Georgi Georgy16@yahoo.com 906 Licenta Text

6 UNIVERSITATEA „AUREL VLAICU” DIN ARAD FACULTATEA DE ȘTIINȚE EXACTE Domeniul: MATEMATICĂ PROGRAMUL DE STUDIU: MATEMATICĂ INFORMATICA LUCRARE DE LICENTA ÎNDRUMĂTOR ȘTIINȚIFIC. Lect.dr. Popa Lorena ABSOLVENTĂ Zairdea Teodora Georgiana Arad Sesiunea Iulie 2019 PATRULATERE INSCRIPTIBILE. PATRULATERE CIRCUMSCRIPTIBILE Zgirdea Teodora Georgiana 3 iulie 2019 Cuprins Introducere 1 PATRULATERE INSCRIPTIBILE 1-1. Condiții necesare și suficiente pentru ca un patrulater să fe inscriptibil 1.2. Proprietăți ale patrulaterului inscriptibil 13. Poligoa 131 Poligonul regulat 132. Triunghiul echilateral 133. Pătratul 1.34 Hexagon vegulat 14 Aplicații 2 TEOREME $ ÎN PATRULATER 2.1 Teore 1 biseetoarclor unui patrulater convex inseriptibil oarecare 22 Demonstrarea teoremei bisectoarelor într-un patrulater inseriptibil 23. Demonstrarea teoreuci Sangaku sau San Gaku 3 PATRULATERE CIRCUMSCRIPTIBILE 3.1. Criterii de circumseriptibilitate 32. Proprietăți ale patrulaterului cireumseriptibil 33 Aplicații Concluzii Bibliografie 2 29 2» 31 39 40 a Listă de figuri [NI 12 13 ra 1 16 17 Ls 19 110 rant 12 113 LM 145 16 Liz Lis Lis 120 121 122 1.23 124 125 126 1 128 24 23 24 [NI 12 13 La 15 16 17 1s 19 Lio Tu Lio ru ma 113 na Lis 116 Liz Lis Lig 120 121 ra 123 ra 125 126, Exemple la teorema Sangaku ‘Transformarea prin bisectoare a patrulaterulul inseriptibil neregulat într un dreptunghi. Teorema $ într-un patrulater inseriptibil Completări cu teorema § a bisectoarelor la teorema Sangaku Schița explicativă pentru demonstrarea teoremei $ a biseetoarelor mi patrulater convex inscriptibil 2 310 su ap 313 au 315, 3.16 a7 no Lu m Lis nu Lis, 116 Lit 30 30 31 a 32 32 3 33 34 34 35 36 36 39 E) Introducere Capitolul 1 PATRULATERE INSCRIPTIBILE O primi definiție a notinuii de Patrulatere inseriptibile este Definiție. Spunem că un patrulater ABCD este inseriptibil dacă existd un cere C(O, R) circumseris lui, care să contind vârfurile A„B.C.D. gura La: La Observație. Dacă A, B, C, D sunt wirfurite unui patrulater inscriptibil se spune că punctele A, B, C, D sunt coneiehee 1.1 Condiții necesare si suficiente pentru ca un pa- trulater să fie inscriptibil Demonstatie, (+) Fie ABCD patrulater inscriptii, atunci a +7 = 180° și 6 = 180° Unghiurile BAD și BCD sunt unghiuri înserise în cere => = m(BAD) + m(BCD) meinen) Figura 1.2; 12 Demonstatie. (=) Dacă a +3 = 18 și +5 = 180° , atei ABCD patrulater inseriptibil. Presupunem că punetele A,B,C.D nu sunt pe cere. Cum prin 3 punete trece intotdeauna un cere, considerdm cercul care confine punetele A, B și D și presupunem, făra să piendem din generalitate, că C se afta în exteriorul cercului. a 13: 13 Latura CB intersectează cereul în punctul E , sar latura CD intersectează cercul în punctul £. m(BAD < 10 => m(BAD) + m(BCD) = 23IEEDL 4 ARAD n-AEP, — ah) 180° = Presupunenea este fală și Afirmația este în contradicție cu ipoteza a+ > unetele A,B,C,D sunt conciclie. O altă condiție este dată de următoarea teoremă: “Teorema 1.1.2. Un patrulater este inseriptibil dacă și numai dacă un unghi interior este congruent cu unghial exterior opus, Demonstație. (=) Dacă ABCD este inscriptbil,atunci un unghi interior este congruent cu unghiul exterior opus oe m(BAD) + mBCD = 180° și m(BAD) + m(DA. c Figura 1.4: LA catea op, atunci true ul este insert. (BAD) + (DAN) = 180″ i BCD = XAD = m(BAD) +mBCD 80° = ABCD „Teorema 1.1.3. Un patrulater este insoriptibil dacă unghiul format de o diagonală cu una dintre laturi este congruent cw unghiul format de cealaltă diagonală cu latura opusă, Figura 1.5: 15 