SPECIALIZAREA MATEMATIC A – INFORMATIC A [627883]

UNIVERSITATEA BABES -BOLYAI CLUJ-NAPOCA
FACULTATEA DE MATEMATIC A S I INFORMATIC A
SPECIALIZAREA MATEMATIC A – INFORMATIC A
LUCRARE DE LICENT  A
Funct ii olomorfe  si funct ii armonice. Aplicat ii
^ n mecanic a
Conduc ator  stiint ic Absolvent: [anonimizat]. Univ. Dr. Kohr Mirela Stoia(Rusu) Daneea Lidia
2018

Cuprins
1 Funct ii olomorfe 3
1.1 Rezultate generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Propriet at i ale funct iilor olomorfe . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Exemple de funct ii olomorfe pe C. . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Funct ii univalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Reprezent ari conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Funct ii armonice 17
2.1 Propriet at i generale ale funct iilor armonice . . . . . . . . . . . 17
2.2 Principiul extremului  si formula de medie . . . . . . . . . . . . 18
3 Aplicat ii ^ n mecanic a 25
3.1 Problema Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.1 Problema Dirichlet pentru cerc . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Mi scarea plan a potent ial a a unui
uid ideal incompresibil . . . 32
3.3 Potent ialul complex. Vitez a complex a . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 Metoda invers a. Mi scarea stat ionar a . . . . . . . . . . . . . . 36

Introducere
Lucrarea de licent  a intitulat a "Funct ii olomorfe  si funct ii armonice. Aplicat ii
^ n mecanic a" are ca scop prezentarea unor propriet at i importante ale
funct iilor olomorfe, ale funct iilor armonice, precum  si aplicat ii ale acestora
^ n mecanic a.
Lucrarea este structurat a pe trei capitole  si se^ ncheie cu o bibliograe care
cont ine principalele surse bibliograce utilizate ^ n elaborarea acestei lucr ari.
Capitolul ^ nt^ ai,"Functii olomorfe", prezint a propriet at ile generale ale
funct iilor olomorfe, de exemplu Teorema Cauchy-Riemann, Teorema Liouvi-
lle, exemple de funct ii olomorfe precum  si not iunile de baz a privind funct iile
univalente, transform arile  si reprezent arile conforme, necesare abord arii pro-
blemelor din Capitolul trei.
Capitolul doi,"Funct ii armonice" are ca scop prezentarea unor rezultate
generale despre funct iile armonice, printre care, amintim propriet at i necesare
solut ion arii problemelor din capitolul urm ator, formula de medie, principiul
de maxim,  si exemple de funct ii armonice.
Capitolul trei,"Aplicat ii ^ n mecanic a" are ca scop prezentarea unor
aplicat ii directe ale rezultatelor prezentate ^ n capitolele precedente ^ n stu-
diul unor probleme de mecanic a. Ne referim aici la problema Dirichlet pen-
tru operatorul Laplace  si deducem formula lui Poisson de reprezentare a unor
funct ii armonice prin intermediul valorilor sale pe frontiera unui disc. ^In plus,
1

2 CUPRINS
studiem mi scarea plan a potent ial a unui
uid ideal incompresibil  si ar at am
c a o astfel de mi scare este complet determinat a de un potent ial complex,
adic a de o funct ie olomorf a  si domeniul ocupat de
uid. De asemenea, pre-
zent am c^ ateva exemple simple de mi sc ari plane potent iale ale unor
uide
incomprensibile  si potent ialele complexe corespunz atoare.
Principalele surse bibliograce utilizate ^ n elaborarea aceste lucr ari sunt:
[2], [3], [5], [7], [8], [10].
Contribut ia personal a la elaborarea acestei lucr ari const a ^ n detalierea
unor demonstrat ii, includerea unor exemple, argumente  si a unor observat ii
utile, precum  si ^ n modul de structurare al materialului bibliograc indicat.

Capitolul 1
Funct ii olomorfe
^In acest capitol prezent am propriet at ile generale ale funct iilor olomorfe, teo-
rema Cauchy-Riemann, exemple de funct ii olomorfe  si prezint a not iunile de
baz a ale funt iilor univalente, ale transform arilor  si reprezent arilor conforme,
necesare rezolv arii problemelor de la partea practic a. Sursele bibliograce
utilizate ^ n acest capitol sunt: [7], [5], [9].
1.1 Rezultate generale
Pe ^ ntreg parcursul lucr arii, vom considera Cmult imea numerelor complexe,
C=Cnf0g,C1=C[f1g planul complex extins  si YCo mult ime
deschis a.
Reamintim acum c^ ateva not iuni de topologia planului complex.
Aplicat iad:CC!R+;
d(z1;z2) =jz1z2j;8z1;z22C
este o metric a (distant  a) pe mult imea C.
Denit ie 1.1.1. Se nume ste disc (disc deschis) cu centrul ^ n punctul a2C
3

4 CAPITOLUL 1. FUNCT  II OLOMORFE
 si de raz ar>0mult imea
U(a;r) =fz2C:jzaj<rg:
Se nume ste disc ^ nchis cu centrul ^ n punctul a2C si de raz ar>0mult imea
U(a;r) =fz2C:jzaj6rg:
Se nume ste cerc cu centrul ^ n punctul a2C si de raz ar>0mult imea
@U(a;r) =fz2C:jzaj=rg:
Denit ie 1.1.2. FieYCo mult ime deschis a. Funct ia complex a f:Y!
Ceste derivabil a ^ n punctul z02Ydac a exist a  si este nit a limita:
lim
z!z0f(z)f(z0)
zz0:
Valoarea limitei se noteaz a cu f0(z0) si se nume ste derivata funct iei f^ n
punctulz0.
Dac a funct ia feste derivabil a ^ n orice punct din Y;atunci aceasta se
nume ste funct ie olomorf a.
Not am cuH(Y)mult imea funct iilor olomorfe pe Y.
Not iunea de olomore se poate extinde  si ^ n cazul mult imilor care nu sunt
deschise.
Denit ie 1.1.3. FieECmult ime  si f:E!C. Funct iafse nume ste
olomorf a pe Edac a exist a o mult ime deschis a YCastfel ^ nc^ at EY si
exist aF2H(Y);cu proprietatea c a F(z) =f(z);oricare ar  z2E:
Teorem a 1.1.4. (Cauchy-Riemann)Fie YCo mult ime deschis a. Pentru
ca funct ia complex a f:Y!C; f(z) =u(x;y) +iv(x;y)s a e derivabil a ^ n

1.1. REZULTATE GENERALE 5
punctulz02Y; z 0=x0+iy0este necesar  si sucient ca funct iile u sivs a
e diferent iabile ^ n (x0;y0) si s a satisfac a sistemul Cauchy-Riemann ^ n z0:
8
>><
>>:@u
@x(x0;y0) =@v
@y(x0;y0)
@u
@y(x0;y0) =@v
@x(x0;y0)(1.1)
undeu= Ref siv= Imf:
Demonstrat ie. Mai ^ nt^ ai admitem c a feste derivabil a ^ n z0 si ar at am c a are
loc (1.1). Pentru z2Y; z=x+iy; z6=z0putem scrie:
f(z)f(z0)
zz0=[u(x;y)u(x0;y0)] +i[u(x;y)v(x0;y0)]
(xx0) +i(yy0)(1.2)
f0(z0) = lim
z!z0f(z)f(z0)
zz0
= lim
(x;y)!(x0;y0)[u(x;y)iv(x;y)][u(x0;y0) +iv(x0;y0)]
(xx0) +i(yy0)
= lim
(x;y)!(x0;y0)[u(x;y)u(x0;y0)]
xx0+i(yy0)+iv(x;y)v(x0;y0)
(xx0) +i(yy0)(1.3)
Presupunem c a z!z0pe un drum paralel cu Ox:x!x0 siy=y0:
Deoarecey=y0 six!x0. Din (1.3) deducem c a exist a derivata urm atoare
f0(z0) = lim
x!x0[u(x;y)u(x0;y0)]
xx0+iv(x;y)v(x0;y0)
(xx0)
. Deci exist a derivatele part iale@u
@x(x0;y0);@v
@x(x0;y0)  si are loc formula
f0(z0) =@u
@x(x0;y0) +i@v
@x(x0;y0) (1.4)
Presupunem c a z!z0pe un drum paralel cu Oy:x=x0 siy!y0:
Deoarecey!y0 six=x0;deducem din (1.3) c a exist a
f0(z0) = lim
y!y01
i
u(x;y)u(x0;y0)]
yy0+i
v(x;y)v(x0;y0)
i(yy0)
.

