1 UNIVERSITATEA din BUCUREȘTI FACULTATEA de PSIHOLOGIE ȘI STIINȚELE EDUCAȚIEI FILIALA BUZĂU LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ pentru ACORDAREA GRADULUI… [631485]

1 UNIVERSITATEA din BUCUREȘTI
FACULTATEA de PSIHOLOGIE ȘI STIINȚELE EDUCAȚIEI
FILIALA BUZĂU

LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ
pentru ACORDAREA GRADULUI DIDACTIC I

Coordonator științific,
Lector univ. dr d. SULTĂNESCU MARCEL

Autor:
Prof. înv. primar LECA V. ȘTEFANIA – FLORENTINA
(căs. Brăgaru)
Școala Gimnazială ,,Nicolae Efrimescu” Săgeata
Structura Găvănești, Com. Săgeata, jud. Buzău

Buzău
2019

2 UNIVERSITATEA din BUCUREȘTI
FACULTATEA de PSIHOLOGIE ȘI STIINȚELE EDUCAȚIEI
FILI ALA BUZĂU

TIPURI DE PROBLEME ȘI METODE DE
REZOLVARE – PROBLEME CU CONȚINUT
PRACTIC ȘI INTERDISCIPLINAR

Coordonator științific,
Lector univ. dr d. SULTĂNESCU MARCEL

Candidat: [anonimizat]. înv. primar LECA V. ȘTEFANIA – FLORENTINA
(căs. Brăgaru)
Școala Gimna zială ,,Nicolae Efrimescu” Săgeata
Structura Găvănești, Com. Săgeata, jud. Buzău

Buzău
– 2019 –

3 CUPRINS

INTRODUCERE…………………………. ………… ………………………………….. ……………………….. .4
CAPITOLUL I PROFILUL PSIHOPEDAGOGIC AL ȘCOLARULUI MIC – BAZĂ
ÎN STABILIREA STRATEGIILOR DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE
MATEMATICĂ ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………..
I.1. Scurt istoric asupra evoluției conceptelor pedagogice în predarea matematicii în ciclul
primar ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …
I.2. Bazele metodice ale predării -învățării matematicii. Obiect și importanță …………………..
I.3.Gândirea ca proces psihic. Trăsăturile specifice ale gândirii copiilor de vârstă școlară
mică……………………………………………………………………………….. ………………… ………………
I.4. Procese psihice implicate în rezolvarea problemelor ……………………………… ………….
CAPITOLUL II METODOLOGIA ACTIVITĂȚII DE REZOLVARE A
PROBLEMELOR DE MATEMATICĂ ………………………….. ………………………….. ………..
II.1. Noțiunea de problemă. Importanța rezolvării lor ………………………….. …………………….. .
II.2. Clasificarea și încadrarea problemelor într -o anumită tipologie ………………………….. … ..
II.3. Etapele rezolvării probleme lor ………………………….. …………………… ………………………..
II.3.1. Cunoașterea enunțului problemei …………………………. …………………… ………..
II.3.2. Înțelegerea enunțului problemei ………………………….. . ………………….. …………
II.3.3. Analiza problemei și întocmirea planului logic ………………….. ……… ……………
II.3.4.Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii judecăților din
planul logic……………………….. ………………………. ………………………. ……………………….
II.3.5. Activități suplimentare după rezolvarea problemei …………………………………..
II.4. Metode generale de rezolvare a probl emelor ………………………….. .. ………………….. ………
II.4.1. Metoda analitică ………………………………….. ………………………………………..
II.4.2. Metoda sintetică ………………. ………………… ……………………………………………..
II.5. Rezolvarea problemelor simple ………………………….. …………………. ……………. …………….
II.6. Rezolvarea problemelor compuse ………………………….. ………………. …………… ……………..
II.7. Rezolvarea problemelor tip ………………………….. ……………………….. ………………. ………….
II.7.1. Metoda figurativă (grafică) …………………………………. …………………………
II.7.2. Metoda comparației………………………………….. ………………………………….

4 II.7.3. Metoda falsei ipoteze ………………………………….. ……………………………….
II.7.4. Metoda mersului invers ………………………………….. ……………………………….
II.7.5 . Probleme de mișcare …………………………………. …………………………………..
II.7.6. Probleme cu mărimi proporționale ………………………………….. …………………
II.7.6. Probleme nonsta ndard………………………….. ……………………… ……………………….
CAPITOLUL II I ABORDAREA INTERDISCI PLINARĂ A CONȚINUTURILOR
MATEMA TICE ……………………………………………………. ……………………………………………..
III.1. Interdisciplinaritatea……………. ………………………………. …………… ………………….. ……….
III.2. Problem e matematice cu conținut practic și interdisci plinar…….. ……………. …………….
CAPITOLUL IV AS PECTE DIN EXPERIENȚA PERSONALĂ. VALORIFICAREA
EXPERIMENTALĂ ……………………………………………………………………………… ……………
IV.1. Ipoteza cercetări i…………………………………………………………………………………………..
IV.2. Obiectivele cercetării ……………………………………………………………………….. …………..
IV.3. Eșantionul și caracteristicile acestuia ………………………………………………………………
IV.4. Metode și tehnici folosite în cercetare …………………………………………………………….
IV.5. Organizarea și desfășurarea cercetării ……………………………………………………………
IV.6.Concluzii finale………………………………………………………………………………………….. .
Bibliografie……… …………………………………………………………………………………………………

5 INTRODUCERE
În actualul context economico – cultural din țara noastră, pregătirea științifică și
tehnică a tinerei generații, se po ate realiza doar deținând o riguroasă bază matematică. Se
consideră că, fundamentul culturii moderne îl constituie matematica, că indiferent de
domeniul în care activează omul modern, trebuie să posede o bună pregătire matematică
pentru a soluționa multi plele și variatele provocări ale vieții.
Matematica nu este o simplă tehnică de folosit într -un singur domeniu limitat, ci
unul din modurile fundamentale ale gândirii umane. Existența umană, viața, presupun
activitatea gândirii care este stimulată și ajuta tă în mare măsură de matematică.
Înțelegerea presupune capacitatea de a evidenția legăturile, articulațiile,
posibilitatea de a explica rolul fiecărui element în cadrul ansamblului, posibilitatea de a
justifica această organizare. Esența înțelegerii const ă în integrarea cunoștințelor noi în
sistemul elaborat anterior. Înțelegerea este implicată mai ales în procesul de rezolvare a
problemelor.
Noțiunea de problemă, ca moment inițial al activității de gândire, este una din
noțiunile esențiale ce străbate apr oape întreaga psihologie a gândirii. Acolo unde nu există
o problemă sau o întrebare, o sarcină sau o dificultate, unde nimic nu trebuie căutat și
rezolvat, acolo lipsește finalitatea gândirii.
De regulă, în cadrul problemei se evidențiază condițiile , adic ă ansamblul
obiectelor existente, reglementate prin anumite relații și cerințe
care indică ce anume trebuie căutat în condițiile date. Necunoscuta vizată prin cerințele
problemei nu apare explicit în sistemul de condiții, dar se consideră că, sub forma
camuflată „implicită” ea este conținută în acest sistem, putând fi descoperită prin analiza
sistemului respectiv de obiecte și prin corelarea elementelor sale. Condițiile pedagogice pe
care trebuie să le îndeplinească problema sunt: să aibă sens și să fie ad resată în cel mai
oportun moment din punct de vedere al elevului; să țină seama de baza de cunoștințe pe
care elevul și le -a însușit anterior; să trezească interesul, să fie clar enunțată; să solicite
efort din partea elevului.
Pedagogul matematician G. Po lya, în lucrarea ,,Descoperirea matematică.
Euristica rezolvării problemelor”, E.D.P. București, 1971 , considera că scopul predării
matematicii de a -i face pe tineri să gândească și mijlocul îl reprezintă rezolvarea de către
elevi a problemelor care cer un anumit grad de creație, de nerutinare .
R. Gagne, în ,, Condițiile învățării” E.D.P. București, 1975 , arată că rezolvarea de

6 probleme poate fi privită ca un proces prin care elevul descoperă problema ca o combinație
de reguli învățate anterior și o poate aplica pentru a ajunge la o soluție referitoare la o nouă
situație problematică.

Matematica, prin înaltul său grad de abstractizare și generalizare, prin capacitatea
de sinteză, de contragere a esențelor și de exprimare a lor cu ajutorul simbolurilor,
dobândește tot mai mult atributele pluridisciplinarității.
Prin problematica diversă și complexă, care -i formează obiectul, prin solicitările
la care îl obligă pe elev, prin metodologia extrem de bogată pe care o propune, prin
antrenarea și stimularea tuturor forțelor intelectuale și psihice ale elevului, matematica
contribuie la dezvoltarea personalității umane și la perfecționarea structurilor cognitive și a
metodelor de cunoaștere a lumii, de investigare a Universului, precum și la diversificarea
căilor de acțiune a omului în societate. Fără îndoială, este obiectul de învățământ
acționează asupra tuturor trăsăturilor definitorii ale gândirii moderne: practică,
probabilistică globală, modelatoare, operatoare, pluridisciplinară și prospectivă. De aceea
are un rol hotărâtor în dezvoltarea intelectuală a omului.
Însemnătatea majoră pe care și -a dovedit -o de-a lungul experienței mele la catedră
rezolvarea problemelor în dezvoltarea intelectuală a școlarului mic, m -a determinat să
abordez această temă .
Am constata t necesitatea găsirii celor mai potrivite modalități de a face accesibile
elevilor problemele, de a le trezi interesul pentru rezolvarea și crearea lor.
Antrenând permanent curiozitatea elevilor, încurajându -le căutările, susținându -le
gândirea și imagina ția, mă străduiesc să -i fac să depășească stadiul gândirii reproductive,
să avanseze spre forme noi, creatoare.
Copiii dispun de o maximă flexibilitate în gândire și manifestări la vârsta școlară
mică. Unele structuri operaționale se constituie optim în pe rioada 6 -11 ani. Mai târziu,
formarea lor va fi mult mai dificilă, dacă nu imposibilă. Acum se formează capacitatea de a
opera pe plan mental, de a calcula, de a compune. Vârsta școlară mică poate fi considerată,
din acest punct de vedere, decisivă. Modul în care s -a lucrat și s -a reușit sau nu în
formarea școlarului mic este decisiv în procesul de dezvoltare ulterioară a acestuia.
Bazându -mi demersul didactic pe receptivitatea nativă a micilor școlari și pornind
treptat, cu răbdare și perseve rență, de la noțiuni inițiale simple , în debutul școlarității
acestora, sunt încredințatăcă vom ajunge la rezolvarea de probleme cu grad mare de
complexitate, la finalul ciclului primar.

7 În vederea elaborării lucrării am avut în vedere ext ragerea si prelucrarea
informațiilor din următoarea bibliografie cu pondere mai mare:
-Neacșu I., Gălăteanu M., Predoi P., -Didactica matematicii în învățământul primar. Ghid
practic. -Editura Aius, Craiova, 2001
-Neacșu I. și colectivul de colaboratori – Metodica predării matematicii la clasele I -IV,
manual pentru liceele pedagogice, Editura Didactică și Pedagogică, București 1988
-Oprescu N., Modernizarea învațământului matematic în ciclul primar, Editura Didactica și
Pedagogica, București, 1974.
Am structurat lucrarea în patru capitole, astfel:
Capitolul 1 –„Profilul psihipedagogic al școlarului mic – bază în stabilirea
strategiilor de rezolvare a problemelor de matematică” cuprinde patru subcapitole care
prezintă caracteristic ile psihice ale școlarului mic ș i influența acestora asupra activitații
matematice, fiind știut faptul că pentru asigurarea succesului șco lar, învățătorul trebuie să
cunoască fiecare copil în parte, pentru a -i trata diferențiat în procesul instructiv – educativ,
pentru a p utea găsi și utiliza acele metode și procedee care să -l facă pe elev să depășească
momentul de criză sau de rămânere în urmă.
Capitolul 2 – „Metodologia activității de rezolvare a problemelor de matematică”
face o scurtă prezentare a organizării activități i de rezolvare a problemelor. Ea se
fundamentează pe principalele etape și momente de efort mintal pe care le parcurg elevii:
cunoașterea, înțelegerea enunțului problemei, analiza și schematizarea problemei,
rezolvarea propriu -zisă, precum și verificarea r ezolvării.
Am abordat în acest capitol procesul rezolvării problemelor, aplicat principalelor
categorii de probleme: probleme simple, probleme compuse, problemele tip – descriind pe
larg modalitățile de rezolvare a acestora și prezentând caracteristicile fi ecărui tip de
problemă însoțit de exemple rezolvate.
Capitolul 3 – ,,Abordarea intedisciplinară a conținuturilor matematice” redă prin
interpretare personală, o serie de accepțiuni privind conceptul de interdisciplinaritate , cu
scopul de a evidenția menirea unei astfel de abordări în practica educațională
instituționalizată, ce se concretizează în sfera matematicii și prin rezolvarea de probleme

8 cu caracter practic și interdisciplinar, susținând ideea sporirii ponderii a cestora , la orice
nivel de școlariza re.
Capitolul 4 – „Aspecte din experiența personală. Valorificarea experimentală”
cuprinde cercetarea pedagogică la clasa aIII-a, având ca etape: obiectivele, metodologia,
subiecții cercetării, măsurarea, strategiile utilizate, analiza și interpretarea dat elor,
concluziile.
Alegerea acestei teme de strictă utilit ate pentru activitatea la clasă , o consider ca
fiind o oportunitate în plus de autoperfecționare, de aprofundare a cunoștințelor, o modestă
încercare de prezentare a câtorva din metodele și procedee le folosite în rezolvarea
proble melor la clasă.
CAPITOLUL I PROFILUL PSI HOPEDAGOGIC AL ȘCOLA –
RULUI MIC -BAZĂ ÎN STABILIREA STRATEGIILOR DE REZOL –
VARE A PROBLEMELOR DE MATEMATICĂ
I.1. Scurt istoric asupra evoluției conceptelor pedagogice în predarea
matematicii în ciclul primar
Înțelegerea ideilor care stau la baza pedagogiei matematicii în ciclul primar
necesită o succintă prezentare a principalelor tendințe manifestate în decursul istoriei, a
etapelor și caracteristicilor evolu ției ideilor asupra predării matematicii la acest nivel.
Corespunzător factorilor care în diverse etape au avut o influență determinantă (factori
verbali, intuitivi, imaginativi sau activi), se pot recunoaște trei tendințe principale care au
dominat acest învățământ: învățământul verbal, învățământul intuitiv și învățământul prin
acțiune.
În învățământul verbal importanța primordială este acordată cuvintelor și
simbolurilor în general, în timp ce ideile nu au decât un anumit rol derivat. Ideile
matematicii sunt puse în legătură unele cu altele printr -un simbolism convențional. Acest
învățământ a dominat o lungă perioadă de timp și s -a manifestat sub mai multe forme:
învățământul mecanic și învățământul formal . Învățământul mecanic se bazează pe o
tehnică uti litaristă și sunt vizate în mod special rapiditatea operațiunilor efectuate și
aplicarea unor mecanisme calculatorii. Învățământul formal se bazează, în exclusivitate,
numai pe anumite definiții însușite mecanic de către elevi. Acesta are rădăcini istorice cu
mult mai îndepărtate. Geometria fondată de Euclid a constituit un prim model axiomatic.

9 Studiul istoric al învățământului matematic arată că, la începutul evoluției sale, acesta a
fost un învățământ deductiv, bazat pe cunoașterea axiomelor. Învățământu l formal este
fondat în exclusivitate pe învățământul mecanic al regulilor și teoremelor deduse din
definiții, care erau însușite mecanic, sau pe transmiterea unui limbaj printr -un simbolism
oarecare. Această formă de învățământ nu ține seama de vârsta ele vului, având aceeași
structură pentru toate nivelele. O primă parte era constituită din reguli și teoreme, urmată
de o alta cu conținut aplicativ.
Adepții învățământului mecanic și formal considerau că numai exercițiile repetate
determinau copiii la înțele gerea conceptelor și a regulilor de calcul. Se promova deci o
repetiție lipsită de un efort creator. Numai combinată cu înțelegerea legăturilor logice
dintre diferitele concepte matematice, repetarea poate constitui un factor determinant al
învățării matem aticii în școală.
Învățământul intuitiv . Intuiția matematică, este cunoașterea calculelor numerice,
algebrice sau geometrice, fără ca să intervină raționamentul matematic, fără acel suport și
instrument analitic prin care se verifică cunoștințele asimilate . Un anumit raport se
stabilește însă între intuiție și logică. Orice intuiție provoacă o anumită dorință de a ne
convinge de valabilitatea unor adevăruri. Uneori o bună intuiție matematică ne ajută să
anticipăm rezultatele în rezolvarea unor probleme. Con cepțiile cu privire la valoarea
intuiției în procesul însușirii matematicii în școală se împart între aceia care consideră că
intuiția poate fi limitată la un anumit stadiu de dezvoltare al gândirii, stadiul în care
școlarul este capabil numai de raționame nte foarte simple și alții care consideră că intuiția
este mijlocul cel mai important de a dezvolta gândirea creatoare a elevilor. Învățământul
intuitiv reprezintă o primă etapă în calea formării conceptelor matematice, necesară pe o
anumită treaptă a învă țământului. Imaginea are un anumit rol în intuirea soluțiilor
matematice, dar nu un rol decisiv. Din această cauză pedagogia modernă a matematicii
limitează învățământul intuitiv la un stadiu al dezvoltării mentale. În învățământul intuitiv
se neglijează a cțiunea și factorul operator.
În învățământul prin acțiune , factorul operator face această intuiție mai
dinamică, mai anticipativă și orientală spre o verificare continuă. În procesul acțiunii cu
obiectele, semnificația însăși a imaginilor se schimbă de la un stadiu la altul.
Pentru elaborarea noțiunilor și operațiilor matematice există trei etape: etapa
realistă (sau experimental instructivă), etapa intuitivă și etapa formal conceptuală (sau
logico -deductivă). Prima etapă are un caracter pur concret, copii i manipulând pur și simplu

10 obiectele ce li se oferă într -o multitudine de posibilități. Cea de -a doua etapă este destinația
manipulării imaginilor, care acum înlocuiesc obiectele reale. Cea de -a treia etapă
corespunde elaborării materialului semiconcret (a dică a imaginilor semiabstracte) prezentat
sub forma unor scheme grafice, urmate de introducerea simbolurilor matematice, cum ar fi,
spre exemplu simbolul unui număr. În această etapă copilul este capabil să posede noțiuni
abstracte. Dintre experiențele privind modernizarea predării matematicii în ciclul primar,
necesită o scurtă prezentare cel puțin experimentele lui Davis, jocurile logice ale lui Dienes
și experiențele lui Cuisinnaire.
În proiectul Madison, al cărui principal autor este Robert B. Davis, s unt expuse
principiile generale după care se poate organiza, 1a nivelul claselor elementare, un curs de
matematică axat pe ideile fundamentale ale logicii și teoriei mulțimilor. Materialul
prezentat în cartea: Discovery în mathematics , poate fi combinat pe ntru a fi adaptat la
cerințele unor anumite lecții. La baza principiilor didacticii matematicii, B. Davis așează
principiul conform căruia elevul trebuie să învețe din experiența proprie cu diverse
materiale (didactice) și din diverse situații matematice ș i nu din cele ce li se spune. Desigur
că acesta este unu din principiile învățământului activ.
Un accent deosebit este pus pe claritatea și bogăția limbajului matematic,
enunțând în acest sens următoarele principii :
a) învățătorul trebuie să folosească totdea una un limbaj precis și să evite greșelile
de limbă;
b) când afirmația unui elev conține o idee corectă, expusă într -un limbaj nesigur,
atitudinea învățătorului va fi la partea pozitivă a comportamentului, adică la ideea corectă.
Chiar dacă răspunsul elevului conține o anumită incertitudine, este necesar să fie subliniată
partea pozitivă a răspunsului. Este necesar să i se dea încredere că a înțeles ideea bună.
c) se preferă un răspuns în limbajul autentic și uneori ezitant, în locul unei
repetiții exacte și meca nice.
Autorul precizează că scopul lecțiilor este de a oferi copiilor o experiență activă și
să le da posibilitatea să descopere ei înșiși calea spre adevăr.
După mai mulți ani de experimentări în diverse părți ale lumii (America, Anglia,
Australia etc.), Z. Dienes considera că însușirea primelor elemente de logică la elevii de
vârstă mică trebuie să decurgă în paralel cu însușirea altor noțiuni ca: relație, mulțime,
structură, putere, elemente de geometrie etc. Cercetările întreprinse de Z. Dienes se refer ă
la primele elemente de logică, introducerea noțiunii de număr precum și aplicațiile practice
ale noțiunii de număr la măsurarea lungimilor, timpului etc. Sunt concepute jocuri în care

11 relațiile sunt efectiv observate și ușor de distins. Blocurile logice sunt piese astfel
construite încât să aibă patru atribute distincte: mărime, grosime, culoare, formă.
Pentru început copiii sunt învățați să recunoască formele și să numească aceste
piese, condiție necesară pentru practicarea jocului. Ei trebuie să aibă de la început
libertatea de a alege piesele și de a practica în mod liber jocul până la familiarizarea cu
denumirile pieselor și cunoașterea atributelor lor. Jocurile sunt astfel concepute încât să
ofere o creștere treptată a dificultăților de rezolvare.
Metoda denumită „a numerelor colorate”, se bazează pe ideea că elevul trebuie să
învețe prin acțiune, prin manipularea materialului intuitiv, prin experiență, căpătând astfel
„ încredere” în numere și în operațiile cu numere.
Principalul material îl reprezint ă „bețișoarele” paralelipipedice, confecționate din
lemn, având secțiunea transversală de 1 cm2 și lungimea între 1 – 10 cm. Cele zece tipuri
diferite de bețișoare (care corespund numerelor 1 -10 în primul rând, dar și fracțiilor) au
culori diferite. Bețiș oarele trebuie să aibă un aspect plăcut, atractiv pentru copii. Așezate în
scară, ele seamănă cu o claviatură. Posibilitatea de a le pune în lanț și de a forma cu ele
lungimi diferite permite efectuarea operațiilor aritmetice, în primul rând a adunării.
Bețișoarele se compară cu numere, deci operațiile cu ele reflectă într -o formă
„semiabstractă” procesele care se desfășoară în mintea elevului.

