Docgo.net Gru Puri [625628]

Capitolul II
Capitolul II
ELEMENTE DE TEORIA GRUPURILOR
ELEMENTE DE TEORIA GRUPURILOR
§1. OPERAȚIE ALGEBRICĂ INTERNĂ
§1. OPERAȚIE ALGEBRICĂ INTERNĂ
Definiție
.
Fiin
d
dată o
mulț
ime nevidă M
se numește operați
e
algeb
rică intern
ă
sau lege de compoziție internă, definită pe M,
orice funcție
φ
: M x M
→
M,
(x, !
→

φ
(x, !.
"n acest capitol, fiind vorba numai de operații algebrice interne vom spune pe
scurt operație algebrică in loc de operație algebrică internă.
Exemple
.
#!
$d
un
ar
ea
și
in
mu
lț
ir
ea
in
mu
lț
im
ea
N
N

a
nume
relo
r
natu
rale, in
mulțimea
Z
Z

a
nume
relo
r intregi
,
in mulțim
ea
Q
Q
a numerelor raționale, in mulțimea
R
R

a
numerelor reale și in mulțimea
C
C
a numerelor complexe sunt operații algebrice.
%! &e mulțimea
Z
Z
a numerelor
intregi,
scăderea este o o
perație algebri
că. 'a este
definită astfel:
s :
Z
Z
x
Z
Z

→

Z
Z
,

s(x,
!

x
)
(*!

x*.
+e
asemen
ea, scăderea este
oper
ație algebri
că
și pe
mulț
mile:
Q
Q
,
R,
R,

C.
C.
"nsa, pe
mulțimea
N
N
a numerelor naturale scăderea nu este operație algebrică deoarece rezultatul
acesteia nu este intotdeauna un număr natural.
! +aca M este o mulțime, pe mulțimea
F
F
(M!-f  f: M
→
M/
a funcțiilor de la M la M putem defini operația algebrică de compunere. 0eamintim că,
dacă f, g
∈

F
F
(M!, atunci se defin
ește compunerea
g o f ca fiind fun
cția
g o f : M
→
M, (g o
f! (x!  g(f(x!!.
1! +aca M este o mulțime nevidă, iar
P
P
(M!
 –
2

2
⊂
M/
este mulțimea părților lui M,
atunci reuniunea
(2, 3!
→
2
∪

3,
2,
3
∈

P
P
(M!
si intersectia
(2, 3!
→
2
∩

3,
2,
3
∈

P
P
(M!
sunt operații algebrice pe
P
P
(M!.
4! Fie n
≥
# un număr natural. &e multimea 5
n
 -678, 6#8, …., 6n 9 #8/ a claselor
de resturi modulo n, definim următoarele operații
algebrice:
(6a8, 6b8 !
→
6a8 ) 6b8 (numită adunare!,
(6a8, 6b8!
→

6a8
6b8
(numita
inmulțire!.

ă arătam mai int;i că, adunarea este o operație algebrică pe 5
n
,
adică
nu
depinde
de alegerea reprezentanților. "ntr*adevăr, fie 6a8  6a
#
8 și 6b8  6b
#
8< atunci a
≡
a
#
(mod n!
și b
≡
b
#
(mod n!, adică n  a 9 a
#
și n  b 9 b
#
, de unde n  (a ) b! * (a
#
) b
#
!, adică a ) b
≡
a
#
) b
#
(mod n! și deci 6a ) b8  6a
#
) b
#
8.
=a fel se arat
ă că
dac
ă a
≡

a
#
(mod n! și b
≡

b
#
(mod n!, atunci 6ab8  6a
#
b
#
8 și
deci operația de inmulțire este bine definită
.
+eseori, daca
φ
: M x M
→

M este o oper
ație algebrică pe mul
țimea M, in loc de
φ
(x, ! se folosește ca și in exemplele de mai inainte, o alta notație ca de exemplu: x > ,
x o , x
⊥
,
x
? ,
x )
, x
,
etc.
+acă notăm elementul
φ
(x, ! prin x ) , pentru orice x, 
∈
M, operația algebrică
se numește adunare (fără a
fi vorba de adunarea numerelor!, iar x ) 
se numește suma lui
x cu < in acest caz, se spune că am folosit scrierea aditivă a operației algebrice. +acă
notăm elementul
φ
(x, ! prin x@ sau x pentru orice x, 
∈
M, operația algebrică se
numește inmulțire (de asemenea, fără a avea vreo legătură cu inmulțirea numerelor!, iar
x se numește produsul lui x cu < in acest caz, se spune că am folosit scrierea
multiplicativ
ă a
operației algebrice.
+ăm c;teva proprietăți ale operațiilor algebrice, cu aAutorul cărora se definesc
structurile de bază ale algebrei.
Asociativitatea
. Fie M
≠

∅
o mulțime și
φ
: M x M
→
M o operație algebrică pe
mulțimea M. e spune că φ este o operație algebrică asociativă dacă oricare ar fi x, , z
∈
M, are loc egalitatea
φ
(x,
φ
(, z!! 
φ
(
φ
(x, !, z!.
"n scrierea aditivă condiția de
asociativitate,se scrie
x ) ( ) z!  (x ) ! ) z, ori
care ar fi
x, , z
∈
M,
iar in scrierea multiplicativă, aceasta se scrie
x ( z! 
(x ! z, o
ricare ar fi
x, , z
∈
M.
+aca
φ
nu este asociativă, se spune că
φ
este o operație algebrică neasociativă.
Exemple
. Bperațiile algebrice de adunare si inmulțire pe mulțimile de numere:
N
N
,
Z
Z
,
Q
Q
,
R
R
,
C
C

sun
t asocia
tive< op
erați
a algebr
ică de compu
nere a funcț
iilo
r pe
F
F
(M! dată in
exe
mpl
ul
!
est
e
aso
cia
tiv
ă<
de
ase
men
ea,
reu
ni
une
a
și
in
ter
sec
ția
pe
P
P
(M! (vezi
exe
mpl
ul
1!
!
su
nt
ope
raț
ii
alg
ebr
ice
aso
cia
tiv
e.
$du
nar
ea
și
in
mul
ți
rea
pe
Z
Z
n
(vezi
exemplul 4!! sunt operații algebrice asociative. "ntr*adev
ăr, dacă 6a8,
6b8, 6c8
∈

Z
Z
n
, atunci
6a8 ) (6b8
) 6c8! 6a8 ) 6b ) c86a)(b )
c!86(a ) b!)c86a ) b8 ) 6c8
(6a8 ) 6b8! ) 6c8
și

6a8 (6b8 6c8!  6a86bc8  6a(bc!8 
6(ab!c8  6ab86c8  (6a86b8!6 c8.
Cnsă, scăderea numerelor nu este asociativă< de exemplu
 * (% * 1!
≠
( * %! * 1.

Comutativitatea
. Fie M
≠

∅
o mulțime și
φ
: M x M
→
M o operație algebrică pe
mulțimea M. e spune ca
φ
este o operație algebrică comutativă, dacă oricare ar fi x, 
∈
M, are loc egalitatea
φ
(x, ! 
φ
(, x!.
+acă
fol
osi
m
scr
ier
ea
adi
ti
vă,
res
pec
ti
v
scr
ier
ea
mu
lti
pli
cat
ivă
con
di
ția
de
comutativitate se scrie:
x
)



)
x,
oricare
ar
fi
x,

∈
M,
respectiv
x  x, oricare ar fi x, 
∈
M.
+acă
φ

nu este comutativă, se spune ca
φ

este o operație algebrică necomutativă.
Exemple
. Bperațiile algebrice definite in exemplul #! sunt comutative. căderea
numerelor este necomutativă< de exemplu
4 9 %
≠
% * 4.
+e asemenea, operația algebrică de compunere pe
F
F
(M! nu este comutativă dec;t
dacă M are un singur element (lăsam ca exercițiu demonstrația acestei afirmații!. +e
asemenea, reuniunea si intersecția pe
P
P
(M! sunt operații algebrice comutative. $dunarea
si inmulțirea pe
Z
Z
, sunt operații algebrice comutative.

Element neutru
. Fie
φ
: M x M
→
M
o
operație al
gebrică d
efinită
pe mu
lțimea M
≠∅
.
e spu
ne
că element
ul e
∈
M este element neutru pentru operația
φ
, dacă oricare ar
fi x
∈
M, avem
φ
(x,
e!

φ
(e,x!

x.
+acă cons
ide
răm o
ope
raț
ie
alg
ebr
ică oarec
are
,
no
tat
ă
pri
n
>
:
M
x
M
→

M,
(x, !
→
x > ,
atunci condiția de mai inainte a elementului neutru se scrie
x > e  e > x 
x, oricare ar fi x
∈
M.
ă presupunem că e si eD sunt elemente neutre pentru această operație algebrică.
$tunci avem
e  e > eD  eD.
+eci, elementul neutru, dacă există, este
unic determinat.
+acă
fol
osi
m
scr
ier
ea
adi
tiv
ă,
ele
men
tul
neu
tru
se
num
eșt
e
ele
men
t
nul
sau
element zero sau cEiar zero și se notează de obicei cu 7. u această notație, condiția
elementului zero devine
x ) 7  7
) x
 x, oricare ar
fi x
∈
M.
"n scrierea multiplicativă, elementul neutru se numește și element unitate și se
notează de obicei cu e
sau cEiar cu # (a
nu se confunda, cu numărul #!.
u aceste
notații, condiția elementului unitate devine
x G
e 
e G
x
 x,
respectiv x
G #
 #
G x
 x,
oricare ar
fi x
∈
M.
Exemple
. &entru operația de adunare in
N
N
,
Z
Z
,
Q
Q
,
R
R
,
C
C
, numărul 7 este element
neutru, iar pentru operația de inmulțire a numerelor, numărul # este element neutru.

&entru operația de compunere a funcțiilor definită pe
F
F
(M!, funcția identică #
M
este
element neutru. &entru operația de reuniune (respectiv intersecție! pe mulțimea
P
P
(M! a
părților
unei
mulțimi
M,
mulțimea
vidă
∅
(respectiv mulțimea totală M! este element
neutru. &entru adunarea pe mulțimea
Z
Z
n
elementul neutru este 678, iar pentru inmulțire
elementul neutru este 6#8.
+acă considerăm mulțimea %
Z
Z
 -%n  n
∈

Z
Z
/ a numerelor intregi pare, inmulțirea
(obișnuită! a numerelor intregi este o operație algebrică internă care, in mod evident, nu
are element neutru.
Elemente simetrizabile
. Fie M
≠

∅
o mulțime si φ o operație algebrică pe M, care
ar
e
un ele
me
nt neu
tr
u
e. +acă x
∈
M este un element al lui M, se spune că x este
simetrizabil față de operația dată dacă
există un element xD
∈
M astfel inc;t
φ
(x, xD!

φ
(xD, x!
 e.
'lementul xD este un simetric al lui x. +acă folosim scrierea multiplicativă, e fiind
elementul neutru, atunci un element simetric al lui x se mai numește element invers sau
un invers al lui x, iar condiția de
mai inainte devine
x G xD  xD G x  e.
"n acest caz x este inversabil față de operația dată.
+acă folosim scrierea aditivă, 7 fiind elementul neutru, atunci un element
simetric
al lui x se
numește și element opus al lui x, iar
condiția de mai inainte devine
x ) xD
 xD )
x
 7.
Observație
. +acă M
≠

∅
este o mulțime, iar > : M x M
→
M, (x, !
→
x > , este
o operație algebrică pe M, care admite element neutru e, atunci e este simetrizabil,
simetricul său fiind e. "ntr*adevăr, avem e > e  e.

Exemple
. "n mulțimea
N
N
a numerelor naturale, numai 7 (elementul neutru! are un
opus față de operația de adunare si numai # are invers față de operația de inmulțire. "n
mulțimea
Z
Z
a numerelor intregi, față de adunare, orice element are un opus, iar față de
inmulțire # și H# au invers. "n
Q
Q
,
R
R
și
C
C
față de adunare, orice element are un opus iar
faț
ă
de inmu
lți
re
or
ice
ele
men
t
nen
ul are
un inve
rs. "n
mul
țim
ea
F
F
(M! cu operația
algebrică de compunere a funcțiilor, elementele inversabile sunt funcțiile biAective. "n
mulțimea
P
P
(M!, față de reuniu
ne numai mulț
imea vidă
∅
are un simetric, iar față de
intersecție numai mulțimea totală M are un simetric.
"n mulțimea
Z
Z
n
 -678, 6#8, …, 6n * #8/ cu operația algebrică de adunare, oricare ar
fi 6a8
∈

Z
Z
n
, are un opus si anume 6* a8
∈

Z
Z
n
. +acă considerăm
Z
Z
n
cu operația algebrică de
inmulțire avem că 6a8
∈

Z
Z
n
este inversabil dacă și numai dacă a este prim cu n ((a, n!  #!.
"ntr*adevăr, dacă a este inversabil, atunci există 6b8
∈

5
n
astfel inc;t 6a8 6b8  6#8
sau 6a b8
 6#8 și
deci
n  ab *
#. $tunci ex
istă I
∈

Z
Z
astfel
inc;t a
b * #  In
sau ab ) n
(*
I!

#,
și
deci
(a,
n!

#.
0eciproc,
dacă (
a,
n!

#,
atunci
există
u,
v
∈

Z
Z
astfel inc;t
a u ) n v  #, de unde 6a u ) n v8  6#8 sau 6a8 6u8 ) 6n8 6v8  6#8.
+ar 6n8  678 și deci 6a8
6u8  6#8, adică a
este inversabil in
Z
Z
n
.

Propoziție
. Fie M
≠

∅
o mulțime inzestrată cu o operație algebrică asociativă
>: M x M
→

M,
(x,
!
→

x > , și
cu elem
ent neu
tru e. +a
că eleme
ntul x
∈
M este
simetrizabil, atunci simetricul său este
unic.
Demonstrație
. Fie x
∈
M, iar xD, xJ
∈
M, simetrici ai lui x, adică x > xD  xD > x  e
și x > xJ  xJ > x  e. $tunci xJ >(x> xD!  xJ > e  xJ, iar (xJ > x! > xD  e > xD  xD.
Bperația fiind asociativă, avem xJ > (x > xD!  (xJ > x! > xD și deci xJ  xD.
Observație
.
Fap
tu
l
că
ope
raț
ia
est
e
aso
cia
ti
vă
est
e
ese
nți
al
pen
tru
un
ici
tat
ea
ele
men
tu
lui
sim
etr
ic,
nu
nu
mai
in
dem
on
str
ați
a
dat
ă
mat
in
ain
te.
Mai
pre
cis
,
dac
ă
operația nu este asociativă, nu rezultă unicitatea elementului simetric. ă luăm mulțimea
M  -e,
a, b/ și să
definim pe M, o operație algebrică K>J,
in modul următor:
e >
x 
x >
e
 x,
pentru o
rice
x
∈
M ,
a > a
 a >
b  e,
b >
a  e,
b > b
 a.
$ceasta operație nu este asociativă< de
exemplu,
(b > b!
> a  a >
a  e,
iar
b > (b
> a/  b >
e  b.
'lementul a are ca simetrice pe a și pe b.
"n condițiile de mai inainte, dacă x este un element simetrizabil pentru o operație
aso
cia
tiv
ă,
sim
etr
icu
l
său
,
uni
c
det
erm
ina
t,
se
no
tea
ză
cu
x
*#
dacă folosim scrierea
multiplicativ
ă și se citește inversul lui x, și se no
teaza
* x, dacă folosim scrierea aditiv
ă și
se citește opusul lui x.
B mulțime nevidă M inzestrată cu o operație algebrica K>J o notăm, uneori, prin
perecEea (M, >!, pun;nd
in evidență mulț
imea și operația algebrică.
§ . MONOIZI
§ . MONOIZI
Definiție
. B mulțime nevidă M, inzestrată, cu o operație algebrică asociativă și cu
element neutru se
numește monoid.
+acă, in
plus, operația algebrică este
comutativă, monoidul se numește comutativ.
Exemple
. Mulțimea
N
N
a numerelor naturale față de adunarea obișnuită formează
un monoid comu
tati
v. +e
asemen
ea, mulțime
a
N
N
cu inmulțirea obisnuită este monoid
comut
ativ
.
Mul
țimi
le:
Z
Z
,
Q
Q
,
R
R
,
C
C
față de adunarea obișnuită, c;t și separat, față de
inmulțirea obișnuită formează monoizi comutativi. Mulțimea
F
F
(M! a funcțiilor definite
pe
mulțimea
M
cu
valori
in
M,
cu
operația
de
compunere,
formează
un
monoid,
in
general, necomutativ. Multimea
P
P
(M! a părților unei mulțimi M cu operația de reuniune,
ca și cu
cea de intersecție, formează monoid comutativ. Multimea
Z
Z
n
, a claselor de
resturi
modulo n cu operația de adunare, ca și separat, cu cea de inmulțire este monoid
comutativ.

R!"uli #! $al$ul i%t&'u% (o%oi#
R!"uli #! $al$ul i%t&'u% (o%oi#
Fiind dat un monoid M, cu operația algebrică notată multiplicativ, se poate defini,
prin
recurență,
produsul
unui
număr
finit
de
elemente
x
#
,
x
%
, …, x
n

(n
≥
#! ale lui M,
astfel:
+acă notăm cu x
#
… x
n
produsul acestor elemente, a
tunci
x
#
x
%
… x
n
 (x
#
x
%
… x
n * #
! x
n
.
Observație
. e poate arăta cu ușurință, prin inducție, că pentru I, 7 L I L n, are loc
relația
(#! a
#
a
%
… a
n


(a
#
a
%
… a
I
! (a
I ) #
a
I ) %
… a
n
!.
=ăsăm demonstrația ca
exercițiu.
"n cazul particular in care a
#

a
%
   a
n
 a, in loc de a
#
a
%
 a
n
se mai scrie a
n
.
$vem a
#
 a iar dacă n  7, convenim să punem a
7
 e, e fiind elementul unitate al
monoidului.
+in relația (#!, deducem
a
m
. a
n
 a
m ) n
pentru m, n
∈

N
N
.
&rin inducție, se demonstrează ușor că
(a
m
!
n
 a
mn
.
+acă
in
locul
scrierii
multiplicativ
e,
folosim
scrierea
aditivă.
atunci
in
loc de
a
#
a
%
… a
n
,
se
scrie
a
#
) a
%
)

)
a
n

iar rel
ația (#!
devine
a
#
) a
%
) … ) a
n
 (a
#
) …. ) a
I
!
) (a
I )
#
)  ) a
n
!. +e asemenea. in loc de a
n
se scrie na și deci # G a  a, iar dacă n  7,
convenția devine
7 G a  7. elelalte relații dev
in respectiv
ma
)
na

(m
)
n!a
și
n(ma!

(nm!a
.
Mo&)i*(! #! (o%oi+i
Mo&)i*(! #! (o%oi+i
+acă M și N sunt doi monoizi, notați multiplicativ se numește morfism de
monoizi o funcție f : M
→
N, astfel Onc;t
#!
f(x
! 
f(x!
f(!
, or
icare
ar f
i x,

∈
M<
%!
%! f(e!  eD, u
nde e și eD sun
t resp
ectiv
, element
ele uni
tate ale lu
i M și N.
Exemple
. +aca (
N
N
, )! este
monoidul aditiv al numerelor naturale iar n
∈

N
N
este un
număr natural oarecare, funcția
φ
n
: N
→
N,
φ
n
(x!  nx,
este un morfism de monoizi.
=ăsăm ca exerci
țiu, demo
nstr
ația fapt
ului că orice mor
fism de mono
izi
de la
monoidul (
N
N
, )!
in el ins
uși es
te de aces
t tip. Mai pr
eci
s, dacă f:
N
N
→

N
N

este
un

morfism de monoizi, atunci există n
∈
N
N
, as
tfe
l i
nc;
t
f
φ
n
(adică f(x! 
φ
n
(x!  nx,
oricare ar fi x
∈

N
N
!.
+acă (
P
P
(M!,
∩
! si (
P
P
(M!,
∪
! sunt respectiv, monoidul părților mulțimii M cu
intersecția și cu
reuniunea, funcția
g : (
P
P
(M!,
∩
!
→

(
P
P
(M!,

∪

!,
g(2!

C
C
2
(
C
C
2 este complementara lui 2! este
un morfism de monoizi.
"ntr*adevăr,
g(2
∩
3! 
C
C
(2
∩
3! 
C
C
2
∪

C
C
3  g(2!
∪
g(3/
și
g(M! 
C
C
M 
∅
.
Observație
. e poate demonstra prin inducție, că dacă x
#
,
x
%
,  , x
n
∈
M, atunci
pentru orice morf
ism de monoizi
f : M
→
N avem
f(x
#
x
%
… x
n
!  f(x
#
!f(x
%
! … f(x
n
!.
"n particular,
f(x
n
!  (f(x!!
n
.
Co(pu%!&!a (o&)i*(!lo& #! (o%oi+i
Co(pu%!&!a (o&)i*(!lo& #! (o%oi+i
#! +ac
ă M,
N, &
su
nt mo
no
iz
i, iar f :
M
→
N. g : N
→
& sunt morfisme de
monoizi, atunci compunerea g of : M
→

& este un
morfism de monoizi.
"ntr*adevăr, dacă x, 
∈
M, atunci
(g o
f!(x !
 g(f(x
!!
 g(f(x!f(!! 
g(f(x!! g(f(!! 
(g o
f!(x!
(g o
f! (!.
+e asemenea,
(g of!(e!  g(f(e!!  g(eD!  eJ.
om
pun
ere
a
mo
rfi
sme
lo
r
de
mon
oiz
i
est
e
aso
cia
tiv
ă,
deo
are
ce
est
e
un
caz
particular de compu
nere de functii.
%! +acă M este un monoid, funcția identică #
M
a mulțimii M, este un morfism de
monoizi.
"ntr*adevar, daca x, 
∈
M, atunci

#
M
(x !  x   #
M
(x! #
M
(!.
+e asemenea,
#
M
(e!  e.
Mai mult, dacă f : M
→
N este
morfism de monoizi, atunci
f o #
M

f
și
l
N
o f  f.

I+o(o&)i*(
I+o(o&)i*(
#!
#!
(o%oi+i
(o%oi+i

Pn morfism de monoizi f : M
→
N se
numește izomorfism dacă există un morfism
de monoizi g: N
→
M, astfel inc;t fog  l
N
și g o f #
M
.
criem atunci f : M
≈
N.
+acă f : M
≈
N este un izomorfism de monoizi, atunci g : N
→
M definit mai
inainte, este unic determinat. "ntr*adevăr, daca gD : N
→
M este un alt morfism astfel inc;t
gD o f  #
M
și f o gD  l
N
, atunci
gD
o
(f o
g! 
gD o
#
N


gD
și
(gD
of!
o
g

l
M
o g  g.
+ar, gD o ( f o g!  (gD o f! o g și deci
gD  g.
+in definiție rezultă că
g este și
el un izomorfism de monoizi, numit izomorfismul
invers lui f și se notează cu f
*#
.
+acă există un izomorfism de monoizi f : M
≈
N se spune că monoidul M este
izomorf cu monoidul N.
Observație
. 0elația de izomorfism intre monoizi este o relație de
ecEivalență :
#! Brice monoid M este izomorf cu el Onsuși, deoarece #
M

:
M
→
M este un
izomorfism de monoizi<
%! +acă monoidul M este izomorf cu monoidul N, atunci și monoidul N este
izomorf cu monoidul M (prin izomorfismul invers! <
! +acă monoidul M este izomorf cu
monoidul N, iar monoidul N este izomorf cu
monoidul &, atunci M este izomorf cu &.
+acă monoidul M este izomorf cu monoidul N, se mai spune că M și N sunt
monoizi izomorfi și se scrie M
≈
N.
Observație
. Noțiunea de izomorfism este fundamentală in $lgebra< din punct de
vedere algebric, două structuri algebrice izomorfe sunt la fel,
deosebirile dintre ele țin;nd
doar de natura elementelor și a operației. +ouă structuri algebrice izomorfe se pot
identifica.
Propoziție
. Fi
e f : M
→
N un morfism de monoizi. $tunci f este izomorfism de
monoizi dacă si numai dacă funcția f
este biAectivă.
Demonstrație
. 'ste cunoscut că o funcție este inversabilă dacă și numai dacă este
biAectivă. +e
aici, rezultă
in mod evident
că, dacă
f este
izomorfism, atunci funcția f
este
biAectivă. 0eciproc, dacă f este biAectivă, atunci există o fun
cție g : N
→

M
astfel
inc;t
g
o f  #
M
și f o g  #
N
. ?o
tul
rezultă
dacă arăt
ăm că
g
este mo
rfism
de mo
noizi.
Fie 
,
D
∈
N< atunci
 D  l
N
( D!  (f o g! ( D!  f(g( D!!.
&e de altă parte,
 D #
N
(! #
N
(D!  (f o g! (! (f o g! (D!  f(g (!! f(g(D!!  f(g(!g(D!!.
+eci f(g(D!!  f(g(!g(D!! și cum f este inAectivă, rezultă

g(D!  g(! g(D!.
+e asemenea, avem (g o f! (e! e,
adică g(f(e!!  e. +ar f(e!  eD și d
eci g(eD!  e.
Exemplu
. Morfismul de monoizi
g : (
P
P
(M!,
∩
!
→
(
P
P
(M!,
∪
!,
g(2!

C
C
2.
este izomorfism.
Mo%oi#ul li!& "!%!&at #! o (ul-i(!
Mo%oi#ul li!& "!%!&at #! o (ul-i(!
Fie " o mulțime. Qom numi cuv;nt de elemente din " un sistem finit ordonat de
elemente din ", a
#
a
%

…

a
I
. Qom spune că două cuvinte cu elemente din ",
α

a
#
a
%
… a
I
,
β
 b
#
b
%
 b
s
, sunt egale dacă și numai dacă I  s și a
i

 b
i
pentru i  #, %, …, I.
&e mulțimea =("! a
cuvintelor cu elemente din " introducem următoarea operație algebrică
notată multiplicativ. &entru
α

și
β

din
=("!
de f
orma
de mai
sus,
α
β
 a
#
a
%

a
I
b
#
b
%


b
s
. 'ste clar că această operație este asociativă și are element unitate care
este cuv;ntul ,,vidJ (format din submulțimea vidă a lui "!. $șadar, =("! cu operația
introdusă este
monoid și se numește monoi
dul liber generat de mulțimea ".
e vede că dacă mulțimea " are cel puțin două elemente distincte a și b, atunci
ope
raț
ia
alg
ebr
ică
in
tro
du
să
pe
=("
!
nu
est
e
com
ut
ati
vă,
căc
i
ab
≠
ba, unde ab este
compunerea cuv;ntului a cu cuv;ntul b, iar ba compunerea cuv;ntului b cu cuv;ntul a.
+acă insă mulțimea " este constituită dintr*un singur element "  -a/, atunci există un
singur cuv;nt de lu
ngime n R 7, care
poate fi notat sub f
orma a
n
, iar pentru n
≥
7, m
≥
7,
avem că, a
n
a
m
 a
n ) m
și deci este clar că in acest caz
=("! este monoid comutati
v.
"n continuare, in afară de cazul in care se menționează altfel, operația algebrică pe
un monoid va fi notată multiplicativ. "nsă, fară o mențiune expresă,
N
N
va fi considerat ca
monoid cu adunarea.
Propoziție
. +acă " este o mulțime formată dintr*un singur element "  -a/, atunci
monoidul liber =("! generat de
" este izomorf cu
monoidul aditiv
N
N
.
Demonstrație
. $m văzut că, in ipoteza din propoziție, orice element al lui =("!
este de forma a
n
, cu n
∈

N
N
și este clar că funcția
φ
: =("!
→

N
N
definită prin
φ
(a
n
!  n este
un morfism de monoizi fiindcă
φ(a
n
a
m

!

φ
(a
n ) m
!
 n
) m

φ
(a
n
! )
φ
(a
m
!

.

$nalog, funcția
φ
D:
N
N

→
=("!, definită prin
φ
D(n!  a
n
, este un morfism de monoizi și avem
φD o φ  #
=("!
și
φ
o
φ
D#
N
N
.
.
+in propoziția de mai sus rezultă ca toți monoizii liberi generați de un element
sunt izomorfi, fapt care rezultă de altfel aproape imediat din definiția monoidului liber
generat de o mulțime ", in care se vede că natura elementelor din " nu intervine. +eci la
două mulțimi " și "D ecEipotente se asociază monoizi liberi izomorfi. $ceastă afirmație
rezultă și din următoarea teoremă:

T!o&!(
T!o&!(
. Fie " o multime, =("! monoidul liber generat de ",  un monoid și
(a
i
!
i
∈
"
, un sistem de elemente din  (cu " drept mulțime de indici!. $tunci există un unic
morfism de monoizi
φ
: =("!
→
, astfel ca
φ
(i!  a
i
pentru orice i
∈
" (aici " se consideră
ca submulțime a lui
=("! identific;nd elementele lui " cu cuvintele formate dintr*un singur
element din "!.
Demonstrație
. Qa trebui să definim pe
φ
pentru orice cuv;nt format cu elemente
din ". $cest lucru se face astfel: dacă
α
∈
=("!,
α
 i
#
i
%
 i
n
, i
I
∈
",
I 
#, %,
 , n
, n
≥
#,
atunci
φ(
α
!



a
i
#


a
i
n
( compunerea elementelor
a
i
#
,

,
a
i
n
in !, iar pentru n  7, adică
cuv;ntului vid ii asociem elementul unitate din . Fie
β
 A
#
.. .A
m
un alt element din =("!.
$tunci avem prin definiție:
φ(
α
β
!  a
i
#


a
i
n

b
A
#


b
A
m
și
φ(
α
!φ(
β
!  (
a
i
#


a
i
n
!(
b
A
#


b
A
m
! .
+eoarece in  operația este asociativă avem că
φ
(
α
β
! 
φ
(
α
! φ(
β
!, deci
φ
este
morfism de monoizi. $m construit astfel morfismul
φ
cu proprietatea cerută. ă arătăm
că este unicul morfis
m cu această
proprietat
e. Fie atunci φD: =("!
→
 un alt
morfism
astfel ca
φ
D(i!  a
i
,
pentru
orice
i
∈
". Fie
α
∈
=("! scris
sub
forma
de
mai
sus.
$tunci
φD(
α
! 
φ
D(i
#
 i
n
! 
φ
D(i
#
! 
φ
D(i
n
!
a
i
#


a
i
n
, adică φD (
α
! 
φ
(
α
!, pentru orice
α

∈
=("! ș
i deci
φ
D 
φ.
&roprietatea monoidulu
i liber general
de o
mulțime ", demonstrată in teorema
precedentă,
poartă numele de prop
rietatea de universal
itate a monoidul
ui liber generat de ".
§ /. GRUPURI 0I MORI2ME DE GRUPURI
§ /. GRUPURI 0I MORI2ME DE GRUPURI
G&upu&i
G&upu&i
Definiție
. e numește grup o mulțime nevidă S, inzestrată cu o operație algebrică,
care satisface
următoarele condiții:
#! este asociativă<
%! are element neutru<
! orice element din S e
ste simetrizabil.
e mai spune că, in acest caz, pe
S s*a dat o structură de grup.
+acă in
plus
,
oper
ația este
comu
tati
vă, se
spun
e
că grupul S
este comutat
iv sau
abelian.
+e
re
gu
lă
,
pe
nt
ru
op
er
aț
ia
al
ge
br
ic
ă
di
nt
r*
un
gr
up
vo
m
fo
lo
si
sc
ri
er
ea
multiplicativă< dacă grupul S este comutativ, vom folosi de obicei scrierea aditiva. Qom
folosi, eventual, și alte notații pentru operația algebrică a unui grup, de exemplu, dacă

sunt definite mai multe operații pe aceeași mulțime< oricum, nu vom folosi scrierea
aditivă in cazul
unui grup necomutativ (neabelian!.
Exemple
. Mulțimile
Z
Z
,
Q
Q
,
R
R
,
C
C
sunt grupuri comutative in raport cu operația de
adun
are
cores
pun
zătoa
re
fiecă
reia
dint
re
acest
ea.
Mul
țimi
le
Q
Q
>,
R
R
>,
C
C
> ale numerelor
raț
ion
ale
nen
ule
,
rea
le
nen
ule
,
com
pl
exe
nen
ul
e,
faț
ă
de
inm
ulț
ire
,
su
nt
gru
pur
i
comutative.
Mulțimile
Q
Q
>
)
,
R
R
3
3
)
, ale
numerelor raționale strict pozitive și numerelor reale strict
pozitive, formează grup
uri comutativ
e față de inmulțire.
Mulțimea
Z
Z
n
a claselor de
resturi cu operația de adunare este un grup comutativ.
Fie M o mulțime și (M!  -f: M
→
M  f biAectivă/, mulțimea funcțiilor biAective
de la M la M. +eoarece compunerea a doua funcții biAective este o funcție biAectivă, iar o
fun
cți
e
est
e
bi
Aec
ti
vă
dac
ă
și
nu
mai
dac
ă
est
e
inv
ers
abi
lă,
rez
ul
ta
că,
com
pun
ere
a
funcțiilor pe (M! este o operație algebrică impreună cu care (M! este un grup, in
general necomutativ. $cesta se numește grupul permutărilor mulțimii M si*l vom nota cu
(M!. =ăsăm ca exerciți
u, să
se arate că
(M! este comut
ativ dacă și
numa
i dacă
M
are
cel mult două elemente.
Pn număr complex z se numește rădăcină a unității, dacă există un număr natural
n
≥
#, astfel inc;t să avem z
n
 #. Față de inmulțirea obișnuită a numerelor complexe,
mul
ți
mea
P
a
răd
ăci
nil
or
uni
tăț
ii
fo
rme
ază
un grup abeli
an. +acă
n
≥
# este fixat,
mulțimea P
n
 -z
∈

C
C


z
n
 #/ a rădăcinilor de ordin n ale unității formează, față de
inmulțirea obișnuit
ă a
numerelor complexe, un grup abelian.
+aca
S
este
un
grup,
iar
"
este
o
mulțime
nevidă,
considerăm
mulțimea
S
"

-f
 f
: "
→

S/ a fu
ncți
ilor d
e la " la S. &en
tru f
, g
∈
S
"
, definim funcția fg :"
→
S,
prin (fg! (x!
f(x! g(x!. $t
unci mulțimea S
"
,
impreună
cu
operația
algebrică
dată
prin
(f,
g!
→

fg,
este
un
grup.
'lementul
neutru
al
acestui
grup
este
funcția
constantă
u
:
"
→
S, u(x!  e, e
fiind elementul neutru al grupul
ui S. e poate arată cu
ușurință că grupul
S
"
este comutativ dacă și numai dacă
grupul S este comutativ.
Fie S-*#,#/ si SD -*#, #, * i , i/. Față de inmulțirea obișnuită a numerelor, S și
SD sunt grupuri abeliene.
Fie M un monoid cu operația algebrică notată multiplicativ și notăm cu
P(M!  -x
∈
M 
x inversabil/.
Bbse
rvăm că,
eleme
ntul neutr
u
e
aparț
ine lui
P(M! și deci
P(M!
≠

∅
. Mai mult,
dacă x, 
∈
P(M!, atunci există x
*#
,
*#

∈
M astfel inc;t xx
*#
 x
9#
x e și 
*#
 
*#
  e.
+eci și x
*#
,

*#

∈
P(M! și (x! (
9#
x
*#
!  (
*#
x
*#
! (x! e, adică x
∈
P(M!. $m
demonstrat astfel că operația algebrică

de pe M, ne dă o operație algebrică pe P(M! și,
mai mult, P(M! impreună cu această operație este grup. Srupul (P(M!, G! astfel obținut
se numește grupul elementelor inversabile ale
monoidul
ui (M, G!.
Srupul (P(
Z
Z
!, G! al elementelor inversabile ale monoidului multiplicativ (
Z
Z
, G! al
numerelor intregi este (-*#, #/, G!. Srupul (P(
F
F
(M!/, o!, al elementelor inversabile ale
monoidului (
F
F
(M!, o! al funcțiilor de la M la M este grupul permutărilor (M!. Srupul
(P(
Z
Z
n
!, G! al claselor de
resturi inversabi
le ale
monoidul
ui (
Z
Z
n
, G! este
P(
Z
Z
n
!  -6a8
∈

Z
Z
n
, (a, n! 
#/, după cum rezultă din T%.

R!"uli #! $al$ul i%t&'u% "&up
R!"uli #! $al$ul i%t&'u% "&up
+upă cum rezultă din definiție, orice grup este un monoid< deci regulile de calcul date
pentru
monoizi
sunt
valabile
și
pentru
grupuri.
$stfel,
dacă
a
#
,
a
%
, …. , a
n

(n
≥
#! sunt
elemente ale unui grup S, putem vorbi de a
n
sau na, (n
≥
7!, după cum folosim scrierea
multiplicativă sau aditivă. Mai mult, intr*un grup, oricare ar fi x din S, există simetricul
său in S, care este unic
determinat. imetricul lui x se notează cu x
*#
și se citește inversul
lui x sau 9x și se
citește opusul lui x după cum folosim scrierea multiplicativă sau aditivă.
$vem următorul rezultat: dacă x
#
,
x
%
,…, x
n

(n
≥
#! sunt elemente ale unui grup S,
atunci
(x
#
x
%
 x
n
!
*#
 x
n
*#
 x
%
9#
x
#
*#
.
"ntr*adevăr, țin;nd seama de asociativitate,
(x
#
x
%
 x
n
! (x
n
*#
 x
%
9#
x
#
*#
!( x
n
*#
 x
%
9#
x
#
*#
! (x
#
x
%
 x
n
!e
ceea ce demonstrează relația de mai inainte.
"n particular,
(x!
*#
 
9#
x
9#
,
iar daca x
#
 …  x
n
 x, atunci pentru n
≥
7,
(
#
!
(
x
n
!
*#
 (x
9#
!
n
.
Puterea
unui
element
într-un
grup
. "n cazul unui grup, putem defini puterea x
n
,
pentru orice n
∈
Z
Z
. +acă n L 7, atunci * n R 7 și definim x
n
 (x
*#
!
*n
 (x
*n
!
*#
.
0elația (#! se extinde și pentru n L
7. "ntr*adevăr,
(x
n
!
*#
 ((x
*n
!
*#
!
*#
 ((x
*#
!
*#
!
* n
 x
* n
 (x
*#
!
n
.

+e
asemenea,
pentru
grupuri,
avem
x
m
x
n

 x
m ) n
,
oricare ar fi m. n
∈

Z
Z
.
"ntr*un grup S, au loc legile de simplificare:
#! +acă x. . z
∈
S și x   x z,
atunci   z.
%! +acă x. , z
∈
S și x z
  z , atun
ci
x  .
"ntr*adevăr, din x   x z, prin inmulțire la st;nga cu x
*#
, rezultă x
*#
(x !  x
9#
(x z!
sau (x
*#
x!  (x
9#
x! z, de unde e   e z adică   z.
$nalog, se demonstrează a doua lege de
simplificar
e.
=ăsăm, ca
exercițiu,
să s
e arate
că dacă
a, b
∈
S,
fiecare
dintre
ecuațiile
ax

b
și
 a  b, are soluție unică in S.

Mo&)i*(! #! "&upu&i
Mo&)i*(! #! "&upu&i
Definiție
. Fie S și SD două grupuri. e numește morfism de grupuri de la S la SD o
funcție f : S
→
SD, astfel inc;t
f(x !  f(x!f(!, oricare ar fi x.
∈
S.
a și la
monoizi, au loc următoarele afirmații:
#! +acă S, SD, SJ sunt grupuri, iar f:S
→
SD, g: .SD
→
SJ sunt morfisme de grupuri,
atunci compunerea g o f: S
→
SJ este
un morfism de grupuri.
%! +acă S este un grup, funcția identică #
S
a mulțimii S, este un morfism de grupuri.
Mai mult, dacă f
este un morfism de grupuri, atunci f o #
S
 f și l
SU
o f  f.
Pn morfism de grupuri f : S
→
SD astfel inc;t funcția f să fie inAectivă (respectiv,
surAectivă! se numește morfism inAectiv (respectiv, surAectiv! de grupuri.
Pn morfism de grupuri f : S
→
SD se nu
mește izomorfi
sm de grupu
ri dacă
există un
morfism de grupuri g : SD
→
S astfel inc;t
f o g  #
SU
și
g
o
f

#
S
.
+acă f : S
→
SD este un izomorfism, scriem f :
S
≈
SD. +ouă grupuri S și SD intre care
există un izomorfism se numesc izomorfe< scriem atunci S
≈
SD (vezi comentariile făcute
la izomorfism de monoizi!.
Pn morfism de grupuri definit pe grupul S și cu valori tot in S se numește
endomorfism al lui S.
Pn endomorfism al lui S care este
și izomorfism se numește automorfism al lui S.
Exemple
. +acă S și SD sunt două grupuri arbitrare, funcția
θ

:
S
→
SD,
θ
(x!  eD
(elementul neutru al lui SD!
este evident un morfism de
grupuri, numit morfismu
l nul.
Funcția f :
Z
Z

→
-*#, #/, definită prin
#, dacă x este par
f(x! 
*#, dacă x este impar,
este un morfism de la grupul aditiv al numerelor intregi la grupul multiplicativ -*#, #/.
Qerificarea acestui fapt este imediată.
Fie n
∈

Z
Z
și funcția
φ
n

:
Z
Z

→

Z
Z
, definită prin
φ
n
(x!  n x. 'ste clar că
φ
n
este un
endomorfism al grupului aditiv al
numerelor intregi
ă consider
ăm grupul adit
iv
R
R

al nume
rel
or real
e
și fie
R
R
>
)
grupul multiplicativ al
numerelor reale strict pozitive. Funcția f :
R
R

→

R
R
>
)
dată de f(x!  e
x
, unde e este baza

logaritmilor naturali, este un morfism de grupuri, mai mult, este cEiar un izomorfism
deoarece, dacă considerăm g:
R
R
>
)

→

R
R
,
g(! 
ln ,
avem
f o
g
 #
R
R
>
)
și g o f  #
R
R
.
Fie S un grup oarecare, " o mulțime nevidă și grupul S
"
 -f  f : "
→
S/ definit mai
inainte. Funcția
ψ
: S
→
S
"
,
definită
prin:
dacă x
∈
S,
ψ
(x! : "
→
S este funcția dată de
ψ
(x! (i!  x, este
un morfism de grupuri.
Fie S un grup si a
∈
S un element
al său. $plicația
ϕ
a
: S
→
S, dată de
φ
a
(x!  a x a
*#
,
este
un
automorfis
m
al
lui
S.
"ntr*adevăr,
D
φ
a
(x!  a(x!a
*#
 a(xa
*#
a!a
*#
 (a x a
*#
! (a  a
*#
!  φ
a
(x!
φ
a
(!.
Mai mult, este imediat că
φ
a
o φ
a

9 #


φ
a

9 #

o φ
a

.
Fie M o mulțime, N
⊂
M o submulțime proprie a lui M, iar (M! și (N! grupurile
permutărilor mulțimii
M,
respectiv ale
mulțimii N.
&entru
f
∈
(N!, defini
m
)
)

:
M
→

M
prin

e verifică ușor că
)
)

∈
(M!, iar funcția
ψ
: (N!
→
(M!, dată de
ψ
(f! 
)
)
,
este un morfism de
grupuri.
Propoziție
. +acă S și SD sunt două grupuri, e și eD elementele neutre ale lui S,
respectiv SD și f : S
→
SD un morfism de grupuri, atunci
#! f(e!  eD <
%! pentru orice x
∈
S, avem f(x
*#
!  (f(x!!
*#
.
Demonstrație
. #! $vem
f(e!  f(e e! f(e!f(e!,
sau
f(e! eD f(e!f(e!.
implific;nd ambii membri prin f(e! (adică, inmulțind la st;nga cu f(e!
*#
!, obținem
eD  f(e!.
%! $v;nd in vedere unicitatea elementului invers, este suficient să demonstrăm că
f(x
*#
!f(x!eD și f(x!f(x
*#
!  eD.
$vem f(x
*#
! f(x!  f(x
*#
x!  f(e! 
eD și analog, a
doua relați
e.
Propoziție
. Fie f : S
→
SD un morfism de grupuri. $tunci f este izomorfism de
grupuri dacă si numai dacă funcția f este
biAectivă.
f(x!, x
∈
N
x, x
∈
M V N.
)
)
(x!

&en
tru
dem
ons
tra
ție
se
po
ate
ved
ea
pro
poz
iț
ia
ana
loa
gă
de
la
mor
fi
sme
de
monoizi.
Exercițiu
. $m observat mai inainte că dacă n
∈

Z
Z
, funcția
φ
n

:
Z
Z

→

Z
Z
, definită
prin φ
n
(x!  n x, este un endomorfism al grupului aditiv al numerelor intregi. ă se arate
că orice endomorfism al grupului aditiv 5 este de acest tip (adică, oricare ar fi morfismul
f : (
Z
Z
, )!
→
(
Z
Z
, )! exista I
∈

Z
Z
, astfel inc;t f 
φ
n
.
P&o#u* #i&!$t #! "&upu&i
P&o#u* #i&!$t #! "&upu&i
Fie S
#

și S
%
, două grupuri. &e produsul cartezian &  S
#

x S
%
al mulțimilor S
#
și
S
%
, introducem următoarea operație algebrică:
(x
#
,
#
! (x
%
, 
%
!  (x
#
x
%
,

#

%
!.
& impreună cu această
operație devine un grup. "ntr*adevar
,
#! operația este asociativă, deoarece oricare ar fi (x
#
,

#
!, (x
%
,

%
!, (x

,


!
∈

&,
avem
(x
#
, 
#
! 6(x
%
, 
%
! (x

, 

!8  (x
#
, 
#
! (x
%
x
,

%


!  (x
#
(x
%
x

!, 
#
(
%


!! 
 ((x
#
x
%
! x

, (
#

%
!



!  (x
#
x
%
, 
#

%
! (x

, 

!  6(x
#
, 
#
! (x
%
, 
%
!8 (x

, 

!.
%! elementul neutru este (e
#
,
e
%
!, unde e
i
este elementul neutru al lui S
i
, i  #, %.
"ntr*adevăr oricare ar fi (x, !
∈
&, avem
(x, ! (e
#
, e
%
!  (x e
#
,
 e
%
!  (x, !,
și
(e
#
, e
%
! (x, !  (e
#
x,
e
%
!  (x, !.
! inversul unui element oarecare (x, !
∈
& este (x
*#
, 
*#
!
∈
&, deoarece
(x, ! (x
*#
,

*#
!  (x x
*#
,  
*#
!  (e
#
, e
%
!
și

(x
*#
, 
*#
! (x, !  (x
*#
x, 
*#
!  (e
#
,
e
%
!.
Srupul & se numește produsul direct al
grupuril
or S
#
și S
%
și se notează &  S
#
x S
%
. Mai
mult, dacă S
#
și S
%

sunt grup
uri comutativ
e, atunci, de asemenea, & este grup comut
ativ.
Aplicații
.
#! Fie grupu
ril
e
adi
tiv
e
Z
Z
m

si
Z
Z
n
ale claselor de resturi modulo m,
respectiv
modulo
n.
ă
consideram
produsul
direct
al acestor
grupuri
Z
Z
m
x
Z
Z
n
, unde
( 6×8, -/! ) (6xU8, -U/!  (6 x ) xU8, - ) U/! oricare ar fi (6×8,-/!, (6xU8,-U/!
∈

Z
Z
m
x
Z
Z
n
.
ă se arate că dacă m și n sunt prime intre ele, grupul (
Z
Z
m
x
Z
Z
n
, )! este izomorf cu
grupul aditi
v
al claselor de resturi m
odulo mn.
+efinim
φ
: 5
mn

→

Z
Z
m
x
Z
Z
n
,
prin
φ
(

x !  (6×8, -x/!. Funcția
φ
este bine definită,
căci dacă

x 


,
,
adică x
≡
 (m
od mn!,
atunci mn
 x 9
< deci m
 x 9

și
n  x
9 ,

adică x
≡

(mod
m!
și
x
≡
 (mod n!, adică 6×8  68 și -x/  -/ și deci (6×8, -x/! 
(68, -/!, adică
φ
(

x! 
φ
(

!.
$vem că
φ

este morfism de grupuri, deoarece
φ(

x )


!
φ
(
!

(
6x
)
8,
-x
)
/
!

(6×8 ) 68, -x
/ )-/!  (6×8
, -x/! ) (68, -
/!  φ(

x ! )
φ
(

 !.
Mai mult,
φ
este inAectiv, deoarece dacă
φ
(

x ! 
φ
(

 !, atunci (6×8, -x/!  (68, -/!,
adică 6×8  68 și -x/  -/< deci m  x 9  și n  x 9  și cum (m, n!  #, rezultă că mn  x
9 , adică

x 

 . um
φ
este inAectivă iar
Z
Z
mn

și
Z
Z
m
x
Z
Z
n
au același număr de elemente,
rezultă că
φ

este și surAectivă, deci biAectivă. $șadar,
φ
e
ste un izomorfism de grupuri.
Bbservăm că se poate demonstra și reciproc, și anume că, dacă grupurile
Z
Z
mn

și
Z
Z
m
x
Z
Z
n

sunt izomor
fe, atunci m și n sunt p
rime intre ele.
%! +acă considerăm monoizii multiplicativi (
Z
Z
m
,
•
! și (
Z
Z
n
,
•
!, atunci pe produsul
cartezian
Z
Z
m
x
Z
Z
n
al
mulțimilor
Z
Z
m
și
Z
Z
n,
introdu
cem
următoarea operație

(6×8, -/! (6xD8, -D/!  (6x xD8, - D/!.
"n acest mod
Z
Z
m
x
Z
Z
n

devine
in
mod
evident
un
monoid,
elementul
unitate
fiind
(6#8,
-#/!.
&e
de
altă
parte,
consider;n
d monoidul
multiplicativ (
Z
Z
mn ,
•
!
avem
funcția
φ:
Z
Z
m n

→

Z
Z
m
x
Z
Z
n
, φ(

x !  (6×8, -x/!. Funcția φ este aceeași ca la aplicația #! și deci este
bine definită. Mai mul
t, φ este un morfism d
e monoizi. "ntr*ad
evăr,

φ(

x

 ! 
φ
(
și
φ
(

# !  (6#8, -#/!
. =a aplicația #! am demonst
rat că dacă (m, n!  #,
φ
este
biAectivă,
deci, in acest caz
φ
este izomorfism de monoizi.
+a
că
P(
Z
Z
mn
!
,
P(
Z
Z
m
! și P(
Z
Z
n
!
su
nt,
res
pec
tiv
,
gru
pu
ril
e
mul
tip
lic
ati
ve
ale
elementelor inversabile din
Z
Z
mn
,
Z
Z
m
și
Z
Z
n
, avem

x
∈
P(
Z
Z
mn
! dacă și numai dacă 6×8
∈
Z
Z
m
și -x/
∈

Z
Z
n
.
"ntr*adevăr,
aceasta rezultă din faptu
l că, dacă (m, n!  #, atunci are loc afirm
ația:

x

 

# dacă și numai dacă
6×8 68  6#8 și -x/-/-#/,
care este ecEivalentă cu
m n  x 
* # dacă și
numai dacă m 
x  * #
și
n  x 
9 #,
afirmație evidentă, dacă (m, n!  #.
&r
in
ur
ma
re
,
da
că
(m
,
n!

#
at
un
ci
φ

ne
dă
un
iz
om
or
fi
sm
de
gr
up
ur
i
multiplicative:

φ : P(
Z
Z
mn
!
≈

P(
Z
Z
m
! x P(
Z
Z
n
!, unde

φ (

x !
φ
(6×8, -x/!.
x )
x 
!  (6x 8, -x 
/!  (6×8, -x/ !(6
8, -/!  φ (

x !
φ
(

 !

§ 4. 2UBGRUPURI
§ 4. 2UBGRUPURI

2u"&upu&i
2u"&upu&i
Fi
e
S
un gru
p
in
no
ta
ți
e
mu
lt
ip
li
ca
ti
vă
(S
x
S
→

S
, (x
, !
→
x ! și W o
submulțime nevidă a sa. +acă oricare ar fi x, 
∈
W, ave
m x 
∈
W (produsul efectuat
conform operației algebrice din S!, atunci se obține o funcție W x W
→
W, (x. !
→
x ,
adică o operație algebrică pe W numită operația indusă pe W de operația din S. "n acest
caz, se mai spune că operația din S induce o operație pe W.
Definiție
. e spune că o submulțime nevidă W a grupului S este un subgrup al lui
S, dacă operația algebrică din S induce pe W o operație algebrică față de care W este
grup.
Propoziție
. Fie S un grup și W o submulțime nevidă a sa. $tunci următoarele
afirmații sunt ecEivalente:
#! W este subgrup al lui S<
%! #X Bricare ar fi x, 
∈
W,
produsul
x efectuat conf
orm operației d
in S, este un
element din W<

%X
e
∈
W (e
fiind elementul neutru al lui S!<
X
Bricare ar
fi x
∈
W, inversul x
*#
al lui x in S, aparține lui W<
! Bricare ar fi x, 
∈
W, atunci x
*#
(sau x
*#
! efectuat in S, aparține lui W.
Demonstrație
. #!
⇒
%! $firmația #X rezultă din faptul că operația din S induce pe
W o operație algebrică. W fiind subgrup, el are un element neutru notat eD. um e este
elementul neutru al lui S, avem
in S relația
e eD  eD e  eD.
implific;nd la dreapta această relație (adică inmulțind*o la dreapta cu (eD!
9#
! obținem
e  eD.
Fie x
∈
W, x
*#
inversul in S al lui x, iar xD inversul in W al lui x< atunci, conform
celor de mai inainte, avem in S,
x x
*#

x x
D 
e.
implific;nd la st;nga această relație, obținem xD 
x
*#
, deci x
*#
∈
W.
%!
⇒
! +acă x, 
∈
W, conform cu X, rezultă 
*#

∈
W ș
i d
upă
#X
, x

*#

∈

W.
$nalog, se arată că x
*#

∈
W.
!
⇒
#! +acă x
∈
W, atunci x x
*#
 e
∈
W și x
*#
 e x
*#

∈
W. +e asemenea, dacă 
∈
W, cum 
*#

∈
W, se obține
x   x(
*#
!
*#

∈
W.
$sociativitatea operației de pe W rezultă din faptul că
operația lui S este asociativă.
Observație
. +acă S este un grup abel
ian,
orice subgru
p al său este abelian.

Exemple
. +acă S este un grup, atunci S insuși este un subgrup al lui S, numit
subg
rupu
l total al lui S. +e
aseme
nea submu
lțime
a -e/ a
lui S
este subg
rup numi
t
subgrupul nul al lui S. ubgrupul total și subgrupul nul ale unui grup S se numesc
subgrupuri improprii ale lui S. Brice subgrup diferit de acestea, se numește subgrup
propriu.
Sr
up
ul adi
ti
v
Z
Z

al
nu
me
re
lo
r
in
tr
eg
i
es
te
su
bg
ru
p
al
gr
up
ul
ui
ad
it
iv
Q
Q

al
numerelor raționale< grupul aditiv
Q
Q
este subgrup al grupului aditiv
R
R
al numerelor reale<
grupul aditiv
R
R
este
subgrup al grupului aditiv
C
C
al numerelor complexe.
+e
asemen
ea,
grup
ul
mult
ipli
cati
v
Q
Q
>
este subgru
p
al
grup
ulu
i
mult
ipli
cativ
R
R
>
iar ambele
sunt subgrupuri ale grupului multiplicativ
C
C
>.
Srupul multiplicativ -*#, #/ este subgrup al grupului multiplicativ
Q
Q
>, iar grupul
multiplicativ -* #, #, *
i, i/ este
subgrup al grupului multip
licativ
C
C
>.
Fi
e
M o
mu
lț
im
e, N
⊂
M o submulțime proprie a lui M, iar (M! și (N!
grupurile permutărilor mulțimii M, respectiv ale mulțimii N. Mulțimea W  -f
∈
(M! 
f(x! 
x
oricare ar
fi x
∈
M V N/
este un subgrup al lui (M!.
Fie
Z
Z
grupul adit
iv al
numer
elor intr
egi, iar n
∈

Z
Z
un număr intreg oarecare.
ubmulțimea n
Z
Z

-n I
 I
∈

Z
Z
/ a lui
Z
Z
este un subgrup al lui
Z.
Z.
"ntr*adevăr, dacă x, 
∈
5, x  nE și   nI cu E, I
∈

Z
Z
, atunci
x 9
 
n(E *
I!
∈
n
Z
Z
și conform punctului  al propoziției precedente rezultă că n
Z
Z
este subgrup al lui
Z
Z
.
Bbservăm că n
Z
Z
 (* n!
Z
Z
.
Mai mult, propoziția următoare ne arată că
orice subgrup al lui
Z
Z
este de acest tip.
Propoziție
.
+acă
W
este
un
subgrup
oarecare
al
grupului
aditiv
Z
Z
, atunci există
n
∈

Z
Z
, n R 7, astfel inc;t W  n
Z
Z
.
+emonstrație. Fie W
⊂

Z
Z
un subgrup oarecare al
grupului aditiv
Z
Z
.
+acă W  -7/, adică W este
subgrupu
l nul, atunci W  7
Z.
Z.
+acă W
≠
-7/, există x
∈
W, x
≠
7. +atorită pct. %! al propoziției precedente, * x
∈

W.
0ezultă că W conține numere intregi pozitive. Fie n cel mai mic numar intreg pozitiv din
W. $vem că 7
∈
W, n
∈
W
,
%n

n
)
n
∈
W și, in general, I n
∈
W, oricare ar fi I număr
natural, dupa cum rezultă din pct #! al propoziției precedente. +e asemenea, după pct. %!
al aceleiași propoziții, In
∈

W,
oricare
ar
fi
I
intreg
negativ<
deci
n
Z
Z

⊂

W.
Fie
acum
x
∈
W, un element oarecare. onform teoremei impărțirii cu rest pentru numere intregi, x
se poate scrie
x  nY ) r, unde 7
≤
r L n.
+eoarece x și nY sunt din W, rezultă că r  x * nY aparține lui W. um 7
≤
r L n, iar n
este cel mai mic număr natural nenul din W, rezultă că r  7< deci xnY
∈

n
Z
Z
. $șadar
W
⊂
n
Z
Z
, de unde W  n
Z
Z
.

Nu$l!ul 5i i(a"i%!a u%ui (o&)i*( #! "&upu&i
Nu$l!ul 5i i(a"i%!a u%ui (o&)i*( #! "&upu&i
Fie S și SD două grupuri, iar f : S
→

SD
un
morfism
de
grupuri.
Fie
W
⊂
S și
WD
⊂
SD
subgrupu
ri. ă
considerăm
f(W!  -xD
∈
SD  există x
∈
W astfel inc;t xD f(x! /
imaginea (directă! lui W prin f și
f
*#
(WD!-x
∈
S  f(x!
∈
WD/
imaginea reciproca a lui WD prin f.
e notează Zer f  f
*#
(-eD/! și se numeșt
e nucleul morfismu
lui f< de asemenea,
"m
f  f(S! și
se numește imaginea morfismului f. +eci
Zer f -x
∈
S
 f(x
! eD/
și
"m f  -xD
∈
SD  există x
∈
S astfel inc;t
xD 
f(x!/  -f
(x/  x
∈
S/.
Propoziție
. .Fie f : S
→
SD un morfism de grupuri. $vem:
#! +acă W este subgrup al lui S, atunci f(W! este subgrup al lui SD. ("n particular,
"m f este un
subgrup al lui SD!<
%! +acă WD
es
te sub
gr
up al
lu
i
SD
,
at
un
ci f
*#
(WD! este subgrup al lui S. ("n
particular, Zer f este un s
ubgrup al lui
S!.
Demonstrație
. #! um W
≠

∅
este evident că f(W!
≠∅
. +acă xD, D
∈
f(W!, atunci
există x, 
∈
W, astfel inc;t xD
f(x!, D f-!. $vem
xD D
*#
 f(x! (f(!!
*#
 f(x!f(
9#
!  f(x
*#
!
și cum W este
subgrup, rezult
ă că
x
*#

∈
W și deci xD D
*#
 f(x
*#
!
∈
f(W!.
%! um eD
∈
WD, iar f(e!  eD, rezultă că e
∈
f
*#
(WD!, adică f
9#
(WD!
≠

∅
.
+acă
x,

∈
f
9#
( WD!, atunci f(x!, f(!
∈
WD< deci,
cum WD este subgrup,
f(x
*#
!  f(x! f(!
*#
 f(x! f(
*#
!
∈
WD,
adică x
*#

∈
f(WD!.
Propoziție
. Pn morfism de grupuri f : S
→
SD este inAectiv dacă și numai dacă
nucleul său este subgrupul nul al lui S (adică, Zer
f  -e/!.
Demonstrație
. ă presupunem că f este morfism inAectiv. $vem f(e!  eD și dacă
x
∈
Zer f, atunci f(x!  eD, adică f(x! f(e!. um funcția f este inAectivă, rezultă x  e.
0eciproc, fie f(x! f(!. $tunci f(x! (f(!!
*#


eD,
adică
f(x!f(
*#
!  eD sau f(x 
*#
!  eD și
deci x
*#
 e și deci x 
. 0ezultă că f este inAectivă.

Bbs
erv
ați
e.
"n mod evid
ent avem că
un morf
ism de
gru
pur
i
f
:
S
→
SD este
surAectiv dacă și numai dacă "m f coincide cu SD.
2u"&up "!%!&at #! o *u(ul-i(! a u%ui "&up
2u"&up "!%!&at #! o *u(ul-i(! a u%ui "&up
Bbservăm, mai int;i, că dacă (W
i
!
i
∈
"
este o familie de subgrupuri ale unui grup S, atunci
∩
W
i
este un subgrup al lui S.
"ntr*adevăr, fie x, 
∈

∩
W
i
. $tunci x, 
∈
W
i
, o
ricare
ar
fi
i
∈
"
i
∈
"
i
∈
" și cum fiecare W
i
, i
∈
", este un subgrup rezultă că x
*#
∈
W
i
(oricare ar fi i
∈
"!. +eci
x 
*#
∈

∩
W
i
.

i
∈
"
Definiție
.
Fi
e
S
un
gr
up
și
'
o
su
bm
ul
ți
me
a
lu
i
S.
"n
te
rs
ec
ți
a
tu
tu
ro
r
subgrupur
ilor care conțin
mulțimea ' (această
intersecție fiind un subgrup, conform celor
precedente!
se
numește
subgrup
ul
generat
de
'
in
S.
Qom
nota
acest
subgrup cu
L'R.
+eci L'R
∩
W .

'
⊂
W
⊂
S

W
subgrup
+acă W  L'R, adică W este subgrupul generat de ', se spune că ' este un sistem
de generatori pentru W sau că ' generează pe W.
Observații
. #! +acă ' 
∅
, atunci subgrupul generat de ' este subgrupl nul -e/.
%! +acă ' este un subgrup al lui S, atunci printre subgrupurile lui S care conțin
pe
'
se
gasește
insuși '
și
deci
subgrupu
l
generat
de
'
este
tocmai
'.
um
subgrupu
l
generat de un subgrup este subgrupul insuși, rezultă că orice subgrup al unui grup S are
cel puțin un sistem de generatori.
Pn subgrup W al lui S care admite un sistem de generatori finit, se spune că este
un subgrup finit generat sau de tip finit. Pn subgrup W al lui S, care admite un sistem de
gen
era
to
ri
for
mat
din
tr*
un
sin
gu
r
ele
men
t,
se
spu
ne
că
est
e
un
sub
gru
p
cic
li
c
sau
monogen. Qom scrie W  LaR, a
∈
W.
Pr
mă
to
ar
ea
te
or
em
ă
ne
dă
fo
rm
a
el
em
en
te
lo
r
su
bg
ru
pu
lu
i
ge
ne
ra
t
de
o
submulțime nevida ' in S.
T!o&!(
T!o&!(
. Fie '
≠

∅
o submulțime a lui S. $
tunci subgrup
ul L'R generat de '
in
S este format din mulțimea elementelor lui S
care se pot pune sub forma

a
#
ε
#
a
%
ε
%
. . . a
I
ε
I
, unde I
≥
7, iar
ε
i

±
#, a
i
∈
' pentru orice #
≤
i
≤
I.

Demonstrație
. ă notăm cu WD  -x
∈
S

x

a
#
ε
#
a
%
ε
%
. . . a
I
ε
I
, unde I
≥
7,
ε
i

±
#,
a
i
∈
',
#
≤
i
≤
I
/.
ă arătăm
că WD
este sub
grup
al lui
S, care co
nține
pe
'. "ntr*ad
evăr,
oricare
ar
fi
a
∈
', a  a
#

∈
WD. +eci WD
⊃
', de unde WD
≠

∅
.
+acă x, 
∈
W
,
atunci
x

a
#
ε
#
a
%
ε
%
. . . a
I
ε
I
,  
b
#
µ
#
b
%
µ
%
. . . b
s
µ
s
,
ε
i

±
#,
µ
A

±
#, a
i
, b
A
∈
', #
≤
i
≤
I, #
≤
A
≤
s, și deci x
*#

a
#
ε
#
a
%
ε
%
. . . a
I
ε
I
b
#
*
µ
#
b
%
*
µ
%
. . .
b
s
*
µ
s
∈
W
’
. um W este subgrup care conține pe ', rezultă că WD include intersecția tuturor
subgrupur
ilor lui S care conțin pe
', adică WD
⊇
L'R.
0eciproc,
dacă
W
este
un
subgrup
al
lui
S
care
conține
pe
',
atunci
dacă a
#,
a
%,
 , a
I

∈

'
⊂
W, rezultă că
a
#
ε
#
,
a
%
ε
%
,
. . . ,a
I
ε
I

∈

W
și
W
fiind
subgrup
avem
că
a
#
ε
#

a
%
ε
%
. . . a
I
ε
I
∈
W. +eci W conține pe WD. um W este un subgrup arbitrar care
conține pe ', rezultă că WD este conținut in intersecția tuturor acestor subgrupuri, adică in
L'R.
Observație
. +acă folosim scrierea aditivă, atunci
L'R  -x
∈
S  x  (
ε
#
a
#
! ) (
ε
%
a
%
!
) 
) (
ε
I
a
I
! , unde I
≥
7,
ε
i


[#,
a
i
∈
', #
≤
i
≤
I/.
+acă W este un subgrup ciclic generat de a, atunci din teorema precedentă, rezultă
că
W  LaR  -a
n
 n
∈
5/.
"n scrierea aditivă, W  LaR  -na  n
∈
5/.
'lementul a se numește generator al subgrupului ciclic W.
Exemple
. #! Srupul aditiv (
Z
Z
, )! al numerelor intregi este ciclic generat de # sau
de *#, adică (
Z
Z
, )!L#RL*#R.
%! +aca m, n
∈

Z
Z
, atunci
#X ! m
Z
Z

∩

n
Z
Z
 6m, n8
Z
Z
și
%X!
Lm,
nR

(m,
n!
Z
Z
,
unde 6m. n8  c.m.m.m.c. -m, n/ și (m , n!  c.m.m.d.c.
-m, n/.

ă
demonstrăm
#X.
+acă
x
∈
m
Z
Z

∩
n
Z
Z
, adică x
∈
m
Z
Z
și x
∈
n
Z
Z
, atunci m  x
și
n

x.
+eci
6m,
n8

x,
adică
x
∈
6m, n8
Z
Z
. 0eciproc, dacă x
∈
6m, n8
Z
Z
, atunci 6m, n8 
x și deci m  x și n  x, adică
x
∈
m
Z
Z
și x
∈
n
Z
Z
, de unde x
∈
m
Z
Z

∩
n
Z
Z
.

ă
demo
nstr
ăm
%X.
+in
teor
ema
prece
dent
ă,
in
scrie
re
adit
ivă,
rezu
ltă
Lm,
nR

-x
∈
5  x  m I ) n l, unde I, l
∈

Z
Z
/. +acă x
∈
Lm,nR, atunci x  m I) n l, I, l
∈

Z
Z
și
cum
(m,
n!

m
și
(m,
n!

n
rezultă
că
(m,
n!

m
I
)
n
l,
adică
(m,
n!

x,
de
unde
x
∈
(m, n!
Z
Z
.
um Lm, nR
este subgru
p al lui
Z
Z
, rezultă că există d
∈

Z
Z
astfel
inc;t
Lm, nR
 d
Z
Z
. +ar
m, n
∈
Lm, nR, adică m, n
∈

d
Z
Z
și deci d  m și d  n. Fie acum x
∈
(m, n!
Z
Z
, adică
(m, n!  x. um d este un divizo
r comun al numer
elor m și n,
rezu
ltă d  (m, n! și deci
d  x, adică x
∈
d
Z
Z
 Lm, nR.

Bbservăm
că,
din
#X
rezultă
că
orice
două
numere
intregi
au
un
c.m.m.m.c.

+in
%X
rezultă
că,
orice
două
numere
intregi
m
și
n
au
un
c.m
m.
d.
c
și
mai
mult,
există I, l
∈

Z
Z
astfel incit (m, n!  m I ) n l.
! Srupul aditiv (
Z
Z
n
, )! al claselor de resturi modulo n este ciclic generat de
exemplu, de 6#8, adică
(
Z
Z
n
, )!L 6#8 R.
ă arătăm că 6a8
∈

Z
Z
n
este generator al grupului (
Z
Z
n
,)! dacă și numai dacă a și n
sunt prime intre ele (adică, (a, n!  #!.
"n
tr
*a
de
vă
r,
da
că
a
es
te
ge
ne
ra
to
r
al
lu
i
Z
Z
n
,
ad
i
c
ă
Z
Z
n
 L6a8R, atunci există
6b8
∈

Z
Z
n
, astfel inc;t 6#8  6b8 6a8 sau 6
#8  6b a8 deci n  l *
b a, adică există I
∈

Z
Z
astfel
incăt # * b a  I n sau a b ) n I  #, ceea ce arată că (a, n!  #. 0eciproc, dacă (a, n!  #,
atu
nci
rez
ult
ă
că
6a8
∈

P(
Z
Z
n
! și
de
ci exi
st
ă
6b
8
∈

Z
Z
%
%
, cu 6a8 6b8  #. $tunci, dacă
6×8
∈

Z
Z
n
, 6×8  6x #8  6x
8 6#8  6×8 6a8 6b
8  6x b8 6a8  (x b! 6
a8.
um x b
∈

Z
Z

avem
6×8
∈
L6a8R. $șadar
Z
Z
n
 L6a8R.
§ 6. RELAȚII DE EC7I8ALENȚĂ PE UN GRUP IN RAPORT CU UN
§ 6. RELAȚII DE EC7I8ALENȚĂ PE UN GRUP IN RAPORT CU UN
2UBGRUP AL 2ĂU
2UBGRUP AL 2ĂU
Fie S un grup și W un subgrup al său. onsiderăm pe S relațiile binare 0
s
și
0
d
definite in modul
următor.
+acă x, 
∈
S, atunci
x 0
s

dacă și
numai dacă
x
*#

∈
W și
x 0
d
 dacă și numai dacă x 
*#

∈
W.
$ceste relații binare sunt relații de ecEivalență. ă demonstrăm, de exemplu, că prima
relație binară este de ecEivalență, adică
reflexivă, simetrică și tranzitivă.
#! +acă x
∈
S, atunci x
*#
x  e
∈
W și deci x 0
s
x
(reflexivitat
ea!.
%! +acă x 0
s
, atunci x
*#

∈
W și deci 
9#
x  (x
9#
!
*#

∈
W, de unde  0
s

x
(simetria!.
! +acă x 0
s
 și  0
s

z,
atunci
x
9#

∈
W și 
9#
z
∈

W.
+eci
x
9#
z  (x
9#
!(
9#
z!
∈
W, adică x 0
s
z (tranzitivitatea!.
$nalog, se demonstrează că 0
d
este relație de ecEivalență.
0elațiile de ecEivalență 0
s

și
0
d

se
num
esc
rel
ați
i
de
con
gr
uen
ță
la
st;
nga
,
respectiv la dreapta, in raport cu W (sau modulo W!. Faptul că ,,x este in relația 0
s
cu \
(respectiv, ,,x este in relația 0
d
cu \ ! se mai citește x este congruent cu  modulo W la
st;nga (respectiv, x este congruent cu  modulo W la dreapta! și
scriem
x
≡
s
(mod W! (respectiv, x
≡
d


(mod
W!!.
ă notăm cu 6×8
s
, respectiv 6×8
d
clasa de ecEivalență a elementului x
∈
S in raport
cu
0
s
, respectiv 0
d
și o vom numi clasa de ecEivalență la st;nga, respectiv clasa de
ecEivalență la dreapta a lui x modulo W. Mai spunem incă, clasa de resturi la st;nga a lui
x modulo W, respectiv clasa de resturi la
dreapta a lui x modulo W.
Fie S]0
s
și S]0
d
mulțimile factor (c;t! corespunzătoare lui 0
s

și
0
d
, adică
mulțimile claselor de ecEivalență la st;nga, respectiv la dreapta modulo W.

Exemple
. #! +acă S este un grup, relațiile de congruență 0
s

și
0
d
la st;nga și la
dreapta modulo -e/ coincid (adică x 0
s
 dacă și numai dacă x 0
d
!. +e asemenea,
relațiile 0
s
și 0
d
modulo S coincid.
%! +acă S este un grup comutativ, iar W un subgrup oarecare al lui S, atunci
relațiile de congruență la st;nga și la
dreapta modulo W coincid.
! Fie
2
2
n
grupul permutărilo
r de 
elemente, adică

#
%

#
%

#
%

#
%

#
%

#
%

2
2


, ,
, ,
,
#
%

%
#


#
%
#

%
%

#

%
#
și

#
%

#
%

2
2
%

,
.

#
%

%
#

2
2
%
este un subgrup al lui
2
2

.
ă construim mulțimile claselor de ecEivalență la st;nga și la dreapta modulo

2
2
%. +acă
σ
,
τ

∈

2
2

atunci
σ

*#
τ

∈


2
2
%

dacă și
numai
dacă
σ
*#

τ
(!  , dacă și numai dacă
σ
(! 
τ
(!. +eci, obținem trei clase de ecEivalență la
st;nga și anume:

#
%

#
%

#
%

#
%


#
s


,
,

%
s

,
,

%
#
%

#
#

%

#
%
#
%

#
%




s
 , .
#
%

%
#

+acă
σ
,
τ

∈


, atunci
σ
0
d

τ
dacă și numai dacă
τ

*#
(! 
σ

*#
(!. +eci clasele de
ecEivalență la dreapta sunt:

#
%

#
%

#
%

#
%


#
d


,
,

%
d

,
,

#
%

%
#
#

%
%

#
#
%

#
%




d

,
.
#
%

%
#


e observă că mulțimile factor
2
2

]0
s


–

#
s
,

%
s
,


s
/ și
2
2

]0
d


-
#
d

,

%
d
,


d
/ sunt
diferite.
Nota-ii
Nota-ii
. Fie S
un grup și fie $, ^
două submulți
mi nevide ale sale.
Notăm prin
$^-a b  a
∈
$, b
∈
^/.
+acă $ 
-a/, resp
ecti
v ^
 -b/, atunci in loc de $^
scri
em a
^, respect
iv $
b,
adică
a ^  -a b 
b
∈

^/,
respectiv
$ b

-a
b

a
∈
$/.
Lemă
. Fie S un grup și W un subgrup al său. +acă x este un element oarecare al
lui S și notăm cu 6×8
s
, respectiv 6×8
d
clasa de ecEivalență a lui x la st;nga, respectiv la
dreapta modulo W, atunci
6×8
s
 x W și 6×8
d
 W x.
Demonstrație
. ă arătam doar prima egalitate, a doua demonstr;ndu*se analog.
Fie 
∈

6×8
s
, atunci x 0
s
, deci x
*#

∈
W, adică x
*#
  E
∈
W, de unde  x E
∈
x W.
0eciproc, dacă 
∈
x W, atunci   x E cu E
∈
W, deci x
*#
  E
∈
W sau x 0
s


adică

∈
6×8
s
.
Bbservăm că 6e8
s
 e W  W și, de asemenea, 6e8
d
 W e  W.
Propoziție
. +acă S este un grup și W un subgrup al său, fie 0
s

și
0
d
relațiile de
congruență modulo W. $tunci
φ
: S]0
s

→
S]0
d
dată de
φ
(x W!  Wx
*#
este o funcție biAectivă.
Demonstrație
. ă arătăm mai int;i că
φ
este bine definită, adică nu depinde de
alegerea reprezentanților. "ntr*adevăr, dacă x W   W, adică x 0
s
, atunci x
*#

∈
W sau
x
9#
(
*#
!
*#

∈
W. +eci x
*#

0
d


9#
, adică W x
*#
 W 
*#
sau
φ
(x W! 
φ
( W!, ceea ce
Onsea
mnă că
φ
este bine defin
ită.
Funcț
ia
φ
este inAecti
vă căci dacă
φ
(x W! 
φ

( W!,
adică W x
*#
 W 
*#
, atunci x
9#
0
d

9#
, adică x
*#
(
*#
!
*#
∈
W, de unde x
9#

∈
W sau x 0
s

deci x W  
W.
Faptul că
φ
este
surAectivă este cl
ar, deoarece
φ
(x
*#
W!  W(x
*#
!
*#
 W x.
"n particular, dacă una dintre mulțimile S]0
s
sau S]0
d
este finită, atunci și cealaltă
este finită si ele au același număr de elemente. e spune in acest caz că W are indice finit
in S sau că W
este un subgrup de indice finit al lui S, iar numărul de elemente al mulțimii
S]0
s
sau al mulțimii S]0
d
, care este același, se numește indicele lui W in S și se notează
6S : W8.
e spune că un grup S este finit dacă mulțimea pe care este definită structura de
grup (adică mulțimea subiacentă! este finită, iar numărul de elemente ale lui S se
numește ordinul său și se notează ord S.
'ste clar că, dacă S este de ordin finit, atunci orice subgrup al său este de ordin
finit și, mai
mult, indicele oricărui subgrup este finit.
Lemă
. Fie S
un grup și W un subgrup al său. $tunci funcția

ψ
:W
→
x W,
dată de
ψ
(E!  x E, este
biAectivă
Demonstrație
. +acă
ψ
(E! 
ψ
(ED!, atunci x E  x ED, de unde prin simplificare,
E

ED<
deci
ψ
este inAectivă. Funcția
ψ
este evident surAectivă și deci este
biAectivă.
"n particular, dacă W este un grup finit, atunci toate clasele de ecEivalență la stinga
ale lui S modulo W
sunt mulțimi finite și au același număr de elemente ca
și W.
Observație
. $firmația din lema precedentă privitor la clasele de ecEivalență la
st;nga sunt valabile și pentru clasele de ecEivalență la dreapta.
T!o&!( 9La"&a%"!:.
T!o&!( 9La"&a%"!:.
+acă S
este un grup finit și W un subgrup al său, atunci
ord S  6S : W8 G ord W.
Demonstrație
. onform propoziției de mai sus, putem să facem demonstrația
consider;nd, de exemplu, numai relația de ecEivalență 0
s
pe S.
Fie x
#
W, x
%
W., …. , x
I
W
clasele
de
ecEivalență
la
st;nga
modulo
W<
deci
I
6S: W8. $tunci
S 
∪

x
i
W și x
i
W
∩

x
A
W

∅
, pentru i
≠
A,
i#,I
de un
de
card
S 
Σ
card (x
i

W!
(
prin
card
$
notăm
cardinalul
mulțimii
$
adică,
On
i#,I
cazul nostru, numărul de elemente al mulțimii $!. $v;nd in vedere lema precedentă,
rezultă că card S  I G
card W. +eci
ordS  6S :W8 Gord W.
2u"&up %o&(al
2u"&up %o&(al
Definiție
. Pn subgrup N al unui grup S se spune că este subgrup normal sau
divizor normal, dacă oricare ar fi x
∈
S și E
∈
N, avem x E x
*#

∈
N.
Observație
. &en
tr
u un gru
p S
si a
∈
S, am definit morfismul
φ
a

:
S
→

S,
φ
a
(x!  a x a
*#
. +upă definiție, rezultă că un subgrup N al lui S este subgrup normal dacă
și numai daca
φ
a
(N!
⊂
N, oricare ar fi a
∈
S.
Propoziție
. +acă N este un subgrup al grupului S, afirmațiile următoare sunt
ecEivalente:
#! N este
subgrup normal<
.
%! 0elațiile de congruență modulo W, adică 0
s
și 0
d
,coincid<
! x N  N x, oricare ar fi x
∈
S.

+emonstrație. #!
⇒
%! +acă x 0
s
, atunci x
*#

∈
N, adică x
*#
  E
∈

N,
deci

 x E. +ar cum N este subgrup normal, avem x E x
*#

∈
N, adică x E x
*#
 E
’

∈
N, de unde
x E  ED x. $tunci   ED x, de unde x
*#

∈
N, adică x 0
d
.
$nalog, s
e demon
strează că,
daca x 0
d
, atunci x 0
s
, adică relațiile 0
s
și 0
d
coincid.
%!
⇒
! +acă 
∈
x N,
atun
ci 
 x E
cu E
∈
N deci x
9#
  E
∈
N adică x 0
s
.
+eci x 0
d


adică 
x
9#

∈
N sau  x
*#
 E
’

∈
N, de unde   E
’
x
∈
N x< deci x N
⊂
N x.
$nalog, se demonstrează că N x
⊂
x N.
!
⇒
#! +acă x
∈
S și E
∈
N, atunci x E
∈
x N  N x și deci x E  E
’
x cu ED
∈
N,
de unde x E x
*#
 ED
∈
N, adică
N este subgrup normal.
Exemple
#! S și
-e/ sunt subgrupur
i normale ale grupului S.
%! +acă S
este un grup abelian, este clar
că orice subgrup al său este normal.
! Brice subgrup de indice % al unui grup oarecare S
este normal.
"ntr*adevăr, dacă W este subgrup al lui S
astfel inc;t 6S : W8
 %, atunci
S]0
s
 -W, S V W/ și S]0
d
 -W, S V W/.
+eci S]0
s
 S]0
d
.
#
%

1! Fie
grupul
2
2

al permutărilor de  elemente și
permutarea
σ

.
% # 
ub
mul
țim
ea
W 
-e,
σ
/ este un subg
rup al lui
2
2

care nu este normal. "ntr*adevăr,
dacă
#
%

#
%

#
%

#
%

#
%

τ


,
atunci
τ

σ

τ

*#


∉
W.

#
%

#
%
%
#

%

#

%
#
$ceastă afirmație rezultă și d
in
paragraful preceden
t, unde am arătat că mulțimi
le factor
la st;nga și la dreapta ale lui
2
2

, in raport cu W
sunt diferite.
Faptul că subgru
purile
din aceste exemple su
nt sau nu su
nt subgru
puri normale,
se Austifică și observ;nd dacă relațiile de congruență la st;nga și la dreapta modulo aceste
subgrupur
i coincid sau nu
coincid după cum am
arătat mai inainte.
§
§
;.
;.
GRUP
GRUP
ACTOR
ACTOR
Fie S un grup și N un subgrup normal al său Qom mai scrie in acest caz N
≤

S.
+upă cum rez
ultă di
n cele de mai sus, rel
ațiil
e de congru
ență
0
s

și
0
d
la st;nga și la
dreapta modulo N coincid. Cn acest caz vom spune, pe scurt, congruența modulo N, iar
dacă x, 
∈
S, faptul că
x este congruent cu
 modulo N, il vom scrie și x
≡
 (mod N!.
ele două mulțimi factor S]0
s
și S]0
d
coincid, mu
lțimea factor S]0
fiind not
ată
cu S]N.
Propoziție
. +acă S este
un grup și N un subgrup nor
mal al său atunci pe mulțimea
factor S]N se poate defini a operație algebrică impreună cu care S]N devine grup, iar
funcția surAectivă p: S
→
S]N, p(x!6
x8,
este morfism d
e grupuri
.
Demonstrație
. +acă x, 
∈
S, definim

6×8 68  6x 8.
ă arătăm că, in acest mod se defineșt
e o
oper
ație alge
bric
ă pe
S]N,
impr
eună cu care
S]N devine grup. ă demonstrăm că operația este bine definită, adică nu depinde de
alegerea reprezentanților (după cum pare la prima vedere!. "ntr*adevăr, daca 6×8  6xD8 și
68  6
’
8 atunci x
*#
x
’

∈
N și 
9#

’

∈
N,
adică
există
E
#
, E
%

∈
N astfel inc;t x
*#
x
’
 E
#
și

9#

’

E
%
, adică x
’

x E
#
și

’

 E
%
. +eci x
’

’
 (x E
#
! ( E
%
!  x (E
#
!
E
%
. +ar cum N
este subgru
p
norm
al,
exis
tă
E


∈
N astfel inc;t E
#

 
 E

, de unde se obține
xD D  x ( E

! E
%
 (x ! (E

E
%
!, iar E

E
%

∈
N. +eci (x !
*#
(xD D!  E

E
%

∈
N, adică x 
este congruent modulo N cu x
’

’
, de unde 6x 8  6xD D8. +eci operația algebrică este bine
definită.
Bperația este asoci
ativă, deoarece dacă 6×8,
68, 6z8
∈
S]N, atunci
6×8(68 6z8!  6×86 z8  6x( z!8 
6(x ! z8  6x
8 6z8  (6×8 68! 6z8.
Bperația admite ca element neutru 6e8
∈
S]N, deoarece oricare ar fi 6×8
∈
S]N avem, in
mod evident
6×8 6e8  6e8 6×8 
6×8.
Brice element 6×8
∈
S]N are un invers care este 6x
9#
8
∈
S]N, deoarece
6×8 6x
*#
8  6x x
*#
8  6e8 și 6x
9#
8 6×8  6x
9#
x8  6e8.
$stfel am demonstrat că S]N este
un grup.
Funcția
surAectivă
p :
S
→
S]N, unde p(x!  6×8, este un
morfism de grupuri. "ntr*
adevăr,
p(x !  6x 8  6
x8 68  p(x!
p(!.
Definiție
. Srupul S]N construit in propoziția precedentă se numește grupul factor
(c;t! al lui S
in raport cu subgrupul normal N.
Observație
. +acă S este un grup comutativ, atunci orice subgrup al său este
normal și deci putem vorbi de grupul factor al lui S in raport cu orice
subgrup al său< mai
mult, dacă S este
comutativ, orice grup factor al său este comutativ.
Exemplu
. ă calculăm grupurile factor ale grupului aditiv (
Z
Z
, )! al numerelor
intregi.
Fie W
⊂

Z
Z
, un subgrup al lui
Z
Z
. $tunci W  n
Z
Z
, unde n
≥
7.
+acă n 
7, adică
W  -7/,
avem
Z
Z
]-7/ 
Z
Z
.
+acă n R 7, atunci pentru x, 
∈

Z
Z
, avem x 0  (mod n
Z
Z
! dacă și numai dacă
x 9 
∈

n
Z,
Z,
dacă și num
ai dacă n 
x 9 , dacă și n
umai da
că x
≡
 (mod n!. $șadar,
rel
ați
a
de ecEi
val
enț
ă
pe
Z
Z
modulo subgrupul n
Z
Z
coincide cu relația de congruență
modulo n și deci avem
Z
Z
]n
Z
Z

Z
Z
n
. Mai
mult
,
oper
ația algeb
rică pe grupul facto
r
Z
Z
]n
Z
Z
coincide cu adunarea claselor de resturi modulo n. +eci grupul factor (
Z
Z
]n
Z
Z
, )! al lui
Z
Z
in
raport cu subgrupul n
Z
Z
coincide cu grupul aditiv al claselor de resturi modulo n.
ă demonstrăm acum
următorul rezultat:

Propoziție
. Pn subgrup N al grupului S este subgrup normal dacă și numai dacă,
există un morfism de grupuri definit pe S al cărui nucleu să
fie N.
Demonstrație
.
+a
că N
es
te su
bg
ru
p
no
rm
al al
lu
i
S, iar p
:
S
→
S]N este
morfismul de gru
puri defin
it mai inainte, prin p
(x!  6×8, atunci Zer p
 N.
"ntr*adevăr,
dacă x
∈
Zer p, atun
ci
p(x
!  6e8, dec
i 6×8  6e8, d
e unde x 0 e sau
xe
*#

∈
N, adică
x
∈
N. 0eciproc, dacă x
∈
N, atunci x 0 e,
adică 6×8  6e8, de
unde p(x!  6×8  6e8 și deci
x
∈
Zer p.
Fie acum f : S
→
SD un morfism de grupuri. $m arătat mai inainte că Zer f 
f
*#
(-e/! este subgrup al lui S. ă arătăm că Zer f este subgrup normal al lui S. "ntr*
adevăr, fie x
∈
S și E
∈
Zer f< atunci
f(x E x
*#
! f(x!f(E!f(x
*#
!  f(x! eD f(x
*#
!  f(x! (f(x!!
*#
 eD și deci x E x
*#

∈
Zer f.
T!o&!(a )u%#a(!%tal #! i+o(o&)i*( p!%t&u "&upu&i
T!o&!(a )u%#a(!%tal #! i+o(o&)i*( p!%t&u "&upu&i
$m observat mai inainte că, dacă f : S
→

SD este
un mor
fism de
grupuri, at
unci
Zer f este subgr
up nor
mal al lui S și deci putem
vorb
i de grupul fa
ctor S]Zer f. Fie
p : S
→
S]Zer f morfismul natural de la grupul S la grupul factor S]Zer f. +e asemenea,
am arătat că "mf este un subgrup al lui SD.
T!o&!(
T!o&!(
(teorema fundamentală de izomorfism!. Fie f : S
→
SD un morfism de
grupuri. $tunci există un izomorfism de grupuri

f : S]Zer f
→
"m f.
Demonstrație
. +efinim

f : S]Zer f
→

"m
f,
prin

f(6×8! f(x!. Funcția f este bine
definită, adică nu depinde de alegerea reprezentanților. "ntr*adevăr, dacă 6×8 
68, rezultă
x
9#

∈
Zer f, adică f(x
9#
 !  e
’
. +ar f(x
9#
!  f(x
*#
!f(!  (f(x!!
*#
f(!, de unde (f(x!!
*#
f(!  e
’
, adică f(x! 
f(! și deci f(x!  f(!.
Faptul că

f este
surA
ectiv
ă
este clar, deoarec
e orice
eleme
nt din "m
f se
scrie ca
f(x!, cu x
∈
S, iar

f(6×8!  f(x!. ă demonstrăm inAectivitatea funcției

f . "ntr*adevăr,
dacă

f(6×8! 

f(!, atunci f(x!  f(! și
deci (f(x!!
9#
f(!  e
’
, adică f(x
9#
!  eD, de unde
x
9#

∈
Zer f, ceea ce inseamnă că 6×8  68. _in;nd seama că f este morfism de grupuri,
rezultă

f(6×8 68! 

f (6x 8!
 f(x !

f(x! f(! 

f(6×8!

f(68!,
adică

f este morfism de grupuri. +eci

f este un
izomorfism de grupuri.
Exemple
. F
i
e
C
C
>
gr
upu
l
mu
lti
pli
cat
iv
al
num
ere
lo
r
com
pl
exe
nen
ule
,
iar
?
subgrupul numerel
or complexe de
modul #. $tunci:
#! Srup
ul fact
or
C
C
>]? este izomorf cu grupul mult
ipli
cativ
R
R
>
)
, al numerelor
reale R 7.
%! Srupul factor
C
C
>]
R
R
>
)
este izomorf cu ?.

"ntr*adevăr, fie
φ
:
C
C
>
→

R
R
>
)
, definită prin
φ
(z!   z . $vem că
φ
este morfism
surAectiv
de grup
uri, adi
că "m
φ


R
R
>
)
,
și Zer
φ

 ?. +in
teorema precedentă rezu
ltă că
C
C
>]?
≈

R
R
>
)
.
&entru al doilea izomorfism, să considerăm
Ψ

:
C
C
>
→

C
C
>, definită prin
Ψ
(z!z
] z
.
$vem
că
Ψ
este morfism de grupuri, iar Zer
Ψ

R
R
>
)
și "m
Ψ
 ?. +upă
teorema precedentă rezultă că
C
C
>]
R
R
>
)

≈
?.
§ <. GRUPURI CICLICE
§ <. GRUPURI CICLICE
$m definit in T  puterea unui element intr*un grup. $mintim că, dacă S este un
grup multiplicativ, a
∈
S un element oarecare și n
∈

Z
Z
, atunci

a
a
a

a
(n
factori!
,
dacă
n
R
7,
a
n


e
,
dacă
n

7,
a
*#
a
*#
a
*#
… a
*#
(*
n f
actori!
, dacă
n
L 7
și avem
a
m
a
n
 a
m ) n
, (a
m
!
n
 a
m n
, (a
n
!
*#
 a
*n
,
oricare ar fi m, n
∈

Z
Z
.
+acă grupul S este in
scriere aditivă, atunci

a
)
a
)

)
a
(n
factori!
,
dacă
n
R
7,
n
a

7
,
dacă
n

7,
(* a! )
(* a!
)  )
(* a! (
* n fact
ori! ,
dacă n L
7
și avem
m a ) n a
 (m ) n! a, m(n a!  (m n! a,
*(n a!  (* n! a, oricare ar fi m, n
∈

Z
Z
.
S fiind un grup și a
∈
S un element oarecare, am numit LaR  -a
I


I
∈

Z
Z
/,
subgrupul ciclic general de a.
Pn grup S se numește ciclic dacă subgrupul S este ciclic, adică există a
∈

S
astfel inc;t S  LaR.
'lementul a este un generat
or al grupului
ciclic S.
$m v
ăzut
că, g
rupu
l ad
itiv
Z
Z
este ciclic, de generator # sau * # . +e asemenea,
fiecare grup aditiv
Z
Z
n
este ciclic, un generator al său fiind, de exemplu, 6#8. Mai mult, am
descris cEiar mulțimea
generatorilor grupulu
i
Z
Z
n
.
Definiție
punem că un element a al grupului S este de ordin finit, dacă există
i, A
∈

Z
Z
,
i
≠
A, astfel inc;t a
i


a
A
. "n caz contrar, adică dacă toate puterile lui a sunt
distincte, spunem că a este element
de ordin infinit.

Observație
. Fie S un grup și a
∈
S un element
al său. ă
consideram funcția
φ :
Z
Z

→
S, definită prin
φ
(n!  a
n
.
$vem, evident, "m
φ
 LaR.
'lementul a este de ordin finit dacă funcția
φ
nu
este inAectivă și este de ordin
infinit dacă
funcția
φ
este inAectivă.
Fie a
∈
S un element de ordin finit și i L A astfel inc;t a
i

 a
A
$tunci a
A
*
i


e
și
deci există o putere pozitivă a
lui a egală cu elementul neutru. +eci
mulțimea:
M  -I  a
I
 e, I R 7/
est
e
nev
idă
.
um M
est
e
o
sub
mul
țim
e
nev
id
ă
de
nu
mer
e
nat
ura
le,
iar
mul
țim
ea
numerelor naturale este bine ordonată, atunci M are un cel mai mic (prim! element.
Numim ordinul elementului a și*l notăm ord(a!, cel
mai mic număr
intreg pozitiv n astfel
inc;t a
n
 e.
+eci ord(a!  min -I  a
I
 e, I R 7/.
Propoziție
. Fie a un element de ordin finit al unui grup S și n un număr natural
nenul. $tunci n  ord(a! dacă și
numai dacă sunt satisfăcute condițiile:
#! a
n
 e,
%! +acă a
I
 e, I
∈

Z
Z
, atunci n divide I.
Demonstrație
. Fie n  ord (a!. +in definiția ordinului lui a rezultă #!. Fie acum
I
∈

Z
Z
astfel inc;t a
I

e.

onform teoremei impărțirii cu rest in mulțimea numerelor
intregi, există Y, r
∈

Z
Z
astfel inc;t I  n Y ) r, 7
≤
r L n< atunci
a
r
 a
I 9 n Y
 a
I
a
9n Y
 a
I
(a
n
!
* Y
 e e
* Y
 e.
um n este cel
mai mic număr natural nenul astfel inc;t a
n
 e , iar 7
≤
r L n, rezultă că r
 7 și deci n divide I.
0eciproc, dacă n satisface #! și %!, iar a
I
 e cu I R 7,
din %! r
ezultă că n divi
de pe
I< deci n
≤
I. $șadar, n este cel mai mic dintre numerele naturale nenule I astfel inc;t
a
I
 e, de unde n ord (a!.
Propoziție
.
Fi
e
S
u
n gr
u
p
.
+a
că a
∈
S este un element de ordin n, atunci
subgrupul ciclic general de a are exact
n elemente și anume:
LaR-e, a, a
%
,….a
n * #
/.
Demonstrație
. ă demonstrăm mai int;i că a
i

≠
a
A
oricare ar fi i
≠
A, 7
≤
i, A
≤
n
9#. "ntr*adevăr, dacă
am avea
a
i

a
A

cu
7
≤
i L A
≤
n * l, atunci a
A 9
i
 e și 7 L A 9 i L n,
contradicție cu faptul că n este cel mai mic număr natural nenul astfel inc;t a
n
 e. Fie
acum n  ord(a! iar I un număr intreg. +in teorema impărțirii cu rest, există Y, r
∈

Z
Z
,
astfel inc;t I  n Y ) r cu 7
≤

r
≤
n 9 #. $tunci a
I

a
n Y ) r

(a
n
!
Y

a
r

a
r
și deci
a
I
∈
-e, a, , a
n * #
/.
Corolar
. +acă S este un grup finit, atunci ordinul oricărui element al său divide
ordinul lui S.
Demonstrație
. 0ezultă din teorema lui =agrange și
propoziți
a precedentă.

Exemple
. #! Fie grupul multiplicativ (
C
C
>,
G!
al
nu
mer
elo
r
com
ple
xe
nen
ule
.
'lementul i
∈
> are ordinul p
atru, iar LiR  -#, * #, i,
* i/.
%!
Numărul
complex
z
n
 cos (%
π
] n! ) i sin (%
π
] n! este un element de ordin n
al grupului (
C
C
>, G!.
Mai mult, Lz
n
R  -cos(%I
π
] n! ) i sin(%I
π
] n!  I
∈
7, #, , n 9 #/.
! 'lementul 68 din grupul aditiv (
Z
Z
`
,
)!
al cla
selo
r de r
estur
i mo
dulo
` est
e de
ordin %.
1! Numărul complex nenul z  a ) b i in cu a
%
) b
%

≠
# este element de ordin infinit
al grupului (
C
C
>, G!.
$m observat că grupurile aditive 5 si 5
n
, n R 7, sunt ciclice. Prmătoarea teoremă
arată că ace
stea sunt singurele tipuri de grupuri ciclice.
T!o&!(
T!o&!(
. Brice grup ciclic S este izomorf fie cu grupul
Z
Z
al numerelor intregi, fie
cu un anumit grup
Z
Z
n
, n R 7,
de clase de
resturi modulo n.
Demonstrație
. +acă S  LaR, considerăm funcția
φ
:
Z
Z

→
S,
φ
(n!  a
n
, definită
mai
inainte.
$vem
*
φ
(m ) n!  a
m ) n
 a
m
a
n

φ
(m!
φ
(n!
și deci
φ
este morfism de grupuri. Mai mult,
φ
este evident morfism surAectiv, deci "m
φ
 S. onsider;d nucleul lui
φ
, Zer
φ
, distingem două cazuri:
#! Zer
φ
 -7/<
%! Zer
φ
≠
-7/.
"n primul caz, conform teoremei fundamentale de izomorfism, avem
Z
Z
]-7/
≈
"m
φ
, adică
Z
Z

≈
S<
"n cazul al doilea, Zer
φ
este de forma n
Z
Z
cu n R
7 un număr intreg și deci
Z
Z
]n
Z
Z

≈
"m
φ
, adică
Z
Z
n

≈
S.
Bbservație. +in teorema de mai inainte, rezultă că, dacă S este un grup ciclic și a
un generator al său, atunci:
#! +acă
a
est
e
de ordi
n
in
fin
it, atun
ci S
est
e
izo
mor
f
cu grup
ul adit
iv
Z
Z

al
numerelor intregi.
%! +acă
a
est
e
de ordi
n
n
(fi
ni
t! atunc
i
S
est
e
izo
mor
f
cu grup
ul adit
iv
Z
Z
n
, al
claselor de resturi modulo n.
Propoziție
. Brice subgrup și orice grup factor al unui grup ciclic este
ciclic.
Demonstrație
. +acă S  LaR este un grup ciclic, iar W un subgrup al său, atunci
grupul factor S]W este ciclic generat de 6a8, clasa lui a modulo W, adică S]W  L6a8R. ă
arătăm acum că orice subgrup al unui grup ciclic este ciclic. "ntr*adevăr, dacă S este
izomorf cu
Z
Z
, am arătat
că subgrupuril
e lui
Z
Z
sunt de forma n
Z
Z
, adică sunt ciclice< deci și
subgrupur
ile lui S
sunt ciclice.
Fie S un grup ciclic finit al
cărui generator a este de ordin n și fie W
un subgrup al
său. +aca W  -e/ atunci
, evident
, W este ciclic gener
at de element
ul e.
+acă W
≠
-e/,
atunci există x
∈
W, x
≠
e. +ar cum x
∈
S, avem că x  a
I
cu I
≠
7. +e asemenea,

x
*#
∈
W, adică a
* I

∈
W deci există r R 7 astfel inc;t a
r

∈
W. +eci mulțimea de numere
naturale M  -n  a
n

∈
W, n R 7/ este nevidă și cum N este bine ordonată, M are un cel
mai mic element m. Qom arăta că W  La
m
R, adică W este ciclic generat de a
m
.
Fie
x
∈

La
m
R< atunci x  (a
m
!
I
,
I
∈

Z
Z
și cum W este subgrup, iar a
m

∈
W rezultă că x
∈

W.
0eciproc, dacă 
∈

W,
atun
ci

∈
S, adică   a
t
cu t
∈

Z
Z
. +upă teorema impărțirii cu
rest pentru numere intreg
i, t  m Y ) r
cu Y, r
∈

Z
Z
iar 7
≤
r L m și deci   a
t
 a
m Y ) r
 a
m
Y
a
r

(a
m
!
Y
a
r
,de unde a
r

(a
m
!
* Y
. +eci a
r

∈
W și cum m este cel mai mic element al
lui M, rezu
ltă r 
7, și d
eci
t  m
Y. $șadar,
  a
m Y
 (a
m
!
Y

La
m
R.
Observație
. +acă S  LaR este un
grup ciclic de o
rdin n, di
n
teorema precedentă
rezul
tă ca
izom
orfi
smul dintr
e
S și
grup
ul aditiv
Z
Z
n
este dat de fu
ncț
ia
φ
:
Z
Z
n

→

S,
definită prin
φ
(I!  a
I
. $șadar, av;nd in vedere caracterizarea generatorilor grupului
aditiv 5
n
, dată in secțiunea 1, avem că elementul a
I
este generator al lui S dacă și numai
dacă I este prim cu n.
Exemplu
. ă descriem subgrupurile grupului aditiv (
Z
Z
`
, ) !. um grupul aditiv
Z
Z
`
este ciclic, atunci orice subgrup al său este ciclic. Qom considera pe r;nd elementele lui
Z
Z
`
și luăm subgrupul ciclic generat de fiecare.
$stfel:
L678R  -7/, L6#8R 
Z
Z
`
,. L6%8
R 
-67
8,
6%
8, 618
/, L68
R 
-67
8, 68
/,
L618R  -678, 6%8, 618/, L648R 
Z
Z
`
.
+eci
Z
Z
`
are 1 subgrupuri si anume:
L678R 
-678/<
L6#8R 
L648R 
Z
Z
`
< L6%8R  L618R  -678, 6%8,
618/< L68R  -678, 68/.
Fie acum n R 7 un număr natural și P
n
grupul multiplicativ al rădăcinilor de
gradul
n ale unității, adică
P
n
 -z
∈

C
C
 z
n
 #/.
$vem că P
n

 –
ε
7
,
ε
#
, … ,
ε

n * #
/, unde
%I
π

%I
π

ε
I


cos
HH
)
i
sin
HH
,
7
≤

I
≤

n
*
#.
n
n
+upă formula lui Moivre, avem că
ε
I

ε
#
I
și deci P
n
este grup ciclic de ordinul n, un
generator al său fiind
ε
#
.
Definiție
. Pn generator al grupului P
n
se numește rădăcină primitivă de gradul n a
unității.
onform celor de mai inainte, rezultă că
ε
I
este rădăcină primitivă de ordinul n a
unității dacă și numai dacă I
este relativ prim cu n.
Aplicație
. $m văzut că, dacă considerăm monoidul multiplicativ
Z
Z
n
, al claselor de
resturi modulo n, n R 7 intreg, atunci mulțimea P(
Z
Z
n
! a elementelor inversabile din
Z
Z
n
formează un grup multiplicativ. Mat mult, am demonstrat că 6a8
∈

P(
Z
Z
n
! dacă și numai
dacă (a, n!  # și deci ord P(
Z
Z
n
! 
φ
(n!, unde
φ

este indicatorul lui 'uler.

+acă a, n
∈

Z
Z
, n R 7 și (a, n!  #, atunci 6a8
∈

P(
Z
Z
n
! și deci ord(a! 
φ
(n!. &rin
urm
are
,
exi
stă m
ast
fel inc
;t
φ
(n! 
m
ord (6a
8!, de
un
de rezul
tă 6a
φ(n!
8  6a8
φ(n!


(6a8
ord(6a8!
!
m
 6#8
m

6#8.
+eci
6a8
φ(n!
 6#8, ceea ce este ecEivalent cu a
φ(n!

≡
# (mod n!,
adică am obținut o nouă demonstrație pentru teorema lui 'uler.
§ =. GRUPURI DE PERMUTĂRI
§ =. GRUPURI DE PERMUTĂRI
Fie $ o mulțime. $m
observat, că mulțimea ($! a funcțiilor biAective ale lui $ in
$ formează față
de compunere un grup num
it grupul permutări
lor mulțimii $.
Propoziție
. +acă $ și $D sunt mulțimi intre care există o funcție biAectivă, atunci
grupurile de permutări ($! și 
($D! sunt izomorfe.
Demonstrație
. Fie f: $
→
$D o fun
cție bi
Aecti
vă. +efi
nim
φ
: ($
!
→
($D!, care
asoci
ază
oric
ărei
func
ții
biAe
ctiv
e
(per
mută
ri!
u
∈
($!, funcția biiectivă f o u o f
*#

∈
($D!, deci
φ
(u!  f o u o f
*#
.
ă
d
e
m
o
n
s
t
r
ă
m
c
ă
φ

e
s
t
e
u
n
i
z
o
m
o
r
f
i
s
m
d
e
g
r
u
p
u
r
i
.
"
n
t
r
*
a
d
ev
ă
r
,
φ
(u o v! f o (u o v! o f
*#
 f o u o(f
*#
o f! o v o f
*#
 (f o u o f
*#
! o (f o v of
*#
!

φ
(u!
o
φ
(!,
adică
φ

este
morfism
de
grupuri.
ă
arătăm
că
φ

este
biAecție.
+acă
φ
(u!

φ
(v!,
atunci f
o u
o fD
*#
 f o v o f
*#
, de unde compun;nd la st;nga cu f
*#
și la dreapta cu
f, rezultă u  v și deci
φ
este inAectivă. +acă, acum, uD
∈

($D!,
atunci
f
*#
o uD o f
∈
($! și
φ
(f
*#
o u
’
o f! f o (f
*#
o u
’
o f! o f
*#
 (f of
*#
! o uD o (f o f
9#
!  u
’
și deci
φ
este
surAectivă.
Observații
. "n particular, dacă $ este o mulțime finită cu n elemente, există o
biAecție
intre
$
și
mulțimea
-#,
%,
…,
n/
și
deci
grupurile
de
permutări
($!
și
(-l, %, …, n/! sunt izomorfe. $tunci pentru a studia grupul de permutări al unei mulțimi
cu n elemente este suficient să studiem grupul
2
2
n
al permutărilor mulțimii -#, %, …, n/.
Sr
up
ul
2
2
n
se numește grupul simetric de grad n sau grupul permutărilor de grad n.
'lementele lui
2
2
n
se numesc permutări de n elemente sau permutări de grad n. 'lementul
neutru e din 
n
se numește permutarea identică de
grad n.
ă considerăm
σ

∈

n
o permutare de n elemente, adică o funcție biAectivă de la
mulțimea -#, %, …, n/ in ea insăși. &un;nd in evidență valoarea
σ
(i! a funcției
σ
pentru
i
∈
– #, %, …,
n/, vom nota permutarea astfel
#
%
.
.
.
n
σ


σ
(#!
σ
(%!
.
.
.
σ
(n!
unde
σ
(l!,
σ
(%!, …. ,
σ
(n! sunt numerele #,%, …, n, eventual in altă
ordine.
Qom arăta că
2
2
n
are n elemente. Qom demonstra acest fapt folosind teorema lui
=agrange. Notăm


n *
#

–
σ

∈

2
2
n

σ
(n!  n/, mulțimea permutărilor de n elemente

care invariază pe n. 'ste clar că


n * #
este un un subgrup al lui
2
2
n
, izomorf cu grupul
2
2
n *#
al permutărilor de n 9 # elemente.
"zomorfismu
l este dat de
funcția
θ
: 
n * #

→



n * #
,
definită prin
θ
(
σ
! 

σ
, unde

σ
(i! 
σ
(i!, pentru #
≤
i
≤
n 9# și

σ
(n!  n.
=ăsăm ca e
xercițiu detalierea demonstrați
ei. +eci 
2
2
n * #
  


n * #
.
Qom demonstra prin inducție după n că 
2
2
n
  n. &entru n  l este evident că 
2
2
#

 l
l.
ă presup
unem că

2
2
n *
#



(nHl!.
onform
teoremei
lui
=agrange
avem
că

2
2
n

2
2
n
:


n 9 #




n 9 #
 adică, 
2
2
n




2
2
n
:


n * #
.(n*l!.
ă
cal
cul
ăm
in
dic
ele 
2
2
n

:


n * #

al
sub
gru
pul
ui


n
*
#

in
2
2
n
, adică numărul
claselor de ecEivalență (la st;nga! modulo


n
9
#
.

+acă
σ
,
τ
∈
2
2
n
, atu
nc
i
σ

≡
s
τ
(mod


n*#
! dacă și numai dacă
σ

*#
τ

∈

n
*
#
adică
σ

*#
τ
(n!  n, sau
τ
(n! 
σ
(n!.
+eci există n clase
de ecEivalenta (la st;nga!:
6
σ
#
8, 6
σ
%
8,  , 6
σ
n
8 , unde
6
σ
i
8 -
σ

∈

2
2
n

σ
(n!  i/, oricare ar fi i  #,%, …, n. $șadar,  
n
:


n 9 #
  n, și deci

2
2
n
  n (nHl!n.

#
%
.
.
.
n

Definiții
. Fie
σ


o
perm
utare
de
n
elemen
te.
B
σ
(#!
σ
(%!
.
.
.
σ
(n!
perecEe (i, A! se numește inversiun
e a permutării
σ
dacă
i L
A
și
σ
(i! R
σ
(A!. Notăm cu
inv(
σ
! numărul
inversiuni
lor permutării
σ
.
+acă
σ

∈

2
2
n
este o permutare, definim numărul

σ
(A! *
σ
(i!
ε
(
σ
!

Π







#
≤
iLA
≤
n

A * i
care se
numește semnul (signatura! permutării
σ
.
Bbservăm că orice diferență
σ
(A! *
σ
(i!, cu i L
A, de la
numărătorul produ
sului din
formula care definește
ε
(
σ
!, se simplifică cu una dintre diferențele de la numitor, care
apare cu semn scEimbat dacă (i, A! este o inversiune. +eci
ε
(
σ
! este un produs de )# și
*#, factorul *# apăr;nd de at;tea ori c;te inversiuni are permutarea
σ
. +eci
ε
(
σ
!( *
l!
inv(
σ
!
.
B
pe
rm
ut
ar
e
σ

se num
eșt
e pară dacă
ε
(
σ
!  l, adică are un număr par de
inversiuni și se numește impară dacă
ε
(
σ
! *#, adică are
un număr impar de inversiuni.
'xistă permutări pare ca, de exemplu, permutarea identică. Qom arăta că pentru
orice n
≥
% există și permutări impare.

Fie n
≥
% și l, I
∈
-#, %,  , n/ oarecare, cu I
≠
l. &ermutarea
τ
lI
definită prin
τ
lI
(i!  l, dacă i  I<
τ
lI
(i!  I, dacă i  l<
τ
lI
(i!  i , dacă i
≠
I și i
≠
l,
se numește
transpoziți
e.
?ranspoziți
a
τ
lI
se mai notează (l, I!.
Propoziție
. +acă n
≥
% este
un număr natural, atunci orice transpoziție din
2
2
n
este
permutare impară.
Demonstrație
. Fie transpoziția (l, I! și să
presupunem că l L I. $tunci
#
%
.
.
.
l
9
#
l
.
.
.
I
9#
I
.
.
.
n
(l, I! 
#
% .
. .
l 9
#
I
. .
. I
9
# l
. .
.
n
și numărul de inversiuni este (I * l!)(I 9 l *
#!  %(I * l! *
l. +eci
ε
((l, I!!  * #.
Propoziție
. +acă n
≥
% este
un număr natural, funcția
ε
:
2
2
n

→
-* #, #/
de la grupul permutărilor 
n
la grupul multiplicativ -* #, #/ este un morfism surAectiv de
grupuri.
Demonstrație
. Fi
e
σ
,
τ

∈

2
2
n
. +eoa
re
ce
τ
(
#
!,
τ
(
%
!
, 
,
τ
(n! sunt tot
numer
ele
#,
%,

,
n,
event
ual,
intr
*o
altă
ordi
ne
și
cum
in
prod
usul
care*l
dă
pe
ε
(
σ
! diferențele de la numitor se pot face și in altă ordine dec;t cea din definiție,
rezultă că avem

σ
(
τ
(A!! *
σ
(
τ
(i!!
ε
(
σ
! 
Π









.
#
≤
iLA
≤
n
A 9 i
$tunci:

σ
(
τ
(A!! *
σ
(
τ
(i!!
σ
(
τ
(A!! *
σ
(
τ
(i!!
τ
(A! *
τ
(i!
ε
(
σ

ο

τ
! 
Π









Π


















#
≤
iLA
≤
n
A 9 i
#
≤
iLA
≤
n

τ
(A! *
τ
(i!
A
9
i

σ
(
τ
(A!! *
σ
(
τ
(i!!
τ
(A! *
τ
(i!

Π










Π









ε
(
σ
!
ε
(
τ
!,
#
≤
iLA
≤
n
τ
(A! *
τ
(i!
#
≤
iLA
≤
n
A * i
deci
ε

est
e
un
mo
rfi
sm
de
gr
upu
ri
+eo
are
ce
or
ice
tra
nsp
ozi
ți
e
est
e
imp
ară
,
iar
permutarea identică este pară, rezul
tă că
ε
este
surAectiv.

Definiție
. ă notăm cu $
n

–
σ

∈

2
2
n


ε
(
σ
!  l/, mulțimea permutărilor pare
din
2
2
n
. 'ste clar că $
n
este un subgrup al lui
2
2
n
, deci la r;ndul său este un grup, numit
grupul altern de grad n.

n

Corolar
. $
n

are
H
elemente.
%
Demonstrație
. ă notăm cu "
n

permutările
impare
din

n
și fie
τ
7
o transpoziție
fixată de gradul n. +acă
σ
este permutare pară, conform propoziției precedente
σ

τ
7
este permutare impară. +efinim funcția f : $
n

→

"
n
,
f(
σ
!

σ

τ
7
. +in f(
σ
!f(
σ
D!
rezultă
σ

τ
7

σ
D
τ
7
de unde
σ

σ
D și deci f este inAectivă. Mai mult, dacă
τ
∈

"
n
,
atu
nci
τ τ
7

∈

$
n
, și f(
τ τ
7
!

(
τ τ
7
!
τ
7

τ τ
7
%


τ

și
f
este
și
surA
ectiv
ă.
$șadar, $
n
și "
n
au același număr de elemente și cum $
m

∩
"
n

∅
, iar n are n elemente
rezultă că $
n
și "
n
au fiecare c;te n]% element%.
Definiție
. B permutare
σ

∈

2
2
n
se numeșt
e ciclu de lu
ngime m, und
e
%
≤
m
≤
n,
dacă există m numere i
7
, i
#
, …, i
m * #

∈
– #, %, …, n/ astfel inc;t să avem:
#X oricare ar fi i
∉
-i
7
, i
#
, …, i
m * #
/,
σ
(i!  i,
%X
σ
(i
7
!  i
#
,
σ
(i
#
!  i
%
, . . . ,
σ
(i
m 9 %
!  i
m 9 #,
σ
(i
m 9 #
!  i
7
.
$cest ciclu
#  i
7
 i
#
 i
%
 i
m*%
 i
m*#
 n

σ

#  i
#
 i
%
 i

 i
m*#
 i
7


n
il vom nota
σ
 (i
7
, i
#
,  , i
m*#
!.
Bbservăm că la orice sistem de m numere i
7
, i
#
,  , i
m*#
cuprinse intre # și n putem
să asociem cel puțin un ciclu
de lungime m și, mai mult,
(i
7
, i
#
,…., i
m*#
!  (i
#
, i
%
,

,
i
m*#
, i
7
!    (i
m*#
, i
7
,  , i
m*%
!.
$șadar, numărul ciclurilor de lungime m, %
≤
m
≤
n, este 
n
m
(m*l!.
+e exemplu, orice transpoziție este un ciclu de lungime %. &rin urmare, rezultă că
numărul transpozițiilo
r din
grupul 
n
este 
n
%
.
Propoziție
. +acă
σ
 (i
7
, i
#
, …, i
m*#
! din 
n
este un ciclu de
lungime m, atunci
#!
σ

*#
 (i
m*#
, i
m*%,
 , i
7
!,
%! ord (
σ
!  m.
Demonstrație
. #! e verifică imediat.
%! +in definiția ciclului obținem că
σ
I
(i
7
!i
I
pentru orice #
≤

I
≤

m
*
l,
și
σ
m
(i
7
!
 i
7
.
+eoarece
i
7
≠
i
I
, pentru orice l
≤
I
≤
m * l, avem că
σ
I
≠
e, pentru orice
l
≤

I
≤

m *
l. 
ă ar
ătăm
că
σ
m


e.
+ac
ă
i
∉
-i
7
,
i
#
, …, i
m*#
/, atunci
σ
(i!  i și deci
σ
m
(i!  i. +acă i  i
7
am observat că
σ
m
(i
7
!

i
7
iar dacă i  i
I
,
l
≤

I
≤
m * l, atunci
σ
m
(i
I
! 
σ
m
(
σ
I
(i
7
!! 
σ
I
(
σ
m
(i
7
!! 
σ
I
(i
7
!  i
I
. +eci oricare ar fi i, l
≤
i
≤
n, avem că
σ
m
(i!  i, adică
σ
m

 e. $m
demonstrat
astfel că o
rd (
σ
!  m.
Propoziție
. Fie
σ
,
τ

∈


n
, iar $,^ două submulțimi nevide și disAuncte ale
mulțimii -#, %, …, n/, astfel
inc;t:
#X +acă s
∉
$, atunci
σ
(s!  s, iar dacă s
∈
$, atunci
σ
(s!
∈
$<
%X +acă t
∉
^, atunci
τ
(t!  t, iar dacă t
∈
^, atunci
τ
(t!
∈
^.

$tunci
σ

τ

τ

σ
și ord(
σ

τ
!  c.m.m.m.c. (ord(
σ
!, ord(
τ
!!.

Demonstrație
. Fie r
∈
-#, %, …, n/ un element oarecare. +acă r
∉

$
∪
^ atunci
σ
(r!  r și
τ
(r!  r și deci (
σ

τ
!(r!  (
τ

σ
!(r! r. +acă r
∉
$, atunci r
∈
^ și
deci
τ
(r!  r. $vem (
σ
τ
!(r! 
σ
(
τ
(r!! 
σ
(r!, iar (
τ

σ
!(r! 
τ
(
σ
(r!!
. +ar
cum
σ
(r!
∈
$, atunci
σ
(r!
∉
^ și deci
σ
(
τ
(r!! 
σ
(r!. 0ezultă că și in acest caz (
σ

τ
! (r!  (
τ
σ
!(r!
. $nalog, dacă r
∈
^, rezultă (
σ

τ
!(r!  (
τ

σ
!(r!. +eci (
σ

τ
!(r!  (
τ

σ
!(r!,
oricare ar fi r
∈
-l,%, …,n/, adică
σ

τ

τ

σ
.
Fie acum ord(
σ
!  l, ord(
τ
!  I și ord (
σ
τ
!m și să notăm u  c.m.m.m.c.(l,
I!. $vem (
σ

τ
!
m
 e, și cum
σ

τ

τ

σ
, rezultă
σ
m

τ
m
 e sau
σ
m

τ

* m
. Qom
arăta că
σ
m
 e 
τ
m
. "ntr*adevăr, dacă
σ
m
≠
e
, a
tunc
i
exis
tă
r
∈
-l, %, …, n/ astfel
inc;t
σ
m
(r!
≠
r și deci neapărat r
∈
$. +i
n
σ
m
(r!
τ

*
m
(r!, avem
τ

*m
(r!
≠
r, deci
τ
m
(r!
≠

r,
și
deci
neapărat
r
∈
^. $șadar r
∈
$
∩
^ contradicție cu faptul că $
∩
^
∅
. $m obținut astfel că
σ
m
 e 
τ
m
.
&rin urmare,
l  m și I  m și d
eci u  m. Fie lD, ID
∈

N
N
astfel inc;t u  llD și u  IID.
+eci (
σ

τ
!
u


σ

u

τ

u

σ
ll
’

τ
II
’
 e,
de und
e obți
nem că m  u. +i
n u  m si m  u
rezultă m  u
și propoziția este demonstrată.
Definiție
. iclurile
σ
 (i
7
, i
#
, , i
m*#
! și
τ

(A
7
, A
#
, , A
I*#
! se numesc disAuncte
dacă
(i
7
, i
#
, , i
m*#
!
∩
(A
7
, A
#
, , A
I*#
! 
∅
.
&ropoziția precedenta aplicată in cazul
ciclurilor disAunct
e
σ
și
τ
ne spune că
σ

τ

τ

σ
și ord(
σ

τ
!c.m.m.m.c.(I, m!.
T!o&!(
T!o&!(
.
Br
ic
e
pe
rm
ut
ar
e
σ

∈

2
2
n
,
σ

≠
e, se descompune ca un produs
(co
mpu
ner
e!
fin
it
de
cic
li
di
sAu
ncț
i.
Mai
mul
t,
ace
ast
ă
des
com
pu
ner
e
est
e
uni
că,
abstracție făc;nd de
ordinea factorilor.
Demonstrație
. Fie n
σ
numărul de elemente ale mulțimii -#,%, …, n/ permutate
efectiv de către
σ
, adica
n
σ
 card-i 
σ
(i!
≠
i/.
+eoarece
σ

≠
e, există i astfel inc;t
σ
(i!
≠
i și cum
σ
este inAectivă avem
σ
(
σ
(i!!
≠
σ
(i! și deci n
σ

≥
%. Qom face
demonstrați
a prin inducție după acest număr.
+acă
σ

∈

2
2
n
, astfel inc;t n
σ
%, atunci există i
≠
A, astfel inc;t
σ
(i!  A,
σ
(A!  i
și
σ
(I!  I oricare ar fi I
≠
i, și I
≠
A. "n acest caz
σ
este transpoziția (i, A!.
&resupunem că teorema este adevărată pentru toate permutările
τ
, care permută
efectiv mai puțin de n
τ
elemente, adică n
τ
Ln
σ
, și să arătăm că ea este adevărată și pentru
σ
.
+acă i
7
∈
-#
, %,
..
., n
/ as
tf
el i
nc
;t
σ
(i
7
!
≠

i
7
, notăm i
#


σ
(i
7
!,
i
%


σ
(i
#
!,
i
I)#

σ
(i
I
!, … 'ste clăr că i
I

σ
I
(i
7
!, oricare ar fi I
≥
#. +acă l ord(
σ
!, atunci
σ
l

e
și d
ec
i
σ
l
(i
7
!

i
7
, adică i
l

i
7
.
+in prop
rie
tat
ea
de
bun
ă
ord
ona
re
a
mul
țim
ii
N
N

a
numerelor naturale, există un cel mai mic
număr natural m cu proprietatea că i
m
i
7
.

Numerele i
7
, i
#
, …, i
m*#
sunt distincte. "ntr*adevăr, dacă i
r
 i
s
, cu r
≠

s,
și
7
≤

r,
sL
m,
atu
nci
σ

r
(i
7
!

σ

s
(i
7
!. ă presupunem că r R s și fie p  r * s. $tunci
σ

r 9 s
( i
7
!  i
7
, adică
σ
p
(i
7
!  i
7
sau i
p
 i
7
. +ar i
p
 i
7
, unde 7 L p L m,
este in contradicție
cu alegerea numărului m.
Fie acum ciclul
τ


(i
7
,
i
#
,  , i
m*#
! și să considerăm permutarea
σ
’


τ

*#
σ
.
+acă
σ
(i!  i ,atunci i
∉
– i
7
, i
#
, …, i
m*#
/ și deci
τ

*#
(i!  i, de unde
σ
D(i!  i. Mai mult,
dacă i
I
∈
-i
7
, …, i
m*#
/ este clar că
σ
’

(i
I
! 
(
τ

*#
σ
!(i
I
! 
τ

*#
(
σ
(i
I
!!  i
I
și deci, in
plus,
elementele
i
7
,
i
#
, …, i
m*#
răm;n nescEimbate dacă le aplicăm permutare
σ
’
. $șadar
n
σ
’

L
n
σ
și conform ipotezei de inducție există ciclurile disAuncte
τ
%
,
τ

,…,
τ
t
astfel
inc;t
σ
’


τ
%

τ

…
τ
t
, sau
τ

* #
σ

τ
%

τ

…
τ
t
, de unde
σ

τ

τ
%

τ

…
τ
t

.
Mai mult
,
din demo
nst
raț
ie
rez
ul
tă
că
cic
lu
l
τ
este disAunct față de fiecare din
ciclurile disAuncte
τ
%
,
τ

, … ,
τ
t
. Not;nd
τ
#

τ
obținem descompunerea
σ

τ
#

τ
%
τ

.
.
.
τ
t

in
pro
du
s
de
cic
li
dis
Aun
cți
.
?ot din
dem
ons
tra
ție
se
ob
ser
vă
că
acea
stă
descompunere este unică, abstracție făc;nd
de ordinea factorilor.
Corolar
. Fie
σ

∈

n
, n
≥
%, o permutare astfel inc;t
σ

τ
#

τ
%
…
τ
t
, unde
τ
#
,
τ
%
, … ,
τ
t
sunt cicli disAuncți. $tunci
ord(
σ
!c.m.m.m.c. (ord(
τ
#
!, ord(
τ
%
!, …, ord(
τ
t
!!.
Demonstrație
.
0ez
ult
ă
ime
dia
t
pri
n
gen
era
nza
rea
pun
ctu
lu
i
%X
al
pro
poz
iț
iei
premergătoare teoremei de mai su
s.
Propoziție
. Brice ciclu din
2
2
n
este
un produs de transpoziții.
Demonstrație
. +aca
σ


(i
7
,
i
#
, …, i
m*#
! este un ciclu de lungime m, atunci direct
prin calcul rezultă
σ
 (i
7
, i
m*#
!(i
7
, i
m*%
! … (i
7
, i
#
!.
Corolar
. Brice permutare
σ

∈

2
2
n
, n
≥
%, este
produs de transpoziții.
Demonstrație
. +acă
σ
 e, atunci
σ
 e  (l, %!(#, %!. +acă
σ

≠
e, afirmația
rezultă din teorema și propoziția de mai sus.
Observație
. +escompunerea unei permutări in produs de transpoziții nu este
unică, de exemplu,
e  (l,
%!(#,%!  (#, %!(#, %!(#,%!(#, %!.
Qom arăta că paritatea numărului de transpoziții care apar in orice descompunere a unei
permutări este aceeași. "ntr*ad
evăr, fie
σ

τ
#

τ
%
…
τ
t

σ
#
σ
%

σ
s
, unde
τ
#
,
τ
%
, … ,
τ
t

și
σ
#
,
σ
%
,
 ,
σ
s

sunt tran
spoziții. _in;n
d cont că semnu
l unei trans
poziții este *
#,
obținem
ε
(
σ
!  (*
#!
t
 (*#!
s
, de unde rezultă că r și s sunt in același timp pare sau impare.

Aplicație
. Fie permutarea
σ

∈

2
2
#7
, unde
# %  1 4 `
  
#7
σ



4
#
1

#7

%
`

ă
scr
iem permu
tar
ea
σ
ca produs de cicli disAuncți și ca produs de transpoziții. +e
asemenea, să
determinăm ordinul permutării
σ
.
!oluție
. onsiderăm numărul # care este permutat efectiv de
σ
, deoarece
σ
(l! 
. um
σ
(!  l obținem
τ
#
 (#, !. onsiderăm acum următorul număr care este
scEimbat efectiv de
σ
și care nu aparține mulțimii -#, /. $cesta este %. um
σ
(%!  4,
σ
(4!  ,
σ
(!  ,
σ
(!  % obținem ciclul
τ
%
 (%, 4, , !. Fie acum numărul ` care
este permutat efectiv de
σ
. $vem
σ
(`! #7,
σ
(#7!  ,
σ
(!  ` și astfel obținem
ciclul (`, #7, !. +eci
σ
se scrie, ca
produs de cicluri disAuncți astfel:
σ
 (l,!(%, 4, ,
!(`, #7, !.
+u
pă
ul
ti
ma
pr
op
oz
iț
ie
di
n
ac
es
t
pa
ra
gr
af
,
re
zu
lt
ă
că
σ

se
sc
ri
e
ca
pr
od
us de
transpoziții astfel:
σ
 (#, !(%, !(%, !(%, 4!(`, !(`, #7!.
"n sf;rșit, avem
ord(
σ
!  c.m.m.m.c.(%, 1, !  #%.