– 1 – FRACȚIILE ÎN EGIPTUL ANTIC Exemplificarea unei împărțiri În primul episod al reportajul ui BBC FOUR The Story of Maths realizat și prezentat de… [631450]

– 1 – FRACȚIILE ÎN EGIPTUL ANTIC

Exemplificarea unei împărțiri

În primul episod al reportajul ui BBC FOUR The Story of Maths realizat și
prezentat de către profesorul Marcus du Sautoy de la Universitatea din Oxford ,
acesta ne prezintă cum ar fi efectuat vechi i egipteni împărțirea a 9 lipii la 10 oameni .
Astfel, primele cinci lipii erau împărțite în jumătăți, obținând o primă serie de 10 jumătăți
(câte o jumătate pentru fiecare om). Următoarele patru lipii erau împărțite în treimi, obținând
12 treimi. Zece trei mi erau puse de -o parte (câte o treime pentru fiecare om ), pe când ultimele
două treimi erau fiecare împărțite în câte cinci părți egale, adică în cin cisprezecimi, obținând
astfel încă zece cin cisprezecimi (câte una pentru fiecare om).
Putem efectua “opera ția” tăind lipii în clasă, concret în fața elevilor. Apoi trebuie însă să
facem și următoarea formă scrisă pe tablă, pentru ca elevii să aibă și această lecție în caiet.

10 treimi

5 lipii = 10 jumătăți 2 treimi = 10 ci ncisprezecimi

Deci 9 : 10
151
31
21 , așa că fieca re din cei zece oameni primește:
În limbajul nostru putem efectua imediat o verificare:

109
3027
302
3010
3015
151
31
21
Dacă studiem atent problema, găsim și o altă descompunere pentru fracția
51
51
21
109 ,
dar vechi egi pteni nu ar fi ales așa ceva, considerând trivială repetarea unei fracții (la fel ar fi
fost considerată și varianta cu repetarea de nouă ori a zecimii) .

Scurt istoric

În 1858 anticarul Henry Rhind a achiziționat în Egipt un papirus , care din 1865 , după moartea
sa, a ajuns în custodia British Museum din Londra . Numit și papirusul Ahmes (Ahamesu) ,
după scribul care l -a redactat sau l -a copiat (cca. 1650 î.Chr), acesta reprezintă una dintre cele
mai importante surse des pre nivelul cunoștințelor matematice din Egiptul antic. Acest papirus
a fost descifrat de către profesorul August Eisenlohr de la Universitatea din Heidelberg. Un alt
papirus foarte cunoscut în lumea matematicii este papirusul de la Moscova (cca. 18 50 î Chr.).
În papirusul Rhind, în cartea I se găsesc următoarele hieroglife pentru fracțiuni:

21
31
41
51
61
71
81
91
101
111
121 ….
211

Egiptenii foloseau aceste scrieri pentru fracții cu numărătorul 1 (jumăta te, treime, sfert,
cincime etc.) . Vom denumi fracțiile 1/n ca fracțiuni sau fracții unitare , dar s e mai numesc și
fracții alicote . În engleză se folosește denumirea unit fraction s, în germană Stamm brüche

– 2 – (fracții de bază , într-o traducere relativă), iar în franceză fractions unitaires . Astfel, p rin
fracțiune trebuie să înțelegem “o parte din” sau “a n-a parte din”. Egiptenii scriau asta punând
o “gură” (hieroglifa pentru g ură) și sub aceasta numărul în care trebuia împărțit î ntregul.
În cazuri speciale, în scrierile egiptene se mai foloseau și hieroglife prezentate alăturat :

Scrierea fracțiilor

Este evidentă dificultatea întâmpinată de vechii egipteni în scrie rea unor cantități pe care noi
le-am reprezenta simplu sub forma unor fracții cu numărătorul diferit de 1. Neavând o scriere
pentru astfel de mărimi, egiptenii le reprezentau ca sumă de diferite fracțiuni. Astfel, u n
exemplu de scriere a fracți ilor este
51
31
158 , prezentat cu hieroglife astfel:

