Octavian Stãnãșilã [627204]

Licență

Octavian Stãnãșilã [627204]

Byadmin ianuarie 1, 2024

Octavian Stãnãșilã

RESURSE MATEMATICE
ă
I INFORMATICE

F
als tratat de didacticã matematicã

Descrierea CIP a Bibliotecii Na Ńionale a României
ST ĂNĂȘ IL Ă, OCTAVIAN
Resurse matematice și informatice: fals tratat de didactic ă matematic ă /
prof. univ. dr. mat. em. Octavian St ănăș il ă. – Bucure ști: Editura NICULESCU, 2014
Bibliogr.
ISBN 978-973-748-858-9

51
004

© Editura NICULESCU, 2014
Adresa: Bd. Regiei 6D
060204 – Bucure ști, România
Tel.: (+40)21-312.97.82
Fax: (+40)21-312.97.83
E-mail: [anonimizat]
Internet: www.niculescu.ro

Coperta: Carmen Lucaci

Tip ărit la Tipografia REAL

ISBN 978-973-748-858-9

Toate drepturile rezervate. Nicio parte a acestei c ărŃi nu poate fi reprodusă sau transmisă sub nicio formă și prin niciun mijloc, electronic sau
mecanic, inclusiv prin fotocopiere, înregistrare sa u prin orice sistem de stocare și accesare a datelo r, fără permisiunea Editurii NICULESCU.
Orice nerespectare a acestor prevederi conduce în m od automat la răspunderea penală faŃă de legile naŃ ionale și internaŃionale privind
proprietatea intelectuală.
___________________________________________________ ___________________________________________________ _____________________________________________

Editura NICULESCU este partener și distribuitor oficial OXFORD UNIVERSITY PRESS în România.
E-mail: [anonimizat]; Internet: www.oxford-n iculescu.ro

5CUPRINS
Prefață ……………………………………………………………………………………………………….. ………… 9
1. OBIECTE MATEMATICO – INFORMATICE FUNDAMENTALE ………………………………………….. 11
1.1. O motivație apriorică ……………………………………………………………………………. 11
1.2. Numerele și seturile de numere ……………………………………………………………… 131.3. Lărgirea claselor de numere …………………………………………………………………… 191.4. Jocul cu infi nitul ……………………………………………………………………………………. 22
1.5. Apariția matematicii discrete …………………………………………………………………. 261.6. Obiecte continuale, obiecte discrete ………………………………………………………. 291.7. Câteva concepte informatice ………………………………………………………………….. 32
2. FORMAREA DE NOI CONCEPTE MATEMATICE ȘI INFORMATICE …………………………………….. 35
2.1. Generalizare și analogie …………………………………………………………………………. 352.2. Construcție prin extensiune ………………………………………………………………….. 382.3. Construcție prin intensiune …………………………………………………………………… 412.4. Modelare și generare de obiecte de studiu ……………………………………………… 432.5. Abstractizarea – drum al științei …………………………………………………………….. 49
3. RATELE DE VARIAȚIE CA DERIVATE ȘI MĂRIMILE ADITIVE DE DOMENIU CA INTEGRALE ………….. 52
3.1. Geneza noțiunii de derivată …………………………………………………………………… 523.2. Câteva aplicații ale derivatelor ……………………………………………………………….. 573.3. Analogul discret al derivatelor ………………………………………………………………. 613.4. Elemente de analiză non standard …………………………………………………………. 623.5. Geneza noțiunii de integrală ………………………………………………………………….. 633.6. Câteva aplicații ale integralelor ………………………………………………………………. 673.7. Extinderi ale integralelor Riemann simple …………………………………………….. 69

64. PRIMA MARE UNIFICARE INTERNĂ A MATEMATICII:
ALGEBRA ↔ GEOMETRIA ……………………………………………………………………………….. 72
4.1. Cazurile 1D, 2D, 3D ………………………………………………………………………………. 72
4.2. Elemente de geometrie n-dimensională …………………………………………………. 75
4.3. Cele trei probleme antice și curbe „rezolvante” ale lor……………………………. 77
4.4. Elemente de geometrie proiectivă ………………………………………………………….. 814.5. Curbe plane eliptice ………………………………………………………………………………. 834.6. Modelul Poincaré pentru geometria neeuclidiană ………………………………….. 86
5. A DOUA MARE UNIFICARE INTERNĂ A MATEMATICII:
ANALIZA MATEMATICĂ ↔ GEOMETRIA ……………………………………………………………….. 90
5.1. Evoluția noțiunii de curbă ……………………………………………………………………… 90
5.2. Evoluția noțiunii de suprafață ………………………………………………………………… 955.3. Noțiunea de tensor ………………………………………………………………………………… 99
5.4. Spații metrice local euclidiene și noțiunea de varietate ………………………… 101
6. FORMULA LUI TAYLOR ȘI LEGĂTURI ÎNTRE ANALIZA MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ ………… 107
6.1. Puțină istorie ……………………………………………………………………………………….. 1076.2. Motivația și enunțul formulei lui Taylor pentru funcții reale ………………… 108
6.3. Seriile Taylor ; analiticitatea reală și analiticitatea complexă …………………. 1126.4. Legături între analiza matematică și informatică ………………………………….. 116
7. SECVENȚE DE MATEMATICĂ DISCRETĂ ………………………………………………………………. 120
7.1. Dezvoltarea matematicii discrete …………………………………………………………. 1207.2. Codifi cări binare ………………………………………………………………………………….. 122
7.3. Calculul ca obiect în sine ……………………………………………………………………… 1247.4. Elemente de geometrie discretă ……………………………………………………………. 130
8. FENOMENE MATEMATICO – INFORMATICE …………………………………………………………. 135
8.1. Mulțimea lui Cantor ……………………………………………………………………………. 1358.2. Curbă care „ump le” un pătrat ………………………………………………………………. 137
8.3. Fenomenul Runge ……………………………………………………………………………….. 1398.4. Fractali ………………………………………………………………………………………………… 1438.5. Fenomenul Gibbs ………………………………………………………………………………… 1468.6. Fenomenul conversiei timp / frecvență ………………………………………………… 1488.7. Fenomene probabiliste ………………………………………………………………………… 153

79. MATEMATIZAREA CONCEPTULUI DE INFORMAȚIE ………………………………………………… 164
9.1. Descrierea statistică a cantității de informație ……………………………………… 164
9.2. Codifi cări …………………………………………………………………………………………….. 168
9.3. Formulele lui Shannon ………………………………………………………………………… 1729.4. Cum se transmite informația ……………………………………………………………….. 174
10. CURIOZITĂȚI MATEMATICE ȘI INFORMATICE ……………………………………………………… 180
10.1. Curiozități din algebră ………………………………………………………………………. 18010.2. Fascinația numerelor prime și curiozități din teoria numerelor ………….. 18710.3. Curiozități din analiza matematică …………………………………………………….. 19110.4. Curiozități geometrice ……………………………………………………………………….. 19710.5. Curiozități legate de informatică ………………………………………………………… 208
11. EURISTICA ÎN MATEMATICĂ …………………………………………………………………………. 215
11.1. Folosirea euristicii în didactică ………………………………………………………….. 21511.2. Euristică, logică și inteligență artifi cială …………………………………………….. 221
11.3. Exemple de cercetare euristică în matematică / informatică ……………….. 22611.4. Exemple de cercetare euristică în alte științe ………………………………………. 232
12. O SINTEZĂ CULTURALĂ: MATEMATICĂ, FIZICĂ, INGINERIE ȘI INFORMATICĂ ……………….. 243
12.1. Motivație istorică ……………………………………………………………………………….. 24312.2. Conceptul de grup – punte între matematică și alte domenii ale științei ………………………………………………………………………….. 24512.3. Entropia – un concept universal ………………………………………………………… 25612.4. Tomografi e computerizată …………………………………………………………………. 263
12.5. Conceptul de undină …………………………………………………………………………. 26712.6. Matematică și fi zică ……………………………………………………………………………. 271
12.7. Matematica și știința calculatoarelor …………………………………………………. 28412.8. Matematică și inginerie ……………………………………………………………………… 28612.9. Metabolismul matematicii și informaticii ………………………………………….. 29512.10. Principalele descoperiri matematico – informatice din ultimul secol; lista problemelor „millenium” …………………………………………………………………… 307
Bibliografi e generală …………………………………………………………………………………………. 310

8

9PREFAȚĂ
Sursele de apariție și dezvoltare a matematicii au fost dintotdeauna aceleași:
– cele externe , care țin cont de prezența no astră, a oamenilor, într-un mediu
ostil, pe care trebuie să-l descifrăm și să-l stăpânim cât de cât, astfel încât, împreună cu celelalte științe, să stabi lim reguli prin care „să învățăm să nu
murim”;
– cele interne , legate de curiozitatea inerentă, de probleme proprii semnifi cative,
formulate și rezolvate în timp (sau încă nerezolvate), ca și de extinderea sau generalizarea unor concepte dato rate unor maeștri creatori.
Calculatoarele electronice se plasează între sursele menționate și mijloace,
infl uențând direct dezvoltarea matematicii, oferind acesteia noi probleme și
disponibilități.
Sursele externe se pot intitula matematica lumii , iar cele interne lumea
matematicii . După peste 2500 de ani de căutări intelectuale și decantări succesive,
s-a ajuns la descoperirea mai multor obie cte matematice esențiale și instrumente de
studiu, care au permis descrierea, înțelegerea și apoi controlul diverselor porțiuni ale realității fi zice și/sau spirituale. Rămân actuale cuvintele lui Gali leo Galilei: „Marea
carte a naturii este scrisă în simboluri matematice” , completată după 500 de ani de Roger Penrose: „Înțelegerea structurii Universului decurge din câteva principii matematice” . La eșafodajul matematicii au contribuit mulți fi lozofi , fi zicieni, ingineri
sau economiști, care au găsit în modelarea matematică un răspuns la probleme local utilitariste sau speculative, realizând ulterior sinteze care s-au dovedit importante prin ele însele, fi ind transformate în construcții teoretice. Mărturisesc că, după
absolvirea facultății, din orgoliu profesional mărunt, de fapt din necunoaștere, credeam că matematica este opera exclusivă a unor matematicieni izolați, aleși de zei. Generația mea a crescut odată cu noile generații de calculatoare, care au modifi cat
pozițiile relative ale diverselor discipline științifi ce. La un moment dat, aveam chiar
temerea că Matematica și-a creat propriul său gropar – Informatica.
Clasifi carea matematicii în pură și aplicată este anacronică, inhibitoare și
neproductivă. Nu poți aplica decât ceea ce cunoști în profunzime și așa cum Fizica nu se confundă cu ansamblul instrumentelor de măsură, tot astfel, Matematica este diferită de utilizarea calculatorului. În timp ce matematicienii creează scheme de formulare, clasifi care și rezolvare a problemelor, calculatorul nu rezolvă nimic prin el
însuși, ci numai în pereche cu utilizatorul uman. Cunoașterea științifi că, alături de cea
tehnologică sau artistică, este o producție umană și nu un dat aprioric, iar matematica este vie, are un metabolism dinamic, cu surse și resurse mereu reînnoite, cu reluări și reașezări critice și cu aplicații spectaculoase, care acompaniază și impulsionează progresul social.
Esența matematicii este tocmai contribuția ei științifi că și culturală la universul
de cunoaștere și acțiune; spre deosebire de alte științe și structuri de căutare a adevărului, ea nu și-a renegat nicio achiziție. Nu pot spune același lucru despre informatică, deoarece aceasta nu și-a stabilizat cuceririle și nu și-a marcat încă

10teritoriul. Trebuie totuși să subliniez un fapt decisiv, apărut după 1980, anume
punerea accentului pe înțelegerea conceptelor , pe asimilarea critică și nu pe memorarea
mecanică de formule sau enunțuri (de tipul psaltirii de formule trigonometrice sau de primitive ale funcțiilor). Faptul că peste 90 % din persoanele care au absolvit un liceu își găsesc scuze pentru lipsa lor de apetență pentru matematică este, în realitate, un insucces pentru toți participanții la procesul instructiv. Ca un exemplu banal, este trist că atâția oameni nu au înțeles esența criminală a acelor jocuri piramidale,
cu progresii geometrice de rație 8, profi tabile doar pentru organizatori. În ciuda
capacităților lor excepționale, computerele au avut și rolul de a deturna dezvoltarea gândirii matematice, întârziind probabil apariția unor noi teoreme sau tipuri de probleme interne; de aceea, trebuie găsită o armonizare a virtuților calculatoarelor moderne cu cele ale educației și culturii matematice. Avem datoria să contribuim, sub toate formele, la depistarea, educarea și promovarea tinerelor talente și implicit, la prelungirea speciei.
Această carte nu este un manual sistematic, ci o derulare de 12 subiecte științifi ce
provocatoare, relativ independente, un fel de potpuriuri ușor impresioniste, în care Matematica este o prezență activă prioritară, dar nu hegemonică. Nu mi-am propus să realizez o „compilație originală” sau un amalgam de concepte și rezultate
interdisciplinare, mai ales că îmi recunosc limitele de asimilare, înțelegere și comunicare; sunt doar un cronicar al trecerii…
Cititorului îi cer să-și reamintească unele fapte matematice deja studiate sau
să aibă o anumită deschidere, dincolo de examene și concursuri. Mă adresez cu precădere elevilor sau studenților talentați, dascălilor de matematică sau informatică, de fapt tuturor celor interesați în fenomene fi zico-matematico-informatice și în
lărgirea orizontului lor, indiferent de profesia pe care o reprezintă sau pe care vor s-o îmbrățișeze. Trebuie să mulțumesc multor colegi, matematicieni, fi zicieni sau
ingineri, pentru discuțiile profesionale în timp, ale căror urme se răsfrâng și aici. Nu le voi da numele, deoarece nu vreau să-i implic în afi rmațiile uneori riscante pe
care le fac în carte și pentru care sunt singurul responsabil. O amintire deosebită o am de la Seminarul „Matematică și/sau Programare” din anii 75-85, de la Facultatea de Automatică și Calculatoare – UPB, unde ne-am reunit cadre didactice de diverse vârste și poziții, studenți dornici de afi rmare și unde am început să defrișăm câmpul
nesfârșit al Calculului ca obiect în sine, a cărui înțelegere te obliga la incursiuni în Logică, Electronică, Matematică Discretă și … bun simț colectiv.
Țin să mulțumesc conducerii Editurii NICULESCU, promotoare a publicării
cărților științifi ce și didactice și nu numai, într-o vreme când competiția este dură și
numai calitatea poate asigura succesul. Un cuvânt special de mulțumire am pentru redactorul acestei cărți. O c t a v i a n S t ă n ă ș i l ă
iulie 2014

11• Nu există matematică pură sau
aplicată, clasică sau modernă; toată matematica este clasică și aplicabilă
H. CARTAN
• Fiecare bit de matematică pe care îl știu
m-a ajutat, într-un mod sau altul
D. E. KNUTH

1. OBIECTE MATEMATICO – INFORMATICE FUNDAMENTALE
1.1. O motivație apriorică
La o primă vedere, Matematica pare un ocean imens de defi niții, formule,
teoreme, înlănțuiri de raționamente, exemple și pretinse aplicații. Totuși, primele cuvinte pe care orice dascăl de matematică de liceu sau de facultate trebuie să le spună ascultătorilor sau cititorilor lui sunt:
Atenție! Matematica nu este chiar infi nită ,
iar obiectele matematice esențiale sunt relativ puține și anume:
– numerele;- mulțimile și aplicațiile ( ≡ funcțiile) între mulțimi;
– seturile de numere – perechi, triplete, liste, masive;- structurile (algebrice, de ordine sau de convergență);- confi gurațiile geometrice, sp ațiile și…jocul cu infi nitul.
Alte obiecte sau concepte matematice sunt combinații sau derivate ale acestora.
Importanța unui concept este direct legată de aplicarea lui la înțelegerea succesivă, în lanț, a altor concepte și în ultimă instanță, la bunăstare și progres social. Filozoful Platon sugera identifi carea Matematicii cu Binele și acest fapt a fost confi rmat de
înțelegerea Universului prin contribuțiile lui Arhimede, Kepler, Galilei, Newton, Gauss, Maxwell, Einstein ș.a. și prin succesele Mecanicii cuantice sau Geometriei moleculelor de DNA. Este revelator că toate obiectele menționate constituie modele
pentru descrierea diverselor porțiuni ale realității fi zice. Până la Galilei și Newton,
Matematica era statică, timpul (ca momente sau durate) nefi ind luat în considerație,
iar Fizica era imersată în Filozofi e. Miracolul se închide observând că și invers,
principalele activități umane au un corespondent direct în Matematică:
– diversele grupări de elemente determină mulțimi , iar selecțiile acestor
elemente – submulțimi ;
– diferențierea între grupările de elemente a condus la descoperirea numerelor
naturale ;
– numărarea și compararea de elemente au generat conceptele de ordine și
cardinalitate ;

12- calculele empirice (adunări, scăderi, înmulțiri și mai târziu, puteri, radicali,
logaritmi etc.), având etichetele corespunzătoare „+” , „–” , „ ×”, √—” , „log” etc.)
au premers conceptul de operație algebrică (≡ lege de compoziție );
– acțiunile de contemplare și măsurare au condus la decelarea formelor
geometrice simple sau complexe, ca și la defi nirea și studierea distanțelor ,
unghiurilor , ariilor sau volumelor ;
– mișcările sistematice au generat transformările geometrice (translații, rotații,
omotetii, scalări), dar și noțiunile de viteză , accelerație etc.;
– studiul curbelor și suprafețelor, ca și al mișcărilor pe ele sau în spațiul liber, a
generat Geometria analitică și diferențială ;
– estimările și predicțiile au condus la aproximări și la probabilități ;
– studiul grafurilor, al structurilor arborescente și rețelelor, a reprezentat
începutul Matematicii Discrete etc.
Mergând mai departe, s-a impus nevoia de argumentare, asociată cu demonstrația
(prin logica implicațiilor, modus ponens etc.), creându-se noi categorii fi lozofi ce
sau logice, de tipul analiză/sinteză, modela re, formalizare, căutare de analogii
(izomorfi sme). Apariția calculatoarelor moderne , prin efortul comun al logicienilor
matematicieni și al fi zicienilor și inginerilor, a condus la consolidarea și totodată
desprinderea Informaticii , ca benefi ciar al creațiilor anterioare și participant activ
la dezvoltarea cunoașterii științifi ce și la lărgirea tipurilor de experimente necesare
(și uneori sufi ciente). Raportul dintre Matematică și Informatică nu este încă deplin
lămurit; dar există multe exemple de infl uențare reciprocă. Informatica a devenit
un instrument esențial privind stocarea, prelucrarea și transmiterea datelor și informației, iar calculatorul a adus o dim ensiune în plus aplicațiilor matematicii.
Parafrazându-l pe Goethe care a spus că „Arhitectura este muzică înghețată” , se poate spune că Informatica este Matematică lichefi ată sau solidifi cată .
Înțelegerea obiectelor fundamentale facilitează toate dezvoltările ulterioare, la
diverse grade de pricepere și capacități de aplicare . Matematica s-a aplicat începând cu
„aritmetica de piață” și „algebra fi nanciară” , care domină echilibrul dintre producție
și consum, iar Informatica a însemnat un mare salt acțional.
Tripletul ciclic
REALITATE ↔ MODEL ↔ TEORIE
este un subiect de refl ecție fi lozofi că și de predicții raționale permanente. Așa cum
teoria evoluționistă este un model pentru înțelegerea vieții, iar religiile sunt modele
pentru locul nostru în Univers, tot astfel, Matematica și Informatica propun modele
și obiecte noi de studiu, tot mai depărtate de cele adresate simțurilor directe [1], [2], [4], [7], [8].
Dar să o luăm pe rând…

131.2. Numerele și seturile de numere
Ca o defi niție generică (de fapt, o circumscriere mai neriguroasă), numerele sunt
obiecte cu care se pot face diverse operații (având etichetele „+” , „ ×” etc.) și care pot
fi supuse unor relații („≤” , „ #” etc.). Cuvântul „calcul” amintește direct de utilizarea
pietricelelor („calcul” ≡ piatră, în latinește), pentru a forma grupări, reuniri sau
monede primitive.
Numerele naturale 0, 1, 2, 3, … , n, … au apărut ca o abstragere directă a contem-
plării și măsurării obiectelor din jur. Însuși termenul de „numere naturale” este motivat de faptul că acestea sunt singurele întâlnite direct în natură (5 elevi, 7 case,
10 străzi și nu 2
3 case, √—2 străzi, –12 metri sau – 7 oceane etc.).
NOTĂ . Conform Bibliei, toți ne tragem de la Adam și Eva deci defi niția
genetică a mulțimii tuturor oamenilor apare astfel: OM: = ADAM | EVA | COPIL (OM, OM) ,
unde „|” ≡ sau.
Există întrebări retorice: „ce au fost mai întâi: mulțimile sau numerele?”; „există
oare și alte fi ințe raționale în Univers și dacă da, ce fel de numere ar folosi ele?” etc.
Oamenii au fost întotdeauna interesați să-și înțeleagă vecinătatea, apoi zona,
regiunea, lumea… Anticii europeni aveau 4 principii – apa, pământul, cerul, focul , iar
în Evul Mediu s-a adăugat o substanță eterică, a 5-a esență („quintessence”). Chinezii de la Academia Qi considerau două principii – „yan” (masculin, luminos, cald, uscat, par) și „yin” – feminin, obscur, rece, umed, impar), iar tot ce ne înconjoară ar fi
expresia alternanței acestor principii prin 5 agenți – apa, pământul, focul, metalul și lemnul. Se observă obsesia prezenței numărului 5 și mai puțin a numărului biblic 7. Dar acestea nu au legătură directă cu numerele naturale.
Lărgirea succesivă:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
a claselor de numere își are atât rațiuni interne (cum ar fi rezolvarea de ecuații, ale
căror soluții trebuie căutate în mulțimi mai largi; de exemplu, 3 + x = 2, 3 x = 2,
x
2 = 2, x2+ 1 = 0 etc.), dar și din rațiuni aplicative – temperaturi negative, datorii,
dobânzi, „două paie la trei măgari” , aplicarea regulii de trei simplă, segmente incomensurabile, precum latura și diagonala unui pătrat (√—2 ∈ R \ Q) etc. Poate
părea ciudat, dar mulțimea N, cea mai simplă mulțime de numere, a fost axiomatizată
ultima, prin următoarele axiome ale lui Peano:
1. Există o funcție injectivă succesor s : N → N, n x n + 1;
2. 0 nu este un succesor;3. Dacă A ⊂ N astfel încât 0 ∈ A și s(A) ⊂ A, atunci A = N.
Relativ la mulțimea N s-au demonstrat diverse teoreme (legate de numele lui
Euclid, Diofante, Fermat, Euler, Gauss ș.a.) și s-au formulat conjecturi care au stimulat în timp creativitatea tinerilor candidați la celebritate. La unele din acestea ne vom
referi în paragrafele următoare, inclusiv la cel dedicat unor curiozități matematice.

14După 1930, mari logicieni și informaticieni precum Gödel, Turing, Kleene, au
arătat marile disponibilități modelatoare ale mulțimii N, legate de conceptul intrinsec
de calcul sau de cel de algoritm, devenite baza teoretică a Științei Calculatoarelor
(„Computer Science”) și Informaticii.
Fiecare capitol de matematică își are cadrul numeric specifi c.
De exemplu, divizibilitatea se studiază în mulțimea Z, iar ecuația sin x = 0
are soluțiile x = kπ, cu k ∈ Z. Primul exemplu istoric de corp comutativ l-a constituit
corpul Q al numerelor raționale. Inecuațiile, radicalii, logaritmii și ecuațiile algebrice
polinomiale, ca și cele iraționale sau trigonometrice se studiază în mulțimea R a
numerelor reale. Aceasta a fost una din cele mai importante descoperiri ale întregii omeniri. Abia după 1850 s-a reușit defi niția axiomatică a numerelor reale, datorată
lui Weierstrass, Cantor și Dedekind („corp comutativ total ordonat, în care orice submulțime nevidă majorată are margine superioară”). Denumirea atât de fericită, de numere reale , corespunde faptului că aceste numere sunt măsuri ale diverselor
mărimi din realitate – viteze, mase, lungimi, accelerații, dobânzi, volume, intensități, rezistențe, probabilități (reamintim că mărimile sunt proprietăți însoțite de unități de măsură). Calculul diferențial și integral clasic, ca și Geometria analitică, sunt intrinsec legate de mulțimea R. Conceptul de funcție generalizează pe cel de lege de
evoluție (sau variație ), iar funcțiile de una sau mai multe variabile reale se întâlnesc
pretutindeni; de exemplu, multe legi fi zice (de tipul
== −2 2
0 ,22gt atss v t , U = I . R,
I(t) = i0sin(ωt + ϕ), R = r l
s, E = mgh sau E =mv2
2 etc., cu notații transparente) defi nesc
funcții reale elementare, cărora li se pot aplica toate binefacerile Analizei matematice
– studiul variației, derivate, extreme, reprezentări grafi ce, aproximări, interpolări etc.
O resursă excepțională a Informaticii aplicate a constituit-o atribuirea de numere
sau simboluri alfa – numerice diverselor obiecte din realitatea înconjurătoare sau stărilor unor sisteme tehnice sau biologice.
EXEMPLE MATEMATICO – INFORMATICE
1) Geometria analitică în R
2
(respectiv în R3) este în fond studiul perechilor
(respectiv tripletelor) de numere reale, strâns legat de diverse confi gurații
geometrice asociate – drepte, segmente de dreaptă, distanțe, triunghiuri etc.
Considerând un plan ( π) și un reper ortonormal xOy în acel plan, cu versorii
ti,tj, oricărui punct M ∈ π i se asociază o pereche unică ( a, b) ∈ R2
astfel încât
=+JJJJG GG
OM ai bj și se spune că M are coordonatele carteziene a, b. Apoi pentru orice
vector tv cu suportul în ( π), există și este unic un punct M ∈ (π) astfel încât tv = JJJJG
OM
deci tv = +GG
ai bj și v = +22ab (fi gura 1.1).

15titv
tj
OM(a, b)(π)
xy
tjtv
tk
OM(S)
yz
xti
Figura 1.1 . Repere ortonormale în plan și în spațiu.
În mod similar, fi xând un reper ortonormal Oxyz în spațiul ( S), de versori GGG
,,ij k ,
orice vector tv din spațiu se reprezintă unic sub forma =+ +GGGG, va ib jc k iar acel punct
M pentru care =JJJJGGOM v are coordonatele carteziene ( a, b, c); mărimea vectorului
tv este =+ +G 222abc v . Acesta este începutul Geometriei analitice, concepută
de Descartes ( ≡ Cartesius). Dacă M (a, b, c) și Mʹ(aʹ, bʹ, cʹ) sunt două puncte în
spațiu, atunci () () ( ) MM OM OM a a i b b j c c k′′ ′ ′ ′=− = − + − + −JJJJJ G JJJJG JJJJ G G G G
și rezultă distanța
d(M, Mʹ) = ′′′ =− + − + −′JJJJJ G22 2() () ( )aa bb cc MM etc.
Pentru n ≥ 1, se pot considera vectorii n – dimensionali c a s e t u r i o r d o n a t e
de numere reale x = (x1, x2, …, xn). Mulțimea acestora se notează cu Rn (spațiul
n -dimensional ); pentru n ≥ 4 nu mai există o interpretare geometrică intuitivă și după
cunoașterea disponibilităților din R2 , R3 , se poate activa „ochiul minții” , defi nind
algebric și studiind drepte, segmente, distanțe și alte confi gurații geometrice din
Rn. Acest lucru a fost inițiat de geometrii secolului 19, anume de britanicii Cayley,
Hamilton și Grassmann, care au produs fas cinația nestinsă a spațiilor cu mai multe
dimensiuni.
2) Un polinom P = aoXn + a1Xn -1+ … + an cu coefi cienți ak ∈ R și a0 ≠ 0 este în
esență ( n + 1)-tuplul ( ao, a1,…, an) al coefi cienților săi.
De exemplu, polinomul 3 + X2 +7X3 se identifi că prin setul (3, 0, 1, 7) ∈ R4 .
Iar o matrice M = (ai j) de tip m × n cu coefi cienții ai j ∈ R este de fapt
masivul de mn numere reale obținut prin listarea succesivă a celor m linii; pe
scurt, M se identifi că printr-un punct din spațiul Rm × n.
Regulile de egalitate sau adunare pe co mponente, din cazul seturilor de numere,
conduc la regulile respective din cazul vectorilor, polinoamelor sau matricelor, cu adaptări specifi ce.

163) Dacă A este o mulțime fi nită nevidă (numită alfabet ), ale cărei elemente se
numesc ad-hoc litere , atunci succesiunile de n litere w = a1a2 … an (n ≥ 1 fi xat)
se numesc cuvinte (sau „strings”-uri) de lungime n, relativ la A; se mai scrie
w ∈ An. Așadar,
A1 = A, A2 = A × A și inductiv, An + 1 = An × A.
Considerând cuvântul vid „Λ ” (fără litere, un simbol amintind de numărul
„zero”) și defi nind Ao = {Λ}, reuniunea A* = 4n ≥ 0 An a tuturor cuvintelor relativ la
A, se numește dicționarul sintactic relativ la A . Orice colecție L ⊂ A* de cuvinte se
numește limbaj relativ la A.
În cazul când A = B = {0, 1}, numit codul binar , Bn este mulțimea cuvintelor
binare de lungime n; desigur, card ( Bn) = 2n. Simbolurile „0” și „1” se numesc ad-hoc
biți, dar ele nu sunt numere naturale; în unele situații, 1 + 1 = 0. Funcțiile f : Bn t B
se numesc funcții booleene de n variabile și numărul lor este 2N, unde N = 2n.
Se știe că mulțimea A* este numărabilă (adică există o aplicație bijectivă
N tA*), iar mulțimea P(A*) a limbajelor relativ la A este de puterea continuului
(adică în corespondență bijectivă cu R).
Dacă A și B sunt două alfabete (fi nite), orice aplicație injectivă t : A* t B* (care
duce cuvinte distincte în cuvinte distincte) se numește codifi care (≡ traducere ) de la A
la B; dacă B = B, atunci codifi carea se numește binară .
Un rezultat semnifi cativ îl constituie următoarea:
TEOREMĂ (Leibniz ). „Orice text (matematic sau nu) poate fi codifi cat binar ”.
Demonstrație . Orice text utilizează doar un număr fi nit de simboluri, alcătuind
o mulțime A = {x1, x2,…, xn}, având o numărătoare fi xată a simbolurilor. Asociind
oricărui cuvânt w = xi1xi2… xip de lungime p, cuvântul binar PP P12 ori ori ori
1…101…10…01…10pi ii
, de
lungime i1 +i2 + … + ip + p, se defi nește o aplicație f : A* t B*; f (Λ) = Λ. Este evident
că f este injectivă deci o codifi care binară.
În Teoria codifi cărilor se defi nesc codifi cări binare cu proprietăți superioare (de
exemplu, care nu lungesc mult cuvintele după traducere). Teorema lui Leibniz arată
că orice text se poate scrie numai cu 0 și 1; au trecut peste 300 de ani pentru ca această idee să devină operațională, implementată pe calculatoarele moderne și înalt
benefi că; [3],[4].
EXEMPLE FIZICO – MATEMATICE
1) Fizica a preluat cu întârziere conceptul de set de numere, realizând acum
mai multe construcții pline de semnifi cație. Astfel, un eveniment punctual (≡
„flash ”) care are loc în punctul ( x, y, z) și la momentul t formează 4-setuplul
e = (x, y, z, t);
mulțimea acestor obiecte se notează M și se numește spațio-timpul
Minkowski („spațiu – timp”). De fapt, M = R
4. Dacă eʹ = (xʹ, yʹ, zʹ, tʹ) este
un alt eveniment punctual, se spune că e și eʹ sunt fi zic conectabile dacă fi zic

17este posibil de trimis un semnal de la e la eʹ (sau invers). Admițând că viteza
c a luminii nu poate fi depășită, condiția ca e și eʹ să fi e fi zic conectabile
este ca distanța dintre cele două evenimente să fi e cel mult egală cu distanța
parcursă de lumină între momentele t, tʹ, adică c . |t – tʹ |. Așadar,
′′ ′−+ −+ −22 2() () ( )xx yy zz ≤ c . | t – tʹ|.
Considerând evenimentul nul 0 ∈ R4,
mulțimea evenimentelor fi zic conectabile cu 0,
în viitor, este
C = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x2 + y2 + z2 ≤ c2t2, t ≥ 0}.
Geometric, această mulțime este un con
(numit conul viitorului sau al luminii) cu vârful
în 0 și situat în spațiul R4. Pentru vizualizare,
considerăm o proiecție bidimensională suges-tivă, anume
C
+ = {( z, t) ∈ R2 | z2 ≤ c2t2, t ≥ 0}.
Se defi nește distanța Einstein – Minkowski
între 0 și e, anume ( c2t2 – x2 – y2 – z2)1/2; dacă e ∉ C+,
aceasta este imaginară. Pentru orice eveniment e
există un con al viitorului, cu vârful în e.
În Teoria relativității, timpul nu mai are
caracter universal ca în cazul fi zicii newtoniene. Dacă într-un anumit punct se
produce un eveniment ( ≡ fl ash) în spațio – timp, undele luminoase (fotonii) se
depărtează în viitor cu viteza luminii în lungul generatoarelor conurilor respective (fi g. 1.3.a). Traiectoria unei particule este reprezentată de o linie afl ată în interiorul
fi ecărui con al viitorului existent în fi ecare punct; fi g. 1.3.b).
Foton Particulă
a) b)
Figura 1.3. Traiectoriile unui foton și ale unei particule.

Coordonatele x, y, z ale unui punct în spațiu se calculează într-un sistem de
referință S; nu există traiectorii în sine, care să indice modul cum punctul își modifi că
poziția în timp. Fiecare sistem de referință își are propriul timp. Două evenimente simultane relativ la un sistem de referință S pot să fi e decalate în raport cu un alt
sistem de referință. Se spune că simultaneitatea este relativă. Dar niciodată cauza nu va precede efectul; [7].
Astfel de considerații reprezintă începutul fi zico-matematicii moderne.OC+
zz = ct z = – ct
e .
.t
Figura 1.2. Conul viitorului
(≡ al luminii), cu vârful în O.

182) Un alt exemplu de utilizare curentă a seturilor de numere îl constituie cel
al parametrilor de stare , idee promovată de Gibbs la sfârșitul secolului 19 și
devenită un subiect central pentru Teoria sistemelor dinamice. Cel mai simplu exemplu îl constituie o particulă materială în spațiu, având 6 parametri de stare – trei coordonate spațiale și cele trei componente ale vitezei. Iar N particule independente vor avea 6N parametri de stare. Ne limităm la un singur exemplu mai complex.Considerăm un corp fi zic K; la
orice moment t dintr-un interval de timp
I, notăm cu V(t) și respectiv T(t) volumul
și temperatura absolută ale corpului K la
momentul t; V și T se numesc parametri
de stare ai corpului K și orice domeniu D
(constitutiv) din planul VOT (identifi cat cu
R
2) este un spațiu de stări ale corpului K. Fixând perechea ( K, D), punctul
(V, T) ∈ D se numește stare și orice curbă continuă π: V = V (t), T = T(t); t ∈ I,
situată în D, se numește proces termic π în intervalul I. Dacă această curbă
este închisă, de clasă C1 pe porțiuni, ea se numește ciclu termic (fi g.1.4.)
Presiunea p: D t R care acționează asupra corpului K este dată printr-o ecuație
de stare de forma p = p (V, T), unde p ∈ C1(D) și p
V∂
∂ < 0. Lucrul efectuat de corpul K
în lungul procesului π este integrala curbilinie L = dpVπ∫ .
De exemplu, pentru un gaz ideal K, D este primul cadran și p = RT
V (R > 0 fi ind
constanta lui Clapeyron); iar pentru un gaz real Van der Waals,
2,RT apVb V=−− sau echivalent, 2()aVb R T pV⎛⎞−= ⋅ +⎜⎟⎝⎠,
unde a > 0, b > 0, R > 0 sunt constante și D = {( V, T)| V > b}.
Vom reveni asupra acestui exemplu în 12.3.
3) Iată acum un alt exemplu fi zico – informatic, remarcabil, de seturi de
numere. Notăm cu R, G, B culorile de bază (R = roșu, având lungimea de
undă λR ≅ 700,0 mm; G = verde, cu λG ≅ 546,1 mm și B = albastru, cu λB ≅
435,8 mm). Pentru orice altă culoare F, o lege a lui Grassmann arată că există și sunt unice numerele reale a, b, c astfel încât
F = aR + bG + cB; de fapt λ
F ≅ aλR + bλG + cλB.
De exemplu, lumina albă este R + 4,59G + 0,60B. Fără a intra în detalii
tehnologice, trebuie spus că transmisiile TV în culori sunt de fapt transmisii de semnale pentru culorile de bază, cu nuanțări le și calibrările necesare. Regăsim astfel
o situație asemănătoare cu cea prin care orice vector 3 – dimensional este reprezentat
prin componentele sale scalare relativ la un reper de versori
ti, tj, tk.O π
VDT
. (V, T)
Figura 1.4.Ciclu termic π în
domeniul constitutiv D.

191.3. Lărgirea claselor de numere
Cea mai mare parte a matematicii se referă la mulțimea R. Au existat rațiuni
puternice pentru trecerea la o mulțime mai largă, în principal la mulțimea
C = {z = a + bi| a, b ∈ R și i2 = –1}
a numerelor complexe. De fapt, C = R2, cu egalitatea și suma făcute pe componente și
dacă z = (a, b) și zʹ = (aʹ, bʹ) ∈ C, produsul se face cu regula zzʹ = (aaʹ – bbʹ, abʹ + aʹb).
Identifi când numărul real x cu perechea ( x, 0), rezultă că R ⊂ C.
NOTĂ . Reamintim că dacă M este o mulțime nevidă și R este o relație de
echivalență pe M (refl exivă, simetrică și tranzitivă), atunci pentru
orice u ∈ M se poate considera clasa de echivalență
[u] = { v ∈ M| v este în relația R cu u};
evident, [ u] = [ v] î u și v sunt echivalente.
EXEMPLE a) Dacă M este mulțimea perechilor ordonate u = (A, B) de puncte din spațiu
(numite segmente orientate), se poate defi ni relația ( A, B) R ( C, D)
î segmentele ( A, D) și ( B, C) au același mijloc. Se obține o relație de
echivalență și clasele sunt vectorii liberi, de tipul ABJJJG
.
b) Similar, considerând mulțimea polinoamelor cu coefi cienți reali și defi nind
relația P ~ Q î polinomul P – Q este divizibil cu x2 + 1, se poate arăta ușor
că mulțimea claselor de echivalență este izomorfă cu C (Dacă bX + a este
restul împărțirii lui P la x2 + 1, atunci clasa lui P este identifi cată cu numărul
complex a + bi ).
Există și alte extinderi ale lui R. Astfel este dreapta compactată {,} =− ∞ + ∞∪ RR ,
obținută prin adjuncționarea simbolurilor – ∞ și +∞. Topologic, R este izometrică cu
intervalul [– 1, 1] prin aplicația bijectivă
, pentru 1
: [ 1,1], ( ) 1 , pentru
1 , pentru xxx
xx
x⎧∈⎪+⎪⎨ϕ→ − ϕ = = + ∞⎪
⎪−= − ∞⎩⏐|R
R (fi gura 1.5)
O.+∞
–1 0 +1.ϕ
[ ]–∞
Figura 1.5. Compactifi carea lui R cu două puncte la infi nit.
O altă extindere este dreapta proiectivă P1, care se defi nește astfel: în mulțimea
R2 \ {(0, 0)} se introduce următoarea relație de echivalență: ( x, y) ~ ( xʹ, yʹ) î există
t ≠ 0 astfel încât x = tx ʹ, y = ty ʹ î xyʹ = xʹy. De exemplu, (2, 5) ~ (4, 10); (0, 7) ~ (0, –4).

20Prin defi niție, P1 este mulțimea claselor de echivalență respective. Clasa de echivalență
a oricărei perechi ( x, y) cu y ≠ 0 se notează cu x : y, iar clasa perechii (1, 0) se notează
∞, numită punctul de la infinit . Orice element x : y din P1, cu y ≠ 0 este egal cu m : 1,
unde m = x
y (deoarece ( x : y) ~ ,1x
y⎛⎞
⎜⎟⎝⎠).
Aplicația ψ : P1 t R 4 {∞}, (:)xxyyΨ=
dacă y ≠ 0 și ψ(x : 0) = ∞ dacă x ≠ 0
este bijectivă și ca atare, P1 j R 4 {∞}. Orice x ∈ R se identifi că cu x : 1 deci R ⊂ P1.
EXEMPLU
Fixăm aplicația f (x) = ax b
cx d+
+ cu a, b, c, d ∈ R și ad – bc ≠ 0, care se extinde la o
aplicație f : P1 t P1 defi nită peste tot, punând dfc⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠ ∞ și f(∞) = a
c (dacă c = 0,
atunci d ≠ 0 și defi nim f (∞) = ∞). Aplicațiile de acest tip se numesc transformări
proiective și ele formează grupul proiectiv 1D.
Iată o aplicație semnifi cativă. Să considerăm o integrală de tipul
d
() () () ()x
xa xb xc xd−−−−∫ ,
numită integrală eliptică . Facem o schimbare de variabilă proiectivă care duce a în 0,
b în ∞ și c în 1; anume, punem t = xa
xb−
−∙cb
ca−
−; după calcule, integrala capătă o formă
mai simplă, anume d
(1 ) ( )t
tt t m−−∫ .
Pentru nematematicieni, aceste obiecte par ezoterice, dar ele au o semnifi cație
locală, în anumite descrieri.
Hamilton a introdus cuaternionii , ca obiecte-numere de forma u = a + b i + cj +
dk, cu a, b, c, d ∈ R și trei unități imaginare, folosind regulile următoare:
i2 = j2 = k2 = −1, ij = − ji = k, jk = − kj = i, ki = − ik = j.
Mulțimea H a cuaternionilor se identifi că prin R4 și istoricește a constituit
primul exemplu de corp necomutativ.
De exemplu, considerând „conjugatul”_
u= a − bi − cj − dk, rezultă
u . _
u= a2 + b2 + c2 + d2 și dacă u ≠ 0, atunci inversul lui u este
1
222 2uuabcd−=+++.
Se poate scrie și astfel: u = (a + b i) + ( c + d i)j și notând z1 = a + b i, z2 = c + d i,
rezultă u = z1 + z2j (cu z1, z2 ∈ C).
Cuaternionii au aplicații importante în Fizica particulelor elementare și în unele
considerații de Mecanică. Matematicienii au defi nit și alte tipuri de numere:
– numere p – adice ( p ≥ 2 prim); nu dăm detalii;
– numere de forma a + b i cu a, b ∈ R și i2 = 1, care se numesc duble , iar cele de
forma a + b i cu a, b ∈ R și i2 = 0, se numesc duale ; s-au introdus și numere de
forma a + b i +cj cu două unități imaginare i, j, dar acestea nu au proprietăți
algebrice bune;

21- Cayley a propus „numere hipercomplexe” , ca sisteme de forma u = uo + u1i1
+… + unin, cu n unități imaginare i1,…, in și cu egalitatea și adunarea făcute pe
componente; în plus, el postula că produsele unităților se fac după o regulă de forma: i
k il = po + p1i1 +… + pnin (pk ∈ R fi xate) și ( akik).(blil) = ak bl(ik il ) etc.
– Fizicienii au introdus unele matrice (Pauli, Dirac, Heisenberg etc.) pe care le-au
asimilat cu numere.
Nu mai continuăm pe această linie…O problemă clasică a fost următoarea: considerând spațiul R
n cu structura
standard de spațiu vectorial (cu egalitatea și adunarea pe componente), pentru ce
valori ale lui n ≥ 1, se obține o structură de corp, nu neapărat comutativ?
Răspunsul l-a dat Frobenius: singurele valori sunt n = 1, 2 și 4. Așadar, singurele
corpuri de tipul Rn sunt R, C și H.
În încheierea acestui punct, prezentăm pe scurt o nouă clasă de obiecte de tip
numere (zise cuantice sau q – biți ), care au declanșat a nouă linie algoritmică, având
deja mari disponibilități.
q –biți
Scopul computerelor actuale este acela de a codifi ca informațiile sub formă binară
și de a organiza șirurile de biți pentru a ajunge la rezultate computaționale. Simbolurile 0 și 1 sunt fi zic realizabile printr-un sistem macroscopic de tipul magnetizării pe un
hard disc; de exemplu, un document format din n caractere, stocat pe driverul unui
computer, este descris printr-un cuvânt binar din B
8n.
Un computer cuantic este un dispozitiv de calcul, care utilizează fenomene
cuantice de tipul suprapunerii sau încrucișării, pentru a reprezenta datele și a realiza operații cu ele. Într-un computer cuantic, unitatea fundamentală de informație este q – bitul, care poate exista nu numai în starea 0 sau 1, dar și în stări de tipul α . 0 + β . 1,
cu ponderi α, β ∈ C și |α
2| + |β2| = 1. O pereche de q – biți se poate afl a într-o
suprapunere cuantică de 4 – biți, iar n q – biți se pot afl a într-o suprapunere simultană
până la 2n stări diferite.
Calculatoarele cuantice realizează un nou mod de procesare a informației;
algoritmul Shor permite descompunerea unor numere naturale „mari” în factori primi, cu aplicații semnifi cative în Criptanaliză, iar algoritmul Grover se referă
la căutarea bazelor de date sub formă cuantică. Acești algoritmi au complexitate polinomială și nu exponențială ca în cazul computerelor actuale.
NOTĂ . Matematica nu poate fi programată pe un computer actual (digital),
indiferent de precizia calculelor sau de volumul de memorie utilizat. Conform teoremei lui Gödel, un astfel de computer nu poate descoperi teoreme matematice așa cum fac matematicienii umani, deoarece gândirea și comportarea conștientă nu sunt algoritmizabile. R. Penrose consideră că „entitățile nealgoritmizabile ale conștiinței sunt legate de imposibilitatea exprimării funcțiilor de undă prin observabile macroscopice” , vorbind de abordări deocamdată speculative precum calculul cuantic; [3],[7],[8].

221.4. Jocul cu infi nitul
Încă din Antichitate, mulțimile au intrat în conștiința fi lozofi lor; dar numai
după 1850, G. Cantor, R. Dedekind și D. Hilbert au început studiul sistematic al mulțimilor și aplicațiilor între mulțimi, ca obiecte matematice. La ora actuală,
întreaga matematică este bazată pe Teoria mulțimilor; după ce s-au rezolvat diversele paradoxuri și s-a fundamentat axiomatica Teoriei mulțimilor, s-au pus baze solide pentru toate domeniile matematicii și informaticii.
Jocul intelectual cu infi nitul a început din Antichitate. Zenon a „demonstrat”
în felul următor că mișcarea este imposi bilă: dacă un mobil se mișcă începând din
punctul A spre punctul B, el trebuie să ajungă la mijlocul M
1 al segmentului [AB], apoi
la mijlocul M2 al segmentului [M1B], mijlocul lui [M2B] etc. Așadar, acel mobil trece
printr-o infinitate de puncte intermediare…Desigur, Zenon omitea faptul că în timp
fi nit se poate trece printr-o infi nitate de poziții (de fapt, el confunda cardinalitatea cu
măsurabilitatea).
Înainte de fundamentarea Analizei matematice, au existat discuții aprinse asupra
simbolului
1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1…
Punând paranteze astfel: (1 – 1) + (1 – 1) +…, există tentația de a-i asocia valoarea 0;
dar scriind 1 – (1 – 1) – (1 – 1) –…, apare tentația atribuirii valorii 1. Parcă pentru a
mări confuzia, aplicând identitatea 1 + x + x2 +… + xn +… = 1
1 − x (adevărată pentru
|x| < 1) și făcând x → −1, aceluiași simbol i se poate atribui valoarea 1
2. Abia atunci
când A. Cauchy a arătat, după 1800, că simbolul în discuție este un exemplu de
serie infi nită, divergentă (deoarece sumele ei parțiale 1, 0, 1, 0, 1,… formează un șir
divergent), s-a decis ca matematicienii să opereze numai cu obiecte bine defi nite, care
au sens. Începea jocul riguros cu infi nitul!
Lucrările matematicienilor din secolele 17 – 18 conțin diverse erori sistematice,
în lipsa unor defi niții precise și a prezenței unor raționamente dubioase, rezultate din
extinderea automată, „prin contrabandă” , a unor reguli de calcul de la sume fi nite la
serii. Astfel, multe exemple paradoxale s-au obținut derivând sau integrând termen cu termen unele serii de funcții care nu erau uniform convergente.
Există și exemple geometrice semnifi cative
unde jocul cu infi nitul a impus analize atente și
noi standarde de rigoare. Astfel, este cunoscută următoarea construcție elementară. Pornim de la un triunghi echilateral ABC , cu lungimea laturii
1 [cm]. Așadar, linia poligonală BAC are lungimea
2. Fie A
1, B1, C1 respectiv mijloacele laturilor [ BC],
[CA], [AB] deci linia poligonală BC1A1B1C va
avea lungimea 4 · 1
2 = 2 (fi gura 1.6). Fie apoi linia
poligonală BA2C2B2A1C3B3A3C care unește B și C, A
A1A2A3B1
B3B2C1
C2C3
CB
FIGURA 1.6. O infi nitate de linii
poligonale unind B și C, având
aceeași lungime.

23trecând prin mijloacele segmentelor [ BC1], [BA1], [A1C1], [A1B1], [A1C], [B1C], având
deci 8 zale de lungime 1
4; lungimea ei totală este tot 2. Și jocul continuă…Obținem
astfel o infi nitate de linii poligonale de lungime 2, care se apropie de segmentul [ BC]
având lungimea 1. Rezultă de aici că 2 = 1?
Astfel de construcții abundă și mai dăm un exemplu, ceva mai subtil, care a creat
o mare emoție printre geometri; este vorba de cilindrul lui G. A. Schwartz .
Să considerăm suprafața cilindrică x2 + y2 = R2, 0 ≤ z ≤ h, având reprezentarea
parametrică x = R cos u, y = R sin u, z = v ; 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ h. Împărțim intervalul
[0, 2π] în m părți egale prin punctele 2απ
m unde α = 0, 1,…, m, iar intervalul [0, h ] în
n părți egale. În cercul v = 0 se înscrie un poligon convex regulat A1A2… Am având m
laturi; poligonul regulat corespunzător B1B2…Bm din cercul v = h
n este rotit cu unghiul
de măsură π
m, apoi cel din cercul v = 2h
n este din nou rotit cu π
m etc. Unind punctele
Ai, Bj, Ck etc., ca în fi gura 1.7, a), se va obține un poliedru concav „înscris” în cilindru,
format din 2 mn triunghiuri isoscele congruente între ele, de tipul A2B1B2 (fi gura 1.7, b)).
Calculăm mai întâi aria Amn a poliedrului concav menționat.
O
A1C1
B1
A2C2
B2
AmCm
Bm
.. ……
……
…….
yz
x h
n
h
nU
VB1
A2B2 …
a) b)
FIGURA. 1.7
a) Poliedru concav cu fețe triunghiulare, înscris în cilindru;
b) O față triunghiulară-tip.
Avem B1B2 = 2R sinπ
m; notând cu U, V mijloacele segmentului B1B2 și arcului de cerc
B1B2(fi gura 1.7.b)), rezultă UV = R – R cosπ
m = 2R sin2π
2m deci A2U = A2V 2 + UV 2 = D, unde
D = h2
n2 + 4R2sin4 π
2m. Aria triunghiului A2B1B2 este 1
2 B1B2. A2U și aria poliedrului
amintit va fi Amn = 2mnRD sin π
m. Acum calculăm limita limmnmA
→∞ în cazurile n = m ,
n = m2 și n = m3. Intuiția ne spune că pentru m și n tinzând la infi nit, poliedrul
„tinde” către cilindru și ca atare, aria poliedrului ar trebui să tindă către aria laterală a cilindrului, adică 2 πRh. Și totuși…

24Pentru n = m , avem 22 2 4lim 2 lim sin lim 4 sin2mnmm mAR m h R mmm→∞ →∞ →∞ππ=⋅ + = 2Rπh;
pentru n = m2, 224 2
,1lim 24mmmAR h R
→∞=π + π , iar pentru n = m3, 3,limmmmA
→∞= ∞.
După o analiză riguroasă, francezul H. Lebesgue a arătat că în cazul „convergenței
curbelor” și a lungimilor de curbe, trebuie considerată nu numai convergența „în poziție” , ci și convergența „în direcție” . În ambele exemple, cu triunghiul echilateral și cu cilindrul, avem convergență în poziție, dar nu și în direcție. Deși „plăcuțele” de tipul A
2B1B2 sunt tot mai mici și tot mai multe, ele sunt înclinate, iar normalele
la suprafața cilindrică și la plăcuțe sunt depărtate. Iată că nu orice aproximări care intuitiv par corecte sunt și legitime!
Logicianul B. Russell a criticat, la începutul secolului 20, teoria descriptivă a
mulțimilor și a arătat ce capcane apar la utilizarea necenzurată a limbajului mulțimilor. Astfel, el a imaginat mulțimi care se conțin ca element, de tipul, A = {1, 2, 3, A}, deci
A ∈ A. Apoi a considerat următoarea mulțime
M = {A| A ∉ A}.
Apar două posibilități: dacă M ∉M, atunci rezultă că M ∈ M; iar dacă M ∈ M, atunci
M ∉M. Așadar, M este un obiect intrinsec contradictoriu. Acest paradox este similar
cu paradoxul autoreferențial al mincinosului m, care afi rmă: „eu mint mereu” . Dacă
m spune adevărul, el minte și dacă m nu spune adevărul, înseamnă că nu minte…
Ce este de făcut? S-a impus eliminarea un or astfel de construcții și totodată
nevoia de a fundamenta teoria axiomatică a mulțimilor (realizată cu participarea fi lozofi lor, logicienilor și matematicienilor până prin anul 1950). Este important
de subliniat impactul pe care l-a avut această abordare de succes pentru apariția și dezvoltarea computerelor moderne.
Pentru elevi și studenți, este sufi cient de spus că se fi xează un univers de mulțimi
U, care cuprinde mulțimile fi nite, R și submulțimile lui R; în plus, dacă A ∈ U,
B ⊂ A, atunci B ∈ U și produse carteziene (fi nite sau numărabile) de mulțimi din
U aparțin la U. În Analiza matematică, în Geometria analitică și diferențială,
ca și în alte domenii similare, inclusiv în Informatica teoretică, se consideră doar mulțimi din universul U. Capcanele de tipul indicat sunt totuși marginale pentru
predarea matematicii; ele îi atrag pe cei care urmăresc „patologiile raționale” , dar sunt neproductive și chiar descurajante pentru cei mai mulți tineri studioși, care doresc doar promovarea examenelor.
G. Cantor a introdus conceptele de cardinalitate și ordonalitate , extinzând
numărarea și ordonarea din cazul mulțimilor fi nite. Fără a intra în detalii, două
mulțimi A, B (din U) se zic echipotente dacă există o aplicație bijectivă f : A → B.
Echipotența este o relație de echivalență și clasa de echivalență a unei mulțimi A se
numește cardinalul lui A, notat cu card ( A). Cardinalele mulțimilor fi nite corespund
numerelor de elemente ale acestora 0, 1, 2,…, n,… Mulțimile echipotente cu N se
numesc numărabile , iar cele echipotente cu R se numesc de puterea continuului ; se
notează card N = ℵ0 (alef zero) și card R = – (gotic). Mulțimile Z și Qsunt numărabile,

25iar R, C au puterea continuului. Există o aritmetică a numerelor cardinale. Mulțimile
infi nite au proprietăți care contrazic „simțul comun”; de exemplu, mulțimea 2 N a
numerelor naturale pare este echipotentă cu N (prin bijecția N→ 2N, n x 2n), deși
2N ⊂ N; 2N ≠ N. Apoi dacă A este infi nită și a ∈ A, atunci mulțimile A \ {a} și A
sunt echipotente (iată un argument: se extrage un șir ( xn), n ≥ 0, de elemente distincte
din A, cu x0 = a și se defi nește următoarea aplicație bijectivă:
f : A → A \ {a}, f (xo) = x1, f (xn) = xn+1 pentru n ≥ 1 și f (x) = x pentru x ≠ xn -uri).
Jocul cu infi nitul are și alte conotații. Astfel, în Analiza matematică, ne amintim că
un șir ( xn), n ≥ 0 de numere reale este convergent către un număr real a (xn → a) dacă:
∀ ε > 0, ∃ N(ε) astfel încât, de îndată ce n ≥ N(ε), rezultă că | xn − a|< ε.
Se pune întrebarea: poate fi demonstrată pe computer convergența unui șir?
Răspunsul este neașteptat; anume este n egativ, deoarece computerul poate efectua
doar un număr fi nit de operații (număr oricât de mare, dar finit!). Computerul ar
trebui să indice rangul N(ε) pentru o infinitate de valori ale lui ε. Pentru informaticienii
practicieni, dacă există N natural și dacă numerele xn au aceeași parte întreagă b și
aceleași, să zicem, prime 20 de zecimale comune b1,…,b20 pentru N ≤ n ≤ 2N, atunci
se consideră că șirul xn este convergent către numărul b, b1b2… b20.
Bineînțeles, în acest mod, toate limitele ar fi doar numere din Q. Matematicienii
nu pot accepta un astfel de raționament, care este o amputare și o îngrădire a unui domeniu transcendental al cunoașterii.
În general, dacă x și a sunt numere reale, nu se poate atribui nici un sens „tinderii”
x → a, ca în cazul x
n → a. Dar dacă f : A → R este o funcție reală, a este un punct de
acumulare pentru mulțimea A _ R și l ∈ R, atunci are sens sintagma „dacă x → a,
atunci f (x) → l ” , ca înlocuitor al faptului că pentru orice șir xn → a, f (xn) → l, adică
al scrierii lim ( )
xafx
→= l. Pentru fi zicieni, asimilând xn și a cu (sub)particule materiale,
tinderea xn → a este contradictorie, deoarece de la un rang încolo, particulele s-ar
respinge! Așadar, există teme de refl ecție nesfârșită, în lumea microcosmosului, a
mărimilor un → 0 („infi niți mici”) sau a macrocosmosului („infi niți mari” un → ∞).
De exemplu, pornind de la un segment de lungime 1 cm și divizându-l succesiv în două, 2
2, 23,…, 240 de părți egale, se obțin segmente de lungime 2– 40 cm, coborând sub
dimensiunea celor mai mici particule cunoscute; pe de altă parte, dublând lungimea de 1 cm și repetând dublarea de 60 de ori, se ajunge la un segment de lungime 2
60 cm,
depășind diametrul Universului observab il. Aceste operații umanizează la modul
platonic jocul cu infi niții mici și mari. Facem deci distincția între 0 (zero static) și o
mărime care tinde spre zero. Iată un exemplu care ne pune pe gânduri: să considerăm bile notate 1, 2, 3, …, n, …, pe care le așezăm într-o urnă astfel: cu 1 minut înainte
de ora 12
00 se pun în urnă bilele 1, 2,…, 10 și se scoate bila 1; cu 1
2 minute înainte, se
pun în urnă bilele 11, 12,…, 20 și se scoate bila 2; apoi cu 1
3 minute înainte, se pun în
urnă bilele 21 – 30 și se scoate bila 3 ș.a.m.d. Câte bile se vor afl a în urnă la ora 1200
fi x? Răspunsul: zero! (De exemplu, bila cu numărul 104 va fi scoasă cu 10 – 4 minute
înainte de 1200).

26Există și alte percepții asupra infi nitului; în microcosmos, două particule afl ate
la distanță mai mare de 10 – 8 cm se consideră „infi nit de depărtate” , iar la nivel macro,
se consideră că un dispozitiv electric sau mecanic intră în regim staționar (teoretic pentru t → ∞ ), dacă își atinge parametrii de funcționare după câteva secunde.
În Analiza matematică reală infi nitul are două accepțiuni: infi nitul potențial și
cel actual . A considera infi nitul actual înseamnă a presupune existența ca atare a
elementelor − ∞ și + ∞, privite ca elemente neprivilegiate în mulțimea
R. Infi nitul
potențial apare ca o economie de notație. Dacă un șir ( xn), n ≥ 0, de numere reale
are proprietatea că ∀ ε > 0, ∃ N(ε) astfel încât, de îndată ce n ≥ N(ε), rezultă xn > ε,
se scrie pe scurt că xn → +∞. În Analiza complexă, se adjuncționează la C un singur
punct la infi nit, considerând C = C 4 {∞} și se spune că un șir ( zn), n ≥ 0, de numere
complexe tinde spre ∞ dacă | zn| → ∞ în R.
Infinitul rămâne o provocare pentru spiritul uman și pentru categoriile fi lozofi ce
precum timpul, materia, spațiul etc., care nu pot fi abordate prin omisiunea lui; [5],
[7], [11]. În același timp, așa cum spunea Montaigne: „nimic nu este mai potrivit pentru a opri trufi a umană decât perspectiva Universului nemărginit” .
1.5. Apariția matematicii discrete
În ultimele decenii, s-a coagulat o ramură afl ată în plină expansiune, direct legată
de Informatica teoretică, anume Matematica Discretă; aceasta studiază confi gurațiile
discrete, care nu operează cu trecerile la limită, de tipul: grafuri, structuri arborescente/ierarhizate, rețele, circuite logice etc. Matematica Discretă nu este totuși nouă, așa cum „tot ce este înțelept a mai fost gândit” (Goethe). La obiectele matematice menționate, Matematica Discretă adaugă analiza conceptului de calcul (privit ca o succesiune de stări ale unor procesoare), și a celui de algoritm (date inițiale + program); de
asemenea, studiază complexitatea și paralelizarea algoritmilor și implicit, conceptele de gramatici, limbaje, automate, apropiindu-se de Genetică și de înțelegerea viului; [3], [4]. Desigur, numai după stabilirea conceptelor ei fundamentale, Matematica a putut încorpora achizițiile științifi ce ale altor domenii, adăugând contribuții decisive;
de exemplu, în Fizica modernă (prin Teoria varietăților diferențiabile, Teoria spațiilor Hilbert, studiul „strings”-urilor, calibrării „gauge” și interacțiilor din natură etc.) sau în realizarea computerelor moderne și a mijloacelor excepționale actuale de prelucrare, stocare și transmitere a datelor/semnalelor, la capătul (de fapt nod intermediar) al unor mari eforturi comune ale diverselor categorii de cercetători/gânditori. Totodată, asistăm la o expansiune greu controlabilă a Matematicii spre alte domenii – Artă, Semiotică, Logica normelor, Jocuri intelectuale și chiar Sport.
Prin computerele moderne și eșafodajul de aplicații ale lor, Matematica Discretă
participă la „jocul social” și chiar la viața cotidiană. Ca un principiu general, aplicat în mod curent:
UTILIZAREA COMPUTERELOR PENTRU REZOLV AREA UNEI PROBLEME
TRECE PRIN „DISCRETIZAREA ” DATELOR ACELEI PROBLEME.

27Dincolo de viziunea ei utilitaristă, știința a servit dintotdeauna și unui scop mai
ascuns, al curiozității dezinteresate, dar bine orientate. Într-o societate bazată pe cunoaștere, binefacerile și relele științei depind de modul cum forțele naturii sunt puse în serviciul nostru, fără a deveni un instrument al justiției sociale. Deși nu există o știință a bogaților și una a săracilor, constatăm că este totuși necesar un nou contract social, care să atenueze disproporțiile repartizării bunurilor și totodată, să permită lupta cu mediul ostil, cu bolile sau cu guvernările haotice. Nu întâmplător, Marx redivivus, prin descoperirea mecanismului plusvalorii produse nu doar de proletariat (cum gândea fi lozoful), ci și de cercetători, de ingineri și chiar de micii
producători. Sclavia nu a dispărut ci a luat forme mult mai subtile, uitându-se că numai omul liber și informat este dispus și interesat să învețe, să inoveze, să creeze. Dacă până la 1800 științele erau unifi cate, a urmat o dezvoltare relativ independentă
a lor și o diversifi care nemaiîntâlnită; s-a ajuns departe cu ideile și tehnicile legate de
măsurarea timpului, distanțelor, vitezelor, forțelor, neuniformitățile lor și interacțiilor din natură etc., dar și cu înțelegerea organizării culturilor sau crearea unei vaste rețele de comunicații care ne-au transformat în 7 miliarde de locuitori interlegați ai „satului planetar” . Actualmente, Matematica și Informatica trebuie să se implice direct în gestionarea resurselor materiale tot mai limitate, ca și în proiecte raționale de viitor.
„NUMERELE STĂPÂNESC UNIVERSUL !” ,
a spus Pitagora, într-o vreme când nu știa dimensiunea afi rmației sale. Poate mai
corect era să spună că „numerele și ideile stăpânesc lumea în care trăim” .
O situație tipică, revendicată de Matematica Discretă, o constituie alcătuirea
clasamentelor. În multe competiții – sportive, economice, electorale, concursuri de angajare etc. –, se impune ierarhizarea participanților în funcție de mai multe criterii. De exemplu, la ocuparea unui post de prezentator TV , se iau în calcul cultura, spontaneitatea, dicția, aspectul fi zic etc. (Ne amintim fi lmul „Il dentone” cu Alberto
Sordi, dar și butada: „La pile egale, meritul contează!”). Este celebru următorul paradox al marchizului de Condorcet: să presupunem trei candidați a, b, c și 51 de membri ai comisiei de selecție; 15 aleg ordinea de preferință a > b > c; ordinea b > c > a este aleasă de 10 persoane; ordinea b > a > c este aleasă de 4 persoane; 5 persoane
aleg c > b > a; 2 persoane aleg a > c > b și 15 aleg c > a > b. Considerând perechea neordonată {a, b}, se observă că ordinea a > b a fost aleasă de 15 + 2 + 15 = 32 de ori; similar, ordinea b > c a fost aleasă de 29 de ori și c > a de 30 de ori. Peste tot, au apărut majorități și ca atare, comisia se afl ă în fața următoarelor preferințe contradictorii:
a > b, b > c, c > a. Marele economist și matematician K. Arrow (laureat al premiului Nobel) a demonstrat o teoremă a agregării criteriilor, care în esență afi rmă că „o
democrație excesiv de rațională este imposibilă”; [6].
Pentru a depăși declarațiile și speculații le, vom da încă un exemplu de aplicație
domestică și totodată de manifestare a Matematicii Discrete, în legătură cu un moment de mare semnifi cație pentru noi toți – alcătuirea calendarului. Multe alte
exemple vor fi date în alte paragrafe ale cărții.

28CALENDARUL GREGORIAN
Anul are 365 de zile, 5 ore, 48 minute și 46 secunde. În timpul împăratului Iuliu
Cezar ( ≅ 45 î. Hr.), s-a considerat că anul are doar 3651
4 zile și la fi ecare 4 ani, se adaugă
o zi, anul respectiv devenind bisect. În calendarul iulian, anul începea la 1 martie și de
aceea, septembrie era luna a 7-a și nu a 9-a ca acum, iar octombrie a 8-a etc.
Pentru a șterge decalajele inerente, în anul 1582, în timpul papei Gregorio al
13-lea s-a decis că anii divizibili cu 400 (de ex. 1600, 2000 etc.) sunt bisecți, dar 1800, 1900, 2100, 2200, 2500, nu. Țările catolice au acceptat calendarul gregorian ; de
exemplu, Anglia l-a adoptat în 1752, iar România abia în 1924. S-a impus o decalare de 13 zile (1 februarie vechi devenind 14 februarie nou). Există țări sau populații care nu au acceptat noul calendar.
O dată calendaristică este un 4-setuplu d = (z, l, s, a), unde z = ziua, l = luna,
s = numărul care indică secolul și a = numărul anilor din cadrul secolului. Luna
martie este prima lună, aprilie a doua, septembrie a 7-a, octombrie a 8-a, …, ianuarie a 11-a și februarie a 12-a a anului anterior.
Așadar, 1 ≤ z ≤ 31; 1 ≤ l ≤ 12; s ≥ 1 și 0 ≤ a ≤ 99. Dacă N este anul datei considerate,
atunci N = 100 s + a.
EXEMPLE
1) Data de 1 ianuarie 2000 este 4 – setuplul d = (1, 11, 19, 99), cu z = 1, l = 11,
s = 19, a = 99.
2) Data de 19 mai 2014, când eu voi împlini 75 de ani, se codifi că astfel: (19, 3,
20, 14).
Indicăm acum Algoritmul pentru a determina în ce zi a săptămânii cade o dată
calendaristică d = (z, l, s, a).
Pasul 1 . Se calculează numărul întreg
A = z +
1(13 1) 254 4asla s⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡⎤− + ++−⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ ⎣⎦ ⎣⎦.
Pasul 2. Se calculează restul r al împărțirii lui A la 7.
Pasul 3. Dacă r = 0 (respectiv 1, 2,…, 6), atunci data „cade” într-o duminică
(respectiv luni, marți,…, sâmbătă).
Nu dăm justificarea acestui algoritm.
EXEMPLE
1) Pentru data de 1 ianuarie 2000 avem z = 1, l = 11, s =19, a = 99 deci
A = 1 + 19 9 1 9(13 11 1) 99 2 1954 4⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅− + + + − ⋅⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣⎦ ⎣⎦ ⎣⎦ = 118.
Restul împărțirii lui A la 7 este 6, deci data respectivă a căzut într-o sâmbătă.
2) Pentru 4 august 2012, avem z = 4, l = 6, s = 20, a =12 deci

29A = 4 + 11 2 2 0(13 6 1) 12 2 2054 4⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅− + + + −⋅⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣⎦ ⎣⎦ ⎣⎦ = − 1, deci r = 6 (modulo 7).
Tot într-o sâmbătă!
3) Pentru 19 mai 2014, avem A = 19 + 11 4 2 0(13 3 1) 14 2 2054 4⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅− + + + −⋅⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣⎦ ⎣⎦ ⎣⎦
deci A = 8 și r = 1; deci într-o luni.
Jocul cifrelor!
1.6. Obiecte continuale, obiecte discrete
Grosso–modo, termenul „discret” înseamnă pe sărite, iar „continual” înseamnă
neîntrerupt. Dar matematica impune un control mai precis al termenilor.
O mulțime ordonată ( T, ≤) este numită mulțime – timp (pe scurt, timp ) dacă
ordinea este totală și are un cel mai mic element t0. Elementele lui T se numesc
momente , iar to este momentul inițial . Se spune că timpul T este finit dacă se consideră
doar un număr fi nit de momente: T = {t0 < t1 < … < tN-1}. Timpul T este discret dacă T = Z
sau dacă există T > 0 (numit pas de eșantionare ) astfel încât T = {t0 + nT | n ≥ 0 întreg};
de exemplu, luând to = 0 și T = 1, se obține T = N. În fi ne, timpul T se numește
continual (sau continuu) dacă T este un interval din R.
Semnale discrete, semnale continuale
Dacă T este fi xat, orice funcție s : T → R (sau C) se numește semnal ; pentru orice
t ∈ T, valoarea s(t) se numește eșantionul semnalului s la momentul t. Semnalele se
clasifi că în: fi nite, discrete sau continuale, după mulțimea-timp pe care sunt defi nite.
Așadar, semnalele fi nite sau discrete sunt de fapt șiruri de numere ( xn ≡ x[n]), iar
semnalele continuale sunt funcții de o variabilă reală. De asemenea, se pot considera semnale 2D ca șiruri – duble ( x
mn) sau ca funcții de două variabile reale. Semnalele
discrete se mai numesc digitale , iar cele continuale – analogice.
EXEMPLU
Defi nim xn = 1
n + 1 pentru n ≥ 0 și xn = 0 pentru n < 0. Se obține astfel un semnal
discret x = (xn), n ≥ 0.
Dacă ( Ω, K, P) este un câmp de evenimente, fi e L2(Ω) mulțimea variabilelor
aleatoare ξ : Ω→ R (așadar, „ ∀ c ∈ R, mulțimea { ω ∈ Ω | ξ(ω) ≤ c} aparține clasei K
a evenimentelor ”), având medie și dispersie. Atunci orice aplicație ξ = (ξt) : T → L2(Ω)
se numește semnal aleator . Așadar, un astfel de semnal este o familie de variabile
aleatoare, indexată după diverse momente de timp. Semnalele aleatoare discrete se mai numesc lanțuri (de variabile aleatoare), iar cele continuale – procese stocastice .
Oricărui semnal continual s : [a, b] → C i se poate asocia unul discret, alegând
o diviziune a ≤ t
1 < … < tp ≤ b și considerând eșantioanele s(tk), 1 ≤ k ≤ p. Această
operație se numește discretizare . Există și o operație inversă, numită blocare , prin
care orice semnal discret se extinde la unul continual prin prelungirea valorilor între

30nodurile tk. Ambele operații sunt desigur niște aproximări și constituie un exemplu
grosier de conversie analogic / digitală (A / D).

Sisteme discrete, sisteme continuale
În general, un sistem intrare/ieșire este o aplicație T : E → F, în care E (respectiv F)
este mulțimea intrărilor (a ieșirilor) și oricărei intrări x ∈ E îi corespunde o ieșire bine
determinată y = Tx . Recunoaștem de fapt o funcție, dar într-un alt context / limbaj.
Cazul cel mai important îl constituie cel în care intrările și ieșirile sunt semnale.
Notăm cu Sd mulțimea semnalelor fi nite sau discrete; așadar, orice x ∈ Sd, x = (x[n]),
n ∈ Z este un șir de numere reale sau complexe. În mod natural, Sd este un spațiu
vectorial ( ≡ liniar). Un sistem discret ( ≡ filtru digital ) este o aplicație (numită și
operator ) T : Sd → Sd, care oricărui semnal discret de intrare x îi face să corespundă
un semnal discret y = Tx . Dacă T este aplicație liniară, sistemul respectiv se numește
filtru liniar (pentru care are loc „suprapunerea efectelor”).
EXEMPLU
Defi nim yn = 2xn + xn + 1, pentru orice n ∈ Z. În acest mod este defi nit un sistem
discret T : Sd → Sd, x x y, care este un fi ltru liniar.
În mod similar, dacă E și F sunt spații de semnale continuale (de exemplu C0
[a, b] =
spațiul funcțiilor continue f : [a, b] → R), un sistem continual (≡ filtru analogic ) este un
operator T : E → F, care asociază oricărui semnal x(t) din E un alt semnal y(t) din F.
Există diverse legături între obiecte continuale și obiecte discrete și în acest sens,
dăm câteva exemple (puțin cam tehnice!).
EXEMPLE
1) Se cunoaște interpolarea Lagrange, care asociază oricărui șir fi nit de date
numerice (discrete) un obiect continual, anume polinomul Lagrange; vom reveni ulterior.
2) Fixăm un interval I și o funcție – pondere ρ : I → R continuă, pozitivă și
astfel încât
() dk
lxx x⋅ρ < ∞∫ pentru orice întreg k ≥ 0. Se defi nește spațiul
Hilbert L2(ρ) = { f : I → R ⏐∫Iρ(x)∙ f(x)2dx < ∞}, relativ la produsul scalar
,fg =∫I ρ ∙ f ∙ g.
Considerând șirul 1, x, x2,…, xn, …, acesta se ortonormează prin procedeul
Gramm–Schmidt, obținându-se o bază ortonormală de polinoame ( Pn),
n ≥ 0. Se poate arăta că pentru orice f ∈ L2(ρ) are loc o dezvoltare în serie
f = 0nn ncP∞
=∑ , unde cn = ,nfP . Așadar, obiectul continual f este bine
determinat de șirul numeric ( cn), n ≥ 0. Acest fapt este o altă ilustrare a
conversiei A / D, la care ne vom referi mai mult în 8.6.
În aceeași ordine de idei, există modelul clasic al seriilor Fourier, prin care
orice semnal periodic (îndeplinind și alte condiții tehnice) este identifi cat cu șirul
coefi cienților săi Fourier sau echivalent, orice semnal periodic este suprapunerea
armonicelor sale.

313) Fie L2 = { }2:( ) dff t t →< ∞∫RRC| spațiul Hilbert al funcțiilor de pătrat
integrabil pe R, cu produsul scalar ,fg f g =⋅∫ R. Pentru orice f(t) ∈ L2,
se poate considera spectrul său Fourier ˆ()fω= F{f(t)}, ω ∈ R, adică
transformata Fourier i ˆ() ( ) e dtff t t−ωω= ⋅∫ R. Presupunând că există b > 0
astfel încât ˆ()fω= 0 pentru | ω|> b (se spune atunci că semnalul f are banda
mărginită de frecvență [− b, b]), se poate arăta că, notând T = π
b, are loc
formula lui Shannon de eșantionare : pentru aproape orice t ∈ R,
f (t) = ()( )
nfn T s a b t n
∈⋅− π ∑
Z, unde sa(x) = sinx
x pentru x ≠ 0 și sa(0) = 1.
Filozofi a acestei formule (pe care o vom relua în 9.3) este următoarea: cunoscând
eșantioanele f (nT), n ∈ Z (date discrete), se recuperează semnalul f presupus cu
bandă mărginită de frecvență. Așadar, avem o formulă de interpolare care permite simularea digitală a unei clase largi de semnale analogice. În practică, f (t) ≅ f
N (T),
unde fN (t) = ()( )N
nNfn T s a b t n
=−⋅− π ∑ pentru N 1 fi xat.
Convoluție
Să ne reamintim modul cum se înmulțesc două serii convergente de puteri
, ,nn
nnnnaz bz∑ ∑ anume,
() ( )P
() mnp
mn m n p p
mn m n m p m p mn m n p m paz b z ab z ab z cz+=
+
− ⋅= = = ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ,
unde pm p m mca b− =∑ . Înmulțirea fracțiilor zecimale urmărește aceeași schemă,
înlocuind z =10 –1. Astfel, 2,51 × 347,461 = (2 . 100 + 5 . 10 – 1 + 1 . 10 – 2 + …) . (3 . 102 +
+ 4 . 101 + 7 . 100 + 4 . 10 – 1 + 6 . 10 – 2 + …) și se obține o altă serie de puteri ale lui 10 – 1.
Cele spuse sugerează următoarea construcție: fi e s = (am), t = (bn) cu m, n ∈ Z
două semnale discrete; defi nim pm p m mca b− =∑ , în ipoteza că această serie este
absolut convergentă pentru orice p. Atunci se poate considera un nou semnal discret,
anume s ∗ t = (cp), p ∈ Z, numit convoluția (discretă ) a lui s cu t. Așadar, dacă unor
numere reale A, B le asociem șirurile cifrelor lor zecimale, produsul uzual AB se
obține după schema următoare:
() 1 0m
mm mAa a−⋅ ∑ 66
10 ( )p
pppcc A B−∗⋅ ⋅∑ 66() 1 0n
nn nBb b−⋅∑ 66
unde rolul central revine convoluției „ ∗” . Se știe că în funcționarea computerelor
digitale, înmulțirile necesită timpul cel mai mare de operare; ca atare, orice succes în accelerarea convoluției conduce la o reducere a complexității temporale a calculelor.

32EXEMPLE
1) Pentru fi ecare număr k ∈ Z, se notează cu δk semnalul având eșantioanele
δk [n] = 1, dacă n = k
0, dacă n ≠ k [, pentru orice n ∈ Z. Semnalul δo se notează cu δ
(numit impulsul discret unitar ). Dacă s ∈ Sd, atunci are sens s ∗ δk; mai precis,
dacă s = (an), n ≥ 0, atunci s ∗ δk = (an – k), n ≥ 0. Semnalul s ∗ δk se numește
întârziatul lui s cu k unități de timp (tacți).
2) Dacă avem un sistem discret T, atunci asociind oricărui semnal x = (xn), n ∈ Z,
semnalul y = (yn), n ∈ Z, unde yn = 2xn + xn – 1, rezultă că y[n] = 2 x[n] + (x ∗ δ1)[n]
pentru orice n, deci y = 2x + x ∗ δ1.
Se poate arăta că, în condiții care asigură convergența seriilor implicate, operația
de convoluție „ ∗” este comutativă, asociativă și distributivă în raport cu adunarea; în
plus, convoluția are element neutru, anume δ.
Dacă f, g : R → C sunt două funcții integrabile și de pătrat integrabil, atunci se
defi nește convoluția f ∗ g, prin
(f ∗ g)(t) = () ( ) dfu g t u u⋅− ∫ R, pentru orice t ∈ R,
cu proprietățile de comutativitate, asociativitate etc. Convoluția se extinde la
distribuții și are ca element neutru distribuția δ a lui Dirac.
Se poate apoi arăta că orice fi ltru discret (sau analogic) y = Tx care este liniar,
invariant în timp și cauzal, este de tip convoluție , adică există un semnal h = Tδ, numit
răspunsul impuls , astfel încât y = h ∗ x pentru orice intrare x. Nu dăm mai multe
detalii și trimitem la [10].
Se observă că descrierea diverselor semnale și sisteme folosește noțiuni
matematice profunde. În aplicațiile concrete, centrul atenției se deplasează desigur pe aspectele inginerești, de proiectare a un or sisteme care să execute comenzi supuse
unor scopuri extramatematice.
1.7. Câteva concepte informatice
Istoria Informaticii moderne începe cu A. Turing, care a defi nit conceptul
de mașină universală (ideală) de calcul și cu alți logicieni – K. Gödel, A. Church,
S. Kleene etc., care au abordat conceptul de algoritm și implicit, automatizarea calculelor. Un loc aparte îi revine marelui matematician J. von Neumann, fondator al Mecanicii cuantice și al Teoriei jocurilor, dar și autorul arhitecturii calculatoarelor secvențiale, încă actuale; tot el a contribuit decisiv la construcția ENIAC în 1946, primul calculator electronic modern. Se cunosc mulți precursori – Pascal, Leibniz, Babbage, Ada Lovelage, Boole.
Conceptele informatice au avut o evoluție rapidă, angajând mari forțe creatoare
– matematicieni, logicieni, ingineri, fi zicieni etc. Domeniul informaticii fi ind în mare
efervescență, cu o masivă colaborare și spionare industrială, este difi cil de atribuit
prioritățile, iar scandalurile mocnite și „furtul intelectual subtil” sunt la ordinea zilei;

33este sufi cient să evocăm duelul dintre Steve Jobs și Bill Gates, ajuns în fața justiției
extraștiințifi ce.
Se cunosc 5 + 1 generații de calculatoare (I. 1942 – 1956, cu lămpi electronice;
II. 1957 – 1963 cu tranzistoare; III. 1964 – 1981, circuite integrate; IV . 1982 – 1989, microprocesoare; V . 1990 – 2012, circuite VLSI; VI….calculatoare cuantice). Fiecare generație a fost dependentă de noi realizări tehnologice, dar și de succese ale legăturii
ombilicale „hard / soft ” . „Hard” – ul și „soft ” – ul sunt două fațete ale aceleași realități,
exprimând în mod specifi c dualitatea experimentelor materiale și a celor mentale. În
1952, matematiciana Grace Hopper a realizat primul compilator, care a deschis drumul limbajelor de programare. O dată cu descoperirea semiconductorilor adaptați, viteza de calcul a crescut masiv. În 1957, fi rma IBM a lansat discurile magnetice și tot atunci
s-a elaborat limbajul FORTRAN de nivel înalt, care a permis trecerea de la limbajul matematic la un limbaj recunoscut de computer.
O consecință socială remarcabilă a constituit-o, începând din 1960, apariția
unor meserii noi: operator – programator, analist, inginer de sistem, proiectant de hard, soft ist etc. Începând cu generația a III – a, s-a introdus conceptul de sistem de
operare , un concept specifi c informaticii, care cuprinde un set de programe capabile
să gestioneze deopotrivă memoria, unitate a de comandă și perifericile. După 1970,
a apărut conceptul de calculator personal (PC), capabil de a efectua nu numai
calcule, dar și prelucrări de imagini pe ecran. Engelbert a introdus „mouse” – ul și sistemul de ferestre, anticipând sistemul Windows. Circuitele LSI și VLSI au condus la o miniaturizare impresionantă, ajungându-se la integrarea componentelor unui calculator într-un microprocesor ; [4],[9]. În 1976, Steve Jobs a realizat Apple, primul
PC de succes și aproape simultan, Bill Gates a creat la Microsoft , calculatorul cu
monitor profesional de mare rezoluție.
INFORMATICA ÎNCORPOREAZĂ DEOPOTRIVĂ IDEI ȘI TEHNOLOGIIInformatica a pătruns în aproape toate domeniile vieții științifi ce și social –
economice, devenind un fapt de cultură largă. S-a ajuns la rețele de calculatoare, e-mail, calculatoare paralele etc. Sistemele de telecomunicații au fost revoluționate, ele
fi ind factori stimulatori, dar și principale benefi ciare ale tehno logiilor informatice
– telefoane celulare, INTERNET, sateliți de telecomunicații etc. Calculatoarele din ultima generație au condus la sisteme de prelucrare a cunoștințelor, prin voce, imagini statice sau imagini video, în care rolul preponderent revine „soft ”-ului.
În primele patru generații, informația a fost prelucrată și transmisă sintetic
(șiruri de biți), dar s-a ajuns la un nivel superior, cel semantic (sistem – expert, robotică, tomografi e, recunoașterea formelor, criptologie etc.). Sistemele de operare
au fost integrate cu INTERNET, iar studiul limbajelor de programare a condus la dezvoltarea teoriei gramaticilor și automatelor, infl uențând totodată gestionarea
resurselor, administrația, comerțul on-line, activitatea bancară, ca să nu mai vorbim de aplicațiile militare și de marile proiecte energetice / științifi ce.

34BIBLIOGRAFIE

1. M. Atiyah – Mathematics in the 20th century , Bull. London Math. Soc., 34, nr.1,
1 – 15, 2002.
2. E. Bistriceanu, O. Stănășilă – Matematică și Realitate , Matrix Rom, 2007.
3. Cr. Calude – Adevărat, dar nedemonstrabil , Ed. Științifi că și Enciclopedică, 1988.
4. D. E. Knuth – Tratat de programarea calculatoarelor I, II , Ed. Tehnică, 1977.
5. M. Munteanu – Infinitul , Pres. Univ. Cluj, 1999.
6. Gh. Păun – Paradoxurile clasamentelor , Ed. Științifi că și Enciclopedică, 1988.
7. R. Penrose et al. – The large, the small and the human mind , Cambridge University
Press, 1997.
8. T. Phillips – The mathematics behind quantum computing , INTERNET, nov. 2012.
9. Ioan A. Rus, Emil Muntean – Matematică și Informatică , Promedia – plus, Cluj,
1998.
10. O. Stănășilă – Matematici speciale; ecuații diferențiale și analiză complexă , Ed.
ALL, 2001.
11. Ian Stewart – Îmblânzirea infinitului , Ed. Humanitas, 2011.

35• Cea mai importantă misiune a
matematicii este aceea de a găsi ordine în haosul înconjurător.
N. WIENER
• Matematica ne învață că introducerea
de abstracțiuni potrivite este singurul nostru sprijin mental pentru a organiza și stăpâni complexitatea.
E. DIJKSTRA

2. FORMAREA DE NOI CONCEPTE MATEMATICE ȘI INFORMATICE
Puține noțiuni de matematică au fost impuse de o conștiință individuală, fără o
motivație, perioadă de gestație, tatonare și fără perspectiva utilității. Leibniz spunea că „nimic nu există în intelect care să nu fi fost observabil anterior, cu excepția
intelectului însuși” . Acesta este un îndemn la a gândi mereu asupra surselor interne
și externe ale dezvoltării conceptelor, iar Matematica oferă numeroase exemple de construcții simple, difi cultatea constând în înțelegerea critică a lor și în comunicarea
acelei simplități.
Conceptele informatice sunt mai difi cil de explicitat. Ele sunt un exemplu de
îngemănare a unor idei matematice sau fi zice, cu inovații combinatorice și euristici
inginerești, dar și cu aplicarea unor tehnologii noi (fi zica corpului solid, semiconductori,
laseri, cristale lichide, fi bră optică etc.). Tranzistorii, microprocesoarele, sistemele de
operare, ferestrele, circuitele integrate, PC – urile etc. sunt concepte fundamentale înghețate în structuri – hard.
2.1. Generalizare și analogie
Printre resursele interne de dezvoltare, care permit ca din concepte fi xate să
se obțină altele noi, menționăm: genera lizarea, inducția, analogia, fără a discuta
imaginația productivă a marilor creatori. Ne amintim din liceu cum se puteau obține generalizări, mai mult sau mai puțin directe, ale unor proprietăți – inegalități algebrice, relații geometrice sau trigonometr ice, extinderi de la triunghi la tetraedru,
de la cerc la sferă, sau de la cerc la conice, urmând un proces intelectual similar celui din cazul Analizei matematice (în speță ge neralizări succesive ale derivatelor și
integralelor) sau al abordărilor geometrice multidimensionale.
Mulțimea R a numerelor reale a avut mai multe extinderi:
– trecerea la
R prin adjuncționarea simbolurilor + ∞, −∞, cu conservarea
ordinei, dar cu pierderea structurii algebrice, cea de corp. În acest mod, se tratează unitar limitele de funcții, asimptotele grafi celor de funcții reale etc.; există și o trecere
mai subtilă, la dreapta proiectivă reală P
1 și la planul proiectiv P2, aceasta din urmă
permițând tratarea unitară a conicelor, așa cum vom vedea în 4.4.

36- trecerea la C, cu conservarea structurii algebrice de corp, dar cu pierderea
structurii de ordine. Motivația principală a constituit-o rezolvarea ecuațiilor algebrice (de exemplu, ecuația ax
2 + bx + c = 0 cu a, b, c ∈ R și b2 – 4ac < 0 nu are soluții în R,
dar are soluții în C; de fapt, C este un corp algebric închis, în sensul că orice polinom
din C[X] de grad cel puțin 1 are rădăcini). Există și alte motivații mai subtile… De
exemplu, funcția f : R → R, f (x) = 1
x2+ 1 are următoarea dezvoltare Taylor în jurul
originii, anume f (x) = 1 – x2 + x4 – x6 + … , valabilă doar pentru | x| < 1 deși f este
defi nită pe tot R; dar pentru a înțelege motivul acestor restricții, trebuie considerată
funcția complexă F : C \ {±i} → C , F (z) = 1
z2+ 1, care are polii simpli ±i, iar dezvoltarea
Taylor în jurul originii este convergentă doar până la prima singularitate!
În analogie cu construcția lui C = R2, am văzut că Hamilton a considerat
mulțimea H = R4 a cuaternionilor, obținând primul exemplu istoric de corp
necomutativ. Mulțimea R3 nu are proprietăți „bune” de corp, deși permite elaborarea
calculului vectorial și tensorial, plin de semnifi cație și utilizat de fi zicieni și ingineri
în descrierea simetriilor și a altor mișcări ale corpurilor materiale.
Dăm două exemple de generalizări, care nu au încă aplicații semnifi cative, dar
care sunt un argument privind „libertatea de creație” a cercetătorului.
EXEMPLE
1) O generalizare a numerelor complexe
Fixăm un set de parametri reali α, β, γ, δ , în această ordine. În mulțimea
R2, cu adunarea uzuală (pe componente), defi nim următoarea operație de
înmulțire cu eticheta „ ∗”:
( a, b) ∗ (c, d) = (α ac + βbd, γad + δbc).
Să notăm cu C(α, β, γ, δ ) mulțimea R2, înzestrată cu legile de compoziție
internă „+” și „ ∗” . Se observă că mulțimea C(1, – 1, 1, 1) este tocmai C; apoi
elementele mulțimii C(1, 0, 1, 1) sunt tocmai numerele duale (de forma a +
be, cu e 2 = 0), iar elementele lui C(1, 1, 1, 1) sunt numerele duble.
Deși o astfel de generalizare/analogie are unele utilizări, ea pare artifi cială și
lipsită de o motivație serioasă pentru a fi studiată și introdusă în manuale; [2].
2) O generalizare a funcțiilor trigonometrice
Să considerăm ecuația diferențială y″ + y = 0. Se știe (sau se arată ușor) că
singura soluție a ei pe R, cu condițiile inițiale y (0) = 1, y′(0) = 0 este funcția
„cos” . În mod similar, singura soluție cu condițiile inițiale y (0) = 0,
y′(0) = 1 este „sin” , iar soluția generală a ecuației considerate este
y (x) = A cos x + B sin x, cu A, B constante reale arbitrare.
Dar să considerăm ecuația diferențială liniară y′″ – y = 0, cu ecuația
caracteristică r3 – 1 = 0 (având ca soluții rădăcinile 1, ε, ε2 cubice ale unității;
ε = 1i3
2−+). Soluția generală a acestei ecuații este

37 y (x) = A ex + B e εx+ C e ε2x, cu A, B, C constante complexe arbitrare. Notând
cu y1, y2 și respectiv y3 soluțiile particulare care satisfac condițiile inițiale:
y1(0) = 1, y1′(0) = y1″(0) = 0; y2(0) = 0, y2′(0) = 1, y2″(0) = 0 și, respectiv, y3(0) =
= y3′(0) = 0, y3″(0) = 1, se obțin funcții care ar putea avea oarece semnifi cație;
de exemplu, y1(x) = 1
3(ex + e εx+ e ε2x) etc. Din nou, această construcție oferă o
analogie artifi cială, iar funcțiile y1, y2, y3 nu pot fi înlocuitori pentru „cos” și
„sin” . De altfel, aceste „noi” funcții se exprimă folosind „cos” și „sin”:
y1(x) 213e2 ec o s32x
x x − ⎛⎞
=+⎜⎟⎝⎠etc.
Există însă și generalizări fructuoase. Astfel, se cunosc dezvoltările în serie
Taylor (în jurul originii):
ex = 1+ 2
… …1! 2! !nxx x
n++ ++ ,24 35
cos 1 …;sin …,2! 4! 1! 3! 5!xx x xxxx=− + − = − + −
toate având raza de convergență ∞ (deci valabile pentru orice x∈R). Din
aceste formule, rezultă celebra formulă a lui Euler
e ix = cos x + i sin x, pentru orice x∈R
(în particular, rezultă acea formulă „misterioasă” eiπ = – 1, care a creat o
fascinație aparte asupra tuturor celor care au luat contact cu matematica postliceală).Pentru orice matrice pătratică A∈M
n(R), se pot defi ni cu perfectă
legitimitate matricele pătratice de ordin n următoare:
eA = In +2
… …1! 2! !nAA A
n++ ++ , 24 35
cos …; sin … ,
2! 4! 1! 3! 5!nAA A AAAI A=− + − =− + −
Mai mult, se poate dezvolta o „trigonometrie matriceală”; anume, au loc
relațiile: sin2A + cos2A = In; sin2 A = 2sin AcosA, cos2 A = cos2A – sin2A etc.
Dar această trigonometrie este sterilă. În schimb, exponențiala unei matrice este foarte utilă. Astfel, există o singură funcție derivabilă x(t) astfel încât
x ′(t) = ax(t), cu condiția x(0) = x
0 dată; anume, x(t) = eat.x0. În mod similar,
fi ind dată o matrice A ∈Mn(R) și o coloană n – dimensională X0, există și
este unică o matrice X(t) de funcții derivabile astfel încât X ′(t) = A.X(t)
și X(0) = X0; anume X(t) = eAt . Xo pentru t ∈R. Dar mai general, are loc
următoarea teoremă fundamentală:
TEOREMĂ (Cauchy – Dunford). Fie A ∈Mn(R) o matrice constantă , B(t) o
matrice coloană n × 1 de funcții continue și X0 ∈Mn,1(R) o dată inițială. Există și
este unică o soluție X(t) de tip n × 1 a sistemului diferențial X ′(t) = A . X(t) + B(t),
cu condiția X(t0) = X0; anume ,
X(t) = 0
0 () ()
0 () ( ) dtAt t At s
teX t e B s s− −⋅+ ⋅ ∫ ; [7].
Aceasta este una din formulele de bază, cu care începe Teoria controlului optimal.
Nu dăm detalii și ne limităm la a sublinia un fenomen matematic remarcabil: asimilând
X(t) cu un vector de stare la momentul t, rezultă că dacă se cunoaște vectorul de stare

38la un anumit moment t0 (asimilat cu prezentul) și dacă evoluția lui X(t) urmează legea
diferențială X ′(t) = A . X(t) + B(t), atunci se poate determina X(t) atât în viitor (deci
pentru t > t0), cât și în trecut ( t < t0). Aceasta este o ilustrare a fenomenului fi lozofi c
de determinism (sau rațiune suficientă) .
Cele spuse anterior s-au dezvoltat mai departe în Analiza funcțională și în Teoria
operatorilor, trecând de la matrice la operatori liniari. Mai precis, dacă H este un spațiu
Hilbert complex și dacă T: H → H este un operator liniar continuu, atunci se defi nește
mulțimea ρ(T) = { λ∈ C| operatorul T – λ1H are invers}, a cărei complementară
C \ρ(T) se numește spectrul lui T (cuprinzând valorile proprii ale lui T).
Se poate atunci defi ni exponențiala exp( T) ≡ e T = 1H + 2
… …1! 2! !nTT T
n++ ++
unde T n= T — T — … — T compusa de n ori a operatorului T.
NOTĂ . În multe situații, soluția unei probleme se găsește lărgind „spațiul de
căutare” . De exemplu, într-un hotel, cu o infi nitate numărabilă (!?)de
camere, se găsesc întotdeauna camere libere. Apoi, ecuația x2 – 2 = 0
nu are soluții în Q, dar are în R, iar ecuația x2 + 2 = 0 nu are soluții în
R, dar are în C.
Iată și un exemplu ceva mai complicat. Dacă A ∈ Mn(C) este o matrice
pătratică, ecuația lui Heisenberg AX – XA = In nu are soluții (ceea ce se
demonstrează aplicând operatorul Tr ( ≡ urma)). Însă se poate arăta că
ar avea în cazul unor matrice infi nite. Apoi, în mulțimea operatorilor
u : C ∞
R → C ∞
R și pentru a = „operatorul de derivare” , ecuația a — u – u — a = 1,
are soluții. Anume, fi e u = „operatorul de înmulțire cu x” , deci pentru
orice f ∈ C ∞
R, a(u(f)) – u(a(f)) = ( x . f)′ – x . f ′ = f.
2.2. Construcție prin extensiune
Fără a încerca o analiză amplă a modalităților de construcție de obiecte
matematice noi pornind de la obiecte date, vom prezenta două tipuri distincte:
construcția prin extensiune (numită și „scufundare”) și cea prin intensiune ; [4].
Primul dintre mecanismele de dezvoltare a conceptelor matematice este
următorul: presupunem că o anumită noțiune este defi nită într-un cadru de existență
C și se caută sau se concepe un cadru C1 „izomorf ” cu C, dar extendibil la un alt
cadru C2 numit extensia lui C (fi gura 2.1).
C
C1C2
FIGURA 2.1. C1 este „izomorf ” cu C și C2 este extensia lui C.

39EXEMPLE
1) Fie C un triunghi dreptunghic, C1 – cadranul întâi al unui cerc trigonometric
și C2 întregul cerc trigonometric.
Amintim defi niția sinusului (respectiv cosinusului) unui unghi ascuțit α:
sin α = AC
BC = („cateta opusă / ipotenuză”); cos α = AB
BC= („cateta alăturată /
ipotenuză”); fi gura 2.2.
FIGURA 2.2.
Un triunghi dreptunghic (C).A BC
αα
Oxy
M
1
M′
FIGURA 2.3.
Cercul trigonometric (C2) și cadranul I (C1).MM′ ⊥ OxA
Această defi niție nu se poate extinde la unghiuri de măsură mai mare. Dar un
geniu anonim al matematicii a introdus cercul trigonometric S1[cerc de rază 1, cu
ecuația x2 + y2 = 1 relativ la un reper ortonormal xOy, orientat și având 4 cadrane
(fi g.2.3), considerând că unghiurile au o latură comună, anume semiaxa pozitivă Ox].
Pentru orice unghi de măsură α, există un singur punct M situat pe cerc, astfel încât
măs 3
(AOM )= α. Atunci cos α = xM (abscisa punctului M), iar sin α = yM (ordonata
lui M), adică M (cos α, sin α). Desigur, dacă α se afl ă în cadranul I, atunci cele două
defi niții coincid (căci în triunghiul OMM ′ avem cos α = OM′
OM= xM
1= xM și sin α = MM′
OM=
= yM). Bineînțeles, cadrul (C) este triunghiul din fi gura 2.2; C1 este cadranul I, iar C2
este întreg cercul trigonometric.
Așa cum știm din liceu, folosind cercul trigonometric, se extind funcțiile
trigonometrice pentru unghiuri de orice măsură, cu regula „reducerii la primul cadran” .
2) Fie C = Z, mulțimea numerelor întregi și C1 = mulțimea numerelor raționale
de forma p
1 cu p ∈ Z, iar C2 = [p
q| p, q ∈ Z și q > 0\ deci C2 = Q. Bineînțeles,
C este izomorf cu C1, iar C1 este extensibil la C2.
3) Un exemplu mai subtil este cel care a condus la noțiunea de distribuție .
Anume, fi e C mulțimea funcțiilor f : R → R integrabile pe orice interval
compact. Se notează cu D mulțimea funcțiilor ϕ : R → R indefi nit
derivabile și nule în afara unei mulțimi mărginite (numite funcții de testare ).
Pentru f ∈ C se poate considera funcționala [ f ]: D → R, care asociază
oricărei funcții ϕ ∈ D, numărul real
[ f ](ϕ) = ∫∞
−∞f(t) ∙ ϕ(t)dt.

40 Notând cu C1 mulțimea funcționalelor de tipul [ f ] (numite și distribuții
regulare ), se poate arăta că asocierea f x [ f ] este injectivă, iar C se identifi că
izomorf cu C1. Dar C1 este inclusă în mulțimea C2 a tuturor funcționalelor
liniare și continue F : D → C, numite distribuții .
Așadar, analiza matematică a funcțiilor din mulțimea C a fost extinsă
cu mare succes științifi c la clasa mai largă C2 a distribuțiilor. Faimoasa
distribuție δ a lui Dirac aparține mulțimii C2 (δ : D → C asociază oricărei
funcții ϕ de testare valoarea ei în origine, adică δ(ϕ) = ϕ(0)). Se dovedește
că acest obiect matematic δ este modelul corect (nu doar modern!) pentru
impulsul unitar pur, aplicat la momentul t = 0.
În cadrul Analizei matematice clasice, se defi nește impulsul unitar de durată ε
(ε > 0), aplicat la momentul t = 0; anume
δε : R → R, δε(t) = 1
ε dacă t ∈ [0, ε]
0, în rest⎧
⎨⎩; fi g. 2.4
Evident, δ
ε este o funcție continuă pe porțiuni și ∫R f(t)dt = ∫ε
01
εdt = 1, deci δε se
poate identifi ca cu distribuția [ δε] asociată.
ε O1
ty
1
ε
δε
Oty
δε → 0
FIGURA 2.4. Impulsul unitar de durată ε (ε > 0), aplicat la momentul t = 0 și impulsul
unitar pur δ (ε → 0).
În studiul unor fenomene cuantice, Dirac a imaginat următorul „obiect”
δ(t) = limε →
0δε(t). Dar acesta s-a dovedit a fi contradictoriu în cadrul Analizei clasice
(căci ar rezulta δ(0) = ∞ și ∫R f(t)dt = 1). În cadrul Teoriei distribuțiilor , dacă Fn este
un șir de distribuții, se spune că Fn converge către o distribuție F dacă pentru orice
funcție ϕ de testare avem Fn(ϕ) → F(ϕ), pentru n → ∞. Atunci distribuția δ este
limita distribuțiilor regulare [ 1
nδ]; într-adevăr,
[ 1
nδ](ϕ) = ∫∞
−∞1
nδ(t) ∙ ϕ(t)dt = ∫1
n
0n ϕ(t)dt = ϕ(cn),
cu cn ∈ 10,n⎛⎞⎜⎟⎝⎠ și pentru n → ∞, avem cn → 0 și limε → 0[1
nδ](ϕ) = ϕ(0) = δ (ϕ) . Așadar,
[1
nδ](ϕ) → δ(ϕ), adică δ = limn → 0[1
nδ], în mod legitim; [7]. Nu mai dăm detalii.

412.3. Construcție prin intensiune
Așa cum am mai spus, există încă un mecanism pentru construcție de obiecte și
concepte matematice noi, pe care l-am numit prin intensiune .
Mai întâi, reluăm construcția claselor de echivalență. Fie M o mulțime nevidă din universul U și ρ o relație de echivalență pe M;
așadar, ρ este o submulțime de perechi ρ _ M × M; pentru x, y ∈ M, dacă ( x, y) ∈ ρ,
atunci se scrie xρy și se citește: x este în relația ρ cu y. Se presupune că ρ este refl exivă
(∀x ∈ M, xρx); simetrică (xρy ⇒ yρx) și tranzitivă ( xρy, yρz ⇒ xρz). Pentru orice
x ∈ M, se poate considera mulțimea [ x] = { y ∈
M | yρx}, numită clasa de echivalență
a lui x. Uneori se notează ˆx în loc de [ x]. Mulțimea tuturor claselor de echivalență se
notează M/ρ și se numește simbolic mulțimea-cât a lui M prin relația ρ. Așadar, x ∈ M,
[x] _ M/ρ. Evident, M este reuniunea tuturor claselor de echivalență ( M = 4x∈ M[x]).
Apoi pentru orice x, y ∈ M avem xρy î [x] = [ y] și orice două clase de echivalență
sunt fi e disjuncte, fi e coincid.
Fiind dată o mulțime nevidă C și o relație de echivalență ρ pe C, se poate
considera aplicația surjectivă ρ : C → C/ρ, x x [x]. Trebuie decelată (sau imaginată)
o altă mulțime C ′ , care să fi e în corespondență bijectivă (sau chiar izomorfă cu C/ρ,
relativ la o structură convenabilă – grup, inel, etc.).
EXEMPLE1) Iată un exemplu de mare generalitate. Fie C mulțimea tuturor obiectelor sau
chiar a cuvintelor din jur − case, mașini, străzi, oameni, animale, corpuri geometrice, națiuni, munți, fricoși, microbi, viruși, râuri etc. Defi nim următoarea relație de echivalență: pentru x, y ∈ C, se spune că
x este în relația ρ cu y (xρy) dacă x și y sunt „de același tip” . Clasa [ x] de
echivalență a oricărui obiect x este noțiunea asociată cu acel obiect; de
exemplu, clasa unei case (respectiv străzi, mașini, microb etc.) este noțiunea
de casă (stradă, mașină, microb etc.) Aces ta este mecanismul de formare a
noțiunilor, care se obțin prin intensiune pornind de la diverse obiecte izolate.
2) Iată încă un exemplu extramatematic. Fie
C mulțimea tuturor oamenilor și ρ
relația de conaționalitate (dacă x, y ∈ C, xρy î x și y au aceeași naționalitate).
Evident, ρ este o relație de echivalență și mulțimea-cât este mulțimea tuturor
națiunilor. De exemplu, clasa lui Ionescu este națiunea română și a lui Gyorfi , națiunea maghiară.
3) Dacă C = Z și n ≥ 2 este un întreg fi xat, se poate considera relația ρ = „≡”
de congruență modulo n pe Z (xρy î numărul x – y este divizibil cu n).
Mulțimea C/ρ a claselor este tocmai Z
n={[0], [1], …, [ n − 1]}. Așadar, inelul
Zn se construiește prin intensiune pornind de la Z.
4) Dacă X este un spațiu metric, se poate arăta că există un spațiu metric
complet X care conține un subspațiu izomorf cu X; elementele lui X sunt

42clasele de echivalență ale șirurilor Cauchy de elemente din X. Această
construcție extinde modul de obținere prin intensiune a mulțimii R pornind
de la Q (=RQ ). De asemenea, dacă Y este spațiul metric al funcțiilor
continue f : [a, b] → R, cu distanța d( f, g) =
() () db
afx gx x− ∫, atunci prin
completare se obține spațiul 1
[,]Lab Y= al funcțiilor integrabile Lebesgue pe
intervalul [ a, b].
Exemplele pot continua și arată că, deși este ramifi cată, Matematica este unitară
în construcție, îmbinând în mod fericit frumusețea ei intrinsecă și disponibilitatea aplicativă.
Generalizarea, abstractizarea, extensi unile și intensiunile etc. nu epuizează
căile de progres și creativitate. Aceasta din urmă are câteva componente distincte: acumulare de concepte, abilitatea combinării lor coerente și inventica, stabilind conexiuni și legități care la început șochează. Inventica nu poate fi practicată de
oricine, așa cum se întâmplă cu cercetarea; în plus, nu acceptă căi canonice. Spațiile cu mai multe dimensiuni, diversele clase de funcții, distribuțiile, ecuațiile Faraday – Maxwell – Hertz, Einstein – Hawking – Penrose și atâtea altele sunt însemne ale geniului creator, care poate fi cel mult înțeles și nicidecum copiat / plagiat.
În încheierea acestui punct, prezentăm conceptul de distribuție, obținut dintr-un
alt punct de vedere, anume prin intensiune.
Dacă A este un inel integru (comutativ și fără divizori ai lui zero), eventual fără
element neutru relativ la înmulțire, notăm A
∗ = A \ {0}; în produsul cartezian A × A∗,
considerăm următoarea relație de echivalență ( a, b) ~ ( c, d) î ad = bc . Clasa de
echivalență a perechii ( a, b) se notează a
b. Mulțimea KA a claselor de echivalență este
un corp (numit corpul fracțiilor lui A). În cazul A = Z, rezultă KA = Q. Dar și A = 2Z
este un inel fără divizori ai lui zero, fără element neutru relativ la înmulțire și totuși KA
= Q. Avem A _ KA, identifi când a cu fracția a
1. La inelul A se poate adjuncționa fracția
a
a (a ≠ 0) ca element neutru. Dar vom da un exemplu nebanal, datorat matematicia-
nului polonez Mikusinski. Fie B = C0
[0, ∞], inelul funcțiilor continue f : [0,∞) → R,
relativ la adunarea uzuală și cu înmulțirea dată de produsul de convoluție f ∗ g, defi nit
prin ( f ∗ g )(x) = ∫x
0 f(t)g(x − t)dt.
Inelul este comutativ și nu are divizori ai lui zero (conform unei teoreme a lui
Titschmarsh); în plus, operația „ ∗” nu are element neutru, căci dacă e ∈ C0
[0, ∞] ar fi
element neutru, atunci e ∗ f = f pentru orice f ∈ C0
[0, ∞]; dar luând f = funcția constantă
1, ar rezulta că ( e ∗ f)(x) = ∫x
0 e(t)dt = 1 pentru orice x ≥ 0; absurd. Se poate considera
corpul KB al fracțiilor lui B; elementele lui se numesc distribuții (în sens Mikusinski );
acestea sunt obiecte de forma f
g cu f, g ∈ B; elementele lui B se identifi că prin fracțiile
f ∗ g
g, iar distribuția Dirac δ = f
f (este elementul neutru relativ la înmulțire); în plus,

43o primitivă a lui f este 1 ∗ f . Nu dăm mai multe detalii și adăugăm doar că mulțimea
KB se poate identifi ca cu mulțimea funcționalelor liniare și continue pe spațiul D,
așa cum am arătat anterior, deci nu formează un obiect esențialmente nou. Este o caracteristică a matematicii de a găsi izomorfi sme între structuri aparent diferite, ca
fațete ale unei aceleiași „realități matematice” .
2.4. Modelare și generare de obiecte de studiu
Modelarea matematică (pe scurt, m.m.) este privită ca o descriere a unei
porțiuni din realitate, utilizând noțiuni matematice și un limbaj matematic. Modelele matematice au invadat știința, ingineria și chiar viața socială. S-au încercat diverse clasifi cări ale modelării matematice: statice / dinamice, discrete / continuale, liniare
/ neliniare, deterministice / aleatoare etc.; [3], [4], [8]. În dezvoltarea modelării matematice se pun întrebări fi rești, valabile în orice cercetare științifi că: originalitate,
predictibilitate, testare și omologare etc. Orice modelare conține imprecizie și compromisuri, fi ind intermediară a unui șir de îmbunătățiri…Nu există un „cel mai
bun” model ci doar unul „mai bun” .
EXEMPLE1) Aristotel și lumea până la Galilei și Newton credeau, în mod eronat, că forța
este proporțională cu viteza și nu cu accelerația. Dar acesta era modelul mecanic de atunci.
2) În descrieri economice sau inginerești apar funcții de mai multe variabile
reale; este nevoie de pricepere și de o adevărată artă de a decela variabilele esențiale. Prea puține variabile conduc la o caricatură a originalului și prea multe, la stufoșenie.
3) Cosmologia a avut în timp succesiuni de modele ale Universului, incluzând
momentele Copernic, Kepler, Newton, Einstein, Hawking ș.a.
4) Sub infl uența modelului mecanicist, J. Black a introdus în 1760 termenul de
„caloric”; dacă unui corp i se injectează (respectiv extrage) caloric, atunci temperatura corpului crește (scade). Acest model imperfect s-a dovedit totuși util în explicarea unor procese de transfer termic prin contact direct ,
ca și în introducerea unor termeni sugestivi – e.g. „cantitate de căldură” , „căldură latentă” , „energie termică” etc. După ce Fourier a stabilit legea sa de proporționalitate a fl uxului de căldură cu gradientul temperaturii și
după ce s-a constatat legătura dintre procesele termice și efectuarea de lucru mecanic, s-a înțeles deosebirea dintre procesele mecanice (esențialmente reversibile) și cele termice. Termodinamica a devenit o disciplină științifi că
distinctă după defi nirea conceptelor de energie și entropie ca funcții de stare
și după descoperirea principiilor I („energia este constantă”) și II („entropia crește”).

