LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC 1 TEMA: INELE DE P OLINOAME COORDONATOR ȘTIINȚIFIC: CONF. UNIV. DR. IOAN FECHETE… [632201]

UNIVERSIT ATEA DIN ORADEA
Departamentul pentru Preg ătirea și Perfecționarea Personalului Didactic
Specializarea: MATEMATICĂ

LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ PENTRU OBȚINEREA GRADULUI
DIDACTIC 1

TEMA: INELE DE P OLINOAME

COORDONATOR ȘTIINȚIFIC:
CONF. UNIV. DR. IOAN FECHETE
AUTOR:
PROF. SOMOGYI ANDREA
Școala cu clasele I -VIII „Kazinczy Ferenc‖
Șimian – Bihor

2019

UNIVERSIT ATEA DIN ORADEA
Departamentul pentru Preg ătirea și Perfecționarea Personalului Didactic
Specializarea: MATEMATICĂ

LUCRARE MET ODICO -ȘTIINȚIFICĂ PENTRU OBȚINEREA GRADULUI
DIDACTIC 1

TEMA: INELE DE POLI NOAME

COORDONATOR ȘTIINȚIFIC:
CONF. UNIV. DR. IOAN FECHETE
AUTOR:
PROF. SOMOGYI ANDREA
Școala cu clasele I -VIII „Kazinczy Ferenc‖
Șimian – Bihor

2019

3
CUPRINS

Introducere ………………………………………………………………………………………. ………………………… 5
Capitolul I. Inele de polinoame …………………………………………………………………………….. …….. 6
1.1. Inele de polinoame ………………………………………………………… ………………………… 6
1.2. Rela ția de divizibilitate în inel e de polinoame ………………………………… 1 2
1.3. Algoritmul împărțirii în inel e de polinoame …………………………………… 1 4
1.4. Descompunerea în factori ireductib ili în inelul ℝ[X]………………………….. 17
1.5. Inelul polinoamelor într -un număr finit d e nedeterminate …………………….. 1 9
Capitolul II. Rădăcinile polinoa melor ……………………………………………………….. 2 3
2.1. Proprietățile rădăcinilor unui polinom ………………………………………… 2 3
2.2. Polinoame sime trice …………………………………………………………… 2 7
2.3. Câteva considerații privind polin oamele numerice ……………………………. 3 2
2.4. Rădăcinile polinoamelo r din ℂ [X]..……………………………………………. 3 4
2.5. Rădăcinile polinoamelor din ℝ[X]…………………………………… ……………………….. 3 8
2.5.1. Proprietăți referitoare la existența rădăcinilor reale . ……………………….. 4 0
polinoamelor din ℝ[X]
2.5.2. Numărul rădăcinilor reale ale polinomului din ℝ[X]………………………. 4 4
2.6. Rădăcinile polinoamelor din ℚ[X] și ℤ[X]……………………………….. ……………… 6 0
Capitolul III Aplicații ……………………………………………………………………… ………………………… 6 4
3.1. Divizibilitatea polinoamelor …………………………………………… …….. ………………… 6 4
3.2. Cel mai mare divizo r comun și cel mai mic multiplu comun al
polinoamelor …………………………………………….. ……………………………………………………………. ……… ….. 72
3.3. Determinar ea polinoamelor prin condiții inițiale ……………… ……………………….. 7 6
3.4. Polinoame omogene și simetrice ……………………………………. ……………………….. 8 1
3.5. Rezolvarea ecuațiilor polinomiale cu coeficie nți numerici … ………………………. …..85
3.6. Rezolvarea ecuațiilor polinomiale în condiții impuse ……………………… ………… ….95
3.7. Separarea rădăcinilor reale ale ecuațiilor polinomiale ………. ……………. …….. ……… …… 107
3.8. Discuția ecuațiilor polinomiale care conțin unu doi param etri reali ………… ……….. 117
3.9. Exerciții propuse …………………………………………………………. ………………………. ……122
Capitolul IV Aspecte met odice privind predarea capitolului polinoame în liceu, clasa a
XII-a …………………………………………….. ……… …………………………………………………………….. …………. 124

4
Chestionar de evaluare a cunoștințelor asupra operații cu numere reale reprezentați prin
litere c lasa a VIII -a………………………………………………………………………….. ………………………. .129
Chestionar de evaluare a cunoștințelor asupra operații cu numere reale reprezentați prin
litere clasa a X II-a …………………………………………………………………………… ………….. ………….. .131
Proiect didactic ………………………………………………………………. ……………… ………………………. ………..133
Bibliografie …………………………………………………………………. …………………….. ………………………. .….144

5

INTRODUCERE

Noțiunea de polinom este una dintre noț iunile fundamentale ale algebrei. Originea acestei
noțiuni se găsește într -o problemă foarte veche de matametică și anume aceea de a elabora un
formalism general al calculelor algebrice care se efectuează de obicei cu sume și produse în care
intervin un nu măr finit de numere. Această problemă constituie de altfel chiar începutul studiului
algebrei în gimnaziu. Dezvoltând regulile de calcul cu expresii de tipul 2x, 2x+y, x2y3,…in care x și y
sunt numere arbitrare, algebra elementară are la bază anumite con venți care nu pot fi explicate decât
definind în mod riguros cadrul în care se efectuează calculele și punând în evidenă legătura sa cu
corpurile de numere sau cu alte corpuri sau inele abstracte. Acest cadru îl constituie teoria inelelor de
polinoame.
Ca și alte noț iuni matematice, noțiunea de poli nom nu poate f i definită în mod int rinsec. De aceea
vom defini, plecând de la un inel R, inelul polinoamelor cu coeficienți în ℝ. În acest f el un polinom
va fi un element al inelului astfel construit, iar proprie tățile alge brice ale inelului polinoamelor se vor
deduce atât din construcția pe care o facem cât și din proprietățile inelului ℝ.
Lucrarea cuprinde 4 capitole.
Capitolul I introduce noțiunea de inele de polinoame. Se tratează relația de divizibi
litate în inele de polinoame, algoritmul împărțirii, descompunerea în factori ireductibili în inelul ℝ [X].
În ultima parte a capitolului se introduce inelul polinoamelor într -un număr finit de nedeterminate.
Capitolul al II -lea cuprinde proprietățile rădăcini lor unui polinom în general și pe
urmă separat în inelul polinoamelor din ℝ [X], respectiv ℝ [X]. În cadrul inelul polinoa -melordin ℝ
[X] se discută numărul rădăcinilor reale ale polinomului. Partea amintită a capitolului cuprinde
teorema lui Descartes, teo rema lacunelor, teorema lui Budan -Fourier și teorema lui Sturm.
Ultima parte a capitolului tratează rădăcinile polinoamelor din ℝ [X] și ℂ [X].
În capitolul III sunt tratate exerciții legate de teoria de mai sus, cu diferite metode.
Ultimul capitol cupri nde aspecte metodice referitoare la predarea capitolului
Polinoame în liceu, clasa a XII -a cunoscând noțiunea de inel de polinoame. Lucrarea mai
cuprinde un plan de lecție și bibliografia folosită.

6

CAPITOLUL I
INELE DE POLINOAME
1.1. Inele de polinoame

Fie ℝ un inel comutativ și unitar. Construim mai întâi inelul seriilor formate peste R.
Fie RN mulțimea funcțiilor de la N la R.Dacă scriem o astfel de funcție prin mulțimea ordonată a
valorilor sale, RN atunci este mulțimea șirurilor f = (a0, a1, … , a n , … ),ai∈ ℝ pentru orice i ∈ N.
Șirurile f = ( a0, a1, … , a n , … )și g = ( b0, b1, … , b n , … ) sunt egale dacă și numai dacă a i =
bi , pentru orice i.
Pe mulțimea RN definim două operații algebrice: adunarea și înmulțirea, în raport cu care Rℕ
devine inel comutativ.
Dacă f, g ∈ Rℕf = ( a0, a1, … , a n , … ) și g = ( b0, b1, … , b n , … ) ,adunarea se definește astfel: f + g
= ( a o + b o , a1+ b 1, a2+ b 2, …).
Se verific ă ușor că RN împreună cu adunarea fo rmează un grup abelian, adică a dunarea este
asociativă, comutativă, are element nul și orice element are opus.
Elementul nu l (zero)` este (0, 0,0,…) i ar dacă f ∈RN, f = ( a0. a1, … , a n , … ) a tunci opusul său este –
f = ( – a0. – a1, … , – an , … ).
Înmulțirea pe Rℕ se defineș te astfel: dacă f = ( a0, a1, … , a n , … ) ,g = ( b0, b1, … , b n , …) aparțin lui
Rℕatunci f·g =( c0. c1, … , a n , … ).unde
ck = a0bk + a1bk-1 +… a kb0 = ∑ pentru orice k =0, 1, 2, • • •
Înmulțirea pe este asociativă, comutativă și eare element unitate (1, 0, 0,…).
Să demonstrăm asociativitatea înmulțirii.
Fie f, g, h ∈RNunde f =( a0, a1, … , a n , … ) ,g = ( b0, b1, … , b n , …), h =( c0, c1, … , c n , … )și arătăm
că (f·g)·h=f·(g·h)
Dacă f g=(d0,d1, …,dn,…) atunci ∑ și fie
(f g) h=(e0,e1,…,en,…), unde em=∑dkcl k+l=m .

Avem ∑ = ∑ (∑ ) ∑
∑

7
Dacă ( ), unde ∑

iar ( ) ( ) unde ∑

avem ∑
∑ (∑ )=∑
∑
Deci pentru orice m, adică ( ) ( )
Comutativitatea înmulțirii rezultă imediat.
Înmulțirea este distributivă față de adunare. Într -adevăr, cu notațiile de mai înainte , rezultă

( ) ( ), unde ∑ ( ) iar

( ), unde ∑ ∑ .

Cum operația de înmulțire pe R este distributivă față de adunare, rezultă f (g +h) =f g+f h
Analog, are loc și relația (f+ g) h = f g+f h
În concluzie am demonstrat că RN împreună cu adunarea și înmulțir ea formează un inel comutativ
și unitar. Elementele inelului RN construit mai înainte se numesc serii formale cu coeficienți în R.
Fie funcția u: R ⇒ RN definită prin: u(a) = (a, 0, 0,…).
Avem că u este un morfism injectiv de inele, adică: dacă a,b ∈R atu nci
u(a + b) = (a + b, 0, 0,…) = (a, 0, 0,…) + (b, 0, 0,…) = u(a) + u(b) și
u(a b)= (a b, 0, 0,… )= (a, 0, 0,…) (b, 0, 0,…)= u(a)+u(b) .
Dacă u(a)=u(b), atunci a, 0, 0,…) =( b, 0, 0,…) și deci a = b.
Morfismul u dă un izomorfism al Iui R pe subinelul R'= { ( ) ∈ } al lui RN, ceea ce
permite să se identifice elementul a din R cu imaginea sa prin u, adică cu polinomul (a, 0, 0,…) din
. Astfel R se poate considera ca un subinel al lui .
Pe de altă parte, notăm cu X s eria formală (0, 1, 0, 0,…) care se numește nedeterminata X.
Înmulțirea seriilor formale ne dă X2 = (0, 0, 1, 0,…) și mai general, pentru orice număr natural i,
Xi = (0, 0, …,0,⏟
i-ori 1, 0,…)
Fie ( , ) o serie formală din . Folosind adunarea și înmulțirea definite pe
se obține:
( , ) =( , 0, 0,…) (0, , 0, 0,…)+(0, 0, , 0,…)+(0, 0, …, 0, , 0, …) + … =
( , 0, 0,…) ( , 0, 0,…) (0, 1, 0, …) + ( , 0, 0, …) (0, 0, 1, 0, …) + … +
+( , 0, 0, …) (0, 0, …, 0⏟
n-ori, 1, 0, …) + …

8
Mai mult, după cele precedente putem scrie:
f= ao + a1X + X2 + …+ + … obținând astfel scrierea obișnuită a unei serii formale
Inelul RN se numește inelul seriilor formale în nedeterminata X cu coeficienți în R și se notează
R[[X]]. Inelul R[[X]] se mai numește și inelul seriilor formale într -o nedeter –
minată.
O serie formală în nedeterminata X o vom scrie condensat f = ∑ , aceasta fiind pur și
simplu o notație, fără sens de adunare.
O serie formală din R[[X]] care are doar un număr finit de coeficienți nenuli se numește polinom
cu coeficienți în R.Notăm cu R[X] mulțimea polinoamelor peste R.
Dacă f este un polinom cu coeficienți în R, ∑ , există un număr natural m astfel încât a i
= 0, pentru orice i > m.
Dacă ∑ este un polinom nenul din R[X] atunci n= max{( i 0}se numește gradul
polinomului f și se notează cu grad(f).
Coeficien tul , unde n = grad(f), se numește coeficieniul dominant al polinomului f.
Pentru polinomul nul, convenim să considerăm gradul său ca fiind – adoptând conven țiile
uzuale și anume: – < n , – + n = – , pentru orice număr natural n, – + (- ) =- .
Dacă n=grad(f), f nenul, atunci , se numesc coeficienții polinomului f, care se scrie
∑
,

Propoziția 1.1.1. Mulțimea R[X]a polinoamelor împreună cu adunarea și inmulțirea seriilor
formale formează un inel.
Demonstrație: Este clar că dacă f și g sunt polinoame din R[X] atunci f + g și sunt de asemenea
polinoame din R[X], Prin urmare R[X] este un subinel al inelului seriilor formale și deci la rândul
său este un inel.
Acest inel se numește inelul polinoamelor in nedeterminată X, cu coeficienți in R sau inelul
polinoamelor într -o nedeterminată.
Propoziția 1.1.2. Fie R un inel și f,g polinoame din R[X]. Atunci:
1. grad(f + g) max (grad(f), grad(g) ),
2. grad(f g) grad(f) + grad(g).
Mai mult dacă f și g sunt nenule și c oeficienții dominanți ai lui f și g nu sunt divizori ai lui zero,
atunci avem egalitate.
Demonstra ție: Dacă cel puțin unul dintre polinoamele f și g este nul, atunci 1. și 2. rezultă
imediat, având în vedere convențiile făcute: – < n , – + n = – oricare ar fi n număr
natural și – + (- ) =- .

9
Dacă f și g sunt nenule, afirmațiile 1. și 2. rezultă imediat din definiția sumei și produsului a
două polinoame.
Fie ∑
, ∑
, astfel încât a m și b n să nu fi e divizori ai
lui zero. Atunci coeficientul dominant al produsul f g este a m bn care este nenul. Deci, în acest caz
grad(f g) = grad(f) + grad(g).
Din punctul 2. al propoziției 1.1.2. rezultă:

Corolarul 1.1.3. Dacă R este domeniu de integritate și f, g po linoame din R[X] atunci
grad(f g )= grad(f) + grad(g).
Observație: Dacă R este domeniu de integritate inegalitatea 2. din propoziția 1.1.2. poate fi
strictă. De exemplu: fie polinoamele f= ̂+ ̂X și g = ̂ din inelul ℤ [X].
Atunci ( ̂ ̂ ) ̂ ̂ ș ( ) grad(f) + grad(g)
Pentru un inel R notăm U(R) mulțimea elementelor sale inversabile.

Propoziția 1.1.4. Fie R un inel comutativ și unitar și inelul polinoamelor R[X]. Atunci au loc
afirmațiile:
1. Un element a∈R este inversabil în R dacă și numai dacă a este inversabil în R[X].
2. Dacă R este un domeniu de integritate, atunci R[X] este un domeniu de integritate și
U(R)=U(R[X]).
Demonstrație:
1. Dacă a este inversabil în R avem ab=1, cu a, b ∈R. Această relație, cons iderată în R[X], a și b
fiind polinoame de grad zero, spun e că a este inversabil în R[X]. Reciproc, dacă a este
inversabil în R[X], atunci există f ∈R[X] astfel încât a f=1. Presupunând căf= a o + a 1X +
X2 + …+ , 0 avem aao + aa 1X + aa 2X2 +…+ = 1, de unde aa o =1 și deci a
este inversabil în R.
2. Dacă R este un domeniu de integritate, după corolarul 1.1.3. este clar că R[X] este domeniu de
integritate.
Din punctul precedent rezultă că U(R) U(R[X]). Pentru a demonstra in cluziunea contrară fie
f= a o + a 1X + X2 + …+ + , un polinom inversabil din R[X]. Deci, există g=
bo + b 1X + X2 + … + + b nXn astfel încât =1. Avem grad(fg)=grad(1), de unde grad(f)
+grad(g) = 0 sau m + n = 0 și deci m = n = 0. Astfel rezultă că f= a o∈R și g= b o∈R și cum
1=fg= a obo, obținem că f = a o∈U(R).
Dacă R este un domeniu de integritate, putem avea U(R) U(R[X]). De exemplu poli nomul
neconstant ̂ ̂ ∈ℤ [X] este inversabil, deoarece ( ̂ ̂ )( ̂ ̂ ) = 1.

10
Dacă R este un inel comutativ și unitar, R[X] inelul polinoamelor în nedeterminata X cu
coeficienți în R, avem morfismul unitar de inele u:R R[X] , u(a)=a numit morfismul canonic
de la R la R[X].
Vom da acum o proprietate importantă numită p roprietatea de universalitate a inelelor de
polinoame de o nedeterminată.

Teorema 1.1.5. Fie R un inel comutativ și unitar, R[X] inelul polinoamelor de o nedetermi nată cu
coeficienți în R, u:R -›R[X] morfismul canonic.Atunci, oricara ar fi inelul comutat iv unitar S,
morfismul unitar de inele v:R S, și xe S există un unic morfism de inele (1): R[X] ⇒ S astfel încât u(X)=x
și diagrama
u
R R[X]
v să fie comutativă, adică
S
Demonstrație: Să definim mai întâi morfismul Fie f∈R[X], f=∑
atunci
(f)=∑ ( )
. Arătăm că are proprietatea din enunț.
Fie g= ∑
un alt polinom din R[ X] și presupunem că m .
Completând eventual polinomul f cu termeni ai căror coeficienți sunt nuli, putem scrie:
f=∑
, unde =…= = 0.
Atunci
(f+g)= (∑(ai+bi)xi)=∑v(ai+bi)xi=∑(v(ai)+v(bi))xi= n
i=0n
i=0n
i=0∑v(ai)xi+∑v(bi)xi=n
i=0n
i=0
= (f)+ (g).
Dacănotăm cu coeficienții produsului f g avem c k =∑ și cum v este morfism de inele
obținem v( ) ∑ ( ) ( ) . Ținând seama de acest lucru se verifică imediat că
( ) ( ) ( ). Deci este morfism de inele. Mai mult (X) = (1X) = v(1)x =1 x = x. Să
verificăm acum comutativitatea diagramei.
Într-adevăr dacă a∈R, ( 0u)(a) = (u(a)) = (a) = (aX ) = v(a)x =v(a) și deci 0u=v.

11
Să presupunem că :R,X- S este un alt morfism de inele astfel încât ̅(X)=x și ̅0 u=v .Atunci
pentru f=∑
avem
̅( ) ̅(∑ ) ∑ ̅( ) ̅( ) ∑ ̅( ( )). ̅( )/
∑ ( ) ( )

̅
Am demonstrat unicitatea lui .

12
1.2. Rela ția de divizibilitate în inelele de polinoame
Fie inelul de polinoame R[X] și să considerăm două elemente arbitrare din el f și g. Știm că produsul
f g este tot un polinom din R[X] al că rui grad cste egal cu suma grade lor celor două polinoame. Dacă
notăm acest polinom cu h avem h=f g, grad(h)=grad(f) +grad(g). Aceasta ne sugerează a considera și
problema reciprocă acesteia și anume de a răspun de la întrebarea dacă, dându -se un polinom h din inelul
R[X], există sau nu două polinoame în R[X] al căror produs să fie h.
Definiția 1.2. I . Dacă dându -se polinoamele h și f din R[X] există polinomul q din R[X] astfel încât
produ sul f g este egal cu pol inomul h, atunci spunem că polinomul f este divizor al polinomului h
(h este divizbil prin j) sau că polinomul h este un multiplu al polinom ului f.
Deoarece grad(h)=grad(f) + grad(g) rezultă că grad(f) grad(h).
Dacă grad(f)=0 sau grad(f)=grad(h) atunci sp unem că f este un divizor impropriu al lui h, iar dacă 0 <
grad(0 < grad(h), spunem că f este un divizor propriu al lui h.
Observații:
1. Relația de divizibilitate în R[X] este reflexivă și tranzitivă, dar nu este simetrică. În consecință ea nu
este o relație de echivalență în R[X] .
2. in cazul în care R este un corp numeric, conform definiției 1.2.1. deducem că dacă f ∈R[X] este un
polinom de gradul n atunci divizorii săi improprii sunt elementele k∈R\{0} (acestea fiind
polinoamele de grad zero din R[X]), precum și polinoamele kf∈R[X], k∈R\{0} (polinoame de
același grad cu f din R[X]).
3. Dacă un polinom f ∈R[X] este un divizor al polinoamelor g 1 și g 2 din R[X], atunci el este divizor și
al sumei g 1 + g2, precum și al produsului g1 g2.
Reciproca acestei proprietăți nu este adevărată, iar acest lucru se poate dovedi prin contraexemple.
Definiția 1.2.2. Un polinom din inelul R[X] care nu are în acest inel alți divizori în afară de divizorii
improprii se numește ireductibil peste inelul R[X] , În caz contrar, el se numeșt e recductibil peste
R[X] .
Exemple:

13
1. Polinomul f = -2X2 + 5X — 3 ∈ℤ[X] este reductibil, deoarece el este egal cu produsul polinoamelor 2X -3
și —X+1 dinℤ [X].
2. Polinomul g = 3X2 + 2∈ℕ[X] este ireductibil. Î ntr-adevăr, pentru a fi reductibil este necesar ca el să aibă
divizori proprii în ℕ [X]. Cum gradul acestora trebuie să fie cuprins între zero și doi, rezultă că el trebu ie
să fie egal cu unu. Aceasta î nseamnă că polinomul g ar trebui să se scrie sub forma: 3X2 + 2= (aX + b)(cX
+ d), unde (aX + b) și (cX + d) trebuie să fie polinoame din ℕ [X]. Făcând însă produsul din membrul
dreptal acestei egalități, rezultă prin identificarea coeficienților, că trebuie ca ac=3, ad+ac=0, bd=2. Cum
numerele a, b, c, d sunt din N se vede imediat că, nu putem găsi patru astfel de numere care să satisfacă
simultan cele trei egalități.
3. Polinomul f = 2X2 – 5 din ℤ [X] este ireductibil în această mulțime, dar este reductibil
în R[X], el putându -se scrie sub forma = (√ √ )(√ √ )
Observație Toate aceste polinoame de g radul întâi dintr -o mulțime de polinoame sunt ireductibile peste
aceasta, deoarece neexistând nici un număr natural n, 0 < n < 1 ele nu pot avea divizori proprii.
Teorema 1.2.3. Dându -se inelul de polinoame R[X] atunci oricare ar fi f un element al său acesta se poate
scrie ca un produs finit de polinoame ireductibile din inelul R[X].
Demonstrație: Fie grad(f)=n > 0. Dacă f este ireductibil, teorema este demonstrată, numărul
factorilor ireductibili di n produs fiind egal cu l. Dacă î nsă f este reductibil pe ste R[X], atunci el se poate
scrie sub forma unui produs de c el puțin două polinoame din R[X] , iar pentru fiecare din acestea raționăm
ca mai înainte. C‗un gradul fiecărui nou divizor propriu pe care 1 găsim scade, finalmente nu putem obține
decât sau divi zorii proprii având gradele mai mici ca n, dar m ai mari ca 1, sau divizori de g radul întâi despre
care am arătat că sunt ireductibili. Oricum numărul acestora este finit, deoarece suma gradelor lor este
egală cu n.

14
1.3.Algoritmul împărții în inelel e de polinoam e
Am văzut în punctul precedent că două polinoame dintr -un inel R[X] pot fi legate prin relația de
divizibilitate. De cele mai multe ori însă, între ele nu există o astfel de rela ție. Cu privire la aceste cazuri dăm
următoarea teoremă.
Teorem a 1.3.1. ( Teorema împărțirii cu rest )
Dându -se în inelul R[X] polinoamele f și g dintre care cel puțin unul este nenul -fie acesta g – atunci există
două polinoame q și r în R[X] astfel că:
a. f = g q + r cu grad (r) < grad(g)
b. polinoamele q și r sunt unic deter minate (abstracție făcând, eventual de un factor constant
nenul).
Demonstrație: Punctul b. al teoremei rezultă prin reducere la absurd.
Într-adevăr, dacă ar mai există alte două polinoame în R[X], fie acestea q' și r' astfel ca:
f= g q' + r' cu grad (r') < grad(g) conform a. ar rezulta, prin scădere că:
g (q — q') + r – r' = 0 și în consecință
grad(r –r')=grad(g -(q' — q)) ceea ce contrazice egalitatea de mai sus.
În ceea ce privește existența polinoamelor q și r aceasta se pune în evidență printr -o construcție efectivă a celor
două polinoame realizate prin algoritmul următor.
Să presupunem că cele două polinoame date f și g sunt
f(X)=a0Xn+a1Xn-1+…+an-1X+anX0
( ) b0Xm+b1Xm-1+…+bm-1X+bmX0.
Am presupus prin ipot eză că, polinomul g(X) este diferit de polinomul nul și vom distinge următoarele situații
posibile: n < m și n m.
Dacă n < m atunci putem lua q(X)=0(X)=polinomul nul și r(X)=f(X) încât avem grad(r)= n <
m=grad(q) și teorema este demonstrată.

15
Dacă n m, fie
și considerăm polinomul ,care are expresia
( ) .
/
Rezultă că grad(f 1) n-1 și din nou distingem două cazuri:
– dacă grad( f ) < grad(g) atunci problema este rezolvată deoarece avem f=g q1+f1și putem lua q
= q1 și r = f1
– dacă însă grad( f 1) grad(g) notăm: f1(X)= a o' + + …și la fel ca mai îna inte
considerăm
și polinomul f 2 = f1- gq2, pentru care grad(f 2) m1-1
Dacă grad(f 2) grad(g) atunci problema este rezolvată pentru că avem f l =gq 2 + f2 și f=g(q 1 + q 2 ) +
f2 și vom lua q = q 1 + q 2 iar r = f 2. Dacă, însă grad(f 2) grad(g) procedăm la fel ca mai înainte.
Deoarece grad(f 2) < grad(f 1) < grad(f) ne dăm seama că eventualele alte polinoame f 2, f4 obținute
precum f 1, f2 au gradele alcătuind un șir de numere naturale strict descrescător.Din această cauză,
după un anumit număr de operațiuni vom găsi un polinom f k astfel că grad(f k) < grad(g).
Rezultatele obținute sunt următoarele: f 1 = f— gq1,
f2 = fi — gq2,
…………………
fk = f k-1 — g qk
și se vede că din ele rezultă, prin însumare q = g(q 1+ q 2 +.-+ q k) + f k.
Cu aceasta problema este complet rezolvată, deoarece put em lua f = q 1+ q 2 +…+ q k și r = f kiar
grad(r)=grad(f k) < grad(g).
Observație: Algoritmul de mai sus, după cum ușor se poate vedea, exprimă tocmai binecu noscutul
procedeu după care se face împărțirea a două polinoame numerice. Vom numi po linomul q câtul, iar
r restul împărțirii polinoamelor f și g.
Consecințe:
1. Dacă două polinoame se înmulțesc cu un al treilea (care este nenul), atunci câtul lor nu se
schimbă, iar restul este înmulțit și el cu cel de -al treilea polinom.
Dacă două polinoame se divid pri ntr-un al treilea (care este nenul), atunci și restul împărțirii lor
este divizibil prin acesta.

16
2.Dacă g(X) = X -a, unde a ∈R avem f(X)=(X — a) q(X) + r și cum grad(X -a)=1, rezultă că
grad(r) 0, adică r∈R. Luând acum X?a și înlocuind obținem f(a)= (a — a) q(a) + r
adică f(a)= 0:q(a) + r sau r = f(a), ceea ce ne arată că, restul împărțirii unui polinom prin X -a se poate
obtine înlocuind X cu a în expresia polinomului, adică este egal cu valoarea polinomului în X = a.
3. Dacă restul este egal cu zero, atunci f=g q, polinomul f este divizibil prin polinomul g. Atunci din cele
expuse anterior rezultă că, o conditie suficientă și necesară ca un polinom să fie divizibil printr -un
polinom de forma "X -a" este ca el să se anuleze dacă înlocuim în expresia lui pe X c u a.

17
1.4. Descompunerea in factori ireductibili in inelul R[X ]
Definiția 1.4.1. Dându -se polinoamele f și g din inelul R[X] se numește cel mai mare divizor comun al
lor (c.m.m.d.c.) un polinom d ∈R[X] care are următoarele proprietăți:
– d divide atât polinomul f cât și polinomul g
– orice divizor comun al polinoamelor f și g divide polinomul d.
Cel mai mare divizor comun al polinoamelor f și g se notează (f, g), iar existența lui se dovedește prin
următoarea:
Teorema 1.4.2. Dacă f și g s unt două polinoame din R[X], atunci există un polinom d în R[X] care este cel mai
mare divizor comun al lor, precum și două polinoame f 1 și g1 tot din R[X] astfelîncât:

Definiția 1.4.3. Două polinoame al căror c.m.m.d.c. este de gra dul zero se zic prime intre ele. Exemple:
a. polinoamele .f1 (X)= X3 +2X2 + 4X +1 și g 1 (x)= X2 + X- 2 au (f 1 ,g1)= -28 și prin urmare
sunt prime între ele.
b. polinoamele f 2(X) = X3 + 2X2 – 4X +1 și g 2(X)= X2 + X – 2 au (f 2,g2)=X-1 și deci nu sunt prime
între ele.
Observație: Convențional se notează (f, g) = e dacă polinoamele f și g sunt prime între ele. În cazul când R
este un corp numeric avem e = 1. Atunci ținând seama de teorema de mai sus rezultă o condiție necesară și
suficientă ca două polinoame f și g să, fie prime între ele și anume, să existe în R[X] două polinoame f 1 , g1
astfel încât să fie valabilă egalitatea:
. Acest rezultat constituie teorema lui B ézout.
Consecințe:
1. Dacă f, g, r sunt polinoame din R[X] astfel încât polinomul f divide produsul g r și este prim cu unul
din factori, atunci el divide celălalt factor.
Într-adevăr, dacă f este prim cu g, conform teoremei lui Bézout, există în R[X] poli noamele f l și g 1 astfel
încât și înmulțind această ega litate în ambii membri cu r avem : .

18
Dar în membrul drept al egalității apare o sumă de doi termeni divizibili fiecare prin f (primul conține f, iar al
doilea conține produsul g r care este divizibil prin f, prin ipoteză). Atunci suma însăși este divizibilă prin f și
prin urmare f divide r.
2. Dacă un polinom f ∈R[X] este ireductibil și divide produsul altor două polinoame g și r din inelul R[X], atunci
el divide cel puțin pe unul din factori. Într -adevăr, polinomul f, fiind ireductib il, atunci avem una din alternativele:
– polinomul f divide polinomul g
– polinomul f este prim cu g și atunci conform consecinței 1, va divide polinomul.
Observație Consecința 2. care, în fapt este corolar al primei consecințe se poate extinde prin recure nță ca
următorul rezultat:
Dacă f, g1, g2,…, gn sunt polinome din inelul R[X] iar f este ireductibil și divide produsul g1 g2… gn atunci el
divide cel puțin un factor al produsului. Demostrația este imediată prin inducție completă.

