FLORENTINA BOBOC DANA PICIU EDITURA UNIVERSITARIA CRAIOVA 1999 2 Referen ți științifici : Prof. univ. dr. Alexandru Dinc ă – Universitatea din… [625918]

Licență

FLORENTINA BOBOC DANA PICIU EDITURA UNIVERSITARIA CRAIOVA 1999 2 Referen ți științifici : Prof. univ. dr. Alexandru Dinc ă – Universitatea din… [625918]

Byadmin ianuarie 1, 2024

1

DUMITRU BU ȘNEAG
( COORDONATOR )

FLORENTINA BOBOC DANA PICIU

EDITURA UNIVERSITARIA
CRAIOVA
1999

2 Referen ți științifici : Prof. univ. dr. Alexandru Dinc ă – Universitatea
din Craiova.
Prof. univ. dr. François Gramain – Université
Jean Monnnet, Saint -Étienne, France.

Dumitru Busneag, Florentina Boboc, Dana Piciu:
Arithmetic and number theory

All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a
retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic,
mechanical, photocopying, recording, or other wise, without the prior written
permission of the publisher.

Tehnoredactare computerizat ă: Florentina Boboc, Dana Piciu
Bun de tipar: 11.05.1999
Tipografia Universit ății din Craiova
Str. Al. I. Cuza
Craiova, România.

Published in Romania by Editura Universitaria Craiova

ISBN: 973 – 9271 – 73 – 1

3
CUVÂNT ÎNAINTE

Această lucrare este o edi ție revizuit ă și îmbun ătățită a lucr ării
Elemente de aritmetic ă și teoria numerelor , având aceia și autori, și care a fost
publicată în anul 1998, la editura Radical din Craiova (I.S.B.N. 973-9253-52-0).
Fa ță de vechea edi ție, pe lâng ă îndreptarea unor mici erori (atât de
redactare cât și de tehnoredactare ), am adus îmbun ătățiri paragrafelor 4 și 7 de la
Capitolul 7, ca și paragrafului 3 de la Capitolul 11.
În finalul Capitolului 12 am introdus un nou paragraf (paragraful 6) în
care se prezint ă rezolvarea în numere întregi a sistemelor de ecua ții liniare cu
coeficien ți întregi.
Pentru fiecare capitol s-au introdus exerci ții suplimentare cu solu ții
complete.
În finalul lucr ării s-au ata șat următoarele anexe:
Anexa 1: Tabelul cu numerele prime ( eviden țiind numerele prime
gemene) de la 1 la 10.000.
Anexa 2: Func ția ()xp
și estim ările sale.
Anexa 3: Numerele lui Fermat, numerele lui Mersenne și numere
perfecte.
Dacă lucrarea ini țială avea 254 pagini format A 5 , prezenta edi ție are
288 pagini (acela și format ).

Craiova, 20 aprilie 1999. Autorii.

4 L. Kronecker : Dumnezeu a creat numerele naturale – restul este
munca omului .

CAPITOLUL 1 :
MUL ȚIMEA NUMERELOR NATURALE ℕ.

§ 1 Triplete Peano

DEFINI ȚIA 1.1. Numim triplet Peano un triplet ( N, 0, s ) unde
N este o mul țime nevid ă, 0∈N iar s:N →N este o func ție astfel încât sunt
verificate axiomele :
P1 : 0∉s( N )
P2 : s este o func ție injectiv ă
P3 : dacă P⊆N este o submul țime astfel încât 0 ∈P și
(n∈P⇒s(n)∈P ), atunci P=N .

În cele ce urmeaz ă, accept ăm ca axiom ă existen ța unui triplet Peano
(cititorului dornic de aprofundarea acestei chestiuni îi recomand ăm lucrările [7]
și [19] ) .

LEMA 1.2. Dac ă ( N, 0, s ) este un triplet Peano, atunci
N={0}∪s(N).
Demonstra ție Dacă notăm P={0}∪s (N), atunci P⊆N și cum P verific ă
P3, deducem c ă P=N .∎

TEOREMA 1.3. Fie ( N, 0, s ) un triplet Peano iar ( N ʹ, 0ʹ, s ʹ ) un
alt triplet format dintr-o mul țime nevid ă Nʹ, un element 0 ʹ∈Nʹ și o func ție
sʹ:Nʹ → Nʹ. Atunci :
1 ) Exist ă o unic ă funcție f:N→Nʹ astfel încât f(0)= 0 ʹ, iar diagrama

N →f Nʹ
s sʹ
N →f Nʹ

5 este comutativ ă (adică f ∘ s = sʹ∘f ) .
2 ) Dac ă ( Nʹ, 0ʹ, sʹ) este un triplet Peano, atunci f este bijec ție.
Demonstra ție 1) Pentru a proba existen ța lui f, vom considera toate
relațiile R⊆N×Nʹ a.î. :
r1 : (0, 0ʹ) ∈ R
r 2 : Dacă (n, nʹ)∈R, atunci (s(n), s ʹ(nʹ))∈R iar prin R 0 vom nota
intersecția acestor rela ții .
Vom demonstra c ă R0 este o rela ție funcțională și astfel f va fi func ția ce
va avea drept grafic pe R 0 (astfel, din (0, 0 ʹ)∈R0 vom deduce c ă f (0)=0ʹ iar
dacă n∈N și f (n)=nʹ∈Nʹ, (n , nʹ)∈R0, deci (s(n), s ʹ(nʹ))∈R0, adică,
f(s(n))=sʹ(nʹ)=sʹ(f (n)).
Pentru a demonstra c ă R0 este o rela ție funcțională, vom demonstra c ă
pentru orice n∈N, există nʹ∈Nʹ a. î. (n, nʹ)∈R 0 iar dacă pentru n∈N și nʹ,
nʹʹ∈Nʹ avem (n, nʹ)∈R0 și (n, nʹʹ)∈R0 , atunci nʹ= nʹʹ .
Pentru prima parte, fie P={n ∈N : exist ă nʹ∈Nʹ a. î. (n, nʹ)∈R0 }⊆N.
Cum (0, 0ʹ)∈R0 deducem c ă 0∈P. Fie acum n∈P și nʹ∈Nʹ a.î. (n, nʹ)∈R0. Din
definiția lui R 0 deducem c ă (s(n), sʹ(nʹ))∈R0 ; obținem că s(n)∈P și cum (N, 0, s)
este triplet Peano, deducem c ă P=N.
Pentru a doua parte, fie
Q={n∈N : dacă nʹ, nʹʹ∈N ʹ și (n, nʹ), (n, nʹʹ)∈R0 ⇒ nʹ= nʹʹ}⊆N
și să demonstr ăm la început c ă 0∈Q.
În acest sens, vom demonstra c ă dacă (0, nʹ)∈R0 atunci nʹ=0ʹ. Dacă
prin absurd, nʹ≠0ʹ, atunci vom considera rela ția R 1=R 0 ∖{(0, nʹ)}⊆N×Nʹ. Din
nʹ≠0ʹ deducem c ă (0, 0ʹ)∈R1 iar dacă pentru m∈Nʹ avem (n, m)∈R1 , atunci
(n, m)∈R0 și (n , m) ≠ (0, nʹ). Astfel (s(n), sʹ(m))∈R0 și cum (s(n), sʹ(m))≠(0, nʹ)
(căci s(n) ≠ 0 conform cu P 1), deducem c ă (s(n), sʹ(m))∈R1 . Cum R 1 verifică r1
și r2 ar trebui ca R 0⊆R1 – absurd (c ăci R 1 este inclus ă strict în R 0 ).
Pentru a proba c ă 0∈Q, fie nʹ, nʹʹ∈Nʹ a. î. (0, nʹ), (0 , nʹʹ)∈R0. Atunci,
ținând cont de cele stabilite mai sus, deducem c ă nʹ=nʹʹ=0ʹ, deci 0∈Q.
Fie acum n∈Q și n ʹ∈N ʹ a. î. (n, nʹ)∈R0 ; vom demonstra c ă dacă
(s(n), nʹʹ)∈R0, atunci nʹʹ=sʹ(nʹ). Să presupunem prin absurd c ă nʹʹ≠ sʹ(nʹ) și să
consider ăm relația R 2 =R 0 ∖{(s (n), nʹʹ)} . Vom demonstra c ă R2 verifică r1 și r2 .

6 Într–adev ăr, (0, 0ʹ)∈R2 ( căci 0 ≠ s(n) ) iar dac ă (p, pʹ)∈R2 , atunci
(p, pʹ) ∈R0 și (p, pʹ)≠( s(n), nʹʹ) .
Deducem c ă (s(p), sʹ(pʹ))∈R0 și dacă presupunem (s(p), s ʹ(pʹ))=
=(s(n), nʹʹ), atunci s(p) =s(n), deci p=n. De asemenea, s ʹ(pʹ)=nʹʹ.
Atunci (n, nʹ)∈R0 și (n, pʹ)∈R0 iar cum n∈Q ⇒ nʹ=pʹ, deci nʹʹ=sʹ(pʹ)=sʹ(nʹ),
ceea ce contrazice faptul c ă nʹʹ≠s(nʹ). Prin urmare, (s(p), s ʹ(pʹ)) ≠ (s(n), nʹʹ),
ceea ce ne arat ă că (s(p), sʹ(pʹ))∈R2 , adică R2 satisface r 1 și r2 . Din nou ar trebui
ca R 0⊂R2 – absurd !.
Deci (s (n), nʹʹ)∈R0 ⇒ nʹʹ=sʹ(nʹ) astfel că dacă r, s ∈N ʹ și (s(n), r),
(s(n), s )∈R0 , atunci r = s = s ʹ(n), adică s(n)∈Q, deci Q=N.
Pentru a proba unicitatea lui f, s ă presupunem c ă mai exist ă fʹ:N→Nʹ
a.î. fʹ(0)=0ʹ și sʹ(fʹ(n))=fʹ(s(n)) pentru orice n ∈N.
Considerând P={n ∈N : f(n)=fʹ(n)}⊆N, atunci 0∈P iar dac ă n∈P
(adică f(n)=fʹ(n)), atunci sʹ(f(n))=sʹ(fʹ(n))⇒f(s(n))=fʹ(s(n))⇒s(n)∈P și atunci
P=N, adic ă f=fʹ.
2) Să arătăm la început c ă f este injectiv ă. Pentru aceasta vom considera
P={n∈N : dacă m∈N și f(m)=f(n)⇒m=n}⊆N și să demonstr ăm la început c ă
0∈P. Pentru aceasta fie m ∈N a. î. f(0)=f(m) și să demonstr ăm că m=0. Dac ă prin
absurd m ≠0, atunci m=s(n) cu n ∈N iar egalitatea f(m)=f(0) devine f(s(n))=f(0)=
=0ʹ, de unde sʹ(f(n))=0ʹ, ceea ce este absurd deoarece prin ipotez ă (Nʹ, 0ʹ, sʹ)
este un triplet Peano.
Fie acum n∈P; pentru a demonstra c ă s(n)∈P, fie m∈N a.î.
f(m)=f(s(n)).
Atunci m ≠0 (căci în caz contrar ar rezulta c ă 0ʹ=f(0)=f(s(n))=sʹ(f(n)),
absurd !), deci conform Lemei 1.2., m=s(p) cu p ∈N iar egalitatea f(m)=f(s(n))
devine f(s(p))=f(s(n)) ⇔sʹ(f(p))=sʹ(f(n)), adic ă f(p)=f(n) și cum n∈P, atunci n=p
și astfel m=s(p)=s(n).
Pentru a demonstra surjectivitatea lui f s ă consider ăm
Pʹ={nʹ∈Nʹ:există n∈N a. î. nʹ=f (n)}⊆Nʹ .
Cum f(0)=0 ʹ deducem c ă 0ʹ∈Pʹ. Fie acum nʹ∈Pʹ ; atunci exist ă n∈N
a.î. nʹ=f (n). Deoarece s ʹ(nʹ)=sʹ(f(n))=f(s(n)), deducem c ă sʹ(nʹ)∈Pʹ și cum

7 tripletul (Nʹ, 0ʹ, sʹ) este un triplet Peano, deducem c ă Pʹ=Nʹ, adică f este și
surjectiv ă, deci bijectiv ă . ∎

Observație Conform Teoremei 1.3. (cunoscut ă și sub numele de
teorema de recuren ță ) un triplet Peano este unic pân ă la o bijec ție.
În cele ce urmeaz ă vom alege un triplet Peano oarecare ( ℕ, 0, s) și pe
care îl vom fixa ; elementele lui ℕ le vom numi numere naturale .
Elementul 0 va purta numele de zero . Notăm ℕ* = ℕ \ {0}.
Vom nota 1=s(0), 2=s(1), 3=s(2), e.t.c., astfel c ă ℕ={0, 1, 2, …}.
Funcția s poart ă numele de funcția succesor . Axiomele P 1 – P 3 sunt cunoscute
sub numele de axiomele lui Peano .
Axioma P 3 poartă numele de axioma induc ției matematice .

§2 Adunarea numerelor naturale

TEOREMA 2.1. Există o unic ă opera ție algebric ă pe ℕ pe care o
vom nota prin „+” și o vom numi adunarea numerelor naturale astfel încât
pentru orice m, n ∈ℕ să avem :
A1 : 0+m=m
A 2 : s(n)+m=s(n+m) .
Demonstra ție Să probăm la început unicitatea și pentru aceasta s ă
presupunem c ă mai exist ă o opera ție algebric ă ⊕ pe ℕ a.î. sunt verificate A 1 și
A2.
Fie P={n∈ℕ | n+m=n⊕m, pentru orice m ∈ℕ}⊆ℕ.
Din A 1 deducem c ă 0∈P iar din A 2 deducem c ă dacă n∈P, atunci
s(n)+m=s(n)⊕m ⇔ s(n+m)=s(n⊕m), ceea ce este adev ărat deoarece s este
injectivă și am presupus c ă n∈P. Deci P=ℕ, adică cele dou ă operații coincid.
Consider ăm un element m ∈ℕ (pe care îl fix ăm) și tripletul (ℕ, m, s) ;
conform Teoremei 1.3. exist ă o unică funcție f m:ℕ→ℕ a. î. f m(0)=0 și s(f m(n))=
=fm(s(n)) pentru orice n ∈ℕ .
Pentru n∈ℕ definim n+m=f m (n). Atunci 0+m=f m(0)=m iar s(n)+m=
=fm (s(n))=s (f m (n))=s( n+m ). ∎
Observație Axiomele A 1–A 2 poartă numele de axiomele adun ării
numerelor naturale .

8 PROPOZI ȚIA 2.2. Pentru orice m, n ∈ℕ avem
0
1A: n+0=n
0
2A : n+s (m)= s(n+m) .
Demonstra ție Fie P={m∈ℕ: m+0=m }⊆ℕ. Dacă în A 1 facem pe
m=0, deducem c ă 0+0=0, adic ă 0∈P. Dacă m∈P, (adic ă m+0=m), atunci
s(m)+0=s(m+0)=s(m), adic ă s(m)∈P, deci P=ℕ. Analog se probeaz ă și a doua
relație.∎

PROPOZI ȚIA 2.3. Dubletul (ℕ, +) este monoid comutativ cu
proprietatea de simplificare.
Demonstra ție Din cele stabilite anterior, deducem c ă 0 este element
neutru pentru adunarea numerelor naturale.
Pentru a proba comutativitatea adun ării să consider ăm
P={n∈ℕ : n+m=m+n pentru orice m ∈ℕ} ⊆ℕ .
Evident 0∈P. Dacă n∈P, adică n+m=m+n pentru orice m ∈ℕ, atunci
s(n)+m=m+s(n) ⇔ s(n+m)=s(m+n) ⇔ n+m=m+n, ceea ce este adev ărat.
Deducem c ă P=ℕ, adică adunarea numerelor naturale este comutativ ă .
Pentru a demonstra asociativitatea adun ării numerelor naturale, s ă
consider ăm
P ={p∈ℕ: (m+n)+p=m+(n+p) pentru orice m, n ∈ℕ}⊆ℕ.
Evident 0∈P. Fie acum n ∈P. Atunci (s(n)+m)+p=s(n+m)+p=
=s(n+(m+p)) iar s(n)+(m+p)=s(n+(m+p)) și cum (n+m)+p=n+(m+p) deducem
că s(n)∈P, adică P=ℕ.
Pentru partea final ă fie
P={p∈ℕ : dacă m+p=n+p ⇒ m=n}⊆ℕ.
Evident 0∈P și să presupunem c ă p∈P. Atunci m+s(p)=n+s(p)
⇔s(m+p)=s(n+p) ⇔ m+p=n+p ⇔ m=n (c ăci p∈P), adică s(p)∈P și astfel din
nou P=ℕ. ∎
Observație Dacă n∈ℕ, atunci s(n)=s(n+0)=n+s(0)=n+1.

PROPOZI ȚIA 2.4. Dacă m, n∈ℕ și m+n=0, atunci m=n=0.

9 Demonstra ție Dacă m ≠ 0 sau n ≠ 0, atunci exist ă p, q∈ℕ a. î. m = s(p)
sau n = s(q). În primul caz, ob ținem că m+n = s(p)+n = s(p+n) ≠ 0 – absurd ! și
analog în al doilea caz. Deci m = n = 0 . ∎

§3 Înmul țirea numerelor naturale

PROPOZI ȚIA 3.1. Exist ă o unic ă opera ție algebric ă pe ℕ notat ă
„·” și numit ă înmul țirea numerelor naturale a.î. pentru orice m, n ∈ℕ să
avem :
I1 : m·0=0
I 2 : m·s(n)=mn+m.
Demonstra ție Fie m∈ℕ fixat ; considerând tripletul ( ℕ, 0, f m ), unde
fm:ℕ→ℕ este definit ă prin f m(n)=n+m pentru orice n ∈ℕ, atunci conform
Teoremei 1.3. exist ă o unică funcție g m :ℕ→ℕ a.î. g m (0)=0 și fm∘gm = gm ∘s.
Definim m·n = g m(n) și astfel m·0=g m(0)=0 iar m·s(n)=g m(s(n)=
=fm(gm(n))=f m(m·n)=m·n+m . Unicitatea opera ției de înmul țire cu propriet ățile I 1
și I2 se probeaz ă ca în cazul adun ării. ∎
Observație I1 și I2 poartă numele de axiomele înmul țirii numerelor
naturale .

În cele ce urmeaz ă, dacă nu este pericol de confuzie, vom scrie m·n=
=mn pentru m, n ∈ℕ.
Analog ca în cazul adun ării numerelor naturale, se demonstreaz ă că
pentru oricare numere naturale m, n avem :
0
1I : 0·m=0
0
2I : s(n)·m=nm+m.

LEMA 3.2. Înmul țirea numerelor naturale este distributiv ă la
stânga față de adunarea numerelor naturale.
Demonstra ție Fie P={p∈ℕ : m(n+p)=mn+mp pentru oricare m,
n∈ℕ}⊆ℕ.
Ținând cont de I 1 deducem c ă 0∈P.
Să presupunem acum c ă p∈P și fie m, n∈ℕ.
Avem m(n+s(p))=m(s(n+p))=m(n+p)+m=mn+mp+m=mn+ms(p), adic ă
s(p)∈P și astfel P=ℕ . ∎

10
PROPOZI ȚIA 3. 3. Dubletul (ℕ, ·) este monoid comutativ.
Demonstra ție Pentru a proba asociativitatea înmul țirii fie
P={p∈ℕ : (mn)p=m(np) pentru oricare m, n ∈ℕ}⊆ℕ. În mod evident, 0 ∈P. Să
presupunem acum c ă p∈P și să demonstr ăm că s(p)∈P. Avem (mn)s(p)=
=(mn)p+mn iar m(ns(p))=m(np+n)=m(np)+mn (conform Lemei 3.2.), de unde
egalitatea (mn)s(p)=m(ns(p)), adic ă s(p)∈P, deci P=ℕ.
Deoarece pentru orice n ∈ℕ avem n·1=n·s(0)=n·0+n=n iar 1·n=s(0)·n=
=0·n+n=n deducem c ă 1 este elementul neutru al înmul țirii numerelor naturale.
Pentru a proba comutativitatea înmul țirii numerelor naturale fie
P={n∈ℕ : nm=mn pentru orice m∈ℕ}⊆ℕ.
În mod evident 0 ∈P și să presupunem c ă n∈ℕ. Atunci pentru orice
m∈ℕ, s(n)·m=n·m+m iar m·s(n)=mn+m, de unde s(n)·m=m·s(n), adic ă s(n)∈P,
deci P=ℕ . ∎

§4 Rela ția natural ă de ordine de pe ℕ .

DEFINI ȚIA 4.1. Pentru m, n∈ℕ vom scrie m ≤n (și vom spune c ă
m este mai mic sau egal decât n sau c ă n este mai mare sau egal decât m)
dacă există p∈ℕ a.î. m+p=n ; convenim în acest caz s ă notăm p=n-m.
Dacă p∈ℕ*, atunci m ≤n și m≠n ; în acest caz vom scrie m <n și vom
spune c ă m este strict mai mic decât n.

LEMA 4.2. Dacă m, n∈ℕ și m<n, atunci s(m) ≤n.
Demonstra ție Deoarece m <n, există p∈ℕ* a.î. m+p=n. Cum p ∈ℕ*,
există k∈ℕ a. î. p=s(k) (conform Lemei 1.2.). Atunci din m+p=n deducem c ă
m+s(k)=n ⇒ s(m+k)=n ⇒ s(m)+k=n ⇒s(m)≤ n . ∎

COROLAR 4.3. Pentru orice n ∈ℕ, n<s(n).

PROPOZI ȚIA 4.4. Dubletul (ℕ, ≤) este o mul țime total ordonat ă.
Demonstra ție Deoarece pentru orice n ∈ℕ, n+0=n deducem c ă n≤n,
adică relația ≤ este reflexiv ă. Fie acum m, n ∈ℕ a. î. m≤n și n≤m. Atunci exist ă
p, q∈ℕ a.î. m+p=n și n+q=m. Deducem c ă n+(p+q)=n, de unde p+q=0 (conform

11Propoziției 2.3. ), iar de aici p=q=0 (conform Propozi ției 2.4.), adic ă m=n, deci
relația ≤ este antisimetric ă .
Fie acum m, n, p ∈ℕ a. î. m≤n și n≤p. Atunci exist ă r, s∈ℕ a. î. m+r=n
și n+s=p. Deducem imediat c ă m+(r+s)=p, adic ă m≤p, deci rela ția ≤ este și
tranzitiv ă, adică ≤ este o rela ție de ordine pe ℕ.
Pentru a proba c ă ordinea ≤ de pe ℕ este total ă, fie m∈ℕ fixat iar
Pm ={n∈ℕ: n≤m sau m ≤n}⊆ℕ.
În mod evident 0 ∈Pm și fie n∈Pm. Dacă n=m, atunci cum n <s(n) avem
m<s(n), adic ă s(n)∈Pm . Dacă n<m, atunci conform Lemei 4.2. avem s(n) ≤m și
din nou s(n)∈Pm . Dacă m<n, cum n <s(n) avem c ă m<s(n) și din nou s(n)∈Pm.
Rezultă că Pm=ℕ și cum m este oarecare deducem c ă ordinea ≤ de pe ℕ este
totală. ∎
Observație Relația de ordine ≤ definită anterior pe ℕ poartă numele
de ordinea naturală de pe ℕ.

TEOREMA 4.5. Dubletul (ℕ, ≤) este o mul țime bine ordonat ă .
Demonstra ție Trebuie s ă demonstr ăm că orice submul țime nevid ă
A⊆ℕ are un cel mai mic element. Pentru aceasta fie:
P={n∈ℕ: n≤x pentru orice x ∈A}⊆ℕ.
Evident 0∈P. Dacă pentru orice n ∈P ar rezulta s(n) ∈P, atunci am deduce c ă
P=ℕ. Astfel c ă alegând un x 0∈A atunci x 0∈P, deci s(x 0)∈P. În particular ar
rezulta c ă s(x 0 )≤x0 – absurd !.
Deducem c ă P≠ℕ, adică există a∈P a.î. s(a)∉P.
Vom demonstra c ă a∈A și că a este cel mai mic element al lui A.
Dacă a∉A, atunci pentru orice x ∈A avem a <x, de unde s(a) ≤x
(conform Lemei 4.2.), adic ă s(a)∈P – absurd !, deci a∈A și cum a ∈P deducem
că a ≤x pentru orice x ∈A, adică a este cel mai mic element al lui A . ∎

COROLAR 4.6. Orice șir descresc ător de numere naturale este
staționar .
Demonstra ție Fie (a n)n ∈ℕ un șir descresc ător de numere naturale iar

12A={a n : n∈ℕ}⊆ℕ. Conform Teoremei 4.5 mul țimea A are un cel mai mic
element a k ; atunci pentru orice m ≥k avem a m ≥ a k și cum a k ≤ am deducem c ă
am = a k , adică șirul (a n ) n ∈ℕ este staționar . ∎

COROLAR 4.7. În ℕ nu putem g ăsi un șir strict descresc ător și
infinit de numere naturale .

COROLAR 4.8. Fie P⊆ℕ a.î. pentru orice n ∈ℕ (x<n ⇒ x∈P) ⇒
n∈P. Atunci P=ℕ.
Demonstra ție Fie A=ℕ\P⊆ℕ și să presupunem prin absurd c ă A≠∅.
Conform Teoremei 4.5. mul țimea A va avea un cel mai mic element
a∈A. Cum pentru x ∈ℕ, x<a ⇒ x∉A ⇒ x∈P, conform ipotezei P= ℕ, adică
a∈P și astfel a∉A – absurd !. Deci A=∅, de unde P=ℕ . ∎

COROLAR 4. 9. ( Teorema împ ărțirii cu rest în ℕ). Pentru oricare
două numere naturale m, n cu n ≠0, exist ă și sunt unice dou ă numere
naturale c și r a.î. m=n·c+r și r<n .
Demonstra ție Fie A={s∈ℕ: există p∈ℕ a.î. m=np+s}⊆ℕ.
Deoarece m=0·m+m deducem c ă m∈A, adic ă A≠∅. Conform
Teoremei 4.5. mul țimea A posed ă un element minimal r ∈A. Atunci exist ă c∈ℕ
a.î. m=c·n+r și să demonstr ăm că r<n .
Dac ă prin absurd r≮n, atunci conform Propozi ției 4.4., r≥n, adică există
u∈ℕ a.î. r=n+u. Deducem c ă m=nc+r=nc+n+u=n(c+1)+u, adic ă u∈A, deci r ≤u
și cum u≤r deducem c ă u=r, adic ă n=0 – absurd !.
Pentru a demonstra unicitatea lui c și r să presupunem c ă m=cn+r=
=cʹn+rʹ, cu r, rʹ<n și să arătăm că c=cʹ și r=rʹ.
Să presupunem de exemplu c ă c<cʹ, adică c+u=cʹ cu u∈ℕ*.
Atunci m=ncʹ+rʹ=n(c+u)+rʹ=nc+nu+rʹ, deci r=nu+rʹ >n – absurd !.
Deci c=cʹ și deducem imediat c ă și r=rʹ. ∎
Observație Numărul c poart ă numele de câtul împ ărțirii lui m la n iar r
se zice restul acestei împ ărțiri .

TEOREMA 4.10. Fie m, n, m′, n′, pÎℕ a.î. m £n și m′£n′. Atunci:

13i) m+m′£ n+n′ și mm′£ nn′
ii) mp£ np și mp £ np.
Demonstra ție i) Putem scrie m+r=n și m′+r′=n′, cu r, r′∈ℕ. Din
(m+m′)+(r+r′)=n+n′ deducem c ă m+m′≤n+n′. De asemenea
nn′=(m+r)(m′+r′)=mm′+mr′+r·m′+r·r′ și cum m·r′+r·m′+r·r′∈ℕ deducem c ă
mm′≤nn′.
ii) Se deduce ca și i) ținând cont de i) precum și de regulile de calcul din
ℕ stabilite mai înainte. ∎

§5. Reprezentarea numerelor naturale într-o baz ă dată

Din cele mai vechi timpuri s-a impus g ăsirea unor procedee de scriere a
numerelor naturale care s ă permită o rapidă estimare a ordinului lor de m ărime,
precum și elaborarea unor reguli simple de a efectua principalele opera ții cu
acestea (adunarea, înmul țirea). Acestei probleme i s-au dat rezolv ări specifice
diferitelor etape de dezvoltare a matematicilor (adaptarea sistemului de
numerație zecimal cu care suntem obi șnuiți azi s-a încheiat abia în secolele XVI-
XVII când acesta a cunoscut o larg ă răspândire în Europa).
În cele ce urmeaz ă vom fundamenta ceea ce înseamn ă scrierea
numerelor naturale în baza u , unde u ∈ℕ, u≥2.

LEMA 5.1. Fie u un num ăr natural >1. Oricare ar fi num ărul
natural a>0, exist ă numerele naturale n, q 0, q1,…, q n-1, a0, a1,…, a n a. î.:
a=uq 0+a0, 0£a0<u
q 0=uq 1+a1, 0£a10. Exist ă q1, a1∈ℕ astfel încât q 0=uq 1+a1, 0≤a1q 0>q1>…>q i-1>qi>…≥0.
Este clar c ă există n astfel încât q n-1≠0 și qn=0. Rezult ă că 0<q n-1=an<u și
lema este demonstrat ă. ∎

14 LEMA 5.2. Fie u, a 0, a1,…,a nÎℕ astfel încât u>1, 0 £ai<u pentru
0≤i<n și 0<a n<u. Atunci:
∑
=+<n
in i
i u ua
01.
Demonstra ție Cum a i≤u-1 pentru i=0, 1,…, n, atunci:
∑∑
==+ +<−=− ≤n
in
in n i i
i u u u u ua
001 11 )1( , de unde rezult ă lema. ∎

TEOREMA 5.3. Fie u un num ăr natural >1. Oricare ar fi num ărul
a>0, exist ă numerele naturale n, a n,an-1,…,a 0 unic determinate astfel încât:
a=a nun + a n-1un-1 + …+ a 1u + a 0, unde 0<a 0<u și 0£ai<u pentru orice 0 £i£n-1.
Demonstra ție Conform Lemei 5.1., exist ă n, q 0,…, q n-1 și a0,a1,…,a n a.î.:
a=uq 0+a0, 0≤a0<u
q 0=uq 1+a1, 0≤a1<u
…………………
q n-2=uq n-1+an-1, 0≤an-1<u
q n-1=an, 0≤an<u.
Înmul țim aceste egalit ăți respectiv cu 1, u, u2,…,un. Adunând apoi
termen cu termen egalit ățile ce se ob țin, rezult ă:
a=a nun + a n-1un-1 + …+ a 1u + a 0.
R ămâne să dovedim unicitatea numerelor n, a n,…,a 1, a 0. Fie de
asemenea numerele naturale 0 1 1 , ,…, ,, aa aann n′′ ′′′−′′ a.î.
0 11
1 … aua ua uaan
nn
n′+′++ ′+′=−′
−′′
′ cu u an<′<′ 0 și u ai<′≤0 pentru
ni′<≤0 .
Dac ă nn′<, atunci n n ′≤+1și din Lema 5.2. rezult ă:
∑∑
=′
=′ +=′≤≤< =n
in
ii
in n i
i a ua u u ua a
001, deci a<a (contradic ție).
Analog se arat ă că nu este posibil ca nn<′ , de unde nn′=.
Să demonstr ăm acum c ă i ia a′=, 0≤i≤n. Dacă n=0, atunci 0 0 aa a ′== .
Presupunem c ă n>0 și că afirmația este adev ărată pentru n-1. Din egalit ățile:
) … ( ) … (11
0 11
0 a uau a a uau aan
nn
n′++′+′=++ +=−′
′−, unde u a<≤0 0 și
u a<′≤0 0 rezultă, folosind unicitatea câtului împ ărțirii lui a prin u c ă 0 0a a′=
și 1 21
1 21… … aua ua aua uan
nn
n′+′++′=+++−′
′−.
Folosind ipoteza de induc ție, din ultima egalitate deducem c ă i ia a′=,
i=1,2,…,n.

15Teorema este astfel complet demonstrat ă. ∎
Suntem acum în m ăsură să definim ceea ce este cunoscut sub numele de
sistem de numera ție în baza u , unde u este un num ăr natural >1.
La fiecare num ăr natural a>0 facem s ă corespund ă secvența finită de
numere naturale a nan-1…a 1a0, unde a i<u, 0≤i≤n, a n≠0 și ∑
==n
ii
iua a
0.
Așadar, a nan-1…a 1a0def
=anun +a n-1un-1 +…+ a 1u +a 0.
Din Teorema 5.3. rezult ă că se stabile ște astfel o coresponden ță
biunivoc ă între numerele naturale >0 și secven țele finite a nan-1…a 1a0 de numere
naturale a i<u, cu a n≠0. Când se impune s ă atragem aten ția asupra bazei
sistemului de numera ție, se obi șnuiește să se scrie a nan-1…a 1ao(u) sau
anan-1…a 1ao(u).
Dac ă baza sistemului de numera ție este zece (notat ă 10) el este numit
sistemul zecimal . Cifrele sistemului de numera ție se numesc cifre zecimale . Ele
sunt numerele mai mici ca zece și se noteaz ă în ordine cu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9.
Secven ța de cifre zecimale 75038 sau mai precis 75038 (10) reprezint ă,
așadar, num ărul natural: 7 ×104 + 5×103 + 0×102 + 3×10 + 8.
Dac ă u=2, atunci avem sistemul de numera ție binar , cifrele binare fiind
0 și 1. Astfel: 11010 (2)=1×24 + 1×23 + 0×22 + 1×2 + 0 =26 (10).
Printre sistemele de numera ție mai des folosite se num ără și cel de baz ă
u=16 (10)=10000 (2) numit sistemul de numera ție hexazecimal , cifrele
hexazecimale fiind 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, F.
Astfel, avem 27 (10)=1A (16)=11011 (2).
Iat ă o listă de probleme care se pun în mod natural în leg ătură cu
reprezentarea numerelor într-o baz ă:
(I) Stabilirea raportului de m ărime între dou ă numere reprezentate
în aceeași bază.
(II) Stabilirea unor reguli (algoritmi) de efectuare a sumei,
produsului etc. a dou ă numere reprezentate în aceea și bază.
(III) Elaborarea unor algoritmi pentru reprezentarea unui num ăr
într-o baz ă dată.
În continuare se va ar ăta cum pot fi solu ționate aceste probleme pentru
numere naturale. S ă începem cu problema (I).
În teorema urm ătoare se d ă un criteriu foarte comod de a stabili raportul
de mărime între dou ă numere naturale reprezentate în aceea și bază.

TEOREMA 5.4. Fie a și b dou ă numere naturale, a=a mam-1…a 1a0(u)
și b=b nbn-1…b 1b0(u). Atunci a<b dac ă și numai dac ă m<n și ap<bp, unde p
este cel mai mare i astfel încât a i¹bi.

16 Demonstra ție Dacă m<n, din Lema 5.2. rezult ă a < um+n ≤ un ≤ b, deci
a<b. Dac ă m=n și ap<bp, unde p=max{i |ai≠bi}, atunci
b-a=(b p-ap)up + (b p-1up-1 +…+b 0) – (a p-1up-1 + …+ a 0) > (b p-ap)up + (b p-1up-1 +…+
+ b 0)- up≥ up + (b p-1up-1 +…+ b 0)- up≥ 0, de unde b-a>0, deci a<b.
Reciproc, presupunem c ă a<b. Atunci m ≤n, deoarece m>n implic ă b<a.
Dacă m<n, nu mai avem nimic de demonstrat. Dac ă m=n, fie p=max{i |ai≠bi}.
Avem a p<bp, întrucât a p>bp implică, conform primei p ărți a demonstra ției, b<a.
Teorema este demonstrat ă. ∎
Astfel pentru numerele 125302 și 95034 date în baza zece avem
125302>95034. La fel, pentru numerele 101101 și 100110 date în baza doi avem
101101>100110.
Referitor la problema (II) se va ar ăta cum se face adunarea și înmulțirea
numerelor naturale reprezentate într-o baz ă u. În particular, dac ă u=10, se
regăsesc cunoscutele procedee de adunare și înmultire a numerelor naturale.
Fie a și b două numere naturale, a=a mam-1…a 1a0(u) , b=b nbn-1…b 1b0(u).
Trebuie s ă găsim cifrele c 0, c1,… ale num ărului a+b în baza u. Putem scrie
a=a 0+a1u+a 2u2+… și b=b 0+b1u+b 2u2+…. Cum a 0<u și b 0<u, rezult ă că
a0+b0<2u, deci a 0+b0=uε1+c0, 0≤c0<u, ε1=0 sau ε1=1; mai precis, avem ε1=0 și
c0=a0+b0 dacă a0+b0<u iar ε1=1 și c 0=a0+b0-u dacă u≤a0+b0<2u. Rezult ă
a+b=c 0+(a 1+b1+ε1)u+(a 2+b2)u2+…. Evident, a 1+b1+ε1<2u, de unde
a1+b1+ε1=uε2+c1, 0≤c1<u, unde ε2=0 sau ε2=1. Avem a+b=c 0+c1u+
+( a 2+b2+ε2)u2+…, ș.a.m.d.
Se deduce c ă cifrele c 0, c1, c2,… ale sumei a+b sunt c i= (a i+bi+εi) mod u,
i=0, 1, 2, …, unde ε0=0, și pentru i>0:
εi=0 ⇔ ai-1+bi-1+εi-1<u și atunci c i-1= a i-1+bi-1+εi-1,
εi=1 ⇔ ai-1+bi-1+εi-1≥u și atunci c i-1= a i-1+bi-1+εi-1-u.
Când m=n, num ărul a+b are:
1) m cifre dac ă an+bn+εn<u,
2) m+1 cifre dac ă an+bn+εn≥u, cifra de rang m+1 fiind în acest caz c m+1=1.
Dacă m≠n, de exemplu m>n, atunci cele de mai sus r ămân adev ărate
luând b n+1=…=b m=0.
Se observ ă că pentru a efectua a+b în baza u mai trebuie s ă cunoaștem,
sau să avem posibilitatea s ă consultăm, tabla adun ării numerelor naturale <u. De
exemplu, dac ă u=5, tabla adun ării numerelor naturale <5, cu rezultatele
exprimate în baza 5, este cea din tabelul 1. În acest tabel la intersec ția liniei
numărului i cu coloana num ărului j este pus i+j reprezentat în baza 5.

17

+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 10
2 2 3 4 10 11
3 3 4 10 11 12
4 4 10 11 12 13

Tabelul 1. Tabla adun ării în baza 5

Cititorul poate singur acum s ă redacteze un algoritm al adun ării
numerelor naturale în baza u, luând ca motiva ție teoretic ă a acestuia
considera țiile de mai sus. Observ ăm că în acest algoritm apare variabila ε care
are valoarea ini țială ε0=0 iar valorile εi, i ≥ 1, sunt egale cu 1 când a i-1+ b i-1+ εi-1≥
≥ u, respectiv 0 când a i-1+bi-1+εi-1<u. Se spune c ă varibila ε realizeaz ă transportul
unității de la cifrele de rang i la cele de rang i+1, i=0, 1,….
În calculul cu “creionul și hârtia” al sumei a dou ă numere naturale,
operațiile din algoritmul adun ării în baza u se sistematizeaz ă astfel:
a mam-1 … a 1a0 +
b mbm-1 … b 1b0
c m+1cmcm-1…c 1c0
εm εm-1 … ε1ε0
ultima linie, care descrie transportul unit ății, de regul ă se omite.
Astfel, dac ă u=2, a=1011101 (2), b=101101 (2), atunci a+b se face dup ă
cum urmeaz ă:
1011101+
101101
10001010
1111101
deci a+b=10001010 (2). S-a folosit și tabla adun ării numerelor naturale <2, care
este:
+ 0 1
0 0 1
1 1 10

rezultatele fiind reprezentate în baza 2.
În continuare se va ar ăta că înmulțirea a dou ă numere naturale în baza u
se reduce la urm ătoarele tipuri de opera ții:
1) înmulțirea unui num ăr natural a cu o putere uj a bazei u;

182) înmul țirea unui num ăr natural a cu o cifr ă a sistemului de numera ție
(deci cu un num ăr natural j, 0 ≤j<u);
3) adunarea @n baza u.
Fie a=a mam-1…a 1a0(u) =a mum+am-1um-1+…+a 1u+a 0.
Atunci auj = a mum+j + a m-1um-1+j +…+ a 1u1+j + a 0uj = a mam-1…a 1a0321
j0…00 (u)
și acum este clar cum se face în baza u o înmul țire de tipul 1).

Dac ă i și j sunt dou ă numere naturale <u, atunci ij<u2, de unde, folosind
teorema împ ărțirii cu rest pentru numerele naturale, avem:
ij=uq(i, j)+r(i, j), 0 ≤r(i, j)<u, 0 ≤q(i, j)<u (*)
câtul q(i, j) și restul r(i, j) împ ărțirii numărului ij prin u depinzând de i și j.
Fie acum a un num ăr natural dat în baza u
∑
=− = =m
ii
i u mm ua aa aaa
0)(01 1…
și j o cifr ă a sistemului de numera ție de baz ă u, deci 0 ≤j<u. Avem:
∑∑ ∑ ∑
≥≥+
= =+ = + = =
001
0 0, ),( ),( )),(),((
iii
ii
im
ii
i im
ii
i ujaq ujar ujarjauq jua aj
deci efectuarea produsului aj în baza u revine la a face suma în baza u a
numerelor a′ și a′′ reprezentate în baza u:
a′= r(a 0, j) + r(a 1, j)u + r(a 2, j)u2+ …
și a′′=q(a 0, j) +q(a 1, j)u2+…
Așadar, s-a l ămurit cum se face în baza u și o înmul țire de tipul 2).
În sfâr șit, dacă ∑
=− = =n
jj
j u nn ub bb bbb
0)(01 1… , atunci ∑
==n
jj
juab ab
0,
deci produsul ab se poate efectua f ăcând suma în baza u a numerelor ab juj, j=0, 1,
2, …, n. Dar ab juj = (ab j)uj. Așadar ab j este o opera ție de tipul 2) și în sfârșit
(ab j)uj e o opera ție de tipul 1).
Cititorul se poate convinge u șor că regula de înmul țire a numerelor
naturale în baza zece se motiveaz ă din punct de vedere teoretic prin considera țiile
de mai sus, luând u=10. Un instrument important al înmul țirii numerelor în baza
zece este tabla înmul țirii numerelor <10. Pe de alt ă parte, se observ ă că în regula
de înmul țire a numerelor în baza u trebuie s ă cunoaștem numerele q(i, j) și r(i, j),
0≤i, j<u,din rela ția (*). Din rela ția (*) rezult ă că q(i, j) și r(i, j) sunt cifrele
numărului ij, 0 ≤i, j<u, reprezentat în baza u [dac ă ij<u, avem q(i, j)=0]. A șadar,
procedeul de înmul țire expus uzeaz ă de tabla înmul țirii numerelor naturale <u, cu
rezultatele reprezentate în baza u.

19 În tabelele 2 și 3 sunt date tablele înmul țirii în baza u=5, respectiv u=2.

× 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 11 13
3 0 3 11 14 22
4 0 4 13 22 31

Tabelul 2: Tabla înmul țirii în baza 5

× 0 0
0 0 0
1 0 11

Tabelul 3: Tabla înmul țirii în baza 2

Pentru calculul cu “creionul și hârtia” calculele pot fi sistematizate ca @n
figura urm ătoare:

a u
q 0 u

a 0 q 1 u

a 1 q 2
a 2

q n-2 u

q n-1 u
a n-1
0
a n

Să ne ocup ăm acum da problema (III).

20Trebuie observat c ă numărul natural a ce urmeaz ă să fie reprezentat
într-o baz ă u este dat, de regul ă, într-o baz ă v și de fapt se face trecerea lui a din
baza v în baza u. Se pot distinge 3 variante:
1) Trecerea lui a din baza v în baza u cu efectuarea calculelor în baza v;
2) Trecerea lui a din baza v în baza u cu efectuarea calculelor în baza u;
3)Trecerea lui a din baza v în baza u cu efectuarea calculelor într-o baz ă
intermediar ă w;
Pentru a trece pe a din baza v în baza u cu metoda 1) se reprezint ă mai
întâi u în baza v și apoi se aplic ă algoritmul sistemelor de numera ție pentru a și u
cu efectuarea calculelor în baza v. Cum în calculatoare numerele sunt, de regul ă,
reprezentate în baza v=2, metoda 1) se aplic ă atunci când se livreaz ă rezultatele
numerice (de regul ă în baza u=10), execu ția algoritmului sistemelor de numera ție
putând fi astfel încredin țată calculatorului (calculele se fac în baza v=2). Aceea și
metodă se aplic ă și când se trece cu “hârtia și creionul” un num ăr din baza v=10,
într-o alt ă bază u, preferându-se calculele în baza v=10 din motive lesne de
înțeles.
Pentru exemplificare, s ă trecem num ărul a=234 dat în baza v=10 în baza
u=7. Algoritmul sistemelor de numera ție este în acest caz:

234 7

3 33 7

5 4 7

4 0

de unde a=453 (7).
Pentru a trece pe a=a nan-1…a 1a0(v) din baza v în baza u cu metoda 2) se
reprezint ă mai întâi a 0, a1,…,a n și v în baza u cu ajutorul algoritmului sistemelor
de numera ție. Se introduce a 0, a1, …, a n și v astfel reprezenta ți în expresia
a nvn + a n-1vn-1 + …+ a 1v + a 0
și se face calculul acesteia folosind algoritmului adun ării și algoritmul înmul țirii
în baza u. Se ob ține, în final, reprezentarea lui a în calculator. Numerele date de

21regulă în baza u=2; efectuarea calculelor în baza u=2 poate fi încredin țată
calculatorului.
Metoda 3) este evident o combinatie a primelor dou ă. Astfel, dac ă
dorim să trecem un num ăr a dintr-o baz ă v≠2, într -o bază u≠2, folosind un
calculator care lucreaz ă cu numere reprezentate în baza 2, atunci trecem pe a în
baza 2 cu metoda 2) și apoi îl trecem în baza u cu metoda 1). Procedând astfel,
toate calculele pot fi încredin țate calculatorului. Când v ≠10 și u≠10, iar trecerea
de la baza b la baza u vrem s ă o facem cu “creionul și hârtia”, prefer ăm baza
intermediar ă w=10 pentru a putea executa toate calculele în baza 10, cu care
suntem obi șnuiți.
Observații 1. Trecerea unui num ăr natural a din baza v în baza u se
simplific ă considerabil c `nd v=ur, r număr natural >1. Metoda se justific ă prin
faptul că un număr natural b<ur poate fi scris în mod unic sub forma
b=c r-1ur-1 +…+c 1u+c 0, 0≤ci<u, 0≤i<r. (**)
De aici, rezult ă că pentru a reprezenta num ărul a=a nan-1…a 1a0(v)=
= a nvn + a n-1vn-1 + …+ a 1v + a 0 în baza u, unde v=ur cu r >1, fiecare cifr ă ai se
scrie ca în (**), anume a i=cir-1ur-1+…+c i1u+c i0 și se înlocuie ște fiecare a i cu
secvența, c ir-1…c i1ci0, deci obținem secven ța
c nr-1…c n1cn0cn-1,r-1…c n-1,1cn-1,0…c 01c00.
Înlăturând cifrele egale cu 0 de la începutul secven ței de mai sus se
obține repreprezentarea lui a în baza u.
Astfel, pentru a reprenta num ărul a=375 (8) în baza u=2 (deci v=u3),
scriem mai întâi:
a 0=5=1×22+0×2+1×1=c 02⋅22+c01⋅2+c 00
a 1=7=1×22+1×2+1×1= c 12⋅22+c11⋅2+c 10,
a 3=3=0×22+1×2+1×1= c 22⋅22+c21⋅2+c 20,
așadar secven ța de mai sus este în acest caz:
011 111 101.
2. Când vr = u, r>1, trecerea unui num ăr din baza v în baza u se face
printr-o metod ă care urmeaz ă calea invers ă a metodei de la observa ția 1. În acest
caz, pentru a trece în baza u num ărul a=a nan-1…a 1a0(v) se separ ă de la dreapta la
stânga grupe de câte r cifre (ultima grup ă având cel mult r cifre) și fiecare grup ă
va reprezenta o cifr ă în baza u, cu care vom înlocui grupa respectiv ă. Se obține
astfel reprezentarea lui a în baza u.
Astfel, dac ă u=8 și v=2, deci v3=u, num ărul a=11 111 101 (2) are în baza
8 reprezentarea a=375 (8) pentru c ă cifrele lui a în baza 2 pot fi grupate astfel:
{{{
101 11111
și grupele ob ținute reprezint ă în baza 2 respectiv cifrele 3, 7 și 5 ale bazei 8.

223)Inconvenientul sistemului binar de numera ție const ă în faptul c ă
reprezentarea numerelor mari necesit ă secvențe de cifre binare exagerat de lungi.
Aceasta complic ă mult lectura numerelor precum și aprecierea ordinului lor de
mărime. O metod ă de a atenua aceste inconveniente este de a folosi sisteme de
numerație cu baze mixte. Un exemplu este sistemul de numera ție zecimal codat
în binar, rezervându-se câte patru pozi ții binare fiec ărei cifre zecimale. Astfel,
numărul a=793 (10) se reprezint ă în sistemul zecimal codat în binar dup ă cum
urmează:
{{{
3 9 70011 1001 0111
În practic ă se folose ște curent sistemul de numera ție cu baz ă mixtă . Astfel
expresia: 8 ani, 3 luni, 2 s ăptămâni, 15 ore și 35 minute este un model de
reprezentare a timpului într-un sistem de numera ție cu șase baze.
Observație Acest paragraf a fost redactat în cea mai mare parte dup ă
lucrarea [14].

CAPITOLUL 2 :
INELUL NUMERELOR ÎNTREGI ℤ

§1 Construc ția lui ℤ
În vederea construirii mul țimii numerelor întregi ℤ, vom prezenta la
început Teorema lui Mal țev de scufundare a unui monoid comutativ cu
proprietatea de simplificare într-un grup comutativ urmând ca prin
particularizarea la cazul monoidului ( ℕ, +) să obținem grupul aditiv ( ℤ, +).

TEOREMA 1.1. ( Mal țev ) Fie (M, ·) un monoid comutativ cu
proprietatea de simplificare. Atunci exist ă un grup comutativ G(M) și un
morfism injectiv de monoizi i M:M→G(M) ce verific ă urm ătoarea
proprietate de universalitate :
Pentru orice grup comutativ G și orice morfism de monoizi f:M →G
există un unic morfism de grupuri f ʹ:G(M)→G a.î. diagrama

i M
M G(M)
f f ʹ

G

23este comutativ ă (adică fʹ∘iM =f ).
Demonstra ție Pe mulțimea Mʹ=M×M definim rela ția (x, y)∼(xʹ, yʹ)
〉=〈def
xyʹ=yxʹ și să probăm că ∼ este o echivalen ță pe Mʹ compatibil ă cu
structura de monoid a lui M ʹ (adică ∼ este o congruen ță pe monoidul produs
Mʹ=M×M ). În mod evident, rela ția ∼ este reflexiv ă și simetric ă. Dacă
(x, y)∼(xʹ, yʹ) și (xʹ, yʹ)∼(xʹʹ, yʹʹ) atunci xyʹ=yxʹ și xʹyʹʹ=xʹʹyʹ, de unde
xxʹyʹyʹʹ=xʹxʹʹyyʹ, deci xyʹʹ= yxʹʹ (am simplificat prin x ʹyʹ), adică
(x, y)∼(xʹʹ, yʹʹ), deci rela ția ∼ este și tranzitiv ă, de unde concluzia c ă ∼ este o
echivalen ță pe Mʹ .
Fie acum (x, y), (x ʹ, yʹ), (a, b), (aʹ, bʹ)∈Mʹ a.î. (x, y)∼(a, b) și
(xʹ, yʹ)∼(aʹ, bʹ) și să probăm că și (xxʹ, yyʹ)∼(aaʹ, bbʹ ).
Avem deci xb=ya și xʹbʹ=yʹaʹ, de unde xx ʹbbʹ=yyʹaaʹ, adică
(xxʹ, yyʹ)∼(aaʹ, bbʹ), adică relația ∼ este o congruen ță pe monoidul produs M ʹ
în care reamintim c ă operația de compunere se define ște prin (x, y)·(x ʹ, yʹ)=
=(xxʹ,yyʹ). Vom considera monoidul cât G(M)=M ʹ/∼ iar pentru (x, y) ∈Mʹ vom
nota prin [x, y] clasa sa de echivalen ță în G(M).
Datorită faptului c ă relația ∼ este o congruen ță pe Mʹ deducem imediat
că G(M) devine în mod canonic monoid comutativ, definind pentru [x, y],
[xʹ, yʹ]∈G(M), [x, y]·[x ʹ, yʹ]=[xxʹ, yyʹ] (elementul neutru al lui G(M) va fi
[e, e], e fiind elementul neutru al lui M ). Deoarece pentru [x, y] ∈G(M), [x,
y]·[y, x]=[xy, xy]=[e, e] deducem c ă [y, x]=[x, y] – 1 , adică G(M) este grup
(comutativ).
Definim i M :M→G(M) prin i M (x)=[x, e] pentru orice x ∈M. Pentru x,
y∈M avem i M (x)·i M (y)=[x, e]·[y, e]=[xy, e]=i M (xy) adic ă i M este morfism de
monoizi. Dac ă iM (x)=i M (y), atunci [x, e]=[y, e] ⇔ xe=ye ⇔ x=y, adic ă iM este
chiar morfism injectiv de monoizi .
Să arătăm acum c ă dubletul (G(M), i M) verific ă proprietatea de
universalitate din enun ț. Pentru aceasta fie G un grup comutativ oarecare și
f: M→G un morfism de monoizi. Pentru [x, y] ∈G(M), definim f ʹ([x, y])=
=f(x)∘(f(y))–1. Observ ăm că dacă [x, y]=[xʹ, yʹ], atunci xyʹ=xʹy, deci
f(x)∘f(yʹ)=f(xʹ)∘f(y) ⇔ f(x)∘(f(y))–1=f(xʹ)∘(f(yʹ))-1, adică fʹ este corect
definită.

24Să probăm acum c ă fʹ este morfism de grupuri.
Avem fʹ([x, y]·[xʹ, yʹ])=fʹ([xxʹ, yyʹ])=f (xxʹ)[ f(yyʹ)]-1=
=f(x)f(xʹ)[f(y)·f(yʹ)]-1=(f(x)[f(y)]–1)( f(xʹ)[f(yʹ)]-1)=fʹ([x, y])fʹ([xʹ, yʹ]). Pentru
x∈M avem (fʹ∘iM)(x)=fʹ(iM (x))= fʹ([x, e])=f(x)[f(e)]-1=f(x), de unde concluzia
că fʹ∘iM=f .
Pentru a proba unicitatea lui f ʹ (cu proprietatea din enun ț) să
presupunem c ă mai exist ă un morfism de grupuri f ʹʹ:G(M)→G a.î. fʹʹ∘iM=f.
Atunci, pentru [x, y] ∈G(M) avem [x, y]=[x, e]·[e, y]=[x, e]·[y, e]-1, de
unde fʹʹ([x, y])=fʹʹ([x, e]·[y, e]–1)=fʹʹ(iM (x)∘(iM(y)-1))=fʹʹ(iM (x))∘(fʹʹ(iM (y)))-1=
=f(x)∘(f(y))–1=fʹ([x, y]), adic ă fʹʹ=fʹ. ∎
Observații
1. Dacă f este un morfism injectiv de grupuri , atunci și fʹ este morfism
injectiv de grupuri .
Într-adev ăr, dacă [x, y]∈G(M) și fʹ([x, y])=e, atunci f(x)(f(y))–1 =e, deci
f(x)=f(y), de unde x =y, adică [x, y] =[x, x]=e.
2. Dacă pe mul țimea dubletelor (G, f) cu G grup abelian și f:M→G
morfism injectiv de monoizi definim rela ția (G, f ) ≤(Gʹ, fʹ)⇔există h:G→Gʹ a.î.
h este morfism injectiv de grupuri și h∘f=fʹ, atunci se verific ă imediat c ă relația
de mai sus este o rela ție de ordine iar dubletul (G(M), i M ) din Teorema lui
Malțev este cel mai mic element fa ță de aceast ă relație de ordine.

DEFINI ȚIA 1.2. Consider ăm monoidul (ℕ, +) (ce are proprietatea
de simplificare conform Propozi ției 2.3. de la Capitolul 1) și urmând tehnica
dată de Teorema lui Mal țev, mul țimea subiacent ă grupului aditiv (G( ℕ), +)
se noteaz ă prin ℤ și poart ă numele de mul țimea numerelor întregi .
Ținând cont de faptul c ă iℕ:ℕ→ℤ , iℕ(n)=[n, 0] pentru orice n ∈ℕ este
morfism injectiv de monoizi, vom identifica fiecare num ăr natural n∈ℕ prin
elementul întreg [n, 0] astfel c ă ℕ va fi privit ă în continuare ca submul țime a lui
ℤ.
Fie acum z =[m, n]∈ℤ. Dacă m=n, atunci z =0. Dacă m<n, atunci
există p∈ℕ* a.î. m+p =n (în acest caz convenim s ă notăm p=n-m și astfel
m+(n-m) =n) iar z =[0, p]=-[p, 0] se identific ă cu num ărul întreg –p iar dac ă

25n<m, atunci exist ă q∈ℕ* a.î. n+q =m și astfel z =[q, 0] identificându-se cu
numărul natural q.
Ținând cont de acestea putem scrie pe ℤ sub forma ℤ=(-ℕ*)∪ℕ unde
-ℕ*={-n|n∈ℕ*} sau ℤ={0 , ±1 , ±2 , ….}. Vom nota ℤ* = ℤ \ {0}.

§2 Înmul țirea numerelor întregi

LEMA 2.1. Fie x, y, z, t, x ʹ, yʹ, zʹ, tʹ∈ℕ a.î. [x, y] =[xʹ, yʹ] și
[z, t]=[zʹ, tʹ]. Atunci [xz+yt, xt+yz] =[xʹzʹ+yʹtʹ, xʹtʹ+yʹzʹ] .
Demonstra ție Din ipotez ă avem x+yʹ=y+xʹ și z+tʹ=zʹ+t astfel c ă
[xz+yt, xt+yz]= [xʹzʹ+yʹtʹ, xʹtʹ+yʹzʹ]⇔
( xz+yt)+(xʹtʹ+yʹzʹ)=(xt+yz)+(xʹzʹ+yʹtʹ)⇔
x(z-t)+y(t-z) =xʹ(zʹ-tʹ)+yʹ(tʹ-zʹ)⇔(x-y)(z-t) =(xʹ-yʹ)(zʹ-tʹ) ceea ce este adev ărat
deoarece x-y =xʹ-yʹ și z-t=zʹ-tʹ. ∎
Fie acum α=[x, y] și β=[z, t] dou ă numere întregi.
Definind α·β=[xz+yt, xt+yz], conform Lemei 2.1. deducem c ă această
definiție este corect ă .

