1/46 http://lectii-virtuale.roOperații cu mulțimi Reuniunea a două mulțimi Reuniunea mulțimilor A și B este mulțimea care conține toate elementele… [622894]

http://lectii-virtuale.ro
1/46 http://lectii-virtuale.roOperații cu mulțimi
Reuniunea a două mulțimi
Reuniunea mulțimilor A și B este mulțimea care conține toate elementele mulțimii A și toate elementele mulțimii
B, scrise o singură dată.
Intersecția a două mulțimi
Intersecția mulțimilor A și B este mulțimea care conține elementele comune mulțimilor A și B.
Diferența a două mulțimi
Diferența mulțimii A față de B este mulțimea elementelor care aparțin mulțimii A, dar nu aparțin mulțimii B.
Observații:

Mulțimi. Apartenența unui element la o
mulțime.
O mulțime este o colecție de obiecte distincte. Aceste obiecte se numesc elementele mulțimii.
Mulțimile se notează cu litere mari: A, B, C,…, M, N,…
O mulțime se poate reprezenta în trei moduri:www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
2/46 http://lectii-virtuale.roprintr-o diagramă
prin enumerarea elementelor sale între acolade
prin enunțarea unei proprietăți caracteristice elementelor mulțimii
Exemplu : S = {1, 9, 3, 7, 5}
Cifra 3 este un element al mulțimii S. Vom spune că 3 aparține mulțimii S și notăm astfel:
Cifra 2 nu este un element al mulțimii S. Vom spune că 2 nu aparține mulțimii S și vom nota astfel:

Mulțimea numerelor naturale. Cardinalul
unei mulțimi
O mulțime care nu are nici un element se numește mulțime vidă .
Notație:
Mulțimea numerelor naturale:
– mulțime infinită
– mulțimea numerelor naturale nenule (infinită)
Cardinalul unei mulțimi reprezintă numărul de elemente al mulțimii.
Exemple:
www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
3/46 http://lectii-virtuale.roRelații între mulțimi
Două mulțimi A și B sunt egale dacă au aceleași elemente și notăm:

Două mulțimi A și B care nu au aceleași elemente sunt mulțimi diferite și notăm:

Dacă toate elementele mulțimii A se regăsesc în mulțimea B, atunci spunem că mulțimea A este
inclusă în mulțimea B.
Notație:
.
Mulțimea A se numește submulțime a lui B.
Exemplu:
Observație : mulțimea vidă este inclusă în orice altă mulțime.

Ridicarea la putere a numerelor naturale
a- se numește bază
n- se numește exponent
Exemplu:www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
4/46 http://lectii-virtuale.ro
Observații:
Reguli de calcul cu puteri
Observații la reguli de calcul cu puteri
www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
5/46 http://lectii-virtuale.roCompararea puterilor
1. Dintre două puteri cu aceeași bază și exponenti diferiți, este mai mare cea cu exponentul mai
mare.
2. Dintre două puteri cu baze diferite, având același exponent, este mai mare cea cu baza mai mare.
3. Dacă avem puteri cu baze diferite și exponenți diferiti, fie calculăm puterile, fie le aducem la
aceeași bază sau la același exponent și apoi aplicăm una din regulile de mai sus.
Ordinea efectuării operațiilor cu numere
naturale
Dacă într-un exercițiu avem mai multe tipuri de operații, ordinea de efectuare a acestora este
următoarea:
1. Mai întâi calculăm ridicarile la putere (operații de ordinul III)
2. Apoi efectuăm înmulțirile și împărțirile (operații de ordinul II)
3. La final efectuăm adunările și scăderile (operații de ordinul I).
Rezolvarea exercițiilor în care apar paranteze
Dacă într-un exercițiu apar paranteze, mai întâi efectuăm calculele din parantezele mici (rotunde),
apoi efectuăm calculele din parantezele pătrate și apoi din acolade. În fiecare dintre aceste
paranteze respectăm ordinea efectuării operațiilor.www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
6/46 http://lectii-virtuale.roNumere scrise în baza 10 și în baza 2
Sistemul de numerație zecimal
Sistemul de numerație zecimal (în baza 10) conține simbolurile: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Orice număr natural scris în baza 10 se poate scrie ca o sumă de produse în care un factor este o
putere a lui 10.
Sistemul de numerație binar
Sistemul de numerație binar (în baza 2) conține simbolurile: 0,1.
Orice număr scris în baza 2 s e poate scrie ca o sumă de produse în care un factor este o putere a lui
2.
Conversia unui număr din baza 10 în baza 2
Trecerea unui număr din baza 10 în baza 2 se face prin împărțiri succesive la 2, iar resturile
rezultate (0 sau 1) vor alcătui numărul în baza 2 (acestea se vor scrie pornind de la dreapta spre
stânga).
Numere scrise în baza 16
Sistemul de numerație hexazecimal (în baza 16) conține simbolurile: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,
unde:www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
7/46 http://lectii-virtuale.ro
Un număr scris în baza 16 se poate scrie ca o sumă de produse în care un factor este o putere a lui
16 (în acest mod se face trecerea din baza 16 în baza 10).
Trecerea din baza 10 în baza 16 se face prin împărțirea numărului la 16 (sau la o putere a lui 16).