Teorema fundamentală de descompunere a unui polinom în factori ireductibili
Dacă f este un polinom din inelul R[X] atunci el se poate descompune în mod unic într -un produs de factori
ireductibili (abstracție făcând, eventual, de factori constanți).
Demonstrație :Presupunem pr in absurd că polinomul f ar admite două descompuneri, în
produsele:g1 g2 … gn și r1 r2 … rm unde n>1, m>1 (dacă n=m=1 înseamnă că însuși f este ireductibil și
eorema este demonstrată) și presupunem că n m. Așadar, avem: f= g1 g2 … gm gm+1 … gn r1 r2 … rm
undegi, i=1, 2, …, n și rj, j=1, 2, …, m sunt polinoame ireductibile din R[X] .
Conform consecinței 2., polinomul g1 va divide unul din factorii produsului, fie r1 r2 … rm, fie acesta r1.Dar
r1este ireductibil, așa că vom avea g1= k1 r1 cu k1∈ R.Raționând analog pentru factorii g 1, g2,… ,g m rezultă
că avem cu g i=ki ri cu k i∈R i= 1, 2,… și prin urmare egalitatea admisă inițial ne dă
de unde rezultă că produsul de polinoame are gradul zero adică el se reduce la
o constantă,ceea ce impune rezultatul m=n. Atunci avem : g1 g2 … gm =r1 r2 … rm cu g i=ki ri cu k i∈R
i= 1, 2,…,m ceea ce ne arată că cele două descompuneri alepolinomului f conțin (abstracție făcând de factori
constanți) aceeași factori ireductibili .

19
1.5. Inelul polinoamelor într -un număr finit de nedeterminate
Dacă R este un inel, atunci inelul polinoamelor în nedeterm inate X 1, X2, … ,X n cu coeficienți în inelul
R, notat prin R[X 1, X2, …,X n] se definește inductiv astfel: R[X 1]este inelul polinoamelor în nedeterminate X 1
cu coeficienți în R, R[X 1, X 2] este inelul polinoa melor în inelul polinoamelor în nedeterminata X2 cu
coeficienți în inelul R[X 1] și în general R[X 1, X2, … ,X n] este inelul polinoamelor în nedeterminata X n cu
coeficienți în inelul R[X 1 X2, … ,X n-1].
Deci R[X 1] 1-am construit și atunci
RIX 1, X2]= R[X 1][X2],
R[X 1, X2, … ,X n]= R[X 1, X2, , X n-1 ][Xn] •
Dacă f este un polinom din inelul R[X 1, X2, … ,X n ] atunci el este un polinom în nedeter minata Xn cu
coeficienți în R[X 1, X2, …,X n-1] și deci f = f o+ unde fi∈ R[X 1, X2,…,X npentru orice i=
0, 1,…, kn.
Este clar că, din aporape în aproape f se poate s crie ca o sumă finită de forma:
∑ în care elementele din R se numesc coeficienții polinomului f.
Propozitia 1.5.1. Orice polinom f din inelul R[X 1, X2, … ,X n] are o scriere unică sub forma:
∑

Demonstrație:
Am observat mai în ainte că polinomul f se scrie sub forma indicată. Să arătăm că o astfel de scriere este
unică, ceea ce este ech ivalent cu faptul că dacă f=0, atunci toți coeficienții polinomului f sunt nuli.
Demonstrația o facem prin inducție matematică după numărul n de nedeterminate.
Pentru n=1, afirrnația este clară, deoarece avem de -a face cu polinoame într-o nedeterminată.
Fie acum f ∈R[X 1, X 2, ,X n]. Avem f= f o + unde f i∈R[X 1, X2, ,X n] pentr orice i =
0, 1,…, k n. Atunci fieca re fiare o scriere unică:
∑
și deci

20
∑
pentru orice i=0, 1, … ,
Observăm că orice coeficient apare drept coe ficient al unuia dintre polinoa -mele fi, 0 i
kn. Atunci dacă f=0, țin ând seama că f este un polinom în nedeterminataX ncu coeficienții
fo,, rezultă f o = f1 = …= = 0.
Dar oricare f i este polinom în n -1 nedeterminate și deci conform presupunerii inductive rezultă că toți
coeficienții acestor a sunt nuli. Deoarece orice coeficient al polinomu lui f este coeficient al unuia
dintre polinoamele f i, rezultă că toți coeficienții polinomului f sunt nuli, adică unicitatea scrierii lui f sub
forma indicată. Dacă f este u n polinom din R[X 1, X2, … ,X n] gradul lui f relativ la nedeterminata X i, i= 1,
2,..,n este cel mai mare exponent la care figurează X i în expresia lui f.
Când acesta este zero, înseamnă că nedeterminata X i nu apare în expresia lui f. Un polinom de forma
a , se numește monom, iar prin gradul său ințelegem suma i1+i2+ . . . + in și
scriem grad (f)= a = i1+i2+…+i n .
Fie acum ∑
, un polinom scris ca sumă de monoame, scrie-rea fiind
unică. Aceste monoame se numesc termenii polinomului, gradul polinomului f, notat prin grad(f) se
definește astfe l:
( ) {

Observăm că în scrierea lui f pot să apară termeni dife riți care să aibă acelaț i grad.
Dacă toți termenii unui polinom f din R[X l, X2, ,X n] au acelați grad, atunci se numește polinom omogen.
Fiinddate două polinoame omogene, atunci f g este sau polinomul nul sau un polinom omogen nenul de grad
egal cu grad(f) + grad(g).
Polinomul f 0 de grad n, se scrie în mod unic sub forma f = fo + f l +… + f n, , unde fiecare fi este sau
nul sau un polinom omogen de grad i și f n 0. Polinoamele f i , 0 i n se numesc componentele
omogene ale polinomului f.
Propoziția 1.5.2. Fie R un inel și f, g po linoame din R[X 1, X2, … , X n], atunci:
1.grad (f+ g) max {grad(f), grad(g)}
2. grad(f g) {grad(0 + grad(g)}

21

3. Dacă în plus R este domeniu de integritate, atunci R[X 1, X 2, … ,X n] este de asemenea domeniu de
integritate și la punctul 2. Avem egalitat e.
Demonstrație: Afirmațiile de la 1. și 2. sunt clare dacă avem în vedere scrierea polinoa melor f și g ca
sumă de polinoame omogene.
Demonstrația afirmației 3. o vom face prin inducție după n.
Într-adevăr pentru n = 1 s -a arătat în corolarul 1.1.3.
Dacă presupunem că.R[X 1, X2, … ,X n-1] este domeniu de integritate, atunci așa va fi și R[X 1, X2, … ,X n]
deoarece R[X 1, X2, ,X n] = R[X 1, X2, …, X n-1 ][X n ]. Fie f și g polinoame nenule de grad p și q
respectiv. Scriem: f= f o + fl +…+ f p și g = g 0 + g 1 +…+ g q cu fp 0, g q 0 iar f i și g j sunt sau egale cu
zero sau polinoame omogene de grad i respectiv j.
Avem ∑
∑
Deoarece R[X 1, X2, … ,X n] este domeniu de integritate atunci
hp+q = f p +g q de unde relația grad(f g)= grad(f) + grad(g).
Funcția u: R R[X 1, X2, … ,X n] definită prin u(a) = a este un morfism unitar de inele, pe care vom numi
morfismul canonic de la R la R[X 1, X2, … , X n ]
Teorema 1.5.3. (Proprietatea de universalitate a inelelel or de polinoame în n nedeterminate)
Fie R un inel comutativ și unitar, inelul polinoamelor R[X 1, X2 , … ,X n] și morfismul canonic u: R R[X l, X2,
…X n]. Atunci oricare ar fi inelul comutativ și unitar S, morfismul unitar de inele v: R S și X 1, …
,Xn∈S, există un unic morfism de inele , – S astfel încât u(X i) = x i , 1 S i n și
diagrama următoare să fie comutativă, adică = v.
u
R R[X 1, X 2, … , X n]

v
S

Demonstrație: Se demonstrează prin inducție după n. Pentru n = 1 rezultă din teorema 1.1.5
Presupunând afirmația adevărată pentru n -1, există o diagramă comutativă de forma:

22

R R[X 1, X 2, … , X n-1]

v
S

unde u' este morfismul canonic, iar este unicul morfism de inele, astfel încât (Xi) = x i,
u'= v. Cum R[X 1, X2, … ,X n] = R[X 1, X2, … ,X. n-1][ X n] din teorema 1.1.5. avem diagrama
comutativă:

R[X 1, X2, … , X n-1] R[X 1, X2, … , X n-1][X n]

S
unde u" este morfismul canonic, iar este unicul morfism de inele astfel încât ( X n)= x nși u"= '.
Deoarece u = u" u' este morfismul canonic de la R la R[X 1, X2, … ,X n], avem că u= ( u" u')= ( u")
u'= u'= v, adică diagrama
u
R R[X 1, X 2, … , X n]

v
S este comutativă.
Mai mult pentru ( ) ( ( )) ( ) . Deci ( X i)= x i pentru orice
n. Având în vedere că este unic iar = u" rezultă imediat unicitatea
morfismului .

23

CAPITOLUL II

RĂDĂCINILE POLINOAMELOR
2.1. Rădăcinile polinoamelor. Proprietățile rădăcinilor unui polinom
Fie S un inel, R S un subinel al său și v: –> S incluziunea adică u(a) = a.
Teorema 1.1.5. ne dă pentru fiecare x ∈ S un morfism de inele : [X] –> S astfel încât
( ) (∑
) ∑
.
Spunem că (f) este valoarea polinomului f în x și o vom nota cu f(x). Spunem că elementul x ∈S
anulează polinomul f =∑
din [X] sau că x este o rădăcină sau un
zero al lui f dacă f(x) = 0, adică ∑
= 0.
Fiind dat un polinom arbitrar f din [X] putem să definim funcția fs : S –> S prin f s(x) =f(x) oricare ar fi x ∈ S. Astfel
fiecărui polinom f din [X] și fiecărui inel S care conține pe ca subinel îi corespunde o funcție de la S la S care
poate fi pusă sub forma f s pentru un anumit f din [X] se numește funcție pol inomială pe S sau funcție pe S
asociată polinomului f. În particular, dacă S= se obține funcția de la R la R pe care o vom nota și cu f .
Deci, dacă f ∈R[X], atunci f : R –> R este funcția definită prin f (x) = f(x), numită funcția polinomia lă
asociată polinomului f.
Dacă f =a ∈R, atunci funcția f este constantă, f (x) = a pentru orice x ∈R. De aceea elementele inelului
R, considerate ca polinoame, se vor numi polinoame constante. Având în vedere cele precedente, pot fi
funcții polinomiale f care să fie constante, chiar când f ∈R. Dar numai acele polinoame care sunt în R se
numesc constante.
Observație: Dacă R este un inel și f, g sunt polinoame din R[X] atunci este evident că
funcțiile polinomiale f și g sunt egale. Există însă și polinoame di ferite care să aibă
funcțiile polinomiale egale. De exemplu : f = x – ̂ și g = x2 + ̂sunt polinoame din

24
ℤ , – și fie ̃: ℤ ℤ ̃ ℤ ℤ funcțiile polinomiale asociate lui f și g. Avem
̃( ̂) ̃( ̂)= ̂ ̃( ̂) ̃( ̂) ̂. D e c i ̃ ̃d a r e v i d e n t f g .
Fie f și g două polinoame din R[X]. Spunem că f divide g și scriem | dacă există
h∈R[X] astfel încât g=f•h. În caz contrar, spunem că f nu divide g și scriem f g .
Orice polinom divide polinomul nul, iar polinomul nul d ivide numai pe el însuși.
Propoziția 2.1.1. (Teorema lui Bézout )
Fie R domeniu de integritate și f un polinom din R[X]. Atunci x ∈R este o rădăcină a lui f dacă și numai
dacă X -x divide f.
Demonstrație: Fie x∈R[X], f = , , X +… + 0 , astfel încât f(x) = 0.
Atunci f (X) f (X) – 0 = f (X) -f (x) = a 0 + X + … + -(ao + a 1x + … + ) =
=+ ( X -x)+ …+ ( ). Deoarece X – x divide Xk – xk pentru orice 1 k n,
rezultă că X – x divide f. Reciproc dacă X – x, divide f, atunci f = (X – x) •h cu h∈R[X]. Deci f(x) = (x – x)h(x)
= 0, adică x este o rădăcină a lui f.
Definitia 2.1.2. Spunem că elementul x din domeniul de integritate R este rădăcină
multiplă de ordin i, sau rădăcină de ordin de multiplicitate i a polinomului f din R[X], dacă(
) iar( ) . Din teorema lui Bézout rezultă că x ∈R este rădăcină multiplă de ordin i a lui f
dacă și numai dacă există un polinom g din R[X] astfel încât
f =( ) gcu g(x) 0.
Propoziția 2.1.3. Fie R un domeniu de integritate, iar f și g polinoame din R[X]. Dacă x ∈R
este rădăcină multiplă de ordin i a lui f, respectiv rădăcină multiplă de ordin j a lui g atunci
x este rădăcină multiplă de ordin i + j a produ sului f•g.
Demonstrație: Avem f = ( ) cu f 0 și g=g ( ) , cu g 0.Atunci și
f g =( ) cum R este un domeniu de integritate ( ) ( ) .Deci x este o rădăcină de
ordin de multiplicitate i + j a lui f g.
Propoziț ia 2.1.4. Fie R domeniu de integritate și f un polinom nenul din R[X]. Dacă ele-
mentele x1, x 2, … , din R sunt rădăcini distincte ale lui f, de ordine de multiplicitate
atunci f se scrie sub forma f = ( ) ( ) , … ( ) , gunde ∈R[X].

25
Demonstrație: Procedăm prin inducție după k.
Pentru k = 1, propoziția rezultă din definiția 2.1.2. Presupunem că. propoziția este adevărată pentru k -1 și să arătăm
că ea este adevărată pentru k. Există, deci g i∈R[X] astfel "incât.
f ( ) ( ) , … ( ) .
Atunci ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= 0 și cum pentru orice
1 i k-1 rezultă ( ) = 0.
Notând h =( ) ( ) ( ) avem f=h• cu h( ) 0 și deoare ce este
rădăcină a lui f de ordin de mult iplicitate este clar că este rădăcină a lui
de același ordin de m ultiplicitate .
Într-adevăr, =( ) ( ) ( )
Atunc i ( ) ( ) • h de unde( ) și deci g2( )h( ) = 0 Cum h( )
0 atunci ( = 0 adică ( ) .
Avem, deci = ( ) . și continuăm procedeul de atâtea ori cât es te ordinul de multiplicitate al
rădăcinii a lui f. Obținem deci ( ) și deci
f = ( ) ( ) , … ( ) , g
Observație: Când numărăm rădăcinile unui polinom și nu specificăm că sunt distincte, considerăm fiecare
rădăcină de atâtea ori cât este ordinul său de multiplicitate.
Corolarul 2.1.5. Dacă R este un domeniu de integritate și f un polinom din R[X] cu grad(f)=n >0 , atunci f
are cel mult n rădăcini.
Observație: Dacă R nu este domeniu de integritate afirmația din corolarul precedent nu
este neapărat adevărată .
Fie inelul R= ℤxℤ are nu este domeni u de integritate. De exemplu: (0, 1)•(1, 0) = (0 , 0) și deci R are
divizori ai lui zero. Să considerăm polinomul f = (1, 0)X din R[X] al cărui grad este 1. Orice element (0, n)
din R este rădăcină a lui f deoarece: f(0, n) = (1,0) -(0,n) =(0, 0) deci f are o infinitate de rădăcini .
Propozitia 2.1.6. (Relațiile Iui Vié te)
Fie R un domeniu de integritate f = a o + ,X +…+ 0 un polinom nenul d in
R[X]. Dacă x 1, x2, … ,x n sunt radacinile lui fin R, atunci
( )( ) ( )ș

26
(x1 + x2 +,…,+x n ).
(
………………………………………………………
(- 1)k a k = an (x1 x2 .. ..x k + x1 x2 … x k-1xk+1 … + x n-kx n-k+2…xn)
………………………………………………………
( ) a0 = an (x1 x2…xn ).
Demonstrație:
După propoziția 2.1.4. putem scrie f = ( )( ) ( ) cu g∈R[X].
Identificând coeficientul lui din ambii mem bri, avem g= a n. Deci
f = ( )( ) ( ) (x1 + x2 +,…,+x n ) +
+ ( )
+(— 1)k a n (x1 x2 .. ..x k + x1 x2 … x k-1xk+1 … + x n-kx n-k+2…xn) +…+ ( ) an x1 x2… xn
de unde prin identificarea coeficientilor in cele doua scrieri ale lui f se obtin relatiile cerute.
Relatiile din propozitia precedentă se numesc relațiile dintre rădăcinile i coeficienții unui
polinom sau relațiile lui Viéte..
Corolaru l 2.1.7.(Teorema lui Wilson)
Dacă p 2 este un număr natural prim, atunci ( p -1)+1 (mod n)
Demonstratie: Fie corpul ℤ al claselor de resturi modulo p și polinomul f = dinℤ [X]. Grupul U
(ℤ ) elementelor inversabile din ℤ are ordinu l p-1. Rezultă că oricare ar fi ̂ ̂din ℤ avem ̂ ̂ șideci
rădăcinile polinomului f sunt ̂ ̂ .Folosind propoziția precedent rezultă ̂ ̂ =
( ) ( ̂). Cum p este prim, dacă ,atunci p este impar și deci ( ) iar dacă p=2
atunci( ) ( ̂) ( )( ̂) ̂.
Prin urmare (p — 1)! = ̂, adică (p — 1)! + 1 = ̂de unde (p -1)+1 (mod p).
Observație: Este adevarată și reciproca teoremei lui Wilson, mai precis, daca p 2 este un
număr natural astfel încât (p -1)+1 (mod p), atunci p este un număr prim. într -adevăr fie q, 0<q< p un
divizor natural al lui p. Deoarece p (p -1)+1 ⇒ q (p —1)+1 . Cum q ( ) avem q i deci q=1.

27
2.2. Polinoame simetrice
Fie R un inel comutativ R , – inelul po linoamelor în nedeterminatele .Sa
consideră m S n grupul permutărilor de grad n și ∈ Sn o permutare
oarecare. Să notă m cu u: R R, -morfismul canonic u(a) = a. Folosind proprietatea de
universalitate a inelelor de polinoame, există un unic morfism de inele
* : R, – R, -astfel incat o- * (X1) = ( )oricare ar fi și
diagrama
u
R R, –

u

R, – să fie comutativă , adică = u..
Faptul că diagrama este comutativă înseamnă că *(a) =a, oricare ar fi a ∈R.
De exemplu: dacă luă m polinomul f = aX 1X2X3 + + X 1X2X3 , a 0 din
R, – și (
) atunci
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( )( ( ))

În general, dacă f( ) este un polinom din R, – atunci
*( f(Xi, X2 , , Xn))= f ow, X0.(2),…, X c, (n)) sau dacă scriem
∑
atunci ( ) ∑
( ) ( ) ( )
Este ușor de văzut că dacă f ∈ R, – atunci sunt ad evărate proprietăț ile:
1. Daca ∈ atunci( ) ( ) ( ( ))
2. Dad. e∈ este permutrea identică, atunci e*(f) = f
3. Dad ∈ atunci * este un izomorfism de inele de la R, – în el însuși , inversul sau fi ind
( ) .

28
Definitia 2.2.1. Un polinom f din R, -se numește simetric, daca pentru orice ∈
permutare , avem * (f)= f ,adică polinomul rămâne invariant la orice permutare a
nedeterminatelor sale.
Deoarece once permut are este un produs de transpoziții, rezultă, ca polinomul f din
R, -este simetric dacă și numai dacă f este invariant la toate transpozițiile din Sn. Să
notărn cu T mulțimea polinoamelor simetrice din inelul R, -.
Propozitia 2.2.2. Mulțimea T a polinoamelor simetrice de n nedetrminate cu coeficienți într-un
inel R formează un inel în raport, cu adunarea și înmulțirea polinoamelor.
Demostratie: Vom arăta că T este un subinel al inelului R, – și deci la rândul
său este un inel.
Într-adevăr, dacă ∈ ∈ este o permutare oarecare, atunci:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) adică f – g și f · g
aparțin lui T.
Inelul de mai înainte se num ește inelul polinoamelor simetrice în n nedeterminate cu coeficienți
în inelul R.
Lema 2.2.3. Fie fun polinom R, -de grad m și componentele sale
omogene. Dacă f este polinom simetric, atunci fiecare componenă omoge nă este polinom
simetric.
Demonstrație: Polinomul f se scrie în mod unic sub forma f = f o + +…+fm unde fiecare este un
polinom omogen grad i. Fie ∈ o permutare oarecare. Atunci * (f) = f i deci
f = ( ) ( ) ( ) (fm).Deoarece ( ), este tot un polinom
omogen de grad i, din unicitatea scrierii lui f că sumă de polinoame omogene, rezultă
( ) că oricare ar fi i=0, 1,…,m. Deci polinoamele sunt simetrice.
Propozitia 2.2.4. Polinoamele s o, s 1, … , s n din R[X 1, X 2, ,X n] definite prin:
∑

∑

29
∑

…………………………………………………………………….
sunt simetrice.
Demonstrație: Fie polinomul g(X) = (X — X1)(X — X2)…(X — Xn) din R[X 1, X2, … ,X n] care se mai scrie
g(X) = ( )
Dacă ∈ R[X 1, X2, … , Xn] R[X 1, X2, … ,X n] definim:
R[X1, X2,… , Xn, X] R[X 1, X2, … , Xn, X] prin (Xi)= ( )= (Xi) oricare ar fi i =1, 2, …,n ,
(X) = X și (a) = a oricare ar fi a ∈R.
Atunci (g(X)) = ((X — X1)(X — X2)…(X — Xn)) = (X — ( ))(X — ( ))…(X — ( )) = g(X)
Pe de altă parte
( ( )) ( ( ) ) ( ( ))
( )( ( ))
+ ( )( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Din cele două expresii ale lui (g(X)) se obtine (si) =si ,0 i n, adică s1, s2, … , s nsunt polinoame
simetrice.
Polinoamele simetrice s1, s2, … , s n se numesc polinoame simetrice fundamentale în nedeterminatele X1,
X2, … , Xn,. Pentru un polinom f din R[X 1, X 2, … ,Xn] am definit ce înseamnă gradul său, observând că
poate avea mai mulți termeni al căror grad să fie egal cu gradul polinomului.
De exemplu: fie polinomul f = X 12X23 + X 1 X2 3 X3+ X2 + X 1 X2 X3 + X 12X32 din R[X 1, X2, ,X n). Avem ca
grad(f) = gra d(X 12 X23) = grad(X 1 X23 X3 ) = 5.
Propoziția 2.2.5. Dacă produsul termenilor principali a două polinoame este nenul, atunci acesta estettermenul
principal al produsului celor două polinoame.
Demonstrație: Fie f, g polinoame din R[X 1, X2, „. ,X n] și a … respectiv b
termenii principali ai celor două polinoame, astfel încât . Rezultă
că este termenul princi pal al produsului celor două polinoame.
Lema 2.2.6. Dacă f∈R[X 1, X2,…, X n] este un polinom simetric, iar a … termenul său principal,
atunci

30
Demonstrație: Să presupunem prin absurd că avem ki<ki+1 pentru un anumit i. Polinomul f fund simetric, monomul
a … este un termen al lui f, care este mai mare decât termenul principal,
contradicție.
Observație: Dacă … este un monom pentru care k1 k2 … knatunci există doar un număr
finit de monoame , pentru care s1 s2 … sn i … .
Într-adevăr avem , i deci există doar un număr finit de numere s 1, iar pentru fiecare s1 dat există
cel mult sisteme (s 2, s3, …, s n)pentru care s1 s2 … sn.
Teorema 2.2.7. (Teorema fund amentală a polinoamelor simetrice )
Fiecare polinom simetric f din R[X l, X2, … ,X n] se poate exprima în mod unic ca un polinom de polinoame
simetrice fundamentale. Cu alte cuvinte, există un unic polinom g∈R[Xl, X2, … ,X n] astfel încât f = g( s1, s2,
…, sn ) untie s1, s2, …, s n sunt polinoame simetrice fundamentale.
Demonstratie: Fie f∈R[Xl, X2, … ,X n] un polinom simetric de grad n. Conform lemei 2.2.3. f se scrie în mod
unic ca sumă de polinoame omogene simetrice.
Putem presupune fără a restrânge generalitatea că f este polinom sinmetric omogen.
Fie grad(f) = m iar a … ,a 0 termenul său principal.
Din lema 2.2.6. rezultă că k1 k2 … kn.Termenul principal al polinomului s i este X1 X2 … Xi atunci
după propoziția 2.2.5. termenul principal al lui s1k1-k2s2k2-k3…sn-1kn-1-knsnkn este … . Deci termenul principal
al polinomului f1=f-as1k1-k2s2k2-k3…sn-1kn-1-knsnkn mai mic decât al lui f.
Continuăm acum procedeul pentru f 1 . Dacă , b este termenul său principal, fie
f2 =f1- bs1t1-t2s2t2-t3…sn-1tn-1-tnsntn .
Termenul principal al lui f 2este mai -mic decât al lui f și p utem continua procedeul. Ținând seama de
observatia precedentă, procedeul se va sfârși după un număr finit de pași. Astfel, se ajunge la o expresie a lui
fin funcție de s1, s2, …, s n .
Să demonstrăm acum unicitatea. Pentru ,aceasta să arătăm că dacă h∈R[Xl, X2, … ,X n] și h( s1, s2, …, s n ) = 0
atunci h = 0.

31

Fie deci h(s1, s2, …, s n ) = 0 = ∑ arătăm că toți coeficienții ai
polinomului h sunt nuli. Presupunem prin absurd că există coeficien -ti nenuli și fie unul dintre aceștia.
Atunci polinomul are termenul principal … unde al cărui
grad este m = ∑ ∑

Mai mult dacă s1l1'
s2l2'
,…,snln'
s1l1s2l2,…,snln atunci termenii principali respectivi sunt diferiti.
Într-adevăr, dacă pentru i = 1, 2,…,n atunci + + …+ =li+li+1+ …+ln, pentru ar fi i = 1,
2,…,n. de unde rezultă =li oricare ar fi i = 1, 2,…,n.
Deci, termenii principali in X 1, X2, … ,Xn diferiți ai diferitelor monoame distincte în s1, s2, …, s n care
apar în expresia lui h, nu se reduc.
F i e cel mai mare termen principal. Atu nci înlocuind s1, s2, …, s n prin expre siile lor în
X1, X 2, … ,Xn apare un polinom în X1, X 2, … ,Xn egal cu zero care are un termen
termen nenul, ceea ce este în contradicție c u definiția polinomului nul.
Aplicație: Să se exprime ca polinom de polinoame simetrice fundamentale, polinomul
( ) ( ) ( ) simetric cu coeficienți reali.
Termenul principal al polinomului f este X 14X22 , atunci exponenții termenilor principali ai polinoamelor care vor
rămâne după eliminarea succesivă a termenilor principali ca -n procedeul descris in demonstratia teoremei
2.2.7.vor fi: (4, 2, 0), (4, 1, 1), (3, 3, 0), (3, 2, 1), (2, 2, 2).
Deci, f =s,2s22 +as,3s3 + bs 23 +cs,s 2s3 +ds 32, unde a, b, c, d sunt numere reale. Determinăm acești
coeficienți, dând valori numerice nedeterminantelor X 1, X2, X3.
X1 X2 X3 s1 s2 s3 f
1 1 0 2 1 0 0
2 -1 -1 0 -3 2 0
1 -2 -2 -3 0 4 0
1 -1 -1 -1 -1 1 0

Astfel obtinem sistemul de ecuatiii:
{ 0=4+b
0=-27+4d
0=-108a+16d
0=1-a-b+c+dde unde obtinem a = – 4 , b = – 4, c = 18, d= -27.
Prin urmare ( ) ( ) ( )

32

2.3. Câteva considerații privind polinoamele numerice
În continuare ne ocupăm cu polinoame numerice, mulțimea R fiind ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ.
Săpreusupunem că luăm mulțimea ℝ, a valorilor reale și considerăm inelul de polinoame ℝ [X].
Daca f∈ℝ [X] este un polinom cu coeficienti reali și f=a0+a1X+ …+an-1Xn-1+anXnși fixăm pentru
nedeterminata X o valoare x o∈R pe care a poi o înlocuim în expresia poli nomului efecutăm operațiile,
obținem numărul real f(x 0) valoarea polinomului in x = x o. Cum prin intermediul polinomului f oricărui
număr real x se poate pune în corespondență numărul real unic determinat f(x), deducem că se poate defini
funcția:f:ℝ ℝ
x f(x).
Funcția astfel definită o numim funcția polinomială. Un polinom funcția polinomială care se
definește cu ajutorul lui sunt noțiuni distincte. Este posibil ca la două polinoame diferite din același
inel de polinoame să corespundă una aceeași funcție polinomială.De pildă, dacă luăm
ℤ3 = { ̂ ̂ ̂}corpul claselor de resturi modulo 3 și polinoamele:
( ) ̂ ( ) ̂atunci, deoarece ( ̂) ( ̂) ̂
( ̂) ( ̂) ̂
( ̂) ( ̂) ̂
cele două polinoame definesc o aceeași funcție și anume funcția care duce toate elementele din ℤ3 în
elementul ̂ din ℤ3 .Dacă f este funcția corespunzătoare polinomului
f(X)=a0 +a1 + a2 +…+an-1x +anvom numi polinomul f derivate polinomului
corespunzător funcției dacă -l notăm cu f(x) atunci el este
f(X)=na0 +(n-1)a1 +…+ an-2x +an-1x.
Fie polinomul f=a0+a1X+ …+an-1Xn-1+anXn ∑
din ℂ[X]. Considerărn numărul arbitrar ales h. Ne
propunem să calculăm valoarea polinomului f în x+h, x ∈ℂ .
( ) ∑ ( )
∑ (∑
)
de unde se vede că f se poate considera fie
ca polinom în x (atunci când pentru h fixăm o anumită valoare), fie ca polinom în h (atunci când îl fixăm pe
x). În acest al doilea caz ea capătă forrma: g(h)

33
= (care depinde de x) pot fi determinați în felul
următor:
Luăm h = 0 avem A o = g(0) = f(x) și considerând apoi polinomul derivat g' pr ecum și următoarele
sale derivate pănâ la cea de ordinul n, avem:
g'(h) =
g"(h) = ( )
………………………………………………………………….. ………..
g(n)(h) = n! A n
de unde rezultă ( ) ( )
( )
( )

Derivatele lui g nu sunt altceva decât derivatele lui f în raport cu h, astfel, putem scrie că
( )

Prin urmare ( ) ( ) ( )
( )
( )
.care reprezintă formula lui Taylor
pentru polinoame.
Dacă înlocuim y = x + h această formulă devine:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) și fixăm o valoare pentru x
atunci notând din nou nedeterminata cu x, avem:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) , iar aceasta reprezintă
dezvoltarea lui f după puterile lui x – xo.
Dacă în particular, considerăm atunci = 0 avem:
( ) ( ) ( )
( )
( )( )
,care reprezintă formula lui Maclaurin pentru
polinoame.