44Raportarea diverselor modele la matematică nu este întâmplătoare, deoarece
aceasta are un limbaj precis, concis și în plus, poartă prestigiu; multe lucrări inginerești sau economice cu pretenție suge rează prezența unor modelări matematice.
Foarte schematizat, etapele matematizării încep cu colectarea de date, organizarea, interpretarea și validarea lor, adaptarea la o teorie existentă sau la crearea uneia noi. Sunt cunoscute exemplele lui Tycho Brahe (în Astronomie), Gregory Mendel (în Genetică), studiul lui K.Arrow privind relațiile dintre preferințele individuale și cele de grup, precum și legea economică a lui Gossen, conform căreia „utilitatea marginală a unui produs descrește pe măsură ce el se consumă” .
Se cunosc multe clase de modelare matematică; de exemplu, pentru studiul
mișcării pe curbe sau suprafețe în spațiu, pentru probleme optime de transport, programare liniară sau neliniară, control optimal, modele pentru dinamica unei populații, sistemul pradă – prădător, pentru probleme globale de tipul amenajării unor râuri sau bazine; [3], [7]. S-au dat mii de teze de doctorat care analizează sau chiar rezolvă astfel de probleme. Se pun întrebări primare, mereu actuale, de tipul:
– Se poate face modelare matematică fără a ști matematică? Răspuns: nu.- Adevărul matematic este o descoperire a ceva preexistent sau este o invenție?
Răspuns: sau/și.
– Care este gradul de coincidență între mo del și original? Răspuns: indecidabil etc.
Calculatorul a revoluționat arta modelării matematice prin practicarea unor
simulări creatoare. Adeseori, un proiect ingineresc este simulat pe computer înainte de a fi încorporat într-un obiect fi zic.
În continuare, vom da câteva exemple de modelări matematice ale unor realități,
care au condus sau pot conduce la concepte matematice noi; [8].
EXEMPLE
I. Apariția funcțiilor Bessel.
Personal, am fost întotdeauna interesat în a
cunoaște geneza și evoluția conceptelor matematice, unele apărute „din spuma mării” în mintea unor genii, dar și altele având o motivație concretă. Este bine cunoscut modelul suprem Kepler – Newton pentru mișcarea planetelor, care a condus la ceea ce numim Astronomie dinamică; fi g. 2.5.
FIGURA 2.5.Planeta P pe orbita eliptică (E).
Notații :
• a , b (0 < b < a) – lungimile semiaxelor elipsei (E);
• 22;cca b ea=−= ; (0 < e < 1) – excentricitatea elipsei (E) și 21 ba e=− .
• E = măs(nAOQ ) – anomalia excentrică , ϕ = măs (nASP ) – anomalia adevărată ,
A este periheliul și S – Soarele (plasat într-unul din focare);(E)
Oxy
Q
Q′ a
AA′S FEP
rϕ

45• Ecuația elipsei (E) în coordonate polare este r = 1c o sp
e+ϕ, unde r = SP (raza
vectoare) și p = 2b
a.
• Presupunem că după ce a trecut prin periheliul A la momentul t = 0, planeta
ajunge în punctul P la momentul t. Notând M = 2t
Tπ (anomalia medie ), unde
T este perioada de revoluție a planetei P − parcurgerea unei rotații complete
în jurul lui S −, folosind legile sale, Kepler a stabilit la fi ecare moment t, relația
M = E – e sin E, (1)
• faimoasa ecuație a lui Kepler , unde M = 2aria hașurată
aria elipsei.
Demonstrația relației (1).
Aria elipsei πab este parcursă în timpul T deci conform K
2, aria triunghiului
curbiliniu PSA va fi A 22122abt M Mab a eTπ== = − . Aria sectorului de cerc
OAQ este 2
2aE deci aria sectorului OPAO va fi 22
2122ab aEE ea⋅⋅= − (folosind
transformarea R2 → R2, (, ) ,bxy xya⎛⎞⎜⎟⎝⎠x . Pe de altă parte, aria triunghiului OPS este
2
2 11 1sin 1 sin22 2 2bacP Q cy cb E e e Ea′⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ și ca atare, aria triunghiului
curbiliniu PSA rezultă A = 2
21( s i n )2aeEe E−− . Comparând cu relația anterioară,
rezultă tocmai (1).
EXEMPLE
Planeta a (mil. km) e T
Mercur 57 0,21 88 zile
Venus 108 0,01 224 zile
Pământ 150 0,02 365 zile
Marte 228 0,09 1,9 ani ≅ 694 zile
Legea K3 arată că 2
3T
a ≅ const. (circa 0,04 pentru cele 10 planete ale
sistemului solar). Ecuația lui Kepler are soluție unică E = E (M) dată implicit (pentru M ≠ kπ,
k ∈ Z); pentru M = 0, avem E = 0 și pentru M = π, E = π. În calculele
astronomice, se preferă anomalia medie M în locul celei adevărate ϕ.
În jurul anului 1800, Lagrange a propus pentru ecuația (1) o soluție de forma

46unei serii de puteri 1n
n nEM a e∞
==+∑ , obținând coefi cienții
[/ 2 ]1
1 01( 1 ) [ (2 )s i n (2 )]2!nkk n
nn n ka C nk nk Mn−
− ==− ⋅ − ⋅ − ⋅⋅∑ .
Această serie este divergentă pentru e > 0,6627 („bariera Lagrange – Laplace”).
Dar după 1810, se impusese succesul seriilor Fourier în fenomene periodice (precum mișcarea planetei P) și astronomul german Bessel a propus în 1824 o altă abordare; anume, să determine coefi cienții ( c
n), n ≥ 1 astfel încât soluția E(M) a ecuației lui
Kepler să satisfacă relația
sin E = 1sin( )n ncM n∞
=⋅ ∑ . (2)
Înmulțind această relație cu sin ( Mm) și integrând în raport cu M de la 0 la
π, rezultă
1 0 0sin sin( ) d sin( ) sin( )dn nEM m M c M m M n Mππ ∞
=⋅⋅ = ⋅ ∑ ∫∫, a doua integrală
fi ind egală cu 2mnπδ. Atunci integrând prin părți,
2πδcn =
0 00cos( ) 1 dsin sin( ) d sin cos( ) cos ddM Mn EEM n M E M n E Mnn Mπ
π⋅⋅ = − ⋅ + ⋅ ⋅ ∫∫,
deci P.(1)

0 011cos cos( )d cos cos ( sin ) d2cf
ncE M n E E n E e E Ennππ π=⋅ = ⋅ − ⋅∫∫

0 01(cos( 1) sin ) d (cos( 1) sin ) d2n E eEE nE n eEEnππ⎡⎤=+ − ⋅ + − − ⋅⎢⎥⎣⎦∫∫.
Bessel a introdus aici notația

01( ) cos( sin ) dnJx x nπ=θ − θ ⋅ θπ∫ (3)
deci ()11() ()22nn ncJ n e J n en+−ππ=+ , adică ()111() ()nn ncJ n e J n en+− =+ și cum
112() () ()nn nJx Jx J xx+−π+= , rezultă 12 2() ()nn nncJ n e J n enn e n e=⋅ = și în fi nal, conform
(2), sin E = 121() s i n ( )n nJn e n MEn∞
=⋅⋅ ∑ .
În fi ne, conform (1) rezultă formula explicită „analitică”
112( ) s i n ( )n nEM J n e n Mn∞
==+ ⋅ ∑ , (4)
numită formula Kepler – Bessel din Mecanica cerească. Seria (4) este absolut
convergentă pentru orice e.
Se poate arăta că funcția Jn introdusă prin (3) este o soluție a ecuației diferențiale
x 2y ′′ + xy ′+ (x2 – n 2)y = 0, numită ecuația Bessel de indice întreg n.

47NOTĂ. Cine putea bănui că rezolvând o problemă de modelare matematică,
Bessel a declanșat studiul unei clase largi de funcții speciale Jν (x), ν ∈ R;
acestea sunt numite funcții cilindrice , deoarece apar și în probleme
fi zice de simetrie axială, de exemplu în studiul antenelor (propagarea
undelor electromagnetice) sau al propagării căldurii prin conductori cilindrici?
Actualmente, ecuația Kepler (1) se rezolvă numeric pe computere, aplicând
algoritmul de la principiul contracț iei; astfel, considerând funcția ϕ (x) = M + e sin x,
ecuația Kepler este x = ϕ(x), iar ϕ este o contracție. Șirul ( x
n), n ≥ 0, cu xn + 1= M +
+ e sin xn și xo arbitrar, este rezolvant. Se pune o întrebare, desigur retorică: dacă
ecuația (1) ar fi fost rezolvată cu computerele de astăzi, mai descoperea (sau inventa)
Bessel funcțiile care îi poartă numele și care constituie un concept important în sine, generat de o problemă de Astronomie dinamică?
II. Euler și grafurile
Peste râul Pregel care trece prin Königsberg s-au construit 7 poduri, care legau
malurile râului cu două insulițe/ostroave. În 1736, Euler a fost întrebat dacă pornind dintr-un punct P de plecare (ca în fi gura 2.6. a), se pot parcurge toate cele 7 poduri,
revenind în punctul P, fără a trece de două ori pe același pod. Euler a dat răspunsul
(negativ!), dar a făcut mult mai mult. El a introdus noțiunile de graf, de drum într-un
graf, de drum eulerian (care parcurge câte o singură dată fi ecare muchie), stabilind și
câteva teoreme.
P.
AB
C
D
a) b)
FIGURA 2.6. a) Cele 7 poduri din Königsbeg; b) Graful neorientat asociat.
Extrăgând esența din fi gura 2.6 a), se poate construi graful neorientat din fi gura
2.6.b), unde vârfurile B, C corespund malurilor și A, D – insulițele. (În treacăt fi e
zis, doar prin astfel de esențializări s-a înțeles târziu în sec. 16, circulația sângelui!). Pentru orice vârf V, notăm cu n
V numărul muchiilor care ies din V; dacă nV este par
(respectiv impar), atunci V este etichetat la fel. De exemplu, nA = 5 și nB = nC = nD = 3.
Un graf cu toate vârfurile pare are drumuri euleriene, dar un graf cu cel puțin trei vârfuri impare, nu are.
Tot Euler a demonstrat relația celebră V + F = M + 2 (nu mai dăm detalii),
care a fost multiplu generalizată, creând un capitol nou al matematicii – Topologia combinatorică.

48III.Apariția polinoamelor Legendre
Fie A un punct material fi xat în spațiu de masă 1,
A ≠ origine; OA = a (fi gura 2.7).
Potențialul newtonian într-un punct variabil
P(x, y, z), datorat masei din A, este
ψ= =
+− θ2211
2c o s AP ar a r (r = OP).
Funcția ψ este armonică în R3\{A}. Legendre
a dezvoltat funcția ψ în serie de puteri ale lui r
a,
dacă r < a și ale lui a
r, dacă r > a.
Notând h = r
a, rezultă 211
12a hu hψ= ⋅
+−, unde u = cos θ.
Dacă r < a, deci 0 < h < 1, rezultă
1
22 2 2 213
11 1 22( 1 2)1 ( 2) ( 2) . . .22 2 !uh h uh h uh ha−⎡⎤ ⎛⎞ ⎛⎞−−⎜⎟ ⎜⎟ ⎢⎥⎛⎞ ⎝⎠ ⎝⎠ψ= − + = + − − + + − + + = ⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦
22 3 3 11 11 (3 1) (5 3 ) …22uh u h u u ha⎡⎤=+ + −+ − +⎢⎥⎣⎦.
Notând Po(u) = 1, P1(u) = u, P2(u) = 1
2(3u2 – 1), etc., rezultă 01()n
n nrPuaa∞
=⎛⎞ψ= ⋅ ⎜⎟⎝⎠∑ .
Similar, dacă r > a, atunci 01()n
n naPurr∞
=⎛⎞ψ= ⋅ ⎜⎟⎝⎠∑ .
Așadar, problema de modelare, de prelucrare a potențialului newtonian, a
condus la generarea șirului de polinoame Pn, care sunt tocmai polinoamele Legendre.
Ulterior, aceste polinoame au fost studiate pentru ele însele („și-au luat zborul”) și reprezintă un capitol important de funcții speciale; ele apar în mod curent în probleme de Fizică matematică având simetrie centrală. Totodată, ele apar ca funcții proprii ale unor operatori diferențiali liniari nemărginiți. Ceva similar se întâlnește și în cazul polinoamelor Hermite sau Legendre, dar nu mai insistăm; [7].
Astfel de exemple clasice pot continua indefi nit. Păstrând proporțiile voi descrie
o experiență personală. Se cunosc mai multe tipuri de transfer termic între corpuri, de
exemplu gaz – solid: în contracurent, în echicurent, în curent încrucișat etc. Împreună cu fratele meu, prof. dr. ing. Corneliu Stănășilă, am studiat și aplicat un alt tip, pe care l-am numit cu alternanță .
Presupunem că avem un material supus uscării – granule, cărbune, boabe sau
scânduri de lemn –, care circulă gravitațional într-o incintă, între doi pereți plani verticali, ca în secțiunea din fi gura 2.8. Pentru a fi xa ideile, să considerăm un cărbune
umed 30 %, cu o anumită granulație. Prin peretele x = 0, se introduce abur (generat
în exterior); considerăm o singură poziție de introducere. Temperatura t(x) va avea o
evoluție descendentă, ca în fi gură. După 2 – 3 minute se introduce abur și din peretele tjOP
A
yz
xθa
FIGURA 2.7. Punctul material A
creează un potențial newtonian.r

49opus x = δ. Dar temperatura materialului granular
urmează o curbă – medie (linia întreruptă).
Avantajul este mare (asigurarea unei intensifi cări
a uscării și a unei uniformități a parametrilor tehnici – temperatură, presiune etc.). Procesul este descris printr-o ecuație diferențială cu argument simetrizat, de tipul
()d() , ( )dtft xt xx=δ − , cu f de o formă dedusă prin
modelare – simulare.
Am găsit soluții ale acestei ecuații pentru unele
funcții f particulare și am aplicat acest procedeu la:
uscarea cherestelei (la Univ. Brașov, Fac. Industrializarea lemnului, unde s-au dat și două teze de doctorat care au aplicat soluția noastră; [6]), uscarea și piroliza cărbunilor, gazifi carea cărbunilor
cu producere de hidrogen curat (contract cu Ministerul Cercetării), precum și la uscarea cerealelor. Acesta este un exemplu de modelare matematică, care a condus la un concept nou, în speță o clasă nouă de ecuații diferențiale. Țin să menționez că un model matematic al unui proces dinamic poate căpăta o existență relativ autonomă; de exemplu, el permite modifi carea și îmbunătățirea instalației în care a avut loc
procesul studiat, ca și adăugarea unor parametri de comandă sau control optimal.

2.5. Abstractizarea – drum al științei
Am analizat câteva modalități de dezvoltare a matematicii; nu am adus în
discuție metoda axiomatică, ce nu a permis crearea de obiecte sau concepte noi, ci mai degrabă, o sistematizare și fi xare a unora existente. Până la Newton, cercetătorii
naturii s-au mulțumit cu contemplarea și înțelegerea armoniei relative din Univers. Newton a clarifi cat procesele mecanice, dezvoltând totodată matematica necesară;
timp de 200 de ani, s-a crezut că toate procesele din lume se reduc la procese mecanice. Primele breșe le-au făcut pe rând Termodinamica, Electromagnetismul, Teoria relativității și mai ales, Teoria cuantică. Aceasta din urmă a promovat afi rmații
de tipul: „particula cutare se afl ă în poziția x cu o probabilitate P(x)” și nu afi rmații
deterministe ca „particula se afl ă în poziția x și are viteza v”; [1], [3].
Nu putem spune că „Mecanica newtoniană este falsă” , ci doar că trebuie bine
circumscris cadrul ei de manifestare. Orice domeniu al științei are un anumit cadru de valabilitate. Toate științele au avut de rezolvat contradicții interne, care au impus clarifi cări, extinderi succesive și chiar revizuiri drastice. În ultimele decenii,
s-a pătruns în domenii de cercetare inaccesibile simțurilor noastre. W . Heisenberg spunea că „obiectul cercetării științifi ce nu este natura, ci natura supusă întrebărilor
noastre” .
Abstractizarea unui domeniu constă în decelarea proprietăților și relațiilor
esențiale ale obiectelor st udiate, dincolo de particularitățile lor concrete. Aroganța, O δt
x
Figura 2.8. Transfer
termic cu alternanță

50trufi a, lipsa de îndoială aparțin unei gândiri mediocre sau încremenite în concretul
imediat. Destul de târziu, oamenii și chiar cercetătorii au înțeles sensul relativ al unor cuvinte comune de tipul „sus” , „jos” , „la dreapta” etc; ce înseamnă „sus” , pentru cei care trăim în emisfera nordică nu este la fel și pentru cei din emisfera sudică!; tot așa, ce mai înseamnă „la dreapta” pentru cei afl ați într-o navă cosmică? De la Einstein la
Hawking, conceptele fundamentale ca sistemele de referință, timpul, spațiul, viteza relativă, simultaneitate etc. au fost regândite și corelate în mod coerent.
În acest mod, gândirea abstractă, limbaju l matematic și logica nearistotelică au
devenit indispensabile. Cu toții trebuie să învățăm o limbă nouă, fără simplifi cări
periculoase. Nu știm prin ce miracole matematicienii au pregătit terenul pentru crearea de concepte și de modele ale diverselor porțiuni ale realității. Conceptul de număr, cel de formă geometrică, cel de spațiu , s-au format prin abstractizare a realității
din jur. Lărgirea noțiunii de număr s-a obținut prin salturi spre abstractizare și dematerializare, motivate de regulă aposteriori. Toate conceptele – mulțimi, grupuri, inele, funcții derivabile, integrale, funcționale, operatori, Geometrie neeuclidiană, spații vectoriale, câmpuri de vectori, tensor i, spinori, spații metrice, spații topologice,
varietăți diferențiabile, fi brați, spații Hilbert, undine (wavelets) și multe altele –
sunt rod al unor pași spre o abstractizare tot mai înaltă, pe care Fizica și Ingineria le-au stimulat sau asimilat critic. Teoria cuantică a atins ea însăși un grad înalt de abstractizare; se știe, de exemplu, că „în st udiul sistemelor cuantice, valorile proprii
ale operatorului de energie sunt tocmai nivelele energetice” . Dar nici un cuvânt al acestei afi rmații nu poate fi explicat unui neavenit! Nu întâmplător, procesele fi zico-
chimice, biologice și de curând, cele psiholog ice și cele legate de înțelegerea minții
umane, pot fi explicate în intimitatea lor și eventu al exploatate industrial, doar prin
Teoria cuantică. Întreaga știință a devenit tot mai abstractă, apropiindu-și un limbaj nou, diferit de cel natural; [1]. O dovadă concretă a forței modelelor matematice și un argument în favoarea abstractizării este acela că aceeași ecuație diferențială redă
deopotrivă mișcarea unui corp într-un mediu elastic sau rezistent, dar și legea de variație a intensității unui curent electric într-un circuit electric și multe altele…
Computerele moderne au fost realizate doar atunci când Logica, Electronica,
Fizica corpului solid, Studiul interacțiilor radiație/substanță, au atins un prag decisiv de generalitate și abstractizare, de descoperire a legilor specifi ce îmbrăcate în formă
matematică. Formularea matematică dă o mare libertate constructorilor de modele tehnice, înlesnind comunicarea cu alți specialiști. Matematica a devenit „latina timpului nostru” , teren de sinteză și largă comunicare între semeni, cu calculatorul și între calculatoare și roboți (care sunt de fapt calculatoare cu terminale mecanice). O realizare de ultimul răcnet este traducerea automată dintr-o limbă în alta aproape instant; de exemplu, din germană în engleză sau invers, până recent erorile depășeau 20 % și de curând, acestea au coborât sub 5 %. Adăugăm că o tendință spre abstractizare există și în domeniul artelor sau al normelor de drept.

51Așadar, creșterea nivelului de abstractizare în matematică este urmată de aceeași
tendință în alte științe, cu granițe mobile. Tinderea spre adevăr este un proces asimptotic de aproximații succesive, iar adevărul întreg ar fi probabil de neatins,
dacă nu chiar plictisitor. Formula universală, ca și medicamentul bun la toate bolile, rămâne o utopie; similar este răsp unsul la problema divizibilității indefi nite
a materiei sau cea a transformării materiei în energie/câmp. Dictonul „Dumnezeu este matematician” trebuie înțeles nu ca un crez dogmatic, ci ca o sinteză a poziției
matematicii, de portstindard în concertul științelor.
BIBLIOGRAFIE
1. W . Heisenberg – Pași peste granițe , Ed. Politică, 1977.
2. A. V . Kujel – Metoda generalizării în creația matematică (l. rusă), Vișa Școla, 1983.
3. George C. Moisil – Cascada modelelor în Fizică , Ed. Albatros, 1985.
4. C. Popa, O. Stănășilă – Asupra conceptelor matematice , Simpozion Bușteni, 48 – 55, 1984.
5. I. A. Rus – Modelarea matematică , vol. Matematica și aplicațiile sale, Ed. Științifi că, 1995.
6. C. și O.Stănășilă – Instalație de uscare a lemnului , Brevet România, nr.106914 / 1993.
7. O. Stănășilă – Matematici speciale; ecuații diferențiale și analiză complexă , Ed. All, 2001.
8. O. Stănășilă – Modelare și generare de obiecte de studiu , Workshop, Dept. matemat.,
U.P .B.,2011.

52• Prin observații infi nitezimale,
realizăm tendința, derivata istor iei,
iar prin arta de a le însuma, integrarea acesteia.
LEV TOLSTOI
• În teoriile fi zice, legile de bază se aplică
pe distanțe mici și pe durate scurte, fi nalizându-se cu ecuații diferențiale, a
căror integrare produce legi valabile pe domenii extinse în spațiu și timp.
B. RIEMANN
3. RATELE DE VARIAȚIE CA DERIVATE ȘI MĂRIMILE ADITIVE
DE DOMENIU CA INTEGRALE
Descoperirea Calculului diferențial și integral (identifi cat cu „Calculus” sau cu
Analiza matematică) a reprezentat un moment crucial nu numai în Matematică, însemnând totodată lansarea Mecanicii și întregii Fizici ca știință. Acum, după 300 de ani de la statuarea acestui Calcul ca disciplină științifi că, apariția calculatoarelor
moderne a desăvârșit un moment comparabil în istoria civilizației umane cu focul, roata, tiparul etc., instaurând o nouă „ordine algoritmică” .
Reamintim că Analiza matematică are drept cadru numeric mulțimea R.
Am evocat anterior nevoia mutării centrului de greutate în predarea matematicii
spre înțelegerea conceptelor de fond și nu pe practica asimilării mecanice și a
memorizării de formule/enunțuri. Marea difi cultate a matematicii ca disciplină de
învățământ este că ea trebuie înțeleasă la ambele capete ale dialogului – profesori și elevi. Boileau spunea că nu poți transmite altceva decât lucruri înțelese, numai așa faci față dialogului și furnizezi argumente conv ingătoare; iar de cealaltă parte, ceea ce
ai înțeles bine, se uită greu și se mai poate aplica ulterior.
Tocmai în acest sens, în paragraful de față vom încerca să sprijinim predarea
derivatelor și integralelor, într-o perioadă în care au loc mari apropieri ale Analizei matematice de calculatoare și de benefi ciarii altor discipline științifi ce.
3.1. Geneza noțiunii de derivată
Noțiunea de derivată este recunoscută ca fundamentală pentru întreaga știință
modernă; deși atribuită deopotrivă lui Leibniz și Newton, precursorii ei sunt mai mulți, iar motivațiile istorice sunt multiple. Multe mărimi fi zice, economice, chimice
etc. sunt variabile în timp sau chiar unele în raport cu altele, iar derivatele se întâlnesc

53în formularea diverselor legi de variație (evoluție). Pe scurt, derivatele reprezintă
tocmai „viteze de variație” ale acestor mărimi; de exemplu, viteza de deplasare a unui mobil, viteza de creștere a temperaturii unui corp, intensitatea curentului electric printr-un conductor, viteza de descreștere a concentrației unei substanțe, rata
dobânzii, rata de evoluție a unei populații etc. Newton a numit derivatele – fl uxiuni,
iar integralele – fl uente (de la „fl uere” ≡ a curge). Dar s-o luăm pe rând…
Să considerăm o mărime y care variază în timp și să notăm cu y(t) valoarea ei la
momentul t. Pentru orice h ≠ 0, diferența y(t+h) – y(t) reprezintă variația (sau „creșterea”)
mărimii y în intervalul de timp dintre momentele t și t+h; raportul
() ( )yt h yt
h+−
se numește rata medie de variație a mărimii y în același interval. Dacă există limita
0() ( )limhyt h yt
h→+−, aceasta se numește derivata yʹ(t) a mărimii y în raport cu t.
Construcția anterioară se extinde la mărimi z(x), unde variabila independentă nu
mai este timpul, defi nind 0( ) () () ()() l i m l i mhx aza h za zx zazahx a→→+− −′==−.
Notă istorică
Se observă că limita anterioară este o nedeterminare de tipul 0
0; altfel zis, ea este
limita unui cât de „infi niți mici” (de tipul →0
→0). Leibniz și Euler au utilizat termenii
de infi niți mici (respectiv mari) pentru mărimile care tind spre zero (respectiv
∞). Facem distincția între 0 și o mărime care tinde la zero! De exemplu, faptul că
0 21limxx→ =∞ era exprimat astfel: dacă x este un infi nit mic, atunci 21
x este un infi nit
mare. Dacă x este un infi nit mare, Euler scria direct 15 1 c o s0, 1, 02xx
xx x+−== =+.
Iată cum a prezentat Euler dezvoltarea în serie a funcției „cos” în jurul originii,
folosind formulele lui Moivre și Newton:
cos na = 1
2[(cos a + isin a)n + (cos a – isin a)n]=
22 244 4cos cos sin cos sin …nn n
nn aC a aC a a−−=− ⋅ + ⋅ − .
Dacă a este un infi nit mic, atunci cos a = 1, sin a = a deci
22 44cos 1 …nn na C a C a=− + −
și notând na = x , rezultă 24
cos 1 …2! 4!xxx=− + − .
Euler nu-și punea probleme de convergență și a obținut astfel multe
formule valabile, dar și unele eronate, corectate ulterior. În acest context,
derivata zʹ(a) este defi nită ca un număr real, astfel încât „creșterea” z(a+h) – z(a)
să fi e un infi nit mic echivalent cu zʹ(a) ∙ h, pentru orice infi nit mic h (doi infi niți mici
se zic echivalenți de îndată ce câtul lor tinde spre 1). S-a folosit acest limbaj până la apariția manualului de Analiză matematică al lui C. Jordan, cel care a impus limbajul „ε − δ” , considerat și astăzi singurul riguros. Dar unii fi zicieni și ingineri folosesc

54și astăzi limbajul infi niților mici, ca și entități de tipul „vector – deplasare” , „lucru
mecanic elementar” , „debit elementar” etc. Apoi se folosesc în mod neriguros, dar plastic și chiar sugestiv, formele diferenți ale ca în cazul principiilor termodinamicii
(dL = dU + Q, dS = dQ
T > 0 etc). Succesul limbajului infi niților mici este datorat unor
principii precuantice de tipul:”mișcările infi nitezimale sunt uniforme”; „corpurile
infi me sunt omogene” , „pe porțiuni mici, curbele sunt netede și se aproximează prin
tangente” sau „local, suprafețele se aproximează cu planele tangente” etc. Trecerea de la infi nitezimal la fi nit (sau invers) are ceva transcendent, fi ind conformă cu percepția
noastră asupra lumii subatomice și cu dorința de a o descrie prin numere – viteze, fl uxuri, debite, medieri etc. În Teoria cuantică, asimilând x și a cu particule pe o axă,
distanța | x − a| dintre ele nu poate fi un infi nit mic deoarece particulele se resping,
astfel că derivatele sunt concepte oarecum contradictorii, ca și ecuațiile diferențiale, în lipsa unei analize critice.
NOTĂ. Fizicienii au introdus diverse concepte care descriu „idealizări
benefi ce”; de exemplu, punctul material (ca bilă de rază infi nitezimală,
cu masă strict pozitivă), corpul rigid, gazul perfect, sistemul de referință inerțial (afl at în repaus sau în mișcare rectilinie uniformă),
mașina Carnot ideală, corpul absolut negru etc. Prin idealizări, se câștigă pe plan didactic, da r este necesară cenzura științifi că. În fond,
Mecanica newtoniană, ca și Geometria euclidiană sunt tot idealizări, care însă s-au dovedit deosebit de productive.
În 1960, logicianul american A. Robinson a arătat că infi niții mici sau mari pot
căpăta legitimitate în cadrul Analizei nonstandard și astfel, Leibniz a fost răzbunat. Dar în predarea Analizei, este difi cil de adoptat o rigoare absolută, deoarece pierdem
audiența. Însă comentarii de tipul anterior sunt utile și arată de ce nu trebuie să fi m
aroganți, siguri de sine, nedilematici.
EXEMPLE1) Presupunem că pe o axă („ dreaptă pe care sunt marcate 0, 1, ∞ ”) se
deplasează în sens pozitiv un mobil și că la orice moment t, mobilul se afl ă
în punctul de abscisă s(t) pe axă. Dacă mișcarea mobilului ar fi uniformă,
atunci în intervalul de timp dintre momentele t
o și to + h (cu h ≠ 0), viteza
mobilului ar fi 00() ( )st h st
h+− (independentă de h); dar dacă mișcarea
nu este uniformă, atunci se defi nește viteza instantanee la momentul t0
ca fi ind v(t0) =
000 0
00
0( ) () ( ) ()lim lim ( )ht tst h st st ststht t→→+− −′ ==−, notată,
după Leibniz, și ds
dt(t0). Așadar, pentru orice t, v(t) = sʹ(t). În mod similar,
accelerația instantanee la orice moment t, este a (t) = vʹ(t) = dv
dt.

55 De exemplu, la căderea corpurilor în vid, spațiul parcurs după t[s] este
s(t) = gt2
2 [m], unde g ≅ 9,81 [m/s2] este accelerația gravitațională. Această
lege a fost stabilită experimental de Galilei. Viteza instantanee la orice moment t este
v (t) =
22
00 0() ( )lim lim [( ) ] lim (2 )22hh hgg st h stth t th g thh→→ →+−=+ − = + = .
2) O sferă de rază r are aria A (r) = 4πr2. Rata medie de variație a acestei arii în
intervalul de valori [ r, r+h ] este
22 () ( ) 4[( ) ] 4 (2 )Ar h Arrh r rhhh+− π=+ − = π + și derivata este Aʹ(r) = 8πr.
3) Reamintim că se defi nește capacitatea calorică a unei substanțe ca fi ind
cantitatea de căldură în Jouli, necesară pentru a încălzi 1 kg din acea substanță cu 1 K. S-a constatat că aceasta depinde de temperatura inițală a substanței, deci este o funcție c (T). De exemplu, pentru a încălzi cu 1 K, 1 kg
Fe luat la 0
oC, sunt necesari 440,8 J, în timp ce pentru a încălzi cu 1 K același
1 kg Fe, luat la 50 oC, sunt necesari 470,6 J. Cum să defi nim funcția c(T)?
Răspunsul fi zicienilor a fost fi resc; anume, se notează cu Q(T) cantitatea de
căldură primită de 1 kg substanță pentru a atinge temperatura T (pornind de
la o temperatură de referință care nu contează). Pentru orice h ≠ 0, raportul
() ( )QT h Qt
h+− reprezintă capacitatea calorică medie pe intervalul dintre
temperaturile T și T + h . Intuitiv, se obține o valoare din ce în ce mai exactă,
pe măsură ce h devine din ce în ce mai mic. (Valoarea h ≅ 1 oC se consideră
acceptabilă). Așadar, c(T) = Qʹ(T) = dQ
dT.
4) Să considerăm o bară subțire, lungă de 1 cm, dintr-o substanță. Se pune
întrebarea cu cât se alungește bara dacă ea se încălzește cu 1 K. Presupunem că
inițial bara se afl ă la 0 oC și notăm cu L(T) lungimea barei la temperatura T;
după încălzirea cu h = ΔT grade, bara va suferi o variație ΔL = L (T + ΔT) – L(T)
a lungimii; rata medie a acestei variații va fi ΔL
ΔT . Se defi nește coefi cientul de
alungire k (T) = 1
L(T)∙ Lʹ(T).
5) Derivatele sunt folosite în mod curent și în Econometria teoretică, adică în
studiul mărimilor economice măsurabile și ale relațiilor dintre acestea, fi e
ele empirice sau legice. Astfel, se defi nește c(q) = costul total al producerii a
q unități dintr-o marfă (materii prime, manoperă etc.); raportul c(q)
q este
costul unității de produs, iar derivata cʹ(q) ≅ () ( )cq h cq
h+− (pentru h ≠ 0
sufi cient de mic) este numită costul marginal . În practică, este difi cil de
defi nit explicit c(q). În mod similar, dacă B(m) = cantitatea de bunuri

56produse cu forța de muncă m, derivata Bʹ(m) ≅ () ( )Bm h Bm
h+− este numită
productivitatea marginală . Iar dacă P(s) este profi tul realizat după cheltuirea
sumei s de bani, se defi nește profitul marginal Pʹ(s) și în fi ne, rata marginală
Iʹ(v) a impozitării , unde I(v) = impozitul pentru un venit impozabil v.
De asemenea, dacă x(t) este cursul în lei al valorii la bursă a unei mărfi
la momentul t și dacă la un moment to avem x(to) = xo, atunci se poate
considera variația procentuală y(t) a cursului, defi nită prin d y(t) = d( )
()xt
xt;
așadar, y(t) = ln ( x(t)/x0).
Nu discutăm aici proprietățile funcțiilor derivabile [de exemplu, teorema lui
Fermat: „Dacă xo ∈ (a, b) este un punct de extrem local al unei funcții derivabile
f : (a, b) → R, atunci f ʹ(xo) = 0” , sau formula lui Lagrange a creșterilor fi nite: „Dacă
f: [a, b] → R este o funcție continuă, derivabilă pe intervalul deschis ( a, b), atunci
există c ∈ (a, b) astfel încât f(b) − f(a) = ( b – a ) ∙ f ʹ(c)”].
Ca o nostimadă, iată o interpretare mecanică a formulei creșterilor fi nite,
numită și teorema de medie de la derivabilitate: dacă x(t) este poziția unei particule
la momentul t, t ∈ [t1, t2] și dacă funcția x(t) este derivabilă, atunci viteza medie a
particulei pe intervalul [ t1, t2] este egală cu viteza instantanee la cel puțin un moment
c ∈ (t1, t2): 21
21() ()()xt xtxctt−′=−.
Nu vom aminti aici nici regulile de derivar e, ci numai motivațiile și aplicațiile
directe ale derivatelor.
Este binecunoscută interpretarea geometrică a derivatei unei funcții într-un
punct. Anume, fi e f : (a, b) → R o funcție continuă pe ( a, b) și derivabilă într-un punct
x0 ∈ (a, b); aceasta înseamnă că limita
00
0() ( )limxxfx fx
xx→−− există și este fi nită (valoarea
fi ind f ʹ(x0)). Considerând curba (C): y = f(x), x ∈ (a, b) deci grafi cul lui f și punctele
M0(x0, f (x0)), M (x, f (x)); x ≠ xo, situate pe (C), atunci coarda MoM are coefi cientul
unghiular („the slope”) 0
0() ( )fx fx
xx−
− și pentru x → xo,
această coardă devine tangenta în punctul M0 la (C);
fi gura 3.1. Coefi cientul unghiular al tangentei va fi
tocmai f ʹ(xo), iar ecuația tangentei în M0 la grafi cul
lui f va fi
y – f(x0) = f ʹ(xo)(x – xo).
Această construcție a fost extinsă pentru
tangentele la curbe defi nite prin ecuații carteziene
de tipul F(x, y) = 0, sau pentru curbe plane date
parametric x = x (t), y = y (t); t ∈ I.b x0M0M (C)
x axy
FIGURA 3.1. Tangenta ( T) la
curba y = f (x) în punctul
M0(x0, f (x0)).(T)

57Ca o sinteză, dăm o listă de derivate folosite în mod curent, nu numai în
matematică:
– vectorul – viteză și vectorul – accelerație;- viteza unghiulară ca rată de variație a măsurii unui unghi în timp;- densitatea ca rată de variație a masei m(v) ca funcție de volum ( ρ = mʹ(v));
– curbura unei curbe ca rata de variație a unghiului α făcut de tangenta la
curbă ca funcție de abscisa s curbilinie
d
dsα⎛⎞⎜⎟⎝⎠;
– intensitatea curentului electric ca rata de variație a sarcinii electrice în timp
d
dQ
t⎛⎞⎜⎟⎝⎠ etc.
3.2. Câteva aplicații ale derivatelor
Se cunoaște utilizarea derivatelor pentru studiul
monotoniei funcțiilor reale, al extremelor sau concavității, ca și pentru trasarea grafi celor de funcții elementare.
Ne limităm la a le aminti pe fi gura 3.2, care reprezintă
grafi cul unei funcții f de două ori derivabilă. Funcția
f este monoton crescătoare pe arcele AB, CD unde f ʹ >
0 și monoton descrescătoare pe arcul BC (unde f ʹ < 0).
În punctele B și C, funcția f are extreme locale; mai precis,
f ʹ(B) = 0, f ʹʹ(B) < 0 și f ʹ(C) = 0, f ʹʹ(C) > 0.
Un fapt important este următorul: dacă două funcții
derivabile f, g : I → R pe un interval I au aceeași derivată ( f ʹ = g ʹ pe I), atunci diferența
lor f – g este o funcție constantă.
Cea mai importantă aplicație este legată de ecuațiile diferențiale. Spre deosebire
de ecuațiile de forma f (x) = 0, unde necunoscuta este o variabilă independentă (aici
intră diversele ecuații studiate în liceu-algebr ice, iraționale, exponențiale, logaritmice,
trigonometrice-), o ecuație diferențială de ordinul I este o relație de forma yʹ = f (x, y),
unde f este o funcție dată, iar necunoscuta este o funcție y (x) presupusă derivabilă.
Aproape toate domeniile fi zicii și tehnicii clasice oferă exemple de ecuații diferențiale,
identifi cate cu legi de evoluție. Se întâlnesc și sisteme diferențiale, ecuații diferențiale
de ordin superior sau ecuații cu derivate parțiale. Modelul de aplicare a ecuațiilor diferențiale este următorul:
DECELARE FENOMEN →
PARAMETRI SEMNIFICATIVI →
→ ECUAȚII DIFERENȚIALE (≡ legi de evoluție) →
→ SOLUȚIE → INTERPRETARE
Calculatoarele moderne permit rezolvarea exactă (dacă este posibil!) sau
aproximativă (totdeauna) a diverselor ecuații sau sisteme de ecuații diferențiale, astfel
încât atenția să fi e acordată modelării corecte a fenomenelor studiate și interpretării
rezultatelor.FIGURA 3.2. Punctul B
este de maxim local și C
de minim local pentru f.B
CD
A
xy
y = f (x)

58Legi de evoluție
Funcțiile elementare descriu câteva legi de evoluție – standard: evoluție liniară
(y(x) = ax+b ), pătratică ( y(x) = ax 2 + bx + c ), exponențială ( y(x) = A ∙ e αx) etc.
În același timp, multe funcții elementare pot fi defi nite ca soluții ale unor ecuații
diferențiale:
1) y(x) = ax + b (a, b ∈ R constante): y ʹ = a;
2) y(x) = ax 2 + bx + c (a, b, c ∈ R constante): y ʹʹ = 2 a;
3) y(x) = polinom de grad n: y (n + 1) = 0;
4) y (x) = e αx (α ∈ R constant): y ʹ = αy;
5) y(x) = ln x : x y ʹ = 1;
6) y (x) = cos α x: y ʹʹ + α2y = 0;
7) y (x) = sin βx: y ʹʹ + β2y = 0 etc.

Vorbind despre „modele diferențiale” , ne amintim că până la Galilei și Newton,
s-a adoptat modelul aristotelic, conform căruia în dinamică, forța ar fi dependentă de
viteză. Legea II-a a lui Newton a corectat acest fapt, conducând la ecuații diferențiale de tipul xʹʹ(t) = f (t, x(t), x ʹ(t)); cunoscând la un moment t
0 admisibil valorile x(to) și xʹ(t0),
matematicienii au indicat condiții când, local, soluția există și este unică („teorema fundamentală Cauchy – Picard”). Pentru unii fi zicieni sau ingineri, teoremele de
existență și unicitate nu joacă un rol deosebit. Dar surpriză! Să considerăm ecuația
xʹʹ(t) =
3()xt cu condițiile inițiale x(0) = 0, xʹ(0) = 0. Alături de soluția nulă, ecuația
are încă două soluții: x (t) = 36
36t ± . Întrebarea este dacă în Mecanică există o mișcare
având o astfel de evoluție!? Teorema fundamentală menționată are loc dacă funcția f
este continuă în ansamblul variabilelor și este lipschitziană în x, xʹ (iar funcția f (x) =
= 3x nu este lipschitziană în vecinătatea originii!). Un fapt remarcabil este acela că
din cunoașterea ecuației și condiției inițiale, se poate deduce evoluția viitoare sau trecute a fenomenului descris; acesta este o manifestare a determinismului întâlnit
în Mecanică, Electromagnetism sau Termodinamică, la fenomene descrise prin legi diferențiale de evoluție. În Teoria cuantică se vorbește de un determinism statistic (începând cu relațiile de incertitudine ale lui Heisenberg), care nu mai apelează la ecuații diferențiale.
EXEMPLE1) În căderea liberă în vid, accelerația este g (g ≅ 9,81 m / s
2); notând cu v (t)
viteza la momentul t, rezultă v ʹ = g deci funcțiile v (t) și gt au aceeași
derivată; atunci v(t) – gt = c, constant. Înlocuind t = 0, rezultă c = v (0) ≡ vo.
Ca atare, v(t) = v0 + gt. În mod similar, notând cu s(t) spațiul parcurs de la
momentul t = 0 la momentul t, rezultă sʹ(t) = v (t) = v0 + gt = 2
02gtvt′⎛⎞+⎜⎟⎝⎠.

59Așadar, s (t) − 2
02gtvt− = c, constant; făcând t = 0, rezultă s(t) = s0+ 2
02gtvt+ .
Dacă v0 = 0 și s0 = 0, atunci v(t) = gt și s(t) = 2
2gt; eliminând t, rezultă v 2 = 2gs.
Ca un exemplu concret, să presupunem că un parașutist cade liber de la 10 000 m,
fără să deschidă parașuta (neglijând orice frecare). Atunci timpul după care
își încheie coborârea este t = 2 20 000
9,81s
g= ≅ 45,2 [s], atingând „jos”
viteza v = gt = 9,81 × 45,2 ≅ 443 [m/s]. Desigur, lucrurile se complică dacă
avem în vedere folosirea parașutei; un model acceptat este următorul: dacă m este masa (parașutistului + parașuta) și v este viteza, atunci legea a II-a a
lui Newton arată că mv ʹ = mg – bv deci v ʹ = bvgm−+ (cu b > 0 constantă).
Aceasta este o ecuație diferențială liniară de ordin I și se arată că are soluția

0 () ebt
mgm gmvt vbb− ⎛⎞=− +⎜⎟⎝⎠.
2) Considerăm un circuit electric alimentat la o sursă f. e. m. E, constituit
dintr-o rezistență de valoare R și un inductor L, legate în serie. Notând
cu i(t) intensitatea la momentul t, rezultă E = Li ʹ(t) + Ri (t), pentru t ≥ 0,
deoarece forța electromotoare E este egală cu suma căderilor de tensiune
prin rezistență și inductor. Se obține din nou o ecuație diferențială de ordin I,
cu necunoscuta i(t); ea are soluția i(t) = (0) eRt
LEEiRR− ⎛⎞+− ⋅⎜⎟⎝⎠.
La regim permanent ( t→ ∞), intensitatea tinde către valoarea E
R.
3) Se acceptă că rata de descreștere a cantității (masei) de substanță radioactivă
este proporțională cu cantitatea respectivă la fi ecare moment. Notând cu x(t)
cantitatea de substanță radioactivă la momentul t, rezultă că xʹ(t) = − kx(t)
cu k > 0 constant. Așadar, ()
()xtkxt′=− deci (ln x (t))ʹ = (− kt)ʹ, adică ln x (t) =
= − kt + C , cu C constantă. Pentru t = 0, rezultă C = ln x (0) deci ln x (t) –
− ln x (0) = − kt, de unde x(t) = x (0) ∙ e−kt, x (0) fi ind masa de substanță la
momentul t = 0. Ca exemplifi care, putem determina după câți ani, masa de
substanță radioactivă se înjumătățește (restul de materie devenind „produs al
dezintegrării”). Așadar, determinăm T astfel încât x(T) = x(0)
2, adică
x(0) ∙ e−kT = x(0)
2; deci e−kT = 1
2, − kT = − ln 2 și T = ln2 0,693
kk≅ . Ca atare,
perioada de înjumătățire nu depinde de cantitatea inițială, ci numai de k
(adică de natura substanței). De exemplu, în cazul Radiului Ra, T ≅ 1600 ani
și pentru U239, T ≅ 4,5 miliarde de ani.

60NOTĂ. Deși este puțin credibil, putem obține unele informații privind vârsta
T a Pământului. Să presupunem că extragem din adâncul pământului
o rocă ce conține m [g] de substanță radioactivă și p [g] de produs
al dezintegării. Admitem apoi că fi ecare gram de material radioactiv
conține r [g] de produse de dezintegrare. Așadar, p [g] de produs de
dezintegrare provin din p
r [g] de material radioactiv. Atunci masa
inițială de material radioactiv a fost m + p
r. Ca atare, timpul T parcurs
de când a început dezintegrarea satisface relația m = ekT pmr− ⎛⎞+⋅⎜⎟⎝⎠.
Aplicând această relație pentru diverse roci, a rezultat că T este de
ordinul a 1… 2 miliarde de ani. În mod similar, carbonul 14 (izotop radioactiv al carbonului) se regăsește în toate organismele vii sau moarte și are timpul de înjumătățire de circa 5700 de ani; profesorul W . Libby a descoperit astfel tehnica de datare cu radiocarbon, pe care a aplicat-o cu succes datării manuscriselor de la Marea Moartă.
4) Se consideră un sfert de cerc (C) de centru O și rază R = 1.
Fiecărui punct M ∈ (C) i se asociază punctul T de intersecție a semidreptei
OM cu tangenta în A la cerc (fi gura 3.3).
Presupunem că punctul O este „luminos” și că
M este „opac” deci T este „umbra” lui O. Dacă M
se deplasează uniform pe arcul AB, ne întrebăm
cum se deplasează T pe semiaxa Az?
La fi ecare moment t ≥ 0, fi e ϕ = ϕ(t) măsura
unghiului
nAOM . Atunci AT = tg ϕ(t) Pnot
= z (t)
deci zʹ(t) = 21
cos ( ) tϕ. ϕ ʹ(t). Atunci
cos ( ) i sin ( ) j rO M t t== ϕ ⋅ + ϕ ⋅JJJJG GG G și vectorul-
viteză este () vr t ′=GG, deci () vt ′=ϕG.
Dacă M se deplasează uniform, atunci ϕ(t) = ωt (ω > 0) deci
zʹ(t) = 20cos ( ) tω>ω și z(t) crește de la 0 la ∞. Dacă T se deplasează uniform
pe Az, atunci zʹ(t) = z0, constant și ϕ(t) = arctg z(t) deci ϕʹ(t) = 0
21( )z
zt+, de
unde ϕʹʹ(t) < 0 și mișcarea lui M este decelerată.
5) Ca un ultim exemplu, să presupunem că un „pendul matematic” M este
suspendat într-un punct A, legat cu un fi r inextensibil de lungime ℓ și masă
neglijabilă. Notăm cu α măsura unghiului de elongație nBAM (unde AB este
verticala) (fi gura 3.4.). Lungimea arcului de cerc BM este s = ℓα.
Dacă m este masa pendulului și v = v (t) este viteza la momentul t, atunci
legea a II-a a lui Newton arată că mvʹ(t) = − mg · sin α (forța tangențială este z
O AB. T
M
ϕ(t)(C)
tj
ti
FIGURA 3.3.
Sfert de cerc și puncte
mobile conectate M și T.

61F = − mgsin α, iar tensiunea în fi r și componenta
normală a greutății pendulului se anihilează reciproc!). Dar v(t) = sʹ(t) = ℓαʹ(t) și rezultă
ℓαʹʹ(t) + g sin α = 0 (numită ecuația pendulului ).
În cazul oscilațiilor mici, sin α ≅ α și ecuația
pendulului devine αʹʹ + g
ℓα = 0. Se arată că soluția
acestei ecuații diferențiale liniare de ordinul al II-lea,
cu condițiile inițiale α(0) = α0 și v(0) = 0,
este α(t) = α0 · cos t g
ℓ. Această funcție este
periodică de perioadă T = 2πℓ
g. Am obținut astfel
(dar cum!) celebra formulă a lui Galilei, pe care el a stabilit-o experimental!
Exemplele pot continua indefi nit…
3.3. Analogul discret al derivatelor
Fiind dată o funcție y (x) pe un interval ( a, b), derivabilă într-un punct xo ∈ (a, b),
derivata yʹ(xo) = 00
0() ( )limhyx h yx
h→+− poate fi aproximată, pentru | h| mic,
cu raportul 00 1 0() ( )yx h yx y y
hh+− −= , unde am notat y(x0) = y0 și y(x0 + h) = y1.
Analoagele discrete ale derivatelor se numesc diferențe finite divizate .
În multe probleme, este sufi cientă cunoașterea funcției y (x) doar într-un număr
fi nit de puncte x1 < x2 <… < xn, efectuând aposteriori interpolări. De exemplu, în cazul
rezolvării (aproximative) a unei ecuații diferențiale yʹ = f (x, y) cu condiția inițială
y (xo) = yo, se alege un pas h > 0 destul de mic (conform cu natura problemei) și se
consideră punctele xp = x0 + ph; p = 0, 1, 2, … cunoscute; notând yp = y(xp), relației
yʹ(xp) = f (xp, yp), p ≥ 0 i se asociază schema algoritmică 1() ( )
(, )pp
ppyx yx
fx yh+−
= ,
deci yp+1 = yp + h.f (xp, yp), p ≥ 0, determinând recursiv, cu aproximație, valorile yp,
p ≥ 0, ceea ce poate fi acceptabil în diverse cazuri concrete. Aceasta este metoda lui
Euler a liniilor poligonale, care a constituit modelul multor altor metode similare. În
plus, metoda se extinde corespunzător la sist eme diferențiale și la ecuații diferențiale
de ordin superior.
În cazul unei funcții f (x, y) de două variabile, în vecinătatea unui punct ( xo, yo)
fi xat, se poate considera o rețea 2D de puncte ( xp, yq), unde xp = x0 + ph și yq = y0 + qk,
cu bipasul h > 0, k > 0 și p, q ≥ 0. Notând fp, q = f(xp, yq), discretizatele derivatelor
parțiale sunt f
x∂
∂(xp, yq) ≅ 1,pq p qff
h+−, f
y∂
∂(xp, yq) ≅ ,1pq p qff
k+−. În acest mod, se pot
rezolva cu aproximație unele ecuații cu derivate parțiale (folosind metoda diferențelor
fi nite). Nu mai dăm detalii. FIGURA 3.4. Pendul
matematic.A
ℓ
BM
αα

623.4. Elemente de analiză non standard
Fie K un corp comutativ total ordonat, care conține Q; pentru orice u ∈ K, se
defi nește | u| = max( u, – u). Corpul K se numește arhimedean dacă ∀x ∈ K, există
n ∈ N astfel încât n > x. Evident, Q și R sunt corpuri arhimedeene. Dar să considerăm
K = R(X) corpul funcțiilor raționale f
g (cu f, g polinoame cu coefi cienți reali și g ≠ 0),
pe care îl ordonăm considerând că o funcție rațională f
g este nulă dacă f = 0 și că este
strict pozitivă dacă polinoamele f, g au coefi cienții termenilor de grad maxim strict
pozitivi. De exemplu, 23027xx
x−>− și pentru orice c ∈ R, avem X > c. Corpul R(X)
este total ordonat și conține strict R, dar nu este arhimedean (căci nu există n ∈ N
astfel încât 21xnx+<).
Mai mult, se poate arăta că orice corp comutativ total ordonat care conține strict R
este nearhimedean; în continuare, fi xăm un astfel de corp K. Un element
a ∈ K se numește un infinit mic (respectiv infinit mare ) dacă pentru orice r ∈ R, r > 0,
avem | a| < r (respectiv | a| > r). Elementele b ∈ K astfel încât să existe r > 0 și | b| ≤ r se
numesc finite (fi g. 3.5).
EXEMPLE
1) Infi niții mici sunt numere fi nite.
Suma, diferența, produsul a doi infi niți mici sunt infi niți mici. Dar
suma a doi infi niți mari poate să
nu fi e un infi nit mare.
2) 0
R este un infi nit mic și este
singurul infi nit mic care aparține la R. Numerele reale sunt fi nite.
3) Deoarece K nu este arhimedean, există c ∈ K astfel încât pentru orice n ∈ N
să avem c ≥ n. Acest c nu este unic și este un infi nit mare, iar 1
c este un infi nit
mic.
Se poate arăta că mulțimea numerelor fi nite formează un subinel F al lui K, iar
mulțimea infi niților mici este un ideal în F.
Două elemente a, b ∈ K se numesc echivalente (a ~ b) dacă a – b este un infi nit
mic; se mai spune atunci că „ a este lângă b”. D a c ă a este un infi nit mic, atunci el este
echivalent cu 0. Orice doi infi niți mici a, b sunt echivalenți; ei se zic 1 – echivalenți
dacă 1 este lângă a
b (astfel, sin x și x sunt 1 – echivalenți pentru x → 0 deci sin x ~ x).
Robinson a arătat că pentru orice a ∈ K există și este unic un număr real a care
este lângă a. Mai mult, există un corp iR comutativ, total ordonat, conținând strict FIGURA 3.5. Corp nearhimedean
care conține R și infi niții.0Rinfi niții
mici
fi nite fi niteinfi niții
mariinfi niții
mari

63R și astfel încât orice aplicație f : Rn → R se extinde la o aplicație F : iRn→iR și
diversele proprietăți algebrice relativ la R se extind la iR. Elementele mulțimii iR\ R
se numesc numere reale nonstandard . În Analiza nonstandard, dacă x este un infi nit
mare, atunci +∼∼10, 11x
xx. Se spune că un șir f : N → R converge către α dacă
pentru extensia F: iN →iR și pentru orice m ∈ iN \ N (număr natural nonstandard),
F (m) este lângă α.
Ne oprim aici. În orice caz, nu există teoreme din Analiza clasică a căror
demonstrație să necesite folosirea Analizei nonstandard. Reținem doar că în
limbajul nonstandard, calculul empiric cu infi niți mici, prezentat în nota istorică
din 3.1, își găsește o justifi care teoretică. Rămâne în discuție scala nonstandard a
mărimilor infi nitezimale; la nivelul infi niților mici, materia este omogenă, mișcările
sunt uniforme și în fi ne, ecuațiile diferențiale sunt nonstandard, iar după integrare,
soluțiile devin „fi nite” . Trecerea de la domeniul infi nitezimal/cuantic la domeniul
fi nitului invită la multe speculații fi lozofi ce.

3.5. Geneza noțiunii de integrală
Reluăm studiul mișcării unei particule pe o axă; dacă x(t) este abscisa poziției
particulei la momentul t (dintr-un interval deschis I de timp), viteza ei la orice
moment t este derivata xʹ(t). O întrebare fi rească este următoarea: dacă se cunoaște
viteza v(t) a particulei, cum se poate determina poziția ei, pe care Newton o numea
fl uenta lui v (t)?

EXEMPLU
Dacă v(t) = at (cu a ∈ R ) și considerăm x(t) = 2
2at, rezultă xʹ(t) = v (t).
Iar dacă x1(t) este o altă funcție derivabilă astfel încât x1(t) = xʹ(t) pentru orice
t ∈ I, avem x1(t) – x (t) = C, constant. Așadar, mulțimea tuturor funcțiilor a
căror derivată este v (t) = at este mulțimea 2
2atRSTRST
+ C| C funcție constantă .
Această mulțime se notează ∫ v(t)dt și se numește integrala nedefinită a lui v (t).
Mai general, fi ind dată o funcție f : I → R , se numește primitivă a lui f pe intervalul
I orice funcție derivabilă F : I → R , astfel încât F ʹ = f pe I, adică ∀ x ∈ I, F ʹ(x) = f (x).
În acest caz, mulțimea primitivelor lui f este { F + C| C funcție constantă}, notată
∫f(x)dx.

64EXEMPLE
Avem 21
d, d ,21n
n xxxx C x x Cn+
=+ = ++ ∫∫ (n ≠ − 1), cos d sinxx x C =+ ∫
(pe I = R); apoi 1 dl nxx Cx=+∫, pe I = (− ∞, 0) și pe I = (0, ∞).
A doua sursă a calculului integral a constituit-o problema ariilor „plăcilor
curbe” sau a volumelor diverselor corpuri 3D. I se atribuie lui Arhimede calculul ariei A(M) a mulțimii M = {(x, y)∈ R
2| 0 ≤ y ≤ x2, 0 ≤ x ≤ 1}; fi g. 3.6.

Oxy
M
1y = x2
Oxy
MkMk + 1
k
nk + 1
n
FIGURA 3.6.
Placa lui ArhimedeFIGURA 3.7.
Procedura lui Arhimede
Cu această ocazie, el a descoperit „lema cleștelui” , cu peste 2000 de ani înainte de studiul sistematic al limitelor de șiruri sau al integralelor. Iată cum a procedat Arhimede, cu notațiile de astăzi. Se divide intervalul [0, 1] în n părți egale prin punctele de diviziune
0,
12 1, ,… , , ,…, 1kk
nn n n+. Fie Mk 2
2,kk
nn⎛⎞
⎜⎟⎝⎠, 0 ≤ k ≤ n − 1.
Notăm cu Ak aria hașurată în fi gura 3.7. Este evident că
22
211 1
kkkAnn nn+⎛⎞⋅≤ ≤ ⋅ ⎜⎟⎝⎠ pentru 0 ≤ k ≤ n − 1 și A(M) = 1
0n
k kA−
=∑ deci
12
3 01 n
kkn−
=≤ ∑ A(M) ≤ 12
3 01(1 ) ,n
kkn−
=+ ∑ adică
31 ( 1) (2 1)
6nn n
n−⋅ ⋅ −⋅≤
A(M)31 ( 1)(2 1)
6nn n
n++≤⋅ .
Așadar, 2
223 1
6nn
n−+≤
A(M) ≤ 2
223 1
6nn
n++ deci
211 1
32 6n n−+ ≤ A(M) ≤ 211 1
32 6n n++ . Pentru n → ∞ și aplicând „lema

65cleștelui” , se obține A(M) = 1
3. Bineînțeles, cu formula Leibniz – Newton de
astăzi, se obține A(M) = 13 12
001d33xxx == ∫ .
Pare deci de necrezut, dar integralele defi nite au apărut înaintea derivatelor!
Defi niția modernă a integralei defi nite, dată de Riemann, este o generalizare și o
formalizare a raționamentului lui Arhimede. O reamintim… Fiind dată o funcție mărginită f: [a, b] → R, se consideră o diviziune D: a = x
o < x1 <… < xn = b a intervalului
compact [ a, b] și puncte intermediare uk ∈ [xk, xk+1], 0 ≤ k ≤ n – 1. Norma diviziunii
este || Δ|| = maxk(xk + 1 − xk), adică maximul lungimilor subintervalelor [ xk, xk+1]. Se
poate atunci forma suma Riemann
1
1 0(,, { } ) ( ) ( )n
kk k k kfu f u x x−
+ =σΔ = ⋅ − ∑ . (1)
Se spune că funcția f este integrabilă Riemann pe intervalul [ a, b] dacă există un
număr real I care este limita sumelor Riemann când norma diviziunii tinde la zero
[mai precis, ∀ ε > 0 există δ > 0 astfel încât pentru orice diviziune Δ cu || Δ|| < δ și
pentru orice alegere a punctelor intermediare uk, avem | σ(f, Δ, {uk}) − I| < ε ]. Se arată
că numărul I este unic; el se numește integrala Riemann a lui f pe [ a, b] și se notează
I =
() db
afx x∫ sau mai conform cu teoria integralei, I =
[,]abf∫. (2)
NOTĂ. Ca notație, se observă că în trecerea de la suma Riemann (1) la
scrierea (2), se produc următoarele modifi cări formale: f (uk) x
f (x), xk + 1 – xk x dx și 1
0 b n
k af−
=∑ ∫x . Nu este ușor de explicat
prezența sintagmei „ f (x) dx”, rămasă de la Leibniz. Aceasta este un
obiect matematic corect, numit formă diferențială, dar elevilor și
chiar studenților le este difi cil de explicat. Notația are totuși un avantaj
mnemotehnic, în cazul efectuării unor schimbări de variabilă x = ϕ(t),
dx = ϕʹ(t) dt. Remarcăm că semnul „ ∫ ” este o alungire propusă tot de
Leibniz a semnului „∑” și că în scrierea (2), „ x” este literă mută, tot așa
cum în suma (1), litera „ k” este mută (adică poate fi înlocuită cu orice altă
literă).
Reținem că integrabilitatea este o proprietate globală, spre deosebire de deriva-
bilitate care este locală; nu există funcții integrabile într-un anume punct. Reamintim
totodată că orice funcție monotonă sau continuă pe porțiuni pe intervalul [ a, b] este
integrabilă. În acest caz, se poate considera o diviziune echidistantă:
a = xo < x1 <… < xk <… < xn = b, unde xk = a + bakn−, 0 ≤ k ≤ n
și atunci 1
0 () d l i m ( )b n
nk k abafx x fxn−
→∞ =−=⋅ ∑ ∫.

66În particular, 1
011 1( )d (0) …nfx x f f fnn n⎡⎤ − ⎛⎞ ⎛ ⎞≅+ + + ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎢⎥⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎣⎦∫ pentru n 1.
Calculatoarele personale și pachetele de programe MAPPLE, MATLAB sau
MATHEMATICA au făcut desuete calculele de primitive „subtile” și calculele aproximative ale integralelor defi nite. Dar nu trebuie să uităm proprietățile de bază ale
integralelor defi nite: liniaritatea, monotonia, aditivitatea, formula de medie („Dacă
f : [a, b] → R este continuă, atunci există cel puțin un punct c ∈ (a, b) astfel încât

() d ( ) ( )b
afx x b a fc =−⋅ ∫”), teorema lui Barrow („Dacă f : [a, b] → R este continuă,
atunci funcția F : [a, b] → R, F (x) =
() dx
aft t∫ este derivabilă și F ʹ= f; în particular,
orice funcție continuă are primitivă”); nu în ultimul rând, faimoasa formulă Leibniz – Newton („Dacă f : [a, b] → R este integrabilă Riemann și dacă F este o primitivă a
lui f, atunci
() db
afx x = ∫= F(b) − F(a)”).
Așa cum am mai spus, în ultimii 80 de ani s-a dezvoltat o disciplină matematică
nouă – Analiza funcțională , care are rădăcini adânci în Analiza matematică reală
sau complexă. Principalul scop al acestei discipline îl constituie studiul operatorilor și funcționalelor pe spații de funcții. Printr-o convenție tacită, operatorii „duc” funcții în funcții, iar funcționalele asociază unor funcții – numere.
Fie J = [a, b] un interval compact, C
o = mulțimea funcțiilor continue
f : [a, b] → R și Cn = mulțimea (clasa) funcțiilor f : [a, b] → R de n ori derivabile, cu
toate derivatele f ʹ, f ʹʹ, … , f (n) continue pe intervalul J.
Derivarea este operatorul D : C 1 → Co, f x f ʹ, iar luarea integralei este funcționala
I : Co → R, f x
() db
afx x∫. A fost o mare surpriză constatarea că operatorul de derivare
nu este continuu: într-adevăr, luând J = 0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ și șirul de funcții fn(x) = 1sinnx
n,
n ≥ 1, acesta converge uniform către 0 pe J, căci || fn || = supx∈J | fn (x)| = 1
n și limn → ∞ || fn || = 0;
dar șirul derivatelor () s i nnfx n n x′= nu este convergent. În schimb, luarea integralei
defi nite este o funcțională continuă: într-adevăr, dacă fn → f uniform pe J, atunci
() 22
0 0( ) () () ()d () () d2nn n nIf If f x fx x f x fx x f fπππ−= − ≤ − ≤ ⋅ − ∫∫, pentru orice
x. Așadar, I (fn) → I (f).
Din cele spuse, rezultă următoarea consecință practică: dacă avem două funcții
f, g : [a, b] → R de clasă C1 și dacă f ≅ g, nu rezultă f ʹ ≅ g ʹ, dar
() d () dbb
aafx x gx x ≅ ∫∫.
Acesta este un argument ca, în condițiile u tilizării calculatoarelor moderne, ecuațiile
integrale să fi e preferabile celor diferențiale.

673.6. Câteva aplicații ale integralelor
Fizicienii și inginerii au folosit mult princ ipiul că „integralele descriu măr imi
aditive de domeniu”; în esență, o astfel de mărime m (D), depinzând de o mulțime
„măsurabilă” D are proprietatea defi nitorie că dacă D = D1 ∪ D2 și intersecția D1 ∩ D2
este neglijabilă, atunci m( D) = m( D1) + m( D2). De exemplu, ariile, volumele, lungimile,
dar și lucrul mecanic, debitele, fl uxurile sunt aditive de domeniu și se exprimă prin
integrale; dar temperaturile sau densitățile, nu.
Acest fapt a fost stabilit și statuat în Teoria măsurii prin teorema Radon – Nikodym,
dar nu intrăm în detalii. În continuare, dăm mai multe aplicații semnifi cative ale
integralelor.
1) Folosind faptul că domeniile infi nitezimale sunt omogene, arcele
infi nitezimale de curbe sunt asimilate cu segmente de dreaptă sau că
integralele sunt sume globalizate de infi nitezimale, se justifi că următoarele
formule:
Fie f : [a, b] → R o funcție continuă pozitivă și D = {(x, y) ∈ R2|x∈[a, b],
0 ≤ y ≤ f(x)}. Se pot considera „fâșii infi nitezimale” de înălțime f (x) și bază
dx și atunci aria D = suma ariilor hașurate =
() d () db
afx x fx x = ∑ ∫.
Dacă rotim fi gura 3.8 în jurul axei Ox, atunci volumul de rotație este
V = suma volumelor cilindrilor = 22
() d () db
afx x fx xπ= π∑ ∫.
Apoi din fi gura 3.9, rezultă d s = 21( ) dfx x′+ pentru elementul de arc deci
lungimea arcului întărit este L = 2
d1 ( ) db
asf x x ′ =+∑ ∫. Desigur, aceste
„demonstrații” nu sunt acceptate în manualele moderne de Analiză, dar au
farmecul lor și au totodată forța argumentului de tip „voilà” , pe care mulți dascăli l-au pierdut, adeseori odată cu auditoriul.

ODy = f (x)
ab dxxy
FIGURA 3.8.
Aria subgrafi cului Dy = f (x)
f ′(x)dx
ab dxOy
x
FIGURA 3.9.
Lungimea unui arc de curbă.
2) Presupunem un mobil pe o axă Ox de versor iG
și o forță constantă FF i=GG

(F > 0). Lucrul forței F asupra mobilului deplasat pe un drum de lungime
d este produsul L = F.d . Ce se întâmplă dacă forța este variabilă? Atunci

68se reface raționamentul de tipul Arhimede, divizând intervalul [ a, b] (pe
care se afl ă mobilul) în subintervale „infi nitezimale” și aplicând principiul
că lucrul este aditiv de domeniu, iar pe intervale infi nitezimale, F se poate
considera constantă. Bineînțeles, aceasta conduce la sumele de tip Riemann
și se defi nește lucrul L =
() db
aFx x∫, măsurat în Jouli. Dacă m este masa
mobilului (presupusă constantă) și v (x) este viteza lui în punctul curent,
atunci conform legii a II-a a lui Newton, F (x) = m · v ʹ(x), deci
L = 2
()() d2b
b
aamv xmv x x′ = ∫. Notând E = 2
2mv (energia cinetică a mobilului,
ca funcție de stare), rezultă L = E (b) – E (a); așadar, lucrul este egal cu
variația energiei cinetice.
3) Să considerăm o bară de cupru, suspendată la capătul
superior A (fi gura 3.10).
Se pune întrebarea: care este alungirea barei sub acțiunea propriei greutăți? Ne amintim legea lui Hooke: deformația δ este proporțională cu forța F
aplicată și cu lungimea ℓ a barei și invers proporțională
cu aria S a secțiunii; mai precis,
δ =
1
E · F · ℓ
S, unde E este o constantă de material
(modulul lui Y oung). Însă această formulă este valabilă
doar pentru lungimi mici. În cazul unei lungimi L
mari, forța F va fi diferită pe diverse porțiuni ale barei:
în punctul A, ea este egală cu greutatea întregii bare, iar în punctul B de
jos, este nulă. Din nou, aplicăm ide ea lui Arhimede: descompunem bara în
porțiuni de lungime Δh și atunci
F = mg = ρVg = ρShg (ρ fi ind densitatea cuprului și m – masa porțiunii de
înălțime h). Așadar, aplicând legea lui Hooke, alungirea pentru porțiunea de
lungime Δh este 1()Shg h ghh hES Eρ⋅ Δρδ= ⋅ = ⋅ Δ .
Alungirea totală va fi 2
0 0() d d2LL gghh h h LEEρρδ= = ⋅∫∫.
4) Dăm un ultim exemplu, unul clasic; [5].
Să considerăm o coloană paralel ipipedică verticală
de aer, cu secțiunea S (fi gura 3.11). Dacă ρ (h) este
densitatea aerului, masa de aer dintr-un strat de înălțime infi nitezimală d h va fi ρS.dh, iar masa întregii coloane
(de la suprafața Pământului până la înălțimea h) va fi

0 0d ( ) dhhShS h hρ⋅ = ρ∫∫. Masa de aer de deasupra înălțimii
h va fi M =
d ( ) dH
hhSh S h h∞ρ= ρ∫∫ (cu H „mare”). dh
FIGURA 3.11.
Coloană de aer.A.
.
BhΔh L
FIGURA 3.10.
Alungirea unei bile.

69Presiunea atmosferică la înălțimea h este
P(h) =
() dH
hMggh hS=⋅ ρ∫. Conform formulei lui Barrow, P ʹ(h) = − ρg.
Conform legii lui Boyle – Mariotte (admițând că temperatura este constantă),
densitatea ρ este proporțională cu presiunea P (h), adică ρ = b · P.
Rezultă Pʹ(h) = − b · g · P(h), de unde prin integrare, P(h) = P(0) · e−bgh
(cu b > 0 constantă), aceasta se numește formula barometrică .
Densitatea aerului (pentru h = 0) este 1,3 kg/m3 și presiunea atmosferică este
105 N/m2 deci bg ≅ 1,3 × 10 – 5 × 9,8 = 1,27.10 – 4.
O înălțime caracteristică este acea valoare a lui h pentru care P(h) = (0)P
e
deci bgh = 1, de unde h = 4107,81, 27≅ km; așadar, presiunea atmosferică
scade de circa trei ori la înălțimea de 8 km deasupra mării.

3.7. Extinderi ale integralelor Riemann simple
În ultimul timp, Calculul diferențial și integral a fost extins la distribuții (obiecte
matematice care descriu impulsuri, salturi bruște, ciocniri etc.) sau la obiecte cuantice. Dar nu vom urmări această linie.
a) Integrale simple improprii
Amintim pe scurt că integralele improprii sunt cele în care intervalul de integrare
este necompact. De exemplu,

() d l i m () db
baafx x fx x∞
→∞ = ∫∫
sau
→
<= ∫∫
[,) [,]() d l i m () db
cbab accbfx x fx x
(integrale considerate convergente dacă aceste limite există și sunt fi nite).
EXEMPLE:

22 1 1 1dd 1 lim limb
b
bbxx
x xx∞
→∞ →∞⎛⎞== − ⎜⎟⎝⎠ ∫∫=1; 3
3 1 13dd lim
33c
c
cxx
xx→
<==
−−∫∫
1
2
3
3lim 2(3 ) 2 2 2 2ccc→<⎡⎤=− − + = ⎣⎦ .
b) Integrale duble, multiple, curbilinii, de
suprafață
O submulțime de forma D = {x ∈ [a, b] | f(x) ≤ y ≤ g(x)}
cu f, g continue se numește intergrafic
2-dimensional (fi g. 3.12).
FIGURA 3.12.
Intergrafi c proiectabil pe OxOy = g (x)
y = f (x)
a bxy
D

70Dacă F (x, y) este o funcție continuă pe o mulțime deschisă care conține D, atunci
se defi nește integrala dublă
()
()(, ) dd d dbg x
Da f xFxy xy x y = ∫∫ ∫ ∫,
ca o succesiune de integrale simple. Mulțimile mai generale se descompun ca reuniuni
de integrafi ce.
În mod similar, se defi nesc integrale triple sau multiple (pe mulțimi convenabile
Ω ⊂ Rn, n ≥ 3). Se regăsesc proprietățile uzuale ale integralelor – liniaritate, aditivitate,
monotonie, de medie etc. și se dau procedee de calcul exact sau aproximativ al integralelor respective. În esență, dacă mulțimea Ω e s t e „ u m p l u t ă ” c u c u b u r i
n-dimensionale mici și multe și dacă imaginăm o substanță în Ω, cu densitatea
continuă F(x), x = (x
1, … , xn), atunci, folosind modelul sumelor Riemann, se poate
defi ni integrala n-tuplă ∫Ω F(x)dx, reprezentând masa de substanță în Ω. Defi niția
riguroasă nu este ușoară, deoarece trebuie rezolvate problemele la frontiera lui Ω și
trebuie precizate condițiile coerenței construcției.
Se mai defi nesc integralele curbilinii , unde domeniul de integrare este o traiectorie
și integralele de suprafață , unde domeniul este o pânză de suprafață; în ambele cazuri,
integranzii sunt anumite forme diferențiale. Integralele curbilinii extind conceptul de circulație a unui câmp de vectori și în particular pe cel de lucru al unor forțe; iar debitele sau fl uxurile unor câmpuri de vectori se exprimă prin integrale de suprafață.
Un rol deosebit îl joacă formulele stokiene, ca re leagă aceste tipuri de integrale, al căror
calcul se reduce în ultimă instanță la calculul unor integrale defi nite (ca în liceu).
c)Integrala Lebesgue
La baza defi nirii integralei Riemann a unei funcții f : [a, b] → R se afl ă divizarea
intervalului de defi niție, aplicând ideea lui Arhimede. Profesorul francez H. Lebesgue
a considerat divizarea imaginii lui f (adică a proiecției grafi cului lui f pe Oy).
Dacă m și M sunt marginile funcției f pe [ a, b], el a considerat o diviziune
m = y
o < y1 <… < yk < yk+1 <… < yn = M.
Pentru 0 ≤ k ≤ n – 1, notăm Ek = {x ∈ [a, b] | yk ≤ f(x) < yk + 1}. Această mulțime
nu este în mod necesar un interval, dar are o măsură μ(Ek); de exemplu, Ek ar putea
fi o reuniune de intervale disjuncte și măsura ei este suma lungimilor intervalelor
respective.
Se spune că funcția f este integrabilă Lebesgue dacă pentru orice puncte
intermediare vk ∈ [yk, yk+1), suma 1
0()n
kk kvE−
=μ ∑ are o limită fi nită, când norma
diviziunii tinde spre zero. Această limită se numește integrala Lebesgue a lui f și se
notează (L)
() db
afx x∫.
NOTĂ. Pentru a lămuri această cabalis tică notațională, să presupunem
că f(t) reprezintă intensitatea curentului într-un circuit electric, la
momentul t ∈ [a, b]. Atunci Ek este mulțimea momentelor când
intensitatea are valorile cuprinse între yk și yk+1. Suma 1
0()n
kk kvE−
=μ ∑
și integrala (L)
() db
afx x∫ capătă atunci un sens fi zic deplin! Pentru a

71sublinia deosebirea între integralele Riemann și Lebesgue, considerăm
următorul exemplu ușor forțat: să presupunem că fi ecare persoană
x dintr-un colectiv C are venitul lunar f (x). Pentru a calcula venitul
lunar total V al acelui colectiv, Riemann adună veniturile om cu om:
V = ()xCfx∈∑ , în timp ce Lebesgue fi xează mai multe nivele de venit
No, N1,.., Nn – 1 (acoperind toată plaja de valori) și atunci V = 1
0n
k kV−
=∑ ,
unde Vk este venitul însumat al persoanelor cu venitul afl at în nivelul Nk.
Câteva proprietăți ale integrabilității Lebesgue
1) Orice funcție f : [a, b] → R integrabilă Riemann este și integrabilă Lebesgue
și
(L)
() db
afx x∫ = (R)
() db
afx x∫.
2) Există funcții integrabile Lebesgue, dar nu și Riemann; un exemplu îl
constituie funcția lui Dirichlet f : [a, b] → R, f (x) = 1 dacă x ∈ Q și f (x) = 0
dacă x ∈ R \ Q.
3) Dacă I este un interval, se notează
{}1
L: ( ) dIIfI f x x=→ < ∞ ∫R și {}22
L: ( ) dIIfI f x x=→ < ∞ ∫R .
Spațiul 1LI este un spațiu Banach (adică un spațiu vectorial normat relativ
la norma || f ||1 = ∫I | f(x)|dx și orice șir Cauchy este convergent); 2LI este un
spațiu Hilbert (relativ la produsul scalar 〈f, g〉 = ∫I f(x) · g(x)dx.
Dacă I este un interval mărginit, 10 2 1CC C L LII I I I∞⊂⊂⊂ ⊂ .
4) Teorema lui Lebesgue de convergență dominată . Dacă f n: I → R, fn ≥ 0, șirul fn
este punctual convergent către o funcție f și în plus, | f | ≤ g, cu g ∈ 1LI, atunci
f ∈ 1LI și fn → f în normă, pentru n → ∞.
Integrabilitatea Lebesgue se extinde la integrale multiple și ea nu cere o teorie
separată pentru integrale improprii. Conceptul de integrabilitate a constituit o
preocupare constantă a matematicienilor în secolele 19 și 20, atingând acum o maximă maturitate.
BIBLIOGRAFIE
1. L. Garding – Encounter with mathematics , Springer Verlag, 1977;
2. S. Marcus – Noțiuni de analiză matematică, Ed. Științifi că, 1967;
3. O. Stănășilă – I. Analiză liniară și Geometrie , Ed. All, 2000; II.Matematici speciale, Ed. All,
2001;
4. Ian Stewart – 17 ecuații care au schimbat lumea , Paralela 45, 2012.
5. Ia. B. Zeldovici, I. M. Iaglom – Matematici superioare pentru fizicieni și ingineri (l. rusă), Ed.
Nauka, 1982.

72• Algebra a devenit o geometrie scrisă
în simboluri, iar geometria – o algebră încarnată în fi guri
SOPHIE GERMAIN
• Figure and number, like angel and
devil, fi ght for the soul of every
geometer
S.S. CHERN

4. PRIMA MARE UNIFICARE INTERNĂ A MATEMATICII:
ALGEBRA ↔ GEOMETRIA
În dezvoltarea ei, Matematica și-a extins obiectele de studiu și câmpul de
concepte, creând totodată disponibilități de descriere a celor mai diverse porțiuni ale realității, începând cu „matematica de piață” , cu măsurătorile de distanțe, arii, volume, durate sau cu studiul mișcării mecanice. Până la 1600, cele mai importante domenii ale matematicii le constituiau Algebra clasică (privită ca manipulare de simboluri) și Geometria euclidiană elementară, care s-au dezvoltat independent. Descartes (Cartesius, pe numele lui latinizat) a inițiat dicționarul său geometrico–algebric 2D (bidimensional) și cel 3D (tridimensional), pe care le vom prezenta pe scurt, consfi ințind unifi carea dintre Geometrie și Algebră într-o simbioză, de mare
importanță și frumusețe, a obiectelor geometrice și algebrice, totodată stimulând
intuiția (cenzurată de raționament) și deschizând abordările multidimensionale,
de care benefi ciază de acum și fi zicienii, inginerii sau economiștii. După anul 1800,
s-a dezvoltat Algebra modernă abstractă ( ≡ studiul structurilor algebrice), în pas cu
Geometria superioară.
4.1. Cazurile 1D, 2D, 3D
În esență, Algebra și Geometria au fost unifi cate prin conceptul de sistem de
coordonate (sau echivalent, reper ), care permite conversia obiectelor geometrice în
numere și invers.
Cazul 1D
Se fi xează o dreaptă d și un reper {, e }OG
format dintr-o origine și un versor (fi g. 4.1); în
acest mod, dreapta devine axă. Altfel spus, se
fi xează în mod convențional 0, 1, ∞ pe acea axă.
Oricărui punct M ∈ d, i se asociază abscisa x a lui M pe axă, adică acel x ∈ R astfel te
O Md
FIGURA 4.1.Reper 1 – dimensional.

73încât e OM x=JJJJGG. Abscisa depinde evident de alegerea reperului. Dacă N este un alt
punct pe d, de abscisă y, atunci e ON y=JJJG G deci vectorul () e MN ON OM y x =− = −JJJJ G JJJG JJJJ G G,
iar distanța d( M, N) dinte punctele M și N este mărimea vectorului MNJJJJ G
, adică
d(M, N) = yx−. Mărimea unui vector eλG este desigur λ.
Iată un prim dicționar geometrico–algebric al lui Descartes:
Geometrie Algebră
· Punct M pe axa înzestrată cu reperul {, e }xG· Numărul real xM astfel încât eM OM x=JJJJG G
· Distanța dintre punctele M, N · Numărul real pozitiv MNxx−
· Segmentul [ MN] · Mulțimea {(1 – t )xM + txN / t ∈ [0, 1]}
· Mijlocul segmentului [ MN] · 1()2MNxx+
Cazul 2D
Se fi xează un plan π și un reper ortonormal
{, i , j }OGG
, notat xOy, format dintr-un punct origine
și doi versori perpendiculari i,jGG
, de lungime 1
(fi gura 4.2). Reamintim că unui unghi de vârf
A, format de semidreptele Ax, Ay, i se asociază
măsura măs α modulo 2 π, care este un element
din mulțimea – cât R/2πZ.
În tabelul următor [5], indicăm o corespon-
dență între obiectele geometrice și obiectele alge-brice asociate:
Geometrie Algebră
• Punct M ∈ π • Perechea ordonată ( a, b) ∈ R2 a
coordonatelor lui M astfel încât ij OM a b=+JJJJGGG
• Planul π și o fi gură geometrică F în plan • R2; F ⊂ π
• Dreapta D situată în π • Ecuația asociată, de gradul întâi, de forma
ax+by+c = 0, cu a, b, c ∈ R și a2+b2 ≠ 0
• Punct M ∈ D • Perechea ( u, v)∈ R2 astfel încât au+bv+ c = 0
• Grafi cul unei funcții reale f : A → R • Ecuația y = f (x) a grafi cului, x ∈ A
• Direcție în plan cu panta α • Element din R/2πZ, adică un set de numere
de forma α + 2kπ cu α ∈[0, 2π) și k∈Z
• Direcția de versor uG și cu panta
α = măs( i,uGG)• Coefi cientul unghiular m = tg α (α ≠2π )
• Segment [ A, B] de capete A (a, b) și B (c, d)• Mulțimea punctelor (1 – t)A+tB din R2 cu
t ∈ [0,1]
• Vectorul OAJJJG
; A (a, b) • Expresia analitică ijab+GG titj
O(π)
xy
D
Figura 4.2. Reper 2D.

74• Vectorul AB OB OA=−JJJGJ J JG JJJG
• (c – a)iG
+ (d – b )jG

• Lungimea segmentului [ AB] și totodată
mărimea vectorului ABJJJG• ()1
22 2 () ()ca db−+ −
• Cerc cu centrul C (a, b) și rază R, R > 0• Ecuația 22 2() ()xa yb R−+ −=
• Cerc situat în planul π • Ecuație de forma x2 + y2 + mx + ny + p = 0
cu m2 + n2 – 4p > 0
• Discul unitate deschis • Inecuația x2 + y2 < 1
• Discul unitate închis • Inecuația x2 + y2 ≤ 1
• Curbă situată în planul π, dată cartezian • Ecuație de forma f (x, y) = 0
• Curbă dată parametric • Ecuații parametrice x = x (t), y = y (t), cu
t ∈ [t1, t2]
• Curbă în coordonate polare ρ, θ • Ecuație de forma ρ = f (θ)
• Conică situată în planul π • Ecuație de forma f (x, y) = 0, cu f polinom de
gradul al doilea
• Regiune plană • Inecuație (sau inecuații) în variabilele x, y etc.
Cazul 3D
Considerăm acum în spațiul fi zic S un reper ortonormal Oxyz de versori i, j, kGGG

și fi xăm o orientare astfel încât kij=×GGG
.
• Punct M ∈ S • Triplet de numere reale ( a, b, c) astfel încât
ij k OM a b c=++JJJJG G GG
• Plan π ⊂ S și un vector NG normal la planul
π• Ecuație de gradul întâi de forma
Ax + By + Cz + D = 0 cu A2 + B2 + C2 ≠ 0;
ij k NA B C=+ +JJG G GG
• Direcție de parametri directori l, m, n • Vector nenul ij k vl m n=+ +G G GG
• Dreapta D în spațiu trecând prin
punctul Mo(xo, yo, zo), paralelă cu vG,
0 {}DM S M M v=∈G&• Ecuații 00 0 xx yy zz
lm n−−−==
• Sfera unitate • Ecuația x2+y2+z2 = 1
• Bila deschisă unitate • Inecuația x2+y2+z2 < 1
• Suprafață dată cartezian în S • Ecuație de forma F (x, y, z) = 0, cu F funcție
de clasă C1
• Curbă în spațiul S • Intersecție a două suprafețe etc.

754.2. Elemente de geometrie n-dimensională
În cazurile 1D, 2D, 3D, descrierea este directă. Extinderea multidimensională
este necesară, nu de dragul generalizărilor. În 1.2 am prezentat pe scurt „conul
luminii” în spațio-timpul 4 – dimensional, dar există o fascinație a obiectelor situate
în spații Rn (n ≥ 4), care îi atrag nu numai pe matematicieni.
În R2 există o infi nitate de tipuri de poligoane regulate, dar în R3 există doar 5
tipuri de poliedre convexe regulate – corpurile platonice. În spațiul Rn cu n ≥ 4, se
numește politop convex n – dimensional orice mulțime mărginită care este intersecția
unui număr fi nit de semispații (defi nite prin inecuații de gradul întâi în n variabile).
Se poate arăta că în R4 există 6 tipuri de politopi regulari, iar în Rn (n ≥ 5) există doar
trei tipuri de politopi regulari; anume,
hipercubul [0, 1]n = {} 1( ,…, ) 0 1 pentru 1n
nk xx x x k n=∈ ≤ ≤ ≤ ≤ R ;
cocubul
1 1n
n
k
kxx
=⎧⎫∈≤⎨⎬
⎩⎭∑ R și simplexul
1 1 0n
n
kk
kxx x
=⎧⎫∈= ≥⎨⎬
⎩⎭∑ R și toți .
În R3 cubul are 6 fețe și 12 muchii; cocubul în R3 este octaedrul, iar simplexul
este tetraedrul. Desigur, fi gurile geometrice pentru n ≥ 3 nu pot fi desenate direct pe
o hârtie.
Un hipercub n – dimensional regulat K = [0, a]n are 2n vărfuri, n. 2n muchii de
lungime a (a > 0) și 2 n fețe ( n – 1)-dimensionale, deci aria totală va fi 2n . a n – 1 și
volumul an.
Hipersfera n-dimensională centrată în origine, de rază r (r > 0) este mulțimea
Sn = {}12 2
11 1 1( ,…, , ) …n
nn n xx x x x r+
++∈+ + =R . De exemplu, S1 = 222{}xyr+= este
un cerc din R2. Notând 2
12n
ncnπ=
⎛⎞Γ+⎜⎟⎝⎠, se poate arăta că aria sferei Sn este egală cu
(n+1) . cn + 1 . rn și volumul este cn + 1 . rn+ 1 (c1 = 2, c2 = π, c3 = 4π
3, c4 = π2
3, etc).
EXEMPLE1) Fie un pătrat de latură 4 în R
2, cu centrul în
originea O și cele 4 cercuri cu centrele în
vârfurile pătratului și rază 1 (fi gura 4.3).
Se arată ușor că cercul cu centrul în O și tangent
exterior la cele 4 cercuri are raza 21−. În mod
similar, considerând în R3 un cub cu latura 4 și
cele 8 sfere de rază 1 cu centrele în vârfuri, sfera cu centrul în O, tangentă exterior la cele 8 sfere
are raza
31−. În Rn (n ≥ 4), considerând un
hipercub n – dimensional de latură 4 cu centrul
în O și sferele de rază 1 cu centrele în cele 2n
vârfuri, sfera cu centrul în O și tangentă la cele .⎫⎬⎭2
FIGURA 4.3.
4 cercuri de rază 1.

762n sfere are raza 1n−. Dar surpriză! Pentru n ≥ 9, avem 1n− ≥ 2, cu alte
cuvinte această sferă „mică” are puncte exterioare hipercubului!
2) O altă surpriză se referă la sferele concentrice din Rn. Considerăm două sfere
centrate în origine, de raze r, R (r < R) și fi e v, V volumele lor.
Atunci 1 11
11
1
11n nn
nn
n
ncR cr Vv r
VR cR+ ++
++
+
+− − ⎛⎞== − ⎜⎟⎝⎠. La limită ( n → ∞), rezultă
că V – v ≅ V. De exemplu, în spațiul R30, dacă R = 10,5 și r = 10, rezultă
311010 , 7 810,5Vv
V− ⎛⎞=− ≅ ⎜⎟⎝⎠. Acest fapt confi rmă că volumul unui „solid
multidimensional” tinde să fi e concentrat spre frontieră și fără a părea o
speculație, motivează de ce transferul termic dintre corpuri se realizează prin frontierele lor, iar sarcinile electrice se concentrează la suprafața conductorilor; [3].
3) O întrebare veche este următoarea: De ce spațiul nostru fi zic este
3-dimensional? Un argument este cel la fel de vechi, anume evocând cele
trei dimensiuni – lungime, lățime, înălțime. Dar mai există un răspuns:
translațiile în R
n depind de n parametri, iar rotațiile depind de (1 )
2nn−
parametri și doar în cazul n = 3 avem (1 )
2nnn−=. De asemenea, în Rn
câmpul electric are n componente, iar câmpul magnetic are (1 )
2nn−
componente, iar numărul componentelor respective este același doar pentru n = 3. Probabil, răspunsul la întrebarea pusă nu vine de la Geometrie.
În spațiul R
n cu n ≥ 4, rolul preponderent revine Algebrei, iar interpretările
geometrice reprezintă un fel de realitate virtuală („ochiul minții”), în lipsa oricărei posibilități de vizualizare a fi gurilor n – dimensionale. Ca atare, dicționarul lui
Descartes își inversează acum coloanele:
Algebră Geometrie
• Sistem ordonat de n numere reale
x = (x1,…, xn)• Punct (sau vector) din Rn
• Ecuație de gradul întâi de forma
10n
kk kAx== ∑ , cu 2
10n
k kA=≠ ∑• Hiperplan în Rn, trecând prin origine
• Intersecția a n – 1 hiperplane
11
1…nn
nxa xaxvv⎧⎫ − − ⎪⎪== ⎨⎬⎪⎪⎩⎭• Hiperdreaptă trecând prin punctul
A (a1, …, an), având vectorul director nenul
(v1,…, vn)
• Ecuație de forma f (x1,…, xn) = 0 • Hipersuprafață
• Sistem de k ecuații în n variabile
f1(x1,…, xn) = 0,…, fk(x1,…, xn) = 0 • Varietate de dimensiune n – k

77• Inecuații în x1,…, xn • Regiuni din Rn
• Spații vectoriale și aplicații liniare • Transfer de informație liniară
• Forme pătratice • Hipercuadrice
• Câmpuri de vectori, câmpuri de tensori etc. • Geometrie diferențială etc.
NOTĂ . Un argument ingineresc important pentru Geometria n-dimensională
l-a oferit Gibbs atunci când a introdus conceptele de parametri de stare, vector de stare, funcție de stare, ecuație de stare etc. Gibbs a răsturnat concepția newtoniană, conform căreia dinamica sistemelor mecanice oferă doar ecuații diferențiale relativ la poziții, viteze și accelerații; dacă acestea mergeau în Astronomie, nu se potriveau și în Balistică sau la dinamica rachetelor, unde apar și alți parametri (de exemplu, masa proiectilului, condițiile atmosferice etc.), iar în cazul unui giroscop, sunt necesare 6 coordonate pentru poziție și alte 6 pentru momente (deci 12 parametri) și în locul ecuațiilor diferențiale, apar ecuații integrale.
Dacă Σ este un sistem dinamic, care evoluează într-un interval de timp I și dacă
la fi ecare moment t, comportarea lui Σ este descrisă de un set de parametri de stare
x
1(t),…,xn(t), atunci setul x (t) = ( x1(t),…, xn(t)) din Rn se numește vectorul de stare al
sistemului Σ la momentul t. Mulțimea C = {x(t)| t ∈ I} este o submulțime din Rn și
este numită curbă de evoluție . În 1.2 am ilustrat aceste concepte pe exemplul unui
corp fi zic K (gaz, lichid etc.) având ca parametri de stare volumul V (t) și temperatura
T (t). Același corp poate fi înghețat, topit, vaporizat etc. și de aceea este importantă
precizarea domeniului constitutiv D; curba de evoluție este un proces π : I → D,
π (t) = ( V (t), T (t)). Dacă I = [a, b] și π (a) = π (b), această curbă este închisă și
se numește ciclu termic . Dreptele T = T0 (cu T0 constant) se numesc izoterme .
Adiabatele sunt procese în lungul cărora nu se realizează nici un schimb de căldură
cu exteriorul. Celebrul ciclu Carnot este un ciclu termic constituit din două arce de izoterme alternând cu două arce de adiabate. Vom reveni (în 12.3 și 12.8 ) asupra
acestor considerații.
Așadar, există o legătură intimă între noțiuni matematice (funcții, coordonate,
spații R
n, curbe închise etc.) și entități fi zice (stări, procese, cicli), ca două expresii ale
aceleiași realități conceptuale.

4.3. Cele trei probleme antice și curbe „rezolvante” ale lor
Platon considera că linia dreaptă și cercul sunt prototipul fi gurilor geometrice
perfecte și recomanda construcțiile cu rigla (negradată) și compasul. Ne amintim de construcția mijlocului unui segment, a mediatoarei unui segment, a bisectoarei unui unghi, al 4-lea proporțional a trei segmente date etc. Gauss i-a uimit pe contemporani atunci când a arătat că poligonul convex regulat cu 17 laturi poate fi construit cu rigla
și compasul.

78În orice manual de Geometrie elementară sunt enunțate următoarele trei
probleme (numite antice, fără nimic peiorativ):
– cuadratura cercului (construirea cu rigla și compasul a laturii unui pătrat
care are aceeași arie cu aria unui cerc dat);
– duplicarea cubului (construirea cu rigla și compasul a laturii unui cub care
are volumul dublu decât volumul unui cub dat);
– trisecțiunea unghiului (construirea unei trisectoare…).
După ce Algebra a făcut progrese mari, s-a demonstrat că răspunsul este defi nitiv
negativ, dar de peste 2000 de ani se găsesc încă diverși „războinici ai întunericului” , care propun soluții, respinse apriori. Aceste probleme au totuși meritul că au declanșat căutări (fi e ele și deșarte!), ca și construcții care s-au dovedit un progres
pentru cunoaștere.
În acest subparagraf, arătăm modul cum câteva curbe plane remarcabile (care
nu se pot construi cu rigla și compasul!) pot fi utilizate la „rezolvarea” aproximativă
a celor trei probleme menționate. Folosim acest pretext pentru a ilustra legătura între Algebră și Geometrie.
1. Cuadratura cercului
Fie un semicerc de diametru AB = 2a (a > 0)
și O mijlocul segmentului [ AB]. Presupunem
că segmentul [ OB] se rotește uniform în jurul
punctului O, în planul semicercului, cu viteza
unghiulară
2Tπω= (T > 0 constant). Verticala în
B se deplasează tot uniform spre O, de la B spre A,
cu viteza avT=.
Locul geometric al punctului M (de intersecție a razei rotite cu acea verticală
mobilă) este numit cuadratricea lui Dinostrate (fi g. 4.4).
La momentul t = 0, M coincide cu B și la momentul t (cu 0 ≤ t < T), avem
BN = vt . Așadar, abscisa x a lui M este
x = ON = OB – BN = a –atT,
iar ordonata y a lui M este
y = MN = ON . tg (nNOM ) = ON . tg ωt.
Deci ecuațiile parametrice ale arcului BZ al
cuadratricei sunt:
x = a (1 – t
T); y = a (1 – t
T) . tg 2t
Tπ⎛⎞⎜⎟⎝⎠, cu 0 ≤ t < T.
Eliminând parametrul t, se obține ecuația carteziană
a acestei curbe „rezolvante” anume y = x. ctg
2x
aπ (pentru
x ∈ (0, a]). Alura acestei curbe este indicată în fi gura OZ
NA Bx. My
FIGURA 4.4. Cuadratricea lui
Dinostrate.
Ox
FIGURA 4.5. Curba
„rezolvantă” .

794.5. Evident, (0, ] 02max lim ctg2xa xxayxa∈→π=⋅ =π. Acest segment OZ =2a
π poate fi
„construit” mecanic (dar nu cu rigla și compasul!).
Iată cum poate fi folosit la „rezolvarea” problemei cuadraturii cercului: Să
considerăm un cerc (de rază a > 0); trebuie „construit” un segment de lungime b, astfel
încât πa2 = b2. Notând cu  lungimea cercului, avem
= 2π a și . OZ = 2π a . 2a
π = 4a2 adică 2
2OZ a
a=.
Atunci se construiește (cu rigla și compasul!)segmentul  ca al 4 – lea proporțional și apoi
b =
2a⋅, tot cu rigla și compasul, ca în semicercul
din fi gura 4.6. Segmentul OZ nu a fost construit cu
rigla și compasul, dar segmentul b, da!
2.Duplicarea cubului
Fie un semicerc de diametru OA = a. O
semidreaptă cu capătul în O reintersectează
semicercul în P și tangenta din A, în Q. Locul
geometric al acelui punct M, situat pe această
semidreaptă astfel încât OM = PQ este o curbă
algebrică, numită cisoida lui Diocles (fi g. 4.7).
Alegem OA ca axă Ox și tangenta în O ca axă Oy.
Avem
OM = OQ – OP = 2sincoscos cosaaa⋅θ−θ =θθ.
Dacă x, y sunt coordonatele lui M, rezultă 22OM x y=+ , sin θ = 22y
xy+ și
cos θ =
22x
xy+ deci 22 2
22
22xy yxyax xy++= ⋅ ⋅+,
adică x(x2 + y2) = ay2. Se obține astfel o curbă algebrică de
gradul al treilea Γ, grafi c al funcției xxy xax=− .
Presupunem deja construită cisoida Γ (dar nu cu rigla
și compasul, deoarece nu se poate); indicăm modul cum cisoida permite „rezolvarea” problemei dublării cubului,
care revine la a construi un segment de lungime
32a ,
pornind de la un segment de lungime a. Alura lui Γ este
dată în fi gura 4.8. Dreapta x = a este asimptotă verticală. FIGURA 4.8. Cisoida lui
Diocles.FIGURA 4.6. Construirea unui
segment b astfel încât πa2 = b2. .
lb

a
2
FIGURA 4.7. Locul lui M
astfel încât OM = PQ . Oθ
xy
MPQ
ODΓ
A(a, 0)B(0, 2 a)y
x

80Considerăm punctele A (a, 0) și B (0, 2 a). Dreapta AB are ecuația y = 2(a – x ) și
determinăm punctul C de intersecție al dreptei AB cu curba Γ: 3
2 xyax=−. Așadar,
4(a – x )2 = x3 deci ( a – x )34x= și rezultă abscisa punctului C, anume 3
34
14Cax=
+;
ordonata lui C va fi yC = 2( a – xC) =
32
14a
+. Dreapta OC intersectează verticala x = a
în punctul D și din triunghiul OAD , rezultă C
Cy AD
xa= deci AD = 32a .
3.Trisecțiunea unghiului
Fiind dat un unghi de măsură α, a
construi un unghi de măsură 3α revine la
a rezolva ecuația 4 x3 – 3x − cosα = 0, unde
x = cos3α. Se știe că acest fapt nu este
posibil pentru orice α. Putem presupune
că 0 < α <
2π. Să considerăm un cerc de
diametru OA = 2R. Pentru orice punct P
situat pe cerc, se consideră semidreapta OP și pe aceasta, de o parte și alta a lui P,
se consideră punctele M și M
1 astfel încât
PM1 = PM = ( > 0 dat). Locul geometric
al acestor puncte (adică mulțimea tuturor pozițiilor lor) se numește melcul lui Pascal ; fi gura 4.9. Așadar, OM = OP + PM = 2R
cos θ +  și OM
1 = 2R cos θ − .
Notând cu x, y coordonatele lui M (sau M1), rezultă 22OM x y=+ și
cos θ =
22x
xy+; ecuația carteziană a melcului este ( x2 + y2 – 2Rx)2 – 2 (x2 + y2) = 0,
o curbă algebrică de gradul 4.
Iată modul cum melcul lui Pascal (pentru  = R) poate fi utilizat pentru a
„rezolva” trisecțiunea unghiului: Se consideră un cerc ( C) de diametru OA = 2R și
centru C. Presupunem construit melcul corespunzător (cu  = R). Fie α (0 < α < 2π)
un unghi dat și fi e B punctul situat pe semicercul inferior astfel încât măs (nOCB ) = α.
Dreapta BC retaie melcul Γ (reuniunea celor două ramuri) în punctul M1. Unim O
cu M1 și dreapa OM1 intersectează cercul ( C) în punctul P și retaie melcul Γ în M.
Avem PM = PM1 = R. Fie x = măsn
1CM P deci măs n
1MCP = x și măs nCPM = 2x. Atunci FIGURA 4.9. MP = M1P = , OA = 2R.Oθy
M1M
AP

81măsnCOM = 2 x și din triunghiul OCM1,
rezultă că măsnOCB = 3x. Așadar, α = 3x
deci x = 3α.
NOTĂ. Există un număr
impresionant de curbe plane importante și interesante, utilizate în tehnica roboților sau în proiectarea diverselor mecanisme (rozete, spirale, cicloide și epicicloide, etc.), dar și în Matematică (la studiul suprafețelor și varietăților sau la studiul sistemelor dinamice). Cicloida a generat Calculul variațional, iar tractricea și pseudosfera asociată, au oferit modelul Beltrami de Geometrie hiperbolică. Aici ne-am restrâns la un subiect izolat, ca motiv să amintim trei dintre problemele geometrice ale Antichității, care au oferit un teren larg de cercetare, artizanală, științifi că și chiar tehnică.
4.4. Elemente de geometrie proiectivă
Geometria proiectivă este un domeniu mai special al matematicii care, deși nu
are aplicații directe, înlesnește o înțelegere mai adâncă a Geometriei Universului (în sens Penrose – Hawking). Originile Geometriei proiective se afl ă în lucrările
de perspectivă ale lui da Vinci și Dürer, sau în lucrările lui Pappus și Desargues. Obiectele Geometriei proiective moderne pot fi defi nite apelând la construcții de
natură algebrică. Am defi nit în 1.3 dreapta proiectivă P
1 = R 4 {∞} și acum construim
spații proiective de dimensiune superioară. Să considerăm tripletele de numere reale nu toate nule. Două astfel de triplete se zic echivalente (X, Y, Z) ∼ (X′,Y′,Z′) dacă
există t ≠ 0 astfel încât X′= tX, Y′= tY, Z′= tZ. Clasa de echivalență a tripletului ( X, Y,
Z) se notează cu X: Y: Z și mulțimea acestor clase formează planul proiectiv real P
2.
Clasele de forma X: Y: 0 cu X2 + Y2 ≠ 0 formează dreapta de la infi nit, notată D∞. Avem
o aplicație bijectivă
ϕ : P2 \D∞ → R2, (X: Y: Z) 6 (x, y),
unde x = ,XYyZZ= , a cărei inversă este ( x, y) 6 x : y : 1. Așadar, oricărui punct
M (x, y) din R2 i se asociază un triplet de numere reale ( X, Y, Z), nu toate nule, numite
coordonate omogene ale lui M, unice până la un factor multiplicativ nenul, astfel încât
x = ,XYyZZ= (Z ≠ 0); [5].FIGURA 4.10. Melcul lui Pascal Γ,
punctat.O
αM1
M
AΓx
C
(C)P

82EXEMPLU
Punctul ( a, b) are coordonatele omogene ( a, b, 1) sau (2 a, 2b, 2); iar punctul
cu coordonatele omogene (8, 3, 2) are coordonatele uzuale (4, 3
2).
Fie acum o dreaptă D cu ecuația carteziană Ax + By + C = 0, A2 + B2 ≠ 0. Punând
x = ,XYyZZ= , se obține ecuația omogenă AX + BY + CZ = 0 și intersecția ei cu
dreapta D∞ (Z = 0), implică AX+BY = 0. Dacă B = 0, atunci în mod necesar A ≠ 0 deci
X = 0 și D ∩ D∞ este punctul (0, Y, 0) ∼ (0, 1, 0); iar dacă B ≠ 0, atunci Y = AXB− ,
deci punctul D ∩ D∞ va avea coordonatele
omogene ( X, AXB− , 0) ∼ (1,m, 0), unde m
este tocmai coefi cientul unghiular al dreptei D.
Dreptele verticale x = k (k ∈ R) au toate
același punct la infi nit, anume (0, 1, 0) și
toate dreptele cu coefi cientul unghiular m
(desigur, paralele între ele) se întâlnesc în același punct la infi nit, anume (1, m, 0);
fi gura 4.11. Iată că în P
2, orice două drepte sunt
concurente!
Să vedem acum comportarea la infi nit a conicelor. Fie mai întâi un cerc
C: x2+ y2+ mx + ny + p = 0. Punând x = ,XYyZZ= , rezultă ecuația cercului în
coordonate omogene X2 + Y2 + mXZ + nYZ + pZ2 = 0 și se observă că intersecția cu
dreapta de la infi nit Z = 0, conduce la relația X2 + Y2 = 0 deci Y = ±i X. Cercul nu are
puncte la infi nit, iar intersecția lui C cu dreapta D∞ are două puncte imaginare (1, i, 0)
și (1, − i, 0). În mod similar, elipsa 2 2
2210y x
ab+− = nu are puncte reale la infi nit, în
timp ce hiperbola 2 2
2210y x
ab−− = are două puncte reale distincte la infi nit, anume
(1, ,0b
a) și (1, ,0b
a− ), adică tocmai punctele de la infi nit ale asimptotelor hiperbolei.
În fi ne, parabola y2 – 2px = 0 are un singur punct la infi nit, același cu cel al axei Ox,
adică (1, 0, 0).
Considerăm acum o conică având ecuația generală a
11×2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0.
Punând x = ,XYyZZ= și intersectând cu dreapta D∞(Z = 0), rezultă a11X2 +
+ 2a12XY + a22Y2 = 0. Notăm δ = a11a22 – a122. Presupunem mai întâi că a22 ≠ 0 deci O xy
arctg 2(0, 1, 0)
(1, 2, 0)
(1, m, 0)
D∞: Z = 0
FIGURA 4.11. Puncte la infi nit.

