CATEDRA TEHNOLOGIA CONSTRUC ȚIILOR DE MA ȘINI [626077]
UNIVERSITATEA DIN BRA ȘOV
FACULTATEA INGINERIE TEHNOLOGIC Ă
CATEDRA TEHNOLOGIA CONSTRUC ȚIILOR DE MA ȘINI
ing. Cristin-Olimpiu MORARIU
TEZA DE DOCTORAT
Conducător științific:
Prof. dr. ing. Ion POPESCU
1999
UNIVERSITATEA DIN BRA ȘOV
FACULTATEA INGINERIE TEHNOLOGIC Ă
CATEDRA TEHNOLOGIA CONSTRUC ȚIILOR DE MA ȘINI
ing. Cristin-Olimpiu MORARIU
OPTIMIZAREA ÎNCERC ĂRILOR DE
FIABILITATE A RULMEN ȚILOR
TEZA DE DOCTORAT
Conducător științific:
Prof. dr. ing. Ion POPESCU
1999
3
PREFAȚĂ
Economia de pia ță înseamnă concuren ță, iar unul din atuurile cele mai puternice în lupta
concurențială este calitatea superioar ă a produselor și a serviciilor.
Fiabilitatea și încercările la durabilitate furnizeaz ă instrumentele teoretice și practice prin
care se stabilesc probabilit ățile și capacitățile produselor testate de a- și îndeplini func ția pentru
care au fost proiectate si realizate.
Atât pe plan na țional, cât și pe plan mondial, în rândul produc ătorilor de rulmen ți, se
constată o competi ție acerbă pentru cucerirea pie țelor de desfacere, prin elaborarea de produse
la un nivel optim de fiabilitate, care s ă sigure un cost minim utilizatorilor.
Teza de doctorat elaborat ă se înscrie pe aceasta linie general ă a preocup ărilor existente in
domeniul certific ării calității rulmenților, propunându- și ca direcții de cercetare:
stabilirea metodei optime de estimare a indicatorilor de fiabilitate;
exprimarea incertitudinii de estimare a indicatorilor de fiabilitate;
stabilirea volumului de e șantion și a tipului încerc ării la durabilitate a
rulmenților;
utilizarea estimatorilor bayesieni la prelucrarea statistic ă a rezultatelor
experimentale ob ținute în urma încerc ărilor la durabilitate/fiabilitate a
rulmenților;
exprimarea fiabilit ății previzionale a rulmen ților.
Autorul aduce, pe aceast ă cale, calde mul țumiri și își exprimă întreaga sa gratitudine și
considera ție domnului Prof.dr.ing. Ion Popescu , în calitatea sa de conduc ător științific, pentru
competenta îndrumare acordat ă și pentru importantele sugest ii date pe întreaga durat ă de
elaborare a lucr ării.
Mulțumirile autorului sunt adresate conducerii Universit ății "Transilvania" din Brașov,
conducerii Facultății de Inginerie Tehnologic ă și Catedrei TCM pentru sprijinul și susținerea
permanent ă acordate în timpul preg ătirii doctoratului, impunând o ștachetă ridicată elaborării și
finalizării tezei de doctorat.
O aleasă considera ție este adresat ă conducerii Institutului de Cercetare-Proiectare
Rulmenți și Organe de Asamblare, SC ICPROA SA-BRA ȘOV, pentru suportul acordat în
perioada stagiului de preg ătire a lucr ării și pentru cadrul favorabil creat dezvolt ării și elaborării
tezei.
4
CUPRINS
PREFAȚĂ ………………………………………………………………………………………………………………. ..
CUPRINS ………………………………………………………………………………………………………………. ..
NOTAȚII SI TERMINOLOGIE …………………………………………………………………………………
INTRODUCERE ……………………………………………………………………………………………………….
1. CONSIDERA ȚII ASUPRA STADIULUI ACTUAL AL CERCET ĂRILOR
PRIVIND DURABILITATEA SI FIABILITATEA RULMEN ȚILOR …………………………..
1.1 Caracteristici constructiv-func ționale ale rulmen ților …………………………………………….
1.2 Analiza modului de defectare a rulmen ților …………………………………………………………..
1.2.1 Fenomene tipice de defectare a rulmen ților ………………………………………………….
1.2.2 Influen ța diferiților factori asupra fiabilit ății si durabilit ății
rulmenților ………………………………………………………………………………………………..
1.3 Aspecte privind evolu ția cercetărilor în domeniul durabilit ății
și fiabilității rulmenților ……………………………………………………………………………………….
1.3.1 Calculul durabilit ății …………………………………………………………………………………..
1.3.2 Indicatorii de fiabilitate a rulmen ților …………………………………………………………..
1.3.2.1 Definirea și clasificarea indicatorilor ………………………………………………..
1.3.2.2 Reparti ții utilizate în studiul fiabilit ății rulmenților
…………………………….
1.3.2.3 Raportul dintre durabilitate și fiabilitate la rulmen ți ………………………… .
1.3.3 Metode utilizate la estimarea indicatorilor de fiabilitate ………………………………. .
1.3.3.1 No țiuni generale. Clas ificarea metodelor ………………………………………….
1.3.3.2 Metode de estimare a indicatorilor de fiabilitate ……………………………….
1.4 Baza material ă utilizată la testarea durabilit ății rulmenților …………………………………… .
1.4.1 Noțiuni generale. Clas ificarea metodelor …………………………………………….
1.4.2 Încerc ări de durabilitate specifice fabrica ției de rulmen ți
………………………
1.4.3 Metodologia încerc ărilor la durabilitate/fiabilitate a
rulmenților ……………………………………………………………………………………….
1.4.4 Echipamente si instala ții utilizate la testarea rulmen ților
……………………….
1.5 Concluzii asupra stadiului actual al cercet ărilor privind optimizarea
încercărilor de durabilitate/fiabilitate a rulmen ților ………………………………………………. .
2. OBIECTIVELE CERCET ĂRII …………………………………………………………………………………..
2.1 Tendin țele actuale ale cercet ărilor în domeniul optimiz ării încercărilor
de durabilitate/fiabilitate a rulmen ților ………………………………………………………………….3
4
6
8
11
11 14
14
16
19
19 26
26
29
39 42 42
43
55
55
57
62
65
67
69
69
69
70
CUPRINS
52.2 Definirea si necesitatea delimit ării domeniului de cercetare ………………………………….. .
2.3 Obiectivele cercet ării …………………………………………………………………………………………..
3. STUDII PRIVIND ESTIMAREA INDICATORILOR ȘI OPTIMIZAREA
ÎNCERC ĂRILOR DE FIABILITATE ………………………………………………………………………..
3.1 Fiabilitatea previzional ă a rulmen ților………….………………………………………………….. .
3.2 Studiul privind esti marea parametrului de localizare, în cazul
repartiției Weibull ……………………………………………………………………………………………….
3.3 Studiul privind utilizarea estimatorilor liniari tip BLIE, în cazul
încercărilor efectuate prin metoda liniei defectelor primare …………………………………..
3.4 Studiul privind utilizarea estimatorilor de verosimilitate maxim ă,
în cazul încerc ărilor trunchiate …………………………………………………………………………….
3.5 Cercet ări privind optimizarea modalit ăților de estimare a
indicatorilor de fiabilitate …………………………………………………………………………………….
3.5.1 Criterii de optimizare …………………………………………………………………………………
3.5.2 Studiu comparativ privin d estimarea indicatorilor
de fiabilitate ……………………………………………………………………………………………..
3.6 Cercet ări privind proiectarea optimizat ă a încercărilor de
fiabilitate a rulmen ților ……………………………………………………………………………………
3.7 Cercet ări privind utilizarea tehnicil or bayesiene de estimare
a indicatorilor de fiabilitate ………………………………………………………………………………….
3.7.1 Estima ții parametrice bayesiene …………………………………………………………………..
3.7.2 Estima ții parametrice bayesiene de tip MELO ……………………………………………..
3.7.3 Noi metode de exprimare a informa ției apriorice ………………………………………….
3.7.3.1 Specificarea complet ă a repartiției apriorice pentru
parametrul de form ă ……………………………………………………………………….
3.7.3.2 Specificarea complet ă a repartiției apriorice pentru
parametrul de scal ă …………………………………………………………………………
4. CERCET ĂRI EXPERIMENTALE ȘI SIMULATE PRIVIND
ESTIMAREA INDICATORILO R SI OPTIMIZAREA
ÎNCERCĂRILOR DE FIABILITATE …………………………………………………………………………
4.1 Studiu comparativ privind modalit ățile de estimare a parametrului
de localizare …………………………………………………………………………………………………………
4.2 Cercet ări prin simulare numeric ă privind optimizarea încerc ărilor
de fiabilitate și a modalit ăților de estimare ………………………………………………………………
4.3 Analiza statistic ă a datelor experimentale ………………………………………………………………..
4.4 Cercet ări comparative prin simulare numeric ă privind precizia
estimatorilor bayesieni …………………………………………………………………………………………..
5. CONCLUZII, ELEMENTE DE ORIGINALITATE ȘI MODALIT ĂȚI
DE IMPLEMENTARE A REZULTATELOR CERCET ĂRII ……………………………………….
BIBLIOGRAFIE ………………………………………………………………………………………………………..
ANEXE 71
71
84
95
103 108
109
118
121
130
130
133 135
135
138
141
141
148
163
168
175
182
6
NOTAȚII ȘI TERMINOLOGIE
Elemente de calcul a rulmen ților f(x) – densitatea de probabilitate pentru o
variabilă aleatorie continu ă;
f(x⏐ ) – densitatea de probabilitate condi ționată
pentru o variabil ă aleatorie continu ă;
L – durabilitatea rulmentului, [106 rotații]; F(x) – funcția de reparti ție;
Lh – durabilitatea rulmentului, [h]; μ, E(X) – valoare medie teoretic ă;
L10 – durabilitatea nominal ă, [106 rotații]; μ‘
q, E[(X-μ)q] – momentul centrat de ordinul q;
Lm – durabilitatea medie, [106 rotații]; μq, E(Xq) – momentul de ordinul q în raport cu
L50 – durabilitatea median ă, [106 rotații]; originea;
C – sarcina dinamic ă de bază, [N]; σ2, V(X) – dispersia unei variabile aleatorii sau a
CC – sarcina dinamic ă de bază a contactului,
[N];
σ unei reparti ții de probabilitate;
– abaterea medie p ătratică;
P – sarcina dinamic ă echivalent ă, [N]; Me – mediana;
L10a – durabilitatea nominal ă corectată pentru
condiții speciale, diferite de cele
convenționale, ale materialelor și
condițiilor de func ționare, [106 rotații]; Mo
COV(X,Y)
ρ(X,Y) – mod, mod ă;
– covarian ța (corelația) variabilelor
aleatorii X și Y;
– coeficientul de corela ție a variabilelor
L10aa – durabilitatea nominal ă corectată,
metoda SKF, [106 rotații];
Cv(X) aleatorii X și Y;
– coeficientul de varia ție a unei variabile
X – coeficientul sarcinii radiale; aleatorii sau a unei reparti ții de
Y – coeficientul sarcinii axiale; probabilitate;
V – factorul cinematic; v.a. – variabilă aleatorie;
a1 – coeficientul de corec ție a durabilit ății
pentru fiabilit ăți diferite de 90%;
a2 – coeficientul de corec ție a durabilit ății
pentru caracteristic ile particulare ale
materialului; Elemente de statistic ă matematic ă
a3 – coeficientul de corec ție a durabilit ății
pentru condi țiile de func ționare;
x(1)≤x(2)≤…≤x(n)
– serie statistic ă;
a23 – coeficientul de corec ție a durabilit ății
care coreleaz ă caracteristicile
materialului și condițiile de
funcționare; n
R
k
w – volumul (efectivul) e șantionului;
– amplitudinea e șantionului;
– numărul de clase;
– amplitudinea clasei;
aSKF – coeficientul de corec ție a durabilit ății; ni – frecvența absolută;
N – numărul de cicluri de solicitare; n’
i – frecvența absolută cumulată;
τ0 – tensiunea tangen țială ortogonal ă
maximă; fi
f’
i – frecvența relativă;
– frecvența relativă cumulată;
F – forța normală care solicit ă contactul,
[N]; x
s – media de e șantionaj;
– abaterea medie p ătratică de eșantionaj;
p – exponentul durabilit ății:
p=3, în cazul rulmen ților cu contact
punctiform;
p=10/3, în cazul rulmen ților cu
contact liniar; s2
mq
m‘
q – dispersia de e șantionaj;
– momentul de e șantionaj de ordinul q în
raport cu originea;
– momentul centrat de e șantionaj de
ordinul q;
e – panta dreptei Weibull; α3 – coeficientul de asimetrie;
α4 – coeficientul de boltire;
α – nivelul de semnifica ție, risc de tip I;
Elemente de probabilit ăți β – riscul de tip II;
1-α – nivelul de încredere;
ν – numărul gradelor de libertate;
Pr, p – probabilitate; xp – cuantila de ordinul p al variabilei
X, Y – variabila aleatorie, valoare observabil ă a
unei caracteristici, într-o popula ție;
L( ) aleatorii X;
– funcția de verosimilitate;
xi, yi – valoarea particular ă sau observat ă; θ – parametrul de estimat;
NOTAȚII ȘI TERMINOLOGIE
7
Legi de reparti ție L – limita inferioara de încredere;
U – limita superioara de încredere;
N(x,μ,σ) – repartiția normal ă (Gauss-Laplace);
N(x,0,1)
E(x,λ) – repartiția normal ă standard;
– repartiția exponen țială;
Elemente de fiabilitate
W(x,β,η,γ) – repartiția triparametric ă Weibull;
W(x,β,η) – repartiția biparametric ă Weibull –
varianta normat ă; T – variabila aleatorie care precizeaz ă
durata de via ță a produsului;
W(x,β,λ) – repartiția biparametric ă Weibull; ti – valoarea variabilei aleatorii – durata de
β – parametrul de form ă (sau pant ă); viață;
η – parametrul de scal ă (scară); t,m – media timpului de func ționare;
γ – parametrul de loca ție (localizare, de
poziție sau al originii de timp); F(t)
R(t) – funcția de nonfiabilitate – F(t)=Pr(T ≤t);
– funcția de fiabilitate – R(t)=Pr(T>t);
EVD(x,δ,μ) – repartiția valorilor extreme minime de
tip I (reparti ția Gumbel); z(t)
r – rata (intensitatea) de defectare;
– nivelul de cenzurare;
δ – parametrul de scal ă al reparti ției
valorilor extreme minime de tip I; t0
l – timpul de trunchiere;
– numărul de submul țimi în care se
μ – parametrul de locatie al reparti ției
valorilor extreme minime de tip I; împarte aleatoriu e șantionul, în cazul
încercărilor prin metoda liniei
χ2(x,ν) – repartiția Hi – pătrat, având ν grade de
libertate;
m defectelor primare;
– numărul de elemente con ținute de
χ2(x,ν,σ) – repartiția Hi – pătrat biparametric ă,
având ν grade de libertate; fiecare submul țime, în cazul încerc ării
prin metoda liniei defectelor primare;
Gam(x,α,q) Γ(
) – repartiția Gama;
– funcția gama; TΣ
Tn,r – timpul total de func ționare cumulat;
– durata unei încerc ări cenzurate la
nivelul r;
Fn(ti) – funcția empiric ă de reparti ție;
Indici Dθ
– indicatorul deplas ării pentru
parametrul θ;
Rθ(α) – raportul limitelor de încredere ale
parametrului θ, corespunz ătoare unui
MELO
s – estimația punctual ă de tip MELO;
– parametrii corespunz ători liniei
∧ nivel de semnifica ție α;
– estimație în general; estima ție de
defectelor primare; verosimilitate maxim ă;
a
B – informa ții apriorice;
– estimații bayesiene punctuale; ∗
∗∗ – estimație liniară de tip BLIE;
– estimație liniară de tip BLUE;
8
INTRODUCERE
Domeniile foarte diferite de utilizare a rulmen ților, precum și durabilit ățile mari realizate,
fac ca, în cazul rulmen ților, estimarea indicatorilor de fiabilitate s ă se realizeze, în special, pe
baza încerc ărilor de laborator.
În condițiile produc ției moderne de rulmen ți, caracterizate printr-o diversitate foarte mare
a formelor constructive și dimensionale, încerc ările la durabilitate/fiabilitate a rulmen ților
dobândesc o importan ță din ce în ce mai mare, datorit ă faptului c ă rezultatele experimentale
obținute permit:
• auditul calit ății producției;
• realizarea de compara ții cu produse similare competitive;
• analiza durabilit ății și a modurilor de deteriorare a rulmen ților;
• analiza modului în care lubrif ierea, tipul de lubrifiant și condițiile de lubrifiere
influențează fiabilitatea rulmen ților;
• determinarea modului în care reproiec tarea produselor, utilizarea unor noi
materiale, procedee tehnologice sau tratamente termice influen țează durabilitatea
rulmenților;
• validarea teoriilor dezvoltate pentru modelarea fenomenului de oboseal ă de
contact.
Organizarea și desfășurarea activit ății legate de efectuarea încerc ărilor la
durabilitate/fiabilitate, îns ă, necesită dotări adecvate, personal foarte bine specializat și timp
îndelungat, cu importante cheltuieli de energie, munc ă, materiale și elemente testate.
Teza de doctorat, prin tematica abordat ă, se înscrie în domeniul preocup ărilor existente pe
plan mondial privind optimizarea încerc ărilor de fiabilitate a rulmen ților, cercet ările desfășurate
fiind orientate spre st abilirea volumului de e șantion, a tipului de încercare la
durabilitate/fiabilitate și a metodei de estimare, cu scopul de a reduce durata și costurile unei
încercări, de a asigura precizia impus ă pentru valorile estimate ale indicatorilor de fiabilitate și
exprimarea fiabilit ății previzionale a rulmen ților.
Lucrarea este structurat ă în cinci capitole și se dezvolt ă pe un num ăr de 191 pagini,
cuprinzând 355 rela ții matematice de calcul, 45 figuri, 38 tabele, 198 referin țe bibliografice și 6
anexe.
În capitolul 1 , intitulat “ Considera ții asupra stadiului actual al cercet ării privind
durabilitatea și fiabilitatea rulmen ților”, se face, pe baza literaturii de specialitate consultate, o
trecere în revist ă a principalelor caracteristici constructiv-func ționale ale rulmen ților și a
tendințelor de evolu ție constatate în produc ția modern ă de rulmen ți, o analiz ă critică a evoluției
INTRODUCERE
9cercetărilor în domeniul durabilit ății rulmen ților și raportul dintre durabilitate și fiabilitate la
rulmenți.
În continuare sunt prezentate principalele as pecte legate de defini rea indicatorilor de
fiabilitate specifici rulmen ților, reparti țiile utilizate ca modele statistice în studiul fiabilit ății
rulmenților și metodele utilizate la estimarea indicatorilor de fiabilitate.
Capitolul 1 se încheie cu analiza problemelor legate de prezentarea încerc ărilor la
durabilitate, analiza metodologiil or utilizate la testarea rulmen ților și a echipamentelor și
instalațiilor folosite în acest scop.
Trecerea în revist ă a principalelor probleme privind optimizarea încerc ărilor de
durabilitate/fiabilitate a rulmen ților și evaluarea stadiului actual al cercet ărilor în acest domeniu
au permis formularea, în final, a concluziilor și selectarea unui grup de probleme de perspectiv ă
în acest domeniu.
În Capitolul 2 , având la baz ă tendințele actuale ale cercet ărilor în domeniul optimiz ării
încercărilor de durabilitate/fiabilitate a rulmen ților, au fost definitivate și formulate obiectivele
cercetării, în ideea ob ținerii unor solu ții originale în plan teoretic, precum și validarea lor
experimental ă și/sau prin simulare numeric ă.
În cea de-a treia parte a lucrării, “ Studii privind estima rea indicatorilor și optimizarea
încercărilor de fiabilitate ” sunt expuse metodologiile pr opuse de optimizare, cercet ările
teoretice desf ășurate fiind orientate spre:
• exprimarea fiabilit ății previzionale a rulmen ților;
• utilizarea cazului general al reparti ției Weibull (modelul Weibull triparametric) la
estimarea indicatorilor de fiabilitate a rulmen ților;
• extinderea utiliz ării estimatorilor liniari de tip BLIE ( Best Linear Invariant
Estimator), în cazul încerc ărilor efectuate prin metoda liniei defectelor primare;
• utilizarea estimatorilor de verosimilitate maxim ă în cazul încerc ărilor trunchiate;
• stabilirea unor criterii de optimizare care permit alegerea: metodei optime de
estimare a indicatorilor de fiabilitate, exprimarea incertitudinii de estimare, stabilirea efectivului e șantionului și a tipului de încercare la durabilitate a
rulmenților;
• proiectarea optimizat ă a încercărilor la durabilitate/fiabilitate a rulmen ților pe baza
unor valori impuse ale preciziei de estimare a durabilit ății nominale și a
parametrului de form ă, a dotării existente și în condi țiile obținerii valorii minime a
costului încerc ării;
• utilizarea tehnicilor bayesiene de estimare a indicatorilor de fiabilitate a rulmen ților.
Capitolul 4 , “
Cercetări experimentale și simulate privind es timarea indicatorilor și
optimizarea încerc ărilor de fiabilitate ”, conține o serie de rezultate experimentale și simulate
numeric, cu scopul de a va lida metodologiile teoretice propuse în capitolul trei:
• studiul comparativ al modalit ăților de estimare a parametrului de localizare;
• cercetări prin simulare numeric ă privind optimizarea încerc ărilor de fiabilitate și a
modalităților de estimare;
• analiza statistic ă a rezultatelor experimentale ob ținute prin testarea pe stand a
rulmenților;
INTRODUCERE
10• cercetări comparative prin simulare numeric ă privind precizia estimatorilor
bayesieni.
În final, în Capitolul 5 , sunt expuse concluziile rezultate pe baza cercet ărilor desfășurate,
precum și contribu țiile originale.
Teza de doctorat se încheie cu enumerarea referințelor bibliografice .
Cele 6 anexe ale tezei con țin programele de simulare numeric ă și de estimare parametric ă
elaborate în vederea realiz ării lucrării, precum și valorile numerice simulate ale cuantilelor
pentru diferitele variabile aleato rii utilizate la corectarea deplas ării estimatorilor, calculul
limitelor de încredere și verificare a ipotezelor statistice.
Programele originale sunt elaborate folosind produsul MathCAD , versiunea + 6.0 , al
firmei MATHSOFT Inc., putând fi u șor implementate pe orice computer PC-486 DX sau
superior, care folose ște ca sistem de operare WINDOWS -ul 3.1 sau versiuni ulterioare, inclusiv
WINDOWS 95 .
11
Capitolul
1
CONSIDERA ȚII ASUPRA STADIULUI
ACTUAL AL CERCET ĂRILOR PRIVIND
DURABILITATEA ȘI FIABILITATEA
RULMEN ȚILOR
1.1 CARACTERISTICI CONSTRUCTIV-FUNC ȚIONALE
ALE RULMEN ȚILOR
Rulmenții [28] sunt organe complexe de ma șini, utilizate pentru rezemarea pieselor care
execută mișcări de rotație, de oscila ție sau chiar mi șcări liniare.
Ei se compun, în general, din urm ătoarele elemente, (fig. 1.1): inelul interior ( 1) și inelul
exterior ( 2), la rulmen ții radiali sau radial-axiali; șaiba de fus ( 4) și șaiba de carcas ă (3), în cazul
rulmenților axiali sau axial-radi ali, [187]. Pe inele ( șaibe) sunt practicate c ăile de rulare, de-a
lungul cărora are loc deplasarea corpurilor de rostogolire ( 5). Colivia ( 6) are rolul de a ghida și
de a menține corpurile de rostogolire la o distan ță fixă între ele.
Fig. 2.1 Rulmenți. Elemente componente principale
Denumirea de rulmen ți include toate solu țiile constructive care utilizeaz ă mișcarea de
rostogolire a bilelor și/sau rolelor, pentru realizarea unor frec ări minime, în cazul mi șcării
relative a celor dou ă inele. Exist ă, deci, construc ții de rulmen ți la care pot lipsi una sau mai
multe componente.
Rulmenții sunt utiliza ți pe scar ă largă în construc ția de ma șini datorit ă avantajelor
acestora, comparativ cu lag ărele cu alunecare, [2 5], [51], [68], [165]:
Capitolul 1
12 moment de frecare mult mai mic, pierderi prin frecare mult mai reduse și, de asemenea, o
variație foarte mic ă a coeficientului de frecare, în raport cu sarcina și turația, exceptând cazul
condițiilor extreme;
se preteaz ă foarte bine la o gam ă largă de solicit ări, viteze, temperaturi de lucru și sunt mai
puțin sensibili la modificarea condi țiilor de func ționare;
sunt capabili s ă suporte sarcini combinate: radiale, axiale sau momente de încovoiere;
gabaritul axial este mult mai redus;
principalele dimensiuni de gaba rit sunt standardizate interna țional, aceasta asigurând o
interschimbabilitate total ă;
standardizarea interna țională este realizat ă într-o gam ă largă de tipodimensiuni, fapt care
simplifică foarte mult activitatea de proiectare a lag ărelor cu rostogolire;
sunt mult mai simplu de lubrifiat, iar mentenan ța este relativ simpl ă;
necesită cantități reduse de lubrifiant pentru realizarea condi țiilor optime de func ționare;
permit realizarea foarte simpl ă a etanșărilor în cazul utiliz ării unsorilor consistente, ca agent
de ungere;
în unele situa ții, în care ungerea se realizeaz ă cu ulei, întreruperea accidental ă a lubrifierii,
într-un interval de timp relativ redus, nu are consecin țe atât de grave (apari ția gripajului), ca
în cazul lag ărelor cu alunecare;
permit realizarea m ăririi preciziei de rotire a arborilor prin pretensionare.
Dezavantajele rulmenților, comparativ cu lag ărele de alunecare, sunt, [25], [51], [68]:
gama limitat ă a turației de func ționare;
gabaritul radial este mai mare ca în cazul cuzine ților;
capacitatea redus ă de amortizare a șocurilor și vibrațiilor;
durabilitate sc ăzută, datorită rigidității mari, în condi ții de vitez ă (turații) ridicat ă sau la
solicitări foarte dure;
un nivel de vibra ții și zgomot mult mai ridicat – datorit ă fenomenelor dinamice cauzate de
imperfecțiunile geometrice ale suprafe țelor în contact sau interac țiunii dintre corpurile de
rostogolire și colivie;
imposibilitatea de montare și demontare în plan diametral.
Până în perioada celui de-al doilea r ăzboi mondial, proiectarea și utilizarea rulmen ților a
fost considerat ă mai mult o art ă decât o știință, [198], [68], întrucât fenom enele fizice care apar
în timpul func ționării acestui tip de lag ăre erau foarte pu țin cunoscute, st ăpânite și studiate.
Începând din anii '50, marile firme produc ătoare de rulmen ți au inițiat și susținut ample
programe de cercetare teoretic ă și experimental ă pentru explicarea fenomenului de contact
specific func ționării rulmen ților, cu considerarea fenomenel or mecanice, hidrodinamice,
metalurgice sau chimice, implicate în func ționarea rulmen ților. Toate acestea au avut drept
rezultat îmbun ătățirea metodologiilor de proiectare constructiv ă, a tehnologiilor de execu ție,
precum și progrese remarcabile în domeniul calit ății rulmenților: îmbun ătățirea performan țelor,
durabilității și fiabilității.
De asemenea, îmbun ătățirile și progresul realizat în proiectarea rulmen ților, în
metodologiile de testare și în metodele tehnologice au f ăcut ca, în mare parte, dezavantajele
rulmenților, comparativ cu cuzine ții, să fie reduse ca pondere și au condus la apari ția pe scar ă
tot mai mare a rulmen ților speciali, proiecta ți și realizați pentru a rezista optim în condi ții bine
definite. Aceasta este o tendin ță care se manifest ă tot mai pregnant pe plan mondial în ultimii
ani, în dauna produc ției de rulmen ți de uz general.
O prima clasificare logic ă a rulmen ților const ă în separarea lor în dou ă mari clase, în
funcție de tipul contactului: rulmen ți cu bile și rulmenți cu role. Tipul cont actului, [25], [51],
determină și principalele caracteristici tehnico-func ționale ale rulmen ților (tabelul 1.1).
Considera ții asupra stadiului actual al cercet ărilor privind durabilitatea și fiabilitatea rulmen ților
13Tabelul 1.1 Caracteristicile tehnico-func ționale ale rulmen ților, în func ție de tipul contactului
Caracteristici
tehnico-func ționale
Rulmenți cu bile
Rulmenți cu role
Capacitate portant ă sc ăzută ridicat ă
Viteza (tura ția) limită foarte mare mare
Coeficient de frecare foarte redus redus
Posibilitatea de preluare
a șocurilor
scăzută
bună
Durabilitate redus ă înalt ă
Utilizarea pe scar ă largă a rulmen ților în cele mai diverse domenii a condus la apari ția
unei foarte mari diversit ăți a formelor constructive și dimensionale ale rulmen ților. O schem ă
generală, [51], [53], [187], privind principalele criterii de clasificare este prezentat ă în fig. 1.2.
Fig. 1.2 Criterii de clasificare a rulmen ților Radială
Role cilindrice
1; 2; 3; 4Rigid (fix)Axială
Bile
Role butoi
Material
PrelucrareRole conice
Oscilant
Ghidare
Circulară
LiniarăRulmenți radiali
Rulmenți radial-axiali
Rulmenți axiali
Rulmenți axial-radiali
Scurte
Ace
Simetrice Lungi
Asimetrice
Oțel
Fontă
Alamă
Mase plastice
Presare, ștanțare
Turnare, prelucr ări mecanice
Injecție
Pe corpurile de rulare
Pe inelul interior
Pe inelul exterior Umeri de ghidareCanale
Forma corpurilor
de rulare
Numărul rândurilor
corpurilor de rulare
Coliviile
Mișcarea
Preluarea
înclinațiilor
Elemente
constructive
Clasificarea
rulmenților
Direcția sarcinii
principale
Capitolul 1
141.2 ANALIZA MODULUI DE DEFECTARE A RULMEN ȚILOR
1.2.1 FENOMENE TIPICE DE DEFECTARE A RULMEN ȚILOR
Utilizarea rulmen ților în domenii foarte dife rite, caracterizate prin condi ții reale de
funcționare cu o apreciabil ă varietate, face ca și formele de deterioare a rulmen ților să prezinte o
tipologie diversificat ă, [47], [51], [53], [67], [68]. Fenomenele tipice de deteriorare a rulmen ților
sunt:
• Deteriorarea prin oboseala de co ntact cu rostogolire a suprafe țelor portante
Cauza acestui tip de deteriorare, [51] , [53], [139], o constituie existen ța inevitabil ă în
material a unor microdefecte (microin cluziuni nemetalice, microneregularit ăți structurale etc.)
care determin ă concentr ări de tensiuni. Sub ac țiunea sarcinilor variabil e, în aceste zone se
dezvoltă microfisuri, în corela ție cu starea tensiunilor de contact.
Odată cu creșterea num ărului de cicluri de solicitare, aceste microfisuri se dezvolt ă rapid,
propagându-se c ătre suprafa ță. Fenomenul de deteriorare se finalizeaz ă cu îndepărtarea tipic ă de
material, prin efecte mecanice și hidrostatice, fig. 1.3.
Sunt și situații în care oboseala de contact are ca punct de ini țiere defecte localizate pe
suprafață (zgârieturi, adâncituri, datorate finis ării incorecte sau manipul ărilor
necorespunz ătoare), [139].
Fig. 1.3 Mecanismul deterior ării prin oboseala de contact
Din adâncime
către suprafa ță.Microdefecte
Microfisuri
Fisură ≈20 μm
Desprinderi PEELING
Structură spongioas ă
Turtiri
Ciupituri, PITTING
Desprinderi mari, cojiri,
SPALLING, FLAKING Microdefecte
Microfisuri
Fisură Forma geometric ă și distribu ția
defectelor de adâncime, de suprafa ță
(zgârieturi, amprente) și a rugozit ății
Caracteristicile elastoplastice
ale materialului
Caracteristicile lubrifiantului, in general, și
în interfață Sarcină
Forma și geometria
contactului
Ungere EHD
Proprietățile de
oboseala ale
materialului
Solicitări repetate
în timp
Pe suprafa ță
Considera ții asupra stadiului actual al cercet ărilor privind durabilitatea și fiabilitatea rulmen ților
15• Uzarea
Fenomenul de uzare – desprinderea de material și modificarea st ării inițiale a suprafe țelor
în contact – este un proces cu o desf ășurare relativ lent ă, ce conduce la deteriorarea gradual ă a
elementelor componente prin mecanisme specifice, [52].
¾ Uzura abraziv ă – este provocat ă de prezen ța unor particule de contaminare dure și
abrazive pe suprafe țele în contact, fie de contactul direct între elementele aflate în
mișcare relativ ă, solicitate de o sarcin ă redusă sau moderat ă.
¾ Uzura de adeziune (de contact) – se manifest ă prin producerea și ruperea micro-
joncțiunilor din zonele de contact ale suprafe țelor aflate în mi șcare relativ ă.
Acest tip de uzur ă are un caracter cumulativ și o evoluție rapidă, conducând,
în final, la blocarea rulmentului, fenomen ce poart ă numele de gripaj .
¾ Uzura de coroziune – se datoreaz ă, în principal, reac ției chimice a materialului
suprafețelor cu mediul lubrifiant care con ține apă sau substan țe agresive.
¾ Uzura prin oxidare – este un caz special al uzurii de coroziune la care predomin ă
reacția chimic ă a materialului suprafe țelor cu oxigenul sau cu mediul înconjur ător
oxidant.
¾ Uzura de fretare (fretting ) – apare simultan cu gripajul și se manifest ă la contactul
dintre inelul interior și arbore sau inelul exterior și carcasă, prin apari ția unor
microalunec ări însoțite de un proces corosiv ( coroziune de contact ).
Fig. 1.4 Interacțiunile tribologice specifice apari ției uzurii
Condiții de func ționare :
9 Forța;
9 Cinematica;
9 Temperatura;
9 Mediul. Elemente structurale ale
sistemului:
(1) lubrifiantul;
(2) suprafața filmului de
lubrifiant;
(3) suprafața în contact;
(4) zona de material
solicitată la contactul
elastic cu rostogolire .
Interacțiuni tribologice:
¾ contactul elastohidrodinamic;
¾ filmul de lubrifiant;
¾ adeziune;
¾ abraziune;
¾ curgeri plastice;
¾ reacții tribochimice;
¾ oboseala de contact. Modificarea propriet ăților
elementelor componente ale
tribosistemuluiUzura
Capitolul 1
16În fig. 1.4 este prezentat mecanismul apari ției și producerii uzurii, [68], ca urmare a
complexului de interac țiuni tribologice existente în cazul unui sistem cu contact elastic, specific
funcționării rulmen ților.
• Fisurarea se produce pe suprafe țele în contact, de montaj sau alte suprafe țe ale rulmentului
prin: montaj necorespunz ător, prin aplicarea cu șoc a unor sarcini mari, montaj cu strângere
excesivă etc.
• Știrbirea apare în zonele de cap ăt ale inelelor, îndeosebi la rulmen ții cu role conice sau butoi
și este provocat ă de sarcini axiale excesive sau prin lovire, la montaj.
• Amprente plastice (brinelarea) apar în timpul montajului necorespunz ător sau ca urmare a
acțiunii unor sarcini cu șoc și se manifest ă prin imprimarea corpurilor de rostogolire pe calea
de rulare a rulmentului.
• Brinelarea fals ă (brinelarea aparent ă), [174] apare, în general, la oprirea din func ționare a
rulmenților sau la rulmen ții staționari și este determinat ă de acțiunea sarcinilor mari și a
vibrațiilor. O aspectare suplimentar ă indică faptul că aceste deterior ări au loc cu pierderi de
material, [172], [174].
• Pitting electric apare la trecerea curentului electric prin zonele de contact ale rulmentului și
provoacă pe suprafe țe deterior ări specifice, asem ănătoare, la începutul dezvolt ărilor, cu
deteriorarea prin oboseala de contact.
Analiza din punct de vedere cinemati c, [51], [68], [ 139], [25], a func ționării rulmen ților a
pus în eviden ță faptul ca mi șcarea specific ă între elementele componente este de rostogolire și
rostogolire cu alunecare. De aceea, durabilitatea rulmen ților sub ac țiunea sarcinilor externe se
consideră a fi determinat ă de rezisten ța la oboseala de contact a materialului și de uzur ă,
fenomene de deteriorare sp ecifice cazului când predomin ă mișcarea de rostogolire cu alunecare,
[139]. Deterior ările premature ale rulmen ților sunt atribuite, [139], [175], celorlalte fenomene și
tipologii de deteriorare a c ăror apariție este favorizat ă de: alegerea incorect ă a tipodimensiunii
de rulment, calitatea insuficient ă a proiect ării și realizării locașului de montaj, materiale de
ungere nepotrivite și metode de ungere incorecte.
1.2.2 INFLUEN ȚA DIFERI ȚILOR FACTORI ASUPRA
DURABILIT ĂȚII ȘI FIABILIT ĂȚII RULMEN ȚILOR
Analiza factorilor care influen țează durabilitatea și conduc la deteriorarea rulmen ților, în
cazul unei aplica ții concrete, este mult îngreunat ă de varietatea formelor de deteriorare
existente, precum și de multitudinea cauzelor care c onduc la defectare, de interac țiunea lor și de
suprapunerea lor de efecte, [172], [175].
În prima faz ă a deterior ării, un incident datorat unei combina ții de factori nefavorabili și
imprevizibili poate oferi o imagine general ă și informa ții privind cauzele și factorii care au
generat distrugerea. Proces ul de deteriorare evolueaz ă, [51], rapid din acest moment, apari ția
unor fenomene noi de defectare care cond uc întotdeauna la o exfoliere profund ă, la ruperi de
material, și, deci, la distrugerea complet ă a rulmen ților.
Apariția, tipul și evoluția fenomenelor de deteriorare în rulmen ți sunt determinate de
următoarele grupe de factori, [51], [53]:
• factori constructivi (geometrie intern ă și dimensiuni);
• factori de material (omogenitate, structur ă, compozi ție);
Considera ții asupra stadiului actual al cercet ărilor privind durabilitatea și fiabilitatea rulmen ților
17• factori tehnologici (operații și regimuri tehnologice);
• factori de montaj (ajustaje și metode de montaj);
• factori de exploatare (sarcină, turație, temperatur ă, contaminare sau îmb ătrânirea
lubrifiantului, umiditate, etan șare etc.).
Dintre ace știa, factorii de material sunt de o importan ță deosebit ă, [55], dat fiind c ă
influența acestora nu mai poate fi modificat ă prin tehnologiile ulteri oare din procesul de
fabricație a rulmen ților.
Cea mai mare parte dintre factorii men ționați anterior este controlabil ă teoretic sau pe cale
experimental ă, [54], [55], [56], fapt care face posibil ă abordarea proiect ării, realizării și utilizării
rulmenților în strâns ă relație cu cerin țele moderne de fiabilitate.
În condiții "normale ", în ceea ce prive ște factorii aminti ți anterior, adic ă pentru un o țel cu
o compozi ție și structură considerate omogene, geometrie și dimensiuni uzuale, tehnologie și
montaj corespunz ătoare, exploatare corect ă, (fără suprasarcini, tura ție moderat ă și ungere
abundentă cu lubrifian ți recomanda ți), se apreciaz ă că deteriorarea rulmen ților se produce prin
oboseala de contact cu rostogo lire a materialului. Din aceast ă cauză, în cazul rulmen ților,
conținutul noțiunii de durabilitate/fiabilitate a fost corelat, mult timp, numai cu posibilitatea de
funcționare pân ă la apariția deterior ărilor prin oboseala de contact.
În numeroase aplica ții, însă, înlocuirea rulmen ților este dictat ă și de alte motive: aspectul
suprafețelor, jocul, vibra țiile și zgomotul, neuniformitatea de rotire sau blocarea, calitatea
lubrifiantului, cre șterea temperaturii, rezultate ale altor fenomene și tipologii de deteriorare.
Deci, noțiunea de deteriorare a rulmen ților nu se refer ă doar la distrugerea complet ă a
rulmenților ci, în func ție de specificul aplica ției, ea se refer ă și la reducerea, sc ăderea sau
înrăutățirea capacit ății de func ționare sau a performan țelor.
Ținând cont de faptul c ă unele fenomene de defectare au o evolu ție rapidă și nu lasă timp
pentru deciziile de inspec ție-înlocuire și că altele evolueaz ă încet și, deci, pot fi urm ărite în
timp, diagnosticarea cauzelor și factorii care au condus la deteriorare se recomand ă a fi
desfășurată în următoarea succesiune:
9 inspectare f ără demontare: prin vibra ții, zgomot, temperatur ă, rotire uniform ă;
9 inspectare cu demontare și eventuala remontare cu aprecieri calitative și cantitative
asupra defectelor.
Este, de asemenea, recomandat ca aceast ă analiză să nu fie efectuat ă singular, ci numai în
legătură cu condi țiile concrete de lucru, [172], [175] , [170]. Diagnosticarea cauzelor se
dovedește în aceste condi ții o acțiune deosebit de dificil ă. Pentru a veni în sprijinul activit ăților
de acest tip, firmele produc ătoare au publicat cataloage privind diagnosticarea rulmen ților,
[171], [175], [176], [ 178], care permit, chiar și în lipsa unei bogate experien țe, depistarea
factorilor și cauzelor care influen țează durabilitatea și fiabilitatea.
Deteriorarea rulmen ților, precum și factorii care influen țează durabilitatea, se pot studia
din punct de vedere calitativ prin interm ediul analizei arborescente ce const ă în determinarea
modurilor de defectare și identificarea combina țiilor de evenimente nedorite (de ini țiere) care
influențează asupra comport ării generale, [131]. Metoda se nume ște arborele de evenimente și
defecțiuni.
Procedura de analiz ă constă, [21], [131], în specific area unor evenimente, numite
evenimente ini țiale, ce au influen ță asupra func ționării sistemului și în estimarea setului de
evenimente ce decurg din acesta, u tilizând o serie de operatori sau por ți logice, [97]. În figura
1.5 este prezentat arborele de de fectare, [154], spec ific unui rulment, în cazul general.
Această metodă se recomand ă la analiza produselor la care evenimentele nedorite, cele
care declan șează deteriorarea, sunt inte rdependente, fiind eficient ă î n d e t e r m i n a r e a
calitativă a
Deteriorari determinate de
lubrifiere prin supraînc ălzire,
sau gripaj Deteriorari datorate
mediului de func ționare
Modificarea
structural ă uniform ă a
stratului superficial Deteriorări prin
coroziune/oxidare Deteriorări datorate
lubrifiantului Deteriorarea
rulmenților
Deteriorări determinate
de cauze
metalurgice/tehnologice
Prelucrări mecanice
Spalling, Flaking
Pitting
Uzura abraziv ă Brinelări
(deforma ții plastice)
Brinelări false
(fretting superficial)Fisuri, rupturi și dizlocări
de suprafa ță
Brinelări
propriu-zise Pitting Deteriorări datorate
modului de
lubrifiere
Fig. 1.5 Arborele de defectare specific rulmen ților Tratament
termic
incorect
aplicat Prelucrări
prin
deformare
plastică
Conținut
inadecvat de
elemente
chimice Specificații
incorecte Fisuri
superficial
e Regimuri de
așchiere
necorespun-
zătoare Compozi ție chimic ă
Montarea
rulmentulu
i
Forțe
incorect
aplicate Joc
necores-
punzător
Contaminare Suprasarcini Abateri
unghiulare Oboseala de
contact cu
rostogolire Șocuri
Suprasarcini
axiale Oscilații
radiale Vibrații
Precizia
necores-
punzătoare a
locașului de
monta j
Deteriorări determinate
de cauze mecanice
Alegere
incorectă a
lubrifian-
tului
Proprietăți
necorespun-
zătoare ale
lubrifiantuluiGrosime
necorespun-
zătoare de
film Degradarea
lubrifian-
tului
Incompati-
bilitatea
lubrifiant-
sistem de
lubifiereSarcina
operaționalăAbsența
lubrifian-
tului Pitting
electric
Degradarea
lubrifian-
tului Coroziune
externă
sistemului Coroziune
internă
sistemului
Condens
Considera ții asupra stadiului actual al cercet ărilor privind durabilitatea și fiabilitatea rulmen ților
19relațiilor dintre mecanismele de deteriorar e. Arborele de evenimente de defec țiuni se poate
utiliza și pentru a ob ține exprim ări cantitative, [131]. În acest caz este necesar ă completarea
analizei cu probabilit ăți sau frecven țe de deteriorare . Aparatul matematic este furnizat de
algebra boolean ă printr-o logic ă combinatorie, având la baz ă operatorii ȘI – SAU. Aceast ă
operație presupune un efort deosebit și nu este recomandat ă în cazul sistemelor arborescente
mari, [128].
1.3 ASPECTE PRIVIND EVOLU ȚIA CERCET ĂRILOR ÎN
DOMENIUL DURABILIT ĂȚII ȘI FIABILIT ĂȚII
RULMEN ȚILOR
1.3.1 CALCULUL DURABILIT ĂȚII
Durabilitatea rulmen ților (L), [181], [184], reprezint ă numărul de rota ții pe care unul
dintre inele (sau șaibe, în cazul rulmen ților axiali) le face în raport cu cel ălalt, până la apariția
primelor semne de oboseal ă a materialului unuia dintre inele (sau șaibe) sau unuia dintre
corpurile de rostogolire.
Defectarea prin oboseal ă a materialelor, în general, este un fenomen complex și incomplet
înțeles în toate fazele lui. Pân ă în prezent nu s-a reu șit formularea unei teorii care s ă explice
unitar procesele care au ca efect apari ția defectelor prin oboseal ă a materialelor, [50]. O
clasificare detaliat ă a teoriilor privind oboseala de contact, [50], este prezentat ă în fig. 1.6:
Fig. 1.6 Clasificarea teoriilor pr ivind oboseala de contact
Bazele calcului durabilit ății rulmenților au fost puse în anii '50 de c ătre G. Lundberg și A.
Palmgren. Pornind de la constatarea c ă, dacă se încearc ă un lot de rulmen ți aparent identici, în Teorii privind
oboseala
materialelor Teorii globale bazate pe crietrii de
natură:
Teorii moderne
aplicabile la nivel:
Macroscopic Microscopic Mecanica cuantic ă
– aplicarea teoriilor din mecanic ă
ii-domeniu elastic LEFM;
-domeniu plastic EPFM;
– propagare de tip fractal. Mecanică
Fizică
Statistică Teoria amortiz ării interne
Weibull Teoria ecruisajului
Teoria distribu ției neuniforme a
tensiunilor
Teoria deforma țiilor pseudoplastice
Capitolul 1
20condiții identice, nu to ți rulmenții prezintă aceeași durabilitate, cei doi cercet ători suedezi au
aplicat teoria lui W.A.Weibull, [139].
Studiind distrugerea materialelor fr agile, W.A.Weibull, [68], determin ă că efortul decisiv
la care se produce ruperea materi alului nu poate fi exprimat de terminist, ci printr-o lege
statistică de forma:
∫⋅σ−=−VdV)(n )F1ln( . (1.1)
Ecuația (1.1) descrie probabilitatea de rezisten ță (R=1-F) a volumului V de material la o
distribuție de tensiuni σ cunoscut ă; n(σ) reprezint ă o caracteristic ă a materialului încercat.
Pentru calculul durabilit ății rulmen ților, Lundberg și Palmgren au utilizat o form ă
similară, [51], [68], [25], a ecua ției (1.1):
() V)z,n,(f R1ln ⋅σ= , (1.2)
relație în care:
R – reprezint ă fiabilitatea;
σ – tensiunea decisiv ă considerat ă răspunzătoare pentru apari ția fenomenului de oboseal ă de
contact;
n – numărul de cicluri de solicitare;
z – adâncimea de sub suprafa ța portantă la care σ=σmax și care descrie volumul de material, ( V),
afectat de tensiunile de contact.
Calculul elementelor care compun rela ția (1.2) se face, [139], pr in intermediul teoriei lui
H. Hertz și al teoriei elasticit ății și contactului elastic.
Utilizând ecua țiile liniare ale teoriei elasticit ății, se poate determina starea spa țială de
tensiuni ce caracterizeaz ă contactul elastic, [139]. Combina ția de tensiuni și condițiile în care
aceasta conduce la rupere prin oboseala de c ontact au determinat formularea unor criterii de
deteriorare, menite sa expl iciteze acest fenomen, [50].
În tabelul 1.2 sunt prezentate ipotezele privind tens iunile decisive pentru oboseala de
contact.
La calculul durabilit ății, din condi ția oboselii la contact, Lundberg și Palmgren au utilizat
ca tensiune decisiv ă tensiunea tangen țială ortogonal ă maximă (τ0), [25], [51], [68], [139].
Rezumând aspectele teoretice, se admite, astfel, c ă probabilitatea R ca un volum
determinat de material (fig. 1.7) să suporte N cicluri de solicitare, sub sarcina care provoac ă la
adâncimea z0 a contactului tensiunea τ0, este dată de expresia:
V
zN
R1lnh
0e
0⋅⋅τ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛, (1.3)
c,e și h fiind valori numerice de terminate experimental.
Considerând c ă R este o constant ă a contactului, [139], rezult ă pentru cazul contactului
punctiform:
2hc)5hc2(
w 1)2hc(e3
D A LF+−−+
+−⋅Φ⋅= ⋅ , (1.4)
relație în care:
A1 – este o constant ă a materialului;
Φ – este o func ție dependent ă de starea de solicitare și deforma ții, de geometri a contactului și de
proprietățile materialului.
Considera ții asupra stadiului actual al cercet ărilor privind durabilitatea și fiabilitatea rulmen ților
21Tabelul 1.2 Tensiunile decisive pentru oboseala de contact
Nr.
crt.
Specifica ție
Forma matematic ă
1) Tensiunea her țiană maximă max decσ−=σ .
2) Tensiunea tangen țială
maximă situată pe suprafa ță
sau subsuprafa ță ()⎥⎦⎤
⎢⎣⎡σ−σ⋅=τ=τj i max dec21max ,
i, j =1, 2, 3 și i≠j.
3) Tensiunea tangen țială
ortogonal ă maximă
).1t2)(1t(,)1t(t21t2
2 20 dec
−−=β+−±=τ=τ
4) Tensiunea normal ă maximă
pozitivă situată pe suprafa ță t y x dec ), max( σ=σσ=τ , când:
x = ± a, y = 0, sau
x = 0, y = ± b.
5) Criterii bazate pe ipoteza
planului critic de forfecare a) zo n n 0 c dec ,k σ=σσ+τ=τ=τ ;
b) ()y yo yo 0 c dec abs ,k σ=σσ−τ=τ=τ ,
k = constantă de material.
6) Energia specific ă de
deformație ] 6) (6) () () [(21 2
xz2
yz2
xy2 2
x z2
z y2
y x dec τ+τ+τλ+σ−σ+σ−σ+σ−σ=σ .
7) Criteriul Dang Van adaptat la
contact . erficialsup,, erficialsupsub,
0a dec0b 0 dec
τ=τασ+ττ=
Fig. 1.7 Volumul de material solicitat la ob oseala de contact, în cazul teoriei
Lundberg și Palmgren
Pentru o probabilitate de via ță dată (R=0.9), sarcina dinamic ă de bază a unui contact este
definită, [139], ca înc ărcarea Cc, la care contactul poate s ă reziste un milion de rota ții, adică L=1
și deci, rela ția (1.4) devine:
Capitolul 1
22=cC2hc)5hc2(
w 1 D A+−−+
⋅Φ⋅ . (1.5)
Din combinarea rela țiilor (1.4) și (1.5) rezult ă, pentru cazul unui contact punctiform:
p
C e3)2hc(
C
FC
FCL ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=+−
. (1.6)
În tabelul 1.3 sunt prezentate valorile exponen ților din rela țiile (1.3)…(1.6), rezultate
experimental.
Tabelul 1.3 Valorile exponen ților durabilit ății
Contact c h e p
Punctiform 31/3 7/3 10/9 3e32hc=+−
Liniar 31/3 7/3 9/8 ∗=+−4e21hc
*) – În cazul rulmen ților, datorit ă contactului liniar modificat, se utilizeaz ă valoarea p=10/3
Expresia (1.3) poate fi stabilit ă pentru contactul corp de ro stogolire-inel interior (indice i),
cât și pentru contactul dintre corpul de rostogolire-inel exterior (indice e), potrivit
caracteristicilor geometrice di ferite ale acestor contacte:
()
()⎪⎩⎪⎨⎧
⋅⋅=⋅⋅=
,L FK R1ln,L FK R1ln
e
ew
e e ee
iw
ii i (1.7)
relații în care:
Ki,e – reprezint ă o constant ă;
F i,e – forța radială care solicit ă contactul;
L i,e – durabilitatea contactelor;
w = p⋅e – exponent.
În cazul rulmen ților, calculul for țelor Fi,e care solicit ă contactele este o problem ă static
nedeterminat ă. Rezolvarea ei, în cazul unui rulment radial înc ărcat cu o for ță radială și fără joc
intern de lucru, presupune utilizarea rela țiilor care exist ă între forțe și deforma ții. De asemenea,
forțele care solicit ă contactele dintre inele și corpurile de rostogolire se consider ă, cu valori
medii, echivalente ca efecte în obos eala de contact, [51], [53], [139].
Din experiment ări se constat ă că la rulmen ții cu inelul interior rotitor și cel exterior
staționar, cel mai des se deterioreaz ă inelul rotitor, apoi inelul sta ționar și, foarte rar, corpurile
de rostogolire, [139]. Probabilitatea de via ță a ansamblului unui rulment, R=Ri⋅Re, cu neglijarea
probabilit ăților de deteriorare a corpurilor de rostogolire, rezult ă:
() ( )e w
e i LF K K R1ln ⋅⋅+= . (1.8)
Această metodă propusă de Lundberg și Palmgren a fost preluat ă în anul 1962 de c ătre
ISO și s-a standardizat interna țional, [68].
Astfel au fost definite no țiunile [181], [184]:
durabilitate nominal ă, L10 : pentru un rulment individual sau o grup ă de rulmen ți aparent
identici și care func ționează în acelea și condiții, durabilitate asociat ă unei fiabilit ăți de 90%,
Considera ții asupra stadiului actual al cercet ărilor privind durabilitatea și fiabilitatea rulmen ților
23la o calitate conven țională a materialului și a fabrica ției și în condi ții de func ționare, de
asemenea, conven ționale.
sarcina dinamic ă de bază, C: sarcina de valoare și direcție constant ă, pe care un rulment o
poate suporta teoretic pe ntru o durabilitate nominal ă de un milion de rota ții.
În condițiile impuse de aceste defini ții, rezultă:
p
10PCL⎟⎠⎞⎜⎝⎛= . (1.9)
Detalierea calcului și a condi țiilor din care rezult ă expresiile matematice ale sarcinii
dinamice de baz ă pentru diferitele tipuri constructive de rulmen ți sunt prezentate în [25], [51],
[53], [68], [139], [181], [182].
În cazul func ționării rulmen ților sub sarcin ă, aceasta, în majoritatea cazurilor, este
combinată (radială, axială și mai rar moment de încovoiere). De aceea, a fost definit ă și noțiunea
de sarcină dinamică echivalent ă, P: sarcina constant ă ca valoare și direcție, sub ac țiunea căreia
s-ar obține aceeași durabilitate, ca în condi ții de încărcare real ă.
Ea are expresia:
P = V⋅X⋅Fr + Y⋅Fa , ( 1 . 1 0 )
relație în care:
Fr = sarcina radial ă, componenta radial ă a sarcinii aplicate;
Fa = sarcina axial ă, componenta axial ă a sarcinii aplicate;
X,Y = factorii sarcinii radiale/axiale dinamice;
V = factor cinematic, care depinde de raportul capacit ăților dinamice de baz ă ale celor dou ă căi
de rulare ale rulmentului. Valoarea acoperitoare recomandat ă, în cazul rota ției inelului
exterior (inelul interior fix, în raport cu sarcina), este de V = 1,2; în cazul rota ției inelului
interior, V=1 (acesta constituie una dintre ipotezele de calcul al lui C). Acest factor apare în
standardizarea AFBMA, [137].
Factorii specifici, [67], care influen țează sarcina dinamic ă de bază și durabilitatea
nominală sunt:
1. Dimensiunea corpur ilor de rostogolire;
2. Numărul rândurilor corpurilor de rostogolire;
3. Numărul corpurilor de rostogolire pe un rând;
4. Geometria contactului; 5. Unghiul real de contact sub sarcin ă;
6. Propriet ățile materialului;
7.Ungerea și proprietățile lubrifiantului;
8. Temperatura de lucru; 9. Efectele dinamice care apar în timpul func ționării.
Dintre ace știa doar primii cinci au fost încorpora ți în relațiile (1.9), (1.10).
Cercetările teoretice și experimentale ini țiate și desfășurate în acea perioad ă au avut ca
rezultat, [68], modificarea de c ătre ISO în 1976 a rela ției (1.9), sub forma:
p
3 2 1 a10PCaaa L ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅⋅⋅= , (1.11)
relație în care:
a1- coeficientul de corec ție a durabilit ății pentru fiabilit ăți diferite de 90%, vezi punctul 1.3.2.3 ;
Capitolul 1
24a2- coeficientul de corec ție a durabilit ății pentru caracteristicile pa rticulare ale materialului;
a3- coeficientul de corec ție a durabilit ății pentru condi țiile de func ționare.
Apariția coeficientului a2 a fost consecin ța directă a progreselor tehnol ogice din domeniul
metalurgic, prin care s-a reu șit obținerea unor materiale cu propriet ăți superioare și un conținut
redus de impurit ăți, microincluziuni sau defect e structurale, [51], [68].
Dezvoltarea teoriei ungeri i elastohidrodinamice și studierea deforma țiilor elastice care
apar odată cu formarea peliculei de lubrifiant, în cazul func ționarii lag ărelor cu rostogolire, [66],
[67], [171], au determinat introducerea coeficientului a3, în relația (1.11).
Unele firme produc ătoare de rulmen ți recomand ă considerarea [68], [93], [169], [173],
[177], [179], simultan ă a factorilor de material a2 și de lubrifica ție a3, într-un singur factor a23,
adică:
p
23 1 a10PCaa L ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅⋅= . (1.12)
Procedurile pentru determinarea influen ței pe care ultimii doi factori men ționați anterior o
au asupra durabilit ății nu sunt înc ă definite și necesită cercetări teoretice și experimentale
suplimentare, [68].
Distribuția sarcinii pe corpurile de rostogolire, în cazul rulmen ților care func ționează la
turații scăzute, când efectele for țelor centrifuge și ale momentelor giroscopice puteau fi
neglijate, nu poate fi utilizat ă și în cazul rulmen ților ce func ționează la turații înalte, [51].
Efectele masice, cum ar fi for ța centrifug ă și momentul giroscopic, au, la tura ții înalte,
valori apreciabile și conduc la modificarea unghi ului de contact sub sarcin ă, precum și
modificarea substan țială a distribu ției sarcinii statice pe elementele rulmen ților, [25], [68]. În
acest domeniu, al model ării distribu ției de sarcini pe elementele rulmen ților în func ție de turație,
au fost desf ășurate cercet ări, în condi ții de func ționare cvasistatice, [ 25], sau dinamice, [64].
Îmbunătățirea metodelor de prelucrare și, mai ales, calitatea mult mai bun ă a oțelurilor, au
făcut ca în ultimii ani, durabilitatea real ă să fie mult mai mare decât cea calculat ă, [48]. ISO a
încercat s ă țină cont de aceste îmbun ătățiri, [68], într-un mod empiri c. Astfel, în anul 1990, în
formulele de calcul al sarcinii dinamice de baz ă, [181], [184], a fost introdus un coeficient de
calcul bm, pentru un material și o fabrica ție modern ă și de uz general.
Adoptarea tensiunii tangen țiale ortogonale maxime ca tensiune decisiv ă pentru modelarea
fenomenului de oboseal ă de contact face imposibil ă corelarea acestui tip de deteriorare cu
inițierea și dezvoltarea microf isurilor pe suprafe țele portante, [139]. De aceea a fost dezvoltat ă o
serie de alte modele de calcul al durabilit ății:
– în [155], Taillan propune un model de cal cul care ia în considerare competi ția diferiților
factori care particip ă la apariția fenomenului de oboseal ă de contact, împreun ă cu zonele
de inițiere și dezvoltare a microfisurilor pe suprafa ța portantă sau în interiorul zonei de
material solicitat.
– în [25], se prezint ă un model de calcul al durabilit ății construit, având la baz ă teoria
ruperii materialelor;
– în [68], [74], [164] , [73], se prezint ă noua teorie a durabilit ății dezvoltat ă în anii '85, în
cadrul firmei SKF.
Această nouă teorie are la baz ă relația:
i li i
iV) ,N(FR1ln Δ⋅σ−σ=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
Δ, (1.13)
Considera ții asupra stadiului actual al cercet ărilor privind durabilitatea și fiabilitatea rulmen ților
25adică, microfisurile sunt incapabile s ă apară în materialul solicitat, atâta timp cât valoarea σi a
tensiunii considerate a fi tensiune decisiv ă nu este mai mare decât o valoare limit ă σli (de prag).
Integrarea rela ției (1.13) pe întreg domeniul de material solicitat în condi ția σi>σli și însumarea
statistică a fiabilității (ΔRi) pentru volumurile elementare ( ΔVi) conduce la:
()dV
'zNAR1ln
Vhc
l∫σ−σ⋅⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛. (1.14)
În ecuația (1.14) semnifica ția factorilor utiliza ți este:
A= o constant ă cu valoare medie ce caracterizeaz ă materialul;
N = numărul ciclurilor de solicitare;
z’ = adâncimea medie local ă dependent ă de starea de tensiuni (fig. 1.8).
Fig. 1.8 Volumul de material solicitat la oboseala de contact în cazul Teoriei
SKF pentru durabilitatea rulmen ților
Noua teorie a durabilit ății conduce la o form ă generalizat ă a ecuației (1.9):
p
SKF 1 a10PCaa L ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅⋅= , (1.15)
unde:
aSKF – reprezint ă un factor de corec ție care permite corelarea complex ă a influen țelor
materialului, acurate țea fabrica ției, precizia prelucr ărilor mecanice, microgeometria
contactului, calitatea suprafe țelor, temperatura de lucru, ti pul lubrifiantului, tipul de
contaminare și nivelul ei, [68], [48], [177] .
Utilizarea acestei rela ții la modelarea contac tului cu rostogolire conduce la o dependen ță
de tip Wöhler între rezisten ța la oboseal ă și numărul de cicluri de solicitare (fig. 1.9), specific ă
celorlalte solicit ări la oboseal ă.
Din analiza rela țiilor (1.3), (1.14), (1.9) și (1.15) rezult ă că teoria lui Lundberg și
Palmgren reprezint ă un caz particular al acestui model.
Capitolul 1
26
Fig. 1.9 Variația rezisten ței la oboseala de contact, în func ție de num ărul
ciclurilor de solicitare
1.3.2 INDICATORI DE FIABILITATE A RULMEN ȚILOR
1.3.2.1 DEFINIREA ȘI CLASIFICAREA INDICATORILOR
Fiabilitatea , [194], este ap titudinea unui produs de a-și îndeplini func ția specificat ă în
condiții date de-a lungul unei perioade determinate.
Prin produs se înțelege orice element component, bloc, ansamblu, subsistem sau sistem ce
poate fi considerat de sine st ătător și care poate fi încercat și utilizat independent.
În studiul fiabilit ății unui produs, timpul pân ă la apariția unui defect sau intervalul între
doua defect ări succesive se consider ă o variabil ă aleatorie, [156], și se noteaz ă cu T, (0< t<∞).
Definiția fiabilit ății, prezentate anterior, corespunde conceptului calitativ al fiabilit ății.
Conceptul de fiabilitate, sub aspect cantitat iv, depinde de modelul matematic utilizat. O m ăsură
cu ajutorul c ăreia se exprim ă cantitativ fiabilitatea sau una dint re caracteristicile acesteia o
constituie indicatorul de fiabilitate, [135].
Există un număr mare de indicatori de fiabilitate, îns ă, nici unul dintre ace ști indicatori nu
poate măsura complet fiabilitatea ci, doar, estimeaz ă una din caracteristicile acesteia.
Rulmenții, în general, (excep ție fac doar rulmen ții de dimensiuni foarte mari, [61], la care
restabilirea parametrilor de func ționare se poate realiza prin recondi ționare) sunt considera ți
produse nereparabile. Din acest motiv, în continuare vor fi analiza ți doar indicatorii de
fiabilitate ai elementelor nereparabile:
 Funcția de fiabilitate – R(t)
Fiabilitatea, notat ă R(T), este definit ă ca fiind probabilitatea produsului de a- și îndeplini
corect func ția prevăzută pe durata unei perioade de timp date, adic ă:
R(t) = Pr(T ≥ t ) . ( 1 . 1 6 )
Proprietățile funcției de fiabilitate s unt, [21], [81], [97]: σu Rezistența la
oboseală,
[MPa ]
Numărul ciclurilor de solicitare, N Teoria Lundberg si Palmgren Curba de tip Wöhler Noua teorie a durabilit ății
Considera ții asupra stadiului actual al cercet ărilor privind durabilitatea și fiabilitatea rulmen ților
271. R(t = 0) = 1;
2. R(t→∞ ) = 0;
3. 0 ≤ R(t) ≤ 1.
 Funcția de nonfiabilitate (funcția de defectare) – F(t)
Complementara func ției de fiabilitate (în sensul teoriei probabilit ăților) o reprezint ă
funcția de nonfiabilitate definit ă ca probabilitatea de defectare a produsului în intervalul (0, t):
F(t) = Pr ( T < t ). (1.17)
Rezultă următoarele proprietăți, [21], [81], [97]:
1. F(t)+ R(t) = 1;
2. F(t = 0) = 0;
3. F( t→∞ ) = 1;
4. 0 ≤ F(t) ≤ 1.
 Densitatea de probabilit ate a timpului de func ționare – f(t)
Prin defini ție, acest indicator reprezint ă limita raportului dintre probabilitatea de defectare
în intervalul ( t, t + Δt) și mărimea intervalului, când Δt→0, și are expresia:
dt)t(dR
dt)t(dF
t)ttTtPr(lim)t(f
0t−==ΔΔ+≤<=
→Δ. (1.18)
Proprietățile densității de probabilitate a timpului de func ționare sunt, [21], [81], [97]:
1. f(t) > 0;
2. ∫∞
=
01dt)t(f;
3. ∫=t
0dt)t(f )t(F;
4. ∫∞
=
tdt)t(f )t(R .
 Rata (intensitatea ) de defectare – z(t)
Reprezint ă probabilitatea ca un element care a func ționat fără defecțiuni până la momentul
t să se defecteze în intervalul ( t, t + Δt):
dt)t(dR
)t(R1
t)tT|ttTtPr(lim)t(z
0t⋅−=Δ>Δ+≤<=
→Δ. (1.19)
 Media timpului de func ționare – m
Prin defini ție, media timpului de func ționare reprezint ă valoarea medie a variabilei
aleatorii T. În cazul produselor nereparabile, reprezint ă de fapt, media timpului total de
funcționare.
Atunci când varia ția timpului de func ționare se exprim ă printr-o form ă analitică, valoarea
sa m se calculeaz ă cu relația, [21], [81], [97]:
() () dtTR dt)t(ft TEm
00⋅=⋅⋅==∫∫∞∞
. (1.20)
Capitolul 1
28Indicatorii de fiabilitate analiza ți mai sus sunt lega ți între ei printr-o serie de rela ții de
dependen ță, [97], [186]. Acestea sunt prezentate în tabelul 1.4.
Tabelul 1.4. – Relații între principalii indicatori de fiabilitate
Exprimat în func ție de indicatorul Indi-
cator F(t) f(t) R(t) z(t)
F(t)
– ∫⋅t
0dt)t(f
1- R(t) ∫
−−t
0dt)t(z
e1
f(t) dt)t(dF
– dt)t(dR− ∫
⋅−t
0dt)t(z
e)t(z
R(t)
1-F(t) ∫∞
⋅
tdt)t(f
– ∫−t
0dt)t(z
e
z(t) dt)t(dF
)t(F11⋅−
∫∞
⋅
tdt)t(f)t(f dt)t(dR
)t(R1⋅−
–
m [] dt)t(F1
0⋅−∫∞
∫∞
⋅⋅
0dt)t(ft ∫∞
⋅
0dt)t(R dt e
0dt)t(zt
0∫∞−∫
În afara func țiilor enumerate, care descriu evolu ția produsului pân ă la defectare,
fiabilitatea acestuia poate fi descris ă și prin caracteristicile numeri ce ale variabilei aleatorii, T.
Dintre acestea, în cazul rulmen ților, se utilizeaz ă:
 Cuantilele timpului de func ționare – tα
Acest indicator de fiabilitate, independent de timp, se define ște ca solu ție a ecuației, [21],
[81], [97]:
F(tp) = p (1.21)
și reprezint ă timpul în care propor ția de produse defectate dintr-o anumit ă colectivitate
(populație) nu dep ășește valoarea prestabilit ă p a probabilit ății de deteriorare.
Dacă se analizeaz ă conceptul de fiabilitate din punctul de vedere al etapelor în care se
evaluează acești indicatori de fiabilitate, [97], se ob ține schema din figura 1.10.
Fig. 1.10 Clasificarea fiabilit ății din punct de vedere al etapei în care se
evaluează principalii indicatori de fiabilitate
Fiabilitate Proiectat ă
(preliminar ă,
previzional ă)
Experimental ă
Operational ă
(efectuată la
beneficiar )Fiabilitatea unui produs determinat ă pe baza considerentelor
privind cerin țele de func ționare, prin analogie cu alte produse
similare sau prin calcule adecvate acestui domeniu .
Fiabilitatea unui produs determinat ă pe bază experimental ă, în
laboratoare, sta ții de încerc ări sau standuri de prob ă, unde au fost
create condi ții asemănătoare cu cele din mediul ambiant.
Fiabilitatea unui produs determinat ă pe baza rezultatelor privind
comportarea in exploatare pe o anumit ă perioadă de timp, a unui
număr determinat de elemente cu caracteristici identice
Consideratii asupra stadiului actual al cercetarilor privind durabilitatea și fiabilitatea rulmentilor
29Modelele fiabiliste și metodele statistice ut ilizate pentru analiza rezu ltatelor experimentale
au ca scop evaluarea fiabilității previzionale , [22], [135], [81].
1.3.2.2 REPARTI ȚII UTILIZATE ÎN STUDIUL
FIABILIT ĂȚII RULMEN ȚILOR
Prin model statistic în fiabilitate se în țelege acea reparti ție statistic ă ce descrie
comportarea timpului de func ționare pân ă la defectare, [ 32], [82], [159].
Exprimarea analitic ă a funcției de fiabilitate reprezint ă problema central ă a teoriei
fiabilității. Obiectivul utiliz ării modelelor statistice în fi abilitate, unde durata de via ță (timpul de
funcționare pân ă la defectare) reprezint ă variabila aleatorie, este caracterizarea cantitativ ă a
proceselor de deteri orare, [81], [160].
S-au dezvoltat dou ă tendințe în diagnoza fiabilist ă:
n Una dintre tendin țe constă în adoptarea în domeniul fiabilit ății a legilor de reparti ție studiate
extensiv în statistica matematic ă clasică, [21], și conservarea modelelor existente, cu l ărgirea
ariei aplicative, [32]. Procedurile de prelucrare a datelor experimentale și de adoptare a unui
model statistic cuprind mai multe etape și sunt prezentate în [82] și [97]. O alt ă variantă de
alegere a modelului statistic este prezentat ă în [166] și [180]. În acela și scop poate fi utilizat ă
și metoda Barlow-Campo, [161].
o Cea de-a doua tendin ță s-a manifestat prin c ăutarea unor modele mai complexe, plecând de la
cunoașterea bazelor fizice ale fenomenului de defectare studiat, [21], [160].
În ultima perioad ă se poate observa o tendin ță oarecum "combinat ă", în sensul c ă se caută
modele generale, dar pân ă la un nivel de complexitate care nu creeaz ă dificultăți de calcul, [32].
Cunoașterea propriet ăților legilor de reparti ție este foarte important ă în activitatea de
modelare, [76], a fiabilit ății. De aceea în figura 1.11 sunt prezentate rela țiile de leg ătură care
există între principalele reparti ții statistice, [60], [71],[65], [81], [129].
În studiul fiabilit ății rulmenților, se utilizeaz ă, [25], [51], [68], [137]:
Repartiția Weibull :
Modelul statistic al reparti ției Weibull este utilizat in tensiv în practica fiabilist ă, datorită
faptului c ă, [81], [88], [76], [100], [97]:
oferă o bună concordan ță pentru duratele de via ță ale multor produse sau sisteme. El
este utilizat în studiile de uzur ă și coroziune, la calculul durabilit ății rulmenților, sculelor,
transmisiilor cu ro ți dințate, al condensatorilor, precum și la interpretarea datelor privind
fenomene seismice, demografie sa u poluarea mediului ambiant etc.
prezintă o serie de propriet ăți statistice, care îi confer ă o mare flexibilitate în
modelarea fiabilit ății, datorate în primul rând combina ției de parametri: form ă – scală –
localizare.
pentru anumite combina ții ale valorilor celor trei parametri are, drept cazuri
particulare, modelele altor reparti ții statistice (exponen țială, exponen țială biparametric ă,
normală, Rayleigh și Gumbel).
Repartiția Weibull este caracterizat ă prin:
Repartiția valorilor extreme
maxime de tip III
()()fx , x ex(, )ηβ η ββηβ
=−−−−1 Repartiția valorilor extreme
minime de tip II
()()fx x ex(,,)ηβ ηββηβ
=−−−−−−1
Repartiția valorilor extreme
maxime de tip II
fx , x ex(, )()ηβ ηββηβ
=⋅⋅ ⋅−+ −⋅−1 Repartiția valorilor extreme
minime de tip I
()fx , exex
(, )ηβ ηββηβ
=⋅⋅−
Repartiția valorilor extreme
maxime de tip I
fx , x ex( , ) exp(ηβ ηβ β ηβ=⋅⋅ − ⋅−⋅−⋅Repartiția valorilor extreme
minime de tip III (reparti ția
Weibull)
fx , x ex(, )ην ηββηβ
=⋅⋅−⋅−⋅1
x
yx xxx
x x y y
y y y y
x1y=
x1y= x y−=x1y−=
x1y−=xlogy=
yx=log n(1-p)=μ Repartiția normal ă
fxx(, , )μσσμ
σ=−⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟1Φ Repartiția binomial ă
Pr( , ) ( )rp , n C p p
nrr n r=⋅ ⋅ −−1 Repartiția lognormal ă
fyyy(, , )logμσσμ
σ=⋅−⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟1Φ
Repartiția binomial ă negativă
Pr( , , ) ( )rpn C p p
nrrn r=⋅ ⋅ −
+−11
Repartiția geometric ă
() Pr( , )rp p pr=⋅− 1 Repartiția hipergeometric ă
Pr( , , , )rnMNCC
CMr
NMnr
Nn=⋅
−−
Repartiția discretă Weibull
()Pr( , , )rq q qr rββ β
=−+1
Repartiția Poisson
Pr( , )!re
rr
μμμ
=⋅−
Repartiția Hi-pătrat
fe(, )χν
νχνν χ
2
222121
222
=
⋅⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟⋅⋅−−
ΓRepartiția Erlang
()fx , nex
nnx n
(, )!μμμ
=⋅⋅
−−⋅ − 1
1
Repartiția putere
fx x(, ,)μδ δμδ
δ=⋅⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟⋅−
− 11
Repartiția normal ă normată –
funcția integral ă Laplace
Φ()yey
=⋅− 1
22
2
π Repartiția beta
()
() ()fxr rrr
rrxxrr(, , )!
!!()1212
12111
11112 =+−
−⋅ −⋅⋅ −−− Repartiția Bernoulli
Pr( , ) ( )rp p prr=⋅ −−11
Repartiția uniform ă
fx()=1
Repartiția beta
()
()()fx x x(, , ) ( )νννν
νννν
1212
121112 1 =+
⋅⋅⋅ −−−Γ
ΓΓ
Repartiția Cauchy
() fx x()=⋅+− 1121
π Repartiția Gama
()fx x ex(, , )μβμβ
ββμ=⋅−⋅−
Γ1
Repartiția Exponen țială
xe m)f(x,μ−⋅μ=
Repartiția Gama generalizat ă
() fx , x x(, , )()exp μβννμ
βμβννβ=⋅⋅− ⋅⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥⋅⋅−
Γ1 Repartiția Laplace
fy ey(, )μμμ=⋅ ⋅− 1
2
Repartiția Rayleigh
()()fx x ex(, )μμ μμ=−22 Repartiția Weibull
()fx , x ex(, )μν νμνν μν
=⋅ ⋅ ⋅−−⋅1
Repartiția Student ( t)
()()
ftt(, )νν
πνννν
=+⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
⋅⋅⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟+⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟−+Γ
Γ1
2
211
221
2 β=1
p=1-q
n=1
n(1-p)=μ
n→∞
IIIIV
β=n
β=1
ν=1
ν=2
μη
νβν=
= x=logy
μ=np
σ2=np(1-p)
asimptotic ( n→∞ )
n=1
II n→∞M/N=p
N→∞
yx=−μ
σ
∞→ν
ν=1; t=x χ=y2
ν=1 Teorema
limită
Teorema
limităI
xyy
21=β=1
ν=1
β=1ν=1
β⋅ν=δ
ν→∞
β=1
ν=2 μ=1/2; ν/2=β
ν1=r1; ν2=r2
f=χ2/νd
νn→∞
νd=ν ν1=νn/2
ν2=νd/2
()xf
fn
nd=⋅
⋅+ν
νν () ()
() ( )
() ( )
() ( ) 1r,,x 1x,r *)IV)1r(2,2 1 ,r *)IIIrn,1r,p 1n,p,r *)IIp1p p1p *)I:
F FF FF FC CLEGENDA
Erl PoiPoibeta binr
0krn
nkkrn k k
rnk n k
1kn
2
+μ−=μ+μ−=μ−+ −=−⋅⋅=−⋅⋅
χ=+
=−+
+ −+∑∑
Fig. 1.11 Relații între principalele reparti ții statistice r1=r2=1
y=x 1-x2
f=t2
νn=1; νd=ν Repartiția Fisher-Snedecor ( F)
()fff
fndnd
dn
dn
dndn
n
nd(, , )νννν
νν
νν
ννννν
νν=+⎛
⎝⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⋅⋅
⎛
⎝⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⋅⎛
⎝⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⋅
+⋅−
+Γ
ΓΓ2
222221
2
Consideratii asupra stadiului actual al cercetarilor privind durabilitatea și fiabilitatea rulmentilor
31¾ Funcția densitate de probabilitate – f(x)
Dacă variabila aleatorie X urmează o reparti ție Weibull, notat ă W(x,β,η,γ), atunci
densitatea sa de probabilitate ar e forma, [65], [ 71], [76], [132]:
β
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
ηγ−−−β
⋅⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
ηγ−⋅ηβ=x 1
ex)x(f , f(x) ≥ 0, X ≥ γ, β > 0, η > 0, (1.22)
unde:
β- reprezint ă parametrul de form ă (sau pant ă),
η- reprezint ă parametrul de scar ă (scală),
γ – reprezint ă parametrul de loca ție (localizare, de pozi ție, sau al originii de timp).
Forma prezentat ă în relația (1.22) constituie varianta complet ă sau triparametric ă. Alte
variante ale modelului sunt, [65], [71], [76]:
• modelul Weibull biparametric – forma normat ă, W(y,β,η):
β
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
η−−β
⋅⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
η⋅ηβ=y 1
ey)y(f , (1.23)
care se ob ține printr-o transformare liniar ă de variabila aleatorie: Y=X – γ.
• modelul Weibull biparametric, W(y,β,λ),:
βλ−−β⋅⋅λ⋅β=y 1e y )y(f , ( 1 . 2 4 )
obținut din rela ția (1.23) prin introducerea nota ției: βη=λ1 .
¾ Parametrul de form ă – β
Acest parametru are o importan ță deosebită în cadrul modelului, el definind alura curbei
Weibull. În figura 1.12 este ilustrat modul în care parametrul β influențează alura func ției
densitate de probabilitatea. Rezult ă, [81], [82], [76], [88]:
a) Pentru 0 < β < 1, f(x) descre ște monoton și convex, având ∞=
γ→)x(flim
Xși
0)x(flim
X=
∞→, iar modul este inexistent.
b) Pentru β = 1, reparti ția Weibull devine reparti ție exponen țială biparametric ă:
γ≥>η≥γ⋅η=ηγ−−
x,0,o, e1)x(fx
. (1.25)
c) Pentru β > 1, reparti ția Weibull devine unimodal ă;
d) Pentru β = 2 se ob ține reparti ția Rayleigh;
e) Pentru 1 < β < 2,6 – reparti ția prezintă asimetrie pozitiv ă;
f) Pentru 2,6 < β < 3,7 – reparti ția este aproximativ simetric ă;
g) Pentru 2,6 < β < 5,3 – reparti ția Weibull poate fi aproximat ă prin reparti ția normal ă,
[82];
h) Pentru β > 3,7 – reparti ția prezintă asimetrie negativ ă;
¾ Parametrul de localizare – γ
Existența acestui parametru conduce la translatarea curbei densitate de probabilitate pe
axa OX, figura 1.13, conferind suple țe repartiției Weibull, [81], [96], [88]. Considerente de
Capitolul 1
32ordin practic, legate de neconcordan ța dintre momentul începerii observa ției asupra
comportamentului produsului testat și momentul efectiv al începerii "vie ții" produsului, pot fi
modelate prin existen ța acestui parametru:
• γ > 0 – indic ă o supravie țuire a tuturor produselor în intervalul (0, γ). În cest caz
parametrul de localizare poart ă denumirea de perioad ă de garanție.
• γ < 0 – indic ă faptul că produsele analizate au acumulat o experien ță operațională
anterioară începerii observa ției, sau la execu ția lor s-a utilizat un material slab
calitativ.
0 0.4 0.8 1.2 1.6 200.40.81.21.62
Variabila aleatorie, XFunctia densitate de probabilitate, f(x)
Fig. 1.12 Repartiția Weibull. Influen ța parametrului de form ă, β
1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 400.511.5
Variabila aleatorie, XFunctia densitate de probabilitate, f(x)11
Fig. 1.13 Repartiția Weibull. Influen ța parametrului de localizare, γ
¾ Parametrul de scal ă – η
În figura 1.14, se observ ă modul în care parametrul de scal ă influențează alura curbei
funcției densitate de probabilitate, și anume, modificarea parametrului η are acela și efect ca și
modificarea sc ării abscisei, [81], [82]. η=1,0
γ=0,0 β=5,0
β=3,0
β=2,0
β=1,5
β=1,0
β=0,5
β=0,2
β1=3,0
β2=1,0
η=1,0 γ = -1 γ = 1 γ = 0
Consideratii asupra stadiului actual al cercetarilor privind durabilitatea și fiabilitatea rulmentilor
330 1 2 3 4 500.51
Variabila aleatorie, XFunctia densitate de probabilitate, f(t)
Fig. 1.14 Repartiția Weibull. Influen ța parametrului de scal ă, η
¾ Tendința de grupare a valorilor .
1. Media, μ, a variabilei aleatorii X, repartizate Weibull, este dat ă de relația:
∫∞
+βΓη+γ= ==μ
0)11( dx)x(xf )X(E , (1.26)
unde, Γ – reprezint ă funcția gama, ∫∞
−−⋅⋅=Γ
01n xdx x e )n(.
2. Mediana, xMe , a variabilei aleatorii X, repartizate Weibull, este:
()β⋅η+γ=1
Me 2ln x . ( 1 . 2 7 )
3. Modul (moda), xMo , al variabilei aleatorii X, repartizate Weibull, este:
()ββ−η+γ=1
Mo 11 x . (1.28)
¾ Tendința de împr ăștiere a valorilor
1. Dispersia, V(X) = σ2, a variabilei aleatorii X, repartizate Weibull, este dat ă de relația:
()()[] { }2 2 21 1 1 2 )X(V +βΓ−+βΓη==σ . (1.29)
2. Abaterea medie p ătratică, σ, a variabilei aleatorii X, repartizate Weibull, este:
() ()[]21 1 1 2 +βΓ−+βΓη=σ . (1.30)
3. Momentul de ordinul q, E(Xq) = μq, este dat de rela ția:
() () ∫∞
+βΓη= ==μ
0q q q
q 1 q dx)x(fx XE, γ = 0. (1.31)
În situația în care γ ≠ 0, valoarea acestui moment se deduce din:
()[]()1 q XEq q+βΓη=γ− . (1.32) γ=0,0 β=1,0; η=1,0
β=2,0; η=1,0
β=1,0; η=2,0
β=1,0; η=3,0 β=2,0; η=2,0
β=2,0; η=3,0
Capitolul 1
344. Momentul centrat de ordinul q, μ'k este dat de rela ția:
()()[]
() ( )[] ()[] .1 11 jq C1dx)x(f) x( XEXE'
j j
qjq
0jq0q q
q
+βΓ+β−Γ−η== μ−=−=μ
∑∫
=∞
(1.33)
5. Coeficientul de varia ție , Cv(X), în cazul γ= 0, este dat de rela ția:
()
()1
1 11 2Cv2−
+βΓ+βΓ=μσ= . (1.34)
¾ Forma reparti ției Weibull
1. Coeficientul de asimetrie, α3, propus de K. Pearson:
()[]()()()()
() () {}2323
233
3
1 1 1 21 121 21 131 3
XV +βΓ−+βΓ+βΓ++βΓ+βΓ−+βΓ=μ=α . (1.35)
2. Coeficientul de boltire, α4, propus de R.D. Fisher:
()[]() ()()[]()()[]()[] { }
() () {}224 2
24
4
1 1 1 21 13 1 11 26 1 11 341 4
XV +βΓ−+βΓ+βΓ−+βΓ+βΓ++βΓ+βΓ−+βΓ=μ=α . (1.36)
¾ Funcția de fiabilitate, R(x) , este de forma:
β
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
ηγ−−
=x
e)x(R . ( 1 . 3 7 )
În figura 1.15 este prezentat modul de varia ție a funcției fiabilitate, în func ție de valorile
celor trei parametri. De remarcat este faptul c ă, indiferent de valoarea parametrului β, toate
curbele trec prin punctul M1, de coordonate:
() 36788,0; M1γ+η .
Aceasta indic ă faptul că fiabilitatea asociat ă unei durate de via ță η+γ este 0,36788.
¾ Funcția de reparti ție , F(x) , este de forma:
β
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
ηγ−−
−=x
e1)x(F . ( 1 . 3 8 )
Modul de varia ție a acestei func ții, datorat celor trei parametri ai reparti ției, este prezentat
în figura 1.16. Se poate face aceea și remarcă, ca și în cazul precedent, c ă indiferent de valoarea
parametrului β, toate curbele trec prin punctul M2, de coordonate :
( ) 63212,0; M2γ+η .
Consideratii asupra stadiului actual al cercetarilor privind durabilitatea și fiabilitatea rulmentilor
350.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 300.51
Variabila aleatorie, XFunctia de fiabilitate, R(t)0.3678101
Fig. 1.15 Repartiția Weibull. Func ția de fiabilitate
0.5 1.5 3.500.51
Variabila aleatorie, XFunctia de repartitie, F(t)0.632101
Fig. 1.16 Repartiția Weibull. Func ția de reparti ție
¾ Funcția rata defect ărilor, z(x ), este de forma:
1x)x(z−β
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
ηγ−⋅ηβ= . ( 1 . 3 9 )
Modul de varia ție a acestei func ții este prezentat în figura 1.17. Se constat ă că pentru, [81], [82]:
1. 0 < β < 1- rata defect ărilor descre ște monoton și convex de la + ∞ la 0;
2. β = 1- rata defect ărilor este constant ă, având valoarea z(x) = 1/ η;
3. β > 1- rata defect ărilor este cresc ătoare;
4. 1< β < 2 – curba care reprezint ă rata defect ărilor este concav ă;
5. β = 2 – (cazul reparti ției Rayleigh) rata defect ărilor are o varia ție liniară:
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
ηγ−⋅η=x2)x(z , ( 1 . 4 0 )
cu panta 2/ η2.
6. β > 2 – curba care reprezint ă rata defect ărilor este convex ă. η=1,0; β=2,0
M1(η+γ, 0,3678)η=1,0; β=1,0
η=1,0; β=0,5
η=0,5; β=0,5
γ
η=1,0; β=2,0 M2(η+γ, 0,6321)
η=1,0; β=1,0 η=1,0; β=0,5 η=0,5; β=0,5
γ
Capitolul 1
360 0.5 1 1.5 2 2.5 301234
Variabila aleatorie, XFunctia rata defectarilor, z(x)
Fig. 1.17 Repartiția Weibull. Func ția rata defect ărilor
¾ Cuantilele reparti ției Weibull, xα
Cuantilele reparti ției se obțin ca solu ție a ecuației (1.21) și sunt de forma:
β
⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
−⋅η+γ=1
pp11ln x . (1.41)
Din condi ția xα =η + γ, se obține că parametrul de scal ă, η, reprezint ă de fapt cuantila 63,2
a repartiției. Pe baza acestei constat ări, modelul Weibull se mai poate exprima și sub forma
[104], [107]:
β
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
⋅−
−=ppxxk
e1)x(F , ( 1 . 4 2 )
unde,
p11ln kp−= . ( 1 . 4 3 )
Repartiția valorilor extreme minime de tip I (repartiția Gumbel)
Acest model face part e din familia reparti țiilor valorilor extreme. El se utilizeaz ă frecvent
în fiabilitate, în primul rând, datorit ă legăturilor cu reparti ția Weibull, [81], [96], [166].
Repartiția Gumbel este caracterizat ă prin:
¾ Funcția densitate de probabilitate -f(y)
Daca variabila aleatorie Y urmeaz ă o repartiție a valorilor extreme minime de tip I, notat ă
EVD(x,δ,μ), atunci densitatea sa de probabil itate are forma, [65], [71], [132]:
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
δμ−
−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
δμ−
⋅δ=y
ey
e1)y(f , -∞ < Y < ∞, -∞ < μ < ∞, δ >0. (1.44)
În relația (1.44):
δ – reprezint ă parametrul de scal ă (scară);
μ – reprezint ă parametrul de loca ție (localizare, de pozi ție). η = 1,0
β = 2,0
η = 1,0
β= 1,0η = 1,0
β = 3,0
η = 0,5
β= 0,5η = 1,0
β = 0,5 η = 1,0
β= 1,5
Consideratii asupra stadiului actual al cercetarilor privind durabilitatea și fiabilitatea rulmentilor
37Modul în care cei doi parametri influen țează repartiția Gumbel este ilustrat în figura 1.18.
0 2 4 6 8 10 1200.10.20.30.4
Variabila aleatorie, YFunctia desitate de probabilitate, f(t)
Fig. 1.18 Repartiția Gumbel. Func ția densitate de probabilitate
Se constat ă că această repartiție prezint ă o asimetrie stânga.
¾ Tendința de grupare a valorilor
1. Media, μ, a variabilei aleatorii Y, repartizate Gumbel, este dat ă de relația:
∫∞
∞−δ−μ= ==μ 577,0 dy)y(yf )Y(E . (1.45)
2. Mediana, yMe , a variabilei aleatorii Y este:
yMe = μ – 0,3665δ. ( 1 . 4 6 )
3. Modul (moda), yM0, al variabilei aleatorii Y, repartizate Gumbel, este:
yMo = μ. ( 1 . 4 7 )
¾ Tendința de împr ăștiere a valorilor
1. Dispersia, V(Y) = σ2, a variabilei aleatorii Y, repartizat ă Gumbel, este dat ă de relația:
σ2 = V(Y) = 1,645 ⋅δ2. (1.48)
2. Abaterea medie p ătratică, σ, a variabilei aleatorii Y este:
σ = 1,2826⋅δ . ( 1 . 4 9 )
3. Coeficientul de varia ție, Cv(Y), al variabilei aleatorii Y este:
δ⋅−μδ⋅=μσ=577,02826,1Cv . (1.50)
¾ Forma reparti ției valorilor extreme minime de tip I
1. Coeficientul de asimetrie, α3, propus de K. Pearson:
()[] 14,1 YV23
3 3 −= μ=α . (1.51)
2. Coeficientul de boltire, α4, propus de R.A. Fisher:
()[] 4,5 YV2
4 4 = μ=α . (1.52) μ=10,0
δ=1,0 μ=5.0
δ=1,0
μ=10.0
δ=2,0
Capitolul 1
38Din analiza celor doi coeficien ți se constat ă că α3 și α4 sunt independent e de valorile
parametrilor μ și δ, deci, reparti ția Gumbel nu con ține parametru de form ă.
¾ Funcția de fiabilitate – R(y), este de forma:
δμ−
−=y
ee)y(R . (1.53)
De remarcat este faptul c ă, pentru aceea și valoare a parametrului μ, toate curbele trec prin
punctul M1 de coordonate:
M1 ( μ; 0,36788).
¾ Funcția de reparti ție – F(y), este de forma :
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
δμ−
−−=y
ee1)y(F . ( 1 . 5 4 )
Se poate face aceea și remarcă, ca și în cazul precedent, pentru aceea și valoare a
parametrului μ, toate curbele trec prin punctul M2 de coordonate:
M2 (μ; 0,63212).
¾ Funcția rata defect ărilor – z(y), este de forma:
⎟⎠⎞⎜⎝⎛
δμ−
⋅δ=y
e1)y(z . ( 1 . 5 5 )
Funcția rata defect ărilor pentru reparti ția Gumbel este prezentat ă în figura 1.19. Se
constată că rata defect ărilor este o func ție crescătoare.
0 2 4 6 8 10 12 14024
Variabila aleatorie, YFunctia rata defectarilor, z(y)
Fig. 1.19 Repartiția Gumbel. Func ția rata defect ărilor
¾ Cuantilele reparti ției Gumbel
Cuantilele reparti ției se obțin ca solu ție a ecuației (1.21) și sunt de forma:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛
α−⋅δ+μ=α11lnln y . ( 1 . 5 6 ) μ=8,0
δ=2,0μ=4,0
δ=1,0
μ=8,0
δ=1,0
Consideratii asupra stadiului actual al cercetarilor privind durabilitatea și fiabilitatea rulmentilor
39¾ Legătura cu reparti ția Weibull
Daca variabila aleatorie X urmează o repartiție Weibull de forma ecua ției (1.38), cu γ = 0,
atunci variabila aleatorie Y, unde Y = ln X, urmează o repartiție, [26], [153], a valorilor extreme
minime de tip I, dat ă de ecuația (1.54). Între parametrii și cuantilele celor dou ă repartiții se pot
stabili urm ătoarele rela ții de echivalen ță:
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
==β=δη=μ
.xln y,xlny,/1,ln
p p ( 1 . 5 7 )
1.3.2.3 RAPORTUL DINTRE DURABILITATE ȘI
FIABILITATE LA RULMEN ȚI
Dispersiile mari observat e la durabilitatea rulmen ților au determinat introducerea în rela ția
de calcul al durabilit ății, din condi ția deterior ării prin oboseala de contact, a unor elemente de
probabilitate. În acest cont ext, durabilitatea reprezint ă, de fapt, o variabil ă aleatorie.
În secțiunea 1.3.1 a fost definit un prim indicator de fiabilitate, și anume: durabilitatea
nominală. Din analiza defini ției corespunz ătoare, împreun ă cu relația (1.21), se constat ă că
durabilitatea reprezint ă, de fapt, cuantila 0,10 a timpului de func ționare pân ă la defectare. Pentru
caracterizarea durabilit ății rulmenților se utilizeaz ă mai rar și noțiunile, [25], [51]:
• durabilitatea median ă L50 – care reprezint ă durabilitatea asociat ă unei probabilit ăți de
0,50;
• durabilitatea medie Lm – care reprezint ă media duratelor de via ță a rulmen ților.
Din relația (1.8), scris ă sub forma simplificat ă, [139]:
()eLA R1ln ⋅= , ( 1 . 5 8 )
prin logaritmare se ob ține:
()[] AlnLlne R1lnln += . (1.59)
Relația (1.59) define ște repartiția Weibull a durabilit ății la oboseala de contact, în care e
reprezintă parametrul de form ă.
Cercetările experimentale efectuate, [25], [51], [68], confirm ă faptul că, pentru fiabilit ăți
cuprinse în intervalul [0,40 ÷ 0,93], reparti ția Weibull biparametric ă modeleaz ă foarte bine
comportarea rulmen ților care se deterioreaz ă prin oboseala de contact.
Pe lângă cei trei indicatori de fiabilitate men ționați anterior ( L10, L50 și Lm), un alt
parametru des utilizat în analizele de fiabilitate, ca m ăsură a dispersiei durabilit ății, îl constituie
parametrul de form ă al reparti ției Weibull. Valori ale parametrului de form ă, [4], [63]:
e > 1 – indic ă o rată a defectărilor cresc ătoare, odat ă cu durata de func ționare a rulmen ților
și o scădere a dispersiei durabilit ății. Un astfel de proces eviden țiază deteriorarea propriet ăților
produsului odat ă cu creștea duratei de utilizare;
e ≤ 1 – indic ă o rată de defectare descresc ătoare, odat ă cu durata de func ționare a rulmen ților
și o dispersie mare a durabilit ății. Un astfel de proces eviden țiază faptul că produsele au defecte
Capitolul 1
40emanate din opera țiile de fabrica ție, montaj și depozitare. Aceste produse în utilizare se
caracterizeaz ă prin defect ări premature.
Valorile acestui parametru ob ținute experimental sunt:
• Lundberg și Palmgren, [25], [51], [68], [139] recomand ă:
– e = 10/9 – pentru rulmen ții cu contact punctiform;
– e = 9/8 – pentru rulmen ții cu contact liniar.
• pentru oțeluri de rulmen ți obișnuite, [51], [68], [51]:
– e =1,1 ÷ 1,5;
Obținerea, în cazul rulmen ților executa ți din oțeluri clasice, a unor valori mai mari
pentru parametrul de form ă, indică, [51], un material slab, defectele de fabrica ție sau
construcție, care imprim ă o calitate necorespunz ătoare.
• pentru oțeluri retopite în vid e are valori mai mari, [25], [159], decât cele prezentate
anterior;
• pentru oțelurile moderne, de înalt ă puritate, [68]:
– e = 0,8 ÷ 1,0;
• rulmenții cu bile și elementele de rulmen ți, [69], [1]:
– e = 0,59 ÷2,8;
• pentru rulmen ții radial-axiali cu role conice, [51]:
– e = 1,5;
• pentru rulmen ții radiali și radial-axiali cu bile:
– e ≤ 1,5, [4];
– e = 1,3, [69];
• pentru rulmen ții radiali cu role cilindrice, radial-axiali cu role conice și rulmenții axial-
oscilanți cu role butoi [4]:
– 1,0 ≤ e ≤ 2,5;
• funcționarea rulmen ților având o calitate necorespunz ătoare a suprafe ței portante sau
care lucreaz ă în medii contaminate cu particule dure și abrazive, [93], [99]:
– e = 2,5 ÷ 3,0;
• pentru rulmen ții cu bile și rulmenții cu role, [12], care func ționează în diferite condi ții:
– e = 0,7 ÷ 3,5;
Valoarea tipic ă a parametrului de form ă este:
– e = 1,3.
Cunoscând durabilit ățile L10 și L50 pentru o popula ție de rulmen ți, valorile parametrului
de formă se pot determina foarte simplu cu ajutorul rela ției, [51]:
() ()50 10 50 10 LLln8838,1
LLln)5,0/1ln()9,0/1ln(ln
e−= = . (1.60)
În relația (1.59), dac ă se pune condi ția L = L10, adică R = 0,9 , rezult ă:
() Aln Llne9,01lnln10+⋅= . (1.61)
Eliminând parametrul A din relațiile (1.61) și (1.59), rezult ă:
()()()e
10LL9,01ln R1ln ⋅ = , (1.62)
sau, [93]:
()eLL)9,0ln(10 e)L(R⋅= . (1.63)
Consideratii asupra stadiului actual al cercetarilor privind durabilitatea și fiabilitatea rulmentilor
41Pentru valorile uzuale de calcul ( e = 10/9 sau e = 9/8, în func ție de tipul contactului), rata
defectărilor reprezint ă o funcție crescătoare (vezi pct. 1.3.2.2 ).
Utilizând rela țiile din tabelul 1.4, se pot ob ține expresiile celorlal ți indicatori de fiabilitate.
De exemplu, rata defect ărilor, [73], rezult ă sub forma:
1e
10 10 LLeL)9,0ln()L(z−
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛⋅⋅−= . (1.64)
La valori mari ale fiabilit ății, [25], [68], 137], R>0,90, încerc ările de fiabilitate a
rulmenților au demonstrat c ă valorile experimentale deviaz ă de la dreapta Weibull. Se
consideră, [25], [68], c ă valoarea minim ă a durabilit ății Lmin este:
Lmin = 0,053L 10 – pentru rulmen ții cu bile;
Lmin = 0,055L 10 – pentru rulmen ții cu role.
Legătura care rezult ă, în acest caz, între fiabilitate și durabilitatea rulmen ților se poate
scrie în forma general ă, [150]:
()
()e
min 10min
L LLL
9,0lnLRln
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
−−= . (1.65)
Ținând cont de aceste aspect e, pentru calculul durabilit ății în func ție de nivelul impus al
fiabilității, se poate utiliza o form ă simplificat ă, [133], [150], [165] a rela ției (1.65):
()05,09,0lnLRln95,0LL9,0
10+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⋅= . (1.66)
Ca urmare a acestor constat ări experimentale, în rela ția de calcul al durabilit ății (1.11) a
fost introdus factorul a1. Valoarea lui se deduce cu o formul ă asemănătoare cu rela ția (1.62),
valoarea parametrului de form ă fiind adoptat ă, [25], [94], la e = 1,5. Adic ă:
()5.11
1019,0lnLRln
LLa⎥⎦⎤
⎢⎣⎡== . (1.67)
Fiabilitatea real ă a rulmen ților se ob ține, însă, prin considerarea tuturor fenomenelor de
deteriorare, [51], și este vizibil influen țată de numărul defect ărilor posibile, tipologic distincte,
de probabilitatea coinciden ței lor în timp și de viteza lor de evolu ție.
Oboseala de contact reprezint ă singurul mecanism ce poate fi rezonabil modelat din punct
de vedere fiabilist, [93]. Lipsa de date suficiente pentru definirea reparti țiilor referitoare la
fiecare tip de deteriorare face ca, deocamdat ă, calculul obi șnuit al rulmen ților să considere
distinct, în rela ție cu durabilitatea, fie obosea la de contact, fie uzura de tip abraziv. În rest, se
stabilesc condi ții limită, recomand ări și specifica ții adecvate. Utilizarea rela țiilor (1.12) și (1.15)
la calculul durabilit ății nominale permite integrarea, [93], mecanismelor de deteriorare prin
oboseala de contact și a fenomenelor de uzare.
Între nota țiile consacrate în teoria fiabilit ății și cele utilizate în analiza fiabilit ății
rulmenților există următoarele rela ții de echivalen ță:
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
β====
. e,t L,t L,TL
50,0 5010,0 10 ( 1 . 6 8 )
Capitolul 1
421.3.3. METODE UTILIZATE LA DETERMINAREA
INDICATORILOR DE FIABILITATE
1.3.3.1. NO ȚIUNI GENERALE. CLASIFICAREA METODELOR
Modelarea fenomenelor reale care utilizeaz ă aparatul matematic al teoriei statisticii
matematice sau al teoriei fiabilit ății presupune asocierea dintre o lege de reparti ție și un sistem
real concret.
Considerăm o variabil ă aleatorie X, la care legea reparti ției este exprimat ă printr-o func ție
dată: densitatea de probabilitate, f(x,θ), sau func ția de reparti ție, F(x,θ).
Această funcție, [21], [108], este:
a) nespecificat ă – dacă expresia matematic ă a repartiției nu se cunoa ște;
b) specificat ă – dacă conține anumi ți parametri necunoscu ți, care intervin în expresia legii de
repartiție;
c) complet specificat ă – dacă la o func ție specificat ă se cunosc și valorile numerice ale tuturor
parametrilor.
Operația prin care se determin ă valorile parametrilor, θ, ai modelului statistic, se numește
estimarea parametrilor . Pentru a efectua estimarea para metrilor, formula, regula aleas ă sau
statistica utilizat ă, având la baz ă o selecție de volum n (x1, x2, …x n), prelevat ă aleatoriu din
populația variabilei X, se nume ște estimator , [97], [21], [108].
Estimația este, la rândul s ău, o variabil ă aleatorie dependent ă de eșantion. Estima ția poate
fi, [21], [108]:
a) Estima ție neparametric ă – dacă estimația se refer ă la probabilitatea necunoscut ă de apariție a
fenomenului sau la valoarea unui indicator de fiabilitate și a cărei aplicare nu necesit ă
identificarea legii de reparti ție.
b) Estima ție parametric ă – dacă estimația se refer ă la un parametru necunoscut al modelului
statistic utilizat.
c) Estima ție punctual ă – dacă parametrul necunoscut al popula ției se estimeaz ă printr-o valoare
numerică, calculată pe baza unui estimator de forma:
)x,…,x,x(gˆn 2 1=θ .
b) Estima ție cu interval de încredere – dacă se stabile ște un interval ()2 1ˆ, ˆε+θε−θ care să
includă, cu o probabilitate dat ă (1-α), valoarea adev ărată a parametrului necunoscut.
S-au pus la punct mai multe metode, [6], pentru estimarea pa rametrilor, care
caracterizeaz ă diferitele modele matematice ale defect ărilor:
A. Metode grafice;
B. Metode analitice, adopt ate din statistica clasic ă în fiabilitate, și anume:
– metoda momentelor;
– metoda celor mai mici p ătrate;
– metoda verosimilitatii maxime;
C. Metode care au la baz ă teoria statisticilor de or dine (estimatorii liniari);
D. Metode bayesiene de estimare.
Aprecierea calit ății estimatorilor se realizeaz ă, de regul ă, pe baza unor criterii statistice,
definite ca propriet ățile estimatorilor. Propriet ățile cele mai importante ale unui estimator sunt,
[22], [60], [82], [96], [97], [108]:
Consideratii asupra stadiului actual al cercetarilor privind durabilitatea și fiabilitatea rulmentilor
431. Nedeplasarea . Estimația se nume ște nedeplasat ă, dacă valoarea medie teoretic ă coincide cu
valoarea adev ărată a parametrului:
()θ=θˆE.
Deplasarea estima ției – Depl ()ˆθ, se define ște ca fiind:
()()θ−θ=θ ˆE ˆ Depl .
2. Consisten ța. O estima ție se nume ște consistent ă, dacă ea converge în probabilitate c ătre
valoarea adev ărată a parametrului, adic ă:
[] .0 ,1 ˆPrlim
n>ε∀=ε<θ−θ
∞→
3. Eroarea medie p ătratică – MSE()θˆ, (Mean Squared Eror). Aceast ă proprietate definit ă ca:
() ( ) ()()[],ˆ DeplˆV ˆEˆ MSE2 2θ+θ=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧θ−θ=θ
unde, () ()[] , ˆEˆEˆV2
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧θ−θ=θ reflectă discrepan ța dintre valoarea real ă a parametrului și
estimația lui, cuantificat ă prin dispersie și deplasare.
4. Eficiența. O estima ție θˆ a parametrului θ se numește eficient ă, dacă este nedeplasat ă și are
dispersia minim ă.
1.3.3.2. METODE DE ESTIMARE A INDICATORILOR DE FIABILITATE
A. Metode grafice
Metoda grafic ă de estimare a parametrilor modelului statistic și/sau a valorilor
indicatorilor de fiabilitate utilizeaz ă metoda re țelelor de probabilitate. Procedura general ă de
construire a re țelelor de probabilitate se bazeaz ă pe liniarizarea convenabil ă a funcției de
repartiție a modelului statistic, presupus adecvat reprezent ării datelor, [136], [161].
Rețeaua de probabilitate, [97], [135], reprezint ă, de fapt, o coal ă gradată după un anumit
trasaj pe cele doua axe de coordonate, de obi cei, simplu sau dublu logaritmat, pe care se
reprezintă punctele [t i, Fn(ti)], unde ti reprezint ă valorile observate ale e șantionului de volum n,
(i=1,2,…,n), ordonate cresc ător, iar Fn(ti) sunt valorile probabilit ăților de deteriorare
corespunz ătoare.