34
2.4. Rădăcinile polinoamelor di n C[X]
Un polinom f ∈ℂ[X] de gradul n are n rădăcini . Conform teoremei fundamentale a alge brei, polinomul f are o
rădăcina pe care o no tăm . Atunci el este divizibil prin x – x1 deci există un polinom f1∈ C[X] de gradul n –
1 astfel încât putem scr ie: f(x) =( x – x1)f1(x).
Deoarece f 1 face parte din inelul ℂ [X], se poate aplica aceeași teorema și prin urmare, dacă notăm cu x 2
rădăcina lui, există f 2∈ℂ [X] un polinom de gradul n – 2 astfel încât
f1(x)=(x-x2)f2(x) și deci f(x)=(x-x1)(x-x2)f2(x).
Prin recurență aplicând fiecărui nou polinom fk , k=2, 3,… teorema fundamentală ajungem la un polinom
fn-1∈ℂ [X] de gradul întâi care are rădăcina x n și care se va scrie sub forma:
fn-1(x)=a(x-xn), a∈ℂ.
Deci,f(x)=a(x-x1) (x-x2) (x-xn) și are rădăcinile x1, x2, …, xn. Desigur unele dintre acestea pot
fi egale între ele (rădacini multiple) și deci, cea mai generală formă de scriere a polinomului f
descompus în factori liniari este: f(x) = a(x-x1)p1(x-x2)p2… (x-xm)pm,px∈N*, numerele
p1 p2 pmfind ordinele de multiplicitate ale rădăcinilor distinct x1, x2, …, xm respectiv, deci
verificând egalitatea: p1 p2 pm .
Să presupunem că polinomul f(x) = aoxn + aixn-1 +… + an are rădăcinile x1, x2, …,xn.
Atunci din identitatea: f(x)=a(x-x1) (x-x2) (x-xn) rezultă
următoarele relații între rădăcinile polinomului și coeficienții săi:
∑

∑

∑

……………. ………………………………………………………………….
∑ ( )

( )
cunoscute sub numele de formu lele lui Viéte .

35
Fie f și g două polinoame și să presupunem că f se divide cu g. Atunci există un polinom h astfel încât f
=g h. Să mai presupunem că x = a este o rădăcină a polinomului g. inseamnă că acesta este divizibil prin
x-a și prin urmare putem scri e: g(x) = (x – a)g1(x) și deci f(x) = (x – a)g1 (x) h(x).
Cum x – a este de gradul întâi, este ireductibil deducem că el apare ca unul din factorii ireductibili în care
s-ar putea descompune polinomul f. Atunci el este un divizor al acestuia și în consecinț ă x = a este o
rădăcină și a polinomului f. Rezultă că, dacă un polinom f este divizibil printr -un polinom g atunci f orice
rădăcină a lui g este rădăcină și a lui f.
Reciproc, să presupunem că, oricare ar fi o rădăcină x = a a polinomului g, aceasta este și rădăcină a
polinomului f. Atunci x – a, care este un factor prim al lui g, va fi un factor prim și al polinomului f. Prin
urmare, toți factorii liniari din descompunerea polinomului g vor apărea și în descompunerea lui f. Dacă x = a
este o rădăcină multi plă de ordinul k a polinomului g, atunci acesta va fi divizibil prin (x – a)k. Înseamnă că
polinomul spre a fi divizibil prin g, va trebui să fie și el divizibil prin (x – a)k, deci să aibă x = a
rădăcină multiplă de ordinul p k. Astfel, am demonstrat o p roprietate de o foarte mare utilitate și anume, că
dacă f și g sunt două polinoame numerice, atunci polinomul f este divizibil prin polinomul g dacă și numai dacă
orice rădăcină a polinomulu i g este rădăcină și al polino mului f, având și pentru acesta un ordin de multiplicitate
cel puțin egal cu cel pe care î1 are pentru polinomul g.
Fie f și g două polinoame numerice, care au x = a rădăcina comună (simplă sau multiplă de ordinul k >1).
Atunci fiecare d in ele este divizibil prin (x – a)k k=1, 2,… deci fa ctorul (x -a)k este un divizor comun al
celor două polinoame. Atunci (x -a)k este c.m.m. d.c. alpolinoamelor f și g, deci x = a va fi o rădăcină a
acestuia.
Și reciproca acestui rezultat este valabilă: orice rădăcină a polinomului (f, g) este rădăcină comună a
polinoamelor f și g cu același ordin de multiplicitate ca și pentru polinomul g) Astfel, rezultă următoarea
proprietate foarte importantă în aplicații: rădăcinile comune a două polinoame sunt rădăcinile celui mai
mare divizor comun al lor. (cu ordinele de multiplicitate respective).
O altă metodă pentru stabilirea rădăcinilor comune a două polinoame numerice este următoarea:
Fie f și g polinoame numerice: ( )
( ) despre care vom presupune că au rădăcinile
: respectiv ă
Atunci se poate scrie : f(x)=a0(x-x1)(x-x2)…(x-xn)=a0∏(x-xi)n
i=1

36
g(x)=b0(x-x1')(x-x2')…(x-xm')=b0∏(x-xj')m
j=1
Considerăm expresiile: A=∏f(xj'm
j=1),B=∏g(xin
i=1) în legătură cu care facem observațiile:
a) Deoarece A= ∏f(xjm
j=1)=∏ ∏( )

∏∏( )

B=∏g(xin
i=1)=∏ ∏( ) ∏∏( )

se vede că
∏∏( ) ∏∏( )

așa că

∏∏| |

b. Dacă cele două polinoame f și g au o rădăcină comună atunci A = B = 0, pentru că în acest caz există
un anumit i și un anumit j pentru care x i – x'j = 0. Această observație ne arată că dacă se ia în considerație
expresia:
r(f, g)= ∏∏( )

atunci condiția necesară și suficientă ca polinoamele f și g să aibă
rădăcini comune este ca r(f, g) = 0.
Că această condiție este necesară s -a văzut, suficența ei rezultă din faptul că implicația
r(f,g) = ⇒∏∏( )

= 0 impune existența unui i și a unui j (cel puțin) astfel că:
Expresia r(f, g) se numește rezultant al polinoamelor f ș i g și se vede că este un polinom de
coeficienți ai(i=0, n̅̅̅̅̅)și bj(j=0, m̅̅̅̅̅̅)ai celor două polinoame f și g.
De asemena se vede r(f, g) = ( ) r(g, f).
Fie f și g două polinoame care au rădăcini comune Polinoamele f i g au o singură rădăcină com ună. Fie
aceasta x = , în acest caz putem scrie:
f(x) =( x – ) (x) cu grad = n – 1
g(x) =( x – ) (x) cu grad = m -1
de unde rezultă că f(x)g1(x)-f1(x)g(x) = 0. Așadar putem afirma că: o condiție necesară și suficientă ca
polinoamele f (de gradul n) și g (de gradul m) să aibă o rădăcină comună este ca să existe două polinoame f1
(de gradul n -1) și g1 (de gradul m -1) astfel că:
f(x)g1(x)=(x)g(x) (*)
Demonstrăm că această condiție este și suficientă.

37
Într-adevăr, fie (k =1, n) rădăcinile polinomului f. Atunci f (x) = ( )( ) ( )și conform
egalității date avem: f1(x)g(x)= ( )( ) ( )g1(x).
Cum grad(f)=n — 1 rezultă că dintre factorii liniari x -xk, k = ̅̅̅̅̅cel puțin unul va divide pe g(x). Există deci ce1
puțin un factor liniar, fie acesta x – p (p fiind unul dintre numerele, k =( ̅̅̅̅̅ ) care divide atât pe f și pe g.
Atunci x = p este rădăcină comună a celor două polinoame.
În cazul în care polinoamele f și g au un factor comun de grad mai mare ca unu din condi ția (*) rezultă că
gradele polinoamelor și pot fi mai mici decât n – 1, respectiv m – 1.

38
2.5. Rădăcinile polinoamelor din ℝ [X]
Considerăm mulțimea polinoamel or cu coeficienți reali care, este un inel de polinoame. Fie polinomul f din
acest inel: f(X) = + + … + X +
și X ϵ ℝ = ℝ atunci funcția polinomială corespunzătoare va fi:
f: ℝ ℝ, f(X) = a o + a1 + … + x+ an,
Proprietăți
1. Fie f(x) ϵ ℝ și g: ℂ ℂ, f(x) = a o + + … + + an
Demonstrăm că dac,ă X ϵ ℂeste un număr complex oarecare atunci, notând cu numărul
complex conjugat cu acesta avem: g( ) = g( x) . (vaIorile funcției g pentru două valori complexe
conjugate ale nedeterminatei sunt ele insele două valori complex conjugate).
Într-adevăr, deoarece sunt adevărate
∑
= ∑
, = a, (a ϵ ℝ)
∏
= ∏
, = ( ) avem
g( ) = ∑
( ) = ∑
=∑
= = ∑
( ) = ( )
Observație: Această proprietate ne arată în particular că dacă pentru x= avem f( ) = 0 atunci ƒ ( ) =
( ) = 0. Deci, dacă f(x) ϵ ℝ[X] și x = este o rădăcină complexă a lui (rădăcină ℂ\ℝ) atunci și x =
este o rădăcină a lui. Rezultă că numărul de rădăcini complexe ale unui polinom f ϵ ℝ[X] este par si prin
urmara paritatea numărului de rădăcini reale ale sale este aceaș cu paritatea gradului său.
2. Polinomul f ϵ ℝ [X] este divizibil prin polinomul g(x) ϵ ℝ [X] dacă și numai dacă există polinomul h ϵ ℝ[X]
astfel încât f=g•h .
Dacă f, g ϵ ℝ[X] atunci și cel mai mare divizor comun al lui (f, g) ϵ ℝ[X]
3. Un polinom f ϵ ℝ[X] se descompune în mod unic într -un produs finit de factori ireductibili din ℝ[X].

39
a. Factorii liniari sunt ireductibili în orice inel de polinoame. O primă cate gorie de factori ireductibili în
ℝ[X] sunt factori de forma x -a, a ϵ ℝ
b. Să presupunem acume că x = ϵ ℂ este o rădăcină a polinomului f ϵ ℝ [X], atunci polinomul f este
divizibil prin factorul liniar x –
Conform observației din punctul 1, polin omul f are și rădăcina
x = , deci va fi divizibil și prin factorul liniar x — . Cum x – și x = , sunt factori primi între ei,
polinomul va fi divizibil prin pro dusul lor.
Dacă notăm xo = a +iβ ; a, β ϵ ℝ[X] atunci = a — iβ și vom avea:
(x—xo)(x— o)= x2 — x(x+ )+ = x2 — 2ax + + β2 = (x – a)2 + β2
Refăcând acest raționament în sens invers stabilim că cele de mai sus sunt valorile și în sens reciproc,
astfel încât deducem că, o a doua categorie de facto ri ireductibili în ℝ [X] sunt factorii de forma (x — a)2 +
β2 unde a, βℝ[X].
Cele două constatări ne arată că: orice polinom din ℝ [X] din are o descompunere unică într-un produs finit
de factori liniari și pătratici ireductubili.
Aplicație,
Acest rezultat este foarte util în aplicații, mai ales prin ceea ce ne dă folosindu -l în teorema de descompunere în
fracții simple care este valabilă și în inelul ℝ [X] sub forma:
Dacă g ϵ ℝ[X] și g(x) =( ) ( ) … ( ) ,( ) – … ,( ) –
atunci pentru orice x pentru care g(x) 0 avem:
( )
( ) = h(x) +
+
( ) + … +
( ) +
+
( ) + … +
( ) +
+ … +
+
( ) + … +
( ) +
,( ) – + … +
,( ) – + …+
+
( ) +
,( ) – + … +
,( ) –
Exemplu: dacă g(x) = ( ) ,( ) – atunci
( )
( )= h(x) +
+
( ) +
( ) +
( ) +
,( ) –

40
2.5.1. Proprietățile referitoare la existența rădăcinilor
reale ale p olinoamelor din ℝ [X]
Dacă f este un polinom din inelul ℝ [X], x ϵℝatunci funcția polinomială f: ℝ ℝ
f(x) = + + … + x+ a n este o funcție este continuă iar aceast ă calitate a ei are implicații
esențiale asupra existenței valorilor x ϵℝîn care ea se anulează.
1. Știm că dacă pentru x = a și x = β două valori reale, distincte ale variabilei, o funcție f continuă , ia valori de
semne contrare (deci f(a)f(β)<0) atunci există cel puțin un număr real ϵ (a,β) în care ea se anulează.
De pildă: Dacă f (x) = x4 +(2+√ ) + (2√ -1) – 4√ x-6
și observând că f (1) =-√ -4 < 0
f (2) = 8 + 11 √ > 0
rezultă că polinomul f are cel puțin o rădăcină în ( 1, 2).
Dacă extindem intervalul (a,β) la toată axa reală, atunci deducem următoarele rezultate:
a. Un polinom de grad impar are întotde aua cel puțin o rădăcină reală.
Într-adevăr, deoarece :
ƒ(x) = .

/ = (- ) și analog f(x) = a o .
Se vede că (- ) ( ) < 0 și conform proprietății 1 rezultă afirmația a.
Exemplu:
f (x) = 2×5-√ + √
–
+
x-
√ are cel puțin o rădăcină reală.
Mai mult, deoarece f(0) =
√ <0 și (- )>0 rezultă, că f are cel puțin o rădăcină reală în (0, + )
b. Un polinom de grad par, care are termenul general de semn contrar coeficientului dominant, are cel puțin două
rădăcini reale, dintre care una e pozitivă, iar cealaltă negativă.
Într-adevăr, deoarece: (x) = (- )
f (0) =
(x) = (- )

41
avem f (- ) f (0) = f ( ) f (0) = a o <0 de unde rezultă că, polinomul are cel puțin do uă rădăcini reale
ϵ (- ,0), ϵ (+0,+ ).
Consecință
Cele de mai sus ne arată că un polinom din ℝ [X] are cel puțin o rădăcină reală in intervalul în care el nu
păstrează un semn constant.
Rezultă că: Dacă un polinom din ℝ [X] nu are nici o rădă cină reală, atunci el păstrează semn constant pe toată axa
reală.
Într-adevăr: dacă ar exista numerele a și β din ℝ astfel încât f ( )f (β) < 0,polinomul f ar avea cel puțin o
rădăcină reală în intervalul ( ,β).
Observație
Polinoamele din ℝ [X] care au to ate rădăcinile complexe, acestea sunt perechi de numere complexe conjugate.
Fie g ϵℝ [X] un astfel de polinom și = + , = — , k = 1,2,…,n rădăcinile sale.
Atunci g(x) = a o ∐
(x- ) ( – ) = ∐
( +2 x+ + )de unde se vede că termenul
său liber este: ∐
( + ) și prin urmare semnul acestuia este dat de .
În concluzie: Un polinom din ℝ [X] care are toate rădăcin ile complexe are în mod necesar coeficientul
dominant și termneul liber de același semn.
Acest rezultat rămâne valabil și in cazul când polinomul f are numai rădăcini complexe, dar rădăcinile
sale reale sunt negative deoarece, dacă , , … ,x p sunt aceste rădăcini avem
(x) = ∐
(x- )g(x) unde sunt numere negative iar g ϵℝ[X] și are n umai rădăcini complexe.
2. Să presupunem că , , … ,x qsunt rădăcinile reale ale polinomului f.
Atunci f (x) = (x – )(x – x2) … (x – xq). g(x) unde g(x) e ϵℝ[X] și nu are rădăcini reale.
Fie numerele reale și βși presupunem că avem:
< < … < , < < <…< < β < < … <
Atunci f ( ) =( – )( – x2)‧… ( – xq) g( )
f (β) = (β – ) ( β – )… (β – xq)g(β)
și deoarece – > 0 pentru i = 1, 2,…,1 – < 0 pentru i = 1+1, 1+2,…, q
β – > 0 pentru i = 1, 2,…, p

42
β – ;< 0 pentru i = p+1, p+2,…,q
se vede că sgn f ( ) = ( ) sgn g( )
sgn f (β) = ( ) sgn g(β )
Cum numerele g(a) și g(β) au același semn (polinomul g neavând rădăcini reale)
rezultă că: sgn f ( ) sgn f (β) = ( ) = ( ) ceea ce înseamnă că
sgn f ( ) sgn f (β) = ( ) întrucât numerele p+1 și p-1 sunt de aceeași paritate. Prin urmare
sgn f ( ) sgn f (β) = {
–
În concluzie, deoarece p -1 reprezintă numărul de rădăcini reale ale polinomului f cu prinse între
numerele și β deducem că numerele f( ) și f(β) sunt de același semn dacă în intervalul ( ,β) se află un
număr par de rădăcini reale ale polinomului f și sunt de semne contrare dacă în intervalul respectiv se
află un număr impar de rădăcini.
Pentru această prop rietate este valabilă și reciproca:
 dacă numerele f( ) și f(β) sunt de același semn atunci polinomul f sau nu are nici o rădăcină
reală în intervalul ( , β) sau are un număr par de astfel de rădăcini.
 dacă numerele f( ) și f(β) sunt de semne contrare at unci polinomul f are un număr impar de
rădăcini reale în intervalul ( , β).
Polinoamele particulare f (x) = + b , a 0, b 0 ne conduc la ecuații + b = 0,
reductibile la forma +c = 0, c =
ϵℝ care se numesc ecuații binome.
Conform celor stabilite, o astfel de ecuație are o rădăcină reală , dacă gradul său este impar.
În plus, observând că pentru funcția f(x) = +c , f: ℝ ℝ derivata este f' (x) = +cu
rădăcina x = 0 și care pentru orice x ϵℝ∖{0} este stric t pozitivă. Atun ci funcția f este strict crescătoare și prin
urmare ea are o rădăcină reală și numai una.
Dacă gradul n este par atunci variația funcției este:
x – 0
f‘(x) ––- ––––– 0++++++++++++++
f(x) ↘ c ↗ +

43

de unde se vede că:
– dacă c>0 (adică a și b sunt de același semn) ecuația binomă nu are rădăcini reale,
– dacă c<0 (a și b sunt de semne diferite) ecuația binomă are două rădăcini reale.
În conluzie, o ecuație binomă are:
– o rădăcină reală și numai una dacă este de grad impar
– k ϵ {0, 2} rădăcini reale dacă este de grad par
Observații:
1. În cazul în care ecuația binomă are rădăcin i reale ea este de forma:
± c 0, c > 0 dacă n = impar
– c = 0, c > 0 dacă n = par
Făcând transformarea y = √ acestea devin
± 1 = 0 respectiv – 1 = 0.
Atunci, rezolvarea ecuației binome în care c 1 revine la rez olvarea ecuațiilor de mai sus care au rădăcinile
reale în mulțimea { -1, 1} și anume

}dacă n = impar
y = ± 1 pentru ecuația – 1 = 0 dacă n = par
Rădăcinile ecuației daete rezultă din acestea înmulțindu -le cu √ !
2. Abordarea exhaustică a rădăcinilor se face cu ajutorul numerelor complexe.

44
2.5.2. Numărul rădă cinilor reale ale polinoamelor
dinℝ[X]
Pentru polinoamele cu coeficienți reali, un procedeu de aflare a numărului de rădăcinilor reale îl constituie
utilizarea șirului lui Rolle.
Fie f ϵℝ[X] un polinom, f ‘ derivata ei și ecuația f‘(x)=0 ale c ărei rădăcini reale le notăm cu , , …, ,
Numărul de rădăcini reale ale polinomului da t este egal cu numărul de variații de semn din șirul f( – ), f( ), f( ),
…, f( ), f( ).
Deoarece aplicarea acestui procedeu necesită rezolvarea unei ecuații (f‘ = 0) el are o sferă restrânsă de cazuri pe
care le poate rezolva efectiv; de asemenea el este inoperant în aproape toate cazurile polinoamelor care au
coeficienții iraționali.
Pentru a rezolva problema numărului rădăcinilor reale ale polinomului f ϵ ℝ [X] se utili zează și teoremele pe care le
expunem în cele ce urmează.
Fie un șir de numere reale nenule. Dacă două numere consecutive ale șirului sunt de același semn, spunem că între
ele avem o permanență, iar dacă ele sunt de semne contrare spunem că între ele avem o variație de semn ( pe scurt o
variație).
Considerăm un șir de ref erință: , , … , , format din numere reale nenule și vom da câteva proprietăți:
a. Presupunem că între și există singura variație a șirului. Rezultă că în subșirul , , … , vor
exista numai permanențe de un anumit semn, iar în subșirul , , …, ,vor exista numai
permanențe de sem n contrar celor de mai înainte.
Dacă șirul are structura , , …, , , , …, , , …, atunci în s ubșirurile , ,
…, și există numai permanențe și toate de același semn.
Prin inducție se poate verifica că întotdeauna când între termenii extremi ai șirului exis tă un număr par
de variații, aceștia au același semn și reciproc. În mod natural decurge că dacă într -un șir de numere
reale există un număr impar de variații atunci termenii extremi sunt de semne diferite și reciproc, dacă
termenii extremi ai șirului sunt de sem ne diferite șirul conține un număr impar de variații.
b. Între doi termeni consecutivi ai șirului există în mod sigur sau o permanență sau o variație, iar dacă
există una dintre ele atunci obligatoriu nu există cealaltă. Dacă notăm cu p numărul permanențelor și
cu v numărul variațiilor din șirul dat, cum acest șir c onține n cupluri de numere consecutive , rezultă
egalitatea: p + v = n.

45
c. Să presupunem că între termenii consecutivi , i introducem termenul . Atunci: dacă între și
1 există o variație în noua situație avem unul din c azurile :

p v v p
după cum a 1 este același semn, respectiv de semn contrar cu ak.
– dacă între a k și a k+1 există o permanență în noua situație vom avea unul dintre cazuri le:

p v v p
după cum a 1 este de același semn, respectiv de semn contrar cu ak și a k+1 Deci, prin introducerea lui al între cei
doi termeni avem unul din cazurile:
 dintr -o variație rez ultă tot o variație (cazul a)
 dintr-o permanențăsau nu rezultă nici o variație sau rezultă două variații.
În primu1 caz numărul total de variații din șir nu este afectat de introducerea noului termen, iar în cazul
al doilea sau nu este afectat sau crește c u doi.
d. Dacă numerele ,al,, …,a n sunt coeficienții unui polinom complet de gradul n, f ϵ ℝ [X]
f(X) = a o + a1X +a 2X2 +… + a n în mod evident le putem aplica toate observațiile de
mai înainte.
Dacă în polinomul fX) facem transformarea X – X atunci coeficienții termenilor de grad par rămân
neschimbați, iar cei de grad impar își schimbă semnul, rezultă că în orice cuplu de coeficienți consecutivi
unul rămâne neschimbat iar celălalt își schimbă semnul. Aceasa înseamnă că dacă inilial în cuplu l
respectiv am avut o permanență ea va trece într -o variație, iar dacă am avut o variație ea va trece într -o
permanență.
Dacă v este numărul de variații ale lui f(X) și v' este numărul de variații ale lui f( -X) avem v + v' = n.
e. Dacă polinomul de grad n, f( X) este incomplet atunci numărul termenilor este mai mic decât n+1 iar
numărul cuplelor de coeficienți consecutivi mai mic decât n, deci, vom avea p +v n. Rezultă
că, dacă numerele a o, a1, …, a n sunt coeficienții unui polinom de grad n, între p, v și n există
relația: p +v n.
f. Dacă polinomul f(X) este incomplet și presupunem că introducem termeni corespunzători
în locul termenilor care lipsesc. Atunci conform punctului c. numărul de variații sau rămâne aceeași sau
crește cu un număr par.
Aceeași obser vație în cazul f( -X).

46
Notăm cu v și v' numărul de variații din polinomul c omplet, respectiv din cel trans format, cu v1 și v1'
numărul de variatii din polinomul incomplet respectiv din cel in complet transformat. Atunci v + v'
va fi mai mare cu un număr pa r decât v1 + v1' și cum (conform d.) avem v + v' = n rezultă că v1 +
v1' = n- 2k.
Teorema lui Descartes exprimă legătura care există între numărul de rădăcini reale ale unui polinom f ϵ ℝ[X]
și numărul de variații ale coeficienților săi.
Dăm mai întâi urmă toarea lemă.:
Lemă: Dacă f(X) este un polinom cu coeficienți reali, ordonat după puterile descrescătoare ale lui X,
atunci prin înmulțirea lui cu X – a. (a > 0) în sistemul coeficienților produsului (X – a)f(X) se introduc
cel puțin o variație de semn, iar dacă se introduc mai multe, atunci numărul acestora este impar.
Demonstrație: Fie polinomul f(X) scris grupând termenii consecutivi între care există
numai permanențe:
f(x) = aXm +… + a'Xn+1 – bXn… – b'Xp+1 +cXP+…± d oXr+1 ±dXr +… ±d‘Xs
unde numerel e a,…,a', b,…,b', c,…,c', d o, d,…,d' sunt pozitive.
Atunci vom avea:
(X —a)f(X)= aXm+1+…+ a‘Xn+2- bXn+1-…- b‘Xp+2+cX p+1+ …± d 0Xr+1 ±dXr+1±…± d‘Xr+1- αaXm-…-
αa‘Xn-1+αbXm+…+ αb‘Xp+1-…- αcXp-…±αdoXr+1±αdX‘ ± …± αd' Xs
sau (X — α(f (X) ) = aXm+1 …-(b+αa')Xn-1+…+ (c + αb')X P+1 …± (d +αdo)Xr+1…±αd‘Xs.
Deoarece coeficienții termenilor aXm+1 și -(b+αa‘)Xn+1 din (X -α)f(X) sunt de semne contrare, rezultă conform
proprietății 1. că între ei există cel puțin o variație, iar dacă sunt mai multe numărul acestora este impar; cum
între coeficienții termenilor aXm și -bXn din f(X) există o singută variație, deducem că prin inmulțirea cu X – α a
polinomului f(X) între termenii aXm+1și -(b+αa‘)Xn+1 sau nu s -a introdus nici o variație sau nu sunt introduse un
număr par de variații. Analog, aceleași concluzii până, la ultimul grup de termeni, cel care în scrierea lui f(X)
nu mai prezintă variații (este vorba despre ±dX ±…±d’Xs ). La înmulțirea cu X – α, acest grup dă în scrierea
lui (X – α)f(X) un nou grup de termeni care prezintă un număr impar de variații.
Într-adevă r, avem (±dX’± …±d' Xs )(X-α) = ±dXr+1 ±…±αd’X5 ,

47
] de unde se vede că termenii extremi au coeficienți de semne diferite și conform proprietății 1.a. între ei există cel
puțin o variație sau un număr impar de variații. Rezultă că în
(X – α)f(X) s -a introdus cel puțin o variație iar dacă s -au introdus mai multe, numărul acestora este impar
ceea ce demonstrează lema.
Teorema lui Descartes
Dacă f(X) este un polinom cu coeficienți reali, atunci numărul rădăcinilor sale pozitive este cel mult egal cu
numărul d e variații ale coeficienților săi, iar dacă nu sunt egale, diferă între ele printr -un număr par.
f(X) = (X – ) (X- x2)… (X – )g(X)
unde g este un polinom cu coeficienti reali al cărui coeficient dominant este pozitiv, chiar coeficientul
dominant al polinomului f. Polinomul g nu are rădăcini pozitive, rezultă că vor fi sau negative sau
numere complexe. Dar în acest caz (conform consecintei de la prop. 1) g are termenul liber pozitiv și
prin urmare el având coeficientii termenilor extremi de același semn, între aceștia se va afla un număr
par de variatii.
Cum polinomul f este de forma: f(X) = (X – ) (X- x2)… (X – )g(X) rezultă, conform lemei că
inmultind polinomul g cu X – se introduce cel putin o variatie și tot așa cu factori i X – x2- xq.
Rezultă că f va contine cel putin atâtea variatii câte rădăcini pozitive are, ceea ce este afirmația din
teoremă.
În baza aceleiași leme, dacă un factor X – xk (k=1, 2,…,q) introduce mai multe variații numărul acestora
este impar, deci numă rul total de variații introduse de produsul
(X- ) (X- x2)… (X – xq) depinde de numărul factorilor din produs.
Dacă numărul factorilor este par atunci și numărul factorilor va fi par (produs număr par și unul impar), iar
dacă el este impar atunci și numărul variațiilor va fi impar (produs de numere impare).
Prin urmare, numărul total al variațiilor coeficienților polinomului f și numărul rădăcinilor sale pozitive
sunt de aceeași paritate, motiv pentru care diferența 1or este întotdeauna un număr par. Cu aceasta
teorema este complet demonstrată.
Exemplu: f (X)=
-√ – +√ +3 –
+X-lg7
are în sistemul coeficienților:
, -√ , -1, √ , 3, –
, 1, -lg7 cinci variații, deci va avea cel mult
cinci rădăcini reale pozitive.

48
Consecințele teoremei lui Descartes
a. Dacă în locul polinomului f(X) considerăm polinomul transformat f( -X) atunci numărul v' al variațiilor
coeficienților săi va reprezenta numărul maxim de rădăcini pozitive ale polinomului f( -X), deci numărul
maxim de rădăcini negative ale polinomului f(X). Dacă polinomul f(X) are cel mult v + v' rădăcini
reale polinomul fiind de grad n, rezultă că el are cel puțin n – (v + v') rădăcini complexe.
b. Presupunem că polinomul f(X) de grad n are toate rădăcinile reale, în mulțimea coeficienților săi există v
variații și v' este numărul variațiilor coeficienților polinomul transformat f( -X).
Notăm cu p și q numărul rădăcinilor sale pozitive respectiv al celor negative. Avem identitatea: n -p-q = (n —
v- v') + (v -p) + (v' – q)
și din faptul că polinomul are numai rădăcini reale rezultă că n – p – q = 0 și cum în egalitatea de mai sus nici unul
din termenii membrului drept cupri0 între paranteze nu este negativ, deducem că ei trebuie să fie toți nuli.
Rezultă că p = v și q = v'. Rezultă că Dacă un polinom f(X) are toate rădăcinile reale atunci numărul
rădăcinilor sale pozitive este egal cu numărul de variații ale săi iar numărul rădăcinilor negative este egal cu
numărul de variații ale coeficienț ilor polinomului transformat f( -X).
c. În scrierea polinomului f(X) în ordinea descrescătoare a puterilor lui X să considerăm doi termeni oarecare,
de pildă a kXk + a1X1 unde k 1 + 1.
Asociem cuplului (a k,a1) numărul a care indică dacă între a k și a 1 există s au nu ovariație:
a = {

În polinomul f( -X) cuplul ‗de termerii considerat devine a k(-X)k + a1(-X)1 și a' are aceeași semnificație
ca și a de inai sus.
Fie 0 = k – 1, 0 ϵ {1, 2,…,n}.
Dacă în cu plul a kXk + a 1X1 puterile lui X sunt consecutive avem a 1+1X1+1 + a 1X1+1 și deci 0 =1.
Considerăm cuplul corespunzător acestuia în polinomul f( -X). Avem:
a1 + 1(-X)1 + 1 + a1(-X)1 = (-1)1 (a1 + 1X1 + 1 + a1XI) și se vede că:
 dacă al și al+1 sunt de același semn atu nci a, = 0 și a' = 1
 dacă a 1și a1+1 sunt de semne diferite atunci a =1 și a' = 0
În acest caz rezultă că 0 a. – a' = 0.