Conversia din baza 2 în baza 16
Pentru a face conversia unui număr din baza 2 în baza 16 procedăm astfel:
-formăm grupe de câte 4 simboluri, pornind de la dreapta spre stânga
-orice combinație de patru simboluri scrise în baza 2 va reprezenta un simbol în baza 16
-simbolurile obținute vor forma numărul scris în baza 16.
Fracții- noțiuni introductive
O fracție este un număr de forma care exprimă una sau mai multe părți dintr-un întreg
.
a se numește numărător și arată câte părți (unități) am luat în considerare
b se numește numitor și arată în câte părți egale a fost împărțit un întreg.
Fracția reprezintă câtul neefectuat a:b.
www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
8/46 http://lectii-virtuale.ro
Mulțimea numerelor raționale pozitive:
Tipuri de fracții
1. Fracțiile care au numărătorul mai mic decât numitorul se numesc fracții subunitare .
2. Fracțiile care au numărătorul egal cu numitorul se numesc fracții echiunitare .
3. Fracțiile care au numărătorul mai mare decât numitorul se numesc fracții supraunitare .
Fracții zecimale periodice
Orice fracție ordinară se poate scrie sub formă de fracție zecimală (finită sau infinită) împărțind
numărătorul la numitor.
Fracțiile zecimale în care una sau mai multe zecimale se repetă de o infinitate de ori se numesc
fracții zecimale periodice . Grupul de zecimale care se repetă se numește perioadă .
Dacă perioada urmează imediat după virgulă, atunci fracțiile zecimale se numesc periodice
simple .
Exemplu : 1,838383…=1,(83)www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
9/46 http://lectii-virtuale.roDacă perioada nu urmează imediat după virgulă (între virgulă și perioadă mai există și alte
cifre) atunci fracțiile zecimale se numesc periodice mixte . Zecimalele care nu se repetă
formează partea neperiodică.
Exemplu: 4,83333…=4,8(3)
Amplificarea și simplificarea fracțiilor
Fracții echivalente
Două fracții:

se numesc fracții echivalente dacă ad=bc și scriem:
A amplifica o fracție înseamnă a-i înmulți și numărătorul și numitorul cu un număr natural nenul.
Exemplu:
A simplifica o fracție înseamnă a-i împărți numărătorul și numitorul cu un divizor comun al
acestora.
Exemplu :
Observație. Amplificând sau simplificând o fracție cu un număr natural nenul se obține o fracție
echivalentă cu fracția dată.

www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
10/46 http://lectii-virtuale.roLegătura dintre numitorul unei fracții
ordinare și fracția zecimală obținută
Dacă o fracție ordinară ireductibilă conține la numitor doar puteri ale lui 2 sau 5, prin
transformarea acesteia în fracție zecimală se obține o fracție zecimală finită.
​Exemplu:
Dacă o fracție ordinară ireductibilă nu conține la numitor puteri ale lui 2 sau 5, prin
transformarea acesteia în fracție zecimală se obține o fracție zecimală periodică simplă.
Exemplu:
Dacă o fracție ordinară ireductibilă conține la numitor pe lângă alți factori și puteri ale lui 2
sau 5, prin transformarea acesteia în fracție zecimală se obține o fracție zecimală periodică
mixtă .
​Exemplu:
Adunarea fracțiilor zecimale
Pentru a aduna două sau mai multe fracții zecimale finite, se așază fracțiile una sub alta, astfel încât
să avem virgula sub virgulă, partea întreagă să fie sub partea întreagă, zecimile sub zecimi, sutimile
sub sutimi, etc. Apoi folosim aceleași reguli ca și la adunarea numerelor naturale, iar virgula se
coboară la rezultat.
Exemplu:www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
11/46 http://lectii-virtuale.ro
Proprietățile adunării numerelor zecimale
Adunarea fracțiilor zecimale are aceleași proprietăți ca și adunarea numerelor naturale.
1. Comutativitatea : a+b=b+a
exemplu : 2,15+3,4=3,4+2,15
2. Asociativitatea: (a+b)+c=a+(b+c)
exemplu: (1,2+5,43)+2,11=1,2+(5,43+2,11)
3. Elementul neutru al adunării este numărul 0: a+0=0+a=a
exemplu: 8,3+0=0+8,3=8,3
Scoaterea și introducerea întregilor în fracție
Pentru a scoate întregii dintr-o fracție împărțim numărătorul la numitor. Câtul obținut va
reprezenta numărul de întregi, iar restul va fi noul numărător (numitorul se păstrează).
Exemplu:
Pentru a introduce întregii în fracție aplicăm formula:
Exemplu:
www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
12/46 http://lectii-virtuale.roFracții ordinare și fracții zecimale (I)
Transformarea fracțiilor ordinare cu numitori puteri ale lui 10 în fracții zecimale
Pentru a transforma o fracție ordinară cu numitorul putere a lui 10 în fracție zecimală vom proceda
astfel: scriem numărul de la numărător și punem virgula, de la dreapta spre stânga, după un număr
de cifre egal cu exponentul lui 10 de la numitor.
Exemple:
Transformarea fracțiilor zecimale în fracții ordinare
Pentru a transforma o fracție zecimală în fracție ordinară vom proceda astfel: scriem numărătorul
fără virgulă, iar la numitor vom avea o putere a lui 10 cu exponentul egal cu numărul de zecimale.
Exemple:

Fracții ordinare și fracții zecimale (II)
Transformarea fracțiilor ordinare în fracții zecimale
Orice fracție ordinară al cărei numitor este un produs de puteri ale lui 2 sau 5 , se poate scrie ca
fracție cu numitorul putere a lui 10.
Pentru a transforma o fracție ordinară al cărei numitor este un produs de puteri ale lui 2 sau 5 în
fracție zecimală, amplificăm sau simplificăm fracția cu un număr convenabil ales astfel încât sa
obținem la numitor putere a lui 10.
Exemple:www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
13/46 http://lectii-virtuale.ro
Scăderea fracțiilor zecimale
Pentru a scădea două fracții zecimale finite, se așază fracțiile una sub alta, astfel încât să avem
virgula sub virgulă, partea întreagă să fie sub partea întreagă, zecimile sub zecimi, sutimile sub
sutimi, etc. Apoi folosim aceleași reguli ca și la scăderea numerelor naturale, iar virgula se coboară
la rezultat. Dacă e nevoie, vom adăuga zerouri nesemnificative astfel încât să avem același număr de
zecimale.
Exemplu: 34,5-19,685=14,815

Rezolvarea ecuațiilor cu numere zecimale
O egalitate de forma

unde a,b,c sunt fracții zecimale, se numește ecuație cu o necunoscută ( x este necunoscuta ecuației).
O valoare a lui x pentru care se verifică egalitatea se numește soluție a ecuației.
A rezolva o ecuație înseamnă a-i găsi toate soluțiile.
Pașii de rezolvare a unei ecuații de forma ax+b=c:
1. Scădem din ambii membri ai ecuației numărul b (sau îl trecem pe b peste egal cu semn schimbat):www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
14/46 http://lectii-virtuale.ro
2. Împărțim ambii membri ai ecuației la a (a se mai numește coeficientul lui x):
Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuațiilor
Etapele rezolvării unei probleme cu ajutorul ecuațiilor:
stabililim mărimile cunoscute și necunoscute
notăm necunoscuta cu o literă, de obicei cu x
formăm ecuația: transcriem în limbaj matematic datele problemei
rezolvăm ecuația
verificăm și interpretăm rezultatul găsit

Punct, dreaptă, segment, plan
Punctul, dreapta și planul sunt noțiuni primare care nu se definesc, dar se pot descrie prin exemple.
Punctul poate fi comparat cu urma lăsată pe hârtie de înțepătura unui vârf de ac. Punctele se
notează cu litere mari: A, B, C, M, etc.
Dreapta este comparabilă cu un fir de ața subțire și bine întins. Dreptele se notează cu litere
mici: a, b, c, d . Dacă fixăm pe o dreaptă două puncte A și B, atunci dreapta se poate nota AB. O
dreaptă este nemărginită.
Trei sau mai multe puncte situate pe aceeași dreaptă se numesc puncte coliniare.
Două drepte care au un punct comun se numesc drepte concurente.
Două drepte care nu ai nici un punct comun se numesc drepte paralele .www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
15/46 http://lectii-virtuale.roPorțiunea dintr-o dreaptă delimitată de două puncte A și B formează segmentul [AB].
Planul este comparabil cu o suprafață netedă și nelimitată. Un plan conține o infinitate de puncte și
se notează de obicei cu litere grecești.
Lungimea unui segment, segmente
congruente
Lungimea unui segment este distanța dintre cele două extremități ale sale și ea se obține utilizând
rigla gradată.
Segmentele care au aceeași lungime se numesc segmente congruente .
Exemplu:
Un punct care împarte un segment în două segmente de aceeași lungime se numește mijlocul
segmentului.
Clasificarea unghiurilor
Unghiul este figura geometrică formată din două semidrepte cu aceeași origine.
Notații:
​
www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
16/46 http://lectii-virtuale.roInstrumentul cu care măsurăm unghiurile se numește raportor , iar unitatea de măsură este gradul.
Clasificarea unghiurilor în funcție de măsura lor
1. Unghiul nul – are măsura de 0 grade (laturile sale sunt semidrepte care coincid)
2. Unghiul alungit – are măsura de 180 grade (laturile sale sunt semidrepte opuse)
3. Unghiul drept – are măsura de 90 grade (laturile sale sunt semidrepte perpendiculare)
4. Unghiul ascuțit – are măsura mai mică de 90 grade
5. Unghiul obtuz – are măsura mai mare de 90 grade

