1.1 Scurt a istorie a spat ,iilor cu exponent variabil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [627253]

Cuprins
1 Introducere 3
1.1 Scurt a istorie a spat ,iilor cu exponent
variabil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Motivat ,ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Rezultate preliminare s ,i notat ,ii folosite . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Rezultate preliminare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Notat ,ii folosite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Spat ,ii cu exponent variabil 8
2.1 Introducerea capitolului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Not ,iuni introductive pentru spat ,iile cu exponent variabil . . . 8
2.3 Introducere ^ n spat ,iile Musielak – Orlicz . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Completitudine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Separabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6 Uniform convexitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Spat ,ii Lebesgue cu exponent variabil 40
3.1 Introducere s ,i primele not ,iuni necesare . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Denirea spat ,iului Lebesgue cu exponent variabil . . . . . . . 43
3.3 Propriet at ,ile spat ,iilorLp(
)(A;) . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Spat ,ii Sobolev cu exponent variabil 50
4.1 Introducere s ,i primele not ,iuni necesare . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 Denirea spat ,iului Sobolev cu exponent variabil . . . . . . . . 51
4.3 Propriet at ,ile spat ,iilorWk;p(
)(
) . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Bibliograe 55
1

2

Capitolul 1
Introducere
1.1 Scurt a istorie a spat ,iilor cu exponent
variabil
Studiul spat ,iilor de funct ,ii cu exponent variabil, des ,i ^ s ,i are originile ^ n
prima jum atate a secolului al XX-lea, abia t^ arziu, la ^ nceputul secolului al
XXI-lea, ajunge s a reprezinte un interes major ^ n domeniul cercet arii mate-
matice. ^In sprijinul acestei introduceri, o c autare pentru "exponent variabil"
pe site-ul Mathematical Reviews – American Mathematical Society va^ ntoarce
numai 15 rezultate relevante ce dateaz a dinainte de anul 2000, 31 de articole
scrise despre acest subiect ^ ntre anii 2000 s ,i 2004 s ,i peste 1000 de articole
scrise ^ n ultimii 15 ani despre spat ,iile cu exponent variabil.
^In literatur a, spat ,iul Lebesgue cu exponent variabil apare pentru prima
dat a ^ n anul 1931 ^ n articolul Uber konjugierte Exponententfolgen. Studia
Math., 3:200{211, 1931 , scris de W ladis law Orlicz. Acesta ajunge la o form a
a inegalit at ,ii lui H older ^ n spat ,iullp(
);dup a care studiaz a spat ,iulLp(
)peste
axa real a s ,i demonstreaz a inegalitatea lui H older ^ n acest nou cadru. Din
p acate, Orlicz abandoneaz a repede aceast a zon a de cercetare s ,i se axeaz a
pe dezvoltarea s ,tiint ,ic a a spat ,iilor de funct ,ii ce ast azi ^ i poart a numele.
Acest unic articol ^ l inspir a pe matematicianul H. Nakano s a dezvolte o teo-
rie ^ ntreag a asupra spat ,iilor modulare ^ n articolele Modulared Semi-Ordered
Linear Spaces. Maruzen Co. Ltd., Tokyo, 1950 s,iTopology of linear topo-
logical spaces. Maruzen Co. Ltd., Tokyo, 1951 . Aceste spat ,ii urmeaz a s a
e generalizate de Orlicz s ,i de J. Musielak ^ n articolul On modular spaces.
Studia Math., 18:49{65, 1959 s,i, de asemenea, s a le poarte numele. Acest
3

ultim articol numit marcheaz a ^ nceputul unei noi zone de cercetare. Piatra
de c ap at^ ai pentru studiul spat ,iilor cu exponent variabil este articolul scris
de O. Kov a cik s ,i de J. R akosn k, On spacesLp(x)andW1;p(x). Czechoslovak
Math. J., 41(116):592{618, 1991 , ^ n care se listeaz a propriet at ,ile de baz a ale
acestor – ^ nc a inovative la acea vreme – tipuri de spat ,ii. 10 ani mai t^ arziu,
matematicienii X.-L. Fan s ,i D. Zhao scriu articolul On the spaces Lp(x)(
)
andWm;p(x)(
). J. Math. Anal. Appl., 263:424{446, 2001. , ajung^ and la
exact aceleas ,i propriet at ,i ca O. Kov a cik si J. R akosn k, dar prin metode dife-
rite. Dup a acest ultim articol evident ,iat, sute de articole urmeaz a s a e scrise
despre spat ,iile cu exponent variabil, ecare contribuind la volumul mare de
informat ,ii care exist a acum despre acest tip de spat ,ii.
Des ,i un subiect abandonat timpuriu, datorit a interesului prezentat de
matematicieni precum L. Diening, P. Harjulehto, P. H ast o, M. R u zi cka, X.-
L. Fan, D. Zhao, H. Nakano, J. Musielak, I. Sharapudinov, J. R akosn k, O.
Kov a cik etc, ^ n secolul al XXI-lea, cunos ,tint ,ele despre aceast a arie de cerce-
tare au ajuns, ^ n sf^ ars ,it, la o stabilitate s ,i maturitate astfel ^ nc^ at denit ,iile,
rezultatele, notat ,iile s ,i terminologiile pentru spat ,iile cu exponent variabil se
pot unica.
1.2 Motivat ,ie
^In esent , a, introducerea exponentului variabil peste un spat ,iu, spre exem-
plu spat ,iul Lebesgue Lp;este constituit a de faptul c a pnu mai este necesar
s a e o constant a xat a, ci o funct ,iep(
) care s a respecte anumite condit ,ii.
Aceast a sect ,iune prezint a c^ ateva situat ,ii ce evident ,iaz a necesitatea studierii
acestui concept – exponent variabil.
^In articolul scris de Orlicz ^ n 1931, amintit ^ n sect ,iunea anterioar a, acesta
trateaz a urm atoarea problem a : Fie ( pn)n2Ns,i (xn)n2Ndou a s ,iruri de nu-
mere reale astfel ^ nc^ at pn>1 pentru orice n2Ns,i seriaP1
n=1xpnneste
convergent a. Fiind dat un al treilea s ,ir de numere reale, ( yn)n2N, dilema pe
care Orlicz o elucideaz a este reprezentat a de condit ,iile necesare s ,i suciente
ce trebuie impuse ultimului s ,ir considerat astfel ^ nc^ at seriaP1
n=1xnyns a e
convergent a. Solut ,ia acestei probleme se demonstreaz a a  faptul c a seriaP1
n=1(yn)p0
ntrebuie s a e convergent a pentru un anume  > 0 s,i pentru
p0
n=pn
pn1, adic ap0
neste conjugata H older a lui pn.^In esent , a, solut ,ia lui
Orlicz este, de fapt, inegalitatea lui H older ^ n spat ,iullp(
).
4

Un merit pentru dezvoltarea spat ,iilor cu exponent variabil o are s ,i s,coala
de matematic a ruseasc a din mijlocul secolului al XX-lea. ^In articolul Gene-
ralization of the problem of best approximation of a function in the space ls.
Uch. Zap. Dagestan Gos. Univ., 7:25{37., 1961 , I. Tsenov ridic a problema
minimiz arii integraleiRb
aju(x)v(x)jp(x)dx, undeueste o funct ,ie xat a, iar
vvariaz a pe un subspat ,iu nit dimensional din Lp(
)([a;b]). Problema a fost
tratat a s ,i rezolvat a de I. Sharapudinov ^ n articolele On the topology of the
space Lp(t)([0; 1]) . Math. Notes, 26(3{ 4):796{806, 1979. ,Approximation
of functions in the metric of the space Lp(t)([a;b])and quadrature formu-
las, (Russian). In Constructive function theory '81 (Varna, 1981), pages
189{193. Publ. House Bulgar. Acad. Sci., Soa, 1983 s,iThe basis property
of the Haar system in the space Lp(t)([0;1])and the principle of localization
in the mean, (Russian). Mat. Sb. (N.S.), 130(172):275{ 283, 286, 1986. .
1.3 Rezultate preliminare s ,i notat ,ii folosite
Drept cunos ,tint ,e preliminare, lucrarea cuprinde elemente de topologie, te-
oria m asurii, analiz a funct ,ional a s ,i ecuat ,ii cu derivate part ,iale. Rezultatele ce
nu au fost predate ^ n timpul celor trei ani de studii pentru licent , a, dar vor
folosite f ar a a le mai demonstra ^ n prealabil, sunt listate ^ n subsect ,iunea ime-
diat urm atoare. De asemenea, este furnizat a s ,i o subsect ,iune ce ^ nglobeaz a
majoritatea notat ,iilor folosite, cu scopul unei lecturi mai us ,oare.
1.3.1 Rezultate preliminare
Propozit ia 1.3.1. Fie X un spat ,iu Banach s ,i Y astfel ^ nc^ at s a desemneze
e o submult ,ime ^ nchis a a lui X, e produsul cartezian XN:Atunci:
i. Y este un spat ,iu Banach.
ii. Dac a X este re
exiv, atunci s ,i Y este re
exiv.
iii. Dac a X este separabil, atunci s ,i Y este separabil.
iv. Dac a X este uniform convex, atunci s ,i Y este uniform convex.
v. Dac a X este uniform convex, atunci X este s ,i re
exiv.
5

1.3.2 Notat ,ii folosite
FieAs,iBdou a mult ,imi. Notat ,iaABinclude s ,i cazul ^ n care cele
dou a mult ,imi coincid.
FieAs,iBdou a mult ,imi. Notat ,iaABdesemneaz a faptul c a^ nchiderea
mult ,imiiAeste compact a s ,i inclus a ^ n B.
C^ and se va vorbi despre numerele naturale N, se va ^ nt ,elege mult ,imea
numerelor naturale ^ n sens Peano, adic a elementul 0 nu este inclus ^ n aceast a
mult ,ime.
Fie (X,k
kX) s,i (Y,k
kY) dou a spat ,ii Banach. Notat ,iaX ,!Ydesem-
neaz a faptul c a Xse scufund a ^ n Y,i.e.XYs,i exist a o constant a real a
castfel ^ nc^ atkxkYckxkXpentru orice x2X:
Fie (X,k
kX) un spat ,iu Banach s ,i o mult ,imeAX.^Inchiderea mult ,imii
A^ n raport cu norma k
kXse noteaz a cu Ak
kXs,i desemneaz a cea mai mic a
mult ,ime (^ n sensul incluziunii) ^ nchis a Yce ^ l cont ,ine peA.
Notat ,ia (A;;) desemneaz a un spat ,iu cu m asur a, cu (A)>0, iar ^ n
cazul ^ n care nu este pericol de confuzie fat , a de-algebra cu care se lucreaz a,
se va folosi abrevierea ( A;) := (A;;):
Fie (A;;) un spat ,iu cu m asur a. Funct ,ia caracteristic a pentru o mult ,ime
EAse va nota cu E:
Fie (A;;) un spat ,iu cu m asur a. O funct ,ief:A!Rcare este-
m asurabil a, dac a nu este pericol de confuzie fat , a de m asura ^ n raport cu care
este m asurabil a, se va spune doar c a feste m asurabil a.
Fie (A;;) un spat ,iu cu m asur a. Se spune c a o proprietate are loc -
aproape peste tot pe acest spat ,iu, s ,i se prescurteaz a -a.p.t., dac a are loc pe
^ ntreg spat ,iul cu except ,ia unei mult ,imi de m asur a nul a. ^In cazul ^ n care
nu exist a pericol de confuzie fat , a de m asura cu care se lucreaz a, se va spune
doar c a proprietatea respectiv a are loc aproape peste tot, respectiv a.p.t..
Fie (A;;) un spat ,iu cu m asur a complet a, -nit. Se va nota cu
L0(A;) :=ff:A!R:feste m asurabil ag, cu ment ,iunea c a dou a funct ,ii se
identic a dac a sunt identice aproape peste tot. ^In cazul in care este m asura
Lebesguen-dimensional a, Aeste o submult ,ime din Rn-m asurabil a care se
va nota cu
, iar  este -algebra generat a de submult ,imile-m asurabile
ale mult ,imii
, se va folosi abrevierea L0(
) :=L0(
;):^In cazul ^ n care nu
exist a pericol de confuzie fat , a de spat ,iul pe care se lucreaz a, se poate folosi
chiar abrevierea L0:=L0(A;).
Fie (A;;) un spat ,iu cu m asur a complet a, -nit. Se va nota cu S(A;)
mult ,imea funct ,iilor simple de pe acest spat ,iu.^In cazul ^ n care este m asura
6

Lebesguen-dimensional a, Aeste o submult ,ime din Rn-m asurabil a care se
va nota cu
, iar  este -algebra generat a de submult ,imile-m asurabile
ale mult ,imii
, se va folosi abrevierea S(
) :=S(
;):^In cazul ^ n care nu
exist a pericol de confuzie fat , a de spat ,iul pe care se lucreaz a, se poate folosi
chiar abrevierea S:=S(A;).
Fie (A;;) un spat ,iu cu m asur a, p2[1;1] s,ik2N. Notat ,iileLp(A;)
s,iWk;p(A;) desemneaz a spat ,iile Lebesgue s ,i Sobolev denite pe spat ,iul
cu m asur a ment ,ionat anterior. ^In cazul ^ n care este m asura Lebesgue n-
dimensional a, Aeste o submult ,ime din Rn-m asurabil a care se va nota cu
,
iar  este-algebra generat a de submult ,imile-m asurabile ale mult ,imii
,
se vor folosi abrevierile Lp(
) :=Lp(
;), respectiv Wk;p(
) :=Wk;p(
;),
iar ^ n cazul ^ n care nu exist a pericol de confuzie fat , a de spat ,iul pe care se
lucreaz a, se pot folosi chiar abrevierile Lp:=Lp(A;) s,iWk;p:=Wk;p(A;).
De ment ,ionat faptul c a m asurile introduse de-a lungul lucr arii vor  pre-
supuse, prin denit ,ie, a nu  identic nule.
Atunci c^ and se vor aplica rezultate deja listate sau deja cunoscute, acestea
vor ap area cu font bold s,iitalics , adic a as,a.
7

Capitolul 2
Spat ,ii cu exponent variabil
2.1 Introducerea capitolului
^In acest capitol se va prezenta modul cel mai general ^ n care se pot studia
spat ,iile Lebesgue si Sobolev cu exponent variabil. Des ,i poate un cadru mult
mai abstract s ,i mai general dec^ at ar  necesar pentru denirea s ,i ^ nt ,elegerea
spat ,iilor indicate, construct ,ia s ,i modul ^ n care se progreseaz a ^ n capitolul
curent surprinde extrem de bine esent ,a s,i lozoa ce a dus la studiul spat ,iilor
cu exponent variabil. De asemenea, se va vedea mai t^ arziu ^ n lucrare cum
propriet at ,ile studiate ^ n acest capitol au o tranzit ,ie imediat a ^ n momentul
^ n care sunt particularizate anumite aspecte ce conduc la denirea spat ,iilor
Lebesgue s ,i Sobolev cu exponent variabil.
2.2 Not ,iuni introductive pentru spat ,iile cu
exponent variabil
Cu toate c a discut ,ia despre aceste spat ,ii se poate face at^ at peste R, c^ at
s,i peste C, diferent ,a neind calitativ semnicativ a, rezultatele din aceast a
lucrare sunt prezentate doar peste corpul numerelor reale. Aceast a alegere
personal a t ,ine s ,i de faptul c a atent ,ia mea se ^ ndreapt a spre studiul ace-
lor spat ,ii cu exponent variabil ale c aror elementele nu mai sunt funct ,ionale
(funct ,ii denite pe un spat ,iu normat cu valori ^ ntr-un corp), ci chiar opera-
tori (funct ,ii denite pe un spat ,iu normat cu valori ^ n alt spat ,iu normat, ^ n
cazul de fat , a, cu valori ^ n ( R;k
kR)):
8

