Asemănarea triunghiurilor dreptunghice [628508]

Asemănarea triunghiurilor
1

UNIVERSITATEA din BUCUREȘTI
FACULTATEA de MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ

ASEMĂNAREA TRIUNGHIURILOR

Coord onator științific:
Prof . Dr. Victor Vuletescu

Autor:
Matei (Ștefănescu -Gheorghe) Janina

Școala Gimnazială nr.1 Lehliu Gară, Călărași

Asemănarea triunghiurilor

2 CUPRINS
Introducere …………………………………… ………. …………………………… ..… 4
Capitolul 1.ELEMENTE CALCULABILE ALE UNUI TRIUNGHI OARECARE
1.1 Perimetrul și semiperimetrul unui triunghi …………………………… .… 7
1.2 Aria unui triunghi ………………………………………………… ..…..…. 7
1.3 Calculul lungimilor bisectoarelor unghiurilor unui triunghi …………… …. 9
1.4 Calculul lungimilor medianelor unui triunghi …………………………… . 9
1.5 Raza cercului înscris într -un triunghi ……………………………………. .10
1.6 Raza cercului circumscris unui triunghi …………………………………. .10
Capitolul 2.ASEMANĂREA TRIUNGHIURILOR
2.1 Teorema lui Thales ………………………………………………………12
2.2 Teorema fundamentală a asemănării ………………… .………………….13
2.3 Teorema bisectoarei …………………………………………………….… 14
2.4 Centrul de greutate al unui triunghi …………………… …..……………..15
2.5 Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănăre ………… ..…………………16
2.6 Rapoarte de asemăn are……………………………………………………16
Capitolul 3. TEOREME REMARCABILE APLICATE ÎN TRIUNGHIUL
OARECARE
3.1 Teorema lui Ceva ………………………………………………………… .17
3.2 Teorema lui Menelaus ………………………………… .………………….18
3.3 Teorema lui Stewart …………………………………… ….………………19
3.4 Relația lui Euler ………………………………………… .………………..19
Capitolu 4. RELAȚII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC
4.1 Teorema ȋnălțimii ……………………………………… ..…………………20
4.2 Teorema catetei …………………………………………………… .………20
4.3 Teorema lui Pitagora ………………………………………… ..……… …..21
Capitolul 5. APLICAȚII …………………………………………………… .22

Asemănarea triunghiurilor

3 Capitolul 6. CONSIDERAȚII METODICE
6.1 Asemănarea triunghiurilor în programele școlare……………………… …38
6.2. Lecția – forma de bază a organizării procesului de învăâământ.
Tipuri de lecții…………………………………… ……………………… ..73
6.3 Unitatea de învățare – structură didactică deschisă. Proiectul unității de învățare
“Asemănarea triunghiurilor”, clasa a VII -a. Proiecte didactice…………… …82
Concluziile lucrării .…………………………………………………………103
Bibliografie ……………………………………………………………… ….104

Asemănarea triunghiurilor

4 INTRODUCERE . IMPORTANȚA ȘI ACTUALITATEA TEMEI

Matematica zilelor noastre evoluează dinamic sub raport cantitativ și, mai ales,
calitativ. Cercetări și descoperiri contemporane redimensionează permanent domeniile ei și
impun exigențe deosebite f undamentelor sale. Învățământul nu poate rămâne în afara
acestor frământări; el are de rezolvat probleme noi referitoare la expunerea în școală a
bazelor unor științe în continuă transformare.
În cadrul disciplinelor matematice care se predau în învățământ ul preuniversitar un
rol deosebit îl are geometria. În ultimul deceniu, în țara noastră, geometria ca obiect de
studiu în școală, a beneficiat de modificări spectaculoase. Este vorba de creșterea ponderii
raționamentului deductiv, abstract, fapt cu implica ții majore în formarea tinerei generații.
Puternic ancorată în realitatea contemporană și cu implicații în toate domeniile,
matematica devine tot mai mult modelul spre care privesc cu încredere și interes celelalte
științe, pătrunzând treptat și din ce în ce mai mult, în sfera conceptului de cultură generală
și de specialitate, lăsând puține sectoare lipsite de prezența ei.
Semnificația și importanța teoretică și practică a matematicii au crescut mereu,
făcând din ea principalul obiect de instruire, materi e cu necontestate valențe formative.
Este, deci, pe deplin motivat faptul că predarea matematicii în școală a devenit obiectul
unor cercetări științifice de mare anvergură.
Geometria pornește de la studiul unor figuri concrete ce exprimă trăsături esenția le
ale realității obiective și elaborează propoziții abstracte. Geometria împletește organic
gândirea concretă cu cea abstractă, în consecință un rol primordial în formarea și
dezvoltarea capacității deductive.
Adevărurile științei geometriei corespundeau în expunerea lui Euclid realității în așa
măsură, încît s -a considerat că ele au o valoare absolută, că fenomenele care au loc în
natură sînt obligatoriu acele ce ni le indică geometria lui Euclid.
Geometria, ca una din principalele ramuri ale matematicii , este chemată să dezvolte
gândirea elevilor, capacitatea de a analiza și generaliza, de a extrage esențialul. Ea
împletește organic gândirea concretă cu cea abstractă, având în consecință un rol
primordial în formarea și dezvoltarea capacităților creative și deductive.
Asimilarea geometriei urmărește o spirală ce pornește de la intuirea vie a realității
obiective. Pe această spirală se pune în acord cu intuiția un număr crescând de propoziții

Asemănarea triunghiurilor

5 din ce în ce mai abstracte, aceste propoziții devin ,, cărămizi concrete ” în care se
construiesc edificiile teoriilor abstracte ș.a.m.d.
G. Polya arăta că: ,,a rezolva o problemă înseamnă a găsi o cale de a ocoli un
obstacol, de a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil. A găsi soluția unei probleme
este o pe rfomanță specifică inteligenței, iar inteligența este apanajul distinctiv al speciei
umane, se poate spune că dintre îndelemnicirile omenești cea de rezolvare a problemelor
este cea mai caracteristică.”
Lucrarea își propune parcurgerea unei secvențe din ac eastă spirală și anume:
,,Asemănarea triunghiurilor ”, temă prevăzută în programa școlară, clasele a VII -a și a
IX-a.
De asemenea, o altă motivație rezultă din importanța teoretică și practică a asemănării
triunghiurilor în studiul și aprofundarea geometri ei în general. Asemănarea reprezintă un
capitol extrem de important cu mare aplicabilitate în geometria plană, în geometria în
spațiu, dar și în practică. Cu ajutorul instrumentelor de geometrie și pe baza noțiunilor
teoretice se pot determina practic div erse distanțe mari; utilizarea unor proprietăți metrice
ale figurilor și corpurilor geometrice în probleme cu conținut practic.
Structurată în șase capitole, lucrarea metodico -științifică ,,Asemănarea
triunghiurilor ” urmărește prezentarea, din punct de ve dere teoretic, a relațiilor de
asemănare în triunghiul oarecare și în triunghiul dreptunghic, aplicații ale acestora în
contexte diferite și, din punct de vedere practic, sugestii metodologice în ceea ce privesțe
predarea -învățarea -evaluarea acestor noțiun i în practica școlară, în special în învățământul
gimnazial – clasa a VII -a.
Prim ul capitol capitol prezintă elemente calculabile ale unui triunghi oarecare
respectiv prezentarea și demonstrarea unor relații aplicate în studiul asemănării
triunghiurilor (perimetrul și semiperimetrul unui triunghim aria unui triunghi, calculul
lungimilor bisectoarelor unghiurilor unui triunghi, calculul lungimilor medianelor unui
triunghi, raza cercului înscris într -un triunghi, raza cercului circumscris unui triunghi).
Capitolul al doilea prezintă fundamentarea teoretică a conceptului de asemănare a
triunghiurilor în geometria euclidiană, respectiv prezentarea și demonstrarea unor teoreme
aplicate în studiul asemănării triunghi rilor ( Teorema lui Thales, Teorema fundamen tală a
asemănării,Teorema bisectoarei,centrul de greutete al unui triunghi,triunghiuri
asemenea,criterii de asemănare,rapoarte de asemănare).

Asemănarea triunghiurilor

6 Capitolul al treilea pr ezintă teoreme remarcabile aplicate în triunghiul oarecare (
Teorema lui Ceva, Teorema lui Menelaus, Teorema lui Stewart, Relația lui Euler).
Capitolul al patrulea prezintă relații metrice în triunghiul dreptunghic ( Teorema
înalțimii, Teorema catetei, Teorema lui Pitagora.
Capitolul al cincilea prezintă partea aplicativă a temei abordate, respe ctiv
exemplificări ale problemelor care se rezolvă cu ajutorul asemănării . O importanță
deosebită am acordat aici probleme lor extrase din subiectele de evaluare națională, clasa a
VIII-a.
Capitolul al șaselea surprinde considerații metodice în ceea ce pr ivește predarea –
învățarea -evaluarea temei lucrării de față – Asemănarea triunghiurilor –regăsită în
conținuturile vizate de programa școlară pentru clasele a VII -a și a IX -a. Astfel, în această
parte a lucrării am punctat observații legate de programa școl ară de matematică în
gimnaziu și în liceu, locul temei abordate în programa școlară, competențele specifice și
conținuturile corespunzătoare temei și sugestii metodologice, respectiv exemple de
activități de învățare corespunzătoare competențelor specifice și generale urmărite prin
predarea acestei teme. Considerațiile metodice amintite mai sus își găsesc corespondent în
demersul didactic pe Asemănarea triunghiurilor care l -am întrepris în activitatea
desfășurată în anul școlar 201 9-2020, la Școala Gimnazia lă nr. 1 Lehliu Gară , în cadrul
orelor de predare -învățare -evaluare a asemănării tri unghiul or, clasa a VII -a. Astfel, am
realizat proiectul unității de învățare ,, Asemănarea triunghiul or” și 2 proiecte didactice,
concepute pe strategii metodice distincte, de fixare și sistematizare și de evaluare. Am
realizat, de asemenea, o analiză comparativă a rezultatelor obținute de elevii clasei a VII -a
la evaluarea aplicată la sfârșitul unității de învățare ,, Asemănarea triunghiu or” – analiză
care are rolul de a sur prinde progresul sau regresul școlar. Capitolul al șasele a este urmat
de concluziile lucrării.
În contextul actual, unul dintre rolurile învățământului modern este acela de a
motiva elevul, de a -i oferi încredere și de a -i fi sprijin în procesul învățării. Pentru a realiza
acest lucru, profesorul trebuie să fie cel care gândește și alege strategia optimă pentru a
sensibiliza elevii, așa cum afirmă și Guy Palmade (1975).

Asemănarea triunghiurilor

7 CAPITOLUL I
ELEMENTE CALCULABILE ALE UNUI TRIUNGHI OARECARE

1.1 Perimetrul și semiperim etrul unui triunghi

Fie ∆ABC oarecare, având laturile [AB]=c, [BC]=a, [AC]=b.
Definiție:
Perimetrul unui triunghi reprezintă suma lungimilor tuturor laturilor, se notează cu P
și se calculează după formula:
P = a+b+c .
Definiție:
Semiperimetrul unui triunghi reprezintă semisuma lungimilor tuturor laturilor, se
notează cu p și se calculează după formula:
sau

1.2 Aria unui triunghi
Definiție
Aria unui triunghi reprezintă suprafața triunghiului cuprinsă ȋntre la turile sale,
suprafața interioară a triunghiului. Se notează cu A∆ sau S.
Moduri de calcul pentru aria unui triunghi
Ȋn funcție de elementele pe care le cunoaștem ȋntr -un triunghi, putem determina aria
acestuia astfel:
a) Dacă ȋntr -un triunghi se cunosc lungimea unei laturi și a ȋnălțimii corespunzătoare
ei, atunci aria triunghiului se calculează ca semiprodusul dintre lungimea unei laturi și
lungimea ȋnălțimii corespunzătoare ei.
Se consideră ∆ABC oarecare, având laturile [B C]=a, [AC]=b, [AB]=c și h a, h b
respectiv h c, ȋnălțimile corespunzătoare lor. Aria triunghiului se calculează după formula

Asemănarea triunghiurilor

8

b) Dacă ȋntr -un triunghi se cunosc lungimile a două laturi și sinusul unghiului ascuțit
format de aceste două laturi, atunci aria triunghiului se calculează ca semiprodusul
dintre lungimile celor două laturi și sinusul unghiului dintre ele .
Ȋn ∆ABC oarecare, notăm:
-[BC]=a, [AC]=b, [AB]=c – laturile triunghiului
– sin(∢A), sin(∢B), sin(∢C)- sinusurile unghiurilor ascuțite a le triunghiului
Aria triunghiului o calculăm astfel:

c) Dacă ȋntr -un triunghi se cunosc lungimile laturilor sale, atunci aria triunghiului se
calculează cu ajutorul formulei lui Heron
Fiind dat un ∆ABC oarecare, având laturile [BC]=a, [AC]=b, [AB]=c, atunci aria sa
este dată de
, (formula lui Heron)
unde p reprezintă semiperimetrul triunghiului.
d) Dacă ȋntr -un triunghi se cunosc perimetrul acestuia și raza cercului ȋnscris, atunci
aria triunghiului este produsul dintre semiperimetrul triunghiului și raza cercului
ȋnscris ȋn triungh i.
Fie ∆ABC oarecare, având laturile [BC]=a, [AC]=b, [AB]=c, r – raza cercului ȋnscris ȋn
triunghi, și p – semiperimetrul triunghiului. Atunci aria triunghiului este data de formula

e) Daca ȋntr -un triunghi se cunosc lungimile laturilor sale și raza cercului circumscris
triunghiului, atunci aria triunghiului este data de raportul dintre produsul lungimilor
laturilor și de patru ori lungimea razei cercului circumscris triunghiului

Asemănarea triunghiurilor

9 Ȋn ∆ABC oarecare, cu laturile [BC]=a, [AC]=b, [AB]=c, R- raza cercului circumscris,
aria este data de formula

1.3 Calculul lungimilor bisectoarelor unghiurilor unui triunghi
Fie ∆ABC oarecare, unde notăm cu:
– [BC]=a, [AC]=b, [AB]=c – laturile triungiului
– ∢A, ∢B, ∢C- unghiurile sale interioare
– ia, ib, ic bisectoarele aferente ∢A, ∢B, respectiv ∢C
Pentru a calcula lungimile bisectoarelor unghiurilor ∆ABC, avem relațiile:
(1) i a=

(2) i b=

(3) i c=

1.4 Calculul lungimilor medianelor unui triun ghi
Fie ∆ABC oarecare, unde notăm cu:
– [BC]=a, [AC]=b, [AB]=c – laturile triungiului
– ma, m b, m c medianele corespunzătoare varfurilor A, B respective C ale triunghiului
Pentru calculul medianelor triunghiului folosim formulele:

Asemănarea triunghiurilor

10
1.5 Raza cercului înscris într -un triunghi
Fie ∆ABC oarecare, unde notăm cu:
– [BC]=a, [AC]=b, [AB]=c – laturile triungiului
– ∢A, ∢B, ∢C- unghiurile sale interioare
– ia, ib, ic bisectoarele aferente ∢A, ∢B, respectiv ∢C
Ȋntr-un triunghi bisectoarele unghiurilor inte rioare sunt concurente, punctul de
intersecție se notează cu I și reprezintă centrul cercului ȋnscris ȋn triunghi
ia ∩ib ∩ ic ={I}
Distanțele de la punctual I la laturile triunghiului sunt egale
d(I, [BC] )= d(I, [AC] )= d(I, [AB] )= r, r – raza cercului ȋnscris ȋn ∆ABC
Lungimea razei cercului ȋnscris ȋn ∆ABC este egală cu raportul dintre aria
triunghiului și semiperimetrul acestuia

1.6 Raza cercului circumscris unui triunghi
Fie ∆ABC oarecare, unde notăm cu:
– [BC]=a, [AC]=b, [AB]=c – laturile triungiului
-da, db, dc mediatoarele corespunzătore laturilor a, b, c ale triunghiului
Ȋntr-un triunghi mediatorele sunt concurente, pun ctul de intersecție se notează cu O și
reprezintă centrul cercului circumscris triunghiului
da ∩db ∩ d c ={O}
Distanțele de la punctual I la vârfurile triunghiului sunt egale
d(O, A)= d(O,B)= d(O,C)= R, R – raza cercului circumscris ∆ABC

Asemănarea triunghiurilor

11 Lungimea razei cercului circumscris unui triunghi este egală cu raportul dintre
produsul lungimilor laturilor triunghiului și de patru ori aria triunghiului.

Conform teoremei sinusului raza cercului circums cris triunghiului o mai putem
determina și astfel:

Asemănarea triunghiurilor

12
CAPITOLUL II
ASEMĂNAREA TRIUNGHIURILOR

2.1 Teorema lui Thales

Teorema
O paralelă dusă la una din laturile unui triunghi, determină pe celelalte două laturi, sau
pe prel ungirile lor segmente proporționale
Fie ∆ABC oarecare, având laturile [AB], [BC], [AC]. Daca MN//BC, atunci
1)
(M
),
2)
(B
),
3)
(A
),

A N M

A

M N

B C B C
(1) (3)

Reciproc: Dacă o dreaptă intersectează două din laturile unui triunghi și determină pe
acestea segmente proporționale, atunci dreapta este paralelă cu cea dea treia latură a
triunghiului.

Asemănarea triunghiurilor

13 Fie ∆ABC oarecare, având laturile [AB], [BC], [AC] și o dreaptă d, astfel ȋncât d
și d
Dacă
, atunci MN//BC.
2.2 Teorema fundamentală a asemănării

O paralelă dusă la una din laturile unui triunghi, determină pe celelate două laturi sau
pe prelungirile lor un triunghi asemenea cu cel dat .
Fie ∆ABC oarecare, având laturile [AB], [BC], [AC]. Daca MN//BC, atunci
∆AMN
∆ABC
Demonstrație
A

M N

B P C

MN //BC ,
, ∢M
(1) ;
Fie P
a.i. NP//AB,
(2)
MNPB paralelogram => MN=BP (3)
din (1), (2) si (3) => ∆AMN
∆ABC

Asemănarea triunghiurilor

14 2.3 Teorema bisectoarei
1.Teorema bisectoarei interioare
Bisectoarea unui unghi interior al unui triunghi determină pe latura opusă unghiului
segmente proporționale cu laturile unghiului.
Fie ∆ABC oarecare, având laturile [AB], [BC], [AC], și (AD -bisectoarea ∢BAC, D
, atunci

Demonstrație:
E

A

B C
D
Construim CE || AD, E ∈AB.
∆ ABC

AD//EC, AE -secantă=> ∢BAD
(corespondente)
AD//EC, AC -secantă=> ∢DAC
(alt int.)
∢BAD
=> ∢AEC
=>∆ AEC isoscel=> AE=AC=>

Din teorema bisectoarei =>
=>
=>

=>

Asemănarea triunghiurilor

15 2. Teorema bisectoarei exterioare
Bisectoarea unui unghi exterior a l unui triunghi determină pe latura opusă unghiului
segmente proporționale cu laturile unghiului.
Fie ∆ABC oarecare, având laturile [AB], [BC], [AC], și (AD’ -bisectoarea exterioară
∢BAC, D’
, atunci

Demonstrație: Analog bisectoarei interioa re.
2.4 Centrul de greutate al unui triunghi
Intr-un triunghi, medianele sunt concurente, iar punctul de intersecție se notează cu G,
si se numește centru de greutate al triunghiului.
Centru l de greutate al triunghiului se află pe fiecare median ă la două treimi față de
vârful triunghiului și la o treime de latura corespunzătoare.
Fie ∆ABC oarecare, unde notăm cu:
– [BC]=a, [AC]=b, [AB]=c – laturile triungiului
– AA’=m a, BB’=m b, CC’=m c –medianele corespunzătoare laturilor a, b respective c

ma ∩m b ∩ m c ={G}
A

C’ G B’

B A’ C
Atunci au loc relațiile : AG =
, A’G =
,
BG =
, B’G =
,
CG =
, C’G =
,

Asemănarea triunghiurilor

16 2.5 Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare
Definiție
Două triunghiri sunt asemenea da că au laturile respectiv proporționale și unghiurile
respectiv congruente
Fie ∆ABC și ∆A’B’C’ astfel ȋncât:

și ∢A
∢B
∢C => ∆ABC
∆A’B’C’
Criterii de asemănare
∆ABC
∆A’B’C’ dacă și numai dacă
1) ∢A
∢B
(UU)
2) ∢A
și
(LUL)
3)
(LLL)
2.6 Rapoarte de asemănare
Prin raport de asemănare se ȋnțelege r aportul a două elemante omoloage.
Fie ∆ABC și ∆A’B’C’, unde avem
– a și a’ -laturile [BC], respectiv [B’C’]
– ha, ha’- ȋnălțimile din varful A, respectiv A’, pe laturile a, respectiv a’
– ia, ia’ – bisectoarele unghiurilor A, respectiv A’
– ma, m a’- median ele corespunzătoare laturilor a, respectiv a’
– r, r’- razele cercurilor ȋnscrise celor două triunghiuri
-R, R’ – razele cercurilor circumscrise celor doua triunghiuri
Dacă ∆ABC
∆A’B’C’ , atunci au loc relațiile

, unde k reprezintă raportul de asemănare

Asemănarea triunghiurilor

17

CAPITOLUL III
TEOREME REMARCABILE APLICATE ÎN TRIUNGHIUL
OARECARE

3.1 Teorema lui Ceva
Fie triunghiul ∆ABC, D, E, F trei puncte diferite aflate respectiv pe laturile acestuia
[BC], [CA], [AB]. Dacă dreptele AD, BE, CF sunt concurente =>
=1
Demonstrație A

E
F

B D C

AD ∩BE ∩CF ={M}
∆ABD, CF – secantă
=>
(1)
∆ADC, BE – secantă
(2)

Asemănarea triunghiurilor

18 3.2 Teorema lui Menelaus
Fie trriunghiul ∆ABC,
. Punctele M, N, P sunt
coliniare 

Demonstrație A

P
N

B C M
1) M, N, P sunt coliniare =>

Construim prin C o paral elă la dreapta d care conține punctele M, N, P
Paralela intersectează AB ȋn R
∆BMP, CR//MP
(1)
∆ARC, PN//RC

(2)

2)
=> M, N, P sunt coliniare
={P 1} => M, N, P 1- coliniare

=1
Dar
=1 =>
=> P=P 1 => M, N, P – coliniare

Asemănarea triunghiurilor

19 3.3 Teorema lui Stewart
Fie un triunghi ABC cu lungimile laturilor BC = a,AC = b,AB = c. Fie P un punct pe
latura [BC] care divide latura ȋn două segmente cu lungimile BP = x, PC = y. Lungimea
segmentului AM o vom nota cu p. Atunci:
a(p2 + xy) = b2 x + c 2y.

Demonstrație . A

c b

x y
B P C
a

Aplicăm teorema cosinusului ȋn triungh iurile ABP ș i
APC corespunzătoare unghiurilor suplementare APB , respectiv APC
∆ABP
c2= p2+x2+pxcosP 1 (1)
∆APC
b2= p2+y2+pycosP 2 (2)
Dacă ȋnmulțim (1) cu y și (2) cu x și adunăm rezultatele =>

a(p2 + xy) = b2 x + c 2y.

3.4 Relația lui EULER
Distanța dintre centrul O al cercului circumscris și centrul I al cercului ȋnscris ȋn
același triunghi este dată de relația
d(O,I)=

Asemănarea triunghiurilor

20 CAPITOLUL IV
RELAȚII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC
4.1 Teorema înălțimii
Ȋntr-un triunghi dreptunghic pătratul lungimii ȋnălțimii corespunzătoare ipotenuzei
este egal cu produsul lungimilor proecțiilor catetelor pe ipotenuză
hip=pr ipc1 pripc2

Demonstrație A

B D C

∆ABC, m(∢A)= 900, AD
 BC => ∆BAD
∆ACD (∢BAD
∢ACD)
=>
=> AD2= BD DC

4.2 Teorema catetei
Ȋntr-un triunghi dreptunghic pătr atul lungimii unei catete este egal cu produsul dintre
ipotenuză și proiecția catetei pe ipotenuză
c1=ip pr ipc1 c2=ip pr ipc2
Fie ∆ABC, m( ∢A)= 900, AD
 BC => AB2=BC AD
AC2=BC DB

Asemănarea triunghiurilor

21 Demonstrație A

B D C

∆ABC, m(∢A)= 900, AD
 BC => ∆ABD
∆CBA (∢ABD
∢CBA)
=>
=> AB2= BD BC
4.3 Teorema lui Pitagora
Ȋntr-un triunghi drep tunghic pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor
catetelor
ip2=c12+c22
Fie ∆ABC, m( ∢A)= 900 => BC2= AB2+AC2
Demonstrație A

B C

∆ABC, m(∢A)= 900, AD
 BC => AB2=BC AD (1)
AC2=BC DB (2)
(1) + (2) => AB2+AC2= BC AD+BC BD= BC(AD+BD)=BC BC= BC2

Asemănarea triunghiurilor

22 CAPITOLUL V
PROBLEME ȘI APLICAȚII PRACTICE
1. În trapezul ABCD oarecare,AB║CD, (AM este bisectoarea < CAB, M
 [BC]
astfel încât [BM]
 [MC] și DM
 AB = {E}.
a) Sǎ se arate cǎ DBEC este paralelogram.
b) Dacǎ AM
 CE = {N} și BP
 BC, P
 [CE], arǎtați cǎ MN=
21 BP.
c) Arǎ tați cǎ
ACBE2CNCE .
d) Arǎtați cǎ
ABDC
CNEP .
e) Dacǎ [CN]
 [NP]
 [PE] și
AB CDP , ABCD rǎmâne trapez? Dacǎ nu, care este
natura patrulaterului ABCD?
Soluție: a)
 DMC

 EMB (U.L.U) => [DM]
 [EM] și [DC]
 [EB].
În patrulaterul DBEC: DC || BE , [DC]
 [EB] , deci est e paralelogram.
b) In
 ABC : [AM] este medianǎ, [AM este bisectoarea < CAB =>
 ABC este
isoscel,
cu [AB]
 [AC] și AM
 BC => MN
 BC |
| => MN || BP
BP
 BC |
În
 CBP : [CM]
 [MB] ; MN ||BP => [MN] – linie mijlocie=> N este mijlocul lui [CP]
și
BP21MN
c)
 ACE : (AN este bisectoarea
 BAC , rezultǎ conform teoremei bisectoarei cǎ :

ACACBEAB
CNCE
ACACAE
NCNCNE
ACAE
NCNE  , dar AB=AC =>

ACBEAC2
CNCE  sau
ACBE2CNCE .
d) In
 ENA, BP || AN. Aplicând teorema lui Thales avem :
BAEB
PNEP .

