Numere complexe și aplicații în geometrie [632254]

Numere complexe și aplicații în geometrie

Numere complexe și aplicații în geometrie Teodorescu -Mihai Constantin
2

CUPRINS
Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………… 3
Capitolul I ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………… 5
Forma algebrică a numerelor complexe ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 5
Conjugatul unui număr complex ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………… 9
Modulul unui număr comp lex ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………….. 9
Forma trigonometrică a numerelor complexe ………………………….. ………………………….. ………………… 10
Forma matriceală a numerelor complexe ………………………….. ………………………….. ………………………. 11
Capitolul al II -lea ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……. 12
Interpretarea geometrică a numerelor complexe ………………………….. ………………………….. ……………. 12
Operații cu numere complexe ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………… 16
Capitolul al III -lea ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……25
Aplicații cu numere complexe ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………… 25
Capitolul al IV -lea ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……31
Concluzii ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………… 31
Bibliografie ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………… 32

Numere complexe și aplicații în geometrie Teodorescu -Mihai Constantin
3
Introducere
În matematică, numerele complexe au apăr ut ca soluții ale ecuațiilor de gradul al doilea,
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0, unde 𝛿=𝑏2−4𝑎𝑐 este număr negativ.
Mulțimea numerelor complexe, notată cu C, reprezintă mulțimea tuturor perechilor
ordonate de numere reale (a, b) , pe care au fost definite operț iile de adunare și înmulțire astfel:
(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) (a, b) ∙ (c, d) = (ac – bd, bc + ad)
Deoarece (a, 0) + (b, 0) = (a+b, 0) și (a, 0) ∙ (b, 0) = (ab, 0) , mulțimea nu merelor reale, R,
poate fi privită ca submulțime a lui B, identificând numărul real a cu (a, 0) .
Numărul complex (0, 1) are proprietate a (0, 1) ∙ (0, 1) = ( -1, 0) , adică identificat cu
numărul real -1. Niciun număr real nu are această proprietate; de aceea el a fost denumit
"numărul i " („i” de la „imaginar”).
Numerele complexe de forma (0, x) se numesc „ numere imaginare ”.
Mulțimea numerelor complexe împreună cu adunarea și înmulțirea formează un corp
comutativ.
Descoperirea interpretării geometrice a numere lor complexe este în principal legată de
numele a trei matematicieni.
Inginerul geometric Caspar Wessel (1745 – 1818) publică pentru prima oară o astfel de
interpretare în 1799 la Copenhaga; lucrarea a rămas însă necunoscută, fiid redescoperită peste
aproa pe un secol mai târziu.
Geometrul francez Jean -Robert Argand (1768 – 1822) publică în 1806 lucrarea „Essai sur
une maniére de représenter les quatités imaginaires…”, unde această interpretare este intens
folosită ducând și la una din primele demonstrații ale teoremei fundamentale ale algebrei (orice
polinom cu coeficienți complecși admite cel puțin o rădăcină complexă). Și această lucrare a
rămas o vreme fără ecou în lumea matematică.
Matematicianul german Johann Carl Friedrich Gauss conturase în teza sa din 1799
interpretarea geometrică în discuție, dar a publicat abia în 1828 o teorie completă a numerelor
complexe.

Numere complexe și aplicații în geometrie Teodorescu -Mihai Constantin
4
După redescoperirea lucrării lui J.R. Argand, în lumea matemaică mondială, reprezentarea
geometrică a numerelor complexe în planul xOy poartă numele de diagramă Argand.

Numere complexe și aplicații în geometrie Teodorescu -Mihai Constantin
5
Capitolul I

Forma algebric ă a numerelor complexe
z = a + ib , cu a = (a,0), b = (b,0) și i = (0, -1), respectiv i2 = -1.
Numărul real a se numește partea reală a numărului complex z, iar numărul real b se
numește partea imagina ră a numărului complex z.
Egalitatea a dou ă numere complexe z și z’:
a + ib = a’ + ib’  a = a’ și b = b’
Fig. 1: Reprezentare carteziană a numerelor complexe 3+2i și 2+5i

Numere complexe și aplicații în geometrie Teodorescu -Mihai Constantin
6
Fig. 2: Reprezentarea carteziană a sumei numerelor din figura 1
Adunarea numerel or complexe 𝑧1= 𝑎1+ 𝑖𝑏1 , 𝑧2= 𝑎2+ 𝑖𝑏2  𝑧1+𝑧2= (𝑎1+
𝑎2)+𝑖(𝑏1+ 𝑏2)are propriet ățile:
 asociativ ă, (𝑧1+ 𝑧2)+ 𝑧3= ((𝑎1+ 𝑖𝑏1)+ (𝑎2+ 𝑖𝑏2)) + (𝑎3+ 𝑖𝑏3)= (𝑎1+
𝑖𝑏1)+ ((𝑎2+ 𝑖𝑏2)+ (𝑎3+ 𝑖𝑏3))= 𝑧1+ (𝑧2+ 𝑧3)
Fig. 3: Asociativitatea adunării numerelor complexe

Numere complexe și aplicații în geometrie Teodorescu -Mihai Constantin
7
 comutativ ă,
𝑧1+𝑧2= 𝑎1+ 𝑖𝑏1+ 𝑎2+ 𝑖𝑏2= (𝑎1+𝑎2)+𝑖(𝑏1+ 𝑏2)
= (𝑎2+𝑎1)+𝑖(𝑏2+ 𝑏1)= 𝑎2+ 𝑖𝑏2+ 𝑎1+ 𝑖𝑏1= 𝑧2+ 𝑧1
Fig. 4: Comutativitatea adunării numerelor complexe
 admite ca element neutru pe 0=0+0 i,
𝑧+0= (𝑎+0)+𝑖(𝑏+ 0)=𝑧
 orice num ăr complex z= a + bi admite un opus –z = –a – ib.
Fig. 5: Opusul unui număr co mplex