^In general, ^ ntr-un spat ,iu normat, topologia s ,i convergent ,a sunt studiate
^ n raport cu norma denit a peste acesta, ^ ns a ^ n cadrul spat ,iilor prezentate ^ n
lucrarea curent a, acesta nu este cel mai bun mod posibil. As ,adar, mai ^ nt^ ai
se va deni o as ,a-numit a semimodular a (respectiv modular a) peste spat ,iul
vectorial considerat, iar apoi aceasta va induce o norm a. Avantajul intro-
ducerii unei semimodulare ^ n locul unei norme este dat de faptul c a prima
ment ,ionat a cuprinde majoritatea propriet at ,ilor importante ce t ,in de integra-
bilitate, iar date ind spat ,iile care sunt studiate, acest lucru este esent ,ial.
Av^ and aceast a motivat ,ie, se consider a:
Denit ia 2.2.1. FieXun spat iu vectorial real. O funct ie %(
) :X![0;1]
se nume ste semimodular a pe Xdac a ^ ndepline ste urm atoarele propriet at i:
i.%(0) = 0.
ii.%(
) este o funct ,ie par a.
iii.%(
) este o funct e convex a.
iv.%(
) este o funct e continu a la st^ anga.
v. dac a%(x) = 0 pentru orice scalar real strict pozitiv, atunci x= 0.
Prin faptul c a %(
) este o funct ,ie continu a la st^ anga se ^ nt ,elege faptul c a
aplicat ,ia7!%(x) este continu a la st^ anga pe [0, 1) oricare ar  x2X;i.e.
lim%1%(x)=%(x).
^In anumite c art ,i s,i articole, ^ n denit ,ia semimodularei nu apare condit ,ia
de convexitate sau cea de continuitate la st^ anga,^ ns a^ n cadrul lucr arii curente
sunt esent ,iale aceste propriet at ,i. De asemenea, este de ment ,ionat faptul c a
toate semimodularele ce vor  prezentate de-a lungul lucr arii sunt presupuse,
f ar a a mai ment ,iona, a nu  identic nule.
^In cele ce urmeaz a, prin Xse va ^ nt ,elege, f ar a a mai ment ,iona acest lucru,
un spat ,iu vectorial real.
Urm atoarea denit ,ie atas ,eaz a modului ^ n care a fost denit a o semimo-
dular a o proprietate important a din denit ,ia unei norme.
Denit ia 2.2.2. Dac a%(
) este o semimodular a pe Xs,i%(x) = 0 implic a
faptul c ax= 0, atunci semimodulara %(
) se numes ,temodular a pe X.
Denit ia 2.2.3. Dac a%(
) este o semimodular a pe Xs,i aplicat ,ia7!%(x)
este continu a pe [0, 1) oricare ar  x2X, se spune c a semimodulara %(
)
este continu a .
9

Av^ and denit ,iile acestea, mai departe se pot extrage primele propriet at ,i
ale unei semimodulare.
Observat ia 2.2.1. Fie%(
) o semimodular a pe X. Atunci, datorit a faptului
c a%(
) este convex a, cu valori pozitive s ,i are proprietatea c a %(0) = 0, se
obt ,ine c a aplicat ,ia7!%(x) este cresc atoare pe [0, 1), oricare ar  x2X:
Observat ia 2.2.2. Mai mult dec^ at at^ at,
%(x) =%(jjx)jj%(x), oricare ar jj1:
%(x) =%(jjx)jj%(x), oricare ar jj1:
Des ,i ^ n denit ,ia unei semimodulare, spat ,iul vectorial pe care se denes ,te
aceasta este ales ^ n sensul cel mai larg cu putint , a (^ n sensul incluziunii),
nu acesta este spat ,iul de interes pe care se dores ,te a se lucra. Urm atoarea
denit ,ie reprezint a o not ,iune fundamental a ce va  esent ,ial a mai t^ arziu ^ n
denirea spat ,iilor Lebesgue si Sobolev cu exponent variabil.
Denit ia 2.2.4. Fie%(
) o semimodular a (respectiv o modular a) pe X.
Atunci
X%:=fx2X: lim
!0%(x) = 0g
se numes ,tespat ,iu semimodular (respectiv spat ,iu modular ).
Observat ia 2.2.3. Deoarece%(x) =%(jjx), este sucient s a se considere
doar cazul lim
!0%(x) cu2(0;1):
Observat ia 2.2.4. Datorit a Observat ,iei 2.2.2. , exist a o denit ,ie alterna-
tiv a a spat ,iuluiX%;s,i anume:
X%=fx2X: exist a0>0 astfel ^ nc^ at %(0x)<1g,
deoarece pentru < 0;se consider a estimarea
%(x) =%(
00x)
0%(0x)!0 atunci c^ and !0:
Se va introduce acum norma generat a de o semimodular a. Aceasta poart a
numele de norma Luxemburg s,i a fost introdus a de matematicianul olandez
Wilhelmus A.J. Luxemburg. Des ,i este mai bine cunoscut a sub denumirea de
funct ,ional a Minkovski pe mult ,imeafx2X:%(x)1gs,i a fost introdus a
10

de Andrey Nikolaevich Kolmogorov cu mult ^ naintea normei Luxemburg, ^ n
aceast a lucrare se va folosi denumirea prezentat a init ,ial deoarece este uzual
folosit a ^ n teoria spat ,iilor cu exponent variabil. ^In urm atoarea denit ,ie tre-
buie t ,inut cont de faptul c a inmumul mult ,imii vide este, ca ^ n orice alt a
lucrare, prin denit ,ie, egal cu innit.
Denit ia 2.2.5. Norma Luxemburg este o aplicat ,iek
k%:X%![0;1)
denit a prin
kxk%:= inff>0 :%(x
)1g
^In continuare urmeaz a s a e demonstrat faptul c a norma Luxemburg
denes ,te, ^ ntr-adev ar, o norm a pe spat ,iulX%.
Teorema 2.2.1. Fie%(
)o semimodular a pe X. Atunci spat ,iul(X%;k
k%)
este un spat ,iu normat.
Demonstrat ie.
^In primul r^ and, se demonstreaz a faptul c a X%este un subspat ,iu vectorial
al luiX.
Evident, 02X%:Fiex,y2X%s,i e2R:
Din denit ,ia alternativ a a spat ,iului semimodular X%s,i a faptului c a
%(x) =%(jjx), este evident c a x2X%:
Datorit a convexit at ,ii semimodularei, se poate realiza estimarea
0%((x+y))1
2%(2x)+1
2%(2y)
Cum lim !0%(x) = 0 s ,i lim!0%(y) = 0, conform estim arii f acute an-
terior, se deduce c a x+y2X%:
As,adar, cumX%este un subspat ,iu vectorial al lui X, acesta este ^ nsus ,i
un spat ,iu vectorial real.
^In al doilea r^ and, se demonstreaz a faptul c a norma Luxemburg respect a
propriet at ,ile din denit ,ia unei normei.
Din denit ,ia spat ,iuluiX%, este evident c akxk%<1pentru orice x2X%.
Din denit ,ia normei Luxemburg este clar c a k0k%= 0:
Fie acum2R:Atunci
kxk%= inff>0 :%(x
)1g=jj
inff>0 :%(x
)1g=jj
kxk%
11

Fieu;v2Rastfel ^ nc^ at u >kxk%s,iv >kyk%:^In acest caz, %(x
u)1 s,i
%(y
v)1:
Datorit a convexit at ,ii semimodularei %(
);se poate realiza estimarea
%x+y
u+v

=%u
u+vx
u+v
u+vy
v)u
u+v%x
u

+v
u+v%y
v

1
As,adar, cum%(x+y
u+v)1;rezult a c akx+yk%u+v;pentru orice u>kxk%
s,iv >kyk%:Prin trecere la limit a c^ and u!kxk%s,iv!kyk%;se obt ,ine c a
kx+yk%kxk%+kyk%:
Dac akxk%= 0;atunci%(x)1 pentru orice  >0:Fie
2(0;1]:Din
Observat ,ia 2.2.2. se obt ,ine estimarea
%(x)
%(x

)
pentru orice >0
Aceast a estimare implic a faptul c a %(x) = 0 pentru orice >0:Din denit ,ia
semimodularei, se obt ,ine c ax= 0: 
^In continuare este prezentat un rezultat de o important , a tehnic a deose-
bit a, folosit adesea ^ n demonstrat ,ii.
Teorema 2.2.2. Fie%(
)o semimodular a pe Xs,i ex2X%:^In acest caz,
kxk%1dac a s ,i numai dac a %(x)1:Dac a%(
)este, ^ n plus, continu a,
atuncikxk%<1dac a s ,i numai dac a %(x)<1;respectivkxk%= 1 dac a s ,i
numai dac a %(x) = 1:
Demonstrat ie.
Prima echivalent , a este trivial a. Pentru implicat ,ia direct a, ^ n cazul ^ n
carekxk%1;atunci%(x
)1 pentru orice  > 1:Datorit a continuit at ,ii
la st^ anga a semimodularei, %(x)1:Implicat ,ia invers a este evident a din
denit ,ia normei Luxemburg.
Pentru cazul ^ n care %(
) este s ,i continu a, se va demonstra doar a doua
echivalent , a din teorem a, ultima ind doar o consecint , a a ceea ce va  fost
demonstrat anterior.
As,adar, dac akxk%<1;din denit ,ia normei Luxemburg, exist a 2(0;1)
astfel ^ nc^ at %(x
)1:Conform Observat ,iei 2.2.2. ,%(x)%(x
)<1:
Invers, dac a %(x)<1;din continuitatea semimodularei se deduce c a exist a
>1 astfel ^ nc^ at %(x)<1:As,adar,kxk%1;decikxk%1
<1:

12

Pe parcursul lucr arii, c^ and se va folosi Teorema 2.2.2. , se va face referire
la aceasta drept proprietatea bilei unitate .
Un rezultat ce apare ca o consecint , a imediat a a teoremei prezentate ante-
rior, de asemenea foarte folositor ^ n demonstrat ,ii s,i foarte util ^ n ^ nt ,elegerea
comportamentului dintre o semimodular a s ,i norma Luxemburg generat a de
aceasta, este urm atorul:
Corolarul 2.2.1. Fie%(
) o semimodular a pe Xs,i ex2X%:Atunci:
i. dac akxk%1;atunci%(x)kxk%:
ii. dac a 1<kxk%;atuncikxk%%(x):
iii.kxk%%(x) + 1:
Demonstrat ie.
i.^In cazul ^ n carekxk%= 0;armat ,ia este evident a. R am^ ane de de-
monstrat cazul ^ n care kxk%2(0;1]:Cumkx
kxk%k%= 1;dinpropri-
etatea bilei unitate se obt ,ine c a%
x
kxk%
1;iar cumkxk%1;
dinObservat ,ia 2.2.2. se obt ,ine c a%
x
kxk%
1
kxk%%(x):As,adar,
%(x)
kxk%1;deci%(x)kxk%:
ii. Cumkxk%>1;se obt ,ine c a%(x
)>1;pentru orice 2(1;kxk%):Din
Observat ,ia 2.2.2. se obt ,ine c a 1<1
%(x);deci < % (x) pentru
orice2(1;kxk%):Prin trecere la limit a c^ and !kxk%se deduce c a
kxk%%(x):
iii. Acest item este doar o consecint , a a primilor doi itemi.

Cum se obis ,nuies ,te, se va folosi norma (Luxemburg) pentru a se deni
topologia standard pe X%.
Denit ia 2.2.6. Fie (xn)n2NX%s,ix2X%:Se spune c a s ,irul (xn)ncon-
verge tare sauconverge ^ n norm a laxdac akxnxk%!0:^In acest caz, se
foloses ,te notat ,iaxn!x:
13

Un fenomen interesant este faptul c a ^ n cadrul spat ,iilor semimodulare,
convergent ,a ^ n norm a se poate studia independent de norm a, folosind doar
semimodulara cu ajutorul c areia s-a denit norma. Acest aspect este surprins
^ n urm atorul rezultat:
Lema 2.2.1. Fie%(
)o semimodular a pe X s ,i e (xn)n2NX%s,ix2X%:
Atunci x n!xdac a s ,i numai dac a %((xnx))!0pentru orice >0:
Demonstrat ie.
F ar a pierderea generalit at ,ii, se poate presupune c a x= 0:Altfel, se con-
sider a s ,irul (yn)n2Ndenit prin yn:=xnxpentru orice n2Ns,i se demon-
streaz a rezultatul ^ n raport cu ( yn)n, iar apoi se ajunge la concluzia enunt ,at a
^ n raport cu s ,irul (xn)n.
Pentru implicat ,ia direct a, se consider a  > 0 arbitrar, dar xat. Cum
xn!0;atunci s ,ikxnk%!0:FieK > 1:Pentrunales sucient de mare,
kKxnk%1:Dinproprietatea bilei unitate ,%(Kxn)1:^In acest caz,
folosind Observat ,ia 2.2.2. , se realizeaz a estimarea
%(xn) =%(1
KKxn)1
K%(Kxn)1
K;
care ^ ncheie demonstrat ,ia primei implicat ,ii, av^ and ^ n vedere modul ^ n care a
fost alesK.
Din ipoteza pentru implicat ,ia invers a, pentru nales sucient de mare,
%(xn)1:Dinproprietatea bilei unitate se obt ,ine c akxnk%1;iar
atuncikxnk%1
:Cuma fost ales arbitrar, se deduce c a kxnk%!0:^In
particular, xn!0:

Pe l^ ang a topologia standard indus a pe X%de norma Luxemburg, se poate
deni s ,i alt tip de convergent , a:
Denit ia 2.2.7. Fie%(
) o semimodular a pe Xs,i e (xn)n2NX%s,ix2X%:
Se spune c a s ,irul (xn)nconverge modular saueste%-convergent laxdac a
exist a>0 astfel ^ nc^ at %((xnx))!0:^In acest caz, se foloses ,te notat ,ia
xn% !x:
Av^ and ^ n vedere cele dou a denit ,ii de convergent , a prezentate, evident,
convergent ,a ^ n norm a implic a convergent ,a modular a, ^ ns a convergent ,a mo-
dular a nu implic a ^ ntotdeauna convergent ,a ^ n norm a. Urm atorul rezultat
evident ,iaz a o condit ,ie necesar a s ,i sucient a pentru ca cele dou a convergent ,e
s a e echivalente.
14