Asemănarea triunghiurilor

23
Dar PN=CN și EB=DC, deci
ABDC
CNEP .
e) Dacǎ [NP]
 [PE], cum BP|| AN => B este mi jlocul lui [AE], deci [AB]
 [BE].
Cum [BE]
 [DC] => [AB]
 [DC]. Dar AB || DC => ABCD este paralelogram.

2. Demonstrați că într -un triunghi ABC,
) ( )ˆ(2)ˆ(2cbba Bm Am 
Soluție:
""
Prelungim segmentul [BA] cu segmentul [AC’] astfel încât [AC’] ≡ [AC];
facem no tațiile AC=b, AB=c, BC= a lungimile laturilor triunghiurilor si α =
m(<ABC).Deoarece unghiul BAC este exterior triunghiului isoscel C΄AC și

' )'ˆ( )'ˆ( 2)ˆ( BCC CCAm CCAm Am      este isoscel cu CC’=a. Din
asemănarea ΔBCC΄ cu
ΔC΄AC deducem:
''
CCBC
CABC , adică tocmai relația a² =b(b+c).

"" Cu notațiile precedente, relația a² =b(b+c) se transcrie
''
''
CCBC
ACCC și din faptul
că unghiul C’este comun, rezultă că triunghiurile BCC’ și CAC' sunt asemen ea , de unde
rezultă că
ACCBˆ'ˆ Rezultă că
)ˆ(2)ˆ( Bm Am ca unghi exterior triunghiului CCC’.

Asemănarea triunghiurilor

24 3. Fie ABC un triunghi dreptunghic
090A și D proiecția lui A pe BC. Dacă
bisectoarea unghiului B intersectează pe
AD ,
AC și perpendiculara în C pe BC
respectiv în punctele I, E, F, să se arate că:
a)
AIE și
CEF sunt triunghiuri isoscele;
b) are loc relația:
FCID AI2 .

Soluție:
a) Se observă că unghiul <AEB este complementul unghiului <ABE;
DIBEIAˆˆ (
opuse la vârf), <BID complementul <IBD,
IBADBIˆˆ ( din ipoteză ). Deci:
EIAIEAˆˆ (
au complemente cu aceeași măsură )
AIE este isoscel. Asemănător
CEF este
isoscel pentru că
CEFCFE ˆˆ (au complemente cu aceeași măsură ) și <FEC pe <ABE (
prin <AEB ). Se poate arăta că
CEF este isoscel din faptul că
AIE isoscel.
b) Bisectoarea BI în
ABD ne dă relația
BDAB
IDAI (1); Bisectoarea BE în
ABC
determină segmente în relația
BCAB
ECAE (2). Dar
CBA ABD ~ și
BCAB
ABBD ;
AEEC
IDAI
; cum
AE AF și
FC EC ,
FCID AI2 .
c) Dacă E este mijlocul segmentului
BF , atun ci
CE este mediană în triunghiul
dreptunghic FCB și
CEF este echilateral și
AIE este echilateral
 ID este
BI21 ,
 ID AI AI BF  2
.
4. Fie paralelog ramul ABCD, în care AB  BC și punctul M (AB) astfel încât MB=BC.
O dreaptă care trece prin punctul D intersectează pe (MB) în punctul E și pe (MC) în
punctul H, BH
 (AD)=F, DHCB=L. Să se demonstreze că:
a)
CLDC
HLDH
b)
CLDC
BLDF

Asemănarea triunghiurilor

25 c) AF=ME

Soluție:
a) (CH este bisectoarea unghiului DCL pentru că unghiurile CMB și DCM sunt
congruente și respectiv unghiurile CMB și MCB sunt congruente. Aplicăm teorema
bisectoarei în triunghiul DCL și obținem relația cerută:
CLDC
HLDH . (1)
b) BL   FD . Se aplică teorema fundamentală a asemănării și triunghiurile DHF și LHB
vor fi asemenea 
BLDF
HLDH (2) . Din (1) și (2) va rezulta că
CLDC
BLDF .
c) Avem
BLDF
HLDH și
CLDC
BLEB ( BE   DC în triunghiul DCL). Va rezulta că
DF = EB  AD-FD = MB -EB  AF = ME.

5. Fie triunghiul ABC și punctele S și T aparțin respectiv laturilor [ AB ] și [ AC ]
astfel încât
kSBAS și
kTCAT . Fie S'
 CS, ( S între C și S'), cu
k SSSC 1
' iar
T '
 BT, (T între B și T'), cu T T ' = k · BT. Demonstrați că punctele S ' , A,T ' sunt
coliniare.
Soluție: din ip

TBTT
CSSS
TCAT
SBAS ' ' k (1) .
În
 ACS’, din ( 1)
TCAT
SCSS'
 (Reciproca lui Thales) ST || S’A ( 2 ) .
În
 ABT’, din ( 1 )
TBTT
SBAS ' (Reciproca lui Thales) ST || AT’ (3) ,
din ( 2 ) ( 3 ) conform axiomei paralelelor
 A
S’T’, deci punctele S’, A, T’ sunt
coliniare .

Asemănarea triunghiurilor

26 6. Fie ABCD un patrulater convex, punctele M, N sunt mijloacele la turilor BC,
respectiv CD. Drept ele AM și BN se intersectează în P. Știind că
12
55MP PBșiMA BN
arătați că ABCD este paralelogram.
Soluție: Fie PQ ║ AB =>
MPQ 
51ABPQ
MBMQ
MAMPMAB ,

11
5 10MQ MQ
MB BC  

42
10 5BQ PB
BC BN    Reciproca teoremei lui Thales PQ ║CD, => AB║DC

BPQ
52NCPQ
BNBP
BCBQBNC =>
1
5PQ PQAB CDCD AB   

C D

7. Fiind dat un paralelogram ABCD și o dreaptă d, care taie dreptele AB, BC, CD,
DA în punctele M, N, P, respectiv Q, demonstrați că
1.MA NB PC QD
MB NC PD QA   
Soluție : Consider ăm :
MAQ
MBN =>
=
(1)

NPC

NMB =>
=
(2)

PCN

PQD =>
=
(3) A B N
Q M

Asemănarea triunghiurilor

27

QAM

QDP=>
=
(4)
Înmulțim (1), (2), (3), (4) membru cu membru :

=
=1
8. Fie ABCD un paralelogram. Să se arate că
)( ,1AB Mn ABAM dacă și numai
dacă
11
n ACAN unde
 ,MD ACN iar
.2 ,nNn

Soluție:

""
Fie
.1
n ABAM Triunghiurile ANM și CND sunt asemenea (U.U.) întrucât,
,ˆˆ MANNCD
(alterne interne),
ANMCND ˆˆ (opuse la vârf).
De aici, și ținând cont că
][] [ AB DC (*)
.11
11 1
n ACAN
n NC ANAN
n ABAM
NCAN

""
Fie
11
n ACAN . Aplicând proporții derivate obținem

n NCAN
n AN ACAN 1
111 .
Mai departe din (*) și din asemănarea triunghiurilor ANM și CND rezultă

n ABAM
NCAN
DCAM 11 .

Asemănarea triunghiurilor

28 9. Arătați că aria unui trapez dreptunghic ortodiagonal este egală cu pr odusul dintre
media aritmetică și media geometrică a lungimilor bazelor.

Soluție: Fie ABCD un trapez ortodioagonal cu diagonalele
BD AC . Din asemănarea
triunghiurilor BAD și ADC se obține
DCAB AD  , de unde
DCABDC AB AD DC ABAABCD 2 2) (
.

10. În triunghiul ABC, [AM] este mediana, M
 (BC), N este mijlocul lui [AM]. Fie BN
∩ AC = {P} si CN ∩ AB = {Q}
a) Demonstrați ca 2AP=PC.
b) Arătați că PQ ║ BC

Soluție:
a) Fie MT ║BP  MT -linie mijlocie in ∆ BPC Deci PT = TC. Dar NP –linie
mijlocie în ∆ AMT  AP = PT. Deci 2AP = PC 
21PCAP
b) Analog
21QCAQ , din
21QCAQ
PCAP
BC PQThalesR
||.


A

Q P

N T

B C
M

11. Un vanator are o pusca AB, lunga de 1.20m. Partea AD de la un capat al
pustii pana la tragaci este 1/3 din pusca. El ocheste o pasare C care se afla 100m
departare de el. Dar vanatorului ii tremura m ana si din cauza aceasta, in momentul cand
apasa pe tragaci, pusca se roteste in jurul capatului A astfel incat punctul D se ridica cu
un segment DE=2mm. Cu cati m deasupra tintei trece glontul?

Asemănarea triunghiurilor

29

Solutie:
AC=100m=10000cm. DE=2mm=0.2cm, AB=1.2m=120cm
AD/AB=1/3 => AD=40cm.
DE||MC => triunghiul ADE este asemenea cu triunghiul ACM => AD/AC=DE/MC =>
MC=50cm=0.5m.

12. Cum aflam distanta de la persoana din imagine aflata pe un mal la copacul de pe
celalalt mal?

Realizam conform desenului alatur at un triunghi ABC si un segment DE paralel cu BC.
Din teorema fundamentala a asemanarii, pentru triunghiul ABC si paralela DE || BC, avem
AD=(DExDB)/(BC -DE).
Lungimile DE, DB, BC, fiind pe acelasi mal sunt masurabile.

Asemănarea triunghiurilor

30

13. Cum masori lungimea unui rau fara a -l traversa propiu -zis in vreun fel?
Raspunsul sta in asemanarea triunghiurilor. Masuram o distanta oarecar e (AC)
perpendiculara pe latimea raului (AB) dupa care mai masuram o distanta (DC)
perpendiculara la randul ei pe cea precedenta. Trasam imaginar o linie intre punctele B si
D si notam cu E punctul in care aceasta intersecteaza AC. Masuram distanta AE si
respectiv EC. Conform asemanarii triunghiurilor avem formula AB/DC = AE/EC => AB =
(DCxAE)/EC.

14. În fig ura de mai jos este reprezentat un trapez isoscel ABCD cu ABǁCD , AC┴ BD ,
AB=8m ,CD=4m . Punctele M,N,P și Q sunt mijloacele laturilor AB, BC,CD , respectiv
DA și O este punctul de intersecție a diagonalelor trapezului.

Asemănarea triunghiurilor

31 D N C

Q P

A – ▪ B
M
a) Arătați că linia mijlocie a trapezului ABCD are lungimea egală cu 6m.
b) Arătați că AD = 2√ 10m.
c) Demonstrați că patrulaterul MNPQ este pătrat.
Solutie:
a) Linia mijlocie a trapezului ABCD are lungimea egala cu

b)

,de unde obținem

c) NP este linie mijlocie în ΔBCD, deci NPǁBD și
MQ este linie mijlocie în ΔABD, deci MQǁBD și , de unde rezultă MQǁNP ș i MQ=NP
deci MNPQ este paralelogram.
MN este linie mijlocie în ΔABC, deci MNǁAC și

și, cum AC┴BD și AC=BD obținem MN┴NP și MN=NP rezultă MNPQ pătrat.

Asemănarea triunghiurilor

32 15. În figur a de mai jos este reprezentat un trapez isoscel ABCD cu ABǁCD, AB= 24 cm , CD=
8 cm și AD=10 cm. Dreptele AD și BC se intersectează în punctul E și punctele M și N
sunt situate pe dreapta AB astfel încât DM┴AB și EN┴AB .

a) Arătați că perimetru l trapezului ABCD este egal cu 52cm.
b) Determinați lungimea segmentului EN .
c) Știind că G este punctul de intersecție a dreptelor EN și MC , demonstrați că G este
centrul de greutate al triunghiului ABE.

Solutie:
a) ABCD este trapez isosc el, deci BC=AD=10 cm
PABCD = AB+BC+CD+DA=24+10+8+10=52 cm

b) ABCD este trapez isoscel,deci
=8 cm și
=6 cm
DMǁEN=>
și cum N este mijlocul lui AB, obținem EN=9 cm

c) AM= DC=8 cm, AMǁDC => AMCD paralelogram, deci MCǁAD ,
MGǁAG și cum EN este mediană în triunghiul ABE, obținem că G este centrul de
greutate al triunghiului ABE.

16. În figur a de mai jos este reprezentat un dreptunghi ABCD cu ,
, BC= 20
cm. Se consideră punctu l E , mijlocul laturii BC și punctul F situat pe segmentul AE ,
astfel încât BE┴AE.

E

D C

A B
M N

Asemănarea triunghiurilor

33

a) Arătați că aria dreptunghiului ABCD este egală cu
.
b) Arătați că lungimea segmentului EF este egală cu
.
c) Demonstra ți că punctele B,F și D sunt colineare.

Solutie:

a) A ABCD=AB ▪BC=

b) ΔABE este dreptunghic în B, deci AE2 = AB2 +BE2 =>

ΔABE este dreptunghic în B și BF┴AE => BE2= EF*AE deci

c) AE este mediană in tr iunghiul ABC și cum F ϵ(AE)astfel încât
AE , ob ținem
că punctul F este centrul de greutate al triunghiului ABC
BO este mediană în triunghiul ABC, unde {O}= AC ∩ BD, deci F ϵ(BO), de unde
obținem că punctele B,F și D sunt colineare.

17. În figu ra de mai jos este reprezentat un cub ABCDA'BꞌCꞌDꞌ cu AB=12 cm . Punctul O
este intersecția diagonalelor bazei . D C

E
F

A B

F

Asemănarea triunghiurilor

34

a) Arătați că

b) Arătați că dreapta CꞌO este paralelă cu planul (ABꞌDꞌ)
c) Demonst rați că dreapta A ꞌC este perpendiculară pe planul (AB ꞌDꞌ).

Solutie:
a) AC este diagonala pătratului ABCD, deci
cm
b) ACCꞌAꞌ dreptunghi, deci ACǁOꞌC ꞌși AC=OꞌCꞌ, unde {Oꞌ}=AꞌCꞌ∩BꞌDꞌ ⇒ AOCꞌOꞌ
paralelogram CꞌOǁAꞌCꞌ , BꞌDꞌ┴AA ꞌ, deci C ꞌOǁ(AB ꞌDꞌ)
c) BꞌDꞌ┴AꞌCꞌ , BꞌDꞌ┴AAꞌ și AꞌCꞌ∩AAꞌ = {Aꞌ}=> BꞌDꞌ┴(AAꞌCꞌ) și cum AꞌC ⊂ (AAꞌCꞌ),
obținem BꞌDꞌ┴AꞌC
AꞌOǁAC ⇒ △AꞌMDꞌ∼△CMA, unde {M}= AꞌC∩AOꞌ ⇒
și cum
,
obținem
,
⇒
deci △AMAꞌ este dreptunghic în M
AꞌC┴BꞌDꞌ , AꞌC┴AOꞌ și BꞌDꞌ∩AOꞌ = {Oꞌ} ⇒ AꞌCꞌ┴(ABꞌDꞌ).

18. În figura de mai jos este reprezentat un cub ABCDAꞌBꞌCꞌDꞌ cu AB=30 cm. Punctul M
este mijlocul laturii AB și punctul N este situat pe latura DDꞌ astfel încât

a) Arătați că aria patrulaterului ABCD este egală cu 900 cm2
b) Demonstrați că distanța de la punctul A la planul (MDN) este egală cu
cm
c) Arătați că tangenta unghiului dintre dreapta MN și planul (ADDꞌ) este egală cu

Dꞌ Cꞌ
Aꞌ Bꞌ
D
D C

OOO O

A B

Asemănarea triunghiurilor

35

Solutie:
a) ABCD este pătrat, deci A ABCD =

b) ND┴(ABC) și AP ⊂(ABC) ⇒ ND┴AP, unde AP┴DM, P ϵDM și cum ND∩DM ={D}
obținem că AP┴(MDN), deci d(A,(MDN))=AP
ΔADM este dreptunghic, AM=15 cm și
, de unde
obținem

c) MA┴(ADDꞌ) ⇒ m(
(MN,(ADDꞌ))) = m(
(MN,NA)) = m(
MNA) și cum MA┴AN,
obținem că
, DN=20 cm, AD=30 cm ⇒
,
deci
.

19. În figura de mai jos este reprezentat un triunghi echilateral ABC cu AB= 20 cm și
punctele M și N situate de aceași parte a planulu(ABC), astfel încât MA┴(ABC),
NC┴(ABC), MA=30 cm și NC=15 cm.

Dꞌ Cꞌ
N
Aꞌ Bꞌ
C

A M B D
M

N

A C

B

Asemănarea triunghiurilor

36 a) Arătați că perimetrul ABC este egal cu 60 cm
b) Demonstrați că dreapta MA este paral elă cu planul (NBC)
c) Determinați distanța de la punctul M la dreapta de intersecție a planelor(MNB) și
(ABC).
Soluție:
a) P△ABC = 3*AB=3*20=60 cm
b) MA┴(ABC) și NC┴(ABC) ⇒MAǁNC
MAǁNC și NC ⊂(NBC) deci MAǁ (NBC)
c) (MNB)∩(ABC) = BP unde P este punc tul de intersecție a dreptwi MN și AC și cum
MAǁNC⇒ △PCN∼△PAM deci
de unde obținem
, deci C este
mijlocul segmentului AP
CA=CB=CP ⇒△ABP este dreptunghic ⇒ AB┴BP și cum MA┴(ABC) și BP ⊂(ABC),
obținem că MB┴BP, deci d(M,BP) = MB=
–

20. În figura de mai jos este reprezentat triunghiul echilateral ABC cu AB=6 cm.
Punctele distincte D și E sunt situate în exteriorul triunghiului ABC astfel încât
triunghiurile ABD și ACE sunt echilaterale. Punctul M este mijlocul segmentu lui BC.

a) Arătați că perimetrul patrulaterului ABCE este egal cu 24 cm –
b) Determinați distanța de la punctul E la dreapta BD.
c) Calculați aria triunghiului CMQ, unde Q este punctul de intersecție a dreptelor AC și
EM.
D A E

Q
B M C

Q

Asemănarea triunghiurilor

37

Soluție:
a) △ABC este echilateral, deci AC=BC=6 cm
△ACE este echilateral, deci CE=EA=6 cm ⇒ P ABCE = AB+BC+CE+EA=4*6=24 cm
b) ABCE romb, deci (BE este bisectoarea m(
DBE ) = m(
ABD) + m(
ABE) =900
⇒ EB┴DB ⇒ d)E,BD) = EB
m(
DAE)= m(
DAB)+ m(
BAC)+ m(
CAE)=1800 ⇒ D,A și E sunt coliniare, deci
DE=12 cm și cum △BED este dreptunghic, obținem EB=

c) BCǁAE ⇒ △MQC∼△EQA ⇒
, deci

△ABC echilateral ⇒ AM┴BC ⇒ AMǁQ N, unde QN┴BC, Nϵ BC⇒ △CQN∼△CAM,
deci
, de unde obți nem
A △CMQ =

Asemănarea triunghiurilor

38 CAPITOLUL VI
CONSIDERAȚII METODICE

6.1 Asemănarea triunghiurilor în programele școlare

Evoluția umanității a fost strâns legată de dezvoltarea matematicii. Obiectele specifice
matematicii sunt în concordanță cu nevoile și interesele omului pentru rezolvarea unor
situații teoretice, metodologice și practice, dar și estetice. Matematica nu se rezumă doar la
studiul numerelor și al relațiilor dintre acestea, ci este un domeniu de creație, bazat pe
gândire logică și inovatoare.
Matematica este o disciplină de mare profunzime, având un caracter deschis, datorat
și existenței unei serii de probleme încă nerezolvate. În timp, rezolvarea acestora a condus
la crearea unor domenii noi de cercetare și a contri buit la rezolvarea unor probleme conexe
altor arii de cunoaștere. Totodată, Matematica contribuie la înțelegerea realității subiective
a propriei persoane și a realității obiective a mediului înconjurător.
Programa școlară de matematică reprezintă o compon entă esențială a curriculumului
național, în acord cu Planul -cadru de învățământ pentru învățământul gimnazial , aprobat
prin OMENCS nr.3590/05.04.2016, urmărind respectarea caracteristicilor ciclurilor de
dezvoltare cognitivă a elevului și utilizarea efici entă a resurselor didactice disponibile.
Disciplina este inclusă în aria curriculară Matematică și științe ale naturii din trunchiul
comun și este prevăzută în planul -cadru de învățământ cu un buget de timp de
4ore/săptămână.
În procesul de proiectare curr iculară s -au avut în vedere: profilul de formare al
elevului de gimnaziu, programele școlare pentru ciclul primar la disciplina Matematică ,
competențele -cheie pentru învățarea pe tot parcursul vieții din cadrul european de
referință, rezultatele înregistra te la evaluările naționale și internaționale pentru
învățământul gimnazial și principiile de construcție curriculară.
Procesul de proiectare curriculară a programei școlare de matematică pentru
învățământul gimnazial s -a realizat ținând cont de:
• adaptare a curriculumului la așteptările societății și la realitățile sistemului de
învățământ, având ca obiectiv pregătirea elevului pentru viață și profesie;
• echilibrarea ponderii domeniilor disciplinei și integrarea/organizarea acestora într -un
sistem coerent;

Asemănarea triunghiurilor

39 • flexibilizarea curriculumului în sensul respectării diferențelor între elevii de aceeași
vârstă (ritm de învățare, nivel de achiziții anterioare, motivație internă, specific cultural și
comunitar);
• asigurarea unei tranziții optime de la un ciclu de în vățământ la altul și de la un an de
studiu la altul, cu introducerea unor secvențe de inițiere a procesului de instruire la nivelul
achizițiilor de bază în termeni de conținuturi -ancoră;
• corelarea activităților de învățare propuse prin programă cu dimens iunea axiologică
a idealului educației referitoare la formarea personalității autonome creative.
Prin specificul său, disciplina Matematică este esențială în formarea și dezvoltarea
competențelor necesare pentru învățarea pe tot parcursul vieții și constit uie un fundament
solid pentru argumentare, dezvoltare de raționament logic, spirit și gândire critică,
analizare, interpretare și rezolvare de probleme.
Atitudinile promovate de programa școlară de matematică sunt cele prevăzute în
documentele europene pen tru educația matematică: respectul pentru adevăr și perseverența
pentru găsirea celor mai eficiente soluții, dezvoltarea de argumente și evaluarea validității
acestora. Abordarea în spirit matematic a situațiilor cotidiene solicită un tip de gândire
deschi să și creativă, precum și un spirit de observație dezvoltat, matematica fiind modelul
perfect pentru exersarea și implementarea gândirii critice la elevi. Prezenta programă
școlară își propune să formeze la elevi inițiativa și capacitatea decizională, inde pendența în
gândire și în acțiune pentru a avea disponibilitate de a aborda situații variate, precum și
capacitatea de a aprecia rigoarea, ordinea și eleganța în arhitectura modelării unei situații
date, a rezolvării unei probleme sau a construirii unei te orii. Programa școlară de
matematică promovează exersarea obișnuinței de a recurge la modele matematice în
abordarea unor situații cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice.
Demersul de predare -învățare -evaluare poate fi organizat individual, frontal sau pe
grupe, cultivând astfel la elevi calități precum spiritul de echipă, încrederea în sine și
respectul pentru ceilalți, toleranța,curajul de a prezenta o opinie personală și spiritul de
inițiativă. Încrederea în sine și autonomia personală sun t susținute la nivel metodologic
prin utilizarea erorii ca sursă de învățare, prin încurajarea unor abordări din perspective
multiple și prin aplicarea matematicii în viața de zi cu zi. Astfel se dezvoltă motivația
elevilor pentru a reuși în învățare și, i mplicit, pentru continuarea studiului disciplinei.
Programa școlară de matematică pentru gimnaziu se concentrează pe formarea și pe
dezvoltarea gradată și continuă a competențelor matematice, astfel încât, la sfârșitul

Asemănarea triunghiurilor

40 gimnaziului, elevii devin capabili să rezolve situații problematice diverse, utilizând atât
corelații intradisciplinare, cât și interdisciplinare.
Structura programei școlare include, pe lângă Nota de prezentare , următoarele
elemente:
– Competențe generale
– Competențe specifice și exemple de activități de învățare
– Elemente de conținut
– Sugestii metodologice
Competențele generale vizate la nivelul disciplinei, încadrează achizițiile de
cunoaștere și de comportament ale elevului, fiind comune întregului ciclu de învățământ
gimnazial și redân d, într -un mod particularizat pentru această disciplină, orientarea
generală a procesului educațional.
Competențele specifice sunt competențe derivate din competențele generale și
reprezintă etape măsurabile în formarea și dezvoltarea acestora. Pentru form area și
dezvoltarea competențelor specifice, în programă sunt propuse exemple de activități de
învățare care valorifică experiența concretă a elevului și care definesc contexte de învățare
variate. Programa școlară de matematică pentru gimnaziu propune o o fertă flexibilă de
activități de învățare. Profesorul poate să modifice, să completeze sau să înlocuiască aceste
activități cu altele adecvate clasei. Devine astfel posibil să se realizeze un demers didactic
personalizat, care să asigure formarea/dezvoltar ea competențelor prevăzute de programă,
în contextul specific al fiecărei clase.
Conținuturile reprezintă decupaje didactice relevante pentru matematică, structurate
și abordate astfel încât să fie accesibile elevilor de gimnaziu. Ele sunt mijloace
informa ționale prin care se formează și se dezvoltă competențele specifice. Conținuturile
au fost selectate pe baza principiului continuității și al coerenței și sunt puternic
interconectate, astfel încât, după parcurgerea lor integrală, elevul să fie capabil să realizeze
conexiuni între idei, texte cu conținut matematic, reprezentări grafice și formule, în scopul
rezolvării unor probleme diverse, de natură teoretică sau practic -aplicativă.
Sugestiile metodologice reprezintă o componentă a programei care propune
modalități și mijloace pentru realizarea demersului didactic.
Note definitorii ale acestei programe
Programa școlară de matematică delimitează, p entru fiecare clasă a învățământului

Asemănarea triunghiurilor

41 gimnazial, un nivel de pregătire matematică necesar elevilor pentru continuarea studiilor
disciplinare și, pe baza acestuia, trasarea posibilităților de avansare în învățare.
Programa școlară de matematică a fost gândi tă astfel încât să poată fi parcursă în 75%
din timpul alocat orelor de matematică, restul orelor (25%) fiind la dispoziția profesorului
pentru activități remediale, de fixare sau de progres.
O caracteristică a acestei programe școlare este că, în clasele a V-a și a VI -a, noțiunile
sunt prezentate intuitiv, evitându -se abuzul de notații sau de abstractizare.
Spre finalul clasei a VI -a, așteptările sunt ca elevul să poată deja dezvolta
raționamente deductive simple, utilizând, dacă este cazul, contraexe mple. Elevul devine
capabil să folosească diferite mijloace de învățare, inclusiv softuri matematice.
De asemenea, poate folosi în mod adecvat regulile de calcul pentru a investiga idei
matematice și pentru a rezolva diverse situații problematice.
Pașii c ătre dezvoltarea unei gândiri structurate, teoretizările sau raționamentele mai
ample, orientate spre formarea unor competențe de transfer al matematicii în practică și al
cotidianului în modele matematice, precum și familiarizarea cu o abordare
pluridisci plinară a domeniilor cunoașterii, se realizează treptat, mai accentuat în ultimii doi
ani din gimnaziu.
Extinderea spațiului numeric la acest nivel de școlaritate impune înțelegerea și
dezvoltarea unor competențe de operare cu numere reale. De asemenea, ap rofundarea unor
noțiuni de geometrie și de măsurare devine o premisă în înțelegerea unor noțiuni. specifice
altor discipline prevăzute în planul -cadru.