Demonstatie. a subântinde arvul CD, 8 subiintinde același are CD => a = Analog pentru y= “Teorema 1.1.4. Un poligon poate fi înseris într-un cere dacă si numai dacă mediatoarele laturitor sale sunt concurente. Demonstatie. Se folosește proprietatea urmatoare: „Teorema 1.1.5. Un punct se ajlă pe matiatoara unui segment dacă și numa dacă este egal depărtat de capetele segmentului Figura 1.6: 16 Oe dd Nd… dy 4, = mediatoarea mei laturi ) <=> oa) O-centrul cereului cireumseris “Teorema 1.1.6 (Teorema lui Ptolemer’). Un patrulater este înseriptibil dacă și numai dacă produsul diagonalelor este este egal cu swna produselor laturilor opuse. Demonstatie. => Consideră wn panet M in același semplan cu A în raport cu BC, astfel încât MBC = DAC si MBC = ACD = AMBC ~ ADAC = Hi = BE 3 MB a MD _¢D_ wc um ja M ue “ (Et Bea 7 ONCP~ABCA™ pa = Ca” BE = MB = 48£2(0) Din ABCD patrulater inseriptibil = DAC = DBC , iar din construcție stim că MBC = DAC > MBC = DBC , M € (BD) > BD = BM + MD 5 Dacă inlocuim BM și MD cu (1) și (2) > BD = = AC. BD= AD- BC+ AB-CD. (©) AC: BD = AD. BC+ ABC + AED, de unde > ABCD inseriptibil ABCD patrulater inscriptibil * Ptolemeu (85-168 d.H.}- matematician, astronom și geograf din Alexandria “Teorema 1.1.7. O condifie suficientă en un patrulater să fie inscriptii este ca laturile ui să fie bisectoarele wnghiurilor unui patrulater conver, Figura 1.9; 19 Demonstatie. Deseniim un patrulater conver ABCD și biseetoarele unghiular. No-tim cus, e u și e jumitatle măsurilor unghiurilor patrulaterul. AQ, BN, CN, DQ simt sectoarele unghiurlor, vo demonstra că PQMN este patrulater inscriptii în a AQD : m(a4QD) = 180° – (x +) În a BNC : m( BNC) = 180° ~ (y+ u) 3 m(aAQD) + m(4BNC) = 3600 — (2+ 0+ y + 4) (1). Suma mésurtor unghiurilor unui patrulater convex este de 360°, adicd 2r + 2y + 2u + 2a = 3607, deci atu tut e = 180°. fnlocuind in relaia (1), găstm că unghiurile AQD și BNC sunt suplementare. Dar 4AQD = patrulaterul MNPQ are două unghturi opuse suplementare, deci este insenptibiL 1.2 Proprietăți ale patrulaterului inscriptibil Proprietatea 1-1. Orice poligon regulat poate fi înscris în cere Proprietatea 1.2. Centrul cercului înseris în poligonul regulat coincide cu centrul cer- cui circumscris peligonulvi și va representa eentrul de simetrie al acestuia. Proprietatea 1-3. Într-un patrulater inseris ,unghiurale opuse sunt suplementare. Proprietatea 1-4. Într-un patrulater înseris,perechile de unghiuri formate de diagonale cu două laturi opuse sunt congruente. În următoarele două proprietăți vom demonstra teorema lui Newton in raport cu pa- trulaterul circumscris, o vor transforma prin dualitate si vom obține o altă teoremă care este adevărată și pentru un patrulater inscriptibil, care transformând-o prin dualitate, obține o teoremi care este adevărată pentru un octogon circumscriptibil Proprietatea 1.5. fntr-an patrulater cireumscriptibil, diagonalele si corzile determinate de punctele de contact ale laturilor opuse ale patrulaterulai cu cercul circumscris sunt patra linii concurente. Demonstatie. Construim cercurile Os, Os, Os, Os, tangente la prelungirile patrulate= nului ABCD astfel încât: ALM = AN = BP = BQ = CA = CS = DU = DWV (Fig 1.8). Din AM = A\N = CR = CS rezultă că punctele Ay și Cy au puteri egale în raport / Figura 1.10; 110 cu cercurile Oy și Os, prin urme AiCi este ara radicali a acestor ceruri. Asemiinător B,D, este aza radicală a cercurilor Oa și Oy Fie T€ AC, BuD,. Punctul 1 are puteri egale în raport cu cercurile Os, Oz, Os, Ox Deoarece BA, = BB, din BP = AN rezultă că BP = BN , în mod asemănător din DD, = DC, și