I.1. OBIECTUL STAT ISTICII MATEMATICE Dezvolta rea impetuoasa a stiin telor, mai ales a celo r exacte, in tim pul ultim ului secol, este indisolubil… [624283]

Licență

I.1. OBIECTUL STAT ISTICII MATEMATICE Dezvolta rea impetuoasa a stiin telor, mai ales a celo r exacte, in tim pul ultim ului secol, este indisolubil… [624283]

Byadmin ianuarie 1, 2024

CAPITOLUL I. INTRODUCERE

I.1. OBIECTUL STAT ISTICII MATEMATICE

Dezvolta rea impetuoasa a stiin telor, mai ales a celo r exacte, in tim pul ultim ului
secol, este indisolubil legata de utilizarea unor noi m etode de cercetare, mult m ai complexe
de cat cele "trad itionale". Printre acestea, statistica m atematica ocupa un loc deosebit de
important. E a este utiliza ta astazi in m area m ajoritate a stiin telor, p entru preluc rarea datelo r
experim entale, deoarece ofera pos ibilitatea in locuirii unor term eni vagi, descrip tivi, cu date
complete, cifrice. Cu alte cuv inte, tratarea s tatistica a datelor experim entale cuantifica
diferitele notiuni cali tative specifice unor fenomen e sau procese din natura.
Statis tica matematica este stiinta legilor cantitative din natura si din societatea
umana, avand ca scop prognoza unor fenomene. Baza practica in statistica m atematica este
formata din totalitate a valorilor omogene obtinute prin observa tii (m asuratori) organizate .
Baza m etodologica a statisticii m atematice este teoria proba bilitatilor .
Statis tica se ref era la:
– informatii cantitative despre orice f enomen, obtinute cu ajuto rul m etodei de
observatie de m asa;
– studiul fenom enelor de m asa in scopul gasirii legaturilor dintre ele;
– teoria m etodei observatiilor de m asa.
Principalele problem e ce pot fi studiate cu ajutoru l statisticii matematice sunt:
– descoper irea legilor de re partitie a m arimilor inta mplatoare ;
– elaborarea m etodelor de obtin ere a evalua rilor parametrilor repartitiei m arimilor
intam platoar e.
Codificarea aspectelor calit ative, in sensul cuantific arii lor dupa intensitate ,
frecventa, durata sau reaparitie, este o et apa im portanta in m etodologia de cercetare.
Codificarea calitativa s i cantitativa perm ite pr elucrarea complexa a datelor obtinute prin
observare sau experim ent, cu ajutorul calcula toarelor, usurand si accelerand evid entierea
unor leg itati, ceea ce este greu de realizat cu ajutorul tehn icilor clasice de prelucrare si
analiza.
Precizarea legitatilor du pa care are loc un fenomen se po ate face si p rin observarea
si des crierea aces tuia, d ar aceasta m etoda n ecesita un nu mar mare de cazu ri obs ervate s i
1

deci o m unca anevoioasa. Asocierea m etodelo r descrip tive cu cele experim entale, de
labora tor si urm arirea varia tiei diferitilo r para metri caracteris tici, fac posibile nu num ai
stabilirea formei matematice a legilor ce guverneaza fenom enul stud iat, d ar si extrapolarea
datelo r pen tru valo ri nemasurate p ractic. Pr elucrarea datelor experim entale cu ajutorul
statisticii matem atice, p une la dispo zitia ana listului metode de stabilire sau de masura a
erorii pe lan ga cele de stabilire a esentei fenom enului studiat. Chiar si in dom eniul practicii
experim entale, in care exista deja metode bine cunoscute datorita unor num eroase cercetari,
se pot aduce m ulte imbunatatiri, prin utilizarea in m ai mare m asura a modelarii , prin
introducerea unor noi teste de sem nificatie, prin studiul esantio nului experim ental
comparativ cu lotul m artor, etc. Testele de semnifica tie certifica daca existenta a doua
aspecte ale unui fenom en este certa sau ca zul unui singur fenomen cu o lim ita de
variab ilitate mai mare.
Metodele statistice de prel ucrare a datelor experim entale pot de asem enea reproduce
modelul legaturilo r multip le core lative ale fenom enelor si indica gradul, intensitatea
acestor corelatii, ca s i eroarea probabila a par ametrilor d e corela tie, de regresie. In unele
cazuri, aceasta poate fi atat de m are, incat sa puna in dubiu valabilitatea si deci existenta
corelatiei respective. In fine , una din cele m ai importante m etode de cercetare pe care
statistica m atematica ne-o pune la d ispozitie, pe baza unor calcule proba bilistice, se refera
la proiectarea in viitor a fenom enelor com plexe cercetate in prezent, inlocuind viziunea
incerta cu calcularea desfasurar ii probabile a evenim entelor.

I.2. DEZ VOLTAREA ISTORICA

Term enul de "statistician" a aparut pent ru prima oara in stu diile stiin tifice inca din
secolu l IV. Term enul de "sta tistica" (de la te rmenul la tinesc "sta tus", ce inseam na "stare" ) a
fost folosit pentru prima oara de J.F. von Bi elfeld, in "Bazele eruditiei universale" (1770).
Un capito l al acestei carti se numeste "Statistica", prin aceasta in telegandu-se studiul
structu rii politice a s tatului (G.U.Yule si M.G.Kendall, 1960). Mai tarziu, te rmenul este
folosit d e Gottfried Ach enwell (179 4), pen tru a defini stiinta descrip tiva aparuta la aceea
vrem e despre conducerea statului , cercetand problem e intrate m ai apoi in geografia
populatiei (date cu privire la densita tea de populatie, conditiile pol itice, produse fabricate in
tara, etc.). Ulterior, prin dezvoltarea teoriei probabilitatilor , statistica a evoluat d e la o
stiinta de scriptiva la una analitica .
2

Teoria probabilitatilor, care ulterior a stat la b aza d ezvoltarii teoriei cinetice a
gazelo r, teo riei erorilor, fizic ii nucleare, calculelor zboru rilor cosm ice etc., a aparut in
legatu ra cu rezolv area p roblem elor puse de jocurile de hazard (zaruri,ruleta, carti de joc
etc.). Incepa nd cu secolul al XV-le a, m ulti matematicien i au incer cat sa prevada sansa
jucato rilor, a im partir ii mizelor in tre juc atori: Luca Paciolo (1445-1514), Blaise P ascal
(1623-1662), Pierre Fermat (1601-1665), Cristian Huygens (1629-1695), sau num arul de
partide necesar fiecaru i jucator pentru a castiga ( Gerolamo Cardano , 1501-1576).
Incercand sa rezolve problem a ruinar ii juca torulu i, Jacob Bernoulli (1654-1705) a
demonstrat teorem a ce ii poarta num ele, ce sta la baza teo riei probabilita tilor. Metodele
pentru r ezolvare a prob lemelor teo riei jocu rilor de hazard au fost apoi dezvoltate de
Abraham de Moivre (1667-1754), dem onstrand o teorem a ce a fost apoi generalizata de
Laplace (teorema Moivre-Lapla ce). Leonard Euler a rezolvat apoi o serie de problem e ale
teoriei jocur ilor d e haza rd, cu aplicatie in asigurari si demografie .
O im portanta deoseb ita in te oria probabilitatilor o are metoda celor mai mici
patrate , elab orata d e Pierre Simone Laplace (1749-1827) si Adrian Marie Legendre (1752-
1833), confirm ata si de Karl Friedrich Gauss (1777-1855). P.L.Cebisev (1821-1894) a
introdus in stiin ta si a folosit pe larg noti unea de m arime intam platoare, descoperind de
asem enea metoda momentelor .
Francis Galton (1911-1926) a aplicat pentru prim a data analiza d e corela tie a
marimilor statistice , fiin d unul din intem eietorii revistei eng leze "Biom etrica" in care s-au
tiparit articole pr ivind m etodele de statistica matematica in biologie . De asem enea, la
sfarsitu l secolului XIX- lea, sta tistica matematica a inceput sa fie aplicata in Europa
apuseana in probleme psihologice si morale (statistica capacitatilo r mentale la elev i,
statistica penala etc.).
A.A.Markov (1856-1922) a elaborat teoria "experim entelor in lant", care a stat la
baza teoriei dezagregarii radioactive . Karl Pea rson (1857-1936) a introdus pentru prim a
data in s tatistica m atematica coeficientul de variatie , marime ce a generat o noua orientare
in biom etrie. Wiliam Gosset , care a publicat lucrarile sa le sub pseudonim ul Student, a
elaborat teoria selectiei . Ulterior, au evoluat cu succes discip line d erivate din teoria
probabilitatilor, precum teoria infor matiei sau cibernetica .

3

CAPITOLUL II. METODOLOGIA CERCETARII

Procesul de cerce tare stiin tifica e ste o su ita logica de operatii c e cuprinde
pregatirea, elaborarea si si nteza studiului efectuat. Din punctul de vedere al succesiunii in
timp, se pot distinge cinci etape mai im portante in decu rsul cercetarii. In practica, aceste
etape nu su nt net sep arate, procesu l cercetari i necesitand adesea actiun i de tip feed -back.
Etapele tem porale m ai importante s unt com entate in cele ce urm eaza.

II.1.FIXAREA OBIECTULUI, SCOP ULUI, ALEGEREA DOCUMENTATIEI
SI PRECI ZARE A PRE MIZELOR DE PORNI RE.

Fixarea obiectului si scopului cercetarii consta in stabilirea principa lelor activ itati
de studiu pentru elu cidarea teoretica a unei problem e si fenomenele (independente de
vointa cercetatorului) ce urmeaza a fi observate pentru testare. Observatia si experim entul
sunt doar p rincipa lele ca tegor ii de in vestig are, cu utilita te maxima pentru culege rea d atelor
experim entale.
Obiectul si scopul cercetarii se fixeaza pe baza unei cercetari bibliografice. Aceasta
presupune sintetizarea a cat mai multe din cunostintele sau studiilor efec tuate in domeniul
respec tiv p ana la data respectiva si a rezultatelo r acesto ra. Procesul cercetarii im pune de
obicei o co mpletare co ntinua a doc umentatie i, functie de problem ele ce apar pe parcurs, dar
baza o constituie docum entatia in itiala. Ea serv este atat prec izarii cat m ai bune a scopului
urmarit cat si econom osirea tim pului de cercetar e pentru studiul unor aspecte deja analizate
de alti cercetato ri.
Prem izele d e porn ire se precizeaza stabilindu -se variabilele independente ce vor fi
studiate, functie de scop ul urm arit. Prem izele principale ale s tudiulu i specifica daca s tudiul
isi propune verificarea unor ipoteze noi sau neverificate sub toate aspectele, testarea
corelatiei unor fenomene sau a unor aspecte ale unui fenomen, determinarea legitatilor de
dependenta a unor variabile etc.

4

II.2. ALEGEREA METODELOR DE CERCETARE SI PRELUCRARE

Metodele de cercetare se aleg in general functie de natura si scopul studiului.
Metoda cea m ai generala este cea a observatiei . In cercetarile de laborator cel m ai des se
foloseste metoda experimentala. De cele m ai multe ori ins a aces te dou a metode se imbina
pe parcursul proces ului de cercetare, predominand alternativ in diversele etape ale acestuia.
Metoda observatiei consta in urmarirea desfasurarii unor fenomene din natura
sau societate pentru a putea analiza dinamic a fenomenelor respec tive sau a sintetiza
caracter isticile esentiale obtinu te prin co mpararea mai multor fenom ene, subiecti sau
probe . In cazul cercetarii fenom enelor cu caracte r aparen t aleator, aceasta m etoda este
foarte im portanta. Porn ind de la cazuistica numer oaselor masurato ri ind ividuale, se trece la
sinteza aspectelo r iden tice sau diferite ale fenom enelor studiate. In observatia bazata pe
criterii unitare, pentru a putea utiliza m etodele st atistice de pr elucrare a datelor
experim entale, datele obtinute trebuiesc grupate dupa caracteristicile esentiale.
Metoda experimentala este afectata m ai mult de person alitatea cer cetato rului,
deoarece in acest caz, el are posib ilitatea de a decide singur obiectu l si m etoda cercetarii.
Metoda experim entala presupune reducerea fenomenului studiat la scara de laborator ,
analiza aspectelo r sau detaliilor u rmarite, comb inarea si corelarea diferitelor element e si
sinte tizarea rezu ltatelor in functie de scopu l precizat initial. Aplicar ea ac estei metode insa
este limitata de posibilitatea de a dis pune de m ijloacele neces are reproducerii fenomenului
studiat, obtinerii unei cazuistici suficient de boga te, descompunerii analitice a inf ormatie i si
sinte tizarii aceste ia.
Cele doua metode de cercetare prezinta deci diferente m ari. Adesea insa, in practica,
in decu rsul aplicarii m etodei experim entale, apare necesitatea co mbinarii acesteia cu
observarea p rocesulu i experim entat. Atunci cand se aleg e metoda de cerc etare se fixeaza s i
tehnica amanuntita a cercetarii si a prelucra rii datelor obtinute. Nu intotdeaun a se pot
stabili grup arile caracteristice si corelar ea acesto ra anterior inceperii cercetarii. Informatiile
concrete obtinute in decursul procesului de cercetare pot conduce spre alte grupe de date
decat ce le fixate in itial. Totusi practica arata ca este bin e ca acest pro ces sa fie initializ at
pornind de la scopuri, ip oteze, m etode si tehnici de cercetare prestab ilite.

5

II.3. EFECTUAREA CERCETARII

Procesul cercetarii, indiferent prin ce m etoda are loc, trebu ie sa indep lineasca o
serie d e conditii bine p recizate. Cele m ai importante din tre acestea sun t:

II.3.1. Delimitarea in volum a co lectiv itatii cercetate

Indiferent de obiectul cercetarii si scopul urmarit, trebuiesc delim itate m arimea,
volum ul, num arul fenom enelor, probelor sau a marimilor stud iate. In cazu l cercetarilor
experim entale, trebuiesc delim itate atat lotul expe rimental cat si cel m artor.
Delim itarea volum ului poate fi considerat a arbitrara, dependenta num ai de vointa
analistulu i. In realitate, scopul, obiectul si precizia unei ce rcetari impune si numarul minim
al fenomenelor si probelor obs ervate sau experimentale. Posibilitatile pr actice (tehnice,
financiare, de tim p) ale analistulu i stabilesc de obicei lim ita superioara a acestui n umar.
Majoritatea fenom enelor nu pot fi caracterizate p e un num ar oric at de m ic de cazuri. Pe de
alta parte, pentru a putea c unoaste esentialul in fenom enul studiat, cercetarea trebuie sa
cuprinda intreaga gam a de m oduri de m anifestare a acestuia.
Atunci cand fenom enul studi at are un volum mic, se pr efera studiul sau integral .
Atunci cand fenom enele studiate sun t rare, rezu ltatele cercetarii partiale se generalizeaza la
intreaga co lectiv itate d in care face parte esantion ul studiat cu ajutorul statisticii m atematice.
Functie de m arimea volum ului sta bilit pe ntru colectivitatea cercetata, cerce tarea
poate fi integrala sau partiala. Cercetarea integrala este studiul intregului volum al
colectivitatii cercetate, adi ca a intreg ii populatii s tatistice. Cercetarea par tiala se lim iteaz a
la studiul unei parti a populatiei statistice, aleasa in gene ral prin selectie, astfel incat
aceas ta sa fie reprezenta tiva pentru intreaga popul atie. Cerc etarea partia la poate f i insa si
nereprezentativa pen tru intreaga colectiv itate. A ceasta situat ie apare atu nci cand scopul
cercetarii este in prim ul rand teoretic, de tato nare, pentru fixarea m etodelor de cercetare.

Cercetarea partiala poate fi efectuata in m ai multe m oduri:

– cercetarea prin sondaj are la baza o m etodologie pr ecisa, valoarea rezultatelo r
obtinute depinzand de corectitudinea precau tiilor luate in efectuarea ei corec ta,
stiintifica. Tehnica sond ajelo r, desi prezin ta o valoare stiin tifica si m etodologica
6

importanta, nu perm ite insa generaliza rea concluziilo r ob tinute din studiul
esantionului, asupra in tregii popu latii sta tistice din care aces ta face parte.

– cercetarea monografica este un studiu partial, in care volumul restrans a l
cercetarii este suplinit de posibilitat ea unei aprofundari m ai substantiale ale
caracteristicilor esen tiale. Acest tip d e studiu s e preteaza in general cercetarilo r
prelim inare;

– cercetarea ponderii de baza a colectivitatii presupune selectionarea gruparii cu
ponderea cea m ai importanta din cadrul populatiei statistice;

– cerce tarea s electiva este cercetarea partiala a un ui esantion reprezen tativ pentru
intreaga pop ulatie s tatistica. Cele m ai importante metode de cerce tare s electiva
sunt:

selec tia ale atoare cons ta in extr agerea in tamplatoa re a cazurilor. Listele contin toate
cazurile, individual, fara nici o grupare si stematica prealabila. Extragerea se
efectueaza p rin tragere la sorti pe baza unor tabele de numere intamplato are com binate
astfel in cat fiecare caz (individ statistic) sa p rezinte sans e egale de a fi selectat. In acest
caz, selectia aleatoar e este s impla . Daca inregistrarea initial a a cazurilor are loc
functie de o grupare prealabila si ulterior se extrag aleator cazurile de cercetat d in
fiecare gru pa, proportional cu volumul fiecarei grupe , selectia aleato are este
stratificata .

selec tia mec anica este s uperioara celei aleatoare, fi ecare individ (unitate statis tica)
avand sanse egale de a fi selectata. Proportia subcol ectivitatii studiate se exprim a in
procente s i se stabileste prin calcule de probabilitate. Pasul de numarare es te egal cu
raportu l din tre 100 si p rocentu l sub colectivit atii. Daca acest pas este egal cu n, din
populatia totala se aleg cazurile a l n-lea, al 2n-lea, al 3n-lea etc. Avantaju l ace stei
metode este simplita tea extrag erii es antionu lui de cercetat. Dezavantajul este ca uneo ri
exactitatea r ezulta telor obtinute nu es te intotdeau na satis facatoare.

selec tia tipica ( statifica ta) se utiliz eaza m aifrecvent in c azul in ca re variabilitatea
fenomenelor studiate es te mare. Pentru ap licarea acestei m etode, cazu rile se "zon eaza",
7

se grupeaza pentru o omogenizare superioara . Se alege cate o grupa, specifica unor
zone in care fenom enul are in tensitate m axima, medie si res pectiv m inima. Daca apare
necesitatea unei noi g rupari, pentru a se obtine zone s i mai om ogene, m etoda se
numeste selectia in m ai multe faze (trep te). Aceasta m etoda prezin ta avantajul un or
selectii cu un grad ridicat de reprezentativi tate pentru populatia to tala din care a fost
extras esantionul cercetat. Sele ctia tipica poate fi com binata, in fazele sale finale, cu
selectia m ecanica.

selec tia in serii ( in cu iburi) are loc atunci cand selec tia finala e ste cerceta ta in
intreg ime, fara a se apela la selectie m ecanica.

II.3.2. Delimitarea in spatiu a colectiv itatii cerceta te

Atunci cand variab ilitatea date lor e ste mare in f unctie de teritor iu, se delim iteaza
volum ul cercetarii si se stabiles te spatiul (geografic) in care v or fi facute s tudiile.

II.3.3. Delimitarea in timp a cercetarii

Procesul cercetarii poate fi continuu (perm anent), periodic (la anum ite in terva le de
timp) sau singular (are loc o singura data):

– cercetarea curenta (continua s au perm anenta) es te necesara in cazul
fenom enelor cu o variabilitate m are in dinam ica lor. Pentru studiul lor, se
impune obtinerea unei cazuistic i cu volum mare, ca atar e observarea trebuie sa
se faca un timp m ai indelungat. Acesta poate fi lim itat, la o anu mita perioada de
timp (cercetare curenta continua) daca fenom enul apare cu o frecventa suficient
de m are, sau poate fi nelim itat (cercetare curenta permanenta ).

– cercetarea periodica (la anum ite intervale de tim p) se foloseste fie in cazu l
fenom enelor cu variabilitate m ai red usa in tim p, fie in ca zul f enomenelor cu o
aparitie si evolutie perio dica. De asem enea, aceasta m etoda s e foloses te in cazu l
in ca re vo lumul selec tiei de da te obtinute in tr-un inte rval de tim p scurt es te
foarte m are. In general, in cazul ce rcetarii perio dice, se precizeaza si momentul
8

critic , adica data la care se face obser varea sau inregistrarea fenomenelor
studia te. Fu nctie de variabilita tea datelor, momentul critic es te o anum ita zi si
ora (variabilitate m are) sau num ai o data (varia bilitate m ica).

– cercetarea singulara prezinta de obicei intere s atunci cand se verifica
reproductibilitat ea unor studii deja efectuate.

II.4. METODE DE MASURA

A masura o marime fizica inseamna a co mpara marimea respectiva cu o alta
marime de a ceeasi natura cu pr ima, adoptata ca unitate de masura . Rezultatul operatiei de
masura a unei m arimi fizice trebuie sa contina u rmatoarele inf ormatii: v aloarea numeric a a
marimii masurate, eroarea cu care aceas ta este exprim ata, param etrii ce caracterizeaza
conditiile experim entale concret folosite.
Eroarea se m entioneaza in scopul precizarii lim itelor in care se cuprind e valo area
adevarata a m arimii masurate s i pentru a ilus tra precizia metodei de m asura f olosite. In
cazul in care m arimea fizica po ate fi m asurata prin m ai multe m etode sau tehn ici de
masura, valoarea erorii perm ite optim izarea pro cesului de masura in sensul alegerii m etodei
si tehnicii de m asura cu pr ecizia cea m ai mare. De asem enea, daca obiectul si scopul
cercetarii impun exprim area unor r ezultate cu o precizie data, eroarea este un criteriu de
eliminare a m etodelor de m asura care nu pe rmit atingerea unor perform ante de masura
adecvate necesitatilor.
Valoarea parametrilor impusi de catre an alist pen tru efectua rea masuratorii
constituie infor matia strict neces ara pentru ap recierea reproductibilitatii masurato rilor.
Precizarea conditiilor experim entale in care a fost efectuate m asuratoarea se im pune si
pentru a perm ite confirmarea rezultatelor .
Scopul operatiei de masura este d eterminarea, cu precizie cat m ai mare, a valorii
masurate. Pentru a se atinge acest scop, inainte d e a se efectu a masurarea efectiva a m arimii
fizice d e interes, trebu ie sa se verifice atat f unctionarea corecta a instal atiei (aparaturii) de
masura folosite cat s i precizia oferita de aceasta.
Astfel, se r ecomanda ca initial sa s e masoare cu instalatia res pectiv a o proba etalon ,
a carei caracteristici fizico-ch imice sunt bine cunoscute, iar valoarea marim ii de masurat
este precizata in tabele d e marimi fiz ice. Daca prin m asurare se obtine o valoare a marim ii
fizice care aproxim eaza valoarea tab elata in li mita ero rilor adm isibile, atunci inseamna ca
9

instalatia d e masura functioneaza corect si ca metoda d e masura aleasa este suficien t de
precisa pentru scopul propus. In cazul in care valoarea obtinuta difera putin de valoarea
tabelata, dar depaseste lim itele de eroare admisibila, inseamna ca m etoda aleasa nu are
precizia necesara. Daca rezultat ul m asuratorii este m ult di ferit de cel tabelat, atunci
inseam na ca instalatia nu functioneaza corect.
Corectitudinea operatiei de masura depinde dec i de m etoda si m ijloace le de m asura
adoptate, de conditiile in care au loc m asuratorile. Ea este insa influentata, in mod
hotarator, si de pregatirea profesionala , atitud inile de exp erimentator ale analistului de
atentia aco rdata m asuratorii de catre acesta. C unoasterea in detaliu a functionarii si m odului
de m anevrare a in stalatiei s i mijloacelor d e masura, re spectarea stric ta a ordin ii in care
trebu iesc efectuate diferitele etap e ale m asurarii, a va lorii p arametrilor exper imentali,
constientizarea efectulu i acesto ra asupra rezu ltatului m asurarii constituie conditii d e baza
pentru obtinerea unor rezultate corecte. E liminarea surs elor ce pot distrage atentia
analistulu i este o prem iza favorabila procesului de m asura. De asem enea, cu cat starea de
sanatate este m ai buna si ef icacitatea analistu lui creste. O dispozitie pronuntata sau
surm enajul sunt factori care condu c in m od obiectiv la scaderea calitatii masuratorilor
efectuate.
Metodele de masura sunt procedee ration ale de executare a operatiei de m asura.
Orice m etoda de m asura are la baza un principiu de mas ura. Acesta este dat de fenom enul
fizic prin in termediul caruia are loc o peratia de m asura. De as emenea, o m etoda de m asura
este caracterizata de corpul sau m aterialul folosit pentru m asuratoare.
De exem plu, m asurarea tem peratu rii cu termom etrul se b azeaza pe fenom enul
dilatarii co rpurilo r odata cu cres terea tem peraturilo r. Mate rialul optim pentru m asurator i
este m ercurul, datorita proprieta tilor sale fizice. Astfel, aces ta nu unda s ticla, s e obtine uso r
in stare pu ra si ram ane in stare lich ida, la presiune norm ala, pe un interval foarte larg de
temperaturi (-38.6, +356.7C). In pl us, coeficientul sau de dilata tie este practic independent
de tem peratura pana in jurul valorii de 200C, ceea ce conduce la o scara de etalonare liniara
(cu diviziuni echidistante) a term ometrulu i . De asem enea, mercuru l are o caldura specifica
mica, ceea ce confera termom etrului inertie m ica, adica m asurarea tem peraturii are loc intr-
un tim p sufi cient de scurt.
Din punct de vedere inf ormational, m asurarea poate fi interpretata ca un proces de
inlaturare a unei nedeterm inari cu priv ire la starea obiectulu i studiat. Informatia de
masurare este egala cu nedeterm inarea in laturata, insa variaza invers fata de aceasta din
10

urma. De aceea, pentru determ inarea cantitatii de inform atie si cea a g radului de
nedeterm inare folosim un indicator unic.
Un fapt care trebu ie rem arcat es te acela ca nedeterminarea maxim a initiala var iaza
in raport de scara conventiona la de m asurare. De exe mplu, presupunand ca intervalele de
divizare a scarii conve ntionale au probabilitati egale, ne determ inarea initiala pe scara
duritatii m ineralelor, alcatuite din 10 grade de duritate, es te mai mica decat nedeterm inarea
initiala pe scara seism ica cu 12 grade de inten sitate.
Sensul inform ational al procesului de m asurare consta in urm atoarele: daca nu
detinem informatii anterioa re cu privire la starea obiectului supu s masurarii, a tunci
diapazonul valorilor sale posibile se disperseaz a pe intreaga scara conve ntionala divizata in
intervale e lementare. Rezulta tul m asurarii ne permite sa loc alizam cu un anum it grad de
incred ere in tervalu l elem entar de pe scara resp ectiva in care este si tuata valoarea adevarata
a m arimii fizice m asurate. S iguranta rezultat ului obtinut din m asurari este direct
proportionala cu num arul m asurarilor efectuate asupra uneia si aceleia si marimi fizice.
Princip alul neajuns al u nei scari naturale c onsta in lips a de legatu ra intr e dif eritele
sale intervale elem entare. De aceea, pentru inter polarea valo rilor marimii fizice m asurate in
interioru l acestor inte rvale sau pen tru o estim are com parativa a lor, s e foloseste principiu l
divizarii proportionale. De exem plu, pentru a se m asura lungim ea unui obiect, se aplica pe
acesta succesiv o linie g radata, care reprezinta de fapt operatia d e masurare a unitatii de
lungim e adoptata.
Totusi, cand se pune problem a masurarii si multane a unui ansam blu de m arimi
fizice cu gam e diferite de variatie si unita ti de masura diferite, acestea se convertesc m ai
intai in semnale de m asurare unif icate, ca natur a (curent e lectric) si ca ga ma de variatie (2-
10 m A), dupa care m asurarea lor s e face cu ac elasi aparat avand scara proprie. De altfel,
folosirea convertorului de sem nal reprezinta singura m etoda de masurare a acelor m arimi
fizice pen tru care nu sun t inca s tabilit e unitati de m asura corespunzatoare.
Prelucr area matematica a datelo r de m asurare este o discip lina s tiintifica cu
aplicativ itate aproape universal a, dator ita m arii sa le ca pacitati de a ref lecta latura
cantitativa a obiectelor din natura si societate. P entru a construi m odelul cantitativ al unui
grup de fenom ene ce u rmeaza a fi estim ate, se im pune inainte de toate sa m asuram
marimile ce figureaza in acest m odel.

11

II.4.1. CLASIFICAREA GENERALA A METODELOR DE MASURA

Progrese le stiintei si tehnicii din ultim ile decenii arata c a aparatele s i metodele de
masurat sunt in continua perfec tionare si diversif icare. De acee a, folosirea lor judicio asa in
raport de natura si precizia necesara pr esupune inainte de toat e cunoasterea exacta a
criter iilor dupa care se clasif ica m etodele de m asura si e rorile de m asura.
In principiu, m etodele de m asura se cl asifica dupa m odul de ob tinere a rezultatelor
si asp ectul ecuatiilor de m asurare, corespon denta dintre num arul ecuatiilor si cel al
necunoscutelor, precizia rezultatelor obtinut e din m asurari, com plexul conditiilor de
masurare, modul de executie al masurarilor, natura si rapor tul dintre diferite m arimi
masurate.
Functie de modul de obtinere a rezultate lor si de for ma ecuatiilo r de masurare,
metodele de m asura pot f i clasif icate in m etode de m asura directe, ind irecte sau com binate.
La randul lor toate aceste m asurari pot fi considerate dinamice sau statice in raport de
specificul procesului tehnologic.

II.4.2. Metoda de masura directa

Metoda de m asura directa se refera la situa tiile in care v aloarea m arimii fizice
masurate se determ ina direct, cu aju torul unui singur aparat de m asura, si deci nu necesita
calcu le ulterioare p entru determ inarea ei. In acest sen s, avem masurarea unei lun gimi cu
metrul sau m asurarea unei tensiuni electrice . De asem enea, din categoria m asurarilor
directe fac parte si anum ite operatii de calcul, cum ar fi diferenta, sum a sau produsul dintre
doua num ere.
In general, m asurarea unei m arimi fizice presupune existenta anum itor relatii de
echivalenta si ordonare, stabilir ea scarii conventionale, precum si originea acestei scari.
Daca se noteaza N num arul de diviziuni aratate de ac ul indicator al instrum entului de
masura, pe o scala data a acestu ia si cu u valoarea unei diviziuni de pe scala aleasa, atunci
valoar ea m arimii masurate x este:

x = Nu (II.1 )

12

Figura II.1. Clasificarea m etodelor de m asura

13

Valoarea un ei diviziuni de pe o scala a apar atului de m asura este raportul dintre
valoarea m axima ce se poate m asura pe scal a respectiva si num arul maxim de diviziuni
indicate pe scala. De exem plu, rezistenta se determ ina direct cu ajutorul ohm etrului,
intens itatea cu ajuto rul amperm etrului, te nsiunea cu ajutorul voltm etrului, etc.
Princip ial, n umarul unitatilor de m asura ar treb ui sa fie egal cu cel al m arimilor
fizice m asurate. Totus i, dato rita le gatur ilor de dependen ta intre d iferite m arimi fizic e
exprim ate prin legi sau ecuatii de def initie, in practica se adopta un num ar mic de unitati de
masura fundam entale pe baza carora sunt defi nite toate celelalte m arimi unitare, den umite
din aceasta cauza derivate.
De exem plu, in geom etrie este suficienta o singura unitate fundam entala de m asura
-unitatea de lungim e- celelalte unitati de m asura putandu-se determina in functie de aceasta
unitate de lungim e. In studiul fenom enelor termice sunt necesare cele trei unitati
funda mentale din m ecanica (lungim e, masa, timp) la care se adauga o unitate de m asura
specifica acestor fenomene, denum ita unitate de tem peratura.
Pentru ca m odelul can titativ stab ilit sa repr ezinte rea litatea in m od izomorf , este
nevoie de o legatura obiectiva, reala, intre p roprietatile fe nomenelor studiate si relatiile
matematice folosite. De aceea, caracterul adecva t al m arimilor cu care se opereaza in model
reprezinta p rima conditie a valabilitatii oric arei an alize s tiintifice. Pentru a demonstra
corespondenta dintre valorile fizi ce si num erice, este necesar sa extindem relatia (II.1) la un
sir de marimi fizice x i (i = 1, 2, …, k) masurabile cu aceeasi u nitate de m asura. In aces t caz,
operatia de m asurare va fi exprim ata astfel:

xi=N iu(i=1,2 ,…,k) (II.2)

Daca valo rile x i se ga sesc la inte rvale egale, atu nci intervalul (xi, xj), exprim at prin
aceeas i unitate de m asura u, va fi:

xj –x i = (N j –N i)u = ku (II.3 )

Relatia exp rima corespo ndenta d intre valo rile fizice echiv alente x si valorile numeric e
echidistan te N.
Daca vom considera doua m arimi fizice de aceeasi natura, m asurate cu unitati
diferite u si u', ecuatiile de m asurare sunt :

14

x1 = N 1u = N 1' u'; x 2 = N 2u = N 2'u' (II.4 )

ttan cons
NN
NN
xx
'
2'
1
21
21=== (II.5 )

Din analiza ultim elor do ua rela tii, re zulta c a masurare a poate f i conside rata d rept
construirea unei dependente functionale de o for ma spe ciala, in care m arimile sunt
argum ente, iar v alorile care le repr ezinta sunt functii. Pen tru ca, o astfel de f unctie sa
indeplineasca conditiile descrise, aceast a va trebui sa posede proprietatea de aditivitate.
De exem plu, daca o lun gime de 1 m se exprim a prin num arul de 100 cm , atunc i
doua lungimi de cate 1 m reunite se vor exprim a prin num arul 200 egal cu sum a celor doua
numere initiale. Evident, de la operatia de adu nare se aju nge la toate celela lte o peratii
aritm etice. Ca urm are a proprie tatii de aditiv itate, orice tran sformare complexa a marim ilor
masurate va fi izom orfa fata de operatiile core spunzatoa re cu marimile lor , adica cu va lorile
care exp rima aces te marimi si invers .

Exista m ai multe tipuri de m etode de m asura directa, si anum e:

– metoda de masura prin comparare in care m arimea fi zica de m asurat s e
compara cu o valoare cunoscuta a unei m arimi de aceesi n atura. Un exem plu
este m asurarea volum ului unui co rp cu o m asura de capacitate.

– metoda de masura prin substitu tie consta in evaluarea efectului produs de corpul
caracterizat de m arimea fizica de m asurat si gasirea unei marimi fizice de
aceeasi natura, care, v ariata fiind, sa produca acelasi efect. De exemplu, o
rezis tanta Rx poate fi determ inata prin aceasta m etoda prin m asurarea intensita tii
curentului ce o parcurge si apoi prin in locuirea ei in circu it printr-o cutie de
rezis tente. Valoarea rezistentei de determ inat Rx este egala cu valoarea gasita
pentru cu tia de rezis tenta, care prod uce in circu it aceeasi v aloare a intensitati i
curentului.

– metoda de masura de zero (de echilibru) consta in anularea diferentei intre
efectul produs de valoarea m arimii de m asurat si cel produs de o m arime de
15

aceeasi natura, de valoare cunoscuta. Ca exemplu, o rezisten ta Rx poate f i
masurata prin aceas ta metoda daca se foloseste pu ntea W heatstone.

– metoda de masura prin coincidenta este utila atunci cand marim ea de masurat
poate fi co mparata cu anum ite sem nale regulate, uniform e, standard. D e
exem plu, aceasta m etoda se foloses te pen tru reglarea ceasu rilor si a verificarii
exactita tii lor.

II.4.3. Metoda de masura indirecta

O marime fizica es te masurata indir ect dac a ea se determina prin calcul pe baza
masurii directe a altor mari mi fizice, in relatie cunos cuta cu cea de determinat . Evident,
numarul m arimilor fizice m asurate direct este m ai mare sau egal cu 2.
Daca notam cu n num arul m arimilor fizice c e se masoara direct pentru calcu larea
marimii fizice de m asurat x, cu Ni num arul diviziunilor aratate de acul indicato r (pe scala
data) de ins trumentul ce m asoara direct m arimea fizica i (i=1,2,…..,N) si cu ui valoarea
unei diviziuni de pe scala da ta a a celuiasi instrum ent, atunci va loare a marimii masurate
indir ect este:

x = f(N 1, N2, ………,N n, u1,u2, ………., u n) (II.6 )

Prin introdu cerea va lorilor m asurate direc t in r elatia ( II.6) se obtin r ezultatele m asurarii
indirecte in unitati de acelasi fel cu m arimea m asurata. De exem plu, rezis tenta poate fi
masurata si printr-o m etoda de m asura indirect a: se m asoara direct intens itatea si tens iunea
de la bornele ei cu ajutorul unui am permetru, respectiv a unui voltm etru si apoi se
calcu leaza v aloarea rezistentei cu ajutorul legii lui Ohm pentru o portiune de circuit. Tot
din aceas ta catego rie face parte ope ratia de m asurare a suprafetelor care nu se realizeaza
prin com parare d irecta cu o unitate de suprafat a, ci p rin interm ediul dim ensiunilor liniare
carac teristice (curb e, raze, inaltim i linii f rante etc .).
Pe langa faptul ca sfera m asurarilor indi recte este m ult mai larga decat a celor
directe, in multe cazuri p rimele sunt totusi m ai simple. Acest lucru e ste cu atat m ai evident
cu cat anu mite m arimi nici nu pot fi m asurate direct. De exem plu, densitatea unui corp
poate fi determ inata numai daca se cu noaste vo lumul si m asa acestu ia.
16

In intelesu l cel m ai apropia t de te hnica pr elucrarii au tomate a da telor, se poa te
defini notiu nea de m asurare ca fiin d procesul d e receptionare si trans formare succesiva a
informatiei despre o an umita marime fizica in scopul com pararii ei cu scara conventionala
sau unitatea de m asura si folosirea rezu ltatului obtinut in a lte activitati productive . Din
aceas ta definitie rezulta ca in p rocesul d e masurare in tereseaza nu nu mai cantitatea de
informatie despre o anu mita m arime fizica, c i si forma sub c are obtinem aceas ta inf ormatie,
pentru a fi f olosita cu usurinta de om sau m asina intr-un ciclu de productie.
Procesul d e masurare poate f i interpretat ca un s istem de cibernetica tehnica in care
marimea vectoriala X, supusa unor transform ari succesive, apare la iesire sub forma unei
marimi Y legata de p rima prin f unctia dispoz itivului de m asurat, as tfel:

Y = F(X, θ) (II.7 )

unde X este m arime vectoriala de intrare, Y este un operator de transform are si θ un factor
de influentare a procesului de m asurare. De ex emplu, in procesul de obs ervare si prelucrare
autom ata a datelo r astronom ice, inform atiile inregis trate de aparat pot fi transm ise
calculatorului electr onic, care pe baza unui program ce con tine diferite cataloage de stele si
formule, determ ina autom at coordonatele punctu lui de statie cu precizia n ecesara.

Figura II.1. Schem a-bloc a unui sistem de m asurare cu m ai multe intrari

17

Datorita variatiei factorilor ce influenteaza direct pro cesul d e masurare, param etrii
functiei de c alitate suf era anum ite modif icari, astfel ca m arimea de ies ire este cu o eroare ε
egala cu dif erenta din tre rezu ltatul si valo area nominala a marimii masurate (vezi Figura
II.1). In aces t caz

Y = F (X, θ ) +ε (II.8 )

II.4.4.Metoda de masura combinata

In cazul ap licarii aces tei m etode, m asurar ea aceleiasi m arimi fizice are loc in
conditii fizice (experim entale) diferite, valoarea marimii fizice de masurat determinandu-se
prin calcul, respectiv prin re zolvarea unui sistem de ecuatii .
De exem plu, atunci cand nu dispunem de un voltm etru, o rezistenta Rx poate fi
determ inata si prin tr-o m etoda de m asura com binata: s e monteaza in serie un generato r, de
tensiune electrom otoare E, un amperm etru si o rezistenta cunoscuta R. Se m asoara
intens itatea curentu lui din circu it. Se m onteaza rezisten ta Rx de determ inat in locul
rezistentei cunoscute R si se m asoara noua valoare a inte nsitatii curentului din circuit.
Aplicand le gea lu i Ohm pentru in treg circuitul, p entru cele d oua situatii, se obtine un sistem
de doua ecuatii cu doua nec unoscute: rezistenta interna r a genera torului si rez istenta de
masurat Rx.
In cazul m etodelor de masura com binate, o parte din m arimile si constan tele fizice
se m asoara direct, iar cealalta parte este dedusa di n rezo lvarea sis temului de ecuatii. De
exem plu, determ inarea alungirii relative a unei b are supu se la intindere se face m asurand
lungim ea inainte si dupa incercare, iar apoi efect uam raportul procentual dintre diferenta lor
si lungim ea initiala. Un alt exemplu de m asurare com binata il co nstitu ie pro cedeul
determ inarii coeficientilor de tem peratu ra in cazul rezis tentei electrice; in aces t caz, se
foloseste r elatia:

()() { } 0 R 20t 20t 1R i2
i i 0 =−−β+−α+ i=1, 2, …, m (II.9 )

unde ti si Ri sunt m arimi masurate direct. Dupa rezo lvarea sistem ului (II.9) se o btin si
param etrii R0, α si β. De fapt, in ultim a instanta, orice m etoda de m asurare presupune si o
operatie de m asurare directa, care se efect ueaza prin m etoda coincidentei, com pararii,
18

substitutiei, diferentei etc. Rolul operatorului es te acela de a selecta ap aratura si m etoda de
masurare adecvata, care sa conduca la eficienta m axima.

II.4.5. Alte tipuri de metode de masura

Corespondenta dintre numarul ecua tiilor si cel al necunoscutelor din sistem ul cu
ajutorul caruia determ inam o m arime fizica impune si num arul m inim de m asurari cu
ajuto rul carora se poa te stabili va loarea m arimii fizic e cons iderate, ca re constitu ie categoria
masurarilor necesare sau singulare. Daca num arul determ inarilo r este m ai mare decat cel al
necunoscutelor, spunem ca avem de-a face cu m asurari suplimentar e sau multip le. De
exem plu, daca in (II.9 ) avem m> 3, atunci num arul de ecuatii va depasi pe cel al
necunoscutelor, gasindu-ne deci in dom eniul masurarilor suplim entare. Acest lucru are un
mare rol atat in rid icarea pr eciziei de m asurare, cat si in prein tampinarea ev entualelo r
greseli care se pot produce in ti mpul executa rii masurar ilor.

Din punctul de vedere al gradului de in credere acordat rezultatelor obtinute ,
metodele de m asura pot fi de inalta precizie, de control si tehnice . Prima catego rie de
masurari es te lega ta de acele m ijloace tehnic e prin inte rmediul c arora se obtin va lorile
anum itor constante fizice, precum si cele ale uno r etaloane sau unitati de m asura. In timpul
executarii unor astfel de m asurari, se urm areste ca intregul com plex al conditiilor de
masurare sa se m entina rela tiv con stant. De re gula, pr in conditii de m asurar e se inteleg e
continutul concret, starea si influenta in pr ocesul de m asurare a unor factori ca: obiectul
supus m asurarii, subiectul, aparatura, metodele si conditiile exterioare.
Masurarile de control se executa de regul a in scopul verificarii si chiar om ologarii
unor aparate noi, sau a unor m etode de m asurare . In acest caz, se urm areste ca eroarea de
masurare ce afecteaza un anum it rezu ltat sa nu depa seasca limita dinainte stabilita in raport
de destinatia lucra rilor u lterioare. Toate celelalte m asurari se executa in practica curenta, iar
erorile m ijloacelo r de m asurat sun t incadrate intr-o clasa d e precizie bine cunoscuta.
Daca ansamblul cond itiilor de m asurare s e mentine cons tant, cel pu tin pentru un
anum it interval de tim p, spunem ca masurarile sunt de egala pondere . In caz c ontrar,
masurarile trebuie cons iderate ponderate . Evident, cunoasterea acestui lucru are o m are
importanta in alegerea metodei de prelucra re ulterioara a date lor experim entale.

19

Dupa cum se stie, ecu atiile fizicii ogli ndesc r aportur i cantitativ e intre marimi ce
caracterizeaza proces e, stari si proprietati ale m ateriei in m iscare sub d iversele sale for me
de existenta. In stabilirea acesto r raporturi cantitative un rol im portant il are tipu l metodei
de m asura. De aceea, tinand cont si de acest consideren t, metodele de m asura se i mpart in
conditionate si neconditionate.
Desi in ca zul m etodelor de m asura conditionate marimile m asurate nu sunt
dependente functional de alte m arimi, intre ac estea exis ta totus i o le gatura d e forma
empiric-stochastica. In cel de al doilea caz, a m etodelor de m asura neconditionate , se
determ ina marim i ale caror ecuatii og lindes c dependente functionale riguroase si comparari
de genul "cu cat" sau "de cate ori" o m arime difera de alta marime de aceeas i natu ra. De
aceea, determ inarile necondition ate se im part la randul lo r in absolute si relative . In cazul
metodelor de m asura absolute com param intre ele unitati determ inate ap artinind a celuias i
sistem de masurare. In cazul celo r relative, rezultatele se exprim a in unitati conventionale,
in afara sistem elor obisnuite potrivit m ijloculu i de m asurat ales. Un astf el de exem plu ni- l
ofera exprim area durita tii in unitati Rockwell.

II.5. MIJLOACE DE MASURA

Mijloacele de masura transforma marimea de masurat (semnalul de intrare) in
valoare obtinuta prin masuratori (semnal de iesire) . Mijloac ele de masura pot f i clasificate
dupa m ai multe criterii, dintre care am intim complexitatea si for ma semnalului.

II.5.1. Clasificarea mijloacelor de masura dupa complexitatea lor

In functie de com plexita tea lo r, mijloacel e de m asura folosite in fizica se po t
clasifica in :

– masurile sunt cele m ai sim ple mijloace de m asura si pot f i:
• masuri utiliz ate ind epend ent (m asuri de capac itate, rig le, etc.)
• masuri utilizate im preuna cu un aparat de masura (m asele m arcate se
folosesc im preuna cu o balanta)
Functie de v aloarea lo r, masurile pot fi subclasificate si in:
• masuri cu valoare un ica (m asele m arcate, m asurile de capacitate)
20

• masuri cu valoare m ultipla (riglele de masuri)
De obicei m asurile cu valoare un ica sunt furn izate in truse. Aceste a contin m asuri de
diferite valori unice, astfel in cat sa se poata m asura atat m arimii fizice egale cu fiecare
masura in parte, c at si cu com binatiile lor.

– aparatele de masura sunt m ijloace de m asura ce contin ce l putin o masura s i
functioneaza com parand m arimea de m asurat cu unitatea de m asura.

Din punctul de vedere al modului de citire , aparatele de m asura pot fi subc lasificate in:

aparate cu citir e directa , ce indica direct valoarea m arimii de m asurat (ba lanta analitica
pentru m asurarea m aselor, cilindrul gradat pentru m asurarea volum elor);

aparate de comparare , ce indica egalitatea dintre valo area m arimii fizice de m asurat cu
o valoare cu noscuta a u nei marimi fizice de aceeasi natura (galvanom etrul d in puntea
Wheatstone pentru m asurarea rezistentei);

aparate diferentiale , ce indica diferenta dint re valoare a marimii de m asurat s i valoarea
cunoscuta (m anometrul cu lichid pentru m asurarea presiunii, valoarea cunoscuta fiind
presiunea atmosferica)

aparate de maxim si de minim , ce indica valoarea m axima, respectiv m inima pe care a
avut-o m arimea de masurat de-a lungul unui pr oces sau interval de timp (term ometrul
de maxima si minima pentru masurarea temperaturilor ex treme atinse in decursul u nui
interval de timp).

Din punctul de vedere al m odului de obtinere a valorii marimii de masurat ,
aparatele se m ai pot clasifica in:

aparate indicatoare, la care valoarea m arimii de m asurat se citeste in dreptul unui ac
indicator;

aparate inregistratoare, care noteaza sirul d e valori di screte obtin ute in tim pul
masuratorilo r sau in regis treaza grafic dependentele continue;
21

aparate integratoare, care determ ina valo area unei m arimi fizice printr-o m etoda de
sumare succesiva (d e exemplu num aratoarele de cuante gam ma).

– instala tiile de masura sunt m ijloace de masura con stituite din tr-un lant de
masuri, apar ate s i mijloace auxilia re de masura. Dispozitivele auxilia re servesc
la m entiner ea par ametrilor la v alorile do rite, u sureaz a efectuare a oper atiei de
masura sau servesc la schim barea dom eniilor de m asura a unui ap arat d e
masura. Ca dispozitive auxiliare putem am inti intrerupatoarele, clem ele,
stativele, co mutatoarele, bancul optic, nivelele, etc.

II.5.2. Clasificarea mijloacelor de masurat du pa natura semnalului

In functie de natura s emnalulu i, mijloacele d e masura se pot imparti in :

– traductoare de masura ce transform a marim ea de m asurat intr-o alta marime
dependenta de sem nalul de intrare (term ometrul, term ocuplul, etc.);

– convertizorul analogic digital transf orma sem nalul de intrare analog (ce apare
sub form a unei tensiun i electrice d e exemplu) intr-un semnal digital (sub o
forma num erica, un num ar de byti).

II.6. INREGISTRAREA INFORMATIIL OR OBTINUTE IN DECURSUL
CERCETARII

In tim pul cercetarii p ropriu-zise se efectueaza si inreg istrarea fenom enelor stud iate.
Datele inregistrate nu privesc orice am anunt al inregistrar ii, fenom enele cercetate fiind
adesea foarte com plexe. Ele se refera num ai la aspectele stabilit e od ata cu precizare a
prem izelor de pornire, functie de obiectul si sc opul cercetarii. Inregistrarea fenomenelor
are ca s cop simplifica rea caracterizarii ac estora prin in termediu l unor simbolu ri sau
coduri calitative si cantita tive, pe grupari diferite. Inregis trarea poa te fi efectuata in for me
simple (inre gistrare m anuala in caie te, fise) sau a utomatizata.
Automatizar ea consta in afisarea g rafica sau n umerica a datelo r exp erimentale.
Inform atia poate fi apoi prelucrata autom at de calculatoare functie de program ele elaborate
22

(preluc rare off- line). Daca sistem ul de autom atizare p ermite tran sform area sem nalului, cu
ajutorul unor convertoare analogic-digitale, astf el incat inform atia sa fie stocata direct pe
calculator (fara in terventia analistului), atunci se spune ca prelucrar ea este efectuata on-
line.
Din punct de vedere tem poral deci, inregistrarea poate fi concomitenta cu
observarea sau experim entul, fa ra insa a se confunda, sau ulterioara acesteia. O im portanta
deosebita in faza inreg istrarii da telor cercetarii trebui e aco rdata atat co rectitudinii cu care se
face observ atia sau exp erimentul, cat s i corectitudinii cu care s e inregistreaza datele. De
aceea cercetarea si inregistrarea d atelor experi mentale trebuiesc efectuate de p ersoane
calificate, care cunosc tehnica de lucru si m ai ales im porta nta si scopul cercetarii. Chiar in
acest caz po t apare erori de m asura s i/sau inregi strare, dar acestea pot fi mai usor depistate
daca verificarea lor es te realiz ata de persoane calificate.
De asem enea m asuratorile trebuie sa se re fere la conditii cat m ai sim ilare, astfel
incat rezultatele sa nu fie infl uentate de variatia unor m arimi presupuse constante sau de
timp. In cazul stud iilor experim entale care n ecesita perioada de cercetare m ai mari,
pastrarea co nditiilor ide ntice d e lucru este o precautie prim ordiala.

II.7. PRELUCRAREA INFORMATIIL OR OBTINUTE IN DECURSUL
CERCETARII

Dupa term inarea cercetarii propriu-zise, de culegere a datelor experim entale,
urmeaza etapa de prelu crare a aces tora. Proces ul de prelu crare a datelor experimentale
consta, in g eneral, in u rmatoarele faze: co lectarea m aterialului, veri ficarea cantitativa si
calitativa, codificarea caracter isticilor (grupa rea datelo r pen tru om ogenizarea lor), calculul
marimilor de interes s i prezentarea g rafica.

– colectarea materia lului con sta in ope ratia d e centralizare a date lor
experim entale. In cazu l in care m asuratorile au fost efectuate si inregis trate de
mai multe persoane, se recom anda ca centr alizarea datelo r sa fie realizata de
persoana (grupul de persoa ne) care a programat cerc etarea. Acest lucru este
necesar pen tru ca in treg volum ul datelo r exp erimentale sa fie analizat dupa o
metodologie unitara si sa poata prim i o interpretare unica.

23

– verificar ea calitativa s i cant itativa a datelor experimentale este o faza
importanta pentru corectarea greselilor, r espectiv elim inarea date lor af ectate de
erori inacep tabile. Verificarea calitativa se refera la verificarea logica a datelo r,
a plauzib ilitatii lor. To t ceea ce este iesit d in com un, anorm al fata de restul
datelo r, mult disper sat fata de valo area m edie a m arimilor respec tive, trebuie
verificat in vederea desc operirii unor eventuale inco mpatibilitati cu restul
datelo r experim entale. In aceas ta faza se pot aplica testele s tatistice d e verificar e
si de eliminare a datel or experimentale anomale . De asem enea, pentru cazurile
unde se presupune ca ar fi putut interv eni unele erori si se cere o anum ita
precizie a d atelor experim entale, se poate face un sondaj de control in cateva
puncte sau etape ale cercetarii. Daca cer cetarea este efectu ata de m ai multi
analisti, este bine ca son dajul de con trol sa fie realizat de catre o alta persoana
dacat cea care a efectu at masuratorile in prima faza. Odata elim inate datele
experim entale "anom ale", se tr ece la verificarea cantitati va acestor a, respectiv la
inventa rierea datelor experim entale ce vor fi prelu crate s i determ inarea
volum ului total al acestora.

– codificarea datelor este o operatie absolut n ecesara atunci cand volum ul datelor
experim entale este m are. Codificarea datelor experimentale consta in
cuantificarea caracteris ticilor es entiale studiate. Practic, aceasta faza co nsta din
atribuirea unui cod tuturo r caracteristicilor cantit ative si calitative ale
fenom enului (populatiei statis tice) cercetat. Pe b aza ac estei codificari se poate
apoi efectua lejer gruparea da telor experim entale functie d e criter iile d irite, in
loturi m ai omogene.

– gruparea datelor experimentale consta in im partirea datelor experim entale dupa
caracteristici cantitative si calitative, pentru a putea gasi ulterior c aracteristica
esentiala a acesto ra. Caracteris tica car e sta la baza g ruparii se num este
caracteristica de grupare . Aceasta caracteristica poate fi calitativa , exprim and o
trasatura a populatiei cercetate, sau cantita tiva, daca ea este exprim ata printr-o
distributie de valori num erice. Im partirea pe grupari cantita tive si ca litative nu
este arbitrara. Gruparea datelor e xperim entale in categorii om ogene se
efectueaza intotdeaun a dupa caracteristic i esen tiale, calitative sau num erice,
24

tipice pentru grupele de date sau fenom ene, legate de structura lor intim a si de
tendinta de evolutie a fenom enului.

In cazu l in care volum ul de date nu este prea m are, gruparea poate fi facu ta manual.
Pentru un volum de date m ai mare, aceasta se poate realiza rapid cu ajutoru l
calculatoarelor. Din punctul de vedere al caracteristicilor si al felului de grupare, acestea
pot fi clas ificate în :

– gruparea simpla se fol oseste atunci cînd datele experim entale se an alizeaza
dupa o singura cunoastere detaliata a une i caracteristici tipice fenomenului
analizat, decit la aprofun darea co relativa a fenomenelor s tudiate;

– gruparea complexa (combinata) este ce l mai des f olosita in pro cesul de
cercetare si se efectueaza pe baza mai m ultor carateris tici de grupare, in vederea
studie rii lor corelativ e;

– gruparea repetata consta in scindarea sau re unirea grupelor grupate dupa
diferite car acteristici in vede rea unei sinteze generale.

Prin clasificarea datelo r se urm areste anal iza stiintif ica a d atelor in g rupe om ogene.
De aceea num arul grupelor, respectiv subgrupelor, in care p oate fi scind at materialu l are o
limita , dincolo de care eroarea cu care se poate exprim a o caracteristica generala a unei
grupe (subgrupe) devine prea m are. Gruparea si subgruparea exagerata a volum ului total de
date experim entale, functie d e prea m ulte criterii, ingreuneaza in telegerea esen tialulu i
carec teristic fenomenului in ansam blul sau. Daca fiecare g rupa va insum a un numar prea
mic de date, apare neces itatea re unirii grupelo r, respec tiv efortur i si cheltuieli m ateriale si
de tim p suplim entare.
Din aceste motive, apare adesea necesitatea alegerii deliberate a uno r varian te de
grupare. Varianta de grupare este v aloarea insus irii cantitative sau ca litative ale
caracteristicilor de grup are. Variante le servesc la pun erea in ev identa a variabilita tii
caracteristicilor ce po t apare, in ca drul une i lim ite, prin m ai multe valor i sau insusir i
concrete. A stfel, fiecarei date exp erimentale (in divid s tatistic) s i fiecarei caracteristici de
grupare, ii corespunde o varianta de grupare, de o anum ita valoare sau cu o anum ita
insusire ca litativa.
25

Daca variab ilitatea datelor experim entale este continua , varianta car acteristic ilor de
grupare po ate lu a orice valoare, oricit de m ica, pana la o an umita lim ita. Daca
variab ilitatea date lor este discreta , variantele caracteris tice d e grupare pot lua num ai valori
discontinui. Valorile variantelor pot f i nivele fixe sau intervale .
Pentru fiecare valoare sau interval de va lori ale variantelor corespunde un num ar, o
anum ita frecventa a da telor exper imentale . Aceste frecv ente (de ap aritie) pot fi absolute
(num ar de valori apartinand unui interval dat) sau relative (procente din totalu l colectivitatii
cercetate). Gruparea datelor experim entale pe caracteristici dupa un sir de valori ale
varian telor, cu frecventele lo r coresp unzatoare, s e num este serie statistica de varia tie. Seria
statistica d e varia tie este repre zenta ta printr-o coloana care cu prinde v alorile variante lor si o
a doua coloana care cuprinde frecventele corespunzatoare.

II.8. PREZENTAREA DATELO R EX PERI MENTALE PRIN TABELE

Odata cuantificate caracter isticile intregului volum de date experim entale dupa
valor ile v ariantelor, m aterialul statistic se prezinta in tabe le. Aces tea prezin ta marele
avantaj de a sintetiza rezult atele experim entale s i ale calculelor efectuate pentru
prelucrarea datelo r experim entale. E le asigu ra o scriere co mpacta si p rezinta inform atia
intr-un m od acces ibil la ci tire s i apreciere.
Practica cercetarii im pune de ob icei sa se apeleze la tabe le intr-unul din urm atoarele
cazuri:

– se cunoaste valoarea unei functii pentru o serie de argum ente, dar nu se cunoaste
formula m atematica a dependentei dintre ele;

– se doreste m ediatizarea anum itor m arimi fizice care, desi necesare in alte
determ inari uzuale, po t fi masurate num ai cu ajutorul uno r instalatii sp eciale,
complicate, existente num ai in dotarea unor laboratoare speciale;

– se dores te usurarea calculelo r neces are in prelucrarea datelor experim entale ce
necesita ap licarea uno r functii m ai com plicate;

– se prelu creaza date le du pa o for mula ce neces ita multi pas i de calcu l.

26

Orice tabel trebuie s a fie numerotat , sa aiba un titlu si sa con tina toa te datele desp re
conditiile in care s-au efectuat m asurato rile. Daca in plus se do reste si o an aliza ulterio ara a
reproductibilitatii rezultate lor, tabelele trebuiesc datate . Capul fiecarei coloan e (rand)
trebu ie sa s pecifice denumi rea sau simbolul marimii fizice prezen tate, unitatea de masur a
in care es te exprim ata marim ea fizica, precum si factorul de multiplicare , daca este cazul.
In general, acesta trebui e astfel ales incat in tabel sa apara valori cu prinse intre 0.1 si 1000.
Ordinea de prezen tare a datelor es te urmatoarea: m ai intai coloana (randu l) argumentului si
apoi colo ana valorilor fu nctie i sau co loanele corespunzatoare difer itilor p asi de ca lcul.
Tabelele pot f i clasif icate in tab ele calitative, cantitative si de tip functional .

II.8.1. Tabele calitative

Aceste tabe le stabile sc relatii calitative in tre difer ite mar imi, legi ce guverneaza
fenomene analoage sau metode de masura. Dintre ac estea pute m aminti tabele de
interpretare calitativa a benzilo r de absortie (pe dom enii spe ctrale), tabele cu for mulele de
calcu l ale m omentelor d e inertie p entru corpu ri de diferite form e geom etrice, sau tabele ce
justif ica m otivele pentr u care o anum ita m etoda este pref erata dintre m ai multe posibile
pentru m asurarea unei anum ite m arimi fizice.

II.8.2. Tabele statistice

Tabelele statistice sunt for mate din colo ane si randuri. Rubricile rezultate din
intretaierea lor coresp und fiecare unei valori (sau in terval de valori) a variantelo r
respective, exprim and o frecven ta de aparitie absoluta sau relativa .

Dupa contin utul lo r, tab elele sta tistice sunt:

– tabele le simple au fost o bicei scop enum erativ, p utand reflecta incidenta spatiala
sau dinam ica (cronologica) a unui fenom en;

– tabelele de grupare prezinta o singura caracteristica de grupare;

27

– tabelele combinate cuprind gruparile dupa doua car acteristici, perm itand grupari
mai omogene;
– tabele le de corela tie caracterizeaza volum ul date lor experim entale dupa doua
sau m ai multe caracteristici.

II.8.3. Tabele de tip functional

Aceste tab ele contin reprezentarea valorilor unei functii pentru o serie de
argumente, atunci cand se cunoaste forma matematica a functiei de dependenta . Pentru
prelucrarea datelor expe rimentale in f izica, se f olosesc m ai des urm atoarele tipu ri de ta bele:

– tabelele functionale cu date neprelucrate se intocm esc inainte de efectuarea
calcu lelor. Ele trebuie sa se p recizeze co ntinutul capu lui de tabel, respectiv
variab ilele si param etrii de m asurat, a calcule lor de ef ectua t. In cazul in care
tabelu l nu are un num ar prea m are de coloan e, este b ine sa se rezerv e, pentru
fiecare m arime masurata direct, cate o co loana in care sa se m entioneze num arul
de diviziuni citit pe aparatul de m asura si una alaturata cu v aloarea calculata in
unita ti de masura. Acest lucru este bine venit pentru depistarea cauzelor
eventualelo r erorii s i eventualele gres eli de tran sform are in unita ti de m asura;

– tabele le fun ctiona le cu valorile d iferitelor mar imi fiz ice prezinta valorile unor
marimi fizice greu de determ inat, pentru substante folosite mai uzua l in p ractic a
experim entala. De exemplu, ele prezin ta valorile densitatii, a tem peraturii de
topire, a caldurii latente de topire, a caldurii specifice, a coeficientu lui de
dilatare liniara e tc. Alte tabe le prezinta dependenta unor m arimi fizice de
anum iti param etri ce induc variatii foarte mici ale valorii m arimii fizice
respective, greu de pu s in evid enta prin m etode uzuale. Un exem plu este
dependenta densitatii ap ei de tem peratura;

– tabele le matematice prezinta valoarea unor functii complicate pentru o serie de
valori ale argum entului m ai fina dacat cele uzu ale. Dintre acestea putem cita
tabelele cu valor ile functiilor trigonometrice, tabelele de lo garitm i etc.. Eroare a
de determ inare a valorii din tabele se ia egala cu ordi nul ultim ei cifre
semnificative.
28

– tabele le alcatuite in scopul efectuarii unor calcule con tin in m od explic it
valorile obtinute dupa fiecare pas d e calcu l. Desi par m ai laborioase, in m od
paradoxal ele servesc mai ales pentru a economisi tim p. Astfel, daca in
verificarile pentru dep istarea even tualelor greseli se identifica o ero are la un
calcu l intermediar, aceste tabele au marele avanta j de a perm ite r eluarea
calcu lelor numai de la coloana (randul) incorect m ai departe. De asem enea,
anum ite rezultate interm ediare pot fi fo losite ulterior pentru calculul dupa
formule cu term eni similari, econo misindu-se si in acest caz tim pul necesar
prim ilor pas i facuti in pr elucr area d atelor.

II.9. SISTEMUL INDI CATORILOR STATI STICI

Dupa tabelarea datelo r statistice, este binevenita cal cularea unor indicatori, pentru
analiza s i sinteza tras aturilo r esen tiale ale da telor experim entale. Da tele experim entale,
statistice, ad unate in decursul cercetarii, exprima valori indivi duale, insusiri partiale sau de
grup. Fara un elem ent de com paratie sau de core lare, ele sunt greu de sintetizat. Indicatorii
perm it gener alizarea si a bstrac tizare a, facilitand tr ecerea de la caracteris ticile individuale la
cele de grup, iar de la acestea la ce le specifice intregii populatii statistice.

Cei m ai obisnuiti indic atori sunt:

– indica torii extens ivi (de repartitie, structura, de pondere) ce arata structura unei
colectivitati. Acestia se exprim a in pro cente si se calculeaza dupa regula de trei
simple, totalul subgrupelor fiind egal cu 100%;

– indica torii intensivi (de frecventa, de nivel) arat a marimea unui fenom en fata de
altul, intre cele doua fenom ene existand o legatura logica;

– indica torii intuitivi (demonstrativ) ne ara ta rap ortul marimii unei serii dinam ice
de valori fata de o m arime luata ca b aza si con siderata ca f iind egala cu 100.
Prin regula de trei sim ple se calculeaza valorile corespunzatoare m arimilor seriei
dinam ice. In acest caz este vorba de indicatori cu baza fixa . Daca baza este
variabila, se num esc indicatori in lan t. Diferenta de nivel dintre valorile absolute
29

ale m arimii considerate si cea de b aza sau cea dinam ic anterioara s e numeste
spor absolut sau cresterea absoluta . In cazul indicatorilo r intuitiv i in lan t, sporul
absolut se calculeaza in totdeaun a functiile de nivel din m omentul (perioada)
imediat pre mergatoare. Raporta rea unei v alori la n ivelul anter ior luat ca b aza
fixa sau ca baza variabila da ritmul de crestere . Ritmul sporului este raportul
dintre sporul absolut dintr-o perioada si nivelu l absolut a l perioad ei anterioare
luate ca baza fixa sau variabila;

– indica torii analitici exprim a o anum ita latura a unui fenom en sau populatii
statistice si servesc la cunoasterea aprofundata a fenom enelor studiate

– indica torii sinte tici servesc pentru abstractizarea , generalizarea sau sinteza m ai
multor f enomene sau populatii s tatistice;

– indica torii d e corela tie si regre sie servesc la s tabilirea lega turilor f unctionale ,
cauzale, intre doua sau m ai multe caract eristici ale unui fenom en sau populatii
statistice.

Toti ind icatorii po t fi reprezen tati su b diverse form e:

– valorile absolute reprezinta un ind icator in caz ul fenomenelor sau pop ulatiilo r
rare, und e cifra abso luta es te cea m ai relevanta asupra esentei, structurii si
dinam icii fenom enului;

– valorile re lative apar in cazul in dicato rilor exte nsivi, intensiv i, in tuitivi,
analitic i, sin tetici sau de corela tie si regresie. Ele pot fi calculate sub form a de
rapoarte, frecvente de apari tie sau ponderi (procente);

– valorile medii sunt foarte des folosite in cerce tare, fiind un indicator sintetic de
mare valoare, ce caract erizeaza salectii sau intr eaga populatie statistica
analizata. A ceste valori pot fi com parate ulterior cu valorile individuale pentru
stabilirea g radulu i de dispers ie, vari abilitatea date lor individu ale fata de
fenom enul m ediu.

30

II.10. REPREZ ENTAREA GRAFICA A DATELOR EXPERIMENTALE

Reprezentarea grafica a datelor exp erimentale este o metoda foarte valoroasa atat
pentru analiza si s inteza cercetarii cat si pentru prezentarea suges tiva a rezu ltatelor
experim entale. De obicei, rep rezentarea graf ica a datelor experim entale se face dupa
gruparea, tabelarea s i calcu larea indicilor s tatistici ai ace stora. Ca atare nu a re sens
incercarea d e a stabili care tip d e reprezenta re (sub form a de tabele, prin interm ediul
statistici s au sub for ma grafica) es te mai conc ludenta sau sug estiva, deoarece aces te operatii
nu sunt alternative ci consecutive . In cele ce u rmeaza vom prezen ta pe scurt d iferite tipu ri
de reprezentari grafice utilizate mai frecvent in prelucrarea d atelor experim entale in fizica.

II.10.1. Grafice de corelatie

Graficele de corelatie reprezinta curb ele de dependenta dintre doua variabile
masurate experimenta l. Com pletarea preluc rarii date lor experim entale prin grafice de
corelatie pre zinta m ultiple avanta je, dintre care citam :

– perm it identif icarea tipului de dependenta matematica dintre cele doua variabile
reprezentate. Daca nu cunoastem form a functiei de dependenta, graficu l este un
instrum ent optim pentru alegerea tipului de functie de folosit pentru
param etrizarea curbei ex perim entale prin m etode statistice.

– perm it confirmarea prezentei unui anumit fenomen fizic . Form a teoretica a
functiei d e dependenta este de ob icei c unoscu ta in acest caz. Din forma curbei
experim entale se poate aprecia calitativ daca rezulta tele ex perimentale verifica
forma teoretica a functiei de dependenta sau daca exista abateri de la aceasta.

De exem plu, pentru determ inarea tipului de m iscare a unu i corp, aces ta poate fi
fotografic stroboscopic (la intervale de tim p egal e, foarte scurte si cunoscute ca valoare) in
dreptu l unui paravan m ilimetrat. Se prezin ta grafic dependentei d intre p ozitia sa si tim pul
scurs de la un m oment dat. Daca se obtine o dreapta, corpu l se afla in m iscare uniform a.
Daca curba este o parab ola, corpul s e afla in miscare uniform accelerata. Daca se obtine alt
tip de curba, se poate deduce ca m iscarea corpului are loc neuniform .
31

– permit interpolarea sau extrapolarea datelor , aspect deosebit de im portant in
cazul reprezentarii g rafice a curb elor de calibrare. Odata tras ate, ele pot fi
folosite p entru af larea valor ilor functie i corespunzatoa re orica rei valori a le
argum entului, fara a necesita param etrizarea curbei. Desigur, in terpo larea s i
extrapo larea grafica nu sunt m etode fo arte precise, dar ele furnizeaza adesea
rezultate suficien t de pertin ente pen tru multe aplicatii practice. De asem enea
metodele grafice se remarca prin simplita tea lor, elim inand necesitatea e fectuarii
unor calcule m ai sofisticate de param etrizare. A vantajul creste in im portanta m ai
ales atunci cand curbele de etalonare nu pot fi aproxim ate pe intr eg dom eniul de
interes pr intr-o singu ra functie. In ac est caz, curb a trebu ie simulata cu o functie
definita cu expresii diferite pe diferite intervale de valori.

De exem plu, m icrocom paratoarele A bbé perm it masurarea f oarte precisa a d istante i
la care apare o linie din spectrul de em isie a unui elem ent chim ic fata de un reper de pe
placa fotog rafica. Pentru masurarea spectru lui de emisie a unei probe (lun gimea de unda a
liniilo r de em isie), m icrocom paratorul trebu ie mai intai etalon at. As tfel, se foloseste
spectrul de em isie a unui elem ent pur, considerat etalon. Se identifica lungim ile de unda a
celor m ai intense din benzile sale de abso rtie din cataloage de spectre. Se masoara
experim ental pozitia acestora pe placa fotog rafica, cu ajuto rul m icrocom paratorului.
Graficul dependentei dint re lungim ile de unda ale liniilor de emisie si pozit iile lor pe placa
fotografica constituie curba de etalonare a microcom paratorului. Masurand apoi pozitiil e
liniilor de em isie m ai intens e din spectrul unei probe nec unoscute, se pot extrage din
graficul de etalonare valorile lungim ilor de unda cores punzatoare. Proba se poate astfel
identifica cu ajutorul tab elelor din ca taloag ele cu spectre. Rem arcam ca aceas ta metoda de
analiza (calitativa) nu a neces itat n ici un fel de calcul.

– permit determinarea grafica a unor info rmatii suplimentare cu semnificatie
fizica, ce pot fi extrase din for ma concre ta a dependentei dintre cele doua
variab ile. A stfel, se pot determ ina ordonata sau abscisa la origine, panta, pozitia
maximelor si m inimelor, a punctelo r de inflexiune, sau periodicitatea
fenom enului.
Ca exem plu se poate cita determ inarea lucrului m ecanic de extractie L ext a
electronilor dintr-un m etal sub actiun ea radiatiei electrom agnetice. Pentru acesta, se
32

ilumineaza o celula fotoelectrica a carei catod este facut din m etalul d e interes. In calea
fascicolu lui lum inos s e aseaza filtre ca re perm it trecerea num ai a unui fascicu l
monocrom atic, de lungim e de unda cunoscuta ν. Curentu l fotoelectric astfel creat se
anuleaza prin aplicarea unei tensiuni inverse U la capetele celulei. Reprezen tand grafic
dependenta dintre valoarea tensiunii inverse si frecventa lum inii, se obtine o dreapta
crescatoare. Confor m legii efectu lui fotoelectric,

hν= L ext + eU U = – e1 Lext + ehν (II.10)

Ca atare, valoarea lucru lui m ecanic de ex tractie specific materi alului catodulu i se
poate determ ina din valoarea ordonatei la origine. Valoarea constantei lui Plank h se poate
determ ina din panta dreptei, cuno scand valoare sarcinii electronului e.
Functie de informatia f urniza ta, graf icele de cor elatie pot f i calitativ e sau
cantitative. Graficele ca litative pr ezinta d epend enta dintre doua variab ile in mod intuitiv,
fara a preciza valorile efec tive ale punctelor experimentale . Ele mentioneaza num ai
variab ilele reprezen tate pe axe si cu rba de depe ndenta in s ine. Aceste grafice s e folosesc in
general pentru ilustrarea tipului de dependenta dintre variabile. Graficele can titative
precizeaza toate detaliile numerice legate de domeniile de masura, de valorile
experimen tale masurate si de fa ctorii de multip licare.
Graficele se constru iesc tinand con t de princ ipiile geometr ice ale lui Descartes
(1637), adica de sistem ul cartezian . Acesta se com pune dint r-un sistem de doua axe
perpendiculare intre ele, una orizontala ( abscisa ) si una verticala ( ordonata ). Punctul lor de
intersectie se num este originea ( sistemului de a xe) si constituie punctul de plecare pentru
scara aleasa pentru fiecare din cele d oua axe. In prezen tarea gr afica se folose ste cel m ai des
partea din dreapta a abscisei, respectiv cea de sus a ordonatei, am bele corespunzand
valorilor po zitive ale marim ilor rep rezentative grafic. Pe abscisa se re prezin ta marimea
cauza a fen omenului, iar pe o rdonata m arimea caracteris tica efectului obtinut. Cu alte
cuvinte, p e abscisa se reprezinta m arimea fi zica care ia analistul i-a dat valo ri in mod
deliberat, iar pe ordonata m arimea fizica indusa prin fenom enul studiat.
Sub sageata abscis ei si in stanga sage tii o rdonatei se no teaza m arimile fizice
repre zenta te, prin in termediul simbolurilor lor consacrate . In caz ca aces tea nu au
simboluri consacrate, se folosesc sim boluri carora li se explica semnificatia fizica in
legenda graficului sau se noteaza in cuvinte n umele m arimii fizice, pe grafic, in locul
33

simbolului. In dreapta fiecarui sim bol se noteaza, intre p aranteze rotunde, unitatea de
masura in care sunt exp rimate valorile experim entale.
Scara graficului este conventionala. Ea consta din intervale (diviziuni) ce rep rezinta
o valoare data, pentru marim ile rep rezentate pe fiecare ax a in parte, cu unitatile de masura
corespunzatoare. In m od norm al, se lucreaza cu scara aritmetica , si in acest caz intervalele
sunt egale (si diviziunile echidistante).
In cazul m arimilor m ici, pentru a reda m ai sugestiv d iferen tele d intre frecven tele
varian telor, se pot f olosi scara semilogaritmica . In acest caz interval ele alese, egale ca
valoare, difera ca reprezentare geom etrica.
Scara logaritmica se c onstruieste astf el: pe a bscisa se ia u inte rvale im partite in
unitati in progresie ar itmetica (1, 2, 3, 4… m sau mm ) iar pe ordonata sa iau intervale
impartite in logaritm ii cif relor pro gresie i aritmetice. Astf el, pe acelasi grafic, se pot
reprezen ta valori foa rte difer ite, cuprinse intre lim itele m ari (une i prog resii ar itmetice ii
corespunde o crestere m ica a logaritmului), variab ilitatea datelor fiind insa usor de observat
pentru toate valorile.
Valorile nu merice corespunzatoa re intervalelo r se no teaza sub abscisa si in stanga
ordonatei. Pentru usurinta citirii, valorile nu trebuiesc exprim ate prin num ere cu prea m ulte
cifre. Pentru aceasta, la nevoie ele se pot expr ima cu ajutorul unui factor de m ultiplicare,
specif icat in parantez a unita tii de m asura de la c apatul axe i. De asem enea, este conv enabil
ca diferenta dintre doua valori consecutive de pe o axa sa fi e egala cu o putere a lui 10, in
unitatea de m asura respec tiva (0, 1, 1, 10, 100 etc.).
De obicei originea sistemului corespunzator valorii 0 pent ru m arimile de pe a mbele
axe. In acest caz, aces te valori nu se m ention eaza in dreptu l originii, fiind implicite. In caz
contra r, valo rile core spunzatoa re tre buiesc m entionate in d reptul or iginii.
Punctele experimentale se prez inta la inte rsectia dintr e verticala x = Xi si orizontala
y = Y i, unde (X i, Yi) sunt valorile m asurate experim ental pentru cele doua m arimi fizice. In
caz ca pe un grafic se reprezin ta mai multe dependente, punctele experim entale se
simbolizeaza diferit pentru fiecare dependen ta. Se po t utiliza ca sim boluri form e
geom etrice precum patrate, triungh iuri, cercuri, stelute etc..
Curba exper imentala sa traseaza printre punctele experim entale, in m od continuu si
neted . Abaterea punctelo r experim entale de la cu rba ce le apro ximeaza se datoreaza erorilo r
experim entale de m asura.
Fiecare grafic de corelatie trebuie s a fie insotit de o legenda . Legenda cuprinde
numarul si n umele graf icului, sem nificatia sim bolurilo r folosite in r eprezentarea graf ica si,
34

daca es te necesar, valoarea param etrilor au xiliari n ecesari reprod ucerii rezultatelor
reprezentate grafic.

II.10.2. Diagrame

Din m ultitudinea tipurilor de diagr ame, in f izica se f oloses te cel m ai des, pentru
prelucrarea datelor experim entale, diagram a de distributie cantitativa . Ea serveste
reprezentarii grafice a distribut iilor de f recven ta. Pe abs cisa se trec intervalele scarii ce
corespund m arimilor variantei, iar pe ordonata marimile corespunzatoare frecventelor.

Diagram ele de distributi e cantitativa se reprezinta in m ai multe m oduri:

– histograma se reprezinta sub form a de dreptunghiuri, cu baze egale,
corespunzatoare intervalelor egale de pe abscisa, dar inaltim ile variabile,
corespunzatoare frecventelor. Acest tip de diagram a se foloseste m ai ales pentru
studiul feno menelor fizice aleatoare, cum ar fi emisia radioactiv a sau pentru
aprec ierea norm alitatii, tendintei centr ale si a varia bilitatii r ezultatelor
experim entale.

– poligonul de frecventa este repr ezentat p rin linii f rante c are unes c punctele
corespunzatoare frecventelor din distri butia cantitativa. Aceste inaltim i se
constru iesc perpendicular pe abscis a, pornind de la m ijlocu l interva lului de pe
abscisa.

– curba de fr ecventa se utilizeaza ca o alternativa la poligonul de frecventa, in
cazul in care m arimile varian telor sun t repr ezentate cu intervale m ici pe abscisa.
In acest caz, linia franta devine o curba. Intervalele de pe abscisa trebuie sa
corespunda ca m arime variantelor dist ributiei.

Pentru studiul evo lutiei in timp a unui fenom en se folosesc diagram ele de
succesiun e in tim p. Acestea se prezinta de obicei sub form a de historiogram a sau de
diagram a polara.
– historiograma este o linie franta, ce leaga va lorile frecventelor ce corespund
intervalelor de tim p (or e, zile, lun i sau ani). Pe aceeas i historiog rama se pot
35

reprezenta doua sau m ai multe problem e asem anatoare, pentru a facilita o
eventuala com paratie intre d inamica dife ritelo r aspecte reprezen tate g rafic. In
general insa, este b ine sa nu se re prezin te pe aceeasi historiog rama doua
problem e legate de colectiv itati diferite : utilizarea a doua scari pen tru acelasi
grafic ad esea ero ri de in terpretare. D e asem enea, nu se reco manda reprezentarea
pe aceeas i historiogram a a m ai mult de trei – patru problem e, deoarece g raficu l
devine supraincarcat si greu de interp retat, pierzand m ult din sugestivitate. In
cazul in care m arimile reprezen tate g rafic sunt cu prinse in tr-un interval de valori
mare, unele f iind f oarte m ici si altele f oarte m ari, se utilizea za scara
semilogaritm ica sau se intrerupe scara.

– diagrama polara se utilizeaza pen tru reprezen tarea succes iva in tim p a unei
singure problem e. Ea s e construieste im partind un cerc in parti egale pentru
reprezentarea succesiu nii (de ex emplu in patru parti pentru fenom ene
trimestriale sau in douasprezece parti in cadru l succesiun ii de luni). Raza cu care
se construieste cercul se ia egala cu media aritm etica a valorilor ce corespund
variantei. S ectoare le de cerc care co respund aceluiasi inte rval de timp sunt
egale, d iferind num ai raza lor.

Pentru s tudiul distributiei geogr afice al f enomenelor fizice se utilizeaza
cartog ramele si cartod iagram ele.

– cartogramele reprez inta diferente le in intens itatea f enomenelor pr in ha sura sau
colorarea su prafetelo r de pe harta u nei regiuni geograf ice. Cu cat inte nsita tea
fenom enului este m ai mare cu ata t hasurile sunt m ai dese sau culoarea m ai
inchis a. Lip sa hasur ilor sau spatiul a lb corespunde teritoriului in care fenom enul
nu se m anifesta (are intensitate n ula). Cartodiagrama reprezinta f recventa
varian telor mai fidel, dar este mai putin sugestiva decat cartogram a.
Cartodiag rama contine dreptungh iuri in fiecare zon a, de inaltim e direct
proportionala cu frecventa de aparitie sau intensitatea fenom enului in zona
respectiva.

36

CAPITOLUL III. ESTIMAREA MARIMILOR FIZICE PE
BAZA S ELECTIILOR DE DATE EXPERIMENTALE

Fenom enele din natura si din societa te sunt inte rdepend ente, exis tand corela tii
multiple intr e natura s au esenta a cestora. Rela tiile dintre f enomene pot f i exprim ate prin
legi, ca tegorie ce ev identia za ese ntialul, gen eralul, obie ctivul, nece sarul s i suficientul,
repetabilu l si stabilul.
Unele legi exprim a conexiunile dintre fe nomenele individuale, unde legatura dintre
cauza si ef ect este relativ sim pla, fenom enul putand fi reprodus oricand pe cale
experim entala. Aces ta este cazul legilor dinam ice. Majoritatea legilor fizicii sun t de aces t
tip, ca de exem plu legea conser varii energiei, leg ea cade rii corpurilor, legea lui Arhim ede.
Ele perm it analis tului sa prevada relativ usor desfasurarea unor fenom ene in tim p si spatiu,
legatura dintre cauza si efect.
In alte situ atii, conex iunile dintre f enomene sunt atat d e complexe, inc at, la pr ima
vedere, par haotice, intamplato are. In acest caz, nu se poate evidentia legitatea decat ca
rezultanta u nui num ar m are de fe nomene – sau cazu ri individu ale, singulare, uneori
antagoniste, alteo ri sinergice – care au o di namica proprie. Desi com portarea fiecarei unitati
pare in tamplatoa re, re zultanta tuturor ace stor com portari exprim a o legitate ne cesar a,
relativ stabila si repetabila, avand deci carac terul de lege generala, obiectiva si necesara.
Acesta este cazul legilo r statis tice, valabile doar pentru caract erizarea intreg ii colectivitati,
nu si pentru fiecare co mponenta in parte. Ele exprim a rezultan ta comuna tuturo r fortelor
divergente individuale intam platoare. Esenta in tregii colec tivitati es te de altfel co muna
marii m ajoritati a elem entelo r com ponente, f ara a fi num ai o lege a tend intei m edii.
O lege statis tica nu s e poate ev identia in orice pop ulatie, ci nu mai pentru acelea care
au anum ite proprietati, cea m ai importan ta dintre acestea fiind om ogenitatea pop ulatiei
statistice. Aceasta calitate presupun e ca fiecare un itate, ind ivid statistic, sa aiba cel putin
una din insusirile esential e com une colectivitatii.
Asa cum nu se poate dem arca net necesar ul de intam plator, to t asa nu se poate
delim ita net nici cele doua cate gorii de legi, si anum e cele di namice si cele statistice. In
conexiunile lor com plexe, apare des situatia in care fenom enele se supun cand unor legi
statistice, cand unora dinam ice. Astfel, in general nu exista fenomene in care sa s e
manifeste doar legi dinam ice sau doar legi statistice. Cel m ai adesea aces tea apar
concom itent, predom inand com portarea dupa o lege de un tip sau celalalt.

37

III.1. DEFINIREA CONCEPTULUI DE CONTROL AL MASURARII

Pentru o evaluare stiintifica a datelor, pr ocesul de m asurare trebuie sa fie secondat
de un alt proces experim ental, pr in care se verifica re zultatele ob tinute sub rapo rt calitativ.
Acest proces poarta denum irea de control. Efectuarea unui control eficient presupune o
norm are pre alabila a preciziei, ad ica stabilirea zonei maxim admisibile de existenta a erorii
de m asurare . Cu alte cuvinte, in lim itele spa tiului " starilor adm isibile ", sis temul real de
masurare trebuie sa se ab ata fo arte putin de la cel ideal.
Orice in calcare a aces tei conditii, co nstitu ie un s emnal de alarm a privind dereglarea
sistem ului si im plicit aparitia erorilor de m asurare. Practic acest lucru presupune
respectarea perm anenta a conditiei:
ε≤−Yy (III.1)
unde y este rezultatul m asurarii, Yeste val oarea no minala a semnalului de iesire si ε eroarea
limita adm isibila. Daca inegalita tea (III.1 ) nu este satisfacu ta, atunc i rezulta tul m asurarii
trebuie elim inat, considerandu-se nesatisfacat or, dupa care se iau m asuri de reglarea
sistem ului d e masura (vezi figura III. 1).

Figura III.1. Schem a-bloc a sistem ului de colectare a datelor
38

In general, controlul tehnic de m asurare se prezinta sub form a unui lant de operatii
elem entare, prin care trec succes iv toate lu crarile interm ediare pana la o btinerea rezultatului
finit. Prin executarea unui astfel de contro l se ur mareste respectarea cu strictete a
indica tiilor tehnic e privind ca litate a lucr arilor pe toate fazel e procesului de culegere si
prelucrare a datelor de masurare.
Definirea s istem ului de m asurare si control in acest fel usureaza considerab il
interpretarea si pre lucrarea date lor, d eoarec e scopul execu tarii m asurarilor consta nu num ai
in gasirea valorii m arimii supuse masurarii, ci si in gradul de incredere cu care se obtine
aceasta valo are in conditiile date. De exem plu, inaintea planif icarii unui anum it experim ent
de m asurare, proiectantu l urm areste realizarea u nei core latii intre pos ibilitate s i necesitate,
din punct d e vedere al preciziei, pentru ca eficienta realizata sa fie m axima. Aceasta
problem a este deosebit de im portanta, deoarece atat o precizie m ica, cat si una exagerat de
mare, duc fi e la irosire nejustifìcata de resurs e materiale si um ane, fie l a o slaba calitate a
rezultatelor obtinute din m asurari.
Calita tea r ezulta telor obtinute din m asurari este direc t proportion ala cu volum ul
inform atiilor si preciz ia mijloacelor de m asurat. Din punct de vedere constructiv-functional ,
mijloacele d e masurat sunt de diferite catego rii si se clas ifica a stfel :
¾ mijloace etalon care serves c la definirea, materializarea, conservarea sau
reproducerea pentru transm itere a unitatilo r de m asura a alto r mijloace tehnice
destin ate op eratiilor de m asurare curent a in pro ductie sau la recep tionarea unor
lucrari de m are precizie.
¾ mijloace tehnice de masurare destinate execu tarii m asurarilo r curen te, la care
precizia este data in raport de natura si destinatia lucrarilor ulterioare.

III.2. CLASIFICAREA ERORILOR DE M ASURA
Practica a d ovedit ca o ricat d e ingrijit s-ar execu ta masurarile, aces tea vor fi afectate
in m od inerent de erori. Perfection and aparat ele si m etodele de m asurat, putem obtine
aproxim atii din ce in ce m ai bune, insa m arimea unor as tfel de precizii nu poate m erge
dincolo de orice, lim ita. De exem plu, efectuand un num ar finit de m asuratori asupra uneia
si aceleiasi m arimi fizice, dife renta dintre rezultatul obtinut si valo area adevarata a m arimii
fizice m asurate nu poate fi m ai mica decat ord inul de m arime a d imensiunilor m oleculare,
deoarece in acest caz ar dispare insa si notiun ea de marime fizica.

39

Figura III.2. Criterii de clasificare a er orilor de m asura

Erorile de m asurare se clasifica dupa su rsa generatoare, modul lor de actiune in
procesul de m asurare sau prelucrare a datelo r experim entale, precum si dupa for ma in care
acestea pot f i exprim ate m atematic.

Figura III.3. Clasificarea eror ilor d e masura functie d e sursa acestora
40

Dupa sursa lor de aparitie , eror ile se im part in:

¾ erori personale, ce se datoreaza imperfectiun ii organe lor de simt, prin interm ediul
carora operatorul obtine ne mijlocit infor matii despre obiectu l supus m asurarii. De
exem plu, precizia de punctare depinde in principal de acuitatea ochiului
operatorului. Astfel, pentru elim inarea erorilor persona le, in astronom ia geodezica
fiecare operator isi stabileste ecu atia personala inainte de ies irea in cam panie, iar la
prelucrarea m atematica a date lor de m asurare s e tine seama de rezulta tele acestei
activ itati;

¾ erori instrumentale, ce se datoreaza im perfectiunii m aterialelor d in care sun t
confectionate aparatele de m asurat, precu m si impreciziei in m ontarea sau reg larea
acesto r aparate;

¾ erori metod ice, ce se datoreaza s implificarilor ap licate p entru dedu cerea uno r
formule si u neori chia r folosirii inc orecte a mijloace lor te hnice cu a jutorul caro ra
efectuam masurato rile. De exem plu, la deducerea form ulei pentru determ inarea
expeditiva a azim utului astronom ic, anum ite triunghiuri sferice pot fi inlocuite cu
altele plan e. Aceasta in seam na ca sim plificarile introduse constien t in m etodica
determ inarii azim utului astronom ic generea za erori sup limentare care se incadreaza
in categoria erorilor m etodice, insa fara im plicatii in prelucrarea ulterioara a datelor;

¾ erori exterioare, conditionate de influenta unor fact ori exteriori ca temperatura,
umiditatea aerului, curbura pam antului, refr actia atm osferica, ac tiunea vantului etc.

¾ erori ale obiectului de masura, datorate variatiei in tim p a obiectului supus
masuratorilo r. Deoarece obiectul m asurat sufera unele m odificari sub influenta
factorilor in terni si externi, ero rile generate din aceasta cau za nu pot fi confundate
nici cu erorile exterioare si n ici cu cele dato rita r eflectarii incom plete a lum ii
materiale in constiinta s ubiectu lui m asuratorii. Aceste e rori sunt p roprii obiec tului
supus m asurarii si nu intam plator, se num esc erori ale obiectului.

41

Cercetarile teoretice s i practice con duc la concluzia certa ca erorile d e masurare ,
indif erent de natu ra factorilo r gene ratori, tind as imtotic ca tre o anum ita lim ita, care numai
cu o probabilitate foarte m ica, poate fi depasita. Aceasta m arime se num este eroare limita.

Figura III.4. Clasificarea erorilor de m asura functie de m odul lor de m anifes tare

Am vazut m ai sus ca intre ero rile rezu ltate din m asurari s i par ametrii car e
caracterizeaza procesu l de m asurare apar legatu ri cu caracter functional si stochastic. De
aceea, eroarea care afect eaza un an umit rezu ltat al m asurarii poate fi conceputa c a o suma
de eror i elementare inta mplatoare si sistem atice determ inate astfel:

(III.2) ()()()t t t δ+∆=ε

unde ∆(t) este com ponenta intam platoare a erorii care, d e regula, reprezin ta un proces
stationar n ecorelat, iar δ(t) este componenta sistem atica a eror ii de m asurare sau procesul
aleator n estationa r corelat. De exe mplu, in fluenta eror ii de colim atie asupr a citirilor
efectuate pe cercul orizonta l al unui teodolit este:

(III.3) ()()ν⋅=νε seck

In acest caz, param etrul t se inlocu ieste cu ν, iar functia elem entara aleato are ε(ν) este egala
cu produsul dintre m arimea aleatoare k si functia nealeatoare φ(ν) = sec ν.
42

Abordarea conceptu lui de eroare in acest fel reprezin ta o n ecesitate stringenta in
domeniul es timarii pre ciziei apar atelor de control autom at, la care deplasarea centrului de
reglare devine sem nificativa in decursul unu i num ar relativ m ic de cicluri de m asurare.
Daca ne gas im in cadrul m asurarilor indirecte sta tice si cons ideram func tia (II.7) derivabila
in rapor t cu argum entele (marimile m asurate dir ect) x i(i = 1,2, …, n) vom avea ur matoarea
diferentiala totala :

n
n2
21
1dxxy… dxxydxxydy∂∂++∂∂+∂∂= (III.4)

Din analiza m atematica se stie ca d iferen tialele variab ilelor independen te coinc id
cu cres terile lor. Notand aceste cresteri cu ε1, ε2, ……… εn relatia devine:

n
n2
21
1yxy…xy
xyε∂∂++ε∂∂+ε∂∂=ε (III.5)

Avand in vedere re latia (III.2 ), particula rizata pentru caz ul m asurarilor statice,
relatia (III.5) poate fi scrisa sub forma:

() () ( nxy…xy
xy
n
n2 2
21 1
1y y δ+∆∂∂++δ+∆∂∂+δ+∆∂∂=δ+∆ ) (III.6)

In sfirsit, daca separam parte a sistematica a ero rii de cea aleatoare vom avea:

n
n2
21
1yxy…xy
xy∆∂∂++∆∂∂+∆∂∂=∆ (III.7)

n
n2
21
1yxy…xy
xyδ∂∂++δ∂∂+δ∂∂=δ (III.8)

Relatia (III. 7) pune in evidenta partea in tamplatoare a erorii de m asura. Asa cum
rezulta d in insasi denu mire, caracteris tica pr incipala a acestu i tip d e erori con sta in
repar tizarea lor absolu t intim platoare , mai ales atunci cand provin de la acelasi operator sau
43

instrum ent de masurat. Din aceas ta cauza erorile intam platoare nu pot fi evitate in p rocesu l
masurarii si nici elim inate anticipat din calcule. Singura conditie pe care trebuie sa o
satisfaca operato rul este aceea de a reduce la mi nim influenta unor astf el de ero ri atat in
etapa cu legerii, cat s i in cea a prelucrarii inform atiei.
Partea sistematica a ero rii de masurare se exprim a cu ajutorul rela tiei (III.8 ). Acest
gen de erori se carac terizeaza in m od necesa r prin legatu ri prin cipale, esentiale, in tre diferiti
factori ai masurarii. Deoarece erorile sis tematice au un caracter de rep etabilitate aproape
identica in p rocesul executarii m ai multor m asurari prin aceeasi m etoda, de acelasi op erato r
si cu acelasi aparat, ele devin greu depistabil e in ciuda efectului lor cum ulatoriu. De aceea,
diminuarea actiunii lor in procesul de m asurare presupu ne inlaturarea cauzei care le
genereaza. De regula, cauza aparitiei unor astf el de erori este conditionata de reglarea
incorecta a aparatului, poziti onarea necorespun zatoare a aces tuia, ope ratoru l, con ditiile
exterioare, obiectul de m asurat etc. Legitate a de propagare a unor astfel de erori se
stabileste teoretic, pornind de la consideren tul ca uneori cun oastem atat sursa generatoare,
cat si m arimea erorii, iar alte ori se cunoast e num ai un singur elem ent sau chiar nici unul.
In sfirsit, este im portant de m entionat faptul ca erorile sis tematice actioneaza asupra
rezultatelor de m asurare sim ultan cu cele in tamplatoare. Acest fapt franeaz a pro cesul de
reliefare a cauzelo r sistem atice. De aceea, in astfel de situatii, proces ul de m asurare se
organiz eaza astfel ca anu miti factori cu ac tiune sistem atica s a fie de limitati cel putin p artial
de cei cu actiune aleatoare.
Uneori, pe langa erori intam platoare si sist ematice, in procesul de m asurare sau de
prelucrare a datelor experim entale, apar eror i inadm isibile cunoscute in literatura de
specialitate sub denum irea d e erori grosolane sau greseli (vezi Figura III.3) . Totusi, nu
putem spune ca orice eroare inadm isibila repr ezinta in acelasi tim p o greseala. De exemplu,
orice rezu ltat gres it, care pr ovine din defectarea brusca a ap aratului de m asurat sau ca
urmare a neatentiei op eratoru lui in tim pul executar ii masurarilo r, se e limina automat din
sirul ce lorlalte rezu ltate. In ac elasi tim p, o er oare inadm isibila in anumite cond itii de
masurare poate fi pe deplin corespunzatoare in alte cond itii cand se urm areste o precizie
mai mica. De aceea, pen tru a delim ita erorile de greseli, cons ideram necesara introdu cerea
notiunii de eroare inadmisibila. Aceasta poate fi relativ inadm isibila s au gresala
incontestabila, functie de cauza generatoare.
In sf arsit, tr ebuie sub liniat faptul ca la verificarea calitatii r ezultatelor obtinute din
masurari pot fi luate decizii afectate de asa-nu mitele erori de genul I si II (vez i Figura
III.4). De e xemplu, daca un rezu ltat dintr-o an umita selectie de da te se resp inge c a fiind
44

necorespunzator, cand de fapt acesta este coresp unzator, spu nem ca am com is o eroare de
genul I. Daca acceptam drept corespunzat or un p rodus care in realitate este
necorespunzator , spunem ca eroarea com isa in proces ul deciziei este de genul II.

Figura III.5. Clasificarea eroril or de m asura functie de form a lor m atematica

In Figura III.2. se prezinta o varianta de cl asificare generala a erorilor de m asurare
care poate servi la pro iectare s i prelucrarea ulterioara a datelo r de m asurare. Totusi,
clasificarea erorilor d e masurare nu poate tras a linii de de m arcatie in tre dif erite tipuri de
erori, deoarece schim band anum ite conditii in pro cesul de m asurare se modifica si influenta
factorilor cu actiun e sistematica, sau aleatoar e. In acest caz, erori si stematice pot actiona ca
erori intam platoa re si invers.
Indica torii d efiniti m ai inainte ne furnize aza inform atii insu ficiente pen tru a putea
trage con cluzii cu privire la precizia m asurarilo r daca nu-i leg am de m arimea fizica
masurata. Din aces te co nsideren te in practica prelucrarii m asurarilo r se utilizeaza inca un
indicator denum it eroare relativa. Daca eroarea absoluta se rapor teaza la o valoare no rmata
a marimii fizice m asurate, atunci ero area rezultata se num este eroare redusa.

45

III.3. CALCULUL PARAM ETRILOR STATI STICI PE BA ZA
SELECTII LOR

Datorita ero rilor de m asura, valoa rea ad evarata a unei marim i fizice s-ar putea
determ ina num ai efectuand un num ar infinit de m asuratori repetate in conditii
experim entale ab solut id entice. In acest caz, erorile s-ar compensa s i in m edie s-ar anula.
Cum practic nu se poate studia intreaga populatie de valori a unei variabile, caracteristicile
sale s e deter mina prin in termediul ca racteristi cilor de ac elasi fel ale va riabilei de se lectie.
Corectitudin ea estim atiei depinde de cea a efectu arii selectiei.
Param etri statistici calculati pe baza in tregii populatii sunt valori constante. Cei
determ inati pe baza select iilor constituie ei insasi variabil e aleatoare. V alorile stabilite pe
baza selectiilor sunt "es timatii" ale in tregii populatii d aca ele c onverg in probabilitatea catre
acestea atun ci cand volum ul de selectie N (num arul datelor expe rimentale din selectie)
tinde ca tre inf init. Deci estim atiile r eprezinta (cu o anum ita probabilita te) car acteristicile
intregii pop ulatii.
Valorile nu merice ale u nei variab ile prin care d escriem o selectie reflecta pe de o
parte insu sirile propr ii valorilor individuale din selec tie (nespecif ice populatiei) iar pe de
alta parte, in m od necesar, trebu ie sa refl ecte s i prop rietatile esen tiale ale in tregii
colectivitati. Am bele conditii sunt respectate daca valo rile din s electie sunt extras e
reprezentativ, respectiv sunt omogene .

III.4. VERIFICAREA CARACTERUL UI OMOGEN (ALEATOR) AL
DAT ELOR EXPE RIMENT ALE.

Estim area valorii unei m arimi fizice determ inate experim ental presupune, inainte de
toate, ca valorile succesive al e rezultatelor unor determ inari repetate sa aiba un caracter
omogen (aleator), adica sa nu fie afectate de erori g rosiere s au sistem atice. Pentru
verif icarea carac terului om ogen al date lor din selectie se poate ape la la diferite teste
statistice. Dintre aces tea prezen tam testul aglom erarii pe faze al lui W allis si Moore, care se
preteaza si in cazul selectiilor m ici, respectiv celor cu volum ul N>10.
Testul porn este de la ipoteza ca d aca siru l valorilor succesive ale u nui sir de
observatii x 1, x 2,………x N difera intam plator intre ele, atunci si su ccesiun ea semnelor
diferentelor
46

(III.9) i 1i i,1i x x−=∆ ++ N,…2,1i=

ar trebui s a difere in tamplato r intre ele ( ipoteza zero). Succesiunea a do ua sem ne identice
este denum ita "faza". T estul se bazeaza p e frecventa fazelor de (+) si (-) a diferentelo r
. Num arul total al fazelor (m ai putin cea initiala si cea fin ala) este no tat cu h si
pentru N > 1 0, acest num ar se repartizeaza no rmal cu m edia si dispers ia i,1i+∆

37N2)h(Med−= 9029N16)h( Disp−= (III.10)

Pentru ap licarea testu lui, se defineste variabila norm ata functie de volum ul selectiei

)h( Disp5.0)h(Medhz− −= pentru N < 30 (III.11)
respec tiv

)h( Disp)h(Medhz−= pentru N > 30 (III.12)

Variabila no rmata calcu lata z calculat se com para cu valoarea teoretica z tabelar care s e
obtine d in tabelul cu valorile functiei Laplace, pentru un nivel de s emnificatie α ales de
analist. Niv elul de sem nificatie este α=(1-P)/2 unde P es te probabilitatea cu care se v erifica
ipoteza. Daca zcalculat < ztabelar, se adm ite ipoteza zero, s i se trage con cluzia ca diferentele
dintre valorile m asurate x i (erorile e xperim entale la m asurarea x i) au caracter alea tor. Altfel
spus, selectia de date experim entale analizata are caracter om ogen.
De exem plu, sa presupunem ca se dorest e tes tarea caracteru lui aleato r ale datelor
experim entale obtinute la m asurarea densitatii hidrogenu lui in cond itii norm ale. Valorile
masurate si testarea om ogenitati i lor se efectueaza dupa cum este ilustrat in ta belul III.1.
Dupa cum se observ a, testul poate da inf ormatii daca selectia de date ca un intreg
are caracter om ogen sau nu. In ca zul unei selectii heterogene in sa, acest test nu poate indica
care dintre valorile individuale di n selectie sunt anorm ale (cu pr obabilitate foarte m ica de a
se produce). Daca zcalculat ≥ ztabelar, atunci selectia contine date afectate de erori
neaccep tabile (gro siere sau sistem atice). In aces t caz, in ainte de a con tinua cu estim area
47

valorii adevarate a m arimii fizice m asurate, se im pune identificarea datelor individuale
anorm ale prin teste statistice specifice, dupa cum se va arata m ai jos. Depistarea si
eliminarea lor conduce la o noua selectie, om ogena, desi cu volum mai redus.

Tabelul III.1 . Testarea o mogen itatii unei se lectii de date

ρ(Kg/m3) Semnul lui
∆i+1,i = x i+1 – x i Faza
0.00873
0.00867
0.00898
0.00898
0.00899
0.00872
0.00905
0.00901
0.00899
0.00893
0.00897
0.00895
0.00897
0.00900
0.00904
0.00899
0.00896
0.00902
0.00900
0.00901
–
+
+
+
–
+
–
–
–
+
–
+
+
+
–
–
+
–
+

1

2
3
4

5
6
7

8

9
10

Num arul fazelor: h=10

1137 20*2)h(Med =−=
233.39029 20*16)h( Disp =−=
278.0
233.35.0 1110z =−−=

ztabelar (0.05) = 1.6 =>

z < z tabelar => selectie om ogena

III.5. ELIMINAREA DATELOR EXPERI MENTALE ANORMALE

Datele indiv iduale din selectie care sunt ano rmale cu proba bilitatea cea mai mare
sunt cele mai m ari sau m ai mici din select ie. De aceea es te log ic ca identificarea datelo r
anorm ale se se inc eapa prin testar ea valo rilor extrem e. Testul cel m ai indicat pentru
eliminarea rezultatelor anor male in cazul selectiilor foarte mici (N<8) este testul Q (Dean si
Dixon), bazat pe calculul param etrului:

min xd
xx xQ
max−−= (III.13)
48

unde x d este valoarea du bioasa (tes tata), x es te valoarea cea mai aprop iata de aceas ta, x max si
xmin sunt valoarea m axima, respectiv m inima din sele ctia de valor i analizate. Va loare a
Qcalculat se com para cu valoarea Q tabelat in functie de probabilitatea P si numarul de
determ inari (valori din selectie) N . Daca Qcalculat < Qtabelat, valoarea x d este sigura
(omogena).

Tabelul III.2 . Valorile para metrului Q (Dean si Dixon)

N P=90 % P=95 % P=99 %
3 0.89 0.94 0.99
4 0.68 0.77 0.89
5 0.56 0.64 0.76
6 0.48 0.56 0.70
7 0.43 0.51 0.64
8 0.40 0.48 0.58

Pentru un lu cru ef icien t, este deci util ca m ai intai sa asez am in ordine cresc atoare
valorile din selectie. Extrem ele acestui sir vor fi chiar x min respec tiv x max. Cum valor ile
extrem e prezinta abaterile cele m ai mari fata de tendinta centrala, se va incepe verificarea
norm alitatii datelor ch iar cu acestea. Daca depistam o valoare anorm ala (Qcalculat ≥
Qtabelat), aceasta se elim ina din selectie. Procesu l continua pana cand obtinem un sir de date
care au am bele extrem e norm ale. Aceasta noua selectie de date este o mogena de oarece
daca extrem ele sunt norm ale, atunci si valo rile inte rmediare sunt sigure (o mogene,
aleatoare).
De exem plu, la determ inarea acceleratiei gravitationale cu ajutorul unui pendul
simplu, s-au gasit u rmatoarele valo ri:

10.04 9.85 9.98 9.63 8.71 (m/s2)

Pentru verificarea rezu ltatelo r anorm ale asezam valorile in o rdinea crescato are:

49

8.71 9.63 9.85 9.98 10.04 (m/s2)

Verif icam norm alitate a extrm ei minime, respectiv a valor ii dubioase x d = 8.71

69.07.8 04.1063.9 71.8Qcalculat =−−= 64.0)5N%,95P( Qtabelar ===

Deducem ca valoarea 8.71 m /s2 este ano rmala si de ci se elim ina din selec tie. Analiz am
extrem ele noului sir de valori:

9.63 9.85 9.98 10.04 (m/s2)

Testam norm alitatea no ii extreme minim e, respectiv a v alorii 9.63 m /s2:

53.O63.9 04.1085.963.9Qcalculat =−−= < 77.0)4N%,95P( Qtabelar ===

de unde deducem ca valoarea 9.63 m /s2 este no rmala si d eci ex trema minim a se pas treaza
in selec tie. Continuam cu testa rea extrem ei maxime, si anum e testam norm alitate a valor ii
xd= 10.04 m/s2:

14,063.9 04.1098.9 04.10Qcalculat =−−= < 77.0)4N%,95P( Qtabelar ===

Ambele valori extrem e din noua selectie f iind nor male, tragem concluzia ca selectia
ramasa, form ata din N = 4 valori, este om ogena.

La baza testarii rezultatelo r dubioase in cazul selectiilo r mici sta, in general
repartitia t (student). Pentru aplicarea tes tului t pentru el iminarea rezu ltatului anorm al xd, se
determ ina m ai intai media ar itmetica 1Nx− si abaterea s tandard sN-1, calculate pentru
selectia red usa formata din valorile ram ase dupa elim inarea valorii dubioase x d din s electia
initiala, adica pentru form ata din N-1 determ inari:

50

1Nx
x1N
1ii
1N−=∑−
=− ()21
1N
1i2
1N i
1N2Nxx
s




−−
=∑−
=−
−

Apoi se calculeaza p arametrul t specific selectiei reduse:
211N
1NNsx xtd
calculat


−=−− (III.14)

Tabelul III.3 . Valorile pa rametrului t Student

N P=90% P=95% P=99%
4 2.132 2.776 4.604
5 2.015 2.571 4.032
6 1.943 2.447 3.707
7 1.895 2.365 3.499
8 1.860 2.306 3.355
9 1.883 2.262 3.250
10 1.812 2.288 3.169
11 1.796 2.201 3.106
12 1.782 2.179 3.055
13 1.771 2.160 3.012

Daca tcalcul at < ttabel at (P, N-2) ales cu prob abilitatea P (la nivelul d e incredere
()2/P1−=α ) si pentru N-2 grade de libertate, atunci valoarea x d este no rmala si
pastreaza in selectie. Daca am bele valori ex treme din selectie sun t norm ale, tragem
concluzia ca selectia este om ogena. Daca tcalcula t ≥ ttabelat, xd este o valoare neom ogena si
51

trebu ie elim inata din selectie. Procesul se continua iterativ pana cand obtinem o
(sub)selectie cu extrem ele om ogene. Pe baza acesteia se po ate trece in mod legitim la
caracterizarea intreg ii populatii pe baza selectiei de date, ad ica la calculul parametrilor
statistici ce estim eaza (cu probabilit atea P) m arimea fizica m asurata.

De exe mplu, se dau urm atoarele N=10 valori obtinute la m asurarea coeficientului
de frecare la alunecare dint re doua suprafete lustruite:

0.26 0.21 0.20 0.21 0.21 0.19 0.18 0.17 0.18 0.19

Se cere s a se stabileas ca daca valo rile extrem e ale aces tei selectii sunt no rmale.
Pentru ac easta, te stam mai intai n ormalitate a valor ii maxime xd = 0.26. Pentru
aceas ta, pe b aza subselectiei

0.21 0.20 0.21 0.21 0.19 0.18 0.17 0.18 0.19

calcu lam

193.0 x9= s9 = 0.015 ⇒
tcalculat = -4.24 > t tabelar (P = 95%, N-2 = 8) = 2.306

Tragem concluzia ca valoarea 0.26 este anorm ala si deci trebuie elim inata din
selectie. Considerand in continua re ca si valoarea m inima din selectie (0.17) este dubioasa,
se aplica testul pe baza s ubselectiei

0.21 0.20 0.21 0.21 0.19 0.18 0.18 0.19

8x= 0.146 s8 = 0.0134 ⇒ tcalculat = -1.83 < t tabelar (P = 95%, 7) = 2.365

Ca atare valoarea 0.17 este norm ala si se pastreaza in selectie. Pentru obtinerea unei
selectii om ogene, se con tinua cu tes tarea subs electiei

52

0.21 0.20 0.21 0.21 0.19 0.18 0.17 0.18 0.19

pana cand se obtine si o valoare m axima omogena.

III.6. PARAMETRII STATISTI CI

Marim ile f izice pot f i carac terizate pe baza unei sele ctii finite de date prin
param etrii tendintei centrale de grupare, ai variabi litatii si de form a a curbei de dis tributie a
datelo r ce fo rmeaza selectia.

III.6.1. PARAMETRI I TE NDINTEI CENTRALE
Tendinta centrala s e evalueaza cu rent, in fizica, prin intermediul mediei aritme tice.
Informatiile despre tend inta centrala sunt insa co mpletate ef icient s i de alti doi par ametri, si
anum e mediana si modulul . Pe langa tendinta centrala, prin evaluarea acestor trei param etri
se pot aprecia si alte proprietati ale select iei de date, precum si metria sau om ogenitatea
acesteia. In definirea acestor param etrii presu punem ca ei se calcu leaza pe baza unei
selectii de N date experim entale obtinute prin masurari re petate pentru m arimea fizic a x,
deci to ate su mele ce intervin in expresia param etrilor s e calculeaza de la i= 1 la i=N.

Media aritmetica X se foloseste cel m ai des pentru evaluarea tendin tei centrale
pentru ca es te usor de d efinit m atematic, s e calculeaza uso r, se preteaza la calcu le algebrice
si interv ine in expresiile alto r param etri statistici.

∑∑∑∑=== ii
iiixNn
nxn
Nx
xi (III.15) ∑=N ni

unde n i arata deci de cate ori s e repeta valo area xi . Valorile n i se m ai num esc frecvente
absolute, iar rapoartele dintre n i si N se num esc fr ecvente relative.
Mediana este acea v aloare a unei selectii care imp arte s irul datelo r in doua grupe cu
acelasi num ar de valori atunci ca nd datele sunt asezate in o rdine crescato are. Pentru o serie
de 2n + 1 valori, m ediana are rangul n+1. Pentru o serie de 2n valori, m ediana este m edia
aritm etica dintre valor ile de rang n si n+1.
53

Mediana depinde doar de rangul de repa rtitie, deci ca v aloare este m ai putin
influentata de valorile extrem e. Ca atare in seriile m ici sau in seriile putern ic asim etrice,
valoarea m edianei este m ai concludenta pen tru tendinta centrala d ecat media aritm etica. Cu
cat diferenta dintre m edia aritm etica si m ediana este m ai mare, cu atat asim etria selectiei
este m ai mare. Sum a abater ilor in valoare abso luta a v alorilor ind ividua le din seria de date
este m inima in com paratie cu sum a cu sum a abat erilor fata d e orice alta valoare. Pe de alta
parte ins a, mediana este ins ensibila la valo rile efective d in serie si nu s e preteaza la calcu le
algebrice.

Modulul este valoarea dom inanta di ntr-o ser ie statistica de d ate. Modu lul este ega l
cu valoa rea m arimii fizice care apare cu fr ecven ta cea m ai mare. Aparitia a dou a sau mai
multe m odule arata de regula caract erul heterogen al repartitiei.

III.6.2. PARAMETRI I VARIABILITATII

Variabilitatea term enilo r unei s electii se calculeaza p entru a evalua gradul de
imprastiere a valo rilor individu ale in ju rul tendintei centrale. P rincipalii pa rametri ai
variab ilitatii datelo r dintr-o se lectie sunt:

Amplitudinea R este cea m ai sim pla form a de apreciere a variab ilitatii date. Ea se
defineste ca diferenta dintre va loarea m axima si valoarea m inima dintr-o selectie de date.
Cu cat am plitudinea este m ai mare, cu atat variabilitatea se lectiei este m ai mare.

Dispersia s2 este pa rametrul prin cipal al imprastie rii. Dispers ia este media
aritm etica a patratelo r abaterilo r valo rilor fata de m edia lor aritm etica.

() ()
Nxxn
Nxxs2
ii2
i 2 ∑ ∑ −=−= (III.16) ∑=N ni

Abaterea standard s (abaterea m edie patratica) este radacina patrata a dispersiei.
Abaterea s tandard im preuna cu m edia aritm etica definesc repartitia norm ala a variabilei
aleatoare x. Curba de frecvente no rmala es te

54

()22
2)x(
e
21xfσµ−−
πσ= (III.17)

unde µ si σ sunt valorile adevarate (specifice intregii populatii) a m ediei aritm etice xsi
respectiv a abaterii stan dard s. Valorile µ si σ nu pot fi masurate sau calculate in practica,
deoarece ele se refera la populatii cu un numar infinit de determ inari. V alorile µ si σ sunt
estimate prin m edia aritm etica x, respectiv abaterea s tandard s calcu late pe baza selectiei
de date.

Coeficientul de variatie este un param etru care serveste pentru com pararea a doua
selectii de date de natura diferita. Abat erea s tandard are aceleas i unitati de m asura cu
valorile ce alcatu iesc selectie. De aceea nu se poate com para gradu l de im prastiere a doua
selectii de n atura d iferita pe baza abaterilo r standard. A fost necesa ra deci definirea unui
param etru statistic adim ensional si anum e coeficientu l de variatie C v, egal cu raportu l
dintre abaterea standard si m edia aritm etica a valorilo r selectie i. El arata deci ce fractiune
din m edia aritm etica rep rezinta abaterea standard. Coeficientul de variatie Cv se exprim a in
procente ca:

xs100 Cv= (III.18)

III.6.3. CARACTERI STICILE FORMEI

Form a curbei de repartitie a v alorilor selectiei in jurul tend intei c entrale se defineste
prin boltirea si asim etria curb ei, fata de curba no rmala.

Excesul (boltirea, gradul turtirii) unei curb e de repa rtitie se m asoara p rin
intermediul param etrului

()
3
Nsx x
Ex44
i−−
=∑ (III.19)
55

Abaterile de ordin par mai m are decat 2 ale valo rilor ind ividuale de la m edia ar itmetica scot
mai bine in evidenta com portarea valorilo r extrem e decat disp ersia. Term enul de
comparatie este boltirea curbei normale (de frecven te), p entru care prim ul termen din
expresia excesului ia valoarea 3. As tfel, daca exce sul es te nu l, curba de frecvente a selectiei
de date co incide cu cea norm ala. Daca excesul es te neg ativ, distributia d atelor nu este prea
convenabila, chiar daca selectia este om ogena. Curba distribu tiei este m ai turtita d ecat cea
norm ala si valorile ex treme (afectate de eror i experim entale relativ m ari) au frecv ente de
aparitie m ai mari decat norm al iar valorile ap ropia te mediei aritm etice au frecv ente de
aparitie m ai mici deca t norm al. Aceasta s ituatie se inta lneste de obicei in cazul m etodelo r
de m asura putin performante (reprod uctibilitate mica si prec izie redusa). Daca exces ul este
pozitiv, cu rba de frecv ente este mai as cutita decat cea n ormala, deci num arul v alorilor
extrem e este redus, datele "adunandu-se" m ai bine in ju rul tendin tei centr ale. Ac easta
situatie denota ca m etoda de m asura aleasa es te foarte perform anta (reproductibilitate m are
si prec izie semnificativa ).

Asimetria curbei de frecvente a datelor indica preponderenta valorilor m ai mici sau
mai mari decat m edia aritm etica. Pentru aceasta co eficientul de asimetrie a cu rbei d e
frecvente se defineste cu ajuto rul abaterilor de ordin im par (3 ) ale valorilor individuale fata
de valoarea m ediei aritm etice:

()
33
Nsx x
Asi∑−
= (III.20)

Intr-o sele ctie de valor i perf ect sim etrice fata de tendinta centra la (media aritmetic a),
abaterile negative s i cele pozitiv e se com penseaza. Este cazul curbei de frecvente no rmale.
Valorile neg ative ale co eficientu lui de simetrie indica faptul ca num arul valorilor m ai mici
decat m edia este p reponderent, adica este m ai mare decat cel no rmal. In acest caz este
recom andabil verificarea sistem ului de m asura din perspectiva erorilor de masura
sistem atice prin lips a. Valorile poz itive ale coe ficientu lui de asim etrie indica f aptul ca in
selectie ap ar valori m ai mari decat tendinta ce ntrala cu frecvente supe rioare decat n ormal.
In ace st caz este posib il ca une le date din selectie sa fie afectate de ero ri sistem atice prin
adaus. Treb uie observ at ca asim etria, ca si ex cesul, es te un param etru adim ensional, deci
56

poate serv i atat com pararii unor selectii de date de aceeasi natura, cat si a unora de natu ri
diferite.

)III.7. VARI ABILIT ATEA REZ ULTATELOR

III.7.1. E VALUAREA REP RODUCTI BILITATII DETERMINARILOR
INDIVIDUALE REP ETATE

Dom eniul de reproductibilitate al determ inarilor individuale repeta te al unei m arimi
fizice es te chiar dom eniul de im prastie re al va lorilo r ei ind ividua le, m arimea fizica fiind
considerata variab ila aleatoare indep endenta. In cazul in care selectia are putine valori (n <
30), ia r var iabilita tea re zulta telor se evaluea za prin intermediul aba terii standard d e selectie
s, dom eniul de im prastiere al v alorilor individ uale de o p arte si de a lta a va lorii medii
adevarate µ este:

( s1N,Pt x ⋅−±=∆ (III.21)

Dom eniul ∆x poate fi atasat si valorilor individuale x i. Astfel, intervalul x i ±∆x
cuprinde, cu probabilitatea cu care s-a definit param etrul Student, valoarea adev arata µ a
marimii fizice (m edia intregii popul atii) sau m edia de selectie:

x x x x i i ∆+≤µ≤∆− (III.22)

Determ inarea dom eniului de reproductib ilitate (im prastiere) este n ecesara in
preluc rarea datelo r expe rimentale in f izica in mod deosebit p entru urm atoarele situatii:

¾ determ inarea valo rii cu care pot diferi r ezultatele ob tinute pentru o m arime fizica
fata de valoarea adev arata a aces teia, pe ntru o m etoda de determ inare data.
De exe mplu, la determ inarea concentratiei componentului principal dintr-un aliaj,
prin analiza spectrului sau de em isie, s-au gasit urm atoarele valori: 30.1, 31.4 si 30.9 %. Se
cere v aloarea m axima cu care o valoare determ inata prin aceasta m etoda poate dif eri de
valoarea adevarata a concentratiei, cu o proba bilitate de P=95%, respectiv P = 99%. Pentru
aceas ta se calculeaza do meniul de imprastiere:
57

x = 30.8% s = 0.69%
P = 95%: => t (95%, 2) = 4.30 => ∆x = 4.30*0.69 = 2.97 =>
µ-2.97 ≤ xi ≤ µ + 2.97 si x i – 2.97 ≤ µ ≤ xi + 2.97

P = 99%: => t (99%, 2) = 9.93 => ∆x = 9.93*0.69 = 6.85 =>
µ – 6.85 ≤ xi ≤ µ + 6.85 si x i – 6.85 ≤ µ ≤ xi + 6.85

Se trag e con cluzia ca orice de terminare efectuata (sau ce se va efec tua) cu aceas ta
metoda nu poate diferi de valoarea reala cu m ai mult de 2.97% sau respectiv 6.85% (cu o
siguranta de P=95% respectiv P=99%).

¾ determ inare a reprodu ctibilitatii, d e o parte si de alta a valorii nominale µ in
realizarea unui produs.
De exe mplu, se analizeaza repr oductibilitatea unei instalat ii de prelevare a probelor
de m inereu de pe o ban da rulanta. P entru aceas ta s-au cantarit un num ar de 250 de p robe si
s-a gas it x = 126.18 g si s = 4.05g. S e cere sa se defi neasca dom eniul de reproductibilitate
pentru P = 99% de o parte si de alta a valorii adevarate µ si interva lele de im prastiere a
datelor individuale in raport cu cea m ai mica si cea m ai mare valoare gasita (116.6g si
136.6g) cuprinzand valoarea reala µ.
Dom eniul de reproductibilitate (de imprastie re a valorilor individuale de o parte si
de alta a valorii adevarate µ) este:

∆x = ± 2.58*4.05g = ± 10.41g

Dom eniul de im prastiere a valorilor individua le in raport cu cea m ai mica valoare gasita
este:

116.6g – 10.4g ≤ µ ≤ 116.6g + 10.4g
106.2g ≤ µ ≤ 127.0g

iar in rapo rt cu cea m ai mare valoare gasita:

58

136.6g – 10.4g ≤ µ ≤ 136.6g + 10.4g
126.2g ≤ µ ≤ 147.0g

Se observa ca x = 126.18 g, care estim eaza valoarea adevarata µ apartine celor
doua intervale calculate pentru µ, catre una din extrem itati, asa cum era de astep tat.

III.7.2. DETERMINAREA I NTERVALULUI DE INCREDERE

Interv alul de incredere (sau d e siguranta) al valor ii adevar ate µ arata d omeniul la
care aceas ta apartine cu o probabilitate data P. Intervalu l de in credere al v alorii adev arate µ
este egal cu dom eniul de im prastiere al va lorii m edii. Daca selectia a re un volum N si o
abatere stan dard s, atun ci intervalul d e incredere este:

()
Ns1N,Pt x −±=∆ (III.23)

() ()
Ns1N,Ptx
Ns1N,Ptx −+≤µ≤−− (III.24)

unde num arul gradelor de libertate este egal cu cel cu care s-a calculat abaterea standard s.
Valoarea ad evarata µ apartine a cestui inte rval cu o s iguranta s tatistica aleasa de analist
(probabilitatea P considerata la alegerea valor ii param etrului Student), sau altfel spus, unui
prag de sem nificatie α = 100 – P%.
De exem plu, se dores te evaluarea in tervalul ui de incred ere pentru se lectia de da te
obtinute la determ inarea com ponentei principa le a unui aliaj, din exemplul num eric din
paragraful anterior. Atunci:

x = 30.8% s = 0.69%
P = 95% : t (95%, 2) = 4.30 => %71.1%
369.03.4x =⋅=∆
30.8% – 1.71% ≤ µ ≤30.8% + 1.71% =>
28.1% ≤ µ ≤ 32.51%
59

P = 99%: t (95%, 2) = 9.93 => %96.3%
369.093.9x =⋅=∆
30.8% – 3.96% ≤ µ ≤ 30.8% + 3.96% =>
26.84% ≤ µ ≤ 34.76%

Se observ a ca, pen tru aceeas i selectie de valori, largim ea in tervalulu i de incredere
este cu atat m ai mare cu cat apartenenta valorii adevara te µ la acest in terval este afirm ata cu
mai multa siguran ta (pr obabilita tea P mai mare). Cu cat in tervalul de incredere este m ai
ingust, cu atat precizia determ inarilor este mai mare. Valoarea intervalului de incredere
tinde la 0 atunci cand N al s electiei tinde catre inf init. Dec i teore tic, acest interval poate fi
facut ori cat de m ic prin m arirea volum ului selectie i, respectiv prin ef ectuarea unui num ar
mai mare de dete rminari repe tate. Totusi, interva lul d e incredere depinzand invers
proportional de radacina patrata a volum ului sele ctiei, pe m asura ce N creste, influenta lui
asupra valorii intervalului de incredere devine din ce in ce m ai slaba. Cresterea lui N are o
influenta pu ternica la trecerea de la N = 2 la N = 3 sau N = 4 determinari repetate. Mai
departe efectul cresterii volum ului selec tiei devine putin m arcant. Ca ata re, din motive
pragm atice, este util ca in situa tia in care se d oreste a tingerea une i precizii date, sa se
determ ine num arul m inim de determinari repetate necesare in acest s cop.

III.7.3. DETERMINAREA NUMARULUI MINIM DE DETERMINARI
REPE TAT E PENTRU OBTINE REA UNEI PRECI ZII DORITE

In aces t scop se rearanjeaza ecuatia (III.15 ) in modul:

Nt
sx=∆ (III.25)

Fie E eroarea m axima procentuala ad misibila:

100xxE⋅∆= => 100xEx⋅=∆ (III.26)

60

Inlocu ind x∆ in rela tia (III.1 7) se obtine:

Nt
s 100xE=⋅⋅ (III.27)

Dar raportul dintre m edie si abaterea standard este chiar coeficient ul de variatie, deci:

Nt
C 100E
v=⋅ (III.28)

unde 100*C v este coeficientul de variatie exprim at in procente. Cunoscand coeficientul de
variatie si eroarea m axima procentuala adm isa, se determ ina valoarea
Nt. Folosind
tabelele cu valor ile acestui raport f unctie d e probabilita tea Pdorita, se determ ina valoarea
numarul de determ inari necesare.

De exem plu se cere sa s e stabileasca num arul de determ inari necesare ob tinerii unu i
coeficient de variatie procentual 100 C v=3% si o eroare m axima procentuala adm isibila de
2%. Este suf icienta siguranta ca eroarea nu va depasi 2% cu o probabilitate de 95%. Avem :

67.0%3%2
C 100E
v==⋅ => 67.0
Nt= P = 95% => N = 11

Daca ar fi s uficienta o eroare maxima procentuala de 3%, atunci 1
Nt= si din tabel se
obtine un num ar minim de m asuratori necesare N=7.
Pentru a obtine aceeas i eroare pro centuala printr-un num ar de determ inari rep etate
mai mic, trebuie deci sa se foloseas ca o m etoda de determ inare m ai precisa (caracterizata
de o valoare m ai mica a coeficientului de corelatie).

61

Tabelul III.4 . Valorile pa rametrului
Nt

N/t N/t
N P=95% P=99%
N P=95% P=99%
2 9.02 45.1 11 0.67 0.95
3 2.48 5.73 12 0.64 0.90
4 1.59 2.92 13 0.60 0.85
5 1.24 2.05 14 0.58 0.80
6 1.05 1.65 15 0.55 0.77
7 0.92 1.40 16 0.53 0.74
8 0.84 1.24 17 0.51 0.71
9 0.77 1.12 18 0.50 0.68
10 0.72 1.03 19 0.48 0.66

III.8. COMPARATII STATISTICE

III.8.1. COMPARAREA UNEI MEDII DE SELECTIE CU MEDIA
CUNOSCUTA A I NTREGII POPULATII. EVI DENTIEREA E RORILO R
SISTEMATICE

Cea m ai simpla problem a de comparatie care se pune in prelucrarea datelor
experim entale in fizica este com pararea m ediei unei ser ii de determinar i para lele cu
valoarea reala, respectiv cu va loarea cunoscuta a unei m arimi fizice (a etalonului). Stabilin d
daca m etoda, difera de cea cunoscuta (nom inala) sem nificativ sau d in contra, difera
intam plator, se pot pune in ev identa erorile sistem atice.
Pentru com pararea m ediei unei serii de d eterminari para lele cu v aloarea reala,
aceas ta din urm a se ia egala cu cea nom inala si se aplica testu l Student. Astfel, avand o
62

selectie de N observatii independente, cu m edia x, care face parte din tr-o populatie cu
media generala µ si abaterea s tandard σ, testarea se face cu ajutorul relatiei

xxtσµ−= ,
Nxσ=σ (III.29)

Valoarea p arametrului t se estim eaza in practica prin valoarea calcu lata

Nsxtcalculatµ−=

care se compara cu valoarea teo retica t tabelat =t(P,N-1) reg asita in tabe le. Daca |tcalculat |<
ttabelat, atunci diferenta dintre m edie si valoarea adevarata (cunos cuta) este intam platoare.
Daca |tcalculat | ≥ ttabelat, atunci aceas ta diferen ta este s emnificativ a si po ate indica p rezenta
unor erori sistem atice.

De exem plu, la instituir ea unei noi m etode de m asura, facandu-se 10 determ inari
repetate, s-a gasit continutul prob ei in elem entul de determ inat

x = 34.45 m g / ml s = 0.806 mg / m l

Cantitatea luata in p roba a fost µ = 34.00 m g / ml. Se intreaba daca valoarea gasita pentru
medie este intam platoare sau m etoda noua de ma sura are erori sistem atice. Aplicand testul
Student, se obtine:

76.1
10mlmg806.0mlmg00.34mlmg45.34
Nsxtcalculat =−
=µ−=

tcalculat = 1.76 < t(P=95%, N-1) = 2.26

63

Deci m edia de selectie difera doar in tamplator de valoare a reala. Se poate trage con cluzia
ca noua m etoda de m asura nu introduce erori sistem atice.
Tot prin co mpararea va lorii m edii se poate aprecia daca o s electie apartine sau nu
unei populatii d ate. Aceasta situ atie apare de exem plu in cazul v erificarii m asurilo r.
Presupunem astfel ca s-a cantarit de N = 10 ori o m asa marcata, gasindu-se urm atoarele
valori (in gram e):

100.3 99.2 99.4 100.0 99.7
99.9 99.4 100.1 99.4 99.6

Se cere sa se stab ileasca daca m asa m arcata apartin e sau nu populatiei cu m edia µ = 100g
(valoarea in scrip tionata pe m asa m arcata re spectiv a). Calculele con duc la urmatoarele
rezultate:

6.2
10g359.0g100g7.99
Nsxtcalculat −=−=µ−=

| tcalculat | > t (P=95%, N – 1 = 9) = 2.26

Se trage concluzia ca diferenta este sem nificativa si ca deci masa m arcata este
necorespun zatoare si nu mai poate f i folosita f ara o re conditionare. M edia m asuratorilor
fiind m ai mica (sem nificativ) decat valo area nominala µ, inseam na ca m asa m arcata
respec tiva in troduce eror i sistematice prin lipsa.

III.8.2. COMPARAREA A DOUA MEDII DE SELECTIE

Verificarea distinctiei dintre doua m edii de selectie 1x si 2x este f olositoare
pentru a sta bili daca doua m edii sta tistice, intre car e exist a diferente mici de valoare, sunt
caracteristice aceleasi populatii to tale sau ca racterizeaza populatii statistice diferite.
Rezolvarea consta in aplicarea ipo tezei nule µ==2 1x x . Se form eaza variabila redu sa

64

d2 1
dxx duσ−=σ= unde
22
11dN Nσ+σ=σ (III.30)

care difera intam plator de zero daca cele doua m edii de selectie difera intam plator intre ele
(apartin aceleiasi populatii totale ). Daca variab ila redusa difera sem nificativ de zero, atunci
intre cele do ua m edii de selectie ex ista o d iferen ta sem nificativa si deci ele caracterizeaza
doua populatii d iferite. Atunci cand determ inarile pe ntru ambele selectii de date s e fac cu
acelasi ap arat de m asura, se poate accepta, fara verificare, ca dispersiile adevarate σ1 si σ2
sunt egale . In acest caz, expresia abaterii s tanda rd a diferentei se sim plifica:

212 1
22
11dNNN N
N N+σ=σ+σ=σ (III.31)

In prac tica valor ile σ1 = σ2=σ se estim eaza p rin abaterile standard de selectie s1= s 2=s.
Daca selectiile de d ate au fost obtinu te astfel incat sa aiba si v olume egale N 1=N 2=N, atunci

N2
dσ=σ (III.32)

Testarea gradului de semnificatie intre doua medii de selectie se efectu eaza in sa dif erit
functie de volum ul celor doua selectii de da te experim entale. Ave m urmatoarele cazuri:

¾ Daca (s ) si cele doua selectii au volum mare (N 2 1σ≠σ 2 1s≠ 1, N 2 >30),
variabila redusa u are o distributie normal-normata si distinctia dintre cele doua
medii de selectie se face cu ajutorul testului z . Pentru testare s e calcu leaza variab ila

d2 1
sx xzu−== unde
22
2
12
1
Ns
Ns
d+=s (III.33)

unde s d este abaterea standard a diferentei. Daca cele doua selectii au volum egal N 1=N 2=N,
expresia abaterii standard a diferentei se sim plifica:

65

Nsss2
22
1d+= (III.34)

Pentru tes tarea ipoteze i nule, m odulul valo rii calcu late a param etrului z se com para cu
valoarea tab elata a param etrului z dupa repartitia norm al-norm ata. Daca zcalculat< z tabelar,
diferenta dintre cele doua m edii de selectie este nesem nificativa, iar selectiile
caracterizeaza aceeasi p opulat ie de valori, resp ectiv µ==2 1x x .

¾ Daca σ1 = σ2 = σ (s1= s 2 = s) si cele dou a selectii au volum mare (N 1, N 2 >30),
variabila redusa u are tot distributie normal-normata si distinctia dintre cele doua
medii de selectie se face si in aces t caz cu aju torul testului z. Pentru testare se
calcu leaza v ariabila

d2 1
sx xzu−== unde
2 1dN1
N1sNs
Ns
22
2
12
1+=+=s (III.35)

unde s d este abaterea s tandard a diferentei. Daca N 1=N 2=N,

N2s sd= (III.36)

¾ In cazul in care σ1 = σ2=σ (estim ate prin s1= s 2=s) si cele doua selectii au volum
mic (N 1, N 2 <30), variabila redusa u are o distributie normala si deci distinctia
dintre cele d oua m edii de selectie se face cu ajuto rul testului t :

d2 1x xtuσ−== (III.37)

Abaterea standard σd a diferentei din tre medii se estim eaza prin

66

2 12 1
NNN Ns s T d d⋅+==σ ()
2 N Ns1 N s)1 N(s
2 12
2 22
1 1T−+−+−= (III.38)

unde s T este abaterea standard (totala) calculat a pentru ansamblul celor doua selectii. Cu m
s1= s 2=s, atunci s T=s si

2 12 1
NNN Ns sd d⋅+==σ (III.39)

iar daca cele doua selectii au si acelasi volum N1=N 2=N

N2s sd d==σ (III.40)

Pentru testarea sem nificatiei diferentei dintre cele doua m edii de selectie, se
compara m odulul param etrului t calcula t cu valoarea tabela ta t(P,ν=N 1+N 2-2) corespunzatoare
repartitiei Student. Daca tcalculat < ttabelar, atunci diferenta dintre cele doua m edii este
intam platoare (nesem nificativ a).

¾ Si in cazu l in care (s ) si cele doua s electii au vo lum mic (N 2 1σ≠σ 2 1s≠ 1, N 2
<30), variabila redusa u are o distributie normala , ca atare sem nificatia diferen tei
dintre cele d oua m edii de selectie se face cu ajuto rul testului t :

22
2
12
12 1
Ns
Nsxx
sx xt
d2 1
+−=−= (III.41)

Insa in aces t caz m arimea t are o rep artitie Student cu num arul de grad e de liberta te

67

() ()
1 Nc1
1 Nc1
c1 c1
22
12
22
12
−−+−=
ν−+ν=ν (III.42)

unde ν1 si ν2 sunt num arul de grade de liber tate a celor doua selectii, iar

22
2
12
112
1
Ns
NsNs
c
+= (III.43)

Daca cele d oua selectii au si vo lume egale N 1=N 2=N, iar ν1 = N 1 -1 si ν2 = N 2 -1,
atunci si ν1=ν2=ν

Nssxxt
2
22
12 1
+−= (III.44)

() ()2 2 2 21
c1 c1N
c1 c −+−=
−+ν=ν (III.45)

2
22
12
1
sssc
+= (III.46)

Com pararea valorii a doua m edii de sele ctie isi g aseste multiple aplicatii in
prelucrarea datelo r experim entale in fizica. Dintre aces tea am intim :

III.8.2.1. TESTAREA CALIT ATII UNUI MATERIAL

Adeseori ap are situ atia in care o anum ita m arime fizica se m asoara periodic , prin
aceeasi m etoda si de catre acelasi analist, pe ntru a caracteriza calitat ile unui m aterial. Sa
68

presupunem ca o prim a sarja din proba respectiv a a fost analizata printr-un num ar de N 1
masuratori repetate, ce au condus la o valoare m edie 1xa marim ii fizice x si o abatere
standard s 1. O a doua sarja a fost analizata printr-un num ar de N 2 masuratori r epetate.
Valoarea m edie a m arimii fizice 2x este foarte apropiata de cea specifica p rimei sarje, dar
totusi diferita. De as emenea abaterea stand ard pentru al do ilea set de m asuratori, s 2 dife ra
de s 1. Se p une problem a daca cele doua s arje s unt identice, respectiv daca con stituie
materiale cu aceleasi calitati din punctul de ved ere al m arimii fizice x.
Acest lucru se poate dem onstra aratand ca diferenta dintre cele doua m edii este
nesem nificativa, adica se datoreaza num ai eroril or intam platoare. Daca cele doua sarje sunt
diferite, ins eamna ca ele reprezinta materiale cu calitati f izice dif erite, adica diferenta dintre
cele doua m edii este semnifica tiva (nu este intamplatoare).
De exe mplu, doua probe de fonta obtinute prin aceeasi tehno logie au fost analizate
prin aceeas i metoda, in acelasi lab orator, de ca tre acelas i analist. S-au obtinu t urm atorii
param etri statistici pentru c ontinutul de carbon al probelor

N 1 = 30 x1 = 2.50% s1 = 0.15%
N 2 = 35 x2 = 2.38% s2 = 0.08%

Se pune intrebarea daca cele doua fonte difera su b raportu l com pozitiei in carbon. Pentru a
testa daca diferenta dintre ce le dou a medii de selec tie difera sem nificativ, s e calculeaza
param etrul.
92.3
35%)08.0(
30%)15.0(%38.2%50.2z
2 2=
+−=

In tabe lul cu valorile pa rametrului z (val orile functiei Laplace) se gaseste ca pentru
2α = 0.05 si P = 2*0.495 = 0.99, z α = 2.58

z calculat = 3.92 > z tabelar = 2.58

deci cele do ua sarje de fonta difera s emnificativ din punctul de vedere al com pozitiei prin
concentratia de carbon.

69

III.8.2.2. TESTAREA PRECI ZIEI MASU RATORILOR EFECTUATE DE
CAT RE UN ANALIS T

Testarea m odului in care un analist incepato r si-a in susit o tehnica d e masura se
poate face com parand rezultatele obtinute d e acesta cu cele o btinute de u n analist suficien t
de experim entat, la m asurarea aceleas i marimi fizice, pen tru aceeas i proba.
De exem plu, doi analisti determ ina frecventa aceluiasi s emnal electric variab il
folosind aceeasi m etoda de determ inare (figuri Lissajoux ). Se cere sa s e stabileasca daca
rezultatu l gasit de analistul A dif era semnificativ de rezu ltatele gasite de a nalistul B.

N A = 5 Ax = 12.36 Hz = 0.0232 Hz2
As2
N B = 5 Bx = 12.24 Hz = 0.0332 Hz2
Bs2

Hz168.08Hz 0332.0*4 Hz 0232.0*4s2 2
T =+=

cu ν=8 grade de libertate, iar

13.1
51
51*Hz168.0Hz24.12 Hz36.12t =
+−=

Luand α = 5%, in tabel gasim t (P = 95%, ν = 8) = 1.86. Cum tcalculat = 1.13 < ttabelar =
1.86, rezulta ca rezultatele celor doi analisti difera intam plator in tre ele. Cu alte cuvinte,
diferentele sunt nesem nificative si se datorea za erorilor in tamplatoare. In exem plul concret
ales se poate deci trage concluzia ca analis tul B (incepa tor) si-a insus it cor est teh nica de
masura.

70

III.8.2.3 DETERMINAREA CELEI MAI MICI DIFERENTE
SEMNIFICATIVE DI NTRE DO UA MEDII .

O alta prob lema care poate apare in preluc rarea datelo r experim entale in fizica es te
calculul diferentei m inime dintre doua m edii di ncolo de care se poate afirm a ca cele doua
selectii pro vin de la p opulatii d iferite, resp ectiv ca d iferenta din tre mediile de selectie
obtinute este sem nificativa. O m etoda de m asura este cu atat m ai precisa cu cat d iferenta
semnificativa caracteris tica ei este m ai mica. Obtinerea unei diferente m ai mari decat cea
semnificativa pentru doua selectii de date obtinute prin m asuratori cu aceasta m etoda
asupra aceleasi probe denota prezenta (in cazul uneia din tre selectii) a e rorilor sistematice.
Cea m ai mica diferenta sem nificativa dintre doua m edii de selectie se defineste ca:

() d 2 1 2 1 immin s2 N N,Pt xx x ⋅−+=−==δ (III.47)

Ns2s2
Td= (III.48)

unde s T este dispersia ansam blului celor doua selectii, s d este abaterea standard a diferentei
dintr e mediile de se lectie, iar N = N 1+N 2-2 este v olumul total de sele ctie.
De exe mplu, daca consideram ca s-au efectua t doua serii de m asuratori repetate de
egala precizie σ1 = σ2 = σ (masuratori efectuate cu acelas i aparat), asupra tensiun ii dintr-un
circu it si s-au obtinut u rmatorii para metri statistici:
N 1 = 25 1x = 23.56 V s1 = 1.10 V
N 2 = 50 2x = 22.80 V s2 = 1.25 V

Cea m ai mica diferenta sem nificativa dintre do ua m edii obtinute pe baza unor selectii de
date m asurate in aceleasi condit ii ca si aceste dou a selectii este:

V298.0501
251*2 50 2525.1*49 10.1*24s2 2
d =+−++=

t (P=99%,73) = 2.65 => imminxδ = 2.65*0.298 = 0.789 V
71

III.8.2.4. COMPARAREA EXACTITATI I A DOUA METODE DE
MASURA

In cazul co mpararii a doua valori m edii avand dispersii ad evarate σ1 si σ2 diferite
(selectiile f ac parte din popula tii diferite) si necunoscute, atunci testarea sem nificatiei
diferentei d intre m ediile celo r doua selectii se efectueaza pr in in termediul param etrului t
Student calculat dupa expresia:

22
2
12
12 1
Ns
Nsxxt
+−=
22
12)c1( c1
ν−+ν=ν
2Ns
NsNs
2
2
12
112
1
+=c (III.49)

Calculele se sim plifica mult daca s e alege N 1 = N 2 = N. Atunci expr esia lu i t se
reduce la:

N*
ssxxt
2
22
12 1
+−= (III.50)

Daca m odulul valorii p arametrului t astfel calculat este m ai mic decat valoarea tabelata
pentru t(P, N-1), atunci diferenta dintre m edii este nesem nificativa.
Mediile referindu-se la populat ii diferite, inseamna ca se refera la doua selectii de
masuratori asupra aceleasi probe dar prin dou a metode diferite. Daca diferenta nu este
semnificativa, inseam na ca nici una dintre cele doua m etode de m asura a acelei m arimi
fizice nu es te afectata de erori sis tematice.
De exem plu, pentru d eterminarea u nui component dintr-un m aterial omogen se
utilizeaza doua m etode diferi te (1 si 2). S-a obtinut:

N 1 = 25 1x = 10.48% s1 = 0.052 2
N 2 = 20 2x = 11.22% s = 0.275 2
2

Se pune intrebarea daca cele m etode s unt la fel de exacte (d aca cele doua m edii nu
difera sem nificativ ), deo arece se ved e ca a doua m etoda este mult m ai precisa.

72

13.0
20%275.0
25%052.025%052.0
c =
+=

25
19)13.01(
2413.01
2 2=
−+=ν

86.5
20%275.0
25%052.0%22.1%48.10t −=
+−=

| tcalculat | > t(P = 99%, 25) = 2.79

deci diferenta dintre m edii este semnificativa. Ca atare se poate trage concluzia ca a doua
metoda este mult m ai putin exacta d ecat prim a, respectiv ca una din tre metode este insotita
de erori sis tematice.
Daca se doreste com pararea a doua m etode de determ inare a aceleasi m arimi fizice,
prin doua m etode: una precisa si exacta dar lenta, iar a doua ra pida dar cu precizie redusa .
Trebuie sa s tabilim daca m etodele s unt la fel de exacte. Prin am bele metode s-au efectuat
un num ar de N = 10 determ inari repetate.

1x = 20.5 m g / 1 = 0.050 m g2
1s2 / l2
2x = 21.4 m g / l = 0.420 m g2
2s2 / l2

1.4
420.0 050.04.215.20t −=
+−=

| tcalculat | > t (P = 99%, N-1 = 9) = 3.25

Se trage concluzia ca diferenta dintre m edii es te sem nificativa. Cea de-a doua m etoda nu
numai ca nu este precisa, dar este in sotita si de o eroare sistem atica.
73

CAPITOLUL IV. LEGATUR A INTRE VARIABILE

IV.1. CORELATIE SI REGRESIE

Fie doua variabile, respectiv variabila independenta x si variabila y dependenta de
aceas ta. Daca pentru o valoare determ inata a variab ilei indep endente x, variabila
dependenta y ia de asem enea o valoare determ inata, discreta, se spune ca intre ele exista o
legatura functionala y = f(x).

Daca fiecarei valori x ii cores punde nu o singura valoare y, ci o repartitie legata de
valori y (leg ata d e valoarea lui x), caracterizata fiecare prin cate o m edie y legata, avem
de-a face cu o legatura statistica (stohastica) , respectiv exista o corelatie intre y si x.
Consideratiile ce s -au facut presupu n ca repartitia variabilei y este norm ala.
Daca fixam valoarea lui x, putem estim a va loarea repartitiei legate y. Mediile
repartitiilor legate se p laseaza apro ximativ de-a lungul un ei drep te. D reapta care trece cel
mai aproape de toate punctele , reprezentand aceste m edii, se num este dreapta de regresie a
lui y in rapo rt cu x. In practica avem adesea la dispozitie pentru diferi te va lori x num ai cate
o singura v aloare observata y. In acest caz drea pta de reg resie se con struieste pe baza
74

acesto r valo ri individu ale (in loc de valorile m edii). Este vorba despre dreptele de etalonare
(calibrare) din m etodele instrum entale de analiza.

Figura IV.2. Dreapta de regresie

Daca cele doua variab ile x si y sunt indepen dente, leg atura function ala este o
dreapta paralela cu abscisa, re spectiv functia f(x) ia aceeas i valoare Y oricare ar fi valoarea
variab ilei x:

Figura IV.3. Independenta a doua variabile
75

In practica experim entala, dato rita ineren tei erorilor de masurare, independenta dintre
marimile x si y se m anifesta printr-un anum it domeniu in care avem o repa rtitie de valori y,
domeniul av and aceeasi valoar e pentru orice valo are x:

Estim atia dreptei d e regresie are o precizie cu cat m ai mare cu cat co relatia es te mai
intensa. Gradul de legatura intre variab ilele x si y este m asurat prin param etrul covarianta :

1N)yy)(xx(si i 2
xy−−−=∑ Nxxi∑= Nyyi∑= (IV.1)

in care N este num arul de observa tii perech i (x i,yi), iar x si y sunt valorile m edii. Expresia
data este covariatia estim ata pe baza unei selectii de date. P entru intreaga populatie (N →
∞), covarianta ia valoar ea adev arata si se noteaza σxy2. Ca atare s xy2 este o es timatie a
valorii adev arate σxy2.
Facand expresia independenta de unitatea de masura, covarianta se transfor ma in
coeficien t de corela tie:

yxi ixyss)1N()yy)(xx(r−−−=∑ (IV.2)

76

Expresia data se calculeaza pe baza datelor unei se lectii si este o estim atie a valorii
adevarate ρxy a coeficientul de corelatie pe ntru intreaga populatie de valori.
In practica, sum a produs elor ∑ se pot calcula m ai com od, tinand
cont de faptul ca −− )yy)(xx( i i

=−−∑ )yy)(xx( i i =⋅−+−∑∑ ∑ yxNyxxyyx i i ii
=⋅−⋅⋅+⋅⋅−∑∑∑
Ny
NxNxNyxNyyxi iii
∑∑∑⋅−N)y()x(yxi iii (IV.3)

Covariatia devine:

1NNy xyx
si iii2
xy−⋅−
=∑∑∑
(IV.4)

Abaterile s tandard s x si s y se calculea za in m od analog ace stei relatii:

()()
1NNxx
1Nxxs2
i 2
i 2
i 2
x−−
=−−=∑∑
∑ (IV.5)

()()
1NNyy
1Nyys2
i 2
i 2
i 2
y−−
=−−=∑∑
∑ (IV.6)

iar co eficien tul de co relatie:

yxi iii
xyss)1N(Ny xyx
r−⋅−
=∑∑∑
(IV.7a)

77

adica

yx2
xy
xysss
r= (IV.7b)

Coef icientul de core latie poate va ria intr e -1 s i +1. Cu cat este mai apropiat de una
din valoarile extreme -1 sau +1, core latia rec tilinie este mai intensa . Daca valorile m ici ale
unei va riabile se intalnesc cu valo ri mici ale celeilalte v ariabile, sau d aca va lori mai m ari
ale unei variabile, se intalnesc cu v alori m ari ale celeilalte, rxy este pozitiv si spunem ca
variabilele s unt core late pozitiv . Daca valori m ici ale unei vari abile se inta lnesc cu valor i
mari ale celeilalte, sau invers, coeficientu l de c orelatie r xy (si bine inteles si cova rianta) es te
negativ si variabilele au o corela tie negativa .
Daca variabilele nu sunt core late lin iar, coeficientu l de cor elatie este nul .
Coeficientul de corelatie calcu lat pentru intreaga popul atie de valori se anuleaza in cazul a
doua variabile independente. In practica experi mentala, datorita erorilor de m asurare, nu
obtinem niciodata valoarea zero. Trebuie insa su bliniat f aptul ca un coef icient de co relatie
nul nu indica neaparat faptul ca cele doua variabile ar fi independente, ci num ai ca intre ele
nu exista n ici o corelatie liniara. Un coeficient nul se poate obtine pentru doua variabile
intre care exista orice alt tip de dependenta (polinom iala de grad m ai mare sau egal cu 2,
exponentiala, logaritm ica, et c) in afara de cea liniara.
Cand se pune problem a stabilirii unei legatu ri intre doua variabile pe baza unor date
de observatie, in prim ul rand se determ ina co eficien tul de corelatie. Daca acesta este in
jurul valorii 1 atunci se poate presupune ca in tre cele doua variab ile este o legatura
cvasifunctio nala ce se traduce p rintr-o relatie liniara s i se trece la experim entarea
sistem atica. Pentru aceasta v ariem variab ila x n esupusa la eror i (respectiv supusa la erori
minime) si determ inam valorile raspuns ale variabilei y depende nta ( supusa la erori
experim entale). Se stabileste apoi dreapta de regresie ca re da mult m ai multa inf ormatie. In
practica analitica, in cazul opera tiei de etalonare (ca librare) se trece, in general, direct la
constru irea dreptelor d e regres ie. Nu m ai este necesar s a se calculeze in prealabil
coeficien tul de corelatie, corela tia linia ra foarte stransa intre cele doua variabile fiind
cunoscuta.

78

IV.2. TESTAREA EXI STENTEI UNEI CORELATII LINIARE

Pentru testarea existentei unei dependente liniare intre var iabile le x si y, se em ite
ipoteza nula ca valoarea coeficien tului de corela tie de selectie este r=0. Apoi se verifica pe
baza valorii tabelare a lui r, care da probabilitate a de a se gasi o v aloare a lui r calculat egala
sau superio ara valo rii specificate, pe baza datelor selectiei, pentru ν grade de libertate.
Num arul gradelor de libertate es te ν = N-2 deoarece sun t doua restrictii: atat x cat si y
sunt calculate pe baza d atelor de selectie. Daca rcalculat ≤ r(P, ν), ipoteza nula se confirma
si trag em concluzia ca intre cele doua va riabile nu exista o corelatie lin iara. Daca rcalculat
> r(P, ν), corelatia liniara este dovedita.

Tabelul IV.1. Repartitia coef icientului de corelatie r
Pragul de probabilita te P (% ) ν
10 8 2 1 0,1
3 0.805 0.878 0.934 0.959 0.991
4 0.729 0.811 0.882 0.917 0.974
6 0.621 0.707 0.789 0.834 0.925
8 0.549 0.632 0.715 0.765 0.872
10 0.497 0.576 0.658 0.708 0.823
12 0.457 0.532 0.612 0.661 0.780
14 0.426 0.497 0.574 0.623 0.742
16 0.400 0.468 0.543 0.590 0.708
18 0.378 0.444 0.516 0.561 0.679
20 0.360 0.423 0.492 0.537 0.652

Sa consideram ur matorul exem plu: in decu rsul unui studiu asupra aducerii in solutie
a streptom icinei in pulbere (dizolvarea rapida este o calitate importanta ), dintre factorii care
pot influen ta aceasta d izolvare a retinut aten tia in m od deoseb it densitatea solu tiilor de
79

strep tomicina m asurata in faza imediat anterio ara uscarii. Se cere sa s e stab ileasca daca
exista o corelatie intre aceste doua marim i. In tabelul IV.2, in prim ele doua coloane cuprind
se dau rezultatele experim entale privind 13 loturi de streptom icina lu ate la intam plare (prin
sondaj).
Reprezentarea datelor experim entale (vezi Figu ra IV.5) arat a ca ar exis ta o corelatie
pozitiva. Cu m insa aceasta co relatie nu este fo arte eviden ta, exis tenta ei trebu ie testata
statistic.

Figura IV.5. Corelatia densita tii streptom icinei de tim pul de aducere in solutie

Avem conform relatiilor IV.5-7:

16,701121349427186
s2
2
x =−
= 3, 1092121383066100
s2
2
y =−
=

778,0
3, 109216,7011213830 49439705
rxy =
⋅⋅−
=

80

Tabelul IV.2. Dependenta densitatii streptom icinei de tim pul de aducere in solutie
Densitate
x = ρ
(mg/ml) Timpul de
aducere in
solutie y = t(s)
x' = (x-1100)
x'2
yi2
xi'yi
1140
1092
1127
1175
1162
1105
1160
1143
1170
1105
1150
1145
1120 95
35
15
120
105
20
70
90
100
45
45
45
45 40
-8
27
75
62
5
60
43
70
5
50
45
20 1600
94
729
5625
3844
25
3600
1849
4900
25
2500
2025
400 9025
1225
226
12100
11025
400
4900
8100
10000
2025
2025
2025
2025 3800
-280
405
8250
6510
100
4200
3870
7000
225
2250
2475
900
Sume Σyi =
830 Σx'i =
494 Σx'i2 =
27186 Σyi2=
66100 Σxi'yi =
39705

Cautand in tabelul IV.1. pentru N-2 = 11 si pragul P=5%, gasim r(P,N-2) ~ 0.555,
iar pentru pragul P=1%, valoarea r(P,N-2) ~ 0.68. Reiese ca vite za de dizolvare este
corelata lin iar cu dens itatea.

IV.3. REG RESIA LI NIARA IN CAZ UL A DOUA VARIABILE

Variabila aleatoare y este rep artizata norm al cu d ispers ia σ02 si m edia α + βx. Pentru
fiecare valo are fixata x corespunde o populatie de valori y repartizata norm al. Dispersia
tuturo r repartitiilor y este aceeas i, adica σ02, iar media ac estor repar titii este:

f(x, α, β) = α + βx (IV.8)
81

unde α este ordonata la origine a dreptei de regresie, iar β panta.
Estim area marimilor α si β se face pe baza datelor de selectie, pr in variabilele de
selec tie a si b:

Y = a + bx (IV.9)

unde Y este functia de regresie empirica care estim eaza pe f(x, α, β). Valorile x sunt
considerate exacte, nesu puse la er ori. In practica erorile lui x s unt foarte m ici com parativ cu
fluctuatiile v alorilor y. D ispers ia σ02 nu depinde de valorile x.

IV.3.1. ESTIMAREA MARIMILOR α SI β PRI N VARIABILE DE
SELECTIE a SI b

Functia Y, ca sa fie d reapta cautata, tre buie sa indeplineasca urmatoarea conditie:
suma patratelor abaterilor fata de ea, a tuturo r valorilor de observatie y, sa fie minima.
Uzual pentr u simplitate, abate rile se masoara paralel cu axa Oy:

(IV.10) ()∑ =−= imamin Yy S2
i i

Inlocu im pe Y cu expresia sa si av em:

()∑ =−−= imamin bxay S2
i i (IV.11)

Luarea unor valori a si b, astfel incat su ma patratelor abaterilor sa fie m inima,
impune ca derivatele par tiale de ordinul intai aS
∂∂ si bS
∂∂sa se anuleze. Deci avem sistemul
de ecuatii:

0 )bxay(a2
i i =−−∂∑ (IV.12)

82

0 )bxay(b2
i i =−−∂∂∑ (IV.13)

Avem:

∑ ∑ =+−=−−−=∂∂0 xb2y2 Na2)bxay(2aS
i i i i ∑ =>

(IV.14) ∑∑=+ i i y xb Na

∑∑ ∑ =+− =−− −=∂∂0 xa2yx xb2)bxay(x2bS
i ii2
i i ii ∑ =>

(IV.15) ii2
i i yx xbxa ∑ ∑∑ =+

Ecuatiile IV.14-15 sunt denum ite ecuatii norma le, iar necunoscutele sunt a si b.
Valorile su melor se cu nosc, fiind calculate pe baza valorilor m asurate experim ental x i si y i.
Pentru determ inarea param etrilor a si b se elimina necunoscuta a intre cele doua ecuatii
norm ale si se obtine:

∑∑∑∑ ∑
−−=2
i2
ii i ii
)x( xN)y)(x(yxNb (IV.16)

sau de aici:

N)x(xN)y)(x(yx
b2
i 2
ii iii
∑∑∑∑∑
−−
= (IV.17)

Valoarea a se obtine pr in inlocu irea lui b astf el calcu lat in prim a ecuatie norm ala
(IV.14):

83

Nxbyai i∑∑−= (IV.18)

Fie acum x si y mediile va lorilor x i, respectiv y i. Rem arcam usor ca Σx = N x si
Σy = N y. Ecuatiile (IV.17) si (IV.18) devin:

∑∑
−⋅−=2 2
iii
xN xyxNyxb (IV.19)

xbya−= (IV.20)

Ultim a relatie ne as igura ca punctu l de coordonate ( x, y) se gaseste pe dreapta Y =
a + bx. Daca in ecuatia dreptei de regr esie Y = a + bx, inlocuim pe a cu y – bx din relatia
(IV.20), vom avea:

bxxbyY +−= => ()xxbyY −+= (IV.21)

unde dreapta de regresie se exprim a in ra port cu b si cu valorile m edii generale y si x.
Daca in locuim in relatia (IV.19) p e x cu (x – x) si pe y cu (y – y), adica daca
deplasam originea axelor de coor donate in punctul de coordonate x – x si y – y, valoarea b
nu se m odifica deo arece panta dreptei d e regresie ram ane aceeas i. Nu maratorul
yxNyxii⋅−∑ devine:

∑ =−−−−− )yy)(xx(N)yy)(xx( i i (IV.22)
∑ −−= )yy)(xx( i i
deoarece x a devenit ( x – x) si y a devenit ( y – y), care se anulea za. Num itorul Σxi2 –
Nx devine:

∑∑ −=−−−2
i2
i )xx( )xx(N)yx( (IV.23)

84

Se obtine:

∑∑
−−−=2
ii i
)xx()yy)(xx(b (IV.24)

Alte form e pentru b si a se determ ina pe ntru cazul cand numai origin ea axei Ox s -a
mutat in x. In acest caz, ecuatia drep tei de regres ie em pirice d evine:

Y = a + b(x – x) (IV.25)

Figura IV.6. Dreapta de regresie cu ordonata centratata in x = x

Inlocu ind in deriva tele p artiale aS
∂∂ si bS
∂∂ valoarea x cu (x- x) avem :

∑ =−+ i i y )xx(b Na ∑ (IV.26)

∑ ∑∑ −=−+− i i2
i i y)xx( )xx(b)xx(a (IV.27)

85

Rezolvand sistem ul form at in raport de a si b, obtinem

∑∑
−−=2
ii i
)xx(y)xx(b (IV.28)

yNyai==∑ (IV.29)

Pentru a co ncretiza cele discutate m ai sus, sa consideram urm atorul exem plu: se
cere sa se s tabileasca dreapta de etalonare priv ind determ inarea fotom etrica a siliciului in
otel sub form a de complex m olibdenic. Datele sunt trecute in prim ele doua coloane ale
tabelului IV.3. Celelalte coloane co ntin rezultate ale calculelor.

Tabelul IV.3. Determ inarea fotom etrica a siliciului in otel
Concentra tia
de SiO 2
x = c (m g/ml) Densita tea
optica
y
x2
y2
xy
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00 0.15
0.30
0.44
0.61
0.74 0.04
0.16
0.36
0.64
1.00 0.0225
0.0900
0.1936
0.3721
0.5476 0.030
0.120
0.264
0.488
0.740
Σx = 3.00
x = 0.60
(Σx)2 = 9 Σy = 2.24
y = 0.448
Σx2 = 2.20
Σy2 = 1.2258
Σxy = 1.642

745,09 20,2524,23 642,15
)x( xN)y)(x(yxNb2
i2
ii i ii=−⋅⋅−⋅=
−−=
∑∑∑∑ ∑

001,053 745.0 24,2
Nxbyai i=⋅−=−=∑∑

Y = a + bx = 0,001 + 0,745x
86

Pentru rep rezentarea g rafica a dreptei de regresie este suficient sa cunoaste m
coordonatele a doua puncte de pe aceasta dreap ta. De exemplu, putem calcu la ordo natele
pentru cea m ai mica si cea m ai mare valoare a concentratiilo r de SiO 2 masurate:

Y(0,2) = 0,001+0,745 ⋅0,2 = 0,15

Y(1) = 0,001+0,745 ⋅1 = 0,746

Ca atare dreapta de regresie se reprezinta grafic unind punctele de coordonate (0,2 ; 0,15) si
(1 ; 0,746):

Figura IV.7. Dreapta de regres ie (calibrar e) pen tru dete rminarea silic iului in ote l

In exem plul de m ai sus corela tia linia ra pozitiva e ste eviden ta, lucrul confirm at de faptul ca
intensitatea acestei corelatii este r = 0,999. Importanta cunoast erii ecuatiei d reptei d e
regresie este insa ilustrata si m ai sugestiv de exem plul considerat in sectiunea IV.2,
respectiv pentru determ inarea de pendentei densitatii streptomic inei de timpul de aducere in
solutie, pentru care coeficientul de corela tie este r = 0, 778. Pentru acest exem plu ave m:

87

Figura IV.8. Determ inarea corelatiei linare din tre densitatea s olutiei de streptom icina si
timpul de aducere in solutie

Cunoasterea ecuatiei dreptei de regresie este im portanta si pentru determ inarea
ulterioara a concentratiei unei probe necunos cute. Revenind la exemplul determ inarii
siliciu lui in otel, d aca p entru o astfel de proba se m asoara o densitate optica y = 0,52 ,
putem determ ina rapid concentratia acesteia:

0,52 = 0,001+0,745 C x => C x = 0,696 m g/ml

Pentru exprim area corecta si com pleta a rezult atului, trebuie insa ev aluam si precizia cu
care este determ inata aceasta valoare. Procedur a este descrisa in s ectiunile urm atoare.

IV.3.2. ESTIMAREA DISPERSIEI INTREGII POPULATII A
VALORILOR y

Dispersia σ02 a intreg ii populatii se estim eaza pe baza observ atiilor y cu relatia:

2N)Yy(s2
i i 2
0−−=∑ (IV.30)
88

in care yi este valoa rea masurata pentru x i si Yi este ordonata de pe dreapta de regresie
corespunzatoare valorii x i. Daca y i se determ ina experim ental, Y i se calculeaza cu relatia Y i
= a+bx i , unde estim atele a si b se calcu leaza la randul lor pe baza valorilor m asurate
experim ental cu ajutorul relatiilor IV.16 si IV.18 sau oricare din variantele acestora
mentionate in sectiun ea anter ioara. Impartir ea la N – 2 se datores te reg resiei: s-au p rodus
doua restrictii liniare si Σ(yi – Y i)2 poate fi exprim ata ca suma pa tratelor a N – 2 combinatii
liniare independente cu media zero si dispersia σ02. De aici rezulta ca m arimea:

2
02
0s)2N(
σ− (IV.31)

are o r epartitie χ2 cu N – 2 grade de libertate.
In practica Σ (yi – Y i)2 se calcu leaza pe baza relatiei:

(IV.32) ∑∑ ∑∑ −−=− ii i2
i2
i i yxbya y )Yy(

forma cea m ai convenabila pentru calcu l, deo arece utilizeaza direct d atele de ob servatie.
Aceasta form a simplificata de calcu l se obtin e astfel:
∑ ∑ ∑ =−−−−=−−=− )bxay)(bxay( )bxay( )Yy(i ii i2
i i2
i i
∑∑ ∑ −− −−−−−− = )bxay(xb)bxay(a)bxay(y i ii i i i ii (IV.33)

Sumele ce intra in termenul al doilea si al treilea din m embrul drept sunt nule,
deoarece sunt identice cu sum ele egale cu zero ale derivatelor partiale din relatiile (IV.14)
si (IV.15). A vem deci:

(IV.34) ∑∑ ∑∑ ∑ −−=−− =− ii i2
i i ii2
i i yxbya y )bxay(y )Yy(

adica tocm ai relatia cautata.
89

Pentru a ilustra aplicarea estim arii disp ersiei intregii po pulatii a valorilor y sa
consideram urm atorul exem plu: se cere sa se calcu leze estim ata dis persiei gen erale a
regres iei s02 si abaterea standard s0, in cazu l datelor ob tinute la determ inarea fotometrica a
siliciu lui in otel (vezi se ctiunea anterioara). Avem :

∑∑ ∑ ∑ = −−=− ii i2
i2
i i yxbya y )Yy(

=1,2258 – 0,001 ⋅2,24 – 0,745 ⋅1,642 = 0,00027

00009,0300027,0
2N)Yy(s2
i i 2
0 = =−−=∑

0095,0 s s2
0 0==

IV.3.3. ESTIMAREA DISPERSI EI COEFI CIENTULUI b

Deoarece x sunt valori constan te, cunoscute si nu valorile unei variabile aleato are,
pentru fiecare din diferitele valori x i, constante, avem repartitii lega te y i in juru l valo rii Y i
care e ste estimata lui f (x,α, β). Astf el rela tia (IV.2 8)

∑∑
−−=2
ii i
)xx(y)xx(b

se poate scrie sub form a:

N
in22
i212
i1y)xx()x x(… y
)xx()x x(y
)xx()x x(b∑ ∑ ∑−−++
−−+
−−= (IV.35)

care poate fi privita ca o functie liniara a variabilelor al eatoare de repartitie onorm ala y 1, y2,
…., y i, …., y N cu coef icientii c 1, c2, …, c i, …., c N, respectiv

90

∑−−=2
iii)xx()xx(c

adica b = Σ ciyi. Avem media si dis persia aces tei sum e:

∑∑ =β+α== )x (c yc )b(Med i i ii

()
()() ∑∑β=
β−α−−= i
iixxxxx (IV.36)

[]=σ


−−=σ=σ=∑∑
∑2
022
i2
i 2
i2
i2
b
)xx()xx(c )b( Disp
[]22
i2
i2
0
)x x()x x(
∑∑
−−σ=∑−σ=2
i2
0
)xx( (IV.37)

deoarece . ………2
02
i2
22
1 σ=σ==σ=σ
Estim ata b este rep artizata norm al cu m edia β si dispersia σβ2 exprim ata prin re latia
(IV.37). Intrucat ob isnuit nu cunoastem σ02, aceasta se estim eaza prin s02 si resp ectiv σb2
prin sb2. Vom avea:

∑−=2
i2
0 2
b)xx(ss (IV.38)

In practica este m ai convenabila forma:

∑∑−=2
i2
i2
0 2
b)x( xNNss (IV.39)

la care se ajunge prin inlocuirea
91

∑∑∑−=−N)x(x )xx(2
i 2
i2
i

Raportul 2
02
0)2N(
σσ− are o repartitie χ2 cu N – 2 grade d e libertate, adica m arimea χ
este egala cu 2
02
0s)2N(
σ−. Pe de alta parte pentru b putem scrie variabila norm ala
norm ata
bb
σβ−. Rezulta ca raportul :

=
σ−−σβ−
=χν=ν
2
02
0b)(
)2N(s)2N(b
zt

=−β−=
σ−−
−σβ−
=∑ ∑
02
i
002
i0
s)xx( ) b(
2Ns2N
)xx(b

b)2N(sbtβ−==− (IV.40)

are o repartitie Student cu N – 2 grade de libertate. Acest rap ort poate fi utiliza t la testare a
ipotezei de zero pentru β, absolut la f el cum este utiliza t t la testar ea ipo tezei pr ivind m edia
necunoscuta. Intervalul de incredere pentru β este:

92

b b s)2N ,P(tb s)2N ,P(tb ⋅−=ν+<β<⋅−=ν− (IV.41)

Dupa cum se vede din relatia (IV.38), sb2 nu are o valoare co nstanta, ci d escres te cu
cresterea su mei ∑−2
i)xx( , adica cu num arul de m asuratori N si cu largirea dom eniului
de valori x i.
Ca aplica tie la cele d e mai sus, sa calcu lam estim ata abaterii s tandard s b a
coeficientului b si intervalul de incredere fata de β pentru P= 95%. In cazul datelo r din
exem plul num eric cons idera t in se ctiun ile ante rioar e priv ind determ inarea f otometrica a
siliciu lui in otel:

=
−=
−=
∑∑ ∑2
i2
i2
0
2
i2
0 2
b)x( xNNs
)xx(ss

000225,0200045,0
9 20,2500009,05= =−⋅⋅=

015,0 000225,0 s s2
b b = ==

Pentru P= 95% si ν = 5 – 2 = 3 grade de libertate, gasim .18,3 ,2,Pt =να
ρ

0477,0 015,018,3 s,2,Pt b =⋅=⋅να
ρ

deci in tervalul de incred ere es te:

b ± t sb = 0,745 ± 0,048 0,697 < β < 0,793

93

IV.3.4. ESTIMAREA DISPERSI EI DREPTEI DE REGRESIE

Expresia dreptei de regresie, pentru x = x o , in functie de coeficientul b si valo rile
medii generale x si y, confor m relatiei IV.21, este:

Y o = y+ b(x o – x) (IV.42)

Aceasta co mbinatie rep rezinta o co mbinare liniara a variabilelo r repartizate no rmal
y si b. Estimatia Y o a valorii m edii a lui y pentru o valoare x o data este repartizata norm al
cu m edia 0Y si dispersia σ : 2
Yo

Med (Y o) = oY = α (IV.43) oxβ+

Disp (Yo) = σ = Disp (2
Yoy) + (x o – x)2 Disp (b) =

()=−σ+σ2
02
b2
y x x

()()()
()



−−+σ=−
−σ+σ=
∑ ∑2
i0 2
02
022
02
0
xxx x
N1x x
xxN (IV.44)

Valoarea y fiind m edia generala a celor N obs ervatii, iar σ02 dispersia gener ala a
populatiei, dispersia m edie este N2
0 2
yσ=σ . Valoarea σ02 estim andu-se prin s02, vom
avea:
()
()



−−+=
∑2
i2
0 2
02
Yxxx x
N1s s
0 (IV.45)

In practica este preferata for ma:
94

()
()



−−+=
∑∑2
i2
i2
0 2
02
Yx xNx xN
N1s s
0 (IV.46)

Se poate arata (rationam entul es te analog cu cel facut in cazul coeficientului b) ca
raportu l

()
0Y0 0
sx Ytβ+α−= , (IV.47)

are o repartitie Student cu N-2 grade de liber tate. Atunci inte rvalu l de inc redere pentr u α +
βx0 = f(x 0, α, β) este:

()() ()0 0 Y 0 0 Y 0 S2N ,Pt Y ,,xf S2N ,Pt Y −=ν+<βα<−=ν− (IV.48)

Dispersia s, ca si d ispersia s, creste pe m asura depart arii de valoarea cen trala 2
Y02
b
y. Se observa ca Y 0 = y + b(x 0 -x), estim ata lui y0 = α + βx0, are dispers ia s cea m ai
mica in cazul cand x2
Y0
0 = x . In acest caz Y 0 = y cu dispers ia N2
0ss2
y2
Yo==s . Interva lul
de incredere se m icsoreaza in ju rul valorii Y 0 =y la:

() () ()
Ns2N ,Pty ,,xf
Ns2N ,Pty0 0−=ν+<βα<−=ν− (IV.49)

Mai su s am calcula t dispersia va lorilor regresiei . Cand se fac determ inari,
datele de observatiei sunt valori individua le, nu valori ale regresiei Y2
Ys0
0 = y + b(x 0 – x),
estim ata functie i F(x 0, α, β). In acest caz, la v alorile Y 0 trebu ie sa m ai adaugam o valoare ε
ca sursa de variabilitate a da telor individuale Y fata de valorile corespunzatoare ale
regres iei Y . Dispers ia corespun zand acestor adaosuri ε exprim a tocm ai eroarea
experim entala σ02. Vom avea as tfel dispers ia valorilo r individuale:
95

()
()∑−−σ+σ+σ=σ2
i2
o2
o2
o 2
02
yxxx x
N o (IV.50)

sau trecand estim atele d e selectie, dupa scoaterea lui s02 ca factor com un:

()
()



−−++=
∑2
i2
0 2
02
yxxx x
N11s s
o (IV.51)

Ca exem plu, sa calculam estim atia d reptei de regresie s i intervalul d e incredere f ata
de f(x 0, α, β) pentru P= 95% in ca zul dete rminarii f otometrice a silic iului in ote l. De
asem enea ne propunem sa stabilim si lim itele de im prastiere ale valorilor individuale.
Avem:

()
()=




−−+=
∑∑2
i2
i2
0 2
02
Yx xNx xN
N1s s
o

()()2
02
0x x 000225,0 00018,0920,25x x5
510009,0 − + =




−⋅−+ =

Gasind () 18.33%;5.2%;95 = t , intervalu l de incredere este:

=++=±0 0 y 0 y 0 ts bxa ts y

()2
06 6
0 60,0 x 10 225 101818.3 x745,0 001,0 −⋅+⋅ ± +=− −

Limitele de incred ere de o parte si d e alta a v alorilor Y 0, pentru diferitele valori x 0
sunt urm atoarele:

96

X0 Limita
inferioa ra Y0 Limita
superioara t sy0
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00 0.127
0.283
0.434
0.580
0.723 0.150
0.299
0.448
0.597
0.746 0.183
0.316
0.462
0.614
0.769 0.0234
0.0166
0.0135
0.0166
0.0234

Dispersia cea m ai mica este pen tru x 0 = x = 0.6. Avem :

448,06,0 745,0 001,0xbay =⋅+=+=

Interv alul de incred ere es te:

0135,0 448,0
50095,018,3 448,0
Nsty0±= ±=±

Limitele intre care se pot af la valorile individu ale n ecesita calculul disp ersiei s : 2
Y0

()
()=




−−++=
∑2
i2
o 2
02
yxxx x
N11s s
o

()
()=




−−++=
∑∑2
i2
i2
o 2
0x xNx xN
N11s

()=




−⋅−++ =9 20,256,0 x5
511 00009,02
0

97

= 108 ()2
06 660,0 x 10 225 10 −⋅+⋅− −

Interv alul de incred ere es te:

()2
06 6
o y 0 60,0 x 10 225 10 10818,3 x745,0 001,0 ts Yo−⋅+⋅ ± +=±− −

Limitele de imprastie re ale valorilor indi viduale sunt:

xo Limita
inferioa ra Yo Limita
superioara tsyo
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00 0.112
0.265
0.415
0.563
0.708 0.150
0.299
0.448
0.597
0.746 0.188
0.333
0.481
0.631
0.784 0.0380
0.0343
0.0330
0.0343
0.0380

IV.3.5. ESTIMAREA DISPERSI EI PARAMETRULUI a

Pentru cazu l cand x 0 = 0 valoarea Y 0 = a este estim ata a valorii α. In acest caz avem
. 2
a2
yoσ=σ

()



−+σ=σ
∑2
i2
2
02
a
xxx
N1 (IV.52)

Dispersia σestim andu-se prin vom avea: 2a2
0s

()



−+=
∑2
i2
2
02
a
xxx
N1s s (IV.53)

98

In practica s e prefera form a:

∑=2
i2
b 2
a xNss (IV.54)

la care se ajunge daca ef ectuam operatiile indicate in (IV.53):

()
()()
()=
−



+ −
=
−
+−
=
∑∑∑∑
∑∑
NxN xNxNNxx s
xx NxN xx s
s2
i 2
i22
i 2
i2
0
2
i2 2
i2
02
a

()∑∑∑∑=
−=2
i2
b
2
i2
i2
i2
0xNs
x xNx s
(IV.55)

deoarece ()() 22 2
ixNNxN
Nx==∑ si confor m relatiei (IV.39) avem :

() Ns
x xNs2
b
2
i2
i2
0=
−∑∑ (IV.56)

Inlocu ind in rela tia (IV.4 7), ca m ai sus, x 0 = 0, va rezulta:

asatα−= (IV.57)

care, rationand in acelasi mod ca in cazul coeficient ului b, se constata ca param etrul t are de
asem enea o repartitie S tudent cu N – 2 grad e de libertate. In terva lul de increde re pentru α
este:

99

() ()a a s2N ,Pta s2N ,Pta −=ν+<α<−=ν− (IV.58)

Ca exem plu, sa calculam estim atia s a a abaterii standard a m arimii a si intervalu l de
incred ere f ata de α pentru P= 95 % in c azul date lor ob tinute pentru determ inarea
fotom etrica a siliciu lui in otel.

000099,0 20,25000225,0xNss2
i2
b 2
a =⋅ = =∑

0099,0 s s2
a a==

cu ν = 3 grade de libertate. Inte rvalul de incredere pentru ()18,33%;5,2%;95t = este ts a =
3,18 ⋅ 0,0099 = 0,031 . Ave m:

a ± t sa = 0,001 ± 0.031 si -0,030 < α < + 0,032

100

Copyright Notice

© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.

Acest articol: I.1. OBIECTUL STAT ISTICII MATEMATICE Dezvolta rea impetuoasa a stiin telor, mai ales a celo r exacte, in tim pul ultim ului secol, este indisolubil… [624283] (ID: 624283)

Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.

I.1. OBIECTUL STAT ISTICII MATEMATICE Dezvolta rea impetuoasa a stiin telor, mai ales a celo r exacte, in tim pul ultim ului secol, este indisolubil… [624283]

Copyright Notice

Lucrarea de față își propune să prezinte aspecte ale turismului montan atât în perioada curentă, cât și raportat la o perspectivă viitoare, având la… [302076]

SPECIALIZAREA: TEHNOLOGIA CONSTRUCȚIILOR DE MAȘINI [310041]

Online resources [631754]

Evaluarea întreprinderii [606679]

Direcția Învățământ la Distanță și Frecvență Redusă [629227]

Colegiului Tehnic de Industrie Alimentară [310818]

Copyright Notice

Similar Posts