PROPOZI ȚIA 2.2. (ℤ, +, · ) este domeniu de integritate.
Demonstra ție Conform celor de mai înainte ( ℤ, +) este grup
comutativ. S ă demonstr ăm acum c ă (ℤ, ·) este monoid comutativ iar pentru
aceasta fie α=[x, y], αʹ=[xʹ, yʹ], αʹʹ=[xʹʹ, yʹʹ] trei elemente oarecare din ℤ.
Atunci :
α(αʹαʹʹ)=[x,y][xʹxʹʹ+yʹyʹʹ,xʹyʹʹ+yʹxʹʹ]
=[x(xʹxʹʹ+yʹyʹʹ)+y(xʹyʹʹ+yʹxʹʹ), x(xʹyʹʹ+yʹxʹʹ)+y(xʹxʹʹ+yʹyʹʹ)]
=[xxʹxʹʹ+xyʹyʹʹ+xʹyyʹʹ+xʹʹyyʹ, xxʹyʹʹ+xxʹʹyʹ+xʹxʹʹy+yyʹyʹʹ] iar
(ααʹ)αʹʹ=[xxʹ+yyʹ, xyʹ+xʹy][xʹʹ, yʹʹ]
=[(xxʹ+yyʹ)xʹʹ+(xyʹ+xʹy)yʹʹ, (xxʹ+yyʹ)yʹʹ+(xyʹ+xʹy)xʹʹ]
=[xxʹxʹʹ+xyʹyʹʹ+xʹyyʹʹ+xʹʹyyʹ, xxʹyʹʹ+xxʹʹyʹ+xʹxʹʹy+yyʹyʹʹ] ,
de unde deducem c ă α(αʹαʹʹ)=(ααʹ)αʹʹ adică înmulțirea numerelor întregi este
asociativ ă.
În mod evident, ααʹ=αʹα (deoarece înmul țirea numerelor naturale este
comutativ ă ), adică înmulțirea numerelor întregi este comutativ ă.

26Deoarece α[1, 0]=[x, y][1, 0] =[x, y]=α, deducem c ă elementul neutru
pentru înmul țirea numerelor întregi este [1, 0].
Să arătăm acum c ă înmulțirea numerelor întregi este distributiv ă față de
adunarea numerelor întregi .
Într – adev ăr,
α(αʹ+αʹʹ)=[x, y][xʹ+xʹʹ , yʹ+yʹʹ]
=[ x (xʹ+xʹʹ)+y(yʹ+yʹʹ), x(yʹ+yʹʹ)+y (xʹ+xʹʹ)]
=[ xxʹ+xxʹʹ+yyʹ+yyʹʹ, xyʹ+xyʹʹ+yxʹ+yxʹʹ]
iar
ααʹ+ααʹʹ=[x, y][xʹ,yʹ]+[x, y] [xʹʹ, yʹʹ]
=[ xxʹ+yyʹ, xyʹ+yxʹ]+[xxʹʹ+yyʹʹ, xyʹʹ+yxʹʹ]
=[ xxʹ+yyʹ+xxʹʹ+yyʹʹ, xyʹ+yxʹ+xyʹʹ+yxʹʹ] de unde se observ ă că
α(αʹ+αʹʹ)=ααʹ+ααʹʹ .
Am probat pân ă acum că (ℤ, +, · ) este un inel comutativ unitar. Pentru
a arăta că inelul ℤ nu are divizori ai lui zero, fie ααʹ=0=[0, 0] cu α≠0. Atunci
xxʹ+yyʹ=xyʹ+xʹy, de unde (x-y)(x ʹ-yʹ)=0. Cum α≠0 (adică x-y≠0) rezută că
(xʹ-yʹ)=0 ⇔xʹ=yʹ⇔ αʹ=0. ∎

§3 Rela ția de ordine natural ă de pe ℤ.

DEFINI ȚIA 3.1. Pentru x, y∈ℤ definim rela ția x≤y prin x ≤y ⇔
y-x∈ℕ.
TEOREMA 3.2. Dubletul (ℤ, ≤) este mul țime total ordonat ă.
Demonstra ție Fie x, y, z∈ℤ ; deoarece x-x =0∈ℕ deducem c ă x≤x.
Dacă x≤y și y≤x atunci exist ă m, n∈ℕ a.î. y-x =m și x-y=n, de unde
m+n=0 și deci m =n=0, adică x=y.
Dacă x≤y și y≤z, atunci exist ă m, n∈ℕ a.î. x+m =y și y+n=z. Cum
x+(m+n) =z deducem c ă x≤z, adică ( ℤ, ≤ ) este o mul țime ordonat ă. Faptul c ă
ordonarea de pe ℤ este total ă rezultă din aceea c ă ℤ=(-ℕ*)∪ℕ iar
(-ℕ*)∩ ℕ=∅. ∎
Observație Din felul în care am definit rela ția de ordine ≤ pe ℤ
deducem c ă ℕ={x∈ℤ : x≥0} iar -ℕ={x∈ℤ : x ≤0}.

PROPOZI ȚIA 3.3. Fie x, y, z∈ℤ a.î. x≤y .

27 Atunci i ) -y ≤-x
ii ) dac ă z≥0 atunci xz ≤yz
iii ) dac ă z≤0 atunci xz ≥yz .
Demonstra ție
i ) Din x ≤y deducem c ă y-x∈ℕ și cum (–x)–(-y) =y-x∈ℕ rezultă că
–y ≤- x.
ii ) Cum y-x∈ℕ și z∈ℕ avem (y-x)z∈ℕ adică yz-xz∈ℕ, deci xz ≤yz .
iii ) Cum –z∈ℕ și y-x∈ℕ deducem c ă și (y-x)(-z)∈ℕ iar cum
(y-x)(-z) =xz-yz∈ℕ rezultă că xz≥yz. ∎

CAPITOLUL 3:
CORPUL NUMERELOR RA ȚIONALE ℚ.

§1 Construc ția corpului ℚ al numerelor ra ționale
Și în cazul construc ției corpului ℚ al numerelor ra ționale vom adopta
tehnica folosit ă în cazul construc ției inelului ℤ al numerelor întregi. (în sensul c ă
vom prezenta chestiunea într-un context mai general, urmând ca printr-o
particularizare la cazul domeniului de integritate ( ℤ, +, ·) să obținem corpul ℚ).
Fie (A, +, ·) un domeniu de integritate (adic ă un inel unitar și comutativ
fără divizori ai lui zero) .

DEFINI ȚIA 1.1. Numim sistem multiplicativ în A, orice
submul țime S⊆A a.î. 0∉S, 1∈S, iar dac ă x, y∈S atunci și x·y∈S.
Exemple
1. S=A*=A\{0} este un sistem multiplicativ al lui A.
2. Dacă ℘⊂A este un ideal prim, atunci S ℘=A\℘ este de asemenea un
sistem multiplicativ al lui A.
3. Dacă a∈A, a≠0, 1, atunci S a={a k : k∈ℤ} este un sistem multiplicativ
al lui A.

Pentru un sistem multiplicativ S ⊆A să consider ăm mulțimea
A×S={(a, s)|a∈A, s∈S} iar pe aceasta rela ția binară definită prin (a,s)∼(aʹ,sʹ)
def
=asʹ=aʹs. Analog ca în cazul Teoremei lui Mal țev se demonstreaz ă facil că ∼
este o echivalen ță pe A×S.

28Să notăm A[S-1]=A×S/∼ iar pentru (a, s) ∈A×S vom nota prin sa clasa
sa de echivalen ță în A[S-1].

LEMA 1.2. Fie a, b, aʹ, bʹ∈A și s, t, sʹ, tʹ∈S a.î.
tb
sa= și tb
sa
′′=′′.
Atunci tttbtb
ssassa
′′+′=′′+′ și ttbb
ssaa
′′=′′.
Demonstra ție Avem c ă at=bs și aʹtʹ=bʹsʹ astfel c ă
tttbtb
ssassa
′′+′=′′+′⇔
(asʹ+saʹ)ttʹ=(btʹ+bʹt)ssʹ⇔asʹttʹ+saʹttʹ= btʹssʹ+bʹtssʹ⇔atsʹtʹ- bssʹtʹ=tsbʹsʹ-
-tsaʹtʹ⇔(at-bs)sʹtʹ=(bʹsʹ-aʹtʹ)ts, ceea ce este adev ărat (căci at-bs =bʹsʹ-aʹtʹ=0).
Înmul țind membru cu membru egalit ățile at=bs și aʹtʹ=bʹsʹ obținem că
ataʹtʹ=bsbʹsʹ ⇔ttbb
ssaa
′′=′′ . ∎
Ca un corolar al Lemei 1.2. de mai înainte deducem c ă dacă pentru
tb
sa,∈A[S-1] definim
stbsat
tb
sa +=+ și stab
tb
sa=⋅ , atunci cele dou ă operații
sunt corect definite .

PROPOZI ȚIA 1.3. ( A[S-1], +, · ) este inel comutativ unitar în care
{sa|a, s∈S}⊆U(A[S-1]) iar i S:A→A[S-1] , i S(a)=1a pentru orice a ∈A este un
morfism injectiv de inele ce verific ă urm ătoarea proprietate de
universalitate :
Pentru orice inel comutativ unitar B și orice morfism de inele
f:A→B a.î. f(S)⊆U(B), exist ă un unic morfism de inele f ʹ:A[S-1]→B a.î.
fʹ∘iS=f, (unde prin U(B) am notat mul țimea elementelor inversabile ale lui
B) .
Demonstra ție Deoarece sunt simple calcule într-un inel comutativ,
lăsăm pe seama cititorului verificarea faptului c ă (A[S-1], +, ·) este inel comutativ
unitar .

29 Dac ă s∈S, atunci elementul neutru al lui A[S-1] față de opera ția de
înmulțire este 1 =11=ss astfel c ă dacă a, s∈S, atunci sa∈U(A[S–1]) iar
as
sa=

−1
( deoarece 111===⋅asas
as
sa).
Fie acum B un inel comutativ unitar și f:A→B un morfism de inele
pentru care f(S) ⊆U(B).
Pentru sa∈A[S-1], cu a ∈A și s∈S, scriind
()()()
11
111
1−−
⋅ =

⋅=⋅= siaisa
sa
sa
S S , definind ()()()
1−=

′ sf afsaf o , se
verifică imediat c ă fʹ are propriet ățile din enun ț . ∎
Observație
Din Propozi ția 1.3. de mai înainte deducem c ă dacă A este un domeniu
de integritate și S=A*=A\{0}, atunci A[S-1] este un corp comutativ, numit
corpul total de frac ții al lui A .
DEFINI ȚIA 1.4. Corpul total de frac ții al inelului (ℤ, +, · ) se noteaz ă
prin ℚ și poartă numele de corpul numerelor ra ționale . Elementele lui ℚ se mai
numesc și fracții. Dacă x=qp∈ℚ atunci p se nume ște numărătorul fracției x iar
q numitorul său.
Deoarece i ℤ:ℤ→ℚ, iℤ(a)=1a, pentru orice a ∈ℤ este în particular
funcție injectiv ă, putem s ă îl privim pe ℤ ca o submul țime a lui ℚ, adică ℤ⊆ℚ .
Prin urmare, ℕ⊆ℤ⊆ℚ .

§2 Rela ția de ordine natural ă de pe ℚ
Fie x∈ℚ, adică x=qp cu p∈ℤ iar q∈ℤ*.
Dac ă q<0, atunci –q>0 și cum x =qp
qp
−−= putem presupune c ă orice
număr x∈ℚ se scrie sub forma x =qp, cu q>0 (adic ă q∈ℕ*).

30 DEFINI ȚIA 2.1. Fie x, y∈ℚ, x =qp, y =sr cu q, s∈ℕ*. Vom
defini pe ℚ relația ≤ prin x ≤y ⇔ps-qr ≤0.

PROPOZI ȚIA 2.2. (ℚ, ≤ ) este o mul țime total ordonat ă .
Demonstra ție Reflexivitatea este imediat ă. Pentru antisimetrie, s ă
presupunem c ă x≤y și y≤x. Atunci ps-qr ≤0 și qr-ps ≤0, de unde ps-qr =0, adică
ps=qr deci x =y.
Pentru tranzitivitate, s ă mai alegem z =utcu u∈ℕ* a.î. x≤y și y≤z,
adică ps-qr ≤0 și ur-st ≤0.
Cum q, s, u ∈ℕ* deducem c ă (ps-qr)u ≤0 și (ur-st)q ≤0, adică pus-qru ≤0
și qru-stq ≤0, de unde pus-stq ≤0⇔s(pu-tq ) ≤0, adică pu – tq ≤0, deci x ≤z . ∎
Faptul c ă ordinea ≤ de pe ℚ este total ă rezultă din aceea c ă ordinea
naturală ≤ de pe ℤ este total ă .
Observație Relația de ordine ≤ de pe ℚ definită mai înainte poart ă
numele de ordinea natural ă de pe ℚ
.
În continuare vom nota ℚ+ ={x∈ℚ | x≥0} iar prin ℚ+*={x∈ℚ | x>0}.

31

CAPITOLUL 4:
CORPUL NUMERELOR REALE ℝ

§1.Inele ordonate
Rela țiile de ordine de pe inelul ℤ și corpul ℚ se înscriu într-un context
mai general pe care îl vom prezenta în cele ce urmeaz ă și care ne va fi de folos și
pentru ordinea natural ă de pe mul țimea numerelor reale ℝ.

DEFINI ȚIA 1.1. Dac ă A este un domeniu de integritate (adic ă un
inel comutativ unitar f ără divizori ai lui zero), prin ordonare pe A în țelegem
o submul țime nevid ă P⊆A a.î. :
Ord 1 : Pentru orice x ∈A avem în mod exclusiv x ∈P sau x =0 sau
-x∈P.
Ord 2 : Dacă x, y∈P atunci x+y, xy ∈P.
În acest caz vom spune c ă inelul A este ordonat de P iar P este
mulțimea elementelor pozitive ale lui A.
S ă presupunem acum c ă A este ordonat de P. Cum 1 ≠0 și 1=12=(-1)2
deducem c ă 1∈P (adică 1 este pozitiv).
Ținând cont de Ord 2 deducem inductiv c ă pentru orice n ∈ℕ*,
43421
orinde1…11 +++ este pozitiv.
Un element x∈A, x≠0, x∉P (adică -x∈P) se zice negativ .
Dac ă x, y∈A sunt negative, atunci xy este pozitiv (c ăci –x, -y∈P iar
(–x)(-y) =xy∈P).
Analog deducem c ă dacă x este negativ iar y este pozitiv, atunci xy este
negativ și că pentru orice x ≠0 din A, x2 este pozitiv.
Dac ă A este corp, cum pentru x ≠0 pozitiv avem xx-1=1 deducem c ă și
x-1 este pozitiv .
Fie acum A ʹ⊆A un subinel iar P ʹ=P∩Aʹ. Se verific ă imediat c ă Aʹ este
ordonat de Pʹ ( Pʹse va numi ordonarea indus ă de P pe Aʹ) .
Mai general, fie A ʹ, A două inele ordonate iar P ʹ, P respectiv mul țimile
elementelor pozitive din A ʹ și A .

32 Dac ă f:Aʹ→A este un morfism injectiv de inele, vom spune c ă f
păstrează ordinea dacă pentru orice x∈Pʹ deducem c ă f(x)∈P (echivalent cu a
zice că Pʹ⊆f -1(P)).
Fie acum x, y ∈A. Definim x <y (sau y >x ) prin y-x ∈P.
Astfel x >0 înseamn ă x∈P iar x <0 înseamn ă că –x∈P (spunem atunci
că x este negativ ).
Se verific ă imediat c ă dacă x, y, z∈A, atunci :
IN1: Dacă x<y și y<z, atunci x <z .
IN2: Dacă x<y și z >0, atunci xz <yz .
IN3: Dacă x<y atunci x+z <y+z .
IN4: Dacă A este corp, x >0, y >0 și x<y atunci y -1 < x –1.
Dacă x, y∈A definim x ≤y prin x <y sau x =y. Fie acum A un domeniu
de integritate ordonat de P iar K corpul s ău total de frac ții.
Dacă PK={ba∈K| a, b >0 }, atunci P K definește o ordonare pe K.
Într-adev ăr, dacă x∈K, x≠0, x=ba atunci putem presupune c ă b>0 (deoarece
x=ba
ba
−−= ). Dacă a>0, at unci x∈PK. Dacă –a>0 atunci -x =ba−∈PK .
Nu putem avea simultan x,-x ∈PK căci scriind x =ba și -x=dc, cu a, b,
c, d∈A și a, b, c, d >0, atunci dc
ba=− deci –(ad) =bc, absurd (c ăci bc∈P și
ad∈P). Deci P K satisface Ord 1.
Cum xy=bdac (iar ac, bd >0) și x+y =bcbc ad+ (iar ad+bc, bc>0)
deducem c ă PK satisface și Ord 2 .
Observație Aplicând cele de mai sus lui ℚ (care este corpul total de
fracții al domeniului de integritate ℤ) obținem de fapt ceea ce am stabilit în
legătură cu ordonarea natural ă de pe ℚ de la Capitolul 3 (evident ℕ* este o
ordonare pe ℤ).
Fie acum A un inel ordonat. Pentru x ∈A definim :

33

x, dac ă x ≥0
| x | =
-x, dac ă x <0
( |x| poartă numele de valoarea absolut ă sau modulul lui x ).

LEMA 1.2. Pentru orice x ∈A, | x | este unicul element z ∈A a.î.
z≥0 și z2=x2.
Demonstra ție Să observăm că | x | 2=x2 și | x | ≥0 pentru orice x ∈A.
Pe de alt ă parte, dac ă a∈A și a >0 atunci exist ă cel mult dou ă elemente z∈A a.î.
z2=a (căci polinomul t2–a∈A[X] are cel mult dou ă rădăcini). Dac ă w2=a, atunci
w≠0 și (–w)2=w2=a, deci exist ă cel mult un z∈A pozitiv a.î. z2=a și cu aceasta
lema este probat ă . ∎

DEFINI ȚIA 1.3. Pentru a ≥0, definim elementul a ca fiind acel
element z ≥0 a.î. z2=a (evident, dac ă un astfel de z exist ă !).
Se verific ă acum u șor că dacă pentru a, b ≥0, ba, există, atunci
ab există și ba ab ⋅= .
Evident, pentru orice x ∈A, | x | =2x.

LEMA 1.4. Dacă A este un inel ordonat, atunci
VA 1: Pentru orice x ∈A, | x |≥0, iar | x | >0 dacă x≠0
VA 2 : Pentru orice x, y ∈A, | xy |=| x |·| y |
VA 3 : Pentru orice x, y ∈A, | x+y |≤| x | +| y |.
Demonstra ție Cum VA 1 și VA 2 sunt imediate, s ă probăm pe VA 3 :
| x+y |2 =(x+y)2 =x2 +2xy+y2 ≤ | x |2 +2| xy | +| y |2=| x | 2 +2| x|·|y |+| y | 2=
=( |x |+| y | )2 , de unde | x + y | ≤ | x | + | y | . ∎

Fie acum K un corp comutativ ordonat pentru care exist ă un morfism
(injectiv) de corpuri f : ℚ→K (deci K va fi de caracteristic ă 0).
Se arată imediat c ă dacă x∈ℤ, atunci

34

43421
orixdeK K 1… 1 ++ , dacă x ≥0
f(x) = 0 , dac ă x=0
()()444344421
orix deK K
−−++− 1 … 1 , dacă x<0

Mai mult, dac ă x∈ℤ*, cum în ℚ avem 11=⋅xx deducem c ă
1K=() ()


⋅=

⋅=xfxfxxf f1 11 , de unde ()
1 1 −=

xfxf în K. Atunci dac ă
x=nm∈ℚ avem ()
=

⋅=

⋅=

=nfmnmfnmf xf1 1()11−⋅⋅Knm . Rezultă că
f este unic determinat ; vom identifica atunci pe ℚ cu un subcorp al lui K (f se va
numi scufundarea canonic ă a lui ℚ în K ).
Dacă x =nm, y =nm
′′∈ℚ (cu n, nʹ>0) și x≤y, atunci mnʹ-mʹn≤0, deci
mʹn-mnʹ≥0, iar f(x) =m(n1 K)-1, f(y) =mʹ(nʹ1K)-1. Din mʹn-mnʹ≥0 și 1 K≥0
deducem c ă (mʹn-mnʹ)1K ≥0 ⇔mʹ(n1K)-m(nʹ1K)≥0 ⇔mʹ(n1K)≥m(nʹ1K), de
unde mʹ(nʹ1K)-1≥m(n 1 K)-1⇔f(y) ≥f(x) .
Obținem astfel urm ătorul rezultat :

TEOREMA 1.5. Dac ă K este un corp ordonat de caracteristic ă 0,
atunci scufundarea canonic ă a lui ℚ în K, f :ℚ→K, ()
11−⋅⋅=


Knmnmf ,
(cu n>0 ) p ăstreaz ă ordinea .

În continuare prin K vom desemna un corp comutativ ordonat de
caracteristic ă 0 iar un element x ∈ℤ îl vom identifica cu f(x) =x·1 K .

35DEFINI ȚIA 1.6. Un șir de elemente (x n) n≥0 din K se zice șir
Cauchy dacă pentru orice ɛ∈K, ɛ>0, exist ă n ɛ∈ℕ a.î. pentru orice m, n ∈ℕ,
m, n≥n ɛ să avem | x n –x m |<ɛ .
Vom spune despre șirul (x n) n≥0 că este convergent la un element
x∈K, dac ă pentru orice ɛ∈K, ɛ>0, exist ă n ɛ∈ℕ a.î. pentru orice n ≥n ɛ să
avem | x n – x |<ɛ.
Observații
1.Să presupunem c ă șirul (x n)n≥0 este convergent la dou ă elemente
x,y∈K. Atunci pentru ɛ∈K, ɛ>0 și n∈ℕ* suficient de mare avem :
| x-y | ≤| x-x n +x n-y | ≤ | x-x n | +| x n –y | ≤ 2ɛ
iar cum ɛ este oarecare deducem c ă | x-y | =0 ( căci dacă | x-y |≠0, atunci
| x-y | >0 și am avea | x-y | < | x-y | , absurd !).
Dac ă (x n ) n≥0 este convergent la un element x ∈K, vom scrie
x =nnx
∞→lim .
2. Orice șir convergent este șir Cauchy.

DEFINI ȚIA 1.7. Corpul ordonat K în care orice șir Cauchy este
convergent se zice complet .

DEFINI ȚIA 1.8. Corpul ordonat K se nume ște arhimedean dacă
pentru orice x∈K, exist ă n∈ℕ a.î. x ≤ n·1 K .

TEOREMA 1.9. Corpul ℚ al numerelor ra ționale nu este complet .
Demonstra ție Într-adev ăr, să consider ăm șirul (x n)n≥0 de numere
raționale dat prin x 0=1 și
nn
nxxx2334
1++=+ pentru orice n ≥0. Prin induc ție
matematic ă relativă la n se probeaz ă că xn2<2, și că (x n) n≥0 este cresc ător
(căci ()
02322
23342
1 >+−
=−++=−+
nn
n
nn
n nxx
xxxx x ) iar de aici c ă el este șir Cauchy.
Dac ă acest șir ar avea limita l∈ℚ, atunci cu necesitate lll2334
++= , de
unde l2=2, absurd c ăci l∉ℚ. Deci (x n) n≥0 nu are limit ă în ℚ, adică corpul ℚ nu
este complet. ∎

36
Pentru K corp ordonat și S⊆K, prin majorant al lui S în K în țelegem un
element z∈K a.î. x≤z, pentru orice x ∈S.
Prin marginea superioar ă a lui S, notat ă prin sup(S) în țelegem cel mai
mic majorant al lui S din K (evident dac ă acesta exist ă ).

TEOREMA 1.10. Fie K un corp arhimedean complet. Atunci orice
submul țime nevid ă S a lui K ce admite un majorant are margine superioar ă.
Demonstra ție Pentru n∈ℕ, fie
Tn={y∈ℤ| nx ≤ y pentru orice x ∈S }.
Atunci T n este mărginită de orice element de forma nx cu x ∈S și este
nevidă deoarece dac ă b este un majorant al lui S, atunci orice întreg y a.î. nb ≤y
este în T n (deoarece K este arhimedean) .
Fie y n cel mai mic element al lui T n .Atunci exist ă xn∈S a.î.
yn-1<nxn ≤yn , de unde nyxn nyn
nn≤<−1.
S ă notăm nyzn
n=și să demonstr ăm că șirul (z n)n∈ℕ este Cauchy.
Pentru aceasta fie m, n ∈ℕ a.î. my
nym n≤ atunci ≤<−ny
m myn m1
mym
căci în caz contrar,m my
nym n 1−≤ , decin mym1− este majorant pentru S, ceea ce
este absurd c ăci x m este mai mare.
Atunci |my
nym n− | ≤n1 de unde deducem c ă (zn) n∈ℕ este Cauchy.
Fie nnz w
∞→=lim și să demonstr ăm la început c ă w este un majorant
pentru S.
S ă presupunem prin absurd c ă există x∈S a.î. w <x . Exist ă atunci n∈ℕ
a.î. | z n – w | ≤ 2wx− astfel că x-zn =x-w+w-z n ≥ x-w-| w-z n | ≥
≥x-w- 02 2>−≥− wx wxdeci x >z n contrazicând faptul c ă zn este majorant al lui
S.
Să demonstr ăm acum c ă w=sup S.

§2 Construc ția corpului ℝ al numerelor reale

Vom prezenta construc ția corpului numerelor reale cu ajutorul șirurilor
Cauchy de numere ra ționale (definite mai înainte într-un context mai general).

DEFINI ȚIA 2.1. Un șir de numere ra ționale γ=(cn ) n≥0 se zice șir
nul dacă pentru orice ɛ∈ℚ , ɛ>0, exist ă n 0∈ℕ a.î. pentru orice n ≥n 0, | c n |≤ɛ
Dacă α=(an)n≥0 și β=(bn)n≥0 sunt dou ă șiruri de numere ra ționale,
definim suma și produsul lor prin α+β=(an+bn) n≥0 și respectiv αβ=(anbn) n≥0

LEMA 2.2. Orice șir Cauchy α=(an ) n≥0 de numere ra ționale este
mărginit.
Demonstra ție Există k∈ℕ a.î. pentru orice n ≥ k , | a n –a k | ≤1, de unde
| an | ≤ |ak|+1. Alegând M =max ( | a 0 |, . . ., |a k-1 |, | a k |+1) deducem c ă |a n | ≤ M
pentru orice n∈ℕ. ∎

În cele ce urmeaz ă prin C(ℚ) vom nota mul țimea șirurilor Cauchy de
numere ra ționale.

PROPOZI ȚIA 2.3. (C(ℚ), +, · ) este inel unitar comutativ.
Demonstra ție Fie α=( xn ) n≥0, β=( yn ) n≥0, 0=(0, 0, …) și 1=(1, 1, …).
Să demonstr ăm la început c ă α+β și αβ sunt din C(ℚ).
Pentru ɛ∈ℚ +*, există nɛʹ, nɛʹʹ∈ℕ a.î. pentru orice m, n ≥ nɛʹ să avem
| xm-xn |<2e
și pentru orice m, n ≥ nɛʹʹ, | y m-yn |<2e
. Alegând n ɛ=max (nɛʹ, nɛʹʹ),

38deducem c ă pentru orice m, n ≥ nɛ, | x m-xn |, | y m-yn |<2e
, astfel c ă
| (x m+ym) – (x n+yn) |=| (x m-xn) + (y m-yn) | ≤ | x m-xn |+| y m-yn |< eee
=+22, adică
α+β ∈C(ℚ).
Pentru cazul produsului αβ vom ține cont de Propozi ția 1.2. Conform
acesteia, exist ă M1, M 2∈ℚ +* a.î. | x n | ≤ M1 și | y n | ≤ M2 pentru orice n∈ℕ.
Notând M =max (M 1, M 2 ) și alegând ɛ∈ℚ +*, există nɛʹ, nɛʹʹ∈ℕ a.î.
| x m –xn | ≤M2e
, pentru m, n ≥ nɛʹ și
| y m-yn | ≤M2e
, pentru m, n ≥ nɛʹʹ.
Astfel, pentru m, n ≥ nɛ =max (nɛʹ, nɛʹʹ), avem
| x mym –xnyn |=|xm(ym-yn) + y n(xm-xn) | = | x m | | y m-yn | +| y n | | x m-xn | ≤
≤ M·M2e
+M·M2e
=ɛ, adică și αβ∈C(ℚ).
În mod evident, – α=(-xn )n ≥0 ∈C(ℚ) ca și 0, 1∈C(ℚ).
Deducem acum imediat c ă (C(ℚ), +, ·) este inel comutativ și unitar. ∎
În continuare, vom nota prin
N(ℚ)={( xn ) n≥0 ∈C(ℚ) |
∞→nlimxn =0} .
( convenim s ă numim elementele lui N(ℚ) șiruri nule ).

LEMA 2.4 N(ℚ) este ideal al inelului C( ℚ).
Demonstra ție Analog ca în cazul sumei din propozi ția precedent ă, se
demonstreaz ă imediat c ă dacă α, β∈N(ℚ), atunci α-β∈N(ℚ).
Fie acum α=(an ) n≥0 ∈C(ℚ) și β=(bn) n≥0 ∈N(ℚ). Conform Lemei 2.2.
există M∈Q+* a.î. | a n | ≤ M pentru orice n ∈ℕ.
Deoarece β=(bn)n≥0 ∈N(ℚ) pentru ɛ∈Q+*, există nɛ∈ℕ a.î. pentru
orice n ≥ nɛ să avem | b n | ≤Me
.
Atunci pentru n ≥ nɛ , | a n bn |=| an | | b n | ≤ M·Me
=ɛ, astfel c ă
αβ∈N(ℚ), adică N(ℚ) este ideal al inelului comutativ C(ℚ) . ∎

39
LEMA 2.5. Fie α∈C(ℚ) a.î. α∉N(ℚ), α=(an)n≥0 . Atunci exist ă
c∈ℚ+* și n0∈ℕ a.î. pentru orice n ≥ n0 , | a n | ≥ c.
Demonstra ție Dacă prin absurd lema nu ar fi adev ărată, atunci pentru
ɛ∈ℚ +* există o infinitate de numere naturale n 1<n2<. . . a.î. | a n i |<3e
pentru
orice i ≥1.
Cum α∈C(ℚ), există p∈ℕ a.î. pentru orice m, n ≥p să avem
|an –a m|≤3e
. Fie n i ≥ p ; atunci pentru orice m ≥p, | a m | ≤ | am -an i |+| a n i | ≤32e
și
pentru orice m, n ≥p, | a n | ≤ | a n –a m |+| a m | ≤ 32
3e e
+=ɛ, adică α∈N(ℚ),
absurd ! . ∎

TEOREMA 2.5. (C(ℚ) / N(ℚ) , +, · ) este corp comutativ.
Demonstra ție Faptul c ă C(ℚ) / N(ℚ) este inel comutativ rezult ă din
aceea că C(ℚ) este inel comutativ iar N(ℚ) este ideal în C(ℚ).
Fie acum α∈C(ℚ) a.î. α∉N(ℚ) și a
=α +N(ℚ)∈C(ℚ) / N(ℚ).
Vom demonstra c ă există b
∈C(ℚ)/N(ℚ) a.î. 1=⋅ba
, unde 1=1+N(ℚ)
(reamintim c ă 1=(1, 1, . . . )∈C(ℚ) ).
Cum α∉N(ℚ), conform Lemei 2.4. exist ă ɛ∈ℚ +* și n0∈ℕ a.î. pentru
orice n ≥ n0 , | a n | ≥ɛ. În particular, deducem c ă pentru n ≥ n0 , an≠0.
Fie β=(bn ) n≥0 cu
1 dac ă 0 ≤ n ≤ n0
b n =
a n-1 dacă n ≥ n0
S ă arătăm că β∈C(ℚ) și că 1=⋅ba
.
Putem alege deci c ∈ℚ +* și n0∈ℕ a.î. pentru orice n ≥ n0 , | a n | ≥c>0 ;
de unde va rezulta c ă c an1 1≤.
Pentru ɛ∈ℚ +* există p ≥ n0 a.î. pentru orice m, n ≥ p să avem
| a n –a m | ≤ ɛc2 .

40 Atunci pentru orice m, n ≥ p avem 221 1
cc
aaa a
a an mn m
m n⋅≤⋅−=−ee
=
,
adică β∈C(ℚ).
Cum αβ diferă de 1 numai într-un num ăr finit de termeni (eventual
pentru n ≤ n0 ) deducem c ă αβ-1∈N(ℚ), adică 1=⋅ba
, deci ()
1−=ab
, adică
C(ℚ) / N(ℚ) este corp . ∎

DEFINI ȚIA 2.6. Mul țimea C(ℚ) / N(ℚ) se noteaz ă prin ℝ și
poartă numele de mul țimea numerelor reale.
Corpul ( ℝ,+, ·) poart ă numele de corpul numerelor reale.
Observație Deoarece se probeaz ă imediat c ă funcția iQ:ℚ→ℝ ,
iQ(a) =()
,….,aa pentru orice a ∈ℚ este morfism de corpuri (deci în particular
funcție injectiv ă) putem privi pe ℚ ca subcorp al lui ℝ.
Elementele din I=ℝ\ℚ se zic numere ira ționale.

LEMA 2.7. Pentru α=(an) n≥0 ∈C(ℚ) este verificat ă doar una din
condițiile :
(1) α∈N(ℚ)
(2) Există c∈ℚ+* a.î. pentru n suficient de mare s ă avem a n ≥ c
(3) Există c∈ℚ+* a.î. pentru n suficient de mare s ă avem a n ≤ – c
Demonstra ție Evident (2) și (3) se exclud reciproc.
Să presupunem acum c ă α∉N(ℚ) . Conform Lemei 2.5. exist ă n0∈ℕ și
c∈ℚ +* a.î. pentru orice n ≥ n0 , | a n | ≥ c astfel c ă a n ≥ c dacă an > 0 și an ≤ -c
dacă an<0 .
Să presupunem acum c ă an>0 pentru suficient de mul ți n și am<0 pentru
suficient de mul ți m. Pentru astfel de n și m avem a n–am≥2c>0 ceea ce contrazice
faptul că α∈C(ℚ).
Deci (2) sau (3) în sens disjunctiv trebuie s ă aibă loc . ∎

§3 Ordonarea lui ℝ

Fie P={a
| α∈C(ℚ) și verifică (2) din Lema 2.7.} ⊆ℝ

41LEMA 3.1. P este o ordonare pe ℝ.
Demonstra ție Conform Lemei 2.7. deducem c ă P satisface Ord 1 .
Fie acum α=(an ) n≥0 și β=(bn ) n≥0 ∈C(ℚ) a.î. ba
,∈P.
Există c1, c2∈ℚ +* și n1, n2∈ℕ a.î. pentru n ≥n1 , a n ≥c1 și pentru n ≥n2,
bn ≥c2 .
Pentru n ≥ max (n 1, n2 ), a n+bn ≥ c1+c2 >0 și anbn ≥c1c2 >0 astfel c ă α+β,
αβ verifică (2) din Lema 2.7. ,adic ă baba
⋅+,∈P, deci P satisface și Ord 2 .

Observații
1. Din cele de mai sus deducem c ă dacă ba
, ∈ℝ, α=(xn)n≥0,
β=(yn)n≥0, atunci ba
≤ este echivalent cu aceea c ă b
-a
∈P, adică ()ab
−∈P,
deci cu existen ța lui n 0∈ℕ și c∈ℚ +* a.î. y n-xn ≥c pentru orice n ≥n0 .
Convenim s ă numim ordinea de mai înainte ordonarea natural ă de pe ℝ.
2. Pentru a∈ℚ convenim s ă notăm pe iℚ(a) prin a, adică (),….,aaa= .

TEOREMA 3.2. Ordonarea natural ă de pe ℝ (dată de P) este
arhimedeean ă.
Demonstra ție Conform Defini ției 1.8., pentru α=(an) n≥0∈C(ℚ) va
trebui să demonstr ăm că există mα∈ℕ a.î. a a
m≤ .
Conform Lemei 2.2. exist ă M∈ℚ +* a.î. a n ≤ M pentru orice n ∈ℕ.
Alegând m α∈ℕ a.î. M≤mα deducem c ă an≤mα pentru orice n∈ℕ, adică aa
m≤ .
∎
Următorul rezultat este imediat.
LEMA 3.3. Dac ă α=(an)n≥0∈C(ℚ) și exist ă c∈ℚ +* și n 0∈ℕ a.î.
pentru orice n ≥n0, | a n| ≤ c, atunci c≤a
.
Observație Conform Teoremei 3.2., fiind dat ɛ∈ℝ , ɛ>0, există
ɛ1∈ℚ +* a.î. ɛ<ɛ1 astfel că în defini ția limitei unui șir din ℝ nu conteaz ă dacă ɛ
este real sau ra țional.
LEMA 3.4. Fie α=(an) n≥0 ∈C(ℚ). Atunci a
nna
∞→=lim (adică orice
șir Cauchy de numere ra ționale converge în ℝ).
Demonstra ție Fie ɛ∈ℚ +*. Există n0∈ℕ a.î. pentru orice m, n ≥ n0 ,

42| am – a n |≤ɛ. Atunci pentru m ≥n0 avem | ma−a
|= e a
≤−ma (căci α-am=
=(an – a m) n≥0 ), adică nna
∞→=lim a
. ∎

TEOREMA 3.5. Corpul ℝ este complet .
Demonstra ție Fie (x n) n≥0 un șir Cauchy de numere reale.
Conform Lemei 3.4., pentru orice n ∈ℕ găsim a n∈ℚ a.î. | x n – na |<n1
( în partea dreapt ă este vorba de fapt de ( n) -1 ! )
Cum (x n ) n≥0 este Cauchy, deducem c ă fiind dat ɛ>0 (de exemplu ɛ∈ℚ)
există n0∈ℕ a.î. pentru orice m, n ≥ n0 să avem | x n –x m |≤3e
.
Fie n 1∈ℕ, n 1≥n0 a.î.31
1e
≤n. Atunci pentru orice m, n ≥ n1 avem
≤−+−+−≤−+−+−=−n m m n n n m m m n n n m n a x x x x a a x x x x a a a
eeee
=++≤333. Adică ()0≥nna este șir Cauchy de numere ra ționale. Conform
Lemei 3.4. exist ă nna x
∞→=lim în ℝ. Deoarece pentru n suficient de mare | x n -x| ≤
≤ | xn -na| + | na-x | deducem c ă nnx x
∞→=lim , adică ℝ este complet. ∎

DEFINI ȚIA 3.6. Un corp ordonat K se zice complet ordonat dacă
orice parte nevid ă minorat ă a sa are o margine inferioar ă.
Observație Fie K un corp complet ordonat și A⊂K, A≠∅, A
majorată. Atunci –A este minorat ă, sup A exist ă și sup (A) =- inf (– A).

LEMA 3.7. Dacă x, y∈ℚ, atunci :
(i) x ≤y ⇔iℚ(x) ≤ iℚ (y) ;
(ii) x<y ⇔iℚ (x)<iℚ(y) ;
(iii) pentru orice α∈ℝ există x, y∈ℤ a.î. i Q (x) ≤ α ≤ iQ (y) .
Demonstra ție (i) Să presupunem c ă x≤y, adic ă y-x≥0. Cum
iℚ(y)-iℚ(x)=iℚ(y-x) deducem c ă iℚ (y) ≥iℚ (x) ⇔ iℚ (x) ≤iℚ (y) .

43Reciproc, s ă presupunem c ă iQ (x) ≤ iQ (y), adic ă iQ (y-x) ≥0⇒ y-x∈P,
deci pentru ɛ>0 y-x>ɛ>0 ⇒y≥x ⇔ x≤y .
(ii) Rezult ă din injectivitatea lui i Q .
(iii) Fie α∈ℝ și (x n) n≥0∈α . Atunci (x n) n≥0∈C(ℚ), deci pentru ɛ∈ℚ +*
există nɛ∈ℕ a.î. | x n –
e
nx|<ɛ pentru orice n ≥ nɛ sau
e
nx- ɛ<xn<
e
nx+ɛ pentru
orice n ≥ nɛ .
Luând x, y∈ℤ a.î. x <
e
nx-ɛ și
e
nx+ɛ<y deducem c ă xn–x>0 și
y – x n>0 pentru orice n ≥ nɛ deci
( x n ) n ≥0 – ( x, x, . . . .) =( xn – x ) n≥0 ∈P și
( y,y, . . . .) – ( x n ) n≥0 =( y- x n ) n≥0 ∈P,
adică iQ (x) ≤ α ≤ iQ (y) .

LEMA 3.8. Fie α, β∈ℝ și (u n ) n ≥0 , (v n ) n ≥0 ∈C(ℚ) a.î.
i ℚ (um) ≤ α ≤ β ≤ iℚ (vm )
pentru orice m ∈ℕ și ( u m ) m ≥0 –( v m ) m ≥0 ∈N(ℚ) . Atunci α=β .
Demonstra ție Fie ɛ>0. Exist ă m 0∈ℕ a.î. |
0 0 m mu v− |<3e
. Fie acum
(xn ) n≥0∈α și (y n) n≥0∈β . Din condi ția (1) deducem c ă iℚ(um)≤α , deci pentru
m=m0 avem (x n–
0mu)n≥0∈P prin urmare exist ă nɛʹ∈ℕ a.î. x n–
0mu>3e
− pentru
n≥nɛʹ.
Tot din (1) rezult ă că β≤iQ(vm) deci pentru m =m0 avem (
0mv-yn) n≥0∈P,
adică există nɛʹʹ∈ℕ a.î.
0mv– y n >3e
− , pentru orice n ≥ nɛʹʹ, de unde y n – x n<
<
0mv+3e
32
30 0 0e e
+−=+−m m m u v u
0 0 m mu v−≤ +32e
≤ ee e
=+32
3, prin
urmare, y n –x n<ɛ pentru orice n ≥max (nɛʹ, n ɛʹʹ). Dar α ≤ β. Atunci
(yn–xn) n≥0∈P, deci exist ă nɛʹʹʹ∈ℕ a.î. y n-xn >-ɛ, pentru orice n ≥ nɛ ʹʹʹ.
Atunci | x n – y n |<ɛ pentru orice n ≥max (nɛʹ, nɛʹʹ, nɛʹʹʹ), de unde α=β.∎

TEOREMA 3.9. Corpul ( ℝ, ≤ ) este complet ordonat .

44Demonstra ție Fie A⊂ℝ nevidă și minorat ă iar A 0 mulțimea
minoran ților lui A. Cum A 0 ≠∅, există β∈A0 a.î. β ≤ α pentru orice α∈A. Din
Lema 3.8., (iii) rezult ă existența unui z∈ℤ a.î. iℚ (z) ≤ β, adică iℚ (z)∈A0 .
Fie x 0=max{z∈ℤ | i Q (z)∈A0} ; atunci i ℚ(x0)∈A0 și iℚ(x0+1)∉A0.
Presupunem c ă am obținut un x k∈ℚ (k≥0) a.î. iℚ(xk )∈A0 și iℚ ( xk +k101)∉A0
Notând n k=max{0≤n≤9 | iℚ(xk)+110+kn∈A0} și 1110++ +=kk
k knx x se
obține, prin induc ție, un șir (x k ) k≥0∈ℚ a.î.
(1) iℚ (xk )∈A0 pentru orice k∈ℕ ;
(2) iℚ (kkx
101+ )∉A0 pentru orice k∈ℕ ;
(3) 1110++ +=kk
k knx x .
Din (3) și din defini ția lui n k rezultă 1110++ +=kk
k knx x , de unde pentru
n >k obținem x n –x k=xn–xn-1+xn-1–xn-2+…+x k+1–xk≤
k 1kkn
1k )1k(n 1k 1k 1n n
101
910
10910111011
109
101…1011
109
109…
109
109
=⋅ <<
−−
⋅ =


+++ = ++ +≤
+−
+ +− + + −

deci ( x n ) n≥0∈C(ℚ). Fie α=()0≥nnx∈ℝ și să demonstr ăm că α=inf A.
Pentru aceasta vom demonstra c ă
(∗) iℚ( xk ) ≤ α ≤ iℚ ( x k+k101) pentru orice k∈ℕ.
Din (3) deducem c ă x0 ≤ x1 ≤. . . ≤ xk ≤. . ., deci ( x n-xk ) n≥0∈P pentru
orice k∈ℕ, adică iℚ ( xk ) ≤()0≥nnx =α pentru orice k∈ℕ.

45 Am demonstrat mai înainte c ă x n–xk<
k101, pentru n>k, adic ă
nkk x x −

+
101>0 pentru n >k, deci α ≤ iℚ 

+kkx
101 pentru orice k∈ℕ.
Am ar ătat astfel inegalit ățile (∗).
S ă demonstr ăm acum c ă α este minorant al lui A. S ă presupunem c ă
există γ∈A a.î. γ<α. Atunci i ℚ (xk) ≤ γ ≤ α ≤ iℚ 

+kkx
101
pentru orice k∈ℕ.
Dar = =

−+
∞→ ∞→kkkkkkx x
101lim
101lim 0, de unde ținând cont de Lema
3.9. deducem c ă γ=α, absurd, deci α∈A0 .
S ă arătăm acum c ă α este cel mai mare minorant al lui A. Presupunem
că există β∈A0 a.î. α<β. Din (3) deducem c ă pentru fiecare k ∈ℕ există α k∈A
a.î. α k<iℚ (kkx
101+ ). Cum β este minorant al lui A și α k∈A deducem c ă
β≤α k de unde iℚ (xk ) ≤ α ≤ β ≤ iℚ(kkx
101+ ) de unde deducem (conform Lemei
3.9.) că α=β, absurd !. Deci α=infA. ∎

CAPITOLUL 5 :
CORPUL NUMERELOR COMPLEXE

§1 Construc ția corpului numerelor complexe ℂ

Scopul acestui paragraf este de a identifica corpul ℝ al numerelor reale
cu un subcorp al unui corp comutativ ℂ în care ecua ția x2 =-1 are solu ție.
Pentru aceasta vom considera ℂ=ℝ×ℝ iar pentru (x, y), (z, t) ∈ℂ
definim :
(x, y) +(z, t)=(x+z, y+t)
(x, y)·(z, t ) =(xz-yt, xt+yz).

TEOREMA 1.1. (ℂ, +, · ) este corp comutativ în care ecua ția x2=-1
are solu ție.

46 Demonstra ție Faptul c ă (ℂ, +) este grup abelian se probeaz ă imediat
(elementul neutru este ( 0, 0 ), iar pentru (x, y) ∈ℂ, -(x, y) =(-x, -y )).
În mod evident înmul țirea este comutativ ă.
Pentru a proba c ă (ℂ*, · ) este grup, fie (x, y), (z, t), (r, s) ∈ℂ. Deoarece
(x, y)[(z, t)·(r, s)] =[(x, y)(z, t)]·(r, s) =(xzr-xts-yzs-ytr, xzs+xtr+yzr-yts) deducem
că înmulțirea este asociativ ă.
Cum (x, y)(1, 0) =(1, 0)(x, y) =(x, y) deducem c ă elementul neutru fa ță
de înmul țire este (1, 0) .
Fie acum (x, y) ∈ℂ* (adică x≠0 sau y≠0). Egalitatea (x, y) (x ʹ, yʹ)=
=(1, 0) este echivalent ă cu xxʹ-yyʹ=1 și xyʹ+yxʹ=0, de unde xʹ=2 2y xx
+ și
yʹ=2 2y xy
+− , adică (x, y) -1=



+−
+2 2 2 2,
y xy
y xx.
Cum pentru (x, y), (z, t), (r, s) ∈ℂ, (x, y)·[(z, t)+(r, s)] =(x, y)·(z, t)+
+(x, y)·(r, s) =(xz+xr-yt-ys, xt+xs+yz+yr) deducem c ă înmulțirea este distributiv ă
față de adunare, adic ă (ℂ, +, ·) este corp comutativ.
S ă notăm i=(0, 1). Cum i2=(0, 1)(0, 1) =(-1, 0)=-(1, 0) deducem c ă
ecuația x2=-1 are solu ție în ℂ. ∎
Observație Se probeaz ă imediat c ă iℝ:ℝ→ℂ, iℝ(x)=(x, 0) pentru orice
x∈ℝ, este morfism de corpuri (deci func ție injectiv ă). În felul acesta ℝ poate fi
privit ca subcorp al lui ℂ. Am construit astfel șirul de mul țimi ℕ⊆ℤ⊆ℚ⊆ℝ⊆ℂ .
Deoarece pentru z =(x, y)∈ℂ putem scrie z =(x, 0)+(y, 0)(0, 1), ținând
cont de identific ările anterioare deducem c ă z se poate scrie (formal) sub forma
z=x+iy (cu i =(0, 1) iar i2=-1).
Mulțimea ℂ poartă numele de mulțimea numerelor complexe , iar
(ℂ, +, ·) corpul numerelor complexe. Elementele din ℂ\ℝ se zic pur imaginare .
Dacă z=x+iy∈ℂ cu x, y∈ℝ, atunci x se zice partea real ă a lui z iar yi
partea imaginar ă a lui z ( y se nume ște coeficientul p ărții imaginare ).
Pentru z∈ℂ, z=x+iy, definim iyxz−= (ce se va numi conjugatul lui z)
și 2 2y x z += ( |z| poart ă numele de modulul lui z ).

PROPOZI ȚIA 1.2. Fie z, z 1, z2∈ℂ. Atunci

47 1) z∈ℝ ⇔ zz=
2) 2, zzzzz =⋅=
3)
21
21
2 1 21 2 1 2 1 , ,
zz
zzzz zz zz zz =


= ±=± (cu z 2≠0)
4) zz=, 2 1 2 1 z z zz +≤+ , 2 1 2 1 zz zz= ,
21
21
zz
zz= (cu z 2≠0).
Demonstra ție 1) Fie z =a+ib. Dac ă z∈ℝ, atunci b =0, deci zaz== iar
dacă zz= atunci b =-b adică b=0, deci z∈ℝ.
Să mai prob ăm inegalitatea |z 1+z2|≤|z1|+|z 2| (celelalte probându-se
imediat). Alegem z 1=x1+iy 1 și z 2=x2+iy 2 cu x 1, x 2, y 1, y 2∈ℝ și astfel
|z1+z2|≤|z1|+|z 2|⇔()()
2
22
22
12
12
2 12
2 1 y x y x y y xx +++ ≤ +++ ⇔
()()
2
22
22
12
12
22
22
12
1 212
22
1 212
22
1
22 2
y xy xy x y x yy y y xx x x
+ + +++++≤ +++ ++
⇔
( )()()( )≥ − ⇔+ +≤ +2
12 212
22
22
12
12
21 21 yx yx y xy x yy xx 0 ceea ce este evident.
Egalitate avem dac ă l
==
22
11
yx
yx cu l
∈ℝ, adică 2 1 z z l
= . ∎
Observație Asociind fiec ărui num ăr complex z =a+ib matricea




− abba se probeaz ă imediat c ă corpul (ℂ,+,·) este izomorf cu corpul





−baabba,∈ℝ , opera țiile de adunare și înmulțire fiind cele obi șnuite
din M 2 (ℝ).

§2 Teorema fundamental ă a algebrei

Dacă L și K sunt dou ă corpuri a.î. K este subcorp al lui L, spunem despre L
că este o extindere a lui K.
Reamintim un rezultat clasic din algebr ă :

48LEMA 2.1. Dacă K este un corp comutativ iar f ∈K[X], grad(f) ≥1,
atunci exist ă o extindere L a lui K în care f are toate r ădăcinile.

Utilizând teorema fundamental ă a polinoamelor simetrice ob ținem
imediat :
LEMA 2.2. Fie f∈K[X], cu grad(f) ≥1 iar K este corp comutativ.
Dacă L este o extensie a lui K în care f are toate r ădăcinile x 1, … x n
iar g∈K[X 1, …X n] este un polinom simetric, atunci g(x 1, … x n)∈K.

Teorema urm ătoare (ce se bazeaz ă pe cele dou ă rezultate anterioare)
este cunoscut ă sub numele de teorema fundamental ă a algebrei (sau teorema
Dʹ
Alembert-Gauss ):
TEOREMA 2.3.(D ′Alembert-Gauss) Orice polinom f ∈ℂ[X] cu
grad(f) ≥1 are cel pu țin o rădăcină în ℂ.
Demonstra ție Fie f=a0+a1X+…+a nXn ∈ℂ[X] (a n≠0) și
n
nXa Xa af +++= …1 0 unde pentru orice 0 ≤i≤ n, ia este conjugatul lui a i .
Atunci ∑
==n
kk
kXc ff2
0, unde ∑
=+=
kjiji k aa c , 0≤k≤2n și cum k kc c=
pentru orice 0 ≤k≤2n, deducem c ă ff∈ℝ[X].
Să presupunem c ă teorema este demonstrat ă pentru polinoamele din
ℝ[X]. Atunci exist ă a∈ℂ a.î. ()() ()() ()af afaf aff ⇔= ⇔= 0 0 =0 sau
()=af 0.
Deci este suficient s ă presupunem c ă f∈ℝ[X]. Dac ă gradul lui f este
impar, cum func ția polinomial ă a lui f este continu ă iar la ±∞ ia valori de semne
contrare deducem c ă există a∈ℝ a.î. f(a) =0.
Fie acum n =grad(f), n =2kp, cu k∈ℕ și p impar ; facem induc ție
matematic ă după k. Pentru k =0 totul rezult ă din cele de mai înainte (gradul lui f
fiind impar în aceast ă situație). Să presupunem afirma ția adevărată pentru toate
polinoamele f∈ℝ[X] al căror grad se divide prin 2k-1 și nu se divide prin 2k.
Conform Lemei 2.1. exist ă o extindere L a lui ℂ în care f are toate
rădăcinile x 1,…x n.
Pentru a∈ℝ consider ăm elementele ()j i jia
jixxa xx z ++ = , 1≤i<j≤n
( în num ăr de 2
nC) .

49Considerând polinomul () ∏
≤<≤− =
njia
ji a zX f
1 acesta va avea gradul
egal cu ()( )pp p nnCkk k
n′ =−=−=−−
11
2221 2 2
21 cu pʹ impar. Coeficien ții lui f a
sunt polinoame simetrice de a
jiz. Mai mult, având în vedere expresiile lui a
jiz,
1≤i<j≤n, rezultă că acești coeficien ți, ca polinoame de x 1, x2,…x n sunt simetrice,
deoarece orice permutare a acestora are ca efect schimbarea elementelor a
jiz,
1≤i<j≤n între ele . Conform Lemei 2.2. ob ținem că fa ∈ℝ[X].
Cum 2k-1| grad (f a) și 2k łgrad (f a), conform ipotezei de induc ție rezult ă
că fa are cel pu țin o rădăcină complex ă. Există deci o pereche (i, j) cu 1 ≤i<j≤n
a.î. a
jiz ∈ℂ. Făcând pe a s ă parcurg ă mulțimea infinit ă ℝ rezultă că există a,
b∈ℝ, a≠b a.î. a
jiz și b
jiz∈ℂ.
Din ()j i jia
jix xa xx z ++= și ()j i jib
jixxb xx z ++= rezultă că
()()j ib
jia
ji xxba z z +−=− ∈ℂ, deci x i+xj∈ℂ ; atunci x ixj∈ℂ, adică xi , x j∈ℂ și
astfel teorema este demonstrat ă. ∎

Observa ții
1. Din Teorema 2.3. deducem imediat c ă dacă f∈ℂ[X], grad(f) ≥1,
atunci f are toate r ădăcinile în ℂ. Acest lucru ne permite s ă afirmăm că Teorema
fundamental ă a algebrei exprim ă faptul c ă corpul ℂ al numerelor complexe este
algebric închis .
2.Din Teorema 2.3. deducem imediat c ă în ℂ[X] polinoamele
ireductibile sunt exact polinoamele de gradul 1 iar în ℝ[X] sunt cele de gradul 1
precum și cele de forma aX2+bX+c cu b2-4ac<0.

50CAPITOLUL 6:
ELEMENTE DE ARITMETIC Ă

§1 Divizibilitate pe ℕ

DEFINI ȚIA 1.1. Fie a, b Îℕ, b¹0.Vom spune c ă b divide a și vom
scrie b |a, dac ă există cÎℕ a.î. a=bc (nu definim divizibilitatea prin 0!). În
acest caz vom spune c ă b este un divizor al lui a (sau c ă a este multiplu de b).
În mod evident, rela ția de divizibilitate de pe ℕ este reflexiv ă,
antisimetric ă și tranzitiv ă, adică ( ℕ, | ) este o mul țime parțial ordonat ă în care 1
este cel mai mic element (element ini țial) iar 0 este cel mai mare element
(element final).
DEFINI ȚIA 1.2. Un num ăr pÎℕ, p³2 se zice prim dacă singurii s ăi
divizori sunt 1 și p.
Cele mai mici numere prime sunt 2, 3, 5, 7, etc. (vom demonstra mai
târziu că există o infinitate de numere prime).
Reamintim c ă în Capitolul 1 [§.4, Corolarul 4.9.] am demonstrat
teorema împ ărțirii cu rest în ℕ : dacă a, b∈ℕ, b≥1, atunci exist ă și sunt unici c,
r∈ℕ a.î. a =bc+r, iar 0 ≤r<b; num ărul c numindu -se câtul împărțirii lui b la a,
iar r restul acestei împ ărțirii (evident b |a dacă și numai dac ă r=0).

TEOREMA 1.3. Fiind date dou ă numere a, b Îℕ, exist ă dÎℕ (vom
nota d=(a,b)) a.î. d |a, d|b, iar dac ă mai avem dʹÎℕ a.î. dʹ | a și dʹ| b, atunci
dʹ| d (adic ă în mul țimea par țial ordonat ă (ℕ, |) pentru orice dou ă elemente
a și b exist ă (a, b) ).
Demonstra ție Conform teoremei împ ărțirii cu rest, putem scrie
a=bc 1+r1, cu c 1, r1∈ℕ, iar 0 ≤ r1< b.
Dac ă r1=0 atunci b |a și în mod evident d=(a, b)=b.
Dacă r1≠0, atunci conform aceleia și teoreme de împ ărțire cu rest putem
scrie b=r 1c2+r2,cu c 2, r2∈ℕ, iar 0≤r2<r1.
Dacă r2=0, atunci d=r 1. Într-adev ăr, din b=r 1c2 deducem c ă d|b, iar din
a=bc 1+r1 deducem c ă d|a . Dacă mai avem dʹ∈ℕ a.î. dʹ |a și dʹ |b, atunci cum
r1=a-bc 1, deducem c ă dʹ |r1=d.

51Dacă r2≠0, atunci din nou putem scrie r 1=r2c3+r3, cu 0 ≤r3<r2, și
algoritmul descris pân ă acum continu ă, obținându-se un șir descresc ător de
numere naturale : r 1, r2, … a.î. r j-2 = rj-1cj (j ≥ 3). Conform Corolarului 4.6. de la
Capitolul 1, §4, șirul r 1, r2, r3,… este stationar.
Astfel, dac ă pentru un anumit k, r k+1=0, atunci d=r k, pe când, dac ă
rk+1=1 atunci d=1. ∎

De exemplu : Dacă a=49 și b=35 avem :
49=1·35+14 (c 1=1, r 1=14)
35=2·14+ 7 (c 2=2, r 2= 7 )
14=2·7 (c 3=2, r 3=0 )
de unde deducem c ă (49, 35)=7.
Dacă a=187 și b=35 avem:
187=5·35+12 (c 1=5, r 1=12)
35=2·12+ 11 (c 2=2, r 2= 11 )
12=1·11+1 (c 3=1, r 3=1 )
de unde deducem c ă (187, 35)=1.
Observații : 1. Num ărul d poart ă numele de cel mai mare divizor comun
al lui a și b.
2. Algoritmul de g ăsire a celui mai mare divizor comun a dou ă numere
naturale descris mai înainte poart ă numele de algoritmul lui Euclid .
3. Dac ă pentru a, b ∈ℕ avem (a, b)=1, vom spune despre a și b că sunt
prime între ele.
4. Inductiv se arat ă că pentru oricare n numere naturale a 1, a2, …,a n (n≥2)
există d∈ℕ a.î. d|ai pentru orice 1 ≤i≤n și dacă mai avem dʹ∈ℕ a.î. dʹ|ai pentru
orice 1≤i≤ n, atunci dʹ|d . Numărul d se noteaz ă prin d=(a 1, a2, …,a n) și poartă
numele de cel mai mare divizor comun al numerelor a 1, a2, …,a n .