I.2. Bazele metodice ale predării -învățării matematicii. Obiect și
importanță
Metodicile sau „didacticile speciale” su nt discipline ce aparțin sistemului științelor
educației, având ca obiect studierea și descoperirea legităților care guvernează procesul de
predare -învățare și evaluare al unei anumite discipline școlare. Didactica generală sau
teoria generală a procesului de învățământ studiază structura, relațiile și funcțiile
subsistemului „ proces de învățământ”, în ansamblul sau, „didactica specială”.
„Didactica specialității” sau „metodica disciplinei” are ca domeniu instruirea și
educația ce se realizează prin predar ea -învățarea -evaluarea unui singur obiect de
învățământ sau grup de discipline.
În condițiile societății contemporane, dezvoltarea științei și tehnicii în ritm rapid a
condus, implicit și la o concesiune mai largă a pedagogiei cu discipline de graniță sa u
apropiate ca finalitate: psihogenetica dezvoltării, psihologia pedagogică și diferențială,
sociologia educației, îmbogățind compusul de informații cu privire la mecanismele

12 procesului de formare a elevilor și tinerilor, la o mai profundă cunoaștere a din amicii
personalității copilului.
Cercetări experimentale de largă rezonanță și dispunând de o metodologie
modernă de investigație s -au concentrat, în multe țări, asupra eficienței procesului de
învățământ, asupra actului predării, învățării și evaluării, a supra conținutului și finalităților
pe care le -au analizat în viziune sistemică , au propus soluții de ameliorare a acestora în
optica teoriei acțiunii eficiente și a conducerii științ ifice (proiectare – realizare -evaluare).
În condițiile în care conținutu l învățământului și strategiile didactice se proiectează în
lumina unor obiective cât mai precise, iar rezultatele se măsoară cu „instrumente tot mai
elaborate” (diagnostice și prognostice), în care predarea – învățarea devine o activitate cu
dublă determin are, programare științifică și creație eficientă, termenul de metodică, înțeles
ca un compendium de metode pe care le folosește învățătorul în procesul de învățământ,
devine tot mai depășit. Se impune tot mai mult termenul de metodologie a disciplinei
școlare, în înțelesul de structură științifică, normativă și prospectivă, care studiază
demersurile de cunoaștere într -un domeniu anumit, supus condiționărilor și dirijării. Cu
referire la învățământ, se încetățenește tot mai mult termenul de metodologie dida ctică,
înțeleasă că știința a metodelor utilizate în procesul de învățământ, ca teorie a naturii, și
strategiilor, metodelor, tehnicilor și proceselor întrebuințate în predare și învățare.
Metodologia învățământului matematic are ca obiect studierea legită ților
procesului studierii matematicii în școală, cu toate implicațiile informative și formative ale
acestei activități. Ea are o triplă valență: teoretică, de fundamentare prin cercetare și
explicare logic -științifică și didactică a procesului învățării m atematicii; practica –
aplicativă, de fundamentare a bazelor elaborării normelor privind organizarea și
conducerea științifică a activității de învățare a matematicii; de dezvoltare, creare și
ameliorare continuă a demersurilor și soluțiilor metodice speci fice acestei activități, în
vederea obținerii unei eficiente tot mai înalte.
Pe baza cunoașterii celor doi factori principali – matematica și copilul,
metodica predării – învățării matematicii analizează în spiritul logicii științelor moderne
obiectivele, conținuturile, strategiile didactice, mijloacele de învățământ folosite, formele
de activitate și de organizare a elevilor, modalitățile de evaluare a randamentului și
progresului școlar, bazele cultivării unor repertorii motivaționale favorab ile învățării
matematicii . Ea își propune totodată să ofere alternative teoretico metodologice, norme și

13 metodele posibile de lucru care să asigure optimizarea învățământului matematic în ciclul
primar.
Învățând să proiecteze sisteme de lecții și să integr eze unitar toate condițiile de
realizare a unei lecții (activitate) în lumina unor obiective clare și să evalueze rezultatele,
progresele elevilor prin raportarea la aceste obiective, învățătorul nu va fi un simplu
practician care aplică „rețete” metodice, ci un investigator care studiază atent fenomenele,
aplică cu competență valorile științei convertită în disciplina școlară, își perfecționează
continuu propria sa activitate, contribuind la ridicarea calității învățământului, la
modernizarea lui, la pregă tirea temeinică a generațiilor viitoare.
I.3. Gândirea ca proces psihic. Trăsăturile specifice ale gândirii
copiilor de vârstă școlară mică.
Gândirea reprezintă nivelul cel mai înalt de prelucrare și integrare a informației
despre lumea externă – Univers, natură, societate și despre noi înșine. Prin ea se realizează
saltul calitativ al activității de cunoaștere, de la particular, accidental, întâmplător, la
general, esențial general, de la simpla constatare a existenței obiectului la interpretarea și
explic area lui logic -cauzală.
Psihologia definește gândirea ca proces psihic central și este definitorie pentru om
ca subiect al cunoașterii logice, raționale.
„Gândirea se definește ca procesul cognitiv de însemnătate centrală în reflectarea
realului care, prin intermediul abstractizării și generalizării coordonate în acțiuni
mentale, extrage și prelucrează informații despre relațiile categoriale și determinative, în
forma conceptelor, judecăților și raționamentelor.” (Psihologie –Manual – Școli normale și
Licee – Ministerul Educației și Cercetării, 1990 )
Caracterul mijlocit al gândirii constă în aceea că ea nu operează direct asupra
obiectului, ci asupra informației furnizată de percepții și reprezentări. Cunoașterea prin
gândire este mijlocită și de limbaj, care devine instrumentul prin care gândirea se
exteriorizează.
Caracterul general -abstract al gândirii rezidă în aceea că ea se desfășoară
permanent în direcția evidențierii însușirilor generale și esențiale ale obiectelor și
fenomenelor și a subordonării dive rsității cazurilor particulare unor metode ideale generale
– noțiuni, principii, legi. Parcurgând o întragă succesiune de transformări ale informației
inițiale, gândirea ajunge la elaborarea unor asemenea modele ideale abstracte, care nu pot

14 fi traduse pri n reprezentări intuitive și care nu -și au un corespondent obiectual concret, dar
care au un mare rol în înțelegerea teoretică, științifică a realității, o înțelegere superioară a
legilor de mișcare și dezvoltare. Dar activitatea intelectuală nu se referă n umai la real, ci și
la posibil, despre care se formulează ipoteze, uneori combinații de idei și imagini, ducând
și la ficțiuni și utopii.
Intelectul presupune o anumită manipulare și îndemânare acelor trei dimensiuni
ale timpului: trecut, prezent, viitor. Din stocul memoriei sunt actualizate selectiv imagini,
idei, cunoștințe, în raport cu preocupările de moment ale subiectului și totodată este
reversibil și anticipativ, spre deosebire de timpul fizic ce se scurge ireversibil.
Toate acestea se desfășoară pe plan mental, într -un for subiectiv („în minți”)
personal și este subordonat câmpului senzorial, spațio -temporal.
I.4.Procese psihice implicate în rezolvarea problemelor
Rezolvarea de probleme constituie activitatea matematică cea mai eficientă pentru
dezvoltarea proceselor cognitive, pentru flexibilizarea gândirii. O problemă este un
ansamblu de date și condiții ale căror legături logice sunt fie mascate, fie în parte omise,
din care se cere ca, printr -o serie de transformări să se obțină un rezultat, un răspuns.
„A rezolva o problemă înseamnă a găsi o ieșire dintr -o dificultate, înseamnă a
găsi o cale de a ocoli un obstacol, de a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil.”,
explică G. Polya , în „Descoperirea în matematică. Euristica rezolvării pr oblemelor”,
Editura Științifică, 1971.
Participarea conștientă și activă a elevilor în procesul rezolvării problemelor
trebuie obținut pe toate treptele de învățământ și în toate etapele muncii de rezolvare a
problemelor.
Efortul propriu pe care îl fac ele vii în rezolvarea problemei este deosebit. Pentru a
găsi calea rezolutivă este necesar ca problema să fie bine formulată, căci o problemă bine
formulată este pe jumătate rezolvată.
În rezolvarea problemei activitatea mentală parcurge mai multe faze. Se des prind
astfel câteva stadii mai importante:
a. analiza prealabilă și formarea unei reprezentări interne a ei;
b. analiza și orientarea de ansamblu în problemă;
c. identificarea tipului problemei și raportarea ei la o anumită categorie (clasă);
d. alegerea metodei și a procedeului de rezolvare în funcție de rezultatul etapei;

15 e. aplicarea desfășurată a metodei și efectuarea operațiilor necesare în vederea
obținerii soluției;
f. verificarea soluției în vederea validării sau infirmării ei.
În cele ce urmează voi prezenta aspecte le psihologice cele mai importante ale
activității de rezolvare a problemelor.
Emiterea ipotezelor verificarea lor
Pornind de la datele problemei, în căutarea soluțiilor se emit diferite ipoteze care
trebuie verificate, controlate pentru a stabili care est e cea adevărată.
Pedagogul Oprescu Nicolae afirma, în lucrarea ,,Modernizarea învățământului
matematic în ciclul primar, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1974: „Ipotezele,
soluțiile posibile pe care le elaborează subiectul în rezolvarea unei pro bleme, nu apar la
întâmplare, ci ele iau naștere pe baza asociațiilor, a cunoștințelor asimilate anterior. Cu
cât aceste cunoștințe sunt mai largi, mai profunde, mai temeinice, cu atât sunt mai mari
șansele ca ipotezele care se nasc în mintea celui care re zolvă, să ducă mai repede și mai
precis la soluții.”
În activitatea de rezolvare a problemelor, gândirea este confruntată cu o
necunoscută pentru a cărei descoperire trebuie să întreprindă căutări, presupuneri de
soluții, combinații noi în legături, să ado pte strategii care să conducă la soluția problemei.
Practic, în rezolvarea problemei intervine raționamentul matematic, care va fi cu
atât mai complex și mai riguros cu cât necunoscuta se găsește în relații mai îndepărtate.

Asoci erile au un rol important în nașterea ipotezelor. În minte se deșteaptă prin
asocier i, deci prin reactualizarea legăturilor temporare formate anterior, diverse fapte, care
pot servi la rezolvarea ei.
Rezolvarea problemei trece prin mai multe etape, în cadrul fiecărei etape datele
apar în combinații noi, în legături noi, care duc la găsirea soluției, deci în cursul rezolvării
problemei are loc un proces de reorganizare a datelor, reorganizări și reformulări care îl
apropie de soluție.
Toate aceste etape formează, însă, o activitate unitară, una dintre cele mai
complexe activități intelectuale, care cuprinde: inducții și deducții logice , analogii ,
raționamente ipotetice , analize și generalizări , iar în ultimă instanță, creație .
Capacitatea de a rezolva probleme presupune deci, o preg ătire solidă,
materializată în fondul de cunoștințe și în sistemul de deprinderi intelectuale – fără de care
progresul gândirii nu este posibil.

16 Spre exemplificare, am ales o problemă din manualul de matematică pentru clasa
a III-a:
„Perimetrul unui drept unghi este de 100 m. Una dintre laturi are lungimea de 20
m. Care sunt lungimile celorlalte laturi?”

Rezolvarea acestei probleme nu este posibilă dacă elevii nu cunosc noțiunile de
perimetru, dreptunghi, laturile acestuia și dacă nu cunosc operațiile arit metice cerute de
rezolvarea problemei.
Separăm întrebarea problemei de enunț, deci izolăm ceea ce știm de ceea ce nu
știm. Noțiunea de perimetru (suma lungimilor tuturor laturilor) generează (pe bază de
deprinderi) formula:
P dreptunghi = L+L+l+l
sau
P dreptunghi = 2xL + 2 xl

Din analiza datelor problemei, observăm că nu cunoaștem decât lungimea unei
laturi, de 20 m (lățimea), dar din relația perimetrului dreptunghiului putem deduce
lungimea laturii necunoscute astfel:

A L B

l l

D L C

P = 2 xL +2 xl
100 = 2 xL + 2 x 20
2 x L = 100 – 40
2 x L = 60
L= 60 : 2
L = 30 m

17 Prin scăderea din perimetrul dreptunghiului a lungimii laturilor cunoscute,
obținem lungimea laturilor necunoscute.
Fiind o problemă de geometrie, explicațiil e vor fi făcute cu ajutorul desenului
geometric.
În rezolvarea acestei probleme au fost implicate diferite deprinderi:
a. unele deprinderi cu caracter general care intră în procesul rezolutiv: capacitatea de a
înțelege semnificația valorilor numerice, a date lor problemei și, în primul rând,
orientarea activității mentale asupra datelor, punerea în legătură a datelor, posibilitatea
de a separa ceea ce este cunoscut, de ceea ce este necunoscut, atragerea acelor
cunoștințe care ar putea servi la rezolvare;
b. alte deprinderi, care se prezintă ca procedee și tipuri de rezolvare (procedeul
reprezentării grafice, al reducerii la unitate), care sunt aplicate în problemă;
c. deprinderi care se referă la detaliile acțiunilor (operațiile aritmetice care se fixează, se
automati zează și devin deprinderi).
De aici, concluzia că activitatea gândirii în rezolvarea problemelor nu se reduce la
momente „de inspirație”, ci reprezintă un proces continuu de actualizare, aprofundare,
sistematizare și resistematizare a informațiilor și depr inderilor intelectuale și aplicarea lor
în situații noi.
Nimic nu poate fi așezat pe un teren gol, totul trebuie pus în concordanță cu ceea
ce s-a cimentat anterior. Aceasta se realizează printr -o activitate bine gândită și inteligent
organizată.
„Un cap e ste bine construit dacă a fost umplut și nu poate fi bine construit dacă
n-am știut cum să -l umplem.” – Robert Pottrens – ,,A educa, a instrui ”, Editura Didactică și
Pedagogică, București, 1982.
Un proces de gândire extrem de complex, implicat adânc în rezo lvarea
problemelor, este înțelegerea ; ca să rezolvi problema, trebuie mai întâi s -o înțelegi, iar ca
să înțelegi modul de gândire al unei probleme, trebuie să rezolvi cât mai multe probleme.
De exemplu, pentru rezolvarea problemelor de mișcare, elevii tr ebuie să înțeleagă ce
relații există între distanță, viteză și timp, și, ca să înțeleagă aceste relații, trebuie să rezolve
probleme care să cuprindă aceste mărimi.
În procesul de rezolvare a unei probleme, înțelegerea se bazează pe operațiile
logice ale g ândirii, așadar rezolvarea obligă la convergența analitică pe elemente. Astfel,
descompunerea unei probleme complexe în probleme simple din care este formată este,

18 prin esență, un proces de analiză, iar formularea planului de rezolvare, cu stabilirea
succe siunii problemelor simple este un proces de sinteză.
Examinarea sau judecataproblemei se face pe două căi: analitică și sintetică.
Rezolvarea problemelor pe cale sintetică obligă la convergența analitică pe
elemente puse în raport cu întregul, iar rezolva rea problemelor pe cale analitică este
cuprinderea sintetică a întregului prin considerarea elementelor subordonate.
Examinarea pe cale sintetică duce la elaborarea unui raționament inductiv pe baza
unor sinteze succesive.
Metoda sintetică orientează gândi rea copilului asupra datelor problemei, spre
gruparea acestor date în funcție de relațiile dintre ele, astfel încât să formuleze cu acestea
probleme simple, să așeze aceste probleme într -o succesiune logică, în așa fel încât să se
încheie, cu acea problemă simplă a cărei întrebare coincide cu întrebarea problemei date.
Gândirea școlarului este stimulată prin intermediul întrebărilor care se pun în
vederea legăturii perechilor de valori care duce la rezolvarea problemei.
Exemplific prin problema de mai jos:

„Într -o livadă trebuie să se sădească 5800 de pomi: caiși, meri și peri. Din acest
număr, 1160 sunt peri, meri cu 380 mai mult decât peri, iar restul caiși.
Care este numărul caișilor ce urmează să se planteze?”

Rezolvarea acestei probleme presupune urm ătoarele etape:
– însușirea enunțului problemei;
– înțelegerea conținutului problemei;
– examinarea logică a problemei prin metoda sintetică, precizând problemele simple
care o alcătuiesc și succesiunea acestora:
1. aflăm numărul merilor (prima problemă simplă, ca re se rezolv ă aplicând algoritmul
adunării, al găsirii unui număr cu câteva unități mai mare decât un alt număr a + b = c).
1160 (peri) + 380 (meri) = 1540 (meri)
2. aflăm numărul total al perilor și merilor (a doua problemă simplă, care se rezolvă prin
algoritmul adunării a +b = c).

1160(pe ri) + 1540 (meri) = 2700 (pomi)
3. aflăm numărul caișilor (a treia problemă simplă, problema prin care se răspunde la
întrebarea problemei și care se rezolvă prin algoritmul scăderii a – b = c).

19 5800 (pomi) – 2700 (pomi) = 3100 (ca iși)
R = 3100 caiși

Pentru a conștientiza actul cunoașterii și al învățării, am procedat apoi la
verificarea soluției obținute, pentru care elevii au folosit următorul raționament:

nr. merilor + nr. perilor + nr. caișilor = nr. pomilor ce se vor planta pentru mărirea livezii,
algoritmul de calcul fiind : a + b + c = d.
1160 (peri) + 1540 (meri) + 3100 (caiși) = 5800 (pomi)

Rezolvarea problemei pe cale analitică se realizează pe baza unui raționament
deductiv , bazat pe o serie de analize succesive. Acum se pornește de la întrebarea
problemei, se stabilesc datele cu ajutorul cărora se poate formula problema simplă a cărei
întrebare să coincidă cu întrebarea problemei, apoi seă formuleze alte probleme simple
precedente și așa mai departe, până se ajunge la prima problemă simplă ale cărei date sunt
cunoscute.
Acest mod de judecată este mai greu și, în același timp, profund. Elevul este
obligat să cuprindă cu gândirea întreaga problemă din care să separe treptat problemele
simple.
În cazul examinării problemei pe cale analitică se realizează abstractizări și
generalizări de nivel mai înalt, deoarece elevul nu mai operează cu valori numerice, ci cu
date necalculate.
Iată cum au examinat, prin metoda analitică, elevii clasei a III -a, problema de mai
jos:

„Din ca ntitatea de 30025 kg de grâu s -au măcinat dimineața 8070 kg, după –
amiaza cu 4090 kg mai mult, iar restul a doua zi.
Ce cantitate de grâu a rămas de măcinat pentru a doua zi?”

1. Pentru a afla ce cantitate de grâu a rămas de măcinat pentru a doua zi, ar trebui să
cunoaștem cantitatea măcinată în prima zi (prima problemă simplă);
2. Pentru a afla cantitatea de grâu măcinată în prima zi ar trebui să știm cantitatea de grâu
macinată după -amiaza (a doua problemă simplă);

20 3. Pentru a afla cantitatea de grâu măcinată după -amiaza gândim astfel: dacă după –
amiaza s -a măcinat mai mult cu 4090 kg decât dimineața, atunci mărim cantitatea de
grâu măcinată dimineața cu 4090 kg.
Pe baza acestei judecăți logice, elevii au stabilit planul de rezolvare:
1. Ce cantitate de gr âu s-a măcinat după -amiaza?
8070 kg + 4090 kg = 12160 kg
2. Ce cantitate de grâu s -a măcinat în prima zi?
8070 kg + 12160 kg = 20230 kg
3. Ce cantitate de grâu a rămas de măcinat pentru a doua zi?
30025 kg – 20230 kg = 9795 kg
R = 9795 kg

Examinarea anali tică înlătură fragmentarea problemei complexe, deoarece
desprinderea problemelor simple nu duce decât în ultimul moment la datele problemei,
presupune un proces de gândire continuă și de profunzime care contribuie, într -o măsură
mai mare, la dezvoltarea gâ ndirii logice.
Examinarea problemelor pe cale sintetică sau analitică se face într -o îmbinare
armonioasă, procesul analitic nu apare și nu se produce izolat de cel sintetic, deoarece cele
două operații ale gândirii se găsesc într -o strânsă conexiune și in terdependență, ele
condiționându -se reciproc și realizându -se într -o unitate inseparabilă.
Rezolvarea problemelor este o activitate psihică foarte complexă; ea dezvăluie, în
desfășurarea ei, etapele dezvoltării intelectuale. În procesul de rezolvare a prob lemelor
elevii sunt obișnuiți să formuleze, pe baza întrebărilor, probleme simple care se înlănțuie
logic pentru a ajunge la găsirea soluției corecte, să stabilească relațiile logice între datele
cunoscute și întrebarea problemei, ceea ce -l conduce la form area unor judecăți și
raționamente logice, concrete.
Succesiunea logică a pașilor de rezolvare a problemelor contribuie la dezvoltarea
capacităților intelectuale implicate în creativitate, mai ales a gândirii divergente și a
calităților acesteia: suplețea, fluiditatea, originalitatea.
Acestea se realizează în activitatea de rezolvare a problemelor noi, unde nu se
poate aplica o schemă mintală cunoscută decât adecvând -o în mod creator la condițiile noi
ale problemei și care solicită gândirea într -o măsură ma i mare pentru descoperirea căii de
rezolvare. Uneori, în procesul rezolvării problemelor necunoscute, activitatea intelectuală
se extinde dincolo de dispozitivele ei automatizate în sensul operării transformative, de

21 modificare a mersului gândirii, când si tuația o cere, de realizare a tranferului, elevul fiind
nevoit să elaboreze noi răspunsuri – soluții pentru rezolvarea corectă a situației întâlnite.
Rezolvarea inteligentă a unei probleme dificile sau necunoscute este rezultatul
unui antrenament intelectu al susținut, bine dozat și gradat, în activitatea de rezolvare a
problemelor inteligența fiind unul dintre factorii intelectuali implicați în actul creator.
În esență, activitatea de rezolvare necesită un efort al gândirii și o atitudine
creatoare, iar pen tru obținerea rezultatelor dorite este necesară exersarea continuă a elevilor
în activitatea de rezolvare și compunere a problemelor, astfel încât aceasta să devină o
îndemânare practică.
Antrenamentul intelectual, în mod sistematic, al capacității creatoa re, este tot atât
de productiv ca și antrenamentul sportiv de performanță.
Referindu -se la activitatea de rezolvare a problemelor, G. Polya afirma: „a ști să
rezolvi probleme este o îndemânare practică, o deprindere cum este înotul, schiul sau
cântatul la pian care se poate învăța numai prin imitare și exercițiu… dacă vreți să învățați
înotul trebuie să intrați în apă, iar dacă vreți să învățați să rezolvați probleme, trebuie să
rezolvați probleme…”
Dezvoltarea gândirii matematice a elevilor este determ iată și de structura logică a
exercițiilor și problemelor propuse spre rezolvare, precum și de organizarea sistematică,
după criterii logice, a activității matematice, solicitând o linie ascendentă a efortului.
Fiecare problemă trebuie să conțină informați i pentru problemele următoare,
întrucât acest mod de a preda contribuie la creșterea treptată a gradului de independență a
alevilor în rezolvare.
Matematica din ciclul primar, prin varietatea problemelor – de la cele simple până
la cele mai complexe, de la problemele sub formă de jocuri didac tice, până la probleme
tipice – precum și prin metodele și procedeele multiple folosite, constituie un prim pas în
dezvolatarea flexibilității și creativității gândirii.

CAPITOLUL II METODOLOGIA ACTIVITĂȚII DE RE –
ZOLVARE A PROBLEMELOR DE MATEMATICĂ
II.1. Noțiunea de problemă. Importanța rezolvării lor
În cadrul complexului de obiective pe care le implică predarea – învățarea
mate maticii în ciclul primar, rezolvarea problemelor reprezintă o activitate de profunzime,

22 cu caracter de analiză și sinteză superioară. Ea îmbină eforturile mintale de înțelegere a
celor învățate și aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei creative, inventive, totul pe
fondul stăpânirii unui repertoriu de cunoștințe matematice solide (noțiuni, definiții, reguli,
tehnici de calcul, algoritmi, metode), precum și deprinderi de aplicare a acestora.
Rezolvarea de probleme trebuie să decurgă ca o necesitate firească solicitată de situații
concrete de viață.
Rezolvarea problemelor, în ciclul primar, reprezintă o activitate de profunzime,
cu caracter de analiză și sinteză superioară. Ea îmbină eforturile mintale de înțelegere a
celor învățate și de aplica re a algoritmilor, cu structurile conduitei creative, inventive, totul
pe fondul stăpânirii unui repertoriu de cunoștințe matematice solide, precum și deprinderi
de aplicare a acestora. Această activitate solicită capacitățile intelectuale ale elevilor.
De regulă, prin problemă se înțelege o situație a cărei soluționare implică procesul
de gândire și calcul.
Problema de matematică „reprezintă transpunerea unei situații practice în
relații cantitative și în care, pe baza valorilor numerice date și aflate înt r-o anumită
dependență unele față de altele și față de una sau mai multe valori necunoscute, se cere
determinarea valorilor necunoscute” – Lupu, C., Săvulescu, D., Metodica predării
matematicii. Manual pentru clasa a XI -a. Licee pedagogice, Editura “Paralel a 45”, Pitești,
2000, pag. 10.
Noțiunea de problemă are un conținut larg și cuprinde o gamă variată de preocupări
și acțiuni din domenii diferite.
În sens psihologic, o problemă este orice situație, dificultate, obstacol întâmpinat de
gândire, în activitat ea practică sau teoretică pentru care nu există un răspuns dat formulat.
În general, orice chestiune de natură practică sau teoretică, ce reclamă o
soluționare, o rezolvare, poartă numele de problemă.
A rezolva o problemă – înseamnă a găsi o ieșire dintr -o dificultate, a găsi o cale de
a ocoli un obstacol, de a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil. A găsi soluția unei
probleme este o performanță specifică inteligenței, iar inteligența este specific speciei
umane.
După G. Polya părțile principal e ale unei probleme „de aflare” sunt: datele,
necunoscutele și condiția. Datele sunt ceea ce se cunoaște (ipoteza), necunoscutele sunt
ceea ce trebuie aflat (concluzia), iar condiția reprezintă legătura dintre ele .
Pe baza înțelegerii datelor și condiția problemei, raportând datele cunoscute la

23 valoarea necunoscutei, elevul trebuie să construiască șirul de judecăți care conduce la
găsirea soluției problemei. Misiunea învățătorului este de a -l conduce pe firul logic de
rezolvare a acesteia.
Capacitatea de a rezolva probleme este determinată, în mare măsură, de nivelul de
pregătire al individului, de experiența de care dispune. G. Polya arată că pentru rezolvarea
problemelor se impune să avem, în prealabil, cunoștințe relevante și să realizeze
mobilitatea și organizarea lor. El mai subliniază că nu este suficient să avem cunoștințe
pentru cazul dat, ci trebuie să ni le reamintim în momentul când avem nevoie, să le
mobilizăm, făcându -le utile scopului urmărit, adaptându -se problemei pe care urmează să o
rezolv ăm.
Rezolvarea problemei trece prin mai multe etape, în cadrul fiecărei etape, datele
apărând în combinații noi, în legături noi, fapt care duce treptat la găsirea soluției la
începutul școlarității, înțelegerea cauzală se produce la nivelul succesional de tipul: „dacă
… atunci”.
Pentru rezolvarea problemelor trebuie adoptată o anumită strategie care urmărește
firul logic al conexiunilor din problemă și o tactică corespunzătoare cuprinzând verigile
elementare prin care se realizează rezolvarea. O strategi e bună duce la reușită printr -un
număr mic de încercări. Încercările efectuate trebuie să furnizeze maximum de informații,
astfel încât încercările ulterioare să se apropie cât mai repede de direcția justă de rezolvare
a problemei. În demersul rezolvării p roblemei are loc un proces de reorganizare succesivă
a datelor apoi noi formulări ale problemei pe baza activității orientate a elevului, fiind
vorba de o îmbinare a analizei cu sinteza.
Momentul principal în rezolvarea problemei îl constituie nașterea ide ii sau ideea decisivă
a rezolvării. Apariția idei conducătoare — constituie un moment de încheiere a fazei de
tensiune, a căderii, de destindere, care dă satisfacție descoperirii. În rezolvarea
problemelor, copilul de vârstă școlară mică trebuie ajutat, de oarece la el capacitatea de a
folosi cunoștințele anterioare este încă nerezolvată. El pierde, uneori, ideea centrală
nemaiștiind ce să facă cu un rezultat parțial. Rostul școlii este acela de a forma copii
capabili să se orienteze singuri într -un câmp de probleme noi. Școala trebuie să -i stimuleze
să gândească și să lucreze prin eforturi personale.
II.2. Clasificarea și încadrarea problemelor într -o anumită tipologie
Problemele de matematică în ciclul primar se pot grupa astfel:
a) După finalitate și după sfe ra de aplicabilitate:

24  teoretice;
 aplicații practice.
b) După numărul operațiilor:
 probleme simple;
 probleme compuse.
c) După conținutul specific:
 probleme geometrice;
 probleme de mișcare;
 probleme de amestec;
 probleme algebrice.
d) După metoda folosită în rezolvare :
 probleme generale;
 probleme tipice:
-metoda figurativă;
-metoda comparației;
-metoda falsei ipoteze;
-metoda mersului invers;
-metoda reducerii la unitate ;
– probleme nonstandard.
În mod obișnuit clasificarea problemelor se face, după complexitatea lor, în:
 probleme simple;
 probleme compuse;
 probleme tipice.

