Matematica este regina științelor . (Karl Friedrich Gauss) [632118]

3
INTRODUCERE
“Matematica este regina științelor ”. (Karl Friedrich Gauss)
Cuvântul „ matematică ” își are originea în grecescul „ μάθημα ” („máthēma”), care
înseamnă „învățare ”, „studiu ”, „știință ”, dar care ulterior a obținut și sensul de „studiu
matematic”. Matematica studiază categoriile abstracte de: mărimi, relații cantitative și forme
spațiale. Ce înseamnă fiecare dintre categorii ne rămâne sau să ne dăm seama intuitiv, sau să le
studiem/definim riguros .
În lucrarea "Metode numerice de aproxi mare a valo rilor proprii" se descriu câteva metode
de aproximare a vectorilor și valor ilor proprii ai unei matrice.
În primul capitol vom prezenta câ teva noțiuni de analiză funcțională necesare
construcțiilor ulterioare. Rezultatele vor fi prezentate fără demonstraț ie, dar se fac trimiteri
bibliografice concrete, unde sunt demonstrate aceste rezultate.
În cel de -al doilea capitol prezentăm algoritmi pentru determinarea valorilor și vectorilor
proprii ai unei matrice A ∈ Mn(C) simetrică și pozitiv definită . Aceste noțiuni au o largă gamă de
aplicații. Metodele numerice pentru det erminarea valorilor proprii se împart în două categorii:
-metode care utilizează polinomul caracteristic;
-metode care nu folosesc polinomul caracteristic.
În acasta lucrare vom pre zenta urmă toarele metode care nu folosesc polinomul caracteristic :
 Metoda rotațiilor:
 Metoda puterii
 Metoda Givens ( sau a bijecț iei)
 Metoda LU
 Metoda QR
Pentru realizarea celui de -al treilea capitol au fost concepute două programe pe baza
algoritmi lor de la me toda rotațiilor și metoda puterii utilizâ nd softul Matlab . În lucrare au
fost introduse rezultatele furniz ate de programe. În urma aplică rii algoritmului de la metoda
rotațiilor au fos t aproximate valorile proprii; în urma aplică rii metodei puterii a fost
aproximată cea mai mare valoare proprie ș i vectorul propriu asociat.

4
Capitolul 1.
Elemente de analiză funcțională
În acest capitol vom prezenta câteva noțiuni de analiză functională și algebră liniară necesare
construcțiilor ulterioare. R ezultatele vor fi prezentate fără demonstrație, si sunt pre luate din
lucrările [1], [2], [4 ].
1.1. Elemente de anal iză func țional ă
Notăm cu K mul țimea numerelor reale sau mul țimea numerelor complexe (K=R sau
K=C).
Defini ția 1.1.1 Fie o mul țime de o biecte numite vectori (sau elemente) și dou ă
opera ții: ∈ ∈ numite adunare și,
respective, înmultire cu scalar care verific ă urmă toarele propriet ăți:
 ∈ X;
 ∈ X;
 Există un element 0 ∈X astfel încâ t ∈ X;
 Pentru orice element ∈ X, există un element ∈ X astfel încâ t ;
 ∈
 ∈ ∈
 ∈ ∈
 ∈ ∈
Atunci X se numește spaț iu liniar (real sau complex).
Definiț ia 1.1.2 O submulțime V a unui spațiu liniar X se numește subspațiu liniar dacă
∈ ∈ si ∈ ∈ ∈
Fie X un spațiu liniar și ∈ Fiind daț i vectorii ∈ și scalarii
∈ K atunci expresia

5

se numește combinție liniară a vectorilor .
Definiț ia 1.1.3 Vectorii se numesc liniar dependenți dacă există scalarii
cu cel puțin unul diferit de 0 astfel încâ t

Vectorii se numesc liniar in dependenți dacă nu sunt liniar dependenți, adică singura
alegere a scalarilor pentru care se verifică egalitatea (1.1) este ,
Observăm că vectorii sunt liniar dependenți dacă și numai da că cel putin unul dintre
ei se poate scrie ca o combinație liniară a celorlalț i.
Definiț ia 1.1.4 Fie ∈ si eleme nte liniar independente din spațiul liniar
X. Mulț imea ∈ se numește
subspaț iu liniar generat de elementele . Acest subspaț iu are dimensiunea n.
Definiț ia 1.1.5 Fie X și Y doua subspaț ii liniare peste ace lași corp de scalari. O funcț ie
se va numi operator . Un operator T este liniar dacă
∈ ∈ .
Dacă , atunci T se numește fuctională .
Fie un operator liniar . T este injectiv dacă și numai dacă din rezultă
că , iar T este surjectiv dacă ș i numai dacă pentru orice ∈ există ∈ astfel încâ t
. Un operator li niar T este bijectiv daca si numai dacă T este injectiv ș i surjectiv.
Propoziț ia 1.1.1 Fie este un operator linia r și bijectiv. Atunci există un
operator liniar (numit inversul lui T) astfel încâ t și ,

6
unde sunt operatorii identitate ai spatiilor X, respectiv ∈ ,
respectiv , ∈ ).
Definiț ia 1.1.6 Fie X un spaț iu liniar. O normă pe X ( notată ) este o funcție
definită pe X cu valori reale și cu proprietăț ile:
1) ∈ ;
2) ∈ ∈ ;
3) ∈ .
Un spațiu liniar X înzestrat cu o normă (cu notaț ia se numește spaț iu liniar
normat.
Definiț ia 1.1.7 Fie un spaț iu liniar normat, ∈ si r 0. Mulț imea
∈ se numește bilă deschisă de centru și raza r, iar mulț imea
∈ se numește bilă inchisă de centru și raza r.
O submulț ime se num ește deschisă dacă pentru o rice ∈ există o raza astfel
încât
Defin iția 1.1.8 Fie un spaț iu liniar normat ∈ . O mulțime V se numește
vecinatate a lui X dacă există o mulțime deschisă D astfel încâ t
Definiț ia 1.1.9 Fie un spațiu liniar normat și M o submulțime a lui X. Vom
spune că un element ∈ este aderent mulțimii M dacă pentru orice vecinatate V a lui x avem
Mulț imea tuturor punctelor aderente mulț imii M se numeș te ader entă mulțimii M
și se notează cu .
O mulț ime M X se numește inchisă dacă
Propoziț ia 1.1.2 Fie un spațiu liniar normat. O submulț ime este
inchisă dacă ș i numai d acă mulțimea X \ M este deschisă .