Numere complexe și aplicații în geometrie Teodorescu -Mihai Constantin
8

Fig. 6: Rezultatul înmulțirii numerelor complexe 3+2i și 2+5i
Înmulțirea numerelor complexe 𝑧1= 𝑎1+ 𝑖𝑏1 , 𝑧2= 𝑎2+ 𝑖𝑏2  𝑧1∙𝑧2= (𝑎1𝑎2−
𝑏1𝑏2)+𝑖(𝑎1𝑏2+ 𝑎2𝑏1) are propriet ățile:
 asociat ivă,
(𝑧1∙𝑧2)∙ 𝑧3= ((𝑎1𝑎2− 𝑏1𝑏2)+𝑖(𝑎1𝑏2+ 𝑎2𝑏1))∙(𝑎3+ 𝑖𝑏3)
= 𝑎1𝑎2𝑎3− 𝑎3𝑏1𝑏2+𝑖(𝑎1𝑎3𝑏2+ 𝑎2𝑎3𝑏1)+𝑖(𝑎1𝑎2𝑏3− 𝑏1𝑏2𝑏3)
− 𝑎1𝑏2𝑏3− 𝑎2𝑏1𝑏3
= 𝑎1(𝑎2𝑎3− 𝑏2𝑏3) + 𝑖2𝑏1(𝑎2𝑏3+ 𝑎3𝑏2) + 𝑖𝑎1(𝑎2𝑏3+ 𝑎3𝑏2)
+𝑖𝑏1(𝑎2𝑎3− 𝑏2𝑏3)
= (𝑎1+𝑖𝑏1)(𝑎2𝑎3− 𝑏2𝑏3)+(𝑎1+ 𝑖𝑏1)𝑖(𝑎2𝑏3+ 𝑎3𝑏2)
= (𝑎1+ 𝑖𝑏1)((𝑎2𝑎3− 𝑏2𝑏3)+ 𝑖(𝑎2𝑏3+ 𝑎3𝑏2))= 𝑧1∙(𝑧2𝑧3)
 comutativ ă,
𝑧1∙𝑧2= (𝑎1𝑎2− 𝑏1𝑏2)+𝑖(𝑎1𝑏2+ 𝑎2𝑏1)= (𝑎2𝑎1− 𝑏2𝑏1)+𝑖(𝑏2𝑎1+ 𝑏1𝑎2)
= 𝑧2∙𝑧1
 admite ca element neutru pe 1=1+0·i,
 orice num ăr complex z = a + bi nenul admite un invers

Numere complexe și aplicații în geometrie Teodorescu -Mihai Constantin
9
z-1=(a+bi)-1= 𝑎
𝑎2+𝑏2−𝑏
𝑎2+𝑏2𝑖
 este distributiv ă față de adunare z(z’ + z”) = zz’ + zz”, z,z’,z”C.
Puteri le numărului i se calculează astfel:
mN, i4m=1, i4m+1=i, i4m+*2=-1, i4m+3=-1

Conjugatul unui număr complex
Fie 𝑧1=𝑎+𝑏𝑖  𝑪. Numărul complex 𝑧2=𝑎−𝑏𝑖  𝐂 se numește număr conjugat
numărului 𝑧1, și se notează 𝑧̅ = 𝑎+𝑏𝑖̅̅̅̅̅̅̅̅.
∀ z, z’ C, au loc următoarele proprietăți:
1. (𝑧̅)̅̅̅̅=𝑧
2. z+𝑧̅=2a
3. z-𝑧̅=2bi
4. 𝑧±𝑧′̅̅̅̅̅̅̅̅= 𝑧̅ ± 𝑧′̅
5. 𝑧𝑧′̅̅̅̅= 𝑧̅ ∙ 𝑧′̅
6. 𝑧𝑧′̅̅̅̅= a2 + b2 = (a+bi)(a -bi)
7. 𝑧
𝑧′=𝑧′𝑧̅
𝑧𝑧̅
8. 𝑧𝑛̅̅̅= (𝑧̅)𝑛
9. (𝑧′
𝑧)̅̅̅̅̅= 𝑧′̅̅̅
𝑧̅

Modulul unui număr comple x
∀ 𝑧∈𝐂,|𝑧|= √𝑧𝑧̅ 𝑠𝑎𝑢 |𝑧|= √𝑎2+𝑏2
∀ z, z’ C, au loc următoarele proprietăți:
1. |𝑧|= |𝑧̅|
2. |𝑧 + 𝑧′|≤|𝑧|+|𝑧′|
3. |𝑧|−|𝑧′|≤|𝑧 + 𝑧′|≤|𝑧|+|𝑧′|

Numere complexe și aplicații în geometrie Teodorescu -Mihai Constantin
10
4. |𝑧𝑧′|=|𝑧||𝑧′|
5. |𝑧′
𝑧|=|𝑧′|
|𝑧|
Observație! Dacă |𝑧|= |𝑧′| nu rezultă că 𝑧 și 𝑧′ sunt egale.