83X ≠ 0; notând m = Y
X, rezultă a22m2 + 2a12m + a11 = 0. Dacă δ < 0, atunci conica are
două puncte distincte la infi nit, deci conica este o hiperbolă; dacă δ = 0 se obține o
parabolă, iar dacă δ > 0, avem o elipsă. La același rezultat conduce și cazul a22 = 0. Am
obținut astfel o teoremă clasică nebanală.
TEOREMA (de clasifi care a conicelor ).
„Fie δ = a11a22 – a122. Dacă δ > 0 (respectiv δ < 0), conica are centru și este o elipsă
(respectiv o hiperbolă ). Dacă δ = 0, atunci conica este o parabolă ”.
Demonstrăm încă un fapt rămas nedemonstrat în liceu, care justifi că denumirea
de conice: Secțiunile plane ale oricărui con circular drept C sunt conice . Într-adevăr, să
alegem reperul în spațiu astfel încât planul de secțiune să fi e tocmai planul xOy, de
ecuație z = 0. Conul C se poate obține printr-o rotație și o translație dintr-un con C ′
având vârful în origine și axa de simetrie Oz′, așa că acest con are o ecuație de forma
22 2 20 xyk z′′ ′+− = , cu k > 0. Deoarece x′, y′, z′ sunt polinoame de gradul întâi în x,
y, z (conform formulelor de roto-translație), rezultă că C are o ecuație de gradul al
doilea în x, y, z, iar intersecția cu planul z = 0 conduce la o ecuație de gradul al doilea
în x, y; rămâne să aplicăm teorema anterioară de clasifi care.
NOTĂ . Se construiește în mod similar și spațiul proiectiv real n-dimensional
Pn sau spațiul proiectiv complex n-dimensional Pn(C). De curând,
Fizica teoretică a arătat că un model pentru teoria unifi cată a câmpului
îl constituie spațiul P3(C). Apoi P1(C) se identifi că cu sfera Riemann.
Spațiile proiective Pn(Zp), peste corpul Zp (p ≥ 2 prim) sunt utilizate în Teoria
modernă a codifi cărilor și în Criptologie. În fi ne, să considerăm planul proiectiv
binar P2(Z2). De fapt, Z2 = B, codul binar.
Două triplete ( x, y, z), (x′, y′, z′) de elemente nu toate nule sunt atunci echivalente
dacă și numai dacă sunt egale, adică P2(Z2) = B3 \{(0, 0, 0)}; așadar, planul proiectiv
binar are 7 puncte, anume:
A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1), D(0, 1, 1), E(1, 0, 1), F(1, 1, 0), G(1, 1, 1).
Dar F = A + B , E = A + C , B = A + F etc. și există doar 7 drepte posibile, anume
BDC , AEC , AFB , AGD , BGE , CGF și DEF , iar ecuațiile lor omogene sunt respectiv
X = 0, Y = 0, Z = 0, X + Y = 0, Y + Z = 0, Z + X = 0, X + Y + Z = 0. Septagonul
ABCDEFG este tocmai cel de care vorbește marele nostru matematician și poet Dan
Barbilian ( ≡ Ion Barbu).
4.5. Curbe plane eliptice
Se cunosc de peste 2000 de ani ecuațiile diofantice , de forma P(x, y) = 0 cu P
polinom cu coefi cienți în Z și se pune problema găsirii soluțiilor lor în Z × Z (sau
Q × Q). De exemplu: ax2+ bx+c – y2 = 0 cu a, b, c ∈ Z, ecuația lui Pell x2 – d y2 – 1 = 0
(d ∈ Z) etc.

84Diofante ( ≅ 250 î. Chr.) a găsit punctele raționale, adică având coordonatele din
Q, situate pe hipebola x2 – y2 = 1 astfel: recunoaștem o hiperbolă echilateră având un
vârf A(1, 0) și prin acest punct ducem o secantă y = m(x – 1). Pentru m ≠ ± 1, se obține
un al doilea punct de intersecție al secantei cu hiperbola, anume 2
2212,11mmMmm⎛⎞ +
⎜⎟−− ⎝⎠.
Dacă m ∈ Q, atunci M are ambele coordonate raționale. Dar și invers, dacă un punct
(a, b) aparține hiperbolei și a, b ∈ Q, cu a ≠ 1, atunci a2 – b2 = 1 și notând 1bma=−,
regăsim punctul M corespunzător. Așadar, toate soluțiile din Q × Q ale ecuației
x2 – y2 = 1 sunt 2
2212,11mmxymm+==−−(pentru m ≠ ± 1). Se obține totodată o
reprezentare parametrică a hiperbolei.
Metoda secantei s-a extins la conice cu ecuația ax2+ bxy + cy2+ dx + ey + f = 0
(a, b, c,…∈ Q), la curbe de grad superior sau la suprafețe.
EXEMPLE 1) Punctele raționale de pe foliul lui Descartes: x
3+ y3 – 3xy = 0 se obțin punând
y = t . x.
2) Nu orice conică are puncte raționale; de exemplu x2+ y2 = 3.
3) Tot Diofante a studiat ecuația y(6 – y) = x3 – x, propunând substituția
1(1 )3yx=+ .
Abia după ce s-au descoperit derivatele, s-a înțeles prezența coefi cientului 1
3;
această dreaptă este tocmai tangenta în punctul ( − 1, 0) al curbei. S-a descoperit
astfel punctul rațional 16 7,99⎛⎞⎜⎟⎝⎠ situat pe curba respectivă; tangenta în noul punct
reintersectează curba în alt punct rațional etc.
Cubicele , deci curbele plane cu ecuația P(x, y) = 0 cu P polinom de gradul trei cu
coefi cienți în Z sunt de două tipuri:
– cele având noduri, puncte de întoarcere sau cele care reprezintă o conică
reunită cu o dreaptă;
– cele nesingulare, de forma
y2 = x3+ ax2+bx + c = 0
cu a, b, c ∈ Z și polinomul
P(x) = x3+ ax2+ bx + c
nu are rădăcini multiple.
Acestea din urmă au fost numite
eliptice și ele arată ca în fi gura 4.12.
În general, pentru o curbă de
grad n, cu d puncte duble, genul este
(1 ) (2 )
2nngd−−=− . O Oy y
x x
FIGURA 4.12. Curbe eliptice.

85Curbele eliptice (de grad 3) au genul g = 1; [4]. Metoda secantei, aplicată la orice
curbă eliptică
( E): y2 = x3+ax2+ bx + c ; a, b, c ∈ Z,
l-a condus pe H. Poincaré la un rezultat neașteptat; anume, la introducerea unei
structuri de grup abelian pe mulțimea (E) , la care se adjuncționează punctul de
la infi nit al curbei; omogenizând ecuația, adică punând x = ,XYyZZ= , rezultă
23 2 2 3Y Z Xa X Z b X Zc Z =+ + + și intersectând cu dreapta de la infi nit Z = 0, rezultă
X = 0. Așadar, punctul O(0, 1, 0) de la infi nit al curbei E este același cu cel al axei Oy.
Notăm {} EE O=∪ .
Dacă P, Q ∈ (E) sunt două puncte distincte, nesituate pe aceeași verticală,
dreapta PQ reintersectează curba într-un al treilea punct, notat P ∗ Q și simetricul
acestuia față de Ox este notat cu P + Q („suma” lui P și Q). Dacă P, Q sunt distincte,
situate pe aceeași verticală, atunci P + Q = O. Simetricul lui P față de axa Ox este – P;
deci P + O = P (simetricul lui – P). În fi ne P + P= 2P este defi nit ca simetricul față
de Ox al unicului punct unde tangenta în P la curba ( E) reintersectează ( E). Apoi
3P = 2P + P , 4P = 3P + P etc.
TEOREMĂ (Poincaré, [4]).
Tripletul (E, +, O) formează un grup abelian .
Nu dăm demonstrația. Asociativitatea adunării se demonstrează cel mai difi cil.
EXEMPLE1) Fie P(x
1, y1), Q(x2, y2) două puncte raționale distincte pe ( E). Ecuația dreptei
PQ este 21
11
21()yyyy xxxx−−= −−, deci de forma y = mx + n cu m, n ∈ Q.
Intersecția PQ ∩ E conduce la ecuația ( mx + n )2 = x3 + ax2 +bx + c , adică
x3 +(a – m2)x2 + (b – 2mn)x + c – n2 = 0, având soluțiile raționale x1, x2.
Atunci x3 = m2 – a – x1 – x2 va fi de asemenea rațională, ca și y3 = mx2+ n.
Așadar, P ∗ Q = (x3, y3) și „suma” P + Q = (x3, − y3). Dacă x1 = x2 și y1 ≠ y2,
atunci P + Q = O, iar dacă P = Q , se defi nește 2 P, intersectând ( E) cu
tangenta în P la (E) și luând simetricul acestui punct față de Ox.
2) Fie curba y2 = x3 – 25 x; P(−5, 0) și Q(0, 0). Atunci P + Q = R , unde R(5, 0).
3) Pentru curba eliptică y2 = x3 – 2, avem punctul P(3, 5). Se poate arăta că 2 P
= 129 383,100 1000⎛⎞− ⎜⎟⎝⎠ și că punctul 3 P are abscisa 164323
29241. Dar calculele sunt
uriașe; de exemplu, abscisa punctului 11 P este câtul a două numere întregi
cu peste 70 de cifre zecimale; [2]. Acest fapt a atras atenția specialiștilor în Criptografi e, iar Teoria curbelor eliptice a permis obținerea unor criptări
excepționale de informație.

864) Fie curba (E): y2 = x3 – x + 9. Pentru P = (0, 3), Q =(− 1, 3), avem P ∗ Q = (1, 3)
și P + Q = (1, − 3). Notăm R = P + Q . Tangenta în R la (E) reintersectează ( E)
în punctul R ∗ R =17 55,92 7⎛⎞−−⎜⎟⎝⎠, deci
2R = 17 55,92 7⎛⎞−−⎜⎟⎝⎠; fi gura 4.13.
Nu se cunosc metode pentru a
rezolva ecuația ( E) în numere raționale
și aceasta este o problemă principală în Teoria numerelor. Dacă s-ar cunoaște o soluție, atunci s-ar determina imediat alte soluții, folosind structura de grup abelian a lui (E).
Pentru determinarea punctului
nP (n ≥ 1 întreg), pentru P ∈ (E) dat,
se poate întâmpla ca nP = O și pentru
m < n să avem mP ≠ O. Se spune atunci că P are ordinul n. De exemplu, pe curba
y
2 = x3 + 4, punctul P(0, 2) are ordinul 3; iar punctul P(2, 3) pe curba y2 = x3+ 1 are
ordinul 6.
O problemă deschisă este: există sau nu puncte raționale de ordin fi nit pe orice
curbă eliptică dată ? În 1976, B. Mazur a arătat că dacă P este un punct rațional de
ordin n, atunci n ≤ 10 sau n = 12. De asemenea, se știe că există cel mult 16 puncte
raționale de ordin fi nit.
H. Poincaré a conjecturat și L. Mordell a demonstrat că, pe orice curbă eliptică
există un număr fi nit de puncte raționale P1,…, Pr, astfel încât orice punct rațional P
să fi e de forma P = n1P1+… + nrPr + Q, unde n1,…, nr ∈ Z sunt unic determinate de
P, iar Q este un punct de ordin fi nit (numărul r se numește rangul curbei). Mașinile
moderne de calcul au permis găsirea unor curbe de rang 8, pentru valori imense ale coefi cienților a, b, c.
Pentru ecuații diofantice P(x, y) = 0 de grad n ≥ 4, L. Mordell a conjecturat
că numărul punctelor raționale este fi nit; [2]. Mulți alți matematicieni (A. Weil,
I. Șafarevici, I. Manin) s-au ocupat de această conjectură, dar răspunsul pozitiv l-a dat germanul G. Faltings, care totodată a făcut și un pas decisiv în demonstrarea, în fi nal,
de către englezul Wiles, a marei teoreme a lui Fermat (privind inexistența de puncte raționale pe curba x
n+ yn = 1, pentru n ≥ 3).
4.6. Modelul Poincaré pentru geometria neeuclidiană
La Euclid, axiomele erau „cerințe” , iar pentru matematico – fi lozofi i de după 1700,
„judecăți apriorice” , pe care Gauss, Bolyai și Lobacevski nu le-au mai acceptat. Ultimii doi au publicat independent, în anii 1830, lucrările lor de Geometrie neeuclidiană, arătând independența axiomei paralelelor de celelalte axiome; aceste lucrări au fost
tratate până în 1860 ca fantezii… După ce Gauss a dezvoltat Teoria suprafețelor, s-au FIGURA 4.13. Curba eliptică y2 = x3 – x + 9
are o structură de grup.OQP(E)
P + Q = R R ∗ RP ∗ Q 2R
x

87defi nit curbe pe suprafețe, elementul de arc pe o suprafață, prima formă fundamentală
ds2, lungimi de curbă, unghiuri între curbe (ca unghiuri ale tangentelor în punctele
de intersecție), s-au determinat geodezicele („drumurile cele mai scurte situate pe o suprafață, unind două puncte ale ei”) etc. Aceste noțiuni au fost extinse de Riemann și apoi de geometrii italieni Ricci și Levi Civita la spații n – dimensionale, pregătind
suportul matematic pentru Teoria relativității și pentru Cosmologie, unde s-a considerat că lumina se propagă în lungul geodezicelor spațiului.
Fizicienii și inginerii se mulțumesc, de regulă, cu aproximări și simplifi cări
(de exemplu, suprafețele sunt asimilate, în jurul punctelor lor, cu planele tangente respective). Dar matematicienii s-au întrebat ce experimente au condus la afi rmația că
„o dreaptă se întinde la infi nit” sau „ce mai înseamnă drepte paralele dacă Universul
nostru este mărginit” și în fond, ce mai înseamnă o „dreaptă” , după ce s-a constatat că razele de lumină (modelul fi zic al liniilor drepte) se curbează în apropierea maselor
mari materiale ?
Pe un plan, geodezicele sunt dreptele în sens euclidian; pe o sferă, geodezicele
sunt arcele de cercuri mari, iar pe un cilindru circular drept, arcele de elice cilindrică sau arce de cerc. Apoi, pe suprafețe se pot considera triunghiuri (curbilinii)… Pe un plan, suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este de π radiani (180
o); pe o
sferă, luând două meridiane ortogonale și considerând triunghiul sferic format de
acestea și de ecuator, suma măsurilor unghiurilor acestuia este 3
2π
. Beltrami și Klein
au construit primele modele de Geometrie plană neeuclidiană, dând denumirile de
„punct” , „dreaptă” , „lungime” etc. unor obiecte bine defi nite dintr-un plan euclidian.
Defi nițiile date de Euclid par acum hazlii („punctul” era ceva fără dimensiune,
„dreapta”- ceva fără lățime etc.); iar în axiomatica lui Hilbert pentru Geometria plană euclidiană, nu conta natura obiectelor, ci contau numai relațiile dintre ele. Nu uităm cuvintele lui B. Russell: „Axiomatica este un domeniu unde nu știm despre ce vorbim și nici dacă este adevărat sau nu!” . În fața unui sistem de axiome, se pun întrebări de tipul independenței axiomelor sau al necontradicției sistemului. Pentru a arăta independența unui sistem de n axiome, trebuie construite n modele în care toate
axiomele, cu excepția a câte uneia din ele, sunt verifi cate. Necontradicția revine la a
arăta că nu este posibilă demonstrația atât a unei afi rmații cât și a negației ei, pornind
de la aceleași axiome.
În 1882, H. Poincaré a construit modelul următor, de Geometrie plană
neeuclidiană: considerăm într-un plan (euclidian) un reper ortonormal xOy și
semiplanul deschis superior H = {(x, y) ∈ R
2| y > 0 },
pe care îl numim „planul lui Poincaré” . „Punctele” lui H sunt puncte uzuale (descrise
prin coordonatele lor carteziene), iar „dreptele” în H sunt fi e semicercuri cu centrul
pe Ox, fi e semidrepte verticale (fi gura 4.14). Așa cum în Geometria plană euclidiană,
elementul de arc „d s” pe o curbă plană (C) satisface relația infi nitezimală d s2 = dx2 + dy2
(fi gura 4.15), care defi nește metrica euclidiană [de exemplu, lungimea unei curbe

88γ : y = y (x), x ∈ [x1, x2] este L = 2
1 22 2
dd d 1 ( ) dx
xsx y y x x
γγ′ =+ = +∫∫ ∫], tot astfel
Poincaré a introdus în H metrica 22 2
21d( d d )sx yy=+ . Se poate arăta că geodezicele
relativ la această metrică sunt tocmai „dreptele” anterioare.
Arătăm cum se calculează lungimile
„segmentelor de dreaptă” . Să considerăm o „dreaptă” D: (x – a )
2 + y2 = r2, y > 0 (a ∈ R,
r > 0), pe care o parametrizăm: x = a + r cos t,
y = r sin t cu t ∈ (0, π). Atunci d x = − r sin t dt,
dy = r cos t dt, deci d s2 = 22
221dsinrtrt⋅ , deci
ds = d
sint
t. Notăm cu C (a, 0) centrul
semicercului D și fi e M1, M2 „puncte” pe D astfel
încât t1 = măsn
1MC x și t2 = măsn
2MC x (fi g. 4.16).
Atunci „distanța” dintre M1, M2 este d( M1M2) =
=22
11 21
dd l nt g l nt gsin 2 2tt
tttt tst== −∫∫. În mod
similar, dacă avem o „dreaptă” D′: x = b ,
b > 0, „distanța” între două puncte N1(b, y1) și
N2(b, y2), va fi egală cu
22
11
21 1d d ln lnyy
yysy y yy== −∫∫.
„Distanțele” dintre punctele lui H se
măsoară doar în lungul geodezicelor (adică al „dreptelor”) care le unesc.
Se poate arăta că dacă avem trei „puncte”
A, B, C ∈ H, atunci suma măsurilor unghiurilor
A + B + C este egală cu π − aria ( ABC ) deci
strict mai mică decât π.
În această „Geometrie” din H se pot
verifi ca toate axiomele Euclid – Hilbert, cu
excepția axiomei paralelelor; de exemplu, prima axiomă este: „prin două puncte distincte trece o singură „dreaptă” . Fie A ≠ B două puncte
din H. Dacă A, B sunt pe aceeași verticală,
luăm acea verticală; altminteri, mediatoarea segmentului [ AB] intersectează axa Ox într-un
punct C și semicercul cu centrul în C, trecând
prin A și B, constituie „dreapta” cerută. Se
verifi că banal că printr-un „punct” nesituat pe
o „dreaptă” se pot duce o infi nitate de „drepte” ODD′y
x
FIGURA 4.14. „Planul lui Poincaré” .
x
FIGURA 4.15. Metrica euclidiană
ds2 = dx2 + dy2.Oy
(C)
ds
dxdy
FIGURA 4.16. Metrica lui Poincaré
=+22 2
21d( d d )sx yyO
Cby
xM1
t2N1
M2
t1N2

89care nu intersectează „dreapta” dată. De fapt, Bolyai și Lobacevski au arătat tocmai
independența axiomei parale lelor de celelalte axiome.
Sintetizând cele spuse, dicționarul neeuclidian / euclidian propus de Poincaré
este următorul:
Neeuclidian Euclidian
„plan” semiplanul H
„punct” punct în H
„dreaptă”semicerc centrat pe Ox sau semidreaptă
paralelă cu Oy
„distanță” lungime a unui arc de geodezică
element de arc 22 2
21d( d d )sx yy=+ds2 = dx2 + dy2
etc.
Toate teoremele neeuclidiene se „traduc” , prin acest dicționar, în teoreme
de Geometrie euclidiană (adică relații algebrice, prin utilizarea coordonatelor). Din necontradicția Geometriei euclidiene re zultă și necontradicția Geometriei
neeuclidiene.
De mii de ani, oamenii au tot sperat că Fizica va confi rma Geometria euclidiană
ca model al Universului. Pe suprafața unui lac liniștit („în echilibru”), se aplică
Geometria euclidiană, dar în prezența valurilor sau a unor stânci deasupra apei, sau pe alte suprafețe la fel de reale, este necesar un alt model; în mod similar, spațiul fi zic este dependent de corpurile materiale. Poincaré a spus că „adevărul unui model
geometric este doar cel care concordă cu Fizica” . Matematica nu poate fi sclava unor
reguli de logică formală, izolată de lume. Astfel, Teoria cuantică a confi rmat modelele
neeuclidiene, atât la scară micro cât și macrocosmică. Cât timp nu știm dacă Universul este mărginit, nu există un model cosmologic defi nitiv.
Descoperirea Geometriilor neeuclidiene a reprezentat un moment crucial
pentru civilizația umană, prin revelarea unor adevăruri ascunse și prin descătușarea imaginației și sondării de spații noi de refl ecție și manifestare.

BIBLIOGRAFIE
1.J. Dieudonné – Th e music of reason , Springer Verlag, 1987.
2.H. Kraft – Algebraische Kurven und diophantische Gleichungen , vol. Lebendige Zahlen,
Birkhäuser Verlag, 1981.
3.Iu. Manin – Mathematics and Physics , Birkhäuser Verlag, 1981.
4.H. Poincaré – Sur les propriétés arithmétiques des courbes , J. math. pures et appl., ser.5, VII, 1901.
5.O. Stănășilă – I. Analiză liniară și Geometrie , Ed. ALL, 2000; II. Matematici speciale , Ed. All,
2001.
6.I. Șafarevici – Noțiunile fundamentale ale algebrei , Ed. Academiei Române, 1989.

90• Geometria este preimaginea frumuseții
lumii.
J. KEPLER
• Analiza matematică este o simfonie a
infi nitului.
D.HILBERT
5. A DOUA MARE UNIFICARE INTERNĂ A MATEMATICII:
ANALIZA MATEMATICĂ ↔ GEOMETRIA
După descoperirea Calculului diferențial și integral, în mai multe universități
europene s-au declanșat cercetări privind lărgirea câmpului său de aplicații, la studiul unor probleme de Mecanică, Optică, Astronomie, Electromagnetism etc. dar și în dezvoltarea unor noțiuni fundamentale ale Geometriei, culminând cu crearea Geometriei diferențiale unifi catoare.
5.1. Evoluția noțiunii de curbă
În jurul lui 1700, după elaborarea sistematică a Geometriei analitice, una din
problemele fecunde ale matematicii era cea a studiului curbelor plane sau în spațiu (tangente, normale, curburi etc.), precum și al mișcării punctelor materiale („mobile punctuale” – o idealizare utilă), în lungul curbelor.
Intuitiv, curbele au avut ca modele fi zice fi rele și sârmele subțiri, sau traiectoriile
(urmele unor obiecte aruncate în aer). Cuvântul „curbă” apare în sensuri diferite; de exemplu, ca loc al pozițiilor succesive ale unui punct care se mișcă după o anumită lege, sau ca drum deviat de la o linie dreaptă. Conceptul modern de curbă și defi niția
lui riguroasă au fost stabilite după un efort intelectual dematerializant, la care s-a ajuns după mult timp, mai ales după descoperirea derivatelor. Defi nițiile care i-au
mulțumit deopotrivă pe matematicieni și fi zicieni
sunt prezentate în continuare.
Se numește drum parametrizat plan orice
aplicație de clasă C
1 γ : I → R2 defi nită pe un interval
I. Mulțimea ( γ) = {γ (t)| t ∈ I} se numește traiectoria
drumului γ.
EXEMPLE1) Dacă a, b ∈ R
2 și γ : [0,1] → R2,
γ (t) = (1 – t)a + tb, atunci traiectoria este
segmentul [ a, b] ; fi gura 5.1.FIGURA 5.1.
Segment de dreaptă în plan.Ob
aγ(t), t ∈ [0, 1]y
x

912) Pentru drumul γ : [0, 2 π] → R2, γ (t) = (cos t, sin t), traiectoria este
(γ) = cercul unitate ( x2 + y2 = 1). Dar și pentru drumul γ 1: [0, 2 πn] → R2,
γ1(t) = (cos t, sin t); n ∈ Z*, traiectoria este tot cercul unitate. Așadar,
γ ≠ γ1, dar ( γ) = (γ1). De fapt γ1 este cercul unitate parcurs pozitiv de n ori.
3) Oricărui drum γ : [a,b] → R2 i se poate asocia opusul lui, anume
γ – : [a, b] → R2 , γ –(t) = γ (a + b – t ).
Dacă γ : I → R2 este un drum parametrizat, deoarece I este o mulțime conexă
și compactă, rezultă că traiectoria este la fel. Două drumuri γ : I → R2, γ 1: J → R2
se zic echivalente dacă există o aplicație derivabilă bijectivă θ : I → J, cu inversa
derivabilă, astfel încât γ = γ 1° θ; în acest caz, ( γ) = ( γ 1). Dacă în plus, θ este strict
crescătoare, drumurile γ și γ 1 se numesc echivalente, cu aceeași orientare . Fixăm un
drum parametrizat plan γ : [a,b] → R2; pentru orice t ∈ [a, b], γ (t) = ( x(t), y(t)). Se
mai spune că relațiile x = x(t), y = y (t) sunt ecuațiile parametrice ale drumului (sau
că defi nesc o parametrizare a drumului) . În cele mai multe aplicații, se consideră
drumuri de clasă C1 pe porțiuni (concatenări de drumuri având tangentă în fi ecare
punct).
EXEMPLUCercul unitate x
2+ y2 = 1, parcurs pozitiv o dată, are parametrizarea
x = cos t, y = sin t ; t ∈ [0, 2 π].
DEFINIȚIE
Se numește curbă plană orice submulțime C ⊂ R2 cu proprietatea că pentru
orice punct a ∈ C, există un drum parametrizat γ : I → R2 și o submulțime
deschisă V conținând a, astfel încât γ (I) = V ∩ C, iar aplicația γ : I → γ(I) este
bijectivă, cu inversa continuă (fi gura 5.2).
Pe scurt, mulțimea C este local
homeomorfă cu un interval. Se numește curbă
plană Jordan închisă orice mulțime Γ de puncte
din plan, homeomorfă cu cercul unitate ; curba Γ nu are autointersecții și complementara ei
R
2\ Γ are două componente conexe (se mai
spune că Γ împarte planul în două regiuni –
interioară și exterioară).
Defi nițiile anterioare se extind la curbe în spațiu sau chiar la curbe din Rn.
Considerând un reper plan xOy, există mai multe moduri de reprezentare a
curbelor plane: explicit, implicit, parametric sau în coordonate polare. Reprezentarea explicită a fost studiată în liceu (grafi ce proiectabile pe axa Ox cu ecuația de forma
y = f (x) sau pe Oy, cu ecuația x = g (y). O curbă dată implicit are o ecuație carteziană
de forma F (x, y) = 0 cu F: A → R o funcție de clasă C
1 pe un deschis din R2.
FIGURA 5.2. Curbă plană oarecare.I VCaγ

92EXEMPLU
Elipsa de semiaxe a, b are ecuația carteziană 2 2
2210y x
ab+− = , iar parabola cu
axa Ox și focarul F (2p, 0) are ecuația y2 – 2px = 0. Asupra funcției F se pun
condiții suplimentare, pentru a evita patologii, precum „curba” [ x] + [ y] = 1.
Revenim la cazul general. În condiții le teoremei funcțiilor implicite, curba C este
local un grafi c. Pentru a reprezenta o curbă dată parametric ( x = x(t), y = y(t); t ∈ I),
se recomandă un tablou de variație cuprinzând x′(t), x(t), y′(t), y(t), cu interpretările
corespunzătoare.
Diversele moduri de reprezentare sunt esențialmente echivalente.Reamintim că pentru o curbă C : y = f (x) și un punct A (a, f (a)) ∈ C, ecuația
tangentei la C în punctul A este y – f (a) = f ′(a).(x – a ). Dacă avem o curbă dată
parametric C: x = x(
t), y = y(t); t ∈ I și dacă t0 ∈ I
este un punct nesingular (adică x′(t0)2+ y′(t0)2 ≠ 0),
atunci ecuația tangentei la C în punctul
A (x(t0),y(t0)) este 00
00() ()
() ()xx t yy t
xt yt−−=′′.
Dacă M ∈ C este un punct curent, atunci
vectorul de poziție este () () i () jrt O M xt yt== +JJJJG GG G.
Derivata lui este r′G(t) (fi gura 5.3); vectorul
r′G(t) va fi coliniar cu limita vectorului
() ( )rt h rt M M ′ +− =JJJJJ G GG când h → 0 deci r′G(t) va fi
orientat pe tangenta la C în M.
Relativ la curbe plane, există o literatură bogată, dar și unele fapte care au
părut inițial paradoxale, a căror lămurire a însemnat un mare progres. De exemplu, Peano a construit o curbă continuă γ: [a,b] → R
2 a cărei traiectorie ( γ) este un pătrat
(„curbă care umple un pătrat”; vezi 8.2). Dar γ nu era de clasă C1… Există multe
exemple de curbe, unele fi ind evocate și în această carte.
Menționăm că una din curbele cele mai interesante este cicloida , care a pasionat
mari geometri – Galilei, Huygens, Pascal: Să considerăm un cerc de rază R care se
rostogolește fără alunecare („fără să patineze”) pe semiaxa Ox, începând din poziția
inițială Co, unde „spița” verticală este AO. După o mică rostogolire, ajunge în poziția FIGURA 5.3. Vectorul r′G(t) este
orientat pe direcția tangentei.Oxy
tr(t + h )tr(t)tr ′(t) M
M′
ORAM
tCtC0(πR, 2R)
(2πR, 0)x xyy
FIGURA 5.4. Generarea cicloidei. FIGURA 5.5. Cicloida.OC
B

93Ct, unde spița respectivă va avea poziția CM, măs nBCM t = și OB = arc BM = R . t
(fi gura 5.4). Atunci coordonatele punctului M vor fi
x = OB – R . cos ( t2π−) = R . t – R . sin t, y = BC + R . sin (t2π−) = R – R cos t, t ≥ 0.
Mulțimea capetelor M de spițe este cicloida, care va avea ecuațiile parametrice
x = R (t – sin t), y = R (1 – cos t), t ≥ 0. Pentru o buclă de cicloidă, rezultă următorul
tablou de variație:
t 0 π 2π
x ′(t) + + + + + + + +
x (t)0 / Rπ / 2Rπ
y ′(t) 0 + + 0 − − 0
y (t)0 / 2R 2 0
Alura curbei este indicată în fi gura 5.5. Dacă la capătul unei spițe de la roata unei
biciclete se lipește o mică hârtiuță, „traiectoria” acesteia va fi tocmai cicloida. Huygens
a imaginat „pendulul cicloidal” , iar Bernoulli a rezolvat următoarea „problemă a brahistocronei”: dacă A și B sunt două puncte nesituate pe aceeași verticală ( A fi ind
mai sus), dintre toate curbele care unesc A și B, care este cea pentru care timpul de
coborâre a unui mobil (sub acțiunea gravitației și neglijând frecarea) din A spre B
este minim ? Răspunsul a fost și a rămas: un arc de cicloidă. Această problemă se mai numește problema derdelușului și explică de ce pârtiile de bob și sanie sunt modelate
prin arce de cicloidă concatenate. Rezolvarea acestei probleme a constituit nașterea Calculului variațional și a Controlului optimal, așa cum vom vedea în 11.3 , d.
Un concept lămurit tot cu mijloacele
Analizei matematice este cel de curbură , care
măsoară abaterea unei curbe de la o linie dreaptă. Intuitiv, în fi gura 5.6 spunem că b)
are cea mai mare curbură în punctul V. Dar
ce înseamnă acest lucru ? Să considerăm o
curbă C și doi versori
,uvGG tangenți la curbă
formând un unghi de măsură α (fi gura 5.7).
Curbura în punctul A este defi nită ca fi ind
k = 0 limssΔ→α
Δ(unde Δs = lungimea arcului AB) =
= 0 23 / 22a r c t g ( ) a r c t g () ()lim
(1 ( ) ) 1( )syx x yx y x
yx yx xΔ→′′ ′ ′+Δ −=′+ ′+Δ,
aplicând formula Lagrange a creșterilor fi nite.
Se arată că pentru o curbă de clasă C2 dată
parametric x = x(t), y = y(t), curbura în punctul
curent este k = 22 3 / 2()xy x y
xy′′ ′ ′ ′′−
′′+, iar raza de curbură este FIGURA 5.7. Curbura
în A este 0 limssΔ→α
Δ.AB
α
OΔstutv
tvFIGURA 5.6. Diverse curburi. a) b) c)V

941
k. De exemplu, un cerc de rază R are raza de curbură R în fi ecare punct. În cazul
unei drepte y = ax + b , curbura este nulă.
Un alt concept important, legat de curbe, l-au constituit liniile de câmp .
Fixând un reper ortonormal xOy de versori i, jGG, a defi ni un câmp de vectori într-o
mulțime deschisă D, revine la a asocia fi ecărui punct M(x, y) ∈ D un vector
(, ) i (, ) j vP x y Q x y=+GG G cu punctul de aplicație în M (fi gura 5.8). Presupunând funcțiile
P, Q de clasă C1(D) (deci continue, cu derivate parțiale continue), se numește linie
de câmp a lui vG orice curbă C : x = x(t), y = y(t);
t ∈ I de clasă C1, fără autointersecții, astfel încât
pentru orice punct M ∈ C, vectorul ()vMG al
câmpului este tangent în M la C. Notând rO M=JJJJG G
vectorul de poziție al punctului curent, rezultă că
vectorii vG și r′G(t) sunt coliniari deci d rG×vG = 0.
Atunci ecuația diferențială a liniilor de câmp
va fi d d
(, ) (, )y x
Pxy Qxy= sau y ′ = (, )
(, )Qxy
Pxy; [1].
Liniile de câmp se studiază și în cazul 3D sau mai general.
EXEMPLU
Pentru
2i jvy x=−GG G, liniile de câmp satisfac ecuația diferențială d d
2y x
yx=−
deci xdx + 2ydy = 0 și rezultă familia de elipse 2
2
2xyC+= (C > 0 constantă
reală).
Fixăm acum un reper ortonormal Oxyz cu versorii axelor i, j, kGGG
și fi e C o curbă
în spațiu, cu ecuațiile parametrice x = x(t), y = y(t), z = z(t); t ∈ I (presupuse funcții
de clasă C3 pe I). Pentru orice t, notăm () () i () j () krt xt yt zt O M=++=JJJJG G GG G, vectorul de
poziție al punctului curent M = M (t) ∈ C ; fi gura 5.9.
Presupunând că r′G(t)×r′G′(t) ≠ 0, ∀ t ∈ I,
vectorul – derivată r′G(t) va avea direcția
tangentei în M la curba C și notăm
() ()vt r t ′=G. Nu mai menționăm explicit t.
În fi ecare punct M al curbei C se asociază un
triedru remarcabil (numit și reperul mobil al
lui Frenet ), având versorii:
• 1rv′ τ=GG (versorul-tangentă sau
echivalent, versorul-viteză ),FIGURA 5.8. Linie de câmp.tv(M)
OxyM
C
FIGURA 5.9. Curbă în spațiu, vectorul
de poziție ()rtG și derivata lui.tjtr ′
tr
tk
OM
C
yz
xti

95• versorul-curbură K
Kυ=G
GG, unde 2411() Kr r r rvv′′ ′ ′′ =−⋅ ⋅G GG G G și
• versorul-binormală β=τ×υG GG.
Planul trecând prin M și perpendicular pe βG
se numește planul osculator al
curbei (în punctul M). Studiul mișcării unui mobil în lungul unei curbe necesită
cunoașterea comportării reperului Frenet. Doi indicatori numerici importanți sunt:
curbura K(t) = 31rrv′′ ′×GG și torsiunea T(t) = 21(, , )rr r
rr′′ ′′ ′ ′
′′ ′×GGG
GG.
Curbura măsoară abaterea curbei de la o linie dreaptă, iar torsiunea – abaterea
de la o curbă plană.
EXEMPLU În mod explicit, pentru fi ecare t, avem
22 2 2vx yz ′′′=++ și notând
ij k rr A B C′′ ′×= + +G GG GG, rezultă
222
22 2 3 / 2()()ABCKtxyz++=′′′++ și 2221()xyz
Tt x y zABCxyz′′′
′′ ′′ ′′ =++′′′ ′′′ ′′′.
Fie curba C: x = t , y = t2, z = t3 ; t ∈ R. Așadar, 23() i j krt t t t=+ +G GG G,
2() i 2j 3 krt t t′=+ +G GG G, () 2 j 6krt t′′=+GG G .
Atunci v = 24() 1 4 9rt t t′=+ +G și 24() () 2 1 9 9rt r t t t′′ ′×= + +GG.
Versorii triedrului Frenet sunt 1rv′ τ=GG, 1()rrrr′′ ′ β= ×′′ ′×GGGG și υ=β×τGG G. Planul
osculator în punctul t curent va avea ecuația 6 t2(x – t ) – 6 t(y – t2) + 2( z – t3) = 0 și se
pot calcula explicit curbura K și torsiunea T.
NOTĂ . Cele spuse anterior arată rolul decisiv al derivatelor în studiul
curbelor. Același lucru se întâmplă în cazul suprafețelor și mai general, al varietăților.
5.2. Evoluția noțiunii de suprafață
Suprafețele în spațiu modelează învelișurile corpurilor, pânzele subțiri dispuse
pe suport solid sau vârfurile unite ale apelor sau valurilor mării. A defi ni o pânză de
suprafață revine la a da orice aplicație 3:Dγ→ R de clasă C1 pe un domeniu D din
R2. Mulțimea ( γ) = {γ(u, v)| (u, v) ∈ D} se numește suportul (sau urma ) pânzei. Se
defi nesc de asemenea pânze echivalente, dar evităm complicațiile tehnice.

96EXEMPLE
1) Un plan are o ecuație de gradul întâi de forma Ax + By + Cz +D = 0 cu
A2 + B2 + C2 ≠ 0. Un vector normal la plan este ij k NA B C=+ +JJG G GG
.
Presupunând C ≠ 0, planul este urma pânzei
23:γ→RR , (,) ,,ABDuv uv u vCCC⎛⎞γ= − − − ⎜⎟⎝⎠.
2) Fie emisfera superioară S de rază R. Pentru
orice punct M ∈ S notăm
u = colatitudinea lui M și
v = longitudinea lui M (fi gura 5.10);
evident, 0 ≤ u ≤ 2π și 0 ≤ v ≤ 2π.
Coordonatele lui M sunt
x = R sin u cos v, y = R sin u sin v, z = R cos u.
Considerând domeniul 0, (0,2 )2Dπ⎛⎞=× π⎜⎟⎝⎠din R2, aplicația 3:Dγ→ R,
γ(u, v) = (R sin u cos v, R sin u sin v, R cos u),
defi nește o pânză de suprafață, având ca suport suprafața S (cu excepția
„polului nord” și a „ecuatorului” , unde u = 0 sau v = 0).
DEFINIȚIE
Se numește suprafață orice submulțime S ⊂ R3 cu proprietatea că pentru orice
punct a ∈ S există o pânză de suprafață 3:Dγ→ R și o mulțime deschisă V
conținând a, astfel încât γ (D) = V ∩ S,
iar aplicația γ : D → γ(D) este bijectivă,
cu inversa continuă (fi gura 5.11).
Există mai multe moduri de reprezentare
a suprafețelor:
– explicit , ca suprafață proiectabilă pe
un plan de coordonate (de exemplu, pe planul xOy, suprafața având o
ecuație de forma z = f (x, y)) ;
– implicit (printr-o ecuație carteziană de forma F (x, y, z) = 0) sau parametric ,
cu ecuații de forma
(,) rr u v=GG, adică x = x(u, v), y = y (u, v), z = z (u, v);
(u,v) ∈ D.
Se poate arăta (folosind teorema funcțiilor implicite) că aceste moduri de reprezentare sunt esențialmente echivalente; [3].
Pentru o suprafață S cu ecuația F (x, y, z) = 0, F: U → R fi ind o funcție de clasă
C
1 pe un deschis U din R3 și pentru orice punct a = (x0, y0, z0) ∈ U, se poate defi ni
gradientul lui F în a:
gradaF = () i () j () kFFFaaaxyz∂∂∂⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞++ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟∂∂∂⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠G GG
. (1)FIGURA 5.10. Emisfera ca
pânză de suprafață.vu
OM
M′yz
x
FIGURA 5.11. Suprafață în spațiu.DS
Va .γ

97Punctul a se numește nesingular dacă gradaF ≠ 0; în acest caz, planul tangent TaS
la S în punctul a este perpendicular pe vectorul gradaF; fi gura 5.12. Ecuația acestui
plan este
00 0 () ( ) () ( ) () ( ) 0FFFax x ay y az zxyz∂∂∂⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞−+ −+ −= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟∂∂∂⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠.
Vectorul gradaF este deci normal la planul TaS.
Teoria suprafețelor este opera lui Gauss, care
a tratat în mod unitar sferele, elipsoizii, cilindrii, conurile, suprafețele de rotație etc. El a defi nit
prima formă fundamentală
ds
2 = E du2 + 2F dudv + C dv2,
unde
,,rr rr rrEFGuu uv vv∂∂ ∂∂ ∂∂=⋅ =⋅ =⋅∂∂ ∂∂ ∂∂GG GG GG

(produse scalare), stabilind, prin intermediul ei, mărimi esențiale asociate și
modalități de studiu al curbelor situate pe diverse suprafețe – lungimi, unghiuri, linii
de curbură, linii asimptotice, geodezice etc., ca și criterii de clasifi care a punctelor
situate pe suprafețe.
De asemenea, Gauss a stabilit ecuațiile de mișcare a unui reper mobil pe o
suprafață, similar triedrului lui Frenet de la curbe. Un moment semnifi cativ l-a
propus Möbius, atunci când a produs primul exemplu de suprafață neorientabilă („cu o singură față”) – celebra sa bandă. Apoi Beltrami a considerat pseudosfera, construind pe ea primul model de geometrie Lobacevski – Bolyai.
NOTĂ . A orienta (a fi xa o orientare) pentru un spațiu vectorial real fi nit
dimensional înseamnă a fi xa o bază B. Două baze B, B′, determină
aceeași orientare dacă determinantul matricei de trecere de la B la B′
este pozitiv. Ca atare, orice spațiu vectorial are două orientări. Dacă V este un plan, a fi xa o orientare în V revine la a fi xa unul din
versorii
nG ai normalei la plan ( n−Gdefi nește cealaltă orientare).
Dacă S este o suprafață nesingulară de clasă C1, a orienta S revine la
a alege în fi ecare plan tangent TaS un versor normal anG astfel încât
aplicația
S → V3,a anG6
să fi e continuă. O suprafață se numește orientabilă dacă pe ea se poate
fi xa o orientare.
EXEMPLE1) Orice plan are două orientări („are două fețe”). La fel sfera, elipsoizii sau
cilindrii circulari drepți.
2) Banda Möbius nu este orientabilă în întregul ei, dar orice porțiune „mică”
a ei, este. Ne amintim că luăm o bandă dreptunghiulară (de hârtie) care să FIGURA 5.12. Plan tangent.STaSgradaF ≡ ∇aF
a .

98fi e „îngustă și lungă”; o bandă pătrată nu este bună. Dacă dreptunghiul are
lățimea , se recomandă să aibă, de exemplu, lungimea 8  (fi gura 5.13).
Fie LM linia mijlocie a dreptunghiului (dusă punctat). Se lipesc laturile AD
și BC ale benzii răsucite astfel încât M și N să coincidă ( AM ≡ CN). Notând
cu S suprafața benzii, se observă că S are o singură față și că mulțimea S\LM
este conexă (dintr-o bucată). Imaginând că LM este un pârâu și că U, V se
afl ă pe maluri diferite, după ce se realizează banda, se poate trece din U în V
fără să te uzi! Este un fenomen similar cu cel indicat în fi gura 5.14.
FIGURA 5.13. Bandă pregătitoare
pentru banda Möbius.FIGURA 5.14. Cerc considerat în plan și
în spațiu.MA
SLM U .
V .BAxy
OB(C)
Axy
z O
B(C)
N
CD
Dacă un cerc ( C) este asimilat cu o sârmă metalică plasată în planul xOy și (C)
este conectat la o priză, A este un punct interior și B unul exterior, nu se poate trece
din A în B fără să intersecteze frontiera, adică fără să te curenteze (căci R2\(C) are
două componente conexe). Dar R3\(C) este conexă („dintr-o bucată”), astfel că în
spațiu se poate trece din A în B. Relativ la banda lui Möbius există și alte curiozități.
De exemplu, dacă o mai răsucim o dată, îi dispare „farmecul” . Se poate oare considera o bandă de casetofon „fără sfârșit” modelată după o bandă Möbius ?
NOTĂ .Am sugerat anterior modul cum s-a defi nit noțiunea de curbură
pentru curbe (plane sau în spațiu), cu ajutorul vectorilor tangenți. Dacă S este o suprafață orientabilă și a ∈ S, există o infi nitate de
vectori tangenți la S în a, toți fi ind situați în planul tangent T
aS.
Gauss a procedat astfel: a considerat un domeniu situat pe S având
aria σ și versorii normalelor la suprafață de aceeași parte. Apoi a ales
un punct O și a dus versorii cu punctul de aplicație în O paraleli cu
versorii anteriori ; capetele lor vor acoperi o suprafață de arie τ pe
sfera centrată în O, de rază 1 (fi gura 5.15). Gauss a defi nit curbura
suprafeței S în
punctul a ca fi ind
0 () l i mSKaσ→τ=σ.
Bineînțeles pentru un
plan, curbura KS este
nulă, iar curbura unei FIGURA 5.15. Curbura suprafeței în a ∈ S.SOστ

99sfere este egală cu raza sferei (în fi ecare punct). Trebuie menționat că
idei similare a avut românul Em. Bacaloglu, contemporan cu Gauss. Nu mai dăm alte detalii.
După anul 1900, geometrii italieni Ricci, Levi Civita și francezul E. Cartan au
stabilit ecuațiile de mișcare a unui reper mobil al unei suprafețe și au introdus tensorii și transportul paralel, pregătind Geomet ria diferențială necesară Teoriei generale a
relativității.
5.3. Noțiunea de tensor
Trebuie spus de la început că scalarii sunt tensori de ordin zero, iar vectorii
sunt tensori de ordin 1. Tensorii, ca și vectorii sau scalarii, sunt mărimi care nu sunt modifi cate la schimbările de reper (ca și legile fi zicii); doar componentele lor se
modifi că la schimbările de coordonate. Coordonatele carteziene nu sunt totdeauna
cele mai potrivite și în funcție de context, se folosesc și alte tipuri de coordonate; de exemplu, în probleme cu simetrie axială (respectiv centrală, față de un punct), se recomandă coordonate cilindrice (respectiv sferice).
DEFINIȚIE
Se numește tensor de ordin doi (în R
3) orice operator liniar T: V3 →V3, unde V3
este spațiul vectorilor liberi 3D.
Tensorul nul (respectiv identic ) este operatorul nul (respectiv identic).
Fie B = {g1, g2, g3} o bază în V3 și G = (g1, g2, g3) produsul mixt (nenul). Atunci
vectorii 123
23 31 12111() , () , () gg g gg g gg gGGG=× =× =× formează o nouă
bază Br a lui V3, numită baza reciprocă a lui B. Dacă B este o bază ortonormală,
atunci gk = gk pentru 1 ≤ k ≤ 3. Pentru orice vector v ∈ V3 există o scriere unică
v = vigi (cu convenția Einstein de însumare după indici care se repetă) ; v1, v2,
v3 se numesc componentele contravariante ale lui v relativ la B. În mod similar,
v = vigi (cu vi componentele covariante ). Dacă T este un tensor de ordin 2,
avem T(gj) = Tijgi și Tij se numesc componentele dublu covariante ale lui T; apoi
T(gj) = T ijgi și T ij sunt componentele dublu contravariante . Dacă T este simetric
(adică matricea lui T relativ la baza B este simetrică), atunci se defi nesc și
componentele mixte, anume () ()ii i
jj jTg T g g T g== .
Să considerăm în R3 un reper ortonormal Ox1x2x3, cu versorii e1, e2, e3 formând
o bază pentru V3 (am înlocuit notația uzuală a reperului Oxyz cu versorii i, j, kGGG
).
Fie u1, u2, u3 un alt sistem de coordonate deci xi = xi(u1, u2, u3), 1 ≤ i ≤ 3, presupuse
funcții de clasă C1 și realizând o corespondență bijectivă între coordonatele x i și u j.
Așadar, un punct M din spațiu are două rânduri de coordonate, cele carteziene x1, x2,
x3 și cele „curbilinii” u1, u2, u3. Vectorul de poziție rO M=JJJJG G va avea expresia i
i rx e=G

100(sumă după i) și notăm cu gi = ir
u∂
∂G
(1 ≤ i ≤ 3). Vectorii g1, g2, g3 formează o bază
mobilă și putem considera vectorii bazei reciproce i
ik
kugex∂=∂ (sumă după k). Avem
ki
j
ii j ikxuggux∂∂⋅= ⋅ = δ∂∂pentru orice i, j.
Cunoscând componentele unui vector (sau tensor) într-o bază asociată unui
sistem de coordonate curbilinii u1, u2, u3, se pot calcula componentele aceluiași vector
(sau tensor) într-o bază asociată cu alt sistem de coordonate curbilinii 123,,uuu .
Notând j jrgu∂=∂G
, rezultă relațiile jj
ij ij iirr uugguu u u∂∂ ∂∂==⋅=⋅∂∂ ∂ ∂GG
(aplicând derivarea
funcțiilor compuse). Se arată că au loc relațiile:
,ij ij
ik ik jk jkuu uu
uu uu∂∂ ∂∂⋅= δ ⋅= δ∂∂ ∂∂, pentru 1 ≤ i, k ≤ 3.
Fie acum v ∈ V3 un vector oarecare. Scriind v = vigi = j
j vg⋅, rezultă
,ji
ji
ji ijuuvv v vuu∂∂==∂∂ etc., adică relații între componentele contravariante
sau covariante ale lui v. În mod similar, dacă T este un tensor de ordin 2, între
componentele dublu covariante au loc relații de forma
pq
ij pq ijuuTTuu∂∂=⋅∂∂ etc. (2)
Reținem că, în esență, un tensor dublu covariant este un set de 9 funcții Tij (u1, u2, u3),
1 ≤ i, j ≤ 3, astfel încât la orice schimbare de coordonate, funcțiile
()123 1 2 3(, , ) () ,() ,()jjj
ij ijT u u u T u uu uu u =
satisfac relații de tipul (2). Ceva similar avem la tensori dublu contravarianți, micști
sau de ordin superior.
EXEMPLE
1) Dacă jG
este densitatea de curent și EG este câmpul electric, cu
conductibilitate electrică σ, atunci jE=σGG
(ca vector). Dar într-un mediu
anizotrop, de exemplu într-un cristal, legea lui Ohm are caracter tensorial,
fi ecare componentă a lui jG
fi ind combinație liniară de componentele lui EG
;
adică k
ii kjE=σ ; 1 ≤ 3 cu ji și Ek vectori covarianți și k
iσ un tensor mixt.
2) Pentru orice sistem de coordonate curbilinii u1, u2, u3, considerăm produsele
scalare kk
ij i j ij iirr xxgg guu uu∂∂ ∂∂=⋅= ⋅ = ⋅∂∂ ∂∂GG
(sumă după k). Acestea sunt
componentele unui tensor dublu covariant, numit tensorul metric din R3;
[3]. Forma pătratică d s2 = dxkdxk (însumare după k) se numește metrica
euclidiană a lui R3 în coordonate carteziene și ea dă pătratul elementului
elementului de arc. Pentru orice alt sistem de coordonate curbilinii,

101ds2 = dd d dkk
ij i j
ij ijxxuu g u uuu⎛⎞ ⎛⎞∂∂⋅= ⋅ ⎜⎟ ⎜⎟∂∂⎝⎠ ⎝⎠.
Aceste noțiuni sunt folosite în Teoria relativității generale, dar și în Teoria
elasticității, Rezistența materialelor, Cristalografi e etc.
5.4. Spații metrice local euclidiene și noțiunea de varietate
Am văzut în 4 că alături de Geometria euclidiană, există și alte Geometrii
(Lobacevski – Bolyai, Riemann etc.), bine fundamentate logic. Este imposibil de verifi cat experimental postulatul paralelelor ; dar Legendre a arătat că acest postulat
este echivalent cu a arăta că există un singur triunghi în care suma măsurilor unghiurilor este 180
o. Abaterile observate în măsurătorile astronomice s-au afl at în
limitele erorilor de măsurătoare și problema alegerii Geometriei Universului a rămas indecidabilă.
Așa cum am mai spus, Geometria a evoluat de la Geometria antică a lui Euclid
(primul model tipic de axiomatizare), la Geometria proiectivă și Geometriile
neeuclidiene, până la studiul varietăților diferențiabile. Spațiul newtonian, asimilat cu Universul macro și microscopic, presupus omogen (unde toate punctele sunt la fel), izotrop (toate direcțiile sunt la fel), timpul curgând uniform, nu permite descrierea tuturor fenomenelor. În acest cadru, doi observatori afl ați în puncte
diferite, ar urma aceleași legi fi zice și ar putea comunica instant între ei, ceea ce nu
mai poate fi acceptat decât cu aproximație, uneori prea grosieră. După dezvoltarea
Geometriei diferențiale, Fizica a putut aborda științifi c prezența materiei în Univers,
ținând cont de curbura spațiului și tocmai pentru astfel de descrieri, H. Poincaré și H. Weyl au introdus conceptul de spațiu metric local euclidian și apoi pe cel de varietate diferențiabilă.
Reamintim că dacă X este o mulțime nevidă, a defi ni o distanță d pe X înseamnă
a asocia oricărui perechi ( x, y) ∈ X × X un număr real d (x, y), cu proprietățile de
pozitivitate, simetrie și inegalitatea triunghiului. Pe aceeași mulțime se pot defi ni mai
multe distanțe. Elementele lui X se numesc puncte , iar perechea ( X, d) – un spațiu metric .
EXEMPLE1) X = R, d(x, y) = |x – y| sau d
1(x, y) = |2x –2 y| sunt distanțe.
2) X = R2; pentru orice x = (x1, x2) și y = (y1, y2) se pot defi ni distanța euclidiană
d(x, y) = (( x2 – x1)2 + (y2 – y1)2)1/2, dar și distanța d1(x, y) = |x2 – x1| + |y2 – y1|.
În mod similar, în spațiul X = Rn, distanța euclidiană este dată prin
d(x, y) = ()1/2
2
1()n
kk kxy=− ∑ .
Există multe alte spații metrice, obținute defi nind distanțe între matrice, între
funcții continue pe un interval compact sau chiar între cuvinte binare.
Dacă ( X, d) este un spațiu metric fi xat și a ∈ X, r > 0, mulțimea B(a,r) = { x ∈ X |
d(x, a) < r} se numește bila deschisă centrată în a și de rază r.

102EXEMPLE
• Dacă X = R și d(x, y) = |x – y|, atunci B(a, r) = ( a – r , a + r ).
• Dacă X = R2 (respectiv R3) cu distanța euclidiană, bilele deschise sunt
discuri (respectiv sfere pline), omițând frontiera.
Pentru două spații metrice ( X, d), (Y, d ′), se numește izometrie orice aplicație
bijectivă u: X → Y, care păstrează distanțele, adică ∀x, y ∈ X, d(x, y) = d ′(u(x), u(y));
în acest caz, spațiile X și Y se zic izometrice .
EXEMPLU Translațiile și rotațiile în plan sau în spațiu sunt izometrii (pentru distanța
euclidiană).
Un spațiu metric ( X, d) se numește local euclidian de dimensiune n dacă pentru
orice punct a ∈ X, există r > 0 astfel încât bila deschisă B(a, r) să fi e izometrică cu o
bilă deschisă din R
n. Pentru n = 1, regăsim în esență curbele (conform defi niției din
5.1) și pentru n = 2, suprafețele (conform 5.2).
EXEMPLEa) Suprafață cilindrică Să considerăm un cilindru circular
drept ( C) de rază 1 și un punct
A pe cilindru. Alegem reperul
ortonormal Oxyz unde axa Ox este
OA și Oz este axa de simetrie a
cilindrului (fi gura 5.16).
Pentru a face geometrie pe cilindru, trebuie să defi nim distanța dintre
orice două puncte și să clarifi căm
noțiunea de „dreaptă” pe cilindru. Pentru orice punct M ∈ (C), fi e
N proiecția lui M pe planul xOy;
notăm u = lungimea arcului de cerc
AN (0 ≤ u ≤ 2π) și v = cota lui M.
Se scrie M (u, v). Pentru orice alt punct M′(u′, v′), vom defi ni următoarea
distanță:
δ (M, M′) =
()
()1/222
1/222() ( )
(2 ) ( )uu vv uu
uuuu vv⎧′′ ′ −+ − −≤ π ⎪⎨′−> π′′ ⎪π+ − + −⎩dacă
dacă.
Se verifi că axiomele distanței deci ( C, δ) este un spațiu metric.
Tăiem cilindrul în lungul generatoarei G care trece prin A și îl desfășurăm
pe o bandă verticală ( C′) de lățime 2 π, în care cele două laturi ale benzii se
identifi că (fi gura 5.17). Se verifi că ușor că aplicația f : (C) → (C′), M 6 (u, v)
este o izometrie, adică ∀M, M′ ∈ (C), δ (M, M′) = d (f (M), f (M′)). FIGURA 5.16. Cilindru circular drept.M
Axz
y
OP(C)
NG

103Dacă M ∉ G și r > 0 este „mic” , atunci
bila Bδ (M, r) = bila B (M, r) din R2 și
dacă P ∈ G, atunci bila
Bδ (P, r) = B1 ∪ B2 (fi gura 5.17).
Așadar, cilindrul ( C) este un spațiu
metric local euclidian (varietate 2-dimensională). Este fi resc să
numim „dreaptă” situată pe cilindrul (C) orice mulțime de forma f
– 1(Δ),
unde Δ este o dreaptă situată în
banda ( C ′). Se verifi că ușor că
„dreptelor” orizontale v = constant le
corespund cercuri perpendiculare pe axa cilindrului, „dreptelor” verticale u = constant le corespund
generatoare ale cilindrului paralele cu G, iar celorlalte „drepte” – elice
cilindrice situate pe ( C). Iată că prin două puncte distincte ale lui ( C) pot
trece mai multe „drepte” (deci nici măcar prima axiomă a lui Euclid nu se verifi că!). În plus, G intersectează elicea de o infi nitate de ori, iar „dreptele
orizontale” sunt mărginite! Ca atare, spațiul metric ( C) nu este euclidian (dar
este local euclidian!) ; [2].
b) Suprafață sferică
Fie o sferă ( S) de rază 1, cu polul Nord N și planul tangent ( P) în punctul
N ′ diametral opus lui N (fi gura 5.18), asimilat cu planul C al lui Gauss. Se
consideră aplicația de proiecție stereografi că p : (S) \ N → C, care asociază
oricărui punct M ∈ (S), M ≠ N, punctul P de intersecție al dreptei NM cu
planul ( P). Adăugând la ( S) punctul N și la ( P) ≡ C un „punct la infi nit” ,
FIGURA 5.18. Proiecția stereografi că.,
,1
0,uv
u
u⎧−
⎪⎪⎨+⎪
⎪⎩δ (u, v) =dacă u, v ∈ C
dacă u ∈ C, v = ∞
dacă u = ∞, v = ∞
Pe sferă se poate atunci defi ni o
distanță d punând
d (M, M ′) = δ (p(M), p(M ′)).
Aplicația p este o izometrie și
ca atare, ( S) este un spațiu metric
local euclidian 2D. Bilele centrate în N sunt exterioarele de cercuri.se obține o aplicație bijectivă p : S → =CC ∪ ∞. Pe mulțimea C se poate
defi ni următoarea distanță
(S)N
M
PN ′ (P) ≡ CFIGURA 5.17. Cilindrul anterior tăiat
în lungul generatoarei G și desfășurat.Mv
uB1
B2
AO( C ′ )
AP P

104 „Dreptele” de pe sferă sunt mulțimile de forma p– 1(Δ) cu Δ dreaptă din C,
de exemplu cercurile mari trecând prin N și N′. Sfera nu este un spațiu
euclidian, deoarece orice două „drepte” se intersectează.
c)Torul plan
Fie a > 0, b > 0 și dreptunghiul
T = [−a, a] × [− b, b], cu vârfurile A, B, C,
D (fi gura 5.19). Identifi căm segmentele
[AB] și [ DC] punct cu punct ( A cu D, B
cu C etc.); apoi identifi căm [ AD] cu [ BC]
(A cu B, D cu C). Fie M2,33ab⎛⎞−−⎜⎟⎝⎠ și
N2,3ab⎛⎞⎜⎟⎝⎠. Fie d (M, N) = „distanța” dintre M și N, adică lungimea celui mai
scurt drum pe T, unind M cu N. Fie N′ 2,33ab⎛⎞− ⎜⎟⎝⎠ proiecția lui N pe DC și
identifi căm N′ ≡ N. Evident MN′< MN și fi e M′4,33ab⎛⎞− ⎜⎟⎝⎠. Apoi M′ ≡ M și
M′N′ < MN′. Rezultă că „distanța” dintre M și N este M′N′ =22 1
3ab+ .
„Distanța” dintre D și B este 22ab+ (maxima posibilă).
Dreptunghiul T, cu perechile de laturi opuse identifi cate și cu regula indicată
de calcul al „distanțelor” între puncte, se numește tor plan . „Dreptele” pe tor
sunt segmente de dreaptă euclidiană de tip DB, dar și reuniuni de segmente
paralele (ca în fi gura 5.20) [ C1C2] ∪ [C3C4] ∪ [C5C6]…, ținând cont că Co ≡ C1,
C2 ≡ C3, C4 ≡ C5, C6 ≡ C7 etc. Se poate arăta că o astfel de dreaptă este infi nită
dacă numărul tga
b⋅α este irațional. Este evident că orice punct interior al lui T
are o vecinătate (un disc) în care regăsim Geometria euclidiană. Dacă F este un
punct pe frontiera lui T, el se identifi că cu F ′ și geometria în vecinătatea lui F
este tot cea euclidiană. Paradoxal, deși „distanțele” sunt mărginite de 22ab+ ,
„dreptele” pot fi oricât de lungi; [2].
NOTĂ . Dacă pe un spațiu metric X
avem o relație de echivalență R și identifi căm într-unul
singur toate punctele situate în aceeași clasă de echivalență, atunci se obține spațiul-cât X / R.
Arătăm acum că toate construcțiile anterioare se pot prezenta în acest context.FIGURA 5.19. Dreptunghi
pregătitor pentru tor.B
Oxy
N′ A
M M′
C DFN
FIGURA 5.20. Tor plan.A
F F ′B
CC0
C1C2
C3C4
C5D

105EXEMPLE
1) Fie X = R și relația de echivalență xRy ì x – y ∈ Z. Mulțimea X / R este notată
R / Z și este în corespondență bijectivă cu cercul unitate S 1 = {x2 + y2 =1};
anume f : R / Z → S 1, f (t mod 2π) = (cos t, sin t).
2) Dacă X este banda infi nită [ − 1, 1] × R și identifi căm punctele M, M ′ situate
pe marginile benzii și afl ate la aceași înălțime, se obține cilindrul S 1× R
(fi gura 5.21).
FIGURA 5.21. Cilindrul S 1× R. MM ′M ≡ M ′
–1 ≡ 1–1 1xy
3) Considerând un dreptunghi ca în fi gura 5.19, identifi cările indicate conduc
în esență la un tor, afl at în corespondență bijectivă cu produsul cartezian
S 1×S 1 a două cercuri (fi gura 5.22).
FIGURA 5.22. Tor în spațiu.
4) Considerăm din nou un dreptunghi, rotim o latură cu 180o și o identifi căm
(lipim) cu latura opusă (fi gura 5.23); se obține o bandă Möbius.
FIGURA 5.23. Banda lui Möbius.
Fie acum X un spațiu metric; presupunem că pentru orice punct x ∈ X există r > 0
și o aplicație bijectivă ϕ : B(x, r) → V (V fi ind un domeniu din Rn) astfel încât ϕ și
ϕ − 1 să fi e continue. O astfel de aplicație se numește hartă locală pe X. Oricărui punct
P ∈ B(x, r) i se asociază un punct ϕ (P) = ( x1(P),…, xn(P)) unde x1,…, xn se numesc
coordonatele locale ale lui P (relativ la harta ϕ). Pentru altă hartă ψ : B(x, r′) → V′

106astfel încât P ∈ B(x, r′), ψ (P) = ( y1(P),…, y n(P)) și local există relații de forma
y i = y i(x1,…, xn). Hărțile ϕ, ψ se numesc compatibile dacă aceste relații sunt
difeomorfi sme de clasă C1 între domenii din Rn.
DEFINIȚIE
X se numește o varietate diferențiabilă (v. d.) de dimensiune n dacă pe X există
o familie de hărți care acoperă X și sunt compatibile două câte două.
EXEMPLE
1) Rn este o v. d. de dimensiune n.
2) Sfera S 2 din R3 este o v. d. de dimensiune 2, având două hărți
(complementarele polurilor).
3) Produsul cartezian a două v. d. este o v. d. În particular, cilindrul S1× R și
torul S1× S1 sunt v. d.
4) O varietate diferențiabilă „scufundată” V ⊂ RN are dimensiunea n dacă local
ea este defi nită prin N – n ecuații carteziene (de clasă C1). Pentru
N = 2, n = 1 se obțin curbele plane (conform 5.1); pentru N = 3, n = 2 se
obțin suprafețele în spațiu ( 5.2) și pentru N = 3, n = 1, curbele în spațiu.
5) Iată și un exemplu ingineresc de varietate diferențiabilă, [1]. Să considerăm
un circuit electronic RLC ca în fi gura 5.24. Prin
fi ecare ramură trece curent având intensitatea
i și tensiunea u. Circuitului i se asociază două
triplete de numere reale ( iR, iL, iC), (uR, uL, uC), iar
legile lui Kirchhoff arată că iR = iL = − iC,
uR + uL − uC = 0; apoi uR = ϕ (iR) cu ϕ funcție de
clasă C1.
Schimbând notațiile, circuitului considerat i se asociază următoarea submulțime V ⊂ R
6,
V = {( x1, x2, x3, x4, x5, x6)| x1− x2 = 0, x2 + x3 = 0,
x4 + x5 − x6 = 0, x4 − ϕ(x1) = 0}, deci N = 6, r = 4 și ca atare, V este o v. d. de
dimensiune 2.
Vom relua studiul v.d. în 12.6, pe baze fi zice.Toate obiectele matematice prezentate
aici și acolo au proprietăți importante, care descriu legături reciproce și posibilități vaste de aplicare ; esența lor comună este utilizarea aparatului Analizei matematice și impactul asupra înțelegerii geometrice a diverselor porțiuni din realitatea fi zică. Este sufi cient
de spus că în modelul Einstein-Minkowski, Universul este o varietate diferențiabilă de dimensiune 4, înzestrată cu structuri suplimentare, așa cum vom indica în 12.
BIBLIOGRAFIE
1. M. Kirsh, St. Smale – Diff erential equations, dynamic systems – Academic Press, 1974.
2. I. H. Sabitov – Este așa simplă lumea euclidiană ? Kvant, 14 – 20, 1984.
3. O. Stănășilă – Analiză liniară și Geometrie , Ed ALL, 2000.
4. I. Șafarevici – Noțiunile fundamentale ale algebrei , Ed. Academiei Române, 1989.FIGURA 5.24. Circuit RLC.RC
L

107• What we hope ever to do with ease, we
must learn to do with diligence.
S.JOHNSON
• Matematica nu este împietrită în
scheme și se afl ă la intersecția nodală a
necesității și libertății.
H. WEYL
6. FORMULA LUI TAYLOR ȘI LEGĂTURI ÎNTRE ANALIZA MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ
6.1. Puțină istorie
Am reamintit că multe procese fi zice, chimice sau economice se desfășoară în
timp, după anumite legi diferențiale de evoluție, iar soluțiile ecuațiilor diferențiale asociate sunt funcții elementare – polinomiale, trigonometrice, exponențiale, logaritmice etc. −, al căror studiu a început din primele clase de liceu, el continuând,
îmbogățindu-se, odată cu utilizarea derivatelor și integralelor.
Interesul pentru calculul (aproximativ) al valorilor funcțiilor elementare
a crescut în mod exponențial după începerea revoluției industriale, deci după dezvoltarea mașinismului, folosirea forței ab urului și extinderea navigației militare
sau comerciale. Se cunoaște rolul excepțional al tabelelor logaritmice sau tabelelor valorilor funcțiilor trigonometrice în perioada 1700 – 1940, cu 5 sau mai multe zecimale. În ultimii 60 de ani, acestea au fost înlocuite de calculatoarele electronice. Ce se știe mai puțin este că atât tabelele menționate, cât și calculatoarele moderne, au la bază
utilizarea eficientă a formulei lui Taylor.
Profesorul englez Brook Taylor (1685 – 1731) a fost membru al Societății
regale din Londra, ales în 1712. În 1715, el a scris un memoriu intitulat „Methodus incrementorum directa et inversa” , unde a stabilit celebra formulă care îi poartă numele. Înainte de a analiza efectele acestei formule, merită să menționăm contextul în care ea a fost elaborată ; se știe că a existat în acea epocă o dispută teribilă între Newton și Leibniz privind prioritatea descoperirii Calculului diferențial și integral, dispută care cuprinsese mari grupuri de matematicieni din Europa. Newton a minimizat importanța formulei lui Taylor, spunând că îi era cunoscută de la Gregory; matematicianul scoțian Colin MacLaurin (1698 – 1746) este cel care era un fel de secretar științifi c și redactor al rezultatelor lui Newton, el utilizând sistematic
formula lui Taylor într-un caz particular (anume în jurul originii). Abia în 1772,

108academicianul francez J. P . Lagrange a arătat rolul formulei lui Taylor, ca un rezultat
fundamental de sine stătător pentru Analiza reală și complexă. Același Taylor a inițiat și dezvoltat calculul cu diferențe fi nite. Acestea sunt analogul discret al derivatelor și
trebuie spus că după apariția calculatoarelor puternice, diferențele fi nite au avut o
largă aplicabilitate printre ingineri și fi zicieni. Istoricii au descoperit că, într-o formă
incipientă, diferențele fi nite au fost folosite de matematicianul indian Madhava încă
din secolul 14, pentru funcțiile „sin” , „cos” , ca și de astronomul Kercula. Se confi rmă
și aici că „tot ce este înțelept a mai fost gândit” .
Se știe mai puțin că, după 1720, Curtea regală de la Londra a mărit numărul
de matematicieni calculatoriști, care au lucrat cu discreție și au stabilit cele mai complete tabele de valori ale funcțiilor elementare. În contextul dezvoltării industriei și comerțului, Anglia s-a întărit ca mare putere mondială, având un fundament științifi c solid pentru aplicarea noilor tehnologii industriale în Cartografi e, Balistică,
Navigație sau în domeniul militar ; [1]. Desp re această contribuție a matematicienilor
se vorbește mai puțin, așa cum se întâmplă și astăzi, uitându-se de rolul acestora în dezvoltarea Fizicii nucleare, al Mecanicii cuantice, Criptografi ei, construcției
calculatoarelor moderne, precum și în domeniul sateliților de telecomunicații sau al rețelelor mari și rapide de tipul INTERNET.

6.2. Motivația și enunțul formulei lui Taylor pentru funcții reale
Cele mai simple funcții reale sunt ce le polinomiale, ca sume de monoame.
Calculul valorilor acestor funcții necesită doar adunări, scăderi și înmulțiri. Pentru calculul valorilor altor funcții reale, prima idee a fost aceea a aproximării lor prin
polinoame (identifi cate cu funcțiile polinomiale asociate). Se cunosc trei tipuri de
astfel de aproximări; [4]:
– aproximarea globală : dacă f : [a, b] → R este o funcție continuă, o teoremă
a lui Weierstrass arată că pentru orice ε > 0, există un polinom P cu coefi cienți
reali depinzând de ε, astfel încât æf – P æ < ε (pentru norma – sup), adică
∀ x ∈ [a, b], |P(x) – f(x) | < ε. Ca o consecință, pentru orice întreg n ≥ 1, luând
ε = 1
n, rezultă că există un polinom Pn ∈ R[X] astfel încât æf – Pnæ < 1
n;
așadar, f este limita unui șir uniform convergent de polinoame. Teorema se
extinde și la funcții continue de mai multe variabile, pe mulțimi compacte.
Geometric, teorema lui Weierstrass se interpretează astfel: pentru orice ε > 0, în
„tubul” delimitat de grafi cele funcțiilor f − ε și f + ε, este inclus grafi cul unui polinom
P (punctat în fi gura 6.1). Desigur, pentru orice x ∈ [a, b] avem f (x) ≅ P (x), fără a
estima eroarea absolută. Teorema lui Weierstrass nu are loc pentru funcții continue pe intervale deschise mărginite și nici pe întreg R. În practică, pentru o funcție f dată,
este difi cil de indicat algoritmic – procedural polinomul P de aproximare, în afara
unor contexte speciale.
Merită de adăugat că matematicianul rus Cebâșev a arătat că pentru orice funcție
continuă f : [a, b] → R și pentru orice întreg n ≥ 1, există un polinom monic P de
grad n astfel încât norma æf – Pæ să fi e minimă (dar nu oricât de mică!).

109- aproximarea prin interpolare : fi ind dată o funcție f : I → R pe un interval
I, se fi xează, în funcție de context, un
număr fi nit de „noduri” interioare
x1 < x2 <… < xn situate în I și se
calculează valorile yk = f (xk),
1 ≤ k ≤ n. Se determină apoi acel
unic polinom P de grad cel mult
n – 1 astfel încât P (xk) = yk, 1 ≤ k ≤ n.
Acesta este celebrul polinom de
interpolare Lagrange . În mod concret,
se determină cele n polinoame Lj
de grad n, astfel încât Lj(xi) = δij
pentru orice 1 ≤ i, j ≤ n și atunci
P (x) = 1()n
kk kyL x=⋅ ∑ .
Desigur, au loc relațiile
P (xi) = 11()nn
kk i kk i i kkyL x y y==⋅= ⋅ δ = ∑∑
pentru orice 1 ≤ i ≤ n, deci funcțiile P și f au aceeași valoare în cele n
noduri. Se consideră atunci că funcția f se aproximează prin polinomul
P, adică f (x) ≅ P(x) și pentru valori x ≠ xk; dar această aproximare este
grosieră… În plus, ea nu se transferă la derivate (nu rezultă f ′(x) ≅ P ′(x),
dacă f nu este netedă). Termenul de „interpolare” evită folosirea barbarismului
„internodare”! Interpolarea Lagrange a stat la baza obținerii multor formule cunoscute sau legi empirice din Fizică sau Inginerie, pe baza alcătuirii de tabele x
k 6 yk de date
de măsurătoare, care au condus la stabilirea unor legi de dependență de tipul y = f (x).
Interpolarea Lagrange se extinde cu difi cultate la funcții de mai multe variabile.
În ultimii ani, s-au dezvoltat tehnici numerice subtile, inclusiv utilizarea funcțiilor „spline” , care sunt funcții polinomiale pe porțiuni (vezi 8.3). Teoria și practica
interpolărilor au fost puternic infl uențate de computerele moderne și de utilizarea
pachetelor de programe de tip MATLAB sau MATHEMATICA.
– aproximarea locală (tayloriană) , valabilă pentru funcții netede (adică
derivabile de câteva ori). Aceasta este cea mai importantă, cea care a condus la formula lui Taylor, pe care o redăm la trei nivele de rigoare:
Nivelul 1 („redarea esenței”): Fie f : I → R o funcție de clasă C
n(I), adică
derivabilă de n ori, cu toate derivatele continue pe I (n ≥ 1). Fixăm un
punct a din interiorul intervalului I. Atunci există un polinom Tn de
grad cel mult n astfel încât pentru orice x din vecinătatea punctului a,
să avem f (x) ≅ Tn(x).
Nivelul 2 („ca fapt de cultură”). O funcție sufi cient de netedă se poate
aproxima local, în jurul oricărui punct fi xat, printr-o funcție
polinomială, cu evaluarea erorii. În particular, grafi cul unei funcții FIGURA 6.1. Tubul de funcții
delimitat de f – ε și f + ε și grafi cul
(punctat) al polinomului P.O a bxy
f – εf P f + ε

110derivabile se poate aproxima local cu un segment de dreaptă, iar
grafi cul unei funcții derivabile de două ori, se poate aproxima local cu
un arc de parabolă etc.
TEOREMA LUI TAYLOR (nivelul 3 , de înaltă rigoare):
„Fie n ≥ 1 întreg, I = [α, β ] un interval, f : I → R o funcție de clasă Cn + 1 pe I și
a ∈(α, β) un punct fi xat. Atunci pentru orice x ∈ I, există un punct cx situat între
a și x, astfel încât
f (x) = Tn(x) + f (n +1)(cx)1()
(1 ) !nxa
n+−⋅+, (1)
unde
Tn(x) = () ()
2
0() () () ()() ( ) () () . . . ()
!1 ! 2 ! !k n
nk n
kfa f a f a faxa f a xa xa xa
kn=′′ ′−= + − + −+ + − ∑ (2)

este polinomul Taylor de ordin n asociat funcției f și punctului a”.
Expresia Rn(x) = f (n + 1)(cx) 1()
(1 ) !nxa
n+−⋅+ se numește restul Lagrange de ordin n.
Există și alte forme de reprezentare a restului (adică formule de tipul F (x) = Tn(x) +
+R*n(x), mai puțin utilizate). Înlocuind x cu a + h , formula lui Taylor se scrie astfel:
f (a+h) = ()
2 () () ()( ) …1! 2! !n
n
nfa f a f afa h h h Rn′′ ′++ + + + ,
unde Rn = (1 )
1 ()
(1 ) !n
n fhn+
+ξ
+și ξ situat între a și a+h.
Nu vom da demonstrația formulei (1) + (2), trimițând la texte de manual [4], dar
vom reaminti sau prezenta mai multe consecințe și aplicații.
COROLAR 1.
Dacă I = (− α, α), a = 0 și f ∈ Cn + 1(I), atunci pentru orice x ∈ (− α, α), există
c ∈ (0, 1) astfel încât
() ( 1 )
21 (0) (0) (0) ( )( ) (0) …1! 2! ! ( 1)!nn
nn ff f f c xfx f x x x xnn+
+ ′′ ′=+ + + + ++. (3)
Această formulă (3) este atribuită lui MacLaurin din rațiuni sentimentale, ținând
cont că el a exploatat masiv formula (3), în timp ce redacta lucrările lui Newton, iar Taylor se ocupa de alte subiecte (de exemplu, de calculul cu diferențe fi nite sau de
studiul coardei vibrante).
COROLAR 2.
Notând M
n = supx∈I | f(n)(x)|, eroarea absolută în formula aproximativă
f (x) ≅ Tn(x), pentru x ∈ [α, β ] (4)
este 1 1()(1 ) !n n
nMfTn+ +−≤ ⋅ β − α+.
Reamintim că se scrie f (x) = o( g(x)) pentru x → a dacă ()lim 0()xafx
gx→ = („notația
lui Landau”). Atunci are loc următorul

111COROLAR 3.
Avem f (x) – Tn(x) = o(( x – a )n)
pentru orice x din vecinătatea lui a.
În particular, pentru n = 1,
f (x) ≅ T1(x) = f (a) + f ′(a)(x – a )
(„aproximarea liniară”) și pentru n = 2, f (x) ≅ T
2(x) = f (a) +
+ f ′(a)(x – a ) 2 ()()2!faxa′′+−
(„aproximarea pătratică”), conform
fi gurii 6.2.
EXEMPLE1) Fie f: [0, 1] → R, f (x) = e
x,
a = 0 și n = 2.
Atunci e x = 1 + x 23
e26cx xx++ , unde 0 < c < 1. În particular, e x ≅ 1 + x +2
2x,
cu eroarea cel mult e
6.
2) Calculăm sin 47o30′ cu precizia 10 – 4.
Avem sin ( a + h ) ≅ sin a + h cos a – 2
2hsin a + R2, unde R2 = 3
6h− cos ξ. În Analiza
matematică , măsurile unghiurilor sunt date în radiani deci 180o = π, 1o = 180π, 45o =4π
și h = 2o30′ = 2,5 ×
180π ≅ 0,04363. Atunci sin 47o30′ = sin
4π + h cos 4π− 2
2hsin 4π+ R2
deci sin 47o30′ ≅ 2
2(1 + h −2
2h) ≅ 0,73728 cu eroarea absolută 3
4
2 106hR−≤≤ .
Așa s-au realizat tabelele trigonometrice cu 5 zecimale exacte, după anul 1715.
NOTĂ . Formula lui Taylor are loc și
pentru funcții de două sau mai multe variabile reale ; [4]. Pentru exemplifi care, fi e f (x, y),
f: D → R o funcție de clasă C
2
într-un deschis D ⊂ R2, un punct
Mo(a, b) ∈ D și un disc Δ centrat în
(a, b) și conținut în D (fi gura 6.3).
Atunci pentru orice punct M (x, y) ∈ Δ, există un punct ( ξ,η)
situat pe segmentul [ M
oM] astfel
încât FIGURA 6.2. Aproximarea liniară ( f T1)
și aproximarea pătratică ( f T2).O a xy
y = T2(x)y = f (x)y = T1(x)
(a, f(a ))
FIGURA 6.3. Condițiile geometrice
pentru formula lui Taylor 2D. O xy
Δ
M0(a, b)M(x, y )
(ξ, μ)
D

1121(, ) (,) ( ) ( )1! oofffxy fa b x a y bxy⎡⎤ ∂∂⎛⎞ ⎛⎞=+ − + − + ⎜⎟ ⎢⎥ ⎜⎟∂∂⎝⎠ ⎝⎠ ⎣⎦
22 2
22
22
(,)(,) (,)1() 2 () () ()2! nn nff fxa xayb ybxy xy ξξ ξ⎡⎤ ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎞∂∂ ∂+− + − − + −⎢⎥ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟∂∂ ∂∂⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎢⎥⎣⎦.
Nu dăm detalii; [4].
6.3. Seriile Taylor ; analiticitatea reală și analiticitatea complexă
Fixăm a ∈ R. Seriile de forma 2
01 2 0() () . . . ()n
n nc c xa c xa cxa∞
=+− +− + = − ∑ ,
cu coefi cienții reali cn, se numesc serii de puteri în jurul punctului a (echivalent,
după puterile lui x – a ). Principala proprietate a lor este aceea că sumele parțiale sunt
polinoame. Evident, seria este convergentă pentru x = a ; dacă seria este convergentă
într-un punct x ≠ a, atunci Abel a demonstrat că există R > 0 astfel încât seria să
fi e convergentă dacă |x – a | < R și divergentă dacă |x – a | > R (R se numește raza
de convergență ); dacă seria este convergentă pentru orice x ∈ R, se spune că raza
de convergență este infi nită. Seriile de puteri pot fi derivate sau integrate termen cu
termen în intervalul de convergență.
Dacă f : I → R este o funcție de clasă C∞ (adică indefi nit derivabilă) și a ∈ I
este un punct interior, atunci funcției f și punctului a li se pot asocia seria de puteri
()()()!n
n
nofaxan≥− ∑ , numită seria Taylor a lui f în jurul lui a. Această serie nu este
neapărat convergentă și chiar dacă ar fi , suma ei nu este neapărat egală cu f (x) în
vecinătatea lui a.
EXEMPLU
Fie f : R → R, f (x) = 21
ex−
pentru x ≠ 0 și f (0) = 0. Se arată ușor că f este
de clasă C∞ pe R și că toate derivatele f (n)(0) = 0 pentru n ≥ 0. Așadar, seria
Taylor a lui f în jurul originii este seria nulă și suma acesteia, adică funcția
nulă, diferă de f în vecinătatea originii.
Există un caz important când seria Taylor a lui f este convergentă și are suma f (x),
pentru x ∈ I, anume dacă toate derivatele lui f, de orice ordin, sunt egal mărginite pe
I. În acest caz, are loc următoarea formulă de reprezentare a lui f, numită dezvoltarea
Taylor a lui f în jurul lui a:
()() ()( ) ( ) ( ) … ( ) …1! !n
n fa f af x f a xa xan′=+ − + + − + ∞
R-analiticitate
O funcție f : I → R pe un interval deschis I se numește R-analitică dacă este de
clasă C∞ și pentru orice a ∈ I, f este dezvoltabilă în serie Taylor în vecinătatea lui a.
Funcțiile elementare sunt R-analitice pe orice interval deschis conținut în domeniul
lor de defi niție. Într-un sens neriguros, dar sugestiv, funcțiile analitice sunt polinoame
de grad infi nit. Trebuie de asemenea menționat că pentru unii fi zicieni sau ingineri,
funcțiile analitice ar fi , eronat, cele defi nite explicit, prin legi de corespondență.

113EXEMPLE
1) Funcția din exemplul anterior este de clasă C∞, dar nu este R-analitică pe
nici un interval deschis care conține originea.
2) Pentru f (x) = sin x și a = 0, avem dezvoltarea Taylor sin x =35
…1! 3! 5!xx x−+− ;
în mod similar, cos x = 1246
…2! 4! 6!xxx−+−+ ; e x = 1 +23
…1! 2! 3!xx x+++ , toate
cu raza de convergență infi nită.
3) Pentru orice α ∈ R, 2 (1 )(1 ) 1 …1! 2!xx xα αα α −+= ++ + , cu raza de convergență
egală cu 1; în particular, 23 11 11 1 …28 1 6xx x x+= + − + − pentru |x| < 1.
4) Fie f : ,22ππ⎛⎞−⎜⎟⎝⎠→ R, f (x) = ln cos x. Ținând cont de dezvoltările:
ln(1+ u) = u – 2
3()2uou+ și cos x – 1 = 24
5()22 4xxox −++ ,
rezultă
f (x) = ln(1 + cos x – 1) = cos x – 1 23 1(cos 1) (cos 1)2xo x −− + − = 24
5()21 2xxox −−+ .
C – analiticitate și integrale complexe
Fie D ⊂ C o mulțime deschisă și f : D → C o funcție complexă. Grafi cul lui f
este o submulțime a lui C × C = R4 și nu poate fi vizualizat direct. A da o funcție
complexă w = f (z) revine la a defi ni o transformare punctuală de la D (de la planul
variabilei complexe z = x + iy la planul variabilei complex w = u + iv). Relația
u + iv = f (x + iy) = P (x, y) + i Q (x, y) determină două funcții reale u = P (x, y),
v = Q (x, y). Dacă zo = xo + iyo ∈ D, funcția f este continuă în zo î P, Q sunt continue
în (xo, yo) ∈ R2.
Funcția f se zice C-derivabilă în zo dacă există și este fi nită f ′(zo) =
0
00
0() ( )limzz
zzfz fz
zz→
≠−
−.
Funcția f se zice olomorfă în D dacă P, Q sunt de clasă C1(D) și în plus, f este
C-derivabilă în orice punct din D. Dacă f ∈ C1(D), se arată că f este olomorfă
,PQ P Q
xy y x∂∂ ∂ ∂== −∂∂ ∂ ∂R în D (relațiile Cauchy – Riemann ).
Un fapt remarcabil îl constituie teorema identității : dacă f, g sunt două funcții
olomorfe în D, care coincid pe o submulțime deschisă Δ ⊂ D, atunci ele coincid pe D.
Astfel, olomorfi a are legături ascunse cu holografi a!

114EXEMPLE
1) Funcția f (z) =z este de clasă C∞ pe C, dar nu este olomorfă.
2) Funcțiile complexe elementare – polinoamele, exponențiala w = ez, câturile
de polinoame sunt olomorfe pe orice deschis pe care sunt defi nite.
Formula Taylor se regăsește la funcții olomorfe, anume are loc
TEOREMA (Taylor – Cauchy – Weierstrass).
Fie f : D → C o funcție olomorfă în deschisul D. Fie a ∈ D și un disc |z – a | < r,
r > 0, conținut în D. Atunci pentru orice n ≥ 1 avem
f (z) = Tn(z) + Rn(z), unde
Tn(z) = ()() ()( ) () . . . ()1! !n
n fa f af a za zan′+− + + − ,1() , m a x ()
1n r
nr zarMRz M f z+
−=≤⋅ β =
−β
și β este ales astfel încât 1za
r−≤β< .
O funcție complexă f: D → C se numește C − analitică dacă pentru orice a ∈ D, f
este dezvoltabilă în serie Taylor de puteri ale lui z – a , valabilă într-o vecinătate a lui a.
Se poate arăta că f este C-analitică în D ì f este olomorfă în D.
Dacă f (z) = 0()n ncz a∞
=− ∑n în vecinătatea lui a, atunci ()()
!n
nfacn= , n ≥ 0.
EXEMPLE
1) Fie f (z) = e z. Atunci e z = 1 +2
… …1! 2! !nzz z
n++ ++ ∞ (valabilă pentru orice z ∈ C).
În particular, dacă x ∈ R, atunci rezultă e ix = cos x + i sin x (formula lui
Euler ).
2) Avem sin z = 35
…1! 3! 5!zz z−+− și cos z = 124
…2! 4!zz−+− , pentru orice z ∈ C.
3) Avem 2 11 …1zzz=++ +− și 24
211 …1zzz=− + −+, pentru 1z<.
Un punct zo ∈ C se zice singular pentru o funcție complexă f dacă există r > 0
astfel încât f să fi e olomorfă pe mulțimea { z / |z – z0 | < r, z ≠ z0 }. În acest caz, are
loc o dezvoltare de forma f (z) = 0 ()n
n ncz z∞
=−∞− ∑, numită dezvoltarea Laurent în
punctele z ≠ z0 dintr-o vecinătate a lui z0. Punctul z0 se numește pol de ordin n (n ≥ 1)
dacă cm = 0 pentru m < − n. Coefi cientul c– 1 se numește reziduul lui f în punctul z0 ;
se mai notează c– 1 = Rez( f; z0). Dacă z0 este un pol simplu și f (z) = ()
()Pz
Qz cu P, Q
polinoame, cu Q ′(z0) ≠ 0, atunci Rez( f ; z0) = 0
0()
()Pz
Qz′.
Dacă γ : z = z (t), t ∈ [a, b] este un drum continuu de clasă C1 pe porțiuni (deci
z = x + iy și γ are ecuații parametrice x = x (t), y = y (t); t ∈ [a, b], funcții de clasă C1 pe

115porțiuni) și dacă f este o funcție complexă continuă pe un deschis care conține urma
drumului γ, atunci se defi nește integrala complexă
() d (( ) ) ( ) db
afz z fz t zt t
γ′ =⋅ ∫∫,
cu proprietățile de liniaritate și aditivitate; în plus, dacă ()fz M ≤ , atunci
() d ()fz z ML
γ≤⋅ γ ∫, unde L( γ) = 22
() ()db
axt yt t′′+ ∫ este lungimea drumului γ.
EXEMPLE1) Fie γ : z = t + it
2, t ∈ [0, 1]; atunci
1 122 3
0 0d ( i ) (1 3i )d ( 3i 2 )dzz t t t t t t t t
γ=+ ⋅ + =+ − =∫∫ ∫ i.
2) Fie γ : |z – z0 | = r, circumferința centrată în zo, de rază r > 0. Punând z = zo +
r . eit, t ∈ [0, 2 π), rezultă
2 2ii 1 i ( 1 )
0 0 0() d ei e d i e dnn n t t n n tzz z r r t r tππ++
γ⎧⎪−= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⎨⎪⎩∫∫ ∫ 0, dacă n ≠ – 1
2πi, dacă n = – 1.
NOTĂ . În 1912, profesorul român D. Pompeiu a asociat oricărei funcții
f : D → C de clasă C1 pe un deschis D ⊂ C și oricărui punct z0 ∈ D,
derivata areolară
000 2 1()l i m ( ) d2irzz rfzf z zz r→−=∂=∂ π∫ (cercul fi ind
parcurs pozitiv o singură dată), arătând că 1i2ff f
zx y∂∂ ∂ ⎛⎞=+⎜⎟∂∂ ∂ ⎝⎠,
în fi ecare punct din D. Dacă f este olomorfă, atunci 0f
z∂=∂ în D.
În 1927, germanul W . Wirtinger a extins operatorul z∂
∂ pentru funcții
complexe de mai multe variabile ; în literatură este folosită denumirea
de operator Wirtinger, omițându-se în mod nedrept numele lui Pompeiu.
Un rezultat spectaculos îl constituie teorema lui Cauchy a reziduurilor: dacă γ
este un drum închis de clasă C
1 pe porțiuni, fără autointersecții și dacă în interiorul său
se afl ă un număr fi nit de singularități ak ale unei funcții f, atunci
() d 2i R e( ; )k fz z zfa
γ=π ⋅∑ ∫v.
Așadar, se pot calcula unele integrale
complexe fără a recurge la primitive, ci numai din comportarea integrantului în punctele singulare. Un alt rezultat spectaculos este formula integrală a lui Cauchy (FIC):
Dacă γ este un drum închis, ca mai sus , a
un punct interior și f o funcție olomorfă
(≡ analitică ) în interiorul lui γ, atunci
f (a) =
() 1d2fzziz aγπ−∫ (fi gura 6.4). Așadar, se FIGURA 6.4. Condițiile
geometrice ale FIC.O xy
a
zγ(z)

116poate determina valoarea lui f (a) într-un punct interior cunoscând valorile lui f pe
frontieră.
Acest rezultat, alături de formulele stokiene (Gauss, Green – Riemann, Stokes)
face parte din formulele utile și totodată spectaculoase, care stabilesc legătura între date accesibile măsurătorilor și date inaccesibile direct ; în cazul FIC, punctul a poate
fi „inaccesibil” și γ, da!

6.4.Legături între analiza matematică și informatică
Aproape toate formulele stabilite în Analiza matematică se pot „traduce” în
algoritmi și în programe pe computer (calcul de expresii, de limite, de sume de serii, relații de recurență, dezvoltări Taylor sau Fourier, calcule de integrale, transformări Fourier sau Laplace, transformări „z” , reprezentări conforme, trasări de curbe și suprafețe, intersecții de corpuri, proiecții, transformări geometrice, animație etc). Am ales doar câteva exemple semnifi cative.
a) Implementarea pe computer a funcțiilor elementare
Reamintim că un arbore orientat este un graf orientat având un vârf unic v
0(numit
rădăcina arborelui), astfel încât pentru orice alt vârf v, există și este unic un drum ( ≡
lanț de arce) unind v0 și v. Fiecare vârf este rădăcină a unui subarbore.
EXEMPLE. Orice structură ierarhică
defi nește un arbore
orientat (în care v
0 este
„șeful”).
Oricărei expresii algebrice E (sau formule logice) i se poate asocia un arbore
etichetat pe vârfuri, numit arbore operatoriu ; [3]. Anume, în rădăcină se pune
rezultatul virtual al expresiei E, iar în celelalte vârfuri, cu excepția terminalelor, se
pun etichete de operații; pe terminale ( ≡ frunze),
se așază valorile admisibile ale variabilelor cuprinse în expresia E. Este sufi cient să dăm
câteva exemple:
EXEMPLE1) Fie E = a + b.c.d cu a, b, c, d numere.
Arborele operatoriu asociat este indicat în fi gura 6.6.
2) Pentru E
1 = sin( π.a.b) + c.d, vezi fi gura
6.7.FIGURA 6.5. Arbori orientați.v0 v0
FIGURA 6.6. Arbore operatoriu
asociat expresiei algebrice E.E
a
b cd

1173) Arborele operatoriu asociat formulei logice F = (x1 + x2′) . (x3.x4)′ este dat în
fi gura 6.8.
E1F
πx1
abc d
x2x3x4
FIGURA 6.7.Arbore
asociat expresiei E1.FIGURA 6.8. Arbore operatoriu
asociat formulei logice F.
„Citirea” arborilor este realizată prin automate – arbore specializate, prezente
în orice computer, care realizează legătura soft – hard, structurile arborescente fi ind
realizate prin circuite electronice corespunzătoare.
Funcțiile elementare sunt aproximate (cu erori controlabile) prin polinoame de
tip Taylor, pentru care se construiesc arbori operatori, realizați atât electronic, cât și prin programe soft cu care sunt puse în legătură. De exemplu, pentru calculul lui sin x
sau cos x se aplică formule de tipul
sin x 357
1! 3! 5! 7!xx x x≅− + − și cos x ≅ 1246
2! 4! 6!xxx−+− (5)
pentru 1
2x< (cu erori sub 10 – 5). Pentru unghiuri mari x se determină y ∈[0, 2π]
astfel încât sin x = sin y, cos x = cos y. Apoi, se face reducerea la primul cadran și se
aplică formule de tipul sin u = cos(
2uπ−), cos u = sin (2uπ−) astfel încât să se intre
în domeniul aplicării formulelor de tipul (5).
Menționăm greșeala iresponsabilă făcută aplicând, de exemplu, formula
aproximativă
sin x 35
1! 3! 5!xx x≅− + pentru x = 10 radiani (ajungând la valoarea sin 10 ≅ 676,6!).
Implementarea funcțiilor elementare este realizată îmbinând rezultate de Analiză
matematică (de tipul formulei lui Taylor), cu Analiza numerică și Programarea. În orice caz, posteritatea a reparat trecerea în uitare a lui Taylor, la care îl condamnaseră niște contemporani celebri ai săi!

118b) Teorema lui Kronecker și aplicații informatice
Un rezultat clasic de Analiză matematică îl constituie următoarea
TEOREMĂ (Kronecker).
Fie α > 0 un număr irațional (din R \ Q). Atunci mulțimea A ={mα + n| m, n ∈ Z}
este densă în R” . (Altfel spus, în orice interval deschis se afl ă puncte din A).
Demonstrație . Este sufi cient să arătăm că mulțimea B a părților zecimale ale
numerelor nα cu n ∈ Z este densă în intervalul [0, 1). [Într-adevăr, admitem acest
fapt și fi e I = (c − ε, c + ε) un interval; cum { c} ⊂ [0, 1), atunci în intervalul ({ c} − ε,
{c} + ε) se afl ă elemente din B deci există n ∈ Z astfel încât { na}∈ ({c} − ε, {c} +ε) deci
[c] + { na} ∈ I. Dar [ c] + { na} ∈ A].
Fixăm deci c ∈ [0, 1) și fi e ε > 0 dat arbitrar. Alegem q ∈ N* astfel încât 1
q<ε și
considerăm cele q intervale 121 11 20, ; , ;…; ;1qq
qq q q⎡⎞ ⎡ ⎞ ⎡ ⎞ −Δ= Δ= Δ= ⎟⎟ ⎟ ⎢⎢ ⎢⎣⎠ ⎣ ⎠ ⎣ ⎠. Pentru orice
m ∈ Z, luăm n = − [mα] deci mα + n = {mα} ∈ [0, 1). Aceste numere mα + n sunt
o infi nitate și cel puțin două distincte se afl ă în același interval Δk ; fi e ele m1α + n1,
m2α + n2 cu m1 < m2 (acestea sunt distincte deoarece α este irațional). De exemplu,
m1α + n1 < m2α + n2 și fi e u = m2α + n2 – (m1α + n1) deci { u}={(m2 – m1)α}. Rezultă
u ≠ 0 și 0 < u < 1
q. Alegem p ∈ N* maxim astfel încât ( p – 1)u < c – ε deci pu ≥ c – ε.
Apoi pu = (p – 1)u + u < c – ε + 1
q < c. Ca atare, pu ∈ [c− ε, c + ε) și evident, { pu} =
= {p(m2 – m1)α} ∈ B.
COROLAR .
Orice număr real este limita unui șir de numere din A.
Iată câteva aplicații ale teoremei lui Kronecker.
I. Orice număr []1,1∈−A este limita unui șir de numere aparținând mulțimii
M = {sin n | n ∈ Z}.
Într-adevăr, alegem c ∈ R astfel încât  = sin c. Conform teoremei lui Kronecker,
mulțimea numerelor de forma mπ + n cu m, n ∈ Z este densă, deci există xn, yn ∈ Z
astfel încât c = lim (2 )nn n xy→∞ π+ . Dar  = sin c = sin( lim (2 )nn n xy→∞ π+ ) =
= lim (2 )nn n xy→∞ π+ = lim sinnn y→∞ . În fi ne, observăm că sin yn ∈ M.
II. Orice funcție continuă f: R → R având perioadele 1 și α, cu α∈R \ Q, este
constantă.
Fie A = {m + n α| m, n ∈ Z}. Așadar, f are ca perioadă orice număr din A. Arătăm
mai întâi că orice număr real y este perioadă pentru f ; într-adevăr, y = limnnx→∞ cu
xn ∈ A (conform teoremei lui Kronecker), deci ∀ x ∈ R, f (x + y ) = f (x + limnnx→∞ ) =
= f (P cont
lim ( )) lim ( )f
nn n n xx f xx→∞ →∞ += + și cum xn este perioadă, rezultă că f (x + y ) =

119= f (x) pentru orice x, y ∈ R. Dacă x1 ≠ x2, rezultă că f (x1) = f (x2 + (x1 – x2)) = f (x2)
căci x1 – x2 este perioadă. Așadar, f este constantă.
III. Arătăm că există n ≥ 1 întreg, astfel încât primele 4 cifre ale numărului 7n
să fi e 2014.
Așadar, 7n = 2.10 m + 3 + 1.10 m + 1 + 4.10 m + a1.10 m – 1 +… + am cu a1,…, am cifre
zecimale. Deci 7n = 10 m (2.103 + 1.101 + 4.100 + a1.10 – 1 +… + am.10 – m). Deci partea
întreagă a lui 7
10n
m va fi 2014, adică 2014 7
10n
m≤ < 2015. Logaritmând în baza 10,
rezultă lg 2014 ≤ n ⋅ lg 7 – m < lg 2015. Cum lg 7 estre irațional, aplicând teorema lui
Kronecker, există m, n ∈ Z astfel încât n. lg 7 – m să aparțină intervalului (lg 2014,
lg 2015).
IV . Presupunem că în toate nodurile rețelei Z × Z se afl ă discuri centrate în
acele noduri și de rază oricât de mică. Arătăm că prin orice nod al rețelei trece o dreaptă care are puncte comune cu cel puțin trei dintre discuri.
Într-adevăr, fi e M
o un nod al rețelei. Prin translație, putem presupune că Mo
este chiar (0, 0). Fie k un număr irațional fi xat. Conform teoremei lui Kronecker,
pentru orice r > 0 real, există m, n ∈ Z astfel încât mk n r−< . Atunci distanța dintre
punctele ( mk, m) și ( n, m) este egală cel mult cu r, deci punctul ( mk, m), care este
situat pe dreapta y = 1
kx, se afl ă în interiorul discului centrat în nodul ( n, m) și având
raza r. Dar dacă există nodul ( n, m), automat simetricul lui față de (0, 0) are aceeași
proprietate, la care se adaugă și nodul (0, 0).
NOTĂ . Există și o altă teoremă atribuită lui Kronecker. Anume, dacă
α ∈ R \ 2πQ, atunci mulțimea numerelor de forma e inα cu n ∈ Z este
densă pe cercul unitate 1z=.
BIBLIOGRAFIE
1. E. T. Bell – Men of Mathematics , Simon and Schuster, 1937.
2. A.M. și I.M. Iaglom – Probleme neelementare tratate elementar , Ed. Tehnică, 1983.
3. O. Stănășilă – Noțiuni și tehnici de matematică discretă , Ed. Științifi că și Enciclopedică,
1985.
4. O. Stănășilă – Analiză liniară și Geometrie , Ed. ALL, 2000.

120• Matematicianului nu-i trebuie
laboratoare și reactivi, ci numai hârtie și forță creatoare
A. HINCIN
• În majoritatea științelor, fi ecare
generație a înlăturat ceea ce a construit generația precedentă, dar în Matematică se adaugă mereu câte un nou etaj la aceeași construcție.
G. HANKEL

7. SECVENȚE DE MATEMATICĂ DISCRETĂ
7.1. Dezvoltarea matematicii discrete
Apariția și proliferarea calculatoarelor moderne au impus reorientarea multor
discipline științifi ce și formularea unor probleme și chiar problematici noi ; la rândul
ei, Matematica și-a extins modul de aplicare (prin domeniul Analizei numerice, Teoriei numerelor sau Combinatoricii), oferind un limbaj adecvat comunicării cu mijloacele informatice moderne și totodată, un imens bagaj metodologic. În ultimii 50 de ani, s-a resimțit un anumit declin al matematicii clasice ca disciplină de învățământ, în fond un semn fi resc de progres ; după 1950, s-au introdus în
facultățile tehnice capitole de Algebră liniară, Probabilități discrete, Combinatorică sau Teoria grafurilor, înlocuind studiul extensiv al Geometriei analitice (devenite desuete) sau al diverselor și ușor prăfuitelor funcții speciale. În ultimii ani, și-a făcut loc în Curriculum predarea Matematicii Discrete (M.D.), nu numai pentru secțiile specializate în computere. O mare noutate, datorată teoreticienilor programatori, a fost introducerea instrucțiunii de asignare ( ≡ atribuire), de tipul
a: = b sau a ← b („a devine b”).
Această operație s-a utilizat mascat și în matematică, atunci când o problemă
se reduce la una anterioară sau la o problemă mai simplă (de exemplu, pentru
o ecuație de forma x3 + mx2 + nx + p = 0, prin substituția x: = x 3m−, se obține
o ecuație în care dispare termenul în x2). Există multe alte construcții logice
care au impulsionat lumea programării. Din cauza multor surse generative, M.D. a devenit esențială pentru Știința calculatoarelor ( ≡ Computer Science)
și în acest sens, s-au făcut multe progrese în înțelegerea categoriei fi lozofi ce a
„discretului” , deoarece multe sisteme fi zice sunt de fapt discrete, începând cu
mișcarea corpurilor ca o agregare a mișcărilor particulelor constituente ; de asemenea, procesele de discretizare, prin care diverse ecuații diferențiale sunt

121înlocuite prin ecuații cu diferențe fi nite, iar integralele sunt aproximate prin
sume convenabile, se întâlnesc tot mai frecvent. Ca o ironie a situației, multe programe de calculator se bazează pe rezultate de Analiză matematică, acestea
fi ind, aposteriori , diluate prin discretizare. O întrebare actuală este: nu cumva
aceste probleme s-ar putea trata direct în termeni de M. D.? Există deja abordări prin care drumurile de la realitatea fi zică la calculator și apoi la interpretarea
rezultatelor se pot face direct, utilizând principii fi zice subiacente. În acest
sens, este pe cale să apară un domeniu de sine stătător –
ANALIZA DISCRETĂ
−, încă necoagulat, care are în ve dere elaborarea de algoritmi specifi ci, analiza
acelor algoritmi, gradul lor de efi ciență etc.
EXEMPLE
1) Presupunem un mare hotel la care, în loc de închizătoare clasice la camere
(lacăte, șperacle etc.), se folosesc sisteme informatice; de exemplu, o combinație de 6 cifre a
1a2a3…a6 (0 ≤ ak ≤ 9). Un client ce face combinația
corectă, deschide ușa și numai el poate intra în cameră. O întrebare fi rească:
cum își poate reduce un hoț numărul de încercări (din cele 106 teoretice),
fără ca el să știe combinația corectă ?
Iată o altă întrebare similară: cum să căutăm rapid un număr dintr-o mulțime de n numere? Aici se cunoaște răspunsul optimal, anume
prin «log
2(n + 1)» încercări ; pentru orice număr real α, se notează «α»
cel mai mic întreg care este ≥ α ; adică «α» = – [– α] (de exemplu,
«3,2» = –4; «–2,7» = –2.
2) Alte sugestii pentru Analiza discretă ar putea fi transformarea oricărei
proceduri într-un program pentru calculator ; sau să se poată decide dacă un program dat se încheie sau nu cu un rezultat.
Se spune că este mai ușor să faci o cercetare nouă, decât să cauți publicațiile
anterioare unde ai putea găsi răspunsuri. Arta utilizării tehnologiilor informatice
noi este aceea de a ști să pui în mod adecvat întrebările ; M.D. are ca o preocupare
principală crearea atât a unei taxonomii, cât și organizarea unor bănci de date cât mai efi ciente.
În condițiile actuale, ale exploziei de rezult ate și cunoștințe, Informatica a devenit
un complex de științe relativ la producerea, prelucrarea, stocarea și transmiterea informațiilor. Este avansată ideea unui mariaj defi nitiv al Informaticii cu M. D., în
timp ce aceasta din urmă, în mod relativ independent, se transformă într-un domeniu interdisciplinar și integrator specializat. Dar fără modele matematice rezolvante, fără Analiză discretă profesionistă, realizând studiul sinergetic al legilor de organizare și ordine (nu doar de comandă ca în cazu l sistemelor cibernetice), milioanele de
calculatoare moderne și de programatori sprinteni nu vor putea contribui la creșterea productivității muncii fi zice sau intelectuale.