7
Definiț ia 1.1.10 Fie un spaț iu liniar normat. Un sir ∈ este
convergent la ∈ dacă

Vom scrie că sau
Propoziț ia 1.1.3 Fie un spațiu liniar normat. O submulț ime este
inchisă dacă și numai dacă pentru orice ș ir ∈ convergent la un element ∈
rezultă că ∈
Definiț ia 1.1.11 Fie X,Y spații liniare normate. O funcț ie se numește continuă
în ∈ dacă pentru orice ș ir convergent avem . f se numește continuă pe
X dacă este continuă î n orice element ∈ .
Definiț ia 1.1.12 Fie un spațiu liniar normat ș i două norme pe X.
Normele se numesc echivalente dacă există constantele pozitive astfel încâ t
∈
Definitia 1.1.13 Fie X un spaț iu liniar normat. Un sir ∈ se numește șir
Cauchy dacă

X se numește spațiu Banach ( sau spaț iu lin iar normat complet) dacă orice ș ir Cauchy cu
elemente din X este convergent la un element din X.
Definiț ia 1.1.14 Fie X și Y două spaț ii normate. Un operator liniar este
continuu dacă există o constantă reală astfel încâ t
∈
Notăm cu L(X, Y) spaț iul operatorilor liniari și continuu de la X la Y ș i cu L(X ) spațiul
operatorilor liniari ș i continuu L(X,Y).
Propoziț ia 1.1.4 L(X,Y) este un spaț iu liniar. Fie ∈ ,atunci:

8

este o normă pe L(X,Y). Dacă Y este spatiu Banach, atunci L(X,Y) este spațiu Banach cu normă
definită anterior.
Definiț ia 1.1.15 Dacă Y = K, atunci notă m cu X' se numește dualul
spațiului liniar normat X (este format din functionale liniare ș i cont inue definite pe X). Cu
propoziția anterioară X' este spaț iu Banach.
Definiț ia 1.1.16 Fie X un spaț iu liniar peste K. Un produs scalar pe X este o funcț ie
defini tă pe cu valori in K (notată ) cu urmatoarele propri etăți:
1) ∈ si dacă și numai dacă x = 0;
2) ∈
3) ∈ ∈
Definiț ia 1.1.17 Fie X un spaț iu cu produs scalar. Elementele ∈ se numesc
ortogonale (se notează ) dacă
Definiț ia 1.1.18 Un spațiu liniar î nzestrat cu p rodus scalar, care este complet în norma
indusă de produsul scalar, se numește spațiul Hilbert. Î ntr-o descriere echivalentă, un spațiu
Hilbert este un spațiu Banach în care norma este generată de un produs scalar.
Definiț ia 1.1.19 Fie X un spaț iu Hilbert. O familie ∈ de vectori din X se numește
ortogonală dacă ∈ . O familie ortogonală este ortonormată dacă
∈
Dacă ∈ este o familie ortogonală formată cu vectori nenuli atunci familia ∈ este
o familie ortonormată .
Definiț ia 1.1.20 O familie ortogonală (ortonormată ) ∈ dintr -un spațiu Hil bert X se
numețte bază ortogonală (ortonormată) a lui X dacă
∈
∈

9
Propoziț ia 1.1.5 Orice spațiul Hilbert conține baze ortogonale. Orice două baze
ortogonale ale aceluiași spaț iu sunt cardinal echivalente.
Propoziț ia 1.1.6 (Procedeul de ortogonali zare Gram -Schmidt) Fie X un spaț iu Hilbert
de dimensiune și vectori ce formeaază o bază . Definim vectorii

Atunci vectorii formează o bază ortogonală a spațiului Hilbert X. Dacă, î n plus,
definim vectorii

atunci vectorii formează o bază ortonormată a spa tiului Hilbert X.
Definiț ia 1.1.21 Fie X un spaț iu Hilbert o mulțime nevidă. Spunem că elementul
∈ este ortogonal pe mulțimea A ( și notă m ) dacă , pentru orice a ∈ .
Mulț imea
∈
se numeș te complementul ortogon al al mulțimii A.
Observaț ie Fie X un hilbertian și A,B două mulțimi nevide din X. Atunci

Definiț ia 1.1.22 Fie X un spațiu Hilbert. Spunem că un operator ∈ este
autoadjunct dacă , adică
∈
Notăm cu A(X) mulțimea operatorilor autoadjucț i definiți pe X și cu valori î n X.
Definiț ia 1.1.23 Fie X un spaț iu Hilbert.

10
a) Un operator autoadjunct ∈ se numește strict pozitiv dacă pentru orie
∈
b) Un operator ∈ se numeș te proiector (operator de proiecție) dacă
Dacă X este spațiu Hilbert ș i ∈ atunci T este autoadjunct.
Propoziț ia 1.1.7 Fie ∈ este un operator strict pozitiv. Atunci
∈ este un produs scalar pe X. Notă m cu norma definită de
acest produs scalar.
Definiț ia 1.1.24 Fie ∈ un operator strict pozitiv. Doi vectori ∈ se numesc
T- ortogonali dacă
Fie X un spațiu Hi lbert și Y un subspațiu î nchis al lui X. Din teorema proiecției rezultă că orice
element ∈ se descompune î n mod unic cu ∈ ∈ . Fie
operatorul definit prin
Definiț ia 1.1.25 Fie X un spațiu Hilbert ș i ∈ Numim spectru punctual al lui T
(mulț imea valorilor proprii ale lui T) mulțimea
∈ nu este injectiv}.

