UNIVERSIT A TEA POLITEHNICA DIN BUCUREȘTI [628801]

UNIVERSIT A TEA POLITEHNICA DIN BUCUREȘTI
F ACUL T A TEA DE ȘTIINȚE APLICA TE
Matematică și Informatic@a Aplicat@a @in Inginerie
PROIECT DE DIPLOM@A
@INDRUM@A TOR @STIIN@TIFIC, ABSOL VENT,
Lect.univ.dr. Iuliana MUNTEANU Simona IURCO
Bucure@sti
2018

UNIVERSIT A TEA POLITEHNICA DIN BUCUREȘTI
F ACUL T A TEA DE ȘTIINȚE APLICA TE
Matematică și Informatic@a Aplicat@a @in Inginerie
Aprobat Decan ,
Prof.dr. Emil PETRESCU
PROIECT DE DIPLOM@A
Algoritmi genetici.
Aplica@tii
@INDRUM@A TOR @STIIN@TIFIC, ABSOL VENT,
Lect.univ.dr. Iuliana MUNTEANU Simona IURCO
București
2018

T eoreme de punct fix 3
Contents
1 Noțiunea de distanță 6
2 F uncții cu punct fix 9
3 Notiunea de contracție 11
4 Ordin de convergență 21
5 Metoda Newton 26
6 Iteratia Mann 37
7 Metoda Ishikawa 43
8 Stabilitate 45
9 Rezultate proprii 48
9.1 Ordinul de convergență al iterației Mann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
9.2 Stabilitatea metodei Halpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
9.3 MathBoem pe Suzuki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

T eoreme de punct fix 4
O metodă iterativă -în sens general- este o procedură matematică potrivită găsirii unui
rezultat, prin repetarea unui ciclu de operații. Ele pot găsi soluții numerice în analiza
neliniară pentru modele ce pot fi transferate în cadrul unor probleme de punct fix, în
cazuri în care procedeele analitice sunt dificil de aplicat sau nu dau rezultate. Astfel de
exemple pot fi găsite în:
a) probleme de algebră, în cazul rezolvării ecuațiilor neliniare;
b) probleme de știința calculatoarelor, cum ar fi procesarea imaginilor;
c) probleme de optimizare în varianta continuă, cum ar fi optim cu restricții.
Iată de ce procedeele numerice pentru calculul punctelor fixe pentru anumite clase de
operatori neliniari este o direcție de cercetare la zi în analiza numerică neliniară.
Studiul acestor procese a început cu Picard, Mann, Halpern (pentru procese într-un
pas), și Ishikawa (pentru procesele în doi pași), iar astăzi printre cei care dezvoltă acest
subiect (pentru procesele în doi sau trei pași) se numără Berinde, Noor, și alții; a se vedea
[1, 4, 5, 6, 7, 8]. Să notăm că, deși la procesele în mai mulți pași efortul de calcul este
mai mare, acestea și-au probat superioritatea față de procesele într-un pas.
Scopul acestei lucrări este de a expune un studiu, dedicat direcției proceselor iterative
pentru probleme de punct fix. A vem în vedere câteva dintre rezultatele teoretice calitative
introduse recent în literatură, cum ar fi: condiții suficiente de convergență, ordin de
convergență, viteză de convergență, stabilitate, experimente pe calculator.
Credem că am obținut un rezultat legat de stabilitatea metodei Halpern și extinderea
rezultatelor privind convergența procesului iterativ Ertürk-Gürsoy (EG) de la operatori
strict cvasi-nonexpansivi la operatori de tip Suzuki.
În capitolul 1, noțiunea de distanță, am introdus noțiunile de distanță, spațiu metric
complet, șir Cauchy , convergența în distanță, și am dat exemple pentru acestea.
În capitolul 2, funcții cu punct fix, am definit funcțiile cu punct fix și am dat exemple
de funcții cu un punct fix, o infinitate de puncte fixe și fara puncte fixe.
În capitolul 3, noțiunea de contracție, am demonstrat că metoda Picard este conver-
gentă pentru contracții pe spații complete, am stabilit pentru aceasta două criterii de
oprire (apriori și aposteriori), am dat exemple de contracții și am aplicat metoda asupra
unor funcții pentru a le afla punctul fix.
În capitolul 4, ordin de convergență, am arătat că metoda Picard are ordinul de
convergență 1, am constriut șirul Aitken pentru care am demonstrat că este mai rapid

T eoreme de punct fix 5
convergent și am ilustrat acest fapt și printr-un exemplu.
În capitolul 5, metoda Newton, am arătat că metoda Newton are ordinul de conver-
gență 2, am folosit-o în calculul inversulu unui număr natural și al radicalilor, am ilustrat
impactul pe care îl are ordinul de convergență asupra numărului de iterații folosind metoda
Picard și metoda Newton pentru calculul aceleiași soluții. În final, am aplicat metoda
Picard asupra unei funcții ce nu este contracție. Bineînțeles că rezultatul a fost un șir
divergent.
În capitolul 6, iterația Mann, am schimbat cadrul de studiu la spații Banach. Am
demonstrat că metoda este convergentă pentru operatori de tip Zamfirescu și că șirul
creat de metoda Picard converge mai repede decât cel creat de metoda Mann. T ot aici am
aplicat metoda Mann asupra funcției din capitolul anterior și am obținut un șir convergent.
În capitolul 7, metoda Ishikawa, am demonstrat că șirul creat de metoda Ishikawa
este convergent pentru operatori de tip Zamfirescu.
În capitolul 8, stabilitate, am introdus noțiunea de stabilitate și am demonstrat faptul
că metodele Picard și Mann sunt stabile.
În capitolul 9, rezultate proprii, am urmat pașii din demonstrația ordinului de conver-
gență al metodei Picard pentru a obține ordinul de convergență al metodei Mann, acesta
fiind 1. Am urmat pașii din demonstrația stabilității metodei Mann pentru a obține sta-
bilitatea metodei Halpern. Și, în final, datorită similarității lor, am reușit să transpunem
teoremele din articolul [13] enunțate pentru procesul TTP pe operatori Suzuki la procesul
EG din articolul [3].

T eoreme de punct fix 6
1 Noțiunea de distanță
Definiție 1.1. FieX o mulțime nevidă. O funcție d:XX!R+se numește metrică
sau distanță pe X dacă
1) d(x; y) = 0 dacă și numai dacă x=y; (identitatea indiscernabililor )
2) d(y; x) =d(x; y); pentru orice x; y2X(simetrie );
3) d(x; z)d(x; y) +d(y; z); pentru orice x; y; z 2X(axioma triunghiului ):
O mulțime X împreună cu o distanță d se numește spațiu metric, notat (X; d ).
În continuare vom da câteva exemple de distanțe pe spații des folosite.
Exemplu 1.1. O distanța folosită în mulțimea numerelor reale X=R este dată de
funcția modul:
d(x; y) =jxyj;8x; y2R:
În cazul spațiului X=Rnuna din distanțele folosite este cea euclidiană, dată de funcția:
d(x; y) =vuutn∑
i=1(xiyi)2;8x; y2Rn;
unde x2Rnare forma x= (x1; x2; : : : ; x n).
În continuare ne ocupăm de studiul convergenței în distanța.
Definiție 1.2. Fie(xn)un șir într-un spațiu metric (X; d ). Spunem că șirul converge la
a2X dacă, pentru orice " > 0, există un rang n0=n0(")2N astfel încât, de îndată ce
depășim acest rang cu nn0să fie satisfăcută inegalitatea
d(xn; a)"
În acest caz spunem că (xn)tinde la a(notat xn!a) sau că aeste limita șirului (xn)
(notat lim
n!1xn=a)
Definiție 1.3. Șirul se numește șir fundamental sau șir Cauchy dacă, pentru orice " > 0
există un rang n0=n0(")astfel încât, de îndată ce depășim acest rang cu nn0, pentru
orice p1este satisfăcută inegalitatea
d(xn; xn+p)"

T eoreme de punct fix 7
Observație. Orice șir convergent este șir Cauchy . Următoarele exemple arată faptul că
reciproca nu este adevărată.
Exemplu 1.2. Fie șirul xn=n∑
k=01
k!. În mulțimea numerelor raționale Q șirul este
Cauchy , dar nu este convergent în Q, limita lui fiind numărul irațional e2R=Q.
Exemplu 1.3. Din nou, fie X=Q. Șirul xn=(
1 +1
n)n
converge și el către numărul
irațional e.
Exemplu 1.4. Un exemplu mai simplu este șirul xn=1
npe intervalul (0;1]. Dacă
presupunem că șirul nu ar fi Cauchy , atunci înseamnă că există un " > 0astfel încât
pentru orice n; p > 0;cun̸=psă avem
jxn+pxnj> ";
adică 1
n+p1
n> ";
de unde p
n2+np> ":
Dar
lim
n!1p
n2+np= 0;
ajungem astfel la contradicția
0> ";
deci șirul xn=1
neste șir Cauchy . Cu toate acestea el nu este convergent, deoarece
lim
n!11
n= 0 nu aparține intervalului (0;1].
În problemele studiate de noi construim șiruri Cauchy care ar trebui să fie convergente.
În acest scop, avem nevoie de noțiunea de spațiu metric complet
Definiție 1.4. Un spațiu metric (X; d )în care orice șir Cauchy este convergent se numește
spațiu complet.
Exemplu 1.5. X=R împreună cu distanța uzuală d(x; y) =jxyjeste spatiu metric
complet.
Exemplu 1.6. Spațiul X=Cîmpreună cu distanța d(z1; z2) =jz1z2jeste complet.

T eoreme de punct fix 8
Exemplu 1.7. Spațiul X=Rîmpreună cu distanța d(x; y) =jarctg xarctg yjnu este
complet. F olosind această distanță arătăm că șirul xn=neste șir Cauchy , însă nu este
șir convergent.
d(xn+p; xn) =jarctan( n+p)arctan nj
Adică
d(xn+p; xn) =arctanp
1 +n(n+p)<p
n(n+p)1
n
Așadar d(xn+p; xn)tinde la 0pentru ntinzând la 1, ceea ce înseamnă că (xn)este șir
Cauchy .
În continuare presupunem că (xn)ar fi convergent și notăm cu x0limita lui, deci avem
următoarea relație
lim
n!1d(xnx0) = 0 :
Dar
d(xnx0) =jarctan narctan x0j=arctannx0
1 +nx0;
iar
lim
n!1arctannx0
1 +nx0=arctan1
x0:
Am obținut astfel căarctan1
x0= 0 , adică1
x0= 0 , relație ce nu este îndeplinită pentru
niciun x0dinR. În concluzie (xn)nu este convergent, deci R împreună cu distanța
d(x; y) =jarctg xarctg yjnu este complet.
Exemplu 1.8. Spațiul X=Q împreună cu distanța d(x; y) =jxyjnu este complet,
după cum am văzut și din exemplele 1.2 și 1.3.

