Astãzi este de neconceput progresul -DVSLUDLHJHQHUDOã a omului- fãrã utilizarea modelãrii matematice în cvasi-totalitatea domeniilor… [622692]

4. CLASE UZUALE DE MODELE

Astãzi este de neconceput progresul -DVSLUDLHJHQHUDOã a omului- fãrã
utilizarea modelãrii matematice în cvasi-totalitatea domeniilor activitãLLVDOH
&UHúWHUHDFRPSOH[LWmLLVWUXFWXULORUGHRULFHIHODVWUXFWXULLRUJDQL]DWRULFH a societãLL
în general face ca adoptarea deciziilor de conducere eficientã sã nu mai poatã fi
posibilã cu ajutorul tehnicilor clasice. Este nevoie din ce în ce mai mult de o
LQIRUPDLHDPSOmSUHFLVmúLUDSLGmGHHVWLPDUHDFDQWLWDWLYmúLSURJQR]DFRQVHFLQHORU
GHFL]LLORUDGRSWDWHÌQDFHVWVHQVPRGHODUHDDYHQLWvQvQWkPSLQDUHDFHULQHORU
practicii prin dezvoltarea unor metode, cum sunt cele ale cercetãrilor operaLRQDOH
care permit analiza obiectivã a acLXQLORURSHUDLLORUvQGUHSWDWHVSUHUHDOL]DUHa unui
DQXPLWVFRSHVWLPDUHDFDQWLWDWLYmDDFHVWRUDúLDGHFL]LLORUSRVLELOHRIHULQGDVWIHO
posibilitatea conducerii eficiente a proceselor sau fenomenelor modelate.
Aparatul matematic utilizat în cadrul modelãrii este deosebit de variat. Cel mai
frecvent însã, în elaborarea deciziilor se folosesc modele ale programãrii matematice
-GRPHQLXFDUHHODERUHD]mWHRULDúLPHWRGHOHQXPHULFHGHUH]ROYDUHDSUREOHPHORUGH
H[WUHPXPPXOWLGLPHQVLRQDOHFXUHVWULFLLDGLFã a problemelor de extremum al
IXQFLLORUGHPDLPXOWHYDULDELOHFXUHVWULFLLvQFHHDFHSULYHúWHGRPHQLXOGHYDULDLH
Programarea matematicã grupeazã o clasã foarte mare de probleme de optimizare
care s-DXGH]YROWDWGHVLQHVWmWmWRUúLDSHOHD]mODPHWRGHVSHFLILFHGHUH]ROYDUH
Astfel, fãrã pretenLDGHDFXSULQGHvQWUHJXOGRPHQLXSXWHPDPLQWLSURJUDPDUHD
liniarã, programarea convexã, programarea neliniarã, programarea dinamicã,
SUREOHPHGHSURJUDPDUHvQUHHDSURJUDPDUHDGLVFUHWã, programarea stochasticã etc.
Între diferitele tipuri de probleme existã strânse legãturi (de exemplu programarea
liniarã face parte din programarea convexã, care la rândul ei este o parte a
programarii neliniare etc.), progamarea matematicã începând sã semene din ce în ce
mai mult cu o teorie unitarã a problemelor de extremum.
ÌQWHUPHQLIRDUWHJHQHUDOLúLGUHSWXUPDUHPDLSXLQSUHFLúLvQWU-un model de
programare matematicã se cere determinarea extremumului unei funcLLSHRPXOLPH

GHUHVWULFLLGDWã. FuncLDUHVSHFWLYã, în problemele concrete, reprezintã o mãsurã a
gradului de satisfacere a unui scop precizat, deci o formulare matematicã a unui
obiectiv urmãrit.
În cadrul capitolului se prezintã succint problematica modelãrii economico-
matematice pentru unele clase de modele mai uzuale.