6 CAPITOLUL 1. FUNCT  II OLOMORFE
Deci exist a derivatele part iale@u
@y(x0;y0);@v
@y(x0;y0)  si are loc egalitatea
f0(z0) =1
i@u
@y(x0;y0) +@v
@y(x0;y0) =@v
@y(x0;y0)i@u
@y(x0;y0) (1.5)
Identic^ and p art ile imaginare  si p art ile reale din (1.4)  si (1.5), avem
8
>><
>>:@u
@x(x0;y0) =@v
@y(x0;y0)
@u
@y(x0;y0) =@v
@x(x0;y0):
Invers, admitem c a u sivsunt diferent iabile ^ n punctul ( x0;y0)  si are loc
relat ia (1.1). Ar at am c a feste derivabil a ^ n z0:Pentru aceasta este sucient
s a demonstr am c a feste diferent iabil a ^ n punctul z0;adic a ar at am c a exist a
g:Ynfz0g!Castfel ca lim
z!z0g(z) = 0  si exist a 2Ccu proprietatea c a
f(z) =f(z0) +(zz0) +q(z)(zz0);8z2Ynfz0g:
Dar f este Rdiferent iabil a ^ n z0, deci funct iile u  si v cu u=u(x;y) :Y
R2!R siv=v(x;y) :YR2!Rsunt diferent iabile ^ n ( x0;y0) atunci
exist aA:Yn(x0;y0)!C siB:Yn(x0;y0)!Castfel ^ nc^ at
lim
(x;y)!(x0;y0)A(x;y) = 0; lim
(x;y)!(x0;y0)B(x;y) = 0
 siu(x;y) =u(x0;y0) +a1(xx0) +b1(yy0) +A(x;y)k(x;y)(x0;y0)k;
v(x;y) =v(x0;y0) +a2(xx0) +b2(yy0) +B(x;y)k(x;y)(x0;y0)k
8(x;y)2Ynf(x0;y0)g;undea1=@u
@x(x0;y0); b 1=@u
@y(x0;y0)
a2=@v
@x(x0;y0); b 2=@v
@y(x0;y0):
Din (1.1) deducem
a1=b2; b1=a2 (1.6)
Prin urmare
f(z) =u(x;y)+iv(x;y) =f(z0)+(a1+ia2)(xx0)+(b1+ib2)(yy0)++(A(x;y) +iB(x;y))jzz0j

1.2. PROPRIET AT  I ALE FUNCT  IILOR OLOMORFE 7
=f(z0)+@u
@x(x0;y0) +i@v
@x(x0;y0)
(xx0)+
@v
@x(x0;y0) +i@u
@x(x0;y0)
(yy0)
+A(z) +iB(z)
zz0
jzz0j=f(z0)+@f
@x(z0)(zz0)+g(z)(zz0);8z2Ynfz0g;
Darg(z) =A(z) +iB(z)
zz0jzz0j; z2Ynfz0g:
Atunci
jg(z)j=jA(z) +iB(z)j
jzz0jjzz0jjA(z)j+jB(z)j
=jA(x;y)j+jB(x;y)j!0;
prin urmare g(z)!0  siz!0:
Decif(z) =f(z0) +@f
@x(z0)(zz0) +g(z)(zz0);8z2Ynfz0g:Fie
=@f
@x(z0)2C;unde@f
@x(z0) =@u
@x(x0;y0) +i@v
@x(x0;y0):S i cum lim
z!z0g(z) =
0 rezult a c a festeCdiferent iabil a ^ n z0adic afeste derivabil a ^ n z0 si
f0(z0) =@f
@x(z0):
Observat ie 1.1.5. ^In demonstrat ia anterioar a am folosit faptul c a o funct ie
f:Y!Ceste derivabil a ^ n z02Ydac a  si numai dac a este C-diferent iabil a
^ n punctulz0, adic a exist a 2C sig2Ynfz0g!Castfel ^ nc^ at lim
z!z0g(z) =
0;iarf(z) =f(z0) +(zz0) +g(z)(zz0);8z2Ynfz0g:
A se vedea [5] si [4].
Consecint  a 1.1.6. Dac au= Ref;v= Imf2C1(Y) si derivatele lor
part iale satisfac relat iile Cauchy-Riemann(1.1) pe Y, atunci f este olomorf a
peY, undeYCeste mult ime deschis a.
1.2 Propriet at i ale funct iilor olomorfe
Teorem a 1.2.1. FieDCdomeniu  si f2H(D). Armat iile urm atoare
sunt echivalente:

8 CAPITOLUL 1. FUNCT  II OLOMORFE
(i)fconstant a
(ii)f00
(iii) Refconstant a
(iv)Imfconstant a
(v)jfjconstant a.
Demonstrat ie. Este clar c a (i) implic a oricare din celelalte armat ii.
Ar at am acum c a (ii) implic a (i). Avem f0(z) = 0;8z2D:Darf0(z) =
@f
@x(z) =i@f
@y(z);z2Dpentru c af2H(D):Atunci@f
@x(z) = 0  si@f
@y(z) =
0;8z2D:
Fief(z) =u(z) +iv(z) =u(x;y) +iv(x;y);8z=x+iy2Datunci avem
@u
@x(x;y) +i@v
@x(x;y)0  si@u
@y(x;y) +i@v
@y(x;y)0:
A sadar
@u
@x(x;y) =@v
@y(x;y)0 (1.7)
 si
@v
@x(x;y) =@u
@y(x;y)0: (1.8)
Daru sivsunt diferent iabile pe DR2;deschis a  si conex a  si au loc (1.7)
 si (1.8)8(x;y)2Dprin urmare, u(x;y)constant a, v(x;y)constant a,
atuncifconstant a  si deci are loc (i).
Ar at am acum c a (iii) implic a (i). Cum u(x;y)constant a rezult a
c a@u
@x=@u
@y0:Darf2 H (D). Din (1.1.4) avem@u
@x@v
@y0  si
@u
@y@v
@x0:De aici,@v
@x=@v
@y0:
S i cumvconstant a, dar  si uconstant a, deducem c a  si fconstant a.

1.2. PROPRIET AT  I ALE FUNCT  IILOR OLOMORFE 9
Analog (iv) implic a (i).
Demonstr am c a (v) implic a (i). Fie : jfjconstant a  si f=u+iv:
Atunci, cum u2+v2constant, iar u2+v2c, exist ac>0 astfel ^ nc^ at:
Caz I: Dac ac= 0 :u=v= 0 atunci f0.
Caz II: Dac ac>0 :u2+v2catunci avem
8
><
>:2u(x;y)@u
@x(x;y) + 2v(x;y)@v
@x(x;y) = 0
2u(x;y)@u
@y(x;y) + 2v(x;y)@v
@y(x;y) = 08(x;y)2D:
Din (1.1) avem8
><
>:u(x;y)@u
@x(x;y) +v(x;y)@v
@x(x;y)0
v(x;y)@u
@x(x;y)u(x;y)@v
@x(x;y)0:
S i
=u(x;y)v(x;y)
v(x;y)u(x;y)=(u2(x;y) +v2(x;y)) =c>0;8(x;y)2D;
atunci sistemul are solut ie unic a 0.
Adic a@u
@x=@v
@x0  si prin urmare f0(z) =@f
@x(z) =@u
@x(x;y) +i@v
@x(x;y)
0:
Deci cumf00 atuncifconstant a.
Propozit ie 1.2.2. FieD siYdou a mult imi deschise din C sig:D!
Y;h :Y!Cdou a funct ii olomorfe a sa ^ nc^ at g(D)Y:Atunci funct ia
hg:D!Ceste olomorf a.
Propozit ie 1.2.3. (Liouville) Dac a g:C!Ceste olomorf a  si m arginit a,
atuncigeste constant a.
Propozit ie 1.2.4. Dac aYCeste un domeniu  si g2H(Y)e injectiv a,
atuncig12H(
);unde
=g(Y):
Propozit ie 1.2.5. (Teorema de invariant  a a domeniului) Dac a YCeste
domeniu  si g2H(Y), cug6constant a, atunci g(Y)este domeniu.

10 CAPITOLUL 1. FUNCT  II OLOMORFE
1.3 Exemple de funct ii olomorfe pe C
Funct ia exponent ial a de variabil a complex a
Funct iah:C!C,h(z) =ez, unde
ez=ex(cosy+isiny); z=x+iy2C;
se nume ste funct ia exponent ial a complex a de variabil a complex a.
Aceast a funt ie este olomorf a pe^ ntreg planul complex C(funct ie^ ntreag a)
 si satisface urm atoarele relat ii:
(i)h(z1+z2) =h(z1)
h(z2);z1;z22C:
(ii)h(z+ 2ki) =h(z);z2C;k2Z:
(iii)h(z) =1
h(z);z2C:
(i) Ar at am c a funct ia exponent ial a complex a este olomorf a pe C:^Intr-
adev ar deoarece, dac a not am cu u= Reh;iarv= Imhatunciu(x;y) =
excosy siv(x;y) =exsiny;pentru orice ( x;y)2R2:Avem c a:
@u
@x(x;y) =excosy=@v
@y(x;y);@u
@y(x;y) =exsiny=@v
@x(x;y):
Deci relat iile Cauchy-Riemann sunt satisf acute ^ n orice punct z=x+
iy2C;iar din faptul c a funct iile u sivsunt de clas a C1peR2;rezult a
c a funct iah:C!C; h(z) =ez;este olomorf a pe C
(ii)h(z+ 2ki) =ez+2ki;z2C:Fiez=x+iy2C. Atunci au loc
egalit at ile
ez+2ki=ex+iy+2ki
=ex+i(y+2k)=ex(cos(y+ 2k) +isin(y+ 2k))
=ex(cosy+isiny) =ez:

1.3. EXEMPLE DE FUNCT  II OLOMORFE PE C 11
(iii)^In plus, au loc relat iile:
h(z) =ez=exiy
=ex(cos(y) +isin(y))
=ex(cosyisiny) =1
ex(cosy+isiny)=1
ez;8z=x+iy2C:
Funct ia multivoc a logaritm
Fiew2Catunci ecuat ia ez=ware o innitate de solut ii ^ n C:Dac azare
formaz=x+iyatunciex(cosy+isiny) =w
,8
><
>:ex=jwj
y= argw(mod 2),8
><
>:x= lnjwj
yk= argw+ 2k;k2Z:
Deci solut iile ecuat iei ez=wsuntzk= lnjwj+i(argw+ 2k);k2Z:
Denit ie 1.3.1. Log : C!P (C);Logw= ln(w) +iArgw=flnjwj+
i(argw+ 2k) :k2Zg:
Log se nume ste funct ia multivoc a logaritm.
Denit ie 1.3.2. FieDCdomeniu  si f:D!C:Funct iafeste o
ramur a uniform a a lui Log peDdac af2H(D) sif(z)2Logz;8z2D(,
ef(z)=z;8z2D):
Propozit ie 1.3.3. FieDCdomeniu. Atunci au loc urm atoarele
armat ii:
(i) Dac a exist a f:D!Cramur a uniform a a funct iei Log peD, atunci
f0(z) =1
z;8z2D:
(ii) Dac az02D si dac a exist a g:D!Co alt a ramur a uniform a a lui Log
peDastfel ^ nc^ at f(z0) =g(z0);atuncigf:

12 CAPITOLUL 1. FUNCT  II OLOMORFE
Demonstrat ie. (i)Deoarece feste o ramur a uniform a a lui Log pe Drezult a
c af2H(D)  sief(z)=z;8z2Datuncief(z)
f0(z) = 1;8z2DCdeci
f0(z) =1
z;8z2D:
(ii) Fiez02Dxat. Presupunem c a exist a o alt a ramur a a lui Log pe D;
notat a cug;atuncig2H(D)  sieg(z)=z;8z2Dadic aeg(z)=ef(z)=
z;8z2Datuncie(g(z)f(z))= 1;8z2Ddecie(g(z)f(z))
(g0(z)f0(z)) =
0;8z2D:Se obt ine c a g0(z)f0(z) = 0;8z2D:
Darg;f2H(D)  si D este domeniu. Atunci exist a c2Castfel ^ nc^ at
g(z)f(z) =c;8z2D:Darg(z0) =f(z0) decic= 0;atuncigf:
Propozit ie 1.3.4. FieD=Cn(1; 0]:Atunci, funct ia multivoc a logaritm
are o singur a ramur a uniform a fpeDastfel ^ nc^ at f(1) = 0:
Demonstrat ie. FieB=fz2C:jImzj< g; sig:C!C; g(z) =ez:
Ar at am c a funct ia geste o biject ie de la BlaD.
Mai ^ nt^ ai ar at am c a geste injectiv a: Fie z1;z22Dastfel ^ nc^ at ez1=ez2
deciez1z2= 1 =e0atunci exist a k2Zastfel ^ nc^ at z1z2= 2k;(e2k=
1;8k2Z):
Fiezj=xj+iyj;j=1;2)x1+iy1(x2+iy2) = 2k
)x1x2+i(y1y2) = 2k)8
><
>:x1=x2
y1y2= 2k:
Darz1+z22B)y1;y22(;))y1y2= 2k;k2Z)k2(1;1):
^In acela si timp, k2Z:Atuncik= 0)y1=y2;darx1=x2)z1=z2:
^In continuare ar at am c a g(B) =D sig(B)D:
^Intr-adev ar, dac a z2B siw=ez=ex(cosy+isiny);z=x+iy;w =u+iy;
atunci avem c a:

1.3. EXEMPLE DE FUNCT  II OLOMORFE PE C 13
8
>>>>><
>>>>>:u=excosy
v=exsiny
y2(;))argw=y2(;))w2D)g(B)D:
Ar at am ^ n continuare c a Dg(B):Fiew2Datunci exist a z2B
astfel ^ nc^ at ez=w:Dar din ecuat ia ez=wrezult a c a exist a k2Zastfel
^ nc^ atz= lnjwj+i(argw+ 2k):
C aut amz2B,argw+ 2k2(;):Cum argw2(;);deoarece
w2Davemk= 0)z= lnjwj+iargw2B)Dg(B):
^In concluzie am ar atat c a D=g(B);iar din faptul c a geste injectiv a pe B;
rezult a c afunct ia exponent ial a complex a geste o biject ie ^ ntre banda B si
domeniulD. Fief:D!B;f(w) = lnjwj+iargw;w2D;atuncif=g1
peD sig2H(B):
Atunci, cum f2H(D)  sief(w)=ez=w;8w2D(z=g1(w) =f(w))
rezult a c afe ramur a uniform a a lui Log pe D sif(1) = ln 1 + iarg 1:
Din Propozit ia 1.3.3 (ii) rezult a c a feste unica ramur a uniform a a lui Log
pe domeniul Dcu proprietatea c a f(1) = 0:
Denit ie 1.3.5. FieYCo mult ime deschis a. O funct ie f:Y!Cse
nume ste transformare conform a dac a p astreaz a m arimea  si sensul unghiurilor
(adic a,8
1;
2drumuri netede din Y, cu proprietatea c a
1(0) =
2(0), atunci
](1;2) =](
1;
2);unde1=f
1;2=f
2).
](
1;
2)este unghiul determinat de drumurile netede
1 si
2^ n punctul
a0=
1(0) =
2(0);iar](1;2)este unghiul determinat de drumurile netede
1 si2^ n punctul b0=1(0) =2(0);
Avem urm atorul rezultat.
Propozit ie 1.3.6. FieYCo mult ime deschis a. Dac a f2 H(Y) si

14 CAPITOLUL 1. FUNCT  II OLOMORFE
f0(z)6= 0;8z2Y;atunci f este transformare conform a.
1.4 Funct ii univalente
^In aceast a sect iune prezent am not iunea de funct ie univalent a. Sursele bibli-
ograce principale sunt: [5]  si [7].
Denit ie 1.4.1. FieCmult imea numerelor complexe  si Yun domeniu din
C;iarf:Y!C:Spunem c a funct ia f este univalent a pe Y(sau simplu
univalent a) dac a aceasta este olomorf a  si injectiv a pe Y. Vom nota cu Hu(Y)
mult imea funct iilor univalente pe Y.
Propozit ie 1.4.2. Dac aYCeste un domeniu  si f:Y!Ceste funct ie
univalent a, atunci f0(z)6= 0;8z2Y:
Observat ie 1.4.3. (i) Din Propozit ia 1.4.2 se deduce faptul c a orice funct ie
univalent a este transformare conform a, deoarece derivata nu se anuleaz a.
Dar nu orice transformare conform a este univalent a.
De exemplu, funct ia f:C!C;f(z) =z2este transformare conform a
(f0(z) = 2z6= 0;8z2C), ^ ns a f nu este funct ie univalent a pe C;pentru c a
f nu este injectiv a pe C;(f(i) =f(i) =1):
(ii) Dac af:Y!Ceste o funct ie univalent a, atunci f 6constant a, iar din
Teorema de invariant  a a domeniului rezult a c a f(Y)este domeniu.
O alt a proprietate important a a funct iilor univalente este dat a ^ n rezul-
tatul urm ator.
Propozit ie 1.4.4. Dac aYCeste un domeniu  si f:Y!Ceste o
funct ie univalent a, iar
=f(Y);atuncif1este de asemenea univalent a
pe domeniul
:

1.5. REPREZENT ARI CONFORME 15
Exemplu 1.4.5. FieD=Cn(1; 0] =fz2C: argz2(;)g:Funct ia
log :D!C;logz= lnjzj+iargz;z2Deste univalent a pe D si log(D) =Y;
undeY=f2C:jImj<g:
Demonstrat ie. Fieg:Y!C;g() =e;2Y:Atuncigeste o funct ie
univalent a pe Y, ^ n conformitate cu ceea ce am demonstrat ^ n Propozit ia
1.3.4. ^In plus,g(Y) =D;decig1log :D!Yeste univalent a pe baza
Propozit iei 1.4.4.
1.5 Reprezent ari conforme
^In continuare ne referim la not iunea de reprezentare conform a  si prezent am
nele rezultate referitoare la aceast a not iune. Sursele bibliograce principale
sunt: [5]  si [7].
Denit ie 1.5.1. Un domeniu DCse nume ste simplu conex dac a orice
contur cont inut ^ n Deste omotop cu zero ^ n D.
Denit ie 1.5.2. FieY1 siY2;dou a domenii din C:Funct iaf:Y1!Y2;cu
proprietatea c a f este univalent a pe Y1 sif(Y1) =Y2;se nume ste reprezentare
conform a a domeniului Y1peY2.
DomeniileY1 siY2;se numesc conform echivalente dac a exist a o repre-
zentare conform a a lui Y1peY2.
Observat ie 1.5.3. (i) Deoarece orice funct ie univalent a este transformare
conform a, rezult a c a dac a feste o reprezentare conform a a domeniului Y1pe
Y2;atunci f este  si transformare conform a (deci p streaz a m arimea  si sensul
unghiurilor), de asemenea f0(z)6= 0;8z2Y1.
(ii) Exist a domenii din Ccare nu sunt conform echivalente. De exemplu,