T eoreme de punct fix 9
2 F uncții cu punct fix
Între clasele de funcții cunoscute (contracții, lipschitziene, nonexpansive), o importanță
aparte au funcțiile cu punct fix. Printre altele, aceste funcții stau la baza dezvoltării unor
procese iterative, care fac obiectul acestei lucrări.
Definiție 2.1. FieX o mulțime nevidă și T:X!X o aplicație. Spunem că x2X este
un punct fix al lui Tdacă ecuația T(x) =xare soluție în X.
Notăm FTsau Fix ( T) mulțimea tuturor punctelor fixe ale lui T.
Este posibil ca Tsă nu aibă nici un punct fix, să aibă un număr finit de puncte fixe,
sau să aibă o infinitate de puncte fixe. V om da câte un exemplu pentru fiecare caz.
Exemplu 2.1. F uncția T:R!R,T(x) =x2+ 1 nu are puncte fixe. Dacă presupunem
că ar avea puncte fixe, acestea ar fi soluțiile ecuației x2+ 1 = x, adică x2x+ 1 = 0
cu∆ =3. Din faptul că discriminantul ecuației este negativ, rezultă că ecuația nu are
soluții reale, deci Fix(T) =∅. Putem trage aceeași concluzie și din reprezentarea grafică
a celor două funcții: y=xșiy=x2+ 1 .
Exemplu 2.2. F uncția T:R!R; T(x) = ex1are un punct fix. Acesta se obține
rezolvând ecuația ex1 = x. Din nou, folosindu-ne de graficele celor două funcții,
observăm că punctul x= 0 este singurul punct fix al lui T.

T eoreme de punct fix 10
Exemplu 2.3. F uncția T:R!R; T(x) = tg( x)are o infinitate de puncte fixe. Acestea
sunt soluțiile ecuației tg(x) =x. Pe intervalul[

2;
2]
tangenta parcurge drumul de la
1 la1 o dată, fiind funcție periodică de perioadă k , înseamnă că pe R va parcurge
același drum de o infinitate de ori, intersectând astfel și dreapta y=xtot de o infinitate
de ori. În concluzie, după cum putem vedea și pe grafic, Tare o infinitate de puncte fixe.
Pentru alte exemple de funcții cu punct fix, a se consulta [9].

T eoreme de punct fix 11
3 Notiunea de contracție
Calculul punctelor fixe pentru anumite clase de operatori întâlniți în practică se poate
face, în anumite cazuri analitic sau, de cele mai multe ori, numeric. Procedeele analitice
au limitări din cauza complexității operatorilor utilizați, de aceea calculul punctelor fixe se
face de cele mai multe ori numeric. Cea mai cunoscuta metodă pentru calculul punctelor
fixe este metoda Picard, a se vedea [8]. Ea este o metodă iterativă simplă într-un pas, cu
un punct. Pentru construirea unui șir cu această metodă avem nevoie de o funcție și de
iterațiile sale ca mai jos.
Definiție 3.1. FieX o mulțime și T:X!X o aplicație. Șirul (xn)definit prin
{
x02Xdat;
xn+1=T xn;8n0;
se numește iterația/metoda Picard.
Suntem interesați de condițiile ce trebuie îndeplinite de funcția T astfel încât șirul
construit cu metoda Picard să fie convergent. După cum vom remarca din propozițiile
următoare, o astfel de condiție este ca funcția ce se iterează să fie o contracție.
Definiție 3.2. Fie(X; d )un spațiu metric. O funcție T:X!X se numește contracție
dacă există C2[0;1) astfel încât
d(T x; T y )Cd(x; y);8x; y2X:
Intuitiv, funcția introdusă în Definiția 3.2 are proprietatea că micșorează distanțele
dintre puncte.
În teorema următoare enunțăm o condiție suficientă pentru ca o funcție să fie contracție
înR.
T eoremă 3.1. FieX=R cu distanța uzuală și T: [a; b]R!R. Dacă T este funcție
de clasa C1cusup
x2[a;b]jT′(x)j<1, atunci T este o contracție pe [a; b]
Demonstrație. Suntem în condițiile teoremei lui Lagrange, deci există c2(a; b)astfel
încât
T′(c) =T(x)T(y)
xy;
de unde
jT′(c)jjxyj=jT(x)T(y)j:

T eoreme de punct fix 12
Majorând jT′(c)jcusup
x2[a;b]jT′(x)j=C < 1obținem
jT(x)T(y)j C
jxyj:
Deci Teste o contracție.
În continuare dăm exemple de contracții și calculăm constanta de contracție.
Exemplu 3.1. Considerăm X=R cu distanța uzuală și T:R!R; T(x) =x
2. Se
observă că
jT(x)T(y)j=x
2y
2=1
2jxyj;8x; y2R
deci T(x) =x
2este o contracție cu C=1
2
Exemplu 3.2. Fixăm  < 0și fie I= (1; ]cud(x; y) =jxyjșiT:I!I; T (x) =
ex1.
Din teorema lui Lagrange avem că
T′(c) =T(x)T(y)
xy;
de unde
jT′(c)jjxyj=jT(x)T(y)j:
Majorând jT′(c)jobținem
jT(x)T(y)j sup
x2IjT′(x)j
jxyj:
DarT′(x) =exdeci
jT(x)T(y)j sup
x2Iex
jxyj;
adică
jT(x)T(y)j e
jxyj:
Cum este negativ, eva fi subunitar, deci în final obținem că T(x) =ex1este o
contracție pe intervalul (1; ].
Exemplu 3.3. FieX= (5;1)(1;1). Un element xdinX este de forma x= (x1; x2)
și fie

T eoreme de punct fix 13
T(x) =(
3√
1 +x2
2
2;3√4 +x2
x1)
. În acest caz T′(x)este matricea Jacobi
J(T(x)) =0
BB@@T1
@x1@T1
@x2
@T2
@x1@T2
@x21
CCA
adică
J(T(x)) =0
BBB@0x23p
4
33√
(1 + x2
2)2
1
33√
x1(4 + x2)23p4 +x2
3x13px11
CCCA:
F olsind norma jjAjj= max
i;jjaijj, cuA=aijmatrice, obținem jjJ(T(x))jj<1pentru orice
x; y dinX. Deci T(x)este o contracție pe X.
În propoziția următoare arătăm că pentru contracții șirul generat prin metoda Picard
este șir Cauchy sau șir fundamental.
Propoziție 3.1. Fie (X; d )un spațiu metric și T:X!X o contracție pe X. Atunci
șirul generat de metoda Picard este șir Cauchy.
Demonstrație. Notăm d(x1; x0) =a. Dacă a= 0 rezultă că x1=x0și prin inducție se
obține șirul constant. Dacă a̸= 0 atunci avem
d(x2; x1) =d(T x1; T x 0)Cd(x1; x0);
adică
d(x2; x1)Ca:
și
d(x3; x2) =d(T x2; T x 1)Cd(x2; x1)C2d(x1; x0);
adică
d(x3; x2)C2a:
De unde obținem prin inducție
d(xn+1; xn)Cna:

T eoreme de punct fix 14
F olosind inegalitatea triunghiului, pentru orice p1avem:
d(xn+p; xn)d(xn+p; xn+p1) +d(xn+p1; xn+p2) +


+d(xn+1; xn)
(Cn+p1+Cn+p2+


+Cn)a
=Cn(Cp1+Cp2+


+ 1)a
=Cn1Cp
1Ca
Cna
1C:
Rezultă inegalitatea:
d(xn+p; xn)Cna
1C;a̸= 0 (1)
Pentru orice " > 0, alegem
N(") =2
64ln"(1C)
a
lnC3
75+ 1: (2)
În acest caz, pentru n > N (")avem
n >ln"(1C)
a
lnC;
de unde
nlnC > ln"(1C)
a:
Apoi
Cn<"(1C)
a;
adică
Cna
1C< ": (3)
Și deducem din relațiile (1) și (3)
d(xn+p; xn)< "; (4)
ceea ce înseamnă că (xn)este un șir Cauchy .
Propoziție 3.2. Presupunem că (X; d )este complet, atunci șirul fundamental construit
în propoziția 3:1este convergent la un element din X.

T eoreme de punct fix 15
Demonstrație. Într-adevăr, din faptul că xneste șir Cauchy , pe un spațiu complet, rezultă
că există xdinX astfel încât
lim
n!1xn=x: (5)
În aceste condiții, pentru un " > 0dat, putem calcula N(")conform relației (2) și, pentru
orice n > N ("), trecând la limită în relația (4) după p! 1 obținem
d(x; xn)< Cna
1C< ":
adică xnaproxiomează xcu o eroare mai mică decât ".
Această ultimă relație ne furnizează un criteriu de oprire de tip apriori pentru pro-
gramele pe calculator. Stabilind eroarea "și cunoscând valoarea constantei C, putem
calcula numarul de iterații necesare conform formulei (2)
Propoziție 3.3. Punctul xdin relația (5) este punct fix pentru T.
Demonstrație. F olosind din nou inegalitatea triunghiului avem:
d(x; T x) = d(x; xn+1) +d(xn+1; T x)
=d(x; xn+1) +d(T xn; T x)
d(x; xn+1) +Cd(xn; x)
Cn+1 a
1C+C
Cna
1C
= 2 Cn+1 a
1C:
Pentru n! 1 ; Cn+1tinde către 0, deci în final obținem
d(x; T x) = 0 ;
ceea ce înseamnă, conform proprietăților distanței, că
x=T x:
Așadar xeste punct fix pentru T.
Propoziție 3.4. Fie(X; d )un spațiu metric și T:X!X o contracție. Atunci T are un
singur punct fix, x