Forma trigonometrică a numerelor complexe
Fie z = a + bi  C. Numărul z poate fi scris în formă trigonometrică astfel:
𝑧=𝑟(cos𝛼+𝑖sin𝛼),
unde 𝑟= |𝑧|, iar unghiul 𝛼∈[0,2𝜋) este soluția ecu ațiilor trigonometrice 𝑟 cos𝛼=𝑎 și
𝑟 sin𝛼=𝑏. 𝛼 se numește argumentul lui 𝑧.
Din {𝑟 cos𝛼=𝑎
𝑟 sin𝛼=𝑏  𝛼=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑏
𝑎).
Numărul z poate fi
scris sub formă exponențială
astfel:
𝑧=𝑟𝑒𝑖𝛼,
𝑒𝑖𝛼= cos𝛼+𝑖sin𝛼
din care rezultă
formulele lui Euler:
cos𝛼= 𝑒𝑖𝛼+𝑒−𝑖𝛼
2,
sin𝑢= 𝑒𝑖𝛼−𝑒−𝑖𝛼
2
Fig. 7: Reprezentarea trigonometrică a unui număr complex __
∀ z, z’ C, au loc următoarele proprietăți:
1. 𝑧= 𝑧′ ⇔ {𝑟= 𝑟′
𝛼= 𝛼′+2𝑘𝜋,𝑘∈𝒁
2. 𝑧𝑧′= 𝑟𝑟′(cos(𝛼+𝛼′)+𝑖sin(𝛼+𝛼′))

Numere complexe și aplicații în geometrie Teodorescu -Mihai Constantin
11
3. 𝑧
𝑧′= 𝑟
𝑟′(cos(𝛼−𝛼′)+𝑖sin(𝛼−𝛼′))
4. 𝑧𝑛= 𝑟𝑛(cos(𝑛𝛼)+𝑖 sin(𝑛𝛼)) – formula lui Moivre
Dacă r=1  𝑧𝑛= cos(𝑛𝛼)+𝑖 sin(𝑛𝛼)
5. √𝑧𝑛= √𝑟𝑛(cos𝛼+2𝑘𝜋
𝑛+𝑖sin𝛼+2𝑘𝜋
𝑛),𝑘={0,1,2,…,𝑛−1}

Forma matriceală a numerelor complexe
În mulțimea matricilor 𝑀2, un număr complex poate fi scris astfel:
𝑍= (𝑎−𝑏
𝑏𝑎)=𝑎(10
01)+𝑏(0−1
10)=𝑎𝐸+𝑏𝐼,
unde 𝑎,𝑏 ∈𝑹 și 𝐼2= −𝐸.
De asemenea, |𝑍|= √𝑎2+𝑏2= √det𝑍.

Numere complexe și aplicații în geometrie Teodorescu -Mihai Constantin
12
Capitolul al II-lea
Interpretarea geometrică a numerelor complexe
Așa cum numerele reale pot fi reprezentate grafic pe o dreaptă, și numerele complexe pot
fi reprezentate în plan. Reprezentarea se face astfel:
– Pe axa absciselor (axa Ox) se reprezintă partea reală a numărului complex
– Pe axa ordonatel or (axa Oy) se reprezintă partea imaginară a numărului complex
Fig. 8: Reprezentare geometric ă a unui număr complex
De exempl u, numarul f=6+4i, poate fi reprezentat astfel:
Fig. 9: Reprezentare geometric ă a numerelor complex e f și g
Am ad ăugat la graficul respectiv și punctul g=4+6i. Se observă f ≠ g, chiar dacă |𝑓|=
|𝑔|=7,21.

Numere complexe și aplicații în geometrie Teodorescu -Mihai Constantin
13
Fiind dat un număr real pozitiv r, egalitatea |𝑧|=𝑟 nu determină numărul complex z ci
precizează doar că punctul z se găsește pe cercul de centru O și rază r așa cum se observă în figura
10.

Fig. 10: Reprezentarea a trei numere complexe de modul = r
Să mai observăm că pentru orice număr complex nen ul 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 există un număr real t
astfel încât 𝑎= |𝑧|∙cos𝑡 și 𝑏= |𝑧| sin𝑡. Într -adevăr, dacă b>0, t=∢𝑥𝑂𝑀 ; dacă b<0 numărul
real t = 2π – ∢𝑥𝑂𝑀 satisface condițiile în discuție; dacă b=0, t=0 sau t=π după cum a>0, respectiv
a<0; posibili tatea a=b=0 este exclusă din ipoteza inițială z≠0. Conform determinării făcute se
constată ca are loc 𝑡∈[0,2𝜋).

Numere complexe și aplicații în geometrie Teodorescu -Mihai Constantin
14

Fig. 11
În figura 12, consideră cercul C(O, 1) . Fie M 1 punctul în care acest cerc este tăiat de
semidreapta ce pornește din O spre M = A(z). Numărul t=arg(z) este lungimea arcului 𝑈𝑀1̂ luat
în sens trigonometric.
Observația 1. Se consideră că t este un număr real și nu un unghi. Din punct de vedere
intuitiv ne putem imagina că rotim semidreapta (Ox) în jurul lui O în sens trigonometric până
ajunge incidentă în punctul M. Dacă b>0i, adică în cursul acestei rotiri semidreapta Ox nu se
suprapune peste semidreapta Ox’, atunci putem concepe r drept măsură în radiani a unui unghi.
Dacă b<0 (situație sugerată în figura 12 de cazul când M ocupă poziția M’), rotirea trebuie
continuată și după trecerea peste semidreapta Ox’ și nu vom mai putea concepe t drept unghi.
Observația 2. În unele lucrări, argumentele numerelor complexe se aleg în intervalul
(−π,π] și pot fi interpretate ca unghiuri orien tate (în sens trigonometric cele din (0,π], în sensul
acelor de ceasornic celelalte) . Deși are un caracter geometric mai pronunțat, această alegere este
mai puțin răspândită. Practic, modalitatea alegerii argumentelor are doar semnificații minore și nu
apar inconveniente la înlocuirea unui argument u prin „pseudo -argumentul” u’ = u + 2nπ , cu n
număr întreg.

