Tripa Rezistenta Materialelor Curs Vol 1 [628483]

Licență

Tripa Rezistenta Materialelor Curs Vol 1 [628483]

Byadmin ianuarie 1, 2024

PAVEL TRIPA

R E Z I S T E N Ț A

M A T E R I A L E L O R

SOLICIT ĂRI SIMPLE Ș I TEORIA ELASTICIT ĂȚII

E

Editura MIRTON
Timișoara 1999
R ZMONOGRAFII REZMAT 22
M T A
σx σx
σy yx z σy

Referenți științifici:

Prof. Dr. Ing. Eur. Ing. Tiberiu BABEU
Membru al Academiei de Științe Tehnice din România
Prof. Dr. Ing. Nicolae FAUR

Tehnoredactare computerizat ă:
Conf. dr. ing. Pavel TRIPA

TRIPA, PAVEL
Rezistenț a materialelor / Pavel Tripa. – Timi șoara:
Editura Mirton, 1999
258 p,; 24 cm
Bibliogr.
ISBN 973-578-915-9

539.4

C U P R I N S

Prefață ………………………………………………………………………………………………….. 4
1. NOȚIUNI INTRODUCTIVE ………………………………………………. 6
1.1 Solid rigid: solid deformabil …………………………………………………………………… 6
1.2 Obiectul și problemele Rezisten ței Materialelor ………………………………………… 6
1.3 Clasificarea corpurilor în Rezisten ța Materialelor ……………………………………… 8
1.4 Forțe exterioare …………………………………………………………………………………….. 9
1.5 Reazeme și reacțiuni (forțe de legătură) …………………………………………………… 11
1.6 Noțiuni fundamentale în Rezisten ța Materialelor: tensiuni, deplas ări,
deformații, deforma ții specifice ………………………………………………………………. 14
1.7 Contracția transversal ă …………………………………………………………………………… 17
1.8 Ipoteze de baz ă în Rezisten ța Materialelor ……………………………………………….. 19
1.9 Coeficien ți de siguran ță. Tensiuni admisibile ……………………………………………. 21

2. FORȚE INTERIOARE (EFORTURI). DIAGRAME DE EFORTURI ….. 23

2.1 Definirea eforturilor în sec țiunea transversală a unei bare drepte ………………… 23
2.2 Relații diferenț iale între eforturi ș i tensiuni ………………………………………………. 26
2.3 Relații diferenț iale între eforturi ș i sarcini ………………………………………………… 27
2.4 Trasarea diagramelor de eforturi ……………………………………………………………… 30
2.4.1 Diagrame de eforturi la bare drepte …………………………………………… 31
2.4.2 Diagrame de eforturi la bare cotite în plan (cadre plane) ………………. 44
2.4.3 Diagrame de eforturi la bare curbe plane ……………………………………. 51
2.4.4 Diagrame de ef orturi la bare cotite în spa țiu (cadre spa țiale) ………… 54
2.4.5 Bare solicitate prin for țe concentrate mobile. Moment maxim
maximorum ………………………………………………………………………………………….. 57

3. CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SUPRAFEȚ ELOR PLANE 62

3.1 Aria suprafe ței plane ……………………………………………………………………………… 63
3.2 Momentul static ……………………………………………………………………………………. 63
3.3 Momente de iner ție ………………………………………………………………………………… 64
3.4 Raza de iner ție (girație) ………………………………………………………………………….. 66
3.5 Modulul de rezisten ță …………………………………………………………………………….. 66
3.6 Momente de iner ție și module de rezisten ță pentru câteva suprafe țe simple ….. 67
3.7 Variația momentelor de iner ție față de axe paralele ……………………………………. 70
3.8 Variația momentelor de iner ție față de axe rotite. Direc ții și momente de
inerție principale ……………………………………………………………………………………. 71
3.9 Aplicaț ii ……………………………………………………………………………………………….. 76

4. CARACTERISTICI MECANICE ALE METALELOR . ÎNCERCAREA
LA TRAC ȚIUNE ȘI COMPRESIUNE A O ȚELULUI …………………………. 80

1

4.1 Încercarea la trac țiune a oțelului de uz general ………………………………………….. 80
4.2 Încercarea la compresiune a o țelului ………………………………………………………… 84
4.3 Încercarea la trac țiune a oțelului aliat ………………………………………………………. 85
4.4 Clasificarea materialelor în func ție de caracteristicile mecanice ………………….. 87

5. TRACȚIUNEA ȘI COMPRESIUNEA BARELOR DREPTE .
APLICA ȚII …………………………………………………………………………………………. 90

5.1 Tensiuni și deforma ții la solicitarea axial ă ………………………………………………… 90
5.2 Concentrarea tensiunilor ………………………………………………………………………… 96
5.3 Bara de sec țiune constant ă solicitată axial când se ține seama și de greutatea
proprie …………………………………………………………………………………………………. 98
5.4 Bara de egală rezistență ………………………………………………………………………….. 101
5.5 Tensiuni pe o sec țiune înclinată la bara solicitat ă la tracț iune ……………………… 104
5.6 Energia de deforma ție la solicitarea axial ă ……………………………………………….. 106
5.7 Sisteme static nedeterminate la solicitarea axial ă ………………………………………. 108
5.7.1 Sisteme de bare articula te concurente static nedeterminate …………… 108
5.7.2 Sisteme de bare articulate neconcurente static nedeterminate ……….. 110
5.7.3 Sisteme cu inexactit ăți de execu ție ……………………………………………… 112
5.7.4 Bare cu sec țiune neomogen ă solicitate axial ……………………………….. 116
5.7.5 Bare supuse varia țiilor de temperatur ă ………………………………………… 119

6. FORFECAREA PIESELOR DE GROSIME MIC Ă ……………………………… 126

6.1 Tensiuni și deforma ții la forfecare …………………………………………………………… 126
6.2 Calculul îmbin ărilor de piese ………………………………………………………………….. 128
6.2.1 Calculul îmbină rilor nituite ………………………………………………………. 129
6.2.2 Calculul îmbină rilor sudate ………………………………………………………. 136
6.3 Calculul îmbin ărilor de piese din lemn …………………………………………………….. 140
6.4 Aplicaț ii la calculul îmbin ărilor de piese ………………………………………………….. 143

7. ÎNCOVOIEREA BARELOR PLANE ………………………………………………….. 148

7.1 Tensiuni în bare drepte solicitate la încovoiere pur ă …………………………………… 148
7.2 Forme raționale de sec țiune pentru solicitarea de încovoiere ………………………. 154
7.3 Încovoierea cu for ță tăietoare ………………………………………………………………….. 155
7.3.1 Tensiuni tangen țiale la încovoierea cu for ță tăietoare …………………… 155
7.3.2 Varia ția tensiunii tangenț iale la suprafe țe simple ………………………… 159
7.4 Neglijarea tensiunii tangen țiale la unele calcule la încovoiere simpl ă …………… 165
7.5 Energia de deforma ție la încovoiere pur ă …………………………………………………. 166
7.6 Grinzi de egal ă rezistență ……………………………………………………………………….. 168
7.7 Încovoierea oblic ă a barelor drepte ………………………………………………………….. 175
7.8 Tensiuni în bare curbe plane solicitate la încovoiere pur ă ………………………….. 178
7.9 Aplicaț ii la solicitarea de încovoiere pur ă ………………………………………………… 186

8. TORSIUNEA BARELOR DREPTE …………………………………………………….. 194

8.1 Momentul de torsiune (r ăsucire) ……………………………………………………………… 194
8.2 Torsiunea barelor de sec țiune circular ă ……………………………………………………. 195
8.3 Torsiunea barelor de sec țiune dreptunghiular ă ………………………………………….. 199
2

8.4 Torsiunea barelor tubulare cu pere ți subțiri ……………………………………………….. 203
8.5 Energia de deforma ție la răsucire …………………………………………………………….. 208
8.6 Dualitatea tensiunilor tangen țiale. Starea de forfecare pur ă ………………………… 208
8.7 Calculul arcurilor elic oidale cu pas mic ……………………………………………………. 211
8.8 Aplicaț ii la solicitarea de torsiune ……………………………………………………………. 215

9. NOȚIUNI DE TEORIA ELESTICIT ĂȚII. STAREA DE TENSIUNE
ȘI DEFORMA ȚIE ………………………………………………………………………………. 227

9.1 Tensorul tensiune …………………………………………………………………………………… 227
9.2 Starea plan ă de tensiune ………………………………………………………………………….. 228
9.2.1 Tensiuni pe sec țiuni înclinate. Direc ții principale și tensiuni
principale ………………………………………………………………………………………………. 228
9.2.2 Cercul lui Mohr pentru starea plan ă de tensiune …………………………… 232
9.2.3 Cazuri particulare ale st ării plane de tensiune ………………………………. 234
9.3 Starea plan ă de deforma ție ………………………………………………………………………. 235
9.4 Starea spa țială de tensiune ……………………………………………………………………….. 237
9.4.1 Tensiuni pe sec țiuni înclinate …………………………………………………….. 237
9.4.2 Tensiuni principale …………………………………………………………………… 238
9.4.3 Tensiuni octaedrice ………………………………………………………………….. 242
9.4.4 Elipsoidul tensiunilor ……………………………………………………………….. 242
9.4.5 Cercul lui Mohr pentru starea spa țială de tensiune ……………………….. 243
9.5 Starea spa țială de deformaț ie ……………………………………………………………………. 244
9.6 Legea lui Hooke generalizat ă …………………………………………………………………… 245
9.7 Relația dintre constantele elastice E, G, ν ………………………………………………….. 249
9.8 Energia de deforma ție …………………………………………………………………………….. 251

10. BIBLIOGRAFIE …………………………………………………………………………………. 256

3

Prefață

Rezistența Materialelor a apărut ca urmare a cerin țelor practice legate de realizarea de
construcții durabile și economice.
Orice construcț ie, indiferent de tipul s ău, trebuie s ă reziste cât mai bine la sarcinile la
care este supusă și în același timp, să fie realizat ă cu consum minim de material și manoper ă.
Realizarea unor astfel de construc ții necesit ă o proiectare ra țională a tuturor elementelor
componente și asigurarea unei siguran țe ridicate în func ționare.
Reducerea consumurilor specifice, constituie o cerin ță care stă permanent în faț a
proiectanților de ma șini și utilaje, în vederea optimiz ării acestora, atât din punct de vedere al
economiei de material cât și al bunei func ționări.
Rezisten ța Materialelor, care face part e din disciplinele care studiaz ă mecanica
corpului solid, este prima chemat ă să pună la dispoziț ia inginerilor, cuno ștințele necesare
stabilirii formei și dimensiunilor optime ale pieselor, cu asigurarea siguran ței în funcț ionare a
acestora.
Rezisten ța Materialelor, ca și alte discipline de cultur ă tehnică generală, îmbină
cunoș tințele teoretice cu rezolvarea unui num ăr cât mai mare de probleme pe cât posibil reale
și cu lucrările de laborator. Rezolvar ea problemelor de rezisten ța materialelor, nu poate fi
făcută fără acumularea unor cuno ștințe teoretice temeinice. Rezult ă de aici importan ța pe care
o are disciplina de Rezisten ța Materialelor în preg ătirea inginerului, mai ales al celui din
domeniul mecanic.
Prezenta lucrare de Rezisten ța Materialelor , se adreseaz ă în primul rând studen ților de
la învățământul tehnic și în special celor din domeniul me canic. De altfel, lucrarea urm ărește
programa analitic ă prevăzută pentru profilul Inginerie Managerial ă și Tehnologic ă, unde
autorul pred ă de câțiva ani cursul de Rezistența Materialelor, Mecanica Plasticit ății și a
Ruperii. În aceast ă lucrare se prezint ă numai acea parte a materiei care se pred ă pe parcursul
unui singur semestru.
4

Lucrarea poate fi consultat ă cu rezultate bune ș i de către inginerii din produc ție și mai
ales cei din proiectare și cercetare, care pe parcursul anilor din diferite motive, leg ătura lor cu
calculele de rezisten ță a fost mai slab ă.
Pentru o eficien ță superioar ă, pe baza noț iunilor tratate, în lucrare se prezint ă
rezolvarea unor probleme concrete.
S-a că utat ca no țiunile teoretice s ă fie prezentate cât mai simplu, insistându-se mai
mult asupra fenomenelor, legilor și noțiunilor fundamentale ale mecanicii corpului solid
deformabil, avându-se în acela și timp în vedere și capacitatea de asimilare de c ătre studen ți a
acestor cuno ștințe.
Toate rela țiile de calcul sunt deduse pe baza unor demonstra ții simple și în logica lor
firească .
Con știent fiind de faptul c ă lucrarea poate fi îmbun ătățită atât în con ținut cât mai ales
în prezentarea grafic ă, autorul mul țumește tuturor acelora care vor veni cu propuneri concrete
pentru îmbun ătățirea acesteia, într-o ediț ie viitoare.

A u t o r u l
5

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –

1. NOȚIUNI INTRODUCTIVE

1.1 SOLID RIGID. SOLID DEFORMABIL

Dacă un corp solid nu î și modifică forma și dimensiunile sub acț iunea unui
sistem de for țe, atunci el este un solid rigid. Dacă sub acțiunea sistemului de
forțe solidul î și modifică forma și dimensiunile, el este un solid deformabil.
Mecanica Corpurilor Deformabile , respectiv Rezisten ța Materialelor are în
vedere deformabilitatea corpurilor, ceea ce-i permite s ă rezolve o serie de
probleme imposibil de rezolvat în Mecanica Rigidului.

1.2 OBIECTUL ȘI PROBLEMELE REZISTEN ȚEI MATERIALELOR

Practica dovede ște că sub acțiunea for țelor exterioare, orice corp solid se
deformează . Dacă după îndepărtarea forț elor exterioare corpul revine la forma și
dimensiunile iniț iale, se spune c ă este realizat dintr-un material elastic sau că
are o comportare elastic ă. Dacă deforma țiile corpului sunt proporț ionale cu
forțele aplicate, materialul este liniar elastic.
Rezistența Materialelor este o disciplin ă de cultură tehnică generală , care
face legătura între disciplinele fizico-matematice și cele de specialitate, fiind în
același timp o continuare a Mecanicii Teoretice, însă cu unele particularit ăți.
În Mecanica Teoretic ă, corpurile solide sunt considerate rigide, adică fără
deformații, indiferent de m ărimea for țelor exterioare care solicit ă corpul .
Rezistența Materialelor introduce un model nou, modelul solidului deformabil .
Se consider ă un corp solid asupra c ăruia acționează două forț e F, egale,
colineare ș i de sens contrar ca în Fig.1.2-1

F F
FF
FF
a) b) c)

Fig.1.2-1 Variante de solicitare a unui corp solid
6

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –

Din punct de vedere al Meca nicii Teoretice, cele trei variante sunt identice:
corpul este în echilibru și nu sufer ă deforma ții. Din punct de vedere al
Rezistenței Materialelor, cele trei cazuri prezentate sunt diferite și anume:
Cazul a) – corpul este supus unei solicit ări de tracțiune și el se lunge ște,
Cazul b) – corpul este comprimat ș i se scurteaz ă,
Cazul c) – corpul nu este solicitat și nu sufer ă deformații.
În ambele cazuri, corpul sub ac țiunea celor dou ă forț e este în echilibru.
Rezultă de aici c ă în cazul Rezisten ței Materialelor, este important s ă se
cunoască poziția punctului de aplicaț ie al forțelor.
În principal, scopul Rezistenț ei Materialelor este acela de a stabili
dimensiunile unei piese, realizat ă dintr-un material cunoscut, astfel ca acesta s ă
reziste în condi ții bune for țelor exterioare aplicate. Această operație de calcul
este o opera ție de dimensionare . În cazul problemelor de dimensionare se
cunosc for țele aplicate, modul de reze mare al piesei, se cunoa ște materialul din
care este realizat ă piesa ș i se determin ă anumite caracteristici geometrice ale
secțiunii transversale ale acesteia. Dac ă piesa este dat ă (ca form ă și dimensiuni)
iar forț ele sunt cunoscute, se face un calcul de verificare pentru a se stabili dac ă
piesa este sigur ă în funcționare. În unele situa ții este cunoscută forma și
dimensiunile piesei, condi țiile pe care aceasta trebuie s ă le satisfac ă și este
necesar s ă se determine m ărimea for țelor care pot ac ționa asupra acesteia. În
acest caz, se face un calcul al încărcării capabile . Astfel în Rezisten ța
Materialelor, se întâlnesc trei tipuri de probleme:
probleme de dimensionare
probleme de verificare
probleme de înc ărcare capabil ă (sau efort capabil).
În rezolvarea celor trei ti puri de probleme, Rezisten ța Materialelor, are în
vedere urm ătoarele criterii:
criteriul economic ; orice pies ă trebuie realizat ă cu solu ția cea mai
economică din punct de vedere al consumului de material și manoperă ,
criteriul bunei func ționări; piesa realizat ă trebuie să-și îndeplineasc ă rolul
funcțional pentru care a fost realizat ă, un timp cât mai îndelungat.
O bună funcționare a piesei, impune respectarea urm ătoarelor condiț ii:
de rezisten ță, adică piesa să reziste solicit ărilor la care este supus ă
de rigiditate (deformabilitate), adică sub acțiunea solicit ărilor să nu
sufere deforma ții care pun în pericol buna func ționare a piesei,
de stabilitate, adic ă în timpul func ționării, piesa s ă-și păstreze tot timpul
starea de echilibru stabil.
Rezistența Materialelor este o disciplin ă care se înrudeș te cu o serie de alte
discipline, cum ar fi: Mecanica Teoretic ă, Teoria Elasticit ății, Teoria
Plasticității, Teoria Stabilit ății Elastice, Teoria Oscila țiilor Mecanice, Încerc ări
de Materiale, Mecanica Ruperii Materialelor etc.

7

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –

1.3 CLASIFICAREA CORPURILOR ÎN REZISTEN ȚA MATERIALELOR

Clasificarea corpurilor din punct de vedere al Rezisten ței Materialelor, se
bazează în principal pe raportul care exist ă între cele trei dimensiuni (lungime,
lățime, grosime) ale acestora. Din acest punct de vedere, se disting trei mari
categorii de corpuri:
a) corpuri care au o dimensiune (de obi cei lungimea) mult mai mare decât
celelalte două . Aceste corpuri se numesc corpuri cu fibră medie sau bare.
Caracteristic pentru aceste corpuri este secțiunea transversal ă și axa
longitudinal ă (Fig.1.3-1a). Sec țiunea transversal ă este secț iunea normal ă
la axa longitudinal ă iar axa longitudinal ă reprezint ă locul geometric al
centrelor de greutate a sec țiunilor transversale.
După forma axei longitudi nale, barele pot fi: drepte, curbe în plan, curbe în
spațiu (strâmbe), iar dup ă modul în care variaz ă secțiunea în lungul axei
longitudinale, bare pot fi: cu secțiune constant ă (Fig.1.3-1a) sau cu secțiune
variabilă (Fig.1.3-1b,c).

axa longitudinal ă
secțiunea transversal ăb)
c) a)
Fig.1.3-1 Tipuri de bare drepte
După destinație și modul de solicitate, barele au diferite denumiri:
cele solicitate la întindere se numesc tiranț i
cele solicitate la comp resiune se numesc stâlpi
cele solicitate la încovoiere se numesc grinzi
cele solicitate la torsiune se numesc arbori.
Barele care pot fi solicitate numai la întindere și care practic nu opun nici o
rezistență solicitărilor transversale sau celor de compresiune, se numesc fire.
b) Corpurile care au dou ă dimensiuni mult mai mari decât cea de-a treia
(grosimea) se numesc plăci (Fig.1.3-2). Ele se caracterizeaz ă prin
mărimea grosimii ș i prin forma și dimensiunile suprafe ței mediane, care
împarte grosimea în orice loc în dou ă părți egale.
8

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –

Plăcile care au grosime foarte mic ă și nu pot prelua sarcini transversale
sau de compresiune, se numesc membrane .
După forma suprafe ței mediane, pl ăcile pot fi plane sau curbe (capace,
cupole, plan șee, etc.).
c) Corpurile care au dimensiunile de acela și ordin de m ărime, se numesc
masive sau blocuri. În categoria acestor corpuri intr ă: fundațiile, bilele
sau rolele de rulmen ți etc.
Calculele de rezisten ță diferă de la o grup ă la alta de corpuri, ele fiind mai
simple în cazul barelor drepte, mai complicate la barele curbe și mai dificile la
plăci și blocuri.
Corpurile cu care se opereaz ă în Rezisten ța Materialelor poart ă și denumirea
de elemente de rezisten ță.
grosimea
suprafața median ă
Fig.1.3-2 Elementele unei pl ăci

1.4 FORȚE EXTERIOARE

Corpurile sau elementele de rezisten ță, sunt supuse ac țiunii unor for țe sau
cupluri de forț e (momente). For țele sau momentele dir ect aplicate asupra unui
element de rezisten ță se numesc sarcini.
Sarcinile se pot clasifica dup ă mai multe criterii: Astfel:
a) după mărimea suprafe ței pe care ele ac ționează, sarcinile pot fi:
concentrate (Fig.1.4-1a)
repartizate sau distribuite , uniform sau cu intensitate variabil ă în
lungul elementului sau pe o suprafa ță (Fig.1.4-1b)

a) b)

Fig.1.4-1 Sarcini concentrate și distribuite
9

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –

b) după modul de acț iune în timp , se disting (Fig.1.4-2):
sarcini statice, care se aplic ă lent ș i rămân constante (Fig.1.4-2a)
sarcini dinamice, care se aplic ă cu viteză relativ mare (Fig.1.4-2b).
Sarcinile dinamice la rândul lor pot fi: sarcini aplicate în mod brusc, șocuri sau
sarcini variabile periodice între o valoare minim ă pmin și una maxim ă pmax
(Fig.1.4-2c).
Dacă pmin = 0, atunci sarcina se numeș te pulsatoare , iar dacă pmax = -p min,
alternativ simetric ă.

p p p
c) după locul de aplicare , sarcinile pot fi:
de suprafa ță sau de contur, cele care sunt aplicate din exteriorul corpului
masice, care provin din masa corpul ui, cum sunt greutatea și forțele de
inerție
d) În construc ții, după provenien ță, sarcinile se clasifică astfel:
sarcini fundamentale , din rândul c ărora fac parte:
¾ sarcinile permanente de intensitate constant ă (greutatea proprie)
¾ sarcinile utile reprezint ă scopul pentru care s-a realizat
construcția (greutatea autovehiculelor pe un pod) și care pot fi
fixe sau mobile
¾ sarcinile accesorii (for țele de iner ție, forțele de frecare, for țele
termice etc.)
sarcinile accidentale, care acționează intermitent și neregulat (ac țiunea
vântului, greutatea ză pezii, forța de frânare a autovehiculului etc.)
sarcini extraordinare. Aceste sarcini ac ționează întâmplător, dar pot avea
efecte dezastruoase (exploziile, cutremurele, inundaț iile etc.).
Sub acțiunea sarcinilor, în reazemele elementelor de rezisten ță apar forț e de
legătură, numite reacțiuni. Sarcinile împreun ă cu reacțiunile formează forțele
exterioare. Atât sarcinile cât și reacțiunile, adic ă forțele exterioare, se consider ă
forțe aplicate corpului și sub acțiunea acestor for țe, corpul este în echilibru și în
el ia naștere o anumit ă stare de solicitare. p = const. pmax pmin t t t
a) b) c)

Fig.1.4-2 Sarcini variabile în timp
10

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –

1.5 REAZEME Ș I REACȚIUNI (FOR ȚE DE LEG ĂTURĂ). ECUA ȚII DE
ECHILIBRU

Între elementele de rezisten ță ale unei structuri, exist ă o serie de leg ături
numite reazeme.
În calculele obiș nuite de rezisten ță, cele mai întâln ite reazeme sunt:
reazemul articulat mobil (articulația mobilă sau reazemul mobil)
reazemul articulat fix (articulația fixă)
încastrarea (înțepenirea).
Articulația mobilă, a că rei reprezentare este prezentat ă în Fig.1.5-1a, permite
celor dou ă elemente de rezisten ță să se roteasc ă unul față de celălalt și de
asemenea o deplasare liber ă pe o anumit ă direcție. În cazul prezentat în figur ă,
este permisă deplasarea liber ă pe direc ție orizontal ă. Pe direc ția vertical ă
(direcț ie perpendiculară pe cea pe care este permis ă deplasarea liber ă),
deplasarea este împiedicat ă.
Articulația fixă (Fig.1.5-1b) permite rotirea elementului, dar nu permite
deplasarea acestuia pe nici o direcț ie.
Încastrarea (Fig.1.5-1c) împiedic ă orice fel de deplasare a elementului de
rezistență precum și rotirile acestuia. Acest tip de reazem se poate obț ine dintr-o
articulație fixă, la care se blocheaz ă rotirile.

a) b) c)

Fi g. 1.5-1 Re prezentarea celor mai uzuale reazeme
Deoarece elementele de rezisten ță sunt supuse ac țiunii diferitelor sarcini,
este firesc ca în reazeme s ă apară forțe de legătură numite reacțiuni. Mărimea și
orientarea reac țiunilor este dat ă de mărimea și orientarea sarcinilor care solicit ă
elementul, iar direc ția acestora este legat ă de tipul rezemului.
După cum este bine cunoscut, reacț iunile se opun ac țiunii (sarcinilor) ș i ca
urmare ele apar pe acele direc ții pe care mi șcările (deplasă rile și rotirile)
elementului de rezisten ță sunt împiedicate.
Pentru articula ția mobilă , fiind împiedicat ă deplasarea pe o singur ă direcție,
reacțiunea R care apare este o forță (Fig.1.5-2a) care trece prin centrul
articulației mobile și este dirijat ă perpendicular pe direc ția deplasării libere a
reazemului (în mod obi șnuit pe axa grinzii).
În cazul articula ției fixe, reac țiunea care ia na ștere în reazem este o for ță R a
cărei direcție nu este cunoscut ă. Se cunoa ște numai punctul de aplica ție al
acesteia, care este articula ția. Pentru a putea calcula reacț iunea din articula ția
fixă, se înlocuie ște reacțiunea R prin dou ă componente ale sale: H orientată în
11

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –

lungul axei longitudinale a elementului și V dirijată perpendicular pe axa
elementului (Fig.1.5-2b). A șadar, articula ția fixă prezintă două componente
pentru reac țiuni: H și V.
Încastrarea fiind o articula ție fixă la care s-au blocat toate rotirile, înseamn ă
că față de articula ția fixă la acest tip de reazem apar e în plus un moment (cuplu)
M (Fig.1.5-2c). Din acest motiv, la o în castrare, apar trei componente de
reacțiuni: H paralelă cu axa elementului, V perpendiculară pe axa elementului
de rezisten ță și cuplul M. În cazul unui sistem spa țial, într-o în țepenire apar trei
componente de for țe și trei cupluri (după cele trei direc ții x, y și z).
Sub acțiunea for țelor exterioare, un sistem es te în echilibru. Valoarea
reacținilor se determin ă din condiț ia de echilibru a sistemului solicitat.
R VH
R H
VM
a) b) c)

Fig.1.5-2 Reac țiuni în principalele tipuri de reazem
Este cunoscut faptul c ă un sistem plan este în echilibru dac ă:
nu se deplaseaz ă pe o direc ție (fie x aceast ă direcție)
nu se deplaseaz ă pe o direc ție perpendiculară pe prima (fie y aceast ă
direcție)
nu se rote ște față de un punct al planului (fie K acest punct).
Cele trei condi ții enunțate mai înainte sunt satisf ăcute dacă suma proiec țiilor
tuturor for țelor pe direc ția x, respectiv y este nul ă și suma tuturor cuplurilor fa ță
de un punct al planului, este nul ă. Aceste condiț ii pot fi scrise sub forma unor
relații de tipul:

()0 Fx=∑
()0 Fy=∑ 1.5-1
()0 MK=∑

Sistemul de mai sus, pentru a putea fi rezolvat, poate con ține maxim trei
necunoscute. În cazul abordat, cele trei necunoscute sunt reac țiunile. Dac ă sunt
mai mult de trei necunoscute (reac țiuni) sistemul nu poate fi rezolvat ș i în acest
12

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –

caz el este un sistem static nedeterminat. Pentru rezolvarea sistemelor static
nedeterminate, sunt necesare ecua ții suplimentare.
Determinând reac țiunile unui element de rezisten ță cu relațiile prezentate,
nu există o posibilitate simpl ă pentru verificarea corectitudinii calculului
efectuat.
Pentru a avea posibilitatea verific ării corectitudinii calculului reac țiunilor
și pentru a ob ține ecuaț ii ușor de rezolvat, rela țiile pentru calculul reac țiunilor se
vor scrie sub forma:

()0 Fx=∑

() 0 M
1K=∑ 1.5-2

() 0 M
2K=∑

Valorile reacț iunilor determinate cu rela țiile 1.5-2 se introduc în rela ția 5.2-1,

()yF∑

Dacă se obține:
()0 Fy=∑ reacț iunile sunt corect calculate
1 . 5 – 3
()0 Fy≠∑ reacț iunile sunt gre șit calculate.

În acest ultim caz, se reface calculul.
În concluzie, calculul reac țiunilor pentru un sistem plan se face cu ajutorul
relațiilor 1.5-2, iar verificarea corectitudinii calculului (etap ă obligatorie), cu
relațiile 1.5-3.
În Tabelul 1.5-1, se prezint ă numărul ecuațiilor de echilibru care se pot
scrie pentru diferite tipuri de for țe.

Tabelul 1.5-1
Numărul ecua țiilor de echilibru Felul forțelor
De proiecț ii De momente
Coliniare 1 –
Concurente în plan 2 –
Concurente în spa țiu 3 –
Paralele în plan 1 1
Paralele în spa țiu 1 2
13

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –

Oarecare în plan 2 1
Oarecare în spa țiu 3 3

1.6 MĂRIMI FUNDAMENTALE ÎN REZISTEN ȚA MATERIALELOR: TENSIUNI,
DEPLASĂ RI ȘI DEFORMA ȚII, DEFORMAȚ II SPECIFICE

Tensiuni
Se consider ă un element de arie dA din aria A a secț iunii transversale a unui
element de rezisten ță și pe care ac ționează forța dF, având o direc ție oarecare
(Fig.1.6-1a). Dac ă elementul de arie dA este suficient de mic, for ța poate fi
considerat ă uniform distribuit ă pe suprafa ța acestuia, iar rezultanta dF poate fi
aplicată în centrul de greutate al elementului. M ărimea efortului distribuit,
aplicat pe unitatea de suprafață din aria sec țiunii,

dAdFp= 1.6-1

se numește tensiune. Tensiunea p are aceea și direcție cu forța elementar ă dF, iar
mărimea ei este determinată atât de m ărimea for ței dF cât și de orientarea
suprafeței dA față de direcț ia forței.

Tensiunea p având o direc ție oarecare, poa te fi descompus ă într-o
component ă pe direcția normal ă la secțiune, tensiune normal ă notată cu σ și o
component ă în planul sec țiunii, tensiune tangen țială notată cu τ (Fig.1.6-1a). σ dF
dA
A x
y zττ xy
τxz
p
σ
n A
a) b)

Fig.1.6-1 Tensiuni în sec țiunea unei bare
14

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –

Dup ă sensul pe care îl are, tensiunea normal ă σ are un efect de tracțiune
sau de compresiune , exercitat de c ătre partea de corp înl ăturată asupra p ărții
rămase. La fel, tensiunea tangen țială τ are un efect de tăiere, forfecare sau
alunecare .
Opera țiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor, decât numai după ce
acestea au fost înmul țite cu ariile respective, adic ă au fost transformate în for țe.
Din Fig.1.6-1a, rezult ă următoarea rela ție între cele trei tensiuni:

2 2 2pτ + σ = 1.6-2

Deoarece tensiunea tangen țială τ are o direc ție oarecare pe sec țiune,
aceasta se descompune pe cele dou ă axe de coordonate y și z ale sec țiunii,
rezultând componentele: τ pe direcția y, respectiv τ xy xz pe direcția z (Fig.1.6-1b).
Primul indice indic ă axa pe care tensiunea este normal ă, iar cel de-al doilea, axa
cu care aceasta este paralel ă.
În literatura de specialita te, mai ales în manuale le mai vechi, pentru
noțiunea de tensiune se mai întâlne ște și denumirea de efort specific.

Deforma ții și deplasări
Se consider ă acum un cadru solicitat de o forță F (Fig.1.6-2). Sub ac țiunea
forței F, tronsonul AB se deformează , iar tronsonul BC nu se deformeaz ă (nu
este solicitat). Se constat ă că unghiul format de B’C’ cu tangenta în B’ la fibra
deformată AB’, nu s-a modificat, a r ămas tot de 900. În schimb, toate sec țiunile
cadrului (cu excep ția secțiunii A) s-au deplasat în plan. În acest exemplu au
apărut două noțiuni: deformație și deplasare.

B’
A F B C
C’
Fig.1.6-2 Deplas ări și deforma ții
Se consider ă acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal
xyz (Fig.1.6-3). După deformarea corpului, un punct oarecare M al acestuia se
deplaseaz ă în poziț ia M’. Vectorul MM’ poartă numele de vectorul deplas ării
totale.

15

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –

Deplasarea total ă rezultă ca o sum ă a deplas ărilor pe trei direc ții
ortogonale. Deplas ările pe cele trei direc ții ortogonale se noteaz ă astfel:
z wy
u
M
x y M’
Fig.1.6-3 Deplas ările punctelor unui corp solid
pe direcția x cu u
pe direcția y cu v
pe direcția z cu w

Deforma ții specifice
Dacă se decupeaz ă din jurul punctului M un element de volum Fig.1.6-
4a), laturile acestuia se vor lungi sau scurta, în funcț ie de solicitare.

Este greu de închipuit dar ma i ales de repr ezentat, cum arat ă un astfel de
element dup ă deformare. Din acest motiv, se prezint ă deformațiile sale numai în
planul xOy, dup ă care este u șor să se imagineze deforma țiile și în celelalte
plane: zOy, respectiv xOz. Proiec ția acestui element în planul xOy este
prezentată în Fig.1.6-4b. Dimensiunea dx a el ementului s-a modificat pe direc ția
x cu Δ dx. Pe direc țiile y respectiv z, deforma țiile sunt Δdy, respectiv Δdz. O O dxdy
dx dz dy
x
z y
x y dxΔdx
a) b) c)

Fig.1.6-4 Deforma ții specifice dyγyx y
γ’xy
x
O
16

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –

Se nume ște deformație specific ă (lungire specific ă sau scurtare specific ă)
pe direcția x, y sau z, raportul:

dxdx
xΔ= ε

dydy
yΔ= ε 1.6-3

dzdz
zΔ= ε

De cele mai multe ori, deforma ția specifică se exprim ă în procente.
Lungirea specific ă poartă și denumirea de alungire.
De asemenea și unghiurile drepte dintre plane se modifică (Fig.1.6-4c). Se
numește deformație specific ă unghiular ă sau lunecare , mărimea cu care se
modifică unghiul drept dintre plane:

yx xy xy 'γ+γ=γ

zy yz yz 'γ+γ = γ 1.6-4

xz zx zx 'γ+γ=γ

În concluzie, corpurile sufer ă două feluri de deforma ții specifice: liniare ,
respectiv unghiulare .

1.7 CONTRAC ȚIA TRANSVERSAL Ă

Practica arată că odată cu lungirea unei bare, apare o mic șorare a m ărimii
secțiunii transversale, m ărime numit ă contracție transversal ă (Fig.1.7-1)

Fig.1.7-1 Contrac ția transversal ă F F
17

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –

Contracția transversală este proporț ională cu lungirea specific ă, coeficientul
de propor ționalitate se noteaz ă cu ν și se numeș te coeficient de contrac ție
transversal ă sau coeficientul lui Poisson.
La o lungire specific ă ε a barei, contrac ția transversal ă este:

x y trε⋅ν−=ε= ε 1.7-1

Semnul ( – ) arat ă că cele două mărimi sunt contrare, dac ă una crește,
cealaltă scade și invers.
Se consider ă acum o bar ă cilindrică de lungime l și aria secțiunii transversale
A, solicitat ă la întindere axial ă. La un moment dat, lungimea barei este l⋅ (1+ε),
diametrul d ⋅(1-νε ), iar aria secț iunii transversale A ⋅(1-νε )2. Dacă volumul barei
înainte de solicitare a fost A ⋅l, după solicitare el devine:

()()
()3 2 2 2 22
2 2 1 l A1 l 1 A V V
ε ν + ε ν + νε − νε − ε + ⋅ == ε + ⋅ νε − = Δ +
1.7-2

Deoarece lungirile sunt foarte mici, ultimii trei termeni din parantez ă se
pot neglija, ob ținându-se:

()
() l A 2 1 Vsau2 1 l A l A V V
⋅ ⋅ ν − ε = Δν−ε⋅⋅+⋅= Δ +
1.7-3

Practica ar ătă, că o astfel de bar ă solicitată la întindere, î și mărește
volumul, deci Δ V > 0, de unde rezult ă că:

0 2 1>ν− 1.7-4

de unde

5 , 0<ν 1.7-5

Pentru cele mai multe materiale, ν = 0,33, iar pentru materialele care- și
păstrează volumul constant, ν = 0,5.

18

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –

1.8 IPOTEZE DE BAZ Ă ÎN REZISTEN ȚA MATERIALELOR

Rezistența Materialelor accept ă o serie de ipoteze asupra structurii
materialelor și asupra comport ării lor sub ac țiunea for țelor exterioare. Aceste
ipoteze trebuie s ă fie în deplin ă concordan ță cu realitatea, iar alteori ele
reprezintă simplific ări ale fenomenelor reale, care trebuie s ă conducă însă la
rezultate verificate în practic ă.
Cele mai utilizate ipoteze de c ătre Rezisten ța Materialelor, sunt:
a) Ipoteza mediului continuu, omogen și izotrop. Rezistența Materialelor
consideră materialele ca un mediu continuu, omogen , care ocup ă întregul spa țiu
reprezentat de volumul lor. Aceast ă ipoteză nu corespunde însă realității. Ea este
mai apropiat ă de realitate la corpurile amorfe și mai dep ărtată la cele cristaline.
Dă însă rezultate bune în cal culele de rezisten ță.
De asemenea, Rezisten ța Materialelor consider ă materialele izotrope , adică
ele prezintă în toate direcț iile acelea și proprietăți. În caz contra, materialele sunt
anizotrope.
b) Ipoteza elasticit ății perfecte. Această ipoteză presupune c ă atâta timp
cât solicit ările nu dep ășesc anumite limite, material ul are o comportare elastic ă,
adică își recapătă forma ș i dimensiunile ini țiale odată cu înlăturarea sarcinilor. În
realitate, materialele nu prezint ă o elasticitate perfect ă, ele având deforma ții
remanente mici, care îns ă pot fi neglijate în calculele de rezisten ță.
c) Ipoteza proporț ionalității dintre tensiuni și deforma ții specifice.
Materialele solicitate în domeniul comport ării elastice, prezintă relații liniare de
proporționalitate între tensiuni și deforma ții specifice, adică satisfac legea lui
Hooke ( σ = E ε ), unde E este un factor de propor ționalitate, numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului.
d) Ipoteza micilor deplas ări. Pentru cele mai multe corpuri, deforma țiile
elastice sunt de m ărimi mici. Ca urmare, corpurile solide sub ac țiunea sarcinilor
își modific ă foarte puț in forma ini țială. Această ipoteză este cunoscut ă și sub
denumirea de ipoteza men ținerii dimensiunilor ini țiale. Ea permite scrierea
ecuațiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformat ă a elementului, când nu
se iau în considerare deplas ările punctelor de aplica ție ale forțelor care se produc
ca urmare a deform ării acestuia. Calculul efect uat pe schema nedeformat ă,
poartă numele de calcul de ordinul I.
Ipoteza micilor deplas ări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor
de stabilitate sau la problemele la care nu pot fi îndeplinite condi țiile de
echilibru în starea nedeformat ă.
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplas ări, dar ecua țiile de
echilibru se scriu îns ă pentru starea deformat ă a elementului de rezisten ță.
Calculul de ordinul III nu mai accept ă ipoteza micilor deplas ări, el
referindu-se la cazul deforma țiilor mari , când ecua țiile de echilibru trebuie
scrise pentru starea deformat ă.
19

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke, în urma calculelor de
ordinul II se obț in de obicei rela ții neliniare între sarcini și deplasări, iar pentru
calculul de ordinul III, rezultă ecuații diferențiale neliniare.
e) Principiul lui Saint-Venant. Acest principiu destul de folosit în
Rezistența Materialelor, precizeaz ă că: dacă se înlocuiesc for țele care
acționează asupra unui corp elastic cu un alt sistem de for țe echivalent din
punct de vedere static cu primul, noua distribu ție a forțelor produce la locul de
aplicare diferen țe semnificative fa ță de prima, dar r ămâne fără efect sau cu
efect neglijabil, la distan țe mari de locul de aplicare al for țelor (Fig.1.8-1)

În prima variant ă (Fig.1.8-1a) for ța F se aplic ă întru-un punct (forță
concentrat ă), iar în a doua (Fig.1.8-1b) pe o lungime mic ă de bară. La locul de
aplicare a sarcinii F, efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variant ă la
cealaltă . Însă, la o distan ță mare de punctul de aplica ție, spre exemplu în
secțiunea situat ă la distan ța a de capătul barei sau chiar în încastrare, ambele
bare sunt solicitate la fel.
f) Ipoteza lui Bernoulli . Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secț iunilor
plane , precizeaz ă că: o secțiune plan ă și normală pe axa barei înainte de
deformare, r ămâne plan ă și normală pe axă și după deformare (Fig.1.8-2)
F F
a)
a
b)
a
Fig.1.8-1 Principiul lui Saint – Venant
F
Fig.1.8-2 Principiul lui Bernoulli
20

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –

g) Ipoteza st ării naturale a corpului, sau ipoteza absen ței tensiunilor ,
conform că reia, pentru un corp neso licitat, starea de tensiune ș i deforma ție este
nulă.
Perfec ționarea mijloacelor de calcul și de investigare, pot conduce la
renunț area la unele ipoteze sau la introdu cerea altora noi, mai aproape de st ările
reale. De aici rezult ă caracterul de continuă perfecționare a metodelor
Rezistenței Materialelor.

1.9 COEFICIEN ȚI DE SIGURAN ȚĂ. TENSIUNI ADMISIBILE

O piesă corespunde, dac ă tensiunile care iau na ștere în ea datorit ă sarcinilor
aplicate, nu dep ășesc anumite valori limit ă, stabilite conven țional. Aceste valori
limită ale tensiunii sunt corelate cu cara cteristicile mecanice ale materialelor.
Tensiunea limit ă utilizată în calculele de rezistență este cunoscut ă sub
denumirea de tensiune admisibil ă sau rezistență admisibilă . Rezistenț a
admisibilă reprezint ă valoarea conven țională aleasă în calcul, pe baza practicii,
pentru tensiunea maxim ă care poate apare într-o pies ă, în condiț ii date de
material și solicitare.
Rezistența admisibil ă (σ, τa a) poate fi definit ă față de o stare limit ă
periculoas ă, stare care trebuie evitat ă:

clim
aσ= σ 1.9-1

unde:
σlim – tensiunea corespunză toare stării limită periculoase
c – coeficient de siguran ță față de starea limit ă periculoas ă considerat ă.

Alegerea unor valori in ferioare pentru rezisten ța admisibil ă față de
tensiunea corespunz ătoare stării limită periculoase este necesar ă deoarece:
¾ cunoașterea sarcinilor este de cel e mai multe ori aproximativ ă și o
depășire a acestora este foarte posibil ă
¾ caracteristicile mecanice ale materialelor variaz ă în limite destul de mari,
ele fiind influen țate de mul ți factori
¾ schema aleas ă pentru calcul (aplicarea sarcinilor, schematizarea
structurii, ipotezele de calcul, etc.) dep ărtează modelul fa ță de cel real.
Pentru calculele de verificare, tensiunea efectiv ă maximă din elementul de
rezistență trebuie să fie mai mic ă sau cel mult egal ă cu cea admisibil ă:

a max efσ≤σ 1.9-2
21

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –

Valoarea rezisten ței admisibile este influen țată d e f o a r t e m u l ți factori:
natura materialului, tratamentele te rmice aplicate piesei, durata de func ționare
a piesei, modul de ac ționare în timp a sarcinilor, felul solicit ării, temperatura,
gradul de periculozitate în cazul ced ării piesei etc.
De asemenea, valoarea coeficientului de siguran ță se alege în principal
ținând seama de aceia și factori care influen țează și rezistența admisibil ă.
Rezisten țele admisibile pentru câteva materiale sunt urm ătoarele:
pentru OL37, solicitare de întinde re, compresiune sau încovoiere: σa =
150 MPa
pentru lemn de brad
♦ solicitare de compresiune în lungul fibrelor și încovoiere: σ a =
10 MPa
= 7 MPa ♦ tracțiune în lungul fibrelor: σa
= 1,5 MPa ♦ compresiune perpendicular pe fibre: σa
♦ forfecare în lungul fibrelor: τa = 2 MPa
= 4,5 MPa ♦ forfecare perpendicular pe fibre: σa
= 0,2 … 0,25 MPa. terenuri de funda ție din pământ uscat sau umed: σa

22

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. FORȚ E INTERIOARE ( EFORTURI ). DIAGRAME DE
EFORTURI

2.1 DEFINIREA EFORTURILOR ÎN SEC ȚIUNEA TRANSVERSAL Ă A
UNEI BARE DREPTE

Se consider ă cazul general al unei bare înc ărcată cu un sistem oarecare de
forțe exterioare F 1 … F 5, care sunt în echilibru (Fig.2.1-1a).
Secționând bara cu un plan perpe ndicular pe axa longitudinal ă, aceasta se
separă în două părți (PS-partea din stânga ș i PD-partea din dreapta), ca în
Fig.2.1-1b,c). Sub ac țiunea forțelor, cele dou ă porțiuni nu mai sunt în echilibru.
Considerând partea din dreapta (PD), pent ru restabilirea echilib rului este necesar
să se introduc ă în planul sec țiunii (FD-fa ța din dreapta), o forță rezultant ă R și
un moment (cuplu) r ezultant M, care s ă formeze un sistem echivalent cu for țele
F1 … F 3 care acț ionează pe partea din stânga (PS) și care au fost înl ăturate.
Mărimile R și M din sec țiunea transversal ă a barei poartă numele de forțe
interioare sau forțe în secțiune sau eforturi . Calculul sistemului R, M este
echivalent cu for țele exterioare aplicate p ărții din corp care a fost înl ăturată. La
fel sistemul R, M ce ac ționează pe fața din stânga FS (Fig.2.1-1b) este
echivalent cu for țele exterioare F 4, F5 care acționează pe partea din dreapta PD F1
F1 F2 F3
F3 F2 F4
F4 F5
F5 PD
PS FD FS
R
R M
M
c) a)
b)
Fig.2.1-1 Eviden țierea eforturilor într-o bar ă
23

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
care a fost înl ăturată . Sistemul R, M de pe cele dou ă fețe sunt egale și de sens
contrar, ceea ce asigur ă echilibru întregului corp.
Dacă se consider ă PD (Fig.2.1-1c) asupra ei ac ționează R, M, F 4 și F5, care
își fac echilibru. Rezult ă atunci că R ș i M se pot calcula și din condi țiile de
echilibru ale p ărții de corp asupra c ăreia ele acț ionează, în cazul nostru PD.
Componentele R și M se consider ă aplicate în centrul de greutate al sec țiunii
barei.
În concluzie, se poate preciza:
eforturile R, M ac ționează în centrul de greutate al sec țiunii și sunt
analoage oric ăror forțe exterioare aplicate barei. Acestora li se pot aplica
ecuațiile de echivalen ță și de echilibru cunoscute din mecanica teoretic ă.
eforturile R și M formeaz ă un sistem echivalent cu torsorul de reducere
în centrul de greutate al sec țiunii, a tuturor for țelor exterioare aplicate
părții de corp care a fost înl ăturată sau un sistem egal și direct opus cu
torsorul for țelor exterioare aplicate p ărții de corp care se cerceteaz ă.
În cazul cel mai general, eforturile R și M au direc ții oarecare fa ță de
secțiune. Ele se descompun în compone nte pe normala la planul sec țiunii (pe
axa barei) și în planul sec țiunii, rezultând:
a) rezultanta R are o component ă orientată pe normala la sec țiune, numit ă
forță normală sau forță axială și notată cu N, respectiv o component ă T
conținută în planul sec țiunii și numită forță tăietoare (Fig.2.1-2)
b) momentul (cuplul) M se descompune în momentul de torsiune M t sau
moment de r ăsucire , orientat dup ă normala la sec țiune și în momentul
încovoietor Mi conținut în planul sec țiunii (Fig.2.1-2)
Mărimile N, T, M i, M t se numesc de asemenea eforturi. Fiecare astfel de
efort, luat separat, produce în bar ă o anumit ă solicitare:
x
y z
N Tz Ty Mt
Miz
Miy
Fig.2.1-2 Eforturile din secț iunea unei bare
24

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
¾ forța axială N când este orientat ă față de secțiune ca în Fig.2.1-2 produce
o solicitare de tracț iune sau întindere, iar dacă are sens contrar, o
solicitare de compresiune
¾ forța tăietoare T produce o solicitare de t ăiere sau de forfecare
¾ momentul de torsiune M t produce solicitarea de torsiune sau de răsucire
¾ momentul încovoietor M i produce solicitarea de încovoiere .
Dacă în secțiunea transversal ă a barei se întâlnes c simultan mai multe
solicitări simple, atunci în acea secț iune există o solicitare compus ă. Forț a
tăietoare T având o orientare oarecare ș i fiind con ținută în planul sec țiunii, se
descompune pe direc țiile y respectiv z, ob ținându-se componentele T y și T z. La
fel și pentru momentul încovoietor M i se obț in componentele M iy, respectiv M iz.
(Fig.2.1-2). Aș adar, în secț iunea transversal ă a unui element de rezisten ță există
următoarele componente de eforturi: N (efort axial), T y, T z (efort tă ietor), M t
(moment de torsiune sau r ăsucire), M iy, M iz (moment încovoietor).
În realitate eforturile nu sunt concentrate în centrul de greutate al sec țiunii,
ci sunt distribuite pe întreaga suprafa ță a acesteia, eforturile reprezentând
rezultantele lor.
În Rezisten ța Materialelor este de mare importan ță determinarea legii de
distribuție a eforturilor în lungul elementului și valoarea acestora. Eforturile în
general diferă de la o secț iune la alta.
Cu cine este egal ă atunci valoarea unui efort dintr-o sec țiune transversală a
unui element de rezisten ță ?
Forța axială în secțiunea unei bare este egală cu suma algebric ă a
proiecț iilor pe axa barei a tuturor for țelor exterioare (inclusiv reac țiunile) care
acționează asupra p ărții considerate îndep ărtată sau de pe aceea și parte dar, cu
semn schimbat.
Forța tăietoare într-o sec țiune este egal ă cu suma algebric ă a proiec țiilor
pe normala la axa barei a tuturor for țelor exterioare care ac ționează asupra
părții considerate îndep ărtată, sau de pe aceea și parte dar, cu semn schimbat.
Momentul încovoietor într-o sec țiune este egal cu suma algebric ă a
momentelor încovoiet oare ale tuturor for țelor exterioare, plus cuplurile
încovoietoare exterioare (inclusiv ale reac țiunilor) care ac ționează pe partea
considerat ă îndepărtată, sau pe aceea și parte dar, cu semn schimbat.
Momentul de torsiune (r ăsucire) într-o sec țiune este egal cu suma
algebrică a momentelor de torsiune ale tuturor forț elor exterioare, plus
cuplurile de torsiune exte rioare (inclusiv ale reac țiunilor) care ac ționează pe
partea considerat ă îndepărtată, sau pe aceea și parte, dar cu semn schimbat.
Pentru a se face suma algebric ă, acestor eforturi trebuie s ă li se asocieze o
convenție de semn. Pentru cazul unui sistem plan, conven ția de semn pozitiv
pentru eforturi este prezentat ă în Fig.2.1-3.