Competențe generale
1. Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care
acestea apar
2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural,
cuprinse în diverse surse informaționale
3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice
4. Exprimarea în limbajul specific matemati cii a informațiilor, concluziilor și
demersurilor de rezolvare pentru o situație dată
5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situații date
6. Modelarea matematică a unei situații date, prin integrarea achizițiilor din
diferite domenii

Asemănarea triunghiurilor

42
CLASA a V-a
Competențe specifice și exemple de activități de învățare
1. Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea
apar
Clasa a V -a
1.1. Identificarea numerelor naturale în contexte variate
– Scrierea și citirea numerelo r naturale în sistemul de numerație zecimal
– Identificarea unor numere naturale într -o diagramă, într -un grafic sau într -un tabel
care conțin date referitoare la o situație practică
– Identificarea unui număr natural pe baza unor condiții impuse cifrelor sale
– Identificarea unei metode aritmetice adecvate pentru rezolvarea unei probleme date
1.2. Identificarea fracțiilor ordinare sau zecimale în contexte variate
-Utilizarea unor reprezentări grafice variate pentru ilustrarea fracțiilor echiunitare,
subun itare,supraunitare
– Verificarea echivalenței a două fracții prin diferite reprezentări
– Scrierea unui procent sub formă de fracție ordinară (de exemplu, 20% se scrie
20/100)
– Identificarea unor date statistice din diagrame, tabele sau grafice
1.3. Iden tificarea noțiunilor geometrice elementare și a unităților de măsură în
diferite contexte
– Observarea unor figuri geometrice pe modele fizice/desene
– Descrierea și identificarea unor elemente ale figurilor și ale corpurilor geometrice
– Identificarea uno r segmente congruente sau unghiuri congruente în configurații cu
axe de simetrie
-Alegerea unității de măsură pentru estimarea lungimilor/distanțelor, ariilor și
volumelor în diferite
2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, struc tural, cuprinse în
diverse surse informaționale
Clasa a V -a
2.1. Efectuarea de calcule cu numere naturale folosind operațiile aritmetice și
proprietățile acestora
– Efectuarea operațiilor aritmetice cu numere naturale
– Efectuarea de calcule utilizând fac torul comun
– Efectuarea operațiilor cu puteri utilizând regulile de calcul specifice
– Reprezentarea datelor dintr -o problemă, în vederea aplicării unei metode aritmetice
adecvate
2.2. Efectuarea de calcule cu fracții folosind proprietăți ale operațiilor aritmetice
– Introducerea și scoaterea întregilor dintr -o fracție ordinară
– Înmulțirea și împărțirea unei fracții zecimale cu un număr finit de zecimale nenule cu
10, 100, 1000
– Scrierea unei fracții zecimale cu un număr finit de zecimale nenule ca un p rodus
dintre un număr zecimal și o putere a lui 10; scrierea unei fracții zecimale cu un
număr finit de zecimale nenule ca un cât dintre un număr zecimal și o putere a lui 10
– Calcularea unei fracții echivalente cu o fracție dată, prin amplificare sau
simplificare

Asemănarea triunghiurilor

43 – Simplificarea unei fracții ordinare în vederea obținerii unei fracții ireductibile (prin
simplificări succesive, dacă este cazul)
– Efectuarea de operații cu numere raționale exprimate sub formă de fracție zecimală
și/sau ordinară
2.3. Utiliza rea instrumentelor geometrice pentru a măsura sau pentru a construi
configurații
geometrice
– Construcția unor figuri geometrice cu dimensiuni date
– Măsurarea unor lungimi pe modele sau obiecte din realitatea înconjurătoare
(utilizând instrumente de măsur ă adecvate)
– Aplicarea unor metode practice pentru măsurarea perimetrelor pe modele sau
obiecte din realitatea înconjurătoare
– Construcția unor segmente congruente și a unor unghiuri congruente
– Reprezentarea prin desen a unor configurații geometrice (d repte paralele, drepte
perpendiculare, unghiuri de măsură dată etc.)
– Măsurarea cu raportorul a unui unghi dat
– Estimarea volumului/capacității unui corp

3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice
Clasa a V -a
3.1. Utilizarea regulilor de calcul pentru efectuarea operațiilor cu numere
naturale și pentru divizibilitate
– Utilizarea algoritmului împărțirii, cu restul egal sau diferit de zero, în cazul în care
deîmpărțitul și împărțitorul au una sau mai multe cifre
– Aproximarea/estimarea rezultatelor obținute prin utilizarea algoritmului împărțirii
– Calcularea unor expresii numerice care conțin paranteze (rotunde, pătrate și
acolade), cu respectarea ordinii efectuării operațiilor
– Aplicarea metodelor aritmetice p entru rezolvarea unor probleme cu numere naturale
– Determinarea unui număr natural pe baza unor condiții impuse cifrelor sale (de
exemplu, determinați numerele de forma a 2b5 , știind că produsul cifrelor sale este
120)
3.2. Utilizarea de algoritmi pentru efectuarea operațiilor cu fracții ordinare sau
zecimale
– Aplicarea algoritmilor de împărțire a unei fracții zecimale la un număr natural sau
la o fracție zecimală cu un număr finit de zecimale nenule
– Transformarea fracțiilor ordinare în fracții zecimal e și invers
– Aplicarea metodelor aritmetice pentru rezolvarea unor probleme cu fracții
3.3. Determinarea perimetrelor, a ariilor (pătrat, dreptunghi) și a volumelor (cub,
paralelipiped dreptunghic) și exprimarea acestora în unități de măsură
corespunzăto are
– Transformări ale unităților de măsură standard folosind fracții zecimale
– Calcularea perimetrului unei figuri geometrice, evidențiind intuitiv perimetrul
– Operații cu măsuri de unghiuri (limitate numai la grade și minute sexagesimale)
– Determinare a volumului unui cub, al unui paralelipiped dreptunghic, utilizând
rețeaua de cuburi cu lungimea muchiei egală cu 1 și deducerea formulei de calcul
– Aplicarea formulei pentru calculul volumului unui cub și a unui paralelipiped
dreptunghic

Asemănarea triunghiurilor

44 4. Exprimarea în limbajul specific matematicii a informațiilor, concluziilor și
demersurilor de rezolvare pentru o situație dată
Clasa a V -a
4.1. Exprimarea în limbaj matematic a unor proprietăți referitoare la comparări,
aproximări, estimări și ale operațiilor cu nume re naturale
– Reprezentarea pe axa numerelor a unui număr natural, utilizând compararea și
ordonarea numerelor naturale
– Justificarea estimărilor rezultatelor unor calcule cu numere naturale
– Justificarea scrierii unui număr natural dat sub formă de pute re cu baza sau
exponentul indicat
– Exprimarea unor numere naturale de două cifre ca produs de numere prime
4.2. Utilizarea limbajului specific fracțiilor/procentelor în situații date
– Încadrarea unei fracții zecimale între două numere naturale consecuti ve
– Utilizarea limbajului specific pentru determinarea unei fracții dintr -un număr
natural n , multiplu al numitorului fracției
– Utilizarea limbajului adecvat pentru exprimarea unor transformări monetare
(inclusiv schimburi valutare)
4.3. Transpunerea î n limbaj specific a unor probleme practice referitoare la
perimetre, arii, volume, utilizând transformarea convenabilă a unităților de
măsură
– Compararea unor distanțe/lungimi, perimetre, arii și volume exprimate prin unități
de măsură diferite
– Descrier ea unor reprezentări geometrice în situații practice/aplicative (de exemplu,
realizarea planului clasei, al curții școlii prin metoda proiectului)
– Descrierea metodelor utilizate pentru verificarea coliniarității unor puncte date (de
exemplu, cu măsuri de unghiuri, cu lungimi de segmente)

5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situații date
Clasa a V -a
5.1. Analizarea unor situații date în care intervin numere naturale pentru a
estima sau pentru a verifica validitatea unor calcule
– Eviden țierea avantajelor folosirii proprietăților operațiilor cu numere naturale în
diferite contexte
– Analizarea faptului că un număr este sau nu pătratul unui număr natural (utilizând
ultima cifră, încadrarea între pătratele a două numere naturale consecutive )
– Determinarea unor numere naturale care respectă anumite condiții (de exemplu,
determinați numerele prime a și b , știind că 3a + 2b =16 )
– Compararea a două numere naturale scrise sub formă de puteri folosind aducerea la
aceeași bază sau la același ex ponent
– Aplicarea criteriilor de divizibilitate a numerelor naturale pentru situații cotidiene
– Estimarea ordinului de mărime a numerelor de forma 2n , pornind de la probleme
practice (de exemplu, foi de hârtie îndoite consecutiv, povestea tablei de șah)
– Realizarea unor estimări utilizând procente (de exemplu, cunoscând numărul elevilor
de gimnaziu dintr -un oraș și faptul că aproximativ 2% dintre aceștia studiază un
instrument muzical, estimați numărul de elevi de gimnaziu care studiază un instrument
muzical)

Asemănarea triunghiurilor

45 – Stabilirea valorii de adevăr a unui enunț matematic cu numere naturale, folosind
metode aritmetice
5.2. Analizarea unor situații date în care intervin fracții pentru a estima sau
pentru a verifica
validitatea unor calcule
– Reprezentarea pe axa n umerelor a fracțiilor zecimale cu un număr finit de zecimale
nenule folosind aproximarea acestora
– Analizarea unor scheme, modele sau algoritmi pentru rezolvarea unor probleme
practice care implică utilizarea operațiilor cu fracții ordinare sau zecimale ș i ordinea
efectuării operațiilor
– Evidențierea, pe cazuri concrete, a relației dintre volum și capacitate
– Estimarea măsurilor unor mărimi caracteristice ale unor obiecte din mediul
înconjurător (capacitate, masă, preț)
– Estimarea mediei unui set de dat e; compararea estimării cu valoarea determinată
prin calcule
5.3. Interpretarea prin recunoașterea elementelor, a măsurilor lor și a relațiilor
dintre ele, a unei
configurații geometrice dintr -o problemă dată
– Estimarea sau determinarea ariilor unor supr afețe în contexte reale, utilizând
caroiaje/pavaje
– Estimarea ariei unei piese de pavaj atunci când cunoaștem aria suprafeței și
numărul de piese
– Estimarea mărimii unor caracteristici (lungime, arie, volum) ale unor obiecte din
mediul înconjurător
– Determinarea prin pliere a axelor de simetrie pentru pătrat, dreptunghi
– Estimarea capacității unui vas prin raportare la capacitatea altui vas (activitate
practică sau lecții demonstrative utilizând calculatorul)

6. Modelarea matematică a unei situații d ate, prin integrarea achizițiilor din diferite
domenii
Clasa a V -a
6.1. Modelarea matematică, folosind numere naturale, a unei situații date,
rezolvarea problemei obținute prin metode aritmetice și interpretarea
rezultatului
– Modelarea unor probleme prac tice utilizând metode aritmetice (metoda reducerii la
unitate, metoda comparației, metoda figurativă, metoda mersului invers etc.)
– Evidențierea unor situații în care metoda de rezolvare propusă este aplicată incorect
– Exemplificarea, folosind gândirea c ritică, a unor probleme cu date insuficiente, a
unor probleme cu date contradictorii etc.
– Formularea unei probleme pe baza unei scheme sau reguli date și rezolvarea
acesteia prin metode aritmetice (metoda reducerii la unitate, metoda comparației,
metoda figurativă, metoda mersului invers etc.)
6.2. Reprezentarea matematică, folosind fracțiile, a unei situații date, în context
intra și interdisciplinar (geografie, fizică, economie etc.)
– Formularea unor probleme cu fracții, pe baza unor scheme sau reguli date și
rezolvarea acestora prin metode aritmetice (metoda reducerii la unitate, metoda
comparației, metoda mersului invers etc.)

Asemănarea triunghiurilor

46 – Reprezentarea datelor statistice folosind softuri matematice Matematică – clasele a
V-a – a VIII -a 8
– Argumentarea demersu lui de rezolvare a unei probleme pornind de la un set de
informații cu caracter cotidian sau științific (fizic, economic etc.)
6.3. Analizarea unor probleme practice care includ elemente de geometrie
studiate, cu referire la unități de măsură și la interp retarea rezultatelor
– Alegerea unui etalon adecvat pentru activități practice referitoare la
lungimi/arii/volume/capacități
– Stabilirea unor legături, în contexte reale, între diferite tipuri de măsurători (de
exemplu: determinarea indicelui de masă corp orală, determinarea cantității de apă
care se acumulează într -un vas în timp dat)
– Aplicarea în situații practice a elementelor de geometrie, pentru a obține un răspuns
la o problemă deschisă (de exemplu, utilizarea unor metode personale pentru
transpuner ea unui model geometric dat pe hârtie la suprafețe mari: rond de flori,
mozaic, mandala) sau pentru a realiza estimări (de exemplu,determinarea numărului
de portocale care încap într -o cutie cubică imaginară cu latura de 100 metri)
– Modelarea unei situați i date, referitoare la segmente, figuri congruente, mijlocul
unui segment și simetricul unui punct față de un punct, prin traspunerea acestora din
contextul dat în limbaj specific matematicii

Conținuturi
Domenii de
conținut Conținuturi
Numere 1. NUMERE NATURALE
Operații cu numere naturale
• Scrierea și citirea numerelor naturale; reprezentarea pe axa umerelor;
compararea și ordonarea numerelor naturale; aproximări, estimări
• Adunarea numerelor naturale, proprietăți; scăderea numerelor
naturale
• Înmulț irea numerelor naturale, proprietăți; factor comun
• Împărțirea cu rest zero a numerelor naturale; împărțirea cu rest a
numerelor naturale
• Puterea cu exponent natural a unui număr natural; pătratul unui
număr natural; reguli de calcul cu puteri; comparar ea puterilor;
scrierea în baza 10; scrierea în baza 2 (fără operații)
• Ordinea efectuării operațiilor; utilizarea parantezelor: rotunde, pătrate
și acolade
• Metode aritmetice de rezolvare a problemelor: metoda reducerii la
unitate, metoda comparației, me toda figurativă, metoda mersului
invers, metoda falsei ipoteze
Divizibilitatea numerelor naturale
• Divizor; multiplu; divizori comuni; multipli comuni
• Criterii de divizibilitate cu: 2, 5, 10 n , 3 și 9; numere prime; numere
compuse
Numere.
Organizare2. FRACȚII ORDINARE. FRACȚII ZECIMALE
Fracții ordinare

Asemănarea triunghiurilor

47 a
datelor • Fracții ordinare; fracții subunitare, echiunitare, supraunitare;
procente; fracții echivalente (prin reprezentări)
• Compararea fracțiilor cu același numitor/numărător; reprezentarea pe
axa nu merelor a unei fracții ordinare
• Introducerea și scoaterea întregilor dintr -o fracție
• Cel mai mare divizor comun a două numere naturale (fără algoritm);
amplificarea și simplificarea fracțiilor; fracții ireductibile
• Cel mai mic multiplu comun a două n umere naturale (fără algoritm);
aducerea fracțiilor la un numitor comun
• Adunarea și scăderea fracțiilor
• Înmulțirea fracțiilor, puteri; împărțirea fracțiilor
• Fracții/procente dintr -un număr natural sau dintr -o fracție ordinară
Fracții zecimale
• Fracț ii zecimale; scrierea fracțiilor ordinare cu numitori puteri ale lui
10 sub formă de fracții zecimale; transformarea unei fracții zecimale
cu un număr finit de zecimale nenule în fracție ordinară
• Aproximări; compararea, ordonarea și reprezentarea pe axa
numerelor a unor fracții
Matematică – clasele a V -a – a VIII -a 9 zecimale cu un număr finit de
zecimale nenule
• Adunarea și scăderea fracțiilor zecimale cu un număr finit de
zecimale nenule
• Înmulțirea fracțiilor zecimale cu un număr finit de zecimale ne nule
• Împărțirea a două numere naturale cu rezultat fracție zecimală;
aplicație: media aritmetică a două sau mai multor numere naturale;
transformarea unei fracții ordinare într -o fracție zecimală; periodicitate
• Împărțirea unei fracții zecimale cu un nu măr finit de zecimale nenule
la un număr natural nenul; împărțirea a două fracții zecimale cu un
număr finit de zecimale nenule
• Transformarea unei fracții zecimale periodice în fracție ordinară
• Număr rațional pozitiv; ordinea efectuării operațiilor cu numere
raționale pozitive
• Metode aritmetice pentru rezolvarea problemelor cu fracții în care
intervin și unități de măsură pentru lungime, arie, volum, capacitate,
masă, timp și unități monetare
• Probleme de organizare a datelor; frecvență; date statist ice organizate
în tabele, grafice cu bare și/sau cu linii; media unui set de date
statistice
Geometrie 3. ELEMENTE DE GEOMETRIE ȘI UNITĂȚI DE MĂSURĂ
• Punct, dreaptă, plan, semiplan, semidreaptă, segment (descriere,
reprezentare, notații1)
• Pozițiile rel ative ale unui punct față de o dreaptă; puncte coliniare;
„prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una”; pozițiile
relative a două drepte: drepte concurente, drepte paralele
• Distanța dintre două puncte; lungimea unui segment; segmente
congrue nte (construcție); mijlocul unui segment; simetricul unui punct
față de un punct
• Unghi: definiție, notații, elemente; interiorul unui unghi, exteriorul
unui unghi

Asemănarea triunghiurilor

48 • Măsura unui unghi2, unghiuri congruente (măsurarea și construcția cu
raportorul); clasifi cări de unghiuri: unghi drept, unghi ascuțit, unghi
obtuz; unghi nul, unghi alungit
• Calcule cu măsuri de unghiuri exprimate în grade și minute
sexagesimale
• Figuri congruente (prin suprapunere); axa de simetrie (prin
suprapunere)
• Unități de măsură pen tru lungime, aplicație: perimetre; unități de
măsură pentru arie, aplicații: aria pătratului/dreptunghiului; unități de
măsură pentru volum, aplicații: volumul cubului și al paralelipipedului
dreptunghic; transformări ale unităților de măsură
1 Notația AB reprezintă dreapta AB , segmentul AB , lungimea segmentului AB sau distanța
de la punctul A la punctul B , în funcție de context.
2 Notația ∢AOB reprezintă atât unghiul AOB , cât și măsura unghiului AOB , în funcție de
context.
Notă: Conținuturile vor fi abordate din perspectiva competențelor specifice. Activitățile de
învățare sugerate oferă o imagine posibilă privind contextele de formare/dezvoltare a
acestor competențe.