În papirusul Rhind exista chiar un fel de tabel cu descompuneri ale fracțiilor de tipul
1012,…..,92,72,52,32
în fracțiuni. Într -o traducere relativă vechii egipteni exprimau aceasta
astfel: prezintă 2 pr in 3, prezintă 2 prin 5 etc. Astfel, putem
desigur verifica următoarele descompuneri adunând fracțiile :
61
21
32

151
31
52

281
41
72

181
61
92

…………
151
101
152

681
511
121
172
…… ……
1741
871
581
291
292

……………
421
301
352

……………
1301
701
912

………………
6061
3031
2021
1011
1012

În general erau păstrate aceste descompuneri, dar uneori se
găsesc și alte variante , cum ar fi următoarele :

2321
1741
581
241
292 sau
5801
581
201
292 .
Remarcabil este că nu doar pentru fracții de tipul 2/n existau
astfel de descompuneri , ci și pentru alte fracții, ca de exemplu :

101
21
53

201
41
21
54

141
71
21
75

91
61
21
97
16531
291
31
197

2321
871
581
241
61
297

Una din primele întrebări ce ne vine în minte la vederea acestor descompuneri este
evident următoarea : cum se pot obține acestea? O variantă ar fi folosind scrierea
modernă cu tot aparatul de calcul cunoscut . De exemplu:

– 3 –

91
61
21
91
61
63
91
64
91
32
91
96
97

O altă cale ar fi să găsim modalități de reprezentare grafică a fracțiilor, adică “să tăiem lipii”.
Uneori putem avea surpriza să găsim cu totul alte rezultate decât cele găsite de vechii
egipteni. De exemplu,
121
41
31
32 din reprezentarea alăturată:

Teme de lucru individual

1) Verificați descompunerile de mai sus, efec tuând adunările de fracțiuni.
2) Pe lângă descompunerea
101
21
53 dată mai sus , la această fracție se ma i pot găsi și a lte
descompuneri. Verificați -le pe rând pe toate:
53
601
121
21 ;
53
301
151
21 ;
53
351
141
21
;
53
1101
111
21 ;
53
601
41
31 ;
53
151
51
31 ;
53
101
61
31 .
3) Împărțiți: a) 3 lipii la 5 oameni; b) 5 lipii la 6 oameni; c) 7 lipii la 8 oameni.
Încercați să dați la fiecare cel puțin două, chiar trei soluții diferite.
4) Despre ce fracții este vorba în următoarele descompuneri scrise cu hieroglife?
a)
b)

5) Scrieți descompuner ea lui: a)
52 ca
151
31 ; b)
92 ca
181
61 , folosind hieroglife.
6) Stabiliți ce fracție înseamnă
5761
721
641
321
161
81
41
21 .
7) Horus, cel repreze ntat cu cap de vultur, era unul din tre cei mai
importanți zei în Egiptul antic. Ochiul lui Horus sau al treilea ochi era
reprezentarea pentru “întreg ” sau “totul”, mai exact “aproape totul”.
Calculați, pe baza informațiilor din figura alăturată ce însemna acest
“aproape totul”, adică
641
321
161
81
41
21 , și cât era cantitatea
neglijată. Aceste fracțiuni erau considerate ca reprezentând , în ordine,
mirosul, văzul, gândul, auzul, gustul și atingerea.
8) La vechii egipteni n -ar fi apărut nici o dată următ oarele scrieri ca
descompuneri de fracții. De ce oare? a)
61
31
21 ; b)
281
141
71
41
21 .
9) Completați șirul de fracții:
;209;127;65 …… cu următorii doi termeni și descompuneți
apoi fiecare din acești primii cin ci termeni ca sumă de două fracțiuni. Fracțiile de mai sus apar
în vechea problemă despre taurii lui Helios (vezi B. 3, pag.21).