25

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.2 RELAȚ II DIFEREN ȚIALE ÎNTRE EFORTURI ȘI TENSIUNI

Eforturile dezvolt ă într-o sec țiune a unui element de rezisten ță tensiuni
normale σ și tangenț iale τ , a că ror reprezentare este prezentat ă în Fig.2.2.-1a
(vezi și Fig.1.6-1b). În Fig.2.2-1b sunt reprezentate eforturile din sec țiunea barei
(vezi și Fig.2.1-2).

Componentele eforturilor se pot exprima în func ție de tensiunile de pe
suprafața secț iunii transversale, rezultând un sistem de ecua ții de echivalență
între eforturi și tensiuni, sau rela țiile diferen țiale între eforturi și tensiuni:
N N T TMiMifața din stân ga
x x
fața din drea pta
Fig.2.1-3 Conven ția de semne pozitive ale
eforturilor la o bar ă dreaptă
dA
z y z τxz z
y x
N Tz Ty Mt
Miz
Miy x
σ z
y τxy
a) b)
Fig.2.2-1 Echivalen ța între tensiuni și eforturi AA
26

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
∫⋅ σ =
AdA N

∫⋅ τ =
Axy y dA T

∫⋅ τ =
Axz z dA T 2.2-1

∫⋅ ⋅ σ =
Aiz dA y M

∫⋅ ⋅ σ − =
Aiy dA z M

( )dA y z Mxz xy t ⋅⋅τ−⋅τ=

Relaț iile 2.2-1 reprezint ă cele șase relații de echivalen ță între eforturi și
tensiuni , sau relațiile diferen țiale între eforturi și tensiuni.

2.3 RELA ȚII DIFEREN ȚIALE ÎNTRE EFORTURI ȘI SARCINI

Fie o bară dreaptă încărcată cu o sarcină distribuit ă după o lege oarecare
(Fig.2.3-1a). Pe un elemen t de lungime infinit mic ă dx, se poate considera c ă
sarcina p este uniform distribuit ă (Fig.2.3-1a). Se deta șează elementul de
lungime dx și pe fețele sale se aplic ă eforturile, consider ate pozitive (Fig.2.3-
1b). Cum aceste eforturi variaz ă în lungul barei, pe sec țiunea din stânga
acționează eforturile T și M i, iar pe cea din dreapta T+dT și M+dM i.
x p=const.
M+dM i T
dx p(x)
dxMi
T+dT
a) b)

Fig.2.3-1 Echivalen ța între eforturi și sarcini
27

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ecuațiile de echilibru scrise pentru el ementul din Fig.2.3-1b, conduc la
stabilirea unor relaț ii foarte importante:

()
() 0 dT T dx p T0 Fx
= + − ⋅ −=∑

de unde rezult ă:

pdxdT− = 2.3-1

Relaț ia 2.3-1 arat ă că derivata func ției forț ei tăietoare în raport cu
abscisa sec țiunii, este egal ă cu sarcina distribuit ă normală la axa barei din
acea secțiune, luată cu semn schimbat.
Asem ănător se deduce c ă derivata func ției forț ei axiale în raport cu
abscisa sec țiunii este egal ă cu sarcina distribuit ă axială din acea sec țiune, luată
cu semn schimbat.
Suma de momente fa ță de centrul de greutate al sec țiunii din dreapta,
conduce la:

()()02dxp dx T dM M M2
i i i = − ⋅ + + −

de unde dup ă neglijarea infinitului mic de ordinul doi (dx)2/2, se obține:

TdxdMi= 2.3-2

Relaț ia 2.3-2 arat ă că derivata func ției momentului încovoietor în raport
cu abscisa secț iunii, este egal ă cu forța tăietoare din acea sec țiune.
Dacă relația 2.3-2 se mai deriveaz ă încă o dată în raport cu dx, se ob ține
următoarea rela ție diferen țială între eforturi și sarcini:

pdxdT
dxM d
2i2
− = = 2.3-3

Relaț iile diferenț iale stabilite între eforturi și sarcini permit ob ținerea unor
informații deosebit de importante cu privire la traseul diagramelor de eforturi.
28

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Se prezint ă în continuare câteva astfel de informa ții rezultate din rela țiile
diferențiale dintre eforturi și sarcini și de care trebuie ținut seama pentru
obținerea unor diagrame de eforturi corecte:
Valoarea efortului t ăietor într-o sec țiune reprezintă tangenta
trigonometric ă a unghiului pe care îl face cu axa barei, tangenta la
diagrama M i în secț iunea respectiv ă.
Dacă pe o porțiune (interval) oarecare:
efortul tă ietor T > 0 (pozitiv), momentul încovoietor M i este
crescător
efortul tă ietor T < 0 (negativ), momentul încovoietor M i este
descrescător
efortul tă ietor T trece prin valoaarea zero schimbând semnul
din + (plus) în – (minus), atunci în acea sec țiune, momentul
încovoietor M i are un maxim, iar când semnul se schimb ă din –
în +, momentul încovoietor M i are un minim
efortul tă ietor T este nul (T = 0), momentul încovoietor M i este
constant.
Dacă sarcina distribuit ă este nul ă (p = 0) pe un interval (interval
neîncărcat), pe acel interval efortul t ăietor T este constant (T =
const.). Pe acest interval, diagrama momentul încovoietor M i este
reprezentat ă prin drepte oblice, numai dac ă T nu este nul. Dac ă p < 0,
efortul tă ietor T, scade.
Pe intervale înc ărcate cu sarcin ă uniform distribuit ă (p = const.),
diagrama M i este o parabol ă, iat diagrama T o dreapt ă înclinată. În
cazul unei distribuț ii neuniforme a sarcinii distribuite p, ambele
diagrame (T și M i) sunt curbe a c ăror formă depinde de tipul sarcinii.
În secțiunile din dreptul for țelor transversale concentrate, diagrama T
prezintă o discontinuitate de valoare (salt), egal ă cu valoarea acelei
forțe și produsă în sensul acesteia, iar diagrama M i prezintă o
discontinuitate de tangent ă (o frângere, schimbare de pant ă) a
porțiunilor vecine ale diagramei.
Dacă sarcina distribuit ă este orientat ă în jos (p < 0), diagrama M i
este o curb ă a cărei convexitate este orientat ă în jos (Fig.2.3-3a), iar
dacă sarcina distribuit ă este orientat ă în sus (p > 0), diagrama M i pe
acea porțiune are convexitatea în sus (Fig.2.3-3b).
Pe intervale înc ărcate cu sarcini distribuite liniar, efortul t ăietor T
variază după o curbă de gradul doi, iar momentul încovoietor M i după
o curbă de gradul trei. Convexitatea diagramei M i se stabile ște la fel
ca în cazul p = const. (Fig.2 .3-3). Convexitatea efortului t ăietor T, se
stabilește ușor pe baza celor cunoscute din Analiza Matematic ă.
Pe reazemul articulat de la cap ătul grinzii, momentul încovoietor M i
este egal cu zero dac ă pe acest reazem nu se g ăsește un cuplu
(moment) concentrat. Dac ă în secțiunea de la cap ătul consolei nu este
29

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
aplicată o forță concentrat ă, efortul t ăietor T pe consol ă este egal cu
zero.
La capătul încastrat al barei, eforturile T și M i sunt egale cu
reacțiunea, respectiv mome ntul din încastrare.
în jos
în sus
a) b)

Fig.2.3-3 Convexitatea diagramei momentului încovoietor
În secțiunile în care se aplic ă un cuplu concentrat (moment concentrat
exterior), diagrama M i prezintă o discontinuitate în valoare (salt)
egală cu valoarea acelui cuplu exterior concentrat ș i produsă în
sensul de ac țiune al cuplului. Asupra diagramei T, acest cuplu exterior
concentrat, nu are nici o influen ță.

2.4 TRASAREA DIAGRAMELO R DE EFORTURI

Diagramele de eforturi nu sunt altceva decât reprezentarea grafic ă a
funcțiilor eforturilor în lungul unui element de rezisten ță. Ca urmare, pentru a
putea obține diagramele de eforturi pentru un element de rezisten ță, mai întâi
trebuie scrise func țiile eforturilor în lungul elementului. Scrierea func țiilor
eforturilor se face pe câte un inte rval caracteristic, care este acea por țiune a
elementului pe care funcț iile de eforturi prezint ă o funcție unică.
Înainte de scrierea func țiilor de eforturi și reprezentarea lor grafic ă, trebuie
calculate și verificate reac țiunile (vezi calculul și verificarea reac țiunilor,
paragraful 1.5). La scrierea func țiilor eforturilor pe fiecare interval caracteristic,
se ține seama de conven ția de semne pozitive ale acestora (vezi conven ția,
Fig.2.1-3)

30

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2.4.1 Diagrame de efor turi la bare drepte

Pentru barele drepte din exemplele urm ătoare, să se traseze diagramele de
eforturi.

Exemplul nr.1 Bara simplu rezemat ă încărcată cu o for ță concentrat ă
(Fig.2.4.1-1)
Bara A-B este solicitat ă de o forță concentrat ă F înclinat ă cu unghiul α
față de axa longitudinal ă a barei

Calculul reac țiunilor . Reacțiunile sunt poziț ionate în reazeme și prezentate în
Fig.2.4.1-1a.

()0 Fx=∑
0 cos F HA =α−
de unde rezult ă: 1
x x F
F HA α A B
VA VB a a)
b
l
b) N
F cosα
(F b sinα)/ l
T c)
(F a sinα)/ l
d) Mi
(F a b sinα) / l
Fig.2.4.1-1
31

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

H = F cosα A

Pentru calculul reac țiunilor V A și V B se scriu ecua țiile de momente fa ță de
reazemele A, respectiv B. B

() 0 b sin F l V MA B= ⋅ α ⋅ − ⋅ = ∑

de unde se ob ține

VA = (F b sinα ) / l

() 0 a sin F l V MB A= ⋅ α ⋅ − ⋅ = ∑

de unde se ob ține

V B = (F a sinα) / l B

Se trece acum la verificarea reac țiunilor:

()
() 0 sin F sin b alFsinlb Fsin F sinla FV sin F V FB A y
= α ⋅ − α + = α⋅+ α ⋅ − α⋅== + α ⋅ − = ∑

Se poate constata c ă reacțiunile verific ă ecuația de echilibru
corespunz ătoare, putându-se trec e acum la trasar ea diagramelor de eforturi.

Funcțiile de eforturi și trasarea acestora . Funcțiile de eforturi se vor scrie pe
fiecare interval caracteristic și apoi se reprezint ă grafic.
Pe intervalul A-1 . În Fig.2.4.1-1a se prezintă secțiunea realizat ă în acest
interval și poziț ionată prin coordonata x. Se ț ine seama de conven ția de semn a
eforturilor și în acest caz func țiile eforturilor se scriu pe fa ța din dreapta a barei.
Efortul axial în sec țiunea x, este:

N = H A = F cosα

rezultă un efort axial constant, nu depinde de poziț ia secțiunii x și pozitiv.
Valorile pozitive pentru efortul axial se reprezint ă deasupra axei de valoare zero
(deasupra axei longitudinale a barei). Reprezentarea grafic ă a efortului axial N
este prezentat ă în Fig.2.4.1-1b.
Efortul tă ietor T în sec țiunea x, este:
32

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

T = V A = (F b sin α) / l

de asemenea constant, pozitiv, iar reprezentarea grafic ă este arătată în Fig.2.4.1-
1c. Valorile pozitive ale efortului t ăietor T se reprezint ă deasupra axei de
valoare zero (deasupra axei longitudinale a barei).
Momentul încovoietor M din secțiunea x, este: i

= V x = [(F b sin α) / l ] x = (F x b sin α) / l Mi A

și prezintă o variație liniară (depinde liniar de pozi ția secțiunii x). Se calculeaz ă
acum valorile momentului la cap etele intervalului A-1, adică în secțiunile A,
respectiv 1. Se ob țin valorile:

pentru x = 0 , M iA = 0

= (F a b sin α) / l pentru x = a, M i1

Diagrama rezultat ă este prezentat ă în Fig.2.4.1-1d. La momentul încovoietor
Mi, valorile pozitive se reprezint ă sub axa de valoare zero (sub axa longitudinal ă
a barei), tocmai pentru ca diagrama M i să apară totdeauna de partea fibrei întinse
a barei . Această observație trebuie re ținută, ea fiind de un real folos la
reprezentarea diagramelor de ef orturi pentru sistemele spa țiale.

Se scriu acum func țiile de eforturi pe intervalul B-1. Se parcurge intervalul
de la B spre 1 (de la dreap ta spre stânga), iar func țiile eforturilor se scriu pe fa ța
din stânga (aten ție la conven ția de semne pozitive ale eforturilor pentru această
față). Se obțin funcțiile:
pentru efortul axial

N = 0

Nu există efort axial pe acest interval.
pentru efortul t ăietor:

T = – V B = – (F a sin α) / l B

efort constant, negativ. Valorile negative la efortul t ăietor se reprezint ă sub axa
de valoare zero (sub axa barei). Varia ția efortului t ăietor T pe acest interval este
prezentată în Fig.2.4.1-1c.

pentru momentul încovoietor:

33

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
M = V B x = [(F a sin α) / l ] x = (F a x sin α) / l iB

variație liniară, valori pozitive.
La capetele intervalului, valorile momentului încovoietor, sunt:
pentru x = 0,

MiB = 0

pentru x = b,

Mi1 = (F a b sin α) / l

Cu aceasta s-a încheiat trasarea diagramelor de eforturi pentru exemplul
prezentat. Se poate constata c ă informațiile date de rela țiile diferenț iale dintre
eforturi și sarcini (legi de varia ție, salturi, maxime etc) sunt satisf ăcute. Rezultă
de aici că diagramele de eforturi prezentate în Fig.2.4.1-1 sunt corecte.

Exemplul nr.2. Bara simplu rezemat ă încărcată cu sarcin ă uniform
distribuit ă (Fig.2.4.1-2a)

pl / 2 pl / 2 A p
VABa) x
l
T VB
b)
l / 2
Mi
pl2 / 8 c)
Fig.2.4.1-2
34

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Calculul reac țiunilor. Se poate constata u șor că cele dou ă reacțiuni sunt egale
și au valorile:

V A = V B = p l / 2 B

Nu există reacțiune pe orizontal ă, deoarece pe aceast ă direcție nu exist ă nici
acțiune (componente orientate după direcția axei longitudinale a barei).

Funcțiile și diagramele de eforturi. Pentru acest exemplu, nu exist ă efort axial.
Bara prezint ă un singur interval caract eristic, intervalul A-B.
Efortul t ăietor T în sec țiunea x, se scrie pentru fa ța din dreapta (partea
parcursă de la A la x se consider ă înlăturată ) și are expresia:

T = V A – p x = p l / 2 – p x

variație liniară, semn pozitiv. La capetele de in terval, valorile efortului t ăietor T
sunt:
pentru x = o,

TA = V A = p l / 2

pentru x = l,

TB = V A – p l = p l / 2 – p l = – p l / 2 B

Diagrama de varia ție a efortului tă ietor T este prezentat ă în Fig.2.4.1-2b.
Se observ ă că efortul t ăietor se anulează (este zero), iar în aceast ă secțiune
momentul încovoietor prezint ă extrem. Pozi ția secțiunii în care T = 0, trebuie
determinat ă. Ea rezult ă din condiț ia:

T = p l / 2 – p x = 0

de unde rezult ă poziția secțiunii în care efortul t ăietor T este nul:

x = l / 2

Această poziție este prezentat ă în Fig.2.4.1-2b.
În aceeaș i secțiune x, se scrie funcț ia momentului încovoietor M : i

2 M = V x – p x x / 2 = (p l / 2) x – p x / 2 i A

Rezultă o ecuație de gradul doi, care prezint ă un extrem la x = l / 2. Valorile
momentului încovoietor la capetele intervalului și valoarea extrem ă, sunt:
35

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
pentru x = 0,

MiA = 0

pentru x = l / 2,

2Mi extr. = M i max = p l / 8

pentru x = l,

MiB = 0

Diagrama momentului încovoietor M i pentru acest exemplu este
prezentată în Fig.2.4.1-2c. Și pentru acest exemplu se verific ă toate condi țiile
rezultate din rela țiile diferen țiale dintre eforturi și sarcini.

Exemplul nr.3. Bara simplu rezemat ă încărcată cu sarcin ă triunghiular ă
(Fig.2.4.1-3a)

p l / 3 p l / 6 B A p px
x 2 l / 3
a)
F
VB VA l
b) T
31/2 l / 3
31/2 pl2 / 27 Mi c)
Fig.2.4.1-3
36

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Înc ărcarea total ă a barei este F = p l / 2, care are punctul de aplica ție la
2l/3 de reazemul A. Cu această încărcare se calculeaz ă reacțiunile cu
metodologia cunoscut ă, iar după efectuarea calculelor se ob țin valorile:

3l pF32V6l pF31V
BA
⋅= =⋅= =

Într-o sec țiune oarecare x (Fig.2.4.1-3a), sarcina distribuit ă are
intensitatea (din asem ănare):

plxpx=

Funcțiile și diagramele de eforturi.
Efort axial nu exist ă.
Func ția efortului t ăietor este:

2 x
A xl 2p
6l p
2xplx
6l p
2x pV T ⋅⋅−⋅= ⋅ −⋅=⋅− =

Rezultă o variație parabolic ă. La capetele intervalului A-B, valorile efortului
tăietor T sunt:
pentru x = 0,

TA = p l / 6

pentru x = l,

TB = – p l / 3 B

Se constat ă că efortul tăietor se anulează , poziția acestei secț iuni rezultând din
relația:

0 xl 2p
6l pT2= ⋅⋅−⋅=

de unde se ob ține pentru x valoarea:

37

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
l33
3lx ⋅ = =

Diagrama efortului t ăietor T este prezentat ă în Fig.2.4.1-3b.
Func ția momentului încovoietor M este: i

3 x
A i xl 6px6l p
3x
2x px V M ⋅⋅− ⋅⋅= ⋅⋅− ⋅ =

La capetele intervalului și în secțiunea unde efortul t ăietor se anulează ,
momentul încovoietor M are valorile: i
pentru x = 0,

MiA = 0

1/2 pentru x = l / 3 = 0,577 l,

1/2 2Mi max = 3 p l / 27

pentru x = l,

MiB = 0.

Diagrama momentului încovoietor M este prezentat ă în Fig.2.4.1-3c. i

Exemplul nr. 4. Bara simplu rezemat ă încărcată cu un moment (cuplu)
concentrat (Fig.2.4.1-4a)

x x 1 M
A B a)
a b VB VA
l
T b)
-M / l
-M a / lMi c)
M b / l Fig.2.4.1-4
38

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Valorile reacț iunilor sunt:

V A = -V B = M / l B

Reacțiunile sunt egale dar de semn contrar.
Funcțiile și diagramele de eforturi. Pentru această bară există două intervale
caracteristice: A-1 și 1-B.
Intervalul A-1 Se parcurge bara de la stânga la dreapta, deci func țiile de
eforturi se scriu pe fa ța din dreapta.
Efortul tă ietor T are expresia:

T = – V = -M / l A

Este constant, negativ ș i nu depinde de poziț ia secțiunii x. Diagrama este
prezentată în Fig.2.4.1-4b.
Momentul încovoietor are expresia:

M = -Vi A x = (-M / l) x,

variație liniară și negativ. La capetele interval ului, valorile momentului
încovoietor, sunt:
pentru x = 0,

MiA = 0

pentru x = a,

Mi1 = -M a / l

Diagrama momentului încovoietor pe acest interval este prezentat ă în Fig.2.4.1-
4c.
Intervalul B-1 Acest interval se rezolv ă de la dreapta la stânga, eforturile
se scriu pentru fa ța din stânga (Fig.2.4.1-4a).
Efortul tă ietor T, are expresia:

T = – V B = -M / l B

Este constant și negativ. Diagrama T este prezentat ă în Fig.2.4.1-4b.
Momentul încovoietor are expresia:

M = V B x = (M / l) x iB

Variația este liniar ă, iar la capetele intervalului are valorile:
39

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
pentru x = 0,

MiB = 0

pentru x = b,

Mi1 = M b / l.

Diagrama momentului încovoietor pe ntru acest interval este prezentat ă în
Fig.2.4.1-4c. Se verifică toate condi țiile rezultate din rela țiile diferen țiale care
există între eforturi și sarcini.

Exemplul nr. 5. Bara încastrat ă încărcată cu o sarcin ă concentrat ă
(Fig.2.4.1-5a)

Pentru această bară există un singur interval caracteristic. Pentru scrierea
funcțiilor de eforturi nu este necesar s ă se calculeze reac țiunile, cu condiț ia ca
intervalul să fie parcurs de la stânga la dreapta (Fig.2.4.1-5a), adic ă scrierea
funcțiilor de eforturi s ă se facă pe fața din dreapta.
F
x
l
T
Efortul tă ietor T, în sec țiunea x, are expresia:

T = – F

Este constant și negativ. Diagrama este prezentat ă în Fig.2.4.1-5b.
Momentul încovoietor din sec țiunea x, are expresia:
a)
b)
Mi -F -F
-F l
Fig.2.4.1-5 A B
c)
40

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
M = – F x i

Momentul încovoietor este negativ și are varia ție liniară . La capetele
intervalului A-B, valorile momentului încovoietor sunt:
pentru x = 0,

MiA = 0

pentru x = l,

MiB = – F l.

Diagrama momentului încovoietor M este prezentat ă în Fig.2.4.1-5c. i

Exemplul nr. 6. Bara simplu rezemat ă multiplu înc ărcată (Fig.2.4.1-6a)
Scriind sum ă de momente fa ță de reazemele A și B, rezultă urmă toarele
valori pentru reac țiuni:
VB VA A 2 1 B2pa2 20pa
p
2a 2a 2a
10pa x xa)
T
-10pa 2pa

V A = 10 p a b)
-2pa2 -2pa2
18pa2Mi
Fig.2.4.1-6 x
c)
41

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
V B = 12 p a B

Funcțiile și diagramele de eforturi.
Se începe spre exemplu cu intervalul A-1 , care se rezolv ă parcurgând bara
de la stânga la dreapta. Efortu rile se scriu în acest caz pa faț a din dreapta.
Efortul tă ietor are urm ătoarea func ție:

T = V A = 10 p a

și este constant și pozitiv. Diagrama este prezentată în Fig.2.4.1-6b.
Efortul moment încovoietor M i, este:

M i = V A x – 2 p a2 = 10 p a x – 2 p a2

și prezintă o variație liniară. La capetele intervalului A-1, valorile sunt:
pentru x = 0,

MiA = – 2 p a2

pentru x = 2a,

Mi1 = 18 p a2

Diagrama momentului încovoietor M este prezentat ă în Fig.2.4.1-6c. i
Pe intervalul 1-B. Și acest interval se parcurge tot de la stânga spre
dreapta.
Efortul tă ietor prezint ă următoarea lege de varia ție:

T = V A – 20 p a = 10 pa – 20 p a = – 10 p a

Efortul tăietor este constant și negativ. Diagrama lui T este prezentat ă în
Fig.2.4.1-6b.
Momentul încovoietor este:

2 2 M = V (2a + x) – 2pa – 20pa x = 18 pa – 10 pa x i A

și prezintă o variație liniară. La capetele intervalului 1-B, valorile momentului
încovoietor, sunt:
pentru x = 0

Mi1 = 18 pa2

pentru x = 2a,
42

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

MiB = – 2 pa2

Diagrama momentului încovoietor pe acest interval este prezentat ă în
Fig.2.4.1-6c.
Intervalul 2-B. Acest interval se rezolvă parcurgând bara de la dreapta la
stânga (este mai u șor deoarece aceast ă parte este mai puț in încărcată), deci
scriind func țiile de eforturi pe fa ța din stânga.
Efortul tă ietor T, are expresia:

T = p x

și prezintă o variație liniară.
La capetele intervalului 2-B, valorile efortului t ăietor T, sunt:
pentru x = 0,

T2 = 0

pentru x = 2a,

TB = 2 p a B

Diagrama efortului t ăietor T este prezentat ă în Fig.2.4.1-6b.
Momentul încovoietor M , este: i

2 M = – (p x) x/2 = – p x / 2 i

și prezint ă o varia ție parabolic ă. La capetele intervalului 2-B, valorile
momentului încovoietor, sunt:
pentru x = 0,

Mi2 = 0

pentru x = 2a

M iB = – 2 p a2

Diagrama momentului încovoietor pe intervalul 2-B este prezentat ă în
Fig.2.4.1-6c.

43

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Exemplul nr. 7. Diagrame de eforturi la bare cu articula ții sau tip Gerber
(Fig.2.4.1-7a)
Barele de tip Gerber sau barele cu articula ții, sunt acele bare care sunt
legate între ele prin articula ții. O astfel de articula ție are proprietatea c ă nu
transmite momentul (cuplul) de la bar ă la cealalt ă. Forța axială și tăietoare se
transmite printr-o astfel de articula ție de la o bar ă la alta. Rezultă de aici c ă
pentru fiecare astfel de articula ție se poate scrie câte o ecuaț ie suplimentară ,
punând condi ția ca în articula ție momentul s ă fie nul. Se spune c ă o astfel de
articulație micșorează gradul de nedeterm inare cu o unitate.
Se prezint ă în continuare modul de trasar e al diagramelor de eforturi
pentru barele cu articula ții, bare de tip Gerber.
2p
La început bara pare a fi static nedeterminat ă, existând 4 reac țiuni (3 în
încastrare și una în reazemul mobil). Cum aici exist ă o bară de tip Gerber, în
articulația 1 momentul este nul, ceea ce ne permite s ă mai scriem o ecua ție
suplimentară (pe lângă cele cunoscute din static ă). Ca urmare, acest sistem este
static determinat.
Din ecua ția de momente din articula ți a 1 , s e o b ține reacțiunea din
reazemul A:

M 1 = V A 2a – 2p 2a a = 0
2pa
-11pa2a VA B 2 1
x x x pa
a) A
2a a 3a
T b)
-2pa
-3pa -3pa
-2pa2
c) Mi
pa2 / 2
Fig.2.4.1-7
44

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
de unde:

V A = 2 pa

Diagramele de eforturi pot fi scrise și fără a se mai calcula reac țiunile din
încastrare, cu condi ția ca cele trei intervale caracteristice să fie rezolvate
parcurgându-le de la stânga la dreapta. Astfel, func țiile de eforturi se vor scrie
pe fața din dreapta a fiec ărei secțiuni x (Fig.2.4.1-7a). Efort axial nu exist ă pe
nici un interval. Articula ția a servit numai pentru scrierea ecua ției suplimentare,
care ne-a ajutat la determinarea reac țiunii din reazemul mobil. Scrierea func țiilor
de eforturi, mai departe, se va face ca și când articula ția nu ar exista (se
neglijează pur și simplu).
Intervalul A-1. Efortul tăietor are expresia:

T = V A – 2p x = 2 pa – 2p x

și o variație liniară. La capetele intervalul ui A-1, are valorile:
pentru x = 0,

T A = 2 pa

pentru x = 2a,

T1 = – 2 pa.

Diagrama T pe acest in terval este prezentat ă în Fig.2.4.1-7b. Se constat ă că
efortul tăietor T se anuleaz ă pe acest interval, pozi ția secțiunii respectivă
rezultând din condi ția:

T = 2 pa – 2p x = 0

de unde,
x = a

Momentul încovoietor M i, este:

M i = V A x – 2p x x/2 = 2 pa x – p x2 / 2

La capetele intervalului A-1, valorile lui M i, sunt:
pentru x = 0,

MiA = 0

45

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
pentru x = a,

Mimax = pa2 / 2

pentru x = 2a,

Mi1 = 0.

Diagrama M i pentru acest interval este prezentat ă în Fig.2.4.1-7c. Se poate
observa c ă în articula ția 1, momentul încovoietor este nul.
Intervalul 1-2. Efortul tăietor T, are urm ătoarea expresie:

T = V A – 2p 2a = 2 pa – 4 pa = – 2 pa

și este constant ș i negativ. Diagrama corespunz ătoare este prezentat ă în
Fig.2.4.1-7b.
Momentul încovoietor, prezint ă următoarea funcț ie:

M i = V A (2a + x) – 2p 2a (a + x) = – 2 pa x

Momentul încovoietor este liniar. La cap etele intervalului 1-2, are valorile.
pentru x = 0,

Mi1 = 0

pentru x = a,

Mi2 = – 2 pa2.

Diagrama lui M i este prezentat ă în Fig.2.4.1-7c.
Intervalul 2-B Efortul t ăietor T, este:

T = V A – 2p 2a – pa = 2 pa –5 pa = – 3 pa

Efortul tăietor este constant și negativ. Diagrama de varia ție a efortului t ăietor
pe intervalul 2-B, este prezentat ă în Fig.2.4.1-7b.
Momentul încovoietor M pe intervalul 2-B are expresia: i

2 M = V (3a + x) – 2p 2a (2a + x) – pa x = – 2 pa – 3 pa x i A

La capetele intervalului 2-B mo mentul încovoietor, are valorile:
pentru x = o,

46

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Mi2 = – 2 pa2

pentru x = 3a,

2MiB = – 11 pa

Diagrama momentului încovoietor rezultat ă este prezentat ă în Fig.2.4.1-7c.

2.4.2 Diagrame de eforturi la bare cotite în plan (cadre plane)

Cadrele sunt sisteme de bare a c ăror axă formeaz ă o linie frânt ă sau
ramificată, iar nodurile realizeaz ă legături rigide sau articulate. Un cadru este
rigid dacă nu permite deplas ări de tipul celor care se produc în mecanisme, ci
numai deforma ții și deplasări elastice. În Fig.2.4.2-1, se prezint ă câteva forme de
cadre rigide.
Pentru scrierea func țiilor de eforturi la bare cotite și cadre, este indicat să
se aleagă un sens de parcurs al cadrului (vezi Fig.2.4.2-1). Se precizeaz ă că
pentru fiecare interval caracteristic se poate alege un anumit se ns de parcurgere.
Convențiile de semne pozitive sunt cele cunoscute de la bara dreapt ă. Pentru
intervalele cadrelor care sunt pe vertical ă, este suficient s ă se roteasc ă schema cu
convenția de semne de la bara dreapt ă, până când aceasta se orienteaz ă pe
verticala (Fig.2.4.2-2). Pro cedând astfel, nu sunt dificult ăți în scrierea func țiilor
și trasarea diagramelor de eforturi.
sens de
parcurs
Fig.2.4.2-1sens de parcurs
Este necesar s ă se mai precizeze, c ă atunci când se face suma sarcinilor
sau cuplurilor exterioare, ac easta se face pentru toat ă porț iunea de cadru situat ă
într-o parte sau cealalt ă față de secțiunea considerat ă, secțiune în care se scriu
funcțiile de eforturi.
Liniile de valoare zero ale eforturilor, nu mai pot fi puse sub elementul de
rezistență ca la barele drepte orizontale. În acest caz, liniile de valoare zero ale
eforturilor, urm ăresc conturul cadrului și se așează separat.
47

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
La cadre, pentru ba rele verticale, poziț ia observatorului (cel care rezolv ă
problema) este astfel încât trecerea la por țiunea orizontal ă să fie făcută fără a
trece de cealalt ă parte a barei. Pentru cadrel e cu contururi închise, rezult ă că
poziț ia observatorului trebuie s ă fie în interiorul cadrului.
Observator Observator
Fig.2.4.2-2
Exemplul care urmeaz ă, clarifică suficient de bine procedura de scriere a
eforturilor și trasarea diagramelor de ef orturi la cadrele plane.

Exemplul nr. 1. Să se traseze diagramele de eforturi pentru cadrul din
Fig.2.4.2-3.
În Fig.2.4.2-3 se prezint ă sensurile în care se parcurg intervalele
caracteristice, precum și poziț ia observatorului fa ță de aceste intervale.
Convenția de semne pentru eforturi este u șor de aplicat (vezi Fig.4.2.2-3).
2
31 p 8 pa2
F = 4pa A
BHA
VA
VB 2a x
x x
xa a
a
Fig.2.4.2-3
Calculul reac țiunilor a condus la urm ătoarele valori ale acestora:
48

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
H A = 4 pa
V A = 5 pa
V B = 3 pa B

Intervalul A-1 Efortul axial are expresia:

N = – V A = – 5 pa

și este constant și negativ.
Efortul tă ietor este:

T = – H A = – 4pa

constant și negativ.
Momentul încovoietor este:

M = – H x = – 4 pa x i A

La capetele intervalului A-1, valorile momentului încovoietor sunt:
pentru x = 0,

MiA = 0

pentru x = a,

Mi1 = – 4 pa2

Intervalul 1-2 Efortul axial este:

N = – H A = – 4 pa

constant și negativ.
Efortul tă ietor are expresia:

T = V A – p x = 5 pa – p x

La capetele intervalului 1-2, valorile lui T sunt:
pentru x = 0,

T1 = 5 pa

pentru x = 2a,

49

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
T2 = 3 pa

Momentul încovoietor este:

M i = V A x – H A a – p x x/2 = 5 pa x – 4 pa2 2 – p x /2

La capetele intervalului 1-2, valorile momentului încovoietor sunt:
pentru x = 0,

Mi1 = – 4 pa2

Intervalul B-3 Efortul axial pe acest interval este:

N = 3 pa

constant și pozitiv.
Efortul tă ietor T și momentul încovoietor M pe acest interval sunt nule. i

Intervalul 3-2 Efortul axial N este:

N = 3 pa

constant și pozitiv.
Efortul tă ietor T are expresia:

T = F = 4 pa

constant și pozitiv.
Momentul încovoietor este:

M = – F x = – 4 pa x i

iar la capetele intervalului, are valorile:
pentru x = 0,

M i3 = 0

pentru x = a,

Mi3 = – 4 pa2

Diagramele de eforturi pentru acest cadru sunt prezentate în Fig.2.4.2-4.
50

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5pa -4pa2
3pa

2.4.3 Diagrame de efortur i la bare curbe plane

În secțiunile transversale ale barelo r curbe plane solicitate de for țe
exterioare situate în planul ba rei, apar eforturi axiale, t ăietoare și momente
încovoietoare. Acestea se definesc la fel ca în cazul barelor drepte.
Pentru por țiunile curbe, variabila liniar ă x de la barele drepte nu mai poate
fi utilizată. Pentru barele curbe, variabila care pozi ționează secțiunea în care se
scriu func țiile de eforturi este un unghi, fie el notat cu ϕ (Fig.2.4.3-1).

După cum se cunoa ște de la barele drepte, efor tul axial N este situat pe
direcție perpendiculară (normală) la secțiune. La por țiunile curbe, o astfel de
direcție este tangenta la curb ă, notată cu (t) în Fig.2.4.3-1. Efortul t ăietor T este
un efort con ținut în planul sec țiunii. Pentru porț iunile curbe plane, această
direcție este direc ția radială, notată cu (r) în Fig.2.4.3-1, direc ție care trece prin
secțiune și prin centrul de curbur ă CC al barei curbe.
Prin urmare, la barele curbe, efortul axial N într-o sec țiune oarecare este
egal cu suma algebric ă a proiec țiilor pe tangenta la axa barei în sec țiunea
CC (centrul de curbur ă)(r)
ϕ (t) F
Fig,2.4.3-1 R -4pa -4pa2
4pa2 -4pa2
4pa -4pa
3pa -5pa 3pa
Mi N T
Fig.2.4.2-4 Diagramele de eforturi pentru cadrul din Fig.2.4.2-3
51

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
considerat ă, a tuturor forț elor exterioare, de pe o parte sau de pe cealalt ă parte
cu semn schimbat.
Efortul tăietor T este numeric egal cu suma algebric ă a proiec țiilor pe
direcție radială (normala exterioar ă) la axa barei în sec țiunea considerat ă a
tuturor for țelor exterioare, de pe o parte sau de pe cealalt ă parte cu semn
schimbat.
Momentul încovoietor M i este numeric egal cu suma algebric ă a
momentelor fa ță de secțiune, a tuturor for țelor exterioare (inclusiv a cuplurilor)
de pe o parte sau de pe cealalt ă, cu semn schimbat.
Convenția de semn pozitiv a eforturilor, pentru cazul barelor curbe plane,
rămâne cea stabilit ă la barele drepte.
Dacă o proiectare direct ă a forțelor exterioare care ac ționează pe partea
considerat ă este dificilă , atunci se recomand ă reducerea tuturor for țelor
exterioare în acea sec țiune (Fig.2.4.3-2).
De-a lungul unui arc de cerc, eforturile N, T ș i M i, variază după legea de
variația a lui sinϕ sau cosϕ.

Exemplul nr. 1. Să se traseze diagramele de eforturi pentru bara curb ă
din Fig.2.4.3-2.

Funcțiile de eforturi. Pentru această bară există un singur interval
caracteristic, 1-A. Pentru a putea proiecta mai u șor forț a F pe tangent ă și pe
normala exterioar ă la axa barei în sec țiunea ϕ, s-a mutat for ța F (reprezentat ă cu
linie întrerup ă) în secțiunea în care se scriu eforturile.
A ϕ
Efortul axial N, în sec țiunea ϕ are expresia:

N = – F sin ϕ

La capetele intervalului, va lorile efortului axial sunt:
pentru ϕ = 0,
ϕ (t) (r) F
R
F
1
Fig.2.4.3-2
52

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
N1 = 0

pentru ϕ = π / 2,

NA = – F.

Efortul tă ietor T, are expresia:

T = F c o s ϕ

La capetele intervalului , valorile lui T sunt:
pentru ϕ = 0,

T1 = F

pentru ϕ = π / 2,

TA = 0.

Momentul încovoietor pe intervalul 1-A, prezint ă expresia:

M = – F R cos ϕ i

La capetele intervalului 1-A, momentul încovoietor M i, are urm ătoarele
valori:
pentru ϕ = 0,

M i1 = 0

pentru ϕ = π / 2,

M iA = – F R.

Diagramele rezultate pentru aceast ă bară, sunt prezentate în Fig.2.4.3-3.

53

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

-FR -F F
N T Mi
Fig.2.4.3-3 Diagramele de eforturi pentru bara din Fig.2.4.3-2

2.4.4 Diagrame de eforturi la bare drepte cotite în spa țiu (cadre spa țiale)

Sistemele spa țiale sunt printre cele mai r ăspândite într-o construc ție sau
structură de rezisten ță. Ele pot fi formate din bare drepte, curbe sau o combina ție
a acestora. Cele mai întâlnite sisteme spa țiale sunt cele alc ătuite din bare drepte.
La sistemele spa țiale nu mai pot fi utilizate toate conven țiile de semn care
s-au folosit la barele drepte plane. La aceste sisteme este recomandat, pentru
trasarea diagramelor de eforturi, s ă se țină seama de urm ătoarele recomand ări:
• Diagrama efortului axial N, se poate reprezenta în orice plan al sistemului. În
această diagramă se pune semn: plus (+) dac ă efortul axial este de întindere și
minus (-) dac ă este de compresiune.
• Diagrama efortului t ăietor T, se reprezint ă în planul în care ac ționează forțele
exterioare normale la axa bare i (cele care produc efortul t ăietor) și de aceea și
parte a barei cu for țele exterioare respective. În diagrama T, nu este nevoie s ă
se pună semn.
• Diagrama momentului încovoietor M i, se reprezintă pe partea fibrei întinse a
barei, iar în diagram ă nu se mai pune semn.
• Momentul de torsiune M t, se poate reprezenta în orice plan, iar în diagram ă
nu se mai pune semn. “Ha șura “ diagramei M t, se face printr-o spiral ă,
tocmai pentru a se deosebi de momentul încovoietor M . i
Trebuie reamintit faptul c ă, o dimensiune a elementului de rezisten ță, paralelă
cu suportul forț ei, nu constituie bra ț al forț ei și ca urmare produsul dintre for ță
și această dimensiune, nu produce niciodat ă un cuplu (moment).
De multe ori, mai ales în cazul încep ătorilor și pentru sisteme relativ
simple, se poate reprezenta pe fiecare interval și sistemul de axe x,y,z (vezi și
Fig.2.4.4-1)

54

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Exemplul nr. 1 . Pentru cadrul din Fig.2.4.4-1, s ă se traseze diagramele
de eforturi.
Func țiile și trasarea diagramelor de eforturi se face separat pentru fiecare
din cele trei intervale caracteristice.
A
Intervalul 1-2
N = 0
T y = 0
T z = – F
M x = M t = 0
M iz = 0
M iy = F x,
iar la capetele intervalului, M iy are valorile:
pentru x = 0

M iy1 = F ⋅ 0 = 0

pentru x = a,

M iy2 = F a

Intervalul 2-3
N = 0
T y = 0
T z = – F
M x = M t = F a x
x x
z y y
z y
z b c
xx x
1 2
3
F
Fig.2.4.4-1 a
55

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
M = 0 iz
M = F x, iy
iar la capetele intervalului 2-3, M are valorile: iy
pentru x = 0

M iy2 = F ⋅ 0 = 0

pentru x = b,

M iy3 = F b

Intervalul 3-A
N = – F
T = 0 y
T = 0 z
M x = M = 0 t
M = F a iz
M = F b. iy
Diagramele rezultate sunt prezentate în Fig.2.4.4-2.

Fa Fb
Fa F F F F
F
N T
Fa
Fb
Fb Fa
Mi Mt
Fig.2.4.4-2 Diagramele de eforturi pentru bara din Fig.2.4.4-1
56

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2.4.5 Bare solicitate prin for țe concentrate mobile. Moment maxim
maximorum

În practic ă sunt numeroase cazurile când elementele de rezisten ță sunt
solicitate prin for țe concentrate care nu au pozi ții fixe, ci ele se deplaseaz ă în
lungul elementului sau construc ției. În acest sens, se pot aminti ro țile unui
vehicul pe un pod, roț ile căruciorului unui pod rulat, ro țile locomotivei și a
vagoanelor pe un pod de cale ferat ă etc.
O succesiune de for țe concentrate sau distribuite, a c ăror mărime rămâne
constantă și care se deplaseaz ă pe o grind ă menținând aceea și distanță între
ele, se nume ște convoi de for țe mobile.
În timpul mi șcării forț elor pe grind ă, variază atât valoarea reac țiunilor cât
și cea a eforturilor produse în secț iunile grinzii. Studiul unui astfel de caz,
impune determinarea modului de varia ție al eforturilor într-un num ăr cât mai
mare de secț iuni, în funcț ie de pozi țiile succesive ale convoiului de for țe mobile.
Ca în toate problemele de rezisten ța materialelor, de mare interes este
determinarea valorii maxime ale eforturilor. Valoarea cea mai mare a
momentului încovoietor pentru o astfel de solicitare, se nume ște moment maxim
maximorum.
Calculul momentului ma xim maximorum se explic ă pe exemplul din
Fig.2.4.5-1. Se consider ă că pe grind ă se deplaseaz ă un convoi format din n
forțe concentrate, paralele și de acela și sens F 1, F2, … F , … Fi n. Se noteaz ă cu a 1,
a2, … a , … a și a i n R distanțele forțelor, respectiv a rezultantei acestora R, fa ță de o
forță oarecare F . i
Rezultanta R a for țelor concentrate F 1 … F n este dată de relația :

2.4.5-1 ∑
==n
1 iiF R
aRa2 F1F2F3Fn-1Fn
A R
a1
x
l VAB
VB
Fig.2.4.5-1
57

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Scriind o ecua ție de momente fa ță de punctul de aplica ție al forț ei F i a
tuturor forț elor concentrate aplicate (f ără reacțiuni) și a rezultantei R, se
determină poziț ia rezultantei fa ță de aceast ă forță . Poziția rezultantei R (vezi
Fig.2.4.5-1), este dat ă de relaț ia:

Ra F
Fa F
an
1 ii i
n
1 iin
1 ii i
R∑
∑∑
=
==⋅
=⋅
= 2.4.5-2

Pentru fiecare pozi ție a convoiului, se produce un efort t ăietor maxim,
egal fie cu reac țiunea din reazemul A, fie cu ce a din reazemul B. Considerând
toate pozi țiile posibile ale convoiului, rezult ă că cea mai mare va loare a efortului
tăietor T este egal ă cu reacțiunea cea mai mare (maximă ):

T = V max max max

O astfel de situa ție are loc atunci când convoiul ocup ă o poziție apropiat ă
de reazemul în care apare aceast ă reacțiune.
Cum varia ția momentului încovoietor este liniar ă (linii frânte), pentru o
poziț ie oarecare a convoiului, momentul încovoietor maxim se produce în
dreptul unei forț e concentrate. În cazu l prezentat al grinzii rezemate la capete,
momentul încovoietor maxim maxi morum are loc pentru o anumit ă poziț ie a
convoiului, în dreptul unei forț e concentrate, de obicei în dreptul for ței
concentrate cea mai apropiat ă de rezultanta R.
Pentru o pozi ție oarecare a convoiului, func ție de rezultanta R, reacț iunea
din reazemul A, este:

( x a llRVR A − − =) 2.4.5-3

iar momentul încovoietor din dreptul unei forț e concentrate oarecare F , este: i

() ∑
=⋅ − ⋅ − − =n
1 ii i R i a F x x a llRM 2.4.5-4

Pentru a determina valoarea maxim ă a momentului încovoietor, se
derivează în raport cu x rela ția 2.4.5-4 și se egaleaz ă cu zero:

58

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
( 0 x 2 a llR
dxdM
Ri= − − =) 2.4.5-5

Din rela ția 2.4.5-5, se obț ine distan ța x care defineș te poziț ia forței F i,
pentru care în dreptul ei se pr oduce momentul încovoietor maxim:

2a lxR−= 2.4.5-6

Din rela ția 2.4.5-6, rezultă că momentul încovoietor atinge valoarea cea
mai mare atunci când for ța F i și rezultanta R a convoiului de for țe de pe grind ă
se află la aceeași distanță de mijlocul grinzii.
Pentru a ob ține momentul încovoietor maxi m maximorum, valoarea lui x
dată de relația 2.4.5-6, se înlocuie ște în rela ția 2.4.5-4. După înlocuire și
efectuarea calculelor, se obț ine:

∑
=⋅ −⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−=n
1 ii i2
R
max max i a F2a l
lRM 2.4.5-7

Cazuri particulare:
Exemplul nr. 1. Pentru grinda din Fig.2.4.5-2, s ă se determine momentul
încovoietor maxim maximorum, dac ă forțele F 1 și F 2, formeaz ă un convoi de
forțe mobile.

Rezultanta celor dou ă sarcini mobile este:
Mi max max x aR
VA B F1 R F2
a2 A
l/2 l/2 VB
Fig.2.4.5-2
59

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
R = F 1 + F 2

Scriind sum ă de momente fa ță de punctul de aplica ție al forței F 1, se
determină poziția rezultantei R față de F 1:

2
2 12
22
R aF FFaRFa ⋅+= ⋅ =

Dac ă F1 > F 2, momentul maxim are loc în dreptul for ței F 1. Se noteaz ă cu
x distanța dintre rezultanta R și mijlocul grinzii. Momentul încovoietor maxim,
este atunci:

()⎥⎦⎤
⎢⎣⎡− − ⋅ =x a2lV MR A max i

unde reac țiunea V A se calculeaz ă scriind o ecua ție de momente fa ță de reazemul
B și are valoarea:

Rl 2x 2 lVA ⋅−=

Înlocuind pe V în expresia lui MA i max, acesta cap ătă urmă toarea form ă:

⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+ ⋅ − ⋅ ⋅−= x aRF
2lRl 2x 2 lM22
max i

În expresia lui M i max singura variabil ă este x. Momentul încovoietor maxim
maximorum se calculeaz ă anulând derivata de ordinul întâi în raport cu x a
expresiei lui M i max:

0 Rl 2x 2 lx aRF
2l
l 2R
dxdM
22 max i= ⋅−+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+ ⋅ − ⋅ −

Rezolvând ecua ția de mai sus, se ob ține pentru x:

2a
F FF
2a
RFx2
2 12 2 2⋅+= ⋅ =

sau în func ție de distan ța aR,

60

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2axR=

S-a ob ținut acela și rezultat, ca în cazul precedent și anume: momentul
maxim maximorum se produce pentru pozi ția convoiului în care mijlocul grinzii
împarte în p ărți egale distan ța dintre rezultanta sarcinilor concentrate ale
convoiului și forț a concentrat ă în dreptul c ăreia are loc momentul
maximmorum.
Dac ă se înlocuie ște valoarea g ăsită pentru x în expresia lui M i max, se
obține valoarea momentului în covoietor maxim maximorum:

()
4a l
lRM2
R
max max i−⋅ =

Exemplul nr. 2. Să se calculeze momentul în covoietor maxim maximorum
pentru un convoi format din dou ă sarcini egale ș i depărtate una de cealalt ă cu
distanța a (Fig.2.4.5-3).
R F
În acest caz, momentul încovoietor maxim maximorum poate avea loc
dreptul orică rei forț e. Rezultă că distanța aR dintre rezultanta R și cele dou ă forțe
concentrate este aceea și și anume:
2aaR=
Momentul încovoietor maxim maximorum are valoarea:

()Fl 8a l 2
42al
lF 2M22
max max i ⋅⋅− ⋅=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−
⋅ = a
a/2 a/2F
l/2 l/2 F F
Fig.2.4.5-3
61

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

3. CARACTERISTICI GE OMETRICE ALE
SUPRAFE ȚELOR PLANE

În rela țiile de calcul ale tensiunilor și deforma țiilor elementelor de
rezistență, de secțiunea transversal ă a acestora se ține seama prin ni ște mărimi,
numite caracteristici geometrice.
Fie, spre exemplu, aceea și bară solicitată de același sistem de for țe exterioare,
dar așezată față de sistemul for țelor în dou ă variante (Fig.3-1). Cu toate c ă
barele sunt identice, se constată că cea din stânga prezint ă o rezisten ță la
încovoiere mai mare. În acela și timp, nici deplas ările barei în cele dou ă variante
nu sunt acelea și. Comportarea diferit ă se explic ă prin aceea c ă modificarea
poziț iei secțiunii transversale fa ță de planul for țelor, modific ă caracteristicile
geometrice ale sec țiunii transversale ale barei.
Pentru efectuarea calculelor de rezisten ță și rigiditate, cunoa șterea
caracteristicilor geometrice ale suprafe ței secțiunii transversale a elementelor de
rezistență este absolut necesar ă.
F
F
h
h b b
Fig.3-1
Caracteristicile geometrice ale suprafe ței secțiunii transversale a
elementelor de rezisten ță care intervin în calcule, sunt:
aria suprafe ței
momentul static
momentul de iner ție
¾ axial
62

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
¾ centrifugal
¾ polar
raza de iner ție (girație)
modulul de rezisten ță

Fie o suprafa ță plană de arie A, pe care se ia un element infinit mic de arie
dA ș i un sistem de axe rectangulare zOy, (Fig.3-2). Cu G s-a notat centrul de
greutate al suprafe ței, iar pozi ția lui față de sistemul zOy este dat ă de y G,
respectiv z G. Poziția suprafe ței elementare dA fa ță de acela și sistem de
coordonate este dat ă de coordonatele y, respectiv z.
3.1.1 Aria suprafe ței A (Fig.3-2), se defineș te ca fiind:
dA
A yG rG
O y zG z y
z
Fig.3-2

∫=
AdA A 3 . 1 – 1
2Aria suprafe ței se măsoară în [mm ].