11
1.2 Elemente de algebră liniar ă

Definiț ia 1.2.1 Fie ∈ . Numim rang al matricei A numărul r cu proprietatea
că r este dimensiunea subspaț iului liniar din generat de coloanele ale matricei
date. Notă m cu rang(A) rangul matricei A.
Propoziț ia 1.2.1 . Fie ∈ o matrice de rang r. Atunci și r este și
dimensiunea subspaț iului liniar din generat de liniile ale matricei date.
Definiț ia 1.2.2 a) O matrice ∈ ∈ cu se numește superior
triunghiulară dacă Deci o matrice superior triunghiulară
are forma:

b) O matrice ∈ ∈ cu se numește inferior
triunghiulară dacă Deci o matrice inferior triunghiulară are
forma:

c) O matrice ∈ ∈ se numește diagonală dacă D este și
inferior triunghiulară și superior triunghiulară ( echivalent cu ∈ Deci o
matrice diagonală are forma:

12

Pentru matricea diagonală anterioară mai putem utiliza și urmatoarea notaț ie:

Defini ția 1.2.3 Fie ∈ ∈ . Numim urma a matricei A numă rul

Definiț ia 1.2.4 Fie ∈ ∈ ∈ . Numim tra nspusa matricei A
matricea unică ce verif ică egalitatea:
∈ ∈
unde primul produs scalar este in , iar al doilea este in . Se observă că
∈ ∈ ∈
Definiț ia 1.2.5 Fie ∈ ∈ ∈ . Numim ad juncta matricei A matricea
unică ce verif ică egalitatea:
∈ ∈
Avem ∈ ∈ ∈ .
Definiție 1.2.6 a) O matrice ∈ se numeste simetrică dacă
b) O matrice ∈ se nume ște normală dacă
c) O matrice ∈ se numește ortogonală dacă
d) O matrice ∈ se nu mește semipozitiv definită dacă ∈
e) O matrice ∈ se numește pozitiv definită dacă ∈

13
Propoziț ia 1.2.2 (Criteriul lui Sylvester) Fie ∈ ∈ o matrice
simetri că. Atunci A est e pozitiv definită dacă și numai dacă unde

se numesc determinanti de colt ai matricei A).
Definiția 1.2.7 Fie ∈ . Un numă r complex se numeșt e valoare proprie a
matricei A dacă există ∈ astfel încâ t Fie ∈ o valoare proprie a matricei
A.
Un vector ∈ pentru care se numeș te vec tor propriu al matricei A asociat
valorii proprii
Mulț imea valorilor proprii ale matricei A se numește spectrul matricei A și se notează cu
.
Definiț ia 1.2.8 Fie ∈ . Polinomul ∈ se numeș te
polinomul caracteristic al matricei A.
Propoziț ia 1.2.3 (Hamilton -Cayley) Fie ∈ . Atunci , unde este
polinomul caracteristic al matricei A.
Definiț ia 1.2.9 Fie ∈ cu valorile proprii Numă rul
se numește rază spectrală a matricei A.
Propoziț ia 1.2.4 a) Valorile proprii ale unei matrice reale simetrice sunt reale.
b) Valorile proprii ale unei matrice reale simetrice s emipozitiv definite sunt reale ș i pozitive.
c) Valorile proprii ale unei matrice reale simetri ce pozitiv definite sunt reale ș i strict pozitive.
Propoziț ia 1.2.5 Fie ∈ o matrice simetrica. Atunci există o bază
ortonormată formată cu valori proprii ai matricei A.

14
Propoziț ia 1.2.6 Fie ∈ . Atunci și este egal cu numă rul
de valori proprii nenule ale matricei .
Propoziț ia 1.2.7 Fie ∈ cu valorile proprii . Atunci

Propoziț ia 1.2.8 Fie ∈ o matrice simetrică avâ nd valorile proprii distincte
Atunci matricele de proiecț ie pe spaț iile gene rate de
vectorii proprii asociaț i valorilor proprii verifică egalităț ile

Propoziț ia 1.2.9 (Forma canonică a mat ricei Jordan) Fie ∈ și
multimea valorilor proprii ale matricei A, cu multiplicitatile respectiv
( . Atunci există matricea inversabilă ∈ astfel
că cu matricea J de forma

unde ∈ și

∈

15
Definiț ia 1.2.10 Fie ∈ o matrice simetrică și pozitiv definita. Notă m cu
valorile proprii a le matricei A. Din propoziția anterioară rezultă că există
matricea inversabilă ∈ astfel că cu matricea de forma

Matricea se numeste forma diagoală a matricei A. Fie
matricea va fi sub forma

Se numeste radacina patratica a matricei A, matricea

Definiț ia 1.2.11 Fie ∈ ∈ si un unghi ∈ . Se numește matrice de
rotație matricea ortogonală

unde elementele se află la intersecția liniilor p și q cu coloanele p și
q, în rest avâ nd valoare 1 pe diagonala principală și valoarea 0 pe celelalte poziț ii.
Definiț ia 2.1.12 O funcț ie se numește normă matriceală dacă
 ∈ si
 ∈ ∈ ;
 ∈ ;
 ∈ .

16
Din identitatea matricelor cu un operator liniar ∈ rezultă că
se pot considera norme astfel:
∈
unde este o norma pe si este o norma pe . În cazul în care , notă m
și o numim norma a matricei A.
Propoziț ia 1.2.10 Fie ∈ ∈ ∈ Atunci

Demonstraț ie. Fie ∈ cu adică
Atunci

Cum ∈ a fost ales arbitrar, rezultă că

Fie ∈ astfel încât

și ∈ cu
pentru și astfel. Atunci și

Deci

17

Din (1.1) și (1.2) rezultă că

Propoziț ia 1.2.12 Norma 2 este invariantă la transformările or togonale, adică , pentru
∈ cu U ortogonală , avem
Demostraț ie. Avem .