Valorile mediane ale lui Fn(ti) se determin ă, [17], [82], [81], [66], în condi țiile unei
extrageri bernoulliene (schema urnei revenite), ca solu ție a ecuației:
()[] ()[] 50,0 tFˆ1 tFˆCn
ikkn
ink
ink
n = −⋅∑
=−, (1.69)
relație în care: i=1,2,…,n. Valorile Fn(ti) determinate cu rela ția (1.69) se mai numesc șirul
median (Median Rank).
O modalitate simplificat ă de calcul al valorilor șirului median se poate ob ține prin
aplicarea unei duble transform ări a relației (1.69), ob ținând în prima faz ă repartiția Beta
corespunz ătoare și apoi reparti ția F, Fisher-Snedecor:
Capitolul 1
44
p;m;50,0in
Fi1in11)t(F
⋅+−+= , (1.70)
unde: F0,50; m; p – reprezint ă valoarea median ă a repartiției F, având m=2(n-i+1) și p=2i grade
de libertate.
Dificultățile de rezolvare a ecua ției (1.69) și (1.70) au condus la apari ția unor rela ții
simplificate de calcul, [161] , [97], [137], care permit ob ținerea valorilor func ției empirice de
repartiție, Fn(ti). Dintre acestea în practica fiabilist ă se utilizeaz ă frecvent, [20], [81], [82],
[161]:
I. ()1nitFˆin+= , ( 1 . 7 1 )
care furnizeaz ă valorile medii ale func ției empirice de reparti ție.
II. ()4,0n3,0itFˆin+−= ; (1.72)
III. ()n1n1i3863,0 30685,0i
tFˆin⎟⎠⎞⎜⎝⎛
−−− −
= , pentru n > 20, și (1.73)
()
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛
−−+−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛− −
1 21n1i21 tFˆ n11
n1
in, pentru n ≤ 20, (1.74)
care furnizeaz ă valorile mediane ale func ției empirice de reparti ție.
În cazul reparti ției Weibull, prin dubl a logaritmare a func ției de reparti ție, rel. (1.38), se
obține relația:
ηβ−γ−β=⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
−ln)tln()t(F11lnln . (1.75)
Pentru γ=0 relația (1.75) devine:
ηβ−β=⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
−lntln)t(F11lnln . (1.76)
Între termenii:
.xtln,y)t(F11lnln
==⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
− (1.77)
se poate stabili o rela ție de tip liniar, sub forma:
y=a +bx , (1.78)
care permite construirea si utilizarea re țelei de probabilitate la estimarea punctual ă și cu
interval de încredere a parametrilor reparti ției Weibull. Între ecua țiile (1.78) și (1.77) se pot
stabili, prin identificare, urm ătoarele rela ții de echivalen ță:
Consideratii asupra stadiului actual al cercetarilor privind durabilitatea și fiabilitatea rulmentilor
45⎩⎨⎧
=β=η⋅β−
.b,a ln ( 1 . 7 9 )
¾ Estimarea parametrului de form ă – β
Valoarea estimat ă a parametrului de form ă se obține direct de pe re țeaua de probabilitate
dacă aceasta este prev ăzută cu o scal ă gradată, [20], [81], [82], [161] . În lipsa ei, estima ția
parametrului de form ă se poate calcula cu rela ția, [81], [161]:
()[]
()[]
()1212
ttlntF1lntF1lnln
ˆ ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−
=β , (1.80)
pe baza coordonatelor [t 1, F(t 1)] și [t 2, F(t 2)], arbitrar alese pe dreapta Weibull. Ecua ția (1.80)
folosește proprietatea dreptei Weibull, (vezi ecua ția (1.76)), de a avea panta egal ă cu valoarea
parametrului de form ă.
¾ Estimarea parametrului – η
Parametrul de scal ă se determin ă direct de pe re țea și reprezint ă valoarea abscisei
punctului situat pe dreapta Weibull corespunz ător unei probabilit ăți de deteriorare F(t) = 63,2 %
(vezi pct. 1.3.2.2 ).
¾ Estimarea cu intervalul de încredere
Intervalul de încredere bilateral, corespunz ător unui nivel de încredere 1- α al dreptei
Weibull, [81], [82], se poate ob ține prin trasarea pe re țea a curbelor corespunz ătoare punctelor:
[])t(Fˆ,ti nLi și [])t(Fˆ,ti nUi . Valorile probabilit ăților FnL(ti) și FnU(ti) se obțin prin rezolvarea
sistemului de ecua ții, [81], [82]:
()[] ()[] ,2tFˆ1 tFˆCknn
iki nLk
i nLk
nα= −⋅−
=∑
()[] ()[]21 tFˆ1 tFˆCknn
iki nUk
i nUk
nα−= −⋅−
=∑ , (1.81)
sau, prin aproximare cu reparti ția F Fisher–Snedecor, având m=2(n-i+1) și p=2i grade de
libertate:
,
Fi1in11)t(Fˆ
p;m;2i nL
α⋅+−+=
p;m; 1i nU
2Fi1in11)t(Fˆ
α−⋅+−+= . (1.82)
Intervalele de încredere unilaterale se construiesc similar.
Utilizarea metodei grafice, în cazul reparti ției triparametrice Weibull, este prezentat ă în
[20], [81], [82], [135] și [161].
Observații, [81], [82], [80], [44], [161]:
1) Estimatorii grafici sunt simplu și ușor de aplicat.
Capitolul 1
462) Reprezint ă o metodă intuitivă de testare a concordan ței valorilor de e șantionaj cu modelul
statistic utilizat.
3) Sunt recomanda ți în analiza e șantioanelor de volum redus.
4) Au un mare dezavantaj: subiectivismul și lipsa acurate ței de estimare în compara ție cu
metodele analitice.
B. Metode analitice de estimare a valorilor indicatorilor de fiabilitate
B1. Metoda momentelor, elaborată de K. Pearson
Metoda momentelor, [82], [97], [109], const ă în egalarea momentelor teoretice, μq, până la
ordinul q, ale reparti ției f(t,θ1,θ2,…,θq), cu momentele de e șantionaj ( mq). Se obține astfel un
sistem de ecua ții a cărui rezolvare furnizeaz ă valorile estimate ale parametrilor, iˆθ, i=1,2,…,q.
Pentru reparti ția Weibull biparametrice Gumbel (1964) a dezvoltat un procedeu de
estimare bazat pe metoda momentelor, care folose ște proprietatea coefic ientului de varia ție (Cv)
de a depinde numai de parametrul β, [82], [97], [159].
Se egaleaz ă astfel expresia coef icientului de varia ție teoretic, rela ția (1.34), cu valoarea de
eșantionaj a coeficientului de varia ție (Cv):
tsvCˆ= , (1.83)
în care:
– ∑
==n
1iitn1t – reprezint ă media aritmetic ă de eșantionaj;
– ()∑
=−−=n
1i2
itt1n1s – reprezint ă abaterea medie p ătratică de eșantionaj.
Se obține astfel ecua ția:
()
()()∑∑
==
−⋅−⋅
=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−
+βΓ+βΓ
n
1i2
in
1ii21
2
tt1n1tn1
1
1ˆ11ˆ2, (1.84)
prin a cărui rezolvare se ob țin valorile estimate ale parametrului de form ă, (βˆ). Pentru valori ale
coeficientului de varia ție cuprinse în intervalul 0,02 ≤vCˆ≤1,5, la estimarea parametrului de
formă, se poate utiliza cu succes ecua ția simplificat ă, [82]:
08,1vCˆˆ−=β . ( 1 . 8 5 )
Valoarea estimat ă a parametrului de scal ă, ηˆ, se obține din egalarea mediei de e șantionaj,
(t) cu valoarea mediei teoretice, rela ția (1.26):
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+
βΓ=η
1ˆ1tˆ . ( 1 . 8 6 )
Utilizarea acestei metode, în cazul reparti ției triparametrice Weibull, este prezentat ă în
[33], iar propriet ățile estimatorilor sunt descrise în [130].
Consideratii asupra stadiului actual al cercetarilor privind durabilitatea și fiabilitatea rulmentilor
47
Observații, [82], [96]:
1) Acest procedeu de estimare este o metoda intuitiv ă, având o slab ă justificare teoretic ă.
2) Metoda nu se poate utiliza la es timarea parametrilor în cazul e șantioanelor cenzurate sau
trunchiate.
3) Nu se recomand ă utilizarea acestei metode pentru modele statistice care prezint ă asimetrie
pronunțată.
4) Nu se recomand ă utilizarea acestei metode pentru mode le statistice care au mai mult de doi
parametri necunoscu ți, întrucât erorile introduse sunt, adesea, foarte mari.
5) Estimațiile obținute prin metoda momentelor nu prezint ă proprietatea numit ă eficiență. De
aceea, nu se recomand ă utilizarea lor decât în absen ța altor estimatori.
B2. Metoda celor mai mici p ătrate .
Metoda celor mai mici p ătrate const ă în determinarea parametr ilor unei drepte, [76], [82],
[97], [109], [176] , ce trece printre punctele care con țin observa țiile statistice, astfel încât suma
pătratelor abaterilor existente între dreapta astfel trasat ă și mulțimea punctelor s ă fie minim ă
(Principiul Gauss-Legendre):
∑∑
===−+=δ=δn
1in
1i2
i i2
i min )y bxa( . (1.87)
Punând condi ția de minim rela ției (1.87), se ob ține:
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
−+=∂∂δ−+=∂∂δ
∑∑
==
.x)y bxa(2b),y bxa(2a
n
1iii in
1ii i
( 1 . 8 8 )
Prin rezolvarea sistemul de ecua ții (1.88), se ob țin estimațiile aˆ și bˆ ale parametrilor dreptei:
∑∑∑∑ ∑
==== =
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−−
=
n
1i2n
1ii2
in
1in
1in
1ii i ii
x xny x yxn
aˆ ,
∑∑∑∑ ∑∑
==== ==
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−−
=
n
1i2n
1ii2
in
1in
1in
1iii in
1i2
i i
x xnyx x x yn
bˆ . (1.89)
În cazul reparti ției Weibull, scris ă sub forma liniarizat ă (1.76), cu ajutorul rela țiilor de
echivalen ță (1.76) și (1.78), valorile estimate ale parametrilor de forma și de scală rezultă:
⎪⎩⎪⎨⎧
=η=β
−
.eˆ,bˆˆ
bˆaˆ ( 1 . 9 0 )
Capitolul 1
48Modul de aplicare a acestei metode, în cazul reparti ției triparametrice Weibull, este
prezentat în [156].
Observații:
1) Metoda celor mai mici p ătrate este o metod ă intim legat ă de metodele grafice. Utilizarea ei
conduce la înl ăturarea subiectivismului în trasarea dreptei de regresie printre punctele care
conțin observa țiile statistice,[ 82], [161],[153].
2) Estimațiile obținute prin utilizarea acestei meto de sunt nedeplasate, [161].
3) Estimațiile obținute pe baza metodei celor mai mici p ătrate nu sunt estima ții de dispersie
minimă, [161].
4) Trasarea intervalelor de încredere pentru dreapta Weibull determinat ă prin metoda celor mai
mici pătrate, se face utilizând acela și procedeu ca și în cazul metodei re țelelor de
probabilitate, [46], 153], [101].
5) Metoda se poate aplica cu succes la prelucrarea datelor ob ținute din încerc ări:
trunchiate sau cenzurate, [20], [59], [76], [82];
suspendate, [83], [180];
multicenzurate progresiv, [8], [9], [17];
prin metoda liniei defect elor primare, [83], [25].
6) Au fost puse la punct tehni ci de prelucrare, prin metoda celor mai mici p ătrate, a rezultatelor
experimentale ob ținute din popula ții Weibull mixte, [20], [27], [81].
B3. Metoda verosimilit ății maxime
Aceasta metod ă a fost dezvoltat ă de R.A. Fisher, care a introdus conceptul de func ție de
verosimilitate pentru un e șantion de n observa ții independente:
∏
=θ=θn
1ii n 21 ),t(f ),t,…,t,t(L . ( 1 . 9 1 )
Principiul metodei verosimilit ății maxime const ă în determinarea valorilor estimate ale
parametrilor necunoscu ți, θ=θ(θ1,θ2,…,θq), care asigur ă maximul func ției de verosimilitate,
construită pe baza valorilor de e șantionaj, ti.
Pentru comoditatea calcului, [60], [82], se obi șnuiește a se lucra cu logaritmul func ției de
verosimilitate:
( ) ),t(fln…),t(fln),t(fln ,t,…,t,tLlnn 2 1 n 21 θ++θ+θ=θ . (1.92)
Estimațiile de verosimilitate maxim ă reprezint ă, deci, solu țiile următorului sistem de ecua ții:
()
jn
n j1
1 jn 21 ),t(f
),t(f1…),t(f
),t(f1 ,t,…,t,tLln
∂θθ∂⋅θ++∂θθ∂⋅θ=∂θθ ∂, j=1,…,q. (1.93)
În cazul reparti ției biparametrice Weibull, func ția de verosimilitate este de forma:
∑
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
ηηβ=ηβ=β
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
η−−β
=∏n
1iit1n
1ii
nn
n 21 et),,t,…,t,t(L . (1.94)
Logaritmarea rela ției (1.94) conduce la:
Consideratii asupra stadiului actual al cercetarilor privind durabilitatea și fiabilitatea rulmentilor
49() ( ) ∑∑
==β
βη− −β+ηβ−β=ηβn
1in
1ii i n 21 tln1tln 1 lnn lnn ,,t,…,t,tLln . (1.95)
Prin anularea derivatelor par țiale ale lui ( )ηβ,,t,…,t,tLlnn 21 în raport cu β și η și, prin
prelucrări ulterioare, rezult ă:
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
⎨⎧
=η= − +
β
∑∑
∑∑
=β β=
=β=β
.tn1ˆ,0
ttlnt
tlnn1
ˆ1
n
1iˆ
iˆn
1in
1iˆ
in
1iiˆ
i
i
( 1 . 9 6 )
Rezolvarea primei ecua ții din sistemul de ecua ții (1.96) necesit ă utilizarea unor procedee
iterative de calcul, pornind de la o solu ție inițială aproximativ ă.
Utilizarea metodei verosimilit ății maxime, în cazul reparti ției triparametrice Weibull, este
prezentată în [5], [88], [96] și [110]. Metodele de rezolvare a sistemului ecua țiilor de
verosimilitate, în acest caz, sunt prezentate în [14], [15], [163] și [162].
Cazul particular al estimatorilor de verosimilitate maxim ă obținuți pe baza unor
eșantioane de volum n=2 este prezentat în [103].
Observații:
1) Estimatorii de verosimilitate maxim ă sunt consisten ți și asimptotic eficien ți, [60], [82].
2) Estimatorii de verosimilitate maxim ă prezintă proprietatea de suficien ță, [60].
3) Estimatorii de verosimilitate maxim ă sunt asimptotic nedeplasa ți, [82], [60].
4) Variabila aleatorie ()θ−θ⋅ˆn este asimptotic normal ă cu media zero și dispersia, [60],
[90]:
()()1
2
in 12
in,t,…,tLlnE ˆVnlim−
∞→ ⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡
θ∂θ ∂−=θ⋅ .
Utilizarea acestei propriet ăți face posibil ă construirea intervalelor de încredere pentru
valorile estimate ale parametrilor, θi.
În cazul e șantioanelor de volum mic și al eșantioanelor puternic trunchiate sau cenzurate,
utilizarea propriet ăților asimptotice ale estima țiilor de verosimilitate maxim ă, la determinarea
limitelor de încredere nu este recomandat ă, [1], [26], [104], întrucât intervalele de încredere
rezultă foarte mari.
5) În cazul e șantioanelor de volum mic, puternic trunchiate și cenzurate, estima țiile de
verosimilitate maxim ă sunt deplasate, [60], [82].
6) Metoda se poate aplica cu succes la prelucrarea datelor ob ținute din încerc ări:
trunchiate sau cenzurate , [81], [82], [104];
suspendate, [49], [180], [102];
multicenzurate progresiv, [15], [49], [59], [142];
prin metoda liniei defectelor primare, [138], [105], [102].
De exemplu, în cazul e șantioanelor de volum n, cenzurate la nivel r, funcția de
verosimilitate maxim ă este de forma, [5], [102], [104], [106]:
Capitolul 1
50[]rn
rr
1ii n 21 ),t(F1),t(f)!rn(!n),t,…,t,t(L−
=θ−θ−=θ∏ . (1.97)
Particularizând pentru reparti ția Weibull, se ob ține:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−+
η−−β
=∑
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
ηηβ
−=ηβ=β β
β∏n
1ir i t)rn(t1 1r
1ii
rr
r 21 et
)!rn(!n),,t,…,t,t(L . (1.98)
Sistemul ecua țiilor de verosimilitate maxim ă, în acest caz, devine:
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
⎨⎧
⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡−+ =η=
−+−+
− +
β
∑∑
∑∑
=ββ β β=
=ββ β=ββ β
.tlnt)rn(tr1ˆ,0
tlnt)rn(ttlnt)rn(tlnt
tlnr1
ˆ1
n
1iˆ
rˆ
rˆ
iˆr
1in
1iˆ
rˆ
rˆ
ir
1iˆ
rˆ
r iˆ
i
i
(1.99)
7) Au fost puse la punct tehnici de prelucrare, prin metoda verosimilit ății maxime, a
rezultatelor experimentale ob ținute din popula ții amestecate, [102].
În cazul reparti ției Weibull biparametrice, pe baza estimatorilor de verosimilitate maxim ă
obținuți din rezolvarea sistemelor de ecua ții (1.96) sau (1.99), se demonstreaz ă existența unor
variabile aleatorii ()(),ttˆlnˆsi ˆlnˆ,ˆp pβηηβββ independente de volumul e șantionului și de
nivelul de cenzurare, [82], [96] , [104]. Aceste variabile aleatori i permit construirea intervalelor
de încredere, corectarea deplas ărilor și verificarea ipotezelor statistice referitoare la parametrii și
la cuantilele reparti ției Weibull, [104] [69] , [106], [107]. Reparti țiile acestor variabile aleatorii
se obțin prin simulare numeric ă Monte-Carlo, [82], [106], [104].
8) Se recomand ă pentru estimarea parametric ă a modelelor cu unul sau doi parametri
necunoscu ți. În cazul mai multor parametri, apar complica ții care fac ca sistemul de ecua ții
să fie dificil de rezolvat, [82].
9) Pentru anumite combina ții ale valorilor de e șantionaj, sistemul ecua țiilor de verosimilitate
maximă nu poate fi rezolvat, [82].
C. Metode care au la baza teoria statisticilor de ordine
Metodele de estimare dezvoltate având la baza teoria statisticilor de ordine sunt aplicabile
repartițiilor cu forma general ă, [76], [82], [96]:
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
ηγ−⋅η=μδxg1),,x(f , (1.100)
adică repartițiilor caracterizate prin existen ța parametrilor de localizare ( γ) și de scală (η) .
Estimarea parametrilor modelului Weibull presupune utilizarea estimatorilor liniari ai
repartiției valorilor extreme minime (reparti ția Gumbel) și utilizarea rela țiilor de leg ătură,
(1.57), care exist ă între cele dou ă repartiții.
Au fost dezvolta ți mai mul ți estimatori liniari [23], [24] , [76], [96], [113], [146], îns ă, în
teoria fiabilit ății s-au impus doar doi, datorit ă proprietăților lor superioare:
Consideratii asupra stadiului actual al cercetarilor privind durabilitatea și fiabilitatea rulmentilor
51C1. Estimator liniar tip BLUE (Best Linear Unbiased Estimator)
Acest tip de estimator a fost ob ținut, [88], [96], prin rezolvar ea modelului liniar general al
statisticilor de ordine pe baza teoriei Gauss-Markov.
Estimarea parametrilor reparti ției Gumbel se realizeaz ă cu relațiile:
⎪⎩⎪⎨⎧
++ + =δ++ + =μ
.x)r,n,r(c… x)r,n,2(c x)r,n,1(c,x)r,n,r(b… x)r,n,2(b x)r,n,1(b
r 2 1**r 2 1**
(1.101)
Valorile coeficien ților numerici b(i, n, r) și c(i, n, r) care intervin în rela ția (1.101) sunt
date în [82], [96].
Pe baza rela ției (1.57) se pot ob ține estima țiile parametrilor modelului Weibull
biparametric:
⎪⎩⎪⎨⎧
δ=β=ημ
.1,e
** ******
(1.102)
Observații, [82], [96]:
1) Estimatorii ob ținuți cu rela țiile (1.101) au proprietatea c ă variabila aleatorie δδ**
este
independent ă de parametrii reparti ției, depinzând doar de volumul e șantionului și de nivelul
de cenzurare. Reparti ția acestei variabile aleatorii se ob ține prin simulare numeric ă Monte-
Carlo.
2) Acești estimatori nu pot fi utiliza ți, la prelucrarea rezultatelor experimentale, decât în cazul
eșantioanelor cenzurate sau complete.
C2. Estimator liniar de tip BLIE (Best Linear Invariant Estimator)
Acest tip de estimator a fost ob ținut pe baza estimatorului BLUE, din condi ția de
minimizare a erorii medii p ătratice, [82], [96].
Parametrii reparti ției Gumbel se pot estima direct, pe baza statisticilor de ordine, folosind
relațiile:
⎪⎩⎪⎨⎧
++ + =δ++ + =μ
.x)r,r,n(C… x)2,r,n(C x)1,r,n(C,x)r,r,n(A… x)2,r,n(A x)1,r,n(A
r 2 1*r 2 1*
(1.103)
Valorile estimate ale parametrilor reparti ției Weibull se ob țin pe baza rela țiilor (1.57), sub
forma:
⎪⎩⎪⎨⎧
δ=β=ημ
.1,e
* ***
(1.104)
Valorile coeficien ților numerici A(n, r, i) și C(n, r, i) sunt prezentate în [82], [96].
Observații, [82], [96]:
1) Estimatorii ob ținuți cu rela țiile (1.103) au proprietatea c ă variabilele
aleatorii* * *
, δ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛μ−μδδ
Capitolul 1
52și *
p*
pttδ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛− sunt independente de parametrii reparti ției. Acestea depind doar de volumul
eșantionului și de nivelul de cenzurare. Ele se pot u tiliza la construirea intervalelor de
încredere, corectarea deplas ărilor și verificarea ipotezelor statistice referitoare la parametrii
și la cuantilele reparti ției Gumbel și Weibull. Reparti țiile acestor variabil e aleatorii se ob țin
prin simulare numeric ă Monte-Carlo.
3) Acești estimatori nu pot fi utiliza ți decât în cazul datelor ob ținute din încerc ări cenzurate
sau complete.
Studiile comparative efectuate, [63] , [80], [58], [96], privind eficien ța estimatorilor
analizați anterior (în sensul apropierii valo rii estimate punctual de valoarea adev ărată a
parametrului necunoscut), în condi țiile eșantioanelor de volum redus, demonstreaz ă
superioritatea estimatorilor ob ținuți prin metoda verosimilit ății maxime și a celor liniari tip
BLIE.
D.Tehnici bayesiene de estimare parametric ă
Analiza preciziei de estimare a metodelor clasice de estimare demonstreaz ă, [21], că
atingerea unei preciz ii rezonabile a estima țiilor parametrice presupune un volum ridicat de
rezultate experimentale, greu de atins în aplica țiile curente, în care atât e șantionul supus
încercarii, cât și durata acestuia sunt limitate , din considerente economice.
O modalitate de ridicare a preciziei estim ărilor se bazeaz ă pe ideea c ă, înainte de
efectuarea unei încerc ări de fiabilitate a unui produs, exist ă anumite informa ții asupra fiabilit ății
acestuia, informa ții care, dac ă nu ar fi neglijate, ar contribui la caracterizarea sa mai precis ă.
Metodele de estimare care iau în considerare întreaga informa ție disponibil ă asupra
fiabilității unui sistem, i ndiferent dac ă această informație este sau nu de natur ă experimental ă, se
numesc metode bayesiene, [21].
Deși, foarte controversat ă de statisticieni și fiabiliști, [41], [34], [13], o lung ă perioadă de
timp, aceast ă metodă a reușit să se dezvolte și să ocupe un loc important în cadrul actual al
fiabilității și teoriei deciziei, ea fiind adecvat ă în mod deosebit situa țiilor în care volumul de
rezultate experimental e este redus, [158].
La baza acestei metode se afl ă teorema lui Bayes:
()()()()( )∑
== ≠⋅=m
1ii ii i
i H|SPrHPr )SPr(,0)SPr(,)SPr(H|SPr HPrS|HPr . (1.105)
Fie ( Hi)i∈1,…,m o mulțime de cauze (ipoteze), cu probabilit ățile Pr( Hi) cunoscute. Dac ă S
reprezintă un eveniment oarecare și probabilit ățile condiționale Pr( S | Hi) sunt cunoscute, atunci,
[84], [156], probabilitatea evenimentului Hi [Pr( Hi | S)], știind că S s-a realizat, este dat ă de
formula lui Bayes, (1.105).
În relația (1.105) semnifica ția factorilor este urm ătoarea:
• Pr(Hi) – reprezint ă probabilitatea aprioric ă a ipotezei Hi;
• Pr(Hi|S) – reprezint ă probabilitatea a posteriori; știind că evenimentul S s-a produs, Pr( Hi|S)
indică probabilitatea ca acest fapt s ă se datoreze cauzei Hi;
• Pr(S|H i) – reprezint ă probabilitatea condi ționată. Aceasta probabilitate mai este cunoscut ă și
sub denumirea de verosimilitatea e șantionului.
• Pr(S) – reprezint ă probabilitatea marginal ă.
Pentru cazul continuu, teorema lui Bayes poate fi scris ă sub forma, [21], [83], [41], [156]:
Consideratii asupra stadiului actual al cercetarilor privind durabilitatea și fiabilitatea rulmentilor
53
∫∞
∞−θ⋅θ⋅θθ⋅θ=θ
d)|S(h)(g)|S(h)(g)S| Pr( , (1.106)
unde:
g(θ) – reprezint ă funcția densitate de probabilitate aprioric ă a variabilei aleatorii θ;
Pr(θ|S) – reprezint ă repartiția a posteriori a variabilei aleatorii θ;
h(S|θ) – reprezint ă repartiția evenimentului S condiționată de θ;
∫∞
∞−θ⋅θ⋅θ d)|S(h)(g – reprezint ă repartiția marginal ă a evenimentului S.
Procedura utilizat ă pentru ob ținerea estima ției punctuale, Bˆθ, a parametrului θ, presupune
parcurgerea urm ătoarelor etape, [83], [84], [96]:
I. Alegerea modelului reparti ției condiționale (a tipului de proces analizat) – f(t⏐θ).
II. Specificarea complet ă a repartiției apriorice, g(θ).
Succesul utiliz ării tehnicilor de estimare bayesiene depinde de aten ția acordat ă acestei
operații, deoarece reparti ția apriorica înglobeaz ă toate informa țiile disponibile referitoare la
variabila aleatorie, θ, ce urmeaz ă a fi estimat ă.
Prin utilizarea acestei reparti ții, informa ția aprioric ă privind parametrul analizat, care
în mod uzual este de natur ă calitativă și mai rar cantitativ ă, este convertit ă în mărimi
probabiliste cantitative, [31], [34].
Diferența esențială între tehnicile bayesiene și metodele clasice de estimare const ă în
modul de apreciere a parametrilor necunoscu ți ce urmeaz ă a fi estima ți. Dacă în cazul
metodelor clasice de estimare ace știa sunt considera ți constanți cu valoare necunoscut ă, în
cazul metodelor bayesiene este considerat ca racterul stochastic al parametrilor, având
asociată o densitate de probabili tate sub forma reparti ției apriorice, [21], [13], [16].
Au fost puse la punct mai multe metode:
A. Utilizarea reparti țiilor apriorice conjugate bayesian, [8 3], [84], [96], pentru exprimarea
informației disponibile de natur ă subiectiv ă. În acest caz valorile probabilit ăților
aferente sunt interpretate ca un grad de încredere și nu necesit ă fundamentarea lor pe
baza unor informa ții consistente.
Această metodă are avantajul c ă oferă o soluție matematic ă simplă, ușor de
manipulat, deoarece familia reparti țiilor conjugate bayesian conduce, prin aplicarea
teoremei lui Bayes, la acela și tip de reparti ție a posteriori, dar cu parametri diferi ți.
În [158], [111] și [96] sunt pre zentate reparti țiile apriorice conjugate bayesian.
B. Specificarea reparti ției apriorice (chiar și sub forma repartitiilor conjugate bayesian) și
estimarea parametrilor necunoscu ți ai acesteia pe baza unor informa ții obiective. În
acest caz valorile probabilit ăților aferente se utilizeaz ă pentru a converti informa ția
apriorică privind parametrul analizat, într-o exprimare cantitativ ă probabilist ă.
În [18] sunt prezentate reparti țiile apriorice uzuale, în func ție de tipul procesului
analizat. Pentru estimarea parametric ă a repartițiilor apriorice se poate utiliza principiul
entropiei maxime [18], [21], metoda moment elor [72] sau metode le propuse în [83] și
[84].
C. Proceduri bayesiene empirice, [83], [84], [89], [98]. A cestea permit, pe baza unor
informații apriorice consistente, specificarea empiric ă a reparti ției apriorice și
determinarea valorilor numerice ale parametrilor necunoscu ți. Și în acest caz s-a pus la
Capitolul 1
54punct o serie de metode:
1. Reparti ția aprioric ă este estimat ă neparametric, pe baza informa țiilor existente,
[158], [95];
2. Tehnici care nu reclam ă o formă explicită pentru reparti ția aprioric ă, [158], [95];
3. Reparti ția aprioric ă este complet specificat ă, pe baza analizei reparti ției marginale
a informa țiilor obiective disponibile, [123], [16].
III. Determinarea reparti ției condiționate, h(S⏐θ). Aceast ă repartiție reprezint ă densitatea de
probabilitate multidimensional ă a valorilor de e șantionaj și reprezint ă, de fapt, func ția de
verosimilitate a rezultatelor experimentale actuale construit ă, având la baz ă repartiția
condițională, [21], [83], [84]:
()() ()∏
=θ=θ =θm
1ii n 1 tf ,t,…,tL Sh . (1.107)
IV. Aplicarea teoremei lui Bayes și obținerea reparti ției a posteriori, Pr( θ|S), ca rezultat al
modificării informa țiilor disponibile utilizate, la impactul cu informa țiile experimentale
obținute în urma încerc ărilor de fiabilitate.
V. Determinarea estima țiilor punctuale bayesiene ale parametrilor analiza ți.
Această operație presupune adoptarea unei func ții de pierderi care s ă exprime
incertitudinea estim ării, [96], [19].
În tabelul 1.5 sunt prezenta ți estimatorii baye sieni punctuali (Bˆθ) recomanda ți [158],
pentru diferite forme ale func ției de pierderi L(θθ,ˆ
B).
Tabelul 1.5 Funcția de pierderi și estimatorul bayesian corespunz ător
Nr.
crt. Funcția de pierderi utilizat ă:
L(θθ,ˆ
B) Estimatorul bayesian,
Bˆθ, recomandat
1. ()2
Bˆθ−θ – media reparti ției a posteriori – Pr( θ|S)
2. θ−θBˆ – mediana reparti ției a posteriori – Pr( θ|S)
3. ()
22
Bˆ
θθ−θ []
[] S| ES| E
21
−−
θθ
4. ()
θθ−θ2
Bˆ
[] S| E1
1−θ
5. ()2
Bˆ)(ββθ−θθλ
• β=constant
• λ(θ)- reprezint ă o funcție pozitiv ă de θ []
[]ββ
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
θλθ⋅θλ1
S|)(ES| )(E
6. ()[]2
Bln ˆln)( θ−θθλ
• λ(θ)- reprezint ă o funcție pozitiv ă de θ [ ]
[] ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
θλθ⋅θλ
S|)(ES|ln)(Eexp
VI. Determinarea intervalelor baye siene de încredere, corespunz ătoare unui nivel de încredere
1-α. Acestea se construiesc pe baza ecua ției de probabilitate, [83], [84]:
() α−=θ≤θ≤θ 1 PrU L , (1.108)
Consideratii asupra stadiului actual al cercetarilor privind durabilitatea și fiabilitatea rulmentilor
55iar limitele intervalului de încredere ( θL și θU) se calculeaz ă pe baza reparti ției a posteriori
pentru parametrul analizat – g( θ⏐S) = Pr (θ⏐S), utilizând ecua țiile:
()
()
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎨⎧
α=θ⋅θα=θ⋅θ
∫∫
∞
θθ
∞−
.2 dSg,2 dSg
UL
(1.109)
Datorită virtuților sale modelatoare deosebite reparti ția Weibull a f ăcut obiectul a
numeroase studii privind modalit ățile de aplicare a tehnicilor bayesiene și posibilit ățile de
estimare parametric ă în aceste cazuri:
• În [158] se recomand ă pentru cazul parametrului de form ă presupus cunoscut,
utilizarea ca reparti ții apriorice pentru estima rea parametrului de scal ă:
a. repartiția gama, sau
b. repartiția uniform ă
• În [134] se recomand ă pentru cazul parametrului de form ă, presupus cunoscut,
utilizarea ca reparti ție aprioric ă pentru estimarea parametrului de scal ă, repartiția
inversă – gama.
• În [16] se prezint ă o metod ă bayesian ă de analiz ă a reparti ției Weibull, prin
intermediul reparti ției marginale.
• În [30] se reprezint ă o procedur ă bayesian ă empirică de estimare a parametrilor
repartiției Weibull.
• În [45] și [57] se prezint ă o modalitate de estimare bayesian ă a parametrilor reparti ției
Weibull, care utilizeaz ă ca reparti ții apriorice:
– repartiția Weibull invers ă – pentru parametrul de form ă (sau cuantile);
– repartiția uniform ă – pentru parametrul de form ă.
• În [151] și [152] este prezent ă o modalitate de estimare bayesian ă parametric ă a
repartiției Weibull care utilizeaz ă ca reparti ții apriorice:
– repartiția gama – pentru parametrul de scal ă;
– repartiții discrete – pentru parametrul de form ă.
• În [42] și [140] sunt prezenta ți estimatorii bayesieni de tip MELO ( Minimum
Expected LOss) – vezi tabelul 1.5, pentru cazul reparti țiilor apriorice de tip:
– gama – pentru parametrul de scal ă;
– discret – pentru parametrul de form ă.
• În [147], [148] sunt prezenta ți estimatorii bayesieni pentru cazul reparti ției
triparametrice Weibull.
1.4 BAZA MATERIAL Ă UTILIZAT Ă LA TESTAREA
FIABILIT ĂȚII RULMEN ȚILOR
1.4.1 NOȚIUNI GENERALE. CLASIFICAREA METODELOR
Informațiile privind fiabilitatea se ob țin, în principal, prin urm ărirea comport ării
produselor în exploatarea real ă. Pe lângă acestea, informa ții privind fiabilitatea se pot ob ține în
urma încerc ărilor efectuate pe standuri sa u în laboratoare adecvate.
Capitolul 1
56Prin test (încercarea) de fiabilitate, [160], se în țelege un experiment organizat în vederea
determinării indicatorilor de fiabilitate pentru un produs bine precizat.
Pentru desf ășurarea unui astfel de expe riment sunt, în general, necesare, [6], [189], [183]:
1. Un num ăr (n) dinainte stabilit de produse care vor fi supuse încerc ării de fiabilitate.
2. Un plan de opera ții tehnice pentru efectuarea test ării propriu-zise.
O atenție deosebit ă se impune, în special, pentru:
– alegerea parametrilor esen țiali care se consider ă că determin ă fiabilitatea la un
moment dat;
– stabilirea condi țiilor de mediu și solicitare în care se efectueaz ă experimentarea
și care trebuie s ă țină seama de situa țiile concrete în care vor func ționa
produsele în exploatarea real ă.
3. Instruc țiuni privind tipul test ării la fiabilitate adecvat și regulile de calcul, în vederea
estimării parametrilor modelului.
4. Un formular tip pentru identificarea pr odusului, înregistrarea datelor experimentale și
efectuarea calculelor, înregistrarea cronologic ă a observa țiilor și interven țiilor.
5. Standuri de prob ă, aparatur ă de încercare, materiale auxiliare și personalul calificat în
vederea efectu ării testării.
În legătură cu efectuarea încerc ărilor, o problem ă deosebit ă o reprezint ă delimitarea
populației și constituirea e șantionului.
Fig. 1.20 Clasificarea încerc ărilor de fiabilitate
Populația de produse trebuie s ă îndeplineasc ă condiția de omogenitate, în sensul c ă toată
producția este necesar sa fie realizat ă în condiții identice sau similare. Aceast ă condiție asigură Încercări de
fiabilitate a) După scop
b) După procedura de
încercare Complete
Cenzurate
Trunchiate
Prin metoda liniei defectelor primare (Sudden Death Test)
Suspendate (multicenzurate)
Secvențiale
– În condiții reale
– În condiții simulate
– Cu înlocuire
– Fără înlocuire
– Cu înlocuire
– Fără înlocuire
f) După structura
produselor Pe elemente
La nivel de sistem complex e) După natura
produselor Nereparabile
Reparabile d) După volumul
produselor La nivelul lotului
La nivelul e șantionului c) După regimul de
lucru Normale
Accelerate
Graduale Cu rol de diagnoz ă
Pentru determinarea indicatorilor de fiabilitate
Pentru controlul indicatorilor de fiabilitate
Pentru determinarea fiabilit ății operaționale
Comparative
Consideratii asupra stadiului actual al cercetarilor privind durabilitatea și fiabilitatea rulmentilor
57posibilitatea extinderii, la întreaga popula ție, a rezultatelor ob ținute din încerc ările pe
eșantioane. De asemenea, trebuie acordat ă o atenție deosebit ă alcătuirii eșantionului, în vederea
reducerii la minim a erorilor de e șantionare și asigurarea, astfel, a reprezentativit ății
eșantionului.
Încercările de fiabilitate se pot clasifica, luând în considerare mai multe criterii, [51], [97],
[109]. Principalele criterii și tipuri de încerc ări sunt prezentate în figura 1.20.
1.4.2 ÎNCERC ĂRI DE FIABILITATE SPECIFICE FABRICA ȚIEI
DE RULMEN ȚI
Analiza încerc ărilor de fiabilitate specifice fabrica ției de rulmen ți se va face prin prisma
celor 6 criterii prezentate în figura 1.20:
n După scopul încerc ării, în cadrul fabrica ției de rulmen ți se realizeaz ă, [4], [51],
[127], [168], [183]:
1.a Încercări cu rol de diagnoz ă, care urm ăresc analiza durabilit ății și modurilor de
deteriorare prin eviden țierea principalelor cauze ale ie șirii din uz a rulmen ților, cu scopul
de ameliorare a acestora sau de eliminare a unora din ele.
1.b Încercări pentru determinarea in dicatorilor de fiabilitate. Aceste încerc ări se
organizeaz ă ca suport pentru dezvoltarea teor iilor privind oboseala de contact.
1.c Încercări pentru controlul indicatorilor de fiabilitate a rulmen ților. Aceasta încercare se
mai nume ște și încercare de tip și se repetă periodic, la intervale bine precizate de timp.
Prin acest tip de încercare se verific ă dacă durabilitatea nominal ă a rulmen ților se
menține la nivelurile cerute prin normative. Rolul lor este de efectuare a auditului calit ății
producției prin aprecierea global ă a calității materialelor utilizate și a procedeelor
tehnologice aplicate.
1.d Încercări pentru determ inarea fiabilit ății operaționale. Prin acest tip de încercare se
urmărește determinarea fiabilit ății în condi ții reale de func ționare, pe baza unor date
obținute din exploatare, nu re zultate de laborator. De și presupun un cadru organizatoric
deosebit, pentru prelevarea da telor, acest procedeu prezint ă și o serie de avantaje, în
primul rând validarea metodelor și metodologiilor de determinare a fiabilit ății
previzionale.
1.e Încercări comparative . Acest tip de încercare se realizeaz ă cu scopul aprecierii
superiorit ății unei anumite modific ări constructive, tehnologice sa u de material, în raport
cu varianta standard, sau pentru realizarea de compara ții cu produse similare competitive.
Modul de prelucrare statistic ă a rezultatelor experimentale și de luare a deciziei este
prezentat în [25], [68], [ 82], [104], [105], [106].
o După procedura de încercare , în cadrul fabrica ției de rulmen ți se utilizeaz ă:
2.a Încercări complete , [109], [97].
Se consider ă încercări complete acele încerc ări efectuate pân ă la defectarea tuturor
celor n produse supuse încerc ării. Acest tip de încercare s- a practicat doar la începuturile
fabricației de rulmen ți, ulterior renun țându-se la ele, ținând cont de durata foarte mare a
încercării, [4], [68].
Capitolul 1
58Caracteristici :
• Numărul total de elemente testate este: N=n;
• Timpul de func ționare cumulat al celor n elemente supuse încerc ării:
∑
=Σ=n
1iit T ; (1.110)
• Variabilele aleatorii ale încerc ării sunt: TΣ și tn.
2.b Încercări cenzurate, [97], [109].
O încercare se consider ă cenzurată la nivelul r, dacă se încheie la momentul tr, de
apariție a celei de-a r-a defectări (numărul de deterior ări r fiind stabilit anterior începerii
încercărilor). Se deosebesc dou ă categorii de încerc ări cenzurate:
încercări cenzurate f ără înlocuire (fig. 1.21a ):
Fig. 1.21 Schema desf ășurării încercărilor cenzurate:
a) încercări cenzurate f ără înlocuire;
b) încercări cenzurate cu înlocuire.
Caracteristici :
• Numărul total de elemente testate este: N=n;
• Timpul de func ționare cumulat a elementelor supuse încerc ării:
∑−
=Σ +−+=1r
1ir i t)1rn(t T ; (1.111)
• Variabilele aleatorii ale încerc ării sunt: TΣ și tr.
încercări cenzurate cu înlocuire (fig. 1.21b ):
Caracteristici :
• Numărul total de elemente testate este: N=n+r-1;
• Timpul de func ționare cumulat a elementelor supuse încerc ării:
rtn T⋅=Σ ; (1.112)
• Variabilele aleatorii ale încerc ării sunt: TΣ și tr. n t1
t2
t3
t4
tr-2
tr-1
tr r n
r-1
n-r
tr t
a) tr t
b) n-r t1
t2
t3
t4
tr-2
tr-1
trr Element înlocuit Element montat ini țial
Deteriorare
Consideratii asupra stadiului actual al cercetarilor privind durabilitatea și fiabilitatea rulmentilor
59În cadrul fabrica ției de rulmen ți se utilizeaz ă încercările cenzurate f ără înlocuire,
[4], [25], [68], [168], [183].
2.c Încercări trunchiate, [97], [109].
La acest test de fiabilitate încercarea se încheie dup ă parcurgerea unei durate tc,
stabilită anterior. Ca și în cazul precedent încerc ările trunchiate pot fi:
încercări trunchiate f ără înlocuire (fig. 1.22a ):
Caracteristici :
• Numărul total de elemente testate este: N=n;
• Timpul de func ționare cumulat a elementelor supuse încerc ării:
∑
=Σ −+=r
1ic i t)rn(t T , (1.113)
unde r reprezintă numărul de defect ări care se produc în intervalul de timp [0, tc];
• Variabilele aleatorii ale încerc ării sunt: TΣ și r.
Fig. 1.22 Schema desf ășurării încercărilor trunchiate:
a) încercări trunchiate f ără înlocuire;
b) încercări trunchiate cu înlocuire.
încercări trunchiate cu înlocuire (fig. 1.22b ):
Caracteristici :
• Numărul total de elemente testate este: N=n+r;
• Timpul de func ționare cumulat a elementelor supuse încerc ării:
ctn T⋅=Σ ; (1.114)
• Variabilele aleatorii ale încerc ării sunt: N și r.
În cadrul fabrica ției de rulmen ți încercarea trunchiat ă fără înlocuire se utilizeaz ă mai
rar, în special, la controlul indicato rilor de fiabilitate, [68], [168], [183]. n t1
t2
t3
t4
tr-1
tr r n
r-1
n-r
tc t
a) tc t
b) n-r t1
t2
t3
t4
tr-1
tr r Element înlocuit Element montat ini țial
Deteriorare
Capitolul 1
602.d Încercări prin metoda liniei defectelor primare (Sudden Death Test), [25], [68], [138].
Metoda const ă în gruparea la întâmplare a celor n produse supuse test ării, în l
submulțimi și considerarea fiec ărei submul țimi ca un ansamblu de m ( n= l⋅m )
elemente în serie (fig. 1.23):
Fig. 1.23 Schema desf ășurării încercărilor efectuate prin metoda
liniei defectelor primare
După o astfel de grupare , testarea continu ă până la apariția și înregistrarea timpului la care
s-a defectat primul element din fiecare ansamblu în parte, restul de m-1 elemente se suspend ă.
Timpii de deteriorare înregistra ți ts1, ts2,…,lst reprezint ă prima statistic ă de ordine, în cazul unui
eșantion de volum m, prelevat dintr-o popula ție Weibull. Dac ă cele n elemente se preleveaz ă
dintr-o popula ție Weibull având F(t) dat de rela ția (1.23), atunci timpii de deteriorare
înregistra ți, corespunz ători liniei defectelor primare, au func ția de reparti ție, [105]:
[]β
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
η⋅−β−
−=−−=1t
s e1 )t(F11)t(Fm m. (1.115)
Deci, dac ă variabila aleatorie T este repartizat ă W(t, β, η), atunci prima statistic ă de ordine
Ts corespunz ătoare unui e șantion de volum m este repartizat ă W(ts , β, m-1/βη).
Cu timpii de deteriorare astfel înregistra ți ts1, ts2,…,lst, se poate trasa pe o re țea de
probabilitate Weibull linia defectelor primare (fig. 1.24).
Între parametrii popula ției și cei ai liniei defectelor primare exist ă relațiile, [105]:
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
⋅=η⋅=ηβ=β
β−
.t t,,
p sp1
ss
β1-mm (1.116)
2 1 ts1
ts2
3
ts3
llst
ts1 t s2 t s3 lst t n
1
2
..
.
.m 1
2
..
. .
m
1
2
..
.
.m
1
2
..
..
m ⎭⎬⎫Elemente suspendate
Element deteriorat
Consideratii asupra stadiului actual al cercetarilor privind durabilitatea și fiabilitatea rulmentilor
61
Fig. 1.24 Estimarea grafic ă a liniei defectelor primare
Relațiile (1.116) se utilizeaz ă pentru calculul estima țiilor parametrilor popula ției (β, η, tp),
pe baza valorilor estimate ale parame trilor liniei defectelor primare ( βs, ηs, tsp).
În cazul utiliz ării estimatorilor grafici, pro cedura de prelucrare prezint ă o serie de
particularit ăți și constă în:
1. Estimarea grafic ă a liniei defectelor primare, pe baza timpilor de deteriorare ts1, ts2,
…,lst înregistra ți – vezi punctul 1.3.3.2 ;
2. Estimarea grafic ă a dreptei popula ției. Aceasta reprezint ă (fig. 1.24) o dreapt ă paralelă
cu linia defectelor primare, trasat a, [25], [83], prin punctul de abscis ă corespunz ătoare
medianei dreptei defectelor primare și de ordonat ă Fm(ts1).
Pentru estimarea grafic ă cu interval de încredere, procedura de prelucrare a rezultatelor
experimentale const ă în:
1. Trasarea grafic ă a limitelor de încredere pentru dreapta defectelor primare (vezi
punctul 1.3.3.2 );
2. Translatarea pe vertical ă a acestor curbe cu cantitatea Δ.
În [105] se demonstreaz ă că în cazul estimatorilor de verosimilitate maxim ă, aplicați
timpilor de deteriorare ob ținuți prin metoda liniei defectelor primare, se pot stabili urm ătoarele
variabile aleatorii, independe nte de parametrii popula ției:
() ()p sp s s s s ttˆlnˆ, ˆlnˆ, ˆ ⋅βηη⋅βββ . (1.117)
Acest procedeu reprezint ă o metod ă alternativ ă utilizată la încerc ările de fiabilitate a
rulmenților, [25], [28], [4], [105], [62], [138], [126], care asigur ă o împrăștiere mai mic ă a
valorilor estimate ale indicatorilor de fiabilitate. Acest lucru se poate demonstra prin expresia raportului dispersiilor liniei defectelor primare și a popula ției, [25]:
β−=1 s
)T(V)T(Vm . (1.118)
Reprezentând grafic rela ția (1.118), se observ ă, vezi figura 1.25, că pentru valorile uzuale ale
parametrului de form ă, specifice func ționării rulmen ților ( 0,8≤ β≤ 2,8 ) și m≥ 1, împrăștierea Dreapta populatiei
Δ
ββ)t(F11lnln−
0,50
)t(F1sm Linia defectelor primare
sMet t
Capitolul 1
62estimatorilor astfel ob ținuți este mai mic ă decât a celor ob ținuți prin metodele clasice de
încercare, ( m=1).
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.500.51
Parametrul de forma, Raportul dispersiilor, [V(Ts)/V(T)]1.00.8 2.8
Fig. 1.25 Variația raportului dintre dispersiil e liniei defectelor primare și populației,
în funcție de m și β
p După regimul de lucru , în cazul testelor de fiabilitate a rulmen ților se utilizeaz ă
încercările accelerate. Pentru scurtarea duratei încerc ărilor se procedeaz ă la creșterea
constrângerilor, în raport cu condi țiile de exploatare, [51], [68], [183].
Factorul de accelerare se determin ă cu relația:
p
h10PC
600000001L ⎟⎠⎞⎜⎝⎛
⋅=n, (1.119)
unde:
n = turația de încercare, [rot/min].
q După volumul produselor , încercările specifice fabrica ției de rulmen ți sunt încerc ări
efectuate pe e șantioane de volum redus, [25], [125];
r După natura produselor , rulmenții se consider ă elemente nereparabile, [51], [117].
s După structura produselor , încercările de fiabilitate specifice fabrica ției de rulmen ți
pot fi efectuate, [51], [139]:
pe epruvete de material, pentru analiz a modului de comportare a materialului la oboseala de
contact;
pe elemente (corpuri de rostogolire), pent ru studiul atât al durabilit ății sau testarea
capacităților de ungere a unor lubrifian ți, cât și pentru cercetarea experimental ă a unor
aspecte legate de pierderile prin frecare și modul cum acestea sunt influen țate de material,
tratament termic, forma constructiv ă, lubrifiant și modul de lubrifiere, vitez ă, sarcină etc.;
pe rulmenți.
1.4.3 METODOLOGIA ÎNCERC ĂRILOR LA DURABILITATE/FIABILITATE
A RULMEN ȚILOR
După cum s-a men ționat anterior, încerc ările la durabilitate/fiabilitate efectuate asupra
rulmenților oferă o multitudine de informa ții referitoare la calitatea materialelor de baz ă și
auxiliare, la proiectarea constructiv ă și tehnologic ă, la metodele de prelucrare utilizate, la
precizia de execu ție și, bineînțeles, la durabilitatea lor. m=2
m=3 m=4
m=5 m=
β
Consideratii asupra stadiului actual al cercetarilor privind durabilitatea și fiabilitatea rulmentilor
63De aceea metodologia de testare reprezint ă un proces complex (fig. 1.26) care se
desfășoară în mai multe etape, [62], [68], [168], [183]:
¾ prelevarea lotului de rulmen ți;
¾ aspectarea vizual ă;
¾ măsurarea și analiza elementelor geometriei exterioare (macrogeometria rulmen ților);
¾ măsurarea și analiza nivelului de vibra ții;
¾ măsurarea și analiza elementelor geometriei interioare și a calității suprafe țelor portante
(microgeometria rulmen ților);
¾ controlul chimico-metalografic și fizico-mecanic al materialului din care sunt executa ți
rulmenții;
¾ încercările la durabilitate/fia bilitate propriu-zise, pe standurile de încerc ări;
¾ prelucrarea statistic ă a rezultatelor experimentale ob ținute;
¾ analiza chimico-metalografic ă post-mortem a rulmen ților deteriora ți;
¾ elaborarea Referatului de experimentare.
Fig. 1.26 Metodologia de testare a rulmen ților la durabilitate/fiabilitate
Dintre aceste etape, cea mai important ă o reprezint ă încercarea propriu-zis ă la
durabilitate/fiabilitate pe standur ile de încercare, deoarece valo rile indicatorilor de fiabilitate
obținuți prin prelucrarea statistic ă a rezultatelor experimentale se extrapoleaz ă la întreaga
populație.
Din acest motiv, parametrii ce caracterizeaz ă încercarea trebuie ale și foarte atent, și
anume:
1. Volumul e șantionului (n) și numărul de elemente deteri orate în timpul încerc ării (r).
Stabilirea acestor elemente s-a f ăcut din considerente statistice, pe baza inferen țelor
statistice, [197], sau prin simulare numeric ă, [4], [7]. Astfel diver și producători utilizeaz ă
diferite planuri de încercare:
țările produc ătoare de rulmen ți din fostul OCIR, [168], [197], [183], utilizeaz ă eșantioane de
volum, n=20:
Prelevarea
lotului
de
rulmenți Aspectare vizual ă
+
măsurarea si analiza
elementelor
geometriei
exterioare
(macrogeometria
rulmenților) Măsurarea
și
analiza nivelului
de
vibrații emis
de
rulmenți
Măsurarea și
analiza
elementelor
geometriei
interioare
(microgeometrie)
Rulmenți de
rezervă
(rulmenți
martor) Încercarile de
durabilitate pe
standurile de
încercări și
prelucrarea
statistică a
rezultatelor
experimentale Analiza
chimico-
metalografic ă
post-mortem
a celor r rulmenți
deteriorați
în
timpul încercării Elaborarea
si
eliberarea
Referatului
de
experimentare
Controlul
chimico-metalografic
și
fizico-mecanic
al loturilor de
rulmenți
Capitolul 1
64• cenzurate la nivelul r=8÷10;
• trunchiate la durata: tc=250 %⋅L10h, [183], sau
• trunchiate la durata: tc=300 %⋅L10h, [168], pentru rulmen ții cu bile;
• trunchiate la durata: tc=500 %⋅L10h, [168], pentru rulmen ții cu role;
firma Timken utilizeaz ă n=8÷24 rulmen ți, în funcție de scopul încerc ării, [126], [127];
firma NTN utilizeaz ă n=12 rulmen ți, [126], [127];
firma SKF, [68], [4], realiza încerc ările de fiabilitate a rulmen ților pe eșantioane de volum
n=30, utilizând procedura încerc ărilor complete. În prezent, [4], [68], [62], se utilizeaz ă
eșantioane de volum n=60, supuse încerc ărilor:
• cenzurate, la nivelul r=8÷12;
• prin metoda liniei de fectelor primare cu m=4 și l=15;
• trunchiate la durata: tc=300 %⋅L10h.
2. Regimul de func ționare a rulmen ților pe standuri.
Există două modalități de accelerare a încerc ărilor în cazul rulmen ților, [68]:
a) prin cre șterea tura ției de încercare . Se recomand ă, [168], [183]:
n ≤ ( 0,4 ÷ 0,6 )⋅nlim, unde:
– nlim – reprezint ă valoarea de catalog a tura ției limită, [rot/min].
Valoarea tura ției de încercare este limitat ă de efectele dinamice care apar
(modificarea jocului, modificarea unghiului de contact, cre șterea semnificativ ă a forțelor
centrifuge care ac ționează asupra corpurilor de rostogolire, modificarea dimensiunilor
peliculei de lubrifiant și a distribu ției sarcinilor în cazul contactelor, înc ărcarea neuniform ă a
corpurilor de rostogolire, cre șterea vitezei de alunecare di ntre corpurile de rostogolire și căile
de rulare etc.) și care nu au fost considerate în calculul sarcinii dinamice de baz ă.
b) prin cre șterea solicit ărilor aplicate asupra rulmen ților testați.
Valorile sarcinii dinamice echivalente care solicit ă rulmenții în timpul încerc ării sunt
limitate de modul de comportare a materialului la oboseala de contact, [86]. Cele trei stadii
sub care se prezint ă austenita rezidual ă, în funcție de intensitatea solicit ării sunt, [86]:
– stadiul I: – echivalentul a ∼1000 de cicluri de solicitare. În aceast ă fază (de adaptare)
austenita se descompune par țial .
– stadiul II – faza de stabilitate a austenitei reziduale. În func ție de mărimea solicit ării,
procentul de austenit ă reziduală se menține constant un num ăr de cicluri de
solicitare.
– stadiul III – faza de in stabilitate structural ă. Austenita rezidual ă se transform ă rapid,
generând dezvoltarea tensiunilor remanente și anizotropia materialului.
Valoarea maxim ă recomandat ă, [86], pentru tensiunea hertzian ă în cazul contactului
punctiform este σmax= 3300 MPa. Astfel se recomand ă, [68], [125], [126], [183]:
• pentru încercarea rulmen ților cu bile: C/P ≤ 3,0;
• pentru rulmen ții oscilanți cu bile: C/P ≤ 8,0;
• pentru rulmen ții cu role: C/P ≤ 4,5.
In [141] este prezentat ă o serie de rela ții pentru estimarea aproximativ ă a tensiunii
hertziene maxime, pentru diferite tipuri de rulmen ți.
3. Metoda de estimare utilizat ă.
Pentru prelucrarea statistic ă a rezultatelor experimentale ob ținute în urma încerc ărilor
de fiabilitate a rulmen ților și estimarea valorilor indicatorilor de fiabilitate se utilizeaz ă:
Consideratii asupra stadiului actual al cercetarilor privind durabilitatea și fiabilitatea rulmentilor
65a) Metodele grafice de estimare, [51], [25] , [68], [139]. Acest ea sunt recomandate
doar pentru a furniza rapid informa ții consistente asupra datelor experimentale.
b) Metoda celor mai mici p ătrate, [25], [51], [139].
c) Metoda verosimilit ății maxime, aplicat ă încercărilor:
• cenzurate, [25], [4], [51], [68], [7], [139];
• prin metoda liniei defectelor primare, [4], [25], [7], [68].
d) Estimatorii liniari, aplica ți încercărilor de tip cenzurat, [25].
1.4.4 ECHIPAMENTE ȘI INSTALA ȚII UTILIZATE LA
TESTAREA RULMEN ȚILOR
Pentru aprecierea comport ării la oboseala de contact a unor materiale de rulmen ți, în locul
unor încerc ări realizate pe loturi de rulmen ți se utilizeaz ă încercări efectuate pe elemente de
rulmenți sau pe loturi de epruvete realizate cu forme dintre cele mai simple.
În figura 1.27a,…,e sunt prezentate schematic principa lele tipuri de standuri, [51], [92],
[143], utilizate pentru încercat ep ruvete la oboseala de contact.
Fig. 1.27 Standuri pentru încercat epr uvete la oboseala de contact
Încercările obișnuite la durabilitate/fiabilitate ale rulmen ților, [51], [68], [62], [168], [40],
[91], [141], sunt realizate pe tipurile de standuri prezentate schematic în figura 1.28a,…,i.
Aceste standuri trebuie pr oiectate astfel încât s ă îndeplineasc ă următoarele condi ții, [139],
[125], [127]:
– să asigure condi ții identice de func ționare pentru to ți rulmenții de încercat; a) b) c)
d) e) F F F
F
Fn n
n n n
E – epruvet ă;
R – rolă. E
E
E E
E RR
RR E
Capitolul 1
66d d
Pa
Pr Pr 2Pr n A A T
Reglare
joc Pr Pr2Pr
n A A T
a)
Pr Pr 2Pr
nT T TT
Pr Pr2Pr
n TT A A
Pr Pr2Pr
nTT A A
Reglare
joc axial
Pr Pr 2Pr
nT T TT b)
c) d)
e) f)
Pa nT T TT
g)Pa
n TT
h)
Pr Pr n T TAA
i) Pr PrPa PaT – rulment de testat;
A – rulment ajutator;
Pr – sarcina radiala de incarcare;
Pa – sarcina axiala de incarcare;
n – turatia de incercare.
Fig. 1.28 Standuri pentru încerca-
rea la durabilitate a rulmenților
Consideratii asupra stadiului actual al cercetarilor privind durabilitatea și fiabilitatea rulmentilor
67- să reproduc ă condițiile de func ționare a rulmen ților în conformitate cu ipotezele de
calcul pentru sarcina dinamic ă de bază (turații moderate, înc ărcare cu sarcin ă pur radial ă/axială,
să asigure o lubrifiere corespunz ătoare cu lubrifian ți recomanda ți, necontamina ți sau degrada ți
chimic și mecanic, s ă asigure o r ăcire corespunz ătoare, inelul interior rotitor și inelul exterior
fix) și să permită montarea și demontarea u șoară a rulmen ților;
– să fie prev ăzute cu aparatur ă de măsurare a temperaturii, vibra țiilor, pentru a putea
depista momentul deterior ării.
Se pot imagina și mașini care încearc ă mai mulți rulmenți, la care, îns ă, apar dificult ăți, în
ceea ce prive ște realizarea condi țiilor de înc ărcare și funcționare identic ă pentru fiecare element
încercat, [139].
Față de standurile prezentate ante rior, în prezent, se observ ă ca tendin ță generală în
activitatea de încercat rulmen ți utilizarea unor standuri de foarte mare complexitate, [62], [51],
care permit efectuarea încerc ărilor în condi ții particulare. Acest fapt, se datoreaz ă, în primul
rând, diversific ării și orientării fabrica ției de rulmen ți spre execu ția rulmen ților la care regimul
de exploatare prezint ă particularit ăți importante.
1.5 CONCLUZII ASUPRA STADIULUI ACTUAL AL
CERCET ĂRILOR PRIVIND OPTIMIZAREA
ÎNCERC ĂRILOR DE DURABILITATE/FIABILITATE A
RULMEN ȚILOR
Trecerea în revist ă a principalelor probleme ale fiabilit ății rulmen ților și evaluarea
stadiului actual al cercet ărilor privind durabilitatea și fiabilitatea a rulmen ților permit formularea
următoarelor concluzii:
9 sub acțiunea tensiunilor variabile și în prezen ța defectelor de materi al sau de prelucrare,
la elementele de rulmen ți aflate în contact de ro stogolire cu alunecare pot ap ărea
diverse tipologii specifice de deteriorare. Dintre acestea oboseala de contact reprezint ă
singurul mecanism de deteriorare ce poate fi rezonabil modelat;
9 mecanismul de apari ție și dezvoltare a fenomenului deterior ării prin oboseala de
contact este, în prezent, înc ă insuficient cunoscut, st ăpânit și modelat, fapt demonstrat
de numeroasele cercet ări teoretice și experimentale aflate în curs de desf ășurare;
9 modelul de calcul al durabilit ății rulmenților, unanim acceptat și standardizat la nivel
internațional, a fost realizat în anii '50. Acest model consider ă că deteriorarea prin
oboseala de contact are ca punct de plecare z ona de material solic itat de sub suprafa ța
de contact și nu ține cont de modul de lubrifiere sau de calitatea lubrifiantului. Pentru a
menține concordan ța dintre valorile calculate și rezultatele experimentale ob ținute
privind durabilitatea rulmen ților ISO a propus adecvarea modelului de calcul al
durabilității într-un mod empiric, prin introducerea unor coeficien ți care țin seama de
principalii factorii de influen ță (material, lubrifiere, fiabilitate);
9 celelalte mecanisme de deteriorare care devin efective în timpul func ționării
rulmenților (în special cele spontan e) nu pot fi anticipate și nici modelate convenabil.
Capitolul 1
68De aceea la proiectarea lag ărelor cu rulmen ți se utilizeaz ă o serie de recomand ări,
specificații adecvate și condiții limită foarte severe;
9 a fost pus ă la punct o serie de încerc ări de fiabilitate (metoda liniei defectelor primare),
mult mai convenabile din punct de vedere al opera țiilor de montare și demontare a
rulmenților pe stand și al preciziei rezultatelor experimentale ob ținute;
9 dezvoltarea teoriei stat isticilor de ordine a permis pune rea la punct a unor noi metode
de estimare parametric ă în cazul reparti ției Weibull – metoda estimatorilor liniari;
9 cercetările comparative efectuate privind precizia de ob ținere a estimatorilor prelua ți
din statistica clasic ă, față de cei ob ținuți pe baza teoriei statisticilor de ordine,
demonstreaz ă că estimatorii liniari posed ă propriet ăți superioare estimatorilor de
verosimilitate maxim ă;
9 după o lungă perioadă în care au fost puternic contestate , în ultimii 25 de ani, în studiile
de fiabilitate, s-au impus metodele bayesiene de es timare parametric ă, în primul rând
datorită proprietăților lor superioare;
9 domeniile diverse de utilizare a rulmen ților, precum și durabilit ățile mari realizate, fac
ca în cazul rulmen ților estimarea indicatorilor de fiabilitate s ă se realizeze în special pe
baza încerc ărilor de laborator. Urm ărirea în exploatare a durabilit ății rulmen ților este
foarte greoaie și, în general, nu conduce eficient la scopul propus;
9 organizarea și desfășurarea activit ăților legate de efectuarea încerc ărilor de
durabilitate/fiab ilitate necesit ă dotare adecvat ă, personal specializat și timp îndelungat,
cu importante cheltuieli de energie, munc ă, materiale și elemente testate;
9 studiile efectuate prin simulare numeric ă, în vederea cre șterii preciziei de estimare, au
vizat, în primul rând, metoda verosimilit ății maxime și determinarea planului de
încercări, prin cre șterea volumului e șantionului.
Ținând cont de toat ă această problematic ă abordată în prezent în cadrul cercet ărilor
privind fiabilitatea rulmen ților, în cazul optimiz ării încercărilor la durabilitate/fiabilitate pot fi
reținute urm ătoarele domenii prioritare de cercetare:
elaborarea unor algoritmi pentru calculul fiabilit ății previzionale a lag ărelor cu
rulmenți;
utilizarea modelului reparti ției triparametrice Weibull la studiul fiabilit ății rulmenților;
optimizarea încerc ărilor la durabilitate/fiabilitate a rulmen ților prin stabilirea unor
metode de testare mult mai eficiente (încerc ări efectuate prin meto da liniei defectelor
primare) și utilizarea unor metode de estimare performante (estimatori liniari,
estimatori bayesieni etc.);
stabilirea unor criterii de optimizare pe baza c ărora se pot determina elementele ce
caracterizeaz ă testările (tipul încerc ării efectuate, volumul de e șantion supus încerc ării,
numărul de elemente deteriorate în timpul experiment ărilor etc.) și metoda de estimare
utilizată.
69
Capitolul
2
OBIECTIVELE CERCET ĂRII
2.1 TENDIN ȚELE ACTUALE ALE CERCET ĂRII ÎN
DOMENIUL OPTIMIZ ĂRII ÎNCERC ĂRILOR DE
DURABILITATE/FIABILITATE A RULMEN ȚILOR
Organizarea și desfășurarea activit ății legate de testarea rulmen ților are ca scop:
desfășurarea auditului calit ății producției;
realizarea de compara ții cu produsele similare competitive;
analiza durabilit ății și a modurilor de deteriorare a rulmen ților;
analiza modului în care lubrif ierea, tipul de lubrifiant și condițiile de lubrifiere influen țează
fiabilitatea și durabilitatea rulmen ților;
determinarea modului în care reproiectarea produselor, utilizarea unor noi materiale,
procedee tehnologice sau trat amente termice influen țează durabilitatea rulmen ților;
validarea teoriilor dezvoltate pent ru modelarea fenomenului de oboseal ă la contact;
verificarea modului în car e noile produse se men țin la nivelurile cerute prin normative și
specificații tehnice.
În raport cu consecin țele economice ale aces tor obiective, tendin țele actuale de dezvoltare
în domeniul încerc ărilor de fiabilitate se manifest ă în următoarele direc ții:
• alegerea regimului încerc ării de durabilitate/fiabilitate și a condi țiilor care simuleaz ă
principalii parametri ai mediului opera țional;
• dezvoltarea metodologiilor de cal cul al valorilor de referin ță pe baza c ărora se iau deciziile
privind calitatea e șantionului testat;
• dezvoltarea și modernizarea standurilor de testare, în func ție de scopul urm ărit;
• alegerea tipului de încerc ări, a elementelor încerc ării (volumul de e șantion, num ărul de
căderi înregistrate și a metodei de estimare utilizate).
2.2 DEFINIREA ȘI NECESITATEA DELIMIT ĂRII
DOMENIULUI DE CERCETARE
Optimizarea încerc ărilor de durabilitate/fiabilitate a rulmen ților formeaz ă un domeniu vast,
complex și pluridisciplinar, dup ă cum rezult ă din prezentarea de la punctul 2.1. Din acest motiv,
apare necesitatea definirii domeniului de cercetare abordat în lucrare.
OBIECTIVELE CERCET ĂRII
70Teza de doctorat î și propune abordarea teoretic ă și experimental ă a aspectelor legate de
prelucrarea statistic ă a rezultatelor experimentale, de alegerea tipului de încerc ări și de stabilirea
numărului de elemente distruse în timpul încerc ării, astfel încât precizia estim ării indicatorilor
de fiabilitate s ă rezulte maxim ă în condițiile unor cheltuieli minime.
2.3 OBIECTIVELE CERCET ĂRII
Evaluarea stadiului actual al cercet ării din domeniul optimiz ării încerc ărilor de
durabilitate/fiabilitate a rulmen ților, pe baza bibliografiei c onsultate, permite formularea
următoarelor teme principale de studiu, care constituie obiectivele cercet ării:
¾ determinarea fiabilit ății previzionale a rulmen ților;
¾ utilizarea cazului general al reparti ției Weibull (modelul Weibull triparametric), ca
model statistic al deterior ărilor prin oboseal ă de contact, la esti marea indicatorilor de
fiabilitate a rulmen ților;
¾ extinderea utiliz ării estimatorilor liniari de tip BLIE (Best Linear Invariant Estimator)
în cazul încerc ărilor efectuate prin metoda liniei defectelor primare;
¾ utilizarea estimatorilor de verosimilitate maxim ă în cazul încerc ărilor trunchiate,
precum și realizarea inferen țelor statistice în acest caz;
¾ stabilirea unor criterii de optimizare care pe rmit alegerea: metodei optime de estimare a
indicatorilor de fiabilitate, exprimarea incertitudinii de estimare, stabilirea efectivului
de eșantion și a tipului de încercare la durabilitate a rulmen ților;
¾ proiectarea optimizat ă a încerc ărilor la durabilitate/fiabilitate a rulmen ților pe baza
unor valori impuse ale preciziei de estimare a durabilit ății nominale și a parametrilor de
formă; a dotării existente și în condi țiile obținerii valorii minime a costului încerc ării;
¾ utilizarea tehnicilor bayesiene de estimare a indicatorilor de fiabilitate a rulmen ților.
71
Capitolul
3
STUDII PRIVIND ESTIMAREA
INDICATORILOR ȘI OPTIMIZAREA
ÎNCERC ĂRILOR DE FIABILITATE
3.1 FIABILITATEA PREVIZIONAL Ă A RULMEN ȚILOR
Scopul utiliz ării modelelor fiabiliste și a metodelor statistice la analiza rezultatelor
experimentale, ob ținute prin observarea tipurilor de defecte și a fenomenelor de deteriorare, îl
constituie evaluarea fiabilit ății previzionale a produselor. În consecin ță, aprecierea de ansamblu
a duratei de via ță a produselor trebuie s ă permită considerarea global ă a posibilit ăților de
defectare, prin îmbinarea realist ă a cauzelor accidentale de deteriorare cu cele controlate,
determinate.
Imaginea trebuie completat ă cu aspectul ei statistic, [52]. Este de la sine în țeles că
durabilitățile previzionale calculate trebuie considerate ca m ărimi statice cu reparti ții rezultante,
având în vedere c ă toate condi țiile de func ționare (ciclu, precizie, temperatur ă, mediu etc.),
solicitările exterioare, dimensiunile și proprietățile materialelor prezint ă o variabilitate specific ă.
În cazul rulmen ților, lipsa de date suficien te pentru definirea reparti țiilor referitoare la
fiecare tip de deteriorare face ca, deocamdat ă, calculul obi șnuit al rulmen ților să considere
distinct, în rela ție cu durabilitatea, fie oboseala de cont act, [25], [51], [68], fie uzura de tip
abraziv, [51], [47], [139]. În rest, se stabilesc condi ții limită, recomand ări și specifica ții
adecvate. Dac ă în cazul fenomenului deterior ării prin oboseala de c ontact, durabilitatea
rulmenților se determin ă ținând cont de caracterul statistic al ini țierii și dezvoltării defectului
(vezi punctul 1.3.1 ), în cazul uz ării de tip abraziv calculul este determinist, [47], [51].
Evaluarea fiabilit ății previzionale a rulmen ților se efectueaz ă, în general, ca etap ă inițială
de calcul al fiabilit ății elementelor componente ale unui sistem mecanic complex.
Forma tipic ă de evoluție în timp a ratei de defectare în cazul duratei de via ță a unui produs
complex, [28], [52], [81], este cea prezentat ă în figura 3.1. Datorită alurei sale, curba poart ă
denumirea de “ cadă de baie ”. Pe aceast ă curbă se pot eviden ția trei perioade distincte, [28],
[52], [136]:
1. Perioada defect ărilor timpurii (perioada I), unde apar defect ările premature, cu o rat ă
de defectare ridicat ă.
Capitolul 3
722. Perioada defect ărilor cu rat ă constant ă (perioada II), care reprezint ă perioada de
exploatare (opera țională normală) a produsului. În aceast ă perioadă, rata de defectare
are valori relativ constante în timp.
3. Perioada defect ărilor târzii (perioada III), caracterizat ă printr-o cre ștere brusc ă a ratei
defectărilor, cauzat ă de uzura și îmbătrânirea elementelor.
Fig. 3.1 Variația funcției rata defect ărilor
Dintre acestea, important ă pentru caracterizarea fiabilist ă a produselor este perioada II sau
perioada util ă de funcționare. Studiile efectuate în vederea determin ării fiabilit ății produselor
complexe se refer ă la aceast ă perioadă, [97], [52], [39], iar modelu l statistic utilizat este
repartiția exponen țială, caracterizat ă printr-o rat ă de defectare constant ă.
Modelul de evaluare a fiabilit ăț
ii previzionale a rulmen ților, ce va fi descris în continuare,
are la baz ă următoarele ipoteze:
1. Evaluarea fiabilit ății previzionale a rulmen ților se realizeaz ă pentru perioada opera țională
normală a produselor, perioad ă caracterizat ă printr-o rat ă de defectare constant ă.
2. Modelul statistic utilizat pentru caracterizarea fiec ărui tip distinct de deteriorare ce poate
deveni efectiv în timpul func ționării rulmen ților este reparti ția exponen țială.
3. Sistemul fiabilist al unui rulment, ob ținut prin considerarea tuturor mecanismelor de
deteriorare tipologic dist incte ce pot deveni efec tive ca urmare a unor condi ții concrete de
funcționare este un sistem serie. Acest lucru rezult ă din analiza arborelui de defectare
specific cazului unui rulment (fig. 1.3). Se constat ă că inițierea unui mecanism de defectare
conduce, în timp, la defectarea invariabil ă a rulmentului.
4. Pentru simplificarea calculului, interdependen țele, combina țiile și suprapunerile de efecte ce
pot apărea în cazul diferitelor tipolog ii de deteriorare se neglijeaz ă.
5. Instrumentul de analiz ă fiabilistă recomandat în asemenea situa ții, pentru eviden țierea
defectelor poten țiale specifice unei aplica ții concrete, stabilirea punctelor critice și studierea
lor prin prisma probabilit ății de apari ție, îl reprezint ă, [28], AMDEC-ul (FMEA) – Analyse
des modes des défaillance leurs effects et leur criticité ( Failure Modes and Effects
Analysis).
Aceasta reprezint ă o metodă standardizat ă, [190], simplu de aplicat și utilizat în cazul analizelor
fiabiliste cantitative. Din AMDEC rezult ă efectele și cauzele defect ării, creând posibilitatea de Defectări
timpurii Defectări cu rată constantă Defectări
tîrzii
Perioada I Perioada II Perioada III T z(t)
Studii privind estimarea indicatorilor si optimizarea incercarilor de fiabilitate
73eliminare sau reducere a acestora. De aceea, AMDEC-ul este mai util s ă se aplice în faza de
proiect tehnic, [128].
Fiabilitatea rulmentului, cu considerarea tuturor posibilit ăților cumulative de defectare, se
poate calcula cu rela ția, [51]:
() () () () tR tR…tRtRm
1ii m 1 C ∏
==⋅⋅= (3.1)
și este vizibil influen țată de numărul defect ărilor ( i=1,…, m) tipologic distincte.
Pe baza ipotezelor simplificatoare, prezentate anterior, rela ția (3.1) poate fi scris ă sub
forma:
()∑
===⋅λ⋅λ−m
1ici
Ct _t
C e etR , (3.2)
unde,
λC – valoarea efectiv ă a ratei de defectare;
λci – reprezint ă valoarea ratei de defectare pentru fi ecare tip de deteriorare considerat.
Deci, pentru evaluarea fiabilit ății este necesar ă stabilirea valorilor λci, i=1,…, m. Acest
lucru se poate realiza fie în condi țiile existen ței unei baze de date ce con ține informa ții de natur ă
cantitativă obținute prin urm ărirea în exploatare a prod uselor similare, ce func ționează în
condiții asemănătoare rulmentului analizat, fie pe baza unor recomand ări și normative adecvate.
În cazul fenomenului de deteriorare prin oboseal ă de contact, modelarea durabilit ății
rulmenților se realizeaz ă prin utilizarea reparti ției Weibull (vezi punctul 1.3.2.3 ). Pentru valorile
uzuale ale parametrului de form ă (β=10/9 la rulmen ții cu bile și β=9/8 pentru rulmen ții cu role)
funcția de fiabilitate a rulmen ților, relația (1.62), se poate scrie:
()()1,1
10LL9,0ln
OC e L R⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
= , (3.3)
iar funcția rata defect ărilor, relația (1.64), devine:
()()1,0
10 10OCLL
L1,19,0lnL z⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛⋅−= . (3.4)
Relația (3.4) indic ă o funcție ușor crescătoare pentru rata defect ării. În studiile de
fiabilitate previzional ă a rulmen ților, [73], reparti ția Weibull cu parametrul de form ă β=1,1 se
poate aproxima prin reparti ția exponen țială, pentru β=1.
Rezultă în acest caz:
()()
L LL9,0ln
OCOC 10e e L R⋅λ−⋅
= = (3.5)
și
()()
OC
10OCL9,0lnL z λ=−= . (3.6)
În relațiile (3.3)…(3.6), L10 reprezint ă durabilitatea nominal ă a rulmentului analizat.
Această mărime se calculeaz ă cu ajutorul rela țiilor (1.11), (1.12) sau (1.15), pe baza valorii de
catalog a sarcinii dinamice de baz ă (C) și a sarcinii dinamice echivalente ( P). Aceasta din urm ă
Capitolul 3
74se apreciaz ă pe baza for țelor ( Fr și Fa) care solicit ă rulmentul în timpul exploat ării, utilizând
relația (1.10).
Forțele care solicit ă rulmenții în timpul exploat ării sunt, în cele mai multe cazuri,
variabile. Presupunem c ă încărcările – axial ă și radială – au o varia ție exprimat ă prin dou ă
funcții Fa(N) și Fr(N). Efectul lor asupra rulmentului, [25], [55], [68], va fi acela și cu cel al unei
sarcini dinamice echivalente medii :
() ()[]p1
N
0p
a r
0m0dNNF NFVXN1P ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⋅λ+⋅⋅ =∫. (3.7)
Relația de calcul (3.7) este aplicabil ă, numai dac ă se cunoa ște cu exactitate modul de
variație a sarcinilor exterioare, în func ție de num ărul rotațiilor ( N0). Calculul efectuat cu aceast ă
relație este, cel mai adesea, laborios și de cele mai multe ori, pentru situa ții practice, se prefer ă
un calcul simplificat, care const ă în înmul țirea sarcinii dinamice ec hivalente, date de rela ția
(1.10), cu o serie de coeficien ți determina ți experimental, în func ție de condi țiile concrete de
funcționare a rulmen ților, [25], [38], [51], [53]:
()a r p FYFVXfP ⋅+⋅⋅⋅= , (3.8)
unde:
fp=reprezint ă factorul de corec ție a sarcinii dinamice echivalente și are forma, [38] :
1
tsvdz p fffff f−⋅⋅⋅⋅= . (3.9)
În relația (3.9), cei cinci factori utiliza ți reprezint ă:
fz = factor suplimentar ce depinde de precizia danturii; se aplic ă în cazul montajelor cu rulmen ți
utilizate la transmisiile cu ro ți dințate. Valorile lui sunt prezentate în tabelul 3.3;
fd =factor de regim ce depinde de tipul ma șinii din care face parte montajul cu rulmen ți. Valorile
sunt prezentate în tabelul 3.2;
fv = factor suplimentar; se aplic ă numai în cazul antren ării prin curele sau lan ț. Valorile lui sunt
prezentate în tabelul 3.1;
fs = factor de șoc; se aplic ă numai în cazul montajelor cu rulmen ți de la roțile autovehiculelor.
Valorile lui sunt prezentate în tabelul 3.4;
ft = factor de temperatur ă. Valorile lui sunt prezentate în tabelul 3.5.
Tabelul 3.1 Factorul suplimentar, fv
fv
Index bibliografic
Felul antren ării
[38] [28]
Curele trapezoidale 2÷2,15
Curele simple cu rol ă de întindere 2,5÷3,15 2,5 ÷3
Curele simple – 4÷5
Curele textile 2÷3 –
Lanț 1,1÷1,3 –
Studii privind estimarea indicatorilor si optimizarea incercarilor de fiabilitate
75Tabelul 3.2 Factorul de regim, fd
fd
Index bibliografic
Felul utilajului
[51] [53] [38] [25]
Mașini electrice, turbine 1,0÷1,1 1,0 ÷1,2 1,0 ÷1,1 1,0 ÷1,2
Motoare de trac țiune 1,2÷1,5 1,2 ÷1,5 1,1 ÷1,2 1,0 ÷1,2
Transportoare cu band ă 1,0÷1,2 – 1,0÷1,2 –
Turbocompresoare, pompe – 1,05÷1,5 1,0÷1,25 1,0 ÷1,3
Compresoare cu piston – 1,2÷1,5 1,2 ÷1,5 1,2 ÷1,3
Ascensoare, macarale 1,2÷1,3 – 1,2÷1,3 1,2 ÷1,3
Mijloace de transport minier 1,5÷1,8 – 1,5÷1,8 –
Transportoare vibratoare 1,5÷2,5 – 1,5÷2,5 1,5 ÷3,0
Mori cu bile 1,5÷1,7 1,2 ÷1,5 1,5 ÷1,7 –
Malaxoare 1,5÷1,7 – 1,1÷1,2 –
Concasoare, mori cu ciocane 1,5÷1,7 1,3 ÷1,5 1,5 ÷2,0 1,5 ÷3,0
Excavatoare 1,5÷2,5 – 1,5÷2,5 1,5 ÷3,0
Mori cu val țuri, instala ții de foraj 2,0÷2,2 – 1,8÷2,2 –
Mori pentru cereale 1,1÷1,2 – 1,1÷1,2 –
Mașini pentru fr ământat aluat 1,2÷1,5 – 1,2÷1,5 –
Mașini pentru industria lemnului 1,1÷1,6 1,1 ÷1,3 1,1 ÷1,3 –
Ciocane de forj ă, ghilotine, ștanțe, prese 1,3÷2,0 – 1,3÷2,0 –
Mașini unelte pentru metale 1,1÷1,6 – 1,4÷1,6 1,2 ÷1,3
Laminoare de tabl ă 1,5÷2,5 1,5 ÷4,0 2,0 ÷4,0 –
Tabelul 3.3 Factorul suplimentar, fz
fz
Index bibliografic
Precizia angrenajului Eroarea de divizare și de
formă, [mm]
[51] [53] [38]
Ridicată < 0,02 1,05 ÷ 1,1
Normală 0,02 ÷ 0,1 1,1 ÷ 1,3
Grosolană > 0,1 1,5 ÷ 2 –
Tabelul 3.4 Factorul suplimentar, fs
fs
Index bibliografic
Tipul autovehiculului
[51], [53] [38]
Motociclete – 1,3
Autoturisme 1,17 1,3
Autobuze, autocamioane, remorci pe pneuri
simple 1,20 1,4÷1,6
Autobuze, autocamioane, remorci pe pneuri
duble 1,23 –
Autovehicule de teren pe pneuri simple 1,3 1,5÷1,7
Capitolul 3
76Tabelul 3.4 (continuare) Factorul suplimentar, fs
fs
Index bibliografic
Tipul autovehiculului
[51], [53] [38]
Autovehicule de teren pe pneuri duble 1,36 –
Tractoare agricole, remorci pentru câmp 1,45 1,5÷1,7
Vehicule cu arcuri pentru c ăi ferate – 1,3
Vehicule f ără arcuri pentru c ăi ferate – 1,5÷1,7
Autovehicule cu pneuri pline – 1,7
Tabelul 3.5 Factorul de temperatur ă, ft, [38]
Temperatura de regim, [ °C] ft
≤ 120 1
≤ 150 0,95
≤ 200 0,85
≤ 250 0,75
≤ 300 0,60
În calculele de proiectare a lag ărelor cu rulmen ți, pentru determinarea m ărimii rulmentului
pe baza sarcinii dinamice de baz ă este necesar s ă se cunoasc ă durabilitatea. În tabelul 3.6 se dau
valorile orientative pentru alegerea durabilit ății rulmenților, Lh, la diferite construc ții de mașini
și utilaje.
Tabelul 3.6 Valori orientative pe ntru durabilitatea, Lh, [51], [53].
Domeniul de utilizare: Durata de func ționare, L h
[103 ore]
Vehicule rutiere
Motociclete 1,4÷3,5
Autoturisme u șoare 2,5÷6
Autoturisme grele și camioane u șoare 3÷7
Camioane grele și autobuze 5÷12
Tractoare 2,5÷7
Vehicule pe șenile 6÷14
Vehicule feroviare
Vagonete 20÷50
Vagoane de marf ă 32÷50
Vagoane de c ălători, autotrenuri 50÷100
Locomotive (rulmen ți exteriori) 50÷150
Tramvaie, locomotive (rulmen ți interiori) 75÷150
Reductoare 32÷75
Motoare electrice
Pentru aparate menajere 1,7÷4
Mici de serie 8÷20
Medii și pentru trac țiune electric ă 15÷32
Mari 20÷45
Studii privind estimarea indicatorilor si optimizarea incercarilor de fiabilitate
77Tabelul 3.6 (continuare) Valori orientative pentru durabilitatea, Lh, [51], [53].
Domeniul de utilizare: Durata de func ționare, L h
[103 ore]
Laminoare
Laminoare 5÷10
Reductoare pentru laminoare 12÷50
Construc ții navale
Lagărele arborelui portelice 20
Reductoare mari de nav ă 12÷50
Construc ții mecanice
Reductoare universale mici 8÷20
Reductoare universale medii 15÷30
Ventilatoare mici 8÷20
Ventilatoare medii 15÷45
Ventilatoare mari 45÷85
Pompe centrifuge 8÷45
Centrifuge 15÷30
Transportoare cu band ă 15÷85
Concasoare 20÷30
Malaxoare mari 30÷50
Mașini de imprimat 30÷45
Mașini pentru hârtie 50÷200
Mașini textile 25÷50
Mașini-unelte 10÷45
Mașini pentru prelucrat lemnul 20÷50
Mașini pentru mase plastice 20÷50
Prese de brichetat 30÷75
În lipsa unor informa ții privind durabilitatea nominal ă a rulmen ților analiza ți, a valorilor
pentru sarcina dinamic ă de bază, a mărimii sarcinilor exterioare sau o caracterizare complet ă a
condițiilor (lubrifiere, temperatur ă etc.) de func ționare a rulmen ților, se pot utiliza și valorile
recomandate în literatura de sp ecialitate pentru rata nominal ă de defectare, λOC. Aceste valori
sunt prezentate în tabelul 3.7.
Tabelul 3.7 Valori orientative pentru rata nominal ă de defectare
Rata nominal ă de defectare, λOC
[10-6 defectări/oră] Rulmenți Index
bibliografic
Valoare
minimă Valoare medie Valoare
maximă
[133], [167] 0,02 0,65 2,22
[52] 0,035 0,875 1,72
[39] 0,02 0,5 1,0
Rulmenți cu
bile
[11] 5,0 – 1,0
[167], [133] 0,072 1,80 3,53 Rulmenți cu bile,
regim sever [149] 2,0 20 –
[133], [167] 0,35 0,875 1,72 Rulmenți cu bile,
regim ușor [144] 0,1 1,0 10
Capitolul 3
78Tabelul 3.7 (continuare) Valori orient ative pentru rata nominal ă de defectare
Rata nominal ă de defectare, λOC
[10-6 defectări/oră] Rulmenți Index
bibliografic
Valoare
minimă Valoare medie Valoare
maximă
Rulmenți cu bile
de turație ridicată [52]
[133], [167] 0,072 1,80 3,520
[39], [52]
[133], [167] 0,02 0,50 1,00
[149] 0,5 – –
Rulmenți cu
role
[113] 3,0 – 10,0
Rulmenți
miniaturali [149] 0,4 – –
Condițiile de func ționare, de mediu și de precizie afecteaz ă fiabilitatea rulmen ților, astfel
încât valoarea efectiv ă a ratei de defectare se ob ține cu rela ția:
OC OP CKλ⋅=λ . ( 3 . 1 0 )
În ecuația (3.10), KOP reprezint ă un coeficient de corec ție în func ție de domeniul de
utilizare a rulmentului. Valorile lui sunt prezentate în tabelul 3.8.
Tabelul 3.8 Coeficientul de corec ție K OP
KOP
Index bibliografic
Domeniul de utilizare
[81] [52] [39] [149]
Sateliți (pe orbit ă) 1 1 – –
Laboratoare, înc ăperi amenajate 1 – 1 –
Echipamente sta ționare, pe sol;
echipamente de baz ă 8÷10 10 16 1
Echipamente montate pe remorci sau
platforme auto 25 – 36 4
Echipamente navale 15÷20 20 28 4
Echipamente de transport feroviar 22 30 50 4
Testarea aeronavelor 30÷50 50 – –
Testarea rachetelor 40÷75 – – –
Aviație 50÷100 100 120÷160 –
Rachete 900÷1000 1000 – –
Rachete purt ătoare 800÷1500 – 700 –
Pe lângă modalitatea de cuantificare global ă a influen ței condițiilor concrete de
funcționare și de mediu asupra fiabilit ății rulmen ților, se mai pot utiliza și valorile ratei de
defectare, specifice celorlalte mecanisme de deterior are. Aceste valori sunt prezentate în tabelul
3.9.
În acest caz, este necesar ă o analiză preliminar ă care să evidențieze restul mecanismelor
de deteriorare ce pot ap ărea ca urmare a condi țiilor concrete în care func ționează rulmentul
analizat. Valoarea efectiv ă a ratei de defectare se calculeaz ă cu relația:
Studii privind estimarea indicatorilor si optimizarea incercarilor de fiabilitate
79∑−
=λ+λ=λ1m
1ici OC C , ( 3 . 1 1 )
pe baza valorilor individu ale ale ratei de defectare λci, corespunz ătoare celorlalte forme de
deteriorare.
Tabelul 3.9 Rata defect ărilor, λci, specifică diferitelor mecanisme de deteriorare, [11]
Rata nominal ă de
defectare, λci,
[10-6 defectări/oră]
Fenomene tipice de deteriorare
λci min. λci max.
1. Acțiunea forțelor/ solicit ărilor/ șocurilor
1.1 Deformare 0,01 0,1
1.2 Ruptur ă 0,001 0,01
1.3 Gripare, în țepenire 0,1 1,0
1.4 Necoaxialit ăți 0,1 1,0
1.5 Dislocuiri, deplas ări, dislocări 0,001 0,1
2. Acțiunea mediului agresiv și reactiv
2.1 Coroziune
-Elemente expuse 0,1 1,0
-Elemente protejate 0,01 0,1
2.2 Fretare
-Elemente predominant sta ționare 0,1 1,0
-Elemente expuse la murd ărie, noroi, praf 1,0 10
2.3 Efectul temperaturii, îmb ătrânire termic ă
-Lubrifian ți 0,01 0,1
-Cauciuc 0,01 0,1
-Solicitări termice ale materialului 0,1 1,0
2.4 Uzură
-Elemente nelubrifiate 0,01 0,1
-Elemente lubrifiate 0,1 1,0
2.5 Eroziune, uzur ă de adeziune
-Elemente expuse 0,1 1,0
-Elemente protejate 0,01 0,1
2.6 Contaminare
-Elemente expuse 0,1 1,0
-Elemente protejate 0,01 0,1
În timpul exploat ării lagărului de rulmen ți, fiabilitatea este influen țată într-o oarecare
măsură și de deterior ările accidentale. Fiabilitatea total ă (R) va fi egal ă cu produsul dintre
fiabilitatea cauzat ă de degrad ările cumulative ( RC) și fiabilitatea cauzat ă de defect ările
accidentale ( RAC):
() () ()() t Kt
C ACOP OP AC1m
1ici OC AC
e etRt RtR⋅λ⋅+λ−⋅⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛λ+λ+λ−
=∑
=⋅=−
=. (3.12)
Valorile pentru λAC se aleg conform tabelului 3.10, [39].
Capitolul 3
80Tabelul 3.10 Intensitatea de defectare pentru deterior ări accidentale, λAC
Nivel de fiabilitate: Special Superior Standard Comercial Sc ăzut
Rata defect ării, λAC,
[10-6 defectări/oră] 5 10÷100 100 ÷1000 1000 ÷7500 7500 ÷20000
Utilizare: Calculatoare
electronice Echipament
militar Echipament
profesional Produse de
uz general Jucării și
produse
neînsemnate
Modelul dezvoltat anterior pentru evaluarea fiabilit ății previzionale, reprezint ă, de fapt, o
continuare logic ă a principalelor etape care se parcurg în proiectarea unui ansamblu cu rulmen ți,
[38], [51], și are ca scop utilizarea teoriei probabilit ăților și a metodelor statisticii matematice,
proprii caracterului aleatoriu al propriet ăților materialelor, variabilit ății solicitărilor și propriu
dimensiunilor organelor de ma șini. Mai mult, numai o asemenea proiectare, pe baze
probabiliste, ofer ă soluții adecvate pentru dimensionarea opera țiilor de service, mentenan ță și a
garanțiilor tehnice. Algoritmul de calcul al fiabilit ății previzionale este prezentat în continuare.
O problem ă distinctă care trebuie tratat ă în acest context este calculul durabilit ății
sistemelor cu mai mul ți rulmenți, ținând cont de faptul c ă rulmenții sunt cel mai adesea utiliza ți
în tandem. Clasic, durabilitatea ansa mblurilor multirulment este apreciat ă în func ție de
rulmentul caracterizat prin durabilitatea cea mai mic ă. Acest ra ționament a derivat din faptul c ă
sistemele mecanice sunt, în genera l, sisteme serie, [39], [52], [ 133], iar în momentul în care se
constată defectarea unui rulment se defecteaz ă tot subansamblul.
Această metodă, însă, ignoră contribuția celorlal ți rulmenți la deteriorarea sistemului. În
[137] este prezentat ă relația de calcul :
β−β
=⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=∑1
s
1i iansL1L , ( 3 . 1 3 )
care permite aprecierea durabilit ății globale ( Lans) a ansamblului compus din s rulmenți, prin
considerarea aportului durabilit ății L i a fiecărui rulment. Fiabilitatea ansamblului se calculeaz ă
cu relația:
() () tR t Rs
1ii ans∏
== , ( 3 . 1 4 )
unde, Ri – reprezint ă fiabilitățile individuale ale rulmen ților ce compun ansamblul, ( i=1,…,s).
Studiu de caz:
Pentru eviden țierea utiliz ării algoritmului astfel rezultat, în continuare este prezentat un
exemplu teoretic simplificat, de calcul al fiabilit ății previzionale, pentru un rulment radial cu
bile tip 6307 utilizat la l ăgăruirea unui arbore din construc ția echipamentului de material rulant.
Acest tip de rulment a fost ales din condi ția unei durabilit ăți impuse: Lh = 50 000 ore,
conform tabelului 3.6.
De asemenea, se consider ă că în urma test ării pe standurile de încerc ări a rulmentului
analizat s-au ob ținut valorile prezentate în tabelul 4.10, cazul lotului 2.
Calculul fiabilit ății rulmentului din condi ția oboselii de contact cu rostogolire, prin
utilizarea rela țiilor (3.5) și (3.6), presupune pe lâng ă aplicarea testelor statistice cu privire la
calitatea lotului încercat (vezi tabelul 4.12) și utilizarea unor teste de verificare a ipotezelor
statistice referitoare la posibilitatea model ării acestui fenomen prin intermediul reparti ției
exponențiale.
Studii privind estimarea indicatorilor și optimizarea încercarilor de fiabilitate
81ALGORITMUL DE CALCUL AL FIABILIT ĂȚII PREVIZIONALE
RULMEN ȚI NEROTITORI:
P0:=P
Conec=fs⋅P0
fs – factor de siguran ță; Â rigiditatea arborelui;
 lungimea arborelui;
 erori de execu ție și montaj;
 temperatura de func ționare;
 deformațiile la încovoiere;
 numărul de lag ăre. ALEGEREA SCHEMEI DE
LĂGĂRUIRE
Rezemare pe:
• lagăr conducător și lagăr liber;
• lagăre cu conducere reciproc ă.
 natura și mărimea forțelor;
 turația de func ționare;
 rigiditatea arborelui;
 abaterea de la coaxialitate a alezajelor;
 nivelul de zgomot și vibrații;
 precizia de fabrica ție și jocul radial;
 variații de temperatur ă în funcționare;
 cerințe de precizie a mi șcării.
 natura și mărimea forțelor;
 turația de func ționare ( n);
 durabilitatea impus ă (L10);
¾ prin temă;
¾ aleasă din tabelul 3.6;
 variații de temperatur ă în funcționare;
 dimensiuni constructive impuse și/sau
limitate;
 condiții de ungere;
 cerințe de etanșare. ALEGEREA TIPULUI
RULMEN ȚILOR
.
Fr, Fa
rel. (1.10)
rel. (3.7)
rel. (3.8)
(fz, fd, fv, fs, ft se aleg din tab. 3.1…3.5) P⇒
⎪⎭⎪⎬⎫
n ≥ 10 rot/min NU
DA
1 2 RULMEN ȚI ROTITORI:
rel. (1.9)
rel (1.11)
rel. (1.12)
rel. (1.15) necC⇒
⎪⎪
⎭⎪⎪
⎬⎫
Capitolul 3
82ALGORITMUL DE CALCUL AL FIABILIT ĂȚII PREVIZIONALE (continuare)
1
ALEGEREA M ĂRIMII RULMEN ȚILOR:
C ≥ Cnec 2
ALEGEREA M ĂRIMII RULMEN ȚILOR:
Co ≥ Conec
SOLUȚIONAREA FIX ĂRII AXIALE ȘI
RADIALE
SOLUȚIONAREA MONT ĂRII ȘI
DEMONT ĂRII
SOLUȚIONAREA UNGERII ȘI
ETANȘĂRII
AMDEC (FMEA)
• ciλ, i = 1…(m-1)
m = mecanismele de deteriorare specifice
situației analizate FIABILITATEA RULMEN ȚILOR DIN
CONDIȚIA OBOSELII DE CONTACT CU
ROSTOGOLIRE
rel (3.6)
tab. 3.7
rel. (3.5) ⇒ ROC(L) OCλ⇒
⎭⎬⎫
FIABILITATEA PREVIZIONAL Ă A
RULMEN ȚILOR
tab. 3.10
rel. (3.12) R(t)⇒
⎭⎬⎫ FIABILITATEA RULMEN ȚILOR
DATORAT Ă DEGRAD ĂRILOR
CUMULATIVE
rel. (3.11)
tab. 3.8 → KOP
rel. (3.10)
rel. (3.2) ⇒ RC(t) Cλ⇒
⎪⎭⎪⎬⎫
 informații de natur ă cantitativ ă
obținute din urm ărirea în exploatare a
produselor similare;
 recomand ări și normative adecvate ⇒
tab. 3.9.
Studii privind estimarea indicatorilor și optimizarea încercarilor de fiabilitate
83Se verific ă astfel ipoteza nul ă: H0 : β = β0, unde β0 = 1, cu alternativa: H1 : β ≠ β0.
Ipoteza nul ă (cea referitoare la utilizarea reparti ției exponen țiale) se accept ă, în condi țiile
utilizării estima țiilor de verosimilitate maxim ă, dacă este verificat ă condiția, [25], [68], [104], :
() ()n,r v ˆ n,r v2 1 0 2 α− α ≤ββ≤ .
Pentru cazul analizat nivelul de încredere se stabile ște la valoarea: 1 – α = 90 %, iar:
878,1ˆ=β , conform tabelului 4.12;
() ( ) 6880,0 20,8 vn,r v0,5 2 = =α ;
() () 341,2 20,8 vn,r v0,95 2 1 = =α− , conform tabelului D.1, din anexa D.
Rezultă:
341,2 878,1 ˆ 6880,00≤=ββ≤ .
deci, pentru calculul fiabilit ății rulmentului 6307 , din condi ția oboselii de contact se pot utiliza
relațiile (3.5) și (3.6). Se ob ține:
() 6
OC OC 10 107,2000509,0lnz−⋅=−=λ= defectări/oră.
La utilizarea estima țiilor liniare de tip BLIE se procedeaz ă analog, [82], [96]
Informațiile de natur ă cantitativ ă privind restul mecanismelor de deteriorare ce pot ap ărea
ca urmare a condi țiilor concrete în care func ționează rulmenții pentru material rulant au fost
preluate din [51]. Pr incipalele deterior ări întâlnite sunt:
Ciupire (PITTING): 7,01 % Fisuri, ruperi: 1,25 %
Uzură abrazivă: 12,06 % Curent electric: 57,75 %
Amprente: 2,09 % Alte deterior ări: 5,47 %
Coroziune: 14,38 %
Valorile ratelor de deteriorare (λci, i = 1…m-1) se pot determina foarte simplu pornind de
la rata de defectare ( λOC) , calculat ă anterior din condi ția oboselii de contact, știind că aceasta
are o pondere de 7,01 % din totalul defect ărilor. Rezult ă:
Mecanismul de
deteriorare Rata de defectare,
λci,
[10-6 defectări/oră] Mecanismul de
deteriorare Rata de defectare,
λci,
[10-6 defectări/oră]
Uzură abrazivă: 3,625 Fisuri, ruperi: 0,373
Amprente: 0,628 Curent electric: 17,360
Coroziune: 4,323 Alte deterior ări: 1,644
Fiabilitatea rulmen ților datorat ă degradărilor cumulative, pentru cazul analizat, se ob ține
prin utilizarea rela țiilor (3.11) și (3.2):
()t 1006,30
C6etR⋅⋅−−= .
Fiabilitatea previzional ă a rulmen ților rezult ă prin considerarea fiabilit ății cauzată de
defectările accidentale :
¾ conform tabelului 3.10: ⇒ 6
AC 10 100−⋅=λ defectări/oră ;
¾ relația (3.2): ⇒ ()t 1006,130
16etR⋅⋅−−= .
Valori similare pentru fiabilitatea global ă a rulmentului analizat se pot ob ține și în lipsa
Capitolul 3
84informațiilor de natur ă cantitativ ă privind func ționarea lui.
Se alege în acest caz:
din tabelul 3.7: ⇒ λOC = 1,72⋅10-6 defectări/oră;
din tabelul 3.8: ⇒ KOP = 22.
Folosind rela ția (3.10), se ob ține:
λC = 37,84⋅10-6 defectări/oră;
din tabelul 3.10: ⇒ λAC = 100⋅10-6 defectări/oră.
Expresia fiabilit ății globale rezult ă prin utilizarea rela ției (3.12):
()t 1084,137
26etR⋅⋅−−= .
Pentru cele dou ă variante prezentate valoarea fiabilit ății rulmentului 6307 , după o durată
de exploatare de t = 500 ore, este:
R1(500) = 0,937,
R2(500) = 0,933.
CONCLUZII:
În urma cercet ărilor desfășurate în vederea evalu ării fiabilit ății previzionale a rulmen ților,
se pot desprinde urm ătoarele concluzii:
1) algoritmul elaborat pentru aprecierea fiabilit ății previzionale a rulmen ților permite
considerarea global ă a tuturor posibilit ăților de deteriorare ce pot deveni efective în
cazul unei aplica ții concrete;
2) pentru evaluarea fiabilit ății previzionale a rulmen ților, ca elemente componente ale unui
sistem mecanic complex, acest model consider ă inclusiv variabilitatea specific ă
condițiilor de func ționare din perioada opera țională normală;
3) metoda de calcul propus ă permite, de asemenea, aprecierea durabilit ății globale a unui
ansamblu prin considerarea contribu ției tuturor rulmen ților la deteriorarea sistemului;
4) acest model poate constitui un inst rument foarte util de calcul și analiză a fiabilității unui
sistem mecanic, mai ales în faza de proiect tehnic.
3.2 STUDIUL PRIVIND ESTIMAREA PARAMETRULUI DE
LOCALIZARE, ÎN CAZUL REPARTI ȚIEI WEIBULL
Studiul fenomenului de deteriorare a rulmen ților prin oboseala de contact cu
rostogolire a condus la concluzia c ă repartiția Weibull modeleaz ă global și suficient de
precis acest proces.
Exprimarea analitic ă a funcției de fiabilitate, în acest caz, s-a ob ținut pornindu-se
de la cunoa șterea bazelor fizice ale fenomenului de defectare prin oboseala de contact
(vezi punctele 1.3.1 și 1.3.2.3 ). Acestea au condus la reparti ția biparametric ă Weibull.
În paralel, prelucr ările statistice ale rezultatelor experimentale ob ținute în urma
încercărilor de durabilitate/fiabilita te au confirmat concluzia c ă pentru valorile uzuale
ale fiabilit ății rulmen ților ( R=0,40…0,93) exist ă o bună concordan ță cu reparti ția
biparametric ă Weibull. Totu și, [20], prelucrarea statistic ă a rezultatelor experimentale
Studii privind estimarea indicatorilor și optimizarea încercarilor de fiabilitate
85trebuie efectuat ă în cazul general al reparti ției Weibull prin considerarea existen ței
parametrului de localizare. Neglij area acestui parametru, la opera ția de estimare, are ca
efect modificarea valorii estimate a parametrului de form ă, [20].
Modelul reparti ției Weibull, foarte des utilizat în practica fiabilist ă, se prezint ă sub
doua forme de baz ă, și anume, reparti ția triparametric ă Weibull (cazul general) și
repartiția biparametric ă Weibull.
Legătura dintre cele dou ă forme sub care poate fi exprimat ă repartiția Weibull o
constituie parametr ul de localizare ( γ). După cum sugereaz ă și denumirea lui, parametrul
de localizare (loca ție, de pozi ție sau al originii de timp) stabile ște poziția reparti ției pe
axa absciselor, [114].
Fie X o variabil ă aleatorie repartizat ă Weibull triparametric [ X ~ W(x,β,η,γ)],
având func ția densitate de probabilitate dat ă de relația (1.22). Printr-o transformare
liniară de variabil ă aleatorie, Y=X-γ, se obține, pentru noua variabil ă aleatorie Y,
repartiția biparametric ă Weibull [Y ~ W(y,β,η)], exprimat ă prin ecua ția (1.23).
Existența parametrului de pozi ționare produce o serie de dificult ăți, de cele mai
multe ori de nerezolvat, [2], în cazul opera ției de estimare parametric ă prin utilizarea
uneia dintre metodele analizate în [114].
De asemenea, se constat ă că dacă valoarea lui γ este cunoscut ă sau estimat ă printr-
un procedeu oarecare, modelul biparametric astfel ob ținut (rel. 1.23) poate fi utilizat la
estimarea parametrilor reparti ției, [76], prin oricare din me todele analizate la punctul
1.3.3.2 .
În continuare se vor analiza particularit ățile de estimare a modelului triparametric
Weibull prin:
– metoda grafic ă;
– metoda celor mai mici p ătrate;
– metoda modificat ă a momentelor;
– metoda verosimilit ății maxime,
iar, în final, va fi propus ă o noua metod ă de estimare a parametrului de localizare prin
utilizarea coeficientului de corela ție.
n METODELE GRAFICE
Procedura general ă de construire și de utilizare a re țelelor de probabilitate se bazeaz ă pe
liniarizarea convenabil ă a funcției de reparti ție a modelului, presupus adecvat datelor
experimentale.