Lema 2.2.2. Fie X%un spat ,iu semimodular. Atunci convergent ,a ^ n norm a
este echivalent a cu convergent ,a modular a dac a s ,i numai dac a %(xn)!0
implic a%(2xn)!0pentru orice s ,ir(xn)n2NX%:
Demonstrat ie.
Pentru implicat ,ia direct a, e ( xn)nun s ,ir dinX%astfel ^ nc^ at %(xn)!0:
Atunci, cum convergent ,a modular a s ,i convergent ,a ^ n norm a sunt echivalente,
kxnk%!0;decixn!0:Conform Lemei 2.2.1. , aleg^ and= 2, se obt ,ine
c a%(2xn)!0:
Pentru implicat ,ia invers a, e ( xn)nun s ,ir dinX%astfel ^ nc^ at %(xn)!
0 s a implice %(2xn)!0:Pentru a demonstra echivalent ,a convergent ,elor,
este sucient a demonstrarea faptului c a %-convergent ,a implic a convergent ,a
^ n norm a, cealalt a implicat ,ie ind evident a din denit ,iile celor dou a tipuri
de convergent , a. Trebuie ar atat, as ,adar, c a%(xn)!0 pentru orice  >0:
Fie atunci  > 0 ales arbitrar, dar xat. Fie m2Nastfel ^ nc^ at 2m> :
Aplic^ and ^ n mod repetat implicat ,ia din ipotez a, se obt ,ine c a%(2mxn)!0:
Atunci, datorit a Observat ,iei 2.2.2. , se poate realiza estimarea
0%(xn) =%(
2m2mxn)
2m%(2mxn)!0
^In consecint , a, cuma fost ales arbitrar, xn!0;concluzie ce ^ ncheie
demonstrat ,ia acestei lemei. 
Denit ia 2.2.8. Dac a pentru o semimodular a %(
);convergent ,a modular a s ,i
convergent ,a ^ n norm a sunt echivalente, se spune c a %(
)satisface condit ,ia-
2
slab a .
Un mod interesant de a demonstra cum c a o semimodular a este, de fapt, o
modular a este cu ajutorul condit ,iei-
2slabe. Lema urm atoarea concretizeaz a
acest fenomen.
Lema 2.2.3. Fie X%un spat ,iu semimodular cu %(
)aleas a astfel ^ nc^ at s a
satisfac a condit ,ia-
2slab a. Atunci X %este un spat ,iu modular.
Demonstrat ie.
Se va demonstra c a o semimodular a ce satisface condit ,ia-
2slab a este,
de fapt, o modular a.
As,adar, ex2X%astfel ^ nc^ at %(x) = 0:^In acest caz, s ,irul constant
(xn)n2Ndenit prin xn:=xpentru orice n2N;converge modular la 0, deci
15

converge ^ n norm a la 0, iar acest fapt implic a kxk%= 0;decix= 0. As ,adar,
%(
) este o modular a, iar X%este un spat ,iu modular. 
Observat ia 2.2.5. FieK:=fx2X%:%(x)1g:Dinproprietatea bilei
unitate se deduce c a mult ,imeaK=B(0;1);adic a ^ nchiderea bilei unitate ^ n
raport cu norma Luxemburg. As ,adar, mult ,imeafx2X%:%(x)1geste o
mult ,ime ^ nchis a. Acest rezultat ridic a ^ ntrebarea dac a, ^ n general, o mult ,ime
de tipulfx2X%:%(x)geste ^ nchis a pentru orice 2[0;1):Aceast a
proprietate este echivalent a cu proprietatea de semicontinuitate la st^ anga a
semimodularei %(
) peX%.
Se amintes ,te ^ n continuare una dintre denit ,iile echivalente ale semiconti-
nuit at ,ii la st^ anga. Denit ,ia se poate da ^ ntr-un sens foarte larg pe un spat ,iu
topologic, ^ ns a scopul lucr arii curente necesit a denit ,ia pe un spat ,iu normat.
As,adar,
Denit ia 2.2.9. FieXun spat ,iu normat s ,i ef:X!R:Se spune c a
funct ,iafeste semicontinu a la st^ anga dac a pentru orice s ,ir (xn)n2NXs,i
x2Xastfel ^ nc^ at s ,irul (xn)ns a convearg a ^ n norm a la x, are loc inegalitatea
f(x)lim inf
n!1f(xn)
Urm atoarea teorem a d a un r aspuns pozitiv ^ ntreb arii ridicate anterior.
Teorema 2.2.3. Fie%(
)o semimodular a pe X. Atunci%(
)este semicon-
tinu a la st^ anga.
Demonstrat ie.
Fie (xn)n2NX%s,ix2X%astfel ^ nc^ at xn!x. Demonstrat ,ia va
^ mp art ,it a pe dou a cazuri.
Se va considera prima dat a cazul ^ n care %(x)<1:Conform Lemei
2.2.1. ,%((xxn))!0 pentru orice >0:Fie acum"2(0;1
2):Datorit a
convexit at ,ii semimodularei %(
);se poate realiza urm atoarea estimare:
%((1")x) =%1
2x+12"
2(xxn) +12"
2xn


1
2%(x) +1
2%((12")(xxn) + (12")xn) =
=1
2%(x) +1
2%12"
2"2"(xxn) + (12")xn


1
2%(x) +2"
2%12"
2"(xxn)

+12"
2%(xn)
16

Prin trecere la limit a c^ and n!1 ^ n estimarea obt ,inut a, se ajunge la
%((1")x)1
2%(x) +12"
2lim inf
n!1%(xn)
Acum, f ac^ andu-l pe "s a tind a la 0+s,i folosind continuitatea la st^ anga a
semimodularei, se obt ,ine
%(x)1
2%(x) +1
2lim inf
n!1%(xn)
Cum%(x)<1;se obt ,ine%(x)lim inf
n!1%(xn), inegalitate ce ^ ncheie
demonstrat ,ia primul caz.
Acum se consider a cazul ^ n care %(x) =1:Dac a lim inf n!1%(xn) =1;
atunci nu este nimic de demonstrat. As ,adar, ^ n continuare se va presupune
c a lim inf n!1%(xn)<1:
Fie0:= supf>0 :%(x)<1g:Cumx2X%;este evident c a 0>0:
Mai mult dec^ at at^ at, %(x) =1implic a faptul c a 01:^In acest caz, pentru
orice2(0;0);are loc inegalitatea %(x)<1;iar conform primului caz
considerat s ,i utiliz^ and monotonia semimodularei,
%(x)lim inf
n!1%(xn)lim inf
n!1%(xn)
Av^ and ultima estimare obt ,inut a s ,i t,in^ and cont de continuitatea la st^ anga
a semimodularei, se obt ,ine
%(0x)lim inf
n!1%(xn) (Estimarea 1)
Dac a0= 1;demonstrat ,ia este ^ ncheiat a. S a se presupun a, prin absurd,
c a06= 1:Atunci02(0;1):Fie12(0;1) s ,i e2(0;1) astfel ^ nc^ at s a
e respectat a egalitatea
10
0++0= 1
Aceast a egalitate s ,i convexitatea semimodularei duc la urm atoarea esti-
mare:
%(1x) =%((10)x+0(xxn) +0xn) =
=%
10
00x+0
(xxn) +0xn

10
0%(0x) +%0
(xxn)

+0%(xn)
Prin trecere la limit a c^ and n!1 ^ n estimarea obt ,inut a s ,i folosind Es-
timarea 1 , se ajunge la
17

%(1x)10
0%(0x) +0lim inf
n!1%(xn)
10
0lim inf
n!1%(xn) +0lim inf
n!1%(xn) = (1) lim inf
n!1%(xn)
Av^ and ^ n vedere presupunerea f acut a la ^ nceputul trat arii cazului curent,
cum c a lim inf n!1%(xn)<1;atunci%(1x)<1;dar av^ and ^ n vedere
modul ^ n care a fost denit 0s,i faptul c a 1a fost ales strict mai mare
dec^ at0, se obt ,ine o contradict ,ie.
Asadar,0= 1, fapt ce ^ ncheie demonstrat ,ia celui de al doilea caz, s ,i
totodat a, a teoremei. 
As,adar, conform teoremei anterioare, se concluzioneaz a cum c a mult ,imea
fx2X:%(x)geste ^ nchis a pentru orice 2[0;1):Av^ and ^ n vedere s ,i
convexitatea acestor mult ,imi, se obt ,ine c a acestea sunt ^ nchise nu numai ^ n
raport cu topologia tare (cea generat a de norma Luxemburg), ci s ,i ^ n raport
cu topologia slab a (cea generat a de semimodular a).
Cu acest rezultat se ^ ncheie o prim a sect ,iune esent ,ial a a acestei lucr ari.
Denit ,iile date s ,i rezultatele obt ,inute reprezint a bazele ^ nt ,elegerii spat ,iilor
cu exponent variabil. ^In sect ,iunile urm atoare ale acestui capitol se va deni
spat ,iul cu exponent variabil – ^ ntr-un cadru general, urm^ and apoi s a e stu-
diate propriet at ,i de baz a ce se analizeaz a de regul a pentru un spat ,iu normat.
Propriet at ,ile ce vor  studiate ^ n aceast a lucrare sunt cele de completitudine,
separabilitate s ,i uniform convexitate.
2.3 Introducere ^ n spat ,iile Musielak – Orlicz
Av^ and ^ n vedere faptul c a scopul acestei lucr ari este studiul generaliz arii
spat ,iilor Lebesgue s ,i Sobolev, un pas ^ nainte ar  ca semimodulara folosit a
s a e dat a de integrala unei funct ,ii cu valori reale. Aceast a introducere
reprezint a motivat ,ia denit ,iei urm atoare:
Denit ia 2.3.1. O funct ,ie'(
) : [0;1)![0;1] se numes ,te -funct ,iedac a
^ ndeplines ,te urm atoarele propriet at ,i:
i.'(
) este o funct ,ie convex a.
ii.'(
) este o funct ,ie continu a la st^ anga.
iii.'(0) = 0:
18

iv. lim
t&0'(t) = 0.
v. lim
t!1'(t) =1:
Denit ia 2.3.2. O funct ,ie'(
) : [0;1)![0;1] se numes ,te -funct ,ie pozi-
tiv adac a respect a condit ,iile din Denit ,ia 2.3.1 s,i, ^ n plus,t >0 implic a
'(t)>0:
Este de remarcat faptul c a exist a o leg atur a foarte puternic a ^ ntre -
funct ,ii s,i semimodularele denite pe spat ,iul vectorial real canonic. Urm atoarea
lem a surpinde ^ ntocmai aceast a leg atur a.
Lema 2.3.1. Fie'(
) : [0;1)![0;1]s,i e%(
) :R![0;1]denit a
drept extensia par a a funct ,iei'(
);i.e.%(t) :='(jtj)pentru orice t2R:
Atunci'(
)este o -funct ,ie dac a s ,i numai dac a %(
)este o semimodular a pe
Rcu spat ,iul semimodular asociat X %=R:Mai mult dec^ at at^ at, '(
)este o
-funct ,ie pozitiv a dac a s ,i numai dac a %(
)este o modular a pe Rcu spat ,iul
modular asociat X %=R:
Demonstrat ie.
Mai ^ nt^ ai vor  demonstrate implicat ,iile directe. As ,adar, e'(
) o -
funct ,ie. Av^ and ^ n vedere faptul c a lim t!0+'(t) = 0;se deduce, conform
Denit ,iei 2.2.4. , c aX%=R:Cum funct ,ia'(
), conform Denit ,iei
2.3.1. , ^ l are pe 0 drept punct x, este convex a s ,i continu a la st^ anga, t ,in^ and
cont c a funct ,ia%(
) a fost denit a ca ind extensia par a a -funct ,iei consi-
derate,%(
) dob^ andes ,te toate cele 3 propriet at ,i enunt ,ate anterior. As ,adar,
pentru a demonstra c a %(
) este o semimodular a, mai trebuie ar atat doar
c a%(t0) = 0 pentru orice  > 0 implic a faptul c a t0= 0:Faptul c a
limt!1'(t) =1implic a existent ,a unei constante t1>0 astfel ^ nc^ at '(t1)>
0:T,in^ and cont de propriet at ,ile ce implic a constantele t0s,it1, nu exist a>0
astfel ^ nc^ at t1=t0. Acest fapt implic a t0= 0. As ,adar,%(
) este o semimo-
dular a pe R.
Dac a, ^ n plus, '(
) este s ,i pozitiv a, cum %(s) = 0 implic a '(jsj) = 0;care
implic as= 0, conform ultimei presupuneri f acute, se concluzioneaz a c a %(
)
este o modular a pe R:
Acum vor  demonstrate implicat ,iile inverse. As ,adar, e%(
) o semimo-
dular a pe Rcu spat ,iul semimodular asociat X%=R:Cum%(
), conform
Denit ,iei 2.2.1. , ^ l are pe 0 drept punct x, este convex a s ,i continu a la
st^ anga, t ,in^ and cont c a semimodulara %(
) a fost denit a ca ind extensia par a
19

a funct ,iei'(
), aceasta din urm a dob^ andes ,te toate cele 3 propriet at ,i enunt ,ate
anterior. As ,adar, pentru a justica faptul c a '(
) este o -funct ,ie, mai tre-
buie s a e demonstrate doar propriet at ,ile din Denit ,ia 2.3.1. ce implic a
limite. Av^ and ^ n vedere c a X%=R, exist at2>0 astfel ^ nc^ at %(t2)<1:
Folosind Observat ,ia 2.2.2. s,i t,in^ and cont de modul ^ n care a fost denit a
funct ,ia%(
), se realizeaz a estimarea
0'(t) ='(t
t2t2)t
t2'(t2), pentru orice t2[0;t2]
Aceast a estimare implic a faptul c a lim t!0+'(t) = 0:Av^ and ^ n vedere c a
s-a presupus de la ^ nceputul lucr arii c a se va lucra cu semimodulare care nu
sunt identic nule, exist a t3>0 astfel ^ nc^ at %(t3)>0, deci s ,i'(t3)>0:Fie
k >1 ales arbitrar, dar xat. Av^ and ^ n vedere modul ^ n care a fost denit a
funct ,ia%(
) s,i folosind Observat ,ia 2.2.2. , se realizeaz a estimarea
'(kt3)k'(t3)>0
Cumka fost ales arbitrar, se deduce c a lim t!1'(t) =1:Conform
ultimelor dou a limite deduse, se concluzioneaz a c a '(
) este o -funct ,ie.
Dac a, ^ n plus, %(
) este chiar o modular a pe R,'(jsj) = 0 implic a %(s) = 0;
care implic a s= 0, conform ultimei presupuneri f acute. Neg^ and aceast a
implicat ,ie, se obt ,ine c as >0 implic a'(s)>0,i.e.'(
) este o -funct ,ie
pozitiv a. 
Des ,i un pas ^ nainte este f acut prin denirea conceptului de -funct ,ie,
este necesar a o funct ,ie care, de asemenea, s a depind a s ,i de spat ,iul pe care se
lucreaz a. Aceast a necesitate conduce la urm atoarea denit ,ie:
Denit ia 2.3.3. Fie (A;;) un spat ,iu cu m asur a complet a, -nit. O
funct ,ie'(
;
) :A[0;1)![0;1] se numes ,te  -funct ,ie generalizat a pe
(A;;) dac a ^ ndeplines ,te urm atoarele propriet at ,i:
i.'(y;
) este o -funct ,ie pentru orice y2A:
ii. aplicat ,iay7!'(y;t) este m asurabil a pentru orice t0:
Observat ia 2.3.1. Dac a'(
;
) reprezint a o -funct ,ie generalizat a pe spat ,iul
(A;;);se va folosi notat ,ia'(
;
)2(A;):^In cazul ^ n care este m asura
Lebesguen-dimensional a, Aeste o submult ,ime din Rn-m asurabil a care se
va nota cu
, iar  este -algebra generat a de submult ,imile-m asurabile
ale mult ,imii
, se va folosi abrevierea '(
;
)2(
):
20

Av^ and la ^ ndem^ an a ce s-a prezentat p^ an a acum ^ n aceast a sect ,iune, se
pot extrage primele propriet at ,i ale unei -funct ,ii.
Observat ia 2.3.2. Conform Observat ,iei 2.2.1. s,iLemei 2.3.1. , -
funct ,iile sunt aplicat ,ii cresc atoare.
Datorit a continuit at ,ii la st^ anga, convexit at ,ii s,i monotoniei unei -funct ,ii,
sau folosind Teorema 2.2.3. s,iLema 2.3.1. , se obt ,ine urm atorul rezultat:
Teorema 2.3.1. Fie'(
)o-funct ,ie. Atunci '(
)este semicontinu a la
st^ anga.
^In continuare urmeaz a a  prezentat un fapt foarte interesant, s ,i anume
cum -funct ,iile generalizate genereaz a o semimodular a pe spat ,iulL0(A;):
Mai ^ nt^ ai se va da expresia acesteia, dup a care se va ar ata c a, ^ ntr-adev ar,
aceasta denes ,te o semimodular a pe L0(A;):
Denit ia 2.3.4. Funct ,ia%'(
) :L0(A;)![0;1] denit a prin
%'(f) =R
A'(y;jf(y)j)d(y)
se numes ,tesemimodulara indus a de '(
;
):
Teorema 2.3.2. Fie'(
;
)2(A;)s,i f2L0(A;):Atunciy7!'(y;jf(y)j)
este o aplicat ,ie-m asurabil a s ,i%'(
)este o semimodular a pe L0(A;):
Demonstrat ie.
Mai ^ nt^ ai se va demonstra c a aplicat ,iay7!'(y;jf(y)j) este o funct ,ie
m asurabil a. ^Imp art ,ind funct ,iaf^ n partea sa pozitiv a s ,i partea sa negativ a,
f ar a pierderea generalit at ,ii, este sucient s a e considerat doar cazul ^ n care
f0:Fie (fn)n2Nun s ,ir de funct ,ii simple pozitive astfel ^ nc^ at fn%f
punctual. Consider^ and faptul c a funct ,iilefnau proprietatea cum c a implic a
reprezentarea
'(y;jfn(y)j) =P
j'(y;n
j)An
j(y);
pentru orice n2N, undeAn
jsunt mult ,imi dinAm asurabile. Av^ and aceste
reprezent ari, evident, funct ,iilefnsunt m asurabile, iar cum '(y;fn(y))%
'(y;f(y)) pentru orice y2A;funct ,iay7!'(y;jf(y)j) este m asurabil a.
Acum se va demonstra c a %'(
) este o semimodular a pe L0(A;).
21

