de ordinul 2. Aceste operații nu întotdeauna se desfășoară rapid și eficient de către elevi. Calculele respective vor fi realizate de calculator. În așa mod nu va fi necesar să se determine aproximația inițială în mod manual și să se calculeze derivatele de către utilizator.
În procedura MAPLE pentru metoda mixtă, prezentată în continuare, ușor se poate înlocui formula Newton-Rafson.
Remarcă. Se poate utiliza o formulă cu un grad mai mare de exactitate, așa numita formulă lui Salzer:
(2.4)
Pentru asimilarea formulei propunem elevilor, din relația (2.4), să se deducă o nouă formulă aproximativă pentru calcularea derivatei de ordinul doi și o altă relație de recurență.
Menționăm că programele pentru metoda coardei modificată cât și pentru metoda mixtă a coardelor și tangentelor pot fi unificate cu programul pentru metoda localizării. În felul acesta, în același timp, vor fi localizate rădăcinile ecuației examinate și precizate prin una din metodele expuse mai sus.
În continuare, analizăm unele probleme pentru care este elaborat modelul matematic și soluționate cu ajutorul unor metode de calcul, menționate anterior, de către elevii claselor a XII-a.
Problema 1. O piscină este construită cu baza în formă de pătrat și volumul 30 m3. Care este adâncimea piscinei, dacă se știe că latura pătratului din bază este mai mică decât înălțimea cu 2 m? Să se calculeze rezultatul cu eroarea eps=0.001 m.
Soluție. Notăm prin x – adâncimea piscinei. Conform condiției problemei cunoaștem că volumul piscinei este de 30 m3. Utilizând formula pentru calcularea volumului unui paralelipiped (V=abc ) cu baza în formă de pătrat avem următoarea relație:
x(x-2)2=30 (2.5)
Deschidem parantezele în (1) și aducem relația respectivă la forma f(x)=0.
Obținem modelul matematic a problemei reprezentat prin ecuația:
x3-4×2 +4x-30=0 (2.6)
Rezolvăm această ecuație, aplicând programul unificat pentru localizare și metoda coardei modificate găsim că rădăcini pozitive avem doar pe segmentul [4;5]. Luând în considerație precizia eps=0.001 si pasul h=0.001 obținem rădăcina 4.563762, care și reprezintă adâncimea, în metri, a piscinei.
Problema 2. Un vas de formă semisferică este plin cu apă. Sub ce unghi α trebuie înclinat vasul astfel încât să rămână în vas exact o treime din apă? Rezultatul să se obțină cu eroarea eps=0.001.
Soluție:
Volumul apei din semisferă se calculează conform
formulei :
V = 2πr3/3, (2.7)
iar conform condiției problemei avem că
Fig. 2.7
1/3 V = 2/9πr3 (2.8)
Presupunem că o treime din volumul apei se va afla în segmentul semisferic DBC exprimat prin raza r. Astfel obținem:
VDBC=πh2(r-h/3) (2.9)
unde h=│OC│–│OE│= r – r sin α = r (1–sin α)
VDBC= πr2(1- sin α)2(r-r(1-sin α)/3)=πr2(1- sin α)2(3r-r+rsin α)/3)=
= πr3/3(1- sin α)2(2+sin α)= πr3/3(1- 2sin α+sin2α )(2+sin α)=
= πr3/3(2- 3sin α+sin3α)== πr3/3(sin3α- 3sinα+2);
Am obținut:
V= πr3/3(sin3α-3sinα+2); (2.10)
Așa cum părțile stângi ale ecuațiilor (2.8) și (2.10) sunt egale, atunci sunt egale și părțile drepte:
2πr3/9= (πr3/3)(sin3α-3sinα+2);
Aducem relația de mai sus la forma f(x)=0, obținem
sin3α-3sin α+4/3=0
Efectuăm substituția x = sin α și obținem ecuația: x3- 3x + 4/3=0
Rezolvăm această ecuație, aplicând programul unificat pentru localizare și metoda coardei modificate găsim că rădăcini pozitive avem doar pe segmentul [0;1]. Luând în considerație precizia eps=0.001, obținem, rădăcina 0.482403. Așa dar sin α=0.482403 și unghiul sub care trebuie înclinat vasul astfel încât să rămână exact o treime din apă este α=28048.
Problema 3. Fie că avem produsul a 5 factori. La fiecare din primii trei factori din produsul respectiv se adaugă factorul însuși înmulțit la unul și același număr x. Din fiecare următorii doi factori, a produsului, se scade factorul însuși înmulțit la unul și același număr x. Determinați numărul x, dacă se știe că produsul factorilor respectivi, după modificare, rămâne neschimbat.
Soluție. Fie că a, b, c, d, e – sunt factorii produsului, x – parte din fiecare factor.
Conform condiției problemei alcătuim relația
(a+ax)(b+bx)(c+cx)(d-dx)(e-ex)=a b c d e;
a(1+x)b(1+x)c(1+x)d(1-x)e(1-x)= a b c d e;
a b c d e (1+x)3(1-x)2= a b c d e;
(1+x)3(1-x)2=1;
(1+3x+3×2+x3)(1-2x+x2)=1;
x5+x4 -2×3-2×2+x=0;
x (x4+x3 -2×2-2x+1)=0
Modelul matematic reprezintă următoarea relație x4+x3 -2×2-2x+1=0.
Vom determina rezultatul aplicând programul unificat pentru localizare și metoda mixtă a coardelor și tangentelor. Găsim că sunt două segmente cu rădăcini pozitive [0, 1] și [1, 3].
Pentru segmentul [0,1] avem:
Rădăcina aparține segmentului [0.38900000002; 0.39000000002]
rădăcina = 0,38939074,
rădăcina după metoda tangentei = 0,38939068,
rădăcina după metoda coardei = 0,38939080.
Iar pentru segmentul [1, 3] găsim:
Rădăcina aparține segmentului [1.28800000010;1.8900000010]
rădăcina c = 1,28895796 ,
rădăcina după metoda tangentei = 1,28879519,
rădăcina după metoda coardei = 1,28912073
Problema 4. Un obiect de lemn are formă semisferică, cu raza 3. Se cere să se împartă obiectul în două părți echivalente, tăindu-se astfel încât secțiunea tăieturii să fie paralelă cu baza.
Soluție: Fie este planul bazei. Planul va reprezenta secțiunea tăieturii. Deoarece ||, atunci în secțiune se obține o calotă sferică și o zonă sferică. Din condiția problemei părțile sunt echivalente, atunci
Vcalotei= Vzonei= 1/2Vsemisferei=
Fig. 2.8 R=OA=OB=OC.
Fie CO=x, atunci OO=R-x.
Așa dar, Vcalotei= (2.11)
Luând în considerație relația (2.11), avem
(2.12)
Astfel, obținem ecuația: =de unde avem 3x2R – x3 = R3 , egalând cu zero obținem: x3-3x2R+R3=0.
Deoarece R=3, obținem x3-9×2+27=0.
Rezolvăm această ecuație, aplicând programul unificat pentru localizare și metoda mixtă a coardelor și tangentelor. Găsim că rădăcini pozitive sunt pe segmentul [0,1] și [8,9]. Luând în considerație condiția problemei și precizia eps=0.001, obținem, rădăcina = 1.95811096. rădăcina după metoda tangentei = 1.95811093,
rădăcina după metoda coardei = 1.95811083
Așa dar trebuie de efectuat o tăietură la distanța OO= R-x = 3-1.95811096 = 1,04188904
Metode didactice privind elaborarea modelelor matematice și soluționarea problemelor prin intermediul sistemelor de ecuații liniare
Rezolvarea problemelor din diverse domenii al căror model matematic este un sistem de ecuații lineare, în mare măsură depinde de viteza calculării acestor sisteme. Metodele de rezolvare a astfel de probleme pot fi divizate în două grupe: (1) metode exacte, ca metoda Cramer, metoda Gauss, studiate în cursul liceal de metode numerice și (2) metode de iterație, numite și metode aproximative [180].
În metodele directe, soluția exactă se obține după un număr finit de operații aritmetice elementare(adunare, scădere, înmulțire, împărțire) și acest număr este de ordinul n3. Metodele directe se utilizează la rezolvarea sistemelor de dimensiune n200, iar pentru dimensiuni n 100, se utilizează metodele iterative. Pentru elevi, rezolvarea manuală a sistemelor de ecuații, chiar și de ordinul n=4, deja prezintă o dificultate, de aceea atât în utilizarea primei metode, cât a doua metodă, necesită cunoașterea algoritmul de calcul, iar soluționarea propriu zisă să se efectueze cu ajutorul diverselor tehnologii computaționale.
Vom examina unele probleme ale căror modele matematice reprezintă sisteme de ecuații liniare, rezolvarea acestora o prezentăm prin diverse metode cu ajutorul limbajului Pascal și SSM MAPLE [181].
Problema 1. Dacă 3 km se merge pe jos, 4 km se merge pe bicicletă și 2 km cu motocicleta, atunci tot drumul va dura 12/5 h. Dacă 4 km se merge pe jos, 6 km se merge pe bicicletă, iar 3 km cu motocicleta, atunci se cheltuie 67/20 h. Dacă 1 km se merge pe jos, 5 km se merge pe bicicletă, iar 2 km se merge cu motocicleta, atunci drumul va dura 32/20 h. Care vor fi vitezele fiecărui mijloc de transport : parcurgerii pe jos, bicicletei și motocicletei?
Soluție:
Notăm V1 (km/h), V2 (km/h), V3 (km/h) vitezele pentru drumul parcurs pe jos, pentru drumul parcurs cu bicicleta și drumul parcurs cu motocicleta respectiv.
Din condiția problemei obținem următorul sistem de ecuații:
(2.13)
Din care trebuie să determinăm V1, V2, V3.
Notăm prin . (2.14)
Vom obține următorul sistem de ecuații:
(2.15)
Pentru a determina soluțiile sistemului de ecuații există mai multe metode:
Metoda 1. Calcularea sistemului manual și utilizând programul Pascal.
Atât calculul manual al sistemului utilizând metoda Gauss sau Gauss-Jordan, cât și calculul sistemului prin programul realizat în Pascal sunt bine cunoscute din cursul de matematică și informatică și sunt regăsite în multe surse de Metode numerice. Ne vom referi mai mult la:
Metoda 2. Determinarea soluțiilor sistemului utilizând MAPLE.
2.1. Aplicând MAPLE putem determina soluțiile sistemului direct.
Pentru aceasta vom ține cont de următorii pași:
– inițializăm pachetul algebrei liniare:
>
– definim matricea conform sistemului de ecuații obținut:
>
utilizăm funcția eliminării succesive al lui Gauss-Jordan:
>
Conform căruia obținem soluțiile:
Înlocuind x, y, și z în notațiile (2.14), obținem răspuns la problemă V1=2 km/h, V2=5 km/h, V3=20km/h
2.2. Determinarea soluțiilor sistemului prin elaborarea procedurii metodei Gauss.
Pentru aceasta vom ține cont de următorii pași:
definim procedura pentru calcul:
– definim funcția pentru matrice:
>
inițializăm elementele matricei și termenii liberi în modul următor:
>
>
facem apel la procedura:
>
Dacă analizăm toate metodele de rezolvare, observăm că rezultatul este același.
Problema 2. Pentru necesitățile unei cantine pe parcursul lunii octombrie au fost procurate de trei ori roșii, morcov, zahăr în cantitățile și sumele respective:
3 kg, 4 kg, 5 kg pentru suma 64 lei;
5 kg, 7 kg, 8 kg pentru suma 105 lei;
6 kg, 9 kg, 10 kg pentru suma 131,5 lei.
Cât s-a plătit pentru 1 kg de roșii, 1 kg de morcov, 1 kg de zahăr, dacă prețul acestor produse a rămas constant?
Soluție.
Conform condiției problemei, notăm prin x – prețul pentru 1 kg de roșii, prin y – prețul pentru 1 kg de morcov și prin z – prețul pentru 1 kg de zahăr, obținem următorul sistem de ecuații:
Metoda 1. Rezolvăm sistemul utilizând Regula lui Cramer
Rezolvarea manuală pentru determinarea soluțiilor pentru metoda Cramet și programul Pascal pentru soluționare sunt cunoscute de către elevi din cursul de matematică și informatică. Un interes deosebit îl are
Metoda 2. Aplicând MAPLE putem determina soluțiile sistemului direct.
2.1. Pentru aceasta vom ține cont de următorii pași:
– inițializăm pachetul algebrei liniare:
>
– utilizăm funcția det() și Matrix() pentru determinantului matricei, apoi conform regulii lui Kramer determinăm soluțiile :
>
>
>
>
Problema 3. Bazinul are trei robinete pentru scurgerea apei. Prin primul și al doilea robinet bazinul poate fi deșertat în 15 minute, prin primul și al treilea robinet – în 12 minute, iar prin al treilea și al doilea robinet – în 10 minute. În cât timp va fi deșertat bazinul prin fiecare robinet în parte?
Soluție:
Notăm prin x, y și z – timpul pentru a fi deșertat bazinul de către fiecare robinet în parte respectiv. Volumul bazinului îl considerăm ca 1.
Atunci conform condiției problemei obținem următorul sistem:
(2.16)
În sistemul (2.16) efectuăm notațiile: , , (2.17)
Obținem:
(2.18)
Metoda 1. Rezolvăm sistemul utilizând Regula lui Cramer tradițional:
1.1. Vom utiliza rezolvarea manuală pentru determinarea soluțiilor:
1.2. Utilizăm programul Pascal pentru soluționare.
Metoda 2. Aplicând MAPLE putem determina soluțiile sistemului direct.
2.1. Pentru aceasta vom ține cont de următorii pași:
– inițializăm pachetul algebrei liniare:
>
– utilizăm funcția det și Matrix pentru determinantului matricii, apoi conform regulei lui Kramer determinăm soluțiile :
>
>
>
>
Înlocuim w, v și u în notațiile (2.17), atunci avem x = 40, y = 24, iar z = 17.142, adică timpul de scurgere prin primul robinet va constitui 40 minute, pentru robinetul al doilea 24 minute, iar pentru al treilea 17.142 minute..
Aspecte didactice privind predarea temei Integrale numerice
În mod tradițional, atât Metodele numerice în general, cât și Integralele numerice în particular, se studiază utilizându-se un număr limitat de instrumente didactice cu implementarea limitată a tehnologiilor informaționale moderne. Eficiența procesului de predare-învățare poate să crească continuu introducând și perfecționând noi instrumente didactice în conexiune strânsă cu implementarea noilor tehnologii informaționale. Unele abordări, în acest sens, au fost tratate de noi în mai multe surse [182, 183, 184].
În experimentul desfășurat de noi, privind implementarea tehnologiilor moderne în cursul de Metode Numerice s-a analizat din mai multe puncte de vedere oportunitățile și avantajele oferite de soft-urile MAPLE 11, EXCEL, TPASCAL.
În cadrul procesului instructiv-educativ implementarea noilor tehnologii informaționale, în opinia noastră, generează noi oportunități și oferă avantaje suplimentare la însușirea Metodelor de calcul. În contextul respectiv menționăm următoarele avantaje:
Creșterea accesibilității și ilustrativității.
Creșterea abilităților de programare.
Sporirea și aprofundarea deprinderilor privind elaborarea modelelor matematice.
Avantajul timpului de rezolvare.
Claritatea prezentării rezultatelor.
În continuare vom analiza fiecare avantaj în parte:
Creșterea accesibilității și ilustrativității
Utilizarea rațională și eficientă, în procesul de predare-învățare, a tehnologiilor informaționale noi, stimulează creșterea gradului de accesibilitate și ilustrativitate a materiei studiate. În acest context putem menționa că, pentru elevi, procesele care țin de demonstrația formulelor de cuadratură, calcularea integralelor după metode numerice, devin cu mult mai ilustrative, convingătoare și mai clare.
În așa mod, la predarea formulelor dreptunghiurilor de stânga, dreapta și de mijloc se utilizează comenzile specifice MAPLE 11, din pachetul student, care sporesc gradul de înțelegere și de asimilare a noțiunilor examinate și a afirmațiilor demonstrate.
Astfel, pentru demonstrația aplicabilității formulelor dreptunghiurilor pot fi utilizate eficient următoarele comenzi:
comenzile middlebox(f(x), x=a..b, n) și evalf(middlesum(f(x), x=a..b, n)), se utilizează pentru reprezentarea grafică și calcularea rezultatului pentru metoda dreptunghiurilor medii.
comenzile leftbox(f(x), x=a..b, n) și evalf(leftsum(f(x), x=a..b, n)), se utilizează pentru reprezentarea grafică și calcularea rezultatului pentru metoda dreptunghiurilor de stînga.
comenzile rightbox(f(x), x=a..b, n) și evalf(rightsum(f(x), x=a..b, n)), se utilizează pentru reprezentarea grafică și calcularea rezultatului pentru metoda dreptunghiurilor de dreapta.
În comenzile indicate f(x) este funcția de sub integrală, a și b reprezintă capetele segmentului [a,b], iar n numărul de diviziuni al segmentului examinat.
Inițializarea pachetului student se efectuează în modul următor: >with(student).
Pentru demonstrarea și calcularea integralei prin metoda trapezelor este eficient să se utilizeze comandă ApproximateInt(f(x), x = a..b, opts), din pachetul Student[Calculus1]. Inițializarea căruia se efectuează astfel: >with(Student[Calculus1]).
În comanda indicată f(x) este funcția de sub integrală, a și b reprezintă capetele segmentului [a,b], iar opts include mai multe opțiuni necesare calculului, unele din ele sunt:
method=bode, left, lower, midpoint, newtoncotes[posint], random, right, simpson, simpson [3/8], trapezoid, upper – indică metoda de calcul, în cazul nostru pentru metoda trapezelor vom iniția metoda trapezoid;
output=plot or animation, plot – reprezintă grafic metoda selectată, iar opțiunea animation permite observarea divizării segmentului pentru metoda selectată;
partition=N- determină numărul de diviziuni ale segmentului [a, b], de exemplu partition=15.
Pentru a demonstra aplicabilitatea și ilustrativitatea acestor comenzi vom analiza unele exemple.
Exemplu1. Să se calculeze integrala .
Rezolvare. Pentru construcția unei figuri (fig. 2.9) care să ilustreze geometric aplicabilitatea dreptunghiurilor medii vom aplica comenzile MAPLE 11 menționate mai sus. Pentru exemplul cercetat avem următoarele date inițiale: funcția f(x)= definită pe segmentul [5, 10] și vom considera numărul de diviziuni n=5. Astfel, vom utiliza următoarea instrucțiune
>
Fig. 2.9. Metoda dreptunghiurilor medii
Formula dreptunghiurilor medii pentru calcularea integralei este următoarea:
Pentru integrala formula dreptunghiurilor medii conform reprezentării grafice, pentru segmentul [5, 10], va fi calculată în modul următor:
Considerăm x0=5, x1=6, x2=7, x3=8, x4=9, x5=10, iar și obținem:
Luând în considerație că și obținem:
Deci, integrala calculată prin formula dreptunghiurilor medii este =0,099.
Pentru verificarea rezultatului obținut utilizăm comanda din MAPLEt
evalf (
Astfel:
>
Se observă că indiferent de metoda de calcul al integralei rezultatele coincid. Însă, dacă în aceeași integrală segmentul [a, b] va fi destul de mare, ca exemplu[6,4 106, 8,6·106] determinarea rezultatului prin metoda dreptunghiurilor medii va fi dificil de calculat.
Exemplul 2. Să se calculeze integrala .
Rezolvare. Rezolvarea acestei integrale pe segmentul [6,4 ·106, 8,6·106] cu n= 10 divizări ale segmentului se efectuează în mod analog ca în exemplul 1.
>
>
Fig. 2.10. Reprezentarea grafică utilizînd funcția middlebox
Se observă că aplicând mediul MAPLE, metoda dreptunghiurilor de mijloc devine mai ilustrativă, iar rezultatul integralei se determină mult mai simplu.
În continuare vom examina calcularea aproximativă a integralelor definite prin metoda trapezelor.
Exemplul 3. Să se calculeze integrala aplicând metoda trapezelor.
Rezolvare. Soluționarea integralei respective o vom realiza divizând la început segmentul [0,12] în patru părți egale, iar apoi vom mări exactitatea împărțind segmentul dat în 12 părți egale.
Pentru rezolvare vom utiliza comanda ApproximateInt(f(x), x = a..b, opts) .
>ApproximateInt
După inițializarea acestei comenzi la ecran vom obține reprezentarea metodei trapezelor în figura 2.11.
Fig. 2.11. Reprezentarea metodei trapezelor
Se observă că pentru patru diviziuni ale segmentului prin metoda trapezoid obținem patru trapeze ceea ce este binevenit pentru a se observa grafic metoda, însă pe axa OX nu sunt indicate toate punctele de intersecție a trapezelor cu axa OX, iar în legendă este reprezentat cazul general al funcției f(x). Aceste neclarități se pot înlătura prin formatarea graficului obținut astfel:
se plasează cursorul pe graficul obținut, se tastează clic dreapta al mouse-lui, se selectează din meniu opțiunea Axes-> Properties… ca și în figura 2.12.
Fig. 2.12
la ecran va apărea fereastra Axes Properties (fig.2.13) din cadrul căreia selectăm butonul Spacing: și indicăm în casetă valoarea 3, această valoare se alege din considerentul că segmentul [0,12] se divizează în 4 părți.
Fig. 2.13.
Apoi tastăm butonul Apply și OK.
Pentru editarea legendei se alege opțiunea Legend-> Edit Legend…, apoi se indică funcția necesară.
În rezultatul formatării vom obține graficul din fig. 2.14.
Fig. 2.14.
Pentru alte formatări ale graficului pașii sunt aceeași, ținând cont doar de cerințele necesare modificării.
Se știe că formula de calcul a integralei prin metoda trapezelor este:
Pentru integrala examinată vom avea următoarea formulă aproximativă de calcul:
Conform figurii construite avem x0=0, x1=3, x2=6, x3=9, x4=12 și pasul h=3.
Substituim valorile respective în formulă:
Din figura de mai sus observăm că aria trapezului curbiliniu este 714.
În așa mod putem conchide că rezultatele coincid.
Pentru a mări exactitatea vom diviza segmentul [0,12] în 12 părți egale și astfel vom obține punctele de diviziune x0=0, x1=1 x2=2, x3=3 x4=4 x5=5, x6=6, x7=7, x8=8, x9=9, x10=10, x11=11, x12=12, unde pasul h=1.