Liniarizarea modelului reparti ției Weibull se ob ține, vezi punctul 1.3.3.2 , prin dubla
logaritmare a func ției de reparti ție. Rezult ă o dependen ță liniară de forma:
XbaY⋅+= , ( 3 . 1 5 )
între variabilele aleatorii X și Y date de ecua țiile (1.77). În exprimarea rela ției (3.15) s-au
utilizat și notațiile (1.79). Deci, dac ă valorile experimentale observate: t1,t2,…,t r, aparținând unei
populații biparametrice Weibull, se reprezint ă grafic pe o coal ă, având abscisa gradat ă simplu
logaritmic ( x=lnt) și ordonata gradat ă dublu logaritmic ( ()[] { })t(F11lnlny − = ), acestea se
dispun pe re țea după o dreaptă, de pantă b.
Dacă procedăm analog și în cazul reparti ției triparametrice Weibull, având func ția de
repartiție dată de ecua ția (1.38), printr-o dubl ă logaritmare și aranjarea termenilor, se
obține ecuația:
Capitolul 3
86) xln( ln)x(F11lnln γ−⋅β+η⋅β−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−. (3.16)
Folosind acelea și notații, ca în cazul precedent:
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
β=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−=η⋅β−=
, b,)x(F11lnlny,ln a
( 3 . 1 7 )
se obține:
()γ−⋅+= xlnbay . ( 3 . 1 8 )
Se observ ă că relația (3.18) indic ă o dependen ță liniară între y și ln(t-γ). Deci, dac ă
valorile experimentale observate: t1, t2,…,t r, care apar țin unui e șantion de volum n,
cenzurat la nivelul r, prelevat dintr-o popula ție triparametric ă Weibull se reprezint ă
grafic pe o re țea de probabilitate, acestea nu se mai dispun dup ă o dreapt ă. Existen ța
parametrului de localizare conduce, deci, la mascarea modelului Weibull, [81], [97], [161].
Procedeele grafice de estimare a parametrului de localizare au fo st dezvoltate, [81],
[82], având la baz ă forma dup ă care se dispun valorile expe rimentale. Pentru aceasta, se
reprezint ă grafic pe o re țea de probabilitate dou ă curbe ob ținute prin unirea punctelor:
[] )t(F;tMinii1 și [ ])t(F;t t M1in1 1ij2 + +− ; i=1,…,r; j=1,…,r-1.
În funcție de alura celor dou ă curbe, se poate determina intervalul în care se afl ă
valoarea parametrului de localizare γ. Se disting dou ă cazuri, [81], [82]:
a) În figura 3.2 este prezentat cazul în care valo area parametrului de localizare se
află în intervalul γ ∈ [0, t1);
b) În figura 3.3 este prezentat cazul în care valo area parametrului de localizare se
află în intervalul γ ∈ [-∞, 0).
10 100 1103
Durata de viata, T, [h]Functia de repartitie, F(T)
Fig. 3.2 Determinarea domeniului de existen ță a parametrului de localizare, γ ∈ [0, t1) [])t(F;t Mi nii1[] )t(F;t t M1i n1 1ij2 + +− γ ∈ [0, t 1)
Studii privind estimarea indicatorilor și optimizarea încercarilor de fiabilitate
87100 11031104
Durata de viata, T, [h]Functia de repartitie, F(T)
Fig. 3.3 Determinarea domeniului de existen ță a
parametrului de localizare, γ ∈ (-∞, 0]
După stabilirea intervalului de apartenen ță a parametrului de localizare, urmeaz ă
operația de estimare propriu-zis ă.
10 100 1103
Durata de viata, T, [h]Functia de repartitie, F(T)
Fig. 3.4 Estimarea grafic ă, prin încerc ări succesive,
a parametrului de localizare, γ[)1t,0∈
Au fost puse la punct mai multe metode: γ ∈ (-∞, 0] [])t(F;t Mi nii1[ ])1it(nF;1t1itj2M+−+
[])t(F;t Mi nii1[] )t(F;t t M1in1 1ij2 + +−γ ∈ [0, t 1)
[ ])[1 1 i n 1 ii3 t,0 ,)t(F; t M ∈γ γ−
[ ] [)1 2 1 2 i n 2 ii4 t,0 , ,)t(F; t M ∈γγ>γ γ−
[ ] [)1 3 2 3 i n 3 ii5 t,0 , ,)t(F; t M ∈γγ>γ γ−
Capitolul 3
88I. O primă metodă utilizată constă în încerc ări succesive, pentru diferite valori ale lui γ,
care apar țin domeniului de existen ță, până se obține liniarizarea convenabil ă a
punctelor pe re țeaua de probabilitate. Cazul lui γ[)1t,0∈ este prezentat în figura 3.4,
iar cazul γ ∈ [-∞, 0) este prezentat în figura 3.5.
100 11031104
Durata de viata, T, [h]Functia de repartitie, F(T)
Fig. 3.5 Estimarea grafic ă, prin încerc ări succesive,
a parametrului de localizare, γ ∈ (-∞, 0]
II. A doua metod ă, utilizat ă în cazul γ ∈ [0, t 1), constă în prelungirea grafic ă a curbei
valorilor experimentale, [])t(F;tMinii1 , până la intersec ția ei cu axa absciselor (figura
3.6). Valoarea, astfel ob ținută, reprezint ă estimația punctual ă a parametrului de
localizare.
1 10 100 1103
Durata de viata, T, [h]Functia de repartitie, F(T)
Fig. 3.6 Estimarea, prin prelungirea grafic ă a curbei valorilor
experimentale, a parametrului de localizare, γ ∈ [0, t 1) γ ∈ (-∞, 0]
[])t(F;t Minii1[] )t(F;t t M1in1 1ij2 + +−
[])t(F;t Mi nii1[ ])t(F;t t M1i n1 1ij2 + +−
γ ∈ [0, t 1) $γ[ ](]0, ,)t(F; t M1 i n 1 ii3 −∞∈γ γ−
[ ] (]0, , ,)t(F; t M2 1 2 i n 2 ii4 −∞∈γγ<γ γ−
[ ] (]0, , ,)t(F; t M3 2 3 i n 3 ii5 −∞∈γγ<γ γ−
Studii privind estimarea indicatorilor și optimizarea încercarilor de fiabilitate
8910 100 1103
Durata de viata, T, [h]Functia de repartitie, F(T)
Fig. 3.7 Estimarea grafic ă, prin interpolare, a parametrului de localizare
III. Cea de-a treia metoda recomandat ă este prin interpolare, (fig. 3.7). Se aleg pe
curba rezultatelor experimentale trei punc te, care au ordonatele echidistante ( Δy):
P1(t1,y1), P 2(t2,y2=y1+Δy) și P3(t3,y3=y1+2⋅Δy).
Valoarea parametrului de localizare se estimeaz ă, prin rela ția:
2 3 12
2 31
t2tttttˆ
⋅−+−⋅=γ . ( 3 . 1 9 )
o METODA CELOR MAI MICI P ĂTRATE
Estimarea parametrilor β, η și γ prin metoda celor mai mici p ătrate const ă în
parcurgerea urm ătoarelor etape, [156]:
– se utilizeaz ă relația (3.18), cu nota țiile (3.17), care exprim ă dependen ța liniară
între y și ln(t-γ). Metoda const ă în estimarea parametrilor modelului, în condi țiile
realizării celei mai bune aproxima ții liniare a rezultatelor experimentale, t1, t2,…,
tr, care provin din observarea func ționării până la r deteriorări a unui e șantion cu
efectivul de n elemente.
– se noteaz ă cu δi distanța pe vertical ă de la un punct oarecare M i(ti, yi), obținut pe
baza datelor experimentale, pân ă la dreapta (3.18):
δi = a + b⋅ln(t i – γ) – y I; ( 3 . 2 0 )
– se aplic ă principiul celor mai mici p ătrate (Gauss-Legendre):
()[]∑∑
= =−γ−⋅+=δ=δr
1i2
i ir
1i2
i y tlnba ; (3.21)
– parametrii “dreptei” a, b și γ se obțin prin impunerea condi țiilor necesare de
extrem ecua ției (3.21), adic ă: [])t(F;t Mi nii1
P1(t1,y1)P2(t2,y2)P3(t3,y3)
Δy
Δyy3
y2
y1
t3 t2 t1
Capitolul 3
90()[]
()[] ()
()[]
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
⎨⎧
=γ−⋅−+γ−⋅⋅−=∂γ∂δ=γ−⋅−+γ−⋅⋅=∂∂δ=−+γ−⋅⋅=∂∂δ
∑∑∑
===
.0t1ya tlnb 2,0 tlnya tlnb 2b,0 ya tlnb 2a
r
1i ii ir
1ii i ir
1ii i
(3.22)
Din primele dou ă ecuații ale sistemului (3.22) se po t scrie valorile parametrilor a și
b, în funcție de parametrul γ. Se obține:
() () ()
() ()
() ()
() ()
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎧
⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡γ− −γ− ⋅γ−⋅−γ−⋅⋅
=⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡γ− −γ− ⋅γ−⋅γ−⋅−γ− ⋅
=
∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑ ∑ ∑
==== ===== = =
.
ˆtln ˆtln rˆtln y ˆtlny r
bˆ,
ˆtln ˆtln rˆtln ˆtlny ˆtln y
aˆ
r
1i2r
1ii i2r
1ir
1iir
1ii i ir
1i2r
1ii i2r
1ir
1ir
1ir
1ii i i i2
i
(3.23)
Problema estim ării se reduce la determinarea parametrului de localizare γ ca
soluție a celei de-a treia ecua ții a sistemului (3.22):
() 0ˆ=γ∂γ∂δ, (3.24)
în care se înlocuiesc parametrii a și b cu expresiile lor, (3.23). Ecua ția (3.24) rezult ă,
după o serie de prelucr ări, sub forma:
() ()
() () ()
() ()().0ˆtˆtlnˆtln y ˆtlny rˆt1ˆtln ˆtlny ˆtln yˆtyˆtln ˆtln r
r
1i iir
1ir
1i1 ir
1i1 ir
1i ir
1ir
1i1 1 ir
1ir
1i12
ir
1i ii2r
1i1r
1i12
∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑∑ ∑ ∑
= == == == === = =
=γ−γ−⋅⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡γ−⋅−γ−⋅⋅−−γ−⋅⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡γ−⋅γ−⋅−γ− ⋅−−γ−⋅
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡γ− −γ− ⋅
(3.25)
Pentru a rezolva ecua ția (3.25) este necesar ă utilizarea metodelor numerice
iterative. Procedura de rezolvare este descris ă în [156].
p METODA MODIFICAT Ă A MOMENTELOR
Pentru a înl ătura dezavantajele care apar în cazul utiliz ării metodei momentelor sau
a metodei verosimilit ății maxime pentru estimarea reparti ției triparametrice Weibull, în
[82] este propus ă metoda modificat ă a momentelor.
Această metodă se preteaz ă a fi aplicat ă în cazul reparti țiilor care au parametru de
localizare și care prezint ă asimetrie pronun țată, [82].
Studii privind estimarea indicatorilor și optimizarea încercarilor de fiabilitate
91Modificarea fa ță de metoda “ momentelor clasic ă” constă în utilizarea pentru
operația de estimare parametric ă a primei statistici de ordine:
t(1) = min (t 1, t2, … , t n),
și a propriet ăților de care se bucur ă această statistică de ordine, [96], [82]:
[]
()[] .n11)t(F tFE,t TE
1 )1()1( )1(
+===
( 3 . 2 6 )
În cazul reparti ției Weibull, prima statistic ă de ordine corespunz ătoare unui
eșantion de volum n este repartizat ă tot Weibull, care are func ția de reparti ție de forma,
[114]:
()[]β
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
η⋅−β−
−=−−=1nt
n
)1( e1 )t(F11 tF . (3.27)
Pentru reparti ția triparametric ă Weibull, care are forma (1.22), aceast ă metodă
permite estimarea parametrilor ca solu ție a sistemului de ecua ții, [82]:
()⎪
⎩⎪
⎨⎧
==σ=μ
.t TE,s,t
1 )1(2 2 ( 3 . 2 8 )
Sistemul de ecua ții (3.28) se mai poate scrie și sub forma:
()
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
⎨⎧
=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+
βΓ⋅η+γ−⋅−=
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+
βΓ−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+
βΓ⋅η⋅=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+
βΓ⋅η+γ
β−==
∑∑
.t 1ˆ1
nˆˆ,tt1n11ˆ11ˆ2ˆ,tn11ˆ1ˆˆ
1 ˆ1n
1i2
i2 2r
1ii
( 3 . 2 9 )
După o serie de prelucr ări, sistemul (3.29) devine:
()()
()()[]()
()
()
()
()()⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎧
β+Γ−β+Γ−⋅−=ηβ+Γ⋅η−⋅=γ−−⋅−=
β+Γ⋅−β+Γ−β+Γ
∑∑∑
===
β−
.ˆ11 ˆ21tt1n1
ˆ,ˆ11ˆtn1ˆ,
tttt1n1
ˆ11 n1ˆ11 ˆ21
2n
1i2
in
1ii2
1n
1i2
i
212
( 3 . 3 0 )
Rezolvarea primei ecua ții a sistemului (3.30) necesit ă utilizarea procedeelor
iterative de calcul. Dezavantajul principa l al acestei metode îl constituie faptul c ă nu
poate fi aplicat ă decât eșantioanelor complete.
Capitolul 3
92q METODA VEROSIMILIT ĂȚII MAXIME
Aceasta metod ă presupune estimarea punctual ă a parametrilor reparti ției din
condiția de maxim a ecua ției de verosimilitate.
În cazul încerc ărilor efectuate pe un e șantion de volum n, cenzurat la nivelul r,
ecuația de verosimilitate este de forma, [88], [96]:
()()[]rn
rr
1ii i )t(F1)t(f!rn!n,,,tL−
=−⋅⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡⋅−=γηβ ∏ . (3.31)
În cazul reparti ției triparametrice Weibull, ecua ția (3.31) devine:
()()()() ()⎥⎦⎤
⎢⎣⎡γ−⋅−+γ−⋅
η−−β
=⋅ββ
=β
β∑
⋅γ−⋅
ηβ⋅−=γηβ ∏rr
1ii t)rn( t1 1r
1ii rr
i e t!rn!n,,,tL . (3.32)
Prin logaritmare, din ecua ția (3.32) se ob ține:
.) t()rn() t(1) tln( )1( lnr lnr)!rn(!nln),,,t(Lln
rr
1iir
1ii i
⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡γ−⋅−+γ−⋅
η−−γ−⋅−β+ηβ−β+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−=γηβ
β
=β
β=
∑∑
(3.33)
Sistemul ecua țiilor de verosimilitate maxim ă se obține din (3.33), punând
condițiile de extrem:
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎨⎧
=∂γγηβ∂=∂ηγηβ∂=∂βγηβ∂
.0),,,t(Lln,0),,,t(Lln,0),,,t(Lln
iii
( 3 . 3 4 )
Acesta rezult ă, după o serie de prelucr ări, sub forma:
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎧
=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
γ−⋅−β−
γ−−+γ−γ−−+γ−
⋅β⋅⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡γ−−+γ−⋅=η=
γ−−+γ−γ−γ−−+γ−⋅γ−
−γ−⋅+
β
∑
∑∑∑∑
∑∑
=
=β β=−β −ββ
=β β=
=β β=β β
.0ˆt1ln )1ˆ(
)ˆt)(rn()ˆt()ˆt)(rn( )ˆt(
ˆr, )ˆt)(rn()ˆt(r1ˆ,0
)ˆt)(rn()ˆt()ˆtln()ˆt)(rn()ˆtln()ˆt(
)ˆtln(r1
ˆ1
r
1i ir
1iˆ
rˆ
ir
1i1ˆ
r1ˆ
iˆ1r
1iˆ
rˆ
ir
1ir
1iˆ
iˆ
ir
1ir r iˆ
i
i
(3.35)
Sistemul de ecua ții (3.35), rezolvat numeric iterativ, furnizeaz ă estimațiile
punctuale de verosimilitate maxim ă pentru parametrii reparti ției triparametrice Weibull.
Studii privind estimarea indicatorilor și optimizarea încercarilor de fiabilitate
93r METODA COEFICIENTULUI DE CORELA ȚIE
Această metodă de estimare a parametrului de localizare, ce va fi propus ă în
continuare, utilizeaz ă propriet ățile covarian ței și ale coeficientului de corela ție aplicate
variabilelor aleatorii X și Y care intervin în forma liniarizat ă a reparti ției Weibull,
ecuația (3.15).
Fie X și Y două variabile aleatorii, astfel încât exist ă E(X), E(Y), V(X), V(Y) și
E(XY). Dispersia variabilei aleatorii X+Y este, [60], [156]:
V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2 ⋅E{[X-E(X)] ⋅[Y-E(Y)]}. (3.36)
Termenul E{[X-E(X)] ⋅[Y-E(Y)]} din ecua ția (3.36) poart ă denumirea de covarian ță.
Deci, se nume ște corelația (sau covarian ța) variabilelor aleatorii X și Y, numărul
real notat COV (X,Y), dat de rela ția:
COV (X, Y) = E{[X-E(X)] ⋅[Y-E(Y)]}=
= E(X⋅Y)-E(X)⋅E(Y) . (3.37)
Covarian ța constituie un instrument statistic foarte util în studiul interdependen ței
care exist ă între variabilele aleatorii:
• Dacă COV (X,Y)=0, atunci cele dou ă variabile aleatorii sunt independente sau
necorelate, iar ecua ția (3.36) devine:
V(X+Y)=V(X)+V(Y); (3.38)
• Dacă COV (X,Y)≠0, atunci ecua ția (3.36) se mai poate scrie sub forma:
V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2 ⋅COV(X,Y), (3.39)
noțiunea de covarian ță permițând analiza modului cum sunt repartizate în R2 valorile
vectorului aleator ( X;Y ).
În cazul în care COV (X, Y) > 0, valorile X > E (X) (respectiv X < E (X)) sunt
valori preferen țiale, în acela și timp cu valorile variabilei aleatorii Y > E(Y) (respectiv
Y<E (Y)). În cazul în care COV (X, Y) < 0, atunci, în general, X > E (X) (respectiv
X<E (X)) implic ă Y < E (Y) (respectiv Y > E (Y)).
Pe baza no țiunii de covarian ță se poate defini o alt ă valoare tipic ă a două variabile
aleatorii, X și Y. Se nume ște coeficient de corela ție (sau coeficient de covarian ță) al
variabilelor aleatorii X și Y raportul:
()
[]21)Y(V)X(V)Y,X( COVY,X
⋅=ρ . ( 3 . 4 0 )
Proprietățile coeficientului de corela ție, [60], [156]:
1. Dacă COV (X,Y)=0, ceea ce este echivalent cu ρ(X,Y)=0, atunci variabilele aleatorii
X și Y se numesc necorelate.
2. Dacă ρ(X, Y) > 0, respectiv ρ(X, Y) < 0, atunci corelarea variabilelor aleatorii X și Y
se numește pozitiv ă, respectiv negativ ă.
O corelare pozitiv ă implică faptul c ă, dacă una din variabile cre ște (descre ște),
cealaltă are aceea și tendință (în medie), iar corelarea negativ ă implică faptul că, dacă
o variabil ă aleatorie cre ște (descre ște), cealalt ă are o tendin ță inversă (în medie).
Capitolul 3
943. Dacă ρ(X, Y) exist ă, atunci:
ρ2(X, Y) ≤ 1 și –1 ≤ ρ(X, Y) ≤ 1.
4. ρ(X, X) = 1;
ρ(X, -X) = -1.
5. Dacă ρ(X, Y) exist ă, atunci între variabilele aleatorii X și Y există o relație liniară,
adică există a, b, a ≠ 0, astfel încât:
Y = aX + b, (3.41)
există aproape peste tot, dac ă, și numai dac ă:
ρ2(X, Y) = 1.
Această ultimă proprietate a coeficientului de corelatie face posibil ă utilizarea lui,
în cazul estima țiilor prin metoda celor mai mici p ătrate, ca un indicator al concordan ței
dintre valorile experimentale t1, t2, … , t r și modelul reparti ției (sub forma liniarizat ă)
teoretice care modeleaz ă fenomenul respectiv.
În cazul reparti ției biparametrice Weibull, valo area coeficientului de corela ție se
determin ă, [82], cu rela ția:
()21
r
1i2r
1ii
2
ir
1i2r
1ii
2
ir
1ir
1ir
1ii i
ii
ry
yrx
xry x
yx
Y,X
⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
⎬⎫
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎨⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
−⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
−⋅
−
=ρ∑∑
∑∑∑∑∑
==
=====
. (3.42)
În relația (3.42) s-au folosit nota țiile (1.77). La aplica țiile practice, valori ale
coeficientului de corela ție, [82]:
ρ(X, Y) ≥ 0,90 ,
indică o bună corelație între modelul teoretic, considerat adecvat situa ției analizate și
valorile experimentale observate.
În situația prelucr ării statistice a unor rezultate experimentale care apar țin
modelului reparti ției triparametrice Weibull, existen ța parametrului de localizare
determin ă o relație liniară între Y și ln( T-γ), conform ecua ției (3.18). Acest lucru
conduce (vezi cazul metodelor grafice de estimare parametric ă) la dispunerea valorilor
experimentale dup ă o curbă, pe rețeaua de probabilitate Weibull, ceea ce are ca efect
reducerea valorii coeficientului de corela ție.
Expresia coeficientului de corela ție, în acest caz, este, [122]:
()21
r
1i2r
1ii2
ir
1i2r
1ii i2r
1ir
1ir
1ii i
i i
r y y r tln( ) t(lnry ) tln(
y) tln(
Y,X
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−⋅⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛γ− −γ−⋅γ−
−γ−
=ρ
∑∑ ∑∑∑∑∑
== =====
. (3.43)
Studii privind estimarea indicatorilor și optimizarea încercarilor de fiabilitate
95Din analiza ecua ției (3.43), se constat ă că valoarea coeficientului de corela ție
reprezint ă, în acest caz, o func ție de γ:
ρ(X, Y) = ρ(γ) . ( 3 . 4 4 )
Această proprietate împreun ă cu constat ările anterioare fac posibil ă utilizarea
ecuației (3.43) la estimarea parametrului de localizare în condi țiile maximiz ării valorii
lui ρ(γ).
Determinarea analitic ă a valorii parametrului de localizare, care conduce la
obținerea valorii maxime a coeficientului de corela ție, este o opera ție laborioas ă. În
schimb problema este simplu rezolvabil ă prin utilizarea tehnicii de calcul, precum și a
procedeelor numerice iterative.
3.3 STUDIU PRIVIND UTILIZAREA ESTIMATORILOR
LINIARI TIP BLIE ÎN CAZUL ÎNCERC ĂRILOR
EFECTUATE PRIN METODA LINIEI DEFECTELOR
PRIMARE
Tipurile de încerc ări specifice test ării la durabilitate/fiabilitate a rulmen ților sunt
încercările cenzurate (împreun ă cu cazul particular al încerc ărilor complete), încerc ările
efectuate prin metoda li niei defectelor primare și încercările trunchiate. Dintre acestea,
încercările efectuate prin metoda liniei def ectelor primare (Sudde n Death Tests) ofer ă condiții
mult mai avantajoase, din punctul de vedere al opera țiilor de montare-remontare a rulmen ților
pe standul de încerc ări, al num ărului de rulmen ți care func ționează pe stand în timpul încerc ării,
prin eliminarea rulmen ților ajutători și obținerea unor dispersii mult mai mici pentru estimatorii
liniei defectelor primare, comparativ cu încerc ările conven ționale.
De asemenea, estimatorii liniari tip BLIE, care au intrat recent în practica fiabilist ă,
înlătură dezavantajele specifice opera ției de estimare parametric ă ce apar la utilizarea metodei
verosimilit ății maxime, și anume, nu necesit ă procedee numerice iterative de calcul pentru
obținerea valorilor estimate ale parametrilor și indicatorilor de fiabilitate și nu pot ap ărea situații
în care pentru anumite combina ții ale valorilor de e șantionaj, estimatorii nu au solu ție.
De aceea acest tip de estimator este recomandat situa ției încerc ărilor efectuate pe
eșantioane cu un efectiv redus sau, puternic cenzurate. Totu și, în cazul e șantioanelor de volum
mare, aplicarea lor devine greoaie prin necesitatea utiliz ării unui num ăr ridicat de coeficien ți
numerici. De altfel, aceast ă metodă nu a fost dezvoltat ă, [82], [96], [153], decât pentru
eșantioanele de volum n=2÷24 elemente.
Acest dezavantaj dispare, îns ă, în cazul prelucr ării statistice a rezultatelor experimentale
obținute din testele efectuate prin metoda liniei defectelor primare. Datorit ă specificului acestui
tip de încercare, la care volumul ( n) al eșantionului supus test ării se divide aleatoriu în l
subgrupe, fiecare con ținând melemente (n= m·l), iar opera ția de încercare se încheie prin
suspendarea celor m-1 elemente aflate în func ționare la momentul constat ării primei deterior ări
din cadrul unei grupe, practic ob ținându-se o reducere artificial ă a efectivului de e șantion de la n
la l elemente.
Asocierea acestui tip de estimator la cazul încerc ărilor efectuate prin metoda liniei
defectelor primare nu a fost semnalat ă în nici una din referin țele bibliografice anexate acestei
lucrări. Din acest motiv, în continuare vor fi studiate posibilit ățile de utilizare a estimatorilor
liniari tip BLIE în cazul încerc ărilor efectuate prin metoda liniei defectelor primare. De
Capitolul 3
96asemenea, vor fi demonstrate propriet ățile specifice ale estimatorilor liniari de tip BLIE care fac
posibilă corectarea deplas ărilor pentru valorile estimate punct ual, construirea intervalelor de
încredere și verificarea ipotezelor statistice referitoare la parametrii și indicatorii de fiabilitate ai
rulmenților.
Presupunem c ă un eșantion format din n elemente este supus unei încerc ări de fiabilitate
efectuată prin metoda liniei defectelor primare, în condi țiile divizării efectivului în l grupe,
fiecare con ținând melemente.
Modelarea fenomenelor de deteriorare a popula ției din care se preleveaz ă eșantionul celor
n elemente supuse încerc ării este realizat ă prin intermediul reparti ției biparametrice Weibull,
W(t,β,η), care are func ția densitate de probabilitate de forma ecua ției (1.23). Dup ă desfășurarea
experimentului cele l valori experimentale observate pentru timpii de deteriorare: ts1, ts2,…tsl,
corespunz ători liniei defectelor primare, au func ția de reparti ție dată de ecua ția (1.115) și
reprezintă prima statistic ă de ordine corespunz ătoare unui e șantion de volum m.Din analiza
repartiției (1.115) se constat ă că aceste valori sunt repartizate W(ts, β, m-1/β⋅η).
Valorile estimate ale parametrilor liniei defectelor primare, prin metoda estimatorilor
liniari tip BLIE, se ob țin prin rezolvarea sistemului de ecua ții (1.103), particularizat pentru un
eșantion de tip complet care are volumul l:
() () ()
() () ()⎪⎩⎪⎨⎧
++ + =δ++ + =μ
.tln,,C… tln2,,C tln1,,C,tln,,A… tln2,,A tln1,,A
s 2s 1s*s 2s 1s*
ll
lll ll lllll ll ll (3.45)
În sistemul de ecua ții (3.45) s-au utilizat și relațiile (1.57).
Valorile estimate punctual ale parametrilor reparti ției Weibull, corespunz ătoare liniei
defectelor primare, se ob țin prin utilizarea rela țiilor de leg ătură (1.104):
⎪⎩⎪⎨⎧
δ=β=ημ
./1,e
s*
S*s*
S*
( 3 . 4 6 )
Valorile estimate punctual ale indi catorilor de fiabilitate a rulmen ților, durabilitatea
nominală ( 10.0,s*
t ) și durabilitatea median ă ( 50.0,s*
t ), se obțin din ecua ția (1.41) cu estima țiile
parametrilor (3.46), pentru p=0,10 și respectiv p=0,50.
Parametrii estima ți ai popula ției Weibull ( p***
t,,ηβ ) din care provin cele n elemente testate
rezultă prin utilizarea ecua țiilor (1.116):
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
⋅=η⋅ =ηβ=β
ββ−
.t t,,
sp*/1p*s*/1*s* *
s*s*
mm ( 3 . 4 7 )
Cu parametrii și cuantilele liniei defectelor primare se pot construi urm ătoarele variabile
aleatorii, [96], [153]:
s*sp sp*
s*s*
ss*t t, ,
δ−
δμ−μ
δδ.
Studii privind estimarea indicatorilor și optimizarea încercarilor de fiabilitate
97În cazul reparti ției Weibull aceste variabile aleatorii devin:
() () () ,p,,Vttln ;,z ;,W
spsp*
s
ss*
s*sll ll ll ==β =ηη=
ββ ∗
prin utilizarea rela țiilor (3.46). De asemenea, în [96], [153] se demonstreaz ă că ele sunt
independente de parametrii popula ției. Cu ajutorul acestor vari abile aleatorii se pot realiza
inferențele și verificarea ipotezelor statistice referitoare la parametrii și cuantilele liniei
defectelor primare, [96].
Pentru a putea realiza inferen țele statistice pentru popula ția Weibull este necesar ă
extrapolarea acestor propriet ăți la nivelul e șantionului de volum n, pe baza c ăruia s-a ob ținut
prin încercare linia defectelor primare
c Cazul parametrului de form ă
Pe baza variabilei aleatorii s*
sββ = W(ll,), se obține, folosind rela țiile (1.116):
()ll,W
s*=
ββ. ( 3 . 4 8 )
Noua variabil ă aleatorie (3.48) este repartizat ă independent de parametrii popula ției, iar
valoarea ei depinde doar de num ărul grupelor ( l) în care se subdivide e șantionul supus
testărilor.
Utilizarea ei permite realizarea inferen țelor și verificarea ipotezelor statistice referitoare la
valorile estimate ale parametrului de form ă (*
β). Rezultă:
1.1. Estimatorul mediu nedeplas at al parametrului de form ă – ∗
β:
),(Wsll⋅β=β∗∗
. ( 3 . 4 9 )
În relația (3.49) s-a notat cu ),(Wll valoarea medie a variabilei aleatorii s/∗
ββ .
Estimatorul punctual mediu nede plasat, (3.49), se calculeaz ă având la baz ă proprietatea c ă
valoarea medie a estima țiilor este egal ă cu valoarea adev ărată a parametrului ce se estimeaz ă,
vezi punctul 1.3.3.1.
1.2. Estimatorul median nedepl asat al parametrului de form ă – Me∗
β:
),( W50,0 s Mell⋅β=β∗∗
. ( 3 . 5 0 )
În relația (3.50) s-a notat cu ),( W50,0ll valoarea median ă a variației aleatorii s/∗
ββ .
Estimatorul punctual median ne deplasat, (3.50), se determin ă din condi ția, [104]:
50,0 PrMe*
=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛β<β . (3.51)
1.3. Intervalul de încredere unilateral, cu o limit ă inferioară, care corespunde unui nivel de
încredere 1- α, ca soluție a ecuației de probabilitate:
Capitolul 3
98α−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡>ββ=α∗
1 W / ),(WPrsll . (3.52)
Rezolvând ecua ția (3.52), se ob ține:
β<⋅βα∗
),(Wsll . ( 3 . 5 3 )
1.4. Intervalul de încredere unilateral, cu o limit ă superioar ă, care corespunde unui nivel
de încredere 1- α, ca soluție a ecuației de probabilitate:
α−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡<ββ=α−∗
1 W / ),(WPr1 sll . (3.54)
Rezolvând ecua ția (3.52), se ob ține:
),( W1 s llα−∗
⋅β<β . ( 3 . 5 5 )
1.5. Intervalul de încredere bilateral simetric, corespunz ător unui nivel de încredere 1- α,
ca soluție a ecuației de probabilitate:
α−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡<ββ=<α−∗
α 1 W / ),(W WPr2 1 s 2ll . (3.56)
Intervalul de încredere rezult ă sub forma:
),( W ),( W2 1 s 2 s ll llα−∗
α∗
⋅β<β< ⋅β . (3.57)
1.6. Testarea ipotezelor referitoare la parametrul de form ă, față de o valoare de referin ță
β0.
În tabelul 3.11 sunt prezentate ipotezele alternative și condițiile de acceptare a ipotezei
nule, pentru un risc de gradul I egal cu α.
Tabelul 3.11 Verificarea ipotezelor statistice pentru parametrul de form ă
Nr.
crt. Ipoteza alternativ ă
H1: Ipoteza nul ă
H0: β = β0
se acceptă, dacă:
1. β < β0 ∗
α ββ<s 0/ ),(Wll
2. β > β0 ),( W /1 s 0 llα−∗
<ββ
3. β ≠ β0 ),( W / ),( W2 1 s 0 2 ll llα−∗
α <ββ<
d Cazul parametrului de scal ă
Pe baza variabilei aleatorii ()ll,Z ln
ss*
*
s=ηηβ , folosind rela țiile (3.47), care se aplic ă atât
valorilor estimate ale parametrului de scal ă, cât și parametrilor popula ției se obține:
Studii privind estimarea indicatorilor și optimizarea încercarilor de fiabilitate
99• =
η⋅η⋅⋅β=β−∗β− ∗∗
11
ss
ln ),(Zmmll
mm
ln),(W11 lnln 1 ln
ss
⋅⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−−ηη⋅β==⋅
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
ββ−−ηη⋅β=
∗
∗∗ ∗
∗
ll (3.58)
Dacă notăm:
m m ln),(W11),(Z),(S lns⋅⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−+= =ηη⋅β∗
∗
llll l , (3.59)
se constat ă că variabila aleatorie:
ηη⋅β=∗
∗
ln ),(Ss ml , (3.60)
este dependent ă de valorile parametrilor l și m ai încercării și este independent ă de
parametrii popula ției.
Această variabilă aleatorie se poate utiliza pentru realizarea inferen țelor și verificarea
ipotezelor statistice referitoare la valor ile estimate ale parametrului de scal ă (*
η). Rezultă:
2.1. Estimatorul mediu nedeplas at al parametrului de scal ă – *
η:
*
s**),(Sexp η⋅
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
β−=ηml. (3.61)
2.2. Estimatorul median nedepl asat al parametrului de scal ă – Me*
η:
*
s*50.0
Me*),( Sexp η⋅
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
β−=ηml. (3.62)
2.3. Intervalul de încredere unilateral, cu o limit ă inferioară, care corespunde unui nivel de
încredere1- α, ca soluție a ecuației de probabilitate:
α−=
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
<ηη⋅β=α− 1 S ln ),(SPr1*
s*
ml . (3.63)
Rezolvând ecua ția (3.63), se ob ține:
η<
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
β−⋅ηα−
s*1*),( Sexpml. (3.64)
Capitolul 3
1002.4. Intervalul de încredere unilateral, cu o limit ă superioar ă, care corespunde unui nivel
de încredere 1- α, ca soluție a ecuației de probabilitate:
α−=
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
>ηη⋅β=α 1 S ln ),(SPr*
s*
ml . (3.65)
Rezolvînd ecua ția (3.65), se ob ține:
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
β−⋅η<ηα
s**),(Sexpml. (3.66)
2.5. Intervalul de încredere bilateral simetric, corespunzator unui nivel de încredere 1- α,
ca soluție a ecuației de probabilitate:
α−=
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
<ηη⋅β= <α−α 1 S ln ),(S SPr
21*
s*
2ml . (3.67)
Intervalul de încredere rezult ă sub forma:
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝⎛
β−
⋅η<η<
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝⎛
β−
⋅ηα α−
s*2*
s*21 *),(S
exp),( S
expm m l l
. (3.68)
2.6. Testarea ipotezelor statistice referitoare la parametrul de scal ă, față de o valoare de
referință η0.
În tabelul 3.12 sunt prezentate ipotezele alternative și condițiile de acceptare a ipotezei,
nule pentru un risc de gradul I egal cu α.
Tabelul 3.12 Verificarea ipotezelor statistice pentru parametrul de scal ă
Nr.
crt. Ipoteza alternativ ă
H1: Ipoteza nul ă
H0: η = η0
se acceptă, dacă:
1. η < η0
0*
s*
ln ),(Sηη⋅β<αml
2. η > η0
),( S ln1
0*
s*
mlα−<ηη⋅β
3. η ≠ η0
),( S ln ),(S
210*
s*
2m m l lα−α <ηη⋅β<
e Cazul cuantilelor reparti ției Weibull
Pe baza variabilei aleatorii () p,,Vttln
sp*
sp*
s ll=β , folosind rela țiile (3.47), care se aplic ă
atât valorilor estimate ale cuantilelor, cât și cuantilelor popula ției Weibull, se ob ține:
Studii privind estimarea indicatorilor și optimizarea încercarilor de fiabilitate
101•
p1p1
s
ttln )p,,(Vs
⋅⋅⋅β=
β−∗β−
∗∗
mmll
mm
ln),(W11ttlnln 1ttln
pp
ss
pp
s
⋅⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−−⋅β==⋅
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
ββ−−⋅β=
∗
∗∗ ∗
∗
ll (3.69)
Dacă notăm:
m m ln),(W11)p,,(V)p,,(Qttln
pp
s ⋅⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−+ = =⋅β∗
∗
llll l , (3.70)
se constat ă că variabila aleatorie:
pp
sttln )p,,(Q∗
∗
⋅β=ml , (3.71)
este independent ă de parametrii popula ției și este dependent ă de valorile parametrilor l
și m ai încercării.
Această variabilă aleatorie se poate utiliza pentru realizarea inferen țelor și verificarea
ipotezelor statistice referitoare la va lorile estimate ale cuantilelor ( p*
t) . R e z u l t ă:
3.1. Estimatorul mediu nede plasat al cuantilelor – p*
t:
p*
*
sp*
t)p,,(Qexp t ⋅
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
β−=ml. (3.72)
3.2. Estimatorul median ne deplasat al cuantilelor – pMe*
t:
.t)p,,( Qexp t p*
*
s50,0
pMe*
⋅
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
β−=ml ( 3 . 7 3 )
3.3. Intervalul de încredere unilateral, cu o limit ă inferioară, care corespunde unui nivel de
încredere 1- α, ca soluție a ecuației de probabilitate:
. 1 Qttln )p,,(QPr1
pp*
*
s α−=
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
<⋅β=α− ml (3.74)
Rezolvând ecua ția (3.74), se ob ține:
p *
s1p*
t)p,,( Qexpt <
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
β−⋅α− ml. (3.75)
Capitolul 3
1023.4. Intervalul de încred ere unilateral, cu o limit ă superioar ă, care corespunde unui nivel
de încredere 1- α, ca soluție a ecuației:
α−=
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
>⋅β=α 1 Qttln )p,,(QPr
pp*
*
s ml . (3.76)
Rezolvând ecua ția (3.76), se ob ține:
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
β−⋅<α
*
sp*
p)p,,(Qexpt tml. (3.77)
3.5. Intervalul de încredere bilateral sime tric, corespunzator unui nivel de încredere 1- α,
ca soluție a ecuației de probabilitate:
α−=
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
<⋅β= <α−α 1 Qttln )p,,(Q QPr
21pp*
*
s
2ml . (3.78)
Intervalul de încredere rezult ă sub forma:
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝⎛
β−
⋅<<
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝⎛
β−
⋅α α−
*
s2p*
p *
s21
p*)p,,(Q
expt t)p,,( Q
exptm m l l
. (3.79)
3.6. Testarea ipotezelor statistic e referitoare la cuantilele reparti ției, față de o valoare de
referință tp0.
În tabelul 3.13 sunt prezentate ipotezele alternative și condițiile de acceptare a ipotezei
nule, pentru un risc de genul I egal cu α.
Tabelul 3.13 Verificarea ipotezelor statistice pentru cuantile
Nr.
crt. Ipoteza alternativ ă
H1: Ipoteza nul ă
H0: tp = tp0
se acceptă, dacă:
1.
tp < t p0
0pp*
*
sttln )p,,(Q ⋅β<αml
2.
tp > t p0 )p,,( Qttln1
0pp*
*
s mlα−<⋅β
3.
tp ≠ tp0 )p,,( Qttln )p,,(Q
210pp*
*
s
2m m l lα−α <⋅β<
Determinarea unei forme analitice pentru reparti țiile celor trei variabile aleatorii ob ținute
anterior este imposibil de realizat. De aceea cuantilele lor se determin ă prin simulare numeric ă
Monte-Carlo, [153], [96].
Studii privind estimarea indicatorilor și optimizarea încercarilor de fiabilitate
1033.4 STUDIU PRIVIND UTILIZAREA ESTIMATORILOR
DE VEROSIMILITATE MAXIM Ă ÎN CAZUL
ÎNCERC ĂRILOR TRUNCHIATE
Testarea rulmen ților la fiabilitate nu se efectueaz ă asupra întregii popula ții, ci numai pe o
mică parte din ea – un e șantion reprezentativ, cu un efectiv de n elemente. De aceea, valorile
estimate ale parametrilor, precum și indicatorii de fiabilitate trebuie interpreta ți statistic cu un
anumit grad de încredere. De altfel, practica inferen țelor fiabiliste graviteaz ă în jurul
următoarelor opera ții:
estimarea parametric ă punctuală a parametrilor modelului statistic utilizat;
exprimarea cantitativ ă a indicatorilor de fiabilitate;
anticiparea m ărimii intervalului de încredere ce con ține valorile adev ărate ale parametrilor
sau ale indicatorilor de fiabilitate;
verificarea ipotezelor statistice.
Încercările de fiabilitate trunchiate, de și se utilizeaz ă mai rar la testarea rulmen ților,
constituie o metod ă alternativ ă pe baza c ăreia se pot lua decizii privind calitatea elementelor
testate, în condi țiile unor durate a încerc ărilor, stabilite aprioric.
Spre deosebire de cazul încerc ărilor cenzurate, complete sau cele efectuate prin metoda
liniei defectelor primare, la care s-au pus la punct tehnici de realizare a inferen țelor și
verificarea ipotezelor statis tice, [82], [96], [104], [105] , [106], pornind de la estima țiile
punctuale ale parametrilor reparti ției Weibull și prin utilizarea metodei verosimilit ății maxime,
în situația încercărilor trunchiate, aceste proce duri nu se pot aplica datorit ă specificului acestui
tip de încercare.
Încercările de fiabilitate trunchiate presupun un e șantion de volum n, care se supune
încercării, iar aceasta se desf ășoară până la parcurgerea unei durate tc stabilită anterior.
Singura metod ă de estimare parametric ă, care folose ște întreaga informa ție furnizat ă de
acest tip de încercare, este metoda verosimilit ății maxime, [60]. Dac ă se noteaz ă cu r numărul
de produse deteriorate în intervalul de timp [0, tc], funcția de verosimilitate corespunz ătoare
este, [82]:
()()() ()[]rn
cr
1ii ,tF1,tf!rn!n,tL−
=θ−θ−=θ∏ . (3.80)
Particularizând ecua ția (3.80) pentru cazul reparti ției Weibull, W(t, β, γ), se obține, [97]:
()()()⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⋅−+
η−−β
=∑
⋅
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
η⋅
ηβ⋅−=ηβ=β β
β∏r
1ic i trn t1 1r
1ii
rr
et
!rn!n,,tL . (3.81)
Prin logaritmarea rela ției (3.81) și apoi din condi ția maximiz ării funcției de verosimilitate
rezultă sistemul ecua țiilor de verosimilitate maxim ă:
()
()
()
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
⎨⎧
⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡⋅−+⋅=η=
⋅−+⋅⋅−+⋅
− +
β
∑∑
∑∑
β β β= β ββ β
.trn tr1ˆ,0
trn ttˆlntrn tlnt
tlnr1
ˆ1
r
1ˆ
cˆ
iˆr
1ir
1c ir
1cˆ
c i i
i
(3.82)
Capitolul 3
104Estimatorii punctuali de verosimilitate maxim ă ai parametrilor reparti ției Weibull se ob țin
ca soluție a sistemului de ecua ții (3.82).
Realizarea inferen țelor și verificarea ipotezelor statistice în cazul încerc ărilor cenzurate și
complete, efectuate pe e șantioane de volum redus, presupun utilizarea, [96], [104], [106], unei
serii de trei variabile aleatorii () ()n,rk /ˆlnˆ;n,rv /ˆ =ηηβ =ββ și ()p,n,ru ttˆlnˆp p=β .
Folosirea acestor va riabile aleatorii și în cazul încerc ărilor trunchiate presupune, în primul rând,
demonstrarea existen ței lor, în aceast ă situație.
Pentru aceasta, se utilizeaz ă schimbarea de variabil ă aleatorie:
β
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
η=ΥT. ( 3 . 8 3 )
Folosind rela ția (3.83), duratele ( ti) ale timpilor de func ționare pân ă la deteriorare,
obținute în urma unei încerc ări trunchiate, se mai pot scrie:
() r,…,2,1i, y t/1
i i = η=β. (3.84)
Substituind valorile ti din sistemul de ecua ții (3.82) cu valorile (3.84), rezult ă:
()() ()
()
()
()⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎧
⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡⋅η⋅−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅η=η=⋅η⋅−β−
⋅η⋅−+⋅η⋅η⋅⋅η⋅−+⋅η⋅⋅η
∑∑∑∑
=βββ βββ β=β=βββ βββ=β βββ β βββ
. y rn yr1ˆ,0 y lnr1ˆ1
y rn yy ln y rn y ln y
r
1i/ˆ
cˆ /ˆ
iˆ ˆr
1i/1
ir
1i/ˆ
cˆ /ˆ
iˆr
1i/1
c/ˆ
cˆ /1
i/ˆ
iˆ
(3.85)
După o serie de prelucr ări, sistemul (3.85) devine:
()
()
()
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡⋅−+
=ηη⋅β= −
ββ−
−+⋅−+⋅∑∑
∑∑
=ββ ββ=
=ββ ββ=ββ ββ
.ryrn y
lnˆlnˆ,0 ylnr1
/ˆ1
yrn yyln yrn yln y
r
1i/ˆ
c/ˆ
ir
1ii r
1i/ˆ
c/ˆ
ir
1ic/ˆ
c i/ˆ
i
(3.86)
Dacă se analizeaz ă sistemul de ecua ții (3.86), comparativ cu sistemul de ecua ții (3.82),
rezultă că variabilele aleatorii ββ/ˆ și ηη⋅β /ˆlnˆ sunt repartizate independent de β și η. De
asemenea, se observ ă că valorile lor sunt depende nte de parametrii încerc ării trunchiate : r și yc.
Pentru a demonstra c ă variabila aleatorie ppttˆlnˆ⋅β prezintă aceleași propriet ăți, se
procedeaz ă analog, ca în cazul anterior, cu diferen ța că la construc ția sistemului de ecua ții de
verosimilitate maxim ă se utilizeaz ă forma reparti ției Weibull (rela ția (1.42)) exprimat ă în
funcție de cuantilele reparti ției.
Studii privind estimarea indicatorilor și optimizarea încercarilor de fiabilitate
105Inferențele statistice, în cazul încerc ărilor trunchiate, se pot real iza prin utilizarea acestor
variabile aleatorii, îns ă trebuie să se țină seama de specificul încerc ării.
Determinarea intervalelor de încredere pentru parametrii și cuantilele reparti ției Weibull,
precum și testarea ipotezelor statistice referitoare la parametrii și cuantile se poate face
acoperitor, ținând seama de faptul c ă durata tc a încercării se poate considera ca fiind cuprins ă,
[21], între duratele unor încerc ări cenzurate la nivel r, respectiv r+1 deteriorări.
Pe baza acestei ipoteze rela țiile de calcul al limitelor supe rioare de încredere se modific ă
prin înlocuirea cu antilelor corespunz ătoare unui nivel de cenzurare r, cu cele corespunz ătoare
unui nivel r+1. Rezultă:
c Pentru parametrul de form ă, β
Variabila aleatorie )n,r(v ˆ=ββ permite ob ținerea:
1.1. Intervalului de încredere unilateral, cu o limit ă inferioar ă, și care corespunde unui
nivel de încredere 1- α, ca soluție a ecuației de probabilitate:
[ ]α−=+<ββ=α− 1)n,1r( v /ˆ)n,r(vPr1 . (3.87)
Rezolvând ecua ția (3.87), se ob ține:
β<+β
α− )n,1r( vˆ
1. (3.88)
1.2. Intervalului de încredere unilateral, cu o limit ă superioar ă, și care corespunde unui
nivel de incredere 1- α, ca soluție a ecuației de probabilitate:
[ ] . 1)n,r(v /ˆ)n,r(vPr α−= >ββ=α (3.89)
Rezolvând ecua ția (3.89), se ob ține:
)n,r(vˆ
αβ<β . ( 3 . 9 0 )
1.3. Intervalului de încreder e bilateral simetric, corespunz ător unui nivel de încredere 1-
α, ca soluție a ecuației de probabilitate:
α−=
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
+<ββ=<α−α 1)1r( v /ˆ)n,r(v)n,r(vPr
212. (3.91)
Intervalul de încredere rezult ă sub forma:
)n,r(vˆ
)n,1r( vˆ
2 21α α−β<β<+β. (3.92)
1.4. Testarea ipotezelor statistice referitoare la parametrul de form ă, față de o valoare de
referință β0.
În tabelul 3.14 sunt prezentate ipotezele alternative și condițiile de acceptare a
ipotezei nule, pentru un ri sc de gradul I egal cu α.
Capitolul 3
106Tabelul 3.14 Verificarea ipotezelor statisti ce pentru parametrul de form ă
Nr.
crt. Ipoteza alternativ ă
H1: Ipoteza nul ă
H0: β = β0
se acceptă, dacă:
1. β < β0 0/ˆ)n,r(v ββ<α
2. β > β0 )n,1r( v /ˆ1 0 +<ββα−
3. β ≠ β0 )n,1r( v /ˆ)n,r(v
210
2+<ββ<α−α
d Pentru parametrul de scal ă, η
Variabila aleatorie )n,r(k ˆlnˆ=ηη⋅β permite ob ținerea:
2.1. Intervalului de încredere unilateral, cu o limit ă inferioar ă, și care corespunde unui
nivel de încredere1- α, ca soluție a ecuației de probabilitate:
α−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+<ηη⋅β=α− 1)n,1r( kˆlnˆ)n,r(kPr1 . (3.93)
Rezolvând ecua ția (3.93), se ob ține:
η<
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
β+−⋅ηα−
ˆ)n,1r( kexpˆ1. (3.94)
2.2. Intervalului de încredere unilateral, având o limit ă superioar ă și care corespunde unui
nivel de încredere 1- α, ca soluție a ecuației de probabilitate:
α−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡>ηη⋅β=α 1 kˆlnˆ)n,r(kPr . (3.95)
Rezolvând ecua ția (3.95), se ob ține:
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
β−⋅η<ηα
ˆ)n,r(kexpˆ . (3.96)
2.3. Intervalului de încreder e bilateral simetric, corespunz ător unui nivel de încredere 1- α,
ca soluție a ecuației de probabilitate:
α−=
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
+<ηη⋅β=<α−α 1)n,1r( kˆlnˆ)n,r(k)n,r(kPr
212. (3.97)
Intervalul de încredere rezult ă sub forma:
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
β−
⋅η<η<
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
β+−
⋅ηα α−
ˆ)n,r(k
expˆˆ)n,1r( k
expˆ2 21
. (3.98)
2.4. Testarea ipotezelor statistice re feritoare la parametrul de scal ă, față de o valoare de
Studii privind estimarea indicatorilor și optimizarea încercarilor de fiabilitate
107referință η0.
În tabelul 3.15 sunt prezentate ipotezele alternative și condițiile de acceptare a ipotezei
nule pentru un risc de gradul I egal cu α.
Tabelul 3.15 Verificarea ipotezelor statisti ce pentru parametrul de scal ă
Nr.
crt. Ipoteza alternativ ă
H1: Ipoteza nul ă
H0: η = η0
se acceptă, dacă:
1. η < η0
0ˆlnˆ)n,r(kηη⋅β<α
2. η > η0 )n,1r( kˆlnˆ1
0+<ηη⋅βα−
3. η ≠ η0 )n,1r( kˆlnˆ)n,r(k
2102+<ηη⋅β<α−α
e Pentru cuantilele , tp
Variabila aleatorie )p,n,r(u)t/tˆln(ˆp p= ⋅β permite ob ținerea:
3.1. Intervalului de încredere unilateral, cu o limit ă inferioară, care corespunde unui nivel
de încredere 1- α, ca soluție a ecuației de probabilitate:
α−=
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
+<⋅β=α− 1)p,n,1r( uttˆ
lnˆ)p,n,r(uPr1
pp. (3.99)
Rezolvând ecua ția (3.99), se ob ține:
p1
p tˆ)p;n;1r( uexptˆ <
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
β+−⋅α−. (3.100)
3.2. Intervalului de încredere unilateral, cu o limit ă superioar ă, care corespunde unui nivel
de încredere 1- α, ca soluție a ecuației:
α−=
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
>⋅β=α 1 uttˆ
lnˆ)p,n,r(uPr
pp. (3.101)
Rezolvând ecua ția (3.101), se ob ține:
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
β−⋅<α
ˆ)p;n;r(uexptˆtp p . (3.102)
3.3. Intervalului de încreder e bilateral simetric, corespunz ător unui nivel de încredere 1- α,
ca soluție a ecuației de probabilitate:
α−=
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
+<⋅β= <α−α 1)p,n,1r( uttˆ
lnˆ)p,n,r(u)p,n,r(uPr
21pp
2. (3.103)
Intervalul de încredere rezult ă sub forma:
Capitolul 3
108.ˆ)p;n;r(u
exptˆtˆ)p;n;1r( u
exptˆ 2
p p21
p
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
β−
⋅<<
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
β+−
⋅α α−
(3.104)
3.4. Testarea ipotezelor statistice referitoare la cuantilele reparti ției, față de o valoare de
referință tp0.
În tabelul 3.16 sunt prezentate ipotezele alternative și condițiile de acceptare a ipotezei
nule, pentru un risc de genul I egal cu α.
Tabelul 3.16 Verificarea ipotezelor statistice pentru cuantile
Nr.
crt. Ipoteza alternativ ă
H1: Ipoteza nul ă
H0: tp = tp0
se acceptă, dacă:
1. t p < t p0
0pp
ttˆ
lnˆ)p,n,r(u ⋅β<α
2. t p > t p0
)p,n,1r( uttˆ
lnˆ1
0pp+<⋅βα−
3. tp ≠ tp0
)p,n,1r( uttˆ
lnˆ)p,n,r(u
210pp
2+<⋅β<α−α
3.5. CERCET ĂRI PRIVIND OPTIMIZAREA
MODALIT ĂȚILOR DE ESTIMARE A
INDICATORILOR DE FIABILITATE
Organizarea și desfășurarea încerc ărilor la durabilitate/fiabilitate a rulmen ților reprezint ă
activități deosebit de complexe și dificil de realizat. Dificultatea rezult ă din faptul c ă înaintea
efectuării propriu-zise trebuie stabilite o serie de elemente definitorii:
volumul e șantionului supus test ării;
tipul încerc ării efectuate;
numărul de rulmen ți deteriora ți în timpul încerc ării sau durata încerc ării;
metoda de estimare parametric ă utilizată.
Acești parametri ce caracterizeaz ă încercarea se stabilesc având la baz ă o serie de criterii
de optimizare, [7], [25], [4 ], [68], [83], [104] [105] și bineînțeles, în strict ă corelație cu baza
materială existentă.
Studii privind estimarea indicatorilor și optimizarea încercarilor de fiabilitate
1093.5.1 CRITERII DE OPTIMIZARE
Pentru precizarea principalelor criterii de optimizare a încerc ărilor la
durabilitate/fiabilitate a rulmen ților este important s ă se noteze faptul c ă estimația punctual ă θˆ
a unui parametru θ, fiind o func ție de rezultate experimentale aleatorii ( t1,t2,…t r), este ea îns ăși o
variabilă aleatorie cu o distribu ție ()θθˆg , condiționată de valoarea adev ărată a parametrului θ,
de volumul de e șantion n, precum și de numărul de elemente deteriorate în timpul încerc ării (r).
De asemenea, estima ția punctual ă a unui parametru are anumite propriet ăți pe baza c ărora
se pot ierarhiza diferite le metode de construc ție a estim ărilor. Principalele propriet ăți ale
estimatorilor au fost prezentate la punctul 1.3.3.1 . Pe lângă acestea, în literatura de specialitate
[21], [60], [82], [96], se pot întâlni și alte criterii statistice ce se pot utiliza pentru caracterizarea
proprietăților estimatorilor. Indifere nt de modul lor de defini ție, propriet ățile estimatorilor
punctuali se pot grupa în trei mari categorii: absen ța deplasării, consisten ța și precizia, [21].
Dintre acestea, consisten ța reprezint ă o proprietate care nu poate fi utilizat ă în cazurile practice
de proiectare a planurilor de încerc ări, deoarece se refer ă la un caz arbitrar, acela al cre șterii
foarte mult a num ărului observa țiilor.
Din aceast ă analiză, efectuat ă anterior, rezult ă principalele criterii de optimizare a
modalităților de estimare a indicatorilor de fiabilitate:
n Precizia de estimare a parametrilor și indicatorilor de fiabilitate .
Precizia estim ării este în țeleasă ca o măsură a apropierii valorii estimate punctual de
valoarea adev ărată a parametrului. Problema preciziei estima țiilor este spinoas ă deoarece
abordarea ei teoretic ă nu răspunde în întregime necesit ăților practice de caracterizare a
fiabilității sistemelor.
Indiferent de modul în care ar fi definit ă precizia estim ării punctuale: cu ajutorul
dispersiei, al cantit ății de informa ție sau al energiei informa ționale, nici una dintre aceste
modalități de exprimare nu poate servi direct în practica proiect ării încercărilor de fiabilitate,
unde este necesar ă o măsură a preciziei mai sugestiv ă și mai ușor de stabilit aprioric, [21].
De aceea, pentru exprimarea aprioric ă preciziei de estimare în [25], [68], [104], [105] se
recomand ă utilizarea procedurii de estimare cu interval de încredere, prin care se eviden țiază
gradul de incertitudine asoc iat parametrului de estimat.
Un interval de încredere ()U L,θθ , valorile de cap ăt fiind calculate pe baza rezultatelor
experimentale, con ține valoarea adev ărată a parametrului θ cu probabilitatea 1- α, numită nivel
de încredere:
() α−=θ<θ<θ 1 PU Lr . (3.105)
Cu ajutorul celor dou ă limite ale intervalului de încredere bilateral simetric, exprimate
prin relația (3.105), se poate defini un indicator al preciziei de estim are, [4], [25], [68], [104],
[105]:
() , R
LU
θθ=αθ (3.106)
ca raportul dintre limita superioar ă de încredere și cea inferioar ă, corespunz ătoare unui nivel de
încredere 1- α.
Capitolul 3
110În continuare vor fi prezentate expres iile acestui indicator pentru situa țiile întâlnite în
cazul test ării rulmen ților: încerc ări cenzurate (împreun ă cu cazul particular al încerc ărilor
complete) și încercări efectuate prin metoda liniei de fectelor primare; estimatorii de
verosimilitate maxim ă și estimatori liniari de tip BLIE. Se utilizeaz ă în acest scop variabilele
aleatorii caracteristice utiliz ării celor doi estimatori, considera ți pentru fiecare tip de încercare.
În tabelul 3.17 sunt prezentate sintetic aces te variabile aleatorii, precum și domeniul lor de
utilizare.
În cazul încerc ărilor cenzurate și al utiliz ării estimatorilor de verosimilitate maxim ă se
obține:
1.1 Pentru parametrul de form ă, β:
Intervalul de încredere bilateral simetric, corespunz ător unui nivel de încredere 1- α,
rezultă ca soluție a ecuației de probabilitat e, [68], [25]:
()() () [ ] , 1 n,r v /ˆ n,rv n,r vP2/ 1 2/ r α−= ≤ββ=≤α− α (3.107)
sub forma:
() ()r,n vˆ
r,n vˆ
2/ 2/ 1 α α−β≤β≤β , (3.108)
iar indicatorul preciziei de estimare rezult ă, prin utilizarea rela ției de defini ție (3.106):
()()()()
().r,n vr,n v
ˆr,n v
r,n vˆ
R
2/2/ 1 2/ 1
2/ αα− α−
αα =
β⋅β=β (3.109)
1.2 Pentru parametrul de scal ă ,η:
Indicatorul preciziei de estimare se ob ține folosind limitele inte rvalului de încredere
bilateral, simetric construit, având la baz ă ecuația de probabilit ate [25], [68]:
()() () α−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡≤ηηβ=≤α− α 1 n,r kˆlnˆ n,rk n,r kPr2/ 1 2/ , (3.110)
Intervalul de încrede rezult ă:
() (),ˆn,r kexpˆˆn,r kexpˆ2/ 2/ 1
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
β−η<η<
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
β−ηα α− (3.111)
iar expresia indicatorului preciziei de estimare este:
()() ()
() ().ˆn,r kn,r kexpˆn,r kexpˆˆn,r kexpˆ R
2/ 2/ 11
2/ 1 1 2/
⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡
β−=⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
β−η⋅
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
β−η=α
α α−−
α− − α
η
(3.112)
Întrucât ()αηRd i n r e l a ția (3.112) depinde de valoarea estimat ă a parametrului de form ă
()βˆ, în [25], [68], [104], [105], [4] se recomand ă utilizarea valorii mediane a estimatorului lui β:
()n,r v ˆ50,0 Me⋅β=β (3.113)
Studii privind estimarea indicatorilor și optimizarea încercarilor de fiabilitate
111Tabelul 3.17 Variabile aleatorii specifice reparti ției Weibull
Nr.
crt. Variabila
aleatorie Definiție Domeniul de utilizare Index
bibliografic
1.
v(r, n)
ββˆ
– estimatori de verosimilitate maxim ă;
– încercări cenzurate/ complete/ trunchiate;
– corectarea deplas ării;
– calculul limitelor de încredere;
– verificarea ipotezelor statistice. [25], [68], [4],
[104],
– punctul 3.4
2.
k(r, n) ηη⋅βˆlnˆ – estimatori de verosimilitate maxim ă;
– încercări cenzurate/ complete/ trunchiate;
– corectarea deplas ării;
– calculul limitelor de încredere;
– verificarea ipotezelor statistice. [25], [68], [4],
[104],
– punctul 3.4
3.
u(r, n, p)
pp
ttˆ
lnˆ⋅β – estimatori de verosimilitate maxim ă;
– încercări cenzurate/ complete/ trunchiate;
– corectarea deplas ării;
– calculul limitelor de încredere; – verificarea ipotezelor statistice. [25], [68], [4],
[104],
– punctul 3.4
4.
W(r, n) ∗
ββ – estimatori liniari tip BLIE;
– încercări cenzurate/ complete;
– corectarea deplas ărilor;
– calculul limitelor de încredere; – verificarea ipotezelor statistice.
[96], [153]
5.
Z(r, n)
ηη⋅β∗
∗
ln – estimatori liniari tip BLIE;
– încercări cenzurate/ complete;
– corectarea deplas ărilor;
– calculul limitelor de încredere;
– verificarea ipotezelor statistice.
[96], [153]
6.
V(r, n, p)
pp
ttln∗
∗
⋅β – estimatori liniari tip BLIE;
– încercări cenzurate/ complete;
– corectarea deplas ărilor;
– calculul limitelor de încredere;
– verificarea ipotezelor statistice.
[96], [153]
7.
v(ll,)
ββsˆ
– estimatori de verosimilitate maxim ă;
– încercări prin metoda liniei defectelor primare;
– corectarea deplas ărilor;
– calculul limitelor de încredere; – verificarea ipotezelor statistice.
[25], [68], [4],
[105]
8.
s(m,l ) ηη⋅βˆlnˆs – estimatori de verosimilitate maxim ă;
– încercări prin metoda liniei defectelor primare;
– corectarea deplas ărilor;
– calculul limitelor de încredere; – verificarea ipotezelor statistice.
[25], [68], [4],
[105]
9.
q(m,l p)
pp
sttˆ
lnˆ⋅β – estimatori de verosimilitate maxim ă;
– încercări prin metoda liniei defectelor primare;
– corectarea deplas ărilor;
– calculul limitelor de încredere;
– verificarea ipotezelor statistice.
[25], [68], [4],
[105]
10.
W(ll,) ∗
ββ
s – estimatori liniari tip BLIE;
– încercări prin metoda liniei defectelor primare;
– corectarea deplas ărilor;
– calculul limitelor de încredere;
– verificarea ipotezelor statistice.
– punctul 3.3
11.
S(m,l )
ηη⋅β∗
∗
lns – estimatori liniari tip BLIE;
– încercări prin metoda liniei defectelor primare;
– corectarea deplas ărilor;
– calculul limitelor de încredere;
– verificarea ipotezelor statistice.
– punctul 3.3
12.
Q(m,l ,p)
pp
sttln∗
∗
⋅β – estimatori liniari tip BLIE;
– încercări prin metoda liniei defectelor primare;
– corectarea deplasarilor;
– calculul limitelor de încredere; – verificarea ipotezelor statistice.
– punctul 3.3
În aceste condi ții relația (3.112) devine:
()()()
() ⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⋅β−=αα α−
ηn,r vn,r kn,r kexp R
50,02/ 2/ 1. (3.114)
Capitolul 3
112Indicatorul preciziei de estimare (3.114) depinde, în acest caz, de valoarea necunoscut ă a
parametrului de form ă (β). Pentru a putea fi utilizat ă în cazurile practice, rela ția (3.114) se
folosește sub forma:
()()()
().n,r vn,r kn,r kexp R
50,02/ 2/ 1
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡ −=αα α− β
η (3.115)
1.3 Pentru cuantilele de ordinul p ale reparti ției Weibull :
Limitele intervalului bilateral de încrede pentru cuantilele reparti ției sunt:
() ().ˆn,r uexptˆtˆn,r uexptˆ 2/
p p2/ 1
p⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
β−<<
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
β−α α− (3.116)
Ele se obțin ca solu ție a ecuației de probabilitate:
() () () . 1 p,n,r up,n,ruttˆ
lnˆ p,n,r uP2/ 1
pp
2/ r α−=
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
≤ =β≤α− α (3.117)
Aplicând acela și raționament care a condus la ob ținerea indicatorilor (3.112) și (3.115), se
obține în cazul cuantilelor:
()()()
() ⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡ −=αα α− β
n,r vp,n,r up,n,r uexp R
50,02/ 2/ 1
tp. (3.118)
Pentru celelalte cazuri analizate forma i ndicatorilor preciziei de estimare se ob ține în
același mod. În tabelul 3.18 sunt prezentate expresiile lor. Din analiza acestor rela ții se constat ă
că valoarea indicatorilor precizie i de estimare pentru parametrii și indicatorii de fiabilitate ai
rulmenților depinde doar de tipul încerc ării, de volumul e șantionului n, precum și de numărul de
rulmenți deteriora ți în timpul încerc ării (r sau l).
De aceea, cunoa șterea valorilor acestor indicatori, precum și impunerea unei precizii
inițiale pentru estimarea parametrilor și indicatorilor de fiabilitate ai rulmen ților, face posibil ă
alegerea tipului de încercare utilizat ă, precum și a planului de încerc ări.
În cazul încerc ărilor trunchiate, utilizarea aprioric ă a acestor indicatori nu este posibil ă,
deoarece num ărul de căderi r care survine în intervalul (0, tc] nu poate fi cunoscut cu exactitate
decât în finalul încerc ării.
o Deplasarea parametrilor și indicatorilor de fiabilitate
Pentru a caracteriza complet estimatorii utiliza ți la prelucrarea statistic ă a rezultatelor
experimentale ob ținute în urma test ării la durabilitate/fiabilitate a rulmen ților, este necesar ca
analiza să fie completat ă cu un indicator care s ă exprime deplasarea parametrilor și indicatorilor
de fiabilitate.
În acest sens, în continuare, se va propune utilizarea unui nou indicator, Dθ, care permite
stabilirea aprioric ă a tipului de încercare și a planului de încerc ări din condi ția deplasării
estimațiilor punctuale ale parametrilor și indicatorilor de fiabilitate ai rulmen ților.
Acesta se define ște ca fiind raportul dintre valoarea medie a estimatorului utilizat și
valoarea real ă a parametrului:
Studii privind estimarea indicatorilor și optimizarea încercarilor de fiabilitate
113Tabelul 3.18 Indicatorii preci zie de estimare
Nr.
crt. Tipul încerc ării
/estimatorul utilizat Parametru/
indicator de
fiabilitate Indicatorul precizie de estimare
()( )ααβ
θθ R; R
Încercări cenzurate (complete)
1. Verosimilitate
maximă βˆ ()
()r,n vr,n v
2/2/1
αα−
ηˆ ()( )
() ⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡ −α α−
n,r vn,r kn,r kexp
50,02/ 2/ 1
ptˆ ()()
() ⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡ −α α−
n,r vp,n,r up,n,r uexp
50,02/ 2/1
2. BLIE *
β ()
()r,n Wr,n W
2/2/1
αα−
*
η () ()
() ⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡ −
−α α−
n,r Wn,r Zn,r Zexp1
50,02/ 2/ 1
*
pt () ()
() ⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡ −
−α α−
n,r Wp,n,r Vp,n,r Vexp1
50,02/ 2/1
Încercări efectuate prin metoda li niei defectelor primare
3. Verosimilitate
maximă βˆ ()
()llll
, v, v
2/2/1
αα−
ηˆ ()( )
() ⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡ −α α−
lll l
, v, s , sexp
50,02/ 2/ 1 m m
ptˆ ()()
() ⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡ −α α−
lll l
, vp,, qp,, qexp
50,02/ 2/1 m m
4. BLIE *
β ()
()llll
, W, W
2/2/1
αα−
*
η () ()
() ⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡ −
−α α−
lll l
, W, S , Sexp1
50,02/ 2/ 1 m m
*
pt ()()
() ⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡ −
−α α−
lll l
, Wp,, Vp,, Qexp1
50,02/ 2/1 m m
.ˆ
Dm
θθ=θ (3.119)
Astfel, în cazul încerc ărilor cenzurate și al estimatorilor de verosimilitate maxim ă se obține:
2.1 Pentru cazul parametrului de form ă:
.)r,n(v ˆ
Dm
ββ⋅=ββ=β (3.120)
Rezultă:
Capitolul 3
114).r,n(v D=β (3.121)
2.2 Pentru cazul parametrului de scal ă:
.e ˆDˆ)r,n(k
m
η⋅η=ηη=β
η (3.122)
Rezultă:
. e Dˆ)r,n(k
β
η= (3.123)
Întrucât Dtp, calculat anterior, depinde de valoarea estimat ă a parametrului de form ă (βˆ),
ecuația (3.123) se poate scrie, consider ând valoarea medie a estimatorului lui β:
. e D)r,n(v)r,n(k
⋅β
η= (3.124)
Deoarece valoarea indicatorul ui pentru deplasare din rela ția (3.124) depinde de valoarea
necunoscut ă a parametrului de form ă β, în aplica țiile practice se poate utiliza rela ția:
. e D)r,n(v)p,r,n(k
=β
η (3.125)
2.3 Pentru cazul cuantilei p a repartiției Weibull :
()
()
. etet
ttˆ
Dˆp,n,ru
pˆp,n,ru
p
ppm
tpββ
=⋅== (3.126)
Aplicând acela și raționament care a condus la ob ținerea indicatorului (3.125), se ob ține în
cazul cuantilelor:
()
. e D)r,n(vp,n,ru
tp=β (3.127)
Pentru celelalte cazuri anali zate, forma indicatorilor deplas ării estima țiilor se ob ține în
același mod. În tabelul 3.19 sunt prezentate expresiile lor.
Ca și în cazul precedent se poate face aceea și remarcă, valoarea indicatorilor deplas ării
depinde doar de tipul încerc ării, de volumul e șantionului ( n), precum și de numărul de rulmen ți
deteriorați în timpul ( r sau l) și utilizarea lor face posibil ă alegerea tipului de încercare, precum
și a planului de încercare.
p Durata încerc ărilor
Acest criteriu de optimizare reflect ă aspectul economic al organiz ării și desfășurării
încercărilor la durabilitate/fiabilitate a rulmen ților.
Costul total al unei încerc ări de fiablitate ( CT) se poate scrie sub forma, [83], [157]:
()4 3 2 r,n 1 T CN C C TC C +⋅−+⋅= , (3.128)
Studii privind estimarea indicatorilor și optimizarea încercarilor de fiabilitate
115Tabelul 3.19 Indicatorii deplas ării
Nr.
crt. Tipul încerc ării/
estimatorul utilizat Parametru/indicator
de fiabilitate Indicatorul precizie de estimare
β
θθD;D
Încercări cenzurate (complete)
1
. Verosimilitate
maximă βˆ ()r,nv
ηˆ ()
()r,nvr,nk
e
ptˆ ()
()r,nvp,r,nu
e
2
. BLIE *
β ()r,nW1
*
η ()()r,nWr,nZe⋅
*
pt ()()r,nWp,r,nVe⋅
Încercări efectuate prin metoda li niei defectelor primare
3. Verosimilitate
maximă βˆ ()ll,v
ηˆ ()
()lll
,v,s
em
ptˆ ()
()lll
,vp,,q
em
4. BLIE *
β ()ll, W1−
*
η ()()ll l ,W ,Se⋅m
*
pt ()()ll l ,Wp,,Qe⋅m
unde:
C1 – reprezint ă costul pe or ă al încercării;
Tn,r – durata total ă a încercării, [ore];
C2 – costul fiec ărui element testat;
C3 – valoarea ce poate fi recuperat ă din fiecare element testat, dup ă terminarea încerc ării;
N – numărul total de elemente ce func ționează pe stand în timpul efectu ării testării;
C4 – valoarea fix ă a încercării, valoare ce nu depinde de volumul e șantionului sau de durata
testului.
Din cei trei termeni ce intervin în ecua ția (3.128) ponderea cea mai mare o are r,n 1TC⋅ .
Rezultă că durata total ă a încercării poate fi folosit ă drept criteriu de optimizare a modalit ăților
de estimare a indicatorilor de fiabilitate.
Durata total ă a încercării poate fi estimat ă astfel:
3.1 Pentru cazul încerc ărilor cenzurate f ără înlocuire
Se utilizeaz ă în acest scop func ția de reparti ție Weibull, ecua ția (1.38), scris ă sub forma,
[83]:
Capitolul 3
116() . e1 tFit
inβ
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
ηγ−−
−= (3.129)
În cazul unei încerc ări efectuate pe un e șantion de volum n, cenzurat ă la nivelul r, din
ecuația (3.129), prin logaritmare și aranjarea termenilor, se poate ob ține expresia duratei totale a
încercării, Tn,r:
()[]{} . tF1ln T/1
rn r,n γ+ −−η=β (3.130)
Dacă în ecuația (3.130) se utilizeaz ă, pentru func ția empiric ă de reparti ție Fn(tr), relațiile
(1.72) sau (1.73) și (1.74), se ob ține în final valoarea median ă a duratei totale a încerc ării.
Utilizarea valorii (1 .71), pentru func ția empiric ă de reparti ție, conduce la estimarea valorii medii
a duratei totale a încerc ării cenzurate.
3.2 Pentru cazul încerc ărilor complete
Durata total ă a încercării, pentru un e șantion de volum n, rezultă prin particularizarea
ecuației (3.130) cu r = n:
()[]{} γ+ −−η=β/1
nn n,n tF1ln T , (3.131)
sau, [83]:
()γ+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⋅η=β/1
1nn,ntF1ln T . (3.132)
Valoarea median ă a duratei totale a încerc ării se obține din rela ția (3.131) și (1.73), [83]:
.n69315,0ln T/1
n,n γ+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅η=β
(3.133)
3.3 Pentru cazul încerc ărilor efectuate prin metoda liniei defectelor primare
Acest tip de încercare se poate efectua în dou ă moduri distincte:
¾ cele n elemente testate, grupate în l subgrupe, fiecare con ținând m elemente, se încearc ă
simultan.
Valoarea median ă a duratei totale a încerc ării, Tl, m-sim, este, [83]:
().tF1ln1T/1
1sim ,β
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⋅η=
llm-m (3.134)
¾ Cele n elemente testate, grupate în l grupe, fiecare con ținând m elemente, se încearc ă
succesiv.
Valoarea median ă a duratei totale a încerc ării, Tl, m-suc, este, [83]:
,2lnT/1
suc ,β
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⋅η⋅⋅ψ=m-m ll (3.135)
relație în care:
ψ – reprezint ă un factor de conversie a sumei medianel or timpurilor în mediana sumei. Valoarea
lui este, [83]:
Studii privind estimarea indicatorilor și optimizarea încercarilor de fiabilitate
117() ()
().
12ln2ln111!1
/1/1
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
β+Γ⋅+−⋅⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
β+Γ⋅−
=ψ
ββ
ll l
(3.136)
Relațiile pentru durata total ă a încercării, prezentate anterior, pot fi utilizate la construc ția
unor indicatori, pe baza c ărora se poate realiza discriminare a între diferitele tipuri de încerc ări
aplicate în cazul rulmen ților. Considerând γ = 0, se ob ține astfel, [83]:
()()
().r/ 69315,0lntF1lnI/1
rn
1β
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−= (3.137)
Indicatorul I1 permite aprecierea economiei de timp realizat ă în cazul efectu ării unei
încercări de volum n, cenzurat ă la nivelul r, comparativ cu o încercare complet ă efectuată pe un
eșantion de volum n = r.
()()
().n/ 69315,0lntF1lnI/1
rn
2β
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−= (3.138)
Indicatorul I2 permite aprecierea economiei de timp realizat ă în cazul efectu ării unei
încercări de volum n, cenzurat la nivel r, comparativ cu o încercare complet ă efectuată pe un
eșantion de volum n.
().
tF1ln2ln1
I/1
1n3β
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
⋅⋅ψ=ml (3.139)
Indicatorul I3 permite aprecierea economiei de ti mp realizate în cazul unei încerc ări
efectuate prin metoda liniei defect elor primare, cu testarea succesiv ă a celor n elemente
( l⋅=m n ), comparativ cu o încercare complet ă efectuată pe un eșantion de volum n.
()
().
tF1lntF1ln1
I/1
1n1
4β
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡⋅
=l m (3.140)
Indicatorul I4 permite aprecierea economiei de ti mp realizate în cazul unei încerc ări
efectuate prin metoda liniei defect elor primare, cu testarea simultan ă a celor n elemente
( l⋅=m n ), comparativ cu o încercare complet ă efectuată pe un eșantion de volum n.
()
().
tF1ln1tF11ln
I/1
1n
5β
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
⋅−=ll
m (3.141)
Indicatorul I5 permite aprecierea economiei de ti mp realizate în cazul unei încerc ări
efectuate pe un e șantion de volum n, cenzurat ă la nivelul r, comparativ cu o încercare efectuat ă,
prin metoda liniei defectelor primare ( l⋅=m n ), cu l = r.
Capitolul 3
118În funcție de cazul concret analizat se pot construi și alți indicatori prin utilizarea rela țiilor
(3.130)…(3.136).
3.5.2 STUDIU COMPARATIV PR IVIND ESTIMAREA
INDICATORILOR DE FIABILITATE
Modul în care au fost defini ți, la punctul 3.5.1 , indicatorul preciziei de estimare (rela ția
(3.106)) și indicatorul deplas ării (relația (3.119)), permite realizarea unui studiu comparativ
privind estimarea parametrilor ( β,η) și indicatorilor de fiabilitate ( t
0,10, t0,50) a rulmen ților prin
considerarea simultan ă a celor dou ă proprietăți de bază a estimatorilor, precizia și deplasarea .
Folosind rela țiile prezentate în tabelele 3.18 și 3.19, se pot studia comparativ cele patru
cazuri frecvent întâlnite în practica test ării la fiabilitate a rulmen ților:
încercări cenzurate;
încercări efectuate prin metoda liniei defectelor primare;
estimatori de verosimilitate maxim ă;
estimatori liniari de tip BLIE.
Pentru a putea calcula valorile numer ice ale acestor indicatori în condi țiile diferitelor
planuri de încerc ări, sunt necesare tabele care con țin valorile cuantilelor celor zece variabile
aleatorii (vezi tabelul 3.17), pe baza c ărora s-au determinat expres iile celor doi indicatori.
În literatura de specialitat e, cuantilele variabilelor al eatorii utilizate în interfe țele statistice
prezentate anterior sunt greu accesibile, incomplete și provin din surse diferite atât ca mod de
simulare, cât și ca număr de simul ări efectuate pentru fiecare caz în parte.
De aceea, în continuare, se va prez enta un sistem de simulare numeric ă Monte-Carlo pe
baza căruia se pot calcula cuantilele acestor variabile aleatorii, într-un mod unitar.
Metoda de simulare numeric ă Monte-Carlo utilizeaz ă numere aleatorii ( nai) continue și
uniforme în intervalul [0,1], pentru modela rea variabilelor aleatorii, în scopul calcul ării
caracteristicilor reparti țiilor lor, [43].
Simularea încerc ărilor de fiabilitate a rulmen ților se realizeaz ă prin utilizarea func ției
inverse de reparti ție, [35], [87], [145], [ 76], [156]. Aceasta se ob ține prin logaritmare din rela ția
(1.38), pentru γ = 0:
().tF11ln t/1
iiβ
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−⋅η= (3.142)
Din analiza formei variabilelor aleatorii util izate în inferentele st atistice referitoare la
parametrii și indicatorii de fiabilitate ai rulmen ților (tabelul 3.17) se constat ă că pentru
realizarea simul ărilor se poate utiliza reparti ția biparametric ă Weibull care are parametrii
11 1=η=β , [82], [76]. Din ecua ția (3.142) se ob ține, în acest caz:
Studii privind estimarea indicatorilor și optimizarea încercarilor de fiabilitate
119.na11lnt
ii ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−= (3.143)
Algoritmul de calcul, pentru simularea încerc ărilor cenzurate const ă în parcurgerea
următoarelor etape, [82]:
A. Date inițiale:
• n – volumul e șantionului;
• r – nivelul de cenzurare.
B. Generarea a n numere aleatorii uniforme ( nai, i=1,…, n), în intervalul [0,1].
C. Calculul timpilor de deteriorare ( ti) prin utilizarea func ției inverse de reparti ție,
ecuația (3.143).
D. Ordonarea cresc ătoare a valorilor ti, obținute la pasul C.
E. Trunchierea acestor valori la nivelul r, prin reținerea valorilor: r 2 1 t ……tt ≤≤≤ .
F. Estimarea parametrilor reparti ției Weibull, pe baza celor r valori determinate la pasul E.
Se disting cazurile:
F.1 Obținerea estima țiilor de verosimiltate maxim ă (1 1ˆ,ˆηβ ), prin rezolvarea
numerică iterativă a sistemului de ecua ții (1.99);
F.2 Obținerea estima țiilor liniare de tip BLIE (*
1*
1,ηβ ), prin rezolvarea sistemelor de
ecuații (1.103) și (1.104).
G. Calculul cuantilelor 0,10 și 0,50, prin utilizarea ecua ției (1.41), pentru p=0,10 și
p=0,50.
H. Calculul valorilor variabilelor aleatorii specifice. În cazul:
H.1 Utilizării estimatorilor de verosimilitate maxim ă, se folosesc rela țiile:
() () ()( ) 50,0;n;ru tlnˆ;10,0;n;ru tˆlnˆ;n,rkˆlnˆ;n,rvˆ
50,0;1 1 10,0;1 1 1 1 1 = β = β =ηβ =β .
H.2 Utilizatorii estimatorilor liniar i de tip BLIE, se folosesc rela țiile:
() () ( ) ( ) 50,0;n;rV tln ;10,0;n;rV tln ;n,rZ ln ;n,rW 50,0;1* *
110,0;1* *
1*
1*
1*
1 =⋅β =⋅β =η⋅β =β .
I. Se repetă pașii A,…,H de Nsim ori.
J. Se determin ă cuantilele veriabilelor aleatorii, considerând cele Nsim realizate pentru
fiecare caz în parte.
K. Date de ie șire:
• fișiere ASCII (*. prn) care con țin valorile cuantilelor.
Pentru simularea încerc ărilor efectuate, prin metoda liniei defectelor primare, s-a utilizat
următorul algoritm original:
A. Date de intrare:
• n – volumul e șantionului;
• l – numărul de grupe în care se subdivide e șantionul;
• m = n/l – efectivul fiec ărei grupe.
B. Generarea a n numere aleatorii uniforme ( nai, i=1,…, n) în intervalul [0,1].
Capitolul 3
120C. Calculul timpilor de deteriorare ( ti) prin utilizarea func ției inverse de reparti ție, ecuația
(3.143).
D. Împărțirea aleatorie, a celor n valori calculate la pasul C, în l grupe, fiecare con ținând
m timpi de deteriorare.
E. Obținerea celor l timpi de deteriorare corespunz ători liniei defectelor primare din
condiția de minim a celor mdurate, corespunz ătoare fiec ărei grupe.
F. Estimarea parametrilor reparti ției Weibull pe baza celor l valori determinate la pasul
E.
Se disting dou ă cazuri:
F.1 Obținerea estima țiilor de verosimilitate maxim ă (11ˆ,ˆηβ ) prin rezolvarea
numerică iterativă a sistemului de ecua ții (1.96) și utilizarea rela țiilor (1.116);
F.2 Obținerea estima țiilor liniare de tip BLIE (*
1*
1,ηβ ), prin rezolvarea sistemelor
de ecuații (3.45) și (3.46).
G. Calculul cuantilelor 0,10 și 0,50, prin utilizarea ecua ției (1.41), particularizat ă pentru
valorile p = 0,10 și p = 0,50.
H. Calculul valorilor variabilelor aleatorii specifice. În cazul:
H.1 Utilizării estimatorilor de verosimilitate maxim ă, se folosesc rela țiile:
() ( ) ()( ) ;50,0;;q tlnˆ;10,0;;q tˆlnˆ;,s ˆlnˆ;,v ˆ
50,0;1 s;1 10,0;1 s;1 s;1 s;1 s;1 m m m l l l ll = β = β =ηβ =β
H.2 Utilizării estimatorilor liniari de tip BLIE, se folosesc rela țiile:
() ( ) ( ) ( ) 50,0;;Q tln ;10,0,,Q tln ;,S ln ;,W 50,0;1*
s;1*
10,0;1*
s;1*
1*
s;1*
s;1*m m m l l l ll =⋅β =⋅β =η⋅β =β .
I. Se repetă pașii A,…,H de Nsim ori.
J. Se determin ă cuantilele variabilelor aleatorii, considerând cele Nsim realizate pentru
fiecare caz în parte.
K. Date de ie șire:
• fișiere ASCII (*.prn) care con țin valorile cuantilelor.
Pe baza acestor algoritmi s-au proiectat pa tru programe de calcul, folosind produsul
MathCAD + 6.0. În anexa A , “Pachet de aplica ții MathCAD pentru simularea încerc ărilor de
fiabilitate a rulmen ților”, sunt prezentate lis tingurile acestor programe:
Anexa A.1 Program de simulare a încerc ărilor de fiabilitate cenzurate, cu estimarea
parametrilor prin metoda verosimilit ății maxime;
Anexa A.2 Program de simulare a încerc ărilor de fiabilitate cenzurate, cu estimarea
parametrilor, utilizând estimatorii liniari tip BLIE;
Anexa A.3 Program de simulare a încerc ărilor de fiabilitate efectuate prin metoda liniei
defectelor primare, cu estimarea pa rametrilor prin metoda verosimilit ății
maxime;
Anexa A.4 Program de simulare a încerc ărilor de fiabilitate efectuate prin metoda liniei
defectelor primare și utilizarea estimatorilor liniari tip BLIE.
OBSERVA ȚII:
Proiectarea unui sistem de simulare numeric ă Monte-Carlo presupune, în plus,
stabilirea
Studii privind estimarea indicatorilor și optimizarea încercarilor de fiabilitate
121unor parametri esen țiali care contribuie la ob ținerea unor rezultate credibile. Ace știa sunt:
1. Stabilirea num ărului de realiz ări simulate pentru fiecare caz analizat:
în [82], [156], se recomand ă ca valorile variabilelor aleatorii s ă fie determinate
pe baza a cel pu țin 1000 de realiz ări simulate;
în [196] se recomand ă utilizarea a 104 realizări simulate;
în [96] se recomand ă utilizarea a 2 ⋅104 realizări simulate;
în [4] s-au realizat 4106⋅de realizări simulate;
În cazul sistemului prezentat anterior, valoarea num ărului de realiz ări simulate
pentru fiecare caz în parte a fost stabilit ă la 4
sim 10 N= .
2. Generarea numerelor aleatorii uniforme, în inte rvalul [0,1], s-a realizat prin utilizarea
generatorului propriu al Math CAD-ului, versiunea + 6.0.
3. Pentru a realiza economii de timp, precum și pentru a putea calcula valorile
variabilelor aleatorii într-un m od unitar, valorile simulate al e timpilor de deterioare au
fost generate o singur ă dată și au fost organizate sub forma unei matrici cu
dimensiunile 25x Nsim. Această matrice a fost salvat ă sub forma unui fi șier ASCII
denumit MATM.prn.
4. Rezolvarea numeric ă a ecuației de verosimilitate maxim ă s-a realizat prin utilizarea
funcției MathCAD – “ root”, care are la baz ă metoda secantei.
5. Precizia de rezolvare numeric ă a ecuației de verosimilitate, se recomand ă, [76], să fie
de 10-4÷ 10-6.
Ea a fost stabilit ă la valoarea 10-5.
6. Coeficien ții numerici ( A(n,r,i) și C(n,r,i)), utilizați pentru calculul estima țiilor liniare
de tip BLIE, au fost prelua ți din [82] și [96]. Ei au fost organiza ți sub forma unor
fișiere ASCII, astfel încât citirea și alegerea lor s ă se realizeze foarte simplu.
3.6 CERCET ĂRI PRIVIND PROIECTAREA OPTIMIZAT Ă A
ÎNCERC ĂRILOR DE FIABILITATE A RULMEN ȚILOR
Proiectarea planurilor de încerc ări la durabilitate/fiabilitate a rulmen ților, prin utilizarea
criteriilor de optimizar e prezentate la punctul
3.5.1 , permite:
alegerea tipului de încercare;
alegerea volumului de e șantion și a numărului de elemente deteriorate;
alegerea tipului de estimator folo sit pentru calculul parametrilor și indicatorilor de
fiabilitate,
în condițiile respect ării valorilor impuse aprioric pentru criteriul de optimizare utilizat
(considerat decisiv pentru desf ășurarea optim ă a acestei activit ăți).
Capitolul 3
122Pentru marea majoritate a situa țiilor reale exist ă, însă, o mulțime de solu ții posibile, dar,
evident, numai una dintre acestea va fi aplicat ă în practic ă. Alegerea solu ției optime, din
mulțimea solu țiilor posibile, constituie o problem ă foarte important ă, în special în cazul unor
acțiuni repetitive, cum este cazul încerc ărilor la durabilitate/fiabilitate a rulmen ților, deoarece
soluția optimă conduce la importante economii, [52].
De aceea, în continuare se prezint ă o nouă metodă de proiectare optimizat ă a planurilor de
încercări la durabilitate/fiabilitate, metod ă care permite ca în condi ții tehnico-organizatorice
date să se determine volumul e șantionului și nivelul de cenzurare al unei încerc ări la
durabilitate, astfel încât pentru parametrul economic al procesului (costul încerc ării), să se
obțină valorile cele mai avantajoase.
Cu ajutorul ei se pot pr oiecta planurile de încerc ări cenzurate pe baza valorilor stabilite
aprioric pentru precizia de es timare a parametrului de form ă și a preciziei de estimare pentru
cuantila 0,10 (durabilitatea nominal ă) ale reparti ției Weibull, cea care modeleaz ă fenomenul de
deteriorare prin oboseala de contact a rulmen ților.
Problema de optimizare se compune din urm ătoarele elemente:
n Funcția obiectiv
Funcția obiectiv a modelului matematic de optimizare se alege astfel încât s ă reflecte într-un
mod cât mai sintetic aspectele esen țiale ale procesului de testare. Ea se adopt ă sub forma
ecuației (3.128). Prin particularizarea factorilor ce intervin în aceast ă relație, pentru cazul
încercărilor cenzurate, se ob ține:
a) pentru durata total ă a încercării:
()[] { }. tF1ln k t T1
rn1
10,0 10,0 r,nβ β−−−⋅⋅= (3.144)
Ecuația (3.144) rezult ă prin utilizarea rela ției (3.130), în care valoarea parametrului de
scală, η, este exprimat ă în funcție de cuantila p a repartiției Weibull:
. kt1
p pβ−⋅=η (3.145)
Această relație se obține, foarte simplu, prin identificare din cele dou ă forme ale func ției
de reparti ție, exprimate prin ecua țiile (1.38), cu γ=0 și (1.42).
Deoarece în cazul efectu ării unei încerc ări la durabilitate/fiabilitate la rulmen ți, valoarea
de referin ță a încerc ării, în raport cu care se ia decizia privind calitatea lotului testat, o
reprezintă cuantila 0,10 (durabilitatea nominal ă), în ecuația (3.144) s-a preferat utilizarea acestei
valori ( t0,10), iar k0,10 – reprezint ă un factor de propor ționalitate cu valoarea dat ă de ecuația
(1.43).
Pentru valorile func ției empirice de reparti ție, Fn(tr), corespunz ătoare deterior ării r, în
cazul unei încerc ări cenzurate de volum n, se utilizeaz ă relația simplificat ă (1.72), care conduce
la calculul unei valori mediane a duratei de încercare.
b) pentru num ărul total de elemente ce func ționează pe stand în timpul efectu ării testării:
N=n+r-1. (3.146)
Această ecuație rezultă din analiza principiului construc tiv al standurilor, specifice test ării
rulmenților, fig. 1.28. Se constat ă că în momentul deterior ării unui rulment, pentru continuarea
încercării cenzurate este necesar ă utilizarea unor rulmen ți ajutători, care permit refacerea
montajului ini țial. În aceste condi ții, efectuarea unei încerc ări cenzurate, la nivelul r, presupune
utilizarea a r-1 rulmenți ajutători.
Studii privind estimarea indicatorilor și optimizarea încercarilor de fiabilitate
123Deci, func ția obiectiv a modelului matematic de optimizare rezult ă sub forma:
() () () .C1rn C C4,0n3,0r1ln10,011ln tCr,nC4 3 21 1
10,01 T +−+⋅−+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
+−−−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
−⋅⋅=β β−
(3.147)
o Restricții (condiții limită)
Modul de organizare a încerc ărilor la durabilitate a rulmen ților, precum și dotarea tehnic ă
existentă, determin ă o serie de restric ții care completeaz ă modelul matematic al problemei de
optimizare.
Aceste restric ții sunt:
2.a Numărul maxim (Nmax) al rulmen ților care poate fi mont at simultan pe stand și care
funcționează pe toată durata încerc ării în condi ții identice de solicitare, tura ție etc.:
n ≤ Nmax. (3.148)
2.b Tipul încerc ării efectuate – încercări cenzurate la nivelul r.
O încercare se consider ă cenzurat ă la nivelul r, dacă se încheie la momentul de
apariție a celei de-a r-a defect ări (numărul r fiind stabilit anterior începerii încerc ărilor),
deci:
r ≤ n. (3.149)
2.c Precizia (ε) estimării parametrului de form ă (β).
Pentru a putea expr ima sintetic aceast ă condiție, se define ște precizia de estimare, [21],
[83], pornind de la modulul diferen ței dintre estima ția punctual ă și valoarea adev ărată a
parametrului de form ă, raportată la valoarea estimat ă – .ˆ ˆββ−β
Se definesc, deci, preciz iile la dreapta, respectiv la stânga, conform rela țiilor:
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
α=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛ε>
ββ−βα=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛ε>
ββ−β
.2 2ˆˆ
Pr,2 2ˆˆ
Pr
(3.150)
Relațiile (3.151) dup ă o serie de prelucr ări, devin:
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
α=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
ε+β<βα=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
ε−β>β
.22 1ˆPr,22 1ˆPr
(3.151)
Din relațiile (3.151) rezult ă că ()12 1−ε−⋅β reprezint ă cuantila 1- α/2 a reparti ției
valorii estimate a parametrului de form ă ( )ˆ(gβ), iar ()12 1−ε+⋅β este cuantila α/2 a aceleia și
repartiții. Deci, rela țiile (3.151) se mai pot scrie sub forma:
. 12 1ˆ
2 1Pr α−=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
ε−β≤β≤ε+β (3.152)
Capitolul 3
124Pentru a exprima reparti ția valorii estimate, ()βˆg , prin metoda verosimilit ății maxime a
parametrului de form ă (βˆ), se poate utiliza aproxima ția, [83]:
()∝−ββ⋅ 1 ˆn N(z,0,C 22), . n∞→ (3.153)
În relația (3.153) s-a notat cu:
N(z,0,C 22) – reparti ția normal ă având media zero și dispersia C 22=n⋅V(ββˆ).
Valorile asimptotice ale dispersiei C22 pentru e șantioane cenzurate ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=
∞→pnrlim
n sunt
date, [83], în tabelul 3.20.
Tabelul 3.20 Valorile dispersiei C22
pnrlim
n∞→= ()ββ⋅= ˆVn C22
1,0 0,607927
0,9 0,767044
0,8 0,928191 0,7 1,122447 0,6 1,372781 0,5 1,716182
0,4 2,224740
0,3 3,065515 0,2 4,738764 0,1 9,744662
Prin utilizarea aproxima ției (3.153), intervalul de încred ere bilateral simetric, pentru
parametrul de form ă, rezultă ca soluție a ecuației de probabilitate:
(). 1 z
C1 ˆnzPr2 1
222 α−=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
≤−ββ⋅≤α− α (3.154)
După o serie de prelucr ări, ecuația (3.154) devine:
. 1
znC1ˆ
znC1ˆ
Pr
222
2 122α−=
⎟⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝⎛
⋅+β≤β≤
⋅+βα α− (3.155)
Din ecuația (3.155) împreun ă cu ecuația (3.152), scris ă sub forma:
() () [ ]α−=ε+⋅β≤β≤ε−⋅β 1 2 1ˆ 2 1ˆPr , (3.156)
se poate determina valoarea preciziei de estimare a parametrului de form ă (ε):
.nCz1nCz11
22
2 11
22
2−
α−−
α ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛⋅+−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛⋅+=ε (3.157)
Știind că z1-α= – zα, prin rezolvarea în func ție de n a ecuației (3.157), se ob ține restric ția:
Studii privind estimarea indicatorilor și optimizarea încercarilor de fiabilitate
125222
22
22
1 1z C
n
⎟⎠⎞⎜⎝⎛ε+−⋅ε⋅
>α. (3.158)
Valorile coeficientului C22, în func ție de raportul de cenzurare ( r/n), se pot calcula,
utilizând regresia:
()b
22 nra C⋅= , (3.159)
unde: a = 0,79845 și b = -1,0892603.
Relația (3.159) asigur ă un coeficient de corela ție 9992,0=ρ și o dispersie σ = 0,11131.
În fig. 3.8 sunt reprezentate valorile dispersiei C22 în funcție de raporul de cenzurare r/n.
Fig. 3.8 Variația dispersiei C22 în funcție de raportul de cenzurare r/n
Din ecua ția (3.158) împreun ă cu ecuația (3.159) se poate ob ține restric ția preciziei de
estimare a parametrului de form ă:
()
.
1 1z nra
n222
22 b
⎟⎠⎞⎜⎝⎛ε+−⋅ε⋅⋅
≥α (3.160)
2.d Precizia estim ării durabilit ății nominale (t0,10).
Pentru a putea exprima sub form ă matematic ă această condiție, se define ște precizia de
estimare analog cazului 2.c:
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
α=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛τ>−α=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛τ>−
.2ttˆ tPr,2tt tˆ
Pr
1010,0 10,010,010,0 10,0
(3.161)
Cele două ecuații (3.161) se mai pot scrie sub forma: 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10510
Raportul de cenzurare, r/nDispersia, C22
Capitolul 3
126. 11tˆ
t1tˆ
Pr10,0
10,010,0α−=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
τ−≤≤τ+ (3.162)
Estimarea parametrului de form ă, cu o precizie dat ă β ± ε/2 (vezi cazul 2.c), ne permite s ă
facem aproximarea: β=βˆ.
În aceste condi ții, făcând schimbarea de variabil ă aleatorie: β=ˆTY , reparti ția Weibull
(1.42), devine reparti ție exponen țială – E(t,m):
() .my exp1)y(F −−= (3.163)
În ecuația (3.163) s-a notat:
.kt mpˆ
pβ= (3.164)
Valoarea estimat ă prin metoda verosimilit ății maxime ( mˆ) a parametrului m are
proprietatea [21], [81], [97]:
() .r2,xmmˆr2 2χ∝ (3.165)
Utilizând rela ția (3.165) împreun ă cu ecuația (3.164), se poate exprim a intervalul de încredere
bilateral simetric al cuantilei p:
. 1 tˆr2t tˆr2Prpˆ1
2
r2;2p pˆ1
2
r2;2 1α−=
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
⋅⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
χ≤≤⋅⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
χβ
αβ
α− (3.166)
În cazul durabilit ății nominale ( p=0,10) din ecua țiile (3.162) și (3.166), prin identificare,
rezultă valorile preciziei de estimare:
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎨⎧
τ−=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
χτ+=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
χ
β
αβ
α−
.11 r2,11 r2
ˆ1
2
;2r2ˆ1
2
;2r2 1 (3.167)
Relațiile (3.167) prin împ ărțire conduc la:
.11ˆ1
2
r2;2 12
r2;2β
α−α
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
χχ
=τ+τ− (3.168)
Pentru simplificarea calculelor se utilizeaz ă relația aproximativ ă:
321
2
;92z921
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎠⎞⎜⎝⎛
ν⋅−ν−⋅ν=χα να , (3.169)
care exprim ă legătura între cuantilele reparti ției normale ( zα) și cuantilele reparti ției hi-pătrat
(2
,ναχ).
Studii privind estimarea indicatorilor și optimizarea încercarilor de fiabilitate
127 Utilizând aproxima ția (3.169), ecua ția (3.168) devine:
.
r91zr911r91zr911
11
ˆ321
min minˆ321
min min
β
αβ
α
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
⋅⋅+⋅−⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
⋅⋅−⋅−
=τ+τ− (3.170)
Rezolvarea acestei ecua ții pentru valori impuse ale nivelului de încredere (1- α) și ale
preciziei de estimare ( τ) permite ob ținerea valorii minime a nivelului de cenzurare ( rmin).
Restricția corespunz ătoare preciziei de estimare a durabilit ății nominale rezult ă, în acest caz, sub
forma:
minrr≥ . (3.171)
p Modelul matematic
Luând în considerare aspectele teoretice trat ate anterior, modelul matematic al problemei
de optimizare este:
() ()
()
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎧
≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛ε+−⋅ε⋅⋅
≥≤≤→+−+⋅−+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
−+−−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
−⋅⋅
αβ β−
.rr,
1 1z nra
n,nr, Nnmin, C1rn C C4,0n3,0r1ln10,011ln tC
min222
22 bmax4 3 2ˆ1 ˆ1
10,01
(3.172)
Pentru simplificarea rezolv ării, sistemul inecua țiilor care formeaz ă restricțiile problemei
de optimizare (3.172) pot fi li niarizate prin logaritmare:
() ()
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎧
≥+⎟⎠⎞⎜⎝⎛ε+−−+ε+
++≥≤≤→+−+⋅−+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
−+−−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
−⋅⋅
αβ β−
.rlnrln,b11 1ln2 2lnz ln2aln
rlnb1bnln,nlnrln, Nlnnlnmin, C1rn C C4,0n3,0r1ln10,011ln tC
min2
2max4 3 2ˆ1 ˆ1
10,01
(3.173)
Analiza rela țiilor (3.173) ne permite s ă tragem concluzia c ă metoda propus ă este o
problemă de optimizare neliniar ă, în numere întregi, a parametrilor r și n, care definesc
încercările cenzurate ale rulmen ților.
Capitolul 3
128Rezolvarea analitic ă a acestui model matematic reprezint ă o problem ă foarte complex ă și
laborioasă, în schimb, rezolvarea numeric ă înlătură toate aceste dezavantaje.
În anexa B este prezentat listingul aplica ției MathCAD +6.0 pentru proiectarea optimizat ă
a planurilor de încerc ări cenzurate. Algoritmul care st ă la baza acestui program este:
A. Date de intrare:
valorile estimate ale parametrilor popula ției: β, t0,10;
preciziile de estimare impuse: ε, τ;
nivelul de semnifica ție: α;
valorile costurilor par țiale ce intervin în expresia func ției obiectiv: C1, C2, C3
și C4;
B. Calculul cuantilei reparti ției normale: zα;
C. Rezolvarea numeric ă iterativă a ecuației (3.170) și obținerea valorii minime a
nivelului de cenzurare: rmin;
D. Calculul parametrilor ce intervin în sistemul de inecua ții ale restric țiilor;
E. Reprezentarea grafic ă a regiunii solu țiilor posibile ale problemei (domeniul R);
F. Calculul valorilor func ției obiectiv (rela ția (3.147)), pentru valorile r și n (r,n∈N)
corespunz ătoare domeniului R;
G. Trasarea curbelor de nivel ale func ției obiectiv pe domeniul valorilor posibile și
identificarea zonei ce con ține soluția optimă;
H. Determinarea solu ției optime ( ropt și nopt) din condi ția CT(n,r)=min.
Pentru exemplificarea modului de utilizare al programului, în continuare este prezentat un
exemplu numeric:
date de intrare:
βˆ = 1,5 C 1 = 15
L10 = 150 ore α = 10 % C2 = 5
ε = 50 % Nmax = 60 C 3 = 0
τ = 30 % C 4= 40
Regiunea posibil ă a soluțiilor problemei, a șa cum rezult ă ea cu valorile numerice
anterioare, este reprezentat ă în fig. 3.9a, iar reprezentarea grafic ă a curbelor de nivel ale func ției
obiectiv, pe un domeniu circumscris domeniu lui valorilor posibile, este prezentat ă în fig. 3.9b.
Planul optim de încercare rezultat este:
• volumul e șantionului: n = 60 rulmen ți;
• nivelul de cenzurare: r = 13 rulmen ți,
care asigur ă costul minim al încerc ării: C Tmin(N,r) = 4 252,501.
CONCLUZII:
1. Elaborarea modelului matematic al problemei de optimizare s-a f ăcut pornindu-se de la
principalii parametri și indicatori de fiabilitate a rulmen ților:
Studii privind estimarea indicatorilor și optimizarea încercarilor de fiabilitate
129¾ durabilitatea nominal ă (t0,10) – care reprezint ă valoarea de referin ță a încercării,
valoare ce se determin ă aprioric efectu ării testelor și pe baza c ăreia se ia în final
decizia privind calit atea lotului testat;
¾ parametrul de form ă (β) – acesta reprezint ă de fapt o m ăsură a dispersiei
durabilității rulmen ților prin faptul c ă el determin ă forma reparti ției și oferă
informații consistente despre calitatea ma terialelor utilizate, procedeele
tehnologice folosite, montaj și depozitare.
2. Utilizarea programului de calcul elaborat permite ob ținerea foarte simpl ă a soluției
problemei, înl ăturând dezavantajele utiliz ării soluției analitice, care presupune un calcul
foarte laborios.
3. Folosind propriet ățile grafice deosebite ale mediului de programare MathCAD +6.0 se
obțin reprezent ările grafice ale regiunii solu țiilor problemei. Acestea permit identificarea
eventualelor erori în impunerea aprioric ă a unor valori foarte mici ale preciziei de
estimare, valori necorelate cu posibilit ățile tehnico-organizatorice ( Nmax) existente.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 524
Nivelul de cenzurare, lnrVolumul esantionului, lnn.Al n ( ) rB
LNmaxln( )rLrmin
ln( )r
a) Domeniul solu țiilor posibile (R) ale problemei de optimizare
b) Curbele de nivel ale func ției obiectiv CT(n,r)
Fig. 3.9 Reprezentarea geometric ă a restricțiilor problemei de optimizare lnr = lnr min
lnn = Alnr+B
lnn = lnr lnn = lnN max
R
M0 10 20 30 4005101520
2.5 104
2.5 104
2.5 1042 104
2 1042 104
2 104
2 1041.5 104
1.5 104
1.5 1041.5 1041 104
1 104
Capitolul 3
130
3.7 CERCET ĂRI PRIVIND UTILIZAREA TEHNICILOR
BAYESIENE DE ESTIMARE A INDICATORILOR DE FIABILITATE
Utilizarea tehnicilor de estimare parametric ă bayesian ă la prelucrarea statistic ă a
rezultatelor experimentale ob ținute în urma efectu ării încerc ărilor la durabilitate/fiabilitate a
rulmenților și estimarea indicatorilo r de fiabilitate prezint ă o serie de particularit ăți față de
modelul prezentat la punctul 1.3.3.2 . Acestea rezult ă, în primul rând, din faptul c ă este necesar ă
utilizarea concomitent ă a două repartiții apriorice care s ă înglobeze informa țiile disponibile
pentru valorile parametrului de form ă și ale celui de scal ă. În acest caz aplicarea teoremei lui
Bayes, sub forma rela ției (1.106) și obținerea reparti țiilor a posteriori, trebuie efectuate în
condițiile și pe baza propriet ăților specifice ale variabilelor aleatorii bidimensionale.