T eoreme de punct fix 16
Demonstrație. Presupunând că Tare două puncte fixe, xșiy, ajungem la contradicția:
d(x; y) =d(T x; T y)C
d(x; y)< d(x; y);
ceea ce completeaza demonstrația.
Exemplu 3.4. Fief(x) =x7+ 2x1. V om folosi metoda Picard pentru a găsi, cu o
anumită precizie, singura soluție reală a ecuației f(x) = 0 . Întrucât f′(x) = 7 x6+ 2 este
strict pozitivă, rezultă că fare o singură soluție în R. F olosind șirul lui Rolle, localizăm
această soluție în intervalul [0;1]. Aceasta rezultă lecturând tabelul
x1 0 1 1
f + + +
f′+ + + + + +
Rescriem ecuația f(x) = 0 în forma x=T(x), cuTcontracție. Această rescriere nu este
unică. O variantă este x=1x7
2, altă variantă este x=1
x6+ 2.
Modul în care facem această rescriere contează deoarece contracțiile ce au constanta
C apropiată de 1vor genera șiruri ce converg lent către soluție, adică procedeul folosit
necesită un număr mai mare de iterații.
Pentru acest exemplu vom folosi T(x) =1
x6+ 2. Derivatele sunt
T′(x) =6×5
(x6+ 2)2; T′′(x) =42×1060×4
(x6+ 2)3:
Lecturând tabelul de valori de mai jos, observăm că pe intervalul [0;1] derivata T′este
strict descrescătoare, deci C= sup
x2(0;1)jT′(x)j=2
3:
x 0 1
T′0↘ ↘ ↘ ↘ 2
3
T′′
Alegem x1= 0:9și"= 104, calculăm x2= 0:39503 de unde a= 0:50496 și folosind
formula (2) obținem N(") = 24 iterații necesare pentru a aproxima xcu o eroare mai
mică decât ". În urma rulării programului
1 c l e a r a l l ;
2 T = i n l i n e ( '1 / ( x^6+2) ') ;

T eoreme de punct fix 17
3 x ( 1 ) = 0 . 9 ;
4 x ( 2 )= T( x ( 1 ) )
5 C= 2 / 3 ;
6 e p s i l o n =10^( 4) ;
7 a=a b s ( x ( 2 ) x ( 1 ) )
8 N e p s i l o n= f l o o r ( l o g ( e p s i l o n ∗(1 C) / a ) / l o g (C) +1)
9 f o r i = 2: N e p s i l o n
10 x ( i +1)= T( x ( i ) ) ;
11 end
am obținut x(24) = 0 :49629 șif(x(24)) = 0 . Am mers până la x(24) pentru că Matlab
indexează începând cu 1, în timp ce teoria prezentată este facută pentru n0.
Pentru acest exemplu am folosit criteriul de oprire apriori.
Mai jos deducem, pentru X=R, un criteriu de oprire aposteriori.
Propoziție 3.5. Dacă T:R!R este o contracție de constantă C siT este funcție de
clasă C1, atunci
jxn+1xj<C
1Cjxn+1xnj:
Demonstrație. Pornim de la
xn+1x=T(xn)T(x):
Știind că Teste derivabilă și folosind formula lui Lagrange, avem
T(xn)T(x) =T′(n)(xnx);
sau
xn+1x=T′(n)(xnx):
nfiind un punct intermediar între xnșix. Relația conduce la
xn+1x+T′(n)x=T′(n)xn:
Mai precis obținem
(1T′(n))(xn+1x) =T′(n)(xnxn+1):

T eoreme de punct fix 18
Tfiind contracție putem majora jT′(n)j C < 1, rezultă
jxn+1xj<C
1Cjxn+1xnj;
care reprezintă un criteriu de oprire aposteriori În plus, dacă știm că C1
2, atunci
jxn+1xj<jxn+1xnj:
De aici, rezultă că din jxn+1xnj< " , fixat, avem jxn+1xj< " , deci putem opri
procesul de calcul.
Acest criteriu de oprire necesită compararea a două iterații consecutive la fiecare pas.
În criteriul apriori, cunoscând constanta C, noi calculăm N(")pentru cazul cel mai nefa-
vorabil. Insă, pe măsură ce iterăm, este posibil ca T′(x)să aibă valori mai mici decât C
și, în consecință, criteriul aposteriori să ne permită oprirea după mai puține iterații.
Revenind acum asupra codului, înlocuim bucla ”for” cu o buclă de tip ”while”
1 c l e a r a l l ;
2 T = i n l i n e ( '1 / ( x^6+2) ') ;
3 x ( 1 ) = 0 . 9 ;
4 x ( 2 )= T( x ( 1 ) )
5 C= 2 / 3 ;
6 e p s i l o n =10^( 4) ;
7 i =2;
8 w h i l e C/(1C) ∗ a b s ( x ( i ) x ( i1) )> e p s i l o n
9 x ( i +1)= T( x ( i ) ) ;
10 i = i +1;
11 end
Am obținut x(6) = 0 :49629 șif(x(6)) = 5:18377165747985
107.
În continuare expunem două aplicații de bază la studiul unor probleme de existență
și unicitate pentru principiul contracției.
Exemplu 3.5. Ne propunem să studiem în ce condiții ecuația x=asinx+bcosx+c
are soluție unică. În acest scop, este necesar să considerăm o funcție T:R!R,T(x) =
asinx+bcosx+c. Găsirea condițiilor suficiente de existență și unicitate a soluției ecuației

T eoreme de punct fix 19
date impune aplicarea teoremei de punct fix a lui Banach. Calculăm derivata și găsim
T′(x) =acosxbsinx. A vem
jT′(x)j=jacosx+bsinxj;
 jacosxj+jbsinxj;
darjsinxj 1,jcosxj 1, deci
jT′(x)j  jaj+jbj:
Dacăjaj+jbj<1, atunci știm că ecuația x=asinx+bcosx+care o singură soluție, ce
poate fi calculată folosind metoda Picard, plecând de la orice aproximație inițială x0din
R. Astfel,{
xn+1=asinxn+bcosxn+c
x02Rdat
produce un șir convergent la punctul fix al lui T.
Observație. Să remarcăm că această ecuație este un caz mai general decât ecuația lui
Kepler
xqsinx=m; x 2R;
care poate fi considerată drept caz particular al acesteia.
Această ecuație a fost folosită de către astrologul si matematicianul german, Kepler,
pentru a determina poziția unui corp ce se mișcă eliptic în jurul altui corp. Fiind o ecuație
transcedentă, soluția ecuației poate fi calculată numai numeric [9].
Exemplu 3.6. Considerăm aceeași problemă pentru un sistem de ecuații în Rn, a se
consulta [9],
xi=n∑
k=1aikxk+bi; i = 1;2: : : ; n:
Dacă notăm
x=0
BBBBB@x1
x2
…
xn1
CCCCCA;A=0
BBBBB@a11a12: : : a 1n
a21a22: : : a 2n
…………
an1an2: : : a nn1
CCCCCA;b=0
BBBBB@b1
b2
…
bn1
CCCCCA;

T eoreme de punct fix 20
atunci putem scrie sistemul în forma matriceală
x=Ax +b:
Dacă, în plus, considerăm funcția
f:Rn!Rn;f(x) =0
BBBBB@f1(x)
f2(x)
…
fn(x)1
CCCCCA;fi(x) =n∑
k=1aikxk+bi;
problema se reduce la aflarea punctului fix al funcției f. Căutăm condiții astfel încât
fsă fie o contracție, pentru a ne putea folosi de rezultatul Propoziției 3:4. Calculăm
d(f(x); f(y)) folosind distanța euclidiană
d(f(x); f(y)) =vuutn∑
i=1(fi(x)fi(y))2:
În cazul nostru,
d(f(x); f(y)) =vuutn∑
i=1(
n∑
k=1aikxkn∑
k=1aikyk)2
;
sau
d(f(x); f(y)) =vuut2n∑
i=1(n∑
k=1aik(xkyk))2
;
de unde
d(f(x); f(y))vuut2n∑
i=1(n∑
k=1a2
ik)n∑
k=1(xkyk)2;
și, în final,
d(f(x); f(y)) jjvuutn∑
i=1n∑
k=1a2
ik
d(x; y):
Dacăjj√
n∑
i=1n∑
k=1a2
ik<1sistemul x=f(x)are soluție unică. Deoarece xeste un vector,
vom nota cu x(n)iterația n. Astfel
{
x(n+1)=f(x(n)); n0;
x(0)2Rndat
produce un șir convergent la punctul fix al lui f.

T eoreme de punct fix 21
4 Ordin de convergență
În această lucrare ne vom referi la mai multe metode iterative, nu numai la metoda Picard.
Din acest motiv, avem nevoie de diverse criterii calitative prin care să stabilim dacă și de
ce o metodă iterativă este mai ”bună” decât alta. Un astfel de criteriu este ordinul de
convergență.
Definiție 4.1. Se numește ordin de convergență al unui șir (xn), convergent la , numărul
realppentru care există k2Rastfel încât
lim
n!1jxn+1j
jxnjp=k
F olosind definiția anterioară putem să studiem ordinul convergenței șirului obținut
prin metoda Picard, ca mai jos.
T eoremă 4.1. Șirul construit după metoda Picard are ordinul de convergență 1.
Demonstrație. Din teorema lui Lagrange aplicată funcției Tpentru între xnșixrezultă
T(x) =T(xn) + (xxn)T′()
sau
x=xn+1+ (xxn)T′()
de unde obținem
T′() =xxn+1
xxn:
Aplicând modulul relației și trecând la limită obținem
lim
n!1jxxn+1j
jxxnj=jT′(x)j: (6)
Deci, pentru o funcție T derivabilă, șirul obținut după metoda Picard are ordinul de
convergență 1.
Ar fi util un procedeu cu ordinul de convergența mai mare decât 1. Astfel de procedee
se pot obține ori de câte ori cunoaștem modul de propagare a erorii. Relația (6) ne spune
că, pentru un nsuficient de mare, notând jT′(x)j=C, avem
jxn+1xj ≃Cjxnxj

