Copy Of 1 Licenta [626191]

CUPRINS
MOTIVAREA ALEGERII TEMEI …………………………………………………………
CAPITOLUL I: CONSIDERAȚII TEORE TICE………………………………………….
I.1Noțiunea de problemǎ……………………………………………………………….
I.2Procesul rezolv ǎrii problemelor…………………………………………………….
I.3Descrierea metodei figurative……………………………………………………..
I.4Considerații de ordin psihologic în rezolvarea problemelor………………………..
CAPITOLUL I I:PROBLEME CARE ÎN REZOLVAREA LOR RECURG LA
METODA FIGURATIVĂ …………………………………………………………
II.1Rezolvarea problemelor ce conțin mărimi discrete………………………………..
II.2Rezolvarea problemelor ce conțin mărimi continue………………………………
II.2.1Aflarea numerelor când se dau suma și diferența lor ……………………………
II.2.2Aflarea a două numere când se cunoaște diferența și raportul lor…………… …
II.2.3Aflarea numerelor când se cunoaște diferența și raportul………………………..
II.2.4Probleme de mișcare
II.2.5Probleme de rest din rest . Metoda mersului invers………………………
II.2.6Dezvoltarea creativității prin rezolvarea de probleme……………
CAPITOLUL I II:COMPUNE REA PROBLEMELOR DE CĂ TRE ELEVI ……
III.1 Compunerea de probleme după tablouri……………………………
III.2 Compunerea de probleme după planșe……………………………
III.3 Compunerea de probleme după scheme……………………………….
III.4 Dezvoltarea creativității prin compunere de probleme……………
CAPITOLUL I V:
EXPERIMENT……………………………………………………………..
CONCLUZII …………………………………………………………………………………
BIBLIOGRAFIE ………………………………………………………………………………
ANEXE…………… ……………………………………………………………………………

MOTIVAREA ALEGERII TEMEI
Învățământul este unul dintre domeniile cu mare importanță asupra dezvoltării
sociale. Analiștii au scos în evidență faptul că progresele obținute de țările puternic dezvoltate
sunt direct dependente de calitatea învățământului. Se vorbește astăzi, pe bună dreptate, de o
dimensiune educativă a dezvoltării sociale. Mereu, școala, ca instituție socială, a avut menirea
pe care i-a oferit-o soci etatea de a instrui și educa tânăra generație.
Cerințele mereu crescânde ale societății contemporane, datorate dezvoltării
impetuoase ale științei și tehnicii, impun învățământul ui de toate gradele, roluri importante în
scopul înzestrării tinerei generații cu informații necesare, dezvoltării și pregătirii ei pentru
viață, pentru activitatea productivă.
Școala fiind factorul important al progresului, este necesar să utilizeze în desfășura rea
procesului de învățământ cele mai eficiente căi, cele mai diverse metode și mijloace care să
asigure și să stimuleze în același timp creșterea ritmului de însușiri a cunoștințelor, în raport
cu cerințele actuale și de perspectivă ale societății.
Înacest mileniu trebuie să avem o gândire creatoare, iar omul prezentului și al
viitorului să fie adaptabil la schimbări și invenții.
Esența modernizării învățământului constă în depistare conținutului, a căilor și
mijloacelor care să asigure mărirea product ivități lui, sporirea eficienței sale formative.
Matematica are bogate valențe formative. Modernizarea învățământului matematic
înseamnă tocmai potențarea acestor valențe formative de care dispune matematica,
valorificarea optimă a lor, sporirea eficacităț ii formative a acestei discipline.
Prin matematică se formează unele deprinderi și capacități necesare în activitatea
matematică, care devin utile în activitatea practică a omului. Se învață o serie de atitudini: a
analiza o problemă, a o descompune în probleme mai simple, a folosii analogii, a gândi activ
și personal. Ordinea de rezolvare a unei probleme, a unui exercițiu disciplinează gândirea și
aceasta poate deveni o trăsătură importantă a omului. În procesul învățământului matematic
se formează o serie de aptitudini pentru matematică, capacitatea de a percepe selectiv în
funcție de o idee conducătoare, capacitatea de a trece de la aspectul diferențial la cel integru
sau invers, capacitatea de a depune un efort concentrat, plurivalența gândirii.

Matemati ca este caracterizată prin legătura ei cu practica, ea se învață nu pentru a se
ști, ci pentru a se folosi, a se face ceva cu ea, pentru a se pune în practică. Matematica s -a
născut din nevoile practice ale omului, s -a dezvoltat ca știință trecând acest material faptic,
concret, prin filtrul rațiunii marilor ei gândiri și revenind în același timp cu teoriile pentru a
sprijini în continuare dezvoltarea vieții, a practicii. Este vorba despre un proces complex, în
spirală, în care, în fiecare etapă, întâlnim implicații ale teoriei și ale practicii.
În clasele I -IV se pune baza învățământului matematic . În cadrul învățării
matematicii, rezolvarea problemelor ocupă un loc important. Alături de rezolvarea
exercițiilor, dar cu eficiență mai mare, rezolvarea problemelor constituie o adevărată
gimnastică a minții. Una din calitățile valoroase ale omului este capacitatea de a rezolva
probleme. Locul omului în societate este determinat ,în primul rând, de nivelul la care posedă
această capacitate într -un domeniu. Învățământul matematic dispune de valențe formative în
direcția form ării intelectuale a elevilor, contribuie la dezvoltarea personalității u mane pemai
multe planuri și anume: pe plan rațional, afectiv și volitiv, având un rol important înformarea
omului ca om.
Experiența pe care am dobândit -o prin practică m -a ajutat să aleg ace astă temă a
lucrării mele de licență pentru că predarea aritmetică în clasele primare, fără metoda
figurativă, este greu de imaginat. Fără metoda figurativă, matematica în clasele primare ar fi
aproape de neînțeles, muncaprofesorului se vede în practica elevilor. Mihai Eminescu
spunea: ,, Nici un om nu se întărește citind un tratat de gimnastică, ci făcând exerciții, nici un
om nu se învață a judeca, citind judecățile scrise gata de alții, ci judecând singur și dându -și
singur sama de natura lucrurilor’’