DV = CAS rezultă că DV = DS, prin urmare B și D au puteri egale în raport cu cercurile Os și Oy, care arată căi BD este aza radicală a acestor cercuri. Prin urmare I € BD , in mod similar rezultă că I € AC, iar demonstratia este completa, 10 Proprietatea 1.6. Într-un patrulater înseris in care laturile opuse se intersectează, pune- tele de intersecție ale tangentelor construite la cereul esroumscris cu vârfurile opuse și punctele de intersecție ale laturilor opuse sunt coliniane Demonstatie. Vom demonstra această teoremă aplicând configuratia din teorema tai Newton, o transformare prin dualitate în raport cu cereul inscris în patrulater. Prin ‘aceasta transformare la lmiile AB, BC, CD, DA, vor corespunde,respecti, punctele A By, Cu, Dy polari lor. De asemenea, ta liniile AyB,, BAC, CDi, DAy corespund, sespectiv, punctelor B, C. D, A. Notim X € ABNCD și Y € ADO BC, aceste puncte corespund, prin dualitatea considerată, cu limile AC) respecte BD Dacă I = AC, B,D, atunci punctul 1 corespunde liniei XY, polarul sân. La linia BD corespunde punctul Z © AD, OCB, La linia AC corespunde punctul T € AyD, CB La punctul | = BD 1 AC coresmonde polarul său ZT. Am observat că la punctul | corespunde linia XY, în consecință, punctele X, Y, Z, T sunt coliniare Am obfinut că patrulaterul A, BC, Da înscris înt-am cere are proprietatea et dacă A DD CB, = (7), AD NCB, = (Th, tangenta în Ay și tangenta în Ci se intersectează în punctul X; tangenta în By și tangenta in Dy se intersectează în punctul Y, atunei X, Y, 2, T sunt coliniare (Fig1.9). 1.3. Poligoane inscrise in cere în cele ce urmează vom prezenta căteva poligoane inscrise in cere, dar si căteva proprietăți interesante ale acestora. ‘Vom folosi în continuare urmitoarele notații: A=aria P=perimetrul ap apotema (repredinta distanța de la centrul poligonului la latură a acestuia) lature n 1.3.1 Poligonul regulat Poligonul regulat este un poligon care are laturile egale și unghiurile congruente. Porn Suma măsurilor unghiurilor unui poligon regulat cu n laturi este: Sq = 180″ (n — 2) Misra tani unighi al unui poligon reglat eu n laturi este: vu, = meen A a as 75 Figura 1.12 L10 Propoziție. Dintre toate poligoanele echivalente [eu aceeași arie si cu același mumia de laturi), poligonul regulat are perimetrul minim, Demonstatie. Fie P un poligon oarecare, de arie a și perimetru | și P’ și PY două poligoane regulate cu același nanâr. de laturi ca si P, astfel încât P! este echivalent cw P (a! = a) si P” izoperimetric cu P(t” = 1). Deoarece P* este izoperimetric cu P și P” este regulat, rezultă că a” >a. Din faptul ed a” > a sia = ar, rezultă că a” > a! , deci West, Din =U sill > U deducem cdl > P, deci P’ are perimetrul minim, 1.3.2. Triunghiul echilateral “Triunghiul echilateral înseris în cere are lungimea laturii a apoteme și ariei egală cu: 13 Aia Propozitie (Zenodar). Dintre toate triunghiurile saperimetrice (care ax același perime- ty) aria mazimi o are triunghiul echilateral 12 Demonstație. Știm că dacă factori unui produs au suma constantă. atamci produsul lor este mazim dacă factori sunt egali. Avem 5 = Yoke — aia — Dp — €), aria triunghiului sia+b-+o= constant, p= ‘constant; a, b, e-variabile. $ este marim <=> S: ste marimit <=> produsul plp ~ a)(p — D\(p~ 6) (cu stoma factorilor constantă) este mazim <=> p~a=p-b=p-e<=>a=h=e Inegalitatea izoperimetrică Prezentăna un rezultat cu un enunț simplu si cu © demonstrație foarte ingenioasă Problema apare încă din antichitate. Se spune că regina Didona, fugară din Tyrul natal, ar fi ajuns cu oamenii sai pe țărm actual al Tunisici. Acolo ar fi