Propoziț ia 1.2.13 Fie ∈ o matrice simetrică și poz itiv definită . Atunci
∈
Demonstraț ie. Fie o bază ortonormată î n formată cu vectorii proprii ai ma tricei
A și ∈ . Notă m cu valorile proprii al e matricei A. Descompunem

( cu ∈ în baza . Atunci

Propoziț ia 1.2.14 Fie ∈ . Atunci pentru ori ce norma matriceală
subordonată unei norme vectoriale.
Demonstraț ie. Fie o normă matriceală subordonată unei norme vectoriale ș i o valoare
proprie a matri cei A. Atunci există astfel încâ t Luând obținute
cu . Rezultă că

18
Cum a fost ales arbitrar rezultă că .
Definția 1.2 .13 Se numeș te descompunere LU a unei matrice ∈ ∈
scrierea matricei ca produs de doua mat rice, una inferior triunghiulară (notată L) și alta superior
triunghiulară (notată U), adică
Între descompu nerea LU ș i metoda Gauss de rezolvare a unui sistem de ecuaț ii liniare este o
legatură stransă. Presupunem că în metoda Gauss (fără pivotare), aplicată matricei A, pivoț ii
sunt nenuli. Notă m cu U matricea

obtinută prin aplicarea metodei lui Gauss. Avem deci

Notă m cu . Observă m că fiecare din matricele sunt
inferior triunghiulare. Cum un produs de matrice triunghiulare e ste tot o matrice triunghiulară,
rezultă că este inferior triunghiulară . Avem deci este inversabilă.
Notă m cu . Cum inversa unei matrice triunghiulare este tot o matrice triunghiulară,
rezultă că L este inferior triunghiulară . Obtinem altfel , cu L inferior triunghiulară și U
superior triunghiulară . Deci, in acest caz, matricea A admite o descom punere LU.
Propoziț ia 1.2 .15 Fie o matrice ∈ ∈ care admite o descompunere
LU cu ∈ inferior triunghiulară , si ∈ superior
triunghiulară . Atunci

iar pentru avem:

19

Demonstraț ie. Matrice a L fiind inferior triunghiulară avem , pentru orice ∈ , iar
matrice a U fiind superior triunghiulară avem , pentru orice ∈ . Avem
dacă ș i num ai dacă

Luând în egalitatea anterioară obț inem:

Luând apoi obținem:

Fie acum ∈ . Atunci:

și

de unde

20

21
Capitolul 2.
Metode numerice de aproximare
a valorilor proprii

2.1 Preliminarii
În acest capitol prezentăm algoritmi pentru determinarea valorilor și vectorilor proprii ai
unei matrice A ∈ Mn(C) . Pentru rezultatele prezentate în acest capitol împreuna cu demonstrații
a fost folosită lucrarea [2 ].
Metodele numerice pen tru det erminarea valorilor proprii se împart în două categorii:
 metode care utilizează polinomul caracteristic;
 metode care nu folosesc polinomul caracteristic.
Prima categorie de metode este mai rar folosită pentru că trebuie să calculăm rădăcini le
unui p olinom de grad n arbitrar. Metodele care nu folosesc pol inomul caracteristic aproximează ,
prin iterare, valo rile proprii ale unei matrice. Î n ace st capitol vom studia câteva metode din a
doua categorie.
Fie A ∈ Mn(R) o matrice simetrică , ≤….≤ valorile proprii ale matricei A si
,…, , un sistem ortonormat de vect ori proprii . Fie ∈ . Notam cu Mj subspatiul lui Rⁿ
generat de vectorii ,…, . Componentele unui element x ∈ Rⁿ în baza oronormată ,…,
sunt
Fie x ∈ Mj, Atunci:

Astfel,
∈ . Cum ∈ și

, rezultă că

22

∈

Propoziția 2.1.1 . Pentru orice ∈ și pentru orice subspaț iu liniar M de dimensiune
al lui Rⁿ avem:

∈

∈

Demonstraț ie. Daca , atunci Mj =Rⁿ și concluzia rezultă din inegalitat ea (2 .1).
Daca , fie un subspaț iu al lui Rⁿ de dimensiune . Vom demonstra mai întai că există
∈ astfel î ncat
. Pentru aceasta, fie subspaț iu liniar generat de
,…, (de dimensiu ne ). Atunci, cum și , rezultă că există
∈ , . Pentru un astfel de avem:

Atun ci

∈

Din (2.1) rezultă ultima egalitate din enunț .
Observație . Dacă valorile sun t considerate ordonate descrescător (adică ≥…≥ )
atunci pentru orice ∈ și pentru orice subspaț iu liniar de dimensiune al lui Rⁿ avem :

∈

∈

.

23
Demonstraț ia acestui rezultat este analog demonstrației propoziției precedente. În propoziția
urmă toare , vom da o altă caracterizare a valorilor pr oprii, pentru o matrice simetrică .
Propoziția 2.1.2 Fie valorile proprii ale unei matrice simetrice A ∈
Mn(R). Consideră m ,…, , o bază ortogonală in Rⁿ formată din vectorii proprii asociaț i
valorilor . Atunci

∈

și pentru i=

∈

Demonstraț ie. Fie x ∈ Rⁿ \ {0} și x =
reprezentarea lui x în bază ,…, . Atunci

Fie acum i= si x ∈ Rⁿ cu x ,…., x . Atunci x=
ș

.
Propozitia 2.1.3 Fie A,B ∈ Mn(R) două matrice simetrice, valorile
proprii ale matricei A si valorile propr ii ale matricei B. Atunci

D r P r r ∈ Rⁿ avem:

24
Fie ∈ b p al lui Rⁿ, avem:

∈

∈

În inegalitatea anterioară, trecem l a minim după . Rezultă că .
Pentru că unele metode numerice de aproximare a valorilor proprii ale unei matrice se
bazează pe teoria spațiilor Krâlov, reamintim definiția unui astfel de spațiu și prezentăm căteva
proprietăți ale acestora.
Definiț ia 2.1.1 Fie ∈ ∈ cu ∈ Mn(R) si υ ∈ . Se numește
spațiu Krâlov de ordin atașat matricei A și vectorului υ spațiu liniar (vectorial) generat de
vectorii υ, . Vom nota acest spațiu (subspațiu al lui R) cu Evident,
dim
Definiția 2.1.2 Fie ∈ , ∈ ) și ∈ . Un polinom se numește polinom
minimal al vectorului υ (relativ la matricea A) dacă este polinom monic (cu coeficientul
termenului de g rad maxim egal cu 1) de grad minim astfel încat .
Observație Fie n gradul polinomului minimal al vectorului υ. Atunci se verifică
imediat că pentru orice .
Propoziția 2.1.4 Spațiul Krâlov are dimensiunea dacă și numai dacă
gradul polinomului minimal al vectorului υ este mai mare ca
Demonstrție. Vectorii formează o bază în dacă și numai dacă pentru
orice scalar ,…., , cu cel puțin u nul diferit de 0, combinația liniară
este
nenulă. Această condiție este echivalentă cu faptul că nu poate exista un polinom de grad mai
mic sau egal decât astfel încat
Observație În cele ce urmează, vom nota cu norma (din Rⁿ sau din
Mn(R)).