CAPITOLUL I
CONSIDERAȚII TEORETICE
I.1 Noțiunea de problemǎ
În viața de zi cu zi auzim în jurul nostru de cele mai multe ori pe oameni spunând:
,,Am de rezolvat o problemă’’. În general vorbind, dorințele și trebuințele noastre poate să ne
ducă la o problemă sa u nu. Atunci când avem o problemă căutăm în mod conștient o
modalitate potrivită pentru a putea rezolva acea problemă, care nu este accesibilă imediat.
Noțiunea de problemă are un grad de dificultate, fiindcă, unde nu se găsește
dificultate, nu se află nic i probleme. Rezolvarea unei probleme este o realizare, știința
inteligentă este un bun special primit de către om.
Priceperea de a ocolii o greutate, de a face o acțiune indirectă, atunci când una directă
nu este necesară de la sine, ridică omul deasupra tuturor animalelor și geniile deasupra
semenilor săi. Atunci când încercăm să rezolvăm o problemă folosim o formă de gândire
conștientă caracteristică și specifică.
Marile probleme umane sunt rezolvate prin un ele descoperiri, dar și în rezolvarea
oricărei probleme se găsește o sămânță de descoperire. O problemă oricât de simplă ar fi dacă
îți stârnește interesul și te face să fii creator îți provoacă bucurie atunci când găsești
răspunsul corect. Aceste experien țe de bucurie creează copiilor plăcerea pentru aceste
activități intelectuale marcând profund intelectul și caracterul.
Este o artă să p oți să faci să înțeleagă copii de 7 -8 ani să înțeleagă noțiunile abstracte
ale matematicii și a le utiliza înefectuarea de calcule, probleme, dintre care unele probleme
pot fi grele și pentru oamenii mari .
Obiectivele pe care le urmărim în predarea -învățarea matematicii în clasele primare,
pentru rezolvarea problemelor se folosește analiza și sinteza , care este o activitate profundă.
Ea combină străduințele mintale de pricepere a celor învățate și de folosire a algoritmilor, cu
organizarea atitudinii creative , totul pe baza cunoașterii unor cunoștințe matematice solide
(definiții, algoritmi, reguli de calcul, noți uni, deprinderi de aplicare).

Rezolvarea de probleme crește valoarea formativă a elevului deoarece mobilizarea
intelectuală a lor la astfel de activități este crescută față de alte demersuri matematice, elevii
sunt puși în situația de a descoperi singuri metodele de rezolvare a problemelor, să găsească
ipoteze și pe urmă să le verifice, să asocieze idei și să facă legături noi. Capacitățile
intelectuale ale copiilor sunt puse la încercare la cel mai înalt nivel prin rezolvarea de
probleme, li se solicită e levilor toată capacitatea psihică, mai ales inteligența, de aceea
programa de matematică din ciclul primar acordă o mare importanță problemelor.
Problema de matematica se referă la transpoziția unei situații practice sau a mai
multor situații practice în legături cantitative și în care, pe baza unor valori numerice date și
aflate într -o dependență una față de alta și față de una sau mai multe valori numerice neștiute.
Elevul în activitatea sa întâlnește anumite situați la a cărei rezolvare poate aplica
procedee și metode tipice, dar și situații noi la care trebuie să găsească soluții în problema
respectivă sau să caute între mijloacele deja învățate. Când ne referim la situațiile problemă
este necesară verificarea situației prin folosirea creatoare a in formațiilor și tehnicilor pe care
le avem în momentul respectiv, scopul urmărit fiind găsirea logică a soluției problemei.

I.2Procesul rezolv ǎrii problemelor
Problemele de matematică, cu toată diversitatea lor, nu sunt independente , separate,
ci orice problemă se poate încadra într -o categorie.
În ciclu primar problemele de matematică sunt clasificate după mai multe criterii
(Neacșu, I , 1988, p. 197) :
1)după finalitatea și după sfera de aplicabilitate, le grupăm în probleme teoretice
(operații și proprietățile operațiilor , referitoare la numere) și probleme practice
(probleme care se referă la mărimi);
2)după conținutul lor, problemele pot fi clasificate în probleme geometrice,
probleme de mișcare etc .;
3)după gradul de generalitate a metodei pe care o folosim în rezolvarea problemei,
pot fi probleme generale (la rezolvarea acestor probleme se folosește metoda
analitică sau sintetică) și probleme tipice ( aceste probleme se rezolvă prin
metoda comparației, grafică, a redu cerii la unitate, a mersului invers etc.)
4)după numărul operațiilor sunt probleme simple și compuse;
5)avem și probleme non -standard precum cele rebusistice, recreative, de
ingeniozitate și de perspicacitate (Neacșu, I , 1988, pag. 127) ;
Atunci când rezolvăm probleme trebuie să respectăm o strictă succesiune legată de
trecerea de la probleme mai ușoare la probleme mai grele, de la probleme simple la
problemele compuse.
Rezolvarea problemelor necesită o activitate de descoperire, cu ajutorul int uiției
descoperim și cu ajutorul logicii găsim soluția potrivită.
Principalele elemente ale problemei sunt:
-valorile numerice cunoscute sau datele problemei;
-relațiile dintre date și necunoscute , adică condiția problemei;
-valoarea necunoscută, adică întrebarea problemei.
Pentru a putea rezolva o problemă, elevul trebuie să construiască un șir de judecăți
care să îl conducă la găsirea soluției potrivite, pornind de la înțelegerea datelor și a condiției
problemei , raportând datele cunoscute la valoarea necunoscută.

La rezolvarea problemelor simple, trebuie să găsești relația dintre datele problemei în
textul acesteia, fiind indicate intr -un mod indirect (,,are’’, ,,au venit’’, ,,mai primește’’, ,,s -au
folosit’’, ,,au plecat’’) , este o relație pe care el evul trebuie să o înțeleagă, în limbaj matematic
(adunare, scădere), apoi să efectueze calculele. Când vorbim despre probleme compuse,
sarcinile gândirii sunt mult mai complexe.
În textul problemei sunt date niște relații, adică datele cunoscute ale problemei, pe
baza cărora elevii trebuie să construiasc ă un șir logic cu ajutorul căreia ajung să descopere
datele necunoscute, să formeze probleme simple și să se hotărască care este ordinea logică a
rezolvării lor. Pentru a reuși acest lucru, elevul treb uie să facă o analiză profundă a datelor
cunoscute, a relațiilor dintre ele, a întrebării problemei.
În rezolvarea unei probleme se parcurg mai multe etape. După fiecare etapă se
reorganizează datele problemei și se reformulează problema , bazându -se pe activitatea de
orientare a rezolvitorului, pe drumul și în direcția găsirii soluției problemei.
Etapele rezolvării unei probleme sunt:
A.Cunoașterea enunțului problemei
B.Înțelegerea enunțului problemei
C.Analiza problemei și întocmirea planului logic
D.Alegerea și efectuarea operațiilor
E.Activități suplimentare:
-verificarea rezultatului;
-scrierea problemei sub formă de exercițiu;
-rezolvarea problemei și prin alte metode;
-compunerea de probleme după o schemă asemănătoare ;
-generalizarea.
Cunoașterea enunțului problemei