§2. Divizibilate pe ℤ

DEFINI ȚIA 2.1. Dacă a, bÎℤ, b¹0, vom spune c ă b divide a (vom
scrie b |a ) dac ă există cÎℤ a.î. a=bc ( ca și în cazul lui ℕ nu vom defini,
nici în cazul lui ℤ divizibilitatea prin 0).
Evident, dac ă a∈ℤ atunci 1 |a, -1|a și a|0.

52Numerele prime în ℤ se definesc ca fiind acele numere întregi p cu
proprietatea c ă p ≠ -1, 0, 1, iar singurii divizori ai lui p sunt ±1, ±p. Evident,
numerele prime din ℤ sunt numerele de forma ±p, cu p≥2 număr prim în ℕ.
Se verific ă imediat c ă dacă a, b, c∈ℤ, atunci :
1) a |a (a≠0)
2) Dac ă a|b și b|a, atunci a= ±b (deci în ℤ relația de divizibilitate nu mai
este antisimetric ă).
3) Dac ă a|b și b|c, atunci a |c.

TEOREMA 2.2. ( Teorema împ ărțirii cu rest în ℤ ) Dacă a, bÎℤ
b>0, atunci exist ă c, rÎℤ a.î. a=cb+r, cu 0 £r<b .
Demonstra ție Fie P={a-xb / x ∈ℤ}; evident în P avem și numere
naturale. Fie r=a-cb cel mai mic num ăr natural din P (cu c ∈ℤ). (un astfel de
număr există conform Teoremei 4.5. de la Capitolul 1). Avem 0 ≤r<b căci dacă
r=a-cb≥b am 0≤a-(c+1)b<r, ceea ce contrazice minimalitatea lui r. ∎
Observație 1. Putem formula teorema împ ărțirii cu rest din ℤ și sub
forma : Dac ă a, b∈ℤ, b≠0, atunci exist ă c, r∈ℤ a.î. a=cb+r, iar 0 ≤r<|b|.
2. Numerele c și r cu proprietatea de mai sus poart ă numele de câtul,
respectiv restul împărțirii lui a la b, și sunt unice cu proprietatea respectiv ă, căci
dacă am mai avea c ʹși rʹ∈ℤ a.î. a=cʹb+rʹ,cu 0≤ rʹ <|b|, atunci cb+r=c ʹb+rʹ⇔
(c-cʹ)b =rʹ-r, adică b|rʹ-r. Cum 0 ≤r, rʹ <|b|, dacă am presupune, de exemplu, c ă
rʹ > r, atunci rʹ-r < |b|, iar condi ția b | rʹ-r implic ă rʹ-r = 0 ⇔ rʹ = r și cum
(c-cʹ)b=rʹ-r=0, deducem imediat c ă c=cʹ.

DEFINI ȚIA 2.3 . Numim ideal al inelului (ℤ, +, ·) orice submul țime
nevidă a Í ℤ a.î.
i) Dac ă x, yÎa, atunci x-y Îa
ii) Dac ă xÎa și bÎℤ, atunci bx Îa .

PROPOZI ȚIA 2.4. Fie a Îℤ un ideal. Atunci exist ă dÎℕ a.î. a=dℤ.
Demonstra ție Dacă a={0}, atunci d=0. S ă presupunem c ă a≠{0}. Atunci
există x∈a, x≠0. Dacă x>0, atunci x∈ℕ*, iar dacă x<0, cum a este un ideal, -x ∈a,
și atunci -x ∈ℕ*.

53În concluzie a ∩ℕ*≠∅. Conform Teoremei 4.5 de la Capitolul 1, putem
alege d∈a∩ℕ* ca fiind cel mai mic element din a ∩ℕ* și să demonstr ăm că a=dℤ.
Cum d∈a și a este ideal al inelului ℤ, incluziunea dℤ⊆ a este imediat ă. Fie acum
a∈a. Conform Teoremei 2.2. putem scrie a=cd+r, cu c, r ∈ℤ și 0≤r<d. (căci
d∈ℕ*). Scriind r=a-cd cum a, d ∈a, deducem c ă r∈a. Datorit ă minimalit ății lui d
deducem c ă r=0 și astfel a=cd ∈dℤ, de unde și incluziunea invers ă a ⊆dℤ, care ne
asigură egalitatea a =dℤ. ∎

PROPOZI ȚIA 2.5. Fie a 1, a 2, …,a nÎℤ. Dac ă notăm prin
< a 1, a2, …,a n > idealul generat de {a 1, a2, …, a n}, atunci < a 1, a2, …,a n >=
={k 1a1+…+k nan | | k iÎℤ, 1£i £n}.
Demonstratie Dacă notăm a ={k 1a1+…+k nan | ki∈ℤ, 1≤i≤n}, se arat ă
imediat c ă a este ideal al lui ℤ ce conține {a 1, a2, …, a n}. Cum < a 1, a2, …, a n >
este cel mic ideal al lui ℤ ce include {a 1, a 2, …, a n}, deducem c ă
< a 1, a 2, …,a n >⊆ a . Pentru incluziunea invers ă ținem cont de faptul c ă
< a 1, a2, …, a n> =
{}
I
bidealZ b
a a nb
⊆⊆
,…,1și fie deci b ⊆ ℤ un ideal a.î. {a 1, a2, …, a n }⊆ b.
Atunci pentru orice k 1,…,k n∈ℤ avem k 1a1+…+k nan ∈ b, adică a ⊆ b și cum b este
oarecare, deducem c ă a ⊆ ∩b =< a 1, a2, …, a n >, de unde egalitatea dorit ă. ∎

Fiind date a 1, a 2, …, a n∈ℤ prin cel mai mare divizor comun al
numerelor a1,a2,…,a n înțelegem acel num ăr d∈ℤ a.î. d|ai pentru orice 1 ≤i≤n și în
plus dacă mai avem dʹ |ai pentru orice 1 ≤i≤ n, atunci dʹ|d .
Evident, dac ă un astfel de d exist ă, atunci și –d are aceea și proprietate .
Convenim s ă alegem pentru rolul de cel mai mare divizor comun al numerelor
întregi a 1, a2, …, a n acel num ăr natural d cu propriet ățile de mai înainte și vom
nota d=(a 1, a2, …, a n) (vezi și §1 pentru cazul numerelor naturale).

TEOREMA 2.6. Fiind date n numere întregi a 1, a2, …, a n (n³2),
dacă notăm prin d num ărul natural a c ărui existen ță este asigurat ă de
Propozi ția 2.4. pentru idealul a = < a 1, a2, …, a n>, atunci d=( a 1, a2, …, a n).
Demonstra ție Într-adev ăr, cum fiecare a i∈< a 1, a2, …, a n>=dℤ deducem
că ai∈dℤ, adică d|ai pentru 1 ≤i≤n .

54Fie acum dʹ∈ℤ a.î. dʹ|ai pentru 1 ≤i≤n. Cum d ∈dℤ, există k1, …, k n∈ℤ
a.î. d=∑
=n
iiiak
1și astfel deducem c ă dʹ |d, adică d=(a 1, a2, …, a n). ∎

COROLAR 2.7. Fiind date n numere întregi a 1, a2, …, a n (n³2),
d=( a 1, a2, …, a n) dacă și numai dac ă există k1,…,k nÎℤ a.î. d=k 1a1+…+k nan.

§3.Teorema fundamental ă a aritmeticii

Fie a∈ℤ*și p∈ℕ, p≥2, un num ăr prim. În mod evident, exist ă k∈ℕ a.î.
pk|a și pk+1ła (altfel zis k este cel mai mare num ăr natural cu proprietatea pk | a).
Convenim s ă notăm k=o p(a) și să-l numim ordinul sau exponentul lui p
în a. Dac ă a=0 vom lua o p(0)=-∞, iar o p(a)=0 ⇔ p ł a.

PROPOZI ȚIA 3.1 . Orice num ăr natural nenul se scrie ca un produs
de numere naturale prime.
Demonstra ție Fie A=mul țimea numerelor naturale nenule ce nu se scriu
ca produs de numere naturale prime. Dac ă prin absurd propozi ția nu ar fi
adevărată, atunci A ≠∅.
Conform Teoremei 4.5 de la Capitolul 1 mul țimea A va con ține un
element minimal x. În particular, x >1 și cum x nu este prim putem scrie x=m·n
cu 1<m, n<x. Cum m, n<x, iar x=inf(A), deducem c ă m, n∉A, deci m și n se
scriu ca produse de numere prime. Atunci și x=m·n se scrie ca produs de numere
prime-absurd . Deci A= ∅ și cu aceasta propozi ția este demonstrat ă. ∎

COROLAR 3.2. Pentru orice n Îℤ* există numerele întregi prime
p1,…,p m a.î. mk
mkp pn …1
1= cu k 1,…,k mÎℕ.
Putem folosi și notația : ∏ −
≥=
2)( )()1(
pprimppe np ne
unde ε(n)∈{0,1}
(după cum n este pozitiv sau negativ) iar exponen ții e(p) sunt numere naturale
nenule numai pentru un num ăr finit de p-uri.

55Observație Dacă (a, b) ≠1, atunci lema de mai înainte nu mai este
adevărată tot timpul c ăci, de exemplu, 6 |3·8=24, dar 6ł3 și 6ł8 .

COROLAR 3.4 .Dacă p, a, b∈ℤ a.î. p este prim și p|ab, atunci p |a
sau p |b.
Demonstra ție Într-adev ăr, singurii divizori ai lui p în ℤ sunt ±1, ±p.
Atunci (p,b)=1 sau p |b. Dacă p|b totul este în regul ă, iar dac ă (p, b)=1,
atunci se aplic ă Lema 3.5. ∎
Observație Putem utiliza corolarul de mai înainte și sub forma : dac ă p,
a, b∈ℤ a.î. p este prim iar p ła, płb, atunci płab .

COROLARUL 3.5 . Presupunem c ă p, a, b Îℤ iar p este prim.
Atunci o p(ab)=o p(a)+o p(b).
Demonstra ție Dacă α=op(a), β=op(b), atunci a=pαc și b=pβd, cu płc și
płd. Atunci ab=pα+βcd și cum p∤cd , deducem c ă op(ab)=α+β=op(a)+o p(b). ∎

TEOREMA 3.6. (Teorema fundamental ă a aritmeticii) Pentru
orice num ăr întreg nenul n, exist ă o descompunere a lui în factori primi
∏ −
≥=
2)( )()1(
pprimppe np ne
cu exponen ții e(p) în mod unic determina ți de n (de
fapt e(p)=o p(n)).
Demonstra ție Scrierea lui n sub forma din enun ț rezultă din Corolarul
3.2. Să probăm acum unicitatea acestei scrieri.
Aplicând pentru un prim q, o q în ambii membrii ai egalit ății
∏ −
≥=
2)( )()1(
pprimppe np ne
obținem : o q(n)=ε(n)o q(-1)+∑
pq)p()p(eo .
Însă oq(-1)=0 iar {qp pentru
qp pentruqpo≠
==,0
,1)( de unde deducem c ă e(q)=o q(n) și
astfel teorema este demonstrat ă. ∎

COROLAR 3.7. Pentru orice n Îℕ* există și sunt unice numerele
prime distincte p 1, p 2, …, p m și numerele naturale k 1, k 2, …, k m a.î.
mk
mkp pn …1
1= (spunem c ă aceast ă scriere a lui n este descompunerea lui n în
factori primi )

56
COROLAR 3.8 . Fie a, b, c, n Îℕ* a.î. (a,b)=1 și ab=cn. Atunci exist ă
x, yÎℕ* a.î. a=xn și b=yn.
Demonstra ție Fie sk
skp pa …1
1= , tl
tlq qb …1
1= descompunerea
numerelor a și b în factori primi (deci k i≥1 și lj≥1 pentru i=1, 2,…,s și j=1,
2,…,t). Din (a,b)=1 deducem c ă {p 1,…,p s}∩{q1,…,q t}=∅. Obținem deci c ă
t s l
tl k
sk nq qp p c … …1 1
1 1= , egalitate ce d ă descompunerea lui cn în factori primi.
Însă, conform Teoremei 3.6., descompunerea unui num ăr natural în
produs de puteri de numere prime distincte este unic ă (abstrac ție făcând de
ordinea factorilor).
Astfel, dac ă t s m
tm n
snq qp pc … …1 1
1 1= , atunci
t s nm
tnm nn
snn nq q p p c … …1 1
1 1= , de unde deducem c ă nn i=ki și nm j=lj 1≤i≤s,
1≤j≤t.
Atunci putem considera sn
snp px …1
1= și q qm m t
ty …1
1= . ∎

TEOREMA 3.9. (Legendre) Dacă n∈ℕ iar p este un num ăr prim,
atunci exponentul lui p în n ! este dat de ∑
∈

*Nkkpn.
Demonstra ție În mod evident exponentul e p al lui p în n! este dat de
…. 2 12 1 +⋅+⋅= k k ep , unde k 1 este num ărul numerelor luate dintre 1, 2, …, n
care se divid cu p dar nu cu p2, k 2 este num ărul numerelor luate dintre 1, 2, …, n
care se divid cu p2 dar nu cu p3, etc.
S ă calculăm acum un k i . Numerele ce se divid prin pi dintre 1, 2, …, n
sunt 1·pi, 2·pi, …, t i·pi , cu t i·pi≤n< (t i+1)·pi , deoarece dac ă j este luat dintre 1,
2,..,n și pi|j avem j=t·pi și cum 1≤j≤n avem 1≤t·pi ≤n. Dar 1+<≤iii t
pnt , deci




=iipnt .
Numerele luate dintre 1, 2, …, n care se divid cu pi+1 se află toate printre
numerele luate dintre 1, 2, …, n care se divid cu pi.

57 Dac ă din numerele luate dintre 1, 2, …, n care se divid cu pi (ce sunt în
număr de t i ) extragem toate numerele luate dintre 1, 2, …, n care se divid cu pi+1
(ce sunt în num ăr de t i+1=




+1ipn) obținem numai numerele luate dintre 1, 2,…,n
care se divid cu pi dar nu se divid cu o putere mai mare a lui p (deoarece nu se
divid cu pi+1).
Conform celor de mai sus num ărul acestora este egal cu k i=ti-ti+1.
Avem deci ()()
…. …. …. 2 122 1 3 2 2 1 +




+
=++=+−⋅+−⋅=
pn
pntt tt tt ep .
(această sumă este finit ă deoarece va exista un k ∈ℕ* a.î. pk≤n<pk+1 și atunci
0=




spn pentru orice s≥k+1). ∎
Observație Dacă p>n atunci e p=0.

§4. Congruen țe pe ℤ

DEFINI ȚIA 4.1 . Fie n Îℕ, n³2 un num ăr fixat. Vom spune c ă a,
bÎℤ sunt congruente modulo n dacă n|a-b ; în acest caz scriem a șb(n).

PROPOZI ȚIA 4.2 . Rela ția de congruen ță modulo n este o
echivalen ță pe ℤ compatibil ă cu opera țiile de adunare și înmul țire de pe ℤ
(adică este o congruen ță pe inelul (ℤ, +, ·)).
Demonstra ție Faptul că relația de congruent ă modulo n este o rela ție de
echivalen ță pe ℤ se probeaz ă imediat. Pentru a proba compatibilitatea acesteia
cu opera țiile de adunare și înmulțire de pe ℤ, fie a, b, aʹ, bʹ∈ℤ a.î. a≡b(n) și
aʹ≡bʹ(n), adic ă a-b=kn și aʹ-bʹ=kʹn, cu k, kʹ∈ℤ. Atunci a+aʹ-(b+bʹ)=(k+kʹ)n,
adică a+aʹ≡b+bʹ(n) și scriind aaʹ-bbʹ=a(aʹ-bʹ)+bʹ(a-b)=akʹn+bʹkn=(akʹ+bʹk)n
deducem c ă și aaʹ≡bbʹ(n). ∎

COROLAR 4.3 . Fie a i, b iÎℤ a.î. a ișbi(n) pentru orice i=1, 2,…,k.
Atunci: )(
1 1nk
iik
ii b a∑∑
= =≡ și )(
1 1nk
iik
ii b a∏∏
= =≡ . În particular, dac ă a, b Îℤ a.î.
așb(n) și kÎℕ*, atunci ak ș bk(n).

58
Pentru x ∈ℤ vom nota prin xˆ clasa de echivalen ță a lui x modulo n.
Deoarece resturile împ ărțirii unui num ăr oarecare din ℤ prin n sunt 0, 1,…,n-1,
se deduce imediat c ă dacă notăm mulțimea claselor de echivalen ță modulo n prin
ℤn , atunci ℤn } ,…,1ˆ,0ˆ{ 1−∧
= n , iar pentru k∈{0, 1,…,n -1} avem kˆ={k+nt | t∈ℤ}.
Pe mulțimea ℤn se definesc opera țiile de adunare și înmulțire astfel:
yxyx +∧
=+ˆˆ și yxyx⋅∧
=⋅ˆˆ (ținând cont de Propozi ția 4.2. deducem c ă acestea
sunt bine definite).

PROPOZI ȚIA 4.4. (ℤn , +, ·) este inel comutativ în care unit ățile sale
sunt U(ℤn , +, ·)={ xˆÎℤn | (x, n)=1} .
Demonstra ție Cum verificarea anumitor axiome nu ridic ă probleme
deosebite, vom reaminti doar c ă elementul neutru din ℤn față de adunare este
xnx−∧
=−ˆ,0ˆ, iar elementul neutru fa ță de înmul țire este 1ˆ.
Dacă xˆ∈U(ℤn), atunci exist ă ∈yˆℤn a.î. 1ˆ1ˆˆˆ =⋅⇔=⋅∧
yx yx ⇔ n | xy-1,
de unde deducem c ă (x, n)=1.
Reciproc, dac ă x∈{0,1,…,n -1} și (x, n)=1, atunci, conform Corolarului
2.7. exist ă r, s∈ℤ a.î. r·n+s·x=1, de unde deducem c ă s x xs ˆ 1ˆˆˆ1
=∧
⇔=−
, deci
x∈U(ℤn). ∎
De exemplu : U(ℤ12)={ ∧
11,7ˆ,5ˆ,1ˆ}.
Observație Dacă pentru un num ăr natural n ≥1definim φ(1) =1 iar pentru
n ≥2, φ(n)=num ărul numerelor naturale m<n a.î. (m, n)=1, atunci | U(ℤn) |=φ(n).
Funcția φ:ℕ*→ℕ definită mai sus poart ă numele de indicatorul lui
Euler .

COROLARUL 4.5. (ℤn , +, ·) este corp Û n este prim.
Observație Dacă în inelul ℤ consider ăm idealul a =nℤ, urmărind tehnica
factorizării unui inel (comutativ ) printr-un ideal, dac ă am fi construit inelul
factor ℤ/nℤ se obținea de fapt tot ℤn .

Fie acum a, b ∈ℕ*, n∈ℤ, n ≥ 2 și d=(a, n).

59PROPOZI ȚIA 4.6. Ecua ția bxaˆˆˆ= are solu ție în ℤn dacă și numai
dacă d|b ; dac ă d|b atunci ecua ția are exact d solu ții în ℤn .
Demonstra ție Dacă xˆ0∈ℤn este o solu ție a ecua ției bxaˆˆˆ=, atunci
n|ax0-b, de unde deducem c ă d|b (căci d|n și d|a).
Reciproc, s ă presupunem c ă d|b. Cum d=(a, n), conform Corolarului
2.7., exist ă yx′′0 0,∈ℤ a.î. d = y x n a ′′−0 0 .
Dacă c=b/d, atunci bc nc y xa = −′ ′ ) ()0 0( , adică bcxaˆ)(ˆ0=′∧
, deci cx0′∧

este o solu ție a ecua ției bxaˆˆˆ=.
Să presupunem acum c ă ∧
0x și ∧
1x sunt dou ă soluții ale ecua ției
bxaˆˆˆ=. Atunci n |ax0-b și n|ax1-b, de unde n |a(x 1-x0). Dacă notăm nʹ=n/d și
aʹ=a/d, atunci (aʹ, nʹ)=1 și obținem că nʹ|x1-x0, adică x1=x0+knʹ, cu k∈ℤ.
Pe de alt ă parte se verific ă imediat c ă nkx′+∧
0este solu ție a ecua ției
bxaˆˆˆ= cu k∈{0, 1,…,d -1}.
Cum nu e posibil s ă avem ∧
+k x0 = kx′+∧
0 pentru k, k′∈{0, 1,…,d -1} și
k≠k′ (căci ar trebui ca n |n′(k-k’) ⇔ d|k-k′-absurd !), deducem c ă dacă ∧
0x∈ℤn
este o solu ție a ecua ției bxaˆˆˆ=, atunci aceast ă ecuație are d solu ții și anume:
∧
0x,∧
′+n x0 ,…,∧
′−+ n d x )1(0 .
Exemplu . Să consider ăm în ℤ15 ecuația 3ˆˆ6ˆ=⋅x . Avem d=(6, 15)=3 și
3|3, deci ecua ția va avea solu ție în ℤ15. Cum nʹ=15/3=5 iar 3ˆ este o solu ție
particular ă, celelalte solu ții vor fi ∧
+53 =8ˆ și ∧
⋅+523 =∧
13. În concluzie, ecua ția
3ˆˆ6ˆ=⋅x are în ℤ15 d=3 solu ții: 3ˆ,8ˆ și ∧
13. ∎

60COROLAR 4.7. Dacă n este num ăr prim, atunci ecua ția bxaˆˆˆ= are
soluție unic ă ℤn dacă și numai dac ă (a, n)=1 Û n ł a.

§5. Frac ții periodice

Fiind dat ă fracția αqp=∈ℚ, (cu q∈ℕ*), prin împ ărțirea lui p la q putem
scrie pe α sub form ă de fracție zecimal ă: α=a0, a1 a2…, cu a 0, a1, a2,… ∈ℕ (în
cele ce urmeaz ă prin diferite exemplific ări se va deduce cu claritate modalitatea
generală de reprezentare a numerelor ra ționale sub forma de frac ții zecimale).
În cele ce urmeaz ă vom presupune c ă fracția α este subunitar ă ( dacă ea
este supraunitar ă, împărțind pe p la q putem scrie p=cq+r, cu c ∈ℤ și 0≤r<q și
atunci αqr
qpc+== , astfel c ă se continu ă studiul lui α cu qr care este
subunitar ă; convenim în acest caz s ă scriem αqp==cqr. De exemplu 32
21351= ).
În cazul în care 0< α<1, a 0=0 astfel c ă prin împ ărțiri repetate vom scrie
α=0,a 1a2…, cu a i∈ℕ.(după cum se va vedea în continuare șirul a 1, a2,… poate fi
finit sau infinit; (în cazul infinit anumite grupuri de cifre se vor repeta periodic).
Iat ă câteva exemplific ări:
E1: α=207=0,35
E2: α=32=0,666… (se repet ă cifra 6; convenim s ă scriem α=0,(6) )
E3: α=218=0,380952380952…(se repet ă grupul de cifre 380952 și vom scrie
α=0,(380952))
E4: α=71=0,142857142857…=0,(142857)
E5: α=245=0,208333… (se repet ă 3 caz în care vom scrie α=0,208(3) )
E6: α=227=0,31818…(se repet ă 18 caz în care vom scrie α=0,3(18) ).
S ă facem acum câteva observa ții:
1. În exemplul 1 împ ărțirea se termin ă cu a doua zecimal ă.
2. În exemplele 2 și 3 împ ărțirea se continu ă indefinit, grupurile de cifre 6 și
380952 repetându-se de o infinitate de ori. În aceste cazuri convenim s ă
spunem c ă avem de a face cu fracții periodice simple .

61În cazul exemplului 6, frac ția zecimal ă obținută este tot periodic ă, cu
perioada 18, dar observăm că perioada nu începe imediat dup ă virgulă (ca în
exemplul 2) ci este precedat ă de o parte care nu se repet ă (cifra 3). Convenim s ă
spunem c ă avem de a face cu o fracție periodic ă mixtă.
În cele ce urmeaz ă vom proba c ă în general dac ă avem o frac ție subunitar ă,
atunci șirul a 1, a2, … este sau finit sau periodic.
S ă urmărim exemplul 4: resturile par țiale trebuie s ă fie mai mici decât 7.
În cazul exemplului 3 sunt posibile a priori 20 de resturi, deci dup ă cel
mult 20 de împ ărțiri parțiale trebuie s ă întâlnim un rest care a mai fost ob ținut și
știm că de @ndată ce restul se repet ă și cifrele încep s ă se repete.
În general, dac ă q este câtul, resturile par țiale fiind mai mici decât q,
după cel mult q împărțiri parțiale resturile par țiale și deci cifrele câtului încep s ă
se repete. Am subliniat cel mult q împărțiri, deoarece exemplele ne arat ă că
repetarea resturilor par țiale poate începe și înainte de a fi trecut prin toate
resturile posibile a priori.
S ă adâncim acum chestiunea :
Observa ția de baz ă este urm ătoarea: fiind dat ă fracția subunitar ă ab,
pentru a g ăsi primele n cifre ale frac ției zecimale în care se transform ă ea, facem
împărțirea întreagă 10nb:a.
Exemplu . Pentru a g ăsi primele 4 zecimale ale frac ției 218, facem
împărțirea.
80 000:21= 3809.
170
200
11

Să consider ăm acum o frac ție cu num ărătorul 1, de exemplu 211 și să
facem împ ărțirile întregi 10:21;100:21; 1000:21, etc. Resturile acestor împ ărțiri
reoroduc tocmai resturile par țiale din împ ărțirea
10 : 21=0,47619….
100
84
160
147
130
126
40
21

62 190
189
1
10:21=0 100:21=4 1000:21=47 10 000:21=476
10 16 13 4

100 000: 21=4 761 1 000 000: 21=47619
( 1) 19 1
Pentru a ști în ce fel se transform ă fracția a1, trebuie deci s ă urmărim
resturile ob ținute prin împ ărțirea lui 10, 102, 103,…prin a. Este o chestiune deja
studiată .
1). Să începem cu cazul a este prim cu 10 (adică a descompus în
factori primi nu are nici pe 2 nici pe 5 ca factori)
Știm din cele expuse mai înainte c ă, în acest caz, resturile încep s ă se
repete dup ă ce întâlnim restul 1, pân ă acolo resturile fiind toate diferite. Știm că
dacă 10d ≡ 1 (a), d este un divizor al lui φ(a). Știm că, dacă a=pαqβrγ…, cel mai
mic exponent n, astfel ca s ă avem bn ≡ 1 (a) oricare ar fi b prim cu a, este c. m.
m. m. c al numerelor φ(pα), φ(qβ), φ(rγ),…(vezi Corolarul 6.2. ).
Rezultă că: dacă a este prim cu 10, primul rest care se repet ă în
împărțirea 1:a este 1 (adic ă numărul cu care am început), deci fracția zecimal ă
este periodic ă simplă.
De exemplu: 211, 21=3⋅7; φ(3)=2; φ(7)=6; c.m.m.m.c. al numerelor
φ(3) și φ(7) este 6. Frac ția 211 este periodic ă simplă și perioada ei este un divizor
al lui 6.
Dacă numărătorul nu este 1, ci un alt num ăr prim cu a, rezultatele
enunțate se men țin. De exemplu, în împ ărțirea 8:21 ob ținem ca resturile
împărțirilor întregi succesive 80:21; 8 ⋅102:21; 8⋅103:21… Aceste resturi se pot
obține dacă înmulțim resturile (2) cu 8 (21).
8⋅10=80≡17 (21); 8 ⋅16=128 ≡2 (21); 8 ⋅13=104 ≡ 20 (21)
8⋅4=32≡11 (21); 8 ⋅19=152 ≡5 (21); 8 ⋅1=8 ≡ 8 (21).
Dac ă resturile șirului (1) sunt toate diferite între ele, prin înmul țirea lor
cu 8 obținem tot resturi diferite (dac ă 8r1 ar fi congruent cu 8r 2, atunci 8r 1-8r2 ≡ 0
(21); 8(r 1-r2) ≡0 (21), 8 este prim cu 21 pentru c ă fracția a fost reductibil ă; r2-
r1<21, deci nu putem avea 8(r 2-r1)= multiplu de 21.
Rezult ă că fracția 218este tot periodoc ă simplă, iar num ărul cifrelor
perioadei este acela și ca și la fracția 211.
Fie acum cazul a=2α⋅5β, adică a are numai factori primi ai lui 10.

63(De exemplu, a=40=23⋅5 sau a=25=52, etc). În acest caz, 10 ridicat la puterea α,
dacă α>β, sau la puterea β, dacă β>α se divide cu a (dac ă a=40, 103=23⋅53 se
divide cu 23⋅5; dacă a=25, 102=22⋅52 se divide cu 52).
Rezult ă că, în acest caz, frac ția zecimal ă rezultând din a1are un num ăr
finit de zecimale, egal cu cel mai mare dintre numerele α și β.
De exemplu : 20=22⋅5; 7:20=0,35.
În general : aba
b a
105
52−⋅
⋅=b b (dacă α>β) sau =bab
105−⋅b (dacă α<β), însă
împărțirea unui num ăr cu 10α se face desp ărțind prin virgul ă α cifre.
30⋅a=2α⋅5βpm⋅qn…
În acest caz, frac ția ab poate fi scris ă ab=…5
101
nmqpbba
a
−⋅⋅ (dacă α>β).
Frac ția …5
nmqpbba
−⋅se transform ă într-o fracție periodic ă simplă. Dacă ea este
mai mare decât 1 – ceea ce se poate întâmpla din cauza înmul țirii cu 5α-β – ea se
transform ă tot într-o frac ție periodic ă simplă, având îns ă și întregi. Aceast ă
fracție înmul țită cu a
101(adică mutând virgula cu α cifre spre stânga ), ne d ă
fracția ab, care va avea ca parte neperiodic ă cele α cifre, iar partea periodic ă
aceeași ca și a fracției …5
nmqpbba
−⋅.
Dac ă β>α procedăm analog.
Exemplu …, 1818,3 ;1135
1175
101
1127
227= ⋅==⋅
⋅deci )18(3,0… 1818,3227= = .
Dar …… 4545,0 ;115
115
101
1121
221= ⋅==⋅ Deci )45(0,0 …. 04545,0221= = partea
neperiodic ă este 0.
Rezumând cele de mai sus ob ținem:

TEOREMA 5.1. Orice frac ție se transform ă într-o frac ție zecimal ă
cu un num ăr finit de zecimale sau într-o frac ție zecimal ă cu un num ăr
înfinit de zecimale, în care caz zecimalele admit o perioad ă ce se repet ă.

Reciproc, s ă vedem cum rescriem o frac ție zecimal ă α (simplă,
periodică sau periodic ă mixtă ) sub forma qpcu p, q∈ℕ.
Cazul 1. Dacă α=a0, a1a2…a n, atunci în mod evident αkkaaa
10…10= . De
exemplu:
α=1,7 ,1017= α=0,3103=

64Cazul 2. Să presupunem acum c ă α= )…(,1 0 naaa . Atunci:
α= +++++ ) … (10 10 10 0 22 1
nna a aa …) … (2 22
11
10 10 10+++++ + nn
n na a a=
= +++++ …) 1(21
101
101
10 0 n naa ++++ …) 1(2 22
101
101
10n na…+
+ …) 1(2101
101
10+++n n nna
Însă 1 1010
11
101
101
101 2… 1− −==+++nn
nn n astfel că
α= = ++++−1 1010
10 10 10 0 ) … (22 1
nn
nna a aa
=
321
ori nn 21
n1n
1n n
9…99a…aa
01 1010…10aa
0 a a += +−++ +−
−.
De exemplu α=3,(6)=3+311
933
9627
96===+ iar dac ă α=2,(154),
atunci α=2+9992152
999154 1998
999154= =+.
Cazul 3. Să presupunem c ă α este o frac ție zecimal ă periodic ă mixtă :
α=a0, a1a2…a k(ak+1ak+2…a k+n). Atunci α= a 0, a1a2…a k +0,00…0(a k+1ak+2…a k+n)=
kkaaa
10…10= +knk k a a
10) … (,01 + +
kkaaa
10…10= +
321321
ori ori k nnk 1k
0…009…99a…a+ +.
De exemplu dac ă α=3,7(2)=1867
90335
902 333
902937
902
1037== = =++ +⋅ iar dacă
α=2,15(172)= 99900214957
99900172 999215
99900172
100215= = ++⋅.
Rezumând cele trei cazuri de mai sus ob ținem:

TEOREMA 5.2 . i) Dac ă a=a0,a1a2…a k, atunci kkaaa
10…10=a

ii) Dac ă )…(,1 0 naaa=a
, atunci α=
321
ori nn 21
n1n
1n n
9…99a…aa
01 1010…10aa
0 a a += +−++ +−
−
iii) Dac ă a=a0,a1…a k(ak+1…a k+n), atunci
kka aa
10…10=a
+
321321
ori ori k nnk 1k
0…009…99a…a+ +.
Observație Acest paragraf a fost redactat în cea mai mare parte dup ă
lucrarea [8].

65§6.Teoremele lui Euler, Fermat și Wilson

LEMA 6.1. Dacă G este un grup (multiplicativ) finit cu n elemente
(n³2), atunci xn=1, pentru orice x ÎG.
Demonstra ție Fie x∈G, iar k=o(x) (ordinul lui x). Atunci xk=1 și
conform Teoremei lui Lagrange k |n, adică n=k·p cu p∈ℕ. Deducem imediat c ă
xn=xkp=(xk)p=1p=1. ∎
Observație În cazul c ă G este comutativ exist ă o demonstra ție
elementar ă ce evit ă Teorema lui Lagrange. Pentru aceasta se alege
G={x 1, x 2,…,x n} și x∈G. Cum {xx 1, xx 2,…,xx n}=G={x 1,…,x n}, deducem c ă
(xx 1)…(xx n)=x 1…x n ⇔ xn(x1…x n) = x 1…x n⇔ xn=1. ∎

COROLAR 6.2. (Euler) Dac ă n ³ 2 este un num ăr natural iar a Îℤ
a.î. (a, n)=1, atunci aj(n) ș 1(n) ( φ fiind indicatorul lui Euler).
Demonstra ție Am văzut mai înainte c ă (ℤn , ·) este un monoid cu φ(n)
elemente inversabile. Astfel, dac ă aplicăm Lema 6.1. grupului G=U( ℤn , ·) (ce are
φ(n) elemente) pentru Ga∈ˆ obținem că :
() ()()()
.1 1 1ˆ 1ˆ ˆ)(n n a a a an n n n≡ ⇔− ⇔= ⇔=∧j j j j
∎

COROLAR 6.3. (Mica teorem ă a lui Fermat) Dac ă p³2 este un
număr prim, iar a Îℤ a.î. p∤a, atunci ap-1 ș1(p).
Demonstra ție Cum p este un num ăr prim, φ(p)=p-1 și acum totul rezult ă
din Corolarul 6.2. ∎

LEMA 6.4. Fie G un grup (multiplicativ) finit comutativ iar ∏
∈Gxx
produsul tuturor elementelor din G. Atunci
()∏∏
≤∈ ∈=
2xoGx Gxx x .
Demonstra ție Vom scrie
()
) )( (
22 )(∏∏ ∏
≤∈
>∈ ∈=
xoGx
xoGx Gxx x x . Însă în cadrul
produsului ∏
>∈
2)(xoGxx vom grupa fiecare element x cu x-1 (avem x ≠x-1 căci dacă x=x-1

66atunci x2=1 și deci o(x)=2, absurd) și astfel ∏
>∈
2)(xoGxx=1, de unde concluzia c ă
()∏∏
≤∈ ∈=
2xoGx Gxx x . ∎
COROLAR 6.5. (Wilson) Dac ă p³2 este un num ăr prim, atunci
(p-1)!+1 ș0(p).
Demonstra ție Cum p este prim ( ℤp*, ·) este grup cu p-1 elemente și
conform Lemei 5.4., ∏∏
≤∈ ∈∗ ∗=
2)ˆ(ˆ ˆˆ ˆ
xox x Z Z p px x . Rămăne să punem în eviden ță elementele
∈xˆℤp* cu proprietatea c ă 1ˆx 1ˆx 2)xˆ(o22
=⇔=⇔=∧∧
⇔ p|x2-1=(x-1)(x+1)
⇔ p|x-1 sau p |x+1 de unde deducem c ă ∧
−=−= 1 1ˆ ˆ p x sau 1ˆ=∧
x astfel c ă
()
⇔=+−⇔−=−⋅∧ ∧
0ˆ1ˆ!1 1ˆ1 …2ˆ1ˆp p (p-1)!+1 ≡0(p). ∎

Vom prezenta în continuare diferite variante de generalizare a Teoremei
lui Wilson.

LEMA 6.6. Fie p ³2 un num ăr prim, iar n ³2 un num ăr natural.
Atunci :
i) Dac ă p=2 și n>2 în grupul U( ℤ2n,·) numai elementele
1 21,1 2,1ˆ,1ˆ 1−−∧∧
+ −− n n au ordinul cel mult 2.
ii) Dac ă p>2 atunci în grupul U( ℤpn,·) numai elementele 1ˆ,1ˆ− au ordinul
cel mult 2.
Demonstra ție Avem c ă U( ,Zpn∗·)={aˆ∈ ,Zpn∗(a,p)=1}. S ă determin ăm în
acest grup elementele aˆ∈ U( ,Zpn∗·) a.î aˆ2 =1, adică acele numere naturale a a.î.
1≤ a<pn, cu (a, p)=1 și pn | a2-1 (∗).
Evident a=1 verific ă (∗). Dacă a>1, atunci putem scrie a -1=pku și
a+1=ptv cu k, t ≥ 0, (p, u)=(p, v)=1, iar k+t ≥n.

67Dacă k=0 ⇒ t ≥ n ⇒ pn | a+1 și cum a < pn ⇒ a+1=pn ⇒ a= pn-1 și
astfel ob ținem și elementul 1ˆ1 ˆ −=−=∧
npa ce verific ă de asemenea ( ∗).
Dac ă t=0 ⇒ k >n ⇒ pn |a-1 și cum a < pn ⇒ a-1=0 ⇒ a=1, contradic ție.
Dacă k≠0, t≠0 ⇒ 2=ptv-pku ⇒ p|2, deci dac ă p≥2, obținem o
contradic ție.
În concluzie : dac ă p >2, atunci în ) (Zpn U∗ avem numai elementele 1ˆși ∧
−=− 1 1ˆ np ce au ordinul cel mult 2, ob ținând astfel concluzia de la ii).
Dacă p=2, atunci din 2=2tv-2ku ⇒ t=1 sau k=1. Dac ă t=1 ⇒ k ≥ n-1⇒
a-1=2ku ≥ 2n-1u și cum 1<a<2n ⇒ u=2 și k=n -1. Deci, în acest caz, dac ă a verific ă
(∗)⇒a=2n-1+1.
Dacă k=1⇒ t ≥ n-1⇒ a+1=2tv ≥ 2n-1v și cum 1<a<2n ⇒ v=1 sau v=2
(cazul v=2 este exclus c ăci (v, 2)=1)
Dacă v=1 ⇒ t = n-1 sau t = n. În cazul t=n-1 ⇒a=2n-1-1, iar dac ă t=n
⇒a=2n-1.
În concluzie : dac ă p=2 și n>2 în )(2Z n U∗ numai elemente
,1 2,1ˆ,1ˆ 1∧
+ −−n∧
−−1 21n au ordinul cel mult 2, ob ținând astfel concluzia de la i).
∎

COROLAR 6.7. (O generalizare a teoremei lui Wilson) Dac ă p este
un num ăr prim și n un num ăr natural, atunci:
a) Dac ă p>2 și n ³2 atunci pn | (∏
=<≤
1),(1
paapna)+1
b) Dac ă p=2 și n >2 atunci : 2n | (∏
=<≤
1)2,(1 2
aana)-1
c) Dac ă p=2 și n=2 atunci : 22 | (∏
=<≤
1)2,(1 22
aaa)+1
Demonstra ție Totul rezult ă imediat din Lema 5.4 ținând cont de cele
stabilite în Lema 6.6. ∎

68
§7.Teorema chinezeasc ă a resturilor

Fie m 1, m 2, …,m t∈ℕ a.î. (m i, m j)=1 pentru orice i ≠j, m=m 1m2…m t,
iar b 1, b2,…,b t∈ℤ.

TEOREMA 7.1 . (Teorema chinezeasc ă a resturilor)
Sistemul

x ≡b1 (m 1)
(S) . . . . . . . .
x ≡bt (m t)
are solu ție în ℤ și oricare dou ă soluții difer ă printr-un multiplu de m.
Demonstra ție Dacă ni=
mim, atunci (m i, ni)=1 pentru orice 1 ≤i ≤t. Astfel
există ri, si∈ℤ a.î. r i mi+sini=1 pentru orice 1 ≤ i ≤ t.
Dac ă notăm e i=sini, atunci e i ≡1(m i) și ei ≡0(m j) pentru 1 ≤ i, j≤ t, i≠j.
Dac ă vom considera x 0= eb it
ii∑
=1, atunci vom avea x 0≡biei (mi) și astfel
x0≡bi(mi) pentru orice 1 ≤ i ≤ t, de unde concluzia c ă x0 soluție a lui (S).
Să presupunem c ă x1 este o alt ă soluție a lui (S). Atunci x 1-x0≡0 (m i)
pentru 1 ≤ i ≤ t, adică mi | x1-x0 pentru orice 1 ≤i≤t, și cum (m i, m j)=1 pentru i ≠j,
deducem c ă m=m 1m2…m t | x0-x1, adică x0≡x1(m). ∎

Să interpret ăm acum teorema chinezeasc ă a resturilor din punct de
vedere al teoriei inelelor.
Fie pentru aceasta (A i)i∈I o familie nevid ă de inele (unitare).Vom
considera un nou inel notat ∏
∈IiiA și având mul țimea subiacent ă
∏
∈IiiA={(x i)i∈I|xi∈Ai pentru orice i ∈I}, iar pentru x,y ∈∏
∈IiiA, x=(x i)i∈I și
y=(y i)i∈I, x+y=(x i+yi)i∈I, iar x·y=(x i·yi)i∈I.
Se verific ă imediat c ă (∏
∈IiiA, +, ·) devine inel unitar în care elementul
nul este 0=(x i)i∈I cu x i=0 pentru orice i ∈I, iar pentru x=(x i)i∈I∈A, -x=(-x i)i∈I;
elementul unitate este 1=(x i)i∈I cu x i=1 pentru orice i ∈I, iar dac ă x=(x i)i∈I∈

69∈∏
∈IiiA, atunci x ∈U(∏
∈IiiA) dacă și numai dac ă xi∈U(A i) pentru orice i ∈I,
altfel zis U( ∏
∈IiiA)= )(Ai
IiU∏
∈.
Dacă I este finit ă notăm ∏
∈IiiA=i
IiAX
∈.
Fie acum m 1, m 2, …, m t∈ℕ* a.î. (m i, m j)=1 pentru orice i ≠j, 1≤i, j≤t și
m=m 1m2…m t .

TEOREMA 7.2. Avem urm ătorul izomorfism de inele :
. …2 1 Z Z Z Z m m m m t≈×××
Demonstra ție. Pentru fiecare 1 ≤i ≤t fie πi: ℤ→Zmi morfismul surjectiv
canonic de inele ce duce fiecare element x ∈ℤ în clasa sa de echivalen ță modulo
mi.
Definim f : Z m→ Z Z Z m m m t 2 1…××× prin f(x)=( π1(x),…,πt(x)) pentru
orice x∈ℤ.
Dacă x, y∈ℤ și f(x)=f(y) atunci x ≡y(m) ⇔ x≡y(m i) pentru orice 1 ≤i≤t
(căci (m i, m j)=1 pentru 1 ≤i≠j≤t) ⇔ πi(x)=πi(y) pentru orice 1 ≤i≤t. Deducem
astfel că f este bine definit ă și că funcția f este o injec ție. Se verific ă imediat c ă f
este morfism de inele unitare .
Surjectivitatea lui f rezult ă fie din teorema chinezeasc ă a resturilor, fie
observând c ă | Z Z Z m m m t××× …2 1|=|Zm| = m = m 1…m t.
Deci f este un izomorfism de inele unitare. ∎

COROLAR 7.3. Cu nota țiile de la teorema precedent ă avem
următorul izomorfism de grupuri multiplcative :
) …) ( ()(
1ZU ZU ZUmmm t×× ≈ .

COROLAR 7.4. Fie φ:ℕ®ℕ indicatorul lui Euler.
i) Dac ă m 1, m 2, …,m tÎℕ* a.î. (m i, m j)=1 pentru i ¹j, atunci
φ(m1…m t)=φ(m1)…φ (m t)
ii) Dac ă p ³ 2 este num ăr prim și nÎℕ*, atunci φ(pn) = pn – pn-1 =
= pn(1-1/p)

70 iii) Dac ă ppnk k t
t…1
1= este descompunerea în factori primi a lui n,
atunci φ(n) = n (1 -1/p 1)…(1-1/p t).
Demonstra ție. i) Am văzut că |U(Z m)|=φ(n) pentru orice n ∈ℕ, n ≥ 2.
Dacă ținem cont de Corolarul 7.3. deducem c ă
) …) ( ( )(
1ZU ZU ZUmmm t×× = = ) …) ( (
1ZU ZUm m t⇔
φ(m)=φ(m1)…φ(mt)
ii) Prin calcul direct se deduce c ă între 1 și pn există pn – pn-1 numere
naturale mai mici strict decât pn și prime cu pn (adică cu p), de unde egalitatea
φ(pn)=pn-pn-1
iii)Ținând cont de i) și ii) deducem c ă

)./11)…(/11( )/11)…(/11( …) )…( () ()… ( )(
1 1 11 1
1 1 1
11 1 1
p p p p p pp p p p p p
t t tt t t
nk kk k k k k kn
tt t t
− −= − − == − −= =− −j j j

De exemplu , φ(12)=φ(23·3)=12(1-1/2)(1-1/3)=12·(1/2)(2/3)=4. ∎

§8. R ădăcini primitive modulo un num ăr prim

Dac ă ppnk k s
s…1
1= este descompunerea în factori primi a lui n, conform
Corolarului 6.3., ) …) ( ()(11ZU ZUZUp n pkssk×× ≈ astfel, pentru a determina
structura grupului multiplicativ U( ℤn) este suficient s ă studiem structura
grupurilor de forma U( ℤpn) cu p prim și n∈ℕ.
Vom începe cu cazul cel mai simplu și anume cu U(ℤp) cu p prim. Cum
ℤp este corp, U( ℤp)=ℤp*. Dacă f=a 0+a1X+…+a nXn∈ℤ[X], vom nota
Xa aan
nX f ˆ ˆˆ …ˆ
1 0+++= ∈ℤp[X].

LEMA 8.1. Fie K un corp comutativ și fÎK[X] cu grad(f)=n. Atunci
f are cel mult n r ădăcini distincte .
Demonstra ție Facem induc ție matematic ă după n. Cum pentru n=1 totul
este clar, s ă presupunem c ă afirmația din enun ț este adev ărată pentru orice
polinom din K[x] de grad ≤ n-1.
Dac ă f nu are r ădăcini în K totul este clar.
Dac ă există α∈k a.î. f( α)=0, atunci f(x)=q(x)(x- α) și grad (q)=n -1.
Dac ă β este o alt ă rădăcină a lui f, β≠α, atunci 0=f( β)=(β-α)q(β) ceea ce
implică q(β)=0. Cum prin ipoteza de induc ție q are cel mult n -1 rădăcini
distincte, deducem c ă f are cel mult n r ădăcini distincte. ș

71
COROLAR 8.2. Fie K un corp comutativ f, g ÎK[X] a.î.
grad(f)=grad(g)=n. Dac ă avem n+1 elemente distincte a1,a2,…,an+1, a.î.
f(α i )=g(α i ) pentru orice 1 ≤i≤n+1atunci f=g.
Demonstra ție Considerând h=f-g, atunci grad(h) ≤n și cum h are n+1
rădăcini distincte α1,α2,…,αn+1, deducem c ă h=0, adic ă f=g. ∎

COROLAR 8.3 . Dacă p³2 este un num ăr prim, atunci orice x Îℤ,
avem: x p-1-1ș(x-1)(x-2)…(x-p+1) (p).
Demonstra ție Cum p este prim, ℤp este corp comutativ. Considerând
][ )…(2ˆ)(1ˆ()1ˆ( ))1(1X x x x f Z p x pp∈ − −−−− = −∧
− avem c ă grad(f) ≤p-2 și
f(xˆ)=0ˆ pentru xˆ= 1 ,…,2ˆ,1ˆ−∧
p (ținând cont și de mica teorem ă a lui Fermat,
adică de Corolarul 6.3.). Conform Corolarului 8.2., f=0. ∎
Observație Dacă în corolarul 8.3. consider ăm x=0 ob ținem că
(p-1)!≡-1(p), adic ă teorema lui Wilson (Corolarul 6.5.).

PROPOZI ȚIA 8.4 . Fie p ³2 un num ăr prim și d|p-1. Atunci
congruen ța xdș1(p) are exact d solu ții.
Demonstra ție Dacă p-1=ddʹ, atunci:
1 …
11
11)( )()( 2 11
+++ + =
−−=
−− −′ −′′−
x x xxx
xx d d d
dd
dp
d dd
=g(x), adic ă
xp-1-1=(xd-1)g(x) și astfel )x(g)1ˆ(1ˆx xd 1p−=−−.
Cum 1ˆ1−−xp are exact p-1 r ădăcini (și anume 1 ,…,2ˆ,1ˆ−∧
p -conform
micii teoreme a lui Fermat ), ținând cont de Lema 8.1. deducem c ă 1ˆ−xd are
exact d r ădăcini în ℤp și astfel congruen ța xd ≡1(p) are exact d solu ții în ℤp.ș

TEOREMA 8.5 . Dac ă p este un num ăr prim, atunci U (ℤp) este un
grup ciclic .

72Demonstra ție
Soluția 1: Evident | U( ℤp ) | = | ℤp* | = p-1 iar pentru d | p-1, fie ψ(d)
numărul elementelor din ℤp* de ordin d. Conform Propozi ției 8.4. elementele din
ℤp* ce satisfac congruen ța xd≡1(p) formeaz ă un grup de ordin d. Îns ă
∑ =
dcd c)(y
, de unde se deduce c ă ψ(d) = φ(d) (φ fiind indicatorul lui Euler). În
particular, ψ(p-1) = φ(p-1)>1 (dac ă p≥ 3). Deducem c ă în ℤp*, φ(p-1) elemente
au ordinul p-1 și astfel oricare dintre ace știa genereaz ă pe ℤp*, adică ℤp* este grup
multiplicativ ciclic.
Soluția 2: Fie q qql l l t
tp … 12 1
2 1=− descompunerea în factori primi a
lui p-1 și să consider ăm congruen țele:

)(1 )2()(1 )1(1
pp
xx
qq
liilii
≡≡−
cu 1 ≤ i ≤ t
În mod evident orice solu ție a congruentei (1) este solu ție și a
congruen ței (2). Mai mult, congruen ța (2) are mai multe solu ții decât congruen ța
(1). Pentru fiecare 1 ≤ i ≤ t fie g i o soluție a congruentei (2) ce nu este solu ție a
congruen ței (1) iar g = g 1g2…g t.
Evident, ∧
iq genereaza un subgrup al lui ℤp* de ordin qli
i, 1≤ i ≤ t .
Deducem ca gˆ genereaza un subgrup al lui ℤp* de ordin q qql l l t
tp … 12 1
2 1=− .
Atunci < gˆ>=ℤp* . ∎

DEFINI ȚIA 8.6. Fie p ³2 un numar prim. Un element a ÎZ se zice
rădăcină primitiv ă modulo p dac ă aˆ genereaz ă ℤp*.

De exemplu, 2 este r ădăcină primitiv ă modulo 5 (se verific ă imediat c ă
4=5-1 este cel mai mic num ăr natural n pentru care 2n ≡1(5)), pe când 2 nu este
rădăcină primitiv ă modulo 7 (de ex. 23 ≡ 1(7) ).
Noțiunea de r ădăcină primitiv ă se poate generaliza astfel:

DEFINI ȚIA 8.7. Fie n Îℕ. Un element a Îℤ se zice rădăcină
primitiv ă modulo n dacă aˆ în ℤn genereaz ă U(ℤn). (echivalent cu a spune c ă
φ(n) este cel mai mic num ăr natural pentru care aj(n) ș1(n) ).
Observație În general nu rezult ă că U(ℤn)este ciclic.

73De exemplu , elementele lui U( ℤ8) sunt 7ˆ,5ˆ,3ˆ,1ˆ iar
1ˆ,1ˆ,1ˆ,1ˆ7ˆ 5ˆ 3ˆ1ˆ2 2 2 2= = = = neexistând deci în U( ℤ8) elemente de ordin
4=φ(8).
Rezultă că nu orice întreg posed ă rădăcini primitive.

LEMA 8.8. Dacă p este un num ăr natural prim și 1£k<p atunci
Ck
pp .
Demonstra ție Avem ∈−=)! (!!
kpkpCk
p ℕ și cum
)! (!)!1(
)! (!!
kpkppkpkp
−−⋅=− iar p nu divide nici pe k! și nici pe (p -k)!, deducem c ă
dacă notăm )! (!)!1(
kpkpq−−= , atunci q ∈ℕ și cum qp Ck
p⋅= ,atunci Ck
pp .ș
Observație Utilizând Lema 8.8. putem prezenta o nou ă demonstra ție a
micii teoreme a lui Fermat : Dac ă p este un num ăr prim și a∈ℤ a.î. p∤ a, atunci
p|ap-1-1.
Într-adev ăr, să notăm s a=ap-a. Cum s a+1 = (a+1)p-(a+1)=
aC saC a C aCa
kpp
kk
p akpp
kk
pp p
pp
ppa a a
−−
=−−
=− −
∑∑
+== +−=+−+ ++ +=
1
11
11 1 1) ()1(1 …

Ținând cont de Lema 8.8. deducem c ă sa+1≡sa(p).
Astfel s a≡sa-1≡sa-2≡…≡s1(p) și cum s 1=1a-1=0 deducem c ă sa≡0(p), adic ă p|ap-a
=a(ap-1-1) și cum p∤a obținem că p | ap-1-1.

LEMA 8.9. Dacă n ³1 este un num ăr natural, p ³2 un num ăr prim și
a, bÎℤ a.î. a șb( pn ), atunci ap ș bp( pn+1 ).
Demonstra ție Putem scrie a=b+cpn, cu c∈ℤ.
Atunci ap=(b+cpn)p =bp+Cp1bp-1c pn+x (cu x ∈ℤ și pn+2 | x) astfel c ă ap
= bp+bp-1 c pn+1+x, de unde ap ≡ bp(pn+1).ș

COROLAR 8.10. Dacă p este un num ăr prim, p ³3, nÎℕ, n³2,
atunci )( 11) 1(2p p apn napn−+≡ +−
pentru orice a Îℤ.

74 Demonstra ție Facem induc ție după n, pentru n=2 afirma ția fiind trivial ă
S ă presupunem acum c ă afirmația din enun ț este adev ărată pentru n și
să arătăm că este adev ărată pentru n+1.
Conform Lemei 8.9. avem: ) (1) 1( ) 1(11p pa apn pn pn+ −+ + ≡−
.
Dezvoltând cu ajutorul binomului lui Newton ob ținem
b
+ +=− −+ p C pan
ppan 1 11) 1(1 , unde β este o sum ă de p -2 termeni. Utilizând
din nou Lema 7.9. se verific ă imediat c ă toți termenii lui β sunt divizibili prin
p1+2(n-1), exceptând eventual ultimul termen appp(n-1). Cum n ≥2, 1+2(n-1) ≥n+1 și
cum p(n-1) ≥ n+1, adic ă pn+1|β și astfel ) ( 11) 1(2pp apn napn++≡ +−
adică
c.c.t.d.ș
Observație Fie a, n ∈ℤ a.î. (a, n)=1. Vom spune c ă a are ordinul k
modulo n dac ă este cel mai mic num ăr natural pentru care ak≡1(n). Acest lucru
este echivalent cu a spune c ă aˆ din ℤn are ordinul k în grupul U( ℤn).

COROLARUL 8.11. Dacă p ¹2 este un num ăr prim a.î. p∤a, atunci
ordinul lui 1+ap modulo pn este egal cu pn-1 (nÎℕ, n ³2).
Demonstra ție Conform Corolarului 8.10., ) ( 11) 1(2pp apn napn++≡ +−
,
de unde deducem c ă )( 11) 1(2p p apn napn−+≡ +−
adică pn-2 nu este de ordinul
lui 1+ap, rezultând astfel c ă ordinul lui 1+ap modulo pn este egal cu pn-1.ș

TEOREMA 8.12. Fie p ³3 un num ăr prim și nÎℕ*. Atunci U(ℤpn)
este grup ciclic (adic ă există în acest grup r ădăcini primitive modulo pn).
Demonstra ție Conform Teoremei 8.5. exist ă o rădăcină primitiv ă
modulo p. Dac ă g∈ℤ este o astfel de r ădăcină, atunci în mod evident și g+p este.
Dacă gp-1 ≡ 0(p2), atunci (g+p)p-1≡ gp-1+(p-1)gp-2p ≡ 1+(p-1)gp-2p (p2). Cum p2 nu
divide (p-1)gp-2 p putem presupune pentru început c ă g este o r ădăcinină primitiv ă
modulo p și că gp-1 ≢1(p2).
S ă arătăm că un astfel de g poate fi r ădăcină primitiv ă modulo pn iar
pentru aceasta este suficient s ă demonstr ăm că dacă gm ≡1(pn), atunci φ(pn)|m.
Avem c ă gp-1=1+ap, unde p∤a. Conform Corolarului 8.11., pm-1 este de
ordinul lui 1+ap modulo pm. Deoarece (1+ap)m ≡1(pn) atunci pn-1 | m;
Fie m=pn-1 m′. Atunci )(1p gm≡′. Deoarece g este o r ădăcină primitiv ă modulo
p, p-1|m′ și astfel pn-1(p-1)=φ(pn)|m.ș

75 Pentru cazul p=2 vom demonstra:

TEOREMA 8.13. Numărul 2n are rădăcini primitive pentru n=1 sau
2 iar pentru n ³3 nu are. Dac ă n³3, atunci {(-1)a5b|a=0, 1 și 0£b<2n-2}
constituie un sistem redus de resturi modulo 2n. Rezult ă că pentru n ³3
U(ℤ2n) este produsul direct a dou ă grupuri ciclice (unul de ordin 2 iar
celălalt de ordin 2n-2).
Demonstra ție Numărul 1 este r ădăcină primitiv ă modulo 2 iar 3 este
rădăcină primitiv ă modulo 22=4, deci putem presupune n ≥ 3.
Inten ționăm să demonstr ăm că :
(1) )( 1 2 2 51 21n nn−+≡−
Evident, pentru n=3 (1) este adev ărată .
Să presupunem c ă (1) este adev ărată pentru n și să demonstr ăm pentru
n+1.
La început s ă notăm că : (1+2n-1)2=1+2n+22n-2 și că 2n-2 ≥ n+1 pentru
n ≥ 3.
Aplicând Lema 8.9. congruen ței (1) ob ținem (2) ) ( 1 22 51 21++≡−n nn și
astfel (1) este probat ă prin induc ție.
Din (2) se vede c ă )(12 522nn≡− pe când din (1) avem c ă 523−n≢ )2(1n.
Atunci 5 are ordinul 2n-2 modulo 2n.
Să consider ăm mulțimea {(-1)a5b|a=0,1 și 0≤b<2n-2} format ă din 2n-1
numere și să probăm că acestea nu sunt congruente modulo 2n (deoarece
φ(2n)=2n-1 deducem c ă mulțimea de mai sus con ține un sistem redus de resturi
modulo 2n ).
Dacă prin absurd )(25)1(5)1(n ba ba ′′− − ≡ , n≥3, atunci
)4()1()1( −−′≡a a, adică a≡aʹ ( 2 ), deci a=aʹ. Atunci )(255n b b ′≡ și astfel
)(12 5n bb≡′−, de unde b ≡bʹ( 2n ), deci b=bʹ.
În final s ă notăm că (-1)a 5b ridicat la puterea 2n-2 este congruent cu 1
modulo 2n, astfel c ă 2n nu are rădăcini primitive modulo 2n, dacă n ≥ 3. ∎
Din Teoremele 8.12. și 8.13. deducem urm ătoarea descriere complet ă a
grupurilor U( ℤn ) pentru n arbitrar:
TEOREMA 8.14 . Fie p pa a n
nan …1
12= descompunerea lui n în
factori primi distinc ți. Atunci:
). ( …) ( )( )( 11 2 Z Z Z Z p panna a U U U Un ×× × ≈

76 Grupurile ) (ZpaiiU sunt grupuri ciclice de ordin )1 (1−−p pi iai, 1≤i≤n
iar U(ℤ2n) este grup ciclic de ordin 1 și 2 pentru a=1, respectiv a=2. Dac ă a≥3,
atunci U( ℤ2a ) este produsul direct a dou ă grupuri ciclice de ordine 2 și respectiv
2n-2.
Putem acum r ăspunde la întrebarea: care numere întregi posed ă rădăcini
primitive?