3.2 Momentul static . Prin defini ție, momentele statice ale suprafe ței de
arie A în raport cu axele Oz, respectiv Oy (Fig.3-2) sunt date de rela țiile:

∫∫
⋅ =⋅ =
AyAz
dA z SdA y S
3.2-1

3Momentul static poate fi poz itiv, negativ sau nul. El se m ăsoară în [mm ].
63

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Dac ă suprafața se poate descompune în suprafe țe simple la care se cunosc
poziț iile centrelor de greutate fa ță de sistemul de referin ță, expresiile
momentelor statice, cap ătă urmă toarea form ă:

3.2-2
∑∑
==
⋅ = ⋅ =⋅ = ⋅ =
n
1 iG i i yn
1 iG i i z
A z A z SA y A y S

Din relațiile 3.2-2, rezult ă că poziț ia centrului de greu tate G a unei suprafe țe
compuse, poate fi determinat ă cu relațiile:

AA z
zAA y
y
n
1 ii i
Gn
1 ii i
G
∑∑
==
⋅
=⋅
=
3.2-3

Se constată (relația 3.2-2) c ă dacă axele sistemului de referință trec prin
centrul de greutate (y G = z G = 0), momentele statice sunt nule. Axele în raport cu
care momentele st atice sunt nule și care trec prin centrul de greutate al
suprafeței, se numesc axe centrale.

3.3 Momente de iner ție
Se numesc momente de iner ție axiale, față de axele z, respectiv y, (Fig.3-
2), mărimile date de expresiile:

∫∫
⋅ =⋅ =
A2
yA2
z
dA z IdA y I
3.3-1

Momentele de iner ție axiale se exprim ă în [mm4] și sunt totdeauna
pozitive.
Momentul de iner ție centrifugal , calculat fa ță de sistemul de referin ță
zOy, este dat de expresia:

64

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
3.3-2 ∫⋅ ⋅ =
Azy dA y z I

Momentul de iner ție centrifugal se exprim ă în [mm4] și poate fi pozitiv, negativ
sau nul.
Se consider ă o suprafa ță dreptunghiular ă pe care, fa ță de axa de simetrie
Oy, se iau două suprafețe elementare de arie dA, simetrice fa ță de Oy (Fig.3.3-
1).

Făcând suma momentelor de inerț ie centrifugale pentru cele dou ă suprafețe
elementare dA (din stânga și din dreapta fa ță de Oy), se ob ține:

3.3-3 ()
dr st dr stzy
AA AAI zyd A z yd A zyd A zyd A 0 =⋅ ⋅+− ⋅ ⋅=⋅ ⋅−⋅ ⋅=∫∫ ∫∫

Același raț ionament se poate face pentru întreaga suprafa ță, de unde rezultă că
Izy = 0. Rezult ă că, pentru o suprafa ță plană care are cel pu țin o axă de simetrie,
momentul de iner ție centrifugal față de sistemul care con ține acea ax ă de
simetrie, este nul.
Momentul de iner ție polar al suprafe ței în raport cu un punct (pol) O, este
definit prin rela ția:

3.3-4 ∫⋅ = =
A2
p O dA r I I

unde r, este distan ța de la polul O la elementul de arie dA. Mo mentul de iner ție
polar se exprim ă în [mm4] și este totdeauna pozitiv. b/2 b/2 y y -z z
z dA dA
y
Fig.3.3-1
65

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Dac ă se are în vedere că ,

2 2 2z y r+ =

relația 3.3-4, cap ătă forma:

3.3-5 ()∫∫ ∫+ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + =
AA Ay z2 2 2 2
p I I dA z dA y dA z y I

adică, momentul de iner ție polar este egal cu suma momentelor de iner ție față
de două axe perpendiculare oarecare și care trec prin polul considerat .

3.4 Raza de gira ție sau raza de iner ție este o m ărime întâlnit ă în
calculele de rezisten ță, fiind definită de relațiile:

AIi ;AIiy
yz
z = = 3.4-1

Se exprim ă în [mm] și este pozitivă .

3.5 Modulul de rezisten ță se determin ă pe baza momentelor de iner ție
axiale, prin rela țiile:

miny
max , y
maxy
min , yminz
max , z
maxz
min , z
zIW ;zIWyIW ;yIW
= == =
3.5-1

unde:
, yymax min reprezint ă distanța de la axa z la puncte le extreme cele mai
depărtate, respectiv cele ma i apropiate ale suprafe ței, de aceast ă axă,
z , zmax min reprezint ă distanța de la axa y la punct ele extreme cele mai
depărtate, respectiv cele ma i apropiate ale suprafe ței, de aceast ă axă.
Modulele de rezisten ță se exprim ă în [mm3] și au sens numai pentru
valorile pozitive. Din acest motiv, în rela țiile 3.5-1, distan țele de la axe la
punctele sec țiunii cele mai dep ărtate, respectiv cele mat apropiate (y max, ymin,
z, z ), se iau în valoare absolut ă. max min
66

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
În cazul suprafe țelor compuse, modulul de rezistență nu se obț ine prin
însumarea algebrică a modulelor de rezisten ță ale suprafeț elor simple
componente, ci numai prin intermediul momentului de iner ție axial, pe baza
relațiilor 3.5-1.

3.6 Momente de iner ție și module de rezisten ță pentru câteva
suprafețe simple

3.6.1 Suprafață dreptunghiular ă
Fie suprafa ța dreptunghiular ă din Fig.3.6.1-1 pe care se ia ca suprafa ță
elementar ă, fâșia de arie dA = b dy.

Aplicând rela țiile 3.3-1 pentru calculul momentelor de iner ție, se obține:

hh
z
Ahhby bhI y dA y b dy/233 /2
22
/2/2 31 −− 2⋅ ⋅=⋅ = ⋅ ⋅ = =∫∫ 3.6.1-1

Luând o fâ șie paralelă cu axa Gy de arie dA = b dz, se ob ține momentul
de inerție față de axa central ă Gy. Momentele de iner ție axiale ale
dreptunghiului de dimensiuni h, respectiv b, sunt date de rela țiile:

12h bI ;12h bI3
y3
z⋅=⋅= 3.6.1-2

Pentru un p ătrat la care laturile sunt egal e, (h = b = a) momentele de
inerție față de axele centrale rezult ă din relațiile 3.6.1-2 și au expresia: dy y
G h z
y
b
Fig.3.6.1-1 dA = b·dy
67

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

12aI I4
y z= = 3.6-1-3

Modulele de rezisten ță față de axele centrale sunt date de rela țiile:

z
z
y
yybh
IbWWh y
bh
I bhWWb z3
2
,min max
max,min
3
2
,min ,max
max,min12
6
2
12
6
2⋅
h⋅== = =
⋅
⋅==== 3.6.1-4

3.6.2 Suprafață circulară
Din motive de simetrie, pentru suprafe țele circulare mo mentele de iner ție
față de orice diametru (care reprezintă și axe centrale), sunt acelea și. Se poate
scrie atunci:

Iz = I y 3.6.2-1

iar relația 3.3-5, devine:

Ip = I + Iz y = 2 I 3.6.2-2 z

Mai întâi se calculeaz ă momentul de iner ție polar, luând ca suprafa ță elementar ă
o coroană de rază r și grosime dr, de arie dA =2 π r dr (Fig.3.6.2-1):

32d
2Rdr r 2 r dA r I4 4 R
02R
02
p⋅ π=⋅ π= ⋅ π ⋅ = ⋅ =∫ ∫ 3.6.2-3

Ținând seama de rela ția 3.6.2-2, se ob ține rela ția pentru
momentele de inerție axiale:

64d
232d
2II I44
p
y z⋅ π=⋅ π
= = = 3.6.2-4
68

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Și modulele de rezisten ță față de orice diametru sunt egale și se calculeaz ă
cu relațiile:

32d
2dIW W W W3
z
max , y min , y max , z min , z⋅ π= = = = = 3.6.2-5

iar modulul de rezistență polar este:

16d
2dIW3
p
p⋅ π= = 3.6.2-6

3.6.3 Secțiune inelară. Calculul momentelor de iner ție axiale pentru o
secțiune circular ă cu diametrul interior d și diametrul exterior D, se face ca
pentru suprafa ța circular ă cu observa ția că integrala pentru I p se face între
limitele d/2 și D/2 (sau altfel între R i și R e).
Se ob țin, relațiile:

() (44
y z44
p k 164DI I ; k 132DI −⋅ π= = −⋅ π= ) 3.6.3-1
R y
dr
r
z
R
d
Fig.3.6.2-1
69

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
() ()43
y z43
p k 132DW W ; k 116DW −⋅ π= = −⋅ π= 3.6.3-2

unde k = d / D.

3.7 VARIA ȚIA MOMENTELOR DE INER ȚIE FAȚĂ DE AXE PARALELE

Se consider ă o suprafa ță oarecare de arie A, pe care se ia un element de
arie dA. Fie de asemenea sistemul de axe central zGy fa ță de care se cunosc
momentele de iner ție I, Izy, I și un sistem de axe zzy 1Oy 1 paralele cu cel central
(Fig.3.7-1). Se caut ă să se determine momentele de iner ție I z1, Iy1, Iz1y1, față de
sistemul de axe paralel cu cel central z 1Oy 1, la distan țele c, respectiv d de acesta.
3.7.1 Momente de iner ție axiale
Pe baza rela țiilor de definire și a nota țiilor din Fig.3.7-1, pentru
momentele de iner ție față de axele Oz 1, Oy 1 se poate scrie:

()
A c I A c S c 2 IdA c dA y c 2 dA y dA c y dA y I
2
z2
z zAA2
A2
A2 2
1 z1
⋅ + = ⋅ + ⋅ + == ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + = ⋅ = ∫∫ ∫ ∫
A∫
A∫ 3.7.1-1

()
A d I A d S d 2 IdA d dA z d 2 dA d dA d z dA z I
2
y2
y yAA2
A2
A2 2
1 y1
⋅ + = ⋅ + ⋅ + == ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + = ⋅ = ∫∫ ∫ ∫ 3.7.1-2
c y y1
dzz1
z
z1 y
G
Fig.3.7-1dA
y1
A
O
70

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Relaț iile 3.7.1-1 și 3.7.1-2, arat ă că: momentul de iner ție față de o axă oarecare
este egal cu momentul de iner ție față de o axă paralelă cu ea, trecând prin
centrul de greutate, la care se adaug ă produsul dintre aria suprafe ței și pătratul
distanței dintre cele dou ă axe.
Din rela țiile 3.7.1-1, 3.7.1-2 rezult ă de asemenea c ă momentul de iner ție
față de o axă centrală (care trece prin centrul de gr eutate), este cel mai mic din
infinitatea de momente de iner ție față de axe paralele cu ea.

3.7.2 Momente centrifugale
Pe baza rela ției de definire și a notațiilor din Fig.3.7-1, pentru momentul
de inerție centrifugal fa ță de sistemul de axe z Oz1 1 se poate scrie:

() ()
A d c I A d c S d S c IdA d c dA y d dA z c dA z ydA d z c y dA z y I
zy z y zyAA A AAA1 1 y z1 1
⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + == ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ == ⋅ + ⋅ + = ⋅ ⋅ =
∫∫∫ ∫∫∫
3.7.2-1

Relaț ia 3.7.2-1 arat ă de asemenea că momentul de iner ție centrifugal față
de un sistem de axe oarecare es te egal cu momentul de iner ție centrifugal față
de un sistem paralele cu el, trecând prin centrul de greutate al suprafe ței la care
se adaugă produsul dintre aria suprafe ței și distanț ele dintre axele sistemelor
respective.
În literatura de specialitate, rela țiile 3.7.1-1, 3.7.1-2 și 3.7.2-1 sunt
cunoscute sub numele de relațiile lui Steiner .

3.8 VARIAȚIA MOMENTRLOR DE INER ȚIE FAȚĂ DE AXE ROTITE.
DIRECȚII ȘI MOMENTE DE INERȚ IE PRINCIPALE

Fie suprafa ța plană din Fig.3.8-1 de arie A și pe care se ia o suprafa ță
elementar ă de arie dA. Pentru sistemul de axe zOy se cunosc momentele de
inerție I, Izy, Izy și se caut ă relații pentru momentele de iner ție pentru un sistem
de axe z Oy1 1 rotit cu un unghi α față de cel central (I z1, Iy1, Iz1y1 = ?).
Oy Față de sistemul de axe z 1 1, elementul de arie dA, are coordonatele:

α ⋅ + α ⋅ = + = + = =α⋅−α⋅= − = =
sin y cos z PM OR PM NP NM zsin z cos y RQ PQ PR y
11 3.8-1

71

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Pe baza rela țiilor de definire ale momentelor de iner ție, ale nota țiilor din
Fig. 3.8-1 și ale rela țiilor 3.8-1, momentele de iner ție față de sistemul rotit
z y y1
y1 z1
z y dA
O N PM
R
Q α
αα
Fig.3.8-1 A z1
z
1Oy 1, sunt:

()
α ⋅ − α ⋅ + α ⋅ == α ⋅ + α ⋅ − α ⋅ == ⋅ ⋅ α + ⋅ ⋅ α ⋅ α ⋅ − ⋅ ⋅ α =⋅ α ⋅ − α ⋅ = ⋅ =
∫∫ ∫∫∫
2 sin I sin I cos Isin I 2 sin I cos IdA z sin dA z y cos sin 2 dA y cosdA sin z cos y dA y I
zy2
y2
z2
y zy2
zAA2 2
A2 2AA2 2
1 z1
3.8-2

()αα
αα α
αα α
αααy
AA
AA
yz y z
zy z yIz d A z y d A
zd A y z d A yd A
III
II I122
1
22 2 2
22
22cos sin
cos 2 sin cos sin
cos sin2 sin
sin cos sin2=⋅=⋅ + ⋅ ⋅=
=⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
=⋅ +⋅ +⋅ =
=⋅ +⋅ +⋅∫∫
∫∫
A=∫ 3.8-3

72

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Momentul de iner ție centrifugal fa ță de sistemul rotit, are expresia:

() ()
() () α − α ⋅ + α ⋅ α ⋅ − == ⋅ − α ⋅ α − α ⋅ α + ⋅ == ⋅ α ⋅ + α ⋅ ⋅ α ⋅ − α ⋅ = ⋅ ⋅ =
∫∫ ∫ ∫∫ ∫
2 2
zy y zAA A A2 2 2 2A A1 1 y z
sin cos I cos sin I IdA zy sin dA z cos sin dA y cos sin dA yz cosdA sin y cos z sin z cos y dA z y I
1 1
3.8-4

2 2Dacă în relațiile 3.8-1 … 3.8-4 se înlocuiesc sinα și cosα prin expresiile:

22 cos 1cos ;22 cos 1sin2 2 α+= αα −= α

și se efectueaz ă calculele, rela țiile pentru momentele de iner ție față de sistemul
rotit, capătă următoarea formă :

α ⋅ + α ⋅−=α ⋅ + α ⋅−−+=α ⋅ − α ⋅−++=
2 cos I 2 sin2I II2 sin I 2 cos2I I
2I II2 sin I 2 cos2I I
2I II
zyy z
y zzyy z y z
yzyy z y z
z
1 111
3.8-5

Din relația 3.8-5, se observă că între momentele de iner ție axiale și cel polar,
există următoarea rela ție:

3.8-6 p y z y zI I I I I
1 1= + = +

adică, suma momentelor de iner ție axiale în raport cu orice pereche de axe
ortogonale care trec printr-un pol dat, este o constant ă și egală cu momentul de
inerție polar.
Prin rotirea sistemului de axe, din rela țiile 3.8-4 rezult ă că momentele de
inerție variază, însă suma lor r ămâne constant ă. Deci, exist ă atunci o pozi ție a
sistemului de axe, pent ru care momentele de iner ție au valori extreme: maxim,
respectiv minim.

73

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Direcții principale de iner ție
Valoarea unghiului α pentru care mo mentele de iner ție axiale au valori
extreme, se determin ă anulând derivatele func țiilor (rela țiile 3.8-5) în raport cu
unghiul 2α:

()ααα
ααz zy
zy
zy
zy z ydI IIId
IIII1
11sin2 cos222
sin2 cos2 02−=− ⋅ − ⋅
−⎛⎞=− ⋅ + ⋅ =− =⎜⎟⎝⎠ 3.8-7

de unde rezult ă

y zzy
I II 22 tg−⋅− = α 3.8-8

Unghiul de rotire al sistemului fa ță de cel de referin ță, pentru care
momentele de iner ție prezintă valori extreme, rezult ă din relația 3.8-8 și este:

⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
−⋅− ⋅ = α
y zzy
1I II 2arctg21
3.8-9

Poziția celeilalte direc ții este perpendiculară pe cea dat ă de unghiul α1.
Din rela ția 3.8-8 se constat ă că față de aceste direc ții rotite pentru care
momentele de iner ție axiale prezint ă valori extreme, momentul de iner ție
centrifugal I z1y1 este nul. Atunci se poate afirma c ă momentele de iner ție axiale
au valori extreme în raport cu direc țiile față de care momentul de iner ție
centrifugal este nul. Aceste direc ții se numesc direcț ii principale, iar momentele
de inerție față de aceste direcț ii poartă numele de momente de iner ție principale.
În calculele de rezisten ță, intereseaz ă în mod special pozi ția direcțiilor
principale care trec prin centr ul de greutate al suprafe ței, așa numitele direcții
principale centrale și evident momentele de iner ție principale centrale.
Direc țiile principale de iner ție se noteaz ă cu 1, respectiv 2. Axa principal ă
1 corespunde direc ției față de care momentul de iner ție principal are valoarea
maximă, iar axa principal ă 2 pentru direc ția față de care momentul de iner ție
principal are valoarea minim ă.
Pozi ționarea direc țiilor principale pe sec țiune se face dup ă semnul
unghiului α1. Dacă semnul este (+), rotirea se face de la axa z spre y pe drumul
cel mai scurt, iar dac ă semnul este (-), rotirea se face de la axa z spre axa y pe
drumul cel mai lung (invers decât în cazul precedent).
74

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Momente de iner ție principale
Momentele de iner ție principale se noteaz ă cu litera I la care se pune
indicele 1 sau 2, după cum valoarea acestuia este maxim ă sau minim ă. Există
atunci moment de inerț ie principal 1 (notat I 1), respectiv moment de iner ție
principal 2 (notat I 2).
Pentru determinarea momentelor de iner ție principale se înlocuiesc
unghiurile α1 și α2 = α1 + π / 2 date de rela ția 3.8-9 în primele dou ă relații ale
sistemului 3.8-5. Pentru ob ținerea unor expresii mai simple se ține seama de
relațiile:

α += α
α +α= α
2 tg 112 cos ;
2 tg 12 tg2 sin
2 2 3.8-10

Dup ă înlocuiri și efectuarea calculelor se ob țin expresiile pentru
momentele de iner ție principale:

()
()2
zy2
y zy z
2 min2
zy2
y zy z
1 max
I 4 I I21
2I II II 4 I I21
2I I
I I
⋅ + − ⋅ −+= =⋅ + − ⋅ ++
= =
3.8-11

Relaț iile de calcul (3.8-11) pentru momentele de iner ție principale, pot fi
grupate într-o singur ă expresie de forma:

()2
zy2
y zy z
2 , 1 I 4 I I21
2I II ⋅ + − ⋅ ±+= 3.8-12

Dac ă momentul de iner ție centrifugal este negativ (I zy < 0), direc ția
principală care trece prin primul cadran (def init de sistemul zGy) este direc ția
principală 1.
Pentru suprafe țele cu cel pu țin o axă de simetrie, direc țiile centrale Gz, Gy
sunt și principale de inerț ie. De asemenea și momentele de iner ție axiale I , Iz y
sunt momente de iner ție principale.

75

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
3.9 APLICA ȚII

Exemplul nr. 1. Pentru suprafa ța plană din Fig.3.9-1 s ă se calculeze direc țiile
principale, momentele de iner ție principale și modulele de rezisten ță față de
direcțiile centrale.

Suprafa ța din Fig.3.9-1 s-a împ ărțit în două suprafețe simple (notate cu 1
și 2) la care s-au fixat centrele de greutate G 1 și G 2 și sistemul de axe central
pentru fiecare suprafa ță simplă (z1G1y1 și z 2G2y2).
Pozi ția centrului de greutate G al suprafe ței se calculeaz ă față de sistemul
de referin ță z0Oy 0 cu relațiile 3.2-3:

G
Gaaa aaayaaa aa
aaa aa azaaa aa10 2 7 6 36,07 6,110 2 6
10 2 5 6 7,55,5710 2 6a⋅⋅+ ⋅⋅==⋅+ ⋅
⋅⋅+ ⋅⋅==⋅+ ⋅≈

Prin centrul de greutate s-au dus direc țiile centrale Gz și Gy.
Momentele de iner ție axiale față de axele centrale se calculeaz ă cu
relațiile 3.7.1-1, 3.7.1-2 ținând seama și de relațiile 3.6.1-2, unde:

c 1 = 7a – y G = 7 a – 6,1 a = 0,9 a
c 2 = – (y G – 3a) = – (6,1 a – 3 a) = – 3,1 a
d 1 = – (z G – 5a) = – (5,57 a – 5 a) = – 0,57 a
d 2 = 7,5a – z G = 7,5 a – 5,57 a) = 1,93 a c2 2a
G
G2
az z1
z2 y
z0 y0 y1
y2
6a7a 2aG11
2
Fig.3.9-1 O c1 d2d1
y1
zG
2
G
76

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
()()()()4 2 23
2 2322
2 z 12
1 z z
a 49 , 98 a 6 a 1 , 312a 6 aa 20 a 9 , 012a 2 a 10A c I A c I I
2 1
= ⋅ − +⋅+ ⋅ +⋅== ⋅ + + ⋅ + =

()()()()4 2 23
2 2322
2 y 12
1 y y
a 03 , 196 a 6 a 93 , 112a 6 aa 20 a 57 , 012a 2 a 10A d I A d I I
2 1
= ⋅ +⋅+ ⋅ − +⋅== ⋅ + + ⋅ + =

Momentul de iner ție centrifugal față de direcțiile centrale, se calculeaz ă
cu relația 3.7.2-1:

() ( ) ( ) ( )4 2 22 2 2 y z 1 1 1 y z zy
a 15 , 46 a 6 a 93 , 1 a 1 , 3 0 a 20 a 57 , 0 a 9 , 0 0A d c I A d c I I
2 2 1 1
− = ⋅ ⋅ − + + ⋅ − ⋅ + ==⋅⋅+ + ⋅⋅ + =

Poziția uneia dintre direc țiile principale de iner ție se determin ă cu relația
3.8-9:

()0
4 44y zzy
1
7 , 21a 03 , 196 a 49 , 98a 15 , 46 2arctg21I II 2arctg21
− =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−− ⋅− ⋅ ==⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
−⋅− ⋅ = α

Pentru a se ajunge la direc țiile principale de inerț ie, direcțiile centrale Gz
și Gy trebuie rotite în sens orar (de la z spre y pe drumul cel mai lung). În
Fig.3.9-1, sunt poziț ionate direc țiile principale 1 și 2. Deoarece I zy < 0, direcț ia
care trece prin primul cad ran (cel format de Gz și Gy), este direc ția principal ă de
inerție 1. Direcția principal ă de inerție 2, este perpendicular ă pe prima.
Momentele de iner ție principale se calculeaz ă cu relația 3.8-12:

()
() ()2424 44 42
zy2
y zy z
2 , 1
a 15 , 46 4 a 03 , 190 a 49 , 9821
2a 03 , 196 a 49 , 98I 4 I I21
2I II
− ⋅ + − ±+== ⋅ + − ⋅ ±+=

de unde se ob țin valorile pentru momentele de iner ție principale:

I 1 = 214,4 a4 și I 2 = 80,115 a4
77

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Modulele de rezisten ță față de axele centrale Gz și Gy se calculeaz ă cu
relațiile 3.5-1:

34
Gz
minz
max , z34
Gz
maxz
min , z
a 83 , 51a 1 , 6 a 8a 49 , 98
y a 8I
yIWa 14 , 16a 1 , 6a 49 , 98
yI
yIW
=−=−= == = = =

34
Gy
miny
max , y34
Gy
maxy
min , y
a 25 , 44a 57 , 5 a 10a 03 , 196
z a 10I
zIWa 19 , 35a 57 , 5a 03 , 196
zI
zIW
=−=−= == = = =

Exemplul nr.2. Pentru suprafa ța plană din Fig.3.9-2, s ă se calculeze momentele
de inerție principale și modulul de rezisten ță minim fa ță de direcț ia central ă Gz.
Suprafața s-a descompus în dou ă suprafețe: una plină de dimensiuni 12a · 6a și
una gol de dimensiuni 10a · 4a. În Fig.3.9-2 s-au pozi ționat centrele de greutate
G y = y 1 = y 2 y0
1, G 2 ale suprafe țelor componente și s-au reprezentat și sistemele de axe
centrale corespunz ătoare, z 1G1y1 și z2G2y2.
Deoarece suprafa ța prezintă o axă de simetrie, este suficientă o singur ă
coordonat ă a poziț iei centrului de greutate G:
z
z1
z2 2a
10a
4a
6aG
G1
G21
2yG
Fig.3.9-2 (2)
c1
(1)
c2
z0
78

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
a 25 , 7a 4 a 10 a 6 a 12a 5 a 4 a 10 a 6 a 6 a 12yG =⋅ − ⋅⋅⋅ − ⋅ ⋅=

Distanțele dintre axe sunt:

c 1 = – (y G – 6a) = – (7,25a – 6a) = – 1,25a
c 2 = – (y G – 5a) = – (7,25a – 5a) = – 2,25a
d 1 = d 2 = 0

Momentele de iner ție axiale față de axele centrale sunt:

()
()()()() ( )1222
zz 1 1 z 2 2
33
2224I= I + c× A- I + c×- A =
6a × 12a 4a × 10a= + -1, 25a × 72a – + 2, 25a × -40a = 440, 66 a12 122

()
() ()43 322
2 y 12
1 y y
a 66 , 162 012a 10 a 4012a 12 a 6A d I A d I I
2 1
= +⋅− +⋅== − ⋅ + − ⋅ + =

Momentul de iner ție centrifugal Izy este nul, deoarece suprafa ța are o ax ă
de simetrie. Ș i prin calcul se ajunge la acela și rezultat. Ca urmare, axele centrale
Gz și Gy sunt ș i axe de iner ție principale, iar momentele de iner ție centrale I z și
Iy sunt și momente de iner ție principale.
Deoarece I z > I y, rezultă că direcția principal ă 1 este axa central ă Gz, iar
direcția principal ă 2 este axa central ă Gy (Fig.3.9-2).
Modulul de rezisten ță minim fa ță de axa central ă Gz este:

34
Gz
maxz
min , z a 78 , 60a 25 , 7a 66 , 440
yI
yIW =⋅= = =
79

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. CARACTERISTICI MECANICE ALE METALELOR.
ÎNCERCAREA LA TRAC ȚIUNE ȘI COMPRESIUNE
A OȚELULUI

Alegerea materialului pentru confec ționarea unei anumite piese se face și
pe baza a șa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul.
Cunoașterea acestor caracteristici mecan ice are loc numai pe baza unor încercări
mecanice , care să scoată în eviden ță comportarea materialului în condi ții de
solicitare.
Cea mai utilizată încercare în urma c ăreia se pun în eviden ță
caracteristicile mecanice ale unui material, este încercarea la trac țiune.

4.1 ÎNCERCAREA LA TRAC ȚIUNE A O ȚELULUI DE UZ GENERAL

Încercarea la trac țiune a o țelului, ca și de altfel toate încerc ările de
materiale, este standardizat ă.
În cele ce urmeaz ă, se va prezenta numai acea parte care intereseaz ă strict
caracteristicile mecanice ale o țelului.
Epruveta, de diametru ini țial d0, pentru încercarea la trac țiune are o
porțiune de lungime L 0, numită baza de m ăsurare , pe care se mă soară lungirea
acesteia sub ac țiunea solicit ării.
În func ție de raportul dintre baza de m ăsurare L și diametrul ini țial d 0 0,
epruvetele utilizate pentru încerc ări sunt:
epruvete normale (scurte) când L 0 / d 0 = 5
epruvete lungi când L 0 / d 0 = 10.
În timpul încerc ării la diferite valori ale forț ei F se măsoară lungirea bazei
de măsurare:

Δ L = δ = L – L 4.1-1 0
unde
L – dimensiunea bazei de m ăsurare la un moment dat.

Curba forță -lungire ( F – δ ) înregistrat ă în urma încerc ării, reprezint ă
curba caracteristic ă la tracț iune.
La încercarea la trac țiune a oțelului de uz general, diagrama caracteristic ă
care se ob ține are forma din Fig.4.1-1.
80

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Curba caracteristică la tracțiune depinde de l ungimea bazei de m ăsurare.
Pentru înl ăturarea acestui neajuns, curba caracteristică se reprezint ă în
coordonate σ și ε, definite astfel:

0 0 L;AF δ= ε = σ 4.1-2
unde
A 0 – aria ini țială a secț iunii transversale a epruve tei (înainte de solicitare)
în zona bazei de mă surare,
2 A 0 = π (d) / 4. 0
Deoarece m ărimile în care se reprezint ă curba caracteristic ă la tracțiune
sunt raportate la aria ini țială a secț iunii transversale (m ărimi specifice), curba
poartă numele de curbă caracteristic ă convențională la tracț iune.
Pe curba caracteristic ă convențională la tracțiune (Fig.4.1-1) se pot stabili
o serie de puncte, c ărora le cores pund mai multe m ărimi importante:
¾ Ordonata punctului A, pân ă unde curba caracteristic ă convențională este linie
dreaptă , se nume ște limită de propor ționalitate a materialului, σ p (σl).
Porțiunea OA este zona de proporț ionalitate a curbei caracteristice. În acest
domeniu, este valabilă legea lui Hooke, care exprimă o proporționalitate între
tensiune și deforma ție specific ă:

ε ⋅ =σE 4 . 1 – 3
N
εeO E σ
ε C
DF
ABF1
M
σr
σc σe σp
εp
εt
εr
Fig.4.1-1 Diagrama caracteristic ă convențională la
trac țiune a oț elului de uz general
81

PAVEL TRIPA – REZISTENȚ A MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
unde
E = σ / ε și reprezint ă panta por țiunii liniare a curbei caracteristice.
Caracteristica de material E se nume ște modul de elasticitate longitudinal.
¾ Ordonata punctului B, pân ă unde materialul se comport ă perfect elastic, adic ă
după descărcare își recapătă dimensiunea ini țială L0, se nume ște limită de
elasticitate, σ (Re p). În realitate nici un materi al nu are comportare perfect
elastică , sub acț iunea solicit ărilor el cap ătă deformații permanente
(remanente, plastice).
¾ După punctul B urmeaz ă o porț iune BCD în care cu toate c ă încărcarea
continuă, forța nu mai cre ște, având mici oscila ții în jurul unei valori. Se
spune că în aceast ă porț iune materialul curge, iar intervalul BCD este un
palier de curgere. Tensiunea corespunz ătoare palierului de curgere se
numește limită de curgere aparent ă σc (R p).
Limita de curgere aparent ă se calculeaz ă cu relația:

0c
cAF= σ 4 . 1 – 4
unde
F c – reprezint ă valoarea forț ei înregistrat ă în momentul curgerii
materialului
¾ După punctul D, curba caracteristică are un traseu ascendent pân ă în punctul
E. Porțiunea DE este numită zonă de întă rire (ecruisare). În zona de ecruisare
unde se produc deforma ții plastice semnificative, legea lui Hooke nu se mai
respectă. La desc ărcare, rela ția dintre tensiunea σ și deforma ția specific ă ε
este liniar ă, paralelă cu porțiunea liniar ă a curbei caracteris tice (dreapta MN),
) are două componente: una elastică (ε) și una plastic ă (ε Deformația totală (εt e p).
(R Ordonata punctului E, reprezint ă rezistența de rupere σ m r ) a materialului, care
se poate calcula cu rela ția:

0max
m rAFR= = σ 4.1-5
unde
F – valoarea maxim ă a forței înregistrat ă în timpul încerc ării. max
¾ La atingerea valorii F max (punctul E), într-un anumit loc al epruvetei
secțiunea începe s ă se micșoreze (se produce gâtuirea) , continuând pân ă se
produce ruperea (punctul F).

Dacă după ruperea epruvetei, cele dou ă părți rezultate se a șează cap la cap, și
se măsoară dimensiunea bazei de m ăsurare L u (lungimea ultimă ), se determin ă
alungirea la rupere sau lungirea specific ă la rupere ε: r

82

PAVEL TRIPA – REZISTENȚ A MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
0 0 00 u
rL LL
LL L δ=Δ=−= ε 4.1-6

De obicei alungirea se exprim ă în procente ș i se noteaz ă cu A n unde n
reprezintă numărul dat de raportul L 0 / d 0 (la epruvete normale n = 5 iar la cele
lungi, n = 10):

[]% 100LL LA
00 u
n ⋅−= 4.1-7

Alt ă mărime care se determin ă la încercarea la trac țiune este gâtuirea la
rupere (exprimat ă de obicei în procente) și definită de relația:

[]% 100AA AZ
0u 0⋅−= 4.1-8

Mărimile determinate: limita de propor ționalitate, modulul de elasticitate
longitudinal, limita de elasticitate, limita de curgere aparent ă, rezisten ța de
rupere, alungirea la rupere și gâtuirea la rupere , sunt cunoscute ca fiind
caracteristici mecanice ale materialului.
Din curba caracteristic ă convențională rezultă că ruperea (punctul F din
Fig.4.1-1) se produce la o tensiune mai mic ă decât cea corespunz ătoare
punctului E. Dacă însă forța din timpul încercă rii s-ar raporta la aria sec țiunii din
momentul înregistră rii forț ei (care este mai mică decât cea iniț ială A0), s-ar
obține aș a numita curbă caracteristic ă reală a materialului (traseul OABCDF 1
din Fig.4.1-1). La curba caracteristic ă reală, ruperea se produce în punctul F 1, la
o încărcare mai mare de cât cea corespunz ătoare punctului E. Înseamn ă că
rezistența reală la rupere este mai mare decât rezisten ța la rupere dat ă de punctul
E din diagrama caracteristic ă convențională . Dificultatea ob ținerii diagramei
caracteristice reale față de cea a diagramei caracteristice conven ționale și
considerarea unei rezisten țe la rupere mai mic ă decât a celei reale, face în
practică utilizarea pe scar ă mare a diagramei caracteristice conven ționale.
Caracteristicile mecanice determinat e pe baza curbei caracteristice
convenționale sunt și ele caracteristici mecanice conven ționale .
Caracteristicile mecanice conven ționale: limita de propor ționalitate
convențională σp, limita de elasticitate conven țională σe, limita de curgere
convențională σc și rezistența de rupere σr, constituie tensiuni limit ă pentru un
material. Pe baza acestor caracteristici de material se alege valoarea tensiunii
admisibile σa (vezi paragraful 1.9) pentru calculele de rezisten ță. Cea mai
83

PAVEL TRIPA – REZISTENȚ A MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile σa este limita de
curgere conven țională σ: c

csauc cr
ac lim
aσ= σσ=σ= σ 4.1-9

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influen țate de o serie de
factori: temperatura, viteza de so licitare, factorii tehnologici, etc.

4.2 ÎNCERCAREA LA COMPRESIUNE A O ȚELULUI

Încercarea la compresiune a o țelului decurge asem ănător cu încercarea la
tracțiune, solicitarea de trac țiune fiind înlocuit ă cu una de compresiune.
Încercarea la compresiune a o țelului este de asemenea standardizat ă.
Pentru încercarea la compresiune a o țelului se utilizeaz ă epruvete de obicei
cilindrice, având diametrul egal cu lungimea (în ălțimea):

d = h = L =10 … 30 mm. 0

Diagrama caracteristic ă convențională la compresiune este la fel ca pentru
solicitarea de trac țiune (Fig.4.2-1), cu deosebirea c ă pe abscisă nu mai este
alungirea ε ci scurtarea specific ă A: c

0u 0
cLL LA−= 4.2-1

De asemenea, epruveta nu mai sufer ă o gâtuire, ci o umflare la rupere :

00 u
cAA AZ−= 4.2-2

Încercarea la compresiune arată că oțelul prezint ă aceleași valori pentru σ p,
σe, σc și E ca la cea de trac țiune. La o țelurile care au valori sc ăzute pentru
caracteristicile mecanice, ruperea la solicitarea de compresi une nu se produce,
ele se turtesc mere u. La aceste o țeluri, se prevede limita pân ă la care se continuă
încercarea.

84

PAVEL TRIPA – REZISTENȚ A MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Tracțiune
Com presiune
Fig.4.2-1

4.3 ÎNCERCAREA LA TRAC ȚIUNE A O ȚELULUI ALIAT

La oțelurile aliate pe di agrama caracteristic ă, momentul curgerii materialului
nu se mai eviden țiază. Pentru aceste o țeluri, poziț ionarea punctelor care definesc
limita de propor ționalitate și cea de elasticitate, este foarte greu de stabilit. Din
acest motiv, caracteristicile mecanice la materialele cu o astfel de diagram ă
caracteristic ă la tracț iune (Fig.4.3-1), se definesc conven țional.
Limita de proporț ionalitate conven țională σp (sau σl10), este tensiunea
corespunz ătoare punctului de pe diagrama caracteristic ă pentru care modulul
de elasticitate longitudinal tangent curent Eσ (în punctul respectiv) are o
abatere fa ță de modulul de elasticitate ini țial E0 (determinat pe por țiunea liniar ă
a curbei caracteristice). Pentru o țeluri această abatere este de 10 %.
Limita de elasticitate conven țională σ0,01 (sau σ p0,01) este tensiunea
corespunz ătoare punctului de pe diagrama caracteristic ă la tracțiune pentru
care la desc ărcare se ob ține o deforma ție specific ă remanent ă (plastică) de o
anumită valoare. Pentru oțeluri aceast ă valoare este de 0,01 %.
Limita de curgere conven țională σ0,2 ( sau R p0,2 ), este tensiunea
corespunz ătoare punctului de pe diagrama caracteristic ă la tracțiune, pentru
85

PAVEL TRIPA – REZISTENȚ A MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
care la desc ărcare se ob ține o deforma ție specifică remanent ă de o anumit ă
valoare. Pentru oțeluri aceast ă valoare este de 0,2%.

La materialele care prezint ă o astfel de diagram ă caracteristic ă la
tracțiune, se definesc dou ă module de elasticitate: unul ini țial sau în origine E 0,
definit pe por țiunea liniar ă a curbei caracteristice:

εσ= α =tg E0 4.3-1

și unul tangent curent Eσ, definit pe por țiunea neliniar ă a curbei și care este
tangenta unghiului α1 făcut de abscisa ε cu tangenta la curb ă în punctul
considerat.

4.3-2 1tg Eα =σ

Modulul de elasticitate tangent curent, se modific ă de la un punct la altul
al porțiunii neliniare a curbei caracteristice.
Determinarea caracteris ticilor mecanice conven ționale pentru o țelul aliat
din diagrama caracteristic ă la tracțiune, este prezentat ă în Fig.4.3-1.

α1σ
ε[%]σl10 σp0,01 Rp0,2
α
0,01 0,2
Fig.4.3-1 Diagrama caracteristic ă a
oț elului aliat
86

PAVEL TRIPA – REZISTENȚ A MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4.4 CLASIFICAREA MATERIALELOR ÎN FUNC ȚIE DE
CARACTERISTICILE MECANICE

La alegerea unui material pentru rea lizarea pieselor st ă așa numita
tenacitate a materialului. Tenacitatea trebuie s ă fie atunci o însu șire mai
complexă a unui material, care să țină seama de mai multe caracteristici
mecanice ale acestuia. În literatura de sp ecialitate, de multe ori se face confuzie
între tenacitatea materialului ș i altă caracteristic ă, spre exemplu ductibilitatea
materialului.
Pe baza deforma țiilor pe care le sufer ă un material pân ă la rupere,
materialele pot fi:
Dacă deformația plastică Δp până la rupere este mult mai mare decât zero ( Δp
>> 0), atunci materialul este deformabil sau ductil. Aceste materiale prezint ă
diagrame caracteristice ca cele din Fig.4.4-1a,b.
Dacă deformația plastică până la rupere este zero sau apropiat ă de zero (Δp =
0), materialul este fragil sau casant . Aceste materiale prezint ă o curbă
caracteristic ă ca cea din Fig.4.4-1c.
Materialele deformabile sau ductile pot fi la rândul lor: tenace cu diagrama
caracteristic ă la tracțiune ca cea din Fig.4.4-1a, sau maleabile, care au o
diagramă caracteristic ă la tracțiune ca cea din Fig.4.4-1b.

Materialele maleabile s unt materialele care pân ă la rupere au deforma ții
plastice mari, dar nivelul tensiunii este sc ăzut. Aceste materiale, în timpul
deformării plastice, nu prezint ă fenomenul de ecruisare.
a) b)

Fig.4.4-1 Forme ale dia c)
gramelo
la tracțiune r caracteristice
Materialele tenace sufer ă până la rupere deforma ții plastice mari, dar și
nivelul tensiunii este ridicat. La aceste materiale este prezent fenomenul de
ecruisare.
În Fig.4.4-2, se prezint ă schematic o clasificare a materialelor, dup ă
mărimea deforma ției plastice suferit ă până la rupere.
87

PAVEL TRIPA – REZISTENȚ A MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Materiale
Deformabile sau ductile
Δp >> 0 Casante sau fragile
Δp = 0
Tenace Maleabile
Fig.4.4-2 Clasificarea materialelor dup ă deformaț ia
plastică suferită până la rupere
Pe baza celor afirmate pân ă acum, se poate configura urm ătoarea definire
a tenacității unui material: tenacitatea este însu șirea unui material de a suferi
până la rupere, sub ac țiunea unui nivel de solic itare ridicat, deforma ții plastice
mari.
În func ție de prezen ța sau absen ța deformaț iilor plastice pân ă la rupere,
ruperea materialelor poate fi: ductilă sau fragilă. Cele dou ă moduri de rupere,
dau suprafe țelor de separa ție (rupere), aspecte diferite. Ruperea ductil ă conferă
un aspect mat, “fibros”, iar ruperea fragil ă (separare sau clivaj ), conferă
suprafeței de rupere un aspect lucios, “cristalin”.
Ruperea ductil ă, fiind precedată de deforma ții plastice mari, are o energie
de rupere apreciabil ă, pe când la ruperea fragil ă, această energie este mic ă. La
ruperea ductilă , ruperea se localizeaz ă într-o anumit ă zonă, unde se produce o
gâtuire. În această zonă, separarea se face pe fe țe înclinate la 450 față de direcția
de solicitare. Separarea pe fe țele înclinate are loc în urma unui proces de
deformare plastic ă. Microfractografic, ruperea ductil ă se recunoa ște prin
prezența pe suprafa ța de rupere a unor cavit ăți semisferice, numite “cupe”, care
sunt micropori forma ți în procesul ruperii ductile. În cazul ini țierii
microfisurilor, la ruperea ductilă un rol important îl au incluziunile. În mod
obișnuit, ruperea ductil ă se produce transgranular.
În cazul ruperilor fragile, suprafa ța de separa ție este perpendicular ă pe
direcția de solicitare. Ruperea fragil ă se dezvolt ă intergranular, sau chiar în
interiorulu unui gr ăunte, pe mai multe nivele care dau na ștere unei imagini de
“râuri”. Într-un gr ăunte, râurile converg spre punctul de ini țiere al ruperii.
88

PAVEL TRIPA – REZISTENȚ A MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Oțelul de uz general, prezint ă o rupere mixt ă. Mai întâi se localizeaz ă o
rupere ductil ă care se continu ă cu una de clivaj.
Materialele se mai pot clasifica și după alte criterii. Spre exemplu, după
valoarea constantelor elastice (E, G, ν) determinate pe diferite direc ții,
materialele pot fi:
izotrope, atunci când valorile constantelor elastice r ămân constante în toate
direcțiile,
anizotrope , când valorile constantelor elastice au valori diferite dup ă direcții
diferite. Aceste materiale, sunt materiale care prezintă stratificații, fibre, etc.
Dacă materialul are totu și trei plane de simetrie cu privire la caracteristicile
sale elastice, atunci el este ortotrop. Lemnul este un material anizotrop. Modulul
de elasticitate longitudinal pentru lemn la trac țiune în lungul fibrelor este mult
mai mare decât cel perp endicular pe fibre.
În ultimele decenii, pe plan mondial, au început s ă se efectueze cercet ări
asupra elementelor de rezisten ță care prezintă diferite defecte, în special fisuri.
În aceste condi ții, în literatura de specialitate, a ap ărut o nou ă noț iune:
tenacitatea la rupere. Tenacitatea la rupere, este acea proprietate a unui
material de a se opune iniț ierii sau propagă rii (dezvolt ării) fisurilor. Trebuie
făcută o netă diferențiere între tenacitatea unui material și tenacitatea la rupere
a acestuia.
Tenacitatea la rupere se exprim ă prin una din caracteris ticile de tenacitate
definite de o nou ă disciplină , Mecanica Ruperii, caracteristici care se determin ă
pe cale experimental ă, după tehnici bine precizate, standardizate.
Cele dou ă noț iuni, aparent asem ănătoare, au totu și domenii de
aplicabilitate complet diferite și ele nu trebuie confundate.
89

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. TRACȚIUNEA ȘI COMPRESIUNEA BARELOR DREPTE.
APLICA ȚII

Dac ă în secțiunea transversal ă a unui element de rezisten ță există un
singur efort și acesta este efortul axial N, se spune c ă în secțiunea respectiv ă se
realizează o solicitare axial ă. Dacă efortul axial este pozitiv, solicitarea axial ă
este de tracțiune (întindere) , iar dacă efortul axial este ne gativ, solicitarea este
de compresiune.

5.1 TENSIUNI ȘI DEFORMA ȚII LA SOLICITAREA AXIAL Ă

Se consider ă o bară dreaptă , de secțiune dreptunghiular ă, solicitat ă de două
forțe egale și de sens contrar, for țe ce acț ionează în centrul de greutate al
secțiunii transversale al barei (Fig.5.1-1a).
Într-o sec țiune oarecare x, singurul efort es te efortul axial N (Fig.5.1-1b):

() F N 0 Fx= ⇒ = ∑ 5.1-1

Bara are sec țiune constant ă, de arie A.
F
C Δx F N
b)
B F x
F F
a)
x Δl l
c)
Fig.5.1-1
90

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Prin aplicarea unei for țe axiale F, bara se deformează . O secțiune oarecare BC
(Fig.5.1-1c) se deplaseaz ă, dar rămâne plan ă și perpendiculară pe axa
longitudinal ă și după deformarea barei. Înseamn ă că la solicitarea axial ă, ipoteza
lui Bernoulli este satisfă cută. Ca urmare, toate punctele sec țiunii transversale se
deplaseaz ă în lungul axei barei, cu aceea și cantitate Δx, iar alungirea ε are
aceeași valoare pentru fiecare punct al sec țiunii (ε = const.). Alungirii constante
ε, în domeniul valabilităț ii legii lui Hooke, îi core spund tensiuni normale
constante (Fig.5.1-2):

5.1-2 . const E= ε ⋅ = σ

Dintre cele șase ecuații de echivalen ță dintre eforturi și tensiuni (vezi
paragraful 2.2), pentru sec țiunea BC (Fig.5.1-2) se poate scrie una singur ă: B

5.1-3 ∫∫⋅ σ = ⋅ σ = ⋅ σ =
AAA dA dA N

de unde, se determin ă valoarea tensiunii dintr-o sec țiune transversală solicitată
de efortul axial N:

AN= σ 5 . 1 – 4

În domeniul valabilit ății legii lui Hooke, alungirea ε are expresia:

E AN
E⋅=σ= ε 5.1-5

de unde apoi se determin ă lungirea total ă a barei de lungime l: C F σ
x
Fig.5.1-2
91

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

A El Nl l⋅⋅= ⋅ ε = Δ 5.1-6

Din rela ția 5.1-6, rezult ă că lungirea total ă a barei este cu atât mai mare cu
cât produsul dintre aria sec țiunii A și modulul de elasticitate longitudinal E, este
mai mic. Produsul EA se nume ște modul de rigiditate la întindere sau
compresiune al secțiunii, sau simplu, rigiditatea barei la solicitarea axial ă.
Pentru solicitarea axial ă de tracțiune deforma ția totală se numește lungire,
iar pentru cea de compresiune, scurtare.
Un element de rezisten ță solicitat axial, se poate calcula din condiția de
rezistență (se impune σa) sau din condi ția de rigiditate (când se impune εa sau
Δla).
Pentru cele trei tipuri de problem ă specifice Rezisten ței Materialelor,
relațiile de calcul pentru condi ția de rezisten ță și rigiditate, sunt:
Probleme de verificare , când se calculeaz ă valorile maxime ale tensiunii
normale sau ale alungirii
¾ condiția de rezisten ță

a maxANσ ≤ = σ 5.1-7

¾ condiția de rigiditate

a maxA ENε ≤⋅= ε 5.1-8

Probleme de dimensionare, când se calculeaz ă aria secțiunii și de aici mai
departe în func ție de forma aceste ia, dimensiunea sec țiunii transversale
¾ condiția de rezisten ță

anecNAσ=
5.1-9

¾ condiția de rigiditate

anecENAε ⋅= 5.1-10
92

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Probleme de efort capabil (încă rcare capabil ă), când se calculeaz ă mărimea
maximă admisă a efortului axial din sec țiune și de aici mai departe, for țele
exterioare care solicit ă elementul de rezisten ță
¾ condiția de rezisten ță

a cap A Nσ⋅ = 5.1-11

¾ condiția de rigiditate

a cap A E Nε⋅⋅ = 5.1-12

Calculele de rezistență se fac pentru sec țiunea în care tensiunile sau
deformațiile specifice ating valo rile cele mai mari. Aceast ă secțiune poart ă
numele de secțiune periculoas ă. Cunoașterea secț iunii periculoase sau a unor
secțiuni posibil a fi periculo ase, este absolut necesar ă în calcul de rezisten ță.