Această etapă se folosește în rezolvarea oricărei probleme. Cel care vrea să rezolve o
problemă să știe care sunt datele problemei, cum se leagă datele între ele, care este
necunoscuta problemei. Pentru a înțelege problema, se citește această problemă în fața
elevilor cu voce tare de către învățător sau elevi ori prin enunțarea orală. Problema se va
repeta până elevii o vor însuși. Vom explica cuvintele și expresiile neînțelese, vom avea în
vedere citirea și enunțare expresivă a textului. Se vor purta discuții cu elevii pentru a reține
datele importante ale problemei, relațiile dintre date, întrebare a problemei, se poate
concretiza problema prin diferite mijloace intuitive. Se va scrie pe tablă și elevii pe caiete
datele problemei.
Neînțelegerea corectă a enunțului problemei duce la unele dificultăți care ne
împiedică să găsim soluția potrivită. Reu șita oricărei rezolvări corecte se datorează înțelegerii
conținutului problemei.
A.Înțelegerea enunțului problemei
Elevul nu poa te să formuleze ipoteze și să construiască raționamentul rezolvării
problemei decât dacă cunoaște termenii pe baza cărora s-a formulat problema. Textul
problemei are un minim necesar de informații, are date și condiții care ne ajută la analiză și
sinteză, dar și la generalizările ce se fac pe măsură ce se înaintează spre soluția corectă a
problemei. Întrebarea probleme i ne indică drumul spre formularea ipotezelor. Informațiile pot
fi recepționate de către elevi prin imagini, prin acțiuni sau doar prin citirea enunțului
problemei.
B.Analiza problemei și întocmirea planului logic
Înaceastă etapă se elimină ceea ce nu are semnificație matematică și se reprezintă
matematic textul problemei, se stabilește șirul logic prin care se poate rezolva problema,
adică legătura dintre datele problemei și acela necunoscute.
Un moment important în rezolvarea problemelor îl are găsirea ideii care te conduce
spre soluția corectă. Cu ajutorul gândir ii găsim o cale spre rezolvare, aceasta fiind dovada că
rezolvarea problemelor necesită o succesiune de operații logice. În analizarea problemei
elevii t rebuie îndrumați să alcătuiască un șir de raționamente care să se învârtă în jurul
întrebării problemei.
Rezolvarea problemei ar fi mai ușoară dacă elevul ar găsi categoria din care face parte
problema, un tip de probleme pe care el îl cunoaște deja. La problemele compuse aș

recomanda sch ema grafică, să îi punem pe elevi să aleagă datele care au legătură într e ele, să
motiveze cele spuse, să aleagă operația aritmetică care face legătura între date.
După analiza problemei se trece la întocmirea planului de rezolvare, adică etapele
succesive rezultate în urma procesului de gândire. Problema dată s -a descompus în probleme
simple, reprezentate prin întrebări.
Pentru ai obișnui pe elevi cu disciplina rezolvării problemei și înțelegerea ei, am
realizat în scris planul de rezolvare a problemei. Acest plan arată cum se realizează procesul
de verificare a problemei și formează elevilor deprinderea de a trage concluzii care reies din
această verificare. Soluția problemei este ca și găsită dacă s -a transpus problema în relații
matematice.
C.Alegerea și efectuarea operațiilor
Pe elevii din clasele mai mici, m -am ob ișnuit să-i pun să spună motivul pentru care au
ales acea operație, astfel i -am determinat să se gândească la relațiile care sunt între acele
valori numerice.
Prima dată s -a întocmit planul de rezolvare, pe urmă se face rezolvarea propriu -zisă a
problemei ținând cont de ceea ce am hotărât în planul de rezolvare. Prin întocmirea planului
de rezolvare și prin rezolvarea propriu -zisă, elevul are ocazia să vadă problema în întregime
de două ori, dobândind astfel experiența necesară rezolvării pr oblemelor simple fiind pregătit
pentru a rezolva probleme compuse.
În clasele I -II, pentru ca elevii să vadă legătura între cee a ce a gândit și ceea ce a
calculat, scriem întrebarea din planul de rezolvare și o calculăm, adică am rezolvat
problemele simple din problema co mpusă.
În clasele a III -a și a IV -a am stabilit planul de rezolvare a problemei notând
întrebările și lăsând spațiu pentru calcul. Pe tablă și în caiete este scris același procedeu, doar
că elevii sunt forțați să rețină întrebările și pe urmă să efectueze calculele.

D.Activități suplimentare
Această activitate suplimentară se referă la verificarea rezultatului problemei , la
căutarea și găsirea altor metode de rezolvare și alegerea metodei potrivite. Prin această etapă
serealizează și verificare elevilor, dacă și-au însușit datele problemei, precum și
raționamentul realizat și etapele de rezolvare parcurse.
Atunci când rezolvăm probleme, frontal sau independent, se pot strecura greșeli care
să ne conducă la răspunsuri eronate. Prin folosirea altor metode și căise poate ajunge la
răspunsuri diferite sau răspunsuri nelogice (de exemplu -vârsta fiului 130 ani). Rezolvând și
prin altă metodă problema, verificăm dacă am gândit șicalculat corect .
Pentru a evidenția categoria din care face parte problema, după re zolvarea ei, este
necesar stabilirea algoritmului de rezolvare, precum și transpunerea datelor problemei și
stabilirea relațiilor printr -un exercițiu. Pe elevi îi putem ajuta să descopere algoritmul de
rezolvare a unei probleme prin rezolvarea altor proble me care sunt asemănătoare cu cea dată,
prin compunerea de probleme, cu date schimbate sau cu aceleași date, însă rezolvarea să fie
după același tip de exercițiu. Prin această activitate cultivăm și dezvoltăm creativitatea la
elevi, ajutăm la antrenarea sis tematică a intelectului.
Rezolvarea problemelor depind de niște abilități matematice care pot să fie cu caracter
general, se folosește la rezolvarea oricărei probleme (de exemplu: găsirea datelor, stabilirea
legăturii dintre ele și diferențierea cunoscute lor de cele necunoscute), fie caracter specific și
se folosește la rezolvarea problemelor tipice sau la procedee de calcul care ajută la formarea
unor deprinderi la elevi.
Învățătorul are sarcina de a -i conduce pe elevii, care stau în fața unei probleme, la o
analiză a datelor, analiză care îi ajută să facă o serie de reformulări , care să-i apropie de
răspunsul corect al problemei. Analiza atentă a datelor este necesară mai ales la clasele mici
unde elevul întâmpină dificultăți în această direcție, din ca uza vederii de ansamblu a
problemei, el nu conștientizează planul de rezolvare a problemei. Elevul greșește de cele mai
multe ori problema, deoarece ordinea rezolvării problemei nu corespunde cu ordinea datelor
din enunț , el având tendința de a rezolva pro blema în ordinea succesivă în care se găsesc
datele în enunț.
Elevul trebuie condus să vadă imaginea de ansamblu a problemei să treacă de la
fragmente la întreg, de la relațiile dintre date, la întregul plan de rezolvare, care se îmbină