49
Dacă Insă, termenii considerați a kXk și a 1X1 conțin puteri ale lui X nu neapărat consecutive, (conform
proprietății f) avem 0 – a – a' = 2k, ( k=1, 2, 3,…) și prin urmare numerele – – ' sunt nenule numai când
între termenii a kXk și a1X1 lipsesc termeni ai polinomului (cel puțin unul), caz in care spunem că polinomul
prezintă lacune.
Deoarece avem : (1) n – v – v’∑( ) cu – – ' = 2k ≥0și
n – p-q = (n – v – v') + (v – p) + (v' —q)rezultă că
n – p – q 2k d eoarece v – p 0 și v' – q 0.
Aceasta înseamnă că polinomul f are cel puțin 2k rădăcini complexe.
Să luăm acum ecuația formată cu ajutorul celor doi termeni co nsiderați, deci akXk + a1X1 =0 de
unde a kXk-l + a1 = 0.Am obținut ecuația binomă: a k + a1= 0.
În cazul când f(X) are o lacună între cei doi termeni atunci 2 și seștie că o ecuație binomă
de forma ax2 + b= 0 are rădăcini complexe numai atunci când ași b sunt de același semn.
Dacă, însă > 2 deci dacă dintre termenii a kXk șiakX1 lipsesc mai mulți termeni (cel puțin
doi) atunci ecuația binomă are întotdeauna rădăcini complexe.
Cum numărul de variații ale acestețti ecuații este ϵ {1, 2} și cum numă rul de rădăcini pozitive ale
sale, conform teoremei lui Descartes este cel mult egal cu , iar dacă este diferit atunci
diferă printr -un număr par, rezultă că reprezintă chiar numărul de rădăcini pozitive ale
ecuației respective. Analog va reprezen ta numărul de rădăcini negative ale aceleiași
ecuații.
În consecință numărul ne va da numărul său de rădăcini complexe. Drept
concluzie se desprinde teorema lacunelor.
Teorema lacunelor
Fiind dat un polinom f(X) care prezintă lacune (dacă lipsește un singur termen atunci ter menii
între care se află lacune trebtue să fie de același semn) atunci el are în mod necesar rădăcini
complexe.
Numărul acestora (conform egalității (1)) este cel puțin egal cu suma numerelor care arată câte
rădăcini complexe ar e fiecare ecuație binomă formată cu termenii consecutivi între care se găsesc
lacune.
Exemplu: f(X)= X8+3X4-2X3-X+4 conține lacune între primul și al doilea, precum și între al
treilea și al patrulea termen. Rezultă ecuațiile binome:

50
x8 + 3×4 = 0 de unde x4 +3 = 0 care are 4 rădăcini complexe.
-2×3 – x = 0 de unde 2×2 + 1 =0 care are 2 rădăcini complexe.
Rezultă că polinomul dat are cel puțin 6 rădăcini complexe.
Fiind f(X) ϵℝ [X] un polinom, să se afle numărul de rădăcini reale pe care el le poate avea într-un
interval dat (a, b). Teorema Budan – Fourier dă un răspuns la această problemă.
Considerăm polinomul f(X) ϵ ℝ [X] despre care admitem că are rădăcini reale (simple sau multiple)
Fie șirul derivatelor succesive ale polinomului dat:
(1) f(0)(X) =f (X), f‘(X), f '(X),…, fn(X) în care ultima derivată este egală cu o constantă.
Presupunem c ă fixăm pentru x o valoare reală x = x o și notăm w(x o) numărul de variații de semn
din șiul de numere f(0)(x0) =f(x 0), f‘(x 0), f'(x 0),…, fn( x0) fără a considera even tualii termeni nuli
ai acestuia.
Cum la oricare x ϵ ℝ îi corespunde un număr w(x) și numai unul, se definește in felul aces -ta o
funcție w: ℝ ℕ
Studiem funcția w: (a, b) ℝ definită ca mai sus. Observăm că graficul ei este format din segmente
paralele cu a xa absciselor,
Să considerăm mulțimea { 1, 2,…, p,) reprezentând toate rădăcinile reale ale polinoa –
melor din șirul (1) care sunt cuprinse în intervalul (a, b). Fie subintervalul ( 1, 2),
deoarece între 1 și 2 nu se mai află nici o rădăcin ă altă rădăcină a polinoamelor (1) aceste
polinoame își vor păstra semnele pentru x ϵ( 1, 2).
În consecință, numărul w(x) va rămâne constant pentru x ϵ(ai, a i+1) și analog oricare ar fi
intervalul x ϵ( i, i+1) i = 2, 3, …,p -1.
Putem spune deci, că w(x) = c ipentru xϵ( i, i+1) cu i = 0, l, …,p și unde am notat
o = a și p+1 =bc i iar sunt constante egale.
Toate acestea ne arată că studiul variației funcției w revine la a studia comportamentul său
în vecinătatea valoriIor k ( k = I, 2, …,p).
Teorema lui Budan – Fourier
Fie polinomul f(X) ϵℝ[X] și numerele a, b (a < b) care nu sunt rădăcini ale sale. Atunci numărul de rădăcini
reale ale polinomului dat f(X) cuprinse în intervalul (a, b) este mai mic sau egal cu diferența w(a) – w(b), iar dacă

51
este mai mic, diferă de aceasta printr -un număr par. (Fiecare rădăcină se consideră de atâtea ori t cât este ordinul
său de multiplicitate).
Demonstrație : Considerăm funcția w: (a, b) ℝreferitoare la numărul de variații de semn ale șirului
f(k)(X), . ..,f(1)(X) și { 1 , 2,…, p} în mulțimea a rădăcinilor reale polinomului f(k)(X), (k = 0, 1, …,n).
Considerăm în mod arbitrar pe una din aceste rădăcini pe care o fixăm și o notăm cu a o. Numărul x = a o poate
să fie sau poate să nu fie rădăcină a po linomului f(X). Studiem separat cele două cazuri.
Cazul 1. x = o este o rădăcină a polinomului f(X) fie 1 ordinul său de multiplicitate.
Atunci f(a o) = f‘(a 0) = … = f(1-1)(a0) = 0, f(1)(ao) 0.
Deoarece mulțimea {a 1,a2, …, ap}este finită putem alege o vecinătate a lui ope care o vom
nota ( o – ɛ, o +ɛ) în care să nu se mai afle nici o rădăcină a polinoamelor f(0)(X), f(1)(X), …, f(1)(X). În
felul acesta polinoamele f(k)(X), (k = 0, 1, …,1) își vor păstra semnele în fiecare din intervalele ( o – ɛ, o] și
[ o, o+ɛ).
Să considerăm dintre ele un polinom f(k)(X), (k = 0, 1, …,1) și studiem cazurile :
1. x ϵ( o -ɛ, o)Atunci:
a.dacă f(k)(X) < 0 rezultă că în intervalul respectiv funcția polinomială f(k-1)(X) este descrescătoare și deci x
< o⟹f(k-1)(X) > f(k-1)( o) adică f(k-1)(X) > 0.
a. dacă f(k)(X) >0 rezultă că funcția f(k-1)(X) este crescătoare în intervalul considerat, deci x < o⟹ f(k-1)(X) > f(k-
1)( o) adică f(k-1)(X) < 0.
Așadar, oricare ar fi x ϵ( o – ɛ, o] numerele corespunzătoa re f(k-1) și f(k) (k =1, 2, …,1) sunt de semne
contrare.
2. xϵ[ 0, o+ ɛ) Atunci:
a. dacă f(k)(X) < 0 rezultă că f(k-1)(X) este descrescătoare și deci x > o
⟹f(k-1)(X) < f(k-1)( o) adică f(k-1)(X) <0.
b. dacă f(k)(X) >0 rezultă că funcția f(k-1)(X) este crescătoare și deci x < o
⟹f(k-1)(X) < f(k-1)( o) adică f(k-1)(X) >0.
Așadar, oricare ar fi x ∈[ o, o+ ɛ) numerele corespunzătoare f(k-1) și f(k) (k =1, 2,…,1) sunt de același semn.
În concluzie, șirul de numere: (2) f(0)(X), f(1)(X), …, f(1)(X)

52
prezintă numai variații pentru x ϵ (a0, – ɛ, a0) (sunt 1 la număr) și numai permanențe pentru x∈ [ o, o + ɛ). Aceasta
inseamnă că la trecerea variabilei x prin valoarea o, șirul de numere (2) pierde 1 variații.
Cazul 2. Presupunem că x = o nu este o rădăcină a polinomului f(X). Avem următoarele situații: în șirul
f(X), f‘(X), f(k-1)(X), f(k)(X), f(k+1)(X),…,f(k+1-1)(X), f(k+1)(X),…, f(n)(X)
valoarea x = 0 nu anulează f(X), f‘(X),…, f(k-1)(X),f(k-1)(X), …, f(n)(X)
dar anulează f(k)(X), f(k+1)(X),…, f(k+1-1)(X) unde k = 1, 2, …, n -1 1 = l, 2,…
Fie o valoare k fixată și să notăm g(X) = f(k)( X).
Atunci, deoarece g( 0) = g(ʽ o) =…= g(1-1)( 0)= 0 și g(1)( o) 0 polinomului g îi putem aplica rezultatul stabilit
în cazul 1, încât dedu cem că trecerea lui x prin valoarea 0 în șirul (X),f(k+1)(X), …, f(k+1-1)(X), f(k+1)(X)se pierd 1
variații .
Dacă. însă între f(k-1)(X) și f(k)(X) s -a produs o variație la trecerea lui x prin valoarea x–ao atunci, conform
proprietății, numărul tot al de variații sau nu se schimbă sau se micșo rează. Cum însă la trecerea lui x prin valoarea a o,
polinomul f(k-1)(X) și f(k+1)(X) iși păstrează semnele deducem (conform proprietății amintite) cu numărul total de
variații nu poate scădea decât cu un număr par.
În concluzie, considerând rădăcinile polinomului f(X), fiecare luată de atâtea ori cât indică ordinul său de
multiplicitate, la trecerea lui x prin ele numărul de variații w(x) dinșirul (1) sau scade pentru fiecare cu un număr egal
cu ordinul său de m ultiplicitate, sau scade cu un număr par.
În felul acesta, numărul de rădăcini ale polinomului f(X) , cuprinse într -un interval dat (a, b) este egal cu diferența
w(a) – w(b), sau este mai mic decât acesta cu un număr par. Tocmai ceea ce era de demons trat.
Teorema lui Sturm răspunde exact la întrebarea: câte rădăcini reale are un polinom cu coeficienți reali într -un
interval dat (a, b) ?
Fie polinomul f(X) ∈ℝ[X] și fie x 1,. x2, … ,x n, rădăcinile sale cu ordinul de multiplicitate respectiv p1,p2, …, pn.
Dacă a este coeficientul dominant atunci putem scriem f (X) = a(X – x1)p1(X – x2)p2 … (X – xn)pn
Cum f' (X)= a ⌊p1(X – x1)1-1(X – x2)p2 … (X – xn)pn + p 2(X – x1)p(X – x2)p2 -1(X – x3)p3…
…(X – xn)pn+ … + p n(X – x1)p1 … (X – xn-1)pn-1(X – xn)Pn-1⌋ = a(X -x1)P1-1(X-x2)P2-1…
… (X – xn)Pn-1 [p1(X – x2)(X – x3) … (X – xn) + p 2(X – x1)(X – x3) … (X – xn) + … + p n (X – x1)(X – x2) … (X – xn-1)],
se vede că c.m.m.d.c. al polinoamelor f și f‘ este

53
g ( X ) = a (X – x1)p1-1a(X – x2)p2-1…a (X x n)p
n-1
Rezultă că imp ărțind polinomul f(X) la g(X) obținem f‘(X)=(X -x1)(X – x2)… (X — xn)
un polinom care are coeficientul dominant egal cu 1, iar toate rădăcinile sale sunt simple. Aceasta ne dă
posibilitatea ca toate considerațiile pe care le facem în continuare să la referim la un polinotn care are toate
rădăcinile simple. Fie în cele ce urmează f(X) un astfel de polinom.
Definiție: Fie polinomul f(X), numim șir (sistem Sturm) asociat acestuia șirul finit de polinoame cu
coeficienți reali și diferit e de zero:
f0(X)=f(X), f 1(X), f2(X), …, fs(X) satisfăcând următoarele condiții:
1. oricare două polinoame consecutive fi(X) și fi+1(X), (i = 0, 1, 2, …, s-1) nu au rădăcini comune;
2. polinomul f s(X) – ultimul polinom al șirului are rădăcini reale (deci el p ăstrează semn constant) ;
3. dacă x = x o este o rădăcină a unui polinom fi(X), (i = 0, 1, 2, …, s-1) atunci polinoa mele fi-1(X) și fi+1(X),
(X), (i = 0, 1, 2,…, s -1) care -l încadrează pe acesta iau pentru x = x ovalori de semne contrare. Deci, f i(x0) = 0
rezultă f i-1(xo) fi+1(xo) < 0, i = 0, l, 2,…, s-1.
4. Considerând polinomul g(X) = f 0(X) f1(X) și x = x o o rădăcină a lui f(X), atunci dacă (x0- ɛ, Xo + ɛ)este o
vecinătate suficient de unică a lui x o avem:
g(X) < 0 pentru x ϵ ( x0- ɛ, X0] g(X) > 0 pentru X ϵ [ X 0, Xo+ ɛ)
Cu alte cuvinte, dacă x trece crescător printr -o valoare care reprezintă o rădăcină a lui f(X)
atunci și g(X) variază crescător.
Lemă Oricare ar fi polinomul f(X) ϵ ℝ[X] există un șir Sturm asociat lui.
Demonstratie: Fie f(X) un polinom ca re are numai rădăcini simple și luăm
fo(X) = f(X), f 1(X) = f‘ (X), aplicăm pentru f și f teorema de împărțire cu rest obținem: f(X) = f‘(X)g 1(X) +
r1(X) sau f o(X) = f 1(X)g 1(X) + r 1(X).
Considerăm polinom f 2(X) al șirului Sturm pe care -1 construim, polinomul f2(X) = -r1(X). Aplicând aceeași teoremă
pentru f l și f2 avem:
f1(X)= f2(X) g2(X) + r 2(X) și considerăm f 3(X) = – r2(X).
Continuăm cu acest procedeu, ceea ce este de fapt algoritmul lui Euclid aplicat poli noamelor f și f și
considerăm de fiecare dată res tul luat cu semnul minus. Aplicarea algo ritmului conduce la un număr finit de pași
în final vom obține:

54
fs-2(X) = fs-1(X)g s-1(X) + rs-1(X) și considerăm f s(X) = – rs-1(X).
Cum la fiecare impărțire gradele polinoamelor fi(X) scad, ultimul rest r s-1(X) va f i o constantă, care nu poate
fi zero, deoarece am presupus că f nu are rădăcini multiple.
Prin urmare avem:
fi(X) = f i+1(X)g i+1 (X) – fi+2(X), i = 0, 1, 2, …, s -2. De unde se
vede că fiecare polinom din șir începând cu al treilea este bine
determinat prin precedentele două polinoame. Demonstrăm
că șirul astfel obținut f 0(X), f 1(X), f 2(X), …, fs(X) este un șir
Sturn.
Într-adevăr:
a. Nu există în șir polinoame consecutive care să aibă rădăcini comune, în caz contrar dacă două din
ele de pildă f i(X), f i+1(X) ar avea o rădăcină comună, aceasta ar fi conform relației de definiție,
rădăcină și pentru f 1 apoi f 1-1 pentru,etc.
În final ar rezulta că aceasta este o rădăcină comună pentru f și r ceea ce este achivalent cu a sp une că
f are rădăcini multiple, contrar cerinței pe care am impus -o lui f de a avea numai rădăcini simple.
b. Polinomul. fs(X) este o constantă, deci păstrează semn constant.
c. Deoarece fi(X) = fi+1(X) gi+1(X) – fi+2(X), (i = 0, 1, 2, …, s-2) dacă x = x o este o
rădăcină a lui fi+1avem fi+1(x0) = 0 și f i(xo) = – fi+2(x0) adică numerele f i(xo) și f i+2(xo) sunt de semne contrare.
d. Fie x o o rădăcină a lui f și (x o, – ɛ,-xo + ɛ)vecinătate a lui x o în care nu se mai găsesc rădăcini ale
polinomului f. Atunci pentru studierea semnului polinomului
g(X) = f(X) f‘(X) în această vecinătate vom avea două cazuri după cum f este o funcție crescătoare sau
descrescătoare în intervalul respectiv.
Rezultatele sunt cele din tabelele următoare:

de unde se vede că, dacă x trece crescător prin x o, valorile polinomului g(X) variază crescător.
Deci, procedeul de mai sus dovedește că se poate construi un șir Sturm pentru polinomul f dat. Șirul
acesta nu este unicul șir Sturm ce s e poate atașa polinomului.
Considerăm în continuare un șir Sturm (1) f o(X), f 1(X), f 2(X), …, f s(X) x x0 – ɛ x0x0 + ɛ
f(x) –––––– 0––––––––
f‘(x) ++++++++++++++++++++++++++
g(x) –––––– 0++++++++++++++ x x0 – ɛ x0x0 + ɛ
f(x) –––––– 0––––––––
f‘(x) ++++++++++++++++++++++++++
g(x) ––––– –0++++++++++++++

55
atașat polinomului f și precum în cazul teoremei Budan – Fourier definim o funcție v: ℝ ℕ funcția
care la orice valoare reală x îi pune în corespondență numărul de variații din șirul corespunzător de
numere dat de șirul Sturm de mai sus.
Teorema lui Sturm:
Fiind dat un polinom cu coeficienți reali f(X) și numerele reale a și b (a < b) care nu sunt rădăcini
ale polinomului, atunci v(a) > v(b), iar diferența v(a) – v(b) reprezintă numărul de rădăcini reale ale
polinomului dat, conținute în intervalul (a, b).
Demonstrație revine la studiul variației funcției v, care constă în cerceta comportarnentul său
în vecinătatea valorilor ak, ( k = 1, 2,…,p), valori ca re reprezintă rădăcinile reale ale polinoamelor din
șirul Sturm (1).
Considerăm o rădăcină pe care o fixăm și o notăm cu cc o. Distingem două cazuri:
a. Dacă x = a o nu este o rădăcină a polinomului f(X)
b. Dacă x = a oeste o rădăcină a polinomului f(X)
și studiem funcția v în fiecare din cele două cazuri.
Cazul a. x = ao nu este o rădăcină a polinomului f(X), rezultă că ea va fi o rădăcină a unuia
din polinoamele f 1(X), f 2(X), …, fs(X) și să -1 notăm pe acel polinom cu f k(X).
Așadar f k(ao) = 0 și conform condiției 1. din definiția polinoamelor Sturm avem f k-i(ao) 0
și f k+1(ao) 0 conform condiției 3. din definiția polinoamelor Sturm numerele f k-i(ao) și fk+1(ao) au semne
diferite.
Presupunem că f k-1(ao)< 0 rezultă că f k+1(ao) > 0 și cum polinoamele sunt funcții cont inue există, o vecinătate a
lui a o, să zicem (a o – ɛ, ao + ɛ) în care cele două polinoame f k-1(ao) și f k+1(ao) își păstrează semnele.
Prin urmare fk-1(ao) <f k+1(ao) > 0 pentru xϵ(ao – ɛ, ao + ɛ).
Considerând polinoamele: f k-1(X), f k(X), f k+1(X), k = 1, 2, …,s-1 afirmăm că oricare ar fi
xϵ (ao – ɛ, ao + ɛ) cele trei numere rezultate vor prezenta o singură variație de semn. Situațiile pe care le
putem avea sunt cele ilustrate în tabelele următoare:

56
x fk-1(X)fk(X) f k+1(X)
xϵ (ao – ɛ, ao) – – +
X = ao – 0 +
xϵ (ao,ao +ɛ) – – +

x fk-1(X)fk(X) f k+1(X)
xϵ (ao – ɛ, ao) – + +
X = ao – 0 +
xϵ (ao , ao + ɛ) – – +

și se vede că oricare ar fi x ϵ(ao – ɛ, ao + ɛ) între numerele fk-1(X), f k(X), f k+1(X) există o singură variație.
Evident, lucrurile se prezintă similar dacă am fi presupus că f k+1(ao) > 0, f k-1(ao) < 0.
Dar cum pentru x = aotoate celelalte polinomae din sitemul Sturm își păstrează semnul, iar rădăcina fi xată x = ao a
fost luată arbitrar, rezultă că: la trecerea lui x prin oricare valoare ak(k= 1, 2, .., p) reprezentând o rădăcină a
unuia din polinoamele Sturm f1(X), f 2(X), …, f s(X) numărul v(x) rămâne neschimbat.
Cazul b. Presupunem că x = ao este o răd ăcină a însuși polinomului dat f(X). Cum în șirul Sturm
polinoamele f(X) = f o(X), și f 1(X) sunt consecutive, conform consecinței 1. valoarea x = a o nu va fi
rădăcină pentru f 1(X) deci f 1(ao) 0.
Atunci există o vecinătate (ao – ɛ, ao + ɛ) a lui ao în care f1(X) își păstrează semnul, deci f1(X) > 0 sau
f1(X) < 0 oricare ar fi x din (ao – ɛ, ao + ɛ).
Conform condiției 4. din definiția șirului Sturm, dacă vecinătatea ( ) este suficient de mică
avem:
f0(X)f 1(X) < 0 pentru x ∈( )
f0(X)f 1(X) > 0 pentru x ∈( )
Rezultă că, dacă x ∈( ) putem avea una din situațiile:

57

x f(X) fi (X)
x ∈( )
X =
X ∈( ) –
0
+ +
+
+

x f(X) fi (X)
x ∈( )
X =
X∈( ) +
0
– –
–
ceea ce ne arată că prin trecerea lui x din intervalul ( – în intervalul [a o , ao+ ) se pierde o
variație.
Aceasta inseamnă că la trecerea lui x prin valoarea a o reprezentând o rădăcină a polino mului numărul v(x)
scade cu o un itate.
În concluzie, dacă x parcurge intervalul (a, b) numărul v(x) va scădea cu câte o unitate la trecerea lui x prin
fiecare valoare a polinomului dat f(X).
Aceasta echivalează cu cele af irmate în teorema lui Sturm. Mai observăm că, dacă considerăm (a, b)
= ( – co, + co) atunci conform teoremei lui Sturm, diferența v( – co) — v(- co,)-v( + co)indică numărul de
rădăcini reale ale polinomului dat .
Exemplu :Să se afle numărul de rădăcini reale ale polinomului f(x)=x6 -3×4 +2X3 -3X2 + 6X -18
iar apoi să se precizeze câte din rădăcini se găsesc cuprinse în intervalul ( -1, 2).
fo(X)= f(X)= X6 —3X4 +2X3 —3X2 + 6X-18
f(X) = 6X5 – 12 X3 + 6 X2 – 6X + 6 ⇒f1(X) = X5 – 2X3 + X2 – X + 1
Aplicăm algoritmul lui Euclid pentru fo și f1:
X6 – 3X4+ 2 X3 -3 X2+ 6X-18 X5 – 2X3 + X2 – X + 1
-X6 + 2X4 – X3 + X2 – X X
– X4 + X3 – 2X2 +5X -18

58
X + 1
3X – 41
-164X2+286X +136
164X2 +902X -1189
1188XN4111
1188X – 1053 f5(X) = – 44X + 39 f2(X) = X4- X3 + 2X2 – 5X – 18

X5 – 2X3 + X2 – X + 1 X4- X3 + 2X2 – 5X +18
X5 +X4 -2X3 + 5X2 —18X X + 1
X4 -4X3 + 6X2 —19X + 1
-X4+ X3 -2X2 + 5X -18
3X3 + 4X2 —14X — 17
f3(X) = 3X3 – 4X2 +14X + 17
3ǀ X4- X3 + 2X2 – 5X +18 3X3 – 4X2 +14X + 17
3X4- 3X3 + 6X2 – 15X +54 –
3X4+ 4X3 – 14X2 – 17X
3ǀ X3 – 8X2 – 32X + 54
3X3 – 24X2 – 96X +162
 3X3 + 4X2 – 14X -17
– 20X2 – 110X +145
f4(X) = 4X2 +22X —29
4ǀ 3X3 – 4X2 +14X + 17 4X2 +22X —29
12X3 – 16X2 +56X + 68
12X3 – 66X2 +87X
2ǀ- 82X2 +143X +68

1188X -1053
11 ǀ 4X2+ 22X – 29 -44X + 39
11ǀ 4X2 + 22X – 29 -44X + 39
44X2 + 242X – 319 -X – 281
-44X2 + 39X

59
44ǀ 281X – 319
12364X – 14036
-12364X + 10959
-3077 f6(X) = 3077
Șirul Sturm va fi:
f0(X) =X6 – 3X4 + 2 X3 -3 X2+ 6X -18 f1(X) = X5 – 2X3 + X2 – X + 1
f2(X) =X4 – X3 + 2X2 – 5X – 18
f3(X) = 3X3 – 4X2 +14X + 17
f4(X) = 4X2 +22X – 29
f5(X) = – 44X + 39
f6(X) = 3077 și vom avea:
x f0(X) f 1(X) f2(X) f3(X) f 4(X) f 5(X) f 6(X)
-∞ + – + – + + +
+∞ + + + + + – +
v(- ) = 4, v(+ ) = 2 rezultă că polinomul dat are două rădăcini reale. Pentru a afle câte din aceste rădăcini se
găsesc în intervalul ( -1, 2) avem tabelul:
x f0(X) f 1(X) f2(X) f3(X) f 4(X) f 5(X) f 6(X)
-1 – – + – – + +
+2 + + + + + – +
v(-1) = 3, v(2) = 2 rezultă că în intervalul ( -1, 2) se află o singură rădăcină reală a polinomului.

60

2.6. Rădăcinile polinoamelor din ℚ[X] și ℤ[X]
Dacă f este un polinom cu coeficienți raționali, a tunci într -o amplificare convenabilă a coeficienților
săi, îl putem scrie sub forma unui produs dintr -o constantă și un polinom cu coeficienți întregi.
Vom considera mulțimea coeficienților K ∈ {ℚ, ℤ) prin urmare K este fie corpul numerelor
raționale, fie i nelul numerelor întregi. Se va obține în mod corespunzător inelul K[X] și să considerăm un
element f din acest inel: f(X) = a o + +… + X+
Proprietăți:
1. Dacă ∈ [X] atunci aplicându -le teorema de împărțir e cu rest, câtul lor precum și restul
împărțirii sunt polinoame din K[X]. De asemenea, cel mai mare divizor comun al lor ( ) fac parte
din K[X].
2. Fie f∈K[X], f(X) = ao + +… + X+
și să presupunem că el ar e rădăcina √ unde u, v∈ℚși √ ∈ℝ ℚ.
Atunci f( ) ⇒
⇒ ( ) ∑
∑ ( √ ) ∑ ( √

√ )
∑ (∑ √
∑
)

∑∑
√ ∑ ∑

și cum numărul f( ) este de forma √ cu A, B∈ℝ și √ ∈ℝ \ ℚ un astfel de număr este nul dacă și
numai dacă A = B = 0.
Într-adevăr, dacă A + B√ = 0 atunci B = 0 rezultă că A = 0, iar pentru B 0 avem √
∈ℚ contrar
presupunerii √ ∈ℝ\ℚ.
Dar pentru A B = 0 avem și A – B√ = 0 ceea ce ne arată că, dacă se consideră numărul √
atunci avem și ( ) ∑∑
√ ∑ ∑

rezultă că √ este o rădăcină a polinomului f. Prin urmare:
dacă f este un polinom cu co eficienți raționali iar √ ( ∈ℝ \ ℚ ) este o rădăcină a lui atunci și iar
√ ( ∈ℚ , √ ∈ℝ \ ℚ ) este o rădăcină a lui .

61
Observație: Proprietatea aceasta este valabilă și dacă o rădăcină a lui f este de forma
√ ( ∈ℚ , √ ∈ℝ \ ℚ ) .
3. O generalizare a proprietății 2. este următoarea:
Dacă f∈ [X] iar √ √ ( ∈ℝ \ ℚ ) este o rădăcină a lui f, atunci și √ √ ,
√ √ și √ √ , sunt rădăcini ale polinomului f.
Deoarece orice polinom f ∈ℚ[X] se poate pune sub forma f=c f*, c = constantă nenulă, f ∈ℤ [X].
problemele care privesc rădăcinile polinoamelor din ℤ[X] sunt practic identice cu cele care privesc
rădăcinile polinoamelor din ℚ[X].
Câteva rezultate deosebit de importante în aplicații sunt următoarele:
a. Dacă f(X) = a o + +… + X+ este un polinom din ℤ[X] atunci rădăcinile sale raționale
de forma
, p fiind un divizor al termenului li ber a n, iar q fiind un divizor al coeficientului dominant a o.
În particular, rădăcinile întregi ale lui f se găsesc printre divizorii termenului liber. Acestea sunt doar condiții
necesare dar nu sunt suficiente.
b. Dacă f are coeficientul dominant a o = 1, atunci eventualele sale rădăcini raționale sunt în mod necesar
numere întregi.
c. Pentru determinarea unui interval cât mai mic care conține toate rădăcinile reale ale unui polinom, f∈ℤ
[X] se folosește metoda grupării termenilor: se scrie polinomul f sub forma unei sume de polinoame
formate din termenii polinomului dat f, astfel ca fiecare termen al sumei să conțină o singură variație de
semn pentru coeficienții săi. Se cautăpentru fiecare astfel de termen cel mai mic număr pozitiv pentru
care valoarea sa numerică este pozitivă, iar cel mai mare dintre numerele astfel obținute – notat cu L –
constituie o margine superioară a rădăcinilor pozitive ale polinomului f.
Pentru a calcula o margine inferioară a rădăcinilor negative se află o margine superioa ră a rădăci nilor pozitive a
polinomului f( -X), iar dacă aceasta este L', atunci marginea inferioară a rădăcinilor negative ale polinomului dat
este – L'.
Exemplu: f´(X) = 2X6 + 4X5 – 5X4+ 7X3- X2-9X – 42
grupând: f(X) = (2X6 + 4X5 – 5X4) + (7X3- X2-9X – 42) =
= X4(2X2 + 4X – 5) + (7X3- X2-9X – 42)
2X2 + 4X – 5 > 0 pentru x 1

62
7X3- X2-9X — 42 > 0 pentru x 3.
Luăm margine superioară a rădăcinilor polinomului f numărul L = 3.
Apoi, luăm f( -X) = 2X6 – 4X5 – 5X4 – 7X3- X2 + 9X – 42
f(-X) = (2X6 – 4X5- 5X4- 7X3- X2) + (9X – 42) =
= X2 (2X4 – 4X3- 5X2- 7X- 1) + (9X – 42)
2X4 – 4X3 – 5X2- 7X – 1> 0 pentru x 4 9X- 42> 0 pentru x 5
Luăm L'=5 și deci – L'= – 5. Așadar rădăcinile reale ale polinomului f sunt cuprinse în intervalul ( -5, 3).
d. În cazul rădăcinilor întregi, dacă intervalul obținut ca mai înainte conține un număr prea mare de divizori ai
termenului liber, atunci unii dintre aceștia pot fi eliminați prin diferite procedee, cum ar fi următorul:
Considerăm polinomul f ∈ℤ[X] și scriem ident itatea împărțirii lui prin X -1. Vom avea:
F(X) = (X -1)h(X) + r unde h(X) ∈ℤ[X] r= f(1)
⇒ ( )
( ) ( )

Dacă x = a ( a — divizor al termenului liber) este o rădăcină a lui f, atunci f(a) = 0 și vom avea:
( )
( ) și cum h(a) est e un număr întreg, rezultă că a -1 este divizor al numărului f(1).
Aceasta înseamnă că dintre divizorii termenului liber cuprinși în intervalul ( -L, L) îi eliminăm pe cei care nu
satisfac această cerință.
Analog, în cazul în care folosim factorul liniar X+ 1 este necesar ca numărul a + 1 să fie divizor al lui f( -1).
Exemplu: f(X) =X4 —12 X3 + X2+ X – 126 obținem intervalul ( -3, 12), considerăm mulțimea divizori
{-2, -1, 1, 2, 3, 6, 7, 9}.
P(-1) = -135 ⇒x=1 nu este rădăcină, iar dintre divizorii de mai sus voi elimina numerele a ∈{1-1, 3, 7, 9}
pentru care a – 1 ne dă respectiv – 2, 2, 6, 8 care nu divid pe 135. Așadar mulțimea numerelor susceptibile de a
fi rădăcini întregi ale polinomului f se restrânge la { -2, 2, 6}.
Mai luăm f( -1) = -113 atunci a + l ∈{-1, 3, 7,} iar numerele 3 și.7 nu divid pe 113, rezultă că singurul
număr întreg care ar putea fi rădăcină a lui f este x= – 2, care însă nu verifică ecuația f(X) = 0.
Așadar , f nu are rădăcini întregi.

