Clasi carea robusta a imaginilor de teledetectie polarimetrice SAR, [631742]

Universitatea Tehnica din Cluj-Napoca
Scoala Doctorala
Proiect de cercetare
TITLUL TEZEI:
Clasicarea robusta a imaginilor de teledetectie polarimetrice SAR,
bazata pe modelarea stocastica a texturilor
(Robust Image Classication for Polarimetric SAR Remote Sensing,
Based on Texture Stochastic Modelling)
Teza in cotutela: UTCN – Universitatea Bordeaux
Domeniul de doctorat: Inginerie electronica si telecomunicatii
Doctorand: [anonimizat]c:
Prof. dr. ing. Monica BORDA
Prof. Christian GERMAIN
Iunie 2014

Cuprins
Cuprins i
1 Contextul administrativ al tezei 1
2 Incadrarea temei de cercetare in domeniul stiintic 2
2.1 Contextul stiintic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Directii de cercetare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2.1 Modelarea stocastica in imageria multidimensionala. Masuri de
similaritate si geometria informatiei . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.2 Reducerea zgomotului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.3 Clasicarea robusta a imaginilor polarimetrice . . . . . . . . . . . 5
2.2.3.1 Strategia de luare a deciziilor . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.3.2 Estimarea parametrilor pentru o distributie gaussiana de
medie nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Aplicatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Obiectivele temei de cercetare 10
3.1 Primul obiectiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Al doilea obiectiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 Al treilea obiectiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Baza materiala necesara 12
5 Concluzii 13
i

Capitol 1
Contextul administrativ al tezei
Aceasta teza de doctorat este realizata in cadrul unei cotutele intre Universitatea Tehnica
din Cluj-Napoca, Romania si Universit e de Bordeaux, Franta.
Activitatea de cercetare este indrumata de prof. dr. ing. Monica Borda si conf. dr. ing.
Romulus Terebes din cadrul Universiatii Tehnice si de catre prof. Christian Germain si
mdc. Lionel Bombrun din cadrul Universitatii Bordeaux.
1

Capitol 2
Incadrarea temei de cercetare in
domeniul stiintic
2.1 Contextul stiintic
Satelitii de observare ai Terrei bazati pe utilizarea unor captori SAR (Synthetic-Aperture
Radar) prezinta avantaje considerabile pentru analiza suprafetei continentale si mai ales
a zonelor impadurite, datorita capacitatii de operare in conditii meteorologice nefavor-
abile satelitilor optici si datorita cantitatii ridicate de informatii continute in datele
furnizate (semnale complexe, informatii polarimetrice, benzi spectrale). Acesta este
cazul zonelor tropicale si ecuatoriale, dar si al unor zone temperate, unde pe durata
iernii, stratul de nori constituie un obstacol pentru alti captori.
Rezolutia spatiala a satelitilor SAR, cum ar  COSMO-SkyMed, TerraSAR-X, RadarSat-
2 sau ALOS PALSAR, permite caracterizarea padurilor atat prin insusirile undei retrod-
ifuzate (pixel cu pixel), cat si prin utilizarea informatiilor continute in textura creata de
structura padurii (alinierea plantatiilor tinere, rugozitatea data de dimensiunea corona-
mentului, structura spatiala creata dupa o furtuna, etc).
Astfel, pentru o clasicare precisa a diferitelor tipuri de populatii forestiere, este necesara
o utilizare concomitenta a parametrilor semnalelor radar si a descriptorilor texturali
[1] [2], acesta ind contextul in care se plaseaza tema lucrarii de doctorat.
Noua generatie de captori de inalta rezolutie permite caracterizarea obiectelor la o re-
zolutie din ce in ce mai na. Prelucrarea acestor imagini texturate necesita dezvoltarea
unor noi modele stocastice multivariate, adaptate insusirilor specice semnalului anal-
izat, cum ar  dependenta spatiala, temporala si/ sau multimodala. Descompunerea
multispectrala (wavelet, piramide orientate, etc) este des utilizat a pentru reprezentarea
2