În literatura de specialitate consultat ă, pentru aceast ă problemă există mai multe variante
de rezolvare. Aceste modele au fost prezentate succint la punctul 1.3.3.2 . Pentru utilizarea
tehnicilor bayesiene la estimarea indicatorilor de fiabilitate a rulmen ților s-a ales modelul
prezentat de Soland în [152]. Avantajul principal al acestui model îl constituie utilizarea
repartițiilor conjugate bayesian la exprimarea informa ției apriorice privind parametrul de form ă
și cel de scal ă.
3.7.1 ESTIMA ȚII PARAMETRICE BAYESIENE
Calculul estima țiilor parametrice bayesiene, având la baz ă modelul [152], presupune
parcurgerea urm ătoarelor etape:
c Alegerea modelului reparti ției condiționale
(a tipului de pr oces analizat) – f(t)
Acest model reprezint ă de fapt reparti ția statistic ă a timpilor de func ționare pân ă la
deteriorare a elementelor analizate. În cazul rulmen ților, reparti ția condițională este modelul
Weibull. Pentru comoditatea efectu ării calculelor, se utilizeaz ă ca model al timpilor de
deteriorare reparti ția biparametric ă Weibull, W(t,β,λ), având func ția densitate de probabilitate
de forma ecua ției (1.24).
Legătura care exist ă între parametrul λ al acestei reparti ții și parametrul de scal ă poate fi
exprimată prin relația:
.1
βη=λ (3.174)
d Specificarea reparti țiilor apriorice
Se utilizeaz ă în cazul:
Studii privind estimarea indicatorilor și optimizarea încercarilor de fiabilitate
1312.a) parametrului de form ă (β) o reparti ție discretă:
()i ip Pr =β=β , (3.175)
unde: i=1,2,…,k și .1pk
1ii∑
==
2.b) parametrului de scal ă (λ) repartiția Gama, având func ția densitate de probabilitate,
condiționată de valorile parametrului de form ă (relația (3.175)), și anume:
()ii i
eq)|(h
i1q q
i
iλα−−
⋅Γλ⋅α=βλ , (3.176)
cu i =1,2,…,k, 0 ≤ λ < ∞; 0 < q i; αi < ∞.
Din relația (3.176) se observ ă că repartiția aprioric ă a lui λ, h(λ | βi), depinde de βi, prin
intermediul parametrilor αi și qi.
e Determinarea probabilit ății condiționate (a funcției de verosimilitate)
Presupunem c ă se realizeaz ă o încercare de fiabilitate de tip cenzurat, la nivelul r. Cu cele
n produse supuse încerc ării se înregistreaz ă următorii timpi de deteriorare:
t1 < t 2 < … < t j < … < t r.
Variabila aleatorie T, care modeleaz ă fenomenul de deteriorare, are func ția densitate de
probabilitate dat ă de ecuația (1.24).
Repartiția condiționată sau verosimilitatea e șantionului este:
[] = −⋅
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⋅−=βλ−
=∏rn
rr
1jj j )t(F1)t(f)!rn(!n)t|,(L
()()
. e u Ce t…tt)!rn(!n
v 1 r rtrn t
1
r 21r rrr
1jj
⋅λ−−β⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡⋅−+⋅λ−
−β
⋅⋅β⋅λ⋅=∑
⋅⋅⋅⋅⋅β⋅λ⋅−=β
=β
(3.177)
În relația (3.177) s-au notat:
.t)rn(t v,t u,)!rn(!nC
r
1jr jr
1jj
∑∏
=β β=
⋅−+==−=
(3.178)
f Teorema lui Bayes
Utilizând teorema lui Bayes, aplicat ă funcțiilor densitate de probabilitate, definite anterior,
se obține funcția densitate de probabi litate bidimensional ă a posteriori, pentru o valoare
particular ă a parametrului de forma, β = βi , a cărei probabilitate de apari ție este pi :
=
λ⋅βλ⋅βλ⋅βλ⋅βλ⋅=βλ
∫∑∞
=0k
1ii j ij i i
r 21
d)|(h)t|,(Lp)t|,(L)|(hp),|t,…,t,t(g
Capitolul 3
132 ()
().
d equ peqe u p
) v(
01qr
iq
i 1 r
ik
1iii1q q
i v 1 r
ir
i
i i ii
iii i
i i
λ⋅ λ⋅Γα⋅⋅β⋅⋅Γλ⋅α⋅⋅⋅β⋅λ⋅
=
α+λ−∞
−+ −β
=λα−−
⋅λ−−β
∫ ∑ (3.179)
Deoarece,
()
rq
i ii ) v(
01qr
ii i i
)v (qrd e+α+λ−∞
−+
+α+Γ=λ⋅ λ∫, (3.180)
numitorul ecua ției (3.179) poate fi pus sub forma:
()().
)v (qr
qu p )SPr(rq
i ii
iq
i 1 r
ik
1iiii
i
+−β
= +α+Γ⋅Γα⋅⋅β⋅=∑ (3.181)
Folosind nota ția (3.181), densitatea de probabilitate bidimensional ă a posteriori se mai
poate scrie:
().)SPr(eqe u p
),|t(gii i
i i
i1q q
i v 1 r
ir
i
jλα−−
⋅λ−−β⋅Γλ⋅α⋅⋅⋅β⋅λ⋅
=βλ (3.182)
Densitatea de probabil itate (3.182) reprezint ă o func ție de variabil ă aleatorie
bidimensional ă (λ și βi). Pe baza ei se pot determina reparti țiile de probabilitate marginale ale
celor dou ă variabile aleatorii. Acestea reprezint ă repartițiile a posteriori pentru cei doi parametri
necunoscu ți (λ și βi) ai procesului Weibull analizat.
=λ⋅βλ==β=β ∫∞
d),|t(g p)t| Pr(
0i j pi ji
()()
.)SPr()v (qr
qu prq
i ii
iq
i 1 r
i iii
i
+−β
+α+Γ⋅Γα⋅⋅β⋅
= (3.183)
și
=βλ =λ∑
=k
1ii j j p ),|t(g )t|(g
().)SPr(equ p1qr ) v(
iq
i 1 r
ik
1iii i ii
i −+α+λ− −β
=λ⋅ ⋅Γα⋅⋅β⋅
=∑
(3.184)
Pentru o valoare β = βi , repartiția a posteriori a parametrului de scal ă rezultă din ecuația
(3.184), sub forma:
. e)qr()v (),t|(h)v (
i1qr qr
i i
ij pi ii i+α⋅λ−−++
⋅+Γλ⋅+α=βλ (3.185)
g Estimații parametrice bayesiane
Dacă se adoptă o funcție de pierderi de forma, [158]:
()2
B Bˆ),ˆ( θ−θ=θθL , (3.186)
Studii privind estimarea indicatorilor și optimizarea încercarilor de fiabilitate
133estimatorul bayesian parametric (Bˆθ) al parametrului necunoscut θ îl reprezint ă media
repartiției a posteriori.
În cazul procesului analizat:
5.a) estimatorul bayesian al parametrului de form ă se obține prin utilizarea reparti ției a
posteriori (3.183), din condi ția:
() =⋅β=β=β ∑
=pik
1ii j B p t|E ˆ
()()
.)SPr()v (qr
qu prq
i ii
iq
i 1 r
ik
1ii iii
i
+−β
= +α+Γ⋅Γα⋅⋅β⋅⋅β
=∑
(3.187)
5.b) estimatorul bayesian al parametrului de scal ă se obține prin utilizarea reparti ției a
posteriori (3.184), din condi ția:
()∫∞
=λ⋅λ⋅λ=λ=λ
0j p j B d)t|(g t|E ˆ
()
=λ⋅ λ⋅Γα⋅⋅β⋅
=α+λ−∞
+ −β
=∫ ∑
)SPr(d equ p) v(
0qr
iq
i 1 r
ik
1iii i ii
i
()()
()().
)v (qr
qu p)v (1qr
qu p
rq
i ii
iq
i 1 r
ik
1ii1rq
i ii
iq
i 1k
1ir
i i
ii
iii
i
+−β
=++−β
=
+α+Γ⋅Γα⋅⋅β⋅+α++Γ⋅Γα⋅⋅β⋅
=
∑∑
(3.188)
Introducând în rela ția (3.174) valoarea lui Bˆλ, determinat ă cu relația (3.188), se ob ține
estimația punctual ă bayesian ă pentru parametrul de scal ă (Bˆη):
.ˆ1ˆBˆ/1
BBβ
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
λ=η (3.189)
3.7.2 ESTIMA ȚII PARAMETRICE BAYESI ENE DE TIP MELO
În [157] sunt prezenta ți diverși estimatori bayesieni recomanda ți, în func ție de forma
funcției de pierderi aleas ă.
Estimatorii bayesieni de tip MELO ( Minimum Statistical- Expected Loss Estimators) se
obțin prin utilizarea unei func ții de pierderi, având forma:
()()() . ˆ c ,ˆ2
B B θ−θ⋅θ=θθL (3.190)
În ecuația (3.190):
– θ – reprezint ă parametrul ce trebuie estimat;
Capitolul 3
134- Bˆθ- reprezint ă estimația bayesian ă punctuală a parametrului θ necunoscut;
– c(θ) – reprezint ă o funcție de θ.
Prin utilizarea func ției de pierderi (3.190), estimatoru l bayesian de tip MELO [140], [42]
se obține din reparti ția a posteriori a parametrului θ, pe baza ecua ției:
{}
{}.t|)(cEt|)(c Eˆ
jj
MELOθθ⋅θ=θ (3.191)
În cazul, când se consider ă:
c(θ) = θe, (3.192)
estimatorul bayesian, de tip MELO, se ob ține, introducând în rela ția (3.191) forma (3.192) a
funcției c(θ):
{}
{}.
t| Et| Eˆ
jej1e
MELOθθ=θ+
(3.193)
Particularizând ecua ția (3.193) pentru cazul procesul ui Weibull, analizat la punctul 3.7.1 ,
se obțin estimatorii MELO (în cazul general) pentru:
a) parametrul de form ă (β), prin utilizarea reparti ției a posteriori (3.183):
() =
⋅β⋅β
= β
∑∑
==+
k
1ipie
ik
1ipi1e
i
MELO
pp
e ˆ
()()
()().
)v (qr
qu p)v (qr
qu p
rq
i ii
iq
i 1 r
ik
1iie
irq
i ii
iq
i 1 r
ik
1ii1e
i
ii
iii
i
+−β
=+−β
=+
+α+Γ⋅Γα⋅⋅β⋅⋅β+α+Γ⋅Γα⋅⋅β⋅⋅β
=
∑∑
(3.194)
b) parametrul de scal ă (λ), prin utilizarea reparti ției a posteriori (3.184):
=
λ⋅λ⋅λλ⋅λ⋅λ
= λ
∫∫
∞∞
+
0j pe0j p1e
MELO
d)t|(gd)t|(g
)e( ˆ
()()
()().
)v (ekr
ku p)e (1eqr
qu p
erq
i ii
ik
i 1 r
ik
1ii1erq
i ii
iq
i 1 r
ik
1ii
ii
iii
i
++−β
=+++−β
=
+α++Γ⋅Γα⋅⋅β⋅+α+++Γ⋅Γα⋅⋅β⋅
=
∑∑
(3.195)
În [42] se recomand ă utilizarea estimatorilor bayesieni de tip MELO, în cazul particular:
c(θ) = θ -2. (3.196)
Studii privind estimarea indicatorilor și optimizarea încercarilor de fiabilitate
135Din ecuația (3.193) rezult ă, în acest caz, pentru e = -2:
{}
{}.
t| Et| Eˆ
j2j1
MELO −−
θθ=θ (3.197)
Particularizând rela țiile (3.194) și (3.195), pentru cazul e = -2, estimatorii bayesieni
punctuali de tip MELO devin:
()()
()().
)v (qr
qu p)v (qr
qu p
ˆ
rq
i ii
iq
i 1 r
ik
1ii2
irq
i ii
iq
i 1 r
ik
1ii1
i
MELO
ii
iii
i
+−β
=−+−β
=−
+α+Γ⋅Γα⋅⋅β⋅⋅β+α+Γ⋅Γα⋅⋅β⋅⋅β
=β
∑∑
(3.198)
()()
()().
)v (2qr
qu p)v (1qr
qu p
ˆ
2rq
i ii
iq
i 1 r
ik
1ii1rq
i ii
iq
i 1 r
ik
1ii
MELO
ii
iii
i
−+−β
=−+−β
=
+α−+Γ⋅Γα⋅⋅β⋅+α−+Γ⋅Γα⋅⋅β⋅
=λ
∑∑
(3.199)
Întroducând în rela ția (3.174) valoarea lui MELOˆλ , determinat ă cu relația (3.199), se ob ține
estimația punctual ă de tip MELO pentru parametrul de scal ă (MELOˆη ):
.ˆ1ˆMELOˆ/1
MELOMELOβ
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
λ=η (3.200)
3.7.3 NOI METODE DE EXPRIMARE A INFORMA ȚIEI
APRIORICE.
Pentru ca metodele de estimare parametric ă bayesian ă prezentate la punctele 3.7.1 și 3.7.2
să poată fi utilizabile, în cazul încerc ărilor de fiabilitate/durabilitate a rulmen ților, este necesar ă
specificarea complet ă a repartițiilor apriorice considerate (ecua țiile (3.175) și (3.176)).
Sau altfel spus , este necesar ă estimarea parametrilor necunoscu ți βi, pi, αi, ki, i=1,2,…,k,
pe baza informa ției disponibile referitoar e la parametrii reparti ției Weibull, care modeleaz ă
fenomenul deterior ării rulmen ților.
În cele ce urmeaz ă, se propune o nou ă metoda de specificare complet ă a reparti țiilor
apriorice având la baza informa ții obiective ob ținute în urma unor încerc ări de fiabilitate
anterioare și rezultate ob ținute prin simulare numeric ă Monte-Carlo.
Realizarea acestei opera ții se dovede ște, însă, foarte dificil ă, deoarece este necesar ă o
cantitate foarte mare de informa ții apriorice, astfel încât reparti țiile apriorice s ă rezulte credibile
pentru procesul analizat.
De aceea, în cele ce urmeaz ă se propune o metod ă de specificare complet ă a repartițiilor
apriorice pe baza unor informa ții obiective ob ținute în urma unor încerc ări la
durabilitate/fiabilitate anterioare experime ntului analizat, coroborate cu rezultate ob ținute prin
Capitolul 3
136simulare numeric ă Monte-Carlo. Metoda utilizeaz ă proprietățile estimatorilor de verosimilitate
maximă și a celor liniari de tip BLIE ai reparti ției Weibull, cea care modeleaz ă fenomenul de
deteriorare a rulmen ților prin oboseala de contact cu rostogolire.
3.7.3.1 SPECIFICAREA COMPLET Ă A REPARTI ȚIEI APRIORICE
PENTRU PARAMETRUL DE FORM Ă
Această operație constă în calculul parametrilor βi și pi , i=1,2,…,k. Realizarea ei se face
pe baza urm ătoarelor ipoteze:
1. Informația aprioric ă se prezint ă sub forma rezultatelor experimentale ob ținute dintr-o
încercare anterioar ă experimentului analizat, realizat ă prin utilizarea unui e șantion de volum
na, cenzurat la nivelul ra :
ta1 ≤ ta2 ≤ … ≤ tar;
2. Informația aprioric ă referitoare la parametrul de form ă se prezint ă sub forma valorii estimate
a parametrului de form ă, folosind una din metodele:
-verosimilit ății maxime (aˆβ);
-estimatorilor liniari de tip BLIE (a*
β).
3. Pentru calculul valorilor estimate ale parametrilor ( βi și pi) repartiției apriorice a
parametrului de form ă, informația aprioric ă (aˆβsau a*
β) se combin ă cu valorile ob ținute prin
simulare numeric ă Monte-Carlo ale variabilei aleatorii:
)n,r(vˆ
=ββ, în cazul utiliz ării metodei verosimilit ății maxime, sau
)n,r(W=
ββ
∗, în cazul utiliz ării estimatorilor liniari de tip BLIE.
Algoritmii de simulare numeric ă sunt cei descri și la punctul 3.4.2 , iar pachetul de
programe ce poate fi utilizat în aces t scop este cel prezentat în anexa A.
4. Parametrii βi și pi ai repartiției apriorice a parametrului de form ă reprezint ă de fapt
parametrii reparti ției de frecven ță a valorilor ob ținute la punctul 3.
5. Algoritmul utilizat la determinarea reparti ției de frecven ță pentru variabilele aleatorii
considerate este cel prezentat în [81] și [97].
În funcție de estimatorul utilizat la cuantificarea informa ției apriorice referitoare la
parametrul de form ă, rezultă, deci, dou ă variante ale modalit ății de estimare a parametrilor βi și
pi.
VARIANTA I :
• Informația aprioric ă referitoare la parametrul de form ă se prezint ă sub forma estima ției de
verosimilitate maxim ă – aˆβ, ca soluție a primei ecua ții din sistemul (1.99);
• Se simuleaz ă N valori ale variabilei aleatorii v(ra,na). Prin ordonarea cresc ătoare a celor N
valori se ob ține șirul:
Studii privind estimarea indicatorilor și optimizarea încercarilor de fiabilitate
137v(1)(ra,na)≤ v(2)(ra,na)≤… ≤ v(N)(ra,na). (3.201)
• Din relația de defini ție a lui v(ra,na), se obține seria statistic ă:
aˆβ/v(N)(ra,na)≤ aˆβ/v(N-1)(ra,na)≤… ≤ aˆβ/v(1)(ra,na), (3.202)
care combin ă informația aprioric ă cu rezultatele numerice simulate.
• Determinarea amplitudinii seriei statistice ( R):
R=aˆβ/v(1)(ra,na)- aˆβ/v(N)(ra,na). (3.203)
• Determinarea num ărului de clase ( k):
nlg322,31k+= . (3.204)
• Determinarea amplit udinii unei clase ( w):
w = R/k. (3.205)
• Calculul limitelor claselor ( yi, i=0,1,…, k):
y0=aˆβ/v(N)(ra,na),
………………………
yi = y i-1 + iw, (3.206)
…………………………………
yk = y k-1 + kw = aˆβ/v(1)(ra,na).
• Calculul valorii centrale a claselor ( yi’, i = 1, …, k):
() 2 yy y1i i,
i +−= . (3.207)
• Determinarea frecven țelor absolute ( ni, i = 1, …, k).
Acestea indic ă numărul de valori ale seriei statistice cuprinse în fiecare clas ă.
• Calculul frecven țelor relative ( fi, i = 1,…, k):
Nnfi i= . (3.208)
Cu valorile astfel determinate se pot estima parametrii reparti ției apriorice (3.175), utilizând
relațiile:
⎪⎩⎪⎨⎧
==β
.f p,y
i i'
i i (3.209)
VARIANTA II :
• Informația aprioric ă referitoare la parametrul de form ă se prezint ă sub forma estima ției
liniare de tip BLIE – a∗
β, ca soluție a primei ecua ții din sistemul (1.103);
• Se simuleaz ă N valori ale variabilei aleatorii W(ra,na). Prin ordonarea cresc ătoare a celor N
valori se ob ține șirul:
W(1)(ra,na)≤ W(2)(ra,na)≤… ≤ W(N)(ra,na). (3.210)
• Din relația de defini ție a lui W(ra,na), se obține seria statistic ă:
Capitolul 3
138W(1)(ra,na)⋅a∗
β≤W(2)(ra,na)⋅a∗
β≤… ≤W(N)(ra,na)⋅a∗
β, (3.211)
care combin ă informația aprioric ă cu rezultatele numerice simulate.
• Determinarea amplitudinii seriei statistice ( R):
R= W (N)(ra,na)⋅a∗
β-W (1)(ra,na)⋅a∗
β. (3.212)
• Determinarea num ărului de clase ( k):
nlg322,31k+= . (3.213)
• Determinarea amplitudinii unei clase ( w):
w = R/k. (3.214)
• Calculul limitelor claselor ( yi, i=0,1,…, k):
y0= W (1)(ra,na)⋅a∗
β,
……………………….…
yi = y i-1 + iw, (3.215)
…………………………………………
yk = y k-1 + kw = W (N)(ra,na)⋅a∗
β.
• Calculul valorii centrale a claselor ( yi’, i = 1,…, k):
() 2 yy y1i i,
i +−= . (3.216)
• Determinarea frecven țelor absolute ( ni, i = 1,…, k). Acestea indic ă numărul de valori ale
seriei statistice cuprinse în fiecare clas ă.
• Calculul frecven țelor relative ( fi, i = 1,…, k):
Nnfi i= . (3.217)
• Cu valorile astfel determinate se pot estima parametrii reparti ției apriorice (3.175),
utilizând rela țiile:
⎪⎩⎪⎨⎧
==β
.f p,y
i i'
i i (3.218)
3.7.3.2 SPECIFICAREA COMPLET Ă A REPARTI ȚIEI APRIORICE PENTRU
PARAMETRUL DE SCAL Ă.
Estimarea parametrilor αi și ki , pentru β = βi , ai repartiției Gama (rel. 3.176), utilizat ă ca
model aprioric pentru parametrul de scal ă, se poate realiza pe baza valorilor βi (i=1,…,k)
determinate anterior, precum și a propriet ăților de care se bucur ă repartiția Weibull.
Fie Ta, variabila aleatorie care înglobeaz ă informa ția aprioric ă privind deteriorarea
rulmenților și a cărei funcție densitate de probabilitate, f(t), este dat ă de ecuația (l.23).
Studii privind estimarea indicatorilor și optimizarea încercarilor de fiabilitate
139Prin schimbarea variabilei aleatorii:
iaTXβ= , (3.219)
unde βi (i=1,2,…, k) reprezint ă o valoare specificat ă a parametrului de form ă (în concordan ță cu
metoda de calcul expus ă la punctul 3.7.3.1 ), noua variabil ă aleatorie X este repartizat ă
exponențial, [159]:
x
iie )x(f⋅λ−⋅λ= . (3.220)
Estimația de verosimilitate maxim ă a parametrului λi , [81], [77]:
1
r a ar
1jj a ai x)r n( x r ˆa−
= ⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⋅−+⋅=λ∑ , (3.221)
are proprietatea [81], [82]:
).r2,x(ˆr2 2
aiaiχ∝
λλ (3.222)
Relația (3.222) indic ă faptul că variabila aleatorie
λλ
ˆr2 este repartizat ă Hi-pătrat cu 2r
grade libertate.
Funcția densitate de probabilitate a reparti ției Hi-pătrat (χ2(x,ν)), cu ν grade de libertate,
este de forma :
.e x
)2/( 21)x(f2x12
2/−−ν
ν⋅⋅
νΓ⋅= (3.223)
Prin schimbarea variabilei aleatorii:
X Y2⋅σ= , (3.224)
aplicată relației (3.223), se ob ține:
=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
σ≤=≤σ=≤=22 yXPr)yX Pr()yYPr()y(F
=
σ⋅⋅⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
σ⋅
νΓ⋅=σ⋅−−νσ
ν∫ 22v 12
2y
02/dvev
)2/( 21 22
() ().dv e v
2/ 21 22
2v12y
02/2⋅⋅⋅
νΓ⋅σ=σ−−ν σ
ν∫ (3.225)
Relația (3.225) reprezint ă repartiția biparametric ă Hi-pătrat ( Y ∼ χ2(y,ν,σ)), având func ția
densitate de probabilitate:
() (). e y
2/ 21)y(f22y12
2/2σ−−ν
ν⋅⋅
νΓ⋅σ= (3.226)
Prin alegerea convenabil ă a parametrului σ2:
r2ˆai 2λ=σ , (3.227)
Capitolul 3
140se obține din ecua ția (3.224) și (3.222):
ai
aiai ai 2
ˆr2
r2ˆ
X λ=
λλ⋅λ=⋅σ . (3.228)
Introducând rela ția (3.227) în reparti ția (3.226) corespunz ătoare, rezult ă:
ai
aiˆr
1r
ai r
aiai e
)r(rˆ1)(fλ⋅
λ−
−⋅λ⋅
Γ⋅⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛λ=λ . (3.229)
Între reparti ția parametrului λai, dată de relația (3.229) și repartiția Gama (∼ Gam(x,αi,ki)),
utilizată ca model aprioric al parametrului de scal ă Weibull – rela ția (3.176), se pot stabili
următoarele rela ții:
⎪⎩⎪⎨⎧
λ=α=
.ˆr,r k
aiii
(3.230)
Utilizând rela ția (3.174) împreun ă cu ce-a de-a doua ecua ție din (3.230), rezult ă :
.ˆriˆ
ai iβη⋅=α (3.231)
Parametrii ki și αi, astfel ob ținuți, reprezint ă valorile estimate ale parametrilor reparti ției
apriorice pentru parametrul de scal ă.
141
Capitolul
4
CERCET ĂRI EXPERIMENTALE ȘI
SIMULATE PRIVIND ESTIMAREA
INDICATORILOR ȘI OPTIMIZAREA
ÎNCERC ĂRILOR DE FIABILITATE
4.1 STUDIU COMPARATIV PRIVIND MODALIT ĂȚILE DE
ESTIMARE A PARAMETRULUI DE LOCALIZARE
Pentru a ilustra modul de utilizare a metodei coeficientului de corela ție, în cazul estim ării
parametrului de localizare Weibull, a fost preluat ă din literatura de specialitate, [20], [81], [82],
[83], o serie de patru exemple de calcul.
În tabelul 4.l sunt prezentate, pentru fiecare din exemplele alese, volumul e șantionului,
tipul încerc ării efectuate, num ărul de căderi înregistrate, precum și valorile experimentale
observate pentru timpii de deteriorare.
Tabelul 4.1 Exemple de calcul
Exemplul 1
[81], [82] Exemplul 2
[20] Exemplul 3
[81], [82] Exemplul 4
[83]
Volumul e șantionului: n=10 n=10 n=10 n=20
Tipul
încercării: cenzurată la
nivelul:
r=6 completă:
r=10 completă:
r=10 linia defectelor
primare:
l=4; m=5
t1: 46 24.791 200 90
t2: 64 28.427 370 210
t3: 83 31.175 500 400
t4: 105 33.871 620 700
t5: 123 35.338 730 –
t6: 150 38.033 840 –
t7: – 40.102 950 –
t8: – 42.913 1050 –
t9: – 48.203 1160 – Valorile
experimentale observate
pentru
timpii de
deteriorare:
t
10: – 55.218 1400 –
Capitolul 4
142Prelucrarea statistic ă a rezultatelor acestor patru exemple de calcul s-a realizat comparativ,
prin utilizarea metodelor prezentate la punctul 3.2, și anume:
1. Metodele grafice:
Aceste metode sunt, de fapt, recomandate în lucr ările de unde au fost preluate exemplele,
[21], [81], [82], [83] , pentru a fi utilizate în cazul reparti ției triparametrice Weibull. S-au utilizat
cele trei variante ale acestei metode de estimare:
¾ Varianta a ° – prin încerc ări succesive, pentru di ferite valori ale lui γ, pe domeniul
de existen ță;
¾ Varianta b ° – aplicabil ă în cazul lui γ pozitiv și care const ă în prelungirea grafic ă
a curbei valorilor experimentale pân ă la intersec ția ei cu axa absciselor;
¾ Varianta c ° – prin interpolare.
Valorile estimate ale parametrilor reparti ției Weibull ob ținute prin metodele grafice au
fost preluate din referin țele bibliografice [20], [81], [82] și [83], ele constituind valorile de
referință pe baza c ărora a fost dezvoltat acest studiu și care au stat la baza formul ării
concluziilor.
2. Metoda celor mai mici p ătrate , aplicată repartiției triparametrice Weibull.
3. Metoda modificat ă a momentelor .
4. Metoda verosimilit ății maxime , aplicată repartiției triparametrice Weibull.
5. Metoda coeficient ului de corela ție, pentru estimarea valorii parametrului de
localizare, transformarea setului de valori într-un e șantion apar ținând reparti ției
biparametrice Weibull și apoi utilizarea:
5.a) metoda celor mai mici p ătrate, aplicat ă repartiției biparametrice Weibull;
5.b) metoda verosimilit ății maxime, aplicat ă repartiției biparametrice Weibull;
5.c) metoda estimatorilor liniari tip BLIE,
pentru estimarea parametrului de form ă și a celui de scal ă. Aceste trei metode de estimare au
fost descrise la punctul 1.3.3.2 .
Pentru ob ținerea estima țiilor specifice situa țiilor prezentate anterior a fost proiectat ă o
aplicație MathCAD, versiunea +6.0. Listingul ac estui program este prezentat în anexa C,
"Aplicație MathCAD pentru esti marea modelului reparti ției triparametrice Weibull ".
OBSERVA ȚII:
I. Programul a fost astfel conceput încât permite analiza grafic ă a comport ării rezultatelor
experimentale în func ție de diferite valori ale parametrului de localizare.
Figurile 3.2 … 3.6 au fost ob ținute prin utilizarea acestei sec țiuni a programului, pe
baza valorilor din exemplele 1 și 3 prezentate în tabelul 4.1.
II. Pentru rezolvarea ecua țiilor specifice metodei celor mai mici p ătrate, în cazul reparti ției
triparametrice Weibull și al metodei modificate a mo mentelor s-a utilizat func ția "root".
Aceasta asigur ă obținerea iterativ ă a soluției ecuațiilor prin metoda secantei. Precizia de
rezolvare a ecua țiilor a fost stabilit ă la 10-4.
III. Pentru rezolvarea sistemului de ecua ții specific metodei verosimilit ății maxime, a fost
utilizată funcția MathCAD, " find". Aceasta permite ob ținerea solu țiilor sistemelor de
ecuații neliniare prin metoda Levenberg- Merqardt . Precizia de rezolvare a sistemului de
ecuații a fost stabilit ă la 10-4.
IV. Datorită dificultăților de rezolvare a sistemului ecua țiilor de verosimilitate, ce rezult ă în
Cercetări experimentale și simulate privind estimarea indicatorilor și optimizarea încerc ărilor de fiabilitate
143cazul reparti ției triparametrice Weibull, aces ta a fost implementat în dou ă moduri diferite:
♦ Varianta A : care const ă în rezolvarea numeric ă iterativă a primei și a celei de-a
treia ecua ții a sistemului (3.35):
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎧
=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
γ−⋅−β−
γ−−+γ−γ−−+γ−
⋅β⋅=
γ−−+γ−γ−γ−−−
γ−−+γ−γ−⋅γ−
−γ−⋅+
β
∑
∑∑∑
∑ ∑∑
=
=β β=−β −β=
=β ββ
=β β=β
,0ˆt1ln )1ˆ(
)ˆt)(rn()ˆt()ˆt)(rn( )ˆt(
ˆr,0
)ˆt)(rn()ˆt()ˆtln()ˆt)(rn(
)ˆt)(rn()ˆt()ˆtln()ˆt(
)ˆtln(r1
ˆ1
r
1i ir
1iˆ
rˆ
ir
1i1ˆ
r1ˆ
ir
1ir
1iˆ
iˆ
irˆ
r
r
1iˆ
iˆ
ir
1iiˆ
i
i
(4.1)
iar obținerea valorii estimate pentru parametrul de scal ă se realizeaz ă cu ajutorul celei de-a
doua ecua ții a aceluia și sistem:
β
=β β
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡γ−−+γ−⋅=η∑ˆ1r
1iˆ
rˆ
i )ˆt)(rn()ˆt(r1ˆ . (4.2)
♦ Varianta B : care const ă în rezolvarea simultan ă a sistemului celor trei ecua ții de
verosimilitate, scrise de aceast ă dată într-o form ă convenabil ă rezolvării
numerice:
()
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎧
=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
ηγ−⋅η−⋅β+⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
ηγ−⋅ηβ+⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
γ−⋅−β−=
η−⋅γ−+
ηγ−
+−=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
ηγ−⋅⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
ηγ−⋅−+⎥⎥
⎦⎤⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
ηγ−⋅⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
ηγ−⋅η⋅−γ−+
β
−β
=−βββ β
β=β==β β
∑∑∑∑∑
.0ˆˆt
ˆrnˆ
ˆˆt
ˆˆ
ˆt1ln 1ˆ,0
ˆ)rn()ˆt(
ˆ)ˆt(
r,0ˆˆtlnˆˆt)rn(ˆˆtlnˆˆtlnr)ˆtln(ˆr
1ˆ
rr
1i1ˆ
i
iˆˆ ˆ
r
ˆr
1iˆ
ir
1ir
1irˆ
r iˆ
i
i
(4.3)
V. Algoritmul de calcul al parame trului de localizare, din condi ția maximiz ării valorii
coeficientului de corela ție, s-a implementat utilizând facilit ățile grafice deosebite ale
MathCAD-ului. Pe baza unei reprezent ări grafice a func ției ρ(γ) pe un domeniu
corespunz ător domeniului de existen ță a parametrului γ (γ<t1) se obține o valoare ini țială a
parametrului de localizare. Aceast ă valoare ini țială este în continuare rafinat ă prin procedee
numerice, utilizând algoritmul:
Δ+γ=γ+ i 1i , dacă )(f)(f1i i −γ>γ .
Δ- reprezint ă un increment, adoptat cu valoarea Δ= 10-3.
VI. Valorile estimate, prin cele trei metode ( 5a, … ,5c) ale parametrilor reparti ției
biparametrice Weibull au fost ob ținute utilizând programul de calcul prezentat în anexa E,
Aplicație MathCAD pentru es timarea parametrilor și indicatorilor de fiabilitate ai
rulmenților".
Valorile estimate ale parametrilor corespunz ători celor patru exemple de calcul prezentate
în tabelul 4.1 sunt date în tabelul 4.2.
144Tabelul 4.2 Rezultatele ob ținute prin prelucrarea statistic ă a celor patru exemple considerate
Exemplul 1 Exemplul 2 Exemplul 3 Exemplul 4
Estimațiile punctuale ale parametrilor Estimație obținută
prin:
βˆ ηˆ γˆ βˆ ηˆ γˆ βˆ ηˆ γˆ βˆ ηˆ γˆ
1,2 144 30 – – – 3,0 1220 -300 1,16 1620 0 Varianta I
ρ(γˆ) = 0,999752 ρ(γˆ) = 0,999521 ρ(γˆ) = 0,999523
1,2 144 31 – – – – – – – – – Varianta II
ρ(γˆ) = 0,999769 – –
1,2 144 29,48 3,41 30,000 9,666 – – – – – – Metoda grafic ă:
Varianta III
ρ(γˆ) = 0,999722 ρ(γˆ) = 0,991214 – –
1,1834 144,745 30,7946 2,02303 21,3094 19,1837 2, 9126 1199,014 -283,2935 1,0625 1782,158 14,50656 Sol. initial ă
γ0=γcc ρ(γˆ) = 0,99977 ρ(γˆ) = 0,99865 ρ(γˆ) = 0,999527 ρ(γˆ) = 0,999739
2,8526 188,6161 -33,800 7,15441 63,4628 -21,7980 2, 90478 1196,596 -280,9570 1,0968 1732,435 8,41063 Metoda celor mai mici
pătrate, aplicat ă
repartiției triparame-
trice Weibull Sol. initial ă
γ0=0 ρ(γˆ) = 0,984946 ρ(γˆ) = 0,974666 ρ(γˆ) = 0,999527 ρ(γˆ) = 0,999697
Varianta I 0,9961 136,2825 43,350 0,95625 20, 7790 24,7829 0,99969 1187,116 199,6332 0,99928 1752,031 75,5225 Metoda verosimilit ății
maxime, aplicat ă
repartiției tripara-
metrice Weibull Varianta II 0,99609 122,667 43,3639 0,95625 12, 8750 24,7829 0,99969 582,326 199,6332 0,99928 1388,618 72,5225
Metoda modificat ă a momentelor – – – 2,52750 24,5248 16,0411 4,06018 1481,377 -561,8673 2,2427 1752,031 -213,911
Metoda coeficientului de corela ție
combinată cu: ρ(γˆ) = 0,99977 30,795 ρ(γˆ) = 0,99865 19,1834 ρ(γˆ) = 0,999527 -283,2873 ρ(γˆ) = 0,99974 14,5074
a) Metoda celor mai mici p ătrate,
aplicată repartiției
biparametrice Weibull:
1,18340
144,7450
–
2,02040
21,3097
–
2,91260
1199,008
–
1,06248
1782,166
–
b) Metoda verosimilit ății maxime,
aplicată repartiției
triparametrice Weibull:
1,48284
128,0255
–
2,28183
21,0799
–
3,38428
1188,980
-283,57
1,46723
1112,384
–
c) Estimatorii liniari tip BLIE: 1,45593 138,9062 – 2,19706 21,8674 – 3,25481 1218,802 -283,57 1,39355 1349,824 –
Cercetări experimentale și simulate privind estimarea indicatorilor și optimizarea încerc ărilor de fiabilitate
145CONCLUZII :
Analiza rezultatelor ob ținute permite formularea urm ătoarelor concluzii:
a) Valorile maxime ale coeficientului de corela ție, cel care indic ă concordan ța dintre
rezultatele experimentale și dreapta Weibull, s-au ob ținut în cazul utiliz ării metodei
coeficientului de corela ție;
b) Estimații asemănătoare, valoric pentru parametrul de localizare, se ob țin în cazul utiliz ării
metodelor care au la baz ă același principiu (cel al liniariz ării funcției de reparti ție): metodele
grafice, metoda celor mai mici p ătrate aplicat ă repartiției triparametrice Weibull și metoda
coeficientului de corela ție;
c) Utilizarea metodelor grafice poate furniza valori estimate cu suficient ă precizie, de și sunt
afectate de subiectivismul analistului, dac ă se realizeaz ă pe rețele de probabilitate construite
cu o acurate țe deosebit ă;
d) Pentru exemplele prezentate, care asigur ă un coeficient de corela ție ρ=0,998÷0,999,
abordarea grafic ă a estimării parametrice a lui γ este posibil ă întrucât valorile numerice se
dispun conform cazului teor etic analizat la punctul 3.2. În cazurile practice când rezultatele
experimentale sunt afecta te de erori de reprezentativitate, erori de e șantionaj sau când
valorile coeficientului de corela ție sunt ρ≥0,9, determinarea intervalului de existen ță a
parametrului de localizare, precum și operația de estimare grafic ă a parametrului de
localizare devine greoaie și afectată de o doză mare de subiectivism.
În acest sens se prezint ă situația din fig. 4.1, construit ă prin utilizarea valorilor
obținute la testatea rulmentului 16006 (cazul lotului 1, analizat la punctul 4.3).
Fig. 4.1 Estimarea grafic ă a parametrului de localizare în cazul γ∈(0,t1)
e) Estimatorul lui γ obținut prin metoda celor mai mici p ătrate, aplicat ă repartiției
triparametrice Weibull, depinde foarte mult de valoarea ini țială aleasă pentru rezolvarea
numerică a ecuației ce con ține estima ția parametrului de loca ție. Valorile estimate ale lui γ,
pornind de la solu ții inițiale diferite, se pot ob ține cu diferen țe semnificative, datorit ă
formei specifice de varia ție a ecua ției (3.25) , în funcție de valorile parametrului de
localizare, vezi. fig. 4.2a, b. 10 100 1103
Durata de functionare, T Functia de repartitie, F(t)
Capitolul 4
146a) Cazul γ∈(0,t 1), din exemplul 1
a) Cazul γ∈(-∞,0), din exemplul 3
Fig. 4.2 Variația valorilor ecua ției (3.25) în func ție de γ
De aceea este necesar ca solu ția inițială să se aleagă în preajma valorii t1 (valoarea
primei căderi înregistrate);
f) Metoda coeficient ului de corela ție permite ob ținerea univoc ă a estimațiilor parametrului de
localizare. În fig. 4.3 sunt prezentate graficele care con țin modul de varia ție a valorilor
coeficientului de corela ție în func ție de valorile lui γ, pentru cele patru exemple analizate.
g) Decuplarea opera ției de estimare parametric ă și utilizarea metodei coeficientului de corela ție
pentru estimarea parametrului de localizare, combinat ă cu alte metode uzuale de estimare a
parametrilor de form ă și de scal ă determin ă obținerea unor rezultate comparabile.
Diferențele nesemnificative care apar depind de propriet ățile estimatorilor utiliza ți.
h) Metoda verosimilit ății maxime aplicat ă repartiției triparametrice Weibull determin ă
obținerea, în unele situa ții, a unor valori estimate care difer ă semnificativ de cele ob ținute
prin celelalte metode. Se constat ă, de asemenea, c ă datorită complexit ății deosebite a
sistemului de ecua ții de verosimilitate, solu țiile obținute depind de forma aleas ă pentru
implementare.
i) Metoda modificat ă a momentelor furnizeaz ă estimații care difer ă semnificativ, în unele
cazuri, de cele ob ținute prin alte metode. De aceea, se recomand ă utilizarea ei doar în
situațiile în care nu exist ă metode alternative de estimare. cγ()
γ50 40 30 20 10 0 10 20 30 40024
cγ()
γ200 150 100 50 0 50 100 150 200024
Cercetări experimentale și simulate privind estimarea indicatorilor și optimizarea încerc ărilor de fiabilitate
147
a) Cazul exemplului 1 b) Cazul exemplului 2
c) Cazul exemplului 3 d) Cazul exemplului 4
Fig. 4.3 Valorile coeficientului de corela ție, în func ție de γ
500 00.90.951
Valorile parametrului de localizareCoeficientul de corelatie
100 00.940.960.981
Valorile parametrului de localizareCoeficientul de corelatie100 50 00.960.981
Valorile parametrului de localizareCoeficientul de corelatie
50 00.940.960.98
Valorile parametrului de localizareCoeficientul de corelatie
Capitolul 4
1484.2 CERCET ĂRI PRIN SIMULARE NUMERIC Ă PRIVIND
OPTIMIZAREA ÎNCERC ĂRILOR DE FIABILITATE ȘI A
MODALIT ĂȚILOR DE ESTIMARE
Optimizarea criterial ă a încercărilor la durabilitate/fiabilitate, dezvoltat ă la punctul 3.5.1 ,
are ca scop adoptarea unui tip de încercare (cenzurat ă, complet ă sau prin metoda liniei
defectelor primare), precum și a planului de încerc ări (volumul e șantionului, num ărul de
rulmenți deteriora ți în timpul încerc ării), pe baza a dou ă criterii:
♦ precizia de estimare;
♦ deplasarea estima țiilor,
care permit caracterizarea aprioric ă complet ă a estima țiilor punctuale ale parametrilor și
indicatorilor de fiabilitate. De asemenea, defini rea într-un mod unitar a indicatorilor preciziei și
deplasării pentru cele patru c azuri analizate (încerc ări cenzurate/complete, încerc ări efectuate
prin metoda liniei defectelor primare, estimatori de verosimilitate maxim ă și estimatori liniari
tip BLIE) face posibil ă realizarea unui studiu comp arativ privind propriet ățile celor doi
estimatori considera ți și adoptarea metodei celei mai eficiente de estimare.
De aceea în continuarea lucr ării s-a realizat simularea numeric ă a încercărilor de fiabilitate
a rulmenților, în urm ătoarele condi ții:
încercări de tip cenzurat/complet cu 3 ≤ n ≤ 20 și 3 ≤ r ≤ n;
încercări efectuate prin metoda lini ei defectelor primare cu 6 ≤ n ≤ 25 și 3 ≤ l ≤ n.
În acest scop s-a utilizat pachetul de pr ograme MathCAD +6.0 proiectat la punctul 3.5.2 .
Valorile cuantilelor variabilelor aleatorii caracteristice celor patr u cazuri analizate, care s-au
obținut cu aceast ă ocazie, sunt prezentate în anexa D, "Cuantilele variabilelor aleatorii
specifice reparti ției Weibull ”:
♦ Tabelul D.1 Cuantilele variabilei aleatorii ()ββ= ˆ/ˆ n,rv
♦ Tabelul D.2 Cuantilele variabilei aleatorii () ηη⋅β= /ˆlnˆ n,rk
♦ Tabelul D.3 Cuantilele variabilei aleatorii ()10,0 10,0t tˆlnˆ 10,0;n;ru ⋅β=
♦ Tabelul D.4 Cuantilele variabilei aleatorii ()50,0 50,0t tˆlnˆ 50,0;n;ru ⋅β=
♦ Tabelul D.5 Cuantilele variabilei aleatorii ()*
/ n,rW ββ=
♦ Tabelul D.6 Cuantilele variabilei aleatorii () ηη⋅β= /ln n,rZ* *
♦ Tabelul D.7 Cuantilele variabilei aleatorii ()10,010,0* *
t tln 10,0;n;rV ⋅β=
♦ Tabelul D.8 Cuantilele variabilei aleatorii ()50,050,0* *
t tln 50,0;n;rV ⋅β=
♦ Tabelul D.9 Cuantilele variabilei aleatorii () ηη⋅β= /ˆlnˆ ;ss ml
♦ Tabelul D.10 Cuantilele variabilei aleatorii ()10,0 10,0 s t tˆlnˆ 10,0;;q ⋅β= ml
♦ Tabelul D.11 Cuantilele variabilei aleatorii ()50,0 50,0 s t tˆlnˆ 50,0;;q ⋅β= ml
Cercetări experimentale și simulate privind estimarea indicatorilor și optimizarea încerc ărilor de fiabilitate
149♦ Tabelul D.12 Cuantilele variabilei aleatorii () ηη⋅β= /ln ;S* *
s ml
♦ Tabelul D.13 Cuantilele variabilei aleatorii ()10,010,0*
s*
t/tln 10,0;;Q ⋅β= ml
♦ Tabelul D.14 Cuantilele variabilei aleatorii ()50,050,0*
s*
t/tln 50,0;;Q ⋅β= ml
Corectitudinea modelului matematic utilizat la simularea încerc ărilor cenzurate a fost
verificată prin compararea rezultatelor ob ținute cu cele întâlnite în literatura de specialitate.
Astfel în tabelul 4.3 este prezentat ă o serie de valori ob ținută prin simulare numeric ă, utilizând
algoritmul prezentat la punctul 3.5.2 , comparativ cu valorile recomandate în [68], [105] și [25].
Tabelul 4.3 Cuantilele variabilei aleatorii v(r,n)
Cuantilele variabilei aleatorii v(r,n) Variabila
aleatorie: Index
bibliografic
5 % 50 % 95%
9 punctul 3.5.2 0,6581 1,3160 3,3010
[68] 0,6482 l,3117 3,2791
[105] 0,6810 1,3010 3,4260
v(5, 10)
[25] 0,6500 l,3000 3,3600
9 punctul 3.5.2 0,7392 1,1040 1,8150
[68] 0,7361 1,1031 1,8363
[105] 0,7640 1,0910 1,8020
v(10, 10)
[25] 0,7390 1,1100 1,7800
9 punctul 3.5.2 0,7109 1,1340 2,0010
[68] 0,7047 1,1328 1,9913
[105] 0,7040 1,1460 2,0100
v(10, 20)
[25] 0,7160 1,1500 2,0300
9 punctul 3.5.2 0,7964 l,0510 1,4440
[68] 0,7949 1,0476 1,4456
[105] 0,7820 1,0340 1,4220
v(20, 20)
[25] 0,7880 1,0500 1,4300
Algoritmul proiectat pentru simularea încerc ărilor efectuate prin metoda liniei defectelor
primare și modul de implementare s-a verificat pornind de la proprietatea variabilelor aleatorii
v(),ll și W(),ll de a fi egale cu cele specifice încerc ărilor cenzurate/complete ( v(r,n) și
W(r,n)), pentru cazul r=n=l. În tabelul 4.4 este prezentat ă o serie de rezultate pentru cazul
r=n=l= 3, 4, 5.
Valorile cuantilelor variabilel or aleatorii caracteristice încerc ărilor cenzurate/complete au
stat la baza calculului indica torilor preciziei de estimare și deplasării, corespunz ătoare unui
nivel de încredere 1 – α =90 %, prin utilizarea rela țiilor din tabelele 3.18 și 3.19. Rezultatele
obținute sunt prezentate în tabelul 4.5.
Valorile cuantilelor variabilel or aleatorii caracteristice încerc ărilor efectuate prin metoda
liniei defectelor primare au stat la baza calculului indicatorilor preciziei de estimare și
deplasării, corespunz ătoare unui nivel de încredere 1 – α =90 %, prin utilizarea rela țiilor din
tabelele 3.18 și 3.19. Rezultatele ob ținute sunt prezentate în tabelul 4.6.
Pornind de la faptul c ă principalii indicatori de fiabilitate ai rulmen ților îi reprezint ă
cuantilele 0,10 și 0,50, se poate defini în continuare o serie de func ții care permite realizarea
Capitolul 4
150discrimin ării între încerc ările (efectuate pe un e șantion de volum n) cenzurate la nivelul r și
încercările efectuate prin metoda liniei defectel or primare ( l= r; =⋅ml n), în vederea
adoptării variantei optime de încercare, sau a estimatorului utilizat.
Tabelul 4.4 Cuantilele variabilelor aleatorii v (),ll și W(),ll
Cuantilele variabilei aleatorii:
v(ll,); v(r,n) W( ll,); W(r,n) Tip încercare:
5 % 50 % 95 % 5 % 50 % 95 %
l=3; m=3 0.6507 1.497 5.787 0.1664 0.6616 1.530
l=3; m=4 0.6494 1.517 6.063 0.1678 0.6700 1.565 -prin metoda liniei
defectelor primare
l=3; m=5 0.6620 1.521 5.974 0.1694 0.6671 1.542
– complete n=3; r=3 0.6567 1.519 6.051 0.1687 0.6674 1.544
l=4; m=3 0.6676 1.326 3.631 0.2809 0.7679 1.524
l=4; m=4 0.6578 1.329 3.801 0.2663 0.7642 1.550 -prin metoda liniei
defectelor primare
l=4; m=5 0.6727 1.328 3.642 0.2808 0.7653 1.523
– complete n=4; r=4 0.6637 1.342 3.654 0.2763 0.7577 1.533
l=5; m=3 0.6791 1.237 2.894 0.3511 0.8203 1.500
l=5; m=4 0.6848 1.242 2.877 0.3504 0.8167 1.491 -prin metoda liniei
defectelor primare
l=5; m=5 0.6880 1.247 2.874 0.3537 0.8142 1.479
– complete n=5; r=5 0.6803 1.240 2.871 0.3528 0.8200 1.498
În acest scop, pentru cazul încerc ărilor cenzurate și al estimatorilor de verosimilitate
maximă, se utilizeaz ă relația (3.115), iar expresia func ției corespunz ătoare, [25], [68], [105],
reprezintă de fapt exponentul acestei rela ții:
()()()
().n,r vp,n,r up,n,r u
,p,n,rn
50,02 2 1 α α− −
=α (4.4)
Analog se pot determina expresiile matematice ale func țiilor similare, specifice :
– încercărilor cenzurate și complete;
– încercărilor efectuate prin metoda liniei defectelor primare,
în cazul utiliz ării estimatorilor de verosimilitate maxim ă și/sau a estimatorilor liniari de tip
BLIE.
În tabelul 4.7 sunt prezentate expresi ile analitice ale acestor func ții, în cele patru cazuri
analizate și care au fost calculate pentru cuantilele :
¾ p = 63,2% – parametrul de scal ă (η);
¾ p = 10% – durabilitatea nominal ă (L10);
¾ p = 50% – durabilitatea median ă (L50),
specifice analizei fiabilit ății rulmenților, iar în tabelul 4.8 sunt prezentate valorile numerice ale
acestor func ții, calculate pentru un nivel de semnifica ție α = 10%.
Dacă, de exemplu:
n(r; n; 0,10; α ) > h(l; m; 0,10; α ), (4.5)
cum este cazul încerc ărilor efectuate pe un e șantion de volum n = 9 și l= r = 3; m= 3, rezult ă
că precizia estimatorului durabilit ății nominale de verosimilitate maxim ă, calculat ă pe baza
rezultatelor experimentale furnizate de o încercare efectuat ă prin metoda liniei defectelor
primare, este superioar ă celei de verosimilitate maxim ă obținute pe baza unei încerc ări
cenzurate.
151Tabelul 4.5 Valorile indicatorilor preciziei de estimare și deplasării în cazul încerc ărilor cenzurate
ESTIMATORI DE VEROSIMILITATE MAXIM Ă ESTIMATORI LINIARI TIP BLIE
β η L10 L 50 β η L10 L 50 N r
Rβ(0.10) D β Rβ
η(0.10) Dβ
η Rβ
L10(0.10) Dβ
L10 Rβ
L50(0.10) Dβ
L50 Rβ(0.10) D β Rβ
η(0.10) Dβ
η Rβ
L10(0.10) Dβ L10Rβ
L50(0.10) Dβ
L50
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
3 3 9.088 2.299 23.007 0.897 4,462.337 3.250 29.909 1.106 9.149 2.282 22.685 0.989 4,114.619 3.494 30.147 1.214
4 3 10.361 2.490 31.951 0.741 1,931.926 2.847 25.555 0.922 10.382 2.464 31.694 0.806 1,848.053 3.071 25.420 1.002
4 5.485 1.661 9.563 0.946 283.118 2.308 11.567 1.094 5.530 1.635 9.502 1.044 311.023 2.491 11.556 1.203
5 3 11.281 2.630 53.716 0.633 1,282.046 2.553 29.834 0.794 11.256 2.609 53.731 0.684 1,246.170 2.742 29.805 0.858
4 6.184 1.755 10.948 0.843 232.894 2.218 11.263 0.987 6.163 1.735 10.886 0.924 228.529 2.394 11.121 1.078
5 4.219 1.448 6.506 0.963 103.638 1.926 7.742 1.078 4.239 1.426 6.489 1.054 101.412 2.056 7.760 1.175
6 3 11.793 2.699 91.346 0.560 854.693 2.310 41.015 0.706 11.839 2.683 91.622 0.604 876.719 2.476 41.366 0.760
4 6.590 1.821 12.533 0.759 160.883 2.092 10.890 0.895 6.576 1.805 12.381 0.827 163.104 2.255 10.905 0.973
5 4.575 1.499 6.823 0.892 84.170 1.888 7.228 1.008 4.603 1.483 6.811 0.971 82.508 2.021 7.183 1.094
6 3.538 1.339 5.203 0.971 48.395 1.714 6.088 1.065 3.552 1.320 5.166 1.052 48.196 1.813 6.063 1.150
7 3 11.678 2.818 143.215 0.502 385.987 2.142 56.563 0.636 11.755 2.804 149.034 0.538 391.260 2.290 55.774 0.682
4 6.678 1.844 15.017 0.701 121.902 1.963 11.014 0.829 6.685 1.831 14.973 0.762 118.936 2.115 10.964 0.899
5 4.760 1.531 7.213 0.838 70.733 1.829 6.988 0.952 4.758 1.518 7.199 0.909 69.055 1.960 7.034 1.030
6 3.762 1.374 5.303 0.922 44.130 1.701 5.792 1.019 3.779 1.359 5.239 0.996 43.977 1.806 5.821 1.098
7 3.104 1.271 4.399 0.977 32.376 1.580 5.154 1.056 3.127 1.254 4.425 1.051 33.125 1.660 5.175 1.132
8 3 11.690 2.834 262.866 0.458 238.256 1.966 77.840 0.581 11.712 2.822 258.855 0.491 238.886 2.101 77.671 0.622
4 6.645 1.852 19.002 0.657 79.529 1.851 12.270 0.778 6.677 1.841 19.015 0.713 80.331 1.993 12.276 0.843
5 4.813 1.545 7.813 0.794 52.250 1.756 6.966 0.903 4.804 1.534 7.793 0.860 51.803 1.881 6.971 0.977
6 3.877 1.395 5.403 0.880 36.607 1.664 5.399 0.977 3.864 1.383 5.429 0.949 36.940 1.769 5.393 1.050
7 3.248 1.293 4.315 0.941 28.790 1.566 4.766 1.022 3.253 1.297 4.332 1.005 27.562 1.683 4.701 1.093
8 2.811 1.225 3.927 0.981 23.450 1.482 4.495 1.049 2.822 1.210 3.934 1.048 23.826 1.547 4.490 1.116
9 3 11.925 2.691 338.477 0.424 158.328 1.744 109.283 0.534 11.825 2.861 346.227 0.450 184.543 1.945 102.793 0.571
4 6.804 1.846 25.359 0.615 65.322 1.725 14.637 0.727 6.870 1.878 23.292 0.666 74.736 1.906 13.732 0.790
152Tabelul 4.5 (continuare) Valorile indicatorilor preciziei de estimare și deplasării în cazul încerc ărilor cenzurate
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
9 5 4.855 1.556 9.428 0.747 40.983 1.669 7.388 0.852 5.003 1.561 8.767 0.814 44.841 1.827 7.199 0.929
6 3.948 1.403 5.663 0.841 31.610 1.605 5.234 0.935 4.026 1.402 5.640 0.912 33.249 1.738 5.467 1.013
7 3.376 1.304 4.474 0.906 27.318 1.530 4.606 0.986 3.406 1.307 4.556 0.973 26.757 1.649 4.673 1.060
8 2.936 1.239 3.819 0.950 21.289 1.466 4.194 1.019 2.996 1.238 3.862 1.015 23.136 1.565 4.242 1.090
9 2.599 1.193 3.568 0.980 17.993 1.405 3.986 1.039 2.610 1.181 3.572 1.046 18.649 1.481 4.077 1.107
10 3 12.279 2.778 528.982 0.393 145.336 1.662 158.882 0.497 12.046 2.826 452.498 0.420 139.908 1.799 135.659 0.533
4 6.991 1.870 31.111 0.583 57.328 1.662 16.481 0.692 7.020 1.895 28.593 0.631 61.004 1.825 16.515 0.750
5 5.016 1.572 10.615 0.713 37.866 1.618 7.770 0.815 5.013 1.573 9.571 0.835 36.551 1.897 7.086 0.955
6 4.023 1.412 6.108 0.812 26.731 1.565 5.274 0.904 4.158 1.417 5.963 0.876 30.832 1.698 5.346 0.976
7 3.501 1.321 4.485 0.876 23.542 1.513 4.358 0.958 3.486 1.321 4.604 0.941 24.964 1.626 4.511 1.029
8 3.005 1.250 3.833 0.926 19.549 1.452 3.986 0.996 3.096 1.252 3.933 0.988 20.868 1.553 4.107 1.063
9 2.688 1.205 3.427 0.959 16.694 1.405 3.739 1.020 2.756 1.201 3.468 1.020 17.583 1.486 3.824 1.084
10 2.459 1.169 3.256 0.982 15.069 1.358 3.678 1.035 2.454 1.159 3.290 1.042 14.971 1.423 3.708 1.096
11 3 12.629 2.819 895.523 0.369 104.320 1.575 220.477 0.467 12.177 2.797 701.265 0.393 119.374 1.670 191.058 0.498
4 7.034 1.890 38.756 0.553 48.417 1.596 20.190 0.658 7.254 1.918 38.202 0.597 55.440 1.751 18.535 0.711
5 5.131 1.576 12.175 0.689 34.574 1.568 8.449 0.788 5.086 1.582 11.261 0.747 33.998 1.711 8.281 0.855
6 4.144 1.422 6.688 0.785 24.862 1.530 5.445 0.875 4.211 1.425 6.570 0.846 27.984 1.654 5.555 0.944
7 3.529 1.324 4.737 0.856 21.336 1.483 4.357 0.936 3.578 1.331 4.842 0.914 22.518 1.599 4.509 1.001
8 3.095 1.264 3.939 0.902 18.242 1.442 3.922 0.973 3.130 1.262 4.006 0.963 18.687 1.536 4.045 1.039
9 2.770 1.213 3.416 0.940 15.766 1.396 3.604 1.002 2.823 1.214 3.526 0.998 17.609 1.482 3.744 1.063
10 2.531 1.178 3.187 0.966 14.571 1.357 3.512 1.020 2.581 1.175 3.260 1.022 14.879 1.430 3.625 1.079
11 2.349 1.151 3.030 0.984 12.941 1.321 3.392 1.033 2.350 1.142 3.152 1.039 13.051 1.377 3.513 1.088
12 3 12.461 2.781 1,079.330 0.351 80.239 1.485 292.357 0.444 12.438 2.822 1,079.956 0.367 92.224 1.570 284.415 0.465
4 7.112 1.895 44.196 0.530 38.169 1.534 22.741 0.631 7.153 1.915 47.912 0.567 42.117 1.661 22.735 0.676
5 5.149 1.586 14.451 0.665 28.187 1.526 9.399 0.761 5.104 1.581 12.890 0.720 28.741 1.647 8.774 0.824
6 4.179 1.430 7.375 0.760 21.680 1.495 5.787 0.849 4.243 1.429 7.215 0.816 23.286 1.604 5.604 0.912
7 3.564 1.331 5.072 0.834 18.521 1.459 4.478 0.913 3.582 1.331 5.175 0.884 18.824 1.546 4.626 0.968
8 3.131 1.266 4.059 0.885 16.579 1.421 3.893 0.956 3.141 1.267 4.054 0.940 16.815 1.509 3.905 1.015
9 2.828 1.222 3.510 0.921 15.098 1.387 3.588 0.985 2.869 1.219 3.550 0.975 15.396 1.461 3.617 1.041
10 2.574 1.184 3.165 0.951 13.360 1.349 3.383 1.007 2.628 1.182 3.222 1.002 13.663 1.417 3.438 1.060
153Tabelul 4.5 (continuare) Valorile indicatorilor preciziei de estimare și deplasării în cazul încerc ărilor cenzurate
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
12 11 2.384 1.157 2.975 0.972 12.348 1.320 3.288 1.021 2.432 1.153 3.043 1.020 12.581 1.377 3.342 1.072
12 2.241 1.136 2.898 0.988 11.244 1.290 3.216 1.031 2.249 1.127 2.958 1.035 11.281 1.334 3.282 1.079
13 3 12.736 2.899 2,104.708 0.326 80.439 1.425 428.960 0.415 12.619 2.849 1,619.367 0.349 84.329 1.504 406.203 0.443
4 7.350 1.937 67.410 0.504 37.696 1.499 29.188 0.602 7.343 1.927 56.294 0.544 37.767 1.607 25.241 0.649
5 5.240 1.608 16.393 0.638 27.100 1.494 9.982 0.733 5.178 1.591 14.925 0.693 25.674 1.597 9.776 0.794
6 4.234 1.435 7.835 0.743 20.551 1.468 5.865 0.830 4.242 1.437 7.909 0.793 21.466 1.571 5.985 0.887
7 3.597 1.342 5.346 0.811 17.497 1.440 4.600 0.891 3.621 1.338 5.242 0.865 17.536 1.528 4.532 0.950
8 3.185 1.277 4.249 0.864 15.637 1.409 3.868 0.936 3.214 1.275 4.208 0.917 15.972 1.489 3.946 0.993
9 2.910 1.231 3.607 0.903 13.988 1.377 3.562 0.967 2.904 1.227 3.603 0.955 14.385 1.448 3.595 1.022
10 2.653 1.194 3.253 0.934 12.906 1.346 3.320 0.991 2.674 1.188 3.279 0.984 12.845 1.405 3.380 1.043
11 2.476 1.165 3.032 0.957 11.731 1.316 3.207 1.008 2.480 1.159 3.029 1.006 12.109 1.371 3.243 1.058
12 2.304 1.143 2.880 0.974 10.778 1.292 3.136 1.020 2.332 1.137 2.895 1.020 10.977 1.337 3.147 1.066
13 2.175 1.124 2.801 0.989 9.883 1.265 3.101 1.028 2.179 1.115 2.798 1.03210.2321.302 3.122 1.072
14 3 12.521 2.911 2,467.134 0.309 70.791 1.355 576.799 0.393 12.797 2.904 2,804.070 0.330 65.024 1.443 652.809 0.420
4 7.440 1.958 77.782 0.482 32.620 1.448 35.671 0.576 7.420 1.952 78.695 0.518 32.765 1.553 35.382 0.620
5 5.274 1.611 18.838 0.620 23.034 1.456 11.071 0.713 5.280 1.605 18.845 0.667 23.073 1.557 11.224 0.765
6 4.285 1.443 9.001 0.722 19.210 1.440 6.443 0.807 4.296 1.437 8.954 0.772 19.473 1.532 6.481 0.863
7 3.622 1.345 5.760 0.795 16.962 1.416 4.694 0.873 3.639 1.339 5.763 0.847 16.859 1.498 4.713 0.930
8 3.205 1.281 4.389 0.849 14.431 1.389 3.908 0.919 3.213 1.275 4.393 0.900 14.445 1.462 3.904 0.974
9 2.931 1.234 3.694 0.890 13.184 1.362 3.458 0.954 2.923 1.227 3.692 0.940 13.263 1.426 3.463 1.006
10 2.707 1.198 3.293 0.921 12.165 1.336 3.287 0.979 2.705 1.192 3.289 0.969 12.187 1.392 3.280 1.028
11 2.528 1.172 3.050 0.944 11.327 1.312 3.120 0.996 2.530 1.165 3.053 0.991 11.376 1.362 3.132 1.044
12 2.348 1.148 2.860 0.964 10.296 1.287 3.029 1.010 2.346 1.140 2.861 1.009 10.273 1.330 3.038 1.056
13 2.212 1.130 2.728 0.978 9.606 1.266 2.985 1.020 2.218 1.121 2.719 1.021 9.594 1.302 2.975 1.062
14 2.094 1.114 2.667 0.989 8.891 1.245 2.927 1.027 2.100 1.104 2.663 1.031 8.893 1.274 2.928 1.067
15 3 7.428 2.897 18,885.280 0.296 130.427 1.291 3,090.084 0.376 12.682 2.890 3,511.859 0.316 56.426 1.375 785.294 0.401
4 5.409 1.946 134.128 0.469 40.762 1.400 54.664 0.560 7.391 1.940 86.645 0.504 28.945 1.501 37.491 0.603
5 4.317 1.621 27.853 0.599 25.691 1.418 15.118 0.689 5.412 1.616 22.642 0.643 21.193 1.515 12.671 0.740
6 3.665 1.451 11.243 0.701 18.846 1.411 7.451 0.786 4.326 1.446 10.335 0.750 16.888 1.501 6.985 0.839
7 3.241 1.348 6.537 0.779 16.144 1.393 5.029 0.856 3.653 1.343 6.131 0.830 14.880 1.473 4.789 0.911
154Tabelul 4.5 (continuare) Valorile indicatorilor preciziei de estimare și deplasării în cazul încerc ărilor cenzurate
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
15 8 2.962 1.284 4.810 0.833 14.306 1.371 4.109 0.904 3.243 1.278 4.650 0.883 13.583 1.442 3.982 0.957
9 12.711 1.235 2.376 0.877 5.091 1.347 2.236 0.941 2.959 1.230 3.802 0.926 12.365 1.411 3.476 0.993
10 2.713 1.201 3.348 0.909 11.262 1.324 3.219 0.966 2.716 1.196 3.348 0.956 11.365 1.381 3.209 1.015
11 2.522 1.174 3.023 0.934 10.842 1.302 3.050 0.986 2.526 1.167 3.021 1.021 10.850 1.353 3.049 1.033
12 2.393 1.152 2.824 0.953 10.079 1.282 2.945 1.000 2.393 1.145 2.833 0.998 10.180 1.326 2.948 1.045
13 2.250 1.133 2.693 0.970 9.148 1.261 2.876 1.012 2.250 1.125 2.699 1.012 9.200 1.300 2.882 1.054
14 2.138 1.118 2.626 0.981 8.693 1.244 2.862 1.020 2.138 1.110 2.622 1.022 8.730 1.278 2.864 1.060
15 2.039 1.105 2.564 0.991 8.112 1.226 2.808 1.026 2.044 1.096 2.563 1.030 8.205 1.253 2.809 1.063
16 3 13.020 2.920 4,286.798 0.285 54.691 1.251 979.559 0.363 12.314 2.915 3,107.997 0.304 45.460 1.332 768.713 0.386
4 7.467 1.975 102.083 0.451 28.249 1.368 43.700 0.540 7.049 1.969 79.644 0.484 22.373 1.466 36.726 0.580
5 5.418 1.633 26.526 0.582 19.804 1.394 14.105 0.672 5.278 1.628 23.024 0.625 17.166 1.489 13.241 0.720
6 4.407 1.457 10.803 0.687 15.046 1.390 7.242 0.770 4.393 1.452 10.796 0.734 14.993 1.478 7.229 0.822
7 3.701 1.355 6.773 0.763 13.931 1.377 5.122 0.841 3.701 1.350 6.767 0.813 13.891 1.456 5.094 0.894
8 3.321 1.290 4.945 0.819 12.406 1.358 4.071 0.889 3.328 1.285 4.933 0.867 12.465 1.429 4.056 0.941
9 2.996 1.245 4.031 0.861 11.885 1.340 3.617 0.925 3.001 1.240 4.042 0.908 11.420 1.402 3.542 0.975
10 2.767 1.208 3.386 0.895 11.455 1.319 3.277 0.953 2.756 1.203 3.458 0.941 10.816 1.376 3.250 1.001
11 2.577 1.180 3.114 0.921 10.596 1.298 3.080 0.974 2.578 1.175 3.112 0.967 10.118 1.349 3.041 1.020
12 2.434 1.156 2.858 0.943 10.029 1.277 2.976 0.991 2.446 1.150 2.842 0.986 9.754 1.322 2.902 1.034
13 2.311 1.138 2.740 0.960 9.434 1.260 2.901 1.003 2.290 1.132 2.697 1.001 9.473 1.300 2.810 1.044
14 2.175 1.124 2.631 0.971 8.664 1.244 2.831 1.011 2.191 1.117 2.587 1.011 8.854 1.279 2.757 1.051
15 2.083 1.110 2.552 0.982 8.114 1.227 2.780 1.018 2.089 1.102 2.527 1.020 8.271 1.257 2.747 1.055
16 1.983 1.098 2.508 0.991 7.740 1.210 2.772 1.023 1.975 1.089 2.491 1.027 7.780 1.235 2.726 1.059
17 3 13.320 2.947 6,780.763 0.273 52.122 1.207 1,537.507 0.348 13.313 2.945 6,794.967 0.291 52.513 1.285 1,607.802 0.370
4 7.567 1.969 124.718 0.439 25.711 1.330 48.204 0.526 7.596 1.964 125.561 0.472 25.804 1.424 48.648 0.565
5 5.490 1.635 29.541 0.568 17.912 1.359 16.159 0.655 5.495 1.630 29.588 0.609 17.797 1.452 16.050 0.701
6 4.408 1.469 12.483 0.666 15.547 1.367 8.090 0.749 4.407 1.464 12.686 0.712 15.559 1.453 8.139 0.800
7 3.715 1.357 7.132 0.750 13.505 1.355 5.258 0.826 3.718 1.352 7.070 0.798 13.616 1.433 5.250 0.878
8 3.300 1.295 5.224 0.804 12.238 1.342 4.165 0.874 3.304 1.290 5.224 0.852 12.203 1.413 4.160 0.925
9 3.022 1.245 4.183 0.850 11.316 1.324 3.622 0.914 3.030 1.241 4.157 0.897 11.407 1.387 3.635 0.963
10 2.801 1.209 3.522 0.886 10.399 1.306 3.251 0.944 2.799 1.204 3.516 0.931 10.408 1.363 3.247 0.991
155Tabelul 4.5 (continuare) Valorile indicatorilor preciziei de estimare și deplasării în cazul încerc ărilor cenzurate
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
17 11 2.603 1.183 3.146 0.911 10.089 1.290 3.032 0.964 2.601 1.178 3.156 0.955 10.081 1.342 3.021 1.009
12 2.459 1.160 2.868 0.933 9.408 1.273 2.873 0.981 2.462 1.155 2.872 0.975 9.423 1.319 2.874 1.024
13 2.336 1.139 2.718 0.952 8.863 1.253 2.791 0.996 2.343 1.134 2.722 0.993 8.835 1.294 2.797 1.036
14 2.225 1.126 2.597 0.964 8.443 1.241 2.741 1.004 2.232 1.120 2.597 1.003 8.464 1.277 2.746 1.044
15 2.115 1.114 2.508 0.975 7.808 1.226 2.692 1.012 2.117 1.107 2.511 1.013 7.839 1.259 2.689 1.049
16 2.028 1.102 2.451 0.985 7.540 1.211 2.667 1.018 2.029 1.094 2.461 1.021 7.525 1.239 2.661 1.053
17 1.942 1.091 2.412 0.992 7.180 1.197 2.679 1.023 1.948 1.083 2.417 1.027 7.278 1.220 2.686 1.056
18 3 13.062 2.962 8,059.782 0.265 48.746 1.174 1,948.668 0.337 13.082 3.447 8,129.141 0.218 47.898 1.078 1,877.211 0.283
4 5.453 1.968 213.271 0.428 31.560 1.295 76.728 0.513 7.534 1.963 134.811 0.460 23.481 1.387 52.894 0.550
5 4.380 1.638 37.847 0.557 19.637 1.337 19.952 0.642 5.467 1.633 30.216 0.597 16.321 1.428 16.639 0.688
6 3.747 1.472 14.719 0.653 15.283 1.344 9.391 0.735 4.382 1.468 13.410 0.697 13.858 1.429 8.658 0.784
7 3.333 1.362 8.113 0.736 13.444 1.337 5.851 0.811 3.747 1.357 7.625 0.782 12.443 1.414 5.556 0.862
8 3.055 1.296 5.672 0.794 12.434 1.327 4.431 0.863 3.333 1.292 5.387 0.840 11.600 1.396 4.234 0.913
9 7.533 1.248 3.160 0.839 6.386 1.312 2.773 0.903 3.062 1.244 4.335 0.885 10.660 1.375 3.678 0.951
10 2.806 1.210 3.678 0.875 10.030 1.294 3.259 0.933 2.806 1.206 3.681 0.920 10.136 1.351 3.260 0.979
11 2.632 1.185 3.225 0.902 9.208 1.281 3.027 0.955 2.634 1.180 3.224 0.946 9.178 1.332 3.024 1.000
12 2.463 1.164 2.949 0.923 8.852 1.267 2.869 0.972 2.470 1.159 2.947 0.964 8.844 1.314 2.866 1.014
13 2.359 1.145 2.729 0.942 8.660 1.252 2.755 0.986 2.359 1.140 2.744 0.982 8.647 1.294 2.762 1.026
14 2.242 1.128 2.593 0.957 8.014 1.237 2.689 0.998 2.245 1.123 2.600 0.996 8.002 1.274 2.690 1.036
15 2.139 1.117 2.514 0.968 7.649 1.225 2.653 1.006 2.138 1.111 2.513 1.005 7.653 1.259 2.644 1.043
16 2.041 1.106 2.429 0.978 7.407 1.212 2.602 1.012 2.042 1.099 2.433 1.013 7.425 1.242 2.599 1.047
17 1.977 1.096 2.383 0.986 6.981 1.200 2.593 1.018 1.982 1.089 2.381 1.020 6.987 1.225 2.596 1.051
18 1.905 1.086 2.361 0.993 6.702 1.187 2.582 1.022 1.907 1.078 2.360 1.025 6.732 1.208 2.597 1.053
19 3 12.821 2.911 8,440.311 0.258 43.278 1.131 1,958.317 0.329 12.795 3.404 8,629.290 0.213 42.634 1.041 1,918.281 0.275
4 7.407 1.971 148.312 0.416 20.964 1.261 58.799 0.499 7.414 1.963 152.715 0.446 20.328 1.346 60.334 0.534
5 5.466 1.642 32.413 0.543 15.071 1.309 16.796 0.627 5.440 1.634 32.962 0.582 14.522 1.393 17.404 0.671
6 4.351 1.472 14.813 0.640 12.781 1.318 9.101 0.720 4.346 1.468 14.866 0.683 12.848 1.401 9.069 0.768
7 3.789 1.364 8.214 0.723 11.564 1.317 5.840 0.797 3.787 1.360 8.183 0.768 11.532 1.393 5.860 0.846
8 3.364 1.298 5.676 0.782 10.494 1.310 4.406 0.850 3.366 1.294 5.631 0.827 10.501 1.378 4.388 0.899
9 3.069 1.251 4.502 0.827 10.019 1.298 3.712 0.891 3.062 1.246 4.516 0.872 10.106 1.360 3.720 0.938
156Tabelul 4.5 (continuare) Valorile indicatorilor preciziei de estimare și deplasării în cazul încerc ărilor cenzurate
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
19 10 2.851 1.215 3.831 0.864 9.512 1.285 3.317 0.922 2.848 1.211 3.831 0.908 9.462 1.342 3.308 0.967
11 2.658 1.185 3.283 0.894 8.785 1.271 3.009 0.947 2.652 1.181 3.286 0.937 8.789 1.322 3.003 0.991
12 2.483 1.166 3.000 0.915 8.399 1.259 2.853 0.964 2.485 1.161 3.002 0.955 8.362 1.305 2.856 1.005
13 2.338 1.148 2.756 0.933 8.052 1.246 2.746 0.978 2.344 1.143 2.762 0.972 8.114 1.288 2.747 1.017
14 2.260 1.133 2.604 0.948 7.721 1.233 2.651 0.989 2.262 1.128 2.596 0.986 7.732 1.272 2.650 1.027
15 2.169 1.119 2.487 0.961 7.475 1.220 2.597 1.000 2.171 1.113 2.485 0.998 7.503 1.255 2.599 1.036
16 2.065 1.108 2.410 0.972 7.198 1.209 2.549 1.007 2.068 1.102 2.411 1.006 7.172 1.240 2.552 1.041
17 1.996 1.099 2.363 0.979 6.857 1.199 2.521 1.012 1.997 1.093 2.367 1.013 6.847 1.226 2.520 1.045
18 1.942 1.090 2.338 0.987 6.589 1.187 2.512 1.017 1.942 1.083 2.331 1.019 6.622 1.211 2.521 1.048
19 1.868 1.081 2.307 0.993 6.401 1.175 2.517 1.020 1.878 1.074 2.297 1.024 6.530 1.195 2.522 1.050
20 3 12.137 2.876 7,050.489 0.252 32.667 1.093 1,727.306 0.320 12.219 3.366 7,498.346 0.207 31.159 1.006 1,822.728 0.268
4 7.247 1.956 153.538 0.408 16.818 1.225 64.870 0.488 7.222 1.952 154.274 0.438 16.769 1.313 64.694 0.524
5 5.442 1.635 36.691 0.532 12.994 1.274 19.528 0.613 5.437 1.631 36.714 0.570 12.960 1.361 19.505 0.657
6 4.417 1.466 15.289 0.633 11.322 1.295 9.461 0.711 4.424 1.462 15.263 0.676 11.352 1.376 9.428 0.759
7 3.795 1.369 9.255 0.709 10.540 1.300 6.332 0.782 3.797 1.365 9.267 0.753 10.564 1.374 6.339 0.831
8 3.403 1.302 6.374 0.770 9.951 1.295 4.727 0.837 3.410 1.298 6.360 0.814 9.969 1.363 4.734 0.885
9 3.051 1.251 4.801 0.820 9.156 1.287 3.888 0.882 3.048 1.247 4.815 0.863 9.154 1.348 3.879 0.929
10 2.829 1.215 3.957 0.857 8.686 1.276 3.388 0.914 2.824 1.211 3.967 0.900 8.667 1.332 3.382 0.960
11 2.647 1.189 3.391 0.885 8.304 1.265 3.068 0.938 2.650 1.185 3.400 0.927 8.316 1.316 3.068 0.982
12 2.487 1.167 3.021 0.908 7.925 1.252 2.864 0.957 2.487 1.162 3.021 0.949 7.941 1.299 2.867 0.998
13 2.358 1.148 2.784 0.929 7.653 1.241 2.717 0.973 2.363 1.144 2.788 0.967 7.669 1.284 2.714 1.013
14 2.255 1.134 2.611 0.943 7.489 1.231 2.655 0.985 2.258 1.130 2.621 0.981 7.494 1.270 2.650 1.023
15 2.162 1.121 2.493 0.957 7.224 1.220 2.566 0.996 2.162 1.116 2.489 0.993 7.254 1.255 2.559 1.031
16 2.077 1.111 2.427 0.966 7.029 1.210 2.536 1.002 2.080 1.106 2.425 1.001 7.018 1.242 2.531 1.037
17 2.009 1.101 2.346 0.976 6.762 1.199 2.499 1.008 2.005 1.096 2.350 1.008 6.769 1.228 2.499 1.041
18 1.933 1.093 2.320 0.983 6.552 1.189 2.470 1.014 1.937 1.087 2.323 1.015 6.555 1.215 2.470 1.045
19 1.882 1.085 2.279 0.990 6.303 1.180 2.459 1.018 1.888 1.079 2.279 1.020 6.304 1.202 2.455 1.048
20 1.813 1.077 2.262 0.995 6.026 1.169 2.432 1.021 1.820 1.070 2.259 1.024 6.040 1.187 2.432 1.049
157
Tabelul 4.6 Valorile indicatorilor preciziei de estimare și deplasării în cazul încerc ărilor efectuate prin metoda liniei defectelor primare
ESTIMATORI DE VEROSIMILITATE MAXIM Ă ESTIMATORI LINIARI TIP BLIE
β η L10 L 50 β η L10 L 50 n l m
Rβ(0.10) D β Rβ
η(0.10) Dβ
η Rβ
tp(0.10) Dβ
tp Rβ
tp(0.10) Dβ
tp Rβ(0.10) D β Rβ
η(0.10) Dβ
η Rβ
tp(0.10) Dβ tp Rβ
tp(0.10) Dβ
tp
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
6 3 2 9.088 2.299 49.746 0.617 453.655 2.135 28.579 0.756 9.149 2.282 51.188 0.685 441.059 2.311 29.392 0.835
8 4 2 5.485 1.661 13.616 0.717 69.869 1.758 10.279 0.830 5.530 1.635 13.487 0.797 69.684 1.913 10.406 0.919
9 3 3 9.088 2.299 121.871 0.494 107.305 1.671 52.208 0.603 9.149 2.282 140.112 0.517 155.356 1.964 58.266 0.643
10 5 2 4.219 1.448 7.665 0.777 32.555 1.561 6.613 0.871 4.239 1.426 7.735 0.858 32.757 1.681 6.603 0.957
12 3 4 9.088 2.299 347.544 0.406 68.721 1.442 120.895 0.499 9.149 2.282 340.137 0.454 68.163 1.573 120.321 0.556
4 3 5.485 1.661 23.695 0.608 35.037 1.491 14.473 0.704 5.530 1.635 24.684 0.678 34.499 1.628 14.719 0.782
6 2 3.538 1.339 5.727 0.814 19.468 1.437 4.927 0.893 3.552 1.320 5.764 0.889 19.489 1.531 4.970 0.971
14 7 2 3.104 1.271 4.654 0.841 14.825 1.360 4.173 0.910 3.127 1.254 4.690 0.911 14.881 1.438 4.234 0.982
15 3 5 9.088 2.299 518.303 0.352 44.595 1.309 181.010 0.436 9.149 2.282 517.117 0.395 43.785 1.432 185.187 0.487
5 3 4.219 1.448 11.632 0.680 18.557 1.369 7.909 0.762 4.239 1.426 11.897 0.753 18.342 1.483 8.025 0.841
16 4 4 5.485 1.661 49.091 0.529 23.592 1.333 24.681 0.615 5.530 1.635 47.707 0.592 23.482 1.460 24.771 0.686
8 2 2.811 1.225 4.080 0.863 11.599 1.303 3.735 0.923 2.822 1.210 4.095 0.928 11.518 1.370 3.734 0.988
18 3 6 9.088 2.299 938.576 0.329 34.759 1.178 278.256 0.404 9.149 2.282 903.898 0.370 34.224 1.291 273.557 0.454
6 3 3.538 1.339 7.714 0.738 12.308 1.293 5.827 0.808 3.552 1.320 7.784 0.809 12.269 1.386 5.877 0.883
9 2 2.599 1.193 3.732 0.877 9.526 1.265 3.490 0.931 2.610 1.181 3.746 0.938 9.523 1.323 3.481 0.992
20 4 5 5.485 1.661 51.651 0.505 16.248 1.222 27.606 0.583 5.530 1.635 51.168 0.566 16.152 1.341 27.690 0.651
5 4 4.219 1.448 18.542 0.622 13.451 1.254 11.890 0.698 4.239 1.426 18.872 0.692 13.192 1.362 12.034 0.772
10 2 2.459 1.169 3.420 0.890 8.261 1.235 3.195 0.939 2.454 1.159 3.415 0.946 8.232 1.285 3.194 0.994
158
Tabelul 4.6 (continuare) Valorile indicatorilor preciziei de estimare și deplasării în cazul încerc ărilor efectuate prin metoda liniei
defectelor primare
ESTIMATORI DE VEROSIMILITATE MAXIM Ă ESTIMATORI LINIARI TIP BLIE
β η L10 L 50 β η L10 L 50 n l m
Rβ(0.10) D β Rβ
η(0.10) Dβ
η Rβ
tp(0.10) Dβ
tp Rβ
tp(0.10) Dβ
tp Rβ(0.10) D β Rβ
η(0.10) Dβ
η Rβ
tp(0.10) Dβ tp Rβ
tp(0.10) Dβ
tp
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
21 3 7 9.088 2.299 1,780.484 0.305 26.862 1.074 518.132 0.374 9.149 2.282 1,826.029 0.343 27.111 1.179 510.292 0.419
7 3 3.104 1.271 5.979 0.774 9.447 1.245 4.857 0.836 3.127 1.254 6.082 0.842 9.568 1.324 4.854 0.907
22 11 2 2.349 1.151 3.176 0.899 7.533 1.212 2.985 0.944 2.350 1.142 3.189 0.952 7.552 1.256 2.984 0.996
24 3 8 9.088 2.299 2,664.588 0.273 24.950 1.010 808.186 0.338 9.149 2.282 2,559.510 0.307 24.924 1.109 797.814 0.379
4 6 5.485 1.661 67.982 0.469 13.454 1.130 35.995 0.541 5.530 1.635 69.583 0.527 13.311 1.243 37.280 0.606
6 4 3.538 1.339 11.791 0.679 9.434 1.212 7.938 0.747 3.552 1.320 11.822 0.747 9.391 1.301 8.018 0.818
8 3 2.811 1.225 5.142 0.802 8.178 1.214 4.250 0.858 2.822 1.210 5.154 0.866 8.245 1.282 4.260 0.923
12 2 2.241 1.136 5.563 0.788 6.760 1.192 2.839 0.949 2.249 1.127 2.996 0.957 6.826 1.233 2.844 0.998
25 5 5 4.219 1.448 22.096 0.588 10.312 1.175 13.585 0.658 4.239 1.426 22.396 0.656 10.221 1.279 13.929 0.732
Cercetări experimentale și simulate privind estimarea indicatorilor și optimizarea încerc ărilor de fiabilitate
159Tabelul 4.7 Expresiile func țiilor utilizate la realizarea discrimin ării între diferite tipuri de
încercări
Nr.
crt. Tipul încerc ării
/estimatorul utilizat Parametru/
indicator de
fiabilitate Expresia
funcției:
Încercări cenzurate (complete)
1. Verosimilitate
maximă ptˆ ()() ()
()n,r vp,n,r up,n,r u,p,n,rn
50,02/ 2/1 α α− −=α
ηˆ
(p=0,632) ()() ()
()n,r vn,r kn,r k,n,rm
50,02/ 2/ 1 α α−−=α
2. BLIE *
pt ()() ()
()n,r Wp,n,r Vp,n,r V,p,n,rN1
50,02/ 2/1
−α α− −=α
*
η
(p=0,632) ()() ()
()n,r Wn,r Zn,r Z,n,rM1
50,02/ 2/ 1
−α α−−α
Încercări efectuate prin metoda li niei defectelor primare
3. Verosimilitate
maximă ptˆ ()()()
()lll ll, vp,, qp,, q,p,,h
50,02/ 2/1 m mmα α− −=α
ηˆ
(p=0,632) ()()( )
()lll ll, v, s , s,g
50,02/ 2/ 1 m mmα α− −=
4. BLIE *
pt ()()()
()lll ll
, Wp,, Vp,, Q,p,,H1
50,02/ 2/1
−α α− −=αm mm
*
η
(p=0,632) ()()( )
()lll ll
, W, S , S,G1
50,02/ 2/ 1
−α α− −=m mm
CONCLUZII :
Analiza rezultatelor ob ținute prin simulare numeric ă Monte-Carlo, privind optimizarea
încercărilor de fiabilitate și a modalit ăților de estimare, permite formularea urm ătoarelor
concluzii:
a) Rezultatele comparative privind simularea încerc ărilor cenzurate, prezentate în tabelul 4.3,
confirmă corectitudinea modelului matematic și a modului de implementare a algoritmului
utilizat;
b) Rezultatele ob ținute privind simularea încerc ărilor efectuate prin metoda liniei defectelor
primare (tabelul 4.4) confirm ă corectitudinea algoritmului proiectat, precum și a modului de
implementare;
c) Pe baza valorilor cuantilelor celor 14 variabile aleatorii, prezentate în anexa D, se pot realiza
inferențele statistice referitoare la parametrii și cuantilele ( p=0,10;0,50) reparti ției Weibull,
specifice prelucr ării statistice a rezultatelor experimentale ob ținute din testarea rulmentilor,
în cele patru cazuri analizate:
– încercări cenzurate și/sau prin metoda liniei defectelor primare;
– utilizarea estimatorilor de verosimilitate maxim ă sau a estimatorilor liniari
tip BLIE;
160Tabelul 4.8 Valorile func țiilor pe baza c ărora se realizeaz ă discriminarea între încerc ările cenzurate și cele prin
metoda liniei defectelor primare
ESTIMATORI DE VEROSIMILITATE MAXIM Ă ESTIMATORI LINIARI TIP BLIE
Încercări cenzurate Încerc ări prin metoda liniei
defectelor primare Încercări cenzurate Încerc ări prin metoda liniei
defectelor primare
N r l m m(r,n,α) n(r,n,p, α) n(r,n,p, α)g ( l , m ,α) h(l,m,p, α) h(l,m,p, α) M(r,n, α) N(r,n,p, α) N(r,n,p, α)G ( r , n , α) H(r,n,p, α) H(r,n,p, α)
α=10% α=10% α=10% α=10% α=10% α=10% α=10% α=10% α=10% α=10% α=10% α=10%
p = 0.632 p = 0.10 p = 0.50 p = 0.632 p = 0.10 p = 0.50 p = 0.632 p = 0.10 p = 0.50 p = 0.632 p = 0.10 p = 0.50
6 3 3 2 4.5177 6.7762 3.7225 3.9069 6.1173 3.3527 4.5147 6.7507 3.7139 3.9355 6.0892 3.3807
8 4 4 2 2.9452 4.3862 2.5076 2.6113 4.2466 2.3301 2.9446 4.3761 2.5071 2.6017 4.2440 2.3424
9 3 3 3 5.8471 5.2179 4.6327 4.8030 4.6757 3.9552 5.8245 5.0647 4.6939 4.9424 5.0457 4.0650
10 5 5 2 2.2587 3.5987 1.9582 2.0367 3.4829 1.8890 2.3622 3.6340 2.0503 2.0457 3.4891 1.8875
12 3 3 4 6.9847 4.5242 5.6504 5.8509 4.2301 4.7949 6.9841 4.3850 5.6780 5.8293 4.2219 4.7902
4 4 3 3.8694 3.7405 3.1239 3.1653 3.5564 2.6723 3.7886 3.6420 3.1242 3.2062 3.5409 2.6891
6 6 2 1.9762 3.1479 1.7235 1.7452 2.9688 1.5947 1.9981 3.0764 1.7556 1.7516 2.9699 1.6035
14 7 7 2 1.7515 2.8249 1.5503 1.5377 2.6963 1.4286 1.7509 2.8310 1.5463 1.5453 2.7001 1.4431
15 3 3 5 8.1639 4.0329 6.6661 6.2506 3.7976 5.1985 8.1430 4.0283 6.6459 6.2483 3.7793 5.2214
5 5 3 3.1198 3.0537 2.5393 2.4538 2.9209 2.0680 3.1270 3.0510 2.5527 2.4763 2.9092 2.0825
16 4 4 4 4.6488 3.3412 3.7791 3.8937 3.1609 3.2060 4.6258 3.3411 3.7774 3.8651 3.1562 3.2097
8 8 2 1.6064 2.5827 1.4189 1.4061 2.4509 1.3178 1.6090 2.5786 1.4165 1.4097 2.4439 1.3175
18 3 3 6 9.0032 3.8691 7.5375 6.8444 3.5485 5.6285 8.9946 3.8866 7.5749 6.8067 3.5329 5.6115
6 6 3 2.5960 2.6289 2.1585 2.0430 2.5102 1.7625 2.5929 2.6292 2.1596 2.0520 2.5071 1.7711
9 9 2 1.4667 2.3665 1.3024 1.3168 2.2541 1.2500 1.4695 2.3682 1.3029 1.3206 2.2537 1.2473
20 4 4 4 5.0387 2.8195 4.1697 3.9445 2.7880 3.3180 5.0339 2.8224 4.1724 3.9351 2.7820 3.3211
5 5 4 3.6032 2.5619 2.9707 2.9200 2.5990 2.4757 3.6025 2.5645 2.9718 2.9377 2.5796 2.4878
10 10 2 1.3780 2.1595 1.2185 1.2298 2.1115 1.1616 1.3754 2.1617 1.2202 1.2283 2.1080 1.1614
Cercetări experimentale și simulate privind estimarea indicatorilor și optimizarea încerc ărilor de fiabilitate
161d) Prin utilizarea ipotezelor de calcul prezentate la punctul 3.4, și a valorilor cuantilelor din
anexa D, tabelele D.1 … D.4, se pot realiza inferen țele statistice pe baza rezultatelor
obținute în urma efectu ării încercărilor trunchiate;
e) Extinderea utiliz ării indicatorului preciziei de estimare ( Rθ) asupra estima țiilor de tip BLIE,
precum și definirea și introducerea indicatorului deplas ării (Dθ), permit realizarea aprioric ă a
unei caracteriz ări complete a estima țiilor obținute în cazul utiliz ării unui anumit plan de
încercări cenzurate ( n, r), sau pentru încerc ările efectuate prin metoda liniei defectelor
primare ( l, m);
f) Valorile numerice ale celor doi indi catori (prezentate în tabelele 4.5 și 4.6) fac posibil ă
alegerea tipului de încercare utilizat ă, a planului de încerc ări, sau a estimatorului folosit;
g) Prin reprezentarea grafic ă a celor doi indicatori ( Rθ și Dθ), în func ție de num ărul de
elemente deteriorate în timpul încerc ării (r sau l), se poate determina nivelul de cenzurare
sau numărul optim de grupe în care se împarte e șantionul ini țial (de volum n, sau l⋅ m),
astfel încât s ă rezulte o durat ă minimă a încercării, la o precizie și/sau deplasare rezonabil ă
a estimațiilor. În fig. 4.4 și 4.5 sunt prezentate valorile celor doi indicatori pentru diferite
efective de e șantion (n=10,12,16,20), în func ție de nivelul de cenzurare (3 ≤ r ≤ n);
Fig. 4.4 Variația valorilor indicatorului preciziei de estimare, ()10,0 R10Lβ, în cazul
estimatorilor de verosimilitate maxim ă a durabili ății nominale
h) Utilizând func țiile prezentate în tabelul 4.7, se poate realiza discriminarea între încerc ările
cenzurate și cele efectuate prin metoda liniei defectelor primare. Rezultatele prezentate în
tabelul 4.8 permit acest lucru în cazul particular: r = l; l⋅ m= n;
i) Analiza rezultatelor ob ținute prin simulare numeric ă MONTE-CARLO relev ă că cei doi
estimatori analiza ți (de verosimilitate maxim ă și liniari de tip BLIE) posed ă proprietăți
asemănătoare atât din punctul de vedere al preciziei de estimare, cât și din punctul de vedere
al deplasării estima țiilor;
j) Valorile calculate ale indicatorului deplas ării permit, de asemenea, determinarea valorilor
medii nedeplasate ale estima țiilor punctuale ce se ob țin în cele patru cazuri analizate.
Relațiile de calcul corespunz ătoare sunt prezentate în tabelul 4.9.
5 10 15 20050100
Nivelul de cenzurare, rIndicatorul preciziei de estimaren=10
n=12
n=16
n=20
Capitolul 4
162Fig. 4.5 Variația valorilor indicatorului deplas ării estima țiilor, βD, în cazul
estimatorilor liniari de tip BLIE ( n=20), ai parametrului de form ă
Tabelul 4.9 Relațiile de calcul al estima țiilor medii nedeplasate
Nr.
crt. Tipul încerc ării/
estimatorul utilizat Parametru/indicator
de fiabilitate Relația de calcul:
Încercări cenzurate (complete)
1
. Verosimilitate
maximă βˆ ()r,nv
ηˆ ()β−β
η⋅ηˆ1Dˆ
ptˆ β−β⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅ˆ1
t ppD tˆ
2
. BLIE *
β ββD*
*
η ()*
1 *
Dβ−β
η⋅η
*
pt *
p1
tp*
Dtβ−β⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅
Încercări efectuate prin metoda liniei defectelor primare
3. Verosimilitate
maximă βˆ β⋅βDˆs
ηˆ ()sˆ1Dˆβ−β
η⋅η
ptˆ s
pˆ1
t pD tˆβ−β⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅
4. BLIE *
β ββDs*
*
η ()s*
1 *
Dβ−β
η⋅η
*
pt s*
p1
tp*
Dtβ−β⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅ 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20123
Nivelul de cenzurare, rIndicatorul deplasariin=20
Cercetări experimentale și simulate privind estimarea indicatorilor și optimizarea încerc ărilor de fiabilitate
1634.3 ANALIZA STATISTIC Ă A DATELOR EXPERIMENTALE
Pentru a ilustra modul de utilizare a metodelor și metodologiilor rezultate în urma studiilor
teoretice efectuate la punctele 3.2 … 3.5, în continuare, se analizeaz ă statistic rezultatele
experimentale a șase încerc ări la durabilitate/fiabilitate apli cate pe diferite tipodimensiuni de
rulmenți.
În tabelul 4.10 sunt prezentate, pentru fiecare din exemplele alese, volumul
eșantionului, tipul încerc ării efectuate, num ărul de elemente deteriorate în timpul
testării, parametrii încerc ării rulmen ților pe stand (sarcina radial ă/axială de încercare,
turația de încercare, du rabilitatea teoretic ă calculat ă), precum și valorile experimentale
observate pentru timpii de deteriorare prin oboseala de contact.
Tabelul 4.10 Rezultate experimentale
Lot 1 Lot 2 Lot 3 Lot 4 Lot 5 Lot 6 Tip rulment:
16006 6307 L44649/
L44610 LM11910
LM119496007 LM11949
LM11910
Volumul e șantionului: n=20 n=20 n=20 n=20 n=20 n=20
Tipul
încercarii: cenzurată la
r=9 cenzurată la
r=8 cenzurată la
r=7 cenzurată la
r=8 trunchiat ă la
tc=250 ore linia
defectelor
primare:
l=5; m=4
Condiții de încercare:
• sarcina de înc ărcare:
− radială (Pr):
− axială (Pa):
• turația de încercare
[rot/min]:
• durabilitatea teore-
tică, calculat ă (L10h):
339 daN
4000
150 ore
1160 daN
4000
100 ore
572 daN
4000
95 ore
450 daN
4000
134 ore
550 daN
4000
101 ore
450 daN
4000
134 ore
Montajul utilizat la
testarea rulmen ților: Fig. 1.28c Fig. 1.28c Fig. 1.28h Fig. 1.28h Fig. 1.28c Fig. 1.28h
t1: 114 59 48 167 70 102
t2: 143 98 108 193 92 138
t3: 151 154 163 218 116 193
t4: 159 172 170 226 120 267
t5: 181 191 186 243 137 319
t6: 196 232 242 259 152 –
t7: 211 248 250 286 170 –
t8: 214 300 – 322 172 – Valorile
timpilor de
deteriorare
înregistra ți:
t9: 243 – – – – –
Înaintea desf ășurării experiment ărilor, pentru încerc ările cenzurate/complete și celor
efectuate prin metoda liniei defe ctelor primare, se pot stabili va lorile indicatorilor preciziei de
estimare, ale indicatorilor deplas ării, precum și o estima ție a duratei încerc ărilor. Aceste
valori sunt prezentate în tabelul 4.11 și ele au fost calculate, având la baz ă parametrii
încercărilor (volumul e șantionului, num ărul de rulmen ți ce urmeaz ă a fi deteriora ți la
fiecare caz în parte și tipul încerc ării efectuate).
Capitolul 4
164Tabelul 4.11 Valorile apriorice ale preciziei de estimare, indicatorului
deplasării și duratei de încercare
Lot 1 Lot 2 Lot 3 Lot 4 Lot 6
θˆ *
θ θˆ *
θ θˆ *
θ θˆ *
θ θˆ *
θ
Valorile indicatorilor preciziei și deplasării:
()10,0Rβ 3.051 3,048 3,403 3,410 3,795 3,797 3,403 3,410 4,219 4,239 β
βD 1,251 1,247 1,302 1,298 1,369 1,365 1,302 1,298 1,448 1,426
()10,0Rβ
η 4,801 4,815 6,374 6,360 9,255 9,267 6,374 6,360 18,542 18,872 η
β
ηD 0,820 0,863 0,770 0,814 0,709 0,753 0,770 0,814 0,662 0,692
()10,0 R10,0tβ 9,156 9,154 9,951 9,969 10,540 10,564 9,951 9,969 13,451 13,192 t0,10
β
10,0tD 1,287 1,348 1,295 1,363 1,300 1,374 1,295 1,363 1,254 1,362
()10,0 R50,0tβ 3,888 3,879 4,727 4,734 6,332 6,339 4,727 4,734 11,890 12,034 t0,50
β
50,0tD 0,882 0,929 0,837 0,885 0,782 0,831 0,837 0,885 0,698 0,772
relația
(3.130): 454,433 ore 272,28 ore 230,20 ore 364,85 ore –
relația
(3.134): – – – – 384,00 ore Durata încercării,
estimată
aprioric, cu
β=1,5;
γ=0 relația
(3.135): – – – – 1054 ore
Ulterior desf ășurării experiment ărilor se procedeaz ă la prelucrarea statistic ă a
rezultatelor experimentale ob ținute. Pentru realizarea acestui obiectiv s-a proiectat o
aplicație MathCAD, " Program de estimare a parametrilor și indicatorilor de fiabilitate
ai reparti ției triparametrice Weibull ". Listingul acestui program este prezentat în anexa
E, "Aplicație MathCAD pentru estimarea parametrilor și indicatorilor de fiabilitate ai
rulmenților".
Programul permite ob ținerea estima țiilor:
1. pentru parametrul de localizare, pr in metoda coeficientului de corela ție, având la
bază algoritmul prezentat la punctul 4.1;
2. pentru parametrii de form ă și de scală, prin:
2.a) Metoda celor mai mici p ătrate;
2.b) Metoda verosimilit ății maxime;
2.c) Metoda estimatorilor liniari tip BLIE,
precum și calculul valorii cuantilelor t0,10 (durabilitatea nominal ă) și t0,50
(durabilitatea median ă).
OBSERVA ȚII:
I. Valoarea incrementului, Δ, pentru calculul estima ției parametrului de form ă s-a
stabilit la valoarea Δ=10-3;
II. Programul realizeaz ă o reprezentare grafic ă, pe baza valorilor estimate prin metoda
celor mai mici p ătrate, a unei re țele de probabilitate ce con ține dreapta Weibull
astfel estimat ă, precum și intervalele de încredere, pentru un nivel 1- α=90%, 95% și
99%. În figura 4.6 este prezentat ă dreapta Weibull și intervalele ei de încredere
Cercetări experimentale și simulate privind estimarea indicatorilor și optimizarea încerc ărilor de fiabilitate
165(α=10%) calculate pe baza rezultatelor ob ținute prin testarea rulmentului 16006
(lotul 1);
Fig. 4.6 Dreapta Weibull și intervalul ei de încredere, corespunz ător unui nivel
1-α=90%
III. Pentru estimarea parametrilor prin metoda celor mai mici p ătrate și reprezentarea
grafică a intervalelor de încredere, valorile șirului median ( Fn(ti)) și
probabilit ățile corespunz ătoare unui nivel de încredere 1- α (FnL(ti) și FnU(ti)) s-
au utilizat valorile prezentate în [81] și [82]. Acestea au fost organizate sub forma
unor fișiere ASCII care permit citirea și alegerea lor foarte simpl ă în program ;
IV. Precizia de rezolvare numeric ă iterativă a primei ecua ții de verosimilitate, din
sistemul (1.99), a fost stabilit ă la valoarea 10-5;
V. Obținerea valorilor medii nedeplasate, precum și a celor mediane nedeplasate și
realizarea inferen țelor statistice refer itoare la parametrii și indicatorii de
fiabilitate ai rulmen ților, estima ți prin metoda verosimilit ății maxime și a
estimatorilor liniari tip BLIE, se face utilizând cuantilele variabilelor aleatorii
specifice, a c ăror valoare a fost calculat ă la punctul 4.2.