cerut ingiduinta zeilor să construiască o cetate, viitoarea Cartazină. Aceștia i-au dat vole să loloseaseă atât pământ cât poate cuprinde cu pielea unui bon. Oamenii ei au tăiat pielea într-o fâșie subtite si foarte langă cu care au delimitat un semicere la țărmul mării. Știa, deci, că aria maxim la un perimetru dat corespunde cercului. Asta vous demonstra in coutinuare, “Teorema 1.3.1. Fie y o curbă regulată, plană, inchisă, simpli, de lungime 1. Fie A aria domeniului marginit deny. Atunci mas, (3.1) cu egalitate daci și numai dacă este cere. Demonstatie. Fie D domeniul mărginit de >. Vom folosi formula lui Green pentru calculul ariei. Pentru orice două fact f, g cu derivate parțiale continue pe D, aceasta Punem aici f= 2, 9 13 Cum 2400) = 241) si 240) = 200), am demonstrat că aria tui D se calculează dupa formula: (1.32) Acum vom încadra Ine) între două tangente d. d la distanță 2r, care nu mai intersectează a doua oapă curba; e evident că ezistă mai multe directs d pentru cave acest lucru e posibil deci depinde de directa lu d (cu cât erstă mai multe direcți d, cu atăt e mai simetrică cuzta 3). Considerăm și un cere de rază r tangent da d sid! care nu taie Ine. Alegem m reper cu originea in centrul cercului și cu ara Ox” perpendiculară pe dt Față de reperul ales, cu presupunerea ca (0) este punctul de tangență cu d, avem pentru i cere parametrizérile: AIR ad) = (oh), ©2100) RE, ds) = letale) ici cate parametrul canonic pe dar nu neapărat pe cere. Cum aria cercului ete ară formula (1-2) implcă Acu Jolosim inegalitatea tui Lagrange (Sab)? < (D060) și rezultă: avar e | ee oe [Ep + yas 1 Geyer (33) Dar “as ‘pentru că am presupus că s e parametrul canonic pe y si (2'(s),"(s)) marametrizensi un cere de rază. Deci avem: atm Jr 1 1 Cum, pe de altă parte, din inegalitatea mediilor Adar? > waar, obtinem 2V ART < rl care, prin ridicare a pătrat, conduce la inegalitatea de demonstrat Fie acum > 0 curbă închină. simplă care satisface (1.3.1) cu egabtate. Atunci aver fgalitate și în ultimele inegalitits care au condus la demonstrație. În particular, avem egalitate în inegalitatea medilor, deci A = xr? și = Dar, adică, în acest caz, r mu depinde de alegerea direcției Is d. De asemenea, inegalitatea li Lagrange devine egalitate: (ate pate) = pe or [+ Ey] Result de a ew facem o propoziție derivată în care finer seama de (1.3.9) i objinem: 2 VER EN caci De aici recut als Sr Să obserudim că om ajuns la această relație presupunând, implicit, că 2 și $2 sunt diferite de 0. Dar, dacă El Cum r nu depinde de direcția lu d, putem schimba între ele azele veperului ceea ce conduce în inversaren rolurilor Iai și 2? in ultima ecuație diferențială. Deci avem sir? = re. Atunci (2″)? + (72) = 12, tar demonstrat este completa =a Observație. În 1916, Wilhelm Blaschke (1885-1961) demonstrez următoarea toremie “Teorema 1.3.2. Pentru orice curbă plană, inchisă, de lungime L și arie A avem 417 < 12. m = LA <=> curba este un cere Propozitie. (enunțată de Christiaan Huygens(1629-1695) in 1675 și demonstrată de Gabriel Cramer(1704-1752) în 1752). Un poligon de laturi date, are aria maxima dacă este inseriptibil Demonstatie. Fie două poligoane P si P’ formate cu aceleași laturi, cu P inseris într-un cere și P’ neinscriphibil. Pe laturile poligonului P’ purtăm exterior segmente de cere, corespunzătoare laturilor poligonului P. Obtinem astfel o linie curba (7) îzo- perimetrică cu (C). Din îmegalitaten izoperimetrică avem Ao) > Aye. Însă Ave) Aur + Absa deere) > Au + An Kony deci Ap > A, Figura 1.14 L12 1.3.3 Patratul vz “a Propozitie (Zenodor). Dintre toate patrulaterele