Aplicații
Exemplul nr. 1 . Să se dimensioneze cablul unui troliu, care trebuie s ă ridice o
sarcină de 30 KN , dacă se cunosc : σa = 120 MPa, ε = 0,05 %, E = 2 ·105 MPa . a
Dimensionarea trebuie f ăcută atât din condi ția de rezisten ță cât și din cea
de rigiditate. Efortul axial din cablu care este de sec țiune circular ă cu diametrul
d, este egal cu sarcina care trebuie ridicat ă, N = F.
Pentru condi ția de rezisten ță, se obține:

4d NA2
1
anec/⋅ π=σ=

de unde rezult ă diametrul necesar:

mm 18 mm 8 , 1712010 30 4 N 4d3
a1 ≈ =⋅ π⋅ ⋅=σ ⋅ π⋅=

Pentru condi ția de rigiditate, se ob ține

4d
ENA2
2
anec⋅ π=ε ⋅=

de unde rezult ă diametrul necesar

93

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
mm 20 mm 54 , 1910 05 , 0 10 210 30 4
EN 4d2 53
a2 ≈ =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ π⋅ ⋅=ε ⋅ ⋅ π⋅=−

Au rezultat două valori, din condi ții diferite, pentru aceea și mărime
(diametrul cablului, d). Pentru ca ambele condi ții să fie îndeplinite în acela și
timp, se va lua dimens iunea cea mai mare ob ținută:

d final = d = dmax 2 = 20 mm.

Exemplul nr. 2. Ce greutate poate fi sus ținută de tijele se sec țiune circular ă cu
diametrul d = 20 mm și lungime l = 3 m (Fig.5.1-3a), dac ă σa = 150 MPa, α =
450 ? Să se calculeze și deplasarea pe vertical ă a articula ției comune (E = 2·
105 MPa).

Calculul efortului capabil se face numai din condi ția de rezisten ță. Mai
întâi, trebuie determinate eforturile axiale din cele dou ă tije. Eforturile axiale din
tije sunt eviden țiate în Fig.5.1-3b.
Punând condi țiile de echilibru ca proiecț ii de forț e pe orizontal ă și
verticală pentru schema di n Fig.5.1-3, se obț ine:

()
2 12 1 x
N N0 sin N sin N 0 F
= ⇒= α ⋅ − α ⋅ ⇒ = ∑

()
F cos N 20 F cos N cos N 0 F
12 1 y
= α ⋅ ⋅ ⇒= − α ⋅ + α ⋅ ⇒ = ∑
α α α N1 N2 α
F F
a) b)

Fig.5.1-3
94

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Din cele dou ă relații de echilibru, rezultă valoarea eforturilor:
2F
222F
cos 2FN N2 1 =
⋅=α ⋅= =

Eforturile axiale din tije sunt egale. Egale sunt și ariile sec țiunii
transversale a tijelor. Cum tijele au sec țiune constant ă și eforturile sunt de
asemenea constante, rezult ă că toate sec țiunile sunt la fel de periculoase.
Calculul de rezisten ță se va face atunci numai pentru o singur ă tijă.
Cunoscând valoarea efortur ilor din tije, se poate tr ece la calculul efortului
capabil și apoi la determinarea for ței maxime care poate solicita cele dou ă tije:

2F
4dA Na2
a cap = σ ⋅⋅ π= σ ⋅ =

de unde,

KN 64 , 66 N 2 , 66643420 150 2
4d 2F2 2
a≈ =⋅ ⋅ π ⋅=⋅ σ ⋅ π ⋅=

Calculul deplas ării pe vertical ă a articula ției comune se face pe baza
schemei din Fig.5.1-4.

Din Fig.5.1-4, rezult ă că deplasarea pe vertical ă a articula ției comune,
este:
mm 5 , 4100 10 210 3 10 64 , 66
22
A El N
cos1
cosl
53 3
2 2=π ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ =⋅⋅⋅α=αΔ= δ αα
δ
Δl2
Fig.5.1-4
95

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5.2 CONCENTRAREA TENSIUNILOR

Materialele ductile se deos ebesc de cele fragile ș i prin comportarea lor
diferită la tensiuni locale . Tensiunile locale sunt acele tensiuni care se extind pe
o porț iune relativ redus ă a secțiunii transversale a elementului de rezistență . În
general, aceste tensiuni sunt produse de o modificare brusc ă a dimensiunilor sau
a formei secț iunilor de-a lungul elementului.
Dacă se supune la întindere o bar ă slăbită cu o gaur ă (Fig.5.2-1a), în
secțiunea slăbită la o distan ță suficient de mare de aceast ă gaură (secț iunea 2-2),
distribuț ia tensiunii pe sec țiune este uniformă (Fig.5.2-1b).

σ
În secțiunea slăbită (secț iunea 1-1) și dacă bara are o l ățime mare în
comparație cu diametrul gă urii, distribu ția tensiunii norma le este ca cea
prezentată în Fig.5.2-1c), adic ă în imediata vecin ătate a găurii, tensiunea
normală este mult mai mare decât cea calculat ă cu relația cunoscut ă (σn = N / A,
tensiune normal ă nominal ă). Aceast ă creștere brusc ă a tensiunii normale se
extinde numai asupra unei por țiuni foarte reduse a sec țiunii din imediata
vecinătate a găurii. Pe restul sec țiunii, tensiunea normal ă rămâne aproximativ
egală cu σ n, ca ș i cum nu ar exista nici o gaur ă, nici o slă bire a secț iunii. Astfel
de creșteri ale tensiunii normale se produc în cazul tuturor crest ăturilor, renuri,
canale de pan ă, găuri pentru bolț uri, filete, zgârieturi, etc. Aceste discontinuit ăți
din elementele de rezisten ță se numesc concentratori de tensiune.
Raportul dintre tensiunea local ă maximă (σM) și tensiunea normal ă
nominală (σn), se numește coeficient de concentrare al tensiunii ( αk):

nM
kσσ= α 5.2-1

Cunoscând pentru un concentrator de tensiune valoarea coeficientului de
concentrare al tensiunii, se poate calcula valoarea maxim ă a tensiunii din
imediata vecin ătate a concentratorului: M
σn F
F F 1 1
2 2 2 2
1σn
1 σn
b)F
c) a) Fig.5.2-1
96

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

AN
k n k M max ⋅ α = σ ⋅ α = σ = σ 5.2-2

Dac ă secțiunea periculoas ă pentru un element de rezisten ță solicitat axial
este într-o por țiune cu concentrator de tens iune, atunci calculul de rezisten ță
trebuie făcut pe baza tensiunii normal e maxime, calculate cu relaț ia 5.2-2.
Cercet ările experimentale care stau de altfel ș i la baza determin ării
coeficientului de concentrare al tensiunii αk, arată că αk depinde numai de
elementele geometrice ale concentratorului și este independent de material.
Fenomenul de concentrare al tensiunii, este specific solicit ării în domeniul
elastic. La materialele tenace, cum este și oțelul, după ce se atinge limita de
curgere, are loc o unifor mizare a tensiunii în sec țiunea cu concentrator. Din
acest motiv, la materialel e tenace, pentru solicit ări în regim static, nu este
necesar s ă se ia în calculele de rezisten ță efectul de concentrare, deoarece (în
regim elastic) el produce numai anumite vârfuri de tensiune, f ără însă a cauza
ruperea. La materialele fragile, fenomen ul de concentrare al tensiunii nu mai
poate fi neglijat, el manifestându-se până la producerea ruperii.

5.3 BARA DE SEC ȚIUNE CONSTANT Ă SOLICITAT Ă AXIAL,
CÂND SE ȚINE SEAMA ȘI DE GREUTATEA PROPRIE

În cele prezentate în paragraful 5.1, în for țele exterioare care solicit ă bara
axial, nu s-a ț inut seama de greutatea proprie a acesteia. Nu cu mva prin aceast ă
simplificare a calcului se introduc erori semnificative ?
Se vor determina eforturile și deforma țiile barelor drepte întinse sau
comprimate ținând seama de influen ța greutății proprii a acestora.
Se consider ă o bară dreaptă de lungime l, având aria sec țiunii transversale
A, modulul de elasticitate longitudinal al materialului E, greutatea specifică a
materialului γ, supusă acțiunii unei for țe exterioare axiale F (Fig.5.3-1a).
Într-o sec țiune oarecare x, m ăsurată d e l a c a p ătul liber (Fig.5.3-1a),
efortul axial este:

g x A F G F Nx x ⋅γ⋅⋅+=+ = 5.3-1

iar tensiunea normală din aceea și secțiune (Fig.5.3-2c), este:

x gAF
ANx
x ⋅ ⋅ γ + = = σ 5.3-2

97

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Din rela ția 5.3-2, rezult ă că tensiunea normal ă variază liniar în lungul
barei, între limitele:
l gAFAF
l x , x max0 x , x min
⋅ ⋅ γ + = σ = σ= σ = σ
==
5.3-3

Se constată că secțiunea periculoas ă este în încastrare, unde pentru
verificarea condiț iei de rezisten ță este necesar ca:
F+G
F F Nx
x l σmax
σx
σ
a) b) c)

Fig.5.3-1 N σGx
min

a max l gAFσ ≤ ⋅ ⋅ γ + = σ 5.3-4

Pentru dimensionare, din rela ția 5.3-4, se ob ține:

l gFA
anec⋅ ⋅ γ − σ= 5.3-5

Sub ac țiunea for ței exterioare F și a greutății proprii, bara se lunge ște.
Pentru aceast ă situație deforma ția specific ă nu este constant ă în lungul barei.
Lungirea total ă a barei, se calculeaz ă cu relația:

=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⋅ ⋅ γ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⋅ ⋅ γ + ⋅ = ⋅σ= ⋅ ε = Δ∫∫∫2l
0l
0xl
0x l g21lAF
E1dx x gAF
E1dxEdx l

98

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⋅=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅ ⋅ γ ⋅+⋅=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅ ⋅ γ ⋅⋅ + =2GFA El
2l g AFA El
Al g A
21
AF
El

S-a obț inut astfel, urm ătoarea rela ție pentru calculul lungirii barei când se
ține seama ș i de greutatea proprie a acesteia:

A El2GF
l⋅⋅⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+
= Δ 5.3-6

Relaț ia 5.3-6, este asem ănătoare cu cea obț inută când se neglijeaz ă greutatea
proprie și ea arată că în cazul în care greutatea proprie nu se neglijeaz ă, la
efortul dat de for țele exterioare se adaug ă jumătate din greutatea proprie.
Dacă bara nu este supus ă forțelor exterioare, atunci numai sub greutatea
sa proprie, lungirea ei este:

A E 2l Gl⋅ ⋅⋅= Δ 5.3-7

Dacă se dorește, se poate face și un calcul al deplasă rii fiecărei secțiuni.
Secțiunea situat ă la distan ța x de cap ătul liber (Fig.5.3-1a), are o deplasare δx
egală cu lungirea p ărții de bară de deasupra ei. Aceasta se poate determina
scriind lungirea unui interval elementar dx și integrând de la x la x = l:

()(⎥⎦⎤
⎢⎣⎡− ⋅γ+ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⋅ γ + ⋅ = ⋅ ε = δ∫ ∫2 2l
xl
xx x x l2x lAF
E1dx xAF
E1dx ) 5.3-8

Din rela ția 5.3-8, rezult ă că deplasarea axial ă a secțiunilor variaz ă după o
lege parabolic ă.
Analizând rela ția 5.3-5, se constat ă că la o anumit ă lungime a barei, când
numitorul devine egal cu zero, aria sec țiunii tinde spre infinit, adic ă indiferent de
mărimea sec țiunii, în bară se depășește tensiunea admisibil ă numai datorit ă
greutăț ii proprii (în absen ța forțelor exterioare). Lungimea barei ( lungimea
admisibilă), când numai sub greu tatea proprie în bar ă se atinge tensiunea
admisibilă, rezultă din relația 5.3-5:

gl 0 l ga
a a a⋅ γσ= ⇒ = ⋅ ⋅ γ − σ 5.3-9

99

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Pe baza rela ției 5.3-9, se poate determina lungimea de rupere , adică
lungimea barei care se rupe numai sub greutate proprie:

glr
r⋅ γσ= 5.3-10

Dac ă se are în vedere c ă pentru oț elul obișnuit, σr = 370 MPa, γ = 7,8
daN/dm3 2 și g = 10 m/s , se obține pentru lungimea de rupere a o țelului
aproximativ valoarea l r = 4743,58 m. În realitate nu exist ă astfel de situa ții, adică
bare, de aș a lungime, care s ă se rupă numai sub greutatea proprie.

5.4 BARA DE EGAL Ă REZISTEN ȚĂ

La barele de sec țiune constant ă, când se ț ine seama și de greutatea
proprie, s-a v ăzut că există o singur ă secțiune (cea din încastrare) în care
tensiunea normal ă este maxim ă și egală cu cea admisibil ă (pentru cazul când se
face calculul de rezisten ță). Aceast ă situație arată că o astfel de bar ă este
utilizată neeconomic.
Se urmărește acum s ă se stabileasc ă forma unei astfel de bare, încât în
fiecare sec țiune tensiunea s ă fie aceea și și egală cu tensiunea admisibil ă σa. Bara
care prezint ă în orice sec țiune aceea și tensiune ș i egală cu tensiunea admisibil ă
σa, se nume ște bară de egală rezistență. Anticipând pu țin, se consideră că bara
de egală rezistență, are forma din Fig.5.4-1a.

σa dGx Ax+dA x
σσ a a
Ax Ax+dA x
dx
l dx
Ax x
dGx σa
F
a) b) c)

Fig.5.4-1
100

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
La distan ța x de cap ătul liber, se decupeaz ă un element de lungime dx, pe
care s-au reprezentat tensiunile și forțele (Fig.5.4-1c). Din condiț ia de echilibru
pentru acest element, ca o proiec ție de forțe pe vertical ă, se obține:

5.4-1 () ()
0 dx g A dAg dx A dG undeo dG A dA A F
x x ax xx x a x x a y
= ⋅ ⋅ γ − ⋅ σ ⇒⋅ γ ⋅ ⋅ == − ⋅ σ − + ⋅ σ = ∑

dxg
AdA
a xx⋅σ⋅γ= ⇒ 5 . 4 – 2

Integrând ecua ția diferen țială 5.4-2, se ob ține:

C xgA ln
ax + ⋅σ⋅ γ= 5.4-3

Constanta de integr are C, se determin ă punând condi țiile la limit ă:
Pentru x = 0

C A ln A A0 0 x = ⇒ = 5.4-4

Cu 5.4-4, relaț ia 5.4-3, cap ătă forma:

xg
AAln xgA ln A lnA ln xgA ln
a 0x
a0 x0
ax
⋅σ⋅ γ= ⇒ ⋅σ⋅ γ= − ⇒+ ⋅σ⋅ γ=

xg
0 xxg
0x
aa
e A AeAA
⋅
σ⋅ γ⋅
σ⋅ γ
⋅ = ⇒= ⇒
5.4-5

unde:
A0 – este aria sec țiunii din cap ătul liber (acolo unde greutatea proprie nu
are nici un efect) și a cărei valoare este:

101

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
a0FAσ= 5.4-6

Relaț ia 5.4-5 arat ă că pentru o bar ă de egală rezistență, aria sec țiunii
transversale în lungul barei, variaz ă după o funcție exponen țială.
Lungirea barei de egal ă rezistență se calculeaz ă relativ ușor, știind că la o
astfel de bar ă, deforma ția specific ă ε este constant ă:

lEl la⋅σ= ⋅ ε = Δ 5.4-7

Realizarea practic ă a profilului barei de egal ă rezisten ță, implică
dificultăți tehnologice deosebite. Din acest motiv, barele de egal ă rezistență, se
realizează cu secțiune variabil ă în trepte, c ăutând un profil cât mai apropiat de
cel real. M ărirea numă rului de tronsoane conduce la o apropiere de profilul real,
dar în acela și timp, cre ște consumul de manoper ă.
În Fig.5.4-2a, se prezintă o bară de egală rezistență cu secțiune variabil ă
în trepte, iar în Fig.5.4-2b, varia ția tensiunii normale. La o astfel de bară ,
tensiunea normal ă numai în anumite sec țiuni este egal ă cu cea admisibil ă.
Aria sec țiunii transversale pentru fi ecare tronson de arie constant ă, se
calculează ușor, ținând seam ă de faptul c ă pe un tronson, pe lâng ă forț a
exterioară , acționează numai greutatea tronsoanelo r situate sub cel care se
calculează.
Astfel, pentru cele n tronsoane, aria sec țiunii transversale este: ln
F l1 l2 l3
A1A2A3σa
σa
σ
a)

Fig.5.4-2 b) An
102

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1 anec 1l gFA⋅ ⋅ γ − σ=

2 a1
nec 2l gG FA⋅ ⋅ γ − σ+= 5.4-8
.
.
.
n a1 n
1 ii
nec nl gG F
A⋅ ⋅ γ − σ+
=∑−
=

unde:
G – greutatea tronsonului de ordinul i. i
Bara de egal ă rezistență solicitată la compresiune se trateaz ă în mod asem ănător.

5.5 TENSIUNI PE O SEC ȚIUNE ÎNCLINAT Ă LA
BARA SOLICITAT Ă LA TRAC ȚIUNE

Până acum, la bara dreaptă solicitată axial, s-a studiat numai tensiunea
care apare pe o suprafa ță normală la axa longitudinal ă a barei. Pentru bara
dreaptă solicitată axial, prezintă interes și secțiunile înclinate (BD din Fig.5.5-
1a) față de secțiunea transversal ă BC a barei.
B
a) p σ N N x
α
C D
C B
D C B
τα σx σα
p A
x y
b) σx σα
τα α
D α
c) A cosα A cosα
A sinα A sinα A
Fig.5.5-1y
x
103

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Pe suprafa ța normală la axa barei tensiunea normal ă σx se calculeaz ă cu
relația cunoscut ă de la solicitarea axial ă. Dacă din bară se izoleaz ă un element
de volum de grosime unitar ă (Fig.5.5-1a,b), pentru ca acesta s ă fie în echilibru
trebuie ca și pe fața înclinat ă BD de arie A s ă acționeze o tensiune p pe aceea și
direcție cu σ x. Tensiunea p de pe fața înclinat ă cu unghiul α, se descompune în
două componente (Fig.5.5-1b,c): una normal ă la secțiunea înclinată (σα) și
cealaltă în planul sec țiunii (τ α) care este o tensiune tangen țială. Tensiunile sunt
însă uniform repartizate pe cele dou ă suprafețe, dar for țele produse de acestea
pot fi considerate concentrate în centrul de greutate al suprafeț ei respective.
Pentru scrierea condi țiilor de echilibru se utilizează schema simplificat ă
din Fig.5.5-1c. Ecua țiile de echilibru se scriu ca sum ă de proiecț ii de forț e pe
direcția normal ă la suprafa ța înclinat ă, respectiv pe direc ția conținută în planul
suprafeței înclinate:
Se ob țin astfel ecuaț iile:

0 sin cos A A0 cos cos A A
xx
= α ⋅ α ⋅ σ − ⋅ τ=α⋅α⋅ σ − ⋅ σ
αα
5.5-1

Rezolvând sistemul 5.5-1, se ob țin expresiile pentru tensiunile de pe o
suprafață înclinată:

()
α ⋅σ= τα + ⋅σ= α ⋅ σ = σ
αα
2 sin22 cos 12cos
xx 2
x
5.5-2

Din relația 5.5-2 rezult ă că pentru α = 0, tensiunea normal ă σα este
maximă și egală cu σx, iar pentru α = π / 2 (suprafa ță paralelă cu axa barei), σα =
0. Pentru a determina ex tremele tensiunii tangen țiale τα de pe suprafa ța
înclinată, se anuleaz ă derivata sa de ordinul întâi în raport cu unghiul 2 α:

()
422 0 2 cos 0 2 cos2 2 ddx
π= α ⇒π= α ⇒ = α ⇒ = α ⋅σ=ατα
5.5-3

0Deci, tensiunile tangen țiale sunt maxime pe suprafe țe înclinate cu 45 față
de direcția axei longitudinale a barei. Introducând valoarea α = 450 în expresia
tensiunii tangenț iale (relația 5.5-2), se ob ține valoarea maxim ă a acesteia:

104

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2 42 sin2x x
2 / maxσ=π⋅σ= τ = τπ = α α 5.5-4

Pe secțiuni înclinate cu 450 rezultă tensiuni tangen țiale maxime a c ăror
valoare este jum ătate din valoarea tensiunii normale ce ac ționează pe suprafa ța
transversal ă a barei.
Pentru un element de rezistență , când ruperea acestu ia s-a produs dup ă o
suprafață normală la axa longitudinal ă a barei (secț iune transversală ), aceasta s-a
datorat valorii mari a tensiunii normale ( σx = σ max) din aceast ă secțiune. Când
ruperea are loc după o suprafa ță înclinată cu 450 față de direc ția tensiunii
normale σx, ruperea este cauzat ă de tensiunea tangen țială maximă (τ = σ max x / 2).
Un exemplu elocvent de o astfel de rupere la 450 față de direcția de solicitare
este ruperea fontei la solicitarea de compresiune.

5.6 ENERGIA DE DEFORMA ȚIE LA SOLICITAREA AXIAL Ă

Se consider ă curba caracteristic ă a unui oțel (Fig.5.6-1) pe care în por țiunea
liniară se fixeaz ă două puncte B și C, infinit apropiate.
Punctului C îi core spund coordonatele ( σ ; ε), iar punctului B, coordonatele
(σ+dσ ; ε+dε). Forț ele exterioare care solicită elementul (epruveta) efectueaz ă
lucru mecanic care se acumuleaz ă ca energie de deforma ție în element. Dac ă
elementul are sec țiune constant ă de arie A, efortul axial trebuie s ă fie:
εdσ
OB
Cσ
σ
ε
dε
Fig.5.6-1

N = σ ⋅ A 5.6-1
105

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Prin trecerea de la punctul C la B când se poate considera c ă efortul axial
N este constant (punctele sunt in finit apropiate), elementul se lunge ște cu

d ( Δl) = dε ⋅ l 5.6-2

Lucrul mecanic produs de for ța exterioar ă egală cu efortul axial N, în
domeniul comport ării elastice a materialului, conform principiului lui
Clapeyron, se transform ă integral în energie de deforma ție:

() ε⋅σ⋅⋅=⋅ε⋅σ⋅=Δ ⋅ = = d l A l d A l d N dU dL 5.6-3

În domeniul în care sunt plasate punctele C și B, fiind valabil ă legea lui
Hooke, se poate scrie:

Edd Eσ= ε ⇒ ε ⋅ = σ 5.6-4

Ținând seama de relaț ia 5.6-4, rela ția 5.6-3 devine

σ ⋅σ⋅ ⋅ =dEl A dL 5.6-5

Dacă relația 5.6-5 se integreaz ă între limitele 0 și σ, se obține expresia
lucrului mecanic al forț elor exterioare și implicit a energiei totale de deformaț ie
înmagazinată în bară:

∫∫σσ
⋅σ⋅ =⋅σ⋅ ⋅ = σ ⋅σ⋅ ⋅ = = =
002 2
E 2VE 2l A dEl A dL U L 5.6-6

unde:
V – volumul barei (s-a considerat aria sec țiunii transversale, constant ă).

Energia de deforma ție specific ă (a unității de volum) se deduce din
relația 5.6-6 și este:

E 2 VUU2
1⋅σ= = 5.6-7

Se poate determina și energia de deforma ție acumulat ă în unitatea de
volum dU:
106

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
dVE 2dV U dU2
1 ⋅⋅σ= ⋅ = 5.6-8

Pentru un element la care aria sec țiunii nu este constant ă, energia total ă de
deformație se calculeaz ă cu relaț ia:

∫∫⋅⋅σ= =
VV2
dVE 2dU U 5.6-9

sau în funcț ie de efortul axial N, când

dx A dV șiAN⋅ = = σ

∫⋅⋅ ⋅=l
02
dxA E 2NU 5.6-10

Dac ă pe intervalul de lungime l, bara are efortul axial N și rigiditatea EA
constante, atunci pe acel interval, energia total ă de deforma ție este (rezultă din
relația 5.6-10):

A E 2l NU2
⋅ ⋅⋅= 5.6-11

Dac ă în relația 5.6-7 se înlocuie ște tensiunea normal ă funcție de
deformația specific ă

E⋅ ε =σ

relația pentru energia de deforma ție specific ă capătă forma:

2U1ε ⋅ σ= 5.6-12

Relaț ia 5.6-12, arat ă că energia de deforma ție specific ă este egal ă cu aria
suprafeței de sub curba caracteristic ă la tracțiune. Conven țional însă, această
constatare poate fi extins ă până la rupere.
107

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5.7 SISTEME STATIC NEDETERMINATE LA
SOLICITAREA AXIAL Ă

Dac ă la un sistem, necunoscutele (reac țiuni sau eforturi) nu pot fi
determinate cu ajutorul ecuaț iilor de echilibru, atunci sistemul este static
nedeterminat. Gradul de nedeterminare al sistemului, este dat de diferen ța
dintre num ărul necunoscutelor și numărul ecuațiilor de echilibru scrise.
Pentru rezolvarea sistemelor st atic nedeterminate (în prima etap ă aflarea
necunoscutelor), este nevoie de ecua ții suplimentare, atâtea cât este și gradul de
nedeterminare. Ecua țiile suplimentare rezult ă din explicitarea rela țiilor care se
scriu între deforma țiile sau deplasă rile diferitelor elemente componente ale
sistemului sau ale sec țiunilor acestora. Dup ă găsirea acestor ecua ții suplimentare
(numărul lor este egal cu gradul de nedeterminare) și determinarea
necunoscutelor, problema devine una obi șnuită, ușor de rezolvat.
Studiul sistemelor static nedeterminate solicitate axial se fa ce pe cazuri de
probleme concrete, ceea ce va u șura mult în țelegerea modului de rezolvare al
acestor probleme.

5.7.1 Sisteme de bare articulate concurente, static nedeterminate

Fie sistemul de trei bare solicitat de o for ță F ca în Fig.5.7.1-1a.
Cunoscându-se : A1 = A 2 = 1 cm2, A 3 = 2 A 2 = 2 cm2, E 1= E 2 =E 3 = 2,1⋅105
MPa, α = 300, F = 50 KN și a =0,5 m, σa = 160 MPa, se cere:
a) tensiunile maxime din cele trei bare
b) deplasarea pe vertical ă a articula ției comune (a articulaț iei C).

Fiind bare articulate și neîncărcate pe lungimea lor, nu preiau decât eforturi
axiale. Eforturile axiale di n cele trei bare sunt eviden țiate în Fig.5.7.1-1b. ααC
F N1
αα 3
1 2 a N3
a N2
a) F
b)
Fig.5.7.1-1
108

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Determinarea eforturilor se face punând condiț iile de echilibru pentru sistemul
din Fig.5.7.1-1b. Pentru acest sistem nu se poate scrie ecua ția de momente,
deoarece barele sunt concurente în articula ția C. Deja se eviden țiază faptul că
există trei necunoscute (eforturile axiale N 1, N 2, N 3) și se pot scrie numai două
ecuații de echilibru (proiec ții de forțe):

()
2 12 1 x
N N0 sin N sin N 0 F
= ⇒= α ⋅ − α ⋅ ⇒ = ∑ 5.7.1-1

() F N cos N 2 0 F3 1 y= + α ⋅ ⋅ ⇒ = ∑ 5.7.1-2

Numai din rela țiile 5.7.1-1 și 5.7.1-2 nu se pot determina cele trei eforturi.
Rezultă că sistemul este static nedeterminat o dat ă (3 necunoscute ș i 2 ecuații de
echilibru, 3-2=1). Rela ția suplimentar ă se găsește din analiza modului de
deformare al celor trei bare (Fig.5.7.1-2). În Fig.5.7. 1-2, prin linie întreruptă este
prezentată poziția celor trei bare înainte de solicitare (în stare nedeformat ă).
Între deforma țiile celor trei bare, din Fig.5.7.1-2, rezult ă urmă toarea rela ție:
Δl2
Δl3
Fig.5.7.1-2

α⋅ Δ =Δ= Δ cos l l l3 2 1

care explicitat ă în funcție de mărimile care intervin, cap ătă forma:

33
22
A Ea N
A EcosaN
⋅⋅=⋅α⋅
5.7.1-3
și reprezint ă cea de-a treia ecua ție necesar ă determină rii eforturilor axiale din
bare.
109

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Dup ă rezolvarea sistemului format din ecua țiile 5.7.1-1, 5.7.1-2 și 5.7.1-3,
rezultă pentru eforturile axiale, valorile:

N 1 = N 2 = 0,227 F = 11,37 KN
N 3 = 0,606 F = 30,31 KN.

a) Cu aceste valori pentru eforturi, se ob țin tensiunile normale din cele trei
bare ale sistemului din Fig.5.7.1-1a:

MPa 5 , 15120010 31 , 30
ANMPa 7 , 11310010 37 , 11
AN
3
33
33
11
2 1
=⋅= = σ=⋅= = σ = σ

Valorile tensiunii normale rezultate s unt mai mici decât cele admisibile.
c) Deplasarea articula ției comune C (Fig.5.7.1-2b), este u șor de calculat:

mm 361 , 0200 10 1 , 2500 10 31 , 30
A Ea Nl53
33
3 C =⋅ ⋅⋅ ⋅=⋅⋅= Δ = δ

5.7.2 Sisteme de bare articulate neconcurente, stat ic nedeterminate

Fie sistemul de bare articulate neconc urente din Fig.5.7.2-1a. Cunoscând
l5
1 = l 2 = 0,5 m, d 1 = d 2 = 20 mm, E = 2 ·10 MPa, σa = 150 MPa, se cere:
a) valoarea maximă admisă pentru for ța F
b) deplasarea pe vertical ă a punctului de aplica ție al forței F.
Grinda BC este rigid ă (nedeformabilă ).

a a C B F
a
a a l1
l2 1
2 B F N1
N2 a
a) b)

Fi g.5.7.2-1
110

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
a) Eforturile din cele două bare sunt eviden țiate în Fig.5.7.2-1b. Pentru
acest sistem se scrie o ecua ție de echilibru, ca o sum ă de momente fa ță de
articulația B. Nu se mai scriu ecua ții de proiecț ii de forțe, deoarece aceste ecua ții
ar introduce și reacțiunile din articula ția B și astfel nu se ob ține nimic în plus.

()
F 3 N 2 Na 3 F a 2 N a N 0 M
2 12 1 B
⋅ = ⋅ + ⇒⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ = ∑ 5.7.2-1

S-a obț inut o rela ție și sunt dou ă necunoscute: N 1 și N 2. Rezultă că acest
sistem este un sistem static nedeterminat o singur ă dată. Relația suplimentară se
obține din Fig.5.7.2-2, unde starea nedeformat ă a sistemului este prezentată prin
linie întreruptă .
Din Fig.5.7.2-2 se ob ține relația între deforma țiile celor dou ă bare (din
asemănarea triunghiurilor):
a a a
Δl1

11 1
22 2
1 2A El N2A El Nl 2 l⋅⋅⋅ =⋅⋅⇒ Δ ⋅ = Δ

de unde rezult ă ecuația suplimentar ă căutată:

1 2 N 2 N⋅ = 5.7.2-2

Rezolvarea sistemul ui format de ecua țiile 5.7.2-1 și 5.7.2-2 conduce la
următoarele valori ale eforturilor axiale:

F 2 , 1 F56NF 6 , 0 F53N
21
⋅ = ⋅ =⋅ = ⋅ =
5.7.2-3 Fig.5.7.2-2 Δl2 δC
111

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Cum cele dou ă bare au aceea și arie a sec țiunii transversale, rezult ă că mai
periculoas ă este bara 2, deoarece efortul ax ial din aceasta este mai mare decât
cel din bara 1. Sarcina capabil ă se va determina atunci din condi ția de rezisten ță
a barei 2:

KN 27 , 39 N 392672 , 1150
4400
2 , 1 4d
2 , 1AF A F 2 , 1 Na2
a 1
a 1 2
≈ == ⋅⋅ π=σ⋅⋅ π=σ ⋅= ⇒ σ ⋅ = ⋅ =

c) Deplasarea punctului de aplica ție a forței F, se determin ă tot din
Fig.5.7.2-2, rezultând:

mm 56 , 0100 10 2500 10 27 , 39 6 , 03A El N3 l 353
11 1
1 C ≈π ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ =⋅⋅⋅ = Δ ⋅ = δ

5.7.3 Sisteme cu inexactit ăți de execu ție

La executarea unei structuri de rezisten ță, nu se poate realiza o
dimensiune exact ă a diferitelor elemente. Totdea una, trebuie avut în vedere
posibilitatea existen ței unei mici inexactităț i de execu ție.
În cazul sistemelor static determinate, inexactit ățile de execu ție nu
provoacă nici un fel de tens iuni suplimentare.
În cazul sistemelor static nedeterminate, datorită montării forț ate ca
urmare a existen ței unor inexactit ăți de execu ție, în elementele de rezisten ță se
creează tensiuni suplimentare. De multe or i, aceste tensiuni sunt mari, iar
suprapuse peste cele create de for țele exterioare, pot compromite capacitatea de
rezistență a elementelor.
Se vor prezenta două cazuri în care se întâlnesc inexactit ăți de execu ție,
iar montarea sistemul ui se realizeaz ă forțat.

a) Bare articulate static nedeterminate, cu inexactit ăți de execu ție
Pentru sistemul din Fig.5. 7.3-1a la care dintr-o gre șeală de execu ție bara
din mijloc s-a realizat mai scurt ă cu δ = 2 mm, se cere s ă se calculeze tensiunile
care apar în bare dac ă montarea sistemului se face for țat. Se cunosc: h = 4 m,
a= 1 m, E = 2 ⋅105 MPa, iar barele sunt circulare cu diametrul d = 20 mm .
112

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Montajul for țat se poate realiza prin lungirea barei 2 și scurtarea barelor 1
și 3. Sensul real al eforturilor axiale din cele trei bare este prezentat în Fig.5.7.3-
1b. Pentru acest sistem se pun și condiț iile de echilibru, ca o sum ă de forțe pe
verticală și o sumă de momente fa ță de punctul de aplica ție al efortului axial din
bara 2 (punctul B):
Bh
a a δ N1 N2 N3
a a
a) b)
Fig.5.7.3-1 1 2 3

()2 3 1 yN N N 0 F= + ⇒ = ∑ 5.7.3-1

()
3 13 1 B
N N0 a N a N 0 M
= ⇒= ⋅ − ⋅ ⇒ = ∑ 5.7.3-2

Și în acest caz, sistemul este static nedeterminat, deoarece sunt trei
necunoscute (eforturile axiale) și se pot scrie numai dou ă ecuații de echilibru.
Ecuația suplimentar ă necesară, rezultă din analiza modului de deformare a
barelor la montarea for țată a sistemului. Deforma țiile barelor la montarea lor
forțată este prezentat ă în Fig.5.7.3-2. Din Fig.5.7.3-2, rezult ă:

δ=Δ+Δ2 1l l 5.7.3-3

care explicitat ă, capătă forma:
δ =⋅⋅+⋅⋅
22
11
A Eh N
A Eh N
5.7.3-4

de unde având în vedere c ă A1 = A = A, se obț ine: 2

113

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
δ ⋅⋅= +hA EN N2 1 5.7.3-5

Rezolvând sistemul format de ecua țiile 5.7.3-1, 5.7.3-2 și 5.7.3-5, se ob țin
pentru cele trei eforturi, valorile:
Δl1 δΔl2

KN 92 , 20 N 2 NKN 46 , 10h 3A EN N
1 23 1
= ⋅ == δ ⋅⋅⋅= = 5.7.3-6

Tensiunile create în bare dup ă montarea lor forț ată sunt:

MPa 58 , 6610010 92 , 20
ANMPa 29 , 3310010 46 , 10
AN
3
22
23
11
3 1
=π ⋅⋅= = σ− =π ⋅⋅− = = σ = σ
5.7.3-7

În bara 1 și 3, tensiunile sunt de compresiune, iar în bara 1, de întindere.
Se poate constata c ă la montarea for țată a elementelor de rezistență , se creeaz ă
suplimentar tensiuni dest ul de mari. În practică , existența unor astfel de tensiuni
datorate mont ării forț ate a unor elemente nu poate fi neglijat ă.

b) Bare drepte solicitate axial, care prezint ă un rost (spațiu) la un cap ăt
Se consider ă bara dreapt ă din Fig.5.7.3-3a, care dintr-o gre șeală s-a
executat mai scurt ă cu δ. Să se calculeze tensiunea maxim ă care apare în bar ă
după aplicarea sistemului de for țe. Se cunosc: δ = 0,1 mm, A 2 = 2 A 1 = 1000
mm2, a = 0,5 m, E 1 =E 2 = 2⋅105 MPa, F = 24 KN. Δl3
Fig.5.7.3-2
114

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Dup ă aplicarea for țelor, bara se deformeaz ă ajungând cu capă tul din
dreapta în reazem.
Acț iunea forțelor exterioare este prezentat ă în Fig.5.7.3-3b. Se poate pune
o singură condiție de echilibru și anume o sum ă de forț e pe orizontal ă:

()
F 3 N N0 N F F 2 N 0 F
2 12 1 x
= + ⇒= + − − ⇒ = ∑ 5.7.3-8

Bara din Fig.5.7.3-3 es te static nedeterminat ă, deoarece exist ă două
necunoscute (reac țiunile din înț epeniri) și se poate scrie o singur ă ecuație de
echilibru.
Relaț ia suplimentar ă rezultă din condi ția că lungirea total ă a barei (între
cele două reazeme) este egal ă cu δ:

() ( )
() ()δ =⋅⋅ −+⋅⋅ −+⋅⋅⇒δ =⋅⋅−−+⋅⋅−+⋅⋅⇒ δ = Δ
11
11
1111
11
21
tot
A Ea F 3 N
A Ea F 2 N
A 2 Ea 2 NA Ea F F 2 N
A Ea F 2 N
A Ea 2 Nl
5.7.3-9

KN 6 , 46a 3A EF35N1
1 ≈⋅δ⋅⋅+ ⋅ = ⇒ 5.7.3-10

Diagrama de efort axial este prezentat ă în Fig.5.7.3-3c, de unde rezultă că
intervalul periculos este cel din dreapta, de arie A 1 și pe care ac ționează efortul
axial de compresiune N 2 = – 25,4 KN. -25,4 -1,4 46,6 δ 2F F A2 A1
2a a a a)
2F F N1 N2b)
c) N [KN]
Fig.5.7.3-3
115

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Tensiunea maxim ă în bara studiat ă, rezultată după aplicarea for țelor F,
este:

MPa 8 , 5050010 4 , 25
AN3
12
max − =⋅− = = σ

Observație: În cazul barelor asemă nătoare, dar care nu prezint ă rostul δ (bara
este fixată la ambele capete ), calculul se face similar numai că în relația 5.7.3-
9, Δltotal = 0.

5.7.4 Bare cu sec țiune neomogen ă, solicitate axial

Sec țiunile neomogene sunt acele sec țiuni care în puncte diferite, prezintă
proprietăți diferite. Asemenea elemente de rezistență se întâlnesc frecvent în
practică: stâlpii de beton armat, ca bluri de aluminiu sau cupru cu inimă de oțel,
etc. La aceste elemente se studiaz ă modul de repartizare al efortului axial pe
fiecare material, dac ă se cunoa ște forț a exterioar ă aplicată elementului ca un tot
unitar (Fig.5.7.4-1a)
În Fig.5.7.4-1b sunt prezen tate eforturile axiale N 1, … N i, …N n din
secțiune pentru cele n materiale diferite. Punând condi ția de echilibru ca o sum ă
de forțe pe axa longitudinal ă a barei, pentru acest element, se ob ține:
NiF F
NnN1
F
l
F
x
F
b)
F
a) Fig.5.7.4-1

() F N … N N N 0 Fn 3 2 1 x= + + + + ⇒ = ∑ 5.7.4-1
116

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Se poate scrie o singur ă ecuație și sunt n necunoscute. Rezultă că sistemul
este de ( n – 1) ori static nedeterminat. Rela țiile suplimentare, rezult ă din condi ția
că toate materialel e componente sufer ă aceeași deforma ție:

n nn
3 33
2 22
1 11n 3 2 1
A El N…A El N
A El N
A El Nl … l l l
⋅⋅= =⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⇒Δ = = Δ = Δ = Δ
5.7.4-2

Ținând seam ă de relația 5.7.4-1, rela ția 5.7.4-2 poate fi scris ă (după
simplificare cu lungimea l) sub forma:

∑ ∑∑
= ==
⋅=
⋅=⋅= =⋅=⋅=⋅n
1 ii in
1 ii in
1 ii
n nn
3 33
2 22
1 11
A EF
A EN
A EN…A EN
A EN
A EN 5.7.4-3

Din relația 5.7.4-3 rezult ă eforturile axiale și tensiunile normale din fiecare
material:

F
A EE
ANF
A EA ENn
1 ii i1
11
1 n
1 ii i1 1
1 ⋅
⋅= = σ ⇒ ⋅
⋅⋅=
∑ ∑
= =

…F
A EE
ANF
A EA ENn
1 ii i2
22
2 n
1 ii i2 2
2 ⋅
⋅= = σ ⇒ ⋅
⋅⋅=
∑ ∑
= = 5.7.4-4

F
A EE
ANF
A EA ENn
1 ii in
nn
n n
1 ii in n
n ⋅
⋅= = σ ⇒ ⋅
⋅⋅=
∑ ∑
= =

Un astfel de element de rezisten ță ar lucra în condi ții economice, dac ă în
fiecare material tensiunea maxim ă este egal ă cu tensiunea admisibil ă a fiecăruia,
respectiv dac ă condiția de deforma ții ar fi de forma:

117

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
nan
22 a
11 a
E…E Eσ= =σ=σ

În general, o astfel de rela ție nu poate fi satisfă cută. Din acest motiv, la
dimensionarea unui element de rezisten ță cu secțiune neomogen ă, se va impune
atingerea tensiunii admisibile numai în unul dintre materiale ( cel mai periculos),
celelalte r ămânând solicitate sub tensiunea admisibilă .

Aplicație. Să se verifice elementele de rezisten ță ale sistemului din Fig.5.7.4-2a,
pentru care se cunosc: F = 100 KN, δ = 0,1 mm, E5 = EOL 0 = 2⋅10 MPa, E Cu =
E5 = 10 MPa, σ = σ c aOL a0 = 150 MPa, σ = σ aCu ac = 50 MPa, d = 20 mm, d 1 =
35 mm, d 2 = 50 mm, l = 1 m.
Ambele elemente sunt solicitate la compresiune dac ă cea din cupru se
scurtează sub acțiunea for ței exterioare F cu mai mult de δ. Pentru acest
exemplu, scurtarea barei din cupru sub ac țiunea forței F este mai mare decât
rostul δ. Eforturile axia le din cele dou ă bare (N
Cupru δ δ F F
N0Nc
l d
d1
d2 Oțel Δlc Δl0
a) b)
c)
Fig.5.7.4-2
= NOL 0, N = NCu c), care iau
naștere, se opun acț iunii forț ei F (Fig.5.7.4-2b). Condi ția de echilibru pusă ca o
sumă de forțe pe vertical ă conduce la rela ția:

() F N N 0 Fc 0 y= + ⇒ = ∑ 5.7.4-5

Și acest sistem este static nedete rminat, deoarece nu se mai pot scrie
ecuații de echilibru și există două necunoscute: eforturile axiale din cele dou ă
materiale.
118

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ecua ția suplimentar ă rezultă din analiza modului de deformare al celor
două bare sub ac țiunea forței exterioare F (Fig.5.7.4-2c). Rela ția de deforma ții
care se ob ține este:

δ =Δ− Δ0 cl l 5.7.4-6

care explicitat ă conduce la relaț ia:

δ =⋅⋅−⋅⋅
0 00
c cc
A El N
A El N
5.7.4-7

Dup ă rezolvarea sistemului format de ecua țiile 5.7.4-5 și 5.7.4-7, se obț in
pentru eforturile axiale din cele dou ă materiale, valorile

N = N = 74,49 KN c Cu
N 0 = N = 25,51 KN. OL

Tensiunile care iau na ștere în cele dou ă materiale, sunt:

OLa 2OL
OLOL
OL MPa 24 , 81
4dN
ANσ < − =⋅ π= = σ

()aCu
2
12
2Cu
CuCu
Cu MPa 58 , 50
d d4N
ANσ < − =
− ⋅π= = σ

5.7.5 Bare supuse varia țiilor de temperatură

La calculul barelor care prezentau inexactit ăți de execu ție, s-a văzut că la
montarea for țată chiar în lipsa unor for țe exterioare, apar tensiuni uneori destul
de mari. Tensiuni, în absen ța forțelor exterioare, pot ap ărea și datorită variațiilor
de temperatur ă la care sunt supuse elementele de rezisten ță, în mod voit sau
accidental. Tensiuni de acest fe l, spre exemplu, se produc în șinele de cale ferat ă
vara când temperatura cre ște mult sau iarna când aceasta scade semnificativ sub
00 C. În urma varia ției temperaturii șinelor în raport cu temperatura la care
acestea s-au montat, în șine apar tensiuni normale de întindere sau compresiune,
funcție de sensul varia ției temperaturii (compresiune la cre șterea temperaturii și
întindere la sc ăderea acesteia).
119

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Fie o bar ă de lungime l și secțiune constant ă de arie A, confec ționată
dintr-un material cu coefic ient de dilatare termic ă liniară α. Dacă bara sufer ă o
modificare de temperatur ă Δt, ea se deformeaz ă cu cantitatea:

t l lΔ ⋅ ⋅ α =Δ 5.7.5-1

Această deforma ție dacă se produce liber (la sisteme static determinate) nu
produce tensiuni. În sisteme st atic nedeterminate când deforma țiile produse de
variația de temperatur ă sunt împiedicate (Fig.5.7.5-1a), variaț ia de temperatur ă
produce tensiuni.
Pentru bara din Fig.5.7.5-1a , dilatarea sa nu este permis ă datorită acțiunii
reazemelor (reac țiunilor, Fig.5.7.5-1b). Înseamn ă că întreaga deforma ție datorată
variației de temperatur ă, este preluat ă de efortul axial de compresiune din bar ă
(Fig.5.7.5-1c).
Δlt = ΔlN
N1 N2 l
a)
b) c)
Fig.5.7.5-1 A, E, α
Din condi ția de echilibru scris ă pentru reprezentarea din Fig.5.7.5-1b,
rezultă relația:

() N N N 0 N N 0 F2 1 2 1 x= = ⇒ = − ⇒ = ∑ 5.7.5-2

iar din condi ția de deforma ții (Fig.5.7.5-1c) se ob ține:

A El Nt l l lN t⋅⋅= Δ ⋅ ⋅ α ⇒ Δ = Δ 5.7.5-3

Din relația 5.7.5-3 se determin ă mărimea efortului axial din bar ă, datorat
variației de temperatur ă:

5.7.5-4 t A E NΔ ⋅ α ⋅ ⋅ =

120

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
iar tensiunea normală din bară este:

t EAt A E
ANΔ ⋅ α ⋅ =Δ ⋅ α ⋅ ⋅= = σ 5.7.5-5

Relaț ia 5.7.5-5 arat ă că tensiunea normal ă la o bară cu secțiune constant ă, nu
depinde de m ărimea sec țiunii, ci numai de material (prin E și α) și de variația de
temperatur ă la care este supus ă.
Dac ă la o bară , la un cap ăt există un rost (spa țiu) δ, relația de deforma ții
este de forma:

δ =Δ− ΔN tl l 5.7.5-6

de unde se determin ă apoi efortul axial N. Dac ă efortul axial N rezult ă negativ,
înseamnă că dilatarea datorat ă variației temperaturii nu este suficient de mare
pentru a umple rostul și ca urmare bara nu este solicitat ă (nu apar reac țiunile din
reazeme care s ă solicite bara).
Pentru elementul de rezisten ță supus varia ției de temperatur ă format din
mai multe bare puse cap la cap, sau dintr-o singur ă bară cu secțiune variabil ă,
efortul axial N este acela și pentru toate barele.
Efectul defavorabil datorat dilat ării împiedicate, se înlă tură pe cât posibil
prin lăsarea unor rosturi de dilatare, prin a șezarea elementelor pe reazeme cu
role, prin curbarea elementulu i (în cazul conductelor), etc.

Aplicație. La ce diferen ță de temperatură Δt poate fi supus ă bara din Fig.5.7.5-
2a, pentru a nu se dep ăși tensiunea admisibil ă σa.
Din Fig.5.7.5-2b, punând condi ția de echilibru, rezult ă relația:
δ ΔlN
Δlt δ
N1 N2 l1 l2 E1, A1, α E2, A2, α
a)
b) c)
Fig.5.7.5-2 l
() N N N 0 N N 0 F2 1 2 1 x= = ⇒ = − ⇒ = ∑ 5.7.5-7

121

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Relaț ia suplimentar ă de deforma ții, rezult ă din analiza modului de
deformare a barei sub ac țiunea temperaturii și a reazemelor (Fig.5.7.5-2c):

δ =⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
⋅⋅+⋅⋅− Δ ⋅ ⋅ α + Δ ⋅ ⋅ α ⇒δ= Δ − Δ
11
22
2 1N t
A El N
A El Nt l t ll l
5.7.5-8

După efectuarea calculelor, se ajunge la urm ătoarea expresie pentru efortul axial
din bară:

( )( E l tA l A lA A
A AA l A ll t EN N N
1 2 2 12 1
2 11 2 2 12 1 ⋅ δ − ⋅ Δ ⋅ α ⋅⋅ + ⋅)⋅=
⋅⋅ + ⋅δ − ⋅ Δ ⋅α⋅= = = 5.7.5-9

Secțiunea periculoas ă este situat ă pe tronsonul cu aria mai mică (se
presupune c ă acest material are și tensiunea admisibil ă cea mai mic ă). Condiția
de rezisten ță care se impune și de unde se scoate apoi Δt, este:

()1 a 1
1 2 2 12 1A E l tA l A lA AN σ ⋅ = ⋅ ⋅ Δ ⋅ α ⋅⋅ + ⋅⋅= 5.7.5-10

Rezolvând rela ția 5.7.5-10 în raport cu Δt, se obț ine diferen ța maximă de
temperatur ă la care poate fi supus sist emul pentru a nu se dep ăși tensiunea
admisibilă:

αδ+⋅⋅+⋅⋅α ⋅σ ⋅= Δ
2 11 2 2 1 1 a 1
A AA l A l
EAt 5.7.5-11

5.7.6 Bare supuse acț iunii mai multor factori

De foarte multe ori, se întâlnes c sisteme care sunt supuse simultan ac țiunii
mai multor factori: for țe exterioare, inexactităț i de execu ție, variații de
temperatur ă, etc. Rezolvarea unor astfel de sisteme poate fi f ăcută în două
variante:
a) considerarea simultan ă a tuturor factorilor
b) evaluarea separat ă a eforturilor și tensiunilor produse de fiecare factor
de influen ță.
122

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
În prima variant ă, ecuația care rezult ă din condi ția de deformare con ține
termeni care exprim ă influența fiecărui factor. În acest fel, rezultatul care se
obține este unul singur și anume cel total (cel rezultant).
În varianta a doua, problema se rezolv ă separat pentru fiecare factor de
influență. Pentru ob ținerea rezultatului final (rezultant) trebuie f ăcută însumarea
algebrică a rezultatelor ob ținute pentru fiecare factor. Aceast ă metodă, de cele
mai multe ori este mai simpl ă și mai comod ă, dar în acela și timp, necesit ă un
volum mare de munc ă. Metoda aceasta, mai este cunoscut ă și sub denumirea de
metoda suprapunerii efectelor.
Studiul influen ței mai multor factori asupra elementelor de rezistență , se
face pe un caz concret.