după o anumită log ică care nu permite abateri. Pentru a evita aceste abateri, învățătorul
trebuie să facă niște activități pregătitoare cu elevii, prin crearea unui mod simplu de
rezolvare a problemelor care par a fi diferite, dar au aceeași structură.
Când elevii învață să descopere soluția problemei, apare curiozitatea, care duce la
apariția pasiunii pentru matematică, pune în joc facultățile inventive.
,,Omare descoperire rezolvă o problemă mare, dar există un grăunte de descoperire în
rezolvarea oricărei probleme. Pro blema ta poate fi modestă, dar dacă ea îți stârnește
curiozitatea și -ți pune în joc facultățile inventive și dacă o rezolvi prin, mijloacele tale
proprii, atunci poți încerca tensiunea și bucuria triumfului descoperiri. Asemenea încercare la
o vârstă potr ivită poate crea gust pentru munca intelectuală și poate sa -și pună pecetea în
minte și caracter pentru o viață întreagă.’’ (Nicolae, O, 1988, pag. 14 -17).
Tot timpul am încercat să găsesc metode, mijloace și procedee în scopul formării
la elevi a depri nderii de a rezolva probleme. Procedând în modul arătat am reușit să obțin
rezultate tot mai bune în complexul proces al rezolvării problemelor.
I.3Descrierea metodei figurative
Cea mai utilizată metodă și cea mai importantă în rezolvarea problemelor din ciclul
primar, este metoda figurativă.
Metoda figurativă are caracter general și se poate aplica la orice categorie de
probleme în care se pretează figurarea. Pentru înțelegerea datelor se folosesc imagini vizuale,
câteodată intervine acțiunea directă, mișcarea transpunerea acesteia pe plan min tal, metoda
având un caracter intuitiv.
De multe ori cel care rezolvă probleme simte nevoia să -și ,,apropie’’ datele
problemei, dar și relațiile dintre ele. Pentru acest lucru se face un desen, o figură, un model.
La început când se învață metoda figurat ivă, desenul elevului este foarte detaliat, iar cu
timpul după ce își formează unele deprinderi și priceperi, desenul elevului cuprinde numai
esențialul.
Problemele care se rezolvă prin metoda figurativă le putem grupa în două mari
categorii și anume:

1.Cu date sau mărimi ,,discrete’’, adică mărimile pot fi numărate câte una și se pot
pune în co respondență după niște criterii. Mărimile le ,,figurăm’’ prin simboluri.
2. Cu date sau mărimi ,,continui’’, când le ,,figurăm’’ prin segmente. (Ion, N, 1988,
pag.210)
Încă din primele clase, elevii reprezintă grafic, cu rigletă, numere, suma sau diferența
lor, enunțul p roblemelor. Este metoda cea mai folosită în clasele I -IV. Cu ajutorul acestei
metode am reprezentat grafic, adică figurativ, datele sau mărimile din problemă prin diferite
schițe, desene, figuri geometrice, segmente de dreaptă. Figurile alese diferă de la o problemă
la alta. Această metodă este însușită cu ușurință de începători. Cu ajutorul metodei figurative,
elevii, pot vedea dependența mărimilor și astfel se fixează mai clar raționamentul care ne
arată drumul spre rezultatul corect. Elevii întâmpină gre utăți în rezolvarea problemelor care
conțin în textul lor unele expresii ca: ,,mai mult cu atât’’ sau ,,mai puțin cu atât’’, fiindcă ei
schimbă sensul unor date (în loc de ,,mai mult cu patru bile’’ ei rețin ,,au fost patru bile’’).
Aceste greutăți au fost depășite cu ajutorul metodei figurative.
Problemele care se rezolvă prin metoda figurativă nu se pot încadra în categoria celor
tipice, fiindcă nu au un algoritm de rezolvare care să se aplice tuturor problemelor de acest
fel. În cele din urmă scrise am descris doar în ce constă această metodă. ……..

I.4Considerații de ordin psihologic în rezolvarea problemelor
Într-un act de învățare participă întreg psihismul, adică toate fenomenele psihice ale
unui individ, dar dacă în anumite situații pred omină un anumit proces, într -o altă situație
intervine mai evident alt proces. Pentru a putea studia procesele cognitive, am descris separat
funcțiile lor de bază.
Într-un act de învățare un rol important îl are atenția, percepția și memoria. În
aprofunda rea cunoașterii pe primul loc este imaginația și gândirea. În procesul de învățare
apare comunicarea dintre elev și cadru didactic, darși motivația care vine ca și martor al
activității psihice, precum spune Andrei Cosmovici și Luminița Iacob în volumul ,,Psihologia
școlară’’.
În continuare vreau să prezint câteva dintreprocesele fundamentale care intervin când
elevul este pus să rezolve o problemă și elevul este conștient de ceea ce trebuie să facă și are
simțul răspunderii.
1.Atenția
Un act de cunoaștere este eficient dacă reușim să câștigăm atenția elevului.
MihaiGolu spune că atenția esteprocesul psihofiziologic care ne ajută să ne orientăm
șisă ne concentrăm asupra activității psihice și psihocomportamentale ,adică să ne orientăm
și să ne concentrăm asupra unui obiect sau fenomen.
Atenția este influențată de motivație, de starea afectivă în care te afli, ea fiind
observabilă chiar și pe expresia feței. Atunci când predau o problemă, doar privind spre clasă
îmi dau se ama dacă sunt atenți sau nu, îi cunosc după expresia feței, poziția ochilor și
sprâncenelor și după mimică.
Atenția are trei forme: involuntară, voluntară și post -voluntară.
Atenția involuntară se referă la faptul că elevul rezolvă o problemă din interes fără a fi
pus de cineva. Atenția voluntară este intrinsecă elevului , este făcută cu intenție, cu un scop
conștient asumat și formulat . După ce am repetat de mai multe ori un algoritm de rezolvare a
problemelor, care a solicitat intens atenția voluntară, se trece de la procesările controlate la
procesările automatizate, adică se ajunge la atenția post -voluntară, care devine o activitate
plăcută.