16 CAPITOLUL 1. FUNCT  II OLOMORFE
discul unitate U si planul complex Cnu sunt conform echivalente, pentru
c a dac a ar exista o reprezentare conform a f:U!C;atuncif1este o
reprezentare conform a a lui CpeU. Fieg=f1:Atuncigeste funct ie
injectiv a pe C:Darjg(z)j<1;8z2C;pentru c ag(C) =U;iar din Teorema
lui Liouville rezult a c a g este funct ie constant a. Aceast a concluzie contrazice
faptul c ageste injectiv a pe C:
Rezultatul principal al acestei sect iuni este Teorema lui Riemann.
Teorem a 1.5.4. (Riemann) Fie Yun domeniu simplu conex din Castfel
^ nc^ atY6=C:AtunciY si discul unitate Usunt conform echivalente.
Observat ie 1.5.5. Teorema Riemann implic a faptul c a dac a A;BCsunt
domenii simplu conexe, astfel ^ nc^ at A6=C siB6=C;atunciA siBsunt
conform echivalente.
Exemplu 1.5.6. Exemple de reprezent ari conforme:
(i) Dac af:C!C;f(z) =z+;z2C, unde;2C;6= 0, atunci f
este reprezentare conform a a lui CpeC.
(ii) FieD=Cn(1;0] =fz2C: argz2(;)g siB=fw2C:Imw2
(;)g. Atunci funct ia log : D!Bdenit a de relat ia log z= lnjzj+iargz;
este o reprezentare conform a a lui DpeB.
(iii) Fief:U!C; f(z) =1+z
1z,z2U:Atuncifeste univalent a pe Usi
f(U) =E;undeE=fw2C:Rew> 0g.
^Intr-adev ar, feste o funct ie omograc a cu polul z= 12@U. Deci
ftransform a cercul unitate ^ ntr-o dreapt a, iar din faptul c a f(1) = 0  si
f(i) =i, rezult a c a ftransform a cercul unitate ^ n axa imaginar a. Cum
f(0) = 12E, rezult a atunci c a ftransform a discul unitate ^ n semiplanul
dreptE.

Capitolul 2
Funct ii armonice
Capitolul doi are ca scop prezentarea unor rezultate generale despre funct iile
armonice, printre care c^ ateva propriet at i utile solut ion arii problemelor din
capitolul urm ator, formula de medie, principiul de maxim  si exemple de
funct ii armonice. Sursele bibliograce utilizate ^ n acest capitol sunt: [7], [5],
[11], [2], [4], [9].
2.1 Propriet at i generale ale funct iilor armo-
nice
Denit ie 2.1.1. Consider am Yo mult ime deschis a din C:Spunem c a
funct iau:Y!Reste armonic a dac a ueste de clas a C2 si
u0cu

u=@2u
@x2+@2u
@y2: (2.1)
Ment ion am c a
ueste Laplacianul funct iei u, iar
u= 0 este ecuat ia lui
Laplace.
Propozit ie 2.1.2. Dac af:Y!Ceste o funct ie olomorf a pe mult imea
deschis aYC, atunci Ref siImfsunt funct ii armonice pe Y.
17

18 CAPITOLUL 2. FUNCT  II ARMONICE
Demonstrat ie. Not am:u= Ref siv= Imf:
Dinf2H(Y) rezult a c a u;v2C2(Y)  si@f
@z= 0 peY, unde
@
@z:=1
2@
@x+i@
@y
;@
@z:=1
2@
@xi@
@y
A sadar@2u
@z@z=1
2@2
@z@z(f+f) =1
2@
@z@f
@z
+@
@z@f
@z
0.
^In relat iile precedente am folosit Teorema ui Cauchy-Riemann  si faptul
c afind olomorf a pe Y, atuncif0(z) =@f
@z(z)  si@f
@z(z) = 0,8z2Y.
Analog, se demonstreaz a c a@2v
@z@z0:
T  in^ and cont de expresiile lui@
@z si@
@zrezult a imediat c a

u= 4@2u
@z@z)
u=
v0:
Deci funct iile u sivsunt armonice pe Y.
Exemplu 2.1.3. (i) Funct ia g:C!R;g(a) =excosy;a=x+iy2Ceste
armonic a pe Cdeoarece este partea real a a funct iei ^ ntregi f(a) =ea;a2C:
(ii) Funct ia h:C!R;h(a) =x2y2;a=x+iy2Ceste armonic a de-
oarece din h(a) =x2y2 si cumh2C2(R2) avem@h
@x= 2x;@2h
@x2= 2  si
@h
@y=2y;@2h
@y2=2:Atunci
h0:
(iii) Fief:Cn(1; 0]!C;f(a) = loga;unde log este ramura principal a a
lui Log, adic a log a= lnjaj+iarga, pentrua2Cn(1;0]. Atuncifeste
olomorf a pe Cn(1; 0]:
Decig:Cn(1; 0]!R;g(a) = lnjajeste armonic a deoarece g(a) =
Ref(a); a2Cn(1; 0]:
2.2 Principiul extremului  si formula de medie
^Incepem aceast a sect iune cu formula de medie pentru funct ii armonice.

2.2. PRINCIPIUL EXTREMULUI S I FORMULA DE MEDIE 19
Teorem a 2.2.1. FieYo mult ime deschis a ^ n C si discul ^ nchis U(a;r)Y.
Dac af:Y!Reste o funct ie armonic a pe Y, atunci are loc egalitatea
f(a) =1
22Z
0f
a+reit

dt: (2.2)
Demonstrat ie. Consider am >r astfel c aU(a;)Y. Deoarece funct ia f
este armonic a pe Y;deci  si peU(a;) rezult a din Teorema 2.2.6 c a exist a o
funct ieh2H(U(a;)) cu proprietatea c a f= RehpeU(a;):Din formula
lui Cauchy pentru funct ii olomorfe avem c a
h(a) =1
2iZ
@U(a;r)h()
ad=1
2Z2
0h(a+reit)dt:
A sadar
f(a) = Reh(a) =1
2Z2
0Reh(a+reit)dt;
adic a am obt inut (2.2).
Tot un rezultat important ^ n teoria funct iilor armonice este urm atorul
principiu de maxim pentru funct ii armonice.
Teorem a 2.2.2. FieYun domeniu  si u:Y!Ro funct ie armonic a. Dac a
funct iauare un punct de maxim (respectiv de minim) z0peY, atunciu
constant a.
Demonstrat ie. Cazul 1 Presupunem c a z0este punct de maxim pentru
funct iau.
FieB=fz2D:u(z) =u(z0)g:Ar at am c a B=D. Pentru aceasta, e
sucient s a ar at am c a B6=;; Be deschis a  si ^ nchis a ^ n D, iar din faptul c a
Deste domeniu, rezult a c a B=D.
Cumz02B;rezult a c aB6=;.
Deoareceueste o funct ie continu a pe D, avem c aBeste mut ime ^ nchis a.
Ar at am c a Beste deschis a ^ n D.

20 CAPITOLUL 2. FUNCT  II ARMONICE
Fiea2B. CumDeste mult ime deschis a, exist a R > 0 astfel ca
U(a;R)D. Demonstr am c a U(a;R)B. Prin absurd, presupunem
c a exist ay2U(a;R) astfel ca y =2B. Deciu(y)6=u(z0):Darz0-
ind punct de maxim pentru funct ia u, rezult a c a u(y)< u(z0). Din fap-
tul c aueste continu a, deducem c a exist a un disc U(y;)Dastfel ca
u(z)< u(z0);8z2U(y;).^In continuare folosind formula de medie pentru
funct ii armonice, se ajunge la o contradict ie (a se vedea [7]).
Cazul 2
Presupunem c a z0este punct de minim pentru funct ia u, adic au(z0) =
minfu(z) :z2Dg. Fiev=u. Atunciveste tot funct ie armonic a pentru c a
ueste armonic a  si v(z0) = maxfv(z) :z2Dg. Din Cazul 1 al demonstrat iei
rezult a c avconstant a, deci uconstant a.
Din Teorema 2.2.2 rezult a urm atorul corolar important referitor la funct ii
armonice.
Corolar 2.2.3. Dac aYeste un domeniu m arginit din C siu:Y!Reste
o funct ie armonic a pe Y si continu a pe Y, atunci au loc egalit at ile:
(i)maxfu(z) :z2Yg= maxfu(z)2@Yg
(ii)minfu(z) :z2Yg= minfu(z) :z2@Yg.
Demonstrat ie. S tim c a funct ia u^  si atinge maximul (respectiv minimul) pe
compactulY. Dac aunu e constant a, atunci aplic am Teorema 2.2.2  si dedu-
cem c a maximul (respectiv minimul) este atins pe frontiera lui Y.
Corolar 2.2.4. Dac aYeste un domeniu m arginit din C siu:Y!Reste
o funct ie armonic a pe Y si continu a pe Y, iar dac a exist a 2Rastfel ca
u(z) =,8z2@Y, atunciu(z) =,8z2Y.
Demonstrat ie. Folosind ipoteza  si relat iile (i),(ii) din Corolarul 2.2.3, rezult a