25
2.2 Metoda rotațiilor

Această metoda a fost propusă de matematicianul german Carl Gustav Jacob Jacobi in
anul 1846, dar a devenit utilizată pe scară largă abia după 1950, odata cu dezvoltarea
calculatoare lor electronice.
Se dau ∈ A= ∈ (R) o matrice simetrică și un număr
real. Metoda rotațiilor aproximează valorile proprii ale unei matrice simetrice prin construirea
unui șir de matrice (obținut cu ajutor ul unor matrice de rotație) ale căror valori de pe diagonală
converg către valorile proprii ale matricei A.
Fie ∈ și un unghi ∈ Fie matricea de rotație , matricea
A (θ), c= cos(θ) și s= sin (θ). Cu un calcul elementar se observă că

Definiția 2.2.1 Se numește modul al matricei A, numărul

Propoziția 2.2.1 Cu notațiile a nterioare avem:

Demonstrație. Avem

26

Rezultă că
r r
(matricele B² și A² au aceeași urmă). Atunci

de unde

Fie
,
și
. Cum rezultă că
Tr( ) = Tr( ), deci , de unde
.
Algoritmul metodei rotațiilor constă în construirea unui șir de matrice astfel:
Se inițializează Apoi, pentru , se c alculează în funcție
de astfel:
 se aleg ∈ astfel încât
∈ ;
 dacă atunci
, astfel

;
 se calculează matricea cu

27
unde elementele se află la intersecția liniilor p și q cu coloanele p și
q. Alegerea lui θ asigură egalitatea =0.
 se calculează

Calculul iterativ se oprește atunci când este mai mic decât o anumită eroare de aproximare
dată. Valorile proprii ale matricei A se aproximează cu elemente de pe diagonala matricei X.

Lema 2 .2.1 Fie A=( ∈ (R). Atunci , unde

Demonstra ție. Din definiția normei 2 avem:

Cu inegalitatea Cauchy -Schwarz, dacă , se obține:

Înlocuind în (2.2) se obține:

Teorem a 2.2.1 Fie , valorile proprii ale ma tricei A și
elementele diagonale ale matricei . Atunci

28

.
Demonstr ație. Fie ∈ .Din algoritmul metodei, matricele au aceleași valori proprii ca și
matricea A. Matricea diag( ) are valorile proprii . Folosind Propoziția 2.1.3 și
Lema anterioara rezultă că

Cum este element maxim în multimea ∈ (p și q depinde de n),
rezultă că

iar cu Propoz iția 2.2.1

Atunci

deci

Exemplul 2.2.1 Fie matricea

. Folosind metoda rotați ilor, vom
determina valorile proprii ale matricei A.

Se verifică imediat că matricea A este simetrică. Se aleg astfel încat
∈
Atunci . Se calculează

r

Se ia

29

și se calculază matricea

Se aleg astfel încat ∈
Atunci . Se calculează
deoarece

Se ia

și se calculează matricea

Concluzie: elementele din afara diagonalei matricei sunt nule, rezultă că valorile proprii ale
matricei A sunt

Exemplu l 2.2.2 Arătați că pentru urmatoarea matrice, folosind metoda rotațiilor, se
poate ajunge la valorile lor proprii într -un numar finit de pași.
Fie matricea

∈
Avem
– pentru , avem i . Cum , rezultă că
și

. Se obține

30

– pentru n=2 avem p=1 și q=3. Cum rezultă că
și

. Se obține b
b
b
Concluzie: elementele din afara diagonalei matricei sunt nule, rezultă că valorile proprii ale
matricei A sunt b

2.3 Metoda puterii

Metoda puterii este o metodă pentru aproximarea raz ei spectrale a unei matrice (adica a
celei mai mari valori proprii în modul) precum și a unui vector propriu corespunzător pentru o
matrice reală și simetrică.
Fie ∈ o matrice simetrică. Vom trata mai întai cazul în care toate valorile
proprii ale matricei A sunt pozitive. Fie valorile proprii ale matricei A și
,o bază ortonormată formată din vectorii proprii asociați valorilor proprii ale matricei
A.

Fie ∈ astfel încat Construim șirul (
∈ cu

Atunci Deoarece

(reprezentarea sa în baza ortonormată atunci

31
Presupunem acum ca fiind puțin probabil să nimerim astfel încat
. Notăm cu și fie ∈ astfel încat
Fie
. Cum , rezultă că este un vector propriu
asociat valorii proprii

si

unde norma considerată este norma 2.

Teorema 2.3.1 Cu ipotezele și notațiile anterioare avem:

astfel încat ∈

Demonstrație Fie
Atunci

Rezultă că

Deci și

Avem

32

Rezultă că

Cum = 0 rezultă că

și Atunci

deci . Notăm cu M=
Atunci

deci ∈

În continuare ne v om ocupa de cazul în care exist ă valori proprii negative.
Fie ∈ o matrice simetrică cu valori proprii . Presupunem că
Atunci matricea are valori proprii . Fie o baza în
formată cu vectorii proprii ai matricei A corespunzatori valorilor proprii . Fie

33
∈ cu și . Notăm cu și construim șirul ∈
ca mai sus. Fie un ve ctor propriu unitar al matricei A², corespunzator vectorii proprii și

. Cum

, deci și este un vector propriu al
matricei A² corespunzator vectorii proprii .

