Conduc ator  stiint i c: Absolvent: Prof.univ.dr. D asc alescu Sorin Grigorescu Teodor-Ioan 2020 UNIVERSITATEA DIN BUCURES TI FACULTATEA DE… [630131]

UNIVERSITATEA DIN BUCURES TI
FACULTATEA DE MATEMATIC A S I INFORMATIC A
LUCRARE DE LICENT  A
Conduc ator  stiint ic: Absolvent: [anonimizat].univ.dr. D asc alescu Sorin Grigorescu Teodor-Ioan
2020

UNIVERSITATEA DIN BUCURES TI
FACULTATEA DE MATEMATIC A S I INFORMATIC A
Rezultate de clasicare pentru grupuri nite
Conduc ator  stiint ic:
Prof.univ.dr. D asc alescu Sorin
Absolvent: [anonimizat]
2020

Cuprins
1 Preliminarii despre grupuri 5
2 Grupuri simple  si serii de compozit ie 9
3 Act iuni ale grupurilor pe mult imi 13
3.1 Not iuni de baz a despre act iunile grupurilor pe mult imi . . . . . . . . . 13
3.2 Clasele de conjugare ale grupului Sn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Clasele de conjugare ale grupului An. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Titlul capitolului 4 25
4.1 Titlul sect iunii 1 din capitolul 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 Titlul capitolului 5 27
Bibliograe 28
3

4 Cuprins

Capitolul 1
Preliminarii despre grupuri
Denit ia 1.1 FieAun grup . Fie Bo submult ime nevid a a lui A.
Spunem c a Beste subgrup al lui Adac a:
1)Beste parte stabil a a lui A^ n raport cu legea de compozit ie a lui A
2)Beste grup ^ n raport cu legea de compozit ie indus a.
Notat ie :BA.
Denit ia 1.2 FieGun grup  siHun subgrup al lui G. Fiex2G siy2G.
Spunem c a x siysunt congruente modulo Hla st^ anga dac a x1y2H. Congruent a
moduloHla st^ anga este o relat ie de echivalent  a .^In acest caz, clasele de echivalent  a
sunt de forma gH, cug2G.
Spunem c a x siysunt congruente modulo Hla dreapta dac a xy12H. Congruent a
moduloHla dreapta este o relat ie de echivalent  a .^In acest caz, clasele de echivalent  a
sunt de forma Hg, cug2G.
Observa t ie: Mult imile factor se noteaz a cu ( G=H )s, respectiv cu ( G=H )d.
Denit ia 1.3 Av^ and ^ n vedere c a j(G=H )sj=j(G=H )dj, num arul cardinal comun se
noteaz ajG:Hj si se nume ste indicele subgrupului H^ n grupulG.
Teorema 1.1 (Teorema lui Lagrange)
Pentru orice subgrup Hal unui grup Gavem :
jGj=jHj
jG:Hj.
Demonstrat ie. Fiind o multime factor, ( G=H )seste o partit ie a lui G. Pe de alt a
parte, aplicat ia :H!xH=Mdenit a prin (h) =xh; h2H, este bijectiv a  si,
deci, rezult a c ajMj=jHjpentru orice M2(G=H )s.
Prin urmare,
jGj=jHj
j(G=H )sj=jHj
jG:Hj2
Observa t ie: DacaGeste un grup nit, teorema lui Lagrange arat a c a ordinul
oric arui subgrup al lui Geste un divizor al ordinului lui G.De exemplu ;un grup
de ordinul 8 nu poate avea subgrupuri de ordinul 3.
5

6 Capitolul 1. Preliminarii despre grupuri
Denit ia 1.4 HGse nume ste subgrup normal al lui Gdac axH=Hxpentru orice
x2G( i.e. clasele de echivalent  a modulo Hla st^ anga, respectiv la dreapta coincid ) .
Notat ie :HG.
Observa t ie: FieHG.
Heste subgrup normal al lui Gdac a  si numai dac a ( G=H )s= (G=H )d.
Denit ia 1.5 FieHG.
Av^ and ^ n vedere c a ( G=H )s= (G=H )d, se noteaz a unica mult ime cu G=H  si se
numeste grupul factor al lui GmoduloH.
Teorema 1.2 (Teorema de corespondent  a pentru subgrupuri normale)
Fief:G!G0un morsm de grupuri. Atunci :
a) Dac aKG0, atuncif1(K)G
b) Dac a f este surjectiv  siHG, atuncif(H)G0
c) Dac a f este surjectiv ,aplicat iaH!f(H) , de la mult imea subgrupurilor
normale ale lui Gcare cont in Kerf la mult imea subgrupurilor normale ale lui G0este
bijectiv a.
Teorema 1.3 (Teorema fundamental a de izomorsm)
Fief:G!G0un morsm de grupuri. Atunci G=Kerf'Imf (izomorsm de
grupuri). Mai mult, izomorsmul este unic.
Teorema 1.4 (Prima teorem a de izomorsm)
Fief:G!G0un morsm surjectiv de grupuri  si HG, cuKerfH.
Atunci,f(H)G0 siG=H'G0=f(H).
Demonstrat ie. Teorema de corespondent  a pentru subgrupuri normale ne asigur a c a
f(H)G0.
Fie acum:G0!G0=f(H) proiect ia canonic a si denim f=f:G!G0=f(H).
^Intruc^ at este compunerea a dou a morsme surjective, feste un morsm surjectiv,
deciImf=G0=f(H).
Fiex2G.
x2Kerf,f(x) =^1,(f(x)) = ^1,f(x)2Ker,f(x)2f(H).
f(x)2f(H),9h2H f (x) =f(h),9h2H f (h1x) = 1,9h2H
h1x2Kerf,9h2H x2h
Kerf,x2H.
Pentru ultima echivalent  a, am folosit ^ n mod esent ial ipoteza KerfH.
Am demonstrat,deci, c a Kerf=H. Din Teorema fundamental a de izomorsm
rezult a concluzia 2
Propozit ia 1.5 FieH siKdou a subgrupuri ale unui grup G. AtunciHKeste subgrup
al luiGdac a  si numai dac a HK =KH .