www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
17/46 http://lectii-virtuale.roPoligoane- definiție, elemente
Un poligon este o linie frântă închisă. Poligoanele sunt denumite după numărul de laturi, astfel:
Poligonul cu 3 laturi se numește triunghi .
Poligonul cu 4 laturi se numește pătrat .
Poligonul cu 5 laturi se numește pentagon .
Poligonul cu 6 laturi se numește hexagon .
Elementele unui poligon:
-laturile: [AB], [BC], [CD], [DE], [EA]
-vârfurile: A, B, C, D, E
-diagonalele: [AC], [AD], [BD], [BE], [CE]
-unghiurile:

Triunghiul- definiție, elemente
Triunghiul este un poligon cu 3 laturi.
Elementele unui triunghi:www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
18/46 http://lectii-virtuale.ro
-laturile: [AB], [BC], [AC]
-vârfurile: A, B, C
-unghiurile:
Notație:

Patrulatere- noțiuni introductive
Un patrulater este un poligon cu patru laturi.
Paralelogramul – este patrulaterul cu laturile opuse paralele. Într-un paralelogram, laturile opuse au
lungimile egale.
Dreptunghiul – este paralelogramul cu toate unghiurile drepte.
Pătratul – este dreptunghiul cu toate laturile de aceeași lungime.www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
19/46 http://lectii-virtuale.ro
Rombul- este paralelogramul cu toate laturile de aceeași lungime.
Trapezul- este patrulaterul cu două laturi opuse paralele și două neparalele.

Cercul- noțiuni introductive
Cercul este mulțimea punctelor din plan situate la aceeași distanță față de un punct fix, numit
centrul cercului.
Elementele unui cerc:www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
20/46 http://lectii-virtuale.ro
centrul cercului : punctul O
raza cercului: [OA] – segmentul determinat de centrul cercului și un punct oarecare situat pe
cerc
​Diametrul unui cerc este segmentul determinat de două puncte situate pe cerc și care conține
centrul cercului. Lungimea diametrului unui cerc este egală cu dublul razei.
[MN]- diametru
MN=MO+ON=r+r=2r

Corpuri geometrice- noțiuni introductive
Paralelipipedul dreptunghic – este corpul geometric cu toate fețele dreptunghiuri.
are 6 fețe, 8 vârfuri, 12 muchii
Cubul- este corpul geometric cu toate fețele pătrate.
are 6 fețe, 8 vârfuri, 12 muchiiwww.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
21/46 http://lectii-virtuale.ro
Piramida patrulateră – are patru fețe laterale în formă de triunghi și o față în formă de pătrat sau
dreptunghi, numită bază.
are 5 fețe, 5 vârfuri. 8 muchii
Piramida triunghiulară – are patru fețe în formă de triunghi.
are 4 fețe, 4 vârfuri, 6 muchii
Cilindrul circular – are două baze în formă de cerc; suprafața care mărginește cilindrul este curbă și
se numește suprafața laterală a cilindrului.
Conul circular – are o bază în formă de cerc și un vârf; suprafața care îl mărginește este curbă.www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
22/46 http://lectii-virtuale.ro
Sfera – este mulțimea punctelor din spațiu egal depărtate de un punct fix O numit centrul sferei ; OM
este raza sferei.

Unitați de măsură pentru lungimi
Unitatea principală de măsură pentru lungime este metrul și se notează cu m.
Submultiplii metrului sunt: decimetrul (dm), centimetrul (cm), milimetrul (mm).
1 dm = 0,1 m
1 cm = 0,01 m
1 mm = 0,001 m
Multiplii metrului sunt: decametrul (dam), hectometrul (hm), kilometrul (km).
1 dam = 10 m
1 hm = 100 m
1 km = 1000 m
Între multiplii și submultiplii metrului există următoarea relație:www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
23/46 http://lectii-virtuale.ro
Exemple:
Perimetrul unui poligon
Perimetrul unui poligon este suma lungimilor laturilor ( not: P).
Semiperimetrul unui poligon este semisuma lungimilor laturilor ( not: s)
P = AB+BC+CD+DE+EA
s = P:2
Exemplu :
Perimetrul unui pentagon cu lungimile laturilor de 3 cm, 5 cm, 6 cm, 4 cm, 4 cm este:
P = 3+5+6+4+4 = 22 cm
Semiperimetrul este:
s = 22:2 = 11 cm
Perimetrul triunghiului
P = a+b+c
s = (a+b+c):2,www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
24/46 http://lectii-virtuale.rounde a, b, c sunt lungimile laturilor triunghiului
Perimetrul dreptunghiului
P = 2l+2L = 2(l+L)
s = l+L,
unde l – lățimea dreptunghiului , L – lungimea dreptunghiului
Perimetrul pătratului
P = 4l
s = 2l,
unde l – latura pătratului
Perimetrul paralelogramului
P = 2a+2b = 2(a+b)
s = a+b,
unde a, b sunt lungimile laturilor paralelogramului
Perimetrul rombuluiwww.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
25/46 http://lectii-virtuale.ro
P = 4l
s = 2l,
unde l – latura rombului
Perimetrul trapezului
P = a+b+c+d
s = (a+b+c+d):2,
unde a, b, c, d sunt lungimile laturilo r trapezului.