T eoreme de punct fix 22
și
jxn+2xj ≃Cjxn+1xj
Eliminând C din cele 2 relații, obținem
jxn+1xj
jxn+2xj≃jxnxj
jxn+1xj
sau
jxn+2xnxxn+2xxn+ (x)2j ≃ jx2
n+12xxx+1+ (x)2j;
ceea ce conduce la
x(xn+2+ 2xn+1xn)≃x2
n+1xn+2xn;
altfel spus
x(xn+2+ 2xn+1xn)≃x2
n+1xn+2xn2xn+1xn+2+x2
n+2+ 2xn+1xn+2x2
n+2;
de unde
x(xn+2+ 2xn+1xn)≃(xn+1xn+2)2xn+2(xn+22xn+1+xn):
Rezultă relația
x≃xn+2xnx2
n+1
xn+22xn+1+xn
ce mai poate fi prelucrată astfel
x≃xn(xn+22xn+1+xn) + 2 xn+1xnx2
nx2
n+1
xn+22xn+1+xn
În final obținem
x≃xn(xn+1xn)2
xn+22xn+1+xn
Această relație arată că putem calcula punctul fix al unui operator contractiv pe baza a
trei iterații consecutive atunci când știm că acestea sunt suficient de precise. După cum
vom vedea mai jos, calculul lui xprin acest procedeu oferă o metodă ”mai rapidă” decât
cea inițială. Această metodă este cunoscută în literatură ca procedeul Aitken.
Definiție 4.2. Fie(xn)și(x′
n)două șiruri, ambele convergente la . Spunem că (x′
n)
converge mai repede decât (xn)dacă:
lim
n!1jx′
nj
jxnj= 0

T eoreme de punct fix 23
T eoremă 4.2. Șirul construit prin formula
x′
n=xn(xn+1xn)2
xn+22xn+1+xn; n2N;
converge mai repede către xdecât șirul aproximațiilor succesive.
Demonstrație. Ca mai sus, pornind de la relația (6) avem
jxn+1xj ≃Cjxnxj;
pentru care există un șir ence îndeplinește condiția:
lim
n!1en= 0; (7)
astfel încât
xn+1x= (C+en)(xnx);0<jCj<1:
Rezultă că
xn+2x= (C+en+1)(xn+1x) = ( C+en+1)(C+en)(xnx);
mai precis
xn+22xn+1+xn=xn+2x2(xn+1x) +xnx
= [( C+en+1)(C+en)2(C+en) + 1]( xnx)
= [( C1)2+n](xnx);
unde
n= (en+1en)C2en+enen+1:
Remarcăm că
lim
n!1n= 0: (8)
În același mod obținem și
xn+1xn= (C1 +en)(xnx):
Deci
x′
nx= (xnx)(xn+1xn)2
xn+12xn+1+xn
= (xnx)(C1 +en)2(xnx)2
[(C1)2+n](xnx)
= (xnx)[(C1)2+n](C1 +en)2
(C1)2+n
= (xnx)n2en(C1)e2
n
(C1)2+n;

T eoreme de punct fix 24
de unde
x′
nx
xnx=n2en(C1)e2
n
(C1)2+n:
Ținând seama de relațiile (7) și (8), obținem în final că
lim
n!1x′
nx
xnx= 0
deci șirul (x′
n)converge mai repede către xdecât șirul (xn).
Exemplu 4.1. Să considerăm un caz particular al ecuației Kepler x=9
10sinx+ 50 .
Aplicăm principiul contracției asupra funcției T(x) =9
10sinx+ 50 T′(x) =9
10cosxdeci
C= sup
x2(0;1)jT′(x)j 9
10. Alegem x0=5și"= 104. Construim în paralel elementele
șirurilor generate de metodele Picard și Aitken în vectorii x, respectiv y. F olosind urmă-
torul program
1 c l e a r a l l ;
2 f= i n l i n e ( '9 / 1 0 ∗ s i n (x)+50 ') ;
3 x ( 1 ) = 5;
4 x ( 2 )= f ( x ( 1 ) )
5 C= 9 / 1 0 ;
6 e p s i l o n =10^( 4) ;
7 i =2;
8 y=z e r o s ( 1 , 5 0 ) ;
9 w h i l e a b s ( x ( i ) x ( i1) )> e p s i l o n
10 x ( i +1)=f ( x ( i ) ) ;
11 y ( i +1)=x ( i 1)(x ( i ) x ( i1) ) ^ 2 / ( x ( i +1) 2∗x ( i )+x ( i 1) ) ;
12 i = i +1;
13 end
am obținut următoarele rezultate
x ( 1 ) = 5 . 0 0 0 0 0
x ( 2 ) = 5 0 . 8 6 3 0 3
x ( 3 ) = 5 0 . 5 0 6 4 5 y ( 1 ) = 5 0 . 5 0 8 6 2
x ( 4 ) = 5 0 . 2 1 4 7 9 y ( 2 ) = 4 8 . 9 0 6 3 0
x ( 5 ) = 4 9 . 9 5 4 3 1 y ( 3 ) = 4 7 . 7 8 6 5 1

T eoreme de punct fix 25
x ( 6 ) = 4 9 . 7 2 4 4 4 y ( 4 ) = 4 7 . 9 9 2 9 4
x ( 7 ) = 4 9 . 5 3 6 5 7 y ( 5 ) = 4 8 . 6 9 3 2 3
x ( 8 ) = 4 9 . 4 0 0 5 8 y ( 6 ) = 4 9 . 0 4 4 6 7
x ( 9 ) = 4 9 . 3 1 5 0 1 y ( 7 ) = 4 9 . 1 7 0 4 3
x ( 1 0 ) = 4 9 . 2 6 7 7 8 y ( 8 ) = 4 9 . 2 0 8 9 3
x ( 1 1 ) = 4 9 . 2 4 3 7 4 y ( 9 ) = 4 9 . 2 1 9 2 7
x ( 1 2 ) = 4 9 . 2 3 2 3 8 y ( 1 0 ) = 4 9 . 2 2 1 7 6
x ( 1 3 ) = 4 9 . 2 2 7 0 5 y ( 1 1 ) = 4 9 . 2 2 2 3 1
x ( 1 4 ) = 4 9 . 2 2 4 5 0 y ( 1 2 ) = 4 9 . 2 2 2 4 3
x ( 1 5 ) = 4 9 . 2 2 3 4 9 y ( 1 3 ) = 4 9 . 2 2 2 4 6
x ( 1 6 ) = 4 9 . 2 2 2 9 8 y ( 1 4 ) = 4 9 . 2 2 2 4 6
x ( 1 7 ) = 4 9 . 2 2 2 7 5 y ( 1 5 ) = 4 9 . 2 2 2 4 6
x ( 1 8 ) = 4 9 . 2 2 2 6 5 y ( 1 6 ) = 4 9 . 2 2 2 4 6
x ( 1 9 ) = 4 9 . 2 2 2 5 0 y ( 1 7 ) = 4 9 . 2 2 2 4 6
Observăm că șirul (yn) converge mai rapid decât șirul (xn).
Se observă din cele de mai sus că sunt necesare procedee pentru calculul punctelor
fixe, pentru anumite clase de operatori, care să aibă ordin de convergență superior.

T eoreme de punct fix 26
5 Metoda Newton
Așa cum am remarcat mai sus, una dintre direcțiile de studiu în analiza numerică este
obtinerea de metode cu ordin superior de convergentă. Metoda Newton pe care o studiem
în cele ce urmează este una dintre metodele cu ordin de convergență superior. Ea pre-
supune aflarea soluției unei ecuații de forma f(x) = 0 , unde f: [a; b]R!R este o
funcție de clasă C2, cu prima derivată nenulă pe (a; b). Datorită modului de construcție
a relației de recurență, metoda mai este cunoscută și sub numele de metoda tangentei.
Figura 1: Metoda tangentei
Pornim cu un punct x0ales arbitrar din intervalul [a; b]. Ducem tangenta la graficul
funcției fîn punctul x0. Aceasta intersectează la un moment dat axa Ox , de unde obținem
x1și metoda se repetă. Scris matematic avem ecuația dreptei ce trece prin punctul de
coordonate (x0; f(x0)) cu panta f′(x0).
yf(x0) =f′(x0)(xx0):
x1îl obținem pentru y= 0 , deci:
f(x0) =f′(x0)(x1x0);

T eoreme de punct fix 27
de unde
x1=x0f(x0)
f′(x0):
Generalizând obținem șirul:
xn+1=xnf(xn)
f′(xn):
Introducem acest rezultat în cadrul următoarei definiții.
Definiție 5.1. Fief: [a; b]!Ro funcție de clasă C2cuf′(x)̸= 0 . Numim proces iterativ
de tip Newton șirul dat de formula:
8
<
:x02(a; b) dat
xn+1=xnf(xn)
f′(xn); n0
T eoremă 5.1. Fief: [a; b]!R o funcție de clasă C2cuf′(x)̸= 0 . Dacă funcția f
satisface condiția
jf(x)f′′(x)j<j(f′(x))2j;8×2(a; b);
atunci metoda Newton converge pentru orice x02(a; b)
Demonstrație. Considerând T(x) =xf(x)
f′(x), observăm că ne aflăm în contextul unui
caz particular al metodei Picard. Aplicând teorema 3:1obținem
(
xf(x)
f′(x))′<1;8×2(a; b);
adică (
1(f′(x))2f(x)f′′(x)
(f′(x))2)<1;8×2(a; b):
Calculând (f′(x))2(f′(x))2+f(x)f′′(x)
(f′(x))2<1;8×2(a; b);
obținem în final
jf(x)f′′(x)j<j(f′(x))2j;8×2(a; b);
aceasta fiind o condiție pe care ar trebui să o satisfacă funcția fpentru ca procesul Newton
să fie convergent.
Condiția din teorema 5.1 este dificil de verificat în practică, totuși rezultatul este
important, el oferind condiții suficiente de convergența.