122În continuare, vom prezenta pe scurt câteva capitole de M.D., în jurul fi rului
roșu constituit de conceptul de calcul.
7.2. Codifi cări binare
Acesta este poate primul capitol și prima manifestare spectaculoasă a M.D.
Limbajul nostru uzual este în fond o colecție de cuvinte, cuvintele fi ind alcătuite din
litere, iar pronunțarea de litere este descrisă prin foneme. Nu discutăm aici înțelesul cuvintelor („semantica”), modul în care ele refl ectă noțiunile sau faptul că limbajul se
îmbogățește permanent, preluând informații de la alte limbaje etc. Ne referim doar la descrierea sintactică a câtorva construcții fundamentale, legate de codifi cări în
(sau din) limbajul uzual sau binar. Codifi cările constituie un capitol important al
Informaticii și Criptografi ei.
Alfabet, dicționar
Formăm o mulțime A = {a
1, a2, …, an}, având un număr fi nit de elemente /
simboluri, numite litere . Mulțimea A însăși se va numi în continuare un alfabet .
EXEMPLE
1) Alfabetul limbii române R = {a, b, c, …, x, y, z } are 26 de litere (am
considerat doar literele mici). În mod similar, se pot considera alfabetul englez (cu 27 de litere) sau cel rus, având 33 de litere.
2) Alfabetul binar (numit și codul binar ) este B = {0, 1}, având doar două
litere (distincte de numerele naturale 0 și 1).
3) Se pot considera de asemenea alfabetul cifrelor zecimale Z = {0, 1,…,
9}, alfabetul notelor muzicale M = {do,…, si }, ca și alfabetul (numit
și codul genetic ), alcătuit din patru litere: G = {A, C, G, T}, care
corespund unor combinații chimice fundamentale – adenina ( A),
citozina ( C), guanina ( G) și tiamina ( T).
Revenim la cazul unui alfabet abstract oarecare A. Reamintim că se numește
cuvânt în alfabetul A orice șir fi nit de litere din A, cu eventuale repetări ; numărul
literelor care apar într-un cuvânt, socotind și repetările de litere, reprezintă lungimea
cuvântului (vezi 1.2.). Două cuvinte se consideră egale dacă au aceeași lungime și
coincid literă cu literă. Juxtapunând cuvintele unul după altul, se formează cuvinte noi. Mulțimea tuturor cuvintelor în alfabetul A este dicționarul sintactic al lui A, notat
A*. Orice colecție de cuvinte din A* se numește limbaj (mesaj sau text) în alfabetul A.
EXEMPLE
1) Cuvintele uzuale din limba română constituie o submulțime din R* (numită
dicționarul semantic al lui R); există cuvinte din R* cărora nu li s-a stabilit
niciun înțeles (de exemplu, reba, spoca, febj etc.).

1232) 1101, 0110, 1000 sunt cuvinte binare (din B*) de lungime 4, iar 1011011 este
un cuvânt din B* de lungime 7.
3) În codul genetic, care are 4 litere, dacă se utilizează cuvinte de lungime
3, sunt posibile 43 = 64 combinații, care descriu aminoacizii. O mare
descoperire a secolului 20 a constituit-o faptul că orice entitate biologică are un cuvânt genetic caracteristic ; de exemplu, cuvântul care descrie genomul uman are o lungime de circa 3 miliarde. Analiza datelor legate de ADN și de alte cuvinte relativ la dicționarul G* reprezintă un nou capitol de Teoria
informației.
Codifi care
Fixăm un alfabet fi nit A = {a
1, a2, …, an}; a indica o codifi care (sau traducere)
binară a lui A înseamnă a asocia oricărui cuvânt în alfabetul A, un cuvânt binar
(din B*) bine determinat, astfel încât oricăror două cuvinte distincte din A* să le
corespundă cuvinte binare distincte din B*. Așadar, o codifi care binară a lui A este
o aplicație injectivă τ : A* → B*. Orice codifi care este însoțită de o asociere inversă
τ (A*) → A *, numită decodifi care .
O codifi care binară standard a alfabetului A este cea atribuită lui Leibniz, descrisă
în 1.2. Anume, pentru orice între p ≥ 1, notăm cu 1p0 cuvântul binar 11…10 de lungime
p + 1. Așadar, 120 = 110, 140 = 11110 etc. Fixând o ordine a literelor a1, a2, …, an
în A și literei a1 îi asociem 10, literei a2 – cuvântul 120 etc. și literei an, cuvântul 1n0,
atunci oricărui cuvânt c = ai1ai2… aik de lungime k din alfabetul A i se poate asocia
cuvântul binar, notat τ (c) = 1i101i201ik0. Este evident că unor cuvinte distincte c ≠ c′
în A le corespund cuvinte binare distincte τ(c) ≠ τ(c′), deci τ : A* → B* este o
codifi care.
EXEMPLU Să considerăm alfabetul limbii române R = {a, b, c,…, z }, cu literele
numerotate de la 1 la 26. Cuvântul „dac” este compus din literele d, a, c , care
au numerele de ordine 4, 1, 3; codifi carea sa binară este 1
4010130, de lungime
11. Cuvântul „elev” se codifi că 15011201502220, de lungime 48 (literele e, l, v au
respectiv numerele de ordine 5, 12, 22).
Observație . Codifi carea istorică a lui Leibniz are un caracter principial, arătând
că este posibilă codifi carea binară (echivalentă cu scrierea în bază 2) a oricărui text.
Desigur, trebuie indicate codifi cări binare care să nu lungească prea mult cuvintele.
Calculatoarele moderne pot prelucra orice text matematic, literar, muzical, genetic etc., tradus binar în prealabil. Acest fapt a devenit fi zic realizabil odată cu construirea
bistabilelor (dispozitive fi zice prin contacte deschis / închis) și a diverselor combinații,
logice și fi zice, ale lor.

124Codifi cări cu cheie
Indicăm pe scurt două tipuri de codifi cări binare cu cheie.
a) Codifi care polinomială . Fixăm un polinom Q = X p +α1X p – 1 +… + αp – 1X + 1,
de grad p, în care α1,…, αp – 1 ∈ B. Identifi căm B cu corpul Z2 (unde 1 + 1 = 0).
Polinomul Q ∈ Z2[X] se numește cheia codifi cată. Oricărui cuvânt binar
c = u1u2…un de lungime n îi facem să corespundă un alt cuvânt binar de
lungime n + p , numit Q – codifi catul lui c, în modul următor: asociem
lui c polinomul Pc = u1X n – 1 + u2X n – 2
+… + un (de grad n – 1) și calculăm
produsul PQ (care va fi un polinom de grad n + p – 1, cu coefi cienți 0 și 1).
Codifi catul lui c va fi cuvântul binar τ (c) de lungime n + p , format de
coefi cienții lui PQ.
Este evident că asocierea τ : B*→ B* astfel defi nită este injectivă, deoarece
dacă P ≠ P1, atunci PQ ≠ P1Q, adică τ(P) ≠ τ(P1).
EXEMPLE1) Să considerăm următorul text: T = {01, 110, 11 }, pe care îl codifi căm
folosind cheia Q = X
2 + X + 1. Vom obține un alt text T ′, în care cuvintele
sunt cu două unități mai lungi decât cuvintele din T. Fie c1 = 01, c2 = 110, c3 = 11
deci T = {c1, c2, c3}. Pentru c1 = 01, se consideră polinomul P1 = 0. X + 1 deci
P1Q = X 2 + X + 1 = 0. X 3 + 1. X 2 + 1. X + 1 și τ (c1) = 0111. Apoi c2 = 110,
P2 = X 2 + X, P2Q = X 4 + X și τ (c2) = 10010; în fi ne, c3 = 11, P3 = X + 1,
P3Q = X 3 + 1 și τ (c3) = 1001. În concluzie, T ′ = {0111, 10010, 1001 }.
2) Codifi căm binar textul T = „am cap” , folosind cheia Q = X + 1. Celor 4
litere și blancului le asociem convențional cuvinte binare de lungime 3, de exemplu: a = 000, m = 001, c = 010, p = 110 și blancului, 111; atunci
a ′ = 0000, m ′ = 0011, c ′ = 0110, p ′ = 1010 și blancului îi corespunde 1001.
Textul codifi cat este 000000111001011000001010.
b) Codifi care matriceală
De această dată, cheia este o matrice M cu n linii și m coloane ( m < n), de rang
m. Aplicația τ : Bm → Bn, care asociază oricărui vector – coloană X ∈ Bm, vectorul
τ(X) = M . X este injectivă și face să îi corespundă oricărui cuvânt binar de lungime
m, un cuvânt binar de lungime n. Orice text se poate asimila, în mod convenabil, cu
un set fi nit de cuvinte de lungime m care se codifi că, alcătuind un text nou format din
cuvinte de lungime n, separate prin blancuri. Nu mai dăm detalii.
7.3. Calculul ca obiect în sine
Așa cum știm, o bună parte a matematicii înseamnă calcul – calcul algebric,
matriceal, vectorial, al probabilităților, va riațional etc. și mai nou, calcul paralel,
neural, cuantic. Abia după consolidarea M.D. s-a observat că este necesară analiza
însăși a conceptului de calcul, strâns legat de extragerea, reprezentarea și viteza

125de prelucrare (stocare, procesare, transmitere, interpretare) a datelor. Legătura cu
studiul entităților continue (sau mai corect spus, continuale) s-a realizat prin operația de discretizare , în diverse ipostaze și organizare cu scop premeditat, a structurilor
fi nitiste. Matematica Discretă studiază multe alte concepte – Gramatici și Automate,
Structura limbajelor de programare, Combinatorică ș.a. ; [ 7 ], [ 8 ].
Un moment important pentru civilizația umană l-a constituit descoperirea, la
mijlocul secolului 20, a următorului fapt:
Computerele moderne pot prelucra date nenumerice,
organizate ca seturi de biți sau ca simboluri dintr-un alfabet!
S-a ajuns rapid la utilizarea noilor tehnologii informatice în Biologie, Artă,
Arheologie, Științe sociale, Comerț, Turism și chiar Sport. Pentru stăpânirea acestor date, a fost esențială, între altele, elaborarea analizei complexității calculelor. De curând, s-a constatat că însăși cunoașterea umană este un tip de calcul foarte complex. Există și exagerări evidente ; de exemplu, creierul uman este identifi cat cu
„un calculator din carne” . A face ca un calculator să execute sarcini intelectuale, să înțeleagă un limbaj, să învețe dinamic interactiv, să devină expert și chiar să rezolve și să formuleze probleme noi, toate acestea înseamnă în fond a face ca acel calculator să treacă prin anumite „stări” . Starea unui computer este un vector de date afl ate în
memorie, variabil cu diverse momente/tacți. Datele pot fi seturi de numere (inclusiv
vectori, matrice, polinoame etc.), obținute prin senzori și măsurători specializate, dar și informații obținute din descifrarea unor semnale sau din descrierea unor „scene” cuprinzând obiecte afl ate în diverse relații de poziționare sau distanțe, sintetizate
într-un graf relațional.
Așa cum am mai spus, Informatica a modifi cat esența operațională a unor
discipline științifi ce și tehnologice, ca și domeniile Artei și Comunicării. Se vorbește
acum de Fizică sau Chimie computațională, de Rețele vaste de telecomunicații, de
Analiză și Imagologie medicală etc. Grafi ca sistematică folosește rezolvări de sisteme
mari de ecuații și asignarea de pixeli. Apoi, Arhitectura, Pictura, Sculptura folosesc grafuri relaționale atributate, iar Muzica pe computer revine la procesarea unor șiruri lungi de biți, deoarece chiar și sunetul descris prin frecvență, timbru și durată poate fi sintetizat digital. În acest scop, întreaga Artă poate trece în eternitate, fi ind
reproductibilă oricând și oriunde, desigur cu pericolul mediocrizării și neatingerii geniului. În ultimul timp, s-au realizat succese impresionante în traducerea automată, ajungându-se aproape la perfecțiune în traduceri bilingve în timp real, ceea ce va completa imaginea Pământului ca „sat planetar” al omenirii. Trăim momente sublime ale gândirii algoritmice , algoritmicul devenind o nouă categorie fi lozofi că.
În ultimul timp, sunt abordate probleme infi nitiste, care cuprind acea parte inefabilă a
cunoașterii științifi ce sau artistice ce va rămâne probab il indecidabilă și nerezolvabilă
algoritmic.
În programe există diverse tipuri de date scalare – întregi ( Z), reale ( R), booleene
(B), alfanumerice, ca și date structurale – „strings”- uri, masive, liste, arbori, bănci de
date. Reprezentarea datelor pentru calculator diferă de cea matematică (de exemplu, instrucțiunea de asignare x
: = a nu exista înainte de 1950) și sunt necesare instrucțiuni

126noi de eșantionare, segmentare, cuantizare, agregare, timpi morți, ca și programe
complexe cuprinzând operatori și operanzi, cuvinte cheie, identifi catori etc.
Asupra conceptului de algoritm
Dată fi ind marea generalitate, nu există încă o defi niție formalizată, unanim
acceptată, pentru algoritmi. Orice încercare făcută a fost însoțită de construirea unor exemple care nu se încadrau…În sens intuitiv colocvial, un algoritm este o procedură de prelucrare a unor date inițiale, procedură fi nitistă (care se încheie după un număr
fi nit de pași făcuți), deterministă (la fi ecare pas este defi nit ce trebuie executat la
pasul următor), rezultativă (se încheie cu un rezultat fi nal) și masivă (în sensul că
procedura se aplică la o clasă de probleme și nu la o singură problemă, așa cum în politică este „algoritmul de împărțire a mălaiului”). Recunoaștem aici similitudini cu organigramele sau cu programele de calcul, privite ca succesiuni de instrucțiuni de operare asupra datelor. Corectitudinea programelor poate fi acum demonstrată
matematic, cu posibilitatea de măsurare a efi cienței activității de programare și a
utilizării de mijloace industriale de organizare – asemblere, compilatoare, sisteme de
operare, periferice etc. Se spune pe drept că Teoria algoritmilor și Logica matematică formează baza tehnicii moderne de calcul și a diverselor tehnologii informatice. Nu prezentăm aici efortul pe care l-au făcut logicienii și matematicienii în perioada 1920 – 1960, legat de conceptul de calcul ; ne mărginim la a evoca elaborarea Teoriei funcțiilor recursive (Kleene, Chrurch), Teoriei mașinilor ideale de calcul (Turing) și a Gramaticilor și Automatelor (Chomsky, Eilenberg, Minsky) etc. Toate acestea au permis înțelegerea de fond a conceptului de calcul, a modului de organizare efi cientă și
automatizare a calculelor complexe. Nu trebuie uitat nici meritul unor matematicieni români ; de exemplu, profesorul G. Sudan a dat, în 1927, primul exemplu de funcție aritmetică parțial recursivă, peste tot defi nită, care nu este primitiv recursivă; anume,
f : N
3 → N, defi nită inductiv prin f (x, y, 0) = x + y ;
f (x, 0, z) = x ; f (x, y + 1, z + 1) = f (f (x, y, z + 1), f (x, y, z + 1) + y + 1, z);
ulterior, în 1928, Ackermann a dat un exemplu ceva mai simplu. Ambii matematicieni au fost asistenți ai lui Hilbert. Aceste funcții au valori rapid crescătoare ; de exemplu, f(8,10,0) = 18 și f(8,10,1)= 10228.
Un mare salt l-au realizat, după anii '80, Dijkstra și Wirth prin elaborarea
programării structurate , cu explicitarea construcțiilor de bază – succesiunea,
bifurcația, iterarea, rutina, cu autonomia subprogramelor. Așa cum în Algebră
R
2 = R ⊕ R, R3 = R ⊕ R⊕ R sau R30 = R10⊕ R10⊕ R10etc.,
adică o problemă 2D se descompune în două probleme 1 – dimensionale, una 3D se descompune în trei probleme 1 – dimensionale (aici este esența Geometriei analitice sau a Calculului vectorial 2D sau 3D), iar o problemă cu 30 de dimensiuni se „sparge” în 3 de câte 10 dimensiuni, tot astfel un program de 200 de operatori se poate „sparge” în 20 de blocuri de câte 10 operatori. (Alții au înțeles această situație, înlocuind o soție de 50 de ani cu două de 25!). Mai târziu, s-a dezvoltat programarea orientată pe obiecte, care a impus abstractizarea atât a datelor, cât și a procedurilor de prelucrare și descriere a comportării datelor.

127Pregătirea pentru utilizarea calculatoarelor în domenii nematematice începe cu
reprezentarea prin cuvinte binare a unor tipuri de date asociate unor obiecte sau procese ; aceste cuvinte se mai numesc vectori reprezentativi .
EXEMPLE1) Fie M = {x
1,…, xm} o mulțime fi nită având o numerotare fi xată a elementelor.
Alegem n ≥ 1 întreg minim astfel încât 2n ≥ m. Atunci se poate considera o
aplicație injectivă ϕ : M → Bn, prin care orice element x ∈ M se identifi că
prin cuvântul reprezentativ ϕ (x) ; aceasta este cea mai simplă codifi care a
elementelor lui M.
2) Fie un semnal f (t), f: [a, b] → R. Împărțim intervalul [ a, b] în N subintervale
prin puncte de diviziune echidistante a = to < t1 <… < tN = b, unde tk = a + kh ,
0 ≤ k ≤ N și bahN−= . Notând fk = f (tk), 0 ≤ k ≤ N, semnalul f poate fi
modelat prin șirul de N + 1 numere reale f ≅ fo f1… fN. Mergând mai departe,
fi ecare fk se poate identifi ca printr-un cuvânt binar de lungime sufi cient de
mare (folosind de exemplu divizarea intervalului de valori ale lui f).
3) Starea unui oraș ω, la un moment dat, poate fi reprezentată printr-un vector;
de exemplu, ω = (ω1, ω2,…, ω6) unde ω1 = nivelul orașului (mic, mijlociu,
mare, foarte mare); ω2 = nivelul costului vieții ; ω3 = nivelul poluării ; ω4 =
nivelul cultural ; ω5 = rata imigrației (adică numărul de persoane stabilite
în acel oraș în anul anterior) ; ω6 = rata emigrației. În acest mod, orașul este
descris, desigur grosier, printr-un vector reprezentativ ω ∈ N6.
4) În descrierea unor scene (ca mulțimi de obiecte fi zice) sau a unor ierarhii
administrative sau politice etc., se pot utiliza reprezentări prin structuri
arborescente. Un interes deosebit îl reprezintă arborii operaționali asociați
diverselor expresii algebrice sau logice (evocați în 6.4).
Pentru compararea și clasifi carea vectorilor reprezentativi, se pot utiliza diverse
distanțe; de exemplu, în cazul orașelor, folosim distanța euclidiană sau distanța
δ (x, y) = 1n
kk kxy=− ∑ pentru x = (x1,…, xn), y = (y1,…, yn). În cazul vectorilor binari din
Bn, se poate considera distanța Hamming [dacă x = x1…xn și y = y1…yn, atunci dH(x, y) =
= numărul de necoincidențe, adică al acelor indici k astfel încât xk ≠ yk ].
EXEMPLU
Presupunem că există M clase de forme C1,…, CM, fi ecare având câte un
vector reprezentativ ( w1,…, wM respectiv). Dacă studiem o formă nouă F care
trebuie clasifi cată , adică plasată într-una din clasele C1,…, CM, atunci se indică
mai întâi un cuvânt reprezentativ wF pentru F. Se calculează apoi distanțele
d(wF, wj), pentru 1 ≤ j ≤ M (după caz, euclidiană, Hamming etc.) și se alege j0
astfel încât distanța d( wF, wj0) să fi e cea mai mică. Se ia atunci decizia F ∈ Cj0.
Bineînțeles, indicele j0 nu este unic și sunt necesare criterii suplimentare de
discriminare.

128Clasifi carea ( ≡ recunoașterea) diferitelor tipuri de forme este primul exercițiu de
inteligență și el poate fi realizat automat prin vectori reprezentativi aleși convenabil.
În Teoria Recunoașterii Formelor, există două abordări distincte – cea statistic –
decizională (prin care clasifi carea se face cu anumite probabilități de eroare) și cea
sintactică (prin care formele sunt identifi cate cu cuvinte relativ la forme primare). Nu
intrăm în detalii; [3], [4].
Revenind la discuția privind calculul și algoritmii, ne referim pe scurt la problema
complexității, legată de numărul de operații, de viteza de calcul și de folosirea capacității de memorie; în ultimul timp, se consideră că este sufi cient să estimăm numărul de
înmulțiri sau împărțiri, neglijând aspectele legate de memorie. În calculatoarele moderne, stările sunt asimilate cu vectorii de date afl ați în memorie, iar tranzițiile de
stări se fac pe baza instrucțiunilor din programul rulat pe procesor. Datele (respectiv rezultatele) sunt considerate ca stări iniția le (respectiv terminale). Așadar, orice calcul
este privit ca un șir fi nit de stări, pornind de la o stare inițială, deci:
CALCUL = ALGORITM + DATE INIȚIALE ; în plus,IMPLEMENTAREA UNUI ALGORITM = PROCESOR + PROGRAM. Complexitatea unui calcul depinde de numărul necesar de tacți și de numărul
de litere ale alfabetului utilizat pentru reprezentarea datelor și instrucțiunilor de
prelucrare. Reamintim că scrierea A(n) = O( n
k) (cu „O mare”) înseamnă că există o
constantă C astfel încât A(n) ≤ C ⋅ nk pentru orice n.
EXEMPLE1) Calculul direct al lui a
n (a ∈ R, n ≥ 1 întreg) necesită n – 1 operații, iar
pentru un polinom P de grad n, valoarea P (a) necesită O( n2) înmulțiri.
2) Dacă A ∈ Mn(R) este o matrice inversabilă, rezolvarea sistemului liniar
A ⋅ X = B cu metoda clasică Gauss, necesită O( n3) operații. Aplicarea regulii
lui Cramer este inadmisibilă, deoare ce pentru a calcula un determinant de
ordin n pornind de la defi niție, se calculează o sumă de n! termeni, fi ecare
termen fi ind un produs de n factori; ca atare, sunt necesare ( n + 1) ⋅
⋅ n ⋅ n! ≅5
2ennn+−⋅ operații (ținând totodată seama de formula lui J. Stirling
n! ≅ e2nnnn−⋅⋅ π pentru n p1); în acest mod, complexitatea nu este
polinomială. [De exemplu, pentru n = 20, numărul de operații ar fi de peste
1020. Un calculator modern face 109 operații pe secundă, deci într-un an ar
face 109 × 3600 × 24 × 265 ≅ 1018 (și în total, calculul ar lua peste 100 de ani!).
Nu întâmplător, se caută algoritmi de rezolvare a unei probleme, algoritmii având o complexitate cât mai scăzută].
3) Tarski a arătat că există algoritmi care probează că orice afi rmație de
Geometrie elementară este adevărată sau nu.
4) Există probleme indecidabile algoritmic. Problema nr. 10 a lui Hilbert cerea
stabilirea unui algoritm care să decidă dacă o ecuație algebrică cu coefi cienți
în Z are sau nu soluții în Z; în 1970, rusul Matiasievici a arătat că un astfel

129de algoritm nu există. De asemenea, nu știm algoritmic dacă o ecuație
algebrică cu coefi cienți în Z are sau nu soluție în Q.
5) Problema lui Post era următoarea:
Fie A un alfabet fi nit și x1, …, xp; y1,…, yp ∈ A*. Este sau nu adevărat că există
q indici 1 ≤ i1,…, iq ≤ p astfel încât xi1xi2…xiq = yi1yi2…yiq ?
[De exemplu, fi e A = codul binar, p = 5 și x1 = 001, x2 = 11, x3 = 0, x4 = 10,
x5 = 010; y1 = 1, y2 = 101, y3 = 01, y4 = 01, y5 = 0. Pentru q = 3, se observă că
x3x2x5 = y3y2y5 ].
S-a demonstrat că problema este indecidabilă (adică nu există un algoritm de rezolvare în timp fi nit).
NOTĂ. Un algoritm se numește de complexitate polinomială ( ≡ din clasa P )
dacă numărul de operații depinde polinomial de dimensiunile problemei respective, iar clasa NP (complexitate nedeterminist
polinomială) cuprinde algoritmii pentru care soluția este nedecidabilă
polinomial. Evident, N ⊂ NP și o problemă teoretică fundamentală a
Informaticii teoretice (și a Matematicii) este dacă nu cumva P = NP .
Algoritmul Gauss menționat anterior este din clasa P și similar este algoritmul
de determinare a drumului critic într-un graf. Rusul Khacian a arătat că problema programării liniare se poate rezolva printr-un algoritm din clasa P („algoritmul elipsoidului”), după ce se știa că algoritmul simplex avea o complexitate NP . Acel moment a fost un succes al Informaticii, menționat chiar pe prima pagină a marilor cotidiene ale lumii.
În această lucrare, vom mai prezenta și alți algoritmi, cu menționarea
complexității lor.
În practica inginerească apar adeseori cerințe contradictorii între precizia
rezultatelor și complexitatea calculelor ; nu există soluții generale de compromis. O reducere a complexității poate fi făcută prin utilizarea compresiei datelor, fi ind
necesară expertiza utilizatorului și înțelegerea profundă a contextului tehnico – economic. Marile proiecte inginerești se descompun în mai multe subproiecte, tot astfel cum un sistem complex este alcătu it din diverse subsisteme neindependente.
Există un principiu de incertitudine (de tip Heisenberg), legat de fi abilitatea unor
astfel de proiecte mari sau sisteme comp lexe: anume, este imposibil ca întregul și
toate componentele sale să funcționeze simultan în mod optim!
Există percepția că orice program P scris într-un anumit limbaj de programare
asociază oricărei date inițiale d un rezultat P(d). Pentru a evita situațiile când
calculatorul ciclează (ca în c azul scrierii zecimale a lui
1
3) sau când calculatorul nu
ajunge la rezultat, ar fi binevenită existența unui algoritm care să decidă dacă un
program se încheie sau nu cu un rezultat. Dar…
PROPOZIȚIE . Un astfel de algoritm nu există .
Demonstrație . Presupunem că ar exista un astfel de algoritm A. Programele

130formează o mulțime numărabilă (ca reuniune numărabilă de mulțimi fi nite sau
numărabile) și ele se pot dispune într-un șir po, p1, p2,…, pn,… Presupunem că pentru
orice dată de intrare d, programele respective dau un rezultat. La rândul ei, mulțimea
datelor formează o mulțime numărabilă do, d1, d2,…. și formăm următoarea matrice
infi nită ( pm(dn)); m, n ≥ 0. Considerăm diagonala, adică șirul de rezultate ( pk(dk)),
k ≥ 0. Considerăm acum programul p care asociază oricărei date d ≡ dn, rezultatul
următor
p (d) = ⎧⎨⎩p
d(d) + 1, dacă rezultatul este bine defi nit
0, altminteri.
Acest program este fi nalizat cu algoritmul A deci el va coincide cu unul din
programele din șirul următor, de exemplu p = pm. Apar două situații:
sau pm(m) nu este defi nit deci p(m) = 0 și ca atare, p(m) ≠ pm(m) ;
sau pm(m) este defi nit și atunci p(m) = pm(m) + 1, din nou contradicție.

7.4. Elemente de geometrie discretă
M.D. are multe alte capitole – Logică aplicată, Probabilități discrete, Grafuri și
rețele, Criptologie, Inteligență computațională –, dar ne-am limitat la câteva concepte de bază. În acest subparagraf, ne referim la câteva rezultate privind studiul unor mulțimi fi nite în plan.
Iată câteva probleme:
– „Fiind date n puncte, să se determine o pereche afl ată la distanță mutuală
minimă” .
Desigur, putem afl a cele
(1 )
2nn− distanțe „la mână”; acesta este un algoritm de
complexitate O( n2). Există și un algoritm de complexitate O( n log n).
– „Fiind date n puncte în plan, să se determine câte din ele sunt situate într-o
regiune sau alta” .
– „Într-un spațiu cu obstacole, să se determine unde trebuie plasate punctele
de observație” .
Astfel de probleme nu sunt doar interesante, ci și importante ;[6].În anii ‘90 s-a formulat următoarea problemă, aparent nevinovată: „ să se indice
un algoritm pentru determinarea componentelor conexe ale unei regiuni (plane sau în spațiu), defi nite prin inecuații algebrice ” . S-au propus diverse soluții și s-a constatat că
ele se aplică, de exemplu, la găsirea modalității prin care medicamentele se dizolvă și ajung în cele patru blocuri (conexe) ale corpului uman; aceeași problemă se aplică la mișcarea roboților, ținând cont că ei se deplasează în cadrul unor componente conexe ale spațiului de deplasare (pen tru a nu sparge zidurile de separație).
O altă problemă, cu aplicații militare este următoarea: „ Fiind date două grafuri
G, G ′, să se decidă procedural dacă unul din ele este izomorf cu un subgraf al celuilalt ”.
(De exemplu, aceasta permite decelarea din satelit a unor obiective terestre).
În 1893, englezul J.J. Sylvester a propus următoarea problemă: „Se consideră în
plan n puncte distincte M
1, M2,…, Mn, cu proprietatea că fi ecare dreaptă Mi Mj (i ≠ j)
trece printr-un alt punct din cele n. Să se arate că punctele considerate sunt coliniare”.

131Soluție . Raționăm prin reducere la absurd și
presupunem că ar exista trei din puncte necoliniare Și dintre toate triunghiurile posibile alegem unul, M
i Mj Mk, care are cea mai mică înălțime MkNk = m.
Dar dreapta Mi Mj trece prin încă un punct, să
zicem Mp, din mulțimea considerată. Dintre
punctele Mi, Mj, Mp, cel puțin două aparțin uneia
dintre semidreptele determinate de Nk pe dreapta
Mi Mj; să presupunem că acestea sunt Mi și Mp ca
în fi gura 7.1 și că Mp este cel mai apropiat de Nk.
Atunci triunghiul Mj Mp Mk va avea înălțimea din
Mp strict mai mică decât m ; contradicție.
Dl. J. Benkö (Universitatea Brașov) a propus următorul analog al teoremei lui
Sylvester: „Fie o mulțime fi nită M de puncte din plan, cu proprietatea că oricare cerc
care trece prin trei din punctele mulțimii M trece printr-un al 4-lea punct din M.
Atunci toate punctele mulțimii M sunt conciclice” .
Un rezultat celebru de geometrie convexă îl constituie teorema lui Halley
(1913): „ Dacă oricare trei din mulțimile convexe C1,…, Cm (m ≥ 4) situate într-un plan
au intersecția nevidă, atunci cele m mulțimi au intersecția nevidă ” . Ca o consecință
directă, dăm următorul rezultat de Geometrie discretă:
TEOREMĂ (Y oung, 1901)
„Fie M = {A1,…, An}, n ≥ 3 o mulțime de puncte din planul euclidian, două câte
două afl ate la distanță cel mult 1. Atunci M este conținută într-un disc de rază
R ≤ 3
3 ”.
Demonstrație . Dacă punctele Ak sunt coliniare, afi rmația este evidentă ( R =1
2).
Dacă n = 3 și triunghiul A1 A2 A3 este obtuzunghic sau dreptunghic (în A2), atunci
considerăm discul cu centrul în mijlocul laturii celei mai lungi și rază R =1
2; iar dacă
triunghiul A1 A2 A3 este ascuțitunghic, atunci el va avea un unghi de măsură 3πα> ,
de exemplu n
123 m( )AAA =α. Atunci A1A3 = 2Rsinα (R = raza cercului circumscris),
deci R = 13 11 2 3
2s i n 2 3 3AA⋅< ⋅ =α. Fie acum n ≥ 4 și Δk discul închis cu centrul în
Ak și de rază 1, pentru 1 ≤ k ≤ n. Fiecare triunghi Ai Aj Ak este conținut într-un disc
de rază cel mult 3
3 deci sunt îndeplinite condițiile teoremei lui Halley. Conform
acestei teoreme, cele n discuri Δk au cel puțin un punct comun B. Atunci pentru orice
k, d(B, Ak) ≤ 3
3, adică întreaga mulțime M este conținută în discul de centru B și
de rază 3
3.FIGURA 7.1. Demonstrația
teoremei lui Sylvester.MiMk
MlNkMj m

132COROLAR .
Fie N puncte distincte Ak (1≤ k ≤ N) într-un plan. Notând m = mini<jd(Ai, Aj) și
M = maxi<jd(Ai, Aj), avem 3(1 )2MNm>− .
Într-adevăr, există un disc de rază R 1
3≤ M care conține toate punctele Ak.
Discurile deschise cu centrele în Ak și rază 2m sunt disjuncte două câte două și
sunt încluse într-un disc de rază 1
2 3m+ M.
Comparând ariile, rezultă că
221
42 3mmNM⎛⎞⋅π⋅ <π +⎜⎟⎝⎠deci 22 2
44 3 3Nm m mM M<+ + ,
4M 2 + 4Mm233 ( 1 ) 0 Nm−− > , de unde ()312MNm>− .
Să considerăm acum o rețea plană Z × Z , cu nodurile ( x, y) în planul xOy și F o
fi gură geometrică din acel plan. O întrebare fi rească este următoarea: câte noduri N
ale rețelei se afl ă în interiorul fi gurii F ? De exemplu, dacă F este discul centrat în (0, 0)
cu raza R, atunci pentru R sufi cient de mare, | N – πR| ≤ CR, cu C > 0 constantă.
Un alt rezultat clasic de Geometrie discretă îl constituie:
TEOREMA (Pick, 1899):
Dacă a este numărul nodurilor situate pe frontiera unui poligon F cu vârfurile
în nodurile rețelei și dacă b este numărul nodurilor interioare, atunci aria
poligonului este numeric egală cu 12aAb=+ − .
O demonstrație poate fi găsită în [2].
EXEMPLU Să considerăm poligonul F din fi gura 7.2.
În acest caz, a = 6, b = 6, deci aria
A = 8.
V .D. Kotliar [1] a dat următoarea
generalizare: „Să considerăm o fi gură F având aria A(F),
perimetrul P(F) și N(F) numărul nodurilor
interioare ale lui F.
Atunci
1() () () 12NF AF PF ≤+ + . FIGURA 7.2. Poligon cu
vârfurile în nodurile rețelei.F

133Indicăm o demonstrație a acestui fapt,
considerând cel mai mic poligon convex Δ
care conține toate cele N(F) noduri, ca și
unele situate pe frontiera lui F (deci A(Δ) ≤
A(F)) ; avem și P (Δ) ≤ P (F) ; fi gura 7.3.
Dacă pe o latură a poligonului Δ se afl ă
două noduri ele rețelei, atunci distanța dintre ele este ≥ 1 și perimetrul lui Δ
va fi ≥ a deci aplicând teorema lui Pick,
() () 1 122aaNF N a b b⎛⎞=Δ = + = + − + + = ⎜⎟⎝⎠
11() 1 () () 1 () () 122 2aAA P A F P F=Δ + + ≤Δ + Δ + ≤ + + .
Ca o consecință, pentru un pătrat F cu vârfurile în nodurile rețelei și cu lungimea
laturii L, avem A(F) = L2, P(F) = 4 n deci numărul nodurilor interioare pătratului va fi
N (F) 22141 (1 )2nn n≤+ ⋅+ =+ .
În încheiere, dăm două aplicații semnifi cative ale teoremei lui Pick.
I. Considerăm un poligon P fără autointersecții, cu vârfurile în nodurile
rețelei, având lungimile laturilor numere naturale și toate unghiurile drepte. Dacă perimetrul poligonului este 4 n (n
≥1), să determinăm cea
mai mare și cea mai mică arie posibilă a unui astfel de poligon.
Soluție . Considerăm dreptunghiul D, care „circumscrie” poligonul P ducând
drepte verticale prin latura stângă și prin cea dreaptă și drepte orizontale prin latura de sus și prin cea de jos. Atunci poligonul P va fi inclus în interiorul acestui
dreptunghi deci aria A(P) ≤ A(D). Dacă laturile dreptunghiului sunt p și q, atunci
A(D) = p(p + q – p ) ≤ p(2n – p ) ≤ n
2. Deci aria maximă a lui P este ≤ n2 (și aceasta este
atinsă în cazul unui pătrat cu lungimea laturii n).
Pentru a determina cea mai mică arie posibilă a lui P, folosim formula lui Pick:
A(P) = 12ab+− ; b = 0, a = perimetrul și aria minimă este 2 n – 1, atinsă.
II. Fie o fracție rațională ireductibilă prq= (p > 0, q > 0). Se consideră toate
fracțiile ireductibile cu numitorii strict mai mici decât q și alegem pe cea
mai mică, 1
1x
y, care este mai mare decât r ; în mod similar, 2
2x
y este mai mică
decât r. Atunci avem 12
12xxryy+=+.
Soluție . De exemplu, pentru fracția 9
4, avem 1
17
3x
y= și 2
22
1x
y=. Asociem fi ecărei FIGURA 7.3. O generalizare
a teoremei lui Pick.ΔF

134fracții x
y, nodul ( x, y) ∈ Z × Z. Dacă A(p, q) și B(x1, y1), atunci aria triunghiului
AOB este 11 1111()22xq yp xq yp−= − . Deoarece fracțiile p
q și 1
1x
y sunt ireductibile,
pe laturile OA, OB ale acestui triunghi nu mai există puncte din Z × Z . Punctul
(x, y) nu poate fi situat nici pe segmentul [ AB] (căci ar rezulta că 1
1x p xryy q<<= ,
ceea ce contravine alegerii lui 1
1x
y). Atunci conform teoremei lui Pick, aria AOB este
310122+−= deci x1q – y1p = 1. În mod similar, în triunghiul OAD cu D(x2, y2), rezultă
x2q – y2p = – 1. De aici, se obține că 12
12xx p
yy q+=+.

BIBLIOGRAFIE
1. – Revista Kvant, 1983-84.
2. A. M. Iaglom, I. M. Iaglom – Probleme neelementare tratate elementar , Ed. Tehnică, 1983.
3. V . Neagoe, O. Stănășilă – Teoria Recunoașterii Formelor, Ed. Academiei Române, 1992.
4. O. Stănășilă – Noțiuni și tehnici de matematică discretă , Ed. Științifi că și Enciclopedică,
1985.
5. Ian Stewart – Th e problems in mathematics, Oxford University Press, 1987.
6. G. Sudan – Câteva probleme matematice interesante , Ed. Tehnică, 1969.
7. I.Tomescu – Introduction to combinatorics , Collet’s London, 1975.
8. D. Vaida – Elemente de teoria limbajelor de programare , Lit.Univ. Buc., 1973.

135• Matematica reprezintă forța spiritului
uman, chemat să recompenseze imperfecțiunea simțurilor și durata redusă a vieții noastre.
J. FOURIER
• Descoperirea calculatorului modern
stă alături de cea a focului, a roții și a energiei atomice; dar pentru a fi cât
mai util, calculatorul are nevoie de matematică și de alte descoperiri
H. FREUDENTHAL
8. FENOMENE MATEMATICO – INFORMATICE
Conform DEX, un fenomen este „un proces care surprinde prin noutate sau
un fapt care îl impresionează pe observator” . Suntem obișnuiți cu fenomene fi zice,
chimice, economice sau sociale. Dar există și multe fenomene pe care le putem atribui matematicii sau informaticii și în acest paragraf, prezentăm câteva dintre acestea.
8.1. Mulțimea lui Cantor
Să presupunem că pe intervalul [0, 1] „plouă” , conform imaginației lui N. Vilenkin.
Împărțim intervalul în trei părți egale și pe subintervalul din mijloc construim un
triunghi echilateral ca „acoperiș” , În sus, presupunând că în punctele 12,33 plouă.
Împărțim apoi intervalele [0, 1
3] și [2
3, 1] în trei părți egale și pe subintervalele din
mijocul fi ecăruia construim câte un „acoperiș” – triunghi echilateral; continuăm
operația pentru cele 4 subintervale [0, 1
9], [21,93], [27,39], [8
9, 1], pe care deocamdată
„plouă” . Repetăm operația indefi nit și notăm cu C mulțimea tuturor punctelor
„plouate” . Mai formalizat, să notăm I0 = [0, 1], I1 = [0,1
3] 4 [2
3,1], I3 = [0,1
9] 4 [2
9,
1
3] 4 [27,39] 4 [8
9, 1] etc. Se obține un șir strict descrescător de mulțimi închise Io ⊃
I1 ⊃ I2 ⊃ … de lungimi 1, 2
3, 22
3⎛⎞⎜⎟⎝⎠,… și fi e C = 0nnI≥∩ . Aceasta este celebra mulțime
a lui Cantor . Dăm câteva proprietăți ale mulțimii C:
1. Măsura (lungimea) fi ecărei mulțimi In este 2()3n
nI⎛⎞μ= ⎜⎟⎝⎠ și cum C ⊂ In,

136rezultă μ (C) ≤ 2
3n⎛⎞⎜⎟⎝⎠pentru orice întreg n ≥ 1 deci μ (C) = 0. Așadar, C este o
mulțime de măsură nulă.
2. Orice număr x ∈ C este de forma x =
1123n
n n∞
=⎛⎞ε⋅⋅ ⎜⎟⎝⎠∑ , unde εn = 0 sau 1.
Așadar, scrierea lui x în baza 3 conține doar cifrele 0 și 2 (nu cifra 1).
3. Mulțimea C nu este numărabilă (Iată un argument: notăm cu S mulțimea
șirurilor ( εn ) ≥ 1, unde εn = 0 sau 1; S este echipotentă cu intervalul [0, 1),
prin scrierea în baza 2 deci S nu este numărabilă. În plus, aplicația f : S → C,
12()3nn n nf∞
=ε= ε ⋅∑este bijectivă).
4. Capetele intervalelor ce formează In sunt de forma 3na cu a, n ∈ N și acestea
formează o mulțime numărabilă (dar în C există și puncte, care nu sunt
capete de intervale din In; de exemplu, 0,(02) = 2422 1…4 33++ = ).
Vom vedea că mulțimea C este un fractal, cu dimensiunea ln2
ln3≅0,63 (numit
„praful lui Cantor”).
Totodată, Cantor a construit o funcție remarcabilă, numită „scara diavolului” .
Anume,
f : [0, 1] → [0, 1], defi nită prin f (x) = 1
2dacă x ∈ 12,33⎛⎞⎜⎟⎝⎠; f (x) = 1
4 dacă
x ∈ 12,99⎛⎞⎜⎟⎝⎠; 3
4 dacă x ∈ 78 1,;99 8⎛⎞⎜⎟⎝⎠ dacă x ∈ 12 3,;27 27 8⎛⎞⎜⎟⎝⎠ dacă x ∈ 21 5,;93 8⎛⎞⎜⎟⎝⎠
dacă x ∈ 27,39⎛⎞⎜⎟⎝⎠și f (x) = 7
8 dacă
x ∈ 25 26,27 27⎛⎞⎜⎟⎝⎠etc.
Această funcție este defi nită pe [0,
1] \C (adică în punctele „neplouate”;
fi g. 8.1.) Funcția f se poate extinde
la o funcție continuă și monoton
crescătoare pe întreg intervalul [0, 1], construită pe fi ecare treaptă și crescând
doar în punctele lui C. Lungimea totală
a treptelor este
2311 12 4 … 13 33+⋅ +⋅ + =
.
FIGURA 8.1. „Scara diavolului” .Oxy
f1
1/27/8
7/93/4
1/4
1/8
8/9 1/9… 2/9 1/3 2/3 1

137NOTĂ . „Scara diavolului” f este derivabilă a. p. cu derivata nulă. Așadar,
1
0()fx′∫dx = 0 < f (1) − f (0). Dar nu se contravine formulei Leibniz –
Newton, deoarece f ′ nu este continuă!.
Există și o altă defi niție, mai formală, a funcției f, anume ca limita unui șir de
funcții fn: [0, 1] → [0, 1], n ≥ 0, defi nite inductiv prin fo(x) = x pentru n ≥ 0,
fn + 1(x) = 1
2fn(3x) dacă x ∈ [0, 1
3], fn + 1(x) = 1
2 dacă x ∈ (1
3,2
3]și
12 + 12fn(3x − 2) dacă x ∈ (2
3, 1]; fi gura 8.2.
O O Ox x xy y y
f0f1f21 1 1
1 111/2 1/2
1/3 1/3 2/3 2/31/43/4
FIGURA 8.2. Șirul fn converge uniform către „scara diavolului” .
Așadar, fn(0) = 0, fn(1) = 1 și fn sunt continue și monoton crescătoare pe [0, 1].
Pentru orice n ≥ 1, avem
[0,1] 1 [0,1] 11s u p () () s u p () ()2xn n xn n f x fx fx f x∈+ ∈ − −≤ − și f = limn→∞ fn (convergența
fi ind uniformă); [0,1] [0,1] 1 0 111sup ( ) ( ) sup ( ) ( )22xn x nnfx f x f x f x∈∈ −−≤ −= .
8.2. Curbă care „umple” un pătrat
Notăm I = [0, 1] deci I × I este pătratul unitate din plan. Intuitiv, o curbă plană
este „urma unui punct mișcător”; pentru a evita diverse situații patologice, francezul Jordan a defi nit o curbă plană ca fi ind o aplicație continuă
γ : I → R
2, împreună cu imaginea ei ( γ) = {γ(t)⏐ t ∈ I}.
Pentru orice t ∈ I, γ (t) = ( x(t), y(t)) și relațiile x = x (t), y = y (t) se numesc
ecuațiile parametrice ale curbei γ. În 1890, italianul G. Peano a produs o adevărată
stupefacție atunci când a construit o aplicație continuă și surjectivă γ : I → I × I; în
acest caz, punctele γ (t) acoperă pătratul unitate (în sensul că ( γ ) = I × I, deci curba γ
trece prin toate punctele pătratului unitate; tocmai în acest sens, ea „umple” pătratul). Cu ceva timp înainte, Cantor a construit următoarea aplicație bijectivă γ : I → I × I, etc….

138care asociază oricărui punct t = 0, a1a2a3a4a5a6… din [0, 1), punctul de coordonate
x(t) = 0, a1a3a5a7…; y(t) = 0, a2a4a6…; γ (1) = (1, 1). Dar această aplicație nu este o curbă,
deoarece nu este continuă. Acest exemplu (care ne oferă deja un fenomen: anume, intervalul I are „tot atâtea puncte” cât pătratul I × I ) l-a infl uențat desigur pe Peano.
Prezentăm acum analitic curba Peano originală. Fie C mulțimea lui Cantor, a
acelor x ∈ I având scrierea (unică!) în baza 3 de forma x =
0()
3n
n nx ∞
=ε∑ cu εn(x) = 0
sau 2. Notăm D = I \C.
Pentru orice întreg p ≥ 1, notăm Jp = {x ∈ I| 3p ⋅ x ∈ N și 3p–1 ⋅ x ∈ N}. Se
arată că există 3p – 1 subintervale deschise ale lui I, de lungime 1
3p, conținute în D și
având extremitățile situate în Jp. În plus, intervalele Jp sunt mutual disjuncte. Fie Up
reuniunea acestor intervale și Vp reuniunea acelora care nu sunt conținute în Up – 1,
Up – 2, …, U1. Notând Dp = 1kp kV≤≤∪ , rezultă D =1ppD≥∪ . Defi nim acum funcțiile
21
12 1 0() 1,: , ( )2 2n
n nxCI x∞−
=εϕϕ → ϕ = ∑ și 2
2 1() 1()2 2n
n nxx∞
=εϕ= ∑ .
Dacă x ∉ C, atunci x aparține unui singur interval deschis ( a, b) cu a < b și
conținut în D; în acest caz, defi nim
11
11() ()() () ( )baxa x abaϕ− ϕϕ= ϕ + −− și 22
22() ()() () ( )baxa x abaϕ− ϕϕ= ϕ + −−.
Cu aceste pregătiri, se poate demonstra:
TEOREMA (Peano).
„Aplicația γ : I → I × I, γ (x) = (ϕ1(x), ϕ2(x))
este continuă și surjectivă” .
FIGURA 8.3. Generarea unei curbe tip Peano.γ1γ2, γ3, …
γ0
Iată și descriptiv (nu doar analitic) un șir de curbe, de fapt linii poligonale situate
în pătratul I × I (fi gura 8.3). Începând cu γo, celelalte sunt create iterativ printr-un
același procedeu. Înjumătățim verigile lui γo și descreștem mărimea grilei cu factorul
2. Plasăm 4 copii ale curbei pe grilă. Cele de jos rămân așa cum sunt, iar cele două de sus se rotesc cu 90
o spre stânga și respectiv dreapta. Apoi unim cele 4 piese prin
segmente de dreaptă (așa cum sugerăm prin buline în fi gura 8.3), obținând curba
γ1 etc. Curbele devin din ce în ce mai lungi și procesul continuă indefi nit. Niciuna
din curbele γn nu „umple” pătratul și nu are autointersecții. Curba Peano este limita
acestui șir ( γn) pentru n → ∞.
NOTĂ. După Peano, s-au descoperit alte curbe „space – fi lling” , care umplu
un poligon, un cub, interiorul unei sfere etc. Toate acestea au purtat numele generic de curbe tip Peano. Marele Hilbert însuși a construit o

139curbă Peano, în modul următor. Fie h : C → I restricția funcției „scara
diavolului” , prezentată în 8.1 și H : C × C → I × I, H (x, y) = (h(x), h(y)).
Hilbert a construit o aplicație bijectivă continuă g : C → C × C și a
considerat compusa H D g : C → I × I; aceasta este o aplicație continuă și
surjectivă, care se extinde la o aplicație continuă și surjectivă I → I × I,
aplicând teorema lui Tietze.
Relativ la fenomenul Peano, H. Poincaré s-a întrebat: „Cum a putut intuiția
noastră să ne înșele în așa grad” ?
În ultimele decenii, aceste curbe exotice au căpătat aplicații informatice
semnifi cative; de exemplu, la citirea optimală a unor imagini sau în criptarea și
decriptarea de mesaje.
8.3. Fenomenul Runge
Am prezentat în 6.2 polinomul Lagrange de interpolare. Pentru orice tabelă de
date
xx0x1… xn
yy0y1… yn
cu x0 < x1 < … < xn, n+1 numere reale distincte (numite noduri sau poluri), se defi nesc
polinoamele
01 1
01 1( )…( )( )…( )()( )…( )( )…( )kk n
k
kk k k k k nxx xx xx xxLxxx xx xx xx−+
−+−−− −=−−− −,
care au proprietatea că ()kj k jLx =δ pentru 0 ≤ j, k ≤ n.
Notând ω(x) = ( x – x0)(x – x1) … ( x – xn), avem evident ()()() ( )k
kkxLxxx xω=′ −ω
(pentru x ≠ xk).
EXEMPLEPentru nodurile 0, 1, 2, 4 avem
32
1(1 ) (2 ) (4 ) 1() ( 7 1 4 8 )(1 ) (2 ) (4 ) 8xx xLx x x x−− −== − − + −−−−;
23(2 ) (4 ) 1 1( ) ( 2)( 4); ( ) ( 1)( 4)1( 1 ) ( 3 ) 3 4xx xLx x x x Lx x x x−−== − − = − − −⋅− − și
41() ( 1 ) ( 2 ) .24Lx x x x =− −
Dacă y = f (x) este o mărime fi zică (căreia nu-i șt im expresia funcției f ), valorile
ei pot fi măsurate doar într-un număr fi nit de noduri xk, ca mai sus și yk = f (xk),
0 ≤ k ≤ n. Atunci există și este unic un polinom L ∈ R[X] de grad ≤ n astfel încât
L(xk) = yk, 0 ≤ k ≤ n. Anume, L (x) = 0()n
kk kyL x=∑ .

140EXEMPLU
Pentru tabela
x 01 2 4
y 80 3 − 6
cu nodurile din exemplul anterior, polinomul Lagrange de interpolare va fi
L (x) = 8 L1(x) + 3 L3(x) – 6 L4(x) = – 32 1(4 23 35 16)2xxx−+ − .
Ținând cont că f (xk) = L (xk), 0 ≤ k ≤ n, este sugerată formula aproximativă
f (x) ≅ L (x), care permite calculul valorilor lui f și între noduri. Un defect
cronic al acestei formule este acela că nu se transferă în general derivatelor (adică nu rezultă f ′(x) ≅ L′(x)). Dar mai este ceva… Interpolarea Lagrange
a făcut o mare carieră (mai ales pentru funcții sufi cient de netede,
derivabile și fără mari oscilații); s-a sperat că luând în considerare mai multe puncte de măsurare, uniforme și mai dese ( x
k, yk), se va obține o
aproximare superioară. Dar germanul Runge a arătat în 1920 că pentru o funcție netedă (de clasă C
∞) și „atât de cumsecade” precum f: [−1,1] → R,
221() ,fxx=+α cu α > 0 constant și cu
grafi cul indicat în fi gura 8.4, se petrece
un „fenomen neașteptat” și nebanal, pe
care îl descriem în continuare. Să considerăm nodurile
13 2 1, ,…,22 2m
mm m−±± ± ,
în număr de n = 2m.
Renotăm astfel cele n noduri anterioare,
în ordine crescătoare:
− 1 < a1 < a2 <… < an < 1 și fi e ω(x) = ( x – a1) … ( x – an).
Atunci polinomul Lagrange de grad cel mult n – 1 va fi
L (x) = 1()()() ( )n
k k
kkxfaxa a=ω⋅′ −⋅ ω∑ , pentru x ≠ xk. (1)
Avem
ω(αi) = ω(−αi) = ( −1)m .2
22 2
22 219 ( 2 1 )…44 4m
mm m⎛ ⎞ − ⎛⎞ ⎛⎞α+ α+ α+⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟⎝⎠ ⎝⎠ ⎝ ⎠.
Introducem variabila complexă și considerăm funcția g (z) =
22() 1
(1 ) ( ) (1 ) ( ) ( )fz
zz zz a z=−⋅ ω −+ ⋅ ω, ale cărei singularități sunt 1, ± αi,
a1,…, an, cu reziduurile respective
Rez( g; 1) =(1)
(1)f
ω; Rez( g; αi) =2i
2( 1 ) (i )−α +
αα + ⋅ ωα; Rez( g; −αi) =2i
2( 1 ) ( i )−α −
αα + ⋅ ω− α FIGURA 8.4. Grafi cul funcției
221() ,fxx=+α (α > 0 constant).Oxy
–1 1y = f (x)

141și cum ω(αi) = ω(–αi), rezultă Re z( g; i) + Re z( g; −i) =21
(1 ) ( i )−α+ ⋅ ω α și în
fi ne, Re z( g; ak) ()
(1 ) ( )k
kkfa
aa=′ −⋅ ω (pentru 0 ≤ k ≤ n ).
Considerăm acum integrala complexă J =
() d
zRgz z
=∫ ,
unde R > 1 și R > |α|, pe cercul | z| = R parcurs pozitiv o singură dată.
Conform teoremei reziduurilor,
J = 2πi 2 1() (1) 1
(1) (1 ) ( ) (1 ) ( i )nk
k
kkfa f
aa=⎡⎤−−⎢⎥′ ω− ⋅ ω α+ ω α ⎣⎦∑ ,
de unde
2(1) 11 ( 1 )(( 1 ) )2i ( 1 ) ( 1 ) (1 ) ( i )f LJc f=⋅ = − −πω ω α+ ω α,
deci f(1) – L(1) =21( 1 )(1)2i (1 ) ( i )Jω⋅⋅ ω +π α+ ω α. (2)
Arătăm că integrala J este nulă; într-adevăr,

22 d
1( )zRzJ
zz z=≤
+α ⋅ − ⋅ω∫
și pentru | z| = R, avem | z + αi| > R – α, |z – αi| > R – α și |z – 1| > R – 1,
1() ( 1 )nn
k kzz a R=ω= −≥ − ∏ , deci
21 2 1 12d() ( 1 ) () ( 1 )nnzRRJzRR R R++=π≤=−α ⋅ − −α − ∫;
făcând R → ∞, rezultă J = 0. Conform (2), rezultă
f (1) − L (1) = 2(1)
(1 ) ( i )ω
α+ ω α.
În fi ne,
21 1 2 1 2 1 1 3 5 … (4 1)(1) 1 1 … 1 122 2 2 (2 )mmm m
mm m m m− + ⋅⋅⋅ ⋅ − ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ω=− + ⋅ ⋅− + = = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝⎠ ⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
22(4 )!
(2 ) 2 (2 )!mmm
mm=⋅⋅.
Folosind formula lui Stirling n! ≅ e2nnnn−⋅⋅ π , rezultă că 2(1) 2en
nω≅ ⋅ și
pentru α → 0, ω(αi) tinde către 21 3 … (2 1) 2(1 ) (1 )2 2 … 2 emm
nm
mm m⋅⋅ ⋅ −⎛⎞−⋅ = −⋅ ⎜⎟⋅⋅ ⋅ ⎝⎠.
Atunci | f(1) – L(1)| > 2n – 1 și ca atare, | f(1) – L(1)| tinde la ∞ pentru n → ∞.
Așadar, considerând nodurile echidistante și din ce în ce mai dese, tinzând către capetele intervalului [ − 1, 1], polinomul Lagrange are elongații, adică
abateri de la zero, din ce în ce mai mari, oscilând „sălbatic” spre frontieră. Grafi cul polinoamelor Lagrange pentru funcția considerată este sugerat
punctat în fi gura 8.5.

142Pentru evitarea fenomenelor Runge s-au considerat funcțiile–spline.
Dacă I = [a, b] este un interval și Δ: a = xo < x1 < x2 <… < xn < xn+1 = b este o diviziune
cu n noduri interioare, o funcție
s: I → R se numește funcție – spline
(”ștraif ”) de grad k (k ≥ 1) relativ
la Δ dacă este de clasă k – 1 pe I
și pe orice subinterval [ xi, xi+1],
0 ≤ i ≤ n, al diviziunii Δ, s coincide
cu un polinom de grad cel mult k;[5]. Funcțiile – spline de grad
1 se numesc poligonale (liniare
pe porțiuni). Orice polinom este funcție – spline, dar invers, nu.
EXEMPLU.
Fixăm α ∈ R. Funcția
()() 0k
k xx+⎧−α⎪−α = ⎨
⎪⎩dacă x > α
dacă x ≤ α
este o funcție – spline de grad k și nu este un polinom (deoarece are o
infi nitate de zerouri, fără să fi e funcția nulă).
Evident, pentru k ≥ 2, 1 d() ()dkkxk xx−
++−α = −α .
Reținem că funcțiile – spline sunt polinomiale pe porțiuni. Se verifi că ușor că
mulțimea Sn, k(Δ) a funcțiilor – spline de grad k cu n noduri interioare ( k ≥ 1, n ≥1)
este un spațiu vectorial real de dimensiune n + k + 1 și, în plus, are baza
B = 1 {1, ,…, ,( ) ,…,( ) }kk k
n x x xx xx++ −− .
Așadar, pentru a determina o funcție – spline din Sn, k(Δ) sunt necesare și
sufi ciente n + k + 1 condiții. De exemplu, dacă f : I → R este o funcție de clasă Ck – 1(I),
atunci există și este unică o funcție – spline s de grad 2 k – 1 verifi când următoarele
n + 2k condiții:
s(x1) = f (x1), …, s(xn) = f (xn);
s(a) = f (a), s′(a) = f ′(a), …, s(k − 1)(a) = f (k – 1)(a);
s(b) = f (b), s′(b) = f ′(b), …, s(k − 1)(b) = f (k – 1)(b).
Se spune atunci că s este un spline de interpolare pentru f; se poate considera
formula aproximativă f (x) ≅ s (x), pentru orice x ∈ [a, b]. Ca estimare a erorii
absolute, se poate arăta că dacă η este norma diviziunii Δ (cea mai mare lungime a
subintervalelor diviziunii), atunci pentru orice 0 ≤ j ≤ k – 1, există M > 0 astfel încât
() ()
!jj k j Mfsj−−≤ η și pentru j = 0, kfs M−≤ η . (3)
Așadar, pentru splinuri de interpolare ca mai sus, fenomenul Runge nu mai are
loc. FIGURA 8.5. Alura polinoamelor Lagrange
pentru α → 0.Oxy
–1 1y = f (x)

1438.4. Fractali
Intuitiv, un fractal plan este o fi gură geometrică F care este reuniune de subfi guri
asemenea cu F. Un procedeu pentru a genera fractali este următorul: se consideră
contracții ϕk: R2 → R2 cu coefi cienți minimali ck∈[0, 1), 1 ≤ k ≤ p (așadar, ∀ x, y ∈ R2,
d(ϕk(x), ϕk(y)) ≤ ck ⋅ d(x, y)). Atunci aplicația Φ care asociază oricărei mulțimi
compacte L (≡ închisă și mărginită), compactul ϕ1(L)4 … 4 ϕp(L), are un punct fi x F;
așadar, F = ϕ1(F)4 … 4 ϕp(F), unde mulțimile ϕk(F) sunt „asemenea” cu F. Defi niția
anterioară se extinde la submulțimi F ⊂ Rn, n ≥ 1. Dimensiunea fractală a lui F este
acel număr real s ≥ 0, nu neapărat întreg, astfel încât 12 … 1ss s
p cc c++ + = .
EXEMPLE1) Considerăm mulțimea lui Cantor C ⊂ R; reamintim că C = 3
n ≥ 1In, unde
Io = [0, 1], I1 = 120, ,133⎡⎤ ⎡⎤
⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ ⎣⎦∪ , … Arătăm că C este un fractal (numit „praful
lui Cantor”); într-adevăr, considerăm contracțiile ϕ1, ϕ2 : R→ R,
unde 1()3xxϕ= și 22()3xx+ϕ= , având coefi cienții c1 = 1
3, c2 = 1
3. Aplicația
Φ care duce orice mulțime compactă L ⊂ R în mulțimea Φ(L) = ϕ1(L) 4 ϕ2 (L)
are proprietatea că Φ(Io) = I1, Φ(I1) = I2 etc. și punctul fi x este tocmai C (deci
C = ϕ1(C) 4 ϕ2 (C)). Dimensiunea fractală a lui C este acel număr s ≥ 0 astfel
încât 11133ss⎛⎞ ⎛⎞+= ⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠, deci s = ln2
ln3 ≅ 0,63.
2) Curbele – tip Peano, ca și frontiera litoralului diverselor mări, au de
asemenea structuri fractale. Un alt fractal celebru îl constituie „covorul lui Sierpinski” , care se obține astfel: se consideră un triunghi echilateral de latură 1 și apoi, mijloacele celor trei laturi, formându-se 4 triunghiuri echilaterale (fi gura 8.6). Se elimină cel din mijloc și apoi fi ecare din cele trei triunghiuri
rămase sunt supuse aceluiași procedeu, continuat indefi nit. Notăm cu T
placa triunghiulară echilaterală construită pe intervalul [0, 1]; introducem coordonate și considerăm contracțiile ϕ
k: T → T, 1 ≤ k ≤ 3, următoare:
12 323 12 1(, ) , ; (, ) , ; (, ) ,22 2 2 4 4yy yxx xxy xy xy⎛⎞ + ++ ⎛⎞ ⎛ ⎞ϕ= ϕ= ϕ= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠. Φ2(T) Φ(T) T
FIGURA 8.6. Generarea covorului lui Sierpinski.

144Defi nind aplicația Φ prin Φ(L) = ϕ1(L) 4 ϕ2 (L) 4 ϕ3 (L), atunci T, Φ(T),
Φ2(T) etc. sunt indicate în fi gura 8.6. „Covorul lui Sierpinski” S are
proprietatea că S = ϕ1(S) 4 ϕ2 (S) 4 ϕ3 (S) și dimensiunea sa fractală s satisface
relația 1111222sss⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞++= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠, deci 2s = 3, de unde s = ln3
ln2≅ 1,58.
Există și alte modalități de a genera fractali. Astfel, să considerăm funcția complexă
f : C → C, f (z) = z2 + c, unde c este un parametru complex. Pentru orice a ∈ C,
formăm șirul ( zn), n ≥ 0, defi nit inductiv prin zo = a și zn+1 = f (zn), n ≥ 0 (deci z1 = f (a),
z2 = f (z1) = f (f (a)) = f 2(a) etc.). Mulțimea ωa = {f n(a)| n ≥ 0} este numită orbita lui
a. Este oarecum neașteptat cât de mult depinde forma orbitei ωa de alegerea lui c și
a; [3], [4].
EXEMPLUDacă | c| < 2 și | a| > 2, atunci | f(a)| = | a
2 + c| ≥ |a2 | – | c| > |a2 | – | a|.
Notăm | a| = 2 + ℓ cu ℓ > 0, deci | f(a)| > | a| (|a| – 1) = | a| (1 + ℓ) și prin
inducție, | f n (a)| > (1 + ℓ)n|a|. Ca atare, f n(a) → ∞ pentru n → ∞ (adică orbita
ωa constituie in șir nemărginit în C).
Dar dacă c = 0 și | a| < 1, atunci f (a) = a2, f 2(a) = f (a2) = a4 și f n(a) = a2n . Ca
atare, limn → ∞ fn(a) = 0 și orbita ωa este un șir convergent către zero.
NOTĂ . Teoria fractalilor a cunoscut o dezvoltare deosebită în ultimele
decenii, datorită îndeosebi matematicianului franco-american Benoit Mandelbrojt. După ce fractalii au apărut ca o curiozitate grafi că, în
urma utilizării calculatoarelor puternice și după ce s-au propus mai multe modalități de generare de fractali, s-a constatat că fractalii sunt obiecte de mare interes, cu proprietatea de autosimilaritate, care apar în natură – cristale, nori, frunze, conopide, broccioli, etc –. În plus, structurile fractale se întâlnesc în descifrarea mecanismelor vieții
– ADN, creșterea celulelor –, ca și în înțelegerea haosului ca formă
superioară de ordine. În ultimii ani, s-au dezvoltat alte câmpuri de manifestare și aplicații ale fractalilor în Imagologie, studiul antenelor, Recunoașterea Formelor, modele în industria textilă, chiar și în muzică.
Conceptul de dimensiune
Intuitiv, un segment de dreaptă are dimensiunea 1, o fi gură plană are dimensiunea
2 și un corp în spațiu – dimensiunea 3. Suntem obișnuiți ca dimensiunile unor obiecte sau spații să fi e numere naturale. Matematicienii studiază și spații de dimensiune
infi nită, chiar nenumărabilă. De exemplu, spațiul L
2, spații de curbe etc. Pentru
ingineri, dimensiunea este numărul „gradelor de libertate” (sau al coordonatelor); vom reveni în subparagraful 12.6 asupra acestei abordări.
Fie un segment de lungime a; îl împărțim în N părți egale („congruente”),
similare cu segmentul inițial, cu un raport de asemănare N. Considerăm apoi un

145pătrat cu lungimea laturii a și îl divizăm în N 2 pătrate similare cu cel inițial, cu
raportul de asemănare N. Același lucru pentru un cub, cu N 3 subcuburi și raportul
de asemănare N. Acest fapt a sugerat defi nirea următoare a dimensiunii „fractale” D
a unei confi gurații M de puncte:
D = log(numărul de submulțimi similare cu M)
log(raportul de asemănare) (de exemplu, în baza „e”). (4)
În cazul unui segment, D = log N
log N = 1; în cazul unui pătrat, D = log N2
log N = 2 și al
cubului D = log N3
log N = 3. Dar această relație (4) se poate aplica și în cazul prafului lui
Cantor, unde D = log 2
log 3≅ 0,63 sau al covorului lui Sierpinski, unde D = log 3
log 2. Așadar,
trebuie admise și dimensiuni fracționare. Dimensiunea fractală a unei mulțimi arată
cât de „încărcată” este acea mulțime, ca un indicator de complexitate.
Haussdorff a introdus o altă defi niție a dimensiunii; anume, dacă X este un spațiu
metric, dimensiunea unei submulțimi M ⊂ X este D = 0log ( )limlogn
ε→ε−ε, unde n (ε)
este numărul minim de bile de rază ε care acoperă M. Astfel, pentru un segment de
lungime a, n(ε) = a
ε și rezultă D = 1; iar pentru un pătrat de latură a, n(ε) = 2
2a
ε și D = 2.
Există alte defi niții, nu toate compatibile între ele; [3],[4].
Așa cum am spus, există și fractali naturali. L. Fry Richardson a arătat în 1961
difi cultatea de a stabili lungimea coastelor mărilor, observând o legătură între această
lungime și mărimea λ a lungimii riglei folosite la măsurare. Ilustrăm aceasta pe un
exemplu simplu; anume, considerăm un cerc de rază 1 cm și estimăm lungimea L a cercului. Folosind o riglă cap – compas A
1A2 de lungime λ = 1 cm, căreia îi
modifi căm poziția A1A2, A3A4 etc., rezultă că L ≅ 6λ = 6 (fi gura 8.7). Dar să pornim
din A1 cu o riglă de lungime A1A2′ = 0,1 cm;
vom constata că lungimea noii linii poligonale rezultă de circa 6,2 cm; luând λ = 10
– 2 cm, se
obține 6,27 cm. Desigur, la limită (pentru λ → 0),
rezultatul măsurării va fi lungimea 2 π ≅ 6,2831 cm
a cercului.
Richardson a arătat că lungimea L și
dimensiunea fractală D a unei coaste marine
urmează o regulă euristică, de forma
L ≅ A ⋅ λ–α, D = 1 + α, (5)
unde constanta α > 0 este determinată experi-
mental, iar A > 0 este un factor care depinde de
unitatea de măsură folosită. De exemplu, pe coasta Angliei, α ≅ 0,24 și pe coasta
Australiei, α ≅ 0,13. Logaritmând, legea (5) a lui Richardson se scrie sub forma:
log L = (1 – D)logλ + b. A1
O……A1′A2′ A2
A3
FIGURA 8.7. Lungimea unui cerc,
măsurată cu ajutorul unor rigle.

1468.5. Fenomenul Gibbs
Un rezultat clasic (teorema Fourier – Dirichlet) arată că dacă o funcție
f : R → R este periodică de perioadă T > 0 (și frecvența ciclică 2
Tπω= ), derivabilă pe
porțiuni și cu derivate laterale fi nite, atunci seria Fourier
0
1(c o s s i n )2nn naan t b n t≥+ω + ω∑ ,
unde 2

2
2() c o s dT
T naf t n t tT−=ω ⋅∫
(n ≥ 0) și 2

2
2() s i n dT
T nbf t n t tT−=ω ⋅∫
este punctual
convergentă pentru orice t ∈ R, având suma f(t) = 1
2(f (t – 0) + f (t + 0)). Dacă f
este continuă, atunci f (t) = f (t) și se spune că semnalul f coincide cu suprapunerea
armonicelor An(t), în sensul că
∀ t ∈ R, f (t) =0()n nAt∞
=∑ , unde 0
02aA= și
() c o s s i nnn nAt a n t b n t =ω + ω . (6)
Pentru N 1, suma parțială SN(t) =0()N
n nAt=∑ constituie o aproximare oricât
de bună a semnalului f (t). În practică, nu este ușor de stabilit numărul N, mai ales
că seriile Fourier nu sunt rapid convergente și oscilațiile de înaltă frecvență au amplitudini mari.
Dacă f este discontinuă, sumele parțiale nu mai reproduc exact f (t) în vecinătatea
punctelor de discontinuitate și acest fapt este esența fenomenului Gibbs .
EXEMPLUIlustrăm fenomenul pentru
funcția impară f : [ − 1, 1] → R,
1, [0, 1)()1, [ 1, 0)tftt∈ ⎧⎪=⎨−∈ −⎪⎩,
extinsă prin periodicitate de
perioadă T = 2 (deci ω = 1) la R
(fi gura 8.8).
Funcția f este discontinuă în
punctele de coordonate întregi și nu contează valorile lui f în
aceste puncte (considerând media aritmetică a limitelor laterale). Coefi cienții Fourier sunt:
11 1
-1 -1 0 0, par
()c o s d 0 ; ()s i n d 2 ()s i n d 4, i m p a rnnn
af t n t t bf tn t tf tn t t
n⎧⎪=⋅ π = =⋅ π = ⋅ π = ⎨
⎪π⎩∫∫ ∫FIGURA 8.8. Funcție periodică ( T = 2).Oty
–1 1 2y = f (t)

147Așadar, ∀t ∈ R, 4 sin sin3 sin5( ) …13 5tttftπππ⎛⎞= +++⎜⎟π⎝⎠. În treacăt fi e zis, pentru
t = 1
2, se obține o sumă infi nită celebră: 1111 …357 4π−+−+ = (Leibniz).
Armonicele semnalului f sunt Ao = 0, An(t) = 0 pentru n par și An(t) = 2sinntππ
pentru n impar. Alura grafi celor y = S5(t) = 4 sin3 sin5() s i n35ttft tππ ⎛⎞=π + +⎜⎟π⎝⎠ și
y = S15(t), t ∈ R, sunt indicate în fi gura 8.9.
Se observă că aceste funcții sunt continue; în vecinătatea punctelor de coordonate
întregi, abaterile Sn(t) – f (t) (de la zero) sunt mai mari decât în punctele t ∉ Z, iar în
punctele t ∈ Z apar distorsiuni mari.
Se poate arăta că maximul funcției
Sn(t) este atins pentru t = 1
2n(n ≥ 1) și în
plus,
114 1sin(2 1)22 1 2n
n kSknk n=π ⎛⎞=− ⎜⎟π− ⎝⎠∑ .
Pentru n → ∞ , avem
2
012 s i nlim d2nnuSunuπ
→∞⎛⎞= ⎜⎟π ⎝⎠ ∫ ≅ 1,18.
Așadar, oricât de multe armonice ar fi
însumate/suprapuse, în vecinătatea lui t = 0,
avem () ()nSt f t − ≅ 0,18 pentru 0t<<1
2n
și n sufi cient de mare (fi gura 8.10).t
–111,18
1/2n Oy = Sn(t)
FIGURA 8.10. Ilustrarea
fenomenului Gibbs.Oy
1 2y = S5(t)
…
FIGURA 8.9. Alura grafi celor y = S5(t) și y = S15(t), care se apropie continuu de y = f (t).t
Oy
1 2y = S15(t)

148Pentru t > 0 crescător, ()nSt depășește valoarea 1 după un timp scurt, apoi
oscilează în jurul acestei valori cu amplitudini scăzute; similar pentru t < 0.
NOTĂ . Fenomenul Gibbs a fost observat de H. Wilbraham într-un articol
din 1848. Fizicianul A. Michelson a observat în 1898 că pentru un semnal – undă dreptunghiular, de tipul celui considerat mai sus, sumele Fourier parțiale oscilau în jurul punctelor de discontinuitate, chiar dacă se considerau mulți termeni. Ulterior, Gibbs a explicat matematic fenomenul (efectul). În practica prelucrării semnalelor, efectul Gibbs s-a manifestat la răspunsul unui fi ltru trece – jos la un
semnal dreptunghiular și specialiștii au descoperit diverse mijloace de atenuare a acestui efect, care însă nu poate fi complet înlăturat.
Un scop al dispozitivelor electronice îl constituie transmiterea de semnale fără
distorsiuni. Amplifi carea unui semnal conduce la amplifi carea fi ecărei armonici a
lui. Analiza Fourier permite să fi e decelate armonicile care sunt prezente în semnalul
original, pentru a determina distorsiunile și a infl uența implicit calitatea acelor
dispozitive.
8.6. Fenomenul conversiei timp / frecvență
În limbajul uzual, prin conversie se înțelege o transformare care nu modifi că
esența entităților angajate ci numai modul de reprezentare (conversie monetară, conversie analogic / digitală etc.). La începutul utilizării curentului electric, se genera un curent constant („continuu”) și după descoperirea electromagnetismului, s-au inventat generatoarele de curent alternativ, un rol deosebit revenind istro-românului N. Tesla.
Într-o rețea cu tensiunea de 220 V și frecvența ν = 50 Hz deci U
m = 220 2 ≅ 311 V
și frecvența ciclică ω = 2 πν ≅ 6,28 × 50 ≅ 314 Hz, semnalul de tensiune este
u (t) = Um . cos(ωt + ϕ0); de exemplu, dacă la momentul t = 0 tensiunea este 50 V , atunci
50 = Um.cos ϕ0 deci cos ϕ0 = 500,16311≅ de unde, ϕo ≅ 1,4 rad și u (t) = 311 .cos(314 t + 1,4).
Fără curent alternativ, nu pot exista Radio, TV , Telefoane, aparate electrice etc. și a
fost necesară conversia curent continuu / alternativ. Pentru a transporta curentul la distanțe mari și limitând pierderile sub formă de căldură, s-au utilizat tensiuni înalte, fi ind necesare totodată transformatoare atât la centralele de producere a energiei
electrice, cât și la utilizatorul „domestic” de 220 V .
În acest subparagraf, ne vom referi la un alt tip de conversie.
Transformata Fourier
Pentru orice funcție f : R → R din clasa L
1 ( ()dft t∞
−∞<∞ ∫), se poate asocia
transformata ei Fourier
i ˆˆ:, ( )( ) e dtfR C f f t t∞−ω
−∞→ω = ⋅ ∫ . (1)

149Se mai scrie ˆf = F { f }. La facultate s-au studiat proprietățile operatorului
Fourier F , ca și interpretările lui fi zice remarcabile; operatorul F stabilește o legătură
între domeniul – timp și domeniul – frecvență , în sensul că f este asimilată cu o funcție
de timp f (t), numită și formă de undă (care poate fi o tensiune electrică), căreia i se
asociază funcția de frecvență ˆf(ω), ω fi ind frecvența ciclică. Clopotul lui Gauss este
vector propriu pentru F. În condiții sufi cient de generale, operatorul F este inversabil
(de exemplu, pentru semnale din clasa L2(R)) și rezultă că
∀t ∈ R, f (t) = i 1 ˆ() e2tf∞−
−∞ω⋅π∫ωdω, adică f = F –1(ˆf). (2)
Așadar, același semnal are o reprezentare temporală și una frecvențială, iar
descoperirea undelor electromagnetice a condus la fenomenul conversiei temporal –
frecvențială și implicit la inventarea telefonului, Radio, TV , Holografi e, Tomografi e,
Radar, Telefonie mobilă/celulară, Transmitere prin sateliți etc., toate acestea modifi când în mod decisiv fața lumii.
Transformarea Fourier a fost extinsă la semnale 2D sau 3D, devenind totodată
un instrument matematic, cu legitimitate fi zico – inginerească și o largă aplicabilitate.
EXEMPLU Schema unei transmisii radio este în esență următoarea:
→
1ˆ()fω→f1(t) ≅ f(t)F–1FILTRARE RECEPTOR →→F CANAL DE TRANSMISIE
CU DISTORSIUNIEMIȚĂTOR → semnal f (t) → ˆ()fω → →
aceeași schemă fi ind valabilă și în cazul televiziunii, cu Fourier 2D.
Înainte de 1850, transmiterea unor mesaje se realiza doar în domeniul timp, la distanțe mici. Prin conversie în domeniul frecvență (microfonul realizând, în esență, tocmai operatorul F de transformare a semnalului vocal sau
muzical în unde electromagnetice), aceleași mesaje sunt transmise cu viteza luminii.
Transformarea Fourier discretă ( ≡ TFD)
Un „defect” al formulei (1) este difi cultatea de calcul al integralei improprii
respective și faptul că pentru a determina o singură valoare
ˆf(ωo), este necesară
cunoașterea lui f (t) pe toată axa timpului. Pentru abordări informatice, un pas
important l-a constituit discretizarea transformării Fourier.
Să fi xăm un întreg N ≥ 3 și să alegem valorile 2k
Nπω= , 0 ≤ k ≤ N – 1; înlocuind
în (1), rezultă 2i 2ˆ()e dktNkff t tNπ− ∞
−∞π⎛⎞=⋅ ⎜⎟⎝⎠ ∫ . Notând v =2i 22ec o s i s i nN
NNπ− ππ=+ și
ck =2ˆ kfNπ⎛⎞⎜⎟⎝⎠, rezultă

150 ck = () dktft v t∞
−∞⋅ ∫, pentru 0 ≤ k ≤ N – 1, (3)
care a sugerat următoarea defi niție (înlocuind integrala cu o sumă fi nită și folosind
totodată faptul că în practică f (t) este neglijabil pentru valori | t| mari).
Fie f un șir de N numere reale (sau complexe), asimilat cu o matrice
f = (f0, f1, …, fN – 1)T,
cu N linii și o coloană [se mai spune
atunci că f este un semnal fi nit de lungime N, cu
eșantioanele fp, 0 ≤ p ≤ N – 1]. Repetând aceste
eșantioane cu perioada N, f se poate prelungi la
o funcție periodică Z → C (fi gura 8.11).
DEFINIȚIE .
Fiind dat un semnal fi nit f de lungime N,
se consideră șirul de N numere complexe c =(c0, c1, …, cN – 1)T, unde
ck = 1
0Nkp
p pfv−
=⋅ ∑ , 0 ≤ k ≤ N – 1, (3 ′)
formulă sugerată de (3). Se spune că șirul c este transformarea Fourier discretă a
lui f și se notează c = TFD f.
Considerând matricea pătratică de ordin N
V = ()mnv; 0 ≤ m, n ≤ N – 1, (4)
de tip Vandermonde, cu toate elementele de modul 1, relațiile (3 ′) se scriu matriceal
astfel: c = V. f. Matricea V are proprietatea că V . V= N . In deci V este inversabilă, cu
inversa V – 1 = 11()mnVvNN= ; 0 ≤ m, n ≤ N – 1. Atunci f = V – 1 . c și explicit, au loc
relațiile
fp =1
01 Nkp
k kcvN−
=∑ , 0 ≤ p ≤ N – 1. (5)
EXEMPLU.
Luând N = 4, rezultă v = i2eπ
= i deci
V =23
246
36911 1 1 1 111
1 1i1 i
11 1 1 1
1i 1 i 1vv v
vvv
vvv⎛⎞ ⎛⎞⎜⎟ ⎜⎟−− ⎜⎟ ⎜⎟=⎜⎟ ⎜⎟−−⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ −−⎝⎠ ⎝⎠.
Dacă f = (1, 0, 0, 2)T, atunci c = V . f = (3, 1+2i, −1, 1 – 2i)T.
Dăm două aplicații neașteptate ale TFD.FIGURA 8.11.Semnal fi nit….f–1f0
f1
f2fN
……

151I. Deducerea expresiei termenului general al unui șir periodic
Fie un șir c0, c1, … , cN – 1, c0, c1, … , cN – 1, … de numere reale sau complexe, periodic
de perioadă N. Considerăm
f = ()T
01 – 11, , … ,N Vc c cN⋅⋅ , cu componentele fp =1
01 Nkp
k kcvN−
=∑ , 0 ≤ p ≤ N – 1.
Atunci ( c0, c1, … , cN – 1)T = V . ( f0, f1, … , fN – 1)T, deci cn = 1
0Nnk
k kvf−
=⋅ ∑ , 0 ≤ n ≤ N – 1.
EXEMPLU. Să considerăm șirul periodic 1, 1, − 1, 1, 1, 1, − 1, 1… de perioadă 4. Folosind
exemplul anterior, avem
f = 1
21 111 11
1i 1i 11 2
11 1 1 1 14
2 1i1i 1
1
2⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟ ⎛⎞ ⎛ ⎞⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟⋅=⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟−− −⎜⎟− ⎜⎟ ⎜ ⎟⎜⎟ ⎜ ⎟−−− ⎜⎟⎝⎠ ⎝ ⎠⎜⎟
⎜⎟⎝⎠ ,
deci cn =23 11(1 ) [1 ( 1) (1 ( 1) )]22nnn n n nvv v v+− + = − −+ + − , adică
cn = 1
2(1 )
1⎧⎪−⎨
⎪⎩dacă n este par
dacă n este imparn
.
II. Deducerea formulei lui Cardano; [5]
Să considerăm ecuația z3 + pz + q = 0 (p, q ∈ C), cu soluțiile zo, z1, z3 [orice
ecuație de gradul al treilea ax3 + bx2 + cx + d = 0 cu a ≠ 0 se poate reduce la această
formă printr-o translație x = z + α ].
Fie N = 3 și v = 1(1 i 3 )2−+ deci v3 = 1 și vv⋅= 1. În acest caz,
V = 2
211 1
11vv
vv⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎝⎠ și 2
211 1
11Vv v
vv⎛⎞
⎜⎟=⎜⎟
⎜⎟⎝⎠.
Punând 00
2
11
2
2211 1
113
1cz
cv v z
cz vv⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟=⋅⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠, rezultă
co = 1
3(zo + z1 + z2), c1 = 1
3(zo + z1.v+ z2. 2v), c3 = 1
3(zo + z1. 2v+ z2. v).

152Apoi 00
2
11
2
2211 1
11zc
zv v c
zc vv⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟=⋅⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠, de unde
z0 = c0 + c1 + c2, z1 = c0 + c1∙ v + c2∙ v2, z2 = co + c1∙ v2 + c2∙ v.
Deoarece z0 + z1 + z2 = 0 (Viète), atunci c0 = 0 deci z0 = c1 + c2, z1 = c1∙ v + c2∙ v2 și
z2 = c1∙v2 + c2 ∙ v.
Apoi
c1c2 = 222
01 20 1 1 22 01()93pz z z zz zz zz+ + −−− = −
(ținând cont că v3 = 1 și v2 = − v – 1).
Pe de altă parte, avem identitatea ( c1 + c2)(c1∙ v + c2∙ v2)(c1∙ v2 + c2∙ v) = 33
12cc+; deci
33
12cc+= z0z1z2 = − q (Viète). Ca atare, 33
12cc q+= − și 3
33
1227pcc⋅= − deci 3
11uc=și 3
22uc=
sunt soluțiile ecuației u2 + qu 3
27p− = 0 deci 1,21()2uq=− ± Δ , unde 3
24
27pqΔ= + .
Se obțin trei valori pentru c1 și corespunzător c2 = − p / 3 c1. Se deduc explicit z0, z1,
z2 și rezultă imediat formula clasică a lui Cardano, care a avut un rol important în
dezvoltarea algebrei și în demistifi carea numerelor complexe. Demonstrația clasică
este mai simplă, dar am dorit să ilustrăm aici disponibilitățile TFD.
Algoritmul FFT („Fast Fourier Transform”) pentru calculul TFD
Calculul direct al TFD (de fapt al șirului c = TFD f = V. f ) necesită N (N – 1)
adunări și N (N – 1) înmulțiri. Inginerii americani Cooley și Tukey au elaborat în
1965 un algoritm rapid de calcul, care exploatează structura specială a matricei V și
descompunerea ei în produs de matrice „rare” (având multe zerouri). Anume, dacă N = N
1N2, ei au arătat că se pot folosi doar N(N1 + N2 – 1) adunări și N(N1 + N2)
înmulțiri. Reținând doar adunările, calculul direct al TFD pentru un semnal cu
N = 2n eșantioane necesită N2 = 22n operații aritmetice, în timp ce prin algoritmul FFT,
doar 2 N log2N = 2n+1.n operații. În treacăt fi e zis, în notițele lui Gauss din anii 1820,
s-a descoperit ideea algoritmului FFT, cu 150 de ani mai înainte.
EXEMPLE.1) Dacă N = 100 și N
1 = N2 = 10, calculul direct al TFD necesită 9900 de
adunări și 9900 de înmulțiri, iar aplicând FFT, doar 1900 de adunări și 2000 de înmulțiri.
2) Dacă N = 2
16 (ceea ce se întâmplă în mod curent) și folosim un computer
uzual ce execută 107 înmulțiri pe secundă, calculul direct al TFD necesită
32
92
61 0≅× 7 minute și același calcul aplicând FFT se face în 27
721 6
10⋅≅ 0,2 secunde.
Indicăm două aplicații semnifi cative ale FFT.

153a) Calculul (aproximativ) al coeficienților Fourier.
Fie f : R → C o funcție continuă periodică de perioadă T și 2
Tπω= .
Coefi cienții Fourier (complecși) ai lui f sunt
cn = 2i i
00 011 1()e d ekn T NNnt kn N
kkkT kTft t f f vTN N N Nπ−⋅−ω
==⎛⎞ ⎛⎞⋅≅ ⋅ = ⋅ ⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠∑∑ ∫ .
Se poate aplica direct algoritmul FFT, luând de exemplu N = 104.
b) Calculul (aproximativ) al transformatei Fourier .
Fie f : R → C o funcție continuă și nulă în afara unui interval [ t0, t1]. Printr-o
translație, se poate presupune că f este nulă în afara unui interval
[− a, a]. În plus, alegem b > a > 0
și fi e funcția f
1: [− b, b] → C,
f1(t) = () , [ , ]
0,ft t a a ∈− ⎧⎪⎨⎪⎩în rest;
fi g.8.12,
pe care o prelungim prin periodicitate de perioadă 2 b la R.
Conform a), se pot calcula cu
FFT coefi cienții Fourier ai lui f
1,
anume
ck =i
1 -11 ˆ()e d22nt bb
bnft t fbb bπ− π⎛⎞⋅= ⎜⎟⎝⎠ ∫, conform (1).
Așadar, folosind FFT, se pot calcula valorile ˆ()fω în punctele n
bπ
, pentru b
sufi cient de mare.
8.7. Fenomene probabiliste
Pentru mulți cercetători, indiferent de specialitate, s-a dovedit importantă
prelucrarea datelor statistice și determinarea unor indicatori sintetici – medii, dispersii, momente, corelații. Mult timp, studiul probabilităților a fost legat de jocurile de noroc, dar acum acesta a devenit un capitol central de matematică, cu aplicații extinse la fi abilitatea dispozitivelor și proceselor industriale, la mersul
statistic al economiei și fi nanțelor, al fi ltrării semnalelor aleatoare, urmărirea unor
evoluții sociale etc., fără a mai discuta prezența tot mai activă a probabilităților în Fizica modernă, îndeosebi în Teoria cuantică.O a –b b
T = 2b–ay
y = f1
FIGURA 8.12. Funcție periodică
auxiliară f1, asociată lui f.

154Începem cu câteva fenomene probabiliste discrete.
EXEMPLE1) Presupunem că o urnă conține N bile, albe și negre împreună, și că se
extrag la întâmplare n bile din cele N. Probabilitatea ca m (m ≤ n) din cele
n bile extrase să fi e albe (și a fortiori, n – m negre) este p = mn m
nN n
m
NCC
C−
−⋅. Ca
o aplicație, la „LOTO 6 din 49” avem N = 49 și n = 6, iar „bilele albe” sunt
numerele câștigătoare. Atunci probabilitatea P( m numere câștigătoare din
cele 6) = 6
64 3
6
49mmCC
C−⋅. Așadar,
P(6 din 49) = 7
6
4910,72 10C−≅× ; P(5 din 49) 51,86 10−≅× și P(4 din 49)
30,98 10−≅× .
2) Probabilitatea de a obține k rezultate exacte (0 ≤ k ≤ 13) la PRONOSPORT
este 13
13 13123kkC−⋅⋅ . Așadar, P(13 exacte) = 3–13{ 0,63 × 10–6; P(12 exacte) {
{ 0,16 × 10–4 și P(0 exacte) { 0,005.
3) Să considerăm n urne (numerotate 1, 2, …, n) unde sunt repartizate la
întâmplare N bile. Există nN moduri de repartizare a bilelor în urne. Numărul
cazurilor „favorabile” (când k1 bile cad în prima urnă, k2 în cea de a doua
etc. este q =
12!
! !… !nN
kk k ) și probabilitatea să se întâmple acest fapt este
Nq
n. Dacă avem un gaz la o temperatură dată, constând din N molecule
(„bile”) și dacă fi xăm n intervale de viteze („urne”), se obține probabilitatea
ca un număr de k1 molecule să fi e în primul interval de viteze, k2 molecule
în al doilea etc.; k1 + k2 +… + kn = N . Acest fapt a fost utilizat de Maxwell și
Boltzmann. În schimb, fotonii sau atomii sunt „indiscernabili” și dacă avem N particule de acest tip, atunci numărul seturilor ( k
1, k2,…, kn) cu suma
k1 + k2 +… + kn = N este 1n
NnC+−.
Generațiile trecute au avut o anumită v iziune statică asupra realității și grosul
matematicii s-a referit la entități deterministe când, de fapt, marea majoritate a mărimilor observate au un caracter inerent aleator, care nu este datorat impreciziei diverselor măsurători. Vom reaminti aici, în mod neformalizat, câteva noțiuni de Teoria probabilităților, începând cu variabilele aleatoare . Acestea sunt, de regulă,
mărimi X (fi zice, tehnice, economice) cu proprietatea că pentru orice prag c, se poate
estima probabilitatea P( X ≤ c) ca valorile lui X să fi e situate sub acest prag. În acest
mod, temperatura unei camere, viteza unui automobil, tensiunea curentului electric, producția unui atelier, nota la un examen etc. sunt variabile aleatoare. Pentru o variabilă aleatoare X, se poate defi ni funcția ei de repartiție F : R →[0, 1], F (x) = P( X ≤ x), care

155este evident monoton crescătoare. Derivata ei (care există a.p. x ∈ R) este densitatea
de probabilitate
p(x) = F ′(x) 00() ( ) 1lim lim P( )hhFx h FxxXx hhh→→+−== ⋅ < ≤ + .
În condiții sufi cient de generale, p(x) ≥ 0 și

() d () d () 1 0 1px x F x x Fx∞∞∞
−∞−∞ −∞′ == = − = ∫∫ ,
iar grafi cul de ecuație y = p(x) arată că o „funcție – clopot” .
Media și dispersia teoretică ale variabilei aleatoare X sunt respectiv
M X = 2
() d, D ( ) () dxp x x X x MX p x x∞∞
−∞ −∞=− ∫∫,
presupuse fi nite. Abaterea medie pătratică este DX σ= . O proprietate fundamentală
este următoarea: pentru orice a < b, probabilitatea ca valorile lui X să fi e cuprinse
între a și b este
P( a ≤ X ≤ b) =
() db
apx x∫.
Matematicienii și statisticienii au studiat pe ste 20 de legi teoretice de repartiție.
EXEMPLE1) Legea uniformă pe un interval [ a, b] are densitatea
p(x) = 1,[ , ]
0,xa bba⎧∈ ⎪−⎨
⎪⎩în rest.
O selecție de valori ξ1, …, ξn ale unei variabile aleatoare X repartizate uniform
formează numere aleatoare ; orice computer modern are un generator
propriu de numere aleatoare. Iată o ilustrare a metodei Monte Carlo, care utilizează numerele aleatoare. Pentru a calcula (cu aproximație) integrala unei funcții continue g: [a, b] → R, se poate proceda astfel:

1 ( )d ( ) ( ) ( )d ( ) M( ( )) [ ( ) … ( )]bb
naabag xx ba g xp xx ba g X g gn−=− ⋅ =−⋅ ≅ ξ + +ξ ∫∫ ,
pentru n p 1 convenabil.
2) Legea exponențială (cu parametrul λ > 0) are densitatea
p(x) =e, 0
0, 0xx
x−λ⎧λ≥⎪⎨< ⎪⎩.
Media teoretică a unei variabile aleatoare X repartizată exponențial este M X
=
– 01() d e dxxp x x x x∞∞−λ
∞⋅= λ ⋅ =λ ∫∫ . Ca o ilustrare, pentru un dispozitiv
Δ care intră în funcțiune la momentul t = 0, se consideră că momentul X
al primei defectări este o variabilă aleatoare repartizată exponențial. Media
acestor momente se numește timpul mediu de bună funcționare a lui Δ, notat
TMBF( Δ). Așadar, X urmează legea exponențială cu parametrul
λ = 1
TMBF( Δ).

156De exemplu, dacă pentru un dispozitiv, TMBF( Δ) = 5000 ore, probabilitatea
ca el să funcționeze cel puțin 4000 de ore este
P(X ≥ 4000) = P(4000 ≤ X < ∞) =
4000() dpx x∞∫.
Dar p(x) = λe−λx cu 1
5000λ= deci
P(X ≥ 4000) = 4 4000 5
4000ed e e 0 , 4 5xx− ∞−λ − λλ= = ≅∫.
3) Legea normală (cu parametri m, σ) are densitatea de probabilitate p: R → R,
defi nită prin
p(x) = 2
2()
21e
2xm−−
σ
σπ.
Grafi cul ei este celebrul clopot al lui Gauss (fi gura
8.13).
Dacă o variabilă aleatoare X este
supusă legii normale, se arată că M X = m
și D X = σ2 și se scrie X ∈ N( m, σ). Se
introduce funcția specială Φ: R → R,
Φ(x) = 2
2
1ed
2txt−
−∞π∫ (numită funcția Laplace a
erorilor ), al cărei grafi c este indicat în fi gura 8.14.
De fapt, Φ este tocmai funcția de repartiție a oricărei variabile aleatoare din clasa
N(0, 1). Avem Φ(−∞) = 0, Φ(0) =1
2, Φ(∞) = 1 și pentru orice x ∈ R, Φ(−x) = 1 − Φ(x).
Indicăm o secțiune a tabelului de va lori, folosite mai jos, ale funcției Φ (extrase din
orice carte de statistică matematică):
x 0 0,67 1 1,33 1,67 1,96 2 2,17 2,60 3 ∞
Φ(x) 0,500 0,749 0,841 0,908 0,951 0,975 0,977 0,985 0,995 0,999 1
Un rezultat important îl constituie următoarea
TEOREMĂ.
Dacă X ∈ N(m, σ ), atunci probabilitatea ca valorile lui X să fi e situate între două
valori A, B (A < B) este
P( X ∈ (A, B)) = P( X ∈ [A, B]) = Φ Bm−⎛⎞⎜⎟σ⎝⎠ − ΦAm−⎛⎞⎜⎟σ⎝⎠. (6)
EXEMPLUDacă X ∈ N(m, σ), atunci FIGURA 8.13. Clopot Gauss.O x my = p (x)y
FIGURA 8.14. Grafi cul funcției Φ.O xy = 1
1/2y

157P(|X – m | < 3σ) = P( X ∈ (m – 3σm + 3σ)) = Φ3mm+σ −⎛⎞⎜⎟σ ⎝⎠ −Φ3mm−σ −⎛⎞⎜⎟σ ⎝⎠
= Φ(3) − Φ(−3) = 2 Φ(3) – 1 ≅ 0,998 ≅ 1.
Așadar, valorile lui X sunt aproape sigur cuprinse între m – 3σ și m + 3σ
(Aceasta se mai numește „regula lui 3 σ”).
Teoria probabilităților este un domeni u vast, care cuprinde studiul legilor
de repartiție, al proceselor stocastice, al fi abilității sistemelor, fi relor de așteptare,
controlul statistic etc. În studiul evoluției diverselor dispozitive sau rețele, dar și al organizării sociale, un rol deosebit îl au lanțurile Markov și trebuie menționată aici contribuția acad. M.Iosifescu; [2].
Ne limităm la a prezenta în continuare, două rezultate fundamentale, pe care
unii autori le numesc adevărate miracole.
I. Fenomenul Gauss – Laplace
Să presupunem că avem un șir X
1, …, Xn, … de variabile aleatoare independente și
având aceeași repartiție (nu neapărat normală), cu media m și dispersia σ2. Notăm cu
Zn = X1 +… + Xn suma („suprapunerea”), pentru n ≥ 1. Cu unele condiții suplimentare,
are loc
TEOREMA LIMITĂ CENTRALĂ (TLC a lui Gauss – Laplace).
Pentru n → ∞, variabila aleatoare nZm−
σ tinde către o variabilă aleatoare din
clasa N(0, 1).
TLC (varianta populară)
În cazul când caracterul aleator al unei variabile aleatoare X este datorat unui
mare număr de infl uențe independente, atunci se consideră că X este repartizată
după legea normală, adică X ∈ N(m, σ), unde m = M X și σ =DX.
Există numeroase aplicații ale acestei TLC și indicăm câteva exemple.
EXEMPLE1) Nota studenților la un examen este o variabilă aleatoare X, care este
infl uențată de mulți factori independenți (înțelegerea materiei, memorie,
cultură, mod de prezentare, atmosferă, noroc, etc.). Pe baza unor examene anterioare, se determină parametrii m și σ. De exemplu, la un Bacalaureat
normal, m = 7 și σ = 1,5. Atunci probabilitatea promovării ar fi
P( X ≥ 6) = P(6 ≤ X < ∞) = 1 − Φ
67
1, 5−⎛⎞≅ ⎜⎟⎝⎠ 0,75 deci 75 % promovare, iar
probabilitatea ca un candidat să obțină medii între 6 și 8 este P(6 ≤ X ≤ 8) =
= Φ87
1, 5−⎛⎞
⎜⎟⎝⎠− Φ67
1, 5−⎛⎞≅ ⎜⎟⎝⎠ 0,50.

1582) Diametrul D al unui lot de piese circulare este o variabilă aleatoare,
repartizată normal (fi ind infl uențat de mulți factori aleatori – temperatură,
vibrații, uzura mașinii etc.). Acceptarea acelui lot depinde de situarea diametrului între două toleranțe t
1 < t2, iar probabilitatea acceptării este
P(t1 ≤ D ≤ t2); se aplică atunci formula (6).
3) Pentru depistarea persoanelor supradotate, alături de „vârsta reală” vr
se determină prin diverse teste „vârsta mentală” vm și se defi nește câtul
intelectual QI = 100m
rv
v× . Se recomandă ca, aplicând forțat TLC, variabila
aleatoare QI să fi e considerată o variabilă normală QI ∈ N(100, 16).
Probabilitatea supradotării este P(QI > 132) = 1 − Φ 132 100
16− ⎛⎞⎜⎟⎝⎠= 1 − Φ(2) ≅
≅ 0,023 deci supradotații reprezintă circa 2,3 % din populație.
Dacă X este o mărime observată / măsurată și dacă x
1, …, xn (n ≥ 2) sunt
valori (reale) ale ei, se scrie X → {x1, …, xn}. Se calculează atunci media empirică
11( … )n Xx xn=+ + , dispersia empirică 2 1D( )k kXx Xn=−∑ și deviația eșantionară
s > 0, dată prin 2D1nsXn=−.
În Statistica matematică, se recomandă afi rmația: „vârsta medie a studenților este
situată în intervalul [19, 24] cu probabilitate cel puțin 0,9” , în locul afi rmației: ”vârsta
medie este de 22 de ani” . Fie α ∈ (0, 1) un număr fi xat. Pentru o variabilă aleatoare ξ
și un parametru θ al ei (media μ sau dispersia σ2), un interval I se numește interval
de încredere pentru θ cu eroare α . 100 % dacă P( θ ∈ I) ≥ 1 − α. De exemplu, pentru
α = 0,01, eroarea este 1 %.
Considerând un set de măsurători X → {x1, …, xn} ale valorilor lui ξ, se determină
n, X și s; pentru α ∈ (0, 1) fi xat, se ia din tabelă valoarea zα astfel încât Φ(zα) = 1 2α−.
Atunci are loc următoarea
TEOREMĂ („testul z”):
Un interval de încredere, cu eroare α %, pentru media M ξ (respectiv pentru
D σ= ξ ) este cel de capete sXz
nα±⋅ (respectiv 2ssz
nα±⋅ ).
EXEMPLUPresupunem că s-au măsurat de 20 de ori abaterile de la tensiunea nominală
a unei rețele electrice, obținând
X≅217 [V] și s ≅ 3,5 [V]. Pentru α = 0,01
rezultă Φ(zα) = 0,995 și din tabelă, zα = 2,56. Atunci un interval de încredere
pentru tensiunea medie (respectiv pentru abaterea medie pătratică σ) are
capetele 217 ± 2,56 ×3,5
20(respectiv 3,5 ± 2,56 ×3,5
40).

159W . Gosset a introdus variabila aleatoare nXt
n−μ=
σ, a cărei repartiție a numit-o
„Student cu n – 1 grade de libertate”; aceasta este tabelată. Pentru α ∈ (0, 1) fi xat, se
alege β > 0 minim astfel încât probabilitatea ca tn – 1 > β să fi e egală cu 2α. Atunci are loc
TEOREMA („testul t”).
Un interval de încredere pentru media M ξ cu eroare α % este cel având capetele
sX
n±β⋅ .
Cea mai spectaculoasă aplicație a TLC o constituie sondajele de opinie . Fie ε un
experiment unde apar doar două evenimente, A și A, cu probabilitățile P( A) = p și
P(A) = 1 – p (notat cu q). Se realizează repetări independente, de n ori, ale lui ε și fi e
Sn numărul de apariții ale lui A. Notând cu Xk ( egal cu 1 sau 0) numărul de apariții
ale lui A la experimentul k, rezultă M Xk = p, DXk = pq și pentru Sn = X1 +… + Xn,
avem M Sn = np și D Sn = npq. Conform TLC, rezultă că Sn ∈ N(np, npq ) și aplicând
formula (6), rezultă că pentru orice parametru b, avem
P( Sn∈ [np – bnpq , np + bnpq ]) = Φ(b) − Φ(− b) = 2Φ(b) − 1.
Presupunem că la un sondaj făcut în București pentru alegerea unui primar
dintre doi candidați A, B, pe un eșantion de 1000 de persoane, 600 s-au declarat
votanții lui A, deci p = 6000,61000= și q = 0,4. Se poate atunci indica, înainte de votarea
propriu-zisă, un interval de estimare a numărului SN de votanți pentru A din totalul
de N = 1,5 milioane de votanți, cu eroare sub 3 % (respectiv 5 %); anume, afl ăm mai
întâi b astfel încât 2 Φ(b) – 1 = 0,97 (respectiv 0,95) și din tabelul lui Φ, citim valorile
b = 2,17 (respectiv 1,96). De exemplu, cu eroare 3 %, SN va aparține intervalului” de
încredere” de capete N . p ±2,17 Npq = 900 000 ± 2,17 × 600 = [898698, 901302].
Experimentul Galton (pentru o verificare a TLC).
Englezul F. Galton a considerat un panou dreptunghiular „fl ip – fl op” vertical,
din lemn, în care a bătut rânduri orizontale de cuie (prezentate în fi gura 8.15) ca
puncte – bold; panoul este puțin înclinat și printr-o pâlnie sunt lansate de sus bile sferice având același diametru d. Bilele cad gravitațional având devieri haotice
datorită lovirii de cuie. Distanța dintre orice două cuie vecine de pe aceeași orizontală este d′ > d. Orice bilă care se lovește de primul cui,
ricoșează într-unul din alte două cuie afl ate
în rândul următor etc. La baza panoului se realizează compartimente identice separate (coloane de bile), după ciocnirile posibile. În fi gura 8.15 numărul coloanelor este 10. Alegem
ca axă Ox muchia inferioară a panoului și O
mijlocul acesteia; luăm ca unitate de măsură d′.y
p
O xd
d ′
d ′{ {
FIGURA 8.15. Experimentul Galton.

160Să urmărim traiectoria unei bile oarecare lansate prin pâlnia p. Notăm cu X1
deplasarea pe orizontală a bilei între prima și a doua ciocnire a ei de cuie, cu X2
deplasarea pe orizontală după ciocnirea cu cuiele din cel de al doilea rând și până la ciocnirea cu cuiele din cel de al treilea rând etc. Fie X deplasarea totală pe orizontală,
după trecerea prin toate rândurile de cuie deci X = X
1 +… + Xn (dacă n este numărul
rândurilor de cuie). Fiecare Xi este o variabilă aleatoare cu valorile − 1 și 1 (luate
cu probabilitatea 1
2). Atunci M Xi = 0 și D Xi = 1. Conform TLC, X tinde către o
variabilă aleatoare din clasa N(0, n). Lansând M bile prin pâlnia p, s-a constatat că,
într-adevăr, numărul de bile care ajung în coloana de abscisă x este aproximabil prin
2
2e
2x
nM
n−
π, deci curba care „înfășoară” stratul de bile va fi , pentru np 1, de forma
y = A ∙ e−kx2 adică un clopot al lui Gauss. Deși bilele au individual o comportare
haotică, ansamblul lor urmează o repartiție normală.
II. Fenomenul Pearson („testul hi – pătrat”)
Începem cu un exemplu „domestic” . La o oră de vârf, la 1 mai s-au făcut sondaje
la canalele de televiziune ANTENA 3, PROTV , B1TV și TVR1, care erau acreditate, să zicem, cu audiențele de 30 %, 25 %, 20 % și 25 % deci cu probabilitățile p
1 = 0,3;
p2 = 0,25; p3 = 0,20; p4 = 0,25 respectiv. Sondajul s-a realizat pentru n = 500 de
telespectatori și numărul estimat a fost de np1 = 150; np2 = 125; np3 = 100 și np4 = 125.
După 6 luni, la un sondaj tot de 500 de telespectatori, s-au observat numerele de
telespectatori de ξ1 = 139; ξ2 = 138; ξ3 = 112; ξ4 = 111 respectiv. Cu aceste date, se
poate decide dacă s-au produs modifi cări semnifi cative în opiniile telespectatorilor ?
Vom da imediat un răspuns.
Iată o altă situație. Să considerăm o roată de ruletă cu r sectoare S1,…, Sr și din
istoria ruletei se știe că pentru orice k, probabilitatea ca bila să cadă în sectorul Sk
este pk (1 ≤ k ≤ r, Σpk =1). Roata este rotită de n ori deci se estimează că distribuția
numărului de bile pe sectoare este np1; np2;…; npr. În realitate, roata s-a oprit de ξk ori
în sectorul Sk, 1 ≤ k ≤ r (cu ξ1 +… + ξr = n). Ce concluzie se poate trage ?
Astfel de probleme se întâlnesc în multe situații practice. Statisticianul Karl
Pearson a găsit răspunsul teoretic. Dacă ξ1,…, ξr sunt variabile aleatoare din clasa
N(0, 1), deci repartizate normal cu media 0 și dispersia 1, el a studiat legea de repartiție
a variabilei aleatoare χr > 0 astfel încât 22 2
1…rrχ= ξ+ + ξ , pe care a numit-o legea
hi–pătrat cu r grade de libertate (și care este tabelată).
TEOREMĂ (Pearson).
Fie X o variabilă aleatoare și x1,…, xr valori ale ei luate cu probabilitățile p1,…, pr.
Dacă ξ1, … , ξr sunt frecvențele observate de apariție ale valorilor x1, … , xr într-o
selecție repetată de volum n, atunci pentru n → ∞, variabila aleatoare
2
2
1() nkk
k
knp
np=ξ−χ=∑ (7)
este repartizată după legea hi – pătrat cu r – 1 grade de libertate.