TEOREMA 8.15 . Num ărul n Îℕ posed ă rădăcini primitive dac ă și
numai dac ă n este de forma 2, 4, pa sau 2pa cu a Îℕ iar p ³3 un num ăr prim.
Demonstra ție Conform Teoremei 8.13., putem presupune c ă n ≠ 2k cu
k ≥ 3. Dacă n nu este de forma din enunt, este u șor de a vedea c ă n se poate
atunci scrie ca produs m 1m2 cu (m 1, m 2)=1 și m 1, m 2 >2.
Atunci φ(m1) și φ(m2) sunt simultan pare iar
) ( ) ( )(2 1 Z Z Z m mU U Un × ≈ . Însă ) (
1ZmU și ) (2ZmU au elemente de
ordin 2 iar acest lucru ne arat ă că U(ℤn ) nu este ciclic. (deoarece con ține cel mult
un element de ordin 2).
Atunci n nu posed ă rădăcini primitive.
Reciproc, am v ăzut că 2, 4, și pa posedă rădăcini primitive. Deoarece
) ( )( ) (2 2 Z Z Z p pa a U U U × ≈ deducem c ă ) (2Zpa U este ciclic, adic ă 2pa posedă
rădăcini primitive și cu aceasta teorema este demonstrat ă .ș

CAPITOLUL 7:
MULȚIMEA NUMERELOR PRIME

§ 1 Teoreme referitoare la infinitatea numerelor prime

Reamintim c ă un num ăr n∈ℕ, n≥2 se zice prim dacă singurii s ăi
divizori naturali sunt 1 și n. Num ărul natural 2 este singurul num ăr prim par iar
pentru n ≥3 dacă n este prim atunci cu necesitate n este impar (condi ție
insuficient ă după cum se poate dovedi facil în cazul lui 9 care este impar dar nu
este prim).
S-a pus de foarte mult timp întrebarea câte numere prime exist ă ? În
cadrul acestui paragraf vom prezenta anumite rezultate ce r ăspund într-un fel la
această întrebare. Vom nota prin P mulțimea numerelor prime.

77
TEOREMA 1.1.( Euclid ) Mulțimea P este infinit ă.
Demonstra ție Să presupunem prin absurd c ă mulțimea P este finit ă,
P={p1, p2, … p n } (unde în mod evident p 1=2, p 2=3, p 3=5, etc.).
Vom considera p =p1p2…p n +1 și să observăm că p >1 iar p i∤p pentru
1≤i≤n. Ținând cont de teorema fundamental ă a aritmeticii (teorema – de la
cap.6), va exista un num ăr prim q >1 care s ă dividă pe p. Cum toate numerele
prime sunt presupuse a fi doar p 1,…, p n deducem c ă q=pi cu 1≤i≤n, ceea ce este
absurd c ăci p i∤p pentru orice 1 ≤i≤n. Deci P este mul țime infinit ă. ∎
Observație În continuare pentru fiecare num ăr natural n ≥1 vom nota
prin p n al n-ulea num ăr prim, astfel c ă P={p1, p2, …,p n,…} (evident p 1=2, p 2=3,
p3=5, etc).
O alt ă întrebare fireasc ă legată de mulțimea numerelor prime a fost dac ă
anumite submul țimi infinite ale lui ℕ conțin sau nu o infinitate de numere prime.
În acest sens merit ă amintit un rezultat celebru al lui Dirichlet :

TEOREMA 1.2. (Dirichlet) Dacă a, b∈ℕ* iar (a, b) =1, atunci
mulțimea {an+b | n ∈ℕ} conține o infinitate de numere prime.

În cadrul acestei lucr ări nu vom prezenta o demonstra ție a Teoremei 1.2.
(cititorul poate consulta în acest sens lucr ările [21] și [23] ).
Totu și pentru anumite valori particulare ale lui a și b vom prezenta în
cadrul acestei lucr ări demonstra ții complete.

Iat ă la început dou ă exemple:

TEOREMA 1.3. Există o infinitate de numere prime de forma 4n-1
cu n∈ℕ*.
Demonstra ție Să presupunem prin reducere la absurd c ă mulțimea
{4n-1| n∈ℕ*} conține numai un num ăr finit de numere prime, fie acestea q 1,…,
q t și să consider ăm numărul q=4q1q2…q t –1.
Num ărul q trebuie s ă aibă un factor prim de forma 4k-1 (c ăci dacă toți
factorii primi ai lui q ar fi de forma 4k+1 atunci și q ar trebui s ă fie de forma
4k+1. Deci ar trebui ca q i să dividă pe q, ceea ce este absurd.), de unde concluzia
din enun ț. ∎

78 TEOREMA 1.4. Există o infinitate de numere prime de forma 6n-1,
n∈ℕ*.
Demonstra ție Să presupunem prin absurd c ă există doar un num ăr finit
de numere prime de forma 6n-1 și anume q 1, q2,…,q k. Să consider ăm numărul
q=6q1q2…q k -1. Cum un num ăr prim este de forma 6t-1 sau 6t+1, deducem c ă q
trebuie s ă conțină un factor prim de forma 6t-1 (c ăci în caz contrar ar trebui ca q
să fie de forma 6k+1. Deci ar trebui ca un q i să dividă pe q, ceea ce este absurd.),
de unde concluzia din enun ț. ∎

§2. Ciurul lui Eratostene

Fiind dat un num ăr natural n ≥2, pentru a stabili dac ă el este prim sau nu
este suficient s ă verificăm dacă el este divizibil doar prin acele numere prime
p≤n.
Într-adev ăr, să presupunem c ă n este compus și că toate numerele prime
ce-l divid verific ă inegalit ățile npn≤< . Dacă un anumit num ăr prim p 0
divide pe n, atunci putem scrie p =p0n0 pentru un n 0≥2.
Atunci n
nn
pnn =<=
00 și n0 | n. Num ărul n 0 va avea cel pu țin un
factor prim (care va fi mai mic decât n) – absurd !.
Ob ținem astfel un criteriu simplu de a determina dac ă un num ăr natural
este prim sau nu : Dacă un număr natural n nu este divizibil prin nici un num ăr
prim n p≤ atunci num ărul n este prim .
Acest criteriu st ă la baza ,,ciurului” prin care Eratostene a stabilit care
numere dintr-o mul țime finit ă de numere naturale sunt prime.
Mai precis, el a scris de exemplu toate numerele de la 2 la n în ordine
crescătoare. A t ăiat toți multiplii proprii ai lui 2, apoi to ți multiplii proprii ai lui
3, pe urm ă pe cei ai lui 5.
Se observ ă că cel mai mic num ăr natural superior lui 5 care nu a fost
tăiat este 7 și se taie atunci și toți multiplii lui 7.
Se continu ă în felul acesta procedeul de t ăiere până se ajunge la etapa
când cel mai mic num ăr natural din șirul 2, 3, …,n care nu a fost t ăiat este ≥n.
Atunci procedeul se opre ște deoarece conform criteriului enun țat mai înainte
toate numerele net ăiate din șirul 2, 3, …,n sunt numere prime p ≤n.

79 De exemplu num ărul 223 nu se divide cu 2, 3, 5, 7, 11 și 13. Este inutil
să verificăm dacă se mai divide cu 17 c ăci 172=289 >223, rezultând astfel c ă 223
este prim. Procedeul descris mai sus poart ă numele de ciurul lui Eratostene .
Pe aceast ă cale se poate ob ține următorul șir de numere prime mai mici
decât 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 59, 61, 67,
71, 73, 79, 83, 89, 97.
În anul 1909 au fost editate tabele cu numerele prime <10.000.000, în
care se dau cei mai mici divizori primi pentru fiecare num ăr natural ≤10.170.600
care nu se divid la 2, 3, 5 sau 7.
În anul 1951 au fost publicate tabele de numere prime pân ă la
11.000.000.
Jacob Philipp Kulik (1793-1863) a întocmit tabele de numere prime
până la 100.000.000 (manuscrisul se p ăstrează la Academia Austriac ă de Științe
din Viena). În finalul lucr ării, în cadrul Anexei 1 prezent ăm numerele prime de la
1 la 10.000.
C. L. Baker și J. F. Gruenberger au întocmit în anul 1959 un microfilm
care con ține toate numerele prime mai mici decât p 6000000=104. 395. 301 .

§3 Teorema Bertrand-Cebî șev

În cadrul acestui paragraf vom demonstra urm ătorul rezultat:
TEOREMA 3.1. Dacă n∈ℕ, n≥4, atunci între n și 2(n-1) se afl ă cel
puțin un num ăr natural prim.
Acest rezultat a fost formulat înc ă din anul 1845 de c ătre J. Bertrand
însă cel care a prezentat primul o solu ție a acestuia a fost P. L. Cebî șev în anul
1850.
În cele ce urmeaz ă vom prezenta o solu ție a lui P. Erdös (adaptat ă de L.
Kalmar).
Aceast ă soluție se bazeaz ă pe demonstrarea câtorva leme:
LEMA 3.2. Dacă n∈ℕ, n>1, atunci

nCn
n
n24
2> (1).
Demonstra ție Facem induc ție după n. Pentru n =2, (1) este adev ărată
deoarece 16 18 423 826
28
22462
2
4 >⇔> ⇔> ⇔= >=C ceea ce este
evident.

80 Cum n
nn
n CnnC21
2211 22 ⋅++⋅=+
+ , pentru a proba (1) pentru n+1, este
suficient s ă demonstr ăm că
()
1 4 12
12 1
112
1 24
24
11221
+ >+⇔
+>⋅++⇔
+>⋅++⋅+
nn n
n n nn
n n nnn n
⇔
⇔ 4n2+4n+1>4n2+4n ⇔1>0 ceea ce este evident . ∎

LEMA 3.3. Dacă definim P 1=1 iar pentru n ≥2, P n∏
≤=
npprimpp, atunci
Pn<4n, pentru orice n∈ℕ*.
Demonstra ție Facem din nou induc ție după n. Pentru n =1, 2 totul este
clar. Presupunem lema adev ărată pentru toate numerele <n și să o demonstr ăm
pentru n.
Dacă n este par, atunci P n=Pn-1 și totul este clar. Dac ă n este impar,
n=2k+1 (k∈ℕ*), atunci orice num ăr prim p a.î. k+2 ≤p≤2k+1 este un divizor al
lui ()()()
kk kk kCk
k⋅⋅+ − +=+…..212 …..1 221 2
12 .
Din ()k
kk
kk
kkC C C121
12 12122 11++
+ ++= + > + deducem c ă k k
kC 412<+ . (2)
Produsul tuturor numerelor prime p a.î. k+2 ≤p≤2k+1 divizând k
kC12+
este inferior lui 4k (ținând cont de (2)) . Scriind c ă Pn=P2k+1=Pk+1·∏
≤≤+ np kprimpp
2 și
ținând cont de ipoteza de induc ție P k+1<4k+1 și de (2) deducem c ă
Pn<4k+1 ·4k=42k+1=4n și astfel Lema 3.3. este demonstrat ă. ∎

LEMA 3.4. Dacă p este un num ăr prim ce divide n
nC2 a.î. n p 2≥ ,
atunci p apare cu exponentul 1 în descompunerea lui n
nC2 în factori primi.
Demonstra ție Exponentul lui p în ()
()
2 2
!!2
nn
Cn
n= va fi
∑
≥






−



=
122
kk kpn
pna
.

81Dacă p≥ n2 (avem p = n2 ⇔n=2 în care caz lema este adev ărată
căci 322
4⋅=C ), atunci pentru n ≥3 avem p ≥ n2, de unde deducem imediat c ă
2 22<
⋅−
=pn
pna
, de unde α=1 și astfel lema este demonstrat ă. ∎

LEMA 3.5. Dacă p este un num ăr prim, r∈ℕ* a.î. pr|n
nC2, atunci
pr≤2n și ()()n n
n n C2
2 2p
≤ (unde pentru x ∈ℝ + prin π(x) desemn ăm num ărul
numerelor prime q ≤x).
Demonstra ție Din pr|n
nC2, deducem c ă exponentul lui p în
descompunerea lui n
nC2 în factori primi (care este ∑
≥






⋅−



=
122
kk kpn
pna
)
verifică inegalitatea α ≥r. Dacă am avea pr >2n, pentru k ≥r am avea




⋅−




k kpn
pn22=0 și atunci =a
∑−
=1
1r
k






⋅−




k kpn
pn22. Cum pentru orice
x∈ℝ avem [][]≤⋅− x x2 2 1 ar trebui s ă avem α ≤r-1 ceea ce contrazice faptul c ă
α ≥ r. Deci pr ≤2n . Ținând cont și de lucrul acesta, pentru a demonstra partea a
doua a lemei ținem cont de faptul c ă în descompunerea în factori primi a lui n
nC2
nu pot să apară decât numere prime q ≤2n, de unde deducem c ă ()()n n
n n C2
2 2p
≤ .
∎
LEMA 3.6. Dacă n∈ℕ, n>2, atunci nici un num ăr prim p a.î.
<⋅n32p≤n nu poate s ă dividă n
nC2.
Demonstra ție Dacă 32n<p≤n, atunci pn2<3 și ≥pn1, deci 22≤

pn
și 1≥

pn, de unde deducem c ă 0122 22=×−≤
⋅−

pn
pn. Cum pentru
orice x∈ℝ, [][]0 2 2 ≥⋅− x x , deducem c ă 0 22=
⋅−

pn
pn.

82 Pentru k>1, avem pk >2
94n și atunci <<n pn
k29 21 pentru n>1, deci
0 22=



⋅−




k kpn
pnpentru k>1 și n >4. Rezult ă astfel că pentru n >4, p∤n
nC2 .
Pentru n =3 sau n =4, cu necesitate p =3 și din nou lema este adev ărată
căci 203
6=C iar 704
8=C ce nu se divid prin 3. ∎

LEMA 3.7. Un num ăr prim p a.î. n <p<2n apare în descompunerea
lui n
nC2 în factori primi cu exponentul 1 (n ≥2).
Demonstra ție Dacă n<p<2n, atunci 221 <<pn și 1<pn, deci
12=

pnși 0=

pn. Pentru k≥2, avem n pn
pn
k2 2 2
2<≤ , deci pentru n>1 avem
12<kpnși 02=




kpn ca și 0=




kpn.
Deci exponentul α al lui p în n
nC2 este 1. ∎

LEMA 3.8. Dacă n∈ℕ, n≥14, atunci π(n) ≤ 12−n.
Demonstra ție Se verific ă imediat c ă π(14)=6= 1214−, adică lema este
adevărată pentru n =14.
În șirul 1, 2, …,n numerele 4, 6, …,
⋅22n (în num ăr de 12−
n) sunt
compuse. Pe de alt ă parte, pentru n ≥15, șirul 1, 2, …,n con ține și numerele
impare compuse 1, 9 și 15, de unde deducem c ă
π(n) ≤ 1222312−<−
−=


+−
−n nnnn . (căci 12 2−>
 n n) și astfel lema
este probat ă (observând c ă pentru n≥15 avem chiar ()
12−<nnp
). ∎

83LEMA 3.9. Fie ∏
<<=
npnprimpn p R
2 (sau R n=1 dac ă nu exist ă astfel de
numere prime). Atunci, pentru n ≥98 avem
()
23
2 24
nn
n
n nR
⋅> (3) .
Demonstra ție După felul în care am definit pe R n deducem c ă Rn |n
nC2,
deci putem scrie =n
nC2 Rn·Qn , cu Q n ∈ℕ*.
Conform Lemei 3.7., dac ă p este un num ăr prim a.î. n <p<2n , atunci
p∤Qn și prin urmare dac ă p este prim și p|Q n , cu necesitate p ≤n. Conform Lemei
3.6. avem chiar mai mult, n p32≤ , astfel c ă produsul divizorilor primi ai lui Q n
va fi cel mult egal cu


32nP iar conform Lemei 3.3. acest produs va fi
32
32
4 4n n
≤ <

.
Conform Lemei 3.4., cum Q n |n
nC2 se vede c ă exponentul unui num ăr
prim p din descompunerea lui Q n nu va fi >1 decât dac ă p< n2 .
Numărul acestor numere prime va fi conform Lemei 3.8. (înlocuind în
aceasta pe n prin []n2, lucru posibil deoarece n ≥98 ⇒ 14 2≥n , de unde și
[]14 2≥n ) inferior lui 22n.
Conform Lemei 3.5., produsul puterilor acestor numere prime (care
divid Q n, deci și pe n
nC2) va fi cel mult egal cu ()
222nn , de unde deducem în
final că Qn<()
22 32
2 4nn
n⋅ . (4)
Astfel, cum R n=
nn
n
QC2 deducem, ținând cont de Lema 3.2. și
inegalitatea (4) c ă
()()
23
22
32
2 24
2 41
24
nn
nnn
n
n nnnR
⋅= ⋅ > adică exact
inegalitatea (3). ∎

LEMA 3.10. Dacă k∈ℕ, k≥8, atunci 2k >18(k+1).

84Demonstra ție Cum 28=256 >18·9 iar dac ă 2k>18(k+1), atunci
2k+1=2·2k>2(18(k+1)) =36k+36>18k+36 =18(k+2), deducem conform
principiului induc ției matematice c ă lema este adev ărată pentru orice k ≥8. ∎

LEMA 3.11. Dacă x∈ℝ, x≥8, atunci 2x >18x .
Demonstra ție Pentru x∈ℝ, x≥8 avem [x] ≥8 și conform Lemei 3.10.
avem 2x ≥2[x] ≥18([x]+1) >18x . ∎

LEMA 3.12. Dacă k∈ℕ, k≥6, atunci 2k >6(k+1).
Demonstra ție Se face induc ție matematic ă după k (sau, dac ă ținem cont
de Lema 3.10. mai avem de demonstrat inegalit ățile pentru k =6 și k=7 care sunt
adevărate deoarece 26 >64 > 6·7 și 27>128>6·8) .∎

LEMA 3.13. Dacă x∈ℝ, x≥6, atunci 2x >6x .
Demonstra ție Analog ca în cazul Lemei 3.11. ∎

LEMA 3.14. Dacă n∈ℕ, n≥648, atunci R n >2n.
Demonstra ție Ținând cont de Lema 3.9. este suficient s ă demonstr ăm că
pentru n ≥648 avem ()
232 4 4nnn nn> . Cum pentru n ≥648, 662≥n,
conform Lemei 3.13. avem nn
2 262
> , de unde ridicând ambii membrii la
puterea n2deducem c ă ()
232 2nnn> .
De asemenea, din n ≥648, deducem c ă 892>n și atunci conform Lemei
3.11. avem nn
4 292
> , de unde nn nnn
4 44 23> > .
Deci pentru n ≥648, ()
2 32 2nn
n> și nnn
4 23> de unde
()
232 4 4nnn nn> și cu aceasta lema este demonstrat ă. ∎

LEMA 3.15. Dacă n≥6, atunci între n și 2n se afl ă cel pu țin dou ă
numere prime distincte.

85 Demonstra ție Dacă n≥648, atunci conform definirii lui R n, dacă în
intervalul (n, 2n) nu ar exista nici un num ăr prim, sau numai unul, atunci R n ≤2n,
ceea ce ar fi în contradic ție cu Lema 3.14.
Dac ă n=6, lema este adev ărată căci între 6 și 12 se afl ă numerele prime
7 și 11.
Mai avem de demonstrat Lema 3.15. pentru 7 ≤n≤647. Acest lucru poate
fi făcut fie direct (utilizând un tabel de numere prime ≤1000), fie construind un
șir de numere prime q 0, q1,…q m a.î. q 0=7, q k < 2qk-2, 2≤k≤m și qm-1>a=647.
O dat ă construit un astfel de șir (cum ar fi de exemplu șirul 7, 11, 13,
19, 23, 37, 43, 73, 83, 139, 163, 277, 317, 547, 631, 653, 1259 pentru m =16), să
vedem cum rezult ă Lema 3.15. pentru 7 ≤n≤a=647.
Primul termen al șirului q 0, q 1, …q m nu dep ășește pe n decât dac ă
qm>qm-1 >a≥n, deci q m>n.
Exist ă deci un indice maximal k <m-1 a.î. q k<n. Atunci k+2 ≤m, n<qk+1
și cum q k+2<2qk≤2n, între n și 2n exist ă cel puțin numerele prime q k+1 și qk+2 și
cu aceasta lema este complet demonstrat ă. ∎

TEOREMA 3.16. (Cebî șev) Dacă n∈ℕ, n≥4, atunci între n și 2(n-1)
avem cel pu țin un num ăr prim.
Demonstra ție Pentru n =4 și n=5 teorema este adev ărată în mod evident
deoarece între 4 și 6 se afl ă 5 iar între 5 și 8 se afl ă 7. Pentru n ≥6, conform Lemei
3.15. între n și 2n se afl ă cel puțin două numere prime distincte p și q cu p <q.
Dacă cel mai mare dinte acestea este q =2n-1, cel ălalt trebuie s ă fie <2n-2 căci
2(n-1) este par și compus pentru n ≥6. Deci n <p<2(n-1). Dac ă q<2n-1, cum
p<q, din p <q deducem c ă n<p<2n-2 și cu aceasta Teorema lui Cebî șev este
complet demonstrat ă. ∎

În continuare vom prezenta câteva corolare la Teorema lui Cebî șev:
COROLARUL 3.17. Dacă n∈ℕ, n≥2, atunci între n și 2n se afl ă cel
puțin un num ăr prim.
Demonstra ție Dacă n≥4 totul rezult ă din teorema lui Cebî șev. Dacă n=2
între 2 și 4 se afl ă 3 iar dac ă n=3 atunci între 3 și 6 se afl ă 5. Astfel Corolarul
este demonstrat pentru orice n ≥2. ∎
Observație În anul 1892 J. J. Sylvester a demonstrat urm ătoarea
generalizare a Corolarului 3.17.:

86 Dacă n, k ∈ℕ, n>k, atunci în șirul n, n+1, …n+k-1 se afl ă cel pu țin
un num ăr admi țând un divizor prim > k.
Corolarul 3. 17. Se deduce acum din acest rezultat pentru n =k+1.
Această generalizare a mai fost demonstrat ă și de I. Schur în 1929 ca și
de P. Erdös în 1934.
COROLARUL 3.18. Dacă k∈ℕ, k>1, atunci p k<2k (unde p k este al
k-lea num ăr prim).
Demonstra ție Facem induc ție după k. Pentru k =2 avem p 2=3<22. Dacă
pk<2k, conform Corolarului 3.17. exist ă cel pu țin un num ăr prim p a.î.
2k<p<2·2k=2k+1 și astfel corolarul este demonstrat. ∎

COROLARUL 3.19. Dacă n∈ℕ, n≥2, atunci în descompunerea lui
n! în factori primi g ăsim cel pu țin un num ăr prim cu exponentul egal cu 1.
Demonstra ție Corolarul este în mod evident adev ărat pentru n =2 și
n=3. (2!=2, 3!=2·3) .
Fie acum n ≥4. Dacă n este par, n =2k, atunci k ≥2 și conform
Corolarului 3.17. între k și 2k=n găsim cel pu țin un num ăr prim p a.î.
k<p<2k=n.
Vrem să demonstr ăm că p apare cu exponentul 1 în descompunerea în
factori primi a lui n!. Într-adev ăr, următorul num ăr din n! ce ar fi multiplu de p
este 2p îns ă din kn.
Dacă n este impar, n =2k+1⇒k≥2 și din nou conform Corolarului 3.17.
între k și 2k găsim cel pu țin un num ăr prim p (k <p<2k). Avem deci p <2k<n și
2p>2k ⇒2p>2k+1 =n și din nou ajungem la concluzia c ă p apare în
descompunerea lui n! cu exponentul 1. ∎
Observație De fapt, Corolarele 3.17. și 3. 19. sunt echivalente.
Într-adev ăr, mai înainte am v ăzut cum Corolarul 3.17. implic ă Corolarul
3.19..
Reciproc, s ă admitem c ă ceea ce afirm ă Corolarul 3.19. este adev ărat (adic ă
pentru orice num ăr natural n ≥1 în n! exist ă cel pu țin un num ăr prim cu
exponentul 1) și să demonstr ăm Corolarul 3.17. (adic ă pentru orice n ≥2, între n și
2n se afl ă cel puțin un num ăr prim).

87Într-adev ăr, fie p num ărul prim ce apare în descompunerea în factori
primi a lui (2n)! cu exponentul 1. Avem p <2n<2p căci dacă am avea 2p ≤2n,
atunci în (2n)! =1·2·…·(n-1)·n ·(n+1)·…·(2n) apar și p și 2p și astfel exponentul
lui p în (2n)! ar fi cel pu țin 2. În concluzie, 2n <2p, adic ă n1.
COROLARUL 3.21 . Pentru orice k ∈ℕ, k≥4, avem inegalitatea
pk+2<2pk.
Demonstra ție Pentru k ≥4 avem p k>p3=5 și atunci conform Lemei 3.15.
între p k și 2p k există cel puțin două numere prime distincte. Cum cele mai mici
dintre aceste numere vor fi p k+1 și pk+2 avem p k+2<2pk . ∎

COROLARUL 3.22. Pentru orice k ∈ℕ, k≥2 avem p k+2<pk+1+pk .
Demonstra ție Pentru k =2, 3 se verific ă imediat prin calcul iar pentru
k≥4 totul rezult ă din corolarul precedent. ∎

COROLARUL 3.23. Dacă n, k∈ℕ, n≥2, atunci
∉+++++kn nn1…11 1ℕ.
Demonstra ție Dacă kn nnx+++++=1…11 1∈ℕ, atunci x≥1 și cum
nkx1+< , cu necesitate k+1>n și deci k≥n. Fie p cel mai mare num ăr prim
≤n+k. Atunci 2p>n+k . Conform Corolarului 3.17., între p și 2p găsim cel pu țin
un număr prim q, iar dac ă am avea 2p≤n+k, atunci p<q<n+k, în contradic ție cu
alegerea lui p. Deci n+k<2p.

88Cum k≥n, atunci n+k≥2n și din nou conform Corolarului 3.17, între n
și 2n exist ă un num ăr prim r. Cum r<2n ≤n+k, ținând cont de felul în care l-am
ales pe p deducem c ă r≤p.
De asemenea, deoarece n<r, avem n<p ≤n+k<2p.
Deducem de aici c ă printre termenii sumei kn nnx+++++=1…11 1
există numai unul al c ărui numitor s ă fie divizibil prin p. Punând pe x sub form ă
de fracție (cu numitorul ()()kn nn +⋅⋅+⋅ …1 ) se observ ă că printre termenii ce
dau num ărătorul lui x exist ă unul ce nu se divide prin p.
Atunci, dac ă scriem tmx= (cu ()()kn nnt +⋅⋅+⋅= …1 ), p|t și p∤m, de
unde concluzia c ă x∉ℕ.∎

§4 Inegalit ățile lui Cebî șev

Reamintim c ă pentru x∈ℝ +, prin π(x) am notat num ărul numerelor
prime p≤x. Astfel, π(1)=0, π(2)=1, π(3)=π(4)=2, π(5)=π(6)=3, π(100)=25,
π(1000) =168, etc.
În anul 1958, D. H. Lehmer a calculat π(108) și π(109) arătând că
π(108)=5761455 și π(109)=50847534.
Evident, π(pn)=n pentru orice n ≥1.
Reamintim c ă în cadrul Lemei 3.9. am definit pentru n ≥1, R n= ∏
≤< npnprimpp
2.
Există π(2n)–π(n) numere prime p a.î. n <p≤2n și cum toate aceste numere prime
sunt ≤2n deducem c ă Rn≤()()()n nnp p
−22 . Ținând cont de Lema 3.9., deducem c ă
pentru n ≥98 avem inegalitatea ()()()
()
232
2 242
nn
n n
nnn >−p p
, de unde,
logaritmând în baza 10 deducem inegalitatea
(1) π(2n)–π(n) >()()()



− −
nn
nn
nn
22lg3
24lg34lg2lg3 .
Cum 0lglimlglim = =
∞→ ∞→ xx
xx
x x, din (1) deducem c ă ()() [ ]n n
xp p
−
∞→2 lim ∞=.

89 De aici deducem urm ătorul
COROLAR 4.1. Pentru orice num ăr natural k exist ă un num ăr
natural m k a.î. pentru orice n≥mk , exist ă cel pu țin k numere prime între n și
2n.

Fie acum p 1,…p r numerele prime ce intr ă în descompunerea în factori
primi a lui n
nC2 (evident p 1, p2, …p r ≤2n). Fiecare num ăr p i apare la puterea








−




++






−



i i q
iq
i i i pn
pn
pn
pn22…. 22, unde q i este cel mai mare num ăr
natural pentru care iq
ip≤ 2n.
Cum pentru orice a ≥0, []
022 =
−aa sau 1, deducem c ă suma
≤







−




∑
=iq
kk
ik
i pn
pn
122
i
qq
i=++434211…1 , astfel c ă fiecare p i apare în descompunerea
lui n
nC2 la o putere ≤qi, deci ≤ ≤rq
rq n
n p p C …..1
1 2 ()()()r
orirn n n 2 2…2 =43421.
Cum r =π(2n) deducem c ă ()()n n
n n C2
2 2p
≤ (este de fapt o re-
demonstrare a inegalit ății din cadrul Lemei 3.5. !).
Pe de alt ă parte, ()()()
nn n nCn
n⋅⋅⋅+ −⋅=…..211 ….12 2
2 se divide prin produsul
tuturor numerelor prime p s+1, ps+2,…p r mai mari decât n și mai mici decât 2n (am
notat prin p 1,… p s toate numerele prime mai mici decât n).
Astfel, > ≥++ r s sn
n p pp C …2 1 2 nn nn
orisr=⋅⋅⋅
−43421….r-s.
Cum r =π(2n) și s=π(n), deducem c ă
(2) ()()()()n n
nn nn C n2
222p p p
<<−.
De asemenea, pentru orice num ăr natural n ≥1, avem
(3) n n
nnC 4 22<< .
Comparând (1) cu (2) deducem c ă ()()n nn22 2p
< , de unde prin
logaritmare în baza 10 deducem:
(4) ()() ()
nn
nnn2lg2… 15051,02lg2
22lg2 ⋅ = ⋅> p

90Cum pentru n ≥1 avem 32
122≥+nn deducem c ă
()()()() ()
()
12… 10034,012… 15051,0322… 15051,0 2lg2 12lg12
+⋅ ==+ ⋅> > >+ +
nn n n n n n p p

sau ()()
1 2lg1 2…. 10034,01 2++⋅ >+nnnp
.
Obținem astfel urm ătorul rezultat:
PROPOZI ȚIA 4.2. Pentru orice num ăr natural n>1, avem
inegalitatea ()
nnnlg1,0⋅> p
.
Tot din combina ția inegalit ăților (2) și (3) deducem c ă ()() n n nn2 22<−p p

pentru orice n >1, de unde prin logaritmare deducem c ă
()() [ ] 2lg2 lg 2 n n n n < −p p
, adică ()()
nn
nnn nlg…. 60206,0lg2lg2 2 ⋅ =⋅ <−p p
.

Fie acum x ≥0 un num ăr real. Dac ă notăm nx=

2, atunci în mod
evident x =2n sau 2n+1 și vom avea
() ()()
nn
nnn nxxlg…. 60206,11lg… 60206.01 22⋅ <+ <+− ≤

− p p p p

(deoarece 1lg>nn).
Se verific ă imediat c ă pentru n ≥3, din n <x rezultă xx
nn
lg lg< , deci
pentru 32≥
x avem ()
xx xxlg….. 60206,12<

−p p
.
(Este u șor de verificat c ă ultima inegalitate este valabil ă și pentru 32<
x;
într-adev ăr, dacă 32<
x, diferen ța ()


−2xxp p
evident poate fi egal ă cu 2

91(pentru 2,5 ≤2x<3), cu unu sau cu zero; în toate aceste cazuri, produsul
xx
lg… 60206,1 ⋅ va lua valoarea cea mai mare).
Astfel, pentru orice x∈ℝ +
( 5) ()
xx xxlg… 60206,12⋅ <

−p p
.
Din (5) deducem mai departe c ă
() ()
()
x xx
xxxxxxxxxx xx x
⋅ ≈

+ <

⋅+⋅ ⋅ <<

−

+


− =

−
75257,122lg…. 60206,122lglg… 60206,1 lg2lg lg2lg2 2lg2lg
pp p p p p

(am folosit faptul evident: 2 2x x<

p
).
Deci ()
xx xxx ⋅ <

− 75257,12lg2lg p p
.
Fie acum n ∈ℕ, n>1. Conform ultimei inegalit ăți avem
()
2… 75257,14lg4 2lg2… 75257,12lg2lg
n n n n nnn nnn
⋅ <



−



⋅ <



−
p pp p

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1 12… 75257,1
2lg
2 2lg
2− − −⋅ <



−




k k k k kn n n n np p

(vom alege pe k a.î. 2k>n).
Adunând aceste inegalit ăți deducem c ă :
()
n nnnn nnn nn nk
k k k
4 … 50514,32112… 75257,1
2…2… 75257,1
2lg
2lg1
<⋅ <<
−−
⋅ =

+++ < 

−−p p

92Cum pentru 2k>n, 1
2<knși deci 0
2=


knp
, deducem c ă
()
nnnlg4⋅1, ()
nnnlg4⋅1, avem dubla
inegalitate ()
nnnnn
lg4lg1,0 ⋅<<⋅ p
.
Observații 1. Dacă trecem la logaritmi naturali, Propozi ția 4.4 cap ătă o
formulare mai elegant ă ()
nnnnn
lg11,1lg92,0 ⋅<<⋅ p
, astfel c ă variația funcției
π(n) este redat ă cu o mai mare exactitate de func ția nn
lg (factorii numerici 0,92
și 1,11 difer ă puțin de 1). Aceste rezultate apar țin de asemenea lui Cebî șev.
2. Cebî șev a demonstrat de asemenea c ă dacă raportul ()np
:nn
lg tinde
(pentru ∞→n ) la o limit ă l, atunci l=1. Faptul c ă limita raportului π(n):nn
lg
există pentru ∞→n (și deci este egal ă cu 1) a fost demonstrat ă pentru prima
dată de J. Hadamard (la aproximativ 50 de ani de la lucr ările remarcabile ale lui
P. L. Cebî șev) utilizând un aparat matematic complicat, specific matematicilor
superioare (o demonstra ție elementar ă a fost totu și dată ceva mai târziu de
matematicianul danez A. Selberg; recomand ăm cititorului lucrarea [21]).
Ob ținem deci ()
nnnlg≈ p
pentru n>1.
TEOREMA 4.5. (Cebî șev) Pentru x∈ℝ, x≥2 avem dubla inegalitate
()
xxxxx
lg2lg9lg42lg⋅ <<⋅ p
.
Demonstra ție Pentru prima inegalitate ținem cont de dou ă inegalit ăți
stabilite mai înainte și anume
()()()()n n
nn nn C n2
222p p p
<<− și

93 n n
nnC 4 22<< pentru n∈ℕ, n≥2, de unde deducem c ă
()()
nnn nlg2lg2 2 ⋅ ≤−p p
și ()()
nnn2lg2lg 2 ⋅≥ p
.
Pentru x ∈ℝ, x≥2, alegem acum n ∈ℕ a.î. 12+<≤ nxn , astfel c ă
()()()()
xx
xn
xn
nnn xlg42lg
lg2 2
42lg
lg2lg2lg2lg 2 ⋅>+⋅≥⋅≥ ⋅≥ ≥p p
.
S ă stabilim acum a doua inegalitate.
Pentru un num ăr real oarecare y ≥4, alegem n∈ℕ a.î. nyn ≤<−21 .
Astfel,
() ()()()
()
yy
yy
yyyy
nnn nyy
lg2lg41lg2lg31lg2lg2 21
2lg2lg21lg2lg21 22
<+ ≤++≤≤+
+≤+ ≤+− ≤

− p p p p

Am demonstrat astfel c ă pentru y ∈ℝ, y≥4, avem
() ()
yy yylg2lg42<

−p p
.
Evident c ă pentru 2 ≤y<4 avem ()
22≤

−yyp p
și cum func ția
yyylg→ își atinge valoarea minim ă în y =e, deducem c ă
()()
ye yyy
lg2
2≤

−p p
pentru 2 ≤y≤4.
Cum îns ă 2lg42<e, deducem c ă () ()
yy yylg2lg42<

−p p
pentru
orice y≥2.
Astfel, pentru y ≥2, avem:
() ()
2lg22lg42lg2lg2 2lg2lgyyyyyyy yy y + <

+


− =



− p p p p p
2lg29= .

94Fie acum x∈ℝ, x≥2 și r∈ℕ a.î. 2r+1≤x<2r+2.
Înlocuind în ultima egalitate pe rând pe y cu x, rx x x
2,….,
2,22 obținem r+1
inegalități ; adunând membru cu membru aceste inegalit ăți și ținând cont de
faptul c ă 0
21=


+rxp
ob ținem în final c ă
() ()
xx xx xxr2lg92lg
2…2 29lg <

+++< p
, adică a doua inegalitate din enun ț.
∎
Observație În cartea lui G.Tenenbaum : Introduction à la théorie
analitique des nombres (Université de Nancy, 1991, p. 22) se demonstreaz ă că
pentru x≥52 avem ()



+⋅<<


+⋅x xxxx xx
lg231lg lg211lgp
.

TEOREMA 4.6. Pentru n∈ℕ, n ≥2 avem 2lglg8
2lg9lg nnpnn
n<< .
Demonstra ție Ținând cont de Teorema 4.5., pentru n ∈ℕ, n≥1 avem :
()()
nn
nppp nlg2lg9< =p
, de unde deducem prima inegalitate din enun ț. Cum
funcția f:(0,+ ∞)→ℝ, f(x)=
xxlg pentru x>0, este descresc ătoare pentru x >e2
iar f (e9)<42lg deducem c ă pentru x ≥e9 avem 42lg lg<
xx. Deci, dac ă pn ≥e9
avem 42lg lg<
nn
pp.
Pe de alt ă parte, pentru n ≥1, avem ()
nn
nppp nlg42lg⋅> =p
. Combinând
cele dou ă inegalități obținem că dacă pn≥e9, atunci
nn
nn
ppn
pp lg
42lg lg<< , ceea
ce implic ă printre altele c ă n pn< și că lg p n <2 lg n.

95 Deducem c ă pentru p n≥e9, n n p n pn n lg2 lg42lg⋅<⋅< și astfel
membrul drept al inegalit ății din enun ț este verificat pentru p n≥e9. Pentru
2≤pn<e9 inegalitatea din enun ț se verific ă prin calcul direct. ∎
Observație În lucrarea lui B. Rosser : The n-th Prime is Greater than
n lg(n) din Proc. London Math. Soc., vol. 49, 1939, pp. 21- 44 se demonstreaz ă
că dacă n≥4, atunci n lg n +n lg (lg n) –10n < p n<n lg n +n lg (lg n)+8n.
Într-o lucrare mai recent ă a lui B. Rosser și L. Schoenfeld :
Aproximate formulas for some functions of prime numbers din Ilinois J.
Math vol. 6, 1962, pp. 64-89 se demonstrez ă următoarele:
1) Pentru orice n ∈ℕ, n≥2 avem 

− + >23lnln ln n n n pn
2) Pentru orice n ∈ℕ, n≥20 avem 

− + <21lnln ln n n n pn .

TEOREMA 4.7. Pentru orice x ∈ℝ, x≥3, exist ă două constante reale
pozitive c 1, c2 > 0, a.î. () ()
x cpx c
xpprimplglg1lglg2 1 < <∑
≤ .
Demonstra ție Fie x∈ℝ, x≥3. Cum π(n)-π(n-1)=

rest inprimn pentru
01
avem:
()()()()
[]
()
()()
[]
∑∑ ∑ ∑
≤≤≤≤ ≤≤
≤
+++==++


+−⋅ =−−=
xnxn xn
xpprimp
xx
nnnxx
nnnnn n
p
22 2
1 11 11 1 1 1
p pppp p
.
Conform inegalit ăților lui Cebî șev (Teorema 4.5.) deducem c ă pentru
x≥2 avem ()
n nn
n lg2lg9
lg42lg< <p
, de unde deducem c ă
()()
() ()
∑ ∑ ∑
≤≤ ≤≤ ≤≤ +<+<+ xn xn xn n n nnn
n n 2 2 2 lg`112lg91 lg11
42lg p
.
Prin induc ție matematic ă se probeaz ă că pentru orice k∈ℕ, k≥1 avem :

96+≤<∑
=knkk
nlg1lg
11. De asemenea, pentru orice x ∈ℝ, x≥1 avem
{}
∑
≤−∈−
xnNnxn0lg1≤1.
Din cele de mai înainte deducem existen ța unei constante c > 0 a.î.
()()
c xn nxn< −+∑
≤≤lglglg11
2. Evaluând acum ()
[]
1+xnp
obținem constantele c 1 și
c2 din enun ț. ∎
Observație Dacă pentru dou ă funcții reale f și g scriem f ~ g dac ă
()
()
=
∞→ xgxf
xlim 1, atunci vom men ționa urm ătoarele rezultate :
1. ()xp
~ xx
lg. Acest rezultat cunoscut și sub numele de Teorema
elementului prim sau Legea de reparti ție a numerelor prime a fost intuit de
Legendre și Gauss în secolul al 18-lea și demonstrat în 1896, independent de J.
Hadamard (1865-1963) și G. J. de la Vallée-Poussin cu metode specifice analizei
complexe.
Pentru o demonstra ție elementar ă a Teoremei num ărului prim cititorul
este rugat s ă consulte P. Erdös : ,, On a New Method in Elementary Number
Theory which leads to an Elementary Proof of the Prime Number
Theorem’’, Proc. Nat. Acad. Sci. , Washington , vol 35, 1949, pp. 347-383
sau A. Selberg : ,, An Elementary Proof of the Prime Number Theorem’’,
Ann. Math. Vol 50, 1949, pp. 303-313.
2. La 15 ani Gauss a conjecturat c ă ()xp
~()
dttxLx
i∫=
2lg1 .
Deoarece
()
dt
txdttx x
∫ ∫ +−=
22
2 lg1
2lg2
2 lg1 și
() () ()
∫ ∫ ∫ + = <x
xx x
dt
tdt
tdt
t2
22
22lg1
lg1
lg10 <
()()() ()
2 222lg4
2lglg41 2lg2
xx x
xx x x+ <
⋅−+−< , deducem c ă

97 0()
()
x xx
xxdt
tx
lg4
2lglg
lglg1
222
+ < <∫
, de unde acum se deduce facil c ă
xx
lg~Li(x).
TEOREMA 4.8. Seria ∑
≥11
n np este divergent ă.
Demonstra ție Fie p 1, p2, …, p l(n) toate numerele prime ≤ n și să definim
()()
∏
=−



− =nl
i ipn
1111 l
. Deoarece ∑∞
=−
=


−
011 11
iiaa
i i p p, atunci
()()
∑−=1
1…1 la
lap p nl
(unde sumarea se face dup ă toate l -upurile de numere
naturale (a 1, …,a l)). În particular ()
n
n
l
<+++1….
2
11 și astfel ()
∞→nl
pentru
∞
→
n
. Avem :
()
()()
∑∑∑∑∑
==∞
=−− − −−∞
==
++++= ==


− −=
l
il
imm
i l
mm
il
i i
pm p p p pmpn
11211 1
21
11
11
….11lg lgl
.
Îns ă ()()
∑ ∑∞
=−−− − −−∞
=≤ − = <
2211 21
22 1
mi i im
i
mm
i p p p p pm astfel că
() ( )
2 2
11 1
1 … 2 … lg− − − −++ +++<l l p p p p nl
.
Este îns ă cunoscut faptul c ă 612
12p
=∑
≥nn. Atunci ∑
≥−
12
iip este
convergent ă, astfel c ă dacă presupunem c ă ∑
≥11
n npeste convergent ă, atunci
trebuie s ă existe o constant ă M a.î. ()() ()
Men M n < ⇔< l l
lg , ceea ce este
imposibil (deoarece am stabilit c ă ()
∞→nl
pentru
∞
→
n
), de unde deducem
că ∑
≥11
n np este divergent ă. ∎

98
§5 Teorema lui Scherk

Rezultatul pe care îl prezent ăm în continuare este datorat lui H. F.
Scherk și prezint ă un fel de recuren ță ,,slabă’’ pentru șirul ()1≥kkp al numerelor
prime.
Mai precis, vom demonstra :

TEOREMA 5.1. (H. F. Scherk) Pentru orice num ăr natural n ≥1
există o alegere convenabil ă a semnelor + sau – a.î. :
(1) 12 22 2 1 2 … 1− −+ ±±±±=n n n p p p p p și
(2) n n n p p p p p2 12 2 1 12 2 … 1 + ±±±±=− + .
Observație Formulele (1) și (2) au fost enun țate de Scherk în anul 1830
iar S. S. Pillai a fost primul care a prezentat o demonstra ție a lor în anul 1928.
În cele ce urmeaz ă vom prezenta o solu ție dată de W. Sierpinski în anul
1952.

Vom spune c ă un șir ()1≥nnq de numere naturale impare are proprietate
(P) dacă el este strict cresc ător, q 1=2, q 2=3, q 3=5, q 4=7, q 5=11, q 6=13, q 7=17
și qn+1 <2qn , pentru orice n∈ℕ*.
Ținând cont de rela țiile de la Teorema lui Cebî șev deducem imediat c ă
șirul ()1≥nnp al numerelor prime este un exemplu de șir cu proprietatea (P).
Astfel, pentru probarea formulelor (1) și (2) ale lui Scherk, este suficient s ă le
probăm pe acestea pentru un șir ()1≥nnq ce are proprietatea (P).

LEMA 5.2. Dacă ()1≥nnq este un șir cu proprietatea (P), atunci
pentru orice num ăr natural impar m ≤ q2n+1 (n ≥3), exist ă o alegere
convenabil ă a semnelor ,,+’’ sau ,,–” a.î. n n q q qq m2 12 2 1 …. + ±±±±=− .
Demonstra ție Vom demonstra aceast ă lemă făcând induc ție matematic ă
după n≥3. Dacă n=3, atunci q 7=17 iar numerele impare m ≤ 17 sunt 1, 3, 5, 7, 9,
11, 13, 15, 17.
Deoarece prin calcul direct se verific ă egalitățile :

996 5 4 3 2 16 5 4 3 2 16 5 4 3 2 16 5 4 3 2 16 5 4 3 2 16 5 4 3 2 16 5 4 3 2 16 5 4 3 2 16 5 4 3 2 1
1715131197531
q q q q qqq q q q qqq q q q qqq q q q qqq q q q qqq q q q qqq q q q qqq q q q qqq q q q qq
++−−+=+−+++−=+−++−=++−−−=+−+−+=++−−−−=+−−++=+−+−−=+−−++−=

deducem c ă lema este adev ărată pentru n =3.
S ă observăm că pentru n =2 lema este fals ă căci atunci q 2=11 iar 5 de
exemplu nu se poate scrie sub forma 7532 +±±± pentru nici o alegere a lui
,,+’’ sau ,,-’’.
S ă presupunem acum c ă lema este adev ărată pentru n ≥3, și fie 2k-1 un
număr impar a.î. 2k-1 ≤q2n+3.
Cum șirul ()1≥nnq are proprietatea (P) deducem c ă q2n+3<2q2n+2 și prin
urmare deducem c ă –q 2n+2<2k-1-q 2n+2<q2n+2 astfel c ă pentru o alegere
convenabil ă a semnelor ,,+” sau ,,–” avem ( )22 22 1 2 0+ +< −−±≤n n q q k .
Cum din q 2n+2<2q2n+1 deducem c ă
( )12 12 22 12 1 2+ + + + < − −−±≤ −n n n n q q q k q și astfel pentru o nou ă alegere
convenabil ă a semnelor ,,+” sau ,,–” avem
( ) [ ]12 12 22 1 2 0+ + + ≤ − −−±±≤n n n q q q k .
Cum q 2n+2 și q 2n+1sunt numere impare, deducem c ă și numărul
( ) [ ]12 22 1 2+ +− −−±±=n n q q k m este impar și cum m ≤q2n+1, conform ipotezei de
inducție găsim o alegere convenabil ă a semnelor ,,+” sau ,,–” a.î.
( ) [ ]n n n n q q qq q q k m2 12 2 1 12 22 …. 1 2 ± ±±±±= − −−±±=− + + , de unde deducem
că la o alegere convenabil ă a semnelor ,,+” sau ,,–” avem
22 12 2 1 …. 1 2+ +± ±±±±=−n n q q qq k
și astfel Lema 5.2. este demonstrat ă. ∎

COROLAR 5.3. Pentru o alegere convenabil ă a semnelor ,,+” sau
,,–” avem egalitatea n n n q q qq q2 12 2 1 12 ….. + ±±±±=− + .

100Pentru n =1 și n=2 se verific ă imediat rela țiile q 3=q1+q2 și
q5=q1-q2+q3+q4.
Să demonstr ăm acum formulele (1) și (2) din Teorema lui Scherk.
Într-adev ăr, pentru n ≥3, numărul q 2n+1-q2n-1 este impar și <q2n+1 și deci
conform lemei anterioare, la o alegere convenabil ă a semnelor ,,+” sau ,,–” avem
egalitatea n n n n q q qq q q2 12 2 1 2 12 … 1 + ±±±±=−−− + , de unde
n n n q q q q2 12 1 12 2 … 1 + ±±±=− + și astfel formula (2) rezult ă imediat considerând
pentru n≥1, q n=pn.
Pentru n =1 sau n =2, prin calcul direct se verific ă egalitățile
q3=1-q 1+2q 2 și q5=1-q 1+q2-q3+2q 4, astfel c ă formulele (2) sunt valabile pentru
orice n∈ℕ*.
Pentru a proba formulele (1) s ă observăm că q2n+2<2q2n+1 și q2n+2-q2n+1-1
este impar și <q2n+1, deci conform lemei putem alege convenabil semnele ,,+”
sau ,,–” a.î. n n n n q q q q q2 12 1 12 22 … 1 + ±±±=− −− + + , de unde
12 2 12 1 22 … 1+ − + ++ ±±±=n n n n q q q q q deci ( luând în loc de n+1 pe n )
12 22 32 1 2 … 1− − − + + ±±±=n n n n q q q q q și astfel și (1) sunt verificate pentru n ≥3.
Pentru n =0, 1 sau 2, cum q 2=1+q 1, q 4=1-q 1+q2+q3 iar
q6=1+q 1-q2-q3+q4+q5 deducem c ă formulele (1) sunt valabile pentru orice
n∈ℕ*. (luând din nou q n=pn ). ∎

§6 Exist ă funcții care definesc numerele prime ?

În cele ce urmeaz ă dorim s ă clarific ăm existen ța unor func ții
(calculabile) f:ℕ*→ℕ* care să satisfacă una din urm ătoarele condi ții :
a) f(n) =pn , pentru orice n ≥1 (unde reamintim c ă pn este al n-ulea num ăr
prim).
b) Pentru orice n ∈ℕ*, f(n) este num ăr prim iar f este func ție injectiv ă.

1. Func ții satisf ăcând condi ția a)
Hardy și Wright și-au pus urm ătoarele probleme :
1) Există o formul ă care să ne dea al n-ulea num ăr prim p n ?
2) Exist ă o formul ă care să ne dea expresia fiec ărui num ăr prim în
funcție de numerele prime precedente ?
În cele ce urmeaz ă vom prezenta o formul ă pentru calculul lui p n.

101Reamintim c ă pentru orice num ăr real strict pozitiv x prin π(x) am notat
numărul numerelor prime p a.î. p ≤ x.
La început vom prezenta o formul ă pentru π(m) dată de Willans în anul
1964.
Pentru aceasta, pentru fiecare num ăr natural j ≥1 fie
()()



 +−
=jj
jF1!1
cos2p
.
Astfel, pentru orice num ăr natural j>1, F( j ) =1 pentru j prim iar
F( j )=0 în caz contrar (evident F(1) =1). Deducem c ă ()()
∑
=+−=m
jjF m
11 p
.
Willans a dat formula ()
∑
==m
jH m
1p ()
j , m=2, 3, ….. unde
()()()
jjj
jHp
22
2
sin!1
sin−
= .
Mináč a dat o alt ă expresie pentru π(m) în care nu mai intervine sinusul
sau cosinusul și anume
()() ()
∑
= 






−
−+−
=m
j jj
jj
m
2!1 1!1
p
.
Iată o demonstra ție simpl ă pentru formula lui Miná č. Începem cu
observația că pentru n≠4, care nu este prim, n divide (n-1)!. Într-adev ăr, fie n
este de forma n =ab cu 2 ≤ a, b ≤ n-1, și a ≠ b, fie n =p2≠4.
În primul caz, n divide (n-1)! în timp ce în al doilea caz 2 <p≤n-1=
=p2-1, și atunci 2p ≤p2-1 și n divide 2p2=p·2p care la rândul s ău divide pe (n-1)!.
Conform Teoremei lui Wilson pentru fiecare num ăr prim j putem scrie
(j-1)!+1 =kj, (k∈ℕ*), deci
() ()
11 !1 1!1
=





−−=







−
−+−
jk kjj
jj
.
Dacă j nu este num ăr prim, atunci dup ă remarca precedent ă (j-1)! =kj
(k∈ℕ*) și astfel () ()
01 !1 1!1
=
−+=







−
−+−
kjkjj
jj
.

102În fine, dac ă j=4, atunci 04!3
41!3
=







−+
și astfel formula lui
Mináč este demonstrat ă.
Utilizând cele de mai sus se ob ține formula lui Willans pentru p n :
()
∑
∑=
=







+=n
mn
m
jn
jFnp
11
11 , sau ()
∑
=





++=n
mn
nmnp
11
11p
.
O altă formulă pentru cel mai mic num ăr prim superior unui num ăr
natural dat m ≥2, a fost dat ă de Ernvall în 1975 : Fie () () ( )! 2,1 !!m m dm− = ,
()
!,dddtdd
= iar a unicul num ăr natural pentru care da divide t iar da+1 nu divide t.
Atunci cel mai mic num ăr prim p superior lui m este


=
d
dtdp
a,.
Dacă vom lua m =pn-1 obținem din nou o formul ă pentru p n .
Reamintim cum se define ște funcția lui Möbius : μ(1)=1, μ(n)=(-1)r
dacă n este un produs de r numere prime distincte iar μ(n)=0 dacă n are ca factor
un pătrat.
Cu ajutorul acestei func ții, în 1971 Ghandi a ar ătat că dacă notăm
Pn-1=p1p2…p n-1, atunci P n()








−+− −= ∑
−1 1 2 21log2log11
nPdddm
sau, analog, P n
este singurul num ăr natural pentru care ()
2
1 2 2121
1<



−+−< ∑
−nn
PddP dm
.
Iată o demonstra ție a formulei lui Ghandi prezentat ă în 1972 de Vanden
Eynden :
Să notăm Q=Pn-1pn=p și S=()∑− Qddd
1 2m
. Atunci

103() () ()()
∑∑−++++ =
−−⋅ =−
QdQ ddQ d d
dQ
Qd d S 2… 2 21
1 21 21 22m m
. Dacă 0≤t<Q
termenul r(d)·2t apare exact atunci când d |(t, Q). Deci coeficientul lui 2t în sumă
este ()
()∑
Qt dd
,m
; în particular, pe ntru t=0, coeficientul este egal cu ()∑
Qddm
.
Reamintim c ă ()

>=
=∑1 01 1
m dacam daca
d
mdm
. Dacă scriem ∑
<<Qt0/ pentru
suma extins ă la toate valorile lui t a.î. 0 <t<Q și (t, Q) =1, atunci
(2Q-1) S=∑
<<Qt0/2t ; cel mai mare indice în aceast ă sumă este t =Q-1. Rezult ă că
() ()1
1 0/ 1
0/2 1 2 1 2211 22+
−<<+
<<∑ ∑ += +−−=

+−−t
Qtt
QtQ QS .
Dacă 2≤j<pn=p, există un num ăr prim q a.î. q <pn<p (deci q|Q) și
q|Q-j. Fiecare indice t din suma considerat ă mai înainte satisface deci condi ția
0<t≤Q-p.
Atunci ()
QpQ
Qt
pQt
QpQ
S
222
1 222 1
21
22221
0/
1
⋅<
−⋅+
=+−<
⋅+−+
−≤<+− ∑
. Înmulțind cu 2p
deducem c ă 22121 <

+−< Sp.∎

2. Func ții satisf ăcând condi ția b)

Numărul ()[]nnf3q
= este prim pentru orice n ≥1, (aici ≈q
1,3064… –
vezi – W. H. Mills : Prime- representing function, Bull. Amer. Math. Soc.,53 ,
pp 604) .
De asemenea, ()

=w
N22 ng (cu un șir de n exponen ți) este un num ăr
prim pentru orice num ăr natural n ≥1 (aici ≈w
1,9287800… -vezi – E. M.
Wright: A prime –representing function, Amer. Math. Monthly, 58, 1951,
pp.616-618).
Din p ăcate, numerele q
și w
se cunosc doar cu aproxima ție iar valorile
lui f(n) și g(n) cresc foarte repede, a șa că cele dou ă funcții nu sunt prea utile

104rămânând doar ca ni ște curiozit ăți (de ex, g(1) =3, g(2) =13, g(3) =16381, g(4)
are deja mai mult de 5000 de cifre !).
Tenta ția de a g ăsi o func ție polinomial ă cu coeficien ți din ℤ a.î. valorile
sale să fie numere prime este sortit ă eșecului deoarece dac ă f∈ℤ[X] este
neconstant, atunci exist ă o infinitate de întregi n cu proprietatea c ă |f(n)| nu este
număr prim.
Într-adev ăr, deoarece f este neconstant problema este trivial ă dacă toate
valorile lui f sunt numere compuse. S ă presupunem deci c ă există n0≥0 un num ăr
natural a.î. |f(n 0)|=p este num ăr prim. Cum f nu este constant deducem c ă
()+∞=
∞→xf
xlim , deci exist ă n1>n0 a.î. dacă n≥n1⇒|f(n)| > p. Astfel pentru orice
întreg h pentru care n 0+ph≥n1 avem f(n 0+ph)=f(n0)+Mp=Mp. Dac ă
|f(n 0+ph)| > p, atunci |f(n 0+ph)| este num ăr compus.
Cum dac ă f∈ℂ[X1,…X m] (m≥2) are proprietatea c ă ia valori numere
prime pentru orice X 1, ..X n naturale, atunci cu necesitate f este constant, deducem
că și tentația de a g ăsi o func ție polinomial ă neconstant ă de mai multe
nedeterminate care s ă ia valori numere prime pentru oricare valori naturale ale
nedeterminatelor este sortit ă eșecului.
Dac ă f(x)=x2+x+41 (faimosul polinom al lui Euler) atunci pentru k =0,
1, .., 39 f(k) este prim : 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197,
223, 251, 281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853,
911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601 (pentru
k=40⇒f(40)=1681=412).
Dac ă vom considera f(x) =x2+x+q, (q prim) atunci sunt echivalente :
1) x2+x+q este prim pentru x =0, 1, …, q-2
2) q =2, 3, 5, 11, 17, sau 41.