Capitol 1 Incadrarea temei de cercetare in domeniul stiintic 3
texturii. Pentru a caracteriza coecient ii unei astfel de descompuneri, numeroase mod-
ele univariate au fost propuse, cum ar  distribut ia gaussian a generalizat a. Insa acest
proces nu permite exploatarea completa a informatiilor prezente in imagini: depen-
denta spatiala si polarimetria neind explicitate. Daca prelucrarea imaginilor univariate
reprezinta subiectul a numeroase studii teoretice bine fundamentate si binecunoscute
in domeniu, extensia pentru cazul multivariat intampina numeroase dicultati de ordin
metodologic, care nu au fost inca rezolvate. Din acest motiv, abordarile multivariate
reprezinta o directie de viitor pentru analiza si extragerea informatiilor continute in
imaginile texturate.
Pentru a t ine cont in acelasi timp de caracterul multivariat cat si de mediul non-gaussian
introdus deseori de c atre captorii de ^ nalt a rezolutie, noi modele stocastice vor  pro-
puse. Acestea trebuie sa e sucient de
exibile pentru a surprinde diferite tipuri de
dependent e prezente ^ n imagini.
De asemenea, in imaginile de teledetectie radar este prezenta o cantitate foarte ridicata
de zgomot, ceea ce reprezinta principala dicultate in utilizarea lor. Acest zgomot este
luat in considerare prin modelarea stocastica multispectrala, insa reducerea in prealabil
a cantitatii de zgomot, pastrand caracteristicile geometrice ale elementelor texturale,
constituie o alternativa in vederea imbunatatirii performantelor algoritmilor de clasicare
pentru imaginile polarimetrice SAR. Metodele de difuzie bazate pe ecuatii cu derivate
partiale sunt vizate in aceasta directie [3], metode ce au dat rezultate foarte bune in
cazul altor tipuri de date cu zgomot [4]. In acelasi context, vor  analizate si metode
de ltrare bazate pe analiza in componente independente [5], [6].
2.2 Directii de cercetare
Cercetarea in contextul tezei va avea trei directii:
Prima va  dedicata dezvoltarii unor modele stocastice multivariate si a unor
masuri de similaritate bazate pe geometria informatiei.
Cea de-a doua va  orientata pe reducerea zgomotului pastrand caracteristicile
geometrice si texturale din imagini.
Ulima va  cosacrata clasicarii robuste a imaginilor polarimetrice.
In ceea ce urmeaza, va  prezentata pe scurt ecare dintre cele trei directii de cercetare.

Capitol 1 Incadrarea temei de cercetare in domeniul stiintic 4
2.2.1 Modelarea stocastica in imageria multidimensionala. Masuri de
similaritate si geometria informatiei
Pentru a surprinde caracterul multivariat si non-gaussian, se vor analiza distributiile
eliptice (distributia gaussiana generalizata multivariata, precese SIRV, etc) [7], teoria
copulelor (gaussiene, student-t, etc) [9], precum si combinarea unor legi [8]. Modelul
stocastic este descris cu ajutorul densitatii sale de probabilitate, care este la randul
ei data de un set de parametrii. Spatiul parametrilor poseda proprietati geometrice
care sunt induse de natura varietatii astfel create. Utilizarea masurilor de similaritate
adaptate acestei varietati este fundamentala pentru numeroase aplicatii in clasicare,
segmentare sau detectiea modicarilor. In acest cadru, vor  considerate doua abordari
bazate pe contextul generic al divergentelor Bregman si pe distanta geodezica [9]. Se
va urmari si cuanticarea aportului adus de distanta geodezica fata de alte masuri de
similaritate.
Abordarile de tip multirezolutie s-au dovedit a  eciente pentru multe aplicatii din
domeniu; prelucrarilor de imagini, cum ar  ltrarea [10], segmentarea [11], sau clasi-
carea [12]. In contextul clasicarii imaginilor,
uxul de prelucrari contine doua etape.
Prima etapa este reprezentata de descompunerea imaginii intr-un set de subbenzi prin
aplicarea unei transformate wavelet. Fiecare subbanda astfel obtinuta, este modelata
printr-o functie densitate de probabilitate, caracterizata de un vector de parametrii.
Pentru ecare subbanda se estimeaza vectorul de parametrii, obtinandu-se semnatura
imaginii. Cea de-a doua etapa consta in calcularea unei masuri de similariate, bazata
pe o metrica probabilistica, intre vectorii semnaturilor.
Metode simple, dar eciente au fost propuse pentru caracterizarea statistica a infor-
matiei de detaliu. Aceste metode sunt bazate pe modele univariate, cum ar  distrubutia
gaussiana generalizata [12]. Cu toate acestea, ele nu iau in consideratie dependentele
existente in imagini. Pentru a depasi aceasta dicultate, distributiile multivariate pre-
cum modelele eliptice [9, 13] sau abordarile bazate pe copule [14, 15] au fost propuse
cu sopul de a modela dependentele spatiale si spectrale (color) din imagini. O data ce
vectorul de caracteristici a fost calculat pentru ecare imagine texturata, se calculeaza
o distanta, sau o divergenta pentru a masura gradul de asemnare intre doua imagini. O
metoda binecunoscuta este alegerea divergentei Kullback-Leibler [16], sau a variantei
simetrice ale acesteia, divergenta Jereys [17]. Recent, a fost propusa utilizarea dis-
tantei geodezice, care a dovedit obtinerea unei rate de indexare superioara divergentei
Kullback-Leibler [13].
In general, in contextul clasicarii sau a indexarii texturilor, se considera o abordare
in sensul celui mai apropiat vecin. Astfel, o imagine este etichetata ca apartinand