Unități de măsură pentru suprafețe
Unitatea principală de măsură pentru suprafețe este metrul pătrat .
Un metru pătrat reprezintă aria unui pătrat cu latura de 1 metru.
Notație:
Submultiplii metrului pătrat sunt: decimetrul pătrat, centimetrul pătrat, milimetrul pătrat.www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
26/46 http://lectii-virtuale.ro
Multiplii metrului pătrat sunt: decametrul pătrat , hectometrul pătrat , kilometrul pătrat .

Între multiplii și submultiplii metrului pătrat există următoarea relație:
Exemple:
Alte unități de măsură (pentru suprafețe mari):
Arul- reprezintă aria unui pătrat cu latura de 10 metri
Hectarul – reprezintă aria unui pătrat cu latura de 100 metri
Aria dreptunghiului
Aria unui dreptunghi se obține înmulțind lățimea cu lungimea.www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
27/46 http://lectii-virtuale.ro
Exemplu:
Aria unui dreptunghi având dimensiunile de 4 cm și 5 cm este:
Aria pătratului
Aria pătratului este egală cu lungimea laturii la pătrat.
Exemplu:
Aria unui pătrat cu latura de 5 metri este:
Unitați de măsură pentru volum
Unitatea principală de măsură pentru volum este metrul cub .
Un metru cub reprezintă volumul unui cub cu muchia de 1 metru.www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
28/46 http://lectii-virtuale.roNotație:
Submultiplii metrului cub sunt: decimetrul cub, centimetrul cub, milimetrul cub.
Multiplii metrului cub sunt: decametrul cub, hectometrul cub, kilometrul cub.

Între multiplii și submultiplii metrului cub există următoarea relație:
Exemple:

Volumul cubului
Volumul cubului este egal cu lungimea muchiei la puterea a treia.
www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
29/46 http://lectii-virtuale.ro
Exemplu:
Volumul unui cub având muchia de 4 cm este:

Volumul paralelipipedului dreptunghic
Volumul paralelipipedului dreptunghic este egal cu produsul dintre lungime, lățime și înălțime.
Exemplu:
Volumul unui paralelipiped dreptunghic având dimensiunile de 8 m, 3 m, 4 m este:
Unități de măsură pentru capacitate
Unitatea principală pentru volumul lichidelor este litrul (not: l).
Un litru este capacitatea unui vas cu volumul de un decimetru cub.
www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
30/46 http://lectii-virtuale.roSubmultiplii litrului sunt: decilitrul (dl), centilitrul (cl), mililitrul (ml).
1 dl = 0,1 l
1 cl = 0,01 l
1 ml = 0,001 l
Multiplii litrului sunt: decalitrul (dal), hectolitrul (hl), kilolitrul (kl).
1 dal = 10 l
1 hl = 100 l
1 kl = 1000 l
Între multiplii și submultiplii litrului există următoarea relație:
Exemple:

Unități de măsură pentru masă
Unitatea principală pentru măsurarea masei corpurilor este kilogramul și se notează: kg.
Submultiplii kilogramului sunt: hectogramul (hg), decagramul (dag),
gramul (g), decigramul (dg), centigramul (cg), miligramul (mg).
1 hg = 0,1 kg
1 dag = 0,01 kg
1 g = 0,001 kg
1 dg = 0,0001 kg
1 cg = 0,00001 kgwww.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
31/46 http://lectii-virtuale.ro1 mg = 0,000001 kg
Multiplii kilogramului sunt: chintalul (q) și tona (t).
1 q = 100 kg
1 t = 1000 kg