CLASA a VI -a
Competențe specifice și exemple de activități de învățare
1. Identifi carea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea
apar
Clasa a VI -a
1.1. Identificarea unor noțiuni specifice mulțimilor și relației de divizibilitate în ℕ
– Recunoașterea unor mulțimi finite sau infinite (mulțimea numerelor natu rale,
mulțimea numerelor naturale pare/impare, mulțimea cifrelor unui număr, mulțimea
divizorilor/multiplilor unui număr natural)
– Definirea unor mulțimi folosind diagrame și/sau enumerare de elemente
– Recunoașterea unor numere prime
– Identificarea, din tr-o mulțime de numere, a unui număr compus
– Identificarea unui divizor al unui număr dat
– Scrierea unui număr natural de două cifre ca produs de puteri de numere prime, prin
observare directă
– Scrierea mulțimii divizorilor unui număr natural folosind d escompunerea în produs
de numere prime
– Recunoașterea unor perechi de numere prime între ele
1.2. Identificarea rapoartelor, proporțiilor și a mărimilor direct sau invers
proporționale
– Identificarea, citirea, scrierea și exemplificarea de rapoarte, pro cente
– Identificarea, citirea, scrierea și exemplificarea de proporții și mărimi direct sau
invers proporționale,din practică/cotidian sau în context intradisciplinar sau
interdisciplinar (de exemplu: scara unei hărți,concentrația unei soluții)
– Identifi carea unor mărimi direct proporționale în reprezentări grafice
1.3. Identificarea caracteristicilor numerelor întregi în contexte variate
– Identificarea unui număr întreg în situații practice sau interdisciplinare (de exemplu:
temperaturi,altitudini, gol averaje, debit/credit)

Asemănarea triunghiurilor

49 – Reprezentarea pe axa numerelor a opusului unui număr întreg; modulul ca distanță
pe axa numerelor de la origine la reprezentarea numărului
– Identificarea unor contexte practic -aplicative sau teoretice care folosesc ecuații sau
inecuații în mulțimea numerelor întregi
1.4. Recunoașterea fracțiilor echivalente, a fracțiilor ireductibile și a formelor de
scriere a unui număr rațional
– Identificarea unui număr rațional în situații practice sau interdisciplinare (de
exemplu: temperatur a corpului, înălțimea unei persoane, prețul unui produs)
– Reprezentarea numerelor raționale pe axa numerelor, utilizând și noțiunile: opus și
modul
– Identificarea unor contexte practic -aplicative sau teoretice care folosesc numere
raționale
1.5. Recunoa șterea unor figuri geometrice plane (drepte, unghiuri, cercuri, arce
de cerc) în configurații date
– Identificarea unor drepte sau unghiuri într -o configurație geometrică dată, din
realitatea înconjurătoare
– Identificarea unor cercuri și arce de cerc într -o configurație geometrică dată, din
realitatea înconjurătoare
– Identificarea unor relații între elemente geometrice date (apartenență, incluziune,
egalitate, concurență,paralelism, perpendicularitate, simetrie)
1.6. Recunoașterea unor elemente de geomet rie plană asociate noțiunii de
triunghi
– Recunoașterea unor triunghiuri isoscele/echilaterale/ascuțitunghice/dreptunghice/
obtuzunghice în configurații geometrice date
– Recunoașterea elementelor caracteristice triunghiurilor în desene, machete, mediul
înconjurător etc.
– Descrierea unor caracteristici ale configurațiilor geometrice date referitoare la
triunghi (prin observare,prin utilizarea instrumentelor geometrice)
– Recunoașterea unor triunghiuri congruente într -o configurație geometrică dată

2. Pre lucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în
diverse surse informaționale
Clasa a VI -a
2.1. Evidențierea în exemple a relațiilor de apartenență, de incluziune, de
egalitate și a criteriilor de divizibilitate cu 2, 5, 10n , 3 și 9 în N
– Recunoașterea și exemplificarea de elemente care aparțin/nu aparțin unei mulțimi
date prin diagrame sau prin enumerarea elementelor
– Recunoașterea și exemplificarea de mulțimi date prin diagrame sau prin enumerarea
elementelor;
mulțim i care sunt sau nu în relație de incluziune
– Identificarea unor numere naturale care se divid cu 2, 5, 10n , 3 sau 9, utilizând
criteriile de divizibilitate
– Scrierea unui număr natural ca produs de puteri de numere prime folosind
descompunerea în factor i primi
– Selectarea dintr -o enumerare dată a numerelor naturale prime/compuse
2.2. Prelucrarea cantitativă a unor date utilizând rapoarte și proporții pentru
organizarea de date
– Determinarea unui procent dintr -un număr dat; determinarea unui număr, cân d se

Asemănarea triunghiurilor

50 cunoaște un procent din el (de exemplu: reducerea/creșterea prețului unui produs,
concentrația unei soluții)
– Calcularea unei valori necunoscute dintr -o proporție
– Calcularea unor numere folosind un șir de rapoarte egale
– Calcularea valorii unui ra port folosind un șir de rapoarte egale
– Organizarea și reprezentarea de date sub formă de grafice, tabele sau diagrame
statistice în vederea înregistrării, prelucrării și prezentării acestora
2.3. Utilizarea operațiilor cu numere întregi pentru rezolvare a ecuațiilor și
inecuațiilor
– Compararea numerelor întregi, pornind de la reprezentările acestora pe axa
numerelor
– Ordonarea elementelor unei mulțimi finite de numere întregi
– Utilizarea regulilor specifice pentru efectuarea operațiilor cu numere între gi:
adunare, scădere,înmulțire, împărțire și ridicare la putere cu exponent natural
– Validarea (prin probă) a soluției unei ecuații sau a unei inecuații în mulțimea
numerelor întregi
2.4. Aplicarea regulilor de calcul cu numere raționale pentru rezolvare a
ecuațiilor de tipul: x + a = b ,
x · a = b , x : a = b (a ≠ 0) , ax + b = c , unde a , b și c sunt numere raționale
– Utilizarea regulilor specifice pentru efectuarea operațiilor cu numere raționale:
adunare, scădere,înmulțire, împărțire (calcule ce impl ică maximum două operații)
– Estimarea rezultatului unui calcul înainte de efectuarea lui (cu scopul dezvoltării
abilităților de calcul mintal în contexte practice, cotidiene, de exemplu: cumpărături,
cantități necesare, cantități suficiente)
– Validarea ( prin probă) a soluției unei ecuații cu coeficienți numere raționale
– Rezolvarea de ecuații utilizând regulile de calcul studiate
2.5. Recunoașterea coliniarității unor puncte, a faptului că două unghiuri sunt
opuse la vârf, adiacente, complementare sau s uplementare și a paralelismului sau
perpendicularității a două drepte
– Prelucrarea cantitativă a unor informații privind distanțe, lungimi de segmente sau
măsuri de unghiuri/arce în vederea stabilirii coliniarității unor puncte, inclusiv în
contextul cerc ului (de exemplu:punctele diametral opuse, centrul cercului)
– Verificarea faptului că două unghiuri sunt suplementare, complementare sau
congruente
– Aplicarea, într -o configurație dată, a proprietății unghiurilor opuse la vârf și a
unghiurilor în jurul u nui punct pentru determinarea unor măsuri de unghiuri
2.6. Calcularea unor lungimi de segmente, măsuri de unghiuri în contextul
geometriei triunghiului
– Stabilirea tipului de triunghi prin efectuarea de calcule numerice cu lungimi de
segmente și măsuri d e unghiuri
– Efectuarea de calcule numerice pentru formularea de răspunsuri privind liniile
importante în triunghi
– Efectuarea de măsurători cu raportorul și rigla pentru formularea de răspunsuri
privind unghiurile exterioare ale unui triunghi, inegalităț i între laturi/unghiuri ale
unui triunghi

3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice
Clasa a VI -a

Asemănarea triunghiurilor

51 3.1. Utilizarea unor modalități adecvate de reprezentare a mulțimilor și de
determinare a c.m.m.d.c . și a c.m.m.m .c.
– Reprezentarea unor mulțimi prin diagrame și/sau prin enumerarea elementelor
– Efectuarea de operații cu mulțimi (reuniunea, intersecția, diferența) punând accentul
pe exemple practice
– Determinarea c.m.m.d.c./c.m.m.m.c. prin descompunerea numerelor naturale în
produs de puteri de numere prime
– Verificarea, prin exemple, a proprietății (a,b) · [a,b] = a ·b , unde a și b sunt numere
naturale (de exemplu, calcularea c.m.m.m.c. pentru numere prime între ele)
– Utilizarea unor exemple pentru deducerea un or proprietăți ale relației de
divizibilitate în mulțimea numerelor naturale
3.2. Aplicarea unor metode specifice de rezolvare a problemelor în care intervin
rapoarte, proporții și mărimi direct/invers proporționale
– Determinarea unui termen necunoscut d intr-o proporție
– Rezolvarea de probleme în care intervin rapoarte, procente sau proporții
– Stabilirea proporționalității (directe sau inverse) între două mărimi și rezolvarea de
probleme în care intervin mărimi direct sau invers proporționale, în contex te practic –
aplicative sau interdisciplinare
– Utilizarea unor reguli specifice pentru obținerea de proporții derivate (numai pe
exemple numerice)
– Calcularea probabilității în contexte practic aplicative simple
3.3. Aplicarea regulilor de calcul și folos irea parantezelor în efectuarea
operațiilor cu numere întregi
– Aplicarea unor proprietăți ale operațiilor cu numere întregi pentru optimizarea
calculelor numerice
– Utilizarea regulilor de calcul cu puteri (calcule numerice)
– Utilizarea eficientă a metod elor de determinare a unei necunoscute dintr -o ecuație
sau inecuație (metoda mersului invers, metoda balanței, transformări ale relațiilor de
egalitate/inegalitate)
3.4. Utilizarea proprietăților operațiilor pentru compararea și efectuarea
calculelor cu n umere raționale
– Compararea numerelor raționale, inclusiv poziționarea numerelor pe axa numerelor
– Ordonarea elementelor unei mulțimi finite de numere raționale
– Utilizarea de proprietăți ale operațiilor cu numere raționale pentru optimizarea
calculelor numerice
– Utilizarea regulilor de calcul cu puteri (calcule numerice)
– Determinarea unei necunoscute dintr -o ecuație (metoda mersului invers, metoda
balanței, transformări ale relațiilor de egalitate)
3.5. Utilizarea unor proprietăți referitoare la dis tanțe, drepte, unghiuri, cerc
pentru realizarea unor construcții geometrice
– Utilizarea instrumentelor geometrice (raportor, riglă, compas) pentru realizarea
unor figuri geometrice
– Construcția bisectoarei unui unghi folosind raportorul și rigla, respect iv compasul și
rigla
– Construcția dreptelor paralele, a dreptelor perpendiculare, a mediatoarei unui
segment folosind instrumentele geometrice
– Construcția simetricei unei figuri față de o dreaptă dată
– Determinarea unor lungimi de segmente utilizând in formații cuprinse în
reprezentările geometrice

Asemănarea triunghiurilor

52 – Determinarea unor măsuri de unghiuri/arce de cerc utilizând informații cuprinse în
reprezentările geometrice
3.6. Utilizarea criteriilor de congruență și a proprietăților unor triunghiuri
particulare pentru determinarea caracteristicilor unei configurații geometrice
– Stabilirea congruenței unor triunghiuri identificând criteriul de congruență potrivit
– Utilizarea relației de congruență a triunghiurilor pentru stabilirea congruenței unor
segmente sau unghiu ri
– Utilizarea proprietăților triunghiurilor isoscele/echilaterale/dreptunghice pentru
determinarea unor lungimi de segmente, distanțe, măsuri de unghiuri, proprietăți ale
punctelor de pe mediatoare, bisectoare

4. Exprimarea în limbajul specific matemat icii a informațiilor, a concluziilor și a
demersurilor de rezolvare pentru o situație dată
Clasa a VI -a
4.1. Exprimarea în limbaj matematic a unor situații concrete care se pot descrie
utilizând mulțimile și divizibilitatea în N
– Exprimarea în limbaj mat ematic a unor caracteristici ale elementelor unor mulțimi
finite (de exemplu,mulțimea cifrelor pare)
– Formularea unor enunțuri simple folosind cuvintele „și”, „sau”, „nu” în contextul
operațiilor cu mulțimi
– Utilizarea terminologiei specifice divizibilit ății
– Redactarea rezolvării unor probleme referitoare la relația de divizibilitate în ℕ
4.2. Exprimarea în limbaj matematic a relațiilor și a mărimilor care apar în
probleme cu rapoarte, proporții și mărimi direct sau invers proporționale
– Exprimarea re lației de proporționalitate directă sau inversă între mărimi sub forma
unei proporții sau a unei egalități de produse
– Exprimarea în limbaj matematic a datelor unei probleme care se rezolvă cu regula
de trei simplă
– Determinarea valorilor minime, maxime și medii dintr -un set de date
– Organizarea informațiilor pe baza unor criterii, utilizând sortarea, clasificarea și
reprezentarea grafică(cu accent pe interpretarea aceluiași set de date în contexte
diferite și pe utilizarea softurilor matematice)
4.3. R edactarea etapelor de rezolvare a ecuațiilor și a inecuațiilor studiate în
mulțimea numerelor întregi
– Formularea unor răspunsuri logice în raport cu cerințe de calcul numeric (corelații
intradisciplinare; de exemplu: apartenența rezultatului unui calcul la o mulțime,
estimarea rezultatului, utilizarea lui 0 ca factor în produse de numere)
– Scrierea unei ecuații/inecuații echivalente cu o ecuație/inecuație dată
– Redactarea demersului de rezolvare a unor ecuații sau inecuații în mulțimea
numerelor întregi (inclusiv verificarea soluțiilor)
– Transpunerea unei probleme într -o ecuație care se rezolvă în mulțimea numerelor
întregi
– Exprimarea unor caracteristici ale modulului, derivate din definiția acestuia (| x| = a
, |x| < a , |x| ≤ a ,unde a și x sunt nu mere întregi)
4.4. Redactarea etapelor de rezolvare a unor probleme, folosind operații în
mulțimea numerelor raționale
– Formularea unor răspunsuri logice în raport cu cerințe de calcul numeric (corelații
intradisciplinare; de exemplu: apartenența rezulta tului unui calcul la o mulțime,

Asemănarea triunghiurilor

53 estimarea rezultatului)
– Transpunerea unei probleme într -o ecuație care se rezolvă în mulțimea numerelor
raționale
– Redactarea demersului de rezolvare și validarea soluțiilor (prin probă) în cazul
problemelor cu conținut p ractic
4.5. Exprimarea, prin reprezentări geometrice sau în limbaj specific matematic, a
noțiunilor legate de dreaptă, unghi și cerc
– Descrierea în limbaj matematic a unor configurații geometrice date care conțin
drepte, unghiuri, cercuri
– Transpunerea unor informații date (matematic sau în context practic) în configurații
geometrice care conțin drepte, unghiuri, cercuri
– Justificarea paralelismului a două drepte utilizând perechi de unghiuri formate de
două drepte cu o secantă
4.6. Exprimarea în limba j geometric simbolic și figurativ a caracteristicilor
triunghiurilor și ale liniilor importante în triunghi
– Transcrierea în limbaj simbolic a caracteristicilor triunghiurilor conținute în figuri
geometrice date
– Transcrierea, din figuri geometrice date, în limbaj simbolic a caracteristicilor
liniilor importante în triunghi
– Redactarea datelor cunoscute (ipoteze) și a celor necunoscute (concluzii), în raport
cu o situație dată referitoare la triunghi
– Evidențierea unor relații și proprietăți: unghi exte rior unui triunghi, inegalități între
laturi și relații între laturi și unghiuri ale unui triunghi etc.

5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situații date
Clasa a VI -a
5.1. Analizarea unor situații date în contextul mulțimilor și al diviz ibilității în ℕ
– Asocierea „unu la unu” a elementelor a două mulțimi finite care au același cardinal
– Estimarea cardinalului unei mulțimi în contexte practic -aplicative (de exemplu:
numărul elevilor școlii,
numărul notelor obținute de un elev într -un sem estru, numărul orașelor unui județ)
– Analizarea și compararea unor metode diferite de rezolvare a unei probleme de
divizibilitate
– Aplicarea proprietăților divizibilității în ℕ pentru rezolvarea exercițiilor cu fracții
5.2. Analizarea unor situații prac tice cu ajutorul rapoartelor, proporțiilor și a
colecțiilor de date
– Justificarea proporționalității în vederea aplicării regulii de trei simplă
– Interpretarea datelor înregistrate în tabele, grafice sau diagrame; estimări
– Analizarea unui set de date p entru a determina existența unei proporționalități (de
exemplu: economie,cotidian)
– Interpretarea mediei unui set de date
– Exprimarea semnificației unor elemente dintr -un grafic
5.3. Interpretarea unor date din probleme care se rezolvă utilizând numerel e
întregi
– Analizarea unor situații practice în care se utilizează numere întregi
– Analizarea unor consecințe posibile ce decurg din modificarea unui set de ipoteze în
probleme referitoare la numere întregi
– Încadrarea soluției unei ecuații într -o mulți me de numere întregi, fără a efectua

Asemănarea triunghiurilor

54 calcule
5.4. Determinarea unor metode eficiente în efectuarea calculelor cu numere
raționale
– Analizarea unor situații practice în care se utilizează numere raționale
– Analizarea și alegerea metodei optime de efectua re a calculului numeric prin
utilizarea de proprietăți ale operațiilor studiate
– Interpretarea răspunsurilor obținute prin rezolvarea de ecuații și identificarea
mulțimii soluțiilor
5.5. Analizarea seturilor de date numerice sau a reprezentărilor geometr ice în
vederea optimizării calculelor cu lungimi de segmente, distanțe, măsuri de
unghiuri și de arce de cerc
– Stabilirea numărului minim/maxim de drepte determinate de un număr dat de puncte
(fără generalizare)
– Analizarea unei configurații geometrice p entru verificarea unor proprietăți
referitoare la bisectoare (de exemplu: bisectoarele unghiurilor opuse la vârf,
bisectoarele unghiurilor adiacente suplementare)
– Analizarea unei configurații geometrice pentru verificarea unor proprietăți
referitoare la lungimi (de exemplu: ordonarea unor puncte pe dreaptă utilizând
lungimi de segmente date, lungimea coardei cel mult egală cu lungimea diametrului)
– Analizarea unei configurații geometrice pentru verificarea unor proprietăți
referitoare la simetria față de un punct, simetria față de o dreaptă
5.6. Analizarea unor construcții geometrice în vederea evidențierii unor
proprietăți ale triunghiurilor
– Construcția unei configurații geometrice cu triunghiuri având proprietăți date, cu
ajutorul instrumentelor geom etrice sau al softurilor matematice
– Analizarea setului de ipoteze ale unei probleme și elaborarea unei strategii de
rezolvare prin raportarea adecvată la proprietățile studiate ale triunghiurilor
– Analizarea și validarea veridicității unei afirmații fol osind raționamente simple
referitoare la triunghi
– Analizarea validității unor enunțuri referitoare la triunghiuri rezultate prin
modificarea unei ipoteze (necesar/suficient) sau prin interschimbarea unor informații
din ipoteză și din concluzie

6. Model area matematică a unei situații date, prin integrarea achizițiilor din diferite
domenii
Clasa a VI -a
6.1. Transpunerea, în limbaj matematic, a unor situații date utilizând mulțimi, operații cu
mulțimi și divizibilitatea în ℕ
– Deducerea unor consecințe im ediate care decurg din analizarea unui set de date
asociate mulțimilor (de exemplu, în general A \ B este diferită de B \ A)
– Interpretarea unor situații practice sau interdisciplinare (de exemplu, numeral
cardinal/ordinal) folosind limbajul specific mulț imilor și operațiilor cu mulțimi
– Interpretarea unor noțiuni de bază din geometrie (punct, segment, semidreaptă,
dreaptă; poziții relative:punct -dreaptă, dreaptă -dreaptă) utilizând limbajul specific
mulțimilor
– Identificarea în situații practice a unor intersecții, reuniuni sau diferențe de mulțimi
(de exemplu: criterii de divizibilitate, numere de două cifre)
– Rezolvarea unor probleme practice utilizând proprietățile divizibilității în ℕ

Asemănarea triunghiurilor

55 6.2. Modelarea matematică a unei situații date în care intervin rapoarte, proporții
și mărimi direct sau invers proporționale
– Modelarea matematică a dependențelor direct sau invers proporționale
– Interpretarea unui set de date descrise grafic sau numeric (de exemplu: dacă viteza
este constantă, atunci distanța și ti mpul sunt în relație de proporționalitate directă;
dacă distanța este constantă, atunci viteza și timpul sunt în relație de proporționalitate
inversă)
– Interpretarea unui raport ca raport procentual sau ca probabilitate
6.3. Transpunerea, în limbaj algeb ric, a unei situații date, rezolvarea ecuației sau
inecuației obținute și interpretarea rezultatului
– Transpunerea unei situații date în limbaj matematic, utilizând ecuații sau inecuații
– Formularea de probleme cu numere întregi pe baza unei scheme date sau a unui
exercițiu dat
– Formularea unor probleme echivalente cu o problemă dată în contextul numerelor
întregi
6.4. Interpretarea matematică a unor probleme practice prin utilizarea
operațiilor cu numere raționale
– Împărțirea unei cantități în părți d irect sau invers proporționale cu mai multe
numere date
– Interpretarea matematică a unei proporționalități referitoare la segmente (de
exemplu, interpretarea regulilor din șirul lui Fibonacci în construcții geometrice cu
segmente, pătrate și dreptunghiuri )
– Transpunerea, în limbaj matematic, a unei situații date, utilizând ecuații în contextul
numerelor raționale
– Formularea de probleme cu numere raționale pe baza unei scheme date sau a unui
exercițiu dat
6.5. Interpretarea informațiilor conținute în re prezentări geometrice pentru
determinarea unor lungimi de segmente, distanțe și a unor măsuri de
unghiuri/arce de cerc
– Descrierea unei situații -problemă, cu transpunerea acesteia din limbaj curent în
limbaj simbolic și figurativ
– Estimarea lungimii unui segment, a unei distanțe, a măsurii unui unghi sau a unui
arc utilizând diverse date, reguli, relații
– Validarea rezultatului unui calcul/corectitudinii unei reprezentări geometrice,
folosind modalități diferite de abordare: estimări, măsurători, compară ri
6.6. Transpunerea, în limbaj specific, a unei situații date legate de geometria
triunghiului, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului
– Modelarea geometrică a unei situații concrete, asociind acesteia un desen, implicând
și estimări (de exemplu, un traseu acasă – școală – teren de sport, reprezentat printr –
un triunghi)
– Argumentarea demersului de rezolvare a unei probleme de geometrie
– Realizarea de conexiuni interdisciplinare sau practic -aplicative (de exemplu: planul
înclinat, tr aseul de lungime minimă, reflexia)
Conținuturi
Domenii de
conținut Conținuturi
Mulțimi. 1. MULȚIMI. MULȚIMEA NUMERELOR NATURALE 
 Descriere, notații, reprezentări; mulțimi numerice/ nenumerice;

Asemănarea triunghiurilor

56 Numere relația dintre un element și o mulțime; relații între mulțimi
 Mulțimi finite, cardinalul unei mulțimi finite; mulțimi infinite,
mulțimea numerelor naturale
 Operații cu mulțimi: reuniune, intersecție, diferență
 Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere
prime; aplicație: determinarea celui mai mare divizor comun
(c.m.m.d.c. ) și a celui mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c. ); numere
prime între ele 
 Proprietăți ale divizibilității în ℕ : a|a , unde aϵℕ ; a|b și b|c =>a|c ,
unde a,b,cϵℕ ; a|b și a|c=>a (b± c), unde a,b,cϵℕ; a|bc și (a,b)=1=>a|c,
unde a,b,cϵℕ
Numere.
Organizarea
datelor și
probabilități 2. RAPOARTE. PROPORȚII
 Rapoarte; proporții; proprietatea fundamentală a proporțiilor;
determinarea unui termen necunoscut dintr -o proporție; proporții
derivate
 Șir de rapoarte egale; mărimi direct proporționale; mărimi invers
proporționale; regula de trei simplă
 Elemente de organizare a datelor; reprezentarea datelor prin grafice
în contextul proporționalității; reprezentarea datelor cu ajutorul unor
softuri matematice; probabilități(aplicație la ra poarte)
Mulțimi.
Numere 3. MULȚIMEA NUMERELOR ÎNTREGI
 Mulțimea numerelor întregi; opusul unui număr întreg;
reprezentarea pe axa numerelor;modulul unui număr întreg; compararea
și ordonarea numerelor întregi
 Adunarea numerelor întregi, proprietăți; scăder ea numerelor întregi
 Înmulțirea numerelor întregi, proprietăți
 Împărțirea numerelor întregi când deîmpărțitul este multiplu al
împărțitorului
 Puterea cu exponent număr natural a unui număr întreg nenul;
reguli de calcul cu puteri
 Ordinea efectuării operați ilor și folosirea parantezelor
 Ecuații, inecuații, probleme care se rezolvă cu ajutorul
ecuațiilor/inecuațiilor în contextul numerelor întregi
4. MULȚIMEA NUMERELOR RAȚIONALE
 Număr rațional; mulțimea numerelor raționale; reprezentarea
numerelor raționale pe axa numerelor, opusul unui număr rațional;
modulul; compararea și ordonarea numerelor raționale
 Adunarea numerelor raționale; proprietăți; scăderea numerelor
raționale
 Înmulțirea numerelor raționale; proprietăți; împărțirea numerelor
raționale; puterea cu exponent număr întreg a unui număr rațional nenul;
reguli de calcul cu puteri
 Ordinea efectuării operațiilor și folosirea parantezelor
 Ecuații de tipul: x +a =b , x ⋅a =b , x : a =b , (a ≠0), ax+ b =c ,
unde a , b și c sunt numere raționale; probleme c are se rezolvă folosind
ecuații de acest tip

Asemănarea triunghiurilor

57 Geometrie 5. NOȚIUNI GEOMETRICE FUNDAMENTALE
 Unghiuri opuse la vârf, congruența lor; unghiuri formate în jurul
unui punct, suma măsurilor lor; unghiuri suplementare, unghiuri
complementare
 Unghiuri adiacente; b isectoarea unui unghi, construcția bisectoarei
unui unghi
 Drepte paralele (definiție, notație, construcție intuitivă prin
translație); axioma paralelelor; criterii de paralelism (unghiuri formate
de două drepte paralele cu o secantă); aplicații practice în poligoane și
corpuri geometrice
 Drepte perpendiculare în plan (definiție, notație, construcție);
oblice; aplicații practice în poligoane și corpuri geometrice; distanța de
la un punct la o dreaptă; mediatoarea unui segment; construcția
mediatoarei unui se gment; simetria față de o dreaptă
 Cerc (definiție, construcție); elemente în cerc: centru, rază, coardă,
diametru, arc de cerc; unghi la centru; măsuri
 Pozițiile unei drepte față de un cerc; pozițiile relative a două cercuri
6. TRIUNGHIUL
 Triunghiul: def iniție, elemente; clasificare; perimetru; suma
măsurilor unghiurilor unui triunghi; unghi exterior unui triunghi,
teorema unghiului exterior
 Construcția triunghiurilor: cazurile LUL, ULU, LLL; inegalități
între elementele triunghiului (observate din cazuri le de construcție)
 Linii importante în triunghi: bisectoarele unghiurilor unui triunghi:
concurența (fără demonstrație), cercul înscris în triunghi; mediatoarele
laturilor unui triunghi: concurență(fără demonstrație), cercul circumscris
unui triunghi; înăl țimile unui triunghi: definiție, construcție, concurența
(fără demonstrație); medianele unui triunghi: definiție, construcție,
concurența (fără demonstrație)
 Congruența triunghiurilor oarecare: criterii de congruență a
triunghiurilor: LUL, ULU, LLL; criter iile de congruență a triunghiurilor
dreptunghice: CC, IC, CU, IU
 Metoda triunghiurilor congruente, aplicații: proprietatea punctelor
de pe bisectoarea unuiunghi/mediatoarea unui segment
 Proprietăți ale triunghiului isoscel; proprietăți ale triunghiului
echilateral
 Proprietăți ale triunghiului dreptunghic (cateta opusă unghiului de
300, mediana corespunzătoare ipotenuzei – teoreme directe și
reciproce); teorema lui Pitagora (fără demonstrație, verificări de triplete
de numere pitagoreice, determinarea de lun gimi folosind pătratele unor
numere naturale)
Notă: Conținuturile vor fi abordate din perspectiva competențelor specifice. Activitățile de
învățare sugerate oferă o imagine posibilă privind contextele de formare/dezvoltare a
acestor competențe.