Capitol 1 Incadrarea temei de cercetare in domeniul stiintic 5
clasei celei mai apropiate imagini de instruire, fara a exista posibilitatea de a arma
daca imaginea a fost bine clasicata, mai ales in cazul datelor cu zgomot. Din aceast
motiv, un test de ipoteze ar trebui implementat pentru a regulariza rata alermei false.
Pornind de la lucrarile anterioare privind divergenta Kullback-Leibler [18] si familia
divergentelor ( h;) [19, 20] se doreste introducerea unui nou test de ipoteze bazat
pe distanta geodesica si analiza performantelor acestuia pentru calsicarea datelor in
prezenta zgomotului.
2.2.2 Reducerea zgomotului
Pentru a reduce zgomotul care afecteaza datele de tip SAR, vor  analizate metode
bazate pe difuzia anizotropa utilizand ecuatii cu derivate partiale si pe analiza pe com-
ponente independente. Formulate corect, aceste instrumente permit reducerea sem-
nicativa a zgomotului, pastrand structurile geometrice si texturale de interes. Se va
verica daca datele obtinute in urma procesului de reducere a zgomotului vor imbunatati
rezultatele metodelor de clasicare.
2.2.3 Clasicarea robusta a imaginilor polarimetrice
Pe baza teoriei detectiei [20] se va urmari implementarea unor algoritmi robusti de clasi-
care pentru imaginile polarimetrice SAR, pornind de la statistica distantelor stocastice
intre modele texturale si luand in considerare caracteristicile specice imaginilor radar
polarimetrice.
Robustetea unui algoritm poate  analizata sub doua aspecte, si anume strategia de
luare a deciziilor si estimarea parametrilor.
2.2.3.1 Strategia de luare a deciziilor
FieX1= (x1
1;:::;x1
m) siX2= (x2
1;:::;x2
n) doua multimi de variabile aleatoare x
independente si distribuite identic de dimeniuni msin, si date prin modelele parametrice
p(xj1) sip(xj2). Fie ^1si^2estimatorii ML (maximum likelihood) corespunzatori.
Scopul unei probleme de clasicare, este de a determina daca X1siX2sunt caracterizate
de acelasi model parametric.
Se considera urmatorul test de ipoteze
(
H0:1=2;
H1:16=2:(2.1)