Frobenius (1912) și Hendy (1974) au demonstrat c ă :
i) Singurele polinoame f(x) =2×2+p (cu p prim) a.î. f(k) este prim pentru
x=0, 1, .., p-1 sunt pentru p =3, 5, 11, 29.
ii) Singurele polinoame de forma ()212 22 +++=px x xf (cu p prim,
p≡1(mod 4)) a.î. f(x) este prim pentru x =0, 1, …,23−p sunt cele pentru p =5,
13, 37.

105

§7. Numere prime gemene

Dac ă p și p+2 sunt simultan numere prime, vom spune despre ele c ă
sunt gemene . Exemple : (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), etc.
În 1949, Clément [Clement, P. A. : Congruences for sets of primes,
Amer. Math. Monthly, 56, 1949, 23-25 ] a prezentat urm ătorul rezultat legat de
numerele gemene :
Pentru n ≥ 2, n și n+2 sunt simultan prime ⇔4[(n-1)!+1]+n≡0 (mod
n(n+2)). (din p ăcate din punct de vedere practic acest rezultat nu are nici o
utilitate).
Problema principal ă este de a decide dac ă există sau nu o infinitate de
numere gemene.
Dac ă notăm pentru x > 1 prin π2(x)=numărul numerelor prime p a.î.
p+2 este prim și p+2 ≤x, atunci Brun a demonstrat în 1920 c ă există un num ăr
natural x 0 (efectiv calculabil) a.î. pentru orice x≥x0 să avem ()
()
2 2lg100
xxx< p
.
Într-un alt articol celebru din 1919 ( La serie
….191
171
131
111
71
51++++++ , ou les denominateurs sont nombres premiers
jumeaux est convergente ou finie din Bull. Sc. Math., vol.43, pp. 100-104 și
124-128 ) tot Brun a demonstrat c ă seria ∑ 



++ =21 1
ppB (unde suma este
extinsă după perechile de numere gemene (p, p+2)) este convergent ă sau
mulțimea acestor numere gemene este finit ă. Numărul B poart ă numele de
constanta lui Brun iar Shanks și Wrench (în 1974) iar Brent (în 1976) au ar ătat
că B≃1,90216054…
Cele mai mari numere prime gemene cunoscute sunt 1706595·211235±1
și 571305·27701 ±1. ([26]) .
De aici rezult ă că mulțimea numerelor prime gemene, dac ă este
infinită, (lucru neprobat pân ă acum), atunci ele se apropie foarte mult unele de
altele.

106

CAPITOLUL 8:
FUNC ȚII ARITMETICE

§1. Generalit ăți. Opera ții cu func ții aritmetice

DEFINI ȚIA 1.1. Numim funcție aritmetic ă orice func ție f:ℕ®ℂ.
În cadrul acestui capitol vom prezenta mai multe exemple de astfel de
funcții.
Fie A={f:ℕ→ℂ} mulțimea func țiilor aritmetice. Pentru f, g∈A definim
f+g, fg, f ∗g:ℕ→ℂ astfel: (f+g)(n)=f(n)+g(n), (fg)(n)=f(n)·g(n) și
(f∗g)(n)=∑
nddngdf )/()( pentru orice n ∈ℕ.
Observație f∗g poartă numele de ,, produsul Dirichlet de convolu ție”
al lui f și g.
PROPOZI ȚIA 1.2. (A , + , *) este inel comutativ unitar .
Demonstra ție Faptul c ă (A, +) , este grup abelian este imediat. S ă
probăm că (A , ∗) este monoid comutativ. Într -adevăr, dacă f, g, h∈A, atunci:
)))( (( nhgf∗∗ =∑
nddf
/)(∑
dnedenheg
/)/()( =
= ))() (())/()()/( ( nhgf DnhegeDf
DenD∗∗= ∑∑
( D=de), pentru orice n ∈ℕ, adică ,,∗” este asociativ ă. (am ținut cont de faptul c ă
atunci când d parcurge divizorii lui d, acela și lucru îl face și n/d). Cu acela și
argument rezult ă și comutativitatea produsului de convolu ție.
Elementul neutru pentru ∗ este δ :ℕ→ℂ, ()

≠=
=1 01 1
n pentrun pentru
nd

deoarece se verific ă imediat c ă f∗δ=δ∗f =f, pentru orice f ∈A.
Pentru a încheia, s ă mai prob ăm că dacă f, g, h ∈A, atunci
f∗(g+h)=(f ∗g)+(f∗h). Într -adevăr, dacă n∈ℕ, atunci:
∑ + = +∗
nddnh dngdf nhgf
/))/()/()(( )))( (( =∑
nddngdf
/)/()( +

107+ = ∑
nddnhdf
/)/()( ))( ())( ())( ( nhfgf nhf ngf ∗+∗= ∗+ ∗ . ∎

PROPOZI ȚIA 1.3. fÎU(A) Û f(1) ¹0.
Demonstra ție: Dacă f∈U(A) , atunci exist ă gnot
= f –1∈A a.î.
f∗f –1 =f –1 ∗f=δ. Deci 1= δ(1)=f(1)f –1(1), adic ă f(1)≠0. Reciproc, dac ă f(1)≠0,
dacă definim inductiv

)1(1
f dacă n=1
g(n)= -)1(1
f ∑
>1/)/()(
dnddngdf dacă n >1,

se verific ă imediat c ă g=f –1 . ∎
Iată câteva exemple de func ții aritmetice:
1. Funcția φ a lui Euler definită în §4 de la Capitolul 6.
2. Pentru k ∈ℕ definim σ k :ℕ→ℂ astfel σ k=∑
ndd
/k iar ξ k(n)=nk.
În particular σ1 se va nota cu σ (deci σ(n)=suma divizorilor lui n ), σ0 cu
τ (deci τ(n)=numărul divizorilor lui n ) iar ξ0=ξ (ξ poartă numele de funcția zeta
și deci ξ(n)=1 pentru orice n ∈ℕ).
Dacă k
kp pna a
…1
1= este descompunerea canonic ă a lui n în produs de
numere prime, atunci σ(n) va fi suma produselor de forma k
kp pb b
…1
1cu βi≤αi ,
1≤i≤k adică
()( )( )( )
11…11
11… 1…. … 1 … 1
1
21
2
11
12 2 1 1
2 12 1
−−⋅⋅−−⋅−−== +++ +++ +++=
+ + +
kkk k
pp
pp
ppp p p p p p n
kk
a a aa a as

3. Funcția τ:ℕ→ℕ, τ(n)=num ărul divizorilor naturali ai lui n (n ∈ℕ).
Se verific ă imediat c ă dacă k
kp pna a
…1
1= atunci ()()()1 …11 + +=k n a a t
.

Observație Conform Propozi ției 1.3. func ția zeta ξ are invers ă în inelul
A; ξ-1 se noteaz ă cu µ și poartă numele de funcția lui Möbius .
Deoarece µ∗ξ=δ , deducem c ă:

108 ∑

≠==
nd n dacan dacad
1 01 1)(m

În particular, dac ă p este un num ăr prim iar α ≥ 2 atunci ∑
=m
0jµ(p α)=0.
Astfel µ(1)=1, µ(p)=-1, iar µ(p α)=0, pentru orice α ≥ 2.
Observație Dacă f, g∈A și f=g∗ξ , atunci g=f ∗µ. Acest fapt este
cunoscut sub numele de formula clasic ă de inversare a lui Möbius .
Dac ă scriem explicit ob ținem:

PROPOZI ȚIA 1.4. Dacă f și g sunt func ții aritmetice atunci
∑=
nddg nf
/)( )( pentru orice n Îℕ Û )/()( )(
/dn df ng
nd∑= m
pentru orice
nÎℕ.
Ca un exemplu avem c ă: σk(n)=∑
ndkd
/ pentru orice n ∈ℕ astfel c ă
nk= ∑
nd/σk(d)µ(n/d) pentru orice n ∈ℕ.

LEMA 1.5. Pentru n Îℕ și d|n , fie S d={ xn/d : 1 £x£d, xÎℕ, (x, d)=1}
Atunci pentru d |n, e|n, d ¹e, S d Ç Se = Æ iar U
nd/Sd = {1,2,……,n}.
Demonstra ție: Presupunând c ă Sd ∩ Se ≠ ∅, există x, y∈ℕ* a.î. 1≤x ≤d,
1≤ y ≤e, (x, d)=(y, e)=1 și xn /d=yn /e ⇔ xe=yd.
Cum (x, d)=1, x |y și analog y |x, deci x=y, adic ă d=e – absurd !.
Cum pentru d |n, 1≤m≤n și (m, n)=n/d, dac ă m=xn /d, atunci (x, d)=1 și
1≤x≤dm/n≤d, deducem c ă m∈Sd adică {1,2,…, n} ⊆U
nd/Sd și cum incluziunea
inversă este imediat ă deducem egalitatea cerut ă. ∎

COROLAR 1.6. Cum S d are φ(d) elemente, deducem c ă n=
=∑
nd/φ(d), pentru orice n Îℕ.
Conform Propozi ției 1.4. deducem c ă ∑=
nddnd n
/)/( )( m j
pentru orice
n∈ℕ. În particular, dac ă p este prim și α≥1 natural,
φ(p α) = ∑
=q
j0p j µ(p α – j) = pα – pα -1 = pα (1- p1).

109
§2. Func ții multiplicative

DEFINI ȚIA 2.1. O func ție aritmetic ă f se zice funcție multiplicativ ă
dacă f¹0 și f(m ·n)=f(m)f(n), pentru orice m, n Îℕ cu (m, n)=1.
Observație Dacă f este multiplicativ ă atunci din f ≠0 există un n∈ℕ a.î.
f(n)≠0 și cum f(n)=f(1·n)=f(1)·f(n) deducem c ă f(1)=1, adic ă în inelul A, f este
inversabil ă.
Dacă n∈ℕ iar p pnk
ka a
…1
1= este descompunerea în factori primi a lui
n, atunci ∏
==k
iipif nf
1)( )(a
, astfel c ă o func ție multiplicativ ă este complet
determinat ă de valorile ei pe mul țimile de forma p α cu p prim și α∈ℕ.
Să notăm cu M familia func țiilor aritmetice multiplicative.

PROPOZI ȚIA 2.2. Dacă f Î
M atunci și f –1 Î
M .
Demonstra ție Fie m, n ∈ℕ cu (m, n)=1. Dac ă m=n=1 atunci f –1(mn) =
=f –1(m) f –1(n).
Presupunem acum c ă mn ≠1 și că f –1(m1 n1)=f –1(m1)f –1(n1) pentru orice
pereche (m 1, n1) de numere naturale cu m 1n1 < mn și (m 1, n1) =1.
Cum dac ă m=1 sau n=1 din nou f –1(mn)=f –1(n) f –1(m), rămâne să
analizăm cazul m ≠1 și n≠1.
Conform Propozi ției 1.4. avem: ∑
>− −−=
1/1 1)/( )( )(
dmnddmnfdf mnf .
Deoarece (m, n)=1 orice divizor d al lui mn se scrie unic sub forma
d =d 1d2, unde d 1|m și d2 |n. Atunci (d 1, d2)=1 și (m/d 1 , n/d 2)=1.
Astfel c ă:
) )/)(/( () /( ) ( )(2 1
1211
211
2121mn dndm deoarece ddmnfddf mnf
dddd
nm< = −=∑
>− −=
= −=∑
>− −
121
11
2 1
2121)/( )/( )()(
dddd
nmdnfdmfdfdf ∑
>− −−
121
21
22)/( )( )(
ddndnfdf mf –
− − ∑
>− −
111
11
11)/( )( )(
ddmdmfdf nf ))/( )( (
111
1
11∑
>−−
ddmdmfdf ·

110·∑
>−−
121
2
22))/( )( (
ddndnfdf =
)( )( )( )( )( )( )( )(1 1 1 1 1 1 1 1nfmf nfmf nfmf nfmf− − − − − − − −= − + = și totul
este clar. ∎
Observație Cum func ția zeta ξ este multiplicativ ă, inversa sa care este
funcția lui Möbius µ este multiplicativ ă. Astfel :
1 dac ă n=1
µ(n)= (-1)t dacă n este produs de t primi distinc ți
0 în rest

Avem în felul acesta o alt ă definire a func ției lui Möbius.

PROPOZI ȚIA 2.3. Dacă f, gÎM atunci f*g ÎM.
Demonstra ție (f∗g)(1)=f(1)g(1)=1 iar dac ă (m, n)=1, atunci :
∑ = = ∗
mnddmngdf mngf )/()( ) )( ( = ∑ )/()/()()(2 1 2 1
21dngdmgdfdf
nm
dd
= ⋅ ∑ ))/()( (1 1
1dmgdf
md)].)( )][()( [())/()( (2 2
2ngf mgf dngdf
nd∗ ∗= ∑ ∎
Observații1. Deoarece ξ k este multiplicativ ă și σk = ξ k ∗ ξ deducem c ă
și σk este multiplicativ ă. Astfel dac ă k≥1, p este num ăr prim iar α≥1 atunci
11)()1(
0 −−= =+
=∑kk
jjk
kppp pa aas
iar dac ă ttp pna a
…1
1= atunci
∏
=+
−−=t
ik
ik
i
kppni
1)1(
11)(a
s
.
În particular, ∏
=+
−−=t
i ii
ppni
11
11)(a
s
.
Deoarece τ (p α) = α+1 , τ(n) = ∏
=t
i1(αi+1).
2 Cum func ția lui Euler φ este multiplicativ ă și φ=ξ1∗µ atunci pentru
orice n∈ℕ: ∏− =
primpnppn n )11( )(j
.
3. Funcția φ a lui Euler este o func ție calculabil ă (adică pentru orice n,
φ(n) este cardinalul unei mul țimi și anume a mul țimii {x: 1 ≤ x ≤ n și (x, n)=1}).

111 Funcțiile calculabile pot fi câte o dat ă evaluate ținând cont de principiul
includerii și excluderii :
Dacă A1,…,A t sunt submul țimi ale unei mul țimi finite S, atunci
| S – (A 1È …È At) | = |S| + ()
∑
=−t
jj
11 ·∑
≤≤≤≤∩∩
ti ii i
jjA A
… 111…

§3.Func ția Jordan J k

Funcția Jordan J K reprezint ă o generalizare a func ției Euler φ și se
definește astfel:
DEFINI ȚIA 3.1. Pentru n Îℕ , J k(n)=num ărul k-uplurilor ordonate
de numere naturale (x 1,…,x k) a.î. 1 £ xi £n, 1£ i £k și ( x 1, x2,…,x k, n) =1.
Observație Evident J 1=ϕ.
Fie ttp pna a
…1
1= descompunerea în factori primi a lui n, S=mul țimea
k-uplurilor (x 1,…, x k) a.î. 1≤xi ≤n, 1≤ i ≤k, iar A i =mulțimea acelor k-upluri din S
pentru care p i | (x1,…, x k), 1≤ i ≤t, atunci: J k (n) =| S – (A 1∪ …∪ At) | iar
) …/( …
1 1 j j i i i i p pn A A =∩∩ .Astfel:
∑ ∑∑∑ = 

=



−+=
=<≤ <<<≤ ndkt
jt i iin dkk
i ij k
Kdn d ddn
p pnn n
j jJ )/( )(…)1( )(
1… 121 1m m

Deducem astfel c ă Jk=ξk∗µ și astfel rezult ă că J k este func ție
multiplicativ ă.
Dacă p este prim și α≥1, atunci
)11( )()1(
kk k k
Kpp p p pJ − = −=− a a a a
, astfel c ă ∏− =
npkk
kpn nJ )11( )( .

§4.Func ția von Sterneck H k

Iată acum o alt ă generalizare a func ției lui Euler (numit ă funcția von
Sterneck ).
DEFINIȚIA 4.1 . Pentru n, k Îℕ
definim
∑
==
nk
e e knH
] ,….,[1)( φ(e1)….φ(ek), suma făcându-se dup ă toate k-uplurile (e 1,…,e k)
de numere naturale a.î. 1 £
ei £
n, 1£
i £
k și [e 1, …, e k] =n.
Observație În mod evident φ=H 1 iar H
k(1)=1.

112Presupunem acum c ă (m, n)=1 și că [e1,…, e k]=mn. Pentru i=1,…, k, e i
poate fi descompus în mod unic sub forma e i=cidi, unde c i|m și d i|n, iar
[c1,…,c k]=m și [d 1,…, d k]=n. Astfel:

)()( )()…( )()…()()…()()…( )()…( )(
] ,…,[1
] ,…,[11
] ,…,[] ,…,[1
] ,…,[1
1 111 1
nHmH d d c cd d c c e e mnH
k k k
nk
mk k
nmk
mnk
dd ccddcc ee
k kkk k
= == = =
∑ ∑∑ ∑
= === =
j j j jj j j j j j

adică Hk este func ție multiplicativ ă .

PROPOZI ȚIA 4.2 . Pentru orice k, H k=Jk.
Demonstra ție Facem induc ție matematic ă după k.
Am v ăzut mai înainte c ă H1= φ=J1.
Fie k>1 și presupunem c ă Hk-1=Jk-1.
Cum H k și Jk sunt func ții multiplicative, a demonstra c ă Hk=Jk este
suficient s ă demonstr ăm că Hk(pα)=J k(pα) unde p este prim, iar α≥1. Conform
ipotezei de induc ție avem c ă H k-1(pα)=J k-1(pα) iar
∑
== =
a b bb b aj j
) ,…, max(11 )()…( )(
iip p pH k
∑
=+ =−
a b bb b bj j j
) ,…, max(11 1 ) () ()… (
ii ip p p ∑
≤−
a b ba b bj j j
) ,…, max(11 1 )() ()…( .
iip p p =
() ()
∑∑=




+ =−
−
aaa aj j j
pdk
pdk p d d p H )( )(1
1
= )( )()1(
11 a a a aj
p p p Hpk
k−
−−+ =
= )( )()1(
11 a a a aj
p p p J pk
k−
−−+ = )11( )11()1(
1)1( 1
pp p
pp pk
kk− + −−
−− − a a a a
=
= )( )11( )]11()11(1[1a a a
p
ppp p pp Jk kk
kk=− =−+ −−. ∎

113§5.Func ții complet multiplicative

DEFINI ȚIA 5.1 . O func ție fÎA se zice complet multiplicativ ă dacă
există nÎℕ a.î. f(n) ¹0 iar f(mn)=f(m)f(n), pentru orice m, n Îℕ. (dacă notăm
prin Mc clasa acestor func ții, atunci în mod evident Mc ÍM ÍA)
PROPOZI ȚIA 5.2 . Dacă fÎM, atunci f ÎMc Û f-1=mf.
Demonstra ție Dacă f∈Mc, atunci pentru orice n ∈ℕ :



≠= =
= = =∗∑∑1 01 1)1(
)( )( )/()()( ) (n dacan daca f
d nf dnfdfd ff
ndn dm m m
,
adică µf ∗f =δ ⇔ f-1=µf.
Invers, s ă presupunem c ă f-1=µf. Pentru a proba c ă f∈Mc este suficient
să probăm că dacă p este prim și α ≥ 1, atunci f(pα)=(f(p))α. Acest lucru îl vom
face prin induc ție matematic ă după α ; evident, pentru α=1 totul este clar. S ă
presupunem c ă α≥2 și că f(pα-1)=(f(p))α-1.
Deoarece pentru oricare β≥2, f-1(pβ)=µ(pβ)f(pβ)=0, deducem c ă:
0=(f-1∗f)(pα) = f(pα) + f-1(p) f(pα-1) = f(pα) + f-1(p) (f(p))-1. Deoarece f-1(p)=-f(β)
⇒f(pα)=(f(p))α. ș

COROLAR 5.3 . Dacă fÎM, atunci f ÎMcÛf-1(pa)=0, pentru orice p
prim și a³2.

PROPOZI ȚIA 5.4 . Fie f ÎM. Atunci f ÎMcÛf(g*h)=(fg) *(fh), pentru
orice g, h ÎA.
Demonstra ție Dacă f∈Mc, atunci pentru orice g, h ∈A avem
∑ ∑ ∗= = = ∗
ndn dnfhfg dnhdnfdgdf dnhdg nf nhgf ))( ()/()/()()( )/()( )( )))( (( .
Invers, s ă presupunem c ă f(g∗h)=(fg) ∗(fh), pentru orice g, h ∈A. În
particular, pentru g= ξ și h=µ avem δ=fδ=f(ξ∗µ)=fξ∗fµ=f∗fµ, adică f-1=µf, adică
f∈Mc (conform Propozi ției 5.4.).∎

PROPOZI ȚIA 5.5. Dacă fÎM, atunci exist ă g, hÎMc a.î. f=g *h Û
f-1(pa)=0, pentru orice p prim și orice a³3.
Demonstra ție Să presupunem c ă f=g∗h cu g, h ∈Mc și fie p prim iar
α≥3. Atunci

114()( )()
()() ()() ()()
1 1 1
01 1 1 11 1 1
1− − −
=− − − − −− − −
⋅ + ⋅ = ⋅ == ∗=
∑aaa aa a
php g ph g ph pgp h g pf
jj j
(căci g∈Mc) =0 (căci h∈Mc și α ≥3).
Invers, fie f ∈M a.î. f -1(pα)=0 pentru orice p prim și α≥3.
Alegem g ∈Mc a.î. pentru orice p prim, g(p) este o r ădăcină a ecuației :
X2+f-1(p)X+f-1(p2)=0.
Dac ă alegem h=g -1∗f, atunci h ∈M și pentru orice p prim și α≥2, avem:
h-1(pα)=(g∗f -1)(pα)+g(pα -1)f -1(p)+g(pα – 2)f -1(p2)=g(pα – 2)[(g(p))2+f -1(p)g(p)+
+f -1(p2) ] =0.
Conform Propozi ției 5.4., h ∈Mc si astfel f=g ∗h. ∎

TEOREMA 5.6. Pentru f ÎM, urm ătoarele condi ții sunt
echivalente :
(1) Există g, hÎMc a.î. f=g *h;
(2) Există FÎM a.î. pentru orice m, n : ∑=
),()()/()/( )(
nmddFdnfdmf mnf .
(3) Există BÎMc a.î. pentru orice m, n: ∑=
),(2)()/( )()(
nmddBdmnf nfmf .
(4) Pentru orice p prim și a³1: f(pa+1)=f(p)f(pa)+f(pa-1)[f(p2)-(f(p))2].
Demonstra ție Vom demonsra c ă (1)⇒(4), (4) ⇒(1), (2) ⇒(4), (4) ⇒(2),
adică (1)⇔(2)⇔(4), iar apoi (2) ⇒(3) și (3)⇒(4)
(1)⇒(4). Presupunem c ă f=g∗h cu g, h ∈Mc.
Dacă g(p)=M și h(p)=N, atunci f(p)=M+N și f(p2)=M2+MN+N2. Dacă α≥1
atunci partea dreapt ă a egalității din (4) este egal ă cu :
) () (
11
01
01 11
01 1
01
0101
01 1
++
=−+
=−+ +−
=− +
=−+
=− +=−
=−+ −
= = + == − + == − +
∑ ∑∑ ∑ ∑∑∑
aaaaa aaaaaaeaaa a
pf NM NM MN M NM N MNM MN NM N M
ii i
ii iii
ii i
ii iiii i i

(4)⇒(1). Pentru fiecare p prim, fie M și N soluțiile ecua ției:
X2-f(p)X+(f(p))2-f(p2)=0 (evident M și N sunt func ții de p)
Fie g, h ∈Mc a.î. pentru orice p prim g(p)=M și h(p)=N.
Atunci f(p)=M+N=(g ∗h)(p) iar pentru α≥2:

115).( ]))(()()[ ( ) ()() ( ) )( (
2 2 2 12
021
01
01
a a aaaaaaa a
pf pf pf pf pfpfNM MN NM N M NM phg
ii i
ii i
ii
= − + == − += = ∗
− −−
=−−−
=−−
=−∑ ∑ ∑
Cum f∈M deducem c ă f=g∗h.
(2)⇒(4). Fie p un num ăr prim și α≥1. Punem în ecua ția din (2) m=pα și
n=p. Atunci f(pα+1)=f(p)f(pα)+f(pα-1)F(p). Dac ă particulariz ăm α=1 obținem
F(p)=f(p2)-f(p))2.
(4)⇒(2). Dac ă (mn, m′n′)=1 atunci ((m, n), (m ′, n′))=1 și
(mm′, nn′) = (m, n)(m′, n′).
Astfel, pentru a proba (2) este suficient s ă arătăm că există f∈M a.î.
pentru orice p prim și α, β≥1, ∑
=− − +=), min(
0)() () ( ) (bab a ba
ii i ipF pf pf pf (de
fapt este cazul în care F= µB′ cu B′∈Mc a.î. B′(p)=f(p2)-(f(p))2 pentru orice p
prim).
F ără a reduce din generalitate, s ă presupunem c ă β≤α ]i să facem
inductie dup ă β.
Dac ă β=1 totul este clar. Presupunem c ă β>1 și că (2) este adev ărată
pentru β-1 și orice α≥β-1.
Cum F= µB′, F(p2)=F(p3)=…=0 iar f (pα+β) =f (pα+1+β-1)=f (pα+1) f (pβ-2)
F(p)=[f(p) f(pα)-f(pα-1) B′(p)] f (pβ-1)-f (pα) f (pβ-2) B′(p) = f (pα) [ f (p) f (pβ-1) –
– f (pβ-2) B′(p)]-f (pα-1) f (pβ-1) B′(p)=f (pα) f (pβ) + f (pα-1) f (pβ-1) F(p)
(2)⇒(3). Pentru orice m, n avem:
∑ ∑∑∑∑∑∑
= ′ ==′ ==′ ′ ==′
ed nmeednmenmddn
dmDnmdnmd
nfmf de eBenfemfeBde enfemfdBDBDDdnfDdmfdB d mnf
)()( )/( )( )/()/()( )/()/()/()( )( )()/()/()( )/(
),(),(),(),(),(),(2
mmm

Astfel func ția B′∈Mc servește pe post de B cerut în (3).
(3)⇒(4). Dac ă p este prim și alegem m=n=p, atunci ob ținem
B(p)=(f(p))2-f(p2), adică B=B′. Fie α≥1. Dacă alegem m=pα și n=p ob ținem (4). ș

116 Observație Funcția f∈A ce satisface una din condi țiile teoremei de mai
sus poart ă numele de funcție multiplicat ă specială (După cum am observat
înainte σk este o astfel de func ție. Pentru σk avem că B=ξk ; într-adev ăr, dacă p
este prim, atunci B(p)=( σk(p))2-σk(p2)=(1+pk)2-(1+pk+p2k)=pk=ξk(p). Deci pentru
orice m, n avem: k
k
nmdk k dd dn dm mn )()/()/( )(
),(m s s s
∑= [S.Ramanujan pentru
k=0, în 1916] și )./( )()(2
),(dmn d n m
nmdkk
k k ∑= s s s
[Busche-1906].

CAPITOLUL 9:
RESTURI PÃTRATICE

§1.Generalit ăți.Simbolul lui Legendre

Fie m ∈ℕ, m >1 un num ăr natural fixat.
DEFINI ȚIA 1.1 . Un num ăr aÎℤ cu (m, a)=1 se zice rest p ătratic
modulo m dacă ecuația x2 șa (m) are solu ție.
În caz contrar a se zice non-rest p ătratic modulo m .
În mod evident, dac ă a, b∈ℤ și a≡b(m), atunci a este rest p ătratic
modulo m ⇔ b este rest p ătratic modulo m.
Datorit ă acestei observa ții este mai comod s ă lucrăm în ℤp decât în ℤ,
distincția făcându-se în contextul în care se lucreaz ă (notăm deseori elementele
lui ℤp prin 0, 1,…, p-1).
Observații:
1. Fie p un num ăr prim; dac ă p=2 și a∈ℤ este impar, a=2k+1 cu k ∈ℤ,
atunci ecua ția x2≡a (mod 2) are solu ție pentru x=1 sau x=a. Deci orice num ăr
impar este rest p ătratic modulo 2.
2. Dacă p este impar (deci p ≥3), atunci a ∈ℤ este rest p ătratic modulo p
⇔ restul împ ățirii lui a la p este din ℤ* 2 (sau ℤp* 2). Aici ℤ* 2 ={x2 | x∈ℤ*} și
analog ℤp* 2.
Într-adev ăr, dacă a∈ℤ este rest p ătratic modulo p, atunci exist ă x∈ℤ a.î.
x2≡a(p) ⇔există c∈ℤ a.î. a -x2=cp ⇔ a=cp+x2.
Reciproc, dac ă putem scrie a=cp+r2, cu 0≤ r2 <p, atunci ecua ția x2≡a (p)
are soluție pe x=r.

117În cele ce urmeaz ă prin p vom desemna un num ăr prim impar (p ≥3).
Cum ∈−
21pℕ, funcția σ:ℤp*→ℤp*, 21
)(−
=p
xxs
este morfism de
grupuri multiplicative. Cum σ(x)2=xp-1=1 deducem c ă σ(x)=±1 (în ℤp*) (deci
σ:ℤp* →{±1})
Mai mult :
1. σ(x)=-1 pentru un anumit x ∈ℤ*
p (căci în caz contrar polinomul
X(p-1)/2-1 ar avea mai multe r ădăcini decât gradul s ău).
2. Dacă x=t2∈ℤp*2, atunci σ(x)=x(p-1)/2=(t2)(p-1)/2=tp-1=1 (reamintim c ă am
notat ℤp*2={a2|a∈ℤp*}).
Din cele de mai sus deducem c ă: ℤp*2 ⊆ ker σ ⊆ ℤp* și cum [ℤp*:ker σ]=
=|ℤp*/ ker σ|=|Im σ|=2 deducem c ă 2=[ℤp*:ℤp*2]=[ℤp*:ker σ][ker σ:ℤp*2], de unde
[ker σ:ℤp*2]=1, adic ă ker σ=ℤp*2.

DEFINI ȚIA 1.2 . Numim simbolul lui Legendre morfismul de
grupuri multiplicative 


=pnot
s
:ℤp*®{±1}.
Deci 2/)1()(−= =


pa apas
, pentru orice a ∈ℤp* (evident p∤a, căci a∈ℤp*).
Mai mult :
(1)

−=



p ulo patratic rest estenua dacapulo patratic rest estea daca
pa
mod 1mod 1

În particular:
(2) 


−
p1= )1(2/)1(−−p și 






=



pb
pa
pab pentru orice a, b ∈ℤp*.
LEMA 1.3.(Gauss) Fie ℤp*=XÈY, unde 21,…,2ˆ,1ˆ{∧
−=pX } iar
∧
−+=∧
1 ,…,21{ ppY } (evident X ÇY=Æ).

118 Pentru aˆÎℤp*, fie aˆX={ aˆ·xˆ| xÎX}. Atunci )1(−=



pa g, unde
g = |aˆX Ç Y |
Demonstra ție Să observ ăm la început c ă funcția m a:ℤp*→ℤp*,
ma(xˆ)=axˆ, pentru x ∈ℤp*, permut ă doar elementele lui ℤp*.
Astfel, dac ă notăm
} ,…,{ ˆ }, ,…,{ ˆ1 1∧ ∧ ∧ ∧
=∩=′ =∩=′g k y y YXa Y x x X Xa X ,atunci X′∪Y′=aX, iar
X′∩Y′=∅, deci g+k=(p-1)/2.
Fie Z }
X yp ypx xg k ⊆ − − =∧∧∧ ∧
,…, , ,…,{1 1 . Să observăm că elementele
lui Z sunt distincte dou ă câte dou ă (ca elemente ale lui ℤp).
Într-adev ăr, dacă există i, j a.î. x i=p-y j⇒xi+yj=0 (în ℤp). Însă xi=ar, y j=as
cu 1 £r, s≤(p-1)/2, deci a(r+s)=0 și cum a ≠0 deducem c ă r+s=0 ceea ce este
imposibil deoarece 2 ≤ r+s <p-1. Deducem atunci c ă Z=X (căci Z⊆X și |Z|=|X| ),
deci (în ℤp) avem : 21⋅…21−p= x 1…x k(p-y 1)…(p-y g)=(-1)g x1…x ky1…y g=
=(-1)g a 2a …21−pa (căci X′ ∪Y′=aX !) =(-1)g a(p-1)/2·1·2…21−p, de unde
(-1)g a(p-1)/2=1, de unde :
(-1)g =a (p-1)/2 =



pa. ∎
COROLAR 1.4 . Pentru orice num ăr prim p impar (deci p ³3) avem:
()
18/)1 (2 2−−=


 p
p
Demonstra ție Să observăm la început c ă (p2-1)/8∈ℕ. Într -adevăr, dacă
p=8m+r (r=1, 3, 5, 7), atunci :81281) 8(
812 2 2−+=−+=− rnrm p (n∈ℕ) și
cum (r2-1)/8∈ℕ pentru r =1, 3, 5, 7 totul este clar.
Pentru 1 ≤ x<(p-1)/2, 2x<p-1. Atunci g din lema 1.3. a lui Gauss (pentru
a=2) este num ărul elementelor de forma 2x, 1 ≤ x<(p-1)/2 ce verific ă condiția
2x∈Y ⇔ x>(p-1)/4, adic ă : ]41[21−−−=p pg .Considerând p=8m+r , (r =1, 3,
5, 7), avem:

119]41[212]41[ 2214]412[214−−−+=−−−−+=−+−−+=r rmrmrmrmrm g ,
care ne duce la concluzia c ă g este par pentru r=1, 7 și impar pentru r=3, 5, adic ă
g și (p2-1)/8 au aceea și paritate, de unde ()
1 )1(8/)1 (2 2−−−= =


 p g
pș

§2. Legea reciprocit ății pătratice

În vederea demonstr ării legii reciprocit ății pătratice, s ă stabilim la
început urm ătoarea lem ă:

LEMA 2.1 . Dacă p și q sunt dou ă numere prime impare (p, q ³3),
distincte, atunci :
∑∑−
=−
=−⋅−=
+
2/)1(
12/)1(
1 21
21p
jq
jq p
qjp
pjq
Demonstra ție Notând ∑−
=
=2/)1(
1),(p
j pjqqps , egalitatea din enun ț
devine : s(p, q)+s(q, p)=(p-1)(q-1)/4.
Este u șor de observat c ă pentru orice j=1, 2,…, 
−
pjq p,21 este
numărul de numere naturale din intervalul (0, jq/p).
Deci pentru fiecare j ca mai sus, [jq/p] este num ărul acelor puncte
laticiale din plan situate pe dreapta x=j (delimitate strict superior de dreapta
y=qx/p și inferior de y=0 )
Astfel s(p, q) reprezint ă numărul punctelor laticiale din interiorul
dreptunghiului OABC (deci nesituate pe conturul lui OABC !) situate sub
dreapta de ecua ție y=(q/p)x. (vezi Fig.1)

120
y

B(0,21−q) C(21,21−−q p)
y=pqx

x = j
0 x
A(21−p,0)

Fig. 1

Analog, s(q, p) reprezint ă numărul punctelor laticiale din interiorul
dreptunghiului OABC situate deasupra dreptei de ecuatie y=(q/p)x astfel c ă
s(p, q)+s(q, p)=num ărul de puncte laticiale din interiorul dreptunghiului OABC
=21
21−⋅−q p și astfel lema este probat ă. ∎
TEOREMA 2.2. (Legea reciprocit ății pătratice) Dacă p și q sunt
două numere prime impare distincte, atunci :
()
1 21
21
−−⋅−
=






q p
pq
qp
Demonstra ție Revenim la nota țiile din Lema 1.3. a lui Gauss (numai c ă
de data aceasta elementele x i și yi vor fi privite ca numere întregi, deci nu ca
elemente din ℤp).
Fie ∑ ∑
= == =g
jjk
jj y x
1 1,b a

Avem 81
21…212−=−+++=∑
∈p px
Xx .
Analog ca în demonstra ția lemei lui Gauss vom avea :

121gp p zg
jjk
jj
Zzy x ⋅+−=− + = ∑∑∑
= = ∈ba
1 1) ( și cum X=Z deducem c ă
qpp⋅+−=−ba
8
12

Acum, pentru j=1, 2,…, (p-1)/2, fie t j restul împ ărțirii prin p a lui jq.
Evident câtul este [jq/p], deci jq =[jq/p]+t j.
F ăcând j=1, 2,…, (p-1)/2 și sumând ob ținem :
∑∑ ∑
==−
=+ + = + =−k
jg
jj jp
jj y x qpsp t qpsppq
112/)1(
12
),( ),(8)1 ( sau
ba
++ =−),(
8
)1 (2
qpsppq.
Cum qpp⋅+−=−ba
8
12
deducem c ă
b
2] ),([
8
)1 )(1(2
+− =− −gqpspp q
Deoarece p si q sunt primi impari și (p2-1)/8∈ℕ, deducem c ă
s(p, q)-g ≡0(mod 2), astfel c ă ()()
1 1),(−−= =


 qps g
pq. Schimbând rolul lui p cu
q deducem c ă ()
1),(−=


 pqs
qp, de unde
() ()
1 1 21
21),(),(− −−⋅−+= =






q ppqsqps
pq
qp. ș
Aplicație. Fie p=1009 și a=45=32·5. Avem:
()
159
51009
51009
10095
10095
1009 10094513215
21 1009 2
=

=

= 

=

=





=

−−⋅−
,
deci 45 este rest p ătratic modulo 1009 (adic ă 45 este p ătrat în ℤ*
1009).

122§3.Alte cazuri particulare ale teoremei lui Dirichlet

Dup ă cum am v ăzut, pentru orice num ăr prim p, ()
1 8122−−
=


p
p
(conform Corolarului 1.4.)
De aici deducem c ă 2 este rest p ătratic modulo p pentru p de forma
8k±1 și non -rest pătratic pentru p de forma 8k ±3 (cu k∈ℕ*).

PROPOZI ȚIA 3.1. Exist ă o infinitate de numere prime de forma
8n-1, n Îℕ*.
Demonstra ție Fie n∈ℕ, n≥2; atunci num ărul N=2(n!)2-1>1 are cel putin
un divizor prim p impar care nu este de forma 8k+1 (c ăci N este de forma 8k-1
iar dacă toți divizorii primi impari ai lui N ar fi de forma 8k+1, atunci și N ar
trebui să fie de aceea și formă)
Atunci p |N ⇔2(n!)2 ≡12(p), de unde deducem c ă 1)!(22
=



pn.
Îns ă ,2 ! 2 )!(222



=






=



p pn
p pndeci ,12=



padică p trebuie s ă fie
de forma 8k ±1. Cum p nu este de forma 8k+1 r ămâne doar c ă p prim trebuie s ă
fie de forma 8k-1.
Cum p | N deducem c ă p >n. Am probat deci c ă pentru orice n ∈ℕ, n>1,
există un prim p>n de forma 8k-1.
S ă presupunem acum c ă avem un num ăr finit de numere prime de
forma 8k-1 și anume q 1, q2,…, q t.
Considerând num ărul n=8q 1…q t-1 conform celor de mai înainte exist ă
un număr prim de forma 8k-1 (adic ă un q i ) a.î. q i >n, ceea ce este absurd. ∎

PROPOZI ȚIA 3.2. Exist ă o infinitate de numere prime de forma
8n+3, n Îℕ*.
Demonstra ție Fie n>1 și a=p 2 p3…p n (unde p n este al n-lea num ăr prim).
Cum a este impar, a2 va fi de forma 8t+1 iar N=a2 +2 va fi de forma
8t+3. Dac ă orice divizor prim al lui N este de forma 8t ±1, N însu și este de
această formă –absurd !. Deci N are cel pu țin un divizor prim impar p ce nu este
de forma 8t+3 sau 8t+5.

123 Cum p |N=a2 +2 deducem c ă a2 ≡-2 (p) și deci .12=


−
p
Îns ă , ()()
1 1 81
21221 2−−− −
=






−=


−p p
p p p.
Dac ă p=8t+5 atunci 12−=


−
p absurd, de unde concluzia c ă p este de
forma 8t+3. Îns ă din p|a2 +2 deducem p> p n și astfel avem o infinitate de numere
prime de forma 8t+3. ș

PROPOZI ȚIA 3.3 . Exist ă o infinitate de numere prime de forma
8n+5, cu nÎℕ*.
Demonstra ție Fie n>1 natural și a=p 2 p3…p n.
Cum a este impar, N=a2 +4 este de forma 8t+5.
Dac ă toți divizorii lui N ar fi de forma 8t ±1, atunci și N ar fi de aceea și
formă ceea ce este imposibil.
Atunci N ar trebui s ă aibă un divizor prim p de forma 8t+3 sau 8t+5.
Dac ă p=8t+3 atunci din p |N=a2 +4⇒ a2≡-4(p), deci 14=


−
p și astfel :
()
121221 4−−
=






−=


−p
p p pși cum p=8t+3 ⇒ 14−=


−
p -contradic ție.
Deci p este de forma 8t+5 și astfel din p |a2 +4 și a=p 2 p3…p n deducem c ă
p>p n, de unde rezult ă imediat c ă avem o infinitate de numere prime de forma
8n+5.ș
Observație: Din legea reciprocit ății pătratice deducem :

COROLAR 3.4 . Exist ă o infinitate de numere prime de forma 5n-1,
cu nÎℕ*.
Demonstra ție Fie n∈ℕ*, n>1 iar N=5(n!)2-1.
Cum N>1 și este impar, atunci N, cum nu este de forma 5t+1, va avea
cel puțin un divizor prim p (p ≠5) ce este de forma 5t+1. Evident p>n.
Cum p |N ⇒ 5(n!)2 ≡1(mod p), adic ă 15=



p. Atunci și 15=

p.
Avem c ă p≠5 poate s ă fie de forma 5k ±1 sau 5k ±2.

124 Dac ă p=5k ±2, atunci 




±=

±=


pp 2
51
55
5 și cum
12,151−=


=

±
p, deducem c ă 15−=

p -contradic ție.
Cum am v ăzut că p nu poate fi de forma 5k+1 deducem c ă p trebuie s ă
fie de form ă 5k-1.
De aici corolarul rezult ă imediat. ∎
Observație Din demonstra ția Corolarului 3.3. deducem c ă numărul
prim p este de forma p=5k-1 (k ∈ℕ). Evident k=2t, deci p=10t-1.
De aici rezult ă:

COROLAR 3.5 . Exist ă o infinitate de numere prime de forma
10n-1, n Îℕ*. ș

CAPITOLUL 10:
FRAC ȚII CONTINUE

§1.Mul țimea numerelor ira ționale I

Complementara în ℝ a lui ℚ o vom numi mulțimea numerelor
iraționale și o vom nota cu I (deci I=ℝ\ℚ). (vezi Defini ția 2.6. de la Capitolul
4).
S ă demonstr ăm de exemplu c ă 2∈I. Dacă presupunem prin absurd c ă
2∈ℚ, atunci putem scrie 2=m/n, cu m, n ∈ℕ* și (m, n)=1. Deducem
imediat c ă 2n2=m2, adică m2 este num ăr par, deci m este par, adic ă m=2m 1, cu
m1∈ℕ*. Înlocuind deducem n2 =2m 12, adică n=2n 1, cu n 1∈ℕ*.Contradic ția constă
în aceea c ă 2|m și 2|n, contrar presupunerii c ă (m, n)=1.
Observație Mai general se demonstreaz ă , analog, c ă dacă x∈ℚ, n∈ℕ*,
n≥2 și x≠dn, pentru orice d ∈ℚ, atunci nx∈I. Deci 33/2∈I, 542∈I.
S ă mai demonstr ăm de exemplu c ă log 23∈I. Într-adev ăr, dacă prin
absurd log 23∈ℚ, atunci exist ă m, n∈ℕ* a.î. (m, n)=1 și log 23=m/n ⇔2m/n =3 ⇔
2m =3n, ceea ce este absurd deoarece (2, 3)=1. (mai general deducem c ă dacă m,
n∈ℕ*, (m, n)=1, atunci log mn∈I ).

125 LEMA 1.1. Dacă xÎℚ, yÎI, atunci x+y ÎI, iar dac ă x¹0 atunci xy ÎI.
Demonstra ție Am văzut că (ℚ, +, ·) este corp.
Notând z=x+y, dac ă prin absurd z ∈ℚ, am deduce c ă y=z-x∈ℚ, ceea ce
este absurd. Analog pentru partea a doua. ș
De exemplu, 1 ±2∈I, 25 1± ∈I.

LEMA 1.2. Opera țiile de adunare și înmul țire nu sunt opera ții
interne pe I.
Demonstra ție Fie x=1+ 2 și y=1- 2. Cum 1 ∈ℚ iar 2∈I, conform
lemei precedente deducem c ă x, y∈I. Cum x+y=2 iar xy=-1, deducem c ă x+y,
xy∈ℚ. ș
Observație Cu toate acestea este posibil ca pentru x, y ∈I să avem
x+y∈I sau xy∈I (chiar simultan !).
De exemplu, dac ă x= 2, y= 3, atunci x, y ∈I și xy= 6∈I. Să
demonstr ăm că și x+y∈I. Fie pentru aceasta z=x+y= 2+3. Dacă prin absurd
z∈ℚ, atunci z2=5+2 6, de unde am deduce c ă 6=(z2 –5)/2∈ℚ, absurd ! .

S ă prezent ăm acum câteva rezultate importante legate de numerele
iraționale.
Știm că )!1…!21
!111(lim )11(limn ne
nn
n++++ =+ =
∞→ ∞→.

TEOREMA 1.3 . eÎI .
Demonstra ție Să presupunem prin absurd c ă e∈ℚ, adică e=a/b, cu a,
b∈ℕ*. Pentru orice k ∈ℕ, k≥b, cum b | k! deducem c ă numărul :
c= )!1…!21
!111 (!k bak −−−−− ∈ℤ.
Îns ă
0< 11
1111
11…
)1(1
11…)2 )(1(1
11
2<=
+−⋅+=+
+++<+++++=k
kk k k k k kc
Contradic ția provine din aceea c ă c∈(0, 1), iar mai înainte am dedus c ă
c∈ℤ. În concluzie e ∈I. ∎

126
Pentru a demonstra c ă și alte numere importante sunt ira ționale se
utilizeaz ă un mic ,, truc ”, considerând o anumit ă funcție (de obicei polinomial ă).
Pentru n ∈ℕ*, fie ()
def
xf=mn
nmmn n
xcn nx x∑
==−2
!1
!) 1(, unde c m∈ℤ, pentru
n≤m≤2n.
Pentru 0<x<1 avem 0<f(x)<!1
n.
Este clar c ă f(0)=0 și că f(m)(0)=0 dac ă m < n sau m >2n, iar dac ă
n ≤ m ≤ 2n avem f(m)(0)=!!
nmcm∈ℤ.
Deducem ca o concluzie c ă f, ca și toate derivatele sale iau valori întregi
în x=0 și cum f(1-x)=f(x) aceea și concluzie este valabil ă și în x=1.
Ca un corolar la acest mic truc s ă demonstr ăm:

TEOREMA 1.4. Dacă yÎℚ*, ey ÎI.
Demonstra ție Fie y=h/k ∈ℚ* și să presupunem prin absurd c ă ey∈ℚ.
Atunci eh =eky ∈ℚ și să punem eh =a/b, cu a, b ∈ℕ*.
Consider ăm (pentru n suficient de mare dup ă cum se va vedea în final)
funcția : !) 1()(nx xxfn n−= și
)( )( …)( )( )()2( )12( 12 2x f x hf xf hxfh xFn n n ndef
+ −+′ − =− −, pentru orice x ∈ℝ.
Ținând cont de cele de mai sus deducem c ă F(0), F(1) ∈ℤ.
De asemenea [] [ ] )( )( )( )(12xfe h xFxhFe xFehx n hx hx +=′+ =′, oricare
ar fi x∈ℝ.
Deducem c ă : )0( )1(01)( )(1
012bF aF xFbe dxxfe hbhx hx n− = = ∫+∈ℤ.
Cum îns ă 0<f(x)<1/n!, deducem c ă
1!)( 02 1
012< < <∫+
ne bhdxxfe hbhn
hx n pentru n suficient de mare (c ăci
0!)(2
→nehbn
pentru n →∞) ceea ce e contradictoriu !.
Deci ey∈I. ∎

127
Considerând o func ție f asem ănătoare celei pentru care am demonstrat
că ey∈I pentru y ∈ℚ* putem demonstra:

TEOREMA 1.5 . πÎI.
Demonstra ție Să demonstr ăm la început c ă dacă n∈ℕ, g∈ℤ[X], atunci
f(x)=xn g(x) are toate derivatele sale în 0 întregi divizibili prin n!.
Într-adev ăr, orice termen al lui g(x) este de forma cxj cu c, j ∈ℤ, c≠0,
j≥0 iar termenul corespunz ător în f(x) este cxj+n. Astfel dac ă vom demonstra
lucrul acesta pentru un singur termen al lui f, atunci el va rezulta în general
pentru f.
Pentru x=0 este usor de v ăzut că cxn+j și derivatele sale sunt zero, cu o singur ă
excepție și anume la derivata sa de ordin j+n care este egal ă cu c[(j+n)!] și cum
j≥0 deducem c ă n! | c[(j+n)!]. S ă revenim acum și să demonstr ăm că π∈I.
Presupunem prin absurd c ă π =a/b∈ℚ (cu a, b ∈ℕ*) și să consider ăm
polinomul
!) (
!) ()(nx xb
nbxaxxfn nn n n−=−=p
(n va fi pus în eviden ță ceva mai târziu).
Consider ăm g(x)=(a-bx)n ; conform celor remarcate la început putem
trage concluzia c ă xn (a-bx)n și toate derivatele sale calculate în 0 sunt întregi
divizibili prin n!. Prin urmare, împ ărțind prin n! deducem c ă f(x) și toate
derivatele sale calculate în x=0 sunt întregi, deci f ( j ) (0)∈ℤ, pentru orice j=1, 2,
…(cu f (0) =f ). Cum f( π-x)=f(x) deducem c ă (-1)j f ( j ) (π-x) = f ( j ) (x), pentru
orice j≥1. Considerând x=0 deducem c ă f ( j ) (π)∈ℤ, pentru orice j=1, 2,….
Fie F(x) = f(x) – f(2)(x) + f(4)(x) – f(6)(x) +…+ (-1)n f(2n)(x).
Deducem c ă F(2)(x) = f(2)(x) – f(4)(x) + f(6)(x)- f(8)(x) +…+ (-1)n-1 f(2n)(x)
(căci f(2n+2)(x) =0, f fiind polinom de grad 2n).
Deducem c ă F(x) + F(2)(x) =f(x) iar de aici c ă F(0), F( π)∈ℤ.
Cum (F ′(x) sin x-F(x) cos x) ′=F′′(x) sin x + F(x) sin x = f(x) sin x,
deducem c ă : )0( )(0) cos)( sin)(( sin)(
0F F x xFx xF x xf − = − ′= ∫ ppp
∈ℤ.
Vom demonstra îns ă că pentru n suficient de mare avem
1 sin)( 0
0< <∫p
dxx xf și atunci contradic ția va fi clar ă.

128 Cum pentru x ∈[0, π], !)(naxfnnp
< deducem c ă !sin)(nax xfnnp
< și
astfel 1!sin)( 0
0< < <∫ ppp
nadxx xfnn
pentru orice n>n 0 căci 0!)(→pp
nan

pentru n →∞. ∎

În leg ătură cu felul în care func țiile trigonometrice genereaz ă numere
iraționale prezent ăm:

TEOREMA 1.6. Fie q un multiplu ra țional de π (adic ă q=r·π, cu
rÎℚ). Atunci sin q, cos q, tg qÎI, cu excep ția cazurilor când tg q nu este
definit iar cos q, sin qÎ{0, ±1/2, ±1}, tg qÎ{0, ±1}.
Demonstra ție Pentru orice num ăr natural n vom proba prin induc ție
matematic ă existența unui polinom f n∈ℤ[X] de grad n cu coeficientul dominant 1
a.î. 2 cos n θ =fn(2 cos θ), pentru orice θ∈ℝ.
Cum 2 ·cos 2 θ =(2 cos θ)2-2 deducem c ă f1(x)=x și f2(x)=x2 –2.
Cum 2·cos(n+1) q
=(2cos q
)(2 cos n q
)-2cos (n-1) q
deducem c ă
fn+1(x)=xf n(x)-f n-1(x) si astfel prin induc ție matematic ă existența polinomului f n
este asigurat ă.
Fie acum n ∈ℕ* a.î. n·r ∈ℤ. Dacă θ=r ·π rezultă că fn(2cos θ)=2cos n θ =
=2cos nr θ=±2 (,,+” dac ă nr este par și ,,-” dacă nr este impar). Astfel 2cos θ este
soluție a ecua ției f n(x) ± 2=0.
Eliminând cazul cos θ=0, cum 2cos θ este rădăcina unei ecua ții de
forma f n(x) ±2=0 cu coeficientul dominant 1, dac ă 2 cos θ∈ℚ, cu necesitate
2·cosθ∈ℤ*. Cum –1 £cos θ≤ 1 deducem c ă 2 cos θ =±1, ±2, adică
cos θ∈{±1,±1/2}.
Astfel, în cazul lui cos θ teorema este demonstrat ă .
În cazul lui sin θ, dacă θ este multiplu ra țional de π, la fel este și π/2-θ și
din identitatea sin θ=cos (π/2-θ) deducem concluzia teoremei pentru sin θ.
În final din identitatea cos 2 θ=(1-tg2θ)/(1+tg2θ) deducem c ă dacă
tgθ∈ℚ atunci și cos 2 θ∈ℚ. Ținând cont de cele stabilite în cazul lui cos θ
deducem c ă cos 2θ=0, ±1/2, ±1.
Dac ă cos 2θ = 0, atunci tg θ = ± 1; dacă cos 2θ = 1 atunci tg θ = 0 iar
dacă cos 2θ =-1, atunci tg θ nu este definit ă.

129 Dac ă cos 2θ = ±1/2 atunci tg θ∈{ 3/1,3±± } și cu aceasta teorema
este demonstrat ă. ș

TEOREMA 1.7. e nu este ira țional p ătratic .
Demonstra ție Presupunem prin absurd c ă există a, b, c∈ℤ, nu toate nule,
a.î. ae2 +be+c=0 (vezi Defini ția 3.10.).
Cum e ∈I avem a ≠0 și c≠0. Să presupunem de exemplu c ă a>0.
Atunci ae + b +ce -1 = 0, a>0, c ≠0.
Reamintim c ă ∑
≥−=
0!)1( 1
kn
k e .
S ă notăm ∑
=−=n
kk
nknB
0!)1(! ; avem c ă Bn∈ℤ, n=1, 2, … și să mai
consider ăm și
∑
+≥−−
++++++−+=−=
11
….)3 )(2 )(1(1
)2 )(1(1
11
!)1(!
nkkn
nn n n n n n kn b
Avem c ă 11
)2 )(1(1
110+<<++−+<nbn n nn .
Astfel: n!(ae + b + ce-1)=(aA n + bn! +cB n)+(aa n + (-1)n+1cbn)=C n+cn=0 (⋆)
unde C n=(aA n + bn! + cB n)∈ℤ și cn=aa n+(-1)n+1cbn , n≥1 .
Alegem acum n a.î. n ≥ 2a+|c| și (-1)n+1c >0.
Cum a>0 avem c ă 0<c n=aa n+(-1)n+1cbn<12
++
nca
<1, ceea ce contrazice
(⋆). ș

§2.Numere algebrice și numere transcendente

DEFINI ȚIA 2.1 . Un num ăr aÎℂ se zice algebric dacă exist ă
fÎℚ[X], f ¹0 a.î. f( a)=0. Un num ăr ce nu este algebric se zice transcendent.
Evident, orice num ăr rațional este algebric .
De asemenea, i= 1− este algebric (fiind solu ție a ecua ției algebrice
X2+1=0).

130 Dac ă un num ăr algebric α este rădăcina unui polinom nenul f ∈ℚ[X] de
grad minim, vom spune c ă α este de grad n (astfel un num ăr rațional este
algebric de grad 1).

TEOREMA 2.2. Mulțimea numerelor algebrice este num ărabilă.
Demonstra ție Cunoaștem că orice num ăr algebric α este solu ție a unei
ecuații: a nXn +an-1Xn-1 + …+a 0 =0 cu a i∈ℤ, 0≤i≤n, nu to ți nuli. Dac ă notăm
N=n+|a0|+…+|an|, atunci cu necesitate N ≥1. Pentru fiecare n fixat exist ă numai
un număr finit de ecua ții algebrice de forma celei de mai sus și fiecare dintre
acestea au numai un num ăr finit de solu ții.
În concluzie, num ărul numerelor algebrice corespunz ătoare lui N este
finit; fie E N mulțimea acestora. Cum mul țimea E a numerelor algebrice este o
submulțime a mul țimii U
2≥NNE (care este num ărabilă), deducem c ă E este
numărabilă.ș

Ca un corolar deducem imediat:
TEOREMA 2.3. Atât în ℂ cât și în ℝ, mul țimea numerelor
transcendente este num ărabilă.
TEOREMA 2.4. (Criteriul lui Liouville ) Fie f∈ℤ[X] ireductibil de
gradul r ≥ 2, α∈ℝ o rădăcină a lui f și p, q∈ℤ cu q∈ℕ*. Atunci exist ă un
număr real c > 0 ce nu depinde de p și q a.î. rqc
qp>−a
.
Demonstra ție Fie f =a0+a1X+…+a rX r ∈ℤ[X] polinomul minimal al lui
α . Putem presupune c ă 1<−qpa
(căci în caz contrar putem lua c =1).
Atunci fie α=α 1, α 2, …, α r toate rădăcinile lui f (conform Teoremei
2.3. acestea sunt în ℂ).
Avem :
()
qpcqpaqp
qpaqpfr
ii rr
ii r −′=++ − ≤


− − =


∏ ∏
= =a a a a a a
2 21
unde cʹ >0 este o constant ă ce nu depinde de p și q.

131 Pe de alt ă parte, rq qpf1≥


și astfel teorema este demonstrat ă. ∎
Observație Criteriul precedent exprim ă faptul c ă, într-un anumit mod,
numerele algebrice nu pot fi suficient de bine aproximate prin numere ra ționale.

COROLARUL 2.5. Numărul α =∑
≥1!31
nn este transcendent (adic ă
nu este algebric).
Demonstra ție Să arătăm la început c ă α∉ℚ. Dacă prin absurd
α=qp∈ℚ cu p, q∈ℕ*, atunci considerând un num ăr întreg k ≥1 și înmulțind
relația α=qp cu qk!3 obținem o rela ție de forma a =b+q∑
+≥−1! !31
k nkn cu
a, b ∈ℤ. Este suficient s ă arătăm că numărul ∑
+≥+−=
1! !3
k nk nqd ∉ℤ pentru k
suficient de mare. Un astfel de k exist ă deoarece d este restul unei serii
convergente ; deci α∉ℤ.
S ă presupunem acum c ă α ar fi algebric. Atunci polinomul minimal al
său ar avea gradul r ≥2. Fie c constanta din Criteriul lui Liouville de mai sus
asociată lui α. Consider ăm k≥1 întreg și ∑
=−=k
nns
1!3 . Atunci avem
∑
+≥−=−
1!3
k nnsa
. Luând k suficient de mare, ob ținem inegalitatea
c
k nn kr<∑
+≥−
1! !3 3 ceea ce contrazice Criteriul lui Liouville, absurd!. ∎

În continuare vom mai prezenta si alte exemple.