2.2. PRINCIPIUL EXTREMULUI S I FORMULA DE MEDIE 21
c a maxfu(z) :z2Yg= si minfu(z) :z2Yg=. Deciu(z) =,
8z2Y.
Denit ie 2.2.5. FieYCo mult ime deschis a  si f:Y!Ro funct ie
armonic a. Funct ia armonic a g:Y!Rse nume ste conjugat armonic a
funct ieifdac af+igeste o funct ie olomorf a pe Y.
Teorem a 2.2.6. FieYun domeniu simplu conex din C si o funct ie armonic a
f:Y!R. Atunci exist a gun conjugat armonic al funct iei fpeY.
Demonstrat ie. C aut am o funct ie g:Y!Rarmonic a astfel ^ nc^ at f+ig2
H(Y). Atuncif sigtrebuie s a verice sistemul Cauchy-Riemann
@g
@x=@f
@y;@g
@y=@f
@x(2.3)
Not am cudiferent iala funct iei g,
=@g
@xdx+@g
@ydy:
Atunci, din (2.3) rezult a
=@f
@ydx+@f
@xdy:
Not am cuE=@f
@y si cuF=@f
@x:Deoarecefeste armonic a, rezult a c a
feste de clas a C2peY, deciE siFsunt funct ii de clas a C1peY. Ar at am
c a are loc egalitatea:
@F
@x=@E
@y:
^Intr-adev ar, avem c a
@F
@x=@2f
@x2=@2f
@y2=@E
@y;
unde am folosit faptul c a feste armonic a pe Y.

22 CAPITOLUL 2. FUNCT  II ARMONICE
Se deduce c a este o diferent ial a total a exact a pe Ydin faptul c a Yeste
un domeniu simplu conex. Consider am acum z siz0, dou a puncte arbitrare
dinY:Atunci integralaR

nu depinde de nici un drum recticabil
cu
extremit at ile z siz0. Fieg(z) =R

z, cu
zun drum arbitrar ales din Y^ n
a sa fel ^ nc^ at
z(0) =z0 si
z(1) =z:Obt inem
g(z) =Z

z@f
@ydx+@f
@xdy; z2Y:
De aici rezult a funct ia g:Y!R;denit a mai sus, este de clas a C2peY si
satisface (2.3). Mai mult,

g=@2g
@x2+@2g
@y2=@
@x
@f
@y
+@
@y@f
@x
=
@2f
@x@y@2f
@x@y0;
rezult a deci c a funct ia geste armonic a pe Y:A sadargeste conjugat armonic
al funct ieifpeY.
Urm atorul rezultat este reciproca Teoremei 2.2.6.
Teorem a 2.2.7. FieYCun domeniu. Dac a orice funct ie armonic a
pe mult imea Yare un conjugat armonic, atunci Yeste un domeniu simplu
conex.
Demonstrat ie. Consider am o funct ie c:Y!Colomorf a neconstant a astfel
c ac(z)6= 0;z2Y:
Ar at am acum c a funct ia f:Y!R; f(z) = lnjc(z)jeste armonic a pe Y:
Avem c af(z) =1
2lnjc(z)j2=1
2ln(c(z)
c(z)); z2Y:
Deoarecec(z)6= 0; z2Y;iarc2H(Y), rezult a c a feste o funct ie de
clas aC2peY:Prin calcule se obt ine c a
@2f
@z@z(z) = 0;8z2Y;

2.2. PRINCIPIUL EXTREMULUI S I FORMULA DE MEDIE 23
unde se t ine cont de faptul c a c2H(Y);deci@c
@z(z) = 08z2Y:
Se  stie c a
f= 4@2f
@z@z(a se vedea [7]). Din relat iile precedente rezult a c a

f0;decifeste funct ie armonic a pe Y:
Deoarece funct ia f(z) = lnjc(z)jeste armonic a pe Y, din ipotez a rezult a
c afadmite un conjugat armonic g. Dac ah=f+igatuncih2H(Y). Dac a
^ n plus,k=ehatunci  sik2H(Y)  si
jk(z)j=eReh(z)=ef(z)=jc(z)j; z2Y:
DeoareceYeste un domeniu, se deduce c a exist a 2Ccujj= 1 astfel
^ nc^ atck;adic ac(z) =eh(z); z2Y(a se vedea [5]). Consider am
=ei
:Astfelc(z) =eu(z); z2Y;undeu(z) =h(z) +i
2H(Y):Astfel,
^ n baza unei caracteriz ari a domeniilor simplu conexe (a se vedea Teorema
5.3.7 din [7]), rezult a c a Yeste un domeniu simplu conex.
Denit ie 2.2.8. FieYo mult ime deschis a. O funct ie continu a f:Y!R
satisface formula de medie dac a pentru orice disc ^ nchis U(a;r)Yare loc
egalitatea
f(a) =1
22Z
0f
a+reit

dt:
Teorem a 2.2.9. FieYCo mut ime deschis a ^ n C:Dac af:Y!Reste
o funct ie continu a  si satisface formula de medie pe Y, atunci funct ia feste
armonic a.
Teorem a 2.2.10. Dac a funct ia u:C!Reste armonic a pe C si exist a
M2Rastfel ^ nc^ at u(z)M;z2C;atunciueste constant a.
Demonstrat ie. Deoarece Ceste un domeniu simplu conex  si ueste o funct ie
armonic a pe C;deducem c a exist a funct ia g2H(C) cu Reg(z) =u(z);8z2
C:Fief=eg:C!C.
Atuncif2H(C)  sijf(z)j=jeg(z)j=eReg(z)=eu(z)eM;8z2C:

24 CAPITOLUL 2. FUNCT  II ARMONICE
Decijf(z)jeM;8z2C)feste m arginit a pe C. Cumf2H(C);
rezult a din T. Liouville (Teorema 1.2.3) c a fconstant a)f0(z) = 0;8z2
C. Darf0(z) =eg(z)g(z); z2C. Dinf0(z) = 0,z2C, rezult a c a g0(z) =
0;8z2C, atuncigconstant a. Deci uconstant a.
Observat ie 2.2.11. Fieu:C!Ro funct ie armonic a. Dac a exist a un
num ar real astfel c au(z),8z2C, atunciueste constant a.
Demonstrat ie. Din ipotez a rezult a c a v(z),8z2C, undev=u.
Deoareceveste armonic a pe C, rezult a din Terema 2.2.10 c a vconstant a,
adic auconstant a.
Propozit ie 2.2.12. Dac aYCdeschis a  si u:Y!Reste o funct ie
armonic a, atunci u2C1(Y)
Demonstrat ie. Fiea2Y sir > 0 cu proprietatea c a U(a;r)Y:Vrem
s a ar at am c a uare derivate part iale de clas a C1^ na:CumU(a;r) este
un domeniu simplu conex  si ueste armonic a pe Y, exist ag2H (U(a;r))
cu proprietatea c a Re g=upeU(a;r). Darg2H (U(a;r));rezult a c a
g2C1(U(a;r))  si deciueste de clas a C1peU(a;r):
^In particular, funct ia ueste de clas a C1^ na.

Capitolul 3
Aplicat ii ^ n mecanic a
Capitolul are ca scop prezentarea unor aplicat ii directe ale rezultatelor pre-
zentate ^ n capitolele precedente ^ n studiul unor probleme importante, cum
ar  problema Dirichlet pentru operatorul Laplace. ^In plus, studiem pro-
bema mi sc arii plane potent iale a unui
uid ideal incompresibil, problem a
cu mutiple aplicat ii practice ^ n mecanic a. De asemenea, prezent am c^ ateva
exemple simple de mi sc ari plane potent iale ale unor
uide incomprensibile
 si potent ialele complexe corespunz atoare. Sursele bibliograce utilizate ^ n
elaborarea acestui capitol sunt: [3], [8], [1], [6], [12].
S-a putut observa p^ an a acum o str^ ans a leg atur a ^ ntre funct iile olomorfe
 si funct iile armonice. Iar ^ n acest capitol, vom continua s a explor am mai
departe aceast a legatur a, rezolv^ and astfel c^ ateva probleme de mecanic a, ale
c aror solut ii sunt reprezentate de funct ii armonice.
3.1 Problema Dirichlet
O problem a important a de matematic a, cu aplicat ii ^ n mecanic a, este pro-
blema Dirichlet. ^In continuare, vom preciza o aplicat ie de interes practic.
25