Cu voie sau fără voie, ca și cadru didactic mai oblig copiii să rezolve probleme; dacă
facem acest lucru într -un mod conștient și cu dăruire, determinându -i pe copii să rezolve
probleme, mai târziu ei o vor face fără efort voluntar. Punându -i pe elevi să rezolve probleme
vom descoperii faptul că un or copii nu le place matematica , deoarece nu au învățat la
momentul potrivit modul de rezolvare a unor probleme simple, dar vom întâlni și elevi la care
o să le placă să rezolve probleme.
Cadru didactic trebuie să fie atent să nu eticheteze pe nici un elev din clasa lui pe
motivul că nu știe să rezolve probleme.
2.Percepția
După spusele psihologilor , percepția este cunoașterea fenomenelor și obiectelor în
întregimea lor și atunci când ele intervin asupra organelor senzoriale. Este un proces complex
deși oame nii îl percep ca un proces simplu.
Procesele psihice care intervin în actul percepției sunt:
-imagini
-senzații
-gândirea
-afectivitatea
În predare folosim următoarele metode pedagogice la care ne ajută percepția:
• metoda demonstrației: îmbină analiza cu sinteza (le demonstrăm elevilor cum
se rezolvă o problemă);
• metoda observațiilor independente (elevii, pe baza celor spuse mai sus, vor
putea face observațiile necesare singuri).
Baza percepției este memoria.
3.Memoria
Memoria are o funcție p sihică importantă care face să fie posibilă fixarea, conservarea,
recunoașterea și reproducerea celor învățate. Memoria ne transmite imaginile anterioa re, cu ajutorul
căreia capătă un înțeles, dovadă că percepția se bazează pe memorie. Procesul de predare-învățare ar
fi imposibil fără memorie.

4.Gândirea
Gândirea este considerată o activitate, un proces complex, deoarece ea duce la o
succesiune de operații care ajută la dezvoltarea aspectelor importante din realitate, dar și la
rezolvarea unor problem e.
Andrei Cosmovici spune că operațiile gândirii sunt:
-comparația;
-analiza;
-sinteza;
-abstractizare
Filozoful E. Mach a spus: ,,Gândirea este un experiment mintal’’
5.Înțelegerea
Înțelegerea înseamnă a stabili niște legături importante între ceva deja cunoscut și un
lucru nou, necunoscut. Valoarea înțelegerii depind de legăturile stabilite .
Rolul înțelegerii este de a stabili în continuu relații între obiecte, fenomene, fapte,
alcătuind astfel memoria semantică, formată dintr -un sistem organizat de legături, care ajută
la formarea unei rețele semantice care ușurează înțelegerea unor situații noi, în cazul nostru
ajută elevul să găsească o soluție corectă la problemele complexe .
Reușita elevului este garantată pe jumătate, dacă el înțelege ce se în tâmplă în jurul lui,
adică cadru didactic să predea pe înțelesul elevului.
6.Creativitatea
Cele cinci procese, amintite anterior, au fost respectate în mod normal și firesc, iar al
șaselea apare cu completarea mult așteptată.
Creativitatea are la bază un proces care este imaginația. Imaginația este o componentă
importantă a structurii mentale creative și are la bază două procese fundamentale: analiza și
sinteza. Analiza descompune unele asocieri, reprezentări, după care vine sinteza să
reorganizeze în alte st ructuri cele gândite anterior.
În urma celor spuse , dacă cadru didactic, va ține seama de aceste procese ale
psihicului în predarea metodologiei de rezolvare a problemelor, elevul va fi un câștigător

CAPITOLUL II
PROBLEME CARE ÎN REZOLVAREA LOR RECURG LA
METODA FIGURATIVĂ
Am început acest capitol de predare cu probleme simple, iar pe parcurs am sporit
gradul de dificultate a problemelor.
1.Florina și Anamaria au împreună 19 mere.
Câte mere au cele două fetițe, dacă Florina are cu un măr mai mult decât Anamaria?
Le explic elevilor că acel măr este de fapt mărul problemă, că el dacă nu ar fi cele
două fete ar avea un număr egal de mere.
Pentru un moment mărul problemă îl iau la mine:
19–1= 18
Acum problema e ca și rezolvată pentru că elevii observă că atât Florina cât și
Anamaria au fiecare 18 : 2 = 9 mere. În urma acestei observații vin ș i eu cu mărul problemă
pe careîl dau Florinei.
9 + 1= 10
Soluția problemei este: Florina are 10 mere
Anamaria are 9 mere
După aceste probleme simple ridic gradul de dificultate a problemelor, dar nu înainte
de a face exerciții de tipul a + b = 70
a–b= 30
Elevii trebuie dirijați pentru a înțelege aspectele redate în cele două egalități. Ei vor
înțelege că trebuie să afle valoarea lui ,,a” și valoarea lui ,,b” care fac ambele legalități
adevărate.

Astfel de exerciții se pot transforma în probleme de sumă și diferență. Aceste
probleme se rezolvă algebric, doar că în clasele I -IV ele nu se pot rezolva decât aritmetic și
aici sare în ajutor metoda figurativă.
Uitându-ne la datele exercițiului problemă a + b = 70,a–b= 30, elevii vor ajunge la
următoarea idee:,,a” trebuie să fie cu 30 mai mare decât ,,b” sau ,,b” să fie cu 30 mai mic
decât ,,a” (bazându -ne pe proprietățile adunării și scăderii). Casă înțeleagă elevii mai bine
am reprezentat grafic prin segmente cele două numere respectând relația dintre ele.
a Fig. 1
b …………… 70
Privind cu aten ție cele două segmente elevii observă că dacă lui ,,b” îi adăugăm 30
este cât a, a + (b+30) va fi 70+30. Știind suma a două numere egale îl vor ușor pe ,,a” =100 : 2
a= 50 apoi folosind relația a –b = 30 vom înlocui
și 50 –b= 30
b= 50-30
b= 20
Pe urmă vom verifica valorile găsite pentru ,,a” și ,,b”.
50 + 20= 70
50-20= 30
Elevii rezolvă aceste probleme aplicând algoritmul însușit în urma rezolvării mai
multor probleme de acest tip.
a + b= 70
a–b= 30
2a= S + d a =
unde S= (a + b) și d =a–b

II. 1 Rezolvarea problemelor ce conțin mărimi discrete
În ciclulprimar găsim probleme ce permit utilizarea acestei metode, dar și probleme
care o impun. În continuare voi prezenta probleme ce conțin mărimi discrete.
,,Într-o lădițăsunt6 bile verzi, iar bilele portocalii cu 3 mai multe. Câte bile sunt în
lădiță?”
Prima dată am scris datele pe tablă după care am executat la tablă următorul desen
pentru ai ajuta pe elevi să înțeleagă problema.
Fig. 2
3
După ce am desenat cele 6 bile verzi, am desenat sub ele 6 bile portocalii, elevii au
observat că până acum numărul bilelor verzi și al celor portocalii sunt egale și că pentru a
avea cu 3 bile portocalii mai mult , trebuie să adăugăm la cele 6 bile portocalii încă 3 bile.
Uitându-se pe desen elevii vor vedea cu ușurință că pentru a afla numărul bilelor din
lădiță trebuie să afle prima dată câte bile porto calii sunt:
6 + 3= 9 (9 bile portocalii ), iar pe urmă adunăm numărul bilelor verzi cu numărul
bilelor portocalii:
6 + 9= 15
Răspuns: 15 bile
„În 3 lăzi sunt 66 mere, în fiecare ladă se găsesc același număr de mere. Dacă dintr-o
ladăse iau 12 mere, câte mere rămân în acea ladă ? Câte mere vor fi în două lăziluate la
întâmplare? ”
Vom reprezenta lădițele prin dreptunghiuri, iar merele prin cercuri: Fig. 3
I II III