Numere complexe și aplicații în geometrie Teodorescu -Mihai Constantin
15

Fig. 12 : t=arg(z)
S-a definit deci o funcție 𝑎𝑟𝑔:ℂ−{0}→[0,2𝜋) ce asociază numărului complex z
„argumentul” său t, număr real unic caracterizat prin
𝑅𝑒(𝑧)=𝑧 ∙ cos𝑡, 𝐼𝑚(𝑧)=𝑧 ∙ sin𝑡 și 0≤𝑡 <2𝜋. (1)
Ca o consecință a celor două egalități menționăm:
tg(arg𝑧)= 𝐼𝑚 (𝑧)
𝑅𝑒 (𝑧) (2)
Observația 3. În unele lucrări, pentru cazul Re(z)≠0 , se „definește” arg z prin intermedi ul
egalității următoare, aparent dedusă din (2):
arg𝑧= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝐼𝑚 (𝑧)
𝑅𝑒 (𝑧) (2’)
Această egalitate este incorectă și trebuie înlocuită prin:
arg𝑧=𝑘𝜋+ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝐼𝑚 (𝑧)
𝑅𝑒 (𝑧) (3)
unde

Numere complexe și aplicații în geometrie Teodorescu -Mihai Constantin
16
𝑘= {0 𝑑𝑎𝑐ă 𝑅𝑒(𝑧)>0 ș𝑖 𝐼𝑚(𝑧)>0;
1 𝑑𝑎𝑐ă 𝑅𝑒(𝑧)<0;
2 𝑑𝑎𝑐ă 𝑅𝑒(𝑧)>0 ș𝑖 𝐼𝑚(𝑧)<0 (4)
Fie numerele complexe arbitrare z1 și z2 și imaginile lor în diagrama Argand M1 = A(z1),
M2 = A(z2). Se pun în evidență și semidreptele (𝑂𝑀1, (𝑂𝑀2 (de origine O conținând M1, respectiv
M2). Se remarcă acum
arg𝑧1=arg𝑧2 ⟺ (𝑂𝑀1=𝑂𝑀2) (5)
Ajungem la concluzia că orice număr complex nenul z se poate exprima în mod unic sub
forma
𝑧=𝑟(cos𝑡+𝑖sin𝑡) (6)
încât r>0 și 𝑡∈[0,2𝜋) luând în acest scop r=|𝑧| și t = arg z ; unicitatea reziltă din considerații
geometrice simple. Pentru (6) se va folosi denumirea „scrierea numărului complex sub formă
trigonometrică ”.
Operații cu numere complexe
Fie numerele complexe 𝑧1= 𝑎1+ 𝑏1𝑖,𝑧2= 𝑎2+ 𝑏2𝑖 și punctele M1 = A(z1), M 2 =
A(z2). Presupunem că pentru început punctele O, M1 și M2 nu sunt coliniare. Ne propunem să
caracterizăm geometric punctul M3 = A(z1 + z2). Se consideră și z3 = z 1 + z 2 = a 3 + b 3i; evident
a3 = a 1 + a 2, b3 = b 1 + b 2. Repre zentăm aceste numere complexe pe diagrama Argand din figura
13 în care apare punctul N astfel încât (M1N)||(Ox), (M3N)||(Oy).
Catetele triunghiului M1NM 3 vor avea lungimi
𝑀1𝑁= 𝑋1𝑋3= |𝑂𝑋3−𝑂𝑋1|= |𝑎3− 𝑎1|= |𝑎2|=𝑂𝑋2,
respectiv
𝑀3𝑁= |𝑀3𝑋3−𝑁𝑋3|= |𝑏3− 𝑀1𝑋1| = |𝑏3− 𝑏1|= |𝑏2|=𝑂𝑋2.
Rezultă că triunghiurile dreptunghice M1NM 3 și OX 2M2 sunt egale , 𝑀1𝑀3=𝑂𝑀2 și se sitoează pe
drepte paralele, deci OM 1M3M2 paralelogram.

Numere complexe și aplicații în geometrie Teodorescu -Mihai Constantin
17

Fig. 13 : regula paralelogramului
Se va putea determina punctul M3 prin diverse construcții geometrice; se alege o modalitate
ce va conveni și în cazurile excluse până acum cînd O, M1 și M2 sunt coliniare.
Fie P mijlocul segmentului M1M2; M3 = A(z1+z2) este simetricul lui O față de P (fig. 14).