Asemănarea triunghiurilor

58 CLASA a VII-a
Competențe specifice și exemple de activități de învățare
1. Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care
acestea apar

Clasa a VII -a
1.1. Identificarea numerelor aparținând diferitelor submulțimi ale lui ℝ
– Identificare a pătratelor unor numere naturale dintr -o enumerare de numere date
– Identificarea, în exemple relevante, a relației între puterea cu exponent 2 și rădăcina
pătrată a pătratului unui număr natural
– Identificarea rădăcinii pătrate din pătratul unui număr n atural utilizând scrierea sub
formă de putere cu exponent 2
– Recunoașterea numerelor naturale, întregi, raționale
– Recunoașterea unui număr irațional dintr -o mulțime de numere date
– Identificarea unei forme convenabile de scriere a unui număr real în fu ncție de un
context dat
1.2. Identificarea unei situații date rezolvabile prin ecuații sau sisteme de ecuații
liniare
– Recunoașterea unor relații matematice care reprezintă ecuații
– Identificarea necunoscutei, coeficienților, termenilor liberi ai unei e cuații
– Furnizarea unor exemple de relații matematice care reprezintă ecuații sau sisteme de
ecuații liniare
– Identificarea și notarea datelor cunoscute și a datelor necunoscute în cazul
problemelo r care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor sau sistemelor de ecuații
1.3. Identificarea unor informații din tabele, grafice și diagrame
– Extragerea unei informații dintr -un tabel, grafic sau diagramă
– Identificarea modului adecvat de reprezentare a unor d ate
– Identificarea unor exemple de corespondențe matematice în contexte variate
1.4. Identificarea patrulaterelor particulare în configurații geometrice date
– Identificarea patrulaterelor pe corpuri geometrice sau pe desfășurări ale acestora
– Recunoașt erea patrulaterelor în cotidian (în sala de clasă, mediul înconjurător etc.)
– Identificarea patrulaterelor particulare în mediul înconjurător
– Identificarea paralelogramelor particulare într -o reprezentare geometrică dată
– Identificarea pătratelor dintr -o mulțime de dreptunghiuri și romburi
1.5. Identificarea elementelor cercului și/sau poligoanelor regulate în configurații
geometrice date
– Recunoașterea elementelor unui cerc pe configurații geometrice date
– Identificarea unor proprietăți ale arcelor, coardelor și a diametrului perpendicular
pe o coardă
– Identificarea poligoanelor regulate înscrise într -un cerc
1.6. Identificarea triunghiurilor asemenea în configurații geometrice date
– Identificarea unor imagini care își păstrează forma prin mărire sau micșorare (de
exemplu: zoom,microscop)
– Recunoașterea proporționalității lungimilor unor segmente care reprezintă laturi ale
unor triunghiuri
– Identificarea laturilor omoloage ale unor triunghiuri asemenea
– Identificarea vârfurilor omoloage ale unor triunghiuri asemenea
1.7. Recunoașterea elementelor unui triunghi dreptunghic într -o configurație

Asemănarea triunghiurilor

59 geometrică dată
– Identificarea triunghiurilor dreptunghice în configurații geometrice date
– Identificarea catetelor și a ipotenuzei într -un triunghi drept unghic dat
– Folosirea instrumentelor geometrice pentru a identifica proiecția unui punct/segment
pe o dreaptă
– Identificarea proiecției unui segment pe o dreaptă în diferite configurații geometrice
– Realizarea unor decupaje după indicații date (de exemp lu, decuparea unui triunghi
de-a lungul unei înălțimi)

2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în
diverse surse informaționale
Clasa a VII -a
2.1. Aplicarea regulilor de calcul pentru estimarea și aproximare a numerelor
reale
– Scrierea unui număr real în diverse forme
– Aproximarea unui număr real și reprezentarea acestuia pe axa numerelor
– Determinarea opusului, a modulului și a inversului unui număr real
– Compararea numerelor reale utilizând modulul, apro ximări, încadrarea unui număr
real între doi întregi consecutivi, scoaterea factorilor de sub radical, introducerea
factorilor sub radical
2.2. Utilizarea regulilor de calcul cu numere reale pentru verificarea soluțiilor
unor ecuații sau sisteme de ecuați i liniare
– Verificarea, prin calcul, că un număr dintr -o enumerare este soluție a unei ecuații
– Verificarea, prin calcul, a soluției unui sistem de ecuații liniare
– Verificarea, prin calcul, că un număr real este soluție comună a unor ecuații
2.3. Prel ucrarea unor date sub formă de tabele, grafice sau diagrame în vederea
înregistrării, reprezentării și prezentării acestora
– Prelucrarea statistică a unor date reprezentate în tabel
– Reprezentarea unor date prin diagrame, grafice circulare sau grafice cu bare
– Reprezentarea unor date în tabele cu una sau cu două intrări
2.4. Descrierea patrulaterelor utilizând definiții și proprietăți ale acestora, în
configurații geometrice date
– Recunoașterea patrulaterelor convexe în configurații geometrice date
– Descrierea unor proprietăți ale laturilor, unghiurilor și diagonalelor unor
patrulatere particulare
– Recunoașterea paralelogramelor particulare pe baza unor proprietăți precizate
– Recunoașterea trapezului isoscel sau a trapezului dreptunghic
2.5. Descrie rea proprietăților cercului și ale poligoanelor regulate înscrise într -un
cerc
– Calcularea măsurii unghiurilor unui poligon regulat
– Reprezentarea prin desen a configurațiilor geometrice care conțin un cerc și
elementele sale folosind instrumente geometr ice
– Utilizarea instrumentelor geometrice pentru a reprezenta prin desen poligoane
regulate înscrise în cerc
2.6. Stabilirea relației de asemănare între triunghiuri
– Stabilirea relației de asemănare între două triunghiuri utilizând măsurile unghiurilor
– Stabilirea relației de asemănare între două triunghiuri utilizând proporționalitatea
laturilor

Asemănarea triunghiurilor

60 – Stabilirea relației de asemănare între două triunghiuri utilizând proporționalitatea a
două perechi de laturi și congruența unghiurilor dintre ele
– Stabilir ea relației de asemănare între două triunghiuri prin aplicarea teoremei
fundamentale a asemănării
2.7. Aplicarea relațiilor metrice într -un triunghi dreptunghic pentru
determinarea unor elemente ale
acestuia
– Calcularea lungimilor unor segmente utilizând teorema înălțimii, teorema catetei sau
teorema lui Pitagora
– Calcularea ariei unui triunghi oarecare folosind descompunerea suprafeței sale în
triunghiuri dreptunghice
– Calcularea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru unghiuri ascuțite
ale unui triunghi dreptunghic

3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice
Clasa a VII -a
3.1. Utilizarea unor algoritmi și a proprietăților operațiilor în efectuarea unor
calcule cu numere reale
– Utilizarea regu lilor de calcul pentru produsul/raportul a doi radicali și pentru
raționalizarea numitorului
– Utilizarea de raționalizări sau introducerea/scoaterea factorilor de sub radical
pentru a compara/ordona numere iraționale
– Calcularea modulului unor sume/difer ențe de numere iraționale
– Calcularea puterii cu exponent număr întreg a unui număr real nenul
– Exersarea regulilor privind ordinea efectuării operațiilor cu numere reale
– Utilizarea calculatorului pentru efectuarea sau verificarea unor calcule cu numer e
reale
– Utilizarea distributivității înmulțirii față de adunare/scădere în exerciții de desfacere
a parantezelor
3.2. Utilizarea transformărilor echivalente în rezolvarea unor ecuații și sisteme de
ecuații liniare
– Aducerea unor egalități la o formă ma i simplă prin transformări echivalente
– Aplicarea transformărilor pentru obținerea unor sisteme de ecuații liniare
echivalente
– Utilizarea probei pentru justificarea unui rezultat obținut
3.3. Alegerea metodei adecvate de reprezentare a problemelor în c are intervin
dependențe funcționale și reprezentări ale acestora
– Reprezentarea într -un sistem de axe ortogonale a unor puncte având coordonatele
numere reale
– Analizarea unor seturi de date pentru a determina un mod adecvat de reprezentare
grafică a ace stora
– Interpretarea unei informații extrase dintr -un tabel sau listă
3.4. Utilizarea proprietăților patrulaterelor în rezolvarea unor probleme
– Demonstrarea proprietăților paralelogramelor particulare utilizând metode variate
– Utilizarea definiției și a proprietăților liniei mijlocii în trapez în rezolvarea de
probleme
– Utilizarea liniei mijlocii pentru a demonstra paralelismul unor drepte
– Justificarea unor proprietăți ale patrulaterelor pe baza simetriei

Asemănarea triunghiurilor

61 3.5. Utilizarea proprietăților cercului în rezolvarea de probleme
– Utilizarea unor proprietăți ale arcelor, coardelor și/sau a diametrului perpendicular
pe o coardă în rezolvarea unor probleme
– Rezolvarea unor probleme practice de determinare a unor lungimi sau distanțe
folosind raza cercului (de exemplu, calcularea numărului de rotații complete ale roții
unui automobil folosind distanța parcursă)
– Rezolvarea unor probleme folosind proprietățile tangentelor duse dintr -un punct
exterior la un cerc
3.6. Utilizarea asemănării triunghiurilor în conf igurații geometrice date pentru
determinarea de lungimi, măsuri și arii
– Determinarea lungimilor unor segmente sau a măsurilor unor unghiuri, utilizând
asemănarea triunghiurilor sau proprietățile șirului de rapoarte egale
– Calcularea lungimilor unor segm ente în triunghi utilizând teorema fundamentală a
asemănării
– Determinarea lungimilor unor segmente prin utilizarea teoremei paralelelor
echidistante, a teoremei lui Thales sau a proporțiilor derivate
– Calcularea lungimilor segmentelor determinate de dia gonalele unui trapez pe linia
mijlocie
– Calcularea perimetrelor și ariilor a două triunghiuri asemenea, prin utilizarea
raportului de asemănare
3.7. Deducerea relațiilor metrice într -un triunghi dreptunghic
– Aplicarea teoremei lui Pitagora, a teoremei î nălțimii sau a teoremei catetei, pentru a
determina elemente ale unui triunghi dreptunghic
– Determinarea valorilor pentru sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unghiurilor
de 30° , 45° sau 60°
– Utilizarea valorilor pentru sinusul, cosinusul, tangent a și cotangenta unghiurilor de
30° , 45° sau 60° pentru determinarea unor lungimi de segmente într -un triunghi
dreptunghic
– Determinarea unor lungimi de segmente, măsuri de unghiuri, perimetre în
configurații geometrice

4. Exprimarea în limbajul specifi c matematicii a informațiilor, concluziilor și
demersurilor de rezolvare pentru o situație dată

Clasa a VII -a
4.1. Folosirea terminologiei aferente noțiunii de număr real (semn, modul, opus,
invers)
– Sortarea unor numere naturale, întregi, raționale sau iraționale în funcție de
mulțimea căreia îi aparțin utilizând terminologia adecvată
– Utilizarea terminologiei specifice noțiunii de număr real în descrierea modului de
rezolvare a unui exercițiu/a unei probleme
– Identificarea rezultatului corect dintr -o listă de răspunsuri posibile
4.2. Redactarea rezolvării ecuațiilor și sistemelor de ecuații liniare
– Rezolvarea unor ecuații de forma ax + b = 0 , unde a ,b∈ℝ
– Utilizarea metodelor de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare (metoda reducerii și
metoda substituției)
– Verificarea validității unei soluții a unei ecuații sau a unui sistem de ecuații
4.3. Descrierea în limbajul specific matematicii a unor elemente de organizare a

Asemănarea triunghiurilor

62 datelor
– Reprezentarea produsului cartezian a două mulțimi numerice finite
– Evidențierea egalității între cardinalul produsului cartezian a două mulțimi finite și
produsul cardinalelor celor două mulțimi
– Exprimarea distanței dintre două puncte în plan ca lungimea ipotenuzei unui
triunghi dreptunghic într -un sistem de axe ortog onale
4.4. Exprimarea în limbaj geometric a noțiunilor legate de patrulatere
– Construcția cu ajutorul instrumentelor geometrice a unor patrulatere utilizând
definiția sau proprietăți ale acestora
– Transpunerea în desen a unei configurații geometrice ref eritoare la patrulatere
descrise matematic
– Evidențierea liniei mijlocii în trapez pe baza definiției/proprietăților acesteia
– Evidențierea centrelor/axelor de simetrie pentru patrulaterele studiate
– Caracterizarea tipului de simetrie pentru patrulatere le studiate
4.5. Exprimarea proprietăților cercului și ale poligoanelor în limbaj matematic
– Descrierea în limbaj matematic a unor relații (congruență, paralelism,
perpendicularitate) între elemente ale unor configurații geometrice
– Utilizarea instrumen telor geometrice pentru construirea unor configurații
geometrice referitoare la cerc
– Identificarea unor cazuri particulare și evidențierea unor proprietăți în configurații
geometrice referitoare la cerc și poligoane regulate
4.6. Exprimarea în limbaj ma tematic a proprietăților unor figuri geometrice
folosind asemănarea
– Argumentarea alegerii între teorema fundamentală a asemănării și teorema lui
Thales pentru rezolvarea unor probleme specifice
– Stabilirea paralelismului unor drepte utilizând reciproca teoremei lui Thales
– Construcția cu ajutorul instrumentelor geometrice a unor configurații geometrice
respectând condiții date de asemănare
– Identificarea unor cazuri particulare și evidențierea unor proprietăți referitoare la
asemănarea triunghiurilor
4.7. Exprimarea în limbaj matematic a relațiilor dintre elementele unui triunghi
dreptunghic
– Utilizarea reciprocei teoremei lui Pitagora pentru stabilirea perpendicularității a
două drepte sau a naturii unui triunghi
– Observarea diferenței dintre condiț iile necesare și suficiente în contexte geometrice
referitoare la relații metrice
– Identificarea unor situații particulare și evidențierea unor proprietăți în contexte
geometrice referitoare la relații metrice

5. Analizarea caracteristicilor matematic e ale unei situații date
Clasa a VII -a
5.1. Elaborarea de strategii pentru rezolvarea unor probleme cu numere reale
– Determinarea mediei geometrice a două numere reale pozitive
– Determinarea mediei aritmetice ponderate a două sau mai multor numere reale

Asemănarea triunghiurilor

63 – Raționalizarea unor numitori de forma a b cu a , b ∈ℚ
– Scrierea adecvată a unor rapoarte de numere reale care necesită raționalizare,
descompunere în factori și/sau simplificare
– Rezolvarea de probleme în care apar medii (aritmetică ponderată sau geom etrică)
5.2. Stabilirea unor metode de rezolvare a ecuațiilor sau a sistemelor de ecuații
liniare
– Utilizarea transformărilor echivalente a ecuațiilor pentru fundamentarea unei
metode de rezolvare
– Evidențierea unor soluții asociate unei ecuații liniare în cadrul unui sistem de ecuații
(de exemplu,observarea faptului că fiecare dintre ecuațiile unui sistem de ecuații
liniare are mai multe soluții)
– Compararea metodelor de rezolvare a unor sisteme de ecuații liniare
5.3. Analizarea unor situații practic e prin elemente de organizare a datelor
– Interpretarea unor informații extrase dintr -un tabel/listă/grafic
– Verificarea unor afirmații pe cazuri particulare prin construirea unor exemple și/sau
contraexemple
– Interpretarea reprezentării a două sau mai m ultor puncte într -un sistem de axe
ortogonale, din punct de vedere geometric sau din punct de vedere al fenomenului
asociat
5.4. Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea optimizării
calculării unor lungimi de
segmente, a unor măsuri de ungh iuri și a unor arii
– Rezolvarea unor probleme utilizând proprietățile paralelogramelor particulare și ale
trapezului
– Analizarea unor metode alternative de rezolvare a problemelor de geometrie
utilizând proprietăți ale patrulaterelor particulare
– Determ inarea axei/centrului de simetrie a/al unei figuri (intuitiv sau/și prin
demonstrație)
– Analizarea și construcția unor figuri cu simetrie axială sau centrală
– Deducerea formulei ariei unui paralelogram, folosind formula ariei dreptunghiului
– Deducerea f ormulei ariei unui triunghi, folosind formula ariei paralelogramului
5.5. Interpretarea unor proprietăți ale cercului și ale poligoanelor regulate
folosind reprezentări geometrice
– Stabilirea unor metode adecvate pentru construcția poligoanelor regulate
– Analizarea poziției relative a unei drepte față de un cerc în funcție de numărul
punctelor de intersecție dintre dreaptă și cerc
– Interpretarea unor proprietăți ale cercului și ale poligoanelor regulate în probleme
de mișcare
5.6. Interpretarea asemănă rii triunghiurilor în configurații geometrice
– Deducerea relației dintre raportul ariilor a două triunghiuri asemenea și raportul de
asemănare (folosind trecerea de la aplicații practice particulare – desene la scară,
spre generalizarea cu formulă)
– Discutarea, analizarea și compararea unor metode diferite de rezolvare a unei
probleme de asemănare a triunghiurilor
– Analizarea unor metode alternative de rezolvare a problemelor de geometrie
utilizând asemănarea triunghiurilor
5.7. Interpretarea unor relaț ii metrice între elementele unui triunghi dreptunghic
– Determinarea elementelor unui triunghi dreptunghic utilizând relațiile metrice și

Asemănarea triunghiurilor

64 trigonometrice studiate
– Utilizarea valorilor pentru sinus, cosinus, tangentă sau cotangentă din tabele
trigonometric e în rezolvarea unor probleme practice
– Utilizarea unor metode de calculare a ariei unui triunghi sau a unui patrulater
– Analizarea unor metode alternative de rezolvare a problemelor de geometrie
utilizând relații metrice și elemente de trigonometrie

6. Modelarea matematică a unei situații date, prin integrarea achizițiilor din diferite
domenii
Clasa a VII -a
6.1. Modelarea matematică a unor situații practice care implică operații cu
numere reale
– Formularea de probleme pornind de la un set de informaț ii obținute din cotidian sau
din diverse domenii
– Verificarea validității unor afirmații pe cazuri particulare sau prin construirea unor
exemple și/sau contraexemple
– Rezolvarea unor probleme cu conținut practic, utilizând proprietățile operațiilor cu
numere reale
6.2. Transpunerea matematică a unor situații date, utilizând ecuații și/sau sisteme
de ecuații liniare
– Transpunerea relațiilor cuprinse într -o situație dată sub formă de ecuații
– Rezolvarea unor probleme având conținut practic, utilizând ecu ații sau sisteme de
ecuații liniare
– Utilizarea estimărilor pentru încadrarea într -un ordin de mărime a soluției unei
ecuații
6.3. Transpunerea unei situații date într -o reprezentare adecvată (text, formulă,
diagramă, grafic)
– Construirea și interpretar ea unor diagrame cu date din situații practice
– Determinarea unor mulțimi finite atunci când se cunoaște reprezentarea geometrică
a produsului lor cartezian
– Rezolvarea unor probleme simple de geometrie pornind de la reprezentarea
punctelor într -un siste m de axe ortogonale
6.4. Modelarea unor situații date prin reprezentări geometrice cu patrulatere
– Analizarea unei situații practice care necesită aplicarea proprietăților patrulaterelor
particulare studiate
– Observarea diferenței dintre condițiile nece sare și cele suficiente pentru ca un
paralelogram să fie un paralelogram particular
– Estimarea perimetrului unui poligon sau a ariei unui poligon prin descompunere în
figuri cunoscute
6.5. Modelarea matematică a unor situații practice în care intervin po ligoane
regulate sau cercuri
– Analizarea unor situații practice care necesită folosirea proprietăților cercului sau
ale poligoanelor
– Optimizarea metodelor de rezolvare a unor probleme de geometrie utilizând
proprietăți ale cercului sau ale poligoanelor
– Observarea diferenței dintre condițiile necesare și cele suficiente în contexte
geometrice referitoare la cerc
6.6. Implementarea unei strategii pentru rezolvarea unor situații date, utilizând

Asemănarea triunghiurilor

65 asemănarea triunghiurilor
– Analizarea prin activități de gr up sau individuale a unor situații care necesită
folosirea asemănării, de exemplu realizarea schiței clădirii școlii
– Justificarea, prin exemple, contraexemple sau demonstrații, a unui demers sau
rezultat matematic obținut în contextul asemănării triunghi urilor
– Folosirea unor metode standardizate sau nestandardizate care permit modelarea
matematică a unor situații practice, de exemplu estimarea distanței până la un obiect
inaccesibil
6.7. Implementarea unei strategii pentru rezolvarea unor situații date , utilizând
relații metrice în triunghiul dreptunghic
– Analizarea prin activități de grup sau individuale a unor situații care necesită
folosirea relațiilor metrice în triunghiul dreptunghic
– Compararea diferitelor metode utilizate în rezolvarea unor pro bleme referitoare la
relații metrice într -un triunghi dreptunghic
– Rezolvarea unor probleme prin estimarea unor mărimi din situații practice, folosind
triunghiul dreptunghic (de exemplu, verificarea faptului că un dulap așezat în poziție
orizontală poate fi ridicat în poziție verticală, în condițiile unei camere de înălțime
dată)

Conținuturi

Domenii de
conținut Conținuturi
Mulțimi.
Numere 1. MULȚIMEA NUMERELOR REALE
 Rădăcina pătrată a pătratului unui număr natural; estimarea
rădăcinii pătrate dintr -un număr rațional
 Scoaterea factorilor de sub radical; introducerea factorilor sub
radical
 Numere iraționale, exemple; mulțimea numerelor reale;
incluziunile ℕ ⊂ ℤ⊂ℚ⊂ℝ ; modulul unui număr real (definiție,
proprietăți)1; compararea și ordonarea numerelor rea le;
reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor prin aproximări
Operații cu numere reale (adunare, scădere, înmulțire, împărțire, puteri cu
exponent număr întreg); raționalizarea numitorului de forma

 Media aritmetică ponderată a n numere reale, n ≥ 2 ; media
geometrică a două numere reale pozitive
 Ecuația de forma x2 = a , unde a∈ℝ
Algebră 2. ECUAȚII ȘI SISTEME DE ECUAȚII LINIARE
 Transformarea unei egalități într -o egalitate echivalentă;
identități
 Ecuații de forma ax + b = 0 , unde a, b∈ℝ ; mulțim ea soluțiilor
unei ecuații; ecuații echivalente
 Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute; rezolvare

Asemănarea triunghiurilor

66 prin metoda substituției și/sau prin metoda reducerii
 Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor sau a sistemelor
de ecuații liniare
Organi zarea
datelor 3. ELEMENTE DE ORGANIZARE A DATELOR
 Produsul cartezian a două mulțimi nevide; sistem de axe
ortogonale în plan; reprezentarea într -un sistem de axe ortogonale a
unor perechi de numere reale; reprezentarea punctelor într-un sistem
de axe orto gonale; distanța dintre două puncte din plan
 Reprezentarea și interpretarea unor dependențe funcționale prin
tabele, diagrame și grafice; poligonul frecvențelor
Geometrie 4. PATRULATERUL
 Patrulaterul convex; suma măsurilor unghiurilor unui patrulater
convex
 Paralelogramul: proprietăți; aplicații în geometria triunghiului:
linie mijlocie în triunghi, centrul de greutate al unui triunghi
 Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat; proprietăți
 Trapezul, clasificare, proprietăți; linia mijlocie î n trapez;
trapezul isoscel, proprietăți
 Perimetre și arii: paralelogram, paralelograme particulare,
triunghi, trapez
5. CERCUL
 Unghi înscris în cerc; coarde și arce în cerc, proprietăți: la arce
congruente corespund coarde congruente și reciproc, diamet rul
perpendicular pe o coardă, arce cuprinse între coarde paralele,
coarde egal depărtate de centru; tangente dintr -un punct exterior la
un cerc
 Poligoane regulate înscrise într -un cerc (construcție, măsuri de
unghiuri)
 Lungimea cercului și aria discului
6. ASEMĂNAREA TRIUNGHIURILOR
 Segmente proporționale; teorema paralelelor echidistante (fără
demonstrație)
 Teorema lui Thales (fără demonstrație); reciproca teoremei lui
Thales; împărțirea unui segment în părți proporționale cu numere
(segmente) date
 Triunghiuri asemenea; criterii de asemănare a triunghiurilor;
teorema fundamentală a asemănării, aplicații: raportul ariilor a două
triunghiuri asemenea, aproximarea în situații practice a distanțelor
folosind asemănarea
7. RELAȚII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC
 Proiecții ortogonale pe o dreaptă; teorema înălțimii; teorema
catetei
 Teorema lui Pitagora; reciproca teoremei lui Pitagora
 Noțiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghic: sinusul,
cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit
 Rezolvarea triunghiului dreptunghic; aplicații: calculul
elementelor (latură, apotemă, arie, perimetru) în triunghiul
echilateral, în pătrat și în hexagonul regulat; aproximarea în situații

Asemănarea triunghiurilor

67 practice a distanțelor folosind relații metrice
Notă: Conținuturile vor fi abordate din perspectiva competențelor specifice. Activitățile de
învățare sugerate oferă o imagine posibilă privind contextele de formare/dezvoltare a
acestor competențe.