Elevii au aflat astfel că în fiecare ladă sunt câte (66 mere : 3) = 22 mere; dacă din
prima ladă luăm 12 mere ne mai rămân (22 mere –12 mere = 10 mere)
Fig. 4
10 22 22
I+II II+III
I + III
I + II 10 mere + 22 mere = 32 mere
II + III 22 mere + 22 mere = 42 mere
I + III 10 mere + 22 mere = 32 mere
R: În prima ladă sunt 10 mere.
În două lăzi pot fi 32 mere sau 44 mere.
„Dacă se așează câte un copil la o masă, rămân 14 copii în picioare. Dacă se așează
câte 2 copii la o masă, rămân 3 mese libere. Câți copii și câte mese sunt?”
Scriem datele problemei:
1 copil…………….1 masă…………….14 copii…………2 copii…………..1 masă
3 mese…………….? copii……………..? mese
După ce elevii și -au însușit enunțul, se poate purta cu ei următorul dialog:
Această problemă are două părți distincte: dacă îi așezăm pe copii într -un fel se
întâmplă ceva, iar dacă îi așezăm pe copii în alt fel, se întâmplă altceva. Ob servăm că datele
problemei sunt mărimi „discrete” (mese și copii), mărimi care se pot pune în corespondență
după analiza textului. Analizând prima parte a problemei observăm că mulțimea copiilor și
mulțimea meselor pot fi în așa fel „privite” încât element ele lor să fie organizate așa: fiecărui
copil să îi corespundă o masă, astfel 14 copii rămân în picioare, adică nu au loc.
Reprezentăm cele spuse mai sus:

Fig. 5
…………. ………….
14 copii
Am așezat la fiecare masă câte un copil, în felul acesta au rămas 14 copii în picioare,
cei care sunt desenați la urmă. Fiindcă nu cunoaștem câte mese sunt, am desenat primele trei
și ultima, arătând că „…….” mai sunt mese cu un copil.
Acum facem legătura cu partea a doua a enunțului problemei: nu ne convine dacă
așezăm câte un copil la o masă, pentru că rămân 14 copii fără loc. Propunem să așezăm câte 2
copii la o masă. Cum facem acest lucru?
Ne ocupăm de cei 14 copii care stau în pic ioare și îi așezăm la 14 mese în completare
la copii care stau doar unul singur la o masă. Fiindcă în problemă spune că dacă așezi câte doi
la o masă rămân 3 mese libere, ceea ce înseamnă că din acestea s -au mai ridicat 3 copii care
au completat ca și ceil alți copii încă trei mese cu doi copii.
Reprezentăm cele spuse astfel: Fig. 6
………. ……… ………
123 14 1 2 3 14
Deci avem: 14 mese cu doi copii completate de cei 14 copii care erau în picioare și
încă 3 mese cu doi copii completate prin ridicarea de la 3 mese care trebuie să rămână libere
și la final rămân 3 mese libere.
În acel loc erau: 14 + 3 + 3 = 20 mese
20 + 14 = 34 copii
Răspuns: 20 de mese și 34 de copii.
„Într-o gospodărie sunt gâște și iepuri, în total 40 de capete și 100 de picioare. Câte
gâște și câți iepuri sunt în gospodărie?
Precizăm că gâștele au 2 picioare și iepurii au 4 picioare și reprezentă m problema prin
desen.

40 Fig.7
……………….
Ceea ce urmează este mai greu, adică unde așezăm câte 2 picioare și unde așezăm câte
4 picioare.
Gândim astfel:
a)Dacă așezăm câte 2 picioare la fiecare vietate din g ospodărie, atunci vom avea
40×2=80 (picioare). Am aflat numărul de capete, dar picioarele sunt mai puține 100 –80 =
20 (picioare). Rămân 20 de picioare pe care le așezăm câte 2 picioare la fiecare vietate din
gospodărie, începând cu prima vietate care are 2 picioare, obținând astfel vietăți cu 4
picioare, care sunt de fapt iepurii . La câte vietăți din gospodărie putem pune câte 2 picioare?
(20 : 2 = 10). Găsim astfel? 20 : 2 = 10 (iepuri). Am aflat numărul iepurilor și astfel putem
afla și numărul gâștelor: 40 –10 = 30 (gâște)
b) Un alt mod de a rezolva această problemă ar fi să așezăm câte 4 picioare la
fiecare vietate din gospodărie .
Fig. 8
40 capete
…………
160 picioare
Făcând acest lucru am obținut cu (160 –100 = 60) 60 de picioare mai mult. Acest
rezultat l-am obținut pentru că am considerat toate capetele ca fiind doar iepuri.
Așadar trebuie să ștergem câte 2 picioare de la un anumit număr de vietăți din
gospodărie, p ână epuizăm cele 60 de picioare în plus. Ne rămân în gospodărie 30 de vietăți a
câte 2 picioare. Putem afla astfel câte gâște sunt:
60 : 2 = 30 (gâște) 40–30 = 10 (iepuri)
Răspuns: 30 gâște
10 iepuri

În continuare voi încerca, să prezint o problemă care se poate ilustra cu ajutorul
segmentelor. Am introdus o astfel de problemă printr -o problemă simplăpentru a degaja
modul de lucru, fără a crea un model unic. Realizarea graficului acestor probleme se face
după cum consideră rezolvitorul.
„O mașină pleacă pe șosea de la kilometru 0, mergând cu o viteză constantă. După 2
ore de mers, nu ajunge în parcare, mai are până acolo 14 km. După 5 ore de mers, a trecut de
parcare cu 25 km. La câți kilometri se află parcarea?”
După citirea enunțului problemei trebuie să constatăm o informație importantă, adică
mașina merge cu viteză constantă. Discut cu elevii despre ceea ce înseamnă că o mașină
merge cu o viteză constantă , ajungând la ideea, parcurgerii egale în intervale egale de timp.
Această idee ne ajută să realizăm o figură în care distanțele parcurse în fiecare oră să le
putem reprezenta prin segmente egale puse cap la cap. Reprezentăm prima dată șoseaua pe
care ne-o închipuim dreaptă.
Fig. 9
Sensul de deplasare este reprezentat prin săgeată. Punctul ne arată de unde pleacă
mașina, adică kilometru 0 (zero). Nu știm unde trebuie reprezentată parcarea. În problemă ni
se spune că ,după 2 ore de mers, încă nu ajunse la parcare. Împreună cu elevii convenim că
distanța parcursă într -o oră să o reprezentăm printr -un segment.
În urma celor spuse figura arată astfel:
A DB Fig. 10
14km 25 km
Elevii uitându -se la acest desen vor observa că între punctul A și D sunt 14 kilometri ,
iarîntre punctul D și B sunt 25 kilometri.
După ce am citit graficul , vom trece la întocmirea planului de rezolvare a problemei:
1.În câte ore parcurge mașina distanța AD?
5–2 = 3 ore