161Mai sugestiv, 2
2 (O E)
E−χ=∑ , unde O sunt datele observate și E cele estimate.
Testul hi – pătrat .
„Dacă α ∈ (0, 1) este un număr fi xat (numit nivel de semnifi cație), din tabelul
de valori ale distribuției hi – pătrat (afl at în orice carte de statistică matematică)
se deduce 2
αχ pentru r – 1 grade de libertate; dacă raportul 2χdat de (7) este mai
mare decât 2
αχ, atunci se respinge ipoteza că setul de date npk se potrivesc cu ξk
(1 ≤ k ≤ r). Altminteri nu există motive de respingere” . Alegerea lui α se afl ă la
dispoziția cercetătorului; 2
αχ descrește dacă α crește);[6].
Reluăm exemplul cu televiziunile deci
22 2 2 2
2 (O E) (139 150) (138 125) (112 100) (111 125)
E 150 125 100 125−− − − −χ= = + + + ≅∑ 5,167.
Alegem nivelul de semnifi cație α = 0,1; din tabela lui 2
0,1χ cu r – 1 = 3 grade de
libertate, se deduce 2
0,1χ ≅ 6,251. Deoarece 22
0,1 χ< χ nu putem respinge ipoteza că
npk ≅ ξk pentru 1 ≤ k ≤ 4, deci nu se constată modifi cări semnifi cative în opiniile
telespectatorilor. Dar la nivel α = 0,2 avem 22
0,2 4,642 χ< χ și s-ar deduce o
modifi care.
Cea mai importantă aplicație a teoremei lui Pearson este următoarea:
Fiind dată o selecție de date x1, … , xn (de volum n, adică numărul datelor este n),
în ce măsură este o selecție de valori ale unei variabile aleatoare care urmează o lege teoretică cunoscută de repartiție ?
Se grupează datele în r grupe, se estimează media (sau alți parametri) și se
generează același număr de date conform legii teoretice alese. Apoi se decide
potrivirea…
EXEMPLU
Un patron urmărește dacă un anumit produs se vinde la fel (uniform) în 5
din magazinele sale. Ca date de plecare, el a observat că într-o săptămână s-au realizat vânzări de 43, 29, 52, 34, 48 mii lei (setul O). Este această informație sufi cientă, la nivel de 10 % semnifi cație ( α = 0,1) pentru a
considera că există diferențe mari între cele 5 magazine ?
Media vânzărilor este
1
5(43 + 29 + 52 + 34 + 48) = 41,2. Dar în cazul unei
repartiții uniforme, setul estimat (E) ar fi fost de 41,2; 41,2;…; 41,2. Calculăm
22 2
2(43 41, 2) (29 41, 2) (48 41, 2)… 8,941,2 41,2 41,2−− −χ= + + + ≅ .
Pentru r = 5, se ia 2
0,1χ { 7,779 (din tabela 2χcu 4 grade de libertate).
Deoarece 2χ>2
0,1χ, ipoteza de potrivire se respinge și ca atare, există
diferențe între magazine.

162Există multe aplicații ale testelor Pearson de potrivire și ale celui de independență
(între seturi O și E de date statistice).
Probabilitățile în Fizică
Euler și Lagrange au elaborat un model pentru mișcarea fl uidelor, combinând
Mecanica lui Newton cu proprietățile descrise prin presiuni și densități. Fourier a creat un model pentru fl uxul de căldură, proporțional cu gradientul temperaturii, în
medii omogene. Studiul proceselor chimice a arătat că moleculele constituente ale fl uidelor determină căldura ca formă a energiei mecanice etc.
Pe la 1850 s-a pus întrebarea: cum să studiezi mișcarea moleculelor individuale ?
S-a apelat atunci la gândirea statistică (studiindu-se de exemplu distribuția energiei
pe diverse stări de echilibru). Ca exemplifi care, Maxwell a arătat că probabilitatea ca
o particulă, afl ată la momentul t în poziția ξ (t), să aparțină unei regiuni D ⊂ R
3 este
P(ξ( t ) ∈ D) =
(, ) d
Dftx x∫, unde x = (x1, x2, x3) și 222
123 3 2 2(, ) ( 2 ) exxx
ctftx c t++− −=π ⋅ ,
c fi ind viteza particulei.
În cazul conducției căldurii, c este coefi cientul de conducție și f (t, x) este
temperatura la momentul t în punctul x.
Traiectoria unei rachete balistice poate fi estimată cunoscând legea de evoluție
(deterministică) și condițiile inițiale, dar întâlnirea ei cu alte obiecte în zbor poate fi
estimată numai statistic. În mod similar, pent ru trecerea de la mecanica numită clasică
la studiul sistemelor cu număr mare de grade de libertate (de exemplu, ciocnirile moleculelor unui gaz, turbulența sau sistemele cuantice), abordarea este exclusiv statistică. Ca un fapt de natură mai degrabă fi lozofi că, legile statistice se dovedesc a fi ,
în Economie, în Ecologie și în determinarea sensului dezvoltării umane, mai stabile decât legile dinamice, fapt care lasă loc liber unor interpretări oculte și apelului la Pronia cerească.
Boltzmann a apropiat studiul evoluției ireversibile din Termodinamică de legile
reversibile ale Mecanicii (raportul dintre timpul ireversibil al descrierii fenomenologice și eternitatea legilor). Gibbs și Boltzmann sunt creatorii Mecanicii statistice, care a făcut corp comun cu Termodinamica și implicit cu studiul diverselor interacții din natură. Iar după 1900, au apărut noi capitole ale Fizicii, devenite discipline științifi ce
de sine stătătoare – Fizica nucleară, Mecanica ondulatorie, Teoria cuantică ș.a., legate de numele lui Th ompson, Bohr, Planck, Einstein, Schrödinger, Heisenberg, Dirac
ș.a. Toate aceste contribuții fundamentale la cunoaștere au condus la înțelegerea mai adâncă a microcosmosului, îmbrăcând o haină matematică nouă. Menționăm că un moment de tulburare l-a constituit descoperirea, în 1927, a princ ipiului incertit udinii
al lui Heisenberg [1], care a consacrat studiul probabilităților ca element esențial de penetrare a adevărului și totodată, de cultură științifi că.

163BIBLIOGRAFIE
1. W . Heisenberg – Pași peste granițe , Ed. Politică, 1977.
2. M. Iosifescu – Finite Markov processes and their applications , J.Wiley, 1980.
3. B. Mandelbrojt – Fractals and Chaos , Springer Verlag, 2004.
4. H.O.Peitgen, H.Jürgens, D.Saupe – Chaos and Fractals , Springer, 2004.
5. I.J. Schoenberg – Priveliști matematice , Ed. Tehnică, 1989.
6. V .N. Tutubalin – Teoria probabilităților (curs scurt), MatrixRom, 2012.

164• Întreaga lume observabilă este o
armonie de imagini și sunete.
CH. BAUDELAIRE
• Th e merit of originality is not novelty;
it is sincerity.
TH.CARLYLE
9. MATEMATIZAREA CONCEPTULUI DE INFORMAȚIE
Teoria informației (T.I.) este o ramură tehnico – științifi că apărută după 1948,
legată de numele americanului Claude Shannon, dar revendicată deopotrivă și de alți ingineri, statisticieni, matematicieni sau informaticieni. În cele ce urmează, prezentăm, din poziția simplului matematician benefi ciar, mândru că le-a înțeles
întrucâtva, câteva realizări ale T.I. și concepte de bază precum codifi carea surselor,
măsura informației, prelucrarea semnalelor aleatoare, undine. Suntem năpădiți de informații, transmise sau stocate prin sisteme tehnice tot mai specializate și merită să încercăm să înțelegem ce se întâmplă în jurul nostru. Totul a început de la comutatoarele închis/deschis care acționează un simplu bec sau un aparat complex, iar Shannon a fost primul care a observat că proiectarea circuitelor logice este direct legată de Algebra logicii și a extras conceptele de informație și mesaj din analiza esenței sistemelor de comunicare.

9.1. Descrierea statistică a cantității de informație
Scopul sistemelor de comunicație (rețele telefonice, sisteme telemetrice,
transmisii Radio, TV , INTERNET etc.) îl constituie transmisiile de mesaje emițător
→ receptor, în cele mai diverse ipostaze. Mesajele se transformă în semnale, care
intră în canalul de comunicație și ies după ce sunt supuse unei operații inverse, de
transformare a semnalelor în mesaje. Paraziții și alte zgomote sunt incluși în semnalul primit („semnal util + zgomot aleator”), problema principală fi ind regăsirea la recepție
a mesajelor trimise cu sufi cientă precizie. Un rol aparte îl au aici fi ltrarea și separarea
semnalului util de zgomot, al căror studiu teoretic a fost inițiat de americanul Norbert Wiener.
EXEMPLU
Vocea umană este transmisă prin unde acustice (cu frecvența de 20…16000
Hz), receptorul fi ind urechea; imaginea unei fe țe umane este transmisă prin
unde luminoase (având circa 10
15 Hz).
La un prim nivel, este mai puțin importantă pentru noi semantica mesajului și
nu vom discuta despre fi abilitatea, securizarea sau economicitatea transmisiei.

165Schema oricărui sistem de transmisie este cea binecunoscută (fi gura 9.1):
EMIȚĂTORmesaj mesajsemnal
codsemnal
codTRANSMIȚĂTOR CANALZGOMOT
PRIMITOR RECEPTOR
FIGURA 9.1.Sistem de comunicație.
Mesajele pot fi continuale dacă sunt reprezentate prin funcții de timp x(t), din
L13L2, continue pe porțiuni (așa cum se întâmplă la transmiterea de sunete) sau prin
funcții de strălucire f (x, y) ∈ L2(R2), ca în cazul imaginilor. În primul caz, transformata
Fourier ˆx(f) = F{x(t)} (numită și spectrul frecvențial al semnalului x(t)) este de regulă
neglijabilă pentru | f | ≥ fN, unde fN este frecvența lui Nyquist. Conform unei teoreme
celebre („teorema de eșantionare a lui Shannon”; vezi 9.3), funcția x(t) este sufi cient de
bine determinată de un număr fi nit de valori calculate la momente de timp
N2n
f (n ∈ Z).
Ceva similar are loc și în cazul 2D al imaginilo r, ca și în cazul semnalelor aleatoare.
Așadar, transmisia unui semnal continual se reduce în esență la transmisia unui șir
(fi nit, oricât de lung) de numere, adică digitalizare . Unele mesaje sunt de la început
discrete , reprezentate prin șiruri de litere, cifre sau simboluri; [1], [2].
Pentru unifi care, orice mesaj μ de lungime n este un cuvânt de lungime n relativ
la un alfabet fi nit X = {x1, x2, … , xm}, unde simbolurile xk (numite și cuvinte – sursă ) pot
fi , în ultimă instanță, reprezentate ca succesiuni controlate de 0 și 1; așadar, μ ∈ X*.
Din cauza zgomotului, șirul transmis de valori poate suferi perturbații, dar s-au descoperit mijloace tehnice de anulare sau măcar atenuare.
Caracteristica principală a unui mesaj o constituie cantitatea de informație
conținută în acel mesaj. Două mesaje diferite pot avea aceeași „încărcătură” informațională. Pentru a introduce defi niții mai precise, se presupune o anumită
repartiție de probabilitate a simbolurilor fi xate; se consideră variabila aleatoare
ξ = „simbol din alfabetul X” și fi e p
k = P( ξ = xk ), 1 ≤ k ≤ m, probabilitatea ( ≡
frecvența) apariției simbolului xk (0 ≤ pk ≤ 1, 1kkp=∑ ). În practică, pk se determină
cu aproximație prin mijloace statistice (de exemplu, se cunosc frecvențele celor 27 de litere ale alfabetului limbii române sau engleze, ca și frecvențele anumitor cuvinte sau chiar „mesaje”). Numărul N al mesajelor de lungime n este egal cu numărul funcțiilor
{1, 2,…, n} → X deci N = m
n.
Orice mesaj poartă o anumită cantitate de informație, depinzând de
incertitudinea implicată. Cu cât incertitudin ea este mai mare, informația este și ea
mare. Un eveniment cu probabilitatea 1 poartă o informație nulă (așa sunt diversele formule de Algebră, Geometrie sau Trigonometrie!); dar și invers, un eveniment puțin probabil conține o informație de prima pagină (de exemplu, a apărut un extraterestru la Caracal!). Așadar, informa ția conținută într-un eveniment crește pe

166măsura descreșterii probabilității lui. De asemenea, informația este proporțională
cu lungimea mesajului, iar afi rmațiile cuprinse în două evenimente independente se
adună! Shannon a propus pentru cantitatea de informație mărimea I = log2 N.
NOTĂ . S-a constatat experimental că timpul de reacție la alegerea unui
obiect din N obiecte existente crește proporțional nu cu N, ci cu
log2 N. Euristic, dacă simbolurile din alfabetul X ar fi evenimente
echiprobabile, cu probabilitatea 1pm= , atunci cantitatea de informație
I(p) trebuie să aibă următoarele proprietăți euristice/axiomatice:
I(1) = 0, I(0) = ∞, {p < q ⇒ I(p) ≥ I(q)} și I(pq) = I(p) + I(q).
O funcție cu aceste proprietăți este I(p) = c . log2 p cu c ∈ R o constantă negativă.
În plus, Shannon a propus ca unitate de măsură 1
2I⎛⎞⎜⎟⎝⎠ = 1 (un bit de informație);
așadar, c . 21log2 = 1 deci c = − 1 și în fi nal,
I(p) = − log2 p = log2 m = 1
n⋅ log2 N.
Bitul unitate de informație corespunde alfabetului B = {0, 1}, cu două simboluri
egal probabile.
Trebuie remarcat că în cele spuse anterior au contat aspectele sintactice ale
simbolurilor limbajelor și nu cele semantice (adică înțelesurile atribuite acelor simboluri).
EXEMPLU
Un cadru TV are 625 de linii și semnalul care corespunde unei linii are un
șir de 800 de impulsuri cu amplitudini aleatoare; apoi fi ecare amplitudine
poate avea una din 8 valori. Atunci cantitatea de informație conținută în acel cadru TV este I = 625 × 800 × log
2 8 = 1,5 × 106 bit.
Până acum, am presupus că toate simbolurile xk (1 ≤ k ≤ m) sunt egal probabile.
În cazul general, într-un mesaj de lungime n, simbolul xk apare (statistic) de nk ori,
deci frecvența este pk =kn
n (1 ≤ k ≤ m). Numărul tuturor mesajelor de lungime n, în
care simbolul xk apare de nk ori, este N =
12!
! !… !mn
nn n și cantitatea de informație este
I = log2 N = log2 n! – [log2 (n1!) + … + log2 (nm!)].
Așadar, I = log2 e. ln N. Dar pentru orice n 1 are loc formula lui Stirling:
ln n! ≅ n (ln n – 1) și cum 1m
k knn== ∑ , rezultă
ln N ≅ 11(ln 1) (ln 1) ln lnmm
kk k k kknn n n n n n n==−− −= ⋅ − =∑∑
11 1ln (ln ln ) ln ln (ln )mm mkk k k k
kk knn n n nnn n n n nnn n n n== =⎡⎤ ⎡ ⎤= − −+ + = − ⋅ −+ ⋅ + ⋅ =⎢⎥ ⎢ ⎥⎣⎦ ⎣ ⎦∑∑ ∑

167=2 11ln logmmkk
kk kknnnn p pnn==−⋅ = −⋅∑∑ , deci I =2 1logm
kk knp p=−⋅∑ .
Se notează
H(X) = –2 1logm
kk kpp=⋅ ∑ , (1)
numită entropia alfabetului X.
TEOREMĂ (Shannon).
„Are loc relația I ≅ n ∙ H(X), într-un text cu n cuvinte” .
În cazul simbolurilor echiprobabile, avem
1
kpm= și H( X) = 22 111log logm
kmmm=−⋅ =∑ , regăsind un rezultat anterior.
Ca un exercițiu de Analiză matematică, se arată că H(X) ≤ log2 m (maximul fi ind
atins în cazul simbolurilor xk echiprobabile). De exemplu, entropia alfabetului limbii
germane, unde n = 27, este de circa 4,1 bit / simbol și un rezultat similar este pentru
alfabetul limbii române.
NOTĂ
1) S-a realizat următorul experiment: considerăm n lămpi 1, 2,…, n, fi ecare
fi ind aprinsă cu probabilitățile respective p1, p2,…, pn; s-a constatat
că timpul mediu în care o persoană a indicat lămpile aprinse a fost proporțional cu entropia H(X) și nu cu n.
2) Boltzmann a avut ideea ca, în loc să studieze starea fi ecărei molecule,
să estimeze probabilitatea ca starea sistemului să aparțină unei mulțimi de stări posibile; astfel, el a defi nit, mult înaintea lui Shannon, entropia
termodinamică S a unui sistem termodinamic, afl at într-o anumită stare,
stabilind formula S = k
B.ln W, unde kB este constanta Boltzmann
(1,38.10 – 23 J/K), iar W este probabilitatea acelei stări. Entropia lui
Shannon se mai numește informațională . Inițial, Shannon a vrut să
evite suprapunerea de termeni și a folosit termenul de „cantitate de incertitudine” pentru H și doar la
îndemnul lui John von Neumann, a acceptat terminologia actuală, care s-a și impus.
Un interes deosebit este cel al mesajelor
binare , pentru care X = B = {0, 1}, cu
probabilitățile P(0) = p și P(1) = 1 – p. În acest
caz, H(X) = – p × log
2 p – (1 – p)× log2 (1 – p).
Grafi cul funcției y = H (X) arată ca în fi gura
9.2, cu maximul Hmax = 1 bit, atins pentru
p = 1
2.Oxy
y = H (p)
1/2 1
FIGURA 9.2.
Grafi cul entropiei ca funcție de p

168Shannon a stabilit că, în medie, numărul de biți necesar pentru a reprezenta
rezultatul unui eveniment incert depinde de entropie, în sensul că entropia H(X) este
o măsură a incertitudinii existente în simbolurile xk. Simbolurile sunt litere sau chiar
cuvinte. Alfabetul X poate fi privit ca o variabilă aleatoare discretă cu matricea de
repartiție 1
1…
…m
mxx
pp⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠.
NOTĂ . În ultimul timp, Teoria informației este aplicată în Genetică și în
analiza datelor legate de secvențele ADN, creându-se Bioinformatica.
Matematicienii au mers mai departe, presupunând că simbolurile mesajelor pot
lua nu doar valori discrete, ci valori situate într-un întreg interval; cu alte cuvinte, X este o variabilă aleatoare continuală, cu densitatea de probabilitate p(x) (funcție
continuă pe porțiuni, pozitivă și astfel încât
() d 1px x∞
−∞= ∫). În acest caz, s-a defi nit
entropia
H(X) = –
2 ()l o g () dpx px x∞
−∞⋅ ∫.
Se poate arăta că pentru o dispersie dată, entropia H(X) este maximă în cazul
când X are o repartiție normală. Acest fapt are și o consecință practică; anume,
pentru o putere dată a unui semnal, transmisia cea mai economică a unei cantități de informație se atinge pentru repartiția normală.
Specialiștii în T.I. au introdus și studiat entropia comună H(X, Y) a două alfabete,
ca și entropia mutuală H
Y(X) (anume cantitatea de informație care se obține relativ la
X din observarea lui Y), dar nu urmărim aceste considerații.
9.2. Codifi cări
Am văzut, în strânsă legătură cu transmisiile de date, că orice obiecte rulate sau
stocate pe calculatoare, fi e ele numere, texte matematice, mesaje, imagini etc. pot și
trebuie să fi e codifi cate prin șiruri de biți. În 7.2 am prezentat câteva elemente privind
codifi cările binare, pe care le completăm aici. Dacă X = {x1, x2, … , xm} este o colecție
de cuvinte – sursă (cuvinte relativ la un alfabet fi xat) cu probabilitățile asociate
p1, p2, … , pm (0 ≤ pk ≤ 1, Σk pk = 1), X poate fi un text masiv sau un mesaj. Am văzut
că o codifi care binară este o aplicație injectivă τ : X → B*; elementele τ(xk) se numesc
cuvinte de cod . Dacă în plus, nici un cuvânt de cod nu este prefi xul unui cuvânt de
cod mai lung, se spune că τ este de tip cod–prefi x. Notând cu nk numărul de biți ai
cuvântului binar τ(xk), se numește lungime medie a codifi cării τ numărul
1()m
kk kpn=τ= ⋅∑ A [bit / simbol].
Se poate arăta că H(X) ≤ ()τA și Shannon a arătat că diferența ()τA – H(X) poate
fi făcută oricât de mică.
O condiție naturală impusă cuvintelor de cod este ca acestea să fi e cât mai scurte,
conform unuia din scopurile compresiei datelor .

169EXEMPLE
1) În codul ASCII, mulțimea X este formată din 256 = 28 simboluri (litere, cifre,
semne matematice, etichete de operații); de exemplu, A x 01000001; B x
01100010 etc.Un roman de 200 de pagini are circa 80 000 simboluri (cu repetări); fi ecare
necesitând în codul ASCII câte 8 bit / simbol, romanul ocupă un fl oppy disk
de 3,5 inches.
2) În codul linie / punct al lui Morse, s-a aplicat ideea ca simbolurile frecvent
folosite să aibă cuvinte de cod scurte, iar cele rare să aibă cuvinte de cod lungi. De exemplu,
E = •; T = – • și Z = – – • • etc.
Lungimea medie a codifi cării Morse este de 3,26 bit / simbol.
Oricărui cod–prefi x τ : X → B* i se poate asocia un arbore de codifi care A(τ),
având o rădăcină r și orice vârf are fi e doi succesori fi e nici unul; cuvintele – sursă x
k sunt
dispuse pe frunze (vârfuri termina le), asignate cu probabilitățile pk și în plus, arcele
stângi sunt etichetate cu 0 și cele drepte cu 1 (sau invers). Pentru orice vârf i al arborelui
A(τ), notăm cu di numărul de arce de la r la i. În cazul vârfurilor terminale xk, avem
dk = nk și 1()m
kk kpn=τ= ⋅∑ A . Prin convenție, codul se numește efectiv dacă ℓ( τ) ≅ H(X);
în acest caz, se obține scurtarea mesajelor, micșorând corespunzător timpul de transmisie.
EXEMPLE1) Fie X = {x
1, x2, … , x8}, cu probabilitățile respective 0,25; 0,25; 0,15; 0,15; 0,05;
0,05; 0,05; 0,05 și cuvintele de cod respective 11; 10, 011; 010; 0011; 0010; 0001; 0000. Aceste date se pot concentra într-un tabel:
cuvinte-sursă x1x2x3 … x8
probabilitate 0,25 0,25 0,15…… 0,05
cuvinte-cod 11 10 011…… 0000
În acest caz ℓ( τ) = 0,25 × 2 + 0,25 × 2 + 0,15 × 3 + … + 0,05 × 4 = 2,7 și
8
2 1() l o g 2 , 6k kHX p==− ≅∑
deci avem un cod–prefi x
efectiv. Arborele corespunzător de codifi care A(τ) este dat
în fi gura 9.3.
2) Să considerăm următorul
mesaj conținând 6 cuvinte – sursă
X = {nu, mor, caii, când,
vor, câinii },
FIGURA 9.3. Arbore de codifi care.x1x
1
x2
x3x4
x5x6x7x811
1 1
1
10
0
0
000

170cu probabilitățile (convenționale) următoare: 31133 1,,,,,10 10 10 20 20 5.
Considerăm următoarele două codifi cări binare τ,τ ′: X → B*, defi nite prin
tabelele:
X nu mor caii când vor câinii
τ 00 01 100 110 1011 111
τ ′ 11 1111 101 110 10 1011
Se observă că τ este cod–prefi x, iar
τ′ nu. Arborele de codifi care A(τ)
este indicat în fi gura 9.4. În acest caz,
311( )223 . . . 2 , 7 510 10 10τ = ×+ ×+ ×+ =A
și H(X) ≅ 2,47 și τ se poate considera
o codifi care efectivă; codifi cării
τ′ nu i se asociază un arbore.
Mesajul codifi cat va fi următorul:
00011001101011111, fără a preciza separatorii de cuvinte–cod.
O problemă importantă este următoarea: fi ind dat un mesaj, să se construiască
o codifi care binară având lungimea medie minimă. O soluție a fost dată de Huff man,
dar nu mai dăm detalii.
În transmisia informației, un indicator de precizie îl reprezintă raportul dintre
numărul de erori și numărul de simboluri transmise. De exemplu, la telefon, precizia este de circa 10
– 2 și noroc că oamenii se înțeleg chiar dacă există 10 % erori. Dar în
cazul informațiilor militare sau fi nanciare, precizia trebuie să fi e de 10 – 12 (acceptând
o eroare la 300 de pagini!). Acceptăm că în prelucrarea, stocarea și transmisia șirurilor de biți pot apărea erori, așa cum pe canalele de transmisie apar fenomenele de congestie [4]. O problemă esențială este acea a detectării și corectării acestor erori,
prin rezultate teoretice care să fi e dizolvate în dispozitive specializate.
EXEMPLE 1) Fie X = B
n și aplicația τ : X → Bn + 1, τ(a1a2…an) = a1a2…anb (concatenări de
biți), unde b = 0 dacă suma 1n
i ia=∑ este pară și b = 1 în caz contrar. În acest
mod, toate cuvintele de cod din imaginea Im τ (adică de tipul τ(x) cu x ∈ X )
vor avea un număr par de 1 – uri. Dacă după transmisie apar cuvinte cu un
număr impar de 1 – uri, înseamnă că s-a strecurat o eroare. Ca atare, τ este o
codifi care detectoare de erori.
2) Fie p = probabilitatea de transmitere corectă a unui bit și q = 1 – p.
Dacă a, b ∈ Bn și d = dH(a, b) este distanța Hamming, atunci probabilitatea FIGURA 9.4.Arborele A(τ).nux
0
mor
caii
vorcând câinii00
011
1
111

171transmiterii corecte a înlocuirii a x b este pn–d. qd, în ipoteza independenței
de transmisie a biților individuali; de exemplu, înlocuirea 10110 x 11111 se
face cu probabilitatea p3. q2.
Fără a intra în detalii, dăm câteva rezultate:I. Considerăm o codifi care binară τ : B
m →Bn (deci o aplicație injectivă, cu
1 ≤ m < n).
– se pot detecta toate erorile din cel mult k poziții dacă și numai dacă distanța
Hamming minimă dintre orice două cuvinte de cod (din Im τ ) este ≥ k + 1;
– se pot corecta toate erorile din cel mult k poziții dacă și numai dacă distanțele
Hamming între orice două cuvinte de cod este ≥ 2k + 1;
II. Fie P un polinom ireductibil de grad m ≥ 2, cu coefi cienți în B = Z2.
Presupunem că P divide X k + 1, unde k = 2m – 1 și k este minim cu această proprietate.
Atunci prin codifi carea τ : Bn → Bn + m defi nită prin înmulțirea cu P (conform 7.2),
se pot detecta toate erorile simple sau duble. De exemplu, pentru P = 1 + X + X 3, se
obține codifi carea Hamming τ : Bn → Bn + 3.
Geometria algebrică și codificările
Geometria algebrică extinde studiul curbelor sau suprafețelor date prin ecuații
algebrice (polinomiale) și constituie un domeniu central al matematicii moderne. Recent, s-au găsit aplicații excepționale ale Geometriei algebrice în construirea unor codifi cări difi cil de descifrat.
Prin cod se înțelege o pereche ( X, C) formată dintr-un alfabet nevid X și o
submulțime C ⊂ X
n; elementele lui C sunt succesiuni de n litere din X, numite cuvinte
de cod (de lungime n), care compun mesajele transmise printr-un canal adecvat; la
recepție, un cuvânt poate diferi de cel transmis. În mulțimea Xn se poate introduce
o distanță de tip Hamming (dH(x, y) = numărul acelor i, 1 ≤ i ≤ n, astfel încât xi ≠ yi).
Atunci distanța minimă a codului este prin defi niție
d = min {dH( x, y)| x ∈ C, y ∈ C, x ≠ y}.
Dacă d = 2e + 1, atunci C este un e – cod, deoarece dacă un mesaj primit r are
distanța ≤ e p â n ă l a m e s a j u l c transmis, atunci receptorul poate corecta erorile și
restabili c, atâta timp cât distanța de la r la celelalte cuvinte de cod este mai mare
decât e.
Printre cele mai importante coduri sunt cele liniare , unde X = Fq (un corp fi nit
cu q elemente) și C este un subspațiu vectorial al lui (Fq)n. Dacă dim C = k, se spune
că avem un ( n, k) – cod. Se convine ca primele coordonate c1,…, ck ale cuvintelor de
cod c să ia toate cele qk valori posibile; atunci două cuvinte distincte de cod nu pot fi
identice pe primele n – (d – 1) poziții deci numărul cuvintelor de cod nu poate depăși
qn – d + 1, deci d ≤ n − k + 1. Dacă d = n – k + 1, se spune că avem un cod de distanță
maximă (CDM).
Fie Fq = {a0, a1, … , aq – 1} și W subspațiul polinoamelor din Fq[X] de grad cel mult k – 1.
Se obține atunci un cod C cu cuvinte de lungime q, considerând aplicația W xFqq,
f x (f(a0), f(a1), …, f(aq – 1)). Deoarece orice polinom de grad p din Fq[X] are cel mult p
zerouri, acest cod C are distanța minimă d ≥ n – k + 1, adică d = n – k + 1 și ca atare,

172este un cod CDM. Fie acum K cel mai mic corp comutativ care conține atât Fq cât și
toate zerourile polinoamelor din Fq[X]. Punctele raționale din spațiul proiectiv P1(K)
sunt Mo = (αo, 1); M1 = (α1, 1);…; Mq – 1 = (αq – 1, 1) și N = (1, 0). Dacă L este spațiul
funcțiilor raționale pe P1(K) cu coefi cienți în Fq, defi nite în punctele Mi și având un
pol de ordin cel mult k – 1 în N, atunci pentru orice f ∈ L se obține cuvântul de cod
(f(M0), f(M1), …, f(Mq – 1)). Este deja prea mult!
Studiul codifi cărilor este un capitol fascinant al T. I., cu extinderi spre Criptografi e,
Comunicare cu și între roboți etc. Criptografi a este un teren de confruntare perpetuă
între creatori și spărgători de coduri, așa cum se întâmplă și cu dopajul în sport.
9.3. Formulele lui Shannon
Fie x(t) un semnal din L1 3 L2 și ˆ()xf = F{x(t)}, spectrul lui frecvențial; așadar,
2i
ˆ() ( ) e dftxf x t t∞−π
−∞=⋅∫, conform formulei (1) din 8.6, unde am înlocuit ω = 2πf.
Teorema următoare a fost descoperită de englezul Whittacker în 1915 și de rusul
Kotelnikov în 1933, în contexte particulare; dar începând din 1984, Shannon a demonstrat-o și aplicat-o în mod sistematic în studiul semnalelor. În literatura occidentală, ea este numită „formula lui Shannon de eșantionare” ( vezi 1.6 ).
TEOREMA WKS.
„Fie x(t) ∈ L
1 3 L2 un semnal cu proprietatea că există B > 0 astfel încât spectrul
ˆ()xf să fi e neglijabil pentru 2Bf≥π (se mai spune că x(t) este un semnal
cu banda de frecvență mărginită). Considerând funcția sa( t) = sin, 0
1, 0ttt
t⎧≠ ⎪⎨
⎪ =⎩
(numită funcție de eșantionare), pentru orice t ∈ R, are loc formula
() s a ( )nnxt x B t nB∞
=−∞π⎛⎞=⋅ − π ⎜⎟⎝⎠∑” . (2)
Teorema WKS a fost extinsă la semnale 2D și la semnale aleatoare. Reamintim că
x(t) =1[( 0 ) ( 0 ) ]2xt xt−+ + ; dacă x este continuă, atunci x(t) = x(t).
Așadar, semnalul continual x(t) este recuperat (cu aproximare și convergență)
prin cunoașterea eșantioanelor nxBπ⎛⎞⎜⎟⎝⎠ ale unui semnal discret. Notăm T =Bπ, numit
pas de eșantionare și f N = 1
22B
T=π este numită frecvența lui Nyquist .
Notând S(t) = sa( )BBt⋅π, se poate arăta că familia de funcții ()ntS tBπ ⎛⎞ϕ= − ⎜⎟⎝⎠,
n ∈ Z este o bază ortonormală pentru spațiul Hilbert L2(R). Formula lui Shannon se
poate scrie astfel:

173 x(t) = () ( )n nTx n T t∈⋅ϕ ∑Z, pentru orice t ∈ R, unde T =1
2Nf. (3)
Aceasta este de fapt dezvoltarea semnalului x(t) în serie de ϕn(t) − uri. Ca pas de
eșantionare se poate alege T < Bπ deci o frecvență mai mare decât fN (dar nu T > Bπ,
deoarece apar interferențe). Din formula (3) rezultă că semnalul x(t) poate fi descris
prin eșantioanele x(nT), n ∈ Z.
EXEMPLE
1) Fie x(t) = et−; în acest caz, 222ˆ()41xff=π+ și pentru | f | > 10, avem
22ˆ()400 1xf ≤π+ deci ˆ()xf este neglijabil.
Așadar, B = 20 π și pasul de
eșantionare este T =Bπ
≅ 0,05 [s].
Conform formulei (3), semnalul continual x(t) se poate asimila cu
semnalul digital x
n(t) = x20n⎛⎞⎜⎟⎝⎠,
n ∈ Z. Pentru | t | → ∞ , avem
ϕn(t) → 0 și în practică, luăm un
număr fi nit de eșantioane
(fi gura 9.5).
2) În cazul unui sistem audio analogic, B = 25 kHz deci T = 25000π≅ 8000 – 1
[s]. Pentru audio digital, B = 150 Hz deci T =150 000π≅ 50 000 – 1 [s]. Iar la
TV , avem 30 cadre video pe secundă.
Pentru orice număr real r > 0, se asociază decibelul său rdB = 10.lg r (logaritm în
baza 10). Așadar, 1000dB = 30 și 0,01dB = − 20.
Să considerăm un canal de transmisie cu zgomot gaussian n(t), având o lățime de
bandă limitată W [Hz] și puterea medie N [Watt]. Dacă s(t) este un semnal de recepție,
cu puterea medie S = 2 2
21lim ( ) dT
T T st tT→∞−∫ și similar pentru N, atunci semnalul de
la ieșirea canalului va fi y(t) = s(t) + n(t). Dacă durata transmisiei este T[s] și dacă
s(t), y(t) vor fi asimilate cu semnale discrete de lungime 2 W .T, atunci capacitatea C a
canalului este, prin defi niție, dată de relația C . T = H (cantitatea de informație I(s(t))
conținută în semnalul s(t), adică I(y(t)) – I(n(t)); capacitatea se măsoară în bit / s. În
aceste condiții, are loc următorul rezultat fundamental:O tx
(n, xn)
FIGURA 9.5. Grafi cul x(t) = et−. n…

174TEOREMA (Shannon).
„Dacă S N, atunci
C = W . 2log 1S
N⎛⎞+⎜⎟⎝⎠ ” . (4)
În plus, dacă rata de transmisie este strict mai mică decât C, atunci probabilitatea
de eroare a transmisiei poate fi oricât de mică” . [Raportul S / N („semnal /
zgomot”) se exprimă în decibeli].
EXEMPLE1) Pentru o linie telefonică, banda de frecvență este 300…3300 [Hz] și
S / N = 3162. Atunci ( S / N)
dB = 10.lg( S / N) ≅ 35 și aplicând formula (4),
C = (3300 – 300).log2(1+3162) ≅ 34880 bit / s.
2) Fie un canal de transmisie cu W = 1 [MHz] și S / N = 63. Conform formulei
(4) rezultă C = 106.log264 = 6 Mbps.
NOTĂ . În condițiile formulei (3), semnalul x(t) este o suprapunere de oscilații
cu frecvențe fN = 2B
π (frecvența Nyquist, numită și lățimea W a
benzii de frecvență a lui x(t)). Pasul de eșantionare este T = 1
2Nf
și cu această rată, la fi ecare T secunde trebuie transmis un mesaj.
Informația pe tact de timp este entropia H și fl uxul de informație
(informația pe unitatea de timp) este C =H /T = 2 . H .fN.
În prezența zgomotului, fl uxul de informații este limitat și conform
(4), Cmax ≤ fN.log2(1 +S / N), unde S (respectiv N) este puterea medie a
semnalului util (respectiv a zgomotului). Așadar, creșterea capacității canalului se poate realiza fi e crescând f
N, fi e îmbunătățind raportul S / N.
Iată câteva exemple curente:
fNS / NCmax [bit / s]
Rețea telex 240 261,4 × 103
Rețea telefonică 3.10321751 × 103
TV 7.106217120 × 106
9.4. Cum se transmite informația
Pe vremuri, oamenii comunicau prin semnale acustice sau optice – fl uierături,
tulnice, focuri, torțe etc., iar stocarea informației se făcea pe răbojuri sau inscripții pe pereții peșterilor. În urmă cu câteva sute de ani, pentru a comunica între două localități, se creau lanțuri de soldați afl ați la sute de metri unii față de alții, care
fl uturau steaguri și exprimau „stări” care se puteau modifi ca și propaga în lanț;
ridicând și coborând periodic acele steaguri, se crea o „undă monocromatică

175primitivă” , cu vibrații defazate. Ceva similar se petrece acum pe stadioane, atunci
când spectatorii realizează „valuri”( ≡ mișcări periodice cu defazare). În acest mod,
nu se transmit informații…Dar considerând mai multe rânduri de soldați, cu mișcări periodice de diverse frecvențe, se realizează mai multe„valuri” și o mișcare unitară de unde monocromatice, a căror însumare determină o „formă de undă” sau pe scurt, o undă. Dar undele pot transmite informații, revoluția producându-se în Electronică, începând cu folosirea acțiunii magnetice a curentului electric și lărgind tipul de
suport de informație (Radio, TV , Holografi e etc.).
O undă periodică este caracterizată prin lungimea de undă λ[m] ( λ = drumul
parcurs într-o perioadă), perioada T[s] a oscilațiilor, frecvența acestora f =
1
T[Hz = s – 1]
și viteza v de propagare (în m/s). Desigur, λ = v ∙T și v = λ ∙ f. Se mai introduce
frecvența circulară (≡ pulsația ) 22fTπω= π = . Suntem înconjurați de unde, generate
de la cele mai diverse surse de oscilații:
– sonore (≡ sunete elastoacustice), care modifi că local densitatea substanței
prin care trec;
– electromagnetice (de exemplu, lumina sau undele radio), care modifi că
tensiunea câmpului electric sau magnetic;
– radiații termice , ca vibrații ale atomilor;
– unde de concentrație în reacții chimice, dar și unde de densitate , unde
gravitaționale, solitoni (stăpâniți de marele inginer istro – român Nicolae Tesla), undine ( ≡ wavelets) etc.
Fiecare circuit electric generează „valuri” de unde electromagnetice, a căror
viteză depinde de frecvență. Dacă este așezat un circuit într-un câmp electromagnetic, atunci în acest circuit se produce un curent alternativ având aceeași frecvență cu cea a circuitului care l-a generat prin inducție.
EXEMPLU
În industria mare energetică, frecvența
curentului electric este f ≅ 50 [Hz] și
intensitatea este de forma i (t) = A . sin(100 πt), perioada fi ind
T =
1
50 [s]. Undele radio au frecvențe între
104 și 106 [Hz], iar lumina – 1015 [Hz].
Cele mai simple sunt undele monocromatice (numite și sinusoidale ), generate
de oscilații armonice cu perioada T, care se propagă în lungul unei semiaxe
pozitive Ox, cu viteza v. Plasând sursa în punctul x = 0 și presupunând că la
momentul t1 (și în punctul x = 0) elongația undei față de Ox este y1 = A . sin ωt1
(A > 0), această abatere va fi observată, în orice punct x ≠ 0, la momentul
t1 + x
v (fi gura 9.6). Notând cu y(x, t) abaterea în punctul x și la momentul t, FIGURA 9.6. Sursa plasată
în x = 0 la momentul t1.y1
x x O

176această abatere se va observa în punctul x = 0 la momentul t x
v−, deci
y(x, t) = y1(t – x
v) = A.sinω(t – x
v). Raportul k = 22/vT Tωπ λπ==λ se
numește numărul de undă . Așadar, y(x, t) = A . sin(ω t − k x).
Dacă unda se propagă în sensul negativ al axei Ox și înlocuind v cu – v, se
obține y(x, t) = Asin(ω t + k x ). Amplitudinea undei este maxx, t |y(x, t)| = A. Prin
însumarea (suprapunerea) acestor două unde, se obține y(x, t) = 2 A.sinω t.cos k x.
Se observă că amplitudinea crește de două ori și că în punctele unde cos k x = 0 (deci
3, ,…22xkkππ=± ± adică 3, ,…44xλλ=± ± ), abaterea este nulă.
Mai general, prin suprapunerea a N unde cu aceeași amplitudine Ao și cu frecvența
ω ∈ [ωo − Δω, ωo + Δω], se obține o undă având amplitudinea NAo și durata 2tπΔ=Δω.
Pentru valori „mici” pentru Δt, se produc unde de diverse frecvențe „mari” .
În esență, seriile Fourier arată că orice semnal periodic este suprapunerea
(însumarea) de unde monocromatice de diverse frecvențe și invers, prin suprapunere de astfel de unde (chiar și monocromatice precum steagurile soldaților!), se obțin unde de diverse amplitudini.
Pentru transmitere de informație la distanțe „mici” , se apelează la sunete, adică
la unde sonore vocale sau muzicale. În acest caz, aerul vibrează și vibrațiile ajung la membrana timpanului receptorului, care le transformă în excitații nervoase. Undele sonore sunt longitudinale, constând din compresii și destinderi ale aerului, purtate cu circa 340 m / s. Lungimea de undă este tocmai porțiunea de aer dintre o compresie și o destindere („drumul parcurs într-o perioadă”). Oscilațiile generate se transmit ca formă de undă, ale căror spectre de frecvență diferă la vocale și consoane. Printre proprietățile undelor sonore, menționăm: intensitatea (proporțională cu pătratul amplitudinii), înălțimea (legată de frecvență; cu cât frecvența este mai mare, sunetul este mai înalt) și timbrul (legat de profi lul undei). Undele sonore monocromatice
(sinusoidale), de exemplu cele generate de un diapazon, se numesc tonuri simple și acestea sunt inexpresive muzical.
Pentru transmisiile de informații la distanțe mari , se folosesc undele
electromagnetice. Pentru nesp ecialiști, există un mister: în ce mod o undă
electromagnetică transmite un semnal sonor ? Ne reamintim din manualele de liceu
schema telefonului (fi gura 9.7). Vibrațiile elastice ale vocii apasă o membrană M
și stratul ei de carbon provoacă variația intensității curentului electric prin circuit. Electromagnetul E are o placă metalică în fața polilor, atrasă sau nu sub infl uența
curentului electric, ale cărui variații sunt retransformate la recepție în oscilații mecanice. Telefonul fără fi r a eliminat circuitul intermediar A. Transmisiile Radio
au o schemă mai complexă; antenele permit creșterea puterii semnalelor și energiei radiante.

177VOCEA
EMIȚĂTORURECHE
RECEPTORM A E
FIGURA 9.7. Schema clasică a telefonului.P P
Mediile de transmisie sunt fi e ghidate (prin cablu de cupru sau prin fi bră de
sticlă) sau fără fi r… S-au căutat metode, legate de numele lui Tesla și Marconi, prin care
undelor radio li se pot imprima semnale. O metodă este modulația în amplitudine
(AM), aplicată în transmisii Radio și TV; anume, se fi xează o frecvență „purtătoare”
și amplitudinea semnalului se modifi că o dată cu oscilațiile sonore, formând
o succesiune de semnale purtătoare de informații. La recepție, semnalele sunt „descifrate” , evidențiind anvelopa care corespunde oscilațiilor sonore. Transmisiei simbolului „1” de la emițător îi corespunde un segment de sinusoidă cu o durată determinată, iar lui „0” – o pauză de aceeași durată. Această modulare permite viteze mici, de 200…600 bit / s. Pentru viteze de 600…1200 bit / s se aplică modulația în frecvență (FM), prin care „1” trece într-o sinusoidă și „0” în altă sinusoidă.
Pentru o transmisie sigură de informație, lungimea semnalului trebuie să fi e mai
mare decât perioada sinusoidei purtătoare. Pentru creșterea vitezei de transmisie trebuie crescută frecvența purtătoare. De exemplu, pentru a transmite muzică, sunt sufi ciente unde electromagnetice cu frecvență de sute de Hz, iar pentru transmisii
TV , astfel de frecvențe nu sunt sufi ciente și se utilizează frecvențe înalte și unde
ultrascurte. Telefoanele mobile ( ≡ celulare) emit și recepționează semnale sonore
prin legături radio, acoperind o arie vastă de comunicare, asigurând servicii de mesaje, e – mail, INTERNET etc. Aceste dispozitive aplică toate achizițiile științifi ce
și tehnologice din domeniul T.I.
Dacă pentru transmisiile de informație s-ar folosi lumina, la care frecvențele
oscilațiilor sunt de 10
15 Hz, s-ar putea mări viteza de transmisie cu multe ordine
de mărime. Această idee a devenit realizabilă prin laseri–sursa de lumină monocromatică, care realizează transmisii cu pierderi mici. După înzestrare cu codifi care și decodifi care a semnalelor, vremea conductorilor de cupru este depășită
și am intrat în era rețelelor de mare viteză și fi abilitate, strâns legată de procesul de
„digitalizare” , de transmisie de date ca succesiuni de „1” și „0” .
În cele ce urmează, ilustrăm o astfel de disponibilitate foarte la modă.
EXEMPLU Am văzut că toate simbolurile ASCII sunt codifi cate prin octeți. De exemplu,
octetul care reprezintă litera B este 01100010 și acesta se identifi că prin

178semnalul – tensiune din fi gura 9.8.
13 671, , ,() 88 88
0,tft⎧ ⎛⎞ ⎛⎞∈ ⎪ ⎜⎟ ⎜⎟= ⎝⎠ ⎝⎠ ⎨
⎪⎩∪
în rest
Aceasta se prelungește prin periodicitate
(T = 1, ω= 2π) și are seria Fourier
0
1() ( c o s s i n )2nn naft a n t b t∞
==+ ω + ω∑ ,
unde
0 023() d4Taf t tT==∫ , după calcul;
apoi
02() c o s dT
naf t n t tT=ω∫etc.
Armonica de ordin n (n ≥ 0) este An = ancos(2 πnt) + bnsin(2 πnt), iar primele
sume parțiale ale seriei Fourier sunt indicate în fi gura 9.9.
O O Ot t ty y y
y = A0(t) + A1(t) y = A0(t) + A1(t) + A2(t)y = A0(t) + … + A7(t)
1 1 1
FIGURA 9.9.
Sume parțiale care tind spre semnalul asociat literei B.
Pentru n → ∞ , aceste sume tind să reprezinte grafi cul y = f (t) din fi gura 9.8.
Semnalele nu pot fi transmise fără pierderi de putere și fără distorsiune, neputându-
se evita fenomenul Gibbs.
Dacă viteza de transmisie este de N bit / s, atunci pentru 1 bit, sunt necesare 1/ N [s]
și transmisia octetului literei B necesită 8/ N [s].
O dată cu creșterea puterii de
calcul, au apărut și alte modalități de generare controlată de succesiuni de „1” și „0” , asociate, de exemplu, simbolurilor ASCII. Reluăm octetul lui B și considerăm semnalul
( )22 212 6 88 8() () e e ebt bt bt
gt At⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞−− −⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠=⋅ + ,
unde A(t) = 2 . cos(2 π . 85t) și b = −100.
Grafi cul lui g este imposibil de redat și
are alura indicată în fi gura 9.10.O ty
1/8 3/8 6/8 7/8 11
FIGURA 9.8. Semnalul asociat literei B.
1/82
–22/8 6/8Oty = g (t)
1
FIGURA 9.10. Alura lui g, asociat literei B.

179Cu un modem ( ≡ „modulator și demodulator” împreună), semnalul g(t)
transmite tocmai octetul literei B. Seria Fourier (complexă) a funcției g, prelungită
prin periodicitate T = 1, ω = 2π, este
2i() ent
n ngt cπ
∈=∑Z, unde cn = 12i
0()e dntgt t−π⋅∫.
Semnalul g se identifi că cu șirul de numere complexe ( cn), n ∈ Z. Valorile | cn| sunt
neglijabile pentru n ∈ [–512, 512], cu excepția valorilor ± 85 (frecvența menționată în
expresia lui A(t)). Dacă semnalul g ar fi distorsionat ( ≡ corupt) de un zgomot, există
metode moderne de fi ltrare, care permit modifi carea coefi cienților Fourier *
nncc≅,
astfel încât semnalul g*(t) = *2 ient
n ncπ
∈∑Z să aproximeze g(t), cu atenuarea puternică
a zgomotului.
NOTĂ . Am descris în acest paragraf câteva concepte științifi ce legate
de evoluția sinuoasă a percepțiilor noastre privind producerea, transmiterea și recepția de informații, inclusiv contribuția matematicii. Telecomunicațiile ne-au schimbat tuturor viața, deoarece Telefonia, Radio, Telemedicina, Telefi nanțele, INTERNET-ul și atâtea
altele, au invadat toate spațiile publice sau intime, iar telefoanele mobile au depășit orice prag de comunicare și oferte de servicii și tentații, primind neîntâmplător porecla de „smart-phones” .
BIBLIOGRAFIE
1. E. Borcoci – Sisteme de comunicație digitală , Vega, 1994.
2. M. Schwartz – Telecommunication networks , Addison Wesley, 1987.
3. V . Croitoru, O. Stănășilă – Probabilități aplicate, semnale aleatoare , MatrixRom, 2007.
4. Șerban Alexandru Stănășilă – Congestia în rețele moderne de telecomunicații ,
MatrixRom, 2009.
5. A.S.Tanenbaum – Rețele de calculatoare , AGORA, 1998.

180• Mathematics – a tale that knows no
end.
R. BELLMAN

• Cultura este ceea ce îți rămâne după ce
ai uitat tot.
E. HERRIOT
10. CURIOZITĂȚI MATEMATICE ȘI INFORMATICE
Este difi cil de circumscris termenul de „curiozitate”; am avut în vedere unele
teoreme spectaculoase, cu enunțuri înțelese nu numai de specialiști, dar și abateri de la canoane…
Din experiența mea sufi cient de îndelungată, mărturisesc că am întâlnit de multe
ori, în partea neașezată a matematicii sau informaticii, enunțuri derutante, difi cil de
deslușit, dar și paradoxuri sau greșeli premeditate; multe adevăruri matematice au fost descoperite din dorința de a răspunde la întrebări și de a clarifi ca situații insufi cient
susținute teoretic. O sursă inepuizabilă a fost aceea a superfi cialității cu care au fost
uneori utilizate unele rezultate științifi ce sau a autocenzurii insufi ciente. Nu mă refer
la sofi sme sau plăsmuiri viclene pentru neofi ți, ci mă gândesc la începuturile jocului
cu infi nitul, la anii de dinaintea fundamentării Analizei matematice sau la separarea
între partea fecundă și cea sterilă din realitatea matematică – obiect de cercetare, de comunicare sau chiar desfătare.
Computerele sunt simultan scule și subiect de refl ecție și scrutare a limitelor
algoritmicului. Analiza matematică și Geometria fi zicii studiază o operație
transcendentă – trecerea la limită , în timp ce computerele își permit doar manipulări
fi nite, atâta timp cât nu se pot scrie „cuvinte” cu o infi nitate de simboluri și nu se
pot face infi nități de operații. Dar procesele iterative, constructiviste, simulează
transcedentalul, oferind spațiu pentru diverse speculații.
În acest paragraf, voi prezenta unele fapte matematice sau informatice, multe
deja cunoscute, strânse în timp din revist e matematice, românești, sovietice sau
americane, care pot procura puțină emoție, mirare și…curiozitate.
10.1. Curiozități din algebră
Ce ți-e cu aproximările necontrolate
1) Fie a = 0,009; b = 0,001 și c = 0,002. Atunci a + (b + c) ≅ 0 + 0,003 = 0,003 și
(a + b) + c ≅ 0,010 + 0,002 = 0,012. Așadar, în calcule aproximative, adunarea
nu este asociativă! Morala: se recomandă „aritmetica de interval” (precizând intervalele unde variază datele).

1812) Dar iată ceva și mai tare, anume să considerăm sistemul liniar
.6 22;3 2 = + = + y x yx
Luând radicalii cu o zecimală exactă, sistemul devine
x + 1,4 y = 1,7; 1,4 x + 2y = 2,4 și are soluția x = 1; y = 0,5. Dar considerând
trei zecimale exacte, sistemul devine x + 1,414 y = 1,732; 1,414 x + 2y = 2,449
și noul sistem are o cu totul altă soluție: x = 1,743; y = 0,008. Cum se explică
misterul ? Așa se întâmplă la sisteme liniare A . X = B cu determinantul
matricei A ∈ Mn (R) nul sau aproape nul. De fapt sistemul dat este
compatibil nedeterminat. Iată un exemplu mai spectaculos:
3) Fie matricele
10 7 8 7 32
756 5 2 3;86 1 09 3 3
7591 0 3 1AB⎛⎞ ⎛ ⎞
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟==⎜⎟ ⎜ ⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟⎜⎟ ⎜ ⎟⎝⎠ ⎝ ⎠
Sistemul liniar A.X = B are soluția exactă X1 = (1; 1; 1; 1)T, dar și soluțiile
aproximative X2 = (0,18; 2,36; 0,65; 1,21)T; X3 = (− 7,2; 14,6; − 2,5; 3,1)T. Cum
se explică ? Răspunsul este: sistemul nu este bine condiționat, cu det A = 1,
„mic”).
Sofisme rafinate
Sofi smele sunt raționamente aparent corecte, dar eronate în conținut. Matematica
nu putea scăpa…
1) Orice număr real a este egal cu 0 („Demonstrație”: să considerăm „numărul”
N = a – a + a – a +… Pe de o parte, N = 0 + 0 + 0 +… = 0 și pe de altă parte,
N = a – (a – a ) – (a – a ) −… = a – 0 – 0 −… = a . Deci a = 0).
2) Avem a – a = b – b deci a(1 – 1) = b(1 – 1), de unde a = b .
3) Fie a > c > 0. Avem .()ac ca
ac ac+−=−+ − Dar a + c > − (a + c ) „deci” c – a > a – c
și 2c > 2a. Cum așa ?
4) Avem 2: 2 = 3: 3 deci 2(1: 1) = 3(1: 1), de unde 2 = 3.5) Fie a > b. Avem a
2 – 2ab + b2 = b2 – 2ab + a2, deci ( a – b )2 = (b – a )2, de unde
a – b = b – a și a = b.
6) 211 1 ( 1 ) ( 1 ) 1 1 i i i 1=⋅ =− − = − ⋅ − = ⋅ = = − . Vă las Dv. plăcerea să
devoalați aceste sofi sme.
Știți că atribuirea termenului „imaginar” unor obiecte matematice perfect
legitime a fost considerată o calamitate pentru Algebră, de mai mulți profesori de matematică ? Știți cum au apărut unele etichete ale operațiilor algebrice ?

182Răspuns . „+” și „ −” au fost introduse de J. Widman în 1489; notațiile „ ×” și „:” au
fost introduse de W .Oughtred în 1657; notația „ .” este datorată lui Leibniz din 1698;
apoi semnul radical „ ” a fost introdus de Chr. Rudoff în 1540. Despre numere
complexe, există multe legende…În orice caz, îmi amintesc și eu momentul când, elev fi ind, după ce profesorul ne spusese că numerele negative nu au radical, deodată ni se
bagă pe gât
1−, pe care îl priveam ca pe un OZN matematic. În ultimii 30 de ani,
situația s-a schimbat, dar utilizarea termenului „imaginar” continuă să fi e o relicvă
nefericită de limbaj.
Apropo de inducția matematică
Să notăm cu Pn afi rmația următoare:
„Fie n ≥ 1 întreg. Dacă a, b ∈ N* și max( a, b) = n, atunci a = b. ”
Afi rmația P1 este evident adevărată. Presupunem că Pn este adevărată și
demonstrăm Pn + 1. Fie deci a, b ∈ N* și max ( a, b) = n + 1. Notăm α = a – 1, β = b – 1,
deci max ( α, β ) = n. Conform ipotezei de inducție, rezultă α = β deci a = b . Unde
este totuși greșala ?
Răspuns : Afi rmația Pn nu este de fapt o propoziție relativ la numărul natural n.
O problemă a lui Tarski
Să se demonstreze prin inducție următoarea propoziție:„Pentru orice mulțime A cu n elemente, dacă p ∈A și q ∈ A, atunci p = q ”.
„Demonstrație ”. P e n t r u n = 1 afi rmația este adevărată. Fie apoi B ={x
1, x2, … , xn , xn+1}
o mulțime cu n+1 elemente. Atunci mulțimile A′ = {}\n Bx și A′′ = {}1 \n Bx+ au câte
n elemente și ca atare, conform ipotezei, x1 = x2 = … = xn = xn+1.
Unde este totuși greșeala ?Răspunsul este subtil. Elementele oricărei mulțimi sunt considerate distincte și
ca atare, pentru n ≥ 2 mulțimea A este vidă (contradictorie, fără sens!).
NOTĂ . Este celebră o ironie a lui Kummer la adresa unor ingineri:
”Unii constată că numărul 60 se divide cu 2, 3, 4, 5 și 6. Atunci decid că 60 se divide cu orice număr și pentru întărirea afi rmației, mai
consideră pe 12, 15, 20,…Ha!” Ce să mai spunem despre faptul că numărul N = n
2 – 79 n + 1601 este
prim pentru orice n ∈ {0, 1, 2, 3, … ,79 }, dar nu și pentru n = 80 când
N = 812!?
De ce 0 nu are invers la înmulțire ?Dacă ar avea, ar rezulta, pe de-o parte, că 0 . 0 . 0
– 1 = 0 (0 . 0 – 1) = 0 . 1 = 0 și pe
alta, că 0 . 0 . 0 – 1 = (0 . 0) . 0 – 1 = 0 . 0 – 1 = 1; contradicție.
Pe scurt, simplifi carea cu 0 este interzisă, deoarece conduce de la fapte adevărate
la unele false (dacă 2 × 0 = 3 × 0, nu rezultă 2 = 3). Iar dacă E1 . E2 = E1 . E3, este greșit
să deducem că E2 = E3. Corect este E1(E2 – E3) = 0, deci E1 = 0 sau E2 = E3.

183Paradoxul lui Richard
Fie N = „cel mai mic număr natural care nu se poate defi ni cu mai puțin de 101
semne” .
Așadar, numărul N a fost bine defi nit prin afi rmația anterioară. Dar dacă
numărăm literele și blancurile, se constată că N a fost defi nit prin 3 + 1 + 3 + 1 + 3 + 5
+ 1 + 7 +… + 5 = 80 de semne, contrazicând pe 101… Cum se explică acest paradox ?
Răspuns . Afi rmația defi nitorie pentru N este autoreferențială. Astfel de
construcții trebuie evitate, nu numai în Matematică (Multe alte paradoxuri, de exemplu, „al bărbierului” , „al mincinosului” , „al lui Russell” etc., au aceeași natură autoreferențială).
Un exemplu de gândire directă
O problemă celebră este următoarea:Câte partide se joacă la un turneu eliminatoriu de tenis cu n = 2
k participanți ?
Iată soluțiile la trei nivele de rezolvitori.Elevul harnic alege, de exemplu, n = 8 și numără partidele „bob cu bob”: 4 + 2 +
+ 1 = 7. Apoi alege n = 16 și obține 8 + 4 + 2 + 1 = 15, dar nu trage concluzie.
Elevul talentat calculează suma 2
k – 1 +2k – 2 +… + 1 = 2k – 1 = n – 1.
Matematicianul profesionist observă că, exceptând învingătorul, toți ceilalți sunt
eliminați deci răspunsul direct este n – 1.
Asupra sistemului de axiome ale lui Peano
Mulțimea N a numerelor naturale este singura care satisface următoarele axiome:
a) Există o aplicație injectivă s: N → N (funcția – succesor);
b) Există 0 ∈ N astfel încât 0 ∉ Im s (0 nu este succesor);
c) Dacă A ⊂ N, 0 ∈ A și s(A) ⊂ A, atunci A = N.
Sistemul numerelor naturale este tripletul ( N, s, 0).
Să se arate că axiomele lui Peano sunt independente.Soluție . Pentru a arăta că un set de n axiome sunt independente, trebuie construite
modele care satisfac câte n – 1 din axiome și negația celei rămase.
Construim un model ce satisface b), c) dar nu a). Luăm A = {0, 1} și s: A → A,
s(0) = 1, s(1) = 1. Evident, s nu este injectivă; apoi 0 ∉ Ims și dacă B ⊂ A are proprietatea
că 0 ∈ B și s(B)
⊂ B, s(0) = 1 ∈ B și evident B = A .
Construim acum un triplet ce satisface a), c) dar nu b). Considerăm A = {0, a, b}
și s: A → A, defi nită prin s(0) = a, s(a) = b și s(b) = 0. Evident, s este injectivă și 0 este
un succesor; iar dacă B ⊂ A, 0 ∈ B și s(B) ⊂ B, atunci s(0) = a ∈ B și s(a) = b ∈ B deci
B = A .
În fi ne, construim un sistem ce satisface axiomele a), b), dar nu c). Atunci, fi e
A = N și s: N → N, s(n) = n + 2. Evident au loc a) și b). Dar dacă luăm B = {0, 2, 3,… } ⊂
⊂ N, rezultă 0 ∈ B și s(B) ⊂ B, dar B ≠ N.

184Verificarea „modulo 9” a calculelor aritmetice
Este evident că orice număr natural ( în baza 10 )este congruent modulo 9 cu
suma cifrelor sale, iar congruențele se pot aduna, scădea sau înmulți. Oricărui calcul aritmetic corect în Z îi corespunde un calcul corect în Z
9, reluându-l pentru sumele
cifrelor numerelor angajate ( nu și invers! ).
Iată câteva exemple. Verifi căm corectitudinea calculelor următoare:
a) 2135 + 147 = 2282; b) 4215 – 3017 = 1218; c) 417 × 38 = 15846; d) 417 × 38 =25548.
În cazul a), avem 2 + 1 + 3 + 5 = 11 ≡ 2, 1 + 4 + 7 = 12 ≡ 3 și 2 + 2 + 8 + 2 = 14 ≡ 5
și cum 2 + 3 = 5, relația ar putea fi adevărată (și este!); în cazul b), 4 + 2 + 1 + 5 = 12 ≡ 3,
3 + 0 + 1 + 7 = 11 ≡ 2, 1 + 2 + 1 + 8 = 12 ≡ 3 deci relația este falsă; în cazul c), 4 + 1 + 7 ≡ 3,
3 + 8 ≡ 2 și 1 + 5 + 8 + 4 + 6 ≡ 6 și cum 3 × 2 = 6, relația ar putea fi adevărată (și este!),
iar în cazul d), relația este falsă, deși modulo 9 este adevărată.
Această regulă elementară este utilă elev ilor din clasele inferioare sau în calcule
domestice. Eu am afl at-o de la tatăl meu, învățătorul Nicolae Stănășilă, care a
publicat-o în 1925, într-o revistă care se găsește la Biblioteca Academiei Române.
O problemă nebanală propusă de Newton în 1707
„Un număr a de vite pasc iarba de pe suprafața de b [m
2] a unei pășuni în c zile;
apoi a1 vite pasc iarba de pe suprafața b1 în c1 zile și a2 vite… b2… c2. Ce relație
algebrică există între a, b, c, a1,…, c2 ?”
[Se presupune că pe fi ecare m2 există la început aceeași cantitate de iarbă, că
iarba crește zilnic peste tot la fel și că vitele consumă zilnic aceeași cantitate de iarbă
(în kg)].
Soluție . Fie x = numărul de kg de iarbă existente inițial pe fi ecare m2 de suprafață
de pășune, y = numărul de kg de iarbă crescută zilnic pe fi ecare m2 de pășune și z =
numărul de kg consumate zilnic de fi ecare vită. Atunci după o zi, cantitatea de iarbă
rămasă pe fi ecare pășune este bx + by – az; după cea de a doua zi, cantitatea de iarbă
rămasă este bx + 2by – 2az etc. și după ziua „ c”, bx +cby – caz și aceasta est nulă. În
concluzie, bx + cby – caz = 0 și similar, b1x + c1b1y – c1a1z = 0, b2x + c2b2y – c2a2z = 0.
Am obținut astfel un sistem liniar și omogen de trei ecuații și trei necunoscute. Acest sistem are soluții nenule dacă și numai dacă determinantul sistemului este nul.
Ce se mai poate spune despre inegalitățile mediilor ?
Iată o notație unifi catoare… Fie x
1,…, xn ∈ R+ date. Pentru orice α ∈ R, α ≠ 0,
defi nim
Mα = 1/
1…n
n xx
nαα⎛⎞++
⎜⎟
⎝⎠ ≡ Mα(x1, … , xn).
Atunci 1
111M / …
nnxx−⎛⎞=+ +⎜⎟
⎝⎠ este media armonică, nx xMn++=…1
1 este
media aritmetică, M2 = nx xn2 2
1…++ este media pătratică și M0 = n
n a a xx M … lim1 0 =→ ,
media geometrică a numerelor pozitive x1, …, xn. Are loc următoarea

185TEOREMĂ .
Dacă α < β, atunci Mα < Mβ, cu egalitate în cazul când numerele x1, …, xn sunt
egale între ele.
Cunoașteți aplicații ale mediei armonice ?
Iată câteva aplicații directe.
1) Dacă un automobil merge de la A la B cu viteza v1 și de la B la A cu viteza v2,
atunci viteza medie nu este M1 ci M – 1 = 2/⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+
2 111
vv.
2) Dacă un circuit electric are n rezistențe Rk legate în paralel, atunci rezistența
circuitului este R =n1. M – 1(R1,…, Rn).
3) Dacă avem un sistem de n lentile subțiri cu distanțele focale fk, atunci
distanța focală a sistemului este f = n1
. M – 1 ()nff,…1 .
4) Seria armonică 1111 … …2n nan≥=+ + + + ∑ își trage denumirea de la faptul
că pentru orice n ≥ 2, an = M – 1(an–1, an+1).
Despre progresiile aritmetice și ge ometrice, nu mai avem nimic de spus.
Asupra relațiilor lui Viète pentru ecuații de gradul al doilea
F. Viète a introdus notațiile algebrice moderne și a demonstrat că dacă ecuația
x2 + px + q = 0 ( p, q ∈ C) are soluțiile u, v, atunci u + v = − p și uv = q. Dar și invers,
numerele u, v sunt soluțiile ecuației x2 – (u + v )x + uv = 0. Iată câteva aplicații:
1) Calculăm expresia E = 2u4 – 7u3 – 7u dacă u = 2 + 3.
Calculul se poate face direct. Dar să considerăm și numărul v = 2 – 3.
Atunci u este soluția ecuației x2 – 4x + 1 = 0 deci u2 = 4u – 1; apoi u3 = u2 . u =
= 4u2 – u = 4(4 u – 1) – u = 15 u – 4 și u4 = u3 . u = (15 u –4) . u = 15 u2 – 4u =
= 15(4 u – 1) – 4 u = 56 u – 15 deci E = 2(56 u – 15) – 7(15u – 4) – 7u = − 2.
2) Calculăm E = u8 + u – 8 dacă u = 2+ 1. Desigur, u este soluție a acuației x2 –
2x – 1 = 0 deci u2 – 1 = 2 u și impărțind cu u, 21=−uu . Atunci 61
22= +uu ,
441
uu+ = 34 etc.
3) Să se arate că dacă n ∈ N este impar, atunci numărul an = (7+4 3)n +
+ (7− 34 )n este un întreg divizibil cu 14.
Soluție . Numerele u = 7+ 4 3 și v = 7 – 4 3 sunt soluții ale ecuației x2 – 14 x + 1 = 0.
Așadar, u2 = 14 u – 1 și v2 = 14 v – 1. Atunci an = un + vn deci ao = 2, a1 = 14, a2 = u2+ v2 =
= 14 a1 − a0; a3 = u3 + v3 = u(14u – 1) + v(14v – 1) = 14 a2 – a1 etc. Ca atare, pentru
n ≥ 3, an = un+ vn = un – 2 . (14u – 1) + vn – 2(14v – 1) deci an = 14 an – 1 – an – 2 și aplicăm
inducția.

186Asupra relațiilor lui Viète pentru ecuații algebrice de grad superior
Polinomul monic cu rădăcinile x1, …, xn este
P (X) = ( X − x1)…(X − xn) ≡ Xn+ a1Xn–1+ a2Xn–2+… + an, deci
a1 = –( x1+…+ xn), a2 = x1x2 + x1x3 +…+ xn–1xn.
Pentru n = 3 și P(X) = X 3 + pX2 + qX + r , avem
p = –x1 – x2 – x3, q = x1x2 + x2x3 + x3x1, r = –x1x2x3.
Dăm câteva aplicații.
1) Dacă u, v, w ∈ Z și u + v + w = 0, să se arate că numărul N = 2u4 + 2v4 + 2w4
este un pătrat.
O soluție directă este aceea de a deduce w =− u – v și a efectua calculul meschin
N = 2u4 + 2v4 + 2( u + v )4, dar se poate și altfel. Fie polinomul P = X 3 +pX2 + qX + r
cu rădăcinile u, v,w. Avem p = 0 și u3 + qu + r = 0, v3 + qv + r = 0, w3 + qw + r = 0.
Înmulțind aceste relații respectiv cu 2 u, 2v, 2w și adunând relațiile obținute, rezultă
2u4 + 2v4 + 2w4 + 2q(u2 + v2 + w2) =0. Dar u2 + v2 + w2 = (u + v + w )2 – 2q = − 2q deci
N = 4q2.
2) Fie 6 numere reale x, y, z, u, v, w astfel încât x+ y + z = u + v + w , xyz = uvw ,
0 < u ≤ x ≤ y ≤ z ≤ w și u ≤ v ≤ w. Să se arate că u = x , v = y , w = z .
Soluție . Fie P(X) = ( X – x )(X – y )(X – z ) = X 3 + pX 2 + qX + r și Q(X) = ( X – u )
(X – v )(X – w ) = X 3 + pX 2 + q ′X + r . Notând R = P – Q, rezultă R(X) = (q – q ′)X. Avem
apoi R(u) = P(u) = (u – x )(u – y )(u – z ) ≤ 0 și cum R(u) = (q – q ′)u, rezultă q – q ′ < 0.
În fi ne, R(w) = P(w) = ( w – x )(w – y )(w – z ) ≥ 0, de unde q – q ′ ≥ 0. Ca atare, q = q ′,
R = 0 și P = Q .
3) Să se rezolve sistemul: x1 + x2 +…+ xn, = n,22 2
1 …n xx xn++ += ,
33 3
12 12 … …, …nn n
nn xx x nxx xn++ += = ++ += .
Soluție . Fie P = (X – x1)(X – x2)…(X – xn) = Xn + a1X n–1 +…+ an, deci P(x1) +… + P(xn) =
= 0 = n + na1 +… + nan. Ca atare, nP(1) = 0 deci unul din numerele xk este egal cu 1 etc.
O devoalare a mecanismului lui Ramanudjan
Celebrul matematician indian a fost el însuși o curiozitate matematică. A enunțat
diverse identități nebanale și rezultate profunde de Teoria analitică a numerelor.
Să se demonstreze relația 3333312421999−+ = − .
Prima întrebare este: Cum Dumnezeu a stabilit Ramanudjan această relație (și
multe altele similare) ? Iată o soluție:
Să considerăm ecuația x
3 + 3bx2 + 3b2x + c = 0 (1)
deci ( x + b )3 = b3 – c. Așadar, o soluție a ecuației (1) este x = bcb −−3 3. Fie
x, y, z soluțiile ecuației u3 + pu2 + qu + r = 0 deci conform relațiilor lui Viète, x + y
+ z = − p, xy + yz + zx = q , xyz = − r. Ne propunem să determinăm A, B date prin
33 33 3 33 3 , xyzA x yy zz xB++= + + = .
Ridicând la cub, rezultă A = − p + 3 333 AB r+ și B = q – 33 2 33 AB r r⋅− .

187Înmulțind prima relație cu 3r, rezultă B = q – (A + p )3r deci
A + p – 333 33[( )]rA q A p r=− + .
Se obține astfel o ecuație de gradul al treilea în A, anume:
A3 + 3( p + 62 3)rA + 3( p2 + 3p Aq r r )9 93 2 3− + + (p – 33r)3 = 0. (2)
Această ecuație este de forma (1) dacă b = p + 63r și b2 = p2 + 3p q r r 9 93 2 3− + ,
de unde 33 2r + p3r+q = 0.
Se arată ușor (!?) că această relație este verifi cată pentru p = 12, 32 7q −= − și
r = 7298 și că rădăcinile ecuației u3 + px2 + qx + r = 0 sunt 94;92;91
3 2 1 = −= = u u u .
Ecuația (2) devine A3 + 3A2 + 3A – 1 = 0 deci ( A + 1)3 = 2 și A = 123−. Se deduce că
3 33 3
123uuu A++= , adică relația din enunț.
10.2. Fascinația numerelor prime și curiozități din teoria numerelor
În Matematică, numerele prime au un rol asemănător cu cel al particulelor
elementare din Fizică, al culorilor fundamentale ale luminii sau al armonicelor sau vocilor în care se descompun semnalele.
Într-o teorie bătătorită, este greu să mai vorbești de noutăți. Însă cred că merită
prezentată o sinteză a celor mai importante rezultate, împreună cu ecouri întârziate și cu completări datorate computerelor moderne. Mulți matematicieni s-au întrebat câte alte teoreme ar fi putut fi descoperite de genii ale calculului precum Euler, Gauss,
Ramanudjan ș.a. dacă ar fi avut acces la computerele actuale!?
– Teorema împărțirii cu rest : „Dacă a, b ∈ Z și b > 0, atunci există și sunt unice
q și r ∈ Z, astfel încât a = bq + r și 0 ≤ r < b”.
– Teorema lui Bézout : „Dacă a, b ∈ Z sunt relativ prime, atunci există m, n ∈Z
astfel încât ma + nb = 1” .
– Lema chinezească : „Fie a
1,…, am∈ N, relativ prime două câte două. Pentru
orice r1,…, rm∈Z există x1,…, xm∈ Z astfel încât a1x1 + r1 = a2x2 + r2 = …=
amxm + rm. (Echivalent, există x ∈ Z cu x ≡ rk mod ak, pentru 1 ≤ k ≤ m ).
– Teorema lui Legendre-Dirichlet : În orice progresie aritmetică u, u + v , u +
2v, u + 3v,… cu u, v ∈ Z relativ prime, există o infi nitate de numere prime.
Acest fapt a fost conjecturat de Legendre în 1788 și demonstrat de Dirichlet în 1837, cu metode de Analiză matematică. Recent, T. Tao (medaliat Fields) a arătat că ∀ n ≥ 3, există progresii aritmetice fi nite de lungime n, cu toți
termenii numere prime (ex. 3, 5, 7; 5, 11, 17, 23; 5, 17, 29, 41, 53).
– Pentru orice m ∈ N* se notează cu ϕ(m) numărul numerelor cuprinse între
1 și m, relativ prime cu m (de exemplu, ϕ(1) = 1, ϕ(2) = 1, ϕ(3) = 2, ϕ(4) = 2,

188ϕ(5) = 4 și dacă p ≥ 2 este prim, atunci ϕ(p) = p – 1 etc.); funcția ϕ : N*→ N
se numește funcția lui Euler .
„Dacă m ≥ 2, atunci ϕ (m) este egal cu numărul elementelor inversabile (la
înmulțire) din inelul Zm al claselor de resturi modulo m.
Dacă m ≥ 2 și m = 12
12 …kr rr
k pp p⋅⋅ ⋅ (cu pi prime), atunci
ϕ (m) = m⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−
kp p11…11
1.”
– Teorema mică a lui Fermat : „Dacă a ∈ Z și p ≥ 2 este prim, atunci ap – a
este divizibil cu p”. Euler a generalizat-o astfel: „Dacă a, m ∈ Z sunt relativ
prime, atunci aϕ(m) – 1 este divizibil cu m”
– Teorema lui Wilson : Dacă p ≥ 2 este prim, atunci ( p – 1)! + 1 este divizibil cu p”.
– La 19 ani ai săi, în 1796, Gauss a descoperit „legea reciprocității pătratice” ,
considerată o bijuterie a Teoriei numerelor. Sunt necesare câteva pregătiri. Dacă r, n ∈ Z (n ≥ 2), se pune că r este un rest pătratic modulo n dacă există
x ∈ Z astfel încât x
2 ≡ r (mod n). Astfel, 4 este rest pătratic modulo 6 (căci
congruența x2 ≡ 4 (mod 6) are soluții; de exemplu, x = 2, 4, 10 etc). Dar 5 nu
este rest pătratic modulo 17.
Teorema lui Gauss („legea numerelor pătratice”):
„Fie p, q ≥ 2 numere prime; considerăm congruențele reciproce x2 ≡ p (mod q)
și x2 ≡ q (mod p).
a) Dacă p și q dau restul 3 la împărțirea cu 4, atunci exact una din cele două
congruențe are soluție;
b) În caz contrar, cele două congruențe au simultan soluții sau nu” .
Legea le era parțial cunoscută lui Euler și Legendre, iar Gauss a dat 6 demonstrații
distincte (nebanale!).
EXEMPLE.
1) Fie p = 11, q = 19. Ele dau restul 3 la împărțirea cu 4. Deoarece congruența
x2 ≡ 11 (mod 19) are soluții (de exemplu, x = 7), atunci congruența x2 ≡ 19
(mod 11) nu are soluții, conform a).
2) Fie p = 3, q = 5. În acest caz, ecuațiile x2 ≡ 13 (mod 5) și x2 ≡ 5 (mod 13)
nu au soluții. Dar luând p = 13, q = 17, ecuațiile x2 ≡ 13 (mod 17) și x2 ≡ 17
(mod 13) au soluții; conform b), este sufi cient să observăm că x = 2 este
soluție pentru cea de a doua ecuație.
NOTĂ . Iată câteva alte curiozități:
– Se știe că 2n – 2 este divizibil cu n2 pentru n = 1093 și pentru n = 3511.
Dar nu se știe dacă sunt singurele valori ale lui n.
– Numerele naturale de forma 4 k + 3 nu se pot reprezenta ca sumă de
pătrate, dar toate numerele prime de forma 4 k + 1 se pot scrie ca sumă
de pătrate (Fermat).

189De ce 1 nu este considerat un număr prim ?
Răspuns . Teorema fundamentală a aritmeticii afi rmă că orice număr întreg a ≥ 2
se descompune în produs de numere prime, în mod unic (până la ordinea factorilor).
Dacă 1 ar fi prim, atunci el ar putea fi repetat de ori câte ori și partea de unicitate a
teoremei ar fi violată.
Un dialog
— Alege un număr prim p ≥ 5, ridică -l la pătrat și adună 20. Împarte rezultatul
cu 12. Ai obținut 9.
— Da, dar de unde știi ?
Răspuns . Orice număr întreg este de forma 6 k, 6k + 1, … , 6 k + 5 deci p este de
forma 6 k ± 1 ( k ∈ N).
Atunci p2+20 = M12 + 9 și gata!
O proprietate a numărului 30
Există numere naturale N cu proprietatea că numerele n relativ prime cu N și
astfel încât 2 ≤ n < N să fi e prime (de exemplu 10 sau 12). Se poate arăta că cel mai
mare număr cu această proprietate este 30.
Să se arate că pentru orice întreg n ≥ 2, între n și n! + 1 se află cel puțin un
număr prim.
Soluție . Fie p cel mai mic divizor al lui n! + 1. Deoarece n! + 1 nu este divizibil cu
2, 3,…, n, rezultă că p > n. Arătăm că p este prim; în caz contrar, p ar fi divizibil cu un
număr q < p și p nu ar mai fi cel mai mic divizor al lui n! + 1.
NOTĂ . Așadar, în orice segment [ n, n! + 1], pentru n ≥ 2, se afl ă cel puțin un
număr prim. Totodată, rezultă că există o infi nitate de numere prime
(Euclid). În aceeași ordine de idei, francezul Bertrand a conjecturat că pentru orice n ≥ 8, între n și 2n – 2 se afl ă cel puțin un număr prim.
Acest fapt a fost demonstrat de Cebâșev în 1852. Dar nu se știe dacă între n
2 și (n + 1)2 se găsesc numere prime, pentru n ≥ 2.
Există însă intervale oricât de lungi pe axa numerelor naturale, unde nu se afl ă
numere prime. De exemplu, pentru n = 1000, următoarele numere: A = (N + 1)! + 2,
(N + 1)! + 3, … , ( N + 1)! + N + 1 = B nu sunt prime, deci avem N numere compuse
(neprime) în intervalul [ A, B].
Dar nu se știe actualmente dacă în șirul lui Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, … există sau
nu o infi nitate de numere prime.
În legătură cu repartiția numerelor prime, se cunoaște
TEOREMA (Gauss – Hadamard).
Numărul A(x) al numerelor prime ≤ x este asimptotic egal cu lnx
x, pentru x → ∞
(în sensul că lim ( )/( / ln ) 1xAx x x→∞ =.

190Ce se mai știe despre conjectura lui Goldbach ?
Răspuns . Așadar, se pune problema de a arăta că orice număr par n ≥ 4 este
suma a două numere prime. Cu computerele mari s-a verifi cat valabilitatea afi rmației
pentru primele 100 milioane de numere pare. Dar aceasta nu este o demonstrație și…
mai așteptăm!
Ce mai știm despre numerele Fn ale lui Fermat ?
Acestea sunt numere de forma Fn = 2(2n)+1, n ≥ 1. Așadar, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257
etc. Fermat s-a înșelat atunci când a afi rmat că toate numerele Fn sunt prime; ulterior,
Euler a arătat că F5 este divizibil cu 641. Gauss a de venit celebru după ce a demonstrat
că poligoanele convexe regulate cu Fn laturi se pot construi cu rigla și compasul, iar
pe piatra lui funerară este inscripționat tocmai un poligon convex regulat cu 17 laturi.
Dar despre numerele Mn ale lui Mersenne ?
Numerele lui Mersenne sunt numerele de forma Mn = 2n – 1, care sunt prime. De
exemplu, M4n = 24n – 1 = (24)n – 1 = (15 + 1)n – 1 este divizibil cu 5; M4n – 2 = 42n – 1 – 1
= (3 + 1)2n – 1 – 1 este divizibil cu 3. Apoi, M2n + 2 – M2n = (22n + 2 – 1) – (22n – 1) = 3. 2n
deci dacă M2n este divizibil cu 3, atunci M2n + 2 este divizibil cu 3. Așadar, numerele lui
Mersenne se afl ă printre M4n – 3 și M4n – 1 (nu M4n sau M4n – 2).
Dacă n nu este prim deci n = pq (p > 1, q > 1), atunci Mn = 2n – 1 = 2pq – 1 = (2p)q – 1 =
= (2q)p – 1. Deoarece xm – 1 = ( x – 1)( xm -1 + xm – 2 +… + x + 1), rezultă că dacă n = pq ,
atunci Mn este divizibil cu Mp și cu Mq. Așadar, numerele de forma Mn = 2n – 1 pot fi
prime numai dacă n este prim. M2, M3, M5, M7 sunt prime dar M11 = 2047 = 23 × 89.
Euler a indicat cel de-al 10-lea număr Mersenne, anume M31. Actualmente, se
cunoaște cel de-a 30-lea număr Mersenne, anume 243112609 – 1, care este și cel mai
mare număr prim cunoscut. Listarea lui a necesitat 476 de pagini A4.
NOTĂ . Numerele prime și în particular, numerele lui Mersenne joacă
un rol important în Criptografi e („scriere ascunsă” în grecește),
unde mesajele – numerele cărților de credit, PIN-uri etc. – trebuie transmise astfel încât să nu poată fi citite decât de receptori avizați. O
metodă modernă de criptare – RSA, a fost introdusă de Rivest, Shamir și Adelman în 1978, bazată pe descompunerea numerelor mari în factori primi. Acum s-a ajuns mult mai departe!
Ce „noutăți” există în lumea ecuațiilor diofantice
Diophante a formulat primul probleme cu soluții perechi de numere întregi.
În limbajul actual, dacă f ∈
Z[X, Y] este un polinom cu coefi cienți întregi, ecuația
f (x, y) = 0 se numește ecuație diofantică (în două variabile) și mulțimea soluțiilor ei
este () () {},/ , 0 Sx y f x y=∈ × = ZZ . În literatură [6], se studiază ecuațiile diofantice
de gradul întâi ax + by = c (a, b, c ∈ Z) sau al doilea (de exemplu, ecuația Fermat –
Pell x2 – dy2 = 1 cu d ∈ N care nu este pătrat perfect) sau ecuații în mai multe variabile
etc. În 4.5, am prezentat unele ecuații diofantice legate de curbele eliptice.

191Iată alte câteva fapte mai deosebite:
– Recent, A. Wiles a demonstrat „marea teoremă a lui Fermat”: pentru n ≥ 3
întreg, nu există triplete ( x, y, z) de numere întregi nenule astfel încât xn + yn = zn;
– Euler credea că ecuația x5 + y5 + z5 + t5 = u5 nu are soluții în N* și abia în 1967,
Lander și Parkin au demonstrat, folosind computerul, că 275 + 845 + 1105 +
1335 = 1445. Câte lucruri remarcabile ar fi făcut Euler dacă ar fi trăit astăzi!
– Nu se știe dacă există sau nu triplete ( x, y, z) ∈ Z3 astfel încât x3 + y3 + z3 = 30.
Amintesc aici și problema nerezolvată încă a lui Collatz (1 ca o „gaură neagră”).
– D. Hilbert a conjecturat că dacă a, b, c ∈ Z
* nu au divizor comun ≥ 2, atunci
există numere prime x, y astfel încât ax + by = c .
– În 1909, norvegianul A. Th ue a pus următoarea întrebare: de ce unele ecuații
diofantice au doar un număr fi nit de soluții, iar altele au o infi nitate?
De exemplu, ecuația x2 – 2y2 = 1 are soluțiile (1, 0), și (3, 2), iar dacă ( x, y) este
soluție și x ′ = 3x + 4y, y ′ = 2x + 3y, atunci ( x ′, y ′) este soluție; ca atare, ecuația are
o infi nitate de soluții. Dar se poate demonstra că ecuația x2 – 2y4 = − 1 are doar un
număr fi nit de soluții.
Același A. Th ue a demonstrat că dacă f ∈ Z[X, Y] este un polinom omogen de
grad n ≥ 3 și dacă k ∈ Z*, atunci ecuația diofantică f (x, y) = k are cel mult un număr
fi nit de soluții în Z × Z. Situația este diferită în cazurile n = 1 și n = 2.
În altă ordine de idei, dl. Mihăilescu Preda a demonstrat recent că ecuația
(nediofantică!) 3x – 2y = 1 nu are alte soluții întregi decât (1, 1) și (2, 3).
Teoria numerelor rămâne un domeniu fără vârstă, în efervescență și care oferă
„hrană abundentă” pentru computerele moderne care își pot testa capacitatea operațională, complexitatea algoritmilor sau timpul lor de rulare.
10.3. Curiozități din analiza matematică
Se poate demonstra pe computer că 01lim =∞→nn ?
Răspuns . Un computer oricât de puternic poate efectua doar un număr fi nit de
operații. Pentru un șir dat, computerul determină sute de mii de termeni, dar nu poate elimina raționamentele de Analiză matematică și „jocul cu infi nitul” , care rămân
apanajul oamenilor. Așadar, computerul nu poate arăta că pentru orice ε > 0 avem
n1 < ε
de la un rang încolo (deoarece ar trebui să determine rangul pentru o infi nitate
de valori ale lui ε). În ultimul timp, s-a creat ALGEBRA COMPUTAȚIONALĂ și
calculatorul este instruit ca pentru ε > 0 să aleagă N(ε) = 11⎡⎤+⎢⎥ε⎣⎦ și evident, pentru
orice n ≥ N(ε), rezultă că ε<n1 deci 01lim =∞←nn , conform defi niției de manual. Dar
în practică, pentru puține șiruri convergente se pot explicita rangurile N(ε) și în plus,
computerul nu poate inventa criteriul general al lui Cauchy.

192În jurul anului 1700, Teoria seriilor nu era constituită riguros. Mari matematicieni
operau cu serii fără să-și pună problema convergenței. Abia în 1820, Cauchy a defi nit
noțiunea de serie convergentă sau divergentă.
Unde este greșeala ?
Fie M = [0, 1]. Probabilitatea de a „extrage” orice punct a ∈ M este P( a) = 0 și
desigur, P( M) = 1. Deoarece M = ∪ a ∈ M {a} (reuniune disjunctă!), rezultă că P( M) =
= () 0aMPa∈= ∑ ; contradicție!
Fundamentele Teoriei probabilităților permit numai reuniuni sau intersecții
fi nite sau numărabile de evenimente.
Cunoașteți aventurile seriei 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … ∞?
Răspuns . I s-a asociat suma 0 (scriind (1 – 1)+(1 − 1)+…) sau suma 1 (scriind
1 – (1 – 1) – (1 – 1) − … ) dar chiar și suma 21
(prin extinderea formulei x+11=
= 1 – x + x2 – x3 + … pentru x = 1). În toate cazurile, avem de a face cu serii divergente.
Reamintim că o serie de numere reale a1 + a2 + a3 + … + an + … este convergentă
dacă șirul sumelor parțiale a1, a1 + a2, a1 + a2 + a3, … are o limită fi nită. În cazul seriei
considerate, șirul sumelor parțiale este 1, 0, 1, 0,…, evident divergent. În cazul seriilor divergente, nu se pot face permutări sau grupări de termeni, ca în cazul sumelor
fi nite. Iar dezvoltarea
x+11= 1 – x + x2 – x3 + … este valabilă doar dacă | x| < 1 și nu
pentru x = 1.
Să considerăm suma S = 1 + 2 + 22 + 23 +… Așadar , 2S = 2 + 22 + 23 +… deci
2S = S – 1, de unde S = – 1. Cum se explică ?
Răspuns . Seria (nu suma!) este divergentă și toate celelalte operații sunt ilicite.
În formula1
1x−= 1 + x + x2 + x3 + …, înlocuim x = 3; de ce obținem o aiureală ?
Răspuns . Formula are loc doar dacă | x| < 1.
Fie acum seria armonică alternată …61
51
41
31
211 +−+−+− (convergentă, cu
suma S = ln 2). Prin gruparea termenilor, se obține
S = 11 111 1 1 1 1 1 11 …2 4 3 6 8 5 10 12 7 14 16⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−− + −− + − − + − − +=⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
11 11 1 1 1 1…2 4 6 8 10 12 14 16⎛⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=−+−+ − + − +⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝⎠ ⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠=
= ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛− +⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛− +⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛− +⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛− …81
71
61
51
41
31
21121,
adică S = S21. Rezultă S = 0 deci ln 2 = 0 , adică 2 = 1 . Cum se explică ?

193Răspuns . Seria armonică alternată este convergentă, dar nu absolut convergentă.
Riemann a arătat că o astfel de serie nu se comportă ca o sumă fi nită și că se pot
regrupa termenii astfel încât noua serie să fi e convergentă, cu orice sumă prescrisă,
sau chiar să fi e divergentă. Nu ne miră că o manipulare de tipul arătat conduce la
contradicții.
Se știe că seria …71
51
311 +−+− este convergentă, cu suma 4π
. Dar convergența
este foarte lentă. Știți câți termeni trebuie însumați pentru a obține π cu 7 zecimale
exacte ?
Răspuns . În general, o serie alternată a1 – a2 + a3 – a 4 + … cu ( an) șir de numere
pozitive descrescător spre zero este convergentă (Leibniz) și suma ei S poate fi
aproximată cu suma sn a primilor n termeni, cu eroarea absolută | S – sn| < an+1. În
cazul de față, dacă 6 11021n−<+ , atunci 12)1(…51
31141
−−+−+−≅π−
nn
însumând cel
puțin 250 000 de numere.
În Fizică la oscilațiile mici ale pendulului se aplică formula aproximativă sin x ≅ x.
Pentru x = 3 radiani se obține sin 3 ≅ 3, absurd. Care este misterul ?
Răspuns . Formulele aproximative sunt valabile condiționat. De exemplu, sin x =
= x – ξ⋅cos22x cu ξ cuprins între 0 și x. Așadar, 2
sin2xxx−≤ . Formula sin x ≅ x este
utilizabilă doar pentru valori „mici” ale lui x, de exemplu pentru 1
10x≤ .
Știți în ce constă metoda celor mai mici pătrate (mcmmp)?
Răspuns . Să considerăm o tabelă de valori reale care determină n puncte Mk (xk, yk),
1 ≤ k ≤ n.
x1x2… xn
y1y2… ynAceste puncte Mk nu sunt în general coliniare și se pune problema de a determina
o dreaptă Δ: y = αx + β care să treacă printre ele în mod optim. Dacă Mk ∈ Δ, ar
rezulta că αxk + β − yk = 0. Gauss a avut ideea de a pune condiția ca mărimile εk =
αxk + β − yk, 1 ≤ k ≤ n, să fi e simultan mici , în sensul că suma ∑=εn
kk12 să fi e minimă.
Așadar, trebuie determinate α și β astfel încât funcția () ()2
1n
kk k,x y=ϕα β = α + β − ∑
să fi e minimă; este sufi cient de rezolvat sistemul 00,∂ϕ ∂ϕ==∂α ∂β etc. Dreapta Δ astfel
obținută se numește dreapta de regresie (sau dreapta lui Gauss ) asociată tabelei inițiale.
Sumele de tipul ∑∑ ∑∑ ε ε ε ε
kk kkk k k k4 3, , , nu erau recomandabile (ci numai suma de
pătrate! ).

194Ce înseamnă că 00 este o nedeterminare ?
Răspuns . Aparent, 200= deoarece 0 = 2 × 0; de asemenea, 300= etc. Împărțirea
cu 0 este fără sens. În general, expresiile care apriori nu au sens sunt contradictorii.
În Logică se spune că „falsul implică orice” . În Analiza matematică, se spune că 00
este nedeterminare, în sensul că pentru orice R∈A fi xat, există șiruri xn, yn tinzând
spre zero (pentru n → ∞ ), astfel încât A→
nn
yx
. De exemplu, pentru R∈A , luăm
1,nnxynn==A și pentru =A ∞, luăm 21,1
nynxn n = = etc. De fapt, simbolul 00

înseamnă „ 00
→→” (adică un cât de infi niți mici).
Mai subtil, să introducem următoarea defi niție: Fie X un spațiu metric, A ⊂ X,
f : A → R și a un punct de acumulare pentru A. Punctul a se numește singular
esențial pentru f dacă pentru orice R∈A există un șir xn → a astfel încât f (xn) → A.
Să considerăm X = R2, A = {( x, y)∈ R2 /y ≠ 0}, f : A → R, f (x, y) = yx și
a = (0,0). Faptul că 00
este nedeterminare revine la a spune că punctul (0,0) este
singular esențial pentru funcția f (x, y) = yx. Același lucru are loc pentru celelalte
nedeterminări 00, 0 , , 0 , , 1∞ ∞⎛⎞⋅∞ ∞−∞ ∞⎜⎟∞⎝⎠.
Paradoxul lui Leibniz
Avem 211 11
2i i i 1 xx x⎛⎞=−⎜⎟−+ + ⎝⎠ și prin integrare, arctg x = 1iln2i ix
x−
+.
Pentru x = 1, rezultă 211 i1 1 i 1 1ln ln ln( 1) ln1 042 i1 i4 i 1 i 4 i 8 iπ− − ⎛⎞== = − = =⎜⎟++ ⎝⎠.
Unde este greșeala ?
Răspuns . Doar prima relație este corectă pentru x ≠ ± i, după care urmează
formule fanteziste inspirate din cazul real. Logaritmul ln z al unui număr complex
nenul este mulțimea tuturor w ∈ C astfel încât ew = z. Dacă z = r(cos α + i sin α ) cu
r > 0, atunci ln z = ln r + i(α + 2kπ) cu k ∈ Z.
Funcția f: R → R, 21()1fxx=+ se dezvoltă în serie Taylor în jurul originii
astfel: f (x) = 1 – x2 + x4 − x6 +… Deși f este definită pe întreaga dreaptă reală, nu
același lucru are loc pentru ac eastă dezvoltare. Cum se explică ?

195Răspuns . Explicația o găsim doar trecând la variabila complexă, prin aceea că
funcția 211)(zzf+= are singularitățile ±i, iar raza de convergență a seriei
f(z) = 1 – z2 + z4 – − z6 +… este tocmai distanța de la origine la prima singularitate
(adică 1).
Știți că numerele 1ln640320
163 și π au aceeași parte întreagă și 16 zecimale
comune. Se poate trage vreo concluzie ?
Răspuns . Aproximarea respectivă este o simplă coincidență. Dar nu știm cum
s-a obținut…
Iată un exemplu de accelerare a convergenței unei serii
Dezvoltările în serie x+11= 1 – x + x2 – x3 + …, x−11= 1 + x + x2 + x3 + …
(pentru | x| < 1) sunt lent convergente. Prin integrarea lor termen cu termen, rezultă
ln3512 …11 3 5xx x x
x⎛⎞ += +++⎜⎟− ⎝⎠; înlocuim x = 1 21
+y (pentru y ≥ 1) și rezultă că
ln(y + 1) = ln y + 2 3511 1…21 3(2 1) 5(2 1) y yy⎡⎤+++⎢⎥+ ++ ⎣⎦.
Ținând cont că lg u = 1ln 0,4342945 lnln10uu≅⋅ , rezultă formula
lg(x + 1) ≅ lg x + 0,8685890 × 3511 1…21 3(2 1) 5(2 1) x xx⎡⎤+++⎢⎥+ ++ ⎣⎦.
Seria este rapid convergentă. De exemplu, pentru x > 20, are loc formula:
lg (x + 1) ≅ lg x +0,8685890
21x+ cu eroarea absolută mai mică decât 10 – 5.
Astfel de formule au facilitat pe vremuri alcătuirea tabelelor de logaritmi.
Încă ceva despre enigma Ramanudjan
Matematicianul indian Svinirad Ramanudjan (1887 – 1920) din Madras l-a
impresionat mult pe celebrul profesor englez G. Hardy, căruia indianul i-a trimis 120 de formule relativ la radicali suprapuși (una deja prezentată anterior, ca o curiozitate în Algebră), la serii infi nite sau funcții speciale. De exemplu,
1.
12 13 14. . .+++ = 3.
Aceasta era printre cele simple, obținându-se în modul următor: avem
n(n + 2) = n 1 (1 ) (3 ) 1 (1 ) 1 (2 ) (4 )nn n n n n++ += ++ ++ + … și înlocuim
n = 1.

1962) 11 11 …13 135 1357 2eπ++ + + =⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅;
3) 3
01 3 5 … (2 1) 2(1 ) ( 4 1 )2 4 6 … (2 )n
nnnn∞
=⋅⋅⋅ ⋅ −⎛⎞−⋅ + =⎜⎟⋅⋅⋅ ⋅ π⎝⎠∑ etc.
În 1918 Ramanudjan a obținut o bursă de studii în Anglia și apoi o catedră
la Universitatea din Cambridge, fi ind repede ales membru al Societății Regale de
Matematică. Se spune că a fost cel mai mare constructor de formule matematice complet nebanale. De exemplu, un rezultat profund, cu aplicații neașteptate în descifrarea Codului genetic, este
TEOREMA (Hardy – Ramanudjan).
Pentru orice întreg n ≥ 1, numărul p(n) al descompunerilor distincte ale lui n ca
sumă de numere naturale nenule este p(n) ≅
nB
nAe⋅, unde
An = 3/211
1 22 16 224 24n n⎡⎤
⎢⎥π ⎢⎥−⎢⎥⎛⎞ π ⎛⎞− ⎢⎥ − ⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠⎢⎥ ⎝⎠ ⎣⎦ și Bn = 21
32 4n⎛⎞π−⎜⎟⎝⎠.
Ce mai este de spus?
Cunoașteți faimoasa ipoteză a lui Riemann asupra funcției „zeta”?
Răspuns . Marele matematician german a conjecturat că ecuația
11 1( ) 1 … 023 4ss ssζ≡ +++ ++ =
cu s ∈ C are, în banda 0 < Re s < 1, o infi nitate de soluții, toate de forma s = 1i2b+ cu
b ∈R deci situate pe dreapta Re s = 21. O demonstrație omologată de marile școli de
matematică ale lumii nu a fost încă obținută. Nu a contat că ipoteza a fost confi rmată
de computere pentru milioane de valori ale lui b; ea a rămas în setul de probleme
fundamentale „Millenium” . Se știe de mult că 24
(2) , (4)69 0ππζ= ζ= și că ζ(2k) este
un număr irațional. Relativ recent, Apery a arătat că ζ(3) este irațional, dar nu se știe
nimic despre ζ(5).
În ultimul timp s-au constatat similitudini între distribuția zerourilor funcției
„zeta” , distribuția numerelor prime și a nivelelor energetice ale unor particule
elementare.
Numere celebre adimensionale
Numerele π și e sunt cunoscute încă din liceu. Notația „ π” a fost propusă de
Euler în 1748 (legată de termenul „perimetru” și nu de numele lui Pitagora). Notația

197„e” provine de la numele lui Euler, căruia îi datorăm formula eix = cos x + i sin x
(pentru orice x ∈R), o cheie de boltă a Analizei matematice. Un mare succes al
Analizei matematice a fost demonstrarea faptului că e și π sunt transcendente, de
către Hermite și respectiv Lindemann, la sfârșitul secolului 19, dar nu se știe până acum dacă π + e este transcendent.
Numărul „de aur” 51
2−α= (numit și secțiunea de aur ), în jurul căruia s-a
creat o întreagă mitologie, este defi nit geometric astfel: fi ind dat un segment AB
de lungime 1, există un singur punct interior M astfel încât AM 2 = AB ∙ MB și
α = lungimea segmentului AM (căci α 2 = 1 ∙ (1 − α) deci α 2+ α − 1 = 0). Numărul α
apare în multe descrieri. Una din ele este legată de raportul, egal cu α, dintre lățimea și
lungimea unor tablouri artistice. Dar iată și o aplicație în Fizică: Se știe că accelerația
gravitațională la înălțimea h de la suprafața pământului este gh =2
0
2()gR
Rh⋅
+, unde R este
raza Pământului. La coborârea unui corp la adâncimea h, avem g–h = 01hgR⎛⎞−⎜⎟⎝⎠. Se
pune întrebarea: în ce caz avem g–h = g h? Se obține o ecuație în h cu două soluții: una
banală ( h1 = 0) și alta surprinzătoare ( h2 = Rα).
De asemenea, amintim de constanta lui Euler
c = 11lim 1 … ln2n nn→∞⎛⎞+++− ≅⎜⎟⎝⎠ 0,57,
despre care nu se știe nici măcar dacă este rațională.
În ultimii ani, în mai multe considerații de „haos determinist” a apărut o
constantă misterioasă, a lui Feigenbaum ϕ ≅ 4,67 , despre care vom vorbi în 10.5 .
Acestea sunt constante matematice universale adimensionale (alături de
numerele reale sau complexe, care sunt considerate „ordinare”).
Fizica a introdus mai multe alte constante universale, care nu sunt adimensionale
(sarcina e a electronului, constanta gravitațională g, constanta h a lui Planck, constanta k a lui Boltzmann ș.a.).
NOTĂ . O glumă nevinovată, legată de criza economică, a fost propunerea
matematicienilor și fi zicienilor de a scădea toate constantele cu 25 %!
10.4. Curiozități geometrice
Subiectul a fost bine bătătorit și este difi cil să mai adaugi ceva. Totuși…
Originea unor denumiri geometrice
– punct („punctum” = înțepătură, în latină);
– linie („linoleum” = fi r de lână, lat.);
– trapez („τραπεζιον ” = tamburină, grec.);
– romb („rombus” = direcție, lat.);
– prisma („πρισμα ” = lemn cioplit cu fețe plane, grec.);

198- piramida („πνραμιξ ” , grec.);
– cilindru („cylindrus” = tăvălug, lat.);
– sfera („σϕαρα ” = minge, grec.) etc.
Știați că alături de cele 5 poliedre convexe regulate („corpurile platonice”),
există 4 poliedre regulate stelate – micul dodecaedru stelat, marele dodecaedru
stelat, micul ecosaedru și ma rele ecosaedru. Două îi erau cunoscute și lui Kepler, iar
în 1812, Cauchy a demonstrat că nu mai există altele.
Vă mai amintiți formula lui Euler de la poliedre?
Răspuns . Cu notații transparente, V – M + F = 2 (formulă anunțată de Euler în
1750). Mai târziu, A.J. L ′Huilier a generalizat această formulă la poliedre „cu g găuri”:
V – M + F = 2 – 2g. Formula lui Euler are loc și pe orice sferă (unde V = 1, M = 0, F = 1); dar pentru un tor cu o gaură, V = 1, M = 2, F = 1 și V – M + F = 0. În Topologia algebrică se introduce un concept mai general, numit caracteristica Euler – Poincaré.
Paradoxul lui Aristotel
Să considerăm două cercuri („roți”) concentrice de raze R, r (R > r) în poziție
verticală și legate solidar (fi gura 10.1).
Rr 2πr
2πR
FIGURA 10.1. Paradoxul lui Aristotel.
Presupunem că cercul mare se rostogolește o dată fără alunecare. Aparent,
rezultă 2 πR = 2πr deci R = r . Cum se explică?
Răspuns . Cercul mic se rostogolește cu alunecare!
Alt paradox de tip Aristotel
Considerăm două cercuri concentrice C( O, R ) și
C(O, r) cu R > r. (Figura 10.2). Aplicația f: C(O, R) →
C(O, r) , M x N (astfel încât punctele O, M, N să fi e
coliniare) este evident bijectivă. Așadar, cercurile au același număr de puncte „deci” aceeași lungime și din nou, 2 πR = 2 πr. Cum se explică?
Răspuns . Nu trebuie confundată „cardinalitatea” cu
„măsura” . În celebrul paradox al lui Zenon, se omitea faptul că un segment (cu o infi nitate de puncte) ar putea
fi parcurs într-o durată fi nită de timp.
FIGURA 10.2. Alt paradox
al lui Aristotel.R
rNOM

199Iată încă o „demonstrație” că orice triunghi este isoscel
Se consideră un triunghi ABC cu lungimile
laturilor a, b, c. Prelungim AB cu AD = b (A între B și
D) și AC cu AE = c (A între C și E); fi gura 10.3. Evident,
măs ()ABE3
= măs ()2AACD =3
.
Aplicând teorema sinusurilor în triunghiurile BCE
și BCD , rezultă

2sin
2sinAa
ABcb=
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛++ și
2sin
2sinAa
ACcb=
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛++.
De aici, rezultă
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+2sin2sinACAB ,
de unde 2 2ACAB +=+ , adică B ≡ C. Cum așa?
Răspuns . Eroarea este grosieră; dacă sin u = sin v, nu rezultă u = v ci u – v = 2kπ
cu k ∈ Z sau u + v = (2k + 1) π, cu k ∈ Z. În cazul nostru, rezultă B = C sau
22AABC++ + = (2 k + 1)π , adică A + B + C = π. Deci nimic fraudulos.
Problema lui Gh. Mihoc
Fiind dat un triunghi ABC și alegând „la întâmplare” un punct interior M, care
este probabilitatea ca distanțele x, y, z de la M la laturile triunghiului să fi e lungimile
laturilor unui triunghi?
Soluție . Dacă a, b, c sunt lungimile laturilor triunghiului ( a ≥ b ≥ c), rezultă
ax + by + cz = 2S (unde S este aria triunghiului). Condițiile din enunț sunt x > 0, y > 0,
z > 0, x < y + z , y < z + x , z < x + y .
Înlocuind z = 1
c(2S – ax – by), rezultă că mulțimea perechilor admisibile este
A1= {(x, y)∈R2 | x > 0, y > 0, ax + by < 2S}, având aria 2
12SAab= .
Celelalte condiții conduc la inecuațiile:
(a + c )x + (b – c)y < 2S, ( c – a )x + (b + c )y < 2S, ( a + c )x – (b + c )y > 2S.
Acestea determină un triunghi cu aria 2
24
() () ()cSAab bc ca=+++.
Conform teoriei probabilităților geometrice, probabilitatea cerută în enunț este
p = 2
1aria 2
aria ( )( )( )A abc
Aa b b c c a=+++.
Problema chibritului
Care este probabilitatea ca rupând, la întâmplare, un băț de chibrit în trei părți,
acestea să poată forma un triunghi?FIGURA 10.3. Triunghi
oarecare.D
E
A
BCbb
c
c

200Soluție . Fie a lungimea bățului de chibrit și x, y, z lungimile celor trei bucăți.
Așadar, x + y + z = a , x > 0, y > 0, z > 0, x < y + z , y < z + x , z < x + y. Regăsim tocmai
condițiile, nu chiar ale problemei lui Mihoc, ci ale celor din soluție (cu a = b = c = 1 și
S = 21). Probabilitatea este p = 41 (ca în cazul triunghiului echilateral).
NOTĂ . Clasica „teorie a chibritului” era de a stabili ce răspuns să avem
la întrebarea dilematică: de ce măciulia se afl ă la un capăt și nu la
celălalt?!
Inegalități geometrice
a) Fie u, v lungimile a două segmente. Inegalitatea 2uvuv+≤ este ilustrată
în fi gura 10.4, unde M aparține semicercului
de diametru AB = u + v , MM ′⊥ AB, AM ′ = u
și M ′B = v . Evident MM ′≤ MO.
b) Fie acum un trapez ABCD (AB||DC) și O
intersecția diagonalelor. Prin O ducem paralela
MN la baza ( M ∈[AC], N ∈ [BD]).
Atunci OM = ON și 21 1
MN AB DC=+ deci
MN este media armonică a bazelor, care este cel mult egală cu lungimea liniei mijlocii.
c) Dacă ai, bj ∈ R+ și a = a1 +…+ an , , b = b1 + … + b n , atunci
22 22 22
11 …nn ab ab ab+≤ ++ + + .
Iată o soluție vectorială. Alegem un reper ortonormal xOy de versori i, jGG
.
Fie ( Mk), 1 ≤ k ≤ n puncte astfel încât 1 ijkkk kMM a b− =+JJJJJJJJG GG
și Mo = O.
Atunci 11 2OM M M ++JJJJG JJJJJG
1 …nn nMM O M− +=JJJJJJJJG JJJJJ G
. Pe de-o parte, ijnOM a b =+JJJJJGGG
și pe
de alta, ||nOMJJJJJG
|| ≤ ||1OMJJJJG
|| + ||12MMJJJJJJG
|| +…+ ||1nnMM−JJJJJJJJG
||.
Paradoxul lui Euler
Fie un cerc C( O, R) așezat vertical, cu S
punctul cel mai de jos și N cel mai de sus (fi gura
10.5). Considerăm o coardă SA care face unghiul
de măsură ϕ cu orizontala și pe această coardă, se
deplasează de la A la S un mobil cu viteza inițială
nulă. Sub acțiunea gravității, după timpul t, mobilul
ajunge în S și AS = 2
2sintg ϕ. Pe de altă parte,
AS = NS ∙ sin ϕ = 2R sin ϕ.
Ca atare, ϕ =ϕsin22sin2R tg, de unde t = 2gR
. FIGURA 10.4. Triunghi
dreptunghic înscris în semicerc.M
M′O A B
FIGURA 10.5. Paradoxul lui
Euler.N
φ
φ
SO
A

201Așadar, toate coardele cu capătul în S sunt parcurse în același timp! Pe de altă parte,
considerând un pendul matematic prins în O, de lungime A, el are perioada, pentru
un sfert de oscilație, t = gA
42π (conform formulei lui Galilei) și cum A=R, se obține
relația 2gR
gR
2π= , de unde π = 4. Unde s-a greșit?
Răspuns . În mod tacit, arcul AS a fost „înlocuit” cu coarda, iar oscilațiile sunt
„mici” .
Încă un paradox
Fie o emisferă de rază R, cu ecuatorul (E) și polul
P (fi gura 10.6). Împărțim cercul (E) în n părți egale și
considerăm arcele de cerc mare PA1, PA2, … Fiecare arc
PAk are lungimea 1242RRπ⋅π = , iar aria hașurată este
An2 2
21
22
21RnR
nRπ =π⋅π⋅≅ . Atunci aria emisferei va fi
nAn = 22 2Rπ. Dar aria sferei este 4 πR2 și rezultă 22 2Rπ = 2πR2 și din nou, π = 4.
Cum se explică?
Răspuns . Ca și în cazul paradoxului lui Euler, aproximările pot conduce la
abuzuri. Fizica le mai acceptă, dar Geometria, nu.
Problema lui James Watt („mecanismul bielă – manivelă”)
Problema pare prozaică: Cum să legi un piston de un punct M al unei roți – volant
astfel încât rotirea roții să imprime pistonului P o mișcare rectilinie? (fi gura 10.7)
Soluția a fost dată în 1864 de inginerul francez Peaucellier, care a considerat o
confi gurație de 4 verigi congruente formând un romb ABCD de latură b (fi gura 10.8).
FIGURA 10.7. Bielă – manivelă. FIGURA 10.8. Confi gurația lui Peaucellier.PM
OB
DKO A
b
A’(γ)GC
C’bb b a
aFIGURA 10.6. Emisferă.P
O
(E) A1A2

202Din vârfurile opuse B, D se consideră verigile BO, DO de lungime a (a > b). În
punctele B, D, O se prevăd „balamale” , iar punctele A, C sunt mobile și fi e G = BD 3 AC.
Avem OA . OC = (OG – AG )(OG + AG ) = OG2 – AG2 = (a2 – BG2) – (b2 – BG2) = a2 – b2.
Se consideră cercul cu centrul în O, de rază R = 2 2ba− (nefi gurat). Așadar, OA . OC =
= R2 deci punctele A, C sunt inverse unul altuia. Se scrie C = j (A) și A = j (C) (unde
j : R2 \ {O} → R2 este aplicația de inversiune). Să presupunem că A descrie un cerc ( γ) fi x
trecând prin punctul O și având centrul K. Considerăm diametrul OA′ și fi e C ′= j(A ′),
inversul lui A′ (așadar, punctele O, A′, C ′ sunt coliniare și OA′ . OC ′ = R2). Așadar,
OA . OC = OA ′ . OC ′, OA OA
OC OC′=′ deci triunghiurile OAA ′, OCC ′ sunt asemenea
și cum AA′ ⊥ OA, rezultă CC ′ ⊥ OK. În concluzie, dacă A parcurge cercul γ cu
centrul în K („volantul”), atunci C se afl ă pe o dreaptă perpendiculară pe OK („linia
pistonului”).
NOTĂ . Inginerii și matematicienii au construit o multitudine de mecanisme
utile sau nostime, iar Robotronica a încorporat Teoria mecanismelor. Tehnologiile electromecanice s-au împletit cu cele opto – electronice, ajungând la realizări care strârnesc curiozitatea și chiar admirația. Mecanismul bielă – manivelă are multe aplicații, începând cu automobilele, unde mișcarea pistonului imprimă mișcarea arborelui – motor și apoi, a roților. „Să nu ne pierdem capacitatea de a ne mira” , spunea Einstein.
Furnica pe borcan
Un borcan are forma unui cilindru circular drept, cu raza bazei R și înălțimea I.
Pe cercul de bază se afl ă o furnică în punctul A și ea vrea să se târască pe suprafața
borcanului spre cel mai îndepărtat punct B (simetricul lui A față de centrul
borcanului); fi gura 10.9. Care este drumul de lungime minimă al furnicii?
BO
AA′B πR
AI
FIGURA 10.9. Borcanul cilindric. FIGURA 10.10. Cilindrul desfășurat
O primă tentativă de răspuns: considerăm generatoarea AA′ și fi e L1 = AA′+ A′B =
= I + 2R. O altă tentativă: desfășurăm cilindrul (tăiat după AA′), ca în fi gura 10.10 și
L2 = 2 2 2R Iπ+ .