CLASA a VIII -a
Competențe specifice și exemple de activități de învățare
1. Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea
apar
Clasa a VIII -a
1.1. Recunoașterea apartenenței unui număr real la o mulțime
– Reprezentarea pe axa numerelor a intervalelor de numere reale
– Reprezentarea pe axa n umerelor a intervalelor făcând legătura între tipurile de
intervale și submulțimile dreptei
– Identificarea apartenenței unui element la o mulțime definită printr -o proprietate a
elementelor ei
1.2. Identificarea componentelor unei expresii algebrice
– Identificarea numerelor reprezentate prin litere în diferite contexte date
– Identificarea termenilor asemenea dintr -o expresie algebrică
– Recunoașterea unei formule de calcul prescurtat
– Identificarea ecuațiilor de tipul ax + b = 0 , unde a , b∈ℝ sau ax 2 + bx + c = 0 , unde
a∈ℝ* , b, c∈ℝ
1.3. Identificarea unor dependențe funcționale în diferite situații date
– Completarea unui șir numeric când regula de construire este dată explicit
– Determinarea unei reguli de construire a unui șir când se cunosc câțiva termeni
– Identificarea unor dependențe funcționale în diferite situații concrete
– Exprimarea unor dependențe funcționale în diverse forme (tabele, grafice, formule)
1.4. Identificarea unor figuri plane sau a unor elemente caracteristice acestora în
configurații spațiale date
– Identificarea, construcția, notarea și citirea unor drepte concurente/ paralele/
necoplanare în configurații spațiale, cu exemplificare și în realitatea înconjurătoare
– Identificarea, în configurații spațiale simple și în realita te, a pozițiilor relative ale
unei drepte față de un plan
– Identificarea pozițiilor relative a două plane în configurații spațiale simple și în
realitatea înconjurătoare
– Recunoașterea figurilor geometrice obținute în urma secționării unei piramide sau a
unei prisme cu un plan paralel cu baza
1.5. Identificarea corpurilor geometrice și a elementelor metrice necesare pentru
calcularea ariei sau a volumului acestora
– Identificarea și numirea corpurilor geometrice (cub; paralelipiped dreptunghic;
prisma dr eaptă cu baza:triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat; cilindru circular
drept; con circular drept) dintr -un set de corpuri date sau în cotidian
– Identificarea înălțimii în corpurile geometrice studiate
– Identificarea elementelor corpurilor geometr ice în configurații spațiale și pe

Asemănarea triunghiurilor

68 desfășurări (diagonale,vârfuri, muchii, fețe)
– Construirea, din diferite materiale, a corpurilor geometrice studiate

2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în
diverse surse informaționale
Clasa a VIII -a
2.1. Efectuarea unor operații cu intervale numerice reprezentate pe axa
numerelor sau cu mulțimi definite printr -o proprietate a elementelor ei
– Reprezentarea pe axa numerelor a intersecției a două intervale
– Reprezentar ea pe axa numerelor a reuniunii a două intervale cu intersecția nevidă
– Verificarea faptului că un număr este soluția unei inecuații
– Verificarea apartenenței unui obiect la o mulțime pe baza unei/unor proprietăți a/ale
elementelor acesteia
2.2. Aplicar ea unor reguli de calcul cu numere reale exprimate prin litere
– Efectuarea de calcule cu numere reale reprezentate prin litere (adunarea, scăderea,
înmulțirea,împărțirea, ridicarea la putere cu exponent număr întreg)
– Aplicarea directă a regulilor și a f ormulelor de calcul prescurtat în expresii
algebrice
– Calcularea valorii numerice a unei expresii algebrice prin atribuirea de valori
numerice variabilelor
– Verificarea faptului că un număr real este soluție a unei ecuații
2.3. Descrierea unei dependenț e funcționale într -o situație dată, folosind
diagrame, tabele sau formule
– Determinarea elementelor unei funcții (domeniu de definiție, mulțimea în care
funcția ia valori, lege de corespondență)
– Corelarea elementelor unor funcții cu situații practice
– Sortarea și organizarea unor date după criterii de tip dependență funcțională
2.4. Reprezentarea, prin desen sau prin modele, a unor configurații spațiale date
– Reprezentarea prin desen sau prin modele a unor configurații spațiale în/din
contexte reale
– Utilizarea instrumentelor geometrice și a softurilor matematice pentru a desena
diferite configurații spațiale
– Utilizarea diferitelor mijloace didactice pentru a modela rezultate asociate relațiilor
de paralelism și perpendicularitate în spațiu
– Utiliz area convențiilor de notare și citire a configurațiilor spațiale
– Reprezentarea, prin desen, a proiecțiilor și a unghiurilor
– Clasificarea prismelor/piramidelor după forma bazei
– Construirea înălțimii unei prisme sau a unei piramide
2.5. Prelucrarea un or date caracteristice ale corpurilor geometrice studiate în
vederea calculării unor elemente ale acestora
– Desfășurarea în plan a piramidei/prismei și caracterizarea figurilor plane obținute
– Alegerea celei mai potrivite unități de măsură pentru un anum it context
– Determinarea lungimii unui segment sau a măsurii unui unghi într -o situație
practică

3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice
Clasa a VIII -a
3.1. Utilizarea unor procedee matematice pentru operați i cu intervale și

Asemănarea triunghiurilor

69 rezolvarea inecuațiilor în ℝ
– Aproximarea numerelor reale pentru reprezentarea unor intervale
– Reprezentarea unui interval sub forme echivalente (notație, reprezentarea pe axa
numerelor)
– Transformarea unei inecuații într -o inecuație e chivalentă folosind proprietățile
relației de ordine
3.2. Utilizarea formulelor de calcul prescurtat și a unor algoritmi pentru
rezolvarea ecuațiilor și a inecuațiilor
– Amplificarea și simplificarea unui raport de numere reale reprezentate prin litere
– Efectuarea unor calcule care presupun utilizarea formulelor de calcul prescurtat
– Efectuarea unor calcule care urmăresc respectarea semnificației parantezelor și a
ordinii efectuării operațiilor cu numere reale reprezentate prin litere
3.3. Reprezentarea în diverse moduri a unor funcții cu scopul caracterizării
acestora
– Reprezentarea grafică a unor funcții numerice
– Determinarea unor puncte care aparțin graficului unei funcții numerice
– Determinarea intersecțiilor graficului unei funcții numerice cu a xele de coordonate
– Determinarea indicatorilor tendinței centrale a unui set de date
3.4. Folosirea unor proprietăți de paralelism sau perpendicularitate pentru
analizarea pozițiilor relative ale dreptelor și planelor
– Utilizarea măsurilor unghiurilor ș i a distanțelor pentru stabilirea pozițiilor relative
între drepte și/sau plane
– Determinarea paralelismului în spațiu, între drepte și/sau plane cu ajutorul
proprietăților relațiilor de paralelism și de perpendicularitate în configurații simple
– Determi narea perpendicularității în spațiu, între drepte și/sau plane cu ajutorul
proprietăților relațiilor de paralelism și de perpendicularitate în configurații simple
3.5. Alegerea metodei adecvate pentru calcularea unor caracteristici numerice ale
corpurilor geometrice
– Calcularea ariei laterale și a ariei totale ale unor corpuri geometrice (paralelipiped
dreptunghic, cub,prismă triunghiulară regulată, prismă patrulateră regulată,
piramidă triunghiulară regulată, piramidă patrulateră regulată, cilindru circu lar
drept, con circular drept), utilizând desfășurarea lor
– Calcularea ariilor și volumelor folosind decupări, descompuneri, pavaje, rețele
– Determinarea ariei laterale, a ariei totale și a volumului corpurilor geometrice
studiate prin aplicarea directă a formulelor de calcul

4. Exprimarea în limbajul specific matematicii a informațiilor, concluziilor și
demersurilor de rezolvare pentru o situație dată

Clasa a VIII -a
4.1. Folosirea terminologiei aferente noțiunilor de mulțime, de interval numeric și
de inecuații
– Utilizarea terminologiei specifice intervalelor de numere reale în contexte
interdisciplinare
– Rezolvarea unei inecuații de forma ax + b < c (≤) , unde a∈ℝ* , b, c∈ℝ
– Selectarea, dintr -o mulțime dată, a elementelor care verifică o condiție suplimentară
4.2. Exprimarea matematică a unor situații concrete prin calcul algebric
– Descrierea unei situații concrete utilizând expresii algebrice (de exemplu,

Asemănarea triunghiurilor

70 transpunerea în ecuație a datelor unei probleme)
– Precizarea mulțimii de definiție a unei expresii algebrice
– Determinarea soluțiilor unei ecuații de forma ax 2 + bx + c = 0 , unde a∈ℝ* , b, c∈ℝ
prin aplicarea formulelor de calcul prescurtat (formula pătratului sumei sau diferenței
și formula diferenței de pătrate)
4.3. Utilizarea unui limbaj specific pentru formularea unor opinii referitoare la
diferite dependențe funcționale
– Formularea unor presupuneri matematice despre o funcție/despre regula de
construire a unui șir
– Utilizarea unor exemple sau contraexemple pentru a susține un argument în
contextul funcțiilor
– Utilizarea unui limbaj specific pentru a interpreta un grafic sau o dependență
funcțională
– Ilustrarea grafică a indicatorilor tendinței centrale a unui set de date
4.4. Descrierea în limbaj matematic a elementelor unei configur ații geometrice
– Construirea unor configurații geometrice cu drepte și plane aflate în relații de
paralelism sau perpendicularitate
– Verificarea validității unor afirmații legate de pozițiile relative ale dreptelor și/sau
ale planelor prin exemple și con traexemple
– Identificarea și utilizarea axiomelor, teoremelor directe/reciproce pentru rezolvarea
de probleme în configurații spațiale simple
– Evidențierea unor aspecte particulare sau a unor aspecte ce pot fi generalizate,
referitoare la configurații spațiale
4.5. Utilizarea unor termeni și expresii specifice pentru descrierea proprietăților
figurilor și corpurilor geometrice
– Precizarea proiecțiilor pe un plan a unor puncte, drepte și segmente, în corpurile
geometrice studiate
– Calcularea, în corpuri le geometrice studiate, a distanței de la un punct la o
dreaptă/un plan
– Calcularea, în corpurile geometrice studiate, a lungimii proiecției unui segment pe
un plan

5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situații date

Clasa a VIII -a
5.1. Interpretarea unei situații date utilizând intervale și inecuații
– Rezolvarea unor inecuații de forma ax + b < 0 , (>, ≤, ≥) , unde a∈ℝ* , b∈ℝ
– Descrierea mulțimii soluțiilor unei probleme printr -o proprietate care le caracterizează

5.2. Interpretarea unei situații date utilizând calcul algebric
– Efectuarea unor calcule rapide utilizând formulele studiate, de exemplu

– Descompunerea în factori utilizând scoatere a factorului comun și/sau a formulelor de
calcul prescurtat – Restrângerea unei expresii algebrice utilizând formulele de calcul
prescurtat
– Rezolvarea de exerciții care pun în evidență avantajele utilizării unor formule de calcul – Rezolvarea de inecuații de
forma

Asemănarea triunghiurilor

71 prescurtat
5.3. Analizar ea unor funcții în context intra și interdisciplinar
– Determinarea coordonatelor punctului de intersecție a graficelor a două funcții și
interpretarea acestora ca soluție a unui sistem de două ecuații de gradul I cu două
necunoscute
– Determinarea unei fu ncții care îndeplinește condiții date
– Verificarea coliniarității a trei sau a mai multor puncte, cunoscând coordonatele lor
5.4. Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea descrierii unor
configurații spațiale și a calculării unor elemente metrice
– Argumentarea demersului de rezolvare a unei probleme de geometrie în spațiu
– Adecvarea reprezentărilor configurațiilor spațiale la cerințele problemelor, în vederea
optimizării rezolvării problemei
– Optimizarea rezolvării de probleme prin utili zarea instrumentelor interactive de
realizare a reprezentărilor geometrice (softuri matematice)
– Analizarea/interpretarea unor situații din realitatea înconjurătoare și transpunerea lor
în probleme de geometrie în spațiu
5.5. Analizarea condițiilor neces are pentru ca o configurație geometrică spațială să
verifice anumite cerințe date
– Calcularea măsurii unghiului a două plane în diverse configurații spațiale, inclusiv în
corpurile geometrice studiate
– Calcularea unor distanțe și măsuri de unghiuri pe fe țele sau în interiorul corpurilor:
distanța de la un vârf la o muchie sau la o diagonală a bazei, distanța de la un vârf al
bazei la o față laterală, distanța de la centrul bazei la o muchie sau o față laterală,
unghiul unei muchii cu o față laterală sau b ază, unghiul a două fețe ale unei piramide,
unghiul a două muchii ale unui corp studiat
– Determinarea unor elemente ale corpurilor geometrice când se cunosc aria laterală,
aria totală, volumul sau alte elemente ale acestora

6. Modelarea matematică a une i situații date, prin integrarea achizițiilor din diferite
domenii
Clasa a VIII -a
6.1. Rezolvarea unor situații date, utilizând intervale numerice sau inecuații
– Estimarea erorii unui calcul aproximativ cu numere reale
– Utilizarea de estimări pentru a c ompara/ordona numere reale în diferite contexte
– Modelarea unei situații concrete utilizând inecuații studiate
– Interpretarea soluțiilor unei inecuații în rezolvarea unor probleme concrete
6.2. Interpretarea matematică a unor probleme practice prin util izarea ecuațiilor
sau a formulelor de calcul prescurat
– Modelarea unei situații concrete utilizând ecuațiile studiate
– Folosirea formulelor de calcul prescurtat pentru modelarea unei situații date
– Interpretarea soluțiilor unei ecuații obținute în rezol varea unor probleme concrete
6.3. Modelarea cu ajutorul funcțiilor a unor fenomene din viața reală
– Rezolvarea unor probleme din cotidian cu ajutorul funcțiilor
– Interpretarea unor fenomene din cotidian descrise cu ajutorul funcțiilor
– Interpretarea un ei reprezentări grafice a indicatorilor tendinței centrale a unui set
de date
6.4. Modelarea unor situații practice în limbaj geometric, utilizând configurații
spațiale
– Formularea de ipoteze și de concluzii în probleme cu conținut practic legate de

Asemănarea triunghiurilor

72 proiecții pe plan a unor puncte, drepte, segmente
– Verificarea validității unor rezultate, în cazul înlocuirii unor părți din ipoteză cu
părți din concluzie
– Transpunerea unor situații date în limbajul specific geometriei, interpretarea
rezultatelor obținute și corelarea răspunsului geometric cu restricțiile impuse de
realitatea înconjurătoare
6.5. Interpretarea informațiilor referitoare la distanțe, arii și volume după
modelarea printr -o configurație spațială a unei situații date din cotidian
– Estimarea re zultatelor unor calcule referitoare la distanțe, măsuri de unghiuri, arii
și volume
– Rezolvarea unor probleme având conținut practic legate de proiecții de puncte,
drepte, segmente în corpurile geometrice studiate și în cotidian
– Argumentarea demersului de rezolvare a unei probleme de geometrie în spațiu

Conținuturi

Domenii de
conținut Conținuturi
Mulțimi.
Numere 1. INTERVALE DE NUMERE REALE. INECUAȚII ÎN ℝ
• Mulțimi definite printr -o proprietate comună a elementelor lor
• Intervale numerice și re prezentarea lor pe axa numerelor; intersecția
și reuniunea intervalelor
• Inecuații de forma ax + b ≥ 0 , (≤,<,>) , unde a, b∈ℝ
Algebră 2. CALCUL ALGEBRIC ÎN ℝ
• Operații cu numere reale reprezentate prin litere (adunare, scădere,
înmulțire, împărțire, ridicare la putere); reducerea termenilor asemenea
• Formule de calcul prescurtat

• Descompuneri în factori utilizând reguli de calcul în ℝ (factor
comun, grupare de termeni, formule de calcul prescurtat)
• Fracții algebrice; operații cu acestea (adunare , scădere, înmulțire,
împărțire, ridicare la putere)
• Ecuații de forma ax2 + bx + c = 0 , unde a, b, c∈ℝ
Funcții.
Organizarea
datelor și
probabilități 3. FUNCȚII
• Funcții definite pe mulțimi finite, exprimate cu ajutorul unor
diagrame, tabele, formule; graficul unei funcții, reprezentarea
geometrică a graficului unor funcții numerice
• Funcții de forma f :D→ℝ , f ( x) = ax + b , unde a și b sunt numere
reale și D este o mulțime finită de numere reale sau un interval
nedegenerat; interpretare geometrică; lecturi grafice
• Elemente de statistică: indicatorii tendinței centrale (frecvență,
medie, mediană, mod și amplitudine a unui set de date)

Asemănarea triunghiurilor

73 Geometrie 4. ELEMENTE ALE GEOMETRIEI ÎN SPAȚIU
• Puncte, drepte, plane: convenții de notare, reprezentări, determin area
dreptei, determinarea planului, relații între puncte, drepte și plane
• Corpuri geometrice: piramida, piramida regulată, tetraedrul regulat;
prismă dreaptă, paralelipiped dreptunghic, cub; cilindru circular drept;
con circular drept; reprezentare, elemente caracteristice, desfășurări
• Paralelism: drepte paralele, unghiul a două drepte, dreaptă paralelă cu
un plan, plane paralele, aplicații: secțiuni paralele cu baza în corpurile
geometrice studiate; trunchiul de piramidă și trunchiul de con circular
drept (descriere și reprezentare)
• Perpendicularitate: drepte perpendiculare, dreaptă perpendiculară pe
un plan, aplicații: înălțimea unei piramide, înălțimea unui con circular
drept, distanța dintre două plane paralele, înălțimea prismei drepte, a
paralel ipipedului dreptunghic, a cilindrului circular drept, a trunchiului
de piramidă/con circular drept; plane perpendiculare, aplicații: secțiuni
diagonale, secțiuni axiale în corpurile studiate
• Proiecții de puncte, de segmente și de drepte pe un plan; unghi ul
dintre o dreaptă și un plan, aplicație: lungimea proiecției unui segment;
unghi diedru, unghi plan corespunzător diedrului; unghiul a două
plane; plane perpendiculare
• Teorema celor trei perpendiculare; calculul distanței de la un punct la
o dreaptă; c alculul distanței de la un punct la un plan; calculul distanței
dintre două plane paralele
5. ARII ȘI VOLUME ALE UNOR CORPURI GEOMETRICE
• Distanțe și măsuri de unghiuri pe fețele sau în interiorul corpurilor
geometrice studiate (determinare prin calcul)
• Arii și volume ale unor corpuri geometrice: piramidă regulată (cu
baza triunghi echilateral, pătrat sau hexagon regulat), prismă dreaptă
(cu baza triunghi echilateral, pătrat sau hexagon regulat), paralelipiped
dreptunghic, cub, cilindru circular drept, con circular drept, trunchi de
piramidă regulată, trunchi de con circular drept
• Sfera: arie, volum

Notă: Conținuturile vor fi abordate din perspectiva competențelor specifice. Activitățile de
învățare sugerateoferă o imagine posibilă privind contextel e de formare/dezvoltare a
acestor competențe .

6.2 Lecția – forma de bază a organizării procesului de învățământ.
Tipuri de lecții. Proiecte didactice

Proiectul de activitate cuprinde o articulare ideatică, scriptică a mai multor elemente
componen te, ce sunt repartizate, de regulă, în două părți:

Asemănarea triunghiurilor

74 – Partea introductivă – informații din care se deduc coordonatele activității: obiectul de
învățământ, subiectul / tema activității, data, ora, clasa, propunător, obiectivul
fundamental, categoria de lecț ie;
– Partea ce vizează desfășurarea propriu – zisă a activității – obiectivele operaționale,
conținuturi, situații / activități de învățare, strategii didactice, evaluare.

Nu există un model unic, absolut, pentru derularea activității. Se pot structura modele
diferite de desfășurare a activităților, în funcție de obiective, conținuturi, activități, locuri
de desfășurare a activității, mod de organizare a elevilor.
Cuvântul lecție își are originea în termenul grecesc lectio care înseamnă a citi cu glas
tare, audia, a lectura, a medita.
– În funcție de criteriul organizatoric lecția este forma de activitate care se desfășoară
în clasă, sub conducerea cadrului didactic, într -un interval de timp precis determinat, pe
baza cerințelor cuprinse în programa șc olară și potrivit orarului școlar.
– Din punctul de vedere al conținutului, lecția este un sistem de idei articulate logic și
didactic, în conformitate cu cerințele psihopedagogice referitoare la predarea – asimilarea
cunoștințelor, la aplicarea lor, la ve rificarea, evaluarea și notarea rezultatelor, ea reprezintă
o unitate logică, didactică și psihologică.
– Din perspectiva sistemică lecția reprezintă un program didactic unitar, un sistem de
cunoștințe, abilități intelectuale sau practice, obiective opera ționale, resurse materiale și
metodologice menite să activizeze elevii.

Lecția rămâne modalitatea principală de organizare a activității didactice, prin
intermediul căreia se realizează în același timp informare și formare, instruire și educare.
Atribut ele unei lecții moderne:
 dialog între profesor și elev;
 program didactic propus în vederea activizării elevilor;
 diversitate de structuri ale lecțiilor desfășurate.
Printre virtuțile pe care le deține lecția comparativ cu alte forme de organizare a
procesului de învățământ, amintesc: asigură un cadru organizatoric adecvat pentru
derularea procesului instructiv – educativ; facilitează însușirea sistemică a bazelor

Asemănarea triunghiurilor

75 științelor, a sistemului de cunoștințe și abilități fundamentale ale acestora; contribuie l a
formarea și modelarea capacității de aplicare în practică a cunoștințelor teoretice însușite
de elevi; activitățile desfășurate de elevi în timpul lecției sprijină formarea unei atitudini
pozitive față de învățare; contribuie la dezvoltarea forțelor cogn itive, imaginative și de
creație prin angajarea elevilor în lecție, în eforturi intelectuale și motrice de lungă durată;
oferă elevilor oportunitatea de a -și exersa capacitățile intelectuale, motrice și afective, de
a-și forma, consolida sentimente, convin geri, atitudini, trăsături pozitive de caracter, forme
adecvate de comportament.
Taxonomia lecțiilor este o operație orientativă, flexibilă, se recomandă renunțarea la
abordarea lecției în sine, în mod izolat, trebuind considerată ca element component al unui
sistem. Taxonomia lecțiilor este un reper pentru elaborarea strategiei didactice și nu o
operație formală. Obiectivul fundamental este reperul constant în stabilirea categoriilor de
lecții. În această clasificare intervin și alți factori variabili car e se pot combina în diferite
moduri, rezultând mai multe variante.
Lecțiile urmăresc realizarea tuturor obiectivelor instructiv – educative ale procesului
de învățământ. Lecțiile nu pot fi privite izolat, ca elemente care se alătură unul altuia într -o
înșiruire liniară. Există pârghii în demersul mintal și acțional parcurs de profesor și elevi în
proiectarea și desfășurarea lecțiilor sau a sistemului de lecții. Se poate deduce strategia de
proiectare și realizare a activităților, pași principali care trebu ie și pot fi respectați în
organizarea și desfășurarea acestora.
Lecția este forma fundamentală de organizare a procesului de învățământ în care se
desfășoară activitatea elevilor sub conducerea cadrului didactic într -o unitate de timp
delimitată.
Lecția este concepută drept o entitate didactică de sine stătătoare, „ o celulă ” care stă la
baza procesului de învățământ și conține toate elementele și caracteristicile acestuia.
Abordată dintr -o perspectivă sistemică, lecția prezintă trei categorii de variabil e (I.
Cerghit):
 funcționale (scop, obiective);
 structurale (resurse umane și materiale, conținut, metode, mijloace, forme de
grupare a elevilor, timp, spațiu școlar);
 operaționale (desfășurarea practică: strategii de instruire și evaluare).