>ApproximateInt
Fig. 2.15.
Procedând în mod similar vom obține formula de calcul
Substituind valorile punctelor de diviziune vom obține:
Utilizând comenzile MAPLE după cum se vede din figura de mai sus obținem același rezultat.
Creșterea abilităților de programare
Prin aplicarea mediilor de programare MAPLE și Pascal cresc abilitățile și cunoștințele elevilor privind programarea metodelor examinate.
Pentru exemplul 2 vom prezenta procedura pentru dreptunghiurile medii realizată în MAPLE și programul elaborat în TPascal respectiv, care returnează rezultatul integralei.
Procedura MAPLE:
În procedura MAPLE de mai sus, dreptunghiurimedii este numele procedurii; proc(f,a,b,n) – definește procedura cu lista de parametri: f – funcția, a, b – extremitățile segmentului, n – numărul de divizări ale segmentului [a,b]; local i, iab, h, h0 – variabilele locale utilizate în procedură.
Pentru a calcula integrala utilizând procedura dreptunghiurimedii, se definește funcția necesară calculării în modul următor >f:=x->f(x), unde f(x)=.
>
Apoi se face apel la procedură conform formatului nume_procedură(f, a, b, n).Astfel:
>dreptunghiurimedii(f,6.4∙106,8.4∙106,10);
Ca rezultat obținem:
3,719529246∙10-8
Sporirea și aprofundarea deprinderilor privind elaborarea modelelor matematice
Modelare matematică în compartimentul Metode numerice este descrisă destul de clar la nivel teoretic. Însă pentru fiecare temă a compartimentelor examinate găsim doar probleme la care elaborarea modelelor matematice nu se cere ori este simplă și puțin captivantă pentru elevi. Chiar dacă această abordare este binevenită, pentru unele categorii de elevi, acest fapt nu încurajează elevii, mai ales cei cu pregătirea peste nivelul mediu, la o atitudine creatoare privind elaborarea, obținerea modelului matematic, prin intermediul căruia ar putea fi rezolvată problema respectivă. De exemplu, pentru compartimentul „Integrale numerice”, ar fi binevenite probleme pentru care s-ar realiza de către elevi modelul matematic, iar apoi să se aplice metoda numerică corespunzătoare pentru soluționare.
Vom examina un exemplu de acest gen:
Problemă. Un vas în formă de con, direct circular cu axa verticală; localizarea și mărimea lui este prezentată în fig.2.9. Vasul este umplut cu apă și apoi apa este evacuată printr-o gaură mică rotundă, situată în partea de jos a vasului(care se află în vârful B). Să se determine timpul de scurgere al apei din vas.
Rezolvare. Presupunem că, timpul t, pentru care nivelul apei în vas se va descărca la înălțimea x, este o oarecare funcție t(x), determinăm diferențiala ei dt pentru modificările lui x la înălțimea dx.
Fie că scăderea apei în vas la o mică înălțime dx este determinată de creșterea timpului ∆t. Atunci, presupunând, că în perioada aceasta mică de timp apa se scurge din vas cu viteză constantă egală cu .
Fig. 2.16.
Determinăm volumul apei care s-a scurs în timpul ∆t prin gaură în partea de jos cu aria , după formula .
Tot în același timp ∆t volumul apei în vas se va micșora cu înălțimea care trebuie să fie egală cu volumul apei care s-a scurs ∆v. Din egalitatea ∆v=∆v1, obținem
Timpul T al scurgerii totale a apei din vas îl obținem integrând dt după x , de la x=0 până la x=H :
Așa dar, modelul matematic al problemei este construit.
Pentru calcularea integralei vom exprima variabila y prin variabila x.
Din asemănarea triunghiurilor ABC și NBM, avem pentru vas următoarele formule :
Înlocuim (2.19) în T obținem:
(2.20)
Dăm valori conform condiției problemei pentru r = 0,5, R = 3, H = 10.
Pentru a rezolva integrala numerică din (2) vom utiliza metodele:
Metoda A. Calcularea integralei utilizând aplicația Excel.
Metoda B. Calcularea integralei utilizând aplicația MAPLE 11.
Să examinăm metodele menționate.
Metoda A. Calcularea integralei utilizând aplicația Excel, pentru metoda trapezelor și dreptunghiurilor de stânga.
A.1. În acest scop divizăm segmentul [0,10] în 15 părți egale cu pasul . Calculele le indicăm în tabelul următor, unde xi diviziunile segmentului, h pasul, și yi rezultatul funcției pentru fiecare diviziune.
Calculăm integrala utilizând formula trapezelor (IMT) și dreptunghiurilor de stânga (IMDS) pentru rezultatele obținute în tabel:
A.2. Vom utiliza programul realizat în limbajul Pascal pentru a compara rezultatul cu calculele obținute în Excel :
program Integrala;
uses crt;
function f(x:real) :real;
begin
f:=sqr(3/10*(10-x))/sqrt(10-x);
end;
var a,b,h,x,s,s1,s2,s3:real;
i,n:integer;
BEGIN
clrscr;
writeln('introdu a,b si n-num de diviz');
write('a=');readln(a);
write('b=');readln(b);
write('n=');readln(n);
h:=(b-a)/n;
{dreptunghiuri stinga si dreapta}
s:=0;s1:=0;
x:=a;
for i:=1 to n do
begin
s:=s+f(x);
s1:=s+f(x+h);
x:=x+h;
end;
s:=s*h;s1:=s1*h;
{medii}
s2:=0;
x:=a+h/2;
for i:=0 to n-1 do
begin
s2:=s2+f(x);
x:=x+h;
end;
s2:=s2*h;
{trapezelor}
s3:=0;x:=a+h;
for i:=1 to n-1 do
begin
s3:=s3+f(x);
x:=x+h;
end;
s3:=h*((f(a)+f(b))/2+s3);
writeln;
writeln('integrala după formula drept_stânga este I=',s:12:10) ;
writeln;
writeln('integrala după formula drept_dreapta este I=',s1:12:10) ;
writeln;
writeln('integrala după formula drept_medii este I=',s2:12:10);
writeln;
writeln('integrala după formula trapezelor este I=',s3:12:10) ;
writeln;
readln
end.
Rezultatul este:
a=0
b=9.9
n=15
integrala după formula drept_stânga este I= 12.3361585860
integrala după formula drept_dreapta este I=12.3380369780
integrala după formula drept_medii este I=11.3772196510
integrala după formula trapezelor este I=11.3979013170
Metoda B. Calcularea integralei utilizând aplicația MAPLE.
B.1. Aplicând MAPLE se poate obține rezultatul direct utilizând evalf(int(f(x), x=a..b)), unde int determină integrala, a și b extremitățile segmentului [a,b], iar f(x)= o vom utiliza pentru toate metodele care le vom analiza în continuare:
>
>
Rezultatul se poate determina și utilizând comenzile descrise în 2.1, middlebox(f(x), x=a..b, n), evalf(middlesum(f(x), x=a..b, n)), leftbox(f(x), x=a..b, n), evalf(leftsum(f(x), x=a..b, n)), rightbox(f(x), x=a..b, n), evalf(rightbox(f(x), x=a..b, n).
Vom calcula integrala , ținând cont că funcția de sub integrală a fost definită anterior și vom reprezenta grafic metodele dreptunghiurilor medii, de stânga, de dreapta și trapezelor.
a) Calcularea prin Metoda dreptunghiurilor medii (IMDM) se efectuează utilizând:
>
>
Fig. 2.17.
b) Metoda dreptunghiurilor de stânga (IMDS):
>
>
Fig. 2.18.
c) Metoda dreptunghiurilor de dreapta (IMDD)
>
>
Fig. 2.19
d) Metoda trapezelor (IMT).
Pentru această metodă vom utiliza comanda ApproximateInt(f(x), x = a..b, opts):
> ApproximateInt( );
Fig. 2.20
B.2. Rezultatul poate fi obținut și programat, aplicând procedura pentru metoda dreptunghiurilor de stânga și trapezelor în MAPLE:
Definim funcția și facem apel la procedurile dreptunghiuristing și trapeze1 :
>
>
>
După ce am calculat integrala , rămâne să înmulțim rezultatul obținut cu , înlocuind datele problemei.
Astfel luând în considerație că IMT= 11,3979013 , înlocuim rezultatul în (2.20) și determinăm timpul T=.
Metoda C. Calculul integralei cu precizia ε.
C.1. Vom utiliza procedurile cu precizia ε în MAPLE pentru metoda dreptunghiurilor de stânga și metoda trapezelor.
Rezultatul pentru funcția f conform apelurilor procedurilor pe [0,10] și precizia eps=0,001 este:
>
>
Am calculat integrala din , rămâne să înmulțim rezultatul obținut prin diverse metode cu , înlocuind condițiile problemei.
Concretizare: rezultatul a fost calculat pentru integrala din T prin diverse metode, ca exemplu, prin metoda B.2, metoda trapezelor am obținut T=11,3979013 , înlocuim în T și determinăm timpul T=.
Rezultatul comparativ pentru integrala din formula (2.20) determinat prin diverse metode îl indicăm în tabelul 2.4:
Tabelul 2.4. Rezultatele comparative
Pentru Problema dată modelul matematic este o integrală numerică, care poate fi rezolvată prin diverse metode. Conform datelor din tabel se observă că pentru formula trapezelor în cazul A.1, A.2, B.1, B.2 și C.1 rezultatele coincid, ceea ce denotă că formula trapezelor este binevenit să fie utilizată la rezolvarea problemelor al căror model matematic este asemănător modelului problemei. În ceea ce privește formula dreptunghiurilor de stânga și de dreapta se obțin rezultate diferite, deoarece acestea se utilizează pentru integrale a căror funcții sunt aproximate prin extremități ale segmentelor fie din stânga, fie din dreapta și se obțin rezultate cu adaos sau prin lipsă, din aceste considerente rezultatele problemei pentru formulele dreptunghiurilor de dreapta și de stânga sunt diferite.
Calcularea aproximativă a integralelor numerice
Pentru elevi este important să cunoască metode de calcul aproximative ale integralelor numerice cu exactitatea cerută. Pentru aceasta este necesar ca ei să fie familiarizați cu metode elementare dar eficiente de calcul. În această ordine de idei se atrage atenția că în cazul metodei C.1 se calculează integrala utilizând precizia ε, și că exactitatea respectivă depinde de numărul de divizări ale segmentului. Valoarea lui n pentru metoda dreptunghiurilor de stânga se calculează conform relației:
, unde M1 este supremul pe [a, b].
Iar pentru metoda trapezelor:
, unde M2 este supremul pe [a, b].
Pentru a calcula integrala definită cu precizia dată pentru metoda trapezelor, este oportun să se demonstreze următoarea lemă, care este ușor înțeleasă de elevi.
Notăm prin In, I2n valoarea integralei calculată pe [a, b], prin metoda trapezelor și în care segmentul dat se divizează în n părți egale și respectiv în 2n părți egale, iar Rn și R2n – erorile respective obținute la calcularea integralei pe același segment.
Lema.
Demonstrație:
Luând în considerație formula , , obținem (*), unde și . De unde . Din (*) obținem Dacă I este adevărata valoare a integralei, atunci și respectiv . Astfel , .
De unde obținem: . Lema este demonstrată.
Luând în considerație lema demonstrată a fost elaborat și aplicat la lecțiile de informatică programul privind calcularea integralelor cu aproximația dată (vezi Anexa. 4, p. 6). Ținând cont de formula pentru metoda trapezelor vom evalua eroarea pentru calculul integralei , ce reprezintă modelul matematic al problemei analizată în punctual C).
Pentru aprecierea erorii, din lemă se observă că, trebuie să calculăm , adică mai întâi se calculează derivata de ordinul unu și doi, apoi se determină M2. Matematic este destul de dificil să efectuăm aceste calcule, însă cu ajutorul aplicației MAPLE procesul de calcul devine mai accesibil:
> {definirea funcției}
> {derivata }
>
> {derivata }
>
{maximum}
>
{eroarea}
Deci pentru IMT= =11,3841240.00816296627
În mod analog se apreciază eroarea și pentru metoda dreptunghiurilor.
Avantajul timpului de rezolvare
Utilizarea aplicației MAPLE presupune soluționarea modelelor matematice elaborate pentru diverse probleme într-un timp mai mic decât în limbajul de programare TPascal. Măsurările și constatările, pentru determinarea aproximativă a timpului (în minute) rezolvării modelelor matematice a problemelor (rezultatul pentru problema 1 corespunde problemei analizată în proiectul didactic și problema 2 este problema analizată anterior), rezolvate prin diverse metode sunt cronometrate pentru un elev mediu (tabelul 2.5).
Tabelul 2.5. Timpul comparativ de realizare
Aceste rezultate ne demonstrează că utilizând metoda B.1, atât pentru prima problemă, cât și pentru problema a doua, timpul de rezolvare este minim. Însă această metodă este binevenită doar în cazul când este necesar să se verifice rezultatele integralelor fără a arăta pașii de realizare, dar ținând cont de obiectivul care presupune dezvoltarea gândirii algoritmice la elevi pentru calcularea integralei și dezvoltarea abilităților pentru utilizarea unor medii de programare la nivel înalt , sunt binevenite celelalte metode.
În opinia noastră, profesorul trebuie să știe foarte exact, în dependență de scopul propus, care soft să utilizeze, în ce măsură și cât timp.
E) Claritatea prezentării rezultatelor
Prezentarea rezultatelor utilizând MAPLE-ul este mai atractivă, deoarece se afișează în aceeași pagina unde se propune modelul de rezolvat. De exemplu, pentru definirea unei funcții și calcularea integralei vom utiliza:
>
>
În procesul de predare-învățare a calculului numeric trebuie să fie realizate cel puțin următoarele trei etape:
Etapa 1. Predarea metodelor numerice și cultivarea abilităților în măsura în care ar permite elevilor aplicarea lor directă la soluționarea problemelor a căror modele matematice sunt cunoscute;
Etapa 2. Cultivarea cunoștințelor și abilităților elevilor, care în urma examinării fenomenului ori procesului dat, ar fi capabili să formuleze corect problema din punct de vedere matematic, să elaboreze modelul matematic, să selecteze metodele numerice, să alcătuiască algoritmi și să testeze rezultatele obținute.
Etapa 3. Cultivarea competențelor specifice disciplinei respective în măsura în care elevii ar fi capabili să efectueze îmbunătățirea și perfecționarea modelului matematic elaborat astfel încât să reflecte cât mai exact fenomenul ori procesul cercetat.
În continuare propunem un proiect de lecție prin utilizarea diverselor strategii didactice.
Proiect didactic.
Clasa a XII-a, profil real.
Disciplina: Informatica.
Unitatea de învățare: Calcul numeric.
Tema: Calculul numeric al integralei definite. Metoda dreptunghiurilor.
Lecție de formare a competențelor pentru utilizarea calculului numeric la rezolvarea problemelor.
Durata: 90 min.
Locul de desfășurare: cabinetul de informatică.
Competențe specifice.
CS1. Formarea unei viziuni științifice asupra componentei informatice în societatea contemporană.
CS2. Elaborarea modelelor informatice ale obiectelor, sistemelor frecvent întâlnite în activitate.
CS3. Aplicarea metodelor de algoritmizare, de formalizare, de analiză, de sinteză și de programare pentru soluționarea problemelor legate de prelucrarea automatizată a informației.
CS4. Colectarea, păstrarea și prelucrarea informației cu ajutorul aplicațiilor software specializate.
CS5. Folosirea competențelor informatice pentru căutarea și selectarea informațiilor în interes de autoinstruire și orientare profesională.
Subcompetențe.
SC1. Elaborarea programelor (subprogramelor) pentru calculul numeric al integralelor definite prin metoda dreptunghiurilor în funcție de un număr de divizări stabilit apriori.
SC2. Identificarea problemelor, rezolvarea cărora se reduce la calculul unei integrale definite.
Obiective operaționale:
O1 – să deducă formula dreptunghiurilor și a variațiilor ei;
O2 – să estimeze eroarea formulei dreptunghiurilor medii, de stânga, de dreapta;
O3 – să elaboreze modele matematice pentru diverse tipuri de probleme;
O4 – să aplice la rezolvarea problemelor softul matematic MAPLE, MS Excel și limbajul Tpascal;
O5 – să programeze algoritmi pentru calculul numeric al integralelor prin metoda dreptunghiurilor și a variațiilor ei.
Resurse materiale:
Sala de calculatoare cu rețea locală/conectarea la Internet;
Proiector, sistem de reproducere a sunetului.
Resurse didactice:
Programul NetOpScoole;
Compilator TPascal, MSExcel, softul matematic MAPLE.
Metode și forme de organizare: lucrul în grup, individual, pereche, chestionare orală, , explicația,problematizarea, rezolvare de problemă, SINELG, GPP.
Scenariul lecției
EVOCARE
La această etapă profesorul utilizând metoda GPP – Gândește Perechi Prezintă
propune fiecărei perechi de elevi (divizați în perechi în baza unui criteriu stabilit de profesor), să reamintească noțiunile studiate la analiza matematica: funcție, derivata funcției, primitiva funcției, integrala nedefinită, integrala definită, calcularea integralei definite, sensul geometric al integralei. Elevii gândesc individual, discută în perechi apoi câte unul de la fiecare pereche prezintă răspunsul la noțiunile respective. Se selectează răspunsurile corecte prin completarea de către celelalte grupe de elevi. În baza materialului revizuit, profesorul propune elevilor o secvență video Construirea unui iaz artificial (http://www.youtube.com/watch?v=WC20B2jzFjU)
În baza secvenței, profesorul creează o situație de problemă de genul următor: Apa iazului trebuie încălzită periodic știind că căldura specifică a unui kilogram de apă variază în funcție de temperatura t conform legii: . Să se determine cantitatea de căldură necesară pentru a încălzi 1 m3 de apă de la 100 la 600 .
Pentru rezolvarea problemei elevii vin cu diverse idei de soluționare.
REALIZAREA SENSULUI
Utilizând tehnica SINELG, o tehnică de predare-învățare care servește drept referință; convenabilă pentru nivelul cunoștințelor elevilor la un moment dat; este o modalitate prin care se pot obține informații despre ce ar dori elevii să afle în raport cu o tema în studiu; este o tehnică de monitorizare a înțelegerii; urmărește dezvoltarea vocabularului și a capacității de exprimare.
Etapele tehnicii: fiecare elev lecturează individual textul propus pentru studiu din manualul de informatică clasa a XII și notează paragrafele cu semnele corespunzătoare:
Astfel, pe măsură ce elevii citesc materialul temei din manual, vor pune pe marginea foii patru semne diferite, în funcție de cunoștințele ce le posedă la moment la tema dată și de înțelegerea lor. După lectura individuală se revine la lista cu noțiunile cunoscute elevilor – se observă ce cunoștințe s-au confirmat , se examinează apoi care sunt informațiile ce diferă de cele cunoscute, care sunt noțiunile noi și cele confuze;
– sub dirijarea profesorului se completează un tabel:
După rezolvarea sarcinii de lucru, elevii își monitorizează propria înțelegere, se implică în înțelegerea noilor informații. Corelează în mod deliberat noul cu ceea ce le este cunoscut. Elevii construiesc punți între cunoscut și necunoscut pentru a ajunge la o nouă înțelegere. În final se va comenta întreaga structură cu explicațiile de rigoare.
Caracterul stimulativ al tehnicii SINELG constă în faptul că realizarea sistemului “SINELG” este lansată ca o provocare și reprezintă o modalitate de integrare a informațiilor cunoscute cu cele asimilate la lecția dată, la care participă întreaga clasă.
În baza celor studiate elevilor li se cere:
să determine formula de calcul prin metoda dreptunghiului;
să elaboreze algoritmului de calcul pentru un număr fixat de divizări n;
să determine eroarea de calcul;
să determine formulele pentru dreptunghiurile de stânga, dreptunghiurile de dreapta, dreptunghiurile de mijloc.
Profesorul efectuează unele concretizări la întrebările care apar pe parcursul activității.
REFLECȚIA.
Profesorul propune să se rezolve problema lansată spre discuție la etapa de EVOCARE .
Rezolvare. Se știe că cantitatea de căldură Q=mcdt, unde m este masa apei determinată conform formulei :
m=ρV,
Iar c este capacitatea termică specifică :
c=f(t)
Se știe că, cantitatea de căldură se determină conform formulei:
Înlocuind datele problemei obținem:
Luând în considerație volumul destul de impunător de calcule pentru integrala obținută, vom aplica metode specifice de soluționare a integralei:
Metoda A. Calcularea integralei utilizând aplicația Excel și programul Pascal.
Metoda B. Calcularea integralei utilizând aplicația MAPLE.
Metoda A. Calcularea integralei utilizând aplicația Excel și programul Pascal, ca exemplu pentru metoda dreptunghiurilor de stânga (prin analogie elevii vor analiza si celelalte metode: metoda dreptunghiurilor de mijloc și metoda dreptunghiurilor de dreapta).
Pentru Metoda A, utilizăm 2 submetode A.1 și A.2.
A.1. În acest scop divizăm segmentul [10, 60] în 10 părți egale cu pasul . Calculele le indicăm în tabelul următor, realizat în MS Excel, unde xi, diviziunile, h- pasul, și yi rezultatul funcției pentru fiecare diviziune.
Calculăm integrala conform formulei metodei dreptunghiurilor de stânga (IMDS) pentru rezultatele obținute în tabel:
Deci, prin metoda dreptunghiurilor de stânga se obține Q=50,12181·1000= 50121,81 kcal
Prin analogie propunem elevilor să calculeze integrala prin metoda dreptunghiurilor de mijloc și dreapta.
În baza algoritmului determinat în faza metodei SINELG propunem elevilor să realizeze programul pentru metoda dreptunghiurilor de stânga.
A.2. Vom utiliza programul realizat în limbajul TPascal pentru metoda dreptunghiurilor de stânga.
program Integrala_stinga;
uses crt;
function f(x:real) :real;
begin
f:=1+4*0.00001*x+9*0.0000001*X*X;
end;
var a,b,h,x,s:real;
i,n:integer;
BEGIN
clrscr;
writeln('introdu a,b si n-num de diviz');
write('a=');readln(a);
write('b=');readln(b);
write('n=');readln(n);
h:=(b-a)/n;
{dreptunghiuri stinga }
s:=0;
x:=a;
for i:=0 to n-1 do
begin
s:=s+f(x);
x:=x+h;
end;
s:=s*h;
writeln;
writeln('integrala dupa formula drept_stinga este I=',1000*s:12:10) ;
writeln;
readkey;
end.