Teorema 2.3.2 În ipotezele și cu notațiile anterioare avem:

Demonstrație. Avem . Aplicăm pentru matricea A² teorema precedentă.
Rezultă că .
Deoarece rezultă că
. Cum
, rezultă că
și

Deci .

Observaț ie. Metoda descrisă anterior permite și determinarea unui vector propriu asociat
vectorii proprii astefel : fie si
. Atunci

Analog, Cum vectorii u si w nu pot fi simultani nuli, di n egalitatile și
rezultă că putem aproxima, cu unul dintre sirurile ∈ sau ∈ un
vector propriu asociat valorii proprii .

Algoritm pentru metoda puterii:
Este o metodă numerică pentru aproxim area celei mai mari valori proprii în modul și a
unui vector propriu corespunzător.

34
Vom considera cazul în care matricea ∈ are toate valorile proprii pozitive. Fie
∈ astfel încat . Definim recurent șirul ∈ prin relația
:= ∈ . Notăm cu ∈ șirul definit prin
∈
Atunci:

unde este cea mai mare valoare a matricei A și

unde este un vector propriu atașat valorii proprii .
Metoda permite și determinarea celorlalte valori proprii astfel:
 Se considera matricea :

unde (1, este u n vector propriu corespunzator valorii proprii . Acest vector se
obține astfel:

 Se calculeaza marticea
 Se scrie matricea B sub forma

cu matrice de ordinul
 Cu algoritmul descris mai sus se determină cea mai mare valoare proprie a matricei
Aceasta este a doua valoare proprie (în ordine descrescatoare) a matricei A.
 Acest algoritm se aplică în continuare pentru matricea C.

35
2.4 Metoda Givens
Metoda Givens ( cunoscută ca și metoda bijecției) urmarește să determine aproximări
ale valorilor proprii ale unei matrice simetrice prin transformarea echivalentă a acestei matrice
într-o matrice tridiagonală simetrică. Transforma rea se poate realiza cu ajutorul unor matrice de
rotație. Prezentăm mai întai aceasta transformare, ca apoi să determinăm un algoritm de
aproximare a valorilor proprii pentru o matrice tridiagonală simetrică.
Fie A = ∈ o matrice simetrica. Construim un șir de matrice
cu si echivalente (având aceleași valori
proprii) cu matricea A. Luăm
Fie o matrice de rotație ș i
Alegem astfel încât . Cum , notând cu
, rezultă că

(dacă luăm , deci ). În continuare, calculăm
cu ales astfel încât = 0 și analog pană la
. După aceste transformari, matricea va avea elementele
de pe prima linie începand cu coloana a treia până la ultima coloană egale cu zero ( și implicit
elementele de pe prima coloană începând cu linia a treia până la ultima linie egale cu zero).
Procedând analog, formăm zerouri în matricele consecutive ) pe
pozitiile (2,4),….,(2,n), (3,5),…,(3,n),…,(n -2,n). Legatura dintre pozitia (i,j) (unde formăm
zerouri) și indicele k al matricei este dată de egalitatea

astfel, după pași, matricea este tridiagonală simetrică. Transformările
efectuate asupra matricei A păstrează valori proprii, astfel că matricea are aceleași valori
proprii ca și matricea A.
În continure vom considera matricea ∈ (R ca fiind o matrice tridiagonală
simetrică

36

Fie matricea formată cu primele k l inii și coloane ale matricei A și
) polinomul caracteristic al matricei . Dezvoltând determinantul
) după ultima linie, obținem
∈
cu si .
Teorema 2 .4.1 Polinoamele formează un șir Sturm pentru polinomul
caracteristic al matricei A .
Demontrație . Din relația de recurență a polinoamelor (2.3) deducem că fiecare polinom
are gradul k. Matricea A fiind simetrică, rezultă că rădăcinile polinomului sunt reale și
distincte.
Fie ∈ cu Atunci, din relația de recurență (2.3) rezultă că
.
Fie rădăcinile polinomului .Vom demonstra prin inducție că

Pentru k = 2, se verifică imediat că

Presupunem afirmația adevarată pentru un anumit k și o demonstrăm pentru k+1.
Fie ∈ Avem

37

din ipoteza de inducție. Deci exis tă ∈ astfel că .
Cum , rezultă că Din
(2.3) si din ipoteza de inducție avem Rezultă că
, deci există astfel încât .
Limita este egală cu dacă k este par și dacă k este impar. Din (2.3) și
din ipoteza de inducție avem dacă k este par și
dacă k este impar. Rezultă că , deci există
astfel încât Astfel se incheie raționamentul de inducție.
Cu cele demonstrate anterior rezultă că pentru numar impar avem și
, iar pentru numar par avem și .
În continuare, prezentăm algoritmul Givens (de tip bisecție) pentru aproximarea
valorilor proprii ale matricei A. Putem considera un interval
care conține toate valorile proprii ale matricei A, unde este o normă matriceală.
Fie ∈ Pentru a aproxima valoarea proprie a matricei A, fie
.
Dacă din observația anterioar ă rezultă că . Luăm atunci
și . Dacă , rezultă că ∈ . Luăm atunci și . Am
definit astfel un interval care conține valoa rea proprie și care are lungimea egală cu
jumatate din lungimea intervalului initial . Procedăm analog în continuare. Astfel, la un
pas , dacă , luăm si , iar , luăm si .
Definim
. Cum
și , ∈ rezultă că

38
2.5 METODA LU
Fie ∈ pentru care presupunem că este posibilă o descompunere LU, deci există
matricea ∈ inferior triunghiulară având valoarea 1 pe diagonală principala și matri cea
∈ superior triunghilară astfel încât A = LU. Observăm că ,
deci matricea A = LU și matricea UL au aceleați valori proprii. Cu a ceastă observație construim
următorul algoritm:
 Fie .
 Pentru (dacă este posibil) executăm urmatoarele:
 descompunem cu ∈ inferior triunghilară având valoarea 1
pe diagonala principală și ∈ superior triunghiulară.
 luăm
Din algoritmul ante rior rezultă că:

unde Notăm cu matricea inferior triunghilară (cu valoare 1 pe
diago nală) și cu matricea superior triunghiulară . Atunci

Astfel rezultă că , deci am obținut descompunerea LU
pentru matricea .
Fie ∈ . Presupunem că valorile proprii ale matricei A au proprietatea că
. Din Propozitia 1.2.9 rezultă că există o matrice inversabilă ∈
astfel încât , unde D = diag( ). Notăm cu Y matricea . Atunci

Teorema 2 .5.1 Presupunem că matricele X și Y admit descompunerea LU. Atunci
elementele de pe diagonala matricei converg (pentru ) la valorile proprii (
ale matricei A.