Din propriet at ,ile integralei s ,i ale -funct ,iei generalizate '(
;
);este evi-
dent c a%'(0) = 0,%'(f) =%'(-f) pentru orice f2L0(A;) s,i c a%'(
) este
o funct ,ie convex a.
Urmeaz a s a e demonstrat a continuitatea la st^ anga. Fie ( n)n2Nun s ,ir de
numere reale astfel ^ nc^ at n%1 s,i ey2A:Atunci, datorit a continuit at ,ii
la st^ anga s ,i a monotoniei funct ,iei'(y;
);
'(y;nf(y))%'(y;f(y));
iar din Teorema de convergent , a monoton a ,
%'(nf)!%'(f);
convergent , a simpl a ce demonstreaz a continuitatea la st^ anga a funct ,iei%'(
):
Pentru ultima condit ,ie din Denit ,ia 2.2.1. , se consider a f2L0(A;)
astfel^ nc^ at %'(f) = 0 pentru orice >0:S a se presupun a, prin absurd, c a f
nu este identic nul a. As ,adar,jfj6= 0 pe o mult ,ime de m asur a strict pozitiv a.
F ar a pierderea generalit at ,ii, se poate presupune c a fia doar valori pozitive.
Conform alegerii lui f,'(y;f (y)) = 0 aproape peste tot, pentru orice >0:
Atunci lim !1'(y;f (y)) = 0 aproape peste tot. Dar, pe de alt a parte, pe
o submult ,ime a luiA, lim!1f(y) =1;deci lim!1'(y;f (y)) =1;
ceea ce constituie o contradict ,ie. As ,adar, presupunerea f acut a a fost fals a,
decifeste identic nul a.
^In concluzie, %'(
) este o semimodular a pe L0(A;):
^In nal, dac a '(
) este pozitiv a, se consider a f2L0(A;) astfel ^ nc^ at
%'(f) = 0:Atunci'(y;f(y)) = 0 aproape peste tot. Cum '(
) este pozi-
tiv a,f= 0 aproape peste tot, deci feste identic nul a. Acest rezultat de-
monstreaz a c a %'(
) este o modular a pe L0(A;) dac a'(
) este o -funct ,ie
pozitiv a.

Av^ and spat ,iul vectorial L0(A;) s,i%'(
) o semimodular a pe acesta, este
natural s a se deneasc a acum spat ,iul semimodular asociat. Corespunz ator
Denit ,iei 2.2.4. s,iObservat ,iei 2.2.4. ,
Denit ia 2.3.5. Spat ,iul semimodular
(L0(A;))%'=ff2L0(A;) : lim
!0%'(f) = 0g=
=ff2L0(A;) : exist a0>0 astfel ^ nc^ at %'(0f)<1g
22

se numes ,tespat ,iul Musielak-Orlicz . Acesta se va nota cu L'(A;) sau, c^ and
nu este pericol de confuzie fat , a de spat ,iul cu m asur a pe care se lucreaz a, cu
L'.
Spat ,iile Musielak-Orlicz se mai numesc s ,ispat ,ii Orlicz generalizate .
^In continuare se denes ,te norma Luxemburg asociat a acestui spat ,iu. Con-
formDenit ,iei 2.2.5. ,
k
k':=k
k%':L'(A;)![0;1) :f7!inff>0 :%'(x
)1g
^In ultima teorem a a acestei sect ,iuni urmeaz a s a e listate analogurile
unor rezultate din cadrul spat ,iilor Lebesgue clasice. Acestea se numesc, ^ n
ordinea aparit ,iei lor, Lema lui Fatou pentru modulare ,Teorema de
convergent , a monoton a pentru modulare s,iTeorema de convergent , a
dominat a pentru modulare .
Teorema 2.3.3. Fie'(
;
)2(A;);(fn)n2NL0(A;)s,if,g2L0(A;).
Atunci:
i. Dac a f n!faproape peste tot, atunci %'(f)lim inf
n!1%'(fn):
ii. Dac ajfnj%jfjaproape peste tot, atunci %'(fn)!%'(f):
iii. Dac a f n!faproape peste tot ;jfnjjgjoricare ar  n2Ns,i
%'(g)<1pentru orice >0;atunci fn!f^ n L':
Demonstrat ie.
i. Folosind Teorema 2.3.1. s,iLema lui Fatou , se poate realiza esti-
marea
%'(f) =R
A'(y;jf(y)j)d(y) =R
A'(y;lim
n!1jfn(y)j)d(y)
R
Alim inf
n!1'(y;jfn(y)j)d(y)lim inf
n!1R
A'(y;jfn(y)j)d(y) =
= lim inf
n!1%'(fn)
23

ii. Datorit a continuit at ,ii la st^ anga s ,i a monotoniei funct ,iei'(y;
), se de-
duce c ajfnj%jfjimplic a'(
;jfn(
)j)%'(
;jf(
)j) aproape peste tot.
Folosind acest rezultat s ,iTeorema de convergent , a monoton a , se
deduce urm atorul s ,ir de egalit at ,i:
%'(f) =R
A'(y;jf(y)j)d(y) =R
A'(y;lim
n!1jfn(y)j)d(y) =
=R
Alim
n!1'(y;jfn(y)j)d(y) = lim
n!1R
A'(y;jfn(y)j)d(y) = lim
n!1%'(fn)
iii. Dac afn!faproape peste tot, atunci fnf!0 aproape peste
tot, decijfnfj! 0 aproape peste tot. T ,in^ and cont s ,i de faptul
c ajfnjjgjaproape peste tot, pentru orice n2N;atuncijfjjgj
aproape peste tot, s ,i de asemenea se mai obt ,ine s ,i c ajfnfj2jgj
aproape peste tot. Fie >0 ales arbitrar, dar xat. Av^ and aceste date,
cum%(2g)<1;utiliz^ and Teorema de convergent , a dominat a ,
se poate concluziona
lim
n!1%'(jfnfj) = lim
n!1R
A'(y;jfn(y)f(y)j)d(y) =
=R
Alim
n!1'(y;jfn(y)f(y)j)d(y) =
=R
A'(y;lim
n!1jfn(y)f(t)j)d(y) = 0
Cuma fost ales arbitrar, conform Lemei 2.2.1. ,fn!f^ nL':

2.4 Completitudine
Odat a cu aceast a sect ,iune, se va ^ ncepe studiul propriet at ,ilor spat ,iilor cu
exponent variabil.
Conform Teoremei 2.2.1. , spat ,iul (L',k
k') este un spat ,iu normat. Ur-
meaz a s a se demonstreze faptul c a spat ,iul Musielak-Orlicz este chiar complet.
^In continuare sunt prezentate dou a rezultate necesare pentru demonstrarea
acestui fapt:
Lema 2.4.1. Fie'(
;
)2(A;)s,i(A)<1:Atunci orice s ,ir Cauchy ^ n
raport cu normak
k'este s ,ir Cauchy ^ n raport cu convergent ,a ^ n m asur a.
24

Demonstrat ie.
Fie">0:Pentru orice t>0;se consider a mult ,imea
Vt=fy2A:'(y;t) = 0g
Evident, pentru orice t>0;mult ,imeaVteste m asurabil a. De asemenea,
conform Observat ,iei 2.3.2. , pentru orice y2A;aplicat ,iat7!'(y;t)
este cresc atoare, iar cum, conform Denit ,iei 2.3.1. , limt!1'(y;t) =1;
se deduce c a Vt&?atunci c^ and t!1:^In consecint , a, limt!1(Vt) =
(?) = 0. As ,adar, exist a un prag t"2Nastfel ^ nc^ at (Vt)<"pentru orice
tt":
Urmeaz a s a e denit a o masur a auxiliar a t";care aplicat a unei mult ,imi
-m asurabile, act ,ioneaz a astfel:
t"(M) :=%'(t"M) =R
M'(y;t")d(y)
FieMo mult ,ime-m asurabil a astfel ^ nc^ at t"(M) = 0;deci, conform
denit ,iei anterioare,R
M'(y;t")d(y) = 0, adic a '(y;t") = 0-a.p.t. peM:
As,adar,(MnVt") = 0:AtunciAnVt"(M) = 0;fapt ce demonstreaz a c a
AnVt"este o m asur a absolut continu a ^ n raport cu m asura t":
Dat ind faptul c a (AnVt")(A)<1s,i c aAnVt"este absolut
continu a ^ n raport cu t";exist a2(0;1) astfel ^ nc^ at t"(E)implic a
faptul c aAnVt"(E)";adic a(EnVt")";pentru orice mult ,imeE -
m asurabil a.
Fie acum ( fn)nun s ,ir Cauchy ^ n raport cu k
k':^In acest caz, exist a
un pragn12Nastfel ^ nc^ atkt"
"(fmfn)k'1 pentru orice m;nn1:Se
va lucra ^ n continuarea acestei demonstrat ,ii ^ n contextul ^ n care m;nn1:
Cumkt"
"(fmfn)k'1;dinproprietatea bilei unitate se obt ,ine c a
%'(t"
"(fmfn))1:^In continuare, folosind ultima inegalitate obt ,inut a s ,i
Observat ,ia 2.2.2. , se poate realiza estimarea
%'(t"
"(fmfn)) =%'(t"
"1
(fmfn))
%'(t"
"(fmfn))
1 =
FieEm;n;" =fy2A:jfm(y)fn(y)j"g. Atunci, t ,in^ and cont de modul
^ n care a fost denit a mult ,imeaEm;n;", deObservat ,ia 2.2.1. s,i de ultima
estimare, se obt ,ine
25

t"(Em;n;") =R
Em;n;"'(y;t")d(y)R
Em;n;"'(y;t"fm(y)fn(y)
")
R
A'(y;t"fm(y)fn(y)
") =%'(t"
"(fmfn))
Conform modului ^ n care a fost ales ;se obt ,ine c a(Em;n;"nVt")",
iar cum(Vt")";se deduce c a (Em;n;")2":Cum"a fost ales arbitrar,
se concluzioneaz a c a ( fn)neste un s ,ir Cauchy ^ n raport cu convergent ,a ^ n
m asur a, ceea ce trebuia demonstrat.
Dac a se ^ nt^ ampl a ca kfnk'!0;atunci similar rat ,ionamentului anterior,
exist a un prag n"2Nastfel ^ nc^ at fjfnj"g2"pentru orice nn";fapt
ce arat a c a fn!0 ^ n m asur a.

Lema 2.4.2. Fie'(
;
)2(A;):Atunci orice s ,ir dinL'(A;)care este
Cauchy ^ n raport cu norma k
k'admite un subs ,ir care converge aproape
peste tot la o funct ,ie m asurabil a.
Demonstrat ie.
Av^ and ^ n vedere faptul c a este o m asur a -nit a, e s ,irul de mult ,imi
m asurabile ( An)n2Nastfel ^ nc^ at:
i.An\Am=?pentru orice n;m2N; n6=m:
ii.(An)<1pentru orice n2N:
iii.A=[1
n=1An:
Conform Lemei 2.4.1. , s,irul (fn)neste un s ,ir Cauchy ^ n raport cu
convergent ,a^ n m asur a pe A1:As,adar, exist a o funct ,ie m asurabil a f:A1!R
pentru care ( fn)nadmite un subs ,ir convergent aproape peste tot la f:Re-
pet^ and acest rat ,ionament pentru toate elementele mult ,imiifAn:n2Ngs,i
aplic^ and principiul diagonal al lui Cantor , se obt ,ine un subs ,ir (fnk)k2N
s,i o funct ,ie m asurabil a f:A!Rastfel ^ nc^ at fnk!faproape peste tot.

Av^ and la dispozit ,ie acest rezultat, se poate demonstra completitudinea
spat ,iului Musielak – Orlicz.
Teorema 2.4.1. Fie'(
;
)2(A;):Atunci L'(A;)este un spat ,iu
Banach.
26

Demonstrat ie.
Fie (fn)n2Nun s ,ir Cauchy din L':Conform Lemei 2.4.2. , exist a un
subs ,ir (fnk)k2Ns,i o funct ,ie m asurabil a f:A!Rastfel ^ nc^ at fnk!f
aproape peste tot. Atunci '(y;jfnk(y)f(y)j)!0 aproape peste tot.
Fie>0 s,i e"2(0;1):Cum (fn)neste un s ,ir Cauchy, exist a un prag
K2Nastfel ^ nc^ atk(fmfn)k'< "; pentru orice m;nK:Conform
propriet at ,ii bilei unitate ,%'((fmfn))";pentru orice m;nK:
Utiliz^ and Lema lui Fatou , se obt ,ine estimarea
%'((fmf)) =R
Alim
j!1'(y;jfm(y)fkj(y)j)d(y)
lim inf
j!1R
A'(y;jfm(y)fkj(y)j)d(y) =
= lim inf
j!1%'((fmfkj))"
As,adar,%'((fmf))!0;pentru orice  > 0;deci, conform Lemei
2.2.1. , cum s ,irul (fn)neste%'-convergent la fpentru orice >0;(fn)neste
convergent ^ n norm a la f;i.e.kfnfk'!0:
As,adar, orice s ,ir Cauchy din L'este convergent ^ n L';deci ^ n concluzie,
L'este un spat ,iu Banach.

