Exerciții rezolvate cu matrice și determinanți Enunțuri Ex.1. Variante M2 bac 2009 Ex.2. Variante M2 bac 2009 Ex.3. Variante M2 bac 2009 Ex.4…. [631975]

http://matematica.noads.biz

Exerciții rezolvate cu matrice și determinanți
Enunțuri
Ex.1.

Variante M2 bac 2009
Ex.2.

Variante M2 bac 2009
Ex.3.

Variante M2 bac 2009
Ex.4.

Variante M2 bac 2009

http://variante-mate.ro

http://matematica.noads.biz
Ex.5.

Variante M2 bac 2009
Ex.6.

Variante M2 bac 2009

http://variante-mate.ro

http://matematica.noads.biz
Rezolvări
Ex.1.
a)Utilizând relațiile lui Viete obținem
1 2 3 0 x x x   .
b)
1 2 3,,x x x sunt rădăcinile ecuației
33 2 0xx   deci avem:

3
11
3
22
3
33
3 3 3
1 2 3 1 2 3
3 3 3
1 2 33 2 0
3 2 0
3 2 0
……………………..
3( ) 6 0
6xx
xx
xx
x x x x x x
x x x  
  
  
      
   
c)
1 2 3
3 3 3
2 3 1 1 2 3 1 2 3
3 1 23 ( )x x x
d x x x x x x x x x
x x x    
A treia relație a lui Viete ne dă
1 2 3 2dx x xa  deci
6 ( 6) 0 d   
Ex.2.
a)

2 1 1
1 2 1 8 1 1 2 2 2 14
1 1 2
       
 .
b)Adunăm ultimele două linii la prima și obținem:

  2 2 21 1 1 a b c a b c a b c a b c
c a b c a b a b c c a b a b c a b c ab ac bc
b c a b c a b c a     
            

   2 2 2 2 2 2 112 2 2 2 2 222a b c a b c ab ac bc a b c a b b c c a                .
c)Folosind punctu l b) rezultă:

  2 2 22 3 5
15 2 3 2 3 5 2 3 3 5 5 2 023 5 2x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x        
Cum
2 3 5 0xxx   rezultă că singura posibilitate este
2 3 5 0xxxx     .
Ex.3.
a)Scriem relațiile lui Viete:

1 2 3
1 2 1 3 2 3
121, 0, 2, 0
0
2
0a b c d
bx x xa
cx x x x x xa
dx x xa   
   
      

   
Reținem
1 2 3 0bx x xa    .
http://variante-mate.ro

http://matematica.noads.biz
b)
  2 222
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 2 x x x x x x x x x x x x          
Folosim relațiile lui Viete și obținem
222
1 2 3 4 xxx   .
c)
1 2 3
3 3 3
2 3 1 1 2 3 1 2 3
3 1 23 ( )x x x
d x x x x x x x x x
x x x    

1 2 3,,x x x sunt rădăcinile ecuației
320xx deci avem:

3
11
3
22
3
33
3 3 3
1 2 3 1 2 3
3 3 3
1 2 320
20
20
……………………..
2( ) 0
0xx
xx
xx
x x x x x x
x x x


     
   
Mai departe obținem d=0.
Ex.4.
a)
24 6 4 6 4 6
2 3 2 3 2 3AA                      

32A A A A A A     .
b)
22
2 2 2 2 2 2 ( ) ( )X a X b I aA I bA I bI A aAI abA I bA aA abA             

2( ) ( )I a b ab A X a b ab       .
c)
2 2 2 2 (1) (2) (3) … (2009) 2 3 … 2009X X X X I A I A I A I A             

2 2 22009 20102009 (1 2 3 … 2009) 2009 2009 1005 20092I A I A I A           .
Ex.5.
a)
22 31det( ) ( 3) 1 6 8 013xA x x xx       
Se obțin soluțiile
12x și
24x .
b)
22
2
223 1 3 1 ( 3) 1 2 6 6 10 2 6
1 3 1 3 2 6 ( 3) 1 2 6 6 10xx x x x x xAxx x x x x x                                      

22
23 1 1 0(2 6) ( 6 8) (2 6) ( 6 8)1 3 0 1xx A x x I x x xx                     

2 2 2
2 2 22 12 18 2 6 6 8 0 6 10 2 6
2 6 2 12 18 0 6 8 2 6 6 10x x x x x x x x
x x x x x x x x                               
De aici rezultă că
22
2 (2 6) ( 6 8) A x A x x I     
c)
2
2
22 6 2 6 10 2 622 2 6 2 6 6 10x x x xAAx x x x            

2 2 26 10 2 6 8 16 0 ( 4) 0
2 6 2 2 8 4x x x x x x
x x x                   de unde rezultă că x=4.

http://variante-mate.ro

http://matematica.noads.biz
Ex.6.
a)
2 1 2 1 2 3 4
1 1 1 1 2 3B B B A                     .
b)
1
23 4 3 4 1 0
2 3 2 3 0 1A A I                     

1
23 4 3 4 1 0
2 3 2 3 0 1A A I                     rezultă că
1A este inverse matricei
A .
c)
2 1 1
23 4 3 4 6 062 3 2 3 0 6C B A A A I                          

44
2 2 2 2 26 6 6 6 6 C C C C C I I I I I          .

http://variante-mate.ro