63
Observații: Dacă f(1) = 0 ⇒x=1 este rădăcină a lui f, iar dacă p este ordinul său de multiplicitate, aplicăm
cele de mai înainte polinomului cât h(X)= ( )
( )
Analog, în cazul când f( -1) = 0 pentru polinomul cât h(X)= ( )
( )
e. Să presupunem acum, că x=a este o rădăcină întreagă a polinomului f ∈ℤ[X]. Atunci vom avea
f(X)= (X-a)h(X) unde h ∈ℤ[X].
Să mai presupunem că x 0 este un număr întreg pentru care valoarea numerică f(x 0) a polinomului f este un număr
impar, deci f(x 0)= 2q + 1, q ∈ℤ.
Atunci vom avea: (x 0 – a) h(x 0) = 2q+1 de unde se vede că numărul x 0 – a, care este un divizor al numărului impar
2q+1, va fi el însuși un număr impar. Aceasta înseamnă că numerele x 0 și a a sunt da parități diferite. Prin urmare,
dacă f∈ℤ[X]] și ∈ℤ[X] iar f(x 0) este un număr impar, atunci polinomul f nu are rădăcini întregi de aceeași
paritate cu x0.
În particular, dacă f(0) și f(1) sunt numere impare, atunci f nu are rădăcini întregi, deoarece al nu are nici rădăcini
pare (de aceeași paritate cu 0) și nici rădăcini impare (de aceeași pari tate cu 1).
Dar, dacă f(X) = a o + +… + X+ iar condițiile ca numerele f(0) și f(1) să fie impare, implică: =
număr impar = număr par, și cum paritatea unei sume de numere întregi de pinde de
numărul termenilor impari din suma respectivă (suma fiind pară dacă există în ea un număr par de termeni impari
și fiind impară dacă ea conține un număr impar de termeni impari) rezultă că:
– un polinom f ∈ℤ[X] care are termenul liber impar, iar prin tre ceilalți coeficienți există un număr
par de coeficienți impari, nu are rădăcini întregi.
În particular, un polinom f ∈ℤ[X] care doar are un singur coeficient impar, iar acela este termenul liber, nu are
rădăcini întregi.
Exemple: 1. ( )
– termenul liber este 17 și patru coefictenții impari: 1, -9, 7,-1.
2. ( )
– are toți coeficienții pari, numai termenul liber este impar
⇒cele două polinoame nu au rădăcini înt regi.

64
CAPITOLUL III
APLICAȚII
3.1. Divizibilitatea polinoamelor
1. a). Să se determine restul împărțirii unui polinom P(X) de grad > 2 la polinomul p(X)=(X – a)(X – b)
b). folosind rezultatul de la a). să se determine restul împărțirii polinomului
P(X) = X11 – 2X9 + X8 – 3X7 + X6 + 5X3+ 2X2 – X +1 prin (X2 – 1)
Rezolvare:
a). Această problemă se poate rezolva folosind identitatea fundamentală de împărțire a două polinoame:
P(X)= p(X) Q(X) + R(X), unde este restul împărțirii, grad R(X) 1
 P(X) = (X – a)(X – b)Q(X) + mX + n.
Dacă x = a ⇒P(a) = ma + n și
x = b ⇒P(b) = mb + n
Din sistemul { ( )
( )⇒ m(b – a) = P(b) – P(a)
⇒ { ( ) ( )

( ) ( )
, b a
R(X) = ( ) ( )
X + ( ) ( )
, b a
b). Din p(X) = X2 – 1 =(X – 1)(X + 1) => a = 1 , b = 1
Înlocuind în (*) și ținând seama c ă ( )
( ) }⇒
⇒m = ( ) ( )

65

⇒ R(X) = m X + n⇒R(X) = 5.
Astfel: formăm polinomul ajută tor:
P1(X2)=(X2)S X-2(X2)4 X+(X14-3(X2)3 X+(X2)3+5(X2) X+2X2—X+1⇒ R(X) = P 1(1) = 5 ceea ce
este restul împărțirii lui P(X) la X2 – 1.
3. Să se determine coeficienții reali a, b astfel încât polinomul P(X) = aX4 + bX2 +1 să se dividă prin
p(X) = X2 – 1.
Rezolv are:
Metoda I. Ținând cont de egalitatea: X2 – 1= (X – 1)(X + 1) și că
( )( )| ( )⇔{ ( )
( )
P(1) = P( -1) = a + b + 1= 0 ⇒ a∈R, b = -(1 +a)
Metoda 2. Efectuând împărțirea celor două polinoame și punând ca restul împărțirii să
fie un po linom identic nul:
aX4 + bX2 +1 X2- 1
-aX4 + aX2aX2 + (a+b)
(a +b)X2 + 1
( )

⇒ R(X) = a + b+ 1 = 0 ⇒a ∈ R, b = -(1 +a)
Metoda 3. Se formează polinomul ajutător Pi(X2) =a(X2)2 + b(X2) + 1
Pi(1) = 0 ⇒ a + b+ 1 = 0 ⇒ a ∈ R, b = -(1 +a)
Metoda 4. Se poate folosi și metoda coeficienților nedeterminați:
aX4 + bX2 +1 = ( X2 — 1)( aX2 +mX – 1)
aX4 + bX2 +1 = aX4 – aX2 + mX3 — X – X2 +1
aX4 + bX2 +1 = aX4 + mX3 —(a +1)X2 – mX +1
Egalând coeficienții termenilor de același grad ⇒ m = 0,b= – (a+1)
 P(X) = aX4 – (a +1)X2 +1

66
 există o infinitate de polinoame care se divid la X2 – 1.
Observație: Prin orice metodă menționată se ajunge la aceleași rezultate, în fiecare caz se alege metoda cea
mai adecvată.
4. Se dă polinomul
P(X) = (b – c)X5 + (a + c)X4- X3 – 5aX2- 2(a + b)X + a + b a, b, c ∈ℝ, b c.
Se cere să se determine coeficienții a, b, c astfel ca P(X) să se dividă prin p(X) = X3- 5
Rezolvare: se poate folosi metodele folosite în exercițiul 2.
Formăm polinomul ajutător:
P1(X3) = (b -c)X3 X2 + (a + c)(X3) X – X3 – 5aX2 – 2(a + b)X + a + b
și punem condiția ca P 1(5) = 0 din care rezultă P1(5) = (b -c)5⸱X2 + 5(a + c)⸱X – 5 – 5aX2 — 2(a + b)X +
a + b = 0
(-5a + 5b 5c)X2 + (5a + 5c – 2a – 2b)X + a + b – 5 = 0

⇒{

⇒2

⇒2
⇒ 5b = 10 ⇒ b = 2
2
` ⇒{

⇒{

4. Se consideră polinomul: P(X) = Xn +Xn-1 + … + X + 1, n ∈ℕ, n > 3.
Se cere să se găsească restul împărțirii lui P(X) prin I(X) =X(X – 1)2.
Rezolvare: grad I(X) = 3 ⇒grad R(X) 2 . Folosim teorema împărțirii cu rest a două polinoame:
(1) P(X) = X(X – 1)2Q(X) + (aX2 + bX + c)
Din relația(1) ⇒{ ( )
( )

Din enunț ⇒{ ( )
( ) ⇒2
⇒2

Derivând în (1)
⇒P'(X) =(X — 1)2 Q(X) + 2X(X — 1)Q(X) + X(X — 1)2Q'(X) + 2aX + b (2)

67
Din (2) ⇒P'(1) = 2a + b (3)
Dar din enunț: P'(X) =nXn-1 + (n – 1) Xn-2 +…+ 1 și
P'(1)= n + ( n – 1) +…+1 = ( )
(4)

Din (3) și (4) ⇒ ( )
= 2a + b
Obținem deci un sistem de trei ecuații cu necunoscutele a, b, c:
{ ( )

⇒ a = ( )
– n
. – /

⇒b = n –a
b = n – ( )

b = –

b = ( )

Deci avem
{ ( )

( )

5. Se consideră polinomul P(X) = X5 + aX4 +2X3 + bX2 +bX + 1, a, b ∈ℝ
Se cere să se determine coeficienții a, b astfel încât P(X) să se dividă la p(X) = X2 + 1.
Rezolvare:
Metoda 1 . Se efectuează împărțirea în mod obiș nuit și se pune condiția ca restul să fie polinomul identic nul.
Avem:

68

( ) |
( )

( )

( ) ( )
( )
( – )
R(X) = (b – 1)X + a – b + 1 ⇒2
⇒2

Metoda 2 . Se formează polinomul ajutător:
P1(X2) = (X2)2 X + a(X2)2 + 2X2 X + bX2 + bX + 1
Punând condiția : P 1(-1) = 0 ⇒
P1(-1)=X + a + 2( -1)X + b( -1) + bX + 1 = (b – 1)X + a – b + 1
⇒(b – 1)X + a – b + 1 = 0 ⇒2
⇒ 2

Metoda 3 . – metoda identificării:
X5 + aX4 + 2X3 + bX2 +bX + 1 = ( X2 + 1)( X3 + mX2 + nX + 1)
X5 + aX4 + 2X3 + bX2 +bX + 1 = X5 + X3 + mX4 + nX3+ mX2 + nX + X2 +1
Identificând coeficienții termenilor de același grad avem:
{

⇒
⇒
2
{

2

Observație : Această metodă este mai avantajoasă pentru că se obține și câtul împărțirii celor două polinoame pe
lângă valorile lui a și b.
Metoda 4. Din condiția că p(X)|P(X) ⇒P( i ) = 0
⇒i+a-2i-b+bi+1=0 ⇒ a-b+1+i(1 -2+b)=0

69
⇒2
⇒2

6. Să se determine coeficienții a, b, c reali ai polinomului P(X) = X4 + 3X3 + aX2 +bX + c astfel încât acesta să se
dividă la polinomul p(X) = (X2+ 1)(X + 2)
Rezolvare:
Metoda 1. Se pun codițiile: P(i) = 0 și P( -2) = 0
P(i) = 1 + 3( -i) + a( -1) + bi + c = (b – 3)i + c – a + 1
P(2) = 16 – 24 + 4a – 2b + c = 4a – 2b + c – 8
⇒2( )
⇒{

=>
⇒{

⇒{

⇒2
⇒{

Metoda 2. — metoda identificării
X4 + 3X3 + aX2 +bX + c = (X2+ 1)(X + 2)(X + d)
X4+3X3 +aX2+bX+c=X4+2X3 +X2+2X+dX3+2dX2+dX+2d

⇒ {

⇒{

⇒{

și câtul va fi X+ 1

7. Să se determine coeficienții reali m, n astfel încât polinomul P(X) =X5 + mX + n să se dividă prin p(X) =
X2 + X + 1
Rezolvare:
Metoda 1 . Rezolvăm ecuația: x2 + x +1= 0 și avem x 1,2= √
.
Notăm ω 1,2 = √
rădăcinile cubice complexe ale unității.
Stim că : ω2 + ω + 1 = 0
ω12 = ω 2

70
ω3 = 1
ω4 = ω
ω1 +ω2 = -1
ω1ω2=1
Cum (X2 + X + 1)|P(X) ⇒{ ( )
( )
(*) ⇒ {
⇒ ω2 + mω 1 + n = 0 (*)
Înlocuim în (* ) valorile lui ω1 și ω2⇒

√
( ) ⇒{

⇒ 2

Metoda 2. — metoda identificării:
X5 + mX + n =( X2 + X + 1)( X3 + aX2 + bX + n)
X5 + mX + n = X5 + X4 + X3 + aX4 + aX3 + aX2 + bX3 + bX2 + bX + nX2 + nX + n
X5 + mX + n = X5 + (1 + a)X4 + (1 + a +b)X3 + (a+ b+ n)X2 + (b + n)X + n
⇒ {

⇒ {

Observație: 1. Cu această metodă obținem și câtul împărțirii : X3 – X2 + 1
2. Ca metodă 3. se poate folosi împărțirea directă și se pune condiția ca restul să fie polinomul
identic nul.
8. Să se arate că polinomul P(X) = (X2 + 2X + 2 )2 – X se divide prin p(X)= X2 + X + 1 . Se cere câtul.
Rezolvare:
Metoda 1 . Scriem p olinomul P(X) în felul următor:
P(X)=X4+4X2+4+4X3+4X2+8X -X=X4+4X3+8X2+7X+4=
=( X4 + X3 + X2) + (3X3 + 3X2 + 3X) + (4X2 + 4X + 4)

71
=X2(X2+ X + 1 ) + 3 X ( X2+ X + 1 ) + 4 ( X2+ X + 1 ) =
=(X2 + X + 1)( X2 + 3X + 4) din care rezultă că P(X) se divide prin X2+ X + 1și câtul esteX2 + 3X + 4.
Metoda 2. (X2 +X+ 1)|P(X) P(ω l) = 0
P(ω1) = (ω12 + 2ω1 + 2)2-ω1 = (ω12 + 2ω1+ 1 + 1)2–ω1= (ω1 + 1)2–ω22 =
= (ω1+ 1 – ω2)(ω1 + 1 – ω2) = 0 pentru că ω1 + ω2 = -1
Observație: Se poate folosi și la acest exercițiu metoda identificării și împărțirea directă. Din ambele metode
rezultă același și câtul împărțirii.
9. Să se determine a, b ∈ℝ astfel incât P(X) = X4 + aX2 + b să fie divizibil prin p(X)= X2 + X + 1
Rezolvare: și la acest exercițiu se poate folosi metodele folosite în exercițiul anterior.
Folosim altă metodă:
P1(X2) =( X2)2 + a(X2) + b
(X2 + X + 1)|P(X) ⇒P1(- X – 1) = 0
P1(-X-1)=( -X-1)2-a(1+X)+b=X2+2X+1 -aX-a+b
⇒X2+2X+1 -aX-a+b=0
-X-1+2X+1 -aX-a+ b = 0
⇔ (1 – a)X + b-a = 0⇒2
⇒2

10. Se consideră polinomul: P(X) = aX4 + bX3 + cX2 + c +1; a 0 și se cere să se determine a, b, c
astfel încât (X3 -1)|P(X).
Rezolvare. Formăm polinomul ajutător:
P1(X3) =aX3 X + bX3 + cX2 + c + 1
Punem condiția c a P1(1) = 0
P1(1)= aX + b + cX2 + X + 1 ⇒ cX2 + (a + 1)X + b+ 1= 0
⇒{

⇒{

Observație: Același rezultat obținem și cu ajutorul metodei indentific ării coeficienților.

72
3.2. Cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun al polinoamelor

Pentru determinarea c.m.m.d.c. a două polinoame se poate folosi următoarele metode:
i). Descompunerea în factori a celor două polinoame și constituirea divizorului comun, luându -se
factorii polinomiali comuni la puterile ce le mai mici ;această metodă se poate aplica când
polinoamele se pot descompune ușor în factori;
ii). Folosirea algoritmului lui Euclid – în cazul in care i). se cunoaște de la început gradul divizorului
comun,
iii). Metoda scăderilor succesive – în cazul î n care se cunoaște de la început gradul divizorului
comun iar polinoamele luate în considerare nu sunt de grad prea mare :
Fie P 1(X) = (X – a)Q 1(X) și P2(X)=(X – a)Q 2(X) al c ăror divizor comun este (X – a)
Construim un nou polinom P 3(X)=k 1P1(X) ±k 2P2(X)= ( X – a) [k 1P1(X) ±k 2P2(X)], k1,k2 fiind
polinom în x.
P3(X) conține pe (X – a) ca factor , rezultă P 1,P2,P3 au același divizor comun.
Observație: Pentru contruirea lui P 3(X) se va avea în vedere multiplicarea polinoamelor P 1(X) și
P2(X) cu constante sau chi ar polinoame astfel încât prin adunări sau scăderi succesive să obținem
polinoame P 3(X) de grad mai mic decât acela al polinomalor P 1,P2.
1. Să se determine cel mai mare divizor comun al polinoamelor:
P1(X) = X3 – 3X + 2
P2(X) = X4 – 2X3+2X2 – 2X+ 1
Rezolva re:Metoda 1 . Descompunem în factori polinoamele:
P1(X) = X3 – 3X + 2 = (X – 1)2(X + 2)
P2(X) = X4 – 2X3 +2X2 – 2X+ 1 = (X – 1)2(X2 + 1)
 C.m.m.d.c. al polinoamelor este (X – 1)2
Metoda 2. Folosim algorimul lui Euclid:

X4 – 2X3 +2X2 – 2X+ 1 X3 – 3X + 2
-X4 +3X2 – 2X X – 2

-2X3 + 5X2 – 4X + 1
2X3 – 6X + 4
5X2 – 10X + 5 R1(X) = 5(X2 – 2x + 1)

73
X3 – 3X + 2 X2 – 2X + 1
-X3 + 2X2 – X X + 2
2X2 – 4X + 2
-2X2 + 4X – 2
/ / / ⇒ R2(X) = 0
Deci, c.m.m.d.c. al polinoamelor este ultimul rest diferit de zero, adică X2 – 2X + 1 = (X – 1 )2
Metoda 3. Metoda scăderilor succesive:
P3(X) = P 2(X) – XP 1(X) = -X3 + 5X2 -4X + 1
P1 și P 3 au același divizor comun rezultă
P4(X) = P 3(X) + 2P 1(X) = 5(X2 – 2X + 1) = 5(X – 1)2
Verificăm : P 1(1) = 0 P‘1 (1) = 0
P2(1) = 0 P‘2(1) = 0
Rezultă că c.m.m.d.c. al polinomalor este (X – 1)2
Observație: Dacă această verificar e nu era posibilă atunci se consideră
P4(X) = (X – 1)2
P5(X) = P 1(X) – XP 4(X) = 2(X2 – 2X + 1)
și cum P 4(X) și P 5(X) au același divizor comun , rezultă că aceasta nu este decât ( X – 1)2
2. Folosind metoda scăderilor succesive să se determine condiția ca p olinoamele
P1(X) = a 1X2 + b 1X + c 1
P2(X) = a 2X2 + b 2X + c 2 a1 a 2
Rezolvare: Presupunem că cele două polinoame au un divizor comun și formăm:
P3(X) = a 1P2(X) – a2P1(X) = a 1(a2X2 + b 2X + c 2) – a2(a1X2 + b 1X + c 1) =
=a1a2X2 + a 1b2X + a 1c2 – a1a2X2 – a2b1X – a2c1 = ( a 1b2 – a2b1)X + a 1c2 – a2c1;
P3(X)= (a 1b2 – a2b1)X + a 1c2–a2c1 (1)
Constituie c.m.m.d.c. al polinoamelor P 1(X) și P 2(X).
Punând condiția ca P 3(X) = 0 din (1) rezultă

74
(3) X=-
este rădăcina comună a ecuațiilor polinomiale
P1(X) = 0 , P 2(X) = 0 (2)
Scriind că (3) verifică una din ecuațiile (2) rezultă (a1c2 – a2c1)4 – (a1b2 – a2b1)(b1c2 – c1b2) = 0 (4)
ceea ce constituie condiția necesară și suficientă ca ecuațiile polinomiale (2) să aibă o rădăcină
comună ; rezultă că relația (4) este condiția necesară și suficientă ca două polinoame de gradul al
doilea P 1(X) , P 2(X) să aibă un divior comun de gradul întâi de forma (1).
2. Să se determine c.m.m.d.c. al pol inoamelor:
P1(X) = X11 + X7 +1
P2(X) = X14 + X10 + 1, folosind metoda scăderilor succesive.
Rezolvare: formăm
P3(X) = P 2(X) – X3P1(X) = X14 + X10 +1 – X14 – X10 -X3 = 1 – X3
Știm că : 1 -X3= (1 – X)(1 + X + X2) și P 1 ,P2, P3 au același divizor comun și
P1(1) = 3 0
P2(1) = 3 0
⇒C.m.m.d.c. al polinoamelor P 1(X) si P 2(X) este 1 + X+ X2
Verificăm : P 1(𝛚1) = 𝛚111 + 𝛚17 + 1 = 𝛚19𝛚12+ 𝛚12𝛚1+1= 𝛚12+ 𝛚1+1= 0
P1(𝛚2) = 𝛚214 + 𝛚210 + 1= 𝛚212𝛚22+ 𝛚22𝛚2 + 1= 𝛚22 + 𝛚2 +1 = 0
unde 𝛚1 și 𝛚2 sunt rădăcinile cubice complexe ale unităților și s -a folosit că 𝛚3 = 1
⇒ (P1(X),P 2(X)) = X2 + X +1
3. Să se determine c.m.m.d.c. al polinoamelor, cu metoda scăderilor succesive:
P1(X) = X8 + X + 1
P2(X) = X17 +X4 + 1
Rezolvare :P3(X) = X9P1(X) – P2(X) = X17 + X10 +X9 -X17 -1 = X10 + X9 – X4-1
P4(X) = P 3(X)-X2P1(X) = X10 + X9 -X4 -1 -X10 – X3 -X2 =
= X9 -X4 -X3 -X3 -1
P5(X) = XP 1(X) -P4(X) = X9 + X4 +X -X9 +X4 +X3 +X2+ 1=
= X4 + X3 +2X2 + 1= (X4 + X3 +X2)+(X2 + X+ 1)=
= X2(X2 + X +1)+(X2 + X+ 1) = (X2 + X+ 1)(X2 + 1)
Cum P 1,P2 și P 5 au același divizor comun,acesta poate fi X2 +X + 1 sau X2 + 1.
Verificăm: P 1(i) = i + 1 + 1= 2 + i 0
P2(i) = 1+ i + 1 = 2 + i 0, rezultă X2 + 1 nu poate fi divizorul comun al polinoamelo r
P1(X),P 2(X).

75
P1(𝛚1) = 𝛚18 + 𝛚1+ 1 = 𝛚16𝛚12 + 𝛚1 + 1 = 𝛚12 + 𝛚1 + 1 = 0
P2(𝛚1) = 𝛚117 + 𝛚14 +1 = 𝛚115𝛚12 + 𝛚13𝛚1 + 1 =𝛚12 + 𝛚1 + 1 =0
⇒ + X + 1 estec.m.m.d.c. al polinoamelor (X), (X).
5. Să se determine c.m.m.d.c. al polin oamelor
(X) = – (n + 1)X+1 ( ) = – nX + n – 1, n𝛜
Rezolvare : – folosimmetodascăderilorsuccesive:
(X) = (X) – (X) = – (n + 1)X +1 – + – X + nX
= – X + nX –nX – X + 1 = – X – X + 1 =
= X(X–1)– (X–1) = (x–1)( – )
(X) = (x–1)( – )
ă ă (1) = n – n – 1 + 1 = 0
(1) = 1 – n + n + 1 = 0
Dar (
) = n(
) – (n+1)
+ 1 = n
( ) –
–
+1 =
( )–
–
+ 1 0
⇒( (X), ( )) = X – 1.

76
3.3. Determinarea polinoamelor prin condi ții inițiale

1. Să se determine polinoamele de gradul al treilea care verifică relația :
P(X)P(–X) = P( ) (1).
Rezolvare : Fie P(X) = a + bX + c + d , d 0 și înlocuim în (1)
⇒ (a + bX + c + d )(a + bX + c + d ) = a + b + c + d
,( ) ( ) -[( )–( ) ] = a + b + c + d
( ) –( ) = a + b + c + d
+ 2ac + – – 2bd – = a + b + c + d
+ (2ac – ) + ( – ) – = a + b + c + d
⇒{
–
–
– ⇒

dar d 0 ⇒ d = –

I.
{ –

–
– sau II.
{ –

–

Rezolvăm I.
{ –

–
⇒ = –

77

⇒ i. {

sau ii. ⇒{

⇔

{

sau {

ii. {

sau{

II. {

⇒
{

⇒
=(
) + 2b|

⇒ 2 +2b =
⇒ {

b( ) = 0

= 0
+ 3 -3b + 2b+6=0 ⇒{

( ) ( ) ( )
(b+3)( )
⇒polinoamele care satisfac relațiile (1) sunt:
– -X+2 ; -X- ; 1- ; 1-3X+3
2. Să se determine polinoamele: P(X) =
care se divid prin p(X)= , unde m, n ∈R sunt parametri.
Rezolvare: Folosimmetoda identificării:
= ( )( +aX+1)
= +m +n + a +naX0+ +mX+n

78
= +(m+a) +(1+n+ma) +(m+na)X+n

⇒{ ⇒

⇒ ⇒na = a⇒ a(n-1)=0

⇒{

sau 2

{

2
( ) ⇒ ( )

⇒
⇒{

sau{

⇒polinoamele P(X) sunt: .
Dacă m=n=0 ⇒ a=0 ⇒ P(X) =
n=0, m= -1 ⇒ a=1 ⇒ P(X) = –
3. Să se termine polinoamele cu coeficienți reali, care verifică relația:
P(X) = P‘(X)P‖‘ (X),
unde P‘(X), P‖‘ (X) sunt derivatele de ordinal unușitrei ale lui P(X)
Rezolvare : dacăgradP(X)=n ⇒
⇒gradP‘(X)=gradP‖ (X) = (n -1)+(n -3)=2n -4 și din relația n=2n -4 ⇒ n=4.
( )| ( )
( )| ( )}⇒ P(X) = k( ) cu k 0

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )}⇒ k( ) = 4k( ) 24k(x -a)
⇒ k=96
⇒ 96 ⇒ ( )
⇒ =

Cum k 0 ⇒ k=
și deci P(X) =
( ) .

79
4. Să se termine toate polinoamele de gradul n cu coeficinți reali care verifică:
P(X) = P‘(X) P‖(X) … ( )( ) unde P‘(X), P‖(X),… , ( )sunt der ivatele succesive ale lui P(X).
Rezolvare : Dacă GradP(X)=n
⇒gradP‘(X) =n -1,…, grad ( )( )
⇒n=(n -1)+(n -2)+…+1
⇒n= ( )
⇒ ⇒ ⇒
Cum n 0 ⇒ n=3, deci grad P(X)=3.
P(X)=k( ) k ( ) =3k( ) 6k(X -a) 6k
P‘(X)=3k ( ) k=108
P‘‘(X)=6k(X -a) 108
P‘‘‘(X)=6k k(108 )
=0,
√
⇒ √

Cum k 0 ⇒ √
, √

⇒ P(X) = √
( )
⇒P(X) = – √
( )
4. Se consideră poli nomul în X de gradul (n -1) notat cu ( )( )
( )( ) = 1+
+ ( )
+ … + ( ) ( )
și se cere să se arate că
( )( ) poate f sub forma unui produs de factori. Să se stabilească apoi o relație de recu rență
între ( )( ) și ( )( ).
Rezolvare:
(X) = 1 +
=

(X) =
= ( )
= ( ) ( )
= ( )( )

80
(X) =
+ ( )
+ ( )( )
= ( ) ( ) ( )( )
=
= ( ), ( )-
= ( )( )
= ( )( )( )

⇒ ( ) ( )( ) ( )

( ) = ( )( ) ( )( )
( ) = ( )
= (1+
) ( )
⇒ ( ) = .
/ ( )ceea ce este rela ția de recurență căutată.