2.5 Separabilitate
Av^ and ^ n vedere faptul c a nici spat ,iulLpclasic nu este separabil pentru
oricep2[1;1], este lesne de intuit c a ^ n aceast a sect ,iune sunt necesare
c^ ateva structuri adit ,ionale.
Denit ia 2.5.1. Fie'(
;
)2(A;):Mult ,imea
E'(A;) :=ff2L':%'(f)<1pentru orice >0g
se numes ,temult ,imea elementelor nite ale spat ,iului Musielak-Orlicz.
Atunci c^ and nu exist a pericol de confuzie fat , a de spat ,iul pe care se lu-
creaz a, se poate folosi abrevierea E':=E'(A;).
27

Lema 2.5.1. E'este o submult ,ime ^ nchis a din L':
Demonstrat ie.
Fie (fn)nun s ,ir dinE's,ifun element din L'astfel ^ nc^ at fn!f^ nL':
Atunci, conform Lemei 2.2.1. ,%'((fnf))!0;pentru orice >0:
Fie >0 arbitrar, dar xat. Atunci %'(2(fnf))!0:Atunci exist a
un pragn2Nastfel ^ nc^ at %'(2(fnf))1 pentru orice nn:
Datorit a ultimei inegalit at ,i s,i conform convexit at ,ii semimodularei %'(
);
se poate realiza estimarea
%'(f) =%'((fnf) +fn)1
2%'(2(fnf)) +1
2%'(2fn)
1
2+1
2%'(2fn)<1
As,adar, cuma fost ales arbitrar, f2E':
^In concluzie, E'este o submult ,ime ^ nchis a din L':

Av^ and ^ n vedere faptul c a aceast a sect ,iune are ca scop nal demonstrarea
separabilit at ,ii spat ,iului Musielak – Orlicz, ar  extrem de folositor s a se apro-
ximeze funct ,iile m asurabile cu funct ,ii simple, ^ ns a, pentru a se realiza acest
lucru, este necesar a introducerea unei propriet at ,i adit ,ionale pentru funct ,ia
'(
;
):
Denit ia 2.5.2. O funct ,ie'(
;
)2(A;) se numes ,telocal integrabil a pe
Adac a%'(tE)<1pentru orice t0 s,i orice mult ,ime m asurabil a EA
cu(E)<1:
Observat ia 2.5.1. Denit ,ia anterioar a este diferit a de cea clasic a, cea care
reunes ,te funct ,iile local integrabile^ n sensul clasic, adic a integrabile doar peste
submult ,imi compacte s ,i formeaz a spat ,iulL1
loc:
Teorema 2.5.1. Fie'(
;
)2(A;)o funct ,ie local integrabil a s ,i eS:=
S(A;)mult ,imea funct ,iilor simple. Atunci Sk
k'=E'(A;):
Demonstrat ie.
Pentru incluziunea direct a, deoarece local integrabilitatea funct ,iei'(
;
)
implic aSE';iar cumE'este o mult ,ime ^ nchis a, este evident a incluziunea
Sk
k'E':
28

Pentru incluziunea invers a, e f2E':Eventual ^ mp art ,ind funct ,iaf^ n
partea sa pozitiv a s ,i partea sa negativ a, f ar a pierderea generalit at ,ii, se poate
presupune c a f0:Cumf2L0(A;);exist a un s ,ir de funct ,ii simple s ,i
pozitive (fn)nastfel ^ nc^ at fn%fa.p.t., iar din Teorema de convergent , a
dominat a ,fn!f^ nL'. As ,adar,fapart ,ine ^ nchiderii mult ,imiiS.
Lema 2.5.2. Fie'(
;
)2(A;)o funct ,ie local integrabil a. Atunci, pentru
orice">0s,i>0, exist a>0astfel ^ nc^ at (E)s a implice%'(E)
"s,ikEk'1
:
Demonstrat ie.
Se va demonstra prima inegalitate prin contradict ,ie. As ,adar, s a se pre-
supun a, prin absurd, c a exist a ">0,>0 s,i un s ,ir de mult ,imi m asurabile
(En)n2Nastfel ^ nc^ at (En)1
2ns,i%'(En)> " pentru orice n2N:Fie
s,irul de mult ,imi m asurabile ( Gn)n2Ndenit prin Gn:=S1
i=nEi.(Gn)P1
i=n(Ei) =P1
i=n1
2i21n!0. Conform ultimei estim ari, se obt ,ine c a
(G1)1<1;iar cum0;conform denit ,iei unei -funct ,ii genera-
lizate care este local integrabil a, %'(G1)<1:T,in^ and cont de faptul c a
GnG1pentru orice n2Ns,i av^ and ^ n vedere construct ,ia s ,irului (Gn)n;
se poate concluziona c a Gn!0 aproape peste tot. As ,adar, din Teorema
de convergent , a dominat a pentru modulare , limn!1%'(Gn) = 0:
Dar aceast a ultim a egalitate constituie o contradict ,ie cu faptul c a %'(Gn)
%'(En)>"pentru orice n2N:
Pentru a doua inegalitate, se xeaz a "= 1:Atunci, conform primei in-
egalit at ,i,%'(E)1;iar din proprietatea bilei unitate ,kEk'1:
As,adar,kEk'1
: 
O alt a proprietate adit ,ional a care este necesar a scopului acestei sect ,iuni
este evident ,iat a ^ n urm atoarele r^ anduri.
Denit ia 2.5.3. Fie (A;;) un spat ,iu cu m asur a complet a, -nit. M asura
se numes ,teseparabil a dac a exist a un s ,ir (En)n2N astfel ^ nc^ at:
i.(En)<1pentru orice n2N:
ii. pentru orice E2 cu(E)<1s,i pentru orice ">0;exist a un indice
n02Nastfel ^ nc^ at (E4En0)<":
Av^ and acum la dispozit ,ie local integrabilitatea unei -funct ,ii generalizate
s,i separabilitatea unei m asuri, se poate enunt ,a urm atorul rezultat esent ,ial
pentru aceast a sect ,iune.
29

Teorema 2.5.2. Fie'(
;
)2(A;)o funct ,ie local integrabil a s ,isepara-
bil a. Atunci mult ,imea E'(A;)este separabil a.
Demonstrat ie.
FieS0mult ,imea tuturor funct ,iilor simple gde tipulg=Pn
i=1qiEi;
unde coecient ,iiqisunt numere rat ,ionale, iar elementele Eisunt elemente
din s ,irul corespunz ator denit ,iei unei m asuri separabile. Evident, mult ,imea
S0este num arabil a. Datorit a Teoremei 2.5.1. ;pentru a  demonstrat a
separabilitatea mult ,imiiE', este sucient s a se demonstreze cum c a mult ,imea
S0este dens a in mult ,imeaS.
As,adar, ef2S.fse poate scrie sub forma f=Pm
i=1biBi;unde
coecient ,iibisunt numere reale, iar mult ,imileBisunt mult ,imi m asurabile,
de m asur a nit a, disjuncte dou a c^ ate dou a. Fie  > 0 arbitrar, dar -
xat. Fieb:= maxfbi:i2f1;2;:::;mgg:Cum'(
;
) este local integrabil a,
Lema 2.5.2. asigur a faptul c a integrala aplicat ,ieiy7!'(y;4kb) poate
m arginit a superior cu o valoare oric^ at de mic a at^ at timp c^ at mult ,imea peste
care se calculeaz a integrala este aleas a astfel^ nc^ at m asura ei s a e sucient de
mic a. T ,in^ and cont de separabilitatea m asurii ;exist a mult ,imile m asurabile
de m asur a nit a Ej1,Ej2, …,Ejmastfel ^ nc^ at
R
Eji4Bi'(y;4kb)d(y)1 pentru orice i2f1;2;:::;mg(Estimarea 1 )
FieB:=Sm
i=1Bi. Evident, (B)<1;iar cum'(
;
) este local inte-
grabil aR
B'(y;2)!0 atunci c^ and !0:Se xeaz a > 0 astfel ^ nc^ atR
B'(y;2)1:Se alegq1;q2;:::;qmnumere rat ,ionale astfel^ nc^ at jbiqij<
s,ijqij2bpentru orice i2f1;2;:::;mg:Fie acumg:=Pm
i=1qiEji. Din
construct ,ia luig, evidentg2S0:Se consider a estimarea:
jfgj=jmP
i=1biBimP
i=1aiEjij=jmP
i=1biBimP
i=1aiBimP
i=1aiEjinBij
jmP
i=1(biai)Bij+jmP
i=1aiEjinBijmP
i=1jbiaijBi+mP
i=1jaijEji4Bi
B+mP
i=12bEji4Bi
Folosind monotonia s ,i convexitatea semimodularei %'(
);combinat a cu
ultima estimare dedus a, modul ^ n care a fost ales ;Observat ,ia 2.2.2. s,i
Estimarea 1 , se demonstreaz a c a
30

%'((fg))%(jfgj)%'(1
22(B+mP
i=12bEji4Bi))
1
2%'(2B) +1
2%'(2mP
i=12bEji4Bi) =
=1
2R
B'(y;2)d(y)+1
2%'(mP
i=11
mm4bEji4Bi)
1
21 +1
2mmP
i=1R
Eji4Bi'(y;4kb)d(y)1
2+1
2mm= 1
Av^ and aceast a ultim a estimare, conform propriet at ,ii bilei unitate ,
k(fg)k'1;decikfgk'1
;iar cuma fost ales arbitrar pozitiv,
se dovedes ,te c a mult ,imeaS0este dens a ^ n mult ,imeaS, iar cumSeste dens a
^ nE'(conform Teoremei 2.5.2. ), se concluzioneaz a c a mult ,imeaE'este
separabil a. 
Pentru demonstrarea separabilit at ,ii spat ,iului Musielak – Orlicz, se consi-
der a o ultim a structur a adit ,ional a:
Denit ia 2.5.4. Fie'(
;
)2(A;):Mult ,imea
L'
OC(A;) :=ff2L':%'(f)<1g
se numes ,teclasa Musielak-Orlicz . Atunci c^ and nu exist a pericol de confu-
zie fat , a de spat ,iul pe care se lucreaz a, se poate folosi abrevierea L'
OC:=
L'
OC(A;).
Conform denit ,iilor mult ,imilorE's,iL'
OC, este trivial a incluziunea E'
L'
OCL':^In funct ,ie de alegerea funct ,iei'(
;
);pe de o parte incluziunile pot
 stricte, iar pe de alt a parte toate cele trei mult ,imi pot  identice. Urm atorul
rezultat arat a o condit ,ie sucient a pentru egalitatea acestor mult ,imi.
Teorema 2.5.3. Fie L'(A;)un spat ,iu Musielak – Orlicz astfel ^ nc^ at pentru
orice f2L';f2L'
OCimplic a 2f2L'
OC:Atunci E'=L'
OC=L':
Demonstrat ie.
Mai ^ nt^ ai se va demonstra c a E'=L'
OC:Cum incluziunea E'L'
OC
rezult a direct din denit ,ii, mai r am^ ane de demonstrat incluziunea L'
OCE',
31

deci trebuie demonstrat faptul c a pentru orice f2L'
OC;%'(f)<1pentru
orice>0:As,adar, ef2L'
OC, deci%'(f)<1s,i e>0:Dac a<1;
atunci din monotonia semimodularei considerate, %'(f)%'(f)<1:
Dac a= 1, atunci nu este nimic de demonstrat. Dac a  >1, se consider a
m2Nastfel ^ nc^ at  < 2m:Conform monotoniei semimodularei, %'(f)
%'(2mf). Aplic^ and de mori faptul c a f2L'
OCimplic a 2f2L'
OC;se obt ,ine
c a 2mf2L'
OC, deci%'(2mf)<1:As,adar,%'(f)<1:As,adar, s-a obt ,inut
c a%'(f)<1pentru orice  > 0:Prin urmare, L'
OCE':^In concluzie,
E'=L'
OC:
Acum se va demonstra c a L'
OC=L'. Cum incluziunea L'
OCL'rezult a
direct din denit ,ii, mai r am^ ane de demonstrat incluziunea L'L'
OC;deci
trebuie demonstrat faptul c a pentru orice f2L'; %'(f)<1:As,adar, e
f2L':Conform denit ,iei spat ,iului Musielak – Orlicz, exist a  > 0 astfel
^ nc^ at%'(f)<1:Atuncif2L'
OC:Dar ^ n acest caz, conform ipotezei,
2f2L'
OC. Repet^ and acest rat ,ionament se ajunge la concluzia cum c a
2mf2L'
OCpentru orice m2N, adic a%'(2mf)<1pentru orice m2
N:Dac a < 1;exist am2Nastfel ^ nc^ at 2m > 1;iar din monotonia
semimodularei se obt ,ine c a%'(f)%'(2mf)<1, as ,adar%'(f)<1:
Dac a= 1;atunci nu este nimic de demonstrat. Dac a >1;din monotonia
semimodularei se deduce c a %'(f)%'(f)<1;deci%'(f)<1:As,adar
%'(f)<1implic a%'(f)<1. Prin urmare, L'L'
OC:^In concluzie,
L'
OC=L':
Pun^ and ^ mpreun a cele dou a alineate anterioare, teorema este demon-
strat a. 
T,in^ and cont de Teorema 2.5.2. s,i deTeorema 2.5.3. , se obt ,ine
urm atorul rezultat, care ^ ncheie problema studiat a ^ n aceast a sect ,iune:
Corolarul 2.5.1. Fie'(
;
)2(A;) o funct ,ie local integrabil a astfel ^ nc^ at
pe spat ,iul Musielak – Orlicz L'(A;) indus este respectat a condit ,ia :f2L'
OC
implic a 2f2L'
OCpentru orice f2L'; s,i m asuraeste separabil a. Atunci
spat ,iulL'(A;) este separabil.
32

2.6 Uniform convexitate
As,a cum nu orice p2[1;1] garanteaz a uniform convexitatea spat ,iului
Lpclasic, nu orice funct ,ie'(
;
)2(A;) implic a uniform convexitatea
spat ,iuluiL'(A;);as,adar este necesar a considerarea unei subclase de -
funct ,ii generalizate care s a asigure aceast a proprietate. Urm atoarea denit ,ie
este folositoare ^ n acest sens.
Denit ia 2.6.1. O -funct ,ie'(
) se numes ,teN-funct ,iedac a ^ ndeplines ,te
urm atoarele propriet at ,i:
i.'(
) este o funct ,ie continu a.
ii.'(
) este o funct ,ie pozitiv a.
iii. limt&0'(t)
t= 0.
iv. limt!1'(t)
t=1:
Denit ia 2.6.2. O funct ,ie'(
;
)2(A;) se numes ,teN-funct ,ie generali-
zat a dac a'(y;
) esteN-funct ,ie pentru orice y2A:
Observat ia 2.6.1. Dac a'(
;
)2(A;) este oN-funct ,ie generalizat a, se
va folosi notat ,ia'(
;
)2N(A;):^In cazul ^ n care este m asura Lebesgue
n-dimensional a, Aeste o submult ,ime din Rn-m asurabil a care se va nota cu

, iar  este -algebra generat a de submult ,imile-m asurabile ale mult ,imii

, se va folosi abrevierea '(
;
)2N(
):
Denit ia 2.6.3. O funct ,ie'(
;
)2N(A;) se numes ,teuniform convex a
dac a pentru orice " > 0;exist a > 0 astfel ^ nc^ at dac a nu este respectat a
inegalitatea
juvj"maxfu;vg;
atunci are loc inegalitatea
'(y;u+v
2)(1)'(y;u)+'(y;v)
2;
pentru orice u;v0 s,i oricey2A:
33

Denit ia 2.6.4. O semimodular a %(
) peXse numes ,teuniform convex a
dac a pentru orice " > 0;exist a > 0 astfel ^ nc^ at dac a nu este respectat a
inegalitatea
%(fg
2)"%(f)+%(g)
2;
atunci are loc inegalitatea
%(f+g
2)(1)%(f)+%(g)
2;
pentru orice f;g2X%:
^In continuare se va demonstra c a uniform convexitatea unei -funct ,ii
generalizate implic a uniform convexitatea semimodularei pe care aceasta
o induce, ^ ns a ^ nainte sunt necesare dou a rezultate. Primul reformuleaz a
Denit ,ia 2.6.3. astfel ^ nc^ at us,ivs a nu mai e restrict ,ionate doar la va-
lori pozitive, ci s a poat a varia pe ^ ntreaga ax a real a, iar al doilea confer a o
variant a alternativ a pentru prima inegalitate ce va  fost expus a ^ n primul
rezultat.
Lema 2.6.1. Fie'(
;
)o N-funct ,ie generalizat a uniform convex a. Atunci
pentru orice "0>0;exist a0>0astfel ^ nc^ at dac a nu este respectat a inegali-
tatea
juvj"0maxfjuj,jvjg,
atunci are loc inegalitatea
'(y;ju+v
2j)(10)'(y;juj)+'(y;jvj)
2;
pentru orice u;v2Rs,i orice y2A.
Demonstrat ie.
Fie"0>0:Se denes ,te":="0
2:Fie > 0 astfel ^ nc^ at s a satisfac a
Denit ,ia 2.6.3. . Fiey2As,iu;v2R:
Dac aus,ivrespect a inegalitatea juvj"0maxfjuj;jvjg, atunci nu este
nimic de demonstrat, '(
;
) este uniform convex a.
^In continuarea demonstrat ,iei se va considera c a juvj>"0maxfjuj;jvjg.
Dac ajjujjvjj> " maxfjuj;jvjg, atuncijuvj> " maxfjuj;jvjg, iar
funct ,ia este uniform convex a prin alegerea 0:=:
^In continuarea demonstrat ,iei se va considera c a jjujjvjj"maxfjuj;jvjg.
Dac ajjujjvjj"maxfjuj;jvjg, atunci
34

juvj>"0maxfjuj;jvjg= 2"maxfjuj;jvjg 2jjujjvjj
Datorit a acestei inegalit at ,i, se poate considera estimarea
ju+v
2j2=u2
2+v2
2uv
2
2=u2
2+v2
23
4uv
2
21
4uv
2
2
u2
2+v2
23
4uv
2
2
jujjvj
22
=
juj+jvj
22
3
4uv
2
2
Cumjuvj>"0maxfjuj,jvjg"0juj+jvj
2;estimarea poate continua astfel:

juj+jvj
22
3
4uv
2
2
juj+jvj
22
3
4
"0
2juj+jvj
22
=

juj+jvj
22
3
4("0)2
4
juj+jvj
22
=
=
13("0)2
16
juj+jvj
22
Se denes ,te0:= 1q
13("0)2
16>0:Atunciju+vj
2(10)juj+jvj
2:
Av^ and ^ n vedere aceast a ultim a inegalitate, monotonia funct ,iei'(y;
) s,i
Observat ,ia 2.2.2. , dup a care convexitatea funct ,iei'(y;
), se poate realiza
urm atoarea estimare:
'(y;ju+vj
2)(10)'(y;juj+jvj
2)(10)'(y;juj)+'(y;jvj)
2;
care ^ ncheie demonstrat ,ia lemei. 
Observat ia 2.6.2. ^In cazul ^ n care u;v2Rsatisfac relat ,iajuvj"
maxfjuj,jvjgpentru"2(0;1);atunci
juvj"(juj+jvj);
iar din convexitatea funct ,iei'(y;
);
'(y;juvj
2)"'(y;juj)+'(y;jvj)
2;
pentru orice y2A:
As,adar, ^ n Lema 2.6.1. se poate ^ nlocui prima inegalitate cu versiunea
mai slab a dat a de ultima inegalitate prezentat a.
Acum totul este preg atit pentru a demonstra urm atorul rezultat:
35