Avem următoarea relație:
Exemple:
Unități de măsură pentru timp
Unitatea principală pentru măsurarea timpului este secunda (not: s) .
Alte unități de măsură pentru timp:
minutul: 1 min = 60 s
ora: 1 h = 60 min = 3600 s
ziua- are 24 ore
săptămâna- are 7 zile
luna- are 30 sau 31 zile, excepție făcând luna februarie care are 28 sau 29 zile
anul- are 12 luni
deceniul- are 10 ani
secolul- are 100 ani
mileniul- are 1000 ani
Observație:
– un an are 365 sau 366 zile, după cum luna februarie are 28 sau 29 zile.
– anii care au 366 zile se numesc ani bisecți, iar aceștia se succed din 4 în 4 ani.
– un an este bisect dacă numărul său de ordine este divizibil cu 4.
www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
32/46 http://lectii-virtuale.roUnități monetare
Leul reprezintă unitatea monetară a României, iar subdiviziunea acestuia este banul .
1 leu = 100 bani
Bancnotele folosite în România sunt cele de: 1 leu, 5 lei, 10 lei, 50 lei, 100 lei, 200 lei și 500 lei.
Monedele folosite sunt cele de: 1 ban, 5 bani, 10 bani, 50 bani.
Scrierea numerelor naturale cu cifre romane
Cifrele romane sunt: I, V, X, L, C, D, M.
Valorile corespunzătoare acestora sunt următoarele:
I=1; V=5; X=10; L=50; C=100; D=500; M=1000.
Pentru a scrie numerele naturale cu cifre romane, folosim următoarele reguli:
a) Când avem o cifră cu valoare mai mică, așezată după o cifră cu valoare mai mare, se adună cele
două valori;
exemplu: XI=10+1=11
b) Când avem o cifră cu valoare mai mică, așezată inaintea unei cifre cu valoare mai mare, se scad
cele două valori;
exemplu : IX=10-1=9
c) Când avem cifre cu valori egale, se adună cele două valori;
exemplu : XX=10+10=20
d) Când o cifră cu valoare mai mică este așezată între două cifre cu valori mai mari, se face mai întâi
diferența;
exemplu: XIX=10+(10-1)=10+9=19.

www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
33/46 http://lectii-virtuale.roAproximarea numerelor naturale
1. Aproximarea prin lipsă la ordinul zecilor (sutelor, miilor) a unui număr natural este cel mai
mare număr natural format numai din zeci (sute, mii), mai mic sau egal cu numărul dat.
exemplu: 1821 aproximat prin lipsă la ordinul zecilor este numărul 1820.
1821 aproximat prin lipsă la ordinul sutelor este numărul 1800.
1821 aproximat prin lipsă la ordinul miilor este numărul 1000.
2. Aproximarea prin adaos la ordinul zecilor (sutelor, miilor) a unui număr natural este cel mai mic
număr natural format numai din zeci (sute, mii), strict mai mare decât numărul dat.
exemplu: 1821 aproximat prin adaos la ordinul zecilor este numărul 1830.
1821 aproximat prin adaos la ordinul sutelor este numărul 1900.
1821 aproximat prin adaos la ordinul miilor este numărul 2000.
3. Rotunjirea unui număr natural la ordinul zecilor (sutelor, miilor) este aproximarea prin lipsă sau
prin adaos, cea mai apropiată de numărul respectiv.
exemplu: 1821 aproximat prin rotunjire la ordinul zecilor este numărul 1820.
1821 aproximat prin rotunjire la ordinul sutelor este numărul 1800.
1821 aproximat prin rotunjire la ordinul miilor este numărul 2000.

Adunarea numerelor naturale
Adunarea numerelor naturale a și b este o operație aritmetică notată a+b. Numerele care se adună
se numesc termeni , iar rezultatul adunării se numește sumă.
exemplu: 15+7=22; 15 și 7 se numesc termeni, iar 22 se numește sumă.www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
34/46 http://lectii-virtuale.roProprietățile adunării numerelor naturale
Fie a, b și c trei numere naturale.
1. Adunarea este comutativă (putem să schimbăm poziția termenilor, iar rezultatul rămâne
neschimbat): a+b=b+a
exemplu: 12+9=9+12
2. Adunarea este asociativă (putem să grupăm termenii cum dorim, iar rezultatul rămâne
neschimbat): (a+b)+c=a+(b+c)
exemplu: (14+3)+8=14+(3+8)
3.Numărul 0 este element neutru pentru adunare: a+0=0+a=a
exemplu: 13+0=0+13=13.
Scăderea numerelor naturale
Scăderea numerelor naturale a și b este operația aritmetică notată a – b. Numerele a și b se numesc
termenii scăderii: a se numește descăzut , iar b se numește scăzător . Rezultatul scăderii se numește
diferență .
Exemplu: 16-7=9; 16 se numește descăzut, 7 este scăzător, iar 9 se numește diferență.
Observații:
1) Pentru a putea efectua scăderea a două numere naturale, descăzutul trebuie sa fie mai mare sau
egal cu scăzătorul.
2) Scăderea numerelor naturale este operația inversă adunării.
3) Scaderea numerelor naturale nu are proprietățile adunării (scăderea nu este comutativă, nu este
asociativă și nu are element neutru).
Suma lui Gauss
Formula de calcul pentru suma primelor n numere naturale este:www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
35/46 http://lectii-virtuale.ro
Exemplu : 1+2+3+…+21=21(21+1):2=231 (în acest caz n=21).
Înmulțirea numerelor naturale
Înmulțirea numerelor naturale a și b este operația notată . Numerele a și b se numesc factori ,
iar rezultatul înmulțirii se numește produs .
Exemplu:
; 3 și 5 se numesc factori, iar 15 se numește produs.
Proprietățile înmulțirii numerelor naturale
Fie a, b și c trei numere naturale.
1) Înmulțirea este comutativă:
2) Înmulțirea este asociativă:

3) Numărul 1 este element neutru pentru înmulțire:
4) Înmulțirea este distributivă față de adunare și scădere:

Factorul comunwww.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
36/46 http://lectii-virtuale.roScoaterea factorului comun este o acțiune inversă distributivității înmulțirii față de adunare și
scădere. Dacă un factor apare în mai multe produse, acesta se va numi factor comun.