Fig. 14: Simetricul lui O față de P

Numere complexe și aplicații în geometrie Teodorescu -Mihai Constantin
18
Se constată imediat că, pentru orice număr complex z, punctul 𝑀̅ = A(𝑧̅) este simetricul punctului
M = A(z) față de dreapta Ox. Apare deci o interpretare geometrică a operație i de conjugare a
numerelor complexe ce conduce imediat și la formula
arg𝑧+arg𝑧̅=2𝜋 (7)
Se consideră în continuare două numere complexe scrise sub formă trigonometrică:
𝑧1= 𝑟1 (cos𝑡1+𝑖 sin𝑡1),𝑧2= 𝑟2 (cos𝑡2+𝑖 sin𝑡2)
Aplicând regula de înmulțire, constatăm ușor că:
𝑅𝑒 (𝑧1∙𝑧2)= 𝑟1𝑟2(cos𝑡1cos𝑡2− sin𝑡1sin𝑡2)= 𝑟1𝑟2cos(𝑡1+ 𝑡2)
𝐼𝑚 (𝑧1 ∙ 𝑧2)= 𝑟1𝑟2 (cos𝑡1sin𝑡2+ cos𝑡2sin𝑡1)= 𝑟1𝑟2sin(𝑡1+ 𝑡2)
Apare astfel egalitatea
𝑧1𝑧2= 𝑟1𝑟2[cos(𝑡1+ 𝑡2)+𝑖 sin(𝑡1+ 𝑡2)] (8)
ce conduce la următoarea regulă practică de înmulțire a numerelor complexe scrise sub for mă
trigonometrică: Se înmulțesc modulele și se adună argumentele (8’)
Observația 4: Se constată că |𝑧1𝑧2|= 𝑟1𝑟2= |𝑧1| ∙ |𝑧2|, dar formula
arg(𝑧1∙𝑧2)=arg𝑧1+arg𝑧2
trebuie înlocuită prin:
arg|𝑧1𝑧2|= {arg𝑧1+arg𝑧2,𝑑𝑎𝑐ăarg𝑧1+arg𝑧2 <2𝜋;
arg𝑧1+arg𝑧2− 2𝜋,𝑑𝑎𝑐ăarg𝑧1+arg𝑧2 ≥2𝜋. (9)
Această formulă ceva mai complicată nu alterează viabilitatea egalității (8) sau a regulii (8’); ea
devine op erantă doar cănd este necesară precizarea argumentului produsului.
Fiind date punctele M1 = A(z1) și M2 = A(z2) vom construi punctul M3 = A(z1z2) după
regula următoare: Intersectăm cercul C(O,|𝑧1|∙|𝑧2| )cu semidreapta a cu originea în O ce con ține
punctele M cu proprietatea arg A-1(M) = arg (z 1 + z 2). (8”)

Numere complexe și aplicații în geometrie Teodorescu -Mihai Constantin
19

Fig. 15

Numere complexe și aplicații în geometrie Teodorescu -Mihai Constantin
20
Observația 5 : Pentru construcții geometrice, regula de mai sus trebuie detaliată în privința
determinării efective a lui C și a, ca în figura 15. Cercurile C1 (negru), C2 (roșu) cu centre în O ce
trec prin M1, M2, taie semidreapta Ox în A și B. Cercul D1 (verde) ce trece prin A, B și C = A(i)
intersectează Oy în punctul D. Se trasează cercul C (mov) cu centrul în O ce conține D. Fie E =
(OM ∩ C1; paralela prin A la EM 1 retaie C1 în F. Fie s semidreapta (OF; M3 este punctul comun
lui s și C.
Demonstrația valabilității acestei construcții este ușoară. OA = |z 1|, OB = |z 2|. Puterea
punctului O față de cercul D ne asigură că are loc OD = OC ∙ OD = OA ∙ OB = |z1|∙|z2|. Se observ ă
apoi egalitatea arcelor (luate în sens trigonometric) 𝐴𝑀1̂, 𝐸𝐹̂ ce asigură arg A-1(M) = arg (z 1 +
z2).
Inversul numărului complex z = r(cos t + i∙sin t) este
𝑧−1= 1
𝑧= 𝑧̅
𝑧 ∙ 𝑧̅= 𝑟 (cos𝑡+𝑖∙sin𝑡)
𝑟2= 1
𝑟 [cos(−𝑡)+𝑖∙sin(−𝑡)] (10)
deci i se poate enunța următoarea regulă: Inversul unui număr complex scris sub formă
trigonometrică se obține inversând modulul și schimbând semnul argumentului.
Observația 6: Are loc |z-1| = |z|-1, dar egalitatea arg z-1 = – arg z nu este core ctă și este
valabilă formula următoare:
arg𝑧−1= {2𝜋−arg𝑧,𝑑𝑎𝑐ă 𝑧∈ℂ− ℝ+;
0,𝑑𝑎𝑐ă 𝑧∈ℝ+∗. (11)
Fie un număr complex de modul unitar scris sub formă trigonometrică w = cos t + i ∙ sin t .
Pe baza formulei (8) se constată ușor că w2 = cos 2t + i ∙ sin 2t , w3 = cos 3t + i ∙ sin 3t etc. Este
sugerată deci următoarea formulă a lui Moivre , ușor demonstrabilă prin inducție:
(cos𝑡+𝑖 ∙sin𝑡)𝑛=cos(𝑛∙𝑡)+𝑖∙sin(𝑛∙𝑡),𝑛∈ℕ. (12)
Observația 6: Convenind să înțelegem pri n z-n numărul complex (z-1)n și pentru orice z ≠ 0 ,
zo = 1 vom extinde valabilitatea formulei lui Moivre pentru orice n întreg.
Se pune problema determinării pentru un număr complex w = cos t + i ∙ sin t , unde u[0,
2π) și pentru un număr natural n a nume relor complexe z ce satisfac egalitatea zn = w. (13)