Teorema 2.6.1. Fie'(
;
)2N(A;)uniform convex a. Atunci s ,i semimo-
dulara%'(
)este uniform convex a.
Demonstrat ie.
Fie"0s,i0denite ca ^ n Lema 2.6.1 . Fie":= 2"0:Fief,g2X%:
^In cazul ^ n care %'(f) =1sau%'(g) =1;uniform convexitatea semimo-
dularei este vericat a ^ n mod trivial. As ,adar, ^ n continuarea demonstrat ,iei,
se va lucra cu presupunerea cum c a %'(f) s,i%'(g) sunt ambele nite. Din
aceast a presupunere, conform convexit at ,ii semimodularei %'(
);se obt ,ine c a
%'(f+g
2);%'(fg
2)<1:
Dac a%'(fg
2)"%'(f)+%'(g)
2;atunci nu este nimic de demonstrat, semi-
modulara este uniform convex a. ^In continuare se va presupune c a
%'(fg
2)>"%'(f)+%'(g)
2(Estimarea 1 )
Se va demonstra c a %'(f+g
2)(10"
2)%'(f)+%'(g)
2;inegalitate ce demon-
streaz a uniform convexitatea semimodularei considerate.
FieE:=fy2A:jf(y)g(y)j>"
2maxfjf(y)j;jg(y)jgg:
Datorit a Observat ,iei 2.6.2. , a doua inegalitate din Observat ,ia 2.6.2.
se veric a aproape peste tot pentru orice y2AnE:^In particular, cu ajutorul
egalit at ,ii din Observat ,ia 2.2.2. , se realizeaz a estimarea
%'(AnEfg
2)"
2%'(AnEf)+%'(AnEg)
2"
2%'(f)+%'(g)
2(Estimarea 2 )
Estimarea 1 s,iEstimarea 2 implic a
%'(Efg
2) =%'(fg
2)%'(AnEfg
2)>
>"%'(f)+%'(g)
2"
2%'(f)+%'(g)
2="
2%'(f)+%'(g)
2(Estimarea 3)
De asemenea, conform modului ^ n care a fost denit a mult ,imeaE, din
Lema 2.6.1. se obt ,ine c a
%'(Ef+g
2)(10)%'(Ef)+%'(Eg)
2(Estimarea 4)
Totodat a, datorit a convexit at ,ii semimodularei,%'(f)+%'(g)
2%'(f+g
2):Cu
ajutorul acestei inegalit at ,i, se realizeaz a estimarea:
36

%'(f)+%'(g)
2%'(f+g
2) =
=%'(Ef)+%'(Eg)
2%'(Ef+g
2) +%'(AnEf)+%'(AnEg)
2%'(AnEf+g
2)
%'(Ef)+%'(Eg)
2%'(Ef+g
2)(Estimarea 5)
Combin^ and Estimarea 4 cuEstimarea 5 , apoi folosind convexitatea se-
mimodularei, urmat a ^ n nal de utilizarea Estim arii 3 , se deduce c a
%'(f)+%'(g)
2%'(f+g
2)0%'(Ef)+%'(Eg)
20%'(Efg
2)
0"
2%'(f)+%'(g)
2
Din aceast a ultim a estimare se obt ,ine c a
%'(f+g
2)(10"
2)%'(f)+%'(g)
2;
inegalitate ce ^ ncheie demonstrat ,ia.

Urm atorul pas ar  s a se demonstreze cum c a uniform convexitatea semi-
modularei%'(
) implic a uniform convexitatea normei k
k', ^ ns a acest lucru
nu este adev arat ^ ntotdeauna. Pentru a facilita aceast a etap a, este necesar a
introducerea unei condit ,ii suplimentare pentru semimodulara %'(
);care va
 dob^ andit a datorit a faptului c a N-funct ,ia'(
;
) respect a aceeas ,i condit ,ie.
Urm atoarele denit ,ii s,i rezultate concretizeaz a aceast a discut ,ie.
Denit ia 2.6.5. O funct ,ie'(
;
)2(A;) satisface condit ,ia-
2dac a exist a
o constant a real a K2 astfel ^ nc^ at '(y;2t)K'(y;t) pentru orice y2A
s,i oricet0:Cea mai mic a astfel de constant a se numes ,teconstanta-
2a
-funct ,iei generalizate '(
;
):
Denit ia 2.6.6. O semimodular a %(
) peXsatisface condit ,ia-
2dac a exist a
o constant a real a K2 astfel ^ nc^ at %(2f)K%(f) pentru orice f2X%:
Cea mai mic a astfel de constant a se numes ,teconstanta-
2a semimodularei
%(
):
Observat ia 2.6.3. Dac a o funct ,ie'(
;
)2(A;) satisface condit ,ia-
2
cu constanta K, atunci semimodulara indus a %'(
) satisface, de asemenea,
condit ,ia-
2cu exact aceeas ,i constant a K.
37

Urmeaz a sa e prezentate dou a rezultate ce studiaz a comportamentul
unei semimodulare ce satisface condit ,ia-
2:
Lema 2.6.2. Fie%(
)o semimodular a pe X ce satisface condit ,ia-
2s,i e K
constanta-
2a semimodularei %(
):Atunci pentru orice " >0, exist a >0
astfel ^ nc^ at %(f)implic akfk%":
Demonstrat ie.
Fie">0:Se consider a j2Nastfel ^ nc^ at1
2j":Fie:=1
Kjs,if2X%
astfel ^ nc^ at %(f). Cum%(
) satisface condit ,ia-
2peX,%(2f)K%(f);
s,i atunci, aplic^ and aceast a inegalitate de jori,%(2jf)Kj%(f):Conform
alegerii luif,Kj%(f)1;deci%(2jf)1:Dinproprietatea bilei unitate ,
k2jfk%1;decikfk%1
2j, s,i conform alegerii lui j;1
2j":^In concluzie,
kfk%": 
Lema 2.6.3. Fie%(
)o semimodular a pe X ce satisface condit ,ia-
2s,i e
K constanta-
2a semimodularei %(
):Atunci%(
)este o modular a continu a
s,i pentru orice " >0, exist a";K>0astfel ^ nc^ at %(f)1"s a implice
kfk%1";Kpentru orice f2X%:
Demonstrat ie.
Armat ,ia 1 :%(
) este o modular a pe X.
Justicare : Fief2Xastfel ^ nc^ at %(f) = 0:Fiem2R. Datorit a
monotoniei semimodularei considerate s ,i a respect arii condit ,iei-
2,%(2mf)
Km%(f) = 0:Cumm2R, 2m2(0;1);as,adar%(f) = 0 pentru orice >0,
deci conform Denit ,iei 2.2.1. ,feste identic nul a. Conform Denit ,iei
2.2.2. ,%(
) este o modular a pe X:
Armat ,ia 2 :%(
) este continu a.
Justicare : Deja se cunoas ,te faptul c a %(
) este continu a la st^ anga, as ,a
c a mai r am^ ane de demonstrat c a lim &1%(f) =%(f) pentru orice f2
X:As,adar, ef2X:Din monotonia semimodularei considerate, %(f)
lim inf&1%(f). Fie2[1;2]. Din convexitatea semimodularei %(
) s,i
respectarea condit ,iei-
2, se deduce estimarea
%(f) =%((2)f+ (1)2f)(2)%(f) + (1)%(2f)
(2)%(f) + (1)K%(f) = (1 + (K1)(1))%(f)
Av^ and ^ n vedere aceast a estimare, se concluzioneaz a faptul c a %(f)
lim inf&1%(f). As ,adar, lim &1%(f) =%(f):^In concluzie, %(
) este con-
tinu a.
38

Armat ,ia 3: Pentru orice ">0, exist a";K>0 astfel ^ nc^ at %(f)1"
s a implicekfk%1";Kpentru orice f2X%:
Justicare : Fie" > 0 s ,if2X%astfel ^ nc^ at %(f)1":Av^ and
^ n vedere ultima estimare demonstrat a, e a2(1;2) astfel ^ nc^ at ultimul
termen din s ,irul inegalit at ,ilor s a e m arginit superior de 1. Atunci %(af)
1;iar conform propriet at ,ii bilei unitate ,kafk%1;decikfk%<1
a:
Aleg^ and";K:= 11
a;demonstrat ,ia ultimei armat ,ii, s ,i totodat a a lemei,
este ^ ncheiat a.

^In acest moment este posibil a demonstrarea unui rezultat de mare interes
pentru lucrarea curent a.
Teorema 2.6.2. Fie%(
)o semimodular a uniform convex a pe X ce satisface
condit ,ia-
2:Atunci normak
k%este uniform convex a pe X %:As ,adar, spat ,iul
(X%;k
k%)este uniform convex.
Demonstrat ie. Fie" >0:Fiex;y2X%astfel ^ nc^ atkxk%1;kyk%1 s,i
kxyk%>":Atuncikxy
2k%>"
2s,i, conform Lemei 2.6.2 , exist a1>0 ast-
fel ^ nc^ at%(xy
2)>1:Dinproprietatea bilei unitate ,%(x)1 s,i%(y)1;
deci%(xy
2)>1%(x)+%(y)
2:Av^ and ^ n vedere uniform convexitatea semimodula-
rei considerate, exist a 2>0 astfel ^ nc^ at %(x+y
2)(12)%(x)+%(y)
212:
Atunci, Lema 2.6.3 implic a existent ,a unui > 0 astfel ^ nc^ atkx+y
2k%
1;inegalitate ce demonstreaz a uniform convexitatea normei k
k%;deci a
spat ,iului (X%;k
k%):

Combin^ and Teorema 2.6.1. ,Observat ,ia 2.6.3. s,iTeorema 2.6.2. ,
se obt ,ine urm atorul rezultat ce ^ ncheie studiul uniform convexit at ,ii pentru
spat ,iile cu exponent variabil.
Corolarul 2.6.1. Fie'2N(A;) astfel ^ nc^ at s a e uniform convex a s ,i s a
satisfac a condit ,ia-
2. Atunci normak
k'peL0(A;) este uniform convex a,
deci spat ,iul Musielak-Orlicz L'(A;) este uniform convex.
39

Capitolul 3
Spat ,ii Lebesgue cu exponent
variabil
3.1 Introducere s ,i primele not ,iuni necesare
Spat ,iile Lebesgue cu exponent variabil reprezint a un caz particular al
spat ,iilor Musielak – Orlicz, deci sunt spat ,ii semimodulare, as ,adar vor  abor-
date ^ n spiritul capitolului precedent.
^In prima denit ,ie se introduce tipul de exponent variabil ce va  consi-
derat.
Denit ia 3.1.1. Fie (A;;) un spat ,iu cu m asur a complet a, -nit. Se
consider a mult ,imeaP(A;) :=fp(
) :A![1,1] :p(
) este m asurabil ag:O
funct ,iep(
)2P(A;) se numes ,teexponent variabil pe A .^In cazul ^ n care
este m asura Lebesgue n-dimensional a, iar Adesemneaz a o submult ,ime
deschis a din Rncare se va nota cu
, mult ,imeaP(A;) se va abrevia cu
P(
):
Pentru un exponent variabil p2P(A;);se denesc:
p
A:=p:= ess inf y2Ap(y) = supfx2R:(fy:p(y)>xg) = 0g
p+
A:=p+:= ess sup y2Ap(y) = inffx2R:(fy:p(y)<xg) = 0g
Denit ia 3.1.2. Un exponent variabil p(
)2P(A;) se numes ,teexponent
variabil m arginit dac ap+<1:
40

Pentru cazul clasic de spat ,iiLp;conjugata H older a constantei peste un
instrument extrem de util, de exemplu ^ n estim ari sau ^ n studiul dualului lui
Lp:Din aceleas ,i rat ,ionamente se consider a urm atoarea denit ,ie:
Denit ia 3.1.3. Fiep(
)2P(A;):Funct ,iap0(
)2P(A;) care este denit a
prin respectarea egalit at ,ii1
p(y)+1
p0(y)= 1 pentru orice y2A;unde prin
denit ,ie1
1:= 0;se numes ,teexponentul variabil dual al lui p(
):
Pentru a  denit spat ,iulLp(
), este necesar a -funct ,ia generalizat a cores-
punz atoare. Des ,i exist a dou a alegeri naturale pentru aceast a funct ,ie, spat ,iile
asociate semimodularelor induse de acestea sunt izomorfe.
Denit ia 3.1.4. Pentrut0 variabil s ,iq2[1;1) xat, se denesc:
'q(t) :=tq
e'q(t) :=1
qtq
^In cazul ^ n care q=1;se denesc:
'1(t) :=e'1(t) :=1
(1;1)(t)
Denit ia 3.1.5. Pentrut1; y2As,ip(
)2P(A;);se denesc:
'p(
)(y;t) :='p(y)(t)
e'p(
)(y;t) :=e'p(y)(t)
Am^ andou a funct ,iile au avantaje, comune s ,i individuale, care sunt sur-
prinse ^ n urm atoarele observat ,ii:
Observat ia 3.1.1. 'q(
) s,ie'q(
) sunt -funct ,ii dac aq2[1;1];deci'p(
)(
)
s,ie'p(
)(
) sunt -funct ,ii generalizate dac a p2P(A;):
Observat ia 3.1.2. Dac aq2(1;1) s,ip2P(A;) cu 1< pp+<
1;atunci'q(
) s,ie'q(
) suntN-funct ,ii s ,i'p(
)(
) s,ie'p(
)(
) suntN-funct ,ii
generalizate.
Observat ia 3.1.3. Dac aq2[1;1);atunci'q(
) s,ie'q(
) sunt continue s ,i
pozitive.
41

Observat ia 3.1.4. Avantajul individual al -funct ,iei generalizate 'p(
)(
)
este dat de faptul c a spat ,iul Musielak – Orlicz asociat L'p(
)corespunde
^ ntocmai spat ,iului clasic Lppentrup2[1;1]:^In particular, pentru f2
Lp(
);kfkp=kfk'p(
). De asemenea, funct ,ia'p(
)(
) a fost folosit a mai des
dec^ at funct ,iae'p(
)(
) ^ n majoritatea lucr arilor scrise despre spat ,iile cu expo-
nent variabil.
Observat ia 3.1.5. Avantajul individual al -funct ,iei generalizate e'p(
)(
)
este dat de faptul c a se comport a mai bine dec^ at funct ,ia'p(
)(
) atunci c^ and
se pune problema conjug arii, a continuit at ,ii s ,i a convexit at ,ii ^ n raport cu
exponentul variabil p(
).
^In continuare este prezentat un rezultat ce arat a leg atura dintre cei doi
candidat ,i pentru denirea spat ,iuluiLp(
):
Lema 3.1.1. Fieq2[1;1]:Atunci, pentru orice t0;
e'q(t)'q(t)e'q(2t)
Demonstrat ie.
^In cazul ^ n care q=1;inegalitatea este ^ n mod trivial vericat a. As ,adar,
mai departe se consider a doar cazul ^ n care q<1:
Dac at= 0;e'q(0) = 0 = 'q(0):As,adar, mai departe se consider a doar
cazul ^ n care t>0:
e'q(t)
'q(t)=1
q1;decie'q(t)'q(t)
e'q(2t)
'q(t)=2q
q1;deci'q(t)e'q(2t)
Cele dou a inegalit at ,i obt ,inute ^ ncheie demonstrat ,ia acestei leme. 
Datorit a acestui rezultat, ^ n cele ce urmeaz a a  prezentate, ^ n denit ,ii
sau rezultate, nu se va face diferent ,a ^ ntree'p(
)(
) s,i'p(
)(
);convenind faptul
c a'p(
)(
) poate s a reprezinte oricare dintre cele dou a funct ,ii prezentate.
42