Capitol 1 Incadrarea temei de cercetare in domeniul stiintic 6
Sub constarngerea unei conditii de regularitate [19], a fost demonstart in [18{20] ca in
cazul ipotezei nule H0statisticaSconverge catre:
S(b1;b2) =2mnv
m+nD(b1;b2)!
n;m!12
M; (2.2)
unde gradul de libertate Meste egal cu dimensiunea spatiului parametrilor. veste o
constanta ce depinde de distanta D(v= 1 pentru divergenta Kullback-Leiber). Acest
test de ipoteze a fost introdus pentru prima data in [18] pentru divergenta Kulback-
Leibler si generalizat mai apoi in [19] pentru clasa de divergente ( h;). In cadrul acestei
teze se urmareste extinderea denitiei testului pentru distata geodezica Rao, deorece sub
ipoteza nula H0se poate exprima o relatie de legatura intre divergenta Kullback-Leibler
si distanta geodezica GD. Astfel, daca 1=2statistica
SGD(b1;b2) =mn
m+nGD2(b1;b2) (2.3)
are asimptotic o distributie chi2 cuMgrade de libertate, in cazul in care msinau valori
sucient de mari. Se observa faptul ca sub ipoteza H0, distributia statisticii SGDeste
independenta de 1si2. De asemenea, in cadrul tezei se urmareste analiza statisticii
propuseSGDatat pentru date simulate, cat si pentru imagini reale, precum si in conditii
de zgomot.
2.2.3.2 Estimarea parametrilor pentru o distributie gaussiana de medie nula
In sectiunea anterioara a fost mentionat faptul ca distributia gausiana multivarata poate
 utilizata pentru a modela coecientii wavelet extrasi din iamginile texturate. Aceasta
distrbutie este data de matricea de covarianta M si vectorul medie miu, care pentru
cazul de fata este considerat nul. Implementarea unui criteriu de similaritate presupune
estimarea matricii M pentru o variabila aleatoare multivariata, ind posibile multiple
abordari printre care sample covariance matrix, alaturi de varianta sa normalizata si
M-estimator.
Algoritmul sample covariance matrix (SCM)
Solutia estimatorului ML pentru distibutia gaussiana duce la obtinerea valorii SCM
(sample covariance matrix).
Pentru un esantion de dimensiune N, continand vectori d-dimensonali ( x1;:::;xN) car-
acterizati printr-o distributie normala multivariata de medie nula, estimatorul matricii

Capitol 1 Incadrarea temei de cercetare in domeniul stiintic 7
de covarianta ^MSCM a matricii Meste data de ecuatia:
^MSCM =1
NNX
i=1xixT
i: (2.4)
Estimatorul SCM nu are bias, insa are un dezavantaj major, si anume faptul ca nu este
robust. De asemenea, exista cazuri in care nu poate  utilizat, ca de exemplu pentru
modelul SIRV (Spherically Invariant Random Vectors).
Algoritmul sample covariance matrix normalizat (NSCM)
O alta metoda de estimare a matricii de covarianta este reprezentat de versiunea normal-
izata a algoritmului SCM. Estimaoturl NSCM (normalized sample covariance matrix)
este denit prin urmatoarea formula:
^MNSCM =d
NNX
i=1xixT
i
xT
ixi: (2.5)
Dezavantajele metodei sunt date de faptul ca NSCM este un estimaot cu bias si necon-
sisitent [21].
Algoritmul M-estimator
In [22] a fost propusa generalizarea estimatorului ML, numita M-estimator. Pentru un
esantion x1;x2;:::;xNavand o distributie d-variata de valoare medie cunoscuta , acest
estimator este denit ca ind solutia urmatoarei ecuatii:
dNX
i=1(xi)(xi)T
(xi)TV1n(xi)(2.6)
Aceasta ecuatie are o solutie unica VN, insa pentru orice scalar pozitiv c, sicVNeste
solutie. Pentru a obtine o solutie unica, independenta de c,VNeste normalizat astfel
incat:tr(VN) =d.
Recent acest estimator a fost redescoperit. In [21], pornid de la ideea pe care se bazeaza
M-estimator, a fost denit estimatorul punct x FP (xed point) al matricii de covari-
anta, care a fost utilizat in [23] in contextul teledetectiei pentru a modela procesele
SIRV.

Capitol 1 Incadrarea temei de cercetare in domeniul stiintic 8
Estimatorul matricii de covarianta, stiind ca vectorul medie este nul, este dat de
ecuatia
^MFP=d
NNX
i=1xixT
i
xT
i^M1
FPxi: (2.7)
Cateva proprietati ale estimatorului FP au fost evidentiate in [21]. Potrivit acestei
lucrari, estimatorul FP este solutia unica a ecuatiei 2.7, nu are bias si este consistent.
De asemenea, are un comportament identic cu cel al distributiei Wishart cu ( d=(d+1))N
grade de libertate. Pentru anumite cazuri, estimatorul FP are acelesi momente de ordin
doi ca si estimatorul SCM.
Calculul estimatorului FP se face pe baza unui algoritm recursiv propus in [24] si utilizat
mai apoi in [25]:
^MFP i+1=f(^MFP i); (2.8)
undeireprezinta numarul iteratiei. Pentru initializare, ^MFP 0poate  considerat ca
ind matricea identitate I0sau estimatorul SCM ^MSCM Daca ^MFP 0=Id, dupa prima
iteratie estimatorul matricii de covarianta este estimatorulu NSCM ^MFP 1=^MNSCM .
Algoritmul poate  oprit dupa un numar dat de iteratii, sau cand se indeplineste o
anumita conditie. De exemplu, se poate calcula o distanta dist(i) ca si cea data in
ecuatia 2.9, care este mai apoi comparata cu o valoare prag t.
dist(i) =