T eoreme de punct fix 28
T eoremă 5.2. Metoda Newton are ordinul de convergență 2.
Demonstrație. Notăm cu soluția ecuației f(x) = 0 . Dezvoltând limitat funcția fdupă
formula lui T aylor în jurul lui , avem:
0 =f() =f(xn) + (xn)f′(xn) +1
2(xn)2f′′();
unde este situat între xnși. Știm că f′(x)̸= 0 pentru orice xdeci putem rescrie
f(xn)
f′(xn)+xn=1
2(xn)2f′′()
f′(xn);
de unde
xn+1=1
2(xn)2f′′()
f′(xn):
T recând la limită obținem
lim
n!1xn+1
(xn)2=1
2f′′()
f′():
O aplicație a metodei Newton este la calculul radicalilor de orice ordin. Fie c > 0
un număr real. Pentru calculul luipcobservăm că acesta este soluția pozitivă ecuației
x2c= 0 . Aceasta sugerează considerarea funcției f: [0;1)!R; f(x) =x2c, deci
f′(x) = 2 xde unde obținem
xn+1=xnx2
nc
2xn;
sau
xn+1=1
2(
xn+c
xn)
: (9)
T eoremă 5.3. Șirul creat de metoda Newton pentru funcția f(x) =x2care ordinul de
convergență 2.
Demonstrație. Dezvoltând limitat funcția fdupă formula lui T aylor în jurul soluțieipc,
avem:
0 =f(pc) =x2
nc+ (pcxn)2xn+1
2(pcxn)2
2;
adică
x2
nc
2xn+pcxn=(pcxn)2
2xn;
de unde
xn+1pc=(xnpc)2
2xn:

T eoreme de punct fix 29
T recând la limită obținem
lim
n!1xn+1pc
(xnpc)2=1
2pc:
Exemplu 5.1. V rem să calculămp
7. Pentru aceasta înlocuim c= 7 în relația (9) ,
obținând astfel șirul xn+1=1
2(
xn+7
xn)
. Alegem x0= 1 și vrem ca eroarea să fie mai
mică decât "= 104.
1 f= i n l i n e ( 'x^27') ;
2 f p= i n l i n e ( '2 ∗ x') ;
3 y ( 1 ) =1;
4 y ( 2 )=y ( 1 ) f ( y ( 1 ) ) / f p ( y ( 1 ) ) ;
5 e p s i l o n =10^( 4) ;
6 j =2;
7 w h i l e a b s ( y ( j ) y ( j1) )> e p s i l o n
8 y ( j +1)=y ( j ) f ( y ( j ) ) / f p ( y ( j ) ) ;
9 j=j +1;
10 end
Obținem x(7) = 2 :64575
În cazul radicalilor de ordin k > 2, aceștia sunt soluțiile ecuațiilor xkc= 0 . Aplicând
din nou metoda Newton pentru f(x) =xkccuf′(x) =kxk1obținem
xn+1=xnxk
nc
kxk1
n: (10)
T eoremă 5.4. Șirul creat de metoda Newton pentru funcția f(x) =xkcare ordinul de
convergență 2.
Demonstrație. Dezvoltând limitat funcția fdupă formula lui T aylor în jurul soluțieikpc,
avem:
0 =f(kpc) =xk
nc+ (kpcxn)kxk1
n+1
2(kpcxn)2
k(k1)k2;
adică
xk
nc
kxk1
n+kpcxn=(kpcxn)2(k1)k2
2xk1
n;

T eoreme de punct fix 30
de unde
xn+1kpc=(xnkpc)2(k1)k2
2xk1
n:
T recând la limită obținem
lim
n!1xn+1kpc
(xnkpc)2=(k1)
2;
diferită de 0, kfiind mai mare decât 2.
Exemplu 5.2. V rem să calculăm5p
7. Pentru aceasta înlocuim c= 7 șik= 5 în relația
(10) obținând astfel șirul xn+1=xnx5
n7
5×6
n. Alegem x0= 1 și vrem ca eroarea să fie
mai mică decât "= 104.
1 f= i n l i n e ( 'x^57') ;
2 f p= i n l i n e ( '5 ∗ x^4 ') ;
3 y ( 1 ) =1;
4 y ( 2 )=y ( 1 ) f ( y ( 1 ) ) / f p ( y ( 1 ) ) ;
5 e p s i l o n =10^( 4) ;
6 j =2;
7 w h i l e a b s ( y ( j ) y ( j1) )> e p s i l o n
8 y ( j +1)=y ( j ) f ( y ( j ) ) / f p ( y ( j ) ) ;
9 j=j +1;
10 end
Obținem x(7) = 1 :47577
O altă aplicație a metodei Newton este calculul inversului unui număr real. Procedând
la fel ca în cazul radicalilor, din x=1
Nobținem f(x) =1
xN șif′(x) =1
x2, de unde
xn+1=xn1
xnN
1
x2
n;
sau după simplificare
xn+1=xn(2Nx n): (11)
T eoremă 5.5. Șirul creat de metoda Newton folosind funcția f(x) =1
xN are ordinul
de convergență 2.

T eoreme de punct fix 31
Demonstrație. Dezvoltând limitat funcția fdupă formula lui T aylor în jurul soluției1
N,
avem:
0 =f(1
N)
=1
xnN+(1
Nxn)1
x2
n+1
2(1
Nxn)22
3;
unde este situat între xnși.
xn+x2
nN+1
Nxn=(1
Nxn)2×2
n
3;
de unde
xn+11
N=(
xn1
N)2×2
n
3:
T recând la limită obținem
lim
n!1xn+11
N(
xn1
N)2=N;
N fiind diferit de 0.
Exemplu 5.3. V rem să calculăm inversul numărului natural 13. Pentru aceasta, înlocuim
N= 13 în relația (11) , obținând astfel șirul xn+1=xn(213xn). Alegem x0= 0:01 și
vrem ca eroarea să fie mai mică decât "= 106.
1 c l e a r a l l ;
2 f= i n l i n e ( 'x∗(213∗ x)') ;
3 y ( 1 ) = 0 . 0 1 ;
4 y ( 2 )= f ( y ( 1 ) ) ;
5 e p s i l o n =10^( 6) ;
6 j =2;
7 w h i l e a b s ( y ( j ) y ( j1) )> e p s i l o n
8 y ( j +1)=f ( y ( j ) ) ;
9 j=j +1;
10 end
Obținem x(9) = 0 :07692307
În cadrul următorului exemplu ilustrăm comportamentul metodei Picard raportat la
metoda Newton.

T eoreme de punct fix 32
Exemplu 5.4. FieX=RșiT:R!R; T(x) = sin x3.
În program am notat cu x(n)șirul generat de metoda Picard și cu y(n)șirul generat de
metoda Newton. Pentru ambele metode am ales x0=y0= 2 ,"= 109și criteriul de
oprire a fost ca jxn+1xnj< " . În schimb, funcția de iterare diferă deoarece metoda
Picard converge către soluția ecuației x=T(x), în timp ce metoda Newton converge
către soluția ecuației f(x) = 0 . Astfel, pentru a obține aceeași soluție cu ambele metode,
trebuie ca f(x) =T(x)x= sin x3x.
F olosind următorul program
1 c l e a r a l l ;
2 f= i n l i n e ( 's i n (x)3') ;
3 x ( 1 ) =2;
4 x ( 2 )= f ( x ( 1 ) ) ;
5 e p s i l o n =10^( 9) ;
6 i =2;
7 w h i l e a b s ( x ( i ) x ( i1) )> e p s i l o n
8 x ( i +1)=f ( x ( i ) ) ;
9 i = i +1;
10 end
11
12 f= i n l i n e ( 's i n (x)3x') ;
13 f p= i n l i n e ( 'c o s (x)1') ;
14 y ( 1 ) =2;
15 y ( 2 )=y ( 1 ) f ( y ( 1 ) ) / f p ( y ( 1 ) ) ;
16 e p s i l o n =10^( 9) ;
17 j =2;
18 w h i l e a b s ( y ( j ) y ( j1) )> e p s i l o n
19 y ( j +1)=y ( j ) f ( y ( j ) ) / f p ( y ( j ) ) ;
20 j=j +1;
21 end
am obținut
x=3:070766726643743 după 7692 iterații și
y=3:070766727142040 după 22 iterații.
T oate aceste exemple au fost pentru contracții. Iată ce se întâmplă dacă funcția de

T eoreme de punct fix 33
iterat nu este o contracție.
Exemplu 5.5. FieT:R!R,T(x) =2
1 +x2. Punctul fix al acestei funcții este x= 1
jT(x)T(y)j=2
1 +x22
1 +y2
= 2x2y2
(1 + x2)(1 + y2)
= 2x+y
(1 + x2)(1 + y2)
jxyj
V rem să aflăm maximul funcției 2x+y
(1 + x2)(1 + y2). Începem prin a calcula punctele
critice ale funcției f(x; y) = 2x+y
(1 + x2)(1 + y2)din sistemul
8
>>><
>>>:@f
@x= 0
@f
@y= 0
A vem 8
>>>><
>>>>:2
(1 + x2)(1 + y2)2x(x+y)(1 + y2)
((1 + x2)(1 + y2))2= 0
2
(1 + x2)(1 + y2)2y(x+y)(1 + x2)
((1 + x2)(1 + y2))2= 0
de unde ajungem la
{
1 +x2y2x2y22xy2x3y= 0
1x2+y2x2y22xy2xy3= 0(12)
Prin adunare, respectiv scădere, a celor două ecuații obținem următorul sistem echivalent
{
1x2y22xyx3yxy3= 0
x2y2x3y+xy3= 0(13)
adică
x2y2xy(x2y2) = 0
și în final
(x2y2)(1xy) = 0 :

T eoreme de punct fix 34
Cazul 1) xy= 1
Revenind în prima ecuație din sistemul (13) avem
1121
(x2+y2) = 0
adică
(x+y)2= 0
Astfel am obținut{
x+y= 0
xy= 1
sistem ce nu are soluții în R.
Cazul 2.1) x2y2= 0 implică x=y
Revenind din nou în prima ecuație din (13) avem
1x42×2x4x4= 0
sau
3×4+ 2×21 = 0
ecuație din care obținem două soluții reale x=1p
3de unde y=1p
3
Cazul 2.2) x2y2= 0 implică x=y
Revenind din nou în prima ecuație din (13) avem
1x4+ 2×2+x4+x4= 0
sau
x4+ 2×21 = 0
ecuație din care obținem încă două soluții reale x=√p
21de unde y=∓√p
21.
Acum că avem cele 4 puncte critice, calculăm valorile funcției fîn fiecare punct. De
fapt, ffiind simetrică este nevoie să calculăm doar pentru(1p
3;1p
3)
și(√p
21;√p
21)
f(1p
3;1p
3)
=3p
3
4
f(√p
21;√p
21)
= 0
rezultă astfel că T(x) =1
1 +x2nu este o contracție, deoarece3p
3
4>1. Programul
următor

T eoreme de punct fix 35
1 f= i n l i n e ( '2/(1+ x^ 2 ) ') ;
2 x ( 1 ) =5;
3 x ( 2 )= f ( x ( 1 ) ) ;
4 e p s i l o n =10^( 4) ;
5 i =2;
6 w h i l e a b s ( x ( i ) x ( i1) )> e p s i l o n
7 x ( i +1)=f ( x ( i ) ) ;
8 i = i +1;
9 end
a fost lăsat să ruleze până la iterația i= 124515 . În următorul grafic reprezentăm numărul
de iterații pe axa OX și șirul (xn)pe axa OY .
Figura 2: Reprezentare grafică xn
Păstrând ultimele aproximativ 300 de iterații observăm că deși graficul oscilează în
jurul punctului x= 1 , șirul (xn)nu converge.