3.2 Denirea spat ,iului Lebesgue cu exponent
variabil
Cum s-a procedat s ,i ^ n capitolul precedent, se va prezenta denit ,ia unei
semimodulare generat a de -funct ,ia generalizat a prezentat a ^ n sect ,iunea an-
terioar a.
Denit ia 3.2.1. Fiep(
)2P(A;):Fie funct ,ia
%Lp(
)(A)(
) :L0(A;)![0;1] :f7!R
A'p(x)(jf(x)j)dx
Conform Teoremei 2.3.2 ,%Lp(
)(A)este o semimodular a pe L0(A;):
^In acest moment se poate deni spat ,iul ce d a titlul acestui capitol.
Denit ia 3.2.2. Spat ,iul Lebesgue cu exponent variabil Lp(
)(A;) se denes ,te
ca ind spat ,iul Musielak-Orlicz L'p(
)(A;):
Asadar, spat ,iul Lebesgue cu exponent variabil Lp(
)(A;) este
Lp(
)(A;) =ff2L0(A;) : lim
!0%Lp(
)(A)(f) = 0g
sau echivalent,
Lp(
)(A;) =ff2L0(A;) : exist a0>0 astfel ^ nc^ at %Lp(
)(A)(0f)<1g
pe care se denes ,te norma Luxemburg asociat a, conform Denit ,iei
2.2.5. ,
k
kL'p(
)(A;):L0(A;)![0;1) :f7!inff>0 :%Lp(
)(A)(f
)1g
Norma Luxemburg pentru spat ,iul Lebesgue a fost introdus a de Idris Sha-
rapudinov ^ n articolul On the topology of the space Lp(t)([0; 1]) . Math. Notes,
26(3{4):796{806, 1979 . De asemenea, acesta a demonstrat faptul c a spat ,iul
Lp(
)este re
exiv dac a exponentul satisface condit ,ia ca 1<pp+<1:
^In continuarea lucr arii, vor  folosite urm atoarele prescurt ari: %Lp(
)(A)se
va abrevia cu %p(
);iark
kL'p(
)(A;)se va abrevia cuk
kp(
):
43

3.3 Propriet at ,ile spat ,iilorLp(
)(A;)
^Inainte de a ^ ncepe studiul completitudinii, al separabilit at ,ii s,i al uniform
convexit at ,ii, se va lista un rezultat extrem de folositor pentru cele ce urmeaz a.
T,in^ and cont de Denit ,ia 2.5.1. s,iDenit ,ia 2.5.4. , se noteaz a cu
Ep(
)(A;) mult ,imea elementelor nite ale spat ,iuluiLp(
)(A;) s,i cuL'p(
)
OC(A;)
clasa Musielak-Orlicz denit a de semimodulara 'p(
)(
) pe spat ,iulL0(A;),
i.e., clasa Musielak-Orlicz a spat ,iuluiLp(
)(A;).
Teorema 3.3.1. Fie p(
)2P(A;):Atunci urm atoarele armat ,ii sunt echi-
valente:
i. Ep(
)(A;) =L'p(
)
OC(A;):
ii. L'p(
)
OC(A;) =Lp(
)(A;):
iii. Ep(
)(A;) =Lp(
)(A;):
iv.'p(
)(
)satisface condit ,ia-
2cu constanta 2p+:
v. p+<1:
vi.%p(
)(
)satisface condit ,ia-
2slab a pentru modulare, i.e. convergent ,a ^ n
norm a s ,i convergent ,a modular a sunt echivalente.
vii.%p(
)(
)este o modular a continu a.
Demonstrat ie.
Av^ and ^ n vedere incluziunea Ep(
)(A;)L'p(
)
OC(A;)Lp(
)(A;),
Armat ,ia iii implic a Armat ,ia is,iArmat ,ia ii.
Conform Lemei 2.6.3. ,Armat ,ia iv implic a Armat ,ia vii .
Armat ,ia v implic a Armat ,ia iv, av^ and ^ n vedere c a 2p(y)2p+<1;
pentru orice y2A:
Armat ,ia iv implic a Armat ,ia iii s,iArmat ,ia vi, av^ and ^ n vedere estima-
rea%'(2mf)2mp+%'(f) s,i t,in^ and cont de rat ,ionamentul din demonstrat ,ia
Teoremei 2.5.3. .
Urmeaz a s a e demonstrat faptul c a Armat ,iile i, ii, vi s,iviiimplic a
Armat ,ia v. Acest fapt se va demonstra prin contradict ,ie. As ,adar, s a se
presupun a, prin absurd, c a p+=1. Demonstrat ,ia va  ^ mp art ,it a ^ n dou a
cazuri.
S a se considere, mai ^ nt^ ai, situat ,ia ^ n care(fp=1g)>0. Fie funct ,ia
f:=fp=1g. Atunci%p(
)(f) = 0 s ,i%p(
)(f) =1pentru orice >1:As,adar,
s-a g asit o funct ,iefastfel ^ nc^ at f2L'p(
)
OCnEp(
)s,i 2f2Lp(
)nL'p(
)
OC:As,adar,
44

s-au obt ,inut contradict ,ii pentru Armat ,ia is,iArmat ,ia ii. Dac a se consider a
s,irul constant ( fn)n2Ncufn:=fpentru orice n2N, atunci s ,irul (%p(
)(fn))n
are limita egal a cu 0, dar s ,irul (%p(
)(2fn))nare limita egal a cu 1;fapt ce
contrazice Armat ,ia vi. T ,in^ and cont de faptul c a lim &1%p(
)(f) =1;iar
%p(
)(f) = 0;s-a ajuns la o contradict ,ie s ,i pentru Armat ,ia vii .
S a se considere acum c a (fp=1g) = 0. Av^ and ^ n vedere faptul c a
p+=1, exist a un s ,ir de numere reale ( qn)n2N[1;1) astfel ^ nc^ at qn%1
siqnnpentru orice n2N:Se consider a acum s ,irul de mult ,imi m asurabile
(En)n2Nastfel^ nc^ at (En)2(0;1) s,iEnfy:qnp(y)qn+1g:Av^ and^ n
vedere faptul c a exponentul p(
) este m arginit pe mult ,imile denite anterior
s,i c a m asura lor este strict pozitiv a s ,i nit a, se deduce c a aplicat ,iat7!
%p(
)(tEn) este o funct ,ie continu a pe intervalul [0, 1) s,i are imaginea [0,1)
pentru orice n2N. Av^ and ^ n vedere ultimele dou a propriet at ,i indicate,
exist a un s ,ir (tn)n2Nastfel ^ nc^ at %p(
)(tnEn) =1
2n2pentru orice n2N:
Se denes ,te acum s ,irul de funct ,ii (fn)n2N; fn:=tnEnpentru orice n2N:
Conform modului ^ n care a fost denit s ,irul de funct ,ii anterior,%p(
)(fn) =1
2n2
pentru orice n2N;deci%p(
)(fn)!0. Pe de alt a parte, t ,in^ and cont de faptul
c ap(
)qnnpe mult ,imeaEn;pentru>1, se realizeaz a estimarea
%p(
)(fn)n%p(
)(fn) =n
2n2!1
As,adar, s-a g asit un s ,ir de funct ,ii (fn)nastfel ^ nc^ at %p(
)(fn)!0 s ,i
%p(
)(2fn)!1:Deci, s-a obt ,inut o contradict ,ie pentru Armat ,ia vi. Se
denes ,te acum s ,irul de funct ,ii (gn)n2Ns,i funct ,iag^ n felul urm ator:
gn:=nP
i=1fi=nP
i=1tnEnpentru orice n2N
g:=1P
n=1fn=1P
n=1tnEn
Av^ and ^ n vedere faptul c a tn0 pentru orice n2N, s,irul de funct ,ii (gn)n
este un s ,ir de funct ,ii pozitive. T ,in^ and cont s ,i de faptul c a gn%g;se poate
aplica Teorema de convergent , a monoton a pentru modulare . Astfel,
%p(
)(g) =1P
n=1%p(
)(fn) =1P
n=11
2n2=2
12<1;
iar pentru>1;
45

%p(
)(g) =1P
n=1%p(
)(fn)1P
n=1n
2n2=1
As,adar, s-a g asit o funct ,iegastfel ^ nc^ at g2L'p(
)
OCnEp(
)s,i 2g2Lp(
)n
L'p(
)
OC:As,adar, s-au obt ,inut contradict ,ii pentru Armat ,ia is,iArmat ,ia ii.
T,in^ and cont de faptul c a lim &1%p(
)(g) =1;iar%p(
)(g)1;s-a ajuns la
o contradict ,ie s ,i pentru Armat ,ia vii .
Astfel, demonstrat ,ia este ^ ncheiat a. 
Av^ and la dispozit ,ie acest ultim rezultat, se poate ^ ncepe studiul spat ,iului
Lebesgue cu exponent variabil. Se reactualizeaz a proprietatea bilei uni-
tate ^ n contextul spat ,iilor ce dau numele acestui capitol.
Teorema 3.3.2. Fiep(
)2P(
)s,i ef2Lp(
)(
):Atunci:
i.kfkp(
)1dac a s ,i numai dac a %p(
)(f)1:
ii. dac akfkp(
)1, atunci%p(
)(f)kfkp(
):
iii. dac a 1<kfkp(
);atuncikfkp(
)%p(
)(f):
Dac a, ^ n plus, p(
)este m arginit,kfkp(
)<1dac a s ,i numai dac a
%p(
)(f)<1, respectivkfkp(
)= 1 dac a s ,i numai dac a %p(
)(f) = 1:
Demonstrat ie.
Cei 3 itemi sunt o consecint , a imediat a a propriet at ,ii bilei unitate
s,i aCorolarului 2.2.1. .^In cazul ^ n care exponentul variabil p(
) este
m arginit, conform Teoremei 3.3.1. , semimodulara %p(
)(
) este continu a,
iar ^ n aceast a situat ,ie din nou concluzia este evident a folosind proprietatea
bilei unitate . 
Folosind Teorema 2.3.3. ,Lema lui Fatou ,Teorema de convergent , a
dominat a s,iTeorema de convergent , a monoton a formulate ^ n cadrul
spat ,iilor Lebesgue cu exponent variabil sunt listate ^ n ordinea ment ,ion arii ^ n
enunt ,ul urm atoarei teoreme:
Teorema 3.3.3. Fiep(
)2P(A;), (fn)n2NL0(A;)s,if,g2L0(A;).
Atunci:
i. Dac a f n!faproape peste tot, atunci %p(
)(f)lim inf
n!1%p(
)(fn):
ii. Dac ajfnj%jfjaproape peste tot, atunci %p(
)(fn)!%p(
)(f):
46

iii. Dac afn!faproape peste tot, jfnjjgjpentru orice n2Ns,ig2
Ep(
)(A;), atuncifn!f^ nLp(
)(A;):
Pentru studiul completitudinii spat ,iului Lebesgue cu exponent variabil,
av^ and^ n vedere parcursul pentru a ajunge la demonstrat ,iaTeoremei 2.4.1. ,
se listeaz a mai departe analogurile Lemei 2.4.1. s,iLemei 2.4.2.
Lema 3.3.1. Fiep(
)2 P(A;)s,i(A)<1:Atunci orice s ,ir Cauchy
(fn)n2NLp(
)(A;)^ n raport cu norma k
kp(
)este s ,ir Cauchy ^ n raport cu
convergent ,a ^ n m asur a. ^In particular, dac a kfnkp(
)!0, atuncifn!0^ n
m asur a.
Lema 3.3.2. Fiep(
)2P(A;). Atunci orice s ,ir dinLp(
)(A;)care este
Cauchy ^ n raport cu norma k
kp(
)admite un subs ,ir care converge aproape
peste tot la o funct ,ie m asurabil a.
Av^ and aceste dou a rezultate la dispozit ,ie, conform rat ,ionamentului folosit
^ n capitolul anterior pentru demonstrarea completitudinii spat ,iuluiL'(A;),
se poate enunt ,a analogul Teoremei 2.4.1. pentru spat ,iul Lebesgue cu
exponent variabil.
Teorema 3.3.4. Fiep(
)2P(A;):Atunci Lp(
)(A;)este un spat ,iuBanach:
As,a cum s-a observat s ,i ^ n capitolul anterior, pentru completitudinea
spat ,iului Musielak – Orlicz nu au fost necesare condit ,ii adit ,ionale, ^ ns a pen-
tru separabilitate s ,i uniform convexitate a fost cazul. Acelas ,i fenomen se
^ nt^ ampl a s ,i ^ n studiul propriet at ,ilor spat ,iului Lebesgue cu exponent variabil.
^Inainte de a trata separabilitatea spat ,iuluiLp(
), este necesar a urm atoarea
observat ,ie:
Observat ia 3.3.1. Fiep(
)2P(A;) astfel^ nc^ at p(
) s a e m arginit. Atunci
'p(
)(
) este local integrabil a, deoarece pentru orice mult ,imeEAm asurabil a
de m asur a nit a s ,i pentru orice t0;
R
E'p(y)(t)d(y)(E) maxftp;tp+g
^In continuare, se poate arma:
Teorema 3.3.5. Fiep(
)2P(A;)un exponent variabil m arginit, iar m asura
este separabil a. Atunci Lp(
)(A;)este un spat ,iu separabil.
47