inseriptibile, icoperimetrice, aria ma- simi o are pătratul. . Considerăm patrulaterul inscriptibil de laturi a, b, c, d. Din apoteză, comst. Aria patrulaterului inseriptibil este dată de formula 5 = Vip—alip— Dip — chip — d), unde p = #4444 = const. Avem suma (p—a) + (p— D)+(p=c) + (p= d) constantă și rezultă p—a = pb = pc = pod <=> a=b= 1.3.4 Hexagonul regulat Hexagonul regulat inseris in cere are Inngimea laturii, a apotemei, respectiv a arici egală 1.4. Aplicat Exercitiul 1.1. Fie ABCD un patrulater inseriptibil. Prin punetul M = AC BD se duc două drepte, d AC sid’ 1 BD. Cereul de diametru AC intersectează d în A.C” iar cevcul de diametru BD intersectenza d în BY, D’, Să se arate et patrulaterul A BIC’D este inscriptbil. Solutie, În cercul de diametru AC, A’C’ L AC = MA! În cercul de diametru BD. B’D! L BD = MB: Mo 16 Figura 1.16: Lid MDr este indltime in triunghiul dreptunghic DD’B = MDP = MB-MD , iar MAT este înălțime in triunghial dreptunghic AA’C = MAP = MA. MC. Patrulaterul ABCD este inscriptibil 3 MA» MC = MB» MD > MA MD > punetele A’, BCD? se afiă pe evseul eu centrul in M => patrulaterul A’BIC’D! este inseriptibi În triunghiul ABC inseris într-un cere O, înălțimile AA’, BBY, CC” se intersectează in H și mai taie cercul O in AY, BY, C”. Să se arate cf 1.A4!, BB’, CC” sunt bisectoare în triunghiul otic BIC’, 2.Aanen + Anca + cam = Aanc. lr + Sir Solutie 1. Deoarece BC’HA este inscriptbil 3 4A’C’H = aA’BBY; aA’ BBY ATAC (laturi perpendiculare), iar din B’HC’A inscriptibil > AAAC = 4B’C’C. În concluzie, Mg Moca e Acne Ant 3.Dn (2) 3 447. BE + CC” AD + BBY AC = 2- Aan, deoarce Figura 147: 115 BB” = Stie și păsa = atm obtinem RS = Apafi => BAM + BEAR 4 ACES = 4. Din a ABC s-a ABC! (BC antiparatelé la BC), = BIC! = BSAC, iar din î ABH a AAC (dvepanghice ca an angh ascuțit aul, = AH, = AC Reza că 2 = UGA = sin A; analog ceilalți dai termen și rezultă EG + GH 4 AHF = sin A+ sin B+ Sin 0 = 2sin 42 (co 42 + cos 452) zi Exercitiul 1.3. Prin punctul M situat inte-um core O de vază R, se duc două coarde perpendiculare, care determnă patrulaterul insens ABCD. 1.. Să se exprime aria patrlaterulai în functic de R, de unghiul x = FB = PD. Caleulim asinz, EA = VEI asin? r, AC = 2EA acosa, FD = VIE aceste, BD = 2FD Aaseo = ACER = 2/(RE asin? PRE a2 cosa) = VTRURE =) 4 aan” Dr și pentru că z € (0,5); aria marima se obține pentru max Agno = ATEI at + al) = 2 – Is 2. Pentruz = $ patrulaterul ABCD devine trapez isoscel iar triunghiurile AMD si BMC sunt dreptunghic ioseele + via, MC EM = avost, AM = BM + AM ABE EM = VIE E – 33, AM = MD, BM = MC = AD = ani: = at VIE. BO = MC-V2= VIR=@-0, CD AD = VOM MLE = HAE EMP) = Ry? Exercitiul 1.4. Fie ABC wn triunghi dreptunghic en ipotenvsa BC și înălțimea AD dusă din vinfal A. Fie M,N proiecție lui D pe AB, respectio AC. 1.5ă se arate că BMNC este un patrulater inscriphbl 2.8i se calculeze aria patrulaterului BMNC și aria cercului de diametru AD in funcție de BC = a și de unghiul Anse = Aane — Ann = Șa?sina cos a 3.Vom determina unghiul a din egalitaten a) = ARE sin? 20 a€ (0.3) 3 40- Asin 2a, Note: = sin2a = 1 + xlamblat — 4 = 0, ecuație care are rădăcini reale distincte, deoarece A = 77% + 16 > 0. De la această O< (oma + VETI) <1 A> Pentru aceste valori ale lui A ohținem sin2a = (2+ VI7FTB), care se satisface pentru o = 2 aresin (eA + VAZE 16) + A, unde k= 0: 19 Putem ajunge la aceeași concluse ținând cont că ecuatia în t admite numai o vădăcină positiod (suma S = —7Ă < 0, iar produsul P = —4 < 0); fe ty > 0. Prin relate (0) 10) < 0 cu f(L) = 0 se impune combi ca ty € (041) >> îi am nota