Bibliografie
B1) ERNST BINDEL – Altägyptische Bruchrechnung , Erziehungskunst, Nr.11 -1961
B2) ERNST BINDEL – Das Rechnen , Stuttgart, 1966
B3) FLORICA T. CÂMPAN – Povestiri despre probleme celebre , Ed.Albatros, 1987
B4) MARCUS DU SAUTOY – The Story of Maths , reportaj BBC FOUR , 2008
B5) Internet (cuvinte de căutare: unit fractions , Egypt fractions, Eye of Horus, Moritz Cantor etc.)

– 4 – Aspecte metodice

Pentru a înțelege importanța acestei lecții, respectiv a acestui tip de abordare a fracțiilor ,
trebuie să înțelegem ce se întâmplă în mintea copilului în funcție de modul nostru de predare:
îi predăm ca să înțeleagă sau îi predăm c a să ne parcurgem materia. Nu intru în respectiva
dezbatere, ci sar direct la concluzii și plec de la premisa că cititorul este convins de importanța
primei alternative. Mă rezum la a menționa doar un avantaj al predării pentru înțeleger e: dacă
elevul a în țeles cum se formează niște gânduri, o teorie, atunci el nu le va mai uita, uitarea
fiind un fenomen legat de nivelul superficial al gândirii. Astfel, elevul va putea oricând să
abordeze tema din nou, proaspăt, ca și cum tocmai ar fi învățat acele conținut uri de curând .
Din acest punct al pledoariei nu ne es te greu să ajungem la următorul nivel de concluzie: cea
mai bună cale pentru a preda anumite conținuturi este să ne structurăm lecția asemenea
parcursului istoric al descoperirii respectivelor conținutur i. La fel ca m intea elevului de azi,
mintea oamenilor din vechime nu avea de la început aceste cunoștințe și este de presupus că
forma, calea în care au fost descoperite a fost cea mai lesne, cea mai potrivită acelui moment
și acelei teme. Nu trebuie să ab solutizăm acest principiu, dar este evident că putem veni în
întâmpinarea minții elevului de azi, înțelegând cum au gândit primii oameni o anumită temă.
Acest principiu reprezintă și motivul de bază pentru introducerea lecției despre teoria
fracțiilor în E giptul antic. Abordarea lecției face o legătură organică între primele lecții despre
fracții din clasa a IV -a, cu o sumedenie de reprezentări geometrice ale fracțiilor, pe de -o parte,
și abordarea prin scrierea abstractă din clasele V – VI, în care elevul primește regulile de
operare și trebuie să le învețe, de cele mai multe ori fără să știe, sau fără să fie interesat să știe,
de ce se face așa.
În acest moment ajungem în miezul noțiunii de fracție, anume la înțelegerea modul ui de
devenire al unei fracții . Primul pas este fragmentarea unui întreg într -un număr de părți egale,
într-un număr de fracțiuni. Apoi, o parte din acestea încep procesul invers de reunire. De
exemplu, întregul este împărțit într -o primă etapă în șeptimi, care apoi încep să se reuneasc ă
până la un punct, când avem să zicem cinci șeptimi; sau poate se lipesc mai multe decât au
fost într -un întreg și obținem să zicem nouă șeptimi. Fracțiile egiptene surprind chiar punctul
de după primul pas, adică momentul dinaintea pasului de reîntregire . Este acel moment
“magic” când fracțiunile de toate mărimile “sunt împrăștiate de-a valma pe masă” și încep să
se adune “la întâmplare” pentru a forma anumite mărimi. Tratarea vechi -egipteană a fracțiilor
are un caracter de “repetecire” ca tendință opusă a fracționării, spre refacerea întregului. Este
sănătos ca elevii să zăbovească o oră, două , în acest stadiu, înainte de a merge mai departe
pentru a perfecționa tehnica oficială de calcul spre automatism.
Este evident pentru oricine că forma prezentată ma i sus pentru subiectul fracțiilor în Egiptul
antic este o formă mult simplificată și adaptată nevoilor și gândirii noastre. O seamă de
aspecte mult prea complicate ale subiectului au fost desigur lăsate de -o parte. De pildă, felul
în care gândeau vechi egi pteni pentru a obține aceste descompuneri este prea alambicat și
prezentarea acestui tip de raționament a fost evitată.
Dimpotrivă, am scos în evidență un fapt colateral pentru egipteni, anume că descompuneri le
respective nu sunt unice . Astfel, diferitele descompuneri lasă loc unei libertăți pline de
subiectivism, de care matematica duce în general lipsă, dar care -i bucură mult pe elevi .
Un aspect interesant despre gândirea din acele vremuri antice merită totuși a fi amintit aici: 44
din cele 49 de descom puneri găsite în papirusul Rhind încep cu prima fracție “pară”.
În final amintes c în treacăt și alte aspecte metodice legate de această lecție. Este evident
caracterul de interdis ciplinaritate al acestei lecții: cu greu poți găsi un melange mai
bun între matematică și istorie. Dimpotrivă, t rebuie să aruncăm un ochi mult mai
atent asupra temelor de lucru propuse pentru acasă, încât să observăm și
problematizarea, mai exact împingerea elevului spre activitatea de descoperire a noi
aspecte ale acestui subiect .
Cluj, dec. 2014, Prof. C.Titus Grigorovici