Aplicație. Fie trei bare verticale de lungime l = 2 m și care susț in o platform ă
rigidă orizontal ă BC pe care se aplic ă o forță F = 40 KN (Fig.5.7.6-1a). Bara
din mijloc este mai scurtă cu δ = 0,2 mm. Bara 1 este din cupru, iar barele 2 și
3 din oț el. Dacă temperatura sistemului cre ște cu Δt = 200 C, se cere s ă se
determine tensiunile din cele trei bare, dup ă montarea for țată și creșterea
temperaturii cu Δt. Se mai cunosc: a = 1, 5 m, b = 1 m, c = 0,25 m, A = 2A1 2 =
200 mm2 2 5 5, A3 = 3A 2 = 300 mm , E = E = 10 MPa, E Cu c OL = E 0 = 2⋅10 MPa, αCu
= αc = 17⋅10-6 grad-1 -6, αOl = α0 = 13⋅10 grad-1.
Presupunem c ă s-a realizat montarea for țată și că eforturile axiale care
apar în bare sunt toate de întindere. Se aplică varianta când se ține seamă de
influența tuturor ac țiunilor: forț a F, inexactitatea de execu ție, creșterea
temperaturii. Eforturile din bare sunt eviden țiate în Fig.5.7.6-1b. Tot pentru
acest sistem simplificat se pun și condițiile de echilibru:
Δl2 Δl1 δ δ
c 3 2
C M
D B F F N1 N2 N3
B D M C 1
l
a b
Δl3 a) b)
c)
Fig.5.7.6-1
123

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
() F N N N 0 F3 2 1 y= + + ⇒ = ∑ 5.7.6-1

() c F b N a N 0 M3 1 D⋅ − = ⋅ − ⋅ ⇒ = ∑ 5.7.6-2

Deoarece nu se mai pot scrie alte ecua ții de echilibru independente, se
caută relații de deforma ții. Schema simplificat ă cu deformarea sistemului este
prezentată în Fig.5.7.6-1c. Dup ă scrierea rela ției dintre deforma țiile barelor și
efectuarea calculelor neces are, se ajunge la urm ătoarea rela ție:

ab a
l ll l
1 21 3+=δ − Δ − ΔΔ−Δ
5.7.6-3

unde:

t lA El Nlc
1 c1
1 Δ ⋅ ⋅ α +⋅⋅= Δ 5.7.6-4a

t lA El Nl0
2 02
2 Δ ⋅ ⋅ α +⋅⋅= Δ 5.7.6-4b

t lA El Nl0
3 03
3 Δ ⋅ ⋅ α +⋅⋅= Δ 5.7.6-4c

Dup ă înlocuirea rela țiilor 5.7.6-4a…c în rela ția 5.7.6-3 și rezolvarea
sistemului format din ecua țiile 5.7.6-1, 5.7.6-2 și 5.7.6-3 explicitat ă, se obțin
pentru cele trei eforturi, valorile:

N 1 = 7,92 KN
N 2 = 10,20 KN
N 3 = 21,88 KN.

Cu valorile eforturilor calculate, rezultă tensiunile din bare:
pentru bara 1:

aCu3
11
1 MPa 6 , 3920010 92 , 7
ANσ < =⋅= = σ

pentru bara 2:
124

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
aOL3
22
2 MPa 2 , 1010010 2 , 10
ANσ < =⋅= = σ

pentru bara 3:

aOL3
33
3 MPa 93 , 7230010 88 , 21
ANσ < =⋅= = σ

Se constat ă că în toate cele trei bare, tensiu nile rezultate sunt mai mici
decât valoarea tensiunilor admise pentru fiecare material. Toate barele satisfac
condiția de rezisten ță.
125

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. FORFECAREA PIESELOR DE GROSIME MIC Ă

6.1 TENSIUNI ȘI DEFORMA ȚII LA FORFECARE

Dacă singurul efort din sec țiunea transversal ă a unui element de rezisten ță
este efortul tă ietor T, se spune c ă în acea sec țiune se realizează o solicitare de
forfecare pură . O astfel de solicitare se întâlne ște destul de rar în practic ă. Chiar
și în laborator, forfecarea pură se realizeaz ă numai cu dispozitive speciale.
Forfecarea este înso țită în general de încovoiere și strivire. În studiul care se va
efectua în continuare, efec tul încovoierii se neglijeaz ă.
Se consider ă o bară dreaptă , de secțiune dreptunghiulară și având grosimea
mică, solicitată de două forțe exterioare egale, paralele ș i de sens opus F. For țele
F sunt perpendicula re pe axa barei și sunt situate la o distan ță mică una de
cealaltă (Fig.6.1-1a).

F e FF
F
a)F
F
F
b) τ
A Ty = F
c)
Fig.6.1-1
126

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
După ce cuțitele au p ătruns în material, prin producerea unei compresiuni
foarte mari care distruge materialul, între cele dou ă forțe de tăiere sau de
forfecare , apare o excentricitate e (Fig.6.1-1b), și de aici un moment
încovoietor:

e F Mi⋅= 6.1-1

Așadar, nu exist ă o forfecare pur ă, ea fiind înso țită de încovoiere și
strivire. Convenț ional, se consider ă că într-o astfel de sec țiune, nu exist ă decât
efort tă ietor.
Sub acțiunea forțelor exterioare, elementul se deformează , producându-se
lunecări γ, iar în sec țiunea transversal ă se dezvolt ă tensiuni tangen țiale τ.
Calculul la forfecare al pi eselor de grosime mic ă admite c ă pe secțiunea
forfecată, tensiunea tangen țială τ este uniform (Fig.6.1-1c).
Din cele șase relații de echivalen ță dintre eforturi și tensiuni, în cazul
forfecării, există una singur ă:

6.1-2 ∫ ∫⋅ τ = ⋅ τ = ⋅ τ =
A AA dA dA T

de unde se poate determina valoarea tensiunii tangen țiale τ:

AT= τ 6 . 1 – 3

Tensiunea tangen țială τ este în general neuniform ă pe secțiune și
determinarea exact ă a acestei distribu ții, este o problem ă foarte dificil ă. Însă, la
piese de grosime mic ă, se poate considera o distribu ție uniform ă a tensiunii
tangențiale τ.
Relaț ia 6.1-3 de calcul a tensiunii tangen țiale este o rela ție aproximativă
care însă dă rezultate bune la calculul la forfecare al pieselor care apar la
îmbină ri cu nituri, buloane, șuruburi, pene, suduri, construc ții din lemn, etc.
Calculul la forfecare, se face exclusiv din condi ția de rezisten ță. Pentru
cele trei tipuri de problem ă, relațiile de calcul la forfecare sunt:
probleme de verificare

a
fmaxATτ ≤ = τ 6 . 1 – 4

probleme de dimensionare
127

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
anecTAτ= 6 . 1 – 5

probleme de efort capabil

a f cap A Tτ⋅ = 6.1-6

În relațiile 6.1-4 și 6.1-6, m ărimea A f se citește aria de forfecare sau aria
forfecată , iar τa – tensiune tangen țială admisibil ă:

τa = (0,6 … 0,8) σa

Deforma țiile produse la forfecare sunt nesemnificative și fără importan ță
practică. Deforma ția la forfecare const ă dintr-o deplasare relativ ă v a unei
secțiuni față de alta situat ă la distanța l. Dacă solicitarea de forfecare are loc în
domeniul valabilit ății legii lui Hooke, deplasarea v se poate calcula cu rela ția:

τνγTlllGG A⋅=⋅= ⋅=⋅ 6.1-7

unde
G – o constant ă de material, numit ă modul de elasticitate transversal
τ – tensiune tangen țială la forfecare:

Produsul GA de la numitorul rela ției 6.1-7 se nume ște modul de rigiditate
la forfecare sau rigiditatea secțiunii la forfecare.
Materialele anizotrope au pe direc ții diferite, module de elasticitate
transversale diferite.

6.2 CALCULUL ÎMBIN ĂRILOR DE PIESE

Îmbină rile dintre diferitele elemente ale unei structuri de rezisten ță, pot fi:
¾ demontabile , din care fac parte îmbin ările cu ș uruburi, cuie, buloane,
chertă ri, etc
¾ nedemontabile , ca cele realizate prin nitu ire, sudare, încleiere, etc.
Elementele componente ale unei structuri, sunt solicitate în general la forfecare,
întindere, compresiune sau une ori la strivire (care este tot o compresiune local ă).

128

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6.2.1 Calculul îmbin ărilor nituite

Pentru realizarea unei îmbin ări nituite între dou ă platbande, se execut ă în
cele două platbande g ăuri prin care se introduce tija nitului, prealabil înc ălzită
până la roș u. Nitul are un singur cap, cel ălalt se realizeaz ă prin baterea
extremității tijei cu ajutorul unui ciocan speci al sau cu ajutorul unei prese special
realizată în acest scop.
Fie două platbande îmbinate prin intermediul a dou ă nituri ca în Fig.6.2.1-1a.
Sub ac țiunea forțelor F, platbandele tind s ă lunece una fa ță de alta, iar
niturile împiedic ă această lunecare și preiau ac țiunea forțelor F.
La fiecare nit, se transmit prin platbande, câte dou ă forțe egale și de semn
contrar. Cercet ările experimentale au scos în eviden ță faptul că fie și în acela și
rând, niturile se încarc ă în mod diferit, unele mai mult, altele mai pu țin. Până în
momentul ruperii, datorită deformațiilor plastice, eforturile care se transmit la
nituri se uniformizeaz ă. Din acest motiv, se poate considera c ă toate niturile se
comportă la fel.
În cazul mai multor nituri, asupra unui singur nit, ac ționează câte două
forțe egale și de sens contrar, numit ă forța pe nit (Fig.6.2.1-1b):

nFF1= 6.2.1-1

unde, n reprezint ă numărul de nituri care preiau for ța F. Forța pe nit se transmite
la nit datorit ă presiunii exercitate de platband ă pe suprafa ța lateral ă
semicilindric ă a tijei nitului. For ța pe nit F 1 tinde să foarfece nitul dup ă planul
m-m de separaț ie al celor dou ă platbande.
t1 F
F F
F F1
F1
F1 F1 m m d
a) b)
c)
Fig.6.2.1-1 t2
129

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Pentru determinarea tensiuni lor din tija nitului, se sec ționează tija acestuia
la nivelul planului m-m și se elimin ă partea inferioar ă (Fig.6.2.1-1b). Eforturile
care se transmit prin sec țiunea tijei nitului de la partea inferioară la cea
superioară , echilibreaz ă forța F 1, adică acționează paralel cu aceasta în planul
secțiunii și prin însumare dau o rezultant ă egală cu F 1. Tensiunile care apar în
această secțiune și care ac ționează tangent la planul sec țiunii, sunt tensiuni
tangențiale τ. La nituri care fac parte din cat egoria pieselor de grosime mic ă, se
consideră că tensiunea tangen țială τ este uniform distribuit ă pe secțiune.
Tensiunea tangen țială τ din sec țiunea transversal ă a unui nit dintr-o
îmbinare cu n nituri, se calculeaz ă cu relația:

a 2 21
4dnF
4dFτ ≤⋅ π⋅=⋅ π= τ 6.2.1-2

care reprezint ă și relația de verificare a condi ției de rezisten ță.
Dimensionarea unei îmbin ări nituite, necesit ă determinarea diametrului
nitului. Din rela ția 6.2.1-2 rezult ă expresia pentru diametru l necesar al unui nit,
atunci când se cunoaș te numărul de nituri din îmbinare:

a nF 4dτ ⋅ π ⋅⋅= 6.2.1-3

În general, diametrul tijei niturilor, se alege în func ție de grosimea t a pieselor
care se îmbin ă (în mod obi șnuit d = 2t). În aceste situa ții, se calculeaz ă atunci
numărul de nituri necesar îmbin ării pentru transmiterea for țelor exterioare:

a 42dFn
τ ⋅⋅ π≥ 6.2.1-4

Forț a capabilă a unei îmbin ări nituite se determin ă cu relația:

a2
cap4dn Fτ ⋅⋅ π⋅ = 6.2.1-5

La calculele prezentate pân ă acum s-a neglijat faptul c ă forț ele de
forfecare F 1 nu sunt dirijate pe aceea și dreaptă, ci ele formeaz ă un cuplu. Acest
130

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
cuplu este îns ă echilibrat de cel ălalt cuplu care este format de reac țiunile
exercitate de platbande asupra capului nitului (Fig.6.2.1-1c) și conduce la
apariț ia unor tensiuni normale, care ac ționează în secțiunea m-m.
În tija nitului mai apar tensiuni normale și datorită faptului c ă prin ră cire,
tija nitului tinde s ă se scurteze fiind împiedicat ă de capetele nitului, care sunt
presate pe platbande. Acest fenomen asigur ă pe de-o part e, strângerea
platbandelor cu ajutorul niturilor și apariția între ele a unor for țe de frecare, iar
pe de alt ă parte, conduce la apari ția tensiunilor normale mari în tija nitului.
Tensiunile normale din tija nitului nu pot provoca inconve niente deosebite și ca
urmare, acestea se neglijeaz ă în calcule.
Deoarece transmiterea for țelor la nit se realizeaz ă prin presarea dintre
pereții găurii și tija nitului, este necesar a se cunoa ște dacă nu se produce o
strivire a tijei sau a pere ților găurii platbandei. Aceast ă verificare este o
verificare la strivire sau la presiunea pe gaur ă.
Modul de transmitere a presiunii (tensiunii) pe tija nitului este ar ătată în
Fig.6.2.1-2a. Legea de distribu ție a presiunii pe suprafa ța semicilindric ă a tijei
nitului, nu este cunoscută , ea depinzând de neregularit ățile formei gă urii și ale
tijei nitului, func ție de modul de execu ție a acestora. Din acest motiv, calculul la
strivire este un calcul conven țional, admi țându-se c ă presiunea neuniform ă care
se transmite la suprafa ța tijei nitului de la platband ă, este uniform repartizat ă pe
planul diametral al sec țiunii tijei nitului (Fig.6.2.1-2b).
Tensiunea σs pe acest plan diametral este aproximativ egal ă cu tensiunea
maximă la presiunea pe gaur ă σg.
F1
F1 d
t
σg σ m m
a) b)s

Fig.6.2.1-2
Pentru a calcula aceast ă tensiune de strivire conven țională σs, este necesar ca
forța ce revine nitului F 1, să se împart ă la aria sec țiunii diametrale (Fig.6.2.1-2b).
Această suprafață diametral ă este un dreptunghi, care ar e ca laturi diametrul
nitului d și grosimea platbandei t, care transmite presiunea pe tija nitului.
131

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Pentru o îmbinare cu n nituri, rela ția de verificare la strivire, are forma:

as1
s s max,tdnF
tdFσ ≤⋅⋅=⋅= σ = σ 6.2.1-6

unde,
σas – tensiunea admisibil ă la strivire
σas = (2 … 2,5) σa
Pe baza rela ției 6.2.1-6, se calculeaz ă numărul de nituri necesar pentru
satisfacerea condiț iei de rezistență la strivire:

ast dFnσ ⋅ ⋅≥ 6.2.1-7

Din cele prezentate până acum cu privire la calculu l niturilor, reiese faptul
că nitul trebuie calculat atât la solicitarea de forfecare cât și la cea de strivire.
Pentru problemele de dimens ionare sau de calcul al num ărului de nituri necesar,
rezultă două valori pentru aceea și mărime. În aceast ă situație, se va lua valoarea
cea mai mare rezultat ă.
În general, rezisten ța niturilor este mai mic ă la solicitarea de forfecare.
Acest lucru se întâmpl ă la așa numitele nituri cu o singură secțiune de forfecare ,
la care fiecare nit este forfecat într-o singur ă secțiune.
În cazul îmbină rilor nituite între dou ă platbande prin intermediul
ecliselor, for ța F se transmite de la o platband ă prin cele dou ă eclise la cealalt ă
platbandă (Fig.6.2.1-3).
Dacă se noteaz ă cu n numărul niturilor care transmit forț a F de la platbandă la
eclise și de la eclise mai departe la cealalt ă platbandă , rezultă că fiecărui nit îi
revine să preia de la platband ă sarcina F/n. În acela și timp, prin eclise, nitul
preia sarcina F/2n. Tija nitului prezint ă la o astfel de îmbinare, dou ă secțiuni de
F/2n t1
t1
F/nF/2n t F/2n
F/2n Eclisă
Eclisă
Fig.6.2.1-3Platbandă
F/n
132

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
forfecare, deoarece platbanda tinde să lunece fa ță de ambele eclise. În cazul
prezentat în Fig.6.2.1-3, lunecarea plat bandei are loc spre dreapta. Pe cele dou ă
suprafețe de forfecare, se presupune c ă efortul tăietor F/n se repartizeaz ă în mod
egal.
Tensiunea tangen țială la forfecarea tijei nitului, este:

2dnF
4d2 nF
4d2F
2 2 21
⋅ π⋅=⋅ π⋅ ⋅=⋅ π⋅= τ 6.2.1-8

Condi ția de verificare la forf ecare pentru nitul cu dou ă secțiuni de
forfecare, este:

τ
π2
2aF
dn=
⋅⋅τ≤ 6.2.1-9

iar numărul de nituri necesare, se calculeaz ă cu relația:

a2
2dFn
τ ⋅⋅ π≥ 6.2.1-10

Se poate constata c ă, în cazul niturilor cu dou ă suprafețe de forfecare,
numărul acestora este redus la jum ătate, față de cazul niturilor cu o singur ă
suprafață de forfecare.
Grosimea platbandelor este t, iar a ecliselor t1 (Fig.6.2.1-3). Grosimea
ecliselor trebuie s ă fie de cel pu țin 0,5 t, deoarece preia fiecare jum ătate din for ța
preluată de o platband ă. Din acest motiv,

t t t 5 , 01≤< 6.2.1-11

Forț a F/n strivește atât por țiunea de mijloc a nitului cât și porț iunea de sus
și de jos a acestuia. Mai periculoas ă este acea por țiune care are suprafaț a de
strivire mai mică , adică cea cu grosimea mai mic ă. Deoarece grosimea
platbandei nu dep ășește suma grosimilor celor dou ă eclise, rezult ă că mai
periculoas ă este platbanda. Dac ă suma grosimilor celor dou ă eclise este mai
mică decât grosimea platbandei, atunci eclisele sunt cele mai periculoase.
Rezultă că relația de verificare la strivire, în acest caz, este de forma:
¾ pentru platband ă – nit

133

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
asast dFn ;t d nF
σ ⋅ ⋅≥ σ ≤⋅ ⋅ 6.2.1-12

¾ pentru eclis ă – nit

as 1as
1 t d 2Fn ;t d n 2F
σ ⋅ ⋅ ⋅≥ σ ≤⋅ ⋅ ⋅ 6.2.1-13

Dac ă nitul, platbandele ș i eclisele nu sunt realizate din acela și material,
atunci în rela țiile 6.2.1-12 și 6.2.1-13 se ia tensiunea admisibilă la strivire cea
mai mică (a materialului cu rezisten ța la strivire cea mai mic ă).
În concluzie , pentru calculul tensiunii tangenț iale, forța care revine unui
nit, trebuie împ ărțită la aria totală de forfecare care preia aceast ă forță . La
strivire îns ă, trebuie stabilit ă acea parte a nitului care se afl ă în condiț iile cele
mai periculoase, adic ă preia for ța cea mai mare pe o suprafa ță minimă.
Tensiunea maxim ă la strivire rezult ă prin împărțirea acestei for țe la aria sec țiunii
diametrale a por țiunii celei mai solic itate a nitului.
Platbandele și eclisele sunt solicitate la întindere sau compresiune.
Secțiunea periculoas ă a fiecăreia, este sec țiunea care trece prin g ăurile de nit,
unde lăț imea efectiv ă este mai mic ă. În practic ă se spune c ă această secțiune este
slăbită de gaura de nit.
Fie îmbinarea nituit ă din Fig.6.2.1-4a, la care platbandele au l ățimea total ă
b. Sunt 6 nituri, câte dou ă pe un rând transversal.
Forța ce revine unui singur nit este:

6FF1= 6.2.1-14

și ea se transmite prin nit de la o platband ă la alta. Nu toate secț iunile
transversale ale platbandelor, cu toate c ă sunt slă bite de acela și număr de gă uri,
sunt la fel de pericu loase. Aceasta din cauz ă că efortul axial din platband ă nu
este acela și pe toată lungimea ei. Diferen ța de efort axial de la o sec țiune la alta,
este cauzat ă de faptul c ă prin fiecare nit se transmite for ța F 1, ceea ce face ca la
secțiunile urm ătoare, for ța care rămâne să fie din ce în ce mai mică . Acest
fenomen este explicitat mai bine în Fig.6.2.1-4b, unde este reprezentată variația
efortului axial în lungul platba ndei. Efortul axial N mai mare și egal cu forț a de
solicitare F, este pentru fiecare platband ă în porțiunea cuprins ă între secțiunea de
aplicare a forț ei F ș i secțiunea cu primul rând de nituri.
Trebuie avut în vedere și faptul c ă aceste g ăuri de nit constituie
concentratori de tensiune, ceea ce face ca tensiunile din vecin ătatea găurii să fie
considerabil mai mari decât cea determinat ă prin calcul.
134

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Pentru exemplul prezentat, rezult ă că tensiunea maxim ă din platband ă este:

() t d 2 bF
max⋅ −= σ 6.2.1-15

sau pentru cazul general:

()t d m bF
⋅ ⋅ −= σ 6.2.1-16

unde, m – numărul de nituri pe un rând transversal.
În general, deoarece platbanda este mai solicitat ă la primul rând de nituri,
în această secțiune se așează mai puține nituri pe un rând. Dac ă nu se întâmpl ă
așa, atunci func ție de num ărul niturilor pe un rând și a valorii efortului axial, se dF
F t1
F
F t2 1 2
b
a)
N=F
F-2F 1
F-4F 1
Platbanda 1
N=F
F-2F 1 F-4F 1Platbanda 2
b)
Fig.6.2.1-4
135

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
stabilește secțiunea periculoas ă pentru platbandă și calculul se efectueaz ă în
această secțiune.
La calculul la întindere sau compre siune al unei eclise, trebuie avut în
vedere faptul c ă în eclisă efortul axial are va loarea cea mai mare și egală cu F 1/2,
la nivelul primului rând de nituri prin care se transmite forț a de la eclis ă la
platbandă.

6.2.2 Calculul îmbin ărilor sudate

La îmbinarea diferitelor elemente ale structurilor de rezisten ță se
utilizează pe scară mare sudura. Îmbinarea prin sudare prezintă o serie de
avantaje fa ță de îmbinarea nituit ă: manoperă scăzută, elementele nu sunt sl ăbite
prin efectuarea gă urilor de nit, preț de cost redus, consum redus de metal etc.
Calculul îmbină rilor sudate ca și al celor nituite de altfel, se face
convențional, considerându-se c ă tensiunile sunt di stribuite uniform în
secțiunile respective.
Cea mai simpl ă și sigură în același timp, este îmbinarea cap la cap. Acest
tip de îmbinare const ă în umplerea cu metal topit a spa țiului (rostului) dintre
extremitățile elementelor care se îmbin ă (Fig.6.2.2-1).
Grosimea cordonului de sudur ă depinde de grosimea elementelor care se
îmbină . Se cunosc mai multe procedee de realizare a cordonului de sudur ă, care
nu fac obiectul de studiu al Rezisten ței Materialelor.
F
Deoarece calculul îmbin ărilor sudate este un calcul conven țional, trebuie
văzut care sunt elementele cons titutive ale unui cordon de sudur ă. Elementele
constitutive și cele de calcul ale unui cordon de sudură sunt prezentate în
Fig.6.2.2-2.
F
b
t Sudură
Fig.6.2.2-1F F
136

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Un cordon de sudur ă trebuie să arate ca în Fi g.6.2.2-2a, unde:
a t t t
ta
lc
lef
a) b)
Fig.6.2.2-2 lef a
t – este l ățimea cordonului de sudur ă
l ef – lungimea efectiv ă a cordonului de sudur ă.
După cum rezult ă din Fig.6.2.2-2a, în sec țiune transversală cordonul are un
bombeu, care de multe or i din cauza superficialităț ii sudorului, acesta lipse ște.
Ca urmare, se consider ă că în secțiune transversal ă cordonul de sudur ă are forma
unui triunghi isoscel (Fig.6.2.2-2b) unde a = 0,7t și reprezint ă înălțimea
cordonului de sudură . Se mai știe că la capetele unui cordon de sudură datorită
curgerii metalului de adaos sau datorit ă amorsării greoaie uneori a procesului de
sudare, nu se asigur ă pentru cordon în ălțimea necesar ă. Din acest motiv, la
fiecare cordon de sudur ă, la capete nu se ia în considerare o lungime egal ă cu
înălțimea cordonului, rezultând a șa numita lungime de calcul l (Fig.6.2.2-1b ): c

lc = l ef – 2a 6.2.2-1

Revenind la sudura cap la cap (Fi g.6.2.2-1), aceasta este solicitată la
întindere. Condiț ia de rezisten ță pe care trebuie s ă o satisfac ă cordonul de sudur ă
este:

() ()aS
cst t 2 bF
t a 2 bF
AFσ ≤⋅ −=⋅ −= = σ 6.2.2-2

este aria de calcul. unde: A c
σaS – tensiunea admisibil ă la tracțiune a materialului cordonului de
sudură.
137

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
La acest tip de îmbinare (cap la cap) în ălțimea cordonului de sudur ă este
egală cu grosimea pl ăcilor care se îmbin ă (a = t). Pentru determinarea ariei de
calcul, din lungimea efectivă a cordonului de sudur ă care este egal ă cu lățimea
plăcilor (l ef = b), s-a sc ăzut dimensiunea 2a, deoarece se consider ă că la margini
cordonul de sudur ă nu mai are în ălțimea corespunz ătoare.
De multe ori în practic ă, îmbinarea elementelor se face prin suprapunere,
sau cap la cap, dar cu ajutorul ecliselor . În acest caz, elementele nu se mai afl ă
în același plan, ceea ce conduce la realizarea unor cordoane de col ț, care pot fi:
frontale sau transversale când sunt perpendiculare pe direc ția de acțiune a for ței
(Fig.6.2.2-3b) și laterale când sunt paralele cu direc ția forței (Fig.6.2.2-3a).

Elementele unui cordon de col ț au fost prezentate în Fig.6.2.2-2. Ruperea
cordoanelor de col ț are loc într-un plan la 45
t
tt
a)
b) F F
F FF F
Fig.6.2.2-3
l
b
0 față de lățimea cordonului sau
altfel, în planul care con ține înălțimea triunghiului isoscel al sec țiunii
transversale a cordonului. La cordoane le frontale, tensiunea care ia na ștere, se
poate descompune în dou ă componente: o tensiune normal ă și alta tangențială
în lungul cordonului de sudur ă. Deoarece la materialul de adaos, rezisten ța la
lunecare este mai mic ă decât cea la întindere ș i cordonul frontal se calculeaz ă tot
la forfecare ca și cel lateral.
Pentru îmbinarea cu cordoane la terale din Fig.6. 2.2-3a, tensiunea
tangențială la forfecare este:

138

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
() ()aSt 7 , 0 t 7 , 0 2 l 2F
a a 2 l 2Fτ ≤⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅=⋅ − ⋅= τ 6.2.2-3

iar pentru îmbinarea frontal ă din Fig.6.3-3b, este:

() ()aSt 7 , 0 t 7 , 0 2 b 2F
a a 2 b 2Fτ ≤⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅=⋅ − ⋅= τ 6.2.2-4

În relațiile 6.2.2-3 și 6.2.2-4, τ aS este tensiunea admisibil ă la forfecare a
materialului cordonului de sudur ă, iar la numitor apare f actorul 2, deoarece în
ambele cazuri exist ă două cordoane de sudur ă.
Deoarece tensiunea admisibil ă la întindere pentru materialul cordonului
de sudură este mai mic ă decât a materialului pieselor care se îmbin ă cap la cap,
se caută mărirea lungimii cordonului de sudur ă. Pentru aceasta, se utilizează
îmbinarea cap la cap cu co rdon oblic (Fig.6.2.2-4a).
Cercetările experimentale au relevat faptul c ă rezistența unor astfel de
îmbină ri este egal ă cu cea a materialului de baz ă. Într-un cordon oblic, iau
naștere atât tensiuni normale cât și tangenț iale, a că ror expresie este:
τα
τα σα

α ⋅⋅= α ⋅ = α ⋅ = τα ⋅⋅= α ⋅ = α ⋅ = σ
αα ααα α
cosl tFcosAFcos psinl tFsinAFsin p
cc
6.2.2-5

unde
F b
αα
σα
pα
Fig.6.2.2-4 F
139

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
lc – este lungimea de calcul a cordonului de sudur ă și are conven țional
expresia:

10sinblc−α= 6.2.2-6

Mărimea cea mai ra țională pentru unghiul de înclinare α al cordonului de
sudură față de direcția de solicitare este de 450 … 500. Îmbinarea cu cordon de
sudură înclinat are dezavantajul c ă centrarea elementelor care trebuie îmbinate
este destul de dificil de realizat.
Există situații destul de întâlnite în care direcț ia forței de solicitare nu este
axă de simetrie pentru el ementele care se îmbină sau pentru a șezarea
cordoanelor de sudur ă. În aceste situa ții problema mai dificilă este aceea de a
determina efortul din fiecare cordon. Problema determin ării eforturilor din
cordoanele de sudur ă se rezolv ă însă cu metodele cunoscute din static ă.

6.3 CALCULUL ÎMBIN ĂRILOR DE PIESE DIN LEMN

Tensiunile de întindere -compresiune, forfecare și strivire se întâlnesc ș i în
cazul îmbină rilor de piese din lemn. Lemnul este un material neomogen și ca
urmare prezint ă rezistențe diferite func ție de direc ția pe care o au fibrele fa ță de
cea de solicitare.
Din punct de vedere al forfec ării și strivirii, se disting rezistenț e diferite
când solicitarea este paralel ă cu fibrele ș i când aceasta are loc perpendicular pe
direcția fibrelor.
În Tabelul 6.3-1 se prezint ă rezistența de rupere la forfecare pentru dou ă
sortimente de lemn, iar în Tabelul 6.3-2, rezistenț ele admisibile pentru acelea și
sortimente, func ție de direc ția solicitării cu direc ția fibrelor.

Tabelul 6.3-1 Rezistenț a de rupere la forfecare [MPa]
Direcția de solicitare fa ță de a fibrelor Specia
Paralelă cu fibrele Perpendicular ă pe fibre
Pin 6 3
Stejar 9 –

Cele mai întâlnite îmbin ări în lemn, sunt:
¾ îmbinări prin chertare cu prag sau cu mai mu lte praguri (Fig.6.3-1a)
¾ îmbinări cu pene (Fig.6.3-1b)
¾ îmbinări cu elemente de leg ătură din oțel: cuie, buloane, ec lise, scoabe, tije,
etc. (Fig.6.3-1c)
¾ îmbinări prin încleiere.
140

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Tabelul 6.3-2 Tensiuni admisibile pentru pin și stejar [MPa]
Felul solicit ării Notația Pin Stejar
Întindere 10 13 σa
Compresiune paralel cu fibrele și strivirea
capetelor 12 15 σac
Strivire în îmbin ări paralel cu fibrele 8 11 σa str
0Strivire normal ă pe fibre (pe o lungime >10 cm) 2,4 4,8 σa str 90
Forfecare în paralel cu fibrele 0,5 … 1 0,8 … 1,4 τa
0Forfecare în îmbin ări normal pe fibre 0,6 0,8 τa 90
Încovoiere 12 15 σi
Forfecare din încovoiere 2 2,8 τi

Abaterile tensiunii admisibile fa ță de valorile prezentate în Tabelul 6.3-2
pot fi în limitele a 25…30 % și ele depind de calitatea lemnului, gradul de
umiditate, condi țiile de solicitare etc. În cazul solicit ării sub un unghi α față de
direcția fibrelor (ca în cazul îmbină rii prin chertare), tensiunea admisibil ă are o
valoare intermediar ă între σ
a) c) b)
Fig.6.3-1
a str și σa str 900 (sau τ a și τa 900) și se calculeaz ă cu
relația conven țională :

α ⋅
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−σσ+σ= σα
2
90 str astr astr a
sin 1 1
0 6.3-1

Când forț ele de forfecare acț ionează într-un plan tangen țial înclinat sub un
unghi α față de direcția fibrelor, tensiunea admisibil ă se calculeaz ă cu ajutorul
aceleiași relații (relația 6.3-1) în care σa str se înlocuieș te cu τ. a
141

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Îmbină rile prin chertare, transmit sarcinile de la o pies ă la alta în mod
direct, prin intermediul unui prag, f ără alte corpuri intermediare. Eventualele
legături suplimentare, cum sunt buloanele, scoabele, etc., nu constituie elemente
de rezisten ță și ele nu preiau for țe din îmbinare.
Pentru îmbinarea prin chertare din Fig.6.3-2, tensiunile din sec țiunile
periculoase sunt:
¾ Secțiunea I este solicitat ă la forfecare în lungul fibrelor:
h1P
F P
a c
I
II III IV α
Fig.6.3-2 V b
h

baF
bacos P
⋅=⋅α ⋅= τ 6.3-2

¾ Secțiunea II este solicitat ă la strivire

1 1sh bF
h bcos P
⋅=⋅α ⋅= σ 6.3-3

¾ Secțiunea III este solicitat ă la strivire, perpendicular pe fibre:

cbsin P
s⋅α⋅= σ 6 . 3 – 4

¾ Secțiunea IV este solicitat ă la întindere

() b h hF
1⋅ −≈ σ 6 . 3 – 5

142

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Aici s-a neglijat faptul c ă direcția forței F nu coincide (datorit ă chertă rii
h1) cu cea corespunz ătoare centrului de greutate a sec țiunii slăbite IV, existând o
mică excentricitate.
În cazul unei îmbin ări prin pene (Fig.6.3-3), tensiunile care apar într-o
singură pană, sunt:
¾ tensiuni de forfecare
b a

a b mF
⋅ ⋅= τ 6 . 3 – 6

¾ tensiuni de strivire

1sh b mF
⋅ ⋅= σ 6 . 3 – 7

În rela țiile 6.3-6 și 6.3-7, multiplicatorul m reprezint ă numărul penelor
care preiau forț a F.

h1
Fig.6.3-3 h F
F
143

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6.4 APLICA ȚII LA CALCULUL ÎMBIN ĂRILOR DE PIESE

6.4.1 Să se dimensioneze elementele din o țel ale ansamblului din Fig.6.4.1-
1, pentru care se c unosc: F = 150 KN, h = 5b, σa = 150 MPa, τa =τaS = 100
MPa, σ = 300 MPaas .
În acest ansamblu, exist ă 4 elemente (notate în Fig.6.4.1-1) care trebuie
dimensionate: bol țul (1), urechea (2), tija (3) și sudura (4). Se va pune condi ția
de rezisten ță, pe rând pentru fiecare element component.
e
b a
d

Bolțul (elementul 1):
¾ solicitat la forfecare în două secțiuni, de către ureche

mm 31F 2dF
4d2
a a2
=τ ⋅ π⋅= ⇒τ=⋅ π⋅

¾ solicitat la strivire, la suprafa ța de contact cu urechea

mm 9d 2FtFt d 2
as as=σ ⋅ ⋅= ⇒σ= ⋅ ⋅

Urechea (elementul 2):
F F
F h
t
t c
Fig.6.4.1-1 1 2 3 4
F
144

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
¾ solicitată la întindere, cu sec țiunea periculoas ă în zona sl ăbită de gaura pentru
bolț
() mm 93 d2FcFd c 2
a a= +σ ⋅= ⇒σ= − ⋅

¾ solicitată la strivire, pe suprafa ța de contact cu bol țul. Fiind din acela și
material cu bol țul și aceeași suprafață de contact, nu mai este nevoie de
calculul la strivire al urechii
¾ solicitată la forfecare de c ătre bolț

mm 42t 4FeFt e 4
a a=τ ⋅ ⋅= ⇒τ= ⋅ ⋅

Tija (elementul 3):
¾ solicitată la întindere

mm 75 h , mm 15 bmm 155FbFb 5 bFh b
a a a
= = ⇒=σ ⋅= ⇒σ= ⋅ ⇒σ= ⋅

Sudura (elementul 4)
¾ este solicitat ă la forfecare. Cum sudura este realizat ă pe întreg conturul, nu
există capete imperfect realizate

() mm 9b 12FaFa b 12Fa h 2 b 2
a a a=τ ⋅ ⋅= ⇒τ= ⋅ ⇒τ= ⋅ ⋅ + ⋅

145

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6.4.2 Să se verifice elementele îmbin ării din Fig.6.4.2-1 realizate din acela și
material, pentru care se cunosc: F = 40 KN, d = 10 mm, b = 40 mm, t = 10 mm,
σa = 160 MPa, τa = 130 MPa, σas = 240 MPa.
Elementul 3 având aceea și grosime t ca ș i elementul 2, dar o l ățime mai
mare, este mai pu țin periculos decât elementul 2 și ca urmare nu i se mai face
calculul de verificare.
d
Se vor verifica numai cele dou ă elemente: nitul (1) și placa (2).

Nitul (elementul 1):
¾ este solicitat la forfe care, având o singur ă suprafață de forfecare. Mai întâi se
calculează forța pe un nit, îmbinarea r ealizându-se cu 4 nituri:

KN 104F
nFF F1 nit= = = =

Tensiunea maxim ă de forfecare în tija nitului este:

a 21
21MPa 127dF 4
4dFτ < =⋅ π⋅=⋅ π= τ

¾ este solicitat la strivire, pe suprafa ța de contact dintre tija nitului și placă F
F t
t b
1 2 1I I 1II
Fig.6.4.2-1 3
146

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

as1
s MPa 100tdFσ < =⋅= σ

Placa (elementul 2)
¾ este solicitat ă la întindere. În sec țiunea I, efortul axial es te mai mare (cel mai
mare) decât în sec țiunea II, dar și aria sec țiunii I este mai mare decât aria
secțiunii II (aici sunt dou ă găuri de nit pe un rând). Ca urmare, stabilirea
tensiunii maxime (a sec țiunii periculoase) se poate face numai prin calcul. Se
face atunci verificarea în ambele sec țiuni.
În secțiunea I, efortul axial este N I = F. Tensiunea maxim ă la întindere
este:

()a
I IIMPa 3 , 133t d bF
AF
ANσ < =⋅ −= = = σ

În secțiunea II, efortul axial este:

N = F – FII nit = F – F 1 = 30 KN

iar tensiunea normală din această secțiune,

()aII
IIIIMPa 150t d 2 bN
ANσ < =⋅ −= = σ

Secțiunea III, nu mai prezint ă importan ță, deoarece este mai pu țin
periculoas ă decât celelalte dou ă. Cu toate astea, s ă calculăm tensiunea
normală și în aceast ă secțiune.
Efortul axial din sec țiunea III, este:

N = F – 3F = F – 3F III nit 1 = 10 KN

iar tensiunea normală ,

()aIII
IIIIIIMPa 3 , 33h d bN
ANσ < =⋅ −= = σ

În urma calculelor efectuate, rezult ă că toate elementele îmbin ării satisfac
condiția de rezisten ță.
147

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. ÎNCOVOIEREA BARELOR PLANE

Dac ă în secțiunea transversal ă a unui element de rezisten ță există un
singur efort și acesta este momentul încovoietor M i, se spune c ă în acea sec țiune
se realizeaz ă o solicitare de încovoiere pură .
În funcție de poziția în spațiu a forțelor exterioare , solicitarea de încovoiere
este:
plană, dacă toate for țele exterioare sunt situ ate într-un singur plan
longitudinal și conține una din axele principale centrale de iner ție ale
tuturor sec țiunilor transversale ale barei
oblică, dacă toate for țele exterioare sunt într -un singur plan, care nu
conține axele principale centrale de iner ție ale tuturor sec țiunilor
transversale ale barei
strâmbă, dacă forț ele exterioare sunt con ținute în plane longitudinale
diferite.
În funcție de natura eforturilor din secțiunea transversal ă a barei, solicitarea
de încovoiere poate fi:
pură, dacă în sec țiunea transversal ă acț ionează numai momente
încovoietoare
simplă (sau cu forță tăietoare), dacă în secțiunea transversal ă a barei pe
lângă moment încovoietor exist ă și efort tă ietor.
În practică , cea mai întâlnit ă este încovoierea simplă , încovoierea pur ă
întâlnindu-se destul de rar.

7.1 TENSIUNI ÎN BARE DREPTE SO LICITATE LA ÎNCOVOIERE PUR Ă

Studiul încovoierii pure se face acceptând urm ătoarele ipoteze:
Direcția forțelor exterioare trece prin centrul de greutate al sec țiunii
transversale
Bara prezint ă un plan de simetrie, care este și planul for țelor exterioare.
Direcția centrală a s e cțiunii transversale care este axa de simetrie, este și
direcție centrală principal ă de inerție
Axa longitudinal ă a barei este o linie dreaptă
Înălțimea sec țiunii transversale a barei este mic ă în raport cu lungimea
acesteia
Materialul se supune legii lui Hooke
148

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Este valabil ă ipoteza secț iunilor plane a lui Bernoulli.
Se consider ă o bară dreaptă de secțiune constant ă solicitată ca în Fig.7.1-1a.
Analizând diagramele de efortu ri (Fig.7.1-1b,c) se constat ă că intervalul
din mijloc este solicitat la încovoiere pur ă, iar cele laterale la încovoiere simpl ă.
Din intervalul solicitat la încovoiere pur ă se detașează un element dx. În
Fig.7.1-2a se prezint ă acest element înainte de solicitare, raportat la sistemul de
axe centrale xOy. Prin solicitarea de încovoiere, elementul împreun ă cu grinda
se deformeaz ă, secțiunile transversale rotindu-se. Unghiul d ϕ cu care se rotesc
două secțiuni transversale situate la distan ța dx una de cealalt ă, se nume ște
rotire elementar ă. Raportul dintre rotirea elementar ă și lungimea elementului
dx, se numeș te rotire specific ă:

dxdϕ= θ 7.1-1

Prin deformarea elementului, fibrele sale î și modific ă dimensiunea. Unele se
lungesc, iar altele se scurteaz ă (Fig.7.1-2b). Exist ă însă și fibre care nu și-au
modificat dimensiunea. Aceste fibre se numesc fibre medii deformate .
O fibr ă situată la distan ța y de axa Oz se lungeș te cu cantitatea Δ dx
(Fig.7.1-1b). Fiind valabilă ipoteza sec țiunilor plane a lui Bernoulli, adic ă
secțiunile transversale r ămân plane și normale la axa deformat ă a elementului,
lungirea fibrei se poate exprima cu rela ția:

Δ dx = y · dϕ 7.1-2 F dx F F
a)
a a
F
– F F F
b) T
Mi
Fa Fa-F
c)
Fig.7.1-1
149

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Dac ă ρ reprezint ă raza de curbur ă a fibrei care nu și-a modificat lungimea,
atunci se poate scrie:

ϕ⋅ρ=d dx 7.1-3

iar lungirea specific ă este:

ρ=ϕ ⋅ ρϕ⋅=Δ= εy
dd y
dxdx
7.1-4

Dacă solicitarea este în domeniul valabilit ății legii lui Hooke, lungirii
specifice îi corespunde o tensiune normal ă σ:
Miz
dx Mi
y dϕ
Δdxx
y y O Fibra medie
a)ρ
σ
σ
dxMi
b)
Fig.7.1-2 y zPlanul for țelor
Axa neutr ă
c)

ρ⋅ = ε ⋅ = σyE E 7.1-5

unde,
E – reprezint ă modulul de elasticitate longitudinal al materialului barei.
Relaț ia 7.1-5, arat ă că tensiunea normal ă la încovoierea pur ă variază liniar pe
secțiune (este func ție de y), crescând odată cu depărtarea față de fibra medie.
Tensiunea este nul ă la nivelul fibrei medii și maximă în fibrele cele mai
depărtate de fibra medie. Fi brele pentru care y = 0 și tensiunea normal ă este
nulă, formeaz ă planul neutru. Axa Oz prin care planul neutru intersecteaz ă
secțiunea transversal ă a grinzii, se nume ște axă neutră.
150

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Pentru exemplul prezentat, fibrele situate sub planul neutru sunt întinse,
cele deasupra planului neutru sunt comprima te, iar cele din planul neutru nu sunt
solicitate.
Punctele situate la aceea și distanță de axa neutr ă (y = const.), au aceea și
tensiune normal ă.
Tensiunea normal ă maximă are loc în fibrele cele mai dep ărtate de axa
neutră, cele care au y max:

ρ⋅ = σmax
maxyE 7.1-6

Din cele 6 rela ții de echivalen ță dintre eforturi și tensiuni, pentru
solicitarea de încovoiere pur ă se pot scrie numai trei, cele în care intervine
tensiunea normal ă σ:

7 . 1 – 7 a 0 dA N
A= ⋅ σ =∫

7.1-7b ∫= ⋅ ⋅ σ =
Aiy 0 dA z M

7.1-7c ∫≠ ⋅ ⋅ σ =
Aiz 0 dA y M

În cazul nostru nu exist ă efort axial (este încovoiere pur ă), iar singurul moment
încovoietor care exist ă este orientat dup ă direcția Oz și este M iz.
Ținând seama de relaț ia 7.1-5, rela țiile 7.1-7a,b,c cap ătă formele:

∫∫= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ρ=
AA0 dA y 0 dA yEN 7.1-8a

∫∫= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ρ=
AAiy 0 dA y z 0 dA y zEM 7.1-8b

∫⋅ ⋅ρ=
A2
iz dA yEM 7 . 1 – 8 c

Relaț ia 7.1-8a reprezint ă momentul static al suprafe ței secțiunii
transversale fa ță de axa Oz și arată că axa neutr ă trece prin centrul de greutate al
151

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
secțiunii transversale, deoarece numai fa ță de o axă centrală momentul static al
unei suprafe țe este nul. Înseamn ă că originea O a sistemului de coordonate ales,
coincide cu centrul de greutate al sec țiunii transversale (O ≡ G).
Relaț ia 7.1-8b reprezint ă momentul de iner ție centrifugal. Se știe că
momentul de iner ție centrifugal al unei sec țiuni este nul numai pentru sistemul
de axe principale de iner ție. De aici rezult ă că momentul încovoietor trebuie s ă
fie orientat dup ă o direcție principal ă de inerție.
Ținând seama de expresia momentului de iner ție axial

7.1-9 ∫⋅ =
A2
z dA y I

relația 7.1-8c cap ătă forma:

izz
ziz
z izMI E
I EM 1IEM⋅= ρ ⇒⋅=ρ⇒ ⋅ρ= 7.1-10

și permite determinarea razei de curbur ă a fibrei medii deformate la solicitarea
de încovoiere pur ă a unei bare.
Relaț ia 7.1-5 care exprim ă tensiunea normal ă la încovoiere pur ă, ținând
seama de relaț ia 7.1-10, devine:

yIMy EI EMy E1
zizziz
⋅ = σ ⇒⋅ ⋅⋅= ⋅ ⋅ρ= σ
7.1-11
Relaț ia 7.1-11, cunoscut ă și sub numele de relația lui L. M. H. Navier ,
permite calculul tensiunii normale într-un punct situat la distan ța y de axa neutră
dintr-o sec țiune solicitat ă la încovoiere pur ă.
Și relația 7.1-11 arat ă că tensiunea normal ă la încovoiere este o func ție
liniară de distan ța punctului la axa neutr ă (Fig.7.1-3).

σ Miz Miz Miz
Fig.7.1-3 σ
152

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
În calculele practice, intereseaz ă mai mult valoarea maxim ă a tensiunii
normale, și aceasta se produce în fibrele extreme. Formula lui Navier (rela ția
7.1-11) se poate scrie sub forma:

min , ziz
maxziz
max
ziz
maxWM
yIMyIM= = ⋅ = σ 7.1-12

În calculele de rezistență , la solicitarea de încovoiere pur ă pentru cele trei
tipuri de problem ă, relațiile de calcul sunt:

Probleme de verificare

a
min , ziz
maxWMσ ≤ = σ 7.1-13

Probleme de dimensionare

aiz
nec min, , zMWσ= 7.1-14

Probleme de efort capabil

a min , z cap , iz W Mσ⋅ = 7.1-15

Calculul de rezisten ță al barelor drepte solicitate la încovoiere se face în
secțiunea periculoas ă a barei, adic ă în secțiunea în care tensiunea normal ă are
valoarea cea mai mare.
În sec țiunile transversale ale barelor so licitate la încovoiere pot exista
concentratori de tensiune, care modific ă distribuția tensiunii, mai ales în
imediata vecin ătate a acestora. În acest caz, tensiunea determinat ă cu formula lui
Navier, d ă numai valoarea tensiunii nominale σn, valoarea tensiunii normale
maxime calculându-se cu ajutorul coeficientului de concentrare α: k

min , ziz
k n k maxWM⋅ α = σ ⋅ α = σ 7.1-16

Valorile lui αk, se determin ă pe cale experimental ă și ele se g ăsesc în literatura
de specialitate sub form ă tabelară sau de diagrame.
153

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7.2 FORME RA ȚIONALE DE SEC ȚIUNE PENTRU
SOLICITAREA DE ÎNCOVOIERE

Din rela ția de calcul a tensiunii normale maxime, reiese c ă o bară
solicitată la încovoiere, prezint ă o rezisten ță mai mare cu cât modulul de
rezistență minim are o valoare mai mare. Modulul de rezisten ță depinde de
mărimea sec țiunii dar și de forma acesteia. De asemenea o mare importan ță o
are și modul de a șezare al sec țiunii față de planul forț elor exterioare. În practic ă
se urmărește obț inerea unei rezisten țe cât mai mari a barei, cu un consum de
material cât mai mic. O sec țiune transversală este cu atât mai economic ă, cu cât
raportul W z,min/A, este mai mare. În Ta belul 7.2-1 se prezint ă valoarea acestui
raport pentru câteva forme de sec țiune des întâlnite la el ementele solicitate la
încovoiere.