În tabelul 4.12 sunt prezentate rezultatele ob ținute prin prelucrarea statistic ă a
datelor experimentale ob ținute în urma test ării pe standuri a celor șase loturi de
rulmenți. ln ln1
1 0.1ln ln1
1 0.5
1 10 100 11031104
Durata de viata, TFunctia de repartitie, F(t)
Capitolul 4
166Tabelul 4.12 Rezultatele ob ținute prin prelucrarea statistic ă a datelor
experimentale
Lot 1 Lot 2 Lot 3 Lot 4 Lot 5 Lot 6
Tip rulment: 16006 6307 L44649/
L44610 LM11910/
LM11949 6007 LM11910/
LM11949
Estimarea parametrului de localizare prin metoda coeficientului de corela ție
γˆ 84,5110 -1,6868 -113,7010 143,0370 31,3291 63,7590
()γρˆ 0,9913 0,9950 0,9897 0,9942 0,9957 0,9948
Estimarea parametrilor și cuantilelor prin metoda celor mai mici p ătrate
βˆ 1,717 1,656 2,984 1,367 1,972 1,341
ηˆ 212,401 458,303 500,625 284,949 212,485 164,060
10Lˆ 141,816 116,098 121,813 197,994 99,220 149,893
50Lˆ 256,101 365,638 329,064 369,988 207,780 414,724
Estimarea parametrilor și cuantilelor prin metoda verosimilit ății maxime
βˆ 1,866 1,878 3,760 1,473 1,330 1,817
βˆ 1,491 1,442 2,747 1,131 – 1,255
Meˆβ 1,615 1,593 3,100 1,249 – 1,463
Lβ- α=10% 0,873 0,802 1,465 0,629 0,622 0,630
Uβ – α=10% 2,664 2,730 5,558 2,141 1,934 2,659
ηˆ 207,631 430,006 455,782 280,041 347,170 157,909
10,0tˆ 146,682 128,093 136,836 203,835 65,325 161,922
10,0tˆ 123,886 107,057 124,370 162,159 – 135,164
Me10,0tˆ 134,176 117,004 130,628 181,610 – 150,654
L10,0t- α=10% 54,489 44,454 77,994 52,879 23,775 46,061
U10,0t – α=10% 214,543 188,025 166,718 332,512 163,871 272,036
50,0tˆ 255,118 352,098 299,755 361,404 294,922 340,500
50,0tˆ 277,555 398,213 327,788 422,808 – 453,653
Me50,0tˆ 266,988 374,765 314,117 391,327 – 393,750
L50,0t – α=10% 194,602 268,612 260,989 255,937 201,747 249,828
U50,0t – α=10% 450,946 712,083 473,338 887,095 796,996 1356,225
Decizia privind fiabilitatea lotului încercat:
H0: h10 10,0 L tˆ= cu alternativa H1: h10 10,0 L tˆ<
α=10%
H0: -0,549<-0,041
⇒ se accept ă -0,563<0,465
⇒ se accept ă-0,576<1,372
⇒ se accept ă-0,563<0,617
⇒ se accept ă-0,563<-0,077
⇒ se accept ă -0,715<0,344
⇒ se accept ă
Cercetări experimentale și simulate privind estimarea indicatorilor și optimizarea încerc ărilor de fiabilitate
167Tabelul 4.12 (continuare) Rezultatele ob ținute prin prelucrarea statistic ă a
datelor experimentale
Lot 1 Lot 2 Lot 3 Lot 4 Lot 5 Lot 6
Tip rulment: 16006 6307 L44649/
L44610 LM11910/
LM11949 6007 LM11910/
LM11949
Estimarea parametrilor și cuantilelor prin utilizarea estimatorilor liniari tip BLIE
∗
β 1,851 1,863 3,742 1,462 – 1,754
∗
β 1,484 1,435 2,741 1,126 – 1,230
Me∗
β 1,608 1,584 3,096 1,243 – 1,435
Lβ- α=10% 0,868 0,797 1,463 0,626 – 0,616
Uβ – α=10% 2,647 2,720 5,557 2,135 – 2,614
∗
η 216,113 449,505 466,627 296,119 – 170,875
10,0t∗
148,593 132,660 142,048 206,589 – 168,193
10,0t∗
121,515 106,916 126,491 156,934 – 130,848
Me10,0t∗
131,772 116,885 132,876 175,812 – 146,260
L10,0t- α=10% 53,270 44,126 79,247 50,813 – 44,229
U10,0t – α=10% 211,113 188,338 169,681 322,882 – 266,955
50,0t∗
255,118 352,098 299,755 361,404 – 369,289
50,0t∗
275,220 400,251 331,112 416,353 – 456,578
Me50,0t∗
264,743 376,738 317,324 385,441 – 394,210
L50,0t – α=10% 192,786 269,469 263,426 251,489 – 247,619
U50,0t – α=10% 447,944 718,895 428,267 878,089 – 1401,898
Decizia privind fiabilitatea lotului încercat:
H0: h1010,0 L t=∗
cu alternativa H1: h1010,0 L t<∗
α=10%
H0: -0,488<-0,017
⇒ se accept ă -0,495<0,526
⇒ se accept ă-0,500<1,505
⇒ se accept ă-0,495<0,632
⇒ se accept ă- -0,585<0,398
⇒ se accept ă
CONCLUZII :
În urma analizei statistice a datelor experimentale au fost re ținute urm ătoarele concluzii:
a) Este necesar ă utilizarea modelului reparti ției triparametrice We ibull, în vederea
prelucrării statistice corecte a rezultatelor ob ținute în urma încerc ării la fiabilitate a
rulmenților;
b) Valorile calculate ale co eficientului de corela ție (ρ = 0,9897 ÷ 0,9957) confirm ă ipoteza
privind concordan ța foarte bun ă dintre modelul reparti ției Weibull și rezultatele
Capitolul 4
168experimentale ob ținute la testarea rulmen ților pe standuri, în condi ții de sarcin ă și turație
constantă;
c) Între valorile estimate ale parametrilor reparti ției Weibull apar diferen țe prin utilizarea
diferiților estimatori (prin metoda celor mai mici p ătrate, de verosimilitate maxim ă sau prin
utilizarea estimatorilor liniari de tip BLIE), diferen țe care sunt datorate propriet ăților
estimatorilor utiliza ți;
d) Între valorile corectate ale estima țiilor punctuale (respectiv estima țiile medii sau mediane
nedeplasate) diferen țele care apar prin utilizarea diver șilor estimatori sunt nesemnificative;
e) Utilizarea estimatorilor liniari de tip BLIE este mult mai simpl ă, fiindcă nu necesit ă
utilizarea procedeelor de rezolvare numeric ă iterativă a ecuațiilor (cum este cazul metodei
verosimilit ății maxime). Dezavantajul major al acestei metode const ă în necesitatea
existentei unei baze de date care s ă conțină valorile coeficien ților numerici A(n,r,i) și
C(n,r,i), utiliza ți în acest caz;
f) În cazul încerc ărilor cenzurate și a celor efectuate prin metoda liniei defectelor primare,
valorile aprioric stabilite ale preciziei de estimare și deplasării conduc la o caracterizare
globală a estimațiilor punctuale pentru parametrii și indicatorii de fiabilitate;
g) În cazul încerc ărilor trunchiate aprecierea aprioric ă a estima țiilor punctuale pentru
parametrii și indicatorii de fiabilitate, prin utilizarea indicatorilor preciziei de esatimare și
deplasării nu este posibil ă, deoarece num ărul de elemente ce se deterioreaz ă în intervalul (0,
tc) nu poate fi cunoscut cu exactitate decât în finalul desf ășurării încercării;
h) Estimația duratei totale a încerc ării oferă o imagine realist ă a desfășurării încerc ării.
Valorile calculate ale acestui indicator sunt, îns ă, dependente de modul de alegere a
parametrilor ini țiali (β și γ);
i) Obținerea estima țiilor punctuale corect ate (respectiv estima țiile medii sau mediane
nedeplasate), precum și a inferen țelor statistice referitoare la parametrii și indicatorii de
fiabilitate a rulmen ților, în urma încerc ărilor efectuate prin metoda liniei defectelor primare
și utilizarea estimatorilor liniari tip BLIE, s-a realizat prin utilizarea rezultatelor teoretice
obținute la punctul 3.3;
j) Realizarea inferen țelor statistice referitoare la parametrii și indicatorii de fiabilitate a
rulmenților, estima ți în urma încerc ărilor trunchiate și utilizarea estimatorilor de
verosimilitate maxim ă, a fost posibil ă prin utilizarea rezultatelor teoretice ob ținute la
punctul 3.4.
4.4 CERCET ĂRI COMPARATIVE PRIN SIMULARE
NUMERIC Ă PRIVIND PRECIZIA ESTIMATORILOR
BAYESIENI
Analiza propriet ăților estimatorilor bayesieni propriu-zi și și a celor de tip MELO,
comparativ cu metodele clasice de estimare (metoda verosimilit ății maxime și cea a
estimatorilor liniari de tip BLIE), precum și calitatea modului de exprimare a informa ției
apriorice, propus la punctul 3.7.3 , s-a realizat tot pe baza simul ării numerice MONTE-CARLO.
Cercetări experimentale și simulate privind estimarea indicatorilor și optimizarea încerc ărilor de fiabilitate
169În acest sens au fost proiectate dou ă programe MathCAD, versiunea +6.0, care permit
simularea încerc ărilor de fiabilitate cenzurate sau complete, precum și testarea propriet ăților
estimatorilor bayesieni:
"Program de simulare a încerc ărilor de fiabilitate și testare a propriet ăților
estimatorilor bayesieni – Varianta I";
"Program de simulare a încerc ărilor de fiabilitate și testare a propriet ăților
estimatorilor bayesieni – Varianta II".
Listingurile acestor programe sunt prezentate în anexa F, " Pachet de aplica ții MathCAD
pentru calculul estima țiilor bayesiene propriu-zise și a estima țiilor bayesiene de tip MELO ".
OBSERVA ȚII:
I. Varianta I a programului de simulare a încerc ărilor de fiabilitate și testarea propriet ăților
estimatorilor bayesieni permit calculul estima țiilor:
• de verosimilitate maxim ă (sistemul de ecua ții (1.99));
• bayesiene propriu-zise (ecua țiile (3.187) și (3.188));
• bayesiene de tip MELO (ecua țiile (3.198) și (3.199)).
Pentru estimarea parametrilor reparti ției apriorice a parametrului de form ă, în acest
program s-a implementat varianta I a algoritmului prezentat la punctul 3.7.3.1 . Estimarea
parametrilor reparti ției apriorice a parametrului de scal ă s-a realizat folosind algoritmul descris
la punctul 3.7.3.2 .
II. Varianta II a programului de simulare a încerc ărilor de fiabilitate și testarea propriet ăților
estimatorilor bayesieni permite calculul estima țiilor:
• liniare de tip BLIE (sistemele de ecua ții (1.103) și (1.104));
• bayesiene propriu-zise (ecua țiile (3.187) și (3.188));
• bayesiene de tip MELO (ecua țiile (3.198) și (3.199)).
Pentru estimarea parametrilor reparti ției apriorice a parametrului de form ă, în acest
program s-a implementat varianta II a algoritmului prezentat la punctul 3.7.3.1 . Estimarea
parametrilor reparti ției apriorice a parametrului de scal ă, s-a realizat folosind algoritmul descris
la punctul 3.7.3.2 .
III. Precizia de rezolvare numeric ă iterativă a primei ecua ții de verosimilitate, din sistemul
(1.99) a fost stabilit ă la valoarea 10-5.
IV. Pentru exprimarea informa ției apriorice referitoare la parametrul de form ă, valorile celor
două variabile aleatorii utilizate, v(ra,na) și W(ra, na), au fost ob ținute prin simularea a
N=10000 de încerc ări de fiabilitate;
V. Parametrii reparti țiilor apriorice utilizate la calculul estima țiilor bayesiene s-au stabilit pe
baza unui e șantion ini țial având na=n și ra=r, care apar ține unei popula ții biparametrice
Weibull având β=η=1;
VI. Pentru a demonstra eficacitatea metodei de specificare complet ă a reparti țiilor apriorice
utilizate la estimarea bayesian ă, s-a simulat un num ăr de 1000 de e șantioane pentru r ≤ n
și n=r=5,10,15,20;
VII. Cele 1000 de e șantioane simulate apar țin unei popula ții biparametrice Weibull având
β=η=1;
VIII. Analiza propriet ăților estima țiilor punctuale bayesiene (Bˆβ și Bˆη; MELOˆβ și MELOˆη ),
calculate pentru cele 1000 de e șantioane, s-a realizat prin prisma a dou ă criterii:
Capitolul 4
170- un prim criteriu considerat îl reprezint ă deplasarea estima țiilor punctuale. În acest
sens pentru caracterizare s- au utilizat media estima țiilor, precum și valoarea
minimă și maximă a estimațiilor;
– cel de-al doilea criteriu îl reprezint ă precizia estima țiilor punctuale, în sensul
măsurării împrăștierii estima țiilor. În acest sens s-au utilizat amplitudinea,
dispersia și abaterea medie p ătratică a estimațiilor.
În tabelul 4.13 sunt prezentate valorile celor șase caracteristici numerice utilizate pentru
analiza propriet ăților estima țiilor punctuale bayesiene, comp arativ cu cele ale estima țiilor
punctuale de verosimilitate maxim ă (MVM) și liniare de tip BLIE, în func ție de volumul
eșantionului ( n) și de numărul de căderi ( r).
Tabelul 4.13 Rezultate ob ținute prin simulare numeric ă Monte-Carlo
Volumul
eșanti-
onului
n
Nivel de
cenzu-
rare
r
Estimator
Parame-
trul
analizat
θ
Media
estima-
țiilor
θ
Valoa-
rea
minimă
a
estima-
țiilor
θmin
Valoa-
rea
maximă
a
estima-
țiilor
θmax
Ampli-
tudinea
valori-
lor
estimate
Rθ Abate-
rea
medie
pătra-
tică a
valori-
lor
estimate
θˆs
Disper-
sia
valorilor
estimate
2
ˆsθ
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n=5 r=5 β 1.445 0.482 6.732 6.249 0.802 0.643
MVM
η 1.055 0.137 3.637 3.500 0.489 0.239
β 1.174 0.577 2.010 1.432 0.254 0.064
BAYES
var. I η 0.946 0.402 2.049 1.646 0.227 0.051
β 0.993 0.477 1.674 1.197 0.215 0.046
MELO
var. I η 1.234 0.539 3.853 3.313 0.400 0.160
β 1.422 0.460 6.915 6.455 0.790 0.625
BLIE
η 1.174 0.181 3.802 3.620 0.533 0.284
β 1.343 1.168 3.841 2.672 0.353 0.125
BAYES
var. II η 0.989 0.515 2.114 1.599 0.246 0.060
β 1.238 1.168 2.817 1.649 0.187 0.035
MELO
var. II η 1.236 0.624 3.117 2.493 0.370 0.137
n=10 r=5 β 1.564 0.376 8.502 8.125 0.930 0.865
MVM
η 0.949 0.180 4.990 4.810 0.496 0.246
β 1.097 0.471 1.828 1.357 0.240 0.057
BAYES
var. I η 0.906 0.521 2.676 2.154 0.287 0.082
β 0.884 0.386 1.463 1.077 0.194 0.037
MELO
var. I η 1.298 0.699 5.937 5.237 0.502 0.252
β 1.556 0.376 8.431 8.054 0.924 0.854
BLIE
η 1.160 0.209 7.823 7.614 0.676 4.457
β 1.347 1.077 3.737 2.660 0.412 0.170
BAYES
var. II η 0.824 0.455 1.851 1.395 0.246 0.060
β 1.179 1.077 2.636 1.559 0.207 0.042
MELO
var. II η 1.049 0.610 2.331 1.721 0.284 0.084
Cercetări experimentale și simulate privind estimarea indicatorilor și optimizarea încerc ărilor de fiabilitate
171Tabelul 4.13 (continuare) Rezultate ob ținute prin simulare numeric ă
Monte-Carlo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n=10 r=10 β 1.191 0.473 5.399 4.925 0.401 0.161
MVM
η 1.037 0.255 2.392 2.136 0.332 0.110
β 0.932 0.585 1.359 0.774 0.115 0.013
BAYES
var. I η 0.839 0.438 1.405 0.967 0.147 0.021
β 0.865 0.536 1.240 0.704 0.106 0.011
MELO
var. I η 0.943 0.478 1.686 1.208 0.183 0.033
β 1.178 0.488 5.419 4.930 0.398 0.159
BLIE
η 1.098 0.270 2.496 2.225 0.347 0.121
β 1.030 0.588 1.980 1.392 0.175 0.030
BAYES
var. II η 0.867 0.452 1.449 0.996 0.153 0.023
β 0.949 0.564 1.739 1.175 0.147 0.021
MELO
var. II η 0.976 0.492 2.031 1.539 0.196 0.038
n=15 r=5 β 1.637 0.403 10.029 9.626 1.107 1.227
MVM
η 0.908 0.123 5.937 5.813 0.633 0.401
β 1.026 0.474 1.705 1.230 0.219 0.048
BAYES
var. I η 1.111 0.679 3.181 2.502 0.348 0.121
β 0.822 0.373 1.343 0.970 0.174 0.030
MELO
var. I η 1.867 0.995 7.864 6.868 0.785 0.617
β 1.631 0.400 10.025 9.625 1.104 1.218
BLIE
η 1.022 0.126 7.997 7.871 0.779 0.607
β 1.323 1.161 4.097 2.936 0.350 0.122
BAYES
var. II η 0.873 0.331 1.845 1.514 0.213 0.045
β 1.206 1.161 2.675 1.514 0.129 0.016
MELO
var. II η 1.142 0.753 2.237 1.483 0.225 0.050
n=15 r=10 β 1.205 0.430 3.282 2.851 0.395 0.156
MVM
η 0.990 0.292 2.424 2.131 0.313 0.098
β 0.983 0.553 1.383 0.830 0.136 0.018
BAYES
var. I η 0.989 0.643 1.702 1.059 0.164 0.027
β 0.897 0.502 1.259 0.756 0.124 0.015
MELO
var. I η 1.125 0.723 2.130 1.406 0.206 0.042
β 1.200 0.427 3.248 2.820 0.394 0.155
BLIE
η 1.049 0.307 2.692 2.384 0.337 0.113
β 1.119 0.606 1.847 1.240 0.187 0.035
BAYES
var. II η 0.965 0.633 1.656 1.022 0.160 0.025
β 1.023 0.580 1.613 1.033 0.159 0.025
MELO
var. II η 1.079 0.707 2.043 1.336 0.196 0.038
n=15 r=15 β 1.116 0.535 2.307 1.772 0.256 0.065
MVM
η 1.019 0.366 2.129 1.762 0.268 0.072
β 1.113 0.709 1.582 0.873 0.139 0.019
BAYES
var. I η 0.960 0.611 1.446 0.834 0.128 0.016
β 1.063 0.667 1.509 0.841 0.133 0.017
MELO
var. I η 1.030 0.642 1.627 0.985 0.148 0.022
Capitolul 4
172Tabelul 4.13 (continuare) Rezultate ob ținute prin simulare numeric ă
Monte-Carlo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n=15 r=15 β 1.107 0.544 2.293 1.748 0.256 0.065
BLIE
η 1.060 0.383 2.223 1.840 0.277 0.076
β 1.168 0.810 1.782 0.972 0.144 0.020
BAYES
var. II η 0.976 0.623 1.477 0.854 0.130 0.017
β 1.121 0.778 1.671 0.893 0.132 0.017
MELO
var. II η 1.045 0.655 1.649 0.994 0.149 0.022
n=20 r=5 β 1.658 0.392 9.860 9.467 1.098 1.206
MVM
η 0.908 0.055 9.365 9.310 0.838 0.703
β 1.186 0.550 2.234 1.684 0.287 0.082
BAYES
var. I η 0.741 0.228 4.076 3.848 0.390 0.152
β 0.944 0.353 1.755 1.402 0.231 0.053
MELO
var. I η 1.509 0.658 14.333 13.675 1.034 1.070
β 1.654 0.390 9.856 9.465 1.095 1.199
BLIE
η 1.028 0.056 11.650 11.595 1.050 1.104
β 1.752 1.636 4.625 2.989 0.377 0.142
BAYES
var. II η 0.534 0.013 1.451 1.437 0.180 0.032
β 1.670 1.636 3.356 1.720 0.139 0.019
MELO
var. II η 0.685 0.438 1.663 1.224 0.153 0.023
n=20 r=10 β 1.220 0.454 3.892 3.438 0.435 0.189
MVM
η 0.989 0.242 3.136 2.893 0.374 0.140
β 1.067 0.600 1.636 1.036 0.169 0.028
BAYES
var. I η 1.000 0.673 2.030 1.356 0.192 0.037
β 0.970 0.544 1.475 0.931 0.154 0.023
MELO
var. I η 1.156 0.775 2.575 1.800 0.244 0.059
β 1.216 0.451 3.872 3.421 0.434 0.188
BLIE
η 1.049 0.250 3.502 3.252 0.411 0.169
β 1.193 0.649 2.156 1.515 0.213 0.045
BAYES
var. II η 0.950 0.652 1.981 1.328 0.181 0.033
β 1.088 0.627 1.870 1.243 0.187 0.035
MELO
var. II η 1.079 0.734 2.447 1.713 0.224 0.050
n=20 r=15 β 1.130 0.480 2.939 2.459 0.281 0.079
MVM
η 1.004 0.368 2.041 1.673 0.258 0.066
β 0.973 0.603 1.385 0.781 0.107 0.011
BAYES
var. I η 1.077 0.752 1.587 0.834 0.129 0.016
β 0.919 0.565 1.300 0.735 0.101 0.010
MELO
var. I η 1.169 0.808 1.809 1.001 0.150 0.022
β 1.125 0.476 2.942 2.466 0.280 0.078
BLIE
η 1.045 0.379 2.162 1.783 0.269 0.072
β 1.046 0.666 1.701 1.034 0.129 0.016
BAYES
var. II η 1.075 0.753 1.583 0.829 0.128 0.016
β 0.989 0.629 1.563 0.934 0.117 0.013
MELO
var. II η 1.161 0.806 1.780 0.974 0.149 0.022
Cercetări experimentale și simulate privind estimarea indicatorilor și optimizarea încerc ărilor de fiabilitate
173Tabelul 4.13 (continuare) Rezultate ob ținute prin simulare numeric ă
Monte-Carlo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n=20 r=20 β 1.087 0.595 1.962 1.366 0.205 0.042
MVM
η 1.020 0.503 1.903 1.399 0.233 0.054
β 1.039 0.745 1.334 0.589 0.093 8.70⋅10-3
BAYES
var. I η 1.038 0.756 1.449 0.692 0.117 0.013
β 1.005 0.718 1.290 0.571 0.090 8.17⋅10-3
MELO
var. I η 1.102 0.795 1.572 0.776 0.131 0.017
β 1.081 0.586 1.919 1.332 0.205 0.042
BLIE
η 1.051 0.522 1.946 1.424 0.239 0.057
β 1.074 0.796 1.467 0.669 0.101 0.010
BAYES
var. II η 1.051 0.767 1.463 0.695 0.119 0.014
β 1.040 0.776 1.400 0.623 0.095 9.02⋅10-3
MELO
var. II η 1.116 0.806 1.588 0.781 0.133 0.018
CONCLUZII :
Analiza rezultatelor ob ținute prin simulare numeric ă MONTE-CARLO permite
formularea urm ătoarelor concluzii:
a) Estimațiile punctuale bayesiene propriu-zise și cele de tip MELO conserv ă deplasarea
inițială pe care o introduce estima ția de verosimilitate maxim ă sau liniar ă de tip BLIE;
b) Estimatorii de verosimilitate maxim ă și cei liniari de tip BLIE posed ă propriet ăți
asemănătoare din punct de vedere al deplas ării și al preciziei de estimare;
c) Modul în care informa ția aprioric ă (exprimat ă sub form ă discretă în cazul parametrului de
formă, β și sub forma reparti ției Gama în cazul parametrului de scal ă, η), se modific ă la
impactul cu rezultatele expe rimentale este ilustrat în:
¾ fig. 4.7 a și b – pentru cazul estima țiilor inițiale obținute prin metoda verosimilit ății
maxime;
¾ fig. 4.8 a și b – pentru cazul estima țiilor inițiale obținute prin utilizarea estimatorilor
liniari tip BLIE;
a) Cazul parametrului de form ă b) Cazul parametrului de scal ă
Fig. 4.7 Influența rezultatelor experimentale asupra reparti țiilor apriorice, în cazul n=10 și r=5
0 0.89 1.79 2.68 3.58 4.4700.0990.20.30.4
Variabila aleatorieProbalitatea de aparitie
0 1 2 3 4012
Variabila aleatorieFunctia densitate de probabilitate, f(t)Repartiția a posteriori
Repartiția Repartiția a posteriori
Repartiția
Capitolul 4
174d) Varianta I de exprimare a informa ției apriorice (prin utilizarea estima țiilor de verosimilitate
maximă) este mai eficient ă din punct de vedere al deplas ării și dispersiei estima țiilor;
e) Estimațiile bayesiene propriu-zise și cele de tip MELO, analizate în cele dou ă variante, au
proprietăți asemănătoare în sensul reducerii substan țiale a împr ăștierii;
a) Cazul parametrului de form ă b) Cazul parametrului de scal ă
Fig. 4.8 Influen ța rezultatelor experimentale asupra reparti țiilor apriorice, în cazul
n=20 și r=15
f) Estimațiile bayesiene de tip MELO se caracterizeaz ă prin deplas ări și împrăștiere, sensibil
mai mici;
g) Indiferent de varianta utilizat ă pentru exprimarea informa ției apriorice se constat ă că:
estimațiile punctuale bayesiene de tip MELO asigur ă o împrăștiere mai mic ă pentru
parametrul de form ă;
estimațiile punctuale bayesiene propriu-zise asigur ă o împrăștiere mai mic ă pentru
parametrul de scal ă;
estimațiile punctuale bayesiene de tip MELO asigur ă o deplasare mai mic ă pentru
parametrul de form ă;
estimațiile punctuale bayesiene propriu-zise asigur ă o deplasare mai mic ă pentru
parametrul de scal ă;
h) Se constat ă că deplasarea estima țiilor bayesiene propriu-zise și a celor de tip MELO sunt
mai mici în cazul e șantioanelor puternic cenzurate, decâ t cele de verosimilitate maxim ă sau
liniare de tip BLIE;
i) În cazul e șantioanelor complete sau slab cenzurate, deplas ările înregistrate de estima țiile
bayesiene și cele de tip MELO sunt similare celor de verosimilitate maxim ă sau liniare de
tip BLIE.
0 1.11 2.21 3.32 4.42 5.5300.190.380.570.76
Variabila aleatorieProbabilitatea de aparitieRepartiția Repartiția a posteriori
0 1 2 3 4012
Variabila aleatorieDensitatea de probabilitate, f(t)Repartiția a posteriori
Repartiția
175
Capitolul
5
CONCLUZII, ELEMENTE DE
ORIGINALITATE ȘI MODALIT ĂȚI DE
IMPLEMENTARE A REZULTATELOR
CERCET ĂRII
Soluționarea problemelor formulate ca obiective ale tezei de doctorat s-a concretizat în
elaborarea a șapte studii care, prin concep ție și rezultate, constituie contribu ții personale ale
autorului la adâncirea și clarificarea unor aspecte ale optimiz ării încerc ărilor la
durabilitate/fiabilitate a rulmen ților, precum și la utilizarea rezultatelor experimentale ob ținute
din testări la exprimarea fiabilit ății previzionale a rulmen ților.
Rezultatele cercet ărilor teoretice, experimentale și prin simulare numeric ă obținute pe
parcursul dezvolt ării lucrării permit eviden țierea urm ătoarelor contribu ții originale:
n În domeniul analizei stadiului actual al cercet ărilor privind durabilitatea și fiabilitatea
rulmenților:
¾ s-a realizat o analiz ă critică a cercetărilor în domeniul durabilit ății rulmen ților și
raportului dintre durabilitate și fiabilitatea rulmen ților;
¾ s-a efectuat un studiu detaliat al prin cipalelor aspecte le gate de definirea
indicatorilor de fiabilitate specifici rulmen ților, reparti țiile utilizate ca modele
statistice în studiul fiabilit ății rulmen ților, precum și al metodelor folosite la
estimarea indicatorilor de fiabilitate;
¾ s-a realizat o analiz ă a încerc ărilor la durabilitate/fiabilitate a rulmen ților, a
metodologiilor utilizate la testarea rulmen ților, precum și a echipamentelor și
instalațiilor folosite în acest scop.
Dintre concluziile formulate la sfâr șitul acestui capitol al lucr ării, menționăm:
sub acțiunea tensiunilor variabile și în prezen ța defectelor de material sau de prelucrare, la
elementele de rulmen ți aflate în contact de rostogolire cu alunecare pot ap ărea diverse
tipologii specifice de deteri orare. Dintre acestea oboseala de contact reprezint ă singurul
mecanism de deteriorare ce poate fi rezonabil modelat. Din acest motiv s-a considerat, în
mod conven țional, că distrugerile caracteristice rulmen ților sunt cele prin oboseala de
contact.
mecanismul de apari ție și dezvoltare a fenomenului deterior ării prin oboseala de contact
este, în prezent, înc ă insuficient cunoscut, st ăpânit și modelat, fapt demonstrat de
numeroasele cercet ări teoretice și experimentale aflate în curs de desf ășurare;
Capitolul 5
176 modelul de calcul al durabilit ății rulmen ților, unanim acceptat și standardizat la nivel
internațional, a fost realizat în anii '50. Acest model care consider ă că deteriorarea prin
oboseala de contact are ca punct de plecare z ona de material solicitat de sub suprafa ța de
contact și care nu ține cont de modul de lubrifiere sau de calitatea lubrifiantului a oferit o
metodologie de calcul al fiabilit ății rulmenților, suficient de precis ă pentru acea perioad ă;
celelalte mecanisme de deteriorare care devin efective în timpul func ționării rulmen ților (în
special cele spontane) nu pot fi anticipate și nici modelate convenabil. Lipsa de date
suficiente pentru definirea reparti țiilor referitoare la fiecare tip de deteriorare face ca,
deocamdat ă, calculul obi șnuit al rulmen ților să considere distinct, în rela ție cu durabilitatea,
fie oboseala de contact, fie uzura de tip abraziv. În rest, se stabilesc condi ții limită,
recomand ări și specifica ții adecvate, foarte severe;
a fost pus ă la punct o serie de încerc ări de fiabilitate (metoda liniei defectelor primare), mult
mai convenabile din punct de vedere al opera țiilor de montare și demontare a rulmen ților pe
stand și al preciziei rezultatelor experimentale ob ținute;
dezvoltarea teoriei sta tisticilor de ordine a permis punerea la punct a unor noi metode de
estimare parametric ă în cazul reparti ției Weibull – metoda estimatorilor liniari;
cercetările comparative efectuate privind precizia de ob ținere a estimatorilor prelua ți din
statistica clasic ă, față de cei ob ținuți pe baza teoriei statisticilor de ordine, demonstreaz ă că
estimatorii liniari posed ă proprietăți asemănătoare cu estimatorii de verosimilitate maxim ă.
Estimațiile calculate prin metoda estimatorilor liniari sunt, îns ă, mult mai simplu de aplicat,
fiindcă nu necesit ă utilizarea metodelor iterative de calcul numeric, specifice rezolv ării
ecuațiilor de verosimilitate maxim ă;
după o lungă perioadă în care au fost puternic contestate, în ultimii 25 de an i, în studiile de
fiabilitate, s-au impus metodele bayesiene de estimare parametric ă.
Toate acestea au permis formularea obiectivelor și structurii tezei de doctorat.
o În domeniul evalu ării fiabilit ății previzionale a rulmen ților:
¾ definirea concret ă a problemei, precum și stabilirea ipotezelor simplificatoare care
permit analiza fiabilist ă a funcționării rulmen ților în cazul unei aplica ții concrete;
¾ elaborarea modelului matema tic de studiu. Metoda propus ă presupune utilizarea
unui instrument fiabilist comple mentar, AMDEC-ul, pentru eviden țierea defect ărilor
potențiale specifice unei aplica ții concrete, stabilirea punctelor critice și studierea lor
prin prisma probabilit ății de apari ție;
¾ în lipsa unei experien țe bogate în domeniu, sau a unei baze de date privind
funcționarea rulmen ților în aplica ții, sau condi ții similare, studiul a fost completat cu
multiple informa ții, preluate din literatura de spec ialitate, care permit ca pentru un
caz concret s ă fie posibil ă stabilirea durabilit ății nominale și fiabilității rulmenților,
precum și ratele de defectare corespunz ătoare diferitelor tipuri de deterior ări ce pot
deveni efective în timpul func ționării rulmen ților.
În urma cercet ărilor desfășurate în vederea evalu ării fiabilit ății previzionale a rulmen ților,
se pot desprinde urm ătoarele concluzii:
algoritmul elaborat pent ru aprecierea fiabilit ății previzionale a rulmen ților permite
considerarea global ă a tuturor posibilit ăților de deteriorare ce pot deveni efective în cazul
unei aplica ții concrete;
pentru evaluarea fiabilit ății previzionale a rulmen ților, ca elemente componente ale unui
sistem mecanic complex, acest model consider ă inclusiv variab ilitatea specific ă condițiilor
de funcționare din perioada opera țională normală;
metoda de calcul propus ă permite, de asemenea, aprecierea durabilit ății globale a unui
ansamblu prin considerarea contribu ției tuturor rulmen ților la deteriorarea sistemului;
Concluzii, elemente de originalitate și modalități de implementare a rezultatelor cercet ării
177 acest model poate constitui un instrument foarte util de calcul și analiză a fiabilit ății unui
sistem mecanic, mai ales în faza de proiect tehnic.
p În domeniul estim ării parametrului de localizare :
¾ s-a realizat un studiu teoretic comparativ privind modalit ățile de estimare a
repartiției triparametrice Weibull. Au fost analizate particularit ățile utiliz ării
metodelor grafice, metodei celor mai mici p ătate, metodei modificate a momentelor
și metodei verosimilit ății maxime;
¾ s-a elaborat o nou ă metodă de estimare a parametrului de localizare, metod ă ce are
la bază liniarizarea convenabil ă a modelului reparti ției Weibull și obținerea
estimației lui γ din condi ția de maxim a valorii coeficientului de corela ție.
¾ s-a proiectat un program de calcul care permite ob ținerea estima țiilor punctuale ale
modelului triparametric Weibull, prin toate metodele analizate;
¾ implementarea metodei co eficientului de corela ție s-a realizat folosind un algoritm
original;
¾ pentru a ilustra modul de utilizare a metodei coeficientului de corela ție, a fost
preluată din literatura de specialitate o se rie de patru exemple de calcul, iar
rezolvarea lor s-a efectuat prin utilizarea programului proiectat.
Dintre concluziile la care s-a ajuns în urma analizei rezultatelor ob ținute enumer ăm:
Valorile maxime ale coeficientului de corela ție, cel care indic ă concordan ța dintre
rezultatele experimentale și dreapta Weibull, s-au ob ținut în cazul utiliz ării metodei
coeficientului de corela ție;
Estimații asemănătoare, valoric pentru parametrul de localizare, se ob țin în cazul utiliz ării
metodelor care au la baz ă același principiu (cel al liniariz ării funcției de reparti ție): metodele
grafice, metoda celor mai mici p ătrate aplicat ă repartiției triparametrice Weibull și metoda
coeficientului de corela ție;
Pentru exemplele prezentate, care asigur ă un coeficient de corela ție ρ=0,998÷0,999,
abordarea grafic ă a estimării parametrice a lui γ este posibil ă întrucât valorile numerice se
dispun conform cazului teoretic. În cazurile practice, când r ezultatele experimentale sunt
afectate de erori de reprezentativitate, erori de e șantionaj sau când valor ile coeficientului de
corelație sunt ρ≥0,9, determinarea intervalului de existen ță a parametrului de localizare,
precum și operația de estimare grafic ă a parametrului de localizare devine greoaie și afectată
de o doză mare de subiectivism;
Estimatorul lui γ obținut prin metoda celor mai mici p ătrate, aplicat ă repartiției
triparametrice Weibull, depinde foarte mult de valoarea ini țială aleasă pentru rezolvarea
numerică a ecuației ce con ține estima ția parametrului de loca ție. Valorile estimate ale lui γ,
pornind de la solu ții inițiale diferite, se pot ob ține cu diferen țe semnificative, datorit ă formei
specifice de varia ție a ecuației (3.25) , în funcție de valorile parametrului de localizare;
Metoda verosimilit ății maxime aplicat ă repartiției triparametrice Weibull determin ă
obținerea, în unele situa ții, a unor valori es timate care difer ă semnificativ de cele ob ținute
prin celelalte metode. Se constat ă, de asemenea, c ă datorită complexit ății deosebite a
sistemului de ecua ții de verosimilitate, solu țiile obținute depind de forma aleas ă pentru
implementare;
Metoda modificat ă a momentelor furnizeaz ă estimații care difer ă semnificativ, în unele
cazuri, de cele ob ținute prin alte metode. De aceea, se recomand ă utilizarea ei doar în
situațiile în care nu exist ă metode alternative de estimare;
Decuplarea opera ției de estimare parametric ă și utilizarea metodei coeficientului de corela ție
pentru estimarea parametrul ui de localizare, combinat ă cu alte metode uzuale de estimare a
parametrilor de form ă și de scal ă determin ă obținerea unor rezultate comparabile.
Diferențele nesemnificative care apar depind de propriet ățile estimatorilor utiliza ți.
Capitolul 5
178Toate acestea demonstreaz ă superioritatea metodei propuse, precum și faptul c ă permite
obținerea univoc ă a valorilor estimate pentru parametrul de form ă.
Rezultatele experimentale ob ținute în urma test ării pe stand a șase tipodimensiuni de
rulmenți și analiza statistic ă a lor au relevat urm ătoarele aspecte:
Este necesar ă utilizarea modelului reparti ției triparametrice We ibull, în vederea
prelucrării statistice corecte a rezultatelor ob ținute în urma încerc ării la fiabilitate a
rulmenților;
Valorile calculate ale coeficientului de corela ție (ρ = 0,9897 ÷ 0,9957) confirm ă ipoteza
privind concordan ța foarte bun ă dintre modelul reparti ției Weibull și rezultatele
experimentale ob ținute la testarea rulmen ților pe standuri, în condi ții de sarcin ă și turație
constantă;
q În domeniul utiliz ării estimatorilor liniari tip BLIE, la prelucrarea statistic ă a rezultatelor
obținute în urma încerc ărilor efectuate prin metoda liniei defectelor primare :
¾ a fost extins domeniul de aplicabilitate a estimatorilor liniari tip BLIE și în cazul
încercărilor efectuate prin metoda liniei defectelor primare, pornind de la
particularit ățile acestei metode de testare;
¾ s-au definit trei vari abile aleatorii, independe nte de parametrii popula ției Weibull, a
căror valoare depinde doar de parametrii încerc ării (l și m);
¾ au fost dezvoltate rela țiile de calcul care permit ob ținerea estima țiilor punctuale
mediu și median nedeplasate, precum și realizarea inferen țelor statistice (calculul
intervalelor de încredere și verificarea ipotezelor statistice) referitoare la parametrii
(de form ă și de scal ă) și indicatorii de fiabilitate (durabilitatea nominal ă și
durabilitatea median ă) a rulmen ților;
¾ rezultatele teoretice ale acestui studiu au fost utilizate la prelucrarea statistic ă a
timpilor de deteriorare prin oboseala de contact cu rostogolire a loturilor de rulmen ți
testați prin metoda liniei defectelor primare.
r În domeniul utiliz ării estimatorilor de verosimilitate maxim ă la prelucrarea statistic ă a
rezultatelor ob ținute din încerc ările trunchiate :
¾ s-a demonstrat existen ța și valabilitatea celor trei variabile aleatorii, caracteristice
încercărilor cenzurate ( () ()n,rk ˆlnˆ;n,rv ˆ =ηη⋅β=ββ și () p,n,ruttˆlnˆ
p p=⋅β ) și
pentru cazul încerc ărilor trunchiate;
¾ au fost dezvoltate rela țiile care permit calculul intervalelor de încredere și
verificarea ipotezelor statistice referitoare la parametrii și indicatorii de fiabilitate a
rulmenților, pornind de la particularit ățile acestei metode de testare;
¾ rezultatele teoretice ale acestui studiu au fost utilizate la prelucrarea statistic ă a
timpilor de deteriorare prin obos eala de contact cu rostogolire ob ținuți prin testarea
rulmenților utilizând cazul încerc ărilor trunchiate;
s În domeniul optimiz ării modalit ăților de estimare a indicatorilor de fiabilitate:
¾ s-a realizat un sistem multicriterial care permite stabilirea tipului încerc ării
efectuate, volumului e șantionului supus test ării, numărului de rulmen ți deteriora ți în
timpul încerc ării și metodei de estimare utilizate. Cazurile analizate reprezint ă
situații frecvent întâlnite în practica test ării rulmen ților:
• încercări cenzurate/complete;
• încercări efectuate prin metoda li niei defectelor primare;
• estimatori de verosimilitate maxim ă;
• estimatori liniari de tip BLIE.
Concluzii, elemente de originalitate și modalități de implementare a rezultatelor cercet ării
179Cele trei criterii utilizate în acest scop sunt:
• indicatorul preciziei de estimare. Utilizând rezult ate teoretice anterioare,
aplicabilitatea lui a fost extins ă și în cazul încerc ărilor efectuate prin
metoda liniei defectelor primare și utilizarea estimatorilor liniari tip
BLIE;
• indicatorul deplas ării estima țiilor. Acesta reprezint ă un nou criteriu
introdus și care permite, ca împreun ă cu indicatorul preciziei de
estimare, s ă se realizeze o caracterizare aprioric ă completă a estimațiilor
obținute;
• durata încerc ării. Acest criteriu de optimizare reflect ă aspectul economic
al organiz ării și desfășurării încerc ărilor la durabilitate/fiabilitate a
rulmenților și permite construc ția unor indicatori, pe baza c ărora se
poate realiza discriminarea într e diferitele tipuri de încerc ări practicate
în cazul rulmen ților.
¾ a fost proiectat un instrument soft ware care permite simularea încerc ărilor de
fiabilitate a rulmen ților în cele patru cazuri analizate. Simularea încerc ărilor
efectuate prin metoda liniei defectelor primare s-a realizat folosind un algoritm
original;
¾ s-au simulat numeric încerc ări de fiabilitate în urm ătoarele condi ții:
• încercări de tip cenzurat/complet cu 3 ≤ n ≤ 20 și 3 ≤ r ≤ n;
• încercări efectuate prin metoda liniei defectelor primare cu 6 ≤ n ≤ 25 și
3≤ l ≤ n,
și au fost ob ținute cuantilele variabilelor aleatorii caracteristice celor patru cazuri
analizate. Aceste valori permit calculul estima țiilor mediu și median nedeplasate
precum și realizarea inferen țelor statistice. Ele pot fi utilizate, de asemenea, și în
cazul încerc ărilor trunchiate;
¾ s-a realizat un studiu comparativ privind estimarea indicatorilor de fiabilitate a
rulmenților;
¾ s-a definit o serie de func ții care permite realizarea discrimin ării între încerc ările
(efectuate pe un e șantion de volum n) cenzurate la nivelul r și încercările efectuate
prin metoda liniei defectelor primare ( având l= r și ⋅l m = n), în vederea
adoptării variantei optime de încercare sau a estimatorului utilizat;
¾ prin reprezentarea grafic ă a celor doi indicatori ( Rθ și Dθ), în funcție de num ărul de
elemente deteriorate în timpul încerc ării (r sau l), se poate determina nivelul de
cenzurare, sau num ărul optim de grupe în care se împarte e șantionul ini țial (de
volum n sau ⋅l m), astfel încât s ă rezulte o durat ă minimă a încercării, la o precizie
și/sau deplasare rezonabil ă a estimațiilor;
¾ rezultatele ob ținute prin simulare numeric ă au fost utilizate la prelucrarea statistic ă a
rezultatelor experimentale ob ținute prin testarea pe stand a rulmen ților
t În domeniul proiect ării optimizate a încerc ărilor de fiabilitate a rulmen ților:
¾ s-a elaborat un model matematic care pe rmite proiectarea planurilor de încerc ări
cenzurate pornind de la valorile principalilor parametri și indicatori de fiabilitate ( β
și t0,10) și de la valori impuse aprioric pentru preciziile de estimare a acestor
parametri și indicatori, astfel încât pentru para metrul economic al procesului (costul
încercării) să se obțină valorile cele mai avantajoase;
¾ prin implementarea acestui model matematic a fost realizat un program de calcul
numeric, care permite ob ținerea foarte simpl ă a soluțiilor problemei.
Concluziile ob ținute în urma studierii modalit ăților de proiectare optimizat ă a încercărilor de
Capitolul 5
180fiabilitate a rulmen ților, dintre care au fost re ținute:
Elaborarea modelului matematic al problemei de optimizare s-a f ăcut pornindu-se de la
principalii parametri și indicatori de fiabilitate a rulmen ților:
• durabilitatea nominal ă (t0,10) – care reprezint ă valoarea de referin ță a încerc ării,
valoare ce se determin ă aprioric efectu ării testelor și pe baza c ăreia se ia în final
decizia privind calitatea lotului testat;
• parametrul de form ă (β) – acesta reprezint ă de fapt o m ăsură a dispersiei
durabilității rulmen ților prin faptul c ă el determin ă forma reparti ției și oferă
informații consistente despre calitatea materi alelor utilizate, procedeele tehnologice
folosite, montaj și depozitare;
Utilizarea programului de calcul elaborat permite ob ținerea foarte simpl ă a soluției
problemei, înl ăturând dezavantajele utiliz ării soluției analitice, care presupune un calcul
foarte laborios;
Folosind propriet ățile grafice deosebite ale mediului de programare MathCAD +6.0 se obțin
reprezentările grafice ale regiunii solu țiilor problemei. Acestea permit identificarea
eventualelor erori în impunerea aprioric ă a unor valori foarte mici ale preciziei de estimare,
valori necorelate cu posibilit ățile tehnico-organizatorice ( Nmax) existente,
demonstreaz ă corectitudinea modelului matematic, precum și faptul că acesta se poate constitui
într-un instrument de calcul și analiză foarte util în activit ățile de testare a rulmen ților.
u În domeniul utiliz ării tehnicilor bayesiene de estimare a indicatorilor de fiabilitate a
rulmenților:
¾ prin folosirea unui model matematic ex istent, în lucrare au fost propuse dou ă
metodologii de specificare complet ă a reparti țiilor apriorice utilizate la estimarea
parametric ă bayesian ă:
• pentru estimarea parametrului de form ă se utilizeaz ă informații obiective
obținute în urma efectu ării unor încerc ări de fiabilitate anterioare
experimentului analizat, co roborate cu rezultate ob ținute prin simulare
numerică Monte-Carlo. În func ție de forma sub care se prezint ă
informația aprioric ă referitoare la parametrul de form ă (estimație de
verosimilitate maxim ă sau estima ție liniară de tip BLIE), în lucrare au
fost dezvoltate dou ă variante ale acestei metode;
• pentru estimarea parametrilor reparti țiilor apriorice ale parametrul de
scală s-au utilizat reparti ția aprioric ă a parametrului de form ă și
proprietățile de care se bucur ă repartiția Weibull;
¾ s-au proiectat dou ă programe de calcul care permit simularea încerc ărilor de
fiabilitate, estimarea parametrilor, precum și analiza propriet ăților estimatorilor
bayesieni utiliza ți, comparativ cu estimatorii cl asici (de verosimilitate maxim ă și de
tip BLIE).
Realizarea simul ărilor numerice pentru diferite condi ții de încercare ( n=r=5;10;15;20 și
r≤n), precum și analiza rezultatelor au relevat urm ătoarele aspecte:
Estimațiile punctuale bayesiene propriu-zise și cele de tip MELO conserv ă deplasarea
inițială pe care o introduce estima ția de verosimilitate maxim ă sau liniar ă de tip BLIE;
Varianta I de exprimare a informa ției apriorice (prin utilizarea estima țiilor de verosimilitate
maximă) este mai eficient ă din punct de vedere al deplas ării și dispersiei estima țiilor;
Estimațiile bayesiene propriu-zise și cele de tip MELO, analizate în cele dou ă variante, au
proprietăți asemănătoare în sensul reducerii substan țiale a împr ăștierii;
Estimațiile bayesiene de tip MELO se caracterizeaz ă prin deplas ări și împrăștiere, sensibil
mai mici;
Concluzii, elemente de originalitate și modalități de implementare a rezultatelor cercet ării
181 Indiferent de varianta utilizat ă pentru exprimarea informa ției apriorice se constat ă că:
− estimațiile punctuale bayesiene propriu-zise asigur ă o împr ăștiere și o
deplasare mai mic ă pentru parametrul de scal ă;
− estimațiile punctuale bayesiene de tip MELO asigur ă o împrăștiere și o
deplasare mai mic ă pentru parametrul de form ă;
Se constat ă că deplasarea estima țiilor bayesiene propriu-zise și a celor de tip MELO sunt
mai mici în cazul e șantioanelor puternic cenzurate, decâ t cele de verosimilitate maxim ă sau
liniare de tip BLIE;
În cazul e șantioanelor complete sau slab cenzurate deplas ările înregistrate de estima țiile
bayesiene și cele de tip MELO sunt similare celor de verosimilitate maxim ă sau liniare de
tip BLIE,
ceea ce demonstreaz ă corectitudinea modelului de calcul propus pentru estimarea parametrilor
repartițiilor apriorice utilizate, precum și superioritatea propriet ăților estimatorilor bayesieni, în
special, în cazul utiliz ării eșantioanelor de volum redus și/sau puternic cenzurate.
v În domeniul analizei statistice a rezultatelor experimentale :
¾ s-au realizat șase încerc ări la durabilitate/fiabilitate, efectuate pe diferite
tipodimensiuni de rulmen ți, prin utilizarea a trei tipuri de încerc ări: cenzurate,
trunchiate și prin metoda liniei defectelor primare. Baza material ă utilizată a fost cea
existentă în cadrul laboratoarelor S.C. "ICPROA-S.A." Bra șov.
¾ pentru prelucrarea statistic ă a rezultatelor experimentale s-a proiectat un program de
calcul, care permite estimarea parametrilor și indicatorilor de fiabilitate a
rulmenților prin metoda verosimilit ății maxime și a estimatorilor liniari de tip BLIE,
precum și realizarea inferen țelor statistice referitoare la parametrii și indicatorii de
fiabilitate a rulmen ților. Acest lucru a fost posibil prin utilizarea rezultatelor
teoretice și prin simulare numeric ă Monte-Carlo ob ținute pe parcursul realiz ării
tezei.
Programele de calcul realizate pentru fiecare etap ă de studiu din cadrul lucr ării reprezint ă
mijloace informatice deosebit de utile în prelucrarea rezultatelor experimentale și pentru
aplicarea în practic ă a rezultatelor cercet ării. Trebuie, de asemenea, men ționat că, acestea au o
aplicabilitate direct ă nu numai la prelucrarea rezultatelor ob ținute în urma încerc ărilor la
durabilitate/fiabilitate a rulmen ților. Ele pot fi utilizate la prelucrarea statistic ă și realizarea
inferențelor pe baza rezultatelor ob ținute prin deteriorarea tuturor elementelor a c ăror fenomene
de defectate sunt convena bil modelate de reparti ția Weibull, în condi țiile încerc ărilor efectuate
pe eșantioane de volum redus.
Studiul temelor abordate în lucrarea de fa ță au condus la identificarea și a altor probleme
de interes. Continuarea investiga țiilor se recomand ă a fi făcută în următoarele direc ții:
− baza de date realizat ă permite dezvoltarea cercet ărilor în domeniul tras ării curbelor OC
(caracteristicii operative) prin utilizarea estimatorilor liniari de tip BLIE , în cazul
încercărilor cenzurate și/sau efectuate prin metoda liniei defectelor primare;
− prelucrarea statistic ă a rezultatelor experimentale ob ținute în urma încerc ărilor
comparative, precum și realizarea inferen țelor statistice în acest caz sau testarea
omogenit ății parametrilor reparti ției Weibull și a indicatorilor de fiabilitate, calcula ți
prin utilizarea estimatorilor de tip BLIE ;
− proiectarea optimizat ă a planurilor de încerc ări efectuate prin met oda liniei defectelor
primare.
O parte important ă din cercet ările teoretice, experimentale și, prin simulare
numerică Monte-Carlo, cuprinse în aceast ă lucrare, s-a concretiz at în elaborarea a opt
lucrări, prezentate în cadrul uno r simpozioane cu caracter științific și a fost valorificat ă
prin trei contracte de cercetare științifică.
182
BIBLIOGRAFIE
[1] Adatia, A., Chan, L.K., – Robust Estimators of the 3-Para meter Weibull Distribution, IEEE
Transactions on Reliability, vo l. R-34 , nr. 4, 1985.
[2] Adatia, A., Chan, L.K., – Robust Procedures for Estimating the Scale Parameter and
Predicting Future Order Statistics of the Weibull Distribution, IEEE
Transactions on Reliability, vo l. R-31. , nr. 5, 1982.
[3] Antonescu, N.N., ș.a., – Aspecte privind oboseala termic ă a materialelor metalice, Sesiunea de
comunicări Științifice "Industria de petrol și gaze – prezent și perspective",
vol. "Construc ția de utilaj tehnologic", Ploie ști, 14-15 mai 1992.
[4] Anderson, T., – Endurance Testing in Theory, SKF – Ball Bearing Journal, nr.217, 1983.
[5] Archer, N.P., – A Computational Technique For Maximum Likelihood Estimation with
Weibull Models, IEEE Transactions on Reliability, vol. R-29, nr. l., 1980.
[6] Baron, T., ș.a., – Calitate și Fiabilitate. Manual practic, vol. I și II, Ed. Tehnic ă, București,
l988.
[7] Bergman, B., Hakin, M., – Accelerated Life Testing for Relia bility Improvement, Operational
Reliability and Systematic Maintenance, Elsevier Applied Science, 1991.
[8] Bilikam, E.J., Moore, A.H., – Estimation of Reliability from Multiple Indepe ndent Grouped
Censored Samples with Fa ilure Times Known, IEEE Transactions Reliability,
vol. R-27, nr. 5, 1978.
[9] Bilikam, I.E., More, A.H., – Estimation of Mission Reliab ility from Multiple Independent
Grouped Censored Samples, IEEE Transactions on Re liability, vol. R- 26, nr.
l, l977.
[10] Bilikam, J.E., – Correspondence of Types I and II Censored – Sample Estimators, IEEE
Transactions on Reliability, vol. R-32, nr. l., 1983.
[11] Bloch, H.P., Geiner, F.K., – Machinery Reliability Assessment, 2-nd Edition, Gulf Publishing
Company, Houston, Texas, 1994.
[12] Bloch, H.P., Geiner, F.K., – Practical Machinery Management for Process Plants, vol. 2:
Machinery Failure Analys is and Troubleshooting, 2-nd Edition, Gulf
Publishing Company, Houston, Texas, 1994.
[13] Breipohl, A.M., ș.a., – Consideration of the Bayesian Approach in Reliability Evaluation,
IEEE Transactions on Reliability, 1965.
[14] Brown, G., – Comments on: "MLE of Weibull pa rameters by quasilinearization", IEEE
Transactions on Reliability, vol. R-24, nr. 2, 1975.
[15] Bunday, B.D., Al-Mutwali, I., – Direct Optimization for Ca lculating Maximum Likelihood
Estimates of Parameter of the Weibull Distribution, IEEE Transactions on
Reliability, vol. R- 30, nr. 4, 1981.
[16] Bury, K.V., – Bayesian Decision Analysis of the Hazard Rate for a Two Parameter Weibull
BIBLIOGRAFIE
183Process, IEEE Transactions on Reliability, R-21, nr.3, 1972.
[17] Cacciari, M., Montanari, G.C., – A Method to Estimate th e Weibull Parameters for
Progressively Censored Tests, IEEE Tr ansactions on Reliability, vol. R-36, nr.
l, 1987.
[18] Canfield, R.V., Teed, J.C., – Selecting the Prior Distributio n in Bayesian Estimation, IEEE
Transactions on Reliability , vol. R-26, nr.4, 1977.
[19] Canfield, R.V., – A Bayesian Approach to Reliability Estimation Using a Loss Function, IEEE
Transactions on Reliability, vol. R-19, nr. l, 1970.
[20] Carter, A.D.S., – Mechanical Reliability, MacM illan Educations , LTD., 1986.
[21] Cătuneanu, V.M., Mihalache, A., – Bazele teoretice ale fiabilit ății, Ed. Academiei, Bucure ști,
1983.
[22] Cătuneanu, V.M., Popen țiu, F., – Optimizarea fiabilit ății sistemelor, Ed. Academiei,
București, 1989.
[23] Chan, L.K., Mead, E.R., – Linear Estimation of the Pa rameters of the Extreme value
Distributions Based on Suitably Chosen Order Statistics, IE EE Transaction on
Reliability, vol. R- 20, nr. 2, 1971.
[24] Chan, L.K., Cheng, S.W., Mead, E.R., – Simultaneous Estimatio n of Location and scale
Parameters of the Weibull Distribution, IEEE Transactions on Reliability, vol.
R-23, nr. 5, l974.
[25] Changsen , W ., – Analysis of Rolling Element Bearings , Mechanical Engineering Publications
LTD, London, 1991.
[26] Chao, A., Hwang, S.J., – Comparison of Confidence Inte rvals for the Parameters of the
Weibull and Extreme Value Distributions, IEEE Transactions on Reliability,
vol. R-35, nr.1, 1986.
[27] Cheng, W., Fu, C. – Estimation of Mixed Weibull Para meters in Life Testing, IEEE
Transactions on Reliability, vol. R-31, nr. 4, 1982.
[28] Chișiu, Al., ș.a., – Organe de ma șini, Ed. Didactic ă și Pedagogic ă, București, 1981.
[29] Chiriacescu, S., – Reducerea tensiunilor hertziene prin alegerea corespunz ătoare a geometriei
solidelor în contact, Al IV-lea Simpozion Na țional de Tensometrie, Bra șov 24-
27 septembrie 1987.
[30] Couture, D.J., ș.a., – Empirical Bayes Estimation in the Weibull Distribution, IEEE
Transactions on Reliability , vol. R-21, nr.2, 1972.
[31] Coppola, A., – Comment on: “Bayesian Reliability & Availability – A Review”, IEEE
Transactions on Reliability, vol. R-32, nr. 1, aprilie, 1983.
[32] Cordașewski, C., – Diagnoza fiabilist ă a produselor industriale, Ed. Tehnic ă, București, 1990.
[33] Cran, G.W., – Moment Estimations for the 3-Pa rameter Weibull Distribution, IEEE
Transaction on Reliability, vol. R-37, nr. 4, 1988.
[34] Crellin, G.L., – The Philosophy and Mathematics of Ba yes Equation, IEEE Transactions on
Reliability, vol. R- 21, nr.3, 1972.
[35] Dattero, R., Stein, W. E., – Generating Continuos Random Variates From a Hazard Rate
Function, IEEE Transactions on Reliability, vol. R-34, nr. 1, aprilie, 1985.
[36] Deely, J.J., ș.a., – On the Usefulness of the Maximum Entropy Principle in the Bayesian
Estimation of Reliability, IEEE Transac tions on Reliability, vol. R-19, nr. 3,
1970.
[37] Dima, G., Dima, M., – Tehnoredactare computerizat ă în Word 6.0 sub Windows, Ed. Teora,
BIBLIOGRAFIE
184București, 1995.
[38] Drăghici, I., ș.a., – Îndrumar de proiectare în construc ția de ma șini, vol. 1, Ed. Tehnic ă,
București, 1981.
[39] Drăghici, I., ș.a., – Îndrumar de proiectare în construc ția de ma șini, vol. 2, Ed. Tehnic ă,
București, 1982.
[40] Dreschmann, P., Lorosch, H.K., Weigaud, R. , – Das Verhalten von Walzlagern aus
Unterschiedlichen Werkstoffen be i Ungunstiger Schmierung-ein
Forschungsbericht, FAG – Walzlagertechnik, DA 1983 – 1.
[41] Easterling, R.G., – A Personal View of the Bayesian Co ntroversy in Reliability on Statistics,
IEEE Transactions on Reliab ility, vol. R-21 , nr.3, 1972.
[42] Ellis, W.C., Rao Tummala, V.M., – Minimum Expected Loss Estimators of the Shape and
Scale Parameters of the Weibull Di stribution,, IEEE Transactions on
Reliability, vol. R- 35, nr. 2, 1986.
[43] Ermakov, S.M, – Metoda Monte Carlo și probleme înrudite, traducere din limba rus ă, Ed.
Tehnică, București, 1976.
[44] Erto, P., – A Useful Property of “Graphical Estimators of Location and Scale Parameters,
IEEE Transactions, on Reliability , vol. R-30, nr. 4, 1981.
[45] Erto, P., – New Practical Bayes Estimators for the 2 – Parameter Weibull Distributions, IEEE
Transactions, on Reliability, vol. R-31, nr. 2, 1982.
[46] Erto, P., Guida, M., – Tables for Exact Lower Confidence Limits for Reliability and Quantiles
Based on Least-Squares Estimators of We ibull Parameters, IE EE Transactions
on Reliability, vol. R-34, nr. 3, 1985.
[47] Eschmann, P., ș.a., – Ball and Roller Bearings Theory, De sign and Application, John Wiley
& Sons, Ltd., 1985.
[48] Fernlund, I., – Wechselwirkungen zwischen Strategie und technologischem Fortschritt, SKF
Kugellager – Zeitschrift , 1989.
[49] Flygare, M.E., Austin, J.A., Buckwalter, R.M., – Maximum Likelihood Estimation for the 2
Parameters Weibull Distribu tion Based in Interval – Data, IEEE Transactions
on Reliability, vol. R-34, nr. l , 1985.
[50] Frunză, Ghe., – Cercetări privind influen ța tensiunilor ini țiale asupra oboselii de contact cu
rostogolire , Rezumatul tezei de doctorat, Univ. “ Ștefan cel Mare”, Suceava,
1996.
[51] Gafițanu, M., ș.a., – Rulmen ți. Proiectare și tehnologie, vol.I și II, Ed.Tehnic ă, București,
1985.
[52] Gafițanu, M., ș.a., – Organe de ma șini, vol.I., Editura Tehnic ă, București, 1981.
[53] Gafițanu, M., ș.a., – Organe de ma șini, vol.II., Editura Tehnic ă, București, 1983.
[54] Gafițanu, M., ș.a., – Optimizarea tribosistemelor din rulmen ți, Tema A, Contract de Cercetare
Științifică nr. 4574/1988, I.P. Ia și.
[55] Gafițanu, M., ș.a., – Optimizarea proiect ării rulmen ților și creșterea performan țelor calitative
ale acestora determinate de factori de material și medii de ungere, Tema B,
Contract de Cercetare Științifica nr. 4574/1988, I.P. Ia și.
[56] Gafițanu, M., ș.a., – Corelarea factorilor de material cu apari ția și dezvoltarea fenomenului de
oboseală de contact, Tema C, Contract de Cercetare Știintifică nr. 4574/1988.
I.P. Iași.
[57] Galetto, F., – Comment on: "New Practical Bayes Es timations for the 2 Parameter Weibull
BIBLIOGRAFIE
185Distribution", IEEE Transactions on Reliability, vol. R-37, nr. 5, 1988.
[58] Gibbons, D., Vance, L.C., – A Simulation Study of Estimator s for the 2- Parameter Weibull
Distribution, IEEE Transaction on Reliability , vol. R-30, nr.1, 1981.
[59] Gibbons, D.I., Vance, L.C., – Estimators for the 2 – parame ter Weibull Distributions with
Progressively Censored Samp les, IEEE Transactions on Reliability, vol. R-32,
nr. 1, 1983.
[60] Gibra, I.N., – Probability and Statistical Inference for Scientist an d Engineers, Prentice-Hall,
Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1976.
[61] Grigoraș, Șt., – Recondi ționarea rulmen ților de dimensiuni mari. Metod ă și eficiența
economic ă. Buletinul celei de-a 7-a Conferin țe Internationale de Tribologie
ROTRIB `96, TCMM 18, Bucure ști, 1996.
[62] Gross, R., Ioannides, E., – Performance tes ting: facilities and opport unities, SKF Ball Bearing
Journal Special, 1989.
[63] Gross, A.J., Lurie, D., – Monte Carlo Comparisons of Parameter Estimations of the 2
Parameter Weibull Distribu tion, IEEE Transactions on Reliability, vol. R-26,
nr. 5, 1977.
[64] Gupta, P.K., – Advanced Dynamics of Rolling Elem ents, Spinger-Verlag , New York, Inc.,
1984.
[65] Hahn, G.J., Shapiro, S.S., – Statistical Models in Engine ering, John Wiley & Sons, Inc.,
1967.
[66] Hamrock, B.J., – Fundamentals of fluid Film L ubrication, McGrow -Hill, Inc., 1994.
[67] Hamrock, B.J., Downson, D., – Ball Bearing Lubrication, Jo hn Wiley & Sons, Inc., 1981.
[68] Harris, T.A., – Rolling Bearing Analysis, 3-rd. Editio n, John Wiley & Sons, Inc., 1991.
[69] Harter, H.L., Moore, A.H. , – An Evaluation of Expone ntial and Weibull Test Plans, IEEE
Transactions on Reliability, vol. R-25., nr. 2, 1976.
[70] Hassanein, K.M., Ehsanes Sa leh, A.K., Brown E.F., – Quantile Estimates in Complete and
Censored Samples From Extreme-Valu e and Weibull Distribution, IEEE
Transactions on Reliability, vol. R-33, nr. 5, 1984.
[71] Hastings, N.A.J., Peacock, J.B., – Statistical Distributions, John Wiley & Sons, 1975.
[72] Higgins, J.J., Tsokos, C.D., – Modified Method of Moments in Empirical Bayes Estimation,
IEEE Transactions on Reliab ility, vol. R-28 , nr.1, 1979.
[73] Ioanides, E., – Component Reliability Analysis – A Fatigue Life Mode l Common to Rolling
Bearing and Structural Components, Journal of the Society of Environmental
Engineers, 1985.
[74] Ioannides, E., Harris, T.A., – A New Fatigue Life Model fo r Rolling Bearings, Transactions
of the ASME, Journal of Tribology, vol. 107, 1985.
[75] Iosifescu, M., – Mică Enciclopedie de Statistic ă, Ed. Științifică și Enciclopedic ă, București,
1982.
[76] Isaic-Maniu, Al., – Metoda Weibull. Aplica ții, Ed. Academiei, Bucure ști, 1983.
[77] Isaic-Maniu, Al., Vod ă, V. Gh., – Fiabilitatea, șansă și risc, Ed. Tehnic ă, București, 1986.
[78] Jalobeanu, C., Rosa, I., – MathCAD. Probleme de calcul numeric și statistic, Ed.
MicroInformatica, Cluj-Napoca, 1995.
[79] Jones, G.E., – A Guided Tour of Excel 5.0, traducere în limba român ă, Ed. ALL
EDUCATIONAL, Bucure ști, 1995.
BIBLIOGRAFIE
186[80] Kaio, N., Osaki, S., – Comparisons of Point Estimation Methods in the 2 Parameter Weibull
Distribution, IEEE Transactions on Reliability, vol. R-28, nr. 3, 1979.
[81] Kececioglu, D.B., – Reliability Engineering Handbook, vol. I și II, PTR Prentice-Hall, Inc.
Englewood Cliffs, New Jersey, 1991.
[82] Kececioglu, D.B., – Reliability & Life Tes ting Handbook, vol. I, PTR Prentice-Hall, Inc.,
Englewood Cliffs, New Jersey, 1993.
[83] Kececioglu, D.B, – Reliability & Life Testing Handbook , vol. II, PTR Prentice-Hall, Inc.,
Englewood Cliffs, New Jersey, 1994.
[84] Kececioglu, D.B., – Bayesian Testing with Applications, The Univers ity of Arizona, Tucson,
1982.
[85] Kleinlein, E., – Schmierstoffe in Labor mechanisch dynamisch gepruft – Sind die Ergebnisse
auf die Praxis ubertragbor ?, FAG- Walzlagertechnik, DB 1983 -2/ 1984 -1.
[86] Kroon, A., Nutzel, H., – Bearing Steel Development, SKF Ball Bearing Journa l Special, 1989.
[87] Leemis, L., Schmeiser, B., – Random Variate Generation for Monte Carlo Experiments, IEEE
Transactions on Reliability, vol. R-34, nr. 1, aprilie, 1985.
[88] Lehman, E.H., – Shapes, Moments and Estimators of the Weibull Distribution, IEEE
Transactions on Reliability, 1963.
[89] Leman, G.H., – An Empirical Bayes Approach to Reliability, IEEE Transactions on
Reliability, vol. R-21, nr. 3, 1972.
[90] Lemon, G.H., Wattier, J.B. ,- Confidence and "A" and "B" A llowable Factors for the Weibull
Distribution, IEEE Transactions on Reliability, vol. R-25, nr.l, 1976.
[91] Lorosch, H.K., – Abgestimmte Warmebehandlung minimiert Lagerverschleit, FAG-
Walzlagertechn ik, DA 1988-2.
[92] Lorosch, H.K., – Die Lebensdauer des Walzlagers bei unterschiedlichen Lasten und
Umweltbedingungen, FAG-Walzlagertechnik, DA 1981-1.
[93] Losche, T., – New Aspects in the Realistic Predicatio n of the Fatigue Life of Rolling Bearings,
Wear, nr.134, Elsevier Sequoia, 1989.
[94] Lubrecht, A.A., Jacobson, B.O., Joannides, E., – Lundberg – Palmgren Revisited, Rolling
Element Bearings-Towards the 21st Century Mechanical Engineering
Publications Limited for the Institutio n of Mechanical En gineers, London,
1990.
[95] Mac Farland, W.J ., – Bayes’ Equation Reliability and Multiple Hypothesis Testing, IEEE
Transactions on Reliability , vol. R-21, nr.3, 1972.
[96] Mann, N.R., ș.a., – Methods for Statistical Analysis of Reliability & Life Test Data, John
Wiley & Sons, Inc., 1974.
[97] Martinescu, I., Popescu, I., – Fiabilitate, Ed. Gryphon, Bra șov, 1995.
[98] Martz, H.F., – Pooling Life – Test Data by Means of the Empirical Bayes Method, IEEE
Transactions on Reliability , vol. R-21, nr.1, 1975.
[99] Mayer, C.A ., – Tapered Roller Bearing Life Prediction and Performance for the 21st. Century,
Rolling Element Bearings – Towards the 21st Century, Mechanical
Engineering Publications Li mited for the Institution of Mechanical Engineers,
London, 1990.
[100] Mazhar, A.K.M., – A Note on the Physical Meaning of the Weibull Distribution, IEEE
Transactions on Reliability , vol. R-24, nr.l, 1975.
BIBLIOGRAFIE
187[101] McCool, J.I., – Confidence Limits for Weibull Re gression with Censored data, IEEE
Transactions on Reliability, vo l. R- 29, nr. 2, 1980.
[102] McCool, J.I., – Estimation of Weibull Parameters with Competing – Mode Censoring, IEEE
Transactions on Reliability, vol. R-25, nr. l, 1976.
[103] McCool, J.I., – Estimations of Weibull Shape Para meter for Samples of Size 2, IEEE
Transactions on Reliability, vol. R-28, nr. 2, l979.
[104] McCool, J.I., – Inference on Weibu ll percentiles and Shape Pa rameter from Maximum
Likelihood Estimates, IEEE Tr ansactions on Reliability, vol. R-19, nr. l, 1974.
[105] McCool, J.I., – Inference on Weibull Percentiles Fr om Sudden Death Tests using Maximum
Likelihood, IEEE Transac tions on Reliability, vol. R-19, nr. 4, 1974.
[106] McCool, J.I., – Multiple Comparison for Weibull Parameters, IEEE Transactions on
Reliability, vol. R-24, nr.3, 1975
[107] McCool, J.I., – Unbiased Maximum – Likelihood Estima tion of a Weibull Pe rcentiles when the
Shape Parameters is Known, IEEE Transactions on Reliability, 1969.
[108] Mihoc, Gh., Micu, M., – Teoria probabilit ăților și statistic ă matematic ă, Ed. Didactic ă și
Pedagogic ă, București, 1980.
[109] Mihoc, Gh., ș.a., – Bazele matematice ale teoriei fiabilit ății, Ed. Dacia, Cluj-Napoca, 1976
[110] Mihram, G.A, – Complete Sample Estimation Tech niques for Reparametrized Weibull
Distributions, IEEE Transaction on Reliability, vol. R- 18, nr.4, 1969.
[111] Moore, A.H., Bilikam, J.E., – Bayesian Estimation of Paramete rs of Life Distributions and
Reliability from Type II Ce nsored Samples, IEEE Tr ansactions on Reliability
vol. R-27, nr.l, 1978.
[112] Moore, A.H., Harter, H.L., – One Order Statistic Estimati on of the Scale Parameter of
Weibull Populations, IE EE Transactions on Reliability, 1965.
[113] Moore, A.H., Harter, H.L., – Point and Interval Estimation Fr om One – Order Statistic, of the
Location Parameter of on Extreme Va lue Distribution with Known Scale
Parameter and of the Scale Parameter of a Weibull Distri bution with Known
Shape Parameter, IEEE Transactions on Reliability, vol R-15, nr. 3, 1966.
[114] Morariu, C.O., – Stadiul actual al cercet ărilor privind durabilitatea și fiabilitatea rulmen ților,
Referatul nr. 1 pentru doctorat, Univ. “Transilvania” din Bra șov, 1997.
[115] Morariu, C.O., – Contribu ții teoretice privind estimarea durabilit ății și fiabilității rulmenților,
Referatul nr. 2 pentru doctorat, Univ. “Transilvania” din Brasov, 1997.
[116] Morariu, C.O., – Rezultate experimentale și simulate. Concluzii, Referatul nr. 3 pentru
doctorat, Univ. “Transilvania” din Bra șov, 1997.
[117] Morariu, C.O., Popescu, I., – Simularea încerc ărilor de fiabilitate/d urabilitate a rulmen ților
prin metoda Monte – Carlo, Simpozionul Na țional de Asigurarea Calit ății și
Fiabilității, Ediția a III – a, Bucure ști, 1992.
[118] Morariu, C.O., Popescu, I., – Cercet ări comparative privind es timarea indicatorilor de
fiabilitate a rulmen ților, în func ție de planul de încercare, Simpozionul
Național de Fiabilitate și Asigurarea Calit ății, Ediția a IV – a, Bucure ști, 1993.
[119] Morariu, C.O., Popescu, I., – Simularea încerc ărilor de fiabilitate a rulmen ților, Buletinul
Simpozionului TEHNOMUS VII – “Tehnologii și produse noi în construc ția
de mașini:, Univ. “ Ștefan cel Mare”, Suceava, 1993.
[120] Morariu, C.O., Popescu, I., – Încerc ări de fiabilitate/dur abilitate la rulmen ți. Studiul
posibilităților de optimizare, Buletinul Sesiunii Jubiliare de Comunic ări
BIBLIOGRAFIE
188Stiințifice “Tendin țe actuale și de perspectiv ă în fabrica ția de rulmen ți”, S.C.
Rulmentul – S.A., Bra șov, 1994.
[121] Morariu, C.O., Popescu, I., – Utilizarea estimat orilor de tip BLUE și BLIE pentru
determinarea caracteristic ilor de fiabilitate a rulmen ților, Buletinul Sesiunii
Jubiliare de Comunic ări Științifice “Tendin țe actuale și de perspectiv ă în
fabricația de rulmen ți”, S.C. Rulmentul – S.A., Bra șov, 1994.
[122] Morariu, C.O., Popescu, I., – Noi modalit ăți de estimare a parametrului de loca ție Weibull,
Q-REINGINERIA 2000, Simpozionul Na țional de Fiabilitate și Asigurarea
Calității, Ediția a VII – a, Bucure ști, 1996.
[123] Morariu, C.O., Popescu, I., – Metodă de proiectare optimizat ă a încercărilor de fiabilitate a
rulmenților, Buletinul celui de -al VI-lea Simpozion Na țional cu participare
internațională “PRASIC ’98”, Univ. “Transilvania” din Bra șov, Brașov, 1998.
[124] Morariu, C.O., Popescu, I., – Noi metode de specificare complet ă a reparti țiilor apriorice
utilizate în tehnicile bayesiene de es timare a parametrilor modelului Weibull,
Buletinul celui de-a l VI-lea Simpozion Na țional cu participare interna țională
“PRASIC ’98”, Univ. “Transilvania” din Bra șov, Brașov, 1998.
[125] Morariu, C.O., – Optimizarea metodologiei de încerc ări de fiabilitate a rulmen ților la sarcini
exterioare constante, Contract MCT nr. 675C / 1992.
[126] Morariu, C.O., – Cercetări privind încerc ările de fiabilitate a rulmen ților. Utilizarea metodei
liniei defectelor primare și a estimatorilor liniari, Contract MCT nr. 97B/1995.
[127] Morariu, C.O., – Studii și cercetări privind procedurile de certificare a rulmen ților prin
laboratoare acred itate, Contract MCT nr. 24 / 1996.
[128] Moțoiu, R., – Ingineria Calit ății, Ed. Chiminform DATA S.A., Bucure ști, 1994.
[129] Nakagava, T., Yoda, H., – Relationships Among Distributions, IEEE Transactions on
Reliability, vol. R- 26, nr. 5, 1977.
[130] Newby, M., – Properties of Moment Estimators for the 3-Parameter Weibull Distribution,
IEEE Transactions on Reliability , vol. R-33, nr. 2, 1984.
[131] Nițu, V.I., Ionescu , C., – Fiabilitate în energetic ă, Ed. Didactic ă și Pedagogic ă, Bucure ști,
1980.
[132] Nylander, J.E., – Statistical Distribution in Reliability , IRE Transactions on Reliability and
Quality Control, 1962.
[133] Oprean, A., – Fiabilitatea ma șinilor unelte , Ed. Tehnic ă, București, 1979.
[134] Papadopulos, A.S., Tsokos, C.P., – Bayesian Confidence Boun ds for the Weibull Failure
Model, IEEE Transactio ns on Reliability, vol. R-24, nr. l, 1975.
[135] Popescu, I., ș.a, – Fiabilitate. Bazele teoretice, Univ. "Transilvania" din Bra șov, 1993.
[136] Popescu, I., – Bazele cercet ării experimentale în tehnologia construc țiilor de ma șini.
Universitatea "Tra nsilvania", Bra șov, 1986.
[137] Popescu, I., – Bearing Life and Reliability, The Univer sity of Arizona, Tucson, Arizona, 1976.
[138] Popescu, I., ș.a., – Testarea fiabilit ății rulmen ților prin metoda liniei de fectelor primare, în
Buletinul celei de a VII-a sesiuni de comunic ări tehnico-stiin țifice, CIT –
CCSIT, Bra șov, 1979.
[139] Popinceanu, N., ș.a., – Problemele fundamentale ale contactului cu rostogolire, Ed.Tehnic ă,
București, 1985.
[140] Rao Tummala, V.M., – Minimum Expected Loss Estimators of Reliability and Parameters of
Certain Lifetime Distributions, IEEE Tran sactions on Reliability, vol. R 27, nr.
BIBLIOGRAFIE
1894, 1978.
[141] Reshetov, D.N., ș.a, -Mashiny i stendy dlia ispytaniia detalei, Maschino stroenie, Moskva,
1979.
[142] Ringer, L.J., Sprinkle, E.E .- Estimation of the Parameters of the Weibull Distribution from
Multicensored Samples, I EEE Transactions on Re liability, vol. R-21, nr.
1,1972.
[143] Săvescu, D., Crudu, I., – Unele rezultate experimentale ob ținute în cazul contactului pe
tribosisteme cu rost ogolire, Buletinul celei de-a 7-a Conferin țe Internationale
de Tribologie, ROTRIB `96 – TCMM 18, Bucure ști, 1996.
[144] Scheiber, E., Lix ăndroiu, D., – MathCAD. Prezentare și probleme, Ed. Tehnic ă, București,
1994.
[145] Scheuer, E.M., – Generating Random Variables Having Sp ecified Failure Rate Function, IEEE
Transactions on Reliability, vo l. R-18, februarie, 1969.
[146] Shelmutt, J.W., Moore, A.H., Harter, H.L., – Linear Estimation of the Scale Parameter of
the First Asymptotic Distribution of Ex treme Values, IEEE Transactions on
Reliability. vol. R- 22, nr. 5, 1973.
[147] Singpurwalla, N.D., Song, M.S., – Reliability Analysis usi ng Weibull Lifetime Data and
Expert Opinion , IEEE Tr ansactions on Reliability, vol. R-37, nr. 3, 1988.
[148] Sinha, S.K., Sloan, J.A., – Bayes estimation of the Paramete rs and Reliability Function of the
3 – Parameter Weibull Distri bution, IEEE Transactions on Reliability, vol. 37,
nr. 4, 1988.
[149] Smith, D.J., – Reliability and Maintainab ility in Perspective, Ma cMillam Publishers, 1985.
[150] Snare, B., – Neuere Erkenntnisse uber die Zuverlassigkeit won Walzlagern, SKF Kugellager
Zeitschrift, nr. 162, 1969.
[151] Soland, R.M., – Bayesian Analysis of the Weibull Pr ocess with Unknown Scale Parameter and
Its Application to Accepta nce Sampling, IEEE Tran sactions on Reliability,
vol. R-17, nr. 2, 1968.
[152] Soland, R.M., – Bayesian Analysis of the Weibull Process with Unknown Scale and Shape
Parameters, IEEE Transactions on Re liability, vol. R-18, nr. 4, 1969.
[153] Stone, G.C., Rosen, H., – Some Graphical Techniques fo r Estimating Weib ull Confidence
Intervals, IEEE Transactions on Reliability, vol. R-33, nr. 5, 1984.
[154] Strauss, B.M., – Fault Tree Analysis of Bearing Fa ilures, Lubrication Engineering, 1984.
[155] Tallian, T.E., – Rolling Bearing Life Prediction Corr ections for Material and Operating
Conditions. Part I: Genera l Model and Basic Life, Transactions of the ASME,
2/vol. 110, ian., 1988.
[156] Târcolea, C., ș.a., – Tehnici actuale în teoria fiabilit ății, Ed. Științifică și Enciclopedic ă
București, l989.
[157] Taub, T.W., – Minimizing Life Test Costs , IEEE Transactions on Re liability, vol. R-20, mai,
1971.
[158] Tillman, F.A, Kuo, A., Hwang, C.L., Grosh, D.L. – Bayesian Reliability and Availability- A
Review, IEEE Transactio ns on Reliability, vol. R- 31, nr. 4, 1982.
[159] Vodă, V.Gh., – Controlul durabilit ății produselor industriale, Ed. Tehnic ă, București, 1981.
[160] Vodă, V.Gh., – Noi modele statisti ce în studiul durabilit ății produselor, Ed. Academiei,
București, 1980.
[161] Wiener, U., ș.a., – Aplicații ale retelelor prob abiliste în tehnic ă, Ed. Tehnic ă, București, 1983.
BIBLIOGRAFIE
190[162] Wingo, D.R., – Maximum Likelihood Estimation of the Pa rameters of the Weibull Distribution
by Modified Quasilinearization, IEEE Tr ansactions on Reliability, vol. R-21,
nr. 2, 1972.
[163] Wingo, D.R., – Solution of the Three Pa rameter Weibull Equations by Constrained Modified
Quasilinearization (Progressively Censor ed Samples), IEEE Transactions on
Reliability, vol. R- 22, nr. 2, 1973.
[164] Wuttkowski, J.G., Ioannides , E., – Die nene Lebensdauertheorie und ihre Auswirkungen fur
die Praxis, SKF Kugellage r – Zeitschrift, 1989.
[165] IRS, OID-ICM , – Rulmen ți. Culegere de standarde comentate CSCM-R2, vol.I și II, Bucure ști,
1994.
[166] OID-DICM , – SAC – SQ. Procedura cad ru SAC 2.6, Metodologia de determinare a fiabilit ății
previzionale.
[167] OID-DICM , – SAC – SQ. Procedura cadru SAC 11.2, Metodologia cadru de determinare a
fiabilității operaționale.
[168] OCIR – Metoda unic ă nr.14/6 -V – pentru încerc ările comparative acceler ate la durabilitate ale
rulmenților de uz general, cu estimarea durabilit ății de baz ă, prin metoda
verosimilit ății maxime, 1988.
[169] FAG – Standard Programme, Catalogue WL 41 510/3 EA, 1992.
[170] FAG – Montage et Demontage de Roulements, FAG Kugelfischer Georg Schafer KGaA,
nr.WL 80100/2 FA, 1989.
[171] FAG – Schmierung von Walzlagern, FAG OEM und Handell AG, nr. WL 81 115/4 DA, 1996.
[172] FAG – Walzlagerschaden. Schadenserkennung und Begutachtung gelanfener Walzlager, FAG
OEM und Handell AG, nr. WL 82 102/2 DA, 1996.
[173] INA – Kugellager Gehauseeinheiten Katalog 517, 1997.
[174] KOYO – Deterior ările rulmen ților și cauzele lor. KOYO, 1974.
[175] KOYO – Diagnoza rulmen ților, 1982.
[176] SKF – Bearing Maintenance and Replacem ent Guide, Catalog 3600E, 1986.
[177] SKF – Catalogue general 400/IF, 1992.
[178] SKF – Rulmenți. Manual de între ținere. Publica ția 4100E, 1997.
[179] URB – Catalog General de Rulmenti, nr. 7195.
[180] BS 5760: Part 0…4:1986 – Reliability of constructed or manufactured products, systems,
equipments, and components.
[181] ISO 281/1 : 1991 – Dynamic Load Ratings and Ra ting Life. Calculation methods .
[182] ISO/ TR 8646: 1984 – Notes explicatives sur l’ ISO 281/1: 1977.
[183] NIR 002-1979 – Rulmenți. Încercări de fiabilitate. Condi ții generale.
[184] SR ISO 281: 1994 – Rulmen ți. Sarcini dinamice de baz ă și durabilitatea nominal ă.
[185] SR ISO 3534-1:1996 – Statistică-vocabular și simboluri. Partea 1: Termeni de teoria
probabilit ăților și statistică generală.
[186] STAS 10307-75 – Fiabilitatea produselor indust riale. Indicatori de fiabilitate.
[187] STAS 11305-80 – Rulmen ți. Terminologie.
[188] STAS 11306 -80 – Rulmen ți . Simbolurile caracter isticilor dimensionale și funcționale.
BIBLIOGRAFIE
191[189] STAS 12007/1-81 – Încercarea de fiabilitate a echipamentelor. Prescrip ții generale.
[190] STAS 12689-88 – Tehnici de analiz ă a fiabilității sistemelor. Analiza modului de defectare și a
efectelor defect ărilor.
[191] STAS 1679-88 – Rulmen ți. Simbolizare.
[192] STAS 2872/1-86 – Prelucrerea rezultatelor m ăsurătorilor. Terminologie și reguli generale
pentru prezenta rea rezultatelor.
[193] STAS 7122/1-86 – Interpretarea statistic ă a datelor. Re guli generale.
[194] STAS 8174/1…3 – 86 – Fiabilitate, mentenabilitate și disponibilitate. Terminologie.
[195] *** – MathCAD, Version 4.0, User’s Guide, MathSoft Inc., Cambrige, MA, USA.
[196] *** – Mică enciclopedie matematic ă, Ed. Tehnic ă, București, 1980.
[197] *** – Proiectul RSC, privind utilizarea me todei verosimilitatii maxime, la estimarea
durabilității nominale, în urma încerc ării rulmen ților, VUVL – Brno, 1974.
[198] *** – Rolling Bearing and their C ontribution to the Progre ss of Technology, FAG
Kugelfischer Georg Schofe r KGaA, Schweifurt, 1986.
UNIVERSITATEA DIN BRA ȘOV
FACULTATEA INGINERIE TEHNOLOGIC Ă
CATEDRA TEHNOLOGIA CONSTRUC ȚIILOR DE MA ȘINI
ing. Cristin-Olimpiu MORARIU
OPTIMIZAREA ÎNCERC ĂRILOR DE
FIABILITATE A RULMEN ȚILOR
ANEXE
Conducător științific:
Prof. dr. ing. Ion POPESCU
1999
ANEXE
CUPRINS
Anexa A:
Pachet pentru aplica ții MathCAD pentru simularea
încercărilor de fiabilitate a rulmen ților
Anexa B: Aplicație MathCAD pentru proiectarea optimizat ă a
planurilor de încerc ări cenzurate
Anexa C: Aplicație MathCAD pentru estimarea modelului
repartiției triparametrice Weibull
Anexa D: Cuantilele variabilelor aleatorii specifice reparti ției
Weibull
Anexa E: Aplicație MathCAD pentru es timarea parametrilor și
indicatorilor de fiabilitate ai rulmen ților
Anexa F: Pachet de aplica ții MathCAD pentru calculul
estimațiilor bayesiene propriu-zise și a estima țiilor
bayesiene de tip MELO.
