Stabilitatea statică relaxată reprezintă una dintre aplicațiile importante ale principiului de [629911]

Stabilitatea statică relaxată reprezintă una dintre aplicațiile importante ale principiului de
proiectare numit în literatura de specialitate,sub formă acronimică,CCV(”Control Configured
Vehicle”),ACT(”Active Control Technology”) sau CAG(”Commande Aut omatique
Généralisée”).
Conf orm principiului menționat,obținerea performanțelor și a calităților de zbor dorite ale
unei aeronave se bazează pe aportul substantial al sistemelor de comandă automate.În acest
sens,calculatoarele de bord sunt folosite p entru a genera,pe baza anumitor pa rametri măsurați
în zbor,legile de comandă necesare realizării obiectivelor de proiectare propuse,legi care sunt
transmise în timp real,sub formă de semnale electrice (”fly -by-wire”) sau optice (”fly -by-
light”), la elementele de execuție corezpunzătoare. Pe scurt,sistemul ”fly-by-wire” ,este un
sistem care înlocuiește controlul manual convențional de zbor cu o interfață electronică,a
aeronavei. Mișcările rezultate în urma accesării comenzilor de zbor sunt convertite în semnale
electronice tra nsmise de fire. Un avantaj destul de important al acestui s istem îl reprezintă
economia în greutate,deoarece poate fi mai ușor decât un sistem cu control
conventional.Inițial ”fly -by-wire” a fost introdus în aviația militară,ulterior fiind adău gat și pe
zona de aviație comercială. Primul avion de serie dotat cu un sistem de tip ”fly -by-wire”
integral a fost avionul de luptă American F -16.
Esența conceptului de stabilitate statică relaxată constă în micșorarea rezervei de
stabilitate statică naturală ,acceptând chiar valori negative ale acesteia,corespunzătoare
avionului static instabil.Relaxarea cerinței de stabilitate statică natural ă,posibilă prin acțiunea
compensatorie a unui sistem automat de îmbunătățire a stabilității,permite obținerea unor
caracteristici aerodinamice superioare ale avionului la echilibru și,implicit a unor
performanțe superioare ale acestuia.
În mod evident,renunțând la cerința
0snR h h −  , punctul neutru al avionului nu mai
furnizează o poziție -limită poste rioară a centrului de masă, noua limită posterioară de centraj
fiind determinate,ca și cea anterioară,de condiția de echilibru al avionului în jurul axei sale de
tangaj (
0mC= ).
La limita posterioară de centra j se impun e,așadar,satisfacerea condiției de echilibru la
valoarea maximă a coeficientului de portanță al ampenajului ,
( )max 0Lao LaoCC=

cu considerarea urm ătoarelor 2 cazuri critice:
a) aripa în configurație de hipersustentație(H) -cu voleții în poziția cores punzătoare
bracajului maxim
b) aripa în configurație lisă(L) -cu voleții nebracați
Fiecărei configurații critice menționate îi corespunde în planul
'[( )* / ; / ]af aoh h c l S S− o
curbă-limită:
(a) curba
H
c , definit ca:

''
max 0
'
max( ) ( )* / ( ) * /
( ) [1 ( )* / ]HH
Laf af m af ao
Lao afC h h c l C c l S
S k C h h c l−+=−− , pentru configura ția H.

(b) curba
L
c , definit ca:
''
max 0
'
max( ) ( )* / ( ) * /
( ) [1 ( )* / ]LL
Laf af m af ao
Lao afC h h c l C c l S
S k C h h c l−+=−−
, pentru configurația L.

La valori mici ale raportului
aoS
S ,limita posterioară de centraj este determinată de
configurația L,iar la valori mai mari(>0.45) -configura ția H.
Pentru a evidenția extinderea domeniului admisibil de centraj în cazul avionului cu
stabilitate statică relaxată,în fig ura de mai sus a fost reprezentată grafic(linie punctată)
și curba
S ,corespunzătoare limitei posterioare de centraj în cazul avionului cu
stabilitate statică naturală.