39
Demonstrație. Din ipoteza există matricele inferior triunghiulare cu valoarea 1 pe
diagonală si superior triunghiulare astfel încât si . Rezultă că
Descompunem cu
Avem ∈
∈ . Din
ipoteza legată de valorile proprii ale matricei A, rezultă că
În continuare, avem

unde Cum rezultă că, pentru un n suficient de mare, matricea
admite o descompunere LU, deci putem scrie

Din rezultă că șirul de matrice este marginit, deci are un subșir
convergent.Cum , limita acestui subșir este . Din orice su bșir al șirului
∈ se poate extrage un subșir convergent către , deci . Astfel
.
Din unicitatea descompuneri i LU rezultă că , deci . Astfel
converge la , matrice superior
triung hiulară cu elementele de pe diagonala principală egale cu

2.6 METODA QR
Această metodă a fost dezvaluită independent, la sfarsitul anilor 1950, de catre John
Francis ( matematician englez) și de catre Vera Kublanovskaya ( matematiciana din Rusia).
Fie ∈ o matrice nesingulară. Există marticea ∈ ortogonală și
matricea ∈ superior triunghiulară cu elementele de pe diagonală strict pozitive astfe

40
încât Observăm că deci matricea și matricea QR
au aceleași valori proprii. Cu aceastî observație construim urmatorul algoritm:
 Fie
 Pentru (dacă este posibil), executăm urmatoarele:
i. Descompunem cu ∈ ortogonală și ∈ superior
triunghiulară cu elementele de pe diagonală strict pozitive.
ii. Luăm .
Din algoritmul anterior rezultă că

de unde . Notăm cu matricea ortogonală si cu
matricea superior triunghiulară Atunci

Astfel rezultă că deci am obținut descompunerea QR
pentru matricea .
Fie ∈ . Presupunem că valorile proprii ale matricei A au proprietatea
că . Din Propozitia 1.2.9 rezultă că există o matrice inversabilă ∈
astfel încât , unde D = diag( ). Notăm cu Y matricea . Atunci

Teorema 2.6 .1 Presupunem că matricea Y admite descompunerea LU. A tunci elementele de
pe diagonala matricei converg (pentru ) la valorile proprii ( ale matricei A.
Demonstrație. Din ipoteză există matricele inferior triunghiulare cu valoarea 1 pe diagonală
și superior triung hiulare astfel încât . Rezultă că
Descompunem cu
Avem ∈
∈ . Din ipoteza facută asupra
valorilor proprii ale matricei A, rezultă că

41
Fie , o descompunere QR a matricei X. Avem

unde Cum rezultă că, pen tru un n suficient de mare, matricea
admite o descompunere QR, deci putem scrie

Șirul de matrice este m ărginit (toate matricele din șir au norma 2 egală cu 1), deci
admite un subșir convergent. Cu ( 2.5), limita acestui subșir este . Din orice subșir al șirului
∈ se poate extrage un subșir convergent către , deci . Astfel
.
Din unicitatea descompunerii QR rezultă că , deci . Astfel
converge la , matrice superior
triunghiulară cu elementele de pe diagonală principala egale cu

42
Capitolul 3
Aplicaț ii

În aces t capitol au fost introduse două programe realizate c u softul matlab pe baza algoritmilor
de la metoda rotațiilor ș i metoda puterii. Programele au fos t utilizate pentru matricele din
Capitolul 2, î n lucrare fiind introduse rezultatele numerice. Pentru redactarea algoritmilor și
exemple s-a folosit lucrarea [3].
3.1 Metoda rotaț iilor
Se dau ∈ ∈ o matrice simetrică și un număr
real. Metoda rotațiilor aproximează valorile proprii ale unei matrice simetrice prin construirea
unui șir de matrice (obținut cu ajutorul unor matrice de rotație) ale căror valori pe diagona lă
converg către valorile proprii ale matricei A.
Dacă la pasul este cunoscută matricea , matricea se determină cu formula

unde este o matrice de rotație.

ALGORITM METODA ROTAȚIILOR
Calculul succesiv al matricelor , obținute din matricea A prin rotații plane se
realizează după algoritmul:
 Introduceți matricea A;
 Introduceți valoarea lui ;
 Introduceți

 PAS 1: Repetă (se calculează în funcție de :
 se aleg ∈ astfel încât ∈
 dacă , atunci
altfel

43
 se iau și
 se calculează mat ricea cu

unde elementele se află la intersecț ia liniilor si cu
coloanele si .
 se face atribuirea
 se calculează modul=
unde ∈
până câ nd modul
 PAS 2: Se colectează în vectorul elemente le diagonalei lui X, care reprezintă
aproximări ale valorilor proprii ale matricei A cu erori mai mici decât ∈ se ia
.
 PAS 3: Se tiparește .

Exemplul 3.1.1 Fie matricea

. Folo sind metoda rotațiilor, vom
determina valorile proprii ale matricei A, utilizând un program realizat cu softul Matlab.