Tabelul 7.2-1

Forma
secțiunii

z
b h h h
d z

Wz,min / A 0,125 d 0,167 h 0,25 h 0,3 h

La profilele laminate, sec țiunea este îngustat ă în apropierea axei neutre
Gz, deoarece aici ș i tensiunile normale la încovoiere sunt mici. Fa ță de direcția
Gy, modulul de rezisten ță are o valoare mic ă, ceea ce face ca rezisten ța grinzii la
încovoiere fa ță de axa Gy s ă fie mică. Ca urmare, profilele laminate U și I
trebuie astfel a șezate încât axa Gy s ă coincidă cu planul forț elor și atunci se
obține rezisten ța la încovoiere cea mai mare.
La sec țiunea circular ă și pătrată, modulul de rezisten ță este relativ mic,
deoarece cel mai mult material se afl ă în apropierea axei neutre, acolo unde
tensiunile normale sunt mici. Sec țiunea circular ă, în schimb, prezint ă avantajul
că are aceea și rezistență la încovoiere fa ță de orice ax ă centrală. Această însușire
este utilizat ă în cazul arborilor. Pentru solicitarea de încovoiere, sec țiunea
inelară este de preferat celei circulare.
La materialele care prezint ă rezisten ță diferită la întindere fa ță de
compresiune, cum este spre exemplu fonta, mai ra ționale sunt sec țiunile la care
axa neutră nu este ax ă de simetrie. În aceast ă categorie, intr ă secțiunile în form ă
de T , I cu tălpi neegale sau sec țiunile trapezoidale etc. La aceste elemente, de
mare importan ță este modul de a șezare al grinzii fa ță de sensul for țelor. La
materialele cu rezisten ță la compresiune mai mare de cât la întindere, grinda se
așează astfel încât tensiunile cele mai mari s ă fie de compresiune. În cazul unui
154

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
profil T (Fig.7.2-1), și o solicitare de încovoiere care întinde fibrele de jos, talpa
profilului T trebuie s ă fie în partea de jos (distan ța de la axa neutr ă la fibra cea
mai depărtată a tălpii este mai mic ă decât pân ă la celelalte fibre extreme).
y σc max
La o grindă din fontă având sec țiunea sub form ă de T la care raportul
dintre tensiunea admisibil ă la compresiune și cea la întindere este 2,5, profilul
trebuie astfel a șezat încât s ă se verifice rela ția:

5 , 2yy
max tmax c
12=σσ= 7.2-1

7.3 ÎNCOVOIEREA CU FOR ȚĂ TĂIETOARE

7.3.1 Tensiuni tangen țiale la încovoierea cu for ță tăietoare

La încovoierea simpl ă sau încovoierea cu for ță tăietoare, într-un punct din
secțiunea transversal ă a unei grinzi, exist ă atât tensiune normal ă σ produsă de
momentul încovoietor M i, cât și tensiune tangen țială τ produsă de efortul tă ietor
T. Fie un element de volum paralelipipedic decupat dintr-o grind ă (Fig.7.3.1-1)
care are fa ța abcd situată în planul sec țiunii transversale, iar fa ța abef într-un
plan orizontal, paralel cu planul xGz. Pe fe țele lui, conform principiului
dualității tensiunilor tangen țiale (care se va prezen ta în paragraful 8.5),
acționează tensiunile tangenț iale τxy = τyx. Sub acțiunea tensiunilor tangen țiale
paralelipipedul se deformeaz ă, iar secțiunile plane și normale la axa barei înainte
de deformare nu mai r ămân plane, ci ele se deplaneaz ă. Deplanarea este mai
mare în apropierea axei neutre și mai mic ă în apropierea fibrelor extreme. Ca σt max Miz z
y1 y2
Fig.7.2-1
155

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
urmare, ipoteza lui Bernoulii nu mai este îndeplinit ă, iar formula lui Naviere
pentru calculul tensiunii normale la încovoiere nu mai este exact ă.
și τ Tensiunile tangen țiale τxy zx trebuie să satisfacă relațiile de echivalen ță
dintre eforturi și tensiuni:

7.3.1-1a ∫≠ ⋅ τ = =
Axy y 0 dA T T

7.3.1-1b 0 dA T
Axz z = ⋅ τ =∫

Din rela țiile 7.3.1-1a,b rezult ă că tensiunea tangen țială τxy trebuie s ă
existe, iar τ
e
a
c dbfxy
z G
Fig.7.3.1-1τxy τyx
τxzτzx
zx sunt nule sau de semne contrare.
Se consider ă acum un element de lungime dx (Fig.7.3.1-2a) decupat dintr-
o bară solicitată la încovoiere simpl ă.
y
Dτyx C B
σ y1
d b f e T
Mi a c
T
dx Mi + dM i
y1y
ymax
σ+dσT
a) x z G
y y1
b dA τxy
b)
Fig.7.3.1-2
156

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Pe cele două fețe acționează momentele încovoietoare: M și M + dM i i i și forța
tăietoare T ≡ Ty considerat ă constantă. Aceste eforturi, produc pe cele dou ă fețe
tensiunile normale σ și σ + dσ, respectiv tensiunea tangen țială τxy. Dacă se face
o secțiune orizontal ă prin bară cu ajutorul unui plan paralel cu planul xGz se
obține elementul de volum ha șurat. În planul orizontal, ac ționează tensiunile
tangențiale τyx = τ xy. Conform ipotezei lui Juravski, pe linia BC paralel ă cu axa
neutră (Fig.7.3.1-2b), tensiunile τxy sunt constante. Se noteaz ă cu y distan ța de
la linia BC la axa neutr ă și cu y 1 distanța unui element oarecare al suprafe ței
BCD la axa neutr ă. Pe fața din stânga aeb (Fig.7.3.1-2a), tensiunea normal ă σ
într-un punct situat la distan ța y1 de axa neutr ă, este:

1
yiyIM⋅ = σ
7.3.1-3

Tensiunea normal ă de pe fața eb, produce un efort axial:

∫∫ ∫⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ σ =
BCD BCDz
zi
BCD1
zi
1
ziSIMdA yIMdA yIMdA N 7.3.1-4

unde
Sz – este momentul static fa ță de axa Gz a por țiunii de sec țiune BCD
situată sub linia BC (sub pla nul de lunecare BC):

7.3.1-5 ∫∫⋅ = ⋅ =
BCDy
y1 1 zmax
dA y dA y S

Asem ănător, se poate scrie pentru fa ța fd (Fig.7.3.1-2a) la aceea și distanță
y1 de axa neutr ă:

1
zi iyIdM Md ⋅+= σ + σ 7.3.1-6

de unde rezult ă:

∫⋅+= ⋅ ⋅+= +
BCDz
zi i
1
zi iSIdM MdA yIdM MdN N 7.3.1-7

157

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Scriind o ecua ție de proiec ții a tuturor for țelor aplicate pe direc ția x, în
care intră N, N+dN și cea dată de tensiunea tangen țială de pe fa ța ef (τyx b⋅dx),
se obține:

()0 dN N dx b Nyx =+−⋅⋅ τ + 7.3.1-8

Înlocuind rela țiile 7.3.1-4 și 7.3.1-7 în rela ția 7.3.1-8, aceasta devine:

0 SIdMSIMdx b SIM
z
zi
z
zi
yx z
zi= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ τ + ⋅ 7.3.1-9

de unde, dup ă reduceri se ob ține:

zz
zz
zz i
zz i
yxI bS T
I bSTI bS
dxdM
I b dxS dM
⋅⋅=⋅⋅ =⋅⋅ =⋅ ⋅⋅= τ 7.3.1-10

În relația 7.3.1-10, s-a ținut seama de rela ția diferenț ială care există între
efortul tăietor și momentul încovoietor (T = dM /dx). i
Fiind valabil principiul dualit ății tensiunilor tangen țiale (τyx = τ xy), din
relația 7.3.1-10, se deduce rela ția de calcul a tensiunii tangenț iale din sec țiunea
transversal ă a unui element de rezisten ță, secțiune în care ac ționează efortul
tăietor T ≡ T: y

zz
xyI bS T
⋅⋅= τ = τ 7.3.1-11

Relaț ia 7.3.1-11 este cunoscut ă sub denumirea de relația lui Jurawski.
Semnifica ția mărimilor din rela ția lui Juravski, este urm ătoarea:
T – efortul t ăietor din sec țiune
I z – momentul de iner ție al întregii sec țiuni, față de axa neutr ă
b – l ățimea secțiunii la nivelul la care se calculeaz ă tensiunea tangen țială
S z – momentul static al suprafe ței cuprinse între nivelul la care se
calculează tensiunea și fibrele extreme, calculat fa ță de axa neutr ă.
Cum într-o sec țiune, efortul t ăietor T și momentul de iner ție I z sunt
constante, rezult ă că variația tensiunii tangen țiale pe sec țiune este impus ă de
variația raportului S z / b. Varia ția acestui raport, dup ă cum se poate constata, nu
este una liniar ă, ea depinde de la caz la caz.
La nivelul la care sec țiunea prezintă o modificare brusc ă de lățime,
diagrama de varia ție a tensiunii tangen țiale prezint ă o discontinuitate (salt).

158

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7.3.2 Variaț ia tensiunii tangen țiale la suprafeț e simple

a) Suprafa ță dreptunghiular ă Se consider ă o secțiune dreptunghiular ă la
care se scrie expresia tensiunii tangen țiale în punctele situate la distan ța y de axa
neutră (Fig.7.3.2-1a).
Se calculeaz ă mai întâi momentul static al suprafe ței cuprinse între nivelul
punctului la care se calculeaz ă tensiunea (nivelul BC) și fibrele extreme
(suprafața umbrită din Fig.7.3.2-1) fa ță de axa neutră :
h / 2 – y y B y
z h
b C
a)

2by4h
2y
4hy y2hb S22
z ⋅⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛− =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛− + ⋅⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛− ⋅ = 7.3.2-1

Tensiunea tangen țială la nivelul y de axa neutr ă, este.

AT
hy6 5 , 1h bhy6 5 , 1 Th bhy6 5 , 1 h T
h by4hT 6
12h bb2by4hT
22 22322
2
322
322
⋅⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛⋅ − =⋅⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛⋅ − ⋅
==
⋅⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛⋅ − ⋅ ⋅
=
⋅⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛− ⋅ ⋅
=
⋅⋅⋅⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛− ⋅
= τ
7.3.2-2
τmax G
y +(h/2-y)/2
τ
b)
Fig.7.3.2-1
159

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Cum variabila este y, rezult ă că pentru secț iuni dreptunghiulare, tensiunea
tangențială variază pe secțiune după o parabol ă. Valorile extreme ale tensiunii
tangențiale se ob țin pentru y = 0 și y = h / 2.
Astfel:
pentru y = h / 2 (în fibrele extreme)

() 0AT5 , 1 5 , 1AT
h4h
6 5 , 122
= ⋅ − = ⋅
⎟⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝⎛
⋅ − = τ 7.3.2-3

În fibrele extreme, ac olo unde tensiunea normal ă este maxim ă, tensiunea
tangențială este nulă.

pentru y = 0 (la nivelul axei neutre)

AT5 , 1AT
h06 5 , 12⋅ = ⋅ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⋅ − = τ 7.3.2-4

La nivelul axei neutre, acolo unde tensiunea normal ă este nulă, tensiunea
tangențială este maxim ă.
Dup ă cum s-a constatat, maximul fiec ărei tensiuni (normal ă și
tangențială), se produce individual, de unde în fibrele extreme nu trebuie s ă se
țină seama de tensiunile tangen țiale. De altfel, la piesele de grosime mare,
tensiunea tangen țială are valori relativ mici, motiv pentru care de cele mai multe
ori, acestea se neglijeaz ă în calculele de rezisten ță.
Calculul tensiunii tangen țiale maxime cu rela ția lui Jurawski, pentru
secțiuni dreptunghiulare, condu ce la un spor de 50 % fa ță de calculul acesteia cu
relația aproximativ ă, utilizată la forfecarea pieselor de grosime mică (τ = T / A).
Varia ția tensiunii tangen țiale pe o sec țiune dreptunghiular ă, este
prezentată în Fig.7.3.2-1b.

b) Suprafa ță circulară. Pentru sec țiunea circular ă (Fig.7.3.2-2a), se poate
scrie:

2 2y R 2 b BC− ⋅ = = 7.3.2-5

Momentul static al suprafe ței de sub planul de lunecare, este:
160

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
∫∫⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ =R
y1R
y2
12
1 1 z dy y R 2 y dA y S

()() () ∫ ∫− ⋅ = − ⋅ − − = ⋅ ⋅ − ⋅ =R
y23
2 2 2
1221
2
12
1 1R
y2
12
z y R32y R d y R dy y y R 2 S 7.3.2-6
Cu aceste m ărimi, relația lui Jurawski devine:
y y
z
y1
dy1B C
bR
τmax
a) b)
Fig.7.3.2-2

()
()() τπ π
ππz
zTR yTS TRyR bI RRy
Ty T y TRRRR R A3
22 2
22
4 1 4
22 2
22
2
42 2 22
4 3
324
44 41133 3⋅⋅ −⋅== = ⋅⋅ − =⋅ ⋅⋅⋅− ⋅
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞= ⋅ ⋅ ⋅ −= ⋅ ⋅ −= ⋅ ⋅ −⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟⋅⋅⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ 7.3.2-7
y
R2
21

Relaț ia 7.3.2-7, arat ă că și pentru sec țiuni circulare, tensiunea tangen țială
variază tot parabolic pe sec țiune. Valorile extreme ale tensiunii tangen țiale
pentru sec țiunea circular ă sunt:
pentru y = R

0RR1AT
34
22
=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛− ⋅ ⋅ = τ 7.3.2-8

Tensiunea tangen țială în fibrele cele mai dep ărtate de axa neutr ă este nulă.
pentru y = 0

161

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
AT
34
max⋅ = τ = τ 7.3.2-9

Tensiunea tangen țială are valoare maxim ă la nivelul axei neutre și este cu
33,3 % mai mare decât cea calculată cu relația aproximativ ă de la forfecarea
pieselor de grosime mic ă.
Varia ția tensiunii tangenț iale este prezentată în Fig.7.3.2-2b.

c) Suprafață inelară cu perete sub țire. Și în cazul sec țiunilor inelare,
tensiunea tangen țială are valoare maxim ă tot în dreptul axei neutre (Fig.7.3.2-
3).

Dac ă secțiunea este cu perete sub țire, momentul de iner ție axial al
secțiunii, poate fi exprimat func ție de aria sec țiunii A și de raza medie R a
secțiunii:

2
p z R A21I21I ⋅ ⋅ = ⋅ = 7.3.2-10

La rândul să u, momentul static fa ță de axa neutr ă a jumătății de secțiune,
este

π⋅=π⋅⋅ ⋅ = ⋅ =R A R 2A21y A21SG max , z 7.3.2-11

Având în vedere că b = 2t, expresia tensiunii tangen țiale maxime, la
secțiunea inelar ă cu perete subț ire, este:
yG y
z τmax 2R t
Fig.7.3.2-3
162

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
AT2
R 221T
t RT
R A21t 2R AT
I bS T
2zmax , z
max ⋅ =
⋅ π ⋅ ⋅=⋅ ⋅ π=
⋅ ⋅ ⋅π⋅⋅
=⋅⋅= τ 7.3.2-12
În acest caz, se constat ă că valoarea tensiunii maxime este dubl ă față de
cea calculat ă cu relația aproximativă de la forfecarea pieselor de grosime mic ă.

d) Suprafață în form ă de U, cu perete sub țire (Fig.7.3.2-4). La o astfel
se secțiune compus ă, se poate considera c ă secțiunea este format ă din trei
suprafețe dreptunghiulare. Pe în ălțimea acestora, tensiunea tangenț ială τ xy
variază parabolic Fig.7.3.2-4b).
O dat ă cu trecerea de la talp ă la inimă, lățimea profilului scade brusc și ca
urmare, valoarea tensiunii tangen țiale τ
τxz,max T b
T1
T1 T
t
a h z I
G
δ
zτxz
τxzτxy
τxzτxy,max τxy
Fig.7.3.2-4 a) b)B
C
crește și ea brusc, ob ținându-se: xy

4hb 212h tI2 3
z ⋅ δ ⋅ ⋅ +⋅≅ 7.3.2-13a

2hb8h tS2
max , z ⋅ δ ⋅ +⋅≅ 7.3.2-13b

Ținând seama de rela țiile 7.3.2-13a,b, expresia tensiunii tangen țiale
maxime τxymax = τ, este: max

163

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
δ⋅⋅+⋅δ⋅⋅+⋅⋅⋅⋅ = τ = τb6 h tb 4 h t
h tT
23
max max xy 7.3.2-14

Efortul tă ietor T care ac ționează în centrul de greutate G al secț iunii,
creează în tălpi și tensiuni tangen țiale τxz. Aceste tensiuni se determin ă tot cu
relația lui Juravski, considerând îns ă linia BC perpendicular ă pe axa tălpii. La o
distanță z de cap ătul tălpii (Fig.7.3.2-4a), expresia tensiunii tangen țiale τxz, are
expresia:

z zz
xzI 2z h T
IS T
⋅⋅⋅=⋅ δ⋅= τ 7.3.2-15

Aceste tensiuni variaz ă liniar pe lungimea t ălpii (în rela ția 7.3.2-15 variabila este
z) și are valoarea maxim ă pentru z = b (Fig.7.3.2-4a):

( )δ ⋅ ⋅ + ⋅⋅⋅=⋅⋅ ⋅= τb 6 h t hb T 6
I 2b h T
zmax xz 7.3.2-16

Tensiunile tangen țiale care ac ționează pe talpă dau o rezultant ă T1, egală
cu:

( )δ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅δ ⋅ ⋅ ⋅= τ ⋅ δ ⋅ ⋅ =b 6 h t hb T 3b21T2
max xz 1 7.3.2-17

Mai departe, for țele T 1 din tălpi, creeaz ă un cuplu M = Tt 1⋅h. care solicit ă
secțiunea la torsiune. Așadar, sub ac țiunea for țelor tăietoare chiar dac ă ele
acționează pe direcția centrului de greutate al sec țiunii, se produce o solicitare
suplimentară de torsiune la solicita rea de încovoiere simpl ă.
Pe axa neutr ă există atunci un punct I (Fig.7.3.2-4a) și numit centru de
încovoiere , față de care momentul tu turor tensiunilor tangen țiale τ și τ xy xz este
nul. Dacă planul forț elor exterioare ar trece prin centrul de încovoiere al
secțiunii transversale, sec țiunea nu ar mai fi solicitat ă suplimentar la torsiune.
Apariția solicitării suplimentare de torsiune are loc în cazul barelor solicitate la
încovoiere simpl ă, atunci când axa principal ă centrală de inerție situată în planul
forțelor nu este și axă de simetrie pentru sec țiunea transversal ă a grinzii. Dac ă
planul for țelor este un plan de simetrie al sec țiunii transversale, centrul de
încovoiere ca și centrul de greutate al sec țiunii transversale este situat pe axa de
simetrie.
Pozi ția centrului de încovo iere situat la distan ța a de mijlocul inimii
(Fig.7.3.2-4a), se determin ă ușor, din condiț ia:
164

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
0 h T a T M1 I =⋅− ⋅ = 7.3.2-18

de unde se ob ține:

δ ⋅ ⋅ + ⋅δ ⋅ ⋅=⋅δ ⋅ ⋅= ⋅ =b 6 h tb 3
I 4h bhTTa2
z2 2
1 7.3.2-19

La calculul pozi ției centrului de încovoiere s-a presupus c ă rezultanta tuturor
tensiunilor τ trece prin inima sec țiunii. xz

7.4 NEGLIJAREA TENSIUNII TANGEN ȚIALE ÎN UNELE
CALCULE LA ÎNCOVOIERE SIMPL Ă

S-a mai precizat c ă în cazul solicit ării de încovoiere simpl ă a pieselor de
grosime mare, tensiunile tangen țiale au valori relativ mici și în unele situa ții se
pot neglija. Nu este lipsit de interes, g ăsirea condi ției care permite neglijarea
tensiunii tangen țiale în calculele de rezistență la încovoiere simpl ă.
Se consider ă grinda de sec țiune dreptunghiular ă din Fig.7.4-1a.
Diagramele de eforturi pentru aceast ă grindă, sunt prezentate în Fig.7.4-1b,c.
Eforturile din sec țiunile periculoase (la forfecare și la încovoiere) sunt:

4l FM ;2FTiz⋅= = 7.4-1
F/2 F
F/2
b h
F/2
F/2
– F/2 – F/2
Fl / 4 l/2 l/2
T
Mi a)
b)
c)
Fig.7.4-1
165

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
iar tensiunile maxime corespunz ătoare, sunt:

hbF
43
hb2F
23
AT
23max⋅⋅ =⋅⋅ = ⋅ = τ 7.4-2

2 2
min , ziz
maxh bl F
23
6h b4l F
WM
⋅⋅⋅ =⋅⋅
= = σ 7.4-3
Dacă se împarte rela ția 7.4-2 la rela ția 7.4-3, se ob ține:

l 2h
l Fh b
32
h bF
432
maxmax
⋅=⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ =στ
7.4-4

Din rela ția 7.4-4 se constat ă că pentru grinzi la care ra portul h / l este mic
și raportul τ / σ max max este mic, de unde rezult ă că tensiunile tangen țiale sunt mici
în raport cu tensiunea normal ă și ca urmare tensiunea tangen țială se poate
neglija. Raportul h / l este mic la gri nzile la care desc hiderea acesteia l (distanța
dintre reazeme) este mare fa ță de înă lțimea secțiunii transversale h a grinzii. La
grinzile cu deschidere mic ă, tensiunile tangenț iale produse de efortul t ăietor, nu
pot fi neglijate.

7.5 ENERGIA DE DEFORMA ȚIE LA ÎNCOVOIERE PUR Ă

La solicitarea axial ă s-a determinat expresi a energiei de deforma ție:

∫⋅⋅σ=
V2
dVE 2U 7.5-1

Dacă se neglijeaz ă tensiunile tangenț iale, relația 7.5-1 este valabil ă și
pentru solicitarea de încovoiere pură . Înlocuind expresia tensiunii normale la
încovoiere determinat ă cu relația lui Navier

yIM
ziz⋅ = σ 7.5-2
166

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

în relația energiei de deforma ție (relația 7.5-1), se obț ine:

∫∫ ∫⋅ ⋅⋅⋅⋅= ⋅ ⋅⋅⋅⋅=
Al2
iz 2
z2
A2z2
iz2
dx M
IdA y
E 21dx dA
IM y
E 21U 7.5-3

Relaț ia 7.5-3 se mai poa te scrie sub forma:

∫∫ ∫ ∫⋅ ⋅⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅=
ll2
iz
z2
iz z 2z l2
iz
A2
2z dx MI E 21dx M II E 21dx M dA yI E 21U

sau în cazul general al barei cu sec țiune și moment încovoietor variabil,
expresia energiei de deforma ție este:

∫⋅⋅ ⋅=
l z2
izdxI E 2MU 7.5-4

167

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7.6 GRINZI DE EGAL Ă REZISTEN ȚĂ

La studiul încovoierii simple s-a constatat c ă tensiunile maxime se produc
într-o sec țiune sau într-un num ăr mic de sec țiuni. Înseamn ă că astfel de elemente
de rezisten ță sunt calculate neeconomic. Se pot proiecta grinzi cu sec țiune
variabilă la care tensiunea normal ă maximă din fiecare sec țiune transversală să
fie egală cu tensiunea normal ă admisibil ă. O astfel de grind ă, la care tensiunea
normală din fiecare sec țiune transversală este egal ă cu cea admisibil ă, se
numește grindă de egală rezistență.
Condiția de rezisten ță pentru grinzile de egal ă rezistență, este:

()
(). constx Wx M
a
ziz
max = σ = = σ 7.6-1

Din relația 7.6-1 rezult ă că pentru grinzile de egal ă rezistență, secțiunea
transversal ă trebuie s ă varieze în lungul grinzii, a șa cum variaz ă W z(x) din
relația 7.6-1:

()()
aiz
zx Mx Wσ= 7.6-2

În rela țiile 7.6-1 și 7.6-2, atât momentul încovoietor cât și modulul de
rezistență al secțiunii transversale a grinzii, variaz ă în lungul grinzii, fiind
funcție de abscisa x a sec țiunii. Rela ția 7.6-2 permite determinarea varia ției
secțiunii grinzii de egală rezistență, care depinde îns ă de modul de înc ărcare și
rezemare, precum și de forma sec țiunii transversale. În cazul unei solicit ări de
încovoiere pur ă, grinda de egal ă rezistență are secț iune constant ă (M iz(x) este
constant), iar pentru o soli citare de încovoiere simplă , grinda de egal ă rezistență
este o grindă cu secțiune variabil ă. La o varia ție continuă a secț iunii, rela ția 7.6-
2 este aproximativ ă, deoarece ea este dedus ă pentru grinda de sec țiune
constantă, dar diferen țele sunt neglijabile.
Din rela ția 7.6-2 rezult ă că în dreptul sec țiunilor în care momentul
încovoietor este nul și modulul de rezisten ță trebuie să fie nul. Acest lucru în
realitate nu este posibil deoar ece, atunci, nu se mai realizeaz ă rezistența de
ansamblu a grinzii. În sec țiunile în care momentul încovoietor este nul, efort
tăietor exist ă și se realizeaz ă o solicitare de fo rfecare, care permite
dimensionarea acestor sec țiuni transversale.
Grinda de egal ă rezistență are o serie de avantaje fa ță de grinda cu
secțiune constant ă: economie de material, realiz area unor grinzi rezistente și
elastice, o reparti ție uniform ă a tensiunii în lungul grin zii etc. Cu toate aceste
avantaje, grinzile de egal ă rezistență nu se utilizeaz ă în practic ă pe scară largă .
168

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Aceasta se datoreaz ă în primul rând dificult ății tehnologice de realizare a unor
profile de egal ă rezistență, de montarea lor în ansamb lul din care fac parte, de
posibilitatea schimb ării condițiilor de exploatare etc. Atunci când profilul grinzii
de egală rezistență rezultat din rela ția 7.6-2 este dificil de realizat, se recurge la
profile compuse cu varia ție discontinuă a secț iunii, care respect ă pe cât posibil
relația 7.6-2.
Se prezintă în continuare, câteva cazuri de grinzi de egal ă rezistență.
a) Grinda încastrat ă de secțiune dreptunghiular ă cu lățime constant ă,
încărcată cu o forță concentrat ă, aplicată la capătul liber (Fig.7.6-1)
În Fig.7.6-1, profilul grinzii de egal ă rezistență pentru acest caz, este
anticipat, și trasat înainte de stabilirea rela ției de varia ție.
F
Tensiunea normal ă în secțiunea x de la cap ătul liber al grinzii de egală
rezistență, este,

a 2
x2
x x , zx , iz
maxh bx F6
6h bx F
WMσ =
⋅⋅⋅ =
⋅⋅= = σ 7.6-3

de unde rezult ă expresia în ălțimii secțiunii transversale:

axbx F 6hσ ⋅⋅ ⋅= 7 . 6 – 4

Relaț ia 7.6-4 arat ă că variația înălțimii secțiunii în lungul grinzii este parabolic ă.
Înă lțimea maxim ă se obține pentru x = l:

x0 b
hx x
y
l C
Fig.7.6-1 h h0 B
169

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
amaxbl F 6h yσ ⋅⋅ ⋅= = 7.6-5

În capătul liber al grinzii unde moment ul încovoietor este nul, rezultă că
înălțimea secțiunii este zero. În cap ătul liber, îns ă există efort tă ietor care supune
grinda la forfecare. Punând condi ția de rezisten ță la forfecare în cap ătul liber, se
obține înălțimea minim ă h0 a secțiunii transversale:

a
0maxh bF
23
AT
23τ =⋅⋅ = ⋅ = τ 7.6-5

de unde se ob ține:

a0bF
23hτ ⋅⋅ = 7.6-7

Lungimea x 0 pe care se men ține aceast ă înălțime minim ă se determin ă din
condiția de rezisten ță la încovoiere:

σσ
τ
σ
τiz
a
z
a
a
aFx Fx M
bh F Wbb
Fxb00
22 max
0
22
0 269
4 6
3
8⋅ ⋅=== ⋅ =⋅⋅⋅⋅
⋅⇒= ⋅⋅ 7.6-8

b) Grinda încastrat ă de secțiune dreptunghiular ă cu lățime constant ă,
încărcată cu sarcin ă uniform distribuit ă pe toată lungimea (Fig.7.6-2)
În sec țiunea situat ă la distan ța x de cap ătul liber al grinzii, momentul
încovoietor este:

2x pM2
x , iz⋅= 7.6-9

iar condiția de rezisten ță, are expresia:

170

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
a 2
x2
2
x2
x , zx , iz
maxh bx p3
6h b2x p
WMσ =
⋅⋅⋅ =
⋅⋅
= = σ 7.6-10.

Din rela ția 7.6-10, se obț ine relația pentru varia ția înă lțimii secțiunii
transversale a grinzii:

axbp 3x hσ ⋅⋅⋅ = 7.6-11

Din rela ția 7.6-11, rezultă o variație liniară pentru în ălțimea secțiunii în
lungul grinzii (Fig.7.6-2). Cum în cap ătul liber al grinzii efortul t ăietor este nul,
în această secțiune nu se mai pune condi ția de rezisten ță la forfecare.
b
Înălțimea maxim ă a secțiunii transversale este c ea din încastrare când x = l:

amaxbp 3l h hσ ⋅⋅⋅ = = 7.6-11

c) Grinda încastrat ă de secțiune dreptunghiular ă cu înă lțime constant ă,
încărcată cu o forță concentrat ă în capătul liber (Fig.7.6-3a)
În sec țiunea situat ă la distan ța x de cap ătul liber al grinzii, momentul
încovoietor are expresia:

x F Mx , iz⋅= 7.6-12
p
h hx x
l
Fig.7.6-2
171

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
iar condiția de rezisten ță, rezultă:

a
x2
x x , zx , iz
h bx F 6
6h bx F
WMσ =⋅⋅ ⋅=⋅⋅= 7.6-13

Din relația 7.6-13 se ob ține relația pentru variaț ia lățimii grinzii:

xhF 6b
ax⋅σ ⋅⋅= 7.6-14

și este o varia ție liniară (Fig.7.6-3b).

1
5 4 3 2 4 3 2 F
x h
l
h
bx x
x0 b0 a)
b)
c) F 1
5
Fig.7.6-3 b

Punând condi ția de rezisten ță la forfecare în cap ătul liber al grinzii, se
obține lățimea minim ă b0:
172

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
a0 a
0maxh 2F 3bh bF
23
AT
23
τ ⋅ ⋅⋅= ⇒ τ =⋅⋅ = ⋅ = τ 7.6-14

Aceast ă lățime minimă se păstrează pe lungimea x 0, care se determin ă din
condiția de egal ă rezistență la încovoiere:

4hxhx 4
hh 2F 3x F 6
6h bx F
aa
0a 0
2
a0
2
00
a
⋅τσ= ⇒τ ⋅ ⋅=
⋅τ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅=⋅⋅= σ
7.6-15

Aceast ă grindă de egală rezistență, este utilizat ă pentru realizarea arcului
de foi, atât de utilizat la autocamioane . Grinda se taie în lung în fâ șii, după care
foile se suprapun (Fig.7.6-3b,c).

d) Grinda de sec țiune circulară simplu rezemat ă, încărcată cu sarcin ă
distribuită și o forță concentrat ă la mijlocul deschiderii (Fig.7.6-4a)
Reac țiunile sunt egale și au valorile:

2l p
2FV VB A⋅+ = = 7.6-16

iar în secțiunea x, momentul încovoietor este:

2x px V M2
A x , iz⋅− ⋅ = 7.6-17

Condiția de rezisten ță în secțiunea x, are forma:

32d 2x px VMW3
x
a2
A
ax , iz
x , z⋅ π=σ⋅− ⋅
=σ= 7.6-18

Din relația 7.6-18, rezult ă legea de varia ție a diametrului în lungul grinzii:

173

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3
a2
A
x2x px V 32
dσ ⋅ π⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛ ⋅− ⋅ ⋅
= 7.6-19

Diametrul grinzii variaz ă în lungul acesteia (dar numai pân ă la mijlocul
deschiderii, datorit ă simetriei) dup ă o parabol ă cubică (Fig.7.6-4b).
Din condi ția de rezisten ță la forfecare în reazeme, se determină diametrul
minim d
0 (Fig.7.6-4b,c):

aA
0 a 2
0A
max3V4 d
4dV
34
AT
34
τ ⋅ π ⋅⋅ = ⇒ τ =
⋅ π⋅ = ⋅ = τ 7.6-20

Diametrul maxim se ob ține din rela ția 7.6-19, pentru x = l/2:

( )
3
aA
2lxmaxl p V 4 l 4d dσ ⋅ π⋅ − ⋅ ⋅ ⋅= =
= 7.6-21
x0 F p
x
l/2 l/2
x
d0 dx a)
VA B A
VB
b)
c) d0
Fig.7.6-4
174

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Lungimea x 0 pe care se adopt ă diametrul minim d 0, se determin ă din
condiția de egal ă rezistență la încovoiere:

… x2x px V
32d
0
a2
0
0 A 3
0= ⇒σ⋅− ⋅
=⋅ π
7.6-22

Realizarea unui profil care rezult ă din relația 7.6-19, practic este deosebit
de greu de realizat. Din acest motiv, astfel de grinzi de egală rezistență se
realizează cu secțiune variabil ă în trepte (Fig.7.6-4c), care s ă se apropie cât mai
mult de profilul real. Apropierea de profilul real implic ă un număr mare de
tronsoane, ceea ce conduce la un consum ridicat de manoper ă.
Din exemplu prezentat, pot rezulta două cazuri particulare:
¾ când F = 0, se ob ține grinda înc ărcată cu p = const.
¾ când p = 0, se ob ține grinda înc ărcată cu o forță F concentrat ă.
În ambele cazuri, legile de varia ție ale diametrului grinzii în lungul acesteia,
rezultă din relația 7.6-19, particularizat ă pentru cele dou ă situații.

7.7 ÎNCOVOIEREA OBLICĂ A BARELOR DREPTE

Dacă forțele exterioare nu sunt situate toat e într-un plan principal de iner ție
al secțiunii transversale, atunci vectorul momentului încovoietor nu se afl ă pe
una din direc țiile centrale principale de inerț ie.
Solicitarea de încovoiere la care ve ctorul moment încovoietor nu este
situat pe o direcț ie principală de inerție, este o solicitare de încovoiere oblic ă.
La încovoierea oblic ă, vectorul moment încovoietor face cu axele centrale
principale de iner ție un unghi α.
Încovoierea oblic ă se întâlne ște în multe situa ții:
în cazul unei bare solicitate de for țe exterioare atât în plan orizontal cât și în
plan vertical (Fig.7.7-1a). La ac este bare, diagrama de momente
încovoietoare are component e în plan orizontal M și în plan vertical Miy iz
la profilele la care direc țiile principale de iner ție nu coincid cu planul for țelor
(Fig.7.7-1b).
Fie o sec țiune de form ă dreptunghiular ă (Fig.7.7-1a), la care direc țiile
principale de iner ție coincid cu direc țiile centrale Gz și Gy (Fig.7.7-2).
Direcția momentului încovoietor M i din secțiunea transversal ă a grinzii nu
coincide cu nici una din direc țiile principale de iner ție.
175

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Momentul încovoietor M i se descompune în dou ă componente orientate pe
direcțiile principale de iner ție:
z
F2 F1
l
Miz = F 1· l
Miy = F 2 · l
a) b)
Fig.7.7-1 G y
1 2

α⋅= α ⋅ = sin M M ; cos M Mi iy i iz 7.7-1

Cele două momente încovoietoare, pr oduc într-un punct al sec țiunii, tensiunile:
y Axa neutră
T
CMiz
Miy σT σC
αz
β
Fig.7.7-2
176

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

zIsin MzIM' 'yIcos MyIM'
yiy
yiyzi
ziz
⋅α ⋅± = ⋅ ± = σ⋅α⋅± = ⋅ ± = σ
7.7-2

În rela ția 7.7-2 s-a pus semnul ±, deoarece într-un punct oarecare al
secțiunii, cele dou ă momente încovoietoare pot pr oduce tensiuni normale de
întindere sau de compresiune.
Aceste tensiuni, fiind normale la secț iunea barei și având aceea și direcție,
dau o tensiune normală rezultantă :

zIMyIM
Iz sin
Iy cosM ' ' '
yiy
ziz
y zi rez ⋅ ± ⋅ ± =⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛ ⋅ α±⋅ α± ⋅ = σ + σ = σ 7.7-3

Din rela ția 7.7-3, rezult ă că tensiunea normal ă rezultant ă la încovoierea
oblică variază liniar pe sec țiune. Analizând diagramele de momente (care sunt
reprezentate pe fibra întins ă) rezultă că punctul T este cel mai întins, iar punctul
C, cel mai comprimat (Fig.7.7-2).
Pentru calculul tensiunii normal e rezultante într-un punct, în relaț ia 7.7-3
se pune semnul + sau – în func ție de ce efect are în acel punct momentul
încovoietor respectiv.
Ecua ția axei neutre, rezult ă din relația 7.7-3, punând condi ția ca σ rez = 0:

0 zIMyIM
0
yiy
0
ziz= ⋅ + ⋅ 7.7-4

unde:
z 0, y0 – reprezint ă coordonatele unui punc t situat pe axa neutr ă.
Axa neutr ă la încovoierea oblic ă este o dreapt ă care trece prin centrul de
greutate al sec țiunii. Scriind sub alt ă formă relația 7.7-4, se ob ține:

β ⋅ − = α ⇒ ⋅ − = ⇒ ⋅ − = ⋅tgIItgzy
II
MMzIMyIM
zy
00
zy
iziy
0
yiy
0
ziz 7.7-5

unde:
cu axa principal ă Gz α – unghiul format de momentul încovoietor M i
β – unghiul format de axa neutr ă cu axa principal ă Gz.
Din relația 7.7-5, se dedu ce expresia care d ă valoarea unghiului β:
177

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
⋅ − =⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
α ⋅ − = β ⇒ α ⋅ − = β
iziy
yz
yz
yz
MM
IIarctg tgIIarctg tgIItg 7.7-6

Dacă I = Iz y, , rezultă α =⏐β⏐, adică axa neutr ă se suprapune peste direc ția
momentului încovoietor M i. Această constatare, permite o determinare simpl ă a
tensiunii normale maxime pentru sec țiuni circulare, unde tensiunea maxim ă se
obține în punctele cele mai dep ărtate de axa neutr ă, dar și cele mai dep ărtate de
direcția momentului încovoietor M : i

z2
iy2
iz
zi
maxWM M
WM +
= = σ 7.7-7

> I Pentru sec țiunile la care I z y, se obține ⏐β⏐>α .
Variația tensiunii normale din sec țiunea dreptunghiular ă a barei din
Fig.7.7-1a, este prezentat ă în Fig.7.7-2.

7.8 TENSIUNI ÎN BARE CUR BE PLANE SOLICITATE
LA ÎNCOVOIERE PUR Ă

În sec țiunea transversal ă a unei bare curbe plane, se întâlnesc în general
toate cele trei eforturi: N, T, M i. Tensiunea normal ă produsă de efortul axial N
este uniform ă pe secțiune și se poate calcula cu rela ția cunoscută de la barele
drepte (σ = N / A), iar cea tangen țială produsă de efortul t ăietor T, se poate
neglija sau se poate calcula cu rela ția lui Juravski utilizată în cazul barelor
drepte cu grosime mare.
Calculul tensiunii normale produse de momentul încovoietor în barele
curbe plane, se face acceptând urm ătoarele ipoteze:
¾ axa barei este o curb ă plană, iar bara este solicitat ă prin forțe conținute în
planul său
¾ este valabil ă legea lui Hooke
¾ planul for țelor este un plan de simetrie al barei, cu axa Gy ax ă de simetrie a
secțiunii barei
¾ momentul încovoietor M este orientat după direcția principal ă Gz. i
Pentru bara cu curbur ă mică (rază de curbur ă mare), având raportul dintre
raza de curbur ă R și înălțimea secțiunii h (m ăsurată pe direcție radială) mai mare
decât 5 … 6, tensiunile normale σ produse de momentul încovoietor M i, se pot
calcula cu rela ția lui Navier, de la barele drepte.
178

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Relația lui Navier conduce la erori cu atât mai mari, cu cât curbura barei este
mai mare (raz ă de curbur ă mică). Dacă raportul R / h < 5 … 6, relaț ia lui Navier
nu este satisf ăcătoare, fiind nevoie de o alt ă relație pentru calculul tensiunii
normale la încovoiere pur ă.
În literatura de specialitate se utilizeaz ă în general dou ă relații pentru calculul
tensiunii normale în bare curbe plane cu curbur ă mare, solicitate la încovoiere
pură:
relația lui Winkler
relația lui Toll.
Pentru deducerea rela ției lui Winkler, se ia un element de bar ă cu unghiul la
centru dϕ (Fig.7.8-1a) delimitat de dou ă secțiuni plane ab și cd, solicitat la
încovoiere pur ă de către momentul încovoietor M ≡ M. i iz

Nota țiile din Fig.7.8-1 au urm ătoarea semnifica ție:
♦ R1, R2 – razele extreme (interioar ă, respectiv exterioar ă) ale barei curbe
♦ R – raza de curbur ă a axei geometrice pe care este situat și centrul de greutate
G al secț iunii transversale
♦ r – raza de curbur ă a axei neutre σdAσmax By e
ΔdϕσdA
D
d’dAxa geometric ă a
bcc’
D’G
O
dϕ
dϕ-ΔdϕR1 R2
R r r-y y Axa neutr ă
Mi
Mi
Cσmin
b)
a)
Fig.7.8-1
179

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
♦ BD – o fibr ă oarecare situat ă la distanța y de axa neutr ă, în care se calculeaz ă
tensiunea normal ă σ. Distanța y este pozitivă pentru punctele situate fa ță de
axa neutră spre interiorul barei cu rbe (spre centul de curbur ă C)
♦ e – (excentricitatea) distan ța dintre axa geometric ă și cea neutr ă
♦ Mi – momentul încovoietor din sec țiunea transversal ă. El se consider ă
pozitiv, dac ă întinde fibrele din interiorul barei curbe.
Datorită solicită rii la încovoiere pur ă de către momentul încovoietor M i,
elementul izolat se deformeaz ă, fibrele dinspre centrul de curbur ă (din interior)
se lungesc (solicitate la întindere), iar cele dins pre exterior, se scurteaz ă (sunt
comprimate). Presupunând sec țiunea ab fixă, în urma solicit ării, secțiunea cd se
rotește în raport cu ab cu unghiul Δdϕ, ajungând în poziț ia c’d’. Atunci, fibra
BD se lunge ște ajungând în D’.
Înainte de deformare, fi bra BD a avut lungimea:

()ϕ⋅−== d y r BD arc ds 7.8-1

iar lungirea ei este:

ϕΔ⋅==Δ d y ' D D ds 7,8-2

Lungirea specific ă (alungirea) fibrei este:

ϕϕΔ⋅−=ϕ Δ= εdd
y ry
dsd
7.8-3

Fiind valabil ă legea lui Hooke, expresia tensiunii normale este:

ϕϕΔ⋅⋅−= ε ⋅ = σdd E
y ryE 7.8-4

Deoarece în rela ția 7.8-4, m ărimile E, Δdϕ și dϕ sunt constante, rezult ă că
tensiunea normal ă variază pe secțiune după o lege hiperbolic ă (Fig.7.8-1b). Este
maximă spre interior unde y are valoarea cea mai mare, zero în axa neutr ă și
minimă spre exterior.
Pozi ția axei neutre fa ță de care s-a pozi ționat fibra la care se calculeaz ă
tensiunea normal ă, se determin ă din rela ția de echivalen ță care există între
efortul axial și care în acest caz este nul și tensiunea normal ă:

∫∫ ∫= ⋅−⋅ϕϕ Δ ⋅= ⋅−⋅ϕϕ Δ ⋅= ⋅ σ =
AA A0 dAy ry
dd EdAy ry
dd EdA N 7.8-5
180

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
de unde rezult ă:

∫= ⋅−A0 dAy ry
7.8-6

Rezolvând rela ția 7.8-6 se ob ține raza de curbur ă r a axei neutre.
Relaț ia de echivalen ță dintre momentul încovoietor M i și tensiunea
normală σ, este:

∫∫⋅−⋅ϕϕ Δ ⋅= ⋅ σ ⋅ =
AA2
i dAy ry
dd EdA y M 7.8-7

Integrala din rela ția 7.8-7, dup ă rezolvare devine de forma:

∫∫ ∫ ∫⋅−⋅ + ⋅ − = ⋅⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
−⋅− − =−AA A A2
dAy ryr dA y dAy ry ryy ry
7.8-8

Ținând seama de relaț ia 7.8-6, rela ția 7.8-8, devine:

∫∫⋅ − = ⋅ − = ⋅−AAG2
A y dA y dAy ry
7.8-9

= -e, relația 7.8-9 are forma: Cum y G

∫⋅ = ⋅ − = ⋅−AG2
e A A y dAy ry
7.8-10

Înlocuind rela ția 7.8-10 în rela ția 7.8-7, rezult ă:

e AM
dd Ee Add EMi
i⋅=ϕϕΔ⋅⇒ ⋅ ⋅ϕϕΔ ⋅= 7.8-11

Ținând seama de relaț ia 7.8-11, relaț ia 7.8-4, devine:

y ry
e AMi
−⋅⋅= σ 7.8-12

181

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
și reprezint ă relația lui Winkler pentru calculul tensiunii normale la o bar ă curbă
plană solicitată la încovoiere pur ă.
În rela ția 7.8-12 atât momentul încovoietor M i cât ș i coordonata y intr ă cu
semn. Atunci, rela ția lui Winkler sub o form ă mai general ă se poate scrie sub
forma:

()y ry
e AMi
± −±⋅⋅±= σ 7.8-13

Convenția de semne pozitive pentru aceste m ărimi, a fost prezentat ă ceva mai
devreme.
În fibrele extreme, tensiunea normal ă, calculată pe baza rela ției 7.8-12 sau
7.8-13, este:

σσ1
max int
1iMd
Ae R== ⋅⋅ 7.8-14

σσ2
min
2i
extMd
AeR== −⋅⋅ 7.8-15

unde, d 1, d2 reprezint ă distanța în valoare absolut ă dintre axa neutr ă și fibrele
extreme interioare, respectiv extreme exterioare.
În rela ția 7.8-13 nu este cunoscut ă poziț ia axei neutre (m ărimea r) și de
aici nici excentricitatea e, care se obț ine din rela ția:

e = R – r 7 . 8 – 1 6

Dac ă se ține seama și de efortul axial, atunci tensiunea normal ă rezultant ă
este:

()y ry
e AM
ANi
± −±⋅⋅±+ ± = σ 7.8-17

iar în fibrele extreme

22 i
min11 i
max
Rd
e AM
ANRd
e AM
AN
⋅⋅± ± = σ⋅⋅± ± = σ
7.8-18
182

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

În mod asem ănător se poate determina tensiunea normal ă în orice punct k din
secțiune:

kk i
kry
e AM
AN⋅⋅± ± = σ 7.8-19

unde
r k – este distan ța de la centrul de curbur ă la punctul k (raza de curbur ă a
fibrei care con ține punctul k). În relaț ia 7.8-19 se ia semnul + dac ă eforturile
produc tensiuni de întindere în punctul k, respectiv semnul −, dacă produc
tensiuni de compresi une. Toate celelalte m ărimi se iau în valoare absolut ă.
Pozi ția axei neutre se determin ă pe baza rela ției 7.8-6, pentru fiecare
secțiune în parte.
Pentru sec țiunea dreptunghiular ă (Fig.7.8-2), se poate scrie:
d A = b d y
dy b
h
e
y
y

Se face o schimbare de variabil ă, înlocuind pe y cu v:

v = r – y ⇒ y = r – v

Cu aceste nota ții, integrala din rela ția 8.7-6, devine:

∫∫∫ ∫= − ⋅ = ⋅−= ⋅−AAA A0 dA dAvrdAvv rdAy ry
z
r
R1
C v G
O
Fig.7.8-2 R2
R
183

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Rezultă mai departe:
12R
RR
R AAA A A
RRlnh
vdvh
vdv bh b
vdAArvdAr A 0 A dAvrdA dAvr
2
12
1= =
⋅⋅= = ⇒= ⇒ = − ⋅ = − ⋅
∫ ∫ ∫∫∫ ∫ ∫

S-a obținut pentru pozi ția axei neutre la secț iuni dreptunghiulare, rela ția:

12
RRlnhr= 7.8-20

iar pentru excentricitate

12
RRlnhR r R e− = − =

Dacă numitorul relaț iei 7.8-20 se dezvolt ă în serie

⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
⋅⋅ +⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
⋅⋅ + ⋅ =
⋅−⋅+
=
−+
= …R 2h
51
R 2h
311Rh
R 2h1R 2h1
ln
2hR2hR
lnRRln4 2
12

și se iau numai primii doi termeni, se obț ine pentru pozi ția axei neutre:

2 2
R 2h
311R
R 2h
311Rhhr
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
⋅⋅ +=
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
⋅⋅ + ⋅≈ 7.8-21

și a excentricit ății e:

R AI
R 12h
R 2h
311RR r R ez2
2⋅=⋅≈
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
⋅⋅ +− = − = 7.8-22

184

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Relația 7.8-22 de calcul aproximativ a excentricit ății e, se poate utiliza cu
rezultate destul de bune, mai ales atunci când pentru suprafa ța respectiv ă nu se
dispune de rela ția exactă pentru determinarea pozi ției axei neutre. Pe baza
relației 7.8-22, se determin ă poziția axei neutre:

r = R – e 7.8-23

Valorile pentru r și e, trebuie calculate cu precizie de pân ă la trei
zecimale, altfel se pot obț ine rezultate mult neconforme cu realitatea.
În literatura de spec ialitate se recomandă în general rela țiile exacte pentru
poziț ia axei neutre.
Pentru o sec țiune compus ă formată din mai multe sec țiuni dreptunghiulare
(Fig.7.8-3), rela ția exactă pentru pozi ția axei neutre, este:

h3
eb2 b3
b1
y R1 R2 R
r R h1 h2
C
Fig.7.8-3 z
R43

34
3
23
2
12
13 3 2 2 1 1
RRln bRRln bRRln bh b h b h br
⋅ + ⋅ + ⋅⋅ + ⋅ + ⋅=

185

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7.9 APLICA ȚII LA SOLICITAREA DE ÎNCOVOIERE

Aplicația nr.1. Pentru grinda din Fig.7.9-1a, se cere:
a) valoarea dimensiunii t, astfel încât tensiunea normal ă maximă să nu
depășească σa = 150 MPa
b) calculul și reprezentarea varia ției tensiunii normale σ și a celei tangen țiale τ
în secțiunea din dreptul reazemului B.

a) Calculul reac țiunilor a condus la urm ătoarele valori :
V A = 30 KN, V B = 20 KN. B
Pentru a putea face calculul de rezisten ță, se traseaz ă diagramele de eforturi.
Acestea sunt prezentate în Fig. 7.9-1b,c. La încovoiere, sec țiunea periculoas ă
este la distan ța de 1,5 m de reazemul din stânga (reazemul A), iar la forfecare,
secțiunea periculoas ă este pe reazemul A.
Calculul caracteristicilor geometrice ale sec țiunii transversale, conduc la
poziț ia centrului de greutate al sec țiunii y G = 2,5t și la:
I z = 8,5 t410 Mi [KNm] 10 p=20 KN/m M=10 KNm
F= 10 KN
2 m 2 m 1 m A B t 3t
z
t 3t yG
VA = 30 KN a)
VB = 20 KN
30
T [KN]
-10 -10 1,5 m b)
-10
c)
20
22,5
Fig.7.9-1
186

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3 W z,min = 3,4 t .
Dimensionarea secț iunii transversale a grinzii se face numai din condi ția
de rezisten ță la încovoiere. De altfel, pent ru forfecare nici nu s-a specificat
tensiunea admisibil ă, τ. a
Condi ția de rezisten ță la încovoiere pentru probleme de dimensionare
este:

3
amax , iz
min , z t 4 , 3MW =σ=

de unde se ob ține.

mm 36150 4 , 310 5 , 22
4 , 3Mt 36
3
amax , iz≅⋅⋅=σ ⋅=

4b) Cu t = 36 mm, rezult ă I ≅ 1427,67 cm . z
Pentru sec țiunea de pe reazemul B, tens iunile normale extreme, sunt:

iz B
zMyMI6
,
max max 410 10σ 2,5 36 631247,67 10⋅=⋅ = − ⋅ ⋅ ≅ −⋅Pa

iz B
zMyMI6
,
mi n mi n 410 10σ 1, 5 3 6 4 3 , 2 81247,67 10⋅=− ⋅ = ⋅ ⋅ =⋅Pa

Diagrama de varia ție a tensiunii normale în sec țiunea B, este prezentat ă în
Fig.7.9-2a.