T eoreme de punct fix 36
Figura 3: Reprezentare grafică xn

T eoreme de punct fix 37
6 Iteratia Mann
O altă direcție de studiu este găsirea unor metode ce converg pentru condiții mai putin
restrictive. O astfel de metodă este iterația Mann. Prin modul de construcție al șirului,
aceasta este asemănătoare metodei Picard, fiind o combinație convexă între xnșiT xn.
Diferențele dintre cele două metode fiind clasele de operatori pentru care acestea converg.
Definiție 6.1. FieX un spațiu vectorial real, C un subspațiu al său închis și mărginit
șiT:C!C o funcție. Numim proces iterativ Mann, atașat operatorului T, șirul xn
construit prin{
x02Cdat
xn+1=nxn+ (1n)T xn;
nfiind un șir de control între 0 și 1.
Pentru a putea studia convergența procesului Mann, să remarcăm că forma acestuia
impune studiul pe spații normate, considerând metrica indusă de normă.
Definiție 6.2. FieX un spațiu vectorial, cu scalari din R. F uncția jj
jj :X!R+se
numește normă pe X dacă
1)jjujj= 0 implică u= 0;8u2X;
2)jjaujj=jaj
jjujj;8u2X; a 2R;
3)jju+vjj  jj ujj+jjvjj;8u; v2X:
Spațiul vectorial X înzestrat cu o normă se numește spațiu normat, notat (X;jj
jj ).
Observație. Un spațiu normat se poate organiza ca spațiu metric, considerând așa-numita
metrică indusă de normă, adică
d(x; y) =jjxyjj: (14)
Definiție 6.3. Un spațiu normat, complet, se numește spațiu Banach.
O clasă de operatori pentru care procesul Mann este convergent este cea a operatorilor
Zamfirescu.
Definiție 6.4 ([14]) .Fie (X; d )un spațiu metric. Numim operator de tip Zamfirescu
o funcție T:X!X pentru care există numerele reale ; ;
cu01;0

T eoreme de punct fix 38
0:5;0
0:5, astfel încât, pentru orice x; y2X, una din următoarele condiții să fie
satisfăcută
z1) d(T x; T y )d(x; y);
z2) d(T x; T y )[d(x; T x ) +d(y; T y )];
z3) d(T x; T y )
[d(x; T y ) +d(y; T x )]:
În teorema următoare arătăm că în metrica Zamfirescu punctul fix este unic.
T eoremă 6.1 ([14]) .Fie (X; d )un spațiu metric. Dacă T:X!X este o operator
Zamfirescu, atunci T are un singur punct fix.
Demonstrație. Este utilă o schiță de demonstrație urmând ideile din Zamfirecu [14]. Dacă
este îndeplinită proprietatea z2atunci avem
d(T x; T y )[d(x; T x ) +d(y; T y )];
de unde, folosind inegalitatea triunghiului
d(T x; T y )fd(x; T x ) + [d(y; x) +d(x; T x ) +d(T x; T y )]g;
deci
(1)d(T x; T y )2d(x; T x ) +d(x; y);
astfel
d(T x; T y )2
1d(x; T x ) +
1d(x; y):
Dacă este îndeplinită proprietatea z3atunci obținem în mod similar
d(T x; T y )2

1
d(x; T x ) +

1
d(x; y):
Pentru proprietatea z1lucrurile sunt mult mai simple
d(T x; T y )d(x; y)d(x; y) + 2 d(x; T x ):
Acum, dacă notăm
= max{
;2
1;2

1
}
;
avem
d(T x; T y )2d(x; T x ) +d(x; y);8x; y2K: (15)

T eoreme de punct fix 39
Presupunem că Tar avea două puncte fixe p1șip2. Atunci
d(T p1; T p 2)2d(p1; T p 1) +d(p1; p2):
adică
d(p1; p2)d(p1; p2);
sau
(1)d(p1; p2)0:
Această relație este îndeplinită pentru orice 2[0;1) dacă și numai dacă d(p1; p2) = 0 ,
de unde rezultă că p1=p2. Deci Tare un singur punct fix.
În următoarea teoremă, arătăm că procesul Mann converge către punctul fix al lui T
dacă Teste operator Zamfirescu.
T eoremă 6.2. FieEun spațiu Banach, Cun subspațiu convex închis al lui EșiT:C!C
o funcție Zamfirescu. Fie (xn)șirul definit de iterația Mann cu x02C și(n)satisfăcând
condiția
1∑
n=0n=1:
Atunci xnconverge către unicul punct fix al lui T.
Demonstrație. Demonstrația urmează, în esență, pașii din Berinde [1]. Am arătat in
T eorema 6.1 că T are un singur punct fix, notat p. Din relația (15) , folosind distanța
indusă de norma (14) , avem
jjT xT yjj  2jjxT xjj+jjxyjj;8x; y2C: (16)
Fie(xn)dat de iterația Mann. Atunci
jjxn+1pjj=jjnxn+ (1n)T xn(1n+n)pjj
sau
jjxn+1pjj=jjn(xnp) + (1 n)(T xnp)jj
de unde
jjxn+1pjj njjxnpjj+ (1n)jjT xnpjj:
Această relație, împreună cu relația (16) în care înlocuim x=pșiy=xnpentru a obține
jjT xnpjj jjxnpjj;

T eoreme de punct fix 40
ne furnizează
jjxn+1pjj  [1(1)n]jjxnpjj:
Prin inducție obținem
jjxn+1pjj n∏
K=0[1(1)k]jjx0pjj
Din moment ce 2(0;1) șin2[0;1] avem
lim
n!1n∏
K=0[1(1)k] = 0
deci
lim
n!1jjxn+1pjj  0
adică xn+1 converge către p.
La sfârșitul capitolului anterior, am dat un exemplu de funcție pentru care metoda
Picard nu este convergentă. V om aplica procesul Mann acelei funcții pentru a-i calcula
punctul fix.
Exemplu 6.1. FieT:R!R,T(x) =2
1 +x2. Punctul fix al acestei funcții este x= 1 .
Construim șirul xnfolosind procesul iterativ Mann cu x0= 5 și"= 104. Pentru șirul
de control nam folosit funcția rand, ce returnează un număr aleator în intervalul (0;1).
F olosind următorul program
1 f= i n l i n e ( '2/(1+ x^ 2 ) ') ;
2 x ( 1 ) =5;
3 a l p h a=r a n d ;
4 x ( 2 )=a l p h a ∗ x ( 1 ) +(1 a l p h a ) ∗ f ( x ( 1 ) ) ;
5 e p s i l o n =10^( 9) ;
6 i =2;
7 w h i l e a b s ( x ( i ) x ( i1) )> e p s i l o n ;
8 a l p h a=r a n d ;
9 x ( i +1)=a l p h a ∗ x ( i ) +(1 a l p h a ) ∗ f ( x ( i ) ) ;
10 i = i +1;
11 end

T eoreme de punct fix 41
Am obținut x= 0:99992 după doar 16 iterații. Amintim că în Exemplul 5.5 șirul xn
oscila, a se vedea Figura 3.
Cu toate că iterațiile Mann și Picard au același ordin de convergență, se dovedește că
iterația Picard converge mai repede decât iterația Mann.
T eoremă 6.3. FieE un spațiu Banach, C un subspațiu convex, închis al lui E, și
T:C!C un operator Zamfirescu. Notăm cu xnșirul generat folosind metoda Picard și
cuynșirul generat de metoda Mann, cu șirul de control n2[0;1] satisfăcând condiția
1∑
n=0(1n) =1:
Atunci xnconverge mai repede către punctul fix al lui T decât yn.
Demonstrație. Notăm punctul fix al lui Tcup. Stim din T eoremele 6:1și6:2că
jjT xT yjj  2jjxT xjj+jjxyjj: (17)
Alegem y=xnșix=pși obținem
jjxn+1pjj jjxnpjj;
de unde, prin inducție
jjxn+1pjj njjx1pjj:
Pe de altă parte, deoarece yneste construit cu iterația Mann, avem
jjyn+1pjj=jjnyn+ (1n)T ynpjj;
de unde
jjyn+1pjj njjynpjj+ (1n)jjT ynpjj:
Dacă alegem acum în relația (17) y=ynșix=pobținem
jjT ynpjj jjynpjj;
deci
jjyn+1pjj  (n+(1n))jjynpjj;
și, în final, prin inducție
jjyn+1pjj n∏
k=1(1(1k)(1))jjy1pjj:

T eoreme de punct fix 42
Din faptul că1∑
n=1(1n) =1 rezultă
lim
n!1n∏
k=1(1(1k)(1)) = 0 :
Comparația celor două șiruri revine la a compara șirurile an=nșibn=n∏
k=1(1(1
k)(1)). Notăm cn=an
bn. Atunci
cn+1
cn=
1(1n+1)(1)1;
ne spune, conform criteriului raportului, că seria1∑
n=0cneste convergentă, de unde
lim
n!1cn= lim
n!1an
bn= 0:
Deci xnconverge mai repede decât yn, adică metoda Picard converge mai repede decât
metoda Mann.

