Școala Gimnazială nr. 1 [625916]

Licență

Școala Gimnazială nr. 1 [625916]

Byadmin ianuarie 1, 2024

0

MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE

UNIVERSITATEA „OVIDIUS ”, CONSTANȚA

DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA PERSONALULUI
DIDACTIC

LUCRARE METODICO – ȘTIINȚIFICĂ

PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I

ÎN ÎNVĂȚĂMÂNT

COORDONATOR ȘTIINȚIFIC:
Lector univ. dr. Iorgulescu Florin Gabriel

CANDIDAT: [anonimizat]: Pîrvan Maria Mirela
Școala Gimnazială nr. 1
Com. Ciocănești, Jud. Călărași

Constanța 2019

1

MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE

UNIVERSITATEA „OVIDIUS ”, CONSTANȚA

DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA PERSONALULUI DIDACTIC

DIVIZIBILITATE ÎN INELUL POLINOAMELOR

COORDONATOR ȘTIINȚIFIC:
Lector univ. dr. Iorgulescu Florin Gabriel

CANDIDAT: [anonimizat]: Pîrvan Maria Mirela
Școala Gimnazială nr. 1
Com. Ciocănești , Jud. Călărași

Constanța 2019

2

”Matematica este regina științelor, iar teoria numerelor este
regina matematicilor. ”( Carl Friedrich Gauss ).

3
C U P R I N S

INTRODUCERE ………………………………………………………………………………………………………..5
CAPITOLUL 1. INELE ȘI CORPURI ………………………………………………………………………….6
1.1 Noțiuni int roductive despre inele, corpuri………………………………………………………..6
1.2 Relația de divizibilitate in inele. ……………………………………………………………………..8
1.3 C.m.m.d.c si c.m.m.m.c a două elemente. ………………………………………………….12
1.3.1. C.m.m.d.c al polinoamelor…………………………………………………………………..13
1.3.2. C.m.m.m.c. al polinoamelor ………………………………………………………………..18
1.4 Elemente prime, elemente ireductibile…………………………………………………………..20
1.5 Inele factoriale …………………………………………………………………………………………..25
1.6 Inele principale…………………………………………………………………………………………..27
1.7 Inele euclidiene………………………………………………………………………………………….29

CAPITOLUL 2. INELUL NUMERELOR INTREGI ……………………………………………….35
2.1 Construcția mulțimii Z………………………………………………………………………………35
2.2 Înmulțirea numerelor întregi………………………………………………… ……………………..37
2.3 Relația de ordine naturală de pe Z ………………………………………………………………38
2.4 Relatia de divizibilitate in ℕ………………………………………………………………………39
2.5 Relatia de divizibilitate in Z ……………………………………………………………………….41
2.6 C.m.m.d.c și c.m.m.m.c a unor numere intregi………………….. …………………………44
2.7 Criterii de divizibilitate……………………………………………………………………………….50
2.7.1 Criteriul de divizibilitate cu 2n și 5n, n
…………………………………….50
2.7.2 Criteriul de divizibilitate cu 3, 7 și 19………….. ………………………………….50
2.7.3 Criteriul de divizibilitate cu 7,11 și 13 …………. …………………………………50
2.7.4 Criteriul de divizibilitate cu 27 și 37 ……………. …………………………………51
2.7.5 Criteriul general de divizibilitate …………………………………………………….51
2.8 Numere prime, numere compuse………………………………………………………………….52

CAPITOLUL 3 . ABORDAREA METODICĂ A RELAȚIEI DE DIVIZIBILITATE ÎN Z. 55
3.1. Strategii didactice interactive bazate pe învățarea prin cooperare și colaborare….55

4
3.2. Aplicații ale metodelor moderne în predarea divizibilității în mulțimea numerelor
întregi……………………………………………………………………………………………………………………….59
3.2.1 Metoda mozaicului………………………………………………………………………..59
3.2.2 Metoda piramidei…………………………………………………………………………..63
3.2.3 Metoda cubului …………………………………………………………………………….65
3.2.4 Metoda R.A.I( Răspunde -Aruncă -Interoghează ) ………………………………73
3.2.5 Metoda Interviul în trei trepte………………………………………………………….76
3.2.6 Metoda ,, Schimbă perechea”… ………………………………………………………79

CAPITOLUL 4. APLICAȚII DE DIVIZIBILITATE……………………………. ……………………….92
4.1 E xercitii rezolvate pentru performanță școlară. ………………………………………………92
CONCLUZII……………………………………………………………………………………………………………102
BIBLIOGRAFIE………………………………………………………………………………………………………105
DECLARAȚIE DE AUTENTICIT ATE………………………………………………………………………107

5
INTRODUCERE

Ca urmare a gradului înalt de abstracție atins de matematică în secolul nostru,există o
tendință în fiecare dintre noi de a căuta să abordăm cu predilecție noțiunile cele mai subtile cu
metodele cele mai formalizate. Este o consecință a revoluției structurale suferită de
matematică, revoluție ce a pus pe baze axiomatice struct urile fundamentale, pe care le numim
astăzi algebrice, de ordine și topologice și a formalizat într -o mare măsură metodele și
instrumentele matematicii moderne. Un lucru este clar: nu ne putem întoarce la formele
anterioare și nu putem nega necesitatea definițiilor și demonstrațiilor riguroase. În același
timp apare necesitatea de a nu elimina intuiția din raționamentele folosite în demonstrarea
unor teoreme stabilite și încorporate în disciplinele matematice, cât și în cele destinate
învățământului de toat e gradele.
Evoluțiile economice și sociale cotidiene impun reorientarea profilului de formare al
absolventului de invățământ obligatoriu : de la elevul care trebuia să acumuleze ample
cunoștințe teoretice, la elevul care este capabil să poată aplica în situații dintre cele mai
diverse ceea ce a învățat. Pentru a evidenția perspective diferite asupra unui același concept,
este util să exemplificăm la clasa rezolvări comparative ale unei aceleiași probleme, folosind
metode de rezolvare diferite. Elevii sunt diferiti prin profilurile de inteligență, iar dezvoltarea
comportamentelor inteligente ale acestora depinde de asigurarea unor situații de învățare
multiple. De asemenea acest ideal de formare poate fi atins prin desfășurarea unor activitați de
învățare i n contexte non- formale care să fie mai familiare elevului. Acest mod de abordare
face ca interesul și motivația pentru studiul matematicii să crească, deoarece elevul poate
sesiza astfel utilitatea conceptelor învățate.
Prin rezolvareaexercitiilor si problemelor de matematică elevii își formează deprinderi
eficiente de muncă intelectuală, care se vor reflecta pozitiv și în studiul altor discipline de
învățământ, isi educa si cultiva calitatile moral-volitive. Problemele de divizibilitate legate
de practică, prin rezolvarea lor, generează la elevi un simț al realității de tip matematic ,
formându- le deprinderea de a rezolva și alte probleme practice pe care viața le pune în fața
lor.

6
CAPITOLUL 1. INELE ȘI CORPURI

1.1 Noțiuni introductive despre inele, corpuri.
Definiție. Fie A o mulțime nevidă. O aplicație : A AA se numește lege de
compoziție pe mulțimea A.
Dacă este o lege de compoziție pe A, atunci elementul (x, y) A, care
corespunde prin aplicatia perechii ordonate (x,y)  A A de elemente din A se numește
compusul lui x cu y prin legea de compoziție . Pentru compsul lui x cu y printr-o lege de
compoziție : A AA se pot folosi notații de tipul : x * y, x y, x ┬ y, x ͦ y, etc.
Fie (A,*) un cuplu format cu o mulțime nevidă A și o lege de compoziție pe A notată
cu ‟ *ˮ . Spunem că ‟ *ˮ :
 este asociativă dacă ( x y) z = x (y z),  x, y, z  A.
 este comutativă dacă x y = y x,  x, y  A.
 un element e A se numește element neutru pentru legea de compoziție ‟ *ˮ dacă
e x = x e = x,  x A.
 un element x  A se numește simetrizabil in raport cu legea de compoziție ‟ *ˮ dacă
există x ̀  A astfel incat x  x ̀= x ̀ x = e.
Elementele simetrizabile se definesc pentru legile de compozitie care admit element neutru.
Dacă legea de compziție ‟ *ˮ este asociativă și cu element neutru, elementul x ̀ A cu
proprietatea x  x ̀= x ̀ x = e, în caz că există, este unic determinat; x ̀ se numește simetricul
lui x .
Definiție. Un cuplu (M, ) format cu o mulțime nevidă M și cu o lege de compoziție
‟ *ˮ definită pe M se numește monoid dacă operația ‟ *ˮ este asociativă și admite element
neutru.

7
Definiție. Un monoid (G, ) se numește grup dacă orice elemental lui G este
simetrizabil în raport cu operația acestuia. Dacă în plus legea de compoziție ‟ *ˮ este
comutativă, atunci (G, ) se numește grup comutativ sau abelian.
Definiție. Un triplet (A,+,•) format cu o mulțime nevidă A și cu două legi de
compoziție “+ ˮ , “•ˮ definite pe A( adunarea și înmulțirea) se numește inel dacă (A,+) este
grup abelian, (A,•) este monoid și x( y+z) = xy + xz , (y + z)x = yx +zx,  x, y, z  A.
Definiție. Fie A un inel. O submulțime nevidă A a lui A se numește subinel dacă A
împreună cu operațiile induse de cele definite pe A formează, la rândul său, un inel.
Propoziție. Fie A un inel și AA submulțime nevidă a lui A. Atunci Aeste subinel
al lui A dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:
(1) ,x y A x y A       ;
(2) ,x y A xy A      .
Definiție. Dacă (A,+,•) este un inel, atunci un element ,0 x A x (0 este un element
neutru pentru adunare) se numește divizor la stânga (la dreapta) al lui zero dacă există y
A,y ≠ 0 astfel încât xy = 0 (respectiv yx = 0).
Definiție. Dacă A conține cel puțin un divizor al lui zero, atunci inelul (A,+,•) are
divizori ai lui zero. Un inel care nu are divizori ai lui zero, comutativ, se numește inel integru
( sau domeniu de integritate ).
Definiție. Un inel (K, +, •) cu cel puțin două elemente se numește corp dacă orice
element x K, x ≠ 0 este inversabil în raport cu înmulțirea lui K. Dacă înmulțirea este
comutativă, atunci spunem că inelul A (respectiv corpul K ) este comutativ.
Proprietați:
 Niciun corp nu are divizori ai lui 0.
Fie x,y  K. Presupunem că există x,y K* = K \ {0} și xy =0. Atunci avem y = 1y = (x-1x)y =
x-1(xy) = x-10 = 0( contradicție), rezultă că xy ≠ 0.
 ( K*, •) este grup multiplicativ.

8
Din prima proprietate rezultă că mulțimea K* este parte stabilă a lui K în raport cu înmulțirea.
Cum 1 ≠ 0, rezultă că 1  K. Înmulțirea în K* este asociativă. Fie x K* și fie x-1 inversul său
în K. deoarece xx-1 = 1≠ 0, rezultă că x-1 K*.
Exemple de inele
 Inelul numerelor întregi ( Z, +, *) este inel comutativ în care elementul nul este 0 și
elementul unitate este 1, iar U( Z) = { -1, 1}.
 Inelul numerelor raționale ( ℚ, +, *) este inel comutativ în care elemental nul este 0 și
elemental unitate este 1, iar U(Q) = ℚ *.
 Inelul numerelor reale (R , +, *) este inel comutativ în care elemental neutru este 0 și
elmentul unitate este 1. În plus U(R) = R*.
 Inelul numerelor complexe ( C,+,*) este inel comutativ cu U( C) = C*.
 Inelul Z n al claselor de resturi moduo n.( Z n, +, *) este inel comutativ, iar U(Z n) =
{aˆ Zn | (a, n) =1 }.

1.2. Relația de divizibilitate in inele.
Fie R un domeniu de integritate;spunem ca un element a  R divide elementul b  R
( sau ca a este un divizor al lui b sau b este un multiplu al lui a) si scriem a | b dacă există c 
R astfel încât b = a ∙c.
Notăm cu Ra sau cu (a) idealul principal generat de a  R, adică Ra = { a |  R}.
Proprietățile relației de divizibilitate:
 a | b  Rb Ra.
Demonstrație. Presupunem că a | b, deci există c  R astfel încât b = ac. Dacă x  Rb,
atunci există  R astfel încât x = b. Cum b-ac, atuni x = ( c)a și deci x  Ra, adică Rb
Ra.
Invers, presupunem că Rb Ra. Cum b  Rb, b Ra și deci există c  R astfel încât b
=a∙c, adică a | b.

9
 a | a ,  x A. Această proprietate se justifică prin faptul că a = 1∙ a.
 dacă a | b și b | c, atunci a | c.
Demonstrație. Dacă a | b și b | c, atunci există elemente , Rastfel încât b = a și
c =b. Deci c = ( a) = ( ) a adică a | c.
 dacă a | b i , i = 1,2,…,n, atunci a | c 1b1 + c 2b2 +…+ c nbn , c1,c2,….c n  R.
Demonstrație. Cum a | b i oricare ar fi i = 1,…, n, există i Rastfel încât b i = ia, i =
1,…, n. Deci c 1b1 + ……+ c nbn = c 11a +…..+c nbna = a(c 11 + …+ c nn) și deci a | c 1b1 +
……+ c nbn
 a | b și b | a există u  U(R) astfel încât b = u ∙a.
Demonstrație. Presupunem că a | b și b | a. Deci, există u,v|  R astfel încât b = u ∙a și a
= b∙v. Dacă a = 0 obținem b = 0 și u = 1. Dacă b = 0, obținem a = 0 și în mod similar putem
lua u = 1. Dacă a,b ≠ 0, atunci din relațiile de mai sus obținem a = (uv) a și cum a ≠ 0 rezultă
uv = 1 adică u  U(R).
Invers, dacă b =ua, unde u  U(R), atunci a | b.Cum a = u-1b, atunci avem și b | a.
Observație. Relația de divizibilitate pe R este o relație binară reflexivă și tranzitivă.
Relația de divizibilitate nu este reflexivă in inelul Z. Exemple 3 | 6 dar 6 ł 3.
Relația de divizibilitate nu este nici antisimetrică așa cum se vede din exemplul: 3 | – 3 și -3 |
3, dar 3 ≠ -3.
Relația de divizibilitate în inelul polinoamelor K[X], unde X poate fi ℚ, ℝ,Csau ℤp, cu p
număr prim, este asemănătoare relației de divizibilitate din mulțimea numerelor întregi.
Definiție. Dacă f,g  K[X], g ≠ 0, atunci g divide f dacă există un polinom t K[X]
astfel încât f = gt. Vom spune că g este un divizor al lui f sau că f este un multiplu al lui g.
Câteva proprietați ale relației de divizibilitate în inelul polinoamelor :
 Din teorema împărțirii cu rest rezultă că g divide pe f dacă și numai dacă restul
împărțirii lui f la g este zero.
 Din g | f și f ≠ 0, atunci grad( g) ≤ grad( f ).

10
 Polinoamele de grad zero, adică constantele nenule, divid orice polinom.
Într-adevăr, dacă a C , a ≠ 0 și f este un polinom oarecare putem scrie :
f = 


aa1f = 

faa1și, deci , a | f.
 Dacă f este un polinom și q C, q ≠ 0 , atunci q ∙f | f .
Într-adevăr, f =  qfqfqq1 1


 și deci qf |f.
Dacă f este un polinom, divizorii de forma a și af, unde aC, a ≠ 0, se numesc
divizori improrii ai polinomului f. Divizorii care nu sunt improprii se numesc divizori proprii.
Relația de divizibilitate este :
 reflexivă , adică f | f oricare ar fi polinomul f .
 tranzitivă ( adică dacă f | g și g | h, atunci f | h , oricare ar fi f,g,h C[ X] ).
 Dacă f | g și f | h , atunci f | ( g + h ) și f | ( g – h ) oricare ar fi f,g,h C[ X] ).
 Dacă g | f și f | g atunci există m ,m ≠ 0, astfel încât f = m ∙ g.
Într-adevăr, cum g | f, există polinomul h1 astfel încât
f =gh 1 (1)
Cum f | g, există polinomul h2 astfel încât
g = f h 2 (2)
Dacă g = 0, atunci din egalitatea (1) obținem că f = 0. În acest caz, putem alege a = 1.
Analog, dacă f = 0, din (2) rezultă că g = 0.
Acum presupunem că f ≠ 0 și g ≠ 0. Din relațiile (1) și ( 2) se obține g = f h2 = (gh1) h2 = g
(h1h2) .
Cum g ≠ 0, atunci h1h2 = 1 și deci grad ( h1h2) = 0, adică grad h1 + grad h2= 0
Dar grad h1 ≥ 0 și grad h2 ≥ 0, rezultă că grad h1 = grad h2 = 0.

11
Deci h1 = a C cu a ≠ 0. În acest caz, egalitatea (1) devine
f = ag cu a  C, a ≠ 0.
Definiție. Dacă a,b  R spunem că a și b sunt asociate în divizibilitate și notăm a d
~ b
dacă a | b și b | a.
Relația a d
~ b are următoarele proprietăți:
1) a d
~ b  Ra = Rb.
2) d
~ este o relație de echivalență pe R.
3) a d
~ 1  a  U(R)  Ra = R.
Demonstrație. Proprietatea a d
~ b  R a = Rb rezultă din a | b  Rb Ra.
A doua proprietate rezultă dim prima deoarece relația de egalitate pe mulțimea idealurilor
principale este o relație de echivalență.
Dacă a d
~ 1, atunci a | 1 și deci există b  R astfel încât 1 = a ∙b și deci a  U(R).
Reciproc, dacă a  U(R) , atunci există b  R astfel încât 1 = ab și a | 1.
Cum 1 | a , atunci a d
~ 1.
Echivalența a  U(R)  Ra = R este evidentă.
Definiție. Două polinoame f și h care se divid reciproc ( f | h și h | f ) se numesc
asociate în divizibilitate și scriem f d
~ h .
Exemplu. Polinoamele f = X3 + X2 + 3X – 1 și h = 2X3 + 2 X2 + 6X -2 sunt asociate în
divizibilitate deoarece f = 21h.

12
1.3. C.m.m.d.c și c.m.m.m.c a două elemente
Definiție. Fie a, b  R, unde R este un inel integru. Un element d  R se numește un
cel mai mare divizor comun ( prescurtat c.m.m.d.c) al elementelor a și b dacă îndeplinește
simultan proprietățile:
 d | a și d | b, adică d este un divizor comun al elementelor a și b.
 dacă d ̀ | a și d ̀ | b, atunci d ̀ | d.
Dacă d 1 și d 2 au proprietățile i) și ii), atunci d 1 d
~ d2 , și reciproc, dacă d are proprietățile i) și
ii), atunci orice element asociat în divizibilitate cu d are aceleași proprietăți.
Deci, orice două elemente d 1 și d 2 care sunt fiecare un cel mai mare divizor comun al
elementelor a și b se găsesc în aceeași clasă de echivalență relativ la relația „d
~”.
În continuare vom nota cu (a, b) sau c.m.m.d.c (a, b) orice element care este cel mai mare
divizor comun.
Definiție. Două elemente a și b din R sunt prime între ele dacă c.m.m.d.c (a ,b) = 1.
Dacă R este un domeniu de integritate cu proprietatea că pentru orice două elemente
există un c.m.m.d.c, atunci sunt îndeplinite următoarele proprietăți:
a) (a,b) = a  a | b.
b) (a, 0) = a.
c) dacă (a,b) = d, unde a ≠ 0 și b ≠ 0, și scriem a = dà și b = db̀, atunci (à, b̀) = 1.
d) (ac, bc) = c (a,b).
e) (a,(b,c)) = ((a,b),
Demonstrație. c) și b) sunt evidente.
Fie d ̀ = ( a ̀ , b ̀ ). Cum d ̀ | a ̀ și d ̀ | b ̀ , atunci d ̀d | a și d ̀d | b și deci d ̀d | d. Cum d ≠ 0, atunci
d ̀ | 1, adică d ̀d
~ 1 de unde rezultă că (a ̀, b̀ ) = 1.

13
Fie d = (a, b) și d ̀ = (ac, bc), iar d ≠ 0 și c ≠ 0. Cum d = ( a, b), atunci a =da ̀ și b = db ̀ și deci
ac = (dc)a ̀ și bc = (dc)b ̀ ceea ce rezulta că dc | d ̀, adică d ̀ = (dc)d ̀ ̀. Pentru că d ̀ = (ac,bc)
obținem că ac = d ̀ și bc = d ̀  de unde rezultă că ac = dc d ̀ ̀  și bc = dcd„  sau dcà =
dc d ̀ ̀ și dcb̀ = dcd„ .Cum dc ≠ 0, atunci a ̀ = d ̀ ̀  și b ̀ = d„ ceea ce implică d „ | a ̀ și
d „ | b ̀. Cum (a `, b`) = 1, atunci d„ | 1 adică d „ este inversabil și deci d ̀ d
~ dc, ceea ce
trebuia demonstrat.
Noțiunea de c.m.m.d.c se poate extinde la un număr finit de elemente: dacă a 1,a2,….a n  R,
atunci definim c.m.m.d.c ( a 1, a2, …, a n ) = c.m.m.d.c ( c.m.m.d.c (a 1, a2, …), a n ) care se
notează mai simplu ( a 1, a2, …, a n).

1.3.1 Cel mai mare divizor comun al polinoamelor
Definiție. Fie f și g două polinoame. Un polinom d se numește un cel mai mare
divizor comun al polinoamelor f și g , dacă îndeplinește următoarele condiții :
 d este un divizor comun al lui f și g , adică d | f și d | g .
 orice alt divizor comun d ̀ al lui f și g divide neapărat și polinomul d ( adică dacă d ̀ | f
și d ̀ | g , atunci d ̀ | d) .
Teorema. Dacă f și g sunt două polinoame, atunci există un c.m.m.d.c al polinoamelor
f și g .
Regula de obținere a c.m.m.d.c . al polinoamelor f și g poartă numele de algoritmul
lui Euclid. Aplicând acest algoritm se parcurg următoarele etape:
 se împarte polinomul de grad mai mare la polinomul de grad mai mic ( sau egal); vom
considera împărțirea lui f la g ;
 dacă restul este 0, atunci d = g ; dacă r ≠ 0, împărțim g la restul împărțirii;
 se împarte împărțitorul la noul rest ș.a.m.d. Ultimul rest nenul este c.m.m.d.c al lui f și
g .

14
Exemplu. Să se afle cel mai mare divizor comun al polinoamelor ׃
f = X4 + X3 – 2X2 – 4X + 4 și g = X3 + X2 + X – 3.
Se aplică algoritul lui Euclid , împărțind pe f la g .
1 4 22 4 312 4 312 4 31 2 5 4
22 32 32 42 3
2 3 4
3
              
X XX X XX XX X X XXX X XX X X X

Trebuie împărțit g la -2X2 + 4X – 1. Pentru a evita coeficienții fracționari împărțim 2g la -2X 2
+ 4X -1 .
3 31 4 24 7 24 211 4 24 8 6 2
2222
2 3
3
         
XX XX XX X XXX XX X X

Trebuie împărțit – 2X2 + 4X -1 la 3X – 3. Împărțim 3( -2X2 + 4X -1) la 3X- 3 și obținem :
36 63 66 62 23 33 12 6
22
    
XXX XXXX X

Împărțim 3X -3 la 3 și restul este 0. Avem deci d = 3( sau d= 1).
Definiție. Fie f și g două polinoame. Spunem că f și g sunt prime între ele dacă 1 este
c.m.m.d.c al lui f și g.
Mai putem spune că polinoamele f și g sunt prime între ele dacă singurii divizori
comuni ai lui f și g sunt polinoamele constant nenule.

15
Exemple.
1) Arătați că polinoamele f = X4 + 1 și g = X3 – 1 sunt prime între ele.
Rezolvare:
Vom calcula c.m.m.d.c. al lui f și g folosind algoritmul lui Euclid.
Prima împărțire:
X4 + 1 X3 – 1
– X4 + X X
/ X + 1

A doua împărțire:

X3 – 1 X + 1
-X3 – X2 X2 – X – 1
-X2 – 1
X2 + X
X – 1
– X – 1
– 2
Ultimul rest nenul este – 2 . Deci 1 este c. m.m.d.c. al polinoamelor date și, deci sunt
prime între ele.Să se demonstreze că polinoamele f = X2 + X + 1 și g = X2 – X + 1 sunt prime
între ele.
Rezolvare :
Se calculează mai întâi c.m.m.d.c. al lui f și g

16
X2 + X + 1 X2 – X + 1
– X2 + X -1 1
/ 2X

2X2 – 2X + 2 2X
-2X2 X – 1
– 2X + 2
2X
/ 2
Ultimul rest este 2, rezultă că 1 este c.m.m.d.c. al polinoamelor date.
Observații.
 Fie f și g două polinoame nenule și d un c.m.m.d.c. al acestora. Atunci putem scrie
f = df ' și g = dg '. Polinoamele f ' și g ' sunt prime între ele .
Presupunem că d ' este un c.m.m.d.c. al lui f ' și g ' , atunci dd ' este un divizor comun al
polinoamelor f și g . Cum d este c.m.m.d.c. al lui f și g , atunci obținem că dd ' ǀ d . Deci există
polinomul d '' astfel încât d = dd'd'' . Prin urmare, d'd'' = 1 și deci d' este un polinom constant,
ceea ce arată că f ' și g ' sunt prime între ele.
Așa cum s -a definit ce l mai mare divizor comun a două polinoame se poate defini și
c.m.m.d.c. al unui număr finit de polinoame. Astfel, dacă f 1, f2, …, f n sunt n polinoame, atunci
un polinom d se numește un c.m.m.d.c. al polinoamelor f 1, f2, …, f n dacă verifică următoarel e
condiții:
 d ǀ f 1, d ǀ f 2 ,…, d ǀ f n ;
 dacă d' este un polinom astfel încât d' ǀ f 1, d' ǀ f 2, …, d' ǀ f n, atunci d' ǀ d.
Considerând polinoamele f 1, f2, …, f n , un cel mai mare divizor comun al lor se calculează
astfel: se determină d 1 un c.m.m.d.c. al polinoamelor f 1 și f 2, apoi se determină d 2 un

17
c.m.m.d.c. al polinoamelor d 1 și f 3, apoi se determină d 3 un c.m.m.d.c. al polinoamelor d 2 și
f4, …, apoi se determină d n-1 un c.m.m.d.c. al polinoamelor d n-2 și fn. Polinomul d = d n-1 este un
c.m.m.d.c. al polinoamelor f 1, f2, …, f n.
Definiție. Fie a,b  R. Un element m  R se numește un cel mai mic multiplu comun
(prescurtat c.m.m.m.c) al elementelor a și b dacă dacă îndeplinește simultan proprietățile:
a | m și b | m, adică m este multiplu comun al elementelor a și b.
dacă a | m` și b | m`, atunci m | m`.
Din definiție rezultă că c.m.m.m.c a două elemente este unic, excepție făcând de o
multiplicare cu un element inversabil și se va nota simplu
[a, b] sau c.m.m.m.c [a, b].
Teoremă. Pentru un domeniu de integritate R, următoarele afirmații sunt echivalente:
 Oricare două elemente a și b admit un c.m.m.d.c.
 Oricare două elemente a și b au un c.m.m.m.c.
 Intersecția oricăror două ideale principale este un ideal principal.
Următoarea egalitate (a, b)[a, b] = ab este adevărată pentru orice a,b R , dacă este verificată
una din condițiile echivalente de mai sus.
Demonstrație. Se observă că dacă m = [a, b], atunci Rm Ra și RmRb adică
Rm Ra  Rb. Dacă m`  Ra Rb, atunci a | m` și b | m` și deci m | m`adică m`  Rm și
deci avem și incluziunea Rm = Ra  Rb.
Reciproc, dacă Rm = Ra  Rb, atuncim = [a, b].
Demonstrăm că a) b). Fie a,b  R. Dacă a = 0 sau b = 0, atunci [a, b] = 0. Deci
presupunem că a ≠ 0, b ≠ 0 și fie d = (a,b). In aceste condiții a = da ` și b = db`, unde ( a`, b`) =
1. Se noteaz ă cu m = dab= a`b = ab` și se demonstrează că m = [a, b]. Este evident că a | m și
b | m . Fie m`  R astfel încât a | m` și b | m` , deci există r,t R astfel încât m` = a r =bt. Deci
da`r = db` t și cum d ≠ 0 rezultă că a` r = b`t.

18
Cum (a`,b`) = 1, atunci rezultă că r = (a` r, b`r) = (b` t, b`r) și deci b` | r adică r = b` r1. Rezultă
că m` = a r = ab` r1 = mr1 adică m | m`.
Demonstrăm că b) a) . Dacă presupunem că a ≠ 0 , b ≠ 0 și m = [a, b], atunci există
a`, b` R astfel încât m = aa` = bb`. Cum a | ab și b | ba, atunci m | ab și deci există d  R
astfel încât ab = md. Arătăm că d = (a, b). Deoarece ab = aa`d = bb`d, obținem pr in
simplificare că b = a`d si a = b`d , deci d | a si d | b. Fie d` | a si d` | b, atunci a = d`a 1 si b =
d`b 1 . Notăm m` = d` a 1b1 = ab 1 ba1, deci a | m` și b | m` de unde rezultă că m | m` adică m` =
mc și rezultă d`m` = d`mc. Cum d`m` = d`2a1b1 = (d`a 1)(d`b 1) = ab, obținem că ab = d`mc sau
md = d`mc și prin simplificare rezultă că d = d`c adică d` | d.

1.3.2 Cel mai mic multiplu comun al polinoamelor
Definiție. Fie f și g două polinoame. Un polinom m se numește cel mai mic multiplu
comun ( notat c.m.m.m.c ) al polinoamelor f și g dacă verifică următoarele condiții :
 m este un multiplu comun al lui f și g, adică f | m și g | m.
 Orice alt multiplu comun m' al lui f și g este și multiplu al lui m ( adică dacă
f | m' și g | m' , atunci m | m' .
Teorema. Fie f și g două polinoame dintre care cel puțin unul este nenul. Dacă d este
c.m.m.m.c al lui f și g , atunci polinomul m =
dfg este un c.m.m.m.c al lui f și g (
dfg
înseamnă câtul împărțirii polinomului fg prin d).
Demonstrație. Fiind date relațiile d ǀ f și d ǀ g , există polinoamele f ' și g' astfel
încât f = df ' și g = dg ' . Cum polinoamele f ' și g' sunt prime între ele,rezultă că m = f 'g
=fg ' , ceea ce arată că m este un multiplu comun al lui f și g .
Fie m' un polinom astfel încât f | m' și g | m' . Deci există polinoamele f 1 și g 1
astfel încât m' = ff1 și m' = gg1 . Avem m' =d f 'f 1 și m' = d g 'g 1 , de unde obținem că df 'f 1
= dg 'g 1 . Cum d ≠ 0 , atunci f 'f1 = g 'g 1 . Polinoamele f ' și g' fiind prime între ele, există
polinoamele u și v astfel încât 1 = uf ' + vg'. Înmulțind această egalitate cu g1, obținem că g1
= ug1 f ' + vg'g 1 = ug1f ' + vf 'f 1 = f ' ( ug1 + vf1 ), ceea ce arată că f ' ǀ g1. Deci există un

19
polinom g2 astfel încât g1 = f 'g 2 . Cum m' = gg1 , atunci m' = gf 'g 2 = mg2 și m | m' .
Așadar, polinomul
dfg este c.m.m.m.c al lui f și g.
Exemplu. Să se determine c.m.m.m.c. al plinoamelor:
f = 2X5 – 3X4 – 5X3 + X2 + 6X + 3 și g = X4 – X3 – X2 + 1 .
Vom afla mai întâi se determină c.m.m.d.c. al celor două polinoame folosind
algoritmul lui Euclid.
2X5 – 3X4 – 5X3 + X2 +6X +3 X4 – X3 – X2 +1
-2X5 + 2X4 + 2X3 – 2X 2X -1
/ – X4 -3X3 + X2 + 4X + 3
X4 –X3 – X2 + 1
/ – 4X3 + 4X + 4
Restul – 4X3 + 4X + 4 îl împărțim cu -4 și obținem X3 – X -1 .
Împărțim acum împărțitorul la rest.
X4 – X3 – X2 + 1 X3 – X – 1
-X4 + X2 + X X – 1
/ – X3 + X + 1
X3 – X – 1
– –
Ultimul rest nenul este X3 –X – 1 . Deci polinomul d = X3 –X – 1 este un c.m.m.d.c.
al polinoamelor f și g. Cum g = ( X3 –X – 1 )( X – 1 ), atunci polinomul
m =
dfg= f
dg= f ∙( X – 1 ) = ( X -1)( 2X5 – 3X4 – 5X3 + X2 + 6X + 3) = 2X6 – 5X5 – 2X4 +
6X3 + 5X2 – 3X – 3 este un c.m.m.m.c al polinoamelor f și g .

20
Observație. Se poate defini c.m.m.m.c. al unui număr finit de polinoame. Dacă f1, f2,
…,f n sunt n polinoame, atunci un polinom m se numește un c.m.m.m.c. al polinoamelor f1, f2,
…,f n dacă verifică următoarele condiții :
 f1 ǀ m, f2 ǀ m,…, fn ǀ m;
 dacă m' este un polinom astfel încât f1 ǀ m', f2 ǀ m', …, fn ǀ m', atunci mǀ m'.
În acest caz c.m.m.m.c. polinoamelor f1, f2, …,f n se calculează astfel : se determină un
c.m.m.m.c. m1 al polinoamelor f1, f2, apoi se determină un c.m.m.m.c. m2 al polinoamelor m1
și f3,…, în final se determină un c.m.m.m.c. mn-1 al polinoamelor mn-2 și fn. Polinomul mn-1
este un c.m.m.m. c. al polinoamelor f1, f2, …,f n.

1.4 Elemente prime, elemente ireductibile
Fie p Z*, p ≠ ± 1. Numărul p prim se poate defini prin oricare din proprietățile:
i) p nu are divizori diferiți de ± 1 și ± p.
ii) a, b  Z, p |ab p | a sau p | b.
Proprietățile i) și ii) nu sunt echivalente în orice inel integru, deci acestea pot conduce la două
noțiuni diferite într -un inel integru oarecare R. Pentru x  R, elementele inversabile și
elementele asociate cu x sunt divizori ai lui x. Un divizor al lui x diferit de aceștia se numește
divizor propriu.
Definiție . Un element p R* neinversabil se numește ireductibil dacă p nu are divizori
proprii. Dacă p acceptă divizori proprii, atunci se numește element reductibil.
Dacă p este ireductibil atunci orice element din R asociat cu p este ireductibil.
Observație. Fie p R un element nenul și neinversabil. Sunt echivalente următoarele
afirmații:
 p este ireductibil;
 din p = a ∙b rezultă că unul din elementele a, b este inversabil iar celălalt este asociat cu
p.

21
Definiție. Un element p  R* si neinversabil se numeste prim dacă p|ab p | a sau p | b.
Observații.
 Dacă p este prim, atunci orice element asociat cu p este prim.
 Dacă p este prim și p divide produsul a 1a2…a n, ai R, i = 1,2,…,n, atunci p divide cel
puțin unul din factorii a 1a2… a n.
Teoremă. Fie p și q două elemente nenule ale unui domeniu de integritate R.
 p este un element prim idealul principal (p) este prim.
 q este un elemnt ireductibil idealul (q) este maximal în mulțimea tuturor idealurilor
principale și proprii ale lui R.
 Orice element prim este ireductibil.
 Dacă inelul R are proprietatea că pentru orice două elemente există un c.m.m.d.c
atunci orice element ierductibil este prim.
Demo nstrație. Presupunem că p este un element prim în R și fie a, b  R astfel încât
ab  (p). Deci există  R cu ab = p , adică p| ab . În concluzie p | a sau p | b , de unde
rezultă că a  (p) sau b  (p) și prin urmare idealul (p) este prim.
Reciproc, presupunem că (p) este un ideal prim și presupunem că p| ab .
Rezultă ab  (p) și deci a(p) sau b(p) adică p | a sau p | b. Deci p este un element prim în
R.
Presupunem că q este ireductibil și fie a R astfel încât (q)(a). Rezultă că
a| q, și deci există bR astfel încât q = ab . Cum a nu este inversabil, deoarece (a) ≠ R, rezultă
că b este inversabil și deci q | a, adică (a)(p) și atunci (a) = (q).
Dacă p este prim și p = xy , atunci p | xy și deci p| x sau p | y. Din p ǀ xy și din
faptul că p este prim rezultă p ǀ x și p ǀ y. Dacă p ǀ x, atunci având și x ǀ p spunem că p este
asciat cu x. Deci există un element inversabil v R astfel că x = pv ceea ce împreună cu p =

22
xy implică p = pvy , de unde deducem 1 = vy, adică y este inversabil. În concluzie p este
ireductibil.
Presupunem că q este ireductibil și că q ǀ xy . Fie d = ( q, x). Cum d ǀ q rezultă că d este
inversabil sau d este asociat în divizibilitate cu q. În cazul căd este inversabil, atunci 1 = ( x,
y) și deci y = (qy, xy) și cum q ǀ xy rezultă că q ǀ y. Dacă q este asociat în divizibilitate cu d,
atunci q ǀ d și cum d ǀ x rezultă că q ǀ x . În concluzie q este element prim în R.
Observație. Într-un domeniu de integritate oarecare noțiunile de element prim și
element ireductibil sunt de regulă distincte.
Exemplu. În inelul ℤ [ 5], elementul 2 este ireductibil și nu este prim. Într -adevăr,
2ǀ ( 5 1 )( 5 1 ) = 6, dar 2 nu divide niciunul din factori. Pe de altă parte, dacă d este
un divizor al lui 2 , atunci N( d ) poate fi doar 1, 2 sau 4. Analizând cazurile posibile arată că d
poate fi 1 sau 2.
Acest exemplu arată și că noțiunea de element prim depinde în mod esențial de inelul
în care sunt considerate: 2 este prim în Z, dar nu și în ℤ [ 5].
Teoremă( descompunerea polinoamelor în polinoame ireductibile). Fiind dat K un
corp comutativ și f ∈ K[X] un polinom de grad n ∈ℕ*, atunci au loc următoarele proprietăți:
 Polinomul f se descompune într-un produs finit de polinoame ireductibile peste K.
 Dacă f = f1∙ f2 ∙ f3 ∙ … ∙ f n = g1∙ g2∙ …∙ g k sunt două descompuneri în produs de
polinoame ireductibile ale lui f , atunci m = k și există o permutare ρ ∈ Sm cu proprietatea că
fi ~ g 𝜌(i), i ∈{ 1,2,…,m}.
Teoremă(descompunerea cu ajutorul rădăcinilor). Fie f ∈ C [X], f = a 0 +a1X +
a2X2 + … + a nX n un polinom de grad n, n ∈ ℕ*.
Dacă12, ,…,nC     sunt rădăcinile polinomului f, atunci:12 ( )( )…( ).nn f a X X X       
Dacă 12, ,…,nC     sunt rădăcinile distincte ale polinomului f , cu
multiplicitățile12, ,…,k m m m  ℕ*, atunci: 12
12 ( ) ( ) …( ) .km mm
nk f a X X X       
Deci, polinomul   fX
va avea următoarea descompunere în polinoame ireductibile:

23
11 22
1 1 1 ( ) …( ) ( ) …( ) ,p kn m mn
n k p p f a X X X a X b X a X b        
unde 1 2 1 2, ,…, , , ,…,kp m m m n n n 
* și 12, ,…,k    
sunt rădăcinile reale ale lui f, iar
polinoamele  2, 1,2,…,ss X a X b s p   nu au rădăcini reale.
Aplicații.
1. Descompuneți în factori ireductibili peste corpurile ℚ, ℝ, polinomul
5 4 3 22 2 2 2 4 4.f X X X X X     
Rezolvare:
Se observă că ( 1) 0f , deci polinomul f se divide cu X + 1 .
Se aplică schema lui Horner astfel:
2 2 – 2 -2 – 4 – 4
α = -1 2 0 -2 0 -4 0
4 2 4 2
4 2 2 2 2
2 2 2 2( 1)(2 2 4) ( 1)(2 2 2 2)
( 1) 2( 1) 2( 1) ( 1) 2( 1)( 1) 2( 1)
( 1) 2( 1)( 1 1) 2( 1)( 1)( 2)f X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X        
                 
         

Rezultă că polinomul dat are următoarele descompuneri:
222( 1)( 1)( 2)f X X X    ℚ peste ;
22( 1)( 1)( 2)( 2)f X X X X     ℝ peste ;
2( 1)( )( )( 2)( 2)f X X i X i X X      peste C .
2. Să se descompună în factori ireductibili polinomul
4 3 232 f X X X    ℝ[X] .
Rezolvare:

24
 4 3 2 2 2 2 2
223 2 ( 3 2) ( 2 2)
( 1) 2( 1) ( 1)( 2)f X X X f X X X f X X X X
f X X X X f X X X           
       
Descompunerea în factori ireductibili a polinomului dat este 2( 1)( 2). f X X X  
3. Să se determine c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. pentru polinoamele
 2 2 2, , ( )( 1)f g X f X X X X   
și 4 3 22 6 4g X X X   .
Rezolvare:
Se descompun mai întâi în factori ireductibili cele două polinoame:
2 2 2 2 3 2( )( 1) ( 1)( 1)( 1) ( 1) ( 1) f X X X X f X X X X X f X X X            

 4 3 2 2 2 2 2
222 6 4 2 ( 3 2) 2 ( 2 2)
2 ( 1) 2( 1) 2 ( 1)( 2)g X X X g X X X g X X X X
g X X X X g X X X           
        
Atunci: – 2( , ) ( 1)f g X X (se aleg factorii ireductibi li comuni celor două polinoame, la
puterea cea mai mică).
–  32, 2 ( 1) ( 1)( 2)f g X X X X    (se aleg f actorii ireductibili comuni și
necomuni, luați la puterea cea mai mare).
Observație. Dacă polinoamele   ,f g Xk sunt descompuse în produse de factori
ireductibili, atunci:
 c. m. m. d. c ( f, g ) este produsul factorilor ireductibili comuni, luați la puterea cea mai
mică.
 c. m.m.m.c  ,fg este produsul factorilor ireductibili comuni și necomuni , luați la
puterea cea mai mare.

25
1.5 Inele factoriale
Definiție. Fie a  R* ; x i  R, i = 1,…, k ; y j  R, j = 1,…, n și (1) a = x 1 … x k
(2) a = y 1… y k
Două descompuneri ale lui a în factori. Descompunerea (1) și (2) se numesc asociate dacă
k = n și dacă după o renumerotare a factorilor din (2) avem x i ~ y j, pentru i = 1,… ,n .
De exemplu, dacă 1= v1, …, v k, atunci descompunerea (1) este asociată cu descompunerea
a = (v1x1) …. (v 2×2).
Definiție. Un inel integru R se numește inel factorial sau cu descompunere unică în
factori primi, dacă  a  R* neinversabil se descompune într-un produs finit de elemente
ireductibile din R și orice două descopuneri ale lui a în produse finite de elemente ireductibile
sunt asociate, adică a are o descompunere unică în produs de elemente ireductibile.
Teoremă. Dacă R este un inel factorial atunci:
 În inelul R nu există șiruri de elemente a 0, a1,…, a n,… astfel încât a i +1 ǀ a i și a i nu
divide pe a i+1 pentru orice i  ℕ.
 Orice pereche de elemente din R are un cel mai mare divizor comun.
Demonstrație. Definim lungimea unui element x  R* și o vom nota cu l(x) , numărul
factorilor dintr-o descompunere a lui x în produs de factori ireductibili dacă x este
neinversabil și 0 dacă x este inversabil. Dacă x = x 1×2 atunci l(x) = l(x 1) + l(x 2). Dacă ar
exista un șir cu proprietățile din 1) atunci ar rezulta șirul de numere naturale l(a0) > l(a 1) > …
ceea ce este nu este posibil.
Fie x1, x2  R. În cazul în care x1 = 0, atunci (x1, x2) = x 2.
Presupunem că x1, x2  R*. Fie p1,p2,…,p n elemente ireductibile din R astfel ca fiecare divizor
ireductibil al lui x1 sau x2 să fie asociat cu unul și numai unul dintre aceste elemente.
În concluzie, x 1 = vpnk
nkp…1
1 și x 2 = v 'pnl
nlp…1
1 ,
unde v și v ' sunt elemente inversabile din R și ki 0 , i = 1, … , n.

26
Orice divizor a al lui x1 se poate scrie sub forma a = v ''pn
is
nsp…1
1 , unde v'' este inversabil și 0 
si  ki, i = 1,…, n și o afirmație asemănătoareare loc pentru divizorii lui x2. Deci d = pnm
nmp…1
1 ,
unde mi = min ( ki, li) , i = 1, …, n este un cel mai mare divizor comun al lui x1 și x2 .
Teoremă. Un inel integru R este factorial dacă și numai dacă verifică condițiile:
1) În R nu există șiruri de elemente a0, a1, …, a n,…, astfel încât a i+1 ǀ ai și a i nu divide pe
ai+1 pentru orice i ℕ.
2) Orice element ireductibil din R este prim.
Demonstratie. Presupunem că R verifică 1) și 2) și vom arăta că orice a  R*
neinversabil are o descompunere unică, abstracție de o asociere, în produs finit de elemente
ireductibile. Stabilim mai întâi dacă un element a are această proprietate , atunci și orice
element asociat cu a are această proprietate. Afirmatia are loc pentru elemente ireductibile.
Vom presupune că exista un element nenul și neinversabil aR, care nu ar avea o
descompunere finită în produs de elemente ireductibile. Cum a nu este ireductibil există un
divizor propriu a1 a lui a care nu are o descompunere în produs finit de elemente ireductibile,
cu a1 procedăm ca și cu a, adică el posedă un divizor propriu a2 care nu are o descompunere
în produs finit de elemente ireductibile și continuând raționamentul se obține un șir a0 = a, a1,
a2, …,a n,… cu proprietatea ai+1 ǀ ai și ai nu divide pe ai+1 pentru orice iℕ, ceea ce contrazice
pe 1).
Considerând a = p 1…pn = r 1…rs două descompuneri ale lui a în produs de elemente
ireductibile. Din 2) rezultă că r1 este prim și deci r1 divide cel puțin pe unul dintre elementele
p1,…,p n, cum ar fi pe p1. Dar p1 fiind ireductibil, rezultă că p1 și r1 sunt asociate. Deci p1 = vr 1,
unde vℝ este inversabil. Rezultă , vr1p2… p n = r 1r2…rk, de unde prin simplificare se obține
vp2…pn = r 2…rs . Efectuând o inducție după min( n, s) = n se obține pentru n =1 că r2,…, r n sunt
inversabile, deci s = n , și pi ~ r i, i = 2,…, n .
Corolar. Un inel integru R este factorial dacă și numai dacă R satisface condiția 1) din
teoremele precedente și orice pereche de elemente din R are un cel mai mare divizor comun.

27
Observații.
a) Un inel integru R este factorial dacă și numai dacă orice a  R *, neinversabil, este produs
finit de factori primi.
b) orice șir a0, a1, …, a n,… din R * astfel încât ai+1 ǀ ai pentru orice iℕ, are proprietatea că
există k ℕ încât ai ~ a k pentru i k.

1.6 Inele principale
Definiție. Un inel integru R se numește inel principal dacă orice ideal al inelului R
este principal. Altfel spus, oricare ar fi idealul I al lui R , există a  R astfel încât I = R a.
Teorema. Dacă R este un inel principal, atunci orice element u R se poate scrie ca
un produs finit de elemente prime.
Demonstrație. Presupunem prin absurd că există u Rastfel încât u nu se poate scrie
ca un produs finit de elemente prime. În particular, u nu este ireductibil, deci u = u 1s1, cu s1
R , neasociate cu u. Dacă u1 și s1 sunt produse finite de ireductibile, atunci u este produs de
ireductibile, fal s. Deci cel puțin unul dintre ele ( considerăm u1) nu se scrie ca un produs de
elemente ireductibile. Înlocuind în raționamentul de mai sus pe u cu u1, rezultă că există u2
R, u2 ǀ u1 , u2 neasociat cu u1. Aplicând o inducție, rezultă existența unui șir (un)n0 de
elemente din R (cu notația u0 = u), cu proprietatea că pentru orice nℕ, un+1 este un divizor
propriu al lui un. S-a obținut un șir infinit strict crescător de ideale u0 R u1 R…un R
un+1 R… . acest lucru este imposibil într- un inel principal, conform lemei următoare.
Lemă. Fie R un inel principal și (un)n0 un șir de elemente din R astfel încât un
Run+1 R, pentru orice nℕ. Atunci există mℕ astfel încât um R= um+i R, pentru orice
iℕ.( orice șir ascendent de ideale este staționar).
Demonstrație. Fie I reuniunea idealurilor u nR, nℕ. Vom arăta că I este ideal în R :
dacă a,b  I , atunci există i, j ℕ astfel încât a ui R,b uj R. Deci a, b  ut R , t = max(i, j) ,
adică a + b  ut R  I. Dacă u R, ux  ut R  I . Cum R este principal, există x  ℝ astfel

28
încât I = xR. Pentru că x  I, există m  ℕ astfel încât x  um R, adică a R = u m R . Deci um R
= x R = I = um+i R, iℕ.
Teoremă. Dacă R este un inel principal, atunci pentru orice x, y R există cel mai
mare divizor comun d și cel mai mic multiplu comun m. În plus,
d R = x R + y R
m R = x R y R.
Demonstrație. Dacă A și B sunt ideale, atunci suma lor, A + B = { a +b ǀ a A și b 
B} este un ideal. Deci xR + yR este un ideal. Din (1) rezultă x R, y R  d R, ceea ce implică
x, y  dR. Deci există x', y '  R astfel ca x= d x' și y = dy ' , adică d ǀ x și d ǀ y. Dacă d '  R
și d ' ǀ x , d ' ǀ y , atunci există x ̀ ̀, y ̀ ̀  R astfel încât x = d ' x ̀ ̀ și y = d ' y ̀ ̀ , ceea ce implică
x, y  d ' R, de unde rezultă x R,y R  d 'R. În concluzie x R + y R  d 'R și d R  d 'R,
ceea ce arată că d d ' R, adică d = d 'a , cu a  R, ceea ce înseamnă că d ' ǀ d . Astfel am arătat
că d = (x,y).
Deoarece intersecția a două ideale este un ideal, rezultă că xR yR este un ideal. Din
ipoteză se știe că R este principal, atunci există m  R care verifică pe (2). Din m  mR și
din (2) rezultă m  xR și m  yR, ceea ce arată că m este multiplu comun al lui x și y.
Dacă m ' R este un alt multiplu comun al lui x și y, atunci m ' xR și m ' yR, adică m ' xR
yR. Deci, conform relației (2), m ' mR, adică m ' este un multiplu de m și astfel am arătat
că m = [ x, y].
Corolar. Dacă R este un inel principal și d  R este un cel mai mare divizor comun al
lui xși y  R, atunci există u și v R astfel ca d = xu + yv .
Într-un inel principal un element este ireductibil dacă și numai dacă este prim.
Teoremă. Dacă R este un inel principal, atunci orice șir crescător de ide ale x0R  x2R
…  xnR… există un indice m astfel încât xnR = xmR, pentru n  m.
Demonstrație. Se demonstrează întâi că
U = 
0nnaR

29
este un ideal. Într- adevăr, dacă a,b  U, atunci există k și p în ℕ astfel ca a  xkR și b ypR,
iar dacă k p, atunci din (3) rezultă că x pR  xkR, adică a,b  xkR, ceea ce implică a – b 
xkR U. Dacă a  U, atunci există k astfel ca a  xkR, de unde rezultă r a = a r  xkR U,
pentru r  R. Deci U este un ideal. Pentru că R este principal, rezultă y  R astfel ca U =
yR. Din (4) rezultă că există m ℕ astfel ca y  xmR, ceea ce implică U = yR  xmRr, iar
incluziunea inversă fiind evidentă, urmează U = x mR. Deci x nR = U = xmR, pentru orice nm.

1.7 Inele euclidiene
Definiție. Se numește inel euclidian un domeniu de integritate R pentru care există o
funcție : R- {0}→ ℕ cu proprietatea: oricare ar fi a,b  R, b≠ 0 ,există q, r  R astfel încât
a = bq + r , unde r = 0 sau (r) < (b) .
Egalitatea (1) se numește formula împățirii cu rest în inelul euclidian R. Elementele q și r se
numesc câtul și restul împărțirii.
Teoremă. Dacă R este un inel euclidian, atunci R este un inel principal. În particular
orice inel euclidian este factorial.
Demonstrație. Dacă M este un ideal al lui R și M = (0), atunci M este un ideal
principal. Acum presupunem că M ≠ (0). Se notează cu X = { (x) ǀ x  M , x ≠ 0}. Cum X ≠
∅ și Xℕ, există un cel mai mic element al lui X , pe care îl notăm n0 . Atunci există x0  M
astfel încât n0 = (x0) . Se demonstrează că M = R x0 . Cum x0  M, este adevărată
incluziunea Rx0 M.
Invers, fie y  M. Cum x0 ≠ 0, atunci există q, r  R astfel încât y = x 0q + r , unde r = 0 sau
(r) < (x0).
Dacă r ≠ 0 , atunci r = y – x 0q  M și deci (r)  X. Cum (r) < (x0) = n0, se
obține o contradicție. Rămâne ca r = 0 și deci y = x 0q, adică y Rx0 . În concluzie are loc
egalitatea M = R x0

30
Exemple de inele euclidiene:
 Inelul ( Z ,+, ) este euclidian relativ la funcția – modul: : Z→ ℕ, (x) = ǀ x ǀ.
 Inelul (K[X], +, ) este euclidian relativ la funcția exponențială -grad: : K[X] → ℕ,
(f ) = 2gradf .
În calcul se va folosi convenția 2= 0.
 Inelul ( ℤ [i], +, ) este euclidian relativ la funția – normă :
: ℤ [i] → ℕ, (z) = ℕ (z) = ǀ z2 ǀ.
Demonstrație. Se consideră a, b ℤ[i], b ≠ 0. Vom demonstra că există c, d  ℤ[i],
astfel încât a = bc + d și N(d) < N(b).
Se consideră numărul complex
ba∈ℚ(i), unde trebuie evidențiat faptul că ℚ(i) este
tocmai corpul de fracții al inelului ℤ[i]. Funcția normă poate fi extinsă și la corpul pătratic
ℚ(i) prin: ℕ:ℚ(i)→ℚ+, ℕ(z) = ǀz2ǀ =zz . Rezultă că ℕ(z1z2) = (z 1z2)(12()zz = (z 11z)(22zz) =
ℕ(z1)ℕ(z2), ∀ z1, z2 ∈ℚ(i).
Pentru că a
bℚ (i), putem scrie a
b= r + si cu r,s ∈ℚ. Notăm cu u,v ∈ ℤ cei mai apropiați
întregi de numere raționale r, respective s.
Aceasta înseamnă că ǀ r- u ǀ ≤ 1
2 și ǀs- v ǀ ≤1
2. Numerele u și v nu sunt unice, de
exemplu pentru r = 3
2 putem lua u = 1 sau u = 2.
Fie numerele complexe c = u + iv ∈ ℤ[i] și d = a – bc ∈ ℤ[i] . Rezultă a = bc +d , iar
N(d) = N(a –bc) = N [b(a
b – c)] = N(b) N(a
b -c) = N(b) N[ (r + si) – (u +vi) ] = N(b) N[(r –u)
+i(s- v)] = N(b) [(r-u)2 + (s –v)2 ]≤ N(b) 1 1 1
4 4 2 N(b) < N(b).
Deci, am demonstrat că ℤ[i] este un inel euclidian relativ la funcția normă.

31
În acest inel euclidian, câtul și restul date de teorema împărțirii cu rest nu sunt unice.
De exemplu pentru a = 6 i, b = 2 +2 i putem lua c 1 =1 + i , d1= 2i sau c 2 = 2 +2 i , d2 = -2i.
Remarcă. În orice inel euclidian există c.m.m.d.c a două elemente, care se obține prin
algoritmul lui Euclid .
Aplicații
Aplicația 1. Pe mulțimea ℤ definim operațiile :
x y x z a    ; ( )( )xy x a y a a    , unde a  ℤ este un număr fixat. Să se arate că
tripletul ( ℤ, ),
este un domeniu de integritate( inel comutativ, cu element unitate și fără
divizori ai lui zero). Să se determine grupul elementelor inversabile din acest inel.
Soluție. Se verifică axiomele inelului comutativ cu element- unitate.
A1 ) (ℤ, ) este un grup abelian. Elementul nul al acestui grup este 0 = – a ∈ℤ.
A2)  ,
este un monoid comutativ.
Într- adevăr, mai întâi înmulțirea
este asociativă , întrucât pentru x,y,z  ℤ arbitrare,
se poate scrie :
    ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ,x y z x a y a a z x a y a a a z a a x a y a z a a                
respectiv
    ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ,x y z x y a z a a x a y a z a a a a x a y a z a a                
deci ()x y z
= ()x y z
.
De asemenea, operația ⊙ are element- unitate 1 ∈ ℤ, deoarece :
      1 1 , 1 , 1 ,
1 1 1 1 .x x x x x a a a x x a a x a x
aa                
      
Z Z Z
Z
În concluzie, operația
este comutativă, deoarece pentru x,y ℤ arbitrare, avem:
( )( ) ( )( ) . x y x a y a a y a x a a y x         

A3) Înmulțirea
este distributivă față de adunare  . Fie ,,x y z Z arbitrare, atunci:

32
( ) ( ) ( )( ) ( )( 2 ) ,x y z x y z a x a y z a a a x a y z a a               
respectiv
    ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( 2 ) ,x y x z x a y a a x a z a a
x a y a a x a z a a a x a y z a a         
             

rezultă ( ) ( ) ( ).x y z x y x z   

Din acestea rezultă că înmulțirea este distributivă la stânga față de adunarea  , dar cum
înmulțirea este comutativă, este demonstrată și distributivitatea la dreapta.
În concluzie ( ℤ,,)
este un inel comutativ cu element-unitate.
Dacă 00 x y x   
sau 0y rezultă că în acest inel nu există divizori ai lui zero.
Într-adevăr 0 ( )( ) ( )( ) 0 0 x y x a y a a a x a y a x a               
sau 0a .
Deci, inelul ( , , )
Z este un domeniu de integritate.
Determinăm grupul ( ( ), )U
Z al elementelor inversabile.
Avem1() x U x    ZZ cu
1 1 1 11 ( )( ) 1 ( )( ) 1 x x x x x a x a a a x a x a x a                
ǀ 1
   1,1 1 ,1 1 . x a x a a         
Așadar   ( ) 1 ,1 ,U a a    Z este un grup ciclic de ordinul 2. Pentru a = 0 inelul  ,,
Z
coincide cu inelul obișnuit ( ℤ, +,  ).
Aplicația 2. Fie K un subcorp al corpului comutativ φ și α ∈φ un element algebric
peste K , adică rădăcnă a u nui polinom nenul din K  X . Să se demonstreze că :
10. Există un unic polinom unitar de gradul minim f ∈ K  X cu proprietatea că
( ) 0f (acest polinom se numește polinom minimal al lui α peste K).
20. Dacă g K X , atunci are loc ( ) 0 .g g f

30. Polinomul f este ireductibil în inelul K  X .

33
40. Dacă g ∈ K  X este ireductibil și ( ) 0g , atunci gf
.
50. Dacă grad f = n, atunci mulțimea K (α) =  1
0 1 1 0 1 1 … , ,…,n
nn a a a a a a K 
    
este un subcorp al lui φ.
60. Corpul K (α) este cel mai mic subcorp al lui φ care le conține pe K și α .
Rezolvare.
10. Mulțimea     0, ( ) 0 M g K X g g      este nevidă, pentru că α este algebric peste K.
Mulțimea gradelor polinoamelor din M este o submulțime nevidă a mulțimii ℕ*, deci are un
minim n ∈ℕ*. Atunci există un polinom nenul   f K X , de grad minim n, astfel încâ
  0 f . Abstracție făcând de o asociere, polinomul f poate fi considerat unitar și unic.
20. ( ) Fie   g K X cu grad ( ) 0.g Conform teoremei împărțirii cu rest, , g fg r
unde   ,q r K X și grad r < grad f = n. Atunci ( ) ( ) ( ) ( )g f g r    și cum ( ) 0g ,
( ) 0,f rezultă ( ) 0.r Dar gradul minim al polinoamelor nenule din  KX care admit
rădăcină pe α este n , iar grad r < n, rezultă că r = 0. Atunci g fq , deci gf
.
(  )Dacă gf
, avem g fq cu   q K X și atunci ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0.g f g q     
30. Polinomul f se descompune în inelul  KX în factori ireductibili. Dar ( ) 0f , atunci
există un factor ireductibil tal lui f astfel încât ( ) 0t. Conform lui 20 există relația
,ftdar și tf , prin urmar e f ~ t .
Cum t este ireductibil în  KX , rezultă că feste ireductibil în  KX .
40. Dacă   g K X este ireductibil și ( ) 0g , conform relației 20 avem .gf
Cum g este
ireductibil, orice divizor al său de grad ≥ 1 este asociat cu g. Din acestea reiese relați a f ~ g.
50. Se demonstrează mai întâi relația     ( ) ( )K h h K X .

34
Fie   xK  arbitrar, 1
0 1 1 … ,n
n x a a a 
     unde 0 1 1, ,…, .n a a a K Atunci
( ), xh  unde  1
0 1 1 …n
n h a a X a X K X
      și astfel relația  este demonstrată.
Rămâne să demonstrăm și relația  .
Fie   h K X arbitrar. Conform teoremei împărțirii cu rest există relația h fg r ,
cu   ,q r K X , grad r < grad f = n. Atunci 1
0 1 1 … ,n
n r a a X a X
     unde
0 1 1, ,…, .n a a a K Rezultă 1
0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) … ( ).n
n h f q r r a a a K       
        
Deci egalitatea     ( ) ( )K h h K X este demonstrată . Din această egalitate rezultă că
()K este un subinel unitar al corpului φ. Dacă , ( )x y K  , există   12,h h K X astfel
încât 1() xh  , 2() yh  . Atunci 1 2 1 2( ) ( ) ( )( ) ( ) x y h h h h K           și
1 2 1 2( ) ( ) ( )( ) ( ). xy h h h h K      
Dar, 1 ( )KK   , deci mai rămâne a demonstra că orice element nenul din ()K
este invrsabil în ()K .
Fie ( ) ( ), ( ) 0. x h K h      Pe baza 20, rezultă că h nu se divide cu f și deoarece
f este ireductibil, înseamnă că ( , ) 1hf  . Atunci există   ,u v K X astfel încât 1. uh vf
Trecând la valoarea în  avem : ( ) ( ) 1uh , ceea e rezultă că inversul lui ()h este
( ) ( )uK .
În concluzie ()K este un corp comutativ, mai exact un subcorp al corpului φ.
60. Fie M un subcorp al lui  care conține pe K și  . Atunci () xK   ,
0 1 1, …,n a a a K  astfel încât 1
0 1 1 …n
n x a a a 
     și cum M este un corp, se deduce că
xM . Prin urmare x K x M    , deci ()KM . Aceasta presupune că printre
subcorpurile lui  care conțin pe M și pe  , corpul ()K este cel mai mic.

35
CAPITOLUL 2. INELUL NUMERELOR ÎNTREGI

2.1 Construcția mulțimii ℤ.
În vederea construirii mulțimii numerelor întregi ℤ, se va prezenta la început Teorema
lui Malțev de scufundare a unui monoid comutativ cu proprietatea de simplificare într -un grup
comutativ urmând ca prin particularizarea la cazul monoidului ( ℕ, +) să se obțină grupul
aditiv ( ℤ, +).
Teorema. (Malțev). Fie (M, ·) un monoid comutativ cu proprietatea de simplificare.
Atunci există un grup comutativ G(M) și u n morfism injectiv de monoizi i M:M →G(M) ce
verifică următoarea proprietate de universalitate :
Pentru orice grup comutativ G și orice morfism de monoizi f: M→ G există un unic
morfism de grupuri fʹ:G(M)→G a.î. diagrama  MiM G M 
f G f`
este comutativă ( adică Mf i f
).
Demonstrație. Pe mulțimea Mʹ=M×M definim relația (x, y) ∼(xʹ, yʹ)  xyʹ=yxʹ și se
probează că ∼ este o echivalență pe Mʹ compatibilă cu structura de monoid a lui Mʹ (adică ∼
este o congruență pe monoidul produs Mʹ=M×M ). În mod evident, relația ∼ este reflexivă și
simetrică. Dacă (x, y) ∼(xʹ, yʹ) și (xʹ, yʹ) ∼(xʹʹ, yʹʹ) atunci xyʹ=yxʹ și xʹyʹʹ=xʹʹyʹ, de unde
xxʹyʹyʹʹ=xʹxʹʹyyʹ, deci xyʹʹ= yxʹʹ (am simplificat prin xʹyʹ), adică ( x, y) ∼(xʹʹ, yʹʹ), deci
relația ∼ este și tranzitivă, de unde concluzia că ∼ este o echivalență pe Mʹ .
Fie acum (x, y), (xʹ, yʹ), (a, b), (aʹ, bʹ) ∈Mʹ a.î. (x, y) ∼(a, b) și (xʹ, yʹ) ∼(aʹ, bʹ) și se
probează că și (xxʹ, yyʹ) ∼(aaʹ, bbʹ ). Avem deci xb=ya și xʹbʹ=yʹaʹ, de unde xxʹbbʹ=yyʹaaʹ,
adică (xxʹ, yyʹ) ∼(aaʹ, bbʹ), adică relația ∼ este o congruență pe monoidul produs Mʹ în care
operația de compunere se definește prin (x, y)·(xʹ, yʹ)= =(xxʹ,yyʹ). Se consideră monoidul c ât
G(M)=Mʹ/ ∼ iar pentru (x, y) ∈Mʹ vom nota prin [x, y] clasa sa de echivalență în G(M).
Datorită faptului că relația ∼ este o congruență pe Mʹ se deduce imediat că G(M)
devine în mod canonic monoid comutati v, definind pentru [x, y], [xʹ,yʹ] ∈ G(M), [ x, y]·[xʹ,

36
yʹ]=[xxʹ,yyʹ] (elementul neutru al lui G(M) va fi [e, e], e fiind elementul neutru al lui M).
Deoarece pentru [x, y] ∈G(M), [x, y]·[y, x]=[xy, xy]=[e, e] deducem că [y , x]=[x, y] -1 , adică
G(M) este grup (comutativ).
Definim i M :M→G(M) prin i M(x)=[x, e] pentru orice x ∈M. Pentru x, y ∈M avem i M
(x)·i M (y)=[x,e]·[y, e]=[xy,e]=i M(xy) adică i M este morfism de monoizi. Dacă iM (x)=iM (y),
atunci [x, e]=[y, e] ⇔ xe=ye ⇔ x=y, adică iM este chiar morfism injectiv de monoizi . Să
arătăm acum că dubletul (G(M), iM) verifică proprietatea de universalitate din enunț. Pentru
aceasta fie G un grup comutativ oarecare și f: M→G un morfism de monoizi. Pentru [x,
y]∈G(M), definim fʹ([x, y])= =f(x) ∘(f(y)) –1. Se observă că dacă [x,y]=[xʹ,yʹ], atunci
xyʹ=xʹy,deci f(x) ∘f(yʹ)=f(xʹ) ∘f(y) ⇔ f(x) ∘(f(y)) –1=f(xʹ) ∘(f(yʹ) )-1,adică fʹ este corect definită.
Se dovedește acum că fʹ este morfism de grupuri. Avem fʹ([x, y]·[xʹ, yʹ]) = fʹ([xx ʹ,
yyʹ])=f(xxʹ)[ f(yyʹ)]-1= f(x)f(xʹ)[f(y)·f(yʹ)]-1= (f(x)[f(y)]-1)( f(xʹ)[f(yʹ)]-1) = fʹ([x, y])fʹ([xʹ,
yʹ]). Pentru x ∈M avem (fʹ ∘iM)(x)=fʹ(i M (x))= fʹ([x, e])=f(x)[f(e)]-1= f(x), de unde concluzia că
fʹ∘iM = f.
Pentru a proba unicitatea lui fʹ (cu proprietatea din enunț) se presupune că mai există
un morfism de grupuri fʹʹ:G(M)→G a.î. fʹʹ ∘iM = f. Atunci, pentru [x, y] ∈G(M) avem [x,
y]=[x, e]·[e, y]=[x, e]·[y, e]-1,de unde fʹʹ([x, y])=fʹʹ([x, e]·[y, e]-1)=fʹʹ(i M(x)∘(iM(y)-1)) =
fʹʹ(i M(x))∘(fʹʹ(i M(y)))-1= f(x) ∘(f(y))-1= fʹ([x, y]), adică fʹʹ= fʹ.
Observații.
1. Dacă f este un morfism injectiv de grupuri, atunci și fʹ este morfism injectiv de
grupuri . Într- adevăr, dacă [x, y] ∈G(M) și fʹ([x, y]) = e, atunci f(x)(f(y))-1 = e, deci f(x) = f(y),
de unde x = y, adică [x, y]= [x, x] = e.
2. Dacă pe mulțimea dubletelor (G, f) cu G grup abelian și f:M→G morfism injectiv
de monoizi definim relația (G, f ) ≤ (Gʹ, fʹ) ⇔ există h: G→Gʹ a.î. h este morfism injectiv de
grupuri și h ∘f = fʹ, atunci se verifică imediat că relația de mai sus este o relație de ordine iar
dubletul (G(M), i M ) din Teorema lui Malțev este cel mai mic element față de această relație
de ordine.
Definiție. Considerând monoidul ( ℕ, +) (care este monoid comutativ cu proprietatea
de simplificare) și urmând tehnica dată de Teorema lui Malțev, mulțimea subiacentă grupului
aditiv (G( ℕ), +) se notează prin ℤ și poartă numele de mulțimea numerelor întregi . Ținând

37
cont de faptul că i
:ℕ→ℤ , i
(n)=[n, 0] pentru orice n ∈ℕ este morfism injectiv de monoizi,
vom identifica fiecare număr natural n ∈ℕ prin elementul întreg [n, 0] astfel că ℕ va fi privită
în continuare ca submulțime a lui ℤ.
Fie  ,. z m n ZDacă m = n, atunci z = 0. Dacă m < n, atunci există p ∈ℕ*a.î
m p n (se notează p = n –m și astfel ( ) )m n m n   iar    0, ,0z p p   se identifică
cu numărul întreg –p iar dacă n< m, atunci există q ∈ℕ* a.î. n + q = m și astfel z = [q,0]
identificându- se cu numărul natural q.
Ținând cont de acestea putem scrie pe ℤ sub forma (- ℕ*)∪ℕ unde – ℕ*={-n n ℕ*}
sau ℤ  0, 1, 2,…   . Se notează ℤ* = ℤ − 0.

2.2 Înmulțirea numerelor întregi
Lema. Fie x, y, z, t, xʹ, yʹ, zʹ, tʹ ∈ℕ a.î. [x, y]=[xʹ, yʹ] și [z, t]=[zʹ, tʹ]. Atunci [xz+yt,
xt+yz]=[xʹzʹ+yʹtʹ, xʹtʹ+yʹzʹ] .
Demonstrație. Din ipoteză avem x+yʹ=y+xʹ și z+tʹ=zʹ+t astfel că [xz+yt, xt+yz]
=[xʹzʹ+yʹtʹ,xʹtʹ+yʹzʹ] ⇔(xz+yt)+(xʹtʹ+yʹzʹ)=(xt+yz)+(xʹzʹ+yʹtʹ) ⇔
x(z-t)+y(t- z)=xʹ(zʹ -tʹ)+yʹ(tʹ -zʹ)⇔(x-y)(z- t)=(xʹ -yʹ)(zʹ -tʹ) ceea ce este adevărat deoarece x -y =
xʹ-yʹ și z -t = zʹ – tʹ.
Fie acum α =[x, y] și β =[z, t] două numere întregi.
Definind α•β =[xz+yt, xt+yz], conform lemei deducem că această definiție este
corectă .
Propoziție. (ℤ, +, • ) este domeniu de integritate.
Demonstrație . Conform celor de mai înainte ( ℤ, +) este grup comutativ. Să
demonstrăm acum că ( ℤ, •) este monoid comutativ iar pentru aceasta fie α=[x, y], αʹ=[xʹ, yʹ],
αʹʹ=[xʹʹ, yʹʹ] trei elemente oarecare din ℤ.

38
Atunci :
α(αʹαʹʹ)=[x,y][xʹxʹʹ+yʹyʹʹ,xʹyʹʹ+yʹxʹʹ]=[x(xʹxʹʹ+yʹyʹʹ)+y(xʹyʹʹ+ yʹxʹʹ),x(xʹyʹʹ+yʹxʹʹ)+y(xʹxʹ
ʹ+yʹyʹʹ)]=[xxʹxʹʹ+xyʹyʹʹ+xʹyyʹʹ+xʹʹyy ʹ,xxʹyʹʹ+xxʹʹyʹ+xʹxʹʹy+yyʹyʹʹ] ,iar
(ααʹ)αʹʹ=[xxʹ+yyʹ,xyʹ+xʹy][xʹʹ,yʹʹ]=[(xxʹ+yyʹ)xʹʹ+(xyʹ+xʹy)yʹʹ,(xxʹ +yyʹ)yʹʹ+(xyʹ+xʹy)xʹʹ]
=[xxʹxʹʹ+xyʹyʹʹ+xʹyyʹʹ+xʹʹyyʹ, xxʹyʹʹ+xxʹʹyʹ+xʹxʹʹy+yyʹyʹʹ] ,de unde se deduce că
α(αʹαʹʹ)=(ααʹ)αʹʹ adică înmulțirea numerelor întregi este asociativă.
În mod evident, ααʹ=αʹα (deoarece înmulțirea numerelor naturale este comutativă ),
adică înmulțirea numerelor întregi este comutativă.
Deoarece α [1, 0]=[x, y][1, 0]=[x, y]=α, deducem că elementul neutru pentru
înmulțirea numerelor întregi este [1, 0]. Să arătăm acum că înmulțirea numerelor întregi este
distributivă față de adunarea numerelor întregi .
Într- adevăr,
α(αʹ+αʹʹ)=[x,y][xʹ+xʹʹ,yʹ+yʹʹ]=[x(xʹ+xʹʹ)+y(yʹ+yʹʹ),x(yʹ+yʹʹ)+y(xʹ +xʹʹ)]
=[xxʹ+xxʹʹ+yyʹ+yyʹʹ,xyʹ+xyʹʹ+yxʹ+yxʹʹ] iar
ααʹ+ααʹʹ=[x, y][xʹ,yʹ]+[x, y] [xʹʹ, yʹʹ] =[xxʹ+yyʹ, xyʹ+yxʹ]+ [xxʹʹ+yyʹʹ, xyʹʹ+yxʹʹ]
=[xxʹ+yyʹ+xxʹʹ+yyʹʹ, xyʹ+yxʹ+xyʹʹ+yxʹʹ]
de unde se observă că α(αʹ+αʹʹ)=ααʹ+ααʹʹ . Rezultă până acum că ( ℤ, +, • ) este un inel
comutativ unitar. Pentru a arăta că inelul ℤ nu are divizori ai lui zero se consideră ααʹ=0=[0,
0] cu α≠0. Atunci xxʹ+yyʹ=xyʹ+xʹy, de unde (x -y)(xʹ -yʹ)=0. Cum α≠0 (adică x -y≠0) rezută că
(xʹ-yʹ)=0 ⇔xʹ=yʹ ⇔ αʹ=0.

2.3 Relația de ordine naturală de pe Z.
Definiție. Pentru ,xyZ se definește relația xy prin xy yx   ℕ.
Teoremă. Dubletul ( ℤ, ≤) este mulțime total ordonată.
Demonstrație. Fie x, y, z ∈ ℤ ; deoarece x-x=0 ∈ℕ deducem că x≤x. Dacă x ≤y și y≤x
atunci există m, n ∈ℕ a.î. y- x= m și x -y= n, de unde m+n=0 și deci m= n= 0, adică x= y.

39
Dacă x≤y și y≤z, atunci există m, n ∈ℕ a.î. x+m=y și y+n=z. Cum x+(m+n)=z
deducem că x≤z, adică ( ℤ, ≤ ) este o mulțime ordonată. Faptul că ordonarea de pe ℤ este
totală rezultă din aceea că ℤ=(-ℕ*)∪ℕ iar (- ℕ*)∩ ℕ=∅.
Observație. Din felul în care s- a definit relația de ordine ≤ pe ℤ deducem că
ℕ={x∈ℤ 0x} iar – ℕ={x∈ℤ 0x}.
Propoziție. Fie x,y,z ∈ ℤ a.î x≤y.
Atunci: i ) – y≤-x
ii ) dacă z ≥ 0 atunci xz≤yz
iii ) dacă z ≤ 0 atunci xz≥yz .
Demonstrație .
i ) Din x ≤ y deducem că y -x∈ ℕ și cum (– x) – (- y) = y-x ∈ ℕ rezultă că –y ≤ – x.
ii ) Cum y-x ∈ℕ și z∈ ℕ avem (y-x)z ∈ ℕ adică yz -xz∈ ℕ, deci xz ≤ yz .
iii) Cum –z ∈ℕ și y-x∈ ℕ deducem că și (y -x)(-z)∈ℕ iar cum (y-x)(-z)=xz- yz∈ℕ
rezultă că xz ≥ yz.

2.4 Relația de divizibilitate în ℕ.
Definiție. Fie a,b ∈ ℕ. Spunem că b divide a (ba ), dacă există c ∈ ℕ astfel încât a =
b∙ c (nu definim divizibilitatea prin 0!) . În acest caz spunem că b este un divizor al lui a sau
că a este multiplu de b(ab
) .
Exemplu: 5 10 , deoarece există 2 ∈ℕ astfel încât 10 = 5 ∙2.
Relația de divizibilitate pe ℕ este reflexivă, antisimetrică și tranzitivă, adică ℕ  , este o
mulțime parțial ordonată în care 1 este cel mai mic element(element inițial) , iar 0 es te cel mai
mare element( element final).
Este evident că orice număr n >1 are cel puțin doi divizori: pe 1 și pe el însuși. 1 și n
sunt divizori improprii, iar divizorii proprii sunt ceilalți divizori ai săi.

40
Prin definiție , un număr prim este un număr mai mare decât 1 care nu are alți divizori
în afară de 1 și el însuși. Cele mai mici numere prime sunt 2, 3, 5, 7 etc.
Un număr se numește compus dacă are cel puțin un divizor netrivial (diferit de 1 și el
însuși).
Lemă. Orice număr natu ral, mai mare decât 1, are un divizor prim.
Demonstrație. Se presupune prin absurd că există un număr n > 1 care nu are divizori
primi. Notăm această mulțime de numere cu A , nevidă fiind și cum ℕ este bin e ordonată,
atunci există un cel mai mic element în A pe care îl notăm 0n. Rezultă că 0neste un număr
compus, deci 0n= ab, cu 1 <,ab <0n . Pentru a nu contrazice alegerea lui 0n, aA , adică
a areun divizor prim care va fi divizor și pentru 0n, ceea ce contrazice faptul că 0n∈ A.
Teoremă. Dacă n este un număr compus , atunci el are cel puțin un d ivizor prim
n .
Demonstrație. Dacă n este un număr compus, atunci putem scrie , n a b cu 1 <ab
<n. Dacă a >n , atunci n a b >n , fals. Așadar, an și a are un divizor prim. Deci,
n are un divizor prim mai mic sau egal cu n .
Teorema anterioară poate fi folosită pentru a determina numerele prime ≤ n .
Observație. Pentru a verifica dacă un număr este prim este suficient să se verifice
dacă are divizori primi ≤ n , ținând cont că dacă numărul n nu are factori primi ≤ n,
atunci el este prim.
Teorema împărțirii cu rest în ℕ. Fie două numere naturale m și n cu n ≠ 0. Atunci
există două numere naturale q și r unice astfel încât m = nq +r și r < n .
Numerele q și r care apar în enunțul teoremei se numesc câtul și restul împărțirii lui m la n .
Demonstrație. Se consideră mulțimea A={p ∈ ℕ ∃ k∈ ℕ, m =nk+s}.
Din 0, m n m m A    . Deci, mulțimea A nu este vidă. Atunci, cum ℕ este bine ordonată,
există r un cel mai mic element din A. Reiese că m = nq +r , pentru un qℕ.

41
Rămâne să arătăm că r < n . Dacă presupunem că rn , atunci r n u , pentru un u

2.5 Relația de divizibilitate în Z.
Definiție. Fie a și b două numere întregi. Spunem că b divide pe a ( sau a este divizibil
prin b , sau b este un divizor a lui a, sau a este un multiplu a lui b) dacă exisă un număr întreg
c, astfel încât a = b∙ c.
Relația de divizibilitate dintre numerele a și b se va nota : ab
sau ba .
Exemple.
 Se consideră aZ și cum 1 ( 1) ( )a a a      , rezultă că 1,a ,sunt divizori ai lui a.
 Dacă a = 48, divizorii lui 48 sunt : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
Observație. Dacă aZ , 0a, atunci numărul divizorilor lui a sunt în număr finit.

42
Înr-adevăr, dacă d este un divizor al lui a , există bZ, astfel încât a d b . Rezultă că
. a d b Cum 0b, atunci 1b , și deci 0 <da. În concluzie divizorii lui a sunt
printre numerele 1, 2,…, a și sunt în număr finit.
Proprietățile relației de divizibilitate pe ℤ :
 Este reflexivă, adică aa ,∀ aZ .
 Este tranzitivă, adică ab și bc rezultă că ac .
Adevărat, din ab și bcrezultă existența unor numere întregi 1n și 2n cu proprietatea
1 b an , 2 c bn , de unde se obține 1 2 1 2( ) ( )c an n a n n și notând 12 n n n Z, avem c an ,
adică ac.
 Nu este antisimetrică. Dacă a și b sunt numere întregi cu proprietatea ab și ba,
atunci ab (adică ab). Spunem că numerele a și b sunt asociate în divizibilitate și
vom scrie . a b a b   

De exemplu și 33 , dar 33 .
 Dacă 12, ,…,n a a a sunt numere întregi și d este un număr întreg care divide pe
fiecare , 1,2,…, ,ia i n atunci d divide orice combinație liniară de 12, ,…, ,n a a a adică d
1n
ii
ila
 , oricare ar fi 12, ,…,n l l l numere întregi.
În tr-adevăr, există 12, ,…,n k k k numere întregi cu proprietatea , 1,2,…,iia dk i n ,
de unde rezultă :
11nn
i i i i
iil a dl k
 . Notând
1n
ii
ik l k
 Z , obținem
1n
ii
il a dk
 , adică
d
1n
ii
ila
 .
 Dacă un număr întreg divide fiecare din termenii unei sume date, atunci acel număr
divide suma respectivă.
 Dacă două numere sunt divizibile prin același număr, atunci și diferența lor va fi
divizibilă cu acel număr.
 Dacă a, b și d sunt numere întregi și d≠0 , atunci a-b este divizibil prin d dacă și
numai dacă a și b dau același rest prin îmărțire la d.

43
Dacă 1 1 1,0 a dq r r   <d și 2 2 2 ,0 b dq r r   <d sunt împărțirile cu rest ale lui a și b la
d, atunci putem considera 12rr și avem 1 2 1 2( ) ( ), a b d q q r r     egalitate în care d
>1 1 2 0 r r r   și din unicitatea împărțirii cu rest rezultă că 12rr este chiar restul împărțirii
lui ab la d . În concluzie , d a b dacă și numai dacă 12rr.
 Dacă a și b sunt numere întregi și ba atunci, ( ),( )b a b a și ( ) ( )ba .
Relația a b c , cu cZ, este echivalentă cu relațiile:
() a b c    , ( )( )a b c   și ()a b c   .
Conform acestei proprietăți rezultă că pentru a stabili divizorii numărului întreg a este
suficient să -i aflăm pe cei naturali, iar restul divizorilor se obțin din aceștia punând semnul
minus în față.
Exemplu. Divizorii numărului 56 sunt : ±1, ±2, ±4, ±7, ±8, ±14, ±28, ±56.
Observație. Chiar dacă numărul divizorilor unui număr întregdat n este finit, nu
este simplu să îi obținem, mai ales dacă numărul n este mare. O metodă care poate fi folosită
este prin încercarea tuturor numerelor de la 1 la n . Dintre acestea , 1 și n sunt divizori, iar
dacă 1< d <n are proprietatea că dn atunci și n
d .
Lista numerelor printre care căutăm divizori ai lui n poate fi mai mult micșorată ținând
cont că dacă d nu divide pe n, atunci nici kd nu divide pe n . De exemplu , dacă n nu este
divizibil cu 3, atunci el nu este divizibil cu 6, nici cu 9 etc.
Aplicație. Fie 12, ,…,n a a a Z. Să se arate că există printre aceste numere întregi
câteva cu suma divizibilă cu 10.
Rezolvare . Fie 11pa, 2 1 2p a a , 3 1 2 3p a a a   ,…, 11 1 2 11 … p a a a    .
Vom nota cu 1 2 11, ,…,r r r resturile împărțirii lui 1 2 11, ,…,p p p la 10.
Deoarece aceste resturi nu pot lua decât zece valori, de la 0 la 9, rezultă că exist ă două egale
între ele : ijrr, cu 1i < 11j . Atunci 10 jipp, adică 10 12 …i i ja a a   .
Aplicație. Să se găsească toate numerele întregi n cu proprietatea că 233nn .
Rezolvare. Avem 3 3 3 33 3 3 3.nn     Cum 333nn rezută 33 3 3n adică 3 24n .

44
Deci  3 1, 2, 4, 6, 12, 24n        , de unde
 21, 9, 5, 3, 1,1,2,4,5,7,9,11,15,27 n     .

2. 6 C.m.m.d.c și c.m.m.m.c. al unor numere întregi.
Definiție. Fie a și b două numere întregi. Spunem că un număr întreg x este divizor
comun al numerelor a și b dacă xa și xb.
Definiție. Se numește cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c) al numerelor întregi a
și b , un număr întreg d dacă verifică următoarele condiții:
i) d este un divizor comun al lui a și b (da șidb ).
ii) Orice alt divizor comun d' al lui a și b divide neapărat și pe d ( d'a și d'b
implică d'd ).
Teoremă. Fie a și b două numere întregi. Atunci există un c.m.m.d.c.al numerelor a și
b.
Demonstrație. În cazul în care a=b=0, c.m.m.d.c este 0. Să presupunem că 0b.
Aplicând teorema împărțirii cu rest a numerelor întregi a și b , atunci există două numere
întregi q1 și r1 cu proprietatea că
1 1 1,0 a bq r r   <b . (1)
Dacă 10r atunci ba și c.m.m.d.c al numerelor a și b este b. Astfel, bb și ba, iar
dacă d' este divizor comun al lui a și b, în particular , satisface și d'b . Deci b este un
c.m.m.d.c al lui a și b.
Dacă 10r, conform teoremei cu rest a numerelor b și r1 se obțin numerele întregi q2,
r2 care indeplinesc relația 1 2 2 2 ,0 b rq r r   <1r (2)

45
Repetând acest procedeu se obț in numerele întregi 3,…, ,…m qq și 3,…, ,…m rr astfel
încât :
2 1 2 3 3 3
21
1 1 1 11,0
…………..
,0,
,
, ,0m m m m m
m m m m mm
mr r q r r
r r q r r
r r q r rr
r
r

  
  
 

    (3)
Pentru că 2 1 … …,m rrr   există un număr natural n astfel încât 0nr și 10nr.
Se arată că nr este c.m.m.d.c al numerelor a și b. Deoarece 11n n nr r q rezultă că
1 nnrr.
Din egalitatea 21n n n nr r q r rezultă că 2 nnrr. În continuare, din egalitatea
3 2 1 1n n n nr r q r    și cum nr divide pe 1nr, și pe 2nrrezultă că nr divide pe 3nr . Continuând
în același mod, ținând cont de egalitățile (3), se obține că rn divide pe 1 2 2 1, ,…, , .nnr r r r Apoi din
egalitatea (2) rezultă că rn divide pe b și deoarece rn divide și pe r1 se obține conform relației
(1) că rn divide pe a. În concluzie rn este divizor comun al numerelor a și b .
Fie d' un număr întreg cu proprietatea că da și db. Din egalitatea (1) se obține
11r a bq și deci 1dr . Apoi din egalitatea (2) se obține 2 1 2r b rq și deoarece db, 1dr
rezultă că 2dr.
Folosind egalitățile (3) se obține că d divide fiecare din numerele 3 4 1, ,…, , .nn r r r r
Astfel, în cazul în care b nu îl divide pe a , atunci nr ultimul rest nenul din șirul de egalități
(1), (2), (3), este un cel mai mare divizor comun al numerelor a și b .
Conform teoremei demonstrate pentru a obține c.m.m.d.c a două numere întregi a și b
, cu 0b , se împarte numărul a la b ; dacă restul împărțirii 1r este zero, atunci beste
c.m.m.d.c; dacă n u , se împarte bla restul împărțirii anterioare, 1r și se obține restul 2r ; apoi
se împarte 1r la2r și se obține un nou rest 3rș.a.m.d. Ultimul rest nenul este c.m.m.d.c al celor
două numere. Regula de obținere a c.m.m.d.c a două numere se numește algoritmul lui
Euclid.

46
Observații .
1) Dacă d este un c.m.m.d.c al numerelor întregi a și b, atunci și –d este un
c.m.m.d.c al lui a și b. Dacă d ar fi tot un c.m.m.d.c al lui a și b, atunci vom avea dd și
dd, prin urmare d=d. Rezultă deci că există întotdeauna două și numai două numere
întregi cu proprietatea celui mai mare divizor comun al numerelor a și b. Aceste două numere
sunt egale în modul și de semn contrar. Acela dintre ele care este pozitiv îl stabilim ca fiind
c.m.m.d.c ( a, b).
2) Din definiția c.m.m.d.c . rezultă că
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ).a b b a a b a b a b a b        
Conf orm observației 2) pentru a calcula cel mai mare divizor comun a două numere
întregi presupune a ne limita la cazul numerelor naturale.
Exemplu. Să se găsească c.m.m.d.c ( -720; 300).
Soluție. Avem (-720; 300) = (720,300).
Vom aplica algoritmul lui Euclid:
1) 720 = 300∙2 +120
2) 300 = 120 ∙2 + 60
3) 120 = 60 ∙2 + 0
Ultimul rest nenul este 60, deci c.m.m.d.c ( – 720; 300) = 60.
Teoremă. Dacă a și b sunt două numere întregi și d este un cel mai mare divizor
comun al lor, atunci există două numere întregi k și l , astfel încât d = ka +lb .
Demonstrație. Conform observațiilor anterioare d =  (a , b) și deci este suficient să
considerăm cazul d = (a, b) .
Dacă ba atunci d =  b = 0 a + (b), deci k = 0 și l 1.
Dacă b nu divide pe a , fie șirul împărțirilor succesive din algoritmul lui Euc lid:
a = bq1+ r1, (1)

47
b = r1q2+ r2, (2)
r1= r2q3+ r3 , (3)
………………………. ……………….
r2n = r1nqn + rn, (n)
r1n = rnq1n (n+1).
ultimul rest nenul, rn, fiind chiar ( a,b).
Din (1) se obține r1 = 1a + (-q1) b = k1a +l1b.
Din (2) rezultă r2= b – r1q2= b – ( k1a + l1b)q2= (-k1k2)a + (1- l1q2)b = k2a + l2b
cu k2 = -k1q2 și l2=1- l1q2.
Presupunem că m, cu 1  m n-1, are proprietatea că pentru pentru orice i, 1im ,
există numerele ik și li astfel încât
.i i ir k a l b
Din egalitatea ( m +1 ) – a rezultă că
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1()
( ) ( ) ,m m m m m m m m m
m m m m m m m mr r r q k a l b k a l b q
k k q a l l q b k a l b     
          
     
unde
1 1 1m m m mk k k q   și 1 1 1 .m m m ml l l q  
Astfel, prin inducție, rezultă că n n nr k a l b și deci ( , ) ,a b ka lb cu n kk, nll.
Definiție. Două numere întregi nenule a și b se numesc primele între ele dacă 1 este
c.m.m.d.c. al lor.
Numerele a și b sunt prime între ele dacă și numai dacă 1 sunt singurii lor divizori
comuni.
Numerele 25 7 și 18 sunt prime între ele . Aplicând algoritmul lui Euclid se obține :

48
257 = 18  14 + 5
18 = 5 3 + 3
5 = 3 1+ 2
3 = 2 1 + 1
2 = 1 2 + 0
și rezultă ( 257, 18) = 1 .
Observații.
1) Se consideră numerele a, b ∈ Zși d = (a,b) astfel încât d >0 .
Fie a = d  a' și b = d b'. Atunci a' și b' sunt prime între ele .
Așadar, fie d' un divizor comun al numerelor a' și b'. Atunci d∙d' este un divizor
comun al lui a și b. Deci d∙ d' îl divide pe d, adică există d''∈ℤ astfel încât d = dd'd'' . Astfel
d'd'' =1 și prin urmare d' = ± 1, ceea ce înseamnă că a' și b' sunt prime între ele .
2) Numerele a și b sunt prime între ele dacă și numai dacă există k,l ∈ℤ astfel încât
1 = ka + lb. Într- adevăr, dacă a este prim cu b , atunci (a,b) =1 și se obține k,l∈ℤ astfel încât 1
= k∙a + l∙b și ,da db, atunci 1dși deci d = ± 1, adică singurii divizori comuni ai lui a și b
sunt ± 1.
Definiție. Un număr înreg m se numește un cel mai mic multiplu comun ( pe scurt
c.m.m.m.c ) al numerelor întregi a și b , dacă verifică următoarele condiții:
 m este un multiplu comun al lui a și b ( adică a m și bm );
 orice alt multiplu comun al lui a și b este multiplu al lui m ( adică dacă am și bm,
atunci mm ).
Teorema. Fie a și b două numere întregi nenule. Dacă d este un c.m.m.d.c. al lui a și
b, atunci m = ab
d este un c.m.m.m.c. al lui a și b.
Demonstrație. Fie a = d∙k și b=d∙l, cu k,l∈ℤ. Atunci, m= b ∙ k=a∙ l și deci m este
multiplu comun al lui a și b.

49
Fie acum m'∈ℤ , astfel încât am și bm. Rezultă că există k1, l1∈ℤ astfel încât
m' = k1a = l1b, prin urmare 11 , m k kd l ld ceea ce implică 11k k l l. Dar numerele akb și
bld sunt prime între ele și deci există r,s ∈ ℤ , astfel încât r∙k + s ∙ l = 1. Prin înmulțirea
acestei egalități cu k1 obținem : k1=rkk 1 + slk1 = rll1 +slk1 = (rl1 + sk1) / și deci 1lk. Prin
urmare exisă l2∈ℤ astfel încât 12k ll și se obține că m' = k1a = l2la = l2m și deci mm.
Pentru că abmd satisface proprietățile din definiția c.m.m.m.c. , rezultă că m este un
c.m.m.m.c. al numerelor a și b.
Observație. Dacă m este un c..m.m.m.c. al numerelor întregi a și b, atunci și –m este
un cel mai mic multiplu comun al lor. Dacă m' este un alt c.m.m.m.c. , atunci mm și mm
deci mm . Așadar, numerele ( , )ab
ab sunt singurii c.m.m.m.c. ai lui a și b.
Notând întregul pozitiv care este c.m.m.m.c a lui a și b cu  ,ab , scriem relația
  ,,ababab .
Exemplu. Să se calculeze c.m.m.m.c al numerelor 4020 și -210 .
Rezolvare. Pentru a calcula c.m.m.m.c al numerelor 4020 și -210 este suficient să calculăm
c.m.m.m.c al numerelor 4020 și 210 cu algoritmul lui Euclid :
4020 = 210 ∙19 + 30
210 = 30 ∙ 7 + 0.
Deci c.m.m.m.c. a lui 4020 și -210 este 4020 2107 4020 28140.30  

2.7 Criterii de divizibilitate
2.7.1 Criteriul de divizibilitate cu 2nși 5n , n ∈ ℕ*. Un număr 1 1 0…kk p x x x x  este
divizibil cu 2n respectiv cu 5n , kn , dacă și numai dacă numărul format din ultimele n
cifre ale lui p , este divizibil cu 2n respectiv cu 5n.
Demonstrație. Scrierea numărului p în baza zece este:

50
1
1 1 2 1 0 10 10 … 10 …k k n
k k n n n p x x x x x x x
           .
Cum 2 10 (5 10 )n k n k pentru orice kn , rezultă că 2 (5 )nnpp dacă și numai dacă
1 2 1 0 2 …n
nnx x x x 1 2 1 0 (5 … )n
nnx x x x .
2.7.2 Criteriul de divizibilitate cu 3, 7 și 19. Un număr natural se divide cu 3 (7, sau
19 ) dacă și numai dacă suma dintre numărul format din ultimele două cifre mărit de 4 ori și
numărul format din celelalte cifre, este divizibilă cu 3 (sau 7, sau 19 ).
Demonstrație. Fie 1 2 1 0…kk p x x x x x  , unde k
și 2k și 12…kk q x x x  ,
10 b x x .
Atunci 24 4 10 4 (3 7 19 1) 4 3 7 19 4p q b q b q q              . Deci 19p dacă și
numai dacă 19 ( 4 )qb .
2.7.3 Criteriul de divizibilitate cu 7, 11, 13 . Un număr natural este divizibil cu 7 (
sau 11, sau 13 ) dacă și numai dacă diferența dintre cele două numere naturale obținute pri n
"tăierea" numărului dat în două astfel încât la dreapta să rămână un număr de 3 cifre, este
divizibil cu 7 (sau 11, sau 13 ).
Demonstrație. Fie 1 2 1 0…kk p x x x x x  unde k
, 2k și 13…kk q x x x  și 2 1 0 b x x x .
Atunci 310 (7 11 13 1) 7 11 13p q b q b q b q               . Rezultă că 7p dacă 7 ( )bq.
Exemplu: Să se arate că că numărul 12246 se divide cu 13.
246 -12 = 234 , unde 234 este divizibil cu 13.
2.7.4 Criteriul de divizibilitate cu 27 și 37 . Un număr natural se divide cu 27,
respectiv 37 dacă și numai dacă suma numerelor naturale obținute prin " tăierea " numărului
în grupe de câte 3 cifre, începând de la dreapta, se divide cu 27, respectiv cu 37.
Demonstrație. Fie 1 2 1 0…kk p x x x x x  .
Atunci32
2 1 0 5 4 3 1 2 10 … 10k
k k k p x x x x x x x x x
       . Cum 310 27 37 1   , avem

51
37 2 1 0 5 4 3 1 2 …k k k p M x x x x x x x x x      .
Deci 37p dacă și numai dacă  2 1 0 5 4 3 1 2 37 …k k k x x x x x x x x x    .
Exemplu. Fie numărul 3167126. Atunci : 126 +167 +3 = 296
296 = 37 ∙ 8, deci 296 37
.
Pe baza acestor criterii se poate deduce un criteriu general de divizibilitate:
2.7.5 Criteriul general de divizibilitate. Numărul natural 1 2 1 0…kk p x x x x x  se
divide cu 10q  b, cu *,,k q b 
, dacă și numai dacă înlăturând ultima cifră, apoi înmulțind
numărul obținut cu b și scăzând ( sau adunând) la noul număr de q ori cifra suprimată, se
obține un număr divizibil cu 10bb.
Demonstrație. Aplicând operațiile indicate se obține numărul
12
1 1 2 1 0(10 10 … 10 )kk
kk p x x x x b qx
           . Atunci 1010 (10 ) .p b p q b x   
Rezultă
că (10 )q b p dacă și numai dacă 1 (10 )q b p .
Exemplu. Să se verifice dacă numărul 343398 se divide cu 43.
43 = 10∙ 4 + 3, deci q= 4 și b=3.
Apilcând criteriul se obține:
1
2
3
4
5
63 34339 4 8 102985
3 10298 4 5 30874
3 3087 4 4 9245
3 924 4 5 2752
3 275 4 2 817
3 81 4 7 215
215 43p
p
p
p
p
p    
    
    
    
    
    

2.8 Numere prime, numere compuse .
Definiție. Un număr natural p ≥ 2 se numește prim dacă singurii săi divizori sunt ±1 și
±p.

52
Exemple. Numerele 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 sunt numere prime. Verificarea
acestui fapt se face efectuând împărțirea fiecăruia dintre ele la numerele mai mic i decât el.
Numărul 2 este singurul număr prim par.
Numerele prime pot fi privite ca blocuri din care se formează numerele naturale, cum
orice număr natural ≥ 2 este produs de numere prime .
Teoremă(Euclid). Există o infinitate de numere prime.
Demonstrație. Se presupune prin absurd, că mulțimea numerelor prime este finită.
Conform presupunerii există doar n numere prime 12, ,…, .n p p p Numărul 12… 1n P p p p
este mai mare decât 1, deci are un divizor prim. Cum fiecare ipnu divide P, acesta va fi
prim, adică k Pp pentru  1,…,kn , ceea ce este absurd.
Teoremă . Un număr natural p ≥ 2 este prim dacă și numai dacă oricare ar fi a și b
numere întregi astfel încât p divide pe a∙b , să rezulte că p divide pe a sau p divide pe b.
Demonstrație. Presupunem că p este prim, iar a și b ∈ℤ astfel încât p a b . Notăm
( , ).d p a Cum dp , atunci 1 d sau dp . În cazul în care dp , cum
da,atunci pa. Dacă 1 d , atunci numerele p și a sunt prime între ele. Dar există k,l ∈ℤ
astfel încât 1k a l p    . Înmulțind această egalitate cu b se obține că b kab lbp .
Deoarece p ab șip lbp , atunci rezultă că pb . Concluzia este că din p ab rezultă că pa și
pb .
Fie d un divizor al lui p, există d
astfel încât p dd  . Deci p dd și ținând cont
de ipoteză rezultă că pd sau pd . Dacă pd și deoarece dp avem . dp Dacă pd și
cum dp , avem dp . Dar , din p dd  , se obține 1 d . În concluzie , p este număr
prim.
Teorema fundamentală a aritmeticii. Oricare ar fi numărul întreg nenul n, diferit de
± 1, poate fi scris în mod unic ( poate să difere ordinea factorilor ) ca produs de numere prime

53
de forma p
pPn u p
 unde P este mulțimea numerelor prime și doar un număr finit din
numerele naturale p sunt nenule.
Demonstrație. Produsul se poate scrie sub forma 12
12 …s
s n up p p  , cu u unitate,
p1,…,p s numere prime distincte și ∝1,…,∝s≥ 1. Dar pentru un număr prim q,
ord qn= ord qu + pq
pPord p
 .
Cum u este unitate, 0qord u . Ord qp=1 dacă p=q, altfel ord qp=0. Rezultă astfel că
1 1 ,…, 1
s p s pord n ord n   .
Forma canonică a descompunerii este aceea de a scrie numărul ca produs de numere
prime distincte la puterile corespunzătoare, în ordine crescătoare.
Exemplu: 340200 = 23∙ 35 ∙ 52 ∙ 7.
Definiție. Orice număr natural diferit de 0 și 1care nu este prim se numește număr
compus. Un număr compus are cel puțin trei divizori.
Teoremă. Pentru orice număr natural 1n, există cel puțin n numere naturale
compuse consecutive.
Demonstrație. Considerăm numerele ( 1)! 2,( 1)! 3,…,( 1)! 1.n n n n      
Este evident că pentru 2 1, ( 1)!k n k n k     , deci cele n numere construite inițial
sunt toate compuse.
Observații .
1) Conform teoremei se pot construi 7 numere naturale consecutive compuse începând
cu 8!+2 = 40322. Dar, există 7 numere consecutive mult mai mici, ca de exemplu:
90,91,92,93,94,95,96 .
2) Teorema arată că distanța dintre două numere prime este arbitrară.
Un număr prim p se numește pereche , dacă p +2 este tot prim. Astfel, numere prime pereche
sunt 3, 5,17, 19 etc.

54
Numerele prime de forma 2 1, 0n
nFn   se numesc numere prime Fermat , iar numerele
prime de forma 21n se numesc prime Mersene .
Nu se cunoaște dacă mulțimea numerelor prime Fermat sau Mersene este finită sau infinită.
Teoremă (Dirichlet). Fie a și b numere naturale prime între ele . Atunci, progresia
aritmetică an +b ,n≥ 1 conține o infinitate de numere prime.
Conjectura lui Goldbach . Orice număr par este suma a două numere prime.
Exemple : 4 = 2+2 , 6 = 3 + 3, 10 = 5 + 5, 14 = 7 +7 , 16 = 5 +11 etc.
Au fost testate, cu ajutorul calculatoar elor electronice , numere pare foarte mari și toate s -au
dovedit egale cu suma a două numere prime. Totuși nimeni nu a reușit să demonstreze că
"orice număr par este sumă de două numere prime".

55
CAPITOLUL 3. ABORDAREA METODICA A RELATIEI DE DIVIZIBILITATE IN
ℤ.

3.1 Strategii didactice interactive bazate pe învățarea prin cooperare și
colaborare.
Se consideră că termenul de strategie își are originea în practica militară.” Strategia
este arta celui care conduce o forță militară către victoria finală” ( Napoleon).
Cu toate acestea , este de observat că prin ” strategie ” înțelegem, de fapt, orice
activitate îndreptată spre atingerea unui scop.
Noțiunea de strategie a fost introdusă în procesul instructiv -educativ din nevoia de a
găsi o alternativă practicilor tradiționale utilizate în învățământ. Strategia în educatie
presupune elaborarea de planuri, de programe, de proiecte pentru a atinge obiectivele generale
și specifice.
Putem spune că strategia didactică reprezintă o succesiune de activități de învățare
(care folosește resurse diferite) proiectată inițial și realizată în secvențe diferite de timp, prin
care sunt atinse obiectivele sau competențele stabilite . Elementul cel mai vizibil îl reprezintă
metoda, care poate da predominanță unei strategii.
Strategiile didactic e de învățare presupun stimularea competiției sau
promovarea muncii individuale ori pot fi cooperative, elevii lucrând pe grupe. Aceste trei
tipuri de strategii didactice nu se exclud, toate fiind utile la un moment dat. Însă cea care
trebuie să aibă dominanță în clasă este învățarea prin cooperare. Numeroase studii
demonstrează superioritatea strategiilor didactice cooperante față de cele competitive și
individuale în dezvoltarea proceselor cognitive superioare, a abilităților de comunicare, în
îmbunătățirea motivației, a stimei de sine, în dezvoltarea personalității. Pasivitatea elevilor în
clasă, consecință a modului de predare prin prelegere, nu produce învățare decât în foarte
mică măsură . De fapt, prelegerea presupune că toți elevii pot asimila aceleași informații, în
același ritm, ceea ce este departe de realitate.
Învățarea prin cooperare este o strategie pedagogică ce încurajează elevii să lucreze
împreună în microgrupuri în vederea îndeplinirii unui scop comun. Adesea se întâmplă ca
termenul de invățare prin cooperare să fie folosit ca sinonim al învățării prin co laborare.
Aceasta din urmă , este o strategie care implică elevii să susțină învățarea în grup sau echip ă,

56
dezvoltă responsabilitatea individuală în contextul interdependenței relaționale în cadrul
căreia membrii descoperă informații și se învață recipro c.
Colaborarea este o ” formă de relații ” între elevi, ce constă în soluționarea u nor
probleme de interes comun, î n care fiecare contribuie activ și concret.
Cooperarea este o ” formă de învățare”, de studiu, de acțiune reciprocă, interpersonală,
cu dura tă variabilă care rezultă din influențările reciproce ale agenților implicați.
Atât î nvățarea prin colaborare cât și cea prin cooperare accentuează importanța
implicării elevului în propriul proces de învățare.

Pentru a asigura succesul interacțiunii în grup, profesorul trebuie să le dezvolte
elevilor anumite abilități precum:
 capacități de comunicare și redare a ceea ce au reținut pentru a verifica
înțelegerea;
 capacitatea de a ajunge la consens;
 capacități de a emite și a primi feed -back-uri;
 capacitat ea de a reflecta asupra celor discutate și a se concentra asupra
priorităților;
 capacitatea de a oferi și e a primi ajutor din partea colegilor și de a nu prelua
controlul întregului grup.
Aceste strategii bazate pe cooperare și colaborare sunt folosite de profesor pentru a
elimina ierarhizarea tradițională a elevilor în clasă, focalizând interesul pe ajutor reciproc , pe
discutarea împreună a situațiilor și pe contribuția fiecăruia în activitate. Fiecare membru

57
trebuie să aibă un rol de îndeplinit în cadrul grupului , o responsabilitate. Rolurile trebuie însă
schimbate periodic astfel încât, fiecare membru să aibă șansa de a exersa noi roluri, noi
responsabilități .

Învățarea prin cooperare este bazată pe următoarele principii:
 interdependența pozitivă – succesul grupului depinde de efortul depus în
realizarea sarcinii de către toți membrii;
 responsabilitatea individuală – fiecare membru al grupului își asumă
responsabilitatea sarcinii de rezolvat;
 formarea și dezvoltarea capacităților social e – stimularea inteligenței
interpersonale care se referă la abilitatea de a comunica cu celălalt;
 interacțiunea față in față – presupune un contact direct cu partenerul de lucru,
aranjarea scaunelor în clasă astfel încât să se poată crea grupuri mici de interacțiune în care
elevii să se încurajeaze și să se ajute reciproc;
 împărțirea sarcinilor în grup și reflectarea asupra modului cum se vor rezolva.

58

Etapele învățării prin cooperare
Învățarea prin cooperare presupune o dinamică și un activism susținut continuu de
eforturile participanților. Etapele stategiei de muncă în echipă presupun considerarea
factorilor favorizanți și defavorizanți ai rezolvării de probleme în colectiv.
 Prima etapă are în vedere constituirea grupului de lucru. Membrii ace stuia trebuie
să îndeplinească anumite calități pentru a facilita soluționarea problemei puse în discuție: să
fie toleranți fată de părerile colegilor, să dețină optime abilități de comunicare a ceea ce
doresc să transmită, să nu fie egoiști, să acorde ajutor și să primească ajutor atunci când au
nevoie.
 A doua etapă se concretizează atunci când participanții se confruntă cu situația de
rezolvat și sunt stimulați să lucreze împreună pentru a o rezolva. În această etapă are loc
familiarizarea cu elementele problemei, analiza acesto ra și stabilirea priorităților și a
responsabilităților.
 A treia etapă este destinată reflecțiilor, incubației și tatonărilor. Este faza

59
documentării și a cercetării care se poate întinde pe o perioadă mai lungă sau mai scurtă de
timp.
 A patra etapă este rezervată dezbaterilor colective, când sunt confruntate ideile,
sunt analizate erorile și punctele forte. „Calitatea învățării prin cooperare depinde de calitatea
dezbaterii democratice instaurate între elevi prin dubla exigență a rigorii intelectuale și a eticii
comunicaționale (a asculta și a respecta partenerul, a căuta să -i înțelegi opiniile, modul de a
gândi, a avea nevoie de păreri și puncte de vedere diverse pentru a -și construi propria
gândire). ” (Mușata Bocoș, 2002, p. 218)
 A cincea etapă se referă la structurarea demersurilor către finalul dezbaterii cu
obținerea concluziilor și cu soluționarea problemei. Are loc integrarea noilor achiziții în
sistemul celor existente prin restructurarea celor existente în lumina celor nou dobândite.
Condițiile desfășurării etapelor cooperării eficiente se referă la relațiile de bună înțelegere
între membrii echipei de lucru, la acceptarea din partea tuturor membrilor grupului a planului
de lucru în vederea atingerii țelului comun, la a doptarea unui mod comun de comunicare a
rezultatelor și de evaluare a soluției.

3.2. Aplicații ale metodelor moderne în predarea divizibilității în mulțimea
numerelor întregi.
Metode le de invatamant – reprezinta acele căi prin care elevii ajung, in procesul de
invatamant, sub coordonarea educatorilor, la dobandirea de cunostinte, deprinderi, la
dezvoltarea capacitatilor intelectuale si la valorificarea aptitudinilor specifice.
În vederea dezvoltării gândirii critice la elevi, trebuie să utilizăm, cu precădere unele
strategii activ- participative, creative. Acestea nu trebuie rupte de cele tradiționale, ele
marcând un nivel superior în spirala modernizării strategiilor didactice.
Dintre metodele moderne specifice învățării active care pot fi aplicate cu succes și la
orele de matematică fac parte: metoda piramidei, metoda mozaicului, metoda cubului, turul
galeriei, interviul în trei trepte.
În continuare voi exemplifica aplicar ea acestor metode bazate pe învățarea prin
cooperare în cadrul unor lecții de la unitatea de învățare Divizibilitatea numerelor naturale la
clasele aV- a, a VI- a și aVIII -a.
3.2.1 Metoda mozaicului aplicată la tema Numere prime, numere compuse , clasa aVa.
Metoda a fost aplicată în acestă lecție la secvența Dirijarea învățării pentru a stabili

60
șirul numerelor prime mai mici decât 100, aplicând procedeul numit Ciurul lui Erastotene.
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Etapele de lucru:
 Se organizează colectivul clasei în patru grupe, fiecare grupă având cinci membri.
Fiecare elev primește câte un număr de la 1 la 5 și are ca sarcină să studieze o sub –
tema. Acesta trebuie să devină expert în problema dată.
 Constituirea grupelor de experți – elevii cu același număr se reunesc în grupe de
experți și dezbat impreună sub -tema primită ca sarcină de lucru, astfel:

Expert 1 – Elevii din aceasta grupă elimină numerele divizibile cu 2, cu excepția lui 2 .
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

61
Expert 2 -Elevii din aceasta grupă elimină numerele divizibile cu 3, cu excepția lui 3 .
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Expert 3 – Elevii din aceasta grupă elimină numerele divizibile cu 5, diferite de 5 .
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Expert 4 – Elevii din aceasta grupă elimină numerele divizibile cu 7, cu excepția lui 7 .
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

62
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Expert 5 – Elevii din aceasta grupă elimină multiplii lui 11, cu excepția lui 11 .
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

 Reîntoarcerea în echipa inițială de învățare – se face raportul de echipă. Fiecare
membru își prezintă rezolvarea sarcinii de lucru și fiecare grup ajunge la solutia finală
completând pe un nou cartonaș numerele eliminate.
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Numerele nemarcate din tabel sunt numere prime.

63
Toate cele patru grupe au realizat sarcina de lucru cu succes, identificând corect
numerele cerute.
 Trecerea în revistă cu toată clasa a materialului dat, elevii notând în caiete șirul
numerelor naturale prime mai mici decât 100.
3.2.2. Metoda piramidei sau metoda bulgărelui de zăpadă se bazează pe îmbinarea
activității individuale cu cea desfășurată în mod cooperativ, în cadrul grupului.
S-a aplicat această metodă la tema Criteriile de divizibilitate cu 2, 5, 10n, 3 și 9 , la
clasa aV- a în secvența dirijarea învățării .
Etapele de lucru:
 Etapa introductivă – profesorul distribuie o fisa de lucru pentru fiecare elev și face
cateva precizăti referitoare la modul de desfășurare a activității.
 Etapa lucrului individual – elevii lu crează individual timp de șapte minute prima
activitate de învățare din fișa de lucru. Aceia care întâmpină dificultăți î n rezolvarea acesteia
vor pregăti întrebări pe care le vor adresa colegilor când se vor reuni pe echipe.

Activitatea 1. Completați in tabel rezultatele produselor.
10 ∙ n 10 ∙0 10 ∙1 10 ∙ 2 10 ∙ 3 10 ∙ 4 10 ∙5 10 ∙ 6 10 ∙7 10 ∙ 8 10 ∙ 9
Multiplii lui 10

a) Ultima cifră ( cifra unităților) a oricărui multiplu al lui 10 este ……………………. .
b) Sunt divizibile cu 10 numerele naturale care au cifra unităților egală cu ………….. .
c) Numerele naturale care au ultima cifră diferită de 0 ………………. divizibile cu 10 .
Completați in tabel rezultatele produselor.
5 ∙ n 5 ∙ 0 5 ∙1 5 ∙ 2 5 ∙ 3 5 ∙ 4 5 ∙5 5∙ 6 5 ∙7 5 ∙ 8 5 ∙ 9
Multiplii lui 10

a) Ultima cifră a oricărui multiplu al lui 5 este ……………………………………… .

64
b) Numerele naturale care au ultima cifră diferită de 0 și 5 ………… divizibile cu 5 .
 Etapa lucrului în perechi – elevii formează grupe de doi elevi pentru a discuta
rezultatele individuale la care a ajuns fiecare. Se solicită răspunsuri la întrebările individuale
din partea colegilor și, se notează dacă apar altele noi . Tot în această formulă elevii vor
parcurge a doua activitate de învățare propusă în fișa de lucru .

Activitatea 2. Completați in tabel rezultatele produselor.
2 ∙ n 2 ∙ 0 2 ∙1 2 ∙ 2 2 ∙ 3 2 ∙ 4 2 ∙5 2 ∙ 6 2 ∙7 2 ∙ 8 2 ∙ 9
Multiplii lui 2

a) Cifrele pare din sistemul zecimal sunt …………………………………. .
b) Ultima cifră a oricărui multiplu al lui 2 este o cifră …………………… .
 Etapa reuniunii în grupuri mari – elevii se reunesc în patru grupe , aproximativ egale
ca număr de participanți și se discută despre soluțiile la care s -a ajuns. Totodată se răspunde la
întrebările rămase nesoluționate .
Activitatea 3.
a)Un număr natural este divizibil cu 3 dacă suma cifrelor sale este multiplu de 3.
Exemplu : 24 3
, deoarece 2 4 6 3
.
Completați cu alte două exemple : ……………………………………………………..
……………………………………………………..
b) Un număr natural divizibil cu 3 are suma cifrelor sale un număr natural divizibil cu 3.
Exemplu: 18 3
, atunci 1 8 9 3
.
Completați cu un exemplu ………………………………………………………….. .
Un număr natural este divizibil cu 9 dacă suma cifrelor sale este multiplu de 9.
Exemplu : 27 9
, deoarece 2 7 9 9
.

65
Completați cu alte două exemple : ……………………………………………………..
……………………………………………………..
d) Un număr natural divizibil cu 9 are suma cifrelor sale un număr natural divizibil cu 9.
Exemplu: 18 9
, atunci 1 8 9 9
.
Completați cu un exemplu ………………………………………………………….. .
 Etapa raportării soluțiilor în colectiv – întreaga clasă reunită , analizează și se emit
ideile finale . Se lămuresc și răspunsurile la întrebările nerezolvate până în această fază, cu
ajutorul profesorului.
 Etapa decizională – parcurgând activitațile de învățare din fisa de lucru , elevii au
descoperit criteriile de divizibilitate cu 2, 5, 10n, 3 și 9 . Se scriu în caiete enunțurile acestora.
Aplicarea metodei piramidei la această temă a adus avantajul stimulării învățării prin
cooperare, sporind elevilor încrederea în forțele proprii prin testarea ideilor emise individual,
mai întâi în gru puri mici și apoi în colectiv . Lucrul în echipă a oferit elevilor posibilitatea de
a-și împărtăși părerile, experiența , informațiile și strategiile de lucru .
3.2.3. Metoda cubului . Această metodă presupune abordarea unei teme prin proiectarea
ei pe ce le șase fețe ale unui cub, fiecare dintre ele presupunând o analiză distinctă a
subiectului respectiv . Procesele de gândire implicate sunt asemănătoare celor prezentate în
taxonomia lui Bloom .
Metoda cubului evidențiază prin cele șase verbe care se scriu pe fiecare față a cubului cât
mai multe tipuri de operații mentale, corespunzătoare următoarelor categorii de cunoștințe
implicate în demersul de învățare:
1. COMPLETEAZĂ – stimulează cunoștințe le empirice, raportate la capacitățile de
identificare, denumire, descriere și memorizare;
2. APLICĂ – antrenează cunoștințele intelectuale, implicând operațiile de înțelegere,
cele de comparare și de ordonare ;
3. ASOCIAZĂ – antrenează cunoștințele decizionale, valorizând capacitatea de a
emite judecăți de valoare asupra subiectului propus, de a lua decizii .
4. COMPARĂ – stimulează cunoștințele raționale, presupunând abilități analitice și
sintetice, raționamente inductive și deductive;
5. ANALIZEAZĂ – antrenează cunoștințele intelectuale implicând operațiile de
clasificare și relaționare ;

66
6. ARGUMENTEAZĂ – antrenează cunoștințele decizionale, capacitatea de a construi
argumente.
În continuare voi descrie o activitate desfășurată la calsa a VIII -a, cu tema
”Divizibilitatea numerelor naturale ”, ce a avut ca scop reactualizarea cunoștințelor în vederea
pregătirii pentru examenul de Evaluare Națională.
Etapele metodei :
 Propunerea temei activității – ”Divizibilitatea numerelor naturale ”.
 Împărțirea clasei în șase grupe omogene.
 Oferirea de explicații elevilor: – pe cele șase fețe ale unu i cub se scriu verbele :
Completează !, Aplică!, Asociază!, Compară!, Analizează!, și Argumentează !
 Rezolvarea sarcinii activităților – timp de 20 min fiecare dintre cele șase grupe va
trata tema propusă, astfel :

67
FISA DE LUCRU NR. 1 – GRUPA NR. 1

Completați următoarele enunțuri :
1. Valorile lui x pentru care numărul de forma 6xx se divide cu 2 sunt …………………… .
2. Cel mai mare număr de forma 32a divizibil cu 4 este ……………………………………. .
3. Suma divizorilor naturali ai numărului 21 este egală cu …………………………………… .
4. Descompunând în factori primi numărul 120 se obține …………………………………… .
5. Cel mai mare divizor comun al numerelor 45 și 30 este …………………………………… .
6. Numerele de forma 2 34x divizibile cu 9 sunt …………………………………………….. .
7. Multiplii de două cifre ai numărului 15 sunt ……………………………………………….. .
8. Două numere naturale prime între ele au c.m.m.d.c egal cu ………………………………. .
9. Numerele naturale de forma 23xy divizibile cu 10 sunt ………………………………… .

68
FISA DE LUCRU NR. 2 – GRUPA NR. 2

1. Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor :
a) 24a atunci 6a ;
b) 4a și ab , atunci 4b ;
c) 2x și 5y , atunci 10xy ;
d) 1a , atunci 1a ;
e) 7 35 și 7 35 a 7a .
Enunțați proprietățile relației de divizibilitate pe care le -ați aplicat .

2. Aplicați algoritmul de calcul și aflați c.m.m.d.c pentru numerele :
a) 180 și 150 ; b) 27 și 128 .

3.Verificați relația    ;;a b a b a b   pentru :
a) a =12 și b = 42 ;
b) a = 54 și b = 63 .

69
FISA DE LUCRU NR. 3 – GRUPA NR. 3

1. Asociați fiecărui enunț din coloana A rezultatul corespunzător din coloana B.

A B
a) Mulțimea divizorilor lui 10 este 1) 12
b) C.m.m.d.c. al numerelor 12 și 20 este 2) 10
c) C.m.m.m.c al numerelor 6 și 4 este 3) { 1,2,5,10 }
d) Numărul divizorilor lui 48 este 4) { 0,1,2,5,10 }
5) 4
2. Asociați fiecărui enunț valoarea de adevăr corespunzătoare ( A/ F).
a) Cel mai mare număr natural de forma 2 25xy
este 275 –––––
b) Media aritmetică a divizorilor proprii ai numărului 18 este egală cu 5 ––––
c) Numărul numerelor de forma 2 18 3c
este egal cu 4 ––––
d) Singurul număr natural prim par este 2 ––––––

70
FISA DE LUCRU NR. 4 – GRUPA NR. 4

1. Scrieți mulțimea divizorilor celor două numere și identificați divizorii comuni :
a = 18 și b = 32 ;  
 
 18
32
18 32…………………………………………………….
…………………………………………………….
……………………………………………D
D
DD


2. Scrieți elementele mulțimilor :
 
 
 12
24
36
12 24 36……………………………………………..
…………………………………………….
…………………………………………….
……………….M
M
M
M M M


     …………
Identi ficați cel mai mic multiplu comun al numerelor [ 12, 24 și 36 ] .

3. Determinați cifra x pentru care numerele 120 și 937x nu sunt prime între ele .

71

FISA DE LUCRU NR. 5 – GRUPA NR. 5

1. Determinați numerele prime a și b, știind că 3 5 41.ab

2. Demonstrați că numărul 5 1 22 2 3 2 ;n n nan      
se divide cu 46.

3. Arătați că dacă fracția 79
53x
x
 se simplifică, atunci ea se simplifică cu un divizor al
lui 66 .

72

FISA DE LUCRU NR. 6 – GRUPA NR. 6

1. Bunicul are 38 de mere și 24 de pere pe care le distribuie în mod egal nepoților săi .
Știind că îi rămân câte trei fructe din fiecare fel, aflați câți nepoți are bunicul .

2. Trei autobuze pleacă din stație la ora 8 : 00, în direcții diferite. Primul autobuz face
cursa dus-întors în 42 de minute, al doilea în 84 de minute, iar al treilea în 126 de
minute. La ce oră vor pleca din nou, simultan din stație.

3. La un concurs participă 36 de fete și 45 de băieți . Toți participanții sunt grupați în
echipe cu același număr de copii, iar fiecare echipă are același număr de fete .
a) Arătați că nu se pot forma 5 echipe .
b) Care este numărul maxim de echipe care se pot forma ? Dar numărul minim ?

73
La finalul activității fiecare grupă a expus pe un poster rezolvările exercițiilor și
problemelor din fișele de lucru.
Avantajele aplicării metodei cubului :
 Determină participarea conștientă a elevilor prin implicarea maximă a
acestora în rezolvarea sarcinilor;
 Permite diferențierea sarcinilor de învățare;
 Formează deprinderi de muncă intelectuală;
 Stimulează gândirea logică a elevilor;
 Crește responsabilitatea elevului față de propria învățare, dar și față de grup ;
 Sporește eficiența învățării – elevii învață unii de la alții ;
 Dezvoltă abilități de comunicare și cooperare.

Dezavantajele acestei metode sunt :
 Rezolvarea sarcinilor solicită resurse mari de timp ;
 Se creează un zgomot oarecare ;
 Facilitează erori în învățare ;
 Nu există un control precis asupra cantității / calității cunoștințelor
dobândite de fiecare elev.
3.2.4. Metoda R.A.I . ( Răspunde – Aruncă – Interoghează) – vizează „ stimularea și
dezvoltarea capacităților elevilor de a comunica (prin întrebări și răspunsuri) ceea ce tocmai
au învățat.” (Oprea, 2006, 269).
Poate fi utilizată în orice moment al activității didactice, în cadrul unei activități
frontale sau de grup.
Metoda a fost aplicată la o lectie mixtă, la clasa a VI -a, cu tema Descompunerea
numerelor naturale în produs de puteri de numere prime , în secvența de reactualizare și
verificare a cunoștințelor dobândite anterior .
Etapele metodei:
 se precizează conținutul/tema supus/ă evaluării – întrebările vor viza concepte legate
de divizibilitate studiate în lecțiile anterioare;
 se formează grupele – fiecare elev spune un număr de la 1 la 16. Cei cărora le -au
coresp uns numere pare formează grupa Isteților , iar restul cea de- a doua grupă a Faimoșilor.
 se pregătesc întrebările pentru grupa adversă – timp de cinci minute participanț ii

74
fiecărei grupe cooperează și stabilesc o listă de întrebări care urmează a fi lansate celor din
grupa adversă in timpul jocul ui.
 se oferă o minge ușoară elevului desemnat să înceapă activitatea;
 acesta formulează o întrebare și aruncă mingea către un coleg din grupa adversă care
va preciza răspunsul; la rândul său, acesta va arunca mingea altui coleg, adresându -i o nouă
întrebare;
 elevul care nu va putea oferi răspunsul corect la întrebare va ieși din „ joc”, răspunsul
corect fiind specificat de cel ce a formulat întrebarea; acesta are dreptul de a mai adresa o
întrebare, iar în cazul în care nici el nu cunoaște răspunsul corect, va părăsi „ jocul ” în
favoarea celui căruia i -a adresat întrebarea;
 în „joc” vor rămâne numai elevii care demonstrează că dețin cunoștințe solide în
legătură cu tema evaluată și câștigă echipa cu cei mai mulți participanți rămași în joc; jocul se
finalizează când sunt epuizate întrebările pregătite la început de fiecare echipă.
 la final, profesorul declară învingătoare grupa Isteților care a rămas cu 6 participanți
din 8, față de echipa Faimoșilor care a rămas cu 5 elevi ; se clarifică eventualele
probleme/întrebări rămase fără răspuns.
Pe parcursul activității, profesorul -observator identifică eventualele carențe în pregătirea
elevilor și poate adopta astfel deciziile necesare pentru îmbunătățirea performanțelor acestora,
precum și pentru optimizar ea procesului de predare- învățare.

Lista cu întrebările ( itemii) formulate de cele două grupe.

Grupa Isteților
1. Enunțați criteriul de divizibilitate cu 2.
2. Care sunt numerele prime mai mici decât 20 ?
3. Precizați cel mai mic număr de trei cifre identice divizibil cu 3 .
4. Enumerați trei numere naturale care au divizor comun pe 7 .
5. Numiți trei numere prime care îl divid pe 42 .
6. Care sunt multiplii numărului 11 mai mici decât 100 ?
7. Definiți numărul prim.
8. Enumereați divizorii proprii ai numărului 28 .

75
Grupa Faimoșilor
1. Precizați două numere naturale care se divid simultan cu 2 și 5 .
2. Enunțați criteriul de divizibilitate cu 3 .
3. Care sunt numerele prime de forma 2x ?
4. Dați trei exemple de numere prime care il divid pe 30 .
5. Care este definiția numărului compus ?
6. Dacă un număr se divide simultan cu 3 și 5, atunci cu ce alt număr se divide ?
7. Dacă un număr natural n se divide cu 24, enumerați alți trei divizori ai număului n.
8. Precizați două n umere naturale divizibile cu 13.

La sfârșitul orei, timp de cinci minute, elevii au completat următorul chestionar:

CHESTIONAR- autoevaluare
1. Am învățat ……………………………………………………………………………………..
2. Mi-a plăcut să ………………………….. …………………………………………………….
3. Cel mai ușor a fost să ………………………………………………………………………
4. Cel mai dificil a fost să ……………………………………………………… …………….
5. Am întâmpinat următoarele dificultăți …………………………………………………
6. Îmi propun să ………………………………………………………………………………….

La finalul activității am putut aprecia avantajele și limitele aplicării acestei metode în
cadrul orelor de matematică.
Avantaje:
 elementele de joc asociate acestei metode transformă demersul evaluativ într -o
activitate plăcută, atractivă, stimulativă pentru elevi;
 este o metodă eficientă de evaluare, dar și o metodă de învățare interactivă;
 promovează interevaluarea și interînvățarea;
 permite realizarea unui feedback operativ;
 nu implică sancționarea prin notă a performanțelor elevilor, având rol constativ –
ameliorativ, ceea ce el imină stările emoționale intens negative;
 permite formarea și consolidarea deprinderii de ascultare activă;

76
 contribuie la formarea și dezvoltarea capacității reflective;
 ajută la dezvoltarea competențelor de relaționare;
 permite dezvoltarea competențelor de comunicare;
 contribuie formarea și dezvoltarea competențelor de evaluare și autoevaluare;
 promovează dezvoltarea capacității argumentative etc.

Dezavantaje / limite:
 consum mare de timp;
 răspunsuri incomplete sau incorecte, în condițiile în care profesorul nu monitorizează
cu atenție activitatea grupului;
 aparentă dezordine;
 apariția unor conflicte între elevi etc..
 nonimplicarea unor elevi sau etichetarea elevilor care au nevoie de mai mult timp
pentru formularea întrebărilor/răspunsurilor;
 marginalizarea sau autoizolarea elevilor care împărtășesc anumite opinii;
 dezinteres, neseriozitate manifestată de unii elevi;
3.2.5. Metoda Interviul în trei trepte este o tehnică de învățare prin colaborare (Kagan,
1990), în care partenerii se intervieveaza reciproc, în legatura cu un anumit subiect.
Astfel într- un grup alcătuit din trei elevi interviul în trei trepte se realizează în trei pași:
Pasul I: Primul elev îl intervieviază pe cel de -al doilea elev în timp ce al treilea elev
notează principalele idei.
Pasul II: Al doilea elev îl intervieviază pe cel de -al treilea elev în timp ce primul elev
notează principalele idei.
Pasul III: Al treilea elev îl intervieviază pe primul elev în timp ce al doilea elev
notează principalele idei.
Aplicată la clasă metoda începe cu activitatea profesorului care aduce în discuție o
problemă ce trebuie soluționată de grupurile de lucru alcătuite din trei sau patru elevi. După
ce fiecare grup și -a conturat soluția la această problemă incepe interviul în trei trepte după
modelul prezentat mai sus.(Dacă grupul este alcătuit din patru elevi se lucrează în perechi,
aceștia intervievându -se reciproc.) După terminarea interviurilor se elaborează o soluție finală
a grupului ce va fi comunicată profesorului și celorlalte grupuri de lucru. Activitatea se poate
încheia cu o dezbatere asupra soluțiilor avansate de grupurile de lucru.

77
Metoda a fost aplicată la clasa a VI- a în cadrul lecției Cel mai mare divizor comun;
numere prime între ele în secvența de reactualizare a cunoștințelor.

Desfășurarea activității:

 Colectivul clasei a fost împărțit în cinci grupe a câte trei elevi fiecare;
 Profesorul distribuie fiecărei grupe o fișă de lucru.

FIȘA DE LUCRU
Exercițiu : Determinați numerele de forma 15xy divizibile u 15.
a) Copletați spatiile punctate cu întrebările pe care le adresați colegilor din grupă și care
conduc la rezolvarea exercițiului .
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
b) Redact ați rezolvarea exercițiului.

78
În tabelul următor sunt redate sintetic principalele întrebări pe care elevii și le -au adresat.
ÎNTREBĂRI/ CERINȚE RĂSPUNSURI
1. Ați studiat criteriul cu 15 ?

2. Când un număr se divide cu
15 ?

3. Enunțați criteriile cu 3 și 5.

4. Dacă numărul 15xy
5 ce
rezultă?

5. În cazul când y = 0, ce valori
ia x ?

6. În cazul când y = 5, ce valori
ia x ?
7. Care sunt numerele de forma
15xy
15 ? 1.Nu.

2. Dacă un număr se divide simultan cu 3 și 5 ,
atunci se divide cu 15 .

3. Se enunță cele două criterii.

4. Din această condiție  0,5y .

5.  0,3,6,9x

6.  1,4,7x

7. 1050,1350,1650,1950,1 5 151155,1455,1755xy


La final are loc o dezbatere asupra soluțiilor avansate de grupurile de lucru,
coordonată de profesor. Acesta face aprecieri asupra modului în care s -a desfășurat
activitatea și evidențiază elevii care au avut o participare mai activă la rezovarea sarcinii
de lucru .
Ca și celelalte metode și metoda Interviul în trei trepte are avantajele și limitele sale :

79
Avantaje:
 formarea și consolidarea deprinderii de ascultare activă;
 dezvoltarea competențelor de relaționare;
 dezvoltar ea competențelor de comunicare;
 participarea activă, implicarea tuturor elevilor în realizarea sarcinilor propuse;
 stimularea eforturilor de intercunoaștere și autocunoaștere;
 formarea și dezvoltarea capacității de cooperare, a spiritului de echipă;
 dezvol tarea capacității argumentative;
 formarea și dezvoltarea competențelor de evalure și autoevaluare;
 formarea și dezvoltarea competențelor metacognitive etc.

Limite:
 ironizarea unor elevi,
 instalarea complexului de inferioritate sau superioritate în cazul unor elevi;
 ,,contaminarea ” sau gândirea asemănătoare;
 dezinteres, neseriozitate manifestată de unii elevi;
 devierea interviului de la tema propusă;
 manifestarea și preluarea unor comportamente negative etc.
3.2.6. Metoda ” Schimbă perechea” – este o metodă interactivă de lucru în perechi care
oferă posilitate elevilor de a lucra cu fiecare dintre membrii colectivului. Ca și celelalte
metode activ- participative și această metodă stimulează cooperarea în echipă, ajutorul
reciproc, înțelegerea și toleranța față de opinia celuilalt .
Etapele de lucru:

 Se împarte clasa în două grupe egale ca număr de participanți. Se formează două
cercuri concentrice, copii fiind față în față pe perechi .
 Profesorul propune o sarcină de lucru.
 Lucru în perechi: fiecare pereche discută și apoi comunică ideile. Copilul aflat în
cercul interior spune soluția de rezolvare iar celălalt aduce completări contribuind împreună la
rezolvarea cerinței. Copiii din cercul exterior se mută un loc în sensul acelor de ceasornic,
realizându-se astfel schimbarea partenerilor de lucru. Jocul se continuă până când se ajunge la
partenerii inițiali sau toate perechile de lucru au rezolvat cerința.
 Dezbatere a finală: activitatea se poate încheia cu o dezbatere asupra soluțiilor avansate

80
de grupurile de lucru.
Această metodă am aplicat -o la clasa a VI- a în cadrul lecției Relația de divizibilitate în ℕ –
recapitulare, al cărei proiect este prezentat în continuare .

PROIECT DIDACTIC

Data :
Disciplina: Matematică
Clasa: a VI-a
Profesor : Pîrvan Maria Mirela
Unitatea de învățare: Divizibilitatea numerelor naturale
Titlul lecției: Relația de divizibilitate în ℕ – recapitulare
Tipul lecției: Lecție de recapitulare și sistematizare a cunoștințelor

Competențe generale:
C.G.1 – Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care apar;
C.G.2 – Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în
diverse surse informaționale ;
C.G.3 – Utiliz area conceptelor și algoritmilor specifici în diverse contexte matematice;
C.G.4 – Exprimarea în limbajul specific matematicii a informațiilor, a concluziilor și a
demersurilor de rezolvare pentru o situație dată;
C.G.5 – Analizarea caracteristicilor matem atice ale unei situații date ;
Competențe specifice:
1.1 – Identificarea unor noțiuni specifice relației de divizibilitate în ℕ;
2.1- Evidențierea în exemple a criteriilor de divizibilitate cu 2, 5, 10n, 3 și 9 în ℕ ;
3.1– Utilizarea unor modalități adecvate de determinare a c.m.m.d.c și a c.m.m.m.c.
4.1- Exprimarea în limbaj matematic a unor situații concrete care se pot descrie utilizând
divizibilitatea în ℕ;
5.1 – Analizarea unor situații date în contextul divizibilității în ℕ;
Competențe derivate:
La sfârșitul orei, elevul va fi capabil să:
C.D.1 – recunoască și să exemplifice numere prime / compuse, perechi de numere prime între
ele ;

81
C.D.2 – scrie un număr natural ca produs de puteri de numere prime folosind descompunerea
în factori primi;
C.D.3 – determine c.m.m.d.c. / c.m.m.m.c. prin descompunerea numerelor naturale în produs
de puteri de numere prime;
C.D.4 – redacteze rezolvarea unui exercițiu referitor la divizibilitatea în ℕ;
C.D.5 – utilizeze proprietățile relației de divizibilitate în ℕ pentru rezolvarea unor exerciții;
Principii didactice:
 Principiul sistematizării și continuității;
 Principiul participării active și conștiente a elevului la predare, învățare, evaluare ;
 Principiul însușirii temeinice a cunoștințelor, priceperilor, depri nderilor.

Strategia didactică:
 Metode și procedee : conv ersația catehetică, exercițiul, brainstorming, ciorchinele,
explicația, problematizarea, metoda ” Schimbă perechea” .
 Mijloace de învățământ: manual, fișe de lucru, marker, coli de flipchart, video –
proiector;
 Forme de organizare a colectivului de elevi: frontală, individuală și în perechi .
Resurse:
 Spațiale: cabinetul de matematică;
 Temporale: durata orei de curs este de 50 min.
 Bibliografice:
o Programa scolară pentru clasa a VI -a
o Ghiciu,N.,Enea,F.A., și alții ”Matematică, manual pentru clasa a VI -a”,
E.D.P, București 2018
o Zaharia, D., Zaharia, M., ”Mtematică, algebră, geometrie – mate 2000+
consolidare ”, Editura Paralela 45, Pitești 2012.
o https://www.didactic.ro/resurse-educationale/invatamant-gimnazial/matematica

ETAPELE
LECȚIEI ACTIVITATEA DE INSTRUIRE STRATEGII
DIDACTICE
Activitatea profesorului Activitatea elevului Organiza- Metode

82
re
1.Moment
organiza-
toric
(2 min)
-se face prezența și se verifică
dacă sunt asigurate condițiile
optime pentru desfășurarea
lecției.
-se verifică prin sondaj tema
pentru acasă. -elevii răspund
solicitărilor
profesorului.
– solicită ajutor la
tema pentru acasă. Frontală Conver-
sația
Catehe-
tică

Explica-
ția
2.Captarea
atenției
(2 min) – inițiază un mic joc: precizați -vă
data de naștere (ziua) și un
divizor propriu a l numărului
respectiv. – exemple: 4 2
;
217
;
5 –nr. prim și nu
are divizori proprii. Frontală Conver-
sația

3.Verifica-
rea
cunoștințe –
lor
anterioare
(8 min) – scrie in centrul unei coli de
flipchard cuvântul Divizibilitate
și propune elevilor să comleteze
ciorchinele cu concepte care au
legătură cu această noțiune .
– solicită elevilor defini rea unor
concepte sau enunțarea unor
proprietăți. – elevii ies pe rând
la tablă și își
notează
răspunsurile, oferă
argumente pentru
acestea.
– se obține o hartă
conceptuală .

Frontală Brain-
storming

Harta
conceptu
-ală
4.Anunța –
rea titlului
și a
competen-
țelor lecției
(2 min) -Se anunță și se notează titlul
lecției:
Relația de divizibilitate în ℕ –
recapitulare -notează în caiete
titlul lecției;
-Se precizează competențele
urmărite.

83

5.Dirijarea
învățării
(30 min)
-fixare

consolidare
– profesorul organizează clasa în
două grupe egale care se așează
in două cercuri concentrice.

– propune elevilor să rezolve
exercițiul 1 din fișa de lucru.

– profesorul coordonează și
sprijină activitatea elevilor.

– prezintă exercițiul 2 din fișa :
Ex. Aflați numerele a
și b , știind că  ; 15ab și
 ; 360.ab
-solicită elevului să justifice
răspunsurile și antrenează în
discuție cât mai mulți elevi .

-elevii acționează
după regulile
explicate de
profesor
– ei lucrează doi
câte doi,
schimbând
perechea după
regulile jocului.
– la final se citesc
răspunsurile
completate în fișa
de lucru.

-un elev iese la
tablă și rezolvă
exercițiul. Acesta
argumentează
răspunsurile date.
Rezolvare:
Se știe că
   ; ; .a b a b a b  
Din ab=15∙360 și
 ; 15ab,
deducem că există
numerele naturale În perechi

Frontal

Frontal
Schimbă
perechea

Explica-
ția,
Exerci-
țiul

Explica-
ția

Proble-
matiza-
rea

84
prime între ele , x
și y, a.î a = 15 ∙ x,
b= 15 ∙ y. Relația
ab= 15 ∙ 360
devine 15 ∙ x ∙ 15∙ y
= 15 ∙ 360, adică
x ∙ y = 24. Deci
avem cazurile:
I. x = 1 și y = 24
( sau invers)
II. x = 3 și y = 8
(sau invers ).
Numerele căutate
sunt :
(a;b) ∈{(15;360),
(360;15),(45;120),
(120;45) }.
6.Evaluarea
elevilor.
(5min) Distribuie elevilor testul

Prezintă cu ajutorul video –
proiectorului baremul de
corectare și evaluare. Elevii rezolvă
exercitiile.
Pe baza baremului
expus de profesor,
elevii își acordă
punctaje. Individual Activita-
te
indepen-
dentă.
7.Tema
pentru
acasă.
(1 min) Propune elevilor ca temă pentru
acasă exercițiile 3,4,5 din fișa de
lucru. Elevii notează
tema. Frontală

85

Hartă conceptuală – cuvântul cheie Divizibilitate

86
FIȘA DE LUCRU
Exercițiul 1 . Identifiați propozițiile false din tabel și completați cu variantele adevărate:

PROPOZIȚIA
A / F
PROPOZIȚIA ADEVĂRATĂ
a) 1457
2 F 1457 2 

b) 3 este număr prim
A –
c) 120 = 23 35

d) 873 9

e) C.m.m.d.c ( 75; 60 ) = 5

f) Dacă ( 3x ; 3) = 1, atunci
x  1,2,4,5,6,
g) Dacă 16n
, atunci 4n .

Exercițiul 2. Aflați numerele a și b , știind că  ; 15ab și  ; 360.ab
Exercițiul 3. Determinați c.m.m.m.c al numerelor a și b, apoi scrieți primii cinci
multipli comuni ai lor :
a) a = 12 și b = 18
b) a = 63 și b = 84.
Exercițiul 4. Arătați că numărul 2 1 1 13 7 3 7 3 7n n n n n nA         este divizibil cu 59,
pentru orice n ℕ.
Exercițiul 5. Determinați x ℕ , care verifică relația    1 2 7xx .

87
TEST DE AUTOEVALUARE

 Rezolvă și completează tabelul cu litera corespunzătoare răspunsului corect și vei
obține un cuvânt surpriză .
 Timp de lucru : 5 minute.

1. Numărul care se descompune în produsul 23 ∙ 32 este :
h) 54; i) 72; j) 48; k) 36.
2. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 4 și 8 este:
s) 8; ș) 24; t) 32; ț) 2.
3. Reprezintă o pereche de numere prime între ele, numerele:
s) 8 și 6; ș) 7 și 14 ; t) 25 și 16 ; ț) 22 și 11 .
4. Cel mai mare divizor comun al numerelor 32, 64 și 80 este:
b) 32; c) 8; d) 80; e) 16.
5. Numărul numerelor de forma 72xx
este egal cu:
ș) 10; t) 5; ț) 4; u) 9.

1 2 3 4 5

88
TEST DE AUTOEVALUARE
BAREM DE EVALUARE

 Rezolvă și completează tabelul cu litera corespunzătoare răspunsului corect și vei
obține un cuvânt surpriză .

1.Numărul care se descompune în produsul 23 ∙ 32 este :
i) 54; i) 72; j) 48; k) 36.
2.Cel mai mic multiplu comun al numerelor 4 și 8 este:
s) 8; ș) 24; t) 32; ț) 2.
3.Reprezintă o pereche de numere prime între ele, numerele:
s) 8 și 6; ș) 7 și 14 ; t) 25 și 16 ; ț) 22 și 11.
4. Cel mai mare divizor comun al numerelor 32, 64 și 80 este:
b) 32; c) 8; d) 80; e) 16.
5.Numărul numerelor de forma 72xx
este egal cu:
ș) 10; t) 5; ț) 4; u) 9.

1 2 3 4 5
i s t e ț

89

Testul de autoevaluare a fost administrat la ambele clase de a VI- a din școală.
Interpretarea rezultatelor este redata în tabelele de mai jos :
Tabel cu rezultatele înregistrate la clasa a VI-a A
Nr. item 1 2 3 4 5
Nr. elevi care au
răspuns corect 13 15 8 9 15
P% 86% 100% 53% 60% 100%

Testul a fost susținut de 15 elevi.
0246810121416
1 2 3 4 5Nr. elevi13 15
8915

90

Tabel cu rezultatele înregistrate la clasa a VI-a B
Nr. item 1 2 3 4 5
Nr. elevi care au
răspuns corect 10 10 9 8 15
P% 66% 66% 60 % 53% 100%

Testul a fost susținut de 15 elevi.
8
0246810121416
1 2 3 4 5Nr. elevi10
915
10
Puncte tari: 100% dintre copii au realizat itemul 5, aplicând corect criteriul de
divizibilitate cu 2. Într- un procent mare au fost realizați și itemii 1 și 2, elevii dovedind astfel
că și -au însușit corect noțiunile teoretice legate de descompunerea în factori și stabilirea
c.m.m.d.c și c.m.m.m.c. pentru numere naturale .
Puncte slabe: La ambele clase, itemii 3 și 4 au fost realizați intr -un procent mai
scăzut. Acest rezultat arată că mai mulți elevi nu stăpânesc noțiunea de numere prime între ele
, iar unii dintre ei au dat dovadă de neatenție .

91

Activități remediale:
– rezolvarea de exerciții care vizează noțiunile teoretice la care elevii au rămâneri în urmă ;
– organizarea de activități de învățare în funcție de posibilitățile inte lectuale diferite ale
elevilor ;
– corectarea temelor și observații individuale;

92
CAPITOLUL 4. APLICATII DE DIVIZIBILITATE

4.1 Exerciții rezolvate pentru performanță.

1. Fie numerele naturale 1,2,3,…, 2016,217. Efectuăm toate produsele de câte două
numere diferite : 12 , 13 , …, 2016 2017  . ( ab nu este diferit de ba). Câte dintre
produsele obținute sunt divizibile cu 3?

Soluți e: Stabilim câte produse sunt în total , apoi vedem câte dintre ele nu sunt
divizibile cu 3. Celelalte reprezintă numărul produselor care sunt divizibile cu 3.
În total s-au calculat 1008 2017 2033136  de produse. ( Numărul 2017 este înmulțit cu
2016 numere mai mici, numărul 2016 cu 2015 numere mai mici și așa mai departe,
numărul 2 este înmulțit cu 1 numere mai mici, deci sunt 2016 + 2015 + …+ 1 =
2016 20171008 20172 produse).
Ditre acestea, singurele care nu sunt divizibile cu 3 sunt cele în care niciunul dintre factori
nu este divizibil cu 3. Dacă facem lista numerelor nedivizibile cu 3, ea conține 2017 – 672
= 1345 numere.
Ele determină 1344 1355
2 = 903840 produse nedivizibile cu 3. ( se aplica metoda de mai
sus: cel mai mare dintre cele 1345 de numere este înmulțit cu cele 1344 mai mici decât el,
apoi al doilea cel mai mare este înmulțit cu cele 1343 de numere mai mici decât el,
ș.a.m.d.al doilea cel mai mic număr, anume 2, este cu 1 numere mai mici decâ el.) Î n
total sunt 2033136 – 903840 = 1129296 produse divizibile cu 3.

2. Există cifre nenule și disti ncte ,,abc ale sistemului zecimal astfel încât numerele
…aaa abc și … abccc c să se dividă cu abc ?
Soluție: Numerele 33
2017 2016 2016… … 10 111…11 10
ori ori oriaaa abc aaa a abc a abc       

și 2016 2016
2016 2017 2016… 10 … 10 111…1
ori ori oriabccc c abc ccc c abc c       
sunt divizibile cu abc dacă
numerele
2016111…11
oria
și
2016111…11
oric
sunt divizibile cu abc . Este suficient ca numărul

93
2016111…11
oriN
să fie divizibil cu abc . Grupând cifrele sale câte 6, se vede că N este divizibil
cu 111111. Dar 111111 111 1001 3 37 7 11 13        are divizori de forma abc cu ,,abc cifre
nenule distincte. Un exemplu ar fi 259 abc , adică 1, 4, 3.a b c  

3. Cu 1120 lei, se cumpără un număr de bilete de intrare de categoria I și II. Știind că
cele de categoria I costă 110 lei biletul, iar cele de categoria II, 70 lei biletul să se găsească
numărul biletelor de categoria I și II cumpărate.
Soluție. Dacă se cumpără x bilete de categoria I și y bilete de categoria II, atunci
110 70 1120xy , adică   11 7 16xy . Rezultă că 7 divide 11 x , deci 7 divide x. Dar 110 x
≤ 1120 implică 10a , deci  0,7a . În primul caz s- au luat 0 bilete de categoria I și 16
bilete de categoria II, în cazul al doilea s- au luat 7 bilete de categoria I și 5 bilete de categoria
II.
4. Demonstrați că expresia 2 3 4 6a a a aF    se divide cu 5 când a este un număr
întreg și nedivizibil cu 4.
Soluție. Utilizăm faptul că ultima cifră a puterilor lui 2 și 3 se repetă din 4 în 4, ultima
cifră a lui 4a se repetă din 2 din 2,iar ultima cifrăa lui 6a este mereu 6.
Dacă a dă restul 1 la împărțirea cu 4, atunci ultima cifră a lui 2aeste 2, cea a lui 3aeste 3, a
lui 4a este 4 , iar a lui 6a este 6, deci ultima cifră a lui F este 5.
Dacă a dă rest 2 la împărțirea cu 4, atunci ultima cifră a lui 2a este 4, cea a lui 3a este 9, a
lui 4a este 6, iar a lui 6a este tot 6, deci ultima cifră a lui F este 5.
Dacă n dă restul 3 la împărțirea cu 4, atunci ultima cifră a lui 2a este 8, cea a lui 3a este 7, a
lui4a este 4, iar a lui 6a este 6, deci ultima cifră a lui F este 5. În fiecare din cazuri, având
ultima cifră 5, F este divizibil cu 5.

5. Să se arate că expresia      12 21 1 1x x x     este divizibilă cu 233xx . Să se
găsească câtul acestei împărțiri.
Soluție. Notând 1xy , vom demonstra că 12 2y y y este divizibil cu 21 yy .
Fie C o rădăcină a polinomului 21 yy . Atunci ε3 = 1. Este suficient să demonstrăm
că ε este o rădăcină a polinomului 12 2y y y .

94
Avem  412 31  , deci 12 2 210           , ceea ce implică concluzia .
6. a) Arătați că dacă a și b sunt numere naturale cu proprietatea că  2017 3 5 ab
,
atunci  224 5.ab

b) Arătați că există o infinitate de perechi de numere naturale  ,ab pentru care
reciproca nu este adevărată.
Soluție. a)   2017 3 2020 3 a b a b a    este divizibil cu 5 dacă și numai dacă
 5 3 .ba Cum  5,3 1, ultima condiție este echivalentă cu 5ba, adică a și b dau
același rest la împărțirea cu 5. Atunci și a2, b2 dau același rest, deci  225,ab deci 5 divide
și  2 2 2 2 254 a b b a b    .
b) Reciproc, 5 divide  2 2 2 2 245a b a b b    dacă și numai dacă 5 divide
  22a b a b a b    .
Cum 5 este prim, 5 divide fie pe ab, fie pe ab. Pentru ca reciproca să nu fie valabilă
trebuie ca 5 să dividă pe ab. De exemplu, dacă alegem 4b și 5 1, ,a n n  
atunci
 2 2 2 24 25 10 5 5 5 2 1a b n n a n       este divizibil cu 5, dar
2017 3 10085 2029 a b n   nu este divizibil cu 5.

7. Fie numărul abcd . Arătați că dacă 8ab cd , atunci abcd se divide cu 27.
Soluție. Avem 100 100 8 108 . abcd ab cd ab ab ab          Cum 27 108 , rezultă că
27 108 ab , deci 27 .abcd
8. Fie numărul n abcd cu a <b <c <d. Împărțindu -l pe n la 9 și la 16 obținem
același rest 5, iar împărțindu -l pe n la 25 obținem restul 14.
a) Care este cel mai mic număr natural care trebuie adunat cu n pentru a obține un număr
divizibil atât cu 16 cât și cu 25 ?
b) Aflați numărul n .

Soluție. a) Deoarece n dă restul 14 la împărțirea cu 25, cel mai mic număr mai mare ca n
care este divizibil cu 25 este 11n. Cum n dă rest 5 la împărțirea cu 16, 11n este divizibil

95
și cu 16, deci cel mai mic număr care trebuie adunat la n pentru a obține un număr divizibil și
cu 16 și cu 25 este 11.
b)Fiind divizibil și cu 16 și cu 25, 11n este divizibil și cu cel mai mic multiplu comun
al lor 400 , deci se termină în 00. Atunci n se termină în 89 deci c = 8, d = 9 și 1ab este
divizibil cu 4. Cum a <b, trebuie încercate numerele 1589, 2389, 3589 și 4789. Dintre
aceste numere numai 2389 îndeplinește condițiile din enunț.

9. a) Determinați numerele de forma 987 6xy divizibile cu 33.
b) Câte numere de forma 987 6xyz sunt divizibile cu 111 și care este cel mai mic ?

Soluție. a) Numărul
  987 6 987006 100 10 33 29909 9 10 10xy x y x y       ,
este divizibil cu 33 dacă există k natural astfel încât  10 10 9 33 x y k   .
Cum
  0 10 10 999 xy    și  10 10 9 xy
are ultima cifră 9, k poate fi doar 3,13 sau 23. Corespunzător acestor valori se obține că
10xy poate fi 9, 42, sau 75, adică numerele căutate sunt 987096, 987426 și 987756.

b)Avem
   
 987 6 9870006 10 100 10 111 88918 108 10 100 10
111 88919 3 10 100 10xyz x y z x y z
x y z          
      ,
Care este divizibil cu 111 dacă și numai dacă există k natural astfel încât
 10 100 10 111 3. x y z k    Dar  10 100 10 x y z are ultima cifră 0 și este cuprins între 0
și 9990, deci k trebuie să aibă ultima cifră 7 și să fie cuprins între 0 și 90 .Prin urmare k poate
fi 7,17,27,…,87 . Pentru fiecre dintre aceste 9 valori se obține câte un număr cu proprietatea
dorită, prin urmare sunt 9 asemenea numere, cel mai mic obținâ ndu-se pentru k = 7 și fiind
9870786.

96
10. Aflați cifrele nenule distincte ,,x y z pentru care 22xy zz xyzz .
Soluție. Relația dată se scrie succesiv 22100 xy zz xy zz    , apoi
( 1) (100 )zz zz xy xy    .
Cum 11 ,zz rezultă că 11xy ( dar asta ar presupune că x = y, ceea ce nu convine) sau
11100 xy.
Rezultă că  12,23,34,45,56,67,78,89 . xy Verificând pentru care din aceste numere se
obține  100xy xy  produs de două numere consecutive ( calculând eventual produsele
11 10,22 21,…,99 98   ) se constată că numai pentru 12xy se obține 88 12 33 32   , deci
3z. Așadar singura soluție este 1, 2, 3x y z   .

11. Fie ,,abc numere naturale astfel încât 3 7 6b a c . Arătați că numerele
32 20ab ac și 30 25ab ac sunt divizibile cu 21.

Soluție. Deoarece 21 = 3∙ 7 și  3,7 1, trebuie să arătăm că cele două numere sunt
divizibile cu 3 și cu 7 . Din relația dată avem că   7 3 2a b c , deci 3 divide 7a și 7 divide
 32bc . Cum  3,7 1, rezultă că 3 divide a și 7 divide 2bc, deci 3 divide atât
  32 20 4 8 5ab ac a b c   cât și   30 25 5 6 5ab ac a b c   . Pe de altă parte , 72bc
rezultă că  7 8 2bc . Dar 7 21c, deci 7 divide și  8 2 21 8 5b c c b c    , prin urmare 7
divide și   32 20 4 8 5ab ac a b c   . Din 72bc rezultă că  7 6 2bc . Dar 77c, deci 7
divide și  6 2 7 6 5b c c b c    , prin urmare 7 divide și   30 25 5 6 5ab ac a b c   .

12. Cristi și Marius locuiesc în același bloc la scări diferite : Cristi la etajul 5
apartamentul 107, iar Marius la etajul 4 apartamentul 158. Știind că pe fiecare scară, atât la
parter cât și la etaj sunt câte 4 apartamente și că numărătoarea apartamentelor se continuă de
la o scară la următoarea, aflați câte etaje are blocul ?

Rezolvare. Din ipoteza problemei reiese faptul că la fiecare nivel numărătoarea se
termină cu un număr divizibil cu 4. Deci, la etajul 4, pe scara lui Cristi, se află apartamentul

97
104 iar pe scările dinaintea acesteia sunt 104 – 20 = 84 apartamente. De asemenea pe scara lui
Marius , la etajul 3 se află apartamentul 156 iar pe scările dinaintea acesteia sunt 156 – 16 =
140 apartamente. Numărul apartamentelor de pe fiecare scară este multiplu de 4 și divizor
comun al numerelor 84 și 140 . Pentru că c.m.m.d.c ( 84, 140) = 28 și 28 : 4 = 7 rezultă că
sunt 7 niveluri deci blocul are 6 etaje.

13. Familia lui Matei este formată din patru membri. Vârsta fiecărui membru al familiei
este un număr de două cifre și aceste cifre sunt numere prime distincte. Tatăl lui Mat ei este cu
un an mai mare decât mama acestuia, iar Matei este de trei ori mai tânăr decât bunicul său. Ce
vârstă are fiecare ?
Rezolvare. Notăm cu ab vârsta tatălui ( ab , numere prime ). Din ipoteză rezultă
că 1 ab cd , deci ac și 3b, 2d ( singurele numere prime consecutive ). Rezultă
 5,7 ac . Dacă 7a diferența de vârstă dintre părinți și bunic este prea mică. Rezultă
5a și atunci vârsta bunicului începe cu 7. Analizând cazurile 72, 73 și 75 ani, convine
cazul 75, caz în care Matei are 25 ani. Deci, soluția este  25,52,53,75 .
14. Fie x și y două numere naturale. Să se arate că dacă 11 7 9xy atunci :
a) 11 2xy ;
b) 11 6xy ;
c) fracția 58
8 15xy
xy
 este reductibilă.
Rezolvare. a) Cum 11 7 9xy și 1111 1111 7 9 x x x y   ,
deci   1118 9 119 2 x y x y     ,  11,9 1 11 2 xy    .
b) Cum 11 7 9xy și   1133 11 7 9 33 11 7 42 11 7 6 y x y y x y x y       ,
dar  11,7 1 11 6 xy    .
c)11 7 9xy și   11 2 11 7 9 2 115 8x y x y x y x y       (1)
11 7 9xy și   11 6 11 7 9 6 118 15x y x y x y x y       (2).
Din (1) și (2) rezultă că fracția este reductibilă.

98
15. Determin ați numerele prime a, b șziind că 4413 ab este număr prim.

Rezolvare. Dacă ,3ab atunci a4 și b4 dau restul 1 la împărțirea cu 3, deci
4413 ab este diviyibil cu 3 ( și nu este prim ), contradicție. Așadar a = 3 sau ‚ b = 3. Se
presupune b = 3; obținem a4 + 94 este număr prim. Din ultima relație rezultă a impar. Dacă
5a atunci  41 Ua  și  494 5 Ua  adică 494 5a
, contradicție. Se obține a = 5 și
atunci numărul din enunț este 4413 719 . a b prim   
    3,5 ; 5,3 . S
16. Fie mulț imea A = {1, 2, 3, . . . , 100}.
a) Dați exemplu de submulțime B cu 11 elemente, a mulțimii A, avâ nd proprietatea:
oricum am lua două elemente din B, cel mai mare divizor comun al lor este cel puț in 9.
b) Arătați că , oricum am alege o submulțime C cu 11 elemente, a mulțimii A, există două
elemente distincte din C al căror cel mai mare divizor comun este cel mult 9.
Soluție. a) Se consideră B formată din cei 11 multipli ai lui 9, af lați în A.
b) Se observă că dacă a > b, atunci (a, b) ≤ a – b. Dacă împărțim A în 10 grupe de câ te
10 numere consecutive, există o grupă care conține două elemente din C. Diferenț a acestor
elemente este cel mult 9, deci, conform observației, cel mai mare divizor comun al lor este cel
mult 9.
17. a) Care sunt divizorii naturali ai numărului 2019 a , unde
1 1 1… ?1 2 1 2 3 1 2 3 … 2018a         
b)Să se determine măsura unui unghi α știind că raportul dintre complementul și
suplementul său este egal cu cel mai mare număr rațional exprimat de fracția 2x
abc, unde 2x
este un număr prim, care îl divide pe abc.

99
Soluție:
a)1 1 1 1 1 1… 2 …3 2 4 3 2019 2018 1 2 1 2 3 1 2 3 … 2018
2 2 2a                  =
1122 2019   .
Deci 2019 a = 2017 care este număr prim cu doi divizori naturali : 1 și 2017.
b) 2x
abc este cel mai mare număr rațional dacă 2x este cel mai mare și abc cel mai mic. Deci
x = 9, iar abc=116.
Măsura unghiului fiind α atunci măsura complementului său este 900- α, iar măsura
suplementului 180 – α .
 0 0 0 29 190 4 180 60 .116 4          
18. a) Să se determine numerele naturale a și b , a ≠ 0, astfel încât :
22 3 5221a a bbb   ;
b) Să se arate că suma numerelor naturale abc pentru care ,,ab bc ca
a b c sunt numere naturale,
se divide cu 37.
Soluție: a) Se observă că  22 1 2 2 a a a a     
,oricare ar fi a număr natural
nenul.
Cum membrul stâng este număr natural, rezultă că 351 2 0, 1.1bb b bb     

Pentru b = 0, a = 3, iar pentru b = 1, a = 2. S = {(2,1); (3, 0)}.
b) ,,ab bc ca
a b c     10 , 10 , 10 , , .a a b b b c c c a a b b c c a      

100
Deci   , , 111,222,…,999 a b b c c a a b c aaa       
 111 1 2 … 9 111 9 5 3 37 9 5 37.SS            

19. Aflați câte numere naturale n, de patru cifre, au proprietatea (2016, n ) = 32. Am notat
(a, b ) cel mai mare divisor comun al numerelor a și b. (G.M).

Soluție: 2016 = 25∙ 32 ∙ 7. Dacă (2016, n ) = 32, atunci n = 32 ∙ k , unde k este un număr
natural care nu se divide nici cu 3 nici cu 7 și 1000 ≤ 32 k ≤ 9999.
Aflăm numărul total de numere de forma 32 k și 1000 ≤ 32 k ≤ 9999  k ia 281 de valori,
rezultă că sunt 281 de numere.
Se determină numărul de numere care se divid cu 3 sau cu 7.
1000 ≤ 32 k ≤ 9999, k ⋮ 3 k ia 94 de valori, deci sunt 94 numere.
1000 ≤ 32 k ≤ 9999, k ⋮ 7 k ia 40 de valori, deci sunt 40 numere.
1000 ≤ 32 k ≤ 9999, k ⋮ 21k ia 13 de valori, deci sunt 13 numere.
Folosind principiul includerii și excluderii, avem 94 + 40 – 13 =121 (numere care se divid cu
3 sau cu 7).
Numărul de numere căutat este 281 – 121 = 160.
20. a) Fie numerele a,b,c, astfel încât 13 2 11 0.a b c     
Să se demonstreze că numărul    m a b a c b c    este divizibil cu 286.
b) Să se determine numerele naturale x și y, știind că 2019 2 . x y y x     (G.M).
Soluție. a)     13 2 11 0 2 2 11 11 2 11a b c a b c a a b c a                    .
Dar    2,11 1 11. ab   
(1)
    13 2 11 0 13 13 2 2 0 2 13 ;a b c a c c b b c c a                    

101
Dar    2,13 1 13 bc   
(2)
     13 2 11 0 13 13 2 24 0
13 2 12 2a b c a c b c
a c c b a c               
      
(3)
Din (1), (2), (3)       286, a b b c a c     
deoarece (2, 11, 13) = 1.

102
COCLUZIILE STUDIULUI

Pentru obținerea calității în educație este necesară reconsiderarea demersului
educațional al profesorului, astfel încât strategiile didactice elaborate să fie centrate pe
învățare și, respectiv, pe cel care învață.
Aplicân în cadrul orelor de matematică metodele bazate pe învățarea prin cooperare și
colaborare am oferit elevilor ocazia de a- și concretiza nevoia de a lucra împreună, intr -un
climat colegial de întrajutorare și de sprijin reciproc. Colaborând , acestia au avut ocazia să -și
testeze ideile, și să -și revizuiască opiniile . S -a constatat faptul că , lucrul în echipă a acoperit
neajunsurile învățării individuale, acordând o importanță însemnată dimensiunii sociale, prin
desfășurarea proceselor interpersonale .
Strategiile didactice interactive promovează o învățare activă, implică o colaborare
susținută între elevi care, organizați în microgrupuri, lucrează împreună pentru realizarea unor
obiective prestabilite. În acest caz profesorul plasează accentul nu pe rolul de difuzor de
mesaje informaționale, ci pe rolurile de organizator, facilitator și mediator al activităților de
învățare. Demersul didactic este conceput astfel încât nu îl mai are în centru pe profesor, ci pe
elev. Rolul profesorului rămâne unul capital, însă, renunțând la vechile practici educaționale
rigide și uniforme, el devine organizator al unui mediu de învățare adaptat particularităților și
nevoilor beneficiarilor, facilitând procesul învățării și dezvoltarea competențelor. Proiectând
și realizând activități de pre dare- învățare -evaluare bazate pe strategii didactice interactive, de
colaborare am oferit elevilor multiple ocazii de a se implica în procesul propriei formări, de a –
și exprima în mod liber ideile, opiniile și de a le confrunta cu cele ale colegilor, de a -și
dezvolta competențele cognitive.
Învățarea prin cooperare valorizează schimburile intelectuale și verbale și mizează pe
o logică a învățării care ține cont de opiniile celorlalți. Pentru a asigura dezvoltarea și
valorificarea resurselor lor cognitive, afective și acționale, pentru a -i „instrumenta ” în vederea
adaptării și inserției optime în mediul socio -profesional, este esențială construirea unor
strategii didactice bazate pe acțiune, aplicare, cercetare, experimentare. Astfel, li se va crea
elevilor ocazia de a practica o învățare de calitate, de a realiza achiziții durabile, susceptibile
de a fi utilizate și transferate în diverse contexte instrucționale și nu numai. Beneficiind de o
îndrumare competentă, având suportul unor profesori care îi respectă și sunt interesați
continuu de ameliorarea nivelului lor de achiziții și competențe, elevii vor avea posibilitatea

103
să realizeze obiectivele învățării și să finalizeze cu succes această activitate. În plus, și șansele
lor de reușită socială vor spori cons iderabil.
Percepția cadrului didactic asupra elevilor suportă deci transformări radicale: imaginea
elevului – receptor pasiv de informații, de cunoștințe „ prefabricate ” este înlocuită cu imaginea
elevului activ, motivat să practice o învățare autentică, să -și formeze competențe specifice de
procesare a informațiilor, de generare de noi cunoștințe, de aplicare a acestora în diferite
contexte etc..
Ceea ce reprezenta un obiectiv fundamental al educației școlare – transmiterea,
respectiv acumularea de cunoștințe – trece în plan secund atunci când se dorește promovarea,
la acest nivel, a unei culturi a calității. Acum, accentul este plasat pe modul în care
informațiile asimilate sunt prelucrate, structurate, interpretate și utilizate în situații variate.
Astfe l elevii dobândesc competențe solide, dar și încrederea că acestea se vor dovedi
operaționale și le vor servi în mod autentic în diverse contexte de viață.
Strategiile didactice interactive au un rol determinant în activitatea instructiv-
educativă, fiind prezente în toate etapele conceperii și realizării efective a acesteia:
 în faza proiectării, atunci când profesorul, raportându -se la celelalte componente ale
procesului de învățământ (obiective, conținuturi, timp, forme de organizare etc.), elaborează
strategia didactică optimă;
 în faza de desfășurare efectivă a activității – strategia didactică devine un instrument
concret care permite realizarea obiectivelor propuse;
 în faza (auto)evaluării, alături de alte componente ale procesului de învățământ,
strategia didactică devine “ obiect ” al evaluării profesorului, apreciindu -se, în funcție de
rezultatele obținute, calitatea acesteia și gradul de corespondență cu finalitățile, conținutul,
formele de organizare a procesului de învățământ.
În tabelul de mai jos sunt expuse in mod sintetic atât valențele formative, cât și
limitele strategiilor interactive:

VALENȚE FORMATIVE
LIMITE

 formarea și dezvoltarea capacității
de cooperare, a spiritului de echipă;
 formarea și dezvoltarea competențelor
 asimilarea unor informații
eronate, în absența monitorizării atente
a profesorului;

104
comunicaționale;
 formarea și dezvoltarea
competențelor psihosociale;
 formarea și dezvoltarea unor
competențe funcționale, de tipul abilităților de
prelucrare,sistematizare, restructurare și utilizare
în practică a cunoștințelor;
 dezvoltarea stimei de sine;
 cultivarea spiritului participativ;
 formarea și dezvoltarea deprinderii
de ascultare activă;
 dezvoltarea capacității empatice;
 formarea și dezvoltarea capacității
reflective și a competențelor metacognitive ;
 dezvoltarea gândirii critice, creative și
laterale;
 dezvoltarea creativității;
 dezvoltarea unor atitudini și
comportamente prosociale;
 dezvoltarea capacităților de
interevaluare și autoevaluare .
 formarea și dezvoltarea
capacităților de investigare a realității;
 formarea și dezvoltarea capacității
aragumentative;
 formarea și dezvoltarea capacității
decizionale;
 formarea și dezvoltarea competențelor
de negociere;
 abordarea superficială a
sarcinilor de lucru;
 crearea unui climat educațional
caracterizat printr- o aparentă
dezordine;
 consum mare de timp;
 „încurajarea ” pasivității unor
elevi, în condițiile în care sarcinile nu
sunt distribuite/asumate clar și în
absența monitorizării grupului;
 dezvoltarea unei posibile
dependențe de grup în rezolvarea
sarcinilor;
 acutizarea unor conflicte între
elevi în condițiile în care profesorul
(sau liderul grupului de lucru) nu
intervine ca mediator;
 generarea unei „gândiri de
grup”;

 dificultăți în identificarea și
evaluarea progreselor individuale etc.

105
BIBLIOGRAFIE

1. Năstăsescu, C., Niță, C. (1986), Bazele algebtrei – Vol. I, Editura Academiei
Române, pg. 208, 213, 218-220 .
2. Panaitopol, L., Drăghicescu, I.C. (1980), Polinoame și ecuații algebrice, Editura
Albatros.
3. Becheanu,M., Niță, C., Ion, I.D. și alții, (1983), Algebra pentru perfecționarea
profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică, București, pg. 152 -153, 155- 159.
4. Ion, D. I., Niță, C., Năstăsescu, C., (1984) , Complemente de Algebră, Editura
Științifică și Enciclopedică, București, pg. 43, 55, 63 .
5. Năstăsescu, C., Niță, C., Vraciu, C., Aritmetică și Algebră , Editura Didactică și
Pedagogică, București, pg. 79 – 81, 85- 87, 167-171, 175.
6. Năchilă, P., (2002), Matematică, manual pentru clasa a XII-a M 2, Editura Sigma ,
București.
7. Stoianovici, G. și alții, (2014), Matematică la malul Dunării , Editura Agora, Călărași.
8. Stoianovici, G. și alții, (2017), Un nou început- sugestii pentru educația matematică a
elevilor din clasa a V- a , Editura Metamorfosi, Călărași .
9. Niculae, G. și alții, (2017), Matematică – exercitii și probleme, clasa a V – a, Editura
Delfin, București .
10. Niculae, G. și alții, (2018), Matematic ă , manual pentru clasa a VI -a, Editura
Didactică și Pedagogică, București .
11. Peligrad, S., Șerdean, I., Țurcanu, A., (2012), Matematică, algebră,geometrie – mate
2000+ standard , Editura Paralela 45, Pitești.
12. Radu, D.,Săvulescu, D., (2001), Matematică, complemente de algebră. Monoame,
polinoame, fracții raționale , Editura Corint, București.
13. Perianu,M., Smărăndoiu,Ș., Lazăr, C., Săvulescu, D., (2017) Matematică clasa a
VI-a semestrul I – colectia Clubul matematicienilor, Editura Art, București.
14. *** Revista de matematică din Timișoara, Nr. 3 / 2017, Editura Bîrchi, Timișoara.
15. *** Revista de matematică din Timișoara, Nr. 1 / 2018 , Editura Bîrchi, Timișoara.
16. Oprea,C., L., (2006), Strategii didactice interactive, Editura Didactică și Pedagogică,
R. A., București.
17. Bontaș, I., (2008), Tratat de pedagogie, Editura ALL, București.

106
18. Ghergu, M., (2004), Probleme pentru pregătirea olimpiadelor de matematică,
Editura Gil, Zalău.
http://calitateid.uab.ro/imagini/Modul_3_Scheau.pdf
http://www.colegiulnationaliasi.ro/Evenimente/2018%202019/OJM/barem_clasa6.pdf
https://www.mateinfo.ro/subiecte-olimpiada-matematica/olimpiada-de-matematica-
gimnaziu- si-liceu-etapa-locala-din-toate-judetele/olm-locala-2017-gimnaziu- si-liceu-
subiecte- si-solutii-etapa-locala .

107
Declarație de autenticitate,

Subsemnata Pîrvan P. Maria Mirela , cadru di dactic la Școala Gimnazială nr. 1, din
comuna Ciocănești, județul Călărași, înscrisă la examenul de acordare a gradului didactic I,
seria 2016/ 2020 , cunoscând dispozițiile articolului 292 Cod penal cu privire la falsul in
declarații, declar pe propria răspundere următoarele:
a) lucrarea a fost elaborată personal și îmi aparține în întregime;
b) nu am folosit alte surse decât cele menționate în bibliografie;
c) nu am preluat texte, date sau elemente de grafică din alte lucrări sau din alte surse
fără a fi citate și fără a fi precizată sursa preluării;
d) lucrarea nu a mai fost folosită în alte contexte de examen sau de concurs.
Dau prezenta declaratie fiindu- mi necesară la predarea lucrării metodico- științifice cu
titlul „Divizibilitate în inelul polinoamelor ” în vederea avizării de către conducătorul
științific, domnul Lect. univ. dr. Iorgulescu Florin Gabriel .

Declarant ,
Pîrvan P. Maria Mirela

…………….. august 2019

Copyright Notice

© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.

Acest articol: Școala Gimnazială nr. 1 [625916] (ID: 625916)

Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.

Școala Gimnazială nr. 1 [625916]

Copyright Notice

Modulul 3 – Tipuri de mecanisme ale comerțului electronic [625111]

CAP I. PARTICULARITĂȚI CONSTRUCTIVE ȘI FUNCȚIONALE ALE MPP [308033]

ȘCOALA DOCTORALĂ „PR. PROF. DR. DUMITRU STĂNILOAIE” Sfânta Fecioară Maria la Nunta din Cana Galileei Îndrumător, Pr. Prof. Dr. Constantin PREDA Drd…. [606380]

Adrian Miroiu Etica Aplicata Alternative 1995 [614028]

Examen Neurostiinte Nitu C. Alina Alexandra Psihologie Ifr [613576]

1.1 Caracteristicile batimetrice și hidrologice ale zonei de larg 3 1.2 Curenții marini 6 2 CIRCULAȚIA SUB-BAZINALĂ 7 2.1 Circulația verticală 9 3… [307609]

Copyright Notice

Similar Posts