26 CAPITOLUL 3. APLICAT  II ^IN MECANIC A
Temperatura T(r;)^ n interiorul unui cilindru este o funct ie armonic a,
deci satisface ecuat ia lui Laplace. ^In plus, admit ^ and cunoscute valorile tempe-
raturii pe frontiera cilindrului, obt inem o problem a Dirichlet interioar a pen-
tru funct ia temperatur a.
Problemele Dirichlet precum cea de mai sus, unde frontierele au o form a
geometric a simpl a, se pot rezolva cel mai adesea prin metoda separ arii vari-
abilelor. O alt a metod a ce poate  folosit a at^ at pentru frontierele cu forme
geometrice mai simple dar  si pentru cele mai complexe, este metoda trans-
form arii conforme .^In plus, ment ion am  si metodele numerice, de real interes
^ n rezolvarea unor probleme la limit a, de exemplu a problemelor Dirichlet,
atunci c^ and solut ia exact a a acestora nu poate  determinat a explicit. Sursele
bibliograce folosite ^ n aceast a sect iune sunt: [10], [2], [6].
3.1.1 Problema Dirichlet pentru cerc
^In continuare studiem problema Dirichlet interioar a pentru operatorul lui
Laplace ^ n cazul unui disc.
Pentru a rezolva aceast a problem aa Dirichlet, utiliz am formula lui Cauchy
pentru integrala complex a. Consider am deci, un cerc de raz a R;cu centru
situat ^ n originea planului complex Z, notat C. Fie f(Z) o funct ie olomorf a pe
^ nchiderea discului considerat. Fie variabila w care precizeaz a pozit ia unui
punct arbitrar din interiorul cercului. Aplic^ and formula integral a Cauchy pe
conturul circular  si folosind ca variabil a de integrare Z;avem:
f(w) =1
2iZ
Cf(Z)
ZwdZ (3.1)
Consider am fde formaf(w) =u(x;y) +iv(x;y). Vom utiliza formula inte-
gral a a lui Cauchy(3.1) pentru a determina explicit cele dou a funct ii armonice

3.1. PROBLEMA DIRICHLET 27
u  si v. De asemenea, consider am punctul w1=R2
w si utiliz am faptul c a
jw1j=R2
jwj=R
jwjR: (3.2)
Deoarecejwj<R; din expresia (3.2) obt inem c a jw1j>R ceea ce ^ nseamn a
c a pnctulw1se a
 a ^ n exteriorul cercului considerat. ^In plus se observ a c a
argw1= argw:Funct iaf(Z)
Zw1este olomorf a^ n planul Z si^ n interiorul cer-
cului considerat. Prin urmare, aplic^ and teorema de caracterizare a integralei
Cauchy, obt inem
0 =1
2iZ
Cf(Z)
Zw1dZ=1
2iZ
Cf(Z)
ZR2
wdZ (3.3)
Sc az^ and din ecuat ia (3.1) ecuat ia (3.3) se obt ine:
f(w) =1
2iZ
Cf(Z)2
641
Zw1
ZR2
w3
75dZ
=1
2iZ
Cf(Z)2
664wR2
w
(Zw)
ZR2
w3
775dZ (3.4)
Deoarece integr am pe un cerc, introducem ^ n continuare coordonatele polare
asociate cercului. Fie Z=Rei siw=rei:Prin urmare, w=rei.^In plus,
avemdZ=Reii;unde2[0;2]:Rescriind astfel ecuat ia (3.4), obt inem
f(r;) =1
2iZ2
0f(R;)2
664reiR2
rei
(Reirei)
ReiR2
rei3
775Reiid
=1
2iZ2
0f(R;)2
664
reiR2
rei
Rei
(Reirei)
ReiR2
rei3
775d

28 CAPITOLUL 3. APLICAT  II ^IN MECANIC A
Dac a ^ nmult im cei doi termeni de la numitor, apoi ^ nmult im  si numitorul
 si num ar atorul cur
R
ei(+) si utiliz am formula ( ei= cos+isin)
obt inem c a
f(r;) =1
2Z2
0f(R;)(R2r2)
R2+r22Rrcos()d: (3.5)
Reprezen am acum funct ia olomorf a f(w) prin intermediul p art ii reale u;res-
pectiv a p art ii imaginare v. A sadar,f(R;) =U(R;) +iV(R;);f(r;) =
u(r;) +iv(r;)  si ecuat ia (3.5) devine
u(r;) +iv(r;) =1
2Z2
0(u(R;) +iv(R;))(R2r2)
R2+r22Rrcos()d: (3.6)
Consider^ and partea real a at^ at ^ n membrul st^ ang c^ at  si ^ n membrul drept din
(3.6) se obt ine formula integral a a lui Poisson pentru interiorul cercului
u(r;) =1
2Z2
0u(R;)(R2r2)
R2+r22Rrcos()d: (3.7)
A se vedea, de exemplu, Corolarul 2.9 din [2]. O expresie similar a se obt ine
pentru partea imaginar a V(r;) a funct iei olomorfe f(Z)^ n funct ie de valorile
pe cercV(R;):
Formula integral a a lui Poisson (3.7) ne d a valoarea funct iei armonice
u(r;) ^ ntr-un punct arbitrar din interiorul cercului de raz a R;cu condit ia
ca valorile lui upe cercul de raz a R;U(R;) s a e cunoscute.
Prin urmare, pentru R= 1 obt inem urm atorul rezultat:
Teorem a 3.1.1. Solut ia ecuat iei Laplace ^ n discul unitate U;care satisface
condit ia pe frontier a u(1;) =h(), deci solut ia problemei Dirichlet
8
><
>:
u= 0 ^ nU
u(1;) =h()82[0;2]
este dat a de formula
u(r;) =1
2Z2
0h()1r2
1 +r22rcos()d (3.8)

3.1. PROBLEMA DIRICHLET 29
Consider am acum problema Dirichlet:
8
><
>:
u= 0 ^ n
u=h pe@
(3.9)
^ ntr-un domeniu simplu conex
C;diferit de C:
Fie=g(z) =a(x;y) +ib(x;y) o transformare conform a de la
la
discul unitate U;a c arei existent  a este asigurat a de Teorema lui Riemann
1.5.4. Utiliz^ and schimbarea de variabil a
u(x;y) =v((x;y);(x;y));
funct ia armonic a u(x;y) pe
se va transforma ^ ntr-o funct ie armonic a v(;)
peU:^In plus, valorile limit a ale funct iei v=Hpe@Ucorespund valorilor
u=hpe@Uprin aceea si schimbare de variabil a:
h(x;y) =H(a(x;y);b(x;y));8(x;y)2@
:
^In concluzie, deducem c a funct ia v(;) satisface urm atoarea problem a Diri-
chlet pe discul unitate U:
8
><
>:
v= 0 ^ nU
v=H pe@U:(3.10)
Utiliz^ and formula lui Poisson (3.8)se determin a imediat solut ia ecuat iei
(3.10). ^In concluzie, solut ia problemei Dirichlet este dat a de formula
u(x;y) =U(a(x;y);b(x;y)):
A sadar, solut ia problemei Dirichlet pe discul unitate poate  folosit a ^ n
rezolvarea unor probleme Dirichlet pe domenii plane mult mai complicate,
dac a se cunoa ste transformarea conform a corespunz atoare.
^ n solut ionarea problemei precedente am utilizat urm atorul rezultat (a se
vedea [10]):

30 CAPITOLUL 3. APLICAT  II ^IN MECANIC A
Propozit ie 3.1.2. Dac aU(;)este o funct ie armonic a ^ n raport cu varia-
bilele si si=+i=(x;y) +i(x;y) =g(z)este o funct ie olomorf a
arbitrar a, atunci compunerea u(x;y) =U((x;y);(x;y))este o funct ie ar-
monic a ^ n raport cu variabilele x siy:
Demonstrat ie.
@u
@x=@U
@@
@x+@U
@@
@x;
@u
@y=@U
@@
@y+@U
@@
@y;
@2u
@x2=@2U
@2@
@x2
+ 2@2U
@@@
@x@
@x+@2U
@2@
@x2
+@U
@@2
@x2+@U
@@2
@x2;
@2u
@y2=@2U
@2@
@y2
+ 2@2U
@@@
@y@
@y+@2U
@2@
@y2
+@U
@@2
@y2+@U
@@2
@y2
Folosind sistemul Cauchy-Riemann
8
><
>:@
@x=@
@y;
@
@y=@
@x;
pentru funct ia analitic a =+i;obt inem

u=@2u
@x2+@2u
@y2="@
@x2
+@
@x2#@2U
@2+@2U
@2
=jg0(z)j2
U; (3.11)
A sadar, dac a funct ia U(;) este armonic a  si satisface ecuat ia lui Laplace

U= 0 ^ n variabilele  si;atunci  siu(x;y) satisface ecuat ia lui Laplace

u= 0 ^ n variabilele x siy si este de asemenea armonic a.
Exemplu 3.1.3. Fie funct ia complex a
+i==z1
z+ 1=x2+y21
(x+ 1)2+y2+i2y
(x+ 1)2+y2: (3.12)