T eoreme de punct fix 43
7 Metoda Ishikawa
Definiție 7.1. FieC un subspațiu închis și mărginit al unui spațiu Banach E,T:C!C
o funcție și nun șir cu 0<  n<1. Numim proces iterativ Ishikawa, atașat operatorului
T, șirul xnconstruit astfel
8
>><
>>:x02Cdat
xn+1=nx+n+ (1n)T yn:
xn=nx+n+ (1n)T xn:
T eoremă 7.1. FieE un spațiu Banach arbitrar, K un subspațiu închis convex al lui E,
T:K!K o funcție ce satisface z1; z2. Dacă nșinsatisfac condiția
n∑
k=0n=1
atunci xnconverge către unicul punct fix al lui T.
Demonstrație. Am demonstrat în teorema 6.1 că T are un singur punct fix, notat p.
Atunci
jjxn+1pjj=jjnxn+ (1n)T yn(1n+np)jj;
sau
jjxn+1pjj=jjn(xnp) + (1 n)(T ynp)jj;
de unde
jjxn+1pjj njjxnpjj+ (1n)jjT ynpjj: (18)
Din relația (16) cux=ynșiy=pavem
jjT ynpjj jjynpjj;
unde = max{
;2
1}
. Astfel
jjynpjj=jjnxn+ (1n)T xn(1n+n)pjj;
sau
jjynpjj=jjn(xnp) + (1 )(T xnp)jj;
de unde
jjynpjj njjxnpjj+ (1n)jjT xnpjj:

T eoreme de punct fix 44
Aplicând din nou relația (16) pentru xnșipavem
jjT xnpjj jjxnpjj;
Revenind cu aceste inegalitați în relația (18) obținem
jjxn+1pjj  [(n+(1n))(1n) +n]jjxnpjj
(+n(1))(1n)(1n) + 1
1 + (1 n)(1 +(+n(1)))1(1n)(1)
Prin inducție
jjxn+1pjj n∏
k=0(1(1)(1k))jjx0pjj
Din faptul că ;  n; n2[0;1] și1∑
n=0n=1 rezultă că
lim
n!1n∏
k=0(1(1)(1k)) = 0
deci
lim
n!1jjxn+1pjj= 0
adică xnconverge către p.

T eoreme de punct fix 45
8 Stabilitate
În continuare vom vorbi despre stabilitatea proceselor iterative pentru funcții cvasi-
nonexpansive, în acest scop definim această noțiune mai jos, începând cu funcțiile nonex-
pansive.
Definiție 8.1. Fie(X; d )un spațiu metric. O funcție T:X!X se numește nonexpansivă
dacă
d(T x; T y )d(x; y);8x; y2X:
Definiție 8.2. Fie(X; d )un spațiu metric, T:X!X o aplicație cu cel puțin un punct
fix. Aplicația T se numește cvasi-nonexpansivă dacă, pentru fiecare punct fix pal lui T,
este satisfăcută inegalitatea
d(T x; p )d(x; p);8x2X:
Altfel spus, proprietatea funcțiilor nonexpansive este îndeplinită doar pentru punctele
fixe ale lui T, nu pentru intreg spațiul.
Definiție 8.3. Fie(X; d )un spațiu metric, T:X!X o aplicație cu cel puțin un punct
fix. Aplicația T se numește strict cvasi-nonexpansivă dacă, pentru fiecare punct fix pal
luiT, este satisfăcută inegalitatea
d(T x; p )d(x; p);8x2X:
unde 0 < 1.
Propoziția următoare furnizează un rezultat relevant, care va fi aplicat pentru studiul
unei probleme de stabilitate.
Propoziție 8.1. Operatorii Zamfirescu sunt strict cvasi-nonexpansivi.
Demonstrație. Înlocuim în relațiile z1; z2; z3peycupși obținem:
Pentru z1
d(T x; p )d(x; p)< d(x; p):
Pentru z2
d(T x; p )d(x; T x );

T eoreme de punct fix 46
de unde, folosind inegalitatea triunghiului
d(T x; p )d(x; p) +d(p; T x );
astfel
d(T x; p )
1d(x; p)< d(x; p):
Pentru z3
d(T x; p )
d(x; p) +
d(p; T x )
obținem
d(T x; p )

1
d(x; p)< d(x; p);
adică
d(T x; p )< d(x; p):
Definiție 8.4. Fie (X; d )un spațiu metric, T:X!X o aplicație cu un punct fix p,
x02X,xn+1=f(T; x n)o metodă iterativă ce converge către punctul fix pal lui Tșiyn
un șir arbitrar din X. Notăm "n=d(yn+1; f(T; y n)). Dacă
lim
n!1"n= 0 implică lim
n!1yn=p;
atunci spunem că metoda iterativă xn+1=f(T; x n)esteT-stabilă.
Definiția 8.4 este atribuită lui Ostrowski și reprezintă un cadru natural pentru studiul
stabilității unei metode iterative.
Pentru a putea proba rezultate de stabilitate pentru procesele studiate și pentru ope-
ratori potriviți, avem nevoie de următorul rezultat elementar.
Lemă 8.1 ([2]) .Fieun număr real ce satisface 0 < 1șiϵnun șir pozitiv ce satisface
lim
n!1ϵn= 0 . Atunci, pentru orice șir pozitiv unce satisface
un+1un+ϵn
avem lim
n!1un= 0
T eoremă 8.1 ([2]) .Dacă T este operator strict cvasi-nonexpansiv cu ppunct fix, atunci
iterația Picard este stabilă.

T eoreme de punct fix 47
Demonstrație. Fiexnșirul generat de iterația Picard. Atunci
d(xn+1; p)d(xn+1; T x n) +d(T xn; p);
adică
d(xn+1; p)d(T xn; T p) +d(xn+1; T x n):
Cum Teste operator strict cvasi-nonexpansiv, avem
d(xn+1; p)d(xn; p) +d(xn+1; T x n):
Identificând "n=d(xn+1; T x n)șiun=d(xn; p)din Lema 8.1, pentru lim
n!1"n= 0 obținem
călim
n!1d(xn; p) = 0 , adică lim
n!1xn=p. Deci metoda Picard este stabilă.
Pentru a ne putea ocupa de stabilitatea procesului iterativ Mann, schimbăm cadrul
de lucru, situându-ne în contextul unui spațiu Banach [2].
T eoremă 8.2. Fie E un spațiu Banach, T:E!E o funcție strict cvasi-nonexpansivă cu
punct fix p. Atunci iterația Mann cu
0< n;8n2N
este stabilă.
Demonstrație. Fiexnșirul generat de iterația Mann. Atunci
jjxn+1pjj=jjxn+1nxn(1n)T xn+nxn+ (1n)T xnpjj;
folosind proprietățile normei obținem
jjxn+1pjj  jj xn+1nxn(1n)T xnjj+jjnxn+ (1n)T xnpjj;
de unde, înlocuind jjxn+1nxn(1n)T xnjjcuϵnavem
jjxn+1pjj ϵn+njjxnpjj+ (1n)jjT xnpjj:
Din faptul că Teste strict cvasi-nonexpansivă obținem
jjxn+1pjj ϵn+njjxnpjj+(1n)jjxnpjj;
sau
jjxn+1pjj ϵn+ (1(1n)(1))jjxnpjj:
Identificând jjxnpjjcuundin Lema 8.1, pentru lim
n!1"n= 0 obținem lim
n!1jjxnpjj= 0
deci lim
n!1xn=pde unde rezultă că iterația Mann este stabilă.

T eoreme de punct fix 48
9 Rezultate proprii
9.1 Ordinul de convergență al iterației Mann
T eoremă 9.1. Fiexnșirul dat de iterația Mann. Dacă șirul neste convergent atunci
xnare ordinul de convergență unu.
Demonstrație. Fie= lim
n!1nșixpunctul fix al lui T. Din teorema lui Lagrange
aplicată funcției Tpentru între xnșixrezultă
nxn+ (1n)T(x) =nxn+ (1n)T(xn) + (1 n)(xxn)T′();
sau
nxn+xnx=xn+1+ (1n)(xxn)T′();
de unde obținem
n(xnx) = ( xn+1x) + (1 n)(xxn)T′();
deci
xn+1x
xnx=[n+ (1n)T′()]:
Aplicând modulul în relația de mai sus și trecând la limită, obținem
lim
n!1jxn+1xj
jxnxj=j+ (1)T′(x)j:
Deci, șirul obținut după metoda Mann are ordinul de convergență 1.
9.2 Stabilitatea metodei Halpern
Definiție 9.1. FieC un subspațiu închis și mărginit al unui spațiu Banach E,T:C!C
o funcție și nun șir cu 0<  n<1. Numim proces iterativ Halpern, atașat operatorului
T, șirul xnconstruit astfel
{
x02Cdat
xn+1=nu+ (1n)T xn:
T eoremă 9.2. Fie E un spațiu Banach, T:E!E o funcție strict cvasi-nonexpansivă cu
un punct fix p. Dacă lim
n!1n= 0 , atunci iterația Halpern este stabilă.

T eoreme de punct fix 49
Demonstrație. Fiexnșirul generat de iterația Halpern. Atunci
jjxn+1pjj=jjxn+1nu(1n)T xn+nu+ (1n)T xnpjj;
folosind proprietățile normei obținem
jjxn+1pjj  jj xn+1nu(1n)T xnjj+jjnu+ (1n)T xnpjj:
sau
jjxn+1pjj  jj xn+1nu(1n)T xnjj+njjupjj+ (1n)jjT xnpjj:
Notăm jjxn+1nu(1n)T xnjj+njjupjjcu"nși obținem
jjxn+1pjj "n+ (1n)jjT xnpjj:
Cum Teste strict cvasi-nonexpansivă avem
jjxn+1pjj "n+(1n)jjxnpjj:
Astfel, pentru n! 1 , știind că n!0, dacă jjxn+1nu(1n)T xnjjatunci "n!0
ceea ce, conform Lemei 8:1, implică
lim
n!1jjxnpjj= 0;
adică metoda Halpern este stabilă.
9.3 MathBoem pe Suzuki
În lucrarea [3] este studiat procesul iterativ
8
>>>><
>>>>:x0dat
xn+1=T yn
yn= (1n)T xn+nT zn
zn= (1n)xn+nT xn
pentru Toperator strict cvasi-nonexpansiv într-un spațiu normat. Ne vom referi la acest
proces drept procesul EG.