II. 3. Etapele rezolvării problemelor
În literatura de specialitate se vorbește despre evenimentele implicate în
rezolvarea problemelor, care sunt:
1. Evenimentul inițial este constituit de prezentarea problemei ,
care se poate realiza prin formularea verbală sau pe altă cale.
2. Definirea problemei este făcută de elev, care distinge caracteristicile esențiale ale
situației din problemă.
3. Formularea ipotezelor este făcută de elev, care distinge ipotezele ce p ot fi aplicate unei

25 situații.
4. Verificarea ipotezelor sale sau ipoteze succesive până ce se găsește una care duce la
soluția căutată.
Aceste evenimente sunt cunoscute ca etapele de rezolvare a problemelor. Procesul de
rezolvare se prezintă ca o activitate m intală de căutare în cursul căreia, în baza datelor, sunt
emise diferite ipoteze de lucru care sunt supuse verificării pe rând. Activitatea de rezolvare a
unei probleme se desfășoară prin parcurgerea mai multor etape. Toate aceste etape formează o
activita te unitară, una din cele mai complexe activități intelectuale care cuprinde: inducții și
deducții logice, analogii, raționamente ipotetice, analize și generalizări. În cursul rezolvării
problemelor are loc un proces de reorganizare succesivă a datelor, apa r noi formulări ale
problemei, care conduc la soluție.
Apariția ideii conducătoare constituie momentul ele încheiere a fazei de tensiune a
căutării, un moment de destindere care marchează satisfacția descoperirii. După Lupu, C.,
Săvulescu, D. -Metodica pred ării matematicii. Manual pentru clasa a XI -a. Licee
pedagogice, Editura “Paralela 45”, Pitești, 2000, pag. 180 -181, etapele rezolvării unei
probleme sunt:
a) Cunoașterea enunțului problemei;
b) Înțelegerea enunțului problemei;
c) Analiza problemei și întocmirea pl anului logic;
d) Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii judecăților din planul lo-
gic;
e) Activități suplimentare:
 verificarea rezultatului;
 scrierea sub formă de exercițiu;
 găsirea altor căi și metode de rezolvare;
 generalizare;
 compuner ea de probleme după o schemă asemănătoare.
II. 3.1.Cunoașterea enunțului problemei
Este etapa de început în rezolvarea oricărei probleme. Înainte de a enunța problema,
propunătorul, prin 2 -3 întrebări potrivite, readuce în atenția elevilor noțiunile și ide ile pe
care le conține acesta, stabilește împrejurările veridice în care se desfășoară acțiunea ei și
localizează aceste împrejurări astfel încât elevii să -și poată imagina faptele. După ce se

26 asigură de deplina atenție și concentrare a elevilor asupra pro blemei ce urmează a se
enunța, propunătorul, modelându -și vocea pentru a scoate în evidență datele și relațiile
dintre ele, enunță textul propriu -zis.

II. 3.2. Înțelegerea enunțului problemei
În vederea analizei problemei, elevii trebuie să înțeleagă, să pătrundă și să -și
însușească corect conținutul respectiv. Înțelegerea enunțului unei probleme implică
următoarele activități:
 repetarea enunțului de către propunător cu scrierea datelor pe tablă, iar elevii pe caiete;
 explicarea cuvintelor sau expresiilor neînțelese;
 repetarea enunțului de către 2 -3 elevi;
 ilustrarea enunțului cu ajutorul planșelor, desenelor, schemelor, graficelor.

II.3.3. Analiza problemei și întocmirea planului logic
Este etapa în care se elimină aspectele care nu prezintă semnificația m atematică și
se elaborează reprezentarea matematică a enunțului. În aceasta fază se evidențiază legătura
dintre datele problemei și necunoscută.
Prin exerciții de analiză a datelor, semnificației lor, a relațiilor dintre ele și a celor
dintre date și necun oscute se ajunge să ne ridicăm de la situații concrete pe care le prezintă
problema, la nivel abstract care vizează relațiile dintre parte și întreg. Transpunând
problema într -o schemă, desen sau diagramă, scriind datele cu relațiile dintre ele într -o
coloană, evidențiem reprezentarea matematică a conținutului ei. Soluția problemei e ca și
descoperită în momentul în care elevii au transpus -o în relații matematice.

II.3.4. Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii jude –
căților din planul logic
Aceasta etapă constă în alegerea și efectuarea calculelor din planul de rezolvare,
în conștientizarea semnificației rezultatelor parțiale ce se obțin prin calculele respective și a
rezultatului final.
Pentru rezolvarea unei probleme compuse este nec esar să se eșaloneze pe puncte,
să se descompună în tot atâtea probleme simple cerute de conținutul prezentat, care
urmează să se efectueze într -o anumita ordine. De aceea se va trata separat fiecare punct al
planului de rezolvare, arătându – se procesul de gândire care stă la baza stabilirii operației

27 corespunzătoare, pentru a justifica operația respectivă.
O importanță majoră în forma priceperilor și deprinderilor de a rezolva probleme
îl are etapa următoare.
II.3.5. Activități suplimentare după rezolvarea problemei
Se referă la verificarea soluției problemei, la găsirea altor metode de rezolvare și
de alegerea justificată a celei mai bune. În aceasta etapă se realizează autocontrolul asupra
felului în care s -a însușit enunțul, precum și demersul de rezolva re parcurs.
Chiar dacă rezolvarea este făcută frontal, sau prin activitate independentă, este
posibil ca în șirul de raționamente ca și în stabilirea algoritmului de rezolvare, precum și în
efectuarea operațiilor indicate să se strecoare erori care să cond ucă la o altă soluție decât
cea bună. În plus, prin folosirea unor căi și metode diferite, se poate ajunge la soluții
diferite sau la soluții logice.
Raționamentul problemei se generalizează prin formula numerică respectivă, iar
treptat după rezolvarea mai multor probleme care se încadrează în acest algoritm, el poate
fi exprimat printr -o formula generală.
Acesta este drumul pe care -l face elevul ridicându -se de la înțelegerea conținutului
concret al problemei prin reformularea treptată, în scopul descoperi rii relațiilor logice și
ajungerii la soluții.
Aceasta presupune capacitatea de a cuprinde în raza gândirii întregul raționament
pe care să -l exprime într -o formulă.
Aceasta se poate realiza prin rezolvarea problemei cu ajutorul schemelor,
graficelor, rezo lvarea unor probleme cu explicații orale sau scrise, analiza problemelor
până la sesizarea raționamentelor, fără a mai face rezolvarea propriu -zisă, formularea
algoritmului de rezolvare prin punerea rezolvării într -un exercițiu.

II.4. Metode generale de r ezolvare a problemelor
Este unanim recunoscut faptul că rezolvarea problemelor de aritmetică este una
dintre cele mai sigure căi ce conduce la dezvoltarea gândirii, imaginației și atenției și a
spiritului de observației ale elevilor.
În matematică nu exist ă căi universale, motiv pentru care prin
„metode de rezolvare a problemelor” nu se poate înțelege prezentarea unui rețetar
absolut, care să asigure soluționarea tuturor problemelor de matematică pe baza unor
formule cunoscute sau algoritmi prestabiliți .

28 Îndrumarea elevului spre însușirea tehnicii rezolvării problemelor de aritmetică,
presupune din partea învățătorului multă răbdare, pricepere și mai ales o muncă susținută și
bine organizată.
În această activitate trebuie să se dea o atenție deosebită – printre altele – la două
aspecte importante și anume:
 în permanență să fie dirijată gândirea elevului, să depisteze în enunțul problemei aspecte
esențiale care fac ca aceasta să aparțină grupului de probleme care se rezolvă după anumite
procedee cunoscute;
 cel de-al doilea aspect este legat de efortul care trebuie depus pentru dirijarea gândirii
elevului spre generalizare. Este bine ca rezolvarea unor probleme să conducă la
sistematizarea cunoștințelor elevilor după tipuri de probleme.
Metodele de rezolvare a problemelor de aritmetică se clasifică în două categorii:
A. metode algebrice;
B. metode aritmetice .
A. Metodele algebrice utilizează în rezolvarea problemelor tehnica specifică calcului
algebric, adică bazată pe ecuații și sisteme de ecuații. De aceea, pentru a re zolva algebric o
problemă se parcurg următoarele etape:
 stabilirea necunoscutelor și notarea lor;
 punerea problemei în ecuație, adică traducerea în limbaj algebric a relațiilor dintre
valorile cunoscute și necunoscute, prin utilizarea ecuațiilor și a siste melor de ecuații;
 rezolvarea ecuației sau a sistemului de ecuații respectiv;
 interpretarea soluțiilor obținute și verificarea lor în problemă pentru pentru a stabili în
ce măsură acestea corespund naturii și condițiilor problemei, aprecierea faptului dacă
problema admite una sau mal multe soluții, ori dacă soluțiile impun anumite limite și, în
general, dacă soluțiile sunt sau nu posibile, din punct de vedere logic, și plauzibile, din
punct de vedere practic.
Metodele algebrice se caracterizează în mod deose bit prin simplitate și conciziune,
astfel încât aplicarea lor înlătură dificultățile care se întâmpină adeseori în utilizarea unora
dintre metodele aritmetice în a căror alegere nu se pot stabili criterii precise. De aceea, cu
deosebire în situațiile în ca re rezolvarea prin metode aritmetice întâmpină dificultăți, este
să se utilizeze întâi metoda algebrică, aceasta punând la îndemâna rezolvitorului
instrumentul matematic adecvat și orientându -l just în alegerea și aplicarea metodelor
aritmetice.

29 Îmbinarea armonioasă a celor două categorii de metode creează avantajul evitării
eforturilor inutile. Sunt însă împrejurări în care metodele algebrice se împletesc atât de
strâns cu cele aritmetice încât nici nu se pot delimita, deoarece prin raționamente specifice
aritmetice se ajunge în mod inevitabil la egalități cu una sau mai multe necunoscute, adică
la ecuații și sisteme de ecuații.
Exemplu: Dacă lungimea unei grădini dreptunghiulare se mărește cu 6 m și
lățimea cu 3 m, aria ei crește cu 180 m, iar dacă lungime a grădinii se micșorează cu 4 m
și lățimea se mărește cu 2 m, aria ei se micșorează cu 20 m, să se afle dimensiunile inițiale
ale grădinii.
Rezolvare : Notăm lungimea grădinii cu x, lățimea cu y și ținând seama de faptul că
aria dreptunghiului este egală cu produsul dimensiunilor lui, putem scrie sistemul:
(x+6) · (y + 3) = xy + 180 (x -4) · (y + 2) = xy – 20
care, după desfacerea parantezelor și reducerea termenilor asemenea, devine:
3x + 6y = 162 x + 2y = 54 x = 24 (m)
2x-4y = -12 x – 2y = -6 y = 15 (m)
A. Metodele aritmetice se clasifică în două categorii:
 metode fundamentale sau generale;
 metode speciale sau particulare.
Metodele aritmetice generale se aplică într -o mai mare sau mai mică măsură în
rezolvarea tuturor problemelor. Utilizarea acestor metode se b azează cu deosebire pe
operațiile de analiză și sinteză ale gândirii care se numesc metoda analitică și metoda
sintetică.
II.4.1. Metoda analitică
A exprima o problemă prin metoda analitică înseamnă a privi mai întâi problema
în ansamblu, apoi pornind de la întrebarea problemei, o descompunem în probleme simple
din care e alcătuită într -o succesiune logică, astfel încât rezolvarea lor să contribuie în mod
convergent la formularea răspunsului pe care îl reclamă întrebarea problemei date.
Exemplu : La un magazi n s-au adus 10 lădițe cu mere a câte 30 kg fiecare și 12
lădițe cu prune a câte 25 kg fiecare .
Câte kilograme cântăresc în total lădițele cu mere și cu prune ?

30
Ce ar trebui să
cunosc pentru a afla
cantitatea d e mere?
Ce ar trebui să
cunosc pentru a afla
cantitatea de prune? Ce ar trebui să cunosc pentru a afla cantitatea totală ?
Schema

Plan de rezolvare:
1. Care este cantitatea de mere?
10 x 30 = 300 (kg)
2. Care este cantitatea de prune ?
12 x 25 = 300 (kg)
3. Care este cantitatea totală ?
300+ 300 = 600 (kg)

Verificarea și punerea în exercițiu:
10 x 30 +12 x 25 = 300 + 300 = 600 (kg)
A verifica și, în final, a rezolvat o problemă prin metoda sintezei înseamnă a
porni de la datele problemei spre întrebare prin formulări și rezolvări simple, adică se
pornește de la cunoscut spre necunoscut. În cursul rezolvării avem grijă ca dintre două
cunoscute, să calculăm valorile acelor mărimi care, la rândul lor, să fie leg ate de mărimile
necunoscute din problemă și să ne ajute, din aproape în aproape, la găsirea valorilor lor.
Exemplu: La o stațiune s -a cheltuit pentru 30 de adulți în 20 de zile cât s -a
cheltuit pentru 40 de copii în 18 zile.
Cât s -a cheltuit pentru 45 de a dulți în 21 de zile dacă pentru 15 copii s -au cheltuit
13500 lei în 12 zile ?
25 kg 12 lădițe 30 kg 10 lădițe

31 Câte kilograme de fructe s -au adus în total? Rezolvare:
a) Cunoscând ce sumă s -a cheltuit pentru 15 copii în 12 zile se poate afla cât s –
a cheltuit pentru un copil în 12 zile: 13 500 : 15 = 900 (lei)
b) Cunoscând cât s -a chelt uit pentru un copil în 12 zile putem afla cât s -a
cheltuit pentru un copil într -o zi: 900 : 12 = 75 (lei)
c) Știind cât se cheltuiește pentru un copil pe zi se poate afla cât se cheltuiește
pentru un copil în 18 zile: 75 x 18 = 1 350 (lei)
d) Cunoscând cât se cheltuiește pentru un copil în 18 zile putem afla cât se
cheltuiește pentru 40 de copii în 18 zile: 1 350 x 40 = 54 000 (lei)
e) Dacă pentru 30 de adulți s -au cheltuit în 20 de zile 54 000 lei putem afla cât
se cheltuiește pentru 30 de adulți într -o zi: 54 000 : 20 = 2 700 (lei)
f) Cunoscând suma cheltuită pentru 30 de adulți pe zi putem afla cât se
cheltuiește pentru un adult pe zi: 2 700 : 30 = 90 (lei)
g) Știind că pentru un adult pe zi se cheltuiește suma de 90 lei putem afla suma
cheltuită de 45 de adulți în tr-o zi: 90 x 45 = 4 050 (lei)
h) În final cunoscând acest ultim rezultat putem calcula suma cheltuită de 45
de adulți în 21 de zile:
4 050 x 21 = 85 050 (lei)

II.4.2. Metoda sintetică
A examina o problemă prin metoda sintetică înseamnă a orienta gândirea el evilor
asupra datelor problemei, a presupune gruparea datelor problemei după relațiile dintre ele,
astfel să se formuleze cu aceste date toate problemele simple posibile și a se așeza aceste
probleme într -o succesiune logică astfel alcătuită încât să se în cheie cu acea problemă
simplă a cărei întrebare coincide cu întrebarea problemei date:
Exemplu : Problema enunțată mai sus se examinează prin metoda sintetică astfel:

10 lădițe 30 kg
Câte kilograme de
mere s -au adus? 12 lădițe 25 kg
Câte kilograme de
pere s -au adus?

32 Plan de rezolvare:
1. Câte kilograme de mere s -au adus ?
10 x 30 = 300 (kg)
2. Câte kilograme de pere s -au adus ?
12 x 25 = 300 (kg)
3. Ce cantitate de fructe s -a adus ?
300+ 300 = 600 (kg)

Verificare și punere în exercițiu:
10 x 30 +12 x 25 = 300 + 300 = 600 (kg)

Se pleacă de la întrebarea problemei, deci de la necunoscut spre cunoscu t. Se
formulează o problemă în așa fel încât răspunsul ei să fie același ca și la problema propusă.
Datele problemei formulate pot fi unele cunoscute, altele necunoscute. Acest proces se
repetă când se ajunge la o problemă ale cărei date sunt cunoscute. Di n acest moment
operațiile se desfășoară pe calea sintezei.

Exemplu:
a) Pentru a afla cât se cheltuiește pentru 45 de adulți în 21 zile trebuie să știm cât se
cheltuiește pentru un adult pe zi. Fie acest număr „x”.
b) Pentru a afla cât se cheltuiește pentru 45 d e copii în 18 zile trebuie să știm cât se
cheltuiește pentru 30 de adulți în 20 de zile, adică:
c) Cunoscând că pentru 40 de copii în 18 zile se cheltuiesc 600 x lei, putem afla cât se
cheltuiește pentru un copil pe zi:
600 x .7:(40xl8) = 5x:6
d) iar pe de altă parte pentru un copil se cheltuiesc pe zi :
13 500 : (12×15) = 75 (lei)
e) Am găsit pentru aceeași mărime două rezultate, deci le putem egala:
75 = 5x : 6
75 x 6 = 5x
x = (75×6):5
x = 90 lei

33 Metoda sintetică este mai ușoară, mai accesibilă elevilor datorită faptului că nu
necesită un proces de gândire prea complex. Metoda analitică este mai dificilă fiindcă
presupune un proces de gândire amplu și din acest motiv este uneori ocolită.
Rezolvând probleme prin metoda sintetică, elevii își dezvoltă gândirea
reprod uctivă, iar rezolvarea problemelor prin metoda analitică le dezvoltă gândirea
productivă, creatoare. Este deci recomandat ca măcar la clasele mai mari (III – IV) elevii să
analizeze și să rezolve problemele și prin metoda analitică.
În practică, rar se înt âmplă ca o problemă să se rezolve numai prin metoda sintezei
sau numai prin cea a analizei. În realitate se aplică ambele metode pentru rezolvarea unei
probleme. De obicei, se încearcă rezolvarea problemei prin sinteză și folosim această cale
cât reușim, a poi se recurge la analiză.
În legătură cu cele două metode generale de examinare a unei probleme, se
menționează faptul că procesul analitic nu apare și nici nu se produce izolat de cel sintetic,
întrucât cele două operații ale gândirii se găsesc într -o st rânsă conexiune și
interdependență, ele condiționându -se și reciproc și realizându -se într -o unitate
inseparabilă. De aceea nu poate fi vorba de utilizarea în mod exclusiv a uneia sau alteia
dintre aceste metode: în examinarea unei probleme intervenind amb ele operații ca laturi
separate ale procesului unitar de gândire, însă în anumite momente sunt situații când una
devine dominantă.
Astfel, descompunerea unei probleme compuse în problemele simple din care este
alcătuită constituie în esență un proces de an aliză, iar formularea planului de rezolvare, cu
stabilirea succesiunii problemelor simple, constituie un proces de sinteză. Din aceste
motive, cele două metode apar deseori sub o denumire unică: metoda analitico -sintetică.
II. 5. Rezolvarea problemelor simple
Primele probleme simple sunt acelea pe care și le pune copilul zilnic la școală, în
familie, în timpul jocului și care sunt ilustrate cu exemple familiare. Respectând
particularitățile de vârstă ale elevilor din clasa I activitatea de rezolvare și comp unere a
problemelor se va face la început numai pe cale intuitivă. Primele probleme se vor
introduce sub formă de joc și au caracter de probleme acțiune folosindu -se un bogat
material didactic ilustrativ. Rezolvarea primelor probleme se realizează la un ni vel concret
ca acțiuni de viață (au mai venit … fetițe, s -au mai spart … baloane, au plecat … băieți, i -a
dat …creioane colorate, au mâncat …bomboane) ilustrate prin pagini sau chiar prin acțiuni
executate de copii (elevul vine la magazin, cumpăr ă, plătește sau copilul este la școală și

34 primește cărți sau creioane).
Pe baza experienței dobândite în etapa preșcolară, precum și în lecțiile de
matematică elevii reușesc ușor „să traducă” în operații matematice acțiunile cerute în
enunțul problemei pro puse spre rezolvare. În aceasta fază, activitatea de rezolvare a
problemelor se află aproape de aceea de calcul. Acum elevii sunt familiarizați cu termenul
de „problemă”, „întrebarea problemei”, „rezolvarea problemei”, „ rezultatul problemei”.
Deși rezolvă rile de probleme simple par ușoare, învățătorul trebuie să prezinte
elevilor săi, rezolvând sub îndrumarea și controlul său, toate genurile de probleme care pot
fi rezolvate printr -o operație. Momentul cel mai important în rezolvarea problemelor
simple îl constituie stabilirea operației corespunzătoare și justificarea alegerii acestei
operații. Pentru stabilirea operației corespunzătoare fiecărei probleme simple este necesar
ca elevii să cunoască toate cazurile în care procesele de gândire duc la operația d e adunare,
scădere, înmulțire sau împărțire, astfel încât alegerea unei anumite operații să poată fi
justificată în mod rațional.
Împrejurările care determină alegerea unei anumite operații sunt diferite. Astfel:
1. Adunarea se întrebuințează pentru:
a) aflarea sumei a două sau mai multe numere;
b) aflarea unui număr mai mare cu un număr de unități decât un număr dat.
2. Scăderea se utilizează în următoarele cazuri:
a) de aflare a restului;
b) când se cere aflarea unui număr care să fie cu câteva unități mai mic decât număru l dat;
c) când problema se referă la gruparea prin diferență a doua numere sau mărimi pentru a
stabili care este mai mare sau mai mică și cu cât.
3. Înmulțirea se întrebuințează în rezolvarea problemelor:
a) de aflare a câtului în cazul împărțirii egale;
b) de aflare a câtului în cazul împărțirii prin cuprindere;
c) de aflare a unui număr care sa fie de un număr de ori mai mic decât un număr dat;
d) de aflare a unei singure părți dintr -un întreg;
e) de aflare a raportului dintre două numere.
În general, pentru alegerea operație i pe care o comportă rezolvarea unei probleme simple
se pornește de la întrebarea problemei și cu ajutorul unui proces de gândire se stabilește
corespondența dintre aceasta întrebare și unul din cazurile specificate mai sus. Reținerea
întrebării problemei este un moment foarte important în activitatea de compunere și

35 rezolvare de probleme. Învățătorul trebuie să -i învețe pe elevi să afle pluralitatea de soluții,
care se pot construi în tot atâtea raționamente, judecăți și probleme distincte. De multe ori
aceeași problemă pusă sub forme diferite, îi pune pe elevi în încurcătură. De aceea nu este
de ajuns rezolvarea problemelor simple numai sub o formă, ci trebuie analizate în toate
formele. Astfel îi facem pe elevi să gândească, să descopere, singuri căile de rezolvare, îi
obișnuim să se descurce singuri în diferite situații problemă.
Pe elevii din claselor de debut, de multe ori cifrele îi determine să ignore conținutul
problemei și să fie preocupați de ceea ce ar putea face cu ele și nu ce trebuie de fapt să facă
ținând cont de textul și întrebarea problemei. Ajungând la aceste concluzii, am căutat încă
din primele ore de rezolvare a problemelor să înțeleagă componența unei probleme și
etapele de rezolvare.
În general, problemele simple sunt ușor înțelese și rezolvate de către elevi, însă apar și
dificultăți de genul:
 includerea răspunsului în enunț;
 neglijarea unei date;
 confundarea operației ce trebuie efectuată, datorită neînțelegerii sensului semantic al
cuvintelor „adăugat”, „crescut”, „rest”, diferență”, „cu atât mai mult”, „cu atât mai puțin”, „de
atâtea ori mai mult”, de atâtea ori mai puțin”.
Pentru depășirea acestor dificultăți am căuta să rezolv cât mai multe probleme care să aibă
enunțuri variate, cerând elevilor să facă o analiză temeinică în rezol varea fiecărei
probleme. În activitatea la clasă am prezentat datele unei probleme cerând elevilor să pună
mai multe întrebări:

Exemplu: Într-o livadă s -au plantat 40 meri si 25 peri.
Întrebări posibile:
a) Câți pomi fructiferi s -au plantat?
b) Cu câți peri s -au plantat mai puțin decât meri?
c) Cu câți meri s -au plantat mai mulți decât peri?
d) Câți peri ar mai fi trebuit plantați pentru a fi tot atâția cât meri?
Rezolvarea problemelor simple contribuie la exersarea flexibilității și fluenței
gândirii. Rezolvarea de p roblemelor îi determină să opereze în mod real cu numere, să facă
operații de compunere și descompunere, să folosească strategii și modele mintale anticipat.

36 II.6.Rezolvarea problemelor compuse
Rezolvarea problemelor simple constituie prima etapa în forma rea deprinderii de a
rezolva probleme. După ce s -au rezolvat suficient de multe asemenea probleme și elevii au
căpătat o oarecare îndemânare în rezolvarea lor, se poate trece la rezolvarea problemelor
compuse. Baza de sprijin atunci când trecem la rezolvar ea problemelor compuse o
constituie cunoașterea elementelor și tehnicii rezolvării problemelor simple.
Dacă în rezolvarea problemelor ce necesită o singură operație ne folosim doar de
cele două date cu care rezolvăm problema, în cadrul problemelor compuse este necesar un
efort al gândirii mai mare, pentru că acestea conțin mai multe date și trebuie alese perechile
de valori care se leagă într -o relație determinată. Aceasta activitate cere un anumit efort al
gândirii și o anumită experiență în rezolvarea pro blemelor care să -i conducă pe elevi în
desprinderea problemelor simple de cele compuse. Acest proces de analiză trebuie orientat
către întrebarea problemei.
Având în vedere complexitatea sarcinilor ce revin în rezolvarea problemelor
compuse, trecerea de la probleme simple la cele compuse trebuie făcută cu mare atenție,
introducându -i pe elevi treptat în tainele acestei activități prin familiarizarea lor cu
elementele problemei compuse.
Acest lucru se poate face prin mai multe moduri:
1. Realizarea unei acțiuni care să cuprind două faze distincte: formularea problemei și
rezolvarea acelei probleme.
2. Rezolvarea succesivă a două probleme simple astfel formulate încât rezultatul primei
probleme să constituie un element al celei de -a doua. În utilizarea primei posibi lități am
avut grijă ca acțiunea să fie regizată în fața clasei cu obiecte existente în clasă.
În vederea trecerii de la rezolvarea unei probleme simple la alta compusă, în clasă
I, am creat multiple situații, cum ar fi:
Problema 1
Într-o cutie sunt 3 crei oane, iar în alta sunt 2 creioane. Câte creioane sunt?
Elevii observă așezarea creioanelor în cutie întocmai datelor problemei, prin
numărare apoi apelând la o operație de adunare, concluzionează rezultatul.
3 creioane ………………… 2 creioane ………………………….. ?
Rezolvare
3 + 2 = 5 (creioane )

37 Se trece la complicarea problemei adăugându -se încă 3 creioane în a doua cutie;
se apelează acum și la noțiunea „cu atât mai mult”:
Conținutul problemei se modifică:
Într-o cutie sunt 3 creioane, iar în a doua sunt cu 2 mai mu lt.
Câte creioane sunt în total?
Rezolvarea are următoarele formulări:
I -3 creioane
II – cu 2 mai mult
Total creioane?
1. Câte creioane sunt în a doua cutie?
3 + 2 = 5 (creioane)
2. Câte creioane sunt în total?
3 + 5 = 8 (creioane)

Problema 2
Pe o ramură sunt 5 vrăbiuțe, iar pe alta ramură sunt cu 2 vrăbiuțe
mai puțin.
Câte vrăbiuțe sunt pe cele două ramuri?
I -5 vrăbiuțe
II – cu 2 vrăbiuțe mai puțin
Câte vrăbiuțe sunt în total?
Rezolvare:
1. Câte vrăbiuțe sunt pe a doua ramură?
5 – 2 = 3 (vrăbiuțe )
2. Câte vrăbiuțe sunt pe cele două ramuri?
5 + 3 = 8 (vrăbiuțe)
Răspuns: 8 vrăbiuțe
Alt mod de a transforma o problemă simplă în una compusă este aceea de a cere
elevilor să pună întrebarea pentru ca problema să se poată rezolva în două sau mai multe
moduri.