203Avem L1 < L2 R (I + 2R)2 < I2 + π2R2 R 4I + 4R < π2R R
RI < 442−π. Așadar,
dacă 142
−π<RI, atunci minimul cerut ar fi L1, iar dacă
42π≥RI–1 răspunsul este L2.
Pe borcan, furnica va merge probabil pe o elice.
Cunoașteți cele 4 „teoreme ale cosinusului”?Răspuns .
a) Într-un triunghi ABC , a
2 = b2 + c2 – 2bc cos A, deci măs A = 2π R a2 = b2 + c2;
b) Într-un patrulater convex ABCD cu lungimile laturilor AB = a , BC = b , CD = c ,
DA = d și lungimile diagonalelor AC = m, BD = n , are loc relația
m2n2 = a2c2 + b2d 2 – 2abcd . cos (ˆˆAC+).
Dacă ˆˆAC+= 90o, atunci m2n2 = a2c2 + b2d 2 și dacă ˆˆAC+ = 180o, rezultă teorema
lui Ptolomeu.
c) Fie un triedru Oxyz , fi e α = măs( yOz), β = măs( zOx), γ = măs( xOy),
ˆA = unghiul plan al diedrului format de planele xOy, xOz etc. Atunci
cosα = cos β cos γ + sin β sin γ cosˆA și cos α sin B sin C – cos B cos C = cos A;
α + β + γ < 360o și A + B + C > 180o.
d) Fie un tetraedru V1V2V3V4, S1 = aria triunghiului V2V3V4, S2 = aria triunghiului
V1V3V4 etc; α14 unghiul plan al diedrului format de fețele cu ariile S1, S4 etc. Atunci
21 2 2
4 1 2 3 1 2 34 2 3 14 3 1 24 2 cos 2 cos 2 cos SS S S S S S S S S=++− α − α − α .
Primul exercițiu de… Geometrie a Universului
Unitatea cosmologică pentru distanțe este a ≅ 1,5 × 108 km = 1,5 × 1011m;
1 ps (parsec ≡ paralaxă / secundă) este distanța de la Pământ (P) la un punct O astfel
încât ducând o semidreaptă prin O care face cu OP unghiul de
1′′, distanța de la P la această semidreaptă să fi e egală cu a , deci
1 ps = sin1a
′′ (fi gura 10.11). Așadar, 1 ps ≅ 3 . 1018cm.
Pe de altă parte, 1 an are 361 × 24 × 3600 ≅ 3,1 × 107 secunde
de timp.
Un an lumină (al) este distanța parcursă de lumină într-un an.
Cum viteza luminii este c = 3.108 m / s , atunci
1 al = 3,1 × 3 × 1015 ≅ 1018 cm.
Rezultă că 1 ps ≅ 3 al.
Universul se consideră, convențional, „omogen” la scara de
30 Mps (megaparseci), în sensul că în orice cub cu această muchie
s-ar afl a statistic același număr de stele. Este interesant că dacă am
considera un segment de 1 m și i-am dubla succesiv de 70 de ori lungimea, s-ar depăși diametrul universului observabil. Speculații!?… FIGURA 10.11.
Parsecul.1″O
1 ps
Pa

204Pentru calculul distanței d de la Soare la planete, există regula Titius – Bode :
d = a + b . 2n , unde a și b sunt constante; pentru n → − ∞, se obține distanța Soare
– Mercur, pentru n = 0, Soare – Venus și pentru n = 1, distanța Soare – Pământ.
Această „formulă” este mai degrabă calitativă, dar se spune că i-a sugerat lui N. Bohr că electronii se mișcă pe o mulțime numărabilă de orbite. Alte speculații…
Știți câte Geometrii există?
Suntem instruiți și prea obișnuiți cu Geometria euclidiană; dar am văzut că există
multe altele, iar Felix Klein a arătat că orice Geometrie (adică studiu al relațiilor unor obiecte matematice numite ad–hoc „puncte” , „drepte” , „plane” , „fi guri” etc.) înseamnă
în fond studiul unui anumit grup de transformări geometrice și al proprietăților invariante la aceste transformări. De exemplu, Geometria euclidiană plană studiază acele proprietăți ale distanțelor, unghiurilor, ariilor etc., care sunt invariante la deplasări–rotații, translații, simetrii–ale planului respectiv.
Am prezentat anterior Geometria sferică (a lui Riemann), unde se fi xează o sferă
S(O, R); punctele geometriei sunt punctele sferei, iar dreptele – cercuri mari. Orice
două cercuri mari au puncte comune și ca atare, nu are loc axioma paralelelor; de exemplu, dintr-un punct exterior (polul Nord) la o dreaptă (Ecuatorul) se pot duce o infi nitate de drepte perpendiculare, iar suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
este strict mai mare decât π. Modelul Poincaré al Geometriei hiperbolice (Lobacevski
– Bolyai) a fost prezentat în detaliu în 4.6; printr-un punct se puteau duce o infi nitate
de drepte paralele la o dreaptă dată, iar suma unghiurilor unui triunghi este strict mai mică decât π.
Dar iată și două „Geometrii” ciudate, aproape inutile. Considerăm „planul” Q
2.
Punctele sunt perechi ordonate ( a, b) de numere raționale. Dreptele sunt mulțimi
de forma D ={(x,y)∈ Q2 / există a, b, c ∈ Q cu a2 + b2 ≠ 0 și ax +by + c = 0}. În
această Geometrie, nu există triunghiuri echilaterale și de exemplu, unghiul format de dreptele y = 0 și x – y = 0 nu are bisectoare (deoarece trebuie apelat la numere
iraționale!).
În fi ne, să considerăm un spațiu metric ( X, d) (unde distanța d este pozitivă,
simetrică și satisface inegalitatea triunghiului); el se numește ultrametric dacă ∀ x, y,
z ∈ X, d(x, z) ≤ max(d( x, y), d(y, z)). Iată câteva proprietăți ciudate:
– orice triunghi este isoscel
[Într-adevăr, să presupunem că d( x, y) ≤ d(x, z) și d( x, y) ≤ d(y, z); atunci
d(x, z) = d( y, z), deoarece d( x, z) ≤ max(d( x, y), d( y, z)) = d( y, z) și
d(y,
z) ≤ max(d( x, y), d(x, z)) = d( x, z)];
– orice punct al bilei deschise B(a, r) este centru [căci dacă u ∈ B(a, r), atunci se
arată prin dublă incluziune că B( u, r) = B( a, r)];
– dacă două bile deschise au un punct comun, atunci ele coincid etc.
Geometria ultrametrică pare o ciudățenie, dar este totuși utilizată pentru a
descrie comportamentul unor particule în Teoria cuantică. Pe de-altă parte, iată un exemplu concret de spațiu ultrametric. Să fi xăm un număr prim p ≥ 2. Pentru orice

205număr x ∈ Q*, x se poate scrie sub forma x = pα . ba, unde a, b ∈ Z nu sunt divizibile
cu p. Se defi nește norma p – adică ||x||p= e – α și distanța p – adică dp = ||x – y||p . Spațiul
(Q*, dp) este ultrametric, iar completatul său se numește corpul numerelor p – adice
Qp. Apropo de spații ultrametrice, B. Pascal a spus la un moment dat că „universul
este o sferă al cărei centru este pretutindeni, iar frontiera nicăieri”!
Încheiem acest subparagraf cu un subiect care este mai puțin tratat în manuale și
afl at la intersecția Geometriei cu Algebra și Analiza matematică.
Despre înfășurătoarea unei familii de curbe
O curbă plană continuă, închisă și fără
autointersecții (C) se numește netedă dacă în
fi ecare punct al ei are o tangentă unică. Se spune
atunci că familia T a tuturor tangentelor la (C)
înfășoară curba (C) sau echivalent, (C) este
înfășurătoarea familiei T; (fi gura 10.12). Curba
(C) împarte planul în două regiuni – exteriorul și interiorul; din orice punct exterior se duc două tangente și astfel, (C) este mulțimea punctelor din plan prin care trece o singură tangentă din
familia T.
EXEMPLU
Să fi xăm un reper ortonormal xOy și
un punct F
,02p⎛⎞
⎜⎟⎝⎠, p > 0. Determinăm
înfășurătoarea familiei perpendicularelor
Dα duse din punctul M(0, α) pe dreapta
FM (α fi ind un parametru real); fi gura
10.13. Coefi cientul unghiular al dreptei
MF este pα−2
și ecuația dreptei Dα va fi
y − α = xp
α2, adică px − 2αy + 2 α2 = 0.
Înfășurătoarea acestei familii de drepte va fi mulțimea acelor puncte ( x, y)
pentru care ecuația anterioară privită ca ecuație în α are o singură soluție,
adică discriminantul ei este nul. Rezultă y2 – 2px = 0 și recunoaștem ecuația
unei parabole cu focarul F.
O altă metodă pentru a determina înfășurătoarea unei familii de curbe
f (x, y, α) = 0, cu f funcție de clasă C1, este aceea de a elimina parametrul α între
relațiile f (x, y, α) = 0 și af
∂∂(x, y, α) = 0. De exemplu, în cazul anterior, eliminăm α
între relațiile 2 α2 – 2yα + px = 0 și 4 α – 2y = 0 și regăsim ecuația y2 – 2px = 0.FIGURA 10.12. Familia
tangentelor la curba ( C).(C)
FIGURA 10.13. O înfășurătoare.Dα
M (0, α)y
O F x

206Iată o aplicație a celor prezentate la studiul unor ecuații algebrice.
a) Să considerăm ecuația x2 + px + q = 0,
cu coefi cienții reali p, q, privită ca
ecuația unei familii de drepte din planul pOq, depinzând de parametrul x.
Înfășurătoarea acestei familii se obține eliminând x între relațiile
x
2 + px + q = 0, 2x + p = 0.
Se obține ecuația înfășurătoarei respective, anume p
2 – 4q = 0
(numită neîntâmplător curba
discriminant a ecuației și notată ( Δ)).
În fi gura 10.14 este redată curba ( Δ)
și se duc tangentele care corespund valorilor x = 0, x = 1, x = − 2 ale
parametrului. Pentru aceste valori, ecuația inițială devine chiar ecuația tangentelor în planul pOq (respectiv
q = 0, p + q + 1 = 0, 2 p – q – 4 = 0).
Din punctele unde p
2 – 4q < 0 nu se pot
duce tangente la curba ( Δ).
b) În mod similar, pentru ecuația
x3 + px + q = 0, curba discriminant,
obținută eliminând x între relațiile
x3 + px + q = 0, 3 x2 + p = 0, este
(Δ): 4p3 + 27 q2 = 0, reprezentată în
planul pOq în fi gura 10.15.
Pentru orice punct ( p, q) din planul
pOq se pot număra câte tangente se pot
duce la curba ( Δ) și astfel se determină
numărul de soluții reale ale ecuației inițiale, indicat în fi gura 10.15 prin
numere încercuite pentru diverse regiuni. Dacă ( p, q) ∈ Δ, atunci ecuația
x
3 + px + q = 0 are o rădăcină multiplă
și pentru p = 0, q = 0, o rădăcină triplă,.
Se pot studia prin aceeași metodă ecuațiile x4 + px + q = 0, x2014 + px + q = 0 etc.
Desigur, aceleași ecuații se pot studia folosind șirul lui Rolle, dar interpretarea geometrică dată este instructivă și chiar productivă, pentru dezvoltări ulterioare. Astfel, fi ind dată o curbă plană γ , nesingulară și sufi cient de netedă, în fi ecare punct
A ∈ (γ) se consideră normala (perpendiculara pe tangenta în A). Înfășurătoarea
familiei tuturor normalelor la ( γ) este o nouă curbă, numită evoluta (≡ desfășurata ) FIGURA 10.14. Curba discriminant
pentru ecuația x2 + px + q = 0.(Δ)
pO x = 0
x = 2(–2, 1)(4, 4)
x = 1q
FIGURA 10.15. Curba discriminant
pentru ecuația x3 + px + q = 0.(Δ)
Oq
p

207(E) a lui ( γ). Invers, ( γ) este evolventa lui (E); fi gura
10.16. Dacă A ∈ (γ), atunci normala în A intersectează
(E) într-un punct C, numit centrul de curbură al curbei
(γ) în punctul A, iar distanța CA este tocmai raza
de curbură a curbei ( γ) în A. Așadar, (E) este locul
geometric al centrelor de curbură ale curbei ( γ). Cercul
cu centrul în C și de rază CA este numit cercul osculator
al lui ( γ) , având contact de ordinul doi cu γ în punctul A.
Toate aceste obiecte geometrice și analoagele lor pentru suprafețe sunt studiate în Geometria diferențială, ea însăși sursă de minunății…
Ce știți despre invarianți geometrici sau algebrici?
Răspuns . Vă amintiți de la Algebra liniară că dacă (C): a
11×2 + 2a12xy + a22y2 +
+ 2a13x + 2a23y + a33 = 0 este ecuația generală a unei conice din planul xOy, atunci
există trei mărimi și anume I = a11 + a22 , δ = a11a22 – a122, Δ = det ( aij), care rămân
invariante la roto – translațiile planului; în sensul că efectuând o astfel de transformare
(x, y) x (x ′, y ′), ecuația conicei se modifi că în 22
11 12 22 2 … 0 ax ax y a y′′ ′′ ′ ′′++ + = , dar
11 22aa I′′+= ; 2
11 22 22aa a′′ ′−= δ și det()ija′ = Δ. Folosind acești invarianți, conica (C) se
poate reduce la forma canonică, raportată la axele ei de simetrie.
De asemenea, Sylvester a demonstrat că orice formă pătratică în oricâte
variabile reale se poate reduce la forma canonică (sume sau diferențe de pătrate) prin transformări nesingulare, iar signatura este un invariant.
Teoria invarianților studiază expresiile algebrice – polinoame, funcții raționale
etc. sau obiectele geometrice asociate, care rămân invariante sau se modifi că în mod
controlat la schimbări liniare de coordonate. Dacă f (x, y) este un polinom omogen
de grad r, cu coefi cienți de exemplu complecși, atunci după o transformare liniară
nesingulară x ′ = αx + βy, y ′ = γx + δy, se obține un alt polinom
f~(x ′, y ′) omogen de
grad r; de exemplu, pentru r = 2 și f (x, y) = ax2 + 2bxy + cy2, rezultă f~(x ′, y ′) = a ′x ′2 +
+ 2b ′x ′y ′ + c ′y ′ 2. O expresie P( a, b, c), polinomială în coefi cienții lui f, se numește
un invariant dacă P~
(a ′, b ′, c ′) = Dq . P(a, b, c), unde D = αδ – βγ este determinantul
transformării și q o constantă. Astfel, discriminantul b2 – ac este un invariant. Boole a
arătat că pentru orice ecuație algebrică cu rădăcinile xi , discriminantul ei Πi>j(xi – xj)2
este un invariant și el a descoperit și alți invarianți.
D. Hilbert a extins cele de mai sus astfel: fi e G un grup și ρ : G → Aut V o
reprezentare fi nită a lui G, adică un morfi sm de grupuri de la G la grupul
automorfi smelor liniare ale unui spațiu vectorial complex fi nit dimensional V. Dacă
x1,… , xn sunt coordonatele în V (relativ la o anumită bază), orice element g ∈ G
determină o schimbare liniară de coordonate ρ(g): V → V și pentru orice polinom
P(x1, … , xn), se obține un alt polinom. Dacă P rămâne nemodifi cat când g parcurge
grupul G, se spune că P este un invariant . Hilbert a dat condiții să existe un număr
fi nit de invarianți ϕ1, … , ϕm, astfel încât orice alt invariant să depindă polinomial de FIGURA 10.16. Evoluta (E)
a lui ( γ).(E)(γ) A
CA′
C′

208ϕ1, … , ϕm; se poate întâmpla să existe relații polinomiale nebanale între ϕ1,… , ϕm
(numite „syzygies”).
Teoria invarianților este un subiect central atât în matematică dar și în fi zică,
legate de fenomene de simetrie, legi de conservare sau invarianță a unor proprietăți structurale la diverse transformări.
În puține cuvinte, știți ce studiază Geometria algebrică sau Geometria analitică
modernă?
Un răspuns . Introducând noțiunea de coordonată, Descartes a lansat studiul
obiectelor geometrice prin concepte algebrice asociate (unifi carea din § 4); astfel,
curbele și suprafețele au putut fi descrise prin ecuații. Derivatele au permis studiul
tangentelor, planelor tangente, curburilor, contactelor etc.
Geometria algebrică (respectiv analitică modernă) este studiul aprofundat al
mulțimilor care sunt zerourile comune ale unor polinoame în una sau mai multe variabile (respectiv ale unor funcții anal itice). Cele mai simple astfel de obiecte sunt
curbele și hipersuprafețele, care îi interesează și pe anumiți fi zicieni sau ingineri.
Aceste obiecte au fost generalizate, trecându-se la varietăți algebrice, spații analitice, spații inelate, creându-se alte obiecte necesare – morfi sme, câmpuri de vectori, fi brați
algebrici sau analitici, deformări. În mod oarecum neșteptat, aceste noțiuni studiate „per se” , la modul contemplativ de matematicienii secolelor 19 și 20, s-au dovedit fundamentale pentru Fizica modernă, pentru teoria unifi cată a câmpurilor (adică
unifi carea tuturor tipurilor de intersecții din natură), la studiul corzilor („strings” –
uri) etc.; asupra unora din ele, ne vom referi în 12.6 .
Poincaré, Einstein, Heisenberg, Grothendieck, Hawking au arătat că nici un
raționament nu poate proba adevărul unui model geometric fără concordanța lui cu Fizica, iar vizibilul nu poate fi explicat decât apelând la invizibil („ochiul minții”).
Dacă teoria fi zică se modifi că, atunci trebuie modifi cat și modelul geometric; astăzi
știm că Geometria euclidiană concordă cu Fizica doar local și aproximativ. Subiectul
este amplu, inepuizabil, cu multe întrebări puse nouă și generațiilor viitoare.
10.5. Curiozități legate de informatică
Până acum, am subliniat de mai multe ori prezența computerului, ca participant
și producător de rezultate memorabile. Ne-au rămas puține curiozități pe care să le atribuim informaticii. În ultimii 30 de ani, au apărut domenii noi − Teoria haosului
determinist, Fractalii, Seriile neliniare de timp, Undinele etc., strâns legate de computerele puternice. O caracteristică importantă este soluționarea unei probleme, printr-o descompunere a ei într-o parte infi nitistă, care poate fi deslușită prin
raționamente matematice „clasice” și o parte de orice dimensiuni (dar fi nitistă!),
care să fi e decisă prin programarea pe comput er. Matematicienii puriști resping o așa
descompunere, care se îndepărtează de Teoria mulțimilor și introduce noțiuni externe, precum cele de „program” , „limbaj de programare” , „compilator” , „procesor” etc.

209Ce știți despre soluția problemei celor 4 culori?
În 1802, studentul londonez F. Guthrie a lansat următorul enunț provocator:
„Orice hartă (fi gură plană divizată în regiuni cu frontiere comune) poate fi colorată
cu 5 și nu cu trei culori, astfel încât orice două regiuni cu frontieră comună să fi e
colorate în mod diferit. Dar cu 4?”
Printre matematicienii cunoscuți care au încercat
o soluție sau au descoperit greșeli ale altora se numără De Morgan, Cayley, Birkhoff etc. Această problemă a
avut un rol important în dezvoltarea Teoriei grafurilor, fondată de Euler. Abia în 1976, Appel și Haken au demonstrat, cu ajutorul unui computer puternic răspunsul afi rmativ (Da, cu 4 culori!), demonstrația
fi ind omologată de comunitatea matematică
internațională.
În fi gura 10.17 arătăm că trei culori sunt
insufi ciente pentru o hartă cu 4 regiuni.
Un experiment informatic
Pentru orice p ≥ 1 se poate defi ni distanța d
p în planul R2: () 11 2 2 d(,) , (,)pxy xy =
= (|x1 – x2|p + |y1 – y2|p)1/p. De exemplu, ()11 1 2 2d(, ) , (, )xy xy =|x1 – x2| + |y1 – y2|; d2 este
distanța euclidiană și pentru p → ∞, () 11 2 2 d( ,) , ( ,) xy xy∞ = max | x1 – x2| + |y1 – y2|.
Se consideră o rețea plană R cu pas „mic” r (r > 0) , obținută prin drepte paralele
la axele unui reper ortonormal xOy. Pentru orice două puncte A, B ∈ R2 și p > 0 fi xat,
defi nim „mediatoarea” Mp(A, B) = / d (, ) d (, )2pprMR M A M B⎧⎫∈− =⎨⎬⎩⎭R | . Fie r = 1.
a) Fie A(− 2, 2) și B(2, − 2). Să se reprezinte Mp(A, B), separat pentru p = 1, ∞, 21.
b) Să se reprezinte „discul” de centru O și rază 1, anume
Cp(O, R) = {M∈ } d( , ) 1pOM < R | , separat pentru p = 1, ∞, 1
2.
Fiind dat a ∈ R, |a| < 1, cum se poate calcula a1
fără împărțiri?
Răspuns . Considerăm șirul ( xn), n ≥ 1 defi nit prin recurență cu xo = 1 și
xn + 1 = xn(2 – axn) pentru n ≥ 0. Pentru a nu pune computerul la lucru degeaba, trebuie
arătat că șirul xn este convergent (atunci xn → a1).
Într-adevăr, înlocuind xn =
a1+ yn , relația de recurență devine yn + 1 = − a2 . yn deci
yn → 0. Pentru ε > 0 fi xat prescris, considerăm organigrama din fi gura 10. 18.FIGURA 10.17. Trei culori
nu sunt de-ajuns.T1
T1T1
T2 T3
T4

210FIGURA 10.18. Organigrama pentru a1
.
O problemă clasică
Se consideră funcția f : R2 → R, f (x, y) = ax2 + 2bxy + cy2 (a, b, c fi ind constante
reale). Cum se pot calcula marginile lui f pe circumferința unitate x2 + y2 = 1?
Răspuns . Problema trebuie reformulată. O metodă constă în parametrizarea
x = cos t, y = sin t cu t ∈[0, 2π] și atunci problema se reduce la determinarea marginilor
funcției ϕ (t) = a cos2t + 2b cos t sin t + c sin2t etc. Pentru cei care au asimilat studiul
formelor pătratice, marginile respective sunt egale cu cea mai mare și cea mai mică
valoare proprie a matricei A = ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
cbba
, adică 22 1(( ) )2ac ac b+± − + .
În general, în utilizarea calculatoarelor, problema pusă trebuie adeseori
reformulată și transformată convenabil.
Câteva alte experimente informatice
1) Să se rezolve ecuația ( x – 1)4 = 0
direct și apoi cu calculatorul, ca ecuația x
4 – 4×3 + 6×2 – 4x + 1 = 0.
2) Fie un poligon convex cu n laturi
(Figura 10.19) și un pătrățel pe care îl rostogolim…Ce curbe descriu punctele A și B? Analizați diverse cazuri.
3) Fixăm un număr r > 0 și considerăm
șirul ( z
n), n ≥ 0, defi nit prin
zo = 0, zn + 1 = r + znei cosn (n ≥ 0). Figurați traiectoria lui ( zn).x1: = x0 * (2–a* x0)x0: = 1
DANU
x1 – x0 < εx0 = : x1 x0: = x1
STOP
FIGURA 10.19. Pătrățel rostogolit.AO
B

2114) Considerăm funcția complexă f (z) = z2 + c cu c ∈ C fi xat și pătratul
P = {z = x + iy ∈ C / –2 ≤ x ≤ 2, –2 ≤ y ≤ 2} = [–2, 2] × [–2, 2]. Fie grila
formată din punctele Pm n2, 250 50mn ⎛⎞−+ −⎜⎟⎝⎠ pentru m, n ∈ {0, 1, 2,… , 200 }.
Pentru fi ecare a ∈ Pm n, se calculează primii 20 de termeni ai orbitei ωa (adică
ai șirului ( zn) cu zo = a și zn + 1 = f (zn), n ≥ 1). Facem următoarea convenție:
dacă cel puțin unul din acești termeni este situat în afara pătratului P,
atunci numărul complex inițial a va fi „vopsit în roșu” , iar dacă toți cei 20 de
termeni sunt situați în P, atunci a este „vopsit în galben” . În acest mod, toate
punctele Pm n, în număr 201 × 201 = 40401 vor fi colorate în roșu sau galben.
Vă propun să realizați pe calculatorul Dv. acest experiment, separat pentru valorile c = 0; c = = 0,3 – 0,4 i; c = 0,2 + 0,7 i și c = − 1 + 2i. Veți obține pe
display diverse confi gurații nepământene roșii – galben – alb. Reluați același
lucru înlocuind 20 cu 40 și apoi pentru funcțiile complexe f (z) = z
3 + c și
f (z) = e z + c.
Haos determinist
Fie un sistem diferențial x ′ = v (x), unde v : U → Rn este un câmp de vectori de
clasă C1 pe un deschis U ⊂ Rn. În mod explicit, dacă x = (x1, …, xn), sistemul este de
forma 1x′= v1(x1,…, x n),… , nx′= vn(x1,…, x n). Dacă a ∈ U și v(a) = 0, se spune că a
este un punct de echilibru și în acest caz, x(t) = a este soluție; dacă această soluție este
stabilă, atunci a este un atractor (altminteri, este un rejector sau echivalent, un punct
repulsiv ).
Dacă x′ = v(x, λ) cu λ parametru, pozițiile de echilibru sunt date de ecuația
v(x, λ) = 0.
EXEMPLE.
1) Fie x ′ = λ – x2 și n = 1. Pentru λ < 0,
nu există poziții de echilibru și
pentru λ > 0 avem x = ±λ . Se
poate arăta că x = λ este un
atractor, iar x = −λ un rejector.
2) Pentru x ′ = 3x – x2 + λ și n = 1, fi e
curba γ: 3x – x3 + λ = 0, care conține
punctele de echilibru (fi gura 10.20).
Dacă λ < − 2 există atractori de tip P
și pentru λ > 2, atractori de tip P ′.
Dacă λ ∈ (− 2, 2), există trei puncte de echilibru, de tip Q, Q ′, R ,
dintre care Q, Q ′ sunt atractori și R – rejector. Dacă λ → 2, λ < 2 se ajunge
în punctul A și dacă λ crește, soluția sare în C și urmează ramura CP ′. FIGURA 10.20. Curba punctelor de
echilibru.P′C(2, 2)
A(2, –1)(–2, 1)O
Q′
D(–2, –2)Pλx
Q
B

212Dacă λ > − 2 și scade ajungând în B și dacă scade în continuare, sare în D și
urmează ramura DP. Se spune că în punctele A, B apar „catastrofe” .
3) Profesorul Lorenz (de la Universitatea M.I.T. din Boston) a evidențiat în
1963 fenomenul de dependență de datele inițiale. El a considerat sistemul
diferențial neliniar x ′ = − 10x + 10 y, y ′ = λx – y – xz , z ′ = 8
3−z + xy
cu necunoscuta tripletul ( x(t), y(t), z(t)), t ∈ R, parametrul real λ și cu
condițiile inițiale nule. Pentru 1 < λ < 470
19, să notăm k = )1(38−λ . Atunci
există trei puncte de echilibru, anume O, A(k, k, λ − 1) și B(− k, − k, λ − 1)
și se poate arăta că A, B sunt atractori, iar O este un rejector; curba integrală
arată ca în fi gura 10.21. Surprinzător, pentru λ > 470
19,punctele A, B, O sunt
toate rejectoare și curba integrală arată ca în fi gura 10.22. Mici modifi cări ale
condițiilor inițiale induc mari modifi cări în comportarea curbelor integrale
corespunzătoare. Punctele O, A, B însele sunt curbe integrale (reduse
la puncte), dar pentru o modifi care a condițiilor inițiale, traiectoriile se
modifi că drastic!
FIGURA 10.21. Punctele A, B
sunt atractori și O – rejectorFIGURA 10.22. Cele trei puncte
A, B, O sunt repulsive.OBA A
OB
Se spune că este vorba de un haos determinist intrinsec, care nu este datorat
prezenței unor factori aleatori. Toate aceste considerații au apărut numai după ce computerele puternice au permis experimente informatice subtile. După aceea, s-a dovedit că haosul determinist a fost întâlnit în curgerea fl uidelor, „efectul fl uture”
din ecologie („bătăile aripilor unui fl uture pot infl uența clima Planetei”!); dar și în
economie, în studiul unor circuite electronice sau aparate magneto – mecanice, ca și în studiul creșterii populației în raport cu suprafața ocupată etc.
Sisteme dinamice și funcția logistică
Se numește sistem dinamic un triplet ( X, T, ϕ) format dintr-o mulțime nevidă
X și două aplicații T: X → X , ϕ : X → R. Elementele lui X se numesc stări , T este
tranziția de stări, iar ϕ – funcție de evaluare . Se notează T
n = T ) T ) …) T (de n ori) și
T0 = 1X (aplicația identică). Dacă T este bijectivă, au sens și puterile Tn pentru n ∈ Z.
Dacă x ∈ X, se mai scrie Tx în loc de T(x). Pentru orice stare inițială a ∈ X, iterațiile

213lui T generează orbita ωa = {Tna/n ≥ 0} = { a, Ta, T2a, …}. Dacă ωa = {a}, adică Tx = x ,
se spune că x este un punct fi x al lui T, iar dacă n ≥ 1 și Tnx = x , se spune că x este
n – periodic ; dacă acest n este minim, atunci ωx = {x, Tn, …, Tn–1x}. Pentru orice x ∈ X
se generează un șir de valori Xt = ϕ (Ttx), t ∈ N, care formează o serie de timp.
EXEMPLE
1) Fie X = [0, 1] și T : X → X, Tx = 4x(1 – x).
Dacă a = 0,203 atunci Ta ≅ 0,647; T2a ≅ 0,914; T3a ≅ 0,315; T4a ≅ 0,863 etc. și
se constată o fl uctuație nealeatoare a datelor.
2) Dacă x ′(t) = v(t, x(t)), t ∈ R, x ∈ Rn este un sistem diferențial, atunci, în
condițiile teoremei lui Cauchy de existență și unicitate, pentru orice t ∈ R, se
defi nește aplicația g t: Rn → Rn care asociază oricărei stări s ∈ Rn , starea
g t (s) = ψ (t), unde ψ este soluția pentru care ψ (0) = s.
Fie T: [0, 1] → [0, 1] , T(x) = λx(1 – x) cu parametrul λ ∈ (0, 4), funcția logistică
(≡ aplicația lui Feigenbaum ). În acest context, un punct fi x p al lui T se numește
atractor dacă dacă există o vecinătate V a lui p astfel încât pentru orice a ∈ V avem
ωa → p (în sensul că limn → ∞ Tna = p). Dacă există o vecinătate V a lui p astfel încât
∀ a ∈ V \ p, Tna ∉ V pentru orice n sufi cient de mare, atunci se spune că p este rejector
(≡ repulsiv ). Punctele fi xe pentru funcția logistică sunt x1 = 0, x2 = 1 – 1
λ. Dacă 0 < λ < 1,
x1 este un atractor (căci pentru orice a ∈ [0, 1], Tna → x1). Dacă λ = 1, x1 nu este
atractor. Dacă 1 < λ < 3 atunci x1 este un rejector și x2 = 1 – 1
λ este atractor. Dacă λ > 3,
atunci x1 și x2 sunt rejectori.
Feigenbaum a arătat că există o valoare λ2 ≥ 3 astfel încât dacă λ > λ2, atunci
există 4 puncte 2 – periodice (adică T2x = x ); anume
x1 = 0, x2 = 1–1
λ și x3, 4 = ()11(1 ) (3 )2λ+ ± λ+ λ−λ∩ .
Se poate arăta că x1, x2 sunt rejectori, iar x3, x4 – atractori. Există apoi λ3 > 3 astfel
încât pentru λ > λ3 avem 8 puncte 3 – periodice ( T3x = x ), cu 4 atractori și 4 rejectori
etc. Există λn > 3 astfel încât pentru λ > λn, funcția T are 2n puncte n – periodice,
dintre care 2n – 1 atractori și 2n – 1 rejectori. S-a arătat că λ2 = 3; λ3 ≅ 3,44; λ4 ≅ 3,54 etc. și
s-a conjecturat că raportul 1
1nn
nn−
+λ− λ
λ− λ converge către o constantă universală ϕ (numită
constanta lui Feigenbaum ); valoarea ei este ϕ ≅ 4,67.
NOTĂ . Observăm că ∀ u ∈ [0, 1], avem 4 u(1 – u) ∈ [0, 1]. Dacă la orice
moment discret t notăm xt ∈ [0, 1] procentajul unei anumite populații
și defi nind operatorul de șift are T: [0, 1] → [0, 1], xt x xt + 1, ecuația
logistică anterioară se mai scrie echivalent xt + 1 = λ xt(1 – xt).
Un studiu similar s-a realizat pentru punctele fi xe ale funcțiilor de forma
T(x) = 1 – μ |x|r, în locul funcției logistice. Se deschide o lume mirifi că, rămasă în
latență până la apariția computerelor puternice, acolo unde Matematica și Informatica realizează un mariaj perfect.

214Nu orice discretizare este binevenită!
Să considerăm ecuația diferențială neliniară x ′(t) = x(t) – x(t)2, cu variabile
separate și cu condiția inițială x(0) = xo. Presupunem că xo > 0. Se verifi că ușor că
soluția este x(t) =0
00(1 ) etx
xx−+− ⋅. Dacă 0 < xo < 1, atunci limt → ∞ x(t) = 1 (crescător)
și dacă xo > 1, atunci limt → ∞ x(t) = 1 (descrescător). Pentru xo = 1, x(t) = 1, constant.
Reținem că pentru t > 0, avem x(t) > 0 (în ipoteza că xo > 0).
Să alegem acum un pas h, cu 0 < h < 1 și cu nodurile tn = nh (n ≥ 0). Avem x ′(tn) =
= x(tn) – x(tn)2 și notând x(tn) = xn, rezultă cu aproximație relația de recurență
hx xn n−+1= xn – 2
nx deci x n+1 = x n + hxn (1–xn) pentru n ≥ 0. Se produce astfel un șir
(xn), n ≥ 0 și apar 4 cazuri:
a) 0 < xo < 1; în acest caz, șirul ( xn) este crescător spre 1;
b) 1 < xo < h1; șirul ( xn) este descrescător spre 1;
c) h1 < xo < 1 + h1; în acest caz, x1 ∈ (0, 1) și x2 < x3 < … < 1 crescător spre 1;
d) xo > 1 + h1 și atunci xn < 0 pentru orice n ≥ 1.
Dacă în cazurile a), b) se reproduce cazul continual (pentru xo > h1, schema nu
i nteresează).
Pentru h > 1, notând yn =1nhx
h+, se obține relația yn + 1 = (1 + h) . yn(1 – yn) și yo = 0
1hx
h+.
Regăsim aplicația lui Feigenbaum, cu λ = 1 + h; am văzut că pentru diverse alegeri
ale lui λ și xo, se obțin soluții cu comportări haotice, atractori, rejectori etc. Toate
refl ectând fenomenul de sensibilitate la modifi carea condițiilor inițiale, în cadrul
determinist (nealeator). Așadar, computerul este o unealtă intelectuală teribilă, dar fi nitistă în esența lui, rămânând matematicii să studieze provocările jocului cu
infi nitul.
BIBLIOGRAFIE
1. – Revista Kvant (1983 – 1986).
2. V . Bobancu – Caleidoscop matematic , Fair Partners, 2008.
3. J. Dieudonné – Th e music of reason , Springer Verlag, 1983.
4. A. V . Leonte, C. P . Niculescu – Culegere de probleme , Scrisul românesc, 1981.
5. Gh. Păun – Matematica! Un spectacol! , Ed. Științifi că și Enciclopedică, 1988.
6. C-tin Vraciu, Mariana Vraciu – Elemente de Aritmetică , Ed. ALL, 1998.

215• Problema matematicii constă în
legiferarea intuiției.
J. HADAMARD
• Fizica pune probleme serioase
matematicii și în plus, o ajută la obținerea drumului spre soluție
H. POINCARÉ
• Ceea ce este bine conceput și înțeles,
se enunță clar, iar cuvintele vin cu ușurință.
N. BOILEAU
11. EURISTICA ÎN MATEMATICĂ
Termenul „euristică” provine din cuvântul grec „heurisko” și amintește de
strigătul lui Arhimede „Eureka!” ( ≡ Am găsit), atunci când a sărit din baie, după
ce a descoperit celebrul său principiu. Legat de acest episod, profesorul Grigore
Moisil ne-a sugerat cu umor, în anii de dictatură, să ne închipuim ce s-ar fi întâmplat dacă tiranul Siracuzei l-ar fi obligat pe Arhimede să facă duș și nu l-ar fi lăsat să stea în cadă!? Astăzi, același termen este utilizat în sensul de artă a descoperirii sau invenției („ars inveniendi”). Între timp, s-au stabilit condiții necesare și nu suficiente pe care trebuie să le îndeplinească modelul unui creator de nou: atitudine față de muncă, decelarea elementelor esențiale din obiectul de studiu, capacitate de analiză
și înțelegere, norocul noutății. Este cert că simpla contemplare, în afara studiului și a unei culturi asimilate, este un model fals.
11.1. Folosirea euristicii în didactică
În acest subparagraf, vom prezenta câte va secvențe legate de dialogul profesor /
elev sau student, de analiza și stimularea actului creativ, cu ilustrarea prin exemple concrete, care pot fi folosite și extinse, toate bazate pe experiența unor maeștri în
comunicare.
Dialogul instructor / tânăr studios
În multe științe, este binecunoscut și apreciat rolul observației, al ipotezelor
inductive și al experimentelor efective sau mentale. O întrebare esențială este cea a descifrării mecanismelor descoperirilor, indiferent care, căutând odată cu rezolvarea de probleme, acele semințe fertile pe care le poartă soluțiile și care pot genera invenții ulterioare.
Pentru dascălii de matematică, este important ca, dincolo de rutina predării și
pregătirii de examene, să inducă tineretului dorința și emoția înțelegerii, cu stimularea și menținerea curiozității și cu sublinierea etapelor ajungerii la adevăr, în unul, doi

216sau mai mulți pași. Profesorii nu trebuie să se teamă să fi e înțeleși (bănuiți de lipsă
de profunzime!) și totodată, să fi e convinși că eforturile lor de comunicare vor fi
răsplătite; în fond, matematica nu este doar rigoare și după ce s-au rezolvat exerciții standard, într-un pas sau doi, în fața problemelor mai complexe, elevii trebuie ajutați să facă un salt: să înțeleagă enunțul („ce se dă, ce se cere”), eventual să-l reformuleze, să prevadă ce formule trebuie aplicate, să-și facă un plan de rezolvare etc. și în fi nal,
să-și revizuiască prezentarea în cazul unei lucrări scrise. Majoritatea problemelor, nu numai de matematică, stabilesc legături între date accesibile măsurătorilor directe și
date inaccesibile și tocmai aceasta este o sursă pentru crearea de emoție.
EXEMPLE.1) Cum putem estima înălțimea unui deal? (fi gura 11.1).
Este un exercițiu relativ banal de geometrie. De exemplu, dacă V este vârful
(vizibil) al dealului și O este observatorul (punctual), se alege un băț vertical AB de
lungime 1 m , dispus astfel încât punctele O, A, V să fi e coliniare. Dacă V ′ este
proiecția lui V pe orizontală, se constată
că lungimile OB, OV ′ sunt accesibile și
din relația
AB OB
VV OV=′′se determină VV′.
Exercițiul poate fi rezolvat chiar pe teren,
nu doar mental.
2) Dacă ne amintim bine, formula integrală a lui Cauchy și formula Gauss
(-Ostrogradski) stabilesc de asemenea legături între date accesibile și inaccesibile direct.
G. Polya spunea că în predare, orice instructor trebuie să insufl e tinerilor răspuns
la întrebările – standard de tipul: „ What, why, where, when, how” …[8]. Simțul critic și analiza retro sunt esențiale și orice învățare profi tabilă trebuie să se lase cu „luare
aminte” . Lucian Blaga spunea „Sapă, sapă, până dai de apă!” . Cu alte cuvinte, orice efort trebuie să aibă în vedere o fi nalitate și nimeni nu te poate îndemna să sapi ca un nebun.
În perioada 1955 – 1988, pe care o cunosc bine, mulți dascăli de la noi căutau
mecanismele naturale de comunicare cu elev ii sau studenții lor; existau cercuri de
studiu pe școală sau pe oraș și concursuri corecte (înainte de a deveni concursuri ale directorilor, inspectorilor sau decanilor…), existau formatori autentici, preocupați pentru logica și metodica predării sau comunicării către tinerii studioși și îi amintesc aici pe profesorii Miron Nicolescu, V . Vâlcovici, Dan Barbilian, N. Ciorănescu, G. Sudan, N. Dinculeanu, Al. Froda, S. Marcus, M. Jurchescu, Al. Lascu, A. Halanay, Ctin Bănică, I. Gh. Șabac, G. Sâmboan, D. Vaida, P . Flondor, V . Brînzănescu, M. Moroianu, E. Rusu, N. Mihăileanu, Elena Murgulescu, E. Georgescu-Buzău, Gh.D. Simionescu, T. Albu, Ctin Ottescu, L. Panaitopol, A. Ghioca, Gh. Bucur, T. Spircu, FIGURA 11.1.
Cum măsurăm VV ′.V
V’ B OA

217Al. Mironov; mai târziu, i-am remarcat pe mai tinerii Gh. Păun, I. Tomescu, R.
Gologan, M. Șabac, M. Olteanu, V . Țigoiu, Val. Prepeliță, Liliana Preoteasa, Cr. Mortici, Ana Niță, Vl. Bălan, V . Ift ode, Odeta Mălăncioiu, Gh. Budianu, D. Bușneag,
F. Colceag, M. Țena, Gh. Simion, El. Bistriceanu, Antonela Toma, N. Răbâncă, R. Bercia ș.a., dar și pe profesorii ingineri George Moisil, Radu Voinea, V . Neagoe, V . Croitoru, C. Berbente, I. Dumitrache, Cr. Giumale, Val. Breazu Tanen, Alex. Șerbănescu, D. Stanomir, M. Guran, Cr. Niculescu, S. Roșca, Dan Ștefănoiu, Dan Sachelarie, V . Păun, C. Popeea și pe mai tinerii ingineri, cu o frumoasă carieră didactică sau/și științifi că Sanda Harabagiu, Cr. Vodislav, Vlad Dabija, Suciu Dan, G.
Burstein, Florin Rădulescu ș.a. Se restabilise prestigiul Gazetei Matematice (A și B), iar cei care recomandau utilizarea euristicii în predare nu făceau din rigoare un scop în sine, ci stimulau inițierea tinerilor, cunoscând psihologia acestora; profesorii erau
invitați să nu evite limbajul colocvial, comunicarea directă și împletirea instrucției cu puterea exemplului personal. În lucrările de matematică se acorda atenție chiar și gramaticii și limbii române corecte, iar învățarea era făcută cu devoțiune, gradual, diferențiat, nehaotic. Desigur, după 1980, l ucrurile s-au degradat sistematic, Gazeta
Matematică și-a pierdut poziția, forțele țării s-au atomizat, reducându-se la câteva voievodate universitare, valorile s-au răsturnat, iar preocupările didactico-științifi ce
au lăsat locul minciunii instituționalizate despre pasiuni științifi ce colective, despre
contracte fantomatice și raportări ale unor succese inexistente.
O anumită atenție pentru teoretizarea didacticii matematicii am mai remarcat-o
în anii 1980 – 2000 la Cluj (prin profesorii I. Rus, M. Țarină, P . Mocanu, Mircea Ivan), la Iași, Timișoara ș.a., prin profesorii V . Barbu, D. Papuc, D. Gașpar, Ctin Megan, Ctin Corduneanu, F. Țiplea ș.a. Am avut, de asemenea, prilejul să întâlnesc câteva personalități ale Didacticii matematice în Basarabia, prin profesorii Dionisie Lica, P . Osmătescu, P . Soltan. Din păcate, conducerile facultăților și catedrelor pun tot mai puțin preț pe componenta didactică din dezvoltarea și aprecierea muncii dascălilor.
EXEMPLE de euristică în didactică
Îmi amintesc că profesorul meu de liceu Aurel Nicolescu nu rata ocazia unor
probleme „provocatoare” de tipul:
– Dacă avem o cutie paralelipipedică de carton cu dimensiunile a, b, c, ce
lungime trebuie să aibă un ac pentru a intra în cutie? Dar dacă ținem cont de grosimea cartonului sau facem o secțiune plană în cutie?
– Poate exista un triunghi care să aibă înălțimile de cel mult 1 cm și aria de 1 cm
2?
(Răspuns: da; considerați un triunghi isoscel cu baza foarte lungă, opusă unui unghi aproape alungit).
– Ca sursă de generalizări, ne recomanda reformularea unor proprietăți de la
triunghi la tetraedru și de la cerc la sferă. Îmi amintesc și acum cu emoție despre baricentrul G al unui segment [v1, v2] de puncte 1D, apoi al unui
triunghi {v1, v2, v3}și tetraedru 3D de vârfuri {v1, v2, v3, v4}, baricentrul
defi nit în mod unitar printr-o relație vectorială de tipul
k kGV∑JJJJG
= 0.

218- O veche „cimilitură” cerea să formăm 4 triunghiuri cu 6 bețe de chibrit sau
6 pătrate cu 12 bețe de chibrit. (Răspuns: Nu se poate în 2D, dar putem în 3D, construind un tetraedru regulat și respectiv un cub!).
Nu îl uit pe profesorul G. Sudan care preda studenților de la facultatea de
Transporturi – UPB șirurile de numere reale folosind „biluțe pe axă” și mi-a rămas modul cum prezenta criteriul general al lui Cauchy astfel: „biluțele se apropie de o biluță externă R ele se apropie între ele” . Anunța că nu aceasta este demonstrația… și
adăuga că, sub această formă euristică, criteriul se găsește la fi lozoful Platon!?
Iată alte exemple în care este implicată intuiția și pe care trebuie să le generalizăm.
– Fie un triunghi ABC , A′ – mijlocul
laturii [ BC] și M mijlocul lui [ AA′]. Fie
P intersecția dreptelor BM și AC. Să se
determine raportul AP / PC (Evrica!:
ducem A′Q |BP, cu Q ∈ [AC]; fi gura 11.2.
Atunci Q este mijlocul lui [ PC] și P este
mijlocul lui [ AQ] deci AP / PC =
1
2).
– Cum să construim, numai cu rigla
negradată și compasul, un triunghi ABC , cunoscând perimetrul și măsurile
unghiurilor? (Poanta: prelungim BC cu B′B = BC = CC′, cu B între B ′ și C; C între B și C; se
construiește mai întâi triunghiul AB ′C ′ etc.).
– Dacă f : [a, b] → R este o funcție derivabilă într-un punct c ∈ (a, b), să se
calculeze
1lim ( )nnfc f cn→∞⎡⎤⎛⎞+− ⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦.
(Răspuns: Nu se poate aplica teorema creșterilor fi nite, dar se observă că
limita respectivă se scrie 1()
lim1nfc f cn
n→∞⎛⎞+−⎜⎟⎝⎠ și așa recunoaștem că este
tocmai f ′(c) etc.
Silogismul euristic
Sursa oricărui raționament științifi c este aplicarea următoarei reguli „modus
ponens”:
Dacă implicația „A ⇒ B” și aserțiunea „A ” sunt adevărate, atunci la fel va fi
aserțiunea „B” .
Există unele variante care pot înnobila sau desfi gura acest silogism:
– Pentru a arăta că A ⇒B, găsim (cum?) C astfel încât A ⇒ C și C ⇒
B (sau C1, C2,… astfel încât A ⇒ C1, C1⇒ C2, … , Cn ⇒ B). Se spune
atunci că am realizat un lanț silogistic . FIGURA 11.2.
Triunghi cu poantă.A’ BPA
Q
CM

219- În logica aristotelică, dacă implicația A ⇒ B este adevărată și dacă B este falsă,
atunci A este falsă („reducere la absurd”). Dar dacă A ⇒ B este adevărată
și B adevărată, nu rezultă că A este adevărată (de exemplu, dacă a = b în R,
atunci a2 = b2 și reciproc, nu).
– Dacă trebuie demonstrată o afi rmație C și dacă observăm că B ⇒ C, atunci
este sufi cient de demonstrat B. Dar dacă A ⇒ B și A ⇒ C, nu se poate
deduce nicio legătură între B și C; [5], [8].
EXEMPLE
a) Să se arate că sin 1 < 7
8 și că sin 1 < ln 3.
Soluție . Avem sin 1 < sin3
32π= și este sufi cient de arătat că 37
28<. În cazul
secund îl luăm ca intermediar pe 1.
b) Să se arate 22 211 2… 112 n++ +< , pentru orice n ≥ 1 natural.
Soluție . Este difi cil de aplicat inducția. Și atunci (evrica!) este sufi cient de arătat
că (prin inducție) 22 211 1 1… 112 n n++ +< − .
c) Să se arate că 2 4 6 … 4481 3 5 … 43⋅⋅⋅ ⋅>⋅⋅⋅ ⋅.
Soluție . Se arată prin inducție că pentru orice întreg n ≥ 2,
2 4 6 … 2311 3 5 … (2 1)nnn⋅⋅⋅ ⋅>+⋅⋅⋅ ⋅ − și înlocuim n = 22.
d) Fie f : [a, b) → R cu proprietatea că pentru orice ε > 0 există Bε ∈[a, b) astfel
încât ∀ u, v ∈ [Bε, b), să avem | f(u) – f(v)| < ε. Atunci există limita
lim ( )xb
xbfx→< .
Soluție . Dacă ( xn) este un șir de puncte din [ a, b) astfel încât xn → b, atunci șirul
(f (xn)) rezultă Cauchy deci convergent (către A ∈ R). Dar avem de arătat că
limita A este independentă de șirul ales. Fie un alt șir yn → b deci f (yn) → A′ și
trebuie să arătăm că A = A′. Și (evrica!); să construim șirul „amestecat” xo, yo,x1,
y1,… ce converge către b și ca atare șirul f (xo), f (yo), f (x1), f (y1),… este convergent.
Atunci toate subșirurile sale au aceeași limită, deci A = A′. Superb!
Din toate aceste exemple, reținem că pentru a compara două numere, sau două
obiecte, poate fi productiv să construim un al treilea, comparabil cu ele! (Așa cum
sateliții au permis comunicații via satelit între două puncte oricât de depărtate de pe Pământ). Dăm alte câteva exemple în care, la un moment dat, trebuie să ne gândim la exclamația lui Arhimede.
e) Se consideră numerele reale strict pozitive x, y, z astfel încât
x
2 + y2 = 9, x2 + z2 + 2xz = 16, y2 + z2 + yz3 = 25.
Să se calculeze expresia E = 2xy + yz + xz 3.

220Soluție . Sistemul este de gradul 8 și nu se întrevede o soluție. Dar numerele 9, 16,
25 sunt pitagorice (o primă observație) și relațiile din enunț se obțin aplicând teoreme de tip Pitagora (a doua observație). Mai este un pas (evrica! în fi gura 11.3). Fie
M punctul interior (unic!?) astfel încât
m(
AMB3
) = 90o, m( BMC3
)= 150o și
m(AMC3
) = 120o și notăm AM = x , BM = y ,
CM = z . Expresia E este numeric egală cu
de 4 ori suma ariilor triunghiurilor MAB ,
MBC și MCA, deci E = 4 aria( ABC ) = 24.
f) O problemă veche (Heron) este
următoarea: Fiind date în plan două puncte A, B situate
de aceeași parte a unei drepte d, să se
determine punctul M = M
o ∈ d pentru care
suma de distanțe AM + MB este minimă
(fi gura 11.4).
Răspunsul este cunoscut: fi e B′ simetricul
lui B față de dreapta d. Atunci dreapta AB′
intersectează d în punctul Mo căutat (pentru
orice alt punct M ∈ d, avem
AM + MB = AM + MB ′ ≥ AB ′ =
= AMo + MoB ′ = AMo + MoB.
NOTĂ . Dacă d este o oglindă, B ′ este imaginea virtuală a lui A și dacă A este
un punct luminos, atunci raza refl ectată va fi MoB (căci α ≡ β) .
f ′) Această problemă permite rezolvarea unei probleme concrete importante. Să
presupunem că două localități A, B (punctuale) sunt separate
de un râu având lățimea d și că
trebuie construit un pod optim, perpendicular pe malurile (presupuse rectilinii și paralele) ale râului. Unde trebuie pus podul? (fi gura 11.5).
Soluție . Primul gând este să o
transformăm într-o problemă de Analiză; anume, introducem coordonate A(0, a), B(b, c) și podul MN cu OM = x. Atunci trebuie căutat
minimul funcției f (x) = AM + MN + NB =
22 2 2() () axd b x c d++ + − + − etc. FIGURA 11.3. O problemă rigidă.54 x
y z MA
C B3
FIGURA 11.4. Problema
lui Heron.dM o MB
B′A
β
FIGURA 11.5. Pod peste un râu.Oy
A
M
BNd

221Dar să căutăm o soluție euristică. Fără râu sau cu un pârâu foarte îngust,
considerăm direct dreapta AB. Altminteri, considerăm punctul B ′ astfel încât
BB ′ să fi e perpendicular pe maluri și BB ′ = d; unim A cu B ′ (fi gura 11.6).
Se determină M0 și N0 ca în fi gură.
Avem AM
0 + M0N0 + N0B =
= AM0 + d + M0B′ = AB′ + d
și dacă M ≠ M0, atunci
AM + NB = AM + MB ′ > AB′.
S-a obținut astfel poziția optimă a podului, fără derivate!
g) Probleme tip Steiner
O problemă clasică este: fi ind dat un triunghi ABC , să se afl e punctul interior
M pentru care suma de distanțe MA + MB + MC este minimă. Se știe că dacă
măs(
BAC3
) ≥ 120o, răspunsul este M = A; altminteri, este punctul lui Torricelli
(intersecția arcelor capabile de 120o construite pe laturile triunghiului).
Generalizarea este următoarea: fi ind date n localități (asimilate cu puncte în
plan), să se determine o rețea de canalizare de lungime totală minimă, care să unească toate acele localități. Se cunosc doar soluții în cazuri particulare. De exemplu, să presupunem că n = 4 și că localitățile sunt vârfurile unui pătrat cu latura de lungime
a (fi gura 11.7,a)). Există mai multe posibilități: fi g. 11.7,b), cu lungimea 3 a, sau fi g.
11.7.c), cu lungimea a + a
5. Optimul este cel indicat în fi g. 11.7,d) cu lungimea
totală a + a 3 (unde AE ≡ EB, CF ≡ CD și măs( ABE3
) = măs( FCD3
) = 30o.
FIGURA 11.7. O problemă tip Steiner ( n = 4). AA AA
E
F
DD D DBBB B
C
a) b) c) d)CCC
11.2. Euristică, logică și inteligență artifi cială
Dacă Euristica este arta/știința desco peririlor, Logica este arta/știința
raționamentelor, a relațiilor dintre aserțiuni și a inferențelor ( ≡ deducțiilor). Ar fi
ideal ca Euristica să fi e preluată de Logică, dar este prea devreme.
Abordarea euristică
În știință, există multe situații când însăși căutarea adevărului și îndrăzneala
cercetătorilor sunt la fel de importante pentru cunoaștere și comparabile cu fi nalizarea MA
M0
N0
BB′
Nd
FIGURA 11.6. Podul optimal MoNo.

222de succes. Alternarea deducției logice în spirală, cu progrese și reveniri, cu testări
empirice ale rezultatului, în cadrul unui mode l, reprezintă o metodă mereu proaspătă
de cercetare. Dar există domenii în care abordarea euristică a problemelor, cu evaluări intermediare și fără a avea garanția succesului fi nal, reprezintă singura posibilitate;
vom da câteva exemple în acest sens. În orice caz, drumul cunoașterii nu este doar cel al atingerii unor piscuri, ci și acela al dep ășirii unor altitudini, al contemplării unor
priveliști și poate al descoperirii altor aspecte ale realității. Construcția unei structuri de cunoaștere din premise insufi ciente, pe care le putem susține doar intuitiv, fără
argumente de logică rigidă, reprezintă o resursă de netăgăduit.
EXEMPLE1) Euristica și problema comis-voiajorului [5]
Un comisvoiajor trebuie să viziteze n orașe, trecând câte o dată prin fi ecare și
revenind în orașul de plecare. El trebuie să minimizeze durata călătoriei (lungimea
totală sau costul total). Dacă numărul de orașe este mic, problema este simplă. Dar dacă are de parcurs 100 de orașe, apar difi cultăți chiar și pentru computerele
puternice și este esențială utilizarea unor algoritmi euristici (de exemplu, algoritmi
genetici), care reduc timpul de obținere a soluției, chiar dacă aceasta nu este cea optimă. Așadar, avem n! șiruri de forma x
1 x2… xn (orașele xk fi ind în număr
de n). Dar există 2 n circuite identice și ca atare, spațiul de căutare a soluției are
!1
22n
n=(n – 1)! elemente [De exemplu, pentru n = 10 avem circa 1,8 milioane de
drumuri de comparat]. Pentru fi ecare contur – candidat 1…
n kkxx se formează o
funcție de cost f (x1,…,xn) = , , pq pqc∑ , unde cp q este „distanța” dintre
pkx și qkx, dar
este practic imposibilă o soluție riguroasă pentru a determina minimul lui f. Totuși
s-a stabilit o formulă euristică: Dacă orașele sunt repartizate aleator dar uniform într-
un dreptunghi, de arie A [km2], care conține orașele respective, atunci drumul optim
are lungimea L 3
4nA ≅ [km].
Computerele puternice și noile tehnologii informatice au mărit enorm viteza
de calcul, dar nu au stopat interesul pentru căutarea de soluții ale unor probleme complexe de meteorologie, fi nanțe, rețele mari de consum sau comunicație, alocări
de resurse, probleme neliniare de transport sau din domeniul militar. Exemplul
problemei comis – voiajorului arată că spațiul de căutare a soluției poate fi imens și
numai observațiile euristice îl pot face accesibil.
2) Detecția virușilor
În descoperirea de antiviruși, se consideră că numai algoritmii euristici pot fi
utilizați pentru a obține rezultate rezonabile. Se spune că detectarea virușilor este o „știință inexactă” , deoarece determinarea faptului că un program este virusat este de nerezolvat, fi ind imposibil de elaborat un program antivirus universal. Există sute de
mii de viruși pe computere și apar mereu alții, existând un câmp de luptă între tabere care nu ar trebui să se afl e în opoziție. Dar cum să te lupți cu frustrații?!

223Avem un model preexistent, cel legat de prinderea unui criminal; anume,
criminalistul merge la locul crimei, caută amprente digitale, le compară cu cele afl ate în
baza lui de date, caută fi șa criminalului, îl localizează etc. Din păcate, mulți infractori
nu au fost amprentați și trebuie aplicată altă metodă; de exemplu, sunt urmărite persoane bănuite, restrângând spațiul de căutare etc. Un programator antivirus ar putea proceda similar criminalistului și atâta timp cât un program antivirus scanează un fi șier executabil, programatorul cercetează st ructura globală a programului, logica de
programare, instrucțiunile și datele din fi șiere etc. Apoi el face o evaluare a similitudinii
dintre programul studiat și unul infestat cu vreun virus. Deși metoda nu este infailibilă, s-a ajuns totuși la o rată de detectare a virușilor de 80 %. Cel mai mare succes l-a avut detectarea în fi șiere și înregistrări înainte ca acestea să fi fost rulate.
Euristica și inteligența artificială (I.A.)
Un scop nemărturisit al I.A. este cel de „mecanizare” a diverselor procese
cognitive. Descartes vorbea de substanț a noastră mentală care ne acompaniază
corpul, substanța noastră fi zică. Mecanica a reușit să studieze mișcarea corpurilor
(inerția, forțele de interacție etc.), dar nu încă mișcarea minții și nu putem prevedea limitele raționalității. I. A. și-a propus construirea de programe pentru computere și roboți care pot prelua sarcini umane – învățare, organizare, raționament critic, adaptare la mediu, rezolvare de probleme etc. O defi niție sintetică este următoarea:
ROBOTUL ESTE UN COMPUTER CU TERMINALE MECANICEProcesul respectiv de construire a unei comportări inteligente și intuiții
productive nu este unul biologic evoluționar. Să nu uităm că de la o operație pe secundă în 1930, un computer a ajuns în 1990 la 10
7 operații / s și acum, s-au depășit
1012. Există probleme complexe pentru care aceste succese, precum creșterea vitezei de
a raționa sau a volumului de date procesate sau stocate nu sunt de ajuns. Am amintit de problema comis-voiajorului sau a detectării de viruși informatici, dar există alte probleme mari, precum cea a deciziilor economice globale sau a controlului acțiunilor militare sau de spionaj, unde sunt necesare inspirații raționale sau percepții divine,
nemecanizate sau nestandardizate, pe care le numim „euristici” . Desigur, de mare ajutor sunt sistemele de Recunoașterea fo rmelor vizuale sau Recunoașterea vocii,
dar trebuie depășită prelucrarea de simboluri prin procedeele algoritmice actuale. R. Penrose se întreba dacă există gândire în afara unor structuri fi zice, asociind
conștiința noastră cu „soft ”–ul și trupul nostru fi zic cu „hard”–ul. Tot el vorbește de
calculatoare cuantice, care nu sunt mașini de tip Turing, bazate pe sisteme formale, ci mai degrabă pe modul de operare a creierului uman prin rețele neurale și tehnici conexioniste. De exemplu, o cuantă de lumină ajunsă pe retină este sufi cientă pentru
o percepție, iar procesarea de date în creier nu depinde de starea cuantică a fi ecărei
molecule sau de conexiunile dintre neuroni. Mașinile actuale au început să treacă testul lui Turing, simulează inteligența (nu și pasiunea!) și pot să mintă (ceea ce este mai simplu, atâta timp cât adevărul este unic. De exemplu este mult mai simplu să obții zero rezultate exacte decât 13 la Pronosport!)

224Un domeniu important al Euristicii îl reprezintă studiul conexionismului, al
interacției părților diverselor sisteme, fără a recurge la descrieri formale. De exemplu, un uliu prinde o pasăre fără să cunoască ec uații diferențiale sau legile căderii libere,
ci prin elemente perceptive. Prin imitarea naturii sau a experienței unor personalități de succes s-au creat diverse sisteme –expert, Computing Algebra, învățare automată, demonstrare de teoreme, traducere automată (unde s-a ajuns la erori sub 10 % la traduceri engleză/chineză și sub 3 % la engleză / germană!). Istoria omenirii este plină de exemple de depășire a condiției curente: în „Iliada” , Homer descria automate pentru transportul zeilor, Heron a anticipat mașinile cu abur, Leonardo da Vinci descria zborul uman și Descartes vorbea de androizi. Mai târziu, Leibniz, Boole, Gödel, Turing credea în algoritmizarea proceselor cognitive. Iar acum, se vorbește de calculul cuantic, care nu mai apare ca un mister pentru matematicieni sau neurofi ziologi. Se va ajunge la crearea unor mașini mai inteligente decât oricare dintre
noi, la mașini care pot crea în lanț mașini „mai bune” , ajungând la ultima invenție de care aveam nevoie – mașini care să ia inițiative, până la exterminarea creatorilor lor (de tipul „morcovului care se mănâncă pe sine”!). Probabil că s-ar ajunge la o singularitate cuantică, un tip de explozie a I. A. și deopotrivă a euristicii.
Deocamdată, trebuie să ne mulțumim cu mașini având baze de cunoaștere
specializate, adaptate tuturor domenii lor – diagnoză, învățare, economie și fi nanțe.
Logica nuanțată („fuzzy”) și euristica
În rezolvarea unor probleme, ca și în demonstrarea unor teoreme, metoda
standard constă în a descoperi lanțul corect de silogisme care leagă datele inițiale de soluție sau demonstrație; metoda euristică încearcă să construiască mai modest, un sistem de reguli pentru simplifi carea căutării.
EXEMPLE
Să considerăm formula logică
(A ∧ B) ⇒ C) ⇒
()CA B⇒∧ .
Metoda standard de a verifi ca valabilitatea ei este cea a tabelului de adevăr cu
8 linii (pentru tripletele de valori binare de adevăr pentru cele trei variabile). Dar aceasta nu este o euristică! Se poate proceda și altfel: presupunem că
formula nu este validă. Dacă membrul drept ar fi fals (de tipul 1 ⇒ 0), atunci
aserțiunea C ar fi falsă și A ∧ B adevărată și atunci implicația stângă ar fi
falsă. Astfel, demonstrația s-a simplifi cat sensibil.
În logica booleană, implicația A ⇒ B revine la inegalitatea v(A) ≤ v(B), unde „ v”
este valoarea de adevăr.
În logica nuanțată, se notează cu μ(A) = gradul de adevăr ( ≡ certitudine)
a lui A, cu μ(A) ∈ [0, 1], iar inegalitatea μ(A) ≤ μ(B) devine implicația
A ⇒ B. Abordarea euristică nu asigură creșterea abilității de rezolvare a problemelor,
iar logica nuanțată are resurse de utiliza re în controlul euristicii și reprezentarea
cunoașterii. În locul celor două extreme 0, 1 pentru valorile de adevăr, se admit grade intermediare de certitudine, cuprinse între 0 și 1.

225Pentru aserțiuni A și B, se defi nesc
μ(A ∧ B) = min( μ(A), μ(B)), μ(A ∨ B) = max( μ(A), μ(B)) și μ(A) = 1 – μ (A).
Dacă μ (A) = μ (B), se consideră că aserțiunile A, B sunt echivalente.
Acceptând sistemul formal astfel defi nit, are loc următoarea
TEOREMA (Ch. Elkan).
Dacă AB∧ și B ∨ ()AB∧ sunt logic echivalente, atunci fi e μ(B) = μ(A), fi e μ(B)
= 1 – μ(A).
[În logica booleană, ambele aserțiuni sunt echivalente cu A ⇒ B.]
Demonstrație . Așadar, μ( BA∧) = μ(B ∨ ()AB∧ ).
Membrul stâng este egal cu 1 – min( μ(A), 1 – μ(B)) = 1 + max( −μ(A), − 1 +
+ μ(B)) = max (1 − μ(A), μ(B)), iar membrul drept este egal cu
max( μ(B), min(1 – μ(A), 1 – μ(B)). Dacă μ(B) < 1 – μ(B) < 1 – μ(A), adică μ(B) <
1 − μ(B) și μ(A) < μ(B), sau echivalent, μ(A) < μ(B) < 1
2, atunci cei doi membri sunt
diferiți. Dar să observăm că aserțiunile din enunț sunt reformulări ale implicației
materiale A ⇒ B („if then”). Se consideră atunci celelalte 7 implicații posibile ( A⇒
B, A ⇒ B,… ,etc. BA⇒ ) și cu același raționament ca mai sus, niciuna nu poate fi
adevărată.
Fie acum x = min( μ(A), 1 – μ(A)) și y = min( μ(B), 1 – μ(B)) deci x ≤ 1
2, y ≤ 1
2
deci dacă x ≠ y , atunci una din cele 8 inegalități va fi satisfăcută, deci μ(B) = μ(A) sau
μ(B) = 1 – μ(A).
În descrierile intuitive, logica nuanțată nu acceptă legea terțiului exclus. Deci
despre unele aserțiuni nu se poate decide dacă ele sau negațiile lor sunt adevărate, existând diverse tipuri de incertitudine sau ignoranță. Teorema anterioară arată că în logica nuanțată, dacă se atribuie mai mult de două valori de adevăr unor aserțiuni dintr-un lanț de inferențe, se poate ajunge la concluzii inconsistente. Gradul de incertitudine al unei conjuncții nu este bi ne determinat de incertitudinea termenilor.
EXEMPLUPresupunem că
strugure bun ⇒ strugure copt ∧ strugure Hamburg
Dacă μ(strugure copt) = 0,6 și μ(Hamburg) = 0,8, atunci
μ(strugure bun) = min(0,6; 0,8) = 0,6.
În cazul înlocuirii măsurii „ μ” cu o măsură de probabilitate „P” , avem
P(A) + P( B) – 1 ≤ P(A ∧ B) ≤ min(P( A), P(B)),
deci P( A ∧ B) este situat între 0,4 și 0,6.
Regula „if then” își are limitele ei și sunt necesare noi precizări și interacționări
cu alte procese cognitive. Teorema anterioară indică una din difi cultățile întâlnite
în I.A. și în mecanismele de învățare, unde se poate pierde încrederea în rezultatele concluzive.

22611.3. Exemple de cercetare euristică în matematică / informatică
Până acum am dat exemple relativ simple legate de aplicarea metodei euristice
în predare sau în inițierea tinerilor în cercetare. La o analiză atentă, majoritatea conceptelor fundamentale ale matematicii – fi nitudine, mărginire, cardinalitate,
ordonare, măsură, probabilitate, jocul cu infi nitul, structurile algebrice, introducerea
diverselor spații etc. au avut o bază intuitivă , o lămurire „prin aproximații succesive”
și transfer între diverse insule de adevăr. Exemplifi căm cele spuse, întârziind puțin
asupra conceptului de dimensiune .
Pentru spații vectoriale (peste un corp comutativ fi xat), noțiunea de dimensiune
are acum un sens bine determinat: este numărul maxim de vectori liniar independenți. Curbele care au tangentă în fi ecare punct sunt 1 – dimensionale, iar suprafețele având
plan tangent sunt 2D; mai general, varietăți le diferențiale au dimensiunea egală cu cea
a spațiului lor tangent. Dar până a se ajunge aici, dimensiunea unui obiect geometric Ω era numărul de condiții necesare și sufi ciente pentru a preciza poziția unui punct
din Ω; în Mecanică, dimensiunea era privită ca „numărul gradelor de libertate” . Astfel,
pentru a fi xa un punct pe o curbă este necesar și sufi cient de fi xat un singur număr
– abscisa curbilinie relativ la un punct de reper și de aceea, curbele sunt 1D; în mod similar, suprafețele au două grade de libertate. Pentru a fi xa o dreaptă în spațiu sunt
necesare 5 numere (un punct și un versor director); așadar mulțimea Ω a dreptelor are
5 grade de libertate și o dreaptă poate fi privită ca un punct din R
5. Similar, a fi xa un
solid în spațiu revine la a fi xa o dreaptă trecând prin centrul lui de masă și a lăsa solidul
să se rotească în jurul acestei drepte cu un anumit unghi; ca atare, solidele au 6 grade de libertate și orice solid poate fi considerat ca un punct în R
6. Acest punct de vedere l-au
avut Plücker, Cayley și Grassmann în defi nirea
matematică a conceptului de dimensiune. Acum acceptăm și dimensiuni fracționare (fractale), dar aici intuiția a fost excedată! Dăm acum câteva exemple istorice consistente de manifestare a euristicii.
a) Arhimede și volumul sferei
Am ilustrat în 3.5 modul cum Arhimede
a intuit „lema cleștelui” , devansând sumele Riemann. Democrit obținuse formulele pentru
volumul conului
2
3RI⎛⎞π
⎜⎟
⎝⎠ și al cilindrului
circular drept ( πR2I). Dar nu se știa formula
pentru volumul sferei. Între timp, Arhimede descoperise condițiile de echilibru al corpurilor și mai ales „legea pârghiei” și iată ce bijuterie
ne-a transmis; [8].450C (2a, 2a)Q
A(C)
B
C’OM
D’NPDy
x
FIGURA 11.8. Cercul (C) cu centrul
A (a, 0) și rază a.

227Cu notațiile de azi, considerăm cercul (C) cu centrul în A, de rază a (a > 0) și
sistemul ortonormal de axe xOy din fi gura 11.8.
Ecuația cercului (C) este x2 + y2 – 2ax = 0. Fie M punctul de abscisă OM = x .
Paralela prin M la axa Oy intersectează dreapta OC, cercul (C) și dreapta CD respectiv
în punctele N, P, Q. Evident, MN = x , PM = y (x2 + y2 = 2ax) și MQ = 2a. Rotim fi gura
în jurul axei Ox și obținem o sferă, un con și un cilindru. Sfera are diametrul OB,
conul și cilindrul au aceeași bază (cerc de rază 2 a) și aceeași înălțime ( OB = 2a), conul
având vârful în O (fi gura 11.9).
y
D C
(C)
x
B
C’D’V
V1xxH (–2a, 0)
yO M123
NPQ
FIGURA 11.9. Soluția matematico – mecanică a lui Arhimede.
Iată cum a procedat inginerul matematician Arhimede. A lăsat discul 3 pe loc și
în punctul H(− 2a, 0) a suspendat cu ajutorul unor fi re, discurile 2 și 1 , asimilând axa
Ox cu o bară rigidă / pârghie de masă neglijabilă și punctul O ca punct de reazem. Din
relația x2 + y2 − 2ax = 0, rezultă direct 2 a(πx2 + πy2) = πx(2a)2. Această relație arată că
suma momentelor celor două discuri este egală cu momentul discului 3 deci pârghia se
afl ă în echilibru. Dacă x variază de la 0 la 2 a, atunci se obțin toate secțiunile transversale
ale cilindrului (care „umplu” cilindrul). Cele două secțiuni ale corpurilor suspendate
vor umple sfera și conul deci momentele lor globale vor rezulta egale.
Notând cu V1 = volumul conului, V2 = volumul cilindrului și V3 = volumul sferei,
rezultă 2 a(V + V1) = 2 a.V2 deci V + 2
2 4243aaaaπ⋅ ⋅=π ⋅ ⋅ , de unde V = 34
3aπ. Ce
euristică genială!
Iată cuvintele premonitorii ale lui Arhim ede:”Sunt convins că această metodă va
aduce mare folos matematicii și cei nenăscuți vor putea găsi alte teoreme care mie nu mi-au venit în gând!” . S-a întâmplat să treacă 1800 de ani…2

228b) Principiul lui Arhimede
Legenda spune că regele Siracuzei i-a cerut lui Arhimede să-i confi rme că
are coroana sa din aur. Cu această ocazie, al a descoperit (Evrica!) mecanismul plutirii și zborului unor corpuri grele. Această descoperire ne uimește și acum. Asupra oricărui obiect afl at în aer sau apă, sau în orice alt fl uid, se exercită
o forță ascensională (numită forță arhimedică ) F
a, care contrabalansează
greutatea obiectului. Această forță există datorită faptului că presiunea într-un fl uid variază cu adâncimea sau înălțimea [anume, să considerăm un
„paralelipiped dreptunghic” orizontal cu aria b azei A, înălțimea h, masa m și
densitatea ρ; greutatea este G = m g și presiunea asupra lui este
p =G
A = m ∙ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
Ag= ρ ∙ A ∙ h ∙ g
A⎛⎞
⎜⎟⎝⎠= ρgh.
De exemplu, la 10 m sub nivelul mării, presiunea este
p = 1000 [kg / m3] × 9,81 [N / kg] × 10 [m] =
= 98100 [N / m2] ≅ 105 Pa = 1 bar; la 30 m
adâncime, presiunea este de circa 3 bari]. Să considerăm un cub solid K imersat în apă, cu aria
bazei A și situat într-o coloană verticală (fi gura
11.10).
Presiunea pe baza 2 este strict mai mare
decât presiunea pe baza 1 și conform lui Pascal,
forțele care apasă pe bazele respective sunt F
1 = p1 ∙ A = ρgh1 ∙ A și F2 = p2 ∙ A = ρgh2 ∙ A.
Deoarece h2 > h1 , fl uidul împinge corpul K în sus cu forța
Fa = F2 – F1 = ρg(h2 – h1) . A = ρgV ,
unde V = (h2 – h1). A este volumul de apă dislocuit de corp.
Deoarece ρ ∙V = m (masa corpului), rezultă Fa = m ∙ g, adică: „Forța ascensională
a unui corp scufundat este egală cu greutate a volumului dislocat de acel corp” . Acesta
este principiul lui Arhimede , care se extinde la orice corp solid, imersat în orice fl uid
(lichid sau gaz). Forța ascensională este cea care face ca vapoarele să plutească deși conțin mult oțel, sau cea care ridică baloanele în văzduh. Partea submersă a unui corp dislocă atâta apă încât greutatea apei dislocuite să fi e egală cu cea a corpului afl at în
aer. Corpul se scufundă complet dacă are greutatea mai mare ca forța ascensională (adică densitatea lui depășește pe cea a fl uidului). Plutirea este asigurată de condiția
ca greutatea apei dislocuite să egaleze forța de gravitate care acționează asupra vapoarelor, cu încărcătura lor cu tot.
EXEMPLE 1) Un petrolier cu greutatea de 10
5 kN dislocuiește un volum de apă V astfel
încât 108 = 103 × V × 9,8 deci V ≅ 104 m3. Apoi ρaer = 1,29 [kg / m3] deci 1 m3
aer are 1,29 kg și greutatea lui este 1,29 × 9,8 ≅ 12,6 N. Similar, 1 m3 Heliu h1
h21
K
2F1
F2
FIGURA 11.10. Cub imersat în apă.

229cântărește 1,8 N deci un balon cu heliu cu volumul 1 m3 poate ridica o
încărcătură de 12,6 – 1,8 = 10,8 N.
2) Iată cum a rezolvat Arhimede problema coroanei, pe care a pus-o într-un
vas cu apă și a dedus greutatea Fa a volumului de apă dislocuit: din formula
Fa = ρ . g ∙ V a dedus densitatea materialului din care era făcută coroana și a
comparat-o cu densitatea aurului.
c) Butoaiele și Kepler
Șvabul Johannes Kepler își are celebritat ea prin cele trei legi privind mișcarea
planetelor, a căror descoperire conține multe elemente euristice, la care a contribuit astronomul danez Tycho Brahe; dar și pr intr-o formulă euristică, desigur aproximativă,
de calcul al volumelor butoaielor de rotație, cu înălțimea I, ariile bazelor A
1, A2 și aria
secțiunii mediane Am; anume
V
6I≅(A1 + A2 + 4Am).
Această formulă este chiar exactă pentru sferă, cilindru și trunchi de con.Dar tot
Kepler își amintea de un tânăr care estima capacitatea butoaielor de vin cu mare viteză, fără să apeleze la turnări succesive în vase cu capacități prescrise. Tânărul introducea capătul unei bare de cupru printr-un orifi ciu central al butoiului (cilindric) plin, de-a
curmezișul, până la „călcâiul” fundului de lemn și punea un semn pe bară pe care numai el știa să-l interpreteze!
d) Brahistocrona lui Bernoulli
În 1696, J. Bernoulli a formulat următoarea problemă: Fie A, B două puncte
nesituate pe aceeași verticală, B fi ind mai jos; să se determine curba ce unește A și B
în lungul căreia un mobil ce pornește din A ajunge în B în timp minim, sub acțiunea
gravitației și omițând frecarea (fi gura 11.11).
Alegând reperul ortonormal xAy ca în fi gură, trebuie
determinată funcția y = y (x), presupusă de clasă C
[a, b]2 astfel
încât y(0) = 0, y(a) = b, cu condiția de minim („brahisto”
= cel mai scurt, în grec.). Dar dacă un mobil se afl ă în
punctul curent M(x, y(x)) și are viteza v, atunci v2 = 2g y.
Fizicianul olandez Huygens a găsit soluția, aplicând legea lui Snellius
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=constant,sincvâβ.
Avem y′ = tg α (α = panta în M a tangentei MT la
curba (C)) deci
sin2 β = c2 ∙ v2 = c2 ∙ 2gy. Notând p = yc.21
2, rezultă y = p ∙ sin2 β = p ∙ cos2α. (C)
B (a, b)
T
yx A (o, o)
M
β
FIGURA 11.11.
Brahistocrona (C).

230Luând α ca parametru, din relația y ′ = tg α , rezultă
dx = d( 2 c o s s i n d
tg tgyp ) ⋅− α ⋅ α α=αα – 2pcos2 α . dα.
Am obținut astfel ecuațiile parametrice ale curbei (C); anume, x = − p
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ α+α22sin + k, y = p . cos2 α. Recunoaștem o cicloidă!
NOTĂ . Această problemă a generat multe alte dezvoltări. De exemplu, relația
v2 = 2g y devine d2dsgyt= , deci d t = d
2s
gy și cum d s = 2)( 1 xy′+ dx,
(„elementul de arc”), se obține d t = 2
01 1d
2a yxy g′+∫
∙ dx. Ca atare,
timpul în care mobilul ajunge din A în B în lungul curbei y = y (x) este
τ =2
01 1d
2a yxy g′+∫.
Acesta a fost începutul Calculului variațional, rezvoltat de Euler și Lagrange, care
au obținut ecuația diferențială care le poartă numele, verifi cată de curbele care fac
minimă sau maximă o funcțională integrală de tipul
I(y(x)) =
b
a∫f(x, y(x), y′(x))dx;
anume ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
′∂∂−∂∂
yf
x yf
dd= 0 etc. S-au obținut diverse extinderi ale acestei
ecuații, interpretări fi zice, s-a elaborat Mecanica hamiltoniană și în secolul 20, s-a
dezvoltat teoria controlului optimal. Și totul a plecat de la o problemă nevinovată, a brahistocronei, care acum se mai numește, spre neuitare, „problema derdelușului” .
Facem un salt și prezentăm două alte euristici de geniu.
e) Ipoteza lui Riemann
Fie p
1 < p2 <… < pr <… șirul infi nit al numerelor prime (2, 3, 5, 7,…) Euler a arătat
că pentru orice s > 1 real produsul infi nit
11 1
1211 11 1 … 1 …ss s
r pp p−− −⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞−− −⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
este convergent și are valoarea egală cu suma seriei convergente
1 + …1…31
21+ ++ +s s sn; [6].
Aceasta este seria armonică generalizată. După mai puțin de 100 de ani,
Riemann a introdus funcția complexă ζ („zeta”), defi nită pentru s ∈ C, astfel:
ζ(s) = 1 + …1…31
21+ ++ +s s sn

231Aceasta apare în mai multe probleme de Teoria numerelor (de exemplu, în
distribuția numerelor prime, atât de evocată acum în Criptografi e). Prin multe
„tatonări euristice” , Riemann a lansat următoarea conjectură: toate soluțiile nebanale
ale ecuației ζ(s) = 0 sunt situate pe dreapta verticală Re s = 21; se știe că ζ(s) ≠ 0
pentru Re s > 1; [6]. Cu computerele moderne, s-au testat primele câteva milioane de
zerouri și este așa cum a prezis Riemann! Se scriu deja lucrări care folosesc conjectura respectivă ca pe o teoremă. În ultimul timp, fi zicienii au regăsit ecuația ζ(s) = 0 în
unele descrieri din Teoria câmpului cuantic.
Se spune că puțin înainte de a muri, la 40 de ani, Riemann lucra tocmai la
conjectura privind funcția ζ și se declara optimist. Dar femeia care făcea curățenie
i-a distrus niște foi scrise, pe care nu le-a mai putut recupera și asta i-ar fi grăbit
sfârșitul…
f) Euristica lui Cebâșev
Iată o întrebare fi rească: Luând la întâmplare o fracție rațională
nm, care este
probabilitatea ca ea să fi e ireductibilă ?
Problema trebuie precizată…Nu alegem toate fracțiile ci doar pe cele pentru care
m ≤ N; n ≤ N, cu N fi xat. Estimăm numărul f (N) al fracțiilor ireductibile și apoi facem
N → ∞ . Numărul total este N2 și avem de calculat 2)(limNNf
N∞→ .
Să presupunem că N = 100. Din cele N2 = 10000, 50 × 50 se simplifi că prin 2,
adică o pătrime, deci ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−2211 dintre cele N2 nu se simplifi că prin 2; similar, prin 3
nu se simplifi că ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−2311 din cele N2 etc. și ca atare, numărul acelor fracții care nu
se simplifi că prin nici un număr prim este M = ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛− ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−2 2 211…311211p …, iar
numărul fracțiilor ireductibile nm
cu m, n ≤ N este N2. M.
Cebâșev a arătat apoi riguros că probabilitatea cerută este egală cu M și a mers
mai departe: avem
M1= 1
21
21
211…311211− − −
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛− ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛− ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−p …
Pe de altă parte,
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
π− ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
π−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
π−≅2 22
2 22
22
1…21 1sin
nx x x
xx… ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+π++π+π−≅ …1…41 112 2 2 2 22
nx ;
ca atare, 6)2( …1…31
2111
2 2 2π= ζ=+ ++ + +=n M și în fi nal, probabilitatea cerută
este 26
π.

232O altă problemă veche, pe care Cebâșev a rezolvat-o impecabil folosind Analiza
matematică, a fost următoarea conjectură a lui Bertrand: Pentru orice întreg n ≥ 2,
între n și 2n se afl ă cel puțin un număr prim . El a avut următorul plan: pentru a arăta
că în intervalul [ n, 2n] se afl ă numere prime, avem de căutat o funcție f care să-și
păstreze semnul pe intervalul dintre două numere prime vecine și să ia o valoare mai mare la trecerea printr-un număr prim; apoi trebuie estimată viteza de creștere a lui f.
Fie π(x) = numărul numerelor prime ≤ x (de exemplu, π(1) = 0, π(3) = 2 și
π(9,72) = 4 etc). Este atunci sufi cient de arătat că π(2x) − π(x) > 0 etc. A obținut acest
fapt și a pregătiri terenul pentru teorema lui Gauss – du Bois Raymond ( π(x) ∼
lnx
x,
în sensul că ()lim(/ l n)xx
xx→∞π= 1); de exemplu, π (1000) = 168 cu exactitate și cu
formula asimptotică, se obține π(1000) ≅1000
ln1000 ≅144,76. O demonstrație se
găsește în [6].
g) Euristica lui ShanonAceasta a fost prezentată în 9.1 și nu o vom relua. Reținem că defi niția cantității
de informație I(p), existente într-un eveniment care se realizează cu probabilitaea p ,
a fost propusă prin argumente intuistic/euristice, iar entropia s-a dovedit un concept consistent, confi rmat prin dezvoltările teoretice și aplicațiile impresionante. Din
acel moment, s-a constituit Teoria informației, împletită cu practica sistemelor de telecomunicații și cu Informatica teoretică.
Subiectul metodelor euristice în Matemati că este inepuizabil și ne-am limitat la
marcarea câtorva momente semnifi cative. În ultimul timp, s-au creat câteva domenii
noi de cercetare, la frontiera dintre Matematică, Ingineria sistemelor și Informatica teoretică–studiul rețelelor neurale, intelig ența computațională, algoritmii genetici
etc., toate legate direct de prezența unor elemente de Euristică.
11.4. Exemple de cercetare euristică în alte științe
Apropierea metodelor inginerești de studiu și proiectare de Euristică are o istorie
relativ recentă. Se poate afi rma că majoritatea succeselor Fizicii au avut la bază intuiții
geniale și „explozii” în cunoaștere, care nu au putut fi planifi cate și care sunt datorate
unor monștri sacri. Putem încerca cel mult să le descriem și să contribuim la crearea de condiții pentru ca astfel de „explozii” să aibă loc în continuare…
În Filozofi e și Științe sociale, termenul „euristic” este utilizat ori de câte ori există
o entitate (de exemplu un model) care permite adâncirea cunoașterii relativ la alte entități. În mod abuziv, orașele ideale, legile fanteziste sau construcțiile unor realități artifi ciale sunt asimilate cu euristică. Fără să mai vorbim de utopii sociale, de „lumi
care nu există” , sau de experimentele făcute pe mari colectivități de oameni, care nu au condus decât la stagnare economică sau socială.
În Informatică, se consideră a fi euristică orice metodă aptă să rezolve o clasă
de probleme, fără a ști dacă soluția este corectă. Am prezentat anterior scanerele

233antivirus, care utilizează elemente euristice pentru a căuta atribute și caracteristici
pentru detectarea de viruși informatici. Tot prin mijloace euristice se încearcă îmbunătățirea performanțelor computaționale, ca și căutarea simplității conceptuale. În acest sens, este impresionant modul de gândire și acțiune a celebrului Steve Jobs.
În Fizică și Inginerie, sunt clasifi cate ca euristice metodele bazate pe experiența
individuală, care reduc timpul de lucru, simplifi că evaluările și elimină difi cultățile,
cu tot riscul apariției unor greșeli și al un or costuri. Algoritmii euristici sunt adeseori
agreați pentru că operează fără suport matematic restrictiv.
Se cunoaște încercarea de a explica aposteriori etapele unor descoperiri științifi ce,
invenții tehnice sau soluții la probleme socio-economice, prin „eurigrame” , refăcând procesul de creație prin ordonarea logică sau spațio-temporală: motivație, analiză
critică, analogii, mecanisme inductiv/de ductive, model teoretic, aplicații etc. Din
acest punct de vedere, profesorul I.Moraru a analizat cu aplecare, în cartea „Strategii creative transdisciplinare” , (Ed. Academiei Române, 1992), lucrările lui Gogu Constantinescu privind sonicitatea, ale lui Bolyai și Lobacevski privind geometriile neeuclidiene, precum și descoperirea geometriilor n- dimensionale de către Riemann,
vizând intuițiile fi zice sau de predicție sau iluminările evocate de Poincaré.
Există o deosebire esențială între Euri stica utilizată în Matematică și în alte
domenii. În cazul matematicii, ea este doar o premisă și o cale de a formula conjecturi,
fără să înlocuiască demonstrația ca omologare supremă. Termenul de „teoremă” se acordă doar afi rmațiilor demonstrate riguros. În celelalte domenii, nu există
teoreme! Se tipăresc totuși reviste de specialitate (de exemplu, „Communications in Mathematical Physics”), care publică ar ticole euristice, cu linii de demonstrație
insufi cient argumentate, dar cu rezultate plauzibile și cu străpungeri în cunoaștere.
Fără a intra în detalii, amintesc câteva momente semnifi cative, care pot fi asociate
unor euristici geniale.
a) Galileo Galilei și căderea liberă a corpurilor
De mai multă vreme, oamenii își puneau întrebări de tipul: corpurile care cad
pe Pământ coboară sau nu din ce în ce mai repede?; este adevărat, așa cum spunea Aristotel, că un corp de două ori mai greu ca altul cade de două ori mai repede? etc.
A
M1
FIGURA 11.12. Plan înclinat cu α și cazul α → 2π.MtA
s(t)
900
b) a)M2M3
Mt…..

234Galilei a considerat un plan înclinat cu un unghi ascuțit de măsură α (ca în fi gura
11.12 a)) și a rostogolit o bilă afl ată în punctul A la momentul t = 0, notând cu M1,
M2, M3, … pozițiile bilei după 1, 2, 3,… secunde; el a constatat că există o constantă
k astfel încât AM1 = k, AM2 = 4k, AM3 = 9k etc., având curajul să declare că notând
s(t) = distanța AMt, are loc relația s(t) = k ∙ t2, deducând că valoarea lui k depinde de α.
Dar Galilei a mers mai departe… Anume, a asimilat căderea liberă cu cazul când
α tinde către 2π, deducând celebra sa formulă
s(t) = 2
2gt (cu g ≅ 10; de fapt, g ≅ 9,81 m/s2).
În acest mod, Galilei a arătat că o piatră lăsată să cadă liber de pe turnul din Pisa
de la înălțimea h = 80 m, ajunge la Pământ după t = 22 8 0
10h
g×= = 4 secunde,
fapt demonstrat în fața multor gură-cască. În același timp, Galilei l-a „înfruntat” pe
Aristotel, afi rmând că toate corpurile cad cu aceeași viteză, independent de greutatea
lor și că numai rezistența aerului produce diferențele; [7].
Nu putem rămâne impasibili la aceste deducții, unde intuiția, raționamentul și
experimentul au creat sublimul…
b) Momentul Newton
I. Newton este revendicat deopotrivă de matematicieni și fi zicieni. Sunt multe
de spus despre crearea Analizei matematice (împreună cu Leibniz), despre intuiția sa (nu cea cu mărul…), profunzimea observațiilor ca și despre multele sale contribuții în Mecanică, Optică, Astronomie etc. Descoperirea cauzei mișcării, a forțelor, a acțiunii la distanță, a legii atracției universale – un monument al cunoașterii, ca și legile dinamicii, toate se datorează lui Newton. În plus, Newton a introdus în Fizică și în Matematică – timpul , ca un concept nu numai fi losofi c și tot el s-a ocupat de
explicarea naturii duale a luminii (corpuscul la plecare și sosire, undă pe parcursul propagării).
Ne mulțumim aici cu a completa cele spuse anterior despre Galilei. Căderea
liberă a corpurilor este de fapt o manifestare a atracției universale. Dacă un corp A
cu masa m se afl ă la înălțimea inițială s
o = s(0) de Pământ și cade cu viteza inițală vo,
atunci după timpul t el parcurge distanța AMt = s(t) (fi gura 11.12,b). Legea a doua a
lui Newton conduce la ecuația diferențială
ms″(t) = mg , cu condițiile inițiale s(0) = so, s′(0) = vo.
Se observă că masa nu contează și că, după o simplă integrare, rezultă că
v(t) = g t + vo și s(t) = 2
2gt + vot + so.
Ca un semn de destin și continuitate a operei, Newton s-a născut în anul morții
lui Galilei și împreună, ne-au oferit un exemplu nemuritor de euristică dublată de raționament.

235c) O tripletă de aur a Științei și Culturii umane – Faraday, Maxwell, Hertz
Cultura nu înseamnă doar Istoria, Filosofi a, Literatura, Muzica, Limbi străine,
însumate vectorial. Marile creații umane și momentele de străpungere a cunoașterii
trebuie incluse în bagajul cultural al tuturor. La începutul secolului 19, Gauss a inițiat studiul acțiunilor care se transmit prin contiguitate („din aproape în aproape”), alături de acțiunea instantanee la distanță și în acest spirit, Faraday a introdus în Fizică conceptul de linie de forță (preluat și de Matematică) și de transmisie a acțiunii prin câmpuri .
Dacă
vP iQ jR k=++GGGG este un câmp de vectori în R3 (cu componente de clasă
C1), Maxwell a introdus divergența și rotorul, defi nite prin div PQRvxyz∂∂ ∂=++∂∂∂G și
rot RQ RPvijyz xz⎛⎞∂∂ ∂∂ ⎛⎞=− −− +⎜⎟ ⎜⎟∂∂ ∂∂ ⎝⎠ ⎝⎠G G G QPkxy⎛⎞∂∂− ⎜⎟∂∂⎝⎠G.
M. Faraday și J. C. Maxwell au arătat că în fi ecare punct al spațiului acționează
o pereche de câmpuri de vectori EG
(electric) și BG
(magnetic), intercondiționate în
mod legic; totodată, Faraday a descoperit fenomenul de inducție (electromagnetică),
arătând că variația în timp a câmpului magnetic produce un câmp de „vârtejuri” electrice, cu linii de câmp închise [În general, dacă
vG este un câmp de vectori,
liniile de câmp ale lui rot vG se numesc linii de vârtej pentru vG]. După ce Faraday a
transformat electricitatea în magnetism și a ambelor în mișcare de motoare, prima aplicație a inducției eletromagnetice a fost te legraful electric al lui Gauss și Weber,
perfecționat de S. Morse; mai târziu, A.G. Bell a inventat telegraful acustic, completat de Edison prin crearea microfonului cu grafi t. Așa a apărut telefonul, care transformă
sunetele (vocea) în impulsuri electrice, transmise prin cablu unui receptor, care le retransformă în sunete.
În termeni matematici, are loc relația rot
tBE∂∂μ=GG
0 și Maxwell a arătat că, în mod
dual, variația în timp a câmpului electric produce câmp magnetic (rottEB∂∂ε=GG
0 ).
Acestea sunt celebrele ecuații ale lui Maxwell , stabilite în 1864. „Împletirea” vârtejurilor
electrice și magnetice se propagă în spațiu și timp ca unde electromagnetice, cu
viteză fi nită, din aproape în aproape, desprinzându-se de centrele de acțiune de unde
proveneau. În acest mod, Faraday și Maxwell sunt făuritorii Electromagnetismului și Motoarelor electrice; [3], [7], [11].
Ca o ironie a sorții, cei doi au dispărut cu câțiva ani înainte ca Hertz să fi generat
efectiv aceste unde încrucișate, în celebrul său „oscilator de înaltă frecvență” . A contat
pregătirea matematică, dar și intuiția fi zică ale lui Hertz, conform cărora cele mai
simple variații în timp, care se întrețin „à la long” , sunt oscilațiile. Ca atare, el a avut o atenție specială asupra circuitului oscilant L – C din fi gura 11.13, unde legea a doua a
lui Kirchhoff arată că Li ′(t) +
1
C
0 0() dtit t E = ∫ ; i(0) = 0. Așadar, i ″(t) + 1
LCi(t) = 0, cu
soluția de forma i(t) = I . sin t
LC (unde I = i ′(0) . LC). Dacă se încarcă armăturile

236C L
E0i (t)
FIGURA 11.13. Circuitul
oscilant al lui Hertz.condensatorului cu sarcini electrice, acesta se descarcă prin inductorul L și produce
curent electric și un câmp magnetic. Variaț ia în timp a câmpului magnetic induce un
câmp electric care reîncarcă armăturile condensatorului, în sens invers, iar procesul se reia. O altă idee euristică l-a
condus pe Hertz la obținerea de frecvențe înalte. Perioada oscilațiilor intensității i(t) este T = 2π
LC; frecvența f =
1
T este cu atât mai înaltă cu cât produsul LC este mai mic
și aici a avut ideea utilizării unei bobine Ruhmkorff .
Nu dau detalii fi zice (pe care nici nu le stăpânesc bine).
Totodată, Hertz a măsurat cu instrumente modeste, la nivelul vremii, lungimea λ de undă și viteza de propagare
a undelor electromagnetice (de tipul i(t)), anume
v =
2 T LCλλ=
π, obținând o valoare apropiată de viteza a luminii c ≅ 3 × 105 km/s,
așa cum conjecturase Maxwell cu 15 ani înainte. Mai mult, Hertz a confi rmat celelalte
proprietăți ale undelor electromagnetice – propagarea rectilinie, refl exia și refracția
(folosind în mod inspirat proprietatea optică a parabolei); [11].
Hertz a avut o viață scurtă, dar a reușit să lase o urmă adâncă, făcând dovada
încrederii în propriile sale cunoștințe teor etice, dar și a abilităților sale practice și
elasticității în gândire.
Până la 1900, inginerii erau asimilați cu constructorii de drumuri/poduri și
mașini termice sau electrocasnice, dar după Hertz, s-a constituit un domeniu nou al ingineriei – Electronica. După puțin timp, au apărut invențiile care ne-au schimbat viața – radioul, telefonia, televiziunea, televiziunea în culori, holografi a, tomografi a,
telefoanele celulare, sistemele de telecomunicații etc., generând totodată noi profesii. Există sute de inventatori, care au înțeles în mod creator Teoria electromagnetismului și Electronica, dar meritul nepieritor revine tripletei amintite – mândrie pentru geniul uman.
d) Maxwell și teoria cinetico – moleculară
Maxwell s-a remarcat rapid ca un talent excepțional la matematică, la
Universitatea din Cambridge. În treacăt fi e zis, l-a avut profesor de Matematică pe
Stokes, care le-a propus la examen (deci contra–cronometru) o problemă difi cilă,
care avea să devină faimoasa formulă Stokes, care leagă integrala pe o porțiune de suprafață de integrala curbilinie în lungul bordului suprafeței. Doar Maxwell a dat soluția…Făcând parte dintr-o familie înst ărită, Maxwell a ales „să facă ce-i place”;
a fost cercetător independent și relativ sporadic a ținut cursuri de Astronomie și Fizică. Am amintit anterior contribuția lui Maxwell în Electromagnetism, dar în 1860 a fi nalizat încă o preocupare de vârf – Teoria dinamică a gazelor. Studiind inelele
lui Saturn și comportarea gazelor cu un număr imens de molecule având ciocniri elastice și mișcări haotice, el a arătat că din cauza ciocnirilor, moleculele nu au

237aceeași viteză, contrazicând percepția specialiștilor vremii. Dar mai mult, a stabilit
legea fundamentală a repartiției numărului de molecule având viteza cuprinsă între orice două valori date, în funcție de temperatura gazului;[3], [7]. Pe scurt, iată cum a procedat…
Se consideră un gaz ideal cu N molecule de masă m; notând cu d N numărul de
molecule cu viteze cuprinse în intervalul infi nitezimal [ x, x + dx], avem
NNd= p(x)dx,
unde p(x) este funcția de densitate a vitezei v a moleculelor (ca variabilă aleatoare).
Folosind formula barometrică ( p = po ∙ mgxkTe−, cu notații standard), Maxwell a stabilit
mai întâi modul de repartiție a moleculelor pe componenta vz a vitezei în lungul axei
Oz, exprimat prin f (vz) = A ∙ 2
zmv
zkTe−
și în fi nal, sub ipoteza independenței repartiției
pe cele trei axe, a dedus forma funcției p(x), anume
p(x) = 2 2
23/22 2 2
244
2x mx
kT amxxe ekT a− − ⎛⎞⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⎜⎟ππ⎝⎠, pentru x ≥ 0 , unde a = 2/kT m .
Măiestria matematică a lui Maxwell, combinată cu utilizarea inspirată a unor
analogii și ipoteze plauzibile, l-au condus la obținerea expresiei probabilității ca moleculele să aibă vitezele cuprinse între două limite x
1, x2 (x1 < x2), descrisă prin
integrala 2
1
() dx
xpx x∫ .
Se poate arăta că viteza medie pătratică a moleculelor este 3kTvm= .
De exemplu, pentru molecula de azot în condiții normale, ≅v 490 m/s. Ca și în cazul
Electromagnetismului, unde ideile lui Maxwell au fost confi rmate de Hertz după
6 – 7 ani de la moartea autorului, la fel și în Teoria cinetică moleculară, confi rmarea
indubitabilă s-a realizat mai târziu prin experimentul lui Stern din 1924 și cu mijloace moderne, de Miller și Kusch în 1955.
NOTĂ . Folosind legea lui Maxwell, se poate arăta că aerul atmosferic cu T =
15
oC poate fi considerat teoretic ca un amestec format din două părți,
una reprezentând 61 % din masă cu temperatura medie de – 130oC și
alta (39 %) cu +240oC; sau poate fi „separat” în trei părți, dintre care
una, reprezentând 10 % din masă, are temperatura medie – 270oC
și alta (tot 10 %) cu +480oC. Sursele considerate „monoterme” nu
sunt de fapt monoterme în intimitatea lor! Iar Maxwell a acordat o șansă pentru perspectiva de separare a unei surse în componente cu temperaturi diferite. S-a demonstrat că aceasta nu este posibil prin automate, dar unele euristici sugerează că un câmp anizotrop de forțe care să imprime moleculelor o accelerație variabilă puternic(de exemplu, câmpul forțelor Van der Waals, într-un gaz cu densitatea variind neliniar, asociat cu câmpul gravitațional și cu intervenția
agentului uman), ar putea face ofi ciile unui „demon Maxwellian” [10].

