Lucrare metodico -științifică [622922]

Universitatea „Transilvania” din Brașov
Facultatea de Psihologie și Științele Educației
Departamentul pentru pregătirea personalului didactic

Lucrare metodico -științifică
pentru obținerea gradului didactic I

Coordonator :
CONF. UNIV. DR. Ida Cristian

Candidat: [anonimizat]. Păcurar Mirela Elena
Școala Gimnazială Budila

2015 – 2017

1
Universitatea „Transilvania” din Brașov
Facultatea de Psihologie și Științele Educației
Departamentul pentru pregătirea personalului didactic

Rolul metodelor interactive în studiul
patrulaterelor, în creșterea
randamentului școlar al elevilor

Coordonator :
CONF. UNIV. DR. Ida Cristian

Candidat: [anonimizat]. Păcurar Mirela Elena
Școala Gimnazială Budila

2015 – 2017

2
Avizul conducătorului științific,
CONF. UNIV. DR. Ida Cristian

Domnule Director,

Subsemnatul/(a) ___________________________________ _________
vă rog să -mi aprobați susținerea lucrării metodico – științifice cu titlul
____________________________________________________________ __
________________________________________________________ ______
sub îndrumarea d -nei/d -lui prof. ______________________________ ______

Data, Semnătura,

3
Cuprins

Cuprins ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………. 3
Argument ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……. 6
CAPITOLUL I ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………. 11
MULȚIMI CONVEXE ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………… 11
I.1. Spații afine ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………… 11
I.2. Exemple de spații afine ………………………….. ………………………….. ………………………….. ….. 12
I.2.1. Varietate liniar ă. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 12
I.2.2. Spațiu afin standard. ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 13
I.2.3. Spațiul afin al vectorilor geometrici. ………………………….. ………………………….. ………. 13
I.2.3.1. Operații cu vectori……………………………………………………………………….. ………… 14
I.2.3.1.1. Suma a doi vectori…………………………………………………………………. …………. ..14
I.2.3.1.2. Amplificarea cu scalari…………………………………………………………. ………… ….15
I.2.3.1.3. Produsul vectorial………………………………………………………………….. ………… ..16
I.2.3.1.4. Produsul mixt (exterior) a trei vectori geometrici……………………….. …………. 17
I. 2.3.2. Teorema fundamentală a geometriei analitice………………………………….. …………. 18
I.3. Repere într -un spațiu afin. Schimbarea reperelor ………………………….. ……………………….. 19
I.4. Semispații ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………….. 20
I.5. Mulțimi convexe ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………… 22
I.6. Sim plex ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………….. 25
CAPITOLUL II ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………… 28
PATRULATERE CONV EXE ………………………….. ………………………….. ………………………….. …. 28
II.1. Noțiuni introductive ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 28
II.2. Patrulatere i nscriptibile ………………………….. ………………………….. ………………………….. …. 33
II.2.1. Relații într -un patrulater inscriptibil. ………………………………………………………………..33
II.2.2. Teorema lui Ptolemeu ………………………….. ………………………….. …………………………. 35
II.2.3. Teorema re ciprocă a teoremei lui Ptolemeu . ………………………….. ………………………. 36
II.2.4. Formula lu i Arhimede ………………………….. ………………………….. ………………………… 36
II.2.5. Teorema lui Mathot ………………………….. ………………………….. ………………………….. .. 38
II.2.6. Dreapta lui Simpson ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 39
II.2.7. Teorema lui Taylor ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 41
II.3. Patrulatere circumscriptibile ………………………….. ………………………….. ………………………. 42

4
II.3.1. Definiție /Proprietăți ………………………….. ………………………….. ………………………….. .. 42
II.3.2. Dreapta lui Euler ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……. 44
II.3.3. Relația lui Euler pentru patrulatere ………………………….. ………………………….. ……….. 45
II.3.4. Teorema lui Pithot ………………………….. ………………………….. ………………………….. …. 47
II.3.5. Teorema lui Newton ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 48
II.3.6. Teorema lui Miquel ………………………….. ………………………….. ………………………….. .. 49
II.3.7. Teorema lui Pompeiu ………………………….. ………………………….. ………………………….. 50
II.4. Patrulater complet ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………… 51
II.4.1. Teorema lui Newton -Gauss ………………………….. ………………………….. …………………. 51
II.4.2. Lemă. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………… 52
II.4.3. Dreapta lui Newton ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 53
II.4.3.1. Consecințe (Teorema lui Newton)…………………………………. …………………………5 4
CAPITOLUL III ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………….. 56
METODICA REZOLVĂRII PROBLEMELOR PRIVIND PATRULATERE PARTICULARE 56
III.1. Metode și tehnici interactive de învățare în grup ………………………….. ……………………… 56
III.1.1 . Importanța folosirii metodelor in teractiv e ………………………….. …………………………. 59
III.1.2. Creșterea randamentului școlar – sarcină primordială a în vățământului…………….. ..61
III.1.2.1. Interdisciplinaritatea – factor de motivație pentru o învățare de calitate ………….. 65
III.1.2.2. Utilizarea calculatorului la orele de matematică ………………………………………… ..67
III.2. Rezolvare de probleme de geometrie ………………………….. ………………………….. ………… 74
III.2.1. Tratare metodică……………………………………………………………… ………………………… 74
III.2.2. Probleme de geometrie cu grad ridic at de dificultate……………………………….. ………79
CAPITOLUL IV ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………. 91
CERCETAREA CONSTATATIV -APLICATIVĂ PRIVIND DEZVOLTAREA
COMPETENȚELOR MATEMATICE LA CLASA a VII -a ………………………….. …………………. 91
IV.1. Scopul cercetării ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………. 91
IV.2. Obiectivele cercetării ………………………….. ………………………….. ………………………….. ….. 91
IV.3. Ipoteza cercetării ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………… 91
IV.4. Metodologia cercetării ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 92
IV.5. Grupul de cercetare ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……. 93
IV.6. Desfășurarea cercetării ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 96
IV.6.1. Etapa pre -experimentală. ………………………….. ………………………….. ……………………. 99
IV.6.2. Etapa experimental – aplicativă. ………………………….. ………………………….. ………… 104
IV. 6.2.1. Învățarea prin descoperire………………………………………… ………………………..10 4

5
IV.6.2.2. Mozaicul ……………………….. ……………………………………………………………….. ..107
IV.6.2.3. Explozia stelară ……………………………………………………….. ………………………..10 9
IV.6.2.4. Matoda RAI – "Răspunde – Aruncă – Interogează" …………………………1 11
IV.6.2.5. Ciorchinele ……………………………………………………………… ………………………..11 2
IV.6.2.6. Metoda cubului ……………………………………………………….. ………………………..11 4
IV.6.2.7. Turul galeriei …………………………………………………………… ………………………..1 20
IV.6.2 .8. Brainstorming ………………………………………………………………………………… ….12 1
IV.6.2.9. Povestiri cu subiect dat ……………………………………………… ………………………..12 3
IV.6.2.10. Jocul de rol …………………………………………………………………… …………………12 3
IV.6.2.11. Eseul de 5 minute …………………………………………………… ……………….. ………12 4
IV.6.2.12. Proiectul ……………………………………………………………….. ………………………..12 4
IV.6.2.13. Metoda "Știu/Vreau să știu/Am învățat" ………………………..…………12 6
IV.6.2.14 . Instruirea diferențiată și inteligențele multiple …………………………….12 7
IV.6.3. Etapa finală. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………. 137
IV.7. Concluzii ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………. 141
IV.8. Recomandări educaționale………………………………………………………. ………………………..14 3
Bibliografie ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………………. 144
Declarație de autenticitate a lucrării metodico – științifice de grad didactic I……………………….145

6
Argument
MOTTO
,, Învățându -l pe altul îl faci mai bogat ,
fără ca tu să devii mai sărac …”
Bunul mers al procesului de învățământ și rezultatele obținute depind de metodele
utilizate. Marii pedagogi au evidențiat faptul că folosindu -se metode diferite se obțin
diferențe esențiale în pregătirea elevilor, că însușirea unor n oi cunoștințe sau
comportamente se poate realiza mai ușor sau mai greu, în funcție de metodele utilizate.
Metodele sunt instrumente importante aflate la dispoziția profesorului, de a căror
cunoștințe și utilizare depinde eficiența muncii educative. Profes orul, cunoscând
varietatea metodelor, particularitățile elevilor cu care lucrează, obiectivele pe care trebuie
să le atingă, trebuie să acționeze pentru a -și valorifica pe deplin personalitatea, devenind
el însuși un creator în materie articulare a strateg iilor, metodelor și procedeelor didactice.
Antrenarea permanentă a elevilor la un efort intelectual susținut și înarmarea
acestora cu capacități necesare unei activități de învățare productivă reprezintă
modalitatea cea mai eficientă de educare a elevilor în spiritul unei atitu dini conștiente și
active. Cerința primordială a educației progresiviste, cum spune Jean Piaget, este de a
asigura o metodologie diversificată bazată pe îmbinarea activităților de învățare și de
munca independentă, cu activitățile de cooperare, de învățare în grup și de munca
interdependentă. Deși învățarea este eminamente o activitate proprie, ținând de efortul
individual depus în înțelegerea și conștientizarea semnificațiilor științei, nu este mai puțin
adevărat ca relațiile in terpersonale, de grup sunt un factor indispensabil apariției și
construirii învățării personale și colective. “Învățarea în grup exersează capacitatea de
decizie și de inițiativă, dă o notă mai personală muncii, dar și o complementaritate mai
mare aptitudi nilor și talentelor, ceea ce asigură o participare mai vie, mai activă, susținută
de foarte multe elemente de emulatie, de stimulare reciprocă, de cooperare fructuoasă.”
Specific metodelor interactive de grup este faptul că ele promovează interacțiunea din tre
mințile participanților, dintre personalitățile lor, ducând la o învățare mai activă și cu
rezultate evidente. Acest tip de interactivitate determină “identificarea subiectului cu
situația de învățare în care acesta este antrenat” (Idem), ceea ce duce la transformarea
elevului în stăpânul propriei transformări și formări.

7
Una din tendin țele care se afirm ă în pedagogia modern ă vizează flexibilitatea
educației pentru a asigura o dezvoltare plenar ă a capacităților și aptitudinilor fiec ărui elev
în aport cu potențele lui individuale.
Nu elevul este cel care s ă se adapteze la sistemul școlar, ci, dimpotriv ă, sistemul
școlar să se adapteze la elevi și să creeze condi ții pentru dezvoltarea posibilit ăților lor.
Reformele școlare caută să adopte structuri, conț inuturi și forme de organizare a
învățământului care să faciliteze o dezvoltare intelectuală mai rapidă, să -l pună pe fiecare
elev în situația de a se dezvolta și a -și valorifica pe deplin posibilitățile și aptitudinile. Se
urmărește ameliorarea rezultatel or școlare prin valorificarea la maximum a potențialului
fiecărei vârste.
Rolul profesorului este în schimbare, într -o lume în care nu există adevăruri
absolute și în care neprevăzutul și incertitudinea sunt prezente mereu. Se poate spune chiar
că munca profesorului se transformă, din a fi o bancă de date, în a deveni mentor și
cercetător. Viitorul v a pune la mare încercare practica școlară și rolul profesorului.
În acest context mi -am propus să abordez în această lucrare tema ,,Rolul metodelor
interacti ve în studiul patrulaterelor, în creșterea randamentului școlar al elevilor ”.
Învățământul românesc este un înv ățământ de mas ă, conținutul acestuia este comun
și obligatoriu în timp ce fiecare elev, în acela și timp, seam ănă cu toți, seamănă cu unii și nu
seamănă cu nimeni. Tr ăsăturile lor nu exist ă ca o sumă, ci ca o sintez ă.
Matematica este o știință abstractă. Însușirea ei de către elevi, datorită contextului
social al dezvoltării actuale a științei și tehnicii, a devenit o necesitate stringentă, începâ nd
chiar cu învățământul preprimar, continuând apoi cu învățământul primar când devine o
disciplină de învățământ științific organizată apoi cu cel gimnazial, liceal…
Orice exagerare în sensul depășirii capacităților de înțelegere ale elevilor, dar și o
minimalizare a capacităților de tip subsolicitare, îi îndepărtează de matematică. Deci, este
necesar ca fiecare profesor să cunoască elevii și să proiecteze și să aplice creator acele
soluții individualizatoare pentru ameliorarea randamentului la învățătură, în general, și la
matematică, în special.
Dezvoltându -și gândirea matematică, elevii vor putea avea o gândire bună în ceea
ce privește fizica, chimia, informatica, vor putea să -și rezolve problemele practice ce apar
în viață. Atitudinea profesorului față de fiecare elev trebuie să fie generarea unui climat de
încredere față de posibilitățile elevilor, să se bazeze pe optimismul pedagogic.

8
Aplicarea unei asemenea pedagogii stimulative este menită să combată complexul
de inferioritate pe care îl trăiesc mulț i dintre elevii care nu pot atinge performanțele
colegilor. Ceva mai mult, conduita încurajatoare a profesorului față de elev modifică și
atitudinea colegilor fa ță de fiecare elev.
Am ales această temă considerând că tratarea diferențiată a elevilor este î ntr-adevăr
o cale de atragere a elevilor către școală, către acest obiect dificil și frumos – matematica,
precum și o cale de sporire a randamentului școlar în general și la matematică, în special.
Consider că această temă este de actualitate. În lumea exp loziei informaționale, tratând
diferențiat elevul, reușim să -i creăm motivația învățării prin satisfacțiile învățării. Elevul se
simte puternic motivat să continue învățarea dacă rezolvarea unei sarcini anterioare s -a
produs cu rezultate superioare.
Aceasta se întâmplă dacă și numai dacă îi dăm elevului să facă exact și numai ceea
ce trebuie și cum trebuie să facă pentru a realiza obiectivul urmărit. Pentru a -i da să facă
exact și numai ceea ce trebuie să facă trebuie să ne cunoaștem elevii, să le urmărim
permanent evoluția, să pregătim atent fiecare situație de învățare, să corectăm la timp
erorile pedagogice pentru a nu avea lacune în pregătire.
De când mă știu, am simțit o atracție deosebită pentru acest obiect de studiu
complex, abstract, dar și foarte frumos, matematica. Mai târziu, când a trebuit să -mi aleg o
profesie, mi -am dat seama că îmi doresc să lucrez cu copiii de gimnaziu/liceu .
Chiar din timpul practicii pedagogice am observat că între copiii de aceeași vârstă
există foarte multe diferențe, ce ea ce impune tratarea diferențiată a lor în vederea creșterii
randamentului la învățătură. Această observație a fost punctul de plecare pentru studiul
sistematic al acestei probleme în activitatea didactică de la început până în ziua de azi.
Prin lucrarea de fa ță, doresc s ă demonstrez valoarea pe care o cap ătă lecțiile prin
utilizarea metodelor interactive la orele de matematică. Copilul este un proiect “aruncat” în
lume, aflat într -o stare de “facere”, pentru ca apoi, devenit adult, să se formeze continuu
de-a lungul vieții. Școala nu trebuie înțeleasă ca fiind locul unde profesorul predă și elevii
ascultă. Învățarea devine eficienta doar atunci când elevii participă în mod activ la procesul
de învățare.
Metodele de învățământ (“odos” = ca le, drum; “metha” = către, spre) reprezintă
căile folosite în școala de către profesor în a -i sprijini pe elevi să descopere viața, natura,
lumea, lucrurile, știința. Ele sunt totodată mijloace prin care se formează și se dezvoltă

9
priceperile, deprinderil e și capacitățile elevilor de a acționa asupra naturii, de a folosi
roadele cunoașterii transformând exteriorul în facilități interioare, formându -și caracterul
și dezvoltându -și personalitatea.
Prin "metodă de învățământ " se înțelege, așad ar, o modalitate comună de acțiune a
cadrului didactic și a elevilor în vederea realizării obiectivelor pedagogice. Cu alte
cuvinte, metoda reprezintă „un mod de a proceda care tinde să plaseze elevul într -o
situație de învățare, mai mult sau mai puțin dir ijată”. Sub raportul structurării, metoda
este un ansamblu organizat de operații, de procedee.
Metodele interactive de grup sunt modalități moderne de stimulare a învățarii și
dezvoltării personale încă de la vârstele timpurii, sunt instrumente didactice care
favorizează interschimbul de idei, de experiențe, de cunoștințe.
Interactivitatea presupune o învățare prin comunicare, prin colaborare, produce o
confruntare de idei, opinii și argumente, creează situații de învățare centrate pe
disponibilitatea și dorința de cooperare a copiilor, pe implicarea lor directă și activă, pe
influența recip rocă din interiorul microgrupurilor și interacțiunea socială a membrilor unui
grup.
Implementarea acestor instrumente didactice moderne presupune un cumul de
calități și disponibilități din partea cadrului didactic: receptivitate la nou, adaptarea stilulu i
didactic, mobilizare, dorință de autoperfecționare, gândire reflexivă și modernă,
creativitate, inteligența de a accepta noul și o mare flexibilitate în concepții.
Experiența personală mi -a demonstrat că metodele colaborative evidențiază efectul
benefic al interacțiunii elevilor. Gruparea și sarcinile în care membrii grupului depind unul
de celălalt pentru realizarea rezultatului urmărit arată că:
– elevii se implică mai mult în învățare decât în abordările frontale sau individuale;
– odată implicați, elevii își manifestă dorința de a împărtăși celorlalți ceea ce
experimentează, iar aceasta conduce la noi conexiuni în sprijinul înțelegerii;
– elevii acced la înțelegerea profundă atunci când au oportunități de a explica și chiar
preda celorlalți colegi ceea ce au învățat.
Din perspectiva formării competențelor activitatea profesională a profesorului de
matematică se fundamentează pe: Crezul instruirii active (Kees Both):

10
– Ce aud – uit!
– Ce aud și văd – îmi amintesc puțin!
– Ce aud , văd și întreb sau discut cu cineva – încep să înțeleg!
– Ce aud, v ăd, discut și fac – însușesc și mă deprind!
– Ce redau altcuiva – învăț!
– Ceea ce pun în practică mă transformă!
Metodele interactive necesită o pregătire atentă din partea profesorului: ele nu sunt
eficiente dec ât în condițiile respectării regulilor “jocului”. Avantajul major al folosirii
acestor metode provine din faptul că ele pot motiva și elevii care au rămâneri în urmă la
matematică.

11
CAPITOLUL I
MULȚIMI CONVEXE

I.1. Spații afine
Fie (V,+,K) un spațiu vectorial și ℳ o mulțime oarecare. Vectorii lui V o să -i
notăm cu ⃗ ⃗ ⃗⃗,…, iar elementele lui ℳ cu A, B, C,…, și le vom numi puncte.
Definiția I.1. Numim spațiu afin, atașat spațiului vectorial V, tripletul 𝒜=( ℳ, ,
V), unde : ℳ ℳ V este o aplicație ce satisface axiomele:
A1. Fiecărui A ℳ și ⃗ ℳ îi atașăm în mod unic punctul B ℳ astfel încât
( ) ⃗.
A2. Pentru orice A,B,C ℳ, avem ( ) ( ) ( ) (axioma
adunării).
Mulțimea ℳ se numește suport, iar V se numește spațiu director al spațiului afin.
Perechea (A,B) se mai numește segment orientat sau bipunct. După cum K=R sau C spațiul
afin 𝒜 se numește real sau complex. Dimensiunea lui V definește dimensiunea lui 𝒜, și
notăm dim 𝒜=n dacă dimV =n.
Consecin țe :
1. ℳ și , există un singur punct ℳ astfel încât ( )
( ), (axioma amplificării cu scalari).
2. Dacă , din A2. rezultă că ( ) ⃗⃗⃗⃗
3. Dacă A , din A2. rezultă că ( ) ( ).
4. Fixând un punct O , aplicația ℳ ( ) ( ), definește o
bojecție.
Definiția I.2. Tripletul 𝒜 ( ℳ ) se numește spațiul punctual afin legat punctului
O. 𝒜 se poate identifica atât cu ℳ ca mulțime, cât si cu V ca spațiu vectorial prin
aplicația . Vectorul ( ) se numește vectorul de poziție al lui A și se mai notează cu
⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Elementele lui 𝒜 , ca vectori privite, se numesc vectori legați în O.

12
Dacă V are o structură de spațiu euclidian cu produsul sc alar notat cu ⃗ ⃗⃗, atunci
acesta induce în spațiul punctual afin 𝒜 produsul scalar notat ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
5. Pe mulțimea bipunctelor unui spațiu afin 𝒜 introducem o relație prin :
( ) ( )⇔ ( ) ( ). (1.1.1)
Se verifică cu ușurință că relația este de echi valență (numită echipolență) și
descompune pe ℳ ℳ/ în clase de echivalență.
Definiția I.3. Clasa lui ( A,B) o notăm cu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și o numim vector liber.
Mulțimea vectorilor liberi (spațiul c ât) este în corespondență bijectivă cu V, prin
aplicația ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ *( ) ( ) ⃗ +.
În baza acestei bijecții putem extinde de la mulțimea bipunctelor la mulțimea
vectorilor liberi, iar axiomele A1. și A2. nu vor depinde de reprezentanți și se scriu:
A’1. ℳ și ⃗ , există un singur punct ℳ astfel încât ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗.
A’2. ℳ avem ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗.

I.2. Exemple de spa ții afine
I.2.1. Varietate liniar ă
Orice varietate liniar ă , cu și subspațiu într -un spațiu vectorial
(V,+,K), are structură de spațiu afin.
Într-adevăr, considerăm ℳ și ℳ cu .
Definim aplica ția ( ) ( )–( ) .
Obținem că 𝒜 ( ) verifică axiomele de spațiu afin.
Următoarele exemple pot fi considerate cazuri particulare ale varietății liniare afine.

13
I.2.2. Spațiu afin standard
Se știe că ( ) este un spațiu vectorial, numit și aritmetic, fiind un corp.
Deci el are o structură de spațiu afin 𝒜 ( ). Pentru ( ) și
( ) definim ( ) ( ,…., ) .
Dacă ( ) și ( ) atunci vectorul de poziție al punctului
este ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ). Putem consudera relația de echivalență de mai înainte
( ) ( ) dacă , pentru orice . Obținem vectorul liber
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ca fiind clasa de echivalență a lui ( ).
Să observăm că ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , definesc aceea și clasă, numită vectorul nul și notat
cu ⃗⃗.
Pentru și recunoaștem cunoștințele de geometrie analitică de
liceu, pe dreaptă, în plan și în spațiu.

I.2.3. Spațiul afin al vectorilor geometrici
Acest exemplu a condus prin generalizare de -a lungul timpului la noțiunea de spațiu
afin. Este vorba de un spațiu vectorial care poate fi privit cu structura afină descrisă mai
sus la varietăți afine.
Presupunem cunoscută introducerea axiomatică a planului sau spațiului euclidian.
Notăm cu ℳ * + punctele planului sau spa țiului Euclidian (mediul ambiant ).
Pentru orice distincte putem discuta de dreapta suport determinată de ele și de
segmental orientat ( ), lungimea sa notându -se cu ‖ ‖ și se face cu o unitate de
măsură. se numește originea segmentului orientat iar extremitatea sa, sensul fiind de la
origine spre extremitate.
Definiția 1. Două segmente orientate ( ) și ( ) se numesc echipolente dacă
au aceeași direcție, aceeași lungime și același sens (extremitățile lor se găsesc în același
semiplan determi nat de dreapta ce unește originile).
Relația de echipolență este o relație de echivalență pe ℳ ℳ.

14
Definiția 2. Se numește vector geometric liber clasa de echipolență a unui segment
orientat ( ) și îl notăm ⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Pentru prescurtare vom folosi notația ⃗.
Pentru a avea o imagine intuitivă vom desena reprezentantul vectorului ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ în
punctul , asigurându -ne că ce urmează a discuta despre el nu depinde de reprezentant.
Notăm cu ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗, și îl numim vectorul nul.
Notăm cu ℳ ℳ/ mulțimea vectorilor geometrici liberi. În continuare o să -i
numim vectori . După cum ℳ este o dreaptă, plan sau spațiu euclidian o să precizăm cu
respectiv vectorii corespunzatori.

I.2.3.1 Operații cu vectori
Pe definim următoarele operații
I.2.3.1.1 . Suma a doi vectori
Suma a doi vectori ⃗ ⃗⃗, ca fiind clasa de echipolen ță a segme ntului orientat
diagonala dintr -un punct fixat în paralelogramul determinat de reprezentările vectorilor
⃗ ⃗⃗ în punctul . Definiția dată este cunoscută sub denumirea de regula
paralelogramului și din considerente de asemănare a figurilor nu depinde de reprezentanții
aleși.
Regula paralelogramului ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Fig. 1

În baza definiției echipolenței vectorilor o regulă echivalentă este regula triunghiului :
Regula triunghiului ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

15
Fig 2

Numim opusul vectorului ⃗ clasa de echipolență a segmentului de aceeași lungime
cu ⃗ dar de sens opus pe dreapta suport. Notăm opusul cu ⃗.
Verificăm cu ușurință următoarele axiome de grup abelian pentru ( ):
1. Adunarea este asociativă : ⃗ ( ⃗⃗+ ⃗) ( ⃗ ⃗⃗)+ ⃗;
2. Adunarea este comutativă: ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗;
3. Vectorul ⃗⃗ verifică ⃗ ⃗⃗ ⃗;
4. Opusul lui ⃗ verifică ⃗ ( ⃗) ⃗⃗,
Pentru orice ⃗ ⃗⃗ ⃗ .

I.2.3.1 .2. Amplificarea cu scalari
Definim amplificarea cu scalari a unui vector ⃗ ca fiind vectorul ⃗ al cărui
reprezentant într -un punct are aceeași direcție cu ⃗, același sens dacă sau contrar
dacă , iar lungimea ‖ ⃗‖ | | ‖ ⃗‖.
Definiția nu depinde de reprezentanți și satisface axiomele:
1. ( ) ⃗ ⃗ ⃗;
2. ( ⃗ ⃗⃗) ⃗ ⃗⃗;
3. ( ⃗) ( ) ⃗;
4. ⃗ ⃗,
Pentru orice și ⃗ ⃗⃗ .

16
I.2.3.1 .3. Produsul vectorial
Definiție . prin produsul vectorial a doi vectori înțelegem vectorul definit de aplicația:
( ⃗ ⃗⃗) ⃗ ⃗⃗
astfel încât:
⃗ ⃗⃗ are direcția perpendicular pe planul vectorilor ⃗ și ⃗⃗ fixați într -un punct .
⃗ ⃗⃗ are sensul astfel ca reperul ( ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗) să fie direct orientat.
‖ ⃗ ⃗⃗‖=‖ ⃗‖‖ ⃗⃗‖ ( ⃗ ⃗⃗).
Proprietăți:
1. ⃗ ⃗⃗ ( ⃗ ⃗⃗).
2. ⃗ ⃗= ⃗⃗ și ⃗ ⃗⃗= ⃗⃗ dacă și numai dacă ⃗⃗ este coliniar cu ⃗.
3. ( ⃗) ⃗⃗ ( ⃗ ⃗⃗) ⃗ ( ⃗⃗)
4. ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
5. ‖ ⃗ ⃗⃗‖ este aria paralelogramului construit pe vectorii ⃗ și ⃗⃗ fixați într -un
punct, deoarece ‖ ⃗‖‖ ⃗⃗‖ (‖ ⃗ ⃗⃗‖)= ‖ ⃗ ⃗⃗‖
6. Construcția lui ⃗ ⃗⃗ într-un punct.
Fie un plan perpendicular în pe ⃗ și proiectăm pe extremitatea a
vectorului ⃗⃗, rezultă punctul .
Avem ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ ‖ ⃗⃗‖ ( ⃗ ⃗⃗). Amplifică m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cu ‖ ⃗‖ și rezultă ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ ‖
cu ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖= ‖ ⃗ ⃗⃗‖.
Rotim ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cu un unghi de , obținem ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗, construit în .
Folosind această construcție, prin proiecția paralelogramului construit în pe
vectorii ⃗⃗ și ⃗, și apoi rotit cu , obținem:
7. ⃗ ( ⃗⃗ ⃗) ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗.
Produsul vectorial se mai poate face:
⃗ ⃗⃗ | ⃗ ⃗ ⃗⃗

| (1.1.3)

17
Dacă ( ), sunt vârfurile unui paralelogram, , atunci aria
paralelogramului este ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖, iar aria triunghiului este
‖ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖.

I.2.3.1 .4. Produsul mixt (exterior) a trei vectori geometrici
Acest produs nu presupune o operație în plus.
Definiție Prin produsul mixt al vectorilor ⃗, ⃗⃗ și ⃗ înțelegem scalarul:
( ⃗, ⃗⃗, ⃗) ⃗ ( ⃗⃗ ⃗) (1.1.4.)
Acesta se mai noteaz ă ( ⃗, ⃗⃗, ⃗) ⃗ ⃗⃗ ⃗) și în această notație mai este cunoscut
sub denumirea de produs exterior.
Proprietăți :
1. ( ⃗, ⃗⃗, ⃗) ⃗⃗⇔ ⃗, ⃗⃗, ⃗ sunt coplanar.
2. |( ⃗ ⃗⃗ ⃗)| = volumul paralelipipedului construit pe vectorii ⃗, ⃗⃗, ⃗ ca
dimensiuni, fixați într -un punct.
3. Volumul tetraedului construit pe ⃗, ⃗⃗, ⃗ este
din volumul paralelipipedului
construit pe vectorii ⃗, ⃗⃗, ⃗ ca dimensiuni.
4. Expresia anal itică a produsului mixt.
Fie ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ și ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ trei
vectori într -un reper ortonormat. Vectorul ⃗⃗ ⃗ se calculeaz ă cu un
determinant de forma 1.1.3. și ținând cont de formula de calcul a produsului
scalar uzual rezultă că ( ⃗, ⃗⃗, ⃗) ⃗ ( ⃗⃗ ⃗) este tocmai dezvoltarea pe prima
linie a determinantului:

( ⃗, ⃗⃗, ⃗) |

| (1.1.5.)

18

I.2.3.2. Teorema fundamentală a geometriei analitice

Teoremă. ( ) este un sp ațiu vectorial real.
Construcția spațiului afin corespunzător este cea de la varietăți liniare. Noi aici
am plecat de la un sistem geometric axiomatic și am construit această structură afină.
( ) ( ) ( ) reprezintă spațiile vectorilor de pe dreaptă, din
plan, respective din spațiul euclidian. Doi vectori din ( ) se mai numesc colin iari,
iar doi vectori din ( ) se numesc coplanari .
Propoziția 1. Pe dreapta orice doi vectori sunt liniari independenți. Există
vectori de lungime 1.
Propoziția 2. În planul orice trei vectori sunt liniar dependenți. Există doi
vectori liniar independenți în plan.
Propoziția 3. În spațiul Euclidian orice patru vectori sunt liniar dependenți.
Există trei vectori liniar independenți în spațiu.
Cele trei propoziții de mai sus, deși eleme ntar de simple, se cuprind într -un singur
enunț, numit teorema fundamentală a geometriei analitice .
Dacă într -un reper, să zicem din spațiul * ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗+, considerăm punctele
și de coordonate ( ) și ( ), atunci din axioma A ’2. a unui spa țiu afin
avem: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗, astfel că ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=( ) ⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗
( ) ⃗⃗⃗⃗. Obținem că vectorul ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ fixat în ar avea componentele (
).
Am obținut astfel o corespondență mai clară între ca spațiu afin și spațiul afin
standard. Aici am folosit indici sus pentru a pune în evidență tocmai această
corespondență. De regulă vom folosi indici puși jos.

19
I.3. Repere într-un spațiu afin. Schimbarea reperelor

Cosiderațiile prind vectorii geometrici liberi ne permit să generalizăm noțiunea de
reper la un spațiu afin oarecare de dimensiune finită , 𝒜 ( ℳ ), 𝒜 .
Fie un punct fixat și * ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗+ o bază în . Considerăm spațiul punctual
afin 𝒜 ca spațiu vectorial. Atunci din unicitatea scrierii dintr -o bază, vectorul ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ se
descompune unic după baza , pentru orice punct , adică ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ∑ ⃗⃗⃗
. Astfel corespondența 𝒜 ( ) este bijectiv ă.
Definiție. Numim reper în spațiul afin 𝒜 ( ℳ ) ansamblul
* ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗+. În acest reper spunem că are coordonatele ( ).
Vom folosi prescurtările : * ⃗⃗⃗+ și ( ).
Într-un spațiu afin pot exista mai multe repere af ine. Considerăm două din ele
* ⃗⃗⃗+ ̅̅̅̅̅ și * ⃗⃗⃗ + ̅̅̅̅̅. Fie ( ) matricea de trecere de la baza * ⃗⃗⃗+
la baza * ⃗⃗⃗ + și vectorul ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ să-l descompunem după baza :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∑ ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ∑ ⃗⃗⃗
(1.1.6)
Un punct din spațiul afin poate fi privit at ât din reperul cât și din reperul ,
astfel că el va avea coordonatele ( ) în și ( ) în , asta înseamnă că ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∑ ⃗⃗⃗
și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗
. Scris dup ă baza vectorul
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗
∑
(∑ ⃗⃗⃗
) ∑(∑ ⃗⃗⃗

) ∑(∑ ) ⃗⃗⃗

.
Dar ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și egalând componentele după vectorul ⃗⃗⃗ obținem,
Teoremă . La schimbarea de repere , coordonatele unui punct se schimb ă după
regula:
∑
; i=1,2……n (1.1.7)
Putem memora mai u șor această form ulă folosind scrierea matriceală .

20
Fie X matricea coloană cu componentele ( ), cu componentele ( ) și ( )
matricea p ătratică de trecere de la b aza * ⃗⃗⃗+ la baza * ⃗⃗⃗ +. Notăm cu matricea
coloană de componente ( ). Atunci formula 1.1.4. devine
(1.1.8.)
Dacă schimbarea de repere se nume ște centroafină iar dacă , matricea
unitate, obținem o translație a reperelor afine.

I.4. Semispații
Fie 𝒜 un spațiu afin real de dimensiune și 𝓗 un hiperplan în el, două
puncte distincte din spațiu neaparținând hiperplanului .Considerăm dreapta ( )
determinată de cele două puncte, dreaptă ce nu este conținută în hiperplan.
Definiție a) Un punct ( ) se află între și ( ) dacă există
( ) astfel încât ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Numim segment deschis mulțimea | | *
+, Iar segmental închis este , – | | * +.
b) Punctele și (𝓗) dacă ( )
( ) * + și . În caz contrar punctele se găsesc de aceeași parte a
hiperplanului.
Propoziția 1 . Un punct , – dacă și numai dacă 𝒜 fixat este adevărată una
din afirmațiile :
a) , – astfel încât ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
b) astfel încât ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
Demonstra ție: Traducem , – prin faptul că ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗, cu , -. Echivalent
aceasta înseamnă că ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) din care rezultă a).
Pentru b) scriem ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cu și traducem prin ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗).
Faptul că , – este echivalent cu ( ) .

21
Propoziția 2. Fie 𝒜 și hiperplanul ( 𝓗) de ecuație ( ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
raportat la un reper în . Punctele și se găsesc de eceeași parte a hiperplanului ( 𝓗)
dacă și numai dacă ( ) ( ) .
Demonstra ție. Distingem două situații.
a) ( ) (𝓗). Considerăm ( 𝓗’) (𝓗) astfel ca dreapta ( ) (𝓗’). Ecuațiile a
două hiperplane paralele diferă prin termenul liber , adică (𝓗’) are ecuația ( )
( ) , cu . Din faptul că ( ’) deducem ( ) ( )
adică ( ) și ( ) , din care rezultă că
( ) ( ) .
b) ( ) ( ) * +. Dacă punctele și se găsesc de eceeași parte a
hiperplanului, din propoziția anterioară deducem că astfel încât
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
Cum (𝓗), rezultă că ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , adică ⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗/
, sau altfel scris ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) =0, de unde rezultă că
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) .
Această ultimă relație ne spune că ( ) ( ) și cum rezultă din nou
că ( ) ( ) .
Consecință . Dacă perechile ( ) și ( ) sunt de aceeași parte a unui hiperplan ( 𝓗)
atunci și ( ) sunt de aceeași parte a hiperplanului ( 𝓗).
Demonstrația rezultă di faptul că dacă ( ) ( ) și ( ) ( ) prin
înmulțire rezultă că ( ) ( ) .
De aici deducem că:
Propoziția 3. Relația de a fi de ac eeași parte a unui hiperplan este o relație de echivalență.
Fie fixat și (𝓗) un hiperplan. Notăm cu:
* 𝒜 ( ) ( ) +
* 𝒜 ( ) ( ) +
Clasele de echivalență definite de relația de a fi de aceeași parte cu .

22
Cele două mulțimi se numesc semispații delimitate de ( 𝓗).
Evident că 𝒜 .

I.5. Mulțimi convexe

Definiție. O mulțime 𝒜 se numește convexă dacă atunci întreg segmentul
, – .
Propoziția 1. O mulțime este convexă dacă și numai dacă punct fixat , –
astfel încât din ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ atunci .
Propoziția 2. Orice semispațiu este mulțime convexă.
Demonstrație . Fie fixat și ( 𝓗) un hiperplan, și semispațiile sale. Vom
demonstra că este mulțime convexă și analog rez ultă și pentru . Pentru simplitate
să presupunem că ( ) , atunci
* 𝒜 ( ) ( ) + * ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+ .
Considerăm , adică ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Un punct
, – dacă și numai dacă , – astfel încât din ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,
și deci ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ .( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗/ ( )[ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]
[ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ] deoarece ( ) și . Astfel că , adică este
mulțime convexă. Analog cealaltă situație.
Propoziția 3. Intersecția unui număr finit de mulțimi convexe este o mulțime convexă.
Demonstrația . rezultă din faptul că dacă un segment se găsește în două mulțimi atunci el se
găsește și în intersecție. Intersecția (finita ) tuturor mulțimilor convexe ce conțin o mulțime
se numește înfășurătoarea convexă a mulțimii . Evident înfăș urătoarea convexă este o
mulțime convexă.

23
Consecință . Mulțimea * + este convex ă, unde este o matrice de
tip , este matrice coloană ( ) și este matricea coloană ( ) cu
coordonatele unui punct din 𝒜 într-un reper afin.
Demonstrația rezultă din faptul că poate fi interpretat ca intersecția a
semispații care am văzut că sunt mulțimi convexe.
Mulțimea se numește politop (sau tronson ).
Definiție . Numim program liniar următoarea p roblemă:
Se consideră politopul * + și ⃗⃗⃗ ( ) un vector sris în
reperul .
Să se determine coordonatele ale unui punct , pentru care ⃗⃗⃗ ⃗ maxim.
Soluție. Fie ⃗⃗⃗ ⃗ valoarea căutată pentru care se realizează maximul.
Considerăm atunci hiperplanul ( 𝓗) ( ) ⃗⃗⃗ ⃗ și calculăm distanța
( ( )) | |
‖ ⃗⃗⃗‖.
Deducem c ă | | este maximă dacă și numai dacă ( ( )) este maximă.
Astfel că soluția programului liniar se obține ducând hiperplane paralele cu ⃗⃗⃗ ⃗ , le
intersectăm cu și punctele obținute situate la distanța cea mai mare de sunt soluții ale
problemei.
În cazul particular al planului euclidian un program liniar se formulează astfel:
( ) , ce satisface inegalitățile (restricțiile)
{

.

24
Aplicație . Să se rezolve problema de programare liniară :
Găsiți soluțiile problemei:
( )

.
Domeniul delimitat de restricții este cel din figura de mai jos:

Fig. 3

Ducând drepte paralele cu , cea mai îndepărtată de origine intersecte ază
poligonul în și .
Deci ( ) .

25
I.6. Simplex

Fie * + o mulțime de puncte din spațiul afin 𝒜 și un punct fixat.
Definiție. Numim combinație liniară afină de punctele * + un vector
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cu și ∑
.
Propozi ția 1. O combinație liniară afină nu depinde de alegerea punctului .
Demonstrație . Fie ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și alt punct. Avem ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și analog
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Înlocuind obținem că :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∑
( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=( ∑
) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
,
adică ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
și deci scrierea nu depinde de .

Teorema 1. O mulțime ℳ este convexă dacă și numai dacă conține toate combinațiile
liniare afine de punctele sale.
Demonstrație . Presupunem întâi că ℳ conține toate combinațiile liniare afine de punctele
sale, în particular , deci pentru două puncte vom avea că din ℳ atunci fie
combinația ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ unde și ; deci ℳ conține
combinațiile afine a celor două puncte.
Presupunem afirmația valabilă pentru puncte și o demonstrăm pentru , adică
din faptul că orice combinație liniară de puncte este în ℳ să demonstrăm că ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cu și ∑
, implică ℳ. Cum cel puțin un scalar este
nenul, fie acesta spre exemplu .
Scriem ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ){ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗}= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
unde
( )
( ).
Cum și ∑
, în baza inducției ℳ și deci , – ℳ.
Cu aceasta demonstrația este încheiată.

26
Definiție. Fie * + o mulțime de puncte afin independente din spațiul afin
𝒜 . Numim -simplex 𝒮 mulțimea punctelor definite pe toate combinațiile afine ale
acestor puncte.
Deducem că orice simplex este mulțime convexă. Din liniara independență a
vectorilor rezultă că pentru fiecare 𝒮, scalarii , – sunt unic
determinați și deci avem o core spondență bijectivă, numită coordonata baricentrică , între
punctele lui 𝒮 și un subspațiu din , dată de ( ).
În particular dacă
punctul este chiar centrul de greutate al
simplexului, de aceea se numește baricentrul cu pond erile .
Exemplificăm noțiunea dată.
– Pentru , simplexul este chiar segmental , -.
– Pentru , consideră m simplexul * +. Să arătăm că el este triunghiul
. În primul rând triunghiul este mulțime convexă și deci odată cu
vârfurile sale toate punctele interioare, inclusive laturile, se v or găsi în combinații
liniare afine de vârfuri, deoarece ele se găsesc pe segmente ce unesc un vârf cu
puncte de pe laturi (care la rândul lor fiind segmente sunt combinații afine de două
din vârfuri). Arătăm că un punct din exteriorul nu poate fi în simplex.
Fie exterior și ( ) ( ) * +. Presupunem
. Din faptul c ă punctul este exterior triunghiului re zultă că ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cu . Cum , există , -, astfel că
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Înlocuind obținem, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Am obținut o combinație liniară de puncte afin
independente care nu este afină deoarece , chiar dac ă suma lor este 1.
– Analog în spațiu un tetraedru este un 4 -simplex.
Să analizăm următoarea situație: în spațiul 𝒜 .
Considerăm simplexul * +, următorul reper afin
{ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗} și fie ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Atunci în acest
reper are coordonatele . Din faptul
că ∑
și , rezultă că un simplex este delimitat de intersecția unor
semispații la care se adaugă hiperplanele de intersecție.

27
Noțiunea de simplex este studiată atât din punct de vedere geometric cât și
topologic.
Încheiem cu o generalizare a noțiunii de mulțime convexă.
O mulțime se numește afină dacă odată cu două puncte ale sale, atunci dreapta lor
se găsește în acea mulțime, adică ℳ, atunci ℳ, unde ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și .
Mulțimile afine sunt convexe (restrâng ând , -), invers nu . Are loc
următoarea teoremă:
Teoremă . Fie * ⃗⃗⃗+ un reper afin și ℳ 𝒜 . Atunci ℳ este afină dacă și
numai dacă matrice de tipul și de tipul astfel ca ℳ * 𝒜
+, unde este coloan ă cu componentele lui în reperul .

28
CAPITOLUL II
PATRULATERE CONVEXE

II.1. Noțiuni introductive
Fie A, B, C, D patru puncte distincte, astfel încât s ă nu existe între ele triplete
coliniare.
Mulțimea [AB] U [BC] U [CD] U [DA] determină un patrulater.
Elemente :
– 4 vârfuri;
– 4 unghiuri;
– 4 laturi;
– 2 diagonale: segment determinat de dou ă vârfuri opuse.

Patrulater concav

Fig. 4
– are un unghi de m ăsură mai mare decât 180ș(impropriu)
– diagonalele nu se intersecteaz ă
– există segmente determinate de puncte interioare, care nu sunt în totalitate în
domeniul interior
– suma măsurilor unghiurilor este mai mare decât 360ș

29
Patrulater convex

Fig. 5
– are toate unghiurile proprii
– diagonalale se intersecteaz ă într-un punct interior
– segmentul determinat de oricare două puncte interioare se afl ă în domeniul
interior
– suma măsurilor unghiurilor este de 360ș

Definiție . Un patrulater se numește patrulater convex dacă, oricare ar fi o latură a sa , cele
două vârfuri nesituate pe latura considerată , se află de aceeași parte a dreptei în care este
inclusă latura respectivă.
Fig. 6
Teoremă . Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este de 360 .

30
Asemănarea patrulaterelor
Pentru a arăta că două patrulatere sunt asemenea trebuie arătat că au unghiurile congruente
și laturile respectiv proporționale.
Lemă . Fie ABCD un patrulater convex. Atunci

Fig. 7
Definiție . Prin aria unui patrulater convex înț elegem numărul :

Definiție . Pentru orice patrulater convex ABCD având unghiul ascuțit dintre diagonale ,
aria este

Paralelogram ul
Definiție : Paralelogramul este patrulaterul convex cu laturile opuse paralele.
Fig. 8
BCDABDADCABC SSSS
ADC ABC ABCD SSS
sin2BDACSABCD

31
Dacă : AB // CD și AD // BC ⇒ ABCD este paralelogram.
Orice diagonal ă formează cu laturile opuse unghiuri alterne interne congruente.
Proprietăți :
– laturile opuse sunt congruente ;
– două laturi opuse sunt paralele ș i congruente ;
– unghiurile opuse sunt congruente ;
– diagonalele se împart în segmente congruente . Punctul lor de intersecție este
centrul de simetrie al paralelogramului.

Dreptunghiul
Definiție : Dreptunghiul este paralelogramul cu un unghi drept.
Fig. 9
Dacă : AB // CD , AD // BC si m(A)=90  ABCD este dreptunghi .
Fiind un paralelogram are toate proprietățile paralelogramului.
Proprietăți :
Într-un dreptunghi :
– toate unghiurile sunt congruente (au măsura de 90 );
– diagonalele sunt congruente [AC] [BD].

32
sRombul
Definiție : Rombul este paralelogramul care are 2 laturi consecutive congruente .
Fig. 10
Proprietăți :
Într-un romb :
– toate laturile sunt congruente;
– diagonalele sunt perpendiculare î ntre ele;
– diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor .
Pătratul
Definiție : Pătratul este dreptunghiul cu do uă laturi consecutiv congruente .
Alte definiții :
– rombul cu un unghi drept;
– rombul cu diagonalele congruente.
Fig. 11
Pătratul are toate proprietățile paralelogramului, dreptunghiului, rombului luate la un loc .

33
II.2. Patrulatere i nscriptibile
Definiție . Un patrulater se numește înscris într -un cerc dacă vârfurile sale aparțin cercului.

Fig. 12
Un patrulater se numește circumscris unui cerc dacă laturile sale sunt tangente la cerc.
Patrulaterul înscris într-un cerc este patrulater convex.
II.2.1. Relații într -un patrulater inscriptibil

Fig. 13

Diagonala dus ă prin intersecția laturilor a ș i b este

cdabbcad
BDAC

))()()((2 dpcpbpapSpdcba
bcadbdaccdabe))((

34
Teoremă . Dacă un patrulater convex este înscris într -un cer c, atunci diagonalele sale
formează unghiuri congruente cu două laturi opuse ale patrulaterului.
Teoremă . Un patrulater convex înscris î ntr-un cerc are unghiurile opuse suplem entare.
Teoremă . Un patrulater este circumscris unui cerc dacă suma lungimilor a două laturi
opuse este egală cu suma celorlalte două laturi opuse.
AB + CD = AD + BC
Definiție . Un patrulater se numește inscriptibil dacă cele patru vârfuri ale sale s unt puncte
conciclice.
Teoremă . Un patrulater în care unghiurile formate de diagonale cu do uă laturi opuse sunt
congruente , este un patrulater inscriptibil.
O condiție necesară și suficientă ca un patrulater să fie inscriptibil este ca unghiul
format de o diagonală cu o latură să fie congruent cu unghiul format de cealaltă diagonală
cu latura opusă primeia.
Teoremă . Un patrulater în care unghiurile opuse sunt suplementare este un patrulater
inscriptibil.
Un patrulater este inscriptibil dacă și numai dacă un ghiurile lui opuse sunt suplementare.
Teoremă . Un patrulater este inscriptibil dacă și numai dacă mediatoarele laturilor sale sunt
concurente.
Fig. 14

35
Demonstrație.
“ ” Se consideră un patrulater ABCD, care este inscriptibil, adică există un cerc C(O, r)
care conține punctele A,B,C,D . Atunci OA = OB = OC = OD = r, deci punctul O se află pe
mediatoarele segmentelor [ AB], [BC], [AC], [AD].
“⇦” Se consideră patrulaterul ABCD , cu mediatoarele laturilor sale [ AB], [BC], [AC],
[AD], concurente în punctul O. Atunci folosind proprietatea punctelor de pe mediatoarea
unui segment de a se afla la aceeași distanță față de capetele lui se obține
OA = OB = OC = OD = r, adică vârfurile lui se află pe cercul cu centrul în punctul O și
rază r.

II.2.2 . Teorema lui Ptolemeu
Un patrulater este inscriptibil dacă și numai dacă produsul lungimilor diagonalelor este
egal cu suma produselor lungimilor laturilor opuse

Fig. 15
Demonstrație. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Pe diagonala AC se consideră punctul K
astfel încât ̂ ̂ .
̂ ̂ = ̂ = ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
Se observă că triunghiurile ABK DBC, de unde rezultă

36
Iar triunghiul ABD KBC , cu

Putem scrie:
AK · BD = AB · CD
CK · BD = AD · BC
și adunând aceste relații obținem relația lui Ptolemeu.
Observație . Se pot deplasa punctele A,B,C,D pe cerc oricum, dar ca relația lui Ptolemeu să
se verifice este necesar ca AC și BD să rămână diagonale. În cazul în care ABCD este
dreptunghi, relația lui Ptolemeu devine teorema lui Pitagora .

II.2.3 . Teorema reciprocă a teoremei lui Ptolemeu
Fie ABCD un patrulater. Dacă atunci ABCD este un
patrulater inscriptibil.
Demonstrație .
Presupunem prin absurd că ABCD nu este inscriptibil, atunci avem teorema lui Ptolemeu
pentru patrulatere neinscriptibile:
.
dar, din ipotez ă, avem că

de unde rezultă contradicția.
II.2.4 . Formula lui Arhimede
Aria unui patrulater convex având lungimile laturilor este dată de
formula
( )( )( )( )
,
unde , -.

37
Demonstra ție.
Fig. 16
, – , – , –
Rezultă că ( ) ( )
Se ridică la pătrat și se obține
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
Pe de altă parte din teorema lui Pitagora generalizată rezultă :
( )
( ).
Din ultimele două egalități rezultă
( ) ( ).
Ridicăm la pătrat ultima egalitate:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Înmulțind relația ( ) cu 4, rezultă
( ) ( ) ( ) ( ).
Din ultimele două egalități se obține:
( ) ( )
sau

38
( ) ( ) (
)
De aici rezultă:
( )( )
(
)
sau
,( ) ( ) -,( ) ( ) – (
)
și înlocuind

se obține formula lui Arhimede:
( )( )( )( )
.

II.2.5. Teorema lui Mathot
Într-un patrulater inscriptibil perpendicularele duse din mijloacele laturilor pe
laturile opuse sunt concurente. Punctul de concurență se numește punctul lui Mathot.

Fig. 17

39
Demonstrație .
Fie centrul cercului circumscris patrulaterului și fie
mijloacele laturilor , – , – , – , -. Deoarece punctul se află pe mediatoarele
laturilor patrulaterului, rezultă că:
, ,
Bimedianele patrulaterului sunt concurente într-un punct . Fie simetricul lui
față de . Patrulaterul este paral elogram deoarece diagonalele se înjumătățesc.
Rezultă . Deoarece , rezultă că . Analog se arată că ,
și . Prin urmare perpendicularele duse din mijloacele laturilor unui
patrulater inscriptibil pe laturile opuse sunt concurente. Punctul de concurență se numește
punctul lui Mathot.

II.2.6. Dreapta lui Simpson
Proiecțiile ortogonale ale unui punct de pe cercul circumscris triunghiului ABC pe
laturile acestuia sunt coliniare.
Dreapta care conține punctele coliniare din teorema anterioară se numește dreapta
lui Simpson.
Fig. 18

40
Demonstrație. Considerăm un punct M pe cercul circumscris triunghiului ABC și notăm
proiecțiile ortogonale ale acestuia pe laturile BC, AC, AB cu D, E, respectiv F.
Patrulaterele AEMF, FBDM sunt inscriptibile pentru că au unghiurile opuse suplementare,
dar și MEDC este inscriptibil.
Atunci
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
Obținem ̂ ̂ , care sunt unghiuri opuse la vârf, ceea ce implică coliniaritatea
punctelor D, E și F.

Teoremă . (Schooten) Dacă este un punct situat pe arcul ̂ al cercului circumscris
triunghiului echilateral , atunci există relația

Fig. 19
Demonstra ție.
Folosind prima teoremă a lui Ptolemeu în patrulaterul inscriptibil , se obține:
.
Ținând seama de egalitatea , se obține relația cerută.

41
II.2.7. Teorema lui Taylor
Se consideră un triunghi și fie , .
Analog vom obține punctele , , și , și . Punctele se
află pe același cerc (numit cercul lui Taylor ).
Fig. 20
Demonstrație .
Se arată că punctele se află pe cercul determinat de punctele .
Demonstrăm întâi că se află pe cercul circumscris triunghiului , adică se
arată că patrulaterul este inscriptibil. Este uș or de văzut că patrulaterul
este inscriptibil deci este antiparalelelă la . Cum este paralelă
la rezultă că paralelă cu , deci ̂ ̂. Analog se obține
̂̂.
Deoarece patrulaterul este inscriptibil, rezultă ̂ ̂ (au același
complement ̂), rezultă că ̂ ̂ . Prin urmare este antiparalelă la .
Se obține ̂ ̂ . Cum ̂ ̂ deducem că ̂ ̂ . Deci
( ̂) ( ̂) , adică patrulaterul este inscriptibil. Prin
urmare aparține cercului circumscris triunghiului .
Analog se arată că punctele și se află pe cercul determinat de punctele
.

42
II.3. Patrulatere circumscriptibile
II.3.1. Definiție /Proprietăți

Spunem că un patrulater ABCD este circumscriptibil dacă există un cerc C tangent
laturilor AB, BC, CD, DA . Se mai spune că C este înscris în ABCD sau ca ABCD este
circumscris lui C.
Teoremă . Orice patrulater circumscriptibil este convex .
Demonstrație .
Într-adevăr, dacă ABCD este circumscris unui cerc C, dreapta AB este tangentă lui
C și lasă de o parte o anumită parte a ei, H, cercul C (mai puțin punctul de tangență) deci și
punctele de contact cu celelalte laturi. Ur mează că BC și AD sunt incluse î n H, apoi că C,
D sunt în H.
Definiție .
1. Un patrulater care are cele patru laturi tangente unui cerc se numește patrulater
circumscris cercului.
2. Un patrulater spunem că este circumscriptibil dacă poate fi circumscris unui cerc.
Nu putem spune că orice patrulater este circumscriptibil.
Propoziție . Un patrulater poate fi circumscris unui cerc dacă și numai dacă bisectoarele
unghiurilor sale sunt concurente.
Demonstrație.
“ ” Considerăm un patrulater ABCD circumscris unui cerc, adică laturile sale [ AB], [BC],
[AC], [AD] sunt tangente la un cerc C(O, r). Atunci
d(O,AB ) = d(O,BC ) = d(O,CD ) = d(O,AD ) = r,
deci punctul O se află pe bisectoarele unghiurilor A,B,C,D .
“⇦” Se consideră patrulaterul ABCD , cu bisectoarele unghiurilor sale concurente în
punctul O.

43
Fig. 21

Atunci folosind proprietatea punctelor de pe bisectoare de a se afla la aceeași distanță față
de laturile unghiului se obține
d(O,AB ) = d(O,BC ) = d(O,CD ) = d(O,AD ) = r,
adică cercul cu centrul în punctul O și rază r este tangent fi ecărei laturi a patrulaterului.
Propoziție . Un patrulater este circumscriptibil dacă și numai dacă suma lungimilor laturilor
opuse este aceeași,
AB + CD = AD + BC.
Această proprietate poate fi ușor demonstrată, deoarece știm că tangentele duse dintr -un
punct la un cerc au aceeași lungime.
Propoziție .
1. Dacă un patrulater circumscris unui cerc este trapez, atunci punctele de contact cu cercul
ale bazelor și centrul cerculu i sunt colini are.
2. Dacă trapezul este isoscel, atunci lungimea diametrului cercului înscris în trapez este
media geometrică a lungimii bazelor.
Demonstrație.
1.Triunghiurile DEO DIO sunt congruen te, pentru că sunt dreptunghice și au laturile
respectiv egale.

44
Fig. 22
Congruente sunt și triunghiurile OFC (se poate demonstra tot folosind
cazul 3 de congruență a triunghiurilor). Obținem astfel congruența triunghiurilor
DOI și COF . Dar triunghiul DOC este dreptunghic cu unghiul drept ̂ .
Atunci se observă că unghiul ̂ este alungit, adică măsura lui este , ceea ce ne
arată coliniaritatea celor trei puncte.
2. În triunghiul dreptunghic DOC segmentul OI este înălțime pe ipotenuză și cum DI = DE,
CI = CF obținem
DE · CF = O = ; AE · BF = .
Dacă trapezul este isoscel se obține proprietatea anunțată.
Teorem ă. Bisectoarele interioare ale unui patrulater ABCD sunt concurente dacă și numai
dacă ABCD este circumscriptibil.
Demonstrația este imediată . Dacă cele patru bisectoare sunt concuren te într -un punct I ce
se proiectează ortogonal pe laturi î n punctele M, N, P, Q are loc IM IN IP IQ și
cercul C(I, IM) va fi tangent tuturor „laturilor de unghiuri” adică laturilor patrulaterului.
Dacă ABCD este circumscris cercului C(I,r) , cele patru bisectoare interioare concură î n I.

II.3.2. Dreapta lui Euler
În orice triunghi ortocentrul H, centrul de greutate G și centrul cercului circumscris
triunghiului sunt coliniare.
Dreapta determinată de cele trei puncte se numește dreapta lui Euler.

45
Fig. 23

Demonstrație.
a) Dacă triunghiul ABC este isoscel sau dreptunghic, atunci cele trei puncte se află pe o
mediană.
b) În cazul triunghiului oarecare ABC, notăm cu , picioarele înălțimilor din vârfurile
A și B, iar picioarele medianelor din aceste vârfuri sunt și . Triunghiurile HAB și
OA’B’ sunt asemenea pentru că au laturile paralele. Folosind teorema fundamentală a
asemănării se obține:

.
Dar punctul G împarte mediana în raportul
. Atunci triunghiurile OG și HGA
sunt asemenea conform cazului al doilea de asemănare și rezultă
̂ ̂
ceea ce implică coliniaritatea punctelor O, G, H .

II.3.3. Relația lui Euler pentru patrulatere
Fie patrulaterul ABCD , E mijlocul diagonalei AC și F mijlocul lui BD. Atunci:

Relația de mai sus se numește relația lui Euler pentru patrulatere.

46
Fig. 24
Demonstrație.
Se construiesc AF, FC, BE, DE . Vom folosi teorema medianei în:
triunghiul ABD :
4A = 2(A + A ) − B ; (1.50)
triunghiul BCD :
4C = 2(BC2 + C ) − B ; (1.51)
triunghiul ABC :
4B = 2(A + B ) − A ; (1.52)
triunghiul ADC :
4D = 2(A + C ) − A ; (1.53)
triunghiul AFC :
4E = 2(A + F ) − A ; (1.54)
triunghiul BED :
4E = 2(B + E ) − B . (1.55)
Se adună relațiile (1.50),(1.51), (1.52), (1.53) cu relațiile (1.54), (1.55) înmulțite cu 2 și se
obține relația cerută .

47
II.3.4. Teorema lui Pithot
Patrulaterul convex ABCD este circumscriptibil dacă și numai dacă AB + CD = AD
+ BC (sumele lungimilor laturilor opuse sunt egale).
Demonstrație.
Fie ABCD circumscris cercului C, punctele de contact pentru AB, BC, CD, DA fiind notate
prin M, N, P, Q .
Fig. 25

Au loc următoarele egalități de tangente din diverse puncte la cercul C: AM=AQ,
BM = BN, CN =CP, DP = DQ . Urmează imediat: AB + CD = ( AM + MB) + (CP + +PD)
=AQ +BN + CN + DQ =(AQ + QD) + (BN + CN) = AD + BC .
Să presupunem acum că are loc egalitatea AB + CD = AD + BC . Vom considera că
dreptele suport ale două laturi opuse, de exemplu AD cu BC, sunt secante î n E. Mai
presupunem că notarea vârfurilor asigură că are loc A – D – E, deci B – C – E. Fie C cercul
înscris î n triunghiul ABE. Presupunem prin absurd că CD nu este tangentă lui C. Există
două tangente la C paralele cu CD; alegem acea paralelă la CD ce separă punctele
cercului C și E în semiplane distincte.
Deoarece AB este circmscriptibil rezultă AB + = AD’ + BC’ . Scăzând
această egalitate membru cu membru din ipoteza adoptată obținem (pentru cazul din fig.
26)

48
Fig. 26
CD – C’D’ = D’D + C’’C . Ar urma segmentul CD să aibă lungime egală cu a liniei frânte
de aceleași extremități ’ ’ , absurd.
Observație . Condiția de convexitate a patrulaterului ABCD intervine în
demonstrație suficient de subtil, poate insuficient de clar scos în evidență de schița de
demonstrație prezentată. Fig. 25 înfățișează un patrulater î n care [AB] ,AD], [BC]
[CD] , deci are loc AB + CD = AD + BC fără a fi circumscriptibil.

II.3.5. Teorema lui Newton
Fie un patrulater circumscribil și fie punctele de tangență ale
cercului înscris cu laturile patrulaterului. Atunci dreptele și trec printr –
un același punct (Punctul se numește punctul lui Newton )

Fig. 27

49
Demonstrație .
Notații: * + ( ̂) ( ̂).
Se observ ă că ( ̂) ( ̂) . Se aplic ă teorema sinusurilor în
triunghiurile și . Rezultă:

;

Din aceste dou ă egalități deducem:

(1)
Fie punctul astfel încât * + . Procedănd ca în cazul anterior se obține:

(2)
Deoarece , , din (1) și (2) rezultă

Ceea ce dovedește c ă , adică trece prin intersecția segmentelor , – și , –
. Analog se obține .
II.3.6. Teorema lui Miquel
Fie un patrulater convex și fie * + , * + . Cercurile
circumscrise triunghiurilor și trec printr -un același punct (numit
punctu l lui Miquel).
Fig. 28

50
Demonstrație .
Fie al doilea punct de intersecție al cercurilor circumscrise triunghiurilor și
.
Deoarece ̂ ̂ și ̂ ̂, rezultă ( ̂) ( ̂) ( ̂)
( ̂) ( ̂) ( ̂) ( ̂) ( ̂)
Rezultă că patrulaterul este inscriptibil. Analog se arată că patrulaterul
este i nscriptibil. Prin urmare punctu l aparține cercurilor circumscrise
triunghiurilor și .

II.3.7. Teorema lui Pompeiu
Se consideră un triunghi echilateral și fie un punct oarecare în plan ce nu
aparține cercului circumscris triunghiului. Atunci distanțele , , reprezintă
lungimile laturilor unui triunghi.
Fig. 29
Demonstrație .
Considerăm rotația de centru și unghi , care duce punctu l în punctul .
Prin această rotație merge în astfel încât și ( ̂) .
Rezultă . Segmentul , – merge în segmentul , -, deci . Este
evident că lungimile laturilor triunghiului sunt , și .
Observație . Dacă punctul aparține cercului circumscris triunghiului , atunci cel mai
mare dintre segmentele , -, , – și , – are lungimea egală cu suma lungimilor
celorlalte două (conform teoremei lui Shooter).

51
II.4. Patrulater complet
Menționăm utilizarea denumirii de patrulater complet ABCDEF pentru un
patrulater ABCD , unde {E}= AB ∩ CD, {F}= BC ∩ AD . Segmentele AC, BD, EF se
numesc diagonale ale patrulaterului complet.

II.4.1. Teore ma lui Newton -Gauss
Mijloacele P, Q, R ale diagonalelor AC, BD, EF unui patrulater complet sunt coliniare.
Fig. 30
Demonstrație. Fie G, H, I mijloacele segmentelor CE, EB, BC . Punctele G, I, P sunt pe o
paralelă la EBA; H, I, Q pe o paralelă la ECD , iar H, G, R pe o paralelă la BCF . Deci, P, Q,
R sunt pe prelungirile laturilor triunghiului GHI. Conform teoremei lui Menelaos
coliniaritatea punctelor P, Q, R este echivalentă cu îndeplinirea egal ității
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)
Folosind linii mijlocii convenabile vom constata însă ușor:
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Cu aceste egalități, relația (1) este echivalentă cu
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

52
Ultima egalitate constituie relația lui Menelaos pentru triunghiul BEC și punctele
coliniare A, D, F, deci este adevărată (fig.30 ).
Observație. Dreap ta PQ se numește dreapta Newton -Gauss a patrulaterului complet
ABCDEF .

II.4.2. Lemă
Fie un patrulater convex care nu este paralelogram. Locul geometric al
punctelor din interiorul patrulaterului pentru care
, – , – (=constant) (1)
este un segment de dreapt ă.
Demonstrație .
Deoarece patrulaterul convex nu este paralelogram rezultă că există două laturi
neparalele. Fie acestea AD și BC. Dreptele AD și BC se intersectează în punctul O. Fie
, și , astfel încât și . Rezultă că , – , -.
De aici se obține:
, – , – , – , – , – , – , –
Punctele O, E și F fiind fixe, , – =constant și deci punctul M verifică egalitatea
, – sau
( )

unde cu sa notat distanța de la punctul la dreapta . Punctele fiind fixe,
rezultă că (=const.), deci punctul va descrie o dreapt ă paralelă cu dreapta
dusă la distanța . Intersectează doar punctele de pe aceast a care sunt interioare
patrulaterului ; se obține astfel un segment , -. În acest fel s -a obținut că locul
geometric al punctului care verifică (1) este segmentul , – paralel cu , – situat la
distanța .
Reciproc, orice punct , – verifică (1) deoarece

53
, – , – , – , – , – , – , –

( )

Prin urmare locul geometric al punctelor din interiorul patrulaterului care verifică (1)
este un segment de dreaptă.

II.4.3. Dreapta lui Newton
Mijloacele diagonalelor unui patrulater circumscriptibil și centrul cercului înscris
sunt situate pe o aceeași dreaptă (numită dreapta lui Newton)
Fig. 31
Demonstrație .
Fie un patrulater circumscriptibil. Notăm cu (respective ) mijlocul diagonalei
, – (respective , -) și cu centrul cercului înscris în patrulater.
Fie raza cercului înscris în patrulater. Atunci:
, – , –
, –
, –
, –
, – , –
, –
, –
, –
, – , –
( )

54
Pe de altă parte patrulaterul fiind patrulater circumscriptibil, are loc și
. Rezultă:
, – , – , – , – , –
( )
( ) ( , – , -)
De fapt s -au obținut egalitățile:
, – , –
, – (2)
, – , –
, – (3)
, – , –
, – (4)
Ținând seama de (2), (3), (4) și de lema demonstrată anterior, rezultă că punctele
și se află pe aceeași dreaptă (numită dreapta lui Newton).

II.4.3 .1.Consecințe . (Teorema Newton )
1. Paralelogramul circumscriptibil este romb.
2. Dacă o diagonală a patrulaterului circumscriptibil conține I, atunci ea reprezintă
axă de simetrie a patrulaterului.
3. Patrulaterul circumscriptibil în care punctul de intersecție al diagonalelor coincide
cu centrul cercului înscris este romb.

Demonstrație : Din
ACI și
BDI obținem că
DBˆˆ respectiv
CAˆˆ deci ABCD
are unghiurile opuse congruente
 este paralelogram. Dar paralelogramul circumscriptibil
este romb, de unde concluzia.
4. Trapezul isoscel circumscriptibil are lungimea înălțimii egală cu media geometrică
a bazelor.
Demonstrație : Fie ABCD un trapez isoscel cu AB║CD , AB>CD și
.ABFE, AB, DF ,  AB CE
2b-BBE AFiar , ,    b CD undeb EF
, unde
AB=b. ABCD este un patrulater circumscriptibil
2bBBC AD .

55
Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul BEC și efectuând calculele
Bb. h 2 2bB 22 2




 hbB

5. Raza cercului înscris într -un trapez isoscel circumscriptibil este egală cu
2Bb ,
unde notațiile sunt cele uzuale.
Demonstrație : Fie r raza cercului înscris în trapez, 2r =h de unde rezultă r.
6. Într-un trapez dreptunghic circumscriptibil înălțimea este media armonică a
bazelor.
Demonstrație :
Fie AB//CD, AB>CD ,
 .ABE AB, CE ,90ˆ Am Notăm BC=l, AD=h
bBhl
(1) și aplicând Teorema lui Pitagora în triunghiul BEC
.b-Bh-l l 2
2 2 2
bBbB h
(2) Din (1)+(2) obținem
bBBbh2 adică ceea ce
trebuia demonstrat.
7. Într-un patrulater ortodiagonal circumscriptibil produsele dintre lungimile laturilor
opuse su nt egale.

56
CAPITOLUL III
METODICA REZOLVĂ RII PROBLEMELOR PRIVIND
PATRULATERE PARTICULARE

III.1. Metode și tehnici interactive de învățare în grup

Metodologia didactică desemnează sistemul metodelor utilizate în procesul de
învățământ precum și teoria care stă la baza acestuia. Sunt luate în considerare: natura,
funcțiile, clasificarea metodelor de învățământ, precum și caracterizarea, descrierea lor,
cu precizarea cerin țelor de utilizare.
Metodele de învățământ sunt un element de bază al strategiilor didactice, în strânsă
relație cu mijloacele de învățământ și cu modalitățile de grupare a elevilor. De aceea,
opțiunea pentru o anumită strategie didactică condiționează uti lizarea unor metode de
învățământ specifice.
Totodată, metodele de învățământ fac parte din condițiile externe ale învățării, care
determină eficiența acesteia. De aici decurge importanța alegerii judicioase a metodelor
corespunzătoare fiecărei activități didactice.
Sistemul metodelor de învățământ conține:
– metode tradiționale , cu un lung istoric în instituția școlară și care pot fi păstrate cu
condiția reconsiderării și adaptării lor la exigențele învățământului modern;
– metode moderne , determinate de p rogresele înregistrate în știință și tehnică, unele dintre
acestea de exemplu, se apropie de metodele de cercetare științifică, punându -l pe elev în
situația de a dobândi cunoștințele printr -un efort propriu de investigație experimentală;
altele valorifică tehnica de vârf (simulatoarele, calculatorul).
În coala modernă , dimensiunea de bază în funcție de care sunt considerate
metodele de învățământ este caracterul lor activ adică măsura în care sunt capabile să
declanșeze angajarea elevilor în activitate, c oncretă sau mentală, să le stimuleze
motivația, capacitățile cognitive și creatoare.

57
Un criteriu de apreciere a eficienței metodelor îl reprezintă valențele formative ale
acestora, impactul lor asupra dezvoltării personalității elevilor.
Clasificarea metod elor de învățământ se poate realiza în funcție de diferite criterii.
I. după criteriul istoric : metode clasice (tradiționale): expunerea, conversația, exercițiul
etc.; metode moderne : studiul de caz, metoda proiectelor, metode de simulare, modelarea
etc.;
II. după funcția didactică prioritară pe care o îndeplinesc :
1) metode de predare -învățare propriu -zise, dintre care se disting:
a) metodele de transmitere i dobândire a cuno tințelor : expunerea,
problematizarea, lectura etc.;
b) metodele care au drept scop formarea priceperilor i deprinderilor : exercițiul,
lucrările practice etc.;
2) metode de evaluare .
III. după modul de organizare a activității elevilor : metode frontale (expunerea,
demonstrația); metode de activitate indivi duală (lectura); metode de activitate în grup
(studiul de caz, jocul cu roluri); metode combinate, care se pretează mai multor modalități
de organizare a activității (experimentul);
IV. după tipul de strategie didactică în care sunt integrate : algoritmice (exercițiul,
demonstrația); euristice (problematizarea);
V. după sursa cunoașterii (care poate fi experiența social -istorică a omenirii, explorarea
directă sau indirectă a realității sau activitatea personală), la care se adaugă un subcriteriu:
suportul in formației (cuvânt, imagine, acțiune etc), prof. Cerghit propune o altă clasificare
[1, 2] și anume:
1. metode de comunicare orală : expozitive, interogative (conversative sau
dialogate); discuțiile și dezbaterile; problematizarea;
2. metode de comunicare bazate pe limbajul intern (reflecția personală);
3. metode de comunicare scrisă (tehnica lecturii);

58
4. metode de explorare a realității : a) metode de explorare nemijlocită (directă) a
realității: observarea sistematică și independentă; experimentul; învă țarea prin cercetarea
documentelor și vestigiilor istorice; b) metode de explorare mijlocită (indirectă) a realității:
metode dem onstrative; metode de modelare;
5. metode bazate pe acțiune (operaționale sau practice): a) metode bazate pe
acțiune reală / au tentică): exercițul; studiul de caz; proiectul sau tema de cercetare;
lucrările practice; b) metode de simulare (bazate pe acțiune fictivă): metoda jocurilor:
metoda dramatizărilor; învățarea pe simulatoare.
Acestor categorii li se adaugă un alt tip de met ode și anume metodele de
raționalizare a învățării și predării: metoda activității cu fișele; algoritmizarea; instruirea
programată; instruirea asistată de calculator (I.A.C.).
Uneori considerăm educația ca o activitate în care continuitatea e mai importan tă
decât schimbarea. Devine însă evident că trăim într -un mediu a cărui mișcare este nu
numai rapidă ci și imprevizibilă, chiar ambiguă. Nu mai știm dacă ceea ce ni se întâmplă
este “bine” sau “rău”. Cu cât mediul este mai instabil și mai complex, cu atât crește
gradul de incertitudine.
Datorită progresului tehnologic și accesului sporit la cunoaștere și la resurse ne
putem propune și realiza schimbări la care, cu câtva timp în urmă nici nu ne puteam
gândi.
Trebuie, deci, să ne modificăm modul în care gândi m prezentul și viitorul educației
pe care îl dăm generației următoare având în vedere aceste aspecte. Nu ne mai putem
permite o unitate școlară “muzeu”, orientată spre trecut, care pune accent pe cunoștințe, ci
avem nevoie de o școală ce -i pregătește pe co pii pentru viitor, punând accent pe
competențele sociale și de comunicare.
E bine ca profesorul să modeleze tipul de personalitate necesar societății
cunoașterii, personalitate caracterizată prin noi dimensiuni: gândire critică, creativă,
capacitate de comunicare și cooperare, abilități de relaționare și lucru în echipă, atitudini
pozitive și adaptabilitate, responsabilitate și implicare.

59
III.1.1 Importanța folosirii metodelor interactice

Un învățământ modern, bine conceput permite inițiativa, spontane itatea i
creativitatea copiilor, dar i dirijarea, îndrumarea lor, rolul profesorului căpătând noi
valențe, depă ind optica tradițională prin care era un furnizor de informații.
În organizarea unui învățământ centrat pe copil, profesorul devine un coparti cipant
alături de elev la activitățile desfășurate. El însoțește și încadrează copilul pe drumul spre
cunoaștere.
Utilizarea metodelor interactive de predare – învățare în activitatea didactică
contribuie la îmbunătățirea calității procesului instructiv – educativ, având un caracter
activ – participativ și o reală valoare activ – formativă asupra personalității elevului.
Creierul funcționează asemenea unui computer, acesta din urmă a fost proiectat și
creat după modelul de funcționare al creierului. Pent ru ca un computer să înceapă să
funcționeze trebuie să apăsăm butonul de pornire. În cazul în care învățătoarea este
„pasivă”, butonul „pornire” al creierului nostru este activat. Unui computer îi este necesar
pentru a fi în stare de funcționare de un soft adecvat pentru a interpreta datele introduse și
creierul nostru are nevoie să facă unele conexiuni cu ideile ancoră deja cunoscute. Când
învățarea este „pasivă”, creierul nu face aceste legături. Un computer nu reține informația
procesată decât dacă acțio năm butonul „salvare”. Creierul nostru trebuie să testeze
informația sau să o explice altcuiva pentru a o stoca.
Profesorii își inundă elevii cu propriile lor gânduri profunde și bine organizate.
Profesorii recurg prea des la explicații și demonstrații de genul „hai -sa-ți-arăt-cum”.
Desigur că, prezentarea poate face o impresie imediată asupra creierului, dar în absența
unei memorii excepționale, elevii nu pot reține prea mult pentru perioada următoare. Un
profesor, oricât de strălucit orator ar fi, nu se poate substitui creierelor elevilor și deci nu
poate face activitatea care se desfășoară individual în mintea fiecăruia.
Elevii înșiși trebuie să organizeze ceea ce au auzit și văzut într -un tot ordonat și plin
de semnificații. Dacă elevilor nu li se oferă ocazia discuției, a investigației, a acțiunii și
eventual a predării, învățarea nu are loc.

60
Profesorul are misiunea de a stimula dorința de învățare, adică de a face din știință
o enigmă și de a cultiva enigma cu bună știință, dezideratul fiind să -l înveți pe elev să
învețe. Învățarea devine astfel un proiect personal al elevului asistat de către dascălul
(organizator, animator, manager) al situațiilor de învățare eficientă, iar școala un
ansamblu de ateliere diversificate.
Un profesor care folose te metode interactive ar trebui să fi e:
– un sfătuitor care își ajută elevii în rezolvarea problemelor, îi motivează să își
prezinte propriul punct de vedere;
– un animator care inițiază metode și le explică elevilor, pregătește materiale
didactice și prezintă scopurile învățarii;
– un observator și un ascultător care observă elevii în timpul ac tivității și îi poate
aprecia corect ;
– un participant la învățare care nu are impresia că este perfect și învață toată viața;
– un partener care poate modifica scenariul lecției dacă o cere clasa; de aceea
profesor –elev sunt responsabili de rezultatele muncii în comun.
Metodele interactive creează deprinderi, facilitează învățare în ritm propriu,
stimulează cooperarea și nu com petiția, sunt atractive, pot fi abordate din punctul de
vedere a diferitelor stiluri de învățare Receptarea mesajelor și a informațiilor se face prin
comunicare elev –elev sau profesor – elev, ceea ce contribuie la învățarea de tip activ. O
atenție deosebit ă trebuie acordată stabilirii regulilor de lucru în grup și apoi utilizării unor
acțiuni specifice, cum ar fi :
– momentul de activizare numit „spargerea gheții”;
– vizualizarea ca mijloc de receptare a cunoștințelor în mod logic, plăcut, relaxant,
ce duce la stabilirea de conexiuni multiple, conexiuni care devin baza unei învățări mai
trainice
– valorificarea experienței de viață a elevilor în cadrul activităților d esfășurate.
Specific metodelor interactive de grup este faptul că ele promovează interacțiunea
dintre mințile participanților, dintre personalitățile lor, ducând la o învățare mai activă și cu

61
rezultate evidente. Acest tip de interactivitate determină “ide ntificarea subiectului cu
situația de învățare în care acesta este antrenat”, ceea ce duce la transformarea elevului în
stăpânul propriei formări. Interactivitatea presupune atât cooperarea , cât și competiția ,
ambele implicând un anumit grad de interacțiun e.
Aceste metode le -am folosit pe parcursul cercetării din capitolul IV unde am dat și
câteva exemple.

III.1.2. Creșterea randamentului școlar – sarcină primordială a învățământului
Una din sarcinile importante ale școlii pe care trebuie să o realizeze cu toată
răspunderea fiecare cadru didactic , este pregătirea temeinică a fiecărui elev, prevenirea
rămânerii în urmă la învățătură și combaterea ei în faza incipientă, în scopul promovării
reale a elevilor .
Pentru a putea duce la îndeplinire sarcinile învăță mântului, acțiunea de prevenire a
insuccesului școlar și asigurarea succesului la învățătură al elevilor, impune organizarea
unor activități cu elevii în așa fel încât să crească nivelul de pregătire al acestora.
Sporirea randamentului școlar se realizează printr -o muncă perseverentă și
sistematică la care școala este chemată să pună accentul pe dezvoltarea capacităților de
cunoaștere, premisa fundamentală a autonomiei individului, a posibilităților lui de a
participa activ la crearea valorilor materiale și spirituale. Deci, sarcina principală a
procesului de învățământ nu este aceea de a -i furniza elevului o cantitate din ce în ce mai
mare de cunoștințe, ci de a -l învăța să învețe, adică să se manifeste pe linia autonomiei de
informare și judecată.
Sarcina de mare răspunder e care revine fiecărui profesor este de a găsi calea cea
mai potrivită pentru succesul la învățătură în clasa sa, lucru care se poate realiza prin
prevenirea rămânerii în urmă, care trebuie făcută în faza ei de apariție. Este mult mai ușor
să preîntâmpini apariția unui fenomen, decât să iei măsuri după ce s -a produs și s -a
manifestat ca atare.
În școală, elevii trebuie învățați să gândească, să acționeze, ca urmare a participării
lor la procesul de învățământ, să -și formeze abilități și dep rinderi intelectuale, să -și
însușească tehnici de muncă și să -și dezvolte capacitatea de aplicare a cunoștințelor în
condiții cât mai variate.

62
Rămânerea în urmă la învățătură sădește în sufletul elevului sentimentul de
neîncredere în forțele sale, îl demobilizează, îi slăbește interesul pentru cunoastere și
muncă în general. Au loc fenomene cu efecte negative privind dezvoltarea personalității și
formarea ca om.
Cum poate profesorul să înlăture aceste fenomene dăunătoare și să orienteze
dezvoltarea ele vilor pe drumul succesului? Printr -o muncă sistematică și continuă de
ridicare a procesului instructiv -educativ, realizată prin lecți i, de reconsiderare a relației
profesor -elev, prin aprecierea randamentului școlar – ca latură esențială a procesului de
învățământ, prin activitatea elevilor, prin activitatea suplimentară cu elevii rămași în urmă
la învățătură.
Aceste câteva aspecte din activitatea mea cu elevii mi -au dat posibilitatea ca munca
să fie hotărâtoare în orientarea și formarea elevilor pentru via ță.
Am convingerea că dacă profesorul reușește să -i învețe pe copii cum să înve țe, nu
numai că se elimină repetenția, dar se asigură parcurgerea fără obstacole a drumului de
școlarizare.
Încurajarea este bine să se facă. Ea, în general, stimulează în conti nuare la lucru.
Dar abuziv folosită, poate da naștere și la un sentiment de nesiguranță. Ca urmare, elevul
nu încearcă să facă singur nici ceea ce ar putea. Este foarte important ca elevii să aibă cât
de cât siguranța că merg pe drumul bun.
Pentru a le da încredere în forțele proprii am corectat în mod sistematic caietele
elevilor și am ținut o evidență strictă a greșelilor și a greutăților pe care le întâmpină o
parte dintre elevi în rezolvarea unei teme, precum și a greșelilor tipice mai frecvente,
elaborând exerciții corective specifice, pe elevi și pe tipuri de greșeli.
Activitatea independentă a elevilor la școală și acasă necesită o atenție sporită din
partea cadrului didactic , atât sub aspectul orientării, cât și al organizării și desfășurării sale.
În acest sens, am gradat sarcinile de muncă, astfel încât elevii să treacă cu ușurință de la o
activitate executată sub directa și permanenta îndrumare a mea, la altele pe care să le
execute singuri, dovedind inițiativă, spirit creator, posibilitate de auto control.
Munca suplimentară cu elevii rămași în urmă ar avea menirea să ofere un plus de
condiții psihologice, pedagogice și de timp pentru asimilarea, în ritm propriu, a
cunoștințelor, exersarea operațiilor implicate în anumite deprinderi, rezolvarea
problemelor. Ea presupune obligatoriu alternarea rațională a învățării cu odihna și jocul.

63
În general, însușirea cunoștințelor, înțelegerea și consolidarea cunoștințelor predate
în cadrul lecției nu se poate realiza numai în orele de clasă. Este necesară o mun că
ulterioară din partea elevului, desfășurată la început sub îndrumarea profesorului , iar apoi,
din ce în ce mai independent, pe măsura dobândirii deprinderii de a învăța.
Activitatea suplimentară cu elevii care întâmpină dificultăți la învățătură, se poa te
organiza corespunzător posibilităților locale de prelungire, rarefiere a programului zilei,
pentru a preveni oboseala.
Meditațiile sunt o formă de activitate instructiv -educativă hotărâtoare pentru
creșterea randamentului școlar al elevilor. Pentru ridi carea eficienței lor se impun
următoarele cerințe:
 preocuparea susținută pentru condițiile fizice, sociale, intelectuale ale orelor de
meditații;
 constituirea grupelor pe probleme de interes, asigurând un program riguros de
valorificare a potențialului fie cărei individualități;
 organizarea efortului concentrat al tuturor factorilor educaționali din școală pentru
ridicarea eficienței orelor de meditații.
Forma în care este ajutat elevul trebuie să mobilizeze energia acestuia în acțiunea
de învățare și nu să ducă la tutelarea intelectuală, la evitarea greutăților ce pot fi depășite
prin efort personal de către elevi. În caz contrar, elevul, știind că poate primi ajutor din
partea profesorului când este și când nu este cazul, se obișnuiește să aștepte orele de
pregătire, fără a depune un efort propriu pentru a -și face temele. Experiența a dovedit că
astfel de practici utilizate în vederea lichidării rămânerii în urmă la învățătură nu dau
rezultate bune. Fenomenul este ușor explicabil, întrucât însușirea cunoștin țelor nu este un
proces pasiv, ci presupune, așa cum am mai subliniat, eforturi intelectuale din partea
elevului însuși.
Rezultatele bune sau slabe la învățătură nu pot fi explicate exclusiv numai prin
munca profesorului sau numai prin cea a elevului. Când rezultatele elevului se explică
numai prin eforturile profesorulu , există pericolul de a -l dispersa pe elev să învețe, de a
încuraja lenea și pasivitatea. Succesul la învățătură este rezultatul muncii comune a
cuplului ,,profesor -elev”. Deși activitatea profesorulu i și cea a elevului au particularități
specifice, între ele trebuie să se asigure o deplină unitate. Rolul conducător, organizator al
profesorului se exercită, în fapt, bine atunci când el determină o activitat e intelectuală de

64
explorare, investigare de către elevi, orientată spre însușirea cunoștințelor prin eforturi
proprii.
Relația dintre profesor și elev trebuie să satisfacă nevoile afective ale copiilor. Dacă
în grup stările afective nu sunt trăite intens p rin participarea colectivului, degeaba căutăm
succesul procesului instructiv -educativ prin alte forme de activitate. Profesorul trebuie să
trăiască satisfacțiile izvorâte din muncă, alături de clasă, să trezească stări afective
puternice, să contribuie la dezvoltarea creativității. Neînțelegerea, lipsa de încurajare din
partea colegilor și a educatorului, pot curma o gândire creatoare, care nu e asociată și cu
trăsături pozitive de caracter.
De felul cum se stabilesc relațiile educator -elev, elev -colectiv, depinde în mare
măsură, influența dezvoltării motivelor sociale superioare, înțelegerea importanței
învățării, a cunoștințelor temeinice, dezvoltarea sentimentului datoriei, dorința de a obține
aprobarea educatorului, a părinților.
Pentru realizarea cu su cces a acțiunii de prevenire a rămânerii în urmă la învățătură,
este necesară o cunoaștere amănunțită a programelor școlare, ca instrument al muncii
didactice de zi cu zi. Îndeplinirea sarcinilor instructiv -educative stabilite prin programele
școlare, repr ezintă garanția asigurării succesului la învățătură al tuturor elevilor, al creșterii
randamentului școlar. În acest scop este necesar ca profesorul să aplice creator și adaptabil
conținutul programelor școlare, folosind tehnologii proprii în predarea mate maticii.
Realizarea programului la obiectul matematică n -am redus -o numai prin întocmirea
planului calendaristic al materiei. Ținând seama de nivelul de pregătire a elevilor din clasa
mea, din anul școlar anterior, de diferențierile care există între ei, a m stabilit tipurile de
lecții la matematică. Fiecărei lecții i s -a făcut o analiză psiho -pedagogică a conținutului ei,
pentru determinarea elementelor componente, a problemelor pe care le ridică și ce efort se
cere din partea elevilor. Totodată am constata t că unele cunoștințe au nevoie de mai multe
explicații, că neînțelegerea lor ar fi cauza unui insucces școlar și n -ar asigura progresul
ulterior în procesul învățării. Pentru înfăptuirea acestei sarcini, am stabilit numărul de ore
necesar parcurgerii fiec ărei teme, metodele și procedeele pentru însușirea lor.
Adaptarea activității didactice la specificul activității de învățare a elevilor poate
contribui la creșterea randamentului școlar. Este evidentă tendința de a impune copiilor
ritmul pentru parcurgere a temelor, ritm planificat la început de an sau semestru. S -ar putea
întâmpla ca la o anumită temă să se poată trece mai repede peste lucrul cu materialul

65
concret sau alteia să -i fie rezervat un număr prea mic de ore.
În ciclul primar, copiii trebuie să -și însușească unele cunoștințe generale sub forma
de noțiuni, de definiții, reguli, deprinderi, dar nu pentru a le reproduce mecanic, ci pentru a
opera cu ele. Consider că în practica zilnică ajungem la ele prea repede, pe un teren
insuficient pregătit. Pent ru a înlătura această situație pun pe elevi în contact cu mult timp
înainte cu elemente ale categoriilor respective.
De exemplu, înțelegerea fracțiilor ordinare a fost precedată de activități prin care
elevii au observat diferite obiecte întregi, dar le -am arătat că, întreg este și un număr care
semnifică mai multe obiecte; că întregii pot fi fracționați în părți egale și neegale; că părțile
în care sunt fracționați întregii pot fi mai mari sau mai mici; că dintr -un întreg fracționat
pot fi luate una sau ma i multe părți. Pe baza perceperii și înțelegerii acestor elemente,
cunoașterea fracțiilor ordinare n -a prezentat dificultăți. Contactul anterior cu elemente ale
cunoștințelor științifice dă siguranță și ferește de generalizări pripite care obligă la
memorare mecanică. Pe de altă parte, ele constituie repetări și întăriri succesive care ne dau
posibilitatea să contribuim la creșterea randamentului școlar al elevilor.
Sunt convinsă ca putem realiza mult în creșterea randamentului școlar al elevilor
noștri dacă ne iubim meseria și dacă, efortul pe care ni -l solicită, știm să -l dăruim de la
suflet pentru suflet.

III.1.2.1. Interdisciplinaritatea – factor de motivație pentru o învăț are de calitate
Abordarea interdisciplin ară pornește de la ideea că nici o disciplină de învățământ
nu constituie un domeniu î nchis, ci se pot stabili legaturi î ntre discipline. De fa pt
interdisciplinaritatea crează o imagine integrată a lucrurilor, o imagine mai fina, decât
atunci câ nd acestea sunt analizate separat.
Premisa abo rdării interdisciplinare a conținuturilor învățării este aceea de a asigura
unitatea cunoașterii și depășirea granițelor disciplinelor de învățământ. Este unanim
acceptat că, în viața de zi cu zi, nu folosim cunoștințe disparate acumulate la anumite
discipline și nu valorificăm capacități specifice unei materii de studiu. Abordarea integrată
a cunoașterii nu este un element de noutate, pedagogii subliniind, încă de la vechii greci,
importanța transmiterii cunoașterii ca un tot unitar. Viața noastră este una complexă,
unitară, prin urmare ar trebui să studiem fenomenele din perspectiva diferitelor discipline,

66
intercorelate și, mai mult, din perspectiva valorificării învățării nonformale și informale în
context formal.
Literatura pedagogică oferă mai multe sol uții metodologice moderne:
pluridisciplinaritatea sau abordarea tematică, interdisciplinaritatea sau abordarea integrată,
transdiciplinaritatea sau abordarea cross -curriculară.
Perspectiva interdisciplinară facilitează elevului "formarea unei imagini unit are
asupra realității" și dezvoltarea unei "gândiri integratoare" (Stanciu, M., Reforma
conținuturilor învățământului. Cadru metodologic, 1999, Iași, Polirom, p.165). Corelațiile
interdisciplinare sunt legături logice între discipline, în sensul că explica rea unui fenomen
solicită informații și metode studiate la diferite materii. Acestea pot fi spontane sau
planificate și pot fi legate de definirea unor concepte / noțiuni, de utilizarea unor metode
sau instrumente în contexte noi, de transferul unor valori și formarea unor atitudini prin
diferite discipline.
Rezolvarea de probleme poate fi considerată cea mai importantă forță motrice a
integrării datorită finalităț ii sale practice. Problemele cu care ne confruntăm în viața
profesională, socială sau persona lă impun judecăți și decizii care nu sunt, de regulă,
limitate în jaloanele disciplinare. Aceste probleme au un caracter integrat, iar rezolvarea lor
impune corelații rapide si semnificative.
Interdisciplinaritatea între fizică, chimie, matematică și biol ogie se realizează în
special în planul conținuturilor, avâ nd matematica drept instrument de lucru, fi ecare
demers ( observare, experimenta re, formulare de legi, clasificări, teoretizări) fiind realizat
în spirit matematic . Interdisciplinaritatea între fi zică, matematică, biologie și chimie se
realizează și în planul strategiilor didactice, atât ca forme de organizare a lecției, ca metode
folosite în transmiterea cunoștiințelor, cât și ca metode de verificare și evaluare. Se poate
spune pe drept cuvânt că fizica și matematica sunt instrumente pentru studiul chimiei și
invers.
Din perspectiva proiectării interdisciplinare a învățării și a evaluării, proiectul și
portofoliul prezintă următoarele avantaje:

67
 promovează dezvoltarea globală a personalității, pri n valorificarea achizițiilor de la
diferite discipline de studiu, prin integrarea cunoștințelor, a capacităților,
deprinderilor și atitudinilor/ valorilor;
 stimulează responsabilitatea elevului, prin libertatea de selectare a temelor și a
mijloacelor de realizare;
 evaluează elevii în acțiune / în procesul de învățare;
 pun accent pe identificarea/ formularea problemelor și apoi pe rezolvarea lor;
 angajează elevii în situații reale de viață; au semnificații practice, sociale,
economice și implicații în educația morală;
 deplasează accentul de la "a în văța despre", la "a ști cum"; promovează învățarea
prin contactul direct cu lucrurile (școala activă);
 încurajează autoevaluarea, gândirea, mai degrabă decât memorarea sau
recunoașterea unei informații;
 sunt interactive, angajează elevii în înțelegerea evaluării.
Abordarea integrată a învățării și utilizarea metodelor alternative de evaluare
stimulează crearea unei relații de colaborare, de încredere și respect reciproc între învățător
și elevi și între elevi. Elevul nu se simte "controlat", ci sprijinit. Profesorul trebuie să fie
mai mult un organizator al situațiilor de învățare și un element de legătură între elev și
societate, care mediază și facilitează accesul la informație. Implicarea elevilor în
procesului didactic trebuie realizată în toate laturile acestuia: predare -învățare -evaluare.
Aș mai specifica faptul că atunci când există un blocaj î n comunicarea dintre
profesori de diferite specialități, fiecare se retrage în interiorul graniț elor disciplinelor lui.
Totuși, mi -aș permite să scot în evidență că matematica, ca ș i obiect de studiu este un
model de interdisciplinaritate: algebră + analiz ă + geometrie plană + geometrie în spaț iu +
geometrie analitică + trigonometrie + astronomie + astrologie + probabilităț i + statistică +
contabilităț i + ecuații diferenț iale.

III.1.2. 2. Utilizarea calculatorului la orele de matematică
Copiii sunt fascinați de calculatoare, în special prin jocurile pe calculator . Dar
există și multe soft -uri educaționale, programe utilizate pentru îmbunătătirea culturii
generale sau chiar pentru așa -numita învățare interactivă . Aceste programe sunt primite cu

68
interes de către copii, îi fascinează, astfel încât cei care au avut tangență cu ele nu -și mai
doresc decât “lecții la calculator”.
Multe școli (chiar din mediul rural) au fost dotate cu calculatoare și beneficiază și
de programul AEL (firma Siveco, România). Acest program (și altele de acest gen) poate
fi folosit și la orele de matematică și reprezintă o metodă modernă de învățare. Elevii care
au avut ocazia să lucreze puțin cu el îl îndrăgesc și ar vrea numai “ore la calculator”.
Utilixarea calculatorului ca mijloc de predare a uor astfel de lecții prezintă o serie
de avantaje, printre care :
 partea teoretică (definiții, proprietăți, teoreme etc.) pot fi prezentate prin
intermediul monitorului (putem crea chiar noi, profesorii astfel de prezentări cu
ajutorul aplicației Power Point), dublat de folosirea unor fișe pentru elevi;
 exercițiile simple pot fi rezolvate chiar cu ajutorul caclulatorului, “acesta”
confirmând corectitudinrea răspunsului dat;
 se poate aloca mai mult timp pentru rezolvarea la tablă a unor probleme mai
consistente ;
 lecția se poate finaliza și cu o evaluare/ notare eficientă prin int ermediul testelor de
tip grilă , realizate tot cu ajutorul calculatorului (progeramul AEL permite
profesorilor conceperea unor teste)
 crește motivația învățării (prin prezența calculatorului la ore)
Există însă lecții la care “creta și tabla“, “ creionul și hârtia” reprezintă, într -adevăr
cea mai bună ( poate, singura) soluție corectă de predare. Cred, totuși, că 2-3 ore pe lună
sau chiar pe semestru realizate cu a jutorul calculatorului, au efecte benefice în ceea ce
privește învățarea matematicii , mai ales acolo unde metodele tradiționale nu au avut
rezultul dorit. Crește motivația învățării, chiar și cei care “se tem de matematică “ vor
începe s -o îndrăgească mai mult dacă profesorul are bunăvoința și răbdarea să aleagă cu
grijă tema pe care să o prezinte cu ajutorul calculatorului. Totul este să nu se exagereze, să
nu uităm care este, de fapt, adevărata matematică.
Voi prezenta mai jos un proiect didactic, care îmbină plăcut lucrul cu calculatorul în
cadrul orelor de matematică, dar și exersarea limbii engleze. Elevii clasei a VII -a A au
participat cu plăcere la această lecție de fixare a cunoștințelor patrulaterelor și și -au
exprimat dorința de a mai folosi această metodă interdisciplinară.

69
PROIECT DIDACTIC
DISCIPLINA MATEMATICĂ

TEMA LECȚIEI: Patrulatere
TIPUL DE LECȚIE: Lecție de recapitulare și sistematizare
SCOPUL LECȚIEI: Fixarea cunoștințelor
MATERIAL BIBLIOGRAFIC: Lecții Ael; Ed. Pearson: “International Mathematics for
the Middle Years”
DURATA: 50 minute
PROFESOR: Păcurar Mirela Elena
CLASA: a VII -a A
OBIECTIVE OPERAȚIONALE :
a) Cognitive : 1. să definească diferitele patrulatere și desenele corespunzătoare fiecăruia
2. să cunoască proprietățile specifice patrulaterelor
3. să se obișnuiască să folosească limbajul matematic
4. să prezinte clar si concis etapele de rezolvare a unei probleme
b) Afective : 1. să se stimuleze curiozitatea și imaginația elevului
2. să se dezvolte spiritul de observație și atenția concentrata
c) Psihomotorii : 1. să utilizeze calculatorul
2. să estimeze distanț e în figuri geometrice
COMPETENȚE SPEC IFICE
1. Recunoașterea și descrierea patrulaterelor în configura ții geometrice date
2. Identificarea patrulaterelor particulare utilizând propriet ăți precizate
3. Utilizarea propriet ăților calitative și metrice ale patrulaterelor în rezolvarea unor
probleme
4. Exprimarea prin reprezent ări geometrice a no țiunilor legate de patrulatere
5. Interpretarea informa țiilor deduse din reprezent ări geometrice în corela ție cu
anumite situa ții practice
STRATEGII DIDACTICE
a) Metode și procedee: conversația, explicația, exercițiul, problematizarea;
b) Mijloace de realizare: calculator, videoproiector, program Ael;
c) Forme de organizare: frontală, individuală.

70
Etapele
lecției/
timp
alocat CS /
OO Activități de învățare Metode Resu rse
materiale
Moment
organi –
zatoric
(4 min) OP1 Se pornesc calculatoarele și se pornește
aplicația Ael. Conver –
sația Calculator
Capta –
rea
atenției
(1 min) Profesorul anunță titlul lecției, anunță
obiectivele urmărite pe parcursul lecției și
cere elevilor să pornească pachetul
„Patrulatere – sinteză și aplicații”. Explica –
ția Calculator
CD
Reactua
-lizarea
cunoș –
tințelor
dobândi
-te
anterior
(10 min) OC1
OC2
OP1 Profesorul cere elevilor sa completeze
tabelul de la „1.1 Proprietățile
paralelogramului” (anexa 1).
În timp ce elevii lucrează individual pe
calculator , se dau explicații celor care nu
se descurcă. Conver –
sația
Explica –
ția Calculator

Fixarea
cunoștin
-țelor
(20 min) OC1
OC2
OC3
OC4
OP1
OP2 Profesorul cere elevilor să rezolve
exercițiile care apar la paragraful „4.
Aplicații”.
Pe parcursul rezolvări de exerciții vor
apărea exerciții ce se rezolvă „pas cu
pas”, un exercițiu de construcție de
problemă (se va face pe un singur
calculator, cel care se proiectează) și un
set de 10 exerciții sub formă de test. La
finalul testului apar numărul de e xerciții
corecte rezolvate. (anexe 2 – 4) Exerci –
țiul
Conver –
sația
Explica –
ția Calculator
Videopro –
iector
Asigura –
rea feed –
back –
ului
(13 min) OP2
OA1
OA2 Pentru a atrage și mai mult elevii,
profesorul propune studierea
proprietăților patrulaterelor învățate, în
limba engleză. (Anexa 5 – Summary of
the properties of quadrilaterals )
Paralelogram = Parallelogram
Romb = Rhombus
Dreptunghi = Rectangle
Pătrat = Square
Trapez = Trapezium
Se precizează și faptul că: “ The angle
sum of any quadrilateral is 360°. ” Conver –
sația
Explica –
ția Calculator

Tema
pentru
acasă
(2 min) Profesorul face aprecieri asupra activității
desfășurate.
Elevii notează tema pentru acasă. Conver –
sația
Explica –
ția

71
ANEXA 1

ANEXA 2

72
ANEXA 3

ANEXA 4

73
ANEXA 5
Summary of the properties of quadrilaterals
|Nr.
Crt. Quadrilateral Figure Properties
1. Parallelogram • Two pairs of parallel sides.
• Opposite sides are equal .
• Opposite angles are equal.
• Diagonals bisect one another.
2. Rhombus • A rhombus has all the properties of
a parallelogram and . . .
• All sides are equal .
• Diagonals bisect each other at right
angles.
• Diagonals bisect the angles through
which
they pass.
3. Rectangle

• A rectangle has all the properties of
a parallelogram and . . .
• All angles are right angles.
• Diagonals are equal.
4. Square

• A square has all of the properties of
a rhombus and a rectangle.
• Four sides equal.
• Four right angles.
5. Trapezium

• One pair of opposite sides parallel .

74
III.2 . Rezolvare de probleme de geometrie
III.2.1. Tratare metodică
Este recunoscut rolul metodicii în predare – învățare – evaluare. ( Nu oricine poate
să fie profesor, în primul rând d in cauza absenței metodei!) Iar importanța ei este cu atât
mai mare cu cât gradul de rigoare a disciplinei respective este mai ridicat. Este și cazul
geometriei. Se pot scrie cărți întregi pe această temă. Mă voi referi doar la câteva aspecte
ale geometriei – la nivelul gimnaziului – din punctul de vedere al metodicii predării
matematicii.
Tratarea metodică se impune, astfel, din cel puțin câteva co nsiderații:
 În primul rând, rigoarea amintită mai sus – să nu uităm că orice afirmație trebuie să
fie justificată (pe baza ipotezei și a cunoștințelor acumulate), iar întregul
raționament reprezintă o succe siune logică a implicațiilor;
 Faptul (recunoscut!) că interesul elevilor este mai scăzut la geometrie față de cel
pentru aritmetică și algebră;
 Folosirea în cadrul unei demonstrații de geometrie, în general, a unui bagaj mare
de cunoștințe legate printr -o altfel de „rețea de fire” decât cea de la al te ramuri
matematice;
 Aparentul paradox reprezentat de faptul că, de și pare a avea un fundament solid
privind „modelul fizic”, geometria prezintă un ridicat caracter abstract;
 O programă excesiv de aglomerată în care totul pare esențial, posibilitățile
profesorului de a sintetiza fiind considerabil reduse – acest lucru gen erează și
ritmul alert în care, de obicei este parcursă materia;
 Tendința generală a elevilor de a memoriza, de a reduce la minimum con struirea
de conexiuni logice;
 Ponderea redusă a geometriei în programa ciclului liceal;
 Spre deosebire de algebră pe care elevii o receptează drept o înșiruire algoritmică,
geometria nu prezintă imediat „tipuri de probleme” a căror rezolv are să nu ridice
dificultăți;
 Nu în ultimul rând, faptul că „vederea în spațiu” este o chestiune similară „urechii
muzicale”…

75
Mă voi opri asupra paralelogramelor din cadrul capitolului „Patrulatere”.
După ce cunoștințele anterioare vor fi „stârnite” prin întrebări și prin sarcina de a
descrie (în cuvintele lor) și de a desena aceste figuri, se va începe cu definiția (evident, este
vorba despre patrulaterul convex. În trecere, se poate face referire la patrulaterul concav
pentru a face distincția , dar fără a se insista, atât pentru că se studiază doar patrulaterul
convex cât și pentru a nu îngreuna înțelegerea):
Patrulaterul este figur a geometrică formată de patru puncte A, B, C i D, dintre
care oricare trei să nu fie coliniare i îndeplinind condiția că segmentele AB i CD ca i
AD i BC să nu aibă puncte interioare comune.
De remarcat că nu are rost să fie impusă reținerea definiție i – lucru care ar implica
un efort deosebit și o pierdere a sensului în tentativa de a o reproduce. Este mult mai
importantă recunoașterea patrulaterului dintre mai multe figuri date și construirea acestuia
– cu verificarea pe figură a condițiilor din defi niție. Cele două clase de obiecte studiate aici
sunt paralelogramele și trapezele.
Paralelogramele reprezintă o clasă de patrulatere care au laturile opuse paralele –
adică ambele perechi de laturi opuse paralele. (Se poate ridica aici problema: ce se
întâmplă dacă doar două laturi opuse sunt paralele? Este de așteptat ca elevii să recunoască
astfel, trapezul.) Deci, toate patrulaterele cu această proprietate sunt paralelograme. Există
patrulatere cunoscute din clasele anterioare care verifică această prop rietate? – va veni
întrebarea. Elevii vor recunoaște astfel cel puțin pătratul și dreptunghiul.
Așadar, este momentul în care descoperim împreună că unele dintre paralelograme
au proprietăți specifice pe care elevii le vor evidenția studiind reprezentarea grafică a
acestora. Urmează expunerea definițiilor, subliniindu -se „minimum -ul necesar” – concep t
reliefat de „un unghi drept”, de „două laturi consecutive congruente”, etc., sintagme care
apar în definiții, deși observația elevilor va fi că „toate unghiurile sunt drepte” și că „toate
laturile sunt congruente”.
Este un alt moment oportun de a observ a că, într -un enunț matematic (teoremă,
problemă, definiție) nimic nu este în plus și nimic nu lipsește!

76
Este foarte importantă, în continuare, insistența „discretă” a profesorului de a scoate
în evidență relațiile dintre mulțimile paralelogramelor, pătra telor, dreptunghiurilor și
romburilor, treptat, însă, pe măsura prezentării elementelor acestei mulțimi.
Astfel, o eficientă metodă de verificare a înțelegerii temei este dată de ușurința cu
care elevii vor reuși să sintetizeze, răspunzând la întrebări de genul: ”care paralelograme au
unghiurile drepte?” sau „în care diagonalele sunt bisectoare ale unghiurilor?”.
Apar apoi condițiile necesare și suficiente, odată cu care profesorul va insista
asupra echivalenței implicată de aceasta.
Lucruri asupra cărora trebuie insistat pentru înțelegerea noțiunilor și în
demonstrații (de fapt, acestea reprezi ntă tendințe generale și/sau greșeli tipice):
 Definiția paralelogramului cuprinde, așa cum precizează și denumirea, paralelismul
laturilor – se poate evidenția ace st lucru și prin construirea paralelogramului,
ducând laturile paralele, congruența lor ap ărând ulterior!
 Desenele se realizează cu ajutorul instrumentelor deja cunoscute și pe care este bine
ca elevii să știe să le folosească în mod corespunzător, cu atât mai mult cu cât tabla
clasei nu este „liniată” și nici foaia de examen – de exemplu, construirea
dreptunghiului sau a pătratului se face translatând echerul de-a lungul unei drepte,
etc.
 Paralelogramele particulare, așa cum reiese din definiția lor, sunt deja
paralelograme, deci îndeplinesc (prin definiție) toate proprietățile paralelogram ului.
 Prezentarea desenelor paralelogramelor dar și altfel poziționate, (de exemplu,
rombul desenat cu două laturi opuse orizontale) pentru a evita formarea la elevi de
reprezentări în care poziția desenului in fluențează proprietățile lui.
 Alegerea triunghiurilor ce urmează a f i comparate la un moment dat.
 Tendința de a folosi relații ale concluziei în derularea metod ei triunghiurilor
congruente.
 Elevii trebuie obișnuiți c u posibilitatea pe care o au de a executa construcții
ajutătoare – de exemplu, în demonstrarea congruenței laturilor opuse se vor trasa
diagonalele.

77
Aplicații.
Acestea pot să apară pe parcursul întregului material sau la sfârșitul acestuia. Se
impune oda tă în plus, prezentarea gradată a problemelor, pentru a ușura înțelegerea și
retenția. Astfel, se va începe firesc, cu aplicații imediate ale teoriei, (se pot repeta aplicații
simple cu perimetre, chestiuni cunoscute din clasele anterioare) unele dintre ac estea putând
să fie chiar demonstrarea de proprietăți ale paralelogramelor. De exemplu, când sunt
predate condițiile necesare și suficiente, profesorul poate demonstra o implicație urmând ca
elevii să o demonstreze pe cealaltă, evident cu sprijinul (persua siv…) al profesorului.
Apoi, problemele teoretice care ajută la utilizarea reprezentărilor mentale prin
analiză și sinteză:
1. Ce au în comun dreptunghiul și pătratul? Dar pătratul și rombul?
2. Care paralelograme au diagonalele perpendiculare?
3. Care paralelograme au laturile congruente?
4. Care au toate unghiurile congruente?
5. Diagonalele căror paralelograme sunt bisectoarele unghiurilor acestora?
6. Desenați un romb cu un unghi drept.
7. Desenați un dreptunghi cu oricare două laturi con gruente.
8. Desenați un paralelogram care să nu aibă unghiuri drepte.
9. Numiți paralelogramele care să nu fie romburi.
10. Numiți triunghiuri congruente din interiorul unui paralelogram.
Și mai departe:
11. Dacă un romb are un unghi de 600, atunci o diagonală a sa este congruentă cu laturile.
12. Linia mijlocie în triunghi este jumătate din latura opusă.
13. Mijloacele laturilor unui dreptunghi formează un romb. (Interesant de prezentat această
problemă – evident, și în funcție de nivelul clasei – sub forma: ce formează mijloacele
laturilor unui dreptunghi? Demonstrați.)
14. Mijloacele laturilor unui romb formează un dreptunghi.
15. Mijloacele laturilor unui pătrat formează un pătrat.
(Dintre problemele 13 – 15 este suficientă rezolvarea la tablă doar a uneia dintre ele și să
se recomande ca temă celelalte două).

78
Este foarte important ca, de la început să se lucreze diferențiat. Căci este de așteptat
ca elevii buni să deprindă repede utilizarea noțiunilor și a proprietăților acestora. Astfel, o
variantă de rezolvare de probleme este aceea de a distribui fișe de lucru elevilor buni care
vor îndeplini sarcinile individual, iar ceilalți vor rezolva la tablă probleme cu un grad
mediu de dificultate. (Între timp, profesorul va supraveghea și activitatea individuală a
celor buni.)

Alte aplicații .
Există probleme care în manualele mai vechi apăreau ca proprietăți, așa -numitele
„probleme remarcabile”, aceasta neimplicând neapărat un grad ridicat de dificultate ci
remarcabile pentru aplicabilitatea lor. De exemplu:
1. Mediana din vârful unghiului dre pt al unui triunghi dreptunghic este jumătate din
ipotenuză.
2. Să se demonstreze că mijlocul ipotenuzei unui triunghi dreptunghic este egal
depărtat de cele trei vârfuri ale triunghiului.
3. Demonstrați că mijloacele laturilor unui patrulater convex rep rezintă vârfurile
unui paralelogram.
4. Să se arate că bisectoarele interioare ale unghiurilor unui paralelogram formează
un dreptunghi. Arătați că laturile acestuia sunt paralele cu laturile paralelogramului.
5. În triunghiul ABC, G este punctul de intersecție al medianelor BE și CF. Dacă M
și N sunt mijloacele segmentelor BG și, respectiv CG, să se arate că patrulaterul MNEF
este paralelogram.
Există un mare pericol: excesiva teoretizare și axiomatizare, exag erata rigoare,
fenomene care nu doar îngreunează înțelegerea ci duc la disfuncții ale învățării și la
deplasarea atenției către reproducerea exactă a unui enunț, deci la forma acestuia, neglijând
conținutul și nuanțele acestuia. În acest sens, cred că, pe lângă o modificare rapidă și o
substanțială „aerisire” a programei, se impune evitarea unor corecții aplicate de către
profesor elevului care a înțeles fenomenul , dar nu a folosit corect, riguros limba jul strict,
impus de manuale . Ast fel, cred că este mai important dacă elevul a înțeles că unghiurile
determinate de bisectoare sunt egale decât excesiv de rigurosul „congruente”, cu atât mai
mult cu cât ei oricum, asociază intuitiv egalității unghiurilor egalitatea măsurilor lor.

79
Inclusiv folosirea parantezelo r care ar delimita conceptele de segment, dreaptă, lungimea
unui segment m i se pare ușor forțată căci, nu numai că se înregistrează o tendință generală
de simplificare a limbajului, dar sensul – segment ca obiect geometric sau lungimea lui –
se va deduce f ără echivoc din context, deci nu exclusiv din însoți rea notației de către
paranteze.
De asemenea, înșiruirea genitivelor îndeamnă la învățarea mecanică, pierzând
sensul matematic: „suma pătratelor lungimilor catetelor triunghiului dreptunghic…”, lucru
care se poate evita – și asigurând înțelegerea – efectiv prin descrierea în cuvinte a pașilor
din aplicarea teoremei respective.

III.2.2. P roblem e de geometrie cu grad ridicat de dificultate
Problema 1.
Demonstrați că în orice trapez cele patru bisectoare formează un patrulater inscriptibil.

Fig. 32

Demonstrație .

Notăm intersecțiile bisectoarelor unghiurilor ca în fig.32 . Unghiurile A și D ale trapezului
sunt suplementare, la fel B și C.
De aici avem :
( ̂) ( ̂)
. ( ̂) ( ̂)/ ;
în triunghiul AFD obținem folosind relația anterioară că unghiul F este drept. Similar
avem că în triunghiul BHC , unghiul H este drept, prin urmare în patrulaterul GFEH două
unghiuri opuse sunt suplementare, deci GFEH este patrulater inscriptibil.

80

Problema 2.
Demonstrați că bisectoarele unui patrulater convex formează un patrulater inscriptibil.

Fig. 33

Demonstrație .
Notăm intersecț iile bisectoarelor ca în fig. 33. În triunghiul AFB avem:
( ̂)
( ̂)
( ̂).
În triunghiul DHC avem:
( ̂)
( ̂)
( ̂).
Din acestea obținem:
( ̂) ( ̂)
( ̂)
( ̂)
( ̂)

( ̂) , de unde rezultă că patrulaterul EFGH este inscriptibil.

Problema 3.
Demonstrați că un deltoid inscriptibil este dreptunghic. În ce condiții un deltoid
dreptunghic este inscriptibil?

81
Fig. 34

Demonstrație.
Fie deltoidul ABCD în care AB=BC și AD=DC . Cum ABCD inscriptibil avem că
unghiurile A și C sunt suplementare. Triunghiurile ABC și ADC sunt isoscele și cum
unghiurile A și C sunt suplementare avem :
̂ ̂ și ̂ ̂
de unde avem că ̂ ̂ și cum sunt suplementare obținem că sunt unghiuri drepte deci,
deltoidul ABCD este dreptunghic.
Reciproc, un deltoid cu două unghiuri drepte este inscriptibil; un deltoid cu un
singur ung hi drept nu este inscriptibil.

Problema 4.
În triunghiul ABC avem relația: . Să se arate că vârfurile B și C, centrul de
greutate și picioarele înălțimilor din B și C sunt conciclice.
Fig. 35

82
Demonstrație:
Fie M mijlocul laturii BC iar B’ și C’ picioarele înălțimilor. MC’ și MB’ sunt mediane în
triunghiurile dreptunghice BCC ’ și BCB’, deci

.

√

√

de unde avem că punctele B, C, B’, C’, G sunt conciclice , ele aflându -se pe cercul cu
centrul în M și de rază
.

Problema 5.
Fie ABCD un trapez isoscel circumscriptibil cu AB CD, AB>CD. Notăm cu x=d(A, BC) și
y=d(C, AD) . Atunci:
1.
Bb
xy .
2.
bBBbBx2 și
bBBbby2 .
3.
2 2 221 1 1
r y x .
4.
2
2 

bBABCD .
Demonstrație:
2. Se scrie
 ABC în două moduri, la fel
 ADC .
3.
. 1 1
41 1
2 22
2 2 

b B BbbB
y x Cum
Bb bB 2  (*)
 Bb4 bB 2 și cum
Bb b B2 1 1
2 2
din
 22 2ab b a
2 2 22 1 1
hy x . Cum
 2Bbr cerința.

83
4.
2
2 2 2

bBBbbB hbBABCD din (*).
Problema 6.
ABCD este un patrulater circumscriptibil și inscriptibil. Fie
 și
 măsurile unghiurilor
Aˆ
și
Bˆ și a, b, c, d lungimile laturilor AB, BC, CD, DA. Arătați că:
1.
bc adcd ab

sinsin
2. Dacă
60 și
30 , arătați că lungimile laturi lor patrulaterului nu sunt toate
numere raționale.
3. În condițiile de la 2) arătați că :
i)
2 2 2 22 2 b c d a  .
ii)
bcda 2 2 .
iii)
23 dba și
23 bdc .
Demonstrație:
1. Fie r raza cercului înscris.
 dcbarABCD 2
.
 BCD ABD ABCD  
2sin
2sin  bc adABCD  

din ABCD patrulater inscriptibil. Obținem

cabc adr2sin .
Analog

dbcd abr2sin .
Cum
dbca

bc adcd ab

sinsin .

84
2. Conform cu 1)
3bc adcd ab  (*). Dacă a, b, c, d sunt simultan numere
raționale atunci
Q3 , absurd!
3. Cu teorema cosinusului în triunghiurile ABD , respectiv BCD
ad d a2 2 2BD
și
 2 2 2bccb BD
bc ad d c b a 2 2 2 2 (1).
Aplicând teorema cosinusului în triunghiurile ABC , respectiv ADC

cdab dcba  32 2 2 2
(2).
Folosind (*) precum și realațiile (1) și (2)

 2 2 2 2 2 2 2 23 d c b a d c b a 
de unde grupând convenabil obținem
2 2 2 22 2 b c d a 
, prin urmare
dbdb caca  2 . Cum
dbca
d-b2c-a 
, de unde
bcda 2 2 .
4. a și c se obțin din condiția de circumscribilitate a patrulaterului și relația determinată
anterior
bcda 2 2 .

Problema 7.
Într-un patrulater ortodiagonal circumscriptibil produsele dintre lungimile laturilor
opuse sunt egale.
Demonstrație :
Fie a, b, c, d lungimile laturilor AB, BC, CD, D A ale patrulaterului ABCD și
 BD AC Q
. Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiurile dreptunghice QAB , QBC,
QCD, QDA obținem:
. QA , QC , QB ,2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2d QD c QD b QC a QB QA    

Adunând relațiile anterioare și grupând c onvenabil obținem
.2 2 2 2d b c a  Cum
bdac  dbca
.
Consecință:
Nu există trapez isoscel ortodiagonal circumscriptibil.

85

Problema 8.
Fie M și N mijloacele laturilor [BC]și [AD] ale patrulaterului convex ABCD și {P} =
AM BN și Q = CN ND. Să se arate că aria patrulaterului PMQN este egală cu suma
ariilor triunghiurilor ABP și CDQ.

Fig. 36
Demonstrație :
Ducem AA' BC: NN' BC; DD' BC =>

‖ ‖ ‖ ‖} => MN' linie mijloci e în trapezul AA' D' D =>
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖

( ) ‖ ‖ ‖ ‖

( ) ( ) ‖ ‖ ‖ ‖
‖ ‖ ‖ ‖
⇒‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖

⇒ ( ) ( ) ‖ ‖
.‖ ‖ ‖ ‖
/ ‖ ‖ ‖ ‖
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
⇒ ( ) ( ) ( )

86
Problema 9.
Să se construiască o dreaptă care împarte o suprafață patrulateră convexă în două părți
de aceeași arie.
Fig. 37
Demonstrație :

}⇒ ( ) ( )
( ) ( ) (1)
( ) ( ) baze egale și aceeași înălțime
( ) ( )
( ) ( ) (2)
( ) ( ) aceeași bază și vârfurile pe drepte paralele la bază
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )(3)
(1), (2) și (3) ⇒ ( ) ( ).

Problema 10.
Într-un patrulater convex ,ABCD se dau (√ √ ) ( ̂)
și ( ̂)

.

Se cer celelalte unghiuri ale patrulaterului și AB.

87
Fig. 38
Demonstrație :

⇒ BD=14
În triunghiul BDC avem:

̂
̂⇒ ̂ ̂

̂ √
√( )( )

̂

̂ √

̂

( ̂)

În triunghiul ADB ⇒ (√ √ ) (√ √ ) √

( √ ) (√ ) ( √ ) (√ )
( √ √ ) ( √ ) ( √ )
( √ ) ⇒ (√ )

În triunghiul ADB aplicăm teorema sinusurilor:

̂

⇒ (√ √ )
̂ (√ )
√
⇒ (√ √ )
̂ (√ )
√
⇒ ̂ (√ )
(√ ) (√ )
(√ )
( ̂)

88
( ̂)

( ̂)

(

)

⇒
⇒

⇒
⇒

( )

( )

( ̂)
.

/

Problema 11.
Se dă un patrulater convex ABC D. Să se afle locul geometric al punctelor M
pentru care [MBCD] = [MBAD].
Fig. 39
Demonstrație:
Fie O mijlocul diagonalei AC ⇒ AO=OC
[AOD] = [COD] (1) pentru că {
, –

89
[AOB] = [COB] (2) din aceleași motive,
adunăm (1) și (2) ⇒ [ADOB] = [DCBO] (3), deci O este un punct al locului căutat.
Construim prin O o paralelă la BD până taie laturile [BC] și [DC] în P respectiv Q.
Locul geometric căutat este [PQ].
Într-adevăr , -avem:
[M BAD] = [ABD] + [BDM] = [ABD] + [BOD] = [ABOD].
[BDO] = [BDM] pentru că M și Q aparțin unei paralele la BD.
iar,
[BCDM] = [PQC] + [PMB] + [MQD] = [PQC] + [PBO] + [OMB] +
[MQD]
Dar [OMB] = [OMD] (B, D aparțin unei paralele la OM ⇒
[BCDM]= [PQCJ + [PBO] + [OMD] + [MQD] = a[OBCD]
Dar [M BAD] = [ABOD] deci și [BCDM] = [OBCD] și din (3)
⇒ [MBAD] = [BCDM].

Reciproc:
Dacă [MBCD] = [MBAD] să demonstrăm că M aparține paralelei prin O la BD.
Într-adevăr:
[BCDM] = [MBAD] și cum [BCDM] + [MBAD] = [ABCD] ⇒
[MBCD] = [MBAD]= , –
(1)
dar și [ABOD] = [OBCD] = , –
(2)
Deci din (1) și (2) ⇒ [ABMD] = [ABOD] ⇒ [ABD] + [BDO] = [ABD] +
[BDM] ⇒ [BDO] = [BDM] ⇒ M și O se află pe o paralelă la BD.

Problema 12.
Considerăm paralelogramul ABCD și fie E, F puncte pe diagonala BD, astfel încât
BE=EF=FD. Se notează cu G, H, L, M punctele de intersecție ale perechilor de drepte BC
și AE, CD și AF, AB și CE, respectiv AD și CF. Să se demonstreze că dreptele AC, EF și
LH sunt concurente.

90
Demonstrație:

Fig. 40

AD=BC,
CBFEDA , DE=BF, rezultă că
 ADE≡
 BCF atunci AE = CF
AD=BC,
CBEFDA , DF=BE, rezultă că
 ADF≡
 BCE atunci AF = EC
Rezultă că AECF paralelogram și EF trece prin mijlocul O al diagonalei [AC].
Cum AF || EC, AHCL paralelogram și prin urmare, diagonala [LH] trece prin mijlocul O al
diagonalei [AC]. Așadar, dreptele AC, EF și LH sunt concurente.

A M D
H
C G B L
E O F

91
CAPITOLUL IV
CERCETAREA CONSTATATIV -APLICATIVĂ PRIVIND DEZVOLTAREA
COMPETENȚELOR MATEMATICE LA CLASA A VII -A

IV.1. Scopul cercetării
Elaborarea acestei lucrări cu caracter metodic și științific a avut drept scop
principal evidențierea rolului metodelor interactive în studiul matematicii și în particular a
patrulaterelor inscriptibile, în creșterea randamentului școlar al elevilor.
Conținutul cercetării probează convingător c ă aplicarea unei metodologii axate pe
activizarea maximală în lecțiile de matematică asigură succesul realizării obiectivelor
privind formarea competențelor matematice.

IV.2. Obiectivele cercetă rii
O1: Evaluarea nivelului de cunoștințe al elevilor din punct de vedere al competențelor
vizate la începutul și sfârșitul experimentului;
O2: Identificarea celor mai potrivite metode interactive, active -participative, care pot fi
folosite la orele de matematică, în vederea dezvoltării competențelor vizate;
O3: Aplicarea metodelor interactive în vederea dezvoltării competențelor specifice
studiului patrulaterelor inscriptibile.

IV.3. Ipoteza cercetării
Înaintea declanșării acestei cercetări am formulat ipoteza:
„Dacă profesorul va aborda metode i tehnici ac tivizante în cadrul predării -învățării
noțiunilor de geometrie, atunci se va asigura dezvoltarea unor competențe matematice
corecte obținându -se progresul elevilor.”
Ipoteza a fost generată de faptul că un indice permanent al insuccesului școlar îl
constituie manifestarea lacunelor în sistemul cunoștințelor – apariție determinată de
insuficienta înțelegere a informațiilor. Strategiile alese de profesor pentru a preda

92
conținuturile învățării, uneori nu angajează elevul în procesul înțelegerii lor cauz ând
apariția lacunelor, confuziilor. De a ceea, prin experimentul derulat , se vor confirma:
– rolul formativ al metodelor de lucru active în formarea corectă a
competențelor matematice;
– sporirea interesului școlarilor pentru geometrie;
– progresul realizat de e levi în utilizarea corectă a proprietăților și teoremelor
patrulaterelor inscriptibile în diverse situații.

IV.4. Metodologia cercetării
În activitatea desfășurată , am optat pentru cercetarea pedagogică de tip combinat
teoretic -fundamentală și practic -aplicativă axată pe formarea competențelor specifice
geometriei printr -o suită de activități practice.
Cercetarea are un caracter experimental, deoarece am plasat în activitățile de
învățare strategii moderne care s -au dovedit eficiente în obținere a performanțelor.
Activitățile de evaluare au evi dențiat convingător acest lucru .
Metodologia cercetării cuprinde:
A) Metode nonexperimentale care constau în obținerea datelor:
 Observația – exercitată în timpul derulării experimentului, constând în
utilizarea grilelor de observație.
 Testele .
 Analiza produselor colare.

Voi face succinte prezentări pentru fiecare:
Observația , fiind un demers inductiv, mi -a oferit posibilitatea să cunosc potențele
reale ale școlarilor și să descopăr gradul în care ei au fost influențați de combinarea
activităților de tip individual , frontal și de grup.
Testele au evaluat nivelul de însușire a proprietăților patrulaterelor, corectitudinea
utilizării lor, competențe probate în rezolvarea de probleme. P e baza rezultatelor
înregistrate am putut să iau măsuri oportune de corectare la momentul potrivit. De
asemenea, mi -au oferit posibilitatea să urmăresc evoluția elevilor celor două clase.

93
Analiza produselor colare mi-a dat prilejul să constat obiectiv ni velul atins de
elevii claselor implicate în experiment.
Metodele acționale și de intervenție mi-au direcționat demersul pe tot parcursul
desfășurării experimentului.

IV.5. Grupul de cercetare

Grupul de cercetare a cuprins 30 de subiecți, elevi a do uă clase a VII -a, clase
paralele, a VII -a A și a VII -a B, din Școala Gimnazială Budila . Lotul de investigație a fost
structurat în clasa experimentală (15 elevi , clasa a VII-a A) și clasa de control ( 15 elevi,
clasa a VII -a B).
Indicatorul de vârstă al grupului de cercetare s -a situat între 12 -14 ani. Mediul
social din care provin subiecții investigați și implicit, influențele educative exercitate de
mediul familial, a constituit un alt criteriu de selecție a lotului de cercetare. Întrucât
rezultatele c ercetării propuse depind în mare măsură de influențele exercitate de climatul
educativ din familie, de măsura în care elevii primesc ajutor din familie, de gradul în care
părinții se implică în activitatea școlară , am ales cei 30 de sub iecți din familii de favorizate.
În prealabil mi -am fixat următoarele obiective generale :
 Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de
contextul în care au fost definite;
 Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual c uprinse în
enunțuri matematice;
 operaționalizarea informațiilor prin diversificarea situațiilor de învățare
aplicând variate metode activizante.
Am studiat, înaintea declanșării experimentului, situația familiilor școlarilor din
grupul experimental. Rezult atele le -am înregistrat în tabele:

94
 Situația materială a părinților
Nr.
crt. Situația materială La stat La firmă
1. Ambii părinți au venituri 5 0
2. Numai un părinte muncește –
fără carte de muncă 0 3
3. Ambii părinți sunt șomeri 6 0
4. Unul dintre părinți este
pensionar 0 0
5. Bunicii au copilul în îngrijire 0 2
6. Nici unul dintre părinți nu
lucrează 0 9

* Gradul de cultură al părinților
Nr.
crt. GRADUL DE CULTURĂ AL PĂRINȚILOR NUMĂR
1.
2.
3.
4.
5. Cu școala primară
Cu școală generală
Cu liceul
Cu studii superioare
Fără studii 6
7
2
0
10

* Număr de copii în familie
Nr.
crt. NUMĂRUL COPIILOR ÎN FAMILIE NUMĂR
1.
2.
3.
4. Un copil
Doi copii
Trei copii
Mai mulți copii 2
3
4
8

95
* Timp acordat de famili e pentru comunicarea cu copilul
Nr.
crt. TIMP ACORDAT PENTRU COMUNICARE NUMĂR
1.
2.
3. Ambii părinți comunică bine cu copilul
Numai mama comunică bine cu copilul
Din lipsă de timp/interes ambii părinți nu comunică 3
5
12

Strânsa legătură cu familia mi -a adus avantaje deoarece, cunoscând opiniile
părinților, am avut posibilitatea să elimin atitudini incorecte și să le stimulez pe cele
corecte. Am procedat la corelarea rezultatelor obținute la testarea inițială cu datele din
tabelele de mai sus. Această corelație m -a ajutat să ajung la următoarele concluzii:
– Nu numai starea materială a părinților este întrutotul determinantă în educarea limbajului
școlarilor (formarea unor competențe matematice corecte), ci interesul, gradul de cultură al
ambilor părinți determină o gândire matematică corectă în familie, gândire care poate servi
sau nu drept model copilului.
– Părinții cu mai mulți copii (peste doi) nu se mai pot ocupa în egală măsură de fiecare
copil.
– Interesul pentr u școală, în particular matematică, diferă de la o familie la alta. Am
întâlnit părinți care scapă din vedere importanța matematicii și părinți care nu știau că
trebuie să vegheze la activitatea școlară a copilului.
– Copiii care au frecventat grădinița au mai puține probleme în gândire în comparație cu
aceia, care, din diferite motive, nu au frecventat -o.

Vectorii acționali au fost îndreptați în două direcții:
a) îndrumarea, con silierea părinților, bunicilor;
b) optimizarea demersului didactic.
În ceea ce privește prima direcție am îndrumat părinții:
– să comunice mai mult timp cu copiii;
– în timpul comunicării să aibă răbdare să -i asculte, să -i lase să încheie fiecare
enunț;

96
– corectarea eventualelor greșeli să se facă la sfârșitul aplicației, cu îngăduință ,
fără dojană și motivat;
– să laude reușita copilului ca urmare a utilizării cunoștințelor învățate la
școală.

Referitor la demersul didactic , mi-am propus și am realizat:
– activități dinamice, diversificate, cu caracter preponderent aplicativ;
– centrarea atenției asupra înțelegerii și aplicării în practică a noțiunilor
specifice patrulaterelor;
– încurajarea progresului fiecărui elev.

IV.6. Desfășurarea cercetării
Cercetarea s -a desfășurat în perioada semestru lui al doile a al anului școlar
2012/2013, timp în care elevii celor două loturi au studiat patrulatere.
Conținuturile învățării supuse investigației au fost:
– Patrulaterul convex
– Suma măsurilor ungh iurilor unui patrulater convex
– Paralelogramul; proprietăți
– Paralelogr ame particulare (dreptunghiul, rombul, pătratul)
– Trapezul, clasificare, proprietăți
– Axe de simetrie la figurile studiate
– Patrulatere inscriptibile (proprietăți, calcule ale elementelor, calcule de arii)
În acest interval de timp nu au existat factori perturbatori. Nivelul de performanță
ce trebuie atins de subiecții investigați este precizat în formularea competențe specifice
acestui conținut regăsite în Curriculum –ul Național:
– 1.6. – Recunoașterea și d escrierea patrulaterelor în configurații geometrice date
– 1.9. – Recunoașterea și descrierea elementelor unui cerc, într -o configurație geometrică
dată
– 2.5. – Identificarea patrulaterelor particulare utilizând proprietăți precizate

97
– 2.8. – Calcularea unor lungimi de segmente și a unor măsuri de unghiuri utilizând metode
adecvate în configurații care conțin un cerc
– 3.5. – Utilizarea proprietăților calitative și metrice ale patrulaterelor în rezolvarea unor
probleme
– 3.8. – Utilizarea informațiilor o ferite de o configurație geometrică pentru deducerea unor
proprietăți ale cercului
– 4.5. – Exprimarea prin reprezentări geometrice a noțiunilor legate de patrulatere
– 5.8. – Deducerea unor proprietăți ale cercului și ale poligoanelor regulate folosind
reprezentări geometrice și noțiuni studiate
– 6.5. – Interpretarea informațiilor deduse din reprezentări geometrice în corelație cu
anumite situații practice
– 6.8. – Interpretarea informațiilor conținute în probleme practice legate de cerc și de
poligoane r egulate .

Trebuie menționat faptul că sarcinile formulate în testele aplicate sunt circumscrise
acelorași itemi de evaluare stabiliți pe baza competențelor de referință și a conținuturilor
date.
– I.5.1 – Exerciții de identificare, diferențiere și denumire a patrulaterelor
– I.5.2 – Exerciții de identificare a patrulaterelor pe corpuri geometrice sau pe desfășurări
ale acestora
– I.5.3 – Exerciții de scriere și de identificare a unor elemente ale patrul aterelor: laturi,
unghiuri, diagonale
– I.5.4 – Analizarea unor exemple de patrulate re cu sau fără axă de simetrie
– I.5.5 – Exerciții de identificare a centrelor/axelor de simetrie pentru patrulaterele studiate
– II.5.1 – Demonstrarea proprietăților par alelogramului
– II.5.2 – Exerciții de stabilire a unor paralelograme particulare pe baza unor proprietăți
precizate
– II.5.3 – Demonstrarea proprietăților paralelogramelor particulare utilizând metode variate
– II.5.4 – Exerciții de identificare a liniei mijlocii în trapez pe baza definiției/proprietăților
acesteia
– II.8.4 – Exerciții de utilizare a instrumentelor geometrice adecvate pentru a reprezenta
configurații geometrice care conțin un cerc

98
– IV.7.1 – Exerciții de utilizare a instrumentelor geometr ice pentru a reprezenta prin desen
relații între elementele unor figuri sau configurații geometrice (congruență, paralelism,
perpendicularitate)
– IV.7.2 – Observarea diferenței dintre condițiile necesare și suficiente în contexte
geometrice variate
– IV.8.1 – Utilizarea instrumentelor geometrice pentru a reprezenta prin desen cercul și
elementele sale
– V.1.3 – Discutarea în grup a metodelor de rezolvare în vederea optimizării acestora din
punct de vedere al pașilor de parcurs și din punct de vedere al volumului de calcule
implicat
– V.7.5 – Utilizarea unor metode diferite de calculare a ariei unui triunghi și/sau a unui
patrulater
– V.8.2 – Deducerea unor relații între latura poligonului regulat și raza cercului circumscris
acestuia
– VI.5.1 – Rezolvarea de probleme utilizând proprietățile trapezului și a paralelogramelor
particulare: dreptunghi, romb și pătrat
– VI.5.2 – Identificarea și analizarea unor metode alternative de rezolvare a problemelor de
geometrie utilizând proprietăți ale patrulaterelo r particulare
– VI.5.3 – Analizarea unei situații -problemă sau a unor probleme practice care necesită
aplicarea proprietăților patrulaterelor particulare și ale trapezului isoscel

Perioada I a constat într -o testare inițială, scrisă, cu funcția de diagnoză pentru a
scoate în evidență informații preliminare privind nivelul elevilor. Pe baza datelor obținute
în această perioadă, am elaborat prognoza, alegând cele mai potrivite instrumente și
metode activizante pe care urma să le aplic în timpul experimentului .
Perioada a II -a a fost mai extinsă și a cuprins o diversitate de activități derulate
prin aplicarea metodelor interactive, activ -participative. M -am oprit asupra metodelor care
solicită elevul ca subiect activ al învățării, coparticipant la propria forma re. Am îmbinat
diverse tipuri de exerciții cu metode ale gândirii critice precum Metoda Cadranelor,
Metoda Piramidei, Metoda R.A.I. etc . Tot în această perioadă am consemnat observații,
am analizat obiectiv produsele activității elevilor. Am insistat în mo d deosebit pe latura
formativă a demersului didactic în vederea obținerii performanței în formarea

99
competențelor matematice corecte. Școlarii au relaționat optim între ei, au colaborat intens
la activități.
Perioada a III -a s-a desfășurat sub forma unei te stări sumative, de final.
Rezultatele înregistrate ne -au permis să analizăm performanțele și să facem o comparație
obiectivă între nivelul competențelor din faza iniț ială și acela din etapa finală.

IV.6.1 . Etapa pre -experimentală
Această etapă reprezintă punctul de plecare în desfășurarea experimentului
constâ nd în aplicarea a unui test de evaluare inițială – scris – care au avut rol de diagnoză
asupra calității și cantității cunoștințelor elevilor din cele două loturi, clasa de control și
clasa experimentală, despre „patrulatere convexe, paralelogram, paralelograme
particulare ”. M-am străduit să formulez cerințe care să vizeze toate elementele studiate, în
vederea depistării lacunelor din cuantum -ul cunoștințelor elevilor.
TEST DE EVALUARE INI ȚIALĂ
I. Completează spațiile libere astfel încât afirmațiile să fie adevărate:
Ex. Pct. Exercițiul
1. 4p Unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt …..
2. 4p Diagonalele unui romb sunt …..
3. 4p Diagonalele unui dreptunghi sunt …..
4. 4p Diagonalele unui pătrat sunt ………….…… și ……………

II. Stabilește valoarea de adevăr a propozițiilor cu A sau F (A = adevărat; F = fals).
Ex. Pct. Exercițiul A sau F
1. 5p Orice romb este un pătrat .  A  F
2. 5p Orice pătrat este un dreptunghi .  A  F
3. 5p Orice pătrat este un paralelogram .  A  F
4. 5p Orice dreptunghi este un pătrat .  A  F
5. 5p Orice pătrat este un romb .  A  F
6. 5p Diagonalele unui romb au același mijloc .  A  F

100
7. 5p Diagonalele unui dreptunghi sun t perpendiculare .  A  F
8. 5p Diagonalele unui romb sunt ș i bisectoarele
unghiurilor sale .  A  F
9. 5p Dacă diagonalele unui patrulater convex sunt
perpendiculare, atunci patrulaterul este romb.  A  F
10. 5p Diagonalele unui pătrat sunt ș i bisectoarele
unghiurilor sale .  A  F

III. Pentru fiecare din exemplele următoare , selectați o variantă ce face ca afirmația
respectivă să fie adevarată.
Ex. Pct. Exercițiul
15. 4p Dacă
diagonalele
unui
patrulater se
taie în părți
congruente,
atunci el
este: a) romb b)pătrat

c)paralelogram

d)dreptunghi

16. 4p Figura
formată
prin unirea
mijloacelor
laturilor
consecutive
ale unui
patrulater
convex
este: a)romb b)dreptunghi
c)paralelogram d)nici unul
dintre acestea

101
IV. Rezolvați:
Ex.17. ( 16p). În triunghiul ABC, m(
 ABC) = 2  m (
ACB) . Se construiește
bisectoarea (BD , D
 (AC) și se consideră E simetricul lui D față de mijlocul M al lui
(BC). Arătați că patrulaterul BDCE este romb.
Notă: Timp de lucru: 50 minute. Toate subiectele sunt obligatorii. Din oficiu se acordă 10
puncte

Interpretarea rezultatelor la proba de evaluare inițială
În urma aplicării Probei de evaluare inițială s-au obținut următoarele r ezultate, la clasa
experimentală :
Din punct de vedere calitativ, punctajele obținute , per item de evaluare , la cele două
loturi de elevi sunt următoarele: Nr.
crt. Numele și
prenumele
elevului I II III IV
Nota
1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1. A.M. 0 0 0 0 5 0 5 0 5 0 5 0 0 0 4 0 0 2,4
2. A.C.M. 0 4 0 0 5 0 5 0 5 0 5 0 0 0 0 4 0 3,8
3. A.D.M. 4 0 0 4 5 5 0 5 0 5 0 5 5 0 4 0 4 5,6
4. B.R.M. 4 0 0 0 0 0 0 5 0 5 0 5 0 0 4 0 8 4,1
5. B.E.I. 0 4 4 0 5 0 5 0 5 0 5 0 0 0 0 0 0 3,8
6. B.V.G. 4 4 4 4 0 0 0 5 0 5 0 5 5 0 4 4 0 5,4
7. C.M.C. 0 4 0 0 5 0 5 0 5 0 5 0 0 0 0 0 0 3,4
8. C.A.Ș. 4 0 0 4 0 0 0 5 0 5 0 5 5 0 4 4 4 5
9. C.R.I. 4 0 0 4 0 0 0 5 0 5 0 5 5 0 0 0 4 4,2
10. G.B.S. 4 0 0 4 0 5 0 5 0 5 0 5 5 0 4 4 4 5,5
11. M.A.I. 4 0 0 4 5 5 5 5 0 5 0 5 5 0 4 4 4 6,5
12. M.A.C. 4 0 0 4 0 0 0 5 0 5 0 5 5 0 4 0 4 4,6
13. M.L.C. 4 0 0 4 0 0 5 5 0 5 0 5 5 0 4 0 4 4,5
14. N.C.C. 4 0 0 0 0 0 0 5 0 5 0 5 0 0 4 0 4 3,7
15. O.G.C. 4 0 0 4 0 0 0 5 0 5 0 5 5 0 4 4 4 5

102
Nr.
crt. CLASA
EXPERIM ENTALĂ CLASA
DE CONTROL
I 1x12p
9x8p
4x4p
1x 0p 9x8p
5x4p
1x 0p
II 1x35p
1x30p
1x25p
10x20p
2x15p 2x30p
2x25p
9x20p
2x15p
III 5x8p
7x4p
3x0p 6x8p
8x4p
1x0p
IV 1x8p
9x4p
5x0p 2x8p
8x4p
5x0p

Centralizând toate datele, notele obținute de elevi la testul de evaluare scris sunt
vizibile pe următoarele grafice:
Clasa experimentală

2.4 3.8 5.6
4.1 3.8 5.4
3.4 5.0
4.2 5.5 6.5
4.6 4.5
3.7 5.0
0.01.02.03.04.05.06.07.08.0

103
Clasa de control

Procentual vorbind, s -au înregistrat următoarele rezultate:

Nr. crt. Nota Clasa de control Clasa experimentală
1 2,00-2,99 6,67% 13,33 %
2 3,00-3,99 26,67% 40,00 %
3 4,00-4,99 26,67% 13,33%
4 5,00-5,99 33,33 % 20,00 %
5 6,00-6,99 6,66% 6,67%
6 7,00-7,99 0,00% 6,67%

După realizarea acestei diagnoze din etapa pre -experimentală, eforturile mele au
fost îndreptate în direcția recuperării lacunelor privind trăsaturile definitorii
patrulaterelor care conduc la o identificare mai ușoară, la stabilirea unor conexiuni sau
la analiza matematică corectă a acestora.
5.0 5.6
3.8
2.4 3.8 5.1
3.4 3.8 4.2
3.5 6.5 7.0
4.5
3.7
2.8
0.01.02.03.04.05.06.07.08.0

104
IV.6.2. Etapa experimental – aplicativă

În cadrul etapei experimentale (practic -aplicativă) am integrat în demersul didactic
metode și tehnici activizante care, prin aplicarea lor , au asigura t randamentul școlar
ducând la recuperarea lacunelor diagnosticate în perioada pre -experimentală obținâ ndu-se
astfel progresul elevilor, conform ipotezei emise. Din varietatea metodelor activ –
participative am selectat metode corespunzătoare specificului dis ciplinei matematică și
implicit conținuturilor vizate.
Astfel, la clasa experimentală, strategia didactică adoptată în vederea recuperării
lacunelor privind patrulaterele a inclus metode activ -participative precum exercițiul cu
variatele sale tipuri dar ș i metoda sinelg, cubul, matricea conceptuală, metoda piramidei,
r.a.i., explozia s telară etc. Aceste metode implică activ elevii în procesul învățării
transformându -i în coparticipanți la propria formare facilitând înțelegerea și astfel
însușirea corectă, conștientă a conținuturilor gramaticale.
La clasa de control demersul didactic s -a desfășurat în mod clasic păstrând
strategiile didactice care îmbină metode și procedee tradiționale.
Exemplificăm:

IV.6.2.1. Învatarea prin descoperire

Această metodă îl situează pe elev în ipostaza de subiect al cunoașterii știintifice.
Ea reprezintă o modalitate de lucru prin intermediul căreia elevii sunt puși să descopere
adevărul, refăcând drumul elaborării cunoștințelor prin activitate proprie, independentă .
Acest tip de învățare se derulează într -un cadru proble matizant, metoda f iind o continuare a
problematizării ș i a dezbaterii, o finalitate a lor . Cunoștințele astfel învățate prin efort
personal, se fixează mai bine în memoria elevului, devin mai operaționale. În cazul
utilizării acestei metode, rolul dascălului este de a planifica situațiile de învățare și de a
dirija drumul elevulu i spre rezolvarea acestor situaț ii.

105
Exemplu : Dreptunghiul. Construcția dreptunghiului
Voi cere elevilor să efectueze următoarele acțiuni:
Desenați o dreaptă orizontală!

Transformați dreapt a într -un segment! Notați -l AB!

Duceți o paralelă la segmentul AB la o distanță de 2 cm.

Duceți două paralele care să unească segmentele de drepte desenate, astfel încâ t să se
formeze unghiuri drepte.

Ce au format cele patru laturi? (un patrulater)
Cum se numește? (dreptunghi) Notați -l! (ABCD)
Ce relații putem scrie? Cum sunt laturile noii figuri?
̂ ̂ ̂ ̂ (= )
AB = DC DA =BC
[AB] ,DC] [DA ] ,BC]
AB DC DA BC

106
Cum putem defini dreptunghiul? (patrulaterul cu laturile paralele și egale două câte d ouă și
toate unghiurile drepte)

Metode de predare –învățare interactivă î n grup
Aceste metode interactive de grup se pot clasifica după funcția lor didactică, în:
Metode de predare -învățare interactivă în grup
– Metoda predării/învățării reciproce ;
– Mozaicul;
– Cascada;
– Metoda învățării pe grupe mici;
– Metoda turnirurilor între echipe;
– Metoda schimbării perechii ;
– Metoda piramidei;
– Învățarea dramatizată.
Metode de fixare i sistematizare a cuno tințelor i de verificare:
– Harta cognitivă sau harta conceptuală;
– Matricele;
– Lanțurile cognitive;
– Fishbone maps ;
– Diagrama cauzelor și a efectului;
– Pânza de păianjăn ;
– Tehnica florii de nufăr;
– Metoda R.A.I. ;
– Ciorchinele.
Metode de rezolvare de probleme prin stimularea creativității:
– Brainstorming;
– Explozia stelară;
– Metoda Pălăriilor gânditoare ;
– Cubul;
– Multi -voting;

107
– Masa rotundă;
– Interviul de grup;
– Studiul de caz;
– Patru colțuri (Four corners);
– Metoda Frisco;
– Sinectica;
– Turul galeriei .
Voi descrie câ teva metode și voi da exemple cum se pot aplica în predarea
elementelor de geometrie.

IV.6.2.2. Mozaicul
Mozaicul sau „metoda grupurilor interdependente” este o strategie bazată pe
învățarea în echipă. Fiecare elev are o sarcină de studiu în care trebuie să devină expert . El
are în același timp și responsabilitatea transmiterii informațiilor asimilate, celorl alți colegi.
În cadrul acestei metode rolul profesorului este mult diminuat, el intervine
semnificativ la începutul lecției când împarte elevii în grupurile de lucru și trasează
sarcinile și la sfârșitul activității când va prezenta concluziile activități i.
Există mai multe variante ale metodei mozaic , iar eu voi prezenta varianta standard
a acestei metode care se realizează în cinci etape .
1. Pregătirea materialului de studiu
 Profesorul stabilește tema de studiu și o împarte în 4 sau 5 sub-teme. Opțional,
poate stabili pentru fiecare sub -temă, elementele principale pe care trebuie să pună
accentul elevul, atunci când studiază materialul în mod independent. Acestea pot fi
formulate fie sub formă de întrebări, fie afirmativ, fie un text eliptic care va putea f i
completat numai atunci când elevul studiază materialul.
 Realizează o fi ă-expert în care trece cele 4 sau 5 sub -teme propuse și care va fi
oferită fiecărui grup.
2. Organizarea colectivului în echipe de învățare de câte 4 -5 elevi (în funcție de numărul
lor în clasă)
 Fiecare elev din echipă, primește o literă (A, B, C, D) și are ca sarcină să studieze
în mod independent, sub -tema corespunzătoare literei sale.

108
 El trebuie să devină expert în problema dată. De exemplu, elevii cu litera A vor
aprofunda sub -tema din Fișa „A”. Cei cu litera B vor studia sub -tema din Fișa „B”,
etc.
 Faza independentă: fiecare elev studiază sub -tema lui, citește textul corespunzător.
Acest studiu independent poate fi făcut în clasă sau poate constitui o temă de casă,
realizată înainte a organizării mozaicului.
3. Constituirea grupului de experți
 După ce au parcurs faza de lucru independent, experții cu aceași literă se reunesc,
constituind grupe de experți pentru a dezbate problema împreună. Astfel, elevii cu
litera A, părăsesc echipele de învățare inițiale și se adună la o masă pentru a
aprofunda sub -tema din Fișa „A”. La fel procedează și ceilalți elevi cu literele B, C,
și D. Dacă grupul de experți are mai mult de 6 membri, acesta se divizează în două
grupe mai mici.
 Faza discuțiilor în grupul de experți: elevii prezintă un raport individual asupra a
ceea ce au studiat independent. Au loc discuții pe baza datelor și a materialelor
avute la dispoziție, se adaugă elemente noi și se stabilește modalitatea în care noile
cunoștințe vor fi tran smise și celorlați membrii din echipa inițială.
 Fiecare elev este membru într -un grup de experți și face parte dintr -o echipă de
învățare. Din punct de vedere al aranjamentului fizic, mesele de lucru ale grupurilor
de experți trebuie plasate în diferite lo curi ale sălii de clasă, pentru a nu se deranja
reciproc.
 Scopul comun al fiecărui grup de experți este să se instruiască cât mai bine, având
responsabilitatea propriei învățări și a predării și învățării colegilor din echipa
inițială.
4. Reîntoarcerea în echipa inițială de învățare
 Faza raportului de echipă: experții transmit cunoștințele asimilate, reținând la
rândul lor cunoștințele pe care le transmit colegii lor, experți în alte sub -teme.
Modalitatea de transmitere trebuie să fie scurtă, concisă, atrac tivă, putând fi însoțită
de suporturi audio -vizuale, diverse materiale.
 Specialiștii într -o sub -temă pot demonstra o idee, citi un raport, folosi computerul,
pot ilustra ideile cu ajutorul diagramelor, desenelor, fotografiilor. Membrii sunt
stimulați să di scute, să pună întrebări și să -și noteze, fiecare realizându -și propriul
plan de idei.

109
5. Evaluarea
 Faza demonstrației: grupele prezintă rezultatele întregii clase. În acest moment
elevii sunt gata să demonstreze ce au învățat. Profesorul poate pune întrebări, poate
cere un raport sau un eseu ori poate da spre rezolvare fiecărui elev o fișă de
evaluare. Dacă se recurge la evaluarea orală, atunci fiecărui elev i se va adresa o
întrebare la care trebuie să răspundă fără ajutorul echipei.

Exemplu: Dreptunghiul
1. Constituirea grupurilor de lucru. Am î mpărțit clasa în grupe de câte 4 elevi și le –
am oferit materialul de lucru. Elevii din grupă au primit sarcini diferite .
2. Construirea dreptunghiului .
3. Stabilirea relațiilor dintre laturi și a relațiilor dintre unghiuri .
4. Identificarea laturilor, unghiurilor, notare .
5. Calcularea perimetrului.

IV.6.2.3 . Explozia stelară
Explozia stelara este o metodă de stimulare a creativităț ii,o mod alitate de relaxare a
copiilor și se bazează pe formularea de întrebă ri pentru rezolvarea de probleme ș i noi
descoperiri. Starbursting (eng.”star”=stea; “burst”=a exploda), similară brainstormingului,
începe din centrul conceptului și se împrăștie în afară , cu întrebă ri, asemenea exploziei
stelare.
Elevilor li se va prezenta problema de rezolvat.
Pe steaua mare se scrie ideea centrală .
Pe 5 steluțe se scrie câ te o întrebare de tipu l ce, cine, unde, de c e, ce fel de, 5 copii
din grupă extrag câ te o întrebare. Fiecare copil din cei 5 își alege 3 -4 colegi, organizându –
se în cinci grupuri. Grupurile cooperează î n elaborar ea întrebă rilor.
La expirarea timpului, elevii revin citesc între bările elaborate fie individual, fie un
reprezentant al g rupului. Ceilalți elevi din celelalte grupuri răspund la întrebă ri sau
formuleaz ă întrebări la î ntrebări.

110
Ce? Cum Se apreciaz ă întrebările copiilor, efortul acestora de a elabora întrebări corect,
precum și modul de cooperare, interacț iune.
Beneficiile metodei:
– Este o nouă cale de realizare a obiectivelor programei;
– Facilitează crearea de întrebări la î ntrebări în grup ș i individual, pentru rezolvarea
problemei propuse;
– Stimulează creativitatea în grup și individuală ;
– Dezvoltă și exersează gândirea cauzală , divergentă , deductivă , inteligenț ele multiple,
limbajul, atenția distributivă ;
– Se utilizează în activităț i: lecturi după imagini, convorbiri, povestiri, jocuri di dactice,
activităț i matematice, poezii, în activităț i de evaluare.
Exemplu:

111
IV.6.2.4 . Metoda R. A. I. ”Răspunde -Aruncă – Interoghează”

Metoda R.A.I. are la bază stimularea și dezvoltarea capacităților elevilor de a
comunica (prin întrebări și răspunsuri) ceea ce tocmai au învățat. Denumirea provine de la
inițialele cuvintelor Răspunde – Aruncă – Interoghează și se desfășoară astfel: la sfârșitul
unei lecții sau a unei secvențe de lecție, institutorul împreună cu elevii săi, printr -un joc de
aruncare a unei mingi mici și ușoare de la un elev la altul. Cel care aruncă mingea trebuie
să pună o întrebare din lecția predată celui care o prind e. Cel care prinde mingea răspunde
la întrebare și apoi aruncă mai departe altui coleg, punând o nouă întrebare. Evident
interogatorul trebuie să cunoască și răspunsul întrebării adresate. Elevul care nu cunoaște
răspunsul iese din joc, iar răspunsul va ve ni din partea celui care a pus întrebarea. Acesta
are ocazia de a mai arunca încă o dată mingea, și, deci, de a mai pune o întrebare. În cazul
în care, cel care interoghează este descoperit că nu cunoaște răspunsul la propria întrebare,
este scos din joc, în favoarea celui căruia i -a adresat întrebarea. Eliminarea celor care nu au
răspuns corect sau a celor care nu au dat niciun răspuns, conduce treptat la rămânerea în
grup a celor mai bine pregătiți.
Metoda R.A.I. poate fi folosită la sfârșitul lecției, pe parcursul ei sau la începutul
activității, când se verifică lecția anterioară, înaintea începerii noului demers didactic, în
scopul descoperirii, de către institutorul ce asistă la joc, a eventualelor lacune în
cunoștințele elevilor și a reactualizării id eilor – ancoră.

Exemplu l:
Clasa este organizată astfel: toți elevii formează un cerc. Un elev are o minge în
mână pe care o va arunca unui coleg, dar înainte de aceasta îi pune o întrebare referitoare la
capitolul recapitulat. Cel căre a prins mingea trebuie să răspundă. Dacă răspunde corect, el
la rândul lui îi va pune unui alt coleg o întrebare, aruncându -i mingea. Dacă, însă, nu a
răspuns corect, acesta iese din joc, cel care dă răspunsul corect fiind elevul care a pus
întrebarea. Se repetă această operațiune până mingea trece pe la toți elevii. Vor folosi
întrebări de tipul:
– Ce este patrulaterul convex, paralelogramul, etc.
– Spuneți o proprietate a paralelogramului, pătratului, etc.
– Care este formula ariei la dreptunghi?

112
Pentru a fi mai ușor în cazu l în care nu am mai folosit această metodă la clasă,
putem ca noi ca profesori să întocmim lista de întrebări, exerciții. Pe parcurs, elevii vor fi
lăsați și să compună întrebări, probleme, exerciții.
Eliminarea celor care nu au au răspuns corect, sau a ce lor care nu au dat nici un
răspuns, conduce treptat la rămânerea în grup a celor care stăpânesc acest capitol foarte
bine. Pentru că toți stau în picioare, am optat ca folosind această metodă să facem
recapitularea teoretică a capitolului Patrulatere parti culare.
La final se analizează modul de lucru, profesorul explicând noțiunile care s -au
adeverit a fi mai puțin înțelese. Putem folosi această metodă și pe grupuri mai mici. În
acest caz, elevii cel mai bine pregătiți se vor duela în finală.

IV.6.2.5 . Ciorchinele
Metoda ciorchinelui reprezintă modelul sau ansamblul organizat al procedeelor sau
modurilor de realizare practică a operațiilor care stau la baza acțiunilor parcurse în comun
de profesori și elevi și care conduc în mod planificat și eficace la realizarea scopurilor
propuse.
Este o tehnică de predare -învățare menită să încurajeze elevii să gândească liber și
să stimuleze conexiunile de idei. Este o modalitate de a realiza asociații de idei sau de a
oferi noi sensuri ideilor însușite anterior. E ste o tehnică de căutare a drumului spre
propriile cunoștințe, evidențiind prop ria înțelegere a unui conținut.
Etapele metodei
– pe mijlocul foii se scrie un cuvânt sau o propoziție (nucleu)
– elevii sunt invitați să scrie cuvinte sau sintagme care le vi n în minte în legătură cu
tema propusă
– cuvintele sau ideile vor fi legate prin linii de noțiunea centrală
– elevii lucrează în grupe
– fiecare grupă prezintă „ciorchina” proprie
– se analizeată fiecare „ciorchină” și se efectuează una comună pe tablă dirijată de
profesor .

113
După rezolvarea sarcinii de lucru, elevii vor folosi noțiunile și legăturile create
pentru a dezvolta idei despre coceptul propus.
Avantajele metodei
– se încurajează participarea întregii clase
– poate fi folosită cu succes la evaluarea unei unități de conținut, dar și pe parcursul
predării, făcându -se apel la cunoștințele dobândite de elevi
– stimulează conexiunile dintre idei
– pune în evidență modul propriu de a înțelege o temă anume
– realizează asociații noi de idei sau relevă noi sensuri ale ideilor – caută căi de
acces spre propriile cunoștințe.

Cu trei laturi –
triunghiul

Sunt linii
frânte închise
Patrulater e Trapezul Perimetrul este egal
su suma lungimilor
laturilor
Cu patru
laturi

114
IV.6.2.6 . Metoda c ubul ui

Metoda cubului presupune explorarea unui subiect, a unei situații din mai multe
perspective, permițând abordarea complexă și integratoare a unei teme.
Sunt recomandate următoarele etape:
 Realizarea unui cub pe ale cărui fețe sunt scrise cuvintele: descrie, compară,
analizează, asociază, aplică, argumentează.
 Anunțarea temei, subiectului pus în discuție.
 Împărțirea clasei în 6 grupe, fiecare dintre ele examinând tema din perspectiva
cerinței de pe una din fețele cubului.
 Descrie : culorile, formele, mărimile, etc.
 Compară : ce este asemănător? Ce este diferit?
 Analizează : spune din ce este făcut, din ce se compune.
 Asociază : la ce te îndeamnă să te gânde t i?
 Aplică : ce poți face cu aceasta? La ce poate fi folosită?
 Argumentează : pro sau contra i enumeră o serie de motive care vin în
sprijinul afirmației tale.
 Redactarea finală și împărtășirea ei celorlalte grupe.
 Afișarea formei finale pe tablă sau pe pere ții clasei.
Exemplu l 1:
În lecția de geometrie de la clasa a VII -a „Dreptu nghiul. Elemente. Proprietăți,
Criterii”, indicațiile pe cele șase fețe au fost:
– descrieți dreptunghiul;
– comparați elementele dreptunghiului cu cele ale paralelogramului;
– asociați, stabiliți definiția și proprietățile specifice dreptunghiului;
– analizați veridicitatea rezultatelor obținute prin măsurarea diagonalelor și a
unghiurilor;
– aplicați e: rezolvarea problemei „În dreptunghiul MNPQ, O este punctul de
intersecție al diagonalelor.
Aflați: a) perimetrul dreptunghiului dacă MN=3,5 cm și NP=0,5 dm;
b) MN +QN, dacă MO=4,12 cm”.

115
– argumentați: de ce, în următoarele cazuri, patrulaterul convex ABCD (cu O
punctul de intersecție al diagonalelor) este dreptunghi:
a) AB || DC, AD|| BC și m(<ABC) = 900;
b) OA=OC=5 dm și OD=OB=50 cm;
c) AB=DC=12 cm, AD=BC=0,8 m și m(<ABC)=900;
d) AB=DC=10cm, AB||DC și m(<ABC)=900.
Exemplu l 2:
Clasa: a V II-a
Obiectul: Matematică
Tema: Paralelograme particulare
Descrie paralelogramul
Compară dreptunghiul cu un paralelogram
Asociază muchilor și vârfurilor numărul care i se potriveș te
Analizează rombul
Argumentează – Dacă “suprapunem” 2 pătrate obținem un dreptunghi .
Aplică – dacă lungimea unui dreptunghi este de 10cm și lăț imea de 8 cm. Perimetrul și aria
dreptunghiului sunt _____________ și ___________.
Exemplu l 3:
La lecția de recapitulare i sistematizare a cuno tințelor – Unitatea de învățare: Poliedre –
clasa a VIII -a, am folosit metoda cubului i turul galeriei.
Am realizat un cub din carton și am colorat fiecare față diferit, iar fiecărei fețe i -am asociat
un verb, astfel:

FFaațțaa 44 – ppoorrttooccaalliiuu
–– vveerrbbuull AANNAALLIIZZEEAAZZĂĂ
FFaațțaa 55 – ggaallbbeenn
–– vveerrbbuull AARRGGUUMMEENNTTEEAAZZĂĂ
FFaațțaa 66 – mmoovv
 verbul APLICĂ FFaațțaa 11 – aallbbaassttrruu
–– vveerrbbuull DDEESSCCRRIIEE
FFaațțaa 22 – rrooșșuu
–– vveerrbbuull CCOOMMPPAARRĂĂ
FFaațțaa 33 – vveerrddee
–– vveerrbbuull AASSOOCCIIAAZZĂĂ

116
În desfășurarea activității, am avut grijă să dau indicații unde a fost necesar, să
soluționez situațiile în care nu toți elevii s -au implicat în cadrul activității în grup sau
atunci când un elev a monopolizat toate activitățile.
Elevii care au primit fișa de lucru cu ve rbul DESCRIE au avut următoarele sarcini:
– de enumerat poliedrele studiate
– de desenat corpurile și desfășurările lor plane
– de identificat elementele acestora și de descris forma fețelor și a bazei
– de evidențiat, într-un tabel, muchiile, fețele și diagonalele
Elevii care au primit fișa de lucru cu verbul COMPARĂ au de stabilit asemănări și
deosebiri între corpurile studiate și o comparație între poliedrele oarecare și cele regulate.
Elevii care au primit fișa de lucru cu verbul ASOCIAZĂ vor asocia fiecărui
poliedru formulele de calcul pentru volum și arie (laterală, totală), apoi vor identifica
obiecte cunoscute care au forma obiectului respectiv.
Pentru grupa care a avut verbul ANALIZEAZĂ , sarcina de lucru a ceru t ca elevii să
analizeze diferite secțiuni în corpurile studiate (secțiuni diagonale, secțiuni cu un plan
paralel cu baza). Se vor realiza desene corespunzătoare în care se vor pune în evidență
toate planele de secțiune și forma secțiunii rezultate, prin markere. Datele se vor
sistematiza într -un tabel.
Corpul studiat Forma secțiunii
diagonale Forma secțiunii cu un
plan paralel cu baza
Elevii care au primit o fișă de lucru cu verbul ARGUMENTEAZĂ au avut de
analizat și justificat în scris valoarea de adevăr a unor propoziții, ce au conținut și chestiuni
capcane. Le -am cerut să realizeze și scurte demonstrații sau să descopere greșeala dintr -o
redactare a unei rezolvări.
Elevii din grupa verbului APLICĂ au avut un set de întrebări grilă în care au
aplicat formulele de calcul a ariei și volumului unor poliedre în contexte variat.
Fi a nr.1: Verbul „DESCRIE”
1. Enumerați poliedrele studiate: ………………………………
2. Realizați câte un desen corespunzător fiecărui corp.
3. Realizați desfășura rea plană a fiecărui corp.

117
4. Identificați în desenele realizate elementele corpurilor, precum și forma fețelor și
a bazei.
5. Se dă dreptunghiul ABCD cu [BC] = 4 cm și [CD] = 5 cm. Se consideră o
dreaptă (d) în exteriorul dreptunghiului situată la distanța de 2 cm față de segmentul [CD].
Să se descrie corpul obținut prin rotația drep tunghiului în jurul dreptei

Fi a nr.2: Verbul „COMPARĂ”
1. Realizați un scurt eseu matematic în care să puneți în evid ență asemănări și
deosebiri sau analogii între poliedrele oarecare și cele regulate.
2. Redactați și comparați rezultatele obținute:
Cubul ABCDA'B'C'D' are diagonala unei fețe laterale de 8 cm. Să se afle
volumul cubului, apoi volumul tetraedrului A'BC'D format în interiorul cubului și să se
compare rezultatele.
Fi a nr.3: Verbul „ASOCIAZĂ”
1. Asociază fiecărui poliedru studiat formulele corespunzătoare pentru calculul ariei
laterale, totale și pentru calculul volumului.
2. Identifică în mediul înconjurător câteva obiecte care să ai bă formă de cub,
paralelipiped dreptunghic, prismă și piramidă.
3. Completați spațiile pu nctate cu răspunsurile corecte:
a) Piramida regulată cu toate muchiile congruente se numește …………..
b) Un cub are aria laterală de 100 cm², atunci muchia cubului este de ……….. cm.
c) O prismă patrulateră regulată are latura bazei de 8 cm și înălțimea de 15 cm.
Atunci aria laterală a prismei este de …….. cm².
d) O piramidă triunghiulară regulată cu aria bazei de
34 cm și înălțimea de 9 cm
are volumul de …………cm³.
d
A B C D

118
Fi a nr.4: Verbul „ANALIZEAZĂ”
1. Desenați un cub și puneți în evidență secțiunile diagonale și secțiunile cu un plan
paralel cu baza.
2. Desenați un paralelipiped dreptunghic și puneți în evidență sec țiunile diagonale
și secțiunile cu un plan paralel cu baza.
3. Desenați un trunchi de piramidă patr ulateră și puneți în evidență secțiunile
diagonale și secțiunile cu un plan paralel cu baza.
Pentru fiecare secțiune specificați forma secțiunii și corpurile care se formează
prin secționare, o formulă utilă pentru calculul ariei secțiunii formate.
Întocmiți un tabel de forma de mai jos pentru a sistematiza datele:
Corpul studiat Forma secțiunii
diagonale Forma secțiunii cu un
plan paralel cu baza

4. Secțiunea diagonală a unei prisme patrulatere regulate este un pătrat cu aria de
16 cm². Arătați că aria laterală a prismei este de
232 cm².
5. O piramidă triunghiulară regulată are volumul de
3 300 cm³ și apotema bazei
de 5 cm. Calcu lați aria laterală a piramidei.
Fi a nr.5: Ver bul „ARGUMENTEAZĂ”
Citiți cu atenție enunțurile următoare i justificați :
1. Paralelipipedul dreptunghic care are toate muchiile congruen te este cub –
justificare prin desen.
2. Latura bazei unei prisme triunghiulare regulate este jumătate din înălțime , atunci
aria unei fețe laterale este de trei ori mai mică decât aria laterală a prismei. Construiți un
exemplu numeric ilustrativ.
3. Aria laterală a unei prisme patrulate re regulate este egală cu aria bazei sale,
atunci latura bazei este de patru ori mai mică decât înălțimea sa.
Adevărat sau fals ?

119
1. Dacă latura bazei unei prisme triunghiulare regulate se dublează, atunci aria
laterală a prismei se dublează și ea.
2. Dacă latura bazei unei piramide patrulatere regulate se triplează, atunci volumul
piramidei se triplează și el.
3. Dacă muchia unui cub se înjumătățește atunci cubul care s e formează are aria
laterală o pătrime din aria laterală a cubului inițial.
Fi a nr.6: Verbul „APLICĂ”
1. Un cub are muchia de 3 cm. Aria totală a cubului este de:
a) 24 cm²; b) 54 cm²; c) 35 cm².
2. O prismă triunghiulară regulată care are l = 6 cm și h = 5 cm are aria laterală de:
a) 65 cm²; b) 70 cm²; c) 90 cm².
3. O piramidă pa trulateră regulată care are aria bazei de 16 cm² și h = 4 cm, atunci:
a) l =h; b) l = 2 h; c) h = 3 l.
4. Secțiunea diagonală a unei prisme patrulatere regulate este un pătrat cu latura de
6 cm. Volumul prismei este de:
a) 120 cm³; b) 96 cm³; c) 75 cm³; d) 108 cm³.

Pentru evaluarea activității, după expirarea timpului de lucru (20 -25 minute), am
aplicat metoda „turul galeriei” .
Materialele realizate au fost expuse în 6 locuri vizibile. Elevii din fiecare grup și -au
prezentat sarcina de lucru și modu l de realizare a ei, după care au acordat note materialelor
realizate de celelalte grupe, urmând ca eu să discut împreună cu ei obiectivitatea notelor
acordate și să corectez eventualele erori.
Ca PREMIU , fiecare echipă a primit câte un material informativ, astfel:
 Echipa 1 – un material despre marele matematician Euler
 Echipa 2 – un referat cu tema Poliedrele regulate (tetraedrul, cubul, octoedrul,
dodecaedrul)
 Echipa 3 – un material despre Marea Piramidă – Piramida lui Keops .
 Echipa 4 – un material informativ despre poliedre așa cum sunt prezentate de
școala lui Platon
 Echipa 5 – un referat despre Arhimede și corpurile semiregulate

120
 Echipa 6 – un material informativ despre Aristotel, întemeietorul logicii ca știință.
Materialele vor fi multiplic ate pentru fiecare membru al echipei și vor fi afișate în clasă .

IV.6.2.7. Turul galeriei
Turul galeriei e ste o metodă de învățare prin cooperare ce îi încurajează pe elevi să –
și exprime opiniile proprii. Produsele realizate de copii sunt expuse ca într-o galerie,
prezentate și susținute de secretarul grupului, urmând să fie evaluate și discutate de către
toți elevii, indiferent de grupul din care fac parte. Turul galeriei presupune evaluarea
interactivă și profund formativă a produselor realizate de grupuri de elevi.
Pașii metodei:
 Elevii sunt împărțiți pe grupuri de câte 4 -5 membri, în funcție de numărul elevilor
din clasă;
 Cadrul didactic prezintă elevilor tema și sarcina de lucru .
 Fiecare grup va realiza un produs pe tema stabilită în prealabil.
 Produsele sunt expuse pe pereții clasei.
 Secretarul grupului prezintă în fața tuturor elevilor produsul realizat;
 Analizarea tuturor lucrărilor.
 După turul galeriei, grupurile își reexaminează propriile produse prin
comparație cu celelalte.
,,Turul galeriei” urmărește exprimarea unor puncte de vedere personală referitoare
la tema pusă în discuție. Elevii trebuie învățați să asculte, să înțeleagă și să accepte sau să
respingă ideile celorlalți prin d emonstrarea valabilității celor susținute. Prin utilizarea ei se
stimulează creativitatea participanților, gândirea colectivă și individuală; se dezvoltă
capacitățile sociale ale participanților, de intercomunicare și toleranță reciprocă, de respect
pentru opinia celuilalt.
Metoda prezintă numeroase avantaje , printre care:
– atrage și stârnește interesul elevilor, realizându -se interacțiuni între elevi;
– promovează interacțiunea dintre mințile participanților, dintre personalitățile lor,
ducând la o învățare mai activă și cu rezultate evidente;

121
– stimulează efortul și productivitatea individului și este importantă pentru
autodescoperirea propriilor capacități și limite, pentru autoevaluare ;
– există o dinamică intergrupală cu infl uențe favorabile în planul personalității, iar
subiecții care lucrează în echipă sunt capabili să aplice și să sintetizeze cunoștințel e în
moduri variate și complexe ;
– dezvoltă și diversifică priceperile, capacitățile și deprinderile sociale ale elevi lor;
– se reduce la minim fenomenul blocajului emoțional al crea tivității.

IV.6.2.8 .Brainstorming
Brainstormingul este o metodă care ajută la crearea unor idei și concepte creative
și inovatoare. Pentru un brainstorming eficient, inhibiții le și criticile suspendate vor fi puse
de-o parte. Astfel exprimarea va deveni liberă și participanții la un proces de brainstorming
își vor spune ideile și părerile fără teama de a fi respinși sau criticați. Se expune un
concept, o idee sau o problemă și fiecare își spune părerea despre cele expuse și absolut tot
ceea ce le trece prin minte, inclusiv idei comice sau inaplicabile.
O sesiune de brainstorming bine dirijată dă fiecăruia ocazia de a participa la
dezbateri și se poate dovedi o acțiune foarte co nstructivă.
Etapele unui brainstorming eficient sunt următoarele:
 deschiderea sesiunii de brainstorming în care se prezintă scopul acesteia și se
discută tehnicile și regulile de bază care vor fi utilizate;
 perioada de acomodare durează 5 -10 minute și are ca obiectiv introducerea
grupului în atmosfera brainstormingului, unde participanții sunt stimulați să discute
idei generale pentru a putea trece la un nivel superior;
 partea creativă a brainstormingului are o durată de 25 -30 de minute. Este
recomandabil ca în timpul derulării acestei etape, coordonatorul (profesorul) să
amintească timpul care a trecut și cât timp a mai rămas, să “preseze” participanții și
în finalul părții creative să mai acorde câte 3 -4 minute în plus. În acest interval de
timp grupul participant trebuie să fie stimulați să -și spună părerile fără ocolișuri.
 la sfârșitul părții creative coordonatorul brainstormingului clarifică ideile care au
fost notate și puse în discuție și verifică dacă toată lumea a înțeles punctele
dezbătute. Este momentul în care se vor elimina sugestiile prea îndrăznețe și care
nu sunt îndeajuns de pertinente. Se face și o evaluare a sesiunii de brainstorming și

122
a contribuției fiecărui participant la derularea sesiunii. Pot fi luate în con siderare
pentru evaluare: talentele și aptitudinile grupului, repartiția timpului și punctele
care au reușit să fie atinse.
 pentru a stabili un acord obiectiv cei care au participat la brainstorming își vor
spune părerea și vor vota cele mai bune idei. Gr upul supus la acțiunea de
brainstorming trebuie să stabilească singuri care au fost ideile care s -au pliat cel
mai bine pe conceptul dezbătut.
Pe timpul desfășurării brainstormingului participanților nu li se vor cere explicații
pentru ideile lor. Aceasta este o greșeală care poate aduce o evaluare prematură a ideilor și
o îngreunare a procesului în sine.
Brainstormingul funcționează după principiul: asigurarea calității prin cantitate i
î i propune să elimine exact acest neajuns generat de autocritică .
Vă recomand 7 reguli pe care elevii le vor respecta în scopul unei ședințe reușite de
brainstorming:
1. Nu judecați ideile celorlalți – cea mai importantă regulă.
2. Încurajați ideile nebune ti sau exagerate.
3. Căutați cantitate, nu calitate în acest punct .
4. Notați tot.
5. Fiecare elev este la fel de important.
6. Na teți idei din idei.
7. Nu vă fie frică de exprimare.
Este important de reținut că obiectivul fundamental al m etodei brainstorming constă
în exprimarea liberă a opiniilor prin eliberarea de or ice prejudecăți. De aceea, acceptați
toate ideile, chiar trăznite, neobișnuite, absurde, fanteziste, așa cum vin ele în mintea
elevilor, indiferent dacă acestea conduc sau nu la rezolvarea problemei. Pentru a determina
progresul în învățare al elevilor est e necesar să îi antrenați în schimbul de idei; faceți asta
astfel încât toți elevii să își exprime opiniile!
Exemplu: Corpuri geometrice Cub –cuboid, asemă nări deosebiri
Aplicâ nd aceasta metoda l a clasa elevii au formulat idei le:
Asemănări: Deosebiri:
– le întâlnim în spațiu – figuri geometrice diferite la fe țe
– au fețe – cuboidul e mai lung

123
– au colțuri, – fețele cubului sunt la fel
– au muchii – cuboidul are 4 feț e la fel
– au același numă r de muchii, fețe, colț uri

IV.6.2.9 . Povestiri cu subiect dat
Se alege un concept matematic: triunghiul dreptunghic și se cere elevilor să creeze
o povestire în care personajul principal este conceptu al ales, iar alte personaje sunt
,,rudele” acestuia -cum ar fi triunghiul oarecare și dreptun ghiul. În acest fel elevii ajung în
mod natural la caracterizarea unei noțiuni sesizând asemănările și deosebirile dintre
noțiunea nouă și alte noțiuni studiate anterior.
Exemplu: ,,Salut! Sunt un triunghi și am un prieten cu care mă înțeleg foarte bine.
Să vă spun cum ne -am împrietenit:
Era o familie de patrulatere. Unul din ei era paralelogramul, fratele pătratul ui și
verișorul dreptunghiului. Î ntr-o zi, ne -am dus să ne înscriem într -un club de matematică.
Ca să fim acceptați trebuia să ne desenăm și să ne aflăm perimetrele și aria. El a reușit eu
nu! Așa că vreau să mă ajutați voi.”

IV.6.2.10 . Jocul de rol
Jocul de rol se realizează prin simularea unei situații, care pune participanții în
ipostaze care nu le sunt familiare, pentru a -i ajuta să înțeleagă situația respectivă și să
înțeleagă alte persoane care au puncte de vedere .
Exemplu: Un joc de rol poate fi : liniile importante din triunghi discută între ele – ce își
spun?
Se împart rolurile, se stabilește modul de desfășurare al jocului, se pregătesc fișele
cu descrierile de rol și sunt instruiți elevii cu desfășurarea propriu -zisă. Fișele pot puncta
câteva dintre proprietățile pe care ,,actorii” le pot invoca: ,,noi, înălțimile suntem mai
importante, pentru că ajutăm la calculare a ariilor” și să ajungă la asemănări: ,,de fapt în
triunghiul isoscel suntem surori gemene”, etc. După desfășurarea jocului sunt utile
următoarele întrebări:
– A fost o interpretare conformă cu realitatea?

124
– Ce ar fi putut fi diferit în interpretare?
– Ce alt final ar fi fost posibil?
– Ce ați învățat din această experiență?
Procesul de predare – învățare – evaluare înseamnă mai mult decât o mulțime de
strategii de învățare, iar unele metode ar trebui să facă parte din repertoriul fiecărui
profesor. Una dintre aceste metode este Eseul de cinci minute. Este o activitate de scriere a
unei reflecții scurte despre o temă și este un text scris informal – importante sunt ideile și
nu scrisul.
Derularea activit ății:
1. Anunțarea elevilor s ă scrie foarte pe scurt despre subiectul propus
2. Anunțarea temei
3. Cronometrarea elevilor – cu acor darea unui minut î n plus î n caz de necesitate
Elevii pot păstra eseul în propriul jurnal de învățare sau să fie utilizat pentru evaluare .

IV.6.2.11 . Eseul de 5 minute
Are rolul de a capta ideile și poate fi utilizat la începutul, mijlocul sau la finalul
unei lecții. Utilizat la sfârșitul lecției, eseul de 5 minute oferă
profesorului informații despre ceea ce s -a întâmplat, în acea lecție, în plan cognitiv/
intelectual. Cerințe pentru un astfel de eseu :
– Să scrie despre o noțiune învățată în această lecție.
– Să formuleze o întrebare/ nelămurire pe care o mai au în legătură cu lecția.
Exemple de eseuri scurte în cadrul altor metode ( metoda cubului – compară):
– Asemănări și deosebiri între romb și pătrat ;
– Asemănări și deosebiri între patrulater convex și patrulater concav ;
– Asemănări și deosebiri între paralelogramele particulare .

IV.6.2.12 . Proiectul
Proiectul constituie o metodă complexă de evaluare, individuală sau de grup.
Subiectele, în prima perioadă de aplicare le stabileam din timp, dar după ce s -au obișnuit
cu acest tip de activitate elevii înșiși propuneau subiectele. Este obligatoriu ca elevii să
dispună de anumite precondiții:

125
– să prezinte un anumit interes pentru subiectul respectiv;
– să cunoască dinainte unde își vor găsi resursele materiale;
– să fie nerăbdători în a crea un produs de care să fie mâ ndrii;
– să spere că părinții vor fi înțelegători și interesați de subiectul ales.
Un moment foarte important, în activitatea desfășurată ca profesor de matematică ,
este formarea atitudinii pozitive a elevilor față de matematică ca obiect de studiu și față de
ora de matematică desfășurată în clasă. Pentru a evalua acest aspect aplic periodic
chestionar e de tipul “Fii sincer cu tine fii sincer cu noi ”, iar la sf ârșitul fiecărui an de studiu
le propun elevilor și părinților să co mpleteze bilețele , propuneri și sugestii pentru
profeso rul de matematică. În urma analizei acestor instrumente didactice valorif ic
demersul didactic propriu sau iau anum ite decizii care urmează să menț ină unele aspecte
sau să îmbunătățescă actul educațional desfășurat.
Învățarea centrată pe elev reprezintă o abordare care presupune un stil de învățare
activ și integrarea programelor de învățare în funcție de ritmul propriu de învățare al
elevului. Elevul trebuie să fie implicat și responsabil pentru progresele pe care le face în
ceea ce privește propria lui educație.
Pentru a avea cu adevărat elevul în centrul activității instructiv -educative,
profesorul îndeplinește roluri cu mult mai nuanțate decât în școala tradițională. În
abordarea centrată pe elev, succesul la clasă depinde de competențele cadrului didactic de a
crea oportunitățile optime de învățare pentru fiecare elev. Astfel, în funcție de context,
profesorul acționează mereu, dar adecvat și adaptat nevoilor grupului.
Avantajele învățării centrate pe elev sunt:
 Creșterea motivației elevilor, deoarece aceștia sunt conștienți că pot influența
procesul de învățare;
 Eficacitate mai mare a învățării și a aplicării celor învățate, deoarece aceste
abordări folosesc învățarea activă;
 Învățarea capătă sens, deoarece a stăpâni materia înseamnă a o înțelege;
 Posibilitate mai mare de includere – poate fi adaptată în funcție de potențialul
fiecărui elev, de capacitățile diferite de învățare, de contextele de învățare specifice.
Metodele de învățare centrată pe elev fac lecțiile interesante, sprijină elevii în
înțelegerea conținu turilor pe care să fie capabili să le aplice în viața reală.

126
Printre metodele care activează predarea -învățarea sunt și cele prin care elevii
lucrează productiv unii cu alții, își dezvoltă abilități de colaborare și ajutor reciproc. Ele
pot avea un impact extraordinar asupra elevilor datorită denumirilor, caracterului ludic și
oferă alternative de învățare cu ,,priză” la elevi.
În vederea dezvoltării gândirii critice la elevi, trebuie să utilizăm, cu precădere
unele strategii activ -participative, creative. Acestea nu trebuie rupte de cele
tradiționale, ele marcând un nivel superior în spirala modernizării strategiilor didactice .

IV.6.2.13. Metota “Știu / Vreau să știu / Am învățat ”
Acest model de predare, elaborat de Donna M. Ogle în 1986 pornește de la premisa
că informația anterioară a elevului trebuie luată în considerare atunci când se predau noi
informații.
Aplicarea modelului Știu/ Vreau să știu/ Am învățat presupune parcurger ea a trei
pași: accesarea a ceea ce știm, determinarea a ceea ce dorim să învățăm și reactualizarea a
aceea ce am învățat. Primii doi se pot realiza oral, pe bază de conversație, iar cel de -al
treilea se realizează în scris, fie în timp ce se lecturează te xtul, fie imediat ce textul a fost
parcurs integral.
Metoda constă în completarea unei fișe de lucru, prin activități de grup sau
individual.
Știu Vreau să știu Am învățat

Etapa Știu implică două nivele ale accesării cunoștințelor anterioare: un
brainstorming cu rol de anticipare și o activitate de categorizare. Brainstormingul se
realizează în jurul unui concept cheie. Întrebări generale de felul „Ce știți despre…” se
recomandă atu nci când elevii dețin un nivel scăzut de informații despre conceptul în cauză.
Pe baza informațiilor obținute în urma brainstormingului se efectuează operații de
generalizare și categorizare. Elevilor li se cere să analizeze ceea ce știu deja și să observ e
pe cele care au puncte comune și pot fi incluse într -o categorie mai generală. A ne gândi la
ceea ce știm ne ajută să ne îndreptăm atenția asupra a ceea ce nu știm.

127
Etapa Vreau să știu presupune formularea unor întrebări, care apar prin
evidențierea punc telor de vedere diferite apărute ca rezultat al brainstormingului sau
categorizărilor. Rolul acestor întrebări este de a orienta și personaliza actul lecturii.
Etapa Am învățat se realizează în scris, de către elevi, după ce conținutul lecției a
fost predat.. Dacă textul este mai lung, completarea acestei rubrici se poate face după
fiecare fragment semnificativ. Elevilor li se cere să bifeze întrebările la care au găsit
răspuns, iar pentru cele rămase cu răspuns parțial sau fără se sugerează lecturi au explicații
suplimentare .

IV.6.2.14. Instruirea diferențiată și inteligențele multiple
Dacă ne raportăm la TIM (teoria inteligențelor multiple), putem spune că omul
se naște cu un anumit „profil” de „start” al inteligențelor multiple care îl definește – cu
alte cuvinte, se naște cu un anumit nivel de dezvoltare a acestor inteligențe, iar
experiențele diverse de -a lungul vieții, pot determina care dintre aceste inteligențe se
dezvoltă și în ce măsură.
Cadrele didactice, profesorii, educatorii pot juca, deci , un rol semnificativ în
identificarea, dezvoltarea și exploatarea acestor inteligențe în contexte educaționale
formale, nonformale sau informale cu scopul de a eficientiza procesul de predare –
învățare -evaluare. Teoria inteligențelor multiple constituie o altenativă a muncii
diferențiate, o strategie modernă de instruire interactivă care poate contribui la
îmbunătățirea performanțelor școlare.
Individualizarea învățării
“Individualizarea” definește acțiunea de adaptare a procesului didactic la
particularitățile individuale ale elevilor. Învățământul modern are în vedere faptul că:
– fiecare elev este unic și are o individualitate proprie;
– fiecare elev dorește să se simtă re spectat;
– nu pretinde atitudini și comportamente simila re din partea tuturor elevilor;
– respectă diferențele individuale;
– încurajează diversitatea;
– exprimă deschis încrederea în cap acitatea de schimbare pozitivă;
– nu face economie în aprecieri pozitiv e la com portamentelor elevilor;
– subliniază rolul stimei de sine ca p remisă în dezvoltarea personală.

128
În accepțiunea lui H.Gardner, inteligențele reprezintă capacitatea cognitivă a
individului, descrisă printr -un set de abilități, talente, deprinderi mentale pe care le
deține orice persoană dezvoltată normal, ele fiind grupate în opt categorii.
 Inteligența lingvistică – capacitatea de a rezolva și dezvolta probleme cu
ajutorul codului lingvistic, sensibilitate la sensul și ordinea cuvintelor.
 Inteligența logico -matematică – capacitatea de a opera cu modele, categorii și
relații, de a grupa, ordona și a inte rpreta date, capacitatea de a problematiza.
 Inteligența spațial -vizuală – capacitatea de a forma un model mental spațial, de
a rezolva probleme prin intermediul reprezentărilor spațiale și ale imaginii,
simțul orientării în spațiu, capacitatea de a citi hărți, diagrame, grafice .
 Inteligența muzicală – capacitatea de a rezolva probleme și de a genera
produse prin ritm și melodie, sensibilitate la ritm, capacitatea de a recunoște
diverse forme de expresie muzicală.
 Inteligența corporal -kinestezică – capacitatea de a rezolva probleme și de a
genera produse cu ajutorul mișcării coprului, îndemân area în manipularea
obiectelor.
 Inteligența interpersonală – capacitatea de a rezolva probleme prin
interacținea cu ceilalți, abilitatea de a discrimina și răspunde adecv at la
manifestările și dorințele celorlalți.
 Inteligența intrapersonală – capacitatea de a rezolva probleme și de a genera
produse prin cunoașterea de sine, capacitatea de acces la propriile trăiri și
abilitatea de a le discrimina și exprima, conștientizar ea propriilor cunoștințe,
abilități, dorințe.
 Inteligența naturalistă – capacitatea de a rezolva probleme și de a dezvolta
produse cu ajutorul taxonomiilor și a reprezentărilor mediului înconjurător.
 Inteligența existențială – este identificată de H. Gardn er ca fiind responsabilă
de cunoașterea lumii, (specifică filozofilor), însă nu s -a reușit localizarea zonei
cerebrale care o activează .
Aplicarea teoriei inteligențelor multiple presupune urmă toarele principii
educaționale:
– Subiecții care învață trebuie încurajați să își cunoască și să utilizeze în învățare
inteligențele cel e mai potrivite structurii lor.

129
– Activitățile de învățare să fie proiectate în așa fel încât să implice diferite tipuri
de inteligență.
– Evaluare a învățării trebuie să măsoare multiple forme ale inteligenței (M.,
Bocoș, pag.164)

În încercarea de a identifica diferitele tipuri de inteligențe la elevii mei, dar și
de a le dezvolta, în anul școlar 2015 -2016, am realizat p lanul unității de învățare
„Patrulatere” cu adaptarea conținutului acestuia la tipurile de inteligențe multiple
descrise de H. Gardner .
UUnniittaatteeaa ddee îînnvvăățțaarree:: PATRULATERE
Număr ore: 9 + 1 evaluare

Competențe specifice:
1. Recunoa terea i descrierea patrulaterelor în configura ții geometrice date
2. Identificarea patrulaterelor particulare utilizând proprietăți precizate
3. Utilizarea propriet ăților calitative i metrice ale patrulaterelor în rezolvarea unor
probleme
4. Exprimarea prin reprezent ări geometrice a noțiunilor legate de patrulatere
5. Alegerea reprezent ărilor geometrice adecvate în vederea optimiz ării calculelor de
lungimi de segmente, de m ăsuri de unghiuri i de arii
6. Interpretarea informa țiilor deduse din reprezent ări geometrice în corelație cu anumite
situații practice

Conținu –
turile
învățării
(detalieri) C.S. Activități de învățare Nr
ore Resurse Evaluare

1.
Patrula –
terul

1
3
4
5
 exerciții de identificare,
diferențiere și denumire a
patrulaterelor
 exerciții de identificare a
patrulaterelor pe corpuri 1
Resurse
materiale :
manual, culegeri,
fișe de lucru
Se
evaluează
corectitudi –
nea
rezolvării și
calitatea

130
convex

1
3
4
5 geometrice sau pe
desfășurări ale acestora;
folosind desf ășurări ale
corpurilor geometrice, se
dezvoltă inteligența vizual –
spațială
 exerciții de scriere și de
identificare a unor elemente
ale patrulaterelor: laturi,
unghiuri, diagonale
 utilizarea triunghiurilor
particulare pentru a
descompune patrulatere
convexe
 construcția cu ajutorul
instrumentelor geometrice a
unor patrulatere respectând
condiții date, dezvoltă
inteligența vizual – spațială
 transpunerea în desen a
unei configura ții geometrice
referitoare la patrulatere
descrise matematic
 exerciții de alegere a
celei mai potrivite unit ăți de
măsură pentru un anumit
context dat
 determinarea m ăsurilor
unghiurilor unui patrulater
convex
 calcularea perimetrul unui
patrulater
Resurse
procedurale :
conversația,
explicația,
demonstrația,
algoritmizarea,
exercițiul,
problematizarea,
observarea,
învățare prin
descoperire
dirijată, metode
de predare
orientate pe
rezolvări de
exerciții și
probleme, joc de
rol, dezbaterea
Pentru a
descoperi
inteligența
kinestezică , se
poate organiza un
joc didactic bazat
pe mimă (se pot
mima
proprietățile
patrulaterelor
particulare) argumentării
Observarea
activității pe
grupe
(activitatea
pe grupe
este
necesară
dezvoltării
inteligenței
interperso –
nale)
Evaluarea
activității
independen –
te
Observarea
activității în
perechi 2.
Suma
măsuri
-lor
unghiu
-rilor
unui
patrula
-ter
convex
1
3.
Parale –
logra –
mul;
propri –
etăți 1
2
3
4
5
6  exerciții de scriere și de
identificare a unor elemente
ale patrulaterelor: laturi,
unghiuri, diagonale
 demonstrarea
proprietăților
paralelogramului
 exerciții de desenare a
paralelogramului utilizând
definiția sau propriet ăți ale
acestuia

1

1
2
3 (continuare)
 construcția cu ajutorul
instrumentelor geometrice a Resurse
materiale :
manual, culegeri, Se
evaluează
corectitudi –

131

3.
Parale –
logramul
proprie –
tăți

4
5
6 unor patrulatere respectând
condiții date, dezvoltă
inteligența vizual – spațială
 transpunerea în desen a
unei configura ții geometrice
referitoare la patrulatere
descrise matematic
 exerciții de utilizare a
instrumentelor geometrice
pentru a reprezenta prin
desen rela ții între elementele
unor figuri sau configura ții
geometrice (congruen ță,
paralelism,
perpendicularitate)
 exerciții de alegere a
celei mai potrivite unit ăți de
măsură pentru un anumit
context dat
 observarea diferen ței
dintre condi țiile necesare și
suficiente în contexte
geometrice variate;
activitate desfășurată
independent, pentru a
reflecta asupra ideilor,
pentru a înțelege propriile
atitudini, dezvoltă
inteligența intrapersonală
 confecționarea
patrulaterelor folosind
materiale ecologice poate
influența inteligența
naturalistă fișe de lucru

Resurse
procedurale :
conversația,
explicația,
demonstrația,
algoritmizarea,
exercițiul,
problematizarea,
observarea,
învățare prin
descoperire
dirijată, metode
de predare
orientate pe
rezolvări de
exerciții și
probleme, joc de
rol, dezbaterea

Pentru a
descoperi
inteligența
kinestezică , se
poate organiza un
joc didactic bazat
pe mimă (se pot
mima
proprietățile
patrulaterelor
particulare) nea
rezolvării și
calitatea
argumentării
Observarea
activității pe
grupe
(activitatea
pe grupe
este
necesară
dezvoltării
inteligenței
interperso –
nale)
Evaluarea
activității
independen –
te

Observarea
activității în
perechi 4.
Problem
e –
paralelo
gram 1
5.
Dreptun
ghiul;
proprietă
ți 1
2
3
4
5
6  exerciții de identificare a
patrulaterelor pe corpuri
geometrice sau pe
desfășurări ale acestora
 exerciții de scriere și de
identificare a unor elemente
ale patrulaterelor: laturi,
unghiuri, diagonale
 exerciții de stabilire a
unor paralelograme
particulare pe baza unor
proprietăți precizate
 demonstrarea
proprietăților
paralelogramelor particulare
utilizând metode variate 1

132
 rezolv area de probleme
utilizând propriet ățile
paralelogramelor particulare:
dreptunghi, romb, pătrat

5.
Dreptun –
ghiul;
proprie –
tăți

1
2
3
4
5
6 (continuare)
 analizarea și construc ția
unor figuri cu simetrie
axială sau central ă
 construcția cu ajutorul
instrumentelor geometrice a
unor patrulatere respectând
condiții date, dezvoltă
inteligența vizual – spațială
 justificarea unor
proprietăți ale patrulaterelor
pe baza simetriei
 identificarea axei
centrului de simetrie al unei
figuri (intuitiv sau/ și prin
demonstra ție)
 transpunerea în desen a
unei configura ții geometrice
referitoare la patrulatere
descrise matematic
 exerciții de utilizare a
instrumentelor geometrice
pentru a reprezenta prin
desen rela ții între elementele
unor figuri sau configura ții
geometrice (congruen ță,
paralelism,
perpendicularitate)
 exerciții de alegere a
celei mai potrivite unit ăți de
măsură pentru un anumit
context dat
 rezolvarea de probleme
utilizând propriet ățile
paralelogramelor
particulare: dreptunghi,
stimulează inteligența logico
– matematică
 identificarea și analizarea
unor metode alternative de
rezolvare a problemelor de
geometrie utilizând
proprietăți ale patrulaterelor
particulare Resurse
materiale :
manual, culegeri,
fișe de lucru,
internet

Resurse
procedurale :
conversația,
explicația,
demonstrația,
algoritmizarea,
exercițiul,
problematizarea,
observarea,
învățare prin
descoperire
dirijată, metode
de predare
orientate pe
rezolvări de
exerciții și
probleme, joc de
rol, dezbaterea

Pentru a
descoperi
inteligența
kinestezică , se
poate organiza un
joc didactic bazat
pe mimă (se pot
mima
proprietăți le
patrulaterelor
particulare) Se
evaluează
corectitudi –
nea
rezolvării și
calitatea
argumentării
Observarea
activității pe
grupe
(activitatea
pe grupe
este
necesară
dezvoltării
inteligenței
interperso –
nale)
Evaluarea
activității
independen –
te
Observarea
activității în
perechi

6.
Rombu l
proprie –
tăți

1
7.
Pătratul; 1

133
proprie –
tăți  observarea diferen ței
dintre condi țiile necesare și
suficiente în contexte
geom etrice variate
 crearea unor compuneri
având ca personaje
patrulaterele studiate, poate
duce la dezvoltarea
inteligenței verbal –
lingvistice
 confecționarea
patrulaterelor folosind
materiale ecologice poate
influența inteligența
naturalistă
 crearea unor poe zii,
cântece, care să îi motiveze
și pe elevii cu inteligență
muzicală (vezi anexa)

134
Conținu –
turile
învățării
(detalieri) C.S. Activități de învățare Nr
ore Resurse Evaluare
8.
Trapezul
clasifica –
re;
trapezul
isoscel;
proprie –
tăți 1
2
3
4
5
6  exerciții de identificare,
diferențiere și denumire a
patrulaterelor
 exerciții de identificare a
patrulaterelor pe corpuri
geometrice sau pe desf ășurări
ale acestora
 exerciții de identificare a
centrelor/axelor de simetrie
pentru patrulaterele studiate
 exerciții de identificare a
liniei mijlocii în trapez pe
baza defini ției/propriet ăților
acesteia
 exerciții de identificare a
simetriei trapezului isoscel și
caracterizarea tipului de
simetrie
 rezolvarea de probleme
utilizând propriet ățile
trapezului isoscel, stimulează
inteligența logico –
matematică
 analizarea și construc ția
unor figuri cu simetrie axial ă
sau central ă
 construcția cu ajutorul
instrumentelor geometrice a
unor patrulatere respectând
condiții date, dezvoltă
inteligența vizual – spațială
 justificarea unor
proprietăți ale patrulaterelor
pe baza simetriei
 identificarea axei centrului
de simetrie al unei figuri
(intuitiv sau/ și prin
demonstra ție), stimulează
inteligența logico –
matematică
 transpunerea în desen a
unei configura ții geometrice
referitoare l a patrulatere
descrise matematic
 exerciții de utilizare a
instrumentelor geometrice 2 Resurse
materiale :
manual,
culegeri, fișe
de lucru

Resurse
procedurale :
conversația,
explicația,
demonstrația,
algoritmizarea,
exercițiul,
problema –
tizarea,
observarea,
învățare prin
descoperire
dirijată,
metode de
predare
orientate pe
rezolvări de
exerciții și
probleme

Forme de
organizare a
colectivului :
activitate
frontală,
activitate pe
grupe,
activitate
individuală,
activitate în
perechi, joc de
rol, dezbaterea Se evaluează
corect itudinea
rezolvării și
calitatea
argumentării
Observarea
activității pe
grupe(activitatea
pe grupe este
necesară
dezvoltării
inteligenței
interpersonale )
Evaluarea
activității
independente
Observarea
activității în
perechi

135

pentru a reprezenta prin
desen rela ții între elementele
unor figuri sau configura ții
geometrice (congruen ță,
paralelism,
perpendicularitate)
 exerciții de alegere a celei
mai potrivite unit ăți de
măsură pentru un anumit
context dat
8.
Trapezul
clasifica –
re;
trapezul
isoscel;
proprie –
tăți 1
2
3
4
5
6 (continuare)
 rezolvarea de probleme
utilizând propriet ățile
trapezului, stimulează
inteligența logico –
matematică
 analizarea unei situa ții-
problemă sau a unor
probleme practice care
necesită aplicarea
proprietăților patrulaterelor
particulare și ale trapezului
isoscel
 crearea unor compuneri
având ca personaje
patrulaterele studiate, poate
duce la dezvoltarea
inteligenței verbal –
lingvistice
9.
Evaluare 1
2
3
4
5
6 * exerciții și probleme diverse 1 Resurse
materiale : fișe
de evaluare
Forme de
organizare a
colectivului :
activitate
independentă
50’ Evaluarea
sumativă

136
Anexă :
Povestea unui pătrat
Pe un petic de hârtie
Din creioane desenat
Printre alte zeci, o mie
Viețuia un mic pătrat.
Dar cu timpul, ce stupoare!
Unghiul drept i s -ascuțea
Cu ochiri reprobatoare,
Toata lumea îl privea.

Un pătrat nu ești niciunde
Dacă -n unghi tu nu ești drept! ”
Emitea păreri profunde
Un pătrat prea înțelept.

Cu pătrați și cu pătrate
Planul supra -populat
Pe motiv de -absurditate
Pe figur -a exilat.

Ce nu au știut pătrații
Cu gândirea ca prin tub
Printre -acele figurații:
Pătrățelul era… cub.

Mică explicație geometrică :
Secțiunea unui cub pe un plan oarecare poate fi un pă trat, un romb sau chiar un patr ulater
neregulat (mai poate fi și un triunghi, o latură sau chiar un punct), depinde cum se r otește
acest cub față de planul de secțiune. Cei care trăiau în planul pătratelor nu puteau vedea că
secțiunea de "pătrat cu unghi ascuț it" era de fapt a unui cub.

137
IV.6.3. Etapa final ă
Această etapă și -a avut importanța ei pentru că a urmărit evaluarea progreselor
școlarilor în timpul experimentului. În cadrul acestei etape am aplicat un test de
evaluare oral și unul scris. În final am comparat rezultatele testelor inițiale cu cele
obțin ute la testările sumative. Astfel mi -am dat seama de nivelul competențelor, de
progresul elevilor obținut în urma desfășurări i cercetării practic -aplicative , dar am
putut să constatăm și validitatea ipotezei formulate.
PROBA DE EVALUARE FINALĂ
Subiectu l I.( 30 puncte ) – Completați spațiile punctate:
1. (5p) Fie ABCD un patrulater convex. Atunci segmentele [AC] și [BD] se numesc …
2. (5p) Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este egală cu …
3. (5p) Paralelogramul cu un unghi drept se numește …
4. (5p) Unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt …
5. (5p) Paralelogramul cu diagonalele perpendiculare este un …
6. (5p) Fie pătratul din figura de mai jos :
a) măsura unghiului ADB este …
b) măsura unghiului AOB este …

Subiectul II. (30 puncte)
1. Pentru fiecare din enunțurile de mai jos scrieți A dacă sunt adevărate și F dacă sunt
false :
a) (5p) Diagonalele unui dreptunghi sunt congruente
b) (5p) Trapezul dreptunghic are diagonalele perpendiculare
c) (5p) Unghiurile alăturate unei baze la un trapez sunt suplementare.
2. Încercuiți răspunsul corect pentru fiecare din următoarele exerciții:
a) (5p) Un romb are:
A. diagonalele congruente B. diagonalele perpendiculare C. un unghi drept D. 2
unghiuri drepte

138
b) (5p) Perimetrul unui dreptung hi cu lungimea de 8 cm și lățimea de 4 cm este
egal cu:
A. 32 cm B. 12 cm C. 24 cm D. 20 cm
c) (5p) Măsura unghiului ABC al paralelogramului ABCD care are m(

BAD ) =50
este:
A. 130 B. 50 C. 100 D. 25

Subiectul III. ( 30 puncte ) – Scrieți pe foaie rezolvările complete .
1. (10p) Se consideră rombul ABCD, cu AB= 8 cm și m(

ABC )=110. Determinați:
a) Perimetrul rombului ;
b) Măsurile unghiurilor rombului.
2. (10p) Într -un patrulater convex ABCD mă surile unghiurilor A, B, C, D sunt direct
proporționale cu numerele 2, 6, 4 și 8.
a) Calculați măsurile unghiurilor patrulaterului ABCD;
b) Fie [DE bisectoarea unghiului A DC, (E(AB)). Demonstrați că ADE
este isoscel.
3. (10p) În triunghiul ABC, [AD] este mediană, D (BC). Se prelungește [AD] cu un
segment [DE], astfel încât [ AD][DE].
a) Arătați că ABDECD;
b) Arătați că ABEC este paralelogram.
Notă! Fiecare lucrare primește 10p din oficiu Timp de lucru 50 min

Interpretarea rezultatelor
proba de evaluare finală
Nr.
crt. Numele si
prenumele
elevului Subiectul I Subiectul II Subiectul III
Nota
1 2 3 4 5 6 1 2 1 2 3
a b c a b c a b a b a b
1 A.M. 5 0 5 0 5 0 5 0 0 5 0 0 5 0 0 0 0 0 4
2 A.CM 5 5 0 5 0 5 0 5 0 5 5 0 5 5 5 0 5 0 6,5
3 A.DM 5 5 0 5 5 5 0 5 0 5 5 0 5 0 5 0 5 0 6,5

139
4 B.RM 5 0 5 5 5 0 5 0 5 5 0 0 5 0 0 0 0 0 5
5 B.E.I. 5 5 0 5 0 5 0 5 0 5 5 0 5 5 5 0 5 0 6,5
6 B.V.G 5 5 0 5 0 5 0 5 0 5 5 0 5 5 5 0 5 0 6,5
7 C.MC 5 0 5 5 5 0 5 0 5 5 0 0 5 0 0 0 0 0 5
8 C.A.Ș 5 0 5 5 5 0 5 0 5 5 0 0 5 0 5 0 5 0 6
9 C.R.I. 5 5 0 5 0 5 0 5 0 5 5 0 5 5 5 0 5 0 6,5
10. G.B.S 5 5 0 5 0 5 0 5 0 5 5 0 5 5 5 0 5 0 6,5
11 M.A.I 5 5 5 5 0 5 5 5 5 5 5 5 5 0 5 0 5 5 8,5
12 M.AC 5 5 0 5 0 5 0 5 0 5 5 0 5 5 5 0 5 0 6,5
13 M.LC 5 0 5 5 0 5 0 5 5 5 0 5 5 0 5 0 5 5 7
14 N.C.C 5 0 5 5 5 0 5 0 0 5 0 0 5 0 0 0 0 0 4,5
15 O.G.C 5 0 5 5 0 5 0 5 5 5 0 5 5 0 5 0 5 5 7

Din punct de vedere calitativ, punctajele obținute , per item de evaluare , la cele două
loturi de elevi sunt următoarele:
Nr. c rt. CLASA
EXPERIMENTALĂ CLASA DE
CONTROL
Subiectu l I 1x15p
12x20p
2x25p 3x10p
5x15p
5x10p
2x15p
Subiectu l II 1x10p
10x15p
2x20p
1x30p 3x10p
10x15p
2x20p

Subiectu l III 4x5p
2x15p
9x20p 4x0p
7x10p
3x15p
1x20p

140
Rezultate testare finală g rupa experimentală

Rezultate testare finală g rupa de c ontrol

Procentual vorbind, s -au înregistrat următoarele rezultate:
Nr. crt Nota Clasa experimentală Clasa de control
1. 3,00-3,99 0,00% 26,67%
2. 4,00-4,99 13,33% 33,33 %
3. 5,00-5,99 13,33% 26,67 %
4. 6,00-6,99 53,34 % 0,00%
5. 7,00-7,99 13,33% 13,33 %
6. 8.00-8.99 6,67% 0,00% 4.0 6.5 6.5
5.0 6.5 6.5
5.0 6.0 6.5 6.5 8.5
6.5 7.0
4.5 7.0
012345678910
5 5.7
4
3 3.8 5.5
4.5 4 4.5
3.5 7 7
5
4
3
012345678910

141
IV.7. Concluzii

La sfârșitul experimentului pe care mi l -am propus am comparat datele înregistrate
în perioada pre -experimentală cu cele din etapa finală . Rezultatele sunt vizibile pe
urmă toarele grafice:
Analiză comparativă rezultate testare inițială/testare finală grupa experimentală

Analiză comparativă rezultate testare inițială/testare finală grupa de control
– 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
A.M.
A.C.M.
A.D.M.
B.R.M.
B.E.I.
B.V.G.
C.M.C.
C.A.Ș.
C.R.I.
G.B.S.
M.A.I.
M.A.C.
M.L.C.
N.C.C.
O.G.C.Testare inițială
Testare finală
0.01.02.03.04.05.06.07.08.09.010.0
C.I.B
C.J.L.
C.D.I.
F.F.
G.D.L.
G.M.I.
L.L.R.
M.B.M.
M.L.M.
M.V.E.
O.V.D.
S.F.G.
Ț.M.O.
Ț.G.M.
V.C.R.Testare inițială
Testare finală

142
În urma observațiilor făcute am constatat că elevii lotului de control și -au păstrat
aceleași rezultate în cazul a trei itemi, doar o creștere de 7% la I.1 . Această stagnare
înseamnă menținerea lacunelor ide ntificate în perioada diagnozei , lipsa recuperării acestora
în etapa experimentală. Astfel competențele matematice vizate în această perioadă sunt
afectată de confuzii, cunoștințe insuficient înțelese. Lipsa adaptării demersului didactic la
particularități le conținuturilor învățării prin utilizarea unor metode și strategii care să
implice activ elevul în procesul înțelegerii adaptând conținuturile nevoilor acestora
mergând chiar până la individualizare constituie cauza rezultatelor slabe ale elevilor clas ei
de control. Metodele și strategiile didactice tradiționale desfășurate la clasa de control nu
au răspuns solicitărilor elevului contemporan. Captarea și menținerea atenției în procesul
participării active la soluționarea problemelor sunt elementele chei e în asigurarea
progresului școlar și formarea unor competențe matematice corecte.
La clasa experimentală, unde procesul învățării a inclus aplicarea metodelor și
tehnicilor activ -participative s -a înregistrat o creștere a nivelului de realizare a tuturor
itemilor de evaluare. Cea mai mare creștere a fost la I.3 – probleme de calcul de arii ș i a
elementelor patrulaterelor . Creșterea procentajelor de realizar e a fiecărui item (între 12% și
56%) demonstrează validitatea ipotezei formulate la începutul cerce tării desfășurate.
Concluzionăm – metodele și tehnicile active și interactive contribuie la dezvoltarea
gândirii, implică activ elevii în învățare punându -i în situația de a realiza conexiuni logice,
de a esențializa informațiile și de a le comunica.
În cadrul procesului instructiv -educativ formarea unor competențe matematice
corecte constituie una dintre prioritățile demersului didactic proiectat și dirijat de profesor .
Astfel profesorul trebuie să adopte o atitudine creativă în abordarea situațiilor de învățare
adaptându -le la realitatea educațională a colectivului de elevi. În funcție de struc tura
colectivului de elevi , împletirea metodelor și formelor de activitate folosite de profesor în
formarea competențelor matematice asigură lecțiilor o atmosferă antrenantă, implicând
masiv copiii în activitățile de învățare.

143
IV.8. Recomandări educaționale
A fi educator este fără îndoială, meseria cea mai importantă și nobilă a omenirii,
pentru că are acces direct la sufletul copiilor, iar de eforturile depuse de educatori depinde
întreaga evoluție umană. Pentru acestă meserie nu este suficient să studiezi la facultate, ci
este nevoie de multă dăruire pentru întreaga viață. „Trebuie să posezi u n element
pedagogic înăuntru, în inimă, în suflet, iar acest element este acela care vibrează, care
emană, care îi influențează pe alții: chiar fără să deschideți gura, ceilalți simt nevoia să vă
imite.” ( Omraam M. Aïvanhov , 1990, p.158)
Considerându -și rolul său de facilitator al cunoașterii, scopul profesorului
postmodernist este să -și învețe elevii cum să gândească nu ce să gândească. Important este
nu doar a -i antrena pe elevi în formularea de răspunsuri la întrebările și problemele
enunțate, ci mai mult, de a -i ajuta să descopere căile de a pune întrebări i de a critica
problemele. Astfel, educația trebuie să fie cea care să -l determine pe individ să fie într -o
continuă stare problematizantă, o stare în care permanent să -și pună întrebări și să caute
răspunsuri, considerând faptul că “imaginația este mai importantă decât cunoașterea.”
(Einstein ). Educatorul bun cun oaște și apreciează/valorifică punctele de vedere ale
elevilor. Opiniile acestora reprezintă niște “ferestre” deschise spre propriile lor
raționamente, ilustrative pentru felul cum gândesc și înțeleg lumea. Acordându -le șansa de
a-și exprima părerile, prof esorul stimulează încrederea în propriile forțe ale elevilor.
Profesorul este acea persoană care dăruiește cu iubire din cunoașterea sa, cântărind
cât, ce și cum trebuie porționată aceasta, astfel încât sufletul celui aflat în formare s -o
primească ca pe ceva firesc, de care are nevoie pentru propria -i desăvârșire.
Ca și o concluzie asupra lucrări i elaborate, dar și ca urmare a contactului cu
anumite cadre didactice, cu anumite activități practice, am constatat faptul că, fiecare elev
este unic în felul său, activitatea de predare -învățare depinzând în mod direct de natura
elevului și de dorința acestuia de implicare. Deși fiecare elev este o ființă unică, întotdeaua
va exista un punct comun al tuturor elevilor, un punct care va putea fi acoperit de aplic area
corectă și adecvată a unor metode didactice. Dacă ar fi să fac referire la ansamblul
recomandărilor educaționale, acestea sunt variate și diferite din toate punctele de vedere.
Drept urmare, din punctul meu de vedere, cea mai bună recomandare educaț ională
ar trebui să vizeze, modul în care un cadru didactic transformă o activitate tradițională într –
o experiență de viață, a cărui principal protagonist nu este altcineva decât elevul dornic de
învățare.

144
Bibliografie

1. “Algebră liniară, geometrie analitică i difer ențială. Ecuații difernțiale ” – G.
Atanasiu, G. Munteanu, M. Postolache – Editura All, București, 1994

2.“Algebră liniară, Geometrie analitică” – G. Atanasiu, E. Stoica – Editura Fair
Partners, București, 2003

3.“Geometrie analitică” – Gheorghe Munteanu, Adelina Manea, 2007

4.“Bazele raționamentului geometric” – Dan Brânzei, Eugen Onofraș, Sebastian Anița,
Gheorghe Is voranu – Editura Academiei, București, 1983

5. “Geometria patrulaterului ” – Ion Chițescu, Marcel Chiriță – Editura Teora, 1998;

6.“Probleme practice de geometrie ” – Liviu Nicolescu, Vladimir Broskov –
EdituraTehnica, Bucuresti, 1990

7.“Metodica predării matematicii ” – Brânzei D. și Brâ nzei R. – Editura Paralela 45,
2000

8. “Metodica predării geometriei în gimnaziu” – Popescu, O. și Radu, V – Ed. Didactică
și Pedagogică, București, 1983

9.“Geometria patrulaterului ” – Mihalca D., Chi țescu I., Chiriță M. – Editura Teora,
1998

10. “Geometria poligoanelor ” – Marian Corneliu B âldea – Editura Sigma, 2010

11. “Studiul patrulaterelor prin utilizarea metodelor interactive ” – Lucian Păcurar,
2013

12. “Tratat de pedagogie colară ” – Nicola, Ioan – Editura Aramis , București, 2002

13. “Mintea disciplinată: educația pe care o merită orice copil, dincolo de informații și
teste standardizate” – Gardner, H – Editura Sigma, București, 2005

14. “Inteligențe multiple. Noi orizonturi” – Gardner, H – Editura Sigma, București,
2006

15. “Curriculum național ” – Programe școlare revizuite M.E.C.T, București , 2009

145

DECLARAȚIE DE AUTENTICITATE A
LUCRĂRII METODICO – ȘTIINȚIFICE
DE GRAD DIDACTIC I

Subsemnatul/(a)_____________________ _______________ _______________
legitimat cu ___ seria _____ nr. ____ _ __ CNP __________________________
telefon ______________ autorul lucrării _________________ ___________________
_______ _______________________________________________________ ______
elaborată în vederea susținerii examenului de grad didactic I în anul universitar 2016 –
2017 organizat de către Departamentul pentru Pregătirea Personalului Didactic din cadrul
Universității “Transilvania” din Brașov, pentru seria 2015 – 2017, luând în considerare
Metodologia formării continue a personalului didactic din învățământul preuniversitar
aprobată pr in O.M. nr. 5720/20.10.2009, respectiv Ordinul MECTS nr. 5561/07.10.2011
cu adăugiri, declar pe proprie răspundere că această lucrare a fost elaborată în întregime de
către mine, nu au fost folosite alte surse decât cele menționate în bibliografie, nu au f ost
preluate texte, date sau elemente de grafică din alte lucrări sau din alte surse fără a fi citate
și fără a fi precizată sursa preluării, inclusiv în cazul în care sursa o reprezintă alte lucrări
ale mele și că lucrarea nu a mai fost folosită în alte c ontexte de examen sau de concurs.
Declar, de asemenea, că în lucrare nu există idei, tabele, grafice, hărți sau alte
surse folosite fără respectarea legii române și a convențiilor internaționale privind
drepturile de autor.

Brașov,
Data Semnătura
______________ _____________