Numere complexe și aplicații în geometrie Teodorescu -Mihai Constantin
21
Presupunând z scris sub formă trigonometrică canonică, z = r (cos t + i ∙ sin t) , egalitatea (13)
devine:
𝑟𝑛(cos𝑛𝑡+𝑖 ∙sin𝑛𝑡)=cos𝑢+𝑖 ∙sin𝑢
Urmează de aici pentru început egalitate a modulelor, rn = 1. Deoarece s -a convenit de la început
că r este număr real (pozitiv), rezultă r=1. Aceasta egalitate inplică faptul că trebuie sa existe un
număr întreg k astfel încât nt = u + 2kπ . (14)
Ipotezele t[0, 2π) și u[0, 2π) ne conduc la con cluzia că numărul întreg k satisface dubla
inegalitate 0 ≤ k < n. (15) Pentru fiecare valoare a lui k ce satisface (15), k = 0, 1, 2, …, n -1, se
determin ă t prin (14) și obținem cele n numere complexe z cu proprietatea (13) și anume
𝑧𝑘=cos𝑢+2𝑘𝜋
𝑛+𝑖 ∙sin𝑢+2𝑘𝜋
𝑛.
Se vor utiliza simbolurile √𝑤𝑛 sau (𝑤)1/𝑛 cu precizarea că, de această dată, aceste simboluri
notează mulțimi alcătuite din câte n elemente:
√𝑤𝑛= {cos𝑢+2𝑘𝜋
𝑛+𝑖∙sin𝑢+2𝑘𝜋
𝑛∶0≤𝑘<𝑛 ș𝑖 𝑘∈ℕ}. (16)
Vom figura în cele ce urmează pe diagrame Argand astfel de mulțimi pentru diverse valori
ale lui u și n. În acest scop vom considera punctul A = A(w). Pentru n=2 valorile zk date de formula
(16) sunt afixele punctelor Mk(k=0,1) în care cercul de centru O ce trece prin A este tăiat de dreapta
ce bisectează (∢𝑥𝑂𝐴) (fig. 16). Pentru n>2, păstrând aceleași notații, se constată că
M0M1M2…M n-1 este un poligon regulat cu n vârfuri înscris în C.
Pentru a demonstra această afirmație se constată că numărul complex zk+1:zk nu depinde
nici de u și nici de valoarea lui k = 0, …, n -2:
𝑧𝑘+1∶ 𝑧𝑘=cos2𝜋
𝑛+𝑖 ∙sin2𝜋
𝑛= 𝑧0∶ 𝑧𝑛−1.

Numere complexe și aplicații în geometrie Teodorescu -Mihai Constantin
22

Fig 16 a)

Fig 16 b)
Notând acest număr complex (dependent doar de n) prin ε se constată deci:

Numere complexe și aplicații în geometrie Teodorescu -Mihai Constantin
23
𝑧1= 𝜀 ∙ 𝑧0,𝑧2= 𝜀 ∙ 𝑧1,…,𝑧𝑘+1= 𝜀 ∙ 𝑧𝑘 …𝑧𝑛−1= 𝜀 ∙ 𝑧𝑛−2,𝑧0= 𝜀 ∙ 𝑧𝑛−1.
Având în vedere interpretarea geometrică a înmulțirii numerelor complexe se deduce:
∢𝑀0𝑂𝑀1= ∢𝑀1𝑂𝑀2= …= ∢𝑀𝑛−2𝑂𝑀𝑛−1= ∢𝑀𝑛𝑂𝑀0= 2𝜋
𝑛. (17)
Deoarece |zk| = 1, Mk sunt pe cercul C și drept urmare egalitățile (17) demonstrează afirmația (16).
În încheierea acestui capitol se introduce a treia modalitate de scriere a numerelor
complexe, num ită scrierea exponențială și care diferă formal de scrierea trigonometrică.
Fie numărul complex α = cos 1 + i ∙ sin 1 (18).
Imaginea prin diagrama Argand a lui α este un punct E pe cercul de centru O și rază 1 astfel
încât lungimea arcului UE măsurat în sens trigonometric să fie 1 (fig. 17)

Fig. 17
În acest mod, în locul formulei 𝑧=𝑟(cos𝑡+𝑖sin𝑡) se va putea scrie z = r ∙ αt, formulele
(8), (10), (12) și (14) căpătând următoarele exprimări ușor de memorat:
(𝑟1𝛼𝑢)(𝑟2∙𝛼𝑣)= 𝑟1𝑟2 ∙𝛼𝑢+𝑣 (8)

Numere complexe și aplicații în geometrie Teodorescu -Mihai Constantin
24
(𝑟 𝛼𝑡)−1= 1
𝑟 𝛼−𝑡 (10)
(𝛼𝑡)𝑛= 𝛼𝑛𝑡 (12)
√(𝛼)𝑡𝑛= {𝛼𝑡+2𝑘𝜋
𝑛 | 𝑘=0,1,2,…,𝑛−1}. (14)

Numere complexe și aplicații în geometrie Teodorescu -Mihai Constantin
25
Capitolul al III -lea
Aplicații cu numere complexe
1. Să se rezolve ecuațiile:
a) 2𝑥2+6𝑥+4=0 b) −𝑥2+4𝑥−5=0
Rezolvare:
a) Identificăm coeficienții a=2, b=6 și c=4.
Calculăm Δ=𝑏2−4𝑎𝑐=36−4∙3∙4=36−48=−12
Așadar, Δ<0 ⇒𝑥1,𝑥2∈ℂ
𝑥1=−𝑏+√Δ
2𝑎=−6+𝑖√12
4=−3+𝑖√3
2
𝑥2=−𝑏−√Δ
2𝑎=−6−𝑖√12
4=−3−𝑖√3
2
b) Procedăm analog precum exercițiul anterior și obținem Δ=−4,
𝑥1,2=−4±𝑖√2
−2=4±𝑖√2
2
2. Să se aducă la o formă mai simplă următoarea expresie:
𝐸= (𝑎+𝑖
1−𝑎𝑖)2𝑛
+(𝑖−𝑎
1+𝑎𝑖)2𝑛