ca f(t) valoarea trinomadui pentru € R. Exercitiul 1.5. Într-un cere de centru O și rază se înserie un tright isoscel ABC cu AB = AC. Diametru paralel cu BC intersectează laturile triunghiului în DI și C”. Să se determine: 1, Valorile unghinlui A pentru cave Agen = Apc 2. Aria triunghiului OAB în funcfc de Psi 0, € (AO). Culeulim 0,D = BDI} 00, = 0,0 -0D = 0% și Aoouu = 100, + OB sin A se (B12) 3.Pentru A = darecos dz, 48 = Jy. Conurile obținute prin rotirea triunghiurilor ABC si ABC ca vărul coma i sit cuprinse in aceași suprafal conică, de accen 2V3, san Mec taro = 2/5, adică Me A Bxcrefti 1.6. Un cere O cate tangent în punctul A une dept date a și în B, wt cere dat OY; Drenpta AB taie cercul OF în C. Diametrul CD este perpendicular pe dreapta a. Dacă E este intersecția diametrului CD cu dreapta a, arătați că punctele A, B, D, E sunt pe un eree Solutie. Ducem tangenta comună BT. Observăm că unghiurile BAB, ABB, TBC sunt egale, ar unghiurile TBC și BCD sunt complementare, suma măsurilor lor find jumătate 20 Figura 1.21: 119 din măsura semicercului CBD. Rezultă că unghiurile BAC și ACE sunt complementare, deci unghiul ABC este drept Unghiul CBD inseris într-un semicerc este drept , deci patrulaterul A BDE, cu unghiurile opuse B și E drepte, este inscriptibil. => A, B, D, E sunt pe un cere (demonstrația rămâne neschimbată si când cercurile sunt tangente interior). Exereitiul 1.7. Înt-tm triunghi înaltimea, bisectoarra si mediana împart unghiul A în patra parti egale. Să se caleuleze unghiurile unghiul. Solufie. M’ este intersecția bisectoarri AD cu cercul circumseris triunghiului ABC. Figura 1.22: 1.20 Deoarece arcul BM este egal cu arcul M’C deducem că MAD L BC, de unde objinem DMM = HAD = DAM si AM = MM’, acest centru se află pe MM’. Deoarece AM = MM’ = M este centrul cercului circum- scris triunghiului ABC gi deci m( AB+ CD = AD! + BC, de unde AB = AD’ + BO – CD! Din ipoteză AB = AD + BC — CD 3 AD! + BC’~C’D = BC+ AD- CD # CD = (BC ~ BC) + (AD AD) + CD CD = CO + DD + CD’, relația este falsă pentru că CD < CC + DD! + OD! > CD este tangent la cereul înscris în ABE. „Teorema 3.1 ABOCD, . Fie ABCD un patrulater conver cu laturile opuse neparalele și $ = = ADN BC. Sunt echivalente propozițle: a)ABCD este cireumsriptibil CS + AT, a Figura 3.4: LA Demonstație. (a) = (5) Fie patrulaterul circumseriptibil ABCD și M.N.P.Q punctele de tangență ale cercului înseris cu laturile sale. Avem CT+AS = (NT-CN)+(AM+MS) = (QL ~ CP) + (AQ + PS) = (QT + 40)+ (PS = CP) = AT + CS Figura 3.5: L5 (0) = (a). Fie ABCD un patrulater convex care îndeplinește condiția CT + AS = CS+-AT. Presupunem că cercul tangent laturilor CD,BC,AB nu este tangent laturii AD. Brista o paralelă la AD, tangentă cercului in Q, care taie AB in A’ și CT in Cl, A! e (AB) si Ce (CT) > CC’+A’S=CS+AT’ (1). Relația din ipoteză CT + AS = CS + AT se mai serie (CT + CC) + (Ad + A’S) = CS + AT (2) Seaizind relațiile (1),(2) 3 CT + AA = AT — ATT! sau AT = CIT + AA + AC egalitate imposibilă 3. AD este tangentă la cercul considerat „Teorema 3.1.4. Un trapez isoscel este czeumseripribil dacă și numai dacă înălțimea sa este medie proporțională între lungimile bazelor. 3.2 Proprietăți ale patrulaterului circumscriptibil “Teorema 3.2.1. Fie ABCD wn patrulater cireumseris unui cere C(O.r), M,N,P.Q punctele de tangență ale cercului C(O,r) cu laturile AB, BC, CD, DA și E = MPANQ. 