– 5 – Post Scriptum – Fracții egiptene

Ca o continuare a celor de mai sus , iată încă trei studii interesante, prezentate ca probleme:
10) În completarea și ca răspuns la problema nr. 8) putem preciza următoarele: numerel e 6
și 28 sunt așa -numite numere perfecte , numere care sunt egale cu suma divizorilor lor.
Concret, 6 = 1 + 2 + 3, respectiv 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 (toți divizorii în afară de numărul
însuși). Aceste două numere perfecte erau cunoscute lui Pitagora, cel c are le -a comparat cu
rarii oameni perfecți, desigur pe baza acestor calități de excepție. Astfel, majoritatea
numerelor sunt subperfecte pentru că au suma divizorilor mai mică decât numărul însuși (1 +
2 + 5 < 10, la fel ca majoritatea oamenilor ce se laud ă peste nivelul lor real); dimpotrivă,
există însă și numere supraperfecte , cele la care suma divizorilor este mai mare decât numărul
dat (de exemplu la 12 avem 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12, la fel ca la acei oameni modești, al
căror nivel real este mult pe ste ce declară ei despre sine). Plecând de la aceste considerații
filozofice moștenite de la Pitagora, matematicienii au căutat și alte numere perfecte . Nicomah,
în secolul I d.Chr. a găsit următoarele numere perfecte, anume 496 și 8128 (următoarele
depășe sc ca mărime nivelul nostru de interes) . Dar de unde cunoștea Pitagora aceste
proprietăți, ce apar atât de rar la numere? Pe baza celor două exemple prezentate la problema
8) putem concluziona că vechi egipteni se întâlniseră cu aceste cazuri excepționale, care
pentru ei nu prezentau însă vre -un interes, pentru că sumele respective dau rezultatul 1 (pe
când ei căutau rezultate ceea ce numim noi azi fracții ordinare subunitare). Or, se știe că
Pitagora a fost ani buni “la studii în Egipt”, preluând de la pre oții egipteni cunoștințele
matematice ale acestora. Astfel, în aceeași linie cu sumele de la problema 8), putem da și
următoarea sumă pe baza numărului perfect 496:
14961
2481
1241
621
311
161
81
41
21
.
Un exercițiu similar pe baza numărului perfect 8128 depășește to tuși nivelul preocupațional
legat de fracții, atât la vechii egipteni, cât și la elevii din vremurile noastre.
Revenind la Pitagora, el nu a continuat linia de preocupări despre fracții de la
egipteni, ci a deschis o nouă linie în acest sens, anume cea despre rapoartele
numerelor. Cele două linii – fracțiile ca mărimi și rapoartele dintre două numere –
au ajuns la un echilibru în conștiența lumii matematice de -abia după Renaștere.
11) În problemele 8) și 10) am construit sume de fracții unitare pe baza divizorilor
numerelor perfecte. Dacă vrem să mai facem un pas, putem să ne inspirăm din numerele
prietene (amiabile). Prima pereche de numere prietene este (220; 284), cunoscute și acestea de
către Pitagora, dar a junse la mare cinste și în lumea savanților arabi. Ele au proprietatea că
fiecare este egal cu suma divizorilor celuilalt (cu 1, dar fără numărul însuși). Astfel obținem
de calculat următorul exercițiu, un pic înspăimântător, dar cu un rezultat absolut rem arcabil:




2841
1421
711
41
21
2201
1101
551
441
221
201
111
101
51
41
21

12) În lucrarea Din spectacolul matematicii (Ed.Albatros, colecț ia Liceum, 1983) autorul
Gheorghe Păun ne prezintă la pag.156 o problemă din The American Mathematical Monthly ,
86, no.3 din 1979, referitoare la fracțiile egipte ne: să se găsească o mulțime finită S de
numere naturale astfel încât pentru orice n din S, sau n – 1 sau n + 1 se găsește în S
(condiția 1) și suma inverselor acestor numere ( 1/n) să fie un număr întreg (condiția 2, ce
face trimitere clară către fracțiile egiptene). În revista amintită sunt prezentat e și două soluții
ale problemei ( vezi S1 și S 2). Verificați cele două soluții și, în măsura în care v ă țin puterile,
căutați și altele noi.
S1 = {1, 2, 7, 8, 13, 14, 39, 40, 76, 77, 285, 286},
S2 = {2, 3, 4, 5, 6, 7 , 9, 10, 17, 18, 34, 35, 84, 85}.
Alte informații despre fracțiile egiptene se găsesc și în diferite lucrări de Istoria matematicii . Dau aici
două exemple: Nicolae Both – Istoria matematicii , Ed.Alc Media Grup; Adrian C.Albu – O istorie a
matematicii până în secolul VI (XIII) , Ed. Nomina. Fiecare aduce noi informații la această temă.

– 6 – Integrarea fracțiilor egiptene în predarea fracțiilor la clasă

Este evident că forma acestei lecții mai sus prezentată este potrivită mai mult ca o curiozita te,
de oferit celor care deja cunosc și stăpânesc adunarea fracțiilor. Materialele oferite în
exercițiile 8, 10 și 11 au făcut de exemplu deliciul elevilor buni din clasa a VI -a, undeva spre
finalul semestrului I, atunci când deja erau încălziți bine în ac eastă direcție.
Dar oare, cât de repede putem folosi fracțiile egiptene în predarea la clasă? Cu condiția să fim
pregătiți să adaptăm lecția din primele momente , dar și să ne adaptăm propria noastră predare
la noile personaje matematice, cu aceste condiții deci, putem introduce aceste fracții din prima
oră a capitolului despre fracții din clasa a V -a (voi explica pe parcurs de ce nici nu ar trebui
introduse de către învățătoare în clasa a IV -a).
Să încerc deci o prezentare pe scurt a felului în care am pred at în anul aceasta (martie 2015)
fracțiile ordinare la clasa a V -a. În principiu, am dat foarte multă atenție introducerii vizuale a
diferitelor fracțiuni și fracții în toate formele geometrice imaginabile la această vârstă. Un
copil a și observat că aceas ta este de fapt lecție de clasa a IV -a. Da, exact asta am și vrut: să
nu-i supun pe elevi de la început un șoc, ci să -i iau de acolo de unde îi lăsase învățătoarea.
Desigur că exemplele parcurse au depășit curând nivelul și limitările casei a IV -a, dar în
principiu, m -am străduit să revin cât de des posibil în lecțiile următoare la reprezentarea
grafică a fracțiilor.
Deși am început cu o varietate largă de reprezentări, curând – după primele două lecții – la
exemplele folosite s -au cristalizat două princi pale forme de reprezentare grafică: cea în cerc
(împărțirea discului, adică tăiatul lipiilor) și cea lineară a dreptunghiului (noi îi spuneam
tăierea cozonacului). Prima este foarte clară vizual și permite cuplarea unor fracțiuni diferite,
pe când a doua e ste practică la fracțiile mai nepractice , acolo unde nu putem împărți cercul
cât de cât exact , „din ochi” (de pildă la noimi). Oricum, elevii au învățat să le folosească bine
pe amândouă (ocazional și alte forme), având astfel la toți pașii făcuți cu fracț ii ordinare o
imagine foarte clară despre ce r eprezintă acești pași (de pildă la amplificarea fracțiilor unde,
de exemplu amplificarea cu trei înseamnă de fapt împărțirea fiecărei fracțiuni în trei părți
egale).
Doresc să evidențiez acest principiu de pre dare, prin care elevii înțeleg în profunzime de ce se
procedează într -un anumit fel la o lecție. Ei nu învață papagalicește o regulă dată de profesor,
ci o deduc singuri (frontal, prin cercetare îndrumată și brainstorming din belșug).
Reprezentarea grafică a fracțiilor a reapărut ocazional și la studiul fracțiilor
zecimale, și sunt convins că ne va fi de folos în același fel și la studiul înmulțirii și
împărțirii de la începutul clasei a VI -a.
Revenind la fracțiile egiptene , acestea au apărut în predare în două -trei momente. În primul
rând ca o curiozitate de scriere ce apărea sporadic prin exerciții ; elevilor le plăcea să ne jucăm
de-a egiptenii, scriind cu hieroglife (și le știau foarte bine!). În al doilea rând, mult mai
important, fracțiile egiptene au a părut prin reprezentarea lor grafică ca exerciții deosebite a
reprezentării grafice a fracțiilor. Concret, diferitele sume de la paginile 2 -3, cu fracțiuni le
accesibile de reprezentat grafic (cu numitori mici), au fost verificate ca atare mult înainte de
învățarea pașilor oficiali de adunare, doar prin simpla reprezentare grafică. Desigur că la lecția
despre adunarea fracțiilor am avut prin aceste exerciții o bază solidă de lucru pentru
stabilizarea pașilor ce trebuiau învățați .
Iată în continuare ordinea l ecțiilor din acest semicapitol :
1. Fracțiuni : reprezentarea grafică a fracțiunilor (jumătatea, treimea, …, doisprezecimea);
scrierea fracțiunilor în Egiptul antic.
2. Fracții ordinare : exemple cu reprezentare grafică; termenii unei fracții ordinare (numitor și
numărător); problema împărțirii a 9 lipii la 10 oameni (cu realizare practică în fața clasei
tăind lipiile cu foarfeca). La temă s -au rezolvat situa ții similare: 7 lipii la 8 pers; 3/5; 5/6.
3. Tipuri de fracții ordinare: subuni tare; echiunitare; supraunitare (exemplele 7/9; 9/9; 13/9 ,
reprezentate grafic cu ajutorul pătratului împărțit în 3×3 pătrățele ).

– 7 – 4. Amplificarea și simplificarea fracțiilor ordinare (funcționează foarte bine cu reprezentarea
grafică în disc).
5. Scoaterea întregilor dintr -o fracție supraunita ră; introducerea întregilor într -o fracție .
6. Compararea fracțiilor (diverse metode, inclusiv aducerea la numitor comun ; vezi anexa ).
7. Adunarea și scăder ea fracțiunilor (fracțiilor unitare) prin aducerea la numitor comun cu
amplificare; aici apar din nou frac ții egiptene, de data asta ca exerciții de aducere la
numitor comun în vederea adunării, inclusiv proba la problemele practice de împărțire a 9
lipii la 10 oameni etc. din prima parte a capitolului. Este evident că această lecție o trage
după sine și pe ur mătoarea.
8. Adunarea și scăder ea fracțiilor ordinare. La această lecție elevii lucrează deja automat, prin
metoda clasică de aducere la numitor comun prin amplificare. Diferența față de abordarea
obișnuită este însă aceea că aici elevii înțeleg cu adevărat f racțiile ordinare și știu la fiecare
pas ce se întâmplă și de ce.
O întâmplare inedită a avut loc în lecția a 7-a, în timp ce verificam prin aducere la numitor
comun diferite descompuneri egiptene : la exemplul
151
71
21
75 (din varianta inițială a
prezentului eseu) am constatat c ă acesta era greșit. La lucrarea de control am propus elevilor
să corecteze această descompunere prin reprezentare a grafică în cerc a fracției 5/7 (așa cum
ar fi f ăcut-o vechii egipteni), plecând de la bănuiala că fracți unea 1/15 este incorectă . Acesta a
fost cel mai greu punct al testului, dar un elev tot l-a făcut. Acest exemplu ne arată cum se pot
da elevilor probleme grele, fără a fi „împrumutate” din clase mai mari (ca la olimpiade).
Am rămas dator cu o explicație: d e ce fracțiunile, adică fracțiile egiptene , nici nu ar trebui
introduse de către învățătoare în clasa a IV -a. O explicație exterioară matematicii ar fi că în
clasa a V -a se pot face conexiuni frumoase cu învățarea Egiptului antic la istorie.
O explicație m ai apropiată de metodica matematicii reiese din implicațiile înțelegerii
fracțiunilor și a abordării fracțiilor la vechii egipteni pentru operația de adunare a fracțiilor.
Dar și amplificarea, simplificarea și compararea fracțiilor beneficiază indirect de înțelegerea
fracțiilor oferită de fracțiuni. Este deci important ca profesorul să își facă lecția cu fracțiuni,
pentru a fi sigur că o are predată așa cum trebuie și a putea face trimiterile necesare .
O ultimă explicație este tot de ordin metodic: jocul c u fracțiunile și fracțiile egiptene îi oferă
profesorului posibilități largi de a zăbovi fără plictiseală în zona intuitiv -vizuală de la
începutul capitolului, venind astfel în întâmpinarea elevului rămas la fracții acolo unde l -a
lăsat învățătoarea sa. Astfel, elevul urcă fără șocuri majore de la nivelul matematic al
învățătoarei la nivelul profesorului de matematică.

ANEXĂ: Compararea fracțiilor ordinare – Un studiu al diferitelor metode

Elevii vin din clasa a IV -a cu o parte din această lecție învăța tă. Dacă se începe capitolul de
fracții ordinare cu o preocupare intensă pentru reprezentarea fracțiunilor și a fracțiilor în
diferite forme geometrice (părți din disc -lipii, pătrat, dreptunghi, triunghi etc.) și se folosesc
acestea în diferite probleme de pătrundere a fenomenului, atunci elevii vor enunța de la sine –
adică din înțelegere și din amintiri din clasa a IV -a – primele criterii de comparare a fracțiilor
ordinare. Deci primele criterii ar trebui să fie enunțate de către elevi, profesorul dând do ar la
început exemple cu semnul întrebării.
1) Fracții cu același numitor: dacă două fracții au același numitor, ordinea este aceeași cu
ordinea numărătorilor. Exemple:
53?52 ;
125?127 .
2) Fracții cu același numărător: dintr -un exemple bine alese elevii vor putea explica faptul
că dacă două fracții au același numărător, atunci ordinea lor este inversă ordinii
numitorilor. Exemple:
61?41 ;
83?73 .

– 8 – 3) Diferite metode grafice: de exemplu, fracțiile
53 și
74 se pot compara reprezentându -le
grafic prin împărțirea unui dreptunghi cu lățimea de 5 și lungimea de 7 pătrățele. Pentru
prima fracție împărțim întregul pe lățime în cinci fâșii din care hașurăm cu o culoare t rei
fâșii, iar pentru a doua fracție împărțim întregul pe lungime în șapte fâșii din care
hașurăm cu altă culoare doar patru fâșii. În final avem dreptunghiul întreg împărțit de fapt
în 35 de păt rățele și trebuie doar să numărăm câte sunt mai multe, cele d in prima sau cele
din a doua culoare. Este clar că această metodă deschide ușa pentru aducerea la numitor
comun, dar este recomandabil să lăsăm spre final metodele foarte generale (cunoscând o
metodă generală, elevul va accepta mai greu alte metode particu lare; în acest caz nu ne
putem atinge unul dintre obiectivele majore ale unui învățământ sănătos: deschiderea cât
mai largă a minții elevului).
4) Fracție subunitară < fracție supraunitară: dacă au înțeles cele două tipuri de fracții vor
putea rezolva direct și aceste exemple; apoi se trece în caiet regula.
5) Compararea fracțiilor subunitare față de jumătate: elevii cu simțul dezvoltat pentru
fracții vor observa ușor dacă o fracție subunitară reprezintă mai mult sau mai puțin decât
jumătate. Exemple:
83?74 ;
169?157 . În general se poate face compararea celor două
fracții față de o altă cantitate intermediară: de exemplu putem ordona crescător
fracțiile
32 și
87 , comparându -le (eventual gr afic) cu fracția intermediară
43 , care este
destul de cunoscută și vizual. Deci
87
43
32 . Analog
31 și
163 pot fi comparate cu
41 .
6) Comparând diferențele până la un întreg: în cazul fracțiilor
1211 și
1312 , diferențele până
la un întreg sunt
131
121 . Este evident că
1211 <
1312 . La exemplul
4342?3736 iese mai bi ne în
evidență această metodă.
7) Scoțând întregii din fracție, cu cantități de întregi diferite: în acest caz ordinea este
dată de întregi. Exemplu:
937?725
8) Scoțând întregii din fracție, cu cantități de întregi egale: în acest caz ordinea
este dată de părțile fracționare, după celelalte criterii. Exemplu:
1135?727
9) Aducând fracțiile la același numitor, prin amplificare sau prin simplificare. Aceasta este
lărgirea cadrului de aplicabilitate a primei metode. Pentru deschiderea câ t mai clară a
gândirii elevilor este evident că trebuie să oferim și exemple cu simplificare.
10) Aducând fracțiile la același numărător, prin amplificare cât și prin simplificare. Aceasta
este desigur lărgirea cadrului de aplicabilitate a celei de -a doua meto de. Această a zecea
metodă este importantă, la fel, pentru formarea la elevi a unei gândiri cât mai deschise.
Aici este important să alegem exemple la care aducerea la numitor comun să fie mult mai
dificilă decât aducerea la numărător comun (din punct de v edere al calculelor).
Despre generarea lecției în forma de mai sus merită precizat că, pe lâng ă metodele pregătite
de profesor sau apărute de la elevi la clasă, au apărut idei noi și la lucrarea de control.
Cluj, apr. 2015, Prof. C.Titus Grigorovici
PS.1. Imaginea scribului este preluată din Aritmetica distractivă a lui
I.I.Perelman , Ed. Tineretului, 1963, pag 70 ( din țara piramidelor ).
PS.2. În lucrarea lui Eugen Rusu , Problematizare și probleme în
matematica școlară , Ed Did. și ped.1978, pag112, găsim următoarea
problemă: C âte soluții în numere naturale are ecuația
nyx111 ?