Problema 3

38 Codrin are 40 bomboane. El dă lui Ionel 13 bomboane și Mădălinei 15
bomboane. Puneți întrebarea și rezolvați în două moduri.
Mod I
1. Câte bomboane a dat?
13 + 15 = 28 (bomboane)
2. Câte bomboane i -au mai rămas?
40 – 28 = 12 (bomboane)
Mod II
1. Câte bomboane i -a rămas după ce i -a dat lui Ionel? 40 – 13
= 27 (bomboane )
2. Câte bomboane i -au mai rămas după ce i -a dat Mădălinei? 27 –
15= 12 (bomboane)
Elevii au fost obișnuiți ca de fiecare dată să transpună sub formă de exerciții
(formula numerică).
Mod I Mod II
40 – (13 + 15) = 12 (40 – 13) – 15 = 12

39 II.7. Rezolvarea problemelor tip
II.7.1. Metoda figurativă (grafică)
Prin aceasta metodă reprezentarea mărimilor din problemă și a relațiilor dintre ele
utilizează elemente grafice sau desene și scheme. În aplicarea acestei metode se poate face
apel la categoria de elemente grafice sau combinații ale acestora cu condiția ca ele să fie
adecvate naturii datelor problemei și specificului lor cât și etapei de școlarizare.
1. Figurarea prin desen – se folosește încă din clasa I când elevii fac cunoștință cu
noțiune de problemă – când baza o constituie intuiția.
Exemplu:
Două fetițe au oferit mamei lor flori. Fetița mai mare 3 flori, iar cea mai mică o
floare.
Câte flori a primit mama, dacă și soțul ei i -a oferit 5 flori?
a. 3 + 1 = 4
b. 4 + 5 = 9

2. Figurarea prin segmente – este folosită în clasa a II -a când se introduc problemele
tipice:
 aflarea a două numere când se cunoaște suma și diferența lor
Exemplu : Într-o grupă sportivă sunt 17 copii. Băieții sunt cu 3 mai
mult decât fete le.Câți băieți și câte fete sunt în grupă?
Mod I
f 17
b +3
Aflăm dublul numărului fetelor.
17 – 3 = 14 (fe te)
1. Aflăm numărul fetelor.
14 : 2 = 7 (fete)
2. Aflăm numărul băieților.
17 – 7 = 10 (băieți) Răspuns: f = 7, b = 10

40 Mod II
f 17

b

3. Aflăm dublul numărului băieților.
17 + 3 = 20 (băieți)
4. Aflăm numărul băieților.
20 : 2 = 10 (băieți)
5. Aflăm numărul fetelor.
17 – 10 = 7 (fete)

Răspuns: f = 7, b = 10

3. Figurarea schematică
Exemplu:
Un grup de fete și băieți au fost repartizați la culesul merelor. Inițial numărul
băieților era de 3 ori mai mare decât numărul fetelor, d ar după ce 4 fete și 4 băieți
pleacă la încărcatul lăzilor, numărul băieților a devenit de 4 ori mai mare decât al
fetelor.
Câte fete și câți băieți au fost repartizați la început la culesul merelor?
1. Pentru a putea reprezenta prin elemente grafice vom util iza majuscule F (fete) și B
(băieți).
Situația inițială se prezintă astfel:
B B B B B B B B
BFB BFB BF BFB BFB …………………….. BFB BFB BFB

2. După repartizarea celor 4 fete și 4 băieți în altă parte, situația este reprezentată
astfel:
* * B B B B B
*** B*B B*B B*B BFB . ……………………… BFB …….. BFB+ 3

41 2. Cei 8 băieți rămași stingheri se repartizează câte unul la fiecare grup rămas
intact, astfel încât fiecărei fete îi corespund 4 băieți ca în figura următoare:
B B B B B B B
BFB BFB BFB BFB BFB BFB BFB
B B B B B B B
Cu cei 8 băieți se pot completa în acest mod 8 grupuri de câte o fată și 4 băieți.
Deci:
1. Acum – numărul băieților este: 8 x 4 = 32 (băieți)
– numărul fetelor este: 8 x 1 = 8 (fete)
2. Numărul inițial a fost:
32 + 4 = 36 (băieți)
8 + 4= 12 (fete)
Răspuns: 12 fete și 36 băieți

Avantajele pe care le reprezintă metoda figurativă o situează pe primul loc în ceea
ce privește utilitatea ei:
 are caracter general, aplicându -se orice categorii de probleme în care se pretează figura –
rea și pe diferite trepte ale școlar ității;
 are caracter intuitiv, înțelegerea relațiilor dintre datele problemei făcându -se pe baza
imaginilor vizuale, uneori intervenind acțiunea directă, mișcarea și transpunerea acesteia pe
plan mintal;
 prin dimensiunile elementelor figurative și prin pr oporțiile dintre ele se creează variate
modalități de stabilire a relațiilor cantitative dintre diferitele valori ale mărimilor, se
sugerează aceste relații, se pun în evidență.

II.7.2.Metoda comparației
Ca operație a gândirii logice, comparația intervin e în multe momente și situații ale
activității matematice, dar cu deosebire în problemele în care două mărimi necunoscute
sunt egale între ele prin două relații liniare bine precizate, valorile unitare fiind aceleași.
Metoda constă în a face ca cele două m ărimi să aibă aceeași valoare și în acest
fel problema devine mai simplă, cu o singură necunoscută. Într -o astfel de problemă,
așezarea datelor se face prin respectarea relațiilor stabilite între mărimi și astfel încât
comparația dintre valorile aceleiași mărimi să fie pusă în evidență în mod direct,

42 așezând valorile de același fel unele sub altele.
Procedeele de rezolvare a unor probleme duc la eliminarea uneia dintre mărimi prin
reducere, adică prin adunare sau scădere. Dacă valorile aceleiași mărimi sunt legate prin
enunțul problemei, reducerea este imediată prin scăderea relației respective. Dacă din
enunțul problemei nu rezultă valori egale, atunci apare necesitatea aducerii la același
termen de comparație. Prin această metodă se rezolvă probleme de ega lizare la o relație cu
o singură necunoscută.
a) Când au un același termen de comparație: Exemplu:
Miruna a cumpărat luni 2 kg de zahăr și 3 kg făină, plătind 115 lei.
Marți a cumpărat 2 kg zahăr și 7 kg făină, plătind 215 lei.
Cât costă un kg de zahăr și un kg de faină?
Rezolvare:
2kg Z ……………………………..3kg F ……………………….. 115 lei
2 kg Z …………………………… 7kg F ……………………….. 215 lei
? kg Z ? kg F
Am scăzut valorile de sus din cele de jos:
2 – 2 = 0 kg Z;7-3 = 4kg F; 215 – 115 = 100 lei
1 kg F. ………………………….. ………………………… 100:4 = 25 lei
3 kg F ………………………….. …………………… ……25 x 3 = 75 lei
2 kg Z ……………… ………………………. 115 lei – 75 lei = 40 lei
1 kg Z …………………………………….. … 40 lei : 2 = 20 lei
Răspun s: 1 kg F = 25 lei; l kg Z = 20 lei
Verificare:
2 x 20 + 3 x 25 = 2 x 20 + 7 x 25 =
= 40 + 75 = = 40 + 175 =
= 115 = 215
b) De aducere la același termen de comparației
Exemplu:
Mama a cumpărat 5 kg cartofi și 2 kg ridichi și a plătit 35 lei, a doua zi a cum pă-
rat 15 kg cartofi și 5 kg ridichi și a plătit 95 lei.
Cât a costat 1 kg de cartofi și cât a costat 1 kg de ridichi?

43 Rezolvare :
5 kg C ………………………………………… 2 kg R. ……………….. 35lei
15kg C… ……………………………………… 5 kg R…………….. 95lei
1 kg C ? 1 kg R ?
Deoarece nicio mărime nu are aceeași cantitate, problema este dificilă, în acest caz vom
interveni cu o problemă simplă pentru a -i ajuta pe elevi să descopere singuri rezolvarea.
(Presupunem că în prima zi ar fi cumpărat de 3 ori mai mult, atunci triplăm suma ).
15 kg C …………………………………………. 6kgR. ………………………….. . 105lei
15 kgC ………………………………………….. 5kgR. ………………………….. .. 95lei
1 kg R ……………………….. 10lei
2 kg R …………… 10x 2 = 20 lei
5 kg C + 20 lei = 35 lei
5 kg C = 35 lei – 20 lei
5 kg C = 15 lei
1 kg C = 15 lei : 5
1 kg C = 3 lei
Răspuns: 1 kg C = 3 lei; 1 kg R = 10 lei
Verificare:
15 lei + 20 lei = 35 lei 15 x 3 lei + 5 x 10 lei = 45 lei + 50 lei = 95 lei

c) Probleme de eliminare prin înlocuire
Aceste probleme sun t de două categorii după cum termenii comparației sugerează
diferențe (cu … mai mult, cu … mai puțin) sau raportul (de … mai mult, de … mai puțin).
Exemplu:
3 kg cartofi și 5 kg ridichi costă 59 iei.
Cât costă 1 kg cartofi și cât costă 1 kg ridichi , știind că un kg ridichi costă cu 7 lei mai
mult decât un kg de cartofi?
a) cartofi (kg) ………………… ridichi (kg) ………………………… valoarea (lei)
3 ……………………………. 5 ………………………………………. 59
3 + 5 = 8 ……………….. – ………………….. 59 – (5 x 7) = 59 – 35 = 24

44 1……………………………………………………24 : 8 = 3 (lei)
…………………………1………… ………………. 3 + 7 = 10 (lei)

b) cartofi (kg) ………………………. ridichi (kg) …………………… valoarea (lei)
3 ……………………………. 5 …………………………………59
5 + 3 = 8 ………………….. – ………………………….. ……. 59 + (3 x 7) =
59 + 21 = 80
1……… ……………….. …………………………………………… 80 : 8 = 10 (lei)
1………………….. ……………….. ……………………………….. 10 – 7 = 3 (lei)

Exemplu:
4 kg cart ofi și 6 kg morcovi costă 48 lei.
Cât costă un kg cartofi și un kg morcovi, știind că 1 kg cartofi costă de 2 ori
mai puțin decât un kg morcovi?
a) cartofi (kg) …………………….. morcovi (kg) …………… valoarea (lei)
4 ……………………………….. 6 ……….. ……………….. . 48
4 + 2 x 6 = 16……………………………………………….. 48
1 kg……………………………………………………………… 48 : 16 = 3 (lei)
1 kg………………………………………. …………………… 3 x 2 = 6 (lei)
b) cartofi (kg) …………………….. morco vi (kg)…….. valoarea (lei)
4 ………………………………. 6 ….. ………………………. 48
– …………………………… 6 + 4 : 2 = 8……… …………. .48
1kg……………………………………………………………… 48 : 8 = 6 (lei)
1kg ……………………………………. ………………………. 6 : 2 = 3 (lei)

45 II.7.3. Metoda falsei ipoteze
Orice problemă ale cărei date sunt mărimi proporționale, poate fi rezolvată prin
metoda falsei ipoteze. De regulă, se pleacă de la întrebarea problemei, făcând asupra
mărimii ce o căutăm o presupunere arbitrară, dar nu în contradicție cu datele din enunț. Se
reface problema pe ba za presupunerii făcute și se ajunge la un rezultat care nu concordă cu
cel din problemă. Este fie mai mare, fie mai mic decât acesta. Se compară rezultatul pe
baza presupunerii cu cel real; din nepotrivirile obținute se trage concluzia corectă de
rezolvare a problemei.
Exemplu:
Cu 1300 lei se pot cumpăra 30 bilete de tren de 30 lei și 50 lei.
Câte bilete sunt de fiecare ?

Rezolvare :
a) presupunem că toate biletele costă 50 lei. Atunci toate cele 30 bilete ar costa:
30 x 50 = 1500 (lei)
b) comparând cu prețul real se obține o diferență:
1500 – 1300 = 200 (lei)
c) această diferență din faptul că biletele de 30 lei le -am cumpărat mai scumpe cu:
50 – 30 = 20 (lei)
d) la câte astfel de bilete am adăugat 20 lei din suma, care a apărut în plus, de 2 00
lei ?
200: 20 = 10 (bilete)
30 – 10 = 20 (bilete)
Răspuns: 10 bilete de câte 30 lei; 20 bilete de câte 50 lei

Exemplu:
Într-o curte sunt găini, rațe și oi. Știind că în total sunt 100 de capete și 280 de
picioare, iar numărul rațelor este o treime din numărul găinilor, să se afle câte păsări de
fiecare sunt în acea curte.
Această problemă se rezolvă prin metoda falsei ipoteze combinată cu metoda
grafică.

46 Rezolvare:
a) presupunem că toate capetele au câte 2 picioare :
100 x 2 = 200 (picioare)
b) comparând numărul de picioare cu cel din problemă se obține o
diferență :
280 – 200 = 80 (picioare)
c) această diferență provine din faptul că în curte sunt și animale cu patru picioare, deci
cele 80 de picioare le împărțim câte 2 la fiecare cap pentru a afla câte oi sunt:

d) aflăm câte păsări sunt: 80 : 2 = 40 (oi)
100 – 40 = 60 (păsări)

Din acest punct, problema se rezolvă prin metoda grafică:
r

g
e) adunăm părțile :
1+3=4 părți
f) aflăm câte rațe sunt:
60 : 4= 15 (rațe)
g) aflăm câte găini sunt:
15 x 3 = 45 (găini)
Răspuns: 15 rațe, 40 oi
Este metoda prin care rezolvarea unei probleme are loc pe baza unei ipoteze sau a
mai multora, confruntând apoi situația reală cu cea creată prin intro ducerea datelor
ipotetice. Întrucât ipoteza care se face nu corespunde decât întâmplător cu rezultatul
problemei, metoda se mai numește a falsei ipoteze. Problemele a căror rezolvare se
bazează pe această metodă, se pot clasifica în două categorii:
* problem e de categoria I, pentru rezolvarea cărora este suficientă o singură
ipoteză;
* probleme de categoria a II -a pentru rezolvarea cărora sunt necesare două sau
mai multe ipoteze succesive.

47 Exemplu:
Sectorul zootehnic al unei ferme cuprinde vaci, oi, găini și g âște, în total 3 444
capete și 11 520 picioare. Știind că numărul oilor este de 5 ori mai mare decât al vacilor,
iar al gâștelor de 3 ori mai mic decât al găinilor, să se afle separat câte vaci, oi, găini și
gâște are ferma.
Rezolvare:
Ținând seama că vaci le și oile au câte 4 picioare, iar găinile și gâștele câte două,
se va afla întâi câte animale au 4 picioare și câte au 2 picioare, și apoi câte dintre cele cu 4
picioare sunt vaci sau oi și câte dintre cele cu două picioare sunt găini sau gâște. În acest
scop se presupune că toate animalele sunt cu câte 4 picioare.

3444 x 4 = 13 776 (picioare)
1376 – 1152 0 = 2 256
2 256 : 2 = 1 128 (păsări)
1 128 : 4 = 282 (gâște)
282 x 3 = 846 (găini )
3 444 – 1 128 = 2 316 (animale: vaci și oi)
2 136 : 6 = 386 (va ci)
386 x 5 = 1 930 (oi)
Exemplu:
Cu prilejul unui spectacol se constată că dacă spectatorii se așează câte 4 pe
bancă, rămân 18 persoane în picioare, iar dacă spectatorii se așează câte 5 pe bancă,
rămân 4 bănci libere.
Câte bănci sunt în sală și câți spectatori ?
Rezolvare :
Ipoteza I : Se presupune că ar fi 30 bănci.
30 x 4 = 120 (spectatori) 30 – 4 = 26 (bănci ocupate)
120 + 18 = 138 (spectatori ) 26 x 5 = 130 (spectatori )
138 – 130 = 8 (diferența dintre spectatori )

Ipoteza a II -a: Se presupune că a r fi 31 de bănci.

48
1/2 din T(total
)

0)(total) 2 31 x 4 = 124 (spectatori ) 31 – 4 = 27 (bănci ocupate )
124 + 18 = 142 (spectatori) 27 x 5 = 135 (spectatori)
142 – 135 = 7 (diferența dintre spectatori )
Dacă numărul băncilor s -a mărit cu 1, diferența s -a micșorat cu o unitate, de unde
rezultă că numărul băncilor trebuie mărit cu 8 pentru ca diferența de spectatori să se
acumuleze.
Deci: 38 x 4 = 152 (spectatori) 38 – 4 = 34 (bănci ocupate)
152 + 18 = 170 (spectatori) 34 x 5 = 170 (spectatori)
II.7.4. Meto da mersului invers
Se folosește în anumite probleme în care elementul necunoscut apare la începutul
șirului de relații dat în enunț. Analizând operațiile date în enunț și cele efectuate în
rezolvarea problemei, se poate constata că în fiecare etapă se efectuează operația inversă
celei din enunț. Deci, nu numai
„mersul” este invers, ci și operațiile efectuate pentru rezolvare sunt inverse decât
cele din problemă. Exercițiile de tipul celor degajate din enunțul problemei sunt de fapt
ecuații de gradul I cu o necunoscută, dar care se rezolvă prin raționament aritmetic cu
ajutorul relațiilor ce există între rezultatele operațiilor și termenii cu care se operează.
Rezolvarea unei asemenea probleme se poate combina și cu metoda figurativă.
Exemplu:
Un producător vinde pepeni la 3 cumpărători. Primul îi vinde o jumătate din
cantitate, celui de -al doilea o treime din ce îi rămăsese, iar celui de -al treilea o cincime
din noul rest.
Câți pepeni a avut producătorul, dacă i -au mai rămas 16 pepeni?
Rezolvare :

R1
1/3 din R 1
R2
1/5 din R 2

49
Se observă că reprezintă 4/5 din restul al doilea. Câți pepeni reprezintă restul al
doilea?
16 : 4 x 5 = 20 (pepeni)
Tot 20 reprezintă 2/3 din primul rest. Câți pepeni constituie primul rest?
20: 2 x 3 = 30 (pepeni)
30 reprezintă 1/2 din totalul inițial. Câți pepeni erau în total ?
30 x 2 = 60 (pepeni)
A rezolva un exercițiu sau o problemă prin mersul invers înseamnă a reface
calculele în sens invers celor indicate de text, până se ajunge la un element de bază pe care
s-a construit exercițiul sau problema. Se numește metoda mersului invers deoarece
operațiile se reconstituie în sens invers acțiunii problemei, adică de la sfârș it spre început,
fiecare operații corespunzându -i inversa ei. Metoda mersului invers se aplică atât în
rezolvarea exercițiilor numerice care conțin un element necunoscut, cât și în rezolvarea
problemelor care se încadrează în timpul respectiv.
Exemplu:
Se consideră un număr notat cu „a”, la care se adaugă 7, rezultatul se înmulțește
cu 6, din produsul obținut se scade 10, rezultatul se împarte la 4, apoi se adună 5,
obținându -se 25.
Cât este „a”?
[(a + 7) x 6 – 10] : 4 + 5 = 25
Rezolvare:
[(a + 7) x 6 – 10] : 4 = 25 – 5
[(a + 7) x 6 – 10] : 4 = 20
(a + 7) x 6 – 10 = 20 x 4
(a + 7) x 6 – 10 = 80
(a + 7) x 6 = 80 + 10
(a + 7) x 6 = 90
a + 7 = 90 : 6
a + 7 = 15
a = 15 – 7
a = 8

50

II.7.5. Probleme de mișcare
Problemele de mișcare sunt acelea în care se află una dintre mărimile: spațiul
(distanța), viteza sau timpul, când se cunosc două dintre ele sau diferite relații între acestea.
Spațiul (s) este lungimea drumului parcurs de un mobil (tren, autoturism, om) exprimat în
unități de lungime (metru, multiplii sau su bmultiplii lui). Viteza (v) este numărul de unități
de lungime parcurse de un mobil într -o unitate de timp, exprimată în unități de lungime pe
unități de timp (m/s, km/h). Timpul (t) este numărul de unități de timp (secunde, minute,
ore, zile) în care se p arcurge spațiul.
În general, în problemele de mișcare se vorbește despre mișcarea uniformă a unui
mobil, adică, în intervale de timp egale mobilul parcurge distanțe egale. În acest caz, cele
trei mărimi s, v, t, sunt legate prin relația :
s = v x t; v = s/ t; t = s/v
La rezolvarea problemelor de mișcare se pot folosi atât metodele aritmetice
generale și speciale, cât și cele algebrice.
Exemplu:
Doi turiști parcurg distanțe de la A la B. Primul turist a sosit în B cu 2 ore mai
târziu decât al doilea. Viteza p rimului turist este de 4 km /h, iar a celui de -al doilea de 6
km/h.
Să se determine distanța de la A la B.
Rezolvare :
I (aritmetică): v1= 4 km /h,
v2 = 6 km h;
v2 – v1 = 2 km/h
Deci primul a rămas în urmă cu spațiul:
s = 4 km/ h x 2 h = 8 km
8 : 2 = 4 ore, adică al doilea turist a mers 4 h și a parcurs 4 x 6 = 24 km, AB = 24
km.
II. (algebrică ): t1= s/4 (timpul necesar parcurgerii spațiul AB de primul
turist)
t2= s/6 (timpul necesar parcurgerii spațiului AB de al doilea turist)

51 48 km 280 km
A B
s/4 – s/6 = 2
3s – 2s = 24, s = 24, AB = 24 km
Tot în cadrul problemelor de mișcare sunt înscrise și probleme de întâlnire:
a) mobilele se deplasează în sens contrar;
b) mobilele se deplasează în același sens;
a) mobilele se deplasează în sens contrar
D
A B
v1 v2
Formula după care calculăm timpul de întâlnire într-o problemă
de mișcare în sensuri contrare este: t = s/ v 1 + v2
Exemplu:
Din orașul A ple acă la ora 11 dimineață un biciclist, spre B. El merge cu o viteză
de 16 km/h. După 3 ore a plecat un al doilea biciclist din oraș B spre orașul A cu viteza
de 2 km/h.
Când și unde se vor întâlni ei, dacă distanța de la A la B este de 328 km?
Rezolvare : recunoaștem din enunț, o problemă de mișcare în sensuri contrare, care
se deosebește foarte mult de problemele „standard”, comentate anterior. Cunoaștem
vitezele celor două mobile și trebuie să stabilim la ce distanță se aflau unul de altul în
momentul când începem să considerăm mișcarea, unuia către celălalt.
Facem următorul desen :
380Km

v1 = 16 hm/h v2 = 16 km/h

Etalon de rezolvare:
Până în momentul plecării din B celui de -al II-lea biciclist, primul parcurge: 16 x 3 = 48

52 (km) (AC).
El se află ia distanța de 328 – 48 = 280 (km ) față de biciclistul al II -lea (CB), în
momentul plecării acestuia din B.
Din acest moment, problema s -a redus la o problemă tipică de mișcare în sensuri
contrare. În fiecare oră, distanța dintre cei doi se micșorează cu:
16 km + 12 km = 28 km
Pentru ca ei să se întâlnească trebuie să treacă atâtea ore de câte ori se cuprind
28 km în 280 km, adică:
280 km : 28 km/h = 10 ore.
Deci, cei doi bicicliști se întâlnesc după 10 ore de la plecarea celui din B sau l a
10 + 3 = 13 (ore ) după plecarea celui din A . Ei se vor întâlni la ora: 11 + 13 = 24
(h), la distanța de:
16 x 13 = 208 km de orașul A .
b) mobilele se deplasează în același sens
Aceste probleme pot fi redate schematic ca în figura de mai jos:
A B
v2
v1
Formula după care calculăm timpul de întâlnire într -o problemă de mișcare în
același sens este: t = s/ v 1 – v2
Exemplu:
Un biciclist, având viteza de 24 km/h, pleacă din orașul A. D upă 3 ore pleacă tot
din orașul
A, în aceeași direcție, un motociclist, având viteza de 42 km /h.
În cât timp îl va ajunge motociclistul pe biciclist ?