81
3.4.Polinoamele omogene și simetrice

1. Se consideră polinomul omogen P(X,Y,Z) și se cere să se arate că polinomul
Q(X,Y,Z) = P(X,Y,Z) + P(Y,Z,X) + P(Z,X,Y) – P(X,Z, Y) – P(Y,X,Z) – P(Z,Y,X) (1) se divide
(exact) la polinomul p(X,Y,Z) când p(X,Y,Z) = (X – Y)(Y – Z)(Z – X).
Ce se poate spune pentru Q(X,Y,Z) când P(X,Y,Z) este de gradul întâi sau doi.
Rezolvare:
Dacă X = Y în (1) ⇒
Q(Y,Y,Z) = P(Y,Y,Z) + P(Y,Z,Y) + P(Z,Y ,Y) – P(X,Z,Z) – P(Z,X,Z) – P(Z,Z,X) = 0
⇒ (X – Y)|Q(X,Y,Z)
Dacă Y = Z în (1) ⇒
Q(X,Z,Z) = P(X,Z,Z) + P(Z,Z,X) + P(Z,X,Z) -P(X,Z,Z) – P(Z,X,Z) – P(Z,Z,X) = 0
⇒ (Y – Z)|Q(X,Y,Z)
Dacă Z = X în (1) ⇒
Q(X,Y,X) = P(X,Y,X) + P(Y,X,X) + P(X,X,Y) -P(X,Y,X) – P(Y,X, X) – P(X,Y,X) = 0
⇒ (Z – X)|Q(X,Y,Z)
⇒ (X – Y)(Y – Z)(Z – X)|Q(X,Y,Z)
-dacă gradul polinomului Q(X,Y,Z) este de gradul întâi sau doi ⇒Q(X,Y,Z) = 0 deoarece divizorul
lui P(X,Y,Z) este de gradul al treilea.
2. Să se descompună în factori de gradul întâi polino mul:
P(a,b,c) = a2(b + c) + b2( c + a) + c2(a +b) + 2abc (1)
Rezolvare: Polinomul fiind omogen și simetric în raport cu nedeterminatele a,b,c în (1).
Dacă luăm în (1) b = -a
P(a,-a,c) = a2(-a + c) + a2( c + a) + c2(a – a) + 2a( -a)c = -a3 + a2c + a2c +a3 -2a2c = 0
⇒(a + b)|P(a,b,c)
( b + c)|P(a,b,c)
Polinomul fiind omogen și simetric ⇒ ( c + a)|P(a,b,c)

82
⇒P(a,b,c) = k(a + b)(b + c)(c + a) (1‘)
Efectuând în ( 1) și (1‘) și egalând cele două ⇒k = 1 ⇒ P(a,b,c) = (a + b)(b + c)(c + a) ceea
ce este descompunerea în factori de gradul întâi al polinomului P(a,b,c).
Altfel: Se ordonează polinomul după puterile lui a (sau b sau c)
P1(a) = a2(b + c) +b2c+c2a+c2b+2abc=(b+c)a2 +(b2+c2+2bc)a+bc(b+c)=
=(b+c)[a2+(b+c)a+bc]
P1(a) =(b+c)[a2+(b+c)a+bc] (1‘‘)
a2+(b+c)a+bc=0
∆=(b+c)2 -4bc= (b -c)2
1,2 = ( ) ( )

1 =
2 =

⇒P(a,b,c)= (a+b)(b+c)(c+a)
3. Să se descompună în fac tori de gradul întâi polinomul:
P(a,b,c) = a3(a-c)+b3(c-a)+c3(a-b) (1)
Rezolvare:
Polinomul fiind omogen și simetric în raport cu nedete rminatele a,b,c luăm b=a în (1)
⇒P(a,a,c) = a3(a-c)+a3(c-a)+c3(a-a)
⇒ (b-a)|P(a,b,c)
Luând c=a ⇒ (c-a)|P(a,b,c)
și luând b=c ⇒ (b-c)|P(a,b,c)
⇒ (a-b)(b-c)(c-a)|P(a,b,c)
⇒P(a,b,c) = (a -b)(b-c)(c-a)Q(a,b,c) (2)
⇒ (a-b)(b-c)(c-a)|P(a,b,c)
⇒P(a,b,c) = (a -b)(b-c)(c-a)Q(a,b,c) (2)
unde Q(a,b,c) este polinom omogen și simetric de gradul întâi în raport cu a,b,c.
⇒Q(a,b,c) = k(a+b+c)
Relația (2) ⇔ P(a,b,c)=(a -b)(b-c)(c-a)k(a+b+c) (2‘) și trebuie determinat k.
Efectuând operațiile în (1) și (2‘) și egalând cele două
⇒ (1) ⇔ P(a,b,c) = a3b – a3c + b3c – b3a + c3a – c3b

83
⇒ (2‘)⇔ P(a,b,c)= k[(ab – b2 – ac + bc)(ac – a2+ bc -ab+c2-ac)]=

=k(-a3b+a2b2+a3c -a2bc+ab2c-b3c-abc2+b2c2-a2b2+ab3+a2bc-
– ab2c+abc2-b2c2-ac3+bc3)=
= k( -a3b+a3c-b3c+ab3-ac3+bc3)=
= -k(a3b-a3c+b3c-ab3+ac3-bc3)
Din (1) și (2‘) ⇒ k = -1 ⇒ P(a,b,c)= -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).
4.Să se descompună în factori de gradul întâi polinomul omogen și simetric:
P(a,b,c)= a(b -c)3+b(c -a)3+c(a -b)3 (1)
Rezolvare: dacă b = a ⇒
P(a,a,c)= a(a -c)3+a(c -a)3+c(a -a)3= a4-3a2c2 -ac3+ac3-3a2c2+3a3c-a4=0
⇒ (a-b)|P(a,b,c)
Din motive de simetrie ⇒ (b-c)|P(a,b ,c)
(c-a)|P(a,b,c)
⇒ (a-b)(b-c)(c-a)|P(a,b,c)
⇒P(a,b,c) = (a -b)(b-c)(c-a)Q(a,b,c) (2)
unde Q(a,b,c)= k(a+b+c)
Efectuând operațiile în (1) și (2)
⇒ (1) ⇔ P(a,b,c) = ab3-3ab3c-ac3+bc3-3bc2a+3ab2c-a3b+a3c-3a2bc+3ab2c-b3c= ab3-
c3-ba3+a3c-b3c (* )
⇒ (2‘)⇔ P(a,b,c) = k[(ab -b2 -ac+bc)(ac+bc+c2-a2-ab-ac)]=
=k(ab2c-b3c-abc2+b2c2+abc2-b2c2-ac3+bc3-a3b+a2b2+a3c-
-a2bc-a2b2+ab3+a2bc-ab2c) =
= k( -b3c-ac3+bc3+a3c-a2bc-ab2c)=
= k(ab3-ac3+bc3-a3b+a3c-cb3) (**)
Din (*) și (**) ⇒ k = 1 ⇒ P(a,b,c) = (a -b)(b-c)(c-a)(a+b+c).
5.Se consideră polinomul omogen și simetric:

84
P(a,b,c) = 2(a2b2+b2c2+c2a2)–(a4+b4+c4) și se cere să se descompună în factori de gradul
întâi.
Rezolvare:
Se ordonează polinomul în r aport cu una din nedeterminatele sale, de exempludupă a
⇒P1(a) = 2a2b2+2b2c2+2c2a2-a4-b4-c4= -a4+2(b2+c2)a2-(b2-c2)2.
Rezolvăm ecuția P 1(a) = 0:
-a4+2(b2+c2)a2-(b2-c2)2= 0
∆=4(b2+c2)-4(b2-c2)2 = 4(b2+c2+ b2-c2)(b2+c2-b2+c2)=16b2c2
( 2)1,2 = ( )
= b2+c2±2bc
( 2)1,2= (b±c)2
⇒ P1(a) = -[a2-(b+c)2][a2-(b-c)2]
P1(a) = -(a -b-c)a+b+c)(a -b+c)(a+b -c)
Astfel:P(a,b,c) se poate scrie și în felul următor:
P(a,b,c) = 2a2b2+2b2c2+2c2a2-a4-b4-c4 = 4b2c2-2b2c2+2c2a2+2a2b2-a4-b4-c4=
=4b2c2 –(-a2+b2+c2)2=(2bc -a2+b2+c2)(2bc+a2-b2-c2)=
=[a2-(b-c)2]{-[a2-(b+c)2]}=
=-(a-b-c)(a+b+c)(a -b+c)(a+b -c)
Ceea ce s -a primit și cu metoda cealaltă.
6. Să se descompună în factori de gradul întâi polinomul omogen și simetric:
P(a,b,c) = (a+b+c)3 – (-a+b+c)3 –(a-b+c)3 – (a+b-c)3
Rezolvare: punând a = 0
P(0,b,c) = (b+c)3 –(b+c)3-(c-b)3-(b-c)3 = 0
⇒P(a,b,c) are ca factor pe a.
Din motive de simetrie P(a,b,c) conține ca factor pe b și c.
⇒ P(a,b,c) = kabc
Constanta k se determină efectuând operțiile și egalând cel e două egalitați sau luând de exemplu:
a = 1 , b = 1 , c = 1 P(1,1,1) = 33-13-13-13 =24
⇒ P(a,b,c) = 24abc .

85
3.5. Rezolvarea ecuațiilor polinomiale cu coeficienți numerici

1. Să se rezolve ecuațiile:
a. x3 – 3x+2 = 0
b. x3 – 6×2+11x -6 = 0
c. 6×3+11×2+6x -1 = 0
d. 4×3-8×2-x+2 = 0
e. 2×3-x2+197x -300=0
Rezolvare:
Aceste ecuații fiind ecuații polinomiale de grad impar, cu coeficienți numerici reali, rezultă că au un
număr impar de rădăcini reale; astfel rezultă că fiecare ecuație a. – e. are cel puțin o rădăcină reală.
a. Observând că suma coeficienților ecuației este zero, rezultă x 1 = 1 este o rădăcină a ecuației.
Folosim schema lui Horn er pentru obținerea ce lorlalte rădăcini ale ecuației:

x3 x2 x x0

a 1 0 -3 2

1 1 1 -2 0

x2 x x0

Scriind: (x -1)(x2+x-2) = 0, celelalte rădăcini rezultă din ecuația:
x2+x-2 = 0 x 2,3 = √
x2 = 1, x 3 = -2
Deci , x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = -2 sunt rădăcinile ecuaț iei, mulțimea soluțiilor va fi: M = {1 , -2}
Astfel: – se poate rezolva și cu formulele lui Viète
– căutăm rădăcinile ecua ției printre diviorii termenului liber cu schema lui Horn er
b. x3 -6×2 +11x -6 = 0
Rezolvare: Se poate descompune în factori membrul stân g al ecuației grupând termenii:
x3 -x2 – 5×2 +5x +6x -6 = 0
x2(x-1) -5x(x-1) +6(x -1) = 0
(x-1)(x2 -5x+6) = 0

86
(x-1)(x-2)(x-3) = 0 ⇔ x-1 = 0 sau x -2 = 0 sau x -3 = 0
⇒x1 =1, x 2 = 2, x 3 = 3.
c. 6×3 +11×2+6x-1= 0
Rezolvare: Metoda 1. Cu schema lui Horn er găsim x 1 = -1 , iar celelalte două rădăcini se obțin dintr –
o ecuație de gradul doi.
x3 x2 x x0

a 6 11 6 1

-1 6 5 1 0

x2 x x0

(x+1)(6×2 +5x+1) = 0 ⇔ x+1 = 0 sau 6×2 +5x+1 = 0
x1 = -1 x2,3= √

x2 =
x3 =

Metoda 2. Cu formulel lui Viète:
Produsul rădăcinilor : x 1 x2 x3 =
⇒ rădăcinile sunt nega tive
(coeficienții ecuației toți sunt > 0 ) și suma rădăcinilor : x 1 +x2 + x 3 =

Divizorul lui
sunt ± 1, ±
, ±
, ±
.
Rădăcinile ecuației care satisfac egalități sunt : -1 , –
,-
.
d. 4×3-8×2-x+2=0
Rezolvare :grupăm terme nii m embrului stâng:
4×2(x-2)-(x-2) = 0
(x-2)(4×2-1)= 0 ⇔ x-2 = 0 sau 4×2 -1 = 0
x1=2 x2,3 = ±

Astfel:Același rezultat găsi m folosind relațiile lui Viète: x1x2x3 =

87
Divizorii lui
sunt: ±1 , ±2 , ±
, ±
și cu sche ma lui Horn er găsim aceleași soluții ca mai
înainte.
e. 2×3-x2+197x -300 = 0
Rezolvare: Căutam divizorii lui
, care sunt foarte mulți => se caută intervale în care se
află rădăcinile acestei ecuații, pentru a se reține doar divizorii corespunză tori. În acest scop se poate
folosi următoarele metode:
I ). irul lui Rolle
Notăm f(x) = 2×3-x2+197x -300 , f: ℝ ℝ funcția este derivabilă pe ℝ și f‘(x) = 6×2-2x+197
f‘(x) = 0  6×2-2x+197 = -474< 0 => f(x) = 0 nu are soluții reale.
Claculăm: ( ) ( )
Șirul lui Rolle va fi:
x
f(x)
⇒Există o singură schimbare de semn => ecuația e ). are o singură reală.
Observăm:
f(0) = -300 < 0
f(1) = 2 -1+197 -300 = -102 < 0
f(2) = 16 -4+394 -300 = 106 > 0 = > rădăcina ecuației este în intervalul (1,2).
Luăm dintre divizorii lui
numai cei care aparțin intervalului (1,2) și anume x =
𝛜 (1,2)

∈( ) f .
/ =

+ 197
– 300 =
+
–300 = 0 ⇒x =
este rădăcin ă a ecuației e ).
Efectuăm schema lui Horn er:

88
x3 x2 x x0

a 2 -1 197 -300

2 2 100 0

x2 x x0

Scriind câtul împărțirii rezultă celelalte două rădăcini ale ecuației:
2×2 +2x +200 = 0 | : 2
x2 + x +100 = 0 x2,3 = √

ii ). Metoda grafică:
2×3 -x2 +197x -300 = 0
2×3 -x2 = -197x +300
Notăm funcțiile f 1(x) =2×2-x2, f 2(x)=-197x+300, f 1,2=ℝ ℝ
Reprezentăm funcțiile în același sistem și determinăm intersecția celor două grafice; astfel găsim
același rezultat.
2. Să se rezolve ecuațiile:
a. x4+x3+x2 +3x+2 = 0
b. 4×4+4×3+3×2-x-1 = 0
c. x4-2×3+4×2-3x+2 = 0
d. x4-5×2-2x+3 = 0
e. 2×4+x3+2×2+1 = 0
f. |x3|-3|x2|-3|x|+1 = 0
Rezolvare: Dacă ecuația are rădăcini raționale (întregi) atunci ele se găsesc printre divizorii lui 2,
adică: ±1 , ±2. Cum coeficienții ecuației sunt numere pozitive, rădăcina poate fi numai -1 și –
2. Întocmim schema lui Horn er:
x4 x3 x2 x x0

a 1 1 1 3 2

-1 1 0 1 2 0

-1 1 -1 2 0

x2 x x0 ⇒x = -1 este rădăcină dublă .

89

Celelalte două rădăcini sunt date de ecuația:
x2 -x+2 = 0, care are numai rădăcini complexe conjugate: x 3,4 = √
.
Astfel: Membrul stâng se poate descompune în factori grupând termenii corespunzători:
x4+x3+x2+x+2x+2 = 0
x3(x+1)+x(x+1)+2(x+1 ) = 0
(x+1)(x3+x+2) = 0
(x+1)[(x+1)(x2-x+1)+(x+1)] = 0
(x+1)2(x2-x+1+1) = 0
(x+1)2(x2-x+2) = 0 din care rezultă aceleași rădăcini ca și cu cealaltă metodă:
x1 = x 2 = -1 și x3,4 = √
.
a. 4×4 +4×3+3×2-x-1 = 0
Rezolvare: Ecuația fiind cu coeficien ții întregi, rădăci nile raționale căutăm printre divizorii lui
x1x2x3x4 =
care sunt următoarele:±1 , ±
, ±
.
Din schema lui Horn er găsim rădăcinile:
x4 x3 x2 x x0
a 4 4 3 -1 -1

4 6 6 2 0
–
4 4 4 0
x2 x x0
⇒x1 =
; x 2 = –
; sunt rădăcinile ; celelalte două rădăcini sunt date de ecuația :
4×2+4x+4 = 0 | : 2 => x2+x+1 = 0
ecuație care are numai rădăcini complexe , rădăcinile cubice ale unității: ⇒ √

c.
Rezolvare: Produsul rădăcinilor x 1x2x3x4 = 2, divizoriilui 2 sunt : ± 1, ±2 dintre care căutăm
rădăcinile.
Efectuând înlocuirea cu ±1 , ±2 , niciunul nu anuleaz ă ecuația ⇒ecuația fiind cu coeficienți raționali
admite rădăcinii raț ionale conjugate ori rădăcini complexe conjugate.
În această situație se descompune polinomul
f(X) = X4 -2X3+4X2-3X+2 = (X2+aX+2)(X2+bX+1) (1)

90
X4-2X3+4X2-3X+2 = X4+aX3 +2X2+bX3+abX2 +2bX+X2+aX+2
X4-2X3+4X2-3X+2=X4+(a+b)X3 +(ab+3)X2 +(a+2b)X+2
⇒{

⇒{
( )
b2 +2b+1 = 0
(b+1)2 = 0 ⇒2

⇒ x4-2×3+4×2-3x+2 = 0
⇔ (x2-x+2)(x2-x+1) = 0
⇔ x2-x+1=0 sau x2-x+2 = 0
x1,2 = √
x3,4 = √

d. x4-5×2-2x+3 = 0
Rezolvare: Divizoriilui 3 sunt : ±1 , ±3 dintre care niciunul nu anulează ecuația. Se procedează ca în
exercițiul e ). se descompune polinomul f(X) =X4-5X2-2X+3 în două polinoame de gradul al doilea
și anume:
f(X)= X4-5X2-2X+3 = (X2+X-1)(X2-X-3)
⇒ x2+x-1 = 0 sau x2-x-3 = 0
x1,2 = √
x3,4 = √

e.2×4+x3+2×2+1 = 0
Rezolvare: Coeficiențiiecuației sunt pozitivi ⇒ căutămdivizorii negative al lui
care sunt: -1,
.
Înlocuind în ecuație nici unul nu anulează ecuația , de aceea procedăm ca în exemplul anterior și
obținem descompunerea:
f(x) = (x2+x+1)(2×2-x+1) din care x2+x+1 = 0 sau 2×2-x+1 = 0
x1,2 = √
x3,4 = √

91
f. |x3|-3|x2|-3|x|+1 = 0
Rezolvare: Ecuația estee chivalentă cu un din următoare le două ecuații:
I ). -x3 -3×2+3x+1 = 0 dacă x < 0
II ). x3-3×2-3x+1 = 0 dacă x 0
I ).dacă x < 0
-x3-3×2+3x+1 = 0
Se observăcă x =1 anuleazăecuația, suma coeficienților ecuației = 0; efectuăm schema lui Horn er:
x3 x2 x x0
a -1 -3 3 1
1 -1 -4 -1 0
x2 x x0
(x-1)(-x2 -4x-1)=0
x-1 =0 sau -x2-4x-1=0
x1 = 1 x2+4x+1= 0
x2,3 = √
⇒ x2,3 = -2± √
Rădăcinile ecuației i ). sunt x 2,3 = 2± √ ( x= 1nu este rădăcină pentru că nu satisface condiția x < 0 )
ii ). dacă x 0 x3 -3×2 -3x+1 =0 x = -1 anuleză ecuația, întocmim schema lui Horn er:
x3 x2 x x0
a -1 -3 -3 1
-1 -1 -4 1 0
x2 x x0
(x-1)(x2 -4x+1)=0
x2 -4x+1 =0
x2,3 = √
⇒ x2,3= 2± √

92
x= -1 nu satisface condiția x 0 rădăcinile ecuației ii). sunt numai x 2,3 = 2± √
Din i ). și ii). rădăcinile ecuației f sunt:
-2-√ , -2+√ pentru x< 0
2+√ , 2- √ pentru x 0.
2. Să se rezolve ecuațiile:
a. x5-5×4+5×3+10×2 -20x+8=0
b.x6-2×4+4×3-3×2-4x+4=0
Rezolvare:
a. Căutăm rpădăcimile întregi printre divizorii t ermenului liber : D s = {±1, ±2, ±4, ±8}.
Aplicăm schema lui Horn er:
x5 x4 x3 x2 x x0
a 1 -5 5 10 -20 8
2 1 -3 -1 8 -4 0
2 1 -1 -3 2 0
2 1 1 -1 0
x2 x x0
⇒ x1 = x 2 = x 3 = 2
Celelalte două rădăcini sunt date de ecuația : x2 +x-1 = 0 ⇒x4,5 = √

b. x6-2×4+4×3-3×2-4x+4 =0
Rezolvare: Adunâ nd coeficienții ecuației obținem zero ⇒ x1 = 1 este rădăcina ecuației:
D4 = {±1, ±2, ±4} . Întocmim schema lui Horn er:
x6 x5 x4 x3 x2 x x0
a 1 0 -2 4 -3 -4 4
1 1 1 -1 3 0 -4 0
-1 1 0 -1 4 -4 0
-2 1 -2 3 -2 0
1 1 -1 2 0
x2 x x0

93
⇒ x1 = x 2 =1, x 3 = -1 , x 4 = -2
Celelalte două rădăcini le obținem rezolvând ecuația: x2-x+2=0 ⇒x5,6 = √

4.Să se resolve ecuațiile cu rărăcini multiple:
a). x3-3x+2=0
b). x4-6×2+8x-3=0
Rezolvare: a. x3-3x+2= 0
Metoda 1.
Notăm P(X) = X3-3X+2.Se vedecăP(1) = 0 ⇒ x= 1 esterădăcina a ecuației a).
Se calculează: P‘(X) = 3X2-3=3(X2-1)=3(X -1)(X+ 1)
P‘‘(X) = 6X
Se vede că ‘( )
‘‘( ) +⇒x =1 este rădăcină dublă
⇒ x3 -3x+2=(x+1)2(x-2)
și rădăcinile ecuației su nt: x 1 = x 2 = 1, x 3 = – 2.
Metoda 2. Folosim formulel lui Viète:
{

și se adaugă că x 1 = x 2
⇒{

⇒{

⇒

(x1)1,2 = ±1
dar înlocuind în a treia relație a lui Viète:
-2(-1)3 -2 => x 1 = 1 => x 2 = 1 și x 3 = -2×1 => x 3 = -2
Deci, aelași rezultat ca ș i la metoda 1.
b. x4-6×2+8x-3=0

94
Rezolvare: Se notează P(X) = X4-6X2+8X-3
Se calculeaza : P‘(X) = 4X3 -12X+8
P‘‘(X)=12X2-12
P‘‘‘(X)=24X
( )
( )
( )
( ) }
⇒ x =1 este rădăcină triplă a ecuației b.
A patra rădăcină se poate af la din:
x1+x2+x3+x4=0 ⇒ x3 = -3 (sau din schema lui Horn er).

95

3.6. Rezolvarea ecuațiilor polinomiale in condiții impuse

1. Se consideră ecuația: ax3+bx2+cx+d=0, a,b,c,d 𝛜ℝ; a,d 0.
Se cere să se determine relația între coeficienții acestei ecuații astfel încât rădăcinile
x1,x2,x3 să fie în: i.) progresie aritmetică;
ii.) progresie geometrică;
iii.) progresie armonică;
Rezolvare:
i.) fie rădăcinile ecuației : x 1=x0-r, x 2 = x0 , x3 = x 0 + r, unde x 0 , r sunt elementele progresiei
aritmetice.
Scriem formulele lui Viète:
{

⇒
⇒

Dar x2 = x 0 este rădăcina ecuației date ⇒
a .
/3 +b .
/2 +c .
/ + d=0
–
+
–
+ d =0 | 27a2
-b3 +3b3-9abc+27a2d=0
2b3-9ab+27a2d =0 ceea ce este relația între coeficienții ecuației pentru cax1 , x2 , x3 să fie în
progresie aritmetică .
ii.) Alegem x1 =
, x2 = x 0 , x3 = x 0q, q ∉ {-1, 0, 1}
x1x2x3 = –
⇒
x0 x0q = –
⇒ = –
⇒ x0 = √

Dar x1 = x2 fiind rărăcina ecuației trebuie să verifice ecuația dată , din care rezultă:
a (√
)3 + b (√
)2 + c (√
) + d =0

96

+ b √
– c√
+ d =0
-d +b√
– c√
=0
b√
= c√
|3
b3
= c3
| a2 , (a 0 )
b3d2 = c3ad
b3d2- c3ad=0 |:d (d 0)
b3d -c3a =0 ceea ce reprezintă relația între coeficienții ecuației ca x1 , x2 , x3 să fie în progresie
geometrică.
iii). x 1 , x2 , x3sunt progresie armonică dacă
=

Formăm ecuația de gradul al II -lea ale cărei rădăcini sunt de forma:
y1 =
, y2 =
, y3 =
.
Din y1 =
⇒ x1 =
este rădăcina ecuației date
⇒ a.
/3 +b.
/2 +c.
/+d =0| y3
dy3+cy3 +by+a=0 (*)
Pentru ecu ația (*) în y se pune condiția ca rădăcinile să fie în progresie aritmetică :
y1 =y0 -r, y 2 =y0 , y3=y0 +r
la care se adaugă reația y1+y2+y3 = –

și avem : 3y 0 = –
⇒ y0 = –

Dar y 0 trebuie să verifice ecuația (*) (fiind o rărăcină a ei)
⇒ d.
/3 + c.
/2 +b.
/ +a=0

97
–
+
–
+ a =0| + a =0| 27d2
-c3+3c3-9bcd +27d2 = 0
2c3-9bcd+27d2=0 care exprimă condiția necesară ți suficientă ca rădăcinile ecuației din enunț să
fie în progre sie a, rmonică (x1,x2,x3 0).
2. Se consideră ecuația ax3+bx2+cx+d=0 cu coeficienți reali nenuli și se cere să se determine o
relație între coeficienți astfel încât una dintre rădăcinile sale să fie inversa celeilalte.
Rezolvare: Fie x1,x2,x3rădăcinile ecu ației date .
Avem : x 1 =
și relatia lui Viète : x 1,×2,x3= –
⇒

x2x3 = –
⇒ x3 = –
și trebuie să verifice ecuația dată , fiind rădăcina ei:
⇒ a.
/3+b.
/2+c.
/+d=0,
–
+
–
+ d=0| a2 , (a 0)
-d3 +bd2-cda+da2=0 ceea ce este relația cerută .
3.Să se determine valorile parametrului m ∈ℝ* astfel încât ecuația polinomială
P(x)=x3-(1+m)x2+(m -2)+2m=0 să aibă o rădăcină dublă.
Apoi să se rezolve ecuația .
Rezolvare: Verificăm dacă ecuația are sau nu rădăcini independente de m :
m( -x2+x+2)+(x3-x2-2x)=0
Rezolvăm ecuațiile : -x2+x+2=0 și x3-x2-2x=0
x1 ,2 =
x(x2-x-2)=0
x1 = -1 x1=0 x2-x-2=0
x2 = 2 x2=2
x3=-1

98
Cele două ecuații au rădăcini comune x1 = -1 și x2=2 , rezultă că, ecuația dată are două rădăcini
independente de m , și anume x1 = -1 și x2=2.
⇒ P(x) = (x+1)(x -2)(x -m)
Dacă x1 = x 2=- 1 ,x 3 =2 ⇒ m = -1 și dacă x1 = x 2 =2 ,x 3 = -1 ⇒m=2
Altă metodă: Folosim relațiile lui Viète:
⇒
{

⇒{

+ 2x 1×3=2x 1+x2-3 ⇒ x3 =

= -20
1| (2x 1 -1)
2×13-3×12-x14 = -4×1(2x 1-1)+2(2x 1-1)-2(2x 1 -3-x12)
2×13-3×12-x14 = 8×12+4x 1+4x 1-2-4×1+6+2x 13-3×12 +4x 1+4=0
Folosim schema lui Horn er:
x4 x3 x2 x x0
a 1 -2 -3 4 4
-1 1 -3 0 4 0
2 1 -1 -2 0
x2 x x0
⇒ (x1)1 =-1, (x 1)2=2
Dacă x1 = x 2 =-1 => x 3 =

x3 = 2 și m= -1
Dacă x1 = x 2 =2 => x 3 =

x3 = -1 și m=2

99
4. Se consideră ecuația P (x)= 2×4-ax2(x+1)+7x -3=0 unde a este un parametru rațional nenul.
Se cere să se determine a și apoi să se rezolve ecuația știind că aceasta are trei rădăcini egale.
Rezolvare: Folosim relațiile lui Viète la care se adaugă condiția : x 1=x2=x3
P(x)= 2×4-ax3-ax2+7x-3=0

{

{

{

( )

⇒
( ) (**) și înlocuim în relatia (*)
⇒x13 + 3
=
| 2x 1 (x1 0)
2×14 -9+7x 1 =0
Rezolvăm ecuați a în x1 , folosim schema lui Horn er (suma coefi cienților x 1 = 0) ⇒
x4 x3 x2 x x0
a 2 0 0 7 -9
1 2 2 2 9 0
⇒ x1 =1 = x 2=x3. Rădăcina a patra obținem înlocuind valoarea lui x 1 în (**)

100
⇒x4 =-
⇒ x4 = –

Parametrul rezultă din prima relație a lui Viète : 3+ .
/ =
⇒ a=3.
5.Se consideră ecuația polinomială
P(x) = x4 +ax3+bx3+cx+d=0 cu a,b,c,d ∈ℝși se cere să se determine o relație între
coeficineții ecuației, știind că între rădăcinile sale există relația : x 1+x2=x3+x4.
Rezolvare: Folosim relațiile lui Viète la care adăugăm relaț ia din enunț:
{

{

( )( )
( ) ( )

Folosim prima și ultima relație și le înlocuim în a doua și a treia relație:
⇒{.
/

.
/
( ) ⇒{

⇒
=
| 4a (a 0)
4ab-a3=8c
a3+4ab -8c =0 ceea ce este relația cerută.
6. Să se rezolve ecuația x4+ax3-13×2+ax+36=0 unde a este un pa rametru real, știind că între
rădăcinile sale există relația x1x2=x3x4.
Rezolvare : Folosim relațiile lui Viète la care se adaugă relația din enunț:
{

101
( )
( )
( )
( )
( )
{
( )( )
( ) ( )
( )
⇒( )1 ,2 =±6
Dacă =6, din (2) ⇒ 12+( )( )=-13
⇒ =

din (3) ⇒ 6( )+ 6( )= -a
⇒ = –
– ( )
din (1) ⇒ = -a-( ) ⇒-
= -a ⇒ a=0
( ) ⇒
( )⇒{
( )( )
Notăm2
⇒2

Formăm ecuația de gradul 2: z2-25=0 => z 1 ,2 = ±5
{
și {

Formăm ecuațiile :
t2 -5t +6 =0 și y2-5y+6=0
t1,2 =
y1,2 =

t1 = 3 y1 = -2
t2 = 2 y2 = -3
x1= 3 , x 2 = 2 x3= -2 , x 4 = -3
⇒ rădăcinile ecuației sunt:
{

Dacă =-6, din(2) ⇒12+( )( )=-13

102
⇒ =

din (3) ⇒ -6( ) ( )=-a
⇒ =
–( )
din (1) ⇒ =- a- ( ) ⇒
= -a ⇒ a=0
din ( ) ⇒
( ) ⇒{
( )( )
Notăm 2
⇒ 2

Formăm ecuația de gradul doi : z2-1=0 ⇒ z1,2 = ±1
{
și {

Formăm ecuațiile:
t2-t+6=0 și y2-y+6=0
t1,2 =
y1,2 =

t1 = 3 y1 = 2
t2 = -2 y2 = -3
=3, =-2 =2, = -3
⇒rădăcinile ecuației sunt :
{

Rezultă că mulțimea soluțiilor ecuației este {±2, ±3}și valoarea lui a=0
7. Se consider ecuația polinomială P(x) = x4+5×3+ax2-17x+12=0, unde a este un parametru
real, nenul.Se cere să se re zolve ecuația, știindcăîntrerădăcinile sale existărelația :
Rezolvare : Scriem relațiile lui Viète:

103
{

{
( )( )
( ) ( )

{
( )
( ) ( )
⇒ =-5- (*) ⇒ =
(**)
Relațiile (*) și (**) înlocuim în a treia relație a lui Viète :
⇒ ( )2+(-5- )
=17 | ( )
( )3-60-12 =17
( )3-29( )-60=0
Pentru rezolvarea aceste i ecuații folosim schema lui Horn er:
a 1 0 -29 -60
-1 1 -3 -20 0
= -3 ( )2-3( )-20=0 această ecuație nu are rădăcini raționale
⇓
=-3
Avem : (*) {
și (**) {

⇓ ⇓
z2+2z-=0 t2+3t-4=0
z1 ,2 =
t1 ,2 =

z1 =1 z2 = -3 t1 =1 t2 = -4
⇒ , =-3 =1, =-4
Din a doua relație a lui Viète ⇒ a= +( )( )=-3-4+(-2)(-3)
⇒a=-1Deci : , =-3, =1, =-4
8.Se consider ec uația x4 -5×3+5×2+ax -6=0 cu rădăcinile x1,x2,x3,x4iar a este un parametru rational.