Asemănarea triunghiurilor

76 Lecția se d esfășoară într -o succesiune de etape, care -i conferă o anumită structură.
Tipul de lecție se referă la structura comună a lecțiilor care urmăresc aceleași finalități.
Tipul de lecție se stabilește în funcție de obiectivul general al lecției.
Fiecărui tip îi este proprie o anumită structură generală. Această structură nu este
obligatorie și rigidă. Tipurile de lecții se regăsesc în realitate în practica școlară sub forma
unor variante concrete. Constituirea variantelor de lecții este determinată de specific ul
obiectului de învățământ, particularitățile elevilor, condițiile materiale locale, competențele
cadrului didactic.
Literatura de specialitate evidențiază avantajele acestei forme de organizare a intruirii:
 este o formă mai comodă de organizare și desf ășurare ale activității pentru
profesor, beneficiază astfel, de un suport teoretic mai consistent decât alte modalități de
organizare a activității didactice; poate fi condusă cu mai multă siguranță chiar de către
cadrele didactice cu mai puțină experiență ; dispune de instrumente de evaluare verificate,
mai sigure și mai eficiente;
 comportă economicitate, programele școlare foarte încărcate impunând
desfășurarea activității sub formă de lecții, care imprimă instruirii un ritm alert și susținut
și permit pr ofesorilor și elevilor să parcurgă programa școlară; se impune spargerea
monotoniei lecției, prin proiectarea și desfășurarea creativă a lecției;
 conferă sistematicitate și continuitate procesului de instruire;
 impune o modernizare atât la nivelul obiect ivelor și al conținuturilor, prin
deschidere către experiența de viață a elevului, cât și la nivelul metodelor și al mijloacelor
de învățământ, devenind mai activă, implicându -l pe elev ca subiect al procesului de
formare.
Lecția, ca entitate didactică de bază, presupune o punere în act a unor evenimente sau
situații didactice, ce intercorelează și se potențează reciproc. Derularea evenimentelor
poate respecta o anumită ordine, care, dacă situația o impune, se poate reformula. Gagne și
Briggs scot în evide nță următoarele „momente”:
– captarea atenției elevilor prin stârnirea intereselor acestora;
– informarea cu privire la obiectivele de atins;
– reactualizarea și performarea unor capacități formate anterior;

Asemănarea triunghiurilor

77 – prezentarea elementelor de conținut specif ice;
– dirijarea învățării;
– obținerea performanței;
– asigurarea feedback -ului;
– evaluarea performanțelor obținute;
– consolidarea retenței și a capacității de transfer.
Lecția, în calitate de microsistem, captează și reconfigurează într -un mod sp ecific
toate componentele universului didactic: conținuturi, strategii, metodologii, modalități de
organizare, forme de evaluare, specificări relaționale, conformații psihosociale etc.
Calitatea acesteia depinde nu de fiecare element în parte luat se parat, ci de relevanța
elementelor prin raportare la context și modul de articulare la nivelul ansamblului didactic
creat.
Categoria / tipul de lecție desemnează un mod de concepere și realizare ale activității
de predare – învățare – evaluare, o unitate structurală și funcțională care se structurează
după diferite criterii: obiectivul central, disciplina de predat, treapta de învățământ.
Termenul „tip” provine de la grecescul „tipos”, care semnifică formă, caracter, aspect
dominant. Aceste criterii gener ează o structură de acțiuni și de relații flexibile, deschise, ce
permit adaptări și diversificări, din mers sau deliberate, în funcție de parametri variabili ce
definesc contextul intern și extern al intruirii (locul desfășurării acțiunii, particularități le
clasei de elevi, strategia metodologică și mijloacele de învățământ desfășurate în procesul
instruirii, statutul lecției în sistemul activității didactice, etc.).În realitate, orice tip de lecție
suportă o contextualizare și o materializare contextualiz ată, adaptată la cerințe și situații
diverse. Variabilele procesului de instruire determină variante ale tipului de bază pentru
fiecare categorie / tip de lecție.
Principalele categorii / tipuri de lecție sunt:
– Lecția mixtă;
– Lecția de comunicare / î nsușire de noi cunoștințe;
– Lecția de formare de priceperi și deprinderi;
– Lecția de fixare și sistematizare;
– Lecția de verificare și apreciere ale rezultatelor școlare.

Asemănarea triunghiurilor

78 Lecția mixtă : vizează realizarea, în măsură aproximativ egală, a mai multor sc opuri
sau sarcini didactice: comunicare, sistematizare, fixare, verificare. Este tipul de lecție cel
mai frecvent întâlnit în practica educativă, îndeosebi la clasele mici, datorită diversității
activităților implicate și sarcinilor multiple pe care le joa că.
Structura relativă a lecției mixte:
• moment organizatoric;
• verificarea conținuturilor insușite: verificarea temei; verificarea cunoștințelor,
deprinderilor, priceperilor dobândite de elev;
• pregătirea elevilor pentru receptarea noilor cunoștinț e (se realizează, de obicei,
printr -o conversație introductivă, în care sunt actualizate cunoștințe dobândite anterior de
elevi, relevante pentru noua temă, prin prezentarea unor situații – problemă, pentru
depășirea cărora sunt necesare cunoștințe noi, et c.);
• precizarea titlului și a obiectivelor: profesorul trebuie să comunice elevilor,
într-o formă accesibilă, ce așteaptă de la ei la sfârșitul activității;
• comunicarea / însușirea noilor cunoștințe, printr -o strategie metodică adaptată
obiectivelor , conținutului temei și elevilor și prin utilizarea acelor mijloace de învățământ
care pot facilita și eficientiza realizarea acestei sarcini didactice;
• fixarea și sitematizarea conținuturilor predate prin repetare și exerciții aplicative
• explicații pentru continuarea învățării acasă și pentru realizarea temei.
Lecția de comunicare / însușire de noi cunoștințe
Acest tip de lecție are un obiectiv didactic fundamental: însușirea de cunoștințe (și, pe
baza acestora, dezvoltarea unor capacități și atitu dini intelectuale), dar prezintă o structură
mixtă, îndeosebi la clasele mici. Când obiectivul didactic fundamental al lecției îl
constituie însușirea unor noi cunoștințe, celelalte etape corespunzătoare tipului mixt sunt
prezente, dar au o pondere mult ma i mică; ponderea celorlalte etape este determinată de
vârsta elevilor: la clasele mari, lecția de comunicare tinde chiar către o structură
monostadială.
Variantele lecției de comunicare – însușire de noi cunoștințe se conturează pe baza
unor variabile, pr ecum:
– locul temei într -un ansamblu mai larg al conținutului;
– strategia didactică elaborată de profesor în funcție de particularitățile de vârstă și
nivelul pregătirii elevilor, etc.
Cele mai cunoscute variante ale acestui tip de lecție sunt:

Asemănarea triunghiurilor

79 – lecția introductivă: are rolul de a oferi o imagine de ansamblu asupra unei discipline
sau a unui capitol și de a -i sensibiliza pe elevi în scopul eficientizării receptării noilor
conținuturi;
– lecția prelegere, practicabilă doar la clasele liceale terminale , când conținutul de
predat e vast, iar puterea de receptare a elevilor e foarte mare;
– lecția seminar: presupune dezbaterea unui subiect în timpul orei pe baza studiului
prelabil de către elevi a unor materiale informative; se realizează la clasele mai mari, când
nivelul de pregătire și interesul elevilor pentru disciplină sunt ridicate;
– lecția programată, concepută pe baza manualului sau textului programat sau pe baza
unor programe de învățare computerizate etc.
Structura generală a acestui tip de l ecție este următoarea:
 momentul organizatoric prezent în orice lecție și prin care se asigură condițiile
unei bune desfășurări a lecției;
 pregătirea pentru tema nouă care constă în actualizarea, de regulă prin conversație,
a unor cunoștințe anterioare, n ecesare noii învățări;
 anunțarea subiectului (titlului) și a obiectivelor lecției, acestea din urmă vor fi
prezentate într -o formă accesibilă în vederea motivării și cointeresării lor pe parcursul
lecției;
 transmiterea cunoștințelor, este etapa de bază a lecției, care ocupă cea mai mare
parte a timpului. Prin strategii specifice, profesorul prezintă noul conținut și dirijează
învățarea elevilor, asigurând o participare activă a acestora până la obținerea performanței
vizate;
 fixarea cunoștințelor, care s e poate realiza prin conversații sau aplicații practice;
 anunțarea și explicarea temei pentru acasă.

Lecția de formare de priceperi și deprinderi, specifice unor domenii de activitate
diverse: desen, muzică, abilități practice, educație fizică, literatu ră etc.
Structura orientativă a acestui tip de lecție:
 moment organizatoric, care capătă o importanță sporită în cazul în care exersarea
se bazează pe utilizarea unor mijloace de învățământ specifice (atelier, laborator);
 precizarea temei și a obiective lor activității;
 actualizarea / prezentarea, prin explicații sau conversație, a unor cunoștințe, ce
reprezintă suportul teoretic al exersării;

Asemănarea triunghiurilor

80  explicarea și demonstrarea modelului acțiunii de executat, realizate de regulă de
cadrul didactic, în vederea f ormării la elevi a modelului intern al acțiunii respective;
 exersarea propriu – zisă, care se realizează mai întâi sub îndrumarea cadrului
didactic și apoi independent, sub forma unor exerciții variate, dozate și gradate;
 evaluarea rezultatelor obținute.
Acest tip de lecție se întâlnește la o varietate de obiecte de învățământ care au ca
obiectiv formarea și exersarea deprinderilor intelectuale (matematică, gramatică),
deprinderilor motorii (educație fizică, tehnologică, lucrări de atelier) sau capacităț ilor
creatoare (muzică, desen, compunere).
Adesea deprinderile nu pot fi formate într -o singură lecție, exersarea lor realizându -se
pe parcursul mai multor ore, care se pot desfășura chiar succesiv, în aceeași zi.
Variante ale sale sunt: lecția în atelie r, lecția în laborator, lecția de rezolvare de
probleme, lecția de educație fizică, lecția – excursie, etc.
Lecția de fixare și sistematizare vizează consolidarea cunoștințelor însușite, dar și
aprofundarea lor și completarea unor lacune. Se realizează pr in recapitulare; recapitularea
nu înseamnă reluarea într -o formă identică a unităților de conținut însușite anterior.
Condiția de bază a eficientizării acestui tip de lecție o constituie redimensionarea
conținuturilor în jurul unor idei cu valoare cogniti vă relevantă, astfel încât elevii să fie
capabili de conexiuni care să permită explicații din ce în ce mai complete și de aplicații
optime și operative în contexte din ce în ce mai largi ale cunoașterii.
Structura orientativă a acestui tip de lecție:
 precizarea conținutului, a obiectivelor și a unui plan de recapitulare; este de dorit
ca această etapă să se realizeze în doi timpi: înaintea desfășurării propriu – zisă a orei, apoi
la începutul orei sau orelor de recapitulare;
 recapitularea conținutului de bază a planului stabilit: această etapă e destinată
clarificării și eliminării confuziilor constatate de cadrul didactic, stabilirii unor conexiuni
prin lărgirea contextului parcurs și realizării unor scheme sau sinteze care să pună în relație
tot ceea ce reprezintă esențialul la nivelul conținutului analizat;
 realizarea de către elevi a unor lucrări pe baza cunoștințelor recapitulate; în cazul
lecțiilor de consolidare de deprinderi, această etapă ocupă ponderea cea mai mare în
structură lecției și se con cretizează, în funcție de specificul disciplinei, prin: rezolvare de

Asemănarea triunghiurilor

81 exerciții și probleme, analize gramaticale, analize literare, realizarea unor lucrări având
caracter tehnic, etc.
 aprecierea activității elevilor;
 precizarea și explicarea temei.
În fu ncție de întinderea conținutului supus recapitulării (o temă, un capitol, materia
unui semestru sau a unui an școlar) se propun câteva dintre variantele posibile ale acestui
tip de lecție: lecția de repetare curentă; lecția de recapitulare pe baza unui pla n dat sau
alcătuit împreună cu elevii, se realizează la sfârșitul unor capitole sau teme mari din
programă; lecția de sinteză. Pornind de la metodele sau mijloacele utilizate în desfășurarea
lecției, variantele menționate pot conduce la noi variante: lecți e de recapitulare sau de
sinteză pe bază de exerciții aplicative (atunci când se urmărește consolidarea unor
deprinderi), lecția de recapitulare cu ajutorul textului programat sau al unor programe
recapitulative computerizate; lecția recapitulativă pe bază de fișe (concepute în funcție de
nivelul dezvoltării intelectuale și al pregătirii și de ritmul de lucru al fiecărui elev) etc.

Lecția de verificare și apreciere a rezultatelor școlare urmărește constatarea nivelului
de pregătire a elevilor, dar și actu alizarea și încadrarea cunoștințelor în noi cadre de
referință și semnificare, cu consecințe importante asupra viitoarelor trasee de învățare.
Structura relativă a acestui tip de lecție:
 precizarea conținutului ce urmează a fi verificat;
 verificarea con ținutului (în cazul verificării orale, această etapă poate constitui un
bun prilej pentru sistematizarea cunoștințelor, corectarea de confuzii, etc);
 aprecierea rezultatelor – dacă în cazul verificării orale sau practice aprecierea se
face la sfârșitul or ei, în cazul verificării scrise acest moment se va consuma în următoarea
întâlnire a cadrului didactic cu elevii;
 precizări privind modalitățile de completare a lacunelor și de corectare a greșelilor
și sugestii în legătură cu valorificarea conținuturilor actualizate în activitatea viitoare.
Variantele lecției de verificare și apreciere se stabilesc în funcție de metoda sau modul
de realizare a evaluării: lecția de evaluare orală; lecția de evaluare prin lucrări scrise; lecția
de evaluare prin lucrări pra ctice; lecția de evaluare cu ajutorul programelor computerizate.
Cum este firesc, tipologia lecției rămâne deschisă și permisivă la noi ipoteze și
asocieri. Clasificarea, ca și specificitatea fiecărui tip de lecție nu constituie un șablon, o

Asemănarea triunghiurilor

82 rețetă imuabi lă, dată o dată pentru totdeauna. Practica educativă însăși poate sugera sau
induce noi modalități de structurare a evenimentelor, de prefigurare a priorităților unei
lecții.
Toate tipurile de lecții sunt perfectibile în funcție de capacitatea lor de valo rificare
efectivă a timpului pedagogic disponibil, care presupune construirea unor situații de
instruire / învățare optime în raport cu condițiile externe în cadrul clasei de elevi.
Voi prezenta în continuare demersurile didactice întreprinse pentru preda rea-învățarea –
evaluarea noțiunilor din capitolul ,, Asemănarea triunghiurilor ″.
 lecția de fixare și sistematizare a cunoștințelor din unitatea de învățare curentă,
lecție mixtă în ceea ce privește strategia didactică folosită, în care am folosit atât metod e
didactice clasice, cât și moderne, activ -participative;
 lecția de verificare și apreciere a rezultatelor școlare, urmată de o interpretare a
rezultatelor obținute de elevi, de un plan remedial pentru ameliorarea rezultatelor școlare.

6.3Unitatea de în vățare – structură didactică deschisă.
Proiectul unității de învățare ,,Asemănarea triunghiurilor’’,
clasa a VII -a
În viziunea tradițională activitatea de proiectare didactică constă în simpla planificare
și eșalonare rigidă a timpului pe unități de instruire și, în paralel, în eșalonarea univocă a
materiei de studiat sub forma planului calendaristic, a sistemului de lecții, a planului
tematic, a proiectului de lecție – în funcție de așa – numitele „programe an alitice”.
În viziunea modernă, proiectarea didactică reprezintă o activitate complexă, un
ansamblu de procese și operații deliberative de anticipare a modului de desfășurare a
activității instructiv – educative, de fixare mentală a pașilor ce se vor parcur ge și a
relațiilor dintre aceștia.
Acțiunile de proiectare didactică nu se identifică cu cele de elaborare a planurilor de
activitate, ci sunt mult mai complexe. Ele constau în gândirea, anticiparea și prefigurarea
procesului instructiv – educativ, a strat egiilor de predare, învățare și evaluare, a modului
orientativ în care se va desfășura activitatea.
Se introduce sintagma de design instrucțional care presupune:
• a defini obiectivele învățării la unul sau mai multe niveluri;

Asemănarea triunghiurilor

83 • a sugera teme de activitate sus ceptibile să provoace învățarea în sensul dorit;
• a oferi posibilitatea de a alegere a metodelor și mijloacelor de predare și învățare;
• a presupune instrumente de control ale predării și învățării;
• a determina condițiile prelabile necesare unei activități d e învățare eficientă.

Unii autori avansează un algoritm procedural ce corelează patru întrebări esențiale, în
următoarea ordine: Ce voi face? Cu ce voi face? Cum voi face? Cum voi știi dacă ceea ce
trebuia făcut a fost făcut?
Răspunsurile la cele patru în trebări vor contura astfel etapele proiectării didactice.
Prima întrebare vizează obiectivele educaționale; a doua întrebare trimite către
resursele educaționale de care dispune sau trebuie să dispună profesorul; cea de -a treia
întrebare cere un răspun s corect privind stabilirea unei strategii educaționale coerente și
pertinente pentru atingera obiectivelor. Răspunsul la a patra întrebare pune problema
conturării unei metodologii de evaluare a eficienței activității desfășurate.
Proiectarea unității de învățare
O unitate de învățare constituie o structură didactică deschisă și flexibilă ce prezintă
urmatoarele caracteristici:
 determină formarea la elevi a unui comportament specific, generat prin integrarea
unor competențe specifice; 
 este unitară din punc t de vedere tematic; 
 se desfășoară în mod sistematic și continuu pe o perioadă de timp; 
 se finalizează prin evaluare1.

În vederea proiectării unității de învățare, profesorul trebuie să identifice elementele
necesare demersului didactic. Pentru aceasta, se vor parcurge următoarele etape:
1. identificarea obiectivelor/competentelor – (În ce scop voi face?);
2. selectarea conținuturilor – (Ce voi face?);
3. analiza resurselor sau a strategiilor didactice: metode de predare -învățare,
mijloace didactice, locul de desf ășurare a activității didactice, formele de organizare și
desfășurare a activității didactice, timp – (Cu ce voi face?);

1 Consiliul Național pentru Curriculum – Ghid Metodo logic pentru aplicarea programelor școlare,
Tehnologii, Liceu tehnologic, profil tehnic, Editat de Aramis Print, 2002.

Asemănarea triunghiurilor

84 4. determinarea activităților de învățare – (Cum voi face?);
5. stabilirea instrumentelor de evaluare – (Cât s -a realizat?).

Proiectul unit ății de învățare Asemănarea triunghiurilor
Conținuturi/Timp
alocat Competențe
specifice Activități de învățare Resurse Evaluare
▪Segmente
proporționale/1 oră
▪Teorema
paralelelor
echidistante/1 oră
▪Teorema lui
Thales/2 ore
▪Reciproca
teoremei lui
Thale s/1 oră
▪Ȋmpărțirea unui
segment ȋn părți
proporționale cu
numere date/1 oră
1.6
2.6
3.6
4.6
5.6
6.6 – Identificarea unor imagini care își
păstrează forma prin mărire sau
micșorare (de exemplu: zoom,
microscop)
– Recunoașterea proporționalității
lungimilo r unor segmente care
reprezintă laturi ale unor triunghiuri
– Determinarea lungimilor unor
segmente prin utilizarea teoremei
paralelelor echidistante, a teoremei
lui Thales sau a proporțiilor
derivate
– Calcularea lungimilor
segmentelor determinate de
diagonalele unui trapez pe linia
mijlocie
– Argumentarea alegerii între
teorema fundamentală a asemănării
și teorema lui Thales pentru
rezolvarea unor probleme specifice
– Stabilirea paralelismului unor
drepte utilizând reciproca teoremei
lui Thales
– Justific area, prin exemple,
contraexemple sau demonstrații, a
unui demers sau rezultat matematic
obținut în contextul asemănării
triunghiurilor
– Folosirea unor metode
standardizate sau nestandardizate
care permit modelarea matematică
a unor situații practice, de exemplu
estimarea distanței până la un
obiect inaccesibil Manual,
culegeri de
probleme
Fișe pentru
activitatea
din clasă
Fișe cu
exerciții
pentru
pregătire
individuală
Fișe de
evaluare
Conversația,
explicația
Exercițiul Chestionare
orală
Evaluare
frontală
Analiza
observațiilor
▪Evaluare
sumativă/1 oră
▪Activități
remediale sau de
progres/1 oră -test de evaluare -probă scrisă

Asemănarea triunghiurilor

85 ▪ Triunghiuri
asemenea/1 oră
▪ Teorema
fundamentală a
asemănării/2 ore
▪ Criterii de
asemănare a
triunghiu rilor/2 ore
▪Aplicații practice
ale asemănării
triunghiurilor/2 ore
1.6
2.6
3.6
4.6
5.6
6.6 – Identificarea unor imagini care își
păstrează forma prin mărire sau
micșorare (de exemplu: zoom,
microscop)
– Recunoașterea proporționalității
lungimilor unor se gmente care
reprezintă laturi ale unor triunghiuri
– Identificarea laturilor omoloage
ale unor triunghiuri asemenea
– Identificarea vârfurilor omoloage
ale unor triunghiuri asemenea
– Stabilirea relației de asemănare
între două triunghiuri utilizând
măsuri le unghiurilor
– Stabilirea relației de asemănare
între două triunghiuri utilizând
proporționalitatea laturilor
– Stabilirea relației de asemănare
între două triunghiuri utilizând
proporționalitatea a două perechi de
laturi și congruența unghiurilor
dintre ele
– Stabilirea relației de asemănare
între două triunghiuri prin aplicarea
teoremei fundamentale a
asemănării
– Determinarea lungimilor unor
segmente sau a măsurilor unor
unghiuri, utilizând asemănarea
triunghiurilor sau proprietățile
șirului de rapoart e egale
– Calcularea lungimilor unor
segmente în triunghi utilizând
teorema fundamentală a asemănării
– Calcularea lungimilor
segmentelor determinate de
diagonalele unui trapez pe linia
mijlocie
– Calcularea perimetrelor și ariilor a
două triunghiuri aseme nea, prin
utilizarea raportului de asemănare
– Argumentarea alegerii între
teorema fundamentală a asemănării
și teorema lui Thales pentru
rezolvarea unor probleme specifice
– Construcția cu ajutorul
instrumentelor geometrice a unor
configurații geometrice respectând
condiții date de asemănare
– Identificarea unor cazuri
particulare și evidențierea unor Manual,
culegeri de
probleme
Fișe pentru
activitatea
din clasă
Fișe cu
exerciții
pentru
pregătire
individuală
Fișe de
evaluare
Conversația,
explicația
Exercițiul Chestionare
orală
Evaluare
frontală
Analiza
observațiilo r

Asemănarea triunghiurilor

86 proprietăți referitoare la
asemănarea triunghiurilor
-Deducerea relației dintre raportul
ariilor a două triunghiuri asemenea
și raportul de asemănare (folosi nd
trecerea de la aplicații practice
particulare – desene la scară, spre
generalizarea cu formulă)
– Discutarea, analizarea și
compararea unor metode diferite de
rezolvare a unei probleme de
asemănare a triunghiurilor
– Analizarea unor metode
alternative d e rezolvare a
problemelor de geometrie utilizând
asemănarea triunghiurilor
– Analizarea prin activități de grup
sau individuale a unor situații care
necesită folosirea asemănării, de
exemplu realizarea schiței clădirii
școlii
– Justificarea, prin exemple,
contraexemple sau demonstrații, a
unui demers sau rezultat matematic
obținut în contextul asemănării
triunghiurilor
– Folosirea unor metode
standardizate sau nestandardizate
care permit modelarea matematică
a unor situații practice, de exemplu
estimarea di stanței până la un
obiect inaccesibil
▪Evaluare
sumativă/1 oră
▪Activități
remediale sau de
progres/1 oră -test de evaluare -probă scrisă
1.6. Identificarea triunghiurilor asemenea în configurații geometrice date
2.6. Stabilirea relației de asemănare între triungh iuri
3.6. Utilizarea asemănării triunghiurilor în configurații geometrice date pentru
determinarea de lungimi, măsuri și arii
4.6. Exprimarea în limbaj matematic a proprietăților unor figuri geometrice folosind
asemănarea
5.6. Interpretarea asemănării triu nghiurilor în configurații geometrice
6.6. Implementarea unei strategii pentru rezolvarea unor situații date, utilizând
asemănarea triunghiurilor

Asemănarea triunghiurilor

87 Lecția de fixare și sistematizare a cunoștințelor
PROIECT DIDACTIC
Unitatea de învățământ: Școala Gimnazială nr. 1 Lehliu Gară
Profesor : Ștefănesc -Gheorghe Janina
Data : 14 martie 2019
Clasa : a VII -a A
Disciplina : Matematică
Unitatea de învățare : Asemănarea triunghiurilor
Tema : Asemănarea triunghiurilor dreptunghice
Tipul lecției: Fixare si formare de priceperi s i deprinderi
Competențe generale / Competențe specifice
CG 1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de
contextul în care au fost definite;
C.S.1 -6 Recunoașterea și descrierea elementelor unui triunghi
dreptunghic într-o configurație geometrică dată;
CG 2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse
în enunțuri matematice;
C.S.2 -7 Aplicarea relațiilor metrice într -un triunghi dreptunghic pentru determinarea
unor elemente ale acestuia;
CG 3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea
locală sau globală a unei situații concrete;
C.S.3 -7 Deducerea relațiilor metrice într -un triunghi dreptunghic;
CG 4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau c alitative ale unei
situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora;
C.S.4 -6 Exprimarea, în limbaj matematic, a perpendicularității a două drepte prin
relații metrice.
Valori și atitudini

Asemănarea triunghiurilor

88  Dezvoltarea unei gândiri deschise și creative; dezvoltar ea inițiativei, independenței în
gândire și în acțiune pentru a avea disponibilitate de a aborda sarcini variate; 
 Manifestarea tenacității, perseverenței, capacității de concentrare și a atenției distributive; 
 Dezvoltarea spiritului de observație; 
 Dezvolta rea simțului estetic și critic, a capacității de a aprecia rigoarea, ordinea și
eleganța în arhitectura rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii; 
Formarea motivației pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viața
socială și pro fesională
Competențe derivate
La sfârșitul activității didactice, elevii vor atinge următoarele competențe:
a) Cognitive:
 Să utilizeze corect terminologia aferentă capitolului
 Să aplice modalitățile de calcul ale liniilor mijlocii
 Să aplice teoremele studiate în rezolvarea de probleme
 Să aplice proprietăți ale triunghiurilor asemenea
b) Afective:

c) Psihomotorii:
 Elevii să poată construi, folosind instrumentele de geometrie, figuri geometrice în
diverse configurații
 Elevii să fie capabili sa calculeze unghiuri/lung imi de segmente utilizând
asemanarea triunghiurilor
 Elevii să asocieze teoremele invatate cu situațiile concrete întâlnite, pentru a
rezolva probleme de ordin practic

Strategia didactică
a) Metode și procedee : învățarea asistată de calculator, învățarea prin descoperire,
conversația, exercițiul, problematizarea, munca independentă, explicația;
b) Mijloace de învățământ: videoproiector, fișe de lucru, material intuitext
,,Comoara tâlharilor, geometrie între joc și nota 10”;
c) Forme de organizare a activității: activitate frontală, activitate individuală.