Rezolvare
A B
Vb = 24 km/h
Vm = 42 hm/h

53 În 3 ore biciclistul parcurge o distanță de:
24 x 3 = 72 (km)
Motociclistul parcurge în fiecare oră, în plus:
42 – 24 = 18 (km)
Cei 72 de km vor fi recuperați în:
72 : 18 = 4 (h), timp după care biciclistul va fi ajuns
Distanța de întâlnire va fi:
41 4 = 168 (km )

II.7.6. Probleme cu mărimi proporționale
În probleme cu mărimi proporționale intervin două feluri de mărimi:
1. Mărimi direct proporționale – două mărimi depind una de alta în așa fel
încât dacă o mărime se mărește sau se micșorează de un număr de ori cealaltă se mărește
sau se micșorează de același număr de ori.
Exemple:
– cantitatea de marfă și valoarea ei în unități monetare;
– timpul de lucru și retribuția;
– spațiu l și timpul în mișcare uniformă;
– debitul și cantitatea de lichid acumulat într -un timp determinat.
2. Mărimi invers proporționale – două mărimi depind una de alta în așa fel
încât dacă prima mărime se mărește de un număr de ori, valoarea corespunzătoare din
mărimea a doua se micșorează de același număr de ori și invers.
Exemple :
– numărul muncitorilor și timpul de lucru pentru volum de muncă dat;
– viteza și timpul în mișcare uniformă pentru un spațiu dat;
– dimensiunile unui dreptunghi de arie data.
Exemplu:
Trei m uncitori cu aceeași calificare lucrează respective 5 piese, 8 piese și 7 piese
de același fel, pentru care primesc 7600 lei. Ce sumă primește fiecare?
În clasele primare apar probleme de genul celor de împărțire în părți direct pro –
porționale cu numere d ate. Elevii vor înțelege cu ușurință că, dacă muncitorii care intră în
componența unei echipe de lucru aduc o contribuție diferită în realizarea unui produs, este
firesc ca contribuția lor să fie diferită.

54 Pentru stabilirea sumei ce se cuvine fiecărui munc itor, proporțional cu numărul de
piese lucrate, este necesar să se cunoască cât se primește pentru o singură piesă lucrată.
De aici rezultă că metoda prin care se stabilește suma corespunzătoare pentru o
singură piesă, pentru o singură unitate se numește r educere la unitate. Rezolvarea
problemei comportă două etape distincte:
– aflarea sumei corespunzătoare pentru o singură piesă (reducere la unitate);
– aflarea numerelor corespunzătoare pentru 5 piese, respective 8 și 7 piese.

Planul rezolvării:
1. Aflăm numărul total de piese.
5 + 8 + 7 = 20 (piese)
2. Aflăm suma corespunzătoare unei singure piese.
7600 : 20 = 380 (lei)
3. Aflăm suma corespunzătoare pentru 5 piese.
380 x 5 = 1 900 (lei)
4. Aflăm suma corespunzătoare pentru 8 piese.
380 x 8 = 3 040 (lei)
5. Aflăm suma coresp unzătoare pentru 7 piese.
380 x 7 = 2 660 (lei)
Acest procedeu poate fi formulat astfel:
– pentru a împărți un număr în părți proporționale cu anumite numere date se
împarte acel număr la sumele numerelor date, iar catul se înmulțește cu fiecare din aceste
numere.
În categoria problemelor în care intervin mărimi proporționale o categorie o
constituie problemele care se rezolvă prin regula de trei simplă.
Metoda de baza o constituie reducerea la unitate, regula de trei simplă constituie
doar o formulă anumită de așezare a datelor.
În problemele care se rezolvă prin regula de trei simplă intervin două mărimi
direct sau invers proporționale, fiecare mărime cu câte o pereche de valori, una din aceste
valori fiind necunoscuta. În această categorie de probleme se da u trei valori cu ajutorul
cărora se găsește cea de -a patra valoare, fapt care justifică numerele regula de trei.
Considerând mărimile x și y cu perechile de valori x 1, x 2, respectiv
y1,y2.

55
Dacă mărimile x, y sunt direct proporționale , putem scrie:
x1/x2 = y 1/y2
sau
x1/y1 = x 2/y2
Proporții în care termenul necunoscut reprezintă cel de -al patrulea
proporțional și se poate afla ca atare:
y2 = x2 x y 1
x2
sau
y2 = y1 x x2
x1
Dacă mărimile sunt invers proporționale , putem scrie:
x1/x2 = y2/y1 sau x1/y2 = x1/y1
Dacă y 2 este cunoscut , y2 = x1 x y1
x2 sau y2 = y1 x x2
x1

Din cele de mai sus rezultă că pentru rezolvarea problemelor prin regula de trei
simplă este suficient să se așeze datele conform acestei reguli,iar în rezolvare și calcul să se
utilizeze metoda proporțiilor (aflarea celui de – al patrulea p roporțional).
Dar metoda care se utilizează în rezolvarea problemelor prin regula de trei simplă
este metoda reducerii la unitate, deoarece ea urmărește un raționament mai apropiat de
înțelegerea concretă a elevilor.
Metoda proporțiilor cere însă cunoștinț e matematice pe care elevii le parcurg abia
la gimnaziu (ea merge pentru elevii care participa la cercul de matematică).
Exemplu:
O cantitate de 250 kg de cartofi fost ambalată în 10 lăzi.
Dar 375 kg cartofi în câte lăzi se vor ambala?
250 kg ………………………….. ……………….. 10lăzi
375 k g ………………………….. ……………. x lăzi
Mărimile fiind direct proporționale și aplicând reducerea la unitate:
250kg ………………………….. …………….. 10lăzi
1 kg ………………………….. ……………….. 10lăzi

56 250
375 kg………………………………………… 10 . 375 = 3750 = 15 lăzi
250 250
Dacă 9 zile ……………………………………8 muncitori
1 zi ………………………….. ……………………. 8x 9 muncitori
4 zile …………………………. …………………… 8x 9 = 18 muncitori
4
Din cei 18 muncitori, 8 erau angajați și lucrau deja, astfel că mai trebuie angajați :
18 – 8 = 10 (muncitori).

II.7.7. Probleme nonstandard
O categorie aparte de probleme, care nu se supune exigențelor vreunui
criteriu de clasificare discutat până acum și care permite aplicarea unei metode învățate,
este cunoscută sub numele de probleme nonstandard. Această categorie include probleme
în fața cărora, după citirea enunțului, rezolvitorul, chiar și cel cu experiență, nu
reușesc să le introducă în „canoanele” metodei de rezolvare bine știute. În această
situație gândirea și imaginația lucrează febril, rezolvatorul devenind, în situația în care
reușește rezolvarea, un creator. Conduita este creatoare deoar ece nicio problemă nu
seamănă cu alta, de fiecare dată rezolvatorul fiind obligat să găsească o anume cale de
rezolvare proprie fiecărei probleme.
Valențele formative ale acestei activități rezolutive vizează: cultivarea
creativității elevilor din clasele primare (îndrăzneală, istețime, spirit inovator, iscoditor,
flexibilitatea gândirii, nonconformismul aplicării metodei); crearea unor situații
gene ratoare de motivație intrinsecă, cu consecințe favorabile în planul interesului pentru
matematică, al atitudinilor de căutare de noi probleme, al apariției unor satisfacții noi, care
întăresc pozitiv motivația școlară în sfere mai largi de activitate; educ area unor trăsături
volative pozitive pentru întreaga conduită a elevului (tenacitate, concentrare, voința de a
învinge, dorința de autodepășire controlată didactic etc ). Datorită marii varietăți a acestui
gen de probleme și a gradului înalt de articulari tate al fiecăreia, este greu să se facă
analogii, să se opereze transferurile de metodă. Asemenea probleme se vor rezolva mai
ales în cadrul cercului de matematică. Deoarece rezolvarea unei probleme nonstandard
reprezintă un act creator, vom încerca o regă sire a fazelor procesului de creație așa cum au
fost elaborate de psihologul en glez G. Wallas, în lucrarea „ Arta gândirii”, în anul 1926.

57
Exemplu:
Doi părinți se întâlnesc pe stradă și unul dintre ei îl întreabă pe celălalt câți copii
are și ce vârstă au . Cel întrebat răspunde: Am trei copii. Ce vârstă au? Ghicește!
Deoarece amândoi erau buni de glumă, între ei se înfiripă următorul dialog:
– Nu pot. Dă -mi câteva informații.
– Produsul vârstelor este 36.
– Nu-mi ajunge această informație .
– Suma vârstelor este cât numărul acesta de la casa în dreptul căreia ne aflăm .
După ce s -a gândit puțin, cel care întrebase spune :
– Tot nu pot să răspund. Mai dă -mi o informație .
– Da, cel mai mic are ochi albaștri .

După această informație el reușește să răspundă.
Cum a proce dat, știind că vârstele copiilor au fost exprimate în numere întregi?
1. Prepararea este momentul în care rezolvitorul (care este de fapt elevul și nu
unul dintre cei doi părinți) receptează activ toate sursele de sprijin posibile:
– știe clar ce trebuie să afl e (vârsta celor trei copii);
– adunarea materialelor – reactualizează toate datele problemei;
– munca reală de creație – deoarece rezolvitorul nu cunoaște decât produsul
vârstelor care este 36, el va încerca toate posibilitățile existente :
a) 1 x 1 x 36 = 36 b) 1 x 2 x 18 = 36
c) l x 3 x 12 = 36 d) l x 4 x 9 = 36
e) l x 6 x 6 = 36 f) 2 x 2 x 9 = 36
g) 2 x 3 x 6 = 36 h) 3 x 3 x 4 = 36
Cea de -a doua informație în legătură cu suma vârstelor îi este rezolvatorului
necunoscută, încercând din nou toate posibi litățile:
a) 1 + 1 + 36 = 38 b) 1 + 2 + 18 = 21
c) 1+ 3 + 12 = 16 d) 1 + 4 + 9 = 14
e) l + 6 + 6 = 13 f) 2 + 2 + 9 = 13
g) 2 + 3 + 6 = 11 h) 3 +3 + 4 = 10
2. Incubația este perioada activității inconștiente. După o scurtă perioadă de

58 timp apare o viziun e de ansamblu asupra strategiei de lucru și a posibilei soluții. Pe baza
jocului liber al imaginației și intuiției creatoare, are loc înțelegerea problemei, pregătindu –
se cea de -a treia fază.
3. Iluminarea – rezolvitorul înțelege că aflându -se în oricare dint re situațiile a), b),
c), d), e), f), g) , h) (menționate mai sus) celui de față i -ar fi fost ușor să afle vârsta.
Deoarece a mai cerut detaliu este evident că se aflau în dreptul casei cu numărul 13, având
două posibilități. Din acel detaliu, care la încep ut pare banal, lipsit de importanță, atât
părintele ce rezolvă problema, cât și elevul, înțeleg că important este faptul că există un
copil ca fiind cel mai mic, iar culoarea ochilor este de fapt elementul perturbator menit să
direcționeze greșit gândirea. Atunci dintre cele două variante posibile va alege prima variantă,
deci cea în care vârstele ar fi: 1 an, 6 ani, 6 ani.
4. Elaborarea și verificarea se realizează în mintea rezolvatorului stabilind
valoarea de adevăr a soluției găsite:
1x 6 x 6 = 36
1+ 6 + 6 = 13; există într -adevăr un copil ca fiind cel mai mic.

CAPITOLUL III ABORDAREA INTERDISCIPLINARĂ A
CONȚINUTURILOR MATEMATICE LA CICLUL PRIMAR
III.1. Interdisciplinaritatea
“Cel mai puternic argument pentru interdisciplinaritate este chiar faptul că viața nu este
împărțită pe discipline. ”
J. Moffett

Problema interdisciplinarității a preocupat filis ofii și pedagogii încă din cele mai
vechi timpuri: sofiștii greci, Plinius, Comenius și Leibnitz, iar la noi Spiru Haret, Iosif
Gabrea, G. Găvănescu și, dintre numeroșii pedagogici ai perioadei contemporane amintim
pe G. Văideanu. În opinia acestuia, intre disciplinaritatea „implică un anumit grad de
integrare între diferitele domenii ale cunoașterii și între diferite abordări, ca și utilizarea
unui limbaj comun permițând schimburi de ordin conceptual și metodologic”.
Constantin Cucoș, doctor în Științele Educației, definea interdisciplinaritatea , în
lucrarea ,,Pedagogie, 1996”, ca fiind ,,o formă a cooperării între discipline diferite cu

59 privire la o problematică a cărei complexitate nu poate fi surprinsă decât printr -o
convergență și o comb inare prudentă a mai multor puncte de vedere.”
Constantin Cucoș, Pedagogie , 1996 .
Promovarea interdisciplinarității constituie un element definitoriu al progresului
cunoașterii. În lucrarea „Programe de învățământ și educație permanentă” a utorul L.D.
Hainault aprecia că: „Se acordă mai multă importanță omului care merge decât drumului
pe care îl urmează. Astăzi disciplinele sunt invadate de un gigantism care le înăbușă, le
abate de la rolul lor simplificator și le închide în impasul hipersp ecializării.
Inconveniențele tot mai evidente ale compartimentării, necesitatea din ce în ce mai
manifestă a unor perspective globale și contestarea unui devotament față de obiect care
face ca omul sa fie uitat, au dus treptat la conceperea și la promovare a a ceea ce s -a numit
interdisciplinaritate ”.
Interdisciplinaritatea fiind o formă de cooperare între discipline științifice
diferite, care se realizează în principal respectând logica științelor respective, adaptate
particularităților legii didactice îl ajută pe elev în formarea unei imagini unitare a realității,
îi dezvoltă o gândire integratoare.
Interdisciplinaritatea se impune ca o exigență a lumii contemporane supusă
schimbărilor, acumulărilor cognitiv e în diferite domenii ale cunoașterii.
În perioada contemporană reforma conținuturilor învățământului românesc a creat cadrul
unor transformări la nivelul curriculumului, între care se distinge perspectiva
interdisciplinară.
Interdiscipl inaritatea se referă și la transferul metodelor dintr -o disciplină într –
alta, transfer cu grade diferite de implicare sau finalizare.
Interdisciplinaritatea reprezintă o modalitate de organizare a conținuturilor
învățării, cu implicații a supra întregii strategii de proiectare a curriculumului, care oferă o
imagine unitară asupra fenomenelor și proceselor studiate în cadrul diferitelor discipline de
învățământ și care facilitează contextualizarea și aplicarea cunoștințelor dobândite.
În procesul de învățământ se regăsesc demersuri interdisciplinare la nivelul
corelațiilor minimale obligatorii, sugerate chiar de planul de învățământ sau de programele
disciplinelor sau ariilor curriculare. În înfăptuirea unui învățământ mode rn, formativ,
considerăm predarea – învățarea interdisciplinară o condiție importantă. Corelarea
cunoștințelor de la diferitele obiecte de învățământ contribuie substanțial la realizarea
educației elevilor, la formarea și dezvoltarea flexibilității gândiri i, a capacității lor de a

60 aplica cunoștințele în practică; corelarea cunoștințelor fixează și sistematizează mai bine
cunoștințele, o disciplină o ajută pe cealaltă sa fie mai bine însușită.
Predarea – învățarea prin corelarea obiecte lor de studiu reprezintă noul în
lecții, care activează pe elevi, le stimulează creativitatea și contribuie la unitatea procesului
instructiv – educativ, la formarea unui om cu o cultură vastă.
Legătura dintre discipline se poate realiza la nivelul conținu turilor, obiectivelor, dar se
creează și un mediu propice pentru ca fiecare elev sa se exprime liber, să -și dea frâu liber
sentimentelor, să lucreze în echipă sau individual.
Interdisciplinaritatea implică stabilirea și folosirea uno r conexiuni între
limbaje explicative sau operații, cu scopul diminuării diferențelor care apar între
disciplinele de învățământ, clasice.
Predarea și învățarea unei discipline au dezavantajul că folosesc perceperea
secvențială și insu lară a realității unice făcând -o artificială. Din acest motiv este necesară
realizarea unor conexiuni, între anumite discipline școlare pentru o percepere unitară și
coerentă a fenomenologiei existențiale.
Predarea interdisciplinară pu ne accentul simultan pe aspectele multiple ale
dezvoltării copilului: intelectuală, emoțională, socială, fizică și estetică.
Interdisciplinaritatea asigură formarea sistematică și progresivă a unei culturi comunicative
necesare elevului în învățare, pentru interrelaționarea cu semenii, pentru parcurgerea cu
succes a treptelor următoare în învățare, pentru învățarea permanentă.

III.2. Probleme matematice cu conținut practic și interdisciplinar
Problemele cu conținut practic sunt acele probleme ce se referă la utilizarea
matematicii în situații cotidiene, în tehnică, în fizică, economie, biologie, medicină.În
cadrul procesului de învățământ aceste probleme cu conținut practic presupun îmbinarea
matematicii cu celelalte discipline, interdic iplinaritatea materi ilor, științ elor.
Interdisciplinaritatea este o formă de cooperare între discipline științifice diferite,
care se realizează în principal respectând logica științelor respective ,adaptate
particularităților legii didactice și -l ajută pe elev în formarea u nei imagini unitare a
realită ții, îi dezvoltă o gândire inte gratoare.
Interdisciplinaritatea se referă și la transferul metodelor dintr -o disciplină în alta,
transfer c u grade diferite de implicare , finalizare. Acestea reprezintă o m odalitate de
organizare a conți nutului învățării, cu implicații asupra întregii strategii de proiectare a

61 curriculum -ului, care oferă o imagine unitară asupra fenomenelor și proceselor studiate în
cadrul diferitelor discipline de în vățământ și care facilitează contextualizarea ș i aplicarea
cunoștințelor dobândite.
Corelarea cunoștințelor de la diferite categorii de activitate co ntribuie substanțial
la realiza rea educației copiilor, la formarea și dezvoltarea flexibilității gândirii, a capacității
acestora de a aplica cunoștințel e în practică – disciplinele studiate ajutându -se reciproc
pentru o însușire optimă . Aceste corelații interdisciplinare motivează și condiționează
caracterul sistemic al activităților instructiv -educative din școală.
Posibilitățile de corelare a cunoștințel or din diferite categorii de activitate sunt
nelimitate, important este ca profesorul să pregătească temeinic activitățile și să apeleze la
capacitățile lui creatoare.
În activitățile cu caracter interdisciplinar, copiii își completează, își adâncesc sau
aplică cunoștințele dobândite, numară, grupează, așează, socotesc, colorează, desenează,
recită, cântă, povestesc, în funcție de legăturile logice dintre conținuturi.
În cele ce urmează prezint câteva corelații ale activităților cu conținut matematic
cu cel elalte categorii de activități.
În cadrul ariei curriculare „Matematică și explorarea mediului” legătura dintre
cele două materii este foarte strânsă, deoarece orice activitate de observare a plantelor,
animalelor, poate constitui un prilej de consolidare, verificare, ba chiar de anticipare a
cunoștințelor matematice. Astfel, copiii sunt puși să stabilească forma părților componente,
să compare pentru a stabili dimensiunile, să precizeze culorile, să numere (ochii, urechile,
picioarele animalelor). În activ itatea de observare „Iepurașul” copiii consolidează
cunoștințele dobândite despre dimensiuni, observând că iepurașul are urechile lungi și
coada scurtă, de asemenea numără și picioarele iepurașului.
În activitațile de observare „Fructe”, „Legume” se pot st recura noțiuni de întreg,
jumătate, sfert, rotund, oval, pe care aceștia le vor discuta, pe larg, în cadrul lecțiilor de
matematică când li se vor preda fracțiile și figurile geometrice. După ce s -a desfășurat
activitatea de observare se poate organiza joc ul logico -matematic „Ciorba”, unde
învățătoarea având rolul de bucătăreasă cere elevilor să -i aducă : cepe mici galbene, roșii
rotunde mici, morcovi groși, cartofi mari și galbeni.. Prin acest joc, într -un climat de bună
dispoziție, se fixează noțiunile di n categoria cunoștințelor despre natură în corelare cu cele
matematice.
Prin jocul didactic „Ziua și noaptea” ,desfășurat la clasa pre gătitoare, se
reactualizează cu noștințele referitoare la selectarea și clasificarea obiectelor, la numerație,

62 operații de calcul, identificarea și denumirea elementelor din mediul înconjurător, sesizarea
legăturilor cauzale dintre obiecte, ființe și realitatea înconjurătoare corelate cu activitățile
matematice.
Lecțiile de comunicare în limba româna conțin elemente de corelar e cu
matematica. Astfel, după desfășurarea jocurilor didactice: „Jocul cuvintelor” și „Jocul
silabelor” se pot folosi fișe în care elevii trebuie să deseneze tot atâtea cerculețe câte
obiecte sunt în imagine, să traseze tot atâtea liniuțe câte silabe are c uvântul reprezentat prin
desen (floare, morcov, televizor), totodată se poate cere copiilor să găsească cuvinte cu un
număr dat de silabe, după care să bată din palme de atâtea ori câte silabe are cuvântul
respectiv sau să alcătuiască propoziții și să aduc ă un număr de bețișoare egal cu numărul
cuvintelor din care este formată fiecare propoziție.
Elevii pot învăța poezii numărătoare sau poezii care pot fi folosite la lecțiile de
matematică la familiarizarea cu cifrele, la aspectul ordinal al numerelor, la o perații de
calcul aritmetic. Din multitudinea de astfel de poezii voi reda câteva:

Numărând până la zece
de Radu Felican
1 seamăn ă c-un cui 6 seamănă c -un lacăt
Pe hârtie poți să -l pui Potrivit pe -o ușă -n treacăt,
2 cu gâtul de gânsac 7 pare -o coasă veche
Țanțoș înotând în lac, Tintuita -ntr-o ureche,
3 pare o barză -n zbor 8 două zale de lanț
Nu când stă intr -un picior Ce nu fac ciocnite „cranț”
4 e-ntorsul scăunel 9 e un poloboc
De nu poți sta pe el. Dar ca notă nu e mic,
5 e ca secera lun ii 10 să -l descriu încerc,
Și-l mai iau și notă unii. E unu urmat de cerc.

63 Livada
de Ion Creangă
Un copil sădește -n zori Opt piersici cruzi,
Doi meri mici, cât doi bujori Nouă mici și drepți aguzi.
Trei caiși cu rădăcini, Cât să numeri pân' la zece
Patru trandafiri cu spini, Îi udăm cu apă rec e
Cinci gutui cu flori rotate, Mari să crească, să se vadă
Șase nuci cum sunt prin sate, Cea mai tânără livadă.
Șapte peri,

Lecțiile de muzică și miș care contribuie cu succes, având în vedere că muzica este
îndrăgită de copii, la consolidarea, fixarea cunoștințelor, deprinderilor dobândite de elevi în
cadrul lecțiilor de matematică. Prin cântece, jocuri muzicale, copiii exersează număratul,
unele opera ții de calcul. Cântecul „Numărătoarea” ajută la consolidarea numărării în
limitele 0 -10 crescător și descrescător, iar cântecul „Șade rața pe butoi” fixează număratul
din doi în doi.
Cântecele adunării și scăderii cu 1 -2 unități, compuse de S ofica Matei în lucrarea
„Aritme tica muzicală”, ajută atât la fixarea număratului în șir crescător și descrescător în
limitele 1 -10, cât și la exersarea operațiilor de adunare și scădere cu 1 -2 unități în limitele
1-10.Cântecele se învață ușor, linia melodică fiind simpl ă, iar fiecare cântec are o strofă
care se repetă cu mici variații de cuvinte (se schimbă de obicei numerele). În majoritatea
cântecelor predomină cântarea dialogată, astfel ele devin simple probleme de calcul oral.
1. „Un rățoi e pe cărare 2. „Trei gâscuțe în grădină
Unul vine -n fuga mare. Ciugulesc dintr -o sulfină,
-Câți rățoi sunt pe cărare? Două din ele au plecat
-Unul și cu unu -Doi Ga, ga, ga fuga pe lac
Srigă vesel un pisoi.” Trei fară două – una fac”
A răspuns rățușca -Mac .”
În cadrul lecțiilor de arte vizuale și abilități practice se cons olidează cunoștințele
copiilor referitoare la formele geometrice, prin asemănarea lor cu obiecte din mediul
înconjurător, ajutându -i să realizeze desene decorative, după model sau din imaginația
proprie, versurile poeziei „Geometria” de Monica Lenos exempl ificând acest lucru:

64 Cu creioane colorate patru linii ușurel
Poți să desenezi de toate: cerc, dreptunghi -un băiețel,
doar o linie – e vântul iar pe cap cu o fundiță!
ca o minge – pământul Tot așa e o fetiță!
tot un cerc – soarele Mulți băieți și multe fete
romburi mici – petalele, Cercuri, puncte, linii, cete.
un pătrat – e o căsuță , Dacă se adună roată
un dreptunghi – o săniuță, E copilăria toată.

În activitățile de modelaj, elevii pot reda obiectele în diferite mărimi, de exemplu:
„Mărul mare, mijlociu, mic”, „Morcovi pentru iepurași groși, subțiri”, „Panglicuțe late și
înguste”.
Deprinderile formate în acest fel permit copii lor să lucreze cu ușurință fișele
matematice.
Din pătratul „Tangram”, prin exersarea tehnicii de decupare, îmbinare și lipire a
hârtiei, precum și plasarea în pagină, se reactualizează cunoștințele matematice referitoare
la figurile geometrice, mărimile ac estora și numerație, realizând teme ca: „Iepurașul”,
„Gâsca”, „Broscuța”, „Cocoșul”, „Litere și cifre”, recitându -se chiar și versuri:
„Șapte figuri colorate „Din pătratul colorat
Din pătrat tăiate -s toate Iute noi am așezat
Cu atenție le -așezăm Forme diferite, iată!
Și-un brăduț realzăm.” Pentru gâsca colorată.”

Activitățile de „Educație fizică” permit exersarea număratului, folosit pentru
păstrarea ritmului în timpul mersului sau al exercițiilor de gimnastică. Raportarea cantității
la număr se poate realiza prin jocul de mișcare „Buchețele”, în care copiii se grupează câte
2, 3 sau 4, în funcție de numărul rostit de către învățătoare. Veri ficarea cunoașterii
culorilor și constituirea de mulțimi după acest criteriu se realizează prin jocuri de mișcare
cum este „Caută -ți stegulețul”, în care copiii trebuie să se grupeze pe culori, în dreptul
stegulețului respectiv.
Interdiciplinaritatea repre zintă noul în activități, activează copiii, le stimulează
creativitatea și contribuie la unitatea procesului instructiv -educativ, creează un mediu

65 propice pentru exprimarea liberă, lucrul în echipă, clarificarea unor probleme, punerea în
aplicare a cunoști nțelor dobândite din diferte domenii.
În concluzie, se poate afirma că, abordarea interdiciplinară a conținuturilor în
lecțiile de matematică și celelalte materii prevăzute de programă, este benefică și înlesnește
o cunoaștere sistematică și rapidă a conce ptului de: mulțime, număr, formă geometrică,
operații de adunare și scădere, măsurarea mărimilor.