4.1. Modele liniare

Existã nuPHURDVHVLWXDLLSUDFWLFHvQFDUHVHFDXWã un comportament optim al
VLVWHPXOXLHFRQRPLFLQkQGFRQWGHGLIHULWHUHVWULFLLPDQDJHUXOILUPHLPD[LPL]HD]ã
SURILWXOLQkQGFRQWGHDQVDPEOXOGHUHVWULFLLGDWGHIXQFLDVDGHSURGXFLH
FRQVXPDWRUXOXUPmUHúWe sã-úLPD[LPL]H]HXWLOLWDWHDSHFDUHL-o oferã consumul de
EXQXULúLVHUYLFLLVXEUHVWULFLHEXJHWDUã etc.).
Analiza matematicã este un instrument esenLDOSHQWUXIRUPXODUHDúLVWXGLHUHD
DFHVWRUSUREOHPHGHPD[LPL]DUHPLQLPL]DUHFXUHVWULFLL0RGHOHOe liniare sunt
caracterizate de faptul cã relaLLOHIXQFLRQDOHFDUHLQWHUYLQVXQWOLQHDUH3HQWUXDVWIHO
GHUHODLLIXQFLLGHULYDWHOHSDULDOHGHSULPRUGLQVXQWFRQVWDQWHQHQXOHLDU
GHULYDWHOHSDULDOHGHRUGLQXOGRLVXQWQXOHÌQJHQHUDOGHFLQLFLFRQGLLLOHGHSULPXO
ordin, nici cele de ordinul doi întâlnite în problemele de extrem tratate de analiza
matematicã nu pot fi satisfãcute. S-DXGH]YROWDWvQVmDOWHWHKQLFLúLLQVWUXPHQWHFDUH
permit rezolvarea problemelor de optimizare ce comportã relaLLIXQFLRQDOHOLQLDUH
2DFWLYLWDWHGHSURGXFLHOLQLDUã este un proces de producLHGLQFDUHVHRELQXQXO
sau mai multe output-XULvQSURSRULLIL[HFXDMXWRUXOXQXLDVDXPDLPXOWRULQSXW-uri
vQSURSRULLIL[H8QDVWIHOGHSURFHVHVWHRPRJHQGHJUDGXOúLFXUDQGDPHQWHGH
VFDUmFRQVWDQWH'DFmVHPmUHVFVDXVHPLFúRUHD]mWRDWHFDQWLWmLOHGHLQSXW-uri
SURSRULRQDOVHYDPmULVDXPLFúRUDFDQWLWDWHDGHRXWSXWvQDFHODúLUDSRUW
)LHRDFWLYLWDWHGHSURGXFLHOLQLDUã care permite producerea unui output pornind
de la m input-uri. Aceastã activitate este descrisã de un ansamblu de coeficienLai
(i=1,…,m) care dau cantitãLOHGHLQSXW-uri necesare pentru a produce o unitate de