Anexa A
Pachet de aplica ții MathCAD pentru simularea încerc ărilor
de fiabilitate a rulmen ților
CUPRINS
Anexa A.1 Program de simulare a încerc ărilor de fiabilitate cenzurate, cu
estimarea parametrilor prin metoda verosimilit ății maxime
Anexa A.2 Program de simulare a încerc ărilor de fiabilitate cenzurate, cu
estimarea parametrilor utilizând estimatorii liniari BLIE
Anexa A.3 Program de simulare a încerc ărilor de fiabilitate efectuate prin
metoda liniei defectelor primare, cu estimarea parametrilor
prin metoda verosimilit ății maxime
Anexa A.4 Program de simulare a încerc ărilor de fiabilitate efectuate prin
metoda liniei defectelor primare și utilizarea estimatorilor
liniari tip BLIE
Anexa A.1
r5:=
c)Generarea aleatorie a esantioanelor Weibull, de tip cenzurat (n/r):
c.1.)Matricea numerelor aleatoare Weibull ( W):
W READPRN "MATM.prn" () :=
c.2.)Volumul maxim al esantioanelor simuate( nmax):
nmax rows W ():= ===> nmax 25=
c.3.)Numarul esantioanelor simulate( nes):
nes cols W ():= ===> nes 1 104×=
c.4.)Formarea esantioanelor analizate – de volum impus ( n):
s1 n..:= q 1 1000..:= Dsq,Wsq,:=
d) Estimarea parametrilor pentru esantioanele simulate:
d.1.) Metoda de estimare utilizata: METODA VEROSIMILITATII MAXIME
d.2.)Obtinerea sirului statisticilor de ordine pentru esantioanele
simulate:
dq〈〉
sort Dq〈〉⎛⎝⎞⎠ :=Programul:SIMMVM.MCD
PROGRAM DE SIMULARE A INCERCARILOR DE
FIABILITATE CENZURATE, CU ESTIMAREA
PARAMETRILOR PRIN METODA VEROSIMILITATII
MAXIME
ORIGIN 1≡
a) Modelul utilizat:
a.1)Repartitia Weibull ( β=1; η=1): t1 5..:=
β 1.0:=
η 1.0:=
Ft( ) 1 exp t −()−:= ,
a.2)Cuantilele repartitiei analizate:
L10 ln1
1 0.1−⎛⎜⎝⎞⎟⎠1
β
η⋅ := ===> L10 0.1053605157=
L50 ln1
1 0.5−⎛⎜⎝⎞⎟⎠1
β
η⋅ := ===> L50 0.6931471806=
b)Caracteristicile esantioanelor simulate:
b.1)Volumul esantionului utilizat ( n): n1 0:=
b.2)Nivelul de cenzurare ( r):
A.1 – 1
Anexa A.1
f) Determinarea cuantilelor variabilelor aleatorii specifice
incercarilor simulate:u2qβeqlnLe50q
L50⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:=e.4.) Cazul cuantilei 50% – u(n;r;0,50)=u 2(n,r):u1qβeqlnLe10q
L10⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:=e.3.) Cazul cuantilei 10% – u(n;r;0,10)=u 1(n,r):kqβeqlnηeq
η⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:=e.2.) Cazul parametrului de scala k(n,r):WRITEPRN "v10_5.prn" () v := vqβeq
β:=e.1.) Cazul parametrului de forma v(n,r):e) Calculul valorilor variabilelor aleatorii specifice incercarilor
simulate: Le50qln1
1 0.5−⎛⎜⎝⎞⎟⎠1
βeq
ηeq⋅ :=IV) Calculul valorilor estimate ale cuantilei 50%:Le10qln1
1 0.1−⎛⎜⎝⎞⎟⎠1
βeq
ηeq⋅ :=III) Calculul valorilor estimate ale cuantilei 10%:ηeq1
r
kdq〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦βeq
∑nr−() dq〈〉⎛⎝⎞⎠r⎡
⎣⎤
⎦βeq
⋅+⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦⋅⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦1
βeq
:=II) Calculul valorilor estimate ale parametrului de
forma ( η):βeqroot hβ1q,()β1, ():=β1 0.5:= – solutia initiala:TOL 0.00001:= – precizia de rezolvare a ecuatiei:hβq,()kdq〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦β
ln dq〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦⋅∑nr−() dq〈〉⎛⎝⎞⎠r⎡
⎣⎤
⎦β
⋅ ln dq〈〉⎛⎝⎞⎠r⎡
⎣⎤
⎦⋅ +
kdq〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦β
∑nr−() dq〈〉⎛⎝⎞⎠r⎡
⎣⎤
⎦β
⋅+1
β−1
r
kln dq〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦∑⋅− :=k1 r..:=I) Rezolvarea iterativa a ecuatiei de verosimilitate
care contine valoarea parametrului de forma ( β): d.3.) Estimarea parametrilor repartitiei Weibull prin metoda
verosimilitatii maxime:
A.1 – 2
Anexa A.1
WRITEPRN "cu210_5.prn" ( ) cuau2 := g.4) Cazul statisticii u(n;r;0,50)=u 2(n,r):WRITEPRN "cu110_5.prn" ( ) cuau1 := g.3) Cazul statisticii u(n;r;0,10)=u 1(n,r):WRITEPRN "ck10_5.prn" ( ) cuak := g.2) Cazul statisticii k(n,r):WRITEPRN "cv10_5.prn" ( ) cuav := g.1) Cazul statisticii v(n,r):g) Scrierea fisierelor ASCII care contin valorile estimate ale
cuantilelor variabilelor aleatorii specifice incercarilor simulate:cuau2length p ()1+mean U2 ():=cuau2sU2
psg
100⋅⎛⎜⎝⎞⎟⎠:= U2 sort u2 ():=f.4.) Cazul cuantilei 50% – u(n;r;0,50)= u2(n,r):cuau1length p ()1+mean U1 ():=cuau1sU1
psg
100⋅⎛⎜⎝⎞⎟⎠:= U1 sort u1 ():=f.3.) Cazul cuantilei 10% – u(n;r;0,10)= u1(n,r):cuaklength p ()1+mean K ():=cuaksK
psg
100⋅⎛⎜⎝⎞⎟⎠:= K sort k ():=f.2.) Cazul parametrului de scala k(n,r):cuavlength p ()1+mean V ():= cuavsV
psg
100⋅⎛⎜⎝⎞⎟⎠:=g length V ():= V sort v ():=f.1.) Cazul parametrului de forma v(n,r):s 1 length p ()..:= p READPRN "CUA1.prn" () :=
A.1 – 3
Anexa A.2
r5:=
c)Generarea aleatorie a esantioanelor Weibull, de tip cenzurat (n/r):
c.1.)Matricea numerelor aleatoare Weibull ( W):
W READPRN "MATM.prn" () :=
c.2.)Volumul maxim al esantioanelor simuate( nmax):
nmax rows W ():= ===> nmax 25=
c.3.)Numarul esantioanelor simulate( nes):
nes cols W ():= ===> nes 1 104×=
c.4.)Formarea esantioanelor analizate – de volum impus ( n):
s1 n..:= q 1 1000..:= Dsq,Wsq,:=
d) Estimarea parametrilor pentru esantioanele simulate:
d.1.) Metoda de estimare utilizata: METODA ESTIMATORILOR LINIARI
TIP BLIE
d.2.)Obtinerea sirului statisticilor de ordine pentru esantioanele
simulate:
dq〈〉
sort Dq〈〉⎛⎝⎞⎠ :=Programul :SIMBLIE.MCD
PROGRAM DE SIMULARE A INCERCARILOR DE
FIABILITATE CENZURATE, CU ESTIMAREA
PARAMETRILOR UTILIZAND ESTIMATORII LINIARI TIP
BLIE
ORIGIN 1≡
a)Modelul utilizat:
a.1.)Repartitia Weibull ( β=1; η=1): t1 5..:=
β 1.0:=
η 1.0:=
Ft( ) 1 exp t −()−:= ,
a.2.)Cuantilele repartitiei analizate:
L10 ln1
1 0.1−⎛⎜⎝⎞⎟⎠1
β
η⋅ :====> L10 0.1053605157=
L50 ln1
1 0.5−⎛⎜⎝⎞⎟⎠1
β
η⋅ :====> L50 0.6931471806=
b)Caracteristicile esantioanelor simulate:
b.1.)Volumul esantionului utilizat ( n):
n1 0:=
b.2.)Nivelul de cenzurare ( r):
A.2 – 1
Anexa A.2
s 1 length p ()..:= p READPRN "CUA1.prn" () :=f) Determinarea cuantilelor variabilelor aleatorii specifice
incercarilor simulate:v2qβeqlnLe50q
L50⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:=e.4.) Cazul cuantilei 50% – v(n;r;0,50)=v 2(n;r):v1qβeqlnLe10q
L10⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:=e.3.) Cazul cuantilei 10% – v(n;r;0,10)=v 1(n;r):zqβeqlnηeq
η⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:=e.2.) Cazul parametrului de scala z(n;r):WRITEPRN "w10_5.prn" () w := wqβeq
β:=e.1.) Cazul parametrului de forma w(n;r):e) Calculul valorilor variabilelor aleatorii specifice incercarilor
simulate: Le50qln1
1 0.5−⎛⎜⎝⎞⎟⎠1
βeq
ηeq⋅ :=IV) Calculul valorilor estimate ale cuantilei 50%:Le10qln1
1 0.1−⎛⎜⎝⎞⎟⎠1
βeq
ηeq⋅ :=III) Calculul valorilor estimate ale cuantilei 10%:βeq1
kln dq〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦εkn+⋅⎡
⎣⎤
⎦ ∑:=ηeqexp
kln dq〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦αk⋅⎡
⎣⎤
⎦∑⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦:= k1 r..:=II) Calculul valorilor estimate ale parametrului de
forma ( β) si ale celui de scala ( η):εBr1−〈〉
:=- valorile coeficientilor pentru estimarea
parametrului de scala ( η):α Br1−〈〉
:=- valorile coeficientilor pentru estimarea
parametrului de forma ( β):B READPRN "BLIE10.prn" () :=I) Alegerea coeficientilor de tip BLIE corespunzatori
incercarii simulate – (n,r): d.3.) Estimarea parametrilor repartitiei Weibull prin metoda
estimatorilor liniari tip BLIE:
A.2 – 2
Anexa A.2
WRITEPRN "cv210_5.prn" ( ) cuav2 := g.1.) Cazul statisticii v(n;r;0,50)=v 2(n;r):WRITEPRN "cv110_5.prn" ( ) cuav1 := g.1.) Cazul statisticii v(n;r;0,10)=v 1(n;r):WRITEPRN "cz10_5.prn" ( ) cuaz := g.1.) Cazul statisticii z(n;r):WRITEPRN "cw10_5.prn" ( ) cuaw := g.1.) Cazul statisticii w(n;r):g) Scrierea fisierelor ASCII care contin valorile estimate ale
cuantilelor variabilelor aleatorii specifice incercarilor simulate:cuav2length p ()1+mean V2 ():=cuav2sV2
psg
100⋅⎛⎜⎝⎞⎟⎠:= V2 sort v2 ():=f.4.) Cazul cuantilei 50% – v(n;r;0,50)=v 2(n;r):cuav1length p ()1+mean V1 ():=cuav1sV1
psg
100⋅⎛⎜⎝⎞⎟⎠:= V1 sort v1 ():=f.3.) Cazul cuantilei 10% – v(n;r;0,10)=v 1(n;r):cuazlength p ()1+mean Z ():=cuazsZ
psg
100⋅⎛⎜⎝⎞⎟⎠:= Z sort z ():=f.2.) Cazul parametrului de scala z(n;r):cuawb1
cwb:= b 1 length p () 1+ ..:=cwlength p ()1+mean W ():= cwsW
gpsg
100⋅−⎛⎜⎝⎞⎟⎠:=g length W ():= W sort w ():=f.1.) Cazul parametrului de forma w(n,r):
A.2 – 3
Anexa A.3
b.3.)Volumul grupelor ( m):
mn
l:====> m3=
c)Generarea aleatorie a esantioanelor Weibull – pentru cazul
incercarilor prin METODA LINIEI DEFECTELOR PRIMARE – (l/m):
c.1.)Matricea numerelor aleatoare Weibull ( W1):
W1 READPRN "MATM.prn" () :=
c.2.)Volumul maxim al esantioanelor simuate( nmax):
nmax rows W1 ():= ===> nmax 25=
c.3.)Numarul esantioanelor simulate( nes):
nes cols W1 ():= ===> nes 1 104×= nes 1000:=
c.4.)Formarea esantioanelor analizate – de volum impus ( n):
s1 n..:= j 1 nes..:= Dsj,W1sj,:=
c.5.)Impartirea lotului de volum n, in cele l grupe:Programul :SIMMVMSDT.MCD
PROGRAM DE SIMULARE A INCERCARILOR DE
FIABILITATE EFECTUATE PRIN METODA LINIEI
DEFECTELOR PRIMARE, CU ESTIMAREA
PARAMETRILOR PRIN METODA VEROSIMILITATII
MAXIME
ORIGIN 1≡
a)Modelul utilizat:
a.1.)Repartitia Weibull ( β=1; η=1): t1 5..:= β 1.0:= η 1.0:=
Ft( ) 1 exp t −()−:= ,
a.2.)Cuantilele repartitiei analizate:
L10 ln1
1 0.1−⎛⎜⎝⎞⎟⎠1
β
η⋅ :====> L10 0.1053605157=
L50 ln1
1 0.5−⎛⎜⎝⎞⎟⎠1
β
η⋅ :====> L50 0.6931471806=
b)Caracteristicile esantioanelor simulate:
b.1.)Volumul esantionului utilizat ( n):
n1 5:=
b.2.)Numarul de grupe in care se imparte aleator lotul de
rulmenti ( l):
l5:=
A.3 – 1
Anexa A.3
e.1.) Cazul parametrului de forma v(l;l):e) Calculul valorilor variabilelor aleatorii specifice incercarilor
simulate: Le50qln1
1 0.5−⎛⎜⎝⎞⎟⎠1
βeq
ηeq⋅ :=IV) Calculul valorilor estimate ale cuantilei 50%:Le10qln1
1 0.1−⎛⎜⎝⎞⎟⎠1
βeq
ηeq⋅ :=III) Calculul valorilor estimate ale cuantilei 10%:ηeq1
l
kdq〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦βeq
∑⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦⋅⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦1
βeq
:=II) Calculul valorilor estimate ale parametrului de
forma ( η):βeqroot hβ1q,()β1, ():=β1 0.5:= – solutia initiala:TOL 0.00001:= – precizia de rezolvare a ecuatiei:hβq,()kdq〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦β
ln dq〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦⋅∑
kdq〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦β
∑1
β−1
l
kln dq〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦∑⋅− :=k1 l..:=I) Rezolvarea iterativa a ecuatiei de verosimilitate
care contine valoarea parametrului de forma ( β): d.3.) Estimarea parametrilor repartitiei Weibull prin metoda
verosimilitatii maxime: dq〈〉
sort W5q〈〉⎛⎝⎞⎠ :=d.2.)Obtinerea sirului statisticilor de ordine pentru esantioanele
simulate:d.1.) Metoda de estimare utilizata: METODA VEROSIMILITATII MAXIMEd) Estimarea parametrilor pentru esantioanele simulate:W5iq,W41l q1−()⋅ i1−()+ 1+ ,:= q 1 nes..:=i1 l..:=c.7)Formarea esantioanelor analizate:W41j,min W3j〈〉⎛⎝⎞⎠ :=c.6.)Determinarea timpilor de cadere pentru linia defectelor
primare:W3qj,W2j1−() m⋅ q1−()+ 1+:= j 1 nes l ⋅..:= q1 m..:=W2nj1−()⋅ s1−()+ 1+Dsj,:=
A.3 – 2
Anexa A.3
cuaslength p ()1+mean S ():=
f.3.) Cazul cuantilei 10% – q(l;m;0,10)= q1(l,m):
Q1 sort q1 ():= cuaq1hQ1
phg
100⋅⎛⎜⎝⎞⎟⎠:=
cuaq1length p ()1+mean Q1 ():=
f.4.) Cazul cuantilei 50% – q(l;m;0,50)= q2(l,m):
Q2 sort q2 ():= cuaq2hQ2
phg
100⋅⎛⎜⎝⎞⎟⎠:=
cuaq2length p ()1+mean Q2 ():=
g) Scrierea fisierelor ASCII care contin valorile estimate ale
cuantilelor variabilelor aleatorii specifice incercarilor simulate:
g.1.) Cazul statisticii v(l,l): WRITEPRN "cv15_5.prn" ( ) cuav :=
g.2.) Cazul statisticii s(l,m): WRITEPRN "cs15_5.prn" ( ) cuas :=
g.3.) Cazul statisticii q(l;m;0,10)= q1(l,m): WRITEPRN "cq115_5.prn" ( ) cuaq1 :=
g.4.) Cazul statisticii q(l;m;0,50)= q2(l,m): WRITEPRN "cq215_5.prn" ( ) cuaq2 :=vqβeq
β:= WRITEPRN "V15_5.prn" () v :=
e.2.) Cazul parametrului de scala s(l,m):
sqβeqlnηeqm1
βeq⋅
η⎛
⎜
⎜
⎜
⎝⎞
⎟
⎟
⎟
⎠⋅:=
e.3.) Cazul cuantilei 10% – q(l;m;0,10)= q1(l,m):
q1qβeqlnLe10qm1
βeq⋅
L10⎛⎜
⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟
⎟⎠⋅:=
e.4.) Cazul cuantilei 50% – q(l;m;0,50)= q2(l,m):
q2qβeqlnLe50qm1
βeq⋅
L50⎛⎜
⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟
⎟⎠⋅:=
f) Determinarea cuantilelor variabilelor aleatorii specifice
incercarilor simulate:
p READPRN "CUA1.prn" () := h 1 length p ()..:=
f.1.) Cazul parametrului de forma v(l,l):
V sort v ():= g length V ():=
cuavhV
phg
100⋅⎛⎜⎝⎞⎟⎠:= cuavlength p ()1+mean V ():=
f.2.) Cazul parametrului de scala s(l,m):
S sort s ():= cuashS
phg
100⋅⎛⎜⎝⎞⎟⎠:=
A.3 – 3
Anexa A.4
mn
l:====> m4=
c)Generarea aleatorie a esantioanelor Weibull – pentru cazul
incercarilor prin METODA LINIEI DEFECTELOR PRIMARE – (l/m):
c.1.)Matricea numerelor aleatoare Weibull ( W1):
W1 READPRN "MATM.prn" () :=
c.2.)Volumul maxim al esantioanelor simuate( nmax):
nmax rows W1 ():= ===> nmax 25=
c.3.)Numarul esantioanelor simulate( nes):
nes cols W1 ():= ===> nes 1 104×= nes 1000:=
c.4.)Formarea esantioanelor analizate – de volum impus ( n):
s1 n..:=
j 1 nes..:= Dsj,W1sj,:=
c.5.)Impartirea lotului de volum n, in cele l grupe:
W2nj1−()⋅ s1−()+ 1+Dsj,:=Programul :SIMBLIESDT.MCD
PROGRAM DE SIMULARE A INCERCARILOR DE
FIABILITATE, EFECTUATE PRIN METODA LINIEI
DEFECTELOR PRIMARE, SI UTILIZAREA
ESTIMATORILOR LINIARI TIP BLIE
ORIGIN 1≡
a)Modelul utilizat:
a.1.)Repartitia Weibull ( β=1; η=1): t1 5..:= β 1.0:= η 1.0:=
Ft( ) 1 exp t −()−:= ,
,a.2.)Cuantilele repartitiei analizate:
L10 ln1
1 0.1−⎛⎜⎝⎞⎟⎠1
β
η⋅ :====> L10 0.1053605157=
L50 ln1
1 0.5−⎛⎜⎝⎞⎟⎠1
β
η⋅ :====> L50 0.6931471806=
b)Caracteristicile esantioanelor simulate:
b.1.)Volumul esantionului utilizat ( n):
n2 0:=
b.2.)Numarul de grupe in care se imparte aleator lotul de
rulmenti ( l):
l5:=
b.3.)Volumul grupelor ( m):
A.4 – 1
Anexa A.4
e.1.) Cazul parametrului de forma w(l;l):e) Calculul valorilor variabilelor aleatorii specifice incercarilor
simulate: Le50qln1
1 0.5−⎛⎜⎝⎞⎟⎠1
βeq
ηeq⋅ :=IV) Calculul valorilor estimate ale cuantilei 50%:Le10qln1
1 0.1−⎛⎜⎝⎞⎟⎠1
βeq
ηeq⋅ :=III) Calculul valorilor estimate ale cuantilei 10%:βeq1
kln dq〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦εkl+⋅⎡
⎣⎤
⎦ ∑:=ηeqexp
kln dq〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦αk⋅⎡
⎣⎤
⎦∑⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦:=k1 l..:=II) Calculul valorilor estimate ale parametrului de
forma ( β) si ale celui de scala ( η):εBl1−〈〉
:=- valorile coeficientilor pentru estimarea
parametrului de scala ( η):α Bl1−〈〉
:=- valorile coeficientilor pentru estimarea
parametrului de forma ( β):B READPRN "BLIE5.prn" () :=I) Alegerea coeficientilor de tip BLIE corespunzatori
incercarii simulate (N,r): d.3.) Estimarea parametrilor repartitiei Weibull prin metoda
estimatorilor liniari tip BLIE: dq〈〉
sort W5q〈〉⎛⎝⎞⎠ :=d.2.)Obtinerea sirului statisticilor de ordine pentru esantioanele
simulate:d.1.) Metoda de estimare utilizata: METODA ESTIMATORILOR LINIARI
TIP BLIEd) Estimarea parametrilor pentru esantioanele simulate:W5iq,W41l q1−()⋅ i1−()+ 1+ ,:= q 1 nes..:=i1 l..:=c.7)Formarea esantioanelor analizate:W41j,min W3j〈〉⎛⎝⎞⎠ :=c.6.)Determinarea timpilor de cadere pentru linia defectelor
primare:W3qj,W2j1−() m⋅ q1−()+ 1+:= j 1 nes l ⋅..:= q1 m..:=
A.4 – 2
Anexa A.4
cuashS
phg
100⋅⎛⎜⎝⎞⎟⎠:=
cuaslength p ()1+mean S ():=
f.3.) Cazul cuantilei 10% – q(l;m;0,10)=q 1(l;m):
Q1 sort q1 ():= cuaq1hQ1
phg
100⋅⎛⎜⎝⎞⎟⎠:=
cuaq1length p ()1+mean Q1 ():=
f.4.) Cazul cuantilei 50% – q(l;m;0,50)=q 2(l;m):
Q2 sort q2 ():= cuaq2hQ2
phg
100⋅⎛⎜⎝⎞⎟⎠:=
cuaq2length p ()1+mean Q2 ():=
g) Scrierea valorilor estimate ale repartitiilor pivotale in fisiere
ASCII
g.1.) Cazul statisticii w(l,l): WRITEPRN "cw20_5.prn" ( ) cuaw :=
g.2.) Cazul statisticii s(l,m): WRITEPRN "cs20_5.prn" ( ) cuas :=
g.3.) Cazul statisticii q(l;m;0,10)=q 1(l;m): WRITEPRN "cq120_5.prn" ( ) cuaq1 :=
g.4.) Cazul statisticii q(l;m;0,50)=q 2(l;m): WRITEPRN "cq220_5.prn" ( ) cuaq2 :=wqβeq
β:= WRITEPRN "W20_5.prn" () w :=
e.2.) Cazul parametrului de scala s(l;m):
sqβeqlnηeqm1
βeq⋅
η⎛
⎜
⎜
⎜
⎝⎞
⎟
⎟
⎟
⎠⋅:=
e.3.) Cazul cuantilei 10% – q(l;m;0,10)=q 1(l;m):
q1qβeqlnLe10qm1
βeq⋅
L10⎛⎜
⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟
⎟⎠⋅:=
e.4.) Cazul cuantilei 50% – q(l;m;0,50)=q 2(l;m):
q2qβeqlnLe50qm1
βeq⋅
L50⎛⎜
⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟
⎟⎠⋅:=
f) Determinarea cuantilelor repartitiilor pivotale:
p READPRN "CUA1.prn" () := h 1 length p ()..:=
f.1.) Cazul parametrului de forma w(l,l):
W sort w ():= g length W ():=
cwhW
gphg
100⋅−⎛⎜⎝⎞⎟⎠:= cwlength p ()1+mean W ():=
b 1 length p () 1+ ..:= cuawb1
cwb:=
f.2.) Cazul parametrului de scala s(l,m):
S sort s ():=
A.4 – 3
Anexa B
Aplicație MathCAD pentru proiectarea optimizat ă a
planurilor de încerc ări
Anexa B
==> η672.418005=
3. Restrictii:
– numarul maxim (Nmax) al rulmentilor care pot fi
montati simultan pe stand:
Nmax 60:=
LNmax ln Nmax ():= ==> LNmax 4.094345=
– tipul incercarii efectuate – incercari cenzurate la nivelul r: ==> r<n
– precizia estimarii parametrului de forma:
a 0.79845:= b 1.0892603−:=
Ab
1b+:= ==> A 12.203189=
Bln a() 2 l n ε()⋅+ 2l nz()⋅+ 2l n 1 1 ε2+−⎛⎝⎞⎠ ⋅−
b1+:= ==> B 40.97556−=
– precizia estimarii durabilitatii nominale:Programul: OPTIMIZARE.mcd
PROGRAM DE PROIECTARE OPTIMIZATÃ A PLANURILOR
DE ÎNCERCÃRI PENTRU TESTAREA RULMENȚILOR
1. Conditii initiale impuse:
– precizia de estimare a parametrului de forma ( β – ε/2 ; β + ε/2):
ε0.5:=
– precizia de estimare a durabilitãtii nominale (L10 – τ ; L10 + τ):
τ0.30:=
– nivelul de semnificatie ( α ):
α 0.10:=
– cuatila repartitiei normale corespunzatoare nivelului de
incredere impus (z):
z qnormα
20,1,⎛⎜⎝⎞⎟⎠:= ==> z 1.644854−=
2. Valori estimate ale parametrilor repartitiei Weibull:
– parametrul de forma ( β): β 1.5:=
– durabilitatea nominala (L10): L10 150:=
η ln1
1 0.10−⎛⎜⎝⎞⎟⎠1
β−
L10⋅ :=
B – 1
Anexa B
R0Lrmin:= Punctul 1: R1Lrmin:=
n0LNmax:= n1Lrmin:=
Punctul 2: R2B
1A−:= Punctul 3: R3LNmax B−
A:=
n2B
1A−:= n3LNmax:=
5. Functia obiectiv C(R,n):
– valorile costurilor partiale:
C1 15:= C2 5:= C3 0:= C4 40:=
– functia obiectiv:fr()12
92⋅r⋅− z2
92⋅r⋅⎛⎜⎝⎞⎟⎠1
2
⋅−⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦3
β
12
92⋅r⋅− z2
92⋅r⋅⎛⎜⎝⎞⎟⎠1
2
⋅+⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦3
β1τ+()
1τ−()− :=
– precizia de rezolvare a ecuatiei f(r): TOL 0.00001:=
– solutia initiala: r2:=
r root f r () r,():= r 12.973587=
– reprezentarea grafica a domeniului de existenta a solutiilor problemei de
optimizare:
rmin ceil r ():= ==> rmin 13=
Lrmin ln r ():= ==> Lrmin 2.562916=
r1 1 300..:=
01 2 3 4 524
Nivelul de cenzurare, lnrVolumul esantionului, lnnAl nr 1()⋅ B+
LNmax
ln r1()Lrmin
ln r1()
4. Calculul coordonatelor celor 4 puncte ce delimiteaza domeniul posibil:
Punctul 0:
B – 2
Anexa B
eR238.763955= ==> r2 ceil eR2⎛
⎝⎞
⎠ :=
– trasarea cubelor de nivel pe un domeniu circumscris domeniului valorilor posibile:
m2 0:= g0 2 m⋅..:= h0 m..:=
RgLrminLNmax B−
ALrmin−
2m⋅g⋅ +:= nhLrminLNmax Lrmin−
mh⋅ +:= Mgh,CeRgenh,⎛
⎝⎞
⎠ :=
M
6. Determinarea solutiei optime:
– delimitarea zonei ce contine solutia optima:
DORmin R0:= DOnmin n10:=
DOnmax n20:=DORmax R20:=
rmin ceil eDORmin⎛⎝⎞⎠ := rmin 13= Nmin ceil eDOnmin⎛⎝⎞⎠ := Nmin 28=
rmax ceil eDORmax⎛⎝⎞⎠ := rmax 23= Nmax ceil eDOnmax⎛⎝⎞⎠ := Nmax 60=
– calculul valorilor optime ale :
– volumului de esantion; – nivelului de cenzurare – care asigura costul minim al incercarii.CRn,() C 1 η⋅ ln 1R 0.3−
n 0.4+−⎛⎜⎝⎞⎟⎠−⎛⎜⎝⎞⎟⎠1
β
⋅ C2 C3−() n R + 1− ()⋅ + C4+ :=
– calculul valorii functiei obiectiv pentru cele 4 puncte ce delimiteaza domeniul posibil:
Punctul 3:Punctul 0: eR012.973587= ==> r0 ceil eR0⎛
⎝⎞
⎠ := eR340.176777= ==> r3 ceil eR3⎛
⎝⎞
⎠ :=
en060= ==> N0 ceil en0⎛
⎝⎞
⎠ := en360= ==> N3 ceil en3⎛
⎝⎞
⎠ :=
Punctul 1: Punctul 2:
en112.973587= ==> N1 ceil en1⎛
⎝⎞
⎠ := en238.763955= ==> N2 ceil en2⎛
⎝⎞
⎠ :=
eR112.973587= ==> r1 ceil eR1⎛
⎝⎞
⎠ :=
B – 3
Anexa B
n6 0= ==> nN oG:=r1 3= ==> rR oF:=- planul optim de incercare:MoFG,4.252501 103× =- valoarea minima a costului incercarii:F max H () 1− := Hgif MoG〈〉⎛⎝⎞⎠gMIN= g1+, 0,⎡
⎣⎤
⎦:=G max K () 1− := Khif AhMIN= h1+, 0, ():=MIN min A ():=Ahmin Moh〈〉⎛⎝⎞⎠ :=Mogh,CR ogNoh,():= Rogrmin g+:= NohNmin h+:= h 0 Nmax Nmin −..:= g 0 rmax rmin −..:=
B – 4
Anexa C
Aplicație MathCAD pentru estimarea modelului reparti ției
triparametrice Weibull
Anexa C
m1 0:= m2 0:= m1 if NS 90 = 3,m1, ():= m2 if m1 3 =5,m2, ():=
m1 if NS 95 = 2,m1, ():= m2 if m1 2 =6,m2, ():=
m1 if NS 99 = 1,m1, ():= m2 if m1 1 =7,m2, ():=
c. Valorile probabilitatilor pentru determinarea limitelor
de incredere corespunzatoare nivelului de semnificatie NS:
a datem1〈〉
:= b datem2〈〉
:=
2. ESTIMAREA GRAFICA A PARAMETRULUI DE LOCALIZARE:
j1 N..:= k1 r..:= d1kdkd1−:=
p2 r..:=d2kdk20−()→⎯⎯⎯⎯
:= d3kdk40−()→⎯⎯⎯⎯
:=
d4kdk30−()→⎯⎯⎯⎯
:= d5kdk10−()→⎯⎯⎯⎯
:=Programul: WEIBULL_TRI.mcd
PROGRAM DE ESTIMARE A PARAMETRILOR
REPARTITIEI WEIBULL TRIPARAMETRICE
ORIGIN 1:=
1. DATE DE INTRARE:
1.1. Volumul esantionului, ( N=3… 25):
N1 0:=
1.2. Valorile observate ale timpilor de cadere si ordonarea lor
crescatoare :
e READPRN "TCAD1.prn" () :=
d sort e ():=
1.3. Numarul de caderi inregistrate, (r):
r length d ():= ==> r6=
1.4. Valorile estimate ale probabilitatilor de deteriorare si a celor
necesare determinarii intervalelor de incredere:
d46
64
83
105
123
150⎛⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟⎠=
date
..\PDET10.PR N:=
a. Valorile probabilitatilor de deteriorare corespunzatoare:
c date4〈〉
:=
b. Nivelul de semnificatie pentru determinarea grafica a
limitelor de incredere, (NS = 90%; 95%; 99%) :
NS 90:=
C – 1
Anexa C
1 10 100 1.103
trace 1
trace 2
trace 3
trace 4
trace 5
trace 6ln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠
ln ln1
1cp
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠
ln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠
ln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠
ln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠
ln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠
dkd1p, d2k, d3k, d4k, d5k,
– valoarea coeficientului de corelatie, (Cc), corespunzatoare valorii estimate a
parametrului de localizare, ( γg):
γg3 0:=Tkdkγg−→⎯⎯⎯
:=
Cckln Tk()ln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⋅∑kln Tk()∑⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠kln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠∑⋅
r−
kln Tk()2∑kln Tk()∑⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠2
r−⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦kln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠2
∑kln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠∑⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠2
r−⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦⋅⎡⎢
⎢⎢
⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦1
2:=
==> Cc 0.999752=
C – 2
Anexa C
gam130.319163= ==> gam1gamma1G2−( ) PAS⋅ + :=gam230.959157= ==> gam2gamma1G PAS⋅+ :=gam gamma1G1−( ) PAS⋅ + :=CCORG0.99977= ==> G max K ():= Kiif CCORiMAX= i,0, ():= MAX max CCOR ():=- stabilirea domeniului, [gam1;gam2], ce contine valoarea maxima, CCORG,
a coeficientului de corelatie: 3.3. Estimarea valorii parametrului de localizare, gam:40 20 0 20 400.960.981
trace 1CCORi
γiCCORikln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦ln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⋅∑kln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦∑⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦kln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠∑⋅
r−
kln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦2
∑kln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦∑⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦2
r−⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎣⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎦kln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠2
∑kln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠∑⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠2
r−⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦⋅⎡⎢
⎢⎢
⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦1
2:=-calculul coeficientului de corelatie (CCOR):Tki,dkγi−→⎯⎯⎯
:= γigamma1i1−( ) PAS⋅+ := i1 I T..:=PAS 0.319997= ==> PASgamma2gamma1−
IT:= -pasul iteratiilor (PAS):IT 300:= -numarul de iteratii (IT):3.2. Trasarea graficului coeficientului de corelatie, CCOR, in functie de valorile
parametrului de localizare: gamma2d10.001−:= gamma150−:=3.1. Domeniul de existenta al parametrului de localizare, [gamma1;gamma2]:3. ESTIMAREA PARAMETRULUI DE LOCALIZARE PRIN METODA COEFICIENTULLUI
DE CORELATIE :
C – 3
Anexa C
==> γcc 30.794163=
– estimarea parametrilor repartitiei WEIBULL prin Metoda Celor Mai
Mici Patrate :
Ykln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠:= Xkln dkγcc−():= b1r
kXkYk⋅()∑⋅
kXk∑⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠kYk∑⋅ −
r
kXk()2∑⋅
kXk∑⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠2
−:=
a11
r
kYk∑⋅b1
r
kXk∑⋅− :=
– valorile estimate ale parametrilor repartitiei Weibull:
βcc b1:= βcc 1.18348=
ηcc expa1−
b1⎛⎜⎝⎞⎟⎠:= ηcc 144.744797=
γcc 30.794163=
– trasarea intervalelor de incredere pentru dreapta Weibull:
Tγcc 1+γ cc 50+, 5000.. :=
fT()βcc ln T γcc−()⋅β cc lnηcc()⋅− ():= tjγcc expln ln1
1cj
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠βcc lnηcc()⋅+
βcc⎛⎜
⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟
⎟⎠+:=- valoarea adoptata a incrementului utilizat pentru estimarea parametrului de
localizare,D:
Δ 0.001:=
– calculul numarului de iteratii (IT) necesare:
IT floorgam2gam1−
Δ⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠:= IT 639=
-calculul coeficientului de corelatie (CCi):
i1 I T..:= γigam1i1−()Δ⋅+:= Tki,dkγi−→⎯⎯⎯
:=
CCikln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦ln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⋅∑kln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦∑⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦kln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠∑⋅
r−
kln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦2
∑kln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦∑⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦2
r−⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎣⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎦kln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠2
∑kln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠∑⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠2
r−⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦⋅⎡⎢
⎢⎢
⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦1
2:=
-determinarea valorii maxime a coeficientului de corelatie (CCGm):
MAX max CC ():= Kiif CCiMAX= i,0, ():= Gm max K ():= ==> CCGm0.99977=
– valoarea estimata a parametrului de localizare, γCC:
γcc gam1Gm 1− () Δ⋅ +:=
C – 4
Anexa C
0.1 1 10 100 1 .1031.104
trace 1
trace 2
trace 3
trace 4ln ln1
1 0.1−⎛⎜⎝⎞⎟⎠⎛⎜⎝⎞⎟⎠ln ln1
1 0.5−⎛⎜⎝⎞⎟⎠⎛⎜⎝⎞⎟⎠fT()
ln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠
ln ln1
1aj
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠
ln ln1
1bj
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠
Tγcc− dkγcc−, tjγcc−, tjγcc−,
4. ESTIMAREA PARAMETRILOR PRIN METODA CELOR MAI MICI PATRATE:
Xd:= p date4〈〉
:= i1 r..:=Yiln ln1
1pi
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠:=
– estimarea parametrului de localizare, γMCMMP:
cγ() r
iln Xiγ−()2∑⋅
iln Xiγ−()∑⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠2
−⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦iYi
Xiγ−∑⎛⎜
⎜
⎝⎞⎟
⎟
⎠⋅
iYi∑⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠iln Xiγ−()2∑⋅
iYiln Xiγ−()⋅∑⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠iln Xiγ−()∑⋅ −⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦i1
Xiγ−∑⎛⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟⎠⋅⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦1−()⋅ +…
r
iYiln Xiγ−()⋅∑⋅
iYi∑⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠iln Xiγ−()∑⋅ − ⎡⎢
⎣⎤⎥
⎦iln Xiγ−()
Xiγ−∑⋅⎡⎢
⎢
⎣⎤⎥
⎥
⎦1−()⋅ +…:=
TOL 0.0001:= – precizia de rezolvare a ecuatiei
γcc 30.794163= – solutia initiala, utilizata pentru rezolvarea a ecuatiei
γMCMMP root c γcc()γcc, ():= ==> γMCMMP 30.794611 = -solutia ecuatie i
C – 5
Anexa C
-solutia sistemului de ecuatii βMVMa
γMVMa⎛⎜⎝⎞⎟⎠0.996105
43.350021⎛⎜⎝⎞⎟⎠= ==>βMVMa
γMVMa⎛⎜⎝⎞⎟⎠Findβγ,():=βr⋅iXiγ−()β1−∑Nr−() Xrγ−()β1−⋅+
iXiγ−()β∑Nr−() Xrγ−()β⋅+⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦⋅β 1−()
iln1
Xiγ−⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠∑⋅ − 0=iXiγ−()βln Xiγ−()⋅∑
iXiγ−()β∑Nr−() Xrγ−()β⋅+Nr−() Xrγ−()β⋅ ln Xrγ−()⋅
iXiγ−()β∑Nr−() Xrγ−()β⋅++1
β−1
r
iln Xiγ−()∑⋅− 0=Given- sistemul ecuatiilor de verosimilitate:- precizia de rezolvare a sistemului de ecuatii TOL 0.0001:=γ20:=- solutia initiala, utilizata pentru rezolvarea iterativa a
sistemului de ecuatiiβ 2.0:=5.1 VARIANTA A5. ESTIMAREA PARAMETRILOR PRIN METODA VEROSIMILATATII MAXIME:200 150 100 50 0024
cγ()
γγ 200− X10.1−..:= – graficul functiei c(g):γMCMMP 30.794611 =ηMCMMP 144.744998 =βMCMMP 1.183465 = ===> ηMCMMP expa1−
b1⎛⎜⎝⎞⎟⎠:=βMCMMP b1:=a11
r
iYi∑⋅b1
r
ixi∑⋅− := b1r
ixiYi⋅()∑⋅
ixi∑⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠iYi∑⋅ −
r
ixi()2∑⋅
ixi∑⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠2
−:= xiln XiγMCMMP−():=- estimarea parametrilor de forma, βMCMMP si de scala, ηMCMMP:
C – 6
Anexa C
6.1 Calculul mediei valorilor de esantionaj, MX:
MX mean X ():= ==> MX 95.166667=
6.2 Estimarea parametrului de forma, βMMM:
hβ()Γ2
β1+⎛⎜⎝⎞⎟⎠Γ1
β1+⎛⎜⎝⎞⎟⎠2
−
1N1
β−
−⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠Γ1
β1+⎛⎜⎝⎞⎟⎠⋅⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦21
N1−
iXiMX−()2∑⋅
X1MX−()2− :=
β1 1.1:= – solutia initiala, utilizata pentru rezolvarea iterativa a
sistemului de ecuatii
TOL 0.0001:= – precizia de rezolvare a sistemului de ecuatii
βMMM if N r =root hβ1()β1, (), 0, ():= ==> βMMM 0=
6.3 Estimarea parametrului de scala, ηMMM:
ηMMM if N r =1
N1−
iXiMX−()2∑⋅
Γ2
βMMM1+⎛⎜⎝⎞⎟⎠Γ1
βMMM1+⎛⎜⎝⎞⎟⎠2
−, 0,⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦:= ==> ηMMM 0=
6.4 Estimarea parametrului de localizare, γMMM:
γMMM if N r =MXηMMMΓ1
βMMM1+⎛⎜⎝⎞⎟⎠⋅−, 0,⎛⎜⎝⎞⎟⎠:= ==> γMMM 0=- estimatia parametrului de scala:
ηMVMa1
r
iXiγ−()β∑Nr−() Xrγ−()β⋅+⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦⋅⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦1
β
:= ==> ηMVMa 134.731214=
5.2 VARIANTA B
– solutia initiala,pentru rezolvarea iterativa a sistemului
de ecuatiiβ 1.2:= γ20:= η 50:=
TOL 0.0001:= – precizia de rezolvare a sistemului de ecuatii
– sistemul ecuatiilor de verosimilitate:
Given
r
β
iln Xiγ−()∑+ rl nη()⋅−
iXiγ−
η⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠β
lnXiγ−
η⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦ ∑− Nr−()Xrγ−
η⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠β
⋅ lnXrγ−
η⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅ − 0=
r−iXiγ−()β∑
ηβ+Xrγ−()βNr−()β⋅
ηβ+ 0=
β1−()−
iln1
Xiγ−⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠∑⋅
iβ
ηXiγ−
η⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠β1−
⋅∑+βNr−
η⋅Xrγ−
η⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠β1−
⋅ + 0=
βMVMc
ηMVMc
γMVMc⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠Findβη,γ, ():= ==>βMVMc
ηMVMc
γMVMc⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠0.996091
122.667639
43.363997⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠= -solutia sistemului de ecuatii
6. ESTIMAREA PARAMETRILOR PRIN METODA MODIFICATA A MOMENTELOR:
C – 7
Anexa D
Cuantilele variabilelor aleatorii specifice reparti ției
biparametrice Weibull
CUPRINS
Tabelul D.1 Cuantilele variabilei aleatorii
()ββ= ˆ/ˆ n,rv
Tabelul D.2 Cuantilele variabilei aleatorii () ηη⋅β= /ˆlnˆ n,rk
Tabelul D.3 Cuantilele variabilei aleatorii ()10,0 10,0t tˆlnˆ 10,0;n;ru ⋅β=
Tabelul D.4 Cuantilele variabilei aleatorii ()50,0 50,0t tˆlnˆ 50,0;n;ru ⋅β=
Tabelul D.5 Cuantilele variabilei aleatorii ()*
/ n,rW ββ=
Tabelul D.6 Cuantilele variabilei aleatorii () ηη⋅β= /ln n,rZ* *
Tabelul D.7 Cuantilele variabilei aleatorii ()10,010,0* *
t tln 10,0;n;rV ⋅β=
Tabelul D.8 Cuantilele variabilei aleatorii ()50,050,0* *
t tln 50,0;n;rV ⋅β=
Tabelul D.9 Cuantilele variabilei aleatorii () ηη⋅β= /ˆlnˆ ;ssml
Tabelul D.10 Cuantilele variabilei aleatorii ()10,0 10,0 s t tˆlnˆ 10,0;;q ⋅β=ml
Tabelul D.11 Cuantilele variabilei aleatorii ()50,0 50,0 s t tˆlnˆ 50,0;;q ⋅β=ml
Tabelul D.12 Cuantilele variabilei aleatorii () ηη⋅β= /ln ;S* *
sml
Tabelul D.13 Cuantilele variabilei aleatorii ()10,010,0*
s*
t/tln 10,0;;Q ⋅β=ml
Tabelul D.14 Cuantilele variabilei aleatorii ()50,050,0*
s*
t/tln 50,0;;Q ⋅β=ml
Anexa D
D – 1
Tabelul D.1 Cuantilele variabilei aleatorii ββ=ˆ)n,r(v
N
r Cuantilele variabilei aleatorii ββ=ˆ
)n,r(v
v 2.5 v 5.0 v 10.0 v 20.0 v 30.0 v 50.0 v 70.0 v 80.0 v 90.0 v 95.0 v 97.5 v m
3 3 0.5712 0.6567 0.7711 0.9493 1.119 1.517 2.169 2.783 4.102 5.968 8.442 2.299
4 3 0.567 0.6518 0.7685 0.9652 1.157 1.607 2.357 3.081 4.655 6.753 9.472 2.490
4 0.5975 0.6685 0.7673 0.9148 1.045 1.330 1.756 2.112 2.808 3.667 4.737 1.661
5 3 0.5577 0.648 0.7671 0.9717 1.171 1.658 2.489 3.285 4.899 7.310 10.290 2.630
4 0.5802 0.6551 0.7595 0.9186 1.060 1.376 1.822 2.225 3.061 4.051 5.348 1.755
5 0.6177 0.6835 0.7693 0.898 1.011 1.242 1.567 1.830 2.318 2.884 3.522 1.448
6 3 0.5545 0.6415 0.7698 0.9846 1.185 1.685 2.503 3.308 5.006 7.565 10.990 2.699
4 0.5701 0.6505 0.7613 0.9158 1.073 1.413 1.916 2.340 3.165 4.287 5.487 1.821
5 0.6048 0.6704 0.7625 0.9003 1.021 1.273 1.622 1.903 2.434 3.067 3.81 1.499
6 0.6344 0.6976 0.7759 0.890 0.9903 1.194 1.462 1.673 2.043 2.468 2.922 1.339
7 3 0.5514 0.6444 0.7727 0.9944 1.193 1.697 2.550 3.348 5.050 7.525 11.280 2.818
4 0.5728 0.6533 0.7588 0.9236 1.078 1.428 1.941 2.374 3.240 4.363 5.575 1.844
5 0.5946 0.6626 0.7619 0.898 1.024 1.290 1.670 1.961 2.525 3.154 3.884 1.531
6 0.6265 0.6819 0.7643 0.8906 0.9983 1.212 1.503 1.728 2.147 2.565 3.113 1.374
7 0.6507 0.7075 0.7836 0.8866 0.9777 1.160 1.396 1.572 1.878 2.196 2.565 1.271
8 3 0.5637 0.6532 0.777 0.9976 1.199 1.707 2.571 3.373 5.156 7.636 11.100 2.834
4 0.5734 0.6572 0.7656 0.9311 1.091 1.441 1.967 2.414 3.266 4.367 5.572 1.852
5 0.5971 0.6663 0.7627 0.9039 1.025 1.301 1.689 1.984 2.533 3.207 3.992 1.545
6 0.6181 0.6774 0.759 0.8946 1.002 1.224 1.525 1.770 2.180 2.626 3.174 1.395
7 0.6425 0.6988 0.7773 0.8872 0.9867 1.176 1.419 1.610 1.931 2.270 2.636 1.293
8 0.6676 0.7203 0.7914 0.8881 0.9676 1.135 1.346 1.498 1.759 2.025 2.315 1.225
9 3 0.5374 0.6321 0.7668 0.9839 1.194 1.701 2.526 3.353 5.118 7.538 11.030 2.691
4 0.5623 0.6399 0.7514 0.9204 1.076 1.422 1.946 2.410 3.279 4.354 5.612 1.846
5 0.5953 0.664 0.7592 0.9022 1.032 1.315 1.706 2.025 2.596 3.224 3.942 1.556
6 0.6093 0.678 0.7657 0.8917 1.003 1.236 1.548 1.789 2.224 2.677 3.210 1.403
7 0.6373 0.6951 0.7779 0.888 0.9879 1.177 1.434 1.626 1.964 2.347 2.721 1.304
8 0.657 0.7085 0.7848 0.8903 0.9737 1.148 1.357 1.529 1.799 2.080 2.350 1.239
9 0.679 0.7306 0.7979 0.8901 0.9683 1.117 1.306 1.444 1.676 1.899 2.142 1.193
10 3 0.5335 0.6332 0.7735 0.9939 1.207 1.718 2.593 3.422 5.280 7.775 11.290 2.778
4 0.5598 0.6358 0.7477 0.9183 1.081 1.435 1.970 2.452 3.320 4.445 5.722 1.870
5 0.5899 0.6581 0.754 0.9006 1.027 1.316 1.718 2.038 2.634 3.301 4.117 1.572
6 0.6075 0.6737 0.760 0.8871 1.001 1.243 1.559 1.804 2.225 2.710 3.272 1.412
7 0.6314 0.6866 0.769 0.8857 0.9846 1.194 1.461 1.654 1.998 2.404 2.812 1.321
8 0.6534 0.7046 0.7798 0.8852 0.9739 1.149 1.374 1.547 1.812 2.117 2.451 1.250
9 0.6729 0.7202 0.7881 0.8863 0.9681 1.129 1.324 1.466 1.706 1.936 2.180 1.205
10 0.6891 0.7396 0.803 0.8903 0.9628 1.105 1.279 1.405 1.616 1.819 2.023 1.169
11 3 0.5297 0.633 0.7687 0.9952 1.214 1.736 2.622 3.457 5.352 7.994 11.620 2.819
4 0.5606 0.6373 0.7503 0.9219 1.083 1.440 1.986 2.452 3.359 4.483 5.917 1.890
5 0.5824 0.6566 0.7561 0.9018 1.026 1.313 1.719 2.033 2.648 3.369 4.181 1.576
Anexa D
D – 2Tabelul D.1 (continuare) Cuantilele variabilei aleatorii ββ=ˆ)n,r(v
N
r Cuantilele variabilei aleatorii ββ=ˆ
)n,r(v
v 2.5 v 5.0 v 10.0 v 20.0 v 30.0 v 50.0 v 70.0 v 80.0 v 90.0 v 95.0 v 97.5 v m
11 6 0.6064 0.6697 0.7604 0.8923 1.009 1.243 1.568 1.815 2.262 2.775 3.287 1.422
7 0.6279 0.6840 0.7681 0.8851 0.9839 1.192 1.467 1.670 2.026 2.414 2.790 1.324
8 0.6507 0.7014 0.7748 0.8849 0.9799 1.159 1.394 1.568 1.860 2.171 2.512 1.264
9 0.6658 0.7141 0.7845 0.8876 0.9693 1.130 1.333 1.483 1.725 1.978 2.258 1.213
10 0.6879 0.7340 0.7925 0.8880 0.966 1.111 1.290 1.419 1.638 1.858 2.065 1.178
11 0.6980 0.7479 0.8079 0.8918 0.9617 1.096 1.256 1.372 1.564 1.757 1.934 1.151
12 3 0.538 0.6344 0.7711 0.9944 1.214 1.748 2.640 3.484 5.350 7.905 11.490 2.781
4 0.5611 0.6337 0.7488 0.9289 1.088 1.461 1.995 2.461 3.407 4.507 5.899 1.895
5 0.5784 0.6563 0.7496 0.8970 1.028 1.317 1.730 2.059 2.662 3.379 4.242 1.586
6 0.6048 0.6654 0.7588 0.8892 1.005 1.241 1.578 1.836 2.276 2.781 3.331 1.430
7 0.6245 0.6838 0.7668 0.8876 0.9893 1.195 1.474 1.683 2.026 2.437 2.849 1.331
8 0.6423 0.7004 0.7746 0.8844 0.9785 1.157 1.399 1.581 1.869 2.193 2.510 1.266
9 0.6604 0.7105 0.7829 0.8871 0.9717 1.135 1.345 1.498 1.758 2.009 2.292 1.222
10 0.6771 0.7258 0.7915 0.8915 0.9670 1.113 1.299 1.429 1.647 1.868 2.120 1.184
11 0.6927 0.7430 0.8011 0.8874 0.9617 1.097 1.267 1.384 1.588 1.771 1.971 1.157
12 0.7051 0.7554 0.8150 0.8944 0.9593 1.083 1.237 1.347 1.523 1.693 1.863 1.136
13 3 0.5514 0.6425 0.7758 0.9997 1.218 1.760 2.623 3.487 5.537 8.183 11.980 2.899
4 0.5572 0.6346 0.7538 0.9311 1.093 1.455 2.023 2.500 3.473 4.664 6.252 1.937
5 0.5804 0.6553 0.7504 0.9059 1.040 1.323 1.738 2.082 2.718 3.434 4.275 1.608
6 0.5989 0.6686 0.7567 0.8891 1.006 1.248 1.580 1.848 2.293 2.831 3.427 1.435
7 0.6137 0.6801 0.7670 0.8857 0.9903 1.204 1.483 1.704 2.070 2.446 2.909 1.342
8 0.6408 0.6943 0.7709 0.884 0.9765 1.163 1.406 1.596 1.901 2.211 2.575 1.277
9 0.6520 0.7072 0.7817 0.8907 0.9710 1.137 1.356 1.516 1.778 2.058 2.346 1.231
10 0.6685 0.7214 0.7877 0.8859 0.9678 1.120 1.313 1.453 1.687 1.914 2.164 1.194
11 0.6839 0.7322 0.7928 0.886 0.9605 1.102 1.277 1.396 1.609 1.813 2.016 1.165
12 0.6924 0.7455 0.8052 0.8874 0.9602 1.092 1.248 1.363 1.541 1.718 1.893 1.143
13 0.7096 0.7555 0.8156 0.8931 0.9557 1.079 1.223 1.324 1.485 1.643 1.799 1.124
14 3 0.5508 0.6451 0.7738 0.9979 1.216 1.755 2.636 3.523 5.551 8.282 12.120 2.911
4 0.5580 0.6383 0.7591 0.9308 1.094 1.458 2.034 2.527 3.523 4.749 6.424 1.958
5 0.5810 0.6540 0.7539 0.9084 1.037 1.326 1.741 2.094 2.716 3.449 4.279 1.611
6 0.5999 0.6693 0.7558 0.8969 1.009 1.245 1.584 1.852 2.337 2.868 3.464 1.443
7 0.6122 0.6812 0.7669 0.8865 0.9891 1.200 1.485 1.709 2.078 2.467 2.921 1.345
8 0.6371 0.6905 0.7710 0.8836 0.9798 1.168 1.417 1.603 1.909 2.213 2.567 1.281
9 0.6471 0.7063 0.7789 0.8846 0.9722 1.143 1.357 1.522 1.801 2.070 2.324 1.234
10 0.6635 0.7156 0.7885 0.8875 0.9686 1.121 1.319 1.459 1.702 1.937 2.172 1.198
11 0.6749 0.7274 0.7925 0.8875 0.9629 1.109 1.283 1.410 1.624 1.839 2.041 1.172
12 0.6870 0.7420 0.7999 0.8903 0.9608 1.095 1.256 1.366 1.560 1.742 1.940 1.148
13 0.7036 0.7540 0.8121 0.8890 0.9581 1.082 1.230 1.335 1.502 1.668 1.830 1.130
14 0.7184 0.7626 0.8203 0.8956 0.9559 1.074 1.210 1.303 1.455 1.597 1.746 1.114
15 3 0.5493 0.6455 0.7771 1.003 1.217 1.769 2.650 3.532 5.544 8.205 11.810 2.897
4 0.5586 0.6400 0.7563 0.933 1.102 1.463 2.027 2.498 3.496 4.754 6.383 1.946
5 0.5806 0.6499 0.7509 0.9096 1.043 1.331 1.751 2.105 2.733 3.515 4.345 1.621
6 0.5993 0.6653 0.7528 0.8931 1.013 1.251 1.596 1.860 2.348 2.872 3.475 1.451
7 0.6123 0.6785 0.7623 0.8859 0.991 1.206 1.484 1.706 2.079 2.487 2.941 1.348
8 0.6316 0.6918 0.7723 0.881 0.9798 1.169 1.419 1.614 1.927 2.242 2.552 1.284
Anexa D
D – 3Tabelul D.1 (continuare) Cuantilele variabilei aleatorii ββ=ˆ)n,r(v
N
r Cuantilele variabilei aleatorii ββ=ˆ
)n,r(v
v 2.5 v 5.0 v 10.0 v 20.0 v 30.0 v 50.0 v 70.0 v 80.0 v 90.0 v 95.0 v 97.5 v m
15 9 0.6458 0.703 0.7757 0.884 0.9738 1.144 1.363 1.527 1.804 2.082 2.338 1.235
10 0.6617 0.7198 0.7843 0.8845 0.9666 1.124 1.327 1.471 1.711 1.953 2.179 1.201
11 0.6705 0.7279 0.7917 0.8855 0.9647 1.107 1.287 1.416 1.631 1.836 2.083 1.174
12 0.6866 0.7346 0.7996 0.8894 0.9595 1.097 1.263 1.377 1.572 1.758 1.932 1.152
13 0.6994 0.7476 0.8094 0.8893 0.9584 1.087 1.234 1.339 1.515 1.682 1.836 1.133
14 0.7100 0.7591 0.8186 0.8917 0.9547 1.076 1.216 1.315 1.473 1.623 1.787 1.118
15 0.7245 0.7674 0.8244 0.898 0.9537 1.068 1.198 1.286 1.428 1.565 1.708 1.105
16 3 0.5483 0.6403 0.7758 0.9989 1.212 1.760 2.628 3.544 5.573 8.337 12.100 2.920
4 0.5601 0.6375 0.7582 0.9308 1.101 1.466 2.032 2.534 3.554 4.760 6.432 1.975
5 0.5773 0.6488 0.7525 0.9057 1.037 1.331 1.768 2.134 2.762 3.515 4.399 1.633
6 0.5962 0.668 0.7558 0.8952 1.009 1.252 1.596 1.886 2.362 2.924 3.472 1.457
7 0.6123 0.6784 0.7656 0.8848 0.9904 1.208 1.492 1.718 2.113 2.505 3.005 1.355
8 0.6353 0.6911 0.7713 0.8856 0.9783 1.171 1.418 1.611 1.953 2.270 2.621 1.290
9 0.6488 0.704 0.7764 0.8846 0.9762 1.150 1.372 1.540 1.823 2.109 2.377 1.245
10 0.6599 0.7134 0.7842 0.8837 0.967 1.126 1.332 1.475 1.731 1.974 2.209 1.208
11 0.6718 0.7257 0.7922 0.8841 0.9646 1.113 1.294 1.429 1.652 1.870 2.091 1.180
12 0.6843 0.7322 0.797 0.8882 0.9606 1.098 1.267 1.381 1.592 1.782 1.975 1.156
13 0.6952 0.7433 0.8026 0.8884 0.9578 1.084 1.243 1.356 1.535 1.718 1.877 1.138
14 0.7084 0.7541 0.8119 0.8916 0.9577 1.078 1.225 1.328 1.485 1.64 1.804 1.124
15 0.7224 0.7638 0.8192 0.8951 0.9555 1.071 1.203 1.299 1.446 1.591 1.737 1.110
16 0.7328 0.7751 0.8294 0.8995 0.9566 1.063 1.187 1.275 1.412 1.537 1.656 1.098
17 3 0.5475 0.6422 0.7756 1.0000 1.213 1.767 2.627 3.539 5.613 8.554 12.360 2.947
4 0.5599 0.6395 0.7585 0.9323 1.107 1.466 2.031 2.512 3.554 4.839 6.481 1.969
5 0.5765 0.6466 0.7504 0.9044 1.039 1.337 1.766 2.115 2.751 3.550 4.414 1.635
6 0.5944 0.6645 0.7520 0.8963 1.016 1.254 1.607 1.896 2.401 2.929 3.539 1.469
7 0.6113 0.6764 0.7626 0.8850 0.9923 1.211 1.495 1.719 2.103 2.513 3.041 1.357
8 0.6319 0.6921 0.7729 0.8855 0.98 1.175 1.419 1.617 1.957 2.284 2.647 1.295
9 0.6511 0.7019 0.7778 0.8831 0.9749 1.147 1.373 1.540 1.831 2.121 2.397 1.245
10 0.6547 0.7063 0.7855 0.8825 0.9658 1.130 1.332 1.478 1.733 1.978 2.200 1.209
11 0.6696 0.7257 0.7907 0.8840 0.9612 1.112 1.303 1.433 1.660 1.889 2.096 1.183
12 0.6764 0.7308 0.7979 0.8874 0.9608 1.103 1.271 1.394 1.590 1.797 2.006 1.160
13 0.6876 0.7379 0.8029 0.8875 0.9591 1.090 1.244 1.354 1.540 1.724 1.895 1.139
14 0.7010 0.7486 0.8085 0.8902 0.9566 1.080 1.228 1.335 1.495 1.666 1.826 1.126
15 0.7132 0.7561 0.8185 0.8939 0.9566 1.076 1.211 1.302 1.454 1.599 1.759 1.114
16 0.7255 0.7682 0.8243 0.8964 0.9552 1.066 1.192 1.280 1.426 1.558 1.684 1.102
17 0.7353 0.7789 0.8335 0.9013 0.9566 1.057 1.181 1.259 1.394 1.513 1.630 1.091
18 3 0.5473 0.6430 0.7737 1.004 1.214 1.773 2.661 3.556 5.624 8.399 12.460 2.962
4 0.5668 0.6462 0.7595 0.9312 1.107 1.465 2.039 2.509 3.545 4.868 6.487 1.968
5 0.5799 0.6501 0.7526 0.9051 1.039 1.341 1.766 2.114 2.739 3.545 4.472 1.638
6 0.5955 0.6689 0.7507 0.8985 1.016 1.258 1.613 1.910 2.407 2.930 3.550 1.472
7 0.6103 0.6787 0.7636 0.8855 0.9918 1.213 1.502 1.736 2.127 2.543 3.012 1.362
8 0.6317 0.6882 0.7738 0.8840 0.9769 1.178 1.429 1.620 1.966 2.294 2.671 1.296
9 0.6484 0.7011 0.7760 0.8837 0.9728 1.147 1.370 1.542 1.834 2.142 2.441 1.248
10 0.6581 0.7105 0.7827 0.8817 0.9669 1.128 1.334 1.477 1.735 1.994 2.241 1.210
11 0.6689 0.7215 0.7899 0.8826 0.9609 1.114 1.306 1.434 1.664 1.899 2.107 1.185
Anexa D
D – 4Tabelul D.1 (continuare) Cuantilele variabilei aleatorii ββ=ˆ)n,r(v
N
r Cuantilele variabilei aleatorii ββ=ˆ
)n,r(v
v 2.5 v 5.0 v 10.0 v 20.0 v 30.0 v 50.0 v 70.0 v 80.0 v 90.0 v 95.0 v 97.5 v m
18 12 0.6835 0.7316 0.7993 0.8883 0.9606 1.105 1.280 1.399 1.593 1.802 2.015 1.164
13 0.688 0.7355 0.8038 0.8897 0.9608 1.092 1.254 1.363 1.555 1.735 1.926 1.145
14 0.6985 0.7453 0.8090 0.8908 0.9562 1.082 1.230 1.338 1.502 1.671 1.830 1.128
15 0.7118 0.7537 0.8160 0.895 0.9571 1.075 1.215 1.317 1.471 1.612 1.767 1.117
16 0.7185 0.7669 0.8217 0.8972 0.9546 1.071 1.199 1.286 1.434 1.565 1.707 1.106
17 0.7312 0.7760 0.8270 0.8996 0.9563 1.063 1.186 1.269 1.406 1.534 1.654 1.096
18 0.7412 0.7837 0.8368 0.9029 0.9569 1.055 1.174 1.249 1.373 1.493 1.610 1.086
19 3 0.5490 0.6444 0.7774 1.0070 1.2140 1.756 2.636 3.506 5.497 8.262 12.240 2.911
4 0.5694 0.6541 0.7557 0.9326 1.1090 1.472 2.044 2.522 3.526 4.845 6.455 1.971
5 0.5779 0.6518 0.7569 0.9103 1.0520 1.352 1.768 2.133 2.753 3.563 4.448 1.642
6 0.5943 0.6713 0.7554 0.8967 1.0170 1.265 1.614 1.902 2.399 2.921 3.535 1.472
7 0.6122 0.6756 0.7646 0.8884 0.9966 1.216 1.504 1.731 2.140 2.560 3.006 1.364
8 0.6260 0.6848 0.7703 0.8847 0.9781 1.181 1.433 1.627 1.965 2.304 2.675 1.298
19 9 0.6422 0.6976 0.7753 0.8813 0.9738 1.154 1.377 1.548 1.838 2.141 2.442 1.251
10 0.6556 0.7061 0.7823 0.8830 0.9669 1.131 1.338 1.488 1.755 2.013 2.274 1.215
11 0.6648 0.7168 0.7831 0.8847 0.9620 1.114 1.305 1.442 1.667 1.905 2.126 1.185
12 0.6787 0.7282 0.7943 0.8884 0.9621 1.103 1.283 1.405 1.605 1.808 2.014 1.166
13 0.6856 0.7381 0.8037 0.8877 0.9588 1.097 1.257 1.374 1.557 1.726 1.924 1.148
14 0.6950 0.7450 0.8082 0.8902 0.9585 1.087 1.238 1.345 1.511 1.684 1.839 1.133
15 0.7076 0.7520 0.8137 0.8901 0.9557 1.078 1.219 1.319 1.474 1.631 1.783 1.119
16 0.7176 0.7635 0.8191 0.8937 0.9537 1.071 1.204 1.298 1.446 1.577 1.729 1.108
17 0.7260 0.7720 0.8243 0.8975 0.9539 1.066 1.190 1.279 1.416 1.541 1.663 1.099
18 0.7380 0.7790 0.8313 0.9001 0.9531 1.059 1.177 1.258 1.389 1.513 1.623 1.090
19 0.7481 0.7878 0.8397 0.9034 0.9553 1.051 1.164 1.242 1.360 1.472 1.579 1.081
20 3 0.5424 0.6411 0.7780 0.9995 1.2210 1.760 2.65 3.509 5.336 7.781 11.410 2.876
4 0.5566 0.6415 0.7565 0.9362 1.1040 1.470 2.041 2.528 3.500 4.649 5.970 1.956
5 0.5770 0.6532 0.7565 0.9118 1.0480 1.346 1.772 2.121 2.774 3.555 4.391 1.635
6 0.5932 0.6684 0.7601 0.8941 1.0150 1.268 1.610 1.880 2.371 2.952 3.536 1.466
7 0.6131 0.6765 0.7631 0.8894 0.9914 1.213 1.510 1.737 2.158 2.567 3.061 1.369
8 0.6291 0.6880 0.7693 0.8833 0.9842 1.179 1.434 1.628 1.976 2.341 2.714 1.302
9 0.6406 0.7004 0.7728 0.878 0.9711 1.155 1.384 1.548 1.843 2.137 2.421 1.251
10 0.6487 0.7109 0.7809 0.8793 0.9643 1.134 1.342 1.494 1.74 2.011 2.267 1.215
11 0.6606 0.7143 0.7883 0.8813 0.9614 1.121 1.315 1.453 1.669 1.891 2.133 1.189
12 0.6729 0.7261 0.7916 0.8835 0.9590 1.108 1.284 1.413 1.614 1.806 2.011 1.167
13 0.6839 0.7370 0.7979 0.8872 0.9556 1.094 1.264 1.378 1.563 1.738 1.923 1.148
14 0.6978 0.7463 0.8057 0.8874 0.9549 1.084 1.240 1.349 1.524 1.683 1.861 1.134
15 0.7076 0.7557 0.8116 0.8924 0.9559 1.077 1.222 1.319 1.475 1.634 1.799 1.121
16 0.7215 0.7660 0.8212 0.8938 0.9569 1.072 1.206 1.302 1.442 1.591 1.734 1.111
17 0.7300 0.7707 0.8247 0.895 0.9549 1.068 1.196 1.282 1.413 1.548 1.690 1.101
18 0.7389 0.7821 0.8325 0.8998 0.9548 1.059 1.184 1.266 1.391 1.512 1.643 1.093
19 0.7449 0.7875 0.8366 0.9017 0.9533 1.054 1.172 1.250 1.362 1.482 1.607 1.085
20 0.7530 0.7964 0.8463 0.9059 0.9567 1.051 1.158 1.232 1.342 1.444 1.554 1.077
Anexa D
D – 5
Tabelul D.2 Cuantilele variabilei aleatorii () ηη⋅β= /ˆlnˆ n,rk
N
r Cuantilele variabilei aleatorii ηη⋅β=∧
∧
ln )n,r(k
k 2.5 k 5.0 k 10.0 k 20.0 k 30.0 k 50.0 k 70.0 k 80.0 k 90.0 k 95.0 k 97.5 k m
3 3 -4.131 -2.723 -1.732 -0.953 -0.589 -0.109 0.3693 0.6909 1.293 2.034 2.901 -0.250
4 3 -6.559 -4.185 -2.563 -1.411 -0.861 -0.252 0.1853 0.4503 0.893 1.382 2.068 -0.748
4 -2.326 -1.632 -1.114 -0.676 -0.429 -0.067 0.288 0.5322 0.9601 1.371 1.817 -0.092
5 3 -8.300 -5.574 -3.408 -1.870 -1.161 -0.411 0.0603 0.3085 0.6565 1.031 1.431 -1.204
4 -3.107 -2.181 -1.447 -0.848 -0.529 -0.150 0.1908 0.3954 0.7438 1.112 1.461 -0.300
5 -1.618 -1.207 -0.871 -0.556 -0.346 -0.050 0.2449 0.4504 0.7845 1.119 1.459 -0.055
6 3 -10.120 -6.808 -4.106 -2.236 -1.426 -0.543 0.0062 0.2435 0.5359 0.7992 1.132 -1.564
4 -3.902 -2.678 -1.799 -1.058 -0.672 -0.209 0.1264 0.3225 0.5960 0.8946 1.189 -0.503
5 -2.134 -1.512 -1.066 -0.643 -0.403 -0.090 0.1869 0.3710 0.6408 0.9326 1.220 -0.171
6 -1.301 -1.026 -0.747 -0.465 -0.298 -0.039 0.2292 0.4102 0.6736 0.9431 1.208 -0.040
7 3 -12.050 -7.707 -4.872 -2.619 -1.679 -0.665 -0.0650 0.1975 0.4979 0.7175 0.9257 -1.943
4 -4.620 -3.104 -2.071 -1.243 -0.808 -0.280 0.0891 0.2694 0.5236 0.7647 1.0240 -0.654
5 -2.375 -1.761 -1.227 -0.741 -0.479 -0.141 0.1453 0.3124 0.5541 0.7879 1.0520 -0.271
6 -1.544 -1.196 -0.837 -0.526 -0.335 -0.068 0.1824 0.3405 0.5866 0.8260 1.0710 -0.111
7 -1.109 -0.883 -0.657 -0.416 -0.269 -0.031 0.2087 0.3623 0.6104 0.8354 1.0760 -0.029
8 3 -13.350 -8.830 -5.433 -2.998 -1.886 -0.773 -0.1280 0.1459 0.4599 0.6808 0.8655 -2.210
4 -5.012 -3.565 -2.371 -1.445 -0.937 -0.354 0.0472 0.2438 0.4759 0.6781 0.8936 -0.777
5 -2.666 -1.958 -1.401 -0.847 -0.552 -0.179 0.1075 0.2728 0.4978 0.7166 0.9329 -0.357
6 -1.745 -1.335 -0.950 -0.59 -0.382 -0.093 0.1500 0.2957 0.5183 0.7299 0.9623 -0.178
7 -1.245 -0.969 -0.711 -0.451 -0.294 -0.051 0.1776 0.3150 0.5354 0.7503 0.9782 -0.078
8 -0.979 -0.796 -0.586 -0.383 -0.249 -0.028 0.1955 0.3353 0.5516 0.7563 0.9729 -0.023
9 3 -14.260 -9.22 -5.786 -3.188 -2.053 -0.875 -0.1610 0.1439 0.4634 0.6874 0.8386 -2.310
4 -5.711 -3.959 -2.602 -1.572 -1.017 -0.391 0.0343 0.2324 0.4686 0.6385 0.8078 -0.898
5 -3.094 -2.308 -1.583 -0.973 -0.636 -0.217 0.0899 0.2551 0.4628 0.6425 0.7852 -0.454
6 -1.967 -1.497 -1.075 -0.673 -0.425 -0.134 0.1219 0.2679 0.4696 0.6462 0.8138 -0.243
7 -1.414 -1.096 -0.785 -0.497 -0.323 -0.079 0.1466 0.2867 0.4834 0.6675 0.8348 -0.129
8 -1.085 -0.860 -0.637 -0.413 -0.265 -0.050 0.1650 0.3032 0.4927 0.6782 0.8516 -0.063
9 -0.907 -0.733 -0.552 -0.361 -0.231 -0.025 0.1776 0.3168 0.5077 0.6880 0.8534 -0.024
10 3 -16.470 -10.110 -6.418 -3.492 -2.278 -1.003 -0.2080 0.1037 0.4414 0.6635 0.8342 -2.591
4 -6.082 -4.315 -2.847 -1.741 -1.154 -0.449 0.0039 0.2144 0.4482 0.6179 0.7596 -1.008
5 -3.351 -2.508 -1.727 -1.074 -0.705 -0.252 0.0739 0.2330 0.4424 0.6007 0.7367 -0.531
6 -2.160 -1.650 -1.181 -0.735 -0.482 -0.152 0.1105 0.2500 0.4360 0.5993 0.7439 -0.294
7 -1.559 -1.191 -0.881 -0.540 -0.360 -0.102 0.1312 0.2556 0.4381 0.6009 0.7573 -0.175
8 -1.182 -0.928 -0.681 -0.434 -0.286 -0.060 0.1496 0.2729 0.4537 0.6156 0.7727 -0.096
9 -0.969 -0.765 -0.579 -0.379 -0.246 -0.038 0.1641 0.2847 0.4655 0.6253 0.7836 -0.051
10 -0.840 -0.670 -0.508 -0.331 -0.217 -0.023 0.1759 0.2962 0.4737 0.6342 0.7927 -0.021
11 3 -17.830 -11.130 -6.931 -3.814 -2.495 -1.091 -0.2500 0.0864 0.4469 0.6703 0.8392 -2.813
4 -6.599 -4.654 -3.109 -1.881 -1.250 -0.508 -0.0240 0.1927 0.4431 0.6125 0.7432 -1.119
5 -3.588 -2.702 -1.885 -1.151 -0.757 -0.276 0.0681 0.2333 0.4301 0.5797 0.7137 -0.587
Anexa D
D – 6Tabelul D.2 (continuare) Cuantilele variabilei aleatorii () ηη⋅β= /ˆlnˆ n,rk
N
r Cuantilele variabilei aleatorii ηη⋅β=∧
∧
ln )n,r(k
k 2.5 k 5.0 k 10.0 k 20.0 k 30.0 k 50.0 k 70.0 k 80.0 k 90.0 k 95.0 k 97.5 k m
11 6 -2.395 -1.804 -1.270 -0.799 -0.532 -0.171 0.0925 0.2354 0.4150 0.5581 0.6966 -0.345
7 -1.690 -1.300 -0.934 -0.594 -0.380 -0.110 0.1201 0.2440 0.4153 0.5541 0.6973 -0.206
8 -1.316 -1.023 -0.734 -0.467 -0.313 -0.073 0.1308 0.2520 0.4209 0.5659 0.7105 -0.131
9 -1.045 -0.816 -0.598 -0.391 -0.257 -0.050 0.1446 0.2641 0.4296 0.5723 0.7263 -0.075
10 -0.879 -0.702 -0.529 -0.345 -0.226 -0.029 0.1526 0.2739 0.4356 0.5850 0.7284 -0.041
11 -0.775 -0.623 -0.479 -0.315 -0.199 -0.021 0.1650 0.2833 0.4423 0.5915 0.7356 -0.018
12 3 -18.020 -11.520 -7.221 -4.068 -2.651 -1.168 -0.2930 0.0660 0.4543 0.6882 0.8427 -2.908
4 -6.980 -4.915 -3.335 -2.025 -1.368 -0.571 -0.0410 0.1901 0.4398 0.6202 0.7499 -1.202
5 -4.015 -2.945 -2.009 -1.217 -0.824 -0.318 0.0526 0.2256 0.4216 0.5724 0.6902 -0.648
6 -2.608 -1.932 -1.396 -0.868 -0.573 -0.196 0.0875 0.2277 0.4146 0.5477 0.6778 -0.392
7 -1.843 -1.402 -1.009 -0.637 -0.418 -0.128 0.1099 0.2348 0.3966 0.5383 0.6704 -0.242
8 -1.397 -1.083 -0.792 -0.487 -0.321 -0.088 0.1196 0.2376 0.3967 0.5379 0.6758 -0.154
9 -1.138 -0.879 -0.652 -0.414 -0.274 -0.055 0.1307 0.2459 0.4041 0.5462 0.6768 -0.100
10 -0.925 -0.7359 -0.546 -0.359 -0.233 -0.043 0.1430 0.2547 0.4117 0.5465 0.6912 -0.059
11 -0.789 -0.6391 -0.496 -0.323 -0.209 -0.025 0.1503 0.261 0.4169 0.5570 0.6964 -0.033
12 -0.712 -0.5888 -0.452 -0.300 -0.190 -0.016 0.1602 0.2693 0.4239 0.5635 0.6996 -0.014
13 3 -19.150 -12.790 -7.706 -4.309 -2.782 -1.246 -0.3330 0.0456 0.4302 0.6774 0.8403 -3.245
4 -7.503 -5.502 -3.622 -2.134 -1.470 -0.614 -0.0720 0.1732 0.4419 0.6247 0.7667 -1.326
5 -4.306 -3.125 -2.151 -1.336 -0.896 -0.361 0.0196 0.1990 0.4226 0.5752 0.6919 -0.723
6 -2.735 -2.030 -1.466 -0.916 -0.612 -0.223 0.0668 0.2188 0.4072 0.5392 0.6535 -0.427
7 -1.964 -1.496 -1.083 -0.685 -0.460 -0.149 0.0896 0.2235 0.3957 0.5223 0.6433 -0.281
8 -1.508 -1.164 -0.843 -0.541 -0.344 -0.103 0.1057 0.2264 0.3832 0.5186 0.6398 -0.186
9 -1.196 -0.938 -0.705 -0.446 -0.293 -0.074 0.1203 0.2320 0.3855 0.5206 0.6399 -0.126
10 -1.001 -0.7909 -0.593 -0.380 -0.249 -0.051 0.1285 0.2400 0.3903 0.5301 0.6416 -0.082
11 -0.863 -0.6823 -0.520 -0.338 -0.215 -0.035 0.1392 0.2446 0.4018 0.5401 0.6474 -0.051
12 -0.750 -0.6128 -0.473 -0.307 -0.199 -0.028 0.1448 0.2529 0.4082 0.5424 0.6517 -0.030
13 -0.675 -0.5629 -0.430 -0.287 -0.183 -0.017 0.1507 0.2564 0.4113 0.5485 0.6562 -0.013
14 3 -20.290 -13.280 -8.063 -4.528 -2.935 -1.322 -0.3510 0.0391 0.4407 0.6933 0.8625 -3.416
4 -7.957 -5.708 -3.848 -2.304 -1.544 -0.660 -0.0950 0.1628 0.4468 0.6400 0.7571 -1.430
5 -4.495 -3.312 -2.318 -1.425 -0.948 -0.382 0.0112 0.1947 0.4291 0.5810 0.6869 -0.769
6 -2.943 -2.195 -1.569 -0.978 -0.663 -0.247 0.0611 0.2125 0.3987 0.5407 0.6323 -0.471
7 -2.030 -1.583 -1.161 -0.728 -0.482 -0.164 0.0855 0.2148 0.3886 0.5181 0.6168 -0.308
8 -1.605 -1.2300 -0.903 -0.581 -0.378 -0.116 0.0991 0.2218 0.3748 0.4976 0.6088 -0.210
9 -1.274 -0.9942 -0.742 -0.461 -0.301 -0.084 0.1119 0.2239 0.3691 0.4995 0.6092 -0.144
10 -1.049 -0.8361 -0.623 -0.398 -0.261 -0.060 0.1239 0.2307 0.3658 0.5000 0.6165 -0.099
11 -0.894 -0.7354 -0.544 -0.349 -0.224 -0.043 0.1305 0.2309 0.3740 0.5014 0.6166 -0.068
12 -0.781 -0.6425 -0.476 -0.310 -0.202 -0.028 0.1366 0.2372 0.3823 0.5081 0.6221 -0.042
13 -0.708 -0.578 -0.443 -0.291 -0.184 -0.021 0.1422 0.2443 0.3841 0.508 0.6265 -0.025
14 -0.649 -0.539 -0.406 -0.277 -0.175 -0.012 0.1463 0.2502 0.3914 0.5146 0.6304 -0.012
15 3 -20.640 -13.700 -8.457 -4.756 -3.067 -1.374 -0.3880 0.0334 0.4506 0.7049 0.8810 -3.529
4 -8.353 -5.879 -3.949 -2.392 -1.624 -0.707 -0.1140 0.1552 0.4523 0.6413 0.7795 -1.474
5 -4.830 -3.574 -2.447 -1.505 -1.031 -0.422 -0.0060 0.1938 0.4294 0.5880 0.7090 -0.831
6 -3.193 -2.383 -1.654 -1.046 -0.705 -0.268 0.0557 0.2148 0.4010 0.5352 0.6462 -0.515
7 -2.172 -1.688 -1.210 -0.771 -0.523 -0.179 0.0762 0.2151 0.3839 0.5068 0.6088 -0.336
8 -1.681 -1.305 -0.943 -0.605 -0.406 -0.129 0.0914 0.2145 0.378 0.4918 0.5896 -0.234
Anexa D
D – 7Tabelul D.2 (continuare) Cuantilele variabilei aleatorii () ηη⋅β= /ˆlnˆ n,rk
N
r Cuantilele variabilei aleatorii ηη⋅β=∧
∧
ln )n,r(k
k 2.5 k 5.0 k 10.0 k 20.0 k 30.0 k 50.0 k 70.0 k 80.0 k 90.0 k 95.0 k 97.5 k m
15 9 -1.346 -1.051 -0.764 -0.485 -0.313 -0.092 0.1014 0.2178 0.3615 0.4798 0.5773 -0.162
10 -1.083 -0.8765 -0.647 -0.409 -0.269 -0.070 0.1132 0.2125 0.3575 0.4818 0.5860 -0.115
11 -0.949 -0.7492 -0.558 -0.361 -0.234 -0.047 0.1232 0.2207 0.3596 0.4755 0.5896 -0.080
12 -0.830 -0.6577 -0.491 -0.320 -0.208 -0.036 0.1267 0.2249 0.3641 0.4813 0.5919 -0.055
13 -0.729 -0.5900 -0.449 -0.292 -0.191 -0.029 0.1317 0.2296 0.3693 0.4870 0.5965 -0.035
14 -0.668 -0.5498 -0.417 -0.276 -0.174 -0.020 0.1392 0.2344 0.3724 0.4890 0.6015 -0.021
15 -0.630 -0.5115 -0.389 -0.259 -0.168 -0.014 0.1443 0.2390 0.3791 0.4942 0.6069 -0.010
16 3 -21.220 -13.990 -8.645 -4.857 -3.184 -1.425 -0.4230 0.0242 0.4756 0.7294 0.9043 -3.666
4 -8.834 -6.129 -4.193 -2.488 -1.676 -0.753 -0.1270 0.1500 0.4504 0.6524 0.7919 -1.574
5 -5.026 -3.774 -2.520 -1.591 -1.080 -0.451 -0.0060 0.1992 0.4296 0.5892 0.7029 -0.883
6 -3.292 -2.501 -1.730 -1.100 -0.744 -0.301 0.0476 0.2106 0.3991 0.5378 0.6412 -0.548
7 -2.369 -1.795 -1.277 -0.820 -0.547 -0.197 0.0729 0.2084 0.3730 0.5062 0.5965 -0.366
8 -1.765 -1.4030 -1.012 -0.641 -0.430 -0.138 0.0910 0.2060 0.3664 0.4811 0.5810 -0.258
9 -1.426 -1.1410 -0.812 -0.532 -0.349 -0.102 0.0998 0.2093 0.3540 0.4620 0.5638 -0.187
10 -1.167 -0.9154 -0.677 -0.436 -0.288 -0.078 0.1059 0.2096 0.3452 0.4580 0.5602 -0.134
11 -1.003 -0.8026 -0.586 -0.372 -0.246 -0.057 0.1114 0.2083 0.3438 0.4617 0.5737 -0.097
12 -0.860 -0.6853 -0.517 -0.333 -0.217 -0.042 0.1217 0.2134 0.3486 0.4677 0.5703 -0.068
13 -0.770 -0.6252 -0.464 -0.301 -0.194 -0.029 0.1229 0.2155 0.3478 0.4673 0.5775 -0.047
14 -0.703 -0.5659 -0.426 -0.279 -0.180 -0.022 0.1265 0.2198 0.3520 0.4768 0.5778 -0.033
15 -0.635 -0.5236 -0.398 -0.264 -0.168 -0.018 0.1336 0.2240 0.3551 0.4799 0.5792 -0.020
16 -0.603 -0.4947 -0.379 -0.250 -0.161 -0.009 0.135 0.2284 0.3591 0.4829 0.5845 -0.010
17 3 -22.680 -14.850 -9.052 -5.069 -3.353 -1.487 -0.4330 0.0270 0.4812 0.7382 0.9180 -3.827
4 -9.066 -6.417 -4.299 -2.595 -1.735 -0.781 -0.1390 0.1393 0.4604 0.6580 0.8003 -1.619
5 -5.190 -3.920 -2.668 -1.649 -1.125 -0.477 -0.0180 0.2004 0.4342 0.6068 0.7249 -0.926
6 -3.543 -2.626 -1.853 -1.177 -0.792 -0.317 0.0364 0.2069 0.4024 0.5396 0.6479 -0.596
7 -2.479 -1.873 -1.361 -0.861 -0.584 -0.209 0.0702 0.2116 0.3800 0.5061 0.6102 -0.390
8 -1.878 -1.465 -1.061 -0.678 -0.452 -0.151 0.0809 0.2048 0.3622 0.4775 0.5819 -0.282
9 -1.504 -1.179 -0.859 -0.551 -0.363 -0.107 0.0914 0.2005 0.3517 0.4624 0.5622 -0.202
10 -1.236 -0.9731 -0.708 -0.454 -0.302 -0.080 0.1008 0.2037 0.3338 0.4496 0.5557 -0.147
11 -1.028 -0.8301 -0.610 -0.395 -0.258 -0.063 0.1073 0.2019 0.3315 0.4444 0.5481 -0.110
12 -0.912 -0.7157 -0.525 -0.345 -0.226 -0.048 0.1116 0.2027 0.3333 0.4465 0.5608 -0.081
13 -0.797 -0.6390 -0.477 -0.307 -0.198 -0.033 0.1181 0.2038 0.3378 0.4510 0.5610 -0.056
14 -0.710 -0.5811 -0.438 -0.285 -0.181 -0.027 0.1201 0.2085 0.3395 0.4495 0.5647 -0.041
15 -0.646 -0.5342 -0.406 -0.267 -0.170 -0.021 0.1246 0.2140 0.3441 0.4552 0.5667 -0.028
16 -0.610 -0.4947 -0.381 -0.252 -0.159 -0.015 0.1301 0.2164 0.3437 0.4609 0.5680 -0.017
17 -0.575 -0.4678 -0.364 -0.239 -0.151 -0.011 0.1325 0.2212 0.3469 0.4628 0.5715 -0.009
18 3 -24.290 -15.200 -9.255 -5.163 -3.450 -1.541 -0.4410 0.0188 0.4834 0.7475 0.9241 -3.939
4 -9.349 -6.540 -4.406 -2.678 -1.816 -0.807 -0.1430 0.1451 0.4532 0.6512 0.8075 -1.669
5 -5.491 -3.973 -2.769 -1.723 -1.183 -0.496 -0.0180 0.1976 0.4297 0.5980 0.7316 -0.959
6 -3.639 -2.714 -1.945 -1.224 -0.830 -0.339 0.0304 0.2036 0.4103 0.5479 0.6552 -0.627
7 -2.580 -1.961 -1.418 -0.911 -0.621 -0.228 0.0675 0.2113 0.3776 0.5051 0.6220 -0.418
8 -1.959 -1.5140 -1.113 -0.710 -0.476 -0.164 0.0793 0.2095 0.3572 0.4767 0.5780 -0.299
9 -1.547 -1.2270 -0.898 -0.577 -0.387 -0.117 0.0904 0.2049 0.3483 0.4585 0.5694 -0.219
10 -1.289 -1.0240 -0.737 -0.470 -0.308 -0.089 0.0958 0.2026 0.3375 0.4450 0.5522 -0.161
11 -1.099 -0.8656 -0.643 -0.408 -0.265 -0.067 0.1063 0.2012 0.3278 0.4389 0.5381 -0.122
12 -0.954 -0.7601 -0.557 -0.360 -0.238 -0.054 0.1067 0.1986 0.3238 0.4350 0.5379 -0.093
Anexa D
D – 8Tabelul D.2 (continuare) Cuantilele variabilei aleatorii () ηη⋅β= /ˆlnˆ n,rk
N
r Cuantilele variabilei aleatorii ηη⋅β=∧
∧
ln )n,r(k
k 2.5 k 5.0 k 10.0 k 20.0 k 30.0 k 50.0 k 70.0 k 80.0 k 90.0 k 95.0 k 97.5 k m
18 13 -0.833 -0.6539 -0.488 -0.321 -0.213 -0.042 0.1114 0.2013 0.3225 0.4425 0.5429 -0.069
14 -0.741 -0.5883 -0.444 -0.289 -0.189 -0.031 0.1144 0.2031 0.3287 0.4428 0.5416 -0.049
15 -0.668 -0.546 -0.416 -0.273 -0.173 -0.025 0.1157 0.2071 0.3297 0.4450 0.5442 -0.036
16 -0.619 -0.5048 -0.392 -0.255 -0.165 -0.018 0.1218 0.2080 0.3329 0.4457 0.5438 -0.025
17 -0.576 -0.4752 -0.367 -0.242 -0.154 -0.016 0.1247 0.2088 0.3373 0.4478 0.5477 -0.015
18 -0.550 -0.4553 -0.349 -0.232 -0.149 -0.009 0.1288 0.2134 0.3391 0.4510 0.5499 -0.008
19 3 -24.130 -15.110 -9.384 -5.193 -3.467 -1.5710 -0.4560 0.0212 0.4854 0.7656 0.9522 -3.940
4 -10.050 -6.697 -4.565 -2.759 -1.898 -0.8235 -0.1473 0.1514 0.4710 0.6620 0.8112 -1.728
5 -5.520 -4.105 -2.886 -1.808 -1.224 -0.5290 -0.0412 0.1850 0.4310 0.5980 0.7300 -1.002
6 -3.724 -2.847 -2.034 -1.285 -0.858 -0.3610 0.0222 0.1971 0.4103 0.5628 0.6697 -0.656
7 -2.700 -2.052 -1.474 -0.944 -0.652 -0.2470 0.0524 0.2074 0.3817 0.5087 0.6127 -0.443
8 -2.044 -1.573 -1.148 -0.752 -0.509 -0.175 0.0751 0.207 0.3626 0.4776 0.5821 -0.320
9 -1.623 -1.273 -0.945 -0.597 -0.413 -0.133 0.0891 0.2024 0.348 0.4631 0.5626 -0.237
10 -1.355 -1.072 -0.781 -0.500 -0.331 -0.102 0.093 0.1993 0.3385 0.447 0.5442 -0.178
11 -1.141 -0.8859 -0.663 -0.424 -0.279 -0.074 0.0981 0.1987 0.3305 0.4384 0.5283 -0.133
12 -0.982 -0.7829 -0.577 -0.375 -0.245 -0.059 0.1012 0.1944 0.3166 0.4287 0.527 -0.104
13 -0.861 -0.6865 -0.511 -0.334 -0.216 -0.048 0.1038 0.1919 0.317 0.4256 0.5284 -0.080
14 -0.766 -0.6115 -0.467 -0.304 -0.195 -0.035 0.1093 0.1944 0.3171 0.4288 0.527 -0.060
15 -0.687 -0.5540 -0.424 -0.276 -0.180 -0.027 0.1122 0.1939 0.3193 0.4281 0.5332 -0.044
16 -0.635 -0.5122 -0.399 -0.257 -0.165 -0.023 0.1129 0.1989 0.3196 0.4297 0.5322 -0.032
17 -0.589 -0.4844 -0.374 -0.242 -0.159 -0.019 0.1167 0.2003 0.3245 0.4324 0.5339 -0.023
18 -0.557 -0.4633 -0.350 -0.234 -0.152 -0.013 0.1201 0.2041 0.3254 0.4359 0.5339 -0.014
19 -0.535 -0.440 -0.334 -0.224 -0.143 -0.010 0.1219 0.2048 0.3292 0.4386 0.5355 -0.008
20 3 -22.380 -14.810 -9.254 -5.270 -3.472 -1.626 -0.487 0.0072 0.5096 0.7851 0.9826 -3.966
4 -9.634 -6.706 -4.588 -2.872 -1.958 -0.865 -0.155 0.1560 0.4818 0.6939 0.8584 -1.753
5 -5.645 -4.219 -2.998 -1.893 -1.264 -0.555 -0.043 0.1900 0.4617 0.6300 0.7573 -1.032
6 -3.882 -2.898 -2.072 -1.311 -0.899 -0.362 0.0293 0.2113 0.4190 0.5600 0.6734 -0.670
7 -2.767 -2.170 -1.553 -1.019 -0.670 -0.258 0.0624 0.2251 0.3978 0.5291 0.6269 -0.471
8 -2.183 -1.6930 -1.226 -0.781 -0.533 -0.183 0.0855 0.2092 0.3717 0.4907 0.5776 -0.341
9 -1.686 -1.3460 -0.998 -0.631 -0.422 -0.137 0.0885 0.2074 0.3564 0.4661 0.5504 -0.249
10 -1.388 -1.1120 -0.805 -0.529 -0.350 -0.112 0.0990 0.2034 0.3464 0.4477 0.5406 -0.187
11 -1.189 -0.9376 -0.692 -0.454 -0.303 -0.082 0.1042 0.2078 0.3349 0.4314 0.5234 -0.145
12 -1.019 -0.8039 -0.603 -0.397 -0.258 -0.064 0.1109 0.1987 0.3201 0.4210 0.5199 -0.112
13 -0.879 -0.7042 -0.527 -0.346 -0.229 -0.050 0.1082 0.1981 0.3177 0.4161 0.5083 -0.085
14 -0.796 -0.6274 -0.472 -0.308 -0.204 -0.038 0.1096 0.1952 0.3168 0.4131 0.5064 -0.066
15 -0.699 -0.5629 -0.433 -0.282 -0.186 -0.034 0.1088 0.1940 0.3162 0.4210 0.5023 -0.049
16 -0.646 -0.5288 -0.404 -0.265 -0.171 -0.027 0.1121 0.1969 0.3159 0.4216 0.5061 -0.038
17 -0.610 -0.4896 -0.377 -0.249 -0.160 -0.022 0.1147 0.2014 0.3159 0.4210 0.514 -0.027
18 -0.567 -0.4654 -0.358 -0.236 -0.156 -0.014 0.1172 0.2019 0.3218 0.4259 0.5132 -0.019
19 -0.538 -0.4399 -0.342 -0.227 -0.145 -0.012 0.1203 0.2060 0.3234 0.4282 0.5199 -0.011
20 -0.512 -0.4269 -0.329 -0.219 -0.137 -0.010 0.1235 0.2062 0.3268 0.431 0.5214 -0.005
Anexa D
D – 9
Tabelul D.3 Cuantilele variabilei aleatorii ()10,0 10,0t tˆlnˆ 10,0;n;ru ⋅β=
N
r Cuantilele variabilei aleatorii
10,010,0
ttˆ
ln )10.0;n;r(u ⋅β=∧
u 2.5 u 5.0 u 10.0 u 20.0 u 30.0 u 50.0 u 70.0 u 80.0 u 90.0 u 95.0 u 97.5 u m
3 3 -1.692 -1.388 -1.020 -0.498 -0.022 0.9970 2.561 4.002 6.965 11.360 16.850 2.710
4 3 -1.566 -1.289 -0.948 -0.489 -0.031 0.9632 2.544 3.896 6.898 10.870 16.820 2.605
4 -1.464 -1.235 -0.944 -0.501 -0.124 0.6556 1.716 2.578 4.272 6.274 8.637 1.389
5 3 -1.537 -1.255 -0.920 -0.476 -0.084 0.8505 2.377 3.710 6.753 10.610 16.050 2.4650
4 -1.389 -1.166 -0.876 -0.475 -0.132 0.6295 1.678 2.522 4.266 6.334 8.966 1.3980
5 -1.354 -1.151 -0.867 -0.489 -0.182 0.4905 1.344 2.019 3.135 4.613 6.063 0.9493
6 3 -1.572 -1.245 -0.896 -0.469 -0.106 0.7288 2.121 3.348 6.117 10.130 15.300 2.2600
4 -1.322 -1.108 -0.827 -0.444 -0.122 0.5866 1.602 2.445 4.127 6.071 8.698 1.3440
5 -1.280 -1.074 -0.814 -0.455 -0.162 0.4693 1.334 1.974 3.118 4.569 6.032 0.9523
6 -1.264 -1.062 -0.806 -0.472 -0.196 0.3828 1.121 1.677 2.611 3.570 4.743 0.7213
7 3 -1.678 -1.246 -0.906 -0.486 -0.145 0.6426 1.9210 3.082 5.543 8.861 13.860 2.1470
4 -1.302 -1.075 -0.812 -0.444 -0.139 0.5282 1.5190 2.333 3.881 5.784 7.924 1.2440
5 -1.235 -1.032 -0.789 -0.446 -0.157 0.4354 1.2720 1.907 3.058 4.462 5.837 0.9243
6 -1.211 -1.019 -0.782 -0.444 -0.172 0.3792 1.1000 1.654 2.597 3.571 4.716 0.7299
7 -1.194 -0.999 -0.780 -0.449 -0.200 0.3213 0.9735 1.445 2.239 3.034 3.863 0.5815
8 3 -1.791 -1.303 -0.920 -0.505 -0.170 0.5694 1.7190 2.846 5.150 8.04 12.630 1.9160
4 -1.276 -1.059 -0.809 -0.443 -0.153 0.4801 1.4160 2.145 3.623 5.247 7.390 1.1400
5 -1.170 -0.984 -0.768 -0.431 -0.156 0.4158 1.1960 1.831 2.892 4.162 5.646 0.8701
6 -1.148 -0.969 -0.755 -0.434 -0.167 0.3676 1.0630 1.589 2.490 3.437 4.637 0.7107
7 -1.136 -0.967 -0.749 -0.436 -0.187 0.3211 0.9498 1.421 2.184 2.984 3.852 0.5802
8 -1.121 -0.954 -0.745 -0.442 -0.193 0.2741 0.8466 1.268 1.912 2.626 3.242 0.4822
9 3 -1.890 -1.357 -0.922 -0.518 -0.198 0.4721 1.506 2.484 4.512 7.258 11.270 1.4960
4 -1.286 -1.045 -0.775 -0.434 -0.157 0.4210 1.267 1.950 3.328 4.898 6.958 1.0070
5 -1.160 -0.975 -0.737 -0.422 -0.155 0.3825 1.123 1.707 2.729 3.907 5.234 0.7970
6 -1.116 -0.947 -0.718 -0.417 -0.164 0.3338 1.011 1.512 2.385 3.321 4.363 0.6642
7 -1.104 -0.935 -0.712 -0.414 -0.178 0.3040 0.8901 1.337 2.085 2.958 3.818 0.5546
8 -1.086 -0.929 -0.714 -0.419 -0.187 0.2629 0.8093 1.217 1.878 2.581 3.274 0.4741
9 -1.084 -0.927 -0.708 -0.416 -0.192 0.2314 0.7561 1.131 1.743 2.301 2.943 0.4056
10 3 -2.043 -1.479 -0.957 -0.544 -0.229 0.4042 1.3690 2.303 4.338 7.075 10.930 1.4110
4 -1.286 -1.021 -0.776 -0.448 -0.172 0.3766 1.1650 1.846 3.195 4.789 6.702 0.9504
5 -1.137 -0.943 -0.727 -0.420 -0.165 0.3523 1.0470 1.600 2.622 3.839 5.169 0.7562
6 -1.079 -0.912 -0.705 -0.416 -0.167 0.3227 0.9620 1.423 2.299 3.172 4.226 0.6320
7 -1.060 -0.896 -0.696 -0.418 -0.176 0.3000 0.8714 1.295 2.031 2.875 3.640 0.5472
8 -1.052 -0.893 -0.691 -0.415 -0.184 0.256 0.7951 1.192 1.815 2.523 3.263 0.4662
9 -1.043 -0.893 -0.687 -0.412 -0.189 0.2288 0.7390 1.103 1.711 2.285 2.906 0.4094
10 -1.049 -0.883 -0.681 -0.412 -0.197 0.2085 0.6902 1.028 1.595 2.114 2.619 0.3581
11 3 -2.247 -1.550 -1.006 -0.563 -0.245 0.3476 1.2670 2.140 4.017 6.518 10.040 1.2800
4 -1.312 -1.028 -0.780 -0.450 -0.180 0.3469 1.0890 1.744 3.017 4.559 6.481 0.8836
5 -1.115 -0.930 -0.709 -0.417 -0.163 0.3304 0.9654 1.505 2.508 3.722 4.986 0.7093
Anexa D
D – 10Tabelul D.3 (continuare) Cuantilele variabilei aleatorii ()10,0 10,0t tˆlnˆ 10,0;n;ru ⋅β=
N
r Cuantilele variabilei aleatorii
10,010,0
ttˆ
ln )10.0;n;r(u ⋅β=∧
u 2.5 u 5.0 u 10.0 u 20.0 u 30.0 u 50.0 u 70.0 u 80.0 u 90.0 u 95.0 u 97.5 u m
11 6 -1.062 -0.896 -0.686 -0.409 -0.161 0.3114 0.8933 1.368 2.223 3.098 4.088 0.6051
7 -1.039 -0.880 -0.676 -0.402 -0.167 0.2898 0.8271 1.240 1.967 2.768 3.521 0.5221
8 -1.030 -0.874 -0.667 -0.397 -0.168 0.2590 0.7796 1.167 1.791 2.491 3.196 0.4623
9 -1.022 -0.867 -0.668 -0.402 -0.183 0.2237 0.7235 1.078 1.658 2.249 2.923 0.4046
10 -1.019 -0.860 -0.656 -0.391 -0.186 0.2071 0.6745 1.006 1.554 2.116 2.596 0.3596
11 -1.008 -0.858 -0.657 -0.389 -0.190 0.1881 0.6383 0.9492 1.455 1.948 2.394 0.3200
12 3 -2.436 -1.625 -1.069 -0.585 -0.277 0.3017 1.165 1.9810 3.699 6.040 9.157 1.0990
4 -1.362 -1.048 -0.774 -0.456 -0.196 0.3235 1.023 1.6470 2.847 4.273 6.246 0.8107
5 -1.100 -0.921 -0.708 -0.405 -0.171 0.3079 0.9216 1.4520 2.391 3.476 4.661 0.6700
6 -1.029 -0.872 -0.677 -0.393 -0.166 0.2846 0.8498 1.3060 2.124 2.945 3.953 0.5750
7 -0.995 -0.853 -0.667 -0.388 -0.173 0.2684 0.8045 1.1990 1.907 2.635 3.393 0.5025
8 -0.984 -0.844 -0.659 -0.391 -0.174 0.2424 0.7552 1.1220 1.753 2.405 3.110 0.4446
9 -0.973 -0.840 -0.654 -0.381 -0.176 0.2202 0.7075 1.0500 1.637 2.241 2.811 0.3994
10 -0.975 -0.837 -0.647 -0.380 -0.187 0.2016 0.6655 0.9846 1.512 2.048 2.610 0.3547
11 -0.969 -0.835 -0.644 -0.389 -0.189 0.1866 0.6392 0.9284 1.442 1.922 2.421 0.3208
12 -0.965 -0.825 -0.641 -0.386 -0.186 0.1725 0.5907 0.8931 1.366 1.795 2.211 0.2890
13 3 -2.675 -1.771 -1.149 -0.620 -0.316 0.2511 1.0910 1.8610 3.582 5.951 9.329 1.0270
4 -1.383 -1.062 -0.777 -0.467 -0.222 0.2852 0.9826 1.5840 2.719 4.219 6.052 0.7837
5 -1.107 -0.904 -0.689 -0.42 -0.192 0.2758 0.9084 1.4080 2.326 3.461 4.596 0.6451
6 -1.028 -0.850 -0.659 -0.400 -0.182 0.2577 0.8477 1.2730 2.064 2.922 3.917 0.5510
7 -0.987 -0.825 -0.646 -0.393 -0.174 0.2450 0.7909 1.2070 1.887 2.621 3.339 0.4893
8 -0.977 -0.814 -0.640 -0.388 -0.179 0.2367 0.7390 1.1110 1.737 2.383 3.041 0.4376
9 -0.968 -0.809 -0.630 -0.392 -0.178 0.2092 0.6981 1.0420 1.648 2.190 2.805 0.3942
10 -0.964 -0.809 -0.628 -0.386 -0.180 0.1903 0.6567 0.9767 1.541 2.055 2.593 0.3547
11 -0.966 -0.805 -0.634 -0.386 -0.187 0.1745 0.6282 0.9361 1.415 1.908 2.428 0.32
12 -0.957 -0.797 -0.625 -0.381 -0.189 0.1708 0.5912 0.8986 1.347 1.799 2.225 0.2925
13 -0.942 -0.790 -0.625 -0.379 -0.184 0.1546 0.5613 0.8413 1.274 1.681 2.100 0.2643
14 3 -2.867 -1.874 -1.214 -0.645 -0.330 0.2046 0.9919 1.714 3.393 5.459 8.779 0.8839
4 -1.441 -1.068 -0.784 -0.475 -0.220 0.255 0.9269 1.491 2.637 4.013 5.899 0.7253
5 -1.122 -0.903 -0.686 -0.416 -0.185 0.2503 0.8595 1.345 2.261 3.256 4.394 0.6047
6 -1.028 -0.845 -0.653 -0.393 -0.172 0.2435 0.797 1.227 2.002 2.834 3.731 0.5261
7 -0.982 -0.815 -0.635 -0.383 -0.168 0.2277 0.758 1.164 1.819 2.582 3.267 0.4682
8 -0.959 -0.803 -0.628 -0.378 -0.167 0.2185 0.7166 1.084 1.682 2.314 2.934 0.4211
9 -0.949 -0.796 -0.624 -0.374 -0.174 0.2029 0.6814 1.006 1.584 2.151 2.714 0.3813
10 -0.946 -0.798 -0.616 -0.375 -0.172 0.1874 0.6496 0.946 1.498 2.003 2.529 0.3468
11 -0.937 -0.789 -0.611 -0.375 -0.177 0.1787 0.6169 0.9133 1.398 1.902 2.366 0.3187
12 -0.945 -0.784 -0.608 -0.372 -0.181 0.1694 0.5893 0.8805 1.327 1.769 2.239 0.2897
13 -0.934 -0.779 -0.606 -0.367 -0.189 0.1612 0.5512 0.8431 1.263 1.669 2.080 0.2661
14 -0.924 -0.772 -0.602 -0.374 -0.184 0.1430 0.5237 0.7994 1.205 1.574 1.934 0.2437
15 3 -3.144 -2.033 -1.286 -0.684 -0.371 0.1605 0.8969 1.594 3.143 5.093 7.593 0.7402
4 -1.460 -1.124 -0.789 -0.484 -0.236 0.2218 0.8734 1.404 2.478 3.811 5.474 0.6543
5 -1.141 -0.904 -0.682 -0.421 -0.194 0.2357 0.8084 1.280 2.161 3.157 4.241 0.5658
6 -1.015 -0.837 -0.641 -0.392 -0.178 0.2308 0.7697 1.177 1.909 2.704 3.558 0.4997
7 -0.961 -0.800 -0.620 -0.385 -0.171 0.2220 0.7334 1.107 1.763 2.451 3.132 0.4467
8 -0.933 -0.787 -0.610 -0.376 -0.174 0.2067 0.6983 1.055 1.646 2.256 2.800 0.4047
Anexa D
D – 11Tabelul D.3 (continuare) Cuantilele variabilei aleatorii ()10,0 10,0t tˆlnˆ 10,0;n;ru ⋅β=
N
r Cuantilele variabilei aleatorii
10,010,0
ttˆ
ln )10.0;n;r(u ⋅β=∧
u 2.5 u 5.0 u 10.0 u 20.0 u 30.0 u 50.0 u 70.0 u 80.0 u 90.0 u 95.0 u 97.5 u m
15 9 -0.926 -0.781 -0.608 -0.371 -0.177 0.2013 0.6704 0.9867 1.539 2.098 2.633 0.3679
10 -0.922 -0.772 -0.602 -0.366 -0.174 0.1877 0.6306 0.9305 1.460 1.949 2.470 0.3374
11 -0.913 -0.765 -0.599 -0.367 -0.172 0.1747 0.5992 0.8853 1.376 1.873 2.344 0.3100
12 -0.908 -0.763 -0.596 -0.367 -0.175 0.1655 0.5806 0.8588 1.303 1.771 2.170 0.2860
13 -0.897 -0.763 -0.597 -0.364 -0.184 0.1607 0.5476 0.8202 1.244 1.643 2.088 0.2631
14 -0.889 -0.757 -0.591 -0.366 -0.187 0.1490 0.5231 0.7958 1.193 1.570 1.961 0.2445
15 -0.888 -0.753 -0.585 -0.366 -0.183 0.1354 0.5069 0.7605 1.148 1.482 1.864 0.2256
16 3 -3.347 -2.103 -1.327 -0.709 -0.392 0.1258 0.8188 1.4670 3.025 4.940 7.715 0.6548
4 -1.522 -1.159 -0.805 -0.481 -0.252 0.1922 0.8033 1.3370 2.419 3.739 5.353 0.6191
5 -1.143 -0.903 -0.671 -0.412 -0.205 0.2124 0.7757 1.2340 2.080 3.071 4.190 0.5424
6 -0.999 -0.824 -0.629 -0.387 -0.186 0.2103 0.7369 1.1400 1.870 2.721 3.589 0.4803
7 -0.939 -0.794 -0.606 -0.373 -0.175 0.2012 0.7004 1.0780 1.721 2.456 3.210 0.4336
8 -0.915 -0.781 -0.596 -0.367 -0.173 0.1964 0.667 1.0200 1.612 2.238 2.921 0.3951
9 -0.905 -0.775 -0.590 -0.360 -0.176 0.1913 0.6429 0.9775 1.515 2.071 2.617 0.3640
10 -0.897 -0.770 -0.585 -0.356 -0.178 0.1813 0.6089 0.9346 1.460 1.975 2.407 0.3346
11 -0.894 -0.768 -0.584 -0.361 -0.172 0.1709 0.5762 0.8837 1.379 1.859 2.324 0.3080
12 -0.887 -0.760 -0.581 -0.356 -0.176 0.1561 0.553 0.8375 1.314 1.771 2.157 0.2828
13 -0.878 -0.759 -0.581 -0.355 -0.176 0.1505 0.5353 0.8054 1.257 1.674 2.046 0.2633
14 -0.878 -0.748 -0.574 -0.355 -0.175 0.1433 0.5186 0.7777 1.204 1.579 1.919 0.2453
15 -0.874 -0.744 -0.576 -0.354 -0.177 0.1395 0.4946 0.7474 1.148 1.498 1.853 0.2271
16 -0.866 -0.734 -0.571 -0.355 -0.178 0.1305 0.4727 0.7129 1.090 1.441 1.761 0.2095
17 3 -3.671 -2.292 -1.396 -0.755 -0.409 0.0979 0.7471 1.346 2.722 4.694 7.249 0.5554
4 -1.565 -1.195 -0.819 -0.487 -0.265 0.1725 0.7552 1.247 2.251 3.565 5.192 0.5608
5 -1.158 -0.921 -0.681 -0.417 -0.212 0.1971 0.7348 1.175 2.000 2.937 3.995 0.5019
6 -1.002 -0.826 -0.629 -0.383 -0.187 0.1997 0.7178 1.100 1.823 2.614 3.448 0.4592
7 -0.926 -0.779 -0.602 -0.367 -0.178 0.1927 0.6696 1.035 1.662 2.373 3.093 0.4126
8 -0.902 -0.757 -0.589 -0.356 -0.176 0.1896 0.6471 0.9848 1.576 2.185 2.828 0.3813
9 -0.881 -0.748 -0.583 -0.354 -0.176 0.1785 0.6269 0.9366 1.476 2.035 2.562 0.3498
10 -0.871 -0.743 -0.577 -0.351 -0.172 0.1763 0.5933 0.9040 1.397 1.903 2.402 0.3231
11 -0.865 -0.739 -0.577 -0.352 -0.172 0.1665 0.5638 0.8592 1.342 1.831 2.285 0.3017
12 -0.867 -0.742 -0.570 -0.353 -0.173 0.1561 0.5572 0.8215 1.274 1.730 2.174 0.2799
13 -0.860 -0.735 -0.569 -0.352 -0.177 0.1443 0.5272 0.7885 1.224 1.643 2.072 0.2572
14 -0.855 -0.730 -0.563 -0.350 -0.185 0.1416 0.5108 0.7754 1.176 1.574 1.952 0.2428
15 -0.851 -0.723 -0.561 -0.349 -0.174 0.1304 0.4863 0.7404 1.134 1.488 1.838 0.2272
16 -0.848 -0.724 -0.568 -0.351 -0.179 0.1296 0.4690 0.7137 1.090 1.429 1.762 0.2111
17 -0.841 -0.713 -0.559 -0.348 -0.182 0.1190 0.4613 0.6872 1.042 1.370 1.690 0.1962
18 3 -3.759 -2.463 -1.466 -0.793 -0.430 0.0678 0.6974 1.2590 2.558 4.428 6.919 0.4754
4 -1.621 -1.212 -0.835 -0.489 -0.272 0.1489 0.7191 1.1700 2.129 3.417 4.993 0.5084
5 -1.171 -0.925 -0.675 -0.412 -0.217 0.1780 0.7060 1.1120 1.897 2.820 3.932 0.4758
6 -0.998 -0.814 -0.621 -0.374 -0.192 0.1874 0.6833 1.0580 1.777 2.493 3.337 0.4357
7 -0.928 -0.773 -0.588 -0.355 -0.181 0.1832 0.6456 1.0080 1.593 2.288 2.988 0.3956
8 -0.886 -0.756 -0.576 -0.349 -0.178 0.1761 0.6223 0.9566 1.514 2.135 2.722 0.3662
9 -0.869 -0.740 -0.568 -0.344 -0.170 0.1713 0.6059 0.9155 1.437 1.976 2.511 0.3391
10 -0.860 -0.732 -0.565 -0.342 -0.168 0.1640 0.5751 0.8841 1.351 1.868 2.369 0.3119
11 -0.856 -0.729 -0.563 -0.341 -0.172 0.1581 0.5522 0.8453 1.304 1.744 2.265 0.2937
Anexa D
D – 12Tabelul D.3 (continuare) Cuantilele variabilei aleatorii ()10,0 10,0t tˆlnˆ 10,0;n;ru ⋅β=
N
r Cuantilele variabilei aleatorii
10,010,0
ttˆ
ln )10.0;n;r(u ⋅β=∧
u 2.5 u 5.0 u 10.0 u 20.0 u 30.0 u 50.0 u 70.0 u 80.0 u 90.0 u 95.0 u 97.5 u m
18 12 -0.850 -0.725 -0.554 -0.335 -0.168 0.1546 0.5389 0.8142 1.249 1.684 2.131 0.2759
13 -0.849 -0.724 -0.557 -0.336 -0.169 0.1502 0.5220 0.7814 1.212 1.633 2.011 0.2575
14 -0.844 -0.724 -0.558 -0.342 -0.171 0.1408 0.4965 0.7594 1.165 1.528 1.936 0.2395
15 -0.841 -0.716 -0.554 -0.340 -0.173 0.1357 0.4843 0.7384 1.127 1.471 1.840 0.2271
16 -0.838 -0.709 -0.552 -0.335 -0.171 0.1323 0.4710 0.7037 1.077 1.435 1.750 0.2126
17 -0.827 -0.700 -0.550 -0.333 -0.173 0.1221 0.4514 0.6869 1.046 1.365 1.676 0.1994
18 -0.824 -0.696 -0.545 -0.329 -0.174 0.1106 0.4461 0.6608 0.991 1.311 1.615 0.1861
19 3 -3.849 -2.555 -1.521 -0.829 -0.454 0.0334 0.6484 1.1400 2.332 4.061 6.315 0.3595
4 -1.715 -1.252 -0.864 -0.509 -0.279 0.1387 0.6832 1.1130 2.033 3.227 4.630 0.4566
5 -1.182 -0.934 -0.677 -0.414 -0.214 0.1697 0.6833 1.0620 1.833 2.733 3.766 0.4423
6 -1.004 -0.808 -0.613 -0.377 -0.191 0.1784 0.6506 1.0290 1.670 2.415 3.120 0.4067
7 -0.918 -0.766 -0.586 -0.358 -0.179 0.1762 0.6285 0.9759 1.566 2.210 2.858 0.3760
8 -0.884 -0.737 -0.571 -0.348 -0.174 0.1729 0.5983 0.9363 1.493 2.039 2.614 0.3500