238e) Marii maeștri ai experimentelor mentale
În 1905, Einstein a publicat un articol intitulat „Asupra unui punct de vedere
euristic referitor la obținerea și transformarea luminii” , dedicat efectului fotoelectric. În 1887, Hertz observase, fără să explice de ce, că o rază luminoasă căzută pe un electrod metalic „smulge” electroni; ener gia acestora este indep endentă de energia
undei luminoase, dar crește liniar cu fr ecvența luminii. Einsten a admis că lumina
este un fl ux de particule, pentru care energia E, impulsul p, masa m sunt legate
de caracteristicile undei – frecvența circulară ω și lungimea de undă λ; împăcând
euristic dualitatea particulă/undă a luminii, el a stabilit teoretic relațiile fundamentale E = = . ω , p = = . (2π /λ), E = m . c
2. Mai târziu, aceste considerații au fost confi rmate
experimental de Millikan și Compton, deschizând un capitol nou al științei, anume Interacția dintre radiație și substanță.
Nu voi descrie contribuțiile teoretice și euristice ale unor giganți ai științei
universale precum Planck, Einstein, Heisenberg, Dirac, Hawking și ale unor contemporani care trudesc la descifrarea „visului lui Einstein” , acela de a unifi ca toate
tipurile de interacții din Univers.
Voi încheia acest paragraf, referindu-mă la două resurse ale Euristicii în Știință și
cu deosebire, în Inginerie: Analiza dimensională (Scalabilitatea) și Constructalismul.
f) Analiză dimensională
Am văzut în 2.4 că modelul matematic al unei porțiuni din realitate este o
descriere grosieră, cu număr redus de variabile și parametri. Această descriere este supusă verifi cării, omologării, îmbunătățirii succesive. Am întâlnit diverse modele
numerice, analitice, probabiliste, fi zice etc. (de exemplu, punctul material, gazul
ideal, canale de comunicație cu zgomot gaussian etc.). Se cunosc cele 7 mărimi fi zice
fundamentale din sistemul SI de unități: lungimea L, masa M, timpul T, temperatura θ, intensitatea curentului electric I, intensitatea luminoasă (candela) și cantitatea de substanță (mol).
Fie f (q
1,… , qn) = 0 o relație care leagă n mărimi fi zice q1,… , qn , care pot fi
exprimate în funcție de cele k mărimi fundamentale (1 ≤ k ≤ 7) din sistemul SI.
Buckingham a arătat că există p = n – k mărimi adimensionale de forma
π(Br) = 12
12 …r rr k
k qq qα αα, cu αrj ∈ Q, 1 ≤ r ≤ p, astfel încât relația inițială să fi e
echivalentă cu o relație de forma Φ(π(B1),… , π(Bp)) = 0. Acest rezultat se mai numește
„teorema Pi – urilor” (nicio legătură cu numărul π); [1].
EXEMPLE 1) Deducem formula lui Galilei a perioadei τ a oscilațiilor mici ale unui pendul
matematic de lungime A. (vezi 3.2 , exemplul 5). Argumente euristice arată
că τ = f (A, g, m), unde [ A] = L, [ g] = LT
– 2 și [m] = M. Așadar, n = 4, k = 3
deci p = 1. Atunci T = C. 12 2.[ ] .sLL T Mα αα −. Identifi când exponenții,
α1 + α2 = 0, α3 = 0, –2 α3 =1 deci α1 =21, α2 = –
21 .

239Avem o singură mărime adimensională, anume L1/2 . (LT–2)-1/2 și o relație de
forma
τ = C . gC
gAA .1. = ; C este o constantă, care se determină experimental
sau prin alte mijloace (de fapt, C = 2π).
2) Un fl uid cu vâscozitatea η și densitatea ρ curge cu viteza medie v printr-o
conductă cilindrică orizontală având raza R și lungimea A. Ne propunem să
exprimăm căderea de presiune Δp prin acea conductă.
Avem Δp = f (η, ρ, v, R, A) deci n = 6: apoi
[Δp] = N / m2 = L– 1 . M . T– 2; [ η ] = kg / m. s = L– 1 . M . T– 1 ,
[ρ ] = L– 3 . M, [ v ] = L . T– 1, [ R ] = L și [ A] = L.
Deci apar k = 3 mărimi fundamentale (L, M, T) și avem p = 6 – 3 = 3 mărimi
adimensionale. Una este celebrul criteriu Reynolds Re = vRρ⋅ ⋅
η;
altul este raportul AR (evident) și încă unul este raportul 2p
vΔ
ρ⋅. Ca atare,
există o relație de forma Φ2Re, ,Lp R
v⎛⎞ Δ
⎜⎟ρ⋅ ⎝⎠=0 , de unde Δp = ρ . v2 . F (Re, LR)
și prin raționamente suplimentare, se determină funcția F.
3) Stabilim tot prin Analiză dimensională modul cum Reynolds a studiat curgerea
unui fl uid printr-o conductă cilindrică
lungă, în ipoteza că gradientul xp
dd
al presiunii nu depinde de poziția x a
secțiunii transversale prin conductă (fi gura 11.14).
Avem d
dp
x= f (u, d, ρ, μ)unde u este viteza medie a fl uxului prin secțiune, d
este diametrul conductei, ρ = densitatea și μ = vâscozitatea dinamică.
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
xp
dd = M . L– 2 . T– 2; [v] = L . T – 1; [d]= L; [ ρ ] = M . L– 3 și [μ ] = M . L– 1.T– 1.
În acest caz, n = 5 și k = 3 deci avem două mărimi adimensionale. Una este
Re = udρ⋅ ⋅
μ și alta este 2d
dpdx
u⋅
ρ⋅ deci conform teoremei Pi – urilor, există o
relație de forma Φ 2d
d,Reup
x⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟ρ⋅⎝⎠ = 0, de unde 2d
dp u
xdρ⋅= . F (Re). Ca atare, în
locul unei funcții f de 4 variabile, curgerea este descrisă printr-una singură,
anume prin criteriul Re.x
FIGURA 11.14. Conductă cilindrică.

2404) Ca nostimadă, demonstrăm teorema lui
Pitagora, folosind Analiza dimensională. Să considerăm triunghiul dreptunghic din fi gura 11.15. Aria triunghiului ABC este o
funcție de a și ϕ adică S
a = f (a, ϕ) și n = 3.
Avem k = 2 mărimi adimensionale, anume
2aSa și ϕ (măsurat în radiani) deci există o
relație de forma Φ(2aSa, ϕ) = 0, deci Sa = a2. g(ϕ).
Dar Sa = Sb + Sc, adică a2. g(ϕ) = b2. g(ϕ) + c2. g(ϕ), de unde a2 = b2 + c2.
Exemplele pot continua indefi nit și urmând [1], încheiem cu schițarea unui
ultim exemplu de Euristică inginereas că și Analiză dimensională, într-o situație
specială. Profesorul G.I.Taylor a participat în 1940 la o analiză a efectului bombei atomice, unde era eliberată o mare cantitate de energie mecanică și radiantă. El a calculat mișcarea cu simetrie sferică a gazului ambiant după explozie, folosind conservarea masei, momentului și energiei; a neglijat vâscozitatea și a considerat că procesul este adiabatic. Nu formulase un model analitic și nu se cunoșteau condițiile inițiale de densitate, presiune, viteză etc. Dar printr-o intuiție remarcabilă, a stabilit mărimile de care depindea raza frontală a undei de șoc: E = energia totală
a exploziei, concentrată într-o sferă de rază r
o; ρo = densitatea aerului ambiant;
t = timpul socotit din momentul exploziei; p = presiunea aerului ambiant și
γ = indicele adiabatic (adimensional). Folosin d Analiza dimensională și introducând
mărimea R = 1/52
0Et⎛⎞
⎜⎟ρ⎝⎠, care se măsoară în metri, Taylor a stabilit că la momentul t ,
raza undei de șoc este de forma rt = R.f (γ) , obținând și o formulă pentru presiunea pt.

g) Constructalismul (în sensul lui Bejan; [2])În natură, formele și structurile macroscopice se auto-organizează permanent
și este importantă cunoașterea cauzelor acestui proces. Profesorul Adrian Bejan (Duke University) este promotorul analizei „curgerilor” arborescente – râuri, căi de comunicație, plămâni, cristale dendritice etc., descoperind în multe situații concrete existența a două regimuri de curgere, unul cu viteză mică și difuzie și altul cu rezistență mică și viteză mare. Atât în materia vie cât și în cea organică se întâlnesc rețele arborescente, canale cu secțiuni rotunde, fractali și foliații. Euristic, se pune întrebarea: formele geometrice sunt oare rezultat al aleatorismului, al minimizării rezistenței la curgere sau al maximizării globale a accesului? Răspunsul interesează multe domenii: răcirea dispozitivelor electronice, proiectarea diverselor sisteme inginerești, topologia unor transferuri termice, minimizarea generării entropiei etc.
Un câmp deschis pentru diverse euristici îl constituie aplicarea principiilor
naturale de optim. Natura ne oferă multe exemple; astfel, lumina se propagă pe FIGURA 11.15. Triunghi
dreptunghic în A.A
C Bcb
aφ
φ

241geodezice spațiale sau temporale. În ultimul timp se dezvoltă un domeniu nou –
Biomimetica, având în vedere studiul „copierii” acțiunilor și comportamentului unor păsări, mamifere sau chiar plante și arbori. De exemplu, căderea de la mare înălțime a unei pisici, atacul unui erete, creșterea vegetației etc. O altă resursă o constituie decelarea unor analogii și a multor situații, unde fenomene diferite sunt supuse unor legi asemănătoare traduse în același tip de ecuații diferențiale. De exemplu, o vibrație sinusoidală se obține la studiul atât al oscilațiilor unui pendul, dar și în studiul undelor luminoase monocromatice sa u al mișcării unor greutăți afl ate la capătul unui
resort. De asemenea, este impresionantă analogia legii lui Coulomb pentru sarcinile electrice cu legea lui Newton a atracției universale (o deosebire fi ind aceea că la
Newton nu există respingere…).
Un principiu constructal este acela că un sistem heterogen suferă schimbări de
structură și formă atunci când rezistența sistemului este redusă și permite accesul curenților interni, chiar și în prezența unor constrângeri locale de tipul unor noduri, fi suri, sarcini punctuale concentrate etc.
Dăm un exemplu ilustrativ al acestui princ ipiu; [2].
EXEMPLU
Considerăm un cadru dreptunghiular ABCD cu dimensiunile AB = a ,
AD = b și un mobil care pornește din B spre D având două viteze: viteza v
1
în lungul unei „conducte” înguste DC și
viteza v2 (v2 > v1) în restul dreptunghiului
(fi gura 11.16).
Ne propunem să determinăm poziția punctului M ∈ [DC] astfel încât durata
drumului MBD să fi e minimă.
Notând MC = x , durata drumului este
d(x) =
2 12 2
vxa
vbx −++.
Se pune condiția necesară de minim d ′(x) = 0 deci 01.1
22 2
1= −
+ v bxx
v,
de unde x = b 1 2 2
2
2
11v
v−⎛⎞−⎜⎟
⎝⎠. Sistemul este format din două medii diferite:
„spațiul” MD este o conductă îngustă și de aceea „curgerea” spre D este
mai rapidă, în timp ce în spațiul mai mare (dreptunghiul fără latura DC),
curgerea este mai lentă ( v1 < v2). Așadar, creându-se printr-o organizare
macroscopică posibilitatea curgerii mai rapide pe o anumită porțiune, s-a micșorat durata și drumul BMD este „mai scurt” decât BD. Mai mult,
principiul constructal al lui Bejan arată că în locul lui B se poate considera
orice alt punct P din sistem / dreptunghi și drumul cel mai scurt de la P la D
trece și prin „conducta” inferioară!A
P
DCba
v2v1B
FIGURA 11.16. Cadru
dreptunghiular concret.M

242NOTĂ . Modifi căm condițiile și presupunem că dreptunghiul are aria
constantă, iar „curgerea” din B se poate produce în lungul conductelor
BC și DC cu vitezele v1, v2 ca mai sus. Atunci a.b = k (k > 0 constant) și
durata curgerii din B în D va fi d =
2 1va
vb+ . Așadar, d (b) = bvk
vb
2 1+ și
d ′(b) = 2
2 11.1
bvk
v− = 0, pentru minimul duratei! Dimensiunile optime
ale „formei” vor fi a = 2
1kv
v, b = 1
2kv
v și
12
optim vv
ba=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛.
După 1800, s-a realizat un mare un mare progres socio – economic, datorat
posibilității de a explica fenomenele naturale, de a le descrie matematic, permițând intervenții umane efi ciente. Mașinile termice și electrice au ușurat munca fi zică, iar
tehnologiile informatice actuale ușurează multe activități mentale. Ingineria și-a lărgit mereu domeniul de studiu și acțiune, ajungând la crearea de roboți, reluând „mitul golemului” și transformând omul și mediul în care el trăiește (avioane, rachete, televiziune, celulare și ce-ar mai veni). Dar să nu uităm că există încă zone ale științelor cognitive unde nu se poate explica totul și zone ale ingineriei unde, în
condițiile unor resurse limitate, nu se poate face chiar orice!
BIBLIOGRAFIE
1. G.I. Barenblatt – Scaling , Cambridge Univ. Press, 2003.
2. A. Bejan – Formă și structură, de la inginerie la natură , Ed. Academiei Române, 2004.
3. I.C. Florea – Trei savanți iluștri , Ed. Științifi că și Enciclopedică, 1978.
4. Traian Lalescu – Opere („Telefonia fără fi r”), Ed. Academiei Române, 2009.
5. Z. Michalewicz, D. Fogel – How to solve it; modern Heuristic , Springer Verlag, 2004.
6. M. Moroianu – Teorema numerelor prime (pag. 403 – 413, vol. Analiză complexă),
Ed. Științifi că și Enciclopedică, 1988.
7. George Moisil – Cascada modelelor în Fizică , Ed. Albatros, 1989.
8. G. Polya – Matematica și raționamentele plauzibile , Ed. Științifi că, 1962; Cum rezolvăm o
problemă , Ed. Științifi că, 1965.
9. Gh. Păun – Matematica, un spectacol , Ed. Științifi că și Enciclopedică 1988.
10. C. și O. Stănășilă – Th e separation of the molecular energies , Materiale de Construcții, vol.
19, nr. 3 și 4, pag. 193 – 203, 269 – 278; 1989.
11 A.Țugulea – Câmpul electromagnetic , Ed. Tehnică, 1983.

243• Cu cât înțelegem mai bine legile fi zicii
și pătrundem mai adânc legile naturii, cu atât mai mult suntem conduși în lumea conceptelor matematice
R. PENROSE
• Fizica de astăzi este prea importantă
pentru a fi lăsată doar pe seama
fi zicienilor
D. HILBERT
• Apariția calculatoarelor moderne se
afl ă alături de cea a focului, a roții și a
energiei atomice; dar aplicarea lor cere Matematică și multe alte descoperiri
H. FREUDENTHAL

12. O SINTEZĂ CULTURALĂ: MATEMATICĂ, FIZICĂ,
INGINERIE ȘI INFORMATICĂ
12.1. Motivație istorică
Matematica nu este doar o știință a gândirii, o disciplină de învățământ sau un
mijloc comod de selecție socială.
MATEMATICA ESTE O COMPONENTĂ A CULTURII MODERNELa nevoia universală de adevăr, frumos, bine, dar și de comunicare, Matematica
a adăugat precizia limbajului, claritatea conceptelor și demonstrațiilor; în ultimul timp, ea a avut chiar o implicare directă vitală (de exemplu, în domeniul Tomografi ei,
al prospecțiunilor geologice sau realizării amendamentelor agricole din satelit, al Criptografi ei sau al unifi cării tuturor interacțiilor din Univers), dincolo de
contribuțiile la cunoașterea pasivă.
Știința și Cultura au un anume „metabolism” , un transfer de idei, mijloace, metode
și adaptări. De exemplu, Axiomatizarea, Structuralismul și Sistemica etc. au apărut deopotrivă și aproape simultan în Știință, Artă și chiar Inginerie, toate acestea având puncte de program comune cu Matematica: organizarea și interpretarea datelor, decelarea de regularități, corelații, observații și legi empirice, formulare de ipoteze, predicții, deducții, verifi cări și structuri adecvate, po ate și modă. Ca o nostimadă, în
predarea matematicii s-a extins uzanța de a începe cu „fi e” (fi e o funcție, un spațiu, o
mulțime etc.) sau cu „avem” (avem o relație, un element, o consecință etc.), astfel de
construcții verbale sau scrise fi ind preluate și de nematematicieni!

244De-a lungul timpului, diverse modele matematice imateriale au permis predicții
fi zice neașteptate; de exemplu, predicția planetei Neptun, ca și devansarea cu 100 de
ani a computerelor de către Boole, după cum este impresionant modul cum Gauss, Lobacevski, Bolyai și Riemann au creat suportul geometric pentru Teoria relativității generale a lui Einstein. Nu poate fi uitat anul 1864 când, „citind în ecuații” , Maxwell
a prezis existența undelor electromagnetice, fapt confi rmat experimental de Hertz
în 1886, pentru ca Marconi să realizeze în 1896 prima transmisie radio din istorie și deschizând astfel era Electronicii și Telecomunicațiilor. În treacăt fi e zis, Hertz
nu a dorit transmisii fără fi r ci doar să-l confi rme pe Maxwell, ale cărui ecuații sunt
considerate cea mai mare realizare a culturii secolului 19. De asemenea, s-au creat mai multe „stele duble” științifi ce: Relativitatea generală ↔ Geometria varietăților
riemanniene, Teoria cuantică ↔ Teoria operatorilor pe spații Hilbert, Econometria
↔ Analiza fi nanciară, Informatica ↔ Matematica Discretă, Teoria unifi cată a
câmpului ↔ Supergeometria.
O întrebare tipică, desigur deplasată, este următoarea: care a fost cel mai mare
matematician (fi zician sau poet) al lumii ? Dar cum să alegi între atâtea genii,
evocate și în această carte ? Este ca și când ai decide că metrul este mai important decât kilogramul sau secunda! În Matema tică, se studiază de mult timp mulțimi
ordonate în care există mai multe elemen te maximale, neierarhizate (De exemplu,
considerăm familia mulțimilor de forma aZ cu a ∈ Z, ordonată prin incluziune;
mulțimile pZ cu p prim sunt toate maximale și incomparabile!); tot astfel, nu orice
ierarhizare este legitimă.
Au existat și falși profeți… De exemplu, Cayley considera că „matricele sunt
ceva fără nicio aplicație” , apoi Jeans declara complet neinspirat că „putem elimina teoria grupurilor, pentru că nu are nici un rost în fi zică” . La sfârșitul secolului 19,
se considera că Uraniul nu are vreun folos, iar un academician francez, deranjat de diverși inventatori, a „demonstrat” imposibilitatea avionului ca aparat de zbor mai greu decât aerul; după primele zboruri reușite, aviatorii au declarat că nu știau „teorema” respectivă (ce bine că nu aveau… cultură!).
Se constată o mare similitudine între rolul rigorii în matematică și cel al
experimentului din științele naturii, ambele conducând la coerența diverselor construcții și la instaurarea încrederii în deducții și aplicații; nu contează faptul că uneori, concluziile se scriu pe o tablă neagră care periodic trebuie ștearsă…
Ca un argument în plus pentru sinteza anunțată în titlu, iată că a apărut
recent un domeniu nou – Matematica industrială, diferit de inginerie, economie și informatică, ca și de Matematica aplicată, în sensul englezesc al cuvântului (care se referă în principal la Mecanică rațională, Electromagnetism și Termodinamică rațională). Am dat multe exemple de rezultate considerate „pure” , care și-au găsit ulterior aplicații serioase, după cum multe „aplicații” cuprinse în teze de doctorat sau în comunicările unor „idioți utili” s-au dovedit simple declarații și maculatură. Așa cum am mai spus, doar procesele fi zico – tehnice, chimice, biologice sau economice
care sunt înțelese pot fi matematizate, controlabile și pasibile de a permite proiectarea

245și executarea de instalații performante, cu asistența computerelor. Aceasta este
esența sintezei pe care ne-am propus-o.
În continuare, prezentăm câteva exemple semnifi cative, în jurul unor concepte
care aparțin practic mai multor științe, reprezentând fapte de cultură și ilustrând îngemănarea dintre Fizică, Matematică și Informatică, precum și drumul de la concept la aplicație autentică binefăcătoare.
12.2. Conceptul de grup – punte între matematică și alte domenii ale științei
Un îndemn permanent al tuturor generațiilor a fost acela de a măsura și de a
exprima prin numere, diversele mărimi fi zice, tehnice, economice. De la numere
izolate s-a trecut la perechi, triplete, sisteme ordonate de n numere, coordonate,
vectori, polinoame, matrice etc. Astfel de obiecte au fost apoi sistematizate, grupate și în acest mod, s-a constituit un domeniu de sine stătător al matematicii – Algebra abstractă. Așa cum spunea F.Black, „orice știință pornește de la o metaforă și se desăvârșește în algebră” . Conceptul cheie unifi cator a fost cel de grup , care a precedat
pe cele de inel, corp, spațiu vectorial, modul peste un inel etc.; [12], [17].
Descoperirea grupurilor, la începutul secolului 19, atribuită deopotrivă lui
Lagrange și Galois, a constituit un moment marcant pentru matematică, având un puternic impact cultural. Primele exemple de grupuri au fost cele ale permutărilor și ale transformărilor geometrice.
Reamintim că un grup este un triplet ( G, ∗, e), format dintr-o mulțime nevidă,
o operație binară (numită înmulțire ) ∗: G × G → G, care asociază oricărei perechi
(x, y) de elemente din G, un nou element ∗ (x, y), notat x ∗ y sau simplu xy și numit
produsul celor două elemente. Se presupune în pl us asociativitatea operației, existența
unui element neutru e (dovedit unic) și că orice x ∈ G are un invers (de asemenea,
unic determinat de x), notat x
–1. Inversul lui xy este y–1x–1 . Dacă înmulțirea este
comutativă, grupul se numește abelian . Dacă numărul elementelor lui G este fi nit
cu n elemente, se spune că G este un grup fi nit de ordin n și se scrie card G = n .
Dacă ( G′, ), e′) este un alt grup, se numește morfi sm f : G → G′ o aplicație astfel încât
∀ x, y ∈ G, f (x∗y) = f (x) ) f (y) sau pe scurt, f (xy) = f (x) f (y) și în plus, f (e) = e ′; f se
numește izomorfi sm dacă este un morfi sm bijectiv. De regulă, se omite menționarea
simbolurilor ∗, e etc. Două grupuri G, G′ se zic izomorfe dacă există un izomorfi sm
G → G′. Un subgrup H ⊂ G este o submulțime care conține e și de îndată ce x, y ∈ H,
rezultă xy–1 ∈ H; dacă G este fi nit, atunci card G este divizibil cu card H (Lagrange).
Un subgrup normal H al lui G are proprietatea că ∀ g ∈ G, gH = Hg (adică ∀ x ∈ H,
g–1 xg ∈ H); în acest caz, relația R pe G defi nită prin xRy R xy – 1∈ H este o relație
de echivalență și mulțimea claselor de echivalență se notează G /H. Prin intensiune,
această mulțime are de asemenea o structură de grup (punând ˆˆxy x y⋅=3
), numit
grupul–cât al lui G prin subgrupul normal H.

246EXEMPLE DE GRUPURI
1) Dacă f: G → G′ este un morfi sm de grupuri, atunci nucleul lui f,
N = {x ∈ G/f(x) = e′} este un subgrup normal și grupul – cât G / N este
izomorf cu subgrupul Im f al lui G′ (prin aplicația G / N → Im f, ˆxx f(x)).
2) Notăm cu S 1 grupul multiplicativ al numerelor complexe de modul 1 deci
circumferința unitate din planul complex. Aplicația f : R → S
1, f (x) = cos x + i sin x este un morfi sm surjectiv de la
grupul aditiv al lui R pe S1. Nucleul lui f este 2 π Z deci S1 este izomorf
cu grupul – cât R / 2πZ. Din acest motiv, R / 2π Z este numit și torul
1-dimensional.
3) Fixăm un reper ortonormal xOy într-un plan euclidian P și notăm cu f, g,
h simetriile planului față de axa Ox, axa Oy și origine. Considerând e = 1P ,
aplicația identică a planului P, atunci GK = {e, f, g, h} este grupul lui Klein (cu
4 elemente), relativ la operația de compunere.
4) Dacă M este o mulțime nevidă, aplicațiile bijective f : M → M se mai numesc
permutări (sau transformări ) ale lui M. Mulțimea S( M) a acestora formează
un grup relativ la compunere, cu e = 1M, numit grupul simetric al lui M.
Cayley a arătat că orice grup G este izomorf cu un subgrup al lui S( G); într-
adevăr, pentru orice g ∈ G, aplicația tg : G → G, x x g . x este bijectivă deci
tg∈ S(G). Apoi, mulțimea H = {tg / g ∈ G} este un subgrup al lui S( G), iar
aplicația ψ: G → H, g x tg este un izomorfi sm de grupuri.
5) Prezentăm încă un exemplu, mai
subtil, de grup. Fie X un spațiu metric.
Un drum de la punctul x ∈ X la
punctul y ∈ X este orice aplicație
continuă f : [0, 1] → X astfel încât
f (0) = x și f (1) = y.
Notăm ( f) = Im f = {f(t) / t ∈ {0, 1]}.
Drumul f se numește închis (sau laset ) dacă x = y .
Dacă g: [0, 1] → X este un drum de la y la z, atunci se defi nește compusul (≡
concatenatul) fg : [0, 1] → X prin
fg (t) = 1(2 ) pentru 02
1(2 1) pentru 12ft t
gt t⎧≤≤⎪⎪⎨
⎪ −< ≤⎪⎩; fi gura 12.1.
Două drumuri f, g: [0, 1] → X de la x la y se numesc omotope (se scrie f j g) dacă
există o aplicație continuă Φ(u, v), Φ: [0, 1] × [0, 1] → X, astfel încât Φ(u, 0) = f (u); (f)(g)
z
yx
FIGURA 12.1.
Concatenatul a două drumuri.

247Φ(u, 1) = g (u); Φ(0, v) = x și Φ(1, x) = y, pentru orice u, v ∈ [0, 1]. Intuitiv, se spune că
două drumuri omotope se deformează continuu unul spre celălalt în X (fi gura 12.2).
Un laset f se zice omotop cu zero dacă se deformează continuu la un punct. Spațiul
X se zice simplu conex dacă orice laset
este omotop cu zero; de exemplu, R2,
R3 sunt simplu conexe, dar R2 \{(0, 0) }
sau R3 \ axa Oz, nu.
Mulțimea lasetelor (de la un punct
xo ∈ X la el însuși) formează un grup
relativ la compunere (concatenare), numit grupul fundamental Poincaré
al spațiului X și notat π(X, x
o).
Dacă X este conex, adică orice două puncte ale lui X pot fi unite printr-un
drum, atunci toate aceste grupuri sunt izomorfe și notăm cu π(X) unul din ele.
Spațiul X este simplu conex R π (X) = 0. Fără să dăm detalii, avem π(Rn) = 0
pentru n ≥ 1; π (S1) = Z unde S1 este circumferința unitate; π (S2) = 0 (căci pe sfera
2D orice laset poate fi deformat continuu la un punct): π (S1 × S1) = Z × Z. Grupul
π (X) este un invariant al lui X, în sensul că dacă X, Y sunt spații metrice homeomorfe,
atunci gruprile π(X) și π(Y) sunt izomorfe. De exemplu, S2 nu poate fi homeomorf cu
cercul S1 și nici cu torul S1× S1.
Transformări geometrice și grupuri clasice
Transformările geometrice (≡ mișcările ) planului R2 sunt aplicațiile bijective
f: R2 → R2 și ele formează grupul simetric S( R2) al lui R2. Translațiile, rotațiile
în jurul originii, omotetiile în raport cu originea, formează câte un subgrup al
lui S( R2). În mod similar, se poate considera grupul simetric al mișcărilor lui R3;
subgrupuri remarcabile ale acestuia sunt cele formate din transformările geometrice
care invariază separat cele 5 corpuri platonice. De exemplu, simetria unei molecule este orice transformare geometrică a lui R
3 care transformă orice atom al moleculei
într-un alt atom, cu păstrarea valenței. Astfel, o moleculă de fosfor are 4 atomi care sunt vârfurile unui tetraedru regulat și gr upul simetriilor moleculei este tocmai
grupul de simetrie al unui tetraedru regulat. De asemenea, atomii unui cristal sunt aranjați într-o structură repetitivă. În R
2 există 17 grupuri de „simetrie cristalografi că” ,
descoperite și în arta egipteană veche;[22]. De curând, R. Penrose și MacKay au descoperit pseudocristalele (pe care le-au obținut într-un aliaj cu Al și Mg), utilizate
la fi brele optice. În treacăt fi e zis, celebrul „cub Rubik” sau jocul „Sudoku” au avut la
bază considerații serioase privind grupurile de transformări.
Se notează cu GL( n, R) mulțimea tuturor izomorfi smelor R-liniare T: R
n → Rn
(n ≥ 1); acesta este un subgrup al lui S( Rn), numit grupul general liniar al spațiului
Rn. În Cristalografi e există zeci de grupuri fi nite de simetrie pentru diferite cristale și
acestea nu joacă doar un rol descriptiv.
Grupul GL( n, R) este izomorf cu grupul multiplicativ al matricelor inversabile
Mn(R). Matricele ortogonale Q ∈ Mn(R) (astfel încât QT . Q = In) formează subgrupul x
y( f )( f )
Φ (., v)
x
FIGURA 12.2.
Drumuri omotope și laset omotop cu zero.

248ortogonal O(n), iar cele care în plus au determinantul egal cu 1 formează grupul
special ortogonal SO(n).
Matricele unitare Q ∈ Mn(C), defi nite prin QT . Q = In formează grupul unitar
U(n), iar cele cu det Q = 1, formează grupul unitar special SU( n).
Se numește algebră Lie orice spațiu vectorial complex L pentru care este defi nită
o înmulțire internă L × L → L, (a, b) 6 [a, b], presupusă anticomutativă ([ a, b]
= − [b, a] pentru orice a, b ∈ L), liniară în fi ecare argument și în plus, ∀ a, b, c ∈ L,
,[ , ] ,[ , ] ,[ , ]ab c bc a ca b ++ ⎡⎤ ⎡⎤ ⎡⎤⎣⎦ ⎣⎦ ⎣⎦ = 0. De exemplu, mulțimea V3 a vectorilor liberi 3D este
o algebră Lie relativ la produsul vectorial și la fel este mulțimea L (V) a operatorilor
liniari f : V → V ai unui spațiu vectorial relativ la comutatorul [ f, g ] = f ) g – g ) f .
În treacăt fi e zis, aceste concepte sunt utilizate în studiul simetriilor particulelor
elementare; în teoria unifi cată a câmpului, este utilizat grupul
G = SU(3) × SU(2) × U(1).
O aplicație bijectivă F : R4 → R4 se numește transformare Galilei dacă există
o aplicație R liniară f : R4 → R4 astfel încât ∀ a, b ∈ R4, f (b – a) = F (b) – F (a) ,
| |a – b|| = || F(a) – F(b) || și în plus, p1(b – a ) = p1(F (b) – F(a)), unde p1: R4 → R este
proiecția p1 (t, x, y, z) = t. Există trei transformări Galilei standard:
– pentru orice v ∈ R, aplicația Fv: R4 → R4, (t, x, y, z) 6 (t, x+vt , y+vt , z+vt )
se numește mișcarea uniformă în spațiu – timp, cu viteza constantă v;
– pentru orice s ∈ R și orice a = (a1, a2, a3) ∈ R3, aplicația τ s, a: R4 → R4,
(t, x, y, z) 6 (t + s , x + a1, y + a2, z + a3) este mișcarea de translație de timp s
și vector a;
– pentru orice matrice ortogonală Q ∈ SO(3), aplicația ρQ : R4 → R4,
(t, x, y,z) 6 (t, x′, y′, z′), unde ( x′, y′, z′)T = Q . (x, y, z)T este numită
mișcarea de rotație asociată lui Q.
Se poate arăta că orice transformare Galilei este o compunere a acestor trei
mișcări standard; [1].
Transformările Lorentz au o descriere similară. Pentru a nu încărca notația,
menționăm mișcarea Lorentz 2 – dimensională cu viteza v ∈ (−c, c)
Lv: R2 → R2, (t, x) 6 (A . (t + x . 2v
c), x + vt ),
unde A = 1 2 2
21v
c−⎛⎞−⎜⎟
⎝⎠ și c = viteza luminii. Aceste mișcări formează un grup
relativ la compunerea Lv ) Lw = vwL∗, unde v * w = 21( / )vw
vw c+
+ este adunarea Einstein
a vitezelor (de exemplu, v * c = c * v = c ; nu se putea accepta adunarea uzuală, adică
v + c , căci s-ar fi depășit viteza luminii!).
Dacă E1 = (z1, t1) și E2 = (z2, t2) sunt două evenimente (în R2), conform 1.2, se
defi nește pseudodistanța dL(E1, E2) = 22 2
12 1 2() ( )ctt zz⋅− − − ; aceasta are sens dacă
E2 este fi zic conectabil cu E1, adică dacă E2 s-ar afl a în conul C al luminii, cu vârful în
E1 (altminteri, dL(E1, E2) ar fi un număr complex); fi gura 12.3.

249FIGURA 12.3. Conul luminii cu vârful în E1.E2 (z2, t2)
E1= (z1, t1)C+
C–
NOTĂ . Un mare succes al Fizicii relativiste l-a constituit faptul că ecuațiile
Maxwell ale câmpului electromagnetic s-au dovedit a fi invariante la
grupul transformărilor Lorentz. Așa cum am mai spus, Geometria euclidiană (defi nită ca studiul obiectelor geometrice invariante
la grupul deplasărilor, adică al roto-translațiilor), ca și Mecanica newtoniană (studiul unor entități invariante la mișcările Galilei), descriu doar local Universul nostru fi zic. La viteze mari, comparabile
cu viteza luminii și la distanțele mari din Univers, se impune studiul entităților fi zice relativiste și implicit al unor obiecte geometrice noi,
unele fi ind descoperite de fi zicieni. Aici nu se mai poate vorbi de
matematică aplicată, ci de un laborator de creație interdisciplinară, care a promovat deja mari izbânzi tehnologice – laserul, compact-discul, fi bra optică, celularele etc., venite dinspre mari descoperiri
științifi ce și nu din „inspirații artizanale” . Care la rândul lor merită tot
respectul, dar…
Teoria Relativității generale folosește o clasă mai specială de grupuri, anume
grupurile Lie (care sunt varietăți diferențiabile G și simultan grupuri, pentru care aplicațiile G × G → G, (x, y) 6 xy și G → G, x 6 x
–1 sunt de asemenea diferențiabile).
Dar nu mergem mai departe.
Aplicarea grupurilor la studiul ecuațiilor algebrice
Teoria grupurilor este astăzi un eșafodaj științifi c care a ajuns la o deplină
maturitate. Anume, s-a reușit de curând clasifi carea grupurilor simple (care nu
au subgrupuri normale proprii), printr-un efort al multor matematicieni, timp de peste 100 de ani (câteva nume: D. Gorenstein, Feit și Th ompson, E. Bombieri) . De
asemenea, s-au clasifi cat grupurile Lie simple, culminând cu „capturarea” celui mai
mare grup simplu, numit „marele monstru” .
Fiind dat un grup ( G, ∗, e), se numește șir de compoziție al lui G orice șir fi nit
descendent de subgrupuri G = H
o ⊃ H1 ⊃ H2 ⊃ … ⊃ Hn ⊃ Hn + 1 = {e} astfel încât fi ecare

250Hk + 1 este subgrup normal în Hk și grupul – cât Hk / Hk + 1 este simplu (pentru 0 ≤ k ≤ n).
Aceste câturi se numesc factorii șirului de compoziție. Același grup poate avea mai
multe șiruri de compoziție, dar toate au aceeași lungime, iar factorii respectivi sunt izomorfi (teorema Jordan – Hölder). Un grup G se numește rezolubil dacă el are un șir
de compoziție cu toți factorii comutativi (abelieni). Pentru orice x, y ∈ G se defi nește
comutatorul [ x, y] = xyx
– 1y – 1; evident, [ x, y] = e R xy = yx . Notăm cu G′ subgrupul
lui G generat de toți comutatorii [ x, y], numit grupul derivat al lui G (nici o legătură
cu derivatele de funcții!) [dacă ( gα) este o familie de elemente din G, atunci mulțimea
tuturor produselor formate cu elementele gα și cu inversele lor, în orice ordine, este
numit subgrupul generat de ( gα); de exemplu, grupul ( Z, +, 0) este generat de 1].
Pentru G ′ se poate repeta construcția, considerând subgrupul G″ = (G′)′ etc. Se poate
arăta că G este un grup rezolubil dacă și numai dacă lanțul descendent G ⊃ G′ ⊃ G″
⊃ … se încheie, după un număr fi nit de pași, cu {e}; [12], [17].
EXEMPLE1) Orice grup abelian G este rezolubil (căci G′ = {e}). Apoi, orice grup având p
k
elemente (cu p ≥ 2 prim și k ≥ 1) este rezolubil.
2) Pentru n ≥ 1, se notează cu Sn grupul (simetric, al permutărilor numerelor
1, 2, …, n). S2 este abelian deci este rezolubil. Apoi, S3 = {e, σ1, σ2, σ3, σ4, σ5},
unde
σ1 = 123
312⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠, σ2 = 123
231⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠, σ3 = 123
132⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠, σ4 = 123
213⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠, σS = 123
321⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠.
Grupul S3 nu este comutativ (de exemplu, σ1σ3 ≠ σ3σ1). Dar S3 are 5
subgrupuri distincte de S3; anume. H1 = {e}, H2 = {e, σ3}, H3 = {e, σ4},
H4 = {e, σ5} și H5 = {e, σ1, σ2}. Avem S3′ = {e, σ1, σ2}, numit grupul altern
și notat A3 și S3″ = {e}. Deci S3 este rezolubil. Se poate arăta că S4 este de
asemenea rezolubil, iar Galois a demonstrat următoarea:
TEOREMA 1
„Pentru orice n ≥ 5, grupul Sn nu este rezolubil” .
Dar Galois nu s-a oprit aici! La începutul secolului 19, studiul ecuațiilor algebrice,
adică al ecuațiilor de forma P(x) = 0, unde P(X) = a0X n + a1X n–1 +…+ an, ak ∈ C și
ao ≠ 0, era destul de avansat, dar nu fi nalizat. Existau trei întrebări esențiale:
I. Existența soluțiilor
Rezultatul principal îl constituie
TEOREMA 2 (teorema fundamentală a algebrei – TFA).
„Orice ecuație algebrică P(x) = 0 de grad n ≥ 1 are cel puțin o soluție ( ≡ rădăcină)
în C”.
Această afi rmație a fost conjecturată de d’ Alembert în 1746, cu o demonstrație
eronată. În 1749, Euler a demonstrat TFA pentru n ≤ 6 și coefi cienți reali. Abia în
1816, Gauss a dat prima demonstrație riguroasă, iar în 1843, Weierstrass a obținut o

251demonstrație folosind Analiza complexă. Menționăm că în 1981, M. Kneser a dat o
demonstrație acceptată de constructiviști (aceștia sunt o sectă de matematicieni care
nu acceptă decât construcțiile algoritmizabile).
Dăm o demonstrație a TFA care urmează o idee a lui P . Samuel.
Fie 1
01 ( ) …nn
n PX aX a X a−=+ + + , deci produsul P . P este un polinom cu
coefi cienți reali; evident, P . P are o rădăcină în C R P are o rădăcină în C și ca atare,
putem presupune că P are coefi cienți reali și mai mult, că este monic ( ao = 1). Alegem
întregul m unic astfel încât n = 2m . r cu r impar și aplicăm inducția după m. Dacă
m = 0, atunci teorema este banală. Presupunem m ≥ 1 și afi rmația adevărată pentru
m. Există un corp comutativ K astfel încât R ⊂ K și x1, …, xn ∈ K astfel încât
P(X) = ( X – x1 ) … ( X – xn) [Mai întâi corpul K1 = R[X] / PR[X] conține o rădăcină
x1 = ˆx a lui P; P(X) = (X – x1) . Q(X) apoi repetăm pentru Q ∈ K1[X] etc.]. Arătăm că
cel puțin un element xk aparține lui C.
Fie α ∈ R și cele (1 )
2nn+ elemente uij = xi + xj + αxi xj (1 ≤ i ≤ j ≤ n). Avem
(1 )
2nn+ = 2m – 1 . r . (n + 1) și r . (n+1) este impar. Atunci polinomul G(X) = Πi ≤ j (X – uij)
este simetric în x1, …, xn și are coefi cienți reali, deci va fi un polinom de polinoame
simetrice elementare x1 + … + xn, x1x2 +…+ xn –1xn, … , x1x2 … xn; conform relațiilor
lui Viète, G este un polinom cu coefi cienți reali, de grad 2m – 1.s, cu s impar. Aplicând
ipoteza de inducție, există ξ ∈ C astfel încât G(ξ) = 0. Dar ξ este unul din numerele
xi + xj + α xi xj și cum α este un număr real oarecare, putem alege α, β cu α ≠ β astfel
încât xi + xj + α xi xj ∈ C și xi + xj + β xi xj ∈ C (căci perechile ( i, j) sunt în număr fi nit).
Atunci xi + xj ∈ C și xi xj ∈ C deci xi și xj aparțin la C.
COROLAR .
a) Orice polinom P ∈ C[X] se descompune ca produs de polinoame de grad 1
cu coefi cienți complecși
P(X) = 1
01( ) …( )kn n
k aX x X x −− , cu nk ≥ 1 și n1 + …+ nk = n.
b) Orice polinom P ∈ R[X] se descompune ca produs de polinoame de grad 1
sau 2 cu coefi cienți reali.
II. Rezolvarea explicită
Pentru n = 1 și n = 2, se cunosc încă din Antichitate formulele explicite de
rezolvare. În secolele 16 și 17, au fost intensiv studiate ecuațiile de gradul 3 sau 4. În 8.6 am dedus formula lui Cardano pentru rezolvarea ecuației algebrice de gradul trei.
Apoi Ferrari, un elev al lui Cardano, a arătat că ecuațiile algebrice de gradul 4 se reduc la ecuații de gradul trei și pot fi de asemenea rezolvate explicit.
Iată soluția elegantă a lui Ferrari pentru ecuația x
4 + px2 + qx + r = 0, care se
scrie echivalent astfel: (x2 + p)2 = px2 – qx – r + p2. Dar pentru orice u, (x2 + p + u )2 =
= px2 – qx – r + p2 + 2u(x2 + p) + u2, (x2 + p + u )2 = (p + 2u)x2 – qx + p2 – r + 2pu + u2.

252Alegem apoi u astfel încât membrul drept să fi e pătrat, deci
q2 – 4( p + 2u) . (p2 – r2 + 2pu + u2) = 0.
Dar aceasta este o ecuație de gradul trei în u și se obțin astfel două ecuații de
gradul al doilea etc.
Așadar, grație algebriștilor italieni, s-a dovedit că ecuațiile algebrice de gradul ≤ 4
se rezolvă prin operații aritmetice și prin radicali de ordin 2, 3 sau 4. Abia după 250 de ani, Abel a demonstrat riguros (în 1824) că pentru n ≥ 5, nu poate exista o formulă
explicită de rezolvare a ecuațiilor algebrice prin radicali . Desigur unele ecuații (de
exemplu, x
5 – 1 = 0 sau ( x + 1)7 = 0) se rezolvă prin radicali.
A rămas o problemă:
III. Indicarea de condiții necesare și sufi ciente asupra coefi cienților ak ai
polinomului P astfel încât să existe soluții ale ecuației P(x) = 0 exprimabile prin
radicali.
După ce a analizat lucrările lui Cardano, Ferrari și Euler, Lagrange a defi nit
„rezolventele” , în termeni de permutări ale rădăcinilor. Pentru n ≤ 4, aceste rezolvente
l-au condus la ecuații auxiliare de grad inferior; pentru n ≥ 5, rezolventele îl conduceau
la ecuații de grad superior, astfel încât Lagrange a intuit că „fi lozofi a rezolvării
ecuațiilor algebrice constă în studiul sistematic al permutărilor rădăcinilor lor” . În acest punct, a intervenit în mod decisiv geniul tânărului francez Evariste Galois (1811 – 1832), mort la 21 de ani într-un duel nefericit; [10].
Să presupunem, pentru simplifi care, că toți coefi cienții a
k aparțin la Q și că
rădăcinile lui P sunt simple, deci P(X) = ao(X − x1)…(X − xn). Fie Sn grupul simetric al
mulțimii {x1, x2, …, xn}.
Grupul Galois al lui P este, prin defi niție,
Gal( P) = {σ ∈ Sn / ori de câte ori avem un polinom f ∈ Q [X1, …, Xn] astfel încât
f(x1, …, xn) = 0, să rezulte că f(xσ(1), …, xσ(n)) = 0}.
Evident, dacă σ, τ ∈ Gal( P), atunci στ ∈ Gal( P); apoi, e ∈ Gal( P) și dacă
σ ∈ Gal( P), atunci σ – 1 ∈ Gal( P). Așadar, mulțimea Gal( P) este un subgrup al lui Sn,
anume al acelor permutări care prezervă orice ecuație algebrică cu coefi cienți în Q,
verifi cată de x1, …, xn.
EXEMPLE
1) Fie P = X 2 – 6X + 7, cu rădăcinile x1 = 3 + 2, x2 = 3 – 2. Acestea verifi că
relațile lui Viète x1 + x2 = 6, x1 x2 = 7, dar și alte relații (de exemplu, x1 – x2 =
= 2 2). Grupul Galois al lui P este
G = {σ ∈ S2 / de îndată ce f ∈ Q[X1, X2] și f(x1x2) = 0, rezultă f(xσ(1) , xσ(2)) = 0}.
Arătăm că G = S2. Într-adevăr, e ∈G și avem de arătat că σ = 12
21xx
xx⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
aparține lui G, adică din faptul că f ∈ Q[X1, X2] și f (3 + 2, 3 – 2) = 0,

253rezultă f (3 – 2, 3 + 2) = 0 (folosind faptul că dacă α + β2 = 0 și
α, β ∈ Q, atunci α = 0, β = 0). Deoarece S2 este izomorf cu Z2, rezultă că
grupul Galois al lui P este Z2.
2) Fie P = X 4 – 14 X 2 + 9, cu rădăcinile x1 = 52+ , x2 = 52− ,
x3 = 52−+ și x4 = 52−− . În acest caz, S4 are 24 de elemente și Gal( P)
este grupul acelor σ ∈ S4 care prezervă orice ecuație algebrică verifi cată
de x1, x2, x3, x4, cu coefi cienții în Q. De exemplu, x1 + x4 = 0, dar x1 + x2 ≠ 0,
deci în grupul Galois nu intră permutarea 12 34
13 42xxxx
xxxx⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠ și nici alte
trei permutări. Apoi, ( x1 + x2)2 = 20 și ( x1 + x3)2≠ 20 deci se elimină alte
permutări din S4. De asemenea, ( x1 + x3)2 = 8 etc. După calcul, se arată că
Gal( P) = 12 34 12 34 12 34
34 12 21 43 43 21e, , ,xx xx xx xx xx xx
xx xx xx xx xx xx⎧⎫⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞⎪⎪⎨ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎬
⎪⎪⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠⎩⎭ și
acest grup este izomorf cu grupul lui Klein.
3) Fie P = X 3 + aX + b , a, b ∈ Q, fără rădăcini raționale.
Dacă Δ = − 4 a3 – 27 b2 nu este pătrat perfect, atunci grupul Galois al lui P
este S3 și altminteri, este Z3.
Acum, putem enunța (într-un caz particular):
TEOREMA 3 (teorema fundamentală a lui Galois):
„O ecuație algebrică P(x) = 0 cu P ∈ Q[X], de grad n ≥ 1, este rezolvabilă prin
radicali R grupul Galois Gal( P) este rezolubil. ”
Demonstrația este nebanală.
Menționăm că marele profesor român Dan Barbilian a demonstrat un rezultat
remarcabil relativ la „problema inversă a teoriei lui Galois” , subliniat ca atare de profesorul american I. Kaplansky. În ultimul timp, s-au obținut multe extinderi ale teoremei, inclusiv pentru anumite clase de ecuații diferențiale.
Așadar, printr-un număr fi nit de calcule de permutări, se poate decide dacă o
ecuație algebrică se rezolvă sau nu prin radicali. Un merit al lui Galois este acela că aparatul matematic imaginat de el a condus atât la studiul grupurilor de permutări, dar și la studiul corpurilor și extinderilor de corpuri .
În cazurile n = 2, 3, 4, grupurile Galois sunt rezolubile și în cazul n ≥ 5, grupul
lui Galois poate să nu fi e rezolubil; în acest mod, Galois a regăsit teorema lui Abel.
NOTĂ . Computerele moderne au adus o contribuție deplin satisfăcătoare
pentru fi zicieni și ingineri; anume, ele rezolvă cu o precizie sufi cient
de mare orice ecuație algebrică de grad rezonabil; în particular, ele determină valorile proprii ale unei matrice 100 × 100.

254 Rezultatele anterioare, privind grupurile de transformări sau teoria lui Galois,
fac parte din fondul de aur al cunoașterii științifi ce.
Acțiuni de grupuri
Fie M o mulțime nevidă și S( M) grupul simetric al lui M . Fie (G, ., e) un grup
multiplicativ. Felix Klein a introdus în 1873 un alt concept important. Se spune că grupul G acționează ( ≡ operează) pe M dacă există un morfi sm de grupuri
ϕ : G → S(M), numit acțiunea lui G pe M.
Așadar, ∀ a, b ∈ G, ϕ (a . b) = ϕ(a) ) ϕ(b) și ϕ(e) = 1
M. Aceasta este echivalent cu
a defi ni o aplicație Φ : G × M → M, (a, x) 6 a ∗ x = ϕ(a)(x) astfel încât e ∗ x = x și
(a . b) ∗ x = a ∗ (b ∗ x), pentru orice x ∈ M și a, b ∈ G. Se mai spune că elementul
a ∈ G „mută” x în a ∗ x.
Acțiunea se numește tranzitivă dacă ∀x, y ∈ M, există a ∈ G astfel încât a ∗ x = y,
adică a „mută” x în y și afortiori a–1 mută y în x. Dacă există o acțiune tranzitivă pe M,
se spune că M este un spațiu omogen .
Un element xo ∈ M se numește un invariant la G dacă ∀ a ∈ G, a ∗ xo = xo (adică
xo rămâne invariant la orice acțiune).
Pentru orice x ∈ M, orbita lui x este submulțimea ωx = {a ∗ x / a ∈ G} a lui
M; așadar, ea cuprinde toate punctele în care se mută x prin acțiunea lui G. Relația
x ~ y R există a ∈ G astfel încât a ∗ x = y este o relație de echivalență pe M și clasele
de echivalență sunt tocmai orbitele (căci ∀ x ∈ M, ˆx = {y ∈ M / y ∼ x} = ωx). Dacă M
este omogen, atunci ∀ x ∈ M, ωx= M.
Stabilizatorul unui element x ∈ M este subgrupul Sx = {a ∈ G / a ∗ x = x } al lui
G, format din elementele lui G care invariază pe x.
EXEMPLE1) Fie P un plan euclidian ( ≡ spațiu vectorial 2D înzestrat cu un produs
scalar) și G grupul deplasărilor (adică roto – translațiilor) lui P. Evident,
G acționează tranzitiv pe P căci dacă g ∈ G și M ∈ P, atunci g ∗ M este
deplasatul lui M. În viziunea lui F. Klein, orice teoremă de Geometrie
euclidiană plană este o relație între puncte, drepte, distanțe sau unghiuri din P, care rămâne invariantă la acțiunile lui G. Ceva similar are loc pentru
Geometria euclidiană în spațiu și grupul deplasărilor în spațiu.
2) Fie P un plan euclidian, A ∈ P un punct fi xat și G grupul rotațiilor
lui P în jurul lui A. Orbita unui punct B ∈ P este circumferința cu centrul
în A care trece prin B. Dacă B ≠ A, atunci stabilizatorul lui B este format din
aplicația identică a lui P.
3) Fie G = (R, +, 0) și M = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y2 = 1} = { z ∈ C / |z| = 1}.
Pentru orice α ∈ R, defi nim aplicația ϕ(α) : S1 → S1, eit 6 e i(t + α).
În acest mod, avem o acțiune a lui G pe circumferința unitate.
Acțiunea este tranzitivă deci S1 este un spațiu omogen; în plus, stabilizatorul
oricărui element x ∈ M, x = e i t este Sx = {α ∈ R / ei(t + α) = eit} = 2πZ. Iar dacă

255M = S3 = {x ∈ R4 / 2
42
32
22
1 xxxx +++ = 1}, adică sfera 3D, atunci, ținând cont
că R2 = C, rezultă că M = {(z, z′) ∈ C × C / |z|2 + |z′|2 = 1} . Pentru orice t ∈ R,
defi nim aplicația bijectivă ϕ(t) : M → M, ϕ(t)(z, z′) = ( ze it, z′e it).
G acționează pe S3, dar acțiunea nu mai este tranzitivă.
4) Presupunem că starea unui sistem dinamic Σ la momentul T este un
punct s ∈ Rn; faptul că grupul G = (R, +, )) acționează pe Rn revine la a
defi ni o aplicație Φ : G × Rn → Rn, (t, s) 6 s′ este starea în care trece sistemul
Σ la momentul t dacă la momentul t = 0 s-a afl at în starea s.
Așadar, ∀ t, t′ ∈ R, ∀ s ∈ Rn, Φ(t + t′, s) = Φ(t, Φ(t′, s)) și Φ(0, s) = s.
5) Dacă M este un spațiu omogen, atunci stabilizatorii tuturor punctelor lui M
sunt izomorfi între ei (într-adevăr, fi e ∀ x, y ∈ M. Alegem c ∈ G astfel încât
c ∗ x = y și atunci aplicația ψ : Sx → Sy, a 6 cac – 1 este izomorfi sm de grupuri).
6) Să alegem doi vectori liniar independenți ,abGG în V3 formând un reper
{0; ,abGG} plan. Mulțimea R = {maG+ nbG
/ m, n ∈ Z} se numește rețea 2D .
Punctele M din plan astfel încât OMJJJJG
∈ R se numesc nodurile rețelei.
Grupul aditiv Z2 acționează tranzitiv pe R prin acțiunea Z2 × R → R,
()(, ) ,mn v v m a n b ++G GG G6 și R este un spațiu omogen.
Dar Z2 nu acționează în R2.
În mod similar, se consideră rețele 3D, iar Z3 acționează tranzitiv pe ele.
Orice substanță în fază solidă este fi e un monocristal, fi e o alipire de
monocristale, fi e o parte dintr-o mulțime de atomi invariantă la translațiile
unei rețele 3D. S-a constatat că orice structură cristalină are anumite regularități și că unele grupuri de deplasări invariază acea structură. Astfel de grupuri se numesc cristalografi ce. S-a demonstrat că există, pe lângă cele
17 grupuri cristalografi ce 2D, alte 232 de astfel de grupuri 3D.
7) Dacă P ∈ Q[X], atunci grupul său Galois Gal( P) acționează pe mulțimea
rădăcinilor sale. Galois a demonstrat că P este ireductibil R această acțiune
este tranzitivă.
NOTĂ . Teoria grupurilor are multe alte dezvoltări. De exemplu, se spune că
un grup ( G, ., e) are o reprezentare matriceală dacă există o aplicație
T : G → GL( n, R), a 6 T
a astfel încât ∀ a, b ∈ G, Ta.b = Ta ) Tb și
Te = In deci ∀ a ∈ G, (Ta) – 1 = 1aT−. Așadar, T este un morfi sm de
grupuri. În acest caz, pentru orice a ∈ G, se defi nește caracterul
lui a ca fi ind urma matricei Ta. Rezultatele Teoriei reprezentărilor
grupurilor SU(2), SU(3) sunt utilizate în Fizica particulelor elementare și în Teoria cuantică.

25612.3. Entropia – un concept universal
Termenul „entropie” provine din grecește ( τροπη = transformare, conversie) și a
fost introdus de R. Clausius în 1865, reprezentând o mărime de stare a oricărui sistem termodinamic (notată prin convenție cu S). Acest termen este utilizat în mai multe
accepțiuni și contexte diferite și aici ne vom referi la câteva descrieri matematice și comentarii.
I. Entropia termodinamică
Teoria proceselor termice (pe scurt, frigul și căldura) are câteva ramuri care au
generat multe dezvoltări fi zico- matematice:
– termodinamica rațională , incluzând analiza unor concepte fundamentale
datorate lui Carnot, Clausius, Maxwell, Boltzmann, Gibbs, Poincaré, Truesdell;
– studiul proceselor termodinamice afl ate departe de echilibru , aplicând creator
teoria bifurcațiilor și stabilitatea dinamică, legate de numele lui Onsager și Prigogine;
– studiul transferului termic prin conducție, convecție sau radiație , pornind de
la legea lui Fourier de difuzie în diferite medii și de la ecuația propagării căldurii;
– termotehnica (mașini termice – motoare, pompe de căldură, refrigeratoare
≡ frigidere, schimbătoare de căldură, cazane etc.), cu multe probleme de
optimizare și control.
Câteva elemente de termodinamică rațională ; [20].
Să considerăm un corp fi zic K (gaz, lichid sau solid), care evoluează într-un
interval de timp I; pentru orice moment t ∈ I, notăm cu V (t) și respectiv T (t),
volumul și temperatura absolută ale corpului K la acel moment. Orice domeniu
(deschis conex) din planul VOT identifi cat cu R
2 este numit spațiul stărilor corpului
K. Vom forma perechea ( K, D); orice punct ( V, T) ∈ D se numește stare a corpului
K. Aceeași substanță, afl ată în stări de agregare diferite, determină corpuri ( K, D)
diferite. Pentru orice t ∈ I, notăm cu Q(t) încălzirea (căldura introdusă sau extrasă)
la momentul t. Mulțimile I+ = {t ∈ I / Q(t) ≥ 0} și I– = {t ∈ I / Q(t) < 0 } nu sunt
neapărat intervale. Căldura absorbită (respectiv cedată ) în intervalul de timp I sunt
exprimabile prin integralele Lebesgue următoare:
C+=
() d
IQt t
+∫ ; C– =
() d
IQt t
−∫ .
Se numește proces termic în intervalul I orice drum de clasă C1 pe porțiuni
P : I → D, t 6 (V(t), T(t)). Dacă I = [a, b], se notează cu P procesul opus P – 1 (t) =
= P(a + b – t ). Vom identifi ca drumurile echivalente și procesul este privit ca o curbă
în spațiul stărilor. Un proces simplu este un drum jordanian (fără autointersecții);
un ciclu termic este un drum jordanian închis (fi gura 1.4). Presiunea care acționează

257asupra corpului K este o funcție p (V, T), p : D → R de clasă C1 pe D, astfel încât p
V∂
∂ < 0.
Expresia explicită p = p(V, T) se mai numește ecuație de stare . Lucrul efectuat de
corpul K în lungul unui proces P: I → R este integrala curbilinie L( P) =
d
ppV∫.
Lucrul este aditiv [L( P1 ∪ P2) = L( P1) + L( P2), L(P −) = − L(P)], iar dacă P este un ciclu
orientat negativ, frontieră a unui compact Δ conținut în D, atunci conform formulei
Green – Riemann, L( P) = ddpVTTΔ∂
∂∫∫ .
Să presupunem acum că există două funcții A(V, T), B(V, T) astfel încât B > 0 și
variația infi nitezimală a încălzirii δQ (prin trecerea de la o stare la alte) este exprimată
prin forma diferențială
δQ = A (V, T) dV + B(V, T) dT.
(A și B sunt căldurile latente relativ la temperatură și volum constant; condiția B > 0
exprimă faptul că la volum constant, pentru a ridica temperatura corpului trebuie să alocăm căldură).
Integrala C( P) =
∫δ
pQ se numește câștigul de căldură în lungul procesului P; din
nou, C( P1 ∪ P2) = C( P1) + C( P2) și C( P–) = −C(P).
Procesul P se numește izoterm (respectiv izobar , izocor , adiabatic ) dacă în lungul
său avem T = const. (respectiv p = const., V = const., δQ = 0). În lungul unui proces
adiabat nu are loc schimb de căldură.
Atunci când ne referim la un corp fi zic, de exemplu la un gaz, trebuie precizat
5-tuplul ( K, D, p, A, B). Un ciclu termic P : I → D se numește ciclu Carnot dacă
există două temperaturi externe T– < T+ (cea cedată condensatorului și respectiv cea
absorbită, a fi erbătorului) astfel încât T = T+ pe I+, T = T–pe I–și A are semn constant
în interiorul curbei închise P; în plus, ciclul este constituit prin concatenarea a 4 arce
de curbă, cele două izoterme alternând cu două adiabate.
Se știe că pentru T– și T+ fi xate, ciclii Carnot sunt optimali, în sensul că au
randamentul energetic maxim, egal cu 1 –( T– / T+).
Introducerea entropiei termodinamice
Principiul al doilea al termodina micii are câteva formulări, unele logic
echivalente. Una din formulări este cea datorată lui Clausius și Poincaré; anume,
forma diferențială δQ este exactă, adică are un factor integrant 1
tT (unde funcția Tt
este de clasă C1 și numită temperatura termodinamică ). Așadar, există o funcție de
stare de clasă C1, numită entropia termodinamică a corpului ( K, D, p, A, B) și notată
cu S = S (V, T), astfel încât diferențiala ei să satisfacă relația
dS = 1
tT(AdV + BdT).
Conceptul de entropie are diverse extinderi la alte sisteme termodinamice; [20].

258NOTĂ . Trebuie astfel remarcat că noțiunile principale de Termodinamică
rațională sunt introduse matematic riguros (folosind integrala Lebesgue, integrale curbilinii, forme diferențiale, lucru, formule integrale etc.). În treacăt fi e zis, Poincaré a introdus conceptul de
formă diferențială în cursul său scris „Th ermodynamique” , Gauthier
Villars, 1908.
Subliniem câteva proprietăți ale entropiei, fără a intra în detalii:
– mărimea S se modifi că într-un proces odată cu cantitatea de căldură absorbită
sau emisă, împărțită la temperatura termodinamică;
– entropia se exprimă în [J / K]; ea nu poate fi măsurată direct, dar poate fi
estimată în diverse cazuri particulare;
– entropia unui sistem închis este strict crescătoare în procese ireversibile și
constantă în procese reversibile;
– dacă se cunoaște entropia, se poate determina energia care nu este disponibilă
pentru efectuarea de lucru în procese termodinamice (de exemplu, în motoare sau mașini), unde randamentul maxim este atins atunci când energia se transformă în lucru; în timpul efectuării acestui lucru, entropia se acumulează în sistem, energia fi ind dispersată și mai puțin aptă să efectueze
lucru;
– entropia este un indicator al efi cacității energiei, deoarece alimentată la o
temperatură înaltă (deci cu entropia joasă), energia este mai utilă.
EXEMPLE1) Un automobil afl at în mișcare are o energie cinetică și poate efectua un lucru,
transportând ceva sau ciocnindu-se de ceva; frecarea face ca energia lui să fi e disipată în mediu sub formă de căldură, pierzându-se capacitatea de a
efectua lucru. Creșterea de entropie este datorată acestei disipări, echivalentă
cu creșterea dezordinii în sistemul automobil – mediu.
2) Un aparat de aer condiționat răcește aerul dintr-o cameră și în acest mod,
reduce entropia aerului; căldura scoasă din cameră va avea însă o contribuție mai mare la entropia mediului decât descreșterea entropiei aerului. Per total, entropia sistemului cameră – mediu va crește, respectând princ ipiul II.
Entropia este singura mărime care are o direcție particulară de progres,
asimilabilă cu un anumit tip de ceasornic. Se vorbește de „săgeata timpului” , dependentă de creșterea entropiei oricărui si stem izolat. Acest fapt se întâlnește în
toate sistemele termodinamice întâlnite în diverse domenii științifi ce – în Fizică,
Chimie, Biologie etc., ceea ce îi asigură caracterul universal. Dar există și multe speculații și controverse… Iată două din ele:
– În 1944, în cartea sa „ What is life ?” , E. Schrödinger s-a întrebat cum
evită organismele vii decăderea lor și răspunsul a fost: mâncând, bând și
respirând… Energia furnizată de nutrienți și Soare este necesară ordinii funcționării organismului (prin „programul” existent în ADN); o cantitate

259egală de energie este întoarsă spre mediu prin căldură și entropie. În acest
mod, organismele apar ca mecanisme de transfer de energie.
– Privind Universul ca un sistem izolat mărginit, faptul că entropia lui crește
înseamnă că energia totală este tot mai puțin utilizabilă, ajungându-se la o distribuție omogenă, fără „diferențe de potențial” și fără putința de a efectua lucru din vreo sursă. „Săgeata” timpului s-ar opri într-o materie universal inertă. S-a pus întrebarea dacă nu există oare regiuni în Univers unde entropia descrește, dar fără a ev oca indirect „cunoașterea revelată” .
Recent, R. Penrose a arătat rolul gravității în acumularea materiei disperse în stelele care ajung în găuri negre, iar St. Hawking a demonstrat că în raport cu obiectele de aceeași mărime, găurile negre au entropia maximă. Un principiu atribuit lui Le Chate lier afi rmă că „efectul se supune cauzei
care l-a produs” , fapt confi rmat aproape universal. O altă întrebare fi rească
ar fi : „ce forță se opune gravitației ?” Un răspuns atribuit lui N. Tesla este
„levitația” . Dar nu se cunosc detaliile…Un alt răspuns este cuprins într-o lege a separării energiilor cinetice ale particulelor materiale, în condițiile creșterii densității („în anumite condiții, gradientul densității conduce la un gradient de temperatură”; [16].) Creșterea densității favorizează, așa cum a afi rmat R.
Penrose, creșterea temperaturii în centrul stelelor, care ajung la colaps și apoi la o reluare a proceselor termodinamice, opuse vreunei morți termice.
II. Entropia statistică
R. Clausius nu s-a referit la natura microscopică a materiei ci numai la proprietăți
macroscopice observabile (presiune, temperatură, volum etc.). În 1870, L. Boltzmann a studiat comportarea statistică a componentelor microscopice ale sistemelor.
În Mecanica statistică, entropia unui sistem Σ este privită ca o măsură a
incertitudinii asupra sistemului, mai precis asupra modului în care comportarea sistemului este distribuită într e diferitele microstări posibile s
k, 1 ≤ k ≤ N – viteze,
poziții, impulsuri etc. ale celor N componente microscopice. Pentru o stare având
probabilitatea p de apariție, mărimea I = − ln p dă o informație asupra efectului acelei
stări (de exemplu, I este „mare” dacă p este „mică”; apoi probabilitățile mari exprimă
certitudini și informație puțină). Variabila aleatoare discretă
ξ = 1
1ln … ln … ln
… …kN
kNppp
ppp−−−⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
se interpretează ca o informație despre comportarea sistemului Σ, idee preluată
ulterior de Shannon și extinsă la alfabete de simboluri sau la coduri. Media lui ξ este
Mξ = 1lnN
kk kpp=−⋅∑ , aceasta fi ind o măsură a informației cumulate despre Σ.
Boltzmann a defi nit entropia statistică a sistemului Σ prin
S = –kB .Mξ = –kB .1lnN
kk kpp=⋅ ∑ , unde kB = 1,38 × 10 – 23 J / K
este constanta lui Boltzmann. Suma se face după toate microstările sk ale sistemului Σ
și pk este probabilitatea ca sistemul Σ să se afl e în starea sk, pentru 1 ≤ k ≤ N.

260Entropia statistică crește o dată cu numărul de stări și este nulă dacă sistemul ar
avea doar stări cu probabilitatea 1. Dacă sistemul Σ se afl ă la echilibru, probabilitatea
fi ecărei stări este pk = N1 și în acest caz, entropia este maximă: Smax = kB.1
N.
Într-un sistem termodinamic, presiunea, densitatea, temperatura tind să devină
uniforme în timp, deoarece starea de echilibru are cea mai mare probabilitate.
NOTĂ . Din defi niția anterioară a lui Boltzmann se poate deduce expresia
pentru entropia termodinamică, dar invers nu. Considerațiile lui Boltzmann se referă la sistemele formate din atomi și molecule în faza gazoasă a corpului fi zic studiat.
De asemenea, trebuie menționat că J. von Neumann a introdus în Teoria cuantică noțiunea de „entropie cuantică” S = –k
B . Tr(ρ ln ρ),
unde ρ este matricea de densitate, iar „Tr” este operatorul urmă.
III. Entropia informațională
Urmărind transmisia diverselor mesaje prin canale de comunicație, inginerul
și informaticianul american Claude Shannon a observat în 1948 că dacă o sursă de emisie utilizează un cod cu n simboluri având o numerotare fi xată și dacă cel de
al k – lea simbol apare cu probabilitatea p
k (1 ≤ k ≤ n), estimată prin determinarea
de frecvențe în cadrul unor experimente statistice, atunci rata medie de transfer de informație este de forma
–α .
2 1logn
kk kpp=⋅ ∑ = α . H,
unde H este entropia informațională exprimată în [bit / simbol] și constanta α
depinde de viteza cu care sursa emite simbolurile respective. Am prezentat în 9.3
câteva rezultate de Teoria informației, legate de capacitatea canalelor de transmisie, de raportul S/N dintre semnalul util și zgomot, precum și de rata de eșantionare, de transmitere, ca și de probabilitatea de eroare a transmisiei. Entropia informațională H este cantitatea medie de informație dintr-un mesaj și măsura unei cantități de
informație care lipsește înaintea recepției.
Legătura dintre entropia termodinamică sau cea statistică (notată cu S) și cea
informațională (H) este un subiect afl at încă în dezbatere. Entropia termodinamică
a unui gaz este o proprietate a stării acelui gaz, în timp ce entropia informațională este o proprietate a sursei care a generat semnalul (și nu a semnalului!). Există unele
proprietăți asemănătoare: S și H ar diferi doar printr-un factor multiplicativ de tipul k
B ln 2; de asemenea, entropia informațională a unui mesaj exprimă numărul de biți
necesari pentru a determina conținutul mesajului, iar entropia statistică poate fi
legată de numărul de biți pentru a determina microstarea unui sistem, cunoscând macrostarea lui.
IV . Entropia sistemelor cu stări continuale
Shannon a sugerat că rata de transmisie a unei informații continuale se poate

261reprezenta printr-o entropie exprimată printr-o integrală. Pentru orice variabilă
aleatoare continuală ξ, cu densitatea de probabilitate p (x) (presupusă continuă
pe porțiuni, pozitivă și astfel încât () d 1px x∞
−∞= ∫), se defi nește entropia lui ξ prin
expresia
H = 2 ()l o g () dpx px x∞
−∞−⋅∫,
în ipoteza că integrala este convergentă. J. von Newmann și E. Jaynes au formulat
un „principiu al entrop iei maxime” . Dacă media M ξ = 0 și dispersia D ξ = σ2 (σ > 0
constantă), atunci se poate arăta că H este maximă în cazul când ξ are o repartiție
normală (gaussiană), adică
p(x) = 2
2
21e
2x−
σ⋅
σπ, cu valoarea maximă de forma Hmax = aσ + b
(cu a, b constante pozitive); așadar, cu cât σ este mai mare, cu atât entropia este mai
mare.
Pe de altă parte, dacă ξ are valori pozitive și M ξ = μ, se poate arăta că entropia
este maximă în cazul repartiției exponențiale, unde
p(x) = 1ex−μ⋅μ pentru x ≥ 0 și p(x) = 0 pentru x < 0.
De asemenea, în cazul unui gaz ideal, cu temperatura absolută T și energia
cinetică a moleculelor constante (adică su ma pătratelor vitezelor moleculelor
constantă), luând ξ = viteza moleculelor, entropia maximă este atinsă când ξ are
repartiția Maxwell, adică
p(x) = 2
22
34ex
ax
a−
⋅⋅
π, x ≥ 0, p(x) = 0, pentru x < 0
(aici a > 0 este o constantă; de fapt, a = 2/BkT m ).
Acestea sunt câteva rezultate clasice de Fizică statistică, un capitol care include
teoria cinetico – moleculară a lui Maxwell (vezi 11.4 ,d)). Grafi cul funcției densitate p este un alt
clopot celebru (fi gura 12.4).
Valoarea maximă a lui p este
p(a) = 18 1
em
k T⋅⋅π
și descrește cu creșterea temperaturii absolute T.
Pătratul 2v al vitezei medii a moleculelor este
momentul de ordin doi al variabilei aleatoare ξ,
adică
2v = 2
2 24
3 0 04() d e dx
axp xx x x
a− ∞∞⋅= ⋅
π∫∫; punând x = at, rezultă
2v = 22 2 3
03 22 5 3/2 e d22t BkT aa attm∞− ⋅ ⎛⎞⋅⋅ = Γ = =⎜⎟ππ ⎝⎠∫.FIGURA 12.4.
„Clopotul” lui Maxwell.y = p (x)y
x Oa

262Atunci energia cinetică medie E = 2
2mv va fi E = 3
2BkT⋅⋅ , o altă formulă celebră
a lui Boltzmann . Așadar, temperatura absolută T a gazului este proporțională cu
energia cinetică medie a lui, un mare s ucces al teoriei cinetico – moleculare a lui
Maxwell.
V . O aplicație industrială
Conceptul de entropie a deschis o fereastră spre studiul altor sisteme tehnice sau
chiar sociale. Toate sistemele de comunicație au trei componente:
– un element de intrare a mesajului ( EMITENTUL );
– un mijloc intermediar de transmisie ( CANALUL ):
– un element de ieșire a mesajului ( RECEPTORUL ).
Entropia (informațională) descrie rata de transfer a informației. Dar o astfel
de situație se întâlnește și în cazul altor sisteme având trei componente similare și prezentăm, în acest sens, un exemplu generic.
Flux de obiecte deplasate pe o linie
Să considerăm o linie/axă Ox pe care se deplasează în același sens (pozitiv)
N obiecte, ca în fi gura 12.5. Notăm
cu x
k(t) abscisa, la momentul t, a
extremității din față a celui de-al k-lea obiect; fi e v
k(t) = xk′(t) viteza și
ak(t) accelerația obiectului respectiv.
[Ca exemple concrete, se pot considera vehicule care se deplasează pe o linie de circulație stradală sau pachete de obiecte sau date ( ≡ mesaje) afl ate pe o linie de transmisie].
Presupunem că cel de al k-lea obiect va accelera atunci când viteza sa este relativ
mică și va decelera când viteza este mare; așadar, putem presupune că are loc o relație de forma
a
k(t) = A . 1
1() ()
() ()kk
kkvt v t
xt x t−
−−
−, (1)
unde A este o constantă care poate fi determinată experimental.
Să notăm ρk(t) =()1
1 () ()kkxt x t−
−− , o mărime care descrie numărul de obiecte
deplasate pe unitatea de lungime. Prin integrare, relația (1) devine:
vk(t) – A . ln() )( )(1txtxk k −− = c, constant deci vk(t) + A . lnρk(t) = ck, constant.
Notăm cu Tk primul moment când vk(Tk) = 0. Înlocuind t = Tk, rezultă
ck = A . lnρ k(Tk), deci vk(t) + A . lnρk(t) = A . lnρk(Tk) adică
vk(t) = – A . ln()
()k
kkt
Tρ
ρ. (2)
Omitem să mai menționăm timpul și introducem notațiile:FIGURA 12.5. Obiecte pe o axă.12 k
xk(t) x O…

263ρ = 11 N
k kN=ρ∑ și pk = k
Nρ
⋅ρ, 1 ≤ k ≤ N.
Evident ∑=N
kkp
1 = 1 și 0 < pk < 1 pentru 1 ≤ k ≤ N deci pk se pot asimila cu niște
probabilități; defi nim entropia trafi cului , ca fi ind mărimea
H =
1lnN
kk kpp=−∑.
Așadar, H = 1ln .kk
k kkNN Nρρ−⋅ = −ρ⋅ρ ⋅ρ ⋅ρ∑∑ ln ρk + ln( N.ρ).
Maximul lui H este atins dacă pk =1
N, adică, ρk = ρ pentru orice 1 ≤ k ≤ N.
Presupunând că ρk (Tk) = r este independent de k, conform (2) rezultă
vk(t) = – A . ln
rρ.
Entropia H exprimă „gradul de organizare” a sistemului considerat. În cazul
unor vehicule afl ate pe o linie de circulație stradală, organizarea benzii de circulație
este optimă în cazul când toți șoferii au aceeași comportare.
12.4. Tomografi e computerizată
Cuvântul „tomografi e” provine din limba greacă („tomos” = secțiune).
Actualmente, tomografi a este un ansamblu de tehnici esențiale de organizare, tratare
și control nedistructiv al corpului uman (extins și la controlul diverselor materiale), prin diverse secțiuni ale obiectelor eventual rotite; secțiunile sunt realizate cu raze X, raze gamma, fl uxuri de neutroni, ultrasunete, rezonanță magnetică RMN etc.
Descriere fizico-matematică
Fundamentul matematic al tomografi ei se afl ă într-o lucrare din 1917 a
matematicianului austriac I. Radon, profesor și la Cernăuți, relativ la o clasă nouă de ecuații integrale, pe care medicul sudafrican A. Cormack și fi zicianul G. Hounsfi eld
au dezvoltat-o în 1960, construind totodată celebrul scanner (și obținând premiul Nobel). Tomografi a este utilizată în mod curent în medicina radiologică, în Biologie,
Știința materialelor și în prelucrarea informațiilor cuantice.
În acest subparagraf, vom prezenta elementele constitutive ale tomografi ei, unde
se întâlnesc contribuții matematice (transformarea Radon), fi zice (interacția radiației
cu substanța) și informatice (algoritmi rapizi de prelucrare a datelor și de imagistică), deopotrivă de importante, precum și un teren fertil de colaborare multidisciplinară. Pentru matematicieni, s-a creat un domeniu nou, numit Geometrie integrală și probleme inverse (de reproducere a unor detalii ale unor corpuri 3D inaccesibile direct, solide, lichide sau gazoase, cunoscând diverse proiecții 2D ale lor). Pentru fi zicieni, studiul interacției substanță – radiație a condus la optica neliniară și la
utilizarea laserilor în diverse ipostaze, iar informaticienii au elaborat algoritmi de mare fi nețe (Back projection, Reconstrucție iterată etc.), cu extinderea tehnologiilor

264informatic–computaționale. Există deja o revistă specializată „Journal for computer
assisted Tomography” , care publică lucrări științifi ce originale în domeniu.
Marele benefi ciar al acestor realizări tehnico–științifi ce este Medicina. Până
de curând, dacă te durea ceva în interior sau dacă aveai amețeli etc., trebuia să te „deschidă” chirurgul, printr-o interv enție agresivă și riscantă. Cu tehnicile de
scanare, sunt decelate diverse tumori, chisturi sau fi suri, care pot fi „resorbite” sau
neutralizate nedistructiv, fără intervenție directă. În termeni prozaici, pacientul este
culcat într-o incintă, care cuprinde o sursă de raze X (de exemplu), rotită și deplasată în jurul pacientului (sau obiectului tomografi at); intensitatea radiației este măsurată
cu precizie și după nivelul intensității, se va determina gradul de atenuare a radiației după traversarea tumorii studiate (fi gura 12.6).
…
…
…A
Sursa de raze X
Obiectul cu tumoare
Ecran detectorB
FIGURA 12.6. Schema unui tomograf.
y
xBA
P P
OΔ
ds
FIGURA 12.7. Raza curentă Δ prin placa P.
Dacă un fascicul de raze traversează un strat subțire al unei plăci dintr-un material
de grosime Δx, atunci variația Δ I a intensității I a radiației, este proporțională cu
grosimea, adică Δ I = − b I Δx, unde b > 0 este coefi cientul de absorbție al stratului
(fi gura 12.7). Aceasta este legea lui Lambert a radiației. Rezultă ecuația diferențială
simplă I ′(t) = − b I, de unde I(x) = I(0) . e– b x. Dacă P este o placă subțire cu pereți
paraleli și dacă introducem coordonate ca în fi gura 12.7, atunci notând cu f(x, y)
coefi cientul de absorbție / atenuare (un fel de „densitate”) în punctul ( x, y), atunci
în lungul unei raze curente Δ, rezultă conform legii Lambert, relația IB = IA. e–J, unde
IB (respectiv IA) reprezintă intensitatea radiației la ieșirea B (respectiv la intrarea A),
iar J = (, ) d
ABfxy s∫ este însumarea atenuărilor („materialul acumulat”), în lungul

265segmentului de dreaptă Δ afl at în interiorul plăcii (fi gura 12.7); „d s” este elementul de
arc în lungul dreptei Δ . Așadar, e J =A
BI
I deci J = ln A
BI
I și rezultă ecuația

(, ) d l nA
AB
BIfxy sI= ∫, (3)
cu necunoscuta f (x, y). Cunoscând funcția f, chiar și în punctele unei rețele 2D, se
obțin informații asupra disturb anțelor existente în placa P, după care modifi căm Δ.
Să presupunem că este trimis un fascic ul de radiații paralele cu o direcție fi xă,
de coefi cient unghiular m. Ecuația fasciculului este y = mx + λ, cu parametrul real λ.
Punând x = t, y = mt + λ, rezultă d s =22() ()dxt yt t′′+ = 21m+ dt și ecuația (3)
devine
2
(, ) . 1 d l nB
AxA
x
BIftm t m tI+λ + = ∫,
adică o ecuație de forma

(, ) d ( )b
aFt t gλ= λ∫ (4)
cu g funcție cunoscută (deoarece intensitățile de tipul IA, IB sunt accesibile și pot fi
măsurate). Ecuația (4) este o ecuație integrală de tip Radon .
Iată o procedură numerică pentru determinarea aproximativă a necunoscutei F
și implicit, determinarea de informații asupra plăcii P considerate:
Pasul 1 . Se aleg N funcții liniar independente ϕ1, …, ϕN, presupuse cunoscute și
se determină cu aproximație F ca o combinație liniară a acestora,
F =
1N
kk kc=ϕ ∑; este deci sufi cient să determinăm coefi cienții ck.
Pasul 2 . Se aleg N valori λ1, …, λn și atunci ecuația (4) devine

1 (, ) d ( )b N
kk i i k act t g=ϕλ = λ ∑ ∫, 1 ≤ i ≤ N, iar αik =
(, ) db
kiattϕλ∫ sunt numere
reale cunoscute.
Pasul 3 . Se obține în acest mod un sistem liniar de forma
1N
ik k kc=α∑ = g(λi), 1 ≤ i ≤ N, (5)
care „de regulă” este compatibil determinat (căci determinantul sistemului
(5) de N ecuații și N necunoscute este aproape sigur nenul (Dacă se aruncă
la întâmplare un punct pe o axă, este aproape sigur că el nu va cădea în originea axei!). Rezolvând sistemul (5), se obțin coefi cienții c
1, …, cN și apoi F.
NOTĂ . Efectuând secțiuni prin radiații, se obțin date accesibile măsurătorilor,
de tipul IA, IB și g, de unde prin rezolvarea ecuației Radon, se obține o
funcție f de atenuare a radiației (conform (3)). Funcția f este cea care
permite informații numerice privind „disturbanțele” sau „defectele” relativ la tumori sau la structura internă a plăcilor sau materialelor.

266Studiul matematic al tomografiei prin transformata Radon .
Fie S un punct în planul xOy, distinct de O, având coordonatele polare ρ, θ deci
ρ = OS și θ = măs( n,Ox OS ;
fi gura 12.8. Notăm cu (C) frontiera plăcii
P, adică a obiectivului tomografi at.
Atunci S (ρ cosθ, ρ sinθ) și dreapta
Δ care trece prin S, perpendiculară pe
OS va avea ecuația carteziană
y – ρ sinθ = −1
tgθ(x – ρ cosθ),
adică
x cos θ + y sinθ − ρ = 0.
Această dreaptă poate fi parametrizată
punând
x = ρ cosθ − t sinθ, y = ρ sinθ + t cosθ, cu parametrul t ∈ R. (5)
Atunci elementul de arc este d s =22() ()dxt yt t′′+= dt și presupunând că
funcția f este nulă în afara plăcii P, ecuația (3) devine
∫∞
∞−f(ρ cosθ − t sinθ, ρ sinθ + t cosθ) dt = g (ρ, θ), (6)
cu necunoscuta f. Membrul întâi se numește suma cumulată pentru toate razele Δ care
trec prin punctul S și ea se notează cu ( Rf) (ρ, θ), iar g(ρ, θ) depinde de intensitățile
radiației în lungul lui Δ la intrarea și ieșirea din obiectul tomografi at. Ecuația (6) se scrie
sub formă operațională Rf = g, iar R se numește operatorul (≡ transformarea) Radon .
Să notăm cu G (ω,θ) transformata Fourier 1 – dimensională a funcției g(ρ,θ),
unde θ este considerat un parametru; așadar, G (ω, .) = F1{g(ρ, .)}, adică
G (ω, θ) = Pf. ( 6)
i
(,)e dc
g∞−ω ρ
−∞ρθ⋅ ρ =∫
= i
e d ( cos sin , sin cos )d ft t t∞∞−ω ρ
−∞ −∞ρ ρ θ− θ ρ θ+ θ = ∫∫
= 2f∫∫R (ρ cosθ – t sinθ, ρsinθ + t cosθ) . e–iωρdρdt.
În această integrală dublă, facem schimbarea de variabile ( ρ, t) 6 (x, y) dată de
relațiile (5), având jacobianul egal cu 1. Atunci
G (ω, θ) =2 f∫∫R(x, y). e–iω(xcosθ + y sinθ)dxdy = F2{f}(ω cosθ, ω sinθ),
folosind transformarea Fourier 2D a funcției f (x, y). Așadar,
G = F1{g} = F1{Rf} = F2{f}, adică F1 ) R = F2, de unde R = F1–1 ) F2 și
R–1 = F2–1 ) F1, ținând cont că operatorii Fourier sunt inversabili. Ca atare, soluția
ecuației (6), adică Rf =g, este
f = R–1g = F2–1(F1{g}) . (7)
Așadar, rezolvarea teoretică (matematică) a problemei tomografi ei 2D revine la
aplicarea succesivă a două transformări Fourier.FIGURA 12.8. Frontiera (C) a plăcii P.y
Δ
θρP s
0(C)

267Cele spuse anterior se extind la cazul 3D sau la utilizarea unor fl uxuri curbate
de radiații. Analogul complex al transformării Radon este transformarea Penrose, utilizată în Teoria cuantică a interacțiilor și în înțelegerea structurii profunde a materiei. Există metode informatice, adaptând algoritmul FFT (prezentat în 8.6),
care „dizolvă” relația (7) în proceduri computaționale și SOFT – uri introduse în niște „cutii negre” , desigur sofi sticate și scumpe, numite tomografe . Așa cum am
mai spus, tomografele se întâlnesc în medicina preventivă, dar și în tratarea efectivă nedistructivă; în ultimul timp, tomografi a permite înțelegerea unor procese din
geofi zică, microunde, curgerea fl uidelor, creșterea cristalelor, procese cuantice,
fără a mai vorbi de domeniul tehnicilor militare, nu neapărat nucleare. O aplicație mai deosebită a tomografi ei o constituie detecția minelor antipersonal (dispozitive
ascunse care, după călcare și detonare în aer, fac victime sigure).
12.5. Conceptul de undină
După 1985, a apărut un concept nou, dezvoltat de trei M – uri (cercetătorii Morlet,
Meyer, Mallat) și denumit „wavelets” (l. engleză) sau „ondelettes” (l. franceză) și care reprezintă un tip special de semnale de diverse amplitudini. Echivalentul românesc, propus în teza sa de doctorat de către dl. prof. dr. ing. mat. Dan Ștefănoiu, a fost cel de „undină” (în loc de „undeluță” sau „undoaie”), la care am subscris și eu. Teoria undinelor a devenit acum un capitol central al studiului semnalelor, care adâncește (și nu înlocuiește!) analiza Fourier timp – frecvență.
În Teoria semnalelor, există câteva idei-fanion, care au fost amintite în câteva
paragrafe anterioare ( 8.6,9.4): localizare în timp sau frecvență, conversie A/D
(analogic/digitală), descompunerea semnalelor (în armonici sau în voci), compresie, fi ltrare de zgomot, clasifi care, condiții de emisie/recepție etc. Reamintim că dacă I
este un interval, se notează cu
2LI sau L2(I) mulțimea semnalelor f (t), f : I → C având
energia E( f) = 2
() d
Ift t∫ fi nită. Această mulțime are o structură de spațiu Hilbert,
relativ la produsul scalar < f, g > =
() () d
Ift gt t⋅∫.
Dacă T > 0 este fi xat, se notează cu 2
[0, ]LT spațiul Hilbert al semnalelor periodice
f : R → C, de perioadă T, relativ la produsul scalar < f, g> =
o1() () dTft gt tT⋅∫.
Semnalele en(t) = 2ientTπ
, n ∈ Z, numite armonici de perioadă T, formează o bază orto-
normală pentru 2
[0, ]LT (adică ∀m, n ∈ Z, <em, en> = δmn) și în plus, pentru orice f∈
2
[0, ]LT, are loc descompunerea lui f în armonice f (t) = e()nn nct∈∑Z , unde cn = <f, en>,
n ∈ Z. Mulțimea { n, |cn| / n ∈ Z} se numește spectrul discret în amplitudine , al lui f.
Localizarea în timp a unui semnal revine la restrângerea acelui semnal la un
anumit interval, iar localizarea în frecvență revine la o selectare a coefi cienților cn;
trecerile bilaterale f(t) ↔ (cn) sunt o ilustrare a conversiei analogic–digitale.
În prelucrarea unui semnal f (t), există diverse operații–standard: glisări f (t − τ),
scalări f (at), cu a ≠ 0 etc. Prin convenție, se numesc ferestre semnalele g ∈2LR astfel

268încât t ∙ g (t) ∈ 2LR. Pentru orice a ≠ 0, b ∈ R, se defi nesc atunci semnalele
ga, b(t) = 1 tbga a−⎛⎞
⎜⎟⎝⎠,
depinzând de doi parametri, de translație și scalare; ga, b(t) sunt un fel de „caricaturi”
ale lui g. Se arată ușor că E( ga, b) = E( g).
EXEMPLE
1) În fi gura 12.9,a) este indicat grafi cul unui semnal g (t); în fi gurile 12.9,b) și
12.9,c) se redau grafi cele de ecuații y = g (t – 3) și respectiv y = g4, 3(t).
FIGURA 12.9. Grafi cul ferestrei y = g (t) și ale unor transformate ale ei.y
y = g (t-3)
t5 3 0
b)y
y = g(t)
t 2 0 –3
a)y
t7 3 0 –3
c)y = g 1
2t-3
2
2) Dacă g (t) este o fereastră, un caz special este cel în care parametrii
sunt„discreți”: a =1
2m, b =
2mn (cu m, n ∈ Z) deci gm n(t) = 2m/2 . g(2m. t – n);
(gmn) este o familie numărabilă de ferestre.
DEFINIȚIE
O funcție ψ: R → C se numește undină dacă este o fereastră, cu energia egală
cu 1 și cu media nulă (adică
() d 0tt∞
−∞ψ=∫).
EXEMPLE
1) Funcția ψ(t) = (1 – t2) . 2
2et− este o undină, cu grafi cul indicat în fi gura 12.10
(„pălăria maxicană”).
FIGURA 12.10. Pălăria mexicană. FIGURA 12.11. Undina lui Haar.y
1
0
–11 t 0y
t1–1 – 1 3 3
1
2

2692) Undina ψH a lui Haar este defi nită prin
ψH(t) = 1 1 pentru ,12
11p e n t r u 0 ,2t
t⎧ ⎛⎞∈ ⎪ ⎜⎟⎪ ⎝⎠⎨⎛⎞ ⎪−∈⎜⎟⎪ ⎝⎠ ⎩ și nulă în rest (fi gura 12.11).
Fixând o undină ψ, pentru orice f ∈ 2LR și pentru orice a, b ∈R, b ≠ 0 se consideră
numerele
c f (b, a) =
, 1() d ,abtbft t fa a∞
−∞−⎛⎞⋅ψ = ψ⎜⎟⎝⎠ ∫,
numite coefi cienții lui f relativ la undina ψ. Operatorul IWT („integral wavelet
transform”) care asociază oricărui semnal f ∈2LR familia de numere complexe cu doi
parametri {c f (b, a) }, se numește transformarea prin undina ψ .
NOTĂ . Se constată o analogie cu transformarea Fourier clasică, prin care
oricărui element f ∈ L2 i se asociază o familie de numere complexe
depinzând de un singur parametru frecvențial { cω = ˆ()fω}, ω ∈ R.
Coefi cientul c f (b, a) redă „partea” din semnalul f concentrată în
vecinătatea punctului ( b, a) din planul T / F. Parametrii a, b nu au o
interpretare fi zică directă (ca în cazul pulsației ω); totuși, unor scale
„mari” („mici”) a, le corespund frecvențe „mici” (respectiv „mari”).
Iată o listă de proprietăți ale undinelor:
Fixăm o undină ψ, un semnal f ∈ L2 și numerele reale a, b (a ≠ 0).
– |c f (b, a) |2 ≤ E(f);
– dacă τ ∈ R și g (t) = f (t − τ), atunci c g(b, a) = cf (b – τ, a);
– dacă α > 0 și h (t) = f (αt), atunci ch (b,a) =a1cf (αb, αa);
– dacă f ∈ L1 ∩ L2, ˆf∈ L1 și f este continuă, atunci
∀ t ∈ R, f (t) = 22 11
()K a ψ∫∫R cf(b,a). ψa, b(t) da db, unde
K(ψ) = 2
ˆ(| ( ) |∞
−∞ψω∫/ |ω|) dω; [18].
Ultima relație se numește formula de inversare a IWT, care permite recuperarea
semnalului f (t) din cunoașterea coefi cienților cf (b, a).
O problemă fundamentală în aplicarea undinelor a constituit-o alegerea
(construcția) unei undine ψ, adaptată unui scop, astfel încât
ψmn(t) = 2m/2 . ψ(2m . t – n); m, n ∈ Z
să constituie o bază ortonormală convenabilă pentru spațiul Hilbert 2LR. În acest caz,
orice semnal f ∈ 2LR poate fi dezvoltat într-o serie
f(t) = ()mn mn mnt αψ ∑∑ , unde αm n = 〈 f, ψmn 〉.

270O problemă este cea a calculului mai ușor al integralelor care determină
coefi cienții αm n. În acest scop, se recomandă ca undina ψ să fi e cu suport compact
(adică nulă în afara unei mulțimi mărginite). Semnalul f se identifi că cu șirul de
coefi cienți, ca o manifestare a conversiei A/D; aceasta permite compresia semnalelor
(reținând o parte din coefi cienții αm n) și separarea semnalului util corupt de zgomot.
De asemenea, scriind relația anterioară sub forma
f (t) = ()m mft∑ , unde fm(t) = ()mn mn nt αψ∑ ,
se obține un nou tip de descompunere a semnalului f, nu în armonice (ca în cazul
Fourier), ci în vocile fm de diverse ordine, în legătură cu crearea de „zoom” – uri
locale.
Construcția de undine cu proprietăți adecvate unor scopuri prescrise ca:
recunoașterea vocii, studiul imaginilor, radar, sonar, geofi zică etc. a constituit o
preocupare deosebită a specialiștilor, după apariția rezultatelor lui Morlet, Meyer sau ale doamnei Ingrid Deaubechies. După 1990, Mallat și Meyer au dezvoltat un mod sistematic de construcții de undine prin Analiza de multi–rezoluție și prin elaborarea unui algoritm arborescent de gestionare a unor „pachete de undine” . O aplicație semnifi cativă a undinelor o constituie detectarea prin satelit a umidității solului,
în vederea predicției recoltelor viitoare. În ultimul timp, s-au elaborat algoritmi de „zoom”–are a imaginilor 2D sau 3D din Medicină, Geofi zică, Genetică și de aplicare
a unor tehnologii nanometrice.
EXEMPLU
Din multitudinea de aplicații (cele mai multe foarte tehnice), menționăm că în
prelucrarea și transmiterea diverselor semnale, un rol important revine compresiei, adică eliminării redundanței și esențializării informației cuprinse în semnale, prin reducerea numărului de eșantioane reținute.
Fixând o undină ψ cu suport compact, de tip Deaubechies, pentru indici
m, n ∈ {–15, –14, … , 0, 1, … , 16}, numărul de perechi ( m, n) este 32
2 = 1024.
Dacă f ∈ 2LR, atunci f (t) = ()mn mn mnt αψ ∑∑ , unde αm n = 〈 f, ψmn 〉 și suma are
1024 de termeni. Dar coefi cienții αm n sunt în mare parte neglijabili, deoarece undina
aleasă are suport compact, adică este nulă în afara unei mulțimi mărginite. Realizând o compresie de raport 16: 1 (1024 / 16 = 64), prin considerarea doar a indicilor de sumare m, n ∈ {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}, adică a numai 64 de perechi ( m, n), se obține
o aproximare f
ψ a lui f . S-a constatat că energia lui f ψ reprezintă 95 % din energia lui
f, adică E( f ψ) = 0,95 E( f), ceea ce oferă o bună compresie.
În prelucrarea unor imagini, într-o zonă mai densă, se recomandă mai multe
valori ale lui m, n. De exemplu, în cazul studierii imaginilor unui corp uman, o
densitate mai mare se aplică în zonele vitale – creier, inimă etc.

27112.6. Matematică și Fizică
Puțin istoric
Nu vom discuta aici despre acestea ca discipline de învățământ sau ca ansambluri
de teoreme, formule sau legi; nici nu putem evidenția priorități sau merite. Am prezentat deja multe exemple de interferență, transferuri de idei și mijloace de exprimare. Până la 1800, Matematica și Fizica făceau, împreună cu Filozofi a, corpul
comun al „Filozofi ei naturale”; după aceea, ele și-au creat modele proprii, Fizica
rămânând o știință a naturii, în timp ce Matematica a redevenit ceea ce a fost, una a gândirii și a diverselor proiecții asupra realității.
Nu putem uita că Geometria lui Euclid a fost prima știință construită logic
deductiv, că Descartes și Galilei au introdus coordonatele, oferind cadrul pentru studiul grafi celor, tangentelor la curbe, maximelor și minimelor unor funcții, fără ca
vreo altă știință să fi cerut și impus aceasta. Mai târziu, Gauss și Riemann au construit
teoria locală a suprafețelor, pregătind conceptul de varietate diferențiabilă. După 1900, matematicienii au evidențiat multe obiecte noi de studiu, sugerate de alte surse sau imaginate, pe care le-au organizat în structuri de ordine, algebrice sau de convergență. Mulțimile înzestrate cu astfel de structuri se numesc spații și mulți matematicieni
s-au refugiat în astfel de spații (vectoriale, metrice, topologice, vectorial–normate, spații Hilbert, spații de funcții etc.), descoperind adevăruri inaccesibile intuiției, dar care printr-un miracol aveau să joace un rol important și în dezvoltarea Fizicii.
Relativ independent, fi zicienii abordaseră studiul mai puțin contemplativ al
fenomenelor, decelând prin experiment mărimile care le descriu sau le caracterizează; au introdus viteza în mișcarea rectilinie uniformă, apoi accelerația defi nită de Galilei
după ce a studiat căderea liberă a corpurilor în vid și mișcarea pe un plan înclinat (moment evocat în 11.4 , a)); după descoperirea derivatelor, Newton a defi nit riguros
aceste mărimi, introducând observabilele masă (M), lungime (L), timp (T), viteza (LT
–1), accelerația (LT – 2), forța (MLT– 2), energia (ML2T– 2). Mai târziu, s-au descoperit
legile de conservare (a impulsului sau a energiei), pe care matematicienii le-au defi nit ulterior ca integrale prime. Deși Matematica și Fizica s-au dezvoltat relativ
independent, există foarte multe exemple privind viziunile diferite, dar profund compatibile, ale celor două științe, care au creat în timp un mariaj cvasiperfect, desigur din interes.
EXEMPLE
1) În Fizică a fost descoperit „princ ipiul suprapunerii efectelor” , regăsit
la suprapunerea undelor sau a soluțiilo r unor ecuații diferențiale sau cu
derivate parțiale. Ca răspuns, Matematica a creat conceptul de spațiu vectorial și pe cel de operator liniar. Ulterior, s-a dezvoltat studiul sistemelor dinamice liniare și al operatorilor între spații de funcții.
2) Mecanica a descoperit conceptul de „grade de libertate” (de exemplu, un
punct pe o axă are un grad de libertate și un punct situat pe un plan are două

272grade de libertate; o dreaptă în spațiu are 5 grade de libertate și un solid rigid
are 6). Matematicienii au răspuns cu conceptul de dimensiune. Dimensiunea unui spațiu vectorial V (sau mai general, a unei varietăți) este numărul de
condiții necesare și sufi ciente pentru a determina un element din V.
3) Derivata este un concept prin excelență fi zico-matematic. Pentru fi zicieni, o
integrală de forma
() dfx x
Ω∫ este un indicator numeric care amintește de
faptul că în regiunea Ω există o „substanță” cu densitatea f (x), iar integrala
este masa totală de substanță conținută în Ω. Matematicienii au defi nit
riguros sumele Riemann (descoperite în stare incipientă la Arhimede, așa cum am evocat în 3.5 și în 11.3 ,a)) și au lămurit difi cultățile existente
la frontiera lui Ω. Fizicienii au arătat apoi că sarcina (electrică) se obține
integrând densitatea de sarcină, iar în cazul particulelor elementare, densitatea de sarcină este o distribuție, așa cum a dovedit Dirac înainte de fundamentarea Teoriei distribuțiilor (de către L. Schwartz și I.M. Ghelfand).
4) Faraday a introdus conceptele de câmp de vectori și de linii de câmp (forță),
dezvoltate de Maxwell și Gibbs, relevând cele două tipuri de propagare a acțiunii – prin contact direct și la distanță, „din aproape în aproape” –. Acest concept a fost studiat sistematic, creându-se Teoria câmpurilor și a diverselor interacții.
5) Ideea de neliniaritate este legată de măsura devierii unei curbe de la o
dreaptă sau a unei suprafețe de la un plan; matematicienii sunt cei care au introdus conceptul de curbură (de exemplu, parabola y = x
2 are în origine
curbura maximă, egală cu1
2, tocmai raza cercului osculator).
6) Distanțele, unghiurile, ariile, volumele etc. sunt noțiuni revendicate
deopotrivă de Fizică și Matematică, unde s-au introdus produsele scalare și vectoriale, ajungând la produse scalare abstracte și la spații Hilbert. Aceste noțiuni au fost extinse la varietăți diferențiabile. Un princ ipiu fi zic este
acela că „lumina se propagă în timp minim” , pe care matematicienii l-au extins („lumina se propagă pe geodezice”), defi nind transportul paralel și
metrica spațio–timpului și arătând legătura între curbura acestuia și prezența maselor materiale.
Aceste exemple pot continua indefi nit. După 1870, s-au elaborat Teoria
moleculară și Teoria atomică a materiei, ca o „vânătoare” după constituienții elementari ai materiei; Heisenberg, Dirac și J. von Neumann au fundamentat Teoria cuantică. Dacă Σ este un sistem cuantic (de exemplu, un electron), atunci stările lui Σ
sunt asimilate cu subspații 1D ale unui spațiu Hilbert complex; dacă sistemul se afl ă
într-o stare ψ ≠ 0, atunci el trece în starea ψ
1 cu probabilitatea egală cu cos2 n
1,ψψ
și oricărei mărimi observabile pe stările lui Σ i se asociază un operator autoadjunct,
ale cărui valori proprii sunt tocmai valorile posibile ale acelei mărimi etc. Desigur, pentru unii, această descriere pare o „păsărească” fără legătură cu realitatea fi zică!

273Fizica Matematică
Cu riscul unor repetări, trebuie subliniat că, după 1900, s-a creat un domeniu
nou al științei – Fizica Matematică (F.M.), având ca obiect descrierea în termeni riguroși a unor teorii fi zice acceptate, bazate pe experiment, dar și formularea de
ipoteze noi. Printre capitolele de F.M. se pot menționa: Ecuațiile cu derivate parțiale, Analiza Fourier, Teoria potențialului, Calculul variațional, Calculul vectorial și tensorial, Teoria elasticității, Electrodinamica, Teoria relativității, Mecanica cuantică, Cosmologia. Obiectul F.M. este difi cil de precizat, deoarece frontierele sale sunt, prin
excelență, mobile.
Un subiect științifi c difi cil l-a constituit înțelegerea timpului . Derularea
anotimpurilor, durata zilelor sau lunilor et c. au fost studiate de astrologi, teologi,
fi lozofi , care au evocat „big-bang”-ul sau „eternitatea” . Matematicienii au considerat
timpul ca o variabilă independentă, cu valori continuale, luate într-un interval. Pentru Sfântul Augustin, timpul nu există în afara prezenței fi ințelor inteligente,
capabile să gândească despre trecut – prezent – viitor. Ceasurile mecanice au fost introduse în China și în Europa, primul orologiu fi ind construit în 1353. Celebra
formulă stabilită experimental de Galilei în 1583: T = 2 π
/gA [demonstrată la
sfârșitul subparagrafului 3.2 și regăsită în 11.4 prin Analiză dimensională], i-a permis
lui Huygens să construiască în 1656 primul orologiu cu pendulă, cu erori de 10 s/zi. Abia în secolul 19 s-a înțeles sensul fi zic al scurgerii timpului (anume, cel în care
crește entropia sistemelor închise). Acum se măsoară timpul cu erori de 10
– 14 s/zi. În
1898, Poincaré a pus câteva întrebări consistente, de tipul: „o secundă de astăzi este sau nu egală cu o secundă de mâine”? sau „dacă există evenimente simultane plasate în puncte diferite ale spațiului” . Nu avem încă răspunsuri defi nitive și Einstein și
Minkowski au rezolvat problema simultaneității a două evenimente afl ate la distanță,
arătând că „nimeni nu a observat un obiect în spațiu în afara timpului și nici vreun moment în afara unei poziții în spațiu” , conc hizând că Universul este 4 – dimensional.
În ultimul timp, se propune ca model un Multivers 10 – dimensional, în care timpul ar fi un număr complex .
Un alt subiect difi cil pentru F.M. l-a constituit studiul luminii . Kepler a explicat
cum funcționează ochiul și cum se formează imaginea pe retină. S-au construit microscoape sau telescoape, iar Newton a dezvoltat teoria ondulatorie a luminii. În 1861, Maxwell a realizat prima fotografi e color și în 1873, a stabilit ecuațiile sale
celebre, dovedind natura electromagnetică a luminii. Dualitatea undă–particulă a
acesteia a fost explicată plastic de Niels Bohr astfel: „lumina circulă ca o undă, dar la
plecare și sosire este o particulă” , după ce Einstein a arătat că lumina este compusă din fotoni / cuante de energie. Tot Einstein a prezis crearea laserilor.
Am subliniat în mod repetat virtuțile analizei Fourier , dezvoltată în multe direcții
și stabilind o legătură indestructibilă între ti mp și frecvență. Seriile Fourier au stat la
baza unor idei-fanion ale F.M.: descompunerea unor semnale periodice în armonice/semnale standard; conversia analogic/digital ă sau crearea undinelor. Trebuie spus că
principalele teoreme ale analizei Fourier au fost demonstrate riguros abia după 100

274de ani de la descoperirea lor, prin eforturile matematicienilor Riemann, Dirichlet,
Cantor, Lebesgue, ca și ale inginerilor Heaviside, Wiener, Shannon.
În ulimele decenii, F.M. a avut alte rea lizări excepționale: Teoria cuantică, Fizica
nucleară, Tomografi a și Imagologia, studiul cristalografi ei cu raze X, pseudocristalele
etc.
Un rol aparte îl consacrăm, în continuare, descrierii, cu modestia personală
necesară, a unei alte problematici considerate fundamentale a F.M., anume unifi carea
interacțiilor din natură, în care sunt implicați, în ultimii 80 de ani, cei mai mari matematicieni și fi zicieni ai lumii. Matematica singură nu are un astfel de scop; ea a
crescut continuu, fără direcții preferențiale, iar în acest caz, a făcut-o nu cu scopul de a inunda lumea cu teoreme și cu publicații, ci pentru a contribui la revelația armoniei lumii și coerenței culturii umane.
Dependența de scară
Scopul declarat de maeștrii Fizicii este acela de a elabora un set de legi care
guvernează fenomenele și procesele din Univers; în speță, să explice cele 4 forțe din natură – electromagnetică, interacția slabă, interacția tare și gravitatea. Iar matematicienii s-au raliat la acest program… Aceste forțe reprezintă cauza tuturor
interacțiilor cunoscute – coliziuni, reacții, atracții și respingeri etc. – din diverse locuri în spațiu și la diverse momente de timp. Gravitatea este forța care ne ține pe Pământ, iar forța electromagnetică ține atomii împreună (cea mai evidentă manifestare a ei fi ind lumina, razele X și alte unde electr omagnetice); celelalte forțe determină
fuziunea/fi siunea, precum și puterea prin care Soarele ne luminează. Un prim șoc l-a
constituit dependența de scară; anume, comportarea unui fl uid la distanțe de peste
1 cm este descrisă de ecuațiile Navier – Stokes, dar sub 10
– 1 cm este necesar studiul
structurilor granulare și sub 10 – 8 cm, studiul atomului. La dimensiuni mai mici,
modelul actual îl constituie „strings”-urile (obiecte fi zico – matematice subtile care
negociază dualitatea undă–corpuscul). La fi ecare scară, se aplică alte dinamici. Zona
de separare strictă a fi zicii moderne este legată de constanta lui Planck, care pentru
matematicieni amintește de separarea între domeniul „fi nit” și cel „infi nitezimal”
(discutată în 3.4).
În 1900, Planck a arătat că energia unui atom este E = ω=, unde2h=π= este
constanta lui Planck normalizată și ω pulsația, iar în 1905, Einstein a stabilit faimoasa
sa ecuație E = mc2 (de fapt, ΔE = c2Δm). Pornind de la constantele G, c, h (constanta
gravitațională G ≅ 6,7 × 10–11N . m2 . kg–2; viteza luminii în vid c ≅ 3 × 108 m . s–1 și
constanta Planck h ≅ 6,6 × 10–32J . s), s-au propus alte unități care generează același
grup dimensional. Există, de asemenea, o constantă adimensională α ≅ 1/137, numită
constanta structurii fi ne, legată de radiația emisă de particulele încărcate. Mecanica
relativistă și electromagentismul utilizează M, L, T, C („coulomb”–ul); relativitatea generală – G, c, iar teoria cuantică – c, h, dar nu a fost încă posibilă o etalonare/
calibrare („gauge”) care să depășească difi cultățile dependenței de scară; [2], [19].