3.1. PROBLEMA DIRICHLET 31
Aceast a funct ie transform a conform semiplanul D=fz=x+iy2C:y>0g
pe discul unitate U=f2C:jj<1g:Conform Propozit iei 3.1.2 deducem
c a dac aA(;) este o funct ie armonic a pe U;atunci
u(x;y) =Ax2+y21
(x+ 1)2+y2;2y
(x+ 1)2+y2
(3.13)
este o funct ie armonic a pe semiplanul drept x>0:
Pentru a rezolva problema Dirichlet
8
><
>:
u= 0; x> 0
u(0;y) =h(y)
pe semiplanul drept, efectu am schimbarea de variabil a (3.12)  si utiliz am for-
mula integral a a lui Poisson pentru a construi solut ia problemei Dirichlet
transformate, deci pe discul unitate U:
8
><
>:
A= 0; 2+2<1
A(cos;sin) =H():(3.14)
Utiliz^ and forma explicit a
x+iy=z=1 +
1=(1 +)(1)
j1j2
=1 +jj2
j1j2=122+ 2i
(1)2+2
pentru transformarea invers a deducem c a punctului =+i=eide pe
frontiera discului unitate @U^ i va corespunde punctul
iy=2
(1)2+2=2isin
(cos1)2+ sin2=ictg
2(3.15)
de pe axa imaginar a fRez= 0g:Prin urmare, data pe frontier a h(y)2@D
orespunde datei H() =h(ctg1
2) de pe cercul unitate @U:
Formula Poisson (3.8) poate  deci utilizat a pentru a rezolva problema
Dirichlet (3.14), ceea ce permite mai departe reconstruct ia solut iei (3.13)
pentru problema Dirichlet pe semiplanul drept.

32 CAPITOLUL 3. APLICAT  II ^IN MECANIC A
3.2 Mi scarea plan a potent ial a a unui
uid
ideal incompresibil
Denit ie 3.2.1. Mi scarea unui
uid ^ n care c^ ampul de viteze al
uidului
este paralel cu un plan x, de exemplu xOy  si nu depinde de distant a zla
acest plan, se nume ste mi scare plan a.
^In acest caz, viteza
uidului vva avea urm atoarea structur a.
v(t;x) = (u;v;0)(t;x;y ) (3.16)
Condit ia necesar a  si sucient a pentru ca un
uid s a aib a o mi scare plan a
este ca m arimile ce caracterizeaz a mi scarea, s a r am^ an a neschimbate ^ n orice
plan paralel cu planul x.
Un corp cilindric (sau de sect iune constant a) innit (un cilindru sucient
de lung astfel ^ nc^ at printr-o sect iune normal a cu un plan paralel cu planul
x ^ n care studiem mi scarea, condit iile impuse la capetele cilindrului s a nu
in
uent eze mi scarea din acea sect iune), av^ and generatoarele perpendiculare
pe planul x, produce ^ ntr-un curent uniform situat ^ n planul x, o mi scare
plan a.
Admitem de aici ^ nainte c a domeniul Docupat de
uid la momentul t
este simplu conex.
Denit ie 3.2.2. O mi scare a unui
uid este potent ial a sau irotat ional a dac a
rotv=r v= 0: (3.17)
Condit ia precedent a revine la existent a unei funct ii '(
;t) :D!Rastfel
^ nc^ at
u=@'
@x;v=@'
@y;w=@'
@z^ n D:

3.2. MIS CAREA PLAN A POTENT  IAL A A UNUI FLUID IDEAL INCOMPRESIBIL 33
^In cazul ^ n care w= 0;adic a viteza este paralel a cu planul xOy, funct ia '
este independent a de z  si reciproc. Prin urmare, ^ n cazul mi sc arii potent iale
plane a unui
uid ^ ntr-un domeniu simplu conex D, viteza este de forma
u=@'
@x(t;x;y );v=@'
@y(t;x;y );w= 0 ^ n D. (3.18)
Denit ie 3.2.3. Numim linii echipotent iale curbele de ecuat ie '(t;x;y ) =
c; c2Rcutxat.
Printr-un punct oarecare P0(x0;y0) din planul ^ n care studiem mi scarea,
trece o singur a linie echipotent ial a. Aceasta va avea ecuat ia '(t;x;y ) =
'(t;x0;y0):
^In plus, observ am c a ^ n orice punct din domeniul ocupat de
uid, vectorul
vitez a din acel punct este normal la linia echipotent ial a ce trece prin punctul
respectiv.
Denit ie 3.2.4. Numim
uid incompresibil un
uid care are proprietatea c a
volumul oric arei p art i de
uid r am^ ane constant ^ n timp.
Condit ia de incompresibilitate revine la ecuat ia de continuitate (a se ve-
dea [3])
divv= 0;^ nD
^In cazul mi sc arii plane, ecuat ia de continuitate are deci forma
@u
@x+@v
@y= 0: (3.19)
Din (3.18)  si (3.19) deducem c a funct ia ';numit a potent ial real al mi sc arii,
satisface ecuat ia lui Laplace
@2'
@x2+@2'
@y2= 0; (3.20)
^ n tot domeniul Docupat de
uid. ^In concluzie, ^ n acest domeniu (presupus
simplu conex), potent ialul real 'este o funct ie armonic a de dou a variabile,

34 CAPITOLUL 3. APLICAT  II ^IN MECANIC A
c areia, prin relat iile lui Cauchy-Riemann (1.1) ^ i putem asocia ^ n orice mo-
mentt;funct ia armonic conjugat a ( t;x;y ):A sadar, obt inem
u=@'
@x=@
@y; v =@'
@y=@
@x(3.21)
Ment ion am c a ecuat iile unei linii de curent la momentul txat, sunt
dx
u=dy
v
sau, t in^ and cont de expresiile (3.21) obt inem
dx
@
@y=dy
@
@x(3.22)
de unde rezult a c a d = 0;adic a
(t;x;y ) =C; (3.23)
undeC2R:Prin urmare, ecuat ia = Cne d a familia liniilor de curent la
momentul t. Din acest motiv, poart a numele de funct ie de curent. Linia
de curent care trece printr-un punct ales P0(x0;y0) va avea ecuat ia
(t;x;y ) = (t;x0;y0):
Are loc urm atorul rezultat (a se vedea [3]).
Propozit ie 3.2.5. ^In orice punct ^ n care viteza nu este nul a, linia de curent
este perpendicular a pe linia echipotent ial a.
Demonstrat ie. Proprietatea rezul a din faptul c a vectorul vitez a ^ n punctul
respectiv este normal la linia echipotent ial a  si tangent la linia de curent. Din
formulele Cauchy-Riemann (3.21) rezult a relat ia
grad'
grad = 0 ;

3.3. POTENT  IALUL COMPLEX. VITEZ A COMPLEX A 35
care ne justic a deci proprietatea enunt at a.
Exprim^ and cu ajutorul funct iei 'circulat ia de-a lungul unei curbe AB
din domeniul Dobt inem
:=Z
ABv
dx=Z
ABgrad'
dx=Z
ABd'='(B)'(A);(3.24)
adic a
='(B)'(A): (3.25)
3.3 Potent ialul complex. Vitez a complex a
Denit ie 3.3.1. Funct ia complex a
f(t;z) ='(t;x;y ) +i (t;x;y ) (3.26)
se nume ste potent ial complex al mi sc arii plane potent iale a
uidului ideal
incompresibil considerat.
^In orice moment t;funct iile' si sunt uniforme ^ n domeniul Docupat de

uid  si satisfac condit iile Cauchy-Riemann (3.21), iar derivatele lor part iale
^ n raport cu x siysunt continue. A sadar, feste o funct ie olomorf a ^ n raport
cu variabila z=x+iy:
Denit ie 3.3.2. Derivata funct iei f(
;t)se nume ste vitez a complex a  si are
deci expresia
w:=@f
@z(t;z) =@'
@x+i@
@x=uiv; (3.27)
undeu sivsunt compunentele vitezei reale va
uidului.
Deoarece derivata oric arei funct ii olomorfe este o funct ie olomorf a, dedu-
cem c a funct ia weste olomorf a.