19 9 -0.864 -0.725 -0.564 -0.346 -0.171 0.1678 0.5792 0.8958 1.413 1.934 2.441 0.3263
10 -0.853 -0.719 -0.560 -0.341 -0.172 0.1611 0.5611 0.8675 1.341 1.828 2.297 0.3051
11 -0.841 -0.714 -0.552 -0.343 -0.172 0.1560 0.5417 0.8365 1.283 1.706 2.213 0.2840
12 -0.838 -0.711 -0.551 -0.333 -0.172 0.1513 0.5258 0.8006 1.231 1.636 2.095 0.2683
13 -0.837 -0.706 -0.547 -0.333 -0.171 0.1459 0.5189 0.7719 1.194 1.582 1.949 0.2527
14 -0.837 -0.703 -0.545 -0.330 -0.172 0.134 0.4931 0.7444 1.156 1.518 1.914 0.2374
15 -0.834 -0.706 -0.547 -0.337 -0.177 0.1294 0.4765 0.7220 1.121 1.462 1.821 0.2228
16 -0.833 -0.697 -0.542 -0.331 -0.174 0.1225 0.4656 0.7070 1.081 1.417 1.749 0.2107
17 -0.829 -0.693 -0.536 -0.328 -0.175 0.1225 0.4480 0.6776 1.028 1.359 1.673 0.1991
18 -0.819 -0.689 -0.536 -0.336 -0.174 0.1152 0.4364 0.6566 1.002 1.307 1.606 0.1868
19 -0.812 -0.684 -0.524 -0.327 -0.177 0.1061 0.4272 0.6377 0.958 1.267 1.556 0.1744
20 3 -3.944 -2.576 -1.578 -0.855 -0.480 0.0161 0.5899 1.0760 2.159 3.560 5.545 0.2555
4 -1.759 -1.292 -0.882 -0.518 -0.289 0.1155 0.6356 1.0500 1.874 2.857 4.043 0.3976
5 -1.229 -0.946 -0.677 -0.420 -0.227 0.1585 0.6402 1.0230 1.715 2.505 3.397 0.3961
6 -0.974 -0.795 -0.606 -0.377 -0.194 0.1699 0.6256 0.9788 1.601 2.282 2.987 0.3791
7 -0.899 -0.742 -0.576 -0.356 -0.180 0.1746 0.6080 0.9412 1.510 2.114 2.728 0.3592
8 -0.854 -0.721 -0.563 -0.344 -0.174 0.1701 0.5851 0.9020 1.425 1.988 2.544 0.3370
9 -0.834 -0.709 -0.549 -0.338 -0.173 0.1663 0.5703 0.8777 1.351 1.848 2.396 0.3152
10 -0.828 -0.701 -0.543 -0.335 -0.171 0.1582 0.5497 0.8487 1.292 1.750 2.214 0.2957
11 -0.823 -0.695 -0.541 -0.335 -0.169 0.1492 0.5381 0.8112 1.239 1.677 2.125 0.2792
12 -0.819 -0.692 -0.537 -0.332 -0.173 0.1474 0.5209 0.7895 1.209 1.601 2.010 0.2627
13 -0.816 -0.694 -0.531 -0.328 -0.173 0.1405 0.5051 0.7611 1.162 1.532 1.927 0.2483
14 -0.815 -0.688 -0.532 -0.328 -0.175 0.1314 0.4918 0.7362 1.145 1.494 1.890 0.2359
15 -0.807 -0.687 -0.533 -0.328 -0.174 0.1273 0.4746 0.7067 1.100 1.442 1.789 0.2225
16 -0.799 -0.682 -0.523 -0.326 -0.172 0.1211 0.4644 0.6841 1.064 1.408 1.732 0.2115
17 -0.798 -0.681 -0.526 -0.324 -0.166 0.1130 0.4503 0.6739 1.024 1.360 1.654 0.1999
18 -0.789 -0.673 -0.519 -0.322 -0.173 0.1115 0.4342 0.6523 0.9946 1.317 1.610 0.1893
19 -0.787 -0.672 -0.514 -0.322 -0.174 0.1084 0.4238 0.6395 0.9692 1.268 1.576 0.1792
20 -0.784 -0.664 -0.511 -0.318 -0.173 0.1006 0.4090 0.6167 0.9315 1.223 1.508 0.1682
Anexa D
D – 13
Tabelul D.4 Cuantilele variabilei aleatorii ()50,0 50,0t tˆlnˆ 50,0;n;ru ⋅β=
N
r Cuantilele variabilei aleatoare
50,050,0
ttˆ
ln )50.0;n;r(u ⋅β=∧
u 2.5 u 5.0 u 10.0 u 20.0 u 30.0 u 50.0 u 70.0 u 80.0 u 90.0 u 95.0 u 97.5 u m
3 3 -3.020 -2.037 -1.308 -0.745 -0.441 0.0423 0.6095 1.0610 1.960 3.118 4.642 0.2319
4 3 -4.673 -2.967 -1.829 -0.992 -0.585 -0.0890 0.3896 0.7399 1.422 2.241 3.507 -0.2020
4 -1.775 -1.32 -0.916 -0.572 -0.340 0.0375 0.4652 0.7793 1.332 1.936 2.632 0.1486
5 3 -6.034 -3.894 -2.407 -1.300 -0.784 -0.2080 0.2343 0.5277 1.071 1.736 2.557 -0.6060
4 -2.305 -1.692 -1.102 -0.642 -0.397 -0.0460 0.3485 0.6178 1.099 1.640 2.273 -0.0230
5 -1.316 -1.032 -0.764 -0.480 -0.288 0.0200 0.3917 0.6396 1.063 1.510 2.059 0.1083
6 3 -7.405 -4.934 -2.989 -1.583 -0.977 -0.312 0.1432 0.4085 0.8261 1.324 1.949 -0.9410
4 -2.898 -2.014 -1.353 -0.783 -0.479 -0.097 0.2543 0.4967 0.8942 1.360 1.875 -0.2020
5 -1.608 -1.211 -0.860 -0.515 -0.314 -0.023 0.3082 0.5412 0.9162 1.307 1.793 0.0113
6 -1.119 -0.884 -0.662 -0.422 -0.257 0.0165 0.3365 0.5597 0.9017 1.272 1.642 0.0837
7 3 -8.864 -5.782 -3.561 -1.918 -1.185 -0.4130 0.0767 0.3101 0.6730 1.066 1.508 -1.2770
4 -3.409 -2.297 -1.571 -0.912 -0.572 -0.1540 0.1890 0.4081 0.7477 1.129 1.535 -0.3450
5 -1.836 -1.355 -0.951 -0.568 -0.354 -0.0590 0.2507 0.4514 0.7880 1.153 1.509 -0.0760
6 -1.236 -0.978 -0.706 -0.446 -0.275 -0.0140 0.2870 0.4754 0.8057 1.150 1.456 0.0252
7 -0.983 -0.788 -0.593 -0.386 -0.235 0.0197 0.3052 0.4925 0.7968 1.114 1.415 0.0696
8 3 -10.110 -6.545 -4.128 -2.194 -1.379 -0.5150 0.0147 0.2589 0.5668 0.8884 1.246 -1.5380
4 -3.794 -2.659 -1.767 -1.049 -0.665 -0.2090 0.1364 0.3372 0.6410 0.9538 1.299 -0.4640
5 -2.030 -1.528 -1.068 -0.646 -0.405 -0.0860 0.1986 0.3821 0.6622 0.9973 1.326 -0.1570
6 -1.404 -1.050 -0.767 -0.478 -0.301 -0.0360 0.2382 0.4197 0.6936 1.0140 1.315 -0.0330
7 -1.052 -0.823 -0.617 -0.395 -0.251 -0.0040 0.2645 0.4390 0.7061 1.0110 1.319 0.0285
8 -0.878 -0.726 -0.542 -0.357 -0.224 0.0166 0.2791 0.4520 0.7052 0.9799 1.255 0.0585
9 3 -11.040 -7.217 -4.447 -2.390 -1.533 -0.5880 -0.015 0.2280 0.5337 0.7674 1.021 -1.6900
4 -4.477 -3.002 -1.970 -1.160 -0.725 -0.2390 0.1137 0.3033 0.5543 0.8140 1.080 -0.5880
5 -2.418 -1.773 -1.201 -0.728 -0.465 -0.1210 0.1678 0.3382 0.5986 0.8569 1.107 -0.2500
6 -1.521 -1.170 -0.841 -0.526 -0.331 -0.0610 0.1929 0.3617 0.6219 0.8759 1.126 -0.0950
7 -1.144 -0.912 -0.664 -0.419 -0.268 -0.0290 0.2249 0.3900 0.6431 0.8854 1.127 -0.0180
8 -0.934 -0.755 -0.561 -0.372 -0.232 -0.0050 0.2421 0.4054 0.6528 0.8909 1.115 0.0237
9 -0.827 -0.673 -0.519 -0.336 -0.208 0.0128 0.2521 0.4135 0.6517 0.8710 1.099 0.0458
10 3 -12.950 -8.006 -5.009 -2.693 -1.739 -0.703 -0.0800 0.1809 0.4830 0.7011 0.9223 -1.9400
4 -4.730 -3.301 -2.183 -1.308 -0.823 -0.283 0.0880 0.2698 0.5129 0.7202 0.9647 -0.6890
5 -2.604 -1.936 -1.305 -0.795 -0.512 -0.146 0.1375 0.3040 0.5344 0.7622 1.0130 -0.3210
6 -1.703 -1.286 -0.911 -0.573 -0.361 -0.077 0.1756 0.3321 0.5576 0.7809 1.0320 -0.1430
7 -1.238 -0.959 -0.715 -0.446 -0.287 -0.041 0.1960 0.3497 0.5805 0.7984 1.0410 -0.0570
8 -0.994 -0.782 -0.583 -0.379 -0.241 -0.0180 0.2176 0.3685 0.5957 0.8070 1.029 -0.0050
9 -0.834 -0.680 -0.526 -0.344 -0.215 -0.0030 0.2299 0.3774 0.6045 0.8085 1.021 0.0237
10 -0.758 -0.632 -0.488 -0.316 -0.198 0.0088 0.2374 0.3839 0.6050 0.8066 1.009 0.0404
11 3 -14.100 -8.692 -5.439 -2.936 -1.926 -0.794 -0.1170 0.1626 0.4663 0.6751 0.8685 -2.1460
4 -5.105 -3.665 -2.397 -1.425 -0.922 -0.336 0.0537 0.2479 0.4748 0.6625 0.8725 -0.7920
5 -2.806 -2.111 -1.436 -0.857 -0.559 -0.164 0.1222 0.2783 0.4975 0.6910 0.8976 -0.3760
Anexa D
D – 14Tabelul D.4 (continuare) Cuantilele variabilei aleatorii ()50,0 50,0t tˆlnˆ 50,0;n;ru ⋅β=
N
r Cuantilele variabilei aleatoare
50,050,0
ttˆ
ln )50.0;n;r(u ⋅β=∧
u 2.5 u 5.0 u 10.0 u 20.0 u 30.0 u 50.0 u 70.0 u 80.0 u 90.0 u 95.0 u 97.5 u m
11 6 -1.845 -1.392 -0.979 -0.624 -0.396 -0.0950 0.1531 0.3029 0.5151 0.7144 0.9183 -0.1900
7 -1.323 -1.024 -0.745 -0.472 -0.295 -0.0540 0.1800 0.3173 0.5300 0.7304 0.9297 -0.0880
8 -1.060 -0.839 -0.618 -0.398 -0.253 -0.0280 0.1929 0.3358 0.5461 0.7445 0.9340 -0.0340
9 -0.884 -0.699 -0.532 -0.346 -0.219 -0.0080 0.2045 0.3484 0.5535 0.7490 0.9370 0.0026
10 -0.778 -0.642 -0.489 -0.319 -0.201 0.0067 0.2141 0.3593 0.5606 0.7532 0.9418 0.0238
11 -0.728 -0.591 -0.457 -0.304 -0.186 0.0134 0.2204 0.3658 0.5659 0.7474 0.9441 0.0369
12 3 -14.300 -9.246 -5.772 -3.210 -2.063 -0.8730 -0.1620 0.1308 0.4479 0.6791 0.8423 -2.2560
4 -5.557 -3.917 -2.602 -1.567 -1.033 -0.3910 0.0369 0.2248 0.4620 0.6474 0.8308 -0.8740
5 -3.141 -2.299 -1.558 -0.928 -0.605 -0.2030 0.1150 0.2600 0.4711 0.6519 0.8261 -0.4340
6 -2.022 -1.505 -1.072 -0.662 -0.429 -0.1170 0.1399 0.2778 0.4823 0.6737 0.8501 -0.2340
7 -1.449 -1.106 -0.793 -0.502 -0.320 -0.0670 0.1595 0.3005 0.4931 0.6855 0.8637 -0.1210
8 -1.102 -0.875 -0.650 -0.402 -0.262 -0.0390 0.1743 0.3098 0.5065 0.6969 0.8786 -0.0570
9 -0.929 -0.746 -0.554 -0.356 -0.228 -0.0210 0.1860 0.3246 0.5186 0.7041 0.8843 -0.0190
10 -0.799 -0.646 -0.495 -0.323 -0.205 -0.0090 0.1958 0.3320 0.5262 0.7106 0.8853 0.0082
11 -0.716 -0.595 -0.456 -0.299 -0.188 0.0023 0.2051 0.3399 0.5322 0.7106 0.8818 0.0241
12 -0.675 -0.561 -0.435 -0.286 -0.178 0.0091 0.2118 0.3451 0.5364 0.7037 0.8842 0.0348
13 3 -15.590 -10.020 -6.134 -3.418 -2.173 -0.945 -0.1990 0.1128 0.4324 0.6480 0.8332 -2.5500
4 -5.833 -4.269 -2.828 -1.674 -1.110 -0.439 0.0051 0.2084 0.4589 0.6398 0.8030 -0.9820
5 -3.329 -2.421 -1.675 -1.014 -0.668 -0.235 0.0773 0.2425 0.4578 0.6230 0.7818 -0.5000
6 -2.158 -1.576 -1.12 -0.696 -0.452 -0.135 0.1172 0.2641 0.4630 0.6318 0.7907 -0.2670
7 -1.546 -1.193 -0.844 -0.532 -0.348 -0.088 0.1385 0.2728 0.4761 0.6444 0.8072 -0.1550
8 -1.194 -0.918 -0.688 -0.432 -0.276 -0.0510 0.1553 0.2895 0.4854 0.6548 0.8207 -0.0850
9 -0.964 -0.780 -0.583 -0.374 -0.239 -0.0280 0.1707 0.2931 0.4933 0.6644 0.8295 -0.0410
10 -0.853 -0.672 -0.511 -0.333 -0.214 -0.0160 0.1825 0.3064 0.5083 0.6713 0.8331 -0.0110
11 -0.736 -0.608 -0.468 -0.307 -0.193 -0.0040 0.1906 0.3140 0.5144 0.6761 0.8320 0.0095
12 -0.685 -0.569 -0.439 -0.294 -0.182 0.0031 0.1962 0.3208 0.5189 0.6789 0.8286 0.0224
13 -0.650 -0.538 -0.420 -0.280 -0.174 0.0109 0.2001 0.3245 0.5180 0.6824 0.8332 0.0315
14 3 -16.530 -10.680 -6.504 -3.655 -2.312 -1.0250 -0.2280 0.1013 0.4400 0.6559 0.8123 -2.7160
4 -6.199 -4.588 -3.033 -1.785 -1.187 -0.4790 -0.0130 0.1919 0.4474 0.6234 0.7696 -1.0790
5 -3.548 -2.573 -1.779 -1.087 -0.711 -0.2650 0.0627 0.2306 0.4434 0.6152 0.7342 -0.5460
6 -2.314 -1.715 -1.208 -0.748 -0.491 -0.1550 0.1044 0.2479 0.4397 0.6045 0.7421 -0.3090
7 -1.588 -1.253 -0.894 -0.558 -0.365 -0.0960 0.1286 0.2612 0.4485 0.6026 0.7509 -0.1820
8 -1.289 -0.982 -0.715 -0.456 -0.296 -0.0630 0.1485 0.2725 0.4596 0.6097 0.7721 -0.1080
9 -1.016 -0.798 -0.599 -0.381 -0.246 -0.0390 0.1631 0.2813 0.4620 0.6199 0.7845 -0.0580
10 -0.876 -0.703 -0.520 -0.340 -0.223 -0.0240 0.1723 0.2887 0.4694 0.6310 0.7939 -0.0260
11 -0.775 -0.627 -0.476 -0.309 -0.197 -0.0100 0.1815 0.2984 0.4789 0.6343 0.7975 -0.0050
12 -0.692 -0.576 -0.443 -0.289 -0.180 -0.0030 0.1853 0.3044 0.4845 0.6371 0.7887 0.0116
13 -0.649 -0.541 -0.417 -0.280 -0.174 0.0052 0.1911 0.3104 0.4880 0.6421 0.7878 0.0220
14 -0.627 -0.514 -0.398 -0.268 -0.167 0.0096 0.1960 0.3127 0.4871 0.6394 0.7774 0.0295
15 3 -16.940 -11.100 -6.861 -3.849 -2.477 -1.081 -0.2510 0.0846 0.4398 0.6566 0.8111 -2.8330
4 -6.553 -4.703 -3.152 -1.904 -1.281 -0.523 -0.0300 0.1885 0.4382 0.6226 0.7608 -1.1270
5 -3.734 -2.811 -1.923 -1.172 -0.772 -0.294 0.0512 0.2237 0.4278 0.5866 0.7318 -0.6040
6 -2.458 -1.848 -1.293 -0.797 -0.527 -0.180 0.1013 0.2444 0.4248 0.5740 0.7165 -0.3500
7 -1.71 -1.312 -0.950 -0.589 -0.391 -0.111 0.1190 0.2522 0.4294 0.5761 0.7151 -0.2090
8 -1.306 -1.030 -0.742 -0.480 -0.305 -0.074 0.1352 0.2631 0.4321 0.5867 0.7242 -0.1300
Anexa D
D – 15Tabelul D.4 (continuare) Cuantilele variabilei aleatorii ()50,0 50,0t tˆlnˆ 50,0;n;ru ⋅β=
N
r Cuantilele variabilei aleatoare
50,050,0
ttˆ
ln )50.0;n;r(u ⋅β=∧
u 2.5 u 5.0 u 10.0 u 20.0 u 30.0 u 50.0 u 70.0 u 80.0 u 90.0 u 95.0 u 97.5 u m
15 9 -1.077 -0.836 -0.621 -0.395 -0.253 -0.048 0.1439 0.2706 0.4372 0.5878 0.7281 -0.075
10 -0.890 -0.719 -0.541 -0.344 -0.223 -0.036 0.1598 0.2740 0.4448 0.5944 0.7347 -0.042
11 -0.798 -0.636 -0.478 -0.313 -0.200 -0.017 0.1684 0.2840 0.4513 0.5982 0.7371 -0.017
12 -0.709 -0.581 -0.445 -0.292 -0.184 -0.007 0.1722 0.2900 0.4559 0.6036 0.7426 0.0002
13 -0.659 -0.541 -0.413 -0.273 -0.171 -0.002 0.1781 0.2943 0.4620 0.6070 0.7484 0.0130
14 -0.620 -0.517 -0.398 -0.267 -0.164 0.003 0.1832 0.2991 0.4656 0.6144 0.7528 0.0216
15 -0.590 -0.491 -0.386 -0.256 -0.159 0.008 0.1871 0.3027 0.4683 0.6119 0.7452 0.0282
16 3 -17.439 -11.459 -7.122 -3.978 -2.578 -1.133 -0.293 0.0781 0.4629 0.6713 0.8266 -2.963
4 -6.967 -4.918 -3.303 -1.981 -1.345 -0.565 -0.055 0.1756 0.4308 0.6196 0.7556 -1.217
5 -3.963 -2.946 -1.995 -1.222 -0.826 -0.321 0.0487 0.2152 0.4191 0.5765 0.7093 -0.650
6 -2.59 -1.952 -1.355 -0.838 -0.560 -0.202 0.0857 0.2316 0.4083 0.5592 0.6889 -0.381
7 -1.829 -1.399 -0.983 -0.629 -0.410 -0.125 0.1092 0.2353 0.4089 0.5549 0.6941 -0.235
8 -1.391 -1.095 -0.788 -0.497 -0.330 -0.080 0.1242 0.2449 0.4083 0.5637 0.7071 -0.152
9 -1.129 -0.911 -0.654 -0.420 -0.276 -0.055 0.1362 0.2507 0.4104 0.5675 0.7109 -0.097
10 -0.941 -0.757 -0.555 -0.359 -0.232 -0.035 0.1446 0.2590 0.4169 0.5794 0.7139 -0.058
11 -0.828 -0.665 -0.599 -0.315 -0.202 -0.024 0.1534 0.2637 0.4230 0.5867 0.7229 -0.031
12 -0.745 -0.604 -0.454 -0.291 -0.186 -0.015 0.1602 0.2716 0.4286 0.5932 0.7268 -0.011
13 -0.673 -0.557 -0.420 -0.274 -0.173 -0.0050 0.1647 0.2755 0.4346 0.5969 0.7321 0.0029
14 -0.628 -0.524 -0.401 -0.263 -0.163 -0.0000 0.1692 0.2812 0.4377 0.5975 0.7313 0.0123
15 -0.595 -0.496 -0.387 -0.254 -0.159 0.0047 0.1740 0.2834 0.4420 0.5990 0.7289 0.0198
16 -0.582 -0.485 -0.376 -0.245 -0.154 0.0108 0.1782 0.2864 0.4434 0.5982 0.7218 0.0254
17 3 -18.560 -12.290 -7.382 -4.172 -2.724 -1.189 -0.316 0.0770 0.4545 0.6761 0.8306 -3.113
4 -7.267 -5.072 -3.434 -2.078 -1.391 -0.591 -0.070 0.1682 0.4269 0.6094 0.7383 -1.264
5 -4.127 -3.144 -2.144 -1.284 -0.857 -0.340 0.0378 0.2119 0.4214 0.5762 0.7057 -0.693
6 -2.778 -2.073 -1.453 -0.893 -0.602 -0.216 0.0743 0.2276 0.4034 0.5487 0.6817 -0.424
7 -1.933 -1.473 -1.047 -0.666 -0.436 -0.136 0.1058 0.2303 0.3988 0.5370 0.6765 -0.259
8 -1.459 -1.137 -0.836 -0.523 -0.347 -0.094 0.1170 0.2304 0.3982 0.5395 0.6736 -0.174
9 -1.168 -0.932 -0.671 -0.434 -0.280 -0.062 0.1281 0.2384 0.4002 0.5441 0.6787 -0.112
10 -0.987 -0.780 -0.575 -0.371 -0.237 -0.042 0.1341 0.2472 0.4006 0.5515 0.6882 -0.070
11 -0.859 -0.680 -0.506 -0.329 -0.211 -0.030 0.1447 0.2551 0.4071 0.5531 0.6904 -0.043
12 -0.767 -0.606 -0.456 -0.298 -0.188 -0.018 0.1493 0.2551 0.4164 0.5571 0.6994 -0.022
13 -0.693 -0.557 -0.427 -0.272 -0.174 -0.0090 0.1571 0.2611 0.4205 0.5614 0.7053 -0.0050
14 -0.629 -0.522 -0.405 -0.263 -0.162 -0.0040 0.1618 0.2635 0.4252 0.5665 0.7050 0.0049
15 -0.598 -0.498 -0.384 -0.255 -0.158 0.0000 0.1660 0.2687 0.4275 0.5672 0.7074 0.0132
16 -0.574 -0.477 -0.370 -0.247 -0.149 0.0038 0.1704 0.2723 0.4306 0.5686 0.7123 0.0197
17 -0.553 -0.469 -0.361 -0.239 -0.148 0.0070 0.1731 0.2748 0.4315 0.5725 0.7083 0.0245
18 3 -19.760 -12.740 -7.652 -4.293 -2.833 -1.233 -0.3260 0.0599 0.4532 0.6903 0.8431 -3.220
4 -7.651 -5.220 -3.549 -2.166 -1.452 -0.615 -0.0790 0.1758 0.4313 0.6003 0.7360 -1.315
5 -4.278 -3.197 -2.202 -1.363 -0.913 -0.362 0.0285 0.2053 0.4245 0.5686 0.6924 -0.726
6 -2.814 -2.180 -1.526 -0.949 -0.628 -0.236 0.0659 0.2189 0.4016 0.5368 0.6681 -0.454
7 -2.027 -1.550 -1.093 -0.710 -0.464 -0.153 0.0983 0.2259 0.3886 0.5311 0.6553 -0.285
8 -1.560 -1.184 -0.867 -0.545 -0.363 -0.103 0.1094 0.2273 0.3868 0.5235 0.6491 -0.191
9 -1.211 -0.971 -0.707 -0.456 -0.296 -0.067 0.1214 0.2308 0.3869 0.5227 0.6587 -0.128
10 -1.031 -0.808 -0.591 -0.383 -0.247 -0.048 0.1291 0.2385 0.3932 0.5239 0.6639 -0.084
11 -0.884 -0.707 -0.524 -0.336 -0.217 -0.032 0.1364 0.2440 0.3961 0.5270 0.6642 -0.054
12 -0.790 -0.630 -0.471 -0.306 -0.194 -0.023 0.1437 0.2470 0.3973 0.5345 0.6702 -0.033
Anexa D
D – 16Tabelul D.4 (continuare) Cuantilele variabilei aleatorii ()50,0 50,0t tˆlnˆ 50,0;n;ru ⋅β=
N
r Cuantilele variabilei aleatoare
50,050,0
ttˆ
ln )50.0;n;r(u ⋅β=∧
u 2.5 u 5.0 u 10.0 u 20.0 u 30.0 u 50.0 u 70.0 u 80.0 u 90.0 u 95.0 u 97.5 u m
18 13 -0.704 -0.566 -0.427 -0.279 -0.181 -0.016 0.1464 0.2495 0.4043 0.54 0.6724 -0.016
14 -0.645 -0.526 -0.402 -0.260 -0.166 -0.008 0.1514 0.2536 0.4117 0.5439 0.6748 -0.0020
15 -0.603 -0.501 -0.382 -0.254 -0.157 -0.002 0.155 0.2573 0.4159 0.5471 0.6765 0.0064
16 -0.573 -0.474 -0.370 -0.244 -0.149 0.0012 0.1602 0.2602 0.4189 0.5494 0.6776 0.0136
17 -0.549 -0.461 -0.359 -0.235 -0.144 0.0059 0.1636 0.2636 0.4221 0.5516 0.6805 0.0192
18 -0.539 -0.449 -0.351 -0.229 -0.142 0.0087 0.1656 0.2660 0.4229 0.5507 0.6771 0.0235
19 3 -19.690 -12.61 -7.826 -4.311 -2.856 -1.273 -0.341 0.0525 0.4523 0.7002 0.8548 -3.240
4 -8.217 -5.396 -3.697 -2.235 -1.515 -0.641 -0.080 0.1707 0.4417 0.6011 0.7434 -1.372
5 -4.392 -3.251 -2.307 -1.439 -0.957 -0.400 0.0106 0.2031 0.4106 0.5632 0.6844 -0.766
6 -3.023 -2.252 -1.593 -0.997 -0.658 -0.254 0.0572 0.2150 0.3989 0.5416 0.6543 -0.483
7 -2.088 -1.629 -1.158 -0.729 -0.497 -0.165 0.0905 0.2226 0.3793 0.5169 0.6433 -0.310
8 -1.636 -1.239 -0.897 -0.576 -0.382 -0.113 0.1067 0.2228 0.3758 0.5123 0.6265 -0.211
9 -1.279 -1.001 -0.739 -0.473 -0.315 -0.079 0.1148 0.2266 0.3779 0.5125 0.644 -0.145
10 -1.059 -0.845 -0.620 -0.400 -0.261 -0.058 0.1199 0.2271 0.3812 0.5108 0.6397 -0.099
11 -0.922 -0.718 -0.532 -0.347 -0.224 -0.039 0.1278 0.2341 0.3802 0.5086 0.6405 -0.065
12 -0.808 -0.644 -0.484 -0.313 -0.199 -0.031 0.1342 0.2352 0.3832 0.5123 0.6509 -0.043
13 -0.722 -0.589 -0.441 -0.286 -0.182 -0.020 0.1393 0.2378 0.3895 0.5193 0.6525 -0.0260
14 -0.664 -0.538 -0.411 -0.263 -0.170 -0.013 0.1411 0.2439 0.3924 0.5216 0.6571 -0.0120
15 -0.608 -0.504 -0.382 -0.249 -0.160 -0.006 0.1463 0.2445 0.3960 0.5240 0.6603 0.0000
16 -0.575 -0.475 -0.368 -0.241 -0.151 -0.005 0.1483 0.2479 0.4000 0.5273 0.6601 0.0072
17 -0.557 -0.455 -0.356 -0.237 -0.148 -0.000 0.1504 0.2550 0.4017 0.5302 0.6597 0.0129
18 -0.534 -0.447 -0.347 -0.231 -0.140 0.0023 0.1546 0.2568 0.4041 0.5284 0.6627 0.0179
19 -0.520 -0.438 -0.335 -0.223 -0.137 0.0057 0.1573 0.2592 0.4031 0.5315 0.6645 0.0217
20 3 -18.940 -12.410 -7.690 -4.382 -2.861 -1.326 -0.3750 0.0434 0.4669 0.7096 0.8748 -3.279
4 -7.893 -5.503 -3.757 -2.345 -1.582 -0.676 -0.0890 0.1755 0.4446 0.6304 0.7786 -1.403
5 -4.489 -3.415 -2.435 -1.514 -1.006 -0.412 0.0081 0.2044 0.4215 0.5851 0.7113 -0.799
6 -3.094 -2.298 -1.666 -1.032 -0.695 -0.263 0.0651 0.2177 0.4020 0.5514 0.6510 -0.499
7 -2.215 -1.718 -1.226 -0.790 -0.516 -0.176 0.0924 0.2241 0.3953 0.5208 0.6431 -0.336
8 -1.715 -1.323 -0.970 -0.608 -0.404 -0.117 0.1068 0.2236 0.3800 0.5084 0.6375 -0.231
9 -1.343 -1.063 -0.780 -0.491 -0.321 -0.084 0.1106 0.2225 0.3724 0.5053 0.6205 -0.157
10 -1.110 -0.877 -0.640 -0.420 -0.271 -0.064 0.1216 0.2268 0.3722 0.5063 0.6261 -0.109
11 -0.931 -0.753 -0.558 -0.363 -0.238 -0.047 0.1301 0.2293 0.3752 0.5032 0.6211 -0.076
12 -0.825 -0.661 -0.499 -0.319 -0.206 -0.035 0.1320 0.2320 0.3761 0.5041 0.6281 -0.051
13 -0.732 -0.589 -0.448 -0.285 -0.188 -0.023 0.1360 0.2347 0.3851 0.5040 0.6213 -0.0310
14 -0.673 -0.548 -0.408 -0.266 -0.172 -0.017 0.1389 0.2359 0.3829 0.5095 0.6276 -0.0170
15 -0.621 -0.502 -0.384 -0.253 -0.158 -0.011 0.1424 0.2385 0.3839 0.5126 0.6257 -0.0050
16 -0.583 -0.481 -0.363 -0.243 -0.152 -0.007 0.1460 0.2434 0.3860 0.5164 0.6283 0.0024
17 -0.561 -0.459 -0.353 -0.232 -0.147 -0.004 0.1508 0.2463 0.3890 0.5187 0.6299 0.0092
18 -0.536 -0.437 -0.341 -0.227 -0.144 0.0001 0.1554 0.2482 0.3916 0.5198 0.6320 0.0147
19 -0.519 -0.427 -0.335 -0.222 -0.139 0.0016 0.1573 0.2514 0.3943 0.5207 0.6359 0.0193
20 -0.505 -0.417 -0.331 -0.217 -0.135 0.0044 0.1595 0.2538 0.3953 0.5162 0.6381 0.0225
Anexa D
D – 17
Tabelul D.5 Cuantilele variabilei aleatorii ()*
/ n,rW ββ=
N
r Cuantilele variabilei aleatorii ∗
ββ=)n,r(W
W 2.5 W 5.0 W 10.0 W 20.0 W 30.0 W 50.0 W 70.0 W 80.0 W 90.0 W 95.0 W 97.5 W m
3 3 0.1193 0.1692 0.2468 0.3639 0.4673 0.6676 0.9074 1.071 1.317 1.548 1.785 0.4383
4 3 0.1070 0.1491 0.2174 0.3279 0.4288 0.6285 0.8754 1.050 1.317 1.548 1.800 0.4058
4 0.2150 0.2763 0.3610 0.4808 0.5787 0.7645 0.9747 1.112 1.329 1.528 1.707 0.6118
5 3 0.0976 0.1385 0.2041 0.3073 0.4064 0.6088 0.8586 1.041 1.317 1.559 1.810 0.3833
4 0.1876 0.2507 0.3310 0.4535 0.5560 0.7353 0.9546 1.100 1.333 1.545 1.746 0.5765
5 0.2873 0.3515 0.4376 0.5540 0.6472 0.8177 1.0070 1.133 1.323 1.490 1.645 0.7011
6 3 0.0910 0.1327 0.2005 0.3039 0.4022 0.5976 0.8497 1.023 1.309 1.571 1.816 0.3727
4 0.1830 0.2357 0.3176 0.4310 0.5277 0.7132 0.9410 1.100 1.326 1.550 1.767 0.5539
5 0.2647 0.3287 0.4140 0.5310 0.6234 0.7944 0.9904 1.124 1.330 1.513 1.674 0.6745
6 0.3461 0.4105 0.4955 0.6064 0.6930 0.8496 1.0270 1.142 1.310 1.458 1.602 0.7577
7 3 0.0889 0.1328 0.1983 0.3007 0.3947 0.5932 0.8433 1.009 1.302 1.561 1.830 0.3566
4 0.1802 0.2308 0.3104 0.4234 0.5182 0.7041 0.9366 1.092 1.324 1.543 1.758 0.5462
5 0.2596 0.3199 0.3996 0.5148 0.6040 0.7822 0.9849 1.122 1.328 1.522 1.697 0.6589
6 0.3244 0.3935 0.4702 0.5856 0.6714 0.8337 1.0140 1.136 1.322 1.487 1.617 0.7356
7 0.3937 0.4596 0.5400 0.6431 0.7267 0.8749 1.0380 1.145 1.296 1.437 1.560 0.7977
8 3 0.0906 0.1314 0.1951 0.2978 0.3908 0.5873 0.8363 1.005 1.294 1.539 1.787 0.3543
4 0.1797 0.2302 0.3082 0.4165 0.5120 0.6987 0.9221 1.083 1.317 1.537 1.755 0.5431
5 0.2527 0.3139 0.3981 0.5070 0.5953 0.7736 0.9819 1.116 1.320 1.508 1.685 0.6518
6 0.3165 0.3846 0.4633 0.5714 0.6606 0.8244 1.0060 1.128 1.331 1.486 1.628 0.7233
7 0.3748 0.4393 0.5156 0.6194 0.7013 0.8485 1.0090 1.127 1.283 1.429 1.552 0.7709
8 0.4371 0.4990 0.5757 0.6748 0.7530 0.8921 1.0470 1.142 1.281 1.408 1.519 0.8263
9 3 0.0887 0.1304 0.1915 0.2936 0.3834 0.5788 0.8292 1.001 1.293 1.542 1.810 0.3495
4 0.1746 0.2249 0.2997 0.4102 0.5085 0.6903 0.9174 1.078 1.317 1.545 1.767 0.5326
5 0.2417 0.3034 0.3842 0.4958 0.5880 0.7642 0.9712 1.109 1.322 1.518 1.704 0.6407
6 0.3082 0.3703 0.4535 0.5599 0.6504 0.8147 1.0030 1.125 1.320 1.491 1.652 0.7132
7 0.3605 0.4254 0.5068 0.6150 0.6959 0.8486 1.0180 1.132 1.310 1.449 1.591 0.7654
8 0.4122 0.4740 0.5569 0.6611 0.7405 0.8754 1.0350 1.139 1.284 1.420 1.534 0.8078
9 0.4706 0.5291 0.6031 0.6998 0.7710 0.9050 1.0470 1.139 1.271 1.381 1.478 0.8464
10 3 0.0893 0.1295 0.1873 0.2917 0.3819 0.5732 0.8247 0.9978 1.283 1.560 1.820 0.3539
4 0.1680 0.2208 0.2942 0.4056 0.5032 0.6870 0.9173 1.0790 1.323 1.550 1.792 0.5276
5 0.2418 0.3030 0.3759 0.4899 0.5825 0.7598 0.9671 1.1150 1.332 1.519 1.700 0.6356
6 0.2972 0.3615 0.4418 0.5551 0.6440 0.8108 1.0030 1.1250 1.319 1.503 1.654 0.7055
7 0.3500 0.4200 0.4932 0.6065 0.6867 0.8460 1.0210 1.1280 1.307 1.464 1.608 0.7571
8 0.4023 0.4619 0.5435 0.6457 0.7311 0.8758 1.0320 1.1390 1.292 1.4300 1.555 0.7988
9 0.4422 0.5088 0.5839 0.6883 0.7617 0.8936 1.0430 1.1350 1.278 1.402 1.507 0.8326
10 0.4933 0.5546 0.6250 0.7174 0.7874 0.9149 1.0520 1.1360 1.262 1.361 1.466 0.8628
11 3 0.0885 0.1277 0.1845 0.2903 0.3812 0.5730 0.8191 0.9965 1.282 1.555 1.821 0.3575
4 0.1656 0.2156 0.2911 0.4042 0.5012 0.6822 0.9156 1.0810 1.331 1.564 1.792 0.5215
5 0.2384 0.3008 0.3718 0.4866 0.5779 0.7568 0.9648 1.112 1.336 1.530 1.716 0.6320
Anexa D
D – 18Tabelul D.5 (continuare) Cuantilele variabilei aleatorii ()*
/ n,rW ββ=
N
r Cuantilele variabilei aleatorii ∗
ββ=)n,r(W
W 2.5 W 5.0 W 10.0 W 20.0 W 30.0 W 50.0 W 70.0 W 80.0 W 90.0 W 95.0 W 97.5 W m
11 6 0.2958 0.3541 0.4392 0.5518 0.6393 0.8064 1.000 1.122 1.318 1.491 1.646 0.7020
7 0.3514 0.4103 0.4874 0.5979 0.6844 0.8372 1.020 1.130 1.306 1.468 1.605 0.7514
8 0.3971 0.4597 0.5346 0.6373 0.7176 0.8691 1.028 1.136 1.295 1.439 1.571 0.7924
9 0.4341 0.4977 0.5748 0.6735 0.7497 0.8880 1.040 1.138 1.277 1.405 1.522 0.8236
10 0.4767 0.5367 0.6101 0.704 0.7775 0.9074 1.045 1.135 1.270 1.385 1.484 0.8508
11 0.52 0.5744 0.6456 0.7321 0.8019 0.9234 1.052 1.136 1.250 1.350 1.451 0.8758
12 3 0.0861 0.1251 0.1834 0.2878 0.3838 0.5756 0.8208 0.9991 1.280 1.556 1.838 0.3544
4 0.1667 0.2174 0.2882 0.4046 0.4983 0.6839 0.9168 1.0840 1.323 1.555 1.789 0.5223
5 0.2408 0.3015 0.3743 0.4856 0.5773 0.7579 0.9721 1.1180 1.337 1.539 1.729 0.6324
6 0.2963 0.3519 0.4371 0.5488 0.6353 0.8037 0.9971 1.1210 1.311 1.493 1.668 0.6999
7 0.3515 0.4104 0.4906 0.5956 0.6815 0.8347 1.0130 1.1310 1.310 1.470 1.613 0.7515
8 0.3969 0.4591 0.5308 0.6317 0.7134 0.8629 1.027 1.1340 1.304 1.442 1.569 0.7894
9 0.4365 0.4953 0.5680 0.6658 0.7435 0.8832 1.035 1.1360 1.287 1.421 1.540 0.8201
10 0.4676 0.5278 0.6037 0.6967 0.7706 0.9031 1.046 1.1360 1.274 1.387 1.487 0.8461
11 0.4989 0.5616 0.6360 0.7248 0.7943 0.9161 1.045 1.1340 1.261 1.366 1.458 0.8670
12 0.5365 0.5945 0.6623 0.7479 0.8163 0.9311 1.055 1.1320 1.241 1.337 1.434 0.8874
13 3 0.0850 0.1241 0.1814 0.2871 0.3837 0.5740 0.8188 0.9984 1.282 1.566 1.853 0.3510
4 0.1614 0.2145 0.2866 0.4019 0.4975 0.6851 0.9141 1.0830 1.332 1.575 1.777 0.5190
5 0.2406 0.2976 0.3749 0.4819 0.5729 0.7548 0.9694 1.1160 1.338 1.541 1.728 0.6287
6 0.2917 0.3541 0.4342 0.5416 0.6314 0.8036 0.9974 1.1220 1.315 1.502 1.679 0.6960
7 0.3430 0.4065 0.4855 0.5928 0.6797 0.8331 1.0110 1.1280 1.303 1.472 1.621 0.7473
8 0.3909 0.4512 0.5261 0.6286 0.7115 0.8618 1.0240 1.134 1.304 1.450 1.562 0.7845
9 0.4306 0.4886 0.5627 0.6616 0.7369 0.8803 1.0340 1.136 1.294 1.419 1.543 0.8147
10 0.4683 0.5246 0.5943 0.6899 0.7644 0.8987 1.0440 1.141 1.279 1.403 1.498 0.8417
11 0.4917 0.5544 0.6263 0.7186 0.7876 0.9127 1.0490 1.136 1.261 1.375 1.467 0.8625
12 0.5242 0.5794 0.6521 0.7385 0.8085 0.9226 1.0520 1.134 1.251 1.351 1.437 0.8798
13 0.5526 0.6109 0.6734 0.7608 0.8268 0.9351 1.0580 1.131 1.239 1.331 1.414 0.8968
14 3 0.0823 0.1212 0.1806 0.2850 0.3802 0.5704 0.8246 1.005 1.296 1.551 1.819 0.3444
4 0.1561 0.2116 0.2838 0.3971 0.4937 0.6881 0.9175 1.079 1.321 1.570 1.801 0.5124
5 0.2351 0.2907 0.3701 0.4792 0.5770 0.7580 0.9686 1.105 1.329 1.535 1.727 0.6231
6 0.2902 0.3501 0.4304 0.5420 0.6336 0.8074 0.9955 1.119 1.328 1.504 1.674 0.6957
7 0.3442 0.4059 0.4835 0.5890 0.6761 0.8372 1.0160 1.133 1.311 1.477 1.635 0.7466
8 0.3917 0.4535 0.5268 0.6258 0.7091 0.8606 1.0250 1.135 1.303 1.457 1.577 0.7844
9 0.4321 0.4861 0.5574 0.6604 0.7406 0.8793 1.0330 1.136 1.289 1.421 1.553 0.8147
10 0.4644 0.5194 0.5909 0.6882 0.7624 0.8971 1.0380 1.134 1.275 1.405 1.520 0.8391
11 0.4931 0.5474 0.6198 0.7127 0.7837 0.9075 1.0440 1.133 1.267 1.385 1.487 0.8586
12 0.5185 0.5784 0.6454 0.7370 0.8015 0.9194 1.0480 1.132 1.259 1.357 1.462 0.8773
13 0.5506 0.6027 0.6697 0.7555 0.8192 0.9302 1.0520 1.133 1.239 1.337 1.431 0.8919
14 0.5789 0.6299 0.6932 0.7740 0.8335 0.9387 1.0540 1.126 1.230 1.323 1.411 0.9057
15 3 0.0847 0.1223 0.1809 0.2838 0.3784 0.5673 0.8231 0.9991 1.289 1.551 1.824 0.3460
4 0.1573 0.2116 0.2867 0.4017 0.4945 0.6848 0.9109 1.0730 1.327 1.564 1.799 0.5154
5 0.2311 0.2853 0.3664 0.4777 0.5740 0.7537 0.9617 1.1030 1.336 1.544 1.728 0.6190
6 0.2883 0.3495 0.4272 0.5396 0.6292 0.8028 0.9912 1.1240 1.334 1.512 1.674 0.6916
7 0.3409 0.4046 0.4833 0.5883 0.6752 0.8326 1.0150 1.1320 1.317 1.478 1.641 0.7448
8 0.3928 0.4474 0.5203 0.6228 0.7077 0.8591 1.0250 1.1400 1.302 1.451 1.590 0.7822
Anexa D
D – 19Tabelul D.5 (continuare) Cuantilele variabilei aleatorii ()*
/ n,rW ββ=
N
r Cuantilele variabilei aleatorii ∗
ββ=)n,r(W
W 2.5 W 5.0 W 10.0 W 20.0 W 30.0 W 50.0 W 70.0 W 80.0 W 90.0 W 95.0 W 97.5 W m
15 9 0.4299 0.4826 0.5556 0.6580 0.7373 0.8783 1.032 1.136 1.293 1.428 1.557 0.8131
10 0.4609 0.5148 0.5878 0.6829 0.7572 0.8947 1.040 1.136 1.279 1.398 1.524 0.8364
11 0.4821 0.5475 0.6166 0.7096 0.7805 0.9080 1.042 1.135 1.269 1.383 1.498 0.8566
12 0.5210 0.5725 0.6399 0.7307 0.7969 0.9169 1.047 1.131 1.257 1.370 1.466 0.8734
13 0.5479 0.5978 0.6648 0.7528 0.8158 0.9270 1.050 1.131 1.244 1.345 1.439 0.8885
14 0.5633 0.6207 0.6840 0.7674 0.8278 0.9365 1.054 1.130 1.230 1.327 1.418 0.9007
15 0.5889 0.6435 0.7038 0.7837 0.8422 0.9443 1.058 1.124 1.224 1.315 1.395 0.9128
16 3 0.0823 0.1202 0.1795 0.2831 0.3816 0.5694 0.8268 1.002 1.293 1.566 1.831 0.3431
4 0.1560 0.2107 0.2814 0.3954 0.4935 0.6844 0.9116 1.078 1.323 1.574 1.792 0.5078
5 0.2273 0.2853 0.3632 0.4697 0.5675 0.7535 0.9677 1.108 1.332 1.547 1.741 0.6142
6 0.2879 0.3431 0.4241 0.5323 0.6285 0.8019 0.9943 1.121 1.329 1.502 1.681 0.6886
7 0.3338 0.4004 0.4749 0.5852 0.6726 0.8309 1.0140 1.134 1.310 1.479 1.641 0.7406
8 0.3815 0.4423 0.5136 0.6222 0.7078 0.8586 1.0260 1.133 1.302 1.457 1.583 0.7780
9 0.4200 0.4756 0.5508 0.6525 0.7316 0.8740 1.0300 1.135 1.295 1.427 1.549 0.8067
10 0.4556 0.5078 0.5807 0.6805 0.7546 0.8904 1.0380 1.138 1.282 1.409 1.521 0.8312
11 0.4807 0.5375 0.6084 0.7024 0.7757 0.9030 1.0410 1.136 1.268 1.387 1.497 0.8514
12 0.5097 0.5640 0.6315 0.7264 0.7938 0.9157 1.0470 1.131 1.262 1.374 1.469 0.8695
13 0.5349 0.5864 0.6552 0.7423 0.8097 0.9271 1.0510 1.131 1.254 1.354 1.446 0.8836
14 0.5580 0.6123 0.6773 0.7572 0.8209 0.9337 1.0500 1.128 1.241 1.338 1.422 0.8955
15 0.5791 0.6318 0.6959 0.7752 0.8359 0.9379 1.0540 1.126 1.231 1.316 1.392 0.9071
16 0.6070 0.6539 0.7119 0.7905 0.8491 0.9482 1.0550 1.122 1.216 1.304 1.375 0.9181
17 3 0.0808 0.1171 0.1784 0.2830 0.3812 0.5670 0.8248 1.002 1.290 1.559 1.833 0.3396
4 0.1549 0.2067 0.2817 0.3988 0.4937 0.6849 0.9069 1.075 1.322 1.570 1.793 0.5092
5 0.2270 0.2826 0.3648 0.4733 0.5679 0.7502 0.9653 1.109 1.336 1.553 1.735 0.6135
6 0.2829 0.3424 0.4170 0.5286 0.6249 0.8006 0.9885 1.118 1.335 1.509 1.686 0.6830
7 0.3302 0.3994 0.4768 0.5840 0.6708 0.8285 1.0130 1.134 1.317 1.485 1.641 0.7395
8 0.3774 0.4388 0.5119 0.6203 0.7062 0.8544 1.0230 1.132 1.299 1.450 1.589 0.7752
9 0.4170 0.4723 0.5473 0.6513 0.7312 0.8759 1.0290 1.136 1.291 1.431 1.544 0.8060
10 0.4562 0.5069 0.5800 0.6790 0.7536 0.8878 1.0390 1.138 1.278 1.419 1.533 0.8305
11 0.4793 0.5322 0.6054 0.7017 0.7716 0.9025 1.0440 1.136 1.269 1.384 1.501 0.8489
12 0.5019 0.5592 0.6317 0.7213 0.7904 0.9114 1.0450 1.133 1.260 1.377 1.487 0.8658
13 0.5304 0.5817 0.6523 0.7425 0.8076 0.9224 1.0480 1.132 1.251 1.363 1.460 0.8820
14 0.5512 0.6027 0.6737 0.7529 0.8182 0.9312 1.0520 1.130 1.245 1.345 1.434 0.8928
15 0.5721 0.6283 0.6908 0.7724 0.8315 0.9348 1.0520 1.126 1.229 1.330 1.409 0.9034
16 0.5974 0.6462 0.7062 0.7864 0.8440 0.9451 1.0550 1.124 1.223 1.311 1.388 0.9139
17 0.6147 0.6649 0.7230 0.7991 0.8528 0.9536 1.0530 1.119 1.210 1.295 1.370 0.9235
18 3 0.0806 0.1194 0.1789 0.2814 0.3755 0.5645 0.8186 0.9948 1.292 1.562 1.832 0.2901
4 0.1543 0.2060 0.2824 0.3998 0.4923 0.6836 0.9061 1.0770 1.320 1.552 1.769 0.5094
5 0.2238 0.2826 0.3662 0.4735 0.5679 0.7484 0.9643 1.1090 1.333 1.545 1.731 0.6122
6 0.2829 0.3421 0.4165 0.5254 0.6223 0.7973 0.9876 1.1170 1.334 1.499 1.681 0.6813
7 0.3326 0.3945 0.4725 0.5788 0.6676 0.8270 1.0120 1.1330 1.314 1.478 1.646 0.7368
8 0.3757 0.4371 0.5109 0.6188 0.7017 0.8514 1.027 1.135 1.298 1.457 1.589 0.7742
9 0.4123 0.4676 0.5464 0.6505 0.7331 0.8753 1.032 1.135 1.294 1.432 1.549 0.8040
10 0.4479 0.5028 0.5770 0.6794 0.7519 0.8899 1.037 1.138 1.281 1.411 1.525 0.8295
11 0.4754 0.5296 0.6029 0.6993 0.7694 0.9007 1.045 1.138 1.272 1.395 1.503 0.8474
12 0.4995 0.5563 0.6303 0.7184 0.7839 0.9089 1.046 1.129 1.257 1.374 1.471 0.8626
Anexa D
D – 20Tabelul D.5 (continuare) Cuantilele variabilei aleatorii ()*
/ n,rW ββ=
N
r Cuantilele variabilei aleatorii ∗
ββ=)n,r(W
W 2.5 W 5.0 W 10.0 W 20.0 W 30.0 W 50.0 W 70.0 W 80.0 W 90.0 W 95.0 W 97.5 W m
18 13 0.5218 0.5786 0.6449 0.737 0.8013 0.9198 1.046 1.129 1.249 1.365 1.461 0.8771
14 0.5493 0.6008 0.6688 0.7506 0.8156 0.9293 1.051 1.129 1.243 1.349 1.440 0.8905
15 0.5690 0.6234 0.6836 0.7631 0.8277 0.9337 1.050 1.124 1.233 1.333 1.414 0.8999
16 0.5890 0.6424 0.7006 0.7817 0.8380 0.9392 1.052 1.121 1.225 1.312 1.402 0.9096
17 0.6073 0.6555 0.7154 0.7930 0.8482 0.9477 1.053 1.119 1.216 1.299 1.376 0.9186
18 0.6239 0.6753 0.7334 0.8066 0.8572 0.9558 1.053 1.118 1.206 1.288 1.362 0.9273
19 3 0.0821 0.1213 0.1827 0.2855 0.3781 0.5691 0.8214 0.9926 1.288 1.552 1.824 0.2938
4 0.1558 0.2069 0.2858 0.3996 0.4928 0.6816 0.9051 1.0750 1.321 1.534 1.766 0.5094
5 0.2249 0.2829 0.3657 0.4719 0.5669 0.743 0.9563 1.1030 1.327 1.539 1.739 0.6120
6 0.2837 0.3435 0.4178 0.5269 0.6215 0.7932 0.9858 1.1190 1.327 1.493 1.685 0.6810
7 0.3336 0.3919 0.4687 0.5788 0.6666 0.8253 1.0060 1.1290 1.312 1.484 1.640 0.7352
8 0.3753 0.4349 0.5106 0.6171 0.7000 0.8492 1.026 1.135 1.302 1.464 1.600 0.7728
9 0.4106 0.4693 0.5460 0.6479 0.7284 0.8693 1.031 1.138 1.295 1.437 1.564 0.8024
10 0.4410 0.4989 0.5715 0.6742 0.7499 0.8868 1.037 1.137 1.284 1.421 1.530 0.8261
11 0.4720 0.5272 0.6017 0.6958 0.7690 0.9008 1.044 1.135 1.281 1.398 1.510 0.8468
12 0.4976 0.5553 0.6254 0.7144 0.7822 0.9097 1.044 1.130 1.265 1.380 1.480 0.8612
13 0.5224 0.5806 0.6445 0.7302 0.7984 0.9154 1.047 1.131 1.249 1.361 1.464 0.8746
14 0.5463 0.5964 0.6650 0.7465 0.8123 0.9241 1.048 1.129 1.243 1.349 1.450 0.8868
15 0.5647 0.6169 0.6814 0.7614 0.8248 0.9323 1.052 1.129 1.237 1.339 1.422 0.8981
16 0.5829 0.6370 0.6941 0.7751 0.8345 0.939 1.053 1.125 1.229 1.317 1.401 0.9071
17 0.6043 0.6525 0.7098 0.7861 0.8447 0.9436 1.053 1.121 1.221 1.303 1.385 0.9151
18 0.6214 0.6647 0.7238 0.8005 0.8541 0.9506 1.0560 1.117 1.211 1.291 1.364 0.9235
19 0.6391 0.6814 0.7404 0.8109 0.8647 0.9584 1.0540 1.115 1.200 1.280 1.347 0.9315
20 3 0.0875 0.1280 0.1883 0.2854 0.3778 0.5692 0.8195 1.000 1.285 1.564 1.837 0.2971
4 0.1678 0.2160 0.2868 0.3963 0.4911 0.6822 0.9069 1.070 1.324 1.560 1.800 0.5124
5 0.2284 0.2823 0.3612 0.4733 0.5658 0.7453 0.9558 1.101 1.326 1.535 1.739 0.6132
6 0.2836 0.3397 0.4232 0.5337 0.6226 0.7906 0.9893 1.122 1.319 1.503 1.685 0.6838
7 0.3283 0.3911 0.4652 0.5775 0.6644 0.8274 1.0110 1.127 1.314 1.485 1.636 0.7325
8 0.3704 0.4282 0.5073 0.6157 0.6988 0.8504 1.020 1.136 1.303 1.460 1.594 0.7706
9 0.4140 0.4692 0.5444 0.6483 0.7247 0.8686 1.032 1.142 1.299 1.430 1.567 0.8021
10 0.4414 0.5000 0.5765 0.6716 0.7479 0.8841 1.040 1.142 1.284 1.412 1.546 0.8259
11 0.4694 0.5302 0.6019 0.6901 0.7637 0.8964 1.044 1.139 1.272 1.405 1.517 0.8442
12 0.4993 0.5558 0.6223 0.7111 0.7815 0.9061 1.047 1.137 1.269 1.382 1.490 0.8603
13 0.5216 0.5769 0.6416 0.7279 0.7953 0.9183 1.050 1.132 1.258 1.363 1.467 0.8741
14 0.5383 0.5961 0.6592 0.7442 0.8097 0.9264 1.052 1.132 1.248 1.346 1.438 0.8851
15 0.5581 0.6147 0.6803 0.7609 0.8216 0.9319 1.051 1.125 1.238 1.329 1.420 0.8959
16 0.5793 0.6304 0.6956 0.7705 0.8333 0.9365 1.049 1.123 1.223 1.311 1.391 0.9042
17 0.5957 0.6505 0.7109 0.7840 0.8402 0.9415 1.052 1.123 1.218 1.304 1.378 0.9125
18 0.6112 0.6643 0.7229 0.7941 0.8492 0.9500 1.053 1.118 1.208 1.287 1.362 0.9200
19 0.6273 0.6773 0.7384 0.8042 0.8580 0.9536 1.054 1.116 1.201 1.279 1.349 0.9272
20 0.6507 0.6956 0.7507 0.8155 0.8685 0.9576 1.052 1.111 1.193 1.266 1.338 0.9344
Anexa D
D – 21
Tabelul D.6 Cuantilele variabilei aleatorii () ηη⋅β= /ln n,rZ* *
N
r Cuantilele variabilei aleatorii ηη⋅β=∗
∗
ln )n,r(Z
Z 2.5 Z 5.0 Z 10.0 Z 20.0 Z 30.0 Z 50.0 Z 70.0 Z 80.0 Z 90.0 Z 95.0 Z 97.5 Z m
3 3 -3.817 -2.453 -1.496 -0.720 -0.364 0.1135 0.5822 0.8960 1.4930 2.2230 3.101 -0.0260
4 3 -6.296 -3.924 -2.324 -1.184 -0.639 -0.0390 0.3964 0.6564 1.0960 1.5750 2.256 -0.5300
4 -2.119 -1.430 -0.938 -0.503 -0.259 0.0975 0.4492 0.6840 1.1070 1.5150 1.964 0.0710
5 3 -8.004 -5.317 -3.182 -1.645 -0.948 -0.2030 0.2653 0.5129 0.8550 1.2270 1.625 -0.9890
4 -2.896 -1.990 -1.274 -0.683 -0.369 0.0142 0.3479 0.5525 0.8920 1.2570 1.609 -0.1380
5 -1.463 -1.057 -0.731 -0.415 -0.212 0.0819 0.3694 0.5741 0.8987 1.2300 1.581 0.0745
6 3 -9.949 -6.560 -3.877 -2.022 -1.218 -0.3390 0.2077 0.4411 0.7343 0.9997 1.324 -1.3540
4 -3.723 -2.492 -1.617 -0.898 -0.509 -0.0510 0.2810 0.4760 0.7465 1.0360 1.332 -0.3440
5 -1.982 -1.370 -0.918 -0.510 -0.269 0.0367 0.3120 0.4957 0.7572 1.0450 1.337 -0.0430
6 -1.180 -0.896 -0.635 -0.354 -0.188 0.0677 0.3323 0.5107 0.7694 1.0360 1.306 0.0670
7 3 -11.740 -7.524 -4.649 -2.410 -1.476 -0.4650 0.1333 0.3956 0.6937 0.9119 1.118 -1.7360
4 -4.472 -2.932 -1.898 -1.084 -0.656 -0.1280 0.2405 0.4184 0.6716 0.9116 1.171 -0.4980
5 -2.223 -1.619 -1.094 -0.605 -0.349 -0.0160 0.2702 0.4326 0.6727 0.9045 1.169 -0.1440
6 -1.419 -1.066 -0.724 -0.417 -0.228 0.0417 0.2874 0.4421 0.6878 0.9205 1.166 -0.0050
7 -0.997 -0.781 -0.555 -0.319 -0.172 0.0613 0.2973 0.4498 0.6911 0.9189 1.153 0.0620
8 3 -13.000 -8.588 -5.209 -2.788 -1.688 -0.5720 0.0689 0.3397 0.6513 0.8727 1.051 -2.0060
4 -4.822 -3.392 -2.203 -1.288 -0.783 -0.2030 0.1962 0.3910 0.6246 0.8233 1.042 -0.6230
5 -2.528 -1.819 -1.265 -0.719 -0.425 -0.0540 0.2315 0.3941 0.6164 0.8352 1.048 -0.2320
6 -1.630 -1.223 -0.837 -0.478 -0.274 0.0107 0.2546 0.3972 0.6195 0.8292 1.057 -0.0720
7 -1.197 -0.897 -0.631 -0.365 -0.205 0.0391 0.2693 0.4029 0.6202 0.8305 1.053 0.0065
8 -0.893 -0.707 -0.500 -0.299 -0.167 0.0511 0.2738 0.4100 0.6240 0.8283 1.0470 0.0563
9 3 -14.320 -9.252 -5.707 -3.090 -1.906 -0.7060 0.0179 0.3275 0.6444 0.8501 1.0180 -2.2840
4 -5.525 -3.768 -2.448 -1.453 -0.906 -0.2800 0.1568 0.3646 0.6011 0.7925 0.9666 -0.7630
5 -2.915 -2.085 -1.408 -0.845 -0.511 -0.0940 0.2131 0.3654 0.5833 0.7559 0.9532 -0.3210
6 -1.797 -1.371 -0.951 -0.547 -0.322 -0.0170 0.2282 0.3692 0.5741 0.7524 0.9450 -0.1290
7 -1.332 -1.029 -0.699 -0.403 -0.233 0.0161 0.2419 0.3762 0.5722 0.7581 0.9584 -0.0360
8 -0.997 -0.778 -0.548 -0.328 -0.182 0.0321 0.2459 0.3836 0.5771 0.7649 0.9575 0.0189
9 -0.805 -0.641 -0.467 -0.280 -0.153 0.0444 0.2548 0.3870 0.5777 0.7653 0.9447 0.0526
10 3 -15.670 -9.827 -6.090 -3.340 -2.144 -0.8230 -0.0280 0.2878 0.6283 0.8408 1.0060 -2.4490
4 -5.997 -4.133 -2.800 -1.575 -1.011 -0.3210 0.1383 0.3498 0.5779 0.7479 0.9042 -0.8740
5 -3.010 -2.167 -1.429 -0.820 -0.462 -0.0300 0.2806 0.4445 0.6418 0.8058 0.9486 -0.2830
6 -2.039 -1.501 -1.064 -0.619 -0.369 -0.0520 0.2106 0.3497 0.5385 0.7013 0.8654 -0.1880
7 -1.481 -1.104 -0.776 -0.453 -0.260 -0.0090 0.2190 0.3496 0.5377 0.7009 0.8661 -0.0800
8 -1.141 -0.860 -0.602 -0.356 -0.200 0.0167 0.2253 0.3589 0.5397 0.7030 0.8766 -0.0150
9 -0.895 -0.686 -0.499 -0.296 -0.165 0.0325 0.2282 0.3598 0.5382 0.7050 0.8816 0.0235
10 -0.749 -0.596 -0.437 -0.264 -0.147 0.0437 0.2351 0.3609 0.5392 0.7054 0.8780 0.0477
11 3 -16.400 -10.580 -6.541 -3.580 -2.280 -0.9010 -0.0680 0.2685 0.6358 0.8561 1.0030 -2.6100
4 -6.578 -4.593 -3.005 -1.727 -1.100 -0.3880 0.1110 0.3367 0.5730 0.7469 0.8902 -0.9900
5 -3.458 -2.505 -1.714 -1.017 -0.649 -0.1710 0.1731 0.3365 0.5352 0.6945 0.8447 -0.4610
Anexa D
D – 22Tabelul D.6 (continuare) Cuantilele variabilei aleatorii () ηη⋅β= /ln n,rZ* *
N
r Cuantilele variabilei aleatorii ηη⋅β=∗
∗
ln )n,r(Z
Z 2.5 Z 5.0 Z 10.0 Z 20.0 Z 30.0 Z 50.0 Z 70.0 Z 80.0 Z 90.0 Z 95.0 Z 97.5 Z m
11 6 -2.244 -1.664 -1.157 -0.697 -0.419 -0.0750 0.1970 0.3374 0.5207 0.6704 0.8206 -0.2380
7 -1.608 -1.217 -0.858 -0.501 -0.301 -0.0280 0.2005 0.3299 0.5055 0.6671 0.8213 -0.1200
8 -1.221 -0.932 -0.651 -0.388 -0.224 -0.0010 0.2107 0.3282 0.5038 0.6642 0.8108 -0.0470
9 -0.987 -0.747 -0.538 -0.319 -0.179 0.0236 0.2144 0.3331 0.5059 0.6720 0.8211 -0.0030
10 -0.809 -0.625 -0.467 -0.273 -0.155 0.0294 0.2190 0.3359 0.5113 0.6765 0.8179 0.0252
11 -0.701 -0.566 -0.419 -0.251 -0.139 0.0365 0.2224 0.3375 0.5142 0.6770 0.8171 0.0441
12 3 -17.660 -11.290 -6.916 -3.835 -2.424 -0.9660 -0.1050 0.2533 0.6138 0.8446 1.0160 -2.8270
4 -7.057 -4.911 -3.171 -1.832 -1.192 -0.4270 0.0823 0.3249 0.5680 0.7468 0.8760 -1.0860
5 -3.780 -2.692 -1.866 -1.093 -0.693 -0.2010 0.1564 0.3356 0.5315 0.6811 0.8003 -0.5190
6 -2.440 -1.818 -1.242 -0.751 -0.473 -0.1060 0.1750 0.3241 0.4996 0.6409 0.7592 -0.2900
7 -1.774 -1.341 -0.940 -0.563 -0.345 -0.0490 0.1867 0.3211 0.4831 0.6283 0.7642 -0.1640
8 -1.325 -1.004 -0.722 -0.415 -0.248 -0.0100 0.1977 0.3137 0.4717 0.6180 0.7563 -0.0790
9 -1.053 -0.814 -0.572 -0.346 -0.203 0.0103 0.2005 0.3122 0.4730 0.6198 0.7585 -0.0310
10 -0.865 -0.677 -0.487 -0.294 -0.169 0.0232 0.2059 0.3111 0.4736 0.6182 0.7536 0.0024
11 -0.749 -0.594 -0.441 -0.257 -0.149 0.0291 0.2037 0.3177 0.4724 0.6205 0.7538 0.0234
12 -0.668 -0.544 -0.401 -0.240 -0.137 0.0348 0.2087 0.3165 0.4738 0.6205 0.7530 0.0387
13 3 -18.990 -12.000 -7.462 -4.1080 -2.6050 -1.0760 -0.1412 0.2558 0.6288 0.8742 1.0260 -2.9990
4 -7.274 -5.126 -3.389 -1.9950 -1.3030 -0.4744 0.0678 0.3220 0.5743 0.7572 0.8969 -1.1720
5 -4.005 -2.896 -2.003 -1.2110 -0.7662 -0.2333 0.1455 0.3245 0.5409 0.6851 0.8068 -0.5838
6 -2.626 -1.943 -1.363 -0.8256 -0.5147 -0.1301 0.1622 0.3078 0.4936 0.6304 0.7426 -0.3334
7 -1.848 -1.391 -1.002 -0.6060 -0.3722 -0.0683 0.1759 0.3061 0.4748 0.5975 0.7131 -0.1936
8 -1.4320 -1.0850 -0.7773 -0.4652 -0.2732 -0.0245 0.1872 0.3028 0.4531 0.5825 0.7148 -0.1105
9 -1.1460 -0.8709 -0.6276 -0.3687 -0.2191 -0.0048 0.1896 0.2980 0.4452 0.5853 0.7235 -0.0569
10 -0.9401 -0.7300 -0.5258 -0.3194 -0.1845 0.0137 0.1951 0.3014 0.4461 0.5914 0.7197 -0.0187
11 -0.8013 -0.6233 -0.4523 -0.2744 -0.1588 0.0224 0.1939 0.2983 0.4522 0.5909 0.7192 0.0067
12 -0.7110 -0.5624 -0.4101 -0.2508 -0.1440 0.0281 0.1969 0.3005 0.4518 0.5896 0.7195 0.0226
13 -0.6421 -0.5112 -0.3833 -0.2316 -0.1318 0.0330 0.1976 0.3022 0.4530 0.5890 0.7220 0.0351
14 3 -20.0700 -13.0400 -7.8370 -4.3190 -2.7360 -1.1270 -0.1578 0.2282 0.6291 0.8780 1.0490 -3.2200
4 -7.7830 -5.5640 -3.6960 -2.1530 -1.4010 -0.5169 0.0449 0.3057 0.5879 0.7804 0.9004 -1.2830
5 -4.3640 -3.1810 -2.1870 -1.3040 -0.8260 -0.2637 0.1274 0.3107 0.5421 0.6927 0.8009 -0.6510
6 -2.8560 -2.0800 -1.4650 -0.8763 -0.5627 -0.1468 0.1614 0.3091 0.4963 0.6350 0.7266 -0.3715
7 -1.9420 -1.4920 -1.0720 -0.6414 -0.3948 -0.0789 0.1708 0.2985 0.4718 0.6001 0.7002 -0.2223
8 -1.5350 -1.1490 -0.8257 -0.5018 -0.3025 -0.0407 0.1743 0.2960 0.4481 0.5708 0.6825 -0.1345
9 -1.1980 -0.9199 -0.6674 -0.3904 -0.2315 -0.0151 0.1792 0.2899 0.4361 0.5657 0.6737 -0.0758
10 -0.9941 -0.7668 -0.5578 -0.3341 -0.1976 0.0025 0.1853 0.2910 0.4266 0.5603 0.6752 -0.0372
11 -0.8329 -0.6734 -0.4824 -0.2898 -0.1680 0.0148 0.1869 0.2878 0.4279 0.5565 0.6714 -0.0107
12 -0.7256 -0.5848 -0.4227 -0.2556 -0.1474 0.0255 0.1893 0.2883 0.4314 0.5586 0.6698 0.0104
13 -0.6557 -0.5224 -0.3891 -0.2415 -0.1346 0.0258 0.1912 0.2914 0.4293 0.5529 0.6694 0.0235
14 -0.5966 -0.4887 -0.3567 -0.2304 -0.1274 0.0328 0.1918 0.2942 0.4348 0.5547 0.6681 0.0333
15 3 -20.340 -13.500 -8.2750 -4.5620 -2.8740 -1.1890 -0.1993 0.2205 0.6343 0.8908 1.0660 -3.3330
4 -8.176 -5.733 -3.7920 -2.2410 -1.4820 -0.5641 0.0260 0.2980 0.5929 0.7825 0.9192 -1.3280
5 -4.701 -3.439 -2.3240 -1.3870 -0.9125 -0.3089 0.1092 0.3083 0.5425 0.7003 0.8222 -0.7135
6 -3.076 -2.281 -1.5520 -0.9429 -0.6074 -0.1686 0.1520 0.3121 0.4975 0.6282 0.7420 -0.4166
7 -2.081 -1.589 -1.1180 -0.6815 -0.4350 -0.0942 0.1595 0.2989 0.4679 0.5889 0.6895 -0.2506
8 -1.600 -1.226 -0.8651 -0.5275 -0.3312 -0.0540 0.1653 0.2865 0.451 0.5629 0.6613 -0.1584
Anexa D
D – 23Tabelul D.6 (continuare) Cuantilele variabilei aleatorii () ηη⋅β= /ln n,rZ* *
N
r Cuantilele variabilei aleatorii ηη⋅β=∗
∗
ln )n,r(Z
Z 2.5 Z 5.0 Z 10.0 Z 20.0 Z 30.0 Z 50.0 Z 70.0 Z 80.0 Z 90.0 Z 95.0 Z 97.5 Z m
15 9 -1.266 -0.9765 -0.6931 -0.4155 -0.2459 -0.0238 0.1705 0.2838 0.4278 0.5441 0.6442 -0.0940
10 -1.021 -0.8100 -0.5850 -0.3470 -0.2090 -0.0080 0.1742 0.2718 0.4174 0.5407 0.6464 -0.0540
11 -0.880 -0.6890 -0.5010 -0.3040 -0.1740 0.0079 0.1782 0.2746 0.4137 0.5281 0.6451 0.0239
12 -0.772 -0.6060 -0.4370 -0.2670 -0.1550 0.0160 0.1778 0.2757 0.4147 0.5296 0.6402 -0.0020
13 -0.678 -0.5390 -0.3960 -0.2430 -0.1410 0.0191 0.1812 0.2753 0.4141 0.5319 0.6404 0.0131
14 -0.616 -0.498 -0.370 -0.229 -0.128 0.0242 0.1841 0.2779 0.4146 0.5312 0.6436 0.0237
15 -0.582 -0.464 -0.344 -0.215 -0.122 0.0284 0.1846 0.2785 0.4180 0.5321 0.6442 0.0322
16 3 -21.050 -13.790 -8.450 -4.656 -3.003 -1.234 -0.2350 0.2146 0.6574 0.9172 1.0900 -3.4730
4 -8.664 -5.998 -4.036 -2.338 -1.526 -0.607 0.0150 0.2916 0.5908 0.7945 0.9331 -1.4280
5 -4.873 -3.619 -2.399 -1.468 -0.961 -0.335 0.1093 0.3114 0.5425 0.7016 0.8159 -0.7650
6 -3.192 -2.394 -1.625 -0.998 -0.644 -0.202 0.1432 0.3060 0.4942 0.6309 0.7321 -0.4490
7 -2.272 -1.706 -1.187 -0.733 -0.460 -0.111 0.1584 0.2907 0.4563 0.5876 0.6766 -0.2800
8 -1.680 -1.318 -0.933 -0.563 -0.354 -0.0630 0.1654 0.2803 0.4391 0.5530 0.6519 -0.1830
9 -1.354 -1.067 -0.739 -0.464 -0.278 -0.0370 0.1658 0.2752 0.4212 0.5277 0.6276 -0.1190
10 -1.100 -0.847 -0.612 -0.373 -0.226 -0.0160 0.1665 0.2701 0.4054 0.5176 0.6188 -0.0730
11 -0.943 -0.739 -0.525 -0.316 -0.189 -0.0020 0.1668 0.2619 0.3975 0.5151 0.6257 -0.0400
12 -0.806 -0.630 -0.461 -0.279 -0.163 0.0102 0.1735 0.2638 0.3981 0.5158 0.6179 -0.0160
13 -0.716 -0.572 -0.413 -0.250 -0.145 0.0196 0.1704 0.2632 0.3942 0.5129 0.6235 0.0008
14 -0.649 -0.519 -0.381 -0.233 -0.134 0.0219 0.1714 0.2627 0.3952 0.5162 0.6199 0.0124
15 -0.589 -0.477 -0.353 -0.220 -0.124 0.0240 0.1752 0.2642 0.3956 0.5173 0.6177 0.0220
16 -0.557 -0.452 -0.336 -0.209 -0.120 0.0307 0.1742 0.2658 0.3970 0.5183 0.6183 0.0293
17 3 -22.460 -14.640 -8.836 -4.863 -3.161 -1.303 -0.2450 0.2156 0.6655 0.9225 1.1040 -3.6390
4 -8.883 -6.261 -4.145 -2.448 -1.587 -0.638 0.0013 0.2781 0.6013 0.7952 0.9394 -1.4740
5 -5.078 -3.798 -2.545 -1.531 -1.004 -0.364 0.0972 0.3137 0.5479 0.7173 0.8365 -0.809
6 -3.418 -2.539 -1.754 -1.077 -0.692 -0.220 0.1316 0.3041 0.4972 0.6342 0.7413 -0.497
7 -2.389 -1.774 -1.269 -0.773 -0.498 -0.125 0.1542 0.2946 0.4626 0.5867 0.6921 -0.305
8 -1.799 -1.383 -0.979 -0.600 -0.375 -0.0780 0.1543 0.2778 0.4317 0.5521 0.6516 -0.207
9 -1.44 -1.099 -0.790 -0.481 -0.295 -0.0400 0.1587 0.2654 0.4145 0.5277 0.6264 -0.135
10 -1.171 -0.907 -0.645 -0.391 -0.239 -0.0190 0.1617 0.2623 0.3927 0.5083 0.6145 -0.086
11 -0.969 -0.773 -0.554 -0.336 -0.202 -0.0070 0.1618 0.2559 0.3848 0.4996 0.6016 -0.054
12 -0.859 -0.661 -0.470 -0.290 -0.173 0.0027 0.1622 0.2538 0.3841 0.4960 0.6108 -0.029
13 -0.749 -0.589 -0.425 -0.258 -0.148 0.0147 0.1649 0.2510 0.3828 0.4963 0.6060 -0.0080
14 -0.662 -0.534 -0.392 -0.238 -0.135 0.0177 0.1639 0.2532 0.3831 0.4902 0.6063 0.0038
15 -0.605 -0.489 -0.360 -0.224 -0.126 0.0206 0.1665 0.2538 0.3835 0.4954 0.6049 0.0138
16 -0.563 -0.454 -0.339 -0.209 -0.119 0.0236 0.1689 0.2547 0.3810 0.4981 0.6037 0.0223
17 -0.536 -0.427 -0.322 -0.200 -0.115 0.0257 0.1694 0.2575 0.3817 0.4974 0.6044 0.0285
18 3 -23.8 -15.020 -9.038 -4.971 -3.273 -1.3700 -0.2690 0.1945 0.6618 0.9290 1.1150 -5.246
4 -9.205 -6.382 -4.252 -2.531 -1.673 -0.6620 -0.0020 0.2837 0.5925 0.7916 0.9460 -1.525
5 -5.352 -3.845 -2.649 -1.600 -1.067 -0.3800 0.0961 0.3118 0.5422 0.7092 0.8436 -0.843
6 -3.525 -2.613 -1.845 -1.130 -0.732 -0.2400 0.1264 0.2987 0.5052 0.6430 0.7480 -0.529
7 -2.482 -1.870 -1.326 -0.825 -0.535 -0.1400 0.1505 0.2939 0.4603 0.5864 0.7021 -0.333
8 -1.871 -1.430 -1.035 -0.634 -0.401 -0.0910 0.1530 0.2813 0.4303 0.5479 0.6483 -0.225
9 -1.474 -1.153 -0.828 -0.508 -0.318 -0.0510 0.1560 0.2703 0.4123 0.5226 0.6331 -0.152
10 -1.219 -0.961 -0.673 -0.409 -0.248 -0.0280 0.1565 0.2628 0.3983 0.5025 0.6098 -0.100
11 -1.038 -0.807 -0.584 -0.350 -0.208 -0.0120 0.1606 0.2573 0.3819 0.4926 0.5904 -0.066
12 -0.899 -0.704 -0.502 -0.309 -0.186 -0.0030 0.1577 0.2486 0.3753 0.4847 0.5869 -0.042
13 -0.777 -0.609 -0.440 -0.272 -0.163 0.0046 0.1578 0.2482 0.3697 0.4885 0.5877 -0.021
Anexa D
D – 24Tabelul D.6 (continuare) Cuantilele variabilei aleatorii () ηη⋅β= /ln n,rZ* *
N
r Cuantilele variabilei aleatorii ηη⋅β=∗
∗
ln )n,r(Z
Z 2.5 Z 5.0 Z 10.0 Z 20.0 Z 30.0 Z 50.0 Z 70.0 Z 80.0 Z 90.0 Z 95.0 Z 97.5 Z m
18 14 -0.694 -0.542 -0.396 -0.242 -0.144 0.0129 0.1596 0.2463 0.3724 0.4858 0.5823 -0.0040
15 -0.621 -0.502 -0.373 -0.228 -0.129 0.0161 0.1575 0.2478 0.3700 0.4848 0.5854 0.0056
16 -0.581 -0.464 -0.350 -0.213 -0.125 0.0201 0.1608 0.2467 0.3718 0.4823 0.5824 0.0145
17 -0.538 -0.434 -0.330 -0.203 -0.115 0.0214 0.1619 0.2457 0.3727 0.4808 0.5818 0.0216
18 -0.513 -0.415 -0.311 -0.194 -0.112 0.0249 0.163 0.2468 0.3720 0.4830 0.5815 0.0271
19 3 -23.350 -14.980 -9.183 -5.016 -3.297 -1.39 -0.2770 0.1981 0.6641 0.9450 1.1380 -5.2710
4 -9.796 -6.577 -4.407 -2.611 -1.756 -0.684 -0.0110 0.2926 0.6092 0.8006 0.9513 -1.5840
5 -5.435 -3.988 -2.755 -1.689 -1.104 -0.417 0.0768 0.2986 0.5471 0.7164 0.8452 -0.8840
6 -3.630 -2.746 -1.933 -1.188 -0.762 -0.263 0.1159 0.2939 0.5047 0.6568 0.7624 -0.5590
7 -2.599 -1.957 -1.387 -0.858 -0.567 -0.164 0.1347 0.2905 0.4626 0.5900 0.6953 -0.3590
8 -1.956 -1.487 -1.074 -0.677 -0.435 -0.101 0.1470 0.2787 0.4342 0.5481 0.6549 -0.2460
9 -1.549 -1.207 -0.874 -0.533 -0.345 -0.065 0.1551 0.2672 0.4133 0.5274 0.6254 -0.1700
10 -1.289 -1.011 -0.718 -0.439 -0.271 -0.042 0.1542 0.2584 0.3959 0.5035 0.6003 -0.1170
11 -1.090 -0.830 -0.607 -0.367 -0.224 -0.020 0.1533 0.2530 0.3838 0.4899 0.5836 -0.0770
12 -0.925 -0.730 -0.523 -0.322 -0.193 -0.008 0.1523 0.2442 0.3648 0.4782 0.5754 -0.0530
13 -0.810 -0.638 -0.461 -0.286 -0.168 0.0000 0.1495 0.2378 0.3615 0.4718 0.5732 -0.0320
14 -0.720 -0.563 -0.421 -0.259 -0.151 0.0081 0.1534 0.2386 0.3595 0.4690 0.5685 -0.0160
15 -0.644 -0.509 -0.381 -0.234 -0.137 0.0145 0.1539 0.2343 0.3588 0.4667 0.5708 -0.0020
16 -0.592 -0.471 -0.356 -0.214 -0.125 0.0156 0.1522 0.2378 0.3575 0.4656 0.5677 0.0071
17 -0.555 -0.446 -0.332 -0.202 -0.121 0.0174 0.1528 0.2361 0.3583 0.4671 0.5671 0.0140
18 -0.518 -0.423 -0.314 -0.197 -0.116 0.0211 0.1542 0.2378 0.3590 0.4671 0.5655 0.0205
19 -0.498 -0.400 -0.299 -0.190 -0.108 0.0229 0.1540 0.2360 0.3589 0.4672 0.5665 0.0255
20 3 -22.490 -14.710 -9.042 -5.074 -3.287 -1.4430 -0.3050 0.1906 0.6861 0.9654 1.1640 -5.3030
4 -9.479 -6.556 -4.437 -2.731 -1.809 -0.7260 -0.0150 0.2966 0.6205 0.8300 0.9971 -1.6100
5 -5.492 -4.093 -2.883 -1.772 -1.145 -0.4390 0.0692 0.3040 0.5738 0.7415 0.8700 -0.9160
6 -3.771 -2.794 -1.975 -1.212 -0.801 -0.2660 0.1230 0.3053 0.5132 0.6533 0.7649 -0.5730
7 -2.666 -2.080 -1.466 -0.934 -0.586 -0.1730 0.1453 0.3070 0.4795 0.6109 0.7071 -0.3870
8 -2.101 -1.614 -1.150 -0.706 -0.457 -0.1100 0.1579 0.2834 0.4435 0.5615 0.6485 -0.2670
9 -1.618 -1.280 -0.929 -0.562 -0.356 -0.0710 0.1541 0.2729 0.4204 0.5295 0.6144 -0.1830
10 -1.323 -1.052 -0.740 -0.469 -0.288 -0.0520 0.1593 0.2626 0.4052 0.5067 0.5970 -0.1270
11 -1.132 -0.879 -0.635 -0.398 -0.248 -0.0270 0.1579 0.2624 0.3887 0.4853 0.5759 -0.0900
12 -0.964 -0.750 -0.551 -0.346 -0.206 -0.0140 0.1618 0.2482 0.3695 0.4692 0.5686 -0.0610
13 -0.830 -0.655 -0.480 -0.297 -0.180 -0.0030 0.1554 0.2438 0.3635 0.4612 0.5529 -0.0380
14 -0.749 -0.581 -0.425 -0.262 -0.159 0.0048 0.1533 0.2385 0.3593 0.4583 0.5474 -0.0220
15 -0.657 -0.518 -0.391 -0.239 -0.144 0.0075 0.1502 0.2346 0.3568 0.4598 0.5422 -0.0080
16 -0.609 -0.486 -0.364 -0.225 -0.131 0.0112 0.1502 0.2352 0.3537 0.4588 0.5418 0.0010
17 -0.572 -0.450 -0.337 -0.209 -0.122 0.0150 0.1509 0.2379 0.3520 0.4572 0.5473 0.0092
18 -0.526 -0.428 -0.322 -0.199 -0.120 0.0201 0.1516 0.2367 0.3544 0.4588 0.5473 0.0159
19 -0.503 -0.403 -0.305 -0.193 -0.111 0.0207 0.1532 0.2380 0.3552 0.4603 0.5498 0.0217
20 -0.475 -0.390 -0.295 -0.186 -0.103 0.0210 0.1544 0.2357 0.3556 0.4609 0.5502 0.0258
Anexa D
D – 25
Tabelul D.7 Cuantilele variabilei aleatorii ()10,010,0* *
t tln 10,0;n;rV ⋅β=
N
r Cuantilele variabilei aleatorii
10.010,0*
ttln )10.0;n;r(V ⋅β=∗
V 2.5 V 5.0 V 10.0 V 20.0 V 30.0 V 50.0 V 70.0 V 80.0 V 90.0 V 95.0 V 97.5 V m
3 3 -1.480 -1.186 -0.825 -0.308 0.1563 1.1690 2.695 4.124 7.116 11.280 17.230 2.854
4 3 -1.364 -1.088 -0.751 -0.297 0.1529 1.1440 2.704 4.043 7.030 10.880 17.010 2.765
4 -1.315 -1.091 -0.804 -0.367 -0.0040 0.7715 1.813 2.664 4.347 6.417 8.691 1.492
5 3 -1.338 -1.058 -0.726 -0.286 0.1032 1.0290 2.539 3.869 6.933 10.650 16.160 2.6320
4 -1.240 -1.023 -0.731 -0.341 1.4e-5 0.7613 1.796 2.630 4.350 6.364 9.003 1.5140
5 -1.241 -1.039 -0.759 -0.393 -0.0890 0.5669 1.418 2.087 3.188 4.610 6.098 1.0280
6 3 -1.377 -1.049 -0.705 -0.278 0.0779 0.9091 2.291 3.507 6.284 10.290 15.360 2.4330
4 -1.182 -0.965 -0.686 -0.306 0.0107 0.7199 1.725 2.562 4.222 6.178 8.760 1.4680
5 -1.164 -0.965 -0.705 -0.350 -0.0550 0.5639 1.413 2.063 3.196 4.590 6.063 1.0430
6 -1.174 -0.974 -0.721 -0.392 -0.1200 0.4554 1.168 1.732 2.640 3.587 4.749 0.7855
7 3 -1.476 -1.054 -0.716 -0.298 0.0410 0.8239 2.098 3.250 5.709 9.009 14.000 2.3240
4 -1.156 -0.928 -0.671 -0.307 0.0009 0.6616 1.645 2.447 4.009 5.858 7.958 1.3710
5 -1.119 -0.918 -0.678 -0.337 -0.0540 0.5395 1.369 1.991 3.143 4.496 5.895 1.0210
6 -1.117 -0.925 -0.695 -0.359 -0.0870 0.4524 1.171 1.714 2.653 3.613 4.737 0.8039
7 -1.118 -0.923 -0.710 -0.381 -0.1370 0.3763 1.022 1.483 2.277 3.077 3.901 0.6352
8 3 -1.599 -1.110 -0.731 -0.318 0.0137 0.7514 1.901 3.020 5.296 8.214 12.810 2.0950
4 -1.131 -0.918 -0.670 -0.304 -0.0160 0.6087 1.549 2.267 3.743 5.359 7.481 1.2700
5 -1.058 -0.876 -0.656 -0.322 -0.0490 0.5197 1.290 1.925 2.986 4.226 5.765 0.9696
6 -1.051 -0.878 -0.665 -0.348 -0.0840 0.4508 1.137 1.648 2.554 3.500 4.713 0.7885
7 -1.030 -0.860 -0.642 -0.331 -0.0850 0.4199 1.040 1.510 2.253 3.048 3.928 0.6752
8 -1.060 -0.891 -0.681 -0.387 -0.1440 0.3175 0.896 1.303 1.944 2.663 3.305 0.5283
9 3 -1.749 -1.160 -0.746 -0.342 -0.0180 0.6769 1.7890 2.819 5.039 7.855 11.770 1.9040
4 -1.138 -0.896 -0.665 -0.312 -0.0270 0.5780 1.4590 2.194 3.604 5.353 7.389 1.2110
5 -1.027 -0.851 -0.638 -0.320 -0.052 0.4993 1.2640 1.869 2.912 4.125 5.756 0.9409
6 -1.004 -0.845 -0.642 -0.338 -0.080 0.4276 1.1100 1.644 2.512 3.456 4.601 0.7750
7 -1.004 -0.852 -0.650 -0.356 -0.099 0.3824 0.9963 1.446 2.189 3.021 4.008 0.6536
8 -1.015 -0.856 -0.654 -0.364 -0.124 0.3368 0.9037 1.294 1.975 2.732 3.455 0.5544
9 -1.014 -0.858 -0.656 -0.387 -0.157 0.2816 0.8145 1.192 1.764 2.375 3.049 0.4636
10 3 -1.908 -1.237 -0.767 -0.357 -0.0560 0.6097 1.6280 2.637 4.685 7.383 10.990 1.6600
4 -1.126 -0.889 -0.637 -0.308 -0.0440 0.5389 1.3570 2.065 3.432 5.095 7.150 1.1400
5 -0.895 -0.701 -0.504 -0.201 0.0401 0.5848 1.2800 1.889 2.921 4.035 5.661 1.0070
6 -0.979 -0.811 -0.610 -0.325 -0.0880 0.4100 1.0560 1.571 2.473 3.417 4.480 0.7508
7 -0.976 -0.813 -0.617 -0.340 -0.1040 0.3674 0.9725 1.408 2.189 2.990 3.914 0.6421
8 -0.975 -0.818 -0.632 -0.347 -0.121 0.3194 0.8776 1.277 1.955 2.651 3.447 0.5510
9 -0.984 -0.820 -0.635 -0.361 -0.137 0.2847 0.8034 1.171 1.789 2.388 3.114 0.4759
10 -0.982 -0.822 -0.641 -0.370 -0.162 0.2428 0.7420 1.090 1.636 2.135 2.740 0.4086
11 3 -2.118 -1.402 -0.814 -0.378 -0.081 0.5438 1.4910 2.407 4.333 6.944 10.290 1.4340
4 -1.158 -0.892 -0.634 -0.318 -0.053 0.4984 1.2830 1.970 3.226 4.993 6.960 1.0740
Anexa D
D – 26Tabelul D.7 (continuare) Cuantilele variabilei aleatorii ()10,010,0* *
t tln 10,0;n;rV ⋅β=
N
r Cuantilele variabilei aleatorii
10.010,0*
ttln )10.0;n;r(V ⋅β=∗
V 2.5 V 5.0 V 10.0 V 20.0 V 30.0 V 50.0 V 70.0 V 80.0 V 90.0 V 95.0 V 97.5 V m
11 5 -1.001 -0.819 -0.601 -0.309 -0.066 0.4459 1.1190 1.683 2.699 3.840 5.234 0.8495
6 -0.973 -0.794 -0.595 -0.316 -0.077 0.3915 1.0180 1.495 2.375 3.337 4.331 0.7171
7 -0.957 -0.794 -0.599 -0.328 -0.097 0.3563 0.9249 1.347 2.156 2.926 3.881 0.6243
8 -0.957 -0.800 -0.609 -0.335 -0.116 0.3151 0.8630 1.244 1.934 2.568 3.324 0.5416
9 -0.952 -0.801 -0.607 -0.346 -0.130 0.2882 0.7957 1.159 1.774 2.429 3.008 0.4779
10 -0.959 -0.807 -0.611 -0.352 -0.143 0.2589 0.7259 1.0760 1.631 2.168 2.757 0.4200
11 -0.955 -0.807 -0.622 -0.364 -0.158 0.2225 0.6799 0.9985 1.516 1.975 2.529 0.3649
12 3 -2.211 -1.452 -0.863 -0.397 -0.096 0.4731 1.3910 2.210 4.103 6.408 9.335 1.2730
4 -1.206 -0.895 -0.626 -0.322 -0.067 0.4495 1.2110 1.826 3.066 4.574 6.326 0.9720
5 -0.994 -0.802 -0.582 -0.302 -0.069 0.4107 1.0650 1.583 2.564 3.629 4.845 0.7886
6 -0.956 -0.772 -0.576 -0.307 -0.085 0.3731 0.9761 1.424 2.259 3.144 4.185 0.6750
7 -0.954 -0.777 -0.585 -0.326 -0.110 0.3310 0.8889 1.299 2.020 2.739 3.647 0.5798
8 -0.939 -0.768 -0.579 -0.326 -0.116 0.3068 0.8306 1.2190 1.849 2.502 3.181 0.5210
9 -0.939 -0.774 -0.584 -0.331 -0.123 0.2744 0.7634 1.1290 1.712 2.321 2.886 0.4622
10 -0.939 -0.773 -0.585 -0.345 -0.136 0.2412 0.7120 1.0620 1.594 2.122 2.716 0.4119
11 -0.945 -0.776 -0.596 -0.349 -0.147 0.2304 0.6616 0.9804 1.476 1.988 2.516 0.3688
12 -0.937 -0.777 -0.593 -0.355 -0.160 0.2012 0.6237 0.9232 1.397 1.825 2.281 0.3244
13 3 -2.460 -1.560 -0.947 -0.438 -0.129 0.4280 1.2840 2.027 3.859 6.166 8.832 1.1630
4 -1.241 -0.907 -0.629 -0.334 -0.084 0.4161 1.1250 1.746 2.884 4.393 6.218 0.9135
5 -0.999 -0.790 -0.580 -0.309 -0.079 0.3859 1.0140 1.516 2.441 3.509 4.742 0.7450
6 -0.925 -0.763 -0.566 -0.309 -0.087 0.3573 0.9290 1.376 2.182 3.053 4.018 0.6493
7 -0.906 -0.758 -0.564 -0.311 -0.104 0.3246 0.8729 1.264 1.955 2.680 3.515 0.5672
8 -0.901 -0.757 -0.570 -0.321 -0.114 0.2943 0.8085 1.1860 1.814 2.458 3.153 0.5076
9 -0.900 -0.759 -0.572 -0.333 -0.125 0.2685 0.7512 1.1060 1.68 2.269 2.866 0.4548
10 -0.904 -0.756 -0.571 -0.332 -0.138 0.2433 0.7082 1.0340 1.586 2.084 2.625 0.4044
11 -0.901 -0.762 -0.579 -0.343 -0.148 0.2205 0.6625 0.9793 1.454 1.970 2.470 0.3656
12 -0.905 -0.760 -0.586 -0.345 -0.159 0.2123 0.6187 0.9134 1.385 1.836 2.310 0.3302
13 -0.898 -0.763 -0.587 -0.352 -0.162 0.1864 0.5841 0.8595 1.316 1.724 2.161 0.2942
14 3 -2.675 -1.689 -1.025 -0.459 -0.147 0.3863 1.1710 1.899 3.565 5.630 8.931 1.0650
4 -1.302 -0.925 -0.645 -0.338 -0.084 0.3888 1.0600 1.623 2.757 4.146 6.055 0.8588
5 -1.013 -0.791 -0.577 -0.306 -0.077 0.3570 0.9644 1.448 2.352 3.349 4.495 0.7102
6 -0.935 -0.755 -0.562 -0.303 -0.083 0.3327 0.8852 1.313 2.086 2.922 3.789 0.6127
7 -0.900 -0.735 -0.558 -0.306 -0.093 0.3020 0.8298 1.233 1.883 2.639 3.326 0.5413
8 -0.889 -0.735 -0.560 -0.311 -0.103 0.2819 0.7762 1.1460 1.737 2.368 2.992 0.4840
9 -0.887 -0.735 -0.563 -0.316 -0.117 0.2588 0.7365 1.0540 1.636 2.204 2.759 0.4360
10 -0.887 -0.744 -0.564 -0.323 -0.122 0.2347 0.6933 0.9920 1.536 2.043 2.559 0.3944
11 -0.889 -0.746 -0.565 -0.329 -0.134 0.2208 0.6528 0.9505 1.436 1.933 2.411 0.3599
12 -0.901 -0.740 -0.566 -0.333 -0.141 0.2072 0.6252 0.9117 1.348 1.793 2.278 0.3251
13 -0.895 -0.739 -0.569 -0.334 -0.153 0.1902 0.5779 0.8635 1.286 1.691 2.110 0.2962
14 -0.888 -0.737 -0.571 -0.348 -0.156 0.1719 0.5519 0.8159 1.222 1.591 1.940 0.2676
15 3 -2.945 -1.848 -1.101 -0.499 -0.188 0.3420 1.0770 1.769 3.318 5.261 7.729 0.9209
4 -1.319 -0.984 -0.652 -0.348 -0.099 0.3548 1.0060 1.534 2.605 3.930 5.618 0.7880
5 -1.026 -0.794 -0.571 -0.313 -0.086 0.3432 0.9128 1.387 2.259 3.257 4.332 0.6716
6 -0.921 -0.744 -0.548 -0.302 -0.088 0.3181 0.8553 1.259 1.995 2.777 3.645 0.5868
7 -0.882 -0.723 -0.542 -0.308 -0.096 0.2964 0.8053 1.177 1.828 2.520 3.200 0.5204
Anexa D
D – 27Tabelul D.7 (continuare) Cuantilele variabilei aleatorii ()10,010,0* *
t tln 10,0;n;rV ⋅β=
N
r Cuantilele variabilei aleatorii
10.010,0*
ttln )10.0;n;r(V ⋅β=∗
V 2.5 V 5.0 V 10.0 V 20.0 V 30.0 V 50.0 V 70.0 V 80.0 V 90.0 V 95.0 V 97.5 V m
15 8 -0.865 -0.718 -0.542 -0.309 -0.109 0.2714 0.7626 1.1130 1.702 2.318 2.857 0.4682
9 -0.864 -0.719 -0.548 -0.312 -0.119 0.2559 0.7243 1.0420 1.590 2.144 2.684 0.4233
10 -0.866 -0.718 -0.549 -0.315 -0.123 0.2371 0.6774 0.9743 1.498 1.998 2.518 0.3862
11 -0.863 -0.717 -0.552 -0.321 -0.128 0.2182 0.6408 0.9226 1.410 1.908 2.378 0.3527
12 -0.864 -0.720 -0.556 -0.327 -0.136 0.2030 0.6138 0.8922 1.330 1.810 2.212 0.3233
13 -0.857 -0.727 -0.559 -0.327 -0.148 0.1928 0.5782 0.8522 1.274 1.667 2.113 0.2955
14 -0.855 -0.723 -0.559 -0.334 -0.153 0.1738 0.5523 0.8170 1.213 1.590 1.984 0.2720
15 -0.856 -0.724 -0.557 -0.344 -0.158 0.1592 0.5241 0.7782 1.162 1.505 1.856 0.2472
16 3 -3.155 -1.921 -1.142 -0.525 -0.208 0.3082 0.9993 1.6450 3.199 5.128 7.858 0.8357
4 -1.385 -1.019 -0.666 -0.345 -0.118 0.3272 0.9343 1.4710 2.549 3.863 5.472 0.7529
5 -1.032 -0.794 -0.561 -0.303 -0.097 0.3176 0.8812 1.3360 2.184 3.165 4.274 0.6484
6 -0.909 -0.734 -0.536 -0.296 -0.096 0.2980 0.8250 1.2250 1.954 2.803 3.670 0.5670
7 -0.858 -0.718 -0.528 -0.296 -0.099 0.2770 0.7730 1.1520 1.795 2.522 3.278 0.5070
8 -0.844 -0.713 -0.528 -0.299 -0.107 0.2610 0.7290 1.0800 1.678 2.295 2.975 0.4590
9 -0.842 -0.714 -0.530 -0.300 -0.119 0.2470 0.6980 1.0280 1.568 2.115 2.657 0.4190
10 -0.842 -0.717 -0.531 -0.304 -0.125 0.2320 0.6570 0.9780 1.503 2.026 2.446 0.3840
11 -0.845 -0.720 -0.534 -0.313 -0.126 0.2158 0.6161 0.9274 1.416 1.902 2.355 0.3518
12 -0.841 -0.717 -0.536 -0.313 -0.134 0.1957 0.5906 0.8741 1.346 1.803 2.199 0.3214
13 -0.836 -0.718 -0.543 -0.319 -0.138 0.1848 0.5663 0.8380 1.297 1.703 2.083 0.2972
14 -0.841 -0.712 -0.541 -0.323 -0.144 0.1729 0.5440 0.8035 1.225 1.598 1.939 0.2749
15 -0.841 -0.711 -0.546 -0.330 -0.149 0.1660 0.5177 0.7675 1.161 1.516 1.863 0.2524
16 -0.840 -0.702 -0.546 -0.331 -0.155 0.1504 0.4942 0.7320 1.107 1.457 1.769 0.2300
17 3 -3.472 -2.107 -1.211 -0.571 -0.227 0.2798 0.9271 1.528 2.892 4.879 7.423 0.7373
4 -1.423 -1.055 -0.683 -0.351 -0.129 0.3071 0.8886 1.379 2.378 3.691 5.310 0.6946
5 -1.044 -0.808 -0.572 -0.307 -0.103 0.3031 0.8394 1.277 2.101 3.029 4.080 0.6080
6 -0.913 -0.734 -0.538 -0.292 -0.097 0.2879 0.8054 1.184 1.907 2.694 3.508 0.5468
7 -0.848 -0.700 -0.524 -0.290 -0.101 0.2679 0.7417 1.109 1.734 2.451 3.155 0.4869
8 -0.835 -0.69 -0.522 -0.288 -0.109 0.2554 0.7098 1.0470 1.636 2.238 2.893 0.4456
9 -0.819 -0.687 -0.522 -0.295 -0.117 0.2376 0.6817 0.9906 1.529 2.092 2.608 0.4062
10 -0.817 -0.689 -0.524 -0.298 -0.120 0.2256 0.6415 0.9513 1.438 1.949 2.449 0.3731
11 -0.817 -0.691 -0.529 -0.305 -0.125 0.2132 0.6077 0.8999 1.383 1.869 2.329 0.3462
12 -0.821 -0.697 -0.528 -0.311 -0.132 0.1970 0.5935 0.8612 1.307 1.764 2.213 0.3195
13 -0.818 -0.693 -0.530 -0.314 -0.139 0.1811 0.5586 0.8202 1.261 1.669 2.101 0.2925
14 -0.819 -0.692 -0.530 -0.315 -0.150 0.1752 0.5381 0.8043 1.199 1.601 1.966 0.2740
15 -0.822 -0.692 -0.528 -0.319 -0.143 0.1606 0.5134 0.7662 1.155 1.510 1.866 0.2546
16 -0.818 -0.694 -0.541 -0.324 -0.155 0.1546 0.4912 0.7337 1.113 1.441 1.779 0.2345
17 -0.810 -0.689 -0.534 -0.326 -0.161 0.1357 0.4715 0.7075 1.055 1.392 1.717 0.2149
18 3 -3.699 -2.283 -1.281 -0.609 -0.258 0.2443 0.8769 1.435 2.706 4.571 7.074 0.2603
4 -1.487 -1.077 -0.695 -0.354 -0.137 0.2834 0.8519 1.300 2.254 3.540 5.117 0.6422
5 -1.059 -0.815 -0.566 -0.303 -0.108 0.2848 0.8097 1.216 1.995 2.916 4.014 0.5820
6 -0.905 -0.723 -0.530 -0.284 -0.103 0.2752 0.7694 1.143 1.861 2.574 3.412 0.5235
7 -0.849 -0.694 -0.509 -0.279 -0.104 0.2571 0.7197 1.080 1.666 2.354 3.063 0.4702
8 -0.818 -0.685 -0.507 -0.281 -0.112 0.2423 0.6852 1.0170 1.574 2.193 2.773 0.4308
9 -0.808 -0.679 -0.507 -0.285 -0.111 0.2292 0.6622 0.9682 1.490 2.024 2.558 0.3957
10 -0.806 -0.679 -0.511 -0.289 -0.115 0.2149 0.6247 0.9322 1.397 1.923 2.419 0.3623
11 -0.806 -0.680 -0.514 -0.292 -0.124 0.2052 0.5958 0.8911 1.343 1.781 2.288 0.3387
Anexa D
D – 28Tabelul D.7 (continuare) Cuantilele variabilei aleatorii ()10,010,0* *
t tln 10,0;n;rV ⋅β=
N
r Cuantilele variabilei aleatorii
10.010,0*
ttln )10.0;n;r(V ⋅β=∗
V 2.5 V 5.0 V 10.0 V 20.0 V 30.0 V 50.0 V 70.0 V 80.0 V 90.0 V 95.0 V 97.5 V m
18 12 -0.804 -0.681 -0.510 -0.292 -0.127 0.1966 0.5772 0.8508 1.285 1.717 2.161 0.3163
13 -0.808 -0.681 -0.518 -0.298 -0.131 0.1863 0.5575 0.8139 1.245 1.664 2.037 0.2938
14 -0.807 -0.687 -0.519 -0.306 -0.137 0.1742 0.5249 0.7884 1.191 1.551 1.954 0.2719
15 -0.804 -0.679 -0.520 -0.310 -0.142 0.1655 0.5120 0.7666 1.158 1.500 1.854 0.2559
16 -0.809 -0.677 -0.522 -0.310 -0.144 0.1577 0.4962 0.7274 1.094 1.457 1.781 0.2382
17 -0.797 -0.673 -0.524 -0.307 -0.149 0.1444 0.4704 0.7082 1.064 1.378 1.699 0.2212
18 -0.801 -0.669 -0.521 -0.311 -0.154 0.1289 0.4627 0.6806 1.008 1.326 1.629 0.2037
19 3 -3.729 -2.376 -1.339 -0.648 -0.283 0.2121 0.8240 1.3160 2.473 4.218 6.443 0.1371
4 -1.578 -1.115 -0.733 -0.375 -0.147 0.2668 0.8130 1.2430 2.146 3.304 4.763 0.5834
5 -1.075 -0.826 -0.568 -0.307 -0.108 0.2703 0.7794 1.1610 1.928 2.775 3.831 0.5420
6 -0.916 -0.715 -0.524 -0.288 -0.101 0.2667 0.7383 1.1140 1.752 2.503 3.228 0.4947
7 -0.839 -0.687 -0.508 -0.282 -0.102 0.2518 0.7052 1.0500 1.639 2.275 2.919 0.4508
8 -0.814 -0.668 -0.504 -0.282 -0.108 0.2386 0.6635 0.9945 1.553 2.101 2.670 0.4148
9 -0.802 -0.665 -0.505 -0.288 -0.113 0.2242 0.6344 0.9492 1.467 1.996 2.490 0.3834
10 -0.798 -0.666 -0.506 -0.287 -0.119 0.2117 0.6108 0.9174 1.385 1.868 2.346 0.3559
11 -0.791 -0.666 -0.504 -0.294 -0.124 0.2025 0.5841 0.8792 1.324 1.747 2.247 0.3294
12 -0.792 -0.666 -0.506 -0.288 -0.128 0.1924 0.5635 0.8380 1.269 1.668 2.124 0.3093
13 -0.797 -0.665 -0.506 -0.293 -0.133 0.1835 0.5544 0.8040 1.229 1.622 1.976 0.2897
14 -0.797 -0.664 -0.508 -0.294 -0.138 0.1693 0.5301 0.7761 1.183 1.549 1.936 0.2709
15 -0.797 -0.671 -0.511 -0.305 -0.145 0.1610 0.5045 0.7469 1.148 1.490 1.849 0.2528
16 -0.802 -0.664 -0.511 -0.303 -0.144 0.1524 0.4918 0.7324 1.101 1.434 1.765 0.2375
17 -0.799 -0.664 -0.509 -0.301 -0.149 0.1448 0.4695 0.6970 1.054 1.374 1.697 0.2230
18 -0.793 -0.662 -0.509 -0.312 -0.154 0.1343 0.4565 0.6766 1.0170 1.326 1.604 0.2070
19 -0.792 -0.665 -0.502 -0.310 -0.161 0.1204 0.4433 0.6550 0.9687 1.293 1.563 0.1910
20 3 -3.820 -2.394 -1.401 -0.674 -0.299 0.1946 0.7658 1.2450 2.293 3.648 5.575 0.0207
4 -1.617 -1.153 -0.742 -0.381 -0.153 0.2496 0.7692 1.1850 2.007 2.980 4.161 0.5315
5 -1.120 -0.836 -0.567 -0.311 -0.120 0.2650 0.7450 1.1280 1.815 2.601 3.496 0.5025
6 -0.885 -0.703 -0.514 -0.286 -0.106 0.2594 0.7137 1.0650 1.683 2.369 3.058 0.4671
7 -0.822 -0.665 -0.500 -0.278 -0.104 0.2498 0.6811 1.0120 1.582 2.184 2.799 0.4341
8 -0.786 -0.653 -0.495 -0.275 -0.108 0.2359 0.6496 0.9640 1.488 2.051 2.596 0.4020
9 -0.775 -0.650 -0.488 -0.279 -0.115 0.2224 0.6255 0.9352 1.402 1.899 2.443 0.3724
10 -0.773 -0.647 -0.490 -0.282 -0.119 0.2096 0.5995 0.8962 1.344 1.795 2.248 0.3467
11 -0.774 -0.646 -0.493 -0.288 -0.123 0.1956 0.5836 0.8555 1.284 1.717 2.157 0.3249
12 -0.774 -0.646 -0.493 -0.287 -0.130 0.1890 0.5596 0.8306 1.254 1.640 2.052 0.3041
13 -0.774 -0.654 -0.493 -0.289 -0.134 0.1798 0.5420 0.7963 1.199 1.564 1.958 0.2859
14 -0.774 -0.649 -0.496 -0.291 -0.138 0.1660 0.5237 0.7692 1.177 1.525 1.914 0.2700
15 -0.771 -0.653 -0.500 -0.296 -0.143 0.1592 0.5058 0.7348 1.123 1.473 1.817 0.2534
16 -0.768 -0.649 -0.492 -0.295 -0.142 0.1490 0.4902 0.7099 1.082 1.431 1.755 0.2394
17 -0.771 -0.652 -0.497 -0.298 -0.142 0.1378 0.4749 0.6932 1.047 1.379 1.678 0.2251
18 -0.762 -0.646 -0.495 -0.298 -0.147 0.1323 0.4579 0.6755 1.0100 1.333 1.627 0.2116
19 -0.766 -0.647 -0.491 -0.301 -0.152 0.1287 0.4402 0.6594 0.9834 1.283 1.576 0.1983
20 -0.759 -0.644 -0.494 -0.299 -0.155 0.1156 0.4251 0.6284 0.9445 1.234 1.516 0.1839
Anexa D
D – 29
Tabelul D.8 Cuantilele variabilei aleatorii ()50,050,0* *
t tln 50,0;n;rV ⋅β=
N
r Cuantilele variabilei aleatorii
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
⋅β=
50,050,0*
*
ttln )50.0;n;r(V
V 2.5 V 5.0 V 10.0 V 20.0 V 30.0 V 50.0 V 70.0 V 80.0 V 90.0 V 95.0 V 97.5 V m
3 3 -2.722 -1.794 -1.065 -0.521 -0.218 0.2549 0.8110 1.2600 2.148 3.308 4.822 0.4422
4 3 -4.368 -2.715 -1.600 -0.769 -0.373 0.1183 0.5927 0.9393 1.618 2.433 3.643 0.0059
4 -1.587 -1.140 -0.740 -0.407 -0.180 0.1952 0.6101 0.9235 1.468 2.061 2.733 0.3024
5 3 -5.756 -3.657 -2.198 -1.087 -0.571 -0.0060 0.4365 0.7268 1.265 1.919 2.731 -0.3990
4 -2.139 -1.505 -0.934 -0.486 -0.239 0.1093 0.4988 0.7647 1.241 1.771 2.409 0.1306
5 -1.172 -0.889 -0.628 -0.352 -0.162 0.1433 0.5083 0.7485 1.173 1.616 2.136 0.2298
6 3 -7.182 -4.716 -2.792 -1.380 -0.773 -0.1120 0.3404 0.6018 1.0180 1.513 2.135 -0.7370
4 -2.721 -1.849 -1.193 -0.624 -0.320 0.0554 0.4018 0.6438 1.0390 1.501 1.997 -0.0490
5 -1.457 -1.061 -0.729 -0.388 -0.190 0.0999 0.4270 0.6585 1.0260 1.421 1.900 0.1337
6 -1.002 -0.774 -0.557 -0.312 -0.151 0.1175 0.4314 0.6535 0.9879 1.347 1.733 0.1841
7 3 -8.590 -5.522 -3.336 -1.710 -0.985 -0.2150 0.2727 0.5069 0.8677 1.257 1.696 -1.0750
4 -3.229 -2.130 -1.412 -0.753 -0.421 -0.0010 0.3379 0.5544 0.8894 1.271 1.676 -0.1940
5 -1.709 -1.229 -0.817 -0.438 -0.228 0.0609 0.3696 0.5686 0.9028 1.265 1.622 0.0453
6 -1.116 -0.867 -0.600 -0.339 -0.171 0.0882 0.3856 0.5721 0.8966 1.245 1.547 0.1267
7 -0.869 -0.692 -0.498 -0.294 -0.145 0.1054 0.3878 0.5708 0.8674 1.186 1.474 0.1554
8 3 -9.876 -6.332 -3.904 -1.996 -1.184 -0.3170 0.2062 0.4510 0.7582 1.079 1.432 -1.3380
4 -3.615 -2.497 -1.593 -0.893 -0.509 -0.0570 0.2833 0.4829 0.7845 1.092 1.437 -0.3140
5 -1.896 -1.401 -0.945 -0.521 -0.280 0.0325 0.3182 0.4990 0.7770 1.109 1.441 -0.0360
6 -1.294 -0.943 -0.659 -0.375 -0.199 0.0652 0.3373 0.5146 0.7875 1.101 1.404 0.0678
7 -0.978 -0.740 -0.528 -0.303 -0.158 0.0884 0.3554 0.5275 0.7862 1.084 1.371 0.1155
8 -0.801 -0.639 -0.462 -0.277 -0.146 0.0917 0.3505 0.5224 0.7740 1.0440 1.320 0.1332
9 3 -11.120 -7.029 -4.282 -2.278 -1.384 -0.4180 0.1580 0.4246 0.7207 0.9750 1.294 -1.6020
4 -4.153 -2.800 -1.846 -1.052 -0.614 -0.1080 0.2499 0.4336 0.7150 0.9951 1.340 -0.4420
5 -2.216 -1.581 -1.060 -0.591 -0.337 0.0014 0.2845 0.4507 0.7185 1.0020 1.329 -0.1150
6 -1.413 -1.076 -0.712 -0.410 -0.226 0.0413 0.3069 0.4673 0.7280 1.0090 1.311 0.0175
7 -1.060 -0.819 -0.561 -0.326 -0.175 0.0578 0.3175 0.4782 0.7309 0.9973 1.272 0.0762
8 -0.851 -0.664 -0.471 -0.288 -0.153 0.0677 0.3252 0.4805 0.7326 0.9863 1.263 0.1062
9 -0.738 -0.593 -0.436 -0.264 -0.142 0.0794 0.3263 0.4814 0.7235 0.9594 1.192 0.1196
10 3 -12.120 -7.669 -4.580 -2.546 -1.533 -0.5230 0.1026 0.3832 0.6776 0.8972 1.149 -1.7800
4 -4.637 -3.179 -2.079 -1.149 -0.690 -0.1590 0.2325 0.4125 0.6572 0.9029 1.171 -0.5460
5 -2.247 -1.586 -1.036 -0.545 -0.276 0.0780 0.3520 0.5123 0.7516 0.9912 1.256 -0.0730
6 -1.561 -1.157 -0.805 -0.455 -0.257 0.0205 0.2677 0.4325 0.6726 0.9106 1.179 -0.0350
7 -1.168 -0.863 -0.607 -0.348 -0.192 0.0429 0.2837 0.4374 0.6824 0.9177 1.172 0.0375
8 -0.923 -0.700 -0.504 -0.295 -0.158 0.0593 0.2933 0.4432 0.6883 0.9127 1.163 0.0764
9 -0.754 -0.600 -0.445 -0.265 -0.144 0.0661 0.2964 0.4473 0.6871 0.9009 1.140 0.0971
10 -0.681 -0.553 -0.422 -0.254 -0.134 0.0698 0.2975 0.4463 0.6762 0.8795 1.095 0.1066
11 3 -12.970 -8.288 -4.999 -2.756 -1.678 -0.6190 0.0693 0.3449 0.6649 0.8788 1.108 -1.9510
4 -5.125 -3.438 -2.258 -1.261 -0.784 -0.2060 0.2001 0.3893 0.6248 0.8418 1.066 -0.6540
Anexa D
D – 30Tabelul D.8 (continuare) Cuantilele variabilei aleatorii ()50,050,0* *
t tln 50,0;n;rV ⋅β=
N
r Cuantilele variabilei aleatorii
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
⋅β=
50,050,0*
*
ttln )50.0;n;r(V
V 2.5 V 5.0 V 10.0 V 20.0 V 30.0 V 50.0 V 70.0 V 80.0 V 90.0 V 95.0 V 97.5 V m
11 5 -2.661 -1.949 -1.281 -0.728 -0.434 -0.0580 0.2339 0.3886 0.6170 0.8443 1.074 -0.2470
6 -1.715 -1.285 -0.865 -0.499 -0.289 0.0038 0.2507 0.3922 0.6305 0.8413 1.078 -0.0820
7 -1.260 -0.951 -0.654 -0.380 -0.213 0.0309 0.2568 0.4048 0.6292 0.8473 1.085 0.0008
8 -0.982 -0.757 -0.532 -0.311 -0.170 0.0451 0.2689 0.4080 0.6423 0.8508 1.073 0.0480
9 -0.815 -0.636 -0.464 -0.272 -0.149 0.0597 0.2694 0.4111 0.6429 0.8500 1.057 0.0745
10 -0.705 -0.568 -0.422 -0.251 -0.139 0.0625 0.2751 0.4152 0.6437 0.8506 1.047 0.0895
11 -0.654 -0.528 -0.401 -0.245 -0.129 0.0657 0.2746 0.4141 0.6304 0.8327 1.030 0.0964
12 3 -14.560 -8.968 -5.436 -3.002 -1.818 -0.6860 0.0282 0.3213 0.6292 0.8486 1.0170 -2.1590
4 -5.502 -3.790 -2.419 -1.386 -0.859 -0.2490 0.1693 0.3614 0.6009 0.7778 0.9638 -0.7500
5 -2.927 -2.100 -1.400 -0.786 -0.474 -0.0870 0.2189 0.3734 0.5820 0.7655 0.9702 -0.3060
6 -1.895 -1.382 -0.934 -0.552 -0.319 -0.0210 0.2286 0.3710 0.5787 0.7625 0.9691 -0.1320
7 -1.396 -1.060 -0.735 -0.422 -0.239 0.0089 0.2363 0.3757 0.5881 0.7751 0.9735 -0.0430
8 -1.0470 -0.8035 -0.5687 -0.3254 -0.1855 0.03096 0.2459 0.3823 0.5826 0.7751 0.9645 0.01827
9 -0.8721 -0.6808 -0.4809 -0.2843 -0.1572 0.04488 0.2533 0.3839 0.5872 0.7748 0.9678 0.04902
10 -0.7469 -0.5933 -0.4328 -0.2608 -0.1397 0.05205 0.2572 0.3890 0.5905 0.7742 0.9578 0.06916
11 -0.6716 -0.5380 -0.4053 -0.2435 -0.1289 0.05818 0.2599 0.3907 0.5875 0.7790 0.9587 0.07966
12 -0.6187 -0.5113 -0.3910 -0.2334 -0.1271 0.06019 0.2606 0.3889 0.5856 0.7650 0.9399 0.08525
13 3 -15.150 -9.608 -5.869 -3.259 -2.001 -0.7720 -0.0080 0.3193 0.6247 0.8569 1.0140 -2.3210
4 -5.718 -3.944 -2.582 -1.515 -0.948 -0.2940 0.1509 0.3563 0.5915 0.7684 0.9372 -0.8320
5 -3.093 -2.279 -1.530 -0.892 -0.532 -0.1070 0.2029 0.3579 0.5649 0.7416 0.8955 -0.3670
6 -2.027 -1.504 -1.034 -0.596 -0.354 -0.0400 0.2129 0.3479 0.5529 0.7226 0.8995 -0.1730
7 -1.410 -1.085 -0.758 -0.444 -0.261 0.0000 0.2240 0.3509 0.5509 0.7288 0.9029 -0.0690
8 -1.134 -0.864 -0.606 -0.350 -0.206 0.0271 0.2296 0.3544 0.5489 0.7283 0.9074 -0.0090
9 -0.915 -0.719 -0.506 -0.302 -0.171 0.0371 0.2369 0.3626 0.5497 0.7339 0.9060 0.0263
10 -0.792 -0.617 -0.449 -0.271 -0.148 0.0439 0.2420 0.3621 0.5564 0.7376 0.9050 0.0501
11 -0.685 -0.555 -0.407 -0.249 -0.134 0.0507 0.2432 0.3637 0.5561 0.7332 0.9066 0.0651
12 -0.635 -0.512 -0.386 -0.237 -0.128 0.0520 0.2478 0.3659 0.5536 0.7302 0.9051 0.0727
13 -0.598 -0.492 -0.374 -0.226 -0.123 0.0543 0.2481 0.3657 0.5543 0.7251 0.8920 0.0773
14 3 -16.310 -10.520 -6.312 -3.448 -2.120 -0.8360 -0.0400 0.2907 0.6255 0.8427 0.9977 -2.5220
4 -6.039 -4.423 -2.873 -1.637 -1.039 -0.3370 0.1278 0.3342 0.5875 0.7597 0.9062 -0.9340
5 -3.430 -2.463 -1.658 -0.970 -0.594 -0.1470 0.1766 0.3463 0.5590 0.7270 0.8474 -0.4290
6 -2.210 -1.616 -1.107 -0.650 -0.390 -0.0570 0.2009 0.3439 0.5345 0.6987 0.8326 -0.2110
7 -1.497 -1.166 -0.802 -0.471 -0.280 -0.0130 0.2115 0.3439 0.5288 0.6858 0.8308 -0.0970
8 -1.208 -0.903 -0.636 -0.379 -0.221 0.0089 0.2214 0.3451 0.5316 0.6789 0.8413 -0.0330
9 -0.953 -0.729 -0.530 -0.315 -0.177 0.0274 0.2283 0.3462 0.5255 0.6835 0.8459 0.0075
10 -0.813 -0.639 -0.459 -0.280 -0.162 0.0369 0.2318 0.3472 0.5264 0.6843 0.8492 0.0330
11 -0.715 -0.572 -0.419 -0.253 -0.141 0.0436 0.2355 0.3514 0.5299 0.6853 0.8471 0.0496
12 -0.637 -0.524 -0.388 -0.237 -0.130 0.0470 0.2350 0.3523 0.5308 0.6843 0.8328 0.0617
13 -0.602 -0.489 -0.366 -0.232 -0.128 0.0513 0.2363 0.3536 0.5287 0.6830 0.8261 0.0679
14 -0.582 -0.468 -0.352 -0.222 -0.124 0.0509 0.2366 0.3524 0.5248 0.6757 0.8206 0.0714
15 3 -16.800 -10.910 -6.643 -3.643 -2.286 -0.8900 -0.0690 0.2726 0.6258 0.8405 0.9939 -2.6400
4 -6.389 -4.532 -3.003 -1.756 -1.134 -0.3800 0.1097 0.3271 0.5784 0.7602 0.8944 -0.9830
5 -3.612 -2.670 -1.805 -1.054 -0.657 -0.1790 0.1646 0.3372 0.5417 0.6991 0.8448 -0.4870
6 -2.361 -1.753 -1.192 -0.697 -0.430 -0.0820 0.1972 0.3389 0.5202 0.6682 0.8085 -0.2530
7 -1.623 -1.224 -0.861 -0.503 -0.305 -0.0270 0.2020 0.3327 0.5091 0.6572 0.7943 -0.1250
Anexa D
D – 31Tabelul D.8 (continuare) Cuantilele variabilei aleatorii ()50,050,0* *
t tln 50,0;n;rV ⋅β=
N
r Cuantilele variabilei aleatorii
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
⋅β=
50,050,0*
*
ttln )50.0;n;r(V
V 2.5 V 5.0 V 10.0 V 20.0 V 30.0 V 50.0 V 70.0 V 80.0 V 90.0 V 95.0 V 97.5 V m
15 8 -1.223 -0.951 -0.667 -0.406 -0.233 -0.0020 0.2079 0.3339 0.5029 0.6571 0.7925 -0.0560
9 -1.007 -0.768 -0.555 -0.328 -0.186 0.0176 0.2089 0.3348 0.5010 0.6505 0.7897 -0.0090
10 -0.828 -0.653 -0.477 -0.282 -0.164 0.0245 0.2183 0.3330 0.5028 0.6499 0.7919 0.0176
11 -0.738 -0.579 -0.420 -0.258 -0.145 0.0364 0.2220 0.3369 0.5023 0.6485 0.7905 0.0374
12 -0.656 -0.530 -0.393 -0.241 -0.133 0.0431 0.2218 0.3382 0.5031 0.6490 0.7918 0.0502
13 -0.607 -0.493 -0.364 -0.226 -0.124 0.0437 0.2239 0.3392 0.5055 0.6483 0.7941 0.0591
14 -0.578 -0.470 -0.352 -0.223 -0.119 0.0458 0.2247 0.3401 0.5057 0.6534 0.7902 0.0642
15 -0.547 -0.448 -0.343 -0.215 -0.118 0.0465 0.2247 0.3386 0.5047 0.6454 0.7795 0.0672
16 3 -17.140 -11.210 -6.916 -3.778 -2.376 -0.9430 -0.1030 0.2621 0.6467 0.8548 1.0100 -2.7710
4 -6.773 -4.762 -3.146 -1.838 -1.200 -0.4250 0.0874 0.3161 0.5683 0.7597 0.8929 -1.0730
5 -3.830 -2.828 -1.870 -1.107 -0.707 -0.2060 0.1620 0.3287 0.5306 0.6865 0.8229 -0.5350
6 -2.497 -1.842 -1.257 -0.737 -0.464 -0.1050 0.1815 0.3262 0.5031 0.6518 0.7790 -0.2840
7 -1.744 -1.313 -0.902 -0.541 -0.326 -0.0420 0.1904 0.3168 0.4879 0.6347 0.7756 -0.1520
8 -1.320 -1.018 -0.713 -0.421 -0.256 -0.0070 0.1972 0.3179 0.4799 0.6346 0.7705 -0.0780
9 -1.050 -0.841 -0.585 -0.354 -0.209 0.0090 0.2001 0.3150 0.4747 0.6298 0.7686 -0.0310
10 -0.876 -0.693 -0.492 -0.297 -0.172 0.0230 0.2032 0.3179 0.4747 0.6367 0.7661 0.0014
11 -0.772 -0.611 -0.444 -0.259 -0.147 0.0289 0.2064 0.3171 0.4764 0.6384 0.7733 0.0231
12 -0.695 -0.550 -0.403 -0.239 -0.133 0.0344 0.2092 0.3192 0.4772 0.6395 0.7741 0.0386
13 -0.623 -0.509 -0.372 -0.225 -0.126 0.0414 0.2114 0.3207 0.4783 0.6406 0.7731 0.0491
14 -0.582 -0.477 -0.357 -0.218 -0.119 0.0428 0.2109 0.3206 0.4775 0.6391 0.7676 0.0551
15 -0.553 -0.452 -0.345 -0.211 -0.117 0.0438 0.2133 0.3208 0.4792 0.6356 0.7659 0.0595
16 -0.542 -0.445 -0.336 -0.207 -0.116 0.0477 0.2133 0.3205 0.4770 0.6327 0.7540 0.0620
17 3 -18.310 -12.160 -7.182 -3.976 -2.533 -1.0000 -0.1300 0.2594 0.6411 0.8605 1.0170 -2.9260
4 -7.113 -4.926 -3.281 -1.929 -1.245 -0.4480 0.0706 0.3072 0.5661 0.7458 0.8779 -1.1200
5 -4.012 -3.012 -2.031 -1.164 -0.742 -0.2290 0.1510 0.3240 0.5330 0.6880 0.8192 -0.5780
6 -2.668 -1.978 -1.350 -0.795 -0.505 -0.1210 0.1681 0.3232 0.4982 0.6408 0.7726 -0.3270
7 -1.848 -1.387 -0.963 -0.580 -0.353 -0.0530 0.1886 0.3120 0.4794 0.6145 0.7573 -0.1760