Exemplu :

Spunem că am dat factor comun pe 3.
Împarțirea exactă a numerelor naturale
Împarțirea numerelor naturale a și b este operația notată a:b. Numărul a se numește deîmpărțit , b
se numește împărțitor , iar rezultatul împărțirii se numește cât.
Exemplu: 172:4=43; 172 este deîmpărțitul, 4 este împărțitorul, iar 43 este câtul.
Observații :
1) Împărțirea numerelor naturale este operația inversă înmulțirii.
2) Împărțirea numerelor naturale nu are proprietățile înmulțirii.
3) Împărțirea la zero nu are sens (nu există a:0)
4) 0:a=0
Teorema împărțirii cu rest
Teorema împărțirii cu rest:
,
unde: D= deîmpărțitul, Î= împărțitorul, C= câtul, R= restul
Exemplu: www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
37/46 http://lectii-virtuale.ro
Observație: Restul trebuie să fie întotdeauna mai mic decât împărțitorul: R<Î.
Divizibilitatea numerelor naturale
Un număr natural a este divizibil cu un număr natural b dacă a se împarte exact la b (restul
împărțirii este zero).
Sau, mai putem spune că numărul b divide pe a dacă există un număr natural c, astfel încât a =bc.
Numărul b se numește divizor al lui a, iar a se numește multiplu al numărului b.
Notații:
, citim 'a este divizibil cu b'
, citim 'b divide pe a'
Exemple:

Criterii de divizibilitate cu 2, 5, și 10
Criteriul de divizibilitate cu 2:
Un număr natural este divizibil cu 2 dacă și numai dacă ultima sa cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8.
Exemple : 12, 398, 714076.
Criteriul de divizibilitate cu 5:www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
38/46 http://lectii-virtuale.roUn număr natural este divizibil cu 5 dacă și numai dacă ultima sa cifră este 0 sau 5.
Exemple: 70, 185, 2015.
Criteriul de divizibilitate cu 10:
Un număr natural este divizibil cu 10 dacă și numai dacă ultima sa cifră este 0.
Exemple: 20, 670, 5310.

Rezolvarea ecuațiilor în mulțimea numerelor
naturale
O egalitate de forma

se numește ecuație cu o necunoscută ( x este necunoscuta ecuației).
O valoare a lui x pentru care se verifică egalitatea se numește soluție a ecuației.
A rezolva o ecuație înseamnă a-i găsi toate soluțiile.
Pașii de rezolvare a unei ecuații de forma ax+b=c:
1. Scădem din ambii membri ai ecuației numărul b (sau îl trecem pe b peste egal cu semn schimbat):
2. Împărțim ambii membri ai ecuației la a (a se mai numește coeficientul lui x):
www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
39/46 http://lectii-virtuale.roRezolvarea inecuațiilor în mulțimea
numerelor naturale
A. Inecuații de forma ax+b<c
O inegalitate de forma

se numește inecuație cu o necunoscută ( x este necunoscuta inecuației).
O valoare a lui x pentru care se verifică inegalitatea se numește soluție a inecuației.
A rezolva o inecuație înseamnă a-i găsi toate soluțiile.
Pașii de rezolvare a unei inecuații:
1. Scădem din ambii membri ai inecuației numărul b (sau îl trecem pe b în celălalt membru cu semn
schimbat):
2. Împărțim ambii membri ai inecuației la a (a se mai numește coeficientul lui x):
B. Inecuații în care necunoscuta este la exponent
Inecuațiile în care necunoscuta este la exponent se rezolvă fie prin încercări, fie scriem numerele
din ambii membri ca puteri cu aceeasi bază. Dacă avem aceeași bază in ambii membri (diferită de 0
sau 1), atunci relația de inegalitate se păstrează și în cazul exponenților.
Exemplu:
x poate lua valorile 0,1,2,3,4.www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
40/46 http://lectii-virtuale.ro
Media aritmetică a două sau mai multe
numere naturale
Media aritmetică a două numere naturale se calculează după formula:
Media aritmetică a n numere naturale se calculează după formula:
Adunarea fracțiilor cu același numitor
Pentru a aduna două sau mai multe fracții cu același numitor, se adună numărătorii, iar numitorul se
copiază:
Scăderea fracțiilor cu același numitor
Pentru a scădea două fracții cu același numitor, se scad numărătorii, iar numitorul se copiază:
www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
41/46 http://lectii-virtuale.ro
Aflarea unei fracții dintr-un număr sau dintr-
o fracție
Pentru a afla o fracție dintr-un număr natural, înmulțim fracția cu numărul respectiv:
Pentru a afla o fracție dintr-o altă fracție, înmulțim cele două fracții astfel: se înmulțesc numărătorii
între ei și numitorii între ei:
Scrierea și citirea fracțiilor zecimale
Cifrele plasate la stânga virgulei formează partea întreagă a fracției zecimale, iar cele situate la
dreapta virgulei formează partea zecimală a fracției și ele se numesc zecimale.
Exemplu: 536,7312
– partea întreagă este 536
6 este cifra unităților
3 este cifra zecilor
5 este cifra sutelor
– partea zecimală este 7312
7 este cifra zecimilor
3 este cifra sutimilorwww.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
42/46 http://lectii-virtuale.ro1 este cifra miimilor
2 este cifra zecimilor de miimi
Înmulțirea fracțiilor zecimale
Două fracții zecimale finite se înmulțesc ca două numere naturale, iar rezultatul are atâtea zecimale
câte au împreună cele două fracții.
Exemplu:
Pentru a înmulți o fracție zecimală finită cu o putere a lui 10 mutăm virgula spre dreapta peste
atâtea cifre câte zerouri are acea putere a lui 10. Dacă nu avem suficiente zecimale, mai adăugăm
zerouri.
Exemplu:
Ridicarea la putere cu exponent natural a
fracțiilor zecimale
Dacă a este o fracție zecimală finită, atunci:
Exemple:
Reguli de calcul cu puteri
www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
43/46 http://lectii-virtuale.ro
Observații:

Împărțirea fracțiilor zecimale
A. Împărțirea unui număr natural la un număr zecimal
Înmulțim deîmpărțitul și împărțitorul cu aceeași putere a lui 10, astfel încât împărțitorul să
fie număr natural, apoi se continuă împărțirea ca și la numere naturale.
Exemplu: 42:1,25=4200:125=33,6
B. Împărțirea unui număr zecimal la un număr natural
Împărțim mai întâi partea întreagă la numărul natural, apoi adăugăm virgula la cât și continuăm
împărțirea ca și la numere naturale.
Exemplu : 121,74:5=24,348
Observație. Împărțirea unei fracții zecimale finite la o putere a lui 10 se efectuează mutând
virgula spre stânga peste atâtea cifre câte zerouri are acea putere a lui 10.
Exemplu : 13,49:10=1,349
C. Împărțirea unui număr zecimal la un număr zecimal
Mai întâi înmulțim deîmpărțitul și împărțitorul cu aceeași putere a lui 10, astfel încât împărțitorul să
fie număr natural. www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
44/46 http://lectii-virtuale.roApoi împărțim partea întreagă la numărul natural, adăugăm virgula la cât și continuăm împărțirea
ca și la numere naturale.
Exemplu: 14,67:0,2=146,7:2=73,35

Ordinea efectuării operațiilor cu fracții
zecimale
Ordinea efectuării operațiilor cu fracții zecimale este aceeași ca și la numere naturale:
mai întâi calculăm ridicările la putere (operații de ordinul III)
apoi efectuăm înmulțirile și împărțirile (operații de ordinul II)
la final efectuăm adunările și scăderile (operații de ordinul I).
Dacă într-un exercițiu avem și paranteze, efectuăm mai întâi operațiile din parantezele rotunde, apoi
operațiile din parantezele pătrate, apoi din acolade.
Media aritmetică a două sau mai multe
fracții zecimale finite
Media aritmetică a două fracții zecimale finite se calculează împărțind suma acestora la 2:
Media aritmetică a n fracții zecimale finite se calculează împărțind suma acestora la n:
,
Media aritmetică a n numere raționale este cuprinsă între cel mai mic și cel mai mare număr. Astfel,
dacă:
www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
45/46 http://lectii-virtuale.roatunci are loc relația:
Rezolvarea inecuațiilor cu numere zecimale
O inegalitate de forma

se numește inecuație cu o necunoscută ( x este necunoscuta inecuației).
O valoare a lui x pentru care se verifică inegalitatea se numește soluție a inecuației.
A rezolva o inecuație înseamnă a-i găsi toate soluțiile.
Pașii de rezolvare a unei inecuații de forma ax+b<c:
1. Scădem din ambii membri ai inecuației numărul b (sau îl trecem pe b în celălalt membru cu semn
schimbat):
2. Împărțim ambii membri ai inecuației la a (a se mai numește coeficientul lui x):

Rezolvarea problemelor cu ajutorul
inecuațiilor
Etapele rezolvării unei probleme cu ajutorul inecuațiilor:www.Lecții-Virtuale.ro

http://lectii-virtuale.ro
46/46 http://lectii-virtuale.rostabililim mărimile cunoscute și necunoscute
notăm necunoscuta cu o literă, de obicei cu x
formăm inecuația: transcriem în limbaj matematic datele problemei
rezolvăm inecuația
verificăm și interpretăm rezultatul găsit

www.Lecții-Virtuale.ro