36 CAPITOLUL 3. APLICAT  II ^IN MECANIC A
3.4 Metoda invers a. Mi scarea stat ionar a
Am ar atat c a o mi scare plan a potent ial a a unui
uid ideal incompresibil este
descris a de un potent ial complex, deci de o funct ie olomorf a ^ n domeniul D
ocupat de
uid. Consider^ and condit iile la limit a  si condit iile la innit cu-
noscute  si utiliz^ and rezultatul de unicitate pentru solut ia problemei Dirichlet
asociat a ecuat iei lui Laplace ^ n domeniul D;deducem c a potent ialul complex
este unic determinat, deci c a mi scarea considerat a este unic determinat a de
potent ialul complex corespunz ator (a se vedea sect iunea 5.1.4 ^ n [3]).
Reciproc, pornind de la o funct ie olomorf a, determin am care este unica
mi scare
uid a plan a potent ial a a c arui potent ial complex este aceast a funct ie
olomorf a. ^In continuare, consider am c^ ateva exemple simple de mi sc ari plane
potent iale  si preciz am potent ialele complexe corespunz atoare.
Exemplu 3.4.1. Consider am pentru ^ nceput funct ia olomorf a
f(z) =bz; (3.28)
cub>0  siz=x+iy:Avem
f(z) =b(x+iy) ='(x;y) +i (x;y):
De aici obt inem
'(x;y) =bx; (x;y) =by:
Curbele = c2Rreprezint a liniile de curent ale mi sc arii
uide descrise de
potent ialul complex (3.28). Aceste sunt de fapt, dreptele de ecuat ie
y=c
b;
care sunt paralele cu axa Ox:
Similar, liniile echipotent iale sunt curbele descrise de ecuat ia
'(x;y) =C2R;adic ax=c
b:

3.4. METODA INVERS A. MIS CAREA STAT  IONAR A 37
Figura 3.1: Liniile de curent pentru mi scarea de translat ie descris a de
potent ialul complex (3.28)
Acestea sunt drepte paralele cu axa Ox:
Viteza complex a are forma
w=f0(z) =b (3.29)
Deoarecew=uiv;din (3.29) deducem c a
u=b siv= 0;
deci c a viteza real a veste tangent a liniilor de curent. A se vedea Figura 3.1.
Prin urmare, funct ia complex a f(z) =bzreprezint a potet ialul complex
almi sc arii de translat ie a unui
uid ideal incompresibil, mi scare ce are loc
^ n tot planul, cu viteza constan a b;paralel a cu axa Ox:
Exemplu 3.4.2. S a consider am acum funct ia complex a f(z) de forma
f(z) =beiz; (3.30)
undez=x+iy sib;> 0:Scriemf^ n forma
f(z) =b(cosisin)(x+iy)

38 CAPITOLUL 3. APLICAT  II ^IN MECANIC A
Figura 3.2: Liniile de curent pentru mi scarea de translat ie descris a de
potent ialul complex (3.30).
='(x;y) + (x;y);
de unde deducem c a
'(x;y) =bxcos+bysin;
(x;y) =bycosbxsin
Curbele de ecuat ie (liniile de curent)
(x;y) =c,ycosxsin=c
b(3.31)
reprezint a drepte ce fac unghiul cu axaOx:
Curbele de ecuat ie (liniile echipotent iale)
'(x;y) =C,xcos+ysin=c
b
sunt drepte perpendiculare pe liniile de curent.
^In plus, viteza complex a ware ^ n acest caz expresia:
w=f0(z) =bei=b(cosisin) (3.32)

3.4. METODA INVERS A. MIS CAREA STAT  IONAR A 39
Deoarecew=uiv;din (3.32) deducem c a
u=bcos; v =bsin (3.33)
Prin urmare, viteza este tangent a liniilor de curent descrise de ecuat iile (3.31),
 si are modulul egal cu b:
De aici, deducem c a funct ia complex a f(z) =beizeste potent ialul com-
plex al mi sc arii de translat ie ^ n ^ ntregul plan al unui
uid ideal incompresibil
cu viteza constant a bce face unghiul cu axaOx:A se vedea Figura 3.2.
Exemplu 3.4.3. Potent ialul sursei  si potent ialul v^ artejului
Vom considera acum o funct ie complex a f(z) de forma
f(z) =k
2log(zz0) (3.34)
cuko constant a real a pozitiv a sau negativ a. Din denit ia logaritmului avem
ln(zz0) = logjzz0j+iarg(zz0);
de unde rezult a c a feste o funct ie multiform a, argumentul cresc^ and cu 2 
la ecare rotat ie in jurul punctului z0. Determinarea sau ramura principal a
este funct ie olomorf a  si poate deci reprezenta o mi scare
uid a ^ n tot planul,
cu except ia punctului z0 si a punctului de innit, unde f are singularit at i
esent iale (logaritmice). Substituind
zz0=rei(3.35)
^ n (3.34)  si scriind funct ia f^ n fomaf=+i obt inem
=k
2lnr; =k
2: (3.36)
Determina rea principal a corespunde cazului 0 <2:Obt inem astfel c a
u=k
2rcos(); v =k
2rsin();jvj=jkj
2r: (3.37)

40 CAPITOLUL 3. APLICAT  II ^IN MECANIC A
Figura 3.3: Liniile de curent, liniile echipotent iale  si viteza pentru mi scarea
descris a de potent ialul complex (3.34).
A sadar, liniile de curent sunt raze ce pornesc din z0c atre innit, liniile
echipotent iale sunt cercuri concentrice cu centrul ^ n z0;iar viteza, c^ and k>0
este orientat a dinspre z0c atre innit  si invers c^ and k<0:Determin^ and mo-
dulul vitezei se observ a c a aceasta cre ste la apropierea de z0 si descre ste z
tinde c atre innit. ^In concluzie, funct ia denit a de formula (3.34), repre-
zint a potent ialul complex al unei surse pozitive c^ and k=>0, respectiv al
unei surse negativ a c^ and k<0; kind intensitatea sursei.
Funct ia
f(z) =
2iln(zz0) (3.38)
difer a de (3.34) numai prin factorul i:Astfel, liniile de curent ale mi sc arii
caracterizate de acest potent ial vor  cecuri cu centrul ^ n z0;iar liniile
echipotent iale, raze vectoare ce pornesc din z0spre innit. Prin derivare,

3.4. METODA INVERS A. MIS CAREA STAT  IONAR A 41
obt inem componentele vitezei complexe  si modulul acesteia ^ n forma:
u=
2rcos(); v =
2rsin();jvj=jj
2r:
Viteza este tangent a la cercuri. Dac a >0 cercul de raz a reste parcurs
^ n sens trigonometric direct  si ^ n sens invers dac a <0:Modulul vitezei
este constant pe oricare cerc  si cre ste c^ and raza descre ste. Utiliz^ and formula
(3.24), deducem c a circulat ia de-a lungul cercului de raz a reste egal a tocmai
cu constanta .
^In concluzie, (3.38) reprezint a potent ialul complex al unui v^ artej plasat ^ n
z0;de intensitate .
Exemplu 3.4.4. Mi scarea ^ n prezent a obstacolului circular
Consider am acum urm atoarea funct ie complex a
f(z) =V0
(zz0)ei+R2
zz0ei
; (3.39)
undeV0; siRsunt constante reale  si pozitive. Consider am partea imaginar a
a funct iei f, notat a cu
=V0
1R2
r2
rsin(): (3.40)
Se observ a imediat c a cercul de raz a r=R si semidreptele B0A0(=)  si
BA(=+) formeaz a linia de curent ce corespunde, ^ n exteriorul cercu-
lui, valorii = 0 :Celelalte linii de curent sunt cubice, una ind exterioar a
cercului, av^ and la innit comportarea
=V0(ycosxsin)
 si alta ind exterioar a. Liniile de curent interioare pot  obt inute din cele
exterioare printr-o inversiune fat  a de cercul de raz a R, urmat a de o simetrie
fat  a de axa ABB0A0;. A se vedea [3].

42 CAPITOLUL 3. APLICAT  II ^IN MECANIC A
^In plus, avem w=f0(z)  si deci
lim
z!1w=V0ei:
Prin urmare, interpret am funct ia complex a fdat a de formula (3.39) ca
potent ialul mi sc arii care vine de la innit cu viteza V0;face unghiul cu
axaOx^ n prezent a obstacolului circular de raz a R si cu centrul ^ n z0:

Bibliograe
[1] Carabineanu A., Bena D., Metoda transform arilor conforme pentru
domenii vecine cu aplicat ii ^ n mecanica
uidelor, Editura Academiei
Rom^ ane, Bucure sti, 1993.
[2] Conway J.B., Functions of one Complex Variable, SpringerVerlag, New
York, 1995.
[3] Drago s L., Mecanica Fluidelor, Editura Academiei Rom^ ane, Bucure sti,
1999.
[4] Ga spar D., Suciu N., Analiz a Complex a, Editura Academiei Rom^ ane,
Bucure sti,1991
[5] Hamburg P., Mocanu P.T., Negoescu N., Analiz a matematic a (Funct ii
complexe), Editura Didactic a  si Pedagogic a, Bucure sti, 1982.
[6] Homentcovschi D., Funct ii complexe cu aplicat ii ^ n  stiint  a  si tehnic a,
Editura Tehnic a, Bucure sti, 1986.
[7] Kohr G., Mocanu P.T., Capitole speciale de analiz a complex a, Presa
Universitar a Clujean a, Cluj-Napoca, 2005
[8] Kohr M., Probleme Moderne ^ n Mecanica Fluidelor, Presa Universitar a
Clujean a, Cluj-Napoca, 2000.
43

44 BIBLIOGRAFIE
[9] Mocanu Gh., Stoian Gh., Vi sinescu E., Teoria funct iilor de o variabil a
complex a: Culegere de probleme, Editura Didactic a  si Pedagogic a, Bu-
cure sti, 1970.
[10] P. J. Olver, Complex Analysis and Conformal Mappings, Lecture Notes,
University of Minnesota, 2017
[11] Rosenblum M., Rovnyak J., Topics in Hardy Classes and Univalent
Functions, Springer Basel, Basel, 1994.
[12] Wunsch D.A., Complex Variables with Applications (2nd Edition), Ad-
dison Wesley, Boston, 1993.