8 -1.382 -1.059 -0.758 -0.446 -0.271 -0.0210 0.1876 0.3021 0.4695 0.6095 0.7446 -0.1000
9 -1.104 -0.866 -0.605 -0.368 -0.215 0.0026 0.1938 0.3015 0.4646 0.6074 0.7409 -0.0470
10 -0.932 -0.719 -0.514 -0.310 -0.178 0.0169 0.1928 0.3052 0.4567 0.6073 0.7436 -0.0110
11 -0.803 -0.622 -0.449 -0.275 -0.155 0.0230 0.1980 0.3076 0.4595 0.6030 0.7395 0.0108
12 -0.708 -0.553 -0.403 -0.246 -0.137 0.0310 0.1979 0.3039 0.4636 0.6048 0.7459 0.0276
13 -0.644 -0.508 -0.377 -0.225 -0.127 0.0374 0.2018 0.3056 0.4633 0.6062 0.7471 0.0404
14 -0.585 -0.478 -0.358 -0.219 -0.118 0.0383 0.2041 0.3058 0.4653 0.6060 0.7427 0.0478
15 -0.554 -0.454 -0.342 -0.212 -0.115 0.0384 0.2055 0.3069 0.4650 0.6035 0.7423 0.0530
16 -0.535 -0.434 -0.330 -0.206 -0.111 0.0402 0.2069 0.3073 0.4660 0.6010 0.7468 0.0568
17 -0.515 -0.431 -0.324 -0.202 -0.112 0.0418 0.2069 0.3065 0.4620 0.6046 0.7339 0.0589
18 3 -19.550 -12.480 -7.437 -4.094 -2.658 -1.0580 -0.1550 0.2350 0.6354 0.8726 1.0280 -4.3490
4 -7.490 -5.067 -3.392 -2.016 -1.307 -0.4730 0.0623 0.3147 0.5693 0.7380 0.8751 -1.1720
5 -4.156 -3.078 -2.084 -1.249 -0.805 -0.2450 0.1422 0.3173 0.5348 0.6790 0.8026 -0.6110
6 -2.723 -2.076 -1.428 -0.853 -0.531 -0.1390 0.1614 0.3128 0.4949 0.6313 0.7609 -0.3570
7 -1.937 -1.462 -1.012 -0.625 -0.380 -0.0690 0.1800 0.3072 0.4681 0.6117 0.7349 -0.2020
8 -1.473 -1.102 -0.792 -0.471 -0.289 -0.0310 0.1821 0.2985 0.4571 0.5931 0.7206 -0.1180
9 -1.144 -0.904 -0.639 -0.389 -0.229 -0.0030 0.1848 0.2952 0.4480 0.5831 0.7188 -0.0630
10 -0.966 -0.746 -0.531 -0.322 -0.187 0.0102 0.1883 0.2962 0.4494 0.5811 0.7211 -0.0250
11 -0.827 -0.652 -0.469 -0.283 -0.162 0.0216 0.1893 0.2967 0.4473 0.5766 0.7163 0.0000
Anexa D
D – 32Tabelul D.8 (continuare) Cuantilele variabilei aleatorii ()50,050,0* *
t tln 50,0;n;rV ⋅β=
N
r Cuantilele variabilei aleatorii
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
⋅β=
50,050,0*
*
ttln )50.0;n;r(V
V 2.5 V 5.0 V 10.0 V 20.0 V 30.0 V 50.0 V 70.0 V 80.0 V 90.0 V 95.0 V 97.5 V m
18 12 -0.738 -0.577 -0.420 -0.257 -0.143 0.0263 0.1928 0.2934 0.4452 0.5809 0.7156 0.0160
13 -0.654 -0.521 -0.38 -0.232 -0.133 0.0292 0.1918 0.2936 0.4486 0.5837 0.7155 0.0298
14 -0.601 -0.480 -0.357 -0.216 -0.122 0.0351 0.1932 0.2961 0.4522 0.5842 0.7164 0.0402
15 -0.559 -0.456 -0.341 -0.213 -0.116 0.0381 0.1947 0.2954 0.4540 0.5848 0.7129 0.0464
16 -0.532 -0.433 -0.331 -0.205 -0.112 0.0389 0.1970 0.2967 0.4538 0.5834 0.7117 0.0509
17 -0.510 -0.423 -0.321 -0.199 -0.108 0.0411 0.1969 0.2967 0.4543 0.5834 0.7086 0.0541
18 -0.504 -0.416 -0.317 -0.194 -0.108 0.0412 0.1970 0.2959 0.4522 0.5821 0.7053 0.0559
19 3 -19.270 -12.400 -7.615 -4.122 -2.683 -1.099 -0.169 0.2311 0.6334 0.8827 1.0440 -4.3900
4 -8.053 -5.273 -3.551 -2.105 -1.372 -0.495 0.0564 0.3049 0.5813 0.7421 0.8811 -1.2310
5 -4.274 -3.168 -2.187 -1.324 -0.843 -0.286 0.1230 0.314 0.5242 0.6768 0.7948 -0.6520
6 -2.914 -2.146 -1.493 -0.901 -0.561 -0.158 0.1500 0.3086 0.4934 0.6337 0.7473 -0.3870
7 -2.001 -1.545 -1.072 -0.645 -0.413 -0.082 0.1710 0.3016 0.4597 0.5975 0.7208 -0.2270
8 -1.561 -1.158 -0.825 -0.503 -0.309 -0.040 0.1776 0.2943 0.4484 0.5834 0.6972 -0.1380
9 -1.211 -0.937 -0.672 -0.406 -0.249 -0.015 0.1787 0.2887 0.4406 0.5736 0.7069 -0.0800
10 -1.002 -0.781 -0.558 -0.339 -0.202 0.0002 0.1788 0.2851 0.4379 0.5680 0.6980 -0.0400
11 -0.865 -0.661 -0.479 -0.292 -0.169 0.0147 0.1817 0.2866 0.4327 0.5588 0.6916 -0.0110
12 -0.757 -0.592 -0.431 -0.263 -0.150 0.0184 0.1824 0.2823 0.4320 0.5608 0.6962 0.0058
13 -0.673 -0.540 -0.393 -0.238 -0.136 0.0260 0.1842 0.2831 0.4339 0.5633 0.6944 0.0196
14 -0.619 -0.493 -0.367 -0.219 -0.127 0.0300 0.1832 0.2845 0.4332 0.5618 0.6961 0.0304
15 -0.566 -0.461 -0.343 -0.209 -0.120 0.0344 0.1854 0.2830 0.4345 0.5627 0.6967 0.0391
16 -0.536 -0.436 -0.330 -0.202 -0.113 0.0315 0.1846 0.2850 0.4360 0.5618 0.6953 0.0446
17 -0.519 -0.417 -0.319 -0.200 -0.112 0.0349 0.1852 0.2887 0.4366 0.5628 0.6920 0.0480
18 -0.496 -0.415 -0.311 -0.196 -0.107 0.0352 0.1858 0.2884 0.4351 0.5578 0.6891 0.0508
19 -0.488 -0.404 -0.303 -0.190 -0.104 0.0365 0.1858 0.2874 0.4325 0.5608 0.6932 0.0524
20 3 -19.190 -12.31 -7.498 -4.194 -2.677 -1.1430 -0.1960 0.2245 0.6460 0.8806 1.0580 -4.4360
4 -7.710 -5.344 -3.611 -2.199 -1.443 -0.5340 0.0504 0.3153 0.5828 0.7681 0.9118 -1.2610
5 -4.382 -3.290 -2.315 -1.398 -0.888 -0.2980 0.1168 0.3159 0.5329 0.6959 0.8222 -0.6850
6 -2.988 -2.195 -1.565 -0.933 -0.602 -0.1680 0.1593 0.3096 0.4941 0.6430 0.7452 -0.4040
7 -2.125 -1.630 -1.138 -0.706 -0.434 -0.0940 0.1722 0.3056 0.4741 0.6019 0.7226 -0.2530
8 -1.633 -1.250 -0.892 -0.536 -0.332 -0.0460 0.1777 0.2957 0.4501 0.5784 0.7054 -0.1580
9 -1.273 -0.994 -0.716 -0.424 -0.254 -0.0200 0.1745 0.2879 0.4363 0.5665 0.6824 -0.0920
10 -1.050 -0.815 -0.581 -0.362 -0.212 -0.0050 0.1808 0.2837 0.4302 0.5626 0.6803 -0.0500
11 -0.879 -0.696 -0.502 -0.309 -0.183 0.0057 0.1822 0.2821 0.4273 0.5540 0.6721 -0.0220
12 -0.772 -0.611 -0.446 -0.271 -0.156 0.0149 0.1810 0.2814 0.4241 0.5510 0.6746 -0.0020
13 -0.687 -0.541 -0.401 -0.238 -0.143 0.0225 0.1809 0.2784 0.4280 0.5464 0.6647 0.0146
14 -0.630 -0.503 -0.364 -0.222 -0.127 0.0255 0.1803 0.2775 0.4231 0.5486 0.6668 0.0253
15 -0.579 -0.458 -0.343 -0.211 -0.118 0.0280 0.1818 0.2773 0.4215 0.5496 0.6637 0.0344
16 -0.541 -0.440 -0.325 -0.204 -0.114 0.0296 0.1829 0.2798 0.4231 0.5513 0.6639 0.0398
17 -0.523 -0.421 -0.316 -0.196 -0.110 0.0315 0.1851 0.2809 0.4233 0.5512 0.6634 0.0443
18 -0.500 -0.402 -0.306 -0.193 -0.111 0.0329 0.1874 0.2803 0.4240 0.5500 0.6613 0.0478
19 -0.485 -0.392 -0.302 -0.190 -0.107 0.0343 0.1869 0.2811 0.4235 0.5492 0.6656 0.0505
20 -0.474 -0.387 -0.298 -0.187 -0.105 0.0340 0.1869 0.2821 0.4227 0.5406 0.6631 0.0515
Anexa D
D – 33
Tabelul D.9 Cuantilele variabilei aleatorii () ηη⋅β= /ˆlnˆ ;ssml
N
l
m Cuantilele variabilei aleatorii ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
ηη⋅β=ˆlnˆ),(ssml
s2.5 s 5.0 s 10.0 s 20.0 s 30.0 s 50.0 s 70.0 s 80.0 s 90.0 s 95.0 s 97.5 s m
6 3 2 -7.524 -5.050 -3.1160 -1.7360 -1.0900 -0.4081 0.0379 0.2705 0.5802 0.8768 1.1940 -1.1090
8 4 2 -3.824 -2.746 -1.8070 -1.0930 -0.7243 -0.2713 0.0755 0.2602 0.5032 0.7270 0.9601 -0.5515
9 3 3 -10.090 -6.628 -4.0580 -2.2860 -1.4410 -0.5843 -0.0430 0.1975 0.4738 0.6581 0.8393 -1.6190
10 5 2 -2.550 -1.885 -1.3420 -0.8351 -0.5634 -0.2018 0.0895 0.2489 0.4641 0.6446 0.8115 -0.3651
12 3 4 -12.230 -8.227 -5.0570 -2.7550 -1.7980 -0.7508 -0.1219 0.1466 0.4366 0.6488 0.8007 -2.0720
12 4 3 -5.218 -3.604 -2.3610 -1.4170 -0.9644 -0.3774 0.0162 0.2076 0.4345 0.6058 0.7473 -0.8263
12 6 2 -1.984 -1.500 -1.0790 -0.7008 -0.4578 -0.1562 0.0895 0.2290 0.4189 0.5838 0.7169 -0.2759
14 7 2 -1.622 -1.243 -0.9385 -0.6074 -0.3981 -0.1285 0.0892 0.2226 0.3930 0.5407 0.6724 -0.2197
15 3 5 -14.210 -8.826 -5.6660 -3.1710 -2.0650 -0.8843 -0.1827 0.1141 0.4400 0.6561 0.8118 -2.4000
15 5 3 -3.391 -2.491 -1.7130 -1.0830 -0.7265 -0.2880 0.0470 0.2069 0.4036 0.5566 0.6750 -0.5584
16 4 4 -6.317 -4.581 -2.9810 -1.7720 -1.1690 -0.4786 -0.0158 0.1860 0.4230 0.5976 0.7220 -1.0570
16 8 2 -1.400 -1.102 -0.8189 -0.5297 -0.3492 -0.1098 0.0956 0.2119 0.3679 0.4939 0.6193 -0.1812
18 3 6 -14.680 -9.712 -6.0790 -3.4390 -2.2550 -0.9980 -0.2166 0.1181 0.4520 0.6709 0.8227 -2.5590
18 6 3 -2.596 -1.913 -1.3740 -0.8645 -0.5880 -0.2212 0.0636 0.1992 0.3842 0.5264 0.6381 -0.4075
18 9 2 -1.266 -0.996 -0.7309 -0.4715 -0.3125 -0.0959 0.0959 0.2049 0.3585 0.4743 0.5855 -0.1562
20 4 5 -6.530 -4.624 -3.2250 -1.9730 -1.3210 -0.5560 -0.0533 0.1881 0.4397 0.6222 0.7382 -1.1360
20 5 4 -4.248 -3.068 -2.1040 -1.2940 -0.8723 -0.3478 0.0163 0.2033 0.4092 0.5587 0.6831 -0.6868
20 10 2 -1.157 -0.909 -0.6744 -0.4328 -0.2898 -0.0823 0.0957 0.1985 0.3376 0.4500 0.5645 -0.1367
21 3 7 -16.310 -10.650 -6.4460 -3.7510 -2.4050 -1.0400 -0.2179 0.1154 0.4741 0.7042 0.8620 -2.7330
21 7 3 -2.055 -1.581 -1.1470 -0.7428 -0.5074 -0.1797 0.0668 0.1932 0.3719 0.4933 0.6038 -0.3259
22 11 2 -1.060 -0.836 -0.6242 -0.3988 -0.2707 -0.0790 0.0929 0.1920 0.3226 0.4306 0.5434 -0.1225
24 3 8 -17.130 -11.240 -6.9250 -3.9770 -2.6060 -1.1290 -0.2544 0.1119 0.4831 0.7258 0.8838 -2.9870
24 4 6 -7.079 -4.978 -3.5330 -2.1590 -1.4560 -0.6143 -0.0653 0.1912 0.4609 0.6336 0.7717 -1.2560
24 6 4 -3.267 -2.418 -1.6750 -1.0370 -0.6997 -0.2777 0.0478 0.2078 0.3919 0.528 0.6373 -0.5179
24 8 3 -1.784 -1.393 -1.0130 -0.6562 -0.4399 -0.1515 0.0752 0.1940 0.3547 0.4655 0.5684 -0.2708
24 12 2 -1.784 -1.393 -1.0130 -0.6562 -0.4399 -0.1515 0.0752 0.1940 0.3547 0.4655 0.5684 -0.2708
25 5 5 -4.400 -3.264 -2.3310 -1.4400 -0.9794 -0.3991 0.0091 0.2043 0.4369 0.5805 0.6989 -0.7690
Anexa D
D – 34
Tabelul D.10 Cuantilele variabilei aleatorii ()10,0 10,0 s t tˆlnˆ 10,0;;q ⋅β=ml
N
l
m Cuantilele variabilei aleatorii ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛⋅β=
10,010,0
sttˆ
lnˆ)10,0;;(qml
q2.5 q 5.0 q 10.0 q 20.0 q 30.0 q 50.0 q 70.0 q 80.0 q 90.0 q 95.0 q 97.5 q m
6 3 2 -1.576 -1.264 -0.952 -0.512 -0.168 0.6182 1.8330 2.8450 4.936 8.016 11.760 1.7440
8 4 2 -1.326 -1.112 -0.844 -0.489 -0.190 0.4152 1.2290 1.8770 3.096 4.536 6.356 0.9370
9 3 3 -1.714 -1.303 -0.960 -0.555 -0.233 0.4046 1.2990 2.1050 3.792 5.790 8.673 1.1810
10 5 2 -1.156 -0.984 -0.767 -0.458 -0.208 0.3120 0.9682 1.4850 2.391 3.341 4.368 0.6448
12 3 4 -1.982 -1.414 -1.012 -0.612 -0.317 0.2769 1.0670 1.7160 3.145 5.003 7.538 0.8413
12 4 3 -1.310 -1.085 -0.830 -0.487 -0.235 0.2723 0.9528 1.4870 2.452 3.645 4.984 0.6633
12 6 2 -1.088 -0.901 -0.703 -0.431 -0.201 0.2439 0.8144 1.2210 1.942 2.643 3.461 0.4854
14 7 2 -0.994 -0.840 -0.655 -0.411 -0.202 0.1991 0.6845 1.0530 1.636 2.287 2.954 0.3905
15 3 5 -2.281 -1.634 -1.111 -0.659 -0.371 0.1459 0.8475 1.4360 2.581 4.127 6.260 0.6192
15 5 3 -1.136 -0.932 -0.720 -0.453 -0.231 0.2012 0.7389 1.1470 1.875 2.695 3.731 0.4551
16 4 4 -1.422 -1.108 -0.822 -0.499 -0.264 0.1730 0.7522 1.1890 2.063 3.096 4.316 0.4780
16 8 2 -0.958 -0.810 -0.627 -0.383 -0.189 0.1694 0.6115 0.9262 1.449 1.971 2.526 0.3243
18 3 6 -2.666 -1.846 -1.238 -0.72 -0.410 0.0664 0.6803 1.1530 2.175 3.537 5.276 0.3766
18 6 3 -1.036 -0.861 -0.660 -0.403 -0.213 0.1642 0.6351 0.9564 1.540 2.136 2.770 0.3440
18 9 2 -0.904 -0.763 -0.587 -0.368 -0.183 0.1527 0.5481 0.8445 1.299 1.754 2.202 0.2809
20 4 5 -1.512 -1.175 -0.849 -0.524 -0.295 0.1035 0.6152 0.9980 1.699 2.533 3.557 0.3333
20 5 4 -1.149 -0.943 -0.715 -0.440 -0.237 0.1311 0.6041 0.9478 1.550 2.285 3.038 0.3283
20 10 2 -0.871 -0.736 -0.563 -0.355 -0.176 0.1358 0.5018 0.7741 1.187 1.597 1.984 0.2463
21 3 7 -3.250 -2.088 -1.336 -0.766 -0.451 0.0026 0.5648 0.9862 1.844 2.904 4.347 0.1645
21 7 3 -0.941 -0.791 -0.611 -0.388 -0.202 0.1339 0.5471 0.8527 1.334 1.814 2.317 0.2789
22 11 2 -0.835 -0.708 -0.544 -0.345 -0.182 0.1231 0.4703 0.7156 1.115 1.505 1.891 0.2209
24 3 8 -3.778 -2.409 -1.495 -0.840 -0.518 -0.0540 0.4638 0.8534 1.543 2.471 3.596 0.0221
24 4 6 -1.648 -1.264 -0.896 -0.559 -0.33 0.0534 0.4996 0.8509 1.463 2.193 3.034 0.2035
24 6 4 -1.002 -0.835 -0.643 -0.404 -0.227 0.1173 0.5132 0.8009 1.320 1.844 2.436 0.2570
24 8 3 -0.882 -0.744 -0.572 -0.363 -0.199 0.1231 0.4851 0.7425 1.193 1.641 2.069 0.2379
24 12 2 -0.803 -0.687 -0.526 -0.330 -0.182 0.1088 0.4452 0.6726 1.031 1.382 1.715 0.1998
25 5 5 -1.215 -0.959 -0.731 -0.451 -0.262 0.0903 0.4989 0.7895 1.332 1.939 2.557 0.234
Anexa D
D – 35
Tabelul D.11 Cuantilele variabilei aleatorii ()50,0 50,0 s t tˆlnˆ 50,0;;q ⋅β=ml
N
l
m Cuantilele variabilei aleatorii ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛⋅β=
50,050,0
sttˆ
lnˆ)50,0;;(qml
q2.5 q 5.0 q 10.0 q 20.0 q 30.0 q 50.0 q 70.0 q 80.0 q 90.0 q 95.0 q 97.5 q m
6 3 2 -5.591 -3.715 -2.259 -1.270 -0.774 -0.247 0.1722 0.4298 0.8568 1.3710 1.8970 -0.644
8 4 2 -2.940 -2.079 -1.392 -0.837 -0.548 -0.168 0.1663 0.3727 0.6743 1.0200 1.3460 -0.309
9 3 3 -7.755 -5.183 -3.134 -1.767 -1.073 -0.403 0.0391 0.2795 0.5616 0.8171 1.1010 -1.163
10 5 2 -1.979 -1.500 -1.050 -0.658 -0.435 -0.129 0.1544 0.3350 0.6040 0.8461 1.1190 -0.200
12 3 4 -9.822 -6.557 -3.948 -2.190 -1.390 -0.545 -0.0400 0.1891 0.4764 0.7169 0.9273 -1.597
12 4 3 -4.111 -2.849 -1.865 -1.104 -0.730 -0.266 0.0796 0.2607 0.5059 0.7051 0.8930 -0.583
12 6 2 -1.583 -1.186 -0.865 -0.560 -0.365 -0.094 0.1472 0.3013 0.5265 0.7181 0.9265 -0.152
14 7 2 -1.296 -1.002 -0.759 -0.489 -0.318 -0.082 0.1377 0.2804 0.4685 0.6552 0.8376 -0.120
15 3 5 -11.590 -7.220 -4.584 -2.534 -1.657 -0.687 -0.0920 0.1544 0.4502 0.6662 0.8303 -1.908
15 5 3 -2.694 -1.956 -1.361 -0.854 -0.574 -0.204 0.0937 0.2454 0.4511 0.6124 0.7929 -0.393
16 4 4 -5.171 -3.651 -2.390 -1.396 -0.925 -0.353 0.0195 0.2094 0.4382 0.6130 0.7560 -0.807
16 8 2 -1.123 -0.903 -0.679 -0.434 -0.286 -0.068 0.1349 0.2610 0.4331 0.5922 0.7499 -0.098
18 3 6 -12.190 -7.909 -5.033 -2.823 -1.869 -0.805 -0.1340 0.1509 0.4422 0.6295 0.7897 -2.081
18 6 3 -2.034 -1.537 -1.100 -0.691 -0.464 -0.153 0.0953 0.2290 0.4148 0.5674 0.7237 -0.285
18 9 2 -1.022 -0.828 -0.611 -0.391 -0.260 -0.056 0.1321 0.2456 0.4151 0.5684 0.6938 -0.085
20 4 5 -5.369 -3.811 -2.627 -1.608 -1.064 -0.431 -0.0050 0.1964 0.4365 0.6020 0.7296 -0.896
20 5 4 -3.355 -2.512 -1.723 -1.036 -0.693 -0.264 0.0523 0.2094 0.4062 0.5628 0.7121 -0.521
20 10 2 -0.946 -0.756 -0.562 -0.367 -0.240 -0.049 0.1265 0.2339 0.3914 0.5275 0.6542 -0.074
21 3 7 -13.630 -8.822 -5.389 -3.126 -1.992 -0.845 -0.1560 0.1368 0.4428 0.6596 0.8002 -2.261
21 7 3 -1.666 -1.302 -0.939 -0.597 -0.402 -0.127 0.0956 0.2169 0.3876 0.5312 0.6586 -0.227
22 11 2 -0.863 -0.696 -0.521 -0.344 -0.226 -0.048 0.1174 0.2276 0.3747 0.5024 0.6251 -0.066
24 3 8 -14.680 -9.494 -5.826 -3.350 -2.188 -0.933 -0.1830 0.1261 0.4634 0.6620 0.8133 -2.497
24 4 6 -5.864 -4.183 -2.929 -1.786 -1.195 -0.494 -0.0200 0.2002 0.4335 0.5829 0.7304 -1.019
24 6 4 -2.608 -1.952 -1.352 -0.839 -0.561 -0.204 0.0671 0.2125 0.3869 0.5215 0.6556 -0.391
24 8 3 -1.451 -1.143 -0.818 -0.533 -0.354 -0.108 0.0994 0.2143 0.3670 0.4992 0.6042 -0.188
24 12 2 -0.799 -0.646 -0.484 -0.323 -0.212 -0.044 0.1140 0.2170 0.3612 0.4841 0.5963 -0.059
25 5 5 -3.676 -2.681 -1.905 -1.193 -0.803 -0.309 0.0347 0.2101 0.4133 0.5593 0.6899 -0.605
Anexa D
D – 36
Tabelul D.12 Cuantilele variabilei aleatorii () ηη⋅β= /ln ;S* *
sml
N
l
m Cuantilele variabilei aleatorii
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
η∗
η⋅∗
β= ln ),(Ssml
S2.5 S 5.0 S 10.0 S 20.0 S 30.0 S 50.0 S 70.0 S 80.0 S 90.0 S 95.0 S 97.5 S m
6 3 2 -7.273 -4.795 -2.853 -1.476 -0.834 -0.170 0.2704 0.4967 0.8001 1.1000 1.4030 -0.863
8 4 2 -3.629 -2.513 -1.599 -0.903 -0.538 -0.092 0.252 0.4274 0.6688 0.8902 1.1230 -0.370
9 3 3 -10.210 -6.491 -3.904 -2.045 -1.230 -0.379 0.1743 0.4214 0.7012 0.9123 1.0940 -1.503
10 5 2 -2.378 -1.725 -1.179 -0.680 -0.416 -0.055 0.2283 0.3833 0.5990 0.7768 0.9362 -0.218
12 3 4 -11.850 -7.848 -4.746 -2.471 -1.529 -0.495 0.1222 0.3891 0.6826 0.8838 1.0440 -1.801
12 4 3 -4.939 -3.412 -2.154 -1.225 -0.767 -0.196 0.1985 0.3878 0.6140 0.7818 0.9198 -0.634
12 6 2 -1.857 -1.371 -0.948 -0.572 -0.338 -0.034 0.2075 0.3440 0.5301 0.6907 0.8241 -0.155
14 7 2 -1.499 -1.131 -0.826 -0.496 -0.293 -0.026 0.1900 0.3210 0.4882 0.6353 0.7649 -0.116
15 3 5 -13.510 -8.474 -5.317 -2.876 -1.796 -0.633 0.0700 0.3652 0.6861 0.8853 1.0450 -2.121
15 5 3 -3.211 -2.332 -1.546 -0.927 -0.569 -0.136 0.1893 0.3539 0.5484 0.6964 0.8088 -0.403
16 4 4 -6.150 -4.281 -2.733 -1.579 -0.968 -0.289 0.1653 0.3717 0.6126 0.7747 0.9041 -0.855
16 8 2 -1.302 -1.002 -0.722 -0.436 -0.256 -0.018 0.1832 0.2987 0.4525 0.5782 0.6986 -0.091
18 3 6 -14.220 -9.283 -5.738 -3.127 -1.976 -0.731 0.0448 0.3676 0.6975 0.9128 1.0600 -2.267
18 6 3 -2.415 -1.772 -1.233 -0.734 -0.457 -0.095 0.1862 0.3228 0.5024 0.6433 0.7474 -0.280
18 9 2 -1.164 -0.911 -0.643 -0.386 -0.229 -0.014 0.1739 0.2804 0.4342 0.5482 0.6575 -0.075
20 4 5 -6.342 -4.345 -2.966 -1.748 -1.116 -0.360 0.1403 0.3728 0.6224 0.8023 0.9203 -0.930
20 5 4 -4.018 -2.887 -1.933 -1.128 -0.714 -0.195 0.1716 0.3490 0.5581 0.7056 0.8196 -0.526
20 10 2 -1.070 -0.825 -0.592 -0.361 -0.216 -0.010 0.1666 0.2670 0.4048 0.5175 0.6278 -0.064
21 3 7 -15.800 -10.300 -6.062 -3.472 -2.129 -0.772 0.0379 0.3677 0.7154 0.9491 1.1100 -2.441
21 7 3 -1.925 -1.468 -1.021 -0.631 -0.391 -0.073 0.1726 0.2996 0.4728 0.5955 0.7027 -0.216
22 11 2 -0.983 -0.762 -0.555 -0.333 -0.204 -0.012 0.1550 0.2542 0.3857 0.4936 0.6031 -0.056
24 3 8 -16.650 -10.780 -6.546 -3.643 -2.340 -0.865 0.0020 0.3630 0.7388 0.9749 1.1300 -2.693
24 4 6 -6.740 -4.730 -3.295 -1.939 -1.246 -0.415 0.1341 0.3813 0.6493 0.8194 0.9569 -1.046
24 6 4 -3.064 -2.257 -1.531 -0.898 -0.560 -0.146 0.1744 0.3346 0.5151 0.6502 0.7637 -0.384
24 8 3 -1.684 -1.282 -0.908 -0.557 -0.345 -0.059 0.1684 0.2893 0.4461 0.5561 0.6548 -0.174
24 12 2 -0.888 -0.702 -0.510 -0.317 -0.193 -0.011 0.1517 0.2464 0.3695 0.476 0.5747 -0.049
25 5 5 -4.229 -3.077 -2.136 -1.262 -0.809 -0.235 0.1657 0.3586 0.5854 0.725 0.8475 -0.600
Anexa D
D – 37
Tabelul D.13 Cuantilele variabilei aleatorii ()10,010,0*
s*
t/tln 10,0;;Q ⋅β=ml
N
l
m Cuantilele variabilei aleatorii
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛∗
⋅∗
β=
10,010,0
sttln )10,0;;(Qml
Q2.5 Q 5.0 Q 10.0 Q 20.0 Q 30.0 Q50.0 Q70.0 Q80.0 Q 90.0 Q 95.0 Q 97.5 Qm
6 3 2 -1.357 -1.047 -0.745 -0.311 0.0308 0.7954 2.0090 3.0110 5.050 8.074 11.770 1.9110
8 4 2 -1.165 -0.958 -0.694 -0.345 -0.0490 0.5405 1.3470 1.9870 3.158 4.593 6.395 1.0600
9 3 3 -1.490 -1.110 -0.764 -0.363 -0.0290 0.6209 1.5490 2.3180 4.038 6.448 9.501 1.5400
10 5 2 -1.032 -0.863 -0.652 -0.348 -0.1000 0.4070 1.0560 1.5580 2.447 3.404 4.459 0.7405
12 3 4 -1.771 -1.191 -0.790 -0.398 -0.1060 0.4760 1.2550 1.8950 3.306 5.133 7.604 1.0330
12 4 3 -1.152 -0.922 -0.672 -0.335 -0.0850 0.4117 1.0800 1.6080 2.564 3.709 5.058 0.7968
12 6 2 -0.984 -0.803 -0.608 -0.341 -0.1160 0.3234 0.8821 1.2900 2.003 2.692 3.488 0.5624
14 7 2 -0.912 -0.761 -0.575 -0.333 -0.1290 0.2655 0.7504 1.1150 1.680 2.325 3.021 0.4555
15 3 5 -2.055 -1.405 -0.888 -0.436 -0.1580 0.3518 1.0410 1.6170 2.744 4.256 6.350 0.8188
15 5 3 -1.006 -0.801 -0.598 -0.335 -0.1150 0.3094 0.8419 1.2460 1.959 2.756 3.757 0.5617
16 4 4 -1.240 -0.951 -0.663 -0.342 -0.1080 0.3186 0.8917 1.3180 2.185 3.177 4.383 0.6187
16 8 2 -0.886 -0.739 -0.558 -0.314 -0.1260 0.2290 0.6632 0.9744 1.500 2.000 2.531 0.3808
18 3 6 -2.418 -1.600 -1.007 -0.495 -0.1890 0.2782 0.8800 1.3470 2.342 3.692 5.371 0.5826
18 6 3 -0.929 -0.756 -0.561 -0.308 -0.1200 0.2465 0.7173 1.0380 1.607 2.195 2.834 0.4304
18 9 2 -0.845 -0.700 -0.528 -0.312 -0.1320 0.2054 0.5952 0.8826 1.345 1.790 2.247 0.3303
20 4 5 -1.341 -1.004 -0.684 -0.363 -0.1400 0.2528 0.7578 1.1300 1.816 2.635 3.675 0.4794
20 5 4 -1.011 -0.810 -0.585 -0.315 -0.1150 0.2452 0.7116 1.0510 1.641 2.344 3.122 0.4406
20 10 2 -0.818 -0.681 -0.511 -0.305 -0.1290 0.1825 0.5461 0.8128 1.222 1.623 2.012 0.2905
21 3 7 -3.000 -1.850 -1.102 -0.541 -0.228 0.2182 0.7689 1.1830 2.034 3.093 4.501 0.3756
21 7 3 -0.850 -0.704 -0.528 -0.307 -0.125 0.2094 0.6202 0.9183 1.395 1.877 2.350 0.3517
22 11 2 -0.782 -0.658 -0.495 -0.301 -0.139 0.1638 0.5060 0.7471 1.145 1.531 1.924 0.2607
24 3 8 -3.509 -2.153 -1.268 -0.611 -0.299 0.1629 0.6712 1.0560 1.736 2.664 3.772 0.2360
24 4 6 -1.454 -1.083 -0.729 -0.393 -0.167 0.2077 0.6450 0.9887 1.592 2.303 3.102 0.3549
24 6 4 -0.896 -0.729 -0.540 -0.304 -0.128 0.2078 0.5986 0.8800 1.401 1.907 2.492 0.3477
24 8 3 -0.802 -0.670 -0.502 -0.293 -0.130 0.1843 0.5452 0.8044 1.242 1.694 2.107 0.3008
24 12 2 -0.760 -0.644 -0.482 -0.290 -0.142 0.1503 0.4798 0.7017 1.067 1.419 1.738 0.2360
25 5 5 -1.068 -0.826 -0.597 -0.323 -0.138 0.2103 0.6062 0.8999 1.438 2.016 2.618 0.3510
Anexa D
D – 38
Tabelul D.14 Cuantilele variabilei aleatorii ()50,050,0*
s*
t/tln 50,0;;Q ⋅β=ml
N
l
m Cuantilele variabilei aleatorii
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛∗
⋅∗
β=
50,050,0
sttln )50,0;;(Qml
Q2.5 Q 5.0 Q 10.0 Q 20.0 Q 30.0 Q50.0 Q70.0 Q80.0 Q 90.0 Q 95.0 Q 97.5 Qm
6 3 2 -5.295 -3.495 -2.014 -1.032 -0.532 -0.0180 0.3948 0.6467 1.0640 1.5690 2.0960 -0.411
8 4 2 -2.715 -1.893 -1.196 -0.657 -0.368 0.0064 0.3346 0.5370 0.8296 1.1710 1.4910 -0.137
9 3 3 -7.661 -5.010 -2.946 -1.515 -0.867 -0.1950 0.2710 0.5013 0.8064 1.0790 1.3930 -1.007
10 5 2 -1.820 -1.344 -0.896 -0.509 -0.293 0.0091 0.2866 0.4676 0.7332 0.9643 1.2360 -0.062
12 3 4 -9.534 -6.234 -3.654 -1.925 -1.130 -0.2990 0.1902 0.4287 0.7048 0.9412 1.1440 -1.339
12 4 3 -3.859 -2.649 -1.664 -0.920 -0.542 -0.0890 0.2529 0.4355 0.6728 0.8685 1.0550 -0.401
12 6 2 -1.473 -1.069 -0.739 -0.436 -0.247 0.0183 0.2550 0.4116 0.6299 0.8183 1.0250 -0.038
14 7 2 -1.200 -0.904 -0.651 -0.387 -0.219 0.0155 0.2330 0.3717 0.5574 0.7451 0.9248 -0.023
15 3 5 -11.130 -6.925 -4.273 -2.275 -1.397 -0.4380 0.1447 0.3951 0.6837 0.8961 1.0570 -1.642
15 5 3 -2.529 -1.805 -1.204 -0.699 -0.426 -0.0560 0.2321 0.3813 0.5870 0.7418 0.9145 -0.246
16 4 4 -4.950 -3.409 -2.179 -1.207 -0.725 -0.1750 0.2002 0.3835 0.6132 0.7894 0.9273 -0.615
16 8 2 -1.029 -0.809 -0.585 -0.345 -0.198 0.0174 0.2175 0.3427 0.5125 0.6677 0.8239 -0.014
18 3 6 -11.690 -7.536 -4.715 -2.533 -1.581 -0.5540 0.1169 0.3930 0.6805 0.8695 1.0220 -1.803
18 6 3 -1.932 -1.404 -0.966 -0.569 -0.344 -0.0340 0.2117 0.3444 0.5253 0.6806 0.8353 -0.164
18 9 2 -0.936 -0.744 -0.525 -0.314 -0.183 0.0190 0.2049 0.3172 0.4847 0.6336 0.7588 -0.009
20 4 5 -5.094 -3.567 -2.404 -1.403 -0.868 -0.2440 0.1785 0.3781 0.6145 0.7771 0.9109 -0.700
20 5 4 -3.212 -2.341 -1.552 -0.874 -0.537 -0.1140 0.2000 0.3529 0.5517 0.7014 0.8486 -0.368
20 10 2 -0.875 -0.679 -0.488 -0.297 -0.172 0.0173 0.1922 0.2980 0.4551 0.5895 0.7161 -0.006
21 3 7 -12.960 -8.449 -5.083 -2.839 -1.729 -0.5880 0.0972 0.3869 0.6847 0.8904 1.0360 -1.982
21 7 3 -1.545 -1.179 -0.815 -0.488 -0.295 -0.0220 0.1956 0.3155 0.4866 0.6267 0.7518 -0.123
22 11 2 -0.794 -0.626 -0.457 -0.279 -0.164 0.0127 0.1767 0.2866 0.4332 0.5574 0.6787 -0.005
24 3 8 -14.260 -9.110 -5.446 -3.045 -1.908 -0.6740 0.0624 0.3766 0.7045 0.8988 1.0490 -2.216
24 4 6 -5.606 -3.969 -2.691 -1.585 -0.993 -0.3040 0.1701 0.3834 0.6188 0.7641 0.9162 -0.818
24 6 4 -2.455 -1.809 -1.212 -0.710 -0.429 -0.0800 0.1867 0.3298 0.5072 0.6412 0.7661 -0.265
24 8 3 -1.350 -1.042 -0.722 -0.439 -0.259 -0.0160 0.1875 0.2993 0.4552 0.5825 0.6872 -0.097
24 12 2 -0.738 -0.587 -0.428 -0.265 -0.155 0.0115 0.1686 0.2720 0.4143 0.5353 0.6448 -0.002
25 5 5 -3.490 -2.519 -1.720 -1.025 -0.641 -0.1500 0.1863 0.3589 0.5542 0.7022 0.8359 -0.445
Anexa E
Aplicații MathCAD pentru estimarea parametrilor și
indicatorilor de fiabilitate ai rulmen ților
CUPRINS
Anexa E.1 Aplicații MathCAD pentru estimarea parametrilor și
indicatorilor de fiabilitate ai rulmen ților, în cazul încerc ărilor
cenzurate
Anexa E.2 Aplicații MathCAD pentru estimarea parametrilor și
indicatorilor de fiabilitate ai rulmen ților, în cazul încerc ărilor
efectuate prin metoda li niei defectelor primare
Anexa E.3 Aplicații MathCAD pentru estimarea parametrilor și
indicatorilor de fiabilitate ai rulmen ților, în cazul încerc ărilor
trunchiate
Anexa E.1
m1 0:= m2 0:= m1 if NS 90 = 3,m1, ():= m2 if m1 3 =5,m2, ():=
m1 if NS 95 = 2,m1, ():= m2 if m1 2 =6,m2, ():=
m1 if NS 99 = 1,m1, ():= m2 if m1 1 =7,m2, ():=
c. Valorile probabilitatilor pentru determinarea limitelor
de incredere corespunzatoare nivelului de semnificatie NS:
a datem1〈〉
:= b datem2〈〉
:=
2. ESTIMAREA PARAMETRULUI DE LOCALIZARE PRIN METODA COEFICIENTULLUI
DE CORELATIE :
2.1. Domeniul de existenta al parametrului de localizare, [gamma1;gamma2]:
gamma150−:= gamma2d10.001−:=
2.2. Trasarea graficului coeficientului de corelatie, CCOR, in functie de valorile
parametrului de localizare:
-numarul de iteratii (IT): IT 300:= k1 r..:=Programul: WEIBULL.mcd
PROGRAM DE ESTIMARE A PARAMETRILOR
SI INDICATORILOR DE FIABILITATE AI
REPARTITIEI TRIPARAMETRICE WEIBULL
ORIGIN 1:=
1. DATE DE INTRARE:
1.1. Volumul esantionului, ( N=3… 25):
N2 0:=
1.2. Valorile observate ale timpilor de cadere si ordonarea lor
crescatoare :
e READPRN "TCAD6.prn" () :=
d sort e ():=
1.3. Numarul de caderi inregistrate, (r):
r length d ():= ==> r8=
1.4. Valorile estimate ale probabilitatilor de deteriorare si a celor
necesare determinarii intervalelor de incredere:
d70
92
116
120
137
152
170
172⎛⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟⎠=
date
..\PDET20.PR N:=
a. Valorile probabilitatilor de deteriorare corespunzatoare:
c date4〈〉
:=
b. Nivelul de semnificatie pentru determinarea grafica a
limitelor de incredere, (NS = 90%; 95%; 99%) :
NS 90:=
E – 1
Anexa E.1
-calculul coeficientului de corelatie (CCi):IT 799= IT floorgam2gam1−
Δ⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠:=- calculul numarului de iteratii (IT) necesare:Δ 0.001:=- valoarea adoptata a incrementului utilizat pentru estimarea parametrului de
localizare,D: gam130.799327= ==> gam1gamma1G2−( ) PAS⋅ + :=gam231.59932= ==> gam2gamma1G PAS⋅+ :=gam gamma1G1−( ) PAS⋅ + :=CCORG0.99577= ==> G max K ():= Kiif CCORiMAX= i,0, ():= MAX max CCOR ():=- stabilirea domeniului, [gam1;gam2], ce contine valoarea maxima, CCORG,
a coeficientului de corelatie: 2.3. Estimarea valorii parametrului de localizare, gam:40 20 0 20 40 600.920.940.960.98
trace 1CCORi
γiCCORikln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦ln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⋅∑kln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦∑⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦kln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠∑⋅
r−
kln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦2
∑kln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦∑⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦2
r−⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎣⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎦kln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠2
∑kln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠∑⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠2
r−⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦⋅⎡⎢
⎢⎢
⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦1
2:=-calculul coeficientului de corelatie (CCOR):Tki,dkγi−→⎯⎯⎯
:= γigamma1i1−( ) PAS⋅+ := i1 I T..:=PAS 0.399997= ==> PASgamma2gamma1−
IT:= -pasul iteratiilor (PAS):
E – 2
Anexa E.1
2.4 valorile estimate ale parametrilor repartitiei Weibull:
βcc b1:= βcc 1.972325=
ηcc expa1−
b1⎛⎜⎝⎞⎟⎠:= ηcc 212.485118=
γcc 31.329327=
2.5 valorile estimate ale indicatorilor de fiabilitate ai rulmentilor:
durabilitatea de baza ===> L10cc 0.1053611
βccηcc⋅γ cc+ := L10cc 99.220241=
durabilitatea mediana ===> L50cc 0.6931471
βccηcc⋅γ cc+ := L50cc 207.780453=
2.6 trasarea intervalelor de incredere pentru dreapta Weibull:
j1 N..:=
Tγcc 1+γ cc 50+, 5000.. :=
tjγcc expln ln1
1cj
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠βcc lnηcc()⋅+
βcc⎛⎜
⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟
⎟⎠+:=fT()βcc ln T γcc−()⋅β cc lnηcc()⋅− ():=i1 I T..:= γigam1i1−()Δ⋅+:= Tki,dkγi−→⎯⎯⎯
:=
CCikln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦ln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⋅∑kln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦∑⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦kln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠∑⋅
r−
kln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦2
∑kln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦∑⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦2
r−⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎣⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎦kln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠2
∑kln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠∑⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠2
r−⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦⋅⎡⎢
⎢⎢
⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦1
2:=
-determinarea valorii maxime a coeficientului de corelatie (CCGm):
MAX max CC ():= Kiif CCiMAX= i,0, ():= Gm max K ():= ==> CCGm0.99577=
– valoarea estimata a parametrului de localizare, γCC:
γcc gam1Gm 1− () Δ⋅ +:= ==> γcc 31.329327=
– estimarea parametrilor repartitiei WEIBULL prin Metoda Celor Mai
Mici Patrate :
Ykln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠:=Xkln dkγcc−():= b1r
kXkYk⋅()∑⋅
kXk∑⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠kYk∑⋅ −
r
kXk()2∑⋅
kXk∑⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠2
−:=
a11
r
kYk∑⋅b1
r
kXk∑⋅− :=
E – 3
Anexa E.1
1 10 100 1.1031.104
trace 1
trace 2
trace 3
trace 4ln ln1
1 0.1−⎛⎜⎝⎞⎟⎠⎛⎜⎝⎞⎟⎠ln ln1
1 0.5−⎛⎜⎝⎞⎟⎠⎛⎜⎝⎞⎟⎠fT()
ln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠
ln ln1
1aj
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠
ln ln1
1bj
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠
Tγcc− dkγcc−, tjγcc−, tjγcc−,
3.Estimarea parametrilor modelului biparametric Weibull prin metoda
verosimilitatii maxime
3.1 Valoarea parametrului de scala (valoare estimata prin metoda coeficientului
de corelatie):
γcc 31.329327= γmvmγcc:= Tkdkγmvm−()→ ⎯⎯⎯⎯⎯
:=
3.2 Valorile estimate ale parametrilor de forma si de scala:
hβ()kTk()βln Tk()⋅∑Nr−() Tr()β⋅ ln Tr()⋅ +
kTk()β∑Nr−() Tr()β⋅+1
β−1
r
kln Tk()∑⋅− :=
E – 4
Anexa E.1
– estimatia medie nedeplasata: βmβmvm
limiteβ18:= ==> βm 1.918704=
– estimatia mediana nedeplasata: βMeβmvm
limiteβ9:= ==> βMe 2.118874=
– intervalul de incredere: βLβmvm
limiteβm2:= ==> βL 1.067131=
βUβmvm
limiteβm1:= ==> βU 3.631036=
c) Cazul parametrului de scala:
– estimatia medie nedeplasata: ηmηmvm explimiteη18−
βmvm⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> ηm 212.306849=
– estimatia mediana nedeplasata: ηMeηmvm explimiteη9−
βmvm⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> ηMe 199.263044=
– intervalul de incredere: ηLηmvm explimiteηm2−
βmvm⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> ηL 152.143848=
ηUηmvm explimiteηm1−
βmvm⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> ηU 364.655213=- precizia de rezolvare a ecuatiei de verosimilitate
TOL 0.00001:=
– solutia initiala
β2 0.6:=
βmvm root h β2()β2, ():=
ηmvm1
r
kdkγmvm−()βmvm∑Nr−() drγmvm−()βmvm⋅+⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦⋅⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦1
βmvm
:=
βmvm 2.498153=
==> ηmvm 185.165787=
γmvm 31.329327=
3.3 Determinarea indicatorilor de fiabilitate ai lotului de rulmenti:
-durabilitatea nominala: L10 0.1053611
βmvmηmvm⋅γ mvm+ := L10 106.551114=
-durabilitatea mediana: L50 0.6931471
βmvmηmvm⋅γ mvm+ := L50 191.227612=
3.4 Inferente statistice referitoare la parametrii si indicatorii de fiabilitate:
m1 0:= m2 0:= m1 if NS 90 = 4,m1, ():= m2 if m1 4 =14,m2, ():=
m1 if NS 95 = 3,m1, ():= m2 if m1 3 =15,m2, ():=
m1 if NS 99 = 1,m1, ():= m2 if m1 1 =17,m2, ():=
a) cuantilele variabilelor aleatorii utilizate:
limiteη
…\CK20_8.PR N:=limiteβ
…\CV20_8.PR N:=
limiteL10
…\CU120_8.PR N:= limiteL50
…\CU220_8.PR N:=
b) Cazul parametrului de forma:
E – 5
Anexa E.1
==> L50U 324.750012=
4. Estimarea parametrilor repartitiei biparametrice Weibull prin metoda
estimatorilor liniari tip BLIE:
B
…\BLIE20.PRN:=4.1 Coeficientii de tip BLIE :
α Br1−〈〉
:= – valorile coeficientilor pentru estimarea parametrului de
forma
– valorile coeficientilor pentru estimarea
parametrului de scalaεBr1−〈〉
:=
4.2 Valoarea parametrului de scala (valoare estimata prin metoda coeficientului
de corelatie):
γcc 31.329327= γblieγcc:=
4.3 Valorile estimate ale parametrilor de forma si de scala:
ηblie exp
kln dkγblie−()αk⋅ ()∑⎡⎢
⎣⎤⎥
⎦:=
βblie1
kln dkγblie−()εkN+⋅ ()∑:=ηblie 191.162514=
βblie 2.484603=
γblie 31.329327=
4.4 Determinarea indicatorilor de fiabilitate ai lotului de rulmenti:
-durabilitatea nominala: L10 0.1053611
βblieηblie⋅γ blie+ := ==> L10 108.606649=
==> L50 191.227612=-durabilitatea mediana: L50 0.6931471
βblieηblie⋅γ blie+ :=
4.5 Inferente statistice referitoare la parametrii si indicatorii de fiabilitate:
a) cuantilele variabilelor aleatorii utilizate:d) Cazul cuantilei 0,10:
– estimatia medie nedeplasata: L10m L10 explimiteL1018−
βmvm⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> L10m 93.104745=
– estimatia mediana nedeplasata: L10Me L10 explimiteL109−
βmvm⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> L10Me 99.537505=
– intervalul de incredere: L10L L10 explimiteL10m2−
βmvm⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> L10L 48.078585=
L10U L10 explimiteL10m1−
βmvm⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> L10U 142.200503=
e) Cazul cuantilei 0,50:
– estimatia medie nedeplasata: L50m L50 explimiteL5018−
βmvm⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> L50m 209.770229=
– estimatia mediana nedeplasata: L50Me L50 explimiteL509−
βmvm⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> L50Me 200.412766=
– intervalul de incredere: L50L L50 explimiteL50m2−
βmvm⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> L50L 156.015294=
L50U L50 explimiteL50m1−
βmvm⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:=
E – 6
Anexa E.1
==> L10U L10 explimiteL10m1−
βblie⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:=L10L 47.572198= ==> L10L L10 explimiteL10m2−
βblie⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= – intervalul de incredere:L10Me 98.769403= ==> L10Me L10 explimiteL109−
βblie⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= – estimatia mediana nedeplasata:L10m 92.382368= ==> L10m L10 explimiteL1018−
βblie⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= – estimatia medie nedeplasata:d) Cazul cuantilei 0,10:ηU 366.033471= ==>
L50U 324.605375= ==> L50U L50 explimiteL50m1−
βblie⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:=L50L 155.511222= ==> L50L L50 explimiteL50m2−
βblie⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= – intervalul de incredere:L50Me 199.940868= ==> L50Me L50 explimiteL509−
βblie⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= – estimatia mediana nedeplasata:L50m 209.228153= ==> L50m L50 explimiteL5018−
βblie⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= – estimatia medie nedeplasata:e) Cazul cuantilei 0,50:L10U 141.252817=βL 1.063907= ==> βLβblie limite βm1⋅:= – intervalul de incredere:βMe 2.112906= ==> βMeβblie limite β9⋅:= – estimatia mediana nedeplasata:βm 1.914635= ==> βmβblie limite β18⋅:= – estimatia medie nedeplasata:b) Cazul parametrului de forma:limiteL50
…\CV220_8.PRN:= limiteη
…\CZ20_8.PR N:=limiteL10
…\CV120_8.PRN:= limiteβ
…\CW20_8.PRN:=
ηUηblie explimiteηm1−
βblie⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:=ηL 152.495038= ==> ηLηblie explimiteηm2−
βblie⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= – intervalul de incredere:ηMe 199.872234= ==> ηMeηblie explimiteη9−
βblie⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= – estimatia mediana nedeplasata:ηm 212.926707= ==> ηmηblie explimiteη18−
βblie⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= – estimatia medie nedeplasata:c) Cazul parametrului de scala:βU 3.62752= ==> βUβblie limite βm2⋅:=
E – 7
Anexa E.2
a. Valorile probabilitatilor de deteriorare corespunzatoare:
c date4〈〉
:=
b. Nivelul de semnificatie pentru determinarea grafica a
limitelor de incredere, (NS = 90%; 95%; 99%) :
NS 90:=
m1 0:= m2 0:= m1 if NS 90 = 3,m1, ():= m2 if m1 3 =5,m2, ():=
m1 if NS 95 = 2,m1, ():= m2 if m1 2 =6,m2, ():=
m1 if NS 99 = 1,m1, ():= m2 if m1 1 =7,m2, ():=
c. Valorile probabilitatilor pentru determinarea limitelor
de incredere corespunzatoare nivelului de semnificatie NS:
a datem1〈〉
:= b datem2〈〉
:=
2. ESTIMAREA PARAMETRULUI DE LOCALIZARE PRIN METODA COEFICIENTULLUI
DE CORELATIE :
2.1. Domeniul de existenta al parametrului de localizare, [gamma1;gamma2]:
gamma1200−:= gamma20:=
2.2. Trasarea graficului coeficientului de corelatie, CCOR, in functie de valorile
parametrului de localizare: Programul: WEIBULL_SDT.mcd
PROGRAM DE ESTIMARE A PARAMETRILOR
SI INDICATORILOR DE FIABILITATE AI
REPARTITIEI TRIPARAMETRICE WEIBULL
ORIGIN 1:=
1. DATE DE INTRARE:
1.1. Volumul esantionului, ( N=3… 25):
N1 2:=
1.2. Valorile observate ale timpilor de cadere si ordonarea lor
crescatoare :
e READPRN "TCAD9.prn" () :=
d sort e ():=
1.3. Numarul de caderi inregistrate, (r):
r length d ():= ==> r3= lr:= l3=
mN
l:= m4=
1.4. Valorile estimate ale probabilitatilor de deteriorare si a celor
necesare determinarii intervalelor de incredere:
date
…\PDET3.PRN:= d88
366
765⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠=
E.2 – 1
Anexa E.2
IT 1.333 103×= IT floorgam2gam1−
Δ⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠:=- calculul numarului de iteratii (IT) necesare:Δ 0.001:=- valoarea adoptata a incrementului utilizat pentru estimarea parametrului de
localizare,D: gam1158.666667−= ==> gam1gamma1G2−( ) PAS⋅ + :=gam2157.333333−= ==> gam2gamma1G PAS⋅+ :=gam gamma1G1−( ) PAS⋅ + :=CCORG1= ==> G max K ():= Kiif CCORiMAX= i,0, ():=-numarul de iteratii (IT): IT 300:= k1 r..:=
-pasul iteratiilor (PAS): PASgamma2gamma1−
IT:= ==> PAS 0.666667=
i1 I T..:= γigamma1i1−( ) PAS⋅+ := Tki,dkγi−→⎯⎯⎯
:=
-calculul coeficientului de corelatie (CCOR):
CCORikln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦ln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⋅∑kln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦∑⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦kln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠∑⋅
r−
kln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦2
∑kln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦∑⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦2
r−⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎣⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎦kln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠2
∑kln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠∑⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠2
r−⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦⋅⎡⎢
⎢⎢
⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦1
2:=
200 150 100 50 00.9960.9981
trace 1CCORi
γi
2.3. Estimarea valorii parametrului de localizare, gam:
– stabilirea domeniului, [gam1;gam2], ce contine valoarea maxima, CCORG,
a coeficientului de corelatie:
MAX max CCOR ():=
E.2 – 2
Anexa E.2
b1r
kXkYk⋅()∑⋅
kXk∑⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠kYk∑⋅ −
r
kXk()2∑⋅
kXk∑⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠2
−:=
a11
r
kYk∑⋅b1
r
kXk∑⋅− :=
2.4 valorile estimate ale parametrilor repartitiei Weibull:
βcc b1:= βcc 1.454207=
ηccs expa1−
b1⎛⎜⎝⎞⎟⎠:= ηccs 674.586477=
γcc 158.310667−=
ηcc m1
βccηccs⋅:= ηcc 1.750049 103× =
2.5 valorile estimate ale indicatorilor de fiabilitate ai rulmentilor:
durabilitatea de baza ===> L10ccs 0.1053611
βccηcc⋅γ cc+ := L10ccs 214.069286=
durabilitatea mediana ===> L50ccs 0.6931471
βccηcc⋅γ cc+ := L50ccs 1.201856 103× =
2.6 trasarea intervalelor de incredere pentru dreapta Weibull:-calculul coeficientului de corelatie (CCi):
i1 I T..:= γigam1i1−()Δ⋅+:= Tki,dkγi−→⎯⎯⎯
:=
CCikln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦ln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⋅∑kln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦∑⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦kln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠∑⋅
r−
kln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦2
∑kln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦∑⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦2
r−⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎣⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎦kln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠2
∑kln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠∑⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠2
r−⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦⋅⎡⎢
⎢⎢
⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦1
2:=
-determinarea valorii maxime a coeficientului de corelatie (CCGm):
MAX max CC ():= Kiif CCiMAX= i,0, ():= Gm max K ():= ==> CCGm1=
– valoarea estimata a parametrului de localizare, γCC:
γcc gam1Gm 1− () Δ⋅ +:= ==> γcc 158.310667−=
– estimarea parametrilor repartitiei WEIBULL prin Metoda Celor Mai
Mici Patrate :
Ykln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠:=Xkln dkγcc−():=
E.2 – 3
Anexa E.2
j1 l..:=
Tγcc 1+γ cc 50+, 5000.. :=
tjγcc expln ln1
1cj
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠βcc lnηcc()⋅+
βcc⎛⎜
⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟
⎟⎠+:=fT()βcc ln T γcc−()⋅β cc lnηcc()⋅− ():=
fs T()βcc ln T γcc−()⋅β cc lnηccs()⋅− :=
10 100 1.1031.1041.105
trace 1
trace 2
trace 3
trace 4
trace 5ln ln1
1 0.1−⎛⎜⎝⎞⎟⎠⎛⎜⎝⎞⎟⎠ln ln1
1 0.5−⎛⎜⎝⎞⎟⎠⎛⎜⎝⎞⎟⎠fT()
ln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠
ln ln1
1aj
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠
ln ln1
1bj
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠
fs T()
Tγcc− dkγcc−, tjγcc−, tjγcc−(), Tγcc−,
3.Estimarea parametrilor modelului biparametric Weibull prin metoda
verosimilitatii maxime
E.2 – 4
Anexa E.2
m1 0:= m2 0:= m1 if NS 90 = 4,m1, ():= m2 if m1 4 =14,m2, ():=
m1 if NS 95 = 3,m1, ():= m2 if m1 3 =15,m2, ():=
m1 if NS 99 = 1,m1, ():= m2 if m1 1 =17,m2, ():=
a) cuantilele variabilelor aleatorii utilizate:
limiteη
…\CS12_3.PR N:=limiteβ
…\CV3_3C.PR N:=
limiteL10
…\CQ112_3.PR N:= limiteL50
…\CQ212_3.PR N:=
b) Cazul parametrului de forma:
– estimatia medie nedeplasata: βmβmvm
limiteβ18:= ==> βm 0.957771=
– estimatia mediana nedeplasata: βMeβmvm
limiteβ9:= ==> βMe 1.451493=
– intervalul de incredere: βLβmvm
limiteβm2:= ==> βL 0.368954=3.1 Valoarea parametrului de scala (valoare estimata prin metoda coeficientului
de corelatie):
γcc 158.310667−= γmvmγcc:= Tkdkγmvm−()→ ⎯⎯⎯⎯⎯
:=
3.2 Valorile estimate ale parametrilor de forma si de scala:
hβ()kTk()βln Tk()⋅∑
kTk()β∑1
β−1
r
kln Tk()∑⋅− :=
– precizia de rezolvare a ecuatiei de verosimilitate
TOL 0.00001:=
– solutia initiala
β2 0.6:=
βmvm root h β2()β2, ():=
ηmvms1
r
kdkγmvm−()βmvm∑⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦⋅⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦1
βmvm
:=
βmvm 2.201915=
==>ηmvms 640.772085=
γmvm 158.310667−=
ηmvm m1
βmvmηmvms⋅ := ηmvm 1.202622 103× =
3.3 Determinarea indicatorilor de fiabilitate ai lotului de rulmenti:
-durabilitatea nominala: L10 0.1053611
βmvmηmvm⋅γ mvm+ := L10 274.481268=
-durabilitatea mediana: L50 0.6931471
βmvmηmvm⋅γ mvm+ := L50 859.905543=
3.4 Inferente statistice referitoare la parametrii si indicatorii de fiabilitate:
E.2 – 5
Anexa E.2
L10L 28.297403=
L10U L10 explimiteL10m1−
βmvm⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> L10U 521.678379=
e) Cazul cuantilei 0,50:
– estimatia medie nedeplasata: L50m L50 explimiteL5018−
βmvm⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> L50m 1.775967 103× =
– estimatia mediana nedeplasata: L50Me L50 explimiteL509−
βmvm⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> L50Me 1.101497 1 0× =
– intervalul de incredere: L50L L50 explimiteL50m2−
βmvm⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> L50L 620.944894=
L50U L50 explimiteL50m1−
βmvm⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> L50U 1.689351 104× =
4. Estimarea parametrilor repartitiei biparametrice Weibull prin metoda
estimatorilor liniari tip BLIE:
B
…\BLIE3.PRN:=4.1 Coeficientii de tip BLIE :
α Br1−〈〉
:= – valorile coeficientilor pentru estimarea parametrului de
forma
– valorile coeficientilor pentru estimarea
parametrului de scalaεBr1−〈〉
:=
4.2 Valoarea parametrului de scala (valoare estimata prin metoda coeficientului
de corelatie):
γcc 158.310667−= γblieγcc:=
4.3 Valorile estimate ale parametrilor de forma si de scala:βUβmvm
limiteβm1:= ==> βU 3.353=
c) Cazul parametrului de scala:
– estimatia medie nedeplasata: ηmηmvm explimiteη18−
βmvm⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> ηm 3.081768 103× =
– estimatia mediana nedeplasata: ηMeηmvm explimiteη9−
βmvm⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> ηMe 1.691271 103× =
– intervalul de incredere: ηLηmvm explimiteηm2−
βmvm⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> ηL 895.701288=
ηUηmvm explimiteηm1−
βmvm⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> ηU 5.044064 104× =
d) Cazul cuantilei 0,10:
– estimatia medie nedeplasata: L10m L10 explimiteL1018−
βmvm⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> L10m 187.317781=
– estimatia mediana nedeplasata: L10Me L10 explimiteL109−
βmvm⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> L10Me 242.046258=
– intervalul de incredere: L10L L10 explimiteL10m2−
βmvm⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==>
E.2 – 6
Anexa E.2
βLβblie limite βm1⋅:= ==>βL 0.355561=
βUβblie limite βm2⋅:= ==>βU 3.253007=
c) Cazul parametrului de scala:
– estimatia medie nedeplasata: ηmηblie explimiteη18−
βblie⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> ηm 3.27982 103× =
– estimatia mediana nedeplasata: ηMeηblie explimiteη9−
βblie⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> ηMe 1.762334 103× =
– intervalul de incredere: ηLηblie explimiteηm2−
βblie⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> ηL 914.095681=
ηUηblie explimiteηm1−
βblie⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> ηU 5.828581 104× =
d) Cazul cuantilei 0,10:
– estimatia medie nedeplasata: L10m L10 explimiteL1018−
βblie⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> L10m 194.96491=
– estimatia mediana nedeplasata: L10Me L10 explimiteL109−
βblie⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> L10Me 254.138074=ηblies exp
kln dkγblie−()αk⋅ ()∑⎡⎢
⎣⎤⎥
⎦:=
βblie1
kln dkγblie−()εkr+⋅ ()∑:=ηblies 719.685693=
βblie 2.101426=
γblie 158.310667−=
ηblie m1
βblieηblies⋅ :=ηblie 1.392014 103× =
4.4 Determinarea indicatorilor de fiabilitate ai lotului de rulmenti:
-durabilitatea nominala: L10 0.1053611
βblieηblie⋅γ blie+ := ==> L10 318.744738=
-durabilitatea mediana:
L50 0.6931471
βblieηblie⋅γ blie+ := ==> L50 1.010913 103× =
4.5 Inferente statistice referitoare la parametrii si indicatorii de fiabilitate:
a) cuantilele variabilelor aleatorii utilizate:
limiteβ
…\CW3_3C.PRN:= limiteL10
…\CQ112_3.PR N:=
limiteη
…\CS12_3.PR N:= limiteL50
…\CQ212_3.PR N:=
b) Cazul parametrului de forma:
– estimatia medie nedeplasata: βmβblie limite β18⋅:= ==>βm 0.921055=
– estimatia mediana nedeplasata: βMeβblie limite β9⋅:= ==>βMe 1.402912=
– intervalul de incredere:
E.2 – 7
Anexa E.2
L50U 1.963691 104× = ==> L50U L50 explimiteL50m1−
βblie⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:=L50L 645.950367= ==> L50L L50 explimiteL50m2−
βblie⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= – intervalul de incredere:L50Me 1.165708 103× = ==> L50Me L50 explimiteL509−
βblie⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= – estimatia mediana nedeplasata:L50m 1.91179 103× = ==> L50m L50 explimiteL5018−
βblie⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= – estimatia medie nedeplasata:e) Cazul cuantilei 0,50:L10U 561.801523= ==> L10U L10 explimiteL10m1−
βblie⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:=L10L 27.709169= ==> L10L L10 explimiteL10m2−
βblie⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= – intervalul de incredere:
E.2 – 8
Anexa E.3
NS 90:=
m1 0:= m2 0:= m1 if NS 90 = 3,m1, ():= m2 if m1 3 =5,m2, ():=
m1 if NS 95 = 2,m1, ():= m2 if m1 2 =6,m2, ():=
m1 if NS 99 = 1,m1, ():= m2 if m1 1 =7,m2, ():=
c. Valorile probabilitatilor pentru determinarea limitelor
de incredere corespunzatoare nivelului de semnificatie NS:
a datem1〈〉
:= b datem2〈〉
:=
2. ESTIMAREA PARAMETRULUI DE LOCALIZARE PRIN METODA COEFICIENTULLUI
DE CORELATIE :
2.1. Domeniul de existenta al parametrului de localizare, [gamma1;gamma2]:
gamma110−:= gamma2d10.001−:=
2.2. Trasarea graficului coeficientului de corelatie, CCOR, in functie de valorile
parametrului de localizare:
-numarul de iteratii (IT): IT 300:= k1 r..:=Programul: WEIBULL_TRI.mcd
PROGRAM DE ESTIMARE A PARAMETRILOR
REPARTITIEI WEIBULL TRIPARAMETRICE
ORIGIN 1:=
1. DATE DE INTRARE:
1.1. Volumul esantionului, ( N=3… 25):
N2 0:=
1.2. Valorile observate ale timpilor de cadere si ordonarea lor
crescatoare :
e READPRN "TCAD6.prn" () :=
d sort e ():=
1.3. Numarul de caderi inregistrate, (r):
r length d ():= ==> r8= tc 250:=
1.4. Valorile estimate ale probabilitatilor de deteriorare si a celor
necesare determinarii intervalelor de incredere:
d70
92
116
120
137
152
170
172⎛⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟⎠=date
…\PDET20.PRN:=
a. Valorile probabilitatilor de deteriorare corespunzatoare:
c date4〈〉
:=
b. Nivelul de semnificatie pentru determinarea grafica a
limitelor de incredere, (NS = 90%; 95%; 99%) :
E.3-1
Anexa E.3
-calculul coeficientului de corelatie (CCi):IT 533= IT floorgam2gam1−
Δ⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠:=- calculul numarului de iteratii (IT) necesare:Δ 0.001:=- valoarea adoptata a incrementului utilizat pentru estimarea parametrului de
localizare,D: gam131.066153= ==> gam1gamma1G2−( ) PAS⋅ + :=gam231.59948= ==> gam2gamma1G PAS⋅+ :=gam gamma1G1−( ) PAS⋅ + :=CCORG0.99577= ==> G max K ():= Kiif CCORiMAX= i,0, ():= MAX max CCOR ():=- stabilirea domeniului, [gam1;gam2], ce contine valoarea maxima, CCORG,
a coeficientului de corelatie: 2.3. Estimarea valorii parametrului de localizare, gam:1 00 1 02 03 04 05 06 00.95
trace 1CCORi
γiCCORikln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦ln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⋅∑kln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦∑⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦kln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠∑⋅
r−
kln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦2
∑kln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦∑⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦2
r−⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎣⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎦kln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠2
∑kln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠∑⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠2
r−⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦⋅⎡⎢
⎢⎢
⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦1
2:=-calculul coeficientului de corelatie (CCOR):Tki,dkγi−→⎯⎯⎯
:= γigamma1i1−( ) PAS⋅+ := i1 I T..:=PAS 0.266663= ==> PASgamma2gamma1−
IT:= -pasul iteratiilor (PAS):
E.3-2
Anexa E.3
– valorile estimate ale parametrilor repartitiei Weibull:
βcc b1:= βcc 1.972329=
ηcc expa1−
b1⎛⎜⎝⎞⎟⎠:= ηcc 212.485125=
γcc 31.329153=
– valorile estimate ale indicatorilor de fiabilitate ai rulmentilor:
durabilitatea de baza ===> L10cc 0.1053611
βccηcc⋅γ cc+ := L10cc 99.220258=
durabilitatea mediana ===> L50cc 0.6931471
βccηcc⋅γ cc+ := L50cc 207.780365=
– trasarea intervalelor de incredere pentru dreapta Weibull:
j1 N..:=
Tγcc 1+γ cc 50+, 5000.. :=
fT()βcc ln T γcc−()⋅β cc lnηcc()⋅− ():= tjγcc expln ln1
1cj
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠βcc lnηcc()⋅+
βcc⎛⎜
⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟
⎟⎠+:=i1 I T..:= γigam1i1−()Δ⋅+:= Tki,dkγi−→⎯⎯⎯
:=
CCikln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦ln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⋅∑kln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦∑⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦kln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠∑⋅
r−
kln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦2
∑kln Ti〈〉⎛⎝⎞⎠k⎡
⎣⎤
⎦∑⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦2
r−⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎣⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎦kln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠2
∑kln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠∑⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠2
r−⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦⋅⎡⎢
⎢⎢
⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦1
2:=
-determinarea valorii maxime a coeficientului de corelatie (CCGm):
MAX max CC ():= Kiif CCiMAX= i,0, ():= Gm max K ():= ==> CCGm0.99577=
– valoarea estimata a parametrului de localizare, γCC:
γcc gam1Gm 1− () Δ⋅ +:= ==> γcc 31.329153=
– estimarea parametrilor repartitiei WEIBULL prin Metoda Celor Mai
Mici Patrate :
Ykln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠:= Xkln dkγcc−():= b1r
kXkYk⋅()∑⋅
kXk∑⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠kYk∑⋅ −
r
kXk()2∑⋅
kXk∑⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠2
−:=
a11
r
kYk∑⋅b1
r
kXk∑⋅− :=
E.3-3
Anexa E.3
1 10 100 1.1031.104
trace 1
trace 2
trace 3
trace 4ln ln1
1 0.1−⎛⎜⎝⎞⎟⎠⎛⎜⎝⎞⎟⎠ln ln1
1 0.5−⎛⎜⎝⎞⎟⎠⎛⎜⎝⎞⎟⎠ fT()
ln ln1
1ck
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠
ln ln1
1aj
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠
ln ln1
1bj
100−⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝⎞⎟
⎟
⎟⎠
Tγcc− dkγcc−, tjγcc−, tjγcc−,
3.Estimarea parametrilor modelului biparametric Weibull prin metoda
verosimilitatii maxime
7.1 Valoarea parametrului de scala (valoare estimata prin metoda coeficientului
de corelatie):
γcc 31.329153= γmvmγcc:= Tkdkγcc−()→⎯⎯⎯⎯
:=
7.2 Valorile estimate ale parametrilor de forma si de scala:
hβ()kTk()βln Tk()⋅∑Nr−() t c γcc−()β⋅ ln tcγcc−()⋅ +
kTk()β∑Nr−() t c γcc−()β⋅+1
β−1
r
kln Tk()∑⋅− :=
E.3-4
Anexa E.3
r8= N2 0=
limiteβ1
…\CV20_9.PR N:= limiteη
…\CK20_8.PR N:=
limiteβ
…\CV20_8.PR N:= limiteη1
…\CK20_9.PR N:=
limiteL10
…\CU120_8.PR N:= limiteL50
…\CU220_8.PR N:=
limiteL101
…\CU120_9.PR N:= limiteL501
…\CU220_9.PR N:=
b) Cazul parametrului de forma:
– intervalul de incredere: βLβmvm
limiteβ1m2:= ==> βL 0.622742=
βUβmvm
limiteβm1:= ==> βU 1.934303=
c) Cazul parametrului de scala:
– intervalul de incredere: ηLηmvm explimiteη1m2−
βmvm⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> ηL 244.587967=
ηUηmvm explimiteηm1−
βmvm⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> ηU 1.238903 103× =
d) Cazul cuantilei 0,10:TOL 0.00001:= – precizia de rezolvare a ecuatiei de verosimilitate
β2 0.6:= – solutia initiala
βmvm root h β2()β2, ():=
ηmvm1
r
kdkγmvm−()βmvm∑Nr−() t c γmvm−()βmvm⋅+⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦⋅⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦1
βmvm
:=
βmvm 1.330801=
==> ηmvm 347.17025=
γmvm 31.329153=
7.3 Determinarea indicatorilor de fiabilitate ai lotului de rulmenti:
-durabilitatea nominala: L10 0.1053611
βmvmηmvm⋅γ mvm+ := L10 95.325839=
-durabilitatea mediana: L50 0.6931471
βmvmηmvm⋅γ mvm+ := L50 294.922426=
7.4 Inferente statistice referitoare la parametrii si indicatorii de fiabilitate:
m1 0:= m2 0:= m1 if NS 90 = 4,m1, ():= m2 if m1 4 =14,m2, ():=
m1 if NS 95 = 3,m1, ():= m2 if m1 3 =15,m2, ():=
m1 if NS 99 = 1,m1, ():= m2 if m1 1 =17,m2, ():=
a) cuantilele variabilelor aleatorii utilizate:
E.3-5
Anexa E.3
– intervalul de incredere: L10L L10 explimiteL101m2−
βmvm⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> L10L 23.775681=
L10U L10 explimiteL10m1−
βmvm⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> L10U 163.871075=
e) Cazul cuantilei 0,50:
– intervalul de incredere: L50L L50 explimiteL501m2−
βmvm⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> L50L 201.747344=
L50U L50 explimiteL50m1−
βmvm⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠⋅:= ==> L50U 796.996816=
E.3-6
Anexa F
Pachet de aplica ții MathCAD pentru calculul estima țiilor
bayesiene propriu-zise și a estima țiilor bayesiene de tip
MELO
CUPRINS
Anexa F.1 Program de simulare a încerc ărilor de fiabilitate și testare a
proprietăților estimatorilor bayesieni – Varianta I
Anexa F.2 Program de simulare a încerc ărilor de fiabilitate și testare a
proprietăților estimatorilor bayesieni – Varianta II
Anexa F.1
v
..\V10_5.PR N:= ns rows v ():=
-calculul variabilei aleatorii – w1: s1 n s..:=
v1sbet
vs:=
-determinarea valorilor extreme ale seriei statistice (val_min;val_max):
val_min min v1 ():= ==> val_min 0.055475=
val_max max v1 ():= ==> val_max 4.403069=
-determinarea numarului de clase (mc):
mc floor 1 3.322 log ns ()⋅+():= ==> mc 14=
-determinarea amplitudinii unei clase (d):
d ceil 102val_max val_min−
mc⋅⎛⎜⎝⎞⎟⎠102−⋅ := ==> d 0.32=Programul : BAYES_varianta I.mcd
PROGRAM DE SIMULARE A INCERCARILOR
DE FIABILITATE SI TESTAREA PROPRIETATILOR
ESTIMATORILOR BAYESIENI – varianta I
ORIGIN 1≡
1. Tipul incercarii simulate:
– volumul esantionului (N): – nivelul de cenzurare (r): N1 0:=
r5:=
2. Obtinerea estimatiei parametrului de forma, pe baza unui esantion initial
-alegerea aleatorie a esantionului initial:
q ceil rnd 8999 ()( ) 1000 + := q 1.012 103×=
V READPRN "M2.prn" () := QVq〈〉
:=
– metoda de estimare utilizata : METODA VEROSIMILITATII MAXIME;
– estimatia parametrului de forma:
m1 r..:=
uβ()mQm()βln Qm()⋅∑Nr−() Qr()β⋅ ln Qr()⋅ +
mQm()β∑Nr−() Qr()β⋅+1
β−1
r
mln Qm()∑⋅− :=
-precizia de rezolvare a ecuatiei:
-solutia initiala:TOL 0.00001:=
bet 0.6:=
bet root u bet ( ) bet, ():= ==> bet 1.581582=
3. Specificarea completa a repartitiei apriorice pentru parametrul de forma
– valorile variabilei aleatorii V(r,n):
F.1-1
Anexa F.1
intmjifε0<intj, intjε
2−,⎛⎜⎝⎞⎟⎠:=
-valorile modificate ale valorilor centrale/clase:
Mmiifε0<Mi,Miε
2−,⎛⎜⎝⎞⎟⎠:=
-parametrii repartitiei apriorice ( β;p):
βiMmi:=
4. Specificarea completa a repartitiei apriorice pentru parametrul de scala
– valoarea estimata a parametrului de scala, pe baza esantionului initial (et):
eti1
r
mQm()βi∑Nr−() Qr()βi⋅+⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦⋅⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦1
βi
:=
– valorile estimate ale parametrilor repartitiei apriorice Gama -h( λ)= GAM(λ;k;α):
kir:=αire ti()βi⋅:=
5. Simularea a "l" esantioane de volum N, cenzurate la nivelul r:
l 1 100..:= s1 r..:= tl〈〉
Vl〈〉
:=
6. Calculul estimatiilor bayesiene propriu-zise , pentru cele "l" esantioane simulate:
– estimatiile parametrului de forma:
βelipiβi()r⋅
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi1−
∏⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦⋅Γrki+()
Γki()⋅αi()ki
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi
∑Nr−() tl〈〉⎛⎝⎞⎠r⎡
⎣⎤
⎦βi
⋅+αi+⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦rki+⋅βi⋅ ∑
ipiβi()r⋅
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi1−
∏⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦⋅Γrki+()
Γki()⋅αi()ki
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi
∑Nr−() tl〈〉⎛⎝⎞⎠r⎡
⎣⎤
⎦βi
⋅+αi+⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦rki+⋅ ∑:=-calculul limitelor claselor (int):
i1 m c..:= j 1 mc 1 +..:= intjval_min j 1 −() d⋅+ :=
-calculul valorii centrale, pentru fiecare clasa (M):
Miintid
2+:=
-determinarea frecventelor absolute (f):
f hist int v1 ,():=
-determinarea frecventelor relative (p):
pifi
ns:= ==>
ipi∑1=
-modificarea limitelor claselor in functie de acuratetea de lucru:
-masura acuratetei de lucru:
εmax int( ) val_max− := ==> ε0.132406=
-valorile modificate ale limitelor claselor:
F.1-2
Anexa F.1
==> med_ηe 0.923093=
b. valoarea minima: min_ηe minηe():= ==> min_ηe 0.58665=
c. valoarea maxima: max_ηe max ηe():= ==> max_ηe 2.046275=
d. amplitudinea: A_ηe max_ ηe min_ηe− := ==> A_ηe 1.459625=
e. dispersia: d_ηe varηe():= ==> d_ηe 0.077147=
f. abaterea medie patratica: amp_ηe stdev ηe():= ==> amp_ηe 0.277754=
8. Calculul estimatiilor de tip MVM, pentru cele "l" esantioane simulate
– estimatiile parametrului de forma:
Uβl,()stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦β
ln tl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦⋅∑Nr−() tl〈〉⎛⎝⎞⎠r⎡
⎣⎤
⎦β
⋅ ln tl〈〉⎛⎝⎞⎠r⎡
⎣⎤
⎦⋅ +
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦β
∑Nr−() tl〈〉⎛⎝⎞⎠r⎡
⎣⎤
⎦β
⋅+1
β−1
r
sln tl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦∑⋅− :=
-precizia de rezolvare a ecuatiei:
-solutia initiala:TOL 0.00001:=
beta 0.6:= betalroot U beta l , ( ) beta, ():=
– estimatiile parametrului de scala:
etal1
r
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦betal
∑Nr−() tl〈〉⎛⎝⎞⎠r⎡
⎣⎤
⎦betal
⋅+⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦⋅⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦1
betal
:=- estimatiile parametrului de scala:
λelipiβi()r⋅
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi1−
∏⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦⋅Γrki+ 1+()
Γki()⋅αi()ki
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi
∑Nr−() tl〈〉⎛⎝⎞⎠r⎡
⎣⎤
⎦βi
⋅+αi+⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦rki+1+⋅ ∑
ipiβi()r⋅
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi1−
∏⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦⋅Γrki+()
Γki()⋅αi()ki
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi
∑Nr−() tl〈〉⎛⎝⎞⎠r⎡
⎣⎤
⎦βi
⋅+αi+⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦rki+⋅ ∑:=
ηel1
λel⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠1
βel
:=
7. Caracteristicile numerice ale estimatorilor astfel obtinuti:
– cazul parametrului de forma:
a. valoarea medie: med_βe mean βe():= ==> med_βe 1.223959=
b. valoarea minima: min_βe minβe():= ==> min_βe 0.619204=
c. valoarea maxima: max_βe max βe():= ==> max_βe 2.036091=
d. amplitudinea: A_βe max_ βe min_βe− := ==> A_βe 1.416886=
e. dispersia: d_βe varβe():= ==> d_βe 0.09392=
f. abaterea medie patratica: amp_βe stdev βe():= ==> amp_βe 0.306464=
– cazul parametrului de scala:
a. valoarea medie: med_ηe mean ηe():=
F.1-3
Anexa F.1
==> med_eta 0.949987 =
b. valoarea minima: min_eta min eta ():= ==> min_eta 0.209445=
c. valoarea maxima: max_eta max eta ():= ==> max_eta 2.853219=
d. amplitudinea: A_eta max_eta min_eta − := ==> A_eta 2.643774=
e. dispersia: d_eta var eta ():= ==> d_eta 0.229222=
f. abaterea medie patratica: amp_eta stdev eta ():= ==> amp_eta 0.478771 =
10. Calculul estimatiilor bayesiene de tip MELO, pentru cele "l" esantioane simulate
– estimatiile parametrului de forma:
MELOβlipiβi()r⋅
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi1−
∏⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦⋅Γrki+()
Γki()⋅αi()ki
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi
∑Nr−() tl〈〉⎛⎝⎞⎠r⎡
⎣⎤
⎦βi
⋅+αi+⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦rki+⋅βi()1−⋅ ∑
ipiβi()r⋅
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi1−
∏⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦⋅Γrki+()
Γki()⋅αi()ki
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi
∑Nr−() tl〈〉⎛⎝⎞⎠r⎡
⎣⎤
⎦βi
⋅+αi+⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦rki+⋅βi()2−⋅ ∑:=
– estimatiile parametrului de scala:
MELOλlipiβi()r⋅
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi1−
∏⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦⋅Γrki+ 1−()
Γki()⋅αi()ki
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi
∑Nr−() tl〈〉⎛⎝⎞⎠r⎡
⎣⎤
⎦βi
⋅+αi+⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦rki+1−⋅ ∑
ipiβi()r⋅
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi1−
∏⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦⋅Γrki+ 2−()
Γki()⋅αi()ki
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi
∑Nr−() tl〈〉⎛⎝⎞⎠r⎡
⎣⎤
⎦βi
⋅+αi+⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦rki+2−⋅ ∑:=
MELOηl1
MELOλl⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠1
MELOβl
:=9. Caracteristicile numerice ale estimatorilor astfel obtinuti
– cazul parametrului de forma:
a. valoarea medie: med_beta mean beta ():= ==> med_beta 1.574146 =
b. valoarea minima: min_beta min beta ():= ==> min_beta 0.468447 =
c. valoarea maxima: max_beta max beta ():= ==> max_beta 5.17254 =
d. amplitudinea: A_beta max_beta min_beta − := ==> A_beta 4.704093=
e. dispersia: d_beta var beta ():= ==> d_beta 0.754301=
f. abaterea medie patratica: amp_beta stdev beta ():= ==> amp_beta 0.868505 =
– cazul parametrului de scala:
a. valoarea medie: med_eta mean eta ():=
F.1-4
Anexa F.1
med_MELO η1.286136=
b. valoarea minima: min_MELO ηmin MELO η ():= ==> min_MELO η0.768591=
c. valoarea maxima: max_MELO ηmax MELO η ():= ==> max_MELO η3.401999=
d. amplitudinea: A_MELOηmax_MELO ηmin_MELO η − := ==> A_MELOη2.633408=
e. dispersia: d_MELOηvar MELO η ():= ==> d_MELOη0.215438=
f. abaterea medie patratica: amp_MELO ηstdev MELO η ():= ==> amp_MELO η0.464153=
12. Forma repartitiilor apriorice si a posteriori pentru parametii repartitiei Weibull:
– cazul parametrului de forma:
a)Repartitia apriorica ( βi,pi) cu i=1,…,mc:
0 0.89 1.79 2.68 3.58 4.4700.0680.140.20.27
Variabila aleatorieProbalitatea de aparitiepi
pi
βiβi,ipi∑1=
b)Repartitia a posteriori ( βi,pp_esi) cu i=1,…,mc, corespunzatoare esantionului "es":
es 5:= Ttes〈〉
:=
pp_esipiβi()r⋅
sTs()βi1−
∏⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦⋅αi()ki
Γki()⋅Γrki+()
sTs()βi∑Nr−() Tr()βi⋅+αi+⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦rki+⋅
114
ipiβi()r⋅
sTs()βi1−
∏⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦⋅αi()ki
Γki()⋅Γrki+()
sTs()βi∑Nr−() Tr()βi⋅+αi+⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦rki+⋅ ∑
=:=11. Caracteristicile numerice ale estimatorilor astfel obtinuti:
– cazul parametrului de forma:
a. valoarea medie: med_MELO βmean MELO β ():= ==> med_MELO β0.982874=
b. valoarea minima: min_MELO βmin MELO β ():= ==> min_MELO β0.497138=
c. valoarea maxima: max_MELO βmax MELO β ():= ==> max_MELO β1.631875=
d. amplitudinea: A_MELOβmax_MELO βmin_MELO β − := ==> A_MELOβ1.134738=
e. dispersia: d_MELOβvar MELO β ():= ==> d_MELOβ0.061573=
f. abaterea medie patratica: amp_MELO βstdev MELO β ():= ==> amp_MELO β0.24814=
– cazul parametrului de scala:
a. valoarea medie: med_MELO ηmean MELO η ():= ==>
F.1-5
Anexa F.1
0 0.89 1.79 2.68 3.58 4.4700.0990.20.30.4
Variabila aleatorieProbalitatea de aparitiepp_esi
pp_esi
pi
pi
βiipp_esi∑1=
– cazul parametrului de scala:
a)Repartitia apriorica -h( λ)= GAM(λ;kpar;αpar)
ld 4:= par 5:= λ 0 0.01, ld.. := hλ()αpar()kparλkpar1−
⋅
Γkpar()expλ−αpar⋅()⋅ :=
0123400.511.5
Variabila aleatorieFunctia densitate de probalitate, f(t)hλ()
λ
b)Repartitia a posteriori -hp( λ)= GAM(λ;kppar;αp_espar)
kpirki+:= αp_esiαi
sTs()βi∑Nr−() Tr()βi⋅+⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦+:= hpλ()αp_espar()kpparλkppar1−
⋅
Γkppar()expλ−α p_espar⋅()⋅ :=
01234012
Variabila aleatorieFunctia densitate de probabilitate, f(t)hpλ()
hλ()
λ
F.1-6
Anexa F.2
w1sbet ws⋅:=
-determinarea valorilor extreme ale seriei statistice (val_min;val_max):
val_min min w1 ():= ==> val_min 0.246997=
val_max max w1 ():= ==> val_max 20.259285=
-determinarea numarului de clase (mc):
mc floor 1 3.322 log ns ()⋅+():= ==> mc 14=
-determinarea amplitudinii unei clase (d):
d ceil 102val_max val_min−
mc⋅⎛⎜⎝⎞⎟⎠102−⋅ := ==> d 1.43=
-calculul limitelor claselor (int):
i1 m c..:= j 1 mc 1 +..:=
intjval_min j 1 −() d⋅+ :=
-calculul valorii centrale, pentru fiecare clasa (M):Programul :BAYES_variantaII.mcd
PROGRAM DE SIMULARE A INCERCARILOR DE FIABILITATE
SI TESTAREA PROPRIETATILOR ESTIMATORILOR
BAYESIENI – varianta II
ORIGIN 1≡
1. Tipul incercarii simulate
– volumul esantionului (N):
– nivelul de cenzurare (r):N2 0:=
r1 5:=
2. Obtinerea estimatiei parametrului de forma, pe baza unui esantion initial
-alegerea aleatorie a esantionului initial:
q ceil rnd 8999 ()( ) 1000 + := q 4.153 103×=
V READPRN "M4.prn" () := QVq〈〉
:=
– metoda de estimare utilizata : METODA ESTIMATORILOR LINIARI TIP BLIE ;
– estimatia parametrului de forma:
m1 r..:= B
…\BLIE20.PRN:= εBr1−〈〉
:=
bet1
mln Q()m⎡⎣⎤⎦εmN+⋅⎡⎣⎤⎦∑:=
bet 0.991159=
3. Specificarea completa a repartitiei apriorice pentru parametrul de forma
– valorile variabilei aleatorii W(r,n):
w
…\W20_5.PRN:= ns rows w ():=
-calculul variabilei aleatorii – w1: s1 n s..:=
F.2 -1
Anexa F.2
– estimatiile parametrului de scala:βelipiβi()r⋅
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi1−
∏⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦⋅Γrki+()
Γki()⋅αi()ki
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi
∑Nr−() tl〈〉⎛⎝⎞⎠r⎡
⎣⎤
⎦βi
⋅+αi+⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦rki+⋅βi⋅ ∑
ipiβi()r⋅
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi1−
∏⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦⋅Γrki+()
Γki()⋅αi()ki
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi
∑Nr−() tl〈〉⎛⎝⎞⎠r⎡
⎣⎤
⎦βi
⋅+αi+⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦rki+⋅ ∑:=6. Calculul estimatiilor bayesiene propriu-zise , pentru cele "l" esantioane simulate
– estimatiile parametrului de forma:tl〈〉
Vl〈〉
:= s1 r..:= l 1 100..:=5. Simularea a "l" esantioane de volum N, cenzurate la nivelul r:αire ti()βi⋅:= kir:=- valorile estimate ale parametrilor repartitiei apriorice Gama -h( λ)= GAM(λ;k;α):eti1
r
mQm()βi∑Nr−() Qr()βi⋅+⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦⋅⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦1
βi
:=4. Specificarea completa a repartitiei apriorice pentru parametrul de scala
– valoarea estimata a parametrului de scala, pe baza esantionului initial (et):βiMmi:=-parametrii repartitiei apriorice (b;p):Mmiifεl0<Mi,Miεl
2−,⎛⎜⎝⎞⎟⎠:=-valorile modificate ale valorilor centrale/clase:intmjifεl0<intj, intjεl
2−,⎛⎜⎝⎞⎟⎠:=-valorile modificate ale limitelor claselor:εl 7.711916 103−× = ==> εl max int ( ) val_max− :=- masura acuratetei de lucru:-modificarea limitelor claselor în functie de acuratetea de lucru:ipi∑1= ==> pifi
ns:=-determinarea frecventelor relative (p):f hist int w1 ,():=-determinarea frecventelor absolute (f):Miintid
2+:=
F.2 -2
Anexa F.2
min_ηe minηe():= ==> min_ηe 0.783788=
c. valoarea maxima: max_ηe max ηe():= ==> max_ηe 1.515527=
d. amplitudinea: A_ηe max_ ηe min_ηe− := ==> A_ηe 0.731739=
e. dispersia: d_ηe varηe():= ==> d_ηe 0.017333=
f. abaterea medie patratica:
min_beta 0.532962 = ==> min_beta min beta ():= b. valoarea minima:med_beta 1.098949 = ==> med_beta mean beta ():= a. valoarea medie:9. Caracteristicile numerice ale estimatorilor astfel obtinuti:
– cazul parametrului de forma:etalexp
sln tl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦α1s⋅⎡
⎣⎤
⎦∑⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦:= α1Br1−〈〉
:=- estimatiile parametrului de scala:betal1
sln tl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦εsN+⋅⎡
⎣⎤
⎦∑:=8. Calculul estimatiilor de tip BLIE, pentru cele "l" esantioane simulate
– estimatiile parametrului de forma:amp_ηe 0.131654= ==> amp_ηe stdev ηe():=λelipiβi()r⋅
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi1−
∏⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦⋅Γrki+ 1+()
Γki()⋅αi()ki
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi
∑Nr−() tl〈〉⎛⎝⎞⎠r⎡
⎣⎤
⎦βi
⋅+αi+⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦rki+1+⋅ ∑
ipiβi()r⋅
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi1−
∏⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦⋅Γrki+()
Γki()⋅αi()ki
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi
∑Nr−() tl〈〉⎛⎝⎞⎠r⎡
⎣⎤
⎦βi
⋅+αi+⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦rki+⋅ ∑:=
ηel1
λel⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠1
βel
:=
7. Caracteristicile numerice ale estimatorilor astfel obtinuti:
– cazul parametrului de forma:
a. valoarea medie: med_βe mean βe():= ==> med_βe 0.98334=
b. valoarea minima: min_βe minβe():= ==> min_βe 0.958141=
c. valoarea maxima: max_βe max βe():= ==> max_βe 1.66096=
d. amplitudinea:
b. valoarea minima:med_ηe 1.059914= ==> med_ηe mean ηe():= a. valoarea medie:- cazul parametrului de scala:amp_βe 0.103131= ==> amp_βe stdev βe():= f. abaterea medie patratica:d_βe 0.010636= ==> d_βe varβe():= e. dispersia:A_βe 0.702819= ==> A_βe max_ βe min_βe− :=
F.2 -3
Anexa F.2
max_eta 2.037413=
d. amplitudinea: A_eta max_eta min_eta − := ==> A_eta 1.580592=
e. dispersia: d_eta var eta ():= ==> d_eta 0.077085=
f. abaterea medie patratica: amp_eta stdev eta ():= ==> amp_eta 0.277642 =
10. Calculul estimatiilor bayesiene de tip MELO, pentru cele "l" esantioane simulate
– estimatiile parametrului de forma:
MELOβlipiβi()r⋅
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi1−
∏⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦⋅Γrki+()
Γki()⋅αi()ki
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi
∑Nr−() tl〈〉⎛⎝⎞⎠r⎡
⎣⎤
⎦βi
⋅+αi+⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦rki+⋅βi()1−⋅ ∑
ipiβi()r⋅
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi1−
∏⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦⋅Γrki+()
Γki()⋅αi()ki
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi
∑Nr−() tl〈〉⎛⎝⎞⎠r⎡
⎣⎤
⎦βi
⋅+αi+⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦rki+⋅βi()2−⋅ ∑:=
– estimatiile parametrului de scala:
MELOλlipiβi()r⋅
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi1−
∏⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦⋅Γrki+ 1−()
Γki()⋅αi()ki
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi
∑Nr−() tl〈〉⎛⎝⎞⎠r⎡
⎣⎤
⎦βi
⋅+αi+⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦rki+1−⋅ ∑
ipiβi()r⋅
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi1−
∏⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦⋅Γrki+ 2−()
Γki()⋅αi()ki
stl〈〉⎛⎝⎞⎠s⎡
⎣⎤
⎦βi
∑Nr−() tl〈〉⎛⎝⎞⎠r⎡
⎣⎤
⎦βi
⋅+αi+⎡⎢
⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥⎦rki+2−⋅ ∑:=
MELOηl1
MELOλl⎛⎜
⎝⎞⎟
⎠1
MELOβl
:=
11. Caracteristicile numerice ale estimatorilor astfel obtinuti:
– cazul parametrului de forma:
a. valoarea medie: med_MELO βmean MELO β ():= ==> med_MELO β0.963812=
b. valoarea minima: min_MELO βmin MELO β ():= ==> min_MELO β0.958141=c. valoarea maxima: max_beta max beta ():= ==> max_beta 2.364728 =
d. amplitudinea: A_beta max_beta min_beta − := ==> A_beta 1.831766=
e. dispersia: d_beta var beta ():= ==> d_beta 0.079667=
f. abaterea medie patratica: amp_beta stdev beta ():= ==> amp_beta 0.282254 =
– cazul parametrului de scala:
a. valoarea medie: med_eta mean eta ():= ==> med_eta 1.019183 =
b. valoarea minima: min_eta min eta ():= ==> min_eta 0.45682=
c. valoarea maxima: max_eta max eta ():= ==>
F.2 -4
Anexa F.2
c. valoarea maxima: max_MELO ηmax MELO η ():= ==> max_MELO η1.628681=
d. amplitudinea: A_MELOηmax_MELO ηmin_MELO η − := ==> A_MELOη0.786373=
e. dispersia: d_MELOηvar MELO η ():= ==> d_MELOη0.022626=
f. abaterea medie patratica: amp_MELO ηstdev MELO η ():= ==> amp_MELO η0.15042=
12. Forma repartitiilor apriorice si a posteriori pentru parametii repartitiei Weibull:
– cazul parametrului de forma:
a)Repartitia apriorica ( βi,pi) cu i=1,…,mc:
0 4.05 8.11 12.16 16.21 20.2600.180.360.540.72
Variabila aleatorieProbabilitateapi
pi
βiβi,ipi∑1=
b)Repartitia a posteriori ( βi,pp_esi) cu i=1,…,mc, corespunzatoare esantionului "es":
es 5:= Ttes〈〉
:=
pp_esipiβi()r⋅
sTs()βi1−
∏⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦⋅αi()ki
Γki()⋅Γrki+()
sTs()βi∑Nr−() Tr()βi⋅+αi+⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦rki+⋅
114
ipiβi()r⋅
sTs()βi1−
∏⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦⋅αi()ki
Γki()⋅Γrki+()
sTs()βi∑Nr−() Tr()βi⋅+αi+⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦rki+⋅ ∑
=:=c. valoarea maxima: max_MELO βmax MELO β ():= ==> max_MELO β1.150618=
d. amplitudinea: A_MELOβmax_MELO βmin_MELO β − := ==> A_MELOβ0.192477=
e. dispersia: d_MELOβvar MELO β ():= ==> d_MELOβ6.520184 104−× =
f. abaterea medie patratica: amp_MELO βstdev MELO β ():= ==> amp_MELO β0.025535=
– cazul parametrului de scala:
a. valoarea medie: med_MELO ηmean MELO η ():= ==> med_MELO η1.144114=
b. valoarea minima: min_MELO ηmin MELO η ():= ==> min_MELO η0.842308=
F.2 -5
Anexa F.2
0 4.05 8.11 12.16 16.21 20.2600.260.520.791.05pp_esi
pp_esi
pi
pi
βiipp_esi∑1=
– cazul parametrului de scala:
a)Repartitia apriorica -h( λ)= GAM(λ;kpar;αpar)
ld 4:= par 2:= λ 0 0.01, ld.. := hλ()αpar()kparλkpar1−
⋅
Γkpar()expλ−αpar⋅()⋅ :=
01234012
Variabila aleatorieDensitatea de probabilitate, f(t)hλ()
λ
b)Repartitia a posteriori -hp( λ)= GAM(λ;kppar;αp_espar)
kpirki+:= αp_esiαi
sTs()βi∑Nr−() Tr()βi⋅+⎡⎢
⎢⎣⎤⎥
⎥⎦+:= hpλ()αp_espar()kpparλkppar1−
⋅
Γkppar()expλ−α p_espar⋅()⋅ :=
01234024
Variabila aleatorieDensitatea de probabilitate, f(t)4
0hpλ()
hλ()
ld 0 λ
F.2 -6
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: CATEDRA TEHNOLOGIA CONSTRUC ȚIILOR DE MA ȘINI [626077] (ID: 626077)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.