^MFP i+1^MFP i

F

^MFP i

F; (2.9)
undejj
jj Freprezinta norma Forbenius.
In acest caz, algoritmul se va opri in momentul in care distanta dist(i) va  mai mica
decatt.
dist(i)t: (2.10)
Toate aceste metode vor  aplicate in contexul teledetectiei, pentru imagini polarimetrice
radar.

Capitol 1 Incadrarea temei de cercetare in domeniul stiintic 9
2.3 Aplicatii
Metodele de clasicare texturale dezvoltate vor  testate pe imagini polarimetrice radar
satelitare ale unor parcele forestiere. Vor  utilizate ^ n principal imagini cu p aduri din
siturile de test ale laboratoarelor din Aquitaine, Frant a (baza de date KALIDEOS),
pentru care se va benecia  si de expertiza echipei INRA EPHYSE pentru interpretarea
rezultatelor obt inute. Aceste date vor putea  completate de imagini achizit ionate din
avion (disponibele datorit a campaniilor RAMSES ale ONERA). Imagini satelitare din
Guyana Franceza vor  de asemenea analizate.

Capitol 3
Obiectivele temei de cercetare
3.1 Primul obiectiv
Tema abordata in aceasta lucrare de doctorat cuprinde multiple arii tematice. Din
acest motiv, primul obiectiv are in vedere realizarea unui studiu bibliograc detaliat
privind ariile tematice ce intervin in acest subiect: teledetectia si captorii SAR, tex-
turile si descompunerile multi-rezolutie, modelarea stocastica a texturilor, algoritmi de
clasicare pentru imagini texturate, distributii de probabilitate si metode de estimare
a parametrilor, teste de ipoteza, precum si masuri de similaritate intre distributii de
probabilitate, metode de ltrare, ecuatii cu derivate partiale, analiza componentelor
independente, etc.
3.2 Al doilea obiectiv
Al doilea obiectiv il reprezinta dezvoltarea unor algoritmi robusti de clasicare a imag-
inilor SAR, care sa tina cont de informatia continuta in unda re
ectata, dar si de infor-
matia texturala.
In acest scop, se urmareste propunerea unor metode de modelarea stocastica a imaginilor
multidimensionale si studiul masurilor de similaritate dintre distributiile de probabili-
tate, cum ar  divergentele Bregman si distanta geodezica.
Se va analiza in
uenta parametrilor ce caracterizeaza imaginile polarimetrice, cum ar
in
uenta polarizarilor, in
uenta naturii complexe a datelor, etc.
10

Capitol 2 Obiectivele temei de doctorat 11
Datele de tip SAR sunt puternic afectate de zgomot, motiv pentru care sunt dicil de
utilizat. De aceea se va avea in vedere implementarea unor metode de ltrare pen-
tru imaginile polarimetrice, utilizand difuzia anizotropa bazata pe ecuatii cu derivate
partiale si metode bazate pe analiza componentelor independente.
3.3 Al treilea obiectiv
Al treilea obiectiv se refera la testarea si validarea metodelor propuse in contextul imag-
inilor polarimetrice SAR. Algoritmii de clasicare vor  testati fara a se aplica in pre-
alabil o etapa de ltrare, precum si dupa ltrarea acestora. Acestia vor  aplicati in
vederea caracterizarii unor regiuni forestiere in ceea ce priveste varsta, starea de sanatate
a copacilor, distrugerile produse de furtuni, etc.
Se vor realiza comparatii intre algoritmii dezvoltati pentru a evidentia masura in care
acestia rezolva problema clasicarii.