Influența stabilității statice relaxate asupra performanțelor avionului

Relaxarea cerinței de stabilitate statică natural influenț ează favorabil p erformanțele
avionului prin obținerea unor caracteristici aerodinamice la echilibru superioare.
Coeficienții de portanță și de moment de tangaj ai avionului se scriu,în funcție de
incidența de zbor și de bracajul de profundor,astfel:
0 **L L L L e eC C C C = + +

0 **m m m m e eC C C C = + +

La echilibru(
0mC= ),bracajul de profundor și coeficientul de portanță al avionului au
următoarele expresii:
01( * )e m m
meCCC
=− +

00 * ( * )*L e L e
Le L m L m
m e m eCCC C C C CCC

 = − + −
Prin deriva re în raport cu unghiul de incidență(
 ),se obține:
/*Le
L e L m
meCC C CC
  
=−

având în vedere convenția de semne,conform căreia
LeC >0 și
meC >0
/ * / | |L e L m L e m eC C C C C    =+

unde:
/LeC =panta coeficientului de portanță la echilibru

LC = panta coeficientului de portanță cu profundor bloca t.
Fie
,mRC ,derivat a de stabilitate static longitudinală în cazul avionului cu stabilitate static
relaxată și
,mCC ,aceeași derivată în cazul avionului conventional(
,mRC >
,mCC ),result ă
conform relației de mai sus:
,,||L R e L C eCC
,
la echilibru, panta curbei de portan ță a avionului este mai mare în cazul relaxării condiției
de stabilitate statică.
După cum se observă in figura de mai jos.același coeficient de portanță la echilibru(
LeC ) se
obține la o incidență de zbor mai mica în cazul avionului cu stabilitate static
relaxată.Corespunzăto r,coeficientul de rezistență l a înaintare(
DeC ) are o valoare mai mica în
cazul avionului cu stabilitate static relaxată și,implicit,finețea aerodinamică a acestuia,
()L
e
DC
C
,este mai mare.

Fizic,superioritatea caracteristicilor aerodinamice ale avionului R față de avionul C se
explică prin contribuția relativă a ansmablului aripă -fuselaj și a ampenajului orizontal la
realizarea condiției de echilibru în jurul axei tangaj.
Prin bra carea profundorului(sau a ampenajului monobloc) cu un anumit unghi se
creează,la nivelul ampenajului orizontal,forța aerodinamică necesară echilibrării momentului
produs,în raport cu centrul de masă al avionului,de forț a aerodinamică rezultantă a
ansamblul ui aripă -fuselaj și de forța de tracțiune.
Neglijând contrubuția tracțiunii și pe cea a razistenței la înaintare (în mod normal și
obișnuit,mici) la momentul de tangaj al avionului,momentul dat de portanța ampenaju lui
orizontal trebuie să compenseze p e cel produs de portanța ansamblului aripă -fuselaj.După
cum se poate observa în figura de mai jos,la echilibru,atât mărimea,cât si sensul portanței
ampenajului orizontal(
aoL ) depind de poziția cen trului de masă al avionului.

unde C=reprezintă avionul convențional
R=reprezintă avionul cu stabilitate statică relaxată
În cazul avionului convențional,static stabil(cu centrul de masă situat în fața punctului
neutru),
0aoL (ampenaj ”deportant” la echilibru), iar în cazul avionului cu stabilitate statică
relaxată,în particular,static instabil(cu centrul de masă situat în spatele centrului neutru),
0aoL
(ampenaj ”portant” la echilibru).
Aceeași valoare a portanței totale a avionului la echilibru(
e af aoL L L=+ ) se obține,în
cazul avionului cu stabilitate statică relaxată,pentru o valoare
afL mai mică,ceea ce
corespunde unei incidențe de zbor și unei rezistențe la înaintare a avionului(
eD )mai mici și
prin urmar,unei valori mai mari a fin eței aerodinamice.
La o incidență de echilibru data,portanța totală a avionului cu stabilitate static relaxată
este mai mare,în particular,portanța maximă a acestuia la echilibru este mai mare decât aceea
a avionului conventional.

Efectele favorabile ale stabilității statice relaxate asupra performanțelor avionului sunt
multi ple și interesează atât domeniul civil al aplicațiilor,cât și pe cel militar.Cele mai
importante dintre aceste efecte sunt prezentate schematic în figura de mai jos.

Utilizarea conceptului de stabilitate statică relaxată prezintă aspecte particulare în cazul
avioanelor supersonice,având în vedere dependența poziției punctului neutru de viteza de
zbor(nr Mach), în speță,trebuie să se țină cont de faptul că în domeniul transonic poziția
punctului neutru variază în mod semnificativ cu nr Mach.Astfel,în cazul unui avion static
stabil la viteze subsonice,prin deplasarea,odată cu creșterea vitezei de zbor,a punctului neutru
către partea posterioară a vehiculului, rezerva de stabilitate static poate atinge în transonic și
în supersonic valori inacceptabil de mari(corespunzătoare unei manevrabilități
nesatisfăcătoare a avionului).
Stabilitatea dinamică longitudinală a avionului
Teoria clasică a stabilității dinamice a avionului este o teorie
a stabilității mișcării în prima aproximație . Într-o astfel de abordare, excluzând cazurile
critice, stabilitatea oricărei soluții (mișcării de bază)
a sistemului neliniar care modelează avionul în zbor este analiza bilă prin intermediul
sistemului lin iar asociat soluției respective .
Vom aplic a metod a liniarizarii ecuațiilor de mișcare , model de form a:
( . ) x f x u•
=