CAPITOLUL IV ASPECTE DIN EXPERIENȚA PERSONALĂ.
VALORIFICAREA EXPERIMENTALĂ

IV.1. Ipoteza cercetării

Cercetarea pedagogică este acel demers strategic desfășurat cu scopul
soluționării problemelor apărute pe parcursul desfășurării procesului educaționa l; este un
tip aparte de cercetare științifică ce urmărește înțelegerea, interpretarea, analiza, descrierea,
dezvoltarea diverselor aspecte/proble me legate de educație;
Aceasta este definită de către Dumitriu C. (2004) în lucrarea „ Introducere în cercetarea
psihopedagogică” ca fiind „ o strategie proiectată și realizată în scopul de a surprinde
relații și fapte noi între componentele acțiunii educaț ionale și de a elabora, pe această
bază, soluții optime pentru problemele procesului educațional. Este un demers rațional,
organizat în vederea surprinderii relațiilor funcționale și cauzale dintre variabilele
acțiunii educaționale practice .”
Kerlinger (19 64) definea ipoteza ca fiind ,, un enunț conjunctural despr e relația
dintre d ouă sau mai multe variabile ”. Legătura dintre variabile propusă prin ipoteze este,
deci, o relație posibilă , nu una certă; conchid că, ipoteza este o explicație plauzibilă care
urmează a fi verificată în cercetare prin datele care se obțin.
Prezenta cercetare a pornit de la urmatoarea ipoteză: dacă utilizăm o abordare
interdisciplinară a conținuturilor matematice, atunci vom contribui la încurajarea
comportamentului creativ al ele vilor, consolidând, la nivel intelectual, atitudini pozitive
atât față de matematică, cât și față de celelalte domenii de studiu din învățămîntul primar,
ca: arte, științe, om și societate, limbă și comunicare, optimizând și eficientizând
învățarea și de terminând astfel, creșterea randamentului școlar al elevilor.

66 În vederea testării ipotezei formulate mi -am propus mai multe direcții de acțiune
care constituie, totodată etape în derularea cercetării:
– elaborarea obiectivelor cercetării;
– stabilirea eșantionului experimental;
– administrarea factorului experimental;
– înregistrarea, prelucrarea, analiza și interpretarea datelor;
– stabilirea diferențelor între cele două faze în cadrul eșantionului.

IV.2. Obiectivele ce rcetării
Obiectivele propuse în realizarea acestei lucrări sunt de fundamentare
psihopedagogică, științifică și metodologică.
-evaluarea inițială a nivelului dezvoltării psihice și a cunoștințelor, priceperilor și
deprinderilor matematice ;
– aplicarea unor modalități de antrenare a elevilor la matematică prin intermediul
lecțiilor interdisciplinare;
– selectarea în vederea experimentării, a unor tehnici în concordanță cu specificul
disciplinei, cu cerințele programei școlare și cu pr ofilul psihologic al elevilor;
– evidențierea efectelor produse după utilizarea activităților matematice
interdisciplinare în școală.
Unul dintre reperele noului curriculum este acela de a socoti copiii subiecți ai
propriei formări, de ai implica direct în procesul instructiv – educativ, de a le crea condiții
variate de învățare, de a le dezvolta o personalitate deschisă, creatoare, de ai face capabili
să rezolve o problemă prin identificarea și combinarea unor puncte de vedere diferite.
Activitățil e intredisciplinare reprezintă o formă de organizare a lecțiilor pe care educația se
concentrează tot mai mult, în ultimul timp, deoarece acestea răspund acestui deziderat. Ele
recurg de cele mai multe ori la metode activ – participative, îmbină armonios co nținuturi și
metode din domenii diverse, ceea ce duce la activizarea elevilor și la progresul lor pe plan
intelectual, dezvoltându -le gândirea, memoria, imaginația, limbajul, iar in plan
comportamental îi ajută să se formeze ca și persoane deschise spre no u, le dezvoltă spiritul
de cooperare, ambiția, creativitatea, le demonstrează aplicabilitatea unor cunoștințe în
domenii diferite de viață.
Scopul cercetării de față este acela de a demonstra că, prin corelațiile pe care
învățătoarea le poate stabili între matematică și celelalte discipline, precum explorarea

67 mediului, arte vizuale și abilități practice, muzică și mișcare, etc. și utilizând metode
moderne de educație, va fi trezit și menținut interesul elevilor față de lecțiile matematice,
ceea ce va condu ce la îmbunătățirea rezultatelor acestora.

IV.3. Eșantionul și caracteristicile acestuia
Eșantionul experimental este alcătuit din cei 10 elevi ai clasei a III -a de la Școala
Gimnazială ,,Nicolae Efrimescu” comuna Săgeata, Structura Găvănești, din care 6 sunt
fete și 4 sunt băieți, cu vârsta cuprinsă între 9 -10 ani, cei mai mulți împlinind vârsta de 10
ani în decursul anului școlar 2018 -2019. Opt copii provin din familii organizate, doi dintre
aceștia având alături doar unul dintre părinți.
Conform chest ionarului de culegere a datelor, completat de către părinții elevilor
la începutul anului școlar 2018 -2019, am cules urmatoarele informații:
-din 18 părinți, 16 au studii medii, 2 părinți având doar 8 clase;
– 8 lucrează în diverse meserii în țară, 2 lu crează în străinătate și 8 sunt casnici;
– doar 2 copii sunt singuri la părinți, 6 mai au un frate, 1 are doi frați, iar 1 are trei frați.
Colectivul clasei este relativ omogen, majoritatea copiilor fiind normal dezvoltați
atât fizic, cât și intelectual. E levii sunt disciplinați, nu creează probleme în timpul orelor,
sunt comunicativi și sociabili.
Am optat pentru modelul de cercetare pe un singur eșantion – „înainte – după”
(M. Popa – APIO – Metodologia cercetării (note de curs): 08_Modele de cercetare
expe rimentale și quasi -experimentale ) și o testare finală în încheierea cercetării.

IV.4. Metode și tehnici folosite în cercetare
Metoda de cercetare științifică este „ un ansamblu de operții intelectuale prin care
o disciplină sau o ramură a cunoașterii caut ă să ajungă la adevăruri pe care să le
demonstreze, să le verifice. Ele sunt ghidate de concepția generală a cercetatorului, de
principiile teoretico – științifice de la care pornește, respectiv, de metodologia cercetarii.” (
Dumitriu C. (2004) în lucrarea „ Introducere în cercetarea psihopedagogică” )
Tehnica de cercetare e subordonată metodei și este definită, în general, de către
autorul citat anterior, în aceeași lucrare, ca „un ansamblu de prescripții metodologice

68 (reguli, procedee) pentru o acțiune eficie ntă”. Procedeul este „ maniera de acțiune, de
utilizare a instrumentelor de investigare ”, iar instrumentele sunt „ uneltele materiale ”de
care se folosește cercetătorul în cunoașterea științifică a fenomenului cercetat.
Într-o cercetare psihopedagogică sunt utilizate mai multe metode pentru a strânge
informații complementare, limitele unei metode fiind completate de către altă metodă .În
această cercetare am folosit următoarele metode:
1. Metoda observației – este frecvent utilizată în școală deoarece, atât o bservația
spontană (pasivă), cât și cea științifică (provocată), oferă date legate de comportamentul
elevilor la lecții, în recreații, în cadrul activităților extracurriculare și în familie. Aceasta
metodă,care a fost cea mai folosită, a furnizat date ref eritoare la unele particularități
psihice implicate în activitatea de învățare școlară, capacitatea de percepere, spiritul de
observație, rapiditatea în reactualizarea cunoștințelor, reacția elevului la întrebarile
adresate, gradul de concentrare a atenție i, rapiditatea și spontaneitatea răspunsurilor,
caracteristici ale limbajului, nivelul formării unor deprinderi, prezența sau absența unor
înclinații, aptitudini, atitudinea în fața diverselor strategii cu caracter interdisciplinar,
reacții fată de succes sau insucces. Observația s -a derulat în situații cât mai variate, datele
obținute fiind consemnate fară a atrage atenția elevilor și fiind corelate cu datele furnizate
de celelalte metode.
2. Metoda convorbirii – a fost folosită atât pentru obținerea unor informații de la
elevi, cât și de la părinții acestora. Așadar, am aflat care sunt aspirațiile și interesele
copiilor, condițiile materiale și climatul familial, programul zilnic al elevului, starea de
sănătate, preferințele/ repulsia față de unele activi tăți. În cadrul sedințelor cu părinții, am
discutat cu aceștia despre diversele activități de învățare efectuate la clasă, despre
obiectivele urmărite la unitățile pracurse, dar și despre cele ce se vor parcurge în viitor,
despre modalitățile de îndeplinir e ale acestora.
Confruntând materialul obținut cu datele furnizate de celelalte metode,
convorbirea contribuie la întregirea portretului psihologic al personalității elevului, ajută la
adoptarea unor măsuri eficiente de înlăturare sau prevenire a unui eșec , favorizând
obținerea performanțelor școlare.

69 3. Metoda analizei produselor activității – această metodă mi -a furnizat informații
despre procesele psihice și unele trăsături de personalitate ale elevilor prin prisma regăsirii
lor în produsele activității: fișe, desene, portofoliu, caiete speciale, lucrări practice.Aceste
produse ale activității școlare ale elevilor poartă amprenta, pe de o parte a cerințelor
disciplinelor de învățământ, iar pe de altă parte, a caracteristicilor lor individuale.Utilizarea
acestei metode mi -a permis depistarea copiilor cu potențial creativ, implicați pentru a duce
o sarcină la bun sfârșit.
Din corectarea caietelor speciale de matematică si explorarea mediului, a fișelor
de lucru, am remarcat nivelul de corectitudine al rezolvă rii sarcinilor, aspectul estetic,
progresul/regresul înregistrat de la o etapă la alta, capacitatea de punere în practică a
cunoștințelor teoretice, capacitatea de reprezentare, bogația vocabularului și precizia lui,
nivelul și calitatea cunoștințelor și d eprinderilor.

4. Metoda biografică – ne oferă o serie de date privind evolu ția psihologică a
elevului, în interdependența cu influența factorilor externi ai dezvoltării.Această metodă
“se bazează pe cercetarea vieții și activității individului în vederea cunoașterii istoriei
personale necesare în stabilirea profilului personalită ții sale, precum și pentru explicarea
comportamentului actual al persoanei.” ( Dumitriu C. (2004) în lucrarea „ Introducere în
cercetarea psihopedagogică” ).
Datele au fost adunate în urma discuțiilor cu părinții, mulți dintre părinții elevilor
care au frecve ntat regulat grădinița, au precizat ca aceștia au făcut progrese mai ales în
ceea ce privește trăsăturile temperamentale, de la un temperament interiorizat, evoluând
spre unul exteriorizat.

5. Experimentul psihopedagogic , consideră Dumitriu C. (2004) în lucrarea
„Introducere în cercetarea psihopedagogică” , că este “ cea mai importantă metodă de
cercetare, deoarece furnizează date precise și obiective .”
Acesta poate fi constatativ, vizând măsurarea și consemnarea unei situații, și
formativ pres upunând intervenția în grupul școlar a unor „factori de progres” în vederea
apariției unor schimbări. Astfel, în cadrul experimentului psihopedagogic de tip formativ,
am verificat influența pe care au avut -o activitățile matematice cu caracter interdiscip linar
asupra copiilor, asupra rezultatelor școlare ale acestora. Etapele parcurse au fost:

70 – testarea inițială a grupului experimental în vederea evaluării cunoștințelor la
matematică, la începutul anului școlar 2018 -2019;
– introducerea „factorului de progres”, și anume lecțiile de matematică să aibă
caracter interdisciplinar, folosind ca instrumente fișe de lucru, prezentări Power Point,
imagini, platforme educaționale (My Koolio, Intuitext).
– testarea finală -pentru evidenți erea „factorului de progres” în stimularea
randamentului școlar.
Experimentul a furnizat date de ordin calitativ și cantitativ, cu un mai mare grad
de precizie,acestea fiind prelucrate și interpretate cu ajutorul metodelor și tehnicilor
statistico -matemati ce.
Toate datele, obținute în urma folosirii acestor metode și tehnici de cercetare au
fost prelucrate și interpretate, rezultatele au fost trecute în tabele, iar reprezentarea grafică
a datelor din tabel s -a făcut prin diagrame radiale, poligoane de frec vență și histograme.

IV.5. Organizarea și desfășurarea cercetării

Cercetarea a cuprins trei etape:

1. Etapa constatativă s-a desfășurat în primele două săptămâni din anul școlar 2018 –
2019, în perioada evaluării inițiale 10 -21 septembrie 2018 .Această etapă a avut ca scop
cunoașterea particularităților copiilor, a capacităților de învățare , a nivelului de pregătire
de la care pornesc și gradului în care stăpânesc cunoștințele și abilitățile necesare asimilării
conținutului etapei care urmează. Aceste date au fost obținute în urma aplicării elevilor a
unor teste inițiale la matematică.
Subliniind rolul și însemnătatea acestui tip de evaluare pentru integrarea elevilor
în activitatea ce urmează a fi străbatută, R. Ausubel afirma „Dacă aș vrea să reduc toată
psihopedagogia la un singur principiu, eu spun: ceea ce influențează cel mai mult
învățătura sunt cunoștințele pe care elevul le posedă la plecare.Asigurați -vă de ceea ce el
știe și instruiți -l în consecință ”( Cerghit I., Radu I., Popescu E., Vlăsceanu L., -Didactica,
Editura Didactică și Pedagogică, București, 1991) .
Analiza și prelucrarea datelor mi -au oferit posibilitatea formulării concluziilor cu
privire la colectivul de elevi, la fiecare elev în parte, precum și adoptarea unor măsuri de
sprijin și recuperare a unor elevi.

71
2. Etapa experimentală sau formativ -ameliorativă s-a desfășurat în perioada
24.10.2018 – 31.05.2019, a cuprins proiectarea, organizarea, și desfășurarea demersului
didactic la disciplina matematică, introduce rea factorului de progres (activitățile
matematice cu caracter interdisciplinar ), urmărindu -se antrenarea tuturor elevilor în
procesul propriei formări. Pe baza rezultatelor obținute am adoptat decizii adecvate de
organizare a unor activități diferențiate , atât cu elevii ce dovedesc un randament crescut la
învățătură, cât și cu elevii ce manifestă goluri în cunoștințe. În această perioadă s -au
măsurat cunoștințele elevilor prin teste monodisciplinare și interdisciplinare, prin observări
efectuate în timpul orelor de matematică asupra comportamentelor acestora, asupra
rezultatelor și asupra produselor activităților.

3. Etapa finală s-a desfașurat în perioada 03.06.2019 – 14.06.2019, în cadrul
acesteia aplicându -se elevilor teste de evaluare pe ntru a se stabili nivelul de pregătire și
modul în care au evoluat de la testele inițiale.Apoi s -au centralizat datele furnizate de
aceste etape ale cercetării în tabele centralizatoare analitice și sintetice, care au facilitat
sesizarea eventualelor lacun e, a eficienței mai mari sau mai reduse a strategiilor alese,
inițierea unor programe de compensare sau dezvoltare specifice, prin valorificarea
valențelor activ -participative ale metodei didactice ce a fost aleasă ca factor de progres.

I. EVALUAREA INIȚIAL Ă

Evaluarea inițială realizată la începutul anului școlar a urmărit verificarea
cunoștințelor elevilor privitoare la:
– Formarea / scrierea/ citirea (cu cifre/ litere) numerelor până la 1000 ;
– Compararea / ordonarea numerelor în concentrul 0 -1000 ;
– Efectuar ea de adunări și scăderi, mental și în scris, în concentrul 0 -1000, recurgând la
numărare și/sau grupare ori de câte ori este necesar ;
– Efectuarea de înmulțiri și împărțiri în concentrul 0 -1000 ;
– Utilizarea unor denumiri și simboluri matematice (sumă, tota l, termenii unei sume,
diferență, rest, descăzut, scăzător, produs, factorii unui produs, cât, deîmpărțit,
împărțitor, <, >, =, +, -, ·, 🙂 în rezolvarea de probleme ;
– Evidențierea unor caracteristici simple specifice formelor geometrice plane și corpurilo r
geometrice identificate în diferite contexte ;

72 – Rezolvarea de probleme în cadrul unor investigații, prin observarea și generalizarea
unor modele sau regularități din mediul apropiat ;
– Rezolvarea de probleme de tipul a±b=x; a±b±c=x în concentrul 0 -1000; a· b=x; a:b=x, în
concentrul 0 -100, cu sprijin în obiecte, imagini sau reprezentări schematice ;
– Identificarea și utilizarea unităților de măsură uzuale pentru lungime, capacitate, masă
(metrul, centimetrul, litrul, mililitrul, kilogramul, gramul ).

Toate aceste informații au fost obținute prin intermediul administrării testului de
evaluare inițială, elaborat în vederea aprecierii calitative și cantitative a formării
competențelor specifice, urmărite de Programa școlară pentru disciplina Matemat ică și
explorarea mediului, pe parcursul clasei a II -a, folosit în două variante: varianta 1 și
varianta 2 -diferențiată , (adaptată nivelului mai scăzut de cunoștințe, în cazul a 2 din cei 10
elevi evaluați). Îtemii elaborați diferențiat sunt 5, respectiv 6, care vizează competențele
aflate încă în curs de formare, pentru elevii F.F. și V.A.

TEST DE EVALUARE INIȚIALĂ – varianta 1.

Obiective operaționale:
O1- să scrie corect cu cifre numerele naturale date , cuprinse între 0 – 1000;
O2- să scrie vecinii n umerelor naturale date, cuprinse între 0 – 1000;
O3- să descopere regula de numărare (crescător/ descrescător) și să completeze corect și
complet, șirurile de numere date;
O4- să stabilească relația dintre numerele specificate, folosind corect semnele
corespunzătoare ;
O5- Să rezolve corect operații de adunare ( fără și cu trecere peste ordin) / scădere (fără și
cu împrumut) cu numere naturale în concentrul 0 -1000, respectiv înmulțire/ împărțire a
numerelor naturale în concentrul 0 -100;
O6- să rezolve o pro blemă, dovedind înțelegerea conținutului, redactând corect planul de
rezolvare, efectuând corect cele două operații (+, x), pentru obținerea rezultatului final;
O7- să recunoască, scriind denumirile figurilor geometrice învățate și să realizeze
coresponden ța între corpurile geometrice și obiectele prezentate;
O8- să denumească uitățile principale standard de măsură pentru: lungime/ capacitate/
masă, timp.

73 1. Scrie cu cifre numerele următoare :
– treizeci și doi
– șase sute patruzeci
– cinci sute treizeci și șase

2. Scrie vecinii fiecărui număr :
…….. 489 ……. ; …….. 710 …… .. ; …….. 900 ……. ;

3. Numără:
a) de la 535 până la 540:
……………………………………………………………………………..………………;
b) de la 630 până la 625:
………………..……………………………………………………………………………;
c) de la 903 până la 898:
…………………………………………………………………………………………… .

4.Completea ză cu unul dintre semnele <, =, >:

599 547; 25 134 254 254

753 735; 169 191 633 632

5. Calculează:
38 + 2= 815 + 132 = 775 – 578 =
21 – 5= 147 + 230 = 628 – 439 =
8 X 2= 6 X 7 = 7 X 9 =
45 : 5= 28 : 4 = 72 : 8 =

74

6. Într- o parcare sunt ocupate cu mașini albastre 144 de locuri, cu mașini verzi 7 locuri
iar cu mașini galbene , de trei ori mai multe decât cu verzi .
Câte locuri are parcarea în total?
Rezolvare:

Răspuns:…………………………………………
7. Scrie denumirile formelor plane desenate mai jos:

_______________ _________ ___ ________________ _________________
8. Realizează corespondența între obiecte și formele spațiale:

9. Completați:
– unitatea principală de măsură pentru măsurarea lungimii este_________________;
– unitatea principală de măsură pentru măsurarea capacității vaselor este_________;

75 – unitatea principală de măsură pentru măsurarea masei unui corp este___________;
– o săptămână are __________ zile;
– un an are __________ luni;
– o zi are __________ore.

TESTARE INIȚIALĂ – varianta 2 – diferențiată
Obiective operaționale:
O1- să scrie corect cu cifre numerele naturale date , cuprinse între 0 – 1000;
O2- să scrie vecinii numerelor naturale date, cuprinse între 0 – 1000;
O3- să descopere regula de numărare (crescător/ descrescător) și să completeze corect și
complet, șirurile de numere date;
O4- să stabilească relația dintre numerele specificate, folosind corect semnele
corespunzătoare ;
O5- Să rezolve corect operații de adunare ( fără trecere peste ordin) / scădere (fără
împrumut) cu numere naturale în concentrul 0 -1000, respectiv înmulțire a numerelor
naturale în concentrul 0 -100;
O6- să rezolve o problemă, dovedind înțelegerea conținutului, redactând corect planul de
rezolvare, efectuând corect operația de adunare pentru obținerea rezultatul ui solicitat ;
O7- să recunoască, scriind denumirile figurilor geometrice învățate și să realizeze
coresponde nța între corpurile geometrice și obiectele prezentate;
O8- să denumească uitățile principale standard de măsură pentru: lungime/ capacitate/
masă, timp.

1. Scrie cu cifre numerele următoare :
– treizeci și doi
– șase sute patruzeci
– cinci sute treizeci și șase

76
2. Scrie vecinii fiecărui număr :
…….. 489 ……. ; …….. 710 …….. ; …….. 900 ……. ;
3. Numără:
a) de la 535 până la 540:
……………………………………………………………………………..………………;
b) de la 630 până la 625:
………………..……………………………………………………………………………;
c) de la 903 până la 898:
…………………………………………………………………………………………… .

4.Completea ză cu unul dintre semnele <, =, >:
599 547; 25 134 254 254

753 735; 169 191 633 632

5. Calculează:
35 + 2= 315 + 132 = 765 – 512 =
26 – 5= 147 + 230 = 639 – 428 =
8 X 2= 6 X 7 = 7 X 9 =
9 X 5= 7 X 4 = 9 X 8 =
6. Într- o parcare sunt ocupate 144 de locuri, iar 25 sunt libere .
Câte locuri are parcarea în total?
Rezolvare:

Răspuns:…………………………………………

77
7. Scrie denumirile formelor plane desenate mai jos:

_______________ ____________ ________________ _________________
8. Realizează corespondența între obiecte și formele spațiale:

9. Completați:
– unitatea principală de măsură pentru măsurarea lungimii este_________________;
– unitatea principală de măsură pentru mă surarea capacității vaselor este_________;
– unitatea principală de măsură pentru măsurarea masei unui corp este___________;
– o săptămână are __________ zile;
– un an are __________ luni;
– o zi are __________ore.

Descriptorii de performanț ă au fost formulați în aceeași formă, fiind valabili
pentru ambele probe administrate.

78 DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ

ITE-
MUL
CALIFICATIVUL

FOARTE BINE
BINE
SUFICIENT
1. Răspuns corect și complet:
scrie corect toate cele trei
numere date în cifre. Răspuns parțial corect:
scrie corect două dintre
numerele date. Răspuns parțial
corect: scrie corect
un singur număr.

2. Răspuns corect și complet:
scrie corect vecinii celor trei
numere naturale date. Răspuns parțial corect:
scrie corect vecinii a două
numere naturale. Răspuns parțial
corect: scrie corect
vecinii unui
singur număr
natural.

3.

Răspuns corect și complet:
scrie corect în ordine
crescătoare/ descrescătoare
toate numere naturale. Răspuns parțial
corect: scrie corect în
ordine crescătoa re/
descrescătoare numere
naturale, cu patru -cinci
erori. Răspuns parțial
corect: scrie corect
în ordine
crescătoare/
descrescătoare
numere naturale,
cu sase -zece erori.
4. Răspuns corect și complet:
scrie corect toate cele șase
semne matematice (<,=,>). Răspuns parțial corect:
scrie corect patru -cinci
semne matematice. Răspuns parțial
corect: scrie corect
două -trei semne
matematice.

5. Răspuns corect și complet:
efectuază corect 10 -12
exerciții. Răspuns parțial corect:
efectuază corect 7 -9
exerciții. Răspuns parțial
corect: efectuază
corect 4 -6
exerciții.

6. Răspuns corect și complet:
rezolvă problema, folosind
planul și are calculul
corect. Răspuns parțial corect:
rezolvă problema, folosind
planul, dar greșește la
calcul. Răspuns parțial
corect: rezolvă
problema, dar fără
plan.

7. Răspuns corect și complet:
scrie corect denumirea a
trei-patru figuri geometrice. Răspuns parțial corect:
scrie corect denumirea a
două figuri geometrice. Răspuns parțial
corect: scrie
corect denumirea
unei singure f iguri
geometrice.

8. Răspuns corect și complet:
realizează corect trei -patru
corespondențe între obiecte
și formele spațiale . Răspuns parțial corect:
realizează corect două
corespondențe între obiecte
și formele spațiale. Răspuns parțial
corect: realize ază
corect o singură
corespondență
între un obiect și o
formă spațială.

79 9. Răspuns corect și complet:
completează corect
denumirea a sase unități de
măsură. Răspuns parțial corect:
completează corect
denumirea a patru unități de
măsură. Răspuns parțial
corect:
completează corect
denumirea a două
unități de măsură.

Rezultatele evaluării inițiale au fost înregistrate într -un tabel centralizator, în care
am stabilit nivelul de performanță a fiecărui elev, în funcție de descriptorii de performanță
aferenți t estelor. Pe baza acestui tabel s-au întocmit: histrograma nr. 1, poligonul de
frecvență nr.1 și diagrama de radială nr.1.
După înregistr area datelor s -a constatat că: 2 elevi au ob ținut calificativul FB
procent 2 0,0% , 4 elevi cal ificativul B procent 40,0% și 4 elevi calificativul S procent
40,0%.