Rezultatul este:
introdu a,b si n-num de diviz
a =10
b=60
n=10
integrala după formula drept_stânga este I= 50121.8125
Elevilor li se propune să elaboreze programul unificat pentru calcularea integralei de stânga, de dreapta și mijloc.
Metoda B. Calcularea integralei utilizând aplicația MAPLE.
B.1. În MAPLE se poate obține rezultatul pentru direct, utilizând forma generală evalf(), unde f(t)= :
>
B.2. Metoda programată în MAPLE.
Se definește subprogramul:
Apoi se definește funcția necesară:
>
Se apelează subprogramul:
>
Ca rezultat obținem Q=1000*=50122,30545
Grafic această metodă se reprezintă:
> {pentru o prezentare grafică a metodei am luat nu intervalul [10..60], dar [-500..500]}
Fig. 2.21
Profesorul propune elevilor să analizeze rezultatele obținute și să le indice în tabelul 2.6, apoi să comenteze ce-au observat.
Tabelul 2.6. Rezultatul integralei
EXTINDERE
Profesorul propune pentru rezolvare diverse tipuri de probleme utilizând metodele studiate la lecție. Rezultatele vor fi prezentate la lecția următoare.
SE EFECTUEAZĂ TOTALURILE LECȚIEI. SE NOTEAZĂ ELEVII
Concluzii la capitolul 2
Odată cu dezvoltarea tehnologiilor informaționale și creșterea abilităților de utilizare a lor în predarea compartimentului „Elemente de modelare și calcul numeric” se conturează tendința de utilizare a softurilor matematice (Deriva, Mathematica, MathCad, Matlab, MAPLE). În capitolul respectiv am expus unele abordări didactice privind utilizarea mixtă în procesul de predare-învățare al softurilor MAPLE, Excel și TPascal.
Pe parcursul predării temelor la metode numerice este necesar să se țină cont de următoarele:
În manualele existente la informatică, la compartimentul modelare, nu sunt destule probleme, destinate elevilor, ce ar conduce la elaborarea modelelor matematice, selectarea metodelor numerice, elaborarea algoritmilor și testarea rezultatelor obținute la calculator. Parcurgerea etapelor fundamentale, care țin de modelarea matematică, în opinia noastră, le va cultiva elevilor o viziune generală privind integritatea procesului examinat și le va dezvolta o atitudine creatoare vizavi de abordarea acestui proces.
Obiectivele centrale în cadrul predării-învățării analizei numerice, presupun însușirea metodelor numerice și aplicarea lor la soluționarea unor probleme concrete, descrierea matematică a cărora este foarte clară și exactă. Chiar dacă această abordare este corectă din punct de vedere al asimilării materiei propuse, acest fapt nu îndeamnă elevii, mai ales cei cu pregătirea peste nivelul mediu, la o atitudine creatoare privind elaborarea, obținerea modelului matematic, prin intermediul căruia ar putea fi rezolvată problema respectivă. Implementarea SSM MAPLE în procesul de predare-învățare a analizei numerice oferă mai multe avantaje din acest punct de vedere.
Prin intermediul analizei numerice în general, și însușirea subiectelor care se referă la modelare, în particular, se poate realiza eficient conexiunea cu alte discipline studiate de elevi în cursul liceal: fizică, chimie, biologie, geografie, etc. Chestiunile care țin de legăturile interdisciplinare pot fi tratate cu succes anume în procesul modelării matematice a diverselor fenomene din matematică, fizică, biologie, etc.
Softul MAPLE dispune de posibilități mari și poate fi utilizat cu succes la predarea Metodelor Numerice. În cazul când este necesar de ilustrat grafic anumite procese, de verificat anumite rezultate este cu mult mai util și comod de folosit acest soft. În așa mod, nu se consumă timpul pentru calcule inutile și profesorul poate să pună accentul în exclusivitate pentru însușirea metodelor numerice.
În cadrul procesului instructiv-educativ implementarea noilor tehnologii informaționale, în opinia noastră, generează noi oportunități și oferă avantaje suplimentare la însușirea Metodelor Numerice. În contextul respectiv menționăm următoarele avantaje:
Creșterea accesibilității și ilustrativității.
Creșterea abilităților de programare.
Sporirea și aprofundarea deprinderilor privind elaborarea modelelor matematice.
Avantajul timpului de rezolvare.
Claritatea prezentării rezultatelor.
Abilitățile care țin de programare nu sunt dezvoltate suficient la toți elevii. Din aceste considerente, uneori, se pierde mult timp la alcătuirea programelor, altfel spus la dezvoltarea abilităților de programare și nu la cultivarea deprinderilor de a elabora modele matematice și la aplicarea metodelor numerice în scopul soluționării unor probleme concrete. Dezechilibru privind utilizarea eficientă a timpului care se iscă la etapa construcției modelului matematic și utilizarea metodelor numerice pe de o parte și etapa care ține de programarea algoritmului pe de altă parte nu întotdeauna este în folosul disciplinei Metode Numerice. Utilizarea TIC permite eficientizarea întregului proces de predare-învățare pentru ca să fie atins obiectivele trasate la lecțiile de Metode Numerice.
ARGUMENTAREA EXPERIMENTALĂ A EFICIENȚEI MODELULUI
DIDACTIC ȘI A METODOLOGIEI ELABORATE
Descrierea și desfășurarea experimentului pedagogic
Experimentul pedagogic reprezintă o inovație care permite să optimizeze procesul educațional, iar realizarea experimentului reprezintă o etapă esențială în orice cercetare didactică. În acest sens putem menționa și afirmația pedagogului E. Planchard cu privire la metoda experimentală:„ aceasta este, în primul rând, introducerea sau suprimarea unuia sau mai multor factori bine determinați într-o situație cunoscută, iar mai apoi se efectuează verificarea rezultatului acestei intervenții” [185].
Scopul experimentului pedagogic, desfășurat de noi, constă în validarea metodologiei de formare a competențelor de utilizare a tehnologiilor computaționale la elevi în procesul de predare-învățare al compartimentului „Modelare și Calcul numeric” din cursul de informatică clasa a XII-a.
Perioada de cercetare cuprinde următoarele faze experimentale: de constatare, de formare și de control. Experimentul de constatare a avut ca obiectiv: identificarea softurilor matematice moderne și studierea acestora de către elevi, care pot fi accesibile și totodată ușor asimilate de către elevi în procesul de predare-învățare a compartimentului „Modelare și calculul numeric”.
Experimentul de formare a avut ca scop realizarea și validarea modelului didactic de formare al competențelor privind utilizarea tehnologiilor computaționale prin sistemul de exerciții propus; determinarea contribuției sistemului de exerciții la dezvoltarea competențelor de implementare a tehnologiilor computaționale în studiul compartimentului calcul numeric.
În faza experimentului de control s-au înregistrat progresele elevilor privind dezvoltarea competențelor de utilizare a tehnologiilor computaționale în baza sistemului de exerciții, compararea și interpretarea rezultatelor înregistrate de eșantionul experimental și de control. Datele finale au fost examinate pentru a evidenția deosebirile obținute, atât din punct de vedere cantitativ cât și calitativ, urmărindu-se în paralel evoluția claselor experimentale în raport cu cele de control.
În experiment au fost implicați 222 de elevi pentru etapa de formare, dintre care, circa 57 elevi ai claselor a IX-a și 165 de elevi clasa a XII-a, iar pentru etapa de control au fost implicați elevii clasei a XII-a 80 de elevi în grupa experimentală și 85 elevi în grupa de control, anii de studii 2007-2008, 2008-2009, 2009-2010, 2010-2011.
Divizarea eșantioanelor în grupe experimentale și de control s-a efectuat în urma analizei rezultatelor obținute de clasele implicate în experiment pentru anii precedenți de studii, adică pentru clasa a XI-a la obiectul informatica și media generală pe obiecte. Rezultatele le indicăm în tabelul 3.1.
Tabelul 3.1. Rezultate preexperimentale
Din tabel se observă că media rezultatelor claselor implicate în experiment nu diferă esențial una de alta, de aceea constituirea grupelor experimentale și de control pentru etapa de control este nesemnificativă. Un moment important în realizarea cu succes a experimentului pedagogic ar fi activitatea didactică a profesorului, care trebuie să țină cont de ideea de a capta atenția elevilor și a le trezi interesul prin diferite modalități ca elementele de noutate, atât în ceea ce privește conținutul, dar și al tehnicilor de prezentare ale acestuia; utilizarea schemelor, a culorilor și imaginilor, a formelor de organizare a grupului de elevi, accesibilitatea acestora, în sensul prezentării lor pe „înțelesul elevilor”, crearea de sarcini pentru elevi care să solicite explicații, exemple personale, realizarea unor conexiuni între informații, utilizarea regulilor de memorizare etc. [186].
Totodată activitatea de învățare trebuie evaluată. După cum menționează I. Jinga „evaluarea apare în cadrul procesului de învățământ ca o activitate complexă de apreciere a modului comun de lucru al profesorului și al elevilor săi în efortul de realizare a obiectivelor didactice proiectate, la un nivel de performanță cât mai ridicat” [187, p. 185].
Astfel pentru verificarea progreselor elevilor implicați în experiment au fost elaborate teste pentru grupele experimentale și de control cu tematica: Test 1 „Modelarea matematică. Metode de soluționare a ecuațiilor algebrice și transcendente”, Test 2 „Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare” și Test 3 „Calculul numeric al integralelor” prezentate în Anexa 3. Fiecare din testele alcătuite presupun elaborarea modelului matematic, iar ulterior selectarea metodelor numerice de rezolvare, elaborarea algoritmului și programului.
Testele au fot elaborate în baza matricelor de specificații ținând cont de etapele: cunoaștere, înțelegere, analiză și sinteză. Acest fapt ne-a permis în cadrul testelor să utilizăm diferite tipuri de itemi, ceea ce permite elevilor să demonstreze abilitățile de algoritmizare și de creativitate. La elaborarea testelor pentru grupa de control s-a ținut cont de translarea algoritmilor într-un limbaj de programare de nivel înalt, și anume, limbajul TPascal , iar în grupa experimentală s-au utilizat și softurile MAPLE 12 și MSExcel. Unele idei privind rezultatele experimentului pedagogic sunt descrise în sursele [188, 189, 189, 191, 192].
În tabelul 3.2 indicăm numărul de elevi care au participat în experiment și testele care au fost realizate pe ani de studiu( în continuare vom utiliza notațiile GE-grupa experimentală, GC-grupa de control).
Tabelul 3.2. Numărul de elevi implicați în experiment
Pentru prelucrarea statistică vom examina rezultatele testelor în grupele experimentale și grupele de control. Rezultatele testelor vor fi exprimate în puncte corespunzătoare fiecărui test, iar în Anexa 1, tabele sintetice 1.1, 1.2 și 1.3 vom indica codul fiecărui elev și punctajul acumulat la efectuarea testelor .
Pentru o viziune mai compactă rezultatele obținute a mediilor pe ani și teste le încadrăm în tabelul 3.3 Medii.
Tabelul 3.3. Medii
Astfel sinteza grafică ne evidențiază aspectele esențiale ale grupelor participante în experiment. Se cunoaște faptul că sinteza grafică se realizează în două etape: prima etapă presupune crearea tabelelor sintetice, ceea ce ne permite să vizualizăm rezultatele în formă numerică și etapa a doua constă în reprezentarea grafică. În baza tabelului 3.3 construim diagrama cu coloane figura 3.1, care ne arată analiza comparativă dintre GE și GC. Se observă că pentru toate cele trei teste variabilele predominante sunt cele din GE.
Fig. 3.1. Analiza comparativă a grupelor
Sinteza grafică se poate efectua și în baza frecvenței absolute a notelor pentru fiecare test în parte. Frecvența absolută a unei valori x, în cazul nostru (nota), a caracteristicii este numărul de unități a populației (notele grupelor experimentale și de control) corespunzător acestei valori.
Din tabelele anterioare calculăm frecvența notelor pentru testul 1, testul 2, testul 3 care le indicăm în tabelele sintetice 3.4, 3.5, 3.6.
Tabelul 3.4. Frecvența notelor Testului 1
Fig. 3.2. Frecvența notelor Testului 1
5
Tabelul 3.5. Frecvența notelor Testului 2
Fig. 3.3. Frecvența notelor Testului 2
Tabelul 3.6. Frecvențele notelor Testului 3
Fig. 3.4. Frecvența notelor Testului 3
Analizând graficele, se observă că practic pentru toate grupele experimentale avem așa zisa „reprezentare sub formă de J”, iar pentru grupele de control „reprezentarea curbei lui Gauss-Laplace”.
În baza afirmațiilor efectuate de către J. Caroll și B. Bloom dacă se folosesc mijloace adecvate, în cazul nostru tehnologii computaționale, atunci cca 90% dintre elevi pot învăța „deplin” ceea ce li se predă, transformând astfel celebra curbă a lui Gauss, obținută în experimentul nostru pentru grupele de control, într-o și mai celebră curbă în formă de „J”, pentru grupele experimentale.
Prelucrarea inițială a datelor experimentale
La prelucrarea rezultatelor obținute au fost utilizați mai mulți indicatori care se construiesc cu ajutorul unor simboluri ce reprezintă mărimile și operațiile efectuate asupra valorilor (numerice) dobândite în cadrul investigației. Ansamblul indicatorilor variabili se exprimă prin formulele diverșilor indicatori statistici, printre care pe primul loc se situează media aritmetică .
Media aritmetică. Media(notată ) reprezintă raportul dintre suma valorilor individuale și numărul lor. Formula de calcul este
În tabelul 3.3 sunt reprezentate rezultatele calculului mediei aritmetice pe ani și teste. Se observă că media în grupele experimentale este mai mare decât în grupele de control.
Pentru a studia particularitățile eșantioanelor implicate în cercetare, este necesar să se cunoască organizarea acestora, adică să se determine gradul de dispersare a distribuției cazurilor ce variază în jurul mediei din considerentul că pot fi grupe cu aceeași medie, însă cu o distribuție diferită, adică eșantioane diferite din punct de vedere al variabilității și omogenității.
Indicatorul statistic care permite să se stabilească gradul de dispersare a datelor este amplitudinea (A), care se obține calculând diferența dintre valoarea cea mai mare și cea mai mică a performanțelor măsurate A=xmax-xmin. Amplitudinea arată domeniul de variație sau variația posibilă.
Abaterea sau devierea centrală reprezintă abaterea fiecărei valori a caracteristicii studiate față de valoarea centrală a acestora și se calculează stabilind diferența dintre fiecare valoare a mărimii studiate și valoarea medie a acesteia, care reprezintă tendința centrală a șirului de date și anume media aritmetică. Acest calcul arată cu cât un rezultat din seria obținută (xi) se abate de la medie (). Se notează abaterea centrală cu d, d=xi-.
În continuare, vom calcula în tabele rezultatele elevilor pentru grupul experimental și de control conform [193, pag 64-71]:
devierea centrală (d), abaterile performanțelor individuale de la medie, pot fi atât pozitive cât și negative;
, care ne permite să calculăm abaterea medie absolută (Vm), ce reprezintă suma abaterilor variabilelor, considerate valoarea sa absolută împărțită la numărul cazurilor;
, ne permite să calculăm abaterea standard (S), reprezintă gradul de dispersie a rezultatelor față de tendința centrală;
Și totodată vom calcula dispersia (S2), pătratul abaterii standard.
Variația medie absolută se calculează prin relația: (3.1)
Abaterea standard se calculează prin relația: (3.2)
Dispersia se calculează prin relația: (3.3)
În Anexa 2 sunt date tabelele care se referă la calcularea valorilor menționate anterior pentru anii 2007-2008, 2008-2009, 2009-2010, 2010-2011 și Testele 1, 2 și 3.
Analiza pragurilor de semnificație
Datele obținute ne permit să facem o apreciere despre nivelul abaterilor față de medie a unui grup în comparație cu celălalt. În baza formulelor (3.1), (3.2), (3.3) și datelor din tabele se efectuează calcule care le indicăm în tabelul 3.7.
Analizând rezultatele indicilor variabilității din tabelul 3.7 pentru variația medie, dispersie și abaterea standard conform [194, p. 62-82] și rezultatele obținute prin calcule putem conchide, că grupele implicate în experiment sunt suficient de reprezentative, variația relativ mică, media semnificativă, iar gruparea este omogenă. Între grupe există deosebirea doar din punct de vedere statistic în urma impactului utilizării tehnologiilor computaționale utilizate în predarea-învățarea compartimentului examinat în grupele experimentale.
Tabelul 3.7. Indicii variabilității
Analiza statistică a rezultatelor experimentale
În procesul de predare-înățare-evaluare a compartimentului „Modelare și calcul numeric” din cursul liceal de informatică un rol important, în experimentul desfășurat, îl are aplicarea tehnologiilor computaționale. Impactul utilizării tehnologiilor computaționale nu poate fi măsurat imediat, însă se pot face evaluări pe parcursul studiului privind progresul înregistrat comparativ cu nivelul inițial. În grupul experimental au fost utilizate tehnologiile computaționale în procesul didactic, iar în grupul de control s-a efectuat studiul compartimentului menționat, în mod tradițional, în corespundere cu programul de studiu la informatică.
În cele ce urmează vom demonstra unele modalități de aplicare a metodelor statistice avansate pentru a măsura impactul utilizării tehnologiilor computaționale și a compara două eșantioane independente. Menționăm că în experiment au fost implicate clasele a XII-, profil real, în perioada anilor 2007-2011 și pentru evaluare au fost elaborate 3 teste. Tematica acestor teste am indicat-o în paragraful 3.1.
Unele din testele de comparare ale eșantioanelor sunt Testul Mann-Whitney (U) și Wilcoxon (T). Să examinăm tehnologiile de aplicare a testelor respective.
Esența testului Mann-Whitney (U)
Testul Mann-Whitney (U) este aplicat în cazul estimării deosebirilor dintre două eșantioane după nivelul unei caracteristici oarecare. Prin modul de aplicare, testul dat, poate fi utilizat și pentru comparare, conform mărimilor ordinale ale seriilor cu un număr relativ mic de valori determinate. Se consideră două eșantioane independente de volum n1 și respectiv n2. În baza acestui criteriu se verifică următoarele ipoteze conform [193, p. 207]:
Ipoteza nulă: H0 este cea a identității repartițiilor. Nivelul caracteristicii în eșantionul al doilea nu e mai jos decât nivelul caracteristicii în primul eșantion.
Ipoteza alternativă: H1 afirmă că repartițiile sunt distincte în cele două eșantioane. Nivelul caracteristicii în eșantionul al doilea este mai jos decât nivelul caracteristicii în primul eșantion.
Criteriul este bazat pe utilizarea rangurilor atribuite valorilor acumulate.
Se numește rang al unei valori x, la un ansamblu de valori A care conține x, locul care-l ocupă x atunci când A este ordonat crescător sau descrescător. În cazul când toate elementele sunt distincte, atunci se produce un rezultat unic, contrar, adică atunci când există mai multe elemente egale cu x, atunci lui x i se atribuie rangul obținut ca medie aritmetică a rangurilor egale [193, p. 208].
Statistica testului se obține prin executarea următorului algoritm:
valorile n1+n2 ale celor două serii se consideră împreună și se ordonează crescător;
se atribuie ranguri valorilor ordonate ale șirurilor reunite (cu tratarea cazurilor de egalitate);
se identifică rangurile valorilor aparținând fiecărui eșantion, notăm cu T1 suma rangurilor pentru grupul experimental și T2 suma rangurilor pentru grupa de control;
se calculează cantitățile:
(3.4)
(3.5)
statistica testului U este valoarea minimă dintre W1 și W2, adică
U=min(W1, W2). (3.6)
Testul Mann-Whitney (U), privind compararea tehnologiilor computaționale aplicate în cazul grupului experimental și de control prin prisma punctajului total acumulat verifică următoarele ipoteze:
Ipoteza nulă H0: Punctajul total în grupa de control nu este mai mare decât punctajul în grupa experimentală.
Ipoteza alternativă H1: Punctajul total în grupa martor este mai mare decât punctajul în grupa experimentală.
Deoarece se cere de a stabili eficiența tehnologiilor aplicate în grupele experimentale față de cele tradiționale aplicate în grupele de control, vom analiza datele rezultatelor grupelor în baza evaluărilor realizate.
Vom analiza în continuare rezultatele pentru teste. Pentru a ajunge la rezultatul testului statistic am efectuat următorii pași: am reunit grupa experimentală și de control într-o singură grupă (elevii grupei experimentale au fost evidențiați prin culoarea neagră, iar elevii grupei de control în culoarea roșie, pentru a efectua diferențiere între ei) și s-au ordonat crescător, apoi s-au atribuit ranguri fiecărui element în conformitate cu algoritmul descris anterior pentru determinarea rangului. Rezultatele le indicăm în tabele sintetice.
După efectuarea calculelor în tabelul 3.8 se observă, că suma rangurilor grupei experimentale este mai mare decât a grupei de control, T1= 326, iar T2=202. Se verifică suma totală de ranguri care trebuie să coincidă cu cea calculată adică cu T1+T2=528. Suma totală de ranguri se calculează în modul următor:
Pentru n1=16, n2=16, care respectiv corespund numărului de elevi din grupa experimentală și de control efectuăm calcule pentru a afla cantitățile utilizând (3.4) și (3.5):
Tabelul 3.8. Datele experimentale după atribuirea rangurilor pentru testul 1, anul 2007-2008
Statistica testului U=min(W1,W2)=66. Conform tabelului 7.11 din [193, p. 209] ce conține valorile critice ale testului Mann-Whitney, pentru valorile n1=16, n2=16 avem W0,05,16,16=83. Rezultatele obținute ne arată că U<W, adică conform algoritmului criteriului se acceptă ipoteza H0, ceea ce semnifică că utilizarea tehnologiilor computaționale în grupa experimentală sunt mai eficiente decât tehnologiile tradiționale în grupa de control pentru rezultatele testului 1 al grupelor anului 2007-2008. În mod analog se efectuează calculele și pentru celelalte teste. În tabelul 3.9 vom indica rezultatele pentru testul 1, testul 2, testul 3, anul de studii 2008-2009.
O problemă ar fi că rezultatul obținut anterior să fie nevalabil în cazul când în grupul experimental ar fi mai mulți elevi dotați decât în grupul de control luat selectiv. Pentru a infirma această ipoteză vom examina situația și când numărul elevilor este mai mare decât 20.
Tabelul 3.9. Determinarea rangurilor testelor anului 2008-2009
Tabelul 7.11 din [193, pag.209] conține valorile critice ale testului Mann-Whitney pentru valori ale efectivelor eșantioane până la 20 și valori uzuale ale lui α=0,05 și α=0,01. Pentru valori mai mari decât 20, se poate utiliza aproximarea normală:
, (3.7)
Menționăm că =1,96, pentru α=0,05., calculele care se obțin utilizând formula (3.7) se pot verifica în tabelul II din [194, p. 205].
Utilizând același algoritm al testului Mann-Whitney (U) vom indica în tabelul 3.10 pentru rezultatele elevilor pentru anul 2009-2010, Testele 1, 2, 3.
Tabelul 3.10. Determinarea rangurilor pentru Test 1, Test 2, Test 3, anul 2009-2010
Se verifică suma totală de ranguri care trebuie să coincidă cu cea calculată pentru fiecare test.
Pentru n1=30, n2=30, care respectiv corespund numărului de elevi din grupa experimentală și de control. Efectuăm calcule pentru a afla cantitățile, ca exemplu, pentru Testul 1:
Conform rezultatelor obținute avem statistica testului U=min(W1,W2)=282,5. Pentru n1=30, n2=30 și nivelul de semnificație α=0,05 avem W0,05;30;30=338, iar pentru semnificația α=0,01 W0,01;30;30=292. Analog se calculează și pentru Testul2 și Testul 3. Conform rezultatelor se observă că U<W, adică se acceptă ipoteza H0, ceea ce semnifică că utilizarea metodelor în grupa experimentală și pentru acest an de studiu sunt mai eficiente decât metodele în grupa de control, indiferent de numărul de elevi implicați.
În mod analog vom indica calculele și pentru anul 2010-2011, doar că vom lua în calcul faptul că grupele implicate conțin număr de elevi diferit în comparație cu grupele anterioare, calculele le indicăm în tabelul 3.11.
Tabelul 3.11. Determinarea rangurilor pentru Test 1, Test 2, Test 3, anul 2010-2011
Statistica testului U=min(W1,W2)=117. Pentru n1=20, n2=23 avem W0,05;19;23=161 și W0,01;19;23=133. Conform rezultatelor se observă că U<W, adică conform algoritmului criteriului se acceptă ipoteza H0, ceea ce semnifică că utilizarea metodelor și pentru testele anului 2010-2011, în grupa experimentală sunt mai eficiente decât metodele în grupa de control indiferent de faptul dacă grupele sunt omogene sau nu.
Statistica testului U determinat pentru rezultatele grupelor implicate în experiment este deplasată spre stânga față de W0,01 și W0,05 (figura 3.5) pentru toate cele trei teste propuse, ceea ce denotă faptul că tehnologiile aplicate în grupele experimentale nu influențează negativ nivelul de studiu al elevilor comparativ cu grupele de control. În figura 3.5 prin puncte (…..) am indicat zona nesemnificativă a rezultatelor, prin (?) – zona de nivel mediu, iar prin (!) – zona de nivel înalt).
! ? !
Fig. 3.5. Deplasarea statistică
Particularitățile testului comparativ Wilcoxon (T)
Alt test comparativ este Testul Wilcoxon (T). Testul Wilcoxon (T) este utilizat pentru a determina dacă două eșantioane dependente reprezintă populații similare.
Acest test se aplică în cazul comparării mărimilor ordinale dependente și este utilizat în scopul determinării corelației indicilor, din cadrul uneia și aceleiași selecții, măsurați în două situații distincte.
„Statistica testului se bazează pe studiul diferențelor, care apar între observațiile perechi , considerându-se atât semnul diferențelor, cât și mărimea lor absolută” [193, p. 214].
Ipotezele testului sunt:
Ipoteza nulă H0: distribuțiile variabilei în cele două populații sunt identice;
Ipoteza alternativă H1: Distribuțiile variabilei măsurate în prima populație este mai la dreapta, ceea ce semnifică că metodica propusă este mai eficientă. (se ține cont că Di≠0).
Se consideră două serii de date independente care sunt luate din două eșantioane corelate de volum n, ce caracterizează stările mărimilor independente X și Y.
Pentru calcule vom nota prin GE – rezultatele grupei experimentale, GC- rezultatele grupei de control, diferența (GE-GC), Rangul diferenței, diferența absolută.
Conform acestor date vom efectua calculele:
calculăm diferența GE-GC ;
determinăm diferența absolută;
ordonăm șirul diferențelor nenule;
atribuim ranguri șirului obținut, după același criteriu asemănător testului Mann-Whitney;
marcăm diferența pozitivă cu +, iar negativă cu -.
Rezultatele prelucrate le indicăm în Tabelele 3.12, 3.13, 3.14, luând în calcul rezultatele grupelor anului 2008-2009, 2009-2010, 2010-2011, pentru toate 3 teste.
Tabelul 3.12. Calculele testului Wilcoxon (T) pentru grupa 2008-2009
Tabelul 3.13. Calculele testului Wilcoxon (T) pentru grupa 2009-2010
Tabelul 3.14. Calculele testului Wilcoxon (T) pentru grupa 2010-2011
În tabele 3.12, 3.13, 3.14 sunt calculate sumele rangurilor diferențelor negative notate prin T- , sumele rangurilor care corespund diferențelor pozitive notate prin T+.
Statistica testului T este valoarea minimă a acelor două sume calculate T=min(T-, T+)
Tabelul valorilor critice din [193, p. 215] arată pentru testul bilateral la volumele eșantioanelor implicate în experiment că T<T*(valoarea calculată este mai mică decât cea critică), rezultă că se respinge ipoteza nulă H0 despre identitatea repartițiilor. Înseamnă că se acceptă ipoteza alternativă H1: distribuțiile indicelui măsurat în prima populație este mai la dreapta, ceea ce semnifică că metodica propusă este mai eficientă.
Aplicând testele Mann-Whitney (U) și Wilcoxon (T), la prelucrarea datelor statistice, s-a demonstrat că utilizarea tehnologiilor computaționale în grupa experimentală, în procesul de predare-învățare a compartimentului „Modelare și metode de calcul” din cursul liceal de informatică, sunt mai eficiente și elevii înregistrează rezultate mai bune, comparativ cu folosirea metodelor tradiționale în grupa de control.
Prelucrarea statistică pentru rezultatele experimentului pedagogic a fost efectuată începînd cu anul 2007 utilizînd MSExcel, siteul http://www.psychol-ok.ru/statistics/ ne-a permis să verificăm rezultatele obținute online. Subliniem faptul că rezultatele obținute în ambele cazuri au coincis.
Concluzii la capitolul 3
Scoatem în evidență următoarele concluzii:
Experimentul de constatare a demonstrat necesitatea reformei procesului de predare-învățare a compartimentului „Elementelor de modelare și calculul numeric”. Studierea literaturii în domeniu de specialitate și analiza practicilor de succes din alte țări a scos în evidență faptul că este necesar renovarea strategiilor didactice utilizate în prezent și implementarea noilor tehnologii informaționale în abordarea cursului respectiv.
În experimentul de formare s-a demonstrat eficiența utilizării sistemului software matematic în predarea disciplinei „Elementelor de modelare și calculul numeric”. A fost selectat SSM MAPLE datorită avantajelor și performanțelor softului respectiv în raport cu alte sisteme de calcul. Concomitent au fost realizate 3 experimente pe fiecare subiect de bază din cadrul disciplinei respective, pentru anii de studii: 2007-2008, 2008-2009, 2009-2010, 2010-2011.
Datele și informația obținută în urma realizării experimentului au contribuit la formarea argumentelor privind eficiența procesului de predare-învățare a compartimentului „Elemente de modelare și calculul numeric” care presupune utilizarea SSM MAPLE combinată cu instrumentele tradiționale de predare MS Excel și Turbo Pascal.
Au fost sesizate schimbări semnificative privind creșterea motivației studierii metodelor numerice la grupa experimentală și creșterea interesului tuturor elevilor în raport cu studierea noilor tehnologii informaționale.
CONCLUZII GENERALE ȘI RECOMANDĂRI
Cercetarea efectuată a vizat constituirea bazei teoretico-metodologice a procesului de predare-învățare a compartimentului „Modelare și metode de calcul” din cursul liceal de informatică și elaborarea metodologiei privind aplicarea tehnologiilor computaționale în studierea disciplinei respective prin intermediul SSM.
Cercetarea a demonstrat că interesul elevilor la studierea metodelor numerice este cu mult mai mare și cunoștințele sunt mai durabile atunci când în procesul de predare-învățare se aplică tehnologii computaționale moderne. Cercetarea teoretică și experimentală a permis soluționarea problemei științifice formulate, privind construirea unui sistem metodic avansat privind implementarea sistemelor software matematice în cursul liceal de informatică. Obiectivele cercetării au fost realizate, contribuind astfel la elucidarea aspectelor tehnologice și metodologice ale problemei cercetate.
Din analiza rezultatelor obținute se pot sintetiza următoarele concluzii:
Analiza situației privind aplicarea TIC în procesul de predare-învățare a compartimentului „Modelare și metode de calcul” din cursul liceal de informatică a condus la elaborarea metodologiei privind implementarea tehnologiilor computaționale în studierea disciplinei respective.
Aplicarea TIC a contribuit favorabil la eficientizarea procesului de învățământ și la intensificarea relației de colaborare și cooperare între profesor și elev.
Implementarea tehnologiilor computaționale în demersul educațional al unei discipline din învățământul preuniversitar trebuie efectuată în baza unui model didactic, ajustat particularităților obiectului respectiv.
Integrarea sistemelor software matematice în studierea disciplinelor din treapta liceală creează premize favorabile privind constituirea și implementarea modelelor didactice interdisciplinare performante.
În urma analizei mai multor sisteme software matematice a fost selectat SSM MAPLE, care întrunește suficiente avantaje ce pot fi abordate eficient din punct de vedere didactic. Pentru sistemul SSM MAPLE a fost elaborat un complex instructiv-metodic în baza căruia s-a reușit:
Conștientizarea de către elevi a rolului și impactului implementării tehnologiilor computaționale moderne în educație.
Creșterea abilităților elevilor privind elaborarea modelelor matematice și soluționarea problemelor cu un înalt grad de dificultate în procesul de predare-învățare a compartimentului „Modelare și metode de calcul”;
Identificarea unor avantaje didactice, comparativ cu metodele și instrumentele tradiționale de predare, și care se referă la: stimularea creșterii gradului de accesibilitate și ilustrativitate a materiei studiate; creșterea la elevi a abilităților de programare; sporirea și aprofundarea deprinderilor privind elaborarea modelelor matematice; micșorarea timpului de rezolvare a problemelor examinate; claritatea prezentării rezultatelor.
Rezultatele investigației au o importanță praxiologică ce se datorează elaborării și implementării complexului instructiv-metodic bazat pe ciclul de lecții privind predarea SSM MAPLE, sistemului de prelegeri și lecții practice utilizat în procesul de predare-învățare a elementelor de modelare și calcul numeric, cu aplicarea SSM.
Experimentul pedagogic realizat în trei etape de cercetare a stabilit:
problemele care stopează implementarea sistemelor software matematice moderne
în învățământul preuniversitar.
formarea abilităților și deprinderilor avansate la elevii din eșantionul experimental, privind elaborarea modelelor matematice și aplicarea metodelor numerice la soluționarea problemelor, bazat pe modelul de predare-învățare și a metodologiei de utilizare a SSM MAPLE, comparativ cu elevii din eșantionul de control.
că elevii din eșantionul experimental au înregistrat modificări pozitive care țin de: creșterea motivației privind studierea metodelor numerice; dorința de a studia mai profund SSM MAPLE; creșterea interesului privind studierea altor tehnologii computaționale; conștientizarea competențelor proprii.
că a fost rezolvată complet problema cercetării privind fundamentarea teoretică și elaborarea unui model didactic de predare-învățare al compartimentului „Modelare și metode de calcul” din cursul liceal de informatică prin utilizarea eficientă a SSM.
În baza celor menționate mai sus putem conchide că problema cercetării a fost soluționată prin realizarea obiectivelor propuse.
Luând în considerație cele menționate mai sus, putem face următoarele recomandări practice:
Pentru cadrele didactice din liceu și gimnaziu:
a se familiariza cu noile TIC în procesul de predare-învățare a disciplinelor respective;
a implementa TIC în activitatea profesională;
a utiliza metodologia elaborată în procesul de predare-învățare a compartimentului „Modelare și metode de calcul”.
Pentru autorii de manuale:
a utiliza modelul de predare-învățare elaborat și a dezvolta metodologia de utilizare a SSM în compartimentul „Modelare și metode de calcul”.
a folosi exemple de probleme și metode de soluționare propuse în cadrul modelului didactic elaborat.
Pentru studenții și masteranzii specializați în informatică:
a studia modelul didactic elaborat;
a se documenta privind metodologia de aplicare a SSM.
BIBLIOGRAFIE
Ершов А.П., Информатика: предмет и понятие. В кн. Кибернетика. Становление информатики. М.: Наука, 1986. c. 28-31.
Ершов А. П., Компьютеризация школы и математическое образование În: Математика в школе. 1989. № 1. c. 14-30.
Ершов А. П., Информатизация: от компьютерной грамотности учащихся к информационной культуре общества. În: Коммунист. 1988. № 2. c. 82-92.
Шемакин Ю.И., Введение в информатику. М., 1985. c. 190.
Шемакин Ю.И., Начала компьютерной лингвистики. Учеб. М.: Издательство МГОУ, 1992. c. 81.
Шрейдер Ю.А., Социокультурные и технико-экономические аспекты развития информационной среды. Информатика и культура. Новосибирск: Наука. Сибирское отделение, 1990. c. 50-82.
Урсул А.Д., Проблема информации в современной науке. Философские очерки. М.: Наука, 1975. c. 288.
Урсул А.Д., Модель образования XXI века: устойчивое развитие и экологическая безопасность. În: Вестник экологического образования России. 1996. № 2. c. 3.
Cristea S. Informatizarea educației/învățământului. În: Didactica Pro, 2010, nr. 6 (64), p. 54-56.
Chiriac L., Mihălache L. Considerente metodice privind expunerea procesului de modelare. În: Studia Universitatis, Universitatea de Stat din Moldova, 2011, Nr. 9 (39), p. 164-177.
Profesorii și instruirea într-o lume în schimbare: Teachers and Teaching în a Changing World, UNESCO, 1998. http://www.unesco.org/education/information/wer/ PDFeng/ wholewer98.pdf (vizitat 22.11.2011).
Profesorii și instruirea într-o lume în schimbare: Teachers and Teaching în a Changing World, UNESCO, 1998, http://www.unesco.org/education/information/wer/ PDFeng/ wholewer98.pdf (vizitat 22.11.2011).
Information and communication technologies în teacher education: A planning guide UNESCO, 2002. http://unesdoc.unesco.org (vizitat 25.03.20010).
Roger E. Bohr., Measuring and Managing Technological Knowledge. În: Dale Neef a.o., Eds. The Economic Impact of knowledge. Boston: Butterworth-Heinemann, 1998, p. 295-314
Cojocaru Venera-Mihaela., Educație pentru schimbare și creativitate. București: Didactică și Pedagogică, 2003. 312 p.
Гордон Л. Г.,Информационные технологии в образовании для общества знаний: существует ли универсальный ключ? Москва, 2005. http://confifap.cpic.ru/upload/conf2005/reports/doklad_577.doc (vizitat 1.12.2012)
Pâslaru Vl. și al. Construcție și dezvoltare curriculară. Cadrul teoretic. Chișinău, 2005. 176 p.
Patrașcu D. (coord.), Wichmann L. Formarea profesorilor. Reforma Sistemului de Învățământ și Instruire Profesională din Moldova: manual. Chișinău: Tacis, 1999. 105 p.
Patrașcu D. și al. Standarde și standardizare în învățământ. Chișinău: Univers Pedagogic, 2006. 188 p.
Wichmann L., Elaborarea curriculum-ului. Reforma Sistemului de Învățământ și Instruire Profesională din Moldova: European Training Fondation. Chișinău: Tacis, 1999. 27 p.
Caragea V.M. Paradigma învățământului centrat pe student. Abordarea etnografică a unei comunități. Rezumatul tezei de doctorat. București, 2011. 37 p.
Marcu V., Marinescu M., Implementarea tehnologiilor în educație sau educația tehnologică. Oradea. http://www.1educat.ro/resurse/software_educational/tehnologii_in_educatie.pdf (vizitat 03.12.12)
Pâslaru Vl., Reformarea sistemului educațional în contextul integrării europene. Ch: ARC, 2001. 248 p.
Politici educaționale în domeniul formării continue a cadrelor didactice și manageriale din învățământul preuniversitar (coord. Goraș-Postică V.). Chișinău: Didactica Pro, 2003. 108 p.
Gremalschi A., Modernizarea învățământului preuniversitar prin implementarea pe scară largă s tehnologiei informației și a comunicațiilor. În: Didactica Pro, 2010, nr 6 (64), p. 2-6.
Formarea continuă a cadrelor didactice în Uniunea Europeană și în statele AELS/SEE (Trad. dr. Noveanu E.). București: Alternative, 1997. 296 p.
Mihăilescu I. Sisteme de învățământ superior în Europa Centrală și de Est. Analiză comparativă: Bulgaria, Finlanda, Estonia, Lituania, România, Federația Rusă. București: Alternative, 1997. 109 p.
Mândâcanu V. Bazele tehnologiei și măiestriei pedagogice. Chișinău: Lyceum, 1997. 358 p.
Mihălache L., Chiriac L. Aplicarea metodelor statistice avansate la prelucrarea datelor experimentale obținute la implementarea experimentului pedagogic privind utilizarea tehnologiilor computaționale în procesul de predare-învățare-evaluare a compartimentului „Modelare și calcul numeric”. Materialele CAIM, 2012. p. 177-184
Lupu I., Zastînceanu L. Impactul instruirii asistate de calculator asupra calității învățământului matematic.In: Studia Universitatis, 2010. Nr. 5(35), p. 257-259.
Zastînceanu L. Metodologia studierii elementelor de geometrie analitică prin intermediul calculatorului. Teză de doctor în pedagogie. Chișinău, 2006. 158 p.
Osipov V. Metodologia studierii matematicii în instituții cu profil tehnic prin intermediul noilor tehnologii informaționale. Teza de doctor. Chișinău, 2012. 161 p.
Дьяконов В.П. Новые технологии сверхбыстрых массовых исчислений. Вестник Московского городского педагогического университета. Серия Информатика и информатизация образования. Казань: Изд-во «Фолиантъ», 2007. №-1(8). c. 101-108.
Дьяконов В.П. Компьютерная математика в 2008 году. Системы компьютерной математики и их приложения: Материалы международной конференции. Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2008. Вып. 9. c. 33-39.
Дьяконов В.П. Системы компьютерной алгебры в 2005 году. Системы компьютерной математики и их приложения: Материалы международной конференции. Смоленск, 2005. Вып. 6. c. 21-26.
Дьяконов В. П. Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании. М.: СОЛОН-Пресс, 2006. 720 с.
Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики СПБ.: БХВ-Петербург, 2001. 528 c.
Мантуров О.В. Mathematica 3.0 и ее роль в изучении математики. 9 января 2001 г. 5 с.
Buneci M.-R. Metode numerice, aspecte teoretice și practice. Tîrgu-Jiu: Editura Academica Brâncuși, 2009. 284 p.
Mariș S., Brăescu. Metode numerice probleme de seminar și lucrări de laborator. Timișoara, 2007. http://web.info.uvt.ro/~braescu/courses/Calcul_numeric_probleme.pdf (vizitat 12.11.12)
Fulea T. Tehnologii informaționale în procesul de predare-învățare a informaticii. Teză de doctor în pedagogie. Chișinău, 2006. 169 p.
Cuilenburg Van J.J., Scholten O., Noomen G.W. Știința comunicării. București: Ed. Humanitas, 1998. 287 p.
Noveanu E. Competențele educatorului în școala de mâine. Impactul informatizării, în Tehnologii educaționale moderne(coord. V. Mândâcanu), vol. V, 1999. București:Ed. Le mot.
Коджаспирова Г.М., Петров К.В. Технические средства обучения и методика их использования, Москва, Из. ACADEMIA, 2001, 256 с.
Щуркова Н. Практикум по педагогической технологии, Москва, Из. ACADEMIA, 2001. 250 c.
Boar B. H. The Art of Strategic Planning for Information Tehnologies. 2nd edition. New York: John Wiley&Sons. 2001. 368 p.
Computer Science: A curriculum for schools. Marthc 2012. http://www.computingatschool.org.uk/index.php?id=documents (vizitat 03.12.12)
ICT in Schools. Inspectorate Evaluation Studies. Dublin, 2008. http://www.pgce.soton.ac.uk/ict/NewPGCE/PDFs/ICT_in_schools_insp_report%2008.pdf (vizitat 03.12.12)
Les dossiers. Enseignement scolaire. Les technologies de l’information et de la communication(TIC) en classe au college et au lycee: elements d’usages et enjeux. Direction de l’évaluation, de la prospective et de la performance. Octobre 2010. http://www.refondonslecole.gouv.fr/wp-content/uploads/2012/07/dossier_les_technologies_de_l_information_et_de_la_communication_au_college_et_au_lycee_octobre_2010.pdf (vizitat 03.12.12)
European Schoolnet. Estonia Country Report on ICT in Education. 2010. http://insight.eun.org/ww/en/pub/insight/misc/country_report.cfm (vizitat 03.12.12)
Antonesei L. O introducere în pedagogie. Dimensiunile axiologice și transdisciplinare ale educației. Iași: Polirom. 2002. 220 p.
Programe școlare. Tehnologia informației și a comunicațiilor ciclul superior al liceului. Filiera tehnologică, toate profilurile și specializările. M.E.C.I, (2009), http://administraresite.edu.ro/index.php/articles/curriculum/c592/ (vizitat 05.12.2012)
Informatica. Curriculum pentru clasele a X-a – a XII-a. Chișinău: Știința, 2010. 44 p.
Informatica. Curriculum pentru învățământul gimnazial (clasele VII – IX). Chișinău: Știința, 2010. 20 p.
Landsheere V. L’Education et la formation. Paris :PUF, 1992. 459 p.
Corlat S., Ivanov L. Informatica. Ghid de implementare a curriculumului modernizat pentru treapta liceală. Chișinău: Cartier, 2010. 112 p.
Cucos C. Pedagogie. Prefață Adrian Necolau. Iași: Polirom, 1996. 230 p.
Negară C. Strategii didactice în formarea profesorilor de Informatică, tehnologia informației și a Comunicațiilor. Teză de doctor în pedagogie. Bălți 2011. 212 p.
Башарин В. Ф. Педагогическая технология: что это такое? În: Специалист, 1993, № 9. c. 25-27.
Бершадский М. Е. В каких значениях используется понятие технология в педагогической литературе? În: Школьные технологии, 2002, № 1. c. 3-19.
Монахов В. М. Методология проектирования педагогической технологии (аксиоматический подход). În: Школьные технологии, 2000, № 3. c. 57-71.
Беспалько В. П. Слагаемые педагогической технологии. Москва: Педагогика, 1989. 192с.
Олешков М. Ю. Технологии обучения в высшей школе. In: Нижнетагильская государственная социально-педагогическая академия. Ученые записки. Педагогика. Психология. Нижний Тагил, 2003. c. 47-54. http://www.pedlib.ru/Books/5/0084/5_0084-1.shtml#book_page_top (vizitat 10.01.12).
Беспалько В.П., Педагогика и прогрессивные технологии обучения, Москва, Из. Педагогика, 1995, 366 с.
Карякин Ю. В.; Гуляева О. С. Педагогические технологии и технология учебного процесса. Логический анализ понятий.http://oio.tpu.ru/publ_2004/ article2004_5.html (vizitat 15.03.2011).
Гребнев И. В. Дидактика предмета и методика обучения. În: Педагогика, 2003, № 1. c. 14-21.
Jupp T.C., Roberts C., Cook-Gumpers J. Language and Disadvantage:The Hidden Process. Language and Social Identity. Cambrige: Cambridge University Press, 1982. 172 p.
Suchman L.A. Plans and Situated Actions:The Problem of Human-Machine Comunication. Cambrige: Cambridge University Press, 1987. 137 p.
Quintanar L.L., Crowell C.R., Moskal P.J. The Interactive Computer as a Social Stimulus in Human-Computer Interactions. Amsterdam: Elsevier Science Publishers. 1987. p. 45-58, p. 303-310.
Habenstreit J. Computers and Education, an Encounter of the Third Kind, Rev. Computers and Education. New York: F. Lovis & F. Taggs, 1988. p. 43-51.
Kuhman W. Experimental Investigations of Stress- Inducing Properties of System Response Times. In: Rev. Ergonomics, Cambridge, 1989. nr 32. p.74-81.
Бабаева Ю., Войскунский А. Одаренный ребенок за компьютером.Мockba.: Сканрус, 2003. 400 c.
Бабаева Ю., Войскунский А. идр. În: Диалог ЭВМ: психологическиеаспекты Вопросы психологии. 1983. Nr.2. с. 25-34.
Гельтинцева Е., Селехова Г. Как предупредить переутомление при работесвидеотерминалом? În: Информатика и образование , 1990. Nr.4. с. 55-56.
Magdaș I., Didactica Informaticii, de la teorie la practicǎ. Cluj-Napoca: Ed. Clusium, 2007. 196 p.
Cristian Masalagiu, Asimioaei Ioan. Didactica informaticii. Iași:Polirom, 2004. p. 232.
Лапчик М.П., Семакин И.Г., Хеннер Е.К. Методика преподавания информатики Москва: Академия, 2001. 624 с.
Красилникова В.А. Информационные технологии в образовании. Москва: Дом Педагогики, 2006. 231 с.
Софронова Н.В. Теория и методика обучения информатике. Москва: Высш. шк., 2004. 223 с.
Cerghit I. Sisteme alternative și complementare de instruire. În: Păun, E. Pedagogie. Fundamentări teoretice și demersuri aplicative / vol. coord. de Emil Păun și Dan Potolea. Iași: Polirom, 2002. 248 p.
Mihălache L. Implementarea noilor tehnologii didactice în procesul educațional la informatică în liceu. În: Univers Pedagogic Nr. 1, 2013. pag. 69-75.
Дьяконов В. Maple 7: учебный курс. СПб.: Питер, 2002. 672 с.
Говорухин В.Н. Введение в Maple. Математический пакет для всех. М.: Мир, 1997. 208с.
Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. СПБ.: БХВ–Петербург, 2001. 528 c.
Корнилов B.C. Теоретические и методические основы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений в условиях гуманитаризации высшего математического образования: дис. д–ра пед. наук. М., 2008. 479 с.
http://amath.colorado.edu/computing/mmm/brief.html vizitat(09.12.11)
Dionis L. Utilizarea softurilor matematice în procesul de instruire. Chișinău, 2012. http://www.aticmd.md/wp-content/uploads/2012/03/S_4_09_Lica_Covalciuc.pdf (02.12.12)
Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Соросов–ский образовательный журнал. том 7. 2001. № 1. c. 116–121.
Дьяконов В.П. Компьютерная математика в 2007 году. Системы компьютерной математики и их приложения: Материалы международной конференции. – Смоленск: Изд–во СмолГУ, 2007. Вып. 8. c. 17–21.
Дьяконов В.П., Hовые возможности компьютерной математики в информационных системах. www.ict.edu.ru/vconf/files/11096.doc (vizitat 02.12.12)
Hazec R. , Petraskova V. A Way to Improve Financial Literacy of Future Teachers. Mathematics Education with Tehnology. Experiences in Europe. p. 199-.218.
Дьяконов В.П., Cистемы компьютерной математики в науке и современном образовании. http://vuz.exponenta.ru/PDF/FOTO/kaz/Articles/Dyakonov.pdf (vizitat 11.09.2012).
Кристалинский Р.Е. Преобразования Фурье и Лапласа в системах компьютерной математики. Учебное пособие для вузов. М.: Горячая линия. Телеком, 2006. c. 216.
Дахер Е.А. Система Mathematica в процессе математической подготовки специалистов экономического профиля: дис. канд. пед. наук. М., 2004. 190 с.
Nica O.M., Computer Math- Explorarea matematicii folosind calculatorul și software-ul educațional.Cluj-Napoca. http://www.concursurilecomper.ro/rcm/ComputerMath.pdf (vizitat 02.01.2013).
Mircea I, ș.a., Matematica prin Mathematica. Cluj-Napoca, 2012. http://www.edumanager.ro/community/documente/matematica_prin_mathematica_b5.pdf (vizitat 15.08.2012).
Дьяконов В.П. Maple 9 в математике, физике и образовании. М.: СОЛОН–Пресс, 2004. 688 с.
Дьяконов В.П. Maple 8 в математике, физике и образовании. М.: СОЛОН–Пресс, 2003. 656 с.
Дьяконов В.П. Maple 6. Учебный курс. СПб.: Питер, 2001. 608 с.
Дьяконов В.П. Математическая система Maple V R3/R4/R5. М.: Солон, 1998. 400 с.
Дьяконов В. П. Maple 9 в математике, физике и образовании. М.: СОЛОН–Пресс, 2004. 688 с.
Дьяконов В. Maple 7: учебный курс. СПб.: Питер, 2002. 672 с.
Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. СПБ.: БХВ–Петербург, 2001. c. 528.
Кирсанов М.Н. Графы в Maple. М.: Физматлит, 2007. 168 с.
Аладьев В.З. Специальные вопросы работы в среде математического пакета Maple. Таллинн–Вильнюс: Международная Академия Ноосферы и Вильнюский технический университет, 2001. 208 с.
Аладьев В.З., Богдявичюс М.А. Maple 6: Решение математических, статистических и инженерно–физических задач. Москва: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. 850 с.
Аладьев В.З., alții Программирование в среде математического пакета Maple V. Минск–Москва: Российская Экологическая Академия, 1999. 470 с.
Аладьев В.З. Решение физико–технических и математических задач с Maple V. Таллинн–Вильнюс: TRG, 1999. 660 с.
Аладьев В.З., Лиопо В.А., Никитин А.В. Математический пакет Maple в физическом моделировании. Гродно: Гродненский государственный университет им. Янки Купалы, 2002. 416 с.
Аладьев В. 3. Системы компьютерной алгебры: Maple: искусство программирования. М.: Лаборатория базовых знаний, 2006. 792 с.
Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple: Учебник для вузов. Спб: Питер, 2004. 539 с.
Сдвижков О.А. Математика на компьютере: Maple 8. М.: СОЛОН–Пресс, 2003. 176 с.
Васильев А.Н. Maple 8. Самоучитель. М.: Диалектика, 2003. 352 с.
Тарасович Ю.Ю. Математическое и компьютерное моделирование. Вводный курс. Учебное пособие. М.: Едиториал УРСС, 2004. 152 с.
Тарасевич Ю.Ю. Информационные технологии в математике. М.: СОЛОН–Пресс, 2003. 114 с.
Манзон Б.М. Maple V Power Edition. М: Информационно–издательский дом Филинъ, 1998. 240 с.
Прохоров Г.В., alții. Математический пакет Maple V Release 4: Руководство пользователя. Калуга: Облиздат, 1998. 200 с.
Прохоров Г.В., Колбеев В.В., Леденев М.А. Пакет символьных вычислений Maple V. М: Компания Петит, 1997. 200 с.
Ивановский Р.И. Компьютерные технологии в науке и образовании. Практика применения систем MathCAD 7.0 PrO, MathCAD 8.0 Pro и MathCAD 2000 Pro: Учебное пособие. СПб.: Изд–во СПбГТУ, 2000. 201 с.
Ивановский Р.И. Системы компьютерной математики как необходимый элемент формирования умений. Научно–Технические Ведомости СПбГТУ. М.: Мин. Образование Российской Федерации СПбГТУ, 2002. № 3. c. 16–22.
Ивановский Р.И. Системы компьютерной математики в школе (первый опыт). Компьютерные инструменты в образовании. 2005. № 3. с. 32–37.
Camerzan I., Vascan T. Didactica informaticii. Suport metodic. Chișinău, 2010, 199 p.
Титов К.В. Компьютерные технологии в вопросах изучения и решения задач интегральных преобразований и операционного исчисления: Учебное пособие по курсу Спецглавы высшей математики. М.: Изд–во МГТУ им. Баумана, 2001.
Шишаков М.Л. Системы компьютерной математики как базовый инструмент обучения алгоритмизации и программированию. Компьютерные инструменты в образовании. 2005. № 4. c. 25–34.
Игнатьев Ю.Г. Применение пакетов символьной математики Maple V, VI в курсе Геометрии. Проблемы профессиональной подготовки учителя математики и информатики: Материалы региональной научно–практической конференции. Казань: КГПУ, 2001. c. 89–90.
Игнатьев Ю.Г. Исследование пакетов символьной математики в преподавании предметов математического цикла в общеобразовательных школах. Математика. Образование. Культура: Материалы I международной научной конференции. – Тольятти: ТГУ, 2003. Ч. 2. c. 83–86.
Игнатьев Ю.Г. Развитие научного творчества учащихся с помощью методов математического моделирования на основе пакета символьной математики Maple. Математика. Образование. Культура: Материалы II Международной конференции. Тольятти, 2005. Ч.З. c. 31–37.
Игнатьев Ю.Г. Использование пакетов символьной математики в преподавании предметов математического цикла в общеобразовательных школах. Проблемы математического образования и культуры: Тезисы международной научной конференции. Тольятти, 2003. c. 105.
Гибадуллина А.И. Опыт применения пакета Maple на уроках математики и во внеклассной работе в школе № 57 города Казан. Сборник Проблемы информационных технологий в математическом образовании: учебное пособие под ред. Игнатьева Ю.Г. Казань: ТГГПУ, 2005. c. 55–68.
Гибадуллина А.И. Обучающий компакт–диск по применению пакета Maple в курсах математики средней школы и научном творчестве учащихся. Проблемы и перспективы информатизации математического образования: Сборник научных работ, представленных на всероссийскую научно–методическую школу–семинар. – Елабуга: Изд–во ЕГПУ, 2004. c. 121–124.
Гибадуллина А.И. Использование пакета символьной математики MAPLE в общеобразовательном учебном процессе. Математические методы в технике и технологиях – ММТТ–18: Сборник трудов XVIII Международной научной конференции. В 10 т. Т.8. Казань: Изд–во Казанского гос. технол. ун–та, 2005. c. 49–50.
Гибадуллина А.И. Возможности и опыт применения компьютерной математики в общеобразовательной школе. Школьная геометрия: реальность и перспективы»: Материалы региональной научно–практической конференции. Казань: КГПУ, 2005. c. 54–57.
Гибадуллина А.И. Опыт применения символьной математики и математического моделирования в структуре среднего математического образования. Лобачевские чтения – 2006: Материалы Пятой молодежной научной школы–конференции. Казань: Издательство Казанского математического общества, 2006. c. 56–57.
Гибадуллина А.И. Обучающие программы для изучения пакета символьной математики Maple и применение его для изучения математики в старших классах общеобразовательной школы. Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России: Тезисы III Всероссийской научной конференции. – Киров: Изд–во ВятГГУ, 2004. c. 116–117.
Гибадуллина А.И. Возможности применения символьной математики в школьном курсе геометрии. Применение новых технологий в образовании: Материалы XVII Международной конференции. Троицк, 2006. c. 137–138.
Фахрутдинова Д.Н. Авторский компакт–диск ”Пакет символьной математики Maple в общеобразовательной школе”. Вестник Московского городского педагогического университета. Серия Информатика и информатизация образования. Казань: Изд–во Фолиантъ, 2007. №1 (8). c. 153–157.
Фахрутдинова Д.Н. Пакет символьной математики Maple в профильном обучении. Применение новых технологий в образовании: Материалы XVII Международной конференции. Троицк, 2006. c. 245–249.
Саркеева А.Н. Проблемы школьного физико–математического образования и их возможные решения на основе системы компьютерной математики Maple. Системы компьютерной математики и их приложения: Материалы международной конференции. Смоленск: Изд–во СмолГУ, 2008. Вып.9. c. 277–278.
Саркеева А.Н. Возможности интеграции предметов школьного курса математики и информатики на основе пакета символьной математики Maple. Информатизация образования в Республике Татарстан: опыт, проблемы, перспективы: Материалы Республиканской научно–практической конференции. – Казань: Изд–во Таглимат, 2006. 4.1. c. 300–305.
Саркеева А.Н. Возможности интеграции предметов школьного курса математики и информатики на основе пакета символьной математики MAPLE. Вестник Московского городского педагогического университета. Серия Информатика и информатизация образования. Самара, 2006. №1(6). c. 171.
Багаутдинов М.Р. Анимация математических моделей основных физических процессов в пакете Maple на примере модели спонтанного нарушения симметрии. Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Второй Всероссийской научной конференции. Самара: СамГТУ, 2005. c. 271–273.
Агеева Н.Р. Создание компьютерной анимированной модели движения релятивистских частиц в гравитационно–волновых полях с помощью пакета Maple. Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Второй Всероссийской научной конференции. Самара: СамГТУ, 2005, c. 14–18.
Розакова Л. И. Создание и исследование математической модели движения релятивистских частиц в сильных полях средствами пакета Maple. Труды 3 Всероссийской научной конференции. Самара: СамГТУ, 2006. c. 93-95.
Самигуллина А.Р. Создание компьютерных средств сопровождения курса линейной алгебры и аналитической геометрии для нематематических факультетов с помощью СКМ Maple. Системы компьютерной математики и их приложения: Материалы международной конференции. Смоленск: Изд–во СмолГУ, 2009. Вып.Ю. c. 71–73.
Вестник Московского городского педагогического университета. Серия Информатика и информатизация образования. Самара, 2006. № 1 (6).
Материалы XVII Международной конференции Применение новых технологий в образовании. Троицк, 2006. c. 717.
Материалы международной научно–практической конференции ИТО–Поволжье 2007. Вестник Московского городского педагогического университета. Серия Информатика и информатизация образования. Казань: Изд–во Фолиантъ, 2007. № 1 (8). 432 с.
http://vuz.exponenta.ru/PDF/FOTO/kaz/Articles/Gibadullina.pdf (vizitat 12.12.11)
Сборник материалов международной конференции Системы компьютерной математики и их приложения. Смоленск: Изд–во СмолГУ, 2007. Вып. 8.
Гибадуллина А.И. Возможности использования пакета Maple в преподавании предметов физико–математического цикла средней школы и развития научного творчества старшеклассников. Сборник научных трудов молодых математиков КГПУ Вопросы современной математики и информационных технологий в математическом образовании под ред. Игнатьева Ю.Г. Казань: КГПУ, 2004. c. 87-96.
Фахрутдинова Д.Н. Элективный курс Основы пакета символьной математики Maple для 9–х классов общеобразовательных школ. Вестник Московского городского педагогического университета. Серия Информатика и информатизация образования. Самара, 2006. № 1 (6). c. 192.
Саркеева А.Н. Применение пакета символьной математики Maple на уроках геометрии. Применение новых технологий в образовании: Материалы XVII международной конференции. Троицк: Изд–во Тровант, 2006. c. 219–220.
Саркеева А.Н. Программная реализация информационно–методической поддержки предметов информатики и математики с помощью пользовательских библиотек в среде компьютерной математики. Информатика и образование. 2009. – № 6. c. 100–104.
Кудрявцев А.В., Методы интуитивного поиска технических решений. Метод мозгового штурма. http://www.metodolog.ru/00072/00072.html (vizitat 05.01.2012).
http://olc.spsd.sk.ca/DE/PD/instr/strats/kwl/ (vizitat 11.01.2013).
Сергеев И.С. Как организовать проектную деятельность учащихся: практическое пособие для работников общеобразовательных учреждений/И.С. Сергеев. М.: Аркти, 2003
Павлова М.Б. Метод проектов в технологическом образовании школьников / М.Б. Павлова, Дж. Питт, М.И. Гуревич, И.А. Сасова. М.: Вентана – Графф, 2003.
Ulrich C., Managementul clasei – învățare prin cooperare. București: Corint, 2000. p. 56-70.
Бирюков Б.В., Гутчин И.Б. Машина и творчество. Результаты, проблемы, перспективы. Серия: Кибернетика. М.: Радио и связь. 1982 г. 152 с.
Mihălache L. Aplicarea tehnologiilor informaționale și a comunicațiilor în procesul de predare-învățare-evaluare. Diversificarea procedeelor didactice prin utilizarea elementelor de dramă și creativitate plastică. Culegere de materiale. L.T.”I. Creangă”, Chișinău, 2011. p. 156-163. ISBN 978-9975-68-169-8.
Mihălache L., Bouroș E. Activitatea extracurriculară – pas spre dezvoltarea creativității. Dialoguri Chișinăuiene, Forumul de idei pedagogice, Ediția I, Chișinău, 24-26 februarie 2011.
Chiriac, E., Chiriac L. Elaborarea modelelor matematice în ecologie. Facultatea de geografie la 60 ani. Lucrările simpozionului „Dezvoltarea geografiei în Republica Moldova”. Chișinău: UST, 1998. p.129-131.
Chiriac L., Mihălache L., Probleme care țin de predare-învățare a modelării matematice. Conferința științifică: „ Modernizarea învățământului preuniversitar și universitar în contextul integrării europene”, Materialele conferinței științifice. Chișinău: UST, noiembrie 2009. p 306.
Chiriac L., MihălacheL. Abordări metodice privind expunerea procesului de modelare. Conferința științifică: „Modernizarea învățământului preuniversitar și universitar în contextul integrării europene”. Materialele conferinței științifice. Chișinău: UST, noiembrie 2009. p 303.
Mihălache L., Considerente metodice privind expunerea procesului de modelare. Volumul Conferinței Internaționale. Tradiții. Valori și perspective în științele educației, ediția a IV, Casa Cărții de Știință Cluj-Napoca, 2009. p. 267-269. ISSN 2065-006X.
Neculai Andrei. Despre modelarea matematică. Concepția simetriei de interpretare rațională a Divinității. București, 2010, p. 1. www.camo.ici.ro/neculai/z17a10.pdf (vizitat 23.08.2012).
Cabac V. Elemente de modelare mathematică. Chișinău:Lumina, 1995, 78 p.
Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. 2-е изд., М.: Физматлит, 2001. 320 с.
Севостьянов, А.Г. Моделирование технологических процессов. М.: Легкая и пищевая промышленность, 1984. 344 с.
Мышкин А. Д., Элементы теории математических моделей. 3-е изд., испр. М.: КомКнига, 2007. 192 с.
http://www.uav.ro/files/educatie/plus/10.pdf (vizitat 10.05.2010)
Corlat S., Ivanov L. Calcul numeric. Curs de lecții. Chișinău: CCRE PRESA, 2004. 96 p.
Botoșanu M., ș.a. , Informatica cl. 12. Chișinău: Editura Epigraf, 2008. p.
A. Gremalschi, S. Corlat, A. Braicov. Informatică. Manual pentru clasa XII. Manualul pentru clasa XII-a, liceu, profil real și umanist.Compartimente: metode numerice de calcul, baze de date,elemente de web design. Chișinău: Știința, 2010. 144 p.
Chiriac L., Golovco N. Metode numerice. Îndrumar de laborator. Chișinău, 2004. 126 p.
Мокшина В. В. Методика преподавания раздела „Элементы вычислительной математики” в курсе информатики средней школы(Из фондов Российской Государственной библиотеки). Дис. канд. пед. наук : 13.00.02 .-М.: РГБ, 2003. 155 с.
Корнюшин П.Н. Численные методы: Учебное пособие. Владивосток: ТИДОТ ДВГУ, 2002. 104 с.
Сукиязов А.Г., Крамaров С.О., Принципы использования активных компьютернных технологий для предметного обучения // Компьютерные учебные программы, ИНИНФО, Москва, №4, 2002, c. 33-45.
Лапчик М.П., ș.a.Численные методы. Учебное пособие для студентов вузов. М: Академия, 2004. 384 с.
Mihălache L. Tehnologiile computaționale utilizate la lecțiile de informatică. Confluențe. Simpozion – Concurs internațional. Colegiul Național „Dimitrie Cantemir”, Onești, România.11-12 decembrie 2009. CD. ISBN 978-973-0-07178-8.
Mihălache L. Regândirea tehnologiilor didactice în predarea cursului liceal de informatică. În: Didactica Pro, nr. 2 (78), 2013.
Chiriac L., Mihălache L. Abordări didactice în predarea compartimentului „Integrale numerice” din cursul liceal de Metode numerice. Învățământul universitar din Republica Moldova la 80 de ani. Materialele Conferinței Științifice Internaționale. Chișinău: UST, 2010. p. 295-305.
Mihălache L. Procedee didactice în rezolvarea problemelor la compartimentul „Integrale numerice” din cursul liceal de metode numerice. Învățământul universitar din Republica Moldova la 80 de ani. Materialele Conferinței Științifice Internaționale. Chișinău: UST, 2010. p. 306-320.
Mihălache L. Aspecte metodice privind elaborarea testelor la compartimentul „Calculul numeric” din cursul liceal de informatică. International Conference. Matematics & Information tehnologies: Research and education (MITRE-2011), dedicated to the 65th anniversary of the Moldova Stat University. Chișinău:UST, August 22-25, 2011. p. 184-185.
Planchard E. Cercetarea în pedagogie. București: E.D.P, 1972. 284 p.
Simona-Elena Bernat. Tehnica învățării eficiente. Cluj-Napoca: Presa Universitară Clujeană, 2003, 369 p.
Jinga I., Instrate E. Manual de pedagogie, Ed. All, București,1998, p.185-186
Mihălache L. Examinarea particularităților eșantioanelor implicate în experimentul pedagogic privind utilizatea tehnologiilor computaționale în procesul de predare-învățare-evaluare a compartimentului „Modelare și calcul numeric”.The 20th conference on applied and industrial matematics, dedicaded to academician Mitrofan Ciobanu. Communications in education. Chișinău:UST, august 22-25, 2012. p. 173-176.
Mihălache L. Organizarea și implementarea experimentului pedagogic privind utilizarea tehnologiilor computaționale în procesul de predare-învățare-evaluare a compartimentului „Modelare și calcul numeric”.The 20th conference on applied and industrial matematics, dedicaded to academician Mitrofan Ciobanu. Communications in education. Chișinău: UST, august 22-25, 2012. p. 184-189.
Mihălache L. Experimentul pedagogic prin prisma analizelor statistico-matematice. International Conference. Matematics & Information tehnologies: Research and education (MITRE-2011), dedicated to the 65th anniversary of the Moldova Stat University. Chișinău:UST, August 22-25, 2011. p.185-187.
Mihălache L. Multimedia în predare-învățare-evaluare. Promovarea tehnologiilor informaționale și comunicaționale în educație. Materialele conferinței științifico-practice 26-27 iunie 2009, Chișinău RM. p. 177-181. ISBN 987-9975-9809-3-7.
Mihălache L. Utilizarea tehnologiilor computaționale în procesul de predare-învățare-evaluare a metodelor numerice la obiectul informatică în cursul liceal. Conferința științifică: „Modernizarea învățământului preuniversitar și universitar în contextul integrării europene”, Materialele conferinței științifice. Chișinău, noiembrie 2009. UST, p. 310-313. ISBN 987-9975-76-025-6.
Clocotici V., Stan A. Statistică aplicată în psihologie. Colegium. Iași:Polirom 2001. 296 p.
Сидоренко E., Методы математической обработки в психологии. M: Речь, 2007. 350 с.
ANEXE
Anexa 1. Rezultatele elevilor obținute la testare
Tabelul 1.1. Rezultatele Testului 1
Tabelul 1.2. Rezultatele Testului 2
Tabelul 1.3. Rezultatele Testului 3
Anexa 2. Indicii variabilității
Tabelul 2.1. Stabilirea elementelor pentru calcularea mediei aritmetice (), deviației (d),
abaterea standard (S) și dispersiei (S2), grupa anului 2008-2009, Testul 1
Tabelul 2.2. Stabilirea elementelor pentru calcularea mediei aritmetice (), deviației (d),
abaterea standard (S) și dispersiei (S2), grupa anului 2008-2009, Testul 2
Tabelul 2.3. Stabilirea elementelor pentru calcularea mediei aritmetice (), deviației (d),
abaterea standard (S) și dispersiei (S2), grupa anului 2008-2009, Testul 3
Tabelul 2.4. Stabilirea elementelor pentru calcularea mediei aritmetice (), deviației (d),
abaterea standard (S) și dispersiei (S2), grupa anului 2009-2010, Testul 1
Tabelul 2.5. Stabilirea elementelor pentru calcularea mediei aritmetice (), deviației (d),
abaterea standard (S) și dispersiei (S2), grupa anului 2009-20010, Testul 2
Tabelul 2.6. Stabilirea elementelor pentru calcularea mediei aritmetice (), deviației (d),
abaterea standard (S) și dispersiei (S2), grupa anului 2009-2010, Testul 3
Tabelul 2.7. Stabilirea elementelor pentru calcularea mediei aritmetice (), deviației (d),
abaterea standard (S) și dispersiei (S2), grupa anului 2010-2011, Testul 1
Tabelul 2.8. Stabilirea elementelor pentru calcularea mediei aritmetice (), deviației (d),
abaterea standard (S) și dispersiei (S2), grupa anului 2010-2011, Testul 2
Tabelul 2.9. Stabilirea elementelor pentru calcularea mediei aritmetice (), deviației (d),
abaterea standard (S) și dispersiei (S2), grupa anului 2010-2011, Testul 3
Anexa 3. Variante de teste de evaluare
Test de evaluare Nr. 1
Modelarea matematică. Localizarea rădăcinilor. Metoda bisecției.
Nume________________Prenume________________
Clasa ________
Test de evaluare Nr. 2
Rezolvarea numerică a sistemelor de ecuații liniare
Nume________________Prenume________________
Clasa ________
Fie x1 =3, x2 =2, x3 =1. Alcătuiți un enunț de problemă al cărui model ar constitui un sistem de 3 ecuații liniare cu 3 necunoscute, pentru care valorile date reprezintă soluțiile lui. 6p
Să se afle următoarele operații: A+B; A*B; A-B, unde matriciile A și B sunt reprezentate mai jos (utilizând aplicația MAPLE – gr. experimentala, utilizând aplicația Excel – gr. control). 7p
și
Să se calculeze Δ = (utilizând aplicația MAPLE – gr. experimentala, utilizând aplicația Excel gr. control). 3p
Bazinul are trei robinete pentru scurgerea apei. Prin primul și al doilea robinet bazinul poate fi deșertat în 15 minute, prin primul și al treilea robinet – în 12 minute, iar prin al treilea și al doilea robinet – în 10 minute. În cât timp va fi deșertat bazinul prin fiecare robinet în parte?
Să se elaboreze modelul matematic al problemei.
Să se elaboreze un program care rezolvă modelul obținut utilizând metoda lui Cramer (utilizând aplicația MAPLE – gr. experimentala, utilizând TPascal-gr. control). 12p
Dacă 3 km se merge pe jos, 4 km se merge pe bicicletă și 2 km cu motocicleta, atunci tot drumul va dura 12/5 h. Dacă 4 km se merge pe jos, 6 km se merge pe bicicletă, iar 3 km cu motocicleta, atunci se cheltuie 67/20 h. Dacă 1 km se merge pe jos, 5 km se merge pe bicicletă, iar 2 km se merge cu motocicleta, atunci drumul va dura 32 / 20 h. Care vor fi vitezele fiecărui mijloc de transport : parcurgerii pe jos, bicicletei și motocicletei?
a) Să se elaboreze modelul matematic a problemei
b) Să se elaboreze un program care rezolvă modelul utilizând metoda Gauss (utilizând aplicația MAPLE – gr. experimentala, utilizând TPascal-gr. control). 12p
Test de evaluare Nr. 3
Integrala numerică
Nume________________Prenume________________
Clasa ________
Încercuiți litera ce corespunde formulei recurente pentru calculul integralei prin metoda trapezelor: 2p
a) I
b) I
c) I=
Să se calculeze integrala definită , după formula dreptunghiurilor medii, divizând segmentul [1, 3] în zece părți egale. Datele vor fi introduse în următorul tabel. (Calculele se efectuează utilizând aplicația Excel). 6p
Căldura specifică a unui kilogram de apă variază în funcție de temperatura t conform legii: . Să se determine cantitatea de căldură necesară pentru a încălzi 1 m3 de apă de la 100 la 600. 7p
Să se elaboreze modelul matematic al problemei
Să se elaboreze un program utilizând metoda trapezelor, care va determina soluția modelului elaborat, (utilizând aplicația MAPLE – gr. experimentala, TPascal-gr. control)
Să se completeze programul de mai jos, astfel încât să se calculeze I= prin metoda dreptunghiurilor de dreapta. 5p
Gr. de control programul în TPascal
program Integrala_stinga;
uses crt;
function f(x:real) :real;
………………………………………………………………
begin
var ……………………………: real;
i,n:integer;…, s,…, …,…:real;
BEGIN
clrscr;
writeln('introdu a,b si n-num de diviz');
write('a=');readln(a);
write('b=');readln(b);
write('n=');readln(n);
h:=……..
{dreptunghiuri de dreapta }
s:=…;
x:=a;
for i:=… to … do
begin
….
….
end;
s:=s*h;
writeln('integrala dupa
formula drept_de_dreapta este I=',) ;
readkey;
end.
Gr. Experimentală, procedura și apelul ei în MAPLE
>Dreptunghiuri_dreapta := proc (f, …, …, n)
local i, …, h,…;
s :=…;
h :=…..;
x := a+(1/2)/h;
for i from … to …do
…………………… end do;
s := s*h;
RETURN(evalf(iab)) end proc;
>;
> Dreptunghiuri_dreapta(f, …,….,….);
Fie . Să se scrie un program ce calculează valoarea aproximativă a acestei integrale prin metoda dreptunghiurilor medii. Calculul integralei va fi oprit, dacă se îndeplinește condiția: n – numărul curent de divizări, (utilizând aplicația MAPLE – gr. experimentală, TPascal – gr. control). 7p
Anexa 4. Fragment din suportul didactic pentru
compartimentul „Modelare și metode de calcul”
METODA BISECȚIEI
Fie ecuația f(x) = 0, unde f(x) este o funcție continuă pe segmentul [a,b], are o singură rădăcină. Se cere de determinat rădăcina ecuației cu precizia . Pentru a aproxima rădăcina aflată pe segmentul [a,b], înjumătățim acest segment prin punctul . Dacă f(c) = 0, atunci este rădăcina exactă a ecuației, dacă f(x)0, atunci rădăcina căutată se va afla într-unul din segmentele [a,c] ori [c,b], în dependentă de faptul pe care segment funcția ia valori de semn opus la capete. Notăm acest segment [a,b]. Mai departe înjumătățim segmentul [a,b] și facem aceleași raționamente ca în cazul precedent. Obținem un nou segment [a,b] lungimea căruia este . Procedeul se repetă până când se obține segmentul [a,b], astfel încât (n-arată numărul de înjumătățiri). În calitate de rădăcină se consideră numărul , iar eroarea nu întrece valoarea .
Alcătuim algoritmul metodei bisecției. (Vezi fig.1).
Fig. 1
Aplicație practică pentru metoda bisecției.
Problemă. Fie că avem produsul a 5 factori. La fiecare din primii trei factori din produsul respectiv se adaugă factorul însuși înmulțit la unul și același număr x. Din fiecare următorii doi factori, a produsului, se scade factorul însuși înmulțit la unul și același număr x. Determinați numărul x, dacă se știe că produsul factorilor respectivi, după modificare, rămâne neschimbat.
Să se elaboreze modelul matematic pentru problema dată.
Soluție. Fie că a, b, c, d, e – sunt factorii produsului, x – parte din fiecare factor.
Conform condiției problemei alcătuim relația
(a+ax)(b+bx)(c+cx)(d-dx)(e-ex)=a b c d e;
a(1+x)b(1+x)c(1+x)d(1-x)e(1-x)= a b c d e;
a b c d e (1+x)3(1-x)2= a b c d e;
(1+x)3(1-x)2=1;
(1+3x+3×2+x3)(1-2x+x2)=1;
x5+x4 -2×3-2×2+x=0;
x (x4+x3 -2×2-2x+1)=0
Modelul matematic reprezintă următoarea relație x4+x3 -2×2-2x+1=0.
Conform modelului matematic obținut să se localizeze rădăcinile acestei ecuații în Maple.
>with(plots);
> plot(x^4+x^3-2*x^2-2*x+1,x=-2..2);
> f:=(x->x^4+x^3-2*x^2-2*x+1);
Să se determine soluția directă în Maple (utilizând funcția fsolve()).
>
Să se indice metoda analitică în Excel pentru ecuația obținută, utilizând metoda bisecției.
Se completează tabelul:
Să se elaboreze programele (a) Pascal și (b) procedura în MAPLE pentru metoda bisecției; metoda tangentei; metoda coardelor. Să se compare rezultatele obținute.
(a) TPascal
Program bisectie;
uses crt;
const e=0.001;
var a, b, c: real;
Function f(x: real): real;
begin
f:=x*x*x*x+x*x*x-2*x*x-2*x+1;
end;
Begin
clrscr;
Writeln ('Introdu extremitatile segm a, b:');
readln (a, b);
if f(a)*f(b)>0 then begin
writeln ('Ecuatia n-are solutie pe acest segment.');
readkey;
end;
While abs (b-a)>e do
begin
c:=(b+a)/2;
if f(a)*f(c)<0 then b:=c else a:=c; end;
writeln ('Radacina este:', (b+a)/2:14:8);
readkey; end.
(b) Procedura Maple
> bisectie:=proc (f, sting, drept, eps)
local c, a, b;
a:=sting;
b:=drept;
while abs(b-a)>=eps do
c:=(a+b)/2;
print (c, abs (b-a));
if f(c)=0 then a:=c; b:=c
else if f(c)*f(a)<0 then
b:=c else a:=c
fi
fi
od;
c:=(a+b)/2;
RETURN (evalf(c));
end;
>
0.3891601562 1.288794992
Rezultatul obținut: Pentru segmentul [0,1] avem:
rădăcina c= 0,3891601562,
Iar pentru segmentul [1, 3] găsim:
rădăcina c = 1,288794992 ,
APLICAȚIE PRACTICĂ PENTRU TEMA INTEGRALA NUMERICĂ
Problemă: Un rezervuar de formă dreptunghiulară cu aria secțiunii S= 6m2 este umplut cu apă până la înălțimea H=5m. Să se determine timpul , în decursul căreia toată apa va curge din rezervuar printr-o deschizătură aflată în partea de jos al lui cu aria s=0.01 m2, dacă luăm în considerație, că viteza scurgerii apei este 0.6, unde h – înălțimea nivelului apei față de orificiu, g – accelerația căderii libere.
Elaborați modelul matematic pentru această problemă.
Calculați integrala , aplicând metoda dreptunghiurilor de dreapta completând tabelul, pentru 15 divizări al segmentului [0, 5] .
Realizați programul în limbajul Pascal pentru metoda dreptunghiurilor de dreapta(în același program de stânga și medii), pentru a compara rezultatul cu calculele obținute anterior :
Calcularea integralei utilizând aplicația MAPLE. Se inițializează
>
a) Aplicând MAPLE se poate obține rezultatul direct utilizând:
>
b) Calcularea directă pentru Metoda dreptunghiurilor medii se efectuează utilizând ca exemplu:
> , unde f(x) este funcția care se definește f:=x->(……), iar segmentul conform problemei este x=0..5
Iar pentru reprezentarea grafică funcția:
> în cazul nostru x=0..5
c) Metoda dreptunghiurilor de stânga:
> pentru x=0..5
Pentru reprezentare grafică
>pentru x=0..5
d) Metoda dreptunghiurilor de dreapta
În baza exemplelor reprezentate, în continuare, efectuăm calculele pentru problema propusă soluționării
>
>
Rezultatul poate fi obținut aplicând procedura pentru metoda trapezelor
Apoi definim funcțiile și facem apel la proceduri . De exemplu
>
>
Calcularea aproximativă a integralelor numerice se realizează utilizînd programul în limbajul Pascal:
program Trapeze_cu_precizie;
uses crt;
function f(x:real) :real;
begin
f:=………………………………………………………..
end;
var a,b,h,x,s,i1,i2,e,m:real; n:integer;
BEGIN
clrscr;
writeln('introdu a,b,num de diviziuni-n si exactitatea e');
write('a=');readln(a);
write('b=');readln(b);
write('n=');readln(n);
write('e=');readln(e);
i1:=0;
repeat
h:=(b-a)/n;
s:=h*(f(a)+f(b));
x:=a+h;
repeat
s:=s+f(x);
x:=x+h;
until x>b;
i2:=h*s;n:=2*n;
m:=abs(i1-i2);i1:=i2;
until m<3*e;
writeln;
writeln('integrala dupa formula trapezelor este I=',i2:12:10) ;
readkey;
end.
Determinați rezultatul programului care se obține pentru modelul matematic cercetat.
Într-un tabel asemănător indicați rezultatele obținute prin diverse metode și efectuați o analiză comparativă.
Anexa 5. Chestionar
Utilizarea tehnologiilor informației în studiul informaticii
(realizat de către elevul clasei a XII-a Anghelov Oleg, anul de studii 2007-2008)
Pentru a afla cît de mult e cunoscut MAPLE, am efectuat un sondaj în instituțiile Universitatea Tehnică, USM, ASEM, care conținea 3 întrebări:
1. Care este în opinia DVS, pe parcursul studierii la facultate, frecvența soluționării: ecuațiilor neliniare cu o singură necunoscută, sistemelor de ecuații liniare, integralelor, ecuațiilor diferențiale și alte elemente ale matematicii superioare? (Subliniați una din următoarele 4 opțiuni).
a) Foarte des; b) Des; c) Uneori; d) Rar
2. În acest scop utilizați anumite softuri matematice? (alegeți unul din următoarele două răspunsuri).
a) DA;
b) NU.
3. Sunteți cunoscut cu SSM MAPLE ?
a) DA (unde v-ați familiarizat?)_________________________________;
b) NU.
Rezultatul sondajului.
Au fost chestionați 106 studenți.
BIBLIOGRAFIE
Ершов А.П., Информатика: предмет и понятие. В кн. Кибернетика. Становление информатики. М.: Наука, 1986. c. 28-31.
Ершов А. П., Компьютеризация школы и математическое образование În: Математика в школе. 1989. № 1. c. 14-30.
Ершов А. П., Информатизация: от компьютерной грамотности учащихся к информационной культуре общества. În: Коммунист. 1988. № 2. c. 82-92.
Шемакин Ю.И., Введение в информатику. М., 1985. c. 190.
Шемакин Ю.И., Начала компьютерной лингвистики. Учеб. М.: Издательство МГОУ, 1992. c. 81.
Шрейдер Ю.А., Социокультурные и технико-экономические аспекты развития информационной среды. Информатика и культура. Новосибирск: Наука. Сибирское отделение, 1990. c. 50-82.
Урсул А.Д., Проблема информации в современной науке. Философские очерки. М.: Наука, 1975. c. 288.
Урсул А.Д., Модель образования XXI века: устойчивое развитие и экологическая безопасность. În: Вестник экологического образования России. 1996. № 2. c. 3.
Cristea S. Informatizarea educației/învățământului. În: Didactica Pro, 2010, nr. 6 (64), p. 54-56.
Chiriac L., Mihălache L. Considerente metodice privind expunerea procesului de modelare. În: Studia Universitatis, Universitatea de Stat din Moldova, 2011, Nr. 9 (39), p. 164-177.
Profesorii și instruirea într-o lume în schimbare: Teachers and Teaching în a Changing World, UNESCO, 1998. http://www.unesco.org/education/information/wer/ PDFeng/ wholewer98.pdf (vizitat 22.11.2011).
Profesorii și instruirea într-o lume în schimbare: Teachers and Teaching în a Changing World, UNESCO, 1998, http://www.unesco.org/education/information/wer/ PDFeng/ wholewer98.pdf (vizitat 22.11.2011).
Information and communication technologies în teacher education: A planning guide UNESCO, 2002. http://unesdoc.unesco.org (vizitat 25.03.20010).
Roger E. Bohr., Measuring and Managing Technological Knowledge. În: Dale Neef a.o., Eds. The Economic Impact of knowledge. Boston: Butterworth-Heinemann, 1998, p. 295-314
Cojocaru Venera-Mihaela., Educație pentru schimbare și creativitate. București: Didactică și Pedagogică, 2003. 312 p.
Гордон Л. Г.,Информационные технологии в образовании для общества знаний: существует ли универсальный ключ? Москва, 2005. http://confifap.cpic.ru/upload/conf2005/reports/doklad_577.doc (vizitat 1.12.2012)
Pâslaru Vl. și al. Construcție și dezvoltare curriculară. Cadrul teoretic. Chișinău, 2005. 176 p.
Patrașcu D. (coord.), Wichmann L. Formarea profesorilor. Reforma Sistemului de Învățământ și Instruire Profesională din Moldova: manual. Chișinău: Tacis, 1999. 105 p.
Patrașcu D. și al. Standarde și standardizare în învățământ. Chișinău: Univers Pedagogic, 2006. 188 p.
Wichmann L., Elaborarea curriculum-ului. Reforma Sistemului de Învățământ și Instruire Profesională din Moldova: European Training Fondation. Chișinău: Tacis, 1999. 27 p.
Caragea V.M. Paradigma învățământului centrat pe student. Abordarea etnografică a unei comunități. Rezumatul tezei de doctorat. București, 2011. 37 p.
Marcu V., Marinescu M., Implementarea tehnologiilor în educație sau educația tehnologică. Oradea. http://www.1educat.ro/resurse/software_educational/tehnologii_in_educatie.pdf (vizitat 03.12.12)
Pâslaru Vl., Reformarea sistemului educațional în contextul integrării europene. Ch: ARC, 2001. 248 p.
Politici educaționale în domeniul formării continue a cadrelor didactice și manageriale din învățământul preuniversitar (coord. Goraș-Postică V.). Chișinău: Didactica Pro, 2003. 108 p.
Gremalschi A., Modernizarea învățământului preuniversitar prin implementarea pe scară largă s tehnologiei informației și a comunicațiilor. În: Didactica Pro, 2010, nr 6 (64), p. 2-6.
Formarea continuă a cadrelor didactice în Uniunea Europeană și în statele AELS/SEE (Trad. dr. Noveanu E.). București: Alternative, 1997. 296 p.
Mihăilescu I. Sisteme de învățământ superior în Europa Centrală și de Est. Analiză comparativă: Bulgaria, Finlanda, Estonia, Lituania, România, Federația Rusă. București: Alternative, 1997. 109 p.
Mândâcanu V. Bazele tehnologiei și măiestriei pedagogice. Chișinău: Lyceum, 1997. 358 p.
Mihălache L., Chiriac L. Aplicarea metodelor statistice avansate la prelucrarea datelor experimentale obținute la implementarea experimentului pedagogic privind utilizarea tehnologiilor computaționale în procesul de predare-învățare-evaluare a compartimentului „Modelare și calcul numeric”. Materialele CAIM, 2012. p. 177-184
Lupu I., Zastînceanu L. Impactul instruirii asistate de calculator asupra calității învățământului matematic.In: Studia Universitatis, 2010. Nr. 5(35), p. 257-259.
Zastînceanu L. Metodologia studierii elementelor de geometrie analitică prin intermediul calculatorului. Teză de doctor în pedagogie. Chișinău, 2006. 158 p.
Osipov V. Metodologia studierii matematicii în instituții cu profil tehnic prin intermediul noilor tehnologii informaționale. Teza de doctor. Chișinău, 2012. 161 p.
Дьяконов В.П. Новые технологии сверхбыстрых массовых исчислений. Вестник Московского городского педагогического университета. Серия Информатика и информатизация образования. Казань: Изд-во «Фолиантъ», 2007. №-1(8). c. 101-108.
Дьяконов В.П. Компьютерная математика в 2008 году. Системы компьютерной математики и их приложения: Материалы международной конференции. Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2008. Вып. 9. c. 33-39.
Дьяконов В.П. Системы компьютерной алгебры в 2005 году. Системы компьютерной математики и их приложения: Материалы международной конференции. Смоленск, 2005. Вып. 6. c. 21-26.
Дьяконов В. П. Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании. М.: СОЛОН-Пресс, 2006. 720 с.
Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики СПБ.: БХВ-Петербург, 2001. 528 c.
Мантуров О.В. Mathematica 3.0 и ее роль в изучении математики. 9 января 2001 г. 5 с.
Buneci M.-R. Metode numerice, aspecte teoretice și practice. Tîrgu-Jiu: Editura Academica Brâncuși, 2009. 284 p.
Mariș S., Brăescu. Metode numerice probleme de seminar și lucrări de laborator. Timișoara, 2007. http://web.info.uvt.ro/~braescu/courses/Calcul_numeric_probleme.pdf (vizitat 12.11.12)
Fulea T. Tehnologii informaționale în procesul de predare-învățare a informaticii. Teză de doctor în pedagogie. Chișinău, 2006. 169 p.
Cuilenburg Van J.J., Scholten O., Noomen G.W. Știința comunicării. București: Ed. Humanitas, 1998. 287 p.
Noveanu E. Competențele educatorului în școala de mâine. Impactul informatizării, în Tehnologii educaționale moderne(coord. V. Mândâcanu), vol. V, 1999. București:Ed. Le mot.
Коджаспирова Г.М., Петров К.В. Технические средства обучения и методика их использования, Москва, Из. ACADEMIA, 2001, 256 с.
Щуркова Н. Практикум по педагогической технологии, Москва, Из. ACADEMIA, 2001. 250 c.
Boar B. H. The Art of Strategic Planning for Information Tehnologies. 2nd edition. New York: John Wiley&Sons. 2001. 368 p.
Computer Science: A curriculum for schools. Marthc 2012. http://www.computingatschool.org.uk/index.php?id=documents (vizitat 03.12.12)
ICT in Schools. Inspectorate Evaluation Studies. Dublin, 2008. http://www.pgce.soton.ac.uk/ict/NewPGCE/PDFs/ICT_in_schools_insp_report%2008.pdf (vizitat 03.12.12)
Les dossiers. Enseignement scolaire. Les technologies de l’information et de la communication(TIC) en classe au college et au lycee: elements d’usages et enjeux. Direction de l’évaluation, de la prospective et de la performance. Octobre 2010. http://www.refondonslecole.gouv.fr/wp-content/uploads/2012/07/dossier_les_technologies_de_l_information_et_de_la_communication_au_college_et_au_lycee_octobre_2010.pdf (vizitat 03.12.12)
European Schoolnet. Estonia Country Report on ICT in Education. 2010. http://insight.eun.org/ww/en/pub/insight/misc/country_report.cfm (vizitat 03.12.12)
Antonesei L. O introducere în pedagogie. Dimensiunile axiologice și transdisciplinare ale educației. Iași: Polirom. 2002. 220 p.
Programe școlare. Tehnologia informației și a comunicațiilor ciclul superior al liceului. Filiera tehnologică, toate profilurile și specializările. M.E.C.I, (2009), http://administraresite.edu.ro/index.php/articles/curriculum/c592/ (vizitat 05.12.2012)
Informatica. Curriculum pentru clasele a X-a – a XII-a. Chișinău: Știința, 2010. 44 p.
Informatica. Curriculum pentru învățământul gimnazial (clasele VII – IX). Chișinău: Știința, 2010. 20 p.
Landsheere V. L’Education et la formation. Paris :PUF, 1992. 459 p.
Corlat S., Ivanov L. Informatica. Ghid de implementare a curriculumului modernizat pentru treapta liceală. Chișinău: Cartier, 2010. 112 p.
Cucos C. Pedagogie. Prefață Adrian Necolau. Iași: Polirom, 1996. 230 p.
Negară C. Strategii didactice în formarea profesorilor de Informatică, tehnologia informației și a Comunicațiilor. Teză de doctor în pedagogie. Bălți 2011. 212 p.
Башарин В. Ф. Педагогическая технология: что это такое? În: Специалист, 1993, № 9. c. 25-27.
Бершадский М. Е. В каких значениях используется понятие технология в педагогической литературе? În: Школьные технологии, 2002, № 1. c. 3-19.
Монахов В. М. Методология проектирования педагогической технологии (аксиоматический подход). În: Школьные технологии, 2000, № 3. c. 57-71.
Беспалько В. П. Слагаемые педагогической технологии. Москва: Педагогика, 1989. 192с.
Олешков М. Ю. Технологии обучения в высшей школе. In: Нижнетагильская государственная социально-педагогическая академия. Ученые записки. Педагогика. Психология. Нижний Тагил, 2003. c. 47-54. http://www.pedlib.ru/Books/5/0084/5_0084-1.shtml#book_page_top (vizitat 10.01.12).
Беспалько В.П., Педагогика и прогрессивные технологии обучения, Москва, Из. Педагогика, 1995, 366 с.
Карякин Ю. В.; Гуляева О. С. Педагогические технологии и технология учебного процесса. Логический анализ понятий.http://oio.tpu.ru/publ_2004/ article2004_5.html (vizitat 15.03.2011).
Гребнев И. В. Дидактика предмета и методика обучения. În: Педагогика, 2003, № 1. c. 14-21.
Jupp T.C., Roberts C., Cook-Gumpers J. Language and Disadvantage:The Hidden Process. Language and Social Identity. Cambrige: Cambridge University Press, 1982. 172 p.
Suchman L.A. Plans and Situated Actions:The Problem of Human-Machine Comunication. Cambrige: Cambridge University Press, 1987. 137 p.
Quintanar L.L., Crowell C.R., Moskal P.J. The Interactive Computer as a Social Stimulus in Human-Computer Interactions. Amsterdam: Elsevier Science Publishers. 1987. p. 45-58, p. 303-310.
Habenstreit J. Computers and Education, an Encounter of the Third Kind, Rev. Computers and Education. New York: F. Lovis & F. Taggs, 1988. p. 43-51.
Kuhman W. Experimental Investigations of Stress- Inducing Properties of System Response Times. In: Rev. Ergonomics, Cambridge, 1989. nr 32. p.74-81.
Бабаева Ю., Войскунский А. Одаренный ребенок за компьютером.Мockba.: Сканрус, 2003. 400 c.
Бабаева Ю., Войскунский А. идр. În: Диалог ЭВМ: психологическиеаспекты Вопросы психологии. 1983. Nr.2. с. 25-34.
Гельтинцева Е., Селехова Г. Как предупредить переутомление при работесвидеотерминалом? În: Информатика и образование , 1990. Nr.4. с. 55-56.
Magdaș I., Didactica Informaticii, de la teorie la practicǎ. Cluj-Napoca: Ed. Clusium, 2007. 196 p.
Cristian Masalagiu, Asimioaei Ioan. Didactica informaticii. Iași:Polirom, 2004. p. 232.
Лапчик М.П., Семакин И.Г., Хеннер Е.К. Методика преподавания информатики Москва: Академия, 2001. 624 с.
Красилникова В.А. Информационные технологии в образовании. Москва: Дом Педагогики, 2006. 231 с.
Софронова Н.В. Теория и методика обучения информатике. Москва: Высш. шк., 2004. 223 с.
Cerghit I. Sisteme alternative și complementare de instruire. În: Păun, E. Pedagogie. Fundamentări teoretice și demersuri aplicative / vol. coord. de Emil Păun și Dan Potolea. Iași: Polirom, 2002. 248 p.
Mihălache L. Implementarea noilor tehnologii didactice în procesul educațional la informatică în liceu. În: Univers Pedagogic Nr. 1, 2013. pag. 69-75.
Дьяконов В. Maple 7: учебный курс. СПб.: Питер, 2002. 672 с.
Говорухин В.Н. Введение в Maple. Математический пакет для всех. М.: Мир, 1997. 208с.
Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. СПБ.: БХВ–Петербург, 2001. 528 c.
Корнилов B.C. Теоретические и методические основы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений в условиях гуманитаризации высшего математического образования: дис. д–ра пед. наук. М., 2008. 479 с.
http://amath.colorado.edu/computing/mmm/brief.html vizitat(09.12.11)
Dionis L. Utilizarea softurilor matematice în procesul de instruire. Chișinău, 2012. http://www.aticmd.md/wp-content/uploads/2012/03/S_4_09_Lica_Covalciuc.pdf (02.12.12)
Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Соросов–ский образовательный журнал. том 7. 2001. № 1. c. 116–121.
Дьяконов В.П. Компьютерная математика в 2007 году. Системы компьютерной математики и их приложения: Материалы международной конференции. – Смоленск: Изд–во СмолГУ, 2007. Вып. 8. c. 17–21.
Дьяконов В.П., Hовые возможности компьютерной математики в информационных системах. www.ict.edu.ru/vconf/files/11096.doc (vizitat 02.12.12)
Hazec R. , Petraskova V. A Way to Improve Financial Literacy of Future Teachers. Mathematics Education with Tehnology. Experiences in Europe. p. 199-.218.
Дьяконов В.П., Cистемы компьютерной математики в науке и современном образовании. http://vuz.exponenta.ru/PDF/FOTO/kaz/Articles/Dyakonov.pdf (vizitat 11.09.2012).
Кристалинский Р.Е. Преобразования Фурье и Лапласа в системах компьютерной математики. Учебное пособие для вузов. М.: Горячая линия. Телеком, 2006. c. 216.
Дахер Е.А. Система Mathematica в процессе математической подготовки специалистов экономического профиля: дис. канд. пед. наук. М., 2004. 190 с.
Nica O.M., Computer Math- Explorarea matematicii folosind calculatorul și software-ul educațional.Cluj-Napoca. http://www.concursurilecomper.ro/rcm/ComputerMath.pdf (vizitat 02.01.2013).
Mircea I, ș.a., Matematica prin Mathematica. Cluj-Napoca, 2012. http://www.edumanager.ro/community/documente/matematica_prin_mathematica_b5.pdf (vizitat 15.08.2012).
Дьяконов В.П. Maple 9 в математике, физике и образовании. М.: СОЛОН–Пресс, 2004. 688 с.
Дьяконов В.П. Maple 8 в математике, физике и образовании. М.: СОЛОН–Пресс, 2003. 656 с.
Дьяконов В.П. Maple 6. Учебный курс. СПб.: Питер, 2001. 608 с.
Дьяконов В.П. Математическая система Maple V R3/R4/R5. М.: Солон, 1998. 400 с.
Дьяконов В. П. Maple 9 в математике, физике и образовании. М.: СОЛОН–Пресс, 2004. 688 с.
Дьяконов В. Maple 7: учебный курс. СПб.: Питер, 2002. 672 с.
Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. СПБ.: БХВ–Петербург, 2001. c. 528.
Кирсанов М.Н. Графы в Maple. М.: Физматлит, 2007. 168 с.
Аладьев В.З. Специальные вопросы работы в среде математического пакета Maple. Таллинн–Вильнюс: Международная Академия Ноосферы и Вильнюский технический университет, 2001. 208 с.
Аладьев В.З., Богдявичюс М.А. Maple 6: Решение математических, статистических и инженерно–физических задач. Москва: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. 850 с.
Аладьев В.З., alții Программирование в среде математического пакета Maple V. Минск–Москва: Российская Экологическая Академия, 1999. 470 с.
Аладьев В.З. Решение физико–технических и математических задач с Maple V. Таллинн–Вильнюс: TRG, 1999. 660 с.
Аладьев В.З., Лиопо В.А., Никитин А.В. Математический пакет Maple в физическом моделировании. Гродно: Гродненский государственный университет им. Янки Купалы, 2002. 416 с.
Аладьев В. 3. Системы компьютерной алгебры: Maple: искусство программирования. М.: Лаборатория базовых знаний, 2006. 792 с.
Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple: Учебник для вузов. Спб: Питер, 2004. 539 с.
Сдвижков О.А. Математика на компьютере: Maple 8. М.: СОЛОН–Пресс, 2003. 176 с.
Васильев А.Н. Maple 8. Самоучитель. М.: Диалектика, 2003. 352 с.
Тарасович Ю.Ю. Математическое и компьютерное моделирование. Вводный курс. Учебное пособие. М.: Едиториал УРСС, 2004. 152 с.
Тарасевич Ю.Ю. Информационные технологии в математике. М.: СОЛОН–Пресс, 2003. 114 с.
Манзон Б.М. Maple V Power Edition. М: Информационно–издательский дом Филинъ, 1998. 240 с.
Прохоров Г.В., alții. Математический пакет Maple V Release 4: Руководство пользователя. Калуга: Облиздат, 1998. 200 с.
Прохоров Г.В., Колбеев В.В., Леденев М.А. Пакет символьных вычислений Maple V. М: Компания Петит, 1997. 200 с.
Ивановский Р.И. Компьютерные технологии в науке и образовании. Практика применения систем MathCAD 7.0 PrO, MathCAD 8.0 Pro и MathCAD 2000 Pro: Учебное пособие. СПб.: Изд–во СПбГТУ, 2000. 201 с.
Ивановский Р.И. Системы компьютерной математики как необходимый элемент формирования умений. Научно–Технические Ведомости СПбГТУ. М.: Мин. Образование Российской Федерации СПбГТУ, 2002. № 3. c. 16–22.
Ивановский Р.И. Системы компьютерной математики в школе (первый опыт). Компьютерные инструменты в образовании. 2005. № 3. с. 32–37.
Camerzan I., Vascan T. Didactica informaticii. Suport metodic. Chișinău, 2010, 199 p.
Титов К.В. Компьютерные технологии в вопросах изучения и решения задач интегральных преобразований и операционного исчисления: Учебное пособие по курсу Спецглавы высшей математики. М.: Изд–во МГТУ им. Баумана, 2001.
Шишаков М.Л. Системы компьютерной математики как базовый инструмент обучения алгоритмизации и программированию. Компьютерные инструменты в образовании. 2005. № 4. c. 25–34.
Игнатьев Ю.Г. Применение пакетов символьной математики Maple V, VI в курсе Геометрии. Проблемы профессиональной подготовки учителя математики и информатики: Материалы региональной научно–практической конференции. Казань: КГПУ, 2001. c. 89–90.
Игнатьев Ю.Г. Исследование пакетов символьной математики в преподавании предметов математического цикла в общеобразовательных школах. Математика. Образование. Культура: Материалы I международной научной конференции. – Тольятти: ТГУ, 2003. Ч. 2. c. 83–86.
Игнатьев Ю.Г. Развитие научного творчества учащихся с помощью методов математического моделирования на основе пакета символьной математики Maple. Математика. Образование. Культура: Материалы II Международной конференции. Тольятти, 2005. Ч.З. c. 31–37.
Игнатьев Ю.Г. Использование пакетов символьной математики в преподавании предметов математического цикла в общеобразовательных школах. Проблемы математического образования и культуры: Тезисы международной научной конференции. Тольятти, 2003. c. 105.
Гибадуллина А.И. Опыт применения пакета Maple на уроках математики и во внеклассной работе в школе № 57 города Казан. Сборник Проблемы информационных технологий в математическом образовании: учебное пособие под ред. Игнатьева Ю.Г. Казань: ТГГПУ, 2005. c. 55–68.
Гибадуллина А.И. Обучающий компакт–диск по применению пакета Maple в курсах математики средней школы и научном творчестве учащихся. Проблемы и перспективы информатизации математического образования: Сборник научных работ, представленных на всероссийскую научно–методическую школу–семинар. – Елабуга: Изд–во ЕГПУ, 2004. c. 121–124.
Гибадуллина А.И. Использование пакета символьной математики MAPLE в общеобразовательном учебном процессе. Математические методы в технике и технологиях – ММТТ–18: Сборник трудов XVIII Международной научной конференции. В 10 т. Т.8. Казань: Изд–во Казанского гос. технол. ун–та, 2005. c. 49–50.
Гибадуллина А.И. Возможности и опыт применения компьютерной математики в общеобразовательной школе. Школьная геометрия: реальность и перспективы»: Материалы региональной научно–практической конференции. Казань: КГПУ, 2005. c. 54–57.
Гибадуллина А.И. Опыт применения символьной математики и математического моделирования в структуре среднего математического образования. Лобачевские чтения – 2006: Материалы Пятой молодежной научной школы–конференции. Казань: Издательство Казанского математического общества, 2006. c. 56–57.
Гибадуллина А.И. Обучающие программы для изучения пакета символьной математики Maple и применение его для изучения математики в старших классах общеобразовательной школы. Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России: Тезисы III Всероссийской научной конференции. – Киров: Изд–во ВятГГУ, 2004. c. 116–117.
Гибадуллина А.И. Возможности применения символьной математики в школьном курсе геометрии. Применение новых технологий в образовании: Материалы XVII Международной конференции. Троицк, 2006. c. 137–138.
Фахрутдинова Д.Н. Авторский компакт–диск ”Пакет символьной математики Maple в общеобразовательной школе”. Вестник Московского городского педагогического университета. Серия Информатика и информатизация образования. Казань: Изд–во Фолиантъ, 2007. №1 (8). c. 153–157.
Фахрутдинова Д.Н. Пакет символьной математики Maple в профильном обучении. Применение новых технологий в образовании: Материалы XVII Международной конференции. Троицк, 2006. c. 245–249.
Саркеева А.Н. Проблемы школьного физико–математического образования и их возможные решения на основе системы компьютерной математики Maple. Системы компьютерной математики и их приложения: Материалы международной конференции. Смоленск: Изд–во СмолГУ, 2008. Вып.9. c. 277–278.
Саркеева А.Н. Возможности интеграции предметов школьного курса математики и информатики на основе пакета символьной математики Maple. Информатизация образования в Республике Татарстан: опыт, проблемы, перспективы: Материалы Республиканской научно–практической конференции. – Казань: Изд–во Таглимат, 2006. 4.1. c. 300–305.
Саркеева А.Н. Возможности интеграции предметов школьного курса математики и информатики на основе пакета символьной математики MAPLE. Вестник Московского городского педагогического университета. Серия Информатика и информатизация образования. Самара, 2006. №1(6). c. 171.
Багаутдинов М.Р. Анимация математических моделей основных физических процессов в пакете Maple на примере модели спонтанного нарушения симметрии. Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Второй Всероссийской научной конференции. Самара: СамГТУ, 2005. c. 271–273.
Агеева Н.Р. Создание компьютерной анимированной модели движения релятивистских частиц в гравитационно–волновых полях с помощью пакета Maple. Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Второй Всероссийской научной конференции. Самара: СамГТУ, 2005, c. 14–18.
Розакова Л. И. Создание и исследование математической модели движения релятивистских частиц в сильных полях средствами пакета Maple. Труды 3 Всероссийской научной конференции. Самара: СамГТУ, 2006. c. 93-95.
Самигуллина А.Р. Создание компьютерных средств сопровождения курса линейной алгебры и аналитической геометрии для нематематических факультетов с помощью СКМ Maple. Системы компьютерной математики и их приложения: Материалы международной конференции. Смоленск: Изд–во СмолГУ, 2009. Вып.Ю. c. 71–73.
Вестник Московского городского педагогического университета. Серия Информатика и информатизация образования. Самара, 2006. № 1 (6).
Материалы XVII Международной конференции Применение новых технологий в образовании. Троицк, 2006. c. 717.
Материалы международной научно–практической конференции ИТО–Поволжье 2007. Вестник Московского городского педагогического университета. Серия Информатика и информатизация образования. Казань: Изд–во Фолиантъ, 2007. № 1 (8). 432 с.
http://vuz.exponenta.ru/PDF/FOTO/kaz/Articles/Gibadullina.pdf (vizitat 12.12.11)
Сборник материалов международной конференции Системы компьютерной математики и их приложения. Смоленск: Изд–во СмолГУ, 2007. Вып. 8.
Гибадуллина А.И. Возможности использования пакета Maple в преподавании предметов физико–математического цикла средней школы и развития научного творчества старшеклассников. Сборник научных трудов молодых математиков КГПУ Вопросы современной математики и информационных технологий в математическом образовании под ред. Игнатьева Ю.Г. Казань: КГПУ, 2004. c. 87-96.
Фахрутдинова Д.Н. Элективный курс Основы пакета символьной математики Maple для 9–х классов общеобразовательных школ. Вестник Московского городского педагогического университета. Серия Информатика и информатизация образования. Самара, 2006. № 1 (6). c. 192.
Саркеева А.Н. Применение пакета символьной математики Maple на уроках геометрии. Применение новых технологий в образовании: Материалы XVII международной конференции. Троицк: Изд–во Тровант, 2006. c. 219–220.
Саркеева А.Н. Программная реализация информационно–методической поддержки предметов информатики и математики с помощью пользовательских библиотек в среде компьютерной математики. Информатика и образование. 2009. – № 6. c. 100–104.
Кудрявцев А.В., Методы интуитивного поиска технических решений. Метод мозгового штурма. http://www.metodolog.ru/00072/00072.html (vizitat 05.01.2012).
http://olc.spsd.sk.ca/DE/PD/instr/strats/kwl/ (vizitat 11.01.2013).
Сергеев И.С. Как организовать проектную деятельность учащихся: практическое пособие для работников общеобразовательных учреждений/И.С. Сергеев. М.: Аркти, 2003
Павлова М.Б. Метод проектов в технологическом образовании школьников / М.Б. Павлова, Дж. Питт, М.И. Гуревич, И.А. Сасова. М.: Вентана – Графф, 2003.