unde: x = [V α β p q r θ ϕ ψ X0 Y0 H]T

sau: x = [u v w p q r θ ϕ ψ X0 Y0 H]T
reprezant ând vectorul de stare.
iar: u=[δa δe δr δt]T
reprezentând vectorul de comandă.
Ecuațiile cinematice referitoare la Χ 0, Υ0 și ψ pot fi tratate separate de restul ecuațiilor
(în care variabilele r espective nu intervin). De asemenea poate fi separată de restul ecuațiilor
și ecuația cinematică referitoare la variabil a H (altitud inea de zbor) în ipoteza în care variația
altitudinii nu influențează forțele și momentele care acționează asupra avionului. În ipoteza
menționată (adoptată u zual în studiul stabilității zborului), sistemul diferențial care
modelează mișcarea generală a av ionului se descompune astfel:
– un subsistem independent, de ordinal VIII, referitor la variabilele de stare V α β (s au u,
v,w), p, q, r, θ, ϕ;
– un subsistem de ordinal IV, dependent de primul compus din ecuațiile cinematice care
descriu miș carea centrului de masă al avionului și din ecuația unghiului azimut.
Se consideră subsistemul neliniar independent (de ordinul VIII).
Se consideră variabilele de stare ale mișcării longitudinale ( componentele vectorului xL):
xL=[𝑉 𝛼 𝑞 𝜃]T
și com ponentele vectorului:
𝑉̇=1
𝑚[𝑇𝑐𝑜𝑠 (𝛼+𝜏)𝑐𝑜𝑠𝛽 −𝐷]+𝑔(−𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽𝑠𝑖𝑛𝜃 +𝑠𝑖𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜙 +𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙
𝛼̇=𝑞−(𝑝𝑐𝑜𝑠𝛼 +𝑟𝑠𝑖𝑛𝛼 )𝑡𝑔𝛽 −1
𝑚𝑉𝑐𝑜𝑠𝛽[𝐿+𝑇𝑠𝑖𝑛 (𝛼+𝜏)]+𝑔
𝑉𝑐𝑜𝑠𝛽(𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖 𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 )
𝑞̇=𝑖2𝑟𝑝+𝑖4(𝑟2−𝑝2)+𝑀/𝐼𝑦
𝜃̇=𝑞𝑐𝑜𝑠𝜙 −𝑟𝑠𝑖𝑛𝜙
Se consideră variabilele de stare ale mișcării lateral directionale (componentele vectorului
xLD).
xLD=[𝛽 𝑝 𝑟 𝜙]T
și componentele vectorului:
𝛽̇=𝑝sin𝛼−𝑟cos𝛼+1
𝑚𝑉[𝐷tan𝛽+𝑌
𝑐𝑜𝑠𝛽−𝑇𝑐𝑜𝑠 (𝛼+𝜏)𝑠𝑖𝑛𝛽 ]+𝑔
𝑉(𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽𝑠𝑖𝑛𝜃
+𝑐𝑜𝑠𝛽𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜙 −𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 )
𝑝̇=−𝑖1𝑞𝑟+𝑖5𝑝𝑞+𝐿/𝐼′𝑥+𝐼′𝑥𝑧𝑁
𝑟̇=−𝑖3𝑝𝑞 − 𝑖5𝑞𝑟+𝑁/𝐼′𝑧+𝐼′𝑥𝑧𝐿
𝜙̇=𝑝+(𝑞𝑠𝑖𝑛𝜙 +𝑟𝑐𝑜𝑠𝜙 )𝑡𝑔𝜃
În care ecuațiile sunt ordonate corespunzător partiționării vectorului de stare x sub forma:

x=[𝑥𝐿
𝑥𝐿𝐷]
Cele două tipuri de mișcări sus -menționate sunt,în cazul general,cuplate,sursele cuplării
dintre mișcarea longitudinală și mișcarea lateral -direcțională fiind de natură
mecanică(cinematică,inerțială) și aerodinamică.
Conform ipotezei curgerii cvasistatio nare, se consideră că forțele și momentele care
acționează asupra avionului sunt funcții de val ori instantanee ale variabilelor de stare și de
comandă ale acestuia, cu precizare a că unghiul de inciden ță (α) este a vut în vedere im preună
cu derivat a sa de or dinul întâi (α derivat ), pentru a putea ține astfel cont de întârzierea
deflexiunii curentului de aer în dreptul ampenajului orizontal.
a) mișcarea de baz ă a avionului (specificată prin indicele “0”) este o translație rectilinie,
simetrică și u nifor mă, fără înclinare laterală, în care mărimile de stare satisfac condițiile de
staționaritate V0=ct., α0=ct., β 0=0,
p0=q0=r0=0,
θ0=ct.,
ϕ0=0;
b) se neglijează cuplajul aerodinami c și cel giroscopic dintre gradele de libertate
longitudin ale și cele lateral -direcționale ale mișcării avionului.
Ecuații liniarizate ale mișcării perturbate longitudinale
Sistemul liniarizat al mișcării perturbate longitudinale este de forma:
𝑑
𝑑𝑡∆𝑋𝐿=𝐴𝐿∆𝑋𝐿+𝐵𝐿∆𝑢𝐿
unde: ∆𝑿𝑳 si ∆𝒖𝑳 reprezintă vect orii perturbațiilor instantanee ale variabilelor de stare, și
respectiv, de comandă longitudinale .
∆𝑋𝐿=[∆𝑉 ∆𝑎 ∆𝑞 ∆𝜃]T
∆𝑢𝐿=[∆𝛿𝑒 ∆𝛿𝑡]T
dar AL reprezintă matricea de stabilitate și BL reprezintă matricea de com andă longitudinală .
Elementele matricelor sunt reprezentate de următoarele ecuații:
00
11 0 0 01[ cos( ) ] [ cos( ) 2 sin ]
VV V V T D WVa T D C C Cmc    = + − = + − +

02
0
12 01( ) ( )LDVa L D C Cmc= − = −

2
0
1310q DqVa D Cmc=− =− 

14 0 cos ag =−
0 00
21 0 21
0sin( ) 2 cos 1 2 2[ sin( ) ] *2VVT L W
VV
LC C Ca T L amV L c C c  
 • •+ + +=− + + =− ++

0 00
22 0 22
022 1( ) *2LD
LCCVVa L D amV L c C c

 • •+=− + =−− =++

0
23 23
02
12qL q
LC mV LaamV L C

 • •− −= =  =++

0 0 0 0 0
24 24
0sin sin 2 2*2W
LC mg V VaamV L c C c 

 • •=− =− ++

0
31 21 21 24 11( ) * ( * )
V V m m
y yVa M a M C a CIc I  ••= + = +

20
32 22 222 11( ) ( ) * ( * )mm
y yVa M a M C a CIc I
••= + = +

0
33 23 232 11( ) * ( * )
q q m m
y yVa M a M C a CIc I  ••= + = +

20
34 24 242 11( ) *m
yyVa a M a CI c I  ••==

410 a=

420 a=

431 a=

440 a=

2
0
1110
e eDVb D Cmc =− =− 

2
0
12 0 01cos( ) cos( )
ttTVb T Cmc   = + = +

00
21 21
022 1*2e
eL
LCVVb L bmV L c C c

 • •=− =−− =++
00 00
22 22
0sin( )sin( ) 22*2ttT
LCT VVbbmV L c C c 

 • •++=− =−− =++

20
31 21 212 11( ) ( ) * ( * )
e emm
y yVb M b M C b CIc I
••= + = +

20
32 22 222 11( * ) ( ) * ( * * )
t tTm
y yVb T t b M C t b CIc I
••= + = +

unde:
/t t c=

410 b=

420 b=
iar mărimile afecta te de simbolul ” ^ ” sunt adimen sionale,în particular,masa adimensional ă
longitudinală μ si moment ul de ine rție adim ensional
yI
se exp rimă s ub forma:
2
Cm
S=

38y
y
CIIS=

Modurile propri i ale mișc ării perturbate longitudinale
Se consi deră că pe du rata mișc ării perturbate m ărimile de comand ă sunt men ținute
constante(cazul comenzilor blocate ),corespu nzător valorilor in mi șcarea de baz ă(∆𝒖𝑳=
0),mișcarea per turba tă lon gitudin ală liber ă(proprie) este descris ă de sis temul liniar omoge n:
𝑑
𝑑𝑡∆𝑋𝐿=𝐴𝐿∆𝑋𝐿
a cărui ec uație caracteristic ă se scrie sub forma :
4 3 2
3 2 1 0 0 c c c c   + + + + =

unde coefi cienții c3,c2,c1,c0 se ex primă în func ție de elementele matricei de stabilitate 𝐴𝐿
după cum urmeaz ă:
3 11 22 33c a a a=− − −