Rezolvare:
Amplificăm cu i fiecare fracție și apoi efec tuând calculele se obține succesiv:
𝐸=[𝑖(𝑎+𝑖)
𝑖(1−𝑎𝑖)]2𝑛
+[𝑖(𝑖−𝑎)
𝑖(1+𝑎𝑖)]2𝑛
=[𝑎𝑖−1
−𝑖(𝑎𝑖−1)]2𝑛
+[−(1+𝑎𝑖)
𝑖(1+𝑎𝑖)]2𝑛
=(−1
𝑖)2𝑛
+ (−1
𝑖)2𝑛
=2(𝑖)2𝑛=2(−1)𝑛
3. Să se scrie sub formă algebrică numărul complex
𝑎) 𝑧=2(cos𝜋
6+𝑖∙sin𝜋
6)

Numere complexe și aplicații în geometrie Teodorescu -Mihai Constantin
26

𝑏)𝑧= 4(cos𝜋
12+𝑖∙sin𝜋
12)
Rezolvare:
a)
cos𝜋
6= √3
2
sin𝜋
6= 1
2}
⇒𝑧=2(√3
2+1
2𝑖)= √3+𝑖
b) Calculăm
sin𝜋
12=sin𝜋
6
2= √1−cos𝜋
6
2= 1
4(√6− √2)
Analog obținem și
cos𝜋
12=1
4(√6+ √2)
Și avem
𝑧=4(1
4(√6+ √2)+1
4(√6− √2)𝑖)=(√6+ √2)+(√6− √2)𝑖
4. Să se determine numărul complex z pentru care
|𝑧|−𝑧=1+2𝑖
Rezolvare:
Fie z = a + i∙b . Atunci condiția iniți ală poate fi scrisă sub forma
√𝑎2+𝑏2− (𝑎+𝑖∙𝑏)=1+2∙𝑖
Rezultă sistemul
{√𝑎2+𝑏2−𝑎=1
−𝑏=2⇔{𝑎=3
2
𝑏=−2⇒𝑧=3
2−2𝑖

Numere complexe și aplicații în geometrie Teodorescu -Mihai Constantin
27
5. Să se pună sub formă trigonometrică numărul complex
a) 𝑧=−√2+𝑖√2 b) 𝑧=sin𝛼+𝑖∙cos𝛼
Rezolvare:
a) Calculăm modului și argumentul numărului complex:
𝑟=|𝑧|=√𝑎2+𝑏2=√(−√2)2+√22=√2+2=2
arg𝑧=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (−√2
√2)=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−1)=3𝜋
4
rezultă forma trigonometrică a numărului complex z este
𝑧=2(cos3𝜋
4+𝑖∙sin3𝜋
4)
b) Calculăm modului și argumentul numărului complex :
𝑟=|𝑧|=√sin2𝛼+cos2𝛼= √1=1
arg𝑧=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔cos𝛼
sin𝛼=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑐𝑡𝑔 𝛼)=𝜋
2−𝛼
astfel că forma trigonometrică a numărului complex este:
𝑧=cos(𝜋
2−𝛼)+𝑖∙sin(𝜋
2−𝛼)
6. Să se efectueze calculele, punând rezultatul sub formă trigonometrică:
𝑧=(1+𝑖√3)(1+𝑖)(cos𝜑+𝑖sin𝜑)
Rezolvare:
Trecând la forma trigonometrică primii doi factori se obține:
𝑧=2√2(cos𝜋
3+𝑖sin𝜋
3)(cos𝜋
4+𝑖sin𝜋
4)(cos𝜑+𝑖sin𝜑)
Efectuând înmulțirea numerelor complexe sub formă trigonometrică, rezultă:

Numere complexe și aplicații în geometrie Teodorescu -Mihai Constantin
28
𝑧=2√2[cos(𝜋
3+𝜋
4+ 𝜑)+𝑖sin(𝜋
3+𝜋
4+ 𝜑)]=2√2[cos(7𝜋
12+ 𝜑)+𝑖sin(7𝜋
12+ 𝜑)]
7. Să se calculeze expresia:
𝑧=(1+𝑖)20
Rezolvare:
Se scrie 1 + i sub formă trigonometrică și se obține:
1+𝑖=√2(cos𝜋
4+𝑖sin𝜋
4)

Ținând seama de regula de ridicare a unui număr complex sub formă trigonometrică la o putere
oarecare (formula lui Moivre) se obține succesiv:
(1+𝑖)20=[√2(cos𝜋
4+𝑖sin𝜋
4)]20
=210(cos5𝜋+𝑖sin5𝜋)=210(−1+𝑖∙0)=−210
8. Să se pună numerele complexe de mai jos sub forma a + b∙i :
a) Z1 = 1+3(cos𝛼+𝑖sin𝛼)+3(cos2𝛼+𝑖sin2𝛼)+3(cos3𝛼+𝑖sin3𝛼)
b) Z2 = i (1 + i)5
Rezolvare:
a) Pe baza formulei lui Moivre se poate scrie :
Z1 = 1+3(cos𝛼+𝑖sin𝛼)+3(cos𝛼+𝑖sin𝛼)2+3(cos𝛼+𝑖sin𝛼)3, adică
Z1 = [1+(cos𝛼+𝑖sin𝛼)]3
Avem
|𝑍1|=√1+2cos𝛼+cos2𝛼+sin2𝛼= √2(1+cos𝛼)=2cos𝛼
2
și
arg𝑧=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 sin𝛼
1+cos𝛼=𝑎𝑡𝑐𝑡𝑔 (𝑡𝑔𝛼
2)= 𝛼
2