275Pentru a preciza aceste considerații, încercând să le descriem din poziția unui
matematician nespecialist, vom prezenta în continuare câteva concepte geometrice
utilizate în Fizica modernă, unele fi ind chiar inspirate de aceasta. În orice caz, pot
afi rma că matematicienii înșiși au difi cultăți în înțelegerea părții matematice cuprinse
în revistele-top de Fizică.
Geometrie pentru Fizica modernă
Reamintim că se numește varietate topologică de dimensiune n orice spațiu
topologic Haussdorff conex X (de exemplu, un spațiu metric) cu proprietatea că
orice punct x ∈ X are o vecinătate U homeomorfă cu un domeniu V ⊂ Rn, printr-un
homeomorfi sm ϕ : U→ V. Perechea ( U, ϕ) se numește o hartă pe X. Oricărui punct
P ∈ U i se asociază astfel un set de n coordonate locale x = (x1, …, xn) astfel încât
ϕ (P) = x. Dacă ( U ′, ψ) este o altă hartă astfel încât U și U ′ să nu fi e disjuncte și dacă
P ∈ U ∩ U ′, atunci punctul P are încă un set de n coordonate locale y = (y1 …, yn),
astfel încît ψ (P) = y; fi gura 12.12.
Restrângând ϕ și ψ la U ∩ U ′, există atunci un homeomorfi sm H între deschiși
din Rn, H : ϕ (U ∩ U ′) → ψ (U ∩ U ′), H = ψ ) ϕ – 1 și y = H (x), numit transformare
de coordonate locale .
O varietate topologică se poate acoperi cu hărți (formând un atlas ).
EXEMPLE1) Orice deschis din R
n este o
varietate topologică, având o singură hartă (pe el însuși).
2) Fie f : I → R o funcție
continuă pe un interval deschis și C = {x, f(x)/x ∈ I}
grafi cul lui f; C este o
varietate topologică de dimensiune 1, având o singură hartă,
ϕ : C → I,
(x, y) 6 x.
De asemenea, dacă g: u → R este o funcție continuă pe un deschis
U ⊂ R2 și S = {(x, y, z) ∈ R3 / (x,y) ∈ U și z = g(x, y)} este suprafața
asociată, atunci S este o varietate topologică de dimensiune 2, cu o
singură hartă ϕ: S → U, (x, y, z) 6 (x, y).
3) Sfera unitate S2 = {( x1, x2, x3) ∈ R3 / 2
32
22
1 xxx ++ = 1} nu poate fi acoperită
cu o singură hartă (deoarece S2 este mulțimea compactă și nu poate fi
homeomorfă cu un deschis din R2). Dar se poate construi pe S2 un atlas cu
două hărți. FIGURA 12.12. Hărți pe o varietate topologică.U
Ψφ
φ (U U’)Ψ (U U’)VV’ HU′X
P.

276Fie N(0, 0, 1) și S(0, 0, − 1) polul Nord și respectiv polul Sud (fi gura 12.13).
Considerăm deschisul U = S2 \ N și aplicația de proiecție stereografi că
ϕ: U → R2, care asociază oricărui punct P(a, b, c) din U, intersecția dreptei
NP cu planul x1Ox2 .
Dreapta NP are ecuațiile 3 12
1xc xaxb
ab c− −−==−− − și înlocuind x3 = 0, rezultă
că ϕ (P) = ,11ab
cc⎛⎞
⎜⎟−−⎝⎠.
Fie apoi U′ = S2 \ S și
ψ : U ′ → R2 aplicația care
asociază oricărui punct P (a, b, c)
din U ′, intersecția dreptei SP cu
planul
x3 = 0 deci ψ (P) = ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
+ + cb
ca
1,1.
Aplicațiile ϕ, ψ sunt
homeomorfi sme și ca atare, S2
este o varietate topologică 2–dimensională.
Explicităm în fi ne aplicația H = ψ ) ϕ −1, adică transformarea de coordonate
x 6 y. Avem U ∩ U ′ = S2 \ {N, S} și ϕ(U ∩ U ′) = ψ (U ∩ U ′) = R2 \ {(0, 0)};
un calcul simplu arată că H(u, v) = 22 22,uv
uv uv⎛⎞
⎜⎟++⎝⎠, adică y1 = 1
22
12x
xx+,
y2 = 2
22
12x
xx+.
4) În mod similar, S3 (sfera unitate 2222
1234xxxx+++ = 1 din R4) este o varietate
topologică. Reamintim că SU(2) este grupul matricelor A ∈M2 (C) care sunt
hermitice ( A . TA= I2), cu determinantul egal cu 1 (vezi 12.2 ).
Dacă x = (x1, x2, x3, x4) ∈ S3 și notăm z1 = x1 + ix2 și z2 = x3 + ix4, matricea
A =12
21zz
zz⎛⎞
⎜⎟−⎝⎠ aparține la SU(2). Aplicația F : S3 → SU(2), x 6 A este un
homeomorfi sm și astfel, S3 este o varietate topologică și în același timp un
grup (și este chiar un grup topologic).
5) Orice deschis al unei varietăți topologice este o varietate topologică de
aceeași dimensiune. Dacă X și Y sunt varietăți de dimensiune m și respectiv
n, atunci produsul cartezian X × Y este o varietate de dimensiune m + n .
În particular, cilindrul S1 × R, ca și torul S1 × S1 sunt varietăți topologice 2D.
Să fi xăm acum o varietate topologică M de dimensiune n.
Două hărți ( U, ϕ) și ( V, ψ) se numesc compatibile dacă deschișii U, V sunt
disjuncți sau dacă aplicațiile de tipul H = ψ ) ϕ–1 sunt netede ( ≡ difeomorfi sme de
clasă C1). M se numește o varietate diferențiabilă (pe scurt v. d. ) dacă pe M este FIGURA 12.13. Sfera 2D și cele două hărți.x3
x2
x1N
OP
(P)Ψ(2)
S

277fi xat un atlas în care hărțile sunt două câte două compatibile (vezi 5.4). Exemplele
anterioare sunt v. d.
O aplicație f : M → R se numește netedă (sau câmp scalar neted pe M) dacă este
continuă și pentru orice hartă ( U, ϕ) pe M, f ) ϕ–1 este netedă pe deschisul ϕ(U), ca
funcție de n variabile reale.
Un vector v ∈ Rn se numește vector tangent la M într-un punct p ∈ M dacă există
un drum parametrizat neted ρ : I → M și un punct to ∈ I astfel încât ρ (to) = p și
ρ′ (to) = v. Mulțimea tuturor valorilor tangenți la M în punctul p se numește spațiul
tangent la M în p și se notează TpM (fi gura 12.14).
Dacă M = Rn și p ∈ Rn, atunci T0 Rn = Rn.
FIGURA 12.14. Spațiul tangent TpM.ρv
pM
I t0
Dacă ( U, ϕ) este o hartă pe M și p ∈ U, atunci există un izomorfi sm R − liniar
ϕ ′(p): TpM = TpU ∼JGTϕ(p) Rn = Rn.
Bazei canonice { e1, … , en} din R îi corespunde prin acest izomorfi sm o bază a lui
TpM, depinzând de p, {∂1p, …, ∂np}, numită bază mobilă pe M.
În cazul n = 2 al unei suprafețe S: r = r (u, v), baza mobilă este ,rr
uv∂∂⎧⎫⎨⎬∂∂⎩⎭.
În acest caz, să fi xăm un drum parametrizat ρ : I → S deci ∀ t ∈ I, ρ (t) = r(u(t), v(t))
și ρ ′(t) = u ′(t)r
u∂
∂+ v ′(t)vr
∂∂.
A defi ni un câmp de vectori în lungul drumului revine la a fi xa un vector tangent
X (t) ∈ Tρ(t) S, pentru orice t ∈ I. Derivata X ′(t) nu este un vector tangent și se
defi nește derivata covariantă tX
dD
= proiecția lui X ′(t) pe tangentă. Câmpul se zice
paralel în lungul drumului dacă derivata covariantă tX
dD
este nulă în fi ecare
punct.
Dacă to, t1 ∈ I, se spune că un vector Y1 ∈ Tρ(t1) S este obținut din Yo ∈Tρ(t0) S
prin transport paralel dacă există un câmp paralel X (t) în lungul drumului ρ
astfel încât Yo = X (to) și Y1 = X (t1); fi gura 12.15.

278Drumul ρ se numește o geodezică a lui S atunci când câmpul vitezelor ρ′ este
paralel în lungul drumului.
Aceste concepte se extind și la
cazul varietăților diferențiabile, dar detaliile sunt prea tehnice.
Dacă M este o v.d., a defi ni un
câmp de vectori v pe un deschis
D ⊂ M revine la a considera o
colecție ( v
p), p ∈ D cu vp ∈ TpM.
În acest caz, are loc o reprezentare
unică v =∑=∂n
kkkf
1 (cu componentele
scalare f k), în sensul că ∀ p ∈ D,
vk = 1()nk
kp kfp=∂ ∑ .
V. d . M se numește riemanniană dacă pentru orice punct p ∈M se poate introduce
un produs scalar abstract gp: TpM × TpM → R (adică o matrice pătratică pozitiv
defi nită relativ la baza mobilă), ale cărei elemente variază neted cu p.
Notând gij(p) = gp(∂ip, ∂jp), se defi nesc componentele unui tensor dublu covariant
pe M, numit tensorul metric al lui M. În coordonate, d s2 = ig∑ijdxi dxj (suma după i
și j) este metrica varietății.
EXEMPLU
Orice suprafață netedă r = r (u, v) este riemanniană relativ la prima formă
fundamentală gp(v, w) = v.w, obținând metrica d s2 (clasică gaussiană). Se poate arăta
că pe o varietate riemanniană M n – dimensională există o conexiune simetrică, adică
un set de n3 funcții k
ijΓ, permițând defi nirea transportului paralel și geodezicelor pe
M; [2], [9], [19].
Familii de spații vectoriale
Fie B un spațiu topologic, numit ad – hoc bază . A defi ni o familie de spații
vectoriale peste B înseamnă a fi xa un alt spațiu topologic E (numit spațiu total ) și
o aplicație continuă p: E → B astfel încât ∀ x ∈ B, mulțimea Ex = p – 1 (x), (numită
fi bra lui p în x) este un spațiu vectorial peste R sau C. Avem astfel familia ( Ex),
x ∈ B de spații vectoriale. Dacă q: F → B este o altă familie, un morfi sm între familii este
o aplicație continuă ϕ : E → F astfel încât q ) ϕ = p și în plus, ∀ x ∈ B, aplicația U : Ex → Fx,
y 6 ϕ(y) este liniară (fi gura 12.16).
O aplicație continuă s : B → E se numește o
secțiune dacă p ) s = 1X, adică ∀ x ∈B, p(s(x)) = x;
așadar, s(x) ∈ Ex. FIGURA 12.15. Transport paralel pe o suprafață.Y0Y1X(t)
S(ρ)ρ(t0)ρ(t)ρ(t1)
FIGURA 12.16. Morfi sm
între familii.E φ
BpqExFxF

279Fibrați triviali
Fie B și F două spații topologice (de exemplu, metrice) și E = B × F.
Aplicația π: E → B, (x, t) 6 x se numește proiecție (proiecția întâi).
Tripletul ( E,B,F) se numește un fi brat trivial peste B.
Pentru orice x ∈ B, π – 1 (x) = { x} × F se numește fi bra Fx a lui x.
Toate fi brele sunt homeomorfe cu F.
Dacă F = Rq, se spune că avem un fi brat trivial de rang q peste B. Un alt fi brat
(E ′,B, F) cu aceași bază, se zice izomorf cu ( E, B, F) dacă există un homeomorfi sm
ϕ: E → E ′ astfel încât π ′ ) ϕ.
EXEMPLE
1) Ori ce fi brat trivial determină o fami lie de spații vectoriale peste bază.
2) Cilindrul C = S 1× R este un fi brat trivial de rang 1 peste S 1, cu toate fi brele
homeomorfe cu R (fi gura 12.17,a)).
3) Torul 2 – dimensional T = S 1× S 1 este de asemenea un fi brat trivial de rang 1
peste S 1(fi gura 12.17,b)); aici baza și fi brele sunt circumferințe.
FIGURA 12.17. Cilindrul și torul ca fi brați.xT
yS1
b) a)(u, t)
πFx
FxFy S1C
x u
4) Aplicația π: R × R3 → R, (t, x, y, z) 6 t defi nește un fi brat trivial de rang
3, unde spațiul total este R4, identifi cat cu spațiul evenimentelor punctuale
(1.1). Pentru orice t ∈ R, fi bra π–1 (t) este formată din evenimentele
simultane, care au loc la momentul t.
Fibrații mai generali sunt „local triviali” .
Fibrați cu grup structural
A defi ni un astfel de fi brat revine la a fi xa un 5-uplu
F = (E, M, π, F, G),
cu E, M, F, G varietăți diferențiabile ( E = spațiul total, M = baza, π: E → M o aplicație
netedă surjectivă, F = fi bra și G un grup Lie acționând la stânga pe fi bră, în sensul
că dacă x ∈ M și u ∈ Fx, iar g ∈ G, atunci gu ∈ Fx). În plus, se presupune că există o
acoperire deschisă { Ui} a bazei M astfel încât:
– există un set de aplicații netede ϕ i : Ui × F →~π–1(Ui), numite trivializări
locale ale fi bratului (căci π–1(Ui) ∼ Ui × F prin ϕi-1), astfel încât, pentru orice i,
∀p ∈ U i, ∀ f ∈ F, (π ) ϕi)(p, f) = p;

280- există un set de funcții de tranziție
τi j: Ui ∩ Uj → G, astfel încât ∀ i, j, ∀ p ∈ Ui ∩ Uj,
∀ f ∈ F, să avem ϕj (p, f ) = ϕi(p, τi j(p)f ); dacă p
este fi xat, se scrie simbolic ϕj = ϕi ) τi j;
– se presupun îndeplinite următoarele relații
de compatibilitate: ∀i ∈ U, ∀p ∈ Ui, τi i(p) = e
(elementul neutru al grupului G); ∀ i, j,
∀ p ∈ Ui ∩ Uj, τi j (p) = τj i(p) – 1 și ∀ i, j, k,
∀ p ∈ Ui ∩ Uj ∩ Uk, avem
τi j (p) ) τj k(p) = τi k (p); fi gura 12.18.
Fibratul F se numește vectorial dacă fi bra este un spațiu vectorial și G = GL( q, R);
[5], [19].
NOTĂ . Se poate arăta că dacă { Ui} este o acoperire deschisă a lui M și se
consideră τi j cu relațiile de compatibilitate, se poate construi prin
construcții ansambliste un fi brat. De asemenea, pentru același fi brat
se pot considera și alte acoperiri deschise ale bazei, fără modifi cări
structurale. Toate aceste se refac în cazul varietăților complexe și
fi braților olomorfi ; [3].
EXEMPLE1) Dacă M este o v. d. de dimensiune n, se poate considera fi bratul vectorial
tangent TM = ∪
p∈MTpM , cu baza M și fi bra Rn. Pentru exemplifi care, fi e sfera
2D, M = S2, cu acoperirea {U, U ′} indicată în fi gura 12.13 și coordonatele
în U, U ′ legate prin relațiile y1 =2
22
11
xxx
+, y2 =2
22
12
xxx
+. Proiecția π: TS2 → S2
asociază oricărei perechi ( p, u) ∈ TS2, punctul p ∈ S2; u ∈ TpS2 este un vector
tangent la S2 în p. Fibra F = R2 și luăm G = GL(2, R), grupul matricelor
pătratice inversabile de ordin 2.
Triviarizările sunt ϕ – 1(u) = ( p, uV1) și ϕ′ – 1(u)= (p, uV2) unde {uV1, uV2}
sunt componentele scalare ale vectorului tangent u (relativ la baza mobilă).
Tranzițiile sunt date de matricea jacobiană a lui y1, y2 ca funcții de x1, x2 și de
inversa acesteia; anume, t12 = ()⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
− −− −
+2
22
1 21212
12
2
22
22
1 22 1
xxxxxx xx
xx și t21 = 1
12t−.
2) Așadar, fi bratul tangent T S2 nu este trivial (cu baza S2). dar T S1 = S1 → R este
trivial peste S1.
De asemenea, aplicația π: R → S1, π (x) = (cos x, sin x) este proiecția unui
fi brat peste S1, cu fi bra 2 πZ.
3) Un fi brat important în Fizica Matematică este cel asociat transformării
Penrose p: P3(C) → S4, care generalizează transformarea Radon din
tomografi e și necesită un studiu aprofundat al spațiilor complexe. Nu dăm
detalii; [3], [19].FIGURA 12.18. Fibrat
cu grup structural. π-1(Ui)
Ui UjMπτijpr1φiUi×FE
G

281Se numește secțiune a fi bratului
F orice aplicație netedă s: U → E
defi nită pe un deschis U ⊂ M, astfel
încât π ) s = 1U, adică ∀ x ∈ U, π (s(x))
= x. Deci s(x) aparține fi brei π −1(x);
fi gura 12.19.
EXEMPLE1) Fie M = R
3 × R și
ψ : M → C, z = ψ (x, t)
funcția de undă. Aceasta determină o secțiune s : M → M × C,
s(x, t) = ( x, t, ψ (x, t)) a
fi bratului trivial M × C peste M.
2) Câmpurile de vectori tangenți pe deschiși ai unei v.d. M sunt secțiuni ale
fi bratului tangent T M; un câmp v = (v
x), x ∈ U este colecție de vectori
vx ∈ TxM, variind neted cu x. Așadar, v = ∑=∂n
kkkf
1 cu fk : U → R funcții
netede.
NOTĂ. Dacă f : [a, b] → R este o funcție netedă, se defi nește în punctul
curent derivata ei ∇f(x) = limΔx→0xxf x xf
Δ−Δ+ )( ) (.
Dacă M este o varietate diferențiabilă, f : M → Rq este o funcție cu
valori vectoriale și dacă v ∈ TxM, atunci se poate defi ni derivata lui f pe
direcția v, în punctul x, anume ∇v f(x) = limΔt→0txftvxf
Δ−Δ+ )( ) ( ∈ Rq.
Se pune și problema derivării unor secțiuni s = (sx), x ∈ U și nu ale
unor funcții; sx aparține fi brei Fx = π – 1(x) a fi bratului F și nu se poate
folosi construcția anterioară, deoarece f(x + vΔt) și f (x) nu aparțin
aceleași fi bre! Aici intervine transportul paralel, prin intermediul
unei conexiuni a fi bratului. O conexiune este o regulă care permite un
transport al fi bratului în lungul curbelor situate pe baza M, compatibil
cu acțiunea grupului G.
Fizică modernă modelată de Geometrie
Se poate arăta că pe orice varietate riemanniană M există o conexiune cu
coefi cienții ()k
ijΓ, astfel încât pentru orice doi vectori X, Y transportați paralel în
lungul oricărei curbe situate pe M, produsul scalar g( X, Y) rămâne constant pe orice
curbă. În aceste condiții, rezultă relația lui Levi – Civita :
11
2nkp k
ij kg=Γ=∑ (∂ i gjp + ∂j gpi – ∂p gij), pentru orice i, j, k . E
π
Ms (U)
s
Uxfi bra π-1 (x)
FIGURA 12.19.
Secțiune a unui fi brat.

282Reamintim că tensorii sunt seturi de funcții de coordonate care se modifi că,
după reguli precise, la schimbările de coordonate. Tensorii au punctul de aplicație în fi ecare punct al lui M și pentru a-i „compara” în diversele puncte ale varietății, se
folosește transportul paralel sau conexiunea.
Fie γ: x =x (t), 0 ≤ t ≤ T, o curbă de clasă C
2 situată pe M; se spune că un
vector (contravariant) ξ ( t), plasat în x (t), rămâne paralel dacă d0di
ij k
kjx
tt∂ξ+Γ ξ =∂;
curba γ este o geodezică dacă vectorul tangent x′(t) variază paralel cu el însuși, adică
2
2d dd.dd dj i ik
kjx xx
tt t+Γ =0, 1 ≤ i ≤ n. Aceasta este ecuația geodezicelor pe M. Pentru xi(0),
)0(ix′date, există local o unică geodezică ce pornește din punctul xi(0) într-o direcție
dată. Cu metode de Calcul variațional, se arată că geodezicele sunt curbele de lungime minimă, situate pe M și unind două puncte fi xate; lungimea unui vector ξ = (ξ
i) este
()1/2
,ij
ij ijgξξ∑ .
Se construiește tensorul de curbură (de 3 ori covariant și o dată contravariant), cu
cele n4 componente () Rmm
ijk i jk j ik jk im ik jm m=∂Γ −∂ Γ + Γ Γ −Γ Γ ∑AA A A A.
Notând Rij = Rk
ijk k∑ , se defi nește curbura scalară R = ,Rik
ik ikg∑ . Toate aceste
relații sunt foarte tehnice și necesită o bună cunoaștere a unor elemente de calcul tensorial; reamintim că g
ij sunt componentele tensorului metric și ( gkj) satisfac
relațiile kj
ik ijkgg =δ ∑ ). În cazul unei suprafețe, curbura scalară R este direct legată
de curbura Gauss a suprafeței.
Ecuațiile lui Einstein ale Relativității generale sunt
Ri j −
21gij . R = 8π G . Tij, ∀ i, j
unde G este constanta gravitațională și Tij este tensorul energie–moment care descrie
distribuția materiei; [2], [19]. Aceste ecuații sunt în număr de 10 și au fost stabilite în 1915. Gravitația este prezentată nu ca o forță, ci ca o curbură a spațiului și timpului. În prezența unor mase mari, spațio-timpul se curbează, iar câmpul gravifi c infl uențează
metrica acestui spațiu; în absența gravitației, spațio – timpul este tocmai spațiul Minkowski necurbat. Teoria Relativității generalizate a fost confi rmată experimental
(de exemplu, prin măsurarea deviației luminii în vecinătatea maselor imense, în câmpuri gravifi ce mari) și constituie baza Cosmologiei științifi ce. Universul este
local euclidian și pentru viteze „mici” , metrica lui este apropiată de cea euclidiană, iar teoria newtoniană a gravitației apare ca un caz limită al teoriei einsteiniene.
În ultimul timp, s-a impus următorul model fi zico – matematic de fi brat.
Spațiul de bază este spațiul spațio – timp Minkowski M = R
4 și spațiul total este
E = P3(C), spațiul proiectiv complex (vezi 4.4), proiecția fi ind transformarea Penrose
π: P3(C) → M. Difi cultățile tehnice sunt deosebite și ne permitem doar o „survolare”
a situației. Orice punct p ∈ M este privit ca poziția unei particule în spațiu și timp,
iar spațiul total E reprezintă materia din Univers. Materia dintr-o anumită regiune
U ⊂ M este o secțiune a fi bratului, iar fi brele π–1(p) sunt asimilate cu mulțimile stărilor

283interne. O conexiune a fi bratului este o regulă care permite transportul unui sistem
fi zic în lungul liniilor din Univers situate pe M; cunoscând starea inițială, se poate
deduce evoluția sistemului.
În acest cadru, câmpul electromagnet ic este o conexiune în spațiul gradelor
interne de libertate ale unui electron cuantic, iar câmpul gravitațional este o conexiune
în spațiul gradelor de libertate ale unui giroscop. Mărturisesc că nu am înțeles prea bine aceste considerații fi zico – matematice și sunt convins că nu Geometria a condus
la descoperirea lor; doar că ea este capabilă să descopere conceptele utile pentru descriere și fi xare… Reținem că orice câmp defi nește o conexiune, care forțează
materia la un transport în lungul liniilor de Univers.
Un moment emoționant a fost acela când s-a constatat că materia stabilă din Univers
este constituită din quarci și electroni, funcția de undă a unui quark fi ind o secțiune
într-un fi brat, iar funcția de undă a unei cuante fi ind o conexiune. Ne apropiem de o
descriere unitară a tuturor interacțiilor din Univers, și este impresionantă corelarea unor instrumente matematice cu explicarea de fenomene fi zice!
Câmpul electromagnetic, câmpul gravitațional sau câmpurile particulelor
elementare nu se pot măsura direct și ele se modifi că printr-un anumit tip de
transformări de coordonate numite „ transformări gauge ” . Pe de-altă parte, diversele
mărimi măsurabile – viteze, energii, sarcini etc. sunt invariante la transformările
gauge, chiar dacă sunt deduse urmărind câmpuri variabile. Acest tip de invarianță se numește „simetrie gauge” .
EXEMPLU
Reamintim (vezi 11.4, c) , cu notații ușor schimbate, ecuațiile lui Maxwell în
vid:
I. div ρ=EG
(legea Gauss);
II. div BG
= 0 („lipsa monopolurilor magnetice”);
III. rot EBjt∂=+∂GGG și
IV . rot tBE∂∂−=GG
(legea Faraday); EG
(respectiv BG
) este câmpul electric
(respectiv magnetic), ρ – densitatea de sacină și jG – curentul electric.
Conservarea sarcinii electrice rezultă din ecuația de continuitate (div jt∂ρ+∂G = 0).
Ecuațiile II și III se pot scrie ∂
μ Fμν = Jν, unde Fμν = ∂μAν – ∂νAμ;
aici V = Ao este potențialul scalar și Ai sunt componentele potențialului
vectorial AG
; i = 1, 2, 3. Câmpurile EG
și BG
sunt observabile, dar potențialul
lor scalar V și potențialul vectorial AG
, nu. Printr-o transformare gauge, care
alterează cele două potențiale, EG
și BG
rămân nemodifi cate, ca și mișcarea
particulelor încărcate. Simetria gauge este strâns legată de legea conservării
sarcinii.

284Fizicienii au realizat că interacțiile fundamentale sunt legate de simetrii gauge
locale. Prima teorie a câmpului având o simetrie gauge a fost cea legată de ecuațiile lui Maxwell. Un câmp electric static se poate descrie în termeni de potențial electric (≡ voltaj), defi nit în orice punct din spațiu; prin convenție, Pământul are nivelul
zero al potențialului, justifi când „legarea la Pământ” . Doar diferențele de potențial
sunt fi zic măsurabile! Dacă V este o soluție a ecuațiilor lui Maxwell, atunci după o
transformare gauge, noul potențial V + c (c – constantă reală) este de asemenea o
soluție și prin nici un experiment nu se poate distinge între cele două soluții. În acest sens, se spune că electricitatea și magnetismul sunt invariante la transformări gauge. Cele spuse se extind de la electricitatea statică la electromagnetism, unde există potențialul vectorial magnetic; [9], [19].
Y ang și Mills au descoperit matematic simetrii – gauge care au condus la
unifi carea forțelor slabe cu electromagnetismul, confi rmată experimental de Salam,
Glashow și Weinberg, împroprietăriți cu premiul Nobel.
Trebuie de asemenea amintit că Hilbert a dedus ecuațiile lui Einstein ale Teoriei
relativității generale, prezentată anterior (R
i j −21gij . R = 8πG . Tij), pornind de la
ipoteza invarianței lor la orice transformare de coordonate (bijective, netede și cu
inversele netede). Invarianța la translații fusese declarată de Galilei și demonstrată
de Newton, depășind concepția lui Aristotel (conform căreia legile Fizicii pe Pământ ar fi diferite de cele din restul Universului). Prima consecință a Teoriei unifi cate a
câmpului este aceea că proprietățile câmpul ui electromagnetic, ale celui gravitațional
sau ale elementelor chimice sunt aceleași pe Pământ și pe oricare altă planetă !
În ultimul timp, Teoria cuantică a pătruns în explicarea unor mistere de tipul
psihicului sau conștiinței, urmând previziunea lui Pasteur că
„Misterul vieții se afl ă în adâncurile geometrice ale materiei”.
12.7. Matematica și știința calculatoarelor
Așa cum am mai spus, secolul 20 a consfi ințit o largă colaborare umană privind
crearea și dezvoltarea diverselor domenii științifi ce, incluzând și Informatica. Ca
exemplu dominant, evocăm construirea și perfecționarea computerelor moderne.
În 1915, Hilbert a arătat nevoia regândirii fundamentelor matematicii și analizei
critice a conceptelor și construcțiilor axiomatice, iar logicienii Kleene, Church, Gödel, Turing, Post au analizat conceptul de calculabilitate și implicit pe cel de automat. Turing și Post au imaginat o mașină abstractă care prelucrează șiruri de biți, pe baza unor instrucțiuni. Von Neumann a introdus ideea ca datele inițiale și programul să fi e stocate împreună în memorie și să fi e accesate în mod secvențial,
creând practic calculatoarele actuale. Nimeni nu a bănuit că fundamentele logicii și matematicii au putut genera joncțiunea între constructorii de mașini abstracte și inginerii electroniști.

285O problemă centrală a fost și este cea a analizei timpului necesar de calcul și
a organizării spațiului de memorie pentru probleme tot mai complexe. S-a ajuns la computerele paralele și la crearea unor algoritmi de tip nou. S-a impus analiza corectitudinii programelor sau a creării calculatoarelor de proces, care să lucreze în timp real și să fi e atașate controlului unor clase speciale de procese inginerești sau
economice.
Matematica utilizată în Știința calculatoarelor este prin excelență Matematica
Discretă și am prezentat în paragrafele 7, 8 diverse exemple în acest sens. Am discutat
nevoia unor algoritmi rapizi și implicit analiza de complexitate, ținând cont de unele limitări ale „hard” – ului. Comunicarea cu calculatorul a rămas o problemă mereu actuală, ajungându-se ca traducerea automată să fi e astăzi realizată în timp record,
cu eroare acceptabilă. Nu mai insistăm asupra teoremelor demonstrate cu asistența calculatorului, în care partea fi nitistă revine calculatorului, iar cea infi nitistă –
cercetătorului uman. O întrebare existențială este cea a delimitării domeniilor fi nit/
diferențial/cuantic și cea de abordare a infi nitului, în diversele lui accepțiuni. În timp
fi nit, se pot scrie sau prelucra doar un număr fi nit de simboluri. Datele numerice
sau alfanumerice se prezintă ca șiruri fi nite de simboluri, iar prelucrarea lor se face
printr-un număr fi nit de operații. Faptul că o operație algebrică sau logică se face
într-o secundă sau în 10
–9 s nu modifi că esența. Ca atare, nu se pot lua în considerație
toate zecimalele lui 3, π sau e și se apelează la trunchieri controlabile. Un astfel de
control îl realizează ANALIZA NUMERICĂ, o ramură nouă deopotrivă a Analizei matematice și a Științei calculatoarelor, care include estimarea erorilor acumulate în diversele calcule, ca și studiul unor procese sau fenomene fi zice care devin
semnifi cative la scări nanometrice. Calculatoarele moderne au evidențiat aspecte noi
ale manifestării naturii; de exemplu, fractalii, undinele, obiectele cuantice sau cele constructale etc.
Nu trebuie să pierdem capacitatea de a ne mira! Astfel, o noțiune centrală în
Analiza matematică este cea de limită (de tipul lim
x → α f(x)); există o infi nitate de
valori ale lui x care se apropie de punctul a, dar cele care se scriu cu cel mult 8 cifre
sunt în număr fi nit și trebuie trecut la numere care tind către a și au cel mult 16 cifre
etc. Unde să ne oprim?
Există și alte capcane ale Analizei matematice clasice. De exemplu, seria
∑≥−
0!100)1(
nn
n
n este lent convergentă și după ce se calculează primele 50 de sume
parțiale, ea pare a fi divergentă; iar seria ∑≥−
0100!)1(
n nnn care este divergentă poate
părea convergentă. Ca un exemplu vechi, legat de accelerarea convergenței, pentru
calculul lui π, se poate aplica formula lui Leibniz: π = 4 arctg 1, dar mult mai rapidă
este formula lui Machin:
π = 16 arctg
51 – 4arctg2391
(cu utilizarea dezvoltării în serie arctg x = x – …7 5 37 5 3
+ − +x x x ).

286Am văzut de asemenea virtuțile algoritmului FFT pentru studiul transformării
Fourier discrete și am dat anterior, în paragraful 10, exemple legate de utilizarea fără
discernământ a diverselor formule aproximative „rău condiționate” .
După 1970, Analiza numerică a stabilit tehnici efi ciente de aproximare a calculului
cu matrice (metoda elementelor fi nite, descompunere singulară, pseudoinversă
etc.), a rezolvării diverselor clase de ecuații diferențiale și cu derivate parțiale, ca și clase de probleme de cercetare operațională și teoria deciziei. Supercomputerele, calculatoarele paralele și mai recent, cele cuantice, au impus standarde de creare și analiză de algoritmi specifi ci, care impun apropierea fără precedent a „soft ”-ului și
„hard”-ului, adică a Matematicii de Știința calculatoarelor.
12.8. Matematică și inginerie
Rostul matematicienilor de astăziProfesiunea de inginer, ilustrată prin cuvintele „ingenios” sau „engine” , s-a
impus relativ târziu, culminând cu secolul 20 numit și „secolul ingineriei” . Spre deosebire de opera altor creatori, cea a inginerilor se afl ă la vedere, fi ind direct
legată de responsabilitățile nu doar profesionale. Nu discutăm aici unele clasifi cări
discutabile – ingineri de concepție, de execuție, administrație etc.; faptul că utilizarea matematicii la diverse nivele este o parte componentă a preocupărilor inginerești este un loc comun, parte a procesului amplu de „matematizare” a multor activități .
În cuprinsul acestei cărți, am adus argumente privind viabilitatea Matematicii,
care împreună cu Statistica și Calculul științifi c, continuă să fi e considerată o parte
integrantă a progresului tehnologic și social, fi ind fi nanțată ca atare. „Orice știință
pornește de la o metaforă și se desăvârșește în algebră” , spunea F. Black. Depășind stadiul fi lozofi c contemplativ, Matematica a ajuns să descrie și să consolideze
majoritatea proceselor fi zice. Pentru a da exemple, care au dominat secolul
20, calculatoarele dirijează rachete și sateliți care transmit imagini analizate în laboratoare multidisciplinare, dirijează mesajele, transporturile, incluzând GPS („Global Positioning System”) sau alocările de resurse. Aceste tehnologii nu ar fi existat dacă nu se studiau geometriile speciale (de exemplu, GPS – ul folosește
geometrie neeuclidiană!), procesele stochastice, fi ltrarea sistemelor și separarea de
zgomot, împreună cu înțelegerea naturii mesajelor digitale. De asemenea, în întreaga inginerie este esențială cunoașterea rezistenței și fi abilității diverselor componente
ale mașinilor și utilajelor, ca și legile curgerii fl uidelor – apă, uleiuri, aer, abur, gaze
etc., inclusiv aspectele neliniare sau prezența bifurcațiilor.
În zilele noastre, matematicienii abordează atât probleme proprii (de tip
hobby profesional sau plăcere împărtășită cu puțini, difi cil de explicat altora), cât și
răspunsuri la întrebări care preocupă mai multe categorii de cercetători. Iată câteva exemple care domină știința și ingineria secolului 21:
– grupuri de fi zicieni și matematicieni lucrează, în câteva centre științifi ce ale
lumii, la Teoria unifi cată a interacțiilor (de mare însemnătate principială;
12.6 );

287- algoritmul de căutare pe INTERNET este datorat unor matematicieni, iar
implementarea au făcut-o inginerii de la Google;
– Geometria integrală are ca o aplicație directă Tomografi a (12.4 );
– Teoria undinelor are aplicații în Telecomunicații ( 12.5 );
– studiul ecuațiilor neliniare cu derivate parțiale, incluzând solitonii, fi brele
optice și ecuațiile Navier – Stokes;
– Teoria numerelor are aplicații impresionante în Criptografi e și în securizarea
cărților de card;
– meteorologia și problemele de energie și mediu angajează multe forțe
interdisciplinare;
– grupuri de cercetare descifrează codul genetic, cu consecințe spectaculoase
în medicină etc.
În multe universități, este garantată libertatea cercetătorului, dar se practică, fără
ostentație, orientarea către activități utilitare, care nu urmăresc neapărat salarii mai bune sau joburi mai sigure.
O problemă devenită aproape universală este cea a recâștigării tinerilor pentru
matematică și a decelării și protecției celor talentați.
Ingineria matematică ( ≡Matematica industrială)
Am mai spus că în tradiția școlii anglo-saxone, Matematica aplicată cuprinde ca
discipline de învățământ și cercetare științifi că: Mecanica rațională, Termodinamica
și Electromagnetismul, în corelare cu Fizica. După 1980, s-a creat un domeniu nou – Ingineria matematică sau echivalent, Matematica industrială , distinct atât de Inginerie
cât și de Matematica aplicată și acest domeniu este deja instituționalizat prin crearea de departamente sau facultăți de profi l. În 2009, EMS a lansat proiectul „Mathematics
and Industry” , având ca îndemn: „inovate or perish” și ca obiective:
– să exploreze căi de stimulare a inițiativelor de colaborare între matematicieni
și ingineri;
– să identifi ce „bunele practici” , cu recomandări făcute guvernelor și agențiilor
specializate;
– să extindă cercetările multi și interdisciplinare orientate spre sprijinirea
industriei.
La ultimul congres de Matematici industriale (Vancouver, 2011) s-a discutat un
mare număr de subiecte privind proiectarea și construirea unor structuri complexe (poduri, baraje, platforme marine), mediul și energia, prelucrarea semnalelor (tomografi e, undine, digitalizare), criptografi e, combustie electronică, prelucrarea
imaginilor din satelit (detecția unor noi zăcăminte, controlul trafi cului, eroziune,
estimarea umidității solului cu predicția viitoarelor recolte) etc.
În ultimă instanță, Ingineria este arta îmbunătățirii vieții prin mijloace tehnice
– proiectare, construcție, control. Tehnologiile moderne au depășit cu mult invențiile artizanale și instrumentele de măsură tehnice; telecomunicațiile, tomografi a,
procesele cuantice, laserii și alte tehnologii nanometrice au revoluționat lumea

288măsurătorilor opto-electronice și implicit, a conducerii diverselor procese. Ingineria
matematică este parte a ingineriei cunoașterii, consacrată colectării de date și prelucrării lor superioare, cu întoarcere asupra realității studiate; de curând, am avut ocazia să vizitez Universitatea din Nisa și am afl at că Ingineria matematică a fost
asociată cu Matematicile fi nanciare, ajungându-se ca bugetele unor țări mari să nu
mai fi e elaborate de economiști-fi nanțiști înguști și obscur-dependenți.
INGINERIA MATEMATICĂ V A DEVENI NUCLEUL INGINERIEI
VIITOARE
Actualmente, Matematica este rejectată de fl uxul principal al culturii, ca urmare
a difi cultăților de comunicare și dialog, dar și a complexelor și chiar răutăților altor
profesioniști.
Ingineri vs matematicieni
Modelarea matematică și-a dovedit efi ciența și a devenit chiar vitală în cazul unor
sisteme complexe. Un model creat pentru o problemă și pentru un set de condiții poate deveni inutilizabil pentru alte condiții; este necesară elasticitate a în decizie, bazată pe
cunoașterea profundă a matematicii care a stat la baza instrumentelor informatice.
De exemplu, în lumea aparatelor de zbor, un proiect de succes din trecut nu se poate reface fără analiză asimptotică sau fără studiul stratului-limită; matematicienii sunt prin excelență apți pentru analiză critică, de adaptare și recreare a soft ului. Se spune,
ușor malițios, că matematicienii înțeleg ce fac, iar inginerii fac ce înțeleg! De fapt, matematicienii înțeleg cum funcționează lucrurile dar nu știu să le facă să lucreze, în timp de inginerii fac să lucreze mașinile fără să înțeleagă de ce. Desigur, adevărul este la mijloc.
Există încă o particularitate a matemat icii, anume prezența „puriștilor” , uneori
trecuți în uitare publică. Merită subliniate câteva exemple răsunătoare de succese datorate unor mari creatori. Geodezia teoretică a fost construită de Gauss, iar descoperirea undelor electromagnetice, de către Maxwell și Hertz; Tomografi a este
bazată pe ecuația integrală a lui Radon; Criptografi a modernă, rețeaua INTERNET
și multe altele sunt contribuții de matematică pură distilată și dizolvată în tehnologii, care au transformat lumea. Ne putem acum imagina o lume fără Radio, TV , celulare sau INTERNET ?
Așa cum spunea H. Cartan, „toată matematica bună este aplicabilă” . Este foarte
important de știut că există multe probleme matematice concrete care nu au soluții defi nitive: transferul termic, curgerea fl uidelor în diverse ipostaze, optica neliniară,
dinamica structurilor discontinue, bifurcații, haos, consecințele teoriei unifi cate
a interacțiilor din natură etc. Astfel de chestiuni nu se adresează vulgului, fi e el
școlarizat, ci elitei cercetării matematice.
În organizarea colaborării dintre ingineri, matematicieni, fi zicieni și economiști
există două opțiuni: sau se creează departamente având o astfel de compoziție și apoi începe goana după contracte cu industria sau se formulează o problemă importantă pentru un grup industrial și în jurul ei se creează ad-hoc grupul internațional, capabil de rezolvarea cu succes, în timp rezonabil, a acelei probleme. Am constatat că în

289mai multe țări s-a adoptat opțiunea din urmă. Dar mai există și probleme aparent
prozaice care pot angaja detașamente matematico – inginerești de studiu; ca un exemplu generic, nu putem uita că mâncarea trebuie pregătiră, stocată, încălzită/răcită, înghețată/dezghețată, testată, digerată, împachetată, transportată, vândută etc. Realizarea cu competență a acestor operații pune întrebări superbe privind transferul termic, rezistența materialelor, studiul amestecului de nutrienți, utilizarea microundelor generate de un magnetron care penetrează alimentele, schimbă polii în partea umedă, modifi că fazele etc. Rolul detașamentelor menționate nu este doar
cel legat de răspunsul la întrebările puse; dar se poate realiza un transfer de idei, o sudare a grupului de cercetare și pregătire în vederea altor provocări. Nu trebuie însă uitat că orice detașament uman trebuie să aibă un lider cu autoritate profesională și morală, căruia i se cere în plus să aibă o vastă cultură asimilată, o minte integratoare/convingătoare și fl er în comunicare cu alții comparabili cu acel lider; fără aceste
condiții, grupul poate lucra la o cercetare prost croită, iar efortul intelectual depus va fi neproductiv.
Rolul STEM în societatea modernă
În mai multe țări avansate (SUA, Germania, Anglia, Japonia) au fost lansate recent
diverse inițiative legate de STEM („Science, Technology, Engineering, Mathematics”), numele generic al unui complex de măsuri de stimulare a cunoașterii producătoare de succes; acestea se referă la reformarea instrucției publice și la orientarea cercetării științifi ce, cu implicarea guvernelor și a altor instituții, prioritar în cele 4 domenii
și acordând matematicii un rol privilegiat, cu deviza:”Să ne reconstruim viitorul!” . Președintele Comisiei de matematică în cadrul U.E., profesorul fi nlandez Tor –
Ulfwech a afi rmat că „Ingineria este bazată pe Matematică, Fizică, Chimie și pe
soluții tehnologice” . Este necesar un parteneriat al universităților tehnice cu alte organizații din domeniul învățământului și cercetării științifi ce privind valorifi carea
capacităților intelectuale ale tinerilor, în drumați spre cunoașterea producătoare de
progres; în același timp, trebuie stopat accesul la resurse al responsabililor unor eșecuri dovedite, cu promovarea doar a celor apți să mute frontierele cunoașterii. Viața pe Pământ va dura atâta timp cât vom fi conduși de grupuri de înțelepți, afl ați
deasupra oricărei îndoieli.
Experiența mea de matematician printre ingineri
De regulă, matematicienii sunt preocupați de propriile lor cercetări și mai puțin
de aplicarea acestora; această atitudine provine dintr-o anumită tradiție academică și o detașare de realitatea prozaică, ascunzând adeseori teama de insucces sau chiar de ridicol. Este adevărat că în cadrul comunității matematice, există o anumită izolare a celor care ies din plutonul indiferenților, încercând un dialog profesionist cu fi zicienii,
inginerii sau economiștii. Mulți „puriști” consideră că toți cei care fac Matematică aplicată sunt fi e cercetători expirați, fi e vânători de avantaje materiale.
A ști Matematică înseamnă a înțelege câteva capitole ale ei până la ultima esență
(de tipul 0 = 0). Dar a aplica Matematica este ceva mai complicat, căci computerul

290și enunțul de teoreme sau de formule nu sunt sufi ciente și tot ce contează este
rezultatul fi nal. Nu poți face Matematică aplicată de unul singur; este ca la tango,
unde ai nevoie de partener, de atmosferă și motivație. Îmi amintesc de întrebarea: de ce practică indienii yoga ?” , cu răspunsul considerat indecent: „de foame!” . Eu adaug unul foarte personal… În iarna 1982 am tremurat rău de frig în casă și nu am putut respinge invitația fratelui meu, prof. dr.ing. Corneliu Stănășilă de a colabora cu el la înțelegerea unor procese de transfer termic în diverse ipostaze. Cornel conducea un laborator mare de energetică industrială și avea succes în proiectarea și construirea unor echipamente industriale – schimbătoare de căldură, sobe, uscătoare de lemn sau ceramică etc. Colaborarea a fost simplifi cată de dorința mea de a aborda „caldul
și frigul” , dar și de priceperea partenerului de a descrie aproape matematic procesele respective. Am cunoscut astfel forța unui model matematic corect, unde se stabilesc parametri fundamentali și legitățile de evoluție; abordarea matematică este o dovadă de maturizare și de stăpânire a domeniului analizat, ca și unicul mod de a utiliza efi cient
calculatorul. Abia atunci am început să pr icep de ce se spune că „lumea este simplă și
cel mai greu lucru este să înțelegi această simplitate” . În fața ecuațiilor, m-a interesat existența și unicitatea soluțiilor, dar și sensibilitatea la modifi carea parametrilor sau
la comportarea pe intervale lungi de timp; ceva mai târziu, am „gustat” binefacerile calculatorului – viteza, grafi ce spectaculoase, simularea proceselor, virtutea proiectării
și execuției asistate de computer etc. Este inutil să spun că după ce am intrat într-o astfel de colaborare, am schimbat calitatea orelor mele de curs, prin limbaj și exemple fi zice diverse, printr-o deschidere a matematicii către inginerie, încercând să transmit
această nouă experiență și colegilor mei de catedră.
În 2.4 am prezentat câteva exemple de modelare matematică, generatoare de
noțiuni noi. În ingineria largă, acest fapt este secundar și totul este subordonat obținerii de succese locale și eventual, industriale. Am refăcut, în gând și fapt, etapele oricărei modelări corecte:
– elaborarea unui model fi zic, cu decelarea parametrilor esențiali și a legilor
lor de evoluție, cu limitările inerente;
– scrierea de relații constitutive și ecuații, cu rezolvarea lor (de regulă
aproximativă);
– testarea mentală și simularea pe computer, cu perfecționarea modelului și
analiza soluției obținute.
Nu cred că există o satisfacție umană mai mare decât aceea de a trăi momentul
când, după ce un proces gândit este transpus într-un model fi zico – matematic, el să
fi e încorporat, materializat într-un pilot care să funcționeze, să confi rme modelul și
să-ți ofere o șansă ulterioară. Am avut ocazia de mai multe ori să simt forța modelului, care îți permite o altă reașezare a instalației fi nale; de exemplu, exploatând simetriile,
creând condiții de uniformizare a parametrilor (temperatură, presiune) sau făcând ca agenții termici să parcurgă drumuri scurte. Am depășit perioada romantică a proiectării constructive („ochiometrice”), ținând cont acum de restricțiile inerente în alegerea materialelor, resursele limitate și de exigențe ecologice. Optimizarea consumurilor sau estetica sunt luate în seamă după implementarea proiectului (cu

291succes!). Optimizarea matematică diferă de cea tehnico –economică, fără a mai
vorbi de moralitate, atunci când inginerul realizează mine-personal sau scaune electrice „optime” . În continuare, voi da câteva exemple de obiecte fi zice originale,
experimentate cu succes, unde rolul principal a revenit lui Cornel, adică inginerului, iar matematica a fost subiacentă; voi lăsa de o parte difi cultățile de fi nanțare din
România, în condițiile unei industrii afl ate în derivă și ale unui dezinteres general.
I. Un schimbător de căldură
Am conceput și realizat un schimbător recuperativ de căldură, în contracurent,
din beton, apt pentru temperaturi până la 1700
oC (fi gura 12.20).
…………
…
…
…
………
……………
… … …… … …
…
… … …aer rece 20 0C
gaze de ardere
fi erbinți 200 0Caer preîncălzit la
120 0Cgaze de ardere
reci 60 0C gaze
ardere
aer 20 0C120 0C200 0C
60 0C
FIGURA 12.20. Schema unui
schimbător de căldură.
Într-un bloc paralel ipipe dic de beton, dezvoltat pe verticală se realizează șiruri
de canale paralele cu fețele verticale (cana le realizate prin turnarea betonului; nu
discutăm aici de cofraj, matriță, turnare, vibrare, întărirea betonului). Două fl uxuri
de gaz în sensuri opuse trec alternativ prin canalele menționate, la capetele cărora se plasează distribuitoare și colectoare, care separă fl uxurile și le conectează la sursă și
la ieșire. În exemplul din fi gura 12.20, diferența medie a temperaturilor agenților este
Δt = 80 4058Kln(80 / 40)−≅ . Nu există piese în mișcare și nu apar șocuri termice; agenții
termici nu se amestecă și viteza aparentă de curgere este de circa 2 m/s. Modelul
matematic folosește legea Fourier, care conduce la anumite ecuații diferențiale cu condiții la frontieră. Schimbătorul a fost utilizat ca preîncălzitor, al aerului comburant, cu gazele de evacuare fi erbinți ale unui cazan; [15] și Brevet România nr.94507/1986.
Aceeași idee ne-a permis să construim o sobă, în care gazele de ardere ieșite la peste 200
oC treceau prin schimbător; căldura lor era cedată, prin pereții relativ subțiri
dintre canale, aerului din exterior, care se preîncălzea de la 20 la 120 oC, iar aerul
preîncălzit se introducea sub grătar, apt de o combustie superioară.

292II. Transfer termic cu alternanță
Am prezentat pe scurt în 2.4, fi gura 2.7 un schimb de căldură original între un
material granular supus tratării termice (uscare, încălzire, piroliză etc.) și un agent gazos–abur sau aer fi erbinte–, ce străbate orizontal, în mod alternant, vracul granular.
Schimbul de căldură se realizează pe întreaga verticală, folosind o baterie exterioară de încălzire și ca rezultat, are loc o intensifi care puternică a schimbului, fără agresarea
materialului. Am aplicat cu succes această idee geometrică la uscarea cherestelei sau a cărămizilor, într-un tunel vertical (eliminând vagoanele), precum și la gazifi carea
deșeurilor celulozice, iar în ultimii ani, am extins procesul la valorifi carea cenușilor
piritice, separând fi erul.
III. Valorificarea pământurilor, cenușilor și zgurelor metalurgice
Se știe că lumea înconjurătoare este plină de oxizi și că tehnologia avută în
vedere la tratarea cenușilor piritice se extinde la pământul pe care îl călcăm, ca și la cenuși de termocentrală, zgure metalurgice, sterile carbonifere și minereuri de tot felul. Referindu-mă doar la pământ (după ce se pune alături partea vegetală), o tonă de pământ conține în medie: 600 kg SiO
2 (din care se pot extrage 150 kg Si);
150 kg Al2O3 (80 kg Al); 60 kg FeOx (40 kg Fe); 50 kg CaO (35 kg Ca); 45 kg MgO
(25 kg Mg); 35 kg Na2O (25 Kg Na); 25 Kg K2O (20 kg K) etc. În total, peste 400
Kg metale (sau metaloizi) pentru fi ecare tonă de pământ uzual. Tehnologia a fost
parțial experimentată și Cornel a obținut brevetul de invenție „Procedeu și instalație de dezoxidare a unor materii prime oxidice, cu separarea componentelor chimice” nr. 127656 / 2013; tehnologia cuprinde următorii pași: topire la temperatură înaltă (2200
oC) într-un reactor din metale înalt refractare, reducerea oxizilor cu cărbune
introdus în topitură (am găsit soluții pentru topire ieft ină și pentru a împiedica
ridicarea prafului de cărbune deasupra topiturii din cauza densității), condensarea metalelor ușoare purtate de CO, precum și separarea celor mai grele etc.
Reacția chimică, MeO + C → Me + CO este binecunoscută în Chimie și Metalurgie
(amintind de trioul soț–soție–amant, prin căldură se slăbește legătura chimică dintre metal și oxigen adică soț/soție, iar carbonul atrage cu precădere oxigenul); este important că oxizii din topitură se separă, după reducerea cu C, iar unele metale (de exemplu, Si sau Ca) devin ele însele reducători, grăbind separarea fi nală. Tehnologia
poate fi aplicată minereurilor specializate, inclusiv ale celor care conțin metale rare
sau prețioase și există motive să sperăm într-o îmbogățire a mijloacelor Metalurgiei extractive.
NOTĂ .
O idee sau chiar o invenție valorează puțin prin ea însăși, dacă
rămâne neaplicată. Un brevet de invenție devine o marfă numai dacă este aplicat, altminteri rămâne tot un exemplu de neputință și nefericire pentru autor. Teoremele de modelare matematică, susținute de experiment pot fi perfecționate, valorifi cate etc.; altminteri, rămân
la nivelul de contribuții „platonice” . Nu mi-am închipuit că, prin abordarea aplicațiilor, voi obține succese facile sau avantaje; într-o

293cercetare de tipul descris, m-a împins curiozitatea omenească și nu
conta că eram profesor doctor titular șef de catedră, sau că mi-aș fi
trădat comunitatea matematică. Probabil a contat mult faptul că m-am asociat cu o persoană apropiată, fără acea pudoare profesională care îți (auto)limitează libertatea de gândire și exprimare; poți spune și
nerozii, fără să te rușinezi și fără complexe!
Voi da un ultim exemplu de încercare de apropiere a spiritului matematic de
ingineria teoretică, pe care îl consider sufi cient de semnifi cativ. Despre mașina
termică aproape Carnot, pe care o voi prezenta mai jos, am discutat critic cu mai mulți specialiști termotehnicieni români și st răini, fără a reuși sensibilizarea unor
factori de decizie în vederea experimentării soluției propuse, lăsând vreunui tânăr studios reluarea acestei propuneri .
IV . Mașină termică quasi-Carnot
Prezentare generală
În procesele ciclice, orice mașină termică M schimbă lucru (cu exteriorul) și
căldură (cu două surse, una fi ind de regulă mediul exterior). Lucrul mecanic L,
căldura primită Q
p și respectiv cea cedată Qc (de la două surse de căldură afl ate la
temperaturi Tw > Tc; „w” ≡ warm și „c” ≡ cold) satisface relația L = Qp + Qc, conform
principiului I al termodina micii. Apar două posibilități:
a) L > 0, Qp + Qc > 0; sistemul face lucru asupra mediului, primește căldura
Qp de la sursa caldă și cedează Qc spre sursa rece. În acest caz, mașina este
un motor termic , realizând transformarea (p arțială) a căldurii în energie
mecanică; randamentul lui M este η =
pQL= 1 – ||c
pQ
Q.
b) L < 0, Qp + Qc < 0; sistemul primește lucru și cedează căldură. Dacă sursa rece
este mediul și sursa caldă-incinta mașinii, atunci se spune că M este o pompă
de căldură , care transformă energia mecanică în energie termică, incinta
încălzindu-se peste temperatura mediului. Dacă sursa rece este incinta și cea caldă – mediul, avem o mașină frigorifi că (≡ frigider, ce transformă
energia mecanică în termică, iar incinta se răcește sub temperatura mediului exterior); în acest caz b), se defi nește efi ciența mașinii, ε = |Q
p / L| (în cazul
pompei de căldură) și ε = |Qc / L| (în cazul frigiderului), efi ciența putând fi
supraunitară. În orice mașină termică există o substanță de lucru (benzină,
motorină sau hidrogen în motoare; apă în pompe de căldură sau amoniac la frigidere). La motoarele cu ardere externă (de exemplu, turbinele cu abur), combustia are loc în alt loc decât cel unde căldura se transformă în lucru.
Toate mașinile termice au randamente inferioare mașinii ideale Carnot (în
condițiile funcționării între aceleași temperaturi externe ale agenților temici
respectivi), η = 1 –
c
wT
T.

294În tehnica actuală, ciclul Carnot este departe de a fi realizat economic; numărul
mare de componente complexe, existența multor elemente afl ate în mișcare alternativă
și accelerațiile mari din curgerea agenților termici gazoși complică și scumpesc mașinile termice. Pe scurt, mașinile termice actuale au consumuri mari energetice
(de exemplu, motoarele Diesel sau Otto nu depășesc randamente de 0,4).
În lucrarea [21], am prezentat, într-o primă variantă, o mașină termică realizând
izotermele în alternanță cu adiabatele unui ciclu Carnot, direct sau inversat, fără alternanța sensurilor oricăruia din fl uxurile gazoase și cu puține piese, nici una în
mișcare alternativă, ci doar cu o mișcare de rotație și fără șocuri.
Descrierea calitativă a soluției
Transformările izoterme, alternate cu cele adiabatice, sunt realizate în cursul
deplasării relative a agentului termic gazos prin doi cilindri alăturați (sau tronconuri cu înălțime mică), solidari coaxiali, printr-unul în sens crescător al razei și prin celălalt, în sens descrescător; cilindrii sunt rotiți în jurul axului cu o frecvență relativ mare. Evoluția presiunilor pe durata ciclului va fi realizată gazostatic, fi ind liniară în
raport cu densitatea și a gazului, iar accelerația centrifugală a
n = r.ω2 variază liniar cu
raza r (dp = an.ρ.dr). Cilindrii sunt rotiți în jurul axei lor cu frecvența f = ω/2π, relativ
înaltă dar fezabilă. În cazul motoarelor termice (fi gura 12.21), transformarea izotermă
rece se asigură printr-un schimbător de căldură cu simetrie cilindrică, în care agentul termic gazos al mașinii cedează căldură unui lichid (sau alt gaz) care o transferă apoi ambianței, condensul format fi ind evacuat axial și returnat la generatorul de vapori.
FIGURA 12.21. Schema unui motor termic quasi – Carnot.ωadiabata
adiabată adiabatăizoterma
caldăizoterma
caldă
izoterma
rece
În cazul motoarelor cu ardere externă, izoterma caldă se poate realiza printr-
un alt schimbător de căldură, alimentat cu vapori produși în exteriorul cilindrului; iar în cazul motoarelor cu ardere internă, izoterma caldă se realizează prin arderea directă în zona periferică de înaintare a agentului termic gazos către axul cilindrilor (fi g.12.21). În această situație, agentul termic gazos este constituit din gazele rezultate
din arderea combustibilului cu aer atmosferic, primenit continuu la începutul izotermei reci. Pentru pompele de căldură (ca și pentru mașinile frigorifi ce), izoterma
rece se întreține cu aport de căldură de la o sursă rece exterioară, prin intermediul

295unui lichid sau al unor vapori care condensează în schimbătorul de căldură respectiv,
iar izoterma caldă se întreține cu evacua re de căldură de la o sursă caldă exterioară
prin intermediul altui lichid care evoluează ca atare sau se vaporizează. Partea cea mai puțin comprimată a adiabatei cu presiune medie mai scăzută se realizează, în cazul motoarelor termice, prin destindere într-o turbină, iar în cazul pompelor de căldură, prin comprimare. Pornirea mașinii termice necesită energie de la o sursă externă. Iată câteva particularități ale soluției:
– funcționarea urmează un ciclu Carnot, cu randament termic aproape de cel
maxim;
– evoluția agentului termic gazos se realizează cu accelerații mici;- construcția mașinii folosește un număr mic de piese .
Difi cultatea practică constă în realizarea turației relativ mari a tamburului
cilindric; de asemenea, apar probleme de etanșare a conductelor.
Mă opresc aici cu descrierea încercărilor mele de a-mi depăși condiția de dascăl
de matematică. În încheierea acestei cărți, voi prezenta un fel de sinteză a sintezelor anterioare…
12.9. Metabolismul matematicii și informaticii
Conform DEX, metabolismul unui organism viu este ansamblul proceselor
de transfer, captare și eliberare de energie sau informație, interne sau în contact cu mediul, însoțind acel organism. Titlul acestui subparagraf ar putea părea forțat, dar la o analiză mai atentă, începând cu etimologia („metabole” ≡ transformare, în
grecește), termenul poate fi extins; astfel, el cuprinde transformarea combustibililor
din alimente în energia necesară pentru divers ele acțiuni – mișcare, gândire, creștere
și chiar moarte -, dar am avut surpriza să întâlnesc sintagma „metabolism urban” pentru descrierea proceselor socio-economice, legate de fl uxurile de materiale și
energie care țin în viață comunități de fi ințe, incluzând sănătatea unor localități și
sustenabilitatea unor proiecte. Însuși Marx a utilizat metafora metabolismului pentru a se referi la interacțiile om-natură, reduse în fi nal la hrană și adăpost.
Tocmai un astfel de punct de vedere ușor holistic m-a condus la ipoteza că
Matematica și Informatica ar putea fi și ele un organism viu, traversat de substanță
reactivă, dezvăluind un transfer permanent de concepte, raționamente și rezultate omologate; în Matematică apar și neliniști metafi zice și chiar curenți fi lozofi ci,
comenzi externe sau mode. Ca și organismele vii, matematica se poate gripa puțin dacă își pierde contactul cu cele două izvoare ale sale − maeștrii și realitatea înțeleasă
−; dar și invers, Matematica se primenește prin contact conductiv, convectiv sau
radiativ cu alte domenii ale cunoașterii. Voi da mai multe exemple în acest sens și îmi voi permite unele proiecții personale ale obiectelor matematice în lumea reală, nu
neapărat cea inginerească, sau în cea a comunicării.
Nu putem uita formula universal valabilă: INVENT OR PERISH! , care este un
motor continuu al dezvoltării
umane.

296Metodele dezvoltării matematicii
Toată istoria matematicii arată că dezvoltarea ei a fost sinuoasă, diferită de cea pe
care o prezentăm în lecțiile noastre. De exemplu, am afl at de la profesorul Andreotti,
că Siegel era foarte nemulțumit de modul cum a evoluat matematica la începutul secolului trecut, când s-a părăsit linia marcată de Jacobi și Hermite în Teoria funcțiilor, ca și linia trasată de Poincaré în Mecanică și Termodinamică; la același lucru se referea de curând Arnold. Păstrând proporțiile, am trăit și noi un pericol de sufocare, în perioada anilor 70-80, prin exacerbarea modei bourbakiste ce-și arunca umbrele în învățământ, ajungându-se la un tip de producție de steril intelectual, de exemplu, la teze de doctorat rebusiste ce studiau categorii cu 5 obiecte și 10 morfi sme.
Chiar și în zilele noastre, Grothendieck și Mandelbrojt acuză unele centre de putere și (de)formare a conștiințelor, care încearcă să-și impună orientările sau gusturile. Din fericire, așa cum există un zeu apărător al bețivilor, există probabil și unul al matematicienilor, care a cam dormit în perioada celor 1000 de ani de dinaintea Renașterii și care mai ațipește uneori.
Filozofi a matematică ocupă un loc aparte în fi lozofi a științelor, deoarece ea
răspunde problemelor centrale ale metafi zicii și adoptă și alte metode de investigație
decât cea inductiv-euristică . În primul rând, metoda formalistă (pornind de la un
minim de principii generale), apoi cea logic-analitică (concepte derivate din concepte
logice − adevăr, demonstrație, model, interpretare −) și cea istoric-critică . Consider
că merită analizate garanțiile științifi ce pe care aceste metode le oferă și cu care ele
au însoțit și au împins dezvoltarea matematicii; multe din aceste metode au început, au început doar, să fi e preluate și de alte științe.
Matematicienii au realizat primii nevoia regândirii fundamentelor domeniului
lor, analizând structurile interne și capaci tățile interdisciplinare. Matematica nu și-a
renegat vreo achiziție; e. g. teorema lui Pitagora, devenită teorema Hilbert – Pitagora în studiul spațiilor Hilbert, descompunerea numerelor întregi sau a idealelor în factori primi, rezolvările ecuațiilor standard, corpurile platonice etc. au rămas nemodifi cate în timp. Tocmai de aceea, ea pare ancombrantă și greu suportabilă
de cei care ar dori s-o învețe „pe sărite” . S-a acordat o atenție deosebită defi nițiilor
imateriale, independente de vreun context, ale conceptelor, ca și fi xării unui număr
restrâns de principii constitutive (axiome), bazate pe idei primare. Am reaminti axiomatica Hilbert a Geometriei euclidiene, axiomatica Peano a Aritmeticii sau Frenkel − Zermelo pentru Teoria mulțimilor, toate elaborate în jurul anului 1900, fără
a mai da alte exemple de însemnătate locală. Este impresionant să observăm acum că mari matematicieni ca Euler, Gauss sau Riemann nu au avut conștiința inducției matematice ca metodă sistematică de cercetare. După cum am avut ocazia să întâlnim raționamente profunde inductive la Grothendieck și Grauert. Ca o ironie a sorții, cea mai simplă clasă de numere, anume N, a fost ultima axiomatizată, după ce Cauchy,
Weierstrass, Dedekind și Cantor pu seseră bazele Analizei reale și complexe.
Nu vom crea ierarhii în metodele amintite; parafrazând pe iezuiți care spuneau
că „scopul nu e nimic, mișcarea e totul” , noi vom spune: „scopul contează, metoda mai puțin” .

297Metoda inductiv-euristic-experimentală
Mulți cercetători își fundamentează profesia pe baza propriilor observații,
verifi cate și confi rmate prin observațiile altora. Așa se spune că au procedat Mendel
în Genetică și Dalton în Chimie, dar nu și Einstein. Metoda inductivă, atribuită în mod ciudat tocmai lordului cancelar F. Bacon (care nu a făcut el însuși vreo descoperire științifi că), cere acumularea unui volum mare de observații și date care
să fi e ordonate sistematic, cu lansarea unor ipoteze. Bacon a spus că nu trebuie să fi i
un geniu pentru a face descoperiri, ceea ce pare democratic și explică simpatia peste vremuri, pe care el și-a câștigat-o. În știință nu există democrație, iar corectitudinea unei teoreme nu se supune la vot. Grav este că s-au creat o contracultură și o lipsă de responsabilitate socială; toată lumea pretinde că face cercetare și ca atare, așteaptă să se împartă fonduri guvernamentale „în mod echitabil, să ajungă la toți” .[O. Stănășilă – Matematici aplicate sau aplicații ale matematicii ? , revista Forum,
nr.12, 79-85, dec. 1988]. Adevărul este că exact violarea regulilor lui Bacon a condus la progres, la creație. În realitate, Dalton și Mendel și-au elaborat întâi teoria și apoi au selectat datele experimentale care corespundeau previziunilor lor teoretice. Einstein a spus-o direct: „structura fundamentală a oricărui sistem științifi c își are
originea în rațiune, nu în experiment; principiul creator este datorat gândirii, care poate încorpora realitatea” . Iar Hertz a descoperit undele electromagnetice „citind” în ecuațiile lui Maxwell, fără să fi supraviețuit, din păcate, experimentelor sale fi zice care
au confi rmat acele ecuații, precedând descoperirea Radio-ului, TV sau Internet-ului.
Ceea ce este răsplătit în știință nu este sudoarea cheltuită în acumularea de date, ci saltul, intuiția strălucită care surprinde regula ce zace în haosul datelor. Matematica este deopotrivă abstractă și concretă, descoperind de mult experimentul mental, lucrul cu abstracțiuni și obiecte nevăzute, iar progresul științifi c actual a depins de
capacitatea de a opera tocmai cu abstracțiuni și cu forța rațiunii; să ne gândim la tehnologiile nanometrice de astăzi, a căror stăpânire cere un nou tip de euristică, insufi cient studiată.
Este mai puțin cunoscut în ce mod Cantor a ajuns la fundamentarea Teoriei
mulțimilor și a „jocului cu infi nitul” . Anume, el era autorul unor studii profunde
legate de convergența seriilor Fourier, observând ce relații existau între colecțiile de puncte de convergență ale diverselor serii; ulterior, a constatat că aceste colecții merită un studiu de sine stătător, nu numai prin operațiile între mulțimile respective, dar și prin stabilirea unor aplicații injective sau bijective între ele. De aici, a ajuns la defi nirea și ordonarea cardinalelor și apoi la aritmetica acestora, cu surpriza
ierarhizării infi nitului, biciuind simțul comun care se referă la mulțimi și cardinale
fi nite. Chiar astăzi, pentru studenții de anul I, este o surpriză faptul că aplicația
N → 2N, n 6 2n stabilește o corespondență bijectivă între o mulțime și o submulțime
strictă a ei. În pofi da unor reacții de respingere, Teoria mulțimilor, ca și inducția
transfi nită, au fost omologate, axiomatizate, eliminând cauzele unor paradoxuri
datorate libertății limbajului necenzurat.

298Formalismul și logicismul
Proiectul logicist este unul reducționist, inspirat de Leibniz, convins că orice
adevăr matematic se obține prin logică ster ilizată. Dar Frege și Russell nu au putut
deduce logic toate teoremele de Aritmetică. Un alt tip de reducționism l-a introdus Brouwer, prin acceptarea exclusiv a obiectelor matematice construibile prin algoritmi și excluderea demonstrațiilor neconstructive (considerate „teologic-metafi zice”);
constructiviștii resping principiul red ucerii la absurd sau al dublei negații. Astfel
de restricții asupra logicii clasice aristotelice au meritul de a fi izolat categoria
algoritmicului și de a fi inspirat studiul logicilor mo dale, deontice, epistemice sau
temporale, confi rmate prin aplicații semnifi cative în Informatică și chiar în studiul
general al normelor. Logica nuanțată („fuzzy”) nu acceptă princ ipiul terțiului exclus
și dă propozițiilor, valori de adevăr luate în întreg intervalul [0,1]. Constructiviștii consideră că o implicație ( a ⇒ b) este adevărată dacă din faptul că a este adevărată,
există o demonstrație procedural-a lgoritmică pentru a deduce că b este adevărată;
așadar, ( a ⇒ b) nu este echivalent cu ( ⎤b ⇒ ⎤a); apoi constructiviștii nu acceptă
propoziția ∃ x p(x) decât dacă acel x poate fi construit procedural. În 1932, Lewis a
constatat că tautologia ( a ⇒ (b ⇒ a)), adevărată pentru orice a, b, spune că „dacă a
este adevărată, atunci a se poate deduce din orice” , ceea ce pare ciudat. El a propus
elaborarea unor logici modale , bazate pe operatori de tipul M = „posibil logic” sau
N = „necesar logic” și a defi nit implicația matematică astfel: ( a ⇒ b) este adevărată
dacă ⅂ M ( a ∧⎤ b) este adevărată (adică „este imposibil ca a
să fi e adevărată și b,
nu”). Atunci ( a ⇒ (b ⇒ a)) nu mai este o teoremă. S-au considerat și alți operatori,
de tipul O a = „obligatoriu a” (Wright, 1951); K a = „se știe a” (Hintikka, 1962); U tt’
= „t′ este ulterior lui t” (Prior, 1955); S( x,p) = „agentul x are scopul p” (Popa, 2000),
studiați în cadrul logicilor de ontică, epistemică, temporală și respectiv teleologică.
Logicile neclasice nu sunt simple jocu ri intelectuale ci au aplicații semnifi cative în
Programarea pe calculator, ca și în Logica normelor juridice sau a altor domenii. De exemplu, dacă I este o instrucțiune, { I}p înseamnă că după ce I a fost executată,
p devine adevărată, iar a / b î n s e a m n ă c ă „ a este adevărat, imediat ce b nu mai
este” . Astfel de construcții logice – adevăru ri parțiale ca în logica fuzzy, adevăruri
condiționate sau temporale, au lărgit logica științei și logica acțiunii umane, mutând
frontierele cunoașterii sistematice .
Formalismul, reprezentat de Hilbert, Peano, Russell și parțial de grupul
Bourbaki, a fost strâns legat de an aliza fundamentelor matematicii, fi ind extins și
la alte științe (cu mai puțin succes). Nu în ultimul rând, trebuie spus că anumite formalizări au simplifi cat comunicarea și un exemplu remarcabil l-a dat Kolmogorov
în 1933 axiomatizând studiul probabilităților; până atunci, Teoria probabilităților nu exista, fi ind o colecție de observații relativ la jocuri de noroc sau fenomene tratate ca
niște curiozități fără coerență.
Se poate spune că Informatica și dezvoltările ei tehnologice excepționale sunt
o consecință a metabolismului de care am vorbit, grație colaborării exemplare inter și intradisciplinare, cu participarea multor matematicieni, logicieni, electroniști, dar după ce s-au realizat analiza critică a fund amentelor matematicii, lămurirea deplină

299a conceptelor de număr, funcție calculabil ă, mașina Turing sau mașina Post, gândirea
algoritmică, gramatică formală, ca și după ce Gödel a arătat limitele formalismului și metodei axiomatice. Doresc să mai punctez un element remarcabil nu atât pentru știință, cât pentru comunicare. Anume, matematicienii au impus folosirea noțiunilor
primare , care nu trebuie defi nite și care ne scutesc de diverse cercuri vicioase,
tautologii sau de noțiuni vulgare deghizate. Alte discipline științifi ce nu au ajuns
încă la această oportunitate. De exemplu, mișcarea unui mobil este defi nită ca „o
sinteză a pozițiilor acelui mobil” . O astfel de defi niție are câteva defecte: apar imediat
întrebări: „ce este sinteza” …, „ce sunt pozițiile” și mai ales, cauza devine un produs al efectului. Cel mai bine era ca noțiunea de mișcare să fi e considerată primară, cel mult
comentată fără pretenții de rigoare. Multe alte noțiuni – forța, energia, evenimentele, mărimile, formele, etc. – trebuie considerate ca primare și atât. Tot pentru ușurința comunicării, așa cum am mai spus, matematicienii au mai inventat ceva: își încep expunerile cu „Fie sau avem… ” , recomand abile și unor studenți la examene-oral.
Așa cum am mai spus, metoda metafi zic-formalistă, care recomandă reconstrucția
completă a diverselor părți ale Universului pornind de la un număr de noțiuni vagi fondatoare, având în Hilbert „ultimul împărat” , a încetat să se prezinte ca o mașină de război intelectual, cuceritor și atotputernic, după ce Gödel a demonstrat în 1931, că sistemele formale de axiome și proceduri, sufi cient de largi și necotradictorii, conțin
afi rmații indecidabile. Pentru a fi corecți, formalismul ca atare este important și actual,
pentru rațiuni de ordonare și sinteză a unor concepte și rezultate din domenii bine circumscrise, fi e și pentru descrierea și devoalarea raportului adevăr/demonstrație;
în ciuda teoremelor de completitudine și a faptului că nu orice poate fi demonstrat,
matematica este considerată o colecție de sisteme formale.
Metoda istorico-critică
Există mai multe moduri de a analiza raportul logic/istoric în evoluția
conceptelor matematice. Se știe că progresii le au apărut în papirusuri egiptene, iar
integralele defi nite au apărut cu 2000 de ani înainte de Calculul diferențial și integral.
În general, dezvoltarea istorică a științei nu are caracter liniar, progresiv sau sintetic,
iar Matematica a găsit în regândirea conceptelor o resursă de primenire. Astfel, abia după introducerea noțiunii de grup, Geometria a fost altfel înțeleasă și descătușată; în particular, s-au defi nit Geometriile neeuclidiene, care au oferit un cadru
științifi c pregătit pentru Fizica modernă, unde microcosmosul și macrocosmosul
sunt esențialmente neeuclidiene, iar mișcările particulelor elementare au putut fi
sistematizate. Concepția platonică a matemat icilor preexistente, ca și cea genealogică,
retrasând fi liația ideilor matematice, pot fi oricând reluate ca discurs, dar fără a
considera că ideile sunt forme ale perfecțiunii, afl ate deasupra materialului, eticului
sau esteticului. Altminteri, am ajunge să privim matematica vie ca o tautologie nesfârșită. Istoricește, trebuie amintit că Renașterea a readus interesul pentru lumea reală, după cum și astăzi, nu trebuie rupte punțile matematicii cu realitatea fi zică.
Analiza matematică a apărut o dată cu analiza conceptului de viteză a unui mobil,

300privită ca o derivată; relativ repede, Taylor a stabilit o formulă de aproximare locală a
funcțiilor elementare prin polinoame. În acest mod, s-au creat tabelele de logaritmi și funcții trigonometrice, folosite în Nav igație și în orientare terestră; întâmplător
sau mai degrabă nu, în Anglia, devenită o mare putere colonială. În mod manifest, formula lui Taylor stă la baza creării arborilor operaționali, care leagă soft -ul și hard-
ul calculatoarelor de buzunar sau al celor smart-științifi ce actuale; 6, 4. Vă mărturisesc
că după ce am amintit aceste conexiuni ale Analizei matematice cu Informatica și cu lumea largă, am simțit o neuitată emoție din partea studenților mei. Exemple similare abundă în Matematică, putând suscita interesul tinerilor studioși, desigur nu la fel de mult ca pierderile de timp specifi ce vârstei.
Asupra obiectelor matematice
Spre deosebire de alte discipline științifi ce, Matematica acceptă că obiectele ei
de studiu există dacă și numai dacă nu sunt contradictorii. În rest, libertatea alegerii obiectului de refl ecție este nelimitată și tocmai aici, există un pericol al cercetărilor
sterile și al prezenței active a cercetătorilor sterpi.
În comunicarea matematicii către elevi și studenți, este util și liniștitor de arătat că
obiectele matematice esențiale sunt relativ puține: mulțimile , numerele (N⊂ Z ⊂ Q ⊂
R ⊂ C), seturile numerice sau alfanumerice (R
n, Cn, vectorii, polinoamele, matricele
sau strings-urile), funcțiile , spațiile și confi gurațiile geometrice . Se spune că Matematica
este cel mai mic domeniu al cunoașterii care studiază aceste obiecte, contribuind astfel
la articularea conceptelor științifi ce și la înțelegerea diverselor porțiuni ale realității.
Dar marea consacrare a dat-o descoperirea de enunțuri ( ≡ concentrări de informație)
și demonstrarea lor, ajungându-se acum și la automatizarea multor demonstrații.
NOTĂ . Unii epistemologi se întreabă: cât de reale sunt obiectele matematice?
Depășesc ele realitatea, apărând ca un adevăr revelat? Uneori, matematicienii au făcut desoperiri, at ingând creații ale lui Dumnezeu,
dar cei mai mulți au realizat invenții – demonstrații mai scurte, artifi cii de calcul, diverse unelte intelectuale tautologice etc. În orice
caz, răspunsul la întrebarea pusă este încă așteptat…
Introducerea spațiilor n–dimensionale de tipul R
n nu este un moft al
matematicienilor și deși R2 și R3 sunt direct legate de Geometria analitică 2D sau
3D, iată că R4 este suportul spațiului Einst ein-Minkowski („spațio-timp”); dar și
direct, dacă la bordul unui avion există 100 de butoane sau indicatoare, înseamnă că zborul avionului poate fi asimilat cu o funcție de 100 de variabile f : R
100 → S cu
valori în spațiul S al stărilor avionului. Există o diferență între entități „matematic realizabile” , „fi zic realizabile” , „logic” sau „tehnologic realizabile” . În virtutea libertății
și imaginației, matematicienii au construit obiecte și concepte care nu corespundeau vreunui experiment lumesc; reamintesc că englezul Cayley îi scria lui Hamilton că „a descoperit niște obiecte al căror farmec este că nu au nici o aplicație” . Era vorba despre matrice!

301Cele mai mari progrese ale matematicii s-au realizat în condițiile libertății de
creație, fără presiuni externe sau profi t imediat, iar matematicienii au realizat sau
au contribuit la mari unifi cări – Algebra și Geometria (Descartes), Geometria și
Analiza (Gauss, Riemann), Teoria unifi cată a câmpului, Matematica și Informatica,
etc. prin desprinderea de experiment direct și contingență. Nu poate fi negat rostul
experimentului sau al curiozității științifi ce ca inspirator al unor construcții inițial
„artizanale” , care au condus la extinderi și generalizări importante. Așa cum am mai spus, matematicienii au avut multe premoniții și intuiții speciale, difi cil de explicat.
Astfel, Boole și-a propus să algebrizeze logica aristotelică și conștient sau nu, a pus bazele teoretice ale programării calculului , cu 100 de ani înainte de implementarea
tehnologică respectivă. Teoria relativității a avut geometria deja pregătită cu peste 50 de ani înainte. Fourier nu și-a imaginat în 1820 că teoria sa își va găsi aplicațiile fundamentale după 150 de ani; astăzi, Radio-ul (Televiziunea, Tomografi a, Holografi a)
sunt identifi cate cu transformarea Fourier 1D (respectiv 2D și 3D). Dar și invers,
există multe exemple când teoria a succedat descoperirile (de exemplu, Mecanica cuantică folosea distribuțiile fără ca acestea să fi fost explicate ca obiecte matematice;
iar astăzi există experimente avansate, care anunță un calcul cuantic, căruia nimeni nu îi poate prevedea frontierele).
Cunoașterea științifi că matematică este nesfârșită și nici una din abordările
productive nu poate fi rejectată; după cum trebuie respectate toate temperamentele
științifi ce oneste – logicianul (care cere demonstrații impecabile), raționalistul
(adept al matematicii pure) sau utilitaristul; dar este de evitat ignorantul agresiv, care consideră că „ce nu știe el este și neimportant” .
Am evocat metoda logic-analitică, având un rol decisiv în evoluția concepțiilor
despre rigoare și în dezvoltarea Științei calcul ului, redus la reguli logic-gramaticale. Se
poate pune întrebarea comună: care este partea inductivă și care cea logică în diversele construcții ? Studiul raportului intuiție/gândire este o speculație transcendentă, care poate inunda orice analiză a evoluției matematicii. După ce genii prolifi ce ca Newton,
Leibniz, Euler, Fourier au îmbogățit exponențial Analiza matematică, aceasta era sufocată de imprecizie, iar Cauchy și Abel au impus standarde noi de rigoare (de exemplu, limbajul epsilon – delta); ne amintim că seria 1 – 1 + 1 – 1 + … a pus probleme metafi zice de nedepășit („are suma 0, 1 sau ½”?), în lipsa noțiunii de convergență și
al controlului jocului cu infi nitul. Trebuie amintit și anul 1826, când Abel îi scria lui
Hansteen: „îmi voi consacra toate forțele pentru a răspândi lumina în obscuritatea imensă care stăpânește astăzi Analiza matematică” . Din păcate, el nu a apucat s-o facă, deoarece a murit în 1829, la 26 de ani.
Desigur, rigoarea nu este un scop în sine, iar gândirea matematică nu poate fi
redusă la analiză logico-gramaticală, după cum gândirea nu este totuna cu suportul
ei material. Tot astfel, fi lozofi a matematicii nu se poate reduce la rezolvarea unor
sofi sme autoreferențiale de tipul „Petrescu zice că toți Petreștii sunt mincinoși” , la
salvarea logicismului sau a formalismului prin lărgirea universului lor, cu adăugare de nivele superioare de confuzie arborescentă.

302Trebuie menționat că toate metodele prezentate au slujit creativitatea, producând
obiecte noi de refl ecție, asimilate de comunitatea științifi că responsabilă, diferite de
unele anterioare. În ultimul timp, o dată cu dezvoltarea mijloacelor de informare, a apărut un nou subiect de analiză a raportului creație – comunicare. Solomon Marcus a acordat o atenție deosebită acestei sintagme, spunând: „creativitatea are nevoie de un context social adecvat, incluzând dezvoltarea unor acte de comunicare”; dar și invers, comunicarea largă a creat condiții favorizante pentru actul de creație. Matematica fi ind o știință fără frontiere; spre deosebire de alte științe, nu are adevăruri brevetabile
și supuse legilor comerțului. Se cunosc multe exemple de matematicieni care, în lipsa unei singure informații de folklor științifi c, nu și-au putut fi naliza cercetarea; de
exemplu, în demonstrarea teoremei lui Fermat au existat mai mulți cercetători care au fost aproape de „potou” , dar numai Wiles a reușit. „Inaptitudinea comunicării poate face inefi cientă opera de creație” , a adăugat dl. Marcus. [S. Marcus – Provocarea
științei ,1988].
Ca o curiozitate, am constatat că există patru tipuri de matematicieni: cei care au
idei și tehnică de realizare (candidați la geniu), cei cu idei fără tehnică (expuși actelor de piraterie), cei cu tehnică și fără idei (care populează congrese și conferințe, doar … doar), iar de ceilalți nu vorbim. Desigur, simpla capacitate de comunicare nu duce la creație și nu este simplu pentru o comunita te să stimuleze și să păstreze un echilibru
între capacitatea creatoare și cea de comunicare și respect pentru valorile altora. Există și alte forme de manifestare a metabolismului, fi e ele limitări inerente, autocenzurări
sau amestec agresiv al unor factori sociali imprevizibili, din care nu excludem tarele umane de minimalizare, invidie sau indiferentism, aproape instituționalizate.
Resurse ale matematicii vs. realitatea fizică
Matematica face puține experimente și de aceea, unii au vrut să-i retragă statutul
de știință și să-i atribuie pe cel de limbaj, chiar dacă unul mai restrictiv decât limbajul natural. Wittgenstein spunea că „toate afi rmațiile adevărate corespund câte unui
eveniment al lumii și orice sintaxă logică este imposibilă, deoarece lumea nu poate fi considerată ca un tot” . Pentru Carnap, relația Matematică/Fizică este aceea dintre
formă și materie, prima oferind un sistem de coordonate pentru a inscripționa datele fi zice, în timp ce Fizica ar fi la rândul ei un limbaj pentru a exprima observații
experimentale, cu reguli de sintaxă de natură matematică.
În cuvinte mai puțin meșteșugite, trebuie să spun că principalele resurse ale
matematicii ca obiect de cercetare și disciplină de învățământ se grupează în lungul unor magistrale ca: studiul structuril or derivate din structurile fundamentale
(algebrice, topologice și de ordine), organizarea diverselor colectivități structurate (calcul cu numere, cu funcții, cu idei) și nu în ultimul rând, aplicații semnifi cative. Nu
există matematici discrete sau continue, matematici pentru ingineri sau economiști, moderne sau clasice, pure sau aplicate. Așa cum spune Șafarevici, „Matematica este doar una, ghidată de un intelect cole ctiv, ca o orchestră ce execută o simfonie
nesfârșită, în care doar instrumentiștii se schimbă”; există cel mult aplicații ale

303matematicii , ca proiecții în diverse porțiuni de realitate desțelenită. În țările anglofone,
termenul de „applied mathematics” este utilizat în sens diferit de cel folosit la noi (ca nume colectiv pentru Mecanică, Electromagnetism și Termodinamică). Unora și nu doar la noi le-a convenit titulatura de „specialist în matematici aplicate” , în dosul căruia s-au obținut, cu puțină matematică asimilată, posturi călduțe, burse, autoritate și obediență răsplătită. Din păcate, prea mulți matematicieni excelenți s-au izolat, în lipsa unor seminarii comune de lucru și învățare fără complexe, unde să fi e formulate clar probleme de interes și unde să se creeze instanțe de apreciere
a muncii tinerilor și de separare între valori și nonvalori, dincolo de invidii și deșertăciuni. Dintr-o experiență personală, la Catedra Matematici II din Politehnica bucureșteană am condus un seminar metodic, care a lăsat urme și în această carte și care a sprijinit o ierarhizare fi rească a valorilor din catedră, nu numai după număr de
contracte incontrolabile sau lucrări sterile; păstrând proporțiile, urmam seminariile de Informatică Moisil-Marcus-Vaida. Am avut ocazia să constat pe viu că soluția oricărei probleme constă în găsirea rezolvitorului și acesta se poate afl a în apropierea
noastră, poate irepetabil. Tot ca o mărturisire, Corneliu Stănășilă, în colaborare cu mine, a formulat și demonstrat în urmă cu mai mulți ani, o „teoremă de modelare” privind separarea energiilor cinetice ale particulelor dintr-un gaz, în anumite condiții relativ la derivata a treia a densității în raport cu arcul, în lungul liniilor de câmp ale gradientului acesteia [Brevet România-„ Valorifi carea uni singure surse de căldură” ,
nr.84036/1982]. Bineînțeles, „Teorema” respectivă nu rezultă dintr-o formalizare standard și necesită o confi rmare experimentală indubitabilă. Ulterior, Cornel a
extins rezultatul la vapori ai unor substanțe topite, existând confi rmări experimentale
statice și chiar dinamice reușite și sperând că va realiza un model industrial, de exemplu o placă menținând mult timp o diferență de temperaturi între cele două fețe. Am văzut modul cum un model matematic al unui proces sau fenomen permite o altă organizare și chiar o intervenție a agentului uman în dirijarea câmpului forțelor Van der Waals, în asociere cu gravitația; matematicianul poate realiza doar o „simbioză-joc secund” de însoțire a inginerului .
Una din resursele esențiale ale matemat icii, întâlnite în forme similare și la
alte discipline științifi ce, o constituie „descompunerile în elemente mai simple” ,
începând cu scrierea numerelor întregi ca produs de numere prime, descompunerea polinoamelor ca produs de polinoame ireductibile, continuând cu descompunerea luminii albe în cele 7 culori, a atomilor în particule elementare, cu fractalii etc. Teoria seriilor lui Fourier a permis descompunerea semnalelor periodice în „armonice” . De curând, o dată cu Teoria undinelor („wavelets”) s-a legiferat științifi c și tehnologic
descompunerea semnalelor sau imaginilor în „voci” , cu creare de zoom-uri controlate. Formula lui Taylor, permițând aproximarea locală a unor funcții cu polinoame se afl ă
în același cerc de idei; așa cum am spus, hard-ul și soft -ul calculatoarelor moderne
folosesc în mod adecvat tocmai formula Taylor, în asociere cu arborii operaționali implementați. Tehnologiile informatice moderne, rețelele de telecomunicații,
celularele și diversele dispozitive digitale, au condus la o explozie de aplicații ale calculatoarelor, care și-au pus amprenta asupra tuturor domeniilor științei și vieții

304economico-sociale. Există și exagerări, indicând speranțe care se năruiesc rapid.
Astfel, alături de științele descriptive, s-au impus științele prescriptive, îndeosebi inginerești, depinzând de realizarea de proiecte cu diverse constrângeri. Acesta este cazul Teoriei sistemelor care interacționează cu mediul, prin conceptul de spațiu al stărilor; evoluția în timp a unui sistem dinamic controlabil/observabil este o curbă în spațiul stărilor. În particular, aplicată la Termodinamică (privită ca știință a interacțiilor), această nouă teorie a permis o descriere pretins obiectivă a sensului progresului oricărui domeniu; anume, cel ca re corespunde creșterii entropiei. Teoria
sistemelor a fost logodită cu sistemele economice, a fost bineînțeles axiomatizată, prezentată ca salvatoare a cetății, dar s-a dovedit a fi de fapt o nouă tautologie.
În încheierea acestui punct, țin să amintesc două contribuții românești mai
puțin cunoscute în țară. Una este criteriul fundamental de hiperstabilitate al prof.dr.ing. V .M. Popov, devenit american (confundat adeseori cu un rus); d
l Popov a
benefi ciat de asistența matematică a profesorului A. Halanay, fi ind un participant la
seminarul acestuia din urmă. Un alt exemplu foarte actual, privind înțelegerea unor
mecanisme naturale, îl constituie teoria constructală a profesorului dr. ing. american Adrian Bejan, plecat din Galați ( 11.4,f) ; până de curând, se credea că structurile
arborescente întâlnite din natură sunt doar expresia unor fenomene aleatoare și dl.

Bejan a arătat că un rol decisiv îl joacă schimbul termic optim, ceea ce completează studiul fractalilor și reînvie spiritul lui Poincaré.
Metabolismul matematicii se manifestă și prin transferul bilateral de idei și
rezultate cu alte științe; în acest sens, există concepte multiplu revendicate – legi de creștere, legi de distribuție, rate de evoluție, entropie etc. –, dar numai prezentarea lor sub formă matematică le asigură universalitatea.
Metabolismul informaticii
Ceea ce am spus anterior despre Matematică este valabil, cu nuanțele respective,
pentru Informatică – domeniu viu, dinamic, reactiv și deschis la achizițiile altor domenii, ca și la modifi cările realității social-economice. Dar s-a ajuns și la exagerări
și la inducerea percepției că „orice poate fi informatizat și rezolvat prin butonări” , ceea
ce a condus la amăgirea că informatica va înghiți matematica. Produsele matematice sunt conceptele, teoremele, algoritmii, exemplele și contraexemplele, conjecturile, etc., care au îmbogățit sensibil cunoașterea. Același lucru îl regăsim în lumea informaticii, care în plus este implicată direct în descifrarea unor structuri ierarhizate, în conducerea unor procese industriale sau în luarea unor decizii globale. Trebuie spus că ambele domenii nu își pot depăși limitele și nu pot rezolva decât parțial marile provocări actuale – ale climei, ecologiei tere stre, ale apei, hranei, comunicațiilor… Nu
uităm că tradițiile, instinctele, șovinismul de mare putere, derapajele de la legalitate și în general, aspectul ezoteric al comunicării, scapă deopotrivă ambelor domenii, ca și bunul simț dintre indivizi sau popoare. Iar zona populară a „matematicii de consum” și cea a „informaticolului” ca medicament universal este totuși modestă. Nu putem omite rolul computerelor în cercetarea matematică-fractali, solitoni, criptografi e,
comportament haotic, undine, fi zica matematică etc., iar demonstrațiile asistate de

305computer nu sunt mai suspecte decât cele făcute de oameni și omologate de alți oameni.
Desigur, computerele nu sunt mașini de ronțăit numere („number crunchers”), iar seducția lor asupra tinerilor îi obligă pe profesorii de toate specializările, ca și pe decidenții administrativi, la noi eforturi de comunicare.
Mult timp, Analiza matematică a reprezentat culmea matematicii din liceu
sau a celei predate în facultățile tehnice sau economice. Pentru matematicieni, ea constituie încă limbajul și metodologia studiului funcțiilor reale sau complexe, ca și al aplicațiilor în Fizică, Inginerie sau Economie. Apariția calculatoarelor moderne a creat multe mutații, infl uențând predarea Analizei, nu numai în proliferarea
algoritmilor, dar și stimulând Analiza numerică, analiza însuși a conceptului de calcul și culminând cu crearea Matematicii Discrete. De fapt, calculatoarele sunt mașini esențialmente discrete, iar discretiza rea este una din resursele aplicative ale
formulelor clasice; de exemplu, formulele stokiene, care stabilesc legături între mărimi accesibile măsurătorilor directe cu mărimile inaccesibile, rămân la fel de proaspete și similar, formula integrală a lui Cauchy, discretizată convenabil, stă la baza „metodei elementelor – frontieră” , aplicată în mod curent în Rezistența construcțiilor sau în Electrotehnică. După ce am început să subliniez aceste resurse aplicative, am văzut că acele formule, ușor indigeste pentru studenți, au devenit obiecte de interes, pe care le învățau de… rușine. Ca un ultim exemplu, am fost impresionat că dinamica roboților, ca și controlul mișcării lor, depinde de studiul unor submulțimi algebrice, defi nite
prin inegalități polinomiale .
În metabolismul Matematicii și Informaticii, adică în schimbul de informații cu
mediul, al atitudinii lor proactive, ca și al pasiunii pentru ordine și creație intelectuală, se vorbește tot mai des de:
Matematica și Informatica– fapte de cultură
Pentru mulți utilizatori, matematica este un mijloc de descriere a unor realități
(„instrument”), de selecție (prin examene) sau o școală a rigorii. Acesta este totuși un aspect marginal, care conduce la o sufocare a metabolismului ei. De fapt, matematica este un partener pentru „bisociații” (termen datorat lui A. Koestler), pentru legături cu domenii cu care părea să aibă puține în comun. [F. Browder – Refl ections on the
future of mathematics , Notices AMS, vol. 49, nr.6, 658-662, 2002].
Calculatorul asociat cu matematica a re alizat aceasta și a spart orice frontiere ale
cunoașterii și acțiunii. Biologia matematică, prin proiectul genomului și creării de celule vii, arată că, folosind undinele, Analiza datelor genetice se anunță ca unul din cele mai tentante terenuri de joc intelectual pentru viitor.
Este difi cil de crezut că matematica va deveni o „știință a tuturor” , prin vulgarizare
sau prin măsuri administrative. A ști matematică nu este neapărat o virtute, ci doar un element de cultură. Ca o altă curiozitate, am observat că matematica este respectată de cei care o cunosc bine și de cei care nu o cunosc deloc; ceilalți se plasează la concurență, nu neapărat loială. Vehiculul obscurantismului intră în cetate pe două căi: prin adorație neîmpărtășită și prin refuz al comunicării. S-a ajuns la o situație

306critică, un pericol al creșterii și desumfl ării într-o singură generație. Se vorbește apoi
despre frumusețea și eleganța intrinsecă a matematicii, fără a defi ni termenii. Unii
identifi că înțelegerea demonstrației unei teoreme cu contemplarea unei capodopere
de artă și există liste de fapte matematice – modele de frumusețe și aducătoare de
bucurii (de exemplu, iraționalitatea lui 2, faptul că există o infi nitate de numere
prime, proprietățile numărului de aur
α = 51
2−
sau ale numărului lui Feigenbaum, sau relațiile
eiπ = –1, 3 2 231
21
11+ + + … = 62π, 14…71
51
31 π= −+− ;
de unde apare π aici ?). Hardy vorbea de pacifi smul matematicii, dar o făcea înainte
de fabricarea și utilizarea bombelor nucleare, de decriptări nelimitate sau de cele mai teribile substanțe și arme letale, unde o parte de matematică are un rol distructiv preponderent.
Concluzii
Am încercat să arăt că Matematica și Informatica sunt un organism viu, foarte
receptiv, cu o mare capacitate de autotransformare și rezistent la atacul utilitarismului. Aceasta explică titlul subparagrafului… Metodele discutate anterior se împletesc în jurul termenilor logică, intuiție, rigoare, spirit critic, vigoare și subtilitate, existente în orice proces de creație științifi că sau artistică, dar matematica o face la modul
superlativ. Garanțiile științifi ce pe care le dau diversele metode de investigație provin
din încrederea în cunoștințele dobândit e în timp; am trimis oameni în Cosmos
și au revenit pe Pământ deci legile mișcării, transmisiunile de date și controlul la distanță, cunoștințele noastre fi zice și biologice, calculatoarele etc. sunt OK. După
ce am folosit timp de milenii organele de simț și euristica vulgară, le-am prelungit (ajungând la microscopul electronic și roboți nanometrici) și ne-am lărgit orizontul rațiunii prin achiziții științifi ce fără legătură cu vreun experiment; astfel, existența
undelor electromagnetice a fost dedusă din ecuațiile lui Maxwell, tomografi a legată
direct de ecuația lui Radon, holografi a de relația lui Gabor și de curând, s-au pus în
evidență undele gravitaționale (folosind aparatul matematic al undinelor). Logicismul
și formalismul ne-au disciplinat gândirea și ne-au simplifi cat comunicarea științifi că;
în privința metodelor inductive , asistăm la crearea unor „cyborgi” , înzestrați cu organe
de măsură și simțire perfecte și în curând, aceștia vor fi mai inteligenți decât ne
putem închipui. Calculatoarele nu au înlocuit matematica, așa cum sperau unii, ci s-a dovedit tecmai reversul; dezvoltarea INTERNET-ului, lupta cu congestiile pe liniile
de comunicație, nevoia unor tehnici superioare de prelucrare a datelor genetice, compatibile cu tehnologiile nanometrice și multe altele, au nevoie de puritatea și forța matematicii; [11]. Nici acum nu știm dacă matematica este o înlănțuire de invenții sau de descoperiri („tertium datur” , cum răspundea Noica la întrebarea dacă fi lozofi a

307este invenție sau descoperire); trebuie să credem în continuare, ca și Xenofon, că
„Zeii nu ne-au dezvăluit chiar totul!” .
12.10. Principalele descoperiri matematico – informatice din
ultimul secol; lista problemelor „millenium”
Prezentăm o listă de teorii și realizări care au marcat știința secolului 20, conform
aprecierilor unor comunități omologate de matematicieni ai lumii:
– Integrabilitatea Lebesgue (spațiile L1 și L2);
– Teoria varietăților diferențiabile, Teoria relativității (A.Einstein, H. Weyl, E.
Cartan);
– Fizica matematică și Teoria cuantică (Hilbert, Heisenberg, Dirac, von
Neumann);
– Teoria operatorilor pe spații Hilbert;- Teoremele lui Gödel și limitele axiomatizării;- Teoria probabilităților și proceselor stocastice (A.N. Kolmogorov, N.
Wiener);
– Teoria algoritmilor (Kleene, Turing, Church, Post);- Construirea generațiilor succesive de calculatoare electronice;- Mecanica statistică și Teoria informației (W . Gibbs, L.Boltzmann, Cl.
Shannon);
– Teoria distribuțiilor (L. Schwartz, L. Sobolev, I.M. Ghelfand);- Geometria algebrică și Geometria analitică modernă (A.Weil, Serre,
Grothendieck);
– Matematica Discretă și Știința calculului;- Teoria categoriilor și functorilor (S. Eilenberg, H. Cartan);- Teoria bifurcațiilor și „catastrofelor” (Th om, Arnold);
– Fractali și haos determinist (Mandelbrojt);- Analiza timp / frecvență și algoritmul FFT;- Clasifi carea defi nitivă a grupurilor simple;
– Demonstrarea marii teoreme a lui Fermat (A.Wiles);- Rețeaua INTERNET;- Teoria undinelor („wavelets”);- Teoria unifi cată a interacțiilor din Univers …
Clay Math. Institute a acordat în anul 2001 un premiu de 1 milion USD pentru
soluția fi ecăreia din următoarele 7 mari probleme, numite generic „Millenium”:
1. Problema P / NP cere să se stabilească dacă din existența unui algoritm care
verifi că o soluție în timp polinomial, rezultă și existența unui algoritm care
determină soluția tot în timp polinomial;
2. Conjectura lui Hodge pentru varietăți algebrice proiective;
3. Conjectura lui Poincaré : orice suprafață 2D, compactă și simplu conexă

308este homeomorfă cu o sferă [ acest enunț a devenit teoremă prin lucrările
matematicianului rus Grigori Perelman, care a refuzat (!) premiul acordat în 2010 ];
4. Ipoteza lui Riemann cere să se arate că toate zerourile netriviale ale
prelungirii analitice a funcției „zeta” ζ ( s) = 1 + 1 / 2
s + 1 / 3s + …au partea
reală egală cu ½ . Răspunsul (bănuit afi rmativ) ar avea implicații profunde
în Teoria numerelor privind distribuția numerelor prime, cu aplicații în Criptografi e;
5. Problema Y ang- Mills generalizează teoria electromagnetică Faraday-
Maxwell, fi ind un punct important pentru teoria unifi cată a diverselor forțe
de interacție;
6. Problema existenței soluțiilor ecuației Navier-Stokes din Mecanica
fl uidelor;
7. Conjectura lui Birch și Swinnerton – Dyier din studiul curbelor eliptice și
al unor ecuații diofantice .

309BIBLIOGRAFIE
1. V .I. Arnold – Metode matematice ale mecanicii clasice , Ed. Științifi că și Enciclopedică,
1980.
2. M. Atiyah – Geometry of Yang- Mills fi elds , Accad. Naz. dei Lincei, 1979.
3. C.Bănică, O.Stănășilă – Metode algebrice în teoria globală a spațiilor complexe , Ed.
Academiei Române, 1974; tradusă în engleză la Ed. J.Wiley, 1975 și în extensie la două
volume, în franceză, la Ed. Gauthier-Villars, cu prefață de H.Cartan, în 1976.
4. Alex. Boiu – Natura gândită, Ed. Științifi că și Enciclopedică, 1987.
5. V . Brînzănescu – Holomorphic vector bundles over compact complex surfaces , Springer,
1996 .
6. J. Dieudonné – Th e music of reason, Springer Verlag, 1983.
7. L. Gärding – Encounter with mathematics, Springer Velag, 1977.
8. R.W . Hamming – Th e unreasonable eff ectiveness of mathematics , American Math.
Monthly, 87, 81 – 90, 1980.
9. Steff en Krusch – Appl. of Diff . Geometry to Math. Physics , IMSAS, 1-26, Univ. of Kant,
2010.
10. Mario Livio – Ecuația care n-a putut fi rezolvată , Humanitas, 2007.
11. Alex. Mironov – Lumea după Google , Ed. Nemira, 2012.
12. C. Năstăsescu, C. Niță, C. Vraciu – Bazele algebrei, Ed. Academiei Române, 1986.13. G. Pantelimon Popescu – Contribuții privind entropia și informația mutuală , teză
doctorat, UPB, 2011.
14. D.Stanomir, O. Stănășilă – Metode în teoria matematică a semnalelor , Ed. Tehnică, 1981.
15. C. Stănășilă, G. Ruffi no, O. Stănășilă – Recuperative heat exchanger for temperatures up
1700
oC, 46th Nat. Congress Ass. Term.11, 95 – 102, sept. 1991.
16. C. și O. Stănășilă – On the evolution of temperature in the heavenly bodies , Bull. Math. Soc.
Math. Roum., tom 29, nr. 2, 151 – 160, 1985.
17. I. Șafarevici – Noțiunile fundamentale ale Algebrei , Ed. Academiei Române, 1980.
18. Dan Ștefănoiu, O. Stănășilă, D. Popescu – Undine; teorie și aplicații , Ed. Academiei
Române, 2010 (Premiul Academiei Române).
19. Terence Tao – Introduction to gauge theory , Wikipedia, 1 – 21, 2011.
20. C. Truesdell, S. Bharatha – Classical thermodynamics, as a theory of heat engines , Springer,
1978.
21. S. Tucci, C. și O. Stănășilă – On the heat engines , Scientifi c Bulletin UPB, vol. 54, 5 – 12,
1992.
22. H.Weil – Simetria , Ed. Științifi că, 1966.

310BIBLIOGRAFIE GENERALĂ
1. (Coordonatori: M. Iosifescu, O. Stănășilă, D. Ștefănoiu), Enciclopedie matematică ,
Editura AGIR, 2010.
2. V . I. Arnold – Metode matematice ale mecanicii clasice , Ed. Științifi că și Enciclopedică,
1980.
3. A. Bejan – Formă și structură, de la inginerie la natură , Ed. Academiei Române, 2004.
4. E.T. Bell – Men of Mathematics , Simon & Schuster, 1937.
5. R. Courant, D. Hilbert – What is mathematics , Oxford, 1947.
6. J. Dieudonné – Mathematics; the music of reason , Springer Verlag, 1992.
7. Al. Froda – Eroare și paradox în matematică , Ed. Enciclopedică, 1971.
8. L. Gärding – Encounter with mathematics , Springer Verlag, 1997.
9. M. Iosifescu – Finite Markov processes and applications , J. Wiley, 1980.
10. D. Knuth – Th e Art of Programming , I-III, Addison-Wesley, 1997-98.
11. H.O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe – Chaos and Fractals , Springer, 2004.
12. T. Poston, Ian Stewart – Teoria catastrofelor și aplicații , Ed. Tehnică, 1985.
13. L. Rozanov – Processus aléatoires , Ed. Mir, 1970.
14. W . Rudin – Real and complex analysis , McGraw Hill, 1974.
15. Ian Stewart – 17 ecuații care au schimbat lumea , Paralela 45, 2012.
16. C. Truesdell – Rational Th ermodynamics , McGraw Hill, 1969.
17. V .S. Vladimirov – Ecuațiile fi zicii matematice, Ed. Științifi că și Enciclopedică, 1980.
18. Van Der Waerden – Mathematische Statistics , Springer Verlag, 1957.

311Despre autor
Adresa : Stănășilă N. Octavian-Nicolae (ostanasila@hotmail.com)
Titlu actual : prof. univ. dr. consultant, univ. POLITEHNICĂ București
Principalele preocupări științifi ce:
Analiză complexă, Matematică discretă, Matematici aplicate; autor a 15 monografi i, peste 80 de articole și zeci de manuale, brevete, culegeri
(singur sau în colaborare).
Colaborări internaționale și distincții :
visiting profesor la universități din Italia, Franța, Germania, SUA; profesor emeritus, EDU-manager, premiul AGIR în 2010, dublu laureat al premiului Academiei Române în 1974 și 2010; membru corespondent al Academiei Româno-Americane de Științe și Arte; ordinul național „Pentru merit” , în grad de cavaler.

312

Copyright Notice

© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.

Acest articol: Octavian Stãnãșilã [627204] (ID: 627204)

Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.

Octavian Stãnãșilã [627204]

Copyright Notice

Medical Tourism In Romania Ruxandra Dandoczi 26.04.2017 [309792]

Conf. Univ. Dr. COROIU SORI NA ABSOLVENT: MIHĂLESCU ADRIAN CRISTI AN ORADEA 2017 CUPRI NS INTRODUCERE… [622628]

STADIUL ACTUAL AL CUNOAȘTERII ÎN DOMENIUL TEMEI ABORDATE … 2 [630474]

Detalii tranzactie [612191]

1HJRFLHUHDúi Comunicarea -VLPEROXULOHSDUWHQHULDWXOXLvQWUDQDFLLOHFRPHUFLDOHPRGHUQH [600604]

Bruxelles, 15.7.2019 [623363]

Copyright Notice

Similar Posts