Asemănarea triunghiurilor

89 d) Resurse și managementul timpului :
– capacități normale de învățare ale elevilor;
– cunoștințele lor anterioare;
– timpul de învățare: 50 minute
Modalități de evaluare
– evaluare prin observare sistematică a comporta mentului elevilor;
– evaluare formativă;
– autoevaluare;
– evaluare prin calificative și note.

Bibliografie
– Programe școlare pentru clasele V -VIII. Matematica, București, 2009;
– www. intuitext.ro / Comoara tâlharilor, geometrie între joc și nota 10;
– „Mate 2000 + , consolidare’’ , clasa a VII -a, Anton Negrilă, Maria Negrilă,
editura
– ,,Metodica predării matematicii’’ , Dan Brânzei, Roxana Brânzei, ed. Paralela
45, Pitești, 2008;
– Revista învǎțǎmântului preuniversitar , martie 2011, Editura Paralela 45 ;
– Orizont didact ic, revistǎ educaționalǎ, octombrie 2013.

Asemănarea triunghiurilor
90
DESFĂȘURAREA LECȚIEI
Etapele lecției T
i
m
p Activitatea profesorului Activitatea elevilor Metode Resurse Evaluarea
1.Moment
organizatoric
1’ Crează condițiile optime necesare
desfășurării eficiente a lecției de
matematica.
Organizez clasa pentru lecție, anunț
elevii că vom continua studiul
triunghiurilor asemenea Elevii iși pregătesc pe
bancă cărțile și caietele
de matematică. Conversația Catalogul clasei Notarea
absențelor
2.Verificarea
temei pentru
acasă 4’ Verifică modul de efectuare al temei de
acasă (frontal si individual).
În timp ce verific dacă elevii și -au făcut
tema, verific frontal urmatoarele
notiuni :
– definitia triunghiurilor asemenea
– teorema fundamentala a asemanarii
– criteriile de asemanar e
Prezintă caietele la
coltul băncii.
Răspund oral Conversația
explicația Caietele de temă
ale elevilor Frontala si
individuala
Rezolvarea temei la tabla .(dacă este
necesar)
Elevi rezolvă tema la
tabla si corectează in
caietul de teme
(exercițiile gr eșite) Activitate
practică
observarea
descoperirea Caietele de temă
ale elevilor
Tabla, creta
Ev. orala.
Ev. scrisa

Asemănarea triunghiurilor

91 3. Stimularea
actualizării
cunoștințelor
dobândite
anterior 7’ Calculați distanța dintre două persoane
situate într -un teren de o parte ș i de alta
a unui lac așa cum se vede în figura de
mai jos.
Elevi rezolvă tema la
tabla si in caietul de
teme Activitate
practică
exercițiul
Fișe
Ev. orala.
Ev. scrisa
4.Anuntarea
temei 3’

Anunț titlul lecției și obiectivele
urmărite.
Asemănarea triunghiurilor
dreptunghice
Criteriile de asemanare a triunghiurilor
dreptunghice în manual pag.178 Notează tema nouă în
caiete
U
CC
CI Expunerea,
explicația Tabla și creta oral
5.Dirijarea
învățării

8’

Arătați o modalitate de a afla înălțimea
cu ajutorul unui baț de o lungime mai
mare ca înălțimea omului. Elevi rezolvă tema la
tabla si in caietul de
teme Activitate
practică
exercițiul
observarea
descoperirea Tabla și creta
Fișe Frontala si
individuala

Ev. orala.
Ev. scrisa

Asemănarea triunghiurilor

92 8’

Se ține seama că la un moment dat al
unei zile (însorite) razele soarelui
formează cu terenul unghiuri
congruente.
Pentru a calcula înălțimea copacului ne
folosim de cazul de asemănare a
triunghiurilor (UU) și de un țăruș pe
care-l poziționăm în teren conform
figurii d e mai jos.
În prealabil se fac următoarele
măsurători: lungimea umbrei copacului
(a), lungimea țărușului (b) și lungimea
umbrei țărușului (c).

8’ Se cere determinarea adâncimii unei
fântâni, până la nivelul apei.
Exercițiul
observația,
conversația,
explicația fișa de lucru
Caietele de clasa
ale elevilor Observarea
sistematica a
elevilor

Evaluarea

Asemănarea triunghiurilor

93

individuala
6.Asigurarea
feed-back -ului
4’ Astăzi la lecție noi am aflat!
Elevii vor raspunde

Activitate
interactivă
Conversația
Explica ția
Exercițiul Fisa de lucru Evaluare
orala

7.tema pentru
acasă 2’ Voi face aprecieri asupra desfasurarii
lecției, asupra cunoștințelor elevilor.
Profesorul fixează tema pentru acasă a
elevilor
Prob 9 pag.179
Prob. 13 a pag. 180 Elevii fac aprecieri
critice asupra lecției. Conversația
explicația Manualul,
culegerea de
probleme Ev. finala

Asemănarea triunghiurilor
94
Fisa de lucru

1. In triunghiul ABC avem AB=12 cm, BC=10cm si AC=14 cm.Fie EF
P BC ,
F
(AB), E
 (AC) astfel incat AE=3 cm.Sa se calculeze lungimile laturilor triunghiului
AEF
2. Fie triunghiul ABC, EF
P BC, E
 (AB), F
 (AC) si M mijlocul [BC] ,
AM
 EF={P }.Sa se arate ca [EP]=[PF].
3. Triunghiul ABC are lungimile laturilor [AB],[BC], [AC], egale cu 2 cm, 3cm, 4cm
iar triunghiul A’B’C’ are A’B’=x cm si B’C’=(x+2 )cm.
a)Sa se determine x astfel incat
' ' 'ABC ABC :
b)Sa se calculeze perimetrul triu nghiului A’B’C’
4.Triunghiurile ABC si ABD sunt situate in acelasi plan si P
 (AB).Daca PM
P BC,
M
AC; PN
P BD, N
 AD Sa se arate ca :
)1
)1PN MCaBD AC
MP ADbBC AN
 g

5.In triunghiul ABC, M
 (AB), N
 (AC), MN
P BC.Completati tabelul urmator:
AB AC BC AM MB AN NC MN
5 6 7 2
9 2 4 4
16 32 9 10
5 1 4 3.2

Asemănarea triunghiurilor

95

Data: ……………………………………………………………..
Nume și prenume: …………………………………………..

TEST DE EVALUARE

SUBIECTUL I (30 puncte)
1. Definiți triunghiuri asemenea . 5 p
2. Enunțați teorema lui Thales . 5 p
3. Enunțați teorema fundamentală a asemănării . 5 p
4.Dacă triunghiul ABC asemenea cu triunghiul MNP cu măsura unghiului A=70 ° și unghiul
B=30° atunci măsura unghiului P este ….. ° . 5 p
5. Fie triunghiul ABC și E,F mijloacele laturilor AB și AC. Dacă BC=12 cm atunci
EF=……cm 5 p
6.În triunghiul MNP , E∈MN și F ∈MP .Dacă EFǁNP și MN=18 cm, EN=6 cm,FP=9 cm atunci
MP=….. . 5 p

SUBIECTUL II (40 puncte)
1. Alege răspunsul corect:
Urmăriți figura alăturată. MNBC, NPAB, AM = 4 cm, AN = 5 cm, MN = 6 cm, MB =
8 cm. Se cere să se afle lungimile segmentelor :
AC
a)8 cm b)12 cm c)15 cm d)18 cm 10 p
BC
a)8 cm b)12 cm c)15 cm d)18 cm 10 p
2. Se co nsideră triunghiul ABC, (AD bisectoarea unghiului A ,
D
BC .Se știe că AB= 9cm , AC=6cm, BC=10cm.
a)Aflați BD si CD 10 p
b)Dacă DE||AB ,
ACE , aflați perimetrul trapezului ABDE 10 p
SUBIECTUL III (20 punc te)
1. În figura alăturată aveți o configurație geometrică
formată din mai multe triunghiuri dreptunghice.
a) Alegeți două triunghiuri și arătați că sunt
triunghiuri asemenea. 5 p
b) Din asemănare a triunghiurilor BCG și GCD arătați că
GC = 60 cm. 5 p
c) Din asemănarea triunghiurilor BCG și BGD arătați
că BG = 100 cm. 5 p
d) Din asemănarea triunghiurilor BCG și BAF aflați lungimile lui AF și BF. 5 p

Asemănarea triunghiurilor

96 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
Timp de lucru: 50 de minute
TEST DE EVALUARE
BAREM DE EVALUARE ȘI NOTARE
SUBIECTUL I (30 p uncte)
1 Enunț corect 5 p
2 Enunț corect 5 p
3 Enunț corect 5 p
4 80° 5 p
5 6 cm 5 p
6 27 cm 5 p

SUBIECTUL al II -lea (40 puncte)
1 a. c) 15 cm 10 p
1 b. d) 18 10 p
2 a. Aplicarea corectă a teoremei bisectoarei 4 p
Înlocuire corectă 2 p
Finalizare 4 p
2 b. Aplicarea corectă a T.F.A. 4 p
Înlocuire corectă 2 p
Finalizare 4 p
SUBIECTUL al III -lea (40 puncte)
a) Găsirea corectă a triungh iurilor asemenea 5 p
b) Aplicarea corectă a teoremei 2 p
Finalizare GC=60 cm 3 p
c) Aplicarea corectă a teoremei 2 p
Finalizare G=100 c 3 p
d) Aplicarea corectă a teoremei 1 p
Calcul AF 2 p
Calcul BF 2 p
• Se acordă 10 pun cte din oficiu.
• Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim
corespunzător.

Asemănarea triunghiurilor

97
TEST DE EVALUARE

DESCRI EREA TESTULUI DE EVALUARE

Testul de evaluare propus pentru testarea finală a unității de învățare ,,Asemănarea
triunghiurilor” este structurat în trei părți:
 Partea I cuprinde 6 itemi semiobiectivi (3 cu răspuns scurt, 3 de completare). 30
puncte
– Itemii 1, 2, 3 sunt itemi semiobiectivi, cu răspuns scurt care verifică noțiunile de teorie 15 p
(3×5 p)
– Itemii 4, 5, 6 sunt itemi semiobiectivi de completare care vizează aplicarea teoremelor
verificate de itemii anteriori. 15 p (3×5 p)
 Partea a II -a cuprinde 4 itemi (2 itemi obiectivi, de tip alegere multiplă, cu un singur
răspuns corect) și 2 itemi semiobiectivi de tip întrebări structurate. 40 puncte
– Itemii 1 și 2 sunt itemi obiectivi, de tip alegere multiplă, care vizează aplicarea teoreme lor de
asemănare . 20 p (2×10 p)
– Itemii 3 și 4 sunt itemi semiobiectivi de tip întrebări structurate care urmăresc aplicarea
asemănării . 20 p (2×10 p)
 Partea a III -a cuprinde un item subiectiv de tip rezolvare de probleme. 20 puncte
– Itemul subiectiv de tip re zolvare de probleme cu 4 subcerințe, ceea ce vizează competențele
elevilor de a aplica noțiunile însușite. 20 p (4×5 p)
Timpul de lucru efectiv pentru testul de evaluare este de 50 de minute, iar punctajul maxim
acordat este de 90 de puncte, la care se ad augă 10 puncte din oficiu.
Instrumentul care conferă validitate testului de evaluare este matricea de specificații. Aceasta
realizează corespondența dintre competențele de evaluat (corespunzătoare nivelurilor
taxonomice) și conținuturile vizate din progra ma școlară. Competențele de evaluat se stabilesc
prin derivare din competențele generale și / sau din competențele specifice ale programei
școlare. Matricea de specificații este un instrument care certifică faptul că testul măsoară
competentele de evaluat propuse și că testul are validitate de conținut (liniile matricei
precizează conținuturile abordate, coloanele matricei conțin competențele de evaluat
corespunzătoare nivelurilor cognitive. Profesorul stabilește ponderea fiecărui conținut, ce
urmează a fi evaluat, în funcție de competențele de evaluat specificate în matrice.

Asemănarea triunghiurilor

98

MATRICEA DE SPECIFICAȚIE

Competențe de evaluat
Conținuturi C1 C2 C3 C4 C5 C6 Total
Triunghiuri asemenea I1
(5p) I4
(5p)
10p
Teorema lui Thales I2
(5p) I5
(5p)
10p
Teorema fundamentală a
asemănării I3
(5p) I6
(5p) I7
(10p) I8
(10p) I9
(10p) 40p
Teorema bisectoarei.
Criterii de asemănare I10
(10p)
10p
Segmente proporționale I11
(5p) I12
(5p) 10p
Rezolvarea triunghiurilor
asemenea I13
(5p) I14
(5p) 10p
TOTAL 15p 10p 10p 10p 25p 20p 90p

Asemănarea triunghiurilor

99
BORDEROU DE NOTARE

Nr.
Crt. Nume
Elev Sub I – 30 p Sub II – 40 p Sub III – 20 p Of
Total
Notă
1 2 3 4 5 6 1a 1b 2a 2b a b c d 10p
5p 5p 5p 5p 5p 5p 10p 10p 10p 10p 5p 5p 5p 5p
1 A.D. 5 0 5 5 5 5 10 10 6 6 0 0 0 0 10 67 7
2 B.C. 5 5 5 5 5 5 10 10 10 10 5 2 5 4 10 96 10
3 C.A. Absent
4 C.E. 5 5 5 5 5 5 10 10 10 10 5 5 5 5 10 100 10
5 C.M. 0 0 5 5 5 5 0 10 0 4 0 0 0 0 10 44 4
6 D.A. 0 0 5 5 5 5 10 10 4 4 0 0 0 0 10 58 6
7 D.I. 5 5 5 5 5 5 10 10 10 10 5 5 5 5 10 100 10
8 D.L. 5 0 5 5 5 5 10 0 0 4 0 0 0 0 10 49 5
9 G.C. 0 5 5 5 5 5 10 0 6 6 5 5 0 0 10 67 7
10 H.P. 5 0 5 5 0 5 0 0 4 0 0 0 0 0 10 34 3
11 I.C. 5 5 5 5 5 5 10 10 10 10 5 5 5 5 10 100 10
12 I.P. 5 0 5 5 5 5 10 0 6 6 5 5 0 0 10 67 7
13 M.A. 5 5 5 5 0 0 0 10 0 6 0 0 0 0 10 46 5
14 M.C. 0 0 5 5 5 5 10 10 10 6 5 5 0 0 10 76 8
15 M.D. 0 5 5 5 5 5 10 0 6 4 5 5 0 0 10 65 7
16 M.I. 5 0 5 5 5 5 10 10 10 10 0 0 5 0 10 80 8
17 M.M. 0 0 5 5 5 5 10 10 4 4 0 0 0 0 10 58 6
18 N.A. 5 0 5 5 5 0 10 10 6 10 5 5 0 0 10 76 8
19 O.A. 5 5 5 5 5 5 10 0 10 10 5 5 5 5 10 90 9
20 O.C. 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 25 3
21 O.M. Absent
22 P.C. 5 5 5 5 5 5 10 10 10 10 5 5 5 5 10 100 10
23 S.A. 0 0 5 5 5 5 10 0 6 10 0 0 0 0 10 56 6
24 S.D. 5 0 5 5 5 5 10 10 10 6 5 5 5 0 10 86 9
25 S.M. 0 5 5 5 5 5 10 0 6 10 5 5 0 0 10 71 7
26 T.C. 5 5 5 5 5 5 10 10 10 10 5 5 2 2 10 94 9
27 V.C. 5 0 5 5 5 5 10 10 0 10 5 5 0 0 10 75 8
MEDIA CLASEI 7,28

Asemănarea triunghiurilor

100
FIȘĂ DE EVALUARE

ȘCOALA GIMNAZIALĂ NR. 1 LEHLIU GA RĂ
DATA: 2 0.03.2019
OBIECTUL: Matematică
CLASA: a VII -a A
TIPUL EVALUĂRII: sumativă
NR. TOTAL ELEVI: 27 ELEVI PREZENȚI: 25
MEDIA CLASEI: 7,28

REALIZAREA ITEMILOR

Tabel 12. Analiza testului de evaluare. Realizarea itemilor

ITEM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Nr. elevi care l -au
realizat integral 17 12 25 24 22 22 21 16 10 12 15 14 8 5
Nr. elevi care l -au
realizat parțial 0 0 0 0 0 0 0 0 10 11 0 1 1 2
Nr. ele vi care nu
l-au realizat 8 13 0 1 3 3 4 9 5 2 10 10 16 18

Asemănarea triunghiurilor

101

APRECIEREA CU NOTE

Tabel 13. Test de evaluare. Aprecierea cu note

Nota 1-1,99 2-2,99 3-3,99 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99 10 Total

Nr. elevi 0 1 1 3 3 4 4 2 3 4 25

Calificativ Nesatisfăcător Satisfăcător Bine Foarte bine

Procente 0% 4% 4% 12% 12% 16% 16% 8% 12% 16% 100%

Asemănarea triunghiurilor

102 GREȘELI FRECVENTE

• Nu cunosc teoremele;
• Aplicarea greșită a teoreme lor asemănării ;
• Greșeli în calcularea rapoartelor ;
• Nu realizează desenul corespunzător datelor din problemă;

APRECIERILE PROFESORULUI ASUPRA REZULTATELOR ȘI PROPUNERI
PRIVIND RIDICAREA NIVELULUI DE PREGĂTIRE A ELEVILOR
Clasa a VII -a A – clasă de nivel bun, cei mai mulți elevi se încadrează la calificativele
Foarte bine – 7 elevi , Bine – 6 elevi , Satisfăcător – 7 și 5 elevi au obținut calificativul
Nesatisfăcător .
Propuneri privind ridicarea nivelului de pregătire a elevilor:
– aplicații ale teoremelor studiate;
– strategii didactice diferențiate, în funcție de necesitățile clasei;
– monitorizarea periodică a progresului elevilor.

Asemănarea triunghiurilor

103 CONCLUZIILE LUCRĂRII
Geometria, gimnastica minții, nu va fi niciodată înțeleasă, respectiv însuș ită,
dacă partea teoretică nu o poți aplica în probleme în a căror rezolvare să nu folosești
numai algortimi sau formule.
Amploarea activității de rezolvare a problemelor, ca și amplificarea acestei
activități, prin problematizarea teoriei, face necesară r aționalizarea ei: să câștigăm un
mod de a gândi prin care rezolvând efectiv un număr restrâns de probleme, să devenim
capabili de a rezolva mult mai multe din mulțimea celor cu o structură identică sau
înrudită, iar când întâlnim o problemă nouă, care nece sită o atitudine creatoare să ne
dăm seama ce înseamnă aceasta și să punem la lucru intuiția care ne conduce pe căile
cele mai favorabile spre reușită. ,,Cu intuiția descoperi, cu logica stabilești .” (J.
Hadamard)
Profesorul trebuie să dezvolte pe ,,a ști să faci” al elevilor săi, priceperea lor de
a folosi informația, abilitatea lor de a raționa. El trebuie să surprindă și să încurajeze
actvitatea creatoare.
În propunerea problemelor spre rezolvare elevilor, trebuie avute în vedere
valențele educative ale problemei, în funcție de care să se vadă dacă problema
respectivă merită sau nu oboseala. Problemele sunt infinit de multe, deci trebuie să
facem o alegere, respectiv o selecție formativă. Nu e suficientă clasificarea: grele,
ușoare. Problemele pe care le alegem pentru a le propune elevilor noștri spre rezolvare,
pot fi chiar grele; important este dacă sunt utile sau nu, dacă randamentul lor educativ
este proporțional cu efortul pe care îl impun. Mai este necesară și confruntarea
problemei cu specificul per sonalității elevului, eventual adaptarea enunțului la acest
specific; aceasta, în mod special, când este vorba de probleme suplimentare, respectiv
probleme deosebite.
Dincolo de importanța pe care o are tema abordată -,,Asemănarea
triunghiurilor ”- în studi ul geometriei în gimnaziu și în liceu, aplicabilitatea mare în
geometria plană, în geometria în spațiu, dar și în practică, lucrarea metodico -științifică a
constituit pentru mine un prilej de a studia noutățile apărute în domeniul didacticii
moderne și, ma i ales, prilej de a aplica aceste noutăți în activitățile didactice întreprinse,
fiind preocupat în permanență de adaptarea optimă a conținuturilor la particularitățile
individuale ale elevilor cu care lucrez, de alegerea acelor strategii didactice menite să
asigure calitatea actului didactic.

Asemănarea triunghiurilor

104 BIBLIOGRAFIE
1. Brânzei D. (1983). Geometrie circumstanțială. Iași: Editura Junimea.
2. Brânzei D., Brânzei R. (2008). Metodica predării matematicii. Pitești: Editura Paralela 45.
3. Cerghit I. (1983). Perfecționar ea lecției în școala modernă. București: Editura Didactică și
Pedagogică.
4. Cerghit, I. (2002). Sisteme de instruire alternative și complementare. Structuri, stiluri si
strategii. București: Aramis.
5. Consiliul Național pentru Curriculum (2002). Ghid M etodologic pentru aplicarea
programelor școlare, Tehnologii, Liceu tehnologic, profil tehnic, Editat de Aramis Print.
6. Craioveanu, M., Albu, I. D. (1982). Geometrie afină și euclidiană, Timișoara: Editura Facla.
7. Cristea S. (1997). Pedagogie pentru p regătirea examenelor de definitivare, grade didactice.
Pitești: Editura Hardiscom.
8. Cristea, S. (2002). Dicționar de pedagogie. Chișinău: Editura Litera Educațional.
9. Cucoș C (coord). (1998). Psihopedagogie pentru examenele de definitivare și grade
didactice. Iași: Editura Polirom.
10. Cucoș, C. (2006). Pedagogie. Iași: Polirom.
11. Ionescu, I., & Radu, M. (1995). Didactica modernă. Cluj -Napoca: Editura Dacia.
12. Lalescu T. (1958). Geometria triunghiului. București: Editura Tineretului.
13. Lupu C., Săvulescu D., Lupu I. (2002). Geometrie: teorie, probleme, metode de rezolvare.
Bacău: Editura Egal.
14. Nicola, I., (1996). Tratat de pedagogie școlară: Editura Didactică și Pedagogică.
15. Nicolescu L., Boskoff V. (1990). Probleme practice de geome trie, București: Editura
Tehnică.
16. Orizont didactic, revistǎ educaționalǎ, octombrie 2013.
17. Ornea L., Turtoi A. (2000). O introducere în geometrie. București: Editura Theta.
18. Petty, G. (2007). Profesorul azi, Metode moderne de predare. Bucureșt i: Ed. Atelier
Didactic.
Relații metrice în geometria euclidiană
19. Pop, I. (1999). Geometrie afină, euclidiană și proiectivă. Iași: Editura Universității Al. I.
Cuza.
20. Revista învǎțǎmântului preuniversitar, martie 2011, Editura Paralela 45.
21. So are, N., Brezuleanu, A., Galbura, Gh., Popovici, I., Teleman,S. Turtoi, A. (1981).
Elemente de geometrie euclidiană plană. București: Tip. Univ.
22. Soare, N. (1986). Curs de geometrie. București: Tip. Univ.
23. Soare, N., Iancu, D., Iancu, M. (1995). El emente de geometrie. București: Ed. Univ.

Asemănarea triunghiurilor

105 Webografie
1. www.didactic.ro
2. www.edu.ro
3. www.intuitext.ro
4. www.mateinfo.ro
5. www.ucv.ro
6. www.wikipedia.org

Bibliografie
I. C. DRĂGHICESCU, V. MASGRAS – „Probleme de geometrie ”-Ed. Tehnică, București,
1987
G. ȚIȚEICA -„ Probleme de geometrie ”- Ed. Tehnică, București
DAN BRANZEI și colaboratorii – „Bazele raționamentului geometric ”- Ed. Academiei Române –
1983
MIRCEA GANGA – „Matematică -Manual pentru clasa a IX -a”- Ed Mathpress
SORIN CRISTEA – „Fundamentele pedagogiei ” – Ed. Polirom
IOAN CERGHIT – „Metode de invatamant ” – Ed. Polirom

Asemănarea triunghiurilor

106

DECLARAȚIE DE AUTENTICITATE

Subsemnata , Matei(Ștefănescu -Gheorghe) Janina , cadru didactic la Școala Gimnazială nr.
1 Lehliu Gară , din localitatea Lehliu Gară , județul Călărași, înscris la examenul de acordare a
gradului didactic I, seria 201 8 – 2021, cunoscând dispozițiile articolului 292 din Codul penal
cu privire la falsul în declarații, declar pe propria răspundere următoarele:
a) Lucrarea metodico -științifică ,,Asemănarea triunghiurilor ” a fost elaborată personal
și îmi aparține în întregime;
b) Nu am folosit alte surse decât cele menționate în bibliografie;
c) Nu am preluat texte, date sau elemente de grafică din alte lucrări sau din alte surse făr ă
a fi citate sau fără a fi precizată sursa preluării, inclusiv dacă sursa o reprezintă alte lucrări ale
subsemnat ei Matei(Ștefănescu -Gheorghe) Janina ;
d) Lucrarea nu a mai fost folosită în alte contexte de examen sau concurs.

Dau prezenta declarație, f iindu -mi necesară la predarea lucrării metodico -științifice
,,Asemănarea triunghiurilor ”, în vederea evaluării și acceptării pentru susținerea finală.

Data: Semnătura,
28.08.2020