2.Ce distanță parcurge mașina în acest timp?
14 +25 = 39 (kilometri)
3.Cu ce viteză merge mașina?
39:3 = 13 (kilometri/oră)
4.Ce distanță parcurge mașina în 2 ore?
13 x 2 = 26 (kilometri)
5. La câți kilometri se află parcarea?
26 + 14 = 40 (kilometri)
R: 40 kilometri
II.2 Rezolvarea problemelor cu mărimi continue
Problema de mai sus mă ajută să fac trecerea la rezolvarea problemelor cu mărimi
continue și la un subcapitol pe care o să -l abordez mai târziu „Probleme de mișcare”.
O să prezint al doilea tip de probleme la care se poate folosi un s egment de dreaptă ca
element grafic. Acest tip de probleme se referă la mai multe categorii, eu o să prezint doar
câteva dintre ele.
II.2.1 Aflarea numerelor când se dau suma și diferența lor
La rezolvarea acestor probleme trebuie să fim atenți la reprezentarea datelor
problemei prin segmente. Dacă reprezentăm corect datele problemei înseamnă că o și
rezolvăm corect, de aceea rolul nostru la clasă este de a forma la elev priceperi și deprinderi
de a rezolva cât mai corect și ușor aceste probleme pri n această metodă.
„Un cablu are 86 m. El a fost tăiat în două, o parte fiind mai lungă cu 24 m. Câți
metri are fiecare bucată de cablu?

Scriem datele problemei :
80 m………cu 24 m mai mult……….?
După ce am scris datele și ne -am însușit enunțul problemei, purtăm discuții cu elevii.
Pe urmă trecem la rezolvarea problemei. Avem un cablu care a fost tăiat în două bucăți, una
fiind mai mică și alta mai mare. Acuma vom reprezenta cele două bucăți de cablu .
Fig. 11
24 m 86 m
Știm că cele două bucăți de cablu au 86 m. Am arătat acest lucru printr -o acoladă. Voi
întreba elevii ce reprezintă primul segment, al doilea segment și ce reprezintă 24 m. Vom
discuta ce se întâmplă cu cele două segmente dacă iau 24 m (segmentele ră mân egale). Ce
lungime au acum cele două segmente egale? 86 m –24 m = 62 m
Ce lungime are segmentul mai mic? 62 : 2 = 31 m
Ce lungime are segmentul mai mare? 31 m + 24 m = 55 m
Amrezolvat această problemă și sub altă formă. Am făcut un nou desen în caream
egalat cele două părți prin adăugare la partea cea mai mică a unei bucăți de cablu de 24 m.
Am precizat că trebuie să ne închipuim că adăugăm la partea cea mai mică încă o bucată de
cablu de 24 m.
Fig. 12
…………….
86 m + 24 m = 110 m
După ce am analizat problema , am obținut:
86 m + 24 m = 110 m
Acuma am aflat prima dată partea cea mai mare: 110 m : 2 = 55 m, pe urmă am aflat
partea cea mai mică: 55 m –24 m = 31 m.
După ce am rezolvat această problemă, am făcut cu elevii mai multe probleme de
acest tip, cerându -le să reprezinte segmentele care ne ajută să găsim răspunsul corect.

„Două lăzi cântăresc 110 kg. O ladă cântărește cu 20 mai mult. Cât cântărește fiecare
ladă?” sau „Pe raftul u nei biblioteci sunt 90 volume de cărți. Pe primul raft sunt cu 2 mai
multe cărți. Câte volume de cărți sunt pe fiecare raft? ”
După ce am rezolvat mai multe probleme la care se cunoaște suma (S) și diferența (D)
a două numere, am ajuns la următoarea conclu zie:
Dacă suma și diferența se adună și se împarte la doi, găsim numărul mai mare (N), iar
dacă diferența se scade din sumă și se împarte la doi, găsim numărul mai mic (n).
= ș= sauN = (S +D) : 2
n =(S-D) : 2
Formulele scrise se aplică numai în cazul a două numere care trebuie aflate, după care
se aplică formula.
„Două prietene au împreună 34 alune. Dacă prima dă 8 alune laoveveriță și a doua 2
alune, le rămân același număr de alune. Câte alune a avut fiecare?”
Cunoaștem suma , că prima dă 8 alune și a doua 2 alune, le rămân același număr de
alune. Diferența se calculea ză astfel: 8 –2 = 6. Dacă am aflat diferența se poate aplica
formula. Elevii vor înțelege mai bine după ce voi reprezenta problema prin segmente.
8 Fig.13
34
2
II.2.2 Aflarea a două numere când se cunoaște suma sau
și raportul lor
Raportul a două numere înseamnă câtul lor care ne ajută să vedem de câte ori este mai
mic un număr sau mai mare decât celălalt număr.

„Pe o farfurie sunt 35 de nuci și gutui. Numărul nucilor este de 4 ori mai mare decât
al gutuilor. Câte nuci și gutui sunt pe farfurie?”
Se cunoaște suma și raportul lor . Voi specifica că numărul mare este de 4 ori mai
mare decât primul număr. Voi reprezenta numărul mai mic.
Fig. 14
n
Voi reprezenta numărul mai mare.
N
Voi reprezenta suma celor două numere punând în capătul segmentului mai mare
segmentul mai mic.
N n
S
Elevii v or răspunde la următoarele întrebări : Câte segmente sunt? (5) Ce reprezintă
aceste segmente? (S) Cum putem găsi lungimea unui segment? (se află numărul mic)
35 : 5 = 7 (gutui)
Care este numărul mare, adică numărul nucilor?
7 x 4 = 28 (nuci)
R: 7 gutui
28 nuci
O problemă în care raportul nu se împarte exact:
„Să se împartă numărul 210 în două părți știind că ele se află în raportul de 3/4.”
Reprezentăm grafic cele două numere.