TABEL CENTRALIZATOR REZULTATE NR. 1

Calificativ
FB
B
S

Nr. elevi
2
4
4

Procent
20,0%
40,0%
40,0%

Histograma nr.1

0 1 2 3 4
Foarte
bine Bine
Suficient S
B
FB

80 Poligonul de frecvență nr. 1

Diagramă radială nr.1

II . INTRODUCEREA FACTORILUI DE PROGRES
În această etapă am introdus factorul de progres , diversificând condițiile de
manifestare prin propunerea spre rezolvare a unor probleme cu caracter interdisciplinar și
practic , pe lângă celelalte utilizate, axându -mă în lecțiile de matematică și pe munca în
echipă și cooperare între elevi.
O parte dintre acestea sunt prezentate în cele ce urmează:
1. Folosind cifr ele de pe puful păpădiei, scrie:
0 1 2 3 4 5
Foarte bine Bine Suficient FB
B
S
20%
40% 40% Procente
FB B S

81 2. Descoperă ce număr ar trebui să fie scris la capătul ultimului vrej.

3. În cele trei căsuțe sunt strânse roadele toamnei. Ordonează descrescător masele
roadelor.

4. Ordonând crescător numerele , vei descoperi ce fel de pasăre este pitpalacul.

5. Rotunjește la zeci masa hranei dintr -un an a fiecărui animal:

82 6. Ajută la recondiționarea ceasului!

7. Colorează în clepsidră atâta nisip cât timp s -a scurs de când ai devenit școlar!

8. Pentru a descoperi o caracteristică a personajelor din fabula ,,Greierele și fur –
nica” de Jean de la Fontaine, rezolvăexercițiile!Fiecărui rezultat îi corespunde o literă.

83 9.Ce număr ar trebiu scris pe capul șarpelui?

Șarpele este o…………. ………El are corpul ac operit cu………………ș i respiră prin………………..
Se înmulțește prin…………………….. .

10. Iată orarul Mariei, de marți:

Pentru fiecare materie are un manual. La Li mba și literatura română și
Matematică folosește câte două caiete, iar la Arte vizuale și abilități practice, un caiet.
Află câte cărți și câte caiete are, în total, Maria, în ghiozdan!

11. La un concurs organizat la carnaval, a câștigat locul I personaul c are poartă
numărul par, iar cel care poartă număril impar, locul II.
Stabilește locul fiecăruia!

84 12. La start s -au așezat cu toți
Părinți, bunici dar și nepoți.
Pe săniuțe -s bucuroși
Mii de copii ambițioși.
Schiorii pleacă cu elan
Pe pârtia de porțelan!

Numerotează copii de pe pârtie în ordinea descrescătoare a rezultatelor!

13. La un carnaval a participat un magician. El le -a cerut participanților să scrie toate
numerele de forma abcd , folosind toate cifrele:6,2 ,0,1.
Încearcă și tu!

85 14. Albă – ca Zăpada a adus un sac cu 56 de mere. Le-a împărțit în mod egal celor 7
pitici.Câte mere a primit fiecare pitic?

15. Pentu a ajunge la prietenii săi, piticul rătăcit trebi ue să calce doar pe pietrele al
căror rezultat este număr par.
Ajută -l, colorând pietrele!

16. Pentru aotimpul ploios, un magazin s -a aprovozionat cu două cutii de umbrele.În
prima cutie erau 23 de pachete a câte 3 umbrele, iar în a doua cutie, 36 pachete, a câte 2
umbrele.
Câte umbrele sunt în total? Scrie rezolvarea problemei și sub forma unui singur exercițiu!

86 17. Împarte șnurul după cerință și colorează partea indicată!

Alb și roșu împletit
Șnuruleț însuflețit Ce aduce bucurii
La părinți și la copii !

18. Scrie fracțile care reprezintă partea colorată și apoi compară -le!

Mărțișorul este un obiect mic, de podoabă, legat cu un șnur împletit dintr -un
fir alb și unul roșu, care apare în tradiția românilor și a unor popoare
învecinate . El se poartă pe durata lunii ma rtie, ca semn al sosirii primăverii.

87 19. Scrie fracțiile corespunzătoare, apoi compară -le!

20. Desenează conform indicațiilor:
-pe segmentul de dreaptă AB, legumele care îți plac mai mult;
-pe segmentul de drea ptă BC, fructele care îțiplac cel mai mult;
-pe segmentul de dreaptă CD, o legumă pe care nu vrei să o consumi.

21. Scrie denumirea fructelor și legumelor:

– Care se află numai în triunghi………………………………………….. ………………. …….. …. ;
– Care se află numai în pătrat………………………………………….. …………………….. …….. ;
– Care se află și în pătrat și în triunghi………………………………. ……………………. …….. ;

88 22. Grădina de le gume a bunicii are forma unui pătrat. Ea a fost împrejmuită cu 88 m
de gard. Ce lungime are o latură?

23. Desenează pe aripi 4 cercuri, 2 dreptunghiuri, 3 triunghiuri, apoi întregește esenul și
colorează -l!

24. Află cu cât este mai mare suma decât diferența peștilor din cele două acvarii.

Patru aripioare,
Gingășie și culoare
Pare că -i pictat
Și catifelat!

89 25. Într-un coș sunt 16 ouă. ½ din ele sunt roșii, iar restul sunt, în mod egal galbene și
verzi.Câte ouă sunt din fiecare culoare? Colorează corespunzător!

26.

a.Completează tabelul cu informațiile din afiș!

90 b. În fiecare zi motanul încălța cizmele și pleca la drum. Știind că în prima zi a parcurs
70km., iar apoi cu câte 5 km. mai mut în fiecare zi, află câți km. a parcurs într -o
săptămână.

27. Mihai se pregă tește să -și serbeze ziua de naștere.Sala a fost decoratăși așteaptă cu
nerăbdare invitații.

Rezolvă exercițiile și așază în ordine crescătoare rezultatele pentru a descoperi ce
relație există între cei care participă la petrecere.

28. Către o fabrică de ceai au fost trimise, conform graficului, cantități de plante
medicinale. Câte kg. de plante medicinale au fost trimise în total?

Cimbrișor Mușețel Sunătoare

91 II. EVALUARE SUMATIVĂ

Evaluarea sumativă s-a desfășurat pentru a se stabili progresul elevilor și
eficiența activităților interdisciplinare desfășurate până în acest moment, precum și pentru
a identifica eventualele obstacole pe care elevii le -ar putea întâmp ina, referitor la atingerea
obiectivelor propuse la matematică, derivate din competențelor specifice, precizate de
Programa școlară pentru disciplina Matematică și explorarea mediului, pe parcursul
clasei aIII -a.
Această evaluare, efectuată la finalul seme strului I a verific at calitativ și cantitativ
cunoștințele elevilor privitoare la:
– Formarea /scrierea /citirea (cu cifre/cu litere) numerelor naturale în concentrul 0 – 10
000;
– Compararea/ ordonarea numerelor naturale în concentrul 0 – 10 000;
– Efectuarea de a dunări și scăderi cu numere naturale în concentrul 0 – 10 000;
– Efectuarea de înmulțiri cu numere în concentrul 0 – 100 și de împărțiri folosind ta –
bla înmulțirii, respectiv tabla împărțirii;
– Utilizarea terminologiei specifice și a unor simboluri matematice în rezolvarea de
probleme cu raționamente simple;
– Rezolvarea de probleme cu operațiile aritmetice studiate, în concentrul 0 – 10 000.
Testul a fost conceput în două variante: varianta 1 și varianta 2 -diferențiată ,
(adaptată nivelului mai scăzut de cunoștințe, în cazul a 2 din cei 10 elevi evaluați). Toți
itemii sunt elaborați și vizează competențele aflate încă în curs de formare, pentru elevii
F.F. și V.A.

TEST DE EVALUARE SUMATIVĂ – varianta 1.
Obiective operaționale:
O1- să scrie corect numerele naturale în concentrul 0 – 10 000, respectând criteriile date;
O2- să scrie corect cu cifre romane, numerele date, scrise cu cifre arabe, respectiv să scrie
cu cifre arabe, numerele date scrise cu cifre romane;
O3- să cunoască/ dovedească înțeleger ea, utilizând corect terminologia matematică;
O4- să ordoneze crescător/ descrescător numerele naturale în concentrul 0 – 10 000;
O5- să estimeze la ordinul miilor numerele naturale date;
O6- să efectueze operații de adunare și scădere cu numere naturale în concentrul

92 0 – 10 000;
O7- să efectueze operații de înmulțire cu numere în concentrul 0 – 100 și de împărțiri
folosind tabla înmulțirii, respectiv tabla împărțirii;
O8- să efectueze exercițiile date, respectând ordinea efectuării operațiilor și semnifica ția
parantezelor rotunde;
O9- să stabilească valoarea de adevăr a expresiilor matematice date, în urma efectuării
exercițiilor propuse;
O10- să rezolve o problema cu 5 operații, redactând corect planul de rezolvare, apoi să
rezolve problema printr -un singu r exercițiu.

1. Scrie în casete:
a) numerele reprezentate pe numărătoare:

b) -cel mai mic număr scris cu patru cifre consecutive .
-succesorul numărului 3 299 .
-cel mai mare număr de patru cifre cu suma cifrelor 10 .
c) -cu cifre arabe numărul XXXI I .
-cu cifre romane numerele 28 și 39 .

2. Ordonează:
a) crescător numerele: 3 333, 3 339, 1 002, 9 021, 1012;

b) descrescător numerele : 3 009, 9 003, 2 457, 2547, 7 115;

c) crescă tor numai numerele care se pot rotunji la 4 000: 4 451, 3 998, 4501,
3 422, 4 002, 3718, 4 299.

93 3. Calculează:
3 483 + 2 412 = 9 796 – 4 573 = 4 x 2 x 6 = 45 : 5 =
2 795 + 3 507 = 9 003 – 7 888 = 4 x 8 x 3 = 91 : 7 =

4. Efectuează operațiile matematice potr ivite, apoi încercuiește varianta corectă de
răspuns:
a) Cu cât este mai mic numărul 882 decât numărul 1 254;
cu 2 136 cu 372 cu 472
b) Află numărul cu 725 mai mare decât cel mai mic număr de patru cifre identice ;
1 725 1736 1 836
c) Suma a trei numere consecutive, cel mai mare fiind 2 265;
6 792 6 692 6 782
d) Diferența dintre cel mai mare și cel mai mic număr ce pot fi scrise cu ci frele 0, 4, 2 și 5;
3 475 3385 3 375
e) Cu cât este mai mare produsul numerelor 5, 3 și 4 decât sfertul numărului 88;
cu 38 cu 28 cu 82
5. Calculează rapid aplicând propriet ățile operațiilor aritmetice:
a) 897 + 898 + 899 + 101 + 102 + 103 =
b) 1 x 2 x 3 x 4 x 4 x 0 =
c) (18 x 5) : (5 x 18) =
6. Efectuează, apoi scrie A în caseta egalităților adevărate și F pentru cele false:
a) 9 x 8 – 40 : 4 = 8  b) 100 : 10 + 4 x 2 – 5 x 3 = 3
c) 100 + (2 + 6 x 3) : (5 x 2) = 102 

94 7. La o florărie s -au adus 9 cutii cu câte 11 trandafiri albi și 5 cutii cu câte 19
trandafiri roșii. S -au vândut 176 de trandafiri, iar restul s -au așezat în mod egal în
două vaze.
Câți trandafiri sunt în fiecare vază?
a) Redactează planul de rezolvare și rezolvă problema:
b) Scrie rezolvarea problemei și sub forma unui singur exercițiu.

TESTARE SUMATIVĂ – varianta 2 – diferențiată
Obiective ope raționale:
O1- să scrie corect numerele naturale în concentrul 0 – 1000, respectând criteriile date;
O2- să scrie corect cu cifre romane, numerele date, scrise cu cifre arabe, respectiv să scrie
cu cifre arabe, numerele date scrise cu cifre romane;
O3- să cunoască/ dovedească înțelegerea, utilizând corect terminologia matematică;
O4- să ordoneze crescător/ descrescător numerele naturale în concentrul 0 – 1000;
O5- să estimeze la ordinul sutelor numerele naturale date;
O6- să efectueze operații de adunare și s cădere cu numere naturale în concentrul
0 – 1000;

95 O7- să efectueze operații de înmulțire cu numere în concentrul 0 – 100 și de împă rțire,
folosind tabla înmulțirii, respectiv tabla împărțirii;
O8- să efectueze exercițiile date, respectând ordinea efectuăr ii operațiilor și semnificația
parantezelor rotunde;
O9- să stabilească valoarea de adevăr a expresiilor matematice date, în urma efectuării
exercițiilor propuse;
O10- să rezolve o problema cu 3 operații, redactând corect planul de rezolvare;

1. Scrie în cas ete:
a) -numerele reprezentate pe numărătoare:

b) -cel mai mic număr scris cu trei cifre consecutive .
-succesorul numărului 299 .
-cel mai mare număr de trei cifre .
c) -cu cifre arabe numărul XXXII .
-cu cifre romane numerele 28 și 39 .

2. Ordonează:
a) crescător numerele: 333, 339, 102, 921, 1 12;

b) descrescător numerele : 309, 903, 257, 247, 7 15;

c) crescător numai num erele care se pot rotunji la 4 00: 451, 398, 401,
322, 402, 318, 499.

96 3. Calculează:
483 + 412 = 796 – 573 = 4 x 2 = 45 : 5 =
795 + 107 = 903 – 888 = 4 x 8 = 63 : 7 =

4. Efectuează operațiile matematice potrivite, apoi încercuiește varianta corectă de
răspuns:
a) Cu cât este mai mic numărul 2 82 de cât numărul 8 54;
cu 136 cu 572 cu 472
b) Află numărul cu 725 mai mare decât cel mai mic număr de trei cifre identice;
725 736 836
c) Suma a trei numere consecutive, cel mai mare fiind 265;
798 692 782
d) Diferența dintre cel mai mare și cel mai mic număr ce pot fi scrise cu cifrele 1 , 2 și 5;
475 396 375
e) Cu cât este mai mare produsul numerelor 5, și 4 decât sfertul numărului 40 ;
cu 10 cu 30 cu 82
5. Calculează rapid , aplicând proprietățile operațiilor aritmetice:
a) 87 + 88 + 89 + 11 + 12 + 1 3 =
b) 1 x 2 x 3 x 4 x 4 x 0 =
c) (8 x 5) : (5 x 1) =
6. Efectueaz ă, apoi scrie A în caseta egalităților adevărate și F pentru cele false:
a) 9 x 8 – 40 : 4 = 8  b) 100 : 10 + 4 x 2 – 5 x 3 = 3
c) 100 + (2 + 6 x 3) : (5 x 2) = 102 

7. La o florărie s -au adus 9 cutii cu c âte 3 trandafiri galbeni și 5 cutii cu câte 9
trandafiri roșii.

97 Câți trandafiri s-au adus în total, la florărie ?
Redactează planul de rezolvare și rezolvă problema:

Descriptorii de performanță au fost formulați în aceeași formă, fiind valabili
pentru ambele probe administrate.

DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ

ITE-
MUL
CALIFICATIVUL

FOARTE BINE
BINE
SUFICIENT
1. Răspuns corect și complet:
identifică corect toate cele
nouă numere cerute. Răspuns parțial corect:
identifică corect cel
puțin șapte dintre
numerele cerute. Răspuns parțial corect:
identifică corect cel
puțin patru dintre
numerele cerute.

2. Răspuns corect și complet:
ordonează c orect numerele
din toate cele trei șiruri. Răspuns parțial corect:
ordonează corect
numerele din două
șiruri. Răspuns parțial corect:
ordonează corect
numerele dintr -un
singur șir.

3. Răspuns corect și complet:
efectuează corect calculele
operațiilor ari tmetice în
toate cele opt situații date. Răspuns parțial corect:
efectuează corect
calculele operațiilor
aritmetice în cel puțin
șase dintre situațiile
date. Răspuns parțial corect:
efectuează corect
calculele operațiilor
aritmetice în cel puțin
trei dintr e situațiile date.

4. Răspuns corect și complet:
indică răspunsul corect în
toate cele cinci cazuri. Răspuns parțial corect:
indică răspunsul corect
în patru dintre cazurile Răspuns parțial corect:
indică răspunsul corect
în cel puțin două dintre

98 date. cazurile date.

5. Răspuns corect și complet:
aplică proprietățile
operațiilor aritmetice și
calculează corect exercițiile
date în toate cele trei
cazuri. Răspuns parțial corect:
aplică proprietățile
operațiilor aritmetice și
calculează corect
exercițiile date în două
dintre cazurile date. Răspuns parțial corect:
aplică proprietățile
operațiilor aritmetice și
calculează corect
exercițiile date într -unul
dintre cazurile date.

6. Răspuns corect și complet:
calculează rezultatul corect
pentru toate cele trei
expresii numerice date,
respectând ordinea
efectuării operațiilor și
folosirea parantezelor. Răspuns parțial corect:
calculează rezultatul
corect pentru două
expresii numerice date,
respectând ordinea
efectuării operațiilor și
folosirea parantezelor. Răsp uns parțial corect:
calculează rezultatul
corect pentru una dintre
expresiile numerice
date, respectând ordinea
efectuării operațiilor și
folosirea parantezelor.

7. Răspuns corect și complet:
rezolvă corect problema, cu
plan de rezolvare și scrie
rezolva rea sub forma unei
expresii numerice. Răspuns parțial corect:
rezolvă corect
problema, cu plan de
rezolvare;
sau rezolvă corect
operațiile implicate,
fără a redacta planul de
rezolvare și scrie corect
rezolvarea și sub forma
unei expresii numerice. Răspuns parțial corect:
rezolvă corect operațiile
implicate;
sau redactează corect
planul de rezolvare, însă
în efectuarea operațiilor
implicate și la scrierea
expresiei numerice sunt
prezente erori.

Rezultatele evaluării sumative au fost înregistrate într -un tabel centralizator, în
care am stabilit nivelul de performanță a fiecărui elev, în funcție de descriptorii de
performanță aferenți testelor. Pe baza acestui tabel s-au întocmit: histrograma nr.2,
poligonul de frecvență nr.2 și diagrama radială nr.2, s-a constatat că 3 elevi au obținut
calificativul FB , 4 elevi calificativul B, iar 3 elei, calificativul S. Așadar, s -au înregistrat
progrese, 1 copil trecând de la calificativul B la calificativul FB, iar un copil a trecut de la
calificativul S la califica tivul B. Trei copii au reu șit să obțină doar calificativul S, în special
din cauza absenteismului .

În vederea ameliorării rezultatelor copiilor, se vor desfășura activități
recuperatorii, care vor consta în lecții matematice monodisciplinare cât și lecții matematice
cu caracter interdisciplinar .

99 După înregistrarea datelor s -a constatat că: 3 elevi au obținut calificativul FB –
procent 30,0% , 4 elevi calificativul B – procent 40,0% și 3 elevi calificativul S – procent
30,0%.

TABEL CENTRALIZATOR REZULTATE NR. 2

Calificativ
FB
B
S

Nr. elevi
3
4
3

Procent
30,0%
40,0%
30,0%

Histograma nr.2

Poligonul de frecvență nr. 2
0 1 2 3 4 5
Foarte bine Bine Suficient FB
B
S
0 1 2 3 4
Foarte
bine Bine
Suficient S
B
FB

100
Diagramă radială nr.2

III. EVALUARE FINALĂ

Evaluarea finală – a avut loc la sfârșitul cercetării, în ultimele două săptămâni de
școală, și în urma activităților ameliorative. Așadar, elevii au primit un test de evaluare cu
12 sarcini didactice , menite să verifice calitativ și cantitativ nivelul de formare a
competențelor specifice, precizate de Programa școlară pentru disciplina Matematică și
explorarea mediului, pe parcursul clasei aIII -a.
Astfel evaluare a finală vizeaz ă cunoștințele elevilor privitoare la:
– Formarea/scrierea/citirea (cu cifre/cu litere) numerelor naturale în concentrul 0 –10 000;
– Compararea/ ordonarea numerelor naturale în concentrul 0 – 10 000;
– Efectuarea de adunări și scăderi cu numere naturale în conce ntrul 0 – 10 000;
– Efectuarea de înmulțiri cu numere în concentrul 0 – 100 și de împărțiri folosind tabla
înmulțirii, respectiv tabla împărțirii;
– Utilizarea terminologiei specifice și a unor simboluri matematice în rezolvarea de
probleme cu raționamente sim ple;
– Recunoașterea / compararea/ ordonarea fracțiilor subunitare sau echiunitare, care au
același numitor, mai mic decât 10;
– Explorarea caracteristicilor simple ale figurilor ș corpurilor geometrice;
– Operarea cu unități de măsură de măsură stanardizate, făr ă transformări;
30%
40% 30% Procente
FB B S

101 – Rezolvarea de probleme cu operațiile aritmetice studiate, în concentrul 0 – 10 000.

Testul a fost conceput în două variante: varianta 1 și varianta 2 -diferențiată ,
(adaptată nivelului mai scăzut de cunoștințe, în cazul a 2 din c ei 10 elevi evaluați). Toți
itemii sunt elaborați și vizează competențele aflate încă în curs de formare, pentru elevii
F.F. și V.A.

TEST DE EVALUARE FINALĂ – varianta 1.

Obiective operaționale:
O1- să scrie cu cifre arabe/ cu litere/ cu cifre roma ne, numerele date ;
O2- să ordoneze crescător/ descrescător numere pare/ impare;
O3- să rotunjească numere naturale, la ordinul miilor/ sutelor/ zecilor;
O4- să efectueze operații de adunare/ scădere , în concentrul 0 – 10 000, respectiv
înmulțire/ împ ărțire în concentrul 0 – 100;
O5- să afle numărul necunoscut în operații de adunare, scădere, înmulțire, împărțire;
O6- să opereze cu expresiile matematice învățate;
O7- să rezolve exerciții ce combină cele patru operații matematice învățate, respectând
ordinea corectă a efectuării acestora și semnificația parantezelor;
O8- să interpreteze datele înscrise în tabelul prezentat;
O9- să recunoască componentele unui număr fracționar, comparând două fracții subunitare
care au același numitor, mai mic decât 10;
O10- să efectueze operații cu unități de măsură standardizate;
O11- să rezolve probleme cu raționamente simple, utilizând terminologia, simbolurile și
operațiile aritmetice studiate.

102 1. Scrie cu:
Cifre arabe Litere Cifre romane
cinci mii patruzeci și opt 2503 9
trei mii patru 2200 14
cinci mii cincizeci 1006 28
nouă mii trei sute șaizeci 3036 37

2. Ordonează crescător numerele pare și apoi descrescător numerele impare:
245, 2156, 1980, 3347, 3232, 7659, 5908, 94, 4457, 4101.
……………………………………………… …………………………………………….
…………… ……………………………………………………………………………….
3. Rotunjește la mii, apoi la sute și apoi la zeci numerele:
mii sute zeci
a) 2786 …………… ………………. ………………
b) 3501 …… ……… ………………. ………………
c) 8399 …………… ………………. ………………

4. Calculează:
3456 + 256 = 5000 – 4182 = 345 x 6 = 81: 9 =

5. Aflați numărul necunoscut, apoi verificați rezultatele obținute:

a + 2 589 = 2 874; b – 1 246 + 589 =5 975; 846 x 2 – c = 797;

6. Completează tabelul, folosind operația care corespunde fiecărei relații
matematice.

103 Relația Operația matematică
de 6 ori mai mare de cât 124
cu 7 mai mic decât 280
de 6 ori mai mic decât 30
cu 9 mai mare decât 487

7. Calculează :
a) 56 – 3 x 9 + 36 : 4 = b) 4 x 8 + 8 – 72 : 8 =
c) 100 : 10 : 2 x 9 + 55 = d) 1 000 + 5 – ( 56 : 7 + 28 x 2) =

8. Observă cu atenție datele din tabel, apoi completează enunțurile:

Ferma

Numărul
de păsări

Anul 2010

Anul 2011

Anul 2012

Tălmaciu 8958 9580 9850
Racovița 9656 9565 9665
Avrig 9982 9892 9289

a) În anul 2011, ferma Tălmaciu a avut ………. păsări.
b) Ferma ……….. ………. .. a avut, în anul 2 010, 9656 păsări.
c) Numărul de păsări este descrescător la ferma.. …….. ……….. ……….. .

9. Competează, în casete A, pentru propozițiile adevărate și F, pentru cele false:
a) Fracția corespunzătoare părții colorate din desenul alăturat este 1 .
5

b) Fracția 3 ˂ 5 .
7 7
c) Numărătorul fracției 3 este mai mic decât numitorul.
7

104 10. Află:
a) Cât măsoară perimetrul unei grădini de formă p ătrată cu latura de 15 m.

b) Care este lungimea unei curți de formă dreptunghiulară care are perimetrul de 204 m și
lățimea de 48 m.

c) Cât măsoară
din gardul care împrejmuiește un teren în formă de triunghi cu toate
laturile egale, știind că o latură a triunghiului are 15 m.

11. Matei culege fructe dintr -o livadă: 16 mere, însemnând cu 5 mai multe decât
prune și cu 6 mai puține decâ t pere.
Câte fructe a cules Matei din livadă?

Încercuiește litera corespunzătoare operațiilor matematice prin care poți afla câte fructe
a cules Matei din livadă.

a) 16 + 5 = 21 16 – 6 = 10 21 + 10 = 31
b) 16 – 5 = 11 16 + 6 = 22 16 + 11 + 22 = 99
c) 16 – 5 = 11 16 + 6 = 22 11+ 22 = 33
d) 16 + 5 = 21 16 – 6 = 10 1 – 6 + 21 + 10 = 46

12. Masa unui curcan reprezintă
din masa unei capre, capra cântărind cu 27 kg
mai mult decât curcanul. Află masa fiecărui animal.

