METODE CLASICE PENTRU PLANIFICAREA EXPERIMENTELOR [623460]
1
METODE CLASICE PENTRU PLANIFICAREA EXPERIMENTELOR
Planurile cu experiențe și succesul lor în industrie
Așa cum s -a menționat, oricare ar fi sectorul de activitate și oricare ar fi întreprinderea
industrială, în cadrul lor este întotdeauna nevoie să se ef ectueze experiențe. Dar nu de puține ori,
aceste încercări sunt conduse fără o metodologie adecvată, coerentă. Se procedează prin încercări
succesive, fără a planifica experiențele într -o manieră riguroasă, obținându -se astfel o mulțime de
date (rezultate) , pe care cei în cauză nu știu întotdeauna să le exploateze foarte bine. Și rezultatele
sunt mediocre, problema cântăririi obiectelor expusă în primul capitol a arătat acest lucru.
Metoda planurilor experimentale permite organizarea experiențelor într -o manieră riguroasă,
ținând seama de un obiectiv foarte bine definit. Mai mult, această metodă conduce la o diminuare
considerabilă a numărului de încercări experimentale în raport cu tehnicile tradiționale de
experiment, permite o interpretare rapidă și fără echivoc a rezultatelor experiențelor, furnizând un
model experimental al sistemului sau procesului studiat. În fond, este exact ceea ce caută inginerul
(dar și chimistul, biologul, medicul etc.) confruntat cu problemele specifice sectorului profesional .
Metoda, odată înțeleasă, constituie o etapă ireversibilă în cariera acestuia, el nu va mai avea inten ția
de a face studii de caz, cercetări, fără a utiliza un plan experimental.
Achiziționări de date pentru studiul unui fenomen
Demersul industrial de achiz iționare de date este, de cele mai multe ori, bazat pe experiment.
Se începe prin a pune întrebări privitoare la sistemul (produs, proces, fenomen) studiat, apoi, prin
experiențe succesive, se formează o imagine asupra sistemului. Procesul firesc de obține re a datelor
constă adesea în a avansa progresiv, în a orienta experiențele pe etape în funcție de rezultatele
obținute anterior. Dar dificultățile experimentatorului nu se opresc aici. Odată experiențele realiz ate,
el trebuie să interpreteze rezultatele. Un plan bun folosit pentru achiziționare de date va trebui să
conducă la rezultate ușor de interpretat. De asemenea, acestea vor trebui să fie simplu de prezentat
specialiștilor, cât mai ales nespecialiștilor care sunt direct interesați de rezultatul exper imentului.
Înainte de a începe experimentul, specialistul este bine să -și pună o serie de întrebări pentru a –
și clarifica la timp etapele ce urmează. De exemplu, este de presupus că următoarele întrebări se vo r
pune cu prioritate.
Care strategie de experim ent să se adopte pentru a ajunge cât mai repede la rezultatele
așteptate?
Nu există oare și alte strategii, poate mai bune decât cea propusă?
Care este numărul minim de experiențe care trebuie să fie realizat, pentru ca rezultatele să
aibă succes, să fie f olositoare?
Nu se poate evita realizarea de experiențe inutile?
Cum se poate îmbunătăți ulterior precizia rezultatelor obținute?
Ce rezultate trebuie obținute pentru ca să se poată face un model matematic al sistemului
studiat, eventual posibilitatea optim izării lui?
O strategie care să corespundă așteptărilor experimentatorului există și este chiar eficace
pentru că ia în considerare în același timp trei aspecte esențiale ale procesului de achiziționare d e
date:
achiziționare progresivă a rezultatelor;
un număr minim de experiențe;
analiza rezultatelor.
Metoda planurilor de experiențe aduce o metodologie capabilă de a răspunde la cea mai mare
parte din aceste întrebări. Această metodologie permite o mai bună cunoaștere a sistemului studiat,
printr -un număr minim de încercări experimentale, precum și o precizie bună a rezultatelor.
Obstacolul pe care îl reprezenta până nu demult seria lungă de calcule a fost îndepărtat prin
dezvoltarea și răspândirea extraordinară a calculatoarelor. De cele mai multe ori, cal culele sunt
efectuate într -un timp foarte scurt, iar rezultatele sunt ilustrate foarte sugestiv prin reprezentări
grafice.
2 METODA TRADIȚIONALĂ D E PLANIFICARE ȘI INV ESTIGARE
De obicei, când se observă o dispersie mare, sau o instabilitate a caracteristicilo r unui produs
cu ocazia fabricării sau utilizării sale, se caută cauzele pentru a le reduce, sau chiar elimina. Or i,
aceste cauze pot fi multiple: variabilitatea condițiilor de mediu (temperatură, umiditate, praf etc. ),
variabilitatea caracteristicilor mat eriilor prime și componenților utilizați, modalități de lucru diferite
ale muncitorilor etc. Mijloacele utilizate pentru a le combate pot să coste uneori foarte mult și ar
consta în micșorarea intervalului de toleranță pentru materialele utilizate, supradi mensionarea
elementelor, dispozitive complexe pentru climatizarea atelierelor de fabricație, reguli rigide de
utilizare sau de funcționare a produselor…
Studiul unui fenomen urmează un traseu cunoscut. Experimentatorul se interesează de o
mărime, de exe mplu, uzura unei piese din motorul mașinii, prețul care revine unui motor electric,
cantitatea de grâu care se obține pe un ar de teren, randamentul unei reacții chimice. Această
mărime, uzura, prețul, cantitatea, randamentul, va depinde de un număr mare d e parametri,
controlați sau necontrolați. Uzura piesei de motor ar putea depinde de materialul din care este
confecționată, tipul uleiului de motor folosit, frecvența schimbării uleiului, viteza cu care se cir culă
etc., amintind doar factorii controlați. Prețul unui motor electric ar putea depinde de calitatea
materialelor incluse în carcasă și bobine, de randamentul unității producătoare, de parametrii
impuși, de condițiile de fabricare etc. La fel și pentru alte mărimi, se vor identifica parametrii d e
influență sau factorii (controlați). Se poate scrie sub forma unei relații matematice faptul că
mărimea ce interesează Y, numită în continuare răspuns , este o funcție de mai multe variabile xi, ce
se vor numi în continuare factori , relația 2.1.
Y = f(x 1, x2,….x k) (2.1)
Figura 2.1. O privire sistemică asupra unui fenomen.
Studiul fenomenului constă, în final, în a măsura răspunsul la schimbarea valorii factorilor. În
figura 2.1 e ste reprezentat mediul în care este situat orice sistem, fie proces, produs, fenomen.
Parametrii referitori la un produs sau la un proces de fabricație, asupra cărora se poate interveni
ușor, se numesc factori controlabili sau controlați (exemplu, presiun ea la o pompă de injecție, tipul
lubrifiantului utilizat, temperatura de turnare a unui metal, avansul, viteza și adâncimea de așchi ere
a unei scule, valoarea unei rezistențe pe un circuit electric …); valoarea sau starea lor depinde de
alegerea experimen tatorului. Un sistem este influențat și de factori necontrolabili , care variază
independent de experimentator, numiți și factori zgomot . Prin „intrări” se înțelege însăși subiectul
transformat de sistem (de exemplu, materia primă pentru un proces tehnologi c).
Până de curând, principiul de bază al experimentării era acela de a nu varia decât un factor pe
experiență. Exemplul planurilor pentru cântărire ne arată că, deși această strategie este liniștitoa re
(“știu bine ce am de făcut”) , rezultatele sale sunt mediocre.
Pentru a descrie metoda tradițională de experiment, se presupune că se studiază un sistem
supus influenței a doi parametri variabili, care se notează cu A și B. Fiecare dintre aceste variabi le
poate lua mai multe valori, cuprinse între un minim (Amin, Bmin) și un maxim (A max, Bmax). De
Sistem Factori controlabili
x 1, x2,……x k
Factori necontrola bili Răspunsuri
Y1, Y2,,…
Y,…. Intrări
3 exemplu, se manifestă interesul pentru a se cunoaște cum este influențată uzura pneurilor pentru
autoturisme de către compoziția cauciucului folosit la fabricare și de presiunea din pneuri.
Așa cum s -a arătat, me toda tradițională, utilizată în mod intuitiv de către experimentator,
constă în a studia separat influența celor doi parametri, A (compoziția) și B (presiunea). Se fixeaz ă
B la o valoare medie și se studiază răspunsul sistemului, atunci când A variază de l a Amin la A max,
în exemplul din figura 2.2, cu ajutorul a 4 experiențe. De fapt, graficul este o curbă de forma Y =
f(x1), unde x 1 se identifică cu A.
Figura 2.2. Ilustrarea grafică a metodei experimentale tradiționale.
Se abordează aceeași strategie pent ru a studia influența parametrului B. Rezultă o curbă de
forma Y= f(x 2), unde x 2 este B. În total s -au realizat opt experiențe. Problema este de a ști dacă s -a
obținut o bună cunoaștere a sistemului în urma efectuării celor opt încercări.
Se poate deduce c um reacționează sistemul sub influența parametrului A, atunci când B are
valoarea medie; dar se cunoaște acțiunea lui A atunci când B are valoarea Bmax sau Bmin ? De
asemenea, se poate observa cum influențează B atunci când A are valoarea medie; dar se po ate
cunoaște acțiunea lui B atunci când A are valoarea Amax sau Amin ? Pentru a putea răspunde la
aceste întrebări, trebuie să se facă o rețea a domeniului de validitate a celor doi parametri varia bili,
A și B și să se efectueze câte un test pentru fiecar e nod de rețea . Rezultatul, o suprafață de forma
y=f(x 1,x2) se poate reprezenta grafic, figura 2.3.
În acest caz, pentru a cunoaște reacția sistem ului trebuie să se realizeze 4 x 4= 16 experiențe.
Dacă se generalizează strategia, atunci trebuie efectua t același demers pentru fiecare
parametru de influență. De exemplu, în cazul unui sistem care reacționează la 5 factori de
influență, dacă se dorește, în virtutea măririi preciziei rezultatelor, să se realizeze câte 4 exp eriențe
pentru fiecare factor, trebuie atunci să se efectueze: 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 4 5 = 1024 de experiențe.
Dacă s -ar lua în studiu 7 factori, vor trebui efectuate:
4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 4 7 = 16384 experiențe! Această cifră este foarte mare, ar cere o muncă
enormă, ceea ce nu e ste de domeniul realului în sfera profesională a experimentatorului.
Se vede că numărul experiențelor crește foarte mult odată cu numărul factorilor luați în studiu.
În astfel de situații, experimentul poate să necesite prea mult timp și să coste foarte m ult, chiar peste
cât permite bugetul firmei. Chiar dacă se renunță la efectuarea a câte patru experiențe pentru fieca re
factor și se planifică să se efectueze doar trei, atunci trebuie efectuate 37 = 2187 de experiențe; dacă
compromisul coboară la două ex periențe pentru fiecare factor influent, tot va trebui să se realizeze
un număr de 2 7 =128 experiențe, ceea ce, în multe cazuri, înseamnă încă destul de mult. Cum este
imposibil să se coboare sub două valori pentru o variabilă, experimentatorul, sub presi unea timpului
și bugetului alocat experimentului, ia adesea decizia de a reduce numărul de parametri studiați, cee a
ce duce, inevitabil, la dubii asupra rezultatelor obținute și dă un sentiment de insatisfacție
experimentatorului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Răspunsul sistemului Y
Variabila A
Variabila BB min
B mediu
B max A min A max
4
Figura 2.3. Rețeaua dom eniului de validitate.
Abordarea unei metode de planificare a experimentului va permite să se cunoască, de
exemplu, influența a 7 factori cu câte 2 valori de variație, într -un caz în care nu există o
interacțiune semnificativă între parametri i variabili, pornind de la 8 sau 12 experiențe. Principiul
acestei metode moderne constă din a studia doar anumite puncte ale rețelei domeniului de validitate,
alese pentru proprietatea lor de ortogonalitate. Evident, diminuarea numărului de experiențe nu va
conduce la o diminuare a informațiilor obținute prin experiment și nici a calității acestora.
Avantajele menționate fac ca metoda să fie eficientă tehnic și economic.
Metoda planurilor de experiențe
Contrar conceptului tradițional, cea mai bună precizie a rezultat elor se obține atunci când toți
factorii variază în fiecare experiență. Această afirmație, sugerată încă din experimentul destinat
aflării maselor unor obiecte prin cântărire, va fi verificată în capitolele următoare.
Metoda planurilor de experiențe constă în stabilirea unui plan de lucru care să comporte un
minimum de experiențe, ținând cont de calitatea rezultatelor. În ace astă metodă, ansamblul
parametrilor va fi modificat în cadrul fiecărei experiențe realizate. Numărul mic de experiențe nu
constituie un inco nvenient, dimpotrivă, aduce o serie de avantaje. Principalele avantaje ale acestei
metode, în raport cu metodele experimentale tradiționale, sunt următoarele:
diminuarea considerabilă a numărului de încercări experimentale;
posibilitatea de a studi a un număr foarte mare de factori;
detectarea eventuale lor interacțiuni dintre factori
interpretarea foarte ușoară a rezultatelor;
detectarea valorilor optime;
determinarea rezultatelor cu o bună precizie;
modelarea matematică a rezultatelor.
În loc să li miteze numărul de factori ce se doresc a studia, experimentatorul va reduce, într -o
primă etapă, numărul de puncte (valori de variație) în care se studiază factorul. În literatura de
specialitate se folosește cuvântul factor pentru a desemna parametrul de influență, asta pentru că
acoperă la fel de bine parametrii variabili continuu cât și cei cu variație discretă.
Noțiuni. Pentru o prezentarea bună a metodei planurilor de experiențe este important să se
definească o serie de noțiuni ce vor fi frecvent uti lizate.
Factor . Un factor este o variabilă sau o stare, care acționează asupra si stemului studiat.
Rãspuns Y
Factor ul BFactor ul A
Rețea Nod de rețeaSuprafață de răspuns
5 Răspuns . Răspunsul sistemului este mărimea care se măsoară pentru a cunoaște efectul
factorilor asupra sistemului. Răspunsul poate fi de tip cantita tiv (greutatea unei piese, dispersia unor
erori pe un lot de piese etc.) sau calitativ (suprafața vopsită bine sau cu defecte, senzația de cal d sau
de rece, prezența sau nu a curgerii într -un mediu lichid etc.). Răspunsurile cantitative, în general,
sunt m ai ușor de tratat.
Factor influent sau semnificativ. Un factor influent este un factor care, atunci când este
modificat, modifică răspunsul sistemului. Evident, un factor neinfluent (nesemnificativ) va fi un
factor care nu are nici un efect sesizabil asupr a răspunsului sistemului.
Nivelul unui factor. Nivelurile unui factor indică valorile pe care le ia respectivul factor pe
parcursul experiențelor.
Modalitatea unui factor. Modalitatea unui factor este starea pe care o poate lua respectivul
factor în cursul desfășurării planului de experiențe. Pentru un factor de tip calitativ, de exemplu,
marca unui produs; numărul de modalități ale factorului va fi numărul de mărci studiate în planul
experimental. Pentru modalitate se folosește des denumirea nivel .
Obiect ivul de bază al metodei planurilor de experiențe
Căutarea valorilor bune care să fie atribuite factorilor controlați se efectuează în mod
experimental, cu scopul de a optimiza produsul sau procesul, astfel încât acesta să îndeplinească
următoarele condiții :
să respecte performanțele funcționale dorite;
să fie robust, adică, cât mai pu țin sensibil la factorii zgomot.
Și toate aceste performanțe să fie realizate cu costuri cât mai reduse.
Realizarea unui plan experimental constă în a adopta o strategie cât ma i bună în dirijarea
încercărilor. Alegerea strategiei este un punct -cheie al metodei planificării experimentale.
În funcție de obiectivul studiului această strategie va fi diferită, de la caz la caz, și este
recomandat să se distingă bine strategiile de b ază, pentru că ele sunt diferite când experimentul
urmărește investigarea unei valori nominale sau a uneia extreme, figura 2.4.
Figura 2.4. Clasificarea strategiilor în funcție de obiectivul studiului.
Căutarea de extrem . Atun ci când se studiază un sistem, iar răspunsul aștept at este o valoare
extremă, e xperimentul constă în a determina, printre foarte numeroși factori, pe aceia care au
influență asupra procedeului, precum și sensul acestei influențe. Acest obiectiv corespunde unei
căutări de extrem , care poate fi fie un minim , fie un maxim . Un exemplu de căutare de extrem, cazul
măririi duratei de funcționare a unei cutii de viteze de mașină. Dacă se va căuta ca răspuns durata de
funcționare, problema este de căutare de maxim (se dorește ca durata de folosire să fie cât mai
mare), dacă se va urmări uzura în timp, problema devine de căutare de minim (uzura minimă este
un criteriu care conduce la durata mai mare de folosire).
În cazul ameliorării capabilității unui procedeu de pr elucrare, se caută toți factorii care au o
influență asupra dispersiei valorilor de răspuns obținute (dimensiunea, de exemplu). Punerea în
aplicare a unui plan experimental, în acest caz, va avea ca obiectiv determinarea nivelului factoril or
influenți pent ru care dispersia să fie minimă (toleranțe în interval mic), deci este un caz de căutare
de minim. OBIECTIV
Investigarea unei valori de
extrem Investigarea unei valori nominale
Cãutare unui minim
Cãutarea unui maxim
6 Strategia experim entală utilizată va consta din studiul mai multor factori presupuși că pot
influența semnificativ sistemul, dar considerând un minim de nive luri. Ca regulă generală,
interacțiunile dintre factori vor fi neglijate.
Efectiv, în cadrul respectivei strategii, se caută să se plaseze diferiții factori astfel încât fiec are
să maximizeze (sau să minimizeze) răspunsul sistemului. Interacțiunile fiind, în general, slabe în
raport cu efectele principale, se preferă să se studieze mai degrabă un număr mare de factori, decât
să se cerceteze interacțiunile.
Căutarea de nominal . Un alt gen de obiectiv constă în a căuta fixarea parametrilor în așa fel
încât ră spunsul sistemului să ducă exact sau cât mai aproape de o anume valoare. În acest caz, o
modelare a sistemului va duce la un model capabil să redea răspunsul sistemului pentru o
configurație oarecare a factorilor. De exemplu, se dorește ca prin vopsirea u nei mașini să se obțină
culoarea crem 427 (face parte din gama de culori a autoturismelor Dacia). Se dorește o culoare cât
mai apropiată de cea etalon și nu un crem cât mai deschis. Un alt exemplu, luat din exploatarea
unei instalații din industria chimic ă foarte sensibilă la parametri i exteriori necontrolabili, cum ar fi
temperatura mediului ambiant. În funcție de starea acestora, se vrea cunoașterea modului de reglare
a parametrilor de lucru, cu scopul de a furniza un răspuns constant, oricare ar fi star ea parametrilor
necontrolați.
În acest caz, trebuie mai mult rafinament în analiză. Numărul de niveluri reținute poate fi mai
mare. Studiul se va îndrepta spre principalii factori și nu se vor reține mai mult de 4…6 factori.
Interacțiunile dintre factori nu vor mai fi neglijate. Un caz particular este atunci când se studiază
sistemul pentru prima dată. Este adesea util să se procedeze la o primă aproximare, care să permită
să se descopere factorii cu cea mai mare infl uență. S e privilegiază mai degrabă stu diul unui număr
mai mare de factori decât studiul detaliat al interacțiunilor.
O problemă care apare este cunoașterea felului cum acționează factorii necontrolabili asupra
sistemului. Niciodată sistemul aflat în studiu nu va putea fi izolat total (sistemul ideal), încât să
evite acțiunea lor. Strategia recomandată de Taguchi este mai mult orientată spre minimizarea
impactului lor în loc să se caute eliminarea acestor factori paraziți.
PLANURI FACTORIALE COMPLETE
Planuri factoriale complete cu doi factori
Domeniul experimental
Studiul unui plan complet constă din a studia toate combinările posibile ale factorilor luați în
considerare în cadrul experienței. Se va nota un plan complet cu Xk, notație care indică faptul că în
cadrul experimentului se anali zează un sistem aflat sub influența a k factori fiecare pe X niveluri.
Planurile factoriale cu factori pe două niveluri sunt cele mai simple, dar sunt foarte des folosite în
aplicații industriale, fie sub formă de planuri complete, fie sub forma planurilor fracționare .
Așadar, 2 k semnifică faptul că respectivul experiment se referă la un sistem care comportă "k"
factori cu câte 2 niveluri. Numărul de experiențe necesare pentru ansamblul de combinări este
simplu de calculat. De exemplu, pentru 3 factori cu câte 2 niveluri, planul complet comportă 2 x 2
x 2 = 2 3 = 8 experiențe. Iar pentru 7 factori cu câte 2 niveluri, planul complet comportă 2 7 = 128
experiențe.
De asemenea, pentru un plan care comportă factori cu niveluri diferite este ușor de calculat
numărul de experiențe al planului complet. De exemplu, pentru 3 factori cu câte 2 niveluri și 2
factori cu câte 4 niveluri, planul complet comportă 2 3 x 42 = 128 experiențe.
Pentru că numărul de experiențe crește odată cu numărul de factori, experimentatoru l se află
în fața unei dileme. Mai mulți factori, după părerea lui, ar putea influența sistemul pe care și-a
propus să -l studieze. Problema este pe care să -i aleagă pentru studiu și pe care să -i ignore. De multe
ori face o alegere arbitrară, reținând, în m od subiectiv, factori care nu prezintă cu siguranță
importanță. Această căutare a factorilor influenți s -ar putea numi cernere sau triere (de la cuvintele
screening din limba engleză, sau criblage din limba franceză; literatura română tehnică nu a
menționa t încă un termen similar , așa că se adoptă cernere ).
7 Exp X1 X2 Yi
1 -1 – 1 Y1
2 +1 – 1 Y2
3 – 1 +1 Y3
4 +1 +1 Y4 Înainte de a începe experimentul, trebuie stabilit domeniul în care se va lucra, adică limitele
între care fiecare factor luat în studia va varia. Aici intervine actul de decizie al experiment atorului.
Plecând de la limitele în care pot evolua factorii , se alege domeniul experimental posibil, ținând
cont de condițiile teoretice, experimentale și tehnice. Domeniul experimental d e interes ar putea fi
mai redus decât domeniul experimental posibil.
Pentru început, se poate presupune un experiment în care doar un singur factor, fie acesta X,
este ales ca fiind influent. Pentru a reprezenta într -o manieră simplă experiențele se va folosi o
variabila codată, simbolizare pentru nivelurile factorului, denumită notația lui Yates , după numele
autorului acesteia .
Astfel, se simbolizează prin:
-1 , nivelul inferior al unui factor;
+1 , nivelul superior al unui factor.
Cu această convenție, se poate scrie matricea experiențelor:
Nr.exp. X Y
1 -1 Ya
2 +1 Yb
Prin definiție, se numește efectul unui factor (se înțelege, asupra răspunsului sistemului aflat
în studiu), jumătate din diferența (variația) valorilor răspunsului atunci când factorul tre ce de la
nivelul -1 la nivelul +1 al variabilei codate. Luând X = 2, acest efect este, de fapt, panta Y/X
=Y /2, a dreptei Y = b 0 + b 1X1, figura 3.1.
Figura 3.1. Efectul unui factor .
Se reia studiul pentru un sistem cu doi factori influenți, fie
aceștia X 1 și X 2. Se scrie matricea experiențelor și se reprezintă
grafic punctele aflate în corespondență. În aceste condiții, noțiunea
de efect, trebuie definită pentru doi factori, figura 3.2.
Dacă se ia ca exemplu efectul principal pentru X 1, acesta s e
definește ca fiind semi -diferența răspunsurilor când X 1 trece de la
nivelul -1 nivelul +1.
Cum pentru fiecare din niveluri sunt câte două experiențe , va trebui calculat media când X 1
este la nivelul -1, aceasta este (y 1+y3)/2 și când X 1 este la nivelul +1, este (y 2+y4)/2. Pentru a
calcula efectul factorului X 1 (pentru ecuația de dependență, coeficientul b 1) se va folosi relația:
b1 = (-Y1+Y2-Y3+Y4)/4
O observație remarcabilă , se vede că studiul efectului variației unui factor constă de fapt în
studiul variabilei codate care i se asociază . Se notează faptul că efectele factorilor calculate cu
ajutorul variabilelor codate (fără dimensiuni) sunt d irect comparabile între ele .
Pentru a introduce mai ușor noțiunile specifice metodei, se va lua u n exemplu foarte des
întâlnit în laboratoarele chimice. Un inginer chimist studiază randamentul unei reacții chimice. El
constată că randamentul depinde de doi factori: temperatura și presiunea la care are loc reacția.
Chimistul ar dori să cunoască ce se î ntâmplă cu randamentul reacției când temperatura crește și
când are loc o variație a presiunii. Instalația de laborator permite variația temperaturii între 600C și
1000C și a presiunii între 2 bari și 6 bari.
-1 +1 X i Y b
Y a efectul principal
12
2 Y b Y a – Y
răspunsul teoretic în
„centrul domeniu lui" 2 Y b Y a + i b =
0b =
0 0b
8
Se definește domeniul expe rimental prin domeniul de validitate al factorilor. Acest domeniu
este reprezentat hașurat pe figura 3.3. Nivelul factorilor se va alege pe extremele domeniului de
validitate, cu convingerea că în întregul interval funcționarea sistemului este omogenă.
Figura 3.3. Reprezentarea domeniului experimental.
De altfel, în lucrarea , autorul, folosind criteriile de optim, a arătat că pentru planurile
factoriale 2k este cel mai indicat ca punctele experimentale să fie al ese la extremitățile domeniului
pentru fieca re factor. Nivelul minim și maxim ales fac obiectul compromisului între două opinii:
dacă nivelurile sunt prea îndepărtate, ipoteza omogenității funcționării sistemului în interval riscă să
nu fie realistă, dacă nivelurile sunt prea apropiate, se riscă să nu se poată pune în evidență efectul
factorilor. Abilitatea îl va ajuta pe experimentator în alegerea unui domeniu nici prea mare, pentru a
nu depăși regiunea de interes, nici prea mic, pentru a nu risca să nu înțeleagă nimic din experiment .
Pentru exempl ul în analiză, domeniul de validitate a factorilor este dat în tabelul 3.1.
Tabelul 3.1 . Factorii și domeniul lor de validitate.
Factori minim maxim
A: temperatura [0C] 60 100
B: presiunea [bari] 2 6
Două strategii pot fi folosite pentru a alege pun ctele experimentale, figura 3.4.
Strategia nr.1 constă în a bloca factorul A la mijlocul plajei de măsurare, 800C și a face două
măsurări, M1 și M2, la extremitățile domeniului factorului B. Se realizează aceeași manevră pentru
a măsura efectul factorul ui A, prin măsurările M3 și M4. Efectul lui B asupra sistemului va fi
măsurat cu ajutorul mărimilor M1 și M2. Efectul lui A asupra sistemului va fi măsurat cu ajutorul
mărimilor M3 și M4. 2 6
60 100 Presiunea
[bari] B
Temperatura
[0C] Domeniu care nu
intră în studiul
planului
A 1 2 3 4
-1 +1
-1 +1
(Y )1 (Y )2 (Y )4 (Y )3
media răspunsurilor
când X 1 este pe nivelul -1 media răspunsuril or
când X 1 este pe nivelul
+1
Figura 3.2. Semnificația efectului unui factor . X1
2Y Y 3 1 2Y Y2 4 X2
9 Strategia nr.2 constă din a lua punctele de măsurare în extremit ățile domeniului experimental
(Y1, Y2, Y3, Y4 ). Aceste puncte corespund nodurilor din rețeaua domeniului experimental. Efectul
lui A și efectul lui B vor fi măsurate cu ajutorul mărimilor Y1, Y2, Y3, Y4 .
Figura 3.4. Strategii de experimentare .
Strategia nr.1 este aleasă frecvent pentru a face determinări prin tatonări succesive. Totuși,
este departe de a fi strategia optimă. Se remarcă faptul că efectul lui B se va măsura cu ajutorul a
două rezultate, M1 și M2 iar rezultatele M3 și M4 nu sunt utilizate p entru a estima efectul factorului
B. La fel, efectul factorului A este estimat fără a folosi rezultatele M1 și M2, doar cu M3 și M4.
Strategia nr.2, cu același număr de experiențe, este de calita te mult mai bună, din mai multe motive:
– efectele factorilo r sunt cal culate pornind de la 4 măsurători, în loc de 2 măsurători, ca în
cazul strategiei nr.1, î n consecință, precizia calculelor, cu dispersie egală, este deci mai bună.
– utilizând această strategie, există posibilitatea să se măsoare interacțiunea dintre factorii A și
B, ceea ce este imposibil cu strategia nr.1.
Aceste două avantaje (precizia și posibilitatea studiului interacțiunilor) recomandă folosirea
strategiei nr.2 pentru analiza unui sistem.
Matricea experiențelor și rezultatele studiului
Devine astfel posibil de a asambla toate elementele exper imentului într -un tabel numi t
matricea experiențelor sau matricea încercărilor.
Matricea experiențelor definește condițiile încercărilor experimentale. Dacă se alege strategia
nr.2, această matrice este cea din tabelul 3.2. Fiecare experiență este definită, de exemplu, pentru
experiența nr. 3, factorul A, temperatura, va fi reglat la 600C, iar factorul B, presiunea, la 6 bari.
Având reglați factorii astfel, experimentatorul efectuează experiența nr. 3 și măsoară rezultatul,
adică randamentul reacției. Același procedeu și pentru celelalte trei experiențe.
Studiul constă în a realiza cele 4 experiențe programate în matrice. Pentru fiecare încercare,
factorii sunt fixați la nivelul -1 sau la +1. Răspu nsul este obținut prin măsurare, figura 3.5.
Experimentatorul poate să observe că pentru a obține cel mai mare randament (90%) trebuie lucrat
cu temperatura de 1000C și presiunea de 6 bari.
Tabelul 3.2. Matricea experiențelor și rezultatele.
Punct
exp. Nr. încercării Temperatura
Factorul A Presiunea
Factorul B Randamentul [%]
Răspunsul
Y1 1 -1 -1 60
Y2 2 +1 -1 70
Y3 3 -1 +1 80
Y4 4 +1 +1 90
Nivel – 1 60 2
Nivel +1 100 6 2 6
6 100 . . . . . . . . . Y YY Y
M1 M2
M4 M
Factorul B
[bari]
Factorul A [0C]
10 Figura 3.5. Rezultatele experiențelor .
În cazul prezentat se obțin rezultate clare deoarece numărul factorilor este redus. În
experimentele industriale pot apărea situații mai complexe.
Exemplul dat va permite introducerea unei noțiuni esențiale, efectul factorului. Din figura 1.4
se deduce că dacă factorul B trece de la 2 bari, nivelul -1, la 6 bari, nivelul +1, răspunsul crește cu
valoarea Y3 – Y1=20. De asemenea, atunci când factor ul A trece de la nivelul -1 la nivelul +1,
răspunsului crește cu valoarea Y2 – Y1=10.
În urma acestor observații, se spune că:
efectul global al factorului A este egal cu 10 % ;
efectul global al factorului B este egal cu 20 % .
Prin definiție, efectul m ediu al unui factor este definit ca jumătatea
efectului global. Dacă se ia cazul temperaturii, efectul mediu este 5; la fel , efectul mediu al
presiunii este 10. Aceasta este creșterea răspunsului atunci când se trece de la valoarea medie a
factorului la v aloarea sa maximă.
Calculul efectelor
Rezultatele precedente se generalizează, valorile se vor simboliza prin litere. Răspunsurile se
vor nota cu Yi, i fiind numărul experienței. Notațiile utilizate în figura 3.6 sunt următoarele:
Y+ – media răspunsurilor atunci când factorul A este la nivel superior;
Y – media răspunsurilor atunci când factorul A este la nivel inferior;
M – media generală a celor 4 încercări.
Răspuns
%
Factorul B Factor ul A
6 2 60 100
. . ..
… . Y3 Y4
Y1Y2
– 1 +1-1+1Factor B
Factor AY3
80% Y4
90%
Y1
60% Y2
70% . .
. . Y -_
Y +_
11
Y Y Y
Y Y
1
2
1
22 4
1 3 și
Y- . La nivelul +1 al temperaturii, sunt două răspunsuri, Y 2 și Y 4. Media răspunsurilor la acest
nivel,
Y este conform relației 3.1.
La nivelul -1 al temperatur ii sunt tot două răspunsuri, Y 1 și Y 3. Media acestor răspunsuri este
Y- , conform relației 3.1.
(3.1)
Efectul mediu al factorului A, notat E A, se calculează cu relația 3.2.
4 3 2 13 1 4 2
4121
21
21
YY YY EYY Y Y E
AA
(3.2)
ET = 1/4 ( – 60 + 70 – 80 + 90) = 5 %
La fel se determină și efectul factorului B, presiun ea, relația 3.3.
E Y Y Y YB1
41 2 3 4.
(3.3)
Ep = ¼ ( – 60 – 70 + 80 + 90) = 10 %
Media M a tuturor răspunsurilor poate fi privită ca valoarea
răspunsului atunci când toți factorii sunt pe nivelul zero, adică, valoa rea răspunsului în centrul
domeniului experimental și este calculată conform relației 3.4.
M = ¼ (Y 1 + Y 2 + Y 3 + Y 4) (3.4)
M= ¼ (60+70+80+90) = 75 %
Originalitatea notației lui Yates pentru construirea matricei experiențelor constă în faptul că
permite obținerea directă a formulelor generale ale efectelor medii. Pentru cazul prezentat, matrice a
experiențelor este cea din tabelul 3.3.
Reluând formula efectului mediu al factorului A se poate remarca faptul că semnele ce
afectează mărimile Y1….Y4, în ecuația precedentă, sunt aceleași cu cele din coloana " Factor A" ( –
+ – +) din tabelul 3.3.
E Y Y Y YA1
41 2 3 4 ,
(3.5)
Tabelul 3.3. Matricea experiențelor.
Punct
experimental Numărul
experienței Factor A
(T) Factor B
(p) Răspunsul
sistemului
Y1 1 -1 -1 60
Y2 2 +1 -1 70
Y3 3 -1 +1 80
Y4 4 +1 +1 90
La fel, pentru factorul B, efectul medi u este dat de relația 3.6
E Y Y Y YB1
41 2 3 4 (3.6)
și se poate face aceeași remarca pentru semnele factorilor, ca și în cazul factorului A.
În concluzie, atunci când se utilizează notația lui Yates, ef ectele medii ale factorilor se
calculează însumând răspunsurile tuturor experiențelor, afectate de semnele factorilor din fiecare
experiență corespunzătoare; totalul se împarte la numărul experiențelor efectuate. Această notație
12 este foarte practică, dar e ste dificil de generalizat în cazul în care factorii studiați au mai mult de
două niveluri. În astfel de situații este necesar să se introducă o altă metodă de calcul al efectel or
medii.
Se menționează că toate calculele precedente se bazează pe ipoteza c ă fenomenul studiat
variază liniar între punctele experimentale. Ipoteza se justifică prin simplicitatea sa și prin
consecințele ce le implică în munca experimentatorului.
În scopul de a avea o notație mai ușor de generalizat pentru cazul factorilor cu ma i mult de
două niveluri, se abandonează notația lui Yates cu ( -1 și +1). În unele lucrări se propune notare a cu
1 pentru nivelul inferior și cu 2 pen tru nivelul superior . Figura 3.7 redă situația aceluiași
experiment descris anterior folosind noua notație .
Figura 3.7. Graficul experienței cu notațiile noi pentru niveluri .
Media generală a experiențelor corespunde punctului central al domeniului de validitate. Se
poate calcula efectul mediu al factorului A l a nivelul 2 folosind relația
EA(nivel 2) =(medi a răspunsurilor atunci când factorul A este la nivelul 2) – media generală a răspunsurilor
De asemenea, pe ntru factorul B este relația:
EB(nivel 2 )=(media răspunsurilor atunci când factorul B este la nivelul 2) -media generală a răspunsurilor
Pentru e xemplul în studiu :
ET2= ½(70+90) – 75 = 5
Ep2 = ½ (80+90) – 75 = 10
Aceste rezultate sunt ușor de generalizat, oricare ar fi planul de experiențe.
Efectele medii pot fi reprezentate grafic, fapt ce ușurează interpreta rea fenomenului. În figura
3.8 este reprezentarea grafică a efectului mediu al temperaturii. Se observă că efectul temperaturii
constă într -o variație a ran damentului . Efectul mediu al temperaturii este variația (creșterea sau
scăderea) randamentului când se trece de la valoarea medie a randamentului (aflat în centrul
domeniului experimental) la media randamentelor de la nivel ul superior al temperaturii .
Figura 3.8. Reprezentarea grafică a efectului mediu și efectului global.
1 0 2 Temp. [0C] Rand.
[%]
80
M=75
70 Efectul
mediu = 5
Efectul
global =10 Factorul B
(presiunea )
Factor ul A
(temperatura) 12
1 2Y1
60 Y2
70 Y3
80 Y4
90 . .. .Media
M = 75%
13 Planuri factoriale 2 k .
Planuri factoriale 24
Studiul prezentat prin exemplul anterior se va generaliza pentru cazurile în care intervin mai
mult de doi factori (k factori) care pot avea câte 2 niveluri fiecare.
Așa cum s -a menționat, planul factor ial reprezintă planul pentru care toate combinațiile
posibile de factori sunt realizate. Reprezintă numărul maxim de încercări experimentale care se
poate realiza, este un plan maximal. În capitolele următoare (capitolele 6 și 7) se va propune
căutarea de planuri pentru care numărul de experiențe necesare este mai redus decât în cazul
planului factorial complet .
Cazurile prezentate anterior pot fi generalizate la situații cu 4, 5 factori sau chiar mai mulți.
Planul factorial pentru 4 factori se simbolizeaz ă 24 și semnifică faptul că există 4 factori cu câte 2
niveluri.
Se propune studiul influenței a 4 factori asupra unui sistem, aceștia fiind notați cu A, B, C și
D, dintre care primii trei sunt factori cantitativi, iar al patrulea este calitativ, aces t lucru nefiind un
impediment în desfășurarea studiului. Se folosesc noile notații: nivelul 1 este nivelul inferior și
nivelul 2 este nivelul superior pentru fiecare factor. Domeniul de val iditate este cel din tabelul 3.6 .
Tabelul 3. 6. Domeniul de validitate .
A x1 x2
B y1 y2
C z1 z2
D tip I tip II
În tabel s -a notat (simbolizat) cu x1, y1, z1, tip I și x2, y2, z2, tip II valorile luate de factorii A, B,
C și D când aceștia s e află la nivelul 1, respectiv la nivelul 2, adică la extremitățile domeniului de
validitate. Planul factorial complet comportă 24 = 16 încercări experimentale și este cel din tabelul
3.7. Matricea experiențelor se construiește astfel: în prima coloană, destinată pentru factorul A, se
atribuie 8 linii nive lului 1 și apoi, 8 linii nivelului 2; în coloana a doua, pentru factorul B, alternează
4 linii cu nivelul 1 și 4 linii cu nivelul 2; în coloana a treia, pentru factorul C, alternează două linii
pentru nivelul 1 și două linii cu nivelul 2; coloana a patra p rezintă alternanța la fiecare linie a celor
două niveluri. Y reprezintă răspunsul sistemului când experiențele se fac cu factorii configurați așa
cum este indicat în linia corespondentă lor din tabel. Pentru fiecare configurație se obține un
răspuns; răspu nsurile sistemului pentru toate experiențele sunt Y1, Y2, …., Y16 .
Matricea efectelor permite obținerea a 16 informații; acestea se referă la media generală M
(unică), efectele fiecărui factor, în număr de 4, interacțiunile de ordinul doi: AB, AC, AD… ., în
număr de C4
2=6, interacțiunile de ordinul trei: ABC, ABD, BCD…., în număr de C3
4=4,
interacțiunea de ordinul patru: ABCD (unică).
Tabelul 3.7. Planul experimental.
Exp. A B C D Y
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16 1 1 1 1
1 1 1 2
1 1 2 1
1 1 2 2
1 2 1 1
1 2 1 2
1 2 2 1
1 2 2 2
2 1 1 1
2 1 1 2
2 1 2 1
2 1 2 2
2 2 1 1
2 2 1 2
2 2 2 1
2 2 2 2 Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
Y6
Y7
Y8
Y9
Y10
Y11
Y12
Y13
Y14
Y15
Y16
14 Matricea efectelor este constituită din:
– 4 coloane destinate factorilor din matricea de experiențe;
– 6 coloane de interacțiuni de ordinul doi AB, AC, AD, BC, BD, și CD;
– 4 coloane de interacțiuni de ordinul t rei ABC, ABD, ACD, BCD;
– 1 coloană pentru interacțiunea ABCD;
– 1 coloană pentru medie.
Fiecare coloană de interacțiuni este produsul linie cu linie al coloanelor factorilor luați în
considerare. Coloana mediei este completată cu 2 sau semne +, dacă s -a lua t decizia ușurării
notației, folosind semnul – pentru nivelul 1 și semnul + pentru nivelul 2 (notație frecvent folosită),
tabelul 3.7. Matricea tabelului 3.8 verifică faptul că X’X = 16 I, adică este o matrice Hadamard,
cele 16 estimări fiind obținute cu o varianță minimă.
Tabelul 3. 8. Matricea efectelor unui plan 24.
Factori Interacțiuni
A
B
C
D
AB
AC
AD
BC
BD
CD
ABC
ABD
ACD
BCD
ABCD
M
Exp. nr.1
Exp. nr.2
Exp. nr.3
Exp. nr.4
Exp. nr.5
Exp. nr.6
Exp. nr.7
Exp. nr.8
Exp. nr.9
Exp. nr.10
Exp. nr.11
Exp. nr.12
Exp. nr.13
Exp. nr.14
Exp. nr.15
Exp. nr.16 –
–
–
–
–
–
–
–
+
+
+
+
+
+
+
+ –
–
–
–
+
+
+
+
–
–
–
–
+
+
+
+ –
–
+
+
–
–
+
+
–
–
+
+
–
–
+
+ –
+
–
+
–
+
–
+
–
+
–
+
–
+
–
+ +
+
+
+
–
–
–
–
–
–
–
–
+
+
+
+ +
+
–
–
+
+
–
–
–
–
+
+
–
–
+
+ +
–
+
–
+
–
+
–
–
+
–
+
–
+
–
+ +
+
–
–
–
–
+
+
+
+
–
–
–
–
+
+ +
–
+
–
–
+
–
+
+
–
+
–
–
+
–
+ +
–
–
+
+
–
–
+
+
–
–
+
+
–
–
+ –
–
+
+
+
+
–
–
+
+
–
–
–
–
+
+ –
+
–
+
+
–
+
–
+
–
–
+
–
+
–
+ –
+
+
–
–
+
+
–
+
–
–
+
+
–
–
+ –
+
+
–
+
–
–
+
–
+
+
–
–
–
+
+ +
–
–
+
–
+
+
–
–
+
+
–
+
–
–
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Generalizare pentru k factori presupune că planul conține N = 2k experiențe care permit să
se obțină 2k informații, după cum urmează:
– media generală;
– cele k efecte ale factorilor ;
– C2
k interacțiuni de ordinul 1 ;
– C3
k interacțiuni de ordinul 2 ;
– …
– interacțiunea celor k factori între ei.
Matricea X este o matrice pătrată cu N linii și N coloane, adică:
X’X = N I
Fiecare dintre cele N informații se ob ține cu varianța minimă: Var (y) /N.
Calculul efectelor medii. Reprezentarea grafică
Pentru a calcula efectele medii ale factorilor este suficient să se aplice formula de calcul al
efectelor medii, prezentată anterior în relația 3.7.
Media generală a ră spunsurilor Y este: M Yi
i
1
16116
. (3.10)
Efectul mediu al lui A la nivelul 1 este dat de relația 3.11.
EA1 = ( media răspunsurilor atunci când A este la nivelul 1 ) – ( media generală )
E Y Y Y Y Y Y Y Y MA11
81 2 3 4 5 6 7 8 (3.11)
15 Efectul factorului A la nivelul 2 este dat de relația 3.12.
E Y Y Y Y Y Y Y Y MA21
89 10 11 12 13 14 15 16 (3.12)
Se poate arăta ușor faptul că : E A1= – EA2 . Prin urmare, este inutil să se calculeze cele două
efecte medii ale unui factor, deoarece dacă se cunoaște efectul factorului A la nivelul 1 , EA1, se
poate deduce EA2 din relația 3.13.
EA1 + EA2 = 0 (3.13)
Se poate formula concluzia: calculul efectului mediu al unui factor cu două niveluri nu are
decât un singur grad de libertate , rezultă din calcul doar o singură valoare independentă, a doua se
deduce din prima.
Calculul efectelor medii pentru ceilalți factori aflați în studiu este identic cu cel efectuat
pentru factorul A, relațiile 3.14.
• Efectele medii ale lui B :
E Y Y Y Y Y Y Y Y M
E EB
B B1
2 11
81 2 3 4 9 10 11 12
• Efectele medii ale lui C: (3.14)
E Y Y Y Y Y Y Y Y M
E EC
C C1
2 11
81 2 5 6 9 10 13 14
• Efectele medii ale lui D :
E Y Y Y Y Y Y Y Y M
E ED
D D1
2 11
81 3 5 7 9 11 13 15
În exemplul considerat s-a pus în evidență efectele factorilor studiați. Reprezentarea efectelor
medii are ca obiectiv vizualizarea acestor efecte printr -un grafic foarte ușor de interpretat.
Construcția acestui grafic se prezintă în figura 3.11.
Pe grafice, în abscisă s -a rep rezentat succesiv factorii A, B, C și D, iar în ordonată s -a trecut
răspuns ul sistemului. De asemenea, s -a reprezentat media răspunsurilor, M, precum și valorile
efectelor medii ale factorilor, respectiv (EA1, EA2), (EB1, EB2), (EC1, EC2) și (ED1, ED2), cu mărime ,
sens și semne stabilite în mod arbitrar, având în vedere că nu s -a lucrat cu valori numerice ca în
situațiile reale.
Graficul efectelor medii este, în fapt, o prezentare grafică a rezultatelor planului experime ntal.
Această prezentare gr afică este utilă îndeosebi atunci când experimentatorul trebuie să prezinte
rezultatele studiului său în lucrări care se adresează unui public mai larg. Într -adevăr, interpretarea
acestor grafice este evidentă. Sensul de variație indică dacă un anumit fact or acționează în mod
pozitiv sau negativ asupra răspunsului sistemului. Înclinația pantei permite să se identifice cu
rapiditate factorii cei mai influenți (factorul D, în acest caz).
Răspunsul teoretic. Reziduu
Se pune problema ca datele obținute să fie folosite pentru a modela matematic sistemul
studiat. Odată calculate efectele medii ale factorilor A, B, C și D, se poate calcula răspunsul teoretic
la fiecare experiență a planului prin adunarea tuturor acestor efecte. Acesta se va nota cu Y~ și
reprezi ntă răspunsul care ar fi trebuit să se măsoare dacă sistemul ar fi depins doar de efectele medii
ale factorilor.
16 Figura 3.11. Graficul efectelor medii.
Pentru a trece la calculul răspunsului teoretic, se pleacă de la media generală a răspunsurilor,
calculată cu relația 3.10. Pentru cazul planului cu 16 experiențe, redat în tabelul 3.7, se calculează
răspunsurile teoretice pentru fiecare linie (pentru fiecare experiență). Dacă se ia ca exemplu
experiența nr.7, se poate spune că răspunsul sistemului este rezultatul acțiunii efectului mediu E A1
(factorul A este pe nivelul 1) asupra mediei generale , efectului mediu al factorului B, E B2, efectului
EC2 și efectului E D1. Acest raționament jus tifică exprimarea relației 3.15 pentru calculul răspunsului
teoretic de la experi ența nr. 11 , trecut în tabelul 3.9.
Y11~ = M + E A2 + EB1+ EC2 + ED1 (3.15)
Tabelul 3.9 . Răspunsul teoretic pentru o experiență.
Experiență A B C D Y Y~
11 2 1 2 1 Y11 Y11 ~
Folosind această metodă, se poate calcula ansamblul răspunsurilor teoretice pent ru planul factorial,
răspunsuri trecute în tabelul 3.10 .
Se numește reziduu diferența dintre răspunsu l măsurat și răspunsul teoret ic. Reziduu
reprezintă partea din răspuns care nu este explicată prin efectele puse în evidență, exprimat prin
relația 3.16,
r = Y – Y~ (3.16)
cu particularitate a: ri = 0.
Se cunoaște că suma reziduurilor din plan nu poate fi decât zero, exceptând erorile de rotunjire.
Această particularitate este foarte utilă pentru a verifica faptul că nu există erori de calcul.
Așa cum s -a văzut exi stă abateri între răspunsul teoretic și răspunsul măsurat și drept
consecință apariția reziduurilor. Există două cauze majore care determină această diferență.
Răspuns Răspuns
Răspuns
Răspuns1 2
1 1
1 2
2 2 Efectul factorului A Efectul factorului B
Efectul factorului C Efectul factorului D M M
M M E E E
E
E
E
E E A1 A2 B1
B2
C1
C2
D1 D2 A B
C D
17
Experiențe Factori Răspuns
exper im. Răspuns
teoretic Reziduu Dispersia
A B C D Y Y~ r s2
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16 1 1 1 1
1 1 1 2
1 1 2 1
1 1 2 2
1 2 1 1
1 2 1 2
1 2 2 1
1 2 2 2
2 1 1 1
2 1 1 2
2 1 2 1
2 1 2 2
2 2 1 1
2 2 1 2
2 2 2 1
2 2 2 2 Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
Y6
Y7
Y8
Y9
Y10
Y11
Y12
Y13
Y14
Y15
Y16 Y1~
Y2~
Y3~
Y4~
Y5~
Y6~
Y7~
Y8~
Y9~
Y10~
Y11~
Y12~
Y13~
Y14~
Y15~
Y16~ r 1
r 2
r 3
r 4
r 5
r 6
r 7
r 8
r 9
r10
r11
r12
r13
r14
r15
r16 s12
s22
s32
s42
s52
s62
s72
s82
s92
s102
s112
s122
s132
s142
s152
s162
• Prima cauz ă – variabilitatea naturală a procesului
Orice proces posedă o varianță naturală. În cazul studiat anterior s -au reținut 4 factori pentru
a studia și explica răspunsul sistemului. În realitate, un proces este sensibil la un număr mult mai
mare de pa ramet ri. Din acest motiv trebuie făcută deosebirea între două tipuri de factori:
– factorii controlați , care sunt factorii ce se vor modifica de către experimentator în funcție de
planul de experiențe ales;
– factori controlabili, dar nereținuți pentru studiu, deci vor rămâne fixați pe durata
experimentului;
– factori ( parametr ii) necontrolabili și deci necontrolați , care formează ansamblul de parametri
care nu pot fi dirijați (stăpâniți), din rațiuni tehnice sau economice, sau , pur și simplu, pentr u că nu
pot fi identificați, dar care acționează asupra procesului.
În condiții exper imentale reale rezultatele măsurării răspunsului sunt sub influența
fluctuațiilor factorilor necontrolabili. Acești factori neluați în calcul pot fi numeroși și trebui e să fie
independenți unul față de altul. Experimentatorul trebuie să se asigure de caracterul aleatoriu al
fluctuațiilor datorate lor. Dispersia rezultatelor, care trebuie să fie caracterizată printr -o valoare
numerică, trebuie să fie stabilă. Dacă se dore ște o estimare a dispersiei trebuie prevăzute experiențe
suplimentar e, identice celor prevăzute în plan. Dacă dispersia este stabilă, răspunsul sistemului are
o configurație de factori controlați și valorile sale sunt repartizate după legea lui Gauss în j urul unei
valori medii. Aceasta este variabilitatea numită variabilitate naturală. În urma celor prezentate, s e
recomandă, atunci când este posibil, completarea planului de experiențe cu o coloană auxiliară care
să cuprindă valorile dispersiei rezultatelor pentru fiecare experiență, coloana din dreapta tab. 3.10 .
• A doua cauză – variabilitatea de ajustare
S-au efectuat experiențe și s -au calculat efectele medii, dar se pune întrebarea dacă efectele
calculate sunt în tr-adevăr efectele medii? Dacă există o mică diferență între efectele calculate și
efectele reale, această diferență se va regăsi în reziduuri. Această variabilitate va fi numită
variabilitate de ajustare.
18 Interacțiuni
Interacțiunile, într -un sistem, sunt fenomenele cel mai dificil de interpretat în absența unei
metode elaborate în acest scop.
Pentru a ilustra noțiunea de interacțiune se va folosi figura 3.12.
Primul grafic, figura 3.12 -a, arată un fenomen fără interacțiune. Se constată că efectul asupra
răspunsului sistemului, atunci când factorul A trece de la nivelul 1 la nivelul 2, este mărimea -1,
independent de starea factorului B.
Al doilea grafic, figura 3.12 -b, arată un fenomen cu interacțiune. În acest caz, efectul
factorului A asupra răspunsului nu este același, el variază după cum factorul B este la nivelul 1 sau
la nivelul 2. Într -adevăr, atunci când A trece de la nivelul 1 la nivelul 2, chiar dacă B rămâne
la nivelul 1, variația răspunsului are valoarea -2. În schimb, aceea și variație a lui A, dacă B rămâne
la nivelul 2, nu provoacă decât o variație de răspuns de mărime -1. Rezultă că între factorii A și B
există interacțiune.
Figura 3.12. Ilustrarea noțiunii de interacțiune. a. fără interacțiune între factori; b. cu inter acțiune între
factori.
Prezența unei interacțiuni se manifestă printr -o distorsiune a suprafeței de răspuns, această
distorsiune fiind cu atât mai evidentă cu cât interacțiunea este valoric mai mare.
Pentru a găsi o relație care să redea valoric interacț iunea se va considera un sistem aflat sub
influența a doi factori cu câte două niveluri, respectiv A și B, între care se presupune că există o
interacțiune.
Planul factorial complet comportă 2 2 = 4 încercări și este redat în tabelul 3.11 .
Răspunsurile s unt reprezentate grafic în figura 3.13.
Efectul global al factorului B, atunci când factorul A este la nivelul 1:
EgB = Y3 – Y1
Efectul global al factorului B atunci când factorul A este la nivelul 2:
EgB =Y4 -Y2
Tabelul 3.11 . Planul factorial complet .
Experiențe A B Y
1
2
3
4 1 1
2 1
1 2
2 2 Y1
Y2
Y3
Y4 Rãspuns Rãspuns
Factor A Factor A
Factor B Factor B
a. b.1
1 2
11 2 1
2 1 2 1
2 . . . .
19 Figura 3.13. Graficul răspunsurilor sistemului .
Prin experiențele efectuate s -a constatat că atunci când factorul A trece de la nivelul 1 la
nivelul 2 se mărește efectul factorului B. Acest fapt arată că există interacțiune între factorul A și
factorul B .
Calculul efectelor medii, în cazul unui sistem cu interacțiuni, se face cu formula generală
cunoscută (relația 3.7 ), reluată în relația 3.1.
Figura 3.14 . Interacțiunea factorilor A și B .
A calcula interacțiunea înseamnă a calcula modificar ea adusă răspunsului sistem ului în urma
folosirii configurației particulare a celor doi factori, A și B. Interacțiunea , notată cu IA1B1 , este
interacțiunea care apare atunci când factorul A este la nivelul 1 și factorul B la nivelul 1. În f igura
3.14 sunt cele 4 interacțiuni posib ile între factorii A și B.
În timpul încercării nr.1, factorul A este la nivelul 1 și factorul B la nivelul 1. Răspunsul
teoretic al sistemului, dacă sunt numai efecte de ordinul întâi (fără interacțiune) , se calculează cu
relația 3.18.
Y1~ = M + E A1 + EB1 (3.18)
Răspunsul obținut în planul de încercări este Y1 și este (de cele mai multe ori) diferit de cel
teoretic. Una din cauzele abaterii di ntre răspunsul teoretic și rezultatul încercării se datorează
interacțiunii dintre cei doi factori, A și B. Atunci se justifică scrierea unei formule de calcul pe ntru
interacțiune cum este cea din relația 3. 19, în care să rezulte , atunci când factorul A es te la nivelul 1
și factorul B la nivelul 1, că interacțiunea este egală cu răspunsul sistemului, în această configurație,
minus media generală, minus suma efectelor de ordinul întâi ale celor doi factori.
IA1B1 = Y1 – M – EA1 – EB1
pentru celelalte interacțiuni, se pot scrie relațiile 3.20 pentru celelalte variante ale interacțiun ii dintre A și B.
IA2B1 = Y2 – M – EA2 – EB1
IA1B2 = Y3 – M – EA1 – EB2 (3.20)
IA2B2 = Y4 – M – EA2 – EB2
Factor ul
B
Factorul
A Y1 Y2 Y3 Y4 . .
. . Y3 – Y1 Y4 – Y2
1 2 1 2
EA1 = ½ ( Y1 + Y 3) – M ș i E A1 = -EA2
EA1 = ½ ( Y2 + Y 4) – M și E B1 = -EB2
IA1B1 I A1B2
I I A2B1 A2B2 1 2
1
2 A B
20 Pornind de la relația de calcul a gradului de libertate pentru un factor (notat cu n gl), gradul de
libertate fiin d egal cu numărul de niveluri minus 1, s e poate arăta că gradul de libertate al unei
interacțiuni este egal cu produsul dintre gradele de libertate ale fiecăruia dintre cei doi factori,
relația 3.21, [P1].
În cazul de față, n gl (A) = 1 și n gl (B) = 1
iar pentru interacțiune: n gl (AB) = 1 x 1 = 1 (3.21)
Generalizând, interacțiunea IAiBj va fi analizată pornind de la rezultatele medii ale
încercărilor experimentale realizate atunci când factorul A se află la nivelul i și factorul B la nivelul
j. Se deduce relația 3.22, care este formula genera lă pentru calculul interacțiunilor.
IAiBj = (Media răspunsurilor când A = A i și B = B j) – M – EAi – EBj (3.22)
Se va numi interacțiune de ordinul doi interacțiunea care inte rvine între doi factori, fie
aceștia, ca exemplu, A și B .
Prin analogie, se va numi interacțiune de ordinul trei acea interacțiune care intervine între trei
factori, notată cu IABC dacă interacțiunea are loc între factorii A, B și C. În genera l, interacți unile de
ordinul trei se vor neglija.
Aplicația 1. Analiza unui cuptor cu microunde . Se dorește să se cunoască influența diferiților
factori asupra eficienței încălzirii unui bol cu lapte; în plus se vrea o scădere a consumului de
energie. Problema a fost expusă în detaliu în [P2], în continuare fiind prezentată doar o sinteză.
După consultarea mai multor specialiști, s -a ajuns la concluzia că factorii ce ar putea avea un
rol semnificativ sunt: puterea cuptorului, timpul de încălzire, poziția bolului în cuptor, materialul
din care este făcut bolul, forma bolului (înălțime, diametru), cantitatea de lapte expusă la încălzi t. În
final, grupul consultat a reținut doar trei factori pentru studiu, fieca re pe două niveluri, tabelul 3.12 .
Planul de experiențe , de tipul 23 este redat în tabelul 3.13 . Având în vedere că se prevedea o
dispersie a rezultatelor, s -a
decis repetarea fiecărei experiențe de două ori. Rezultă că s -au efectuat 16 experiențe. Evident,
modul de calcul al mediilor se schimbă.
Tabelul 3.12 . Factori și niveluri.
Factor Descriere Nivelul 1 Nivelul 2
A Puterea cuptorului medie
(buton la 3) mare
(buton la 5)
B Timpul de încălzire 1’00 1’40”
C Poziția bolului pe platou margine centru
Domeniul experimental este în acest caz un cub ale
cărui colțuri reprezintă cele 8 experiențe ale planului,
figura 3.15.
Dacă numărul de factori este k, domeniul
experimental devine un hipervolum ce nu poate fi
reprezentat în plan.
S-a făcut o bună pregătire pentru a conduce bine
experimentul. S -a completat o fișă pentru fiecare
experiență, fișă care a cuprins: elementele necesare,
configurația factorilor, rezultatele măsurătorilor, condițiile
în care s -au desfășurat experiențele.
Tabel 3.13 . Planul de experiențe și rezultatele .
Nr. exp. A B C Y1 [0C] Y2 [0C]
1 1 1 1 43 45
2 1 1 2 45 49
3 1 2 1 54 54 B C
1 3
7 4
6 8
5 2
Figura 3.15 . Domeniul de validitate . A
21 4 1 2 2 57 55
5 2 1 1 60 56
6 2 1 2 61 59
7 2 2 1 78 82
8 2 2 2 81 81
Calculul efectelor și interacțiunilor se găsește în relațiile 3.23. În figura 3.16 se găsesc tabelate
calculele efect uate pentru mediile răspunsurilor, ținând cont de configurația din planul de experiențe
și calculul interacțiunilor.
EA1= 50,25 – 60 = -9,75 E A2 = +9,75
EB1= 52,25 – 60 = -7,75 E B2 = +7,75 (3.23)
EC1= 59, 00 – 60 = -1,00 E C2 = +1,00
Singura interacțiune semnificativă este între factorii A și B (se vede pe grafic, figura 3.17, că
dreptele nu sunt paralele), celelalte două IAC și IBC nu sunt semnificative. Valoarea lor e ste foarte
mică, relația 3.23.
Media generală este M = 60.
IA1B1= 45,5 -60+9,75+7,75=3 IA1B2=- 3 IA2B1=- 3 IA2B2= 3
IA1C1= 49-60+9,75+1= -0,25 IA1C2=0,25 IA2C1=0,25 IA2B2= -0,25
IB1C1= 51-60+7,75+1= -0,25 IB1C2=0,25 IB2C1= 0,25 IB2C2= – 0,25
80
70
60
50
40A B C
80
70
60
50
40A A BB=2
B=1C=2
C=1C=1C=2
AB AC BC
Figura 3.17 . Reprezentarea grafică: a efectelor medii; a interacțiunilor.
Coloana destinată răspunsului teoretic Y~ din tabel ul 3.14 a fost completată plecând de la relația
3.18, la care s -a adăugat interac țiunea specifică fiecărei linii. De exemplu, pentru experiența 6 intervine în
calcul IA2B1, relația 3.24.
Tabelul 3.1 4. Planul de experiențe și rezultatele .
B
1 2
45,5 55 A 1
2 59 80,5
C
1 2
49 51,5 A 1
2 69 70,5
B
1 2
51 53,5 A 1
2 67 68,5
B
1 2
+3 -3 A 1
2 -3 +3
B
1 2
-0,25 0,25 A 1
2 0,25 -0,25
C
1 2
-0,25 0,25 A 1
2 0,25 -0,25
Tabelele mediilor .
Tabelele interacțiunilor
Figura 3.16. Calculul mediilor pentru interacțiuni și calculul interacțiunilor.
22 Nr.
exp. A B C Y~ Y1 r Y2 r
1 1 1 1 44,50 43 1,50 45 -0,50
2 1 1 2 46,50 45 1,50 49 -2,50
3 1 2 1 54,00 54 0,00 54 0,00
4 1 2 2 56,00 57 -1,00 55 1,00
5 2 1 1 58,00 60 -2,00 56 2,00
6 2 1 2 60,00 61 -1,00 59 1,00
7 2 2 1 79,50 78 1,50 82 -2,50
8 2 2 2 81,50 81 0,50 81 0,50
Y6~ = M+E A2+EB1+EC2+IA2B1 = 60+9,75 -7,75+1 -3 = 60,000C (3.24)
În urma experimentului, se poate trage concluzia că doar factorii A și B sunt semnificativi,
factorul C, adică poziția bolului de lapte pe platoul din cuptor, are un efect foarte mic, deci nu e ste
semnificativ. Interacțiunea între fa ctorii putere și timp are rol de amplificator, cu cât puterea este
mai importantă, cu atât timpul modifică în mod favorabil temperatura laptelui .
Aplicația 2. Un exemplu interesant de utilizarea a planurilor de experiențe în producție este
prezen tat în lucrarea [L2]. Faptul că se analizează o situație reală referitoare la calitatea pe fluxul de
producție, a tentat să fie preluat ă pentru expunere.
Un fabricant de piese pentru îmbinări mecanice destinate mobilei se confrunta de mult timp
cu o problemă, gr osimea stratului obținut prin placare pe șaibe (rondele) nu era constantă. Atunci
când problema apare pe neașteptate, remediul, în general aplicat, consta în creșterea procentelor
catalizatorului, cuprului și/sau zincului din rețetă. Această acțiune atrăge a după sine o creștere a
prețului operației de placare și, în final, a șaibelor. Iar problema grosimii șaibelor rămânea în
continuare nerezolvată.
Un inginer din uzină a sugerat reevaluarea compoziției utilizate la placare. El a propus
efectuarea unui ex periment, după un plan 23 cu 8 experiențe, pentru a vedea dacă se puteau reduce
procentele componentelor produselor chimice folosite în rețetă. Factorii și nivelurile lor sunt
prezentate în tabelul 3.15 . Nivelul 1 este procentul de component din procentul folosit în mod
curent la placare, nominalizat prin nivelul 2.
Tabelul 3. 15. Nivelurile factorilor pentru experiment .
Factor Nivel 1 Nivel 2
A: Catalizator
B: Cupru
C: Zinc 90% din compoziție
71% din compoziție
67% din compoziție Compoziția in ițială (100%)
Compoziția inițială (100%)
Compoziția inițială (100%)
În timpul experienței doar cei trei factori pot varia, factorii următori fiind menținuți constanți:
a) operatorul;
b) numărul pieselor;
c) operațiunile primare (aceeași mașina și ac elași cuptor de coacere);
d) durata ciclului placării ;
e) greutatea încărcăturii (453,59 kg).
Un eșantion de treizeci de piese alese la întâmplare a fost constituit la fiecare probă. Se va
măsura grosimea stratului placat în trei puncte pe fiecare piesă, se va calcula o grosime medie
pentru probă. Aceste medii apar în ultima coloană a tabelului 3. 16. Ordinea în care probele au fost
efectuate a fost stabilită în mod aleatoriu.
Planul de experiențe (și rezultatele ) este prezentat în tabelul 3.17 .
Efectele est imate sunt prezentate grafic în figura 3.18 . S-a folosit o altă metodă de prezentare
grafică a efectelor decât cea prezentată anterior.
23 Tabelul 3.1 6. Fișa de calcul.
Ordinea
exp. Ordinea
reală
(aleatorie) Factori
Catalizator Cupru Zinc
A B C Grosimea
placării
1
2
3
4
5
6
7
8 3
7
1
5
6
4
2
8 90% 100% 67%
100% 100% 67%
90% 71% 67%
100% 71% 67%
100% 71% 100%
90% 100% 100%
90% 71% 100%
100% 100% 100% 0.00051
0.00058
0.00051
0.00049
0.00050
0.00069
0.00071
0.00063
Tabelul 3. 17. Planul de experiențe .
Nr. exp.
real Nr.
exp. A B C AB AC BC ABC Y
3 1 1 1 1 2 2 2 1 51
7 2 1 1 2 2 1 1 2 71
1 3 1 2 1 1 2 1 2 51
6 4 1 2 2 1 1 2 1 69
4 5 2 1 1 1 1 2 2 49
5 6 2 1 2 1 2 1 1 50
2 7 2 2 1 2 1 1 1 58
8 8 2 2 2 2 2 2 2 63
Media M 57,8
Efectele -5,5 5,0 11,0 6,0 -8,0 0,5 1,5
Această metodă presupune următoarele etape :
calcula rea mediei răsp unsurilor pe cele două niveluri, pentru fiecare acțiune;
trasarea unei scări verticale care să cuprindă toate aceste valori medii;
trasarea unei linii orizontale în dreptul valorii mediei răspunsurilor M;
marcarea cu un punct a valorii medii a răspunsurilor la nivelurile superior și inferior ale fiecărui
factor; un punct va fi deasupra liniei mediei generale și altul dedesubt, echidistante față de
această linie;
unirea perechilor de câte două puncte (o acțiune) printr -o linie verticală.
Figura 3. 18. Reprezentarea grafică a efectelor
24 Această tehnică grafică a fost utilizată prima dată de Kackar și Shoemaker în 1986 . Ott (1975) a
folosit grafice similare însă trasând linii înclinate; punctul corespunzător nivelului “inferior”al
factorului s-a situat ușor la stânga punctului nivelului “superior” [L2].
De observat că cu cât linia verticală este mai lungă cu atât are loc o schimbare mai accentuată
a răspunsului când se trece de la nivelul 1 la nivelul 2 al factorului, efectul său fiind mai im portant.
Când se va face în capitolul 10 analiza varianței , un important instrument în studiu, se va vedea că
semnificația statistică a unui factor este direct legată de lungimea liniei verticale din graficul
efectului.
Conform graficelor rezultă că gros imea stratului placat este maximizată , fixând factorii A, B si C la
nivelele 1, 2, respectiv 2, ceea ce presupune diminuarea procentului catalizatorului, dar menținere a
nivelului de cupru și de zinc la nivelele lor inițiale. A ceastă concluzie trebuie pus ă cu prudență,
având în vedere efectele interacț iunilor relativ importante.
Figura 3. 18 sugerează că interacțiunile dintre A și B, între A și C merită cercetate mai în
profunzime, ca titlu comparativ și interacțiunea dintre BC. Răspunsurile medii pentru t oate
combinările a doi factori sunt date în figura 3.19, graficele interacțiunilor fiind în figura 3.20.
Cum era de așt eptat (după calculul efectelor totale ale interacțiunilor), se remarcă interacțiuni
semnificative AB și AC, interacțiunea BC fiind foarte mică, în figura 3.20 . Pentru a maximiza
răspunsul (grosimea stratului placat), figura 3.20 -a, se indică fixarea lui A la nivelul 1. Factorul B
nu are atunci nici un efect asupra răs punsului mediu. După figura 3.20 -b se vede că este indicat a
fixa A la nivelul 1 și C la nivelul 2. Figura 3.20 -c sugerează utilizarea nivelului 2 pentru C și B.
Observațiile sunt în concordanța cu cele făcute înainte de a studia efectele interacțiunilor.
a)Cat alizator si cupru
A: Catalizator
1 2
B:
Cupru 1
2 0,000610 0,000495
0,000600 0,000605
b) Catalizator si zinc
A: Catalizator
1 2
B:
Zinc 1
2 0,000510 0,000535
0,000700 0,000565
c ) Cupru și zinc
B: Cupru
1 2
B:
Zinc 1
2 0,000500 0,000545
0,000605 0,000660
Figura 3. 19. Răspunsurile medii în interacțiuni .
Y (10-5) Y (10-5 Y (10-5)
70 A 1 C2
B 2 A2
57,8 C 1
B 1
50 A C B
Figura 3.20 . Graficele interacțiunilor.
Uzina unde a fost realizată experiența a decis să păstreze procentul inițial de zinc (C la nivelul
2) din rețetă, să treacă A (catalizatorul) și B (cuprul) la nivelul 1. Această decizie vizând factorul B,
cu efecte favorabile asupra pre țului, se justifica prin faptul că deși A era la nivelul 1 și C la nivelul
2, nivelul lui B nu avea un efect notabil asupra răspunsului și că se puteau realiza economii
substanțiale reducând conținutul de cupru din rețetă. Mai mult, cel mai puternic răsp uns observat în
timpul experienței se producea atunci când A, B și C erau respectiv la niv elurile 1,1 și 2. 1 2 1 2 1 2
57,8
57,8 70
57,8
50
25 Au fost efectuate câteva experiențe de confirmare, reglând factorii la nivelurile recomandate,
cu operatori diferiți, în condiții normale de produ cție. Valorile grosimii stratului placat pe piesele
obținute în aceste experiențe sunt afișate în tabelul 3.18 și trasate în ordinea cronologica efectuării
în figura 3. 21. Încercările 5 si 6 au dat rezultate puțin diferite de celelalte șase. O analiză u lterioară
a descoperit că aceste probe fuseseră realizate folosind instalația automată pentru schimbarea
poziției piesel or și celelalte șase experiențe prin efectuarea manual ă a operație i. Efectul metodei de
schimbare a poziției pieselor în timpul acoperir ii metalice a rămas să fie studiat ulterior, schimbarea
poziției în mod manual a rămas să fie aplicată în continuare, rezultatele fiind mulțumitoare. Din
raportul final al inginerului care conducea studiul se putea trage concluzia că este posibil să se
reducă puțin cheltuielile pentru fabricarea șaibelor, utilizând o formulă optimă pentru compoziția
stratului de placare. Experimentul a dezmințit anumite principii care se vehiculau în fabrică. Iniți al
se credea că utilizând mai mult catalizator piesele accep tă mai bine cuprul și crescând procentul de
cupru din rețetă, zincul va adera mai bine cu acesta, fapt ce conduce la creșterea grosimii stratulu i
placat. Experimentul a arătat contrariul, adăugarea de componente tinde să reducă grosimea
stratului placat și, în final, să ducă la creșterea costurile de fabricație a pieselor.
Urmărind doar cum poate fi mărită grosimea stratului placat, cercetătorii au neglijat o
problemă esențială, nu a fost abordat modul cum var iază grosimea stratului placat (dispersia
rezultatelor). S-ar impune o serie de experiențe complementare pentru a studia posibilitatea de a
reduce încă mai mult procentul catalizatorului și al cuprului în compoziție și de a determina efecte le
eventuale ale factorilor asupra variabilității grosimii stratului superficial depus. În unul din
capitolele următoare se va studia noțiunea de robustețe a rezultatului unui experiment, adică
păstrarea lui în timp sa u la schimbarea unor factori puțin controlabili.
Tabelul 3.18. Rezultate ale probei de verific are.
Nr. de
ordine a exp. Grosimea medie Y
1
2
3
4
5
6
7
8 0,000593
0,000656
0,000685
0,000700
0,000083
0,000088
0,000593
0,000578
Figura 3. 21. Graficul rezul tatelor experiențelor de confirmare .
Numărul de experiențe poate deveni exagerat
Și revenind la planurile factoriale 2k, din care s -au prezentat doar situațiile 22, 23 și 24, prin
care se poate studia influența a doi, trei, respectiv patru factori. Dar ex ponentul k, adică numărul de
26 factori, poate deveni mult mai mare. Matricea experiențelor, calculul a k efecte (cu matricea
efectelor) și a interacțiunilor (2k-k-1)se face după aceleași reguli. Din punct de vedere teoretic nu
există limite privind numărul d e factori k studiați.
Se cunoaște faptul că în anul 1953 Taguchi a fost solicitat de o întreprindere japoneză de
materiale de construcții să rezolve o situație legată de calitatea produselor tradiționale, țigle. A u fost
identificați 7 factori de influență asupra mărimii aflată în studiu.. Planul factorial complet cu 7
factori la două niveluri, cere 27=128 de încercăr i este expus în tabelul 3.21 .
Cu acest tip de plan se poate observa că numărul de încercări urmează o progresie geometrică
în funcție de număru l în creștere al factorilor. De exemplu, cu un factor mai mult (să fie 8 în total),
înseamnă că sunt necesare 28=256 de încercări . Cu cei 7 factori inițiali, dar la 3 niveluri în loc de 2,
un plan factorial complet necesită 37=2187 încercări.
Pentru a rez olva problema optimizării pr oceselor de fabricație, uneori se încearcă și 15 factori
la 2 niveluri. Atunci ar trebui să se efectueze 215=32768 de încercări, ceea ce este efectiv irealizabil!
Planurile de experiențe factoriale sunt, din punct de vedere teor etic, complete, dar termenele
și costurile de experimentare devin exagerate de îndată ce depășesc 3 sau 4 factori. Din fericire,
Taguchi, aplicând propria metodă, a rezolvat cazul fabricii de țigle doar cu 8 experienț e. La
momentul potrivit, problema va fi expusă mai în detaliu .
Factorii au mai mult de două niveluri
Factori cu trei niveluri
În practica de cercetare se întâmplă frecvent ca două niveluri pentru factori să fie insuficiente.
În cadrul domeniului experimental factorii pot schimba intensitate a sau chiar sensul influenței
asupra răspunsurilor sistemului. Deseori este necesar realizarea de experimente în cadrul cărora
factorii să fie cu câte trei (sau mai multe) niveluri.
Numărul de grade de libertate permite măsurarea cantității de informații care se poate obține
dintr -o observație. Cu cât sunt mai multe grade de libertate, cu atât se vor obține mai multe
informații. Deci, cu cât un factor are mai multe niveluri de studiat, cu atât are mai multe grade de
libertate, comparările necesare pentru s tudiul său sunt mai numeroase și, în final, informația despre
efectele sale este mai fidelă.
Și în cazurile unde intervin factori cu mai multe niveluri se poate construi pentru experiment
un plan factorial. Pentru a ilustra cum se pleacă de la un caz în c are sistemul este sub influența a doi
factori, respectiv A și B, cu câte 3 niveluri fiecare. Planul factorial, simbolizat 32, presupune 3 x 3
= 9 încercări experimentale și se va construi sub forma tabelată cunoscută, prezentată anterior.
Construirea s -a făcut prin trecerea pe fiecare nivel a factorului B în dreptul unui nivel fixat al
factorului A. Această operație s -a repetat pentru fiecare nivel al factorului A, în planul factorial
fiind trei blo curi de experiențe, tabelul 3.20 .
Tabelul 3.20. Plan de experiențe cu factori pe trei niveluri.
Nr. exp. A B Y
1 1 1 Y1
2 1 2 Y2
3 1 3 Y3
4 2 1 Y4
5 2 2 Y5
6 2 3 Y6
7 3 1 Y7
8 3 2 Y8
9 3 3 Y9
Plecând de la rezultatele unui plan de experiențe, ortogonalitatea este condiția indispensabilă
pentru a pu tea calcula efectele unui factor independent de alți factori.
În planul 3.20 , este ușor să se constate că fiecare nivel al oricărui factor este combinat cu
fiecare nivel al celorlalți factori, și asta într-un număr egal de ori. Condiția de ortogonalitate e ste
îndeplinită.
De exemplu, când A este la nivelul 1 (de la experiența nr. 1 la nr. 3), B este o dată la nivelul 1
27 (experiența nr. 1), o dată la nivelul 2 și o dată la nivelul 3. Când A este la nivelul 2 (de la experiența
nr. 4 la 6), B este o dată la ni velul 1 (experiența nr. 4), o dată la nivelul 2 și o dată la nivelul 3. Când
A este la nivelul 3 (de la experiența nr. 7 la nr. 9), B este o dată la nivelul 1 (experiența nr. 7), o dată
la nivelul 2 și o dată la nivelul 3.
În consecință, când se compară re zultatele pentru:
A la nivelul 1, rezultatul mediu este M A1=1/3(Y 1+Y 2+Y 3),
A la nivelul 2, rezultatul mediu este M A2=1/3(Y 4+Y 5+Y 6),
A la nivelul 3 , rezultatul mediu este M A3=1/3(Y 7+Y 8+Y 9),
există siguranța că efectul lui B intervine cu aceeași pondere atât în A1 cât în A2 și A 3.
Tabelul 3.21 . Plan factorial complet 27.
Factori încercați Nr.
încercare
A B C D E F G Rezultatul
încercării
1. 1 1 1 1 1 1 1 R1
2. 1 1 1 1 1 1 2 R2
3. 1 1 1 1 1 2 1 R3
4. 1 1 2 1 1 2 2 R4
5. 1 1 1 1 2 1 1 R5
6. 1 1 1 1 2 1 2 R6
7. 1 1 1 1 2 2 1 R7
8. 1 1 1 1 2 2 2 R8
9. 1 1 1 2 1 1 1 R9
10. 1 1 1 2 1 1 2 R10
11. 1 1 1 2 1 2 1 R11
12. 1 1 1 2 1 2 2 R12
13. 1 1 1 2 2 1 1 R13
14. 1 1 1 2 2 1 2 R14
15. 1 1 1 2 2 2 1 R15
16. 1 1 1 2 2 2 2 R16
17. 1 1 2 1 1 1 1 R17
18. 1 1 2 1 1 1 2 R18
19. 1 1 2 1 1 2 1 R19
20. 1 1 2 1 1 2 2 R20
21. 1 1 2 1 2 1 1 R21
22. 1 1 2 1 2 1 2 R22
23. 1 1 2 1 2 2 1 R23
24. 1 1 2 1 2 2 2 R24
25. 1 1 2 2 1 1 1 R25
26. 1 1 2 2 1 1 2 R26
27. 1 1 2 2 1 2 1 R27
28. 1 1 2 2 1 2 2 R28
29. 1 1 2 2 2 1 1 R29
30. 1 1 2 2 2 1 2 R30
31. 1 1 2 2 2 2 1 R31
32. 1 1 2 2 2 2 2 R32
33. 1 2 1 1 1 1 1 R33
34. 1 2 1 1 1 1 2 R34
35. 1 2 1 1 1 2 1 R35
36. 1 2 1 1 1 2 2 R36
– – – – – – – – –
– – – – – – – – –
– – – – – – – – –
126 2 2 2 2 2 1 2 R126
127 2 2 2 2 2 2 1 R127
128 2 2 2 2 2 2 2 R128
28
Într-o matrice ortogonală, același fenomen poate fi constatat între orice cuplu de factori. În
măsura în care într -un plan de experiențe toate combinațiile de factori respectă această
ortogonalitate, nu există un amestec între efectel e lor. Această caracteristică a unui plan de
experiențe este fundamentală pentru analizarea corectă a influenței diferiților factori.
Media generală a răspunsurilor este : M Yi
i
1
919
.
Calculul efectelor în acest caz se face ca în cazul factorilor cu câte 2 nive luri. Se folosește
formula generală de calcul al efectelor medii. De exemplu, pentru facto rul A această formulă se
scrie conform cu relația:
EAi = (media răspunsurilor Yi atunci când A este la nivelul "i") – (media generală a răspunsurilor)
unde : EAi este ef ectul factorului A la nivelul i .
Astfel, pentru efectele factorul ui A sunt valabile relațiile :
Se remarcă imediat, la fel ca în cazul factorilor cu câte
două niveluri, că se verifică relația 3.37. Drept urmare, va fi
inutil să se calculez e cele trei efecte, este suficient să se
calculeze primele două dintre acestea, iar cel de -al treilea va
fi dedus cu relația 3.37. Ca urmare , numărul de efecte
independente este egal cu 2. Se poate spune că numărul de
grade de libertate pentru factorul A este egal cu 2, ceea ce
corespunde cu numărul de niveluri al factorului minus 1 .
EA1 + EA2 + EA3 = 0 (3.37)
Efectele factorului B se vor calcula în același mo d, relațiile 3.38.
E Y Y Y M
E Y Y Y M
E E EB
B
B B B1
2
3 1 21
31 4 7
1
32 5 8
–
Factori cu niveluri diferite
Se va lua în studiu factorii A și B care sunt influenți pentru un anume sistem, dintre care A
este cu 2 niveluri, iar B este cu 3 niveluri.
Planul factorial comportă 2 x 3 = 6 experiențe , tabelul 3.22 .
Tabelul 3.22 . Planul factorial.
Nr. exp. A B Y
1
2
3
4
5
6 1 1
1 2
1 3
2 1
2 2
2 3 Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
Y6
Media generală a răspunsurilor este : M Yi
i
1
616
.
Calcul ul efectelor pentru factorul A este dat de relația 3.39.
E Y Y Y M
E EA
A A1
2 11
31 2 3
(3.39)
E Y Y Y M
E Y Y Y M
E Y Y Y M A
A
A 1
2
31
3 1 2 3
1
3 4 5 6
1
3 7 8 9
(3.38)
29
E Y Y M
E Y Y M
E E EB
B
B B B1
2
3 1 21
21 4
1
22 5
=- Calculul efectelor pentru factorul B se face conform relațiilor
În cazurile precedente de analiză a sistemelor influențate de factori cu m ai mult de două
niveluri s -a apreciat că interacțiunile între factori sunt nule. Și totuși, așa cum s -a arătat, ele au
uneori o semnificație ce nu poate fi neglijată. Pentru a prezenta cazul general de calcul al
interacțiunilor, se va considera un sistem p entru care se studiază influența a trei factori, respectiv A
(două niveluri), B (trei niveluri), C (două niveluri). Planul factorial comportă deci 21 x 31 x 21 =22 x
3 = 12 încercări expe rimentale, tabelul 3.23 . Se remarcă respectarea proprietății de ort ogonalitate a
planului.
Media generală a răspunsurilor este : M Yi
i
1
12112
Tabelul 3. 23. Planul factorial complet.
Experiment A B C Y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 1
12 1 1 1
1 2 1
1 3 1
1 1 2
1 2 2
1 3 2
2 1 1
2 2 1
2 3 1
2 1 2
2 2 2
2 3 2 Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
Y6
Y7
Y8
Y9
Y10
Y11
Y12
Utilizând metoda obișnu ită de calcul al efectelor, se scriu relațiile 3.41.
Se vor calcula doar interacțiunile de ordinul doi .
– Interacțiunea AB are to ate combinațiile în tabelul 3.24 .
E Y Y Y Y Y Y M
E E
E Y Y Y Y M
E Y Y Y Y M
E E E
E Y Y Y Y Y Y M
E EA
A A
B
B
B B B
C
C C1
2 1
1
2
3 1 2
1
2 11
61 2 3 4 5 6
1
41 4 7 10
1
42 5 8 11
1
61 2 3 7 8 9
. (3.41)
30 Tabelul 3.24 . Interacțiunea AB.
B1 B2 B3
A1 IA1B1 IA1B2 IA1B3
A2 IA2B1 IA2B2 IA2B3
Numărul de grade de libertate se calculează conform relației 3.42.
n gl(AB)= n gl(A) x n gl(B) = 1 x 2 = 2 (3.42)
Două grade de libertate pentru interacțiune presupune că este suficient să se calculeze două
combinații, după care se vor deduce celelalte.
Aplicând formula generală de calcul al interacțiunilor, se obțin relațiile 3.43.
Se verifică, de asemenea, relația : I A1B1+IA1B2+IA1B 3 = 0
Pentru a calcula interacțiunea IAB21, se aplică relația: I IAB AB 21 110 (suma coloanelor = 0).
Pentru celelalte interacțiuni se procedează în mod similar.
– Interacțiunea AC are toate combinațiile în tablo ul interacțiunilor AC:
C1 C2
A1 IA1C1 IA1C2
A2 IA2C1 IA2C2
Numărul de grade de libertate este: ngl(AC) = n gl(A) x ngl(C) = 1 x 1 = 1. Se calculează:
I Y Y Y M E EAC A C 11 1 11
31 2 3 .
Folosind tabloul interacțiunilor , se deduc celelalte combinații:
IA1C2 = – IA1C1 (sum a liniilor = 0)
IA2C1 = – IA1C1 (suma coloanelor = 0)
IA2C2 = – IA2C1 (suma liniilor = 0).
– Interacțiunea BC
Numărul de grade de libertate este: ngl(BC) = n gl(B) x ngl(C) = 2 x 1 = 2 .
Se calculează următoarele interacțiuni:
I Y Y M E E
I Y Y M E EBC B C
BC B C11 1 1
21 2 11
21 7
1
22 8
.
Pe baza tabloului interacțiunilor se deduc relațiile 3.44.
IB3C1 = – ( IB1C1 + IB2C1) , (suma coloanelor = 0) ;
I Y Y M E E
I Y Y M E E
I Y Y M E EAB A B
AB A B
AB A B11 1 1
12 1 2
13 1 31
21 4
1
22 5
1
23 6
.
(3.43)
31 IB1C2 = – IB1C1 (suma liniilor = 0) (3.44)
IB2C2 = – IB2C1 (suma liniilor = 0)
IB3C2 = – IB3C1 (suma liniilor = 0 )
Așa cum s -a defin it un grafic al efectelor medii se poate defini și un grafic al interacțiunilor.
Acest grafic permite să se vadă efectul factorilor și influența interacțiunilor. Pentru cazul aflat în
analiza anterioară, graficul efectelor medii și al interac țiunilor arată ca în figura 3.22 . Pe grafic,
mărimea și sensul efectelor și interacțiunilor s -a luat în mod arbitrar. S -a reprezentat numai
interacțiunea dintre factorii A și C, graficele celorlalte interacțiuni trasându -se în mod similar.
Pentru a reprezenta interacțiunea AC, s -a plasat în abscisă factorul A iar în ordonată
răspunsul sistemului. Prima linie reprezintă efectul lui A cumulat cu interacțiunea AC și efectul lui
C atunci când factorul C este la nivelul 1. Astfel, atunci când A este pe nivelul 1 și C pe niv elul
1, punctul de pe grafic se situează la valoarea M + EA1 + IA1C1 + IC1 .
A doua linie reprezintă efectul lui A cumulat cu interacțiunea AC, și efectul lui C atunci
când C este pe nivelul 2.
Figura 3.2 2. Graficul efectelor medii și interacțiunilor .
Dacă studiul prezentat ar urmări un maxim al răspunsului atunci se recoma ndă ca parametrii
să fie reglați astfel: A pe nivelul 2 (un factor în aparență nesemnificativ, având un efect individu al
aproape nul, dar favorizează interacțiunea I A2C1), B pe nivelul 1 și C pe nivelul 1. Când C este pe
nivelul 1 și A pe 2, efectul intera cțiunii AC este semnificativ pentru răspunsul sistemului.
În concluzie, la studiul interacțiunilor, dacă un factor nu are un efect principal asupra
răspunsului sistemului, va trebui să fie plasat la nivelul pentru care favorizează efectul celorlalț i
facto ri, adică, să se țină cont de rolul pe care îl poate avea în interacțiuni.
De cele mai multe ori, o interacțiune are efect semnificativ dacă cel puțin unul din factorii
implicați în interacțiune are efect semnificativ. Este greu de presupus că interacțiun ea între factori
cu efecte nesemnificative ar putea avea un efect important.
0 0 0
0 M M M
M a) b) c)
d) 1 2 1 1
1 2 2
2 A B C
A Rãspuns Rãspuns Rãspuns
Rãspuns
C =C1
C =C2 a) Efectul fac torului A (douã niveluri)
b) Efectul factorului B (trei niveluri)
c) Efectul factorului C (douã niveluri)
d) Intera cțiunea dintre factorii A și CLegendã:3
32 PLANURILE DE EXPERIENȚE ȘI MODELAREA MATEMAT ICA
Modelarea polinomială
Pentru a ușura interpretarea efectelor factorilor și interacțiunilor este preferabil să se scrie u n
model al sistemului studiat. În literatura de specialitate se sugerează diverse modele matematice ce
ar putea servi la o modelare a sistemelor studiate prin metoda planurilor de experiențe .
Fiind cunoscuți factorii influenți X1,X2…X K, se caută să se rep rezinte printr -o relație variațiile
răspunsului Y în funcție de acești factori. Scopul acestei relații este:
– de a permite estimarea răspunsului în diverse puncte din domeniul de interes în condiții de
lucru stabilite;
– de a servi ca punct de plecare în opt imizarea sistemului.
Dispunând de o serie de date care dau valoarea răspunsului în cadrul unor condiții de lucru,
este evident că mai multe forme ale ecuației Y~ = f( X1,X2,…, X K ) sunt compatibile cu rezultatele
obținute. Alegerea între mai multe relații susceptibile de a fi valabile nu este chiar simplă și
metodologia depășește limitele acestei lucrări.
În practică, cele mai folosite sunt modelele polinomiale și asta pentru că se pot dezvolta în
serii de funcții mai complexe (de exemplu în serii Taylor) , respectând câteva proprietăți, cea mai
importantă fiind continuitatea funcției. Acestea sunt modelele empirice, nefiind legate de
mecanismul fenomenului.
Se dorește să se estimeze importanța relativă a factorilor experimentali într -un domeniu dat. În
general, această etapă intervine la începutul unui experiment, atunci când numărul de factori bănuiți
că ar avea o influență semnificativă este mare. Modelul este un polinom de gradul 1 care implică o
însumare a efectelor, unde Y~ este răspunsul teoretic ia r Xi factorii studiați, b k fiind coeficienții
polinomului, relația 4.1.
Y~ = b0 + b1X1 + b2X2 + …….. + bkXk (4.1)
Determinarea importanței factorilor corespunde estimăr ii coeficienților polinomului de gradul
1 expus în relația 4.1.
Se dă un exemplu, timpul Y pentru a ajunge cu mașina la birou depinde de doi factori, traseul
ales D (drum) și ora de plecare (trafic la „vârf”, sau normal) H.
Modelul polinomial de gradul 1 este cel din relația 4.2.
Y ~= b 0 + b 1 D+ b 2H (4.2)
Modelul polinomial de gradul 2 are forma din relația 4.3.
Y~ = b 0 + b 1D + b 2H + b 12DH + b 11D2 + b 22H2 (4.3)
Coeficienții necunoscuți b j sunt determinați datorită experiențelor făcute, printr -un calcul de
regresie multiliniară, utilizând criteriul celor mai mici pătra te. Termenul multiliniar semnifică
linearitatea raportată la toți coeficienții. Interesul pentru folosirea matricelor de tip Hadamard e ste
de a obține o estimare inde pendentă a acestor coeficienți (covarianța cov(b jbk)=0, definită conform
cu relația 1.4) , cu o dispersie identică pentru toți b j astfel încât var(b i) = σ2 (σ2= varianța
experimentală, N = numărul de experiențe).
Gradul 1 al polinomului, numit și liniar , se referă la exponenții variabilelor. Când modelul
se reprezintă printr -un polinom de grad ul 2 (ca în relația 4.3) se spune că este un model pătratic și
când polinomul este de gradul 3 modelul este cubic .
Dacă între factori intervin interacțiuni, modelul polinomial le include sub forma cuplajelor
între factorii implicați. Reluând exemplu l de ma i sus, cu presupunerea că între traseul ales și ora de
plecare să fie interacțiune, simbolizată D H, polinomul ia forma celui din relațiile 4.4.
– în cazul general: Y~ = b0 + b1X1 + b2X2 + b12X1X2
– în exemplu: Y~ = b 0 + b 1D+ b 2H + b 12DH (4.4)
33 Se impun două observații importante.
– Numărul minim de experiențe de efectuat este egal cu numărul necunoscutelor b j; acest
număr crește odată cu gradul g al polinomului și numărul k al factorilor (tabelul 4.1), fapt ce face să
există interesul pentru căutarea modelelor cât mai simple.
– Modelul ales trebuie să fie valid, adică să conducă la o bună estimare a răspunsului în
punctele experimentale în care s -au făcut deja experiențe. Î n felul acesta, predicțiile care se vor face
în alte puncte ale domeniului vor fi corecte.
Se vor prezenta în continuare cazurile de modelare pentru sisteme cu factori pe două niveluri.
Pentru cazul unui sistem cu un singur factor, modelul liniar se estime ază bine cu un polinom ce
reprezintă o dreaptă, relația 4.5.
Y~ = b0 + biXi (4.5)
unde media rezultatelor reprezintă răspunsul în ce ntrul domeniului, adică termenul constant al
polinomul (Y ~= b0 pentru X i = 0).
Pentru un sistem cu doi fa ctori (k=2), polinomul de gradul 1 (g=1) are forma din relația 4.6.
Y~ = b0 + b1X1 + b2X2 + b12X1X2 . (4.6)
S-au efectuat patru experiențe (g=1, k=2 ), conform matricei efectelor X pentru un plan 22 din
figura 4.2. S-a arătat anterior că m atricea efectelor este matricea experiențelor pentru un plan, la
care se adăugă o coloană la stânga doar cu semnul +, afectată factorului fictiv X 0, adică mediei
generale și care permite găsirea imediată a relațiilor:
– pentru media generală M, coloana cu semne + ;
– pentru efectele factorilor, coloanele afectate factorilor, din ma tricea experiențelor;
– pentru interacțiuni între factori; de exemplu, coloana X 1X2 este atribuită interacțiunii și este
construită prin produsul coloanelor X1 cu X2.
Figura 4.1 . Răspunsul teoretic în centrul domeniului experimental .
S-au obținut patru informații corespunzătoare estimării coeficienților modelului, media,
efectele, interacțiunea. După cum s -a arătat, modelul este un polinom.
-1 +1X i Y b
Y a efect ul principal
1 2
2 Yb Y a -Y
răspunsul te oretic în
centrul domeniului 2 Y b Y a + i b =
0 b =
00 b
34 XX
X1
23
(1) (2)
(3) (4)(7) (8)(5) (6)
Determinarea coeficienților b i se face calculând suma
algebrică a răspunsurilor Yi, afectată de semnele elementelor
coloanei corespunzătoare, împărțită la numărul N de
experiențe, relațiile 4.7, figura 4.3.
Figura 4.2 . Matricea efectelor la un model cu doi factori.
Figura 4.3. Media răspunsurilor și calcularea efectelor factorilor .
b0 = 1/4 (y 1 + y2 + y3 + y4)
b1 = 1/4 ( -y1 + y2 – y3 + y4) (4.7)
b2 = 1/4 ( -y1 – y2 + y3 + y4)
b12 = 1/4 (y 1 – y2 – y3 + y4)
Pentru k = 3, un plan factorial complet necesită 23= 8
experiențe, fapt ce permite determinarea a 8 informații utile. În
figura 4.4 se găsește matricea efectelor.
Modelul polinomial care se poate studia cu o astfel de
matrice cuprinde toți termenii interacțiunilor factorilor 1 cu 1, 2 cu
2, 3 cu 3. În relația 4.8 se vede că există 23=8 termeni, termenul constant b 0, 3 efecte principale b j, 3
efecte ale interacțiunilor de ordinul doi b ij și un efect al interacțiunii de ordinul trei b ijk .
Y~=b0+b1 X1+b2X2+b3X3+b12 X1X2 +b13 X1X3 +b23 X2X3 +b123 X1X2X3 (4.8)
Validitatea modelului trebuie testată, comparând, de exemplu, v alorile lui Y~ date de model
cu rezultatele experimentale de care se dispune. Dacă modelul de gradul 2 nu dă satisfacție, se
propune să se parcurgă una din variantele:
să se caute un model liniar sau pătratic după ce s -au transformat variabilele printr -o funcție
potrivită (log , rădăcină pătrată…);
să se caute un model neliniar;
să se împartă domeniul experimental în subdomenii în care modelul de gradul 1 sau gradul 2
să fie acceptabil. X0 X1 X2 X 1X2
+1 -1 -1 +1
+1 +1 -1 -1
+1 -1 +1 -1
+1 +1 +1 +1
422 2
4 3 2 13 1 4 2
1
Y Y YYYY Y Y
b
X1X2
1 23 4
-1 1
-11
(y )1(y )2(y )4 (y )3
réponse moyenne réponse moyenne
Răspuns mediu Răspuns mediu
pt. X 1 la niv. -1 pt. X 1 la niv. +1
23 1YY 24 2YY
4 22 2 4 3 2 12 1 4 3
2Y Y YYYY Y Y
b
X1X2
1 23 4
-1 1
-11
(y )1(y )2(y )4 (y )3
réponse moyenne réponse moyenne
Răspuns mediu Răspuns mediu
pt. X 2 la niv. -1 pt. X 2 la niv. +1
22 1YY 24 3YY
35 MODELAREA MATRICEALĂ
Acest model a fost p ropus de Vigier și Sisson și se bazează pe scrierea matriceală.
Factorii vor fi reprezentați prin vectori , de exemplu [A]. Dacă A este la nivelul 1, se scrie:
A1
0. Dacă A este la nivelul 2, se:
A0
1
Se notează cu t [A] vectorul transpus al vectorului [A]. Dacă A este la nivelul 1, se scrie:
t [A] = [ 1 0 ] . Autorii modelării matriceale au numit acest vector indicator de nivel .
Se expune, drept exemplu, cazul când sistemul este influențat de trei factori, respectiv A
(două niveluri), B (trei nivel uri), C (două niveluri).
Modelul căutat va fi cel din relația 4.18.
Y~ = M + A + B + C + AB + AC + BC (4.18)
Se caută să se modeleze efectele factorilor A, B, C, precum și interacțiunile AB, AC și BC .
Efectele și interacțiunile vor fi modelate prin matrice ale căror număr de linii și coloane depinde de
numărul de niveluri.
Modelarea matriceală se va scrie ca în relația 4.19. Pentru a calcula răspunsul teoretic furnizat
de model, într -o configurație d ată, este suficient să se facă înmulțirile matriceale din această relație.
De exemplu, dacă A este la nivelul 1 A
01, dacă B este la nivelul 3 B 0
0
1
dacă C este la nivelul 2 C 0
1,
(4.19)
Dacă se iau în considerare numai efectele factorilor, precum și interacțiunea AC , rezultă următorul răspuns teoretic
Y~ = M + E A2 + EB3 + EC2 + IA2C2 (4.20)
Modelul matriceal este foarte simplu și ușor de exploatat. Dar pune probleme unei reprezentări
grafice sugestive sau interpretării în interiorul domeniului de lucru. Modele le polinomiale sunt
foarte utilizate pentru că sunt disponibile multe programe pe calculato r cu ajutorul pot fi prelucrate.
Interpretarea modelului
Modelul de mai sus reprezintă un model al comportării sistemului studiat în nodurile rețelei
alese de către experimentator.
Se pleacă de la presupunerea că în cazul exemplului de mai su s optimul ar fi un minim. În
acest caz, trebuie să se stabilească combinația nivelurilor factorilor încât răspunsul sistemului să fie
minim.
Y
E
A
IA
AB
AC~ = M + M edia ge nerală
+ E A + Efectul lui A
+ E E E B + Efectul lui B
+ E E C + Efectul lui C
+ I I I
I I I B + Interacț iunea AB
+ A I
I I C + Interacț iunea AC
A1
B1 B2 B3
C1 C2
t A1B1 A 1B2 A 1B3
A 2 B2 A2 B 3
t A1C1
A2C1 A 2C2
2
21
12
+ I I
I I
I I C Interacț iunea BC . tB1C1 B1C2
B2C1 B2C2
B3C1 B3C2B
36 Se poate proceda în mai multe moduri.
a. Se neglijează interacțiunile
Interpretarea modelului este simplă. Mi nimul se va obține atunci când: A va fi la nivelul 2,
B la nivelul 2, C la nivelul 1, D la nivelul 1, în continuare, E, F, G la nivelurile când răspunsul este
dirijat spre minim (se presupune că a rezultat E la nivelul 2, F la nivelul 2, G la nivelul 2).
b. Se iau în considerare interacțiunile
În acest caz, pot exista incompatibilități cu rezultatele obținute în cazul precedent.
Interacțiunea compensează uneori efectele factorilor.
Este cazul interacțiunii AB, care minimizează răspunsul sistemului atunci când A și B sunt
la niveluri diferite, în timp ce optimizarea anterioară plasase ambii factori la nivelul 2.
În alte cazuri, interacțiunile pot ampl ifica efectele factorilor principali , aceasta fiind situația
cea mai bună. Această situație se î ntâlnește în cazul interacțiunii BC care minimizează răspunsul
atunci când B și C sunt la niveluri diferite, ceea ce corespunde cazului de la prima optimizare.
Pentru cazul analizat, s -a stabilit faptul că minimul este atins atunci când factorii v or fi
plasați ca în tabelul 7.14 . În urma efectuării experienței cu această configurație se obține un anumit
răspuns.
Tabelul 7.1 4. Configurația finală a factorilor modelului .
Factori A B C D E F G
Niveluri 2 2 1 1 2 2 2
Răspunsul teoretic Y~ se calculează cu ajutorul modelării matriceale.
Încercarea experimentală de confirmare . Analizând planul de experiențe, se observă că
această configurație de factori nu a fost propusă ș i deci nici testată. Devine indispensabil să se facă
o încercare de confirmare pentru a verifica dacă răspunsul măsurat verifică ipoteza răspunsului
teoretic.
Planul de experiențe a permis determinarea factorilor influenți a efectelor și a nivelurilor
optime pentru fiecare dintre aceștia. În continuare, trebuie să se verifice reproductibilitatea
rezultatelor, efectuând o experiență suplimentară pentru condițiile optime găsite. Scopul încercării
de validare este verificarea atingerii rezultatului prevăzut d e modelul teoretic.
În urma acestei încercări de confirmare pot apărea diferite cazuri.
Răspuns aproximativ egal cu răspunsul teoretic . În acest caz modelul teoretic care s -a
realizat satisface experimentatorul, răspunsul sistemului este apropiat de răspun sul teoretic,
interacțiunile fiind foarte slabe sau nule.
Răspuns de valoare mai mică, dar suficient de apropiată de răspunsul teoretic. În
acest caz modelul conceput și realizat nu satisface pe deplin, deoarece răspunsul sistemului este
totuși d estul de îndepărtat de răspunsul prevăzut în cadrul modelării. Răspunsul obținut este mai
bun decât răspunsul prevăzut. Este probabil ca interacțiunile să nu fie nule și ca acestea să amplif ice
efectele factorilor principali. Această soluție este satisfăcă toare, eventual, experimentatorul poate
aprofunda analiza.
Răspuns de valoare mai mare, suficient de apropiată de răspunsul teoretic. Ca și în cazul
precedent, modelul nu este foarte mulțumitor. Există, probabil, interacțiuni care atenuează efectele
factor ilor principali. Totuși, dacă răspunsul obținut până acum, folosind alte metode, era mai mare
decât răspunsul din acest caz, experimentatorul se poate declara mulțumit de acest rezultat
provizoriu, căutând apoi și alte mijloace de ameliorare a acestuia.
Răspuns de valoare mai mare, mult îndepărtată de răspunsul teoretic. În acest caz,
răspunsul este prea depărtat de realitate și, ca atare, rezultatele experienței trebuie respinse.
Experimentul trebuie reluat cu mai multă precauție.
Înainte de a relua experi mentul, trebuie să se caute cauzele acestei abateri dintre modelul
teoretic și realitate. În principiu, ar putea exista doar câteva cauze esențiale care ar putea explica o
asemenea abatere , principalele fiind prezentate în continuare.
1) Alegerea greșită a factorilor . În această situație se ajunge dacă pentru experiment s -a făcut
o alegere a factorilor insuficient documentată. Cel mai probabil că s -a omis un factor de influență
37 care a variat inopinat în momentul experimentului, există și alți factori cu inf luență importantă, care
perturbează încercările experimentale.
2) Prezența unor interacțiuni puternice nereprezentate în modelul sistemului studiat. Din
prima etapă s -a apreciat că modelul ales nu comportă interacțiuni. În cazul în care totuși acestea
există, efectele calculate sunt distorsionate de prezența interacțiunilor deci sunt eronate.
3) Nivelurile unor factori au oscilat în timpul experimentului.
4) Intervalul dintre nivelurile factorilor ales necorespunzător. Aceasta eroare se face frecvent
și constă în faptul că nivelurile unor factori au fost definite prea aproape sau prea departe unul de
celalalt pentru a se putea detecta efectele trecerii de la un nivel la altul.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: METODE CLASICE PENTRU PLANIFICAREA EXPERIMENTELOR [623460] (ID: 623460)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.