2 11 22 11 33 22 33 12 21 13 31 23 32 34c a a a a a a a a a a a a a= + + − − − −

1 11 23 32 22 33 12 21 33 23 31 13 22 31 21 32 14 31 24 32 3 4 11 22 ( ) ( ) ( ) ( ) c a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a= − + − + − − − + +
0 11 24 32 22 34 12 21 34 24 31 14 22 31 21 32 ( ) ( ) ( ) c a a a a a a a a a a a a a a a= − + − + −

Pentru configuraț iile de avion conve nționale,longitudinal static st abile,spectrul matricei de
stabilitate 𝐴𝐿 are,la regimurile uzuale de zbo r,următoarea structură tipic ă.
a) Două valori pro prii complex -conju gate,
1,2 ppni= ,având partea real ă(care
poate fi negat ivă sau pozitiv ă) și partea imaginar ă mici în modul(comp arativ cu
celelalte valori propr ii),pere chea
1,2 ,corespunz ând unui mod oscilatoriu
lent(convergent sau divergent),numit tradițional ”mod fugoi d”.
b) Două valori propri i reale(
1,2R ),corespu nzătoare,fiecare,c âte unui mod de mi șcare
aperiodic lent( în general ,unul dintre ele convergent ,iar cel ălalt-divergent )
și:
două valori pr oprii complexe -conju gate,
1,2 ppni= ,cu partea real ă(negativ ă) si cu
partea imaginară relative mari în modul(comp arativ cu
1,2 ),perechea
3,4 corespunz ând
unui mod oscilatoriu puternic amortizat,de frecvenț ă mare ,numit, ”mod de scurt ă period ă”
sau ”mod rapid ” al mi șcării longitudinale.
Modurile oscilatorii tipice men ționate anterior ,fugoid si respective rapid,pot fi
considerate mișcări longitudinal -simetrice cu două grade de libertate :
-varia ția incide nței de zbor( ∆α) e neglijabil ă în fugoid
-variația vitezei de zb or(∆V) e neglijabi lă în modul de scurt ă peri oadă
Există totu și o discrepa nță a or dinelor de m ărime a celor două perechi de valori propria
aferente mo durilor fugoid si ra pid,care determin ă separarea în timp a acestora,ast fel:
-În prima etapă,mișcarea perturbată longitudinal ă este det erminat ă,numai de modul de scurt ă
perioadă care cons tă din oscila ții rapide,p uternic amortizate ale un ghiului de incidență( α) și
vitezei unghiulare de tangaj(q).
-În etapa a doua(fugoi d),mișcarea perturbată e repre zentată de varia ția lent ă a vitezei de
zbor(V) si unghiului de altitudine long itudinal ă(θ).
Din ecua țiile mi șcării longitudinale,se ded uc relațiile referitoare la scăr ile de timp(t sp și
tp):
2y
SP
CItS=
,
0
pVtg=

Ecuațiile aproximative ale modurilor propri i longitudinale
Modul Fugoi d
În fugoid,este considera tă identic nulă varia ția inciden ței de zbor în e cuațiile mi șcării
perturbate( ∆α≅0) și se reduce num ărul acestora, unde se renun ță la ecua ția mo mentului de
tangaj.As fel,se obțin ecuațiile aproximati ve ale modului fugoid :
11 13 14dV a V a q adt  =  +  + 
1
21 23 24 0a V a q a  =  +  + 
2
dqdt =

prin eliminarea varia bilei ∆q,ecua țiile pot fi scris e sub forma :
**
11 14dVVdtaa   =  + 

**
21 24dVdtaa =  + 

unde:
*
13
11 21
2311aaaaa=−

*
13
14 24
2314aaaaa=−

*
21
2321a
aa=−

*
24
2324a
aa=−

ecuația caracteristi că a sistemului diferențial (1 si 2 modific eu cu alte nr ) este de forma:
* *
200 1cc+ + =

unde:
* * * * *
0 11 24 21 14 ca a a a=−

* * *
()1 11 24c a a=−
Întruc ât: a13≅0, a23≅1
și rezult ă:
*
11 01[ cos( ) ]11V a Tv Dma   = + −

*
14 0 cos14aga   =−

*
0
21
0sin( )
21VVTLamV La
•++− =+

*
0
24
0sin
24mgamV La
•− =+

Pentru a calcul a pulsa ția natural ă neamortiz ată(
pn ) și raportul de amo rtizare ale modulu i
fugoid (
p ) se ține cont că :
*
0 pnc=

*
1
2
pp
nc=