Capitol 4
Baza materiala necesara
Pentru testarea algoritmilor sunt necesare imagini porimetrice SAR. Algoritmii dez-
voltati vor  aplicati pe imagini polarimetrice radar, reprezentand parcele forestiere. Vor
 utilizate cu precadere imagini ce surprind situl de test al laboratoarelor din regiunea
Aquitaine (baza de date KALIDEOS). La aceste date vor putea  adaugate imagini
disponibile datorita campaniei RAMSES ale ONERA, imagini achizitionate din avion.
De asemenea, baza de date poate  extinsa cu imagini satelitare din Guyana Franceza.
Algoritmii propusi vor  implementati in Matlab, insa este posibila utilizarea si a altor
programe software.
12

Capitol 5
Concluzii
Satelitii radar SAR prezinta avantaje considerabile pentru analiza suprafetei continen-
tale, si mai ales a zonelor forestiere, in conditiile in care stratul de nori constituie un
obstacol pentru alti captori. Rezolutia spatiala inalta permite satelitilor polarimetrici
SAR caracterizarea padurilor, pe baza proprietatilor undei re
ectate, dar si pe baza
texturii date de structura plantatiilor forestiere.
Utilizand o abordare de tip multi-rezolutie (transformata wavelet, piramidele orientat),
pentru a tine cont de mediul non-gaussian introdus deseori de captorii de inalta rezo-
lutie, se urmareste propunerea unuor noi modele stocastice sucient de
exibile care sa
surprinda tipurile de dependente existente in imaginile texturate furnizate de satetilitii
radar SAR. In acest context, se vor implementa algoritmi de claisicare robusti pen-
tru imagini polarimetrice SAR. Acestia vor  bazati pe teoria detectei pornind de la
distantele stocastice intre modele texturale.
Algoritmii obtinuti vor  aplicati in vederea caracterizarii unor regiuni forestiere in ceea
ce priveste varsta, starea de sanatate a copacilor, distrugerile produse de furtuni, etc.
Vor  utilizate cu precadere imagini din situl "Kalideos" Aquitain ce contine paduri cul-
tivate de pin. Pentru interpretarea rezultatelor se va benecia de ajutorul echipei INRA
EPHYSE. Acetse seturi de date vor putea  completate de imagini aeriene disponibile
pentru regiunea Aquitaine si Gyane.
13

Bibliograe
[1] Dubois-Fernandez P. Dupuis X. Champion, I. Retrieving forest biomass from the
texture of sar images. In EARSeL eProceedings , pages 102{109, 2011.
[2] Da Costa JP. Alborini A. Dubois-Fernandez P. Champion I., Germain Ch. Retrieval
of forest stand age from sar image texture for varying distance and orientation values
of the grey level co-occurrence matrix. IEEE Geosciences and Remote Sensing
Letters , 11(1):5{9, 2008.
[3] Pop S. Lavialle O. Germain Ch.-Ludusan C. Terebes R., Borda M. A novel diu-
sion lter for image restoration and enhancement. Revue Roumaine des Sciences
Techniques , 55(3):310{320, 2010.
[4] Sorin I. Pop, Olivier Lavialle, Marc Donias, Romulus Terebes, Monica Borda, Se-
bastien Guillon, and Noomane Keskes. A pde-based approach to three-dimensional
seismic data fusion. IEEE T. Geoscience and Remote Sensing , 46(5):1385{1393,
2008.
[5] Y. Yao H.Chen, S. Ma. Speckle reduction of polarimetric sar image based on
ica-scs algorithm. Computer Science and Computational Technology, International
Symposium on , 1:752{755, 2008. doi: http://doi.ieeecomputersociety.org/10.1109/
ISCSCT.2008.56.
[6] Raul Malutan, Pedro G omez Vilda, and Monica Borda. Independent component
analysis algorithms for microarray data analysis. Intell. Data Anal. , 14(2):193{206,
2010.
[7] Lionel Bombrun and Jean-Marie Beaulieu. Segmentation of polarimetric sar data
based on the sher distribution for texture modeling. In IGARSS (5) , pages 350{
353. IEEE, 2008.
[8] V. A. Krylov, G. Moser, S. B. Serpico, and J. Zerubia. Supervised high-resolution
dual-polarization SAR image classication by nite mixtures and copulas. IEEE J.
Sel. Top. Signal Process. , 5(3):554{566, Jun. 2011.
14