TEOREMA 2.6. (Hermite) Num ărul e este transcendent.
Demonstra ție Fie dxxf tIt
xte )( )(
0∫−= , definit ă pentru t ≥0, unde
f∈ℝ[X] este un polinom de grad m.

132 Integrând prin p ărți obținem: ∑ ∑
= =− =m
jjm
jj tt f f etI
0)(
1)()( )0( )( .
Se observ ă că dacă prin fdesemnăm polinomul ce se ob ține înlocuind
coeficien ții lui f cu valorile lor absolute, atunci :
)( )( )(
0tfte dx xfe tItt
xt≤ ≤∫−.
S ă presupunem acum prin absurd c ă e este algebric. Atunci exist ă
a0,a1,…,a n∈ℤ cu a 0 ≠ 0 a.î. a 0+a1e +…+a nen =0.
Fie f(x)=xp-1 (x-1)p…(x-n)p unde p este un num ăr prim (care va fi
convenabil ales).
Atunci gradul lui f este (n+1)p-1.
Fie J=a 0I(0) + a 1I(1) +…+a nI(n). Avem )(
00)(k fa Jm
jn
kj
k∑∑
==−= .
Îns ă pentru 1 ≤ k ≤n avem f ( j ) (k) = 0 pentru j<p și f ( j ) (k) =
=Cj
pp! g( j – p )(k) pentru j ≥p, unde g(x) = f(x)/(x-k)p.
Atunci pentru orice j, f ( j ) (k) este un întreg divizibil prin p!.
Mai mult, avem c ă f ( j ) (0)=0, pentru j<p-1 și f ( j ) (0) = Cj
p1−(p-1)!·
·h(j-p+1)(0) pentru j ≥p-1, unde h(x)=f(x)/xp-1. Evident h(j)(0) este un num ăr întreg
divizibil prin p pentru j>0 și h(0)=(-1)np (n!)p. Atunci pentru j ≠p-1, f ( j ) (0) este
un întreg divizibil prin p! și f ( p-1) (0) este întreg divizibil prin (p-1)!, îns ă nu prin
p pentru p>n. Rezult ă că J este un întreg nenul divizibil prin (p-1)!, deci | J | ≥
≥ (p-1)!.
Pe de alt ă parte, ținând cont de faptul c ă f(k)≤(2n)m și m≤2np
deducem c ă | J | £ |a1| ef(1) +…+ |an| n enf(n) ≤ ep pentru un anumit c ce nu
depinde de p.
Alegând p prim suficient de mare (a.î. (p-1)!>cp) ajungem la o
contradic ție evident ă, de unde rezult ă că presupunerea c ă e este algebric este
falsă, rezultând deci c ă e nu este algebric, adic ă este transcendent. ∎

COROLAR 2.7. eÎI.

Observație Deși iraționalitatea lui e rezult ă din aceea c ă e este
transcendent trebuie re ținută și demonstra ția precedent ă pentru faptul c ă e este
irațional, fie și numai pentru frumuse țea metodei folosite.

133 TEOREMA 2.8. (Lindemann) π este transcendent .
Demonstra ție Să stabilim la început a șa- zisa ,,identitate a lui Hermite ”:
Fie f ∈ℝ[X] de grad n și F(x)=f(x)+f ′(x)+…+f(n)(x).
Atunci )( )0( )(
0xF e F dtetfexx
t x− = ∫−, pentru orice x ∈ℝ.
Într-adev ăr, integrând prin p ărți obținem rela ția:
dtetf exf f dtetfx
tx
x t∫ ∫− − −′+ − =
0 0)( )( )0( )(
Repet ănd de n+1 ori integrarea prin p ărți obținem egalitatea:
xx
texF F dtetf− −− = ∫ )( )0( )(
0
din care rezult ă acum identitatea lui Hermite.
S ă revenim acum la demonstrarea transcenden ței lui π.
Pe lâng ă identitatea lui Hermite vom mai folosi și ecuatia eπi +1=0.
S ă presupunem prin absurd c ă π este algebric. Atunci γ=πi este de
asemenea algebric; fie n=gradul lui γ și γ=γ1, γ2…γn conjuga ții lui γ.
Cum eγ +1=0, avem 0) 1(
1=+∏
=n
iieg
de unde deducem c ă :
∑∑ ∏
==++
==+1
01
0…
1 111… ) 1(
eege ge g
nkk ie en
i=0 (1)
Presupunem c ă în relația de mai sus sunt exact m exponen ți nenuli și
a=2n-m care sunt zero (a ≥1). Atunci, dac ă α1, …, αm sunt exponen ții nenuli
putem pune rela ția (1) de mai sus sub forma 0 …1 =+++me eaa a
, a≥1. (2)
Vom ar ăta că numerele α1,…, αm formeaz ă mulțimea rădăcinilor unui
polinom ψ∈ℤ[X] de grad m.
Pentru aceasta s ă observăm că polinomul:
)] … ([ … )(111
01
01nn
nx x ge ge j
e e
++ − = ∏∏
= =
considerat ca polinom în γ1,…, γn cu coeficien ți în ℤ[X] este simetric în γ1,…, γn,
deci ϕ(x)∈ℚ[X].
Atunci r ădăcinile polinomului ϕ(x) (de grad 2n ) sunt α1,…αm și 0 (cu
multiplicitate a).
Deci polinomul x-a ϕ(x)∈ℚ[X] (de grad m) are drept r ădăcini pe
α1,…,αm.

134 Dac ă r∈ℕ este c.m.m.m.c al numitorilor coeficien ților acestui polinom
atunci ψ(x)=(γ/xa)ϕ(x)=b mxm+ …+b 1x+b 0∈ℤ[X] (b m>0, b 0≠0) are exact
rădăcinile α1,…, αm.
În identitatea lui Hermite vom considera succesiv x= α1,…, αm.
Dac ă adunăm și ținem cont de (2) ob ținem :
∫ ∑∑−
=== − −aaa
k
kdtetf e F aFtm
km
kk
0 11)( )( )0( (3)
De aici demonstra ția transcenden ței lui π merge ca și în cazul transcenden ței
lui e.
Pentru aceasta în (3) vom considera:
=−=−−)()!1(1)(1 1x x bnxfn n mn
m y
n
mn n n m
m x x x bn) …() ()!1(1
11 1)1(a a
− −−−−+ (4)
unde n este un num ăr natural ce va fi ales suficient de mare. Vom demonstra c ă
alegând pe f ca mai sus, din (3) vom ajunge la o contradic ție.
Ob ținem imediat rela țiile:
f(l)(0) = 0, l = 0, 1,…, n-2
f(n-1)(0)=n mn
mb b01− (5)
F(0)= ∑−+
−=−+ =1)1(
101 )()0(n m
nln mn
mlnA b b f (A∈ℤ)

Cum αk este o r ădăcină a lui f(x) de mult iplicitate n ob ținem că
f (l) (αk)= 0 , l =0, 1,…,n-1, k=1, 2,…, m . (6)
Analog ca în cazul lui e derivata de ordin l a lui xn-1ψn(x) are coeficien ți
divizibili prin n!. Deci pentru l > n coeficien ții lui f(l)(x) sunt întregi și divizibili
prin n bmn
m1−.
Atunci din (6) deducem c ă
)( )( )(1)1(
11 )(∑−+
−=−Φ = =n m
nlkmn
m kl
k nb f F a a a
(7), k=1,…,m cu Ф(z)∈ℤ[z].
Numerele βk=bmαk, k=1,…,m sunt întregi algebrici ce formeaz ă mulțimea
rădăcinilor unui polinom de grad m din ℤ[X] cu coeficientul dominant 1.
Mai mult, 1−mn
mbФ(αk) = H(βk), H∈ℤ[X].
Atunci B H bkm
kkmn
mm
k= = Φ ∑ ∑
=−
=)( )(
11
1b a
, B∈ℤ. (8)

135 Din (5), (7), (8) deducem c ă :
) ( )( )0(1
0
1B aAn bab F aFmn
mm
kk + + = +−
=∑ a
(9)
Fie acum n ∈ℕ* a.î. (n, b 0bm)=1 și n>1. Membrul drept al lui (9) este un
întreg nedivizibil cu n și deci nenul, de unde :
1 )( )0(
1≥ +∑
=m
kkF aF a
. (10)
S ă căutăm acum o majorare a membrului drept din (3).
S ă presupunem c ă toate punnctele α1,…,αm sunt con ținute în cercul
|x| ≤ R și să notăm c x b
Rxm
m =
≤)( max y
, cu c nedepinzând de n.
Atunci )!1()( max1
−≤
≤−
ncRxf
Rxn n
.
Exist ă deci n 0 a.î. pentru orice n ≥n0 ce satisface (10) s ă avem
inegalitatea:

∑∫ ∑∫ ∑∫
=−
=−
=−<−≤−≤ ⋅ ≤m
kn
R nR n m
kxm
kx
nRcme dx cneRdx exf dxexf ek k
kk
k
101
10 1 0 )!1()(
)!1()( )(a a
aa
a
<1 (11)
Din (10), (11) și (3) deducem c ă 1<1 -absurd! . ∎

§3. Frac ții continue

Vrând s ă construiasc ă un planetariu cu ro ți dințate, Cristian Huyghens
(matematician, fizician și astronom, 1629-1695 ) a avut de rezolvat problema :
care raport între num ărul de din ți a doua ro ți care se angreneaz ă (egal cu raportul
duratelor lor de rota ție ) este mai apropiat de raportul α dintre duratele de rota ție
ale planetelor respective. Din motive tehnice, num ărul de din ți de pe o roat ă nu
putea să fie prea mare .
O problem ă similară a apărut la alc ătuirea calendarului: Ce numar p de
ani bisec ți (de 366 zile ) trebuie pus într-un ciclu de q ani pentru ca durata medie

136a anului calendaristic, ) 365(365
qp
qp qAc +=+⋅= zile, să fie cât mai aproape
de durata real ă A=365,24219878…..zile ?
Calendarul iulian a ales q=4, p=1. Calendarul gregorian, dup ă care trăim
introdus la sfâr șitul secolului XVI, l-a aproximat mai bine pe A, alegând q=400
și p=97 ; anii bisec ți sunt acei multipli de 4 care nu sunt multipli de 100, excep ție
facând multiplii de 400. Anul nostru calendaristic dureaz ă deci 365+97/400=
=365,2425 zile. Alte alegeri, ca p=8, q=33, sau p=31, q=128, ar fi dus la
365,24(24) sau 365,24218…, dar nu era comod s ă avem un ciclu de 33 sau 128
de ani.
Asemenea probleme de aproximare cu numere ra ționale apar în
numeroase domenii. O solu ție este dat ă de fracțiile continue . După cum vom
vedea, frac țiile continue pot fi folosite cu succes și la rezolvarea unor probleme
care, cel putin aparent, nu au legatur ă cu aproximarea numerelor.
Fie α∈ℚ. Atunci putem scrie qp=a
, cu p∈ℤ și q∈ℕ*.
F ăcând mai multe împ ărțiri cu rest g ăsim că pentru un anumit k ∈ℕ
avem:
p=a 0q + q 1 ,0 <q 1 <q
q=a 1q1+ q 2 ,0 <q 2 <q1
q 1=a2q2+ q 3 ,0 <q 3<q2
–––––––––
qk-2=ak-1qk-1+ q k ,0 <q k<qk-1
qk-1=akqk , unde a 0∈ℤ iar a 1,…,a k∈ℕ*. Conform algoritmului
lui Euclid, ultimul rest nenul q keste cel mai mare divizor comun al lui p și q.
S ă observăm că numerele a 0, a 1,…depind numai de α, nu și de
reprezentarea p/q: a 0=[α], a 1=



1qq= 



−01
aa
, etc.
Cunoscând câturile a 0, a1,…, a n putem scrie:

kaaa
1.11
10
+++=
Oa

Convenim s ă scriem asemenea frac ții etajate sub fo rma :

ka a aa1 1 1
2 10 +−−−+++=a
(1)

137 În frac ția de mai sus, a 0∈ℤ iar a 1,…, a k∈ℕ*.
Scrierea lui α sub forma (1) nu mai este a șa de simpl ă dacă α este
irațional ;
Procedând analog ca mai sus ob ținem a 0=[α]∈ℤ. Evident
α1=
01
a−a
>1 și din nou dac ă a1=[α1]∈ℕ* atunci α2=
1 11
a−a
>1.
Putem scrie c ă
2 101 1
a aa ++=a
. Continuând procedeul ob ținem
scrieri intermediare de forma :

1 2 101 1…1 1
++++++=
n na a aaaa
(2)
S ă observăm că procesul de scriere a lui α sub forma (2) poate continua
atâta timp cât αn+1∉ℕ. După cum am v ăzut, dacă α∈ℚ, pentru un anumit k ∈ℕ,
αk∈ℕ.
Dac ă însă α∉ℚ, acest proces se poate continua oricât de mult, deoarece
fiecare αk∉ℚ. Se obține astfel o frac ție etajată infinită:
…1….1 1
2 10 +++++=
na a aaa
(3)
Semnul egal de mai sus este pus conven țional : nu știm deocamdat ă ce
reprezint ă membrul drept. S ă comprim ăm și mai mult scrierea frac țiilor etajate
(1), (2), (3), notându-le [a 0;a1, a2,…,a n] pentru (1), [a 0;a1, a2,…,a n,αn+1] pentru (2),
și [a 0;a1, a2,…] pentru (3).
Vom prezenta în continuare câteva propriet ăți ale frac țiilor continue.
Pentru o frac ție continu ă [a 0;a1, a 2,…,a n,…] (unde a 0∈ℤ iar a n∈ℕ*
pentru n ≥1) să notăm :

nn
nqp=p
=[a 0;a1, a2,…,a n]
Numerele πn sunt, evident, ra ționale și se numesc redusele fracției continue.

Observație Fracția continu ă [a0;a1, a2,…,a m,1] se poate scrie mai scurt
[a0;a1, a 2,…,a m+1]. Cu conven ția a k≥2, scrierea [a 0;a1, a 2,…,a k] a numerelor
raționale neîntregi este unic ă.

138Fie qp=[a 0;a1, a2,…,a n] și qp
′′=[a 1;a2, a3,…,a n]. Se vede c ă legătura
dintre cele dou ă numere este qp=qpa′′+0 . Dacă qp
′′ este o frac ție ireductibil ă,
atunci și pq ap
′′+′0 este ireductibil ă, deci putem afirma c ă, dacă și p/q este o
fracție ireductibil ă, atunci q app +′=0 și pq′= . (4)
Această observa ție arată că maniera natural ă de a calcula valoarea unei
fracții continue finite este exact inversul algoritmului de dezvoltare în frac ție
continuă. Într-adev ăr, dacă α=[a 0;a1, a 2,…,a n], atunci αn=an/1 este o frac ție
ireductibil ă, deci formulele (4) permit calculul lui αn-1=[a n-1;αn], apoi al lui
αn-2 = =[a n-2;αn-1], etc. Aceast ă modalitate de calcul poate deveni laborioas ă
pentru n destul de mare și nu sugereaz ă nimic despre calculul ,,valorii” unei
fracții continue infinite.

PROPOZI ȚIA 3.1 . Num ărătorii și numitorii reduselor verific ă
relațile :
p 0 = a 0, p1 = a 0a1 + 1,…, p n+1 = a n+1pn+ p n-1 (n=1, 2, …) (5)
q 0 = 1, q 1 = a 1,…, q n+1 = a n+1qn + q n-1 (n=1, 2, …)
Demonstra ție Avem :
101
10
11 0
0
00 1 1;1 aaa
aaqp aaqp +=+= == și
0 120 12
120 01 2
122
0 2 1 0
22
1)1 (
1],;[q qap pa
aaa aaa
aaaa aaaqp
++=+++=++= = , deci
relațiile (5) se verific ă pentru n=1. Presupunem c ă ele sunt adev ărate pentru
n=k-1 și arătăm că sunt adev ărate și pentru n=k. Avem:
];[] ,……,;[1 0 1 1 0
11a
a a aaqp
k
kk= =+
++, unde ] ……,;[1 2 1 1 + =ka aa a
.
Fie ,
00
qp
′′,…,
11
qp
′′ 1a
=′′
kk
qp redusele frac ției α1 . Conform ipotezei de induc ție,
2 1 1 − −+′+′ =′k k k k p pa p
2 1 1 − −+′+′ =′k k k k q qa q
Pe de alt ă parte, din (4), avem
k k k q ap p ′+′=+ 0 1 , k k p q ′=+1
1 01 − −′+′=k k k q ap p , 1−′=k kp q
2 02 1 − − −′+′=k k k q ap p , 2 1 − −′=k k p q

139și deci,
1 1 2 1 1 1 − + − −+ + + =′+′ =′=k k k k k k k k q qa p pa p q .
1 1 2 2 0 1 1 0 12 1 1 2 1 1 0 0 1
) () (
− + − − − − +− −+ − −+ +
+ =′+′+′+′ ==′+′ +′+′ =′+′=
k k k k k k k kk k k k k k k k k
p pa q pa q pa aq qa p paa q pa p

Folosind principiul induc ției complete, propozi ția este demonstrat ă.∎
În demonstra ție nu am folosit faptul c ă an+1 este natural, prin urmare,
aplicând rela țiile (5) cu αn+1 în loc de a n+1, obținem :

PROPOZI ȚIA 3.2. Dacă a=[a 0 ; a1,…,a n , an+1] atunci
a=
1 11 1
− +− +
++
n nnn nn
q qp p
aa
. (6)

Relațiile de recuren ță (5) permit calculul u șor al șirului reduselor unei
fracții continue. Este comod s ă punem p -1=1 și q-1=0 ; rela țiile (5) sunt valabile
atunci și pentru n=0. Redusele se ob țin completând de la stânga la dreapta
tabelul:

a a 0 a 1 a 2 . . . an+1
p
q 1 p 0=a0 p 1 p . . . an+1pn+pn-1
0 q 0=1 q 1 q 2 . . . an+1qn+qn-1

Exemplu Fie α= 215+ . Avem a 0=1,
215
0−=−aa
, a a
=+=+=
−=215
4)15(2
152
1 , deci a 1=a0 și α1=α.
Este ușor de văzut că αn=α și an=a0=1, pentru fiecare n natural. Frac ția
continuă atașată este, deci [1;1,1,1…]. S ă calculăm câteva reduse:

a 1 1 1 1 1 1 1 . . .
p
q 1 1 2 3 5 8 13 21 . . .
0 1 1 2 3 5 8 13 . . .

140
PROPOZI ȚIA 3.3. Au loc rela țiile :

)10( ,2 ,)1()9( 1,)1()8( ,1 , )1()7( ,0 ,)1(
21
2111
2 21 1
≥−=−≥−=−≥ −= −≥ −= −
−−
−−−−
− −− −
naqqnqqna qp pqn qp pq
n
nnn
n nnnn
n nnn
nn nnn
nn nn
p pp p

Demonstra ție Deoarece q 0=1, p 0=a0, q-1=0, p -1=1 avem q 0 p-1 – p 0 q -1=
=(-1)0, deci rela ția (7) este adev ărată pentru n=0. Presupunem c ă pentru un n
avem q n pn-1 – p n qn-1=(-1)n.
Folosind (5), avem
q n+1 pn- pn+1 qn=(a n+1qn+qn-1)pn – (a n+1pn + p n-1)qn= – (q npn-1 – p nqn-1)=(-1)n+1,
Deci am demonstrat prin induc ție relația (7).
Folosind întâi (5), apoi (7), avem :
qn pn-2- pn qn-2=(a nqn-1+qn-2)pn-2 – (a npn-1 + p n-2)qn-2= a n(qn-1pn-2 – p n-1qn-2)=(-1)n-1an
adică relațiile (8). Rela țiile (9) și (10) sunt simple transcrieri ale lui (7) și (8) și
astfel propozi ția este demonstrat ă.∎

O consecin ță imediată a relațiilor (9) și (10) o constituie:
PROPOZI ȚIA 3.4. Au loc inegalit ățile :
1 3 5 4 2 0 … p p p p p p
<<<<<<
Fie α=[a 0;a1,…,a n, αn+1] un num ăr real oarecare. Folosind (6), avem
=−++=−
− +− +
nn
n nnn nn
nqp
q qp p
1 11 1
aapa
) (1 11 1
− +− −
+−
n nn nnn nn
q qqqp pq
a
=) ()1(
1 1 − ++−
n nn nn
q qq a

Egalitatea ob ținută arată că redusele de ordin par sunt mai mici decât α,
iar cele de ordin impar sunt mai mari decât α. Întrucât αn+1≥ an+1 avem și
≤+=−
− + ) (1
1 1 n nn nnq qq apa
1 1 11
) (1
+ − +=+nn n nn n qq q aqq
Egalitatea din mijloc este posibil ă numai dac ă an+1=αn+1, deci dac ă α
este rațional și α=πn+1. Pe de alt ă parte a n+1+1>αn+1, deci:
>+=−
− + ) (1
1 1 n nn nnq qq apa
) (1
)] ( [1
1 1 1 + − + +=+ +n n n n nn n n q qq q aq qq

141Rezumând cele de mai sus, am demonstrat :
PROPOZITIA 3.5. Dacă a=[a 0 ; a1, …, a n, an+1] , atunci
<++) (1
1n n n q qq11
+≤−
nn nn
qq qpa
, (11)
egalitatea din dreapta având loc numai dac ă a=
11
++
nn
qp .
Suntem în m ăsură să dăm sens egalit ății din (3). Din (5) este u șor de
dedus că, pentru frac ții continue infinite, q n+1>qn , începând cu n=1 și deci q n≥n.
Pornind de la un num ăr irațional α, șirul ( πn)n≥1 aproximeaz ă din ce în ce mai
bine num ărul α. În limbajul analizei matematice, a p
=
∞→nnlim . Dacă pornim de la
o fracție continu ă infinită, Propozi ția 3.4., împreun ă cu (9), garanteaz ă că șirul
(π n)n≥1 converge. L ăsăm în seama cititorului s ă arate că fracția continu ă atașată
acestui num ăr este tocmai frac ția continu ă de la care am plecat. Ideea
demonstra ției este urm ătoarea :
Dacă
[a0;a1,…, a 2n]<β=[b 0; β1]< [a 0;a1,…, a 2n,a2n+1],
atunci:
b 0=a0 și [a 1;a2,…, a 2n+1]<β1=[b 1; β2]< [a 1;a2,…, a 2n]

Să mai demonstr ăm o proprietate a reduselor:
PROPOZI ȚIA 3.6. Fie a 0³1,
11
−−
nn
qp =[a 0;a1,…, a n-1]
și
nn
qp=[a 0;a1,…, a n].
Atunci [a n;an-1,…, a 0]=
1−nn
pp și [a n;an-1,…, a 1]=
1−nn
qq.
Demonstra ție Procedăm prin induc ție după n.
Pentru n=1,
00 0
11
110
1 01,1];[qp a
qp
aaaaa = =+=
Avem
11
1
01
010
0 1 ,1];[qqapp
aaaaa = =+=
Presupunem afirma ția adevărată pentru n. Atunci :

nn n n
nn
n
n nn n nqq qa
qqaa aaa a a a1 1 1
1
1 11 1 1] ,…, ;[1] ,…,; [− + −
+
−+ ++= += +=
Tot cu ajutorul lui (5), avem și

142
nn
nn
n
n nn n npp
ppaa aaa a a a1 1
1
0 11 0 1] ,…, ;[1] ,…,; [+ −
+
−+ + = += +=
ceea ce trebuia demonstrat. ∎

Vom prezenta în continuare câteva chestiuni legate de aproximarea
numerelor reale.
Fie α un num ăr real. Problema aproxim ării lui cu numere ra ționale are
următoarea interpretare geometric ă. În planul xOy consider ăm dreapta (d) de
ecuație y=αx și rețeua de puncte ,,laticiale” din semiplanul drept, adic ă mulțimea
punctelor de coordonate întregi (q, p) cu q>0 (vezi Fig. 2). C ăutăm puncte P(q, p)
pentru care p/q este aproape de α, adică puncte P(q, p) situate ,,aproape” de
dreapta (d). Aceast ă apropiere o putem m ăsura prin abaterea qp−a
dintre
pantele dreptelor (d) și OP (de ecua ție y=qpx ), fie prin distan ța de la P la
dreapta (d) sau, ceea ce este echivalent, prin lungimea |qα-p| a segmentului PQ,
unde Q este punctul de pe dreapta (d) care are abscis ă cu P.

y

(d)

Q(q,αq)
y=αx
P(q,p)

0 x

Fig. 2

143Vom spune c ă qp este o ,, cea mai bun ă aproximare de spe ța întâi “ a
lui α dacă pentru orice alt ă fracție qp
′′, cu 0< qq≤′ avem qp−a
<qp
′′−a
.
Numărul qp se nume ște o ,, cea mai bun ă aproximare de spe ța a doua “ a lui α
dacă p qp q ′−′<− a a
, pentru orice ),(),( pq pq≠′′ pentru care qq≤′ . Se
vede imediat c ă orice ,,cea mai bun ă aproximare de spe ța a doua ” este și o ,,cea
mai bun ă aproximare de spe ța întâi ”. Ne ocup ăm aici numai de cele mai bune
aproxim ări de spe ța a doua și le vom numi pe scurt cele mai bune aproxim ări.

PROPOZI ȚIA 3.7. Orice cea mai bun ă aproximare a lui a este o
redusă a frac ției continue a lui a.
Demonstra ție Fie qp o cea mai bun ă aproximare a lui
α=[a 0;a1,…,a n,.…].
Dacă qp<a0 (=π0) , atunci : p qqpa
nn−≤−=−⋅ a a a
0 1 , deci qp
n-ar fi o cea mai bun ă aproximare. Dac ă qp>
11
qp (=π1) atunci :
qp−a
>
1 11 1
qq qp
qp≥− , ( căci avem urm ătoarea ordonare

0p
a
1p
qp
)
deci

11
qp q >−a
.
Pe de alt ă parte, din (11), 0
1 111 1aa q−⋅≥= a
și, din nou, p/q n -ar fi
o cea mai bun ă aproximare. Am stabilit deci c ă π0 ≤ p/q ≤ π1
Presupunem c ă p/q nu coincide cu nici o redus ă a lui α. Atunci p/q este
cuprins între dou ă reduse πn-1 și πn+1, cu rangurile de aceea și paritate. Avem

144
1 11 1
− −−≥ −
n nn
qq qp
qpși
1 11
11 1
− −−
−−= −< −
nn nn
nn
nn
qq qp
qp
qp
qp
de unde deducem q n<q . Pe de alt ă parte,

1 11 1
− −−≥ −≥−
nn nn
nn
qq qp
qp
qpa
,
deci

11
+≥−
nqp qa

și din (11),
n n
np qq−≥
+a
11
adică qn<q și p q p qn n −≤− a a
, în contradic ție cu faptul c ă p/q este o cea
mai bună aproximare și astfel propozi ția este demonstrat ă. ∎
Observație. Dacă α este rațional și p/q nu este o redus ă a lui α, atunci
găsim redusa
nn
qp, cu p q p qn n −≤− a a
și qn<q.
Este adev ărată și reciproca:
PROPOZI ȚIA 3.8. Orice redus ă este o cea mai bun ă aproximare,
cu excep ția eventual ă a redusei qp
00
0=p
.
Observație Dacă α = [a 0 ; 2], atunci π0 =10a nu este o cea mai bun ă
aproximare, c ăci |1⋅α-a0|=1/2=|1⋅α-a0-1|. În schimb, π1=α este, evident, o cea mai
bună aproximare.
Demonstra ție Examin ăm numai cazul α≠[a0 ; 2]. Fie
mm
qp o redus ă a lui
α, cu m≥1. Consider ăm numerele | yα-x |, unde y ∈ℕ*, y ≤ qm, iar x este [y α] sau
[yα]+1. Fie | y0α-x0 | cel mai mic dintre ele. Dac ă minimul este atins de mai
multe valori y, am notat cu y 0 cea mai mic ă dintre ele; x 0 este atunci unic
determinat, deoarece, dac ă | y0α-x0 |=| y0α-x0-1|, atunci y 0α-x0 = x 0+1-y 0α, deci
00
21 2
yx+=a
este rațional.
Fie α=[a 0 ; a1,…,a n], cu a n ≥ 2, fracția continu ă a lui α. Avem n ≥ 1 și
deoarece cazul [a 0 ; 2] l-am exclus, rezult ă fie a n>2, fie a n=2 și n >1. Avem

145 2y 0=qn=anqn-1+qn-2 și 2x 0+1=p n=an pn-1+pn-2
de unde q n-1<y0, dar | qn-1 α-pn-1| = 21
21 1
0≤=y qn = | y0 α-p0 |, ceea ce ar
contrazice alegerea lui y 0. Numărul
00
yx este deci o cea mai bun ă aproximare a
lui α și, conform teoremei precedente,
kk
qp
yx=
00. Cum șirul q 1, q2,… este strict
crescător, avem k ≤ m (căci q k ≤ qm). Dacă k=m, am terminat, dac ă, însă, k<m,
atunci, folosind (11), avem:
m m
m m m m m m k kk k p qq qa q q q q qp q − ≥ =+≥+≥+>−
+ + − − +a a
1 1 1 1 11 1 1 1
ceea ce ar contrazice defini ția lui y 0.
În prima parte a demonstra ției am ar ătat că, exceptând numerele
α=[a 0; 2], luând un q ∈ℕ* (în locul lui q m ), există o cea mai bun ă aproximare
00
yx (deci o redus ă a lui α ) cu y 0≤q. În cazul q=1, aceast ă cea mai bun ă
aproximare este π0 sau 110+a și deci, π0 este o cea mai bun ă aproximare a lui α,
exceptând cazul când când q 1=1, deci α=[a 0; 1,…] . ∎
În continuare ne vom ocupa de dezvoltarea în frac ții continue periodice a
numerelor ira ționale p ătratice.

DEFINI ȚIA 3.9. Fracția continu ă infinit ă [a0;a1,…] se zice periodic ă
dacă există hÎℕ* și kÎℕ cu a n=an+h+1 pentru fiecare n ³k. Convenim s ă
notăm o asemenea frac ție continu ă cu ] ,…, , ,…,;[1 ,1 1 0 a aaa aa hk k k k + + − .
Pentru asemenea frac ții continue putem calcula valoarea mai simplu
decât ca limit ă a șirului de reduse.
Exemplu Fie α= ]2;1[ =[1;2,2,2,2…].Avem α=[1;α1], unde
α1=[2;2,2,2,2…]=[ ]2[].De asemenea α1=[2;α2], unde α2=α1, deci α1=2+1/α1,
adică α12-2α1-1=0, de unde α1=1+ 2. Revenind la α, obținem α=1+1/α1=2.

146În general, dac ă α = ] ,…,, ,…,;[1 1 0 hk k k a a a aa+ − , atunci
αk= ] …, ;[1 hk k k a aa+ + =αk+h+1 și, conform lui (6),

2 12 1
− −− −
++=
k n kk n k
q qp p
aaa
=
11
−+ +−+ +
++
hk khkhk khk
q qp p
aa

Din a doua egalitate urmeaz ă că αk este rădăcina unei ecua ții de gradul
doi cu coeficien ți întregi :
A αk2 +Bαk + C = 0
iar prima egalitate ne d ă

2 12 2
− −− −
−+ −=
k kk k
kq qp q
aaa

de unde :
A(p k-2 – α qk-2)2 + B(p k-2 -α qk-2)(α qk-1 – p k-1) +C(α qk-1 – p k-1)2 = 0

deci și α este rădăcina a unei ecua ții de gradul doi cu coeficien ți întregi.

DEFINI ȚIA 3.10. Numerele ira ționale, r ădăcini ale unei ecua ții de
gradul doi cu coeficien ți întregi (nu to ți nuli), se numesc iraționale p ătratice .
În anul 1770, Joseph Louis de Lagrange (1736-1813) a demonstrat
următorul rezultat:
PROPOZI ȚIA 3.11.(Lagrange) Un num ăr irațional este p ătratic
dacă și numai dac ă fracția sa continu ă este periodic ă.
Demonstra ție Am arătat deja c ă orice frac ție continu ă periodic ă este un
irațional pătratic. S ă presupunem acum c ă α este rădăcină a ecua ției cu
coeficien ți întregi Ax2+Bx+C=0, unde A ≠0 și 0<B2-4AC nu este p ătrat perfect.
Fie α=[a 0;a1,…,a n-1,αn] . Cu rela ția(6), avem

2 12 1
− −− −
++=
n n nn n n
q qp p
aaa

și, deci,
A(p n-1 αn+ p n-2)2 + B(q n-1αn+ q n-2)(pn-1 αn+ p n-1) +C( q n-1αn + q n-2)2 = 0
adică αn este rădăcina ecua ției A nx2 + B nx + C n=0, unde:
2
1 1 12
1 − −− − + + =n n n n n Cq q Bp Ap A (12)
2 1 2 1 2 1 2 12) ( 2−− −− −− −−+ + + =n n n n n n n n n q Cq pq qpB p Ap B (13)
2
2 2 22
2 − −− − + + =n n n n n Cq q Bp Ap C (14)
Să observăm întâi c ă Cn=A n-1. Din (7) deducem c ă pn-1qn-2 + q n-1pn-2 este
impar și deci B și Bn au aceea și paritate. Prin calcul direct se verific ă și că

147Bn2-4A nCn=(B2-4AC)( p n-1qn-2 + q n-1pn-2)2=B2-4AC. (15)
Folosind îns ă faptul că Aα2+Bα+C=0, rela ția (12) se scrie:
=++ − + + =− − −− − ) (2 2
12
1 1 12
1 C B A q Cq q Bp Ap An n n n n n a a

=1 1 12
12
1 ) ( ) (− − − − − − + −n n n n n q q pB q pA a
=
= ) ) ()( (1 1 1 1 1 − − − − − + + −n n n n n Bq q pA q p a a

Cu ajutorul lui (11), vom avea
()
B A BqpA BqpABq q pAqBq q pAqA
nn
nnn n n
nn n n
nn
++≤+



+− ≤++ ≤≤ + + ≤ + + ≤
−−
−−− − −
−− − −
a a a aa a
21 2) (1) (1
11
111 1 1
11 1 1

Vedem de aici c ă șirul de întregi A n ia un num ăr finit de valori și deci
Cn(=A n-1) ia un num ăr finit de valori; în fine, din cauza lui (15), αn ia un num ăr
finit de valori. Rezult ă că pentru anumi ți k, h, vom avea αk=αk+h+1.

Este ușor de dedus de aici c ă ak= a k+h+1, ak+1= a k+1+h+1 și prin induc ție,
an=an+h+1 pentru n ≥ k, deci frac ția continu ă a lui α este periodic ă. ∎

Cele mai simple frac ții continue periodice sunt cele pur periodice .(adică
cele pentru care a 0=an+1 ). Fie deci α= ] ,..,;[1 0 na aa o fracție continu ă pur
periodică. Avem a 0=an+1≥1 și α=[a 0;a1,…,a n,α], deci, folosind (6),
α=
11
−−
++
n nn n
q qp p
aa
, adică:
q n α2 + (q n-1- pn)α- pn-1 = 0.
Pentru trinomul f(x) = q nx2 +(q n-1-pn)x-p n-1, avem
f(-1) = q n – qn-1 + p n – pn-1 > 0, f(0) = – p n-1 < 0.
Cum, evident, α > a 0 ≥ 0, deducem c ă cealaltă rădăcină a trinomului este cuprins ă
între –1 și 0. Evident α este de forma QD P+, iar cealalt ă rădăcină este
QD P−. Pentru un ira țional pătratic α=QD P+, vom nota a
~= QD P− și
îl vom numi pe a
~ conjugatul lui a
..

DEFINI ȚIE 3.12 . Num ărul ira țional p ătratic a se nume ște redus
dacă a > 1, iar a
~Î (-1, 0).

148
Teorema care urmeaz ă a fost demonstrat ă în 1828 de Evariste Galois
(1811-1832), pe atunci elev.

PROPOZI ȚIA 3.13. (E. Galois) Fracția continu ă a lui a este pur
periodic ă dacă și numai dac ă este un ira țional p ătratic redus.
Demonstra ție Am văzut mai sus c ă orice frac ție continu ă pur periodic ă
este un ira țional pătratic redus (vom prescurta în continuare i.p.r). Fie α un i.p.r.
Avem
011
a−=aa
>1 și
01~1 ~
a−=aa
∈(-1,0), căci a 0 ≥1. Prin induc ție, rezult ă
că αn este i.p.r. pentru fiecare n. Știm că fracția continu ă a lui α este periodic ă.
Dacă nu este pur periodic ă, atunci α = ] ,…,, ,…,;[1 1 0 hk k k a a a aa+ − , unde
ak-1≠ak+h.
Am văzut însă că αk-1 =[a k-1; αk] este i.p.r. și la fel este
αk+1=[a k+h; αk+h+1]=[a k+h; αk].
Avem deci
kk k a
kkaaa
a
~1 ~
1 11
1~
+= =− − 


+−∈(-1, 0),

khk k aaa
~1 ~
1 + =+ + ∈(-1, 0).
Deducem de aici c ă 


−−−∈−
k kkaa a
~1,~111 și



−−−∈+
k khkaa a
~1,~11 deci a k-1 = a k+h = [-
ka
~1].
Am ajuns la o contradic ție, deci α= ] ,…,;[1 0 ha aa . ∎

Ce se întâmpl ă dacă ,,răsturnăm “ perioada unui i.p.r.?

PROPOZI ȚIA 3.14. Fie a = ] ,…,;[1 0 na aa și b = ] ,…, ;[0 1a aan n− .
Atunci
ba
~1−= .
Demonstra ție Întrucât ], ,…,;[1 0 a a
na aa= , folosind (6), avem, dup ă
cum am mai v ăzut,
qnα2 + (q n-1-pn)α-pn-1=0. (16)

149Cum ], ,…, ;[0 1 b b
a aan n − = , cu ajutorul propozi ției 6 se deduce,
analog,
p n-1β2 + (q n-1-pn)β-qn = 0,
de unde 0~) (~
12
1 =− − +− − n n n n q p q p b b
,
0 )~1() ()~1(~
1 12 2=
−−− +
− −− − n n n n p p q q
b bb

și, deoarece ecua ția (16) are o singur ă rădăcină pozitivă,
ba
~1−= . ∎
Cele mai simple ira ționale p ătratice sunt cele de forma D, unde
D∈ℚ+ și D∉ℚ. Fracțiile lor continue, în cazul D>1, au propriet ăți
remarcabile:

PROPOZI ȚIA 3.15. Fie D Îℚ, D>1, DÏℚ. Atunci
D= ]2, ,…,;[0 1 0 aa aan
În plus, partea a 1, a2,…,a n a perioadei este simetric ă, adică ak=an+1-k, pentru
1£k£n.
Demonstra ție Avem a 0=[D] deci α=a0+D>1 și a
~=a0-D∈(-1,0),
deci α este i.p.r. și [α]=2a 0, deci α= ] ,…,;2[1 0 na aa . Deducem de aici c ă :
D= ]2, ,…,;[0 1 0 aa aan și, încă, -a 0+D= ]2, ,…,;0[0 1 aa an ,
de unde =
+−=
D anot
01b
]2, ,…,;[0 2 1 aa aan
Folosind propozi ția 11, vom avea:
] ,…,;2[~1
1 0 a aan =−
b
=a0+D=α= ] ,…,;2[1 0 na aa
de unde rezult ă an+1-k=ak.
Putem demonstra și reciproca:
Dacă α= ]2, ,…,;[0 1 0 aa aan , (a 0≥1), unde a k=an+1-k, atunci
α+a0= ] ,…,;2[1 0 na aa și ]2, ,…,;[1
0 2 1
0aa aaan =−a
= ]2, ,…, ;[0 1 1 aa aan n− și,
din Propozi ția 11, vom avea α+a0=(-α+a0)~, deci a a
~−= , adică în scrierea
QPΔ+=a
, avem QP
QP Δ+−=Δ+, de unde P=0, deci 2QΔ=a
. ∎

150
Pe noi ne intereseaz ă informa ția pe care ne-o d ă Propozi ția 3.15 despre
fracția continu ă a lui D în cazul D ∈ℕ, cu D∉ℚ .
Exemple 1. Să dezvoltăm în frac ție continu ă numărul α=5.
Avem a 0=2, α1=1/ 5-2= 5+2,
a 1=4, α2=1/α1-a1=1/ 5-2= 5+2=α1,
deci 5=[2;4].
2. Să găsim fracția continu ă a lui 7.
a 0=2, α1=1/( 7-2)=( 7+2)/3
a 1=4, α2=3/( 7-1)=3( 7+1)/6=( 7+1)/2
a 2=1, α3=2/( 7-1)=2( 7+1)/6=( 7+1)/3
a 3=1, α4=3/( 7-2)=3( 7+2)/3= 7+2
a 4=4, α5=1/( 7-2)=α1,
deci ]4,1,1,1;2[7= .
Acest șir poate fi destul de lung:
]
.62,2,12,10,2,2,2,1,1,2,1,1,1,1,3,1,8,4,1,2,3,1,4,1,20,6,4,31,4,6,20,1,4,1,3,2,1,2,1,4,8,1,3,1,1,1,1,6,2,1,1,2,2,2,10,12,2;31[ 991=

În continuare vom pune în eviden ță un algoritm de dezvoltare a lui
α=D în fracție continu ă (cu D∈ℕ* a.î. α∉ℚ).
Avem a 0=[D], deci D=a0+
11
a
, deci
α1= ,1
11
2
00
0cbD
aDaD
aD+=
−+=
−unde b 1=a0 și c 1=D-a2
0>0 (deoarece
a0=[D]).
Avem D-b2
0=c1. Continuând ob ținem: a 1=[α1] și α1=a1+
11
a
,deci
α2= =−1 11
a a

15122
11 12
11 111112
12
12
11 11 1
2
1 111 11 1
11 11
1
11
cbD
ba2ca1bcaDcba2cabD)bcaD(c
)bca(D)bcaD(c
cabDc
acbD1
+=
+−−+==
+−−−+=
−−−+=
−+=
−+=
unde b 2=a1c1-b1 și c2=1-a2
1c1+2a 1b1.
Pentru n ∈ℕ, n≥2, fie b n+1=ancn-b1 și cn+1=cn-1-a2
1cn+2a nbn și să arătăm
că pentru n ≥2 :
(1) D- b2
n=cn-1cn.
Vom proba (1) prin induc ție matematic ă relativ la n ≥2.
Pentru n=2 avem D-b2
2=D-(a 1c1-b1)2=D-b2
1-a2
1c2
1+2a 1b1c1=
=c1-a2
1c2
1+2a 1b1c1=c1(1-a2
1c1+2a 1b1)=c 1c2.
Să presupunem c ă pentru n ≥2 avem D-b2
n=cn-1cn. Atunci:
D-b2
1+n=D-(a ncn-bn)2 =D-b2
n-a2
nc2
n+2a nbncn=cn-1cn-a2
nc2
n+2a nbncn=cn(cn-1-a2
ncn +
+2a nbn)=c ncn+1 și astfel (1) este adev ărată pentru orice n ≥2.
S ă arătăm acum c ă pentru orice n ≥1:
(2) αn=
nn
cbD+
După calculele de la început avem c ă (2) se verific ă pentru n=1, 2.
Dacă presupunem c ă (2) este verificat ă pentru n, atunci:
11
1121
) () () ( 1 1
++
+++
+=+==
− −− +=
−+=
−+=−=
nn
nnn nn nnn nn n
nn nn
n
nn n nn
cbD
ccbD cb ca Db caD c
ca bDc
acbD a aa

(am ținut cont și de (1) ), astfel c ă (2) este adev ărată pentru orice n ∈ℕ.
În mod evident c 1∈ℕ. Atunci b 1=a0= [ D] < D și astfel
0< D-b1 <1, deci 0< ( D-b1)/c1 <1. Cum α1>1 deducem c ă (D+b1)/c1 >1.
Astfel 0 < ( D-b1)/c1 < 1 < ( D+b1)/c1.

152 S ă arătăm acum c ă pentru orice n ∈ℕ:
(3) 0 < ( D-bn)/cn < 1 < ( D+bn)/cn.
(pentru n=1 (3) este adev ărată datorită celor stabilite mai sus). S ă presupunem c ă
(3) este adev ărată pentru un anumit n și să o probăm pentru n+1.
Conform cu (2) avem 11
11> =+
+
++
n
nn
cbDa
astfel că :
n
nn n nnn
nn
n nn
nn
acbD b caDc
bDc
bD cbD
cbD
+−=
− +=
+=
+−=−
+ + ++
++ 1
) (1 1 12
1
11
de unde deducem c ă 0 <
11
++−
nn
cbD <1. (ținând cont și de ipoteza de induc ție )
Astfel (3) este adev ărată pentru orice n ∈ℕ.
Dac ă cn<0 pentru un anumit n ∈ℕ, atunci din (3) deducem c ă D-bn<0
și D+bn<0, deci 2 D<0 – absurd!.
Deci c n >0 pentru orice n ∈ℕ*.
În consecin ță D-bn<cn<D+bn, deci D-bn<D+bn și astfel b n>0
pentru orice n ∈ℕ*.
Din (3) deducem c ă bn<D și astfel c n<D+bn<2 D. Din observa ția
de mai înainte deducem c ă numărul perechilor (b n, cn) este mai mic decât 2D.
Astfel, printre termenii șirului αn=
nn
cbD+ numai un num ăr finit
dintre ei sunt diferi ți, fiecare dintre ace știa fiind mai mici decât 2D. Astfel cel
puțin doi termeni ai șirului (αn)n≥1 sunt egali.
Deci exist ă k, s ∈ℕ a.î. k, s<2D și (4) αk=αk+s. Deoarece
][1
1
n nna aa
−=+ pentru n ≥1, din (4) deducem c ă αk+1=αk+s+1 și mai general,
αn=αn+s pentru n ≥k .
Astfel șirurile ( αn)n≥1 și (a n)n≥1 sunt periodice (c ăci a n=[αn] pentru n ≥1).
Fie (5)
nn
ncbD−=′a
pentru n ≥1; ținând cont de (1) deducem imediat
că ]1[
1+′=
nnxa pentru orice n ≥1.

153 Mai mult, cum αk=αk+s deducem c ă kn n +′=′a a
și deci pentru k>1 avem
1 1 ]1[]1[−+
+− =′=′=sk
sk kk ax xa . Ținând cont de rela țiile αn=an+
11
+na
și αk=αk+s
deducem c ă αk-1=αk+s-1. Repetând ra ționamentul anterior pentru k>2 ob ținem că
αk-2=αk+s-2. Astfel αn+s=αn și an+s=an pentru orice n ∈ℕ*.
Deducem imediat formulele:
1 21 11 1…1
aa
++++=
sa aa și
)1(1 1…1 1
11 1 1
xa aa
ss
′+++ +=′− a
.
Deoarece α1>1 și 11
1>′a
aceste ultime relatii ne dau :
as=2a 0=2[ D], a 1=as-1, a 2=as-2, …, a s-1=a1. (adică șirul a 1, a 2, …, a s-1 este
simetric)
Ținând cont c ă dacă x∈ℝ și k∈ℕ*, atunci [x/k]=[[x]/k] avem (conform
cu rela țiile (1)) : a n=[αn]=[
nn
cbD+]=[
nn
cb D+] []=[
nn
cb a+0], adică
an=[
nn
cb a+0] pentru orice n ≥1.
Rezumând cele expuse mai înainte ob ținem urm ătorul algoritm de
dezvoltare a lui D (cu D∈ℕ* a.î. D∉ℚ) în fracție continu ă.
Alegem a 0=[D], b 0=1, c 0=1 și apoi construim sirurile (a n)n≥0, (b n)n≥0 și
(cn)n≥0 cu ajutorul recuren țelor :
a n=[
11 0
−−+
nn
cb a]
(6) b n=an-1cn-1-bn-1 pentru n ≥1
c n=
12
−−
nn
cbD
Construim apoi șirul (b 2, c2), (b 3, c3) și găsim cel mai mic indice s
pentru care b s+1=b1 și cs+1=c1. Atunci ] ,…,;[1 0 sa aa D= .

Observație Conform unei teoreme a lui T. Muir (vezi O. Perron: Die
Lehre von den Kettenbrüchen 1, Stuttgart 1954) , dacă numărul s de termeni ai
perioadei este par, atunci k=s/2 este cel mai mic indice pentru care b k+1=bk, pe

154când dac ă s este impar atunci k=(s-1)/2 este cel mai mic indice pentru care
ck+1=ck.
Practic se procedeaz ă astfel:
Pentru a=D(cu D Îℕ* a.î. DÏℚ) alegem a 0=[D], b 0=0, c 0=1
și apoi construim prin recuren ță șirurile (a n)n³0, (b n)n³0 și (c n)n³0 cu ajutorul
formulelor:
(7) b n=an-1cn-1-bn-1, cn=
12
−−
nn
cbD, a n-1= [
11 0
−−+
nn
cb a], pentru n ³1.
Calculele se continu ă până când b n+1=bn sau pân ă când c n+1=cn.
Dac ă bn+1=bn, atunci D=[a 0 ; a1,…, a n-1, an, an-1, …,a 1, 2a 0] (adic ă
lungimea perioadei minime este par ă ).
Dac ă c n+1=cn, atunci D=[0 1 1 0 2, ,…,, ,…,; aa aa aan n ] (adic ă
lungimea perioadei minime este impar ă ).
Numerele b n, cn Îℕ sunt cele din scrierea lui an=
nn
cbD+.
Exemple 1. Fie D=1009 și α=1009 .
Avem a 0=[D]=[ 1009 ]=31, b 0=0, c 0=1.
Conform recuren țelor (6) sau (7) avem:

b1=a0c0-b0=a0=31, c 1=
cb
02
1 1009−=131 10092−=1961 1009−=48,
a1= 


+
11 0
cb a=
+
4831 31=1. Apoi:
b2=a1c1-b1=17, c 2=
22
2 1009
cb−=15, a 2= 


+
22 0
cb a=
+
151731=3
Aplicând din nou recuren țele (6) și (7) găsim
b3=a2c2-b2=28, c 3=
22
3 1009
cb−=1=c 2.
Conform algoritmului descris mai înainte avem ]62,1,3,3,1;31[ 1009= ,
iar 151009 28
3+=a
.

155 2. Fie a ∈ℕ, a≥3, D=a2-2 și α=D= 22−a .
Cum (a-1)2 = a2-2a+1 < a2-2 < a2, deducem c ă a0=[ 22−a ]=a-1.
Deci, b 1=a0=a-1,
c1=D-a2
0=a2-2-(a-1)2=2a-3,
a1= =

−+=

−−=


+
3 2113 22 2
11 0
a aa
cb a1
Continuăm b 2=a1c1-b1=2a-3-(a-1)=a-2,
c2= =−−=−−−−=−
3 26 4
3 2)2(22 2
12
2
aa
aa a
cbD2
a2= =
−=
 −+−=


+
23
22 1
22 0aa a
cb aa-2
Apoi
b3=a2c2-b2=(a-2)2-(a-2)=a-2;
c3= =−=−−−=−
26 4
2)2(22 2
22
3 a a a
cbD2a-3
a3= =

−−+−=


+
3a22a1a
cb a
33 01

b4=a3c3-b3=2a-3-(a-2)=a-1,
c4= =−−−−=−
3 2)1(22 2
32
4
aa a
cbD1
a4= =
 −+−=


+
11 1
44 0 a a
cb a2a-2.
În sfârșit,
b5=a4c4-b4=2a-2-(a-1)=a-1=b 1, c5= =−−−=−
1)1(22 2
42
5 a a
cbD2a-3=c 1
Din cele expuse mai înainte avem s=4 astfel c ă:

[ ]2 2,1,2,1;1 22− −−=− a a a a .
Analog se ob ține []aa a 2; 12=+ și []aaa a 2,; 22=+ pentru orice
a∈ℕ.

156
Observa ție. Acest paragraf a fost redactat în cea mai mare parte dup ă
lucrarea [10].

CAPITOLUL 11:
TEOREME DE REPREZENTARE PENTRU NUMERE ÎNTREGI

§1 Reprezentarea unui num ăr natural ca sum ă de dou ă pătrate de numere
întregi.

Pentru un num ăr natural n, prin d(n) vom nota num ărul divizorilor lui n
iar prin d a(n) numărul divizorilor d ai lui n cu proprietatea c ă d≡a (4). Astfel,
d1(n) reprezint ă numărul divizorilor de forma 4k+1 ai lui n iar d 3(n) num ărul
divizorilor de forma 4k+3 ai lui n (k ∈ℕ).
Conform teoremei fundamentale a aritmeticii pe n îl putem scrie sub
forma 2 1 2 nn nk⋅⋅= cu k∈ℕ,
()
∏
≡=
411
pprimprp n iar
()
∏
≡=
432
qprimqsq n .
În cadrul acestui paragraf vom da r ăspuns la urm ătoarele chestiuni :
P 1. Pentru care numere naturale n exist ă x, y∈ℤ a.î. n=x2+y2 (⋆).
P 2. În caz c ă pentru n fixat ecua ția (⋆) are cel pu țin o solu ție atunci s ă
se determine num ărul tuturor solu țiilor sale.
Observație
Dac ă ecuația (⋆) are o solu ție (x, y) în ℕ×ℕ, atunci în ℤ ×ℤ ecuația
(⋆) va avea solu țiile (±x, ±y).
Astfel :
i) Dacă x=y=0 atunci cu necesitate n=0 și ecuația (⋆) are o unic ă
soluție: (0, 0).
ii) Dacă x≠0 și y=0 atunci solu ția (x, 0) din ℕ×ℕ genereaz ă patru
soluții în ℤ ×ℤ și anume: (x, 0), (0, x), (-x, 0) și (0, -x).
iii) Dacă x=0 și y≠0 atunci solu ția (0, y) din ℕ×ℕ genereaz ă de
asemenea patru solu ții în ℤ ×ℤ și anume: (0, y), (y, 0), (0, -y), (-y, 0).
iv) Dacă x≠0, y≠0 și x≠y atunci solu ția (x, y) din ℕ×ℕ genereaz ă opt
soluții în ℤ ×ℤ și anume: (x, y), (y, x), (-x, y), (y, -x), (x, -y), (-y, x), (-x, -y), și
(–y, -x).

157 v) Dac ă x≠0, y≠0 și x=y atunci solu ția (x, x) din ℕ×ℕ genereaz ă
patru solu ții în ℤ ×ℤ și anume: (x, x), (-x, x), (x, -x) și (–x, -x).
Aceast ă observa ție ne arat ă că atunci când vorbim despre num ărul de
soluții pentru ecua ția (⋆), trebuie s ă specific ăm neapărat următoarele:
a) Dac ă este vorba de num ărul de solu ții din ℕ×ℕ sau din ℤ ×ℤ.
b) Ce în țelegem prin solu ții distincte ? (altfel spus, dac ă soluțiile (x, y)
și (y, x) pentru x ≠y sunt considerate distincte sau nu) .
Pentru a nu crea confuzii în cadrul acestei lucr ări vom ține cont de
ordinea termenilor în cadrul solu ției (x, y) (pentru x ≠y) urmând ca atunci când
nu ținem cont de lucrul acesta s ă-l menționăm expres.
Exemple 1. Ecua ția x2+y2=1 are dou ă soluții în ℕ×ℕ: (1, 0) și (0, 1)
pe când în ℤ ×ℤ are patru solu ții: (1, 0), (0, 1), (-1, 0) și (0, -1).
Dac ă nu ținem cont de ordinea termenilor concluzion ăm că ecuația
x2+y2=1 are o unic ă soluție în ℕ×ℕ (pe (1, 0)) pe când în ℤ ×ℤ are două soluții
(pe (1, 0) și (-1, 0)).
2. Ecua ția x2+y2=2 are în ℕ×ℕ o soluție unică și anume pe (1, 1), pe
când în ℤ ×ℤ are patru solu ții și anume : (1, 1), (1, -1), (-1, 1) și (-1, -1).
Dacă nu ținem cont de ordinea termenilor concluzion ăm că ecuația
x2+y2=2 are în ℤ ×ℤ trei soluții și anume : (1, 1), (-1, 1) și (-1, -1).
3. Ecuația x2+y2=5 are în ℕ×ℕ două soluții: (1, 2) și (2, 1) pe când în
ℤ ×ℤ are opt solu ții: (1, 2), (1, -2), (-1, 2), (-1, -2), (2, 1), (-2, 1), (2, -1), (-2, -1)
Dacă nu ținem cont de ordinea termenilor concluzion ăm că ecuația
x2+y2=5 are o unic ă soluție în ℕ×ℕ (pe (1, 2)) pe când în ℤ ×ℤ are patru
soluții: (1, 2), (-1, 2), (1, -2), și (–1, -2).

LEMA 1.1. Dacă p este un num ăr prim de forma 4k+1, atunci
()
pp01 !212
≡+






−.
Demonstra ție Scriind c ă
() ()

−⋅⋅+⋅

 −⋅⋅⋅=− 1 ….21
21….21!1 pp pp =
= ()()



 −−⋅⋅−⋅− 

−
21…2 1 !21 pp p pp
deducem imediat egalit ățile modulo p :

158 () ()
2
21
!21!211!21!1






−=

−−

−=−−p p ppp
.
Conform teoremei lui Wilson () ()p p 01!1 ≡+− astfel c ă
()
pp01 !212
≡+






−. ∎
LEMA 1.2. Dacă p∈ℕ este un num ăr prim iar a∈ℤ a.î. p∤a, atunci
există numerele naturale nenule x, y < pa.î. la o alegere convenabil ă a
semnelor + sau – s ă avem ax ± y ≡ 0 (p) .
Demonstra ție Dacă m=[ p], atunci (m+1)2>p și consider ăm
mulțimea X ={ax-y ∣0≤x, y≤m}. Cum ∣X∣=(m+1)2>p, rezult ă că există două
perechi diferite (x 1, y 1), (x 2, y 2)∈X cu x 1≥x2 și p∣(ax1-y1)-(ax 2-y2)=
=a(x 1-x2)-(y 1-y2).
Egalitatea x 1=x2 este imposibil ă, căci în caz contrar ar rezulta c ă p∣y1-y2
(lucru imposibil c ăci 0 ≤ y1, y2 ≤ m ≤p<p). De asemenea, egalitatea y 1=y2
este imposibil ă, căci în caz contrar ar rezulta p ∣a(x 1-x2), deci p∣x1-x2 – imposibil
(căci 0≤x1, x2 ≤ m ≤p<p).
Deci x =x1-x2∈ℕ* (dacă x<0, atunci not ăm x=x2-x1) și cum
y1-y2 ∈ℤ*, există o alegere convenabil ă a semnelor + sau – a.î. y =±(y 1-y2)∈ℕ*.
Cum x =x1-x2≤x1 ≤m<p, deducem c ă 0<x, y < p și astfel num ărul
ax±b (care la o alegere convenabil ă a semnelor + și – este egal cu
a(x 1-x2)-(y 1-y2)) se divide prin p. ∎

TEOREMA 1.3. (Fermat) Orice num ăr prim p de forma 4k+1 se
poate scrie ca suma p ătratelor a dou ă numere naturale.
Demonstra ție Consider ăm !21

−=pa . Evident, a∈ℕ* și (a, p) =1.
Conform Lemei 1.2., exist ă o alegere convenabil ă a semnelor + și – a.î.
ax±y≡0(p). Atunci a2x2-y2=(ax+y)(ax-y) ≡0(p) și conform Lemei 1.1. a2+1≡0(p),
de unde deducem c ă a2x2+x2≡0(p) iar de aici c ă (a2x2+x2)-(a2x2-y2)=x2+y2≡0(p),
adică putem scrie x2+y2=kp cu k∈ℕ*.

159 Cum x, y < p deducem c ă x2+y2 < 2p, adic ă kp <2p, deci k <2, adic ă
k=1 (căci x, y∈ℕ*). Deducem c ă p=x2+y2 și astfel Teorema lui Fermat este
complet demonstrat ă.∎

COROLAR 1.4. Dacă n∈ℕ* conține în descompunerea sa în factori
primi numai numere prime de forma 4k+1, atunci n se poate scrie sub
forma n =x2+y2 cu x, y∈ℕ.
Demonstra ție Totul rezult ă din Teorema 1.3. și din aceea c ă un produs
finit de expresii de forma x2+y2 este de aceia și formă (conform identit ății
(x2+y2)(z2+t2)=(xz+yt)2+(xt-yz)2 ). ∎

Vom demonstra acum c ă scrierea unui num ăr natural ca sum ă de două
pătrate de numere naturale este unic ă, dacă nu ținem cont de ordinea termenilor.
În fapt, vom demonstra o propozi ție mai general ă :
PROPOZI ȚIA 1.5. Fie a, b∈ℕ. Dacă un num ăr natural prim p se
scrie sub forma p =ax2+by2 cu x, y∈ℕ atunci aceast ă scriere este unic ă (cu
conven ția ca în cazul în care a =b=1 să nu ținem cont de ordinea
termenilor).
Demonstra ție Să presupunem c ă p are dou ă descompuneri:
p=ax2+by2=2
12
1by ax+ cu x, y, x 1, y1∈ℕ.
Atunci p2=(axx 1+byy 1)2+ab(xy 1-yx 1)2=(axx 1-byy 1)2+ab(xy 1+yx 1)2 și
cum (axx 1+byy 1)(xy 1+yx 1)=(ax2+by2)x1y1+( )2
12
1by ax+ xy=p(x 1y1+xy)
deducem c ă p∣axx 1+byy 1 sau p∣xy1+yx 1.
Dac ă p∣axx 1+byy 1, atunci din prima reprezentare a lui p deducem c ă
xy1-yx 1=0 și deci xy 1=yx1 , p=axx 1+byy 1 , px=(ax2+by2)x1=px1, de unde x =x1
și atunci y =y1.
Dac ă p∣xy1+yx 1, atunci din a doua reprezentare a lui p deducem c ă
axx 1-byy 1=0 și p2=ab(xy 1+yx 1)2, de unde a =b=1.
Vom avea deci p =xy1+yx 1 și xx 1-yy 1=0, de unde px =(x2+y2)y1=py1,
adică x=y1 și din p =x2+y2=2
12
1y x+ , deducem c ă y=x1 (astfel c ă în acest caz
descompunerile se pot deosebi doar prin ordinea termenilor). ∎
Observații 1. Din propozi ția de mai înainte deducem c ă dacă numărul
natural n poate fi reprezentat în cel pu țin două moduri diferite ca sum ă de două

160pătrate de numere naturale (cu condi ția să nu consider ăm diferite descompunerile
ce se deosebesc numai prin ordinea termenilor), atunci cu necesitate n nu este
prim.
De exemplu, din egalit ățile 2501 =12+502=102+492 deducem c ă
numărul 2501 nu este prim.
2. Dac ă numărul n are doar o singur ă descompunere într-o sum ă de
două pătrate de numere naturale, nu rezult ă cu necesitate c ă n este prim.
De exemplu, se demonstreaz ă cu ușurință că numerele 10, 18 și 45 au
descompuneri unice sub forma 10 =12+32, 18=32+32, 45=32+62 și totuși ele nu
sunt numere prime ( se subân țelege că nu am ținut cont de ordinea termenilor).
Putem acum r ăspunde la chestiunea P 1 formulat ă la începutul
paragrafului :

TEOREMA 1.6. (Fermat-Euler) Un num ăr natural n (scris sub
forma n =2kn1n2 ca la începutul paragrafului) se poate scrie sub forma
n=x2+y2 cu x, y∈ℕ dacă și numai dac ă toți exponen ții s din scrierea lui n 2
sunt numere pare.
Demonstra ție Revenim la scrierea lui n sub forma n =2kn1n2 cu k∈ℕ,
()
∏
≡=
411
pprimprp n și
()
∏
≡=
432
qprimqsq n .
Cum 2 =12+12 iar conform Teoremei 1.3. fiecare factor prim p ≡1(4) din
scrierea lui n 1 se scrie sub forma x2+y2 cu x, y∈ℕ deducem imediat c ă n1 se
poate scrie sub aceia și formă și aceiași proprietate o va avea și 2kn1 (adică
2k n1=z2+t2 cu z, t∈ℕ).
Dac ă presupunem c ă fiecare exponent s din scrierea lui n 2 este par,
atunci în mod evident n 2=m2 cu m∈ℕ și atunci n =2kn1n2=
=(z2+t2)m2=(zm)2+(tm)2.
Reciproc, fie n ∈ℕ ce se poate scrie sub forma n =x2+y2 cu x, y∈ℕ și să
demonstr ăm că dacă qs este cea mai mare putere a unui num ăr prim q ≡3(4) ce
intră în descompunerea în factori primi a lui n (de fapt a lui n 2) atunci cu
necesitate s este par. Presupunem prin absurd c ă s este impar. Dac ă d=(x, y),
atunci d2∣n și dacă notăm dxx=1 și dyy=1 , 2 1dnn= obținem că 2
12
1 1 y x n +=
cu (x 1, y1)=1.

161 Conform presupunerii s este impar iar d2 (prin care am împ ărțit
egalitatea n=x2+y2 ) conține eventual o putere par ă a lui q, deducem c ă q|n1 și că
q nu divide simultan pe x 1 și y1 (să zicem c ă q∤y1).
Privind acum egalitatea 2
12
1 1 y x n += în ℤq deducem c ă 2
12
1 0 y x+= și
cum am presupus c ă q∤y1 deducem c ă ()() 1 1 021
1 121
12
1 −= ⋅⇔+ ⋅=− −yx y x de
unde ()1121
1 1=


⋅=


−−
qyx
q.
Îns ă în cadrul Capitolului 9 am stabilit c ă ()
21
11 −
−=


− q
qși cum
q≡3(4) deducem c ă 21−qeste impar, astfel c ă 11−=


−
q, absurd.
Deci s este par. Ra ționând inductiv deducem c ă toți exponen ții s din
descompunerea lui n 2 sunt pari și cu aceasta teorema este demonstrat ă. ∎

Pentru a r ăspunde la chestiunea P 2 de la începutul paragrafului avem
nevoie s ă reamintim anumite chestiuni legate de aritmetica întregilor lui Gauss.
ℤ[i]={a+bi | a, b∈ℤ}.
Se cunoa ște faptul c ă ( ℤ[i], +, ·) este un inel comutativ în care
U( ℤ[i], +, ·) ={±1, ±i}, precum și faptul c ă elementele prime din ℤ[i] sunt (pân ă
la o multiplicare cu ±1 sau ±i ) urm ătoarele :
1) 1±i
2) Numerele prime p din ℤ cu p≡3(4)
3) Numerele de forma a+bi cu a, b ∈ℕ* și a2+b2=p, unde p este un
număr natural prim și p≡1(4).
Reamintim c ă descompunerea numerelor din ℤ[i] în factori primi este
unică (în ipoteza c ă nu se ține seama de multiplic ările cu ±1, ±i, și de ordinea
factorilor).
Pentru z=a+bi∈ℤ[i] definim norma lui z prin N(z)=a2+b2. Evident, dac ă
N(z)=p cu p prim, p ≡1(4), atunci a≠b (căci în caz contrar p=2a2≡0(2) ).

162Fie acum n∈ℕ pe care îl scriem sub forma n=2kn1n2 cu k∈ℕ,
()
∏
≡=
411
pprimprp n iar
()
∏
≡=
432
qprimqsq n . Atunci descompunerea lui n în factori primi în
ℤ[i] va fi : ()() [ ] ()() [ ]
()()
∏ ∏
≡
≡=+⋅−+ ⋅−+=
43
412 21 1
qprimqs
pprimppbar kq biabia i i n (unde r și s variaz ă
o dată cu p și q).
Ținând cont de unicitatea descompunerii lui n de mai înainte deducem
că fiecărei reprezent ări a lui n sub forma n =u2+v2=(u+iv)(u-iv) (cu u, v ∈ℤ) îi
corespund pentru u+iv și u-iv descompuneri de forma :
(⋆) ()()()() [ ] ∏∏ ⋅ − + − +⋅=+1 2 1 2 11 1s r r k k tq bia bia i i iivu
(⋆⋆) ()()()() [ ] ∏∏ ⋅− + − +⋅=−−2 1 2 1 21 1s r r k k tq bia bia i i iivu
cu t∈{0, 1, 2, 3}, k 1+ k 2=k, r 1+r2=r și s1+s2=s.
Observ ăm că factorii primi asocia ți lui u+iv determin ă în mod unic
factorii primi ai lui u-iv ( și reciproc).
De asemenea, fiecare pereche de numere complex conjugate (u+iv, u-iv)
cu u, v∈ℤ dată de relațiile (⋆) și (⋆⋆) de mai sus verific ă egalitatea n =u2+v2.
Observ ăm de asemenea c ă schimbarea i→-i nu afecteaz ă factorii reali q
astfel că s1=s2 iar s=2s1 (ținând cont de Teorema 1.6.).
Pentru alegerea lui t avem 4 posibilit ăți (căci t∈{0, 1, 2, 3}). Pentru k 1
avem k+1 posibilit ăți de alegere (c ăci k 1∈{0, 1, … ,k}) iar pentru k 1 ales, k 2 se
determin ă din k 2=k-k 1.
Analog, pentru r 1 avem r+1 posibilit ăți de alegere (c ăci r 1∈{0, 1, ..,r})
iar r 2=r-r1.
Astfel, avem un num ăr total de 4(k+1) ()∏+1r posibilit ăți de a asocia
lui u+iv factorii primi Gauss din descompunerea lui n în factori primi (în ℤ[i])
(unde produsul ()∏+1r se face dup ă toți primii p ≡1(4) a.î. pr∣n).
S ă vedem câte dintre aceste asocieri sunt diferite.
Ținând cont de egalitatea 1+i =i·(1-i), dac ă avem un factor
()()2 11 1k ki i− + atunci acesta devine

163 ()()() ()k k kk k k k ki i i i i i i −= −=− −+1 1 1 11 2 1 1 2 1 1 astfel c ă numărul căutat este de
fapt ()()1 1 4 ndr
npprimp
r=+∏ (căci
()
∏
≡=
411
pprimprp n ).
Din cele de mai înainte deducem c ă numărul total de solu ții întregi ale
ecuației x2+y2=n este 4d(n 1).
S ă arătăm acum c ă d(n 1)=d1(n)-d 3(n).
Pentru aceasta s ă observăm că numărul divizorilor impari ai lui n este
egal cu num ărul termenilor sumei
()
()()
()
∏ ∏∑
≡ ≡≤≤≤≤
+++ ⋅+++ ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅
43 411
002 1
… 1 .. 1… …121
qprimqn qs
pprimpn prk
tk m
n
skrmm m
s rtn
j jii
q q p pq q p p p
(⋆⋆⋆ )
Dac ă d∣n, atunci este clar c ă avem d≡1(4) dac ă și numai dac ă în (⋆⋆⋆ )
∑
=t
jjk
1este par, în caz contrar având d ≡3(4).
Dac ă înlocuim pe q cu –1 atunci produsul ( )
()
∏
≡+++
43… 1
qprimqnqs
sq q este zero
chiar dac ă un singur exponent s este impar ; dac ă toți acești exponen ți s sunt pari
atunci ( )
()
∏
≡=+++
431 … 1
qprimqnqs
sq q și astfel membrul drept din ( ⋆⋆⋆ ) devine
( )
()
∏
≡+++
41… 1
pnpr
rp p astfel că termenii dezvolt ării acestui produs sunt exact to ți
divizorii lui n 1. Pentru a ob ține d(n 1) fiecare termen trebuie s ă fie num ărat ca 1.
Acest lucru este u șor de realizat dac ă în (⋆⋆⋆ ) înlocuim în partea dreapt ă și pe
p cu 1, ob ținând ()
()∏
≡+
411
pprimpnprr. Dacă privim acum membrul stâng al egalit ății
(⋆⋆⋆ ) după ce în partea dreapt ă am înlocuit fiecare p cu 1 și fiecare q cu –1

164este clar c ă fiecare d∣n, d≡1(4) este num ărat ca +1 și fiecare d∣n, d≡3(4) este
numărat ca –1.
Astfel membrul stâng din ( ⋆⋆⋆ ) devine d 1(n)-d 3(n) iar membrul drept
d(n 1), de unde egalitatea d(n 1)=d1(n)-d 3(n).
Sumând cele expuse pân ă aici obținem urm ătorul rezultat ce include și
Teorema 1.6. (Fermat –Euler) :
TEOREMA 1.7. Fie n∈ℕ* iar n =2kn1n2 (cu k∈ℕ,
()
∏
≡=
411
pprimpnprp n și
()
∏
≡=
432
qprimqnqsq n ) descompunerea lui n în factori primi.
Atunci ecua ția x2+y2=n are solu ție în ℤ dacă și numai dac ă toți
exponen ții s din descompunerea lui n 2 sunt pari.
Num ărul solu țiilor din ℤ×ℤ ale ecua ției x2+y2=n este egal cu
4(d 1(n)-d 3(n)) unde d a(n) este num ărul divizorilor d ai lui n cu proprietatea
că d≡a(4), a =1, 3.

Exemple 1. Dacă n=1, atunci d1(1)=1 și d 2(1)=0, astfel c ă în ℤ×ℤ
ecuația x2+y2=1 va avea 4(1-0)=4 solu ții.
2. Dacă n=2, atunci d1(2)=1 și d 2(2)=0, astfel c ă în ℤ×ℤ ecuația
x2+y2=2 va avea 4(1-0)=4 solu ții.
3. Dacă n=5, atunci d1(5)=2 și d 2(5)=0, astfel c ă în ℤ×ℤ ecuația
x2+y2=5 va avea 4(2-0)=8 solu ții. (Se confirm ă astfel cele stabilite la exemplele
1)-3) de la începutul paragrafului 1 ).
4. Am v ăzut mai înainte (Teorema 1.3.) c ă dacă p este un num ăr prim
de forma 4k+1, atunci exist ă x, y∈ℕ* a.î. p =x2+y2.( cum d 1(p)=2 iar d 2(p)=0,
conform teoremei 1.7. ecua ția x2+y2=p va avea în ℤ×ℤ 4(2-0)=8 solu ții. Se
reconfirm ă concluzia de la observa ția de la începutul paragrafului 1, cazul iv)).
În continuare vom prezenta o metod ă de găsire a numerelor x, y atunci
când se d ă p (metod ă dată de Lagrange în anul 1808, dup ă ce, tot el demonstrase
în 1785 c ă lungimea perioadei pentru func ția continu ă a lui peste impar ă
pentru numerele prime p de forma 4k+1).

165 Pentru aceasta s ă ne reamintim c ă la capitolul de frac ții continue a fost
prezentat urm ătorul algoritm de dezvoltare în frac ție continu ă a unui ira țional
pătratic α=D:
Punem []D a=0 , b0=0, c 0=1 și apoi construim prin recuren ță



+=
++
+
11 0
1
nn
ncb aa , n nn n b ca b − =+1 și
nn
ncbDc2
1
1+
+−= .
Calculul se continu ă până când b n+1=bn sau c n+1=cn .
i) Dacă b n+1=bn , atunci [ ]0 1 1 1 1 0 2, ,…, ,, ,…,; aa aa a aa Dn n n − − = (adic ă
lungimea perioadei minime este par ă).
ii) Dacă cn+1=cn , atunci [ ]0 1 1 0 2, ,…,, ,…,; aa aa aa Dn n = (adică lungimea
perioadei minime este impar ă).
Numerele b n și cn de mai sus sunt cele din scrierea lui
nn
ncD b+=a
.
S ă trecem acum la rezolvarea ecua ției x2+y2=p, cu p un num ăr prim de
forma 4k+1 ( de exemplu în ℕ×ℕ).
Dup ă cum am amintit mai sus, lungimea perioadei minime pentru
fracția continu ă a lui p este impar ă .
Deci [ ]0 1 1 0 2, ,…,, ,…,; aa aa aa pn n = .
Numărul [ ]n n n n a aaa aa ,…,,2, ,…, ;1 0 1 1 1 − += a
are perioada simetric ă, deci –
ținând cont de Propozi ția 3.14. de la Capitolul 10 – deducem c ă 1~
1 1 −=⋅+ + n na a

(notațiile sunt cele de la Capitolul 10).
Pe de alt ă parte,
11
1
++
++=
nn
ncp ba
,
11
1~
++
+−=
nn
ncp ba
astfel c ă
obținem
p c bcp b
cp b
n n
nn
nn=+ ⇔−=−⋅+
+ +
++
++ 2
12
1
11
111
și astfel (b n+1 , cn+1) este singura solu ție din ℕ×ℕ a ecuației x2+y2=p (evident
dacă nu ținem cont de ordinea termenilor).
Exemplu Să se rezolve ecua ția x2+y2=1009 în ℕ×ℕ.
Evident, num ărul p =1009 este prim de forma 4k+1.

166Avem a 0=31, b 0=0, c 0=1 și apoi 310 00 1 =− = bca b ,
02
1
11009
cbc−= =48, 1483131
1 =
+=a ,
,3151731,151009,172
12
2
2 1 11 2 =
+= =−= =−= acbc bca b
22
3 2 22 3 151528 1009,28 c c b ca b ==−= =− = .
Prin urmare suntem în cazul ii) astfel c ă [ ]2,6,1,3,3,1;31 1009= și
151009 28
3+=a
așa încât 282+152=1009, deci în acest caz solu ția ecuației
x2+y2=1009 din ℕ×ℕ este (15, 28) (dac ă nu ținem cont de ordinea termenilor).

§2 Reprezentarea numerelor naturale ca sum ă de patru p ătrate de numere
întregi.

Scopul acestui paragraf este acela de a demonstra c ă orice num ăr natural
poate fi scris ca sum ă a patru p ătrate de numere întregi.
Ținând cont de identitea lui Euler, potrivit c ăreia dacă x1, x2, x3, x4, y1,
y2, y3, y4∈ℤ, atunci
( )( )( )
()()
()
2
23 32 14 412
42 24 13 312
34 43 12 212
44 33 22 112
42
32
22
12
42
32
22
1
yx yxyx yxyx yxyx yx yx yxyx yxyx yx yxyx y y y yx x x x
− + − ++ − +− + − + − ++ + + + =+++ +++

pentru a demonstra c ă un num ăr natural se scrie ca sum ă de patru p ătrate de
numere naturale, este suficient s ă probăm lucrul acesta pentru numere prime.

TEOREMA 2.1. (Lagrange) Fie p este un num ăr prim; atunci:
(1) Exist ă m și x 1, x 2, x 3, x 4∈ℕ a.î. 2
42
32
22
1 x x x xpm +++=⋅
(1≤m<p)
(2) Dac ă m este cel mai mic num ăr natural ce verific ă (1), atunci
m=1.
Demonstra ție Pentru a proba (1), s ă consider ăm mulțimile :


 −= =21,…,2,1,02 pxx X și

167
 −= −−=21,…,2,1,0 12 px x Y .
Să observăm că elementele lui X și Y nu sunt congruente dou ă câte
două modulo p (separat).
Într-adev ăr, dacă există

 −∈21,…,1,0 ,2 1pxx a.î. ()p x x mod2
22
1≡
cu x 1>x2 ⇒p|(x 1-x2)(x1+x2) ceea ce este imposibil deoarece 1 ≤ x1+x2 ≤p-1.
Analog se arat ă că elementele lui Y nu sunt congruente dou ă câte dou ă
modulo p. Dac ă notăm prin | X | num ărul de elemente ale lui X modulo p, atunci
cum |X|+|Y|= p pp p>+=+++121
21, deducem c ă exist ă
x, y∈

 −
21,…,2,1p a.î. x2≡-y2-1 (mod p), altfel zis exist ă m∈ℕ a.î.
mp=x2+y2+1.
Clar
()
ppp
pp
pp p
py xpm <+−<+−⋅−=




+

−≤++ =≤1
21 1
21 1121211112
2 2.
Pentru a proba (2) s ă observăm că dacă m este par, atunci sau toate x i-
urile sunt impare sau dou ă .
Dac ă toate x i-urile sunt impare, atunci egalitatea de la (1) se mai scrie
sub forma: pm x x x x xx xx⋅=

−+

++

−+

+
2 2 2 2 22
4 32
4 32
2 12
2 1 iar cum
x1±x2 și x3±x4 sunt numere pare se contrazice minimalitatea lui m.
Dac ă numai x 1 și x 2 sunt pare iar x 3 și x 4 sunt impare, din nou se
contrazice minimalitatea lui m (c ăci din nou x 1±x2 și x3±x4 sunt numere pare).
Analog dac ă xi-urile sunt pare.
Deci m trebuie s ă fie impar.
Dac ă m=1 nu avem ce demonstra.
S ă presupunem deci c ă 3 ≤ m<p.
Alegem y 1, y2, y3, y4 a.î. x i≡yi (m), 21
21 −≤≤−−mym
i , i=1, 2, 3, 4 și
în mod evident ()m y y y y 02
42
32
22
1 ≡+++ , deci 2
42
32
22
1 y y y y mn +++=
pentru un anumit n. Mai mult, mm
mn <

−⋅≤≤2
21 40 .

168Evident, n ≠ 0 (căci în caz contrar ar rezulta y j= 0 pentru orice j=1, 2, 3,
4, ceea ce ar implica x j≡0(m), j=1, 2, 3, 4, și deci
()2 2
42
32
22
1 0m x x x x mp =+++= , de unde p ≡0(m), ceea ce este imposibil
deoarece 3 ≤m<p).
Deci n≥1 și deducem imediat c ă
( )( )2
42
32
22
12
42
32
22
12
42
32
22
12z z z z y y y yx x x x npm +++=+++ +++= , unde
23 32 14 41 4 42 24 13 31 334 43 12 21 2 44 33 22 11 1
,,
yx yxyx yx z yx yxyx yx zyx yxyx yx z yx yx yxyx z
− +− = − +−=− +− = + + +=

Cum x i≡yi (m), 

 −≤≤−−21
21 mym
i , i=1, 2, 3, 4, deducem c ă m|z j ,
j=2, 3, 4 și din egalitatea de mai sus rezult ă că m|z 1.
Avem deci c ă 2
42
32
22
1

+

+

+

=mz
mz
mz
mznp , ceea ce din nou
contrazice minimalitatea lui m.(c ăci n<m).
În concluzie m=1 și totul este acum clar. ∎

§3. Alte teoreme de reprezentare a numerelor întregi

TEOREMA 3.1. (Erdös-Suranyi)
Orice num ăr k∈ℤ se poate scrie într-o infinitate de moduri sub
forma k=±12±22±…±m2 cu m∈ℕ.
Demonstra ție Facem induc ție matematic ă observând c ă este suficient s ă
presupunem k∈ℕ.
Observ ăm că 0=12+22- 32+42- 52- 62+72
1=12
2= -12- 22- 32+42
3= -12+22
4= -12 -22+32
S ă presupunem acum c ă pentru un k∈ℕ avem k= ±12 ±22 ±…± m2.
Cum (m+1)2 – (m+2)2 – (m+3)2 +(m+4)2 = 4, avem
k+4= ±12 ± 22 ±…± m2 + (m+1)2 – (m+2)2 – (m+3)2 + (m+4)2 și astfel teorema
este demonstrat ă.
Infinitatea descompunerii rezult ă din identitatea

169(m+1)2 – (m+2)2 – (m+3)2 + (m+4)2 – (m+5)2 + (m+6)2 + (m+7)2 – (m+8)2 = 0 și
astfel în descompunerea lui k înlocuim pe m cu m+8 ș.a.m.d. ∎

În legătură cu alte tipuri de reprezent ări ale numerelor întregi
recomand ăm cititorului lucrarea lui Emil Grosswald : ,,Representations of
Integers as Sums of Squares”, Springer-Verlag, 1985.
Printre alte rezultate, în cartea respectiv ă se prezint ă și următoarele:

TEOREMA 3.2. Un num ăr natural n se poate scrie sub forma
n=x2+y2+z2, cu x, y, z∈ℤ dacă și numai dac ă n nu este de forma 4k (8m+7)
cu k, m∈ℕ.

TEOREMA 3.3. Num ărul solu țiilor întregi (x, y, z) ale ecua ției
x2+y2+z2=n este dat de ()()()
nPnq Ln cp
,116⋅ , unde n=4an1 , (4∤n1),
()()
()
()



≡ ⋅≡≡
=
−−−
86 5,2,1 2383 287 0
1111
sau n dacan dacan daca
nq
aa
()
∏ ∑
≥−
−−
=−










⋅







−
− + + =
n pprimpb
bb
jj
bp ppn
p p nP
231
21
111 1
(P(n)=1 dac ă n nu con ține p ătrate), iar ()()
∑∞
=−=
1,
msmm sL c c
, cu
()


−=mnm4c
(simbolul lui Jacobi !).
Demonstra țiile acestor teoreme fiind destul de laborioase am renun țat la
prezentarea lor în detaliu limitându-ne doar la a le semnala. (cititorul interesat le
poate găsi în cartea citat ă mai sus).

TEOREMA 3.4. (H.E.Richert) Orice num ăr natural n>6 se poate
scrie ca sum ă de diferite numere prime.

170 Demonstra ție Pentru a demonstra teorema lui Richert avem nevoie de
două rezultate preliminare:
Lema 1. Fie m 1, m 2,… un șir infinit cresc ător de numere naturale
a.î. pentru un k ∈ℕ, (1) m i+1≤2m i pentru orice i>k.
Presupunem c ă există a∈ℕ și r, s r-1∈ℕ a.î. s r-1≥mk+r a.î. fiecare
dintre numerele :
(2) a+1, a+2, …, a+s r-1 este suma diferitelor numere din șirul m 1, m 2, …,
mk+r-1.
Atunci fiecare dintre numerele:
(3) a+1, a+2, …, a+s r este suma diferitelor numere din șirul m 1, m 2, …,
mk+r și mai mult, s r≥mk+r+1.
Într-adev ăr, fie n un num ăr din șirul (3). Dac ă n≤a+s r-1 nu mai avem ce
demonstra deoarece conform ipotezei n este sum ă de diferi ți termeni ai șirului
m1, m 2, …, m k+r-1.
Să presupunem c ă n>a+s r-1.Cum s r-1≥mk+r, avem n≥a+1+m k+r , deci
n-m k+r≥a+1, adic ă numărul n-m k+r este un termen al șirului (2) și în consecin ță
se va scrie ca sum ă de termeni din șirul m 1, m 2, …, m k+r-1. Rezultă că și n este
atunci sum ă de diferi ți termeni din șirul m 1, m 2, …, m k+r. Mai mult, ținând cont
de (1) deducem c ă m r+k+1≤2m k+r și astfel s r=sr-1+m k+r≥2m k+1≥mk+r+1. Astfel
Lema 1 este probat ă.
Lema 2. Fie m 1, m 2,… un șir infinit de numere naturale a.î. (1) are
loc pentru un num ăr natural k, și exist ă s0, a∈ℕ a.î. s 0≥mk+1 a.î. fiecare
dintre numerele
(4) a+1, a+2, …, a+s 0 este sum ă de diferi ți termeni din șirul m 1, m 2, …, m k.
Atunci orice num ăr natural >a se scrie ca sum ă de termeni ai
șirului m 1, m 2,…
Într-adev ăr, conform Lemei 1 (cu r=1, 2, …, t, t ∈ℕ) fiecare dintre
numerele
(5) a+1, a+2, …, a+s t se scrie ca sum ă de termeni din șirul m 1, m 2, …, m k+t. Cum
însă sr>sr-1, r=1, 2, …t, observ ăm că pentru orice num ăr natural n exist ă un număr
natural t a.î. n≤a+s t.
În consecin ță orice num ăr natural n>a este unul dintre termenii șirului
(5) cu t convenabil ales și astfel va fi sum ă de diferi ți termeni din șirul m 1, m 2, …
Cu aceasta Lema 2 este și ea probat ă.
Să revenim acum la demonstra ția teoremei.
Fie m i=pi cu i=1, 2, …(p i-fiind al i-ulea num ăr prim). Conform
Corolarului 3.21. de la Capitolul 7, numerele m i verifică condițiile Lemei 2 (cu
a=6, s 0=13, k=5). Aceasta deoarece 13=p 6 și fiecare dintre numerele 7, 8, …, 19

171se scriu ca sum ă de diferite numere prime, ≤p5=11 dup ă cum urmeaz ă: 7=2+5,
8=3+5, 9=2+7, 10=3+7, 11=11, 12=5+7, 13=2+11, 14=3+11, 15=3+5+7,
16=5+11, 17=2+3+5+7, 18=7+11, 19=3+5+11.
Teorema rezult ă acum ca o consecin ță imediată a Lemei 2. ∎

COROLARUL 3. 5. Orice num ăr natural n≥10 se poate scrie ca
sumă de diferite numere prime impare.
Demonstra ție Într-adev ăr, dacă alegem m i=pi+1 atunci condi țiile Lemei 2
de la demonstra ția Teoremei 3.4. sunt satisf ăcute (cu a=9, s 0=19, k=6), deoarece
19=p 8=m 7 , deci s 0=m 6+1 și mai mult, fiecare dintre numerele 10, 11, …, 28 se
scriu ca sum ă de diferite numere prime impare, ≤m6=19 dup ă cum urmeaz ă:
10=3+7, 11=11, 12=5+7, 13=13, 14=3+11, 15=3+5+7, 16=5+11, 17=17,
18=5+13, 19=3+5+11, 20=7+13, 21=3+5+13, 22=5+17, 23=3+7+13, 24=11+13,
25=5+7+13, 26=3+5+7+11, 28=3+5+7+13.
Observație: În lucrarea A. Macowski, Partitions into unequal primes
din Bull. Acad. Sci. Sér. Sci. Math. Astr. Phys., 8(1960), pp. 125-126 se
demonstreaz ă următoarele rezultate :
TEOREMA 3.6. Orice num ăr natural n >55 se poate scrie ca sum ă
de diferite numere prime de forma 4k-1.
TEOREMA 3.7. Orice num ăr natural n >121 se poate scrie ca sum ă
de numere prime de forma 4k+1.
TEOREMA 3.8. Orice num ăr natural n >161 se poate scrie ca sum ă
de numere prime de forma 6k-1.
TEOREMA 3.9. Orice num ăr natural n >205 se poate scrie ca sum ă
de numere prime de forma 6k+1.

Să mai amintim și un rezultat al lui L. Schnirelman:
TEOREMA 3.10. (Schnirelman) Exist ă un num ăr natural s a.î.
orice num ăr natural mai mare sau egal cu 2 se scrie ca suma a cel mult s
numere prime (nu neap ărat distincte).
Cititorul poate g ăsi demonstra ția acestei teoreme în lucrarea [21,
pp.107] (preluat ă după articolul original al lui Schnirelman: Uber additive
Eigeenschaften von Zahlen din Math. Ann. 107, 1933, pp. 649-690).
În lucrarea lui Vinogradov: Representation of an odd number as a
sum of three primes din Comptes Rendus (Doklady) de l’Academie de
Sciences de l’ URSS , nr 15, 1937, pp. 191-294, se demonstreaz ă (din păcate
neelementar ):

172TEOREMA3.11. (Vinogradov) Orice num ăr natural impar suficient de mare
se scrie ca sum ă a cel mult trei numere prime.

Din Teoremele lui Schnirelman și Vinogradov deducem imediat:
COROLARUL 3.12. Exist ă n0 ∈ℕ, n0≥2, a.î. orice num ăr natural
n, n≥n0 se scrie ca suma a cel mult patru numere prime.

Observa ții 1. Shapiro și Warga în lucrarea: On representation of large integers
as sums of primes din Comm. Pure Appl. Math, 3, 1950, p. 153 demonstreaz ă
elementar un rezultat mai slab: orice num ăr natural suficient de mare se scrie
ca suma a cel mult 20 de numere prime.
2. Rafinând procedeul lui Schnirelman, Yin Wen-Lin , în lucrarea Note
on the representation of large integers as sums of primes din Bull. Acad.
Polon. Sci. cl III, 4, 1956, pp. 793-795 demonstreaz ă elementar c ă orice num ăr
natural suficient de mare se scrie ca suma a cel mult 18 de numere prime.
3. Să reamintim aici și o conjectur ă a lui Goldbach: orice num ăr
natural par mai mare sau egal cu 4 se scrie ca suma a dou ă numere prime.
Dacă această conjectur ă ar fi adev ărată (lucru neprobat pân ă acum)
atunci ar rezulta c ă orice num ăr natural mai mare sau egal cu 2 se scrie ca
suma a cel mult 3 numere prime.

173 CAPITOLUL 12:
ECUA ȚII DIO PHANTICE

În cele ce urmeaz ă prin ecuație diophantic ă înțelegem o ecua ție de
forma f(x 1,…,x n)=0 cu f ∈ℤ[X1,…,X n].
A rezolva o astfel de ecua ție diophantic ă revine la a g ăsi toate n- uplurile
(a1,…,a n)∈ℤn pentru care f(a 1,…,a n)=0.
Observație Denumirea de ecuații diophantice provine de la numele
matematicianului grec Diophante (aprox. secolul III era noastr ă ).

§1.Ecua ția ax+by+c=0, a, b, c Îℤ (1)

LEMA 1.1. Ecua ția (1) are solu ție în ℤ dacă și numai dac ă
d=(a, b) | c.
Demonstra ție În mod evident, dac ă x, y∈ℤ a.î. ax+by+c=0, atunci cum
c = -ax-by deducem c ă d | c ⇔ c=dt cu t∈ℤ.
Reciproc, s ă presupunem c ă d|c. Atunci din algoritmul lui Euclid
deducem c ă există x1, y1∈ℤ a.î. d=ax 1+by 1.
Atunci c = dt =(ax 1 + by 1)t = a(x 1t) + b(y 1t) ⇔ a(x 1t) + b(y 1t)-c = 0 ⇔
⇔ a(-x 1t)+b(-y 1t)+c=0, adic ă (-x 1t, -y 1t) este solu ție a ecua ției ax + by + c = 0. ș

LEMA 1.2. Dacă (a, b) =1 iar (x 0, y 0) este solu ție particular ă a
ecuației (1), atunci solu ția general ă din ℤ a acestei ecua ții este dat ă de
x=x 0-kb și y=y 0+ka , cu k Îℤ.
Demonstra ție Dacă x=x 0-kb și y=y 0+ka (cu (x 0, y 0)∈ℤ2 soluție
particular ă a lui (1) și k∈ℤ), atunci ax+by+c=a(x 0-kb)+b(y 0+ka)+c=
=ax 0+by 0+c-abk+abk=0.
Fie acum (x, y) ∈ℤ2 a.î. ax+by+c=0.
Atunci ax 0+by 0=ax+by ⇔ a(x 0-x)=b(y-y 0). Cum (a, b)=1 deducem c ă
a|y-y 0, adică y-y 0=ka (cu k ∈ℤ) ⇔ y=y 0+ka. Deducem imediat c ă a(x 0-x)=bka, de
unde x=x 0-kb. ∎

COROLAR 1.3. Fie a, b, c Îℤ a.î. d=(a, b) |c, a=da′, b=db′, c=dc′.
Dacă (x0, y0)Îℤ2 este o solu ție particular ă a ecua ției a′x+b′y+c′=0,
atunci solu ția general ă a ecua ției (1) este dat ă de x=x 0-kb′, y=y 0+ka′ cu k Îℤ.

174 Observație Ținând cont de Lema 1.2. și Corolarul 1.3. deducem c ă
atunci când suntem pu și în situa ția de a rezolva o ecua ție diophantic ă de forma
(1) (în cazul în care d=(a, b) ≠c ) este recomandabil s ă împărțim ambii membrii
ai ecuației prin d, transformând-o astfel în ecua ția echivalent ă a′x+b′y+c′=0 (cu
a′=a/d, b′=b/d, c′=c/d ). Cum (a ′, b′)=1, forma general ă a soluțiilor ecua ției
a′x+b′y+c′=0 este dat ă de Lema 1.2.

S ă prezentăm acum un procedeu de a g ăsi o solu ție particular ă (x0, y0) a
ecuației (1) (cu a, b, c ∈ℤ, (a, b)=1). Pentru aceasta vom dezvolta num ărul
rațional α=a/b în frac ție continu ă. Păstrând nota țiile de la Capitolul 10 (de Frac ții
continue), observ ăm că ultima redus ă pn/qn a lui α este chiar p n/qn=a/b=α.
Ținând cont de Propozi ția 3.3. de la Capitolul 10 putem scrie:
0 )1()1( )1( 1
1 1
11
11
11
11=−+ − ⇔−= −⇔−= −−
− −
−−
−−
−−
−− n
n n
nnn
nn
nnn
nn
nnbp aqqq qp
ba
qq qp
qp
de unde (prin înmul țire a ambilor membrii ai ultimei egalit ăți cu (-1)n c )
a[(-1)n c q n-1] + b[(-1)n+1 c p n-1] + c = 0.
Deducem c ă x0=(-1)n c q n-1 și y0=(-1)n+1 c p n-1 este o solu ție particular ă a
ecuației (1).
Conform Lemei 1.2. solu ția general ă a ecuației (1) va fi atunci
x=(-1)n c q n-1-bk și y=(-1)n+1 c p n-1 +ak cu k ∈ℤ.

Exemplu Să se rezolve ecua ția diofantic ă (∗) 317 x + 182 y + 94 = 0
Avem a=317, b=182, c=94 și se observ ă că (a, b)=1, astfel c ă ecuația (∗)
are soluție în ℤ2 (conform Lemei 1.2.).
Pentru a g ăsi soluția general ă a ecua ției (∗) să găsim o solu ție
particular ă (x 0, y0)∈ℤ2 a ecuației (∗).
Prin calcul direct g ăsim urm ătoarea dezvoltare în frac ție continu ă a lui
α=182317:182317=[1;1, 2, 1, 6, 1, 5].
Redusele α =182317 se obțin completând de la stânga la dreapta tabelul:

175

1 1 2 1 6 1 5
α (a 0) (a 1) (a 2) (a 3) (a 4) (a 5) (a 6)

p 1 1 2 5 7 47 54 317
q 0 1 1 3 4 27 31 182

Deducem c ă α = qp
66=182317, adică n=6.
O soluție particular ă va fi x 0 = (-1)n c q n-1 = (-1)6 ⋅94⋅q5 = 94⋅31 = 2914,
y0 = (-1)n+1c pn-1 = (-1)7⋅94⋅p5 = -94⋅54 = -5076
Astfel, solu ția general ă a ecua ției (∗) va fi x=2914- 182k,
y=-5076+317k, cu k ∈ℤ.

§2.Ecua ția x2 + y2 = z2 (2)

În primul rând trebuie observat c ă dacă tripletul (x, y, z)
de numere întregi verific ă ecuația (2), atunci aceea și ecua ție va fi satisf ăcută
de orice triplet de forma ( lx, ly, lz), unde lÎℤ și reciproc.
De aceea, pentru a g ăsi toate solu țiile ecua ției (2) (constând din numere
diferite de zero) este suficient s ă găsim (solu țiile (x, y, z) pentru care numerele x,
y, z sunt relativ prime (adic ă nu au nici un divizor prim diferit de 1)).
Este clar c ă dacă într-o solu ție (x, y, z) a ecua ției (2) dou ă dintre
numerele x, y, z au un divizor comun λ = ±1, atunci și cel de al treilea num ăr se
divide cu λ.
De aceea ne putem restrânge la solu țiile ce constau din numere relativ
prime dou ă câte dou ă, pe care le vom numi soluții primitive .
Dacă (x, y, z) este o solu ție a lui (2), atunci în mod evident și (y, x, z) este
soluție.
Pe de alt ă parte, dac ă (x, y, z) este solu ție, atunci x sau y este par (c ăci
dacă x și y ar fi impare atunci x2+y2 ar fi de forma 4k+2, pe când p ătratul unui
număr întreg nu poate fi decât de forma 4k sau 4k+1).
În plus, este evident c ă dacă (x, y, z) este solu ție, atunci și (±x, ±y, ±z)
vor fi solu ții.

176LEMA 2.1. Orice solu ție particular ă (x, y, z) de numere naturale
(cu n par) a ecua ției (2) este de forma x=2mn, y=m2-n2, z=m2+n2 cu m, n Îℕ
și n<m, (n, m)=1 iar m, n au parit ăți diferite .
Demonstra ție Identitatea (2mn)2+(m2-n2)2=(m2+n2)2 arată că numerele
de forma din enun ț sunt solu ții ale ecua ției (2) cu x par. Dac ă x, y, z au un
divizor comun λ ≥ 2, atunci λ divide și numerele 2m2=(m2+n2)2+(m2-n2)2 și
2n2=(m2+n2)2- (m2-n2)2 .
Rezultă că λ=2 (căci (m, n)=1). Îns ă atunci m2 și n2 sunt simultan pare
sau impare, ceea ce este imposibil c ăci prin ipotez ă m și n au parit ăti diferite.
Deci solu ția din enun ț este primitiv ă.
Reciproc, fie (x, y, z) o solu ție primitiv ă a lui (2) cu x, y, z ∈ℕ iar x=2a.
Atunci y și z sunt impare, deci numerele z+y și z-y sunt pare (fie
z+y=2b, z-y=2c).
Orice divizor comun al lui b și c divide pe z=b+c și pe y=b-c, de aceea
λ=±1, astfel c ă (b, c)=1.
Pe de alt ă parte 4a2 = x2 = z2 – y2 = 4bc, de unde a2 = bc, adic ă b = m2 și
c= n2 (m, n∈ℕ) iar de aici a2=m2n2⇔a=mn, deci x=2a=2mn, y=b-c=m2-n2 iar
z=b+c=m2+n2 (se observ ă că n<m). ∎

COROLAR 2.2. Soluția general ă a ecua ției (2) este x= 2r ×mn,
y=r (m2-n2), z=r (m2+n2) cu r, m, n Îℤ.

§3. Ecua ția x4+y4=z4 (3).

În cadrul acestui paragraf vom demonstra un rezultat ceva mai
general și anume:
LEMA 3.1. Ecuația x4+y4=z2 ( 4 ) nu are solu ții în ℤ*.
Demonstra ție Să presupunem c ă ar exista o solu ție în ℤ* a ecuației (4).
Putem presupune în mod evident c ă această soluție constă din numere din ℕ*.
Cum orice mul țime nevid ă de numere naturale are un cel mai mic
element, atunci printre solu țiile ecua ției (4) exist ă una (x, y, z) cu z minim.(vezi
Teorema 4.5. de la Capitolul 1).
Analog ca în cazul ecua ției (2) se arat ă că x sau y trebuie s ă fie par ; s ă
presupunem c ă x este par.
Cum (x2)2+(y2)2=z2 iar x2, y2 și z sunt naturale ( și pot fi presupuse
relativ prime ), atunci conform celor stabilite la §2. exist ă numerele naturale m,
n, m>n, relativ prime și de paritate diferit ă a.î. x2=2mn, y2=m2-n2 și z2=m2+n2.

177Dacă m=2k și n=2k+1 ⇒y2=4(k2-l2-l-1)+3, ceea ce nu se poate (c ăci y2
trebuie s ă fie de forma 4k sau 4k+1).
Rezultă că m este impar iar n este par.
Fie n=2q; atunci x2=4mn așa că mq=(x/2)2. Cum (m, n)=1 deducem c ă
m=z 12,q=t2 cu (z 1,t)=1 și naturale.
În particular, observ ăm că y2 = (z 12)2-(2t2)2 ⇔( 2t2)2 + y2 = (z 12)2.
Aplicând din nou cele stabilite la §2 deducem c ă există a, b∈ℕ*, a>b,
(a,b)=1 și de parit ăți diferite a.î.
2t2 =2ab ⇔ t2 =ab
y2 =a2-b2
z 12 =a2+b2.
Cum (a, b)=1 iar t2=ab deducem c ă a=x 12, b=y 12 și atunci x 14+y14=z12.
Deducem c ă (x1, y1, z1) este o solu ție a lui (4) și conform alegerii lui z ar
trebui ca z 1 ≥ z ⇔ z12 ≥ z ⇔ m ≥ m2 + n2, ceea ce este absurd. ∎

COROLARUL 3.2. Ecua ția (3) nu poate avea solu ții (x, y, z) cu x, y,
zÎℤ*.
Observație Ecuația (3) este legat ă de ceea ce în teoria numerelor a fost
cunoscut ă sub numele de Marea teorem ă a lui Fermat (de și corect ar fi fost s ă fie
numită ,,Marea Conjectur ă a lui Fermat”! ):
Dacă n ³ 3 atunci ecuatia xn+yn=zn nu poate avea solu ție nenul ă în ℤ
(în sensul c ă xyz ¹ 0). (Evident, este suficient s ă presupunem c ă n este prim).
Pentru n=4 am v ăzut mai sus c ă ecuația lui Fermat x4+y4=z4 nu are
soluții în ℤ* (Corolarul 3.2.).
Printre hârtiile lui Fermat a fost g ăsită demonstra ția teoremei numai
pentru cazul n=4 (interesant este c ă aceasta este singura demonstra ție a unui
rezultat de teoria numerelor care s-a p ăstrat de la Fermat ! ).
În ce prive ște cazul general, n>4, Fermat a notat ( pe marginea unei
pagini din ,,Aritmetica” lui Diophant ) c ă a găsit ,,o demonstra ție cu adev ărat
minunată” a acestui fapt, dar ,,aceast ă margine este prea îngust ă pentru a o
cuprinde”.
Cu toate eforturile multor matematicieni, aceast ă demonstra ție nu a fost
găsită și este îndoielnic c ă ea ar fi existat în general!.
Mai mult, numai pentru n=4 s-a reu șit să se dea o solu ție elementar ă.
Astfel se explic ă de ce speciali știi în teoria numerelor au fost convin și
de imposibilitatea demonstr ării Marii teoreme a lui Fermat prin procedee
elementare.

178Paradoxul const ă totuși în aceea c ă în toate cazurile în care Fermat a
afirmat categoric c ă a demonstrat o afirma ție sau alta, ulterior s-a reu șit a se
demonstra aceast ă afirmație.
Cel care a reu șit să demonstreze conjectura lui Fermat este
matematicianul englez Andrew Wiles de la Universitatea din Princeton (S.U.A).
De fapt acesta a demonstrat o alt ă conjectur ă (așa zisa conjectur ă a lui Taniyama-
Weil) din care conjectura lui Fermat rezult ă ca un corolar.
Din păcate demonstra ția lui Wiles este destul de dificil ă, ea neavând un
caracter elementar, limitând astfel accesul la în țelegerea ei pentru un foarte mare
număr de matematicieni.
Celor care posed ă cunoștințe solide de aritmetica geometriei algebrice le
recomand ăm lucrarea lui A.Wiles din care rezult ă conjectura lui Fermat (dac ă
x, y, z∈ℤ, p ≥ 3 este num ăr prim a.î. xp+yp=zp, atunci xyz=0):

A.Wiles: Modular Elliptic Curves and Fermat’s Last Theorem, Annals of
Math, vol. 141, pp. 443-551, 1995.
§4 Ecua ții de tip Pell: x2-Dy2=±1 (DÎℕ) (5)

Ca și în paragrafele precedente, pentru a rezolva ecua ția (5) în ℤ este
suficient s ă găsim solu țiile sale x, y ∈ℕ*.
Dacă D=n2 cu n∈ℕ*, atunci (x-ny )(x+ny)=1 și se arat ă imediat c ă
această ecuație nu are solu ții x, y ∈ℕ*.
Rămâne deci s ă ne ocup ăm doar de cazul D ∈ℕ*și D∈I.
În Capitolul 10 (Propozi ția 3.15) am v ăzut că fracția continu ă a lui
D este de forma : ]2, ,…,;[0 1 0 a a aa Dn = , adic ă
] , ,…,;[0 1 0 D aa aa Dn+ = , de unde ()
()
1 01 0
−−
++++=
n nn n
q D aqp D apD iar de aici,
Dp p ap q aqD Dqn n n n n n + + = + +− − ) () (1 0 1 0 .
Cum D∈I, deducem c ă Dq n=pna0 + p n-1 și p n=qna0 + q n-1.
Atunci 2 2
n nDq p− = (q na0 + q n-1)pn- (p na0 + p n-1)qn = -(q npn-1 – pnqn-1) =
= (-1)n+1 , adică 1 2 2)1(+−=−n
n nDq p .

179
Această ultimă egalitate ne sugereaz ă :
LEMA 4.1. Toate solu țiile ecua ției (5) sunt date de reduse ale lui
D.
Demonstra ție Egalitatea 1 2 2)1(+−= −n
n nDq p rămâne adev ărată și dacă
în locul lui n punem k(n+1)-1 (deoarece nu este nevoie s ă consider ăm cea mai
scurtă perioadă ) :
(⋆) )1( 2
1)1(2
1)1( )1(+
−+ −+ −= −nk
nk nk Dq p , ceea ce ne arat ă că o infinitate
de reduse ale lui D ne dau solu ții pentru ecua ția x2-Dy2=±1.
Fie acum p, q ∈ℕ* a.î. |p2-Dq2|=1. Vrem s ă demonstr ăm că p/q este o
redusă a lui D.
Să presupunem prin absurd c ă p/q nu este o redus ă a lui D.
Atunci conform observa ției de la Propozi ția 3.7. de la Capitolul 10,
există o redusă pk /qk a lui D cu :
|qkD-pk|<|qD-p| și qk<q.
Avem |qkD+pk|≤2qkD+|pk-Dq k|≤2(q-1) D+|qD-p|=2q D-
-(2 D-|qD-p|)<2q D-|qD-p|≤|qD+p|, de unde rezult ă că:
0< | q pk kD2 2−|=|qkD-pk|·|qkD+pk|<|q2D-p2|=1 , ceea ce este
absurd.
Rezultă deci că toate solu țiile ecua ției x2-Dy2=±1 sunt date de reduse
ale lui D.
Fie acum 12 2±= −k kDq p o astfel de solu ție.
Avem D=[a 0;a1,…, a k, αk+1].
Știm că αk+1 este un ira țional pătratic redus care satisface ecua ția:
Ak+1×2 + B k+1x + C k+1=0, unde A k+1= 12 2±= −k kDq p .
În plus, 2
1+kB -4A k+1Ck+1=4D și Bk+1 este par.
Rezultă αk+1= DBk++
21 și cum αk+1 este ira țional pătratic redus
avem αk+1=a0+D și deci ] ,…,;2[1 0 ka aa este o perioad ă a lui D, deci toate
soluțiile ecua ției (5) sunt de forma ( ⋆).∎
Observație Este de re ținut algoritmul de g ăsire a solu ției 12
02
0 =−Dy x ,
cu cele mai mici x 0 și y0 naturale nenule:

180

[a 0;a1,…,a n] dacă perioada minim ă are lungimea par ă

00
yx =
[a 0;a1,…,a n,2a0,a1,…,a n] dacă n este par (adic ă perioada este impar ă ).

Să remarcăm și faptul c ă dacă lungimea perioadei lui D este par ă,
atunci ecua ția x2-Dy2=-1 nu are solu ții.
Exemple : a) Ecua ția x2-7y2=1.
Avem:
33],4,1,1,1;2[7qp= =[2;1,1,1]=8/3, deci x 0=8 și y0=3.
b) Ecua ția x2-13y2=-1.
Avem:
44],6,1,1,1,1;3[ 13qp= =18/5, deci x 0=18 și y0=5.
Să mai not ăm faptul c ă ecuațiile de forma x2-Dy2=m cu D, m ∈ℤ sunt
cunoscute sub numele de ecuații de tip Pell (deși Pell nu s-a ocupat de studiul
unor astfel de ecua ții, aceast ă greșeală de denumire datorându-se lui Euler ).

§5. Ecua ții de tipul ax2 + by2 + cz2=0, cu a, b, c Îℤ.(6)

În cadrul acestui paragraf ne vom ocupa de rezolvarea ecua ției
diophantice (6), unde a, b, c ∈ℤ sunt libere de p ătrate (adic ă nu con țin în
descompunerea lor factori de forma d 2 cu d prim), iar (a, b)=(b, c)=(c, a)=1.
În mod evident, dac ă a, b, c ≥0 sau a, b, c ≤0 atunci ecua ția (6) are
soluție trivial ă x=y=z=0. Prin urmare vom presupune c ă a, b, c nu sun t simultan
negative sau pozitive.
Dac ă m, n∈ℤ, vom scrie m R n dacă există x∈ℤ a.î. x2≡m(n), (adic ă m
este rest p ătratic modulo n).

TEOREMA 5.1. (Legendre ) Fie a, b, c Îℤ, libere de p ătrate, oricare
două relativ prime, neavând toate acela și semn.
În aceste condi ții ecua ția ax2+by2 =z2 (7) are o solu ție netrivial ă dacă
și numai dac ă următoarele condi ții sunt îndeplinite:
(i) -ab R c
(ii) –ac R b

181(iii) –bc R a

Este preferabil s ă demonstr ăm teorema lui Lagrange sub urm ătoarea
formă echivalent ă :

TEOREMA 5.2. Fie a, b numere naturale libere de p ătrate. Atunci
ecuația ax2+by2+cz2=0 are o solu ție netrivial ă întreag ă dacă și numai dac ă
următoarele condi ții sunt îndeplinite :
(i) a R b
(ii) b R a
(iii) –(ab/d2) R d , unde d=(a, b)
Într-adev ăr, să presupunem c ă Teorema 5.2. este adev ărată și să consider ăm
ecuația ax2+by2+cz2=0 cu a, b, c ca în enun țul Teoremei 5.1. (s ă presupunem
că a, b>0, iar c<0 ). Atunci –acx2-bcy2-z2=0 satisface condi țiile din Teorema
5.2. Dac ă (x, y, z) este o solu ție netrivial ă, atunci, deoarece c este liber de
pătrate, c/z. Punând z=cz ′ și simplificând ajungem la o solu ție netrivial ă
pentru (5). L ăsăm ca exerci țiu probarea faptului c ă Teorema 5.1. implic ă
Teorema 5.2..
S ă trecem acum la demonstrarea Teoremei 5.2..
Dac ă a=1 totul este clar. S ă presupunem c ă a>b (c ăci dacă b>a
schimbăm pe x cu y, iar dac ă a=b atunci –1 este p ătrat modulo b, și se verific ă
imediat c ă există r, s∈ℤ a.î. b=r2 +s2; în aceste condi ții o soluție a ecua ției (6) va
fi x = r, y = s, z = r2+s2).
S ă construim acum o nou ă formă Ax2+by2=z2 satisfăcând acelea și
condiții ca în enun țul Teoremei 5.2., 0<A<a și a.î. dac ă forma astfel construit ă
are o solu ție netrivial ă, atunci acea solu ție verific ă și forma din enun țul Teoremei
5.2.. Astfel dup ă un num ăr de pași, schimbând de fiecare dat ă pe A cu b dac ă
A<b ajungem la unul din cazurile a=1 sau a=b care au fost deja discutate.
Iat ă cum ajungem la aceste cazuri .
Conform cu (ii), exist ă T, c∈ℤ a.î. (8) c2-b=aT=aAm2, cu A, m ∈ℤ, A
liber de p ătrate, iar |c| ≤a.
S ă arătăm că 0<A<a.
Într-adev ăr, din (8) deducem c ă 0≤c2 =aAm2+b <a(Am2+1), adic ă A≥0.
Cum b este liber de p ătrate deducem c ă A>0. Mai mult, din (8) deducem
că aAm2<c2≤a2/4 astfel c ă A≤Am2 <a/4<a. S ă arătăm acum c ă A R b.
Fie b=b 1d, a=a 1d, cu (a 1, b 1)=1 și să observăm că (a 1, d)=(b 1, d)=1
deoarece a și b sunt libere de p ătrate. Atunci (8) devine:
(9) c2-b1d=a 1dAm2 și cum d este liber de p ătrate deducem c ă d/c.
Punând c=c 1d și simplificând ob ținem :

182 (10) d2
1c-b1=a1Am2.
Atunci Aa 1m2≡-b1 (d) sau Aa 12m2≡-a1b1 (d).
Îns ă (m, d)=1 deoarece din (10) deducem c ă în caz contrar un factor
comun al lui m și d ar divide b 1 și d și astfel b nu ar mai fi liber de p ătrate.
Utilizând (iii) și faptul c ă m este o unitate modulo d deducem c ă A R d.
Mai mult, c2≡aAm2(b1) iar deoarece a R b avem c ă a R b1. De asemenea
(a, b 1)=1 deoarece în caz contrar un factor comun ar divide d și b1, contrazicând
faptul că b=b 1d este liber de p ătrate.
Similar (m, b 1)=1, ceea ce arat ă că A R b1. Atunci A R db 1 sau A R b.
Vom scrie acum A=rA 1, b=rb 2, (A 1, b2)=1 și trebuie s ă demonstr ăm că
–A1b2 R r .
Din (8) deducem c ă : c2-rb2=arA 1m2 (11).
Cum r este liber de p ătrate deducem c ă r | c. Dac ă c=rc 1 atunci
aA1m2≡-b2 ( r ). Cum a R b avem a R r. Scriind acum c ă –aA 1b2m2 ≡ b22 ( r ) și
observând c ă (a, r)=(m, r)=1, concluzion ăm că –A 1b2 R r.
Să presupunem acum c ă AX2+bY2=Z2 are o solu ție netrivial ă.
Atunci AX2=Z2-bY2 (12).
Din (12) și (6) prin multiplicare ob ținem :
A(Axm)2=(Z2-bY2)(c2-b)=(Zc+bY)2-b(cY+Z)2.
Atunci (6) are solu ția : x=AXm
y=cY+Z
z=Zc+bY ceea ce completeaz ă demonstra ția
(căci X≠0 și m≠0 deoarece b este liber de p ătrate). ∎

COROLAR 5.3. Fie a, b, c Îℤ libere de p ătrate, cu (a,b) =(a, c)=
=(b, c)=1 și nu au toate acela și semn.
Dacă pentru un num ăr prim p ³2 congruen ța ax2+by2+cz2ș0(pm) are
soluție (x, y, z) Îℤ3 , pentru orice m Îℕ* a.î. nici o component ă a sa nu se
divide prin p, atunci ax2+by2+cz2=0 are solu ție netrivial ă întreag ă (x, y, z).
Demonstra ție Fie m=2 și să presupunem c ă p|a. Atunci dac ă (x, y, z)
este o solu ție ca în corolar, s ă arătăm că p∤yz.
Dacă p|y, atunci p |cz2 care implic ă (deoarece (a, c)=1) c ă p|z. Atunci
p2|ax2 și cum p∤x obținem contradic ția p2|a. Similar p∤z. Atunci by2+cz2≡0(p), de
unde deducem c ă –bc R p, ceea ce implic ă –bc R a.
Similar –ab R c și –ac R b iar acum corolarul rezult ă din teorema lui
Legendre (pus ă sub prima form ă ).

183Observații 1. Acest corolar confirm ă principiul lui Hasse conform
căruia rezolubilitatea local ă implică rezolubilitatea global ă (aici rezolubilitatea
locală înseamn ă că ecuația considerat ă are solu ție netrivial ă modulo pm pentru
orice p prim și m natural nenul, iar rezolubilitatea global ă înseamn ă că ecuația
are o solu ție întreag ă ).
2. Pentru forme p ătratice acest principiu func ționează însă este fals dac ă
ecuația are grad mai mare.
De exemplu : ecua ția x4-17y4=2z4 are solu ție netrivial ă modulo pm
pentru orice p prim și m∈ℕ și o solu ție reală, însă nu are solu ție netrivial ă
întreagă [vezi H. Reichardt: Einige im Kleinen überall lösbare, im Grossen
unlösbare diophantische Gleichungen, J. Reine Angew und Math., 184(1942)
pp. 12-18] . ∎

§6 Rezolvarea în numere întregi a sistemelor de ecua ții liniare

În cadrul acestui paragraf vom prezenta condi ții necesare și suficiente ca
un sistem de m ecua ții liniare cu n necunoscute cu coeficien ți din ℤ să aibă
soluție întreag ă precum și modul de aflare a solu ției generale în caz de
compatibilitate.
DEFINI ȚIA 6.1. O matrice U∈Mn (ℤ) (n≥2) se zice unimodular ă
dacă det (U)=±1.
În mod evident U este unimodular ă dacă și numai dac ă U este
inversabil ă în M n (ℤ). Grupul unit ăților monoidului (M n (ℤ) ,·) se noteaz ă prin
GL n(ℤ) și poartă numele de grupul general liniar de ordin n al lui ℤ.
.
Pentru n≥1, i, j∈ℕ, i≠j , 1≤i, j≤n și λ∈ℤ vom nota prin T ij(λ)
maticea din M n (ℤ) ce are 1 pe diagonala principal ă , λ pe pozi ția (i, j) și 0 în
rest.
Reamintim c ă pentru m, n∈ℕ, m, n≥2, matricea unitate I n este matricea
din M n (ℤ) ce are 1 pe diagonala principal ă și 0 în rest, iar matricea nul ă Om, n
este matricea din M m, n (ℤ) ce are 0 pe toate pozi țiile.
De asemenea, pentru 1 ≤i≤n vom nota prin D i matricea ce difer ă de
matricea unitate I n doar pe pozi ția (i, i), unde D i are –1.
În mod evident det (Tij( λ))=1 și det (D i) = -1, de unde deducem c ă Ti,j ,
Di∈GL n(ℤ).

184DEFINI ȚIA 6.2. Matricele de forma T i j (λ) și D i cu λ∈ℤ , 1≤i, j≤n
definite anterior se numesc elementare. Înmul țirea la stânga sau la dreapta
a unei matrici A cu o matrice elementar ă poart ă numele de transformare
elementar ă.

Din felul în care se înmul țesc două matrice, urm ătorul rezultat este
imediat:
TEOREMA 6.3. Fie m, n ∈ℕ, m, n≥2 și A∈Mm, n (ℤ).
1) Dac ă Ti j (λ) este o matrice elementar ă din M m(ℤ) atunci matricea
Ti j (λ)A se ob ține din A adunând la elementele liniei i pe cele ale coloanei j
înmulțite cu λ.
2) Dac ă T ij(λ) este o matrice elementar ă de ordinul n atunci
matricea AT i j (λ) se ob ține din A, adunând la elementele coloanei j pe cele
ale coloanei i înmul țite cu λ.
3) Dac ă Di este o matrice elementar ă de ordin m atunci matricea
Di A se ob ține din A înmul țind elementele liniei i cu –1.
4) Dac ă Di este o matrice elementar ă de ordin n, atunci matricea
AD i se obține din A înmul țind elementele coloanei i cu –1.
Exemple Fie m=3 și n=4 și




=
34 33 32 3124 23 22 2114 13 12 11
a a a aa a a aa a a a
A .

1) Dacă T23(λ) =




10010001
l
∈M3(ℤ), atunci
T 23(λ) A =




+ + + +
3434 2414
3333 2313
3232 2212
3131 2111
aa aa
aa aa
aa aa
aa aa
l l l l
.

1852) Dacă T12(λ) =




10000100001000 1l
∈M4(ℤ), atunci

AT 12(λ) =




+++
342414
332313
31 3221 2211 12
312111
aaa
aaa
a aa aa a
aaa
lll
.

3) Dacă D2=




−
10001 0001
∈M3(ℤ), atunci
D 2A=




−−−−
342414
332313
322212
312111
aaa
aaa
aaa
aaa
.

4) Dacă D4=




−1 000010000100001
∈M4(ℤ), atunci
AD 4=




−−−
342414
332313
322212
312111
aaa
aaa
aaa
aaa
.

DEFINI ȚIA 6.4. Fie n∈ℕ , n≥2 și 1≤i, j≤n. Matricea P i j∈Mn(ℤ)
ce se ob ține din I n punând pe pozi țiile (i, i) și (j, j) în loc de 1 pe 0 și care în
plus pe pozi țiile (i, j) și (j, i) are 1 poart ă numele de matrice de transpozi ție.

186Exemplu Dacă n=4, atunci P 23=




1000001001000001
.

OBSERVA ȚIA 6.5. Ținând cont de Lema 6.3. deducem c ă:
Pentru orice n∈ℕ, n≥2 și 1≤i, j≤n avem egalitatea:
Pi j=D iTi j(1) T i j(-1) T j i(1).
În particular, det (P i j)= -1, deci P i j∈GL n(ℤ).

De asemenea avem urm ătorul rezultat:
LEMA 6.6. Fie m, n ∈ℕ, m, n≥2 și A∈M m, n (ℤ).
1) Dac ă Pij are ordinul m, atunci matricea P ijA se ob ține din A
permutând linia i cu linia j.
2) Dac ă Pij are ordinul n, atunci matricea AP ij se ob ține din A
permutând coloana i cu coloana j.

DEFINI ȚIA 6.7. Fie m, n ∈ℕ, m, n≥2 și A, B∈M m, n (ℤ). Vom
spune c ă A este aritmetic echivalent ă cu B, și vom scrie A ~B, dac ă există
U∈GL m(ℤ) și V∈GL n(ℤ) a.î. UAV=B.
Se verific ă imediat c ă relația ~ este o echivalen ță pe M m, n (ℤ).

LEMA 6.8. Oricare ar fi A ∈M m, n (ℤ) există 0≤r≤min{m, n} și
d1, …, d r∈ℕ* a. î. A ~




0 000
21
OO
rddd
∈M m, n (ℤ).
Demonstra ție Pentru fiecare matrice A= ()
njmi jia
≤≤≤≤
11∈M m, n (ℤ) definim:

187
()()
{} ()

≠ ≠=
=.0 det 0 min0 det 0
A daca acuaA daca
Am
ij ij
Vom face induc ție matematic ă după m(A). Lema este în mod evident
adevărată dacă A=O m, n. Să presupunem c ă A≠Om, n și că lema este adev ărată
pentru toate matricele B ∈Mm, n (ℤ) cu m(B)< m(A) ca și pentru matricele din
Mm-1,n-1 (ℤ).
Există atunci 1≤i0≤m și 1≤j0≤n a.î. m(A)=
00jia . Prin diferite
permutări de linii și coloane ale lui A putem presupune c ă i0=j0=1 (adic ă
A~
0 0 1 1 j iAPP ). Astfel, putem presupune c ă m(A)=a 11 și chiar mai mult c ă a11 >0
(căci dacă a11 < 0, atunci în loc de A putem lua D 1A).
Cazul 1. Presupunem c ă a11|a1j pentru 2≤j≤n și a11|ai1 pentru 2≤i≤m,
adică există q1j , q i1 ∈ℤ a.î. a 1j=a11·q1j cu 2≤j≤n și a i1=a11 ·qi1 cu 2≤i≤m.
Adunând la coloanele 2, 3, …, n coloana 1 a lui A înmul țită respectiv
cu –q 12, -q 13, …., -q 1n și procedând analog pentru linii, ob ținem:
A~



′Aa
0011, cu A′ ∈Mm-1, n-1 (ℤ).
Aplicând ipoteza de induc ție lui A′ deducem c ă există U′∈GL m-1(ℤ) și
V′∈GL n-1(ℤ) a.î.




=′′′
0 0002
OO
rdd
VAU ∈M m-1 , n-1 (ℤ),
unde d i∈ℕ* pentru 2≤i≤r.

188Alegând U=



′U001
, V=



′V001
, d 1=a11 avem U∈GL m(ℤ),
V∈GL n(ℤ) și A~U



′Aa
0011V=




0 000
21
OO
rddd

cu A∈Mm, n(ℤ).
Cazul 2. Să presupunem c ă există în prima linie (sau prima coloan ă) a
lui A un element (s ă zicem
01ja, cu 2≤j0≤n) ce nu divide pe a 11. Împărțind pe
01ja la a 11 putem scrie
0 0 0 1 1 11 1 j j j r qa a +⋅= cu 0 <
01jr< a 11.
Adunând la coloana j 0 a matricii A coloana întâi înmul țită cu –
01jqse obține o
matrice B ~A care are în pozi ția (1, j 0) elementul
01jr.
Cum m(B)≤
01jr<a11=m(A), conform ipotezei de induc ție B este
echivalent ă cu o matrice de forma celei din enun ț și atunci și A va avea acelea și
proprietate.∎

OBSERVA ȚIA 6.9. Analizând demonstra ția Lemei 6.8. se observ ă că
matricea diagonal ă cu care A este echivalent ă se obține aplicând asupra lui A un
număr finit de transform ări elementare.

LEMA6.10. Orice matrice unimodular ă U∈GL n(ℤ), este egal ă cu
produsul unui num ăr finit de matrice elementare.
Demonstra ție . Conform Observa ției 6.9. exist ă matricele elementare
R1, …., R s, Q 1, …, Q t a.î.

189
R1 …. R sUQ 1 …Q t =D=




0 000
21
OO
rddd
∈Mm (ℤ).

Cum 1= |det (U) |=det (D), rezult ă că det (D)≠0, deci r=n.
Din d i∈ℕ*, 1≤i≤n și d 1…d n=1 deducem c ă d1=d2=…=d n=1, adic ă
D=I n și atunci U=R 1-1 …. R s-1Qt-1 …Q 1-1. Din ()()l l
−=−
ij ij T T1 și
i i D D=−1 rezultă că și matricile 1−
iR și 1−
jQ sunt elementare, deci U este
produs finit de matrici elementare. ∎

LEMA6.11. Pentru orice a, b ∈ℤ avem 



ba
00
~()
[]




baba
, 00 ,
.
Demonstra ție Fie d=(a, b) și a1, b 1∈ℤ pentru care a=da 1 și b=db 1 .
Conform Corolarului 2.7. de la Capitolul 6, exist ă h, k∈ℤ a.î. d=ha+kb, de unde
1=ha 1+kb 1.
Alegând U=



−1 11 1
ha kb și V=


−
11
akb h
avem că
det (U)=det (V)= ha 1+kb 1=1, adică U, V∈GL 2(ℤ) și cum ab=(a, b) [a, b] ob ținem
că :





ba
00
~U



ba
00
V=()
[]




baba
, 00 ,
.∎

În cele ce urmeaz ă vom prezenta un rezultat important (cunoscut sub
numele de Teorema factorilor invarian ți ).

190TEOREMA 6.12. Fie m, n ∈ℕ, m, n≥2 și A∈M m, n (ℤ). Atunci
există f1, …,f r∈ℕ* cu r≤min {m, n} unic determina ți a.î. f 1|f2|…|fr și

A ~




0 0001
OO
rff
∈M m, n (ℤ).

Demonstra ție . Conform Lemei 6.10. avem

A~




0 0001
OO
rdd
=D cu d i∈ℕ* 1≤i≤r≤min{m, n}
iar D∈Mm, n (ℤ) .
Făcând la nevoie permut ări de linii sau coloane putem presupune c ă
d1≤d2≤…≤dr.
Dacă pentru i<j, d i nu divide d j, atunci conform Lemei 6.11. exist ă
matricile unimodulare U=



wzyx
, V=



tsqp
a.î.

U



ji
dd
00
V=()
[]




j ij i
dddd
, 00 ,
.
Consider ăm acum matricele U ′ de ordin m ce se ob ține din I m punând
pe poziția (i, i) pe x, pe pozi ția (j, j) pe w, pe pozi ția (i, j) pe y iar pe pozi ția (j, i)

191pe z și matricea V′ de ordin n ce se ob ține din I n punând pe pozi ția (i, i) pe p, pe
poziția (j, j) pe t, pe pozi ția (i, j) pe q iar pe pozi ția (j, i) pe s.
În mod evident, U ′∈GL m(ℤ), V′∈GL n(ℤ) iar matricea U′DV′ se obține
din D înlocuind pe d i cu (d i , dj ) iar pe d j cu [d i , dj ] .
Dacă d1|dj , 2≤j≤r atunci se define ște f 1=d1. Dacă există j≥2 a.î. d 1∤dj
atunci d 1 se înlocuie ște cu (d 1, d2 ), iar d j cu [d 1, dj ] și observăm că în acest caz
(d1, d2) < d 1 și (d 1, d2) | [d 1, d2 ]. După un număr finit de pa și se ajunge la

A ~




′′′
0 000
21
OO
rddd

cu jdd′′1cu 2≤j≤r și se ia f 1=1d′. Dacă jdd′′2, 3≤j≤r atunci vom lua f 2=2d′.
În caz contrar, se aplic ă procedeul de mai înainte ș.a.m.d.. Astfel, dup ă un număr
finit de pa și se obține o matrice de forma celei din enun ț echivalent ă cu A.
S ă arătăm acum unicitatea numerelor r, f 1, f2, …, f r .
Pentru matricea A prin Δi(A) vom nota cel mai mare divizor comun al
minorilor de ordin i al matricei A.
Atunci dac ă A~B în mod evident Δi (A)=Δi (B), i=1, 2, …, n iar pentru

matricea D=




0 0001
OO
rff
cu f 1|f2|…|fr , avem
Δ1(D)=f 1, Δ2(D)=f 1f2, ……..,Δr(D)=f 1f2…f r iar Δi(D)=0, pentru r≤i≤min {m, n} .
Cu aceasta teorema este complet demonstrat ă. ∎

192
DEFINI ȚIA 6.13. Dac ă A∈Mm,n(ℤ), atunci matricea unic
determinat ă

B=




0 0001
OO
rff
∈M m, n (ℤ), cu f 1|f2|…|fr a.î. A ~B se
numește forma diagonal canonic ă a lui A. Numerele f 1, …, f r >1 se zic
factorii invarian ți ai lui A.
Exemplul [14] Să găsim forma diagonal canonic ă a matricei
A=




−− −−
14 24 2 126 12068 12 26
.
Înmulțind pe rând la dreapta matricea A cu matricile P 12, T12(-3), T 13(6),
T14(-4) de ordin 4 și apoi la stânga cu matricea T 31(-1) de ordin 3, se ob ține
matricea B=T 31(-1) A P 12 T 12(-3) T 13(6) T 14(-4)=




−− −
6 12 606 126 00 0 02
.
Înmulțind la stânga matricea B cu matricea D 2 de ordin 3, apoi pe rând la dreapta
cu matricile T 23(2), T 24(-1) de ordin 4 și în sfârșit la stânga cu matricea T 32(-1)
de ordin 3 se ob ține matricea D=T 32(-1) D 2 B T 23(2) T 24(-1)=




000000600002

ce reprezint ă forma diagonal canonic ă a matricei A, 2 și 6 fiind factorii invarian ți
ai acesteia.

193Fie U=T 32(-1) D 2 T31(-1)=




−−
11101 000 1
și
V=P 12 T12(-3) T 13(6) T 14(-4) T 23(2) T 24(-1)=




− −−
100001001 03 11 210
.
Avem U∈GL 3(ℤ), V∈GL 4(ℤ) și UAV=




000000600002
.

Cu ajutorul celor stabilite anterior vom studia în continuare sistemele
liniare de m ecua ții cu n necunoscute:
(S)



= ++= ++= ++
m n mn mn nn n
b Xa Xab Xa Xab Xa Xa
…………. ………. ………. …………….
1 12 2 1 211 1 1 11

cu coeficien ții a ij , b j ∈ℤ, 1≤i≤m, 1≤j≤n.
Prin soluție întreag ă a lui (S) înțelegem un n-uplu ( λ1, …λn)∈ℤ n a.î.
in
jj ij b a=∑
=1l
pentru orice 1≤i≤m.
Dacă notăm A=




mn mn
a aa a
LM ML
11 11
, b=




mbb
M1
și X=




nXX
M1
atunci
sistemul (S) se scrie matricial sub forma AX= b.

194DEFINI ȚIA 6.14. Dac ă U∈GL n(ℤ), U=()
njmiiju
≤≤≤≤
11 atunci
transformarea X i=∑
=n
jjijYu
1, 1≤i≤n ( sau matriceal X=UY) se nume ște
substitu ție întreag ă unimodular ă , unde Y=




nYY
M1
.
PROPOZI ȚIA 6.15. Fie U∈GL n(ℤ), U=()
njmiiju
≤≤≤≤
11 și numerele reale
αi, βi cu 1≤i≤n a.î. βi=∑
=n
jj iju
1a
, 1≤i≤n.
Atunci βi∈ℤ pentru 1≤i≤n dac ă și numai dac ă αj∈ℤ pentru
1≤j≤n. Mai mult, ( β1, …βn ) este solu ție întreag ă a sistemului (S) dac ă și
numai dac ă ( α1, …αn ) este solu ție întreag ă a sistemului (AU)Y=b.
Demonstra ție O implica ție este evident ă.
Să presupunem acum c ă βi∈ℤ pentru 1≤i≤n și fie V∈GL n(ℤ) a.î.
VU=UV=I n. Atunci




=




=




=




∑∑
==
n
ii nin
iii
n n n vv
V VU
1111 1 1
bb
bb
aa
aa
M M M M de unde
deducem c ă αi∈ℤ pentru 1≤i≤n. Ultima afirma ție este evident ă. ∎

LEMA 6.16. Dacă a1, …a n∈ℤ, atunci exist ă U∈GL n(ℤ) a.î.
( a1, …, a n ) U = (d, 0, …, 0), unde d=( a 1, a2, …a n ).
Demonstra ție Facem induc ție matematic ă după n și să arătăm la început
că lema este adev ărată pentru n=2.
Dacă d=(a 1 , a 2 ), atunci 1 1 ad a ′= și 2 2 ad a ′= cu 2 1,aa′′∈ℤ iar
(2 1,aa′′ )=1, de unde deducem c ă există h, k∈ℤ a.î. 12 1 =′+′akah și fie
U= 



′′−
12
a ka h
. (cum det (U)= 12 1 =′+′akah deducem c ă U∈GL 2(ℤ)).

195 Avem c ă (a1, a2 ) U= ( ha 1 +ka 2 , 12 21 aa aa ′+′− ) = (d, 0).
Fie n>2 și să presupunem c ă lema este adev ărată pentru n-1. Atunci
există V1∈GL n-1(ℤ) a.î. ( a 2, …,a n ) V 1 = (d 1, 0, …0 ), unde d 1=(a 2 , a 3, …a n)
astfel că dacă notăm V=



1 001
V∈GL n(ℤ) avem
( a 1, …,a n ) V=(a 1, d 1, 0, …0).
Conform cazului n=2 exist ă W 1∈GL 2(ℤ) a.î. (a 1, d1)W 1=(d 1, 0), unde
d=(a 1, d1).
Dacă alegem W=




1 0101
OW
∈GL n(ℤ) atunci W∈GL n(ℤ) și
(a1, …,a n ) U=(d, 0, …0), unde U=VW ( se observ ă că d=(a 1, …,a n )).∎

Să consider ăm acum ecua ția
(⋆) a1X1+….+a nXn=b, cu a 1, …,a n, b∈ℤ.
Pentru n=2 am ar ătat în §1 de la Capitolul 12, în ce condi ții aceast ă
ecuație are solu ții întregi și felul în care acestea se g ăsesc. În cele ce urmeaz ă
vom face acela și lucru cu ecua ția (⋆) pentru n≥2 (prezentând deci o
generalizare a Lemelor 1.1 și 1.2 de la Capitolul 12).
TEOREMA 6.17. Ecua ția (⋆) cu coeficien ți întregi admite solu ții
întregi dac ă și numai dac ă d| (a 1, …,a n) . Dac ă U∈GL n(ℤ), U=()nji iju≤≤,1
este a.î. (a 1, …,a n)U=(d, 0, …0), (conform Lemei 6.16.) atunci ( )0 0
1,…,nx x cu
dbu xi i⋅=10, 1≤i≤n este solu ție întreag ă particular ă a ecua ției (⋆). Soluția
general ă din ℤ a ecua ției (⋆) va fi de forma (x 1, …x n) cu
∑
=+=n
jjij i i tu x x
20 , tj∈ℤ, 1≤i≤n.
Demonstra ție Dacă U∈GL n(ℤ) ca în enun ț, atunci f ăcând substitu ția
întreagă unimodular ă X=UY ob ținem (d, 0, …, 0)Y=b. Atunci deducem c ă
această ultimă ecuație are solu ție întreag ă dacă și numai dac ă d|b iar o solu ție

196întreagă particular ă a acesteia este 

0,….0,db, soluția general ă fiind de forma



nttdb,…,2cu t j∈ℤ, 2≤j≤n arbitrare. Conform Propozi ției 6.15. ob ținem că




=




=




dbudbudb
U
xx
n
n111
00
1
00M
MM este solu ția întreag ă particular ă a
ecuației (⋆) iar dacă (x1, …x n) este solu ția întreag ă oarecare a lui ( ⋆) , atunci





++
=




=




∑∑
==
n
jjnjnn
jjj
nn tudbutudbu
ttdb
U
xx
212111
21
M
MM adică jn
jij i i tu x x ∑
=+=
20, 1≤j≤n. ∎

OBSERVA ȚII 1. Când d |b, descrierea solu țiilor întregi ale ecua ției (⋆)
din enun țul teoremei precedente se face cu ajutorul matricei unimodulare U.
Calculul lui U se face folosind de n-1 ori algoritmul lui Euclid extins.
Într-adev ăr, într-o prim ă etapă cu ajutorul acestui algoritm determin ăm
succesiv :
d 1=(a n-1, an), h 1an-1+k1an=d1
d2=(a n-2, d1 ), h 2an-2+k2d1=d2
……………………………..
d=d n-1=(a 2, dn-2 ), h n-1an-1+k1dn-2=dn-1=d
și atunci avem

197U=




′−−
−1 11010 1
nn
a ka hO




′′−
−
1 010 1
1 21 2
nakd hO
……
….




′′−
−− −
1 010
1 11 1
Oa kd h
nn n
unde n n ad a ′=1, 1 1 1 − −′=n n ad a ,
12 1 dd d ′= , 2 2 2 − −′=n n ad a , etc.
2. Când n=2 ob ținem rezultatele de la §1, Capitolul 12.

LEMA 6.18. Fie n≥2 și A=()ija∈Mn(ℤ) a.î. Δ=det (A) > 0. Atunci
există U∈GL n(ℤ) a.î.

AU=




nn n n c c cc cc
LLL
2 122 1211
…. …. …. ….00 0
unde c i i >0, 1≤i≤n și 0≤ci 1, ci 2, …, c i, i-1< c i i ,
1≤i≤n.
Demonstra ție Fie c 11=(a 11, a12, …a 1n). Conform Lemei 6.16. exist ă
U1∈GL n(ℤ) a.î. (a 11, a12, …, a 1n) U 1 =(c 11, 0, …,0)

198 și deci AU 1=




′ ′′′ ′′
nn n nn
a a aa a ac
LLL
2 12 22 2111
…. …. …. ….0 0
unde ija′∈ℤ. Aplicând din nou aceia și
lemă găsim V∈GL n-1(ℤ) a.î. (a′22, a′23, …,a′2n) V =(c 22, 0, …,0) unde
c22=(a′22, a′23, …,a′2n). Punând U 2=



V001
avem U 2∈GL n(ℤ) și se obține
AU 1U2=




′′ ′′′′′′′′ ′′′′′′′′
nn n n nn
a a a aa a a ac ac
…….. …. …. …. …….0 ….00 ….0 0
3 2 13 33 32 3122 2111
.
Dacă 0≤21a′′<c22 luăm c 21=21a′′, în caz contrar scriem
21 21 22 21 r qc a + =′′ cu 0≤r21<c22 . Atunci
AU 1U2T21(-q21)=




…….. …. ….0 ….0 ….0
22 2111
c rc
și alegem c 21=r21. Continuând
se găsește matricea U=U 1U2…..∈GL n(ℤ) a.î. matricea AU este de forma celei
din enun ț. ∎

TEOREMA 6.19 . Fie un sistem de de n ecua ții liniare cu n
necnoscute (S 1) ∑
==n
ji j ij b Xa
1, 1≤i≤n a.î. a ij, bi∈ℤ și det (A) > 0 (A fiind
matricea A= ()nji ija≤≤,1).
Atunci sistemul (S 1) admite solu ție întreag ă dacă și numai dac ă
congruen țele (C) ()
mb Xan
ji j ij∑
=≡
1, 1≤i≤n au solu ție întreag ă pentru
orice m∈ℤ a.î. 0<m≤Δ.

199Demonstra ție. Implicația de la stînga la dreapta este evident ă.
Să presupunem acum c ă ( C ) are solu ție pentru orice 0<m ≤Δ. Scriem
pe (C) sub form ă matricial ă astfel AX≡b (m), 0<m≤Δ.
Dacă X=UY este o substitu ție întreag ă unimodular ă , atunci
(AU)Y≡b (m), 0<m≤Δ. Alegând U∈GL n(ℤ) dată de Lema 6.16. sistemul (S 1)
devine



= ++ += +=
. ………… ………. ……….
22 112 2 22 1211 111
n n nn n n b Yc YcYcb YcYcb Yc

Evident Δ=c11c22…c n n , deci 0<c 11c22…c ii ≤Δ, 1≤i≤n.
Cum 0<c 11≤Δ, congruen ța c11Y1=b1 (c11) are solu ție, deci exist ă h, k∈ℤ
a.î. c 11h=b 1+kc 11 , de unde c 11α1=b1 cu α1=h-k.
Adunând ecua ția c 11Y1=b1 (înmul țită cu –c 21) cu ecua ția c 12Y1+c22Y2=
=b2 (înmulțită cu c 11) se obține c 11c22Y2 =- c 21b1+c11b2 .
Conform ipotezei, congruen ța c11c22Y2 ≡ c21b1+c11b2 (c11c22) are solu ție,
deci exist ă h′, k′ ∈ℤ a.î. c 11c22 h′ = – c 21c11α1+c11b2 +k′c11c22.
Simplificând cu c 11≠0, obținem c 21α1+c22α2 =b 2, unde α2=h′-k′∈ℤ.
Analog, din primele trei ecua ții în Y 1, Y 2, Y 3 obținem
c11c22 c33Y3 =c 11c22b3 – c31 c22b1 – c11c22b1-c11 c32b2 +c21c32b1.
Înlocuind b 1= c 11α1 , b 2 =c21α1+c22α2 și pornind de la condi ția ca aceast ă
ultimă ecuație să fie solubil ă modulo c 11 c22c33 , găsim α3∈ℤ a.î.
c 31α1+c32α2 +c 33α3=b3 .
Continuând în acela și mod g ăsim o solu ție întreag ă (α1, α2, …, αn) a
sistemului AUY=b și atunci ( β1, β2, …, βn), unde ∑
==n
jj ij i u
1a b
, 1≤i≤n
este o solu ție întreag ă a sistemului (S 1) AX=b. ∎

Observație Cum ℤm-urile sunt finite rezult ă din teorema de mai sus c ă
putem stabili printr-un num ăr finit de încerc ări dacă sistemul (S 1) are sau nu
soluții întregi.

Teorema urm ătoare solu ționează cazul sistemelor omogene.

200TEOREMA 6.20. Sistemul de ecua ții liniare
(S2) ∑
==n
jj ijXa
10, 1≤i≤m cu a ij∈ℤ, (m<n) admite o solu ție
întreag ă netrivial ă (x 1, …x n) ce satisface condi ția ()
mn
m j a aa x− ≤1
21…. ,
1≤j≤n, unde ∑
==n
jij i a a
1, 1≤i≤m.
Demonstra ție Fie L i(X1, …X n)=∑
=n
jj ijXa
1, 1≤i≤m, b i=∑
>0ijaija,
∑
<=−
0ijaij i a c , 1≤i≤m.
Atunci a i=bi+ci cu 1≤i≤m și fie a∈ℕ. Dacă 0≤αj≤a cu 1≤j≤n,
atunci
( ) ab Laci n i i ≤ ≤− a a
,…,1, 1≤i≤m,
deci L i(α1, …αn) ia cel mult a i a +1 valori întregi.
Alegând ()[ ]nm
maa a− =1
1… (partea întreag ă!) atunci
a >()
mn
ma aa−1
21…. -1, de unde
()() ()()1 ….1 … 1 11 1 + +> +>+ aa aa aa a am mm n.
Deducem c ă există (α′1, …,α′n)≠ (α′′1, …,α′′n ) cu 0≤α′i, α′′i ≤a a.î.
Li (α′1, …α′n )= L i (α′′1, …α′′n ), 1≤i≤n.
Alegând x i=α′i-α′′i , 1≤i≤n, avem c ă Li (x 1, …x n)=0, 1≤i≤m și
( )mn
m j a aa x− ≤1
21…. , 1≤j≤m. Mai mult, (x 1, …x n)≠(0, …0) și astfel
teorema este demonstrat ă. ∎

Cu ajutorul formei diagonal canonice a matricelor din M m, n (ℤ) putem
acum solu ționa problema existen ței și descrierii solu țiilor întregi ale unui sistem
de m ecua ții liniare cu n necunoscute cu coeficien ți întregi.

201TEOREMA 6.21. Fie sistemul de m ecua ții liniare în n necunoscute
cu coeficien ți întregi (S) ∑
==n
ji j ij b Xa
1, 1≤i≤n .
Dacă A=()
njmiija
≤≤≤≤
11∈M m, n (ℤ) și U∈GL m(ℤ), V∈GL n(ℤ), U=(u ij),

V=(v ij) sunt a.î. UAV=




0 0001
OO
rff
(vezi Teorema
6.12.), atunci condi ția necesar ă și suficient ă ca (S) s ă aibă soluții întregi este
ca ∑
=m
jj kj k bu f
1, 1≤k≤r și ∑
==m
jjijbu
10, r<j≤min {m, n}.
În aceste condi ții ()0 0
1,…nx x , unde ∑
==mr
jk kj kj ik
ifbuvx,
1,0, 1≤i≤n, este
o solu ție întreag ă a sistemului (S). Mai mult, un sistem (x 1, …x n) de numere
întregi este solu ție a lui (S) dac ă și numai dac ă
∑
+=+=n
rkkik i i tv x x
10, tk∈ℤ, 1≤i≤n.
Demonstra ție Scriem sistemul (S) sub form ă matricial ă AX= b. Cum
UAVV-1X=Ub, notând Y=V-1X avem (S′) DY=UL unde
D=




0 0001
OO
rff
.

202Deducem c ă ∑
==m
jj jk kk bu Yf
1, 1≤k≤r și ∑=j kjbu 0 , r < k≤
≤min {m, n}. Este clar c ă DY=Ub admite solu ție întreag ă dacă și numai dac ă
∑
=m
jj kj k bu f
1, 1≤k≤r și o soluție particular ă a sistemului (S ′) este:



∑∑
==m
jm
j rjrj jj
fbu
fbu
11 110,…,0, ,….,
iar soluția general ă a sistemului (S ′) este :




∑∑
==+m
jm
jn r
rjrj jjt tfbu
fbu
111
11,…,, ,…., cu t r+1, …, t n arbitrari din ℤ.
Cum X=VY deducem c ă soluțiile sistemului (S) sunt cele din enun ț. ∎

Exemplu Să consider ăm sistemul :
(⋆)



−= + −+=− +−=+ −+
.8 14 24 2 1218 6 12 610 8 12 2 6
4 3 2 14 3 14 3 2 1
X X X XX X XX X X X

Avem A=




−− −−
14 24 2 126 12068 12 26
.
După exemplul de la Teorema 6.12. avem c ă UAV=




000000600002
,
unde U=




−−
11101 000 1
, V=




− −−
100001001 03 11 210
.
Avem r=2, f 1=2, f 2=6.

203Din =∑
=4
11
jjjbu 10 și 2|10 , unde 2=f 1
=∑
=3
12
jjjbu -18 și 6|-18 , unde 6=f 2
=∑
=3
13
jjjbu 0
rezultă că sistemul (⋆) are solu ție în numere întregi (conform Teoremei 6.21.).
Urmând algoritmul dat de Teorema 6.21., deducem c ă o soluție particular ă a lui
(⋆) este ( )0
40
30
20
1 ,,, xxxx =( -3, 14, 0, 0) iar solu ția general ă este:
x1= -3+2t 3 – t4
x2=14 – t 4
x3=t3
x4=t4 , cu t 3, t4∈ℤ arbitrare.

Observație Acest paragraf a fost redactat în cea mai mare parte dup ă
lucrarea [ 14].

CAPITOLUL 13:
PUNCTE LATICIALE ÎN PLAN ȘI SPA ȚIU

§1.Puncte laticiale în plan

S ă consider ăm planul euclidian ℰ raportat la un sistem ortogonal de axe
de coordonate.

DEFINI ȚIA 1.1. Un punct M de coordonate (a, b) din planul
euclidian ℰ se zice punct laticial dacă a, bÎℤ.

TEOREMA 1.2. (Steinhaus-Sierpinski) Pentru fiecare num ăr nÎℕ*
există în planul euclidian ℰ un cerc ce con ține în interiorul s ău exact n
puncte laticiale.

204 Demonstra ție Să consider ăm în ℰ punctul C de coordonate ( 2, 1/3) și
să demonstr ăm că dacă M(a, b) și N(c, d) sunt dou ă puncte laticiale din ℰ ce au
aceeași distanță la punctul C, atunci M ≡N.
Într-adev ăr, dacă CM≡CN, atunci:
(a- 2)2 + (b-31)2 = (c- 2)2 + (d -31)2 ⇔ 2(c-a) 2=c2 + d2 – a2 – b2 +32 (b-d),
de unde a=c și c2 + d2 – a2 – b2 +32 (b-d) = 0 ⇔ (d-b)(d+b-32)=0 și cum b, d ∈ℤ,
d + b -31 ≠ 0, ceea ce implic ă b=d, adic ă M≡N. ∎
Ținând cont de observa ția de mai înainte, punctele laticiale din ℰ pot fi
ordonate în func ție de distan țele lor la C( 2, 1/3).
Fie deci M 1 punctul laticial a c ărui distan ță d1 la C este cea mai mic ă,
M2 următorul (adic ă acel punct pentru care distan ța d 2 de la M 2 la C este cel mai
apropiat num ăr natural fa ță de d 1) ș.a.m.d.
Ob ținem astfel șirul M 1, M 2,… de puncte laticiale cu proprietatea c ă
dacă notăm prin d i distanța de la M i la C, i=1, 2,… , atunci d 1<d2<d3<….
Atunci cercul cu centru în punctul C și de rază dn+1 conține în interiorul
său doar punctele laticiale M 1, M 2, …, M n ce sunt în num ăr de n și astfel teorema
este demonstrat ă. ∎
Observație Există un rezultat datorat lui Hugo Steinhaus potrivit c ăruia
pentru fiecare num ăr natural n ∈ℕ există un cerc de arie n ce con ține în interiorul
său exact n puncte laticiale.

TEOREMA 1.3. (A. Schinzel) Pentru orice num ăr natural n Îℕ
există în ℰ un cerc ce con ține pe circumferin ța sa exact n puncte laticiale.
Demonstra ție Dacă n este par, adic ă n=2k cu k ∈ℕ, vom demonstra c ă
cercul de centru (1/2, 0) și rază 21·5(k-1)/2 conține pe circumferin ța sa exact n
puncte laticiale, pe când atunci când n este impar, adic ă n=2k+1 cu k ∈ℕ, cercul

205de centru (1/3, 0) și rază 31·5k conține pe circumferin ța sa exact n puncte
laticiale.
Pentru aceasta vom apela la Teorema 1.7. de la Capitolul 11 potrivit
căreia num ărul total de perechi (x, y) din ℤ×ℤ pentru care x2+y2=n este egal cu
4(d 1(n)-d 2(n)), unde d 1(n) este num ărul divizorilor lui n de forma 4t+1 iar d 2(n)
este num ărul divizorilor primi de forma 4t+3. (atunci când num ărăm perechile
(x, y) facem distinc ție între (x, y) și (y, x) pentru x ≠y).
Cazul 1 : n=2k cu k ∈ℕ. Să consider ăm ecuația (1) x2 + y2 = 5k-1. Toți
divizorii lui 5k-1 sunt puteri ale lui 5, deci to ți acești divizori sunt de forma 4t+1.
Cum num ărul acestor divizori este k deducem c ă d1(5k-1)=k iar cum d 2(5k-1)=0
atunci num ărul perechilor (x, y) ∈ℤ×ℤ pentru care x2 + y2=5k-1 este 4(k-0)=4k.
Cum 5k-1 este impar trebuie ca x sau y s ă fie impar.
Cercul de circumferin ță C1(1/2, 0) și rază 21·5(k-1)/2 are ecua ția:
(α-21)2 + β2 = 41·5k-1 ⇔ (2α-1)2 + 4β2 = 5k-1 ⇔ (2α-1)2 + (2β)2 = 5k-1. (2)
Deci un punct M( α, β) se află pe circumferin ța cercului C 1 dacă și
numai dac ă coordonatele sale ( α, β) verifică (2).
Se observ ă că dacă M(α, β) se află pe cercul C nu rezult ă că și M(β, α)
se află pe C 1.
Astfel, num ărul punctelor M( α, β) de pe cercul C 1 cu (α, β)∈ℤ este egal
cu numărul perechilor ordonate ( α, β)∈ℤ ce verific ă ecuația (2).
Se observ ă că ecuația (2) este de tipul (1), astfel c ă numărul soluțiilor
(α, β)∈ℤ ale lui (2) este egal cu num ărul soluțiilor ordonate (x, y) ∈ℤ ce verific ă
(1), adic ă cu 4k/2=2k=n.
Cazul 2 : n=2k+1. Analog ca în cazul 1, dac ă vom considera ecua ția (3)
x2+y2=52k, numărul perechilor (x, y) ∈ℤ ce verific ă (3) este egal cu :
4[d 1(52k)-d2(52k)] =4[(2k+1)-0]=8k+4.
S ă observăm acum c ă punctul M( α, β) se află pe circumferin ța cercului
C2(1/3, 0) și rază 31·5k ⇔ (α-31)2 + β2 = 91·52k ⇔ (4) (3α-1)2 + β2 = 52k.
Astfel num ărul de puncte laticiale M( α, β) de pe C 2 este egal cu
numărul soluțiilor ordonate (x, y) ∈ℤ ale ecua ției (3) cu x=3 α-1 si y=3 β. Pentru a
determina num ărul acesta, s ă împărțim cele 8k+4 solu ții din ℤ ale lui (3) în 8
familii:
(x, y), (x,-y), (-x, y), (-x,-y), (y, x), (y, -x) (-y, x), (-y, -x).

206 Dac ă de exemplu x=0 atunci familia se reduce la 4 solu ții:
(0, y), (0,-y), (y, 0), (-y, 0). De asemenea, dac ă x=y exist ă numai 4 solu ții în
familia de mai sus: (x, x), (-x, x), (x, -x), (-x, -x). (cum 52k este impar aceast ă
posibilitate este exclus ă ).
Solu țiile lui (3) cu o component ă nulă sunt: (0, 5k), (0, -5k), (5k, 0) și
(-5k,0).
În consecin ță, familia celor 8k+4 solu ții se împarte în k familii de 8
soluții și o familie de 4 solu ții.
Observ ăm de asemenea c ă ecuația (4) este de tipul (3) (cu x ≡ -1(3) și
y ≡ 0(3) ) și că 52k = 25k ≡ 1k ≡ 1(3). Deoarece p ătratul unui num ăr întreg este
congruent cu 0 sau 1 modulo 3, dac ă (x, y)∈ℤ și x2+y2=52k atunci trebuie ca unul
dintre x2 sau y2 să fie congruent cu 1 iar cel ălalt cu 0 modulo 3.
Fie x și –x termenii din familia celor 8 solu ții ce sunt divizibili prin 3. În
acest caz y sau –y este congruent cu –1 modulo 3. S ă presupunem c ă y ≡ -1(3).
Atunci numai cele 2 solu ții (y, x) și (y, -x) au primul termen congruent cu –1
modulo 3 și pe al doilea congruent cu 0 modulo 3 (observ ăm că în familia celor 4
soluții, (-5k, 0) sau (5k, 0) este de tipul de mai înainte ).
În concluzie, fiecare din cele k familii de 8 solu ții (x, y) ale lui (3)
conțin exact 2 solu ții ale lui (4) și o singur ă familie din cele 4 solu ții ale lui (3)
conține o singur ă soluție a lui (4). Ob ținem în total 2k+1=n solu ții pentru (4),
astfel că pe cercul C 2 se află exact 2k+1=n puncte laticiale. ∎

TEOREMA 1.4.(G. Browkin) Pentru orice num ăr natural n Îℕ,
există în ℰ un pătrat ce con ține în interiorul s ău exact n puncte laticiale.
Demonstra ție Vom încerca s ă ,,ordonăm” punctele laticiale din ℰ într-un
șir P 1, P2,… Pentru aceasta vom utiliza func ția f : ℤ×ℤ→ℝ+,
f(x, y)=
313313 −− +−+ y x yx , pentru orice (x, y) ∈ℤ×ℤ.
S ă arătăm la început c ă dacă (a, b), (c, d) ∈ℤ×ℤ și f(a, b)=f(c, d), atunci
(a, b)=(c, d), adic ă a=c și b=d.
Într-adev ăr, egalitatea f(a, b)=f(c, d) este echivalent ă cu :
=−− +−+ )
313()313 ( b aq bap )
313()313 ( −− +−+ d cs dcr
cu p, q, r, s ∈{±1}.

207 Ținând cont c ă 3 este num ăr irațional și că o egalitate de forma
x+y 3=x′+y′3 cu (x, y), (x′ y′)∈ℤ×ℤ implică x=x′ și y=y′, din (1)
deducem c ă :
pa-qb-rc+sd+3pr−=0 și (2)
rd+sc-pb-qa+3sq−=0
Din (2) deducem cu necesitate c ă 3,3sqpr −−∈ℤ, lucru posibil doar
pentru r = p și q = s, astfel c ă (2) capătă forma echivalent ă:

(3) p(a-c)+q(d-b)=0

p(d-b)+q(c-a)=0

Multiplicând prima egalitate din (3) cu p și pe a doua cu q și
scăzându-le, ob ținem egalitatea (a-c)(p2+q2)=0 ⇔ 2(a-c)=0 ⇔ a=c. Deducem
atunci și că b=d.
S ă vedem ce interpretare geometric ă are f.
Pentru aceasta consider ăm în ℰ dreptele d și d′ de ecuații:
( d) : 313−+yx =0
( d′):
313−−y x =0
Evident, d ⊥ d′ și (d) ∩ (d′)={(1/3, 0)}.

208

P(x, y)

(d) . (d′
)
Q
. S

O · x
R(31,0)
Fig. 3

Ținând cont de formula ce d ă distanța unui punct P(x, y) la ( d) și
respectiv ( d′), deducem imediat c ă f(x, y)=2PQ+2PS, adic ă f(x, y) este
perimetrul dreptunghiului PQRS din figura 3 de mai sus.
G ăsim atunci un punct laticial P 1(x1, y1) în apropierea lui R pentru care
f(x1, y1) este cea mai mic ă valoare a lui f(x, y) (când x, y ∈ℤ). Conform celor
stabilite la început punctul P 1 este unic.
În felul acesta putem ordona punctele laticiale într-un șir P 1,P2,….
(scriind c ă Pi(xi, yi) < P i+1(xi+1, yi+1) ⇔fi(xi, yi) < f i+1(xi+1, yi+1)).

Dac ă Pn(xn, yn) este a n-lea punct laticial în aceast ă ordonare, s ă notăm
an=f(x n, yn), iar h(x, y)=x(1+ 3)+y( 3-1)- 31-
31
g(x, y)=x(1- 3)+y(1+ 3)-31+
31
S ă consider ăm acum cele 4 drepte : h(x, y) = ±an+1 și g(x, y) = ±an+1; se
verifică imediat c ă cele 4 drepte formeaz ă un pătrat.

209

1+=nag
y 1+−=na g

·P(x, y) 1+=nah
1+−=na h

O x
Fig. 4

Dacă avem un punct laticial P(x, y) atunci -a n+1<h(x, y)<a n+1 ⇔
|h(x, y) |<an+1, adică P se g ăsește între dreptele de ecua ție h(x, y)=a n+1 și
h(x, y)= -a n+1 și reciproc.
Similar, se deduce c ă punctul P(x,y) se afl ă între dreptele de ecua ții
g(x, y)=a n+1 și g(x, y)=-a n+1 ⇔ |g(x, y)|<an+1.
Astfel punctul P(x, y) se afl ă în interiorul p ătratului din figura 4 ⇔
|h(x, y)|<an+1 și |g(x, y)|<an+1.
Îns ă se verific ă imediat c ă pentru numerele reale a, b, c:
|a|<c și |b|<c ⇔ |2ba+|+|2ba−|<c și astfel :
|h(x, y)|<an+1
și

2),( ),(
2),( ),( yxgyxh yxgyxh −++<an+1 ⇔ f(x, y)<a n+1,
|g(x, y)|<an+1
adică punctul laticial P(x, y) se afl ă în interiorul p ătratului din Fig. 4 dac ă și
numai dac ă f(x, y)<a n+1.
Atunci în interiorul p ătratului din figur ă sunt exact punctele laticiale
P1, P2,…,P n, ce sunt în num ăr de n. ∎

TEOREMA 1.5. (Pick) Fie P un poligon convex în plan care con ține
m puncte laticiale în interiorul s ău, k puncte laticiale pe laturi sau vârfuri și
vârfurile sale sunt puncte laticiale.

210 Atunci Aria(P)=m+2k-1.
Demonstra ție Să demonstr ăm formula la început pentru cazul m=0, k=3
(aceasta exprim ă faptul c ă P este un triunghi cu vârfurile în nodurile re țelei și
care nu mai con ține alte noduri pe laturi sau în interior). Atunci S=1/2 (vezi
figura 5)

A

B C

Fig. 5

S ă trecem acum la cazul general.
Descompunem poligonul P în triunghiuri cu vârfurile în puncte laticiale
și care nu mai con țin puncte laticiale pe laturi sau în interior.
Vom calcula num ărul n de triunghiuri de mai sus în dou ă moduri
exprimând în dou ă moduri suma unghiurilor lor.
Pe de alt ă parte suma unghiurilor lor este o180 · n iar pe de alt ă parte
suma unghiurilor lor este egal ă cu suma unghiurilor poligonului și a unghiurilor
din jurul punctelor interioare, adic ă o180 ·(k-2)+ o360 ·m.
Deci o180 ·n=o180 ·(k-2)+ o360 ·m, de unde n=2m+k-2 și cum S=n/2
deducem c ă S= m+2k-1. ∎
Observații 1. Teorema lui Pick este valabil ă și pentru poligoane
oarecare (nu neap ărat convexe), îns ă demonstra ția ei este diferit ă de cazul
convex.
Pentru aceasta vom considera dou ă poligoane Q 1 și Q 2 care au toate
vârfurile în puncte laticiale și care sunt adiacente prin una din laturile comune
AB (vezi figura 6).

211

A B

Fig. 6
Să presupunem cunoscut c ă formula S= m+2k-1 este adev ărată pentru
amândou ă aceste poligoane ; vom demonstra c ă în acest caz, formula va fi
adevărată și pentru poligonul mai mare Q, ob ținut prin reuniunea lui Q 1 și Q 2.
Într-adev ăr, fie S 1, m 1 și k 1 – aria, num ărul punctelor laticiale din
interiorul poligonului și numărul punctelor laticiale de pe frontiera lui Q 1, iar S 2,
m2 și k2-numerele corespunz ătoare pentru poligonul Q 2.
Conform ipotezei avem S 1=m 1+21k-1 și S2=m 2+22k-1.
Vom nota cu k′ numărul nodurilor re țelei de p ătrate situate pe
segmentul AB, care con ține punctele A și B. Pentru poligonul Q, aria sa S,
numărul m de puncte laticiale din interiorul s ău și numărul k de puncte laticiale
de pe frontiera sa vor fi exprimate cu ajutorul lui m 1, m 2, k1, k2 și k′ astfel:
S=S 1+S2, m=m 1+m 2+(k′-2) (la punctele laticiale interioare se vor ad ăuga toate
punctele laticiale situate pe AB cu excep ția lui A și B) și k=(k 1-k′)+(k 2-k′)+ 2
( în ultimul termen +2 figureaz ă nodurile A și B ). Deci:
S=S 1+S2= m 1+21k-1+ m 2+22k-1=(m 1+m 2+k′-2)+ 22 22 1+′−+ k kk-1=m+2k-1.
Formula de demonstrat la modul general se poate stabili acum inductiv.
2. Merit ă să mai amintim și un rezultat datorat lui Hermann Minkowski
legat de punctele laticiale:

212Dacă un poligon convex simetric fa ță de centrul s ău (care este un punct
laticial ) nu mai con ține în interiorul s ău alte puncte laticiale, atunci aria sa
este < 4 ( ca unitate de arie se consider ă aria unui p ătrat al re țelei).
Nu vom prezenta aici demonstra ția teoremei lui Minkowski deoarece ea
este destul de laborioas ă, dar în esen ță este asem ănătoare cu cea a teoremei lui
Pick. (indic ăm cititorului lucrarea [13]).

Pentru un num ăr natural n fie τ(n)=num ărul de reprezent ări ale lui n ca
sumă de două pătrate de numere naturale (dou ă reprezent ări fiind considerate
diferite dac ă diferă ordinea termenilor )- vezi Teorema 1.7. de la Capitolul 11.
De exemplu : τ(1)=4, τ(2)=4, τ(3)=0, τ(5)=8, τ(6)=0, τ(7)=0, τ(8)=4,
τ(9)=4, τ(10)=8.
Dup ă cum am v ăzut mai înainte orice num ăr prim de forma 4k+1are o
unică reprezentare ca sum ă de două pătrate de numere naturale (dac ă nu ținem
cont de ordinea termenilor ; vezi Propozi ția 1.5. de la Capitolul 11). De aici
deducem c ă dacă p este prim de forma 4k+1, atunci τ(p)=8 (c ăci dacă (a, b) este
o soluție, atunci sunt solu ții și (b, a) ca și (±a, ±b), (±b, ±a) ).
Observ ăm că dacă n=x2+y2 atunci |x|, |y| ≤n, deducem imediat c ă
τ(n)≤4n.
Pentru n ∈ℕ*, fie T(n)= τ(1)+τ(2)+…+ τ(n). Atunci T(n) este num ărul de
soluții din ℤ ale inegalit ăților: 0< x2+y2 ≤ n.
LEMA 1.6 . Pentru orice n Îℕ*, T(n)=4 ∑
=−][
02] [n
kkn .
Demonstra ție Dacă x=0, atunci y2 ≤ n ⇔ |y| ≤n, deci num ărul
numerelor y pentru care 0 < x2+y2 ≤ n este 2[ n].
Dac ă x=k≠0, atunci k2 ≤ n, deci |k| ≤n iar y2 ≤ n-k2, adică
|y| ≤2kn− (deci num ărul y -cilor este 1+2[2kn− ]; am adunat și pe 1
deoarece y=0 trebuie considerat).
Deoarece k ∈{±1, ±2,…, ±[n]} iar semnele ± nu influen țează
valoarea lui k2, obținem că:

T(n)=2[ n]+2∑
=−+][
12] 21[n
kkn =4[ n]+4∑
=−][
12] [n
kkn =4∑
=−][
02] [n
kkn .
Astfel, de exemplu pentru n=100, avem:

213T(100)=
316)46788999910(4])19[]36[]51[]64[]75[]84[]91[]96[]99[])100([4
=+++++++++= ++ + + + + + + + + =

Interpretare geometric ă pentru T(n)

Pentru n ∈ℕ, 1+T(n) reprezint ă numărul de perechi din ℤ2 ce satisface
inegalitatea x2+y2≤n.
Astfel 1+T(n) reprezint ă numărul punctelor laticiale din interiorul
cercului C n de centru (0, 0) și rază n (eventual de pe circumferin ță).
În continuare, la fiecare punct laticial vom asocia un p ătrat ce are
centrul în punctul respectiv, laturile paralele cu axele de coordonate și aria 1
(vezi Fig.7).

y

.

0 x

Fig. 7

Dacă notăm cu P aria acoperit ă de pătratele asociate punctelor laticiale
care nu sunt în afara cercului C n este egal ă cu numărul acestora, adic ă P=1+T(n).
Cercul C 1n de centru (0, 0) și rază n+
21 conține în interior sau pe
circumferin ță toate punctele acoperite de p ătratele asociate punctelor laticiale din
Cn ( aceasta deoarece în mod evident
21 este cea mai mare distan ță posibilă a
unui punct din interiorul p ătratului de arie 1 la centrul p ătratului).
Atunci P ≤ aria (C 1n) ⇔ P ≤ π (n+
21)2.

214 Pe de alt ă parte, dac ă notăm cu C 2n cercul de centru (0, 0) și rază
n-
21, atunci din aria (C 2n) ≤ P deducem c ă π (n-
21)2 ≤ P.
Înlocuind P=1+T(n) deducem c ă π (n-
21)2-1< T(n) < π (n-
21)2-1.
Cum π2<5 și 0<
21π-1<1≤n deducem c ă:
π (n+
21)2-1= π n + π 2n+21π-1< π n + 6 n
și π (n-
21)2-1= π n – π 2n+21π-1> π n – 6 n
de unde π n-6 n<T(n)<π n+6 n ⇔
n nnT 6 )(<−p
iar de aici deducem :

PROPOZI ȚIA 1.7. p
=
∞→nnT
n)(lim .

După cum am v ăzut T(100)=316, deci T(100)/100=3,16. Analog
T(400)=1256, deci T(400)/400=3,14 iar T(1000)/1000=3,148.
Avem astfel posibilitatea de a aproxima pe π considerând valori din ce
în ce mai mari pentru n.

§2. Puncte laticiale în spa țiu

Consider ăm spațiul ℝ3 raportat la un sistem ortogonal de axe 0xyz.
DEFINI ȚIA 2.1. Un punct M(x, y, z) Îℝ3 se zice punct laticial, dac ă
(x, y, z) Îℤ3.
Multe rezultate legate de puncte laticiale din plan au extinderi aproape
imediate la puncte laticiale din spa țiu.

LEMA 2.2. Dacă p, q, r Îℚ și 5 3 2 r q p ++ Îℚ, atunci
p=q=r=0.

215 Demonstra ție Fie 5 3 2 r q p ++ =k∈ℚ. Atunci
5 3 2 rk q p −=+ , de unde 2 2 2 255 2 36 2 2 r kr k q pq p + −=+ + .
Deducem c ă 2 2 2 23 2 5 5 26 2 q p r k kr pq −−+= + ∈ℚ, de unde
2 2 2 23 2 5 2 2 q p r k kr pq −−+== = 0 iar de aici p = q = r = 0. ∎

TEOREMA 2.3. Pentru orice num ăr natural n Îℕ* există în spa țiu
o sferă ce con ține în interiorul s ău exact n puncte laticiale .
Demonstra ție Să arătăm la început c ă sfera de centru ( 5,3,2 ) are
cel mult un punct laticial pe suprafa ța ei.
Într-adev ăr, să presupunem c ă pe suprafa ța sferei cu centrul în punctul
de coordonate ( 5,3,2 ) există două puncte laticiale de coordonate (a, b, c)
respectiv (d, e, f).
Scriind c ă
()()()()()()2 2 2 2 2 25 3 2 5 3 2 −+ −+ −= −+ −+ − f e d c b a
obținem ()()()2 2 2 2 2 252 32 22 c b a f e dcf be ad −−−++=− +− +− ∈ℚ
și atunci conform Lemei 2.2., d-a = e-b = f-c = 0 ⇔a = d, b = e, c = f.
Analog ca în cazul plan (teorema 1.2.) putem ordona punctele laticiale
din spațiu într-un șir crescător M 1, M 2, … în func ție de distan țele d 1, d2, … ale
acestora la punctul de coordonate ( 5,3,2 ). Astfel, sfera cu centrul în
punctul de coordonate ( 5,3,2 ) și rază dn+1 conține în interiorul s ău exact n
puncte laticiale din spa țiu și anume pe M 1, M 2, …, M n . ∎

TEOREMA 2.4. (T. Kulikowski) Pentru orice num ăr natural n Îℕ*
există în spa țiu o sfer ă ce con ține pe suprafa ța sa exact n puncte laticiale.
Demonstra ție Conform Teoremei 1.3. exist ă un cerc în planul 0xy de
ecuație ()()c by ax =−+−2 2 (cu a, b, c ∈ℚ, c>0) ce trece prin exact n puncte
laticiale de coordonate (x, y). Identificând punctele laticiale de coordonate (x, y)
din planul 0xy cu punctele de coordonate (x, y, 0) din spa țiul 0xyz putem trage
concluzia c ă cercul ()()c by ax =−+−2 2 conține exact n puncte laticiale
(x, y, 0) din spa țiu.
Să consider ăm acum sfera cu centrul în punctul de coordonate
(a, b, 2) și de rază 2+c a cărei ecuație în sistemul de axe 0xyz este :

216 (1) ()() ()
2 222 2+= −+−+− c z by ax ⇔
( 2) ()()
c z z by ax =−+−+− 222 2 2
Conform Teoremei lui Schinzel a, b, c ∈ℚ ( putem avea de exemplu
a=
2
1 sau 31 și b=0 iar c p ătratul unui num ăr întreg).
Astfel, dac ă (x, y, z) ∈ℤ3 verifică ecuația (2), atunci cu necesitate z=0 și
atunci ob ținem ()()
c by ax =−+−2 2 ce are numai n solu ții.
Cele n puncte laticiale de pe sfera de ecua ție (1) sunt cele ce se ob țin
intersectând suprafa ța sferică cu planul de ecua ție z=0 (ob ținând astfel cercul de
ecuație (2) ce trece prin exact n puncte laticiale).
În concluzie, sfera de centru (a, b, 2) și rază 2+c trece prin exact n
puncte laticiale din spa țiu de forma (x, y, 0). ∎

Copyright Notice

© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.

Acest articol: FLORENTINA BOBOC DANA PICIU EDITURA UNIVERSITARIA CRAIOVA 1999 2 Referen ți științifici : Prof. univ. dr. Alexandru Dinc ă – Universitatea din… [625918] (ID: 625918)

Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.

FLORENTINA BOBOC DANA PICIU EDITURA UNIVERSITARIA CRAIOVA 1999 2 Referen ți științifici : Prof. univ. dr. Alexandru Dinc ă – Universitatea din… [625918]

Copyright Notice

BAZE DE DATE DE TIP GIS PRIVIND REALIZAREA LUCRĂRILOR DE CADASTRU GENERAL ȘI DE SPECIALITATE ÎN EXTRAVILANUL LOCALITĂȚII RUSU BÂRGĂULUI, COMUNA… [303370]

OSTEOINTEGRAREA IMPLANTURILOR DE TITAN ÎN FEMURUL DE IEPURE ÎN FUNCȚIE DE SEX [302734]

Gliga Catalin 01.07.2019 [615694]

Managementul informațional și [614055]

INTRODUCERE……………………………………………………… …………………………3 CAPITOLUL 1. SCURTĂ PRIVIRE DE ANSAMBLU ASUPRA EVOLUȚIEI SISTEMULUI RAPID DE ALERTĂ EUROPEAN…………………… [631465]

PROGRAMUL DE STUDIU CALCULATOARE FORMA DE ÎNVĂȚĂMÂNT IF Proiect de diplomă COORDONATOR ȘTIINȚIFIC dr.ing. Daniela Maștei ABSOLVENT CORA BOGDAN -… [303367]

Copyright Notice

Similar Posts