105

DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ

ITE-
MUL
CALIFICATIVUL

FOARTE BINE
BINE
SUFICIENT
1. Răspuns corect și complet:
scrie corect toate cele 12
numere indicate . Răspuns parțial corect:
scrie corect 8 dintre
numerele date. Răspuns parțial corect:
scrie corect 3 dintre
numerele date.
2. Răspuns corect și complet:
ordonează cor ect numerele
pare și numerele impare . Răspuns parțial corect:
ordonează corect
numerele pare sau
numerele impare . Răspuns parțial corect:
grupează după criteriul
pare/impare numerele
date, fără a le ordona.

3.

Răspuns corect și complet:
rotunjește co rect numerele
date în cele 9 situații
cerute. Răspuns parțial
corect: rotunjește corect
numerele date în 6din 9
situații cerute. Răspuns parțial corect:
rotunjește corect
numerele date în 3din
9 situații cerute.
4. Răspuns corect și complet:
calculează corect toate cele
4 operații. Răspuns parțial corect:
calculează corect 3 din
cele 4 operații. Răspuns parțial corect:
calculează corect 2 din
cele 4 operații.

5. Răspuns corect și complet:
află toți cei 3 termeni
necunoscuți. Răspuns parțial corect:
află 2 dintre cei 3 termeni
necunoscuți. Răspuns parțial corect:
află 1 dintre cei 3
termeni necunoscuți.

6. Răspuns corect și complet:
scrie toate cele 4 operații
care corespund relațiilor
matematice date. Răspuns parțial corect:
scrie 2 -3 din cele 4
opera ții care corespund
relațiilor matematice
date. Răspuns parțial corect:
scrie 1 din cele 4
operații care corespund
relațiilor matematice
date.

7. Răspuns corect și complet:
rezolvă corect toate cele 4
exerciții propuse. Răspuns parțial corect:
rezolvă co rect 2 -3 din
cele 4 exerciții propuse. Răspuns parțial corect:
rezolvă corect 1 din
cele 4 exerciții
propuse.

106 8. Răspuns corect și complet:
competează corect toate
cele 3 afirmatii date. Răspuns parțial corect:
competează corect 2 din
cele 3 afirmatii d ate. Răspuns parțial corect:
competează corect 1
din cele 3 afirmatii
date.
9. Răspuns corect și complet:
stabilește valoarea de
adevăr pentru cele 3
situații prezentate. Răspuns parțial corect:
stabilește valoarea de
adevăr pentru 2 din cele
3 situații prezentate. Răspuns parțial corect:
stabilește valoarea de
adevăr pentru 1 din
cele 3 situații
prezentate.
10. Răspuns corect și complet:
rezolvă corect și complet
toate cele 3 sarcini
enunțate. Răspuns parțial corect:
rezolvă corect și complet
2 din cele 3 sarcini
enunțate. Răspuns parțial corect:
rezolvă corect și
complet 1 din cele 3
sarcini enunțate.
11. Răspuns corect :
indică varianta corectă. Răspuns corect:
indică varianta corectă. Răspuns corect:
indică varianta
corectă.
12. Răsp uns corect și complet:
realizează corect
reprezentarea grafică și
planul de rezolvare al
problemei, aflând masa
celor două animale. Răspuns parțial corect:
realizează corect
reprezentarea grafică și
aflând masa celor două
animal e, fără a redacta
întrebă rile necesare. Răspuns parțial corect:
Află masa unui singur
animal, fără
reprezentare grafică și
întrebări.

TEST DE EVALUARE FINALĂ – varianta 2 (diferențiată)

Obiective operaționale:
O1- să scrie cu cifre arabe/ cu litere , numerele date ;
O2- să ordoneze crescător/ descrescător numere pare/ impare;
O3- să rotunjească numere naturale, la ordinul sutelor/ zecilor;
O4- să efectueze operații de adunare/ scădere , în concentrul 0 – 10 00, respectiv
înmulțire/ împărțire în concentrul 0 – 100;
O5- să afle numărul necunoscut în operații de adunare, scădere, înmulțire, împărțire;
O6- să opereze cu expresiile matematice învățate;
O7- să rezolve exerciții ce combină cele patru operații matematice învățate, respectând
ordinea corectă a efectuării acest ora și semnificația parantezelor;
O8- să interpreteze datele înscrise în tabelul prezentat;

107 O9- să recunoască componentele unui număr fracționar, comparând două fracții subunitare
care au același numitor, mai mic decât 10, cu suport intuitiv oferit;
O10- să efectueze operații cu unități de măsură standardizate;
O11- să rezolve probleme cu raționamente simple, utilizând terminologia, simbolurile și
operațiile aritmetice studiate.

1. Scrie cu:
Cifre arabe Litere
a) patru sute 500
cinci sute patruzeci și o pt 250
b) trei sute patru 202
cinci sute cincizeci 160
c) nouă sute șaizeci 336
șaptezeci și opt 46

2. Ordonează crescător numerele pare și apoi descrescător numerele impare:
245, 215, 198, 334, 323, 765, 590, 94, 445, 410 .
…………………………………………… ……………………………………………….
…………… ……………………………………………………………………………….
3. Rotunjește la mii, apoi la sute și apoi la zeci numerele:
sute zeci
d) 278 ………………. ………………
e) 353 ………………. ………………
f) 839 ………………. ………………

4. Calculează:
345 + 25 = 500 – 418 = 34 x 6 = 81: 9 =

108 5. Aflați numărul necunoscut, apoi verificați rezultatele obținute:
a + 2 58 = 2 87 ; b – 1 24 =5 97; 8 x c = 88 ;

6. Completează tabelul, folosind operația care corespunde fiecărei relații
matematice.
Relația Operația matematică
de 6 ori mai mare decât 12
cu 7 mai mic decât 28
de 6 ori mai mic decât 30
cu 9 mai mare decât 42

7. Calculează :
b) 56 – 3 x 9 = b) 4 x 8 + 8 – 72 : 8 =
c) 10 : 2 x 9 + 55 = d) 1 05 + 5 – ( 28 x 2) =

8. Observă cu atenție datele din tabel, apoi com pletează enunțurile:

Ferma

Numărul
de păsări

Anul 2010

Anul 2011

Anul 2012

Tălmaciu 895 958 985
Racovița 965 956 966
Avrig 998 989 928

a) În anul 2011, ferma Tălmaciu a avut ……. … păsări.
b) Ferma ………………….. a avut, în anul 2010, 965 păsări.
c) Numărul de păsări este descrescător la ferma………………………….. .

9. Competează, în casete A, pentru propozițiile adevărate și F, pen tru cele false:

109 a) Fracția corespunzătoare părții colorate din desenul alăturat este 1 .
5

b) Fracția 3 ˂ 5 .
7 7
c) Numărătorul fracției 3 este mai mic decât numitorul.
7
10. Află:
a) Cât măsoară perimetrul unei grădini de formă pătrată cu latura de 15 m.
15m
15m 15m

15m

b) Care este lungimea unei curți de formă dreptunghiulară care are perimetrul de 84 m și
lățimea de 18 m.
? m
18m 18m
? m

c) Cât măsoară jumătate din gardul care împrejmuiește un teren în formă de triunghi cu
toate laturile egale, știind că o latură a triunghiului are 14 m.

14m 14m

14m

110

11. Matei culege fructe di ntr-o livadă: 16 mere, cu 5 mai multe prune și cu 6 mai
puține pere.
Câte fructe a cules Matei din livadă?

Încercuiește litera corespunzătoare operațiilor matematice prin care poți afla câte fructe
a cules Matei din l ivadă.

a) 16 + 5 = 21 16 – 6 = 10 21 + 10 = 31
b) 16 + 5 = 21 16 – 6 = 10 16 + 21 + 10 = 47
c) 16 – 5 = 11 16 + 6 = 22 11+ 22 = 3 3
d) 16 + 5 = 21 16 – 6 = 10 1 – 6 + 21 + 10 = 46

12. Greutatea unui curcan reprezintă un sfert din greutatea unei capre, capra
cântărind cu 48 kg . Află greutatea a doi curcani .

111 DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ

ITE-
MUL
CALIFICATIVUL

FOARTE BINE
BINE
SUFICIENT
1. Răspuns corect și complet:
scrie corect toate cele 6
numere indicate . Răspuns parțial corect:
scrie corect 4 dintre
numerele date. Răspuns parțial corect:
scrie corect 2 dintre
numerele date.

2. Răspuns corect și complet:
ordonează corect numerele
pare și numerele impare . Răspuns parțial corect:
ordonează corect
numerele pare sau
numerele impare . Răspuns parțial corect:
grupează după criteriul
pare/impare numerele
date, fără a le ordona.

3.

Răspuns corect și complet:
rotunjește corect numerele
date în cele 6 situații
cerute. Răspuns parțial
corect: rotunjește corect
numerele date în 4din 6
situații cerute. Răspuns parțial corect:
rotunjește corect
numerele date în 2din
6 situații cerute.
4. Răspuns corect și complet:
calculează corect toate cele
4 operații. Răspuns parțial corect:
calculează corect 3 din
cele 4 operații. Răspuns parțial corect:
calculează corect 2 din
cele 4 operații.

5. Răspuns corect și complet:
află toți cei 3 termeni
necunoscuți. Răspuns parțial corect:
află 2 dintre cei 3 termeni
necunoscuți. Răspuns parțial corect:
află 1 dintre cei 3
termeni necunoscuți.

6. Răspuns corect și complet:
scrie toate cele 4 operații
care corespund relațiilor
matematice date. Răspuns parțial corect:
scrie 2 -3 din cele 4
operații care corespund
relațiilor matematice
date. Răspuns parțial corect:
scrie 1 din cele 4
operații care corespund
relațiilor matematice
date.

7. Răspuns corect și complet:
rezolvă corect toate cele 4
exerciții propuse. Răspuns parțial corect:
rezolvă corect 2 -3 din
cele 4 exerciții propuse. Răspuns parțial corect:
rezolvă corect 1 din
cele 4 exerciții
propuse.
8. Răspuns corect și complet:
competează corect toate
cele 3 afirmatii date. Răspuns parțial corect:
competează corect 2 din
cele 3 afirmatii date. Răspuns parțial corect:
competează corect 1
din cele 3 afirmatii
date.

9. Răspuns corect și complet:
stabilește valoarea de
adevăr pentru cele 3
situații pre zentate. Răspuns parțial corect:
stabilește valoarea de
adevăr pentru 2 din cele
3 situații prezentate. Răspuns parțial corect:
stabilește valoarea de
adevăr pentru 1 din
cele 3 situații
prezentate.

112 10. Răspuns corect și complet:
rezolvă corect și co mplet
toate cele 3 sarcini
enunțate. Răspuns parțial corect:
rezolvă corect și complet
2 din cele 3 sarcini
enunțate. Răspuns parțial corect:
rezolvă corect și
complet 1 din cele 3
sarcini enunțate.

11. Răspuns corect :
indică varianta corectă. Răspuns corect:
indică varianta corectă. Răspuns corect:
indică varianta
corectă.

12. Răspuns corect și complet:
realizează corect
reprezentarea grafică și
planul de rezolvare al
problemei , aflând
greutatea unui curcan,
respectiv a doi curcani. Răspu ns parțial corect:
realizează corect
reprezentarea grafică și
greutatea unui curcan,
respectiv a doi curcani ,
fără a redacta întrebările
necesare. Răspuns parțial corect:
Află greutatea unui
curcan, respectiv a doi
curcani , fără
reprezentare grafică și
întrebări.

În urma evaluări i finale rezultatele au fost: 4 copii au obținut calificativul FB, 5
calificativ ul B și 1 elevi calificativul S, așadar s -au înregistrat progrese, în r aport cu
evaluarea formativă, l copil trecând de la calificativul B la FB , iar 2 elevi de la
calificativul S la B, rămânând doar un copil la calificativul S, principala problemă a
acestuia fiind atât absenteismul câ t și neimplicarea în activități, atunci când era prezent. S-
a constat și o creștere semnificativă a interesului pe ntru matematică.
Comparativ cu eva luarea inițială s -a constat că 2 elevi au trecut de la calificativul
B la FB, iar 3 copii de la calificativul S la B, un singur elev neînregistrând progres.

TABEL CENTRALIZATOR REZULTATE NR. 3

Calificativ
FB
B
S

Nr. elevi
4
5
1

Procent
40,0%
50,0%
10,0%

113 Histograma nr.3

Poligonul de frecvență nr. 3

Diagramă radială nr.3

0 1 2 3 4 5 6
Foarte bine Bine Suficient FB
B
S
40%
50% 10% Procente
FB B S
0 1 2 3 4 5
Foarte
bine Bine
Suficient S
B
FB

114 REZULTATELE CERCETĂRII

În urma desfășurării cercetării la clasa a III -a de la Școala Gimnazială ,,Nicolae
Efrimescu” Săgeata am constat următoarele:
– activitățile interdisciplinare au oferi învățătoarei posibilități diver sificate de
organizare a lecțiilor, în vederea atingerii obiectivelor matematice;
– elevii au descoperit interdisciplinaritatea matematicii, legătura ei cu alte domenii
ale vieții;
– prin diversitatea formelor de organizare, activitățile interdisciplinare au răspuns
nevoii de mișcare a copiilor, de acțiune, de manipulare;
Pentru stabilirea gradului de evoluție a elevilor la matematică s -au întocmit: tabel
cu rezultatele inițiale, sumative și finale, histograma nr.4 care stabilește evoluția de la
evaluarea iniț ială la cea sumativă și histograma nr.5 care prezintă progresul făcut de elevi
de la începutul aplicării metodelor de cercetare până la evaluarea finală. Comparate ,
rezultatele obținute la testul inițial și cel final, au demonstrat că pe tot parcursul anul ui,
prin folosirea activităților interdisciplinare și a metodelor activ -participative, progresul
înregistrat de elevi a fost unul atât calitativ cât și cantitativ. Acest aspect a fost constatat
din ușurința și plăcerea cu care elevii și -au însușit un volum mare de cunoștințe, prin efort
propriu, cu care au operat în rezolvarea problemelor, a exercițiilor și în alte situații.
Comparând rezultatele obținute la cele două teste de evaluare , cu rezultatele
obținute la testele formative am constat că elevii cla sei a III-a au înregistrat progrese
vizibile, privind capacitatea de a rezolva probleme cu raționamente simple, utilizând
terminologia, simbolurile și operațiile aritmetice studiate , capacitatea de a comunica
utilizând limbajul matematic.
Orice nouă achiz iție matematică a avut la bază achizițiile precedente, trecerea de la un
stadiu la altul, superior, făcându -se printr -o reconstrucție a sistemului de noțiuni. Așadar, a
avut loc „ o restructurare a achizițiilor noi pe fondul celor deja asimilate, actele de
învățare prin reproducere având și rol de fixare, de consolidare, fiind completate cu cele
de învățare productivă, de creație.” ( Neacșu I., Dascălu G., Radu H. – Metodica predării
matematicii la clasle I -IV. Manual pentru licee pedagogice, clasele IX -X, Editura Didactică
și Pedagogică, București, 1988, p. 30).
Elevii cu o capacitate mai redusă de învățare, datorită faptului că au fost antrenați
în activități frontale, dar tratați individual, au reușit să obțină calificative mai bune la
evaluările sumative decât la cele inițiale, devenind astfel mai motivati, mai ambițioși, mai

115 încrezători în forțele proprii. Pentru aceștia s -au conceput fișe diferențiate și sarcini de
lucru adaptate la specificul ritmului, stilul ui și capacității fiecăruia de învățare.
În procesul aplicării cunoștințelor în practică , învățate pe parcursul anului , s-a
îmbogățit experiența de cunoaștere și de viață a elevilor, au reușit să -și formeze și să -și
consolideze deprinderi de muncă independentă, deprinderi practice. Cunoștințele au f ost
accesibile, corespunzăto are nivelului lor de înțelegere și nevoii de cunoaștere. Raportând
rezultatele obținute de către fiecare elev la posibilitățile sale intelectuale, la capacitatea de
învățare, am ajuns la concluzia că nivelul cunoștințelor, a pri ceperilor, deprinderilor,
dezvoltarea psihointelectuală, le vor permite să parcurgă cu succes etapele ce vor urma în
procesul cunoașterii .

TABEL CU REZULTATELE OBȚINUTE DE ELEVI LA TESTUL
INIȚIAL, SUMATIV, FINAL

Calificativ
FB
B
S

Test ini țial
2
4
4

Test sumativ
3
4
3

Test final
4
5
1

Histograma nr. 4

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
Foarte Bine Bine Suficient Test inițial
Test sumativ

116
Histograma nr. 5

IV.6. CONCLUZII FINALE

În experiența acumulată în activitatea didactică , activit ate în care m -am procupat
de dez voltarea gândirii crea toare a elevilor, am constatat că, nativ, spiritul creativ este
prezent în proporții diferite , de la un individ la altul. Am înțeles că pe profilul
psihointelectual al elevilor de vârsta celor cu care se lucreaz ă la ciclul primar și nu numai,
se pliază cel mai bine activitățile cu caracter creator .
Învățătorul trebuie să fie receptiv la ceea ce le este pe plac elevilor, la ceea ce vor
și pot realiza, valorificând în activitate posibilitățile și dorințele lor.
Matematica are o contribuție însemnată, studiul acestei discipline realizând
obiective operaționale și neoperațional e, în dezvoltarea operațiilor gâ ndirii, a capacității de
creare și rezolvare de probleme, de formare a unei personalități creative, imaginative,
deschise spre nou, spre cooperare, de stimu lare a interesului de cunoaștere. Un rol
important în dobândirea celor precizate mai sus o au activitățile matematice
interdisciplinare. Termenul de interdiciplinaritate își are rădăcinile în timpul sofiștilor
greci, în țară fiind adus de Spiru Haret, la n ivelu l procesului didactic reprezintând o formă
de organizare care transcede planul monodisciplinar, stabilind legături între diferite
discipline. Axându -se pe dezvoltarea globală, holistică a personalității, pe stabilirea unor
punți de legătură între dome nii aparent opuse, interdisciplinaritatea depășește limitele
monodisciplinarității, stabilind la nive lul metodelor și conținuturilor , legături complexe,
care conduc subiectul învățării, elevul, spre o nouă etapă. Aceste activități reușesc să
forme ze elevii ca și persoane active , capabile să stabilească corelații, să sesizeze legături,
0 1 2 3 4 5
Foarte bine Bine Suficient Test inițial
Test sumativ
Test final

117 puncte comune între discipline. În ceea ce privește activitățile matematice, abordarea
interdisciplinară ajută cadrul didactic să obțină o serie de avantaje:
– ajută elevii să s esizeze relația matematicii cu alte discipline;
– elevii coștientizează faptul că matematica face parte din viața de zi cu zi;
– copiii identifică metode de abordare comune unor discipline aparent opuse;
– oferă un arsenal mult mai bogat de abordare a conținutur ilor matematice decât
activitățile monodisciplinare;
– se concentrează pe implicarea directă în activitate, pe stimularea memoriei,
gândirii critice și divergente, a imaginației, limbajului, pe dezvoltarea colaborării,
a spiritului critic;
– încurajeză elevii să caute și să descopere soluții diverse la probleme;
– activitățile interdisciplinare oferă învățătoar ei un arsenal mult mai bogat pentru
activizare a și stimulare a elevilor.
Avantajele activităților interdisciplinare sunt multiple, valențele lor formativ e au
fost recunoscute de educația școlară actuală, dar, ca orice formă de realizare, și activitățile
interdisciplinare au câteva limite:
– pericolul de generalizare prea mare a conținuturilor, uneori insuficienta atenție
acordată unui obiectiv matematic;
– pericolul de activizare exagerată a elevilor, poate duce la oboseală și la scăderea
atenției – remedierea acestui lucru depinzând de capacitatea învățătoa rei de a sesiza
când se instalează neatenția și de a se stabili acele strategii de remediere: să
alternez e metodele active cu cele tradiționale, formele de organizare, materialul
didactic.
Cu toate că dezavantaje există, acestea nu pot umbri seria mult mai mare de
avantaje. Alături de lecțiile matematice monodisciplinare, cele cu cracter interdisciplinar se
pot desfășura sub forma unor jocuri didactice, integrând astfel în cuprinsul lor, probleme
cu caracter practic, corelând cât mai inspirat, conținuturi din mai multe materiile de studiu,
cu scopul de a facilita parcurgerea cât mai naturală a etapelor următoa re ale școlarității.
Fără a urmări eliminarea monodisciplinarității din actul de predare – învățare a
matematicii, prezenta lucrare dorește să promoveze cât mai mult această modalitate de
realizare a lecțiilor, fiind un exemplu pentru cadrele didactice ce v or să -l adopte. ,,O
cercetare pedagogică se consideră încheiată în momentul în care experiența practică
inovatoare se aplică în practica educativă și se generalizează ” (Bocoș M., 2003, p. 54).

2
BIBLIOGRAFIE

Antonovici Ș, Nicu G. – Jocuri interd isciplinare , Editura Aramis, București 2008.
Badea C., Berechet D., ș.a. – Matematică. Culegere de exerciții și probleme , Editura
Paralela 45, București, 2004.
Berar I. – Aptitudinea matematică la școlari , Editura Academiei Române, București,
1991.
Bocoș M . – Cercetarea pedagogică. Suporturi teoretice și metodologice , Ediția a II -a,
Editura Casa Cărții de Știință, Cluj -Napoca, 2003.
Cerghit I. – Metode de învățământ , Editura Didactică și Pedagogică, București, 1976.
Cerghit I., Radu I., Popescu E. – Didact ica. Manual pentru clasa a X -a, școli normale ,
Editura Didactică și Pedagogică, București, 1998.
Cerghit I., Radu I., Popescu E., Vlăsceanu L ., -Didactica, Editura Didactică și
Pedagogică, București, 1991.
Cristea S. – Dicționar de pedagogie , Grup Editoria l Litera Internațional, Chișinău,
București, 2000.
Cucoș C. – Pedagogie , Editura Polirom, Iași, 2014.
Davis B . Robert – Discovery in matematics (Medison project) , Addison – Wesley
Publishing Co.1964
Dumitriu C. ,- Introducere în cercetarea psihopedagogică, Editura Didactică și
Pedagogică, București, 2004.
Dumitriu C., Dumitriu Gh .- Psihopedagogie, Editura Didactica și Pedagogică, București,
2004.
Drăgan I., Nicola I ., – Cercetarea psihopedagogică. Ghid pentru elaborarea lucrărilor
metodico -științifice în ved erea obținerii gradului didactic I , Editura Tipomur, 1995.
Gane R .- Condițiile învățării , Editura Didactică și Pedagogică, București, 1975.
Grigore A ., Crivac G.M., Ipate -Toma C. – Fișe interdisciplinare pentru clasa a III -a,
Editura Ars Libri, Argeș, 2017.
Hainault L .D.- Programe de învățământ și educația permanentă , Editura Didactica și
Pedagogică, București, 1981.
Herescu G., Dumitru A . – Matematica. Îndrumător pentru învățători și institutori ,
Editura Corint, București, 2001.
Kerlinger N .Fred – Fundament area cercetării comportamentale, New York University,
1964 .

3
Lupu C ., Săvulesu D., – Metodica predării matematicii. Manual pentru clasa a XI -a-
Licee pedagogice , Editura Paralela 45, Ploiești, 2000.
Ministerul Educației și Cercetării – Programa școlară pentr u disciplina ,,Matematică și
explorarea mediului” clasele aII -a / O.M.3418/2013 și clasa aIII -a/ O.M.5003/2014.
Neacșu I . – Metode și tehnici de învățare eficientă – Editura Militară, București, 1990.
Neacșu I., Dascălu G., Radu H . – Metodica predării mate maticii la clasle I -IV. Manual
pentru licee pedagogice, clasele IX -X, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1988.
Neacșu I., Gălățeanu M., Predoi P. – Didactica matematicii în învățământul primar.
Ghid practic , Editura Aius, Craiova, 2008.
Neagu M., Mocanu M. – Metodica predării matematicii în ciclul primar, Editura Polirom,
Iași, 2007.
Oprescu N. – Modernizarea învățământului matematic în ciclul primar , Editura Didactică
și Pedagogică, București, 1974.
Păduraru V. , Platon A. – Matematica pentru perfe cționarea învățătorilor , Editura Spiru
Haret, Iași, 1996.
Polya G. – Cum rezolvăm o problemă , Editura Științifică, București, 1979.
Popa M. – Metodologia cercetării – notă de curs: 09 Metode de cercetare
nonexperimentale , www.apio.ro .
Pottrens R. – A educa, a instrui, , Editura Didactică și Pedagogică, București, 1982.
Ștefănescu V., Peti A., Rădulescu M., ș.a. – Matematica în ciclul primar. Contribuții
metodice , Pitești, 1979.
Wallas G. – Arta gândirii, Editura Solis Press, Kent, England, 2014 .

http://probleme -rezolvate.blogspot.com/2013_05_01_archive.html
http://stepbystep56craiova.wikispaces.com/file/view/Lucrare+de+matematica.doc
http://www.matestn.ro/mate/Matematica%20in%20judet/Comunicari/PROBLEME_DE_M
ISCARE.docx
http://documents.tips/documents/corelatii -interdisciplinare.html
http://www.scritub.com/stiinta/matematica/CREATIVITATEA -MATEMATIC –
REZOLV113514248.php

4

DECLARAȚIE DE AUTENTICITATE PE PROPRIE RĂSPUNDERE

Subsemnata, Leca V.(căs.Brăgaru) Ștefania – Florentina, înscrisă la examenul
pentru obținer ea Gradului didactic I , seria 2018 -2020, specializarea învățământ primar,
prin prezenta, certific că lucrarea metodico – științifică cu titlul: „Tipuri de probleme și
metode de rezolvare – Probleme cu conținut practic și interdisciplinar”, conducător
științific : Lector Univ. Drd . Sultănescu Marcel , este rezultatul propriilor mele activități
de investigare teoretică și practică, și prezintă rezultatele personale obținute în activitatea
mea didactică.
În realizarea lucrării am studiat doar surse bibliogr afice consemnate în lista
bibliografică, iar preluările din diferite surse, inclusiv din alte lucrări personale, au fost
citate în lucrare.
Prezenta lucrare nu a mai fost utilizată în alte contexte evaluative, examene sau
concursuri.

Data Semnătura