Capitol 2 Concluzii 15
[9] L. Bombrun, Y. Berthoumieu, N.-E. Lasmar, and G. Verdoolaege. Mutlivariate
texture retrieval using the geodesic distance between elliptically distributed random
variables. In IEEE ICIP , pages 3637{3640, 2011.
[10] D.L. Donoho. Denoising by soft-thresholding. IEEE Trans. on Information Theory ,
41(3):613{627, 1995. ISSN 0018-9448. doi: 10.1109/18.382009.
[11] J.-F. Aujol, G. Aubert, and L. Blanc-Feraud. Wavelet-based level set evolution for
classication of textured images. IEEE Trans. on Image Process. , 12(12):1634{1641,
2003. ISSN 1057-7149. doi: 10.1109/TIP.2003.819309.
[12] M.N. Do and M. Vetterli. Wavelet-based texture retrieval using generalized Gaus-
sian density and Kullback-Leibler distance. IEEE Trans. on Image Process. , 11:
146{158, 2002.
[13] G. Verdoolaege and P. Scheunders. On the geometry of multivariate generalized
Gaussian models. Journal of Mathematical Imaging and Vision , 43(3):180{193,
2012.
[14] R. Kwitt and A. Uhl. Lightweight probabilistic texture retrieval. IEEE Trans. on
Image Process. , 19(1):241{253, 2010.
[15] Y. Stitou, N.-E. Lasmar, and Y. Berthoumieu. Copulas based multivariate gamma
modeling for texture classication. In IEEE International Conference on Acoustic
Speech and Signal Processing , pages 1045{1048, 2009.
[16] S. Kullback and R.A. Leibler. On information and suciency. The Annals of
Mathematical Statistics , 22(1):79{86, 1951. ISSN 00034851. doi: 10.2307/2236703.
URL http://dx.doi.org/10.2307/2236703 .
[17] H. Jereys. An invariant form for the prior probability in estimation problems.
Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical
Sciences , 186(1007):453{461, 1946. URL http://www.jstor.org/stable/97883 .
[18] M. Kupperman. Further applications of information theory to multivariate analysis
and statistical inference . PhD thesis, George Washington University, 1957.
[19] M. Salicru, D. Morales, M.L. Menendez, and L. Pardo. On the applications of
divergence type measures in testing statistical hypotheses. Journal of Multivariate
Analysis , 51(2):372 { 391, 1994. ISSN 0047-259X. doi: http://dx.doi.org/10.1006/
jmva.1994.1068. URL http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/
S0047259X84710682 .

Bibliograe 16
[20] A.D.C. Nascimento, R.J. Cintra, and A.C. Frery. Hypothesis testing in speckled
data with stochastic distances. IEEE Trans. on Geosc. and Rem. Sens. , 48:373{385,
2010.
[21] F. Pascal, P. Forster, J. Ovarlez, and P. Larzabal. Performance analysis of covari-
ance matrix estimates in impulsive noise. Signal Processing, IEEE Transactions on ,
56(6):2206{2217, June 2008. ISSN 1053-587X. doi: 10.1109/TSP.2007.914311.
[22] David E. Tyler. A distribution-free m-estimator of multivariate scatter. The Annals
of Statistics , 15(1):234{251, 03 1987. doi: 10.1214/aos/1176350263. URL http:
//dx.doi.org/10.1214/aos/1176350263 .
[23] P. Formont, F. Pascal, G. Vasile, J. Ovarlez, and L. Ferro-Famil. Statistical
classication for heterogeneous polarimetric sar images. Selected Topics in Sig-
nal Processing, IEEE Journal of , 5(3):567{576, June 2011. ISSN 1932-4553. doi:
10.1109/JSTSP.2010.2101579.
[24] Ernesto Conte, Antonio De Maio, and G. Ricci. Recursive estimation of the covari-
ance matrix of a compound-gaussian process and its application to adaptive cfar
detection. Signal Processing, IEEE Transactions on , 50(8):1908{1915, Aug 2002.
ISSN 1053-587X. doi: 10.1109/TSP.2002.800412.
[25] G. Vasile, J. Ovarlez, F. Pascal, and C. Tison. Coherency matrix estimation of
heterogeneous clutter in high-resolution polarimetric sar images. Geoscience and
Remote Sensing, IEEE Transactions on , 48(4):1809{1826, April 2010. ISSN 0196-
2892. doi: 10.1109/TGRS.2009.2035496.