3
1 1 2 2
3 3
4 4 z
-63 43,28
σ [MPa] τ [MPa]
a) b)
Fig.7.9-2 0,9
2,7
,4
187

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
La nivelul punctelor extreme 1-1 și 2-2 tensiunea tangen țială este nulă:

τ 1-1 = τ2-2 = 0

La nivelul 3-3 exist ă un salt, deoarece se modific ă lățimea b a secț iunii. Pentru
punctele 3-3 care aparț in tălpii, tensiunea tangen țială este:

MPa 9 , 036 336 36 36 3
10 67 , 142710 10
b IS T
43
3 3 z3 3 , z b
min 3 3 =⋅⋅ ⋅ ⋅⋅
⋅⋅=⋅⋅= τ
−−
−

iar pentru cele care apar țin inimii (l ățimea b scade de trei ori):

MPa 7 , 2 9 , 0 3 3min 3 3 max 3 3 =⋅=τ⋅= τ− −

Tensiunea tangen țială are valoare maxim ă la nivelul axei neutre (nivelul
punctelor 4-4).

MPa 4 , 336236 336 36 5 , 2
10 67 , 142710 10
43
4 4 max =⋅⋅ ⋅ ⋅
⋅⋅⋅= τ = τ−

Diagrama de varia ție a tensiunii tangen țiale din sec țiunea B, este
prezentată în Fig.7.9-2b.

Aplicația nr.2. Pentru grinda în țepenită din Fig.7.9-3a, se cere:
a) sarcina capabil ă p pentru σa = 150 MPa
b) diagrama de varia ție și tensiunea tangenț ială maximă .

a) Poziția centrului de greutate al sec țiunii este cunoscută și nu mai trebuie
calculată.
Momentul de iner ție față de axa de încovoiere se calculeaz ă relativ ușor:

4 4 23 3
z mm 10 75 , 870 45 60 601260 60412150 150I ⋅ =⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛⋅ ⋅ +⋅⋅ −⋅=

iar modulul de rezisten ță minim, este:

3 34
maxz
min , z mm 10 1 , 1167510 75 , 870
yIW ⋅ =⋅= =
188

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Diagramele de eforturi sunt prezen tate în Fig.7.9-3b,c. Atât pentru
încovoiere cât și pentru forfecare, sec țiunea periculoas ă este cea din în țepenire.
30 a a 2 a= 1 m p p4pa2
a)
b)
c) 60
60
60 60 30y
3pa
2pa
2,5pa2 2pa2
2pa2 T
Mi
Fig.7.9-3 z
Efortul capabil se determin ă din condi ția de rezisten ță la încovoiere.
Pentru problema de efort capabil, condiț ia de rezisten ță la încovoiere este:

2
min , z a cap , i pa 5 , 2 W M = ⋅ σ =

de unde se ob ține pentru sarcina capabil ă:

m / KN 86 , 27500 5 , 210 1 , 116 150
a 5 , 2Wp p23
2min , z a
cap =⋅⋅ ⋅=⋅⋅ σ= =

b) Tensiunea tangen țială trebuie calculat ă la nivelul modific ării lățimii
(nivelul punctelor 1-1, Fig.7.9-4), precum și la nivelul axei neutre (nivelul
punctelor 2-2). La nive lul punctelor 1-1 sec țiunea are dou ă lățimi și ca urmare
există două valori pentru tensiunea tangen țială:

MPa 96 , 123045 60 30
10 75 , 870a p 3
, bS
IT
4
min 1 11 1 , z
zmax , 1 1 =⋅ ⋅⋅
⋅⋅ ⋅= ⋅ = τ
−−
−

189

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

MPa 59 , 215045 60 30
10 75 , 870a p 3
bS
IT
4
max , 1 11 1 , z
zmin , 1 1 =⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅= ⋅ = τ
−−
−

Tensiunea tangen țială de la nivelul axei neutre, este:

MPa 8 , 21505 , 7 15 150 45 60 30
10 75 , 870a p 3
bS
IT
4
2 22 2 , z
z2 2 max =⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅= ⋅ = τ = τ
−−
−

Diagrama de varia ție a tensiunii tangen țiale este prezentat ă în Fig.7.9-4.
La aceast ă secțiune, valoarea maxim ă a tensiunii tangen țiale nu este la
nivelul axei neutre. La nivelu l axei neutre, tensiunea tangen țială prezintă doar un
extrem.
1 1 1 1
2 2
Tensiunea tangen țială pentru sec țiunea prezentat ă, s-a calculat datorit ă
simetriei sec țiunii, numai pentru o jum ătate de secț iune, cealalt ă fiind identic ă.

12,96
2,8
2,59
τ [MPa]
Fig.7.9-4 zy
190

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Aplicația nr.3. Pentru grinda din Fig.7.9-5a, se cere:
a) valoarea dimensiunii a, pentru σa = 150 MPa
b) cu valoarea lui a astfel determinat ă, să se calculeze și să se reprezinte
tensiunile σ și τ din secțiunea n-n.

a) Pentru sec țiunea grinzii, rezult ă urmă toarele caracteristici geometrice:

Iz = 55,25 a4
Wz,min = 13,81 a3

Pentru încovoiere sec țiunea periculoas ă este secțiunea în care ac ționează
F2, iar pentru forfecare, intervalul dintre for țele F 1 și F2.
Condi ția de rezisten ță la încovoiere, pentru probleme de dimensionare,
este:
1m
20
0,66 m F1=40KN p=15 KN/m
z
a
a a y
3a F2=35 KN
n
n
2 m 2 m 2 m a)
b)
c) VA=10KN VB=15KN
10
-20 20
-15 -15 T[KN]
Mi[KNm] -10
30 -15 3,33
Fig.7.9-5 6 a
191

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3
amax , iz
min , z a 81 , 13MW =σ=

de unde se ob ține:

mm 25150 81 , 1310 30
81 , 13Ma 36
3
amax , iz≅⋅⋅=σ ⋅=

Cu aceast ă valoare pentru dimensiunea a, celelalte caracteristici geometrice
sunt:

I y = 2158⋅104 mm4
W z,min = 215,78⋅104 mm3.

b) Pentru această secțiune, fiind dublu simetric ă, tensiunile se vor calcula
numai pentru o jum ătate de sec țiune.
Tensiunea normal ă maximă din secțiunea n-n, este:

MPa 5 , 6910 78 , 21510 15
WM
46
min , n n , zmax , n n , iz
max , n n ≅⋅⋅= = σ
−−
−

Diagrama de varia ție a tensiunii normale în sec țiunea n-n, este prezentat ă în
Fig.7.9-6a.
Tensiunea tangen țială trebuie calculată la nivelul punctelor 1-1, unde
datorită modificării lățimii secțiunii, prezint ă două valori (minim și maxim):

MPa 5 , 1a 3a 5 , 3 a a 3
10 2 , 215810 15
bS
IT
43
max 1 1 , n nn n , z
zn n
min , 1 1 =⋅ ⋅⋅
⋅⋅= ⋅ = τ
− −− −
−

MPa 5 , 4 3aa 5 , 3 a a 3
10 2 , 215810 15
bS
IT
min , 1 1 43
min , 1 1 , n n1 1 , n n , z
zn n
max , 1 1 = τ ⋅ =⋅ ⋅⋅⋅⋅= ⋅ = τ−
− −− − −
−

MPa 85 , 5aa 5 , 1 a 3 a a 5 , 3 a a 3
10 2 , 215810 15
bS
IT
43
2 2 , n n2 2 , n n , z
zn n
max 2 2 =⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅⋅⋅= ⋅ = τ = τ
− −− − −
−

Diagrama de varia ție a tensiunii tangenț iale din sec țiunea n-n, este
prezentată în Fig.7.9-6b.
192

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1,5 4,5-69,5
69,5 5,85
4,5 1,5
σ[MPa ] τ[MPa ]
a) b)
Fig.7.9-6 z y
1 1
2 2
1 1

193

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8. TORSIUNEA BARELOR DREPTE

Dacă în secțiunea transversal ă a unui element de rezisten ță există un
singur efort și acesta este momentul de torsiune (r ăsucire) M t, se spune c ă în
acea secțiune se realizeaz ă o solicitare de torsiune (r ăsucire.

8.1 MOMENTUL DE TORSIUNE ( R ĂSUCIRE )

Momentul de torsiune într-o sec țiune transversal ă a unei bare este egal cu
suma algebric ă a momentelor tuturor for țelor exterioare și a cuplurilor situate la
stânga sau la dreapta sec țiunii, în raport cu axa longitudinal ă a barei. Momentul
de torsiune este un efort care apare cu pr ioritate în cazul arborilor care transmit
puteri la diferite ma șini. Din acest motiv, este necesar a se cunoa ște care este
relația dintre momentul de torsiune ș i puterea transmis ă prin arbore.
Din fizică este cunoscut ă relația:

ω⋅=ω ⋅ =t x M M P 8.1-1

unde:
P – puterea transmis ă
ω – viteza unghiular ă a arborelui
Din relația 8.1-1 se ob ține expresia momentului de torsiune M t, funcție de
putere:

[][]
[][]
[][]
[][]
[]min / rot nW P55 , 9min / rot nW P 30
30min / rot nW P
s / radW PNm Mt = ⋅π=⋅ π=ω= 8.1-2

unde:
n – tura ția arborelui.
Dacă puterea P se exprim ă în KW și momentul de torsiune M t în KNm, rela ția
8.1-2, devine:

[][]
[]min / rot nKW P55 , 9 KNm Mt ⋅ = 8.1-3

194

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
În situa ția în care puterea se exprim ă în CP (cai putere), ținând seama de
relația care exist ă între KW ș i CP (1 CP = 736 W), rela ția dintre momentul de
torsiune M t și puterea P, este:

[][]
[]min / rot nCP P02 , 7 KNm Mt ⋅ = 8.1-4

8.2 TORSIUNEA BARELOR DE SECȚ IUNE CIRCULAR Ă

Se consider ă o bară dreaptă de secțiune circular ă constantă, solicitat ă de
momentul de torsiune M t (Fig.8.2-1a). Se accept ă urmă toarele ipoteze:
¾ materialul este omogen și izotrop
¾ materialul este solicita t în domeniul valabilit ății legii lui Hooke.
Pe bară se traseaz ă un caroiaj (Fig.8.2-1b) și apoi bara se solicit ă la
torsiune. Dreptunghiurile ini țiale ale caroiajului, au de venit paralelograme, ceea
ce indică prezența unor tensiuni tangen țiale τ, respectiv τ’, care sunt tangente la
conturul sec țiunii (Fig.8.2-1c). Se mai poate constata c ă, cercurile caroiajului
rămân plane și perpendiculare pe axa barei, ceea ce confirm ă valabilitatea
ipotezei lui Bernoulli, iar generatoarele s- au transformat în arce de elice.
Așadar, în planul sec țiunii transversale, apar tensiuni tangen țiale τ,
perpendiculare pe raz ă la elementul de arie dA considerat (Fig.8.2-1d).
Din cele 6 rela ții diferențiale dintre eforturi și tensiuni, pentru acest caz,
se poate scrie una singur ă:
τ’
dx Mt Mt Mt
τ
Mt a) b)
c) dA τ
Fig.8.2-1 Mt
r
d)
195

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
8.2-1 ()∫ ∫⋅ ⋅ τ = ⋅ ⋅ τ =
A At dA r r dA M

Legea de distribu ție a tensiunii tangen țiale pe sec țiune, nu este îns ă
cunoscută . Pentru studiul tensiunii tangen țiale τ, din bara solicitată la torsiune,
se izoleaz ă un element de lungime dx (Fig.8.2-2a).
Din Fig.8.2-2a, se poate scrie:

dx d R BBmax 1 ⋅γ≅ϕ ⋅ = 8.2-2a

dx d r DD1 ⋅γ≅ϕ⋅ = 8.2-2b

Împă rțind relația 8.2-2a la 8.2-2b, se ob ține:

maxmax max
Rr
rR
d rd R
dxdxγ ⋅ = γ ⇒ =γγ⇒ϕ ⋅ϕ ⋅=⋅ γ⋅γ
8.2-3

Deoarece este valabil ă legea lui Hooke, se poate scrie:

RrGRrGmax max ⋅ τ = ⋅ ⋅ γ = ⋅ γ = τ 8.2-4

B1B
D
D1 r
dxγmax
γ C
R τmax
Mt Mt
a) b)
Fig.8.2-2 dϕ τmax Mt
196

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Relaț ia 8.2-4 arat ă că tensiunea tangen țială la torsiune are o varia ție
liniară, funcție de pozi ția punctului, pozi ție determinat ă de raza r (Fig.8.2-2b).
Scriind rela ția de echivalen ță dintre momentul de torsiune M t și tensiunea
τ (relația 8.2-1), rezult ă:

∫∫ ∫⋅τ= ⋅ ⋅τ= ⋅ ⋅ ⋅ τ = ⋅ ⋅ τ =
AA Apmax 2 max
max t IRdA rRdA rRrdA r M 8.2-5

de unde:

pt
pt
maxWMRIM= ⋅ = τ 8.2-6

Înlocuind rela ția 8.2-6 în rela ția 8.2-4, se obț ine expresia tensiunii tangen țiale
într-un punct al sec țiunii transversale:

rIM
RrRIM
Rr
pt
pt
max ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ τ = τ 8.2-7

Deformarea barei solicita te la torsiune este o răsucire și se exprim ă prin
unghiul de r ăsucire Δϕ :

∫∫ ∫ ∫⋅⋅= ⋅⋅= ⋅ ⋅ ⋅⋅= ⋅ ⋅τ= ϕ = ϕ Δl
0l
0l
0 pt
ptl
0 pt
I Gl MdxI GMdx rIM
r G1dxr1
Gd 8.2-8

Expresia GI p constituie rigiditatea la torsiune a secțiunii barei.
G – modul de elasticitate transversal al materialului barei
Răsucirea specific ă la torsiune , este:

pt
I GM
l⋅=ϕΔ= θ 8.2-9

Relaț ia 8.2-8 reprezint ă răsucirea relativ ă dintre două secțiuni aflate la
distanța l, porțiune pe care ac ționează momentul de torsiune M t, iar rigiditatea la
torsiune a barei este GI p. Dacă pe lungimea l, mărimile din rela ția 8.2-8 nu sunt
constante, r ăsucirea relativ ă se calculeaz ă prin însumarea deforma ției de pe
fiecare interval pe care aceste m ărimi sunt constante.
La torsiune de obicei, calculul se efectueaz ă atât din condi ția de rezisten ță
cât și din cea de rigiditate. Pentru cele trei tipuri de problem ă și condițiile
197

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
impuse, rela țiile de calcul la torsiune al barelor drepte de sec țiune circular ă,
sunt:
probleme de verificare
condiția de rezisten ță

a
pt
maxWMτ ≤ = τ 8.2-10a

condiția de rigiditate

a
pt
maxI GMθ ≤⋅= θ 8.2-10b

probleme de dimensionare
condiția de rezisten ță

at
nec , pMWτ= 8.2-11a

condiția de rigiditate

at
nec , pGMIθ ⋅= 8.2-11b

probleme de efort capabil
condiția de rezisten ță

p a cap , tW M ⋅ τ= 8.2-12a

condiția de rigiditate

a p cap , t I G Mθ ⋅ ⋅ = 8.2-12b

198

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
8.3 TORSIUNEA BARELOR DREPTE DE SEC ȚIUNE
DREPTUNGHIULAR Ă

Torsiunea barelor drepte de sec țiune transversală oarecare a fost studiat ă
mai profund de c ătre Barre de Saint Venant (1855). La barele de sec țiune
necircular ă, ipoteza lui Bernouli nu se mai verific ă. În cele ce urmeaz ă se vor
prezenta numai câteva rezultate ob ținute pentru sec țiuni dreptunghiulare.
În Fig.8.3-1 se prezint ă o bară dreaptă de secțiune dreptunghiular ă în două
situații: înainte de solicitare (Fig.8.3-1a) ș i după solicitare (Fig.8.3-1b). În starea
nesolicitată , pe suprafa ța exterioar ă a barei s-a trasat un caroiaj care formeaz ă
niște dreptunghiuri. Dup ă solicitare, suprafe țele dreptunghiulare ale caroiajului
s-au deplanat (nu au mai r ămas plane).
Pătrățelele situate la mijlocul laturii mai mari se deformeaz ă cel mai mult,
ceea ce însemn ă că aici tensiunile tangen țiale au valorile cele mai mari. În
schimb, p ătrățelele situate în vecin ătatea colțurilor sec țiunii (muchiilor) î și
păstrează forma. Rezult ă atunci că în dreptul acestora, tensiunea tangen țială este
nulă.
Diagrama de varia ție a tensiunii tangen țiale la torsiune pentru o sec țiune
dreptunghiular ă este prezentat ă în Fig.8.3-2.
Reprezentarea tensiunii tangenț iale pentru o astfel de sec țiune, impune
utilizarea mai multor diagrame, pentru c ă valorile tensiunilor în fiecare punct al
secțiunii, depind de ambele c oordonate ale punctului. Pe axele de simetrie ale
secțiunii, tensiunile sunt repartizate apro ape liniar, prezentând valorile cele mai
mari în punctele de pe conturul ex terior. Pe laturile conturului îns ă, tensiunile
tangențiale au o distribu ție parabolic ă.
bh Mt
Mt
a) b)
Fig.8.3-1τ1
199

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Valoarea maxim ă a tensiunii tangen țiale se atinge la mijlocul laturii mari
a dreptunghiului sec țiunii și are valoarea:
hbM
2t
1 max⋅⋅α= τ = τ 8.3-1

Tensiunea tangen țială la mijlocul laturii mici, este:

1 2t
2 k
h bMτ ⋅ =
⋅ ⋅ γ= τ 8.3-2

Unghiul de torsiune (r ăsucire) specific se determin ă cu relația:

tt
3t
I GM
h b GM
⋅=⋅ ⋅ ⋅ β= θ 8.3-3

Valoarea maxim ă a tensiunii tangen țiale, poate fi calculată și cu relația
aproximativ ă:

h bM
hb8 , 1 32t
max⋅⋅⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⋅ + ≅ τ 8.3-4

În relația de calcul a tensiunii și a răsucirii specifice, m ărimea b este
totdeauna latura cea mai mic ă a dreptunghiului, iar coeficien ții α, β, γ, k depind
de raportul h/b. Valori ale acestor coeficien ți se prezint ă în Tabelul 8.3-1.
Dac ă raportul laturilor h/b este foarte mare, atunci se poate considera: τ2τ2b
h
τ1τ1
τ1
Fig.8.3-2
200

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

α = β = 1 / 3 8.3-5
iar:

hbGM3h bM3
3t2t
max
⋅⋅⋅ = θ⋅⋅ = τ
8.3-6

Tabelul 8.3-1
k h/b α β
1 0,208 0,141 1
1,2 0,219 0,166 0,93
1,5 0,231 0,196 0,86
1,75 0,239 0,214 0,82
2 0,246 0,229 0,79
2,5 0,258 0,249 0,77
3 0,263 0,263 0,75
4 0,281 0,281 0,74

Momentul de torsiune pentru tensiunea admisibilă , respectiv r ăsucirea
specifică se poate dete rmina cu rela țiile:

3h bG M ;3h bM3
a t2
a t⋅⋅ ⋅ θ =⋅⋅ τ = 8.3-7

Relaț ia 8.3-7 poate fi extins ă pentru profilele deschise formate din
suprafețe dreptunghiulare de grosime mic ă (Fig.8.3-3):

θn
i
t
ibhMG3
13=i⋅=⋅⋅∑ 8.3-8

de unde rezult ă răsucirea specific ă:

θt
n
ii
iM
bhG3
13
3=⋅=⋅⋅∑ 8 . 3 – 9

Tensiunea tangen țială maximă la aceste profile se produce la mijlocul
laturii mari a dreptunghiului de l ățime maxim ă:
201

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
τθt
n
ii
iMGb b
bhmax max max
3
13
=⋅=⋅⋅ = ⋅
⋅∑
8.3-10

h3
b3
b2 h2
b1
h1
Fig.8.3-3
Pentru profilele deschise a c ăror secțiune transversală este alcătuită din
suprafețe dreptunghiulare cu grosime mic ă (Fig.8.3-3), tensiunea tangen țială
maximă poate fi calculat ă și cu relația:

max
tt
max bIM⋅ = τ 8.3-11

unde

∑
=⋅ ⋅ =n
1 i3
i i t b h31I 8.3-12

și reprezint ă momentul de iner ție la torsiune al secțiunii barei.
Pentru profilele standardizate, I t se corecteaz ă cu un coeficient η
(coeficient de profil) datorit ă racordărilor profilului:

η ⋅⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⋅ ⋅ =∑
=n
1 i3
i i t b h31I 8.3-13

Pentru: profilul I, η = 1,31
profilul U, η = 1,12
profilul L, η = 1.
202

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
profilul T, η = 1,2

8.4 TORSIUNEA BARELOR TUBULARE CU
PEREȚI SUBȚIRI

Se consider ă un tub de sec țiune transversală oarecare, având perete cu
grosime mic ă. Secțiunea transversal ă a tubului are form ă oarecare îns ă ea este
constantă în lungul tubului. Sub ac țiunea momentului de torsiune, în sec țiunea
transversală a tubului apar tensiuni tangen țiale paralele cu linia medie a
profilului. Datorit ă grosimii mici a peretelui, tensiunile tangen țiale care sunt
tangente la contur, pot fi considerat e constante pe gr osimea peretelui τ1 =const.,
τ2 = const. În diferite puncte ale conturului, ele au valori diferite τ1 ≠ τ2
(Fig.8.4-1).
Din tub se izoleaz ă un element de lungime dx (Fig.8.4-2a). b2
Mt b1
τ1 τ2
Fig.8.4-1
b1
ds dA=b ds τ ds
bτ2 x b2
dx Mt r
τ1
Su b)
dS u a)
c)
Fig.8.4-2
203

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Se pune condi ția de echilibru pentru acest element, ca o sum ă de forțe pe
direcția axei longitudinale a tubului:

() () ()0 dx b dx b 0 F2 2 1 1 x= ⋅ ⋅ τ − ⋅ ⋅ τ ⇒ = ∑ 8.4-1

de unde se ob ține

. const b b b2 2 1 1=⋅τ= ⋅ τ = ⋅ τ 8.4-2

Produsul dintre tensiunea tangen țială și grosimea peretelui, se nume ște
fluxul tensiunii tangen țiale. Se poate constata c ă acolo unde grosimea peretelui
este mare, tensiunea tangen țială este mic ă și invers, dar fluxul tensiunii
tangențiale are o valoare constantă .
Relaț ia de echivalen ță dintre momentul de torsiune și tensiunea
tangențială, pentru acest caz, se poate scrie sub forma:

8.4-3 ∫∫⋅ ⋅ τ ⋅ = ⋅ τ ⋅ =
AAt ds b r dA r M

Se poate observa c ă

ds r21dSu⋅ ⋅ = 8 . 4 – 4

și formează aria elementară corespunz ătoare lungimii de arc ds din suprafa ța
delimitată de linia mijlocie a pr ofilului (Fig.8.4-2b,c).
Ținând seama de rela țiile 8.4-2 și 8.4-4, rela ția 8.4-3 se poate scrie sub
forma:

8.4-5 ∫⋅ ⋅ τ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ τ =
Au t S b 2 ds r b M

unde S u reprezint ă aria suprafe ței închise de conturul mediu al suprafe ței
secțiunii transversale (Fig.8.4-2c). Din rela ția 8.4-5, rezult ă expresia tensiunii
tangențiale:

ut
S b 2M
⋅ ⋅= τ 8 . 4 – 6

204

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Pe baza rela ției 8.4-6, rezultă expresia tensiunii tangen țiale maxime:

u mint
maxS b 2M
⋅ ⋅= τ 8 . 4 – 7

și se atinge acolo unde peretele prezint ă cea mai mic ă grosime.
Unghiul de ră sucire se determin ă pe baza teoremei lui Clapeyron, a
egalității dintre lucrul mecanic al forț elor exterioare și energia de deforma ție
înmagazinată în tub:

∫⋅ τ ⋅⋅= ϕ ⋅ ⋅
V2
t dVG 21d M21
8.4-8

unde volumul elementar dV este:

d V = b ⋅ds⋅dx 8.4-9

Ținând seama de relaț iile 8.4-6 ș i 8.4-9, rela ția 8.4-8 cap ătă forma:

∫∫∫⋅ ⋅⋅= ⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ = ϕ ⋅
l2
u2
t
2u22
t
t
bds
S G 4l Mds bS b 4MdxG1d M 8.4-10

de unde se ob ține expresia unghiului de r ăsucire:

∫⋅⋅ ⋅⋅= ϕbds
S G 4l Md2ut
8.4-11

Unghiul de r ăsucire specific se determină pe baza relaț iei 8.4-11:

∫∫⋅ τ ⋅⋅ ⋅= θ ⋅⋅ ⋅=ϕ= θ dsS G 21saubds
S G 4M
ld
u2
ut 8.4-12

Integrala de suprafa ță din rela țiile prezentate, se efectueaz ă pe toată
lungimea s a liniei medii a grosimii suprafeț ei secțiunii transversale.
Relaț iile 8.4-6, 8.4-7, 8.4-11 ș i 8.4-12 sunt cunoscute sub numele de
relațiile lui R. Bredt.
Dac ă în lungul liniei medii grosim ea peretelui este constant ă, unghiul de
răsucire specific are expresia:
205

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2
ut
S b G 4s M
⋅ ⋅ ⋅⋅= θ 8.4-13

Cele prezentate în acest paragraf, pot fi extinse ș i la secțiuni complexe,
care prezint ă mai multe contururi închise, sec țiuni întâlnite la batiurile de
mașini, aripi de avion, etc.
Se consider ă secțiunea complex ă din Fig.8.4-3, sec țiune format ă din două
contururi ce închid ariile S 1 și S2, având grosimile de pere ți constante b 1, b2 și b3
pe lungimile de contur s 1, s2 și s3.
Fluxul tensiunilor tangen țiale este constant pe fiecare por țiune de contur. Rela ția
8.4-12 se poate scrie și sub forma:

∫⋅ τ = ⋅ θ ⋅ ⋅ds S G 2u 8.4-14

iar pentru cele dou ă contururi:

3 3 1 1 1s s S G 2⋅τ+⋅ τ = ⋅θ⋅⋅ 8.4-15a

3 3 2 2 2s s S G 2⋅τ−⋅τ = ⋅θ⋅⋅ 8.4-15b

Scriind rela ția de echivalență în raport cu un punct situat pe peretele
intermediar, rezult ă:

2 2 2 1 1 1 t S b 2 S b 2 M⋅⋅τ⋅+⋅ ⋅ τ ⋅ = 8.4-16 Mt τ1b1
b1
b2b3
s1 s2
s3 S1 S2 τ2b2
τ3b3
Fig.8.4-3
206

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Condi ția de echilibru a tensiunilor tangenț iale în nodul de întâlnire a celor
trei pereți, conduce la rela ția:

3 3 2 2 1 1b b b⋅τ+ ⋅ τ=⋅ τ 8.4-17

de unde se ob ține:

(2 2 1 1
33 b bb1⋅ τ − ⋅ τ ⋅ = τ) 8.4-18

Rezolvând sistemul format de ecua țiile 8.4-15a,b, 8.4-16 ș i 8.4-18 având
ca și necunoscute tensiunile tangen țiale τ1, τ2, τ3 și unghiul de r ăsucire specific
θ, rezultă:

()()[3 2 2 2 3 3 2 1t
1 s b S s b s b SS f 2M⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅⋅= τ ] 8.4-19a

()( [1 3 3 1 2 3 1 1t
2 s b s b S s b SS f 2M⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅⋅= τ )] 8.4-19b

()[1 2 2 2 1 1t
3 s b S s b SS f 2M⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅⋅= τ ] 8.4-19c

()[]2 1 3 3 1 2 3 2 1ts s b s s b s s bS f G 4M⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅= θ 8.4-19d

unde:

() ()3 2 12
2 1 1 3 22
2 2 3 12
1 s b b S S s b b S s b b S S f⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = 8.4-19e

207

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8.5 ENERGIA DE DEFORMA ȚIE LA TORSIUNE

Pentru stabilirea rela ției energiei de deforma ție la torsiune, se porne ște de la
relația energiei de deforma ție stabilit ă la solicitarea axial ă, însă particularizat ă
pentru torsiune:

∫∫ ∫⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅= ⋅⋅τ=
VV A2
t2
2
p2
2p2
t2
dx M dA rI G 21dx dA rIM
G 21dVG 2U ∫
l

Dar,

∫= ⋅
Ap2I dA r

și expresia energiei de deforma ție, devine:

dxI G 2MU
p2
t
l⋅⋅ ⋅=∫ 8.5-1

Pentru o bară de secțiune circular ă constant ă și lungime l, solicitat ă la
torsiune, energia de deforma ție are expresia:

p2
t
I G 2l MU⋅ ⋅⋅= 8.5-2

8.6 DUALITATEA TENSI UNILOR TANGEN ȚIALE. STAREA
DE FORFECARE PUR Ă

Fie un element de volum de laturi dx, dy și grosime unitar ă, pe fețele
căruia acționează tensiunile normale σ , σx y precum și tensiunile tangenț iale
paralele cu axele x, respectiv y: τyx și τ (Fig.8.6-1a). xy
Starea de tensiune la care tensor ul tensiune are numai componente
paralele cu dou ă din axe (sunt într-un plan), constituie o stare plan ă de tensiune.
O stare plană de tensiune se poate repr ezenta ca în Fig.8.6-1b.
208

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Punând condi ția de echilibru, ca o sum ă de momente fa ță de punctul O 1,
se obține ecuația:

02dy1 dx 22dx1 dy 2yx xy = ⋅ ⋅ ⋅ τ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ τ ⋅ 8.6-1

de unde rezult ă:

yx xyτ= τ 8 . 6 – 2

Relaț ia 8.6-1, exprim ă principiul dualit ății tensiunilor tangen țiale care se
exprimă astfel: dacă pe un plan din interiorul unui corp exist ă o tensiune
tangențială, atunci pe un plan pe rpendicular pe el, exist ă aceeași tensiune
tangențială, ambele fiind simetric orientate față de muchia comun ă a planelor și
perpendiculare pe ea.
τxy O
τyx τxy
σy σy O z
1
dx dy dx
Fie acum un element de volum la care pe fe țele sale ac ționează numai
tensiuni tangen țiale, toate egale, conf orm principiului dualit ății tensiunilor
tangențiale (Fig.8.6-2a). Se spune c ă un astfel de element de volum se afl ă în
stare de forfecare pur ă. Acesta î și modific ă unghiurile dar nu și lungimile
laturilor.
În cele ce urmeaz ă, se caută relații pentru tensiunile de pe o fa ță înclinată
cu unghiul α fa ță de axa Oy. Aceste tensiuni se determin ă din condi ția de
echilibru a elementului de volum reprezentat în Fig.8.6-2b.
dy x
yO1
y σx σx
σx σx σy
σy
τxy
τxy τyx
τyx τyx
a) b)
Fig.8.6-1 x
209

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Condițiile de echilibru, se scriu ca sum ă de forțe pe direc ția tensiunilor σ și τ
care acționează pe fața de arie A:
O O
τxy z
y 1
dx dy x
y τxy τxy τyx τyx
τyx τα
σ
a) b)
Fig.8.6-2 A
Acosα Asinα
x

0 cos sin A sin cos A Ayx xy =α⋅α⋅τ−α⋅ α⋅τ − ⋅ σ 8.6-3a

0 sin sin A cos cos A Ayx xy =α⋅α⋅τ−α⋅ α ⋅ τ + ⋅ τ 8.6-3b

Deoarece τ = τ xy yx , din rela țiile 8.6-3a,b se ob ține expresia tensiunilor pe fa ța
înclinată în cazul st ării plane de forfecare:

α⋅ τ =σ 2 sinxy 8.6-4a

α⋅ τ − =τ 2 cosxy 8.6-4b

0, din relațiile 8.6-4a,b, se ob ține: Se poate observa c ă pentru α = 45

0 și 0 045 xy 45=τ τ = σ= α = α 8.6-5

0, se obține: De asemenea, pe o sec țiune perpendicular ă pe aceasta când α = 135

0 și 0 0135 xy 135=τ τ − = σ= α = α 8.6-6

Starea de forfecare pur ă se întâlne ște la un tub sub țire (grosimea peretelui
δ și raza medie R) solicitat la torsiune.
210

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
În acest caz, tensiunea poate fi considerat ă uniform distribuit ă, ceea ce conduce
la următoarea rela ție:

R R 2 Mt ⋅π⋅δ ⋅ τ = 8.6-7

de unde se ob ține tensiunea tangen țială din peretele tubului subț ire:

δ⋅⋅ π ⋅= τ2t
R 2M
8.6-8

8.7 CALCULUL ARCURILOR ELI COIDALE CU PAS MIC

Arcurile elicoidale cu pas mic sunt elemente des întâlnite în practic ă: la
vagoanele de cale ferat ă, la supape, la unele meca nisme etc. Ele sunt supuse
acțiunii unor for țe exterioare care întind sau comprim ă arcul.
Fie arcul elicoidal cu pas mic din Fi g.8.7-1a, la care: F – sarcina aplicată
arcului; R – raza de înf ășurare; d – diametrul sârmei arcului; n – num ărul de
spire.

α Mt = F· R
F F
R F
T = F α d
a) b)
Fig.8.7-1
211

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Dac ă unghiul de înclinare al spirei α este mare, în sec țiunea transversal ă a
spirei iau na ștere eforturile: axial, t ăietor, moment încovoietor și moment de
torsiune. La arcul cu unghiul α mic, efortul axial și momentul încovoietor sunt
foarte mici și se pot neglija. Deci, la arcurile elicoidale cu pas mic, singurele
eforturi care apar în secț iunea spirei arcului, sunt Fig.8.7-1b):
¾ efortul tă ietor T = F
¾ momentul de torsiune M = F R. t
Distribuț ia tensiunilor tangen țiale în punctele reprezentative ale sec țiunii,
produse de cele dou ă eforturi sunt prezentate în Fig.8.7-2.
Tensiunea maxim ă se produce în puntul E situat la interiorul spirei, acolo
unde tensiunile produse de cele dou ă eforturi sunt maxime și de acela și sens.
Tensiunea tangen țială maximă produsă de efortul t ăietor este cea din
punctele C și E (în punctele B și D, tensiunea tangen țială produsă de efortul
tăietor este nul ă) și are valoarea:

2 2 f max , fdF 4
4dF
AT
⋅ π⋅=
⋅ π= = τ = τ 8.7-1

Tensiunea tangen țială maximă produsă de momentul de torsiune se
produce în toate punctele situate pe conturul sec țiunii și are valoarea:

3 3
pt
t max , tdR F 16
16dR F
WM
⋅ π⋅ ⋅=
⋅ π⋅= = τ = τ 8.7-2

În punctul cel mai solic itat (punctul E din Fig.8.7-2), tensiunea tangen țială
maximă este:

E
τt B
C
τtτt
τt
τfM τf Tt
R D
Fig.8.7-2
212

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⋅+ ⋅
⋅ π⋅=
⋅ π⋅ ⋅+
⋅ π⋅= τ + τ = τdR 41
dF 4
dR F 16
dF 4
2 3 2 t f max 8.7-3

De cele mai multe ori, la as tfel de elemente, se neglijeaz ă tensiunea
tangențială produsă de efortul tă ietor, calculul f ăcându-se numai din condi ția de
rezistență la torsiune:

a 3
pt
maxdR F 16
WMτ =⋅ π⋅⋅= = τ 8.7-4

de unde rezult ă diametru sârmei pentru realizarea arcului:

3
aR F 16dτ ⋅ π⋅ ⋅= 8.7-5

În practic ă, la calculul arcurilor, în rela ția 8.7-4 se introduce un coeficient
de corecție k, prin care se ține seama atât de influen ța forfecă rii cât și de o serie
de alți factori nelua ți în considerare (încovoierea, deforma țiile longitudinale
etc.). Valoarea coeficientului k este cu atât mai mare cu cât raportul R/r (r – raza
sârmei, r = d/2) este mai mic, adic ă cu cât arcul este mai rigid din punct de
vedere geometric.
Relaț ia 8.7-4 corectat ă are forma:

3
pt
maxdR F 16kWMk⋅ π⋅⋅⋅ = ⋅ = τ 8.7-6

Valorile coeficientului k sunt prezentate în Tabelul 8.7-1.

Tabelul 8.7-1
R/r 3 4 5 6 7 8 9 10
k 1,58 1,40 1,31 1,25 1,21 1,18 1,16 1,14

Săgeata arcului f , adică lungirea sau scurtarea lui pe direc ția forț ei de
solicitare, se determin ă din egalitatea lucrului mecanic al for ței F cu energia de
deformație a arcului.
Lucrul mecanic al forț ei F de solicitare, este:

f F21L⋅ ⋅ = 8 . 7 – 7

213

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
iar energia de deforma ție a arcului, este:

43 2
42 2
p2
t
d Gn R F 32
32dG 2Rn 2 R F
GI 2l MU⋅⋅ ⋅=ππ ⋅=⋅= 8.7-8

Egalând rela țiile 8.7-7 ș i 8.7-8, se ob ține:

43 2
d gn R F 32f F21
⋅⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ 8.7-9

de unde rezult ă relația pentru s ăgeata arcului:

43
dGn R F 64f⋅⋅ ⋅ ⋅= 8.7-10

În practic ă, uneori se calculeaz ă variația săgeții Δf datorată unei varia ții a
forței ΔF:

43
dGn R F 64f⋅⋅ ⋅ Δ ⋅= Δ 8.7-11

Se poate constata din rela ția 8.7-10, c ă între săgeată și forța care solicit ă
arcul, există o relație liniară.

214

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
8.8 APLICA ȚII LA SOLICITAREA DE TORSIUNE

Aplica ția nr.1. Să se verifice arborele din Fig.8.8.1-1a, ș tiind că
transmite prin roata 1 o putere P = 180 KW sub o tura ție n = 500 rot/min, la
două mașini consumatoare de puteri: P 1 = 80 KW, P 2 = 100 KW. Se cunosc:
diametrul arborelui d = 100 mm, τ4 0
a = 80 MPa, G = 8,5 ⋅10 MPa, θ = 0,3 /m. a
Problema poate fi rezolvat ă în două variante.
1 2 3
P P1
Varianta I: Se calculeaz ă momentele de torsiune în func ție de puterea transmis ă:

KNm 438 , 350018055 , 9nP55 , 9 Mt = ⋅ = ⋅ =

KNm 528 , 15008055 , 9nP55 , 9 M1
1 t = ⋅ = ⋅ =

KNm 91 , 150010055 , 9nP55 , 9 M2
2 t = ⋅ = ⋅ =

Cele trei momente de torsiune sunt reprezentate în Fig.8.8.1-1b, iar
diagramele lor în Fig.8.8.1-1c. Di n diagramele de eforturi, rezult ă că secțiunea P2
Mt Mt1 Mt2
Mtd
Fig.8.8.1-13,438 KNm 1,91 KNa)
b)
m
c)
215

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
periculoas ă se află între roate 1 și roata 2, unde momentul de torsiune are
valoare maxim ă.
Verificarea condiț iei de rezisten ță se face cu rela ția:

a 36
3t
pmax , t
max MPa 51 , 1710010 438 , 3 16
16dM
WMτ < =⋅ π⋅ ⋅=⋅ π= = τ

Verificarea condiț iei de rigiditate se face cu rela ția:

mm / rad 10 12 , 4100 10 5 , 810 438 , 3 32
d GM 32
32dGM
I GM6
4 46
4t
4t
pmax , t
max−⋅ =⋅ π ⋅ ⋅⋅ ⋅=⋅ π ⋅⋅=⋅ π⋅=⋅= θ

a0 0 3 6 6
max m / 236 , 0 m / 1018010 12 , 4 mm / rad 10 12 , 4 θ < = ⋅π⋅ ⋅ = ⋅ = θ− −

Ambele condiț ii sunt verificate pentru acest arbore.

Varianta a II-a: În aceast ă variantă nu este nevoie de trasarea diagramelor
de momente, dac ă se observ ă că prin porț iunea dintre roata 1 și 2 se transmite
cea mai mare putere (puterea P = 180 KW) și ca urmare aici și momentul de
torsiune este cel ma i mare, cel corespunz ător puterii P.
Mai departe calculul este cel prezentat la Varianta I.

Observație: La acest arbore ro țile prin care se prime ște și se transmit mai
departe puterile, nu sunt a șezate economic, deoarece la această așezare porțiunea
dintre roata 1 ș i 2 este foarte solicitată . O descărcare a arborelui are loc dac ă
roata 1 de ac ționare este a șezată între cele dou ă roți cu puteri consumatoare. În
acest caz, într-o por țiune dintre două roți, s-ar transmite cel mult puterea P 3 =
100 KW, semnificativ mai puț in decât în varianta prezentat ă. La astfel de
transmisii, este foarte important ă așezarea roții motoare.

216

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Aplicația nr.2. Un arbore de transmisie din o țel, primește prin roate 3 o
putere P 3 = 750 CP și acționează sub o tura ție n = 400 rot/min prin ro țile 1, 2 și
4, trei ma șini care consum ă puterile P 1 = 200 CP, P 2 = 300 CP, P 4 = 250 CP
(Fig.8.8.2-1a). Distan ța dintre ro ți este aceea și, l = 1 m.
Cunoscând τa = 38 MPa, θa = 0,25 0/m, G = 8,1 ⋅104 MPa, se cere
diametrul arborelui și răsucirea relativ ă între roțile 3 ș i 4.
1 2 3 4
a)
P1 P3 P4 P2
Mt3 Mt2 Mt1 Mt4
b)
8,775
3,51
Mt [KNm]c)
4,39
Fig.8.8.2-1
Momentele de torsiune car e se produc pe cele 4 ro ți, sunt prezentate în
Fig.8.8.2-1b, iar diag ramele pe fiecare por țiune a arborelui în Fig.8.8.2-1c,
rezultate din urm ătoarele calcule:

KNm 51 , 340020002 , 7nP02 , 7 M1
2 1 , t = ⋅ = ⋅ =−

KNm 775 , 840050002 , 7nP P02 , 7 M2 1
3 2 , t = ⋅ =+⋅ =−

KNm 39 , 440025002 , 7nP02 , 7 M4
3 4 , t = ⋅ = ⋅ =−

Sec țiunea periculoas ă este situat ă între roata 2 și 3. Acest lucru se putea
observa de la început, deoarece pe ai ci se transmite c ea mai mare putere.
217

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Dimensionarea din condi ția de rezisten ță, se face cu rela ția:

mm 1103810 775 , 8 16 M 16d16d M MW
36
3
a3 2 , t
13
1
a3 2 , t
amax , t
nec , p
≅⋅ π⋅ ⋅=τ ⋅ π⋅= ⇒⋅ π=τ=τ=
−−

Din condi ția de rigiditate, se ob ține:

32d
GM
GMI4
2
a3 2 , t
amax , t
nec , p⋅ π=θ ⋅=θ ⋅=−

π πθπt
aMdmG6
,2 34244332 32 8,775 10125
8,1 10 0,25 10180−
−⋅ ⋅⋅⇒= = ≅⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ m

Dimensiunea final ă pentru diametrul arborelui se ia aceea care s ă satisfacă
ambele condi ții:

d = max (d 1 ; d 2) = d 2 = 125 mm.

Răsucirea relativ ă între roțile 3 ș i 4, se calculeaz ă cu relația:

0 3
4
43 6
p4 3 4 3 , t
4 3 129 , 0 rad 10 26 , 2
3212510 1 , 810 10 39 , 4
I Gl M= ⋅ =⋅ π⋅ ⋅⋅ ⋅=⋅⋅= ϕ Δ− − −
−

218

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Aplicația nr.3. O bară cu secțiune variabilă , cu forma și dimensiunile din
Fig.8.8.3-1, este solicitat de cuplurile M 0. Se cere s ă se determine valoarea
capabilă a cuplului M 0 dacă τa = 50 MPa și apoi deformaț ia totală a secțiunii
2. Se cunosc: d = 50 mm, G = 8,5 ⋅104 MPa.

Diagrama momentului de torsiune este prezentat ă în Fig.8.8.3-1b.
3
1= 0,8 m2d dM0
M0
11
2
M0 2M 0
Mt
Fig.8.8.3-1 a)
b)
Secțiunea periculoas ă este pe intervalul 1-2, unde cu toate c ă momentul de
torsiune este jum ătate din cel de pe intervalul 2-3, modulul de rezisten ță polar
este de 8 ori mai mic.
Efortul capabil se determin ă cu relația:

0 min , p a cap , t M W M =⋅ τ =

KNm 124 , 0 Nmm 8 , 124339165050 W M3
2 1 , p a 0 ≅ =⋅ π⋅ = ⋅ τ = ⇒−

Unghiul de r ăsucire al sec țiunii 2, este:

rad 10 38 , 2
3210010 5 , 8800 10 124 , 0 2
I Gl M4
4
46
3 2 , p3 2
3 2 2−
−−
− ⋅ =⋅ π⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅=⋅⋅= ϕ Δ = ϕ

219

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Aplicația nr.4. Pentru bara de sec țiune circular ă din Fig.8.8.4-1a, cu
diametrul d = 80 mm, se cere:
a) tensiunea maxim ă
b) răsucirea relativ ă între secț iunile 1 ș i 2.
4Se cunosc: M 0 = 4 KNm, G = 8 ⋅10 MPa, l = 0,5 m.

Pentru ob ținerea diagramei momentului de torsiune, trebuie determinate
mai întâi reac țiunile (sau m ăcar una dintre ele). În aces t scop, pentru sistemul
din Fig.8.8.4-1a se pune condi ția de echilibru (singura care se poate pune):
1 B 2 M0 2M 0
A d
l l 2l MA MB
a)

8.8.4-1
0 B AB 0 0 A
M 3 M M0 M M 2 M M 0 M
= + ⇒= + − − ⇒ = ∑

Există două necunoscute ș i s-a putut scrie o singur ă relație. Rezult ă că
acest sistem, este un sistem static nedeterminat la torsiune. Ca și pentru celelalte
solicitări și aici se caut ă o relație de deforma ție, care apoi se expliciteaz ă și se
atașează ecuației de echilibru deja scrise.
Relaț ia suplimentar ă care se poate scrie este (de fapt sunt dou ă astfel de
relații):

0 sau 0B A =ϕ = ϕ

Se va explicita numai prima condi ție: Mt
Fig.8.8.4-1 1,25M 0
0,25M 0
b)
1,75M 0
220

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
() ( )0GIl M 2 M M
GIl 2 M M
GIl M
p0 0 A
p0 A
pA
B A A =⋅−−+⋅−+⋅= ϕ Δ = ϕ−

sau

0 M 3 M M 2 M 2 M0 A 0 A A =−+− +

iar după reducerile necesare, se ob ține:

0 0 A 0 A M 25 , 1 M45M M 5 M 4 = = ⇒ = 8.8.4-2

Având determinat ă reacț iunea din reazemul A, din rela ția 8.8.4-1 se
obține reacțiunea din reazemul B:

BAMM MM M M00 03 3 1 ,25 1 ,75 =− =−⋅ =⋅0

Diagrama momentului de torsiune pentru aceast ă bară, este prezentat ă în
Fig.8.8.4-1b.
Din analiza diagramei momentului de torsiune și a varia ției secțiunii
transversale în lungul barei, rezult ă că secțiunea periculoas ă a barei este pe
interval 2-B, interval pe care mome ntul de torsiune are valoare maxim ă, bara
fiind cu sec țiune constantă .
a) Tensiunea tangen țială maximă se calculeaz ă cu relația:

MPa 63 , 698010 4 75 , 1 16
16dM 75 , 1
WM
36
30
pmax , t
max =⋅ π⋅ ⋅ ⋅=⋅ π= = τ

b) R ăsucirea relativ ă între secțiunile 1și 2, este:

rad 10 49 , 2
80 10 8500 2 10 4 25 , 0 32
32dGl 2 M 25 , 0
I Gl 2 M2
4 46
40
p2 1 , t
2 1− −
− ⋅ =
⋅ π ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
⋅ π⋅⋅=⋅⋅= ϕ Δ

0 2 2
2 1 43 , 118010 49 , 2 rad 10 49 , 2 =π⋅ ⋅ = ⋅ = ϕ Δ− −
−

221

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Aplicația nr.5. Pentru o bar ă de secțiune constant ă tip cheson din
Fig.8.8.5-1, s ă se calculeze momentul de torsiune capabil, dac ă τa = 80 MPa, θa
= 0,25 0/m și G = 8⋅104 MPa.
Condi ția de rezisten ță este
B
b
H h t1
t2 B = 100 mm
H = 150 mm t
1 = 10 mm
t2 = 5 mm
Fig.8.8.5-1

a
min ut 1
maxt S 2Mτ =⋅ ⋅= τ

de unde rezult ă:

KNm 44 , 10 Nmm 10 44 , 10 80 5 145 90 2t h b 2 t S 2 M
6a min a min u cap ,t1
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ==τ⋅⋅⋅⋅=τ ⋅ ⋅ ⋅=

Condi ția de rigiditate este

t a cap , t 2I G M ⋅⋅ θ =

unde:

4 6
2 22 2
2
22
1 1 22 12 2
t mm 10 24 , 55 10 10 100 5 1505 10 90 145
t t Bt Htt t b hI ⋅ =− − ⋅ + ⋅⋅ ⋅ ⋅=− − +=

222

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Cu valoarea ob ținută pentru momentul de iner ție la torsiune, rezult ă momentul
de torsiune:

π
tc a pMN34 6 6
2, 0 , 2 5 1 0 81 0 5 , 2 41 0 1 , 8 31 0 1 , 8 3180−=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ =⋅ = mm kNm

Momentul de torsiune capabil pentru bar ă, este:

M t,cap = min (M 1t,cap, M 2t,cap) = M 2t,cap = 1,83 kNm.