Fig. 15
n1
n2
Ce putem observa din desen? Observăm că primul număr are 3 părți și al doilea
număr are 4 părți . Cum sunt părțile? Părțile sunt egale. Câte părți avem?
3 + 4 = 7
Fig. 16
S
Cât este o parte? 210 : 7 = 30
Cât este primul număr? 30 x 3 = 90
Cât este al doilea număr? 30 x 4 = 120
Este mai greu de rezolvat problema atunci când din datele problemei nu reiese suma
și trebuie să o calculăm din relațiile care sunt date în problemă.
„Într-un bol sunt 46 de bile albe și negre. Dacă luăm 4 bile negre și punem 8 bile
albe, atunci în bol avem de 4 ori mai multe bile albe. Câte bile albe și negre au fost la început
în bol?”
La început au fost în bol 46 de bile albe și negre. Acest număr reprezintă suma bilelor
înainte de a fi modificate. Suma aceasta a suferit două modificări. Prima modificare a fost
când am luat cele 4 bile negre, iar a doua modificare a fost când am pus 8 bile albe.
Câte bile albe și negre au fost la început? (46)
Câte bile negre am luat? (4)
Câte bile au rămas? ( 46–4 = 42)
Câte bile albe am pus? (8)

Câte bile albe și negre avem acum? (42 + 8 = 50)
Acum vom reformula problema cu noile date.
„Într-un bol sunt 50 de bile albe și negre. Numărul bilelor albe este de 4 ori mai mare.
Câte bile albe și câte bile negre sunt?”
Reprezentăm problema prin segmente.
Fig. 17
50
Câte bile negre sunt?
50 : 5 = 10 (bile)
Câte bile albe sunt?
10 x 4 = 40 (bile)
Noi trebuie să aflăm numărul bilelor dinainte de modificare, iar noi am aflat numărul
bilelor după modificare.
Câte bile negre au fost la început?
10 + 4 =14 (bile)
Câte bile albe au fost la început?
40–8 = 32 (bile)
II.2.3 Aflarea numerelor când cunoaștem diferența și raportul
„Un metru de pânză costă cu 48 de lei mai mult decât un metru de căptușeală, și este
de 7 ori mai scump. Cât costă un metru de pânză și un metru de căptușeală?”
Reprezentăm problema prin segmente.
48 lei Fig. 18

De câte ori este mai mare costul unui metru de pânză?
7–1 = 6
Câți lei costă aceste 6 părți? (diferența dintre ele, adică 48 lei)
Cât costă o parte,adică 1 m de căptușeală?
48 : 6 = 8 lei
Cu cât este mai scump un metru de pânză? (de 7 ori )
Cât costă un metru de pânză?
8 lei x 7 = 56 lei
„Într-o școală, numărul fetelor este de 2/9 din numărul băieților. Diferența dintre
numărul b ăieților și numărul fetelor este de 266. Câți băieți și câte fete sunt în școală?”
Reprezentăm problema prin segmente după ce ne -am însușit enunțul și am analizat -o.
266 Fig. 19
Care este diferența dintre băieți șifete? (266)
Ce putem afla? (cât reprezintă un segment)
266 : 7 = 38
Câte fete sunt?
38 x 2 = 76 (fete)
Câți băieți sunt?
38 x 9 = 342 (băieți)
După ce am rezolvat mai multe probleme de acest tip, scoatem în evidență
următoarele formule:

n1= ∙ a n2= ∙ bunde n 1și n2sunt cele două numere, S
este suma lor, iar a/b reprezintă raportul lor.
Atunci când cunoaștem diferența (D), și raportul lor (a/b), avem următoarele
formule:
n1= ∙ n2= ∙
În rezolvarea problemelor se pot folosi aceste formule dacă se cunoaște suma și
raportul lor sau diferența și raportul lor, dacă nu se cunosc trebuie aduse până la forma în
care se cunosc. Problemele trebuie amplificate gradat pentru a pune elevul în diferite situații,
dar trebuie avut grijă să nu devină un obstacol pe care elevul să nu îl poată depăși.
II.2.4 Probleme de mișcare
În rezolvarea acestor probleme întâlnim următoarele mărimi: distanța sau spațiu (d),
timpul (t) și viteza ( v). Aceste probleme se rezolvă prin găsirea unei mărimi când cunoaștem
celelalte mărimi. Aceste probleme pot fi împărțite în două grupe:
a)probleme de mișcare sau de urmărire în care mobilele se deplasează în același
sens;
b)probleme de mișcare în care mobilele se deplasează unul că tre celălalt, probleme
întâlnire.
a)Probleme de urmărire
„Din localitatea A un biciclist pleacă la ora 7 dimineața spre localitatea B cu viteza de
5 km/oră. O mașină pleacă din localitatea A spre localitatea B cu o viteză de 20 km/oră. După
cât timp mașina v a ajunge biciclistul, dacă a plecat la ora 16.”
După ce v on citi problema vom observa că este o problemă de mișcare în același sens.
Ca să rezolvăm problema trebuie să ținem cont de următoarele lucruri:
-când pleacă mașina, adică când începe urmărirea;

-lace distanță se află biciclistul atunci când pleacă mașina.
1)Cât timp merge biciclistul singur?
16 ore –7 ore = 9 ore
2)Care este distanța dintre biciclist și mașină în momentul plecării acesteia?
5 km/oră x 9 ore = 45 km
Acum vom reprezenta problema grafic.
Fig. 20
A20 km/h 5 km/h B
45 km
Biciclistul merge cu 5 km/oră, iar mașina merge cu 20 km/oră.
3)Cu cât se apropie mașina de biciclist în fiecare oră?
20 km/oră –5 km/oră = 15 km/oră
4)După cât timp ajunge mașina pe biciclist?
45 km : 15 km/oră = 3 ore
5)Ce distanță a parcurs biciclistul până la întâlnirea cu mașina?
15 km/oră x 12 ore = 60 km
6)Ce distanță a parcurs mașina până la întâlnirea cu biciclistul?
20 km/oră x 3 ore = 60 km
După ce rezolvăm mai multe probleme de mișcare, vom ajunge la concluzia că se
poate calcula timpul după următoarea formulă:
t =

b)Probleme de întâlnire
În cazul acestor probleme mobilele se deplasează unul către celălalt.
„Distanța dintre două sate M și N este de 126 km. Din aceste sate pleacă doi
motocicliști, unul spre celălalt, în același timp. Primul motociclist are o viteză de 8 km/oră,
iar al doilea merge cu 10 km /oră. După câte ore se întâlnesc cei doi motocicliști?”
Vom reprezenta problema grafic.
Fig. 21
M P N
8 km/h 10 km/h
1)De care sat vor fi mai aproape cei doi motocicliști în momentul întâlnirii?
Va fi mai aproape de satul M deoarece motociclistul care pleacă din M are o viteză
mai mică.
2)Cu cât se micșorează distanța dintre motocicliști într -o oră?
10 km + 8 km = 18 km
3)După câte ore se vor întâlni cei doi motocicliști?
126km :18 = 7 ore
4)La ce distanță faț ă de M se vor întâlni cei doi motocicliști?
8 km x 7 = 56 km
II.2.5 Probleme de rest din rest. Metoda mersului invers
Acest tip de probleme se rezolvă pornind de la ultima etapă a problemei și se rezolvă
în sens invers enunțului.