Numere complexe și aplicații în geometrie Teodorescu -Mihai Constantin
29
rezultă
𝑍1= [2cos𝛼
2(cos𝛼
2+𝑖∙sin𝛼
2)]3
=8cos3𝛼(cos3𝛼
2+𝑖∙sin3𝛼
2)
=8cos3𝛼cos3𝛼
2+𝑖∙cos3𝛼sin3𝛼
2
b) Ținând cont ca 𝑖=cos𝜋
2+𝑖∙sin𝜋
2, iar 1+𝑖= √2(cos𝜋
4+𝑖∙sin𝜋
4), expresia devine:
𝑍2= (cos𝜋
2+𝑖∙sin𝜋
2)(√2)5(cos𝜋
4+𝑖∙sin𝜋
4)5
=4√2[cos(𝜋
2+5𝜋
4)+𝑖∙𝑠𝑖𝑛(𝜋
2+5𝜋
4)]
=4√2(cos7𝜋
4+𝑖∙sin7𝜋
4)=4−4𝑖
9. Să se efectueze calculele în expresia:
𝑧=√3+𝑖
(√3−𝑖)5
Rezolvare:
Se scriu atât numărătorul, cât și numitorul sub formă trigonometrică și apoi se efectuează
calculele. Se obține:
𝑧=2(cos𝜋
6+𝑖∙sin𝜋
6)
25[cos(−𝜋
6)+𝑖∙sin(−𝜋
6)]5=2(cos𝜋
6+𝑖∙sin𝜋
6)
25[cos(−𝜋
6)+𝑖∙sin(−𝜋
6)]=2−4(cos𝜋+𝑖∙sin𝜋)
=−2−4
10. Să se arate că există egalitatea:
√1
2(1+𝑖)+√1
2(1−𝑖)=√1+√2
Rezolvare:
1+𝑖= √2(cos𝜋
4+𝑖∙sin𝜋
4)
1−𝑖= √2[cos(−𝜋
4)+𝑖∙sin(−𝜋
4)]

Numere complexe și aplicații în geometrie Teodorescu -Mihai Constantin
30

Avem:
√1
2(1+𝑖)+√1
2(1−𝑖)=√1
√2(cos𝜋
4+𝑖∙sin𝜋
4)+√1
√2[cos(−𝜋
4)+𝑖∙sin(−𝜋
4)]
=1
√24(cos𝜋
8+𝑖∙sin𝜋
8)+1
√24[cos(−𝜋
8)+𝑖∙sin(−𝜋
8)]=2
√24cos𝜋
8
=2
√24∙√24
2√1+√2=√1+√2
11. Să se rezolve ecuația:
𝑧5−8√2(1+𝑖)3=0
Rezolvare:
1+𝑖= √2(cos𝜋
4+𝑖∙sin𝜋
4)⇒𝑧=√8√2[√2(cos𝜋
4+𝑖∙sin𝜋
4)]3 5
=√32(cos3𝜋
4+𝑖∙sin3𝜋
4)5
⇒
𝑧𝑘=2(cos3𝜋
4+2𝑘𝜋
5+𝑖∙sin3𝜋
4+2𝑘𝜋
5),𝑘=0,1,2,3,4

Numere complexe și aplicații în geometrie Teodorescu -Mihai Constantin
31
Capitolul al I V-lea
Concluzii
Certificarea numerelor complexe în matem atică a dus la rezolvarea ecuați ei de gradul al
doilea in cazul în care Δ<0.
Numerele complexe au aplicații esențiale concrete într -o varietate de domenii științifice și
conexe, cum ar fi procesarea semnalului, teoria controlului,electromagnetism, dinamica fluidelor,
mecanica cuantică, cartografie și analiza vibrațiilor. Anumite ap licații ale numerelor complexe
sunt:
– În teoria controlului, sistemele sunt adesea transformate din domeniul temporal în
domeniul de frecvență, folosind transformata Laplace. Polii și zerourile sistemului sunt
apoi analizate în planul complex.
– În dinamica flu idelor, funcții complexe sunt folosite pentru a descrie potențialul de
curgere în două dimensiuni.
– În ecuația diferențială, este comun pentru a găsi mai întâi toate rădăcinile complexe r
din ecuația caracteristică a unui sistem liniar ecuații sau ecuații di ferențiale și apoi
încearcă să rezolve sistemul în ceea ce privește funcțiile de bază ale forma f (t) = ert.
– Numerele complexe sunt utilizate intens în electrotehnică, în special la calculul
impedanțelor și a unghiurilor fazorilor în circuitele analizate. În ingineria electrică,
unitatea imaginară este notată cu j, pentru a evita confuzia cu I, care este în general
utilizat pentru a desemna curent electric, sau, mai precis , i, care este în general utilizat
pentru a indica curentul electric instantaneu.
– Numerele complexe sunt folosite în analiza semnalelor și în alte domenii pentru o
descriere convenabilă pentru semnale periodice diferite. Pentru o undă sinusoidală de o
anumi tă frecvență, valoarea absolută | z|, corespunzătoare , este amplitudinea și
argumentul arg(z) este faza.

Numere complexe și aplicații în geometrie Teodorescu -Mihai Constantin
32

Bibliografie

1. Brînzei D., Anița S., Cocea C., Planul și spațiul euclidian , Editura Acade miei Republicii
Socialiste România, București, 1986
2. N.N. Mih ăileanu, Utilizarea numerelor complexe în geometrie , Editura Tehnic ă, Bucureș ti,
1968
3. G. Sălăgean, Geometria planului complex , Editura ProMedia Plus, Cluj -Napoca , 1997
4. Țigănilă Gh., Dumitru M. T ., Culegere de probleme de matematici , Editura Scrisul
românesc, Craiova 1979