output. CantitãLOHGHLQSXW-uri necesare producerii unui nivel dat al output-ului (q)
VXQWGHWHUQLQDWHvQPRGXQLFGHUHODLDxi=ai.q, i= 1,…,m. [1].
3URGXFLDPD[LPã ce poate fi obLQXWã cu input-urile în cantitãLGDWHYDIL
q=min(xi/ai), ai>0)LHFDUHLQSXWSRDWHILXQIDFWRUOLPLWDWLYDOSURGXFLei. Cantitatea
de input xiSHUPLWHRELQHUHDDxi/ai) unitãLGHRXWSXWGDUWRDWHFHOHODOWHLQSXW-uri
trebuie sã fie disponibile în proporLLOHUHFODPDWHGDFmVHGRUHúWHRELQHUHDDFHVWXL
QLYHODOSURGXFLHL'HDFHHDFHOPDLPLFUDSRUWxi/ai) determinã nivelul maxim de
SURGXFLHSRVLELOã.
Presupunem acum cã existã n activitãLGHSURGXFLHGLVWLQFWHWRDWHOLQLDUHFDUH
se pot dezvolta separat sau simultan pentru a produce un output. Fie aij (i=1,…,m;
j=1,…,n) cantitatea din al i-lea input necesarã pentru a produce o unitate de output cu
a j-a activitate. Rezultatele furnizate de diferitele activitãLVXQWDGLWLYH2XWSXW-ul
global este egal cu q=qj∑ , unde qj este cantitatea produsã utilizînd activitatea j.
Nevoile globale de input-uri sunt: xi =aqijj⋅∑, i = 1,…,m.
Când sunt dezvoltate simultan mai multe activitãLQHFHVDUXOGHLQSXWi este
media ponderatã a coeficienLORUFRUHVSXQ]ãtori dezvoltãrii unei activitãL
izolate:iα=ijja∑λ, i=1,…,m; 0≤≤λj1, λj=∑1, λjqj
q=, λj fiind partea din
output-XOJOREDORELQXWSULQXWLOL]DUHDDFWLYLWãLLj.
Combinarea mai multor activitãLSHUPLWHVXEVWLWXLULvQWUHLQSXW-uri care
modificã substanLDOHFXDLD>@1LYHOXOPD[LPGHDFWLYLWDWHFHSRDWHILDWLQVFX
ansamblul de input-uri date este: q=min(xi/αi), αi>0. Raportul minim (xi/αi) este
VXSXVODUHVWULFLLGDUVHSRWJãsi ponderile λj astfel încât acesta sã fie optimal.
Sã abordãm acum cazul mai multor output-uri. Presupunem cã fiecare din cele
s output-uri posibile este produs cu ajutorul unei activitãLGHSURGXFLHOLQLDUH
utilizând m input-XUL([LVWmúLFD]XULFkQGXQRXWSXWQHFHVLWmPDLPXOWHDFWLYLWmL)LH
aij cantitatea din al i-lea input necesar pentru a produce o unitate din al j-lea output.
Nevoile de input-uri vor fi: xi=aqijj⋅∑ , i=1,2,…,m. Este posibil sã se substituie un
RXWSXWFXDOWXOVDXXQLQSXWFXDOWXO'HH[HPSOXvQDJULFXOWXUHVWHVSHFLIic faptul

cã, în general, o activitate permite producerea mai multor output-uri. Presupunem cã
fiecare din cele n activitãLSURGXFs output-uri utilizând m input-uri. Fie zj, j=1,2,…,n
nivelul celei de a j-a activitate, aij cantitatea din al i-lea outpuWSURGXVúLbij cantitatea
din al i-lea input necesar pentru o unitate din activitatea j. Atunci, input-XULOHúL
output-urile corespunzãtoare unui nivel dat al activitãLLVXQWqi=azijj⋅∑, i=1,…,súL
xi=bzijj⋅∑, i=1,2,…,m.
&RPELQDLLOHGHDFWLYLWãLSRVLELOHVXQWGHILQLWHSULQWU-o medie ponderatã a
activitãLORUHOHPHQWDUHFDUHOHFRPSXQ
Rezolvarea modelelor liniare se face cu tehnici de programare liniarã, studiate
la alte discipline.
Sub forma generalã, problema constã în a gãsi valorile variabilelor zj, j=1,…,n
care maximizeazã funcLDOLQLDUã:

y=γγ γ1122 ⋅+⋅++⋅ zz znn…

VXSXVHODUHVWULFLLOLQLDUH
ai1.z1+ai2.z2+…+ain.zn≤ki, i=1,…,m
úLzj≥0, j=1,…,n

AlgRULWPLLGHUH]ROYDUHDSUREOHPHORUGHRSWLPL]DUHOLQLDUDXIRVWSURJUDPDLSHFDOFXODWRUH[LVWkQGPDL
PXOWHSDFKHWHGHSURJUDPHFDUHSHUPLWRELQHUHDVROXLLORURSWLPH1XQHSURSXQHPDLFLSUH]HQWDUHDXQRUDVWIHOGH
DOJRULWPL3HQWUXvQHOHJHUHDPHFDQLVPXOXLORUUHDPLQWLPDLFLFkWHYDQRLXQLGHDOJHEUOLQLDU0XOLPHDGHYHFWRULGLQ
Rn, z=(z1,z2,…,zn)T care verificã restricLLOHFRQVWLWXLHPXOLPHDSXQFWHORUUHDOL]DELOH2PXOLPHGHSXQFWHGLQRn este
convexã dacã punctele situate pe un segment de dreaptã având ca extremitãLGRXã puncte din mulLPHVXQWFRQLQXWHvQ
DFHDPXOLPH2HFXDLHOLQLDUmGHILQHúWHXQKLSHUSODQvQRn. Un hiperplan este o dreaptã în R2, un plan în R3
RVXSUDIDã
n-1 dimensionalã în Rn. Dacã aij=0 hiperplanul definit de ecuDLDUHVSHFWLYã este paralel cu axa zj. Dacã ki=0, Rn are ca
origine un punct din hiperplan. Hiperplanul definit de a i-DUHVWULFLHGHILQHúWHXQVHPLVSDLXvQFKLVSHRn, ale cãrui
SXQFWHVDWLVIDFDFHDUHVWULFLHúLXQVHPLVSDLXGHVFKLVDOHFãrui puncte QXVDWLVIDFUHVWULFLD6HPLVSDLLOHVXQWPXOLPL
FRQYH[HLDUVHPLVSDLLOHvQFKLVHVXQWPXOLPLFRQYH[HvQFKLVH3XQFWHOHFDUHVDWLVIDFDj-DUHVWULFLHGHQHQHJDWLYLWDWH
HVWHGHDVHPHQHDXQVHPLVSDLXvQFKLVúLFRQH[3XQFWHOHFDUHVDWLVIDFRUHVWULFLHFRQVWLWXLHPXOLPLFRQYH[HvQFKLVH
2VROXLHUHDOL]DELOã a problemei trebuie sã satisfacã cele m+n restricLL0XOLPHDGHVROXLLUHDOL]DELOHYDILGHFLR
PXOLPHGHSXQFWHFDUHDSDULQILHFUHLDGLQFHOHPQPXOLPLDGLFã intersecLHLORU,QWHUVHFLa unui numãr finit de
PXOLPLFRQYH[HvQFKLVHHVWHHDvQVmúLRPXOLPHFRQYH[ã închisã. RestricLLOHGHQHQHJDWLYLWDWHOLPLWHD]ã inferior

YDORULOHYDULDELOHORU3ULQXUPDUHPXOLPHDSXQFWHORUUHDOL]DELOHDOHXQXLPRGHOOLQLDUHVWHWRWGHDXQDFRQYH[ã, închisã
úLPmUJLQLWmLQIHULRU$FHVWUH]XOWDWHVWHGHRVHELWGHLPSRUWDQWGHRDUHFHVXQWFXQRVFXWHSURSULHWmLOHXQRUDVWIHOGH
PXOLPL
Dupã definirea mulLPLLSXQFWHORUUHDOL]DELOHVHFDXWã un punct al mulLPLLFDUHPD[LPL]HD]ã funcLD
economicã. Un punct extremal într-RPXOLPHFRQYH[ã închisã este un punct de frontierã. Un hiperplan lateral unei
PXOLPLFRQYH[HvQFKLVHHVWHXQKLSHUSODQFDUHFRQLQHXQSXQFWGHIURQWLHUã al mulLPLLLDUPXOLPHDHVWHFRQLQXWã în
întregime într-XQVHPLVSDLXvQFKLVGHILQLW de hiperplan. Dacã mulLPHDSXQFWHORUUHDOL]DELOHHVWHYLGã, problema nu are
VROXLHRSWLPDOã. Dacã ea se reduce la un punct, acel punct este optimal. Dacã sunt mai multe puncte, atunci se poate
gãsi unul care sã fie optimal.