7
Observa t ie: Dac aH siKsunt subgrupuri ale lui Gastfel ^ nc^ at HK este de asemenea
subgrup al lui G, avemHK =H_K.
Teorema 1.6 (A doua teorem a de izomorsm)
FieGun grup  si H,Kdou a subgrupuri ale lui Gcu proprietatea HH_K.
Atunci :
1)H_K=HK  siH\KK
2)K
H\K'HK
H.
Demonstrat ie. CumHH_K; avem Hk =kH pentru orice k 2K ;deci
HK =[
k2KHk=[
k2KkH=KH .
Conform propozit iei anterioare, avem HKG, ceea ce conduce la HK =H_K.
Consider am incluziunea i:K!HK  si proiect ia canonic a :HK!HK
H.
Obt inem un morsm de grupuri f=i:K!HK
H.
Fiex2HK. Atunci exist a h2H sik2Kastfel ^ nc^ at x=hk.
^Intruc^ atH=Ker , avem
(x) =(hk) =(h)(k) =(k) =f(k).
Cumeste surjectiv, deducem c a f este surjectiv  si , deci , Imf =HK
H.
S tim c aKerf K. Fiek2K.
k2Kerf,(k) =(1),k2H,k2H\K.
Am ar atat c a Kerf =H\K si , deci ,H\KK.
Teorema fundamental a de izomorsm conduce laK
H\K'HK
H2
Propozit ia 1.7 Dac aH siKsunt dou a subgrupuri normale ale unui grup G, atunci
HK este de asemenea un subgrup normal al lui G.
Demonstrat ie. HG)HH_K)HKG.^In plus, pentru orice x2G
avemxHK =HxK =HKx , deciHK este subgrup normal al lui G.

8 Capitolul 1. Preliminarii despre grupuri

Capitolul 2
Grupuri simple  si serii de
compozit ie
Denit ia 2.1 Un grupGnetrivial (i.e. G6= 1) se nume ste grup simplu dac a singurele
subgrupuri normale ale sale sunt 1 si G.
Studiul grupurilor simple este esent ial ^ n teoria grupurilor nite, exist^ and posibilitatea
ca orice grup nit , dup a anumite procedee , s a se obt in a din grupuri nite simple.
Propozit ia 2.1 FieHun subgrup normal al unui grup G. AtunciHeste subgrup
normal maximal al lui Gdac a  si numai dac a G=H este grup simplu.
Demonstrat ie. ")" S tim c a Heste subgrup normal maximal. Adic a sunt
^ ndeplinite urmatoarele dou a condit ii :
1)H6=G
2)HKGimplic aK=H sau K =G.
Vrem s a demomstr am c a G=H este grup simplu (adic a G=H6= 1  si singurele
subgrupuri normale ale lui G=H sunt 1  siG=H ).
CumH6=G, avemG=H6= 1. Fie proiect ia canonic a :G!G=H . Aplic am
teorema de corespondent  a pentru subgrupuri normale pentru f=. Av^ and ^ n vedere
c aMKer =H si c aMeste subgrup normal al lui G,din maximalitate, obt inem
M=HsauM=G.^In consecint  a , (H)  si(G) sunt singurele subgrupuri normale
ale luiG=H . Dar(H) este grupul trivial (notat cu 1), iar (G) esteG=H  si atunci 1
 siG=H sunt singurele subgrupuri normale ale lui G=H . Prin urmare, G=H este grup
simplu.
"(" S tim c aG=H este grup simplu. Vrem s a demonstr am ca Heste subgrup
normal maximal.
Consider am proiect ia canonic a :G!G=H . 1  siG=H sunt ^ n corespondent  a
bijectiv a cu subgrupurile normale care cont in nucleul lui , adic a acelea care ^ l cont in
peH( deci vor  tot dou a ) . Dar H siGsunt subgrupuri normale  si ^ ndeplinesc
9

10 Capitolul 2. Grupuri simple  si serii de compozit ie
cerint a de a-l cont ine pe H. Prin urmare, ^ ntre H siGnu mai exist a alt subgrup
normal, adic a Heste maximal. 2
Observa t ie: Propozit ia descris a  si demonstrat a anterior prezint a modul in care
putem obt ine unele grupuri simple.
Exemplu : T  in^ and cont  si de propozit ia anterioar a , avem :
p este prim,pZeste subgrup normal maximal al lui Z,Z=pZ este grup simplu.
Vom demonstra acum urm atoarea :
Propozit ia 2.2 Orice grup simplu abelian este izomorf cu Z=pZ , cu p num ar prim.
Demonstrat ie. FieGun grup simplu abelian. Din ipoteza c a Geste abelian, avem
c a orice subgrup al s au este normal. Faptul c a grupul este simplu ne asigur a, pe de o
parte, c a ^ n Gexist a cel put in un xdiferit de elementul neutru . Deci putem scrie :
16=x2G)16=<x> G)<x> =G)Geste ciclic.
DeciGeste izomorf e cu Z, e cu Zn, cu n num ar ^ ntreg pozitiv.
Cum Znu este grup simplu (pentru c a are o innitate de subgrupuri normale), iar
Zneste simplu doar ^ n situat ia ^ n care n este prim, deducem c a G'Zp, unde p este
num ar prim . 2
Denit ia 2.2 FieGun grup. O mult ime H=fH0;H1;:::;Hngde subgrupuri ale lui
Gse nume ste serie a lui Gdac an > 0 , 1 =HnHn1:::H1H0=G si
pentru ecare i2f1;2;:::;ngs a avemHiHi1.
Num arul natural n se mai nume ste lungimea seriei H, subgrupurile H0;:::;Hn
se numesc termenii seriei, iar grupurile factor H0=H1;:::;Hn1=Hnse numesc factorii
seriei.
SeriaHse nume ste serie de compozit ie a lui Gdac a tot i factorii s ai sunt grupuri
simple.
Denit ia 2.3 Dou a serii de compozit ie, Hde lungime m si Kde lungime n, ale unui
grupGse numesc echivalente dac a m=n  si exist a o aplicat ie bijectiv a f de la mult imea
factorilor lui Hpe mult imea factorilor lui K, astfel ^ nc^ at pentru orice factor Hi1=Hi
al luiH, s a avemHi1=Hi'f(Hi1=Hi), undei2f1;2;:::;ng.
Observa t ie: Pe de o parte, Znu are nicio serie de compozit ie( Znu are niciun
subgrup netrivial simplu) .
Pe de alt a parte, orice grup nit are cel put in o serie de compozit ie . ^Intr-adev ar,
e e G un grup nit. Putem presupune c a Geste netrivial. Construim subgrupurile
H0;H1;:::;Hn;:::ale lui G inductiv astfel : H0=G; presupunem c a Hna fost construit;
dac aHn6= 1 , denim Hn+1ca un subgrup normal maximal al lui Hn( acest lucru
este posibil pentru c a Hneste nit); dac a Hn= 1, lu amHn+1= 1. Deoarece Hn6= 1
implic aHn+1Hn, exist a un num ar natural n cu Hn= 1  si dac a n este cel mai mic
num ar natural cu aceast a proprietate, atunci fH0;H1;:::;Hngeste o serie de compozit ie
a luiG.

11
Lema 2.3 FieGun grup,H=fH0;H1;:::;Hngo serie de compozit ie a lui Gde
lungime n  si K1un subgrup normal maximal al lui G. Atunci exist a o serie de
compozit ie a lui Gde formafK0;K1;:::;Kmg si orice astfel de serie de compozit ie
este echivalent a cu G.
Demonstrat ie. Facem induct ie dup a n. Pentru n=1, Geste un grup simplu , deci
armat ia din enunt  este demonstrat a.
Presupunem armat ia adev arat a pentru grupuri care au o serie de compozit ie de
lungime i, unde i<n . Dac aK1=H1, atuncifH1;H2;:::;Hngeste o serie de compozit ie
a luiH1, de lungime n-1  si , aplic^ and ipoteza de induct ie, concluzia este imediat a.
Presupunem acum K16=H1. AtunciH1H1K1G, deciH1K1=GdeoareceH1
este subgrup normal maximal. Fie L2=H1\K1. Avem :
H1=L2=H1=H1\K1'H1K1=K1=G=K 1.
K1=L2=K1=H1\K1'H1K1=H1=G=H 1.
G=K 1 siG=H 1sunt grupuri simple , deci H1=L2 siK1=L2sunt grupuri simple.
^In particular, L2este subgrup normal maximal al lui H1. Din ipoteza de induct ie,
exist a o serie de compozit ie a lui H1de formafH1;L2;:::;Ltg si orice asemenea serie
de compozit ie este echivalent a cu fH1;H2;:::;Hng.^In particular, avem n=t. Rezult a
c afH0;H1;L2;:::;Lngeste o serie de compozit ie a lui Gechivalent a cu H. Este clar c a
fK1;L2;:::;Lngeste o serie de compozit ie a lui K1, decifK0;K1;L2;:::;Lngeste o serie
de compozit ie a lui G. Izomorsmele H1=L2'G=K 1 siK1=L2'G=H 1arat a c a seriile
de compozit iefH0;H1;L2;:::;Lng sifK0;K1;L2;:::;Lngale luiGsunt echivalente.
Dac afK0;K1;:::;Kmgeste o serie de compozit ie a lui G, ipoteza de induct ie aplicat a
luiK1( cu seria de compozit ie fK1;L2;:::;Lngde lungime n1<n) arat a c a seriile
fK1;:::;Kmg sifK1;L2;:::;Lngale luiK1sunt echivalente. ^In particular, m=n si
seriilefK0;K1;:::;Kmg sifG;K 1;L2;:::;Lngale luiGsunt echivalente. Avem c a seria
de compozit iefG;K 1;L2;:::;Lngeste echivalent a cu fG;H 1;L2;:::;Lng, iar la randul
s au este echivalent a cu H. Av^ and ^ n vedere c a echivalent a seriilor de compozit ie este
o relat ie de echivalent  a , deducem c a seria fK0;K1;:::;Kmgeste echivalent a cu H.
Teorema 2.4 (Teorema Jordan-Holder)
Orice dou a serii de compozit ie H=fH0;H1;:::;Hng siK=fK0;K1;:::;Kmgale
unui grupGsunt echivalente.
Demonstrat ie. Din faptul c a K=fK0;K1;:::;Kmgeste o serie de compozit ie ,
rezult a in mod necesar K1subgrup normal maximal al lui G.
Nu ram^ ane dec^ at s a aplic am lema anterioar a seriei de compozit ie H si subgrupului
normal maximal K1.

12 Capitolul 2. Grupuri simple  si serii de compozit ie

Capitolul 3
Act iuni ale grupurilor pe mult imi
3.1 Not iuni de baz a despre act iunile grupurilor pe
mult imi
Denit ia 3.1 FieGun grup  siMo mult ime nevid a. O act iune a lui GpeMeste o
aplicat ie:GM!Mcare satisface urm atoarele condit ii :
1)(1;x) =x; x2M;
2)(g1g2;x) =(g1;(g2;x)); g 1;g22G;x2M
De regul a vom nota (g;x) =gx; g2G;x2M.
Cu aceast a notat ie , cele do@ua condit ii se rescriu astfel :
1') 1x=x; x2M
2') (g1g2)x=g1(g2x); g 1;g22G;x2M
Denit ia 3.2 O reprezentare a lui Gprin permut ari ale mult imii Meste un morsm
de grupuri T:G!S(M), undeS(M) este grupul simetric pe mult imea M.
Observat ie : S a consider am o act iune :GM!Ma luiGpeM. Pentru ecare
g2G, denim aplicat ia T(g) :M!Mdat a de :T(g)(x) =gx, oricare ar  x2M.
T(g) este o biject ie de la MlaM. Not amg7!T(g) cuT, undeT:G!S(M).
Faptul c aT(g1g2) =T(g1)T(g2) arat a c a Teste un morsm de grupuri. Prin
urmare,Teste reprezentarea prin permut ari asociat a act iunii .
Denit ia 3.3 Mult imeaKerT=fg2GjT(g) = 1g=fg2Gjgx=x;8x2Mgse
nume ste nucleul act iunii .
Denit ia 3.4 FieGun grup  si M=G. Aplicat ia :GG!Gdenit a prin
(g;x) =gx; g2G;x2G(aicigxeste chiar produsul ^ n Gal elementelor g six) este
evident o act iune ; ea se nume ste act iunea lui Gpe el ^ nsu si prin translat ii la st^ anga.
13

14 Capitolul 3. Act iuni ale grupurilor pe mult imi
Denit ia 3.5 FieGun grup,Mo mult ime  si o act iune a lui GpeM. Spunem c a
este o act iune tranzitiv a dac a pentru orice dou a elemente x1;x22Mexist a ung2G
astfel cagx1=x2.
Denit ia 3.6 FieHun subgrup al grupului G. Consider am mult imea ( G=H )sa
claselor la st^ anga ale lui H^ nG.
Pentru orice g2G sixH2(G=H )savem :
g(xH) = (gx)H2(G=H )s.
Prin urmare, putem considera aplicat ia : :G(G=H )s!(G=H )sdenit a prin
(g;xH ) =g(xH); g2G;xH2(G=H )s.^In mod evident este o act iune. se
nume ste act iunea lui Gpe mult imea ( G=H )sprin translat ii la st^ anga .
Observat ie : Act iunea lui Gpe mult imea ( G=H )sprin translat ii la st^ anga este
tranzitiv a. ^Intr-adev ar, dac a x1H;x 2H2(G=H )s, lu amg=x2x1
12G si avem :
g(x1H) = (gx1)H= (x2x1
1×1)H=x2H.
Denit ia 3.7 FieGun grup,Hun subgrup al s au  si HGnucleul act iunii lui Gpe
(G=H )sprin translat ii la st^ anga. Pentru un element g2Gavem :
g2HG,(gx)H=xH;8x2G,x1gx2H;8x2G,g2xHx1;8x2G.
Prin urmare, HG=\
x2GxHx1.
HGse nume ste inima lui HinG.
Observat ie :HGeste un subgrup normal ^ n G(pentru c a este nucleul unei act iuni)
 siH= 1H11\
x2GxHx1=HG.
^In plus, pentru orice subgrup normal Nal luiGastfel caNH, avemN=
xNx1xHx1pentru orice x2G, deciN\
x2GxHx1=HG. Am demonstrat
astfel c aHGeste cel mai mare subgrup normal al lui Ginclus inH.
Propozit ia 3.1 FieGun grup  siHun subgrup de indice nit al lui G.
Dac ajG:Hj=n, atunciG=HGpoate  scufundat ^ n Sn.
Demonstrat ie. FieM= (G=H )s,act iunea lui GpeMprin translat ii la st^ anga
 siT:G!S(M) reprezentarea prin permut ari asociat a lui . Prin denit ie, T
este un morsm de grupuri  si HG=KerT. Teorema fundamental a de izomorsm ne
asigur a c aG=HGpoate  scufundat ^ n S(M).
Dar, ^ n situat ia noastr a , jG:Hj=n, decijMj=n si atunciS(M)'Sn. Prin
urmare,G=HGpoate  scufundat ^ n Sn.
Propozit ia 3.2 FieGun grup nit  si pcel mai mic divizor prim al ordinului lui G.
Atunci, orice subgrup al lui Gde indicepeste normal ^ n G.

3.1. Not iuni de baz a despre act iunile grupurilor pe mult imi 15
Demonstrat ie. FiejGj=m siHun subgrup de indice pal luiG. Conform teoremei
lui Lagrange, avem :
i)jG:HGj=jG:HjjH:HGj=pjH:HGj si
ii)m=jGj=jG:HGjjHGj=pjH:HGjjHGj.
^In continuare , vom folosi metoda reducerii la absurd.
Presupunem prin absurd c a Hnu este normal ^ n G. AtunciH6=HG si exist a un
divizor prim qal luijH:HGj. Relat ia ii) arat a c a qeste  si un divizor prim al lui m,
deci ,din minimalitatea lui p,pq. Pe de alt a parte, propozit ia anterioar a arat a c a
G=HGpoate  scufundat ^ n Sp, ceea ce conduce la faptul c a jG:HGj=jG=HGjeste
un divizor al luijSpj=p!
Folosind acum relat ia i), pqeste un divizor al lui jG:HGj si decipqjp! . Deci
qp1. Contradict ie cu faptul c a pq.
R amane deci c a Heste normal ^ n G.
Denit ia 3.8 FieGun grup,Mo mult ime nevid a  si o act iune a lui GpeM. Pentru
ecare element x2M,Gx=fgxjg2Ggse nume ste orbita lui xrelativ la act iunea
(sau, pe scurt, G-orbita luix). Avemx= 1x2Gx. Dac ax1;x22M siG-orbitele
Gx1 siGx2au un element comun, adic a exist a g1;g22Gastfel cag1x1=g2x2, atunci
pentru orice g2Gavem :
gx1=gg1
1(g1x1) =gg1
1(g2x2) = (gg1
1g2)x22Gx2
 si, analog, gx22Gx1; prin urmare, Gx1=Gx2. Rezult a ca mult imea Meste
reuniunea disjunct a a G-orbitelor. ^In particular, obt inem egalitatea :
jMj=PjGxj(unde sumarea se face dup a toate orbitele).
Denit ia 3.9 CardinaluljGxjse nume ste lungimea orbitei Gx. Orbitele de lungime
1 se numesc triviale. Deci, orbita Gxeste trivial a dac a  si numai dac a Gx=fxg, adic a
gx=xpentru orice g2G.
Observat ie : Pentru ecare element x2M;g2G;g0x2Gx;g02Gavem:
g(g0x) = (gg0)x2Gx :
Rezult a c a putem considera aplicat ia
:GGx!Gx
denit a prin (g;g0x) =g(g0x)  si aceast a aplicat ie este evident o act iune a lui G
pe mult imea Gx.^In plus,este o act iune tranzitiv a : pentru orice g0
1x;g0
2x2Gx
elementulg=g0
2g01
12Gsatisfaceg(g0
1x) =g0
2x.
Armat ia 1 :H=fg2Gjgx=xgeste un subgrup al lui G.
Justicarea armat iei 1 :
i)Heste nevid a, ^ ntruc^ at 1 2H

16 Capitolul 3. Act iuni ale grupurilor pe mult imi
ii) Fieg1;g2dou a elemente din H. Decig1x=x sig2x=x. Rezult a c a ( g1g2)x=
g1(g2x) =g1x=x. Prin urmare, g1g22H
iii) Fieg2H. Atuncigx=x. Rezult a c a x=g1(gx) =g1x. Prin urmare,
g12H.
Din i), ii)  si iii), deducem c a Heste subgrup ^ n G.
Armat ia 2 : Pentru un x^ nMxat, exist a o aplicat ie bijectiv a f:Gx!(G=H )s.
Justicarea armat iei 2 :
Denimf:Gx!(G=H )sprinf(gx) =gH.
iv)feste corect denit a : g1x=g2x)g1
1(g1x) =g1
1(g2x))x=g1
1g2x
)g1
1g22H)g1H=g2H
v)feste surjectiv a : Fie gH2(G=H )s. AtuncigH=f(gx)
vi)feste injectiv a : f(g1x) =f(g2x))g1H=g2H)g1
1g22H)
)g1
1g2x=x)g1g1
1g2x=g1x)g2x=g1x
Din iv), v)  si vi), deducem c a jGxj=j(G=H )sj=jG:Hj.
Denit ia 3.10 SubgrupulHdenit ^ n observat ia anterioar a se nume ste stabilizatorul
luix^ nG(relativ la act iunea )  si se noteaz a StabG(x).
Relat ia (2) devine :
jGxj=jG:StabG(x)j.
Denit ia 3.11 :GG!Gdat a de(g;x) =gxg1se nume ste act iunea lui Gpe
el ^ nsu si prin conjugare . Nucleul acestei act iuni este centrul grupului G, adic aZ(G).
Denit ia 3.12 Orbita unui element x2Grelativ la act iunea prin conjugare este :
Gx=fgxjg2Gg=fgxg1jg2Gg si se nume ste clasa de conjugare a luix.
Observat ie : Clasa de conjugare a unui element x2Geste trivial a dac a  si numai
dac agxg1=x, pentru orice g2G, adic agx=xg, pentru orice g2G.
A sadar,jGxj= 1,x2Z(G).
Denit ia 3.13 Dou a elemente x;y2Gse numesc conjugate dac a au aceea si clas a de
conjugare, adic a dac a exist a un g2Gastfel cay=gxg1.
Denit ia 3.14 Stabilizatorul unui element x2Grelativ la act iunea prin conjugare,
adic afg2Gjgxg1=xg=fg2Gjgx=xgg, se noteaz a cu CG(x)  si se nume ste
centralizatorul lui x^ nG.
Observat ie :^In baza relat iei de la nalul denit iei 3.10 , in cazul particular al
act iunii prin conjugare, avem jGxj=jG:CG(x)j.
T  in^ and cont de observat ia anterioar a  si de relat ia de la nalul denit iei 3.8 ,
obt inem o ecuat ie numit a ecuat ia claselor grupului G:
jGj=jZ(G)j+X
jG:CG(x)j
(aici sumarea se face dup a toate clasele de conjugare netriviale).

3.2. Clasele de conjugare ale grupului Sn 17
Denit ia 3.15 FieMmult imea tuturor subgrupurilor lui G(Meste,deci, o mult ime
de mult imi). Act iunea lui GpeMprin conjugare se dene ste prin :
GM!M
(g;H)7!gHg1;g2G;H2M
Armat ie : Aplicat ia anterioar a este bine denit a.
Justicarea armat iei :g(x) =gxg1este un automorsm al grupului G si,deci,
g(H) =gHg1este subgrup al lui Gpentru orice H2M2.
Orbita unui subgrup HGrelativ la act iunea prin conjugare este fgHg1jg2Gg
 si se nume ste clasa de conjugare a lui H^ nG. Dou a subgrupuri HsiH0ale luiGse
numesc conjugate dac a au aceea si clas a de conjugare, adic a dac a exist a un g2Gastfel
caH0=gHg1
Stabilizatorul unui subgrup H2Mrelativ la act iunea prin conjugare este
NG(H) =fg2GjgHg1=Hg=fg2GjgH=Hgg
 si se nume ste normalizatorul lui H^ nG.
Observat ie : FieHG. Avem, evident, HNG(H)G si, pentru orice subgrup
Kal luiG,HKimplic aKNG(H).
Deci,NG(H) este cel mai mare subgrup al luiGcare cont ine pe Hcasubgrup
normal .^In particular, HG,NG(H) =G.
3.2 Clasele de conjugare ale grupului Sn
Fie n un num ar natural nenul. Pentru ecare 2Snvom considera descompunerea
(1)=12:::n;
unde1;2;:::;nsunt cicluri disjuncte dou a cate dou a. Vom considera c a ^ n membrul
drept al lui (1) apar  si cicluri care corespund orbitelor triviale, cicluri care au
deci lungimea 1  si sunt egale cu permutarea identic a. S a presupunem c a ^ n membrul
drept al lui (1) apar,pentru ecare i2f1;2;:::;ng, un num ar de icicluri de lungime
i. Atunci, 1;2;:::;nsunt numere ^ ntregi nenegative  si 1+ 22+:::+nn=n.
Sistemul= (1;2;:::;n) se va numi tipul permut arii .
Propozit ia 3.3 Dou a permut ari ;02Snsunt conjugate ^ n Sndac a  si numai dac a
au acela si tip.

18 Capitolul 3. Act iuni ale grupurilor pe mult imi
Demonstrat ie. "(" S tim c a permut arile  si0sunt de acela si tip. Atunci
descompunerile lor ca produse de cicluri disjuncte dou a cate dou a sunt de forma :
(2)= (a11a12:::a1n1)(a21a22:::a2n2):::(as1as2:::asns)
 si
0= (a0
11a0
12:::a0
1n1)(a0
21a0
22:::a0
2n2):::(a0
s1a0
s2:::a0
sns)
unden1;n2;:::;nssunt numere ^ ntregi pozitive  si n1+n2+:::+ns=n. Fie
(3)=a11a12::: a 1n1a21::: asns
a0
11a0
12::: a0
1n1a0
21::: a0
sns
Pentru orice i2f1;2;:::;sg sij2f1;2;:::;ni1gavem :
1(a0
ij) =(aij) =(ai;j+1) =a0
i;j+1 si
1(a0
ini) =(aini) =(ai1) =a0
i1
Obt inem c a :
(4)1= (a0
11a0
12:::a0
1n1)(a0
21:::a0
2n2):::(a0
s1:::a0
sns);
deci1=0, ceea ce ^ nseamn a c a ;0sunt conjugate ^ n Sn.
")" S tim acum c a permutarile ;0sunt conjugate ^ n Sn. Vrem s a demonstr am
c a acestea au acela si tip.
Avem c a orice permutare conjugat a cu este de forma 1; cu 2Sn. S a
presupunem c a (2) este descompunerea lui ca produs de cilcuri disjuncte  si c a este
dat a prin (3). Atunci obt inem (4)  si, prin urmare,  si1au acela si tip 2.
Din propozit ia 3.3, deducem c a exist a o aplicat ie injectiv a de la mult imea claselor
de conjugare ale grupului Snla mult imea solut iilor ^ n numere naturale ale ecuat iei
(5)1+ 22+:::+nn=n;
aplicat ie care este denit a astfel : la ecare clas a de conjugare a lui Sn, se asociaz a
tipul uneia dintre permut arile care apart in acestei clase (observ am c a funct ia este bine
denit a).
Av^ and ^ n vedere c a, pentru orice solut ie ^ n numere naturale = (1;2;:::;n) a
ecuat iei1+ 22+:::+nn=n, exist a o permutare care are tipul , aplicat ia
descris a mai sus este bijectiv a .
Observat ie : Fie (1;2;:::;n) o solut ie ^ n numere naturale a ecuat iei (5). Con-
sider am sistemul format din urm atoarele n ecuat ii :
(6)m1=1+2+3+:::+n,m2=2+3+:::+n, …,mn=n.
Atunci (m1;m2;:::;mn) este o partit ie a lui n.
Reciproc, dac a ( m1;m2;:::;mn) este o partit ie a lui n, atunci lu^ and
(7)1=m1m2; 2=m2m3;:::; n=mn,
avem c a= (1;2;:::;n) este o solut ie ^ n numere naturale a ecuat iei (5).

3.2. Clasele de conjugare ale grupului Sn 19
Este clar acum c a avem o aplicat ie bijectiv a de la mult imea solut iilor ^ n numere
naturale ale ecuat iei (5) la mult imea partit iilor lui n.
Observat ie : Din cele prezentate anterior, exist a o aplicat ie bijectiv a de la mult imea
claselor de conjugare ale grupului Snla mult imea partit iilor lui n.
Vom aplica acum cele prezentate anterior ^ n cazul particular n=4.
Num arul 4 are cinci partit ii.
i) (m1;m2;m3;m4) = (4;0;0;0))(1;2;3;4) = (4;0;0;0).^In acest caz, sunt
patru cicluri de lungime 1 avem clasa de conjugare a permut arii identice : C1=f1g.
ii) (m1;m2;m3;m4) = (3;1;0;0))(1;2;3;4) = (2;1;0;0).^In acest caz,
conform notat iilor stabilite, avem dou a cicluri de lungime 1  si un ciclu de lungime 2.
Deci, permut arile care au acest tip sunt exact transpozit iile lui S4 si avem urm atoarea
clas a de conjugare : C2=f(12);(13);(14);(23);(24);(34)g.
iii) (m1;m2;m3;m4) = (2;2;0;0))(1;2;3;4) = (0;2;0;0).^In acest caz,
avem dou a cicluri de lungime 2 ,deci, permut arile care au acest tip sunt produse de
c^ ate dou a transpozit ii din S4disjuncte. Clasa de conjugare corespunz atoare este :
C3=f(12)(34);(13)(24);(14)(23)g.
iv) (m1;m2;m3;m4) = (2;1;1;0))(1;2;3;4) = (1;0;1;0). Avem un ciclu
de lungime 1  si un ciclu de lungime 3. Clasa de conjugare corespunz atoare este :
C4=f(123);(132);(124);(142);(134);(143);(234);(243)g.
v) (m1;m2;m3;m4) = (1;1;1;1))(1;2;3;4) = (0;0;0;1).^In acest caz,
avem permut ari cu un ciclu de lungime 4. Clasa de conjugare care se obt ine este :
C5=f(1234);(1243);(1324);(1342);(1423);(1432)g.
A sadar, ecuat ia claselor grupului S4este :
24=1+6+3+8+6.
Propozit ia 3.4 Fie () = (1;2;:::;n) o solut ie ^ n numere ^ ntregi nenegative a
ecuat iei1+ 22+:::+nn=n.
Atunci , num arul de permut ari din Sncare au tipul esten!Qn
i=1(i!ii)
Demonstrat ie. Fie o permutare 2Sncare are tipul ( ). Deciapart ine clasei de
conjugareSn. Avem :
(1)jSnj=jSn:CSn()j=n!
jCSn()j.
Pentru o permutare oarecare 2Sn,se obt ine efectu^ and permutarea ^ n
interiorul ciclurilor disjuncte care apar ^ n descompunerea lui . Av^ and ^ n vedere c a
pentru ecare i2f1;2;:::;ngsuntiastfel de cicluri  si dac a schimb am ordinea acestor
cicluri permutarea nu se schimb a, rezult a 1!2!:::n! permut ari 2Sncare nu schimb a
permutarea (adic a2CSn()). Pe de alt a parte, ecare din ciclurile de lungime
i poate incepe cu ecare din cele i cifre ale sale  si, deoarece sunt iastfel de cicluri
pentru ecare i2f1;2;:::;ng, mai apar 2233:::nnpermut ari2Sncare nu schimb a
permutarea pe l^ ang a ecare dintre cele 1!2!:::n! permut ari precedente. ^In acest

20 Capitolul 3. Act iuni ale grupurilor pe mult imi
mod, obt inem ^ n totalQn
i=1(i!ii) permut ari ale lui Sncare nu schimb a permutarea
 si este clar c a toate celelalte permut ari din Snschimb a permutarea . Avem c a :
jCSn()j=Qn
i=1(i!ii)
 si formula din enunt  se obt ine ^ n baza relat iei (1). 2
^In cele ce urmeaz a, vom determina ecuat ia claselor grupului S5. Num arul 5 are
 sapte partit ii :
i) (m1;m2;m3;m4;m5) = (5;0;0;0;0))(1;2;3;4;5) = (5;0;0;0;0).
ii) (m1;m2;m3;m4;m5) = (4;1;0;0;0))(1;2;3;4;5) = (3;1;0;0;0).
iii) (m1;m2;m3;m4;m5) = (3;2;0;0;0))(1;2;3;4;5) = (1;2;0;0;0).
iv) (m1;m2;m3;m4;m5) = (3;1;1;0;0))(1;2;3;4;5) = (2;0;1;0;0).
v) (m1;m2;m3;m4;m5) = (2;2;1;0;0))(1;2;3;4;5) = (0;1;1;0;0).
vi) (m1;m2;m3;m4;m5) = (2;1;1;1;0))(1;2;3;4;5) = (1;0;0;1;0).
vii) (m1;m2;m3;m4;m5) = (1;1;1;1;1))(1;2;3;4;5) = (0;0;0;0;1).
Conform Propozit iei 3.4 , num arul de permut ari ^ n ecare caz este :
i) 1
ii) 10
iii) 15
iv) 20
v) 20
vi) 30
vii) 24
Prin urmare, ecuat ia claselor grupului S5este :
120=1+10+15+20+20+30+24.
3.3 Clasele de conjugare ale grupului An
Observat ie : Fie n un num ar^ ntreg pozitiv  si e 2Sn.se descompune^ n produs de
cicluri disjuncte : =12:::s si, deci,sgn =sgn 1sgnn:::sgns=(1)r11(1)r22:::(1)rs1
under1;r2;:::;rssunt lungimile ciclurilor. S a presupunem c a are tipul (1;2;:::;n).
Obt inem c a sgn = (1)2+4+:::+2[n=2].
Fie2An. Vom nota cuAnclasa de conjugare a lui ^ nAn si cuSnclasa de
conjugare a lui ^ nSn.
Armat ie :SnAn
Justicarea armat iei : Cumse g ase ste ^ n An, avemsgn() = 1  si un element
din clasa de conjugare a lui este de forma u=gg1pentru ungdinSn. Atunci
sgn(u) =sgn(g)sgn()sgn(g1) =sgn(g)sgn(g1) = 1, deci u2An.
Propozit ia 3.5 Fie2An si (1;2;:::;n) tipul lui.
i) Dac a pentru orice idin mult imeaf1;2;:::;ngavemi1  si pentru orice ipar
avemi= 0, atuncijAnj=1
2jSnj si pentru orice 02SnnAnavemSn=Ann0.
ii)^In caz contrar, avemAn=Sn.

3.3. Clasele de conjugare ale grupului An 21
Demonstrat ie. FieH=CSn() centralizatorul lui ^ nSn. Atunci,CAn() =An\H
 si avem :
(1)jAnj=jAn:CAn()j=jAn:An\Hj=jSn:An\Hj
jSn:Anj=jSn:HjjH:An\Hj
2=jSnjjH:An\Hj
2.
Presupunem c a HAn. AtunciAn\H=H si relat ia anterioar a devine :
jAnj=1
2jSnj:
^In acest caz, dac a 02SnnAn,An siAn0sunt disjuncte  siSn=Sn0. Avem
jAnn0j=jAnj+jAnj=1
2jSnj+1
2jSnj=jSnj. Rezult a c aAnn0=Sn.
Presupunem acum c a Hnu este subgrup ^ n An. Din teorema a doua de izomorsm
avem :
i)AnHSn
ii)AnAnH
iii)An\HH si
(2)H=An\H'AnH=AnSn=An:
T  in^ and cont de faptul c a Hnu este subgrup ^ n An, avemAnH=An6= 1. ^In plus,
jSn=Anj= 2, deciAnH=An=Sn=An si din (2) obt inem H=An\H'Sn=An. Deci
jH:An\Hj= 2  si (1) devineAn=Sn.
R amane acum s a demonstr am c a condit ia HAnare loc dac a  si numai dac a
pentru orice i2f1;2;:::;ngavemi1  sii= 0 pentru i par, adic a toate ciclurile
distincte care apar ^ n descompunerea =12:::ssunt de lungime impar a  si nu exist a
astfel de cicluri distincte care au aceea si lungime.
Pentru ^ nceput, presupunem c a HAn. Deoarece ciclurile 12;:::;s2HAn si
ciclurile de lungime par a sunt permut ari impare, obt inem 2=4=:::=[n=2]= 0.
Dac aar avea dou a cicluri de aceea si lungime ( cicluri de lungime impar a ), putem
presupune c a aceste cicluri sunt :
1= (12:::2k+ 1),2= (2k+ 2;2k+ 3;:::;4k+ 2):
Lu am= (1;2k+ 2)(2;2k+ 3):::(2k+ 1;4k+ 2):
Av^ and ^ n vedere relat ia (4) din demonstrat ia bf Propozit iei 3.3, avem1=2,
2=1 sii=i, pentru orice i2f3;4;:::;sg. Rezult a=
12:::s=, deci
2HAn. Dareste un produs de 2 k+ 1 transpozit ii, adic a nu se gase ste ^ n An,
contradict ie.
Reciproc, presupunem c a lungimile i1;i2;:::;isale ciclurilor 1;2;:::;ssunt impare
 si distincte dou a c^ ate dou a. Din Propozit ia 3.4 , avemjHj=n!
jSnj=i1i2:::is si rezult a
c ajHjeste num ar impar, contradict ie cu faptul ca An\Heste subgrup de indice 2 ^ n
H.2
Subgrupurile normale ale grupului A4:
^InA4, consider am permut arile s= (12)(34)  si t= (13)(24). Avem, evident,
o(s)=o(t)=2  si st=ts= (14)(23). Obt inem c a < s;t > =f1;s;t;stg si not am acest

22 Capitolul 3. Act iuni ale grupurilor pe mult imi
subgrup cu B4. AvemB4=C1[C3(undeC1 siC3sunt clase de conjugare ale lui S4),
de unde rezult a B4S4, deci, cu at^ at mai mult, B4A4.
Ne propunem s a ar atam c a B4este singurul subgrup normal propriu  si netrivial
^ nA4. Pentru ^ nceput, observ am c a permut arile pare ale lui S4pot avea urm atoarele
tipuri :
i) (4,0,0,0) = tipul permut arii identice 1 ;
ii) (0,2,0,0) = tipul permut arii s= (12)(34) ;
iii) (1,0,1,0) = tipul permut arii = (123) ;
^In plus, conform Propozit iei 3.5 avemA4s=S4s=C3, decijA4sj= 3.
Obt inem de asemenea c a jA4j=1
2jS4j=1
2jC4j= 4.
Rezult a c aA41 = 1,A4s,A4,A40(unde02S4nA4) sunt singurele clase de
conjugare ale lui A4. A sadar, ecuat ia claselor pentru A4este: 12=1+3+4+4.
FieHun subgrup normal propriu  si netrivial al lui A4. Deoarece Htrebuie s a
cont in a pe 1  si sa e o reuniune de clase de conjugare, ordinul s au ar putea  unul din
urm atoarele numere : 1+3 , 1+4, 1+3+4 sau 1+4+4. Pe de alt a parte, din Teorema
lui Lagrange,jHjtrebuie sa e un divizor al lui 12. Rezult a c a jHj= 4  si, mai mult,
H= 1[A4s=C1[C3=B4(CuC1 siC3sunt notate clasele de conjugare din S4) .
^In concluzie, am ar atat c a B4este singurul subgrup normal propriu  si netrivial ^ n
A4.^In consecint  a, A4nueste grup simplu. 2
Subgrupurile normale ale grupului A5:
Permut arile pare ale lui S5pot avea urm atoarele tipuri :
i) (5,0,0,0,0)=tipul permut arii identice;
ii) (1,2,0,0,0)=tipul permut arii s= (12)(34);
iii) (2,0,1,0,0)=tipul permut arii t= (123);
iv) (0,0,0,0,1)=tipul permut arii u= (12345);
DinPropozit ia 3.5 , deducem c a :
1)A5s=S5s)jA5sj=jS5sj= 15;
2)A5t=S5t)jA5tj=jS5tj= 20;
3)jA5uj=1
2jS5uj=1
224 = 12  siA5u[A5u0=Snu, cuu02SnunA5u.
Rezult a, deci, c aA51 = 1;A5s;A5t;A5u siA5u0sunt singurele clase de conjugare ale
luiA5, iar ecuat ia claselor grupului A5este:
60 = 1 + 15 + 20 + 12 + 12 :
Fie H un subgrup normal propriu  si netrivial al lui A5. Av^ and^ n vedere c a Htrebuie
sa cont ina pe 1  si sa e o reuniune de clase de conjugare, jHjpoate sa e unul dintre
urm atoarele numere: 1+15, 1+20, 1+12, 1+15+20, 1+15+12, 1+20+12, 1+12+12,
1+15+20+12, 1+15+12+12 sau 1+20+12+12.
^Ins a, niciunul dintre aceste numere nu este un divizor al lui 60.
^In concluzie, 1  si A5sunt singurele subgrupuri normale ale lui A5, ceea ce arat a c a
A5este grup simplu.

3.3. Clasele de conjugare ale grupului An 23
Propozit ia 3.6 Aneste grup simplu pentru orice n5.
Demonstrat ie. Vom demonstra armat ia folosind metoda induct iei matematice.
S tim deja c a A5este grup simplu astfel c a vom presupune c a n>5  si c aAn1este
grup simplu.
Pentru ecare i2f1;2;:::;ng, denimHi=f2Anj(i) =ig.
Este clar c a HiAn si c a aplicat ia An1!Hn, care asociaz a oric arei permut ari
2An1permutarea
1 2::: n1n
(1)(2):::  (n1)n
;
este un izomorsm de grupuri. Deci Hneste grup simplu.
Pentru orice i;j2X=f1;2;:::;ng;i6=j, putem alege un k2Xastfel ^ nc^ at
i6=k6=j si lu^ and= (ijk)2Anavem(i) =j, deci pentru orice 2Anavem :
2Hi,(i) =i,1(j) =1(j),1(j) =j,12Hj.
Am obt inut c aHi=Hj, ceea ce arat a c a subgrupurile H1;H2;:::;Hnsunt conju-
gate dou a c^ ate dou a ^ n An.^In particular, Hi'Hn, pentru orice i2X, deciHieste
un grup simplu pentru orice i2X.
Presupunem, prin absurd, c a exist a un subgrup normal propriu  si netrivial al lui
Anpe care ^ l vom nota cu B. Avem c aB\Hieste normal ^ n Hi, deciB\Hi= 1 sau
B\Hi=Hi, pentru orice i2X.
Dac a exist a un j2Xastfel ^ nc^ at B\Hj=Hj, avemHjB. Oricare ar  i2X,
exist a2Anastfel ^ nc^ at Hi=HjB=B, deciHiB, pentru orice i2X. Fie
2An:Dac a(1) = 1, atunci 2H1B. Altfel, dac a (1) =j6= 1, lu am un i2X
cu 16=i6=j. Avem (j1i)2An si ((j1i))(1) = (j1i)(j) = 1, deci ( j1i)2H1B.
Av^ and ^ n vedere c a n >5, putem alege un k2Xastfel ^ nc^ at 1 ;i;j;k sa e distincte
dou a c^ ate dou a. Avem ( j1i)1= (i1j)2HkB si rezult a c a = (j1i)1(j1i)2B.
A sadar, am obt inut c a An=B, contradict ie.
R am^ ane, deci, c a B\Hi= 1, pentru orice i2X. Alegem o permutare 2B,
6= 1. Este clar c a nu se g ase ste ^ n Hi, adic a(i)6=i, pentru orice i2X. Fiea si
b^ nXastfel ^ nc^ at (a) =b. Avema6=b si, cumn>5, putem alege c2X, cuc6=a,
c6=b sic6=1(a). Fie(c) =d. Avemd6=a( pentru c a c6=1(a)) ,d6=b( pentru
c a(a) =b)  sid6=c( pentru c a (i)6=i, pentru orice i2X). Cumn6, mai alegem
^ nc a dou a elemente e;f2X, distincte de a;b;c  sid. Atunci :
= (ab)(cdef) = (ab)(cd)(de)(ef)2An:
Deoarece2BAn, avem12B si12B.
Pe de alt a parte,
1(a) =1(b) =(a) =(b) =a

24 Capitolul 3. Act iuni ale grupurilor pe mult imi
 si
1(c) =1(d) =(c) =(d) =e:
Am obt inut c a 16=12B\Ha= 1, contradict ie.
R am^ ane, deci, c a Aneste grup simplu.
Din metoda induct iei matematice, Aneste grup simplu, pentru orice n5.2

Capitolul 4
Titlul capitolului 4
4.1 Titlul sect iunii 1 din capitolul 4
25

26 Capitolul 4. Titlul capitolului 4

Capitolul 5
Titlul capitolului 5
27

28 Capitolul 5. Titlul capitolului 5

Bibliograe
[1] C. Nastasescu, C. Nit a, C. Vraciu , Bazele Algebrei , Editura Academiei Republicii
Socialiste Rom^ ania, 1986
[2] D. Popescu, C. Vraciu, Elemente de teoria grupurilor nite , Editura Stiint ic a si
Enciclopedic a, 1986
29