104
Secresă se rezolve ecuația știindcă =2.
Rezolvare: Folosim realțiile lui Viète:
{

⇒
{
( )( )
( ) ( )

{
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ⇒ ( )
⇒
( )
Relațiile (*) și (**) înlocuim în a doua ecuație a lui Viéte: ⇒
( +2)(3- )+(2+ ) –
=5
6 +6-4 2-4 +2 + 2-5=

-3 2+4 +1=
| ( )
-6 3+8 2+2 -3 4+4 3+ 2-6=0
-3 4-2 3-9 2+2 -6=0
Rezolvăm ecuația obținută în folosind schema lui Horn er:
a -3 -2 9 2 -6
-1 -3 1 8 -6 0
1 -3 -2 6 0
⇒ ( )1 = 1, ( )2 =-1
⇓ ⇓

105
( )1=-1 ( )2=-1
i){
ii) {

{
{

z2-z-2=0 z1,2 =
z1 = 2 z2 = -1 t2-5t+6=0 t1,2 =

{

⇒ {

⇒
9. Să se determi ne parametrul real a din ecuația P(x)= x4 -2×2+ax+1=0 astfel încât aceasta să aibă
rădăcini duble.
Rezolvare: Relațiile lui Viéte sunt următoarele:
{

{
( )( )
( ) ( )
⇒
⇒
⇒
⇒
{

( )
{
⇒{
⇒{

-a = 1( -2)+1 2 = 0 ⇒ a=0. Soluțiile ecuației sunt : = =1 , = = -1 , iar a=0 .
Astfel: Se pune condiția ca P(x) să fie pătratul unui trinom, adică P(x)= (x2+mx±1)2.
x4-2×2+ax+1=x4+m2x2+1+2mx3±2×2±2mx
{

⇒{

⇒x4-2×2+1=(x2-1)2⇒x1=x2=1, x 3=x4=-1, iar a=0.

106
10. Să se resolve ecuația P(x) = x5+ax4+bx3+cx2+dx+1 -a+b-c+d=0cu coeficienți raționali
știind că una din rădăcini este x1=√ +i .Apoi să se determine coeficienții a,b,c,d.
Rezolvare : Dacă x1=√ +I este rădăcină =>x 2=√ -ieste rădăcină. => P(x)⋮[(x-x1)(x-x2)]
(x-x1)(x-x2)= (x -√ -i)(x-√ +i)=(x -√ )2 -i2=x2-2√ x+3
x3=-√ +i și x4=-√ -i . =>P(x)⋮[(x-x3)(x-x4)]
(x-x3)(x-x4)= (x -√ -i)(x-√ +i)=(x -√ )2 -i2=x2-2√ x+3
=>P(x)⋮[(x2+2√ x+3)(x2-2√ x+3)]
P(x)⋮[(x2+3)2- (2√ x)2]
P(x)⋮(x4+6×2+9-8×2)
P(x)⋮(x4-2×2+9) => R(x)=0
x5+ax4+bx3+cx2+dx+1 -a+b-c+d x4-2×2+9
-x5 +2×3 -9x x+a
ax4+(b+2)x3+cx3+(d-9)x+( -a+b-c+d)
-ax4 +2ax3 -9a
(b+2)x3+(c+a)x2+(d-9)x±a+b -c+d

R(x) = 0
{

⇒ {

-8a=-8 a=1 ⇒ c=-2
⇒{

x1,2 = √ ±i , x 3 ,4 = -√ ±i.
A cincea rădăcină se obține din relația :x1+x2+x3+x4+x5=-a => x 5 = -1

107
3.7. Separarea rădăcinilor reale ale ecuațiilor polinomiale

În rezolvarea problemelor în care să separe rădăcinilor reale ale ecuațiilor se poate folosi
următoar ele metode:
i). Metoda grafică;
ii). Șirul lui Rolle ;
iii). Teorema lui Descartes;
iv). Teo rema lui Sturm.
În fiecare problemă se folosește din cele amintite meto da cea mai adecvată problemei.
1.Să se separe rădăcinile re ale ale ecuațiilor polinomiale:
a. x3-x2-1=0
b. x4-x3-1=0
c. 3×4+x2+x-1=0
Rezolv are: a. x3-x2-1=0, x∈ℝ
Observație : Folosim șirul lui Rolle dacă ecuația f‘ (x) = 0 nu prezintă difi cultăți la aflarea
rădăcinilor.
Notăm: f: ℝ ℝ, f(x) = x3-x2-1 funcția polinomială care este continuă și derivabilă pe ℝ. Calculăm
derivata funcției: f (x) = 3×2-2x
x(3x-2)=0
x1=0, sau 3x-2=0 ⇒ x2=

Calculăm limitele la capetele intervalului de definiției:
( ) = = – , ( ) = =
f(0) = -1, f .
/=
–
– 1 =

Șirul lui Rolle este:

108
x 0

f(x) -1 –

⇒în șirul lui Rolle este o singură schimbare de semn, deci ecuaț ia are o singură rădăcină real ă în
intervalul .
/. Se poate restr ânge intervalul .
/făcând calculele:
( )
( ) }⇒ x1ϵ(1,2)
.
/

( ) }⇒ x1ϵ.
/
b. x4-x3-1=0
Rezolvare : i). Șirul lui Rolle : Notăm funcția f(x)=x4-x3-1, f: ℝ ℝ care este continuă și deriv abilă
pe ℝ. Calculăm derivata funcției: f ‘(x)= 4×3-3×2 și rezolvăm eciația f(x)=0
4×3-3×2=0 ⇔ x2(4x-3)=0
⇒ x1,2=0, 4x -3=0 ⇒ x3=
.
Calculăm limitele: ( ) = + și valorile: f(0)= -1, f.
/=
–
– 1 = –

Șirul lui Rolle este:
x 0

f(x) -1

în care sunt două schimb ări de semn, deci ecuația dată are două rădăcini reale:
x1ϵ(- ,0), x 2ϵ.
/.
Se poate restrânge intervalul, făcând calculel e:
( )
( ) }⇒ x1ϵ(-1,0)
( )
( ) }⇒ x1ϵ(1,2)

109
ii). Folosim teorema lui Descartes :
Observații :
1. Fie v – numărul variațiilor de semn pe care le prezintă coeficienții polinomului.
Din teorema lui Descartes rezultă:
– numărul ră dăcinilor reale și pozitive ale unei ecuații polinomiale cu coeficienți reali este egal cu v
sau v – 2k, unde k= 1,2, …
– numărul rădăcinilor reale si negative se obțin la fel din ecuația polinomială transformată f( -x)=0, în
care am înlocuit pe x cu -x.
2. Teorema indică precis numărul rădă cinilor reale dacă v=0 sau v=1.
În ecuația x4-x3-1=0 există o singură schimbare de semn în coeficienți = >ecuația are o singură
rădăcină reală pozitivă.
f(-x)=x4+x3-1; x4+x3-1=0 are o singură schimbare de semn, dec i ecuația f( -x)=0 are o
singură rădăcină negativă.
3. Prin folosirea teoremei lui Deescartes se obțin doar numă rul rădăcinilor reale (pozitive sau
negative ) al ecuației dar nu și intervalele în care se găsesc aceste rădăcini.
4. Același rezultat se obțin și prin folosirea metodei grafice.
c. 3×4+x2+x-1=0
Rezolvare:
Observație : i). Șirul lui Rolle nu este convenabil pentru că f‘(x)=12×3+2x+1 și f‘(x)=0 prezintă
dificultăți la aflarea rădăcinilor.
ii). Teorema lui Descertes, se poate aplica ; ecuația prezint ă o singură schimbare de semn: v=1
⇒ecuația are o singură rădăcină reală pozitivă.
Calculăm f( -x)=3×4+x2-x-1, ecuația f( -x)=0 are o singură schimbare de semn, rezultă că ecuația dată
are o singură rădăcină reală negativă. Acest rezultat s -a obținut și cu c elelalte metode.
2. Să se separe rădăcinile reale ale ecuațiilor următoare:
a. x3+x+1=0
b. 3×4+8×3-6×2-24x+1=0
c. 3×5-25×3+60x+20=0
Rezolvare: a. x3+x+1=0
Folosim șirul lui Rolle. Notăm funcția polinomială f: ℝ ℝ, f(x)=x3+x+1 ; funcția este continuă și
derivabilă pe ℝ.

110
Calculăm derivatele funcției: f ‘(x)=3×2+1 și rezolvăm eciația f ‘(x)=0⇒ 3×2+1=0 ecuația care nu are
rădăcină reală.
Calculăm: Șirul lui Rolle este următoarea:
x
f(x)
în care există o schim bare de semn =>ecuația are o singurărădăcinăreală pe ℝ.
Pentru restrângeintervalulcalculăm: ( )
( ) }⇒ x∈(-1,0)
⇒rădăcină reală aparține intervalului ( -1,0).
Altfel: Folosim teorema lui Descertes: în coeficienții ecuației nu există schimb are de semn, deci
ecuația nu are rădăcină reală pozitivă. Ecuația transformă f( -x)=0  -x3-x+1=0 are o singură
schimbare de semn în coeficienții ecuației = >ecuația dată are o s ingură rădăcină reală negativă.
b. 3×4+8×3-6×2-24x+1=0
Rezolvare: Folosim șirul lui Rolle:
Funcția f; : ℝ ℝ, f(x)= 3×4+8×3-6×2-24x+1 este continuă și derivabilă pe ℝ fiind funcție
polinomială. Derivata funcției: f ‘(x)=12×3+24×2-12x-24
Rezolvăm ecuația f ‘ (x) = 0 ↔ 12×3+24×2-12x-24 = 0|:12
x3+2×2-x-2=0
x2(x+2) -(x+2)=0
(x+2)(x2-1)=0
x+2=0 sau x2-1 = 0
x1=-2 x 2,3= ± 1
Calculăm limitele: și valorile: f( -2)=9, f(1)= -18, f( -1)=14 .Șirul l ui Rolle este următorul:
x -2 -1 1
f(x) 9
în care sunt două schimbări de semn ⇒ ecuația are două rădăcini reale:

111
x1∈(-2,-1) și x 2∈ (-1,1)
d. 3×5-25×3+60x+20=0
Rezolvare : Șirul lui Rolle este conventabil:
Notăm: f‘ℝ ℝ, f(x)=3×5-25×3+60x+20
Calculăm: f ‘(X)=15×4-75×2+60, f‘(X)=0 ⇔15×4-75×2+60=0| 15
x4-5×2+12=0
(x2-1)(x2-4)=0
x2-1=0 sau x2-4=0
x1,2=±1 x 3,4=±2
Calculăm limitele: ( ) și valorile
f(1) = 58, f( -1)=-18, f(2)=36, f( -2)=4
Șirul lui Rolle este următorul:
x -2 -1 1 2
f(x) 4 -18 58
În care sunt trei schimbări de semn =>ecuația c. are treirădăcinirealecuprinseînintervalele
x1∈( ,-2), x 2∈ (-2,1) și x 3∈ (-1,1).
Restrângemintervalul x1∈(- ,-2) făcând calculele ( )
( ) } => x 1∈(-3,-2)
3. Folosind teorema lui Descartes să se precizeze numărul și semnul rădăcinilor reale ale ecuațiilor:
a). x4-3×2+4x-1=0
b). x6+2×2+x-3=0
Rezolvare: a). x4-3×2+4x-1=0
În această ecuație există trei schimbări de semn în coeficienți (v=3) ecuația are trei sau o
rădăcinăreală pozitivă.
Ecuația transformă f( -x)=0 este următoarea:
f(x)= x4-3×2+4x-1⇒f(-x)= x4-3×2-4x-1

112
⇒ f(-x)=0⇔= x4-3×2-4x-1=0 ecuația în care există o singură schimbare de semn ⇒ ecuația are o
singură rădăcină reală negativă.
b). x6+2xx+x-3=0
În coeficinții ecuației există o singură schimbare de semn (v=1) ⇒ecuația are o singură rădăcină reală
pozitivă.
În ecuația f( -x)=0 ⇔x6+2xx- x-3=0 există o singură schimbare de semn în coeficienți ⇒ecuația are o singură
rădăcină reală negativă.
4. Să se separe rădăcinile reale ale ecuațiilor următoare, folosindu -se teorema lui Sturm:
a. x3-6x+2=0
b. x4-4×3+x2+6x+2=0
c. x4+2×3+2x-1=0
Rezolvare: Observații : 1. Fie f(x)=0 ecuația polinomială și intervalul real ( a,b), a <b.
Pentru determinarea numărului rădăcinilor reale și distincte situate în intervalul (a,b) se poate forma șirul lui
Sturm: f(x), f 1(x), f 2(x), … , f n(x) (1) unde f 2(x) este restul cu semn schimbat – al împărțirii lui f(x) prin
f1(x), f 3(x) este restul – cu semn schimbat – al împărțiriilui f 1(x) prin f 2(x),… .
Din teorema lui Sturm rezultă numărul rădăcinilor reale ale ecuației polinomiale f(x)=0 situate în intervalul
(a,b) este egal cu di ferența dintre numărul variațiilor de semn ale șir ului (1) considerat pentru marginile
intervalului stabilit , adică v(a) -v(b).
2. Pentru determinarea câturilor și resturilor intermediare necesare formării șirului se va opera numai cu
coeficienți întregi.
Rezolvare : a). x3-6x+2=0
Fie f(x)=x3-6x+2
f1(x) =f(x)=3×2-6=3(x2-2)
Efectuăm împărțirea : x3-6x+2 x2-2
-x3+2x x
-4x+2
r1(x) = -4x+2= -2(2x-1) f2(x)=2x -1
Împărțim f1(x) cu f 2(x): 2|x2-2 2x-1
2×2 -4 x+1
-2×2+x

113
2|x-4
2x-8
-2x+1
-7 ⇒ r2(x) = -7 ⇒ f3(x)=7>0
Șirul-4x lui Sturm va fi următorul: f(x)=x3-6x+2
f1(x)=x2-2
f2(x)=2x -1
f3(x)=7
Întocmim tabelul:
X f(x) f 1(x) f2(x) f 3(x)
– – + – +
+ + + + +
⇒ v(- )=3, v(+ )=0 ⇒ ecuația are trei rădăcini reale pe ecuația are trei rădăcini reale pe ℝ.
Restrângerea intervalului se poate face facând calculele:
( )
( ) } ⇒ x1ϵ(-1,0)
( )
( ) } ⇒ x2ϵ(1,2)
( )
( )
( ) } ⇒ x3ϵ(-3,-2)

b. x4-4×3+x2+6x+2=0
Rezolvare: Fie f(x)= x4-4×3+x2+6x+2
f1(x)=f(x)=4×3-12×2+2x+6=2(2×3-6×2+x+3)
f1(x)=2×3-6×2+x+3
Împărțim f(x) prin f 1(x):
2|x4-4×3+x2+6x+2 2×3-6×2+x+3
2×4-8×3+2×2+12x+4 x-1

114
-2×4+6×3-x2-3x
/ -2×3+x2+9x+4
2×3-6×2+x+3
/ -5×2+10x+7 ⇒r1(x)=-5×2+10x+7
⇒f2(x)=5×2-10x-7
Împărțim f 1(x) cu f 2(x):

5 |2×3-6×2+x+3 5×2-10x-7
-10×3-30×2+5x+15 2x-2
10×3+20×2+14x
/ 10×2+19x+15
-10×2-20x-14
/ -x+1 ⇒ r2(x)=-x+1 ⇒ f3(x)=x -1
Împărțim f 2(x) cu f 3(x): 5×2-10x-7 x-1
-5×2+5x 5x-5
-5x-7
5x-5
-12 ⇒ r3(x)=-12 ⇒ f4(x)=12>0.
Șirul lui Sturm va fi următorul:
f(x)=x4-4×3+x2+6x+2
f1(x)=2×2-6×2+x+3
f2(x)= 5×2-10x-7
f3(x)= x -1
f4(x)=12
Tabelul va fi:
X f(x) f1(x) f2(x) f3(x) f4(x)
– + – + – +
+ + + + + +

115

⇒ v(- )=4, v(+ )=0 ⇒ ecuația are patru rădăcini reale pe ℝ.
Pentru restrângerea intervalului formăm tabelele următoare:
X f(x) f1(x) f2(x) f3(x) f4(x)
-1 + – + – +
0 + + – – +
v(-1)=4, v(0)=2 ⇒că ecuația are două rădăcini negative în intervalul ( -1,0).
X f(x) f1(x) f2(x) f3(x) f4(x)
2 + – – + +
3 + + + + +
v(2)=4, v(3)=0 ⇒ căecuația are douărădăcini positive în intervalul (2,3).
c. x4+2×3+2x-1=0
Rezolvăm: Notăm f(x)= x4+2×3+2x-1 f1(x)= f(x)= 4×3+6×2+2=2(2×3+3×3+1)
Efectuăm împărțirile succesive:
2|x4+2×3+2x-1 2×3+3×2+1
2×4+4×3+4x-2 x+1
-2×4-3×3-x
/ 2|x3+3x-2
2×3+6x-4
-2×3-3×2-1
/ -3×2+6x-5 ⇒ r1(x)=-3×2+6x-5 ⇒ f2(x)=3×2-6x+5

3|2×3+3×2 +1 3×2-6x+5
6×3+9×2 +3 2x+7
-6×3+12×2-10x
/ 21×2-10x+3
-21×2+42x -35
/ 32x -32 ⇒ r2(x)=32x -32=32(x -1) ⇒ f3(x)=-x+1

116
3×2-6x+5 -x+1
-3×2+3x -3x+3
-3x+5
3x-3
2 ⇒ r3(x)=2 ⇒f4(x)=-r3(x)=-2<0
Șirul lui Sturm va fi:
f(x)=x4+2×3+2x-1
f1(x)=2×3+3×2+1
f2(x)=3×2-6x+5
f3(x)=-x+1
f4(x)=-2
Tabelul va fi:
X f(x) f1(x) f2(x) f3(x) f4(x)
– + – + + –
+ + + + – –

⇒ v(- )=3, v (+ )=1 ⇒ ecuația dată are două rădăcini reale pe ℝ.

117
3.8. Discuția ecuaț iilor polinomiale care conțin unu-doi parametri reali

În discuția ecuațiilor care conțin un parametru real se ia în consuderare următoarele:
i). se verifică dacă ecuația respectivă are sau nu rpdpcini indepen dente de parametrul respectiv –
se ordonează ecuația după puterile parametrului si dacă există un x 0 care anulează eciația astfel
formată atunci x 0 este rădăcina independentă de parametrul ecuaiei ;
ii). se folosește orice metodă pentru scăderea gradului ec uației și se repetă i). putându -se obține i
alte rădăcini independente de parametrul respectiv ;
iii). dacă ecuația nu are rădăcini independent e de paramentrul respectiv dar:
a) f‘(x)=0 are rădăcini raționale – chiar dacă depinde de parametru, se poate folo si pentru
discuția șirul lui Rolle ;
b) dacă f(x) = 0 nu are rădăcini raționale, dar parametrul este explicitabil atunci se poate folosi
metoda grafică;
iv) dacă nici una din metodele menționate nu este aplicabi lă atunci se rezolvă ecuația în raport cu
parametrul respectiv, ori se folosește o substituție i convenabilă discuției.
1.Să se discute ecuația:
4(1+a2)x4-8(a2+a+1)x3-(a2-16a+1)x2+2(a2+a+1)x -4a=0, unde a este parametru real.
Rezolvare: Căutăm soluțiile independente de a ; ordonăm ecuașia în raport cu a ș i avem:
(4×4-8×3-x2+2x)a2-(8×3-16×2-2x+4)a+(4×4-8×3-22+2x)=0 (1)
Căutăm soluții comune ale ecuațiilor:
{
|

Rezolvăm ecuația: 4×4-8×3-x2+2x=0
4×3(x-2)-x(x-2)=0
x(x-2)(4×2-1)=0
x(x-2)(2x -1)(2x+1)=0
⇒ x-2=0, 2x -1=0, 2x+1=0,

118
x1=0 x 2=2 x 3=
x4=

4×3-8×2-x+2=0
4×2(x-2)-(x-2)=0
(x-2)(4×2-1)=0 => (x -2)(2x -1)(2x+1)=0
x1=2 x 2=
x3= –

⇒ ecuația dată are trei rădăcini independente de a : x 1=2 x 2,3= ±
.
Cea a patra rădăcină reziltă din ultima relația a lui Viete:
x1x2x3x4= –
( )⇒ x4=

⇒
, aϵ ℝ.
⇒ ecuația dată are toate rădăcinile reale oricare ar fi a ϵ ℝ.
3. Să se discute ecuația:
x4 – (2a+1)x3+(a2+2a+3)x2-(a2-4a-1)x-2a2+2=0, unde a ϵ ℝ parametru.
Rezolvare: Ordonăm ecuația după a
⇒ a2(x2-x-2)+(-2×3+2×2+4x)a+(x4-x3-3×2+x+2)=0
Căutăm soluții comune ale ecua țiilor:
{

x2-x-2=0 -2×3+2×3+4x=0
(x-2)(x+2)=0 -2x(x2-2x-2)=0
x-2 sau x+1=0 x 1=0 sa u x2-x-2=0
x1=2 x 2=-1 x2=2, x 3=-1
x4-x3-3×2+x+2=0
x3(x-1)-3×2+3x-2x+2=0
x3(x-1)-3x(x-1)-2(x-1)=0
(x-1)(x3-3x-2)=0

119
⇒ (x-1)(x+2)(x2-x-2)=0
x-1=0, x+1=0, x2-x-2=0
x1=1 x 2=-1 x 3=2 x 4=-1
⇒ Cele trei ecuații au două rădăcini comune pe: x 1=2, x 2=-1.
Rezultă că acuația din enunț are doău rădăcini independente de a și anume: : x 1=2, x 2=-1.
Pentru calculul celorlalte două rădăcini folosim relațiile lui Viete – prima si a patra pentru ecuația de
gradu l patru:
{
⇒ {

Formăm ecuația de gradul al doilea:
z2-2az+a2-1=0
z1,2= √
⇒ z1,2 =
⇒ {
⇒ {
aϵℝ.
⇒ Ecuația dată are patru rădăcini reale, oricare ar fi a ϵℝ.
{

3. să se precizeze numărul și natura rădăcinilor real ale ecuației polinomiale:
3×4+8×3-6×2-24x+m=0
Rezolvare:
Ecuația nu are rădăcini independente de m ⇒folosim șirul lui Rolle pentru discuție.
Notăm f: ℝ ℝ, f(x)=3×4+8×3-6×2-24x+m funcția polinomială.
Calculăm f ‘(x)=12×3+24×2-12x-24 și rezolvăm ecuația f ‘(x)=0 ⇔
⇔12×3+24×2-12x-24 =0 |
x3+2×2-x-2=0
x2(x+2) -(x+2)= 0
(x+2)(x2-2)=0
(x+2)(x -1)(x+1)= 0
x+2=0 sau x -1=0 sau x+1=0

120
x1=-2 x 2=1 x 3=-1
Calculăm: ( ) = +
f(-2)=m+8
f(1) = m+13
f (-1)=m-19
Discuția este cuprinsă în tabelul următor:
X – -2 -1 1 + Concluzii
m
f(x) + m+8 m+13 m+19 +
(- ,-13) + – – – + x1 ∈ (- ,-2), x 2∈(1,+ )
-13 + – 0 – + x1=x2=1
x3∈ (- ,-2), x 4∈(1,+ )
(-13,-8) + – + – + x1 ∈ (- ,-2), x 2∈(-2,-1)
x3∈ (-1,1), x4∈(1,+ )
-8 + 0 + – + x1=x2=-2
x3 ∈ (-1,1), x 4∈(1,+ )
(-8,19) + + + – + x 1∈ (-1,1), x 2∈(1,+ )
19 + + + 0 + x1=x2=1

(19,+ ) + + + + + Nu are rădăcini reale
4. Să se discute ecuația: 2×3-9mx2+12m2x-5=0, după valorile lui m, m ϵℝ parametru.
Rezolvare:Studiem dacă ecuația are sau nu rădăcini independente de m: 12m2x-9mx2+2×3-5=0
{

⇔
{

√
⇒ ecuațiile nu au rădăcini comune
⇒ ecuația din enunț nu are rădăcini independente de paametrul m.
Folosim șirul lui Rolle ; notăm f: ℝ ℝ, f(x)=2×3-9mx2+12m2x-5 funcția polinomială care este
continuă și derivabilă pe ℝ.
f‘(x)=6×2-18mx+12m2
Rezolvămecuația f‘(x)=0 ⇔ 6×2-18m2+12m2=0 |
x2-3mx+2m2=0
(x-2m)(x -m)=0 ⇒ x-2m=0 sau x -m=0

121
x`1=2m x` 2=m
Facem discuția după m.
Dacă m>0
X – m 2m + Concluzii
m f(x) – 5(m3-1) 4m3-5 +
(- ,1) – – – + x1 ∈ (2m,+ )
-1 – 0 – + x1=x2=m, x 3∈ (2m,+ )
( √

) – + – + x1 ∈ (- ,m), x 2∈(m,2m)
x3∈ (2m,+ )
√

– + 0 + x1 ∈ (- ,m), x 2∈(m,2m)
x2=x3=2m

(√

) – + + + x1 ∈ (- ,m)

Dacă m<0
X – m 2m + Concluzii
m f(x) – 4m3-5 5(m3-1) +
(- ,1) – + + + x1 ∈ (- ,2m)
-1 – + 0 + x1 ∈ (- ,2m) , x 2=x3=m
( √

) – + – + x1 ∈ (- ,2m), x 2∈(2m,m)
x3∈ (m,+ )
√

– 0 – + x1=x2=2m, x 3 ∈ (m,+ )

(√

) – – – + x1 ∈ (m,+ )
Dacă m=0 ecuația este 2×3-5=0
Notăm f(x)=2×3-5, f: ℝ ℝ derivabilă pe ℝ.
⇒ f‘(x)=6×2 f‘(x)= 0 ⇒ x = 0

X 0 Concluzii
f(x) – – + ∈(

122
3.9. Exerciții propuse
1. Se dă polinomul P(x) = x5 – 2×4 + x3 – x2 + 2ax – a cu a, b∈ℝ și se cere să s e determine a și b astfel
încât ecuația P(x) = 0 să admită o rădăcină triplă și în acest caz să se rezolve:
2. Se dă polinoamele P 1(x) = x5 – 5×4 – 6×3 – 6×2 – 7x -1 P2(x) = 2×4 – 16×3 + 23×2 – 2x – 1
a. Să se determine c.m.m.d.c. al polinoamelor ;
b. Să se rezolve ecuația P 2(x)= 0.3. Să se discute natura rădăcinilor ecuaț iei:
2(m – 1)x6 + (m2 + 3)x4 + (m2 + 3)x2 + 2(m – 1) = 0 , unde a ∈ℝ \* +
4. Să se discu te natura rădăcinilor ecuației: x3 – 2(m2 + 1)x2 + (m2 + 1)x + m2(2m2 + 1) = 0, unde m est e
parametru real.
5. Să se determine parametrul real a și să se rezolve ecuația: x4 + ax3 – x2 + ax = 0 știind că între rădăcinile
ecuației acestuia există relația: x 1+ x2= x3x4.
6. Să se rezolve ecuațiile polinomiale:
x3 + x2 + ax + 2 = 0
2×4 – 2×3 + x2 + x + b = 0 știind că au două rădăcini comune.
7. Să se arte că polinomul P(x) = nxn+1 – (n + 1)xn + 1 este divizibil la (x – 1)2, n ∈ℕ. Să se determine apoi și câtul
împărțirii.
8. Să se determine parametri a, b ∈ℤ astfel încât ecuațiile polinomiale x3 – x2 + a = 0 x3 + bx + 2 = 0 să aibă o
rădăcină comună întreagă.
Să se determine și celelate rădăcini ale celor două ecuații.
9. Să se discute ecuația x4 – 8×2 + 2a3 – 3a2 – 12a + 9b = 0 du pă valorile parametrilor a și b
10. Să se arate că pentru orice m ∈ℝ ecuația
x4 + (m – 1)x3 – (2m2 +1)x2 + (m2 + 1)x + m2 – m = 0 are toate rădăcinile reale.
11. Să se rezolve ecuația polinomială
12.
.
/ ( ) ( ) știind că admite o rădăcină egală
cu 1+√ și că a∈ℚ.
12. Să se determine rădăcinile polinomului P(x) = 5×5 – 4×4 + 5×3 + 5×2 – 4x + 5, P∈ℂ [X] apoi să se
descompună polinomul în factori ireductinili peste ℝ.

123
13. Se consideră ecuația polinomială x3 – (a + 1)x2 + (a – 2)x + 2a = 0, unde a este un parametru real și se
cere să se determine a, astfel încât să aibă o rădăcină dublă. Apoi să se rezolve ecuația.
14. Să se arate că polinomul P(x) = x11 + x10 + x5 + x4 + 2 este divizibil prin x2 + x + 1. Apoi să se
determine restul împărțirii lui P prin polinomul (x + 1)(x – 1) fără a efecuta împărțirea.
15. Se dă ecuația polinomială :
(1) (a2 -1)x4 – (a2 + 3)x3 – (3a2 + 1)x2 + (5a2 + 3)x – 2(a2 – 1) = 0 unde a este un parametru real
diferit de ±1.
Se cere: a). să se arate că ecuaț ia are toate rădăcinile reale;
b). folosind șirul lui Rol le să se discute natura rădăcinilor ecuației
∑ – a = 0, unde x 1, x2, x3 ,x4sunt rădăcinile ecuației (1).