Presupunem cã existã o solXLHRSWLPDOã a modelului liniar general prezentat.
Fie (z10,z20,…,zn0
XQSXQFWUHDOL]DELO9DORDUHDIXQFLHLRELHFWLYSHQWUXDFHVWSXQFW
este: y0=γ1.z10+…+γn.zn0
'HILQLPXQVHPLVSDLXvQFKLVFDUHFRQLQHWRDWHSXQFWHOH
SHQWUXFDUHYDORDUHDIXQFLHLobiectiv este mai micã sau egalã cu y0: γ1.z1+…+ γn.zn≤y0
>@úLXQVHPLVSDLXGHVFKLVFRQLQkQGWRDWHSXQFWHOHSHQWUXFDUHYDORDUHDIXQFLHL
este mai mare decât y0: γ1.z1+…+γn.zn>y0 [2]. Punctul ales este extremal dacã [1] este
un hiperplan lateral aOPXOLPLLSXQFWHORUUHDOL]DELOH0XOLPHDSXQFWHORUFDUH
GHILQHVF>@FRQLQHFHOSXLQXQSXQFWSHQWUXFDUHIXQFLDRELHFWLYDUHRYDORDUH
superioarã lui y0
&XPXQKLSHUSODQODWHUDOQXFRQLQHQLFLXQSXQFWLQWHULRUPXOLPLL
realizabile, rezultã cã punctele optimale sunt puncte de frontierã ale domeniului
realizabil. O teoremã importantã a programãrii liniare afirmã cã o mulLPHFRQYH[ã,
vQFKLVmúLPmUJLQLWmLQIHULRUDUHXQXOVDXPDLPXOWHSXQFWHH[WUHPDOHDSDULQkQG
ILHFUXLKLSHUSODQODWHUDO$FHDVWDvnseamnã cã dacã un model liniar are soluLH
optimã, cel puLQXQSXQFWH[WUHPDOHVWHRSWLPDO6HOLPLWHD]ã astfel cãutarea
VROXLLORURSWLPHODXQQXPãr finit de puncte, deoarece punctele extremale sunt în
numãr finit.

2DOWSURSULHWDWHLPSRUWDQWã a proJUDPmULLOLQLDUHHVWHGXDOLWDWHD2ULFmUXLPRGHOOLQLDULVHSRDWHDWDúDXQDOWXO
numit dual, dupã reguli precise. Existã multe relaLLvQWUHPRGHOXOSULPDOúLFHOGXDO$PLQWLPDLFLQXPDLSHFHOH
HVHQLDOH
• valoarea optimã a unei variabile din unul din modele este nulã dacã restricLDFRUHVSXQ]ãtoare din celãlalt program
este satisfãcutã cu inegalitate strictã; ea este nenegativã dacã restricLDHVWHVDWLVIãcutã cu egalitate.

• dacã valoarea optimã a unei variabile dintr-un model este pozitivã, valoarea optimã a variabilelor din celãlalt model
VDWLVIDFHUHVWULFLDFRUHVSXQ]ãtoare cu egalitate.
• valorile optime ale celor douã funcLLFRLQFLG

În mod frecvent, în problemele economice variabilele modelului primal sunt "cantitãLLDUYDULDELOHOH
modelului dualVXQWSUHXULSHQWUXFDUHDORFDUHDUHVXUVHORUHVWHHILFDFH

În literatura de specialitate sunt propuse numeroase modele liniare. Ele se
disting din punct de vedere al obiectivelor urmãrite, al gradului de analizã a
PHFDQLVPXOXLGHSURGXFLHúLDPHFDQLVPXOXLGHSLDã, al caracterului normativ sau
SUHYL]LRQDODOVROXLLORUH[SORUDWHHWF0HFDQLVPXOJHQHUDODOPRGHOãrii este însã
pãstrat.
Pentru exemplificare am ales un model liniar general de minimizare a costului
DFWLYLWLORUXQHLvQWUHSULQGHULDJULFRle.

1RWDLL
J -PXOLPHDDFWLYLWãLORUGHVImúXUDWHGHRILUPmDJULFROm
cj -costul unitar al activitãLLj , j∈J;
xj -numãrul de unitãLQLYHOXOGLQDFWLYLWDWHDj, j∈J;
I -PXOLPHDUHVXUVHORUILUPHL
bi -cantitatea de resursã i disponibilã, i∈I;
aij -cantitatea de resursã i consumatã (sau furnizatã) de o unitate din activitatea j;
K -PXOLPHDVXEXQLWãLORURUJDQL]DWRULFH
sk -VXSUDIDDGLVSRQLELOã pe o subunitate k, k∈K;
skj -VXSUDIDDGHSãmânt k consumatã pe unitatea de activitate j;
D -PXOLPHDRXWSXW-urilor (produselor) firmei;
Qd -cantitatea minimã de produs d cerutã pe piaã, d∈D;
adj – cantitatea de produs d oferitã (sau consumatã) de unitatea de activitate j.

)XