Abordarea Interdisciplinară ȘI Practică A Conținuturilor DE Relații Metrice ÎN Triunghi ȘI Cerc
Universitatea „Lucian Blaga” din Sibiu
Facultatea de Științe, Departamentul de Matematică
Departamentul pentru pregătirea personalului didactic
ABORDAREA INTERDISCIPLINARĂ ȘI PRACTICĂ A CONȚINUTURILOR DE
RELAȚII METRICE ÎN TRIUNGHI ȘI CERC
Coordonator
Conf. Univ. Dr. Nicolae Adrian SECELEAN
Absolvent
Prof. Minodora-Elis Perca
SIBIU
2012
CUPRINS
CAPITOLUL I Considerații teoretice………………………………………..
I.1 Relații metrice în triunghiul dreptunghic
I.1.1 Teorema înălțimii
I.1.2 Teorema catetei
I.1.3 Teorema lui Pitagora
I.1.4 Reciproca teoremei lui Pitagora
I.1.5 Congruența triunghiurilor dreptunghice
I.1.6 Asemănarea triunghiurilor dreptunghice
I.1.7 Funcții trigonometrice
I.2 Relații metrice în tiunghiul oarecare
I.2.1 Teorema lui Pitagora generalizată
I.2.2 Teorema cosinusului
I.2.3 Congruența triunghiurilor oarecare
I.2.4 Teorema fundamentală a asemănării
I.2.5 Asemănarea triunghiurilor oarecare
I.2.6 Linia mijlocie în triunghi
I.3 Relații metrice în cerc
I.3.1 Puterea unui punct față de un cerc
I.3.2 Alte relații metrice în cerc
CAPITOLUL II Metodologia instruirii
II.1 Principiile didacticii
II.2 Metode și mijloace de învățământ
II.2.1 Metode de instruire
II.2.2 Instruirea asistată de calculator
II.2.3 Mijloace de învățământ
II.3 Interdisciplinaritate
CAPITOLUL III Considerații metodice asupra abordării interdiscplinare și practice a relațiilor metrice în triunghi și cerc
iiI.1 Aplicații
III.1.1 Aplicații la teorema înălțimii
III.1.2 Aplicații la teorema catetei
III.1.3 Aplicații la teorema lui Pitagora
III.1.4 Aplicații la reciproca teoremei lui Pitagora
III.1.5 Aplicații la congruența triunghiurilor dreptunghice
III.1.6 Aplicații la asemănarea triunghiurilor dreptunghice
III.1.7 Aplicații la funcții trigonometrice
III.1.8 Aplica ții la teorema cosinusului
III.1.9 Aplicații la congruența triunghiurilor oarecare
III.1.10 Aplicații la teorema fundamentală a asemănării
III.1.11 Aplicații la asemănarea triunghiurilor oarecare
III.1.12 Aplicații la linia mijlocie în triunghi
III.1.13 Aplicații la relații metrice în cerc
III.1.14 Aplicații folosind limbajul de programare Pascal
III.2 Abordare interdisciplinară a conținuturilor temei „Rezolvarea triunghiului dreptunghic”
III.2.1 Plan de activitate
III.2.1.1Tema activității: „Rezolvarea triunghiului dreptunghic”
III.2.1.2 Desfășurarea activității
III.2.1.3 Folosirea calculatorului în predarea-învățarea conținuturilor temei „Rezolvarea triunghiului dreptunghic”
III.3 Abordare practică a conținuturilor temei „ Criteriile de congruență a triunghiurilor dreptunghice”
III.3.1 Plan de activitate
III.3.1.1 Tema activității:
III.3.1.2 Desfășurarea activității
CONCLUZII
ANEXE
Bibliografie
INTRODUCERE
Matematica este o disciplină fascinantă pentru acele persoane care o pot aborda și înțelege teoretic, prin provocările și rezultatela frumoase la care se poate ajunge.
Pentru aceia care nu pot accepta matematica deoarece li se pare nefolositoare, este bine să se facă abordarea ei,pe cât posibil, în mod practic și /sau interdisciplinar, Să se găsească un mod de abordare care să aibă legătură cu sfera domeniilor de care este intresat elevul.
Studiul matematicii se poate face ca având aplicabilitate în învățarea unor noțiuni din alte discipline (pe care elevul le preferă) cum ar fi fizica și astronomia. Deasemenea elevii pot învăța matematica cu ajutorul alutor discipline (cum ar fi informatica) care o pot face mai abordabilă. (softuri matematice) sau îi pot folosi noțiunile în rezlovarea unor probleme practice.
Prin diferite tipuri de abordări ale noțiunilor de matematică, celor care le place matematica se vo „îndrăgosti ” de ea, iar cei cărora nu le place sau se tem de provocările ei, o vor accepta și nu o vor ignora.Puțină lume conștientizează faptul că matematica este prezentă în viața lor aproape la orice pas.Dacă ar realiza lucrul acesta, poate nu s-ar mai teme să abordeze matematica sau să se lase abordați de ea.
Învățarea matematicii se face cu mult efort, însă rezultatele sunt pe măsură. Studierea matematicii dezvoltă simțul disciplinei , organizării, dezvoltă gândirea, antrnează inteligența, puterea de a persevera în acțiunile întreprinse pentru a ajunge la o soluție, un rezultat.
În ceea ce privesc conținuturile temei „Relații metrice în triunghi și cerc”, conform semnificației cuvântului „metrică” , se pot face aplicații practice în determinarea unor distanțe.
Lucrarea da față încearcă să pună în evidență legătura dintre relațiile metrice în triunghi și cerc și alte discipline cum ar fi fizica astronomia și informatica pe de o parte, și aplicații practice (măsurarea unor distanțe) pe de altă parte. Unele aplicații practice fac legătura între matematică și topografie .
Lucrarea este structurată pe trei capitole.
În primul capitol ”Considerații teoretice” se tratează noițiunile de geometrie din punct de vedere teoretic. El conține subcapitole și paragrafe după cum urmează:
Relații metrice în triunghiul dreptunghic:
teorema catetei
teorema înălțimii
teorema lui Pitagora
reciproca teoremei lui Pitagora
congruența triunghiurilor dreptunghice
asemănarea triunghiurilor dreptunghice
funcții trigonometrice
Relații metrice în triunghiul oarecare:
teorema lui Pitagora generalizată
teorema cosinusului
congruența triunghiurilor oareecare
teorema fundamentală a asemănării
asemănarea triunghiurilor oarecare
linia mijlocie în triunghi
Relații metrice în crec:
puterea unui punct față de un cerc
alte relații metrice în cerc
Capitolul II numit „Metodologia instruirii” cuprinde noțiuni de pedgogie și metodica predării matematicii, având ca subcapitole și paragrafe:
Principiile didacticii
Metode și mijloace de învățământ:
metode de instruire
instruirea asistată de calculator
mijloace de învățământ
Interdisciplinaritate.
Capitolul III, „Considerații metodice asupra abordării interdisciplinare a relațiilor metrice în triunghi și cerc” , conține subcapitolele „Aplicații” conține aplicații practice și intredisciplinare pentru toate noțiunile tratate din punct de vedere teoretic în primul capitol, o abordare interdisciplinară a conținuturilor temei „Rezolvarea triunghiului dreptunghic” la clasa a VII-a și o abordare parctică a conținuturilor temei „Congruența triunghiurilor dreptunghice” la clasa a VI-a.
Deasemenea lucrarea mai conține proiectele de lecție afernte celor două tipuri de abordare din capitolul III, respectiv cea interdisciplinară și cea practică.
CAPITOLUL I
CONSIDERAȚII TEORETICE
I.1 Relații metrice în triunghiul dreptunghic
I.1.1 Teorema înălțimii
Teoremă: Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea corespunzătoare ipotenuzei este medie proporțională între segmentele determinate de ea pe ipotenuză.
Fig. 0.1
Ipoteză: ABC
ADBC
Concluzie: AD=
Demonstrație: Triunghiul ABD este asemenea cu triunghiul ADC, rezultă:
Din egalitatea rezultă AD2 = BD · DC (1.1)
sau AD = (1.2)
Deci s-a demonstrat relația din concluzie.
I.1.2 Teorema catetei
Teoremă: Într-un triunghi dreptunghic, lungimea unei catete este medie proporțională între lungimea ipotenuzei și lungimea proiecției acestei catete pe ipotenuză.
Fig. 0.2
Ipoteză: ABC
ADBC
Concluzie: AB = (1.3)
AC = (1.4)
Demonstrație: Triunghiul ABD este asemenea cu triunghiul ABC atunci rezultă
.
Considerând prima egalitate de rapoarte :
AB2 = BC·BD (1.5)
AB =,
adică s-a obținut relația 1.3 .
Triunghiul ADC este asemenea cu triunghiul ABC atunci rezultă
.
Considerând a doua egalitate de rapoarte:
(1.6)
AC=,
adică s-a obținut relația 1.4 ceea ce trebuia demonstrat.
I.1.3 Teorema lui Pitagora
Pitagora din Samos a trăit între anii 569 și 500 î.e.n. și a fost elevul lui Thales. Pitagora a descoperit la egipteni un mod de a determina unghiuri drepte. Aceștia pe o frânghie mai lungă, făceau 13 noduri la distanțe egale. Primul și al treisprezecelea nod le legau unul de celălalt, apoi frânghia se întindea astfel încât să se formeze un triunghi care să aibă laturile de respectiv 3 segmente, 4 segmente și 5 segmente. Egiptenii știau că la locul de întâlnire a laturilor de 3 și de 4, se forma unghiul drept. Acest procedeu a fost folosit la construcția templelor și a piramidelor.
Meritul lui Pitagora a fost că el a dat demonstrația teoremei.
Teorema lui Pitagora a fost numită de-a lungul istoriei în diverse feluri:
vechii eleni au numit-o teorema măritatului
hindușii au numit-o scaunul soților
liceenii de odinioară au numit-o puntea măgarului
Savantul Octav Onicescu a considerat că: ”Măsurătorile care se fac potrivit teoremei lui Pitagora au constituit unul dintre fundamentele civilizației europene”.
Teorema lui Pitagora face legătura dintre o proprietate algebrică și una geometrică : ”suma pătratelor a două numere este egală cu pătratul unui al treilea număr” și ”a fi triunghi dreptunghic”. În practică teorema lui Pitagora ajută la calcularea lungimii unei laturi a unui triunghi dreptunghic atunci când se cunosc lungimile celorlalte două laturi.
Teorema lui Pitagora: Într-un triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei.
Fig. 0.3
Ipoteză: ABC
Concluzie: AB2+AC2=BC2
Demonstrație: Se construiește înălțimea corespunzătoare ipotenuzei, ADBC.
Se aplică teorema catetei pentru cateta AB:
AB2 = BC · BD (1.6)
Se aplică teorema catetei pentru cateta AC:
AC2 = BC · DC (1.7)
Se adună termen cu termen relațiile (1.6) și (1.7) și se obține:
AB2 +AC2 = BC · BD + BC · DC
AB2 +AC2 = BC · (BD + DC)
AB2 + AC2 = BC · BC
AB2 + AC2 = BC2 (1.8)
adică ceea ce trebuia demonstrat.
I.1.4 Reciproca teoremei lui Pitagora
Teoremă: Dacă într-un triunghi suma pătratelor lungimilor a două laturi este egală cu pătratul celei de-a treia laturi atunci triunghiul este dreptunghic.
Fig. 0.4
Ipoteză: MNP triunghi
NP2 = MN2 + MP2
Concluzie: Triunghiul MNP este dreptunghic.
Demonstrație: În triunghiul dat, se consideră punctul Q fiind proiecția lui N pe MP. Dacă unghiul MNP nu este unghi drept, atunci Q ≠ M.
Ținând seama de ipoteză și de relația 2.1 și 2.5 (după cum unghiul NMP este ascuțit sau obtuz), rezultă MP·MQ = 0, adică MQ = 0 ceea ce este în contradicție cu
Q ≠ M. Deci , astfel triunghiul MNP este dreptunghic.
Fiind dat un triunghi ale cărui laturi sunt de lungimi a, b respectiv c (a ≤ b < c), pentru a verifica dacă triunghiul este dreptunghic cu ajutorul reciprocei teoremei lui Pitagora, se parcurg următorii pași:
Se observă care latură are lungimea cea mai mare. În cazul de față, aceasta este latura cu lungimea c.
Se calculează a2 + b2, apoi c2.
Se concluzionează:
dacă a2 + b2 = c2 atunci triunghiul este dreptunghic;
dacă a2 + b2 ≠ c2 atunci triunghiul nu este dreptunghic.
I.1.5 Congruența triunghiurilor dreptunghice
Există patru criterii de congruență a triunghiurilor dreptunghice. Acestea sunt:
Criteriul catetă-catetă (C-C): dacă două triunghiuri dreptunghice au catetele respectiv congruente, atunci triunghiurile sunt congruente.
Fig. 0.5
Criteriul ipotenuză – catetă (I-C): dacă două triunghiuri dreptunghice ipotenuza și o catetă respectiv congruente, atunci triunghiurile sunt congruente.
Criteriul catetă-unghi (C-U): dacă două triunghiuri dreptunghice au o catetă și un unghi ascuțit la fel poziționat față de catetă respectiv congruente, atunci triunghiurile sunt congruente.
Criteriul ipotenuză-unghi (I-U): dacă două triunghiuri dreptunghice au ipotenuza și un unghi ascuțit respectiv congruente, atunci ele sunt congruente.
I.1.6 Asemănarea triunghiurilor dreptunghice
Criterii de asemănare a triunghiurilor dreptunghice:
Criteriul I: Două triunghiuri dreptunghice având o pereche de unghiuri ascuțite congruente sunt asemenea.
Fie triunghiurile ABC dreptunghic în A și MNP dreptunghic în M
Dacă atunci
sau
dacă atunci
Criteriul II: Două triunghiuri dreptunghice având catetele respectiv proporționale sunt asemenea.
Fig. 0.6
Fie triunghiurile ABC dreptunghic în A și MNP dreptunghic în M
Dacă , atunci
Criteriul III: Două triunghiuri dreptunghice având o catetă și ipotenuza respectiv proporționale sunt asemenea.
Fig. 0.7
Fie triunghiurile ABC dreptunghic în A și MNP dreptunghic în M.
Dacă , atunci
sau
dacă , atunci
I.1.7 Funcții trigonometrice
Fie un triunghi ABC dreptunghic în A cu notațiile din figura 3.1
Fig. 0.8
De-a lungul timpului , oamenii care au studiat matematica, în special geometria, au ajuns la concluzia că în orice triunghi dreptunghic există rapoarte ale lungimilor laturilor care sunt constante.
Aceste rapoarte constante se folosesc și sub denumirea de funcții trigonometrice.
La nivel gimnazial se definesc funcțiile trigonometrice astfel:
Unde este un unghi ascuțit al triunghiului dreptunghic
Notații matematice folosite:
sinus : sin
cosinus : cos
tangentă : tg
cotangentă : ctg
Pentru notațiile din figura 3.1 se pot scrie următoarele relații:
I.2 Relații metrice în tiunghiul oarecare
I.2.1 Teorema lui Pitagora generalizată
Teorema 1: Dacă în triunghiul ABC, C este un unghi ascuțit și D=, atunci
AB2 = AC2 + BC2 2·BC·DC (2.1)
Fig. 0.9 Fig. 0.10
Demonstrație:
Cazul I: B ascuțit (fig. 2.1), atunci D BC.
și fiind dreptunghice au loc egalitățile:
AB2 = AD2 + BD2 (2.2)
AD2 = AC2 – DC2 (2.3)
BD = BC – DC (2.4)
Din cele trei egalități rezultă AB2 = AC2 – DC2 + AD2 + (BC – DC)2, iar după efectuarea calculelor se obține AB2=AC2+BC22·BC·DC , adică relația 2.1.
Cazul II: B obtuz (fig. 2.2), atunci B (DC), egalitățile 2.2 și 2.3 rămân adevărate și are loc relația BD = DC – BC. Deci AB2 = AC2 – DC2 + (DC – BC)2, iar după efectuarea calculelor se obține AB2 = AC2 + BC2 – 2 · BC · DC, adică relația 2.1
Cazul III:B unghi drept, atunci relația 2.1 rezultă din teorema lui Pitagora.
Teorema 2: Dacă în triunghiul ABC, C este unghi obtuz și D=, atunci
AB2=AC2+BC22·BC·DC (2.5)
Fig. 0.11
Demonstrație:C fiind obtuz, rezultă CBD. Din și dreptunghice se obține:
AB2 = AD2 + BD2 (2.6)
AD2 = AC2 – DC2 (2.7)
BD = BC + DC (2.8)
Din relațiile 2.6, 2.7 și 2.8 se obține AB2=AC2-DC2+(BC+DC)2, iar după efectuarea calculelor, se obține AB2 = AC2 + BC2 + 2 · BC · DC, adică 2.5.
Astfel s-a enunțat și demonstrat teorema lui Pitagora generalizată pentru ambele tipuri ale unghiului C.
I.2.2 Teorema cosinusului
Teorema cosinusului. În orice triunghi are loc relația
Demonstrație:
Varianta 1:
Fig. 0.12 Fig. 0.13
Fie AD înălțimea dusă din vârful A, deci ADBC.
Pentru unghiul ascuțit, conform teoremei lui Pitagora generalizată se va scrie relația
AB2 = AC2 + BC22 · DC · BC
Dar în triunghiul ADC dreptunghic în D , DC=AC cosC, atunci relația de mai sus se poate scrie
Pentru unghiul obtuz, conform, conform teoremei lui Pitagora generalizată se va scrie relația
AB2 = AC2 + BC2 2 · DC · BC
Dar în triunghiul ADC dreptunghic în D, DC = AC·cos(ACD) = –AC·cosC atunci relația de mai sus se poate scrie
adică ceea ce trebuia demonstrat.
Teorema cosinusului mai poartă numele de teorema lui Pitagora generalizată deoarece pentru că de fapt este o altfel de scriere a sa. Ea se folosește într-o formă sau alta, în funcție de datele situațiilor problematice întâlnite.
Varianta 2:
Fig. 0.14
Fie ADBC
În triunghiul ADC dreptunghic în D,
cosC =
și aplicând teorema lui Pitagora se obține relația
AD2 = AC2 – CD2
În triunghiul ADB dreptunghic în D, aplicând teorema lui Pitagora, se obține
AB2 = AD2 + DB2
Din cele două relații evidențiate se obține:
AB2 = AC2 – CD2 + DB2 = b2 – CD2 + (BC – CD)2 = AC2 – CD2 + BC2 – 2·BC·CD + CD2,
iar după reducerea termenilor asemenea și substituția CD = AC cosC, rezultă
Formulele pentru celelalte laturi se obțin prin permutări circulare:
I.2.3 Congruența triunghiurilor oarecare
Definiția 1: Fie două triunghiuri ABC și A'B'C'. Dacă și , atunci se spune că există o congruență între triunghiurile și .
Definiția 2: Triunghiurile MNP și EFG se numesc congruente dacă există cel puțin o congruență între ele.
Cazul I: Axioma de congruență Latură – Unghi – Latură (L.U.L):
Fie triunghiurile MNP și EFG. Dacă și , atunci MNPEFG.
Fig. 0.15
Cazul II: Teorema 1.Criteriul de congruență Unghi – Latură – Unghi (U.L.U):
Dacă triunghiurile MNP și EFG au , și , atunci MNPEFG.
Fig. 0.16
Demonstrație: Fie punctul H astfel încât .
Conform axiomei L.U.L. MNP EFH, deci . Dar conform ipotezei și F, H sunt de aceeași parte a lui FG, prin urmare rezultă G = H și astfel MNP EFG.
Cazul III: Teorema 2. Criteriul de congruență Latură – Latură – Latură (L.L.L)
Dacă triunghiurile MNP și EFG au , și , atunci MNPEFG
Fig. 0.17
Demonstrația este evidentă:
se știe că: – dacă , atunci
– dacă , atunci
– dacă , atunci
deci MNP EFG.
I.2.4 Teorema fundamentală a asemănării
Teoremă: O paralelă dusă la una dintre laturile unui triunghi, determină cu celelalte două laturi, sau cu prelungirile lor, un triunghi asemenea cu triunghiul dat.
Cazul I:
Fig. 0.18
MN║BCAMN~ABC
adică , , și
Cazul II:
Fig. 0.19
MN║QRMNP~PQR
adică , , și
Cazul III:
Fig. 0.20
RY║TUSRYSTU
adică , și
Demonstrație:
Cazul I
MN║BC, deoarece sunt unghiuri corespondente formate de paralelele MN și BC tăiate de secanta AB, respectiv AC, atunci și din triunghiurile AMN respectiv ABC.
Aplicând teorema lui Thales rezultă:
(2.9)
Se construiește NN'║AB de unde rezultă deoarece MNN'B paralelogram, atunci rezultă că segmentele și sunt congruente și
(2.10)
Din relațiile (2.9) și (2.10) rezultă
,
adică ceea ce trebuia demonstrat.
Cazul II
MN║QR,, pentru că sunt unghiuri alterne interne formate de paralelele MN și QR tăiate de secanta MR, respectiv NQ, iar unghiurile MPN și QPR sunt congruente deoarece sunt unghiuri opuse la vârf.`
Aplicând teorema lui Thales se obține (2.11)
Se construiește astfel încât PN = PE și astfel rezultă PD=PM. . Conform cazului I rezultă
dar PE = PN dar MNDE este paralelogram, rezultă (2.12).
Din relațiile 2.11 și 2.12 rezultă q.e.d.
Cazul III : demonstrația este evidentă.
Conform cazului I, q.e.d.
I.2.5 Asemănarea triunghiurilor oarecare
Definiție: Două triunghiuri care au unghiurile respectiv congruente iar laturile respectiv proporționale se numesc triunghiuri asemenea.
Criteriile de asemănare sunt condiții necesare și suficiente pentru ca două triunghiuri să fie asemenea.
Criteriul 1 (Latură – Unghi – Latură): Două triunghiuri care au un unghi congruent și laturile care-l formează respectiv proporționale, sunt asemenea.
Dacă și
Demonstrație: Se folosește proprietatea de tranzitivitate a relației de asemănare adică dacă
(2.13) și
(2.14)
atunci .
Fie punctele E AB și F AC prin care se va construi paralela EF la latura BC a triunghiului ABC astfel încât AE = MN, iar conform teoremei fundamentale a asemănării rezultă că , astfel fiind demonstrată relația 2.13.
Aplicând teorema lui Thales în triunghiul ABC se poate scrie și ținând cont și de faptul că AE = MN, se mai poate scrie relația de unde rezultă AF] [MP], dar [AE] [MN] și atunci rezultă conform criteriului de congruență L.U.L. că triunghiurile AEF și MNP sunt congruente.
Triunghiurile congruente au proprietatea că sunt și asemenea și astfel , adică s-a demonstrat relația 2.14, deci are loc concluzia .
Criteriul 2 (Unghi – Unghi): Două triunghiuri care au două unghiuri respectiv congruente sunt asemenea
A M,B N .
Demonstrație: Din teorema fundamentală a asemănării rezultă
(2.15)
Pentru că B E, conform criteriului de congruență U.L.U rezultă că , dar două triunghiuri congruente sunt asemenea deci
(2.16)
Din relațiile 2.15 și 2.16 rezultă , adică ceea ce trebuia demonstrat.
Criteriul 3 (Latură – Latură – Latură) Două triunghiuri care au laturile respectiv proporționale sunt asemenea.
Demonstrație: Fie punctele E AB și F AC prin care se va construi paralela EF la latura BC a triunghiului ABC astfel încât AE = MN, iar conform teoremei fundamentale a asemănării rezultă că .
Din ipoteză , iar aplicând teorema fundamentală a asemănării în triunghiul ABC rezultă și pentru că [AE]MN] rezultă conform criteriului de congruență L.L.L. că dar două triunghiuri congruente sunt asemenea deci.
Deci și atunci conform tranzitivității relației de asemănare rezultă
I.2.6 Linia mijlocie în triunghi
Definiție: Segmentul determinat de mijloacele a două laturi ale unui triunghi se numește linie mijlocie.
Teoremă: Linia mijlocie a unui triunghi este paralelă cu a treia latură și are ca lungime jumătate din lungimea celei de-a treia laturi.
Fig. 0.21
Demonstrație: Se consideră și linie mijlocie.
Fie punctul P astfel încât M, N, P coliniare și . Deoarece
și rezultă că patrulaterul AMCP este paralelogram PC║AM,
, dar , atunci patrulaterul MBCP este paralelogram deci MP║BC, atunci MN║BC.
MP = BC = 2 · MN MN = .
I.3 Relații metrice în cerc
I.3.1 Puterea unui punct față de un cerc
Teorema 1: Fie cercul și M. Atunci pentru orice coardă (AB) care
conține punctul M, produsul MAMB este constant.
Fig.1.29
Demonstrație:
În cercul se consideră coardele (AB) și (CD) care conțin punctul M. Triunghiurile MAC și MDB sunt asemenea deoarece (pentru că sunt unghiuri opuse la vârf) și (pentru că ele cuprind același arc între laturi).
Atunci și
Valoarea constantă a acestui produs înmulțită cu (-1), se notează cu și se numește puterea punctului M, interior cercului față de cercul .
Teorema 2: Fie cercul și M. Atunci pentru orice secantă AB,
A, B care conține punctul M, produsul este
constant.
Fig.1.30
Demonstrație:
Se consideră secantele AB și CD care conțin punctul M. A,B,C,D fiind pe cercul , A și B, triunghiurile MBC și MDA sunt asemenea deoarece (cuprind același arc între laturi).
Atunci , deci
Valoarea constantă a acestui produs se notează cu și se numește puterea punctului M, exterior cerculu,i față de cercul .
Câd se cunoaște raza cercului r și distanța de la M la centrul cercului, expresia puterii unui punct față de cerc va fi :
indiferent dacă M sau M.
Se observă că :
dacă M, atunci
dacă MT este tangentă la cerc în punctul T, atunci TM2== (*)
I.3.2 Alte relații metrice în cerc
Fie , AC diametru, Bși , D(AC). Atunci au loc relațiile:
(*)
(**)
Fig. 1.31
Demonstrație:
Triunghiul ABC este dreptunghic în B deoarece AC diametru și B, atunci aplicând teorema catetei rezultă :
,
dar AC, deci relația devine
adică (*)
Aplicând apoi teorema înălțimii în același triunghi ABC, se obține
adică (**
CAPITOLUL II
METODOLOGIA INSTRUIRII
II.1 Principiile didacticii
Cunoașterea și respectarea principiilor didactice sunt condițiile de a realiza sarcinile procesului de învățământ.
Procesul de învățământ are șase principii didactice:
Principiul însușirii conștiente și active a cunoștințelor
Principiul intuiției
Principiul accesibilității și individualizării învățării
Principiul legării teoriei de practică
Principiul sistematizării și continuității în învățare
Principiul însușirii temeinice a cunoștințelor, deprinderilor și priceperilor.
Alături de aceste principii se pot pune principii specifice didacticii matematicii:
Principiul caracterului științific învățământului matematic
Principiul motivației optime a învățării
Principiul conexiunii inverse
Principiul problematizării
Principiul educației permanente și continue.
Principiul însușirii conștiente și active a cunoștințelor
Este bine de a evita învățarea mecanică, deoarece cunoștințele dobândite astfel nu sunt durabile. De aceea trebuie ca informațiile ”trimise” către elevi să fie accesibile pentru a putea fi înțelese și astfel să poată face conexiuni între acestea în vederea obținerii unor noi rezultate.
Informațiile sun cu atât mai bine receptate cu cât elevul participă activ la procesul de predare în sensul că depune el însuși efort prin antrenarea gândirii, spiritului de observație și a imaginației. Pentru fiecare individ, în funcție de modul său de a gândi, de imaginația sa și de modul său de a-și organiza procesul de învățare, cunoștințele devin un lucru personal și ele pot fi folosite în mod creativ.
Atât în cazul matematicii, cat și în cazul celorlalte discipline studiate, pentru rezultate optime trebuie ca elevul și nu numai să-și antreneze mintea pentru că altfel își pierde din dexteritate.
Principiul intuiției
Se referă la abordarea cunoștințelor în manieră intuitivă. Această manieră trebuie să fie prezentă pe tot parcursul actului cunoașterii.
Principiul accesibilității și individualizării învățării
Se referă la respectarea particularităților de vârstă și la capacitatea fiecărui elev de a învăța.
Principiul legării teoriei de practică
Dacă învățarea nu are legătură cu activitatea practică, scade motivația iar învățarea devine incompletă și insuficientă.
De asemenea găsirea legăturii între teorie și practică reprezintă și o pregătire pentru viața reală.
Principiul sistematizării și continuității în învățare
Sistematizarea generează corelarea „ tuturor disciplinelor și activităților de învățare și educare” (Crețu,2005).
„Continuitatea se referă la un ritm de recepționare, asimilare și fixare a cunoștințelor permițând evaluări, controale și reglări” (Ardelean, 2007).
Principiul însușirii temeinice a cunoștințelor, deprinderilor și priceperilor
Însușirea cunoștințelor bazate pe intuiție sau pe experiment, care pot fi aplicate în practică, este mai temeinică decât cea bazată pe memorare. Corelarea între cunoștințe, deprinderi și priceperi formează principiul legării teoriei de practică.
Principiul caracterului științific al învățământului matematic
Informațiile matematice corecte reflectă acest caracter științific. În procesul de predare a matematicii trebuie evitate ambiguitățile,trebuie evitate greșelile de scriere sau folosirea unor termeni care nu sunt des întâlniți în literatuira de specialitate.
Principiul motivației optime a învățării
Deoarece școala are și un caracter de obligativitate, pentru a-și însuși cunoștințele prevăzute de programa națională, elevii trebuie să aibă o motivație.
Motivația admite mai multe forme:
pozitivă: produsă de recompense
negativă: evitând pedepsele
intrinsecă:satisfăcută de îndeplinirea acțiunii
extrinsecă: a învăța pentru notă
cognitivă sau afectivă
(Ardelean, 2007)
Un mod de a motiva elevul este de a-i arăta că toate cunoștinșele teoretice pot fi aplicate în viața reală sau făcând legătura între acestea și celelalte discipline.
Principiul conexiunii inverse
„ De multe ori întrbările puse de cătr elevi sunt mai concludente … decât chiar problemele adresate lor de către profesor” (Ardelean, 2007)
Receptivitatea elevilor se simte chiar din timpul predării.
Principiul problematizării este specific matematicii și este conectat cu principiul însușirii conștiente și active a cunoștințelor, cel al intuiției și cel al legării teoriei de practică..
Acest principiu dorește corelarea între teoria matematică și rezolvarea situațiilor problematice.
Principiul educației permanente și continue
Formarea continuă este valabilă și pentru cadrele didactice.
II.2 Metode și mijloace de învățământ
II.2.1 Metode de instruire
Mulțimea metodelor de instruire este foarte vastă. În acest context este utilă clasificarea acestor metode.Există mai multe criterii după care se pot clasifica metodele de instruire.
În raport cu sursa cunoașterii, o clasificare a metodelor de instruire ar putea fi următoarea:
metode de comunicare și însușire de cunoștințe:
metode de comunicare orală: metode expozitive (povestirea, explicația, prelegerea, expunerea cu oponent, prelegerea-dezbatere) și metode conversative (conversația euristică, dezbaterea, brainstorming-ul, problematizarea)
metode de comunicare scrisă: lectura, munca cu manualul
metode de comunicare interioară: reflecția personală
metode de explorare a realității:
metode de explorare directă: metoda observării, experimentul, studiul de caz
metode de explorare indirectă: modelarea, demonstrația
metode bazate pe acțiune:
metode de acțiune reală: lucrări practice, exercițiul, algoritmizarea, proiectul
metode de acțiune simulată: joc de rol, simularea
Din punct de vedere istoric:
metode tradiționale:expunerea, conversația, exercițiul etc.
metode moderne:problematizarea, brainstorming-ul, metoda cubului, metoda mozaicului etc.
După modul principal de organizare a cunoștințelor se disting:
metode verbale, care sunt bazate pe cuvîntul scris sau citit
metode intuitive, care permit cunoașterea atât concretă cât și senzorială a realității
După gradul de participare a elevilor la activitățile instructiv-educative:
metode pasive, bazate pe transmiterea de către profesor a cunoștințelor care sunt ascultate pasiv de către elevi
metode active: presupun participarea activă a elevilor prin activități de explorare, interogare, reflecție
După modul de abordare a cunoașterii:
metode algoritmice care presupun abordarea pas cu pas , secvență cu secvență a realității
metode euristice bazate pe problematizare, descoperire și rezolvare de probleme
După funcția didactică îndeplinită:
metode de predare și comunicare de noi cunoștințe
metode de fixare și consolidare a cunoștințelor
metode de verificare și apreciere a rezultatelor activității
După forma de organizare a activității:
metode frontale în care este antrenată întrega clasă în același timp, cu aceeași sarcină
metode de grup în care clasa este împărțită pe grupe de elevi
metode individuale, pentru fiecare elev în parte
În cadrul predării matematicii, principalele metode folosite sunt:
I. Expunerea sistematică a cunoștințelor
povestirea constă în nararea unor fapte , evenimente/întâmplări sau personaje respectând ordinea cronologică sau așezarea în spațiu a lor
Un exemplu de povestire ar putea fi o introducere la lecția „Teorema lui Pitagora” despre câteva date personale despre Pitagora cât și realizări ale sale în domeniul studiului matematicii atât din punct de vedere teoretic, cât și din punct de vedere practic.
prelegerea este o metodă de instriure în care profesorul prezintă conținutul matematic al lecției fără a avea dialog cu elevii.Această metodă se poate folosi la clase mari cu elevi care au putere mare de concentrare și de păstrare a atenției de-a lungul prezentării conținutului de către profesor.
explicația este o metodă frecvent întâlnită în predarea matematicii. Ea solicită mai mult operațiile gândirii: analiza, sinteza, abstractizarea, generalizarea, inducția, deducția.Explicația este menită să dezvolte imaginația elevilor, prin claritatea și puterea de convingere a expunerii.
II. Metoda conversației. Deja după denumire se poate spune despre această metodă că este un dialog între profesor și elev/elevi.Întrebările sunt pornite atât de la profesor către elev, cât și de la elev către profesor. Inițiativa conversației o poate avea fie profesorul, fie elevul.
Cerințe pedagogice care trebuie îndeplinite de către întrebările adresate de către profesor elevilor:
să fie formulate într-o succesiune logică
să fie corect formulate atât logic cât și din punct de vedere gramatical
să încurajeze elevul către dialog
să se acorde timp de câteva secunde de gândire înainte de a primi un răspuns la întrebarea adresată
se adresează întrebări ajutătoare acolo unde este cazul
să se evite întrebările de tip capcană
să se folosească limbajul matematic adecvat
Deasemenea un lucru la fel de important este ca elevii să nu aibă teamă de a adresa întrebări atât celorlalți cât și lor înșiși.
III. Demonstrația matematică se poate face:
IV. Metoda exercițiului constă în efectuarea repetată, conștientă a unor operații sau acțiuni în scopul formării de deprinderi și priceperi pentru învățarea matematicii.
Rezolvarea de exerciții asigură fixarea noilor conținuturi.
Deasemenea evaluarea elevilor se realizează prin exerciții.
Exercițiile pot fi orale (ex. Exerciții de calcul mintal), scrise (ex. Rezolvarea ecuației de gradul al II-lea) sau practice.
O altă clasificare a exercițiilor ar fi:
exerciții introductive – acestea sunt primele exerciții care se rezolvă pentru noțiuni teoretice noi. Ele se efectuează sub îndrumarea profesorului
exerciții de consolidare – se efectuează de către elevi pentru a ajunge la stadiul de a stăpâni modul de rezolvare a lor
exerciții de legătură între cunoștințe și deprinderi mai vechi cu unele noi
exerciții de creație în care apare amprenta personală a rezolvatorului
Pentru rezolvarea exercițiilor este bine de parcurs următorii pași:
citirea cu atenție de către elevi a enunțului exercițiului
înțelegerea exercițiului. Dacă este necesar, citirea se face de mai multe ori pentru a putea stabili datele cunoscute, respectiv datele necunoscute (cerința)
rezolvarea propriu-zisă a exercițiului
verificarea rezultatului obținut.
V. Metoda muncii cu manualul și cu culegerile de probleme
Este o metodă de a învăța independent.Inițierea elevilor în munca cu manualul se face prin lecturarea în clasă a noilor conținuturi și explicarea lor împreună cu profesorul. Se fac exerciții de a extrage, a sistematiza cunoștințele noi. După obișnuirea elevului în munca cu manualul, el va putea studia și asimila individual cunoștințe noi din literatura de specialitate.
Culegerile de probleme reprezintă o resursă de exerciții și situații problematice cu ajutorul cărora elevul exersează partea aplicativă a noțiunilor teoretice asimilate.
VI. Problematizarea este o metodă de învățare prin care profesorul, prin întrebări, generează elevilor îndoială, curiozitate, îl stimulează să gândească și să dorească să găsească soluția pentru situația problematică dată.
Pentru a rezolva o situație-problemă se parcurg următoarele etape:
percaperea problemei
înțelegerea enunțului de către elevi, corelarea datelor problemei
căutarea soluțiilor
obținerea soluției finale
verificarea soluției
Prin această metodă elevul descoperă el însuși soluția situației-problemă. Astfel există o strânsă legătură între problematizare și învățarea prin descoperire. Aceasta din urmă se referă la faptul că „ materialul de învățat nu este prezentat într-o formă finală celui care învață” (Cucoș,2008) ci elevul este stimulat să genereze singur forma finală la care trebuie să se ajungă.
Problematizarea este un punct de plecare, iar desoperirea este un punct de sosire; problematizarea are ca punct final desoperirea.
Cele două metode asigură o învățare activă și creatoare.
VII. Modelarea este metoda de predare-învățare în cadrul căreia se folosește un model (o reproducere simplificată), al unui original. Proprietățile esențiale ale originalului sun redate de model. Prin modelare elevul descoperă adevărul cu ajutorul modelului.
Modelarea matematică este transpunerea unei situații-problemă în limbaj matematic în scopul rezolvării acesteia. Pentru a rezolva o problemă cu ajutorul modelării se pot parcurge următorii pași:
P1. înțelegerea problemei
P2. transpunerea în limbaj matematic (construiurea modelului matematic)
P3. rezolvarea modelului matematic
P4. verificarea soluției găsite
În folosirea modelelor trebui avute în vedere particularitățile ve vârstă precum și nivelul cunoștințelor elevilor.
VIII. Învățarea pe grupe este o metodă de învățământ care constă în faptul că elevii unei clase sunt împărțiți pe grupe, în vederea atingerii unui obiectiv comun cum ar fi: rezolvarea unei probleme, explorarea unei teme noi, elaborarea unor idei în legătură cu o temă dată. Această metodă promovează munca în echipă, interacțiunea colegială, comunicarea asertivă. Deasemenea folosind la clasă acest mod de lucru, elevii îl pot prelua și folosi în alte contexte de învățare cum ar fi studiul unei teme de interes personal comun dar care nu se studiază în carul curriculum-ului național.
Grupele pot fi alcătuite sub formă de perechi sau formate din 4-6 elevi sau mai mare în funcție de sarcina de lucru.
Elevii sunt puși în situația de a asculta și părerile colegilor lor, de a purta discuții ăn vederea găsirii celei mai bune idei dintre cele care sunt expuse de fiecare indivi al grupului de elevi format. În acest fel se exersează și managementul conflictelor pentru că de multe ori părerile cu privire la anumitre teme sunt împărțite, modul de rezolvare a unei probleme nu este unic,dar, prin discuții, ei pot lua decizia care este soluția optimă dintre cele expuse, sau din combinarea lor.
Responsabilitatea este un factor care se dezvoltă deasemenea, pentru ca fiecare elev care este în componența grupului de lucru va ajunge să conștientizeze faptul că, în acest mod de lucru, fiecare dintre ei are un rol important, soluționarea sarcinii de lucru primit depinzând de fiecare elev în parte.
Profesorul are rolul de a îndruma și coordona elevii prin organizarea grupelor, distribuirea sarcinilor de lucru, furnizarea resurselor, aprecierea activității grupurilor.
Câteva metode de lucru pe grupe sunt: Gândiți/Lucrați în perechi/Comunicați, rețeaua de discuții, metode mozaicului, turul galeriei.
IX. Algoritmizarea este metoda de predare-învățare care antrenează un șir de exerciții dirijate, un algoritm, în vaderea rezolvării sarcinilor de instruire.
Se recurge la alogoritmizare pentru acele sarcini de lucru care nu pot fi rezolvate euristic.
Există mai multe tipuri de algoritmi didactici.
algoritmi de rezolvare (a unor exerciții, probleme, sau efectuarea unor actvități practice)
algoritmi de recunoaștere (a clasei de probleme în care se află problema dată în vederea luării unei decizii eficiente)
reguli de calcul
planuri de desfășurare a unor activități
Metoda algoritmizării asigură o desfășurare rapidă și eficientă a unor activități.
În cazul matematicii algoritmizarea poate fi folosită cu succes în orice moment al lecției.
X. Metodele de învățare active sunt metode de păredare-învățare moderne. Ele sunt centrate pe elev fiind activ-participativepentru elevi.aceste metode cultivă spiritul aplicativ, spiritul de explorare, cercetare, acțiune,învățare. Încurajează colaborarea între elevi și profesor, promovând relațiile democratice profesor-elev.
Câteva metode de învățare activă care se pot folosi în cadrul predării matematicii sunt: brainstorming-ul, metoda ciorchinelui,experimentul, metoda cubului, metoda jigsaw (mozaic).
a) Brainstorming-ul. Denumirea metodei provine din cuvintele englezești brain=creier și storm=furtună și are ca echivalent în limba română „asaltul de idei”.
Metoda are rolul de a ușura căutarea și găsirea soluției optime pentru rezolvarea unei situații problematice.Ea este una dintre cele mai utilizate metode de a stimula activitatea pe grupe.
Se folosesc două etape distincte:
etapa producerii ideilor
etapa evaluării ideilor
Pentru pornirea activității se prezintă scopul acesteia și se discută regulile de bază care se vor utiliza.
1) În etapa producerii ideilor, se recomandă câteve reguli pe care elevii le vor respecta în vederea reușitei activității de brainstorming:
produceți cât mai multe idei
dați frâu liber imaginației
nu judecați ideile celorlalți
notați tot
preluați ideile celorlalți și ameliorați-le
Urmează apoi o perioadă de așteptare care poate fi de la câteva minute la o zi sau două după care se trece la etapa a doua.
2) Etapa evaluării ideilor. În această etapă se analizează de către întregul grup ideile care au fost notate, se aleg ideile cele mai originale, valabile sau aplicabile imediat, se elimină ideile prea îndrăznețe.
Pentru a nu îngreuna procesul de emitere a ideilor, pe tot parcursul defășurării brainstorming-ului, participanților nu li se va cere să argumenteze ideile lor.
b) Metoda ciorchinelui este o variantă a metodei brainstorming-ului organizată sub forma unei scheme.
Metoda poate fi folosită atât individual cât și ca activitate de grup. Ciorchinele didactic mai poartă și numele de organizator grafic.
Realizarea unui ciorchine didactic presupune:
scrierea unei noțiuni sau a unei propoziții-nucleu în centrul tablei/ paginii de lucru
scrierea câ mai multor cuvinte sau sintagme care vin în minte legat de tema respectivă
legarea cuvintelor sau sintagmelor găsite, prin săgeți pentru a evidenția conexiunile dintre acestea
În acest mod se pot organiza sugestiv informațiile despre o anumită temă , facilitând reținerea și înțelegerea acestora.
c) Experimentul este o metodă disactică de explorare a realității în mod direct sau indirect prin activități intenționat provocate pentru a studia procese și fenomene. Metoda experimentului dezvoltă la elevi capacitatea de a observa, investiga, de prelucrare și interpretare a datelor experimentale.Deasemenea acastă metodă accentuiează caracterul aplicativ al predării, favorizează respectarea principiului legării teoriei de practică, dezvoltă calități ale elevilor cum ar fi: răbdarea, lucrul în echipă, perseverența, ordinea. Având un caracter activ-participativ, experimentul este o metodă activă de învățare.
Expeimentele se pot organiza frontal, pe grupe sau individual.
În funcție de durata desfășurării experimentelor acestea se clasifică în experimente imediate și experimente de durată.
d) Metoda cubului permite studierea unui subiect din diverse puncte de vedere.
După cum spune și denumirea metodei, se utilizează un cub din carton pe ale cărui fețe sunt scrise cuvintele-sarcină:descrie, compară, asociază, analizează, aplică, argumentează care au următoarele semnificații:
descrie: cum arată? ce caracteristici are subiectul de studiat?
compară: cu ce seamănă? (asemănări), de ce diferă? (dosebiri)
asociază: la ce se gândesc elevii când se vorbește despre …?
analizează: din ce este alcătuit? ce conține?
aplică: la ce folosește? ce utilizare are?
argumentează pro și contra: e bun sau rău? e periculos sau nu? de ce?
În cazul matematicii
Cubul având șase fețe, clasa de elevi poate fi împărțită în șase grupe de elevi, fiecare lucrând la sarcina de pe o față care le-a fost repartizată.
Urmând cele șase sarcini țn ordinea scrisă mai sus, se urmează îndeaproape categoriile din taxonomia lui Bloom: cunoaștere, comprehensiune, aplicare, analiză, sinteză, evaluare.
e) Metoda mozaicului
II.2.2 Instruirea asistată de calculator
II.2.3 Mijloace de învățământ
Mijloacele dse învățământ reprezintă totalitatea resurselor materiale adaptate și selecționate în mod intenționat, care contribuie la desfășurarea eficientă a activității instructiv-educative în vederea atingerii obiectivelor pedagogice propuse.
Multitudinea mijloacelor de învățământ, a impus nevoia unei clasificări a acestora(Crețu,2007):
Mijloacele de învățămînt vin în completarea explicațiilor profesorului, ajută elevii să înțeleagă realitatea. Prin folosirea adecvată de către profesor, prin îmbinarea cu metodele de predare-învățare, se stimulează curiozitatea, imaginația și creativitatea elevilor, se dezvoltă capacitatea elevilor de înregistrare, prelucrare și interpretare a informațiilor, astfel susținând motivația învățării.
În utilizarea mijloacelor de învățământ trebuie respectat principiul accesibilității și individualizării învățării.
II.3 Interdisciplinaritate
CAPITOLUL III
Considerații metodice asupra abordării interdiscplinare și practice a relațiilor metrice în triunghi și cerc
iiI.1 Aplicații
III.1.1 Aplicații la teorema înălțimii
Un stâlp este ancorat cu două cabluri ca în figura de mai jos. Știind că cele două cabluri formează un unghi drept, să se determine înălțimea stâlpului (Circumferința stâlpului este neglijabilă).
Rezolvare: Se observă că se formează un triunghi dreptunghic ABC, iar stâlpul are rol de înălțime.
Astfel, putem aplica teorema înălțimii, deci conform formulei 1.2 vom avea
AD = AD =.
Deci înălțimea stâlpului este de 6 m.
Calcularea mediei geometrice a două numere m și n.
Fig. 0.22
Rezolvare: Se construiește segmentul BC de lungime m + n.
Se găsește mijlocul segmentului BC, ca fiind O, se fixează pe BC punctul D astfel încât BD = m și DC = n.
Se construiește cercul de centru O și rază OC.
Din punctul D se ridică o perpendiculară pe BC, a cărei intersecție cu cercul este punctul A.
Triunghiul ABC format, este un triunghi dreptunghic, deoarece este înscris într-un semicerc.
În triunghiul ABC, dreptunghic în A se poate aplica teorema înălțimii:
AD2 = BD·DC sau AD =
Făcând înlocuirile cu valorile lungimilor segmentelor date, se obține:
AD =
adică lungimea segmentului AD reprezintă chiar media geometrică a numerelor m și n,
mg = AD.
Determinarea rădăcinii pătrate a unui număr real pozitiv.
Fig. 0.23
Rezolvare: Se construiește segmentul BC de lungime 1+n.
Se găsește mijlocul segmentului BC, ca fiind O, se fixează pe BC punctul D astfel încât BD =1 și DC = n.
Se construiește cercul de centru O și rază OC.
Din punctul D se ridică o perpendiculară pe BC, a cărei intersecție cu cercul este punctul A.
Triunghiul ABC format, este un triunghi dreptunghic, deoarece este înscris într-un semicerc.
În triunghiul ABC, dreptunghic în A se poate aplica teorema înălțimii:
AD2 = BD·DC sau AD =
Făcând înlocuirile cu valorile lungimilor segmentelor date, se obține:
AD = =
adică lungimea segmentului AD reprezintă chiar rădăcina pătrată a numărului n, adică
= AD
III.1.2 Aplicații la teorema catetei
1. Pe un suport în formă de (fig. 1.6) trebuie sudate două laturi astfel încât ele să formeze un unghi drept. Măsurile care se cunosc sunt date în figură. Știind că sudorul nu poate determina distanța între punctele A și B și între punctele A și C prin măsurare directă, să se determine ce lungimi trebuie să aibă cele două laturi.
Fig. 0.24
Rezolvare: Deoarece trebuie ca laturile AB și AC să formeze unghi drept, se poate aplica teorema catetei pentru fiecare dintre laturile AB și AC. Astfel vom avea:
AB = AB =.
AC =AC =
2. Un tâmplar are un cadru din lemn cu forma de triunghi dreptunghic, cu dimensiunile din figură (fig. 1.7). La ce distanță de punctul B trebuie înfileteze un șurub în latura BC astfel încât să fie sigur că bucata de lemn AD este perpendiculară pe latura BC?
Fig. 0.25
Rezolvare: Aplicăm teorema catetei pentru cateta AB, deci conform relației 1.3 vom avea:
AB2 = BC·BD3600 cm2 = 90 cm·BD BD = 3600 cm2: 90 cm.
Deci rezultă că BD = 40 cm. Adică șurubul se va înfileta la 40 cm depărtare de punctul B.
III.1.3 Aplicații la teorema lui Pitagora
1. Un bambus care măsoară 32 de coți s-a rupt din cauza vântului într-un punct astfel încât vârful său atinge pământul la 16 coți de punctul din care se înalță tulpina. La câți coți înălțime s-a rupt tulpina?
Rezolvare:
Fig. 0.26
AC + BC = 32 coți AC = 32 coți-BC
În triunghiul dreptunghic ABC, cu măsura unghiului A egală cu 90°, se aplică teorema lui Pitagora:
AB2 + AC2 = BC2 rezultă 162 + (32 – BC)2 = BC2
162 + 322 – 64BC + BC2 = BC2 deci BC2 – BC2 – 64BC = – 162 – 322, atunci
– 64BC = – 1280 ̸ ·(-1) adică 64BC = 1280, BC = 1280 : 64, BC = 20 coți
32 coți – 20 coți = 12 coți (la 12 coți s-a rupt tulpina).
2. O tijă de lotus, care are rădăcina pe fundul unui lac, depășește suprafața apei cu jumătate de cot. Sub acțiunea vântului tija de lotus este înclinată astfel încât este complet acoperită de ape la distanța de 2 coți de poziția inițială. Să se calculeze adâncimea lacului2.
Rezolvare:
Fig. 0.27
Notând cu x adâncimea lacului, se aplică teorema lui Pitagora în triunghiul AOB, dreptunghic în O, astfel se scrie:
AO2 + BO2 = AB2 adică ,
iar efectuând calculele, rezultă X = = 3,75 coți (este adâncimea lacului.).
3. O maimuță care se află pe tulpina unui arbore înalt, la 10 metri de vârful său coboară până la baza copacului și se duce la un lac situat la 20 metri de piciorul arborelui, în timp ce o altă maimuță sare din vârful copacului, exact în locul în care prima maimuță a ajuns la lac.
Dacă spațiile parcurse de cele două maimuțe sunt egale, să se determine care este înălțimea de la care a sărit a doua maimuță?
Fig. 0.28
Rezolvare: În triunghiul ABC dreptunghic în A, se aplică teorema lui Pitagora:
AB2 + AC2 = BC2 20 2 + (X + 10)2 = (X + 20)2
400 + X2 + 20X +100 = X2 + 40X + 400
X2 + 20X – X2 – 40X = 400 – 400 – 100
-20X = -100 /·(-1)
20X = 100 X = 100 : 20 X = 5 m.
Înălțimea arborelui: AC = X +10 m = 5 m + 10 m = 15 m.
Aplicație în fizică. Având date două forțe și care au direcțiile perpendiculare, modulul rezultantei se poate determina aplicând teorema lui Pitagora.
Fig. 0.29
R2 = F12 + F22
Aplicație numerică: Fiind date forțele F1 = 30 N și F2 = 40 N, ale căror direcții sunt perpendiculare, să se determine rezultanta lor.
R2 = F12 + F22 R2 = (30N)2 + (40N)2
R2 = 900N2 + 1600N2
R2 = 2500N2
R = = 50N.
Deci rezultanta forțelor este R = 50 N.
III.1.4 Aplicații la reciproca teoremei lui Pitagora
1. Pentru a face o ranforsare din lemn într-un colț cu unghi drept, un tâmplar are la dispoziție o formă triunghiulară din lemn, cu laturile de 35, 40, respectiv 50 centimetri și o altă formă tot triunghiulară cu laturile de respectiv 30, 40, 50 centimetri . Care dintre cele două forme în vor ajuta cel mai bine pe tâmplar pentru ranforsare?
Rezolvare: Se aplică reciproca teoremei lui Pitagora:
Pentru prima formă: , deci conform reciprocei teoremei lui Pitagora prima formă nu este un triunghi dreptunghic și nu este potrivită pentru ranforsare.
Pentru a doua formă: , deci
conform reciprocei teoremei lui Pitagora a doua formă este triunghi dreptunghic și este potrivită pentru ranforsare.
2. Trebuie verificat dacă un stâlp este drept înfipt în pământ (adică este perpendicular pe pământ) doar cu ajutorul unui metru de croitorie. Cum s-ar putea proceda?
Rezolvare: Cu ajutorul metrului se măsoară pe stâlp 40 cm și se face un semn. Se măsoară
apoi 30 cm pe pământ (se presupune că nu are denivelări) și se pune semn. Pentru
ca stâlpul să fie drept pus trebuie ca distanța dintre cele două semne (făcute pe stâlp
respectiv pe pământ) să fie de 50 cm, deoarece 302 + 402 = 502 și conform reciprocei
teoremei lui Pitagora se formează un unghi drept (între stâlp și pământ), deci stâlpul
va fi corect așezat.
În antichitate această metodă se folosea sub forma unei frânghii care avea 13 noduri plasate la distanțe egale unul de celălalt. ”Întinzătorii de frânghii” legau primul și al treisprezecelea nod, apoi întindeau frânghia astfel încât să se formeze un triunghi cu laturile de 3, 4, respectiv 5 lungimi, deoarece ei știau că acolo unde se întâlneau laturile de 3 și 4, se obține un unghi drept. Astfel se desfășura ”punerea festivă a pietrei fundamentale a unui templu”. ”Acești ”întinzători de frânghii” nu erau meseriași obișnuiți, ci aparțineau unei anumite tagme a casei preoțești. Ei aveau grijă ca tainele științei lor să nu devină cunoscute”
III.1.5 Aplicații la congruența triunghiurilor dreptunghice
1. Stând în poziție de drepți Determinarea distanței între două puncte vizibile dar numai unul accesibil.
Determinarea lățimii unui râu fără nici un aparat și folosind numai viziera
șepcii sau borul pălăriei.
elevul situat în punctul B vizează punctul A de pe malul opus prin marginea vizierei șepcii sau a borului de la pălărie. Elevul face stânga împrejur și vizează tot prin marginea vizierei un alt punct pe teren, măsurând apoi distanța BA' care reprezintă lățimea BA a râului. Este vorba despre congruența a două triunghiuri dreptunghice care au o catetă comună (înălțimea elevului până la viziera șepcii) și câte un unghi ascuțit alăturat egal.
Rezultatul măsurării este aproximativ, depinzând de poziția elevului înainte și după întoarcere.
III.1.6 Aplicații la asemănarea triunghiurilor dreptunghice
1. Determinarea înălțimii unui copac folosind legile reflexiei printr-o oglindă plană.
Fig. 0.30
Considerând înălțimea copacului AB, se așează într-un punct O o oglindă plană, iar observatorul se plasează pe direcția AO astfel încât zărește cu ochii (punctul C) în oglindă vârful copacului. Știind că unghiurile BOM și MOC au aceeași măsură (unghiul de incidență este egal cu unghiul de reflexie) rezultă că de unde se poate scrie egalitatea
,
unde:
AO reprezintă distanța de la copac la oglindă;
OD reprezintă distanța de la oglindă la observator;
CD reprezintă înălțimea (până la nivelul ochilor) observatorului
de unde rezultă AB
2. Să se măsoare adâncimea unei fântâni până la nivelul apei, prin mijloace simple.
Fig. 0.31
Observatorul aflat în punctul D privește din punctul C (ochii) bordura, punctul B, zărind suprafața apei în punctul A, bordura B și ochiul C să fie în linie dreaptă.
În acest caz și se poate scrie proporția: . Lungimile CD, BD, AE sunt respectiv înălțimea observatorului (până la nivelul ochilor), distanța de la acesta la bordură și lărgimea fântânii, care pot fi măsurate direct.
Atunci înălțimea fântânii va fi BE .
3. Determinarea înălțimii unui copac despărțit de observator printr-un obstacol, folosind legile reflexiei în oglinda plană.
Fig. 0.32
Se așează oglinda în punctul O, iar observatorul se plasează pe direcția AO în punctul D, O (AD) astfel încât din C (ochi) zărește în oglindă vârful copacului. Atunci triunghiurile AOB și DOC sunt asemenea. Se deplasează oglinda în O', iar observatorul se deplasează în D'; se observă că triunghiurile AO'B și D'O'C' sunt asemenea. Scriind proporționalitatea laturilor triunghiurilor asemenea obținute, rezultă:
și
Deoarece DC=D'C' rezultă .
Atunci .
Măsurarea segmentelor [OO'], [DC], [D'O'],[DO] se face prin mijloace simple, deci se poate calcula înălțimea copacului AB după formula AB.
`4. Determinarea distanței dintre două puncte accesibile și vizibile.
Se aliniază jaloanele A' cu O și A, iar B' cu O și B, astfel încât
OA' = OA și OB' = OB.
Se măsoară distanța A'B'.
Fig. 0.33
Deoarece triunghiurile OAB și OA'B' sunt asemenea (cazul de asemănare latură – unghi – latură: unghiul O comun cuprins între laturi proporționale), obținem :
rezultă că distanța dintre cele două puncte este AB = 10 · A'B'.
Determinarea înălțimii unui corp cu bază accesibilă prin folosirea echerului isoscel.
Fig. 0.34
Un elev se deplasează pe teren până când privind de-a lungul ipotenuzei unui echer isoscel vede vârful corpului a cărui înălțime trebuie determinată. Una dintre catetele echerului este verticală.
Fie C punctul în care se oprește elevul. Se măsoară distanța AC și se adună la aceasta înălțimea elevului care vizează corpul.
Determinarea înălțimilor cu bază accesibilă prin folosirea umbrei formate pe pământ de corpul a cărei înălțime trebuie determinată.
Fig. 0.35
Fie AB = înălțimea care trebuie determinată și AC umbra acestei înălțimi la o anumită oră din zi.
Se măsoară lungimea umbrei: distanța AC = .
Pentru un jalon de înălțime cunoscută b, se măsoară umbra DF făcută de jalon, fie ea DF = .
Înălțimea AB și jalonul DE fiind perpendiculare pe teren sunt paralele, deci se poate scrie proporția de unde rezultă
Acesta este procedeul folosit de Pitagora pentru a determina înălțimea piramidelor din Egipt.
III.1.7 Aplicații la funcții trigonometrice
1. Probleme de fizică optică. Se poate determina indicele de refracție relativ al mediului prin care trece raza refractată în raport cu mediul din care vine raza incidentă.
Formula acestuia este: n21 = =
unde: – n21 este indicele de refracție relativ;
n2 este indicele de refracție a mediului prin care trece raza refractată;
n1 este indicele de refracție a mediului prin care trece raza incidentă.
Fig. 0.36
SI reprezintă raza incidentă
RI reprezintă raza refractată
Unghiul i este unghiul de incidență, iar unghiul r este unghiul de refracție
Unghiul limită reprezintă valoarea unghiului de incidență pentru care unghiul de refracție devine 90°.
Determinarea distanței dintre două puncte accesibile și vizibile.
Fig. 0.37
Din punctele A și B se trasează direcțiile Ax și By care să determine unghiul de 60° și 30° cu direcția AB. Direcțiile Ax și By se intersectează în punctul O. Se măsoară distanțele AO = a și BO = b.
Aplicând teorema lui Pitagora se va obține distanța dintre punctele A și B:
AB =
De asemenea o altă modalitate este de a determina distanța OA după care se poate aplica sin30° sau cos60° astfel:
sin30° = , adică de unde rezultă AB = 2AO
cos60° = , adică de unde rezultă AB = 2AO.
Sau de a determina distanța BO după care se poate aplica sin60° sau cos30° astfel:
sin60° = , adică de unde rezultă AB =
cos30° = , adică de unde rezultă AB =
Observație: Dacă terenul permite, se pot folosi unghiuri de 45°. Atunci AO = BO = a și distanța între punctele A și B va fi AB = a
Determinarea înălțimii unui turn inaccesibil, situat pe un deal.
Fig. 0.38
Fie turnul marcat prin segmentul . Se alege un punct accesibil și se lucrează în planul determinat de punctele A, B, C. Se ia un alt punct accesibil DBC și se notează cu E punctul de intersecție al verticalei prin A cu orizontala prin D. Prin măsurători se obțin
CD = a, .
În triunghiul ACD se poate scrie relația deci
Din triunghiul ABC se obține deci
Așadar .
4. Determinarea dimensiunilor corpurilor cerești. Fie Pământul P și un astru A, aflat la distanța d, cunoscută. Se notează cu R raza astrului. De pe Pământ se poate măsura unghiul 2 sub care se vede diametrul astrului. Din triunghiul CAB se poate scrie relația
Fig. 0.39
5. Un corp de iluminat având masa de 2 kg este atârnat prin intermediul unui cablu ca în figura următoare. Știind că , iar , să se determine forțele care acționează pe fiecare dintre cele două porțiuni ale cablului. Se poate folosi un cablu care suportă o greutate maximă de 9N?
Fig. 0.40
Fie FA forța care acționează pe porțiunea AC a cablului, iar FB forța care acționează asupra porțiunii BC a cablului.
FA = G sin
FA = m·g· sin 60° = 2kg·10 · = 10 N
FB = G sin
FB = m·g· sin 30° = 2kg·10 · = 10 N
Deci FA = 10 N , iar FB = 10 N.
Deoarece atât FA cât și FB au valori mai mari decât 9N rezultă că nu se poate folosi un cablu care suportă o greutate maximă de 9 N
III.1.8 Aplicații la teorema cosinusului
1. Determinarea distanței dintre două puncte accesibile, între care există un obstacol.
Fig. 0.41
Este necesar să se determine distanța dintre punctele A și B.
Pentru a calcula distanța de la A la B, se alege un punct C din care se văd punctele A și B. Cu ajutorul unor instrumente de măsurare pentru lungime, se obțin distanțele
AC = b și BC = a. Se determină apoi tot prin măsurare măsura unghiului ACB. Distanța de la punctul A la punctul B se determină cu ajutorul teoremei cosinusului aplicată în triunghiul ABC, adică: AB2 = a2 + b2 – 2∙a∙b∙cos.
2. Distanța dintre două puncte inaccesibile.
Fig. 0.42
Pentru a calcula distanța dintre punctele A și B, se aleg două puncte C și D din care se văd punctele A și B astfel încât să se poată determina distanța CD.
Prin măsurători directe se pot determina CD = , , , , .
Din triunghiurile BCD respectiv ACD se obțin: ,
Distanța dintre punctele inaccesibile A și B se obține din triunghiul ABC, cunoscându-i două laturi și unghiul cuprins între ele
AB2 = AC2 + BC2 – 2·AC·BC·cos.
3. Având date două forțe și ale căror direcții formează unghiul , modulul rezultantei se poate determina aplicând teorema lui Pitagora generalizată.
Fig. 0.43
R2=F12+F222·F1·F2·cos
Aplicație numerică:
Asupra unui corp acționează forțele și , având modulele F1 = 4N și F2 = 7N, ale căror direcții formează un unghi de 60°. Să se determine modulul forței rezultante care acționează asupra corpului.
Se pornește de la formula R2 = F12 + F22 2·F1·F2·cos, de unde rezultă
R2 = (4N)2 + (7N)2 – 2·4N·7N·cos 60°, de unde rezultă
R2 = 37N2 , atunci modulul rezultantei va fi R = = 6,08 N, rezultat cu aproximare de două zecimale.
III.1.9 Aplicații la congruența triunghiurilor oarecare
Determinarea distanței dintre două puncte accesibile și vizibile.
Fig. 0.44
Fie A și B punctele între care trebuie determinată distanța, fără a putea măsura direct.
Se alege un punct oarecare O, unde se așează vertical un jalon. Se aliniază cu O și A jalonul C, iar cu O și B jalonul D.
Se măsoară distanța OA = d1 și OB = d2. Pe direcția AOC se fixează jalonul A' , iar pe direcția BOD jalonul B' astfel încât O A' = OA = d1 și OB' = OB = d2.
Se măsoară distanța A'B'. Distanța A'B' reprezintă distanța AB = d.
Motivare: Triunghiurile AOB și A'OB' sunt congruente conform criteriului L.U.L.
III.1.10 Aplicații la teorema fundamentală a asemănării
Efectuarea operațiilor de înmulțire și împărțire:
Înmulțirea numerelor m și n
Fig. 0.45
Se construiește un triunghi dreptunghic AMN care are catetele AM=1 și MN=n.
Se prelungește latura AM astfel încât se obține segmentul AB de lungime m. Se prelungește apoi latura AN astfel încât să rezulte segmentul AC, iar segmentul BC care va rezulta să fie paralel cu latura MN a triunghiului AMN.
Deoarece MN║BC, conform teoremei fundamentale a asemănării rezultă
și se va putea scrie egalitatea de rapoarte
Prin înlocuire cu valorile segmentelor, se obține raportul , de unde rezultă BC = m · n.
Deci rezultatul înmulțirii numerelor m și n este chiar lungimea segmentului BC.
Împărțirea numerelor m și n
Fig. 0.46
Se construiește un triunghi dreptunghic ABC care are catetele AB = n și BC = m.
Fie MN paralela dusă la latura BC, astfel încât AM = 1.
Deoarece MN║BC, conform teoremei fundamentale a asemănării rezultă
și se va putea scrie egalitatea de rapoarte
Prin înlocuire cu valorile segmentelor, se obține raportul , de unde rezultă
MN=.
Deci rezultatul împărțirii numerelor m și n este chiar lungimea segmentului MN.
III.1.11 Aplicații la asemănarea triunghiurilor oarecare
Determinarea distanței dintre două puncte accesibile și vizibile despărțite printr-un obstacol.
Fig. 0.47
Se aliniază jalonul A' cu O și A, iar B' cu O și B, astfel încât și .
Se măsoară distanța A'B'. Distanța AB = 10·A'B'.
Motivare: triunghiurile OAB și sunt asemenea, deoarece unghiul O este unghi comun cuprins între laturi proporționale.
III.1.12 Aplicații la linia mijlocie în triunghi
Determinarea distanțelor între două puncte accesibile dar despărțite între ele printr-un obstacol care împiedică vizarea dintr-un punct în celălalt punct.
Se alege pe teren un punct O și se trasează direcțiile OA și OB.
Se consideră jaloanele N și M astfel încât OM = MA și ON = NB.
Se trasează direcția MNM'.
Se trasează direcțiile Ox și Oy și se determină intersecția dreptei MM' cu aceste direcții. Fie P și Q aceste intersecții.
Se măsoară OP și OQ, apoi se determină punctele C și D astfel încât OP = PC și OQ = QD.
Dreapta CD este prelungirea dreptei AB. Măsurând distanța NP, elevii pot determina lungimea obstacolului.
Fig. 0.48
Determinarea distanței dintre două puncte accesibile și vizibile.
Fig. 0.49
Cazul 1. Se aliniază jalonul M cu jalonul O și A, iar jalonul N cu O și B astfel încât
MA = MO și NB = NO și se măsoară distanța MN = m. Distanța căutată AB este egală cu 2·m.
Cazul 2. Se aliniază jalonul E cu O și A și jalonul D cu O și B, astfel încât OE = și OD = . Se măsoară apoi distanța DE = n, rezultă că d(A,B) = AB = 2·n.
Motivare: În cazul 1, MN este linie mijlocie în triunghiul OAB și atunci distanța AB este egală cu dublul lui MN.
În cazul 2 triunghiurile OMN și ODE sunt congruente și deci MN = DE. Dar MN este linie mijlocie în triunghiul AOB, deci AB = 2·n.
III.1.13 Aplicații la relații metrice în cerc
1.Să se determine distanța dintre punctele T și M accesibile, dar despărțite de un obstacol.
Fig.
Rezolvare: Se fixează un punct O astfel încât (deoarece se știe că raza unui cerc este perpendiculară pe tangenta la cerc în punctul de tangență) și astfel OT=r,distanță care se poate măsura. Se măsoară și distanța OM. Folosind formila (*) , prin calcul se determină distanța TM, adică TM2=.
2. Să se determine distanța dintre punctele A și B accesibile dar despărțite de un obstacol..
Fig.
Rezolvare: Se fixează direcția d prin A astfel încât să se poată duce o perpendiculară BD, pe direcția d, și să se poată măsura distanța AD .Se fixează un punct O astfel încât OA=OB, deci punctul O va fi centrul unui cerc de centru O și rază OA.
Atunci conform relației (*) se poate scrie:
AB2=ADAC=2OAAD
3. Să se determine distanța dintre punctele B și D accesibile dar despărțite de un obstacol..
Fig.
Rezolvare: Se fixează cu ajutorul unei frânghii o direcție d perpendiculară pe direcția BD. Pe direcția d, se vor fixa cu jaloane: punctele O, A și C astfel încât OA=OB=OC, distanțe care se măsoară. Apoi se măsoară distanța AD și conform relației (**) se poate determina distanța BD prin calcul, adică:
, unde DC se poate determina prin măsurare directă sau din relația DC=AC-AD.
III.1.14 Aplicații folosind limbajul de programare Pascal
Program Teorema_înălțimii;
Uses crt;
Var mbac,mbd,mdc:integer;
ad:real;
Begin
Clrscr;
Write('Măsura unghiului BAC: ');
Read(mbac);
Writeln;
If mbac=90
then
begin
Writeln('Din BD/AD=AD/DC rezultă AD*AD=BD*DC');
Writeln;
Write('Mărimea laturii BD: ');
Readln(mbd);
Writeln;
Write('Mărimea laturii DC: ');
Readln(mdc);
Writeln;
AD:=sqrt(mbd*mdc);
Writeln('Mărimea înălțimii AD este: ',ad:10:2);
Readln;
end
else
Writeln('Triunghiul nu este dreptunghic');
Readln;
Readln;
End.
Program Teorema_catetei;
Uses crt;
Var mbac,mbd,mbc,mdc:integer;
mab,mac:real;
Begin
Clrscr;
Write('Măsura unghiului BAC: ');
Read(mbac);
Writeln;
If mbac=90
then
begin
repeat
Clrscr;
Writeln('Din AB/BC=BD/AB rezulta AB*AB=BD*BC');
Writeln;
Write('Mărimea laturii BC: ');
Readln(mbc);
Write('Mărimea laturii BD: ');
Readln(mbd);
If mbc<mbd
then
begin
Writeln;
Writeln('Latura BD este mai mare decât latura BC. Reintroduceți.');
Readln;
end;
until mbc>mbd;
mab:=sqrt(mbd*mbc);
Writeln('Mărimea laturii AB este: ',mab:10:2);
Readln;
Writeln;
Writeln;
Writeln('Din DC/AC=AC/BC rezultă AC*AC=DC*BC');
Writeln;
mdc:=mbc-mbd;
Writeln('Mărimea laturii DC: ',mdc);
Writeln('Mărimea laturii BC: ',mbc);
mac:=sqrt(mdc*mbc);
Writeln('Mărimea laturii AC este: ',mac:10:2);
Readln;
end
else
begin
Writeln('Triunghiul nu este dreptunghic');
Readln;
end;
Readln;
End.
Program Teorema_Pitagora;
Uses crt;
Var a,b,c: real;
q:char;
Begin
Clrscr;
Write('Calculați cateta sau ipotenuza? (c/i)');
Readln(q);
If q='i'
then
begin
Write('Cateta a=');
Readln(a);
Write('Cateta b=');
Readln(b);
c:=sqrt(a*a+b*b);
Write('Ipotenuza este ',c:10:2);
Readln;
end;
If q='c'
then
begin
Write('Cateta a=');
Readln(a);
Write('Ipotenuza c=');
Readln(c);
If c>a then
begin
c:=c*c;
a:=a*a;
b:=sqrt(c-a);
Write('Cateta b este ',b:10:2);
Writeln;
end
else
Write('Cateta este mai mare decât ipotenuza');
Writeln;
Readln;
end;
End.
Program Reciproca_teoremei_Pitagora;
Uses crt;
Var a,b,c: real;
Begin
Clrscr;
Write('Cateta a=');
Readln(a);
Write('Cateta b=');
Readln(b);
Write('Ipotenuza c=');
Readln(c);
c:=c*c;
a:=a*a;
b:=b*b;
If c=b+a then
Write('Triunghiul este dreptunghic')
else
Write('Triunghiul nu este dreptunghic');
Readln;
End.
Program Teorema_Pitagora_generalizată;
Uses crt;
Var macb,mbc,mdc,mac:integer;
mab:real;
Begin
Clrscr;
Write('Măsura unghiului C este ');
Read(macb);
Writeln;
If (macb>0) and (macb<90)
then
begin
repeat
Clrscr;
Writeln('Unghiul C este ascutit');
Writeln;
Write('Mărimea laturii BC: ');
Readln(mbc);
Write('Mărimea laturii DC: ');
Readln(mdc);
If mbc<mdc
then
begin
Writeln;
Writeln('Latura DC este mai mare decât latura BC. Reintroduceți.');
Readln;
end;
until mbc>mdc;
Write('Mărimea laturii AC: ');
Readln(mac);
mab:=sqrt(mac*mac+mbc*mbc-2*mbc*mdc);
Writeln('Mărimea laturii AB este: ',mab:10:2);
Readln;
Writeln;
Writeln;
end;
If (macb>90) and (macb<180)
then
begin
repeat
Clrscr;
Writeln('Unghiul C este obtuz');
Writeln;
Write('Mărimea laturii BC: ');
Readln(mbc);
Write('Mărimea laturii DC: ');
Readln(mdc);
If mbc<mdc
then
begin
Writeln;
Writeln('Latura DC este mai mare decat latura BC. Reintroduceti.');
Readln;
end;
until mbc>mdc;
Write('Mărimea laturii AC: ');
Readln(mac);
mab:=sqrt(mac*mac+mbc*mbc+2*mbc*mdc);
Writeln('Mărimea laturii AB este: ',mab:10:2);
Readln;
end;
Readln;
End.
III.2 Abordare interdisciplinară a conținuturilor temei „Rezolvarea triunghiului dreptunghic”
III.2.1 Plan de activitate
III.2.1.1 Tema activității: „Rezolvarea triunghiului dreptunghic”
A rezolva un triunghi dreptunghic înseamnă a-i determina lungimile laturilor și măsurile unghiurilor. Competențele urmărite sunt:
Competențe generale:
identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite
prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice
utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unie situații concrete
analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații-problemă.
modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii
Competențe specifice:
recunoașterea și descrierea elementelor unui triunghi dreptunghic într-co configurație geometrică dată
aplicarea relațiilor metrice într-un triunghi dreptunghic pentru determinarea unor elemente ale acestora
deducerea relațiilor metrice într-un triunghi dreptunghic
interpretarea perpendicularității în relație cu rezolvarea triunghiului dreptunghic
transpunerea rezultatelor obținute prin rezolvarea unor triunghiuri dreptunghice la situații-problemă date
Obiectivele operaționale urmărite pe tot parcursul activității sunt:
cognitive:
OC1) realizarea reprezentării plane a triunghiului dreptunghic
OC2) punerea în evidență a elementelor triunghiului dreptunghic
OC3) aplicarea în probleme a relațiilor metrice în triunghiul dreptunghic
OC4) folosirea interdisciplinară a relațiilor metrice în triunghiul dreptunghic
afective:
OA1) dezvoltarea și manifestarea atenției la oră
OA2) participarea afectivă la lecție
OA3) participarea activă la lecție
OA4) dezvoltarea interesului pentru studiul matematicii
III.2.1.2 Desfășurarea activității
Activitatea se va desfășura pe parcursul unei ore de curs (50 minute)
Folosind ca metodă de predare-învățare metoda cubului se va face recapitularea și reactualizarea noțiunilor asimilate în legătură cu triunghiul dreptunghic:
Teorema catetei
Teorema înălțimii precum și alte formule folosite pentru determinarea înălțimii
Teorema lui Pitagora
Funcțiile trigonometrice
Se va explica în ce constă folosirea metodei cubului în procesul de predare-învățare
Activitatea se va desfășura conform timpilor înscriși respectiv în anexa 2.
Problemele abordate vor fi atât cu caracter practic, cât și cu caracter interdisciplinar.
După terminarea sarcinilor de lucru de pe fișele corespunzătoare fiecărei grupe de elevi, se va folosi metoda turul galeriei care va oferi ocazia elevilor să aprecieze prin note munca colegilor lor. În notare se va avea ca repere: corectitudinea rezolvării sarcinilor de lucru, scrisul lizibil, modul de organizare în pagină.
Tema pentru acasă – conform anexei 2.2
III.2.1.3 Folosirea calculatorului în predarea-învățarea conținuturilor temei „Rezolvarea triunghiului dreptunghic”
Se vor folosi programe Pascal pentru a verifica dacă soluțiile găsite sunt corecte.
III.3 Abordare practică a conținuturilor temei „ Criteriile de congruență a triunghiurilor dreptunghice”
III.3.1 Plan de activitate
III.3.1.1 Tema activității:
„ Criteriile de congruență a triunghiurilor dreptunghice” se referă la asimilarea și înțelegerea criteriilor de congruență a triunghiurilor dreptunghice. Competențele urmărite sunt:
Competențe generale:
identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite
prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice
utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unie situații concrete
exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora
analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații-problemă.
Competențe specifice:
transpunerea unei situații-problemă în limbaj geometric, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului
identificarea unor elemente de geometrie plană în diferite contexte
determinarea și aplicarea criteriilor de congruență a triunghiurilor dreptunghice
calcularea unor lungimi de segmente utilizând metode adecvate
Obiective operaționale urmărite pe tot parcursul activității:
a) obiective cognitive:
OC1) realizarea reprezentării plane a triunghiului dreptunghic
OC2) punerea în evidență a elementelor triunghiului dreptunghic
OC3) aplicarea în probleme a criteriilor de congruență a triunghiurilor dreptunghice
OC4) folosirea criteriilor de congruență a triunghiurilor dreptunghice în aplicații practice
OC5) efectuarea măsurătorilor în teren pentru aplicația practică
OC6) înscrierea măsurătorilor în tabele, efectuarea calculelor, interpretarea rezultatelor
b) obiective afective:
OA1) dezvoltarea și manifestarea atenției la oră
OA2) participarea afectivă la lecție
OA3) participarea activă la lecție
OA4) dezvoltarea interesului pentru studiul matematicii
III.3.1.2 Desfășurarea activității
Activitatea se va desfășura pe parcursul a 100 minute (două ore de curs)
Folosind metoda de predare-învățare mozaic se face predarea celor patru criterii de congruență a triunghiurilor dreptunghice
Ca urmare a asimilării conținuturilor temei abordate, se vor efectua probleme în care să se determine anumite lungimi de segmente sau măsuri de unghuri cu ajutorul criteriilor de cungruență a triunghiurilor dreptunghice
Se prezintă următoarele obiecte: ruletă, sapcă, jaloane. Prin metoda brainstorming se cere să se emită idei în legătură cu modul în care se pot folosi pentru a determina lățimea unui râu fără a trece pa malul celălalt și folosind doar obiectele prezentate.
La sfârșitul primei ore de curs se dă ca temă pentru acasă să se rezolve probleme cu ajutorul criteriilor de congruență a triunghiurilor dreptunghice și în plus să se gândeasccă la ideile care au fost emise și notate în timpul brainstorming-ului în vederea alegerii celei mei bune dintre ele sau îmbunătățirii uneia sau mai multora pentru a putea rezolva situația problematică.
În cea de-a doua oră, se face evaluarea brainstorming-ului, se ia ideea aplicabilă dacă aceasta a fost descoperită de către elevi. În caz contrar, se conduce de către profesor discuția către ideea lui de a rezolva problema.
Din ideile emise de către elevi în ora precedentă se concluziona către ce mod de rezolvare se îndreaptă elevii, astfel, pentru a economisi timp, profesorul poate pregăti un tabel în care să se înscrie măsurătorile făcute și rezultatele calculelor pe baza măsurătorilor.
Pentru claritatea modului de lucru se trece în revistă care este modul exact de lucru, se împarte clasa de elevi pe 5 grupe, se împart obiectele care se utilizează, și tabelele care trebuie completate..
După efectuarea măsurătorilor și înscrierea datelor în tabele, se revine în clasă pentru calcularea dstelor cerute în tabele și apoi determinarea erorii.
La sfârșitul orei se trag concluziile cu privire la aplicația practică făcută.
Concluzii
Matematica ocupă un loc aparte printre disciplinele care studiază științific realitatea înconjurătoare. Ea este chiar o punte de legătură între toate disciplinele.
Din punct de vedere al interdisciplinarității, fizica este una dintre disciplinele în care se pot aplica noțiunile prezentate. Teorema lui Pitagora este utilă pentru a calcula modulul rezultantei a două forțe care acționează asupra unui corp, ale căror direcții formează unghiuri drepte, iar teorema cosinusului (51P05) se poate aplica în cazul forțelor ale căror direcții care nu formează unghiuri drepte, ci formează un unghi . O altă disciplină este astronomia, unde cu ajutorul funcțiilor trigonometrice se poate determina raza unui corp cresc, atunci când se cunosc distanța dintre acesta și un alt corp ceresc în speță Pământul și unghiul sub care se vede corpul de către un observator aflat pe Pământ. Cu ajutorul unor relații sau teoreme din geometrie se pot găsi rezultate pentru anumite calcule algebrice cum ar fi: determinarea rădăcinii pătrate a unui număr sau determinarea mediei geometrice a două numere cu ajutorul teoremei înălțimii sau cu ajutorul teoremei fundamentale a asemănării se poate determina produsul și câtul a două numere.
Geometria măsurătorii s-a dezvoltat în prima etapă a științei grecești, în secolul al V-lea î.e.n.
În practică există nenumărate aplicații: este mai bine ca unghiurile formate de străzi să fie drepte astfel încât conducătorii auto să aibă vizibilitate mai bună spre a se evita accidentele, se pot calcula anumite distanțe între puncte neaccesibile.
În antichitate sfoara cu 13 noduri era folosită pentru a determina unghiuri drepte. Acest procedeu reprezenta de fapt teorema reciprocă a teoremei lui Pitagora încă nescrisă sub forma cunoscută în zilele noastre. Sfoara cu 13 noduri era de fapt împărțită în 12 segmente de lungimi egale cu care se putea forma un triunghi dreptunghic cu laturile de 3,4 respectiv 5 lungimi de segmente, adică lungimile laturilor reprezintă ceea ce în zilele noastre numim numere pitagorice.
Calculul unor distanțe sau înălțimi se poate face cu ajutorul relațiilor metrice în triunghiul oarecare și cele în triunghiul dreptunghic (51M04).
Astfel de alte aplicații se găsesc în topografie (97M10).
Spre exemplu:
determinarea distanței dintre două puncte vizibile și accesibile despărțite printr-un obstacol;
distanței dintre două puncte vizibile dar numai unul accesibil;
distanței dintre două puncte accesibile dar despărțite printr-un obstacol care împiedică vizarea dintr-un punct în celălalt punct;
determinarea unor înălțimi sau adâncimi.
În cazul determinării unor înălțimi sunt necesare câteva cunoștințe de fizică optică în cazul acesta fiind vorba de reflexia luminii.
Funcțiile trigonometrice sunt de asemenea utile în calculul distanței dintre două puncte inaccesibile.
Relațiile metrice în triunghiul dreptunghic se pot folosi la determinarea ortogonalității unor direcții. Aceste relații pot fi folosite la transpunerea în reprezentare geometrică a unor probleme practice cum ar fi verificarea dacă un stâlp este drept amplasat pe o suprafață orizontală.
Geometria are rolul de a dezvolta gândirea vie și activă a elevilor. Prin aplicarea cunoștințelor teoretice dobândite, în situații practice, acestea vor deveni instrumente de lucru care pot fi de ajutor în viața de zi cu zi, în problemele reale care se pot întâlni.
ANEXE
Anexa 1
Proiect de lecție
Obiectul: Matematică
Clasa: a VI-a
Data:
Profesor: Perca Minodora-Elis
Unitatea de învățământ:
Unitatea de învățare:
Tema lecției: Criteriile de congruență a triunghiurilor dreptunghice
Tipul lecției: mixtă
Durata: 100 min
Competențe generale:
identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite
prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice
utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unie situații concrete
exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora
analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații-problemă.
Competențe specifice:
transpunerea unei situații-problemă în limbaj geometric, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului
identificarea unor elemente de geometrie plană în diferite contexte
determinarea și aplicarea criteriilor de congruență a triunghiurilor dreptunghice
calcularea unor lungimi de segmente utilizând metode adecvate
Obiectve operaționale:
cognitive:
OC1) realizarea reprezentării plane a triunghiului dreptunghic
OC2) punerea în evidență a elementelor triunghiului dreptunghic
OC3) aplicarea în probleme a criteriilor de congruență a triunghiurilor dreptunghice
OC4) folosirea criteriilor de congruență a triunghiurilor dreptunghice în rezolvări de probleme pentru determinarea de lungimi de segmente și măsuri de unghiuri
OC5) folosirea criteriilor de congruență a triunghiurilor dreptunghice în aplicații practice
OC6) efectuarea măsurătorilor în teren pentru aplicația practică
OC7) înscrierea măsurătorilor în tabele, efectuarea calculelor, interpretarea rezultatelor
afective:
OA1) dezvoltarea și manifestarea atenției la oră
OA2) participarea afectivă la lecție
OA3) participarea activă la lecție
OA4) dezvoltarea interesului pentru studiul matematicii
Metode și procedee: conversația, explicația, brainstorming-ul, experimentul, exercițiul, algoritmizarea
Mijloace de realizare: fișe de lucru, ruletă, șepci, jaloane, calculator de buzunar
Forme de organizare: frontal, pe grupe.
Desfășurarea lecției
Partea I
Moment organizatoric (2 min)
Se asigură condițiile optime pentru desfășurarea lecției.Se verifică prezența elevilor.
Verificarea cunoștințelor (5 min)
Se verifică cantitativ și calitativ prin sondaj tema pentru acasă. Se verifică cunoștințele legate de drepte perpendiculare, drepte oblice, înălțimea în triunghi, congruența triunghiurilor oarecare.
Anunțarea temei și a obiectivelor (5 min)
Așa cum există criterii de congruență a triunghiurilor oarecare, la fel există și criterii de congruență a triunghiurilor dreptunghice.
Se scrie titlul pe tablă: „Criteriile de congruență a triunghiurilor dreptunghice”.
Se precizează obiectivele urmărite:
OC1) realizarea reprezentării plane a triunghiului dreptunghic
OC2) punerea în evidență a elementelor triunghiului dreptunghic
OC3) aplicarea în probleme a criteriilor de congruență a triunghiurilor dreptunghice
OC4) folosirea criteriilor de congruență a triunghiurilor dreptunghice în rezolvări de probleme pentru determinarea de lungimi de segmente și măsuri de unghiuri
Comunicarea și însușirea noilor cunoștințe (15 min)
Se prezintă elevilor metoda de predare-învățare mozaic. Fiind vorba despre patru criterii de congruență a triunghiurilor dreptunghice, se împarte clasa în grupe de câte 4 elevi. Fiecare elev al fiecărei grupe va avea un număr cuprins între 1 și 4. Elevii cu numărul 1 se vor regrupa și vor avea de studiat și asimilat criteriul de congruență catetă-catetă, grupei elevilor cu numărul 2 îi va fi repartizat criteriul ipotenuză-catetă, grupei elevilor cu numărul 3 îi va fi repartizat criteriul catetă-unghi, iar grupei elevilor cu numărul 4 îi va fi repartizat criteriul ipotenuză-unghi. Cele patru grupe se numesc grupe de experți. Fiecare elev al fiecărei grupe va primi o fișă de lucru pentru criteriul care a fost repartizat grupei. Sarcina elevilor din fiecare grupă de experți este să învețe bine și să colaboreze cu colegii din grupa de experți pentru a înțelege conținutul de pe fișa de experți.
După 5 minute de studiere a temelor de către grupele de experți, fiecare elev se reîntoarce la grupa (de baștină) din care a făcut parte la împărțirea inițială. Elevii îndeplinindu-și sarcinile pe care le-au avut în grupa de experți, la întoarcerea în grupurile de baștină vor fi capabili să explice colegilor lor conținuturile în care au devenit „experți”.
Fixarea cunoștințelor (17 min)
Se împart fișe de lucru care conțin probleme de geometrie care se rezolvă cu ajutorul criteriilor de congruență a triunghiurilor dreptunghice.
Se vor rezolva probleme de pe fișele de lucru.
Se reia enumerarea criteriilor de congruență a triunghiurilor dreptunghice.
Tema pentru acasă (5 min)
Se inițiază o activitate de brainstorming astfel: se consideră că trebuie determinată lățimea unui râu în condițiile în care există la dispoziție o șapcă, o ruletă, jaloane și cunoștințele matematice tocmai asimilate, și nu se poate măsurarea directă a lățimii râului Care pot fi ideile care să ducă la rezolvarea situției-problemă enunțate?
Elevii își notează pe caiete ideile care se emit.
Tema pentru acasă va fi rezolvarea problemelor de pe fișa de teme și analizarea ideilor care au fost emise, în vederea găsirii soluției problemei enunțate.
Partea a II-a
Moment organizatoric (2 min)
Se asigură condițiile optime pentru desfășurarea lecției.Se verifică prezența elevilor.
Verificarea cunoștințelor (5 min)
Se verifică cantitativ și calitativ prin sondaj tema pentru acasă. Se verifică cunoștințele legate de criteriile de congruență a triunghiurilor dreptunghice.
Anunțarea temei și a obiectivelor (5 min)
Se face evaluarea activității de brainstorming din partea I.
Se anunță activitatea care se va desfășura de-a lungul orei de curs: se va efectua o lucrare practică aplicativă pentru criteriul de congruență catetă-unghi.
Obiectivele urmărite sunt :
OC5) folosirea criteriilor de congruență a triunghiurilor dreptunghice în aplicații practice
OC6) efectuarea măsurătorilor în teren pentru aplicația practică
OC7) înscrierea măsurătorilor în tabele, efectuarea calculelor, interpretarea rezultatelor,
însă fară a omite obiectivele urmărite în partea I a lecției.
Tema cu caracter general a lucrării este „ Determinarea distanței dintre două puncte vizibile, dar numai unul accesibil”, iar un caz particular „Determinarea lățimii unui râu fără nici un aparat și folosind numai viziera șepcii”.
Anunțarea modului de lucru (11 min)
Stând în poziție de drepți elevul situat în punctul B vizează punctul A de pe malul opus prin marginea vizierei șepcii sau a borului de la pălărie. Elevul face stânga împrejur și vizează tot prin marginea vizierei un alt punct pe teren, măsurând apoi distanța BC care reprezintă lățimea BA a râului
. Este vorba despre congruența a două triunghiuri dreptunghice care au o catetă comună (înălțimea elevului până la viziera șepcii) și câte un unghi ascuțit alăturat egal.
În curtea școlii, se fixează imaginar locul de trecere a unui rîu, deoarece, după efectuarea calculelor, să se poată face măsurătoarea exactă pentru a putea determina erorii care apare, în vederea determinării preciziei de calcul cu metoda folosită.
Fiecare grupă de elevi va efectua o măsurătoare
După efectuarea măsurătorilor și înscrierea datelor în tabele, se revine în clasă pentru calcularea dstelor cerute în tabele și apoi determinarea erorii.
La sfârșitul orei se trag concluziile cu privire la aplicația practică făcută.
Tema pentru acasă va fi de a efectua a aplicație practică individuală, cu trei măsurători, efectuată după modelul din cadrul orei și o problemă matematică.
Anexa 1.1
Fișe expert
Fișa expert criteriul catetă-catetă
Criteriul catetă-catetă (C-C): dacă două triunghiuri dreptunghice au catetele respectiv congruente, atunci triunghiurile sunt congruente
Fișa expert criteriul catetă-ipotenuză
Criteriul ipotenuză – catetă (I-C): dacă două triunghiuri dreptunghice ipotenuza și o catetă respectiv congruente, atunci triunghiurile sunt congruente
Fișa expert criteriul catetă-unghi
Criteriul catetă-unghi (C-U): dacă două triunghiuri dreptunghice au o catetă și un unghi ascuțit la fel poziționat față de catetă respectiv congruente, atunci triunghiurile sunt congruente.
Fișa expert criteriul ioptenuză-unghi
Criteriul ipotenuză-unghi (I-U): dacă două triunghiuri dreptunghice au ipotenuza și un unghi ascuțit respectiv congruente, atunci ele sunt congruente
Anexa 1.2
Fișe de lucru
Anexa 1.3
Fișa tema pentru acasă
Anexa 1.4
Tabel aplicație practică
Unde reprezintă distanța măsurată,
reprezintă media aritmetică a distanțelor măsurate
reprezintă distanta efectivă (cea din realitate cu care se face comparația)
reprezintă eroarea fiecărei măsurători față de distanța efectivă
reprezintă media aritmetică a erorilor obținute
Anexa 2
Proiect de lecție
Obiectul: Matematică
Clasa: a VII-a
Data:
Profesor: Perca Minodora-Elis
Unitatea de învățământ:
Unitatea de învățare: Relații metrice în triunghiul dreptunghic
Tema lecției: Rezolvarea triunghiului dreptunghic
Tipul lecției: fixare și sistematizare
Durata: 50 min
Competențe generale:
identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite
prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice
utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unie situații concrete
analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații-problemă.
modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii
Competențe specifice:
recunoașterea și descrierea elementelor unui triunghi dreptunghic într-co configurație geometrică dată
aplicarea relațiilor metrice într-un triunghi dreptunghic pentru determinarea unor elemente ale acestora
deducerea relațiilor metrice într-un triunghi dreptunghic
interpretarea perpendicularității în relație cu rezolvarea triunghiului dreptunghic
transpunerea rezultatelor obținute prin rezolvarea unor triunghiuri dreptunghice la situații-problemă date
Obiectve operaționale:
cognitive:
OC1) realizarea reprezentării plane a triunghiului dreptunghic
OC2) punerea în evidență a elementelor triunghiului dreptunghic
OC3) aplicarea în probleme a relațiilor metrice în triunghiul dreptunghic
OC4) folosirea interdisciplinară a relațiilor metrice în triunghiul dreptunghic
afective:
OA1) dezvoltarea și manifestarea atenției la oră
OA2) participarea afectivă la lecție
OA3) participarea activă la lecție
OA4) dezvoltarea interesului pentru studiul matematicii
Metode și procedee: conversația, explicația, metoda cubului, turul galeriei, exercițiul,
Mijloace de realizare: coli A2, markere, lipici.
Forme de organizare: frontal, pe grupe.
Desfășurarea lecției
Moment organizatoric (2 min)
Se asigură condițiile optime pentru desfășurarea lecției.Se verifică prezența elevilor.
Verificarea temei pentru acasă (2 min)
Se verifică cantitativ și calitativ prin sondaj tema pentru acasă.
Anunțarea temei și a obiectivelor (3 min)
Teoremele referitoare la triunghiul dreptunghic, precum și noțiunile de trigonometrie sunt utile în a determina lungimile laturilor și măsurile unghiurilor triunghiurilor dreptunghice și nu numai.
Se scrie titlul pe tablă: „Rezolvarea triunghiului dreptunghic” și se explcă la ce se referă.
A rezlova un triunghi dreptunghic înseamnă a-i determina lungimile laturilor și măsurile unghiurilor.
Se precizează obiectivele urmărite:
OC1) realizarea reprezentării plane a triunghiului dreptunghic
OC2) punerea în evidență a elementelor triunghiului dreptunghic
OC3) aplicarea în probleme a relațiilor metrice în triunghiul dreptunghic
OC4) folosirea interdisciplinară a relațiilor metrice în triunghiul dreptunghic
Recapitularea conținuturilor și efectuarea de aplicații (40 min)
Se explică elevilor că se va folosi metoda cubului – o metodă modernă de învățare prin cooperare/pe grupe. Se prezintă elevilor un cub pe ale cărui fețe sun scrise cuvintele-sarcină: descrie, compară, asociază, analizează, aplică, argumentează. Deoarece cubul are șase fețe, clasa de elevi va fi împărțită în șase grupe de elevi. Fiecare grupă de elevi va avea un reprezentant care va extrage un bilet pe care va fi înscrisă sarcina care trebuie îndeplinită de grupă.
Fiecărei grupe de elevi îi vor fi date: o coală A2, un marker și fișa cu sarcina corespunzătoare feței cubului repartizate.Timpul de rezolvare a sarcinilor de pe fișele primite va fi de 20 minute.
De-a lungul celor 20 minute, profesorul supraveghează activitatea elevilor urmărind implicarea tuturor elevilor la rezolvarea sarcinilor de lucru, dând indicații unde este nevoie.
După trecerea celor 20 minute, se va utiliza metoda „turul galeriei”, fiecare grupă va lipi pe un spațiu pe perete ceea ce a lucrat în legătură cu sarcinile primite și va explica modul de a rezolva sarcinile de lucru.
Ordinea în care se vor așeza colile va fi: descrie, compară, asociază, analizează, aplică, argumentează.
Fiecare grupă va trece prin „galerie”, studiind „exponatele”, aducând completări unde este necesar, și dând o notă colegilor care au realizat lucrarea.
Deasemenea se fac aprecieri cu privire la metodele didactice folosite (15 min.).
Apercierea activității elevilor (5 min.)
Se fac aprecieri la modul de implicare a elevilor pe parcursul lecției.
Tema pentru acasă (3 min.)
Problemă din culegere de exerciții și probleme, dându-se indicații dacă este cazul.
ANEXA 2.1
FIȘE DE LUCRU
FIȘA DE LUCRU NR.1
SARCINA: DESCRIE
1. Reprezentați prin desen tipurile de triunghi dreptunghic cunoscute.
2. Identificați elementele și proprietățile triunghiurilor de la exercițiul 1.
3. Construiți înălțimea dusă din vârful unghiului drept corespunzătoare fiecărui triunghi de la exercițiul 1.
4. Numiți noțiunile/teoremele care ajută la rezolvarea triunghiului dreptunghic.
FIȘA DE LUCRU NR.2
SARCINA: COMPARĂ
1. Stabiliți asemănările și deosebirile cu privire la noțiunile studiate despre relațiile metrice în triunghiul dreptunghic.
2. Când e mai ușoară rezolvarea unui triunghi dreptunghic. Când se dau două lungimi de segmente sau când se dă lungimea unui segment și măsura unui unghi?
FIȘA DE LUCRU NR.3
SARCINA: ASOCIAZĂ
1. Asociați fiecărei noțiuni (teoreme) studiate formula de calcul.
FIȘA DE LUCRU NR.4
SARCINA: ANALIZEAZĂ
1. Care sunt noțiunile care se pot folsi pentru a rezolva problemele?
a)
b)
FIȘA DE LUCRU NR.5
SARCINA: APLICĂ
1. Fie triunghiul ABC dreptunghic în A. Știind că AB=2cm și , să se determine perimetrul triunghiului ABC.
2. Fie triunghiul ABC dreptunghic în A. Știind că BC=2cm și , iar , , să se determine lungimea segmentului AD.
3. Se consideră planeta Pămînt de centru P, și astrul de centru A din figura de mai jos. Având datele înscrise pe figură, să se determine raza R a astrului. (d este distanța dintre suprafața Pământului și a astrului)
FIȘA DE LUCRU NR.6
SARCINA: ARGUMENTEAZĂ
1. Fie un triunghi care are lungimile laturilor de 6cm, 8cm, respectiv 10cm. Este acesta un triunghi dreptunghic? Justificați răspunsul.
2. Explicați și argumentați de ce media geometrică a numerelor m și n este egală cu AD.
3.. Explicați și argumentați de ce rădăcina pătrată a numărului n este egală cu AD.
ANEXA 3
PRINT SCREEN CORESPUNZĂTOARE PROGRAMELOR PASCAL
BIBLIOGRAFIE
Ardelean L.,Secelean N., Didactica matematicii. Managementul, proiectarea și evaluarea activităților didactice, Editura Universității „Lucian Blaga”, Sibiu, 2007.
Ardelean L.,Secelean N., Didactica matematicii. Noțiuni generale; comunicarea didactică specifică matematicii, Editura Universității „Lucian Blaga”, Sibiu, 2007.
Bogdanov Z., Călugărița G., Opreanu E., Sandu M., Metodica predării geometriei în școala general de opt ani, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1965.
Brânzei D., Brânzei R., Metodica predării matematicii, Ediția a IV-a , revăzută și adăugită, Editura Pralela 45, Pitești, 2007.
Cârjan F., Didactica matematicii, Editura Corint,București 2008.
Coța A., Rado M., Răduțiu M., Vornicescu F., Matematică – geometrie și trigonometrie, manual pentru clasa a IX-a, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1994.
Crețu D., Nicu A., Pedagogie și elemente de psihologie pentru formarea continuă a cadrelor didactice, Editura Universității „Lucian Blaga”, Sibiu, 2004.
Crețu D., Nicu A., Mara D.,Pedagogie.Formarea inițială a profesorilor, Editura Universității „Lucian Blaga”, Sibiu, 2005.
Cucoș C. (coordonator), Psihopedagogie pentru examenele de definitivare și grade didactice, Ediția a II-a revăzută și adăugită, Editura Polirom, Iași, 2008.
Curriculum Național. Programe școlare pentru clasele a V-a – a VIII-a, Matematică, MECI, București, 2009.
Dăncilă I., Matematică distractivă (clasele VII-VIII și liceu, disciplină opțională), Editura Sigma, reeditare, 2004.
Epure I., Pohoață P., Mardare A., Relații, formule și tabele de matematică, fizică și chimie pentru uz școlar ( clasele V-XII), Editura Sylvi, București, 1995.
Görke Lilly, Ilgner Kurt, Lorenz Gűnter, Pietzsch Gűnter, Rehm Manfred, În jurul matematicii, Editura Ion Creangă, București, 1974.
Milcu Ș., Staicovici V., Interdisciplinaritatea în știința contemporană, Editura Politică, București, 1980.
Popescu O., Radu V., Metodica predării geometriei în gimnaziu, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983.
Postelnicu C., Fundamente ale didacticii școlare, Editura Aramis, București, 2002.
Turcitu D., Pop V., Panaghianu M., Vlad A., Fizică culegere de probleme, clasa a VII-a, Editura Radical, Craiova, 2004.
www.didactic.ro
www.mts-sm.wikispaces.com
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Abordarea Interdisciplinară ȘI Practică A Conținuturilor DE Relații Metrice ÎN Triunghi ȘI Cerc (ID: 108552)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.