2 Următoarele afirmații sunt adevărate: 1) aA 2) mi 3) m(4AOB) + m(aCOD) 4) maMEN) = ¥-(m( fese * îi = IP Că loc de unde cos) cos D) După înlocuirea și gruparea convenabilé obtinem relația cerută. Proprietatea 3-1. intr-un patrulater circumseriptibil, mijloacele diagonalelor și centrul cercului înseris sunt coliniare sau confundate: Dacă cele trei punete sunt distincte, atunci centrul cerculus înscris este situat între mi}: acele diagonalelor. Demonstatie. Fie ABCD un patrulater eixcwnseripiil. Notim M, N mijloacele diago- malelor AC. BD și C(O, r) ceveulinscris in patrulater Punctele M,N sunt distincte mumai dacă patrulaterul nu este paraletogram. De altfl, un paralelogram cae este patrulatercivcumseriptbil este romb și centrul cercului inscris cowncide cu M=N (Big. 2 14). Mas exact, armtoarle aimații swt civatente a) Punctele M,N și O coincid: 4) Punctele Msi N coincid: ©) Punctele M și O coincid d) Punctele N și O eainci «) Patrulaterul ABCD este romb Demonstrim că (a) (0), (e) sunt echivalente. Avem (e) = (a) => (0). Arătăm că 36 Figura 3.14: Lo (6) > (e). (0) implică faptul că ABCD este patrulater circuraacriphtul, adică romb. Arătăm că (c) și (e) sunt echivalente (la else arată că (d) și (e) sunt echivalente).Beident, (e) = (©). Reciproc, dacă M = O = AC este axă de simetrie pentru ABCD, deci AD = AB, CD = CB. În plus, cum AO = CO, avem AD = CD, AB = CB, deci ‘ABCD este romă Vom studia cazul când ABCD na este romb (echivalent când M,N.O nu coincid). Von demonstra că M,N-O sunt coliniare, folosind metoda analitică. Deoarece punctul O este central cercului inscris, il vom considera origine a coordonate. (Fig. 2.15) Cereul C(O,r) are ecuatia x2 + șt = 1% (1) mul de și ecuațiile parametrice te lb-a)(2) Punctele de intersecție ale cercului C(O,r) cu ABCD sunt E, F. G, H, B € (AD) Pe (AB), Ge (BC), HI e (CD). Fie dreapta AE ca ară Or, deci coordonatele lui E sunt pu 0 Ținând seama de (2), vom avea: F(rcosa,rsina), Glreos sin), H(rcos,rsin) unde Ocacseyere, Dear, 72 (Am ales 0 < a < 7 pentru ca A să fie deasupra azei Ox și x <7 < 27 pentru ca D să fie sub aza Or) Obseroăm că mu putem avea a = 7 (deoarece asta ar insemna că AD | AB) si mici 3 = 3 aT (deoarece asta ar însemna că AD || BC). De asemenea, nu putem avea Ba = (asta ar însemna câ AB || BC) și nu putem aven nici — 9 = 7 (asta ar însemna că BC || CD). Dacă Jolosim dedublarea in (1), ecuațiile tangentetor la cercul C(O,r) vor fi: AD:z= AB: casa + ysina =, BC cos + yin d =r, CD: cos + ysiny =r Coordonatele punctelor de intersecție ale acestor drepte sunt: mer y= sina = sin mot naa) papa sin cosy ee Sing ay MO" Sin = a) (a și au roluri simetrice ceea ce ușurează rezolvarea calculelor) = cos — cos sin a? Pentru a demonstra că O,M,N sunt coliniare, vom arăta eit determinantul o oF zu mu 1) =0 pl ceea ce revine la a demonstra relația xy = Tipa adică (+ Spa 4 cade sac elimsndind mumitorii sinafsin(> — 8) + siny — sn flin(a — 6) ~ cos sinla — 8) + sin-y 08/3 sin 7 casa] [sina = A) + sina — sin [sin — 8) — cosasinta = A) + sin avcon fi sina cos] Dacă în relația de mai sus notăm membrul sting cu N(a, 8,7), atunci putem serie relația sub forma N(a,8,7) = NO, fa), Dup ce eJechun ealeutele, obținem: Na, 8,9) = E = sina sin sin: aa sin 178 con (sn 2292 + sin 203720 + sin 0 + sin 283) Dacă înlocuim , in expresia de mai sus, a eu și 7 cu a, expresia mu se modifică, deci Na, 8,9) = Nona) Vom demonstra că O € (MN). Din patrulaterul inseriptibil EAFO, FBGO, GCHO, IDEO (Fig. 2.15) deduce că: 0< m(aEOF) < 7,0 < m(akOG) < 7,0 < m(4GOH) < 7, 0 < m(aHOE) < 7 S0 0 și cos spune că numerele cos și 608 3 au semne contrare. 