Program Matlab:
function met_rotaț iilor
m=3;
A=[17 -2 3*sqrt(3);
-2 8 2*sqrt(3);
3*sqrt(3) 2*sqrt(3) 11];
eps=10^( -10);

44
X=A;
[modul]=funcț ie_mo dul(m,X);
modul;
pas=0;
while modul>eps
[p,q]=funcț ie_max(m,X);
if X(p,p)==X(q,q)
teta=pi/4;
else
atan(1)
teta=(1/2)*atan((2*X(p,q))/(X(p,p) -X(q,q)));
end
c=cos(teta);s=sin(teta);
T=eye(m);
T(p,p)=c;T(q,q)=c;
T(p,q)= -s;T(q,p)=s;
T
Y=T'*X*T;
X=Y
pas=pas+1;
[modul]=funcț ie_modul(m,X);
end
Y
pas
for i=1:m
z(i)=X(i,i);
end
z
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

45
function [modul]=funcț ie_modul(m,X)
s=0;
for i=1:m
for j=1:m
if i==j
s=s;
else
s=s+(X(i,j))^2;
end
end
end
modul=sqrt(s);
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function [p,q]=funcț ie_max(m,X)
max=abs(X(1,2));p=1;q=2;
for i=1:m
for j=1:m
if i==j
max=max;
else
if max<a bs(X(i,j))
max=abs(X(i,j));
p=i;q=j;
end
end
end
end
end

46
Rezultatele obținute în urma calculului în programul Matlab sunt urmatoarele:

PAS 1:

PAS 2:

Obsevăm că s -au folosit doi pași pentru a determ ina valorile proprii ale matricei A.

Concluzie:
Pentru acest exemplu, în urma rulării
programului, s -au obținut valori exacte ale valorilor proprii.

Exemplul 3.1.2 Fie matricea

∈
Folosind metoda rotațiilor, vom determina aproximari ale valorile proprii ale matricei A,
utilizând un program realizat cu softul Matlab.
Folosind programul de mai sus, pentru aceasta matrice, pentru
se vor obține urmatoarele rezultate:

47
Pas 1:

Pas 2:

Obsevăm că s -au folosit doi pași pentru a determina valorile proprii ale matricei A.

Concluzie:
Pentru acest exemplu, în urma rulă rii
programului , s-au obț inut aproximari ale valorilor exacte ale valorilor proprii .

3.2 Metoda puterii
Este o metodă numerică pentru aproximarea celei mai mari valori proprii în modul și a unui
vector propriu corespunzător.
ALGORITM METODA PUT ERI
 Introduceți matricea A;
 Introduceți valoarea lui ;

48
 Introduceți ;
 Introduceți vectorul coloană x0;
 Pas 1: : Repetă (se calculează în funcț ie de :





până când
 Pas 2:
 Pas 3: ;
 Pas 4: Scriem vector_propriu := z; iar cea mai mare valoare proprie =

Exemplul 3.2 .1 Fie matricea

∈
Pentru pentru folosind metoda puterii, vom aproxima cea mai mare valoare proprie
a matricei A și un vector propriu asociat, utilizand un program realizat cu softul Matlab.

Program Matlab:
function met_puterii
m=3;
a=4;b=3;
A=[a b b;
b a b;
b b a+b];
eps=10^( -10);
x0=[1;
0;
0];
distanta =1;
x=x0;

49
pas=0;
while distanta>eps
y=A*x;
nul=[0;
0;
0];
[distanta]=functie_distanta(nul,x,m);
zvechi=(1/distanta)*x;
[distanta]=functie_distanta(nul,y,m);
znou=(1/distanta)*y
[distanta]=functie_distanta(zvechi,znou,m);
x=y;
pas=pas+1;
end
z=znou;
v1=A*z;
v2=z;
[p_s]=produs_scalar(v1,v2,m);
lambda1=p_s
vector_propriu=z
pas
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function [distanta]=functie_distanta(x,y,m)
s=0;
m;
for i=1:m
s=s+(y(i,1) -x(i,1))^2;
end
distanta=sqrt(s);
end

50
%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function [p_s]=produs_scalar(v1,v2,m)
s=0;
for i=1:m
s=s+v1(i,1)*v2(i,1);
end
p_s=s;
end

Rezultatele obținute în urma calculului în programul Matlab sunt urmatoarele:

…………………………………………………….

;

S-au realizat 18 pași, cu ajutorul programului Matlab.

51
Exemplul 3.2 .2 Fie matricea

. Folosind metoda puterii, vom
determina cea mai mare valoare proprie a matricei A și un vector propriu asociat, utilizand un
program realizat cu softul Matlab.

Program Matlab:
function met_puterii
m=3;
A=[17 -2 3*sqrt(3);
-2 8 2*sqrt(3);
3*sqrt(3) 2*sqrt(3) 11];
eps=10^( -10);
x0=[1;
0;
0];
distanta=1;
x=x0;
pas=0;
while distanta>eps
y=A*x;
nul=[0;
0;
0];
[distanta]=functie_distanta(nul,x,m);
zvechi=(1/distanta)*x;
[distanta]=functie_distanta(nul,y,m);
znou=(1/distanta)*y
[distanta]=functie_dista nta(zvechi,znou,m);
x=y;
pas=pas+1;

52
end
z=znou;
v1=A*z;
v2=z;
[p_s]=produs_scalar(v1,v2,m);
lambda1=p_s
vector_propriu=z
pas
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function [distanta]=functie_distanta(x,y,m)
s=0;
m;
for i=1:m
s=s+(y(i,1) -x(i,1))^2;
end
distanta=sqrt(s);
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function [p_s]=produs_scalar(v1,v2,m)
s=0;
for i=1:m
s=s+v1(i,1)*v2(i,1);
end
p_s=s;
end

Rezultatele obținute în urma calculului în programul Matlab, sunt urmatoarele:

53

………………………………………………………. ……………………..

.

54
BIBLIOGRAFIE

[1] Alin St efan: ''Algebră liniară'', Editura Univerității din Ploiesti, an 2012
[2] Daniel Stanică, Analiză Numerică, Editura Matrix Rom, București, an
2012
[3] Iuliana Paraschiv -Munteanu, Daniel Stanică, Analiză Numerică Exerciții
și teme de laborator, Editura Uni versității din București, an 2008
[4] Tudor Boa că: ''Algebră liniară'' , Editura Univerității din Ploiesti, an
2004