Ulrich C., Managementul clasei – învățare prin cooperare. București: Corint, 2000. p. 56-70.
Бирюков Б.В., Гутчин И.Б. Машина и творчество. Результаты, проблемы, перспективы. Серия: Кибернетика. М.: Радио и связь. 1982 г. 152 с.
Mihălache L. Aplicarea tehnologiilor informaționale și a comunicațiilor în procesul de predare-învățare-evaluare. Diversificarea procedeelor didactice prin utilizarea elementelor de dramă și creativitate plastică. Culegere de materiale. L.T.”I. Creangă”, Chișinău, 2011. p. 156-163. ISBN 978-9975-68-169-8.
Mihălache L., Bouroș E. Activitatea extracurriculară – pas spre dezvoltarea creativității. Dialoguri Chișinăuiene, Forumul de idei pedagogice, Ediția I, Chișinău, 24-26 februarie 2011.
Chiriac, E., Chiriac L. Elaborarea modelelor matematice în ecologie. Facultatea de geografie la 60 ani. Lucrările simpozionului „Dezvoltarea geografiei în Republica Moldova”. Chișinău: UST, 1998. p.129-131.
Chiriac L., Mihălache L., Probleme care țin de predare-învățare a modelării matematice. Conferința științifică: „ Modernizarea învățământului preuniversitar și universitar în contextul integrării europene”, Materialele conferinței științifice. Chișinău: UST, noiembrie 2009. p 306.
Chiriac L., MihălacheL. Abordări metodice privind expunerea procesului de modelare. Conferința științifică: „Modernizarea învățământului preuniversitar și universitar în contextul integrării europene”. Materialele conferinței științifice. Chișinău: UST, noiembrie 2009. p 303.
Mihălache L., Considerente metodice privind expunerea procesului de modelare. Volumul Conferinței Internaționale. Tradiții. Valori și perspective în științele educației, ediția a IV, Casa Cărții de Știință Cluj-Napoca, 2009. p. 267-269. ISSN 2065-006X.
Neculai Andrei. Despre modelarea matematică. Concepția simetriei de interpretare rațională a Divinității. București, 2010, p. 1. www.camo.ici.ro/neculai/z17a10.pdf (vizitat 23.08.2012).
Cabac V. Elemente de modelare mathematică. Chișinău:Lumina, 1995, 78 p.
Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. 2-е изд., М.: Физматлит, 2001. 320 с.
Севостьянов, А.Г. Моделирование технологических процессов. М.: Легкая и пищевая промышленность, 1984. 344 с.
Мышкин А. Д., Элементы теории математических моделей. 3-е изд., испр. М.: КомКнига, 2007. 192 с.
http://www.uav.ro/files/educatie/plus/10.pdf (vizitat 10.05.2010)
Corlat S., Ivanov L. Calcul numeric. Curs de lecții. Chișinău: CCRE PRESA, 2004. 96 p.
Botoșanu M., ș.a. , Informatica cl. 12. Chișinău: Editura Epigraf, 2008. p.
A. Gremalschi, S. Corlat, A. Braicov. Informatică. Manual pentru clasa XII. Manualul pentru clasa XII-a, liceu, profil real și umanist.Compartimente: metode numerice de calcul, baze de date,elemente de web design. Chișinău: Știința, 2010. 144 p.
Chiriac L., Golovco N. Metode numerice. Îndrumar de laborator. Chișinău, 2004. 126 p.
Мокшина В. В. Методика преподавания раздела „Элементы вычислительной математики” в курсе информатики средней школы(Из фондов Российской Государственной библиотеки). Дис. канд. пед. наук : 13.00.02 .-М.: РГБ, 2003. 155 с.
Корнюшин П.Н. Численные методы: Учебное пособие. Владивосток: ТИДОТ ДВГУ, 2002. 104 с.
Сукиязов А.Г., Крамaров С.О., Принципы использования активных компьютернных технологий для предметного обучения // Компьютерные учебные программы, ИНИНФО, Москва, №4, 2002, c. 33-45.
Лапчик М.П., ș.a.Численные методы. Учебное пособие для студентов вузов. М: Академия, 2004. 384 с.
Mihălache L. Tehnologiile computaționale utilizate la lecțiile de informatică. Confluențe. Simpozion – Concurs internațional. Colegiul Național „Dimitrie Cantemir”, Onești, România.11-12 decembrie 2009. CD. ISBN 978-973-0-07178-8.
Mihălache L. Regândirea tehnologiilor didactice în predarea cursului liceal de informatică. În: Didactica Pro, nr. 2 (78), 2013.
Chiriac L., Mihălache L. Abordări didactice în predarea compartimentului „Integrale numerice” din cursul liceal de Metode numerice. Învățământul universitar din Republica Moldova la 80 de ani. Materialele Conferinței Științifice Internaționale. Chișinău: UST, 2010. p. 295-305.
Mihălache L. Procedee didactice în rezolvarea problemelor la compartimentul „Integrale numerice” din cursul liceal de metode numerice. Învățământul universitar din Republica Moldova la 80 de ani. Materialele Conferinței Științifice Internaționale. Chișinău: UST, 2010. p. 306-320.
Mihălache L. Aspecte metodice privind elaborarea testelor la compartimentul „Calculul numeric” din cursul liceal de informatică. International Conference. Matematics & Information tehnologies: Research and education (MITRE-2011), dedicated to the 65th anniversary of the Moldova Stat University. Chișinău:UST, August 22-25, 2011. p. 184-185.
Planchard E. Cercetarea în pedagogie. București: E.D.P, 1972. 284 p.
Simona-Elena Bernat. Tehnica învățării eficiente. Cluj-Napoca: Presa Universitară Clujeană, 2003, 369 p.
Jinga I., Instrate E. Manual de pedagogie, Ed. All, București,1998, p.185-186
Mihălache L. Examinarea particularităților eșantioanelor implicate în experimentul pedagogic privind utilizatea tehnologiilor computaționale în procesul de predare-învățare-evaluare a compartimentului „Modelare și calcul numeric”.The 20th conference on applied and industrial matematics, dedicaded to academician Mitrofan Ciobanu. Communications in education. Chișinău:UST, august 22-25, 2012. p. 173-176.
Mihălache L. Organizarea și implementarea experimentului pedagogic privind utilizarea tehnologiilor computaționale în procesul de predare-învățare-evaluare a compartimentului „Modelare și calcul numeric”.The 20th conference on applied and industrial matematics, dedicaded to academician Mitrofan Ciobanu. Communications in education. Chișinău: UST, august 22-25, 2012. p. 184-189.
Mihălache L. Experimentul pedagogic prin prisma analizelor statistico-matematice. International Conference. Matematics & Information tehnologies: Research and education (MITRE-2011), dedicated to the 65th anniversary of the Moldova Stat University. Chișinău:UST, August 22-25, 2011. p.185-187.
Mihălache L. Multimedia în predare-învățare-evaluare. Promovarea tehnologiilor informaționale și comunicaționale în educație. Materialele conferinței științifico-practice 26-27 iunie 2009, Chișinău RM. p. 177-181. ISBN 987-9975-9809-3-7.
Mihălache L. Utilizarea tehnologiilor computaționale în procesul de predare-învățare-evaluare a metodelor numerice la obiectul informatică în cursul liceal. Conferința științifică: „Modernizarea învățământului preuniversitar și universitar în contextul integrării europene”, Materialele conferinței științifice. Chișinău, noiembrie 2009. UST, p. 310-313. ISBN 987-9975-76-025-6.
Clocotici V., Stan A. Statistică aplicată în psihologie. Colegium. Iași:Polirom 2001. 296 p.
Сидоренко E., Методы математической обработки в психологии. M: Речь, 2007. 350 с.
ANEXE
Anexa 1. Rezultatele elevilor obținute la testare
Tabelul 1.1. Rezultatele Testului 1
Tabelul 1.2. Rezultatele Testului 2
Tabelul 1.3. Rezultatele Testului 3
Anexa 2. Indicii variabilității
Tabelul 2.1. Stabilirea elementelor pentru calcularea mediei aritmetice (), deviației (d),
abaterea standard (S) și dispersiei (S2), grupa anului 2008-2009, Testul 1
Tabelul 2.2. Stabilirea elementelor pentru calcularea mediei aritmetice (), deviației (d),
abaterea standard (S) și dispersiei (S2), grupa anului 2008-2009, Testul 2
Tabelul 2.3. Stabilirea elementelor pentru calcularea mediei aritmetice (), deviației (d),
abaterea standard (S) și dispersiei (S2), grupa anului 2008-2009, Testul 3
Tabelul 2.4. Stabilirea elementelor pentru calcularea mediei aritmetice (), deviației (d),
abaterea standard (S) și dispersiei (S2), grupa anului 2009-2010, Testul 1
Tabelul 2.5. Stabilirea elementelor pentru calcularea mediei aritmetice (), deviației (d),
abaterea standard (S) și dispersiei (S2), grupa anului 2009-20010, Testul 2
Tabelul 2.6. Stabilirea elementelor pentru calcularea mediei aritmetice (), deviației (d),
abaterea standard (S) și dispersiei (S2), grupa anului 2009-2010, Testul 3
Tabelul 2.7. Stabilirea elementelor pentru calcularea mediei aritmetice (), deviației (d),
abaterea standard (S) și dispersiei (S2), grupa anului 2010-2011, Testul 1
Tabelul 2.8. Stabilirea elementelor pentru calcularea mediei aritmetice (), deviației (d),
abaterea standard (S) și dispersiei (S2), grupa anului 2010-2011, Testul 2
Tabelul 2.9. Stabilirea elementelor pentru calcularea mediei aritmetice (), deviației (d),
abaterea standard (S) și dispersiei (S2), grupa anului 2010-2011, Testul 3
Anexa 3. Variante de teste de evaluare
Test de evaluare Nr. 1
Modelarea matematică. Localizarea rădăcinilor. Metoda bisecției.
Nume________________Prenume________________
Clasa ________
Test de evaluare Nr. 2
Rezolvarea numerică a sistemelor de ecuații liniare
Nume________________Prenume________________
Clasa ________
Fie x1 =3, x2 =2, x3 =1. Alcătuiți un enunț de problemă al cărui model ar constitui un sistem de 3 ecuații liniare cu 3 necunoscute, pentru care valorile date reprezintă soluțiile lui. 6p
Să se afle următoarele operații: A+B; A*B; A-B, unde matriciile A și B sunt reprezentate mai jos (utilizând aplicația MAPLE – gr. experimentala, utilizând aplicația Excel – gr. control). 7p
și
Să se calculeze Δ = (utilizând aplicația MAPLE – gr. experimentala, utilizând aplicația Excel gr. control). 3p
Bazinul are trei robinete pentru scurgerea apei. Prin primul și al doilea robinet bazinul poate fi deșertat în 15 minute, prin primul și al treilea robinet – în 12 minute, iar prin al treilea și al doilea robinet – în 10 minute. În cât timp va fi deșertat bazinul prin fiecare robinet în parte?
Să se elaboreze modelul matematic al problemei.
Să se elaboreze un program care rezolvă modelul obținut utilizând metoda lui Cramer (utilizând aplicația MAPLE – gr. experimentala, utilizând TPascal-gr. control). 12p
Dacă 3 km se merge pe jos, 4 km se merge pe bicicletă și 2 km cu motocicleta, atunci tot drumul va dura 12/5 h. Dacă 4 km se merge pe jos, 6 km se merge pe bicicletă, iar 3 km cu motocicleta, atunci se cheltuie 67/20 h. Dacă 1 km se merge pe jos, 5 km se merge pe bicicletă, iar 2 km se merge cu motocicleta, atunci drumul va dura 32 / 20 h. Care vor fi vitezele fiecărui mijloc de transport : parcurgerii pe jos, bicicletei și motocicletei?
a) Să se elaboreze modelul matematic a problemei
b) Să se elaboreze un program care rezolvă modelul utilizând metoda Gauss (utilizând aplicația MAPLE – gr. experimentala, utilizând TPascal-gr. control). 12p
Test de evaluare Nr. 3
Integrala numerică
Nume________________Prenume________________
Clasa ________
Încercuiți litera ce corespunde formulei recurente pentru calculul integralei prin metoda trapezelor: 2p
a) I
b) I
c) I=
Să se calculeze integrala definită , după formula dreptunghiurilor medii, divizând segmentul în zece părți egale. Datele vor fi introduse în următorul tabel. (Calculele se efectuează utilizând aplicația Excel). 6p
Căldura specifică a unui kilogram de apă variază în funcție de temperatura t conform legii: . Să se determine cantitatea de căldură necesară pentru a încălzi 1 m3 de apă de la 100 la 600. 7p
Să se elaboreze modelul matematic al problemei
Să se elaboreze un program utilizând metoda trapezelor, care va determina soluția modelului elaborat, (utilizând aplicația MAPLE – gr. experimentala, TPascal-gr. control)
Să se completeze programul de mai jos, astfel încât să se calculeze I= prin metoda dreptunghiurilor de dreapta. 5p
Gr. de control programul în TPascal
program Integrala_stinga;
uses crt;
function f(x:real) :real;
………………………………………………………………
begin
var ……………………………: real;
i,n:integer;…, s,…, …,…:real;
BEGIN
clrscr;
writeln('introdu a,b si n-num de diviz');
write('a=');readln(a);
write('b=');readln(b);
write('n=');readln(n);
h:=……..
{dreptunghiuri de dreapta }
s:=…;
x:=a;
for i:=… to … do
begin
….
….
end;
s:=s*h;
writeln('integrala dupa
formula drept_de_dreapta este I=',) ;
readkey;
end.
Gr. Experimentală, procedura și apelul ei în MAPLE
>Dreptunghiuri_dreapta := proc (f, …, …, n)
local i, …, h,…;
s :=…;
h :=…..;
x := a+(1/2)/h;
for i from … to …do
…………………… end do;
s := s*h;
RETURN(evalf(iab)) end proc;
>;
> Dreptunghiuri_dreapta(f, …,….,….);
Fie . Să se scrie un program ce calculează valoarea aproximativă a acestei integrale prin metoda dreptunghiurilor medii. Calculul integralei va fi oprit, dacă se îndeplinește condiția: n – numărul curent de divizări, (utilizând aplicația MAPLE – gr. experimentală, TPascal – gr. control). 7p
Anexa 4. Fragment din suportul didactic pentru
compartimentul „Modelare și metode de calcul”
METODA BISECȚIEI
Fie ecuația f(x) = 0, unde f(x) este o funcție continuă pe segmentul , are o singură rădăcină. Se cere de determinat rădăcina ecuației cu precizia . Pentru a aproxima rădăcina aflată pe segmentul , înjumătățim acest segment prin punctul . Dacă f(c) = 0, atunci este rădăcina exactă a ecuației, dacă f(x)0, atunci rădăcina căutată se va afla într-unul din segmentele ori , în dependentă de faptul pe care segment funcția ia valori de semn opus la capete. Notăm acest segment . Mai departe înjumătățim segmentul și facem aceleași raționamente ca în cazul precedent. Obținem un nou segment lungimea căruia este . Procedeul se repetă până când se obține segmentul , astfel încât (n-arată numărul de înjumătățiri). În calitate de rădăcină se consideră numărul , iar eroarea nu întrece valoarea .
Alcătuim algoritmul metodei bisecției. (Vezi fig.1).
Fig. 1
Aplicație practică pentru metoda bisecției.
Problemă. Fie că avem produsul a 5 factori. La fiecare din primii trei factori din produsul respectiv se adaugă factorul însuși înmulțit la unul și același număr x. Din fiecare următorii doi factori, a produsului, se scade factorul însuși înmulțit la unul și același număr x. Determinați numărul x, dacă se știe că produsul factorilor respectivi, după modificare, rămâne neschimbat.
Să se elaboreze modelul matematic pentru problema dată.
Soluție. Fie că a, b, c, d, e – sunt factorii produsului, x – parte din fiecare factor.
Conform condiției problemei alcătuim relația
(a+ax)(b+bx)(c+cx)(d-dx)(e-ex)=a b c d e;
a(1+x)b(1+x)c(1+x)d(1-x)e(1-x)= a b c d e;
a b c d e (1+x)3(1-x)2= a b c d e;
(1+x)3(1-x)2=1;
(1+3x+3×2+x3)(1-2x+x2)=1;
x5+x4 -2×3-2×2+x=0;
x (x4+x3 -2×2-2x+1)=0
Modelul matematic reprezintă următoarea relație x4+x3 -2×2-2x+1=0.
Conform modelului matematic obținut să se localizeze rădăcinile acestei ecuații în Maple.
>with(plots);
> plot(x^4+x^3-2*x^2-2*x+1,x=-2..2);
> f:=(x->x^4+x^3-2*x^2-2*x+1);
Să se determine soluția directă în Maple (utilizând funcția fsolve()).
>
Să se indice metoda analitică în Excel pentru ecuația obținută, utilizând metoda bisecției.
Se completează tabelul:
Să se elaboreze programele (a) Pascal și (b) procedura în MAPLE pentru metoda bisecției; metoda tangentei; metoda coardelor. Să se compare rezultatele obținute.
(a) TPascal
Program bisectie;
uses crt;
const e=0.001;
var a, b, c: real;
Function f(x: real): real;
begin
f:=x*x*x*x+x*x*x-2*x*x-2*x+1;
end;
Begin
clrscr;
Writeln ('Introdu extremitatile segm a, b:');
readln (a, b);
if f(a)*f(b)>0 then begin
writeln ('Ecuatia n-are solutie pe acest segment.');
readkey;
end;
While abs (b-a)>e do
begin
c:=(b+a)/2;
if f(a)*f(c)<0 then b:=c else a:=c; end;
writeln ('Radacina este:', (b+a)/2:14:8);
readkey; end.
(b) Procedura Maple
> bisectie:=proc (f, sting, drept, eps)
local c, a, b;
a:=sting;
b:=drept;
while abs(b-a)>=eps do
c:=(a+b)/2;
print (c, abs (b-a));
if f(c)=0 then a:=c; b:=c
else if f(c)*f(a)<0 then
b:=c else a:=c
fi
fi
od;
c:=(a+b)/2;
RETURN (evalf(c));
end;
>
0.3891601562 1.288794992
Rezultatul obținut: Pentru segmentul avem:
rădăcina c= 0,3891601562,
Iar pentru segmentul găsim:
rădăcina c = 1,288794992 ,
APLICAȚIE PRACTICĂ PENTRU TEMA INTEGRALA NUMERICĂ
Problemă: Un rezervuar de formă dreptunghiulară cu aria secțiunii S= 6m2 este umplut cu apă până la înălțimea H=5m. Să se determine timpul , în decursul căreia toată apa va curge din rezervuar printr-o deschizătură aflată în partea de jos al lui cu aria s=0.01 m2, dacă luăm în considerație, că viteza scurgerii apei este 0.6, unde h – înălțimea nivelului apei față de orificiu, g – accelerația căderii libere.
Elaborați modelul matematic pentru această problemă.
Calculați integrala , aplicând metoda dreptunghiurilor de dreapta completând tabelul, pentru 15 divizări al segmentului .
Realizați programul în limbajul Pascal pentru metoda dreptunghiurilor de dreapta(în același program de stânga și medii), pentru a compara rezultatul cu calculele obținute anterior :
Calcularea integralei utilizând aplicația MAPLE. Se inițializează
>
a) Aplicând MAPLE se poate obține rezultatul direct utilizând:
>
b) Calcularea directă pentru Metoda dreptunghiurilor medii se efectuează utilizând ca exemplu:
> , unde f(x) este funcția care se definește f:=x->(……), iar segmentul conform problemei este x=0..5
Iar pentru reprezentarea grafică funcția:
> în cazul nostru x=0..5
c) Metoda dreptunghiurilor de stânga:
> pentru x=0..5
Pentru reprezentare grafică
>pentru x=0..5
d) Metoda dreptunghiurilor de dreapta
În baza exemplelor reprezentate, în continuare, efectuăm calculele pentru problema propusă soluționării
>
>
Rezultatul poate fi obținut aplicând procedura pentru metoda trapezelor
Apoi definim funcțiile și facem apel la proceduri . De exemplu
>
>
Calcularea aproximativă a integralelor numerice se realizează utilizînd programul în limbajul Pascal:
program Trapeze_cu_precizie;
uses crt;
function f(x:real) :real;
begin
f:=………………………………………………………..
end;
var a,b,h,x,s,i1,i2,e,m:real; n:integer;
BEGIN
clrscr;
writeln('introdu a,b,num de diviziuni-n si exactitatea e');
write('a=');readln(a);
write('b=');readln(b);
write('n=');readln(n);
write('e=');readln(e);
i1:=0;
repeat
h:=(b-a)/n;
s:=h*(f(a)+f(b));
x:=a+h;
repeat
s:=s+f(x);
x:=x+h;
until x>b;
i2:=h*s;n:=2*n;
m:=abs(i1-i2);i1:=i2;
until m<3*e;
writeln;
writeln('integrala dupa formula trapezelor este I=',i2:12:10) ;
readkey;
end.
Determinați rezultatul programului care se obține pentru modelul matematic cercetat.
Într-un tabel asemănător indicați rezultatele obținute prin diverse metode și efectuați o analiză comparativă.
Anexa 5. Chestionar
Utilizarea tehnologiilor informației în studiul informaticii
(realizat de către elevul clasei a XII-a Anghelov Oleg, anul de studii 2007-2008)
Pentru a afla cît de mult e cunoscut MAPLE, am efectuat un sondaj în instituțiile Universitatea Tehnică, USM, ASEM, care conținea 3 întrebări:
1. Care este în opinia DVS, pe parcursul studierii la facultate, frecvența soluționării: ecuațiilor neliniare cu o singură necunoscută, sistemelor de ecuații liniare, integralelor, ecuațiilor diferențiale și alte elemente ale matematicii superioare? (Subliniați una din următoarele 4 opțiuni).
a) Foarte des; b) Des; c) Uneori; d) Rar
2. În acest scop utilizați anumite softuri matematice? (alegeți unul din următoarele două răspunsuri).
a) DA;
b) NU.
3. Sunteți cunoscut cu SSM MAPLE ?
a) DA (unde v-ați familiarizat?)_________________________________;
b) NU.
Rezultatul sondajului.
Au fost chestionați 106 studenți.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Abordari Metodice Privind Aplicarea Complexa a Tehnologiilor Computationale In Procesul de Predare Invatare (ID: 158573)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.