2 > 0 aceasta revine la a in următoarea proprietate voi prezenta teorema linilor concurente ale Ini Smaranda- ce in geometria triunghiului Proprietatea 3.2. Să considerdim un poligon (care are cel putin 4 laturi) circumseris unui cere, iar D mulțimea diagonalelor sale si liniilor care unese punetele de contact a două laturi neadiacente. Atunci D conține cel putin 3 linii concurente. Demonstatie. Fie n numérul de laturi. Dacă n = 4, atunci cele două diagonale și cele două Imi care mese punctele de contact a două laturi adiacente sunt concurente (conform teoremei tui Newton) Cazul > 4 este redus ta cazul precedent: considerăm orice poligon Ay… Ay (Fig2.16) cireumseris cercului și alegem două vârfuri A,,A, (6 # j) astfel încât AA MAA =P AA AAG so Figura 3-16 116 Pie By, h E (1,234) punctele de contact ale patrulateralei PA, RA, en cercul de centru 0. Datorită teoremei lui Newton, linile A,A,, BuB si ByB sunt concurente Desigur, putem merge prin constructie in sens invers: să Inăm un punct în interiorul unui cerc, apoi Să coustrulm secante care tree prin acest punct care intersectează cercul în două puncte și apoi să construim tangente la cere și Să încerăm să construim un poligon de la intersecțiile tangeutei dacă este posibil. De exemplu, un poligon regulat are o șazsă mai mare de a avea mai multe astfel de linii concurente; 3.3 Aplicații Exercitiul 3.1. Fie ABCD un patrulater circumscris cercului de centru O. Să se arate că mijloacele diagonalelor și cu O sunt eotiniare Soluție. Vom presupune că ezistă două laturi opuse care nu sunt paralele, cazul când Figura 8.17: LIT toate laturile opuse sunt paralele este evident deoarece ABCD ar fi vom, Fie M’, M” mijloacele diagonalelor AC, vespectiv BD, avem relate Swap + Sev = 3810+ 48.c0 = $Sanco (1) Son + Socv=3S8aueo (3) AB+CD=BO+AD > 40 Sion + Soc = VRAD + CD) de unde obținem egalitatea (3). Vom arăta ca locul geometric al punctelor M cu pro- pictatea că Saam + Sucp = $Sauco este o dreaptă con ce implică evident că Mi, O Ar sunt eolimare. Fie F punctul de intersecție al laturlor AB și CD (neparalele. Fie Pe FA si QE FD astfel incât FP = AB si FQ ‘D. Vom avea: Srou = Sam și Sequ = Scow – Fie M care îndeplinește condiția Sam + Sen = 4Sancp- Sau + Scou = Srru + Srou = Sura = Sere + Sura: Arule Sera și ince sunt constante, ceea ce înscannă tă și aria Itumghiabei PMQ trebuie să fe con stantă, de unde me rezultă că M se deplasează pe o dreaptă paralelă cu PQ care trece prin o. Mar a Concluzii Bibliografie DI] D. Mianea, L Curresev, M. Crm’, Geometria patrulaterului, Teora, 1998 [2] D. Branzet, E. Oxornas, S. ANITA, GHP. ISVORANU, Bazele mationamentului acometrie, Editura Academiei, București, 1983 [E] M. Dixescv, I. OLIvOrro, R. Gnuta, MATEMATICĂ pentru candidații la era menele de admitere în lece Editnta didactică și pedagogică, București, 1970 [A] E. Satananpacne, Bight Solved and Eight Open Problems in Elementary Geome- tryin arXiv.org, E. SMARANDACHE, Problemes avec et sans… problémest, pp. 49, 54-60, Somipress Fé, Morocoo, 1983 [6] Coxeren H. S. M, Gretrzen 8. L., Geometry revisited, Toronto, New York, 1957, (translation in Russian, 1978) [7] Smanannacue F, PĂTRAȘCU I., The Geometry of Homolopical Triangles, The Education Publisher, Ine. Columbus, Ohio, U-S.A, 2012 [8] C. Upnisre, C. Bucur, Probleme de matematici si observatit metodologice, Edi- tura Facla, Timișoara, 1980 [9] M. Huscurrr, A. Toaxovicit, N. MinăIuEANt, M. NEUMANN, L. STANCIU P. Sraxctv, E. VISA, Culegene de probleme de geometric sintetică si proieetivă Editura didactică și pedagogică, Bucuresti, 1971 [10] M. Prusner, Probleme de geometrie elementară, Editura didnetică si pedagogică, Bucuresti, 1979 [11] G-A ScuneiER. Culegere de probleme de geometric pentru clasele VIX, Editura Hyperion, Craiova 43