Dup a mai bine de trei sute de ani de evolut ie, teoria controlului optimal [625903]

Introducere
Dup a mai bine de trei sute de ani de evolut ie, teoria controlului optimal
a fost formulat a ca o extensie a calculului variat ional. Pe baza fundat iei teo-
retice stabilite de mai multe generat ii de matematicieni, controlul optimal
s-a dezvoltat ^ ntr-un domeniu binecunoscut al cercet arii si ^  si g ases ste aplica-
bilitate ^ n multe domenii, de la matematic a  si inginerie la  stiint e biomedicale
 si management.
Primul care s-a f acut remarcat in acest domeniu a fost Galilei, care ^ n
1638 a prezentat dou a probleme:problema lant ului suspendat ^ ntre dou a
puncte(catenarul)  si problema brachistocronei ce presupune parcurgerea sub
act iunea fort ei gravitat ionale pe arcul de curb a AB a unui punct material ^ n
timp minim.Mai t^ arziu, ^ n 1662 Fermat, a postulat principiul conform c aruia
lumina alege ^ ntotdeauna calea printr-o secvent  a de discuri astfel ^ nc^ at s a le
traverseze ^ n timp minim.
^Incerc arile lui Galilei asupra solut iilor celor dou a probleme au fost incorecte,
iar Newton ^ n 1685 o fost primul care a rezolvat o problema traiectoriei unui
proiectil demonstr^ and minimul
^In 1696 Johan Bernoulli i-a provocat pe contemporanii s ai s a rezolve prob-
lema brachistocronei p^ an a la sf^ ar sitului anului. Concurent a a provocat un
interes mare pentru acest tip de problem a  si a urmat o perioad a de activitate
a unui num ar mare de matematicieni. Ideile rezultate au fost colectate ^ ntr-o
carte publicat a ^ n 1744 de Euler, un student: [anonimizat] a "nimic nu- si are locul ^ n acest univers dac a nu apare regula de minim sau
de maxim "
Ecuat ia Euler-Lagrange, bazat a pe variat ii de ordinul ^ nt^ ai, d a doar o stare
de stat ionare, iar Legendre ^ n 1786, care a studiat cea de-a doua variat ie, a
propus o condit ie necesar a de optimalitate de ordinul doi.
^Intre timp,Hamilton prin "principiul minimei act iuni " a reformulat ecuat iile
mecanicii ca principiu variat ional. El a introdus funct ia, cunoscut a acum ca
 si "funct ia Hamiltonian a".
Hamilton  si-a exprimat principiul ^ n termenii unei ecuat ii diferent iale cu
derivate part iale, dar Jacobi ^ n 1838 a ar atat ca ar putea  scris mai compact
^ n termenii aceea ce este cunoscut acum sub numele de ecuat ia Hamilton-
Jacobi.
1

1 Elemente de calcul variat ional
1.1 Probleme Variat ionale
Cea mai bun a modalitate de a aprecia calculul variat iilor o reprezint a in-
troducerea c^ atorva exemple concrete de important  a at^ at matematic a c^ at  si
practic a. Unele dintre aceste probleme de minimizare au jucat un important
^ n dezvoltarea istoric a a subiectului. S i ^ nc a servesc un mijloc excelent de
^ nv at are a construct iilor sale de baz a.
Problema clasic a ^ n calculul variat iei este problema propus a ( si rezolvat a)
de Bernoulli ^ n 1696. Fiind date dou a puncte A  si B, trebuie g asit drumul de-
a lungul c aruia un punct material ar aluneca (fara a lua ^ n considerare orice
form a de frecare) n cel mai scurt timp posibil de la A la B, dac a porne ste
din A ^ n stare de repaus  si este accelerat numai prin fort  a gravitat ional a
Problema brachistocronei const a ^ n urm atoarele: dintre toate curbele netede
ce unesc punctele A  si B s a se determine aceea pe care punctul M ajunge din
A ^ n B ^ n timpul cel mai scurt.
Viteza lui M ^ n ecare punct al arcului este:
v(x) =ds
dt=p
2gy(x)
Not am cus(x) lungimea drumului de la 0 la ( x;y(x)). Atunci
s(x) =Zx
0p
1 +y0(x)2dx
rezult a c a
ds
dx=p
1 +y0(x)2
Mai mult dec^ at at^ at , lungimea drumului L este dat a de formula:
L=Za
0p
1 +y0(x)2dx
Timpul ^ n care punctul material M descrie curba AB va  dat de:
2

T=ZT
0dt=ZL
01
v(s)ds=Za
01p
2gy(x)p
1 +y0(x)2
Deci timpul T necesar parcurgerii arcului y=y(x)din A ^ n B are expresia:
T(y) =Za
0p
1 +y0(x)2
p
1 +y0(x)2dx
undey(0) = 0  siy(a) =b.
Problema drumului cel mai scurt
Fie A  si B dou a puncte xe ^ n spat iu. Atunci vrem s a g asim cea mai
scurt a curb a ^ ntre cele dou a puncte. Putem construi problema schematic
dup a cum urmeaz a :
Din geometria de baz a  stim c a :
celmaiscurtdrum.png
ds2= dx2+ dY2
= [1 + (Y0)2]dx2 (1)
Al doilea segment este obt inut not^ and Y'=dY
dx. Pentru a g a si drumul dintre
cele dou a puncte A  si B integr am d s^ ntre A  si B, i.eRB
Ads.^Inlocuim ds
folosind ecuat ia 1 si obt inem lungimea curbei
J(Y) =Zb
ap
1 + (Y0)2dx
Pentru a g asi cel mai scurt drum trebuie s a minimiz am J, trebuie s a g asim
extremala funct iei.
3

1.2 Lemele fundamentale ale calculului variat ional
Lema 1 Fie funct ia continu a f(x)2C0[a;b]. Dac a
Zb
af(x)(x)dx= 0
pentru orice funct ie (x)2Ck[a;b];k2Ncare veric a condit iile (a) =
(b) = 0 ,atuncif(x) = 0 pentru orice x2[a;b].
Lema 2 Fie funct ia f(x)2C0(D)unde D este un domeniu m arginit din
Rn siD=D[@Deste ^ nchiderea sa.
Dac a
Z
Df(x)(x)dx= 0
pentru orice funct ie (x)2C1(D)care veric a condit ia (x)jD= 0 atunci
funct ia este nul a in D.
Prin punctul x^ nt elegemx= (x1;x2;:::;x n) dinRn sidx=dx1dx2:::dx n.
Lema 3 Consider am funct ia g(x)2C0[a;b]. Dac a
Zb
ag(x)0(x)dx= 0
pentru orice funt ie (x)2C1[a;b]care veric a condit iile (a) =(b) = 0 ,
atuncig(x) =constant a ^ n [a;b]
Demonstrat ie:
Lema 4 Consider am funct iile f(x);g(x)2C0[a;b]. Dac a
Zb
a(x) +g(x)0(x)dx= 0
pentru orice funct ie (x)2C1[a;b]care veric a relat iile (a) =(b) = 0 ,
atunci funct ia este derivabil a pe [a,b]  si veric a relat ia g0(x) =f(x)8×2
[a;b]
4

Demonstrat ie:
Consider^ and funct ia F(x) =Rx
af(t)dt;F0(x) =f(x),
integr^ and prin p art i putem scrie
Zb
af(x)(x)dx=F(x)(x)jZb
aZb
af(x)0(x)dx=Zb
af(x)0(x)dx
relat ia din lem a devine
Zb
a[g(x)F(x)]0(x)dx= 0
dup a Lema 3 rezult a c a
g(x) =F(x) +C
Deoarece membrul drept este o funct ie derivabil a rezult a c a  si membrul st^ ang
este derivabil g0(x) =f(x).
5

1.3 Ecuat iile Euler-Lagrange
Fiey0(x) funct ia care realizeaz a extremul funct ionalei
I[y(x)] =Zb
aF(x;y(x);y0(x))dx
pe mult imea funct iilor admisibile
M=fy(x)jy(x)2C1[a;b];y(a) =y1;y(b) =y2g
. Dac a funct ia F are derivate part iale de ordinul ^ nt^ ai continue atunci are loc
relat ia
@I[y0(x);(x)] =Rb
a[Fy(x;y 0(x);y0
0(x))(x)+Fy0(x;y 0(x);y0
0(x))0(x)]dx= 0,
pentru orice funct ie
(x)2M0=f(x)j(x)2C1[a;b];(a) = 0;(b) = 0g
Funct iaFy0(x;y 0(x);y0
0(x)) este derivabil a pe [a,b]  si are derivata Fy(x;y 0(x);y0
0(x)),
altfel spus are loc ecut ia lui Euler-Lagrange:
d
dxFy0(x;y 0(x);y0
0(x)) =Fy(x;y 0(x);y0
0(x));8×2[a;b]
sau ecuat ia lui Euler-Lagrange sub form a integral a exist a C astfel ^ nc^ at ori-
care ar x2[a;b]
Fy0(x;y 0(x);y0
0(x)) =Zx
aFy(t;y0(t);y0
0(t)) +C
.
Denit ia 1 Orice funct ie y0(x)care veric a ecuat ia lui Euler-Lagrange se
numete extremal a a funct ionalei I[y(x)].
Teorema 1 Dac ay0(x)este funct ia care realizeaz a extremul slab al funct ionalei
I[y(x)] =Zb
aF(x;y(x);y0(x))dx
pe mult imea funct iilor admisibile
M=fy(x)jy(x)2C1[a;b];y(a) =y1;y(b) =y2g
6

 si dac a funct ia F are derivate part iale de ordinul ^ nt^ ai continue atunci ea
este o extremal a a funct ionalei care veric a la capetele intervalului condit iile
date.
Teorema 2 Dac ay0(x)este o extremal a a funct ionalei
I[y(x)] =Zb
aF(x;y(x);y0(x))dx
pe mult imea funct iilor admisibile
M=fy(x)jy(x)2C1[a;b];y(a) =y1;y(b) =y2g
 si dac a funct ia F are derivate part iale de ordinul doi continue, atunci ^ n toate
punctele ^ n care Fy0y0(x;y 0;y0
0)6= 0funct iay0(x)are derivat a de ordinul doi
 si veric a ecuat ia lui Euler-Lagrange de ordinul doi:
Fxy0(x;y 0;y0
0) +Fyy0(x;y 0;y0
0)y0
0+Fy0y0(x;y 0;y0
0)y00
0Fy(x;y 0;y0
0) = 0
.
7