124
CAPITOLUL IV
ASPECTE METODICE PRIVIND PREDAREA CAPITOLULUI
"POLINOAME" ÎN LICEU, CLASA A XII -a
Capitolul Polinoame în liceu, clasa a XII-a se tratează altfel, cunoscând noțiunea de inel. În studiul
polinoamelor se pun două tipuri de probleme:
1. Primul tip este legat de faptul că mulțimea polinoamelor cu coeficienți într -un corp dat formează un inel
deci se studiază teoria divizibilității în acest inel.
2. Al doilea tip de probleme este legat de faptul că polinomul f(X) poate fi privit ca o funcție
definită pentru orice x din corpul coeficienților, problema principală din acest punct de vedere este
rezolvarea ecuațiilor algebrice.
Trebuie să facem ca elevii să prindă ambele aspecte ale studiului. Ideea de inel de polinoame este într -o
măsură mai mare nouă, ea necesită un mai ridicat nivel al gândirii abstracte.
Deci, de la început avem problema de a face pe elev să capete un punct de vedere nou.
Fie expresia f = a 0 + a1X + … + a n Xn (1) unde a i ∈ℂ, n 0, unde X este numai un simbol care ne
ajută să scriem expresia de felul (1), de aceea îl vom numi o nedeterminată.
Pentru a vedea că X nu are aici decât un rol formal, remarcăm că f este b ine determi nat când se dau
numerele (a 0, al, … , a n). Numim expresia (1) un polinom peste corpul ℂ.
Două polinoame sunt egale atunci și numai atunci când sunt identice toți coeficienții
airespectivi egali. Am definit astfel o relație de egalitate între elementele de forma (1); nu
este vorba de o egaliate între numere.
Includem printre polinoame și elementele (1) în cazul n = 0, adică elementele corpului ℂ și le numim
polinoame de grad zero. Polinomul cu toți coeficienții nuli îl numim polinomul nul.
Definim adunarea și înmulțirea într -un mod care coincide cu cel folosit la polinoame numerice și
anume:
f= a 0 + a1X + … + a n Xn
g = b 0 + b 1X + … + b n Xn

125
f + g = (a0 + b0) + (a 1 + b1)X + … +(a n +bn)Xn
f g = a0b0 + (a 0b1 + a1b0)X + (a 0b2 + a1b1 + a2b0 )X2 + … +(a obn + a1bn-1 +… + a nb0) .
Observăm că la produs, suma indicilor este aceeași în fiecare paranteză, fiind egală cu exponentul
lui X.
Definim aceste operații pentru că acum lucrăm cu elementele (1), X fiind un simplu simbol.
Fiind dat un polinom f există un polinom – f, opus astfel ca f+ ( -f) = 0, polinomul nul. Sunt
îndeplinite proprietățile de bază care au servit la definiția inelului.
Deoarece adunarea și, înmulțirea au fost definite numai prin adunări și înmulțiri ale coeficienților
rezultă că dacă coeficienții sunt elementele ale unui corp (sau ale unui inel dat) suma și produsul a două
polinoame e tot un polinom cu coeficienți în același corp ℂ (sau în același inel).
Așadar mulțimea polinoamelor cu coeficienți într -un corp dat în care s -au definit adunarea și
înmulțirea ca mai sus formează un inel.
Facem observația că împărțirea a două polinoame ca operație inversă înmulțirii nu e
totdeauna posibilă. Este posibilă totdeauna în mod unic împăr țirea cu rest. Anunțăm teorema
împărțirii cu rest. Fiind date polinoamele f, g ∈ℂ, g 0, grad (f) grad (g) atunci există în inelul
considerat un polinom q și un polinom r, unic determinate astfel încât f = g q + r, grad (r) < grad (g).
Procedeul împărțir ii cu rest este știut din clasele anterioare .
O observație importantă este: pentru a ști despre ce inel de polinoame este vorba trebuie să
specificăm care este corpul coeficienților săi.
Se tratează pe urmă divizibilitatea polinoamelor. Corpul coeficienți lor fiind fixat spunem că f
este divizibil cu g dacâ există un polinom h astfel încât f = g h.
Considerăm inelul polinoamelor c u coeficienți într -un corp dat ℂ. Definim mai întâi divizorii
improprii. Orice polinom este divizibil cu:
1) orice polinom de grad z ero (constantele corpului ℂ) afară de polinomul nu l
2) nu orice polinom asociat — polinomul obținut prin înmulțirea polinomului dat cu o constantă
a corpului.
Divizorii menționați se numesc improprii, divizorii diferiți de aceștia – dacă există – se numesc d ivizoril
proprii.
Problema mai importantă și mai grea este aceea a căutării divizorilor proprii.
Dacă un polinom f nu are nici un divizor propiru el se numește ireductibil.

126
Atragen atenția elevilor că definiția dată polinomu lui ireductibil presupune că s -a fixat corpul
coeficienților (inelul de polinoame).
Astfel: polinomul f= X2 – 2 considerat ca element al inelului cu coeficienți raționali este ireductibil.
Acest polinom este reductibil în corpul real pentru că ( √ )( √ ) deci f are divi zori
proprii în inelul polinoamelor cu coeficienți reali.
Pe urmă definim rădăcinile unui polinom.
Până acum X a fost o nedeterminată, un simbol care a servit la definirea polinomului, dar neesențial.
Acum privim pe x ca un element oarecare al corpului coeficienților, polinomul f(x) devine o fu ncție de
x, definită pe corpul ℂ al coeficienților cu valori în același corp.
Problema este: pentru ce valori ale lui x din corpul ℂ, funcția f(x) i a valoarea 0 (zero al corpului ℂ);
această problemă se numește re zolvarea ecuațiilor algebrice.
Un element a ∈ ℂ se numește rădăcină a polinomului în ℂ dacă valoarea polinomului f(a) = 0.
Folosind teorema împărțirii cu rest rezultă că, dacă g =X – a restul r = f(a) și dacă r = 0 rezultă că f este
divizibil cu X – a.
Începem studiul rădăcinilor polinoamelor (ecuațiilor atașate) în corpul complex + coeficienții
sunt numere complexe și căutăm rădăcinile complexe.
Ecuația de gradul n are n rădăcini. În corpul complex singurele polinoame ireduc tibile sunt cele
de gradul I.

Demonstrație : fie f = aX + b, (a b) un polinom de gradul unu din ℂ [X].
Dacă f este reductibilă atunci, există q, r ∈ ℂ [X] astfel încât f = g h, grad(g)<1 și grad(h)<1, g 0, h 0
⇒ grad (g)= grad (h) = 0, rezultă 1 = grad (f) =grad (g h) = grad (g) + gra d (h) = 0 + 0 = 0, contradicție.
În cazul inelului de polinoame cu coeficienți reali problema este înțelegerea că corpul real este inclus în
cel complex, deci ecuația cu coeficienți reali considerată ca un caz particular al celei cu coeficienți
complecși, deci are toate proprietățile acestea.
Așadar, ecuația cu coeficienți reali de grad n, f(x) = 0 are n rădăcini complexe – putând fi unele sau toate în
particular reale. Putem scrie:
(*) f(X) = a n(X – xl) (X – x2) … (X – xn).

127
Cazul particular în acest caz este: dacă ecuația cu coeficienți reali admite rădăcina complexă a+bi atunci
admite și pe conjugata ei, a – bi.
Grupâ nd factorii respectivi din (*):
[X – (a + bi) [X – (a –bi)] = (X – a) 2 + b2 obținem descompunerea polinomul f(X) în polinoame cu
coeficienți reali. Anunțăm teorema: În inelul polinoamelor cu coeficienți reali, polinoamele ireductibile
sunt cele de gradul I și cele de gradul II care nu au rădăcini reale. (Orice polinom cu coeficienți reali poate fi
descompus în factori de gradul I și II ).
Inelul polinoamelor cu coeficienți raționali diferă esențial de polinoamele cu coeficienți complecși și reali
prin faptul că aici putem avea polinoame ireductibile de orice grad.
Dăm teorema: dacă un polinom cu coeficienți raționali admite rădăcina √ , (√ ∉
ℚ)admite și conjugata ei √ .
Demonstrație. se face prin înlocuire. Trebuie să arătăm două lucruri:
1. că f( √ ) și f( √ )sunt conjugate și
2. că din f( √ ) A+ B√ = 0 rezultă că A = 0 și B = 0.
La 1) pe ( √ ) îl dezvoltămdupă binomul lui Newton; termenii în care √ este la o putere pară se
grupează într -un număr rațional A, iar cei care îl au la o putere impară într un număr de forma B√ .
Înlocuind pe B√ cu – B√ cu toți acești termeni din urmă își schimbă semnul.
A doua propoziție derivă din ipoteza că este √ irațional; dacă am avea A + B√ = 0 cu B 0 ar rezult ă
√ = – A : B deci √ ar fi rațional.
Aplicație: Să se descompună în factori ireductibili polinomul f = X4 + X3 – X2 2X -2peste corpul ℚ,
peste ℝ, respectiv peste ℂ știind că
√
este rădăcina polinomului f.
Rezolvare: Coeficienții polinomului fiind numere reale rezultă că și ̅
√
este rădăcina
polinomului f.
Rezultă că polinornul este divizibil cu :
( )( ̅) (
√
)(
√
) (
)
( √
)

128
Efectuând împărțirea polinomului f cu X2 + X + 1 obținem câtul X2 – 2.
Deci, f= (X2 – 2)(X2 + X + 1).
X2 + X + 1 este ireductibil peste ℝ având numai rădăcini complexe conjugate, rezultă că f este ireductibil
și peste ℚ.
X2 – 2 este ireductibil peste ℚ, deci descompunerea polinomului f peste ℚ este:
f= (X2 2)(X2 + X + 1)
În corpul polinomul ( √ )( √ ), rezultă că ( √ )( √ )(
) este descompunerea polinomului f peste ℝ.
Peste corpul complex ℂ descompunerea polinornului f este urrnătoarea:
( √ )( √ )(
√
)(
√
)

129
Chestionar de evaluare a cunoștințelor asupra operați i cu numere reale reprezentați prin
litere
Clasa a VIII -a
Pentru exercițiile 1 -4 alegeți răspunsul corect. Numai un răspuns este corect.
1. Forma descompusă a expresiei algebrice 16×2 – 24x este egală cu
A 8x(8x – 3) , B 8x(2x -3), C 16x(x – 24), D 16x(x – 8)
2. Forma descompusă a expresiei algebrice x2 + 4y – xy este egală cu
A (y – 4)(x – 1) , B (x – y)(x + 4), C (y – x)(4 – x), D (x – y)(x – 4)
3. Forma descompusă a expresiei algebrice 4×2 – 25 este egală cu
A (2x – 5)2 , B (2x – 1)(2x + 2 5), C (4x – 5)(x + 5), D (2x – 5)(2x + 5)
4. Forma descompusă a expresiei algebrice x2 – 4x – 12 este egală cu
A (x – 4)(x+3) , B (x + 4)(x – 3), C (x – 6)(x + 2), D (x + 6)(x – 2)
5. Precizați valoarea de adevăr a propozițiilor
a) (x + 1)2 = x + 1
b) (x – 1)(x + 1) = x2 – 1
c) (x – 2)(x + 2) = x2 + 4
d) 4×2 + 12x + 9 = (2x + 3)2
6. Completați răspunsul corespunzător
a) Rezultatul calculului – 4x + x + 6x este egal cu …
b) Rezultatul calculului 4×2 + 4x – 2 + 5x – x2 + 3 este egal cu …
7. Scrieți pe foaie rezolvările co mplete:
a) Calculați:
(x – 4)2 – (x + 4)(x – 4) =
b) Demonstrați că E(x) este un număr natural, pentru orce număr real x.
E(x) = (x + 4)2 + (x + 2)2 – (x + 3)(x – 3) – x(x + 4)
c) Fie E(x) = (x2 + 5x)(x2 + 5x + 11) + x2 + 5x + 36. Să se arate că E(x) este un pătr at perfect divizibil
cu 4, pentru orice număr întreg x.

130
Baremul de corectare este doar pentru evaluarea chestionarului.
 Timp de lucru este 60 de minute.
 Barem de notare
Sub 1 2 3 4 5 6 7 Din oficiu
Nr. Pct. 6p 6p 6p 6p 4x6p =24p 2x6p=12 3x10p=30p 10p
Chestionarul de mai sus, a fost aplicatăclasei a VIII -a C, de la Școala Gimnazială Kazinczy Ferenc
Șimian.
Clasa este formată de 18 elevi, 9 fete și 9 băieți.
Rezultatul în urma evaluării chestionarului.

Note obț. 1-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-10
Nr. elevi 3 5 5 3 2

0123456
1-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9,00-10Rezultatele chestionarii
Nr. Elevi

131
Chestionar de evaluare a cunoștințelor asupra polinoamelor
Clasa a XII -a

Pentru exercițiile 1 – 4 alegeți răspunsul corect. Numai un răspuns este corect.
1. Se consideră polinomul f = X3 + mX – 3 , unde m este număr real. Pentr u m = 2 , f(1) este egal cu
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
2. Se consideră polinomul f = X3 + mX – 1 , unde m este număr real. Dacă polinomul f este divizibil cu
X+1 atunci m este egal cu
3. A. -2 B. 0 C. 1 D. 2
4. Se consideră polinomul f = X3 – 4X2 + 2X + 2, atunci f(0) =
5. A. -3 B. 2 C. – 2 D. 0
6. Se consideră polinomul f = X3 – 3X2 + 3X + 1, cu rădăcinile X 1, X2, X3 ∈ℝ , atunci X 1 + X 2 + X 3 este
egal cu
A. -3 B. 3 C. 1 D. – 1
7. Precizați valoarea de adevăr a propoziți ilor:
a) Polinomul f = X4 – 4X3 + 4X2 + 3X este divizibil cu polinomul g = X3 + 3X f, g ∈ℂ[X]
b) X3 – 3X2 + 9x = X (X + 3)2
c) Polinomul f, ∈ℂ[X] f = 3X12 – 2X2 – 1 este divizibil cu polinomul x – i ∈ℂ[X]
8. Completați răspunsul corespunzător
a) Se consideră polin omul f = X3 – 2X + 3, atunci restul împărțirii polinomului f la X – 3 este …
b) Se consideră polinoamele f, g ∈ℤ3[X], f = ̂ ̂ ̂ ̂ și g = ̂ , atunci rezultatul
înmulțirii ( ̂) ( ̂) este …
9. Scrieți pe foaie rezolvăril e complete.
Se consideră polinoamele f = X3 – 3X2 + 3X + 1, cu rădăcinile X 1, X2, X3 ∈ℝ , și g = X2 – 2X + 1 cu
rădăcinile y 1, y2∈ℝ
a) Să se calculeze S – S‘ unde S = X 1 + X 2 + X 3 și S‘ = y 1 + y 2
b) Să se determine cîtul și restul împărțirii polinomului f la g
c) Să se calculeze produsul f g

132
Baremul de corectare este doar pentru evaluarea chestionarului.
Timp de lucru 50 de minute
Barem de notare
Sub 1 2 3 4 5 6 7 oficiu
Nr. pol. 6 6 7 7 a7 b7 c7 c6 b7 a10 b10 c10 10
Chestionarul de mai sus, a fost aplic ată clase a XII -a B de la Liceul Teoretic ― Petőfi Sándor‖
Săcu eni.
Clasa este format de 19 elevi, 10 fete și 9 băieți.
Rezultatul în urma evaluării chestionarului:
Note obț. 1 – 4,99 5 – 5,99 6 – 6,99 7 – 7,99 8 – 8,99 9 – 10
Nr. elevi 4 4 6 3 2

01234567
1-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9,00-10Rezultatele chestionarii
Nr. Elevi

133
PROIECT DIDACTIC

Data :
Clasa a XII -a B
Profesor:
Disciplina : Matematică (Algebr ă)
Capitol : Inele de polinoame
Tema: Împărțirea prin x -a. Schema lui Horner
Tipul lecției : Mixtă (verificare, predare –învățare)
COMPETENȚE GENERALE
1 . Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost
definite.
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri
matematice.
3 . Utilizarea algoritmilor și a conceptelor m atematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei
situații concrete.
4 . Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a
algoritmilor de prelucrare a acestora.
5 . Analiza și interpretarea caracter isticilor matematice ale unei situații problemă.
6 . Modelarea matematică a unor contexte matematice variate, prin integrarea cunoștințelor din
diferite domenii
COMPETENȚE SPECIFICE
1.Aplicarea unor algoritmi în calculul polinomial sau în rezolvarea ecuaŃ iilor algebrice
2.Determinarea unor polinoame sau ecuații algebrice care îndeplinesc condiŃii date
3.Exprimarea unor probleme practice, folosind structuri algebrice sau calcul polinomial
4.Aplicarea, prin analogie, în calcule cu polinoame, a metodelor de l ucru din aritmetica numerelor

134

COMPETENȚE DERIVATE
La sfârșitul orei elevii vor fi capabili :
1.Să recunoască metoda cea mai indicată pentru a calcula restul
2. Să recunoască metoda cea mai indicată pentru a calcula câtul și restul împărțirii a două
polinoame
3. Să aplice corect noțiunile teoretice în rezolvarea exercițiilor.
4.Să-și însușească treptat exigențele unui exprimări riguroase specifice disciplinei.
5 .Să justifice prin argumente înlănțuite logic, pașii de rezolvare a unei probleme.
Metode d e învățământ/ de instruire:
 Conversația euristică
 Explicația
 Demonstrația
 Exercițiul
 Problematizarea
 Învățarea prin descoperire
 Aplicarea metodelor centrate pe elev, pe activizarea structurilor cognitive si operatorii ale
elevilor, pe exersarea potențialu lui psihofizic al acestora, pe transformarea elevului în
coparticipant la propria instruire și educație
Forme de organizare a clasei :
 Frontală
 Individuală
Resurse materiale :
 Materiale didactice : manual, fi șe de lucru
 Mijloace de învățământ : tabla, creta, caiet, videoproiectorul.

135
DESFĂȘURAREA LECȚIEI
Secvențele
activității
didactice Activitatea profesorului Activitatea
elevului Metode Procedee de
evaluare
1. Moment
organizatoric Asigurarea ordinei și
liniștii.
Notarea absențelor.
Asigurarea condițiil or
optime pentru desfășurarea
lecției. Elevii, după ce
și-au scos
caietele,
așteaptă în
liniște începerea
orei.
Conversația Observația
2.
Verificarealec țieia
nterioare – Verifică la tablă
algoritmul de împărțire a
polinoamelor printr -un
exercițiu, polin omul
f= x3+x+1 la polinomul g=
x-1, f,g∈ K[X],
după ce se reamintește
subiectul de data trecută:
‖Împărțirea polinoamelor‖ – Data trecută s –
a discutat
despre
―Împărțirea
polinoamelor‖
3. Predare –
Învățare Plecând de la împărțirea
polinomului
f= x3+x+1 la polinomul g=
x-1, f,g∈ K[X]
efectuată ca verificare a
algoritmului de împărțire,
se va face trecerea către
lecția nouă:
‖Împărțirea prin x -a.
Schema lui Horner.‖
Aplicând teorema
împărțirii cu rest, se va
scrie egalitatea f= g c+ r, în
care apoi se v or face
înlocuirile: g = x -a, c = În urma
întrebărilor
adresate, elevii
vor apli ca, pe
cazul
considerat,
teorema
împărțirii cu
rest.

Fac înlocuirea
și vor găsi ca
rezultat f(1) = 3,
restul împărțirii.
Prin înlocuirea Explicația,
conversația
euristică,
exercițiul,
problem atizarea,
învățarea prin
descoperire,
studiul de caz Observarea
sistematică a
elevilor,
aprecierea
răspunsurilor
primite

136
x2+x+2, r = 3.
Ce se observă, dacă se face
înlocuirea lui x cu 1, apoi
cu a în relația f = (x -a)c+r?
Pe baza constatărilor din
calcule se va formula
enunțul teoremei:
Restul Împărțirii
polinomului nenul f ∈
K[X], la polino mul g = x –
a, g∈ K[X], este egal
cuvaloarea f(a) a
polinomului f în a.

Pentru fixarea noțiunilor,
se va cere elevilor să afle,
fără a efectua împărțirea,
restul împărțirii polinomul
f =x4+x2 -3 la g = x – 2.(Pe
fișă de lucru)

Tot folosind exemplul
inițial, se va face trecerea
către schema lui Horner.Se
va cere elevilor să scrie
polinomul de gradul 3 în
forma generală, să afle
gradul polinomului cât
dacă g are gradul 1, gradul
polinomului rest și apoi,
aplicând metoda
coeficienților nedeterminați
să se afle câtul și restul
împărțirii lui f la x -a,
pentru ca explicarea lui x cu a în
relația f = (x –
a)c+r, se va găsi
f(a) = r

Notează în
caiete enunțul
teoremei

Vor lucra
individual la
rezolvare.Se va
face verificarea
apoi, prin
rezolvare la
tablă.

Vor scrie: f =
a0+a1x +a 2x
2+a3x 3
Vor răspunde la
întrebări:

137
metodei să fie cât mai
simplă pentru elevi, pe un
polinom de grad mai mic.
Se va cere observarea
coeficienților obținuți și a
legăturii dintre ei.
f = a 0+a 1x +a 2x 2+a3x 3
g = x – a
c = b 0+ b 1 x+ b 2 x2
restul este r și se va găsi :
a3 =b2
a2 =b1- a b2
a1 = b 0 –a b1
a0 = r – a b 0,
din care vor rezulta
coeficienții polinomului cât
și restul.
Se va realiza transpunerea
datelor în schema lui
Horner. Grad c = grad f –
grad g, iar grad
r= 0.
Vor calcula.
4. Tema pentru
acasă. Manual, ex.E1, pag.100 Elevii își
notează pe
maculatoare
tema pentru ora
următoare.

138
PROIECT DIDACTIC

Data :
Clasa: a VIII -a
Profesor:
Disciplina: MATEMATICĂ -ALGEBRĂ
Unitatea de invatare: Calcul algebric în R
Titlul lectiei: Calcul cu numere reale reprezentate prin litere
Tipul lectiei: Lectie de consolidare și sistematizare a cunoștințelor
COMPETENȚE GENERA LE
1. Cunoașterea și înțelegerea conceptelor, a terminologiei și a procedurilor de calcul specifice
matematicii.
2. Dezvoltarea capacităților de exploatare/ investigare și rezolvare de probleme.
3. Dezvoltarea capacității de a comunica utilizând limbajul m atematic.
4. Dezvoltarea interesului și a motivației pentru studiul și aplicarea matematicii în contexte
variate.

COMPETENȚE SPECIFICE:
1: Aplicarea corectă a algoritmului de efectuare a operațiilor cu numere reale
reprezentate prin litere;
2 : Recunoaș terea formulelor de calcul prescurtat într -o expresie algebrică;
3: Aplicarea corectă a formulelor de calcul prescurtat;
4: Efectuarea corectă a calculelor în exerciții cu paranteze, respectând ordinea
efectuării operațiilor și ordinea desfacerii para ntezelor;
5: Optimizarea rezolvării unor probleme sau situații -problemă, prin alegerea unor
strategii și metode adecvate .
Stilul visual de învățare va fi favorizat de vederea informațiilor în forma tipărită (fișe de
lucru) privirea, forma cuvintelor, fo losirea cuvintelor.
Stilul auditiv de învățare va fi favorizat de ascultarea unor persoane care predau sau explică
informația.
Stilul practic de învățare va fi favorizat de scrierea rezultatelor/rezolvărilor problemelor din
fișa de lucru la tablă.

139
COMPET ENȚE DERIVATE
La sfârșitul orei elevii vor fi capabili :
1Să stabileasc ă ∕recunoască o expresie algebrică
2 Să recunoască termenii asemenea.
3 Să reducă termenii asemenea
4 Să aplice formulele de calcul prescurtat exerciții.
5 Să efectueze calcule cu numere reale reprezentate prin litere.
6 Să depisteze și alte tipuri de exerciții și problema în care se aplică formulele de calcul
prescurtat.
STRATEGII DIDACTICE
Principii didactice
 Principiul participării și învățării active
 Principiul asigurării și progresului gradat al performanței
 Principiul conexiunii inverse
Metode de învățare/instruire
 Conversația euristică
 Explicația
 Exemplificarea
 Algoritmizarea
 Exercițiul
 Problematizarea
 Descoperirea dirijată
Forme de organizare a clasei:
 Frontală
 Individual ă
Resurse materiale:
 Materiale didactice: fișe de lucru, proiect didactic
 Mijloace de învățământ: tabla, creta, caiet, videoproiectorul

140
DESFĂȘURAREA LECȚIEI

Secvențele
activității
didactice Activitatea profesorului Activitatea elevului Metode Procedee de
evaluare
Captarea
atenției Se captează atenția elevilor
și se verifică prezența la
oră Elevii se pregătesc
pentru clasă Conversația Observația
Actualizarea
cunoștințelor Se verifică individual
cantitativ, tema pentru
acasă
1. Se reactualizează
noțiunile: Ce este
expresia algebrică?
2. Din ce este format un
termen al expresiei
algebrice?
3. Ce operatii cu numere
reale exprimate prin
litere am învățat?
4. Cum se înmulțește un
termen cu o expresie
algebrică?
5. Cum se înmulțesc
două expresii
algebrice?
6. Care sunt f ormulele de
calcul prescurtat
învățate?
Elevii urmăresc
noțiunile prezentate
de colegi, răspund
la întrebări conversația Analiza
răspunsurilor
Anunțarea
competențelor.
Prezentarea de
material pentru
fixarea
noțiunilor Profesorul anunță
competențele vizat e și
distribuie fișele de lucru Elevii analizează
fișele de lucru Conversația Observația
Asigurarea
transferului.
Obținerea de
performanțe Dirijarea învățării:
 Se discută modul de
rezolvare a fiecărei
probleme/grup de
probleme din fișă.
 Se rezolvă la tab lă
exercițiile propuse
 Se notează răspunsurile
primite Răspund la
întrebările
profesorului.
Rezolvă problemele
la tablă și comunică
rezultatele Explicația,
conversația
euristică,
exercițiul,
problematizarea,
învățarea prin
descoperire,
studiul de caz Obser varea
sistematică a
elevilor,
aprecierea
răspunsurilor
primite
Asigurarea
feed-backului,
tema pentru Tema pentru acasă:
De rezolvat problemele
rămase nerezolvate din Notează tema Activitate
independentă Notarea
răspunsurilor

141
acasă fișa de lucru.
De revizuit din caietele
de clasa a VII -a
formulele (a+b)3 și (a-
b)3

142
FIȘĂ DE LUCRU Calcul cu numere reale reprezentate prin litere – clasa a VIII -a B
1. Calculați:
a) 2x+3x+5x c) √ – √ √
b) 10z+15z -25z d) 5abc -7abc+abc
2. Efectuaț i calculele:
a) -7-(-3x) c)

b) 10z+15z -25z d) √ (- √ )
3. Efectuați:
a) 2(x-1)-3(x-2) g) (x+7)(2x -1)
b) x(2x -1)-2×2 h) 2(3×2 -1)-x(x+1)
c) 5(x-1)-10x i) (x -2)(x+1) -x(x-3)
d) x(4x -1)-4×2 j) (3x+1)(4x -5)-12×2
e) x(x+y) -x2
f) 5x(x+1)
4. Simplificați ținând cont de faptul că x -y 0, x+y 0,
a) ( )( – )
– c) ( )
( )
b) ( )( )
( ) d) √

5. O grădină în formă de dreptunghi are lungimea de 2x+3, iar lățimea cu 2x mai
mică. Să se determine:
a) Lungimea gardului care se folosește la împrejmuirea grădinii,
b) Suprafața grădinii.
6. Calculați aria unui pătrat care are perimetrul egal cu 4a(a+b), unde a,b˃ 0.
7. Calculați:
a) (- ) ( ) ( – )( )
b) , xy 0
c) (-24 y-8 ):(-8 -y)-
8. Calculați utilizând formulele de calcul prescurtat:
i) a) ( ) , b) ( ) , c) ( ) , d) ( )
ii) a) ( – ) , b) ( – ) , c) ( – ) , d) ( – )
iii) a) (3 -x)(3+x), b) (2a -b)(2a+b), c) (4x -2y)(4x+2y)

143
iv) a) (√ ) (√ ), b) (2ax+5by)(5by -2ax), c) (2 -x)(2+x)(4+x2)
9. Calculați și reduceți termenii asemenea:
1. a ) ( – ) ( – )( )-( )
b ) (3a -3b)(3a+3b )-4( – ) -(2a-b)(2a+b)
c ) (2a -4b)(3a+2b) -(2a- ) +(5a- ) -9
d )
( – ) +
(3-6a)(3+6b) -6
e )
( – )( )-( – )( )
2 . a ) (√ -√ ) -( – )( ) ( √ )
b ) (2x+ )(2x-2y)- 4( – ) -(2x-y)(2x+y)
c ) (√ -√ )(√ √ )
10. Dacă 1
5, să se calculeze: a)
b) –
a )
11. Să se arate că numărul este un pătrat perfect.
b ) Să se arate că numărul 822-1 nu este prim.
12. a ) Să se arate că numărul ( )( )( ) este un pătrat perfect, ∈ℕ.

b ) Calculați √2006 2007 2008 2009 2006 2009 .

13. Să se demonstreze că: 10 34
14. Să se demonstreze inegalitatea:
15. a) Arătați că ∈ are locinegalitatea √

.
b) Demonstrați că pentru orice număr real x are loc inegalitatea: √ 25
√ 36 √ 49 √ 64 ( 13)√

144
BIBLIOGRAFIE
1. M. BECHEANU ș.a.: Algebră pentru perfecționarea profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică,
București, 1983
2. C. COȘNIȚĂ, F. TURTOIU: Probleme de algebră, Editura Tehnică, București, 1989
3. A. DRAGOMI R, P. DRAGOMIR: Structuri algebrice, Editura Facla, Timișoara, 1981
4. I. D. ION, C. NIȚĂ, N. RADU, D. POPESCU;Probleme de algebră, Editura Didactică și
Pedagogică, București, 1981
5. I. D. ION, N RADU: Algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1991
6. C. NĂSTĂSESCU, G. ANDREI, M. ȚENA, prof. I. OTĂRĂȘANU: Probleme de structuri
algebrice, Editura Academiei Republicii Socialiste România, 1988
7. C. NĂSTĂSESCU, C. NIȚĂ, C. VRACIU: Bazele algebrei vol.I, Editura Academiei, București,
1986
8. L. PANAITOPOL, I. C. DR ĂGHICESCU: Polinoame și ecuații algebrice, Editura Albatros, 1980
9. I. PURDEA, GH. PIC: Tratat de algebră modernă vol. I, Editura Academiei, București, 1977
10. I. PURDEA: Tratat de algebră modernă vol.II, Editura Academiei, București, 1982
11. E. RUSU: Matematica în liceu probleme de matematică, Editura Didactică și Pedagogică,
București, 1970
12. E. RUSU: Problematizare și probleme în matematica școlară, Editura Didactică și Pedagogică,
București, 1978
13. I. RUS: Metodica predării matematicii, Editura Servo -Sat, 1996
14. T. SPIRCU: Structuri algebrice prin probleme, EdituraȘtiințifică, București, 1999
15. I. R. ȘAFAREVICI: Noțiunile fundamentale ale algebrei, Editura Academiei Republicii
Socialiste România, 1989

145
DECLARAȚIE DE AUTENTICITATE
A
LUCRĂRII METODICO –ȘTIINȚIFICE PEN TRU OBȚINEREA
GRADULUI DIDACTIC I

Titlul lucrării
INELE DE POLINOAME

Autorul lucrării: Somogyi Andrea
Lucrarea metodico –științifică pentru obținerea gradului didactic I este elaborată în
vederea susținerii inspecției finale pentru obținerea gradului di dactic I la specializarea
matematică seria 2018 -2020.
Prin prezenta, subsemnata, declar pe proprie răspundere că această lucrare a fost
elaborată de către mine, fără nici un ajutor neautorizat si că nici o parte a lucrării nu conține
aplicații sau studii d e caz publicate de alți autori. Declar, de asemenea, că în lucrare nu există
idei, tabele, grafice, hărți sau alte surse folosite fără respectarea legii române si a convențiilor
internaționale privind drepturile de autor.

Oradea, Semnătura,