Demonstrat ie.
Cump(
) este exponent variabil m arginit, conform Observat ,iei 3.3.1. ,
funct ,ia'p(
)(
) este local integrabil a, s ,i t,in^ and cont de separabilitatea m asurii
, aplic^ and Teorema 2.5.2. , mult ,imeaEp(
)este separabil a. Folosind din
nou faptul c a p(
) este un exponent variabil m arginit, conform Teoremei
3.3.1. ,Ep(
)=Lp(
):^In concluzie, Lp(
)este separabil. 
^In cadrul demonstrat ,iilor de analiz a funct ,ional a, de multe ori, pentru a
ajunge la un rezultat, se lucreaz a ^ n cadrul unor subspat ,ii sau submult ,imi
pe care rat ,ionamentele s ,i argument arile se fac cu mult mai mult a us ,urint , a,
dup a care rezultatele se transfer a, prin densitate, la cazul general. Aceeas ,i
lozoe se foloses ,te s ,i ^ n cadrul spat ,iilor Lebesgue cu exponent variabil.
^In spiritul ultimului alineat, dac a exponentul variabil p(
) cu care se
lucreaz a este m arginit, Teorema 2.5.1. s,iTeorema 3.3.5. confer a
urm atorul rezultat ce prives ,te separabilitatea spat ,iului Lebesgue cu expo-
nent variabil.
Teorema 3.3.6. Fiep(
)2P(
) astfel ^ nc^ at p+<1:Atunci mult ,imea
funct ,iilor simple S(
)este dens a ^ n Lp(
)(
):
Urmeaz a s a se prezinte^ n ce condit ,ii spat ,iul Lebesgue cu exponent variabil
este uniform convex.
Teorema 3.3.7. Fiep2 P(
) astfel ^ nc^ at 1< pp+<1:Atunci
Lp(
)(
)este un spat ,iu uniform convex.
Demonstrat ie.
^In principiu, acest rezultat ar trebui demonstrat pentru ambele funct ,ii
'q(
)(
) s,ie'q(
)(
);av^ and ^ n vedere faptul c a echivalent ,a normelor nu implic a
echivalent ,a uniform convexit at ,ii normelor asociate. ^Ins a, t ,in^ and cont de
faptul c a'q(y)(
) s,ie'q(y)(
) difer a doar prin constanta multiplicativ a1
p(y)
pentru orice y2
;^ n acest caz particular, echivalent ,a uniform convexit at ,ii
normelor asociate este asigurat a de echivalent ,a celor dou a norme. As ,adar,
teorema se va demonstra doar pentru funct ,ia'q(
)(
):
Mai ^ nt^ ai se va demonstra cum c a N-funct ,ia generalizat a '(x;t) =tq
este uniform convex a pentru q2(1;1). As ,adar, eq2(1;1:) Pentru a
demonstra acest lucru, trebuie ar atat c a pentru orice u,v0;estimarea
juvj>"maxfu,vgimplic a estimarea (u+v
2)q(1")uq+vq
2;pentru un"
real strict pozitiv. As ,adar, eu,v0 astfel^ nc^ atjuvj>"maxfu,vg. F ar a
48

pierderea generalit at ,ii, se poate presupune vu, s,i datorit a omogenit at ,ii,
^ mp art ,ind eventual cu vultima inegalitate ment ,ionat a, este sucient s a se
considere doar cazul ^ n care v= 1 s ,iu2[0;1]:De asemenea, se poate
presupune c a "2(0;1
2):Av^ and ^ n vedere ultimele presupuneri, r am^ ane de
demonstrat faptul c a u2[0;1") implic a (1+u
2)q(1")1+uq
2, adic a
1+uq
2q1(1+uq)1":Se consider a funct ,iaf: [0,1]!R; f(u) =1+uq
2q1(1+uq).
Funct ,iafeste continu a pe intervalul de denit ,ie s ,i ^ s ,i atinge maximul ^ n
punctulu= 1. Av^ and ^ n vedere c a u2[0;1");acest fapt implic a existent ,a
unui">0 astfel ^ nc^ at f(u)1";adic a exact inegalitatea ce trebuia
demonstrat a. De asemenea, se ment ,ioneaz a c a, prin imp art ,ire laq, s,iN-
funct ,ia generalizat a '(x;t) =tq
qeste uniform convex a pentru q2(1;1).
S a se revin a acum la rul demonstrat ,iei principale. Fie " > 0 s ,i e
u,v0 astfel ^ nc^ atjuvj> "maxfu,vg. Conform alineatului anterior,
aplicat ,iat7!tpeste uniform convex a, av^ and^ n vedere faptul c a p2(1;1).
As,adar, exist a ";p>0 astfel ^ nc^ at
(u+v
2)p(1";p)up+vp
2
Aceast a ultim a estimare dedus a, modul ^ n care a fost ales "s,i faptul c a
aplicat ,iat7!tp(y)
peste convex a pentru orice y2
conduce la estimarea
u+v
2
p(y)
p=hu+v
2
pip(y)
ph
(1")up+vp
2ip(y)
p=
= (1")p(y)
p
up+vp
2p(y)
p(1")
1
2(up)p(y)
p+1
2(vp)p(y)
p
=
= (1")up(y)+vp(y)
2
Aceast a ultim a estimare demonstreaz a uniform convexitatea funct ,iei'p(
)(
),
deci s ,i a funct ,ieie'q(
)(
):Conform Teoremei 2.6.1. , semimodulara %p(
)(
)
este uniform convex a. Cum p+<1;dinTeorema 3.3.1. se deduce c a
'p(
)(
) satisface condit ,ia-
2, iar conform Observat ,iei 2.6.3. , s,i%p(
)(
) sa-
tisface condit ,ia-
2. Aceste ultime implicat ,ii reprezint a ipotezele Teoremei
2.6.2. , ce arm a cum c a norma k
kp(
)este s ,i ea uniform convex a. ^In con-
cluzie, conform Corolarului 2.6.1. , spat ,iulLp(
)este uniform convex.

49

Capitolul 4
Spat ,ii Sobolev cu exponent
variabil
4.1 Introducere s ,i primele not ,iuni necesare
Av^ and spat ,iile Lebesgue cu exponent variabil denite, este natural s a se
considere pasul spre spat ,ii Sobolev cu exponent variabil. Av^ and ^ n vedere
faptul c a solut ,iile ecuat ,iilor cu derivate part ,iale apart ,in spat ,iilor Sobolev,
renunt ,^ and la exponentul constant, se pot face progrese majore ^ n ^ nt ,elegerea
solut ,iilor ecuat ,iilor cu derivate part ,iale. S a debuteze acest capitol prin reac-
tualizarea unor cunos ,tint ,e.
Denit ia 4.1.1. Fieu2L1
loc(
) s ,i:= (1,2, …,n)2Nn, undeneste
un num ar natural. O funct ,ieg2L1
loc(
) ce respect a proprietatea
R

u@1+2+:::+n
@1×1@2×2


@nxn dx = (1)1+2+:::+nR

gdx pentru orice 2C1
0(
);
se numes ,tederivata part ,ial a slab a a funct ,iei u ^ n raport cu :
Funct ,iagse noteaz a e @u;e@1+2+:::+n
@1×1@2×2


@nxnu:De asemenea, suma
componentelor vectorului se poate abrevia cu notat ,ia de valoare absolut a,
i.e.jj:=1+2+:::+n:
De asemenea, se noteaz a cu 5u= (@
@x1u;@
@x2u;:::;@
@xnu)gradientul slab
al funct ,iei u , iar expresia@
@xiuse prescurteaz a cu @iupentru orice i2
f1;2;:::;ng:
50

Observat ia 4.1.1. Dac a funct ,iauadmite derivate part ,iale ^ n sens clasic,
atunci acestea reprezint a s ,i derivatele part ,iale slabe ^ n sensul Denit ,iei
4.1.1. .
4.2 Denirea spat ,iului Sobolev cu exponent
variabil
Denit ia 4.2.1. Fieu2Lp(
)(
) s ,ik2N:Se spune c a funct ,iauapart ,ine
spat ,iuluiWk;p(
)(
) dac a derivatele sale part ,iale slabe@u;undejjk;
exist a s ,i apart ,in spat ,iuluiLp(
)(
):Mult ,imea tuturor funct ,iilorude acest tip
denesc Spat ,iul Sobolev cu exponent variabil . Elementele acestei mult ,imi se
numesc funct ,ii Sobolev .
Observat ia 4.2.1. Asemenea cazului clasic, funct ,iile Sobolev care sunt iden-
tice aproape peste tot se identic a.
Observat ia 4.2.2. Av^ and ^ n vedere Denit ,ia 4.2.1. , este trivial a inclu-
ziunea
Wk;p(
)(
)Lp(
)(
)
Urm^ and parcursul din capitolele 2 s ,i 3, mai ^ nt^ ai se va deni o semimo-
dular a pe spat ,iulWk;p(
)(
):
As,adar, e funct ,ia
%Wk;p(
)(
)(
) :Wk;p(
)(
)![0;1] :u7!P
0jjk%Lp(
)(
)(@u)
Evident,%Wk;p(
)(
)(
) este o semimodular a pe Wk;p(
)(
):
Observat ia 4.2.3. Semimodulara %Wk;p(
)(
)(
) poate  denit a pe un spat ,iu
mai mare – ^ n sensul incluziunii, de exemplu Wk;1
loc(
) sau chiar L1
loc(
). ^In
aceste situat ,ii, spat ,iulWk;p(
)(
) este doar spat ,iul semimodular asociat se-
mimodularei prezentate anterior.
Urm atorul pas este s a se deneasc a norma Luxemburg indus a de semi-
modulara denit a anterior. As ,adar, e funct ,ia
k
kWk;p(
)(
):Wk;p(
)(
)![0;1) :u7!inff>0 :%Wk;p(
)(
)(u
)1g
51

Observat ia 4.2.4. W0;p(
)(
) =Lp(
)(
):
De asemenea, exist a o generalizare s ,i pentru spat ,iileWk;p
loc(
):Prin ur-
mare,
Denit ia 4.2.2. O funct ,ieuse spune c a apart ,ine spat ,iuluiWk;p(
)
loc(
) dac a
uapart ,ine spat ,iuluiWk;p(
)(U) pentru orice U
:
4.3 Propriet at ,ile spat ,iilorWk;p(
)(
)
^In aceast a sect ,iune sunt studiate aceleas ,i propriet at ,i care au fost studiate
s,i ^ n cadrul spat ,iilor Lebesgue cu exponent variabil. Pentru simplicare,
demonstrarea rezultatelor se va face doar pentru cazul k= 1, av^ and ^ n vedere
faptul c a demonstrarea lor ^ n cadrul general este similar a s ,i nu aduce nimic
nou ca s ,i rat ,ionament.
Teorema 4.3.1. Fiep(
)2P(
):AtunciWk;p(
)(
)este un spat ,iu Banach.
Demonstrat ie.
Fie (um)m2NW1;p(
)un s ,ir Cauchy. Av^ and la dispozit ,ieObservat ,ia
4.2.2. s,i faptul c a spat ,iulLp(
)s-a demonstrat a  complet, exist a funct ,iile
u,g1,g2, …,gn2Lp(
)astfel ^ nc^ at um!us,i@ium!gipentru orice
i2f1;2;:::;ng.
Fie 2C1
0(
):Cum (um)mW1;p(
)(
);
R

um@i dx=R

@iumdx;pentru orice i2f1;2;:::;ngs,i oricem2N
Cum convergent ,a tare dinLp(
)implic a convergent ,a slab a din Lp(
);
R

um@i dx!R

u @i dx s,iR

@iumdx!R

gidx
^In acest caz, n-uplul (g1;g2;:::;gn) reprezint a gradientul slab al funct ,iei
u. As ,adar,u2W1;p(
)s,ium!u^ nW1;p(
), fapt ce demonstreaz a completi-
tudinea spat ,iului Sobolev cu exponent variabil. 
Teorema 4.3.2. Fiep(
)2P(
) un exponent variabil m arginit. Atunci
Wk;p(
)(
)este un spat ,iu separabil.
52

Demonstrat ie.
Cump(
) este un exponent variabil m arginit s ,i m asura Lebesgue este o
m asur a separabil a, se poate aplica Teorema 2.5.2. , care asigur a separa-
bilitatea mult ,imiiEp(
):Cum exponentul p(
) este m arginit, din Teorema
3.3.1. se obt ,ine c aEp(
)=Lp(
):Conform Propozit ,iei 1.3.1. , spat ,iul
(Lp(
))neste s ,i el separabil. Urmeaz a s a se demonstreze c a spat ,iulWk;p(
)
este un subspat ,iu ^ nchis din Lp(
). Pentru aceasta, este sucient s a se arate
c aWk;p(
)este o mult ,ime^ nchis a. As ,adar, e (un)n2Nun s ,ir dinWk;p(
)conver-
gent la o funct ,ieu2Lp(
). Conform rat ,ionamentului folosit ^ n demonstrat ,ia
Teoremei 4.3.1. ,u2Wk;p(
). DeciWk;p(
)este un subspat ,iu^ nchis din Lp(
),
iar din Propozit ,ia 1.3.1. se deduc a c a spat ,iulWk;p(
)este s ,i el separabil.

^Inainte de a demonstra s ,i uniform convexitatea spat ,iului Sobolev cu ex-
ponent variabil, av^ and ^ n vedere denit ,ia semimodularei %Wk;p(
)(
)(
), este
necesar urm atorul rezultat preliminar:
Lema 4.3.1. Fie%1(
)s,i%2(
)dou a semimodulare uniform convexe pe un
spat ,iu vectorial real X s ,i e%(
) :=%1(
) +%2(
):Atunci%(
)este o semimo-
dular a uniform convex a pe X.
Demonstrat ie.
Fie">0 s,if,g2X:
Conform denit ,iei unei semimodulare uniform convexe, exist a 1>0
astfel ^ nc^ at dac a inegalitatea %1(fg
2)"%1(f)+%1(g)
2nu este respectat a, atunci
are loc egalitatea %1(f+g
2)(11)%1(f)+%1(g)
2:De asemenea, exist a 2>
0 astfel ^ nc^ at dac a inegalitatea %2(fg
2)"%2(f)+%2(g)
2nu este respectat a,
atunci are loc inegalitatea %2(f+g
2)(12)%2(f)+%2(g)
2:Fie:= minf1;2g:
As,adar, pentru ambele cazuri prezentate anterior, se poate considera aceeas ,i
constant a:
Se va demonstra acum c a exist a ">0 astfel ^ nc^ at dac a inegalitatea
%(fg
2)2"%(f)+%(g)
2nu este respectat a, atunci are loc inegalitatea %(f+g
2)
(1")%(f)+%(g)
2:
Dac a inegalitatea %(fg
2)2"%(f)+%(g)
2este respectat a, atunci nu este
nimic de demonstrat. ^In continuare se va presupune c a %(fg
2)>2"%(f)+%(g)
2.
F ar a pierderea generalit at ,ii, se poate presupune c a %1(fg
2)%2(fg
2):^In
cadrul acestei presupuneri, este imediat a estimarea
53

%1(fg
2)>"%(f)+%(g)
2"%1(f)+%1(g)
2(Estimarea 1)
^In acest caz, %1(f+g
2)(1)%1(f)+%1(g)
2:
Folosind ultima inegalitate obt ,inut a s ,i t,in^ and cont de convexitatea semi-
modularei%2(
);se realizeaz a estimarea
%(f+g
2) =%1(f+g
2) +%2(f+g
2)(1)%1(f)+%1(g)
2+%2(f)+%2(g)
2=
=%(f)+%(g)
2%1(f)+%1(g)
2(Estimarea 2)
Folosind Estimarea 1 s,i convexitatea semimodularei %1(
);se obt ,ine
"%(f)+%(g)
2<% 1(fg
2)%1(f)+%1(g)
2(Estimarea 3)
Din Estim arile 2 s,i3se deduce c a
%(f+g
2)(1")%(f)+%(g)
2
Aleg^ and"=";demonstrat ,ia este ^ ncheiat a. 
Acum sunt preg atite toate rezultatele necesare pentru a demonstra uni-
form convexitatea spat ,iului Sobolev cu exponent variabil.
Teorema 4.3.3. Fiep(
)2P(
) astfel ^ nc^ at 1 < pp+<1:Atunci
Wk;p(
)(
)este un spat ,iu uniform convex.
Demonstrat ie.
Cum exponentul p(
) este m arginit, conform Teoremei 3.3.1. s,i apoi
folosind Observat ,ia 2.6.3. , semimodulara %Wk;p(
)(
)(
) satisface condit ,ia-

2. Cum semimodulara %Lp(
)(
)este uniform convex a conform Teoremei
2.6.1. , av^ and^ n vedere Lema 4.3.1. , s,i semimodulara %Wk;p(
)(
)(
) este uni-
form convex a. Cele dou a rezultate deduse pentru semimodulara %Wk;p(
)(
)(
)
din aceast a demonstrat ,ie reprezint a ipotezele Teoremei 2.6.2. , as ,adar se
concluzioneaz a cum c a spat ,iulWk;p(
)este uniform convex. 
54

Bibliograe
[1] Lars Diening, Petteri Harjuelehto, Peter H ast o and Michael R u zi cka Le-
besgue and Sobolev spaces with variable exponent . Springer, December 3,
2010.
[2] Manuel De la Sen, Donal O'Regan, Reza Saadati. Characterization of
modular spaces . Journal of Computational Analysis and Applications,
Vol 22. No 3. March 2017.
[3] T.L. Shateri Fixed points in modular spaces with new type contractivity .
International Journal of Applied Mathematical Research, 3 (4) 2014 587-
591.
[4] David V. Cruz-Uribe, Alberto Fiorenza Variable Lebesgue Spaces . Sprin-
ger, 2013.
[5] Xianling Fan and Dun Zhao. On the Spaces Lp(x)(
) andWm;p(x)(
).
Journal of Mathematical Analysis and Applications 263, 424-446 (2001)
55