Observație: La colțurile interioare ale sec țiunii, se produce o puternic ă
concentrare a tensiunii tangen țiale, care poate ajunge la limita de curgere. În
cazul unor racord ări ale col țurilor interioare cu raza r, coeficientul de
concentrare al tensiunii tangen țiale se poate calcula cu rela ția:

3max
rt74 , 1⋅ = ατ

Aplicația nr.6. Pentru o bar ă de secțiune pătrată tip cheson cu
dimensiunea a = 4t (Fig.8.8.6-1a), se cere să se studieze cum se modifică
rezistența și rigiditatea barei la torsiune, prin tă ierea acesteia ca în Fig.8.8.6-
1b.
Pentru sec țiunea din Fig.8.8.6-1a, modulul de rezisten ță la torsiune, este:
t
a
a) b)
Fig.8.8.6-1 a
223

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

()()3 2 2
u 1 t t 32 t 4 t 2 a t 2 S t 2 W= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

iar pentru sec țiunea din Fig.8.8.6-1b

()
3 23 3 3 3
max3
i i
maxt
2 t t316t a34
tt a t a t a t a31
tb h31
tIW ⋅ = ⋅ ⋅ =⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅
= = =∑

Făcând raportul modulelor de rezistență pentru cele dou ă variante, se
obține:

6
t316t 32
WW
33
2 t1 t=
⋅⋅=

Rezultă că prin tăierea sec țiunii barei care devine profil deschis,
capacitatea ei de rezisten ță la torsiune se mic șorează de 6 ori.
Rigiditatea la torsiune pentru sec țiunea netăiată, este

()t a G
a 4t1a 4G
dst1a 4G
tdsS 4G I G3422 2
u
1 t ⋅ ⋅ =
⋅⋅⋅ =
⋅⋅⋅ =⋅⋅ = ⋅
∫ ∫

iar pentru sec țiunea tăiată:

( )3 3 3 3 3 3
i i 2 t t a34G at at at at31G b h31G I G ⋅ ⋅ ⋅ = + + + ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ∑

Făcând raportul rigidit ăților, rezultă :

()12tt 4
43
ta
43
t a34Gt a G
WW22
22
33
t1 t= ⋅ = ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅=
Pentru sec țiunea tăiată, rigiditatea la torsiune s-a mic șorat de 12 ori.
Din acest exemplu, reiese c ă profilele cu contur închis, prezint ă o
rezistență și rigiditate la torsiune mult mai mari decât cel e cu contur deschis.

224

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Aplica ția nr.7. Să se calculeze tensiunile tangen țiale și ră sucirea
specifică pentru sec țiunea dublu conex ă din Fig.7.8.7-1, unde: t 1 = t 2 = t 3 = 10
mm, M4
t = 15 KNm, G = 8 ⋅10 MPa.

La început se calculeaz ă funcția (relația 8.4-19e):

() ()7 9
3 2 12
2 1 1 3 22
2 2 3 12
1 mm 10 4392 s t t S S s t t S s t t S S f⋅ = + + + =

unde:
S1 = S 2 = 120 ⋅ 50 = 6⋅103 mm2
s 1 = s 2 = 50 +120 +50 = 220 mm
s 3 = 120 mm

Tensiunile tangen țiale din laturile sec țiunii se determin ă cu relațiile 8.4-
19a,b,c:

()()[] MPa 13 , 4710M142 , 3 s t S s t s t SS f 2M
6t
3 2 2 2 3 3 2 1t
1 = ⋅ = + + =⋅= τ

()() [] MPa 13 , 47
10M142 , 3 s t s t S s t SS f 2M
6t
1 3 3 1 2 3 1 1t
2 = ⋅ = + ⋅ + ⋅⋅= τ
120
50 50 t1 t3 t2
S1 S2
Fig.8.8.7-1 τ3 s3
s1 s2τ1 τ2
225

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
()[]()[] 0 0S f 2Ms t S s t SS f 2Mt
1 2 2 2 1 1t
3 = ⋅⋅= − ⋅⋅= τ

Se constat ă că porțiunea central ă este nesolicitat ă.
Răsucirea specific ă se calculeaz ă cu relația 8.4-19d:

()[] m / 23 , 1 m / rad 10 6 , 21 s s t s s t s s tS f G 4M0 3
2 1 3 3 1 2 3 2 1t= ⋅ = + + =⋅= θ−
226

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

9. NOȚ IUNI DE TEORIA ELASTICIT ĂȚII.
STAREA DE TENSIUNE ȘI DEFORMA ȚIE

În acest capitol se vor prezenta unele aspecte ale Teoriei Elasticit ății,
insistându-se mai mult pe starea de tensiune ș i deforma ție din vecin ătatea unui
punct. Noțiunile care se vor prezenta, sunt necesare studierii teoriilor de
rezistență, a plăcilor plane, a tuburilor cu pere ți groși etc., care vor fi tratate în
alte capitole.

9.1 TENSORUL TENSIUNE

Fie un punct de coordonate x, y, z din interiorul unui corp prin care trec
trei axe ortogonale xyz.
Forța aplicat ă asupra acestui punct, este cunoscut ă dacă se cunosc
componentele acesteia pe cele trei direc ții. Dacă asupra punctului ac ționează
tensiuni, starea de tensiune este cunoscut ă numai dac ă se cunosc pe lâng ă
componentele tensiunii pe cele trei direcț ii și orientarea suprafe ței pe care
acestea se produc.
Prin punct se pot duce trei pl ane ortogonale xOy, yOz, zOx și alte trei
paralele cu acestea, care s ă formeze un paralelipiped de dimensiuni infinit mici
(care la limit ă se poate reduce la un punct). Star ea de tensiune în jurul punctului
se cunoaște când sunt cunoscute tensiunile pe fiecare din cele trei plane. Pe
fiecare suprafa ță a paralelipipedului tensiunea poate avea orice orientare și poate
fi descompus ă pe o direc ție normală dând componenta σ și pe direc ții paralele
cu axele, dând componentele τ. Astfel, pe cele șase fețe ale paralelipipedului
există nouă componente ale tensorului tensiune (Fig.9.1-1c):

⎪
⎭⎪
⎬⎫
⎪
⎩⎪
⎨⎧
σ τ ττ σ ττ τ σ
=σ
z zy zxyz y yxxz xy x
T 9.1-1

În baza dualit ății tensiunilor tangen țiale, exist ă de fapt numai șase
componente distincte.
Din aceast ă stare, rezult ă câteva cazuri particulare:
227

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
starea liniar ă de tensiune , când există o singur ă component ă (de
exemplu σx, Fig.9.1-1a)
starea plan ă de tensiune , când toate componentele tensorului sunt
paralele numai cu dou ă dintre axele de c oordonate (Fig.9.1-1b)
starea spa țială de tensiune (Fig.9.1-1c).

x x x
y y y z z z
σx σx σx σx
σy σy σy
σy σz τxy τxz
τyz
a) b) c)

Fig.9.1-1 O OO

9.2 STAREA PLAN Ă DE TENSIUNE

Starea plan ă de tensiune se întâlne ște la plăcile subțiri solicitate prin for țe
în planul ei, la tuburile cu pere ți groși de lungime infinit ă, la vasele cilindrice cu
pereți subțiri etc.

9.2.1 Tensiuni pe sec țiuni înclinate. Direc ții principale și tensiuni
principale

În Fig.9.2.1-1 este reprezentat ă starea de tensiune plan ă pentru elementul
paralelipipedic de grosime unitar ă din Fig.9.1-1b, proiectat în planul xOy.
Pentru această stare, tensorul tensiune ar e numai component e paralele cu
axele Ox și Oy:

9.2.1-1 ⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
σ ττ σ
=σ
y yxxy xT

228

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Dacă aceste tensiuni provin dintr-o solicitare de încovoiere simpl ă, ele se
calculează cu relațiile cunoscute:

0 ;b IS T; yIM
y
zz
yx xy
ziz
x = σ⋅⋅= τ = τ ⋅ = σ 9.2.1-2

Se caut ă acum rela ții pentru tensiunile de pe o suprafa ță rotită cu un unghi
α față de axa Oy (Fig.9.2.1-2).
τyx τxy
Pentru starea din Fig.9.2.1-2 se cunosc tensiunile σx, σy, τxy = τ yx și se
caută tensiunile σα și τα pe fața înclinată CD de arie A. x
y O
σx
σy σx σy
τxy τyx
Fig.9.2.1-1
D
yσx σy
σα ατxy τyx
τα
Fig.9.2.1-2 O
AA⋅sinα
A⋅cosα
Cx
229

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Se pun condi țiile de echilibru pentru elemen tul din Fig.9.2.1-2, ca o sum ă
de forțe pe direc ția tensiunilor σα și τ: α

0 cos sin A 2 sin A cos A Axy2
y2
x = α ⋅ α τ − α σ − α σ − σα 9.2.1-3a

0 sin A cos A cos sin A cos sin A A2
xy2
xy y x = α τ − α τ + α ⋅ α σ + α ⋅ α σ − τα 9.2.1-3b

de unde se ob țin relațiile:

9.2.1-4 () ( α − α ⋅ τ + α ⋅ α ⋅ σ − σ = τα ⋅ α ⋅ τ ⋅ + α σ + α σ = σ
αα
2 2
xy y xxy2
y2
x
cos sin cos sincos sin 2 sin cos
)

Dac ă se ține seama c ă:

α = α ⋅ α ⋅α−= αα += α 2 sin cos sin 2 ;22 cos 1sin ;22 cos 1cos2 2

relațiile 9.2.1-4, cap ătă forma:

α ⋅ τ + α ⋅σ − σ+σ + σ= σα 2 sin 2 cos2 2xyy x y x 9.2.1-5a

α ⋅ τ − α ⋅σ − σ= τα 2 cos 2 sin2xyy x 9.2.1-5b

Relaț iile 9.2.1-5a,b permit calc ulul tensiunilor, normal ă și tangenț ială, pe
o suprafață de orice direc ție α.
Există două direcții, numite direcții principale , pentru care tensiunea
normală are valori extreme, numite tensiuni normale principale.
Pentru determinarea direc țiilor principale și a tensiunilor normale
principale, se anuleaz ă derivata de ordinu l întâi al tensiunii σα (relația 9.2.1-5a)
în raport cu unghiul 2 α:

()αατ − = = α ⋅ τ + α ⋅σ − σ
− =ασ0 2 cos 2 sin2 2 dd
xyy x 9.2.1-6

Relaț ia 9.2.1-6 arat ă că derivata calculat ă este tocmai -τ α, ceea ce
înseamnă că pe direcțiile principale ale tensiunii normale, tensiunea tangen țială
este nulă .
230

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Din rela ția 9.2.1-6, rezult ă:

y xxy22 tgσ − στ⋅= α 9.2.1-7

de unde pozi ția uneia dintre direcț iile principale este dată de relaț ia:

y xxy
12arctg21
σ − στ⋅= α 9.2.1-8

Se poate demonstra u șor că cele dou ă direcții principale sunt
perpendiculare.
Ținând seama de rela țiile dintre sin2α , cos2α și tg2α (vezi momentele de
inerție principale):

() ()2
xy2
y xy x
2
xy2
y xxy
42 cos ;
422 sin
τ ⋅ + σ − σσ−σ± = α
τ ⋅ + σ − στ⋅± = α

și înlocuind în rela ția 9.2.1-5a, se ob țin expresiile pentru tensiunile normale
principale:

()2
xy2
y xy x
2 , 1 421
2τ ⋅ + σ − σ ⋅ ±σ + σ= σ 9.2.1-9

Când se ia semnul + se obț ine valoarea maximă pentru tensiune, iar când
se ia semnul − se obține valoarea minim ă.
Ca și tensiunea normal ă și tensiunea tangen țială are valori extreme. Deci
și pentru tensiunea tangen țială există direcții principale. În vederea determin ării
direcțiilor principale și a tensiunilor tangen țiale principale, se anuleaz ă derivata
de ordinul întâi în raport cu unghiul 2 α al tensiunii tangen țiale (relația 9.2.1-5b):

()0 2 sin 2 cos2 2 dd
xyy x= α ⋅ τ + α ⋅σ − σ=ατα 9.2.1-10

Din relația 9.2.1-10, se ob ține:

α− =τ ⋅σ − σ− = α2 tg1
2' 2 tg
xyy x 9.2.1-11
231

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
de unde pentru una din direc țiile principale ale tensiunii tangen țiale se obț ine
expresia:

⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
τ ⋅σ − σ− ⋅ = α
xyy x
2arctg21' 9.2.1-12

Din rela ția 9.2.1-11 se observ ă că direcțiile 2α și 2α’ sunt perpendiculare,
ceea ce înseamn ă că direcțiile principale ale tensiunii normale și ale tensiunii
tangențiale fac între ele un unghi de 450. Rezultă atunci c ă, tensiunile
tangențiale sunt maxime la un unghi de 450 față de direc ția principal ă a
tensiunii normale.
Înlocuind rela ția 9.2.1-12 în rela ția 9.2.1-5b, se obț ine expresia
tensiunilor tangen țiale principale:

22 1
2 1σ − σ± = τ = τ 9.2.1-13

Se constat ă că cele două tensiuni tangen țiale principale sunt egale și de
semn contrar, confirmând și pentru acest caz, principiul dualit ății tensiunilor
tangențiale.

9.2.2 Cercul lui Mohr pentru starea plan ă de tensiune

La paragraful 9.2.1 s-a stabilit că pe direc țiile principale ale tensiunii
normale, tensiunile tangen țiale sunt nule.
Pentru reprezentarea di n Fig.9.2.2-1a, rezult ă că direcțiile axelor sunt
direcții principale, iar tensiunile σx și σ sunt tensiuni principale. y

σx=σ1σx=σ1σy=σ2
σ2σ2
σ τ ααO D
C O D
C
a) b)

Fig.9.2.2-1
232

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Pentru acest caz, expresiile tensiunilor de pe fa ța înclinată cu unghiul α
(Fig.9.2.2-1b) rezultate din rela țiile 9.2.1-5a,b, sunt:

α ⋅σ − σ= τα ⋅σ− σ+σ + σ= σ
2 sin22 cos2 2
2 12 1 2 1
9.2.2-1

Eliminând unghiul 2 α între cele dou ă relații, se poate scrie:

2
2 1 22
2 1
2 2⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛σ − σ= τ +⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛σ + σ− σ 9.2.2-2

Ecua ția 9.2.2-2 reprezint ă ecuaț ia unui cerc, cercul lui Mohr pentru starea
plană de tensiune. Acest cerc are centrul pe axa Oσ situat la distan ța
OD=(σ1+σ2)/2 și raza R = ( σ- σ 1 2)/2. Cercul lui Mohr pentru starea plan ă de
tensiune este reprezen tat în Fig.9.2.2-2.
Pe baza cercului lui M ohr, tensiunile pe o sec țiune înclinat ă cu unghiul α
față de axa Oy se determin ă ducând raza DB care face unghiul 2 α cu axa Oσ și
măsurând coordonatele punctului B
B1 E
A τ
τxy

O C = σ = σx ; CB = τ = τxy
2α
σ1 σ2
σy
σx (σ1+σ2)/2 O A1 D C1B
C
Fig.9.2.2-2 τmax
σ
233

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
O sec țiune perpendiculară pe cea pozi ționată de punctul B se ob ține
ducând diametrul BDB 1, rezultând punctul B 1.
Cu ajutorul cercului lui Mohr, cunoscând tensiunile σx, σy, τxy se pot
obține direcțiile principale și tensiunile normale prin cipale. Pentru aceasta se
construiește cercul lui Mohr, fixând punctele B(σ x,τ) și B xy 1(σy, -τxy) și ducând
dreapta BB 1, care reprezint ă diametrul cercului. Cercul fiind construit, se pot
măsura tensiunile principale σ1, σ2 precum și unghiul 2 α, de unde rezultă apoi
unghiul α care este unghiul unei direc ții principale cu axa Oy.

9.2.3 Cazuri particulare ale st ării plane de tensiune

Particularizând rela țiile 9.2.1-9 și 9.2.1-13 se ob țin cazuri particulare ale
stării plane de tensiune.
Starea liniară de tensiune (întindere sau co mpresiune). Dacă în relația 9.2.1-
9 se particularizeaz ă σ= 0, τ y xy = 0 ceea ce corespunde unei solicit ări axiale,
se obține starea plan ă de tensiune:

0 ;2 22 x 1x x
2 , 1 = σ σ = σ ⇒σ±σ= σ

iar, din rela ția 9.2.1-13:

()x 2 1 max21
21σ ⋅ ± = σ − σ ⋅ ± = τ

Starea de forfecare pur ă se realizeaz ă când σx = σy = 0. Făcând înlocuirile
corespunz ătoare, se ob ține:

43;42 tg;
2 1xy 2 xy 1 xy 2 , 1
π= απ= α ⇒ ∞ = ατ − = σ τ = σ ⇒ τ ± = σ

Tensiuni principale la încovoiere simpl ă. La solicitarea de încovoiere simpl ă,
tensiunea normal ă σy = 0. În acest caz, se ob ține:

xxy2
xy2
xx
2 , 1
22 tg421
2
στ ⋅= ατ ⋅ + σ ⋅ ±σ= σ

234

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
În aceste rela ții, σx și τxy sunt tensiunile normal ă, respectiv tangen țială
dintr-un punct al sec țiunii produse de momentul încovoietor, respectiv for ța
tăietoare.

9.3 STAREA PLAN Ă DE DEFORMA ȚIE

Un element se afl ă într-o stare plan ă de deforma ție dacă el suferă numai
deformații specifice situate într-un plan: εx ,ε, γy xy. În acest caz, tensorul
deformațiilor are forma:

⎪⎪
⎭⎪⎪
⎬⎫
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
ε γγ ε
=ε
y yxxy x
2121
T 9.3-1

= γ Și aici este valabil ă legea dualit ății lunecărilor specifice γxy yx.
În cele ce urmeaz ă, se caută relații între deformații specifice și deplasări
pentru starea plan ă de deforma ție. Pentru aceasta, se consideră un element de
volum paralelipipedic de laturi dx, dy, dz, element care sufer ă deformații numai
în planul xOy (Fig.9.3-1).
În urma deform ării, punctul O sufer ă o deplasare (în cazul st ării plane de
deformație) de componente u pe direcția axei Ox și v pe direcția Oy (Fig.9.3-1).
A1 O1
C
B A O u dx
dy v
B1 C1 dϕ1
dϕ2 u+(∂u/∂x)dx
u+(∂u/∂y)dy x
y v+(∂v/∂x)dx
Fig.9.3-1 v+(∂v/∂y)dx
235

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Punctul A situat pe axa Ox la distan ța dx sufer ă o deplasare pe axa Ox,
u+(∂u/∂x)dx. Lungirea elementului pe direc ția Ox este:
dxxuu dxxuu dx∂∂= −∂∂+ = Δ 9.3-2

iar lungirea specifică (alungirea) este:

xu
dxdx
x∂∂=Δ= ε 9.3-3

În mod analog se determin ă alungirea și pe direcția Oy:

yv
y∂∂= ε 9.3-4

În acela și timp, punctul A sufer ă o deplasare ș i pe direc ția axei Oy, egal ă
cu:

dxxvv∂∂+

iar punctul B o deplasare pe direc ția Ox egal ă cu:

dyyuu∂∂+

Datorită acestor deplasă ri, patrulaterul OABC se transform ă în
patrulaterul O 1A1BC B11 (Fig.9.3-1), iar latura OA se înclin ă cu unghiul d ϕ1, care
are expresia:

xv
dxv dxxvv
d d tg1 1∂∂=−∂∂+
= ϕ ≈ ϕ 9.3-5

La fel și latura OB se rote ște cu unghiul d ϕ2:

yu
dyu dyyuu
d d tg2 2∂∂=−∂∂+
= ϕ ≈ ϕ 9.3-6

236

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Dup ă cum se cunoa ște, lunecarea specific ă în planul xOy este dat ă de
suma celor dou ă unghiuri:

xv
yud d2 1 xy∂∂+∂∂= ϕ + ϕ = γ 9.3-7

În mod asem ănător se pot determina lunec ările specifice și în celelalte
plane.
Relaț iile 9.3-2, 9.3-3, 9.3-7, prezint ă legă tura între deforma țiile specifice
și deplasări, în cazul st ării plane de deforma ție.

9.4 STAREA SPA ȚIALĂ DE TENSIUNE

Dacă asupra unui element ac ționează tensiuni în toate planele, se spune c ă
se realizeaz ă o stare spațială de tensiune.

9.4.1 Tensiuni pe secț iuni înclinate

Un element aflat într-o stare spa țială de tensiune a fost reprezentat în
Fig.9.1-1c.
Pentru a studia variaț ia tensiunii pe sec țiuni înclinate cu orice unghi, se
consideră un tetraedru OBCD (Fig.9.4.1 -1a) care are cele trei fe țe situate în
planele axelor de coordonate. Pe fe țele tetraedrului ac ționează tensiunile σx, σy,
σz, τ = τ xy yx, τyz = τ zy, τzx = τ xz. Se caută expresia tensiunii pe un plan înclinat
BCD, a că rei normal ă are cosinusurile directoare l, m, n. (Fig.9.4.1-1b).
237

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Pe planul înclinat BCD ac ționează tensiunea ⎯p, de direc ție necunoscută
și care poate fi descompus ă în trei componente parale le cu axele Ox, Ox, Oz:
⎯p
⎯n(l,m,n)
⎯py⎯px⎯pz⎯p ⎯p
τ σ
O
O
C B
C B D
τzy τyz
τzx τxz τyx
τxy z
σz σx σy
x v+(∂
y y zD
a) b)

Fig.9.4.1-1
x, ⎯py, ⎯pz. Notând cu A aria suprafe ței triunghiulare BCD, triunghiurile
situate în planele axel or au atunci suprafe țele:

ΔOCD → A⋅l ; ΔOBD → A⋅m ; ΔOBC → A⋅n

Punând condi țiile de echilibru, ca ecua ții de proiec ții ale for țelor pe
direcțiile celor trei axe și simplificând cu A, se ob țin relațiile:

p x = l⋅σx + m⋅τyx + n⋅τzx
p y = l⋅τ + m⋅σ + n⋅τ 9.4.1-1 zy y zy
p z = l⋅τ + m⋅τ xz yz + n⋅σz

Cunoscând aceste componente, se poate determina tensiunea p de pe
suprafața înclinată:

2
z2
y2
x p p p p+ + = 9.4.1-2

Tensorul tensiune ⎯p se descompune în două componente: una normal ă σ
pe direcția normalei ⎯n la suprafa ță și una tangenț ială τ conținută în planul
secțiunii (Fig.9.4.1-1b).
Componenta normală σ se determin ă proiectând pe ⎯px, ⎯py, ⎯pz pe
direcția normalei ⎯ n:
238

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

z y x p n p m p l⋅+⋅ +⋅= σ 9.4.1-3

Înlocuind rela țiile 9.4.1-2 în rela ția 9.4.1-3, se obț ine pentru tensiunea normal ă
σ, expresia:

zx yz xy z2
y2
x2l n 2 n m 2 m l 2 n m lτ ⋅ + τ ⋅ + τ ⋅ + σ ⋅ + σ ⋅ + σ ⋅ = σ 9.4.1-4

Dac ă se cunoa ște tensiunea p și tensiunea normal ă σ, tensiunea
tangențială τ se obține ușor, cu rela ția:

2 2pσ − = τ 9.4.1-5

9.4.2 Tensiuni principale

Se consider ă un vector al c ărui modul este invers propor țional cu ră dăcina
pătrată a tensiunii σ și care are direc ția normalei ⎯ n (Fig.9.4.1-1b):

σ=kv 9.4.2-1

de unde:

22
vk± = σ 9.4.2-2

Extremitatea acestui vector, care are aceia și cosinusuri directoare ca și
normala ⎯n, are urm ătoarele coordonate:

x = l ⋅v ; y = m ⋅v ; z = n⋅v

de unde se ob ține:

vzn ;vym ;vxl = = = 9.4.2-3

239

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Odat ă cu schimbarea pozi ției suprafe ței BCD se modific ă și poziț ia
vectorului⎯v. Pentru determinarea lo cului geometric al extremit ății vectorului
⎯v, se elimină l, m, n , înlocuind rela țiile 9.4.2-2 și 9.4.2-3 în rela ția 9.4.1-4,
obținându-se:

zx 2 yz 2 xy 2 z 22
y 22
x 22
22
vx z2vz y2vy x2vz
vy
vx
vkτ ⋅ + τ ⋅ + τ ⋅ + σ ⋅ + σ ⋅ + σ ⋅ = ±

iar după simplific ări, rezultă:

2
zx yz xy2
z2
y2
x k x z 2 z y 2 y x 2 z y x± = τ + τ + τ + σ + σ + σ 9.4.2-4

Ecua ția 9.4.2-4 este o suprafa ță de gradul II (doi). A ceasta este complet
determinat ă de starea de tensiune din punctul O. Dac ă se face o schimbare
convenabilă de axe, raportând suprafa ța la propriile sale axe, dispar termenii
care conțin produse duble, adic ă cei care con țin tensiunea tangen țială τ.
Rezultă că este posibil să se găsească într-un punct al unui corp elastic trei
plane perpendiculare între ele pe care tensiunile tangenț iale τ să fie nule. Pe
aceste direc ții se obțin atunci tensiunile normale principale , iar direc țiile
respective sunt direcții principale.
Tensorul tensiunilor dintr-un punct este complet determinat, dac ă se
cunosc cele trei direc ții principale ș i mărimea celor trei tensiuni normale
principale.
Pentru determinarea l or, se presupune c ă planul BCD este chiar un plan
principal, adic ă normala⎯n este una din direc țiile principale. În aceast ă situație,
tensiunea⎯p este orientat ă chiar pe normala ⎯n și devine tensiunea normal ă σ, iar
tensiunea tangen țială τ este nulă. Rezultă că cele trei componente ale tensiunii
normale σ pe axe, sunt:

p x = l⋅σ ; py = m⋅σ ; p = n⋅σ 9.4.2-5 z

Înlocuind rela ția 9.4.2-5 în rela ția 9.4.1-1, se ob ține:

l ⋅(σx – σ) + m⋅τ + n⋅τ = 0 xy xz

l ⋅τyx+ m⋅(σy – σ) + n⋅τyz = 0 9.4.2-6

l ⋅τzx + m⋅τ + n⋅(σ – σ) = 0 zy z

Între cosinusurile directoare exist ă următoarea rela ție:

240

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
l2 + m2 2 + n = 1 9.4.2-7

Pentru ca sistemul de ecua ții 9.4.2-6 s ă aibă soluții diferite de zero,
trebuie ca determinantul s ău să fie nul:

0
z zy zxyz y yxxz xy x
=
σ − σ τ ττ σ − σ ττ τ σ − σ
9.4.2-8

Dezvoltând determinantul, se ob ține o ecua ție de gradul trei, de forma:

9.4.2-9 0 I I I3 22
13= − σ ⋅ + σ ⋅ + σ

unde I 1, … I 3 sunt invarian ți, care au expresia:

z y x 1 I σ + σ + σ =

9.4.2-10 2
zx2
yz2
xy x z z y y x 2 I τ − τ − τ − σ σ + σ σ + σ σ =

z zy zxyz y yxxz xy x
3I
σ τ ττ σ ττ τ σ
=

Ecua ția 9.4.2-9 are trei soluț ii reale, care sunt to cmai cele trei tensiuni
normale principale: σ1 > σ2 > σ. 3
Pozi ția direcțiilor principale se ob ține prin rezolvarea ecua țiilor din
relațiile 9.4.2-6 ș i 9.4.2-7.
Și la starea spa țială de tensiune se poate demonstra c ă în plane situate la
450 față de direcțiile principale ale tensiunii normale, tensiunile tangen țiale au
valori extreme (sunt principal e). Valoarea tensiunilor tangen țiale principale este
dată de relațiile:

2;2;22 1
31 3
23 2
1σ−σ± = τσ−σ± = τσ −σ± = τ 9.4.2-11

Dac ă se iau ca axe direc țiile principale, rela țiile 9.4.1-1 cap ătă forma:

241

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3 z 2 y 1 x n p ; m p ; l pσ⋅=σ⋅=σ⋅= 9.4.2-12

iar relația 9.4.1-3, devine:

9.4.2-13 32
22
12n m lσ ⋅ + σ ⋅ + σ ⋅ = σ

Pentru tensiunile normale princ ipale, tensorul tensiune T σ este:

9.4.2-14 ⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
σσσ
=σ
321
0 00 00 0
T

Dac ă σ1 = σ2 = σ 3, tensorul tensiune se nume ște tensor sferic și are ca
efect numai varia ția volumului f ără însă a modifica forma. Când σ1 + σ 2 + σ 3 =0
tensorul se nume ște deviator , modificând forma dar nu și volumul corpului. În
caz general, tensorul tensiune modific ă atât forma cât și volumul corpului.

9.4.3 Tensiuni octaedrice

Ducând diagonalele p ătratelor unui cub se pot c onstrui 8 plane octaedrice
(Fig.9.4.3-1).
Pe un astfel de plan iau na ștere tensiunile octaedrice a că ror mărime este
dată de relațiile:
y z
O
Fig.9.4.3-1 x
33 2 1
octσ + σ +σ= σ 9.4.3-1a

242

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
() () ()
2
32
22
12
1 32
3 22
2 1 oct
3231
τ + τ + τ ⋅ == σ − σ + σ − σ + σ − σ ⋅ = τ
9.4.3-1b

9.4.4 Elipsoidul tensiunilor

Se urmărește determinarea locului geometric al extremităț ii vectorului
tensiune p, atunci când înclinarea planului BCD variaz ă. Pentru aceasta, între
expresiile 9.4.2-13 ale coordonatelor extremit ății lui ⎯p și relația 9.4.2-7, se
elimină parametrii l, m, și n. După aceste elimin ări, se obține relația:

1p p p
2
32
z
2
22
y
2
12
x=
σ+
σ+
σ 9.4.4-1
Ecua ția 9.4.4-1 reprezint ă un elipsoid, care se nume ște elipsoidul
tensiunilor sau elipsoidul lui Lamé.
Tensiunile principale din punctul respectiv sunt tocmai semiaxele
elipsoidului.
La o stare plan ă de tensiune, caz în care σ3 = 0, ecua ția 9.4.4-1
particularizat ă pentru acest caz, reprezint ă elipsa tensiunilor. La starea liniar ă de
tensiune când σ2 = σ3 = 0, ecua ția 9.4.4-1, devine ecua ția unei drepte.

9.4.5 Cercul lui Mohr pentru starea spaț ială de tensiune

Dacă se consider ă plane paralele cu direc țiile principale, ca și la starea
plană de tensiune și la starea spaț ială se pot construi cercuri (Fig.9.4.5-1).
243

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Pe un plan paralel cu direc ția lui σ1 (Fig.9.4.5-1a) tensiunile sunt date de
un cerc de diametru σ
σ3σ1 σ1σ1xx xxz z z z
y y y y O O O O σ1σ2 σ2 σ2 σ2
σ3σ3 σ3
a) b) c) d)
σ3 σ3 σ3 τ τ τ τ
O O O O σ σ σ σ
σ2
σ1 σ2
σ1 σ2 σ1
Fig.9.4.5-1 M
2 – σ 3. Analog, rezult ă cercurile lui Mohr și pentru celelalte
situații. Pentru starea cea mai generală , rezultă situația din Fig.9.4.5-1d, când
tensiunile de pe aceast ă suprafață sunt date de coordonatele unui punct M situat
în zona ha șurată.

9.5 STAREA SPA ȚIALĂ DE DEFORMA ȚIE

În cazul st ării spațiale de deforma ție, tensorul deforma țiilor rezultă ușor prin
analogia cu starea plan ă de deformaț ie și are forma:

244

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
⎬⎫
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎨⎧
ε γ γγ ε γγ γ ε
=ε
z zy zxyz y yzxz xy x
21
2121
2121
21
T 9.5-1

După cum se poate u șor constata, în cazul stă rii spațiale de deforma ție,
tensorul deforma țiilor are ș ase componente distincte: ε x, εy, ε, γ = γ z xy yx, γyz = γ zy,
γzx = γ xz. În orice punct al unui corp, exist ă trei direcții principale de deforma ție,
direcții pe care se produc lungirile specifice (alungirile) principale: ε1, ε2, ε3. Pe
direcțiile principale de deforma ție, lunecările specifice sunt nule.
Dacă se consider ă aceste direc ții principale ca axe, atunci tensorul
deformațiilor este de forma:

9.5-2
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
εεε
=ε
321
0 00 00 0
T

La starea spa țială de deforma ție, un punct suferă deplasări pe toate cele
trei axe, deplas ări notate cu u, v, w. Procedând analog ca la starea plan ă de
deformație, în cazul st ării spațiale de deforma ție, între deforma țiile specifice și
deplasări, rezultă următoarele rela ții:

zw;yv;xuz y x∂∂= ε∂∂= ε∂∂= ε 9.5-3a

xw
zu;zv
yw;yu
xv
zx yz xy∂∂+∂∂= γ∂∂+∂∂= γ∂∂+∂∂= γ 9.5-3b

9.6 LEGEA LUI HOOKE GENERALIZAT Ă

Fie un element de volum paralelipipedic pe fe țele căruia acționează
tensiunile normale principale σ, σ1 2, σ3 (Fig.9.6-1).
245

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Pentru starea liniară de tensiune, între tensiune și deforma ția specific ă
există relația (relația lui Hooke):

ε ⋅ =σE 9.6-1

iar deforma ția transversal ă, este:

ε ⋅ ν − =εtr 9.6-2

Elementului de volum i se aplic ă trei stări de solicitare succesive:
a) σ1 ≠ 0, σ 2 = σ 3 = 0. În acest caz, tensiunea normal ă principal ă σ1, produce o
lungire specific ă ε′1 pe direcția sa ș i două contracții ε′2 și ε′3 pe celelalte două
direcții.:

E;E;E1
31
21
1σ⋅ ν − = ε′σ⋅ ν − = ε′σ= ε′ 9.6-3

b) σ2 ≠ 0, σ 1 = σ 3 = 0 În acest caz, rela țiile dintre deforma țiile specifice ș i
tensiunile normale sunt:

σσεν ε ενEE22
12 3 ;; ′′ ′′ ′′ =− ⋅ = =− ⋅σ
E2 9.6-4

c) σ3 ≠ 0, σ1 = σ2 = 0. Relaț iile dintre deformaț iile specifice și tensiuni sunt:
y z
Oσ1 σ2
σ2 x
σ1
σσ3
Fig.9.6-1 3
246

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
σσεν εν εEE33
12 ;; ′′′ ′′′ ′′′ =− ⋅ =− ⋅ =σ
E3
3 9.6-5

Dac ă asupra elementului ac ționează în același timp toate cele trei tensiuni
normale principale, deforma ția totală pe fiecare direc ție se obține prin însumarea
deformațiilor produse de fiecar e tensiune pe direc ția respectivă :

([3 2 1 1 1 1 1E1σ + σ ⋅ ν − σ ⋅ = ε ′ ′ ′+ ε′ ′+ ε′= ε )] 9.6-6a

([1 2 2 2 2 2 2E1σ + σ ⋅ ν − σ ⋅ = ε ′ ′ ′+ ε′ ′+ ε′= ε )] 9.6-6b

([2 1 3 3 3 3 3E1σ + σ − σ ⋅ = ε ′ ′ ′+ ε′ ′+ ε′= ε )] 9.6-6c

Dac ă în locul tensiunilor normale princ ipale se scriu tensiunile normale
orientate după axele de coordonate, rela țiile 9.6-6a,b,c sunt de forma:

([z y x xE1σ + σ ⋅ ν − σ ⋅ = ε)] 9.6-7a

([z x y yE1σ + σ ⋅ ν − σ ⋅ = ε)] 9.6-7b

([y x z zE1σ + σ ⋅ ν − σ ⋅ = ε)] 9.6-7c

Dac ă axele x, y, z nu sunt direc ții principale, exist ă și tensiuni tangen țiale
care produc lunec ările specifice:

G;G;Gzx
zxyz
yzxy
xyτ= γτ= γτ= γ 9.6-8

Relaț iile 9.6-6, 9.6-7 și 9.6-9 reprezint ă legea lui Hooke generalizat ă.
Deformația volumic ă a elementului reprezentat în Fig.9.6-1 se determin ă
pornind de la volumul s ău înainte de deformare:

D V = d x ⋅ dy ⋅ dz
247

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

În urma deform ării, volumul elementului este:

()()()z y x 1 dz 1 dy 1 dx dV dVε+⋅⋅ε+⋅⋅ε + ⋅ = Δ + 9.6-9

După desfacerea parantezelor și neglijând infini ții mici de ordin superior,
expresia volumului devine:

( )z y x 1 dz dy dx dV dV ε+ε+ε+⋅⋅ ⋅=Δ + 9.6-10

iar numai cre șterea volumului este:

() ()z y x dz dy dx dV dV dV dV ε+ε+ε⋅⋅⋅=− Δ+= Δ 9.6-11

Deformația volumic ă specific ă se obț ine prin împ ărțirea creșterii
volumului la volumul ini țial:

()
z y xz y x
dz dy dxdz dy dx
dVdVe ε + ε + ε =⋅ ⋅ε+ε+ε⋅ ⋅ ⋅=Δ= 9.6-12

Dac ă se înlocuiesc deforma țiile specifice (rela țiile 9.6-7) în rela ția 9.6-12,
pentru deforma ția specific ă volumică se obține următoarea expresie:

(z y xE2 1e σ + σ + σ ⋅ν ⋅)−= 9.6-13

Notând cu

3pz y xσ + σ + σ= 9.6-14

numită tensiune medie, expresia deforma ție specifice de volum devine de forma:

pE2 13 e ⋅ν ⋅ −⋅ = 9.6-15

Relaț ia 9.6-15 este cunoscut ă sub denumirea de ecuația lui Poisson. Se
mai poate defini în acest caz un modul de elasticitate cubic ă a cărui expresie
este:
248

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

()νpEKe 312==⋅−⋅ 9.6-16

care conduce la ecua ția lui Poisson de forma:

Kpe= 9.6-17

Ecua ția lui Poisson sub forma 9.6-17, este asem ănătoare cu rela ția lui lui
Hooke:

Eσ= ε 9.6-18

Pentru starea plan ă de tensiune când σz = τ yz = τ zx = 0 rela țiile dintre
deformațiile specifice și tensiuni sunt de forma:

()
()
()
GEE1E1
xy
xyy x zx y yy x x
τ= γσ + σ ⋅ν− = εσ ⋅ ν − σ ⋅ = εσ ⋅ ν − σ ⋅ = ε
9.6-19

Se constat ă că unei stări plane de tensiune îi corespunde o stare spa țială de
deformație (ε ≠ 0). z
Dac ă se dorește exprimarea tensiunilor normale func ție de deforma țiile
specifice, din rela țiile 9.6-19, rezult ă:

()y x 2 x1Eε ⋅ ν + ε ⋅ν −= σ 9.6-20a

()x y 2 y1Eε ⋅ ν + ε ⋅ν −= σ 9.6-20b
249

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

9.7 RELAȚIA DINTRE CONSTANTEL E ELASTICE E, G, ν

Se consider ă un element de volum MNPR (Fig.9.7-1) supus pe fe țele sale
acțiunii tensiunilor principale σx, σy egale și de sens contrar. Dintr-un capitol
anterior, se cunoa ște că pe fețele elementului ABCD, fe țe înclinate cu 450 față de
ale primului element apare o stare de forfecare pur ă:

9.7-1 τσ σx== −y
Sub ac țiunea solicit ărilor, laturile elementului ABCD lunec ă ocupând
poziția A
M N
P R A
B C D A1
B1 C1 D1π/4
1B B1C1D1 iar unghiul ini țial de 45 se va mic șora, devenind egal cu: 0

2 4γ−π

Se reaminte ște că lunecarea specific ă γ este dat ă de măsura cu care se
modifică unghiul de π/2 făcut de laturile elementulu i ABCD, deci unghiul de 450
scade cu γ / 2.
Ținând seama c ă tg(γ/2) ≈ γ / 2, se poate scrie:
− γ/2
σx σx
σy = – σx σy = – σx
Fig.9.7-1 O
250

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2121
2tg4tg 12tg4tg
2 4tg ) A OC ( tg1 1γ+γ−
=γ⋅π+γ−π
=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛γ−π= ≺ 9.7-2

De asemenea, acelaș i unghi se poate exprima și prin raportul :

n()OAtg OC AOC1
11
1= 9,7-3

unde

()
(y 1x 1
1 OA OA1 OC OC
ε + ⋅ =)ε+⋅ =
9.7-4

Conform legii lui Hooke generalizate

() ()[] (ν + ⋅)σ= σ − ⋅ ν − σ ⋅ = σ ⋅ ν − σ ⋅ = ε 1E E1
E1x
x x y x x 9.7-5a

() ( )()xx
y x x y y 1E E1
E1ε − = ν + ⋅σ− = σ ⋅ ν − σ − ⋅ = σ ⋅ ν − σ ⋅ = ε 9.7-5b

Ținând seama c ă OC = OA și înlocuind σ x cu τ , rezultă:

n()()
()()
()τ τν ν
τ τν νOAOA E Etg OC AOCOCE E1
11
111 11
11 11⎡⎤⋅−⋅+ −⋅+ ⎢⎥⎣⎦== =⎡⎤+⋅+ ⋅+⋅+⎢⎥⎣⎦ 9.7-6

Din egalitatea rela țiilor 9.7-2 și 9.7-6, rezult ă:

(ν + ⋅τ=γ1E 2) 9.7-7

Dacă se are în vedere legea lui Hooke ( τ = G ⋅ γ), relația 9.7-7, cap ătă forma:

251

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
()
E1 G
2ν+⋅ γ ⋅=γ
9.7-8

de unde rezult ă relația dintre cele trei consta nte elastice de material:

()ν + ⋅=1 2EG 9.7-9

Pentru o țel, la care E = 2,1 ⋅ 105 MPa și ν = 0,3 modulul de elasticitate
transversal G este:

()MPa 10 07692 , 83 , 0 1 210 1 , 2G45
⋅ =+ ⋅⋅=

În general, în calculele de rezistență , pentru o țel se ia pentru modulul de
elasticitate transversal, valoarea G = 8,1 ⋅104 MPa.

9.8 ENERGIA DE DEFORMA ȚIE

Pentru un element de volum de laturi dx, dy, dz asupra c ăruia acționează
progresiv tensiunile normale σx, σy, σz, forța care acționează pe o direcț ie este
dată de produsul dintre tensiune și aria suprafe ței respective. Astfel pe direc ția x,
forța este σx⋅dy⋅dz. Deplasându-se pe direc ția ei cu cantitatea δ = ε x⋅dx, forța
efectueaz ă un lucru mecanic elementar:

dU dz dy dx21dLx x = ε ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ σ ⋅ = 9.8-1

și conform principiului lui Clapeyron este egal cu energia de deforma ție
înmagazinată în material. Factorul ½ din rela ția 9.8-1 apare deoarece forț a ia
valori între zero și valoarea sa final ă.
Dac ă deformația specific ă εx are o valoare finit ă, energia ce corespunde
elementului de volum dV = dx ⋅dy⋅dz se poate exprima prin aria de sub diagrama
caracteristic ă la tracțiune pe por țiunea liniar ă (Fig.9.8-1)

dV21dUx x⋅ ε ⋅ σ ⋅ = 9.8-2
252

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

iar energia pe unitatea de volum (energia specific ă) este:

x x 121U ε ⋅ σ ⋅ = 9.8-3
Având în vedere și tensiunile de pe celelalte dou ă direcții, prin însumare
se obține:
A
εx O σ
σx B
Fig.9.8-1
ε

()z z y y x x 121U ε ⋅ σ + ε ⋅ σ + ε ⋅ σ ⋅ = 9.8-4

În situa ția în care exist ă și tensiuni tangen țiale, energia specific ă de
deformație se determin ă printr-o arie asem ănătoare cu cea din Fig.9.8-1 având
însă ca axe pe τ și γ, obținându-se rela ția general ă:

()zx zx yz yz xy xy z z y y x x 121U γ τ + γ τ + γ τ + ε σ + ε σ + ε σ ⋅ = 9.8-5

Energia specific ă de deforma ție poate fi exprimat ă și funcție numai de
tensiuni. Pentru aceasta, se exprim ă deformațiile ε și γ prin expresiile date de
relațiile 9.6-7 și 9.6-8, obț inându-se în final:

() ()
()2
zx2zy2
xyx z z y y x2z2
y2
x 1
G 21E E 21U
τ + τ + τ ⋅ ++ σ σ + σ σ + σ σ ⋅ν− σ + σ + σ ⋅ =
9.8-6

Relaț ia 9.8-6 permite calculul en ergiei specifice de deforma ție pentru
cazurile particulare de solicitare.
253

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Pentru starea plan ă de tensiune , se obține:

()2
xy y x2
y2
x 1G 21
E E 21U τ ⋅ + σ σ ⋅ν− σ + σ ⋅ = 9.8-7

Pentru starea de întindere simpl ă:

E 2U2
x
1σ= 9.8-8

Pentru starea de forfecare pur ă:

G 2U2
xy
1τ= 9.8-9

Energia de deforma ție acumulat ă într-un corp, are în general două efecte:
variația volumului și variația formei . Dacă elementul este solicitat pe toate
fețele de tensiuni egale, se ob ține numai o modificare de volum.
Dac ă asupra tuturor fe țelor acționează tensiunea medie p:

(3 2 131p σ + σ + σ ⋅ =)

aceasta produce deforma ția volumic ă e, iar energia de varia ție a volumului este:

()
()()
9 E 22 1 3pE 22 1 3pE2 132p
2e pU
2
3 2 12
v 1
σ + σ + σ⋅ν − ⋅== ⋅ν−⋅= ⋅ν−⋅ ⋅ =⋅=
9.8-10

iar după simplific ări:

(2
3 2 1 v 1E 62 1U σ + σ + σ ⋅ν −= ) 9.8-11

254

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Energia de modificare a formei se obține scăzând din energia total ă,
energia de modificare a volumului:

=− =v 1 1 f 1U U U

() () ()2
3 2 1 1 3 3 2 2 12
32
22
1E 62 1
E E 21σ + σ + σν−− σ σ + σ σ + σ σν− σ + σ + σ = 9.8-12

După unele transform ări, relația 9.8-12 poate fi scris ă și sub forma:

() () ( ) [ ]2
1 32
3 22
2 1 f 1E 61U σ − σ + σ − σ + σ − σν += 9.8-13

Împă rțirea energiei de deforma ție în dou ă componente deriv ă din
împărțirea tensorului tensiunilor, într-un tensor sferic T S de componente egale cu
p care produce modificarea volumului și un tensor deviator T d, care produce
modificarea formei:

T σ = T S + T d

sau sub form ă explicită:

⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
− σ− σ− σ
+
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
=
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
σσσ
p 0 00 p 00 0 p
p 0 00 p 00 0 p
0 00 00 0
321
321
9.8-14

Suma tensorial ă (relația 9.8-14) este prezentat ă în Fig.9.8-2.
255

PAVEL TRIPA – REZISTEN ȚA MATERIALELOR –
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

O x x x
y y yz zz
O O O σ1σ2
σ3p
pp = (σ1 + σ2 + σ3) / 3
σ1 – p σ2 – p
σ3 – p = +
Fig.9.8-2

256

B I B L I O G R A F I E

1. BABEU T: Rezisten ța Materilelor, Lito. I.P. “T. V.” Timi șoara, 1980
2. BELEAEV N. M: Rezisten ța Materialelor Vol. I-II, Ed. Tehnic ă, București. 1956
3. BIA C, ILLE V, SOARE M,V: Rezisten ța Materialelor și Teoria Elasticit ății, Ed.
Didactică și Pedagogic ă, București, 1983
4. BUZDUGAN G: Rezisten ța Materialelor, Ed. Academiei R.S.R., Bucure ști, 1986
5. DEUTSCH I: Rezisten ța Materialelor, Ed. Didactic ă și Pedagogic ă, București, 1979
6. DEUTSCH I, GOIA I, CURTU I, NEAM ȚU T, SPERCHEZ F: Probleme de Rezisten ța
Materialelor, Ed. Didactic ă și Pedagogic ă, București, 1983
7. DUMITRU I, NEGU Ț N: Curs de Rezisten ța Materialelor, Lito I.P. “T.V.” Timi șoara,
1984
8. HAJDU I: Rezistenț a Materialelor, Lito I.P. “T.V.”, Timi șoara, 1983
9. MOCANU D.R: Rezisten ța Materialelor, Ed. Tehnic ă, București, 1980
10. TRIPA P: Etape și modele de rezolvare a problemelor de rezisten ța materialelor, Ed.
MIRTON, Timi șoara, 1999
11. VOINEA R, VOICULESCU D, SIMION F.P: Introducere în mecanica solidului cu
aplicații în inginerie, Ed. Academiei R.S.R., Bucure ști, 1989

257

Copyright Notice

© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.

Acest articol: Tripa Rezistenta Materialelor Curs Vol 1 [628483] (ID: 628483)

Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.

Tripa Rezistenta Materialelor Curs Vol 1 [628483]

Copyright Notice

Programul-de-studii-Logistică-Industrială [302455]

Sisteme de achizi ții de date [611494]

Planificare strategic ă [627173]

Coco250803@yahoo.com 142 Lucrare Codruta Terminata Text

Richard Ionuț FEDER [305318]

Proiectarea tehnologiei de execuție pentru un bloc hidraulic [304203]

Copyright Notice

Similar Posts