T eoreme de punct fix 50
În lucrarea [13] este studiat procesul
8
>>>><
>>>>:x12C
xn+1=T yn
yn=T((1n)xn+nzn)
zn= (1n)xn+nT xn
pentru Toperator Suzuki. Ne vom referi la acest proces drept procesul TTP . Operatorii
Suzuki reprezintă o clasă mai largă de operatori decât funcțiile cvasi-nonexpansive, de
aceea este de interes studiul procesului EG pe operatori Suzuki.
În cele ce urmează ne vom ocupa de convergența procesului EG pentru operatori
Suzuki.
Observație. Dacă T este operator liniar, yn= (1n)T xn+nT zneste echivalentă cu
yn=T((1n)xn+nzn). În acest caz cele două metode sunt identice și procesul EG
va fi convergent pentru operatorii Suzuki.
În caz contrar, pentru demonstrarea convergenței, vom avea mai întâi nevoie de
definiția operatorilor Suzuki și cateva proprietați ale acestora [11].
Definiție 9.2. FieC un subspațiu convex închis al unui spațiu Banach X. Numim
operator Suzuki funcția T:C!C ce satisface condiția
1
2jjxT xjj  jj xyjj implică jjT xT yjj  jj xyjj
Propoziție 9.1. FieC un subspațiu al unui spațiu Banach X șiT:C!C un operator.
Dacă T este nonexpansiv atunci T este operator Suzuki.
Dacă T este operator Suzuki și are un punct fix, atunci T este cvasi-nonexpansiv.
Dacă T este operator Suzuki, atunci jjxT yjj  3jjT xxjj+jjxyjjpentru orice
x; y2C.
Lemă 9.1. FieX un spațiu Banach uniform convex și 0< t n<1pentru orice n. Fie xnși
yndouă șiruri astfel încât lim sup
n!1jjxnjj r,lim sup
n!1jjynjj rșilim
n!1jjtnxn(1tn)ynjj=
rpentru r0. Atunci lim
n!1jjxnynjj= 0 .
FieC un subspațiu convex închis al unui spațiu Banach X și fie xnun șir mărginit
dinX. Pentru x2X notăm
r(x; x n) = lim sup
n!1jjxnxjj
r(C; x n) = inf fr(x; x n);x2Cg
A(C; x n) =fx2C;r(x; x n) =r(C; x n)g

T eoreme de punct fix 51
Lemă 9.2. FieC un subspațiu convex închis al unui spațiu Banach X, șiT:C!C un
operator Suzuki, cu FixT̸=∅. Fie xnșirul generat de procesul EG, atunci lim
n!1jjxnpjj
există pentru orice p2FixT.
Demonstrație. Știind că Teste un operator Suzuki avem
1
2jjT ppjj= 0 jjpzjjimplică jjT zpjj  jj zpjj:
Atunci
jjznpjj=jj(1n)xn+nT xnpjj;
duce la
jjznpjj  (1n)jjxnpjj+njjT xnpjj:
F olosind faptul că Teste cvasi-nonexpansivă din Propoziția 9:1obținem
jjznpjj  (1n)jjxnpjj+njjxnpjj;
deci
jjznpjj  jj xnpjj: (19)
Similar
jjynpjj=jj(1n)T xn+nT znpjj;
duce la
jjynpjj  (1n)jjxnpjj+njjT znpjj;
de unde
jjynpjj  (1n)jjxnpjj+njjznpjj:
F olosind (19) obținem
jjynpjj  (1n)jjxnpjj+njjxnpjj;
deci
jjynpjj  jj xnpjj:
Și, în final
jjxn+1pjj=jjT ynpjj;
de unde
jjxn+1pjj  jj ynpjj;

T eoreme de punct fix 52
adică
jjxn+1pjj  jj xnpjj: (20)
Ceea ce înseamnă că șirul jjxnpjjeste marginit și descrescător, drept consecință
lim
n!1jjxnpjjexistă.
T eoremă 9.3. FieC un subspațiu convex închis al unui spațiu Banach uniform convex
X șiT:C!C un operator Suzuki. Pentru x12C dat, fie xnșirul generat de procesul
EG cu nșinnumere în intervalul (0;1). Atunci FixT̸=∅dacă și numai dacă xne
mărginit și lim
n!1jjT xnxnjj= 0 .
Demonstrație. Știm din Lema 9.2 că xne marginit și că lim
n!1jjxnpjjexistă. Fie raceastă
limită
lim
n!1jjxnpjj=r:
Din (19) avem
lim sup
n!1jjznpjj r; (21)
și din faptul că Teste operator Suzuki, în consecință cvasi-nonexpansiv, avem
lim sup
n!1jjT xnpjj r:
Pe de altă parte
jjxn+1pjj=jjT ynpjj  jj ynpjj;
adică
jjxn+1pjj  jj (1n)T xn+nT znpjj:
Din proprietățile normei obținem
jjxn+1pjj  (1n)jjT xnpjj+njjznpjj;
de unde, folosind din nou faptul că Teste cvasi-nonexpansiv obținem
jjxn+1pjj  (1n)jjxnpjj+njjznpjj:
Astfel
jjxn+1pjj jj xnpjj
n jjznpjj jj xnpjj;
implică
jjxn+1pjj jj xnpjj jjxn+1pjj jj xnpjj
n jjznpjj jj xnpjj;

T eoreme de punct fix 53
deci
jjxn+1pjj jj xnpjj  jj znpjj jj xnpjj;
dacă și numai dacă
jjxn+1pjj  jj znpjj:
La limită obținem
rlim inf
n!1jjznpjj;
care împreună cu (21) duce la
lim
n!1jjznpjj=r:
A vem lim sup
n!1jjxnpjj=r(r),lim sup
n!1jjT xnpjj  rși acum lim
n!1jjznpjj=
lim
n!1jj(1n)xn+nT xnjj=r. Conform Lemei 9:1rezultă
lim
n!1jjT xnxnjj= 0:
Presupunem că p2A(C; x n). Atunci avem
r(T p; x n) = lim sup
n!1jjxnT pjj:
F olosind Propoziția 9:1obținem
r(T p; x n)lim sup
n!1(3jjT xnxnjj+jjxnpjj);
adică
r(T p; x n)lim sup
n!1jjxnpjj=r(p; x n):
Ceea ce inseamnă că T p2A(C; x n). Cum X este uniform convex, mulțimea A(C; x n)
conține un singur element, deci T p=p. Am obținut astfel că Fix T̸=∅
T eoremă 9.4. FieC un subspațiu convex compact al unui spațiu Banach uniform convex
X, și fie T șixnca în T eorema 9:3. Atunci xnconverge către un punct fix al lui T.
Demonstrație. Știm din T eorema 9:3călim
n!1jjT xnxnjj= 0 .C fiind compact, există un
subșir xnkconvergent către p. F olosind Propoziția 9:1avem
jjxnkT pjj  3jjT xnkxnkjj+jjxnkpjj:
Pentru k! 1 ,xnkconverge la T p , ceea ce implică p=T p . Mai știm tot din T eorema
9:3călim
n!1jjxnpjjexistă, deci peste chiar limta șirului xn.

T eoreme de punct fix 54
Definiție 9.3. [12] Fie C un spațiu normat și fie T:C!C un operator. Spunem că T
satisface condiția (I) dacă există o funcție crescătoare f: [0;1)![0:1)cuf(0) = 0 și
f(r)>0pentru orice r > 0astfel încât
f(d(x; F T))d(x; T x );8x2C;
unde d(x; F T) = inf
p2FTd(x; p)
T eoremă 9.5. FieC un subspațiu convex închis al unui spațiu Banach uniform convex
X și fie T și(xn)ca în T eorema 9:3cu FixT̸=∅. Dacă T satisface condiția (I), atunci
(xn)converge către un punct fix al lui T.
Demonstrație. Știm din Lema 9:2călim
n!1jjxnpjjexistă. Notăm această limită cu r.
Pentru r= 0 rezultatul este imediat. Pentru r̸= 0 , din faptul că Tsatisface condiția (I)
avem
f(d(xn; FT)) jjxnT xnjj;
dar, conform T eoremei 9:3,lim
n!1jjxnT xnjj= 0 , deci
lim
n!1f(d(xn; FT)) = 0 ;
de unde obținem că
d(xn; FT) = 0 :
Astfel, există un subșir xnkal lui xnși un șir ykFixTastfel încât
jjxnkykjj<1
2k:
Din relația (20) avem
jjxnk+1ykjj  jj xnkykjj<1
2k;
de unde obținem, folosind inegalitatea triunghiului, că
jjyk+1ykjj  jj yk+1xk+1jj+jjxk+1ykjj
jjyk+1ykjj 1
2k+1+1
2k
jjyk+1ykjj<1
2k1:
1
2k1tinde la 0 când n! 1 , deci ykeste un șir Cauchy în Fix T. Am presupus că C
este un subspațiu închis al unui spațiu Bahach, prin urmare ykconverge către un punct
p2FixT. Cum jjxnkykjjtinde la 0, la limtă xnkva tinde la pși, din faptul că
lim
n!1jjxnpjjexistă, rezultă că xnconverge la p.

T eoreme de punct fix 55
Bibliografie
[1] V. Berinde: Iterative Approximations of Fixed F oints, Springer, 2007.
[2] A. O. Bosede, B. E. Rhoades: Stability of Picard and Mann iteration for a general
class of functions, J. Adv. Math. Stud. 3(2010), No. 2, 23-25.
[3] M. Ertürk, F. Gürsoy: Some convergence, stability and data dependency results for
a Picard-S iteration method of quasi-strictly contractive operators, Math. Bohem.
(sub tipar).
[4] B. Halpern: Fixed points of nonexpansive mappings, Bull. Amer. Math. Soc.
73(1967), 957-961
[5] S. Ishikawa: Fixed points by a new iteration method, Proc. Amer. Math. Soc.
44(1974), No. 1, 147-150.
[6] W. R. Mann: Mean value methods in iteration, Proc. Amer. Math. Soc. 4(1953),
506-510.
[7] M. A. Noor: New approximation schemes for general variational inequalities, J. Math.
Anal. Appl. 251(2000), No. 1, 217-229.
[8] E. Picard: Memoire sur la theorie des equations aux derivees partielles et la methode
des approximations successives, J. Math. Pures Appl. 6(1890), No. 4, 145-210.
[9] M. Postolache, A. Pitea: Modele numerice în algebră și analiza matematică, F air
Partners, 2009.
[10] O. Scherzer: Convergence criteria of iterative methods based on Landweber iteration
for solving nonlinear problems, J. Math. Anal. Appl. 194(1995), No. 3, 911-933.
[11] T. Suzuki, Fixed point theorems and convergence theorems for some generalized
nonexpansive mappings, J. Math. Anal. Appl. 340(2008), No. 2, 1088–1095.
[12] H. F. Senter, W. G. Dotson: Approximating fixed points of nonexpansiv emappings,
Proc.Am.Math.Soc. 44(1974), No. 2, 375–380.
[13] B. S. Thakur, D. Thakur, M. Postolache: A new iterative scheme for numerical reck-
oning fixed points of Suzuki’s generalized nonexpansive mappings, Appr. Math. Com-
put. 275(2016), 147-155.

T eoreme de punct fix 56
[14] T. Zamfirescu: Fixed points theorems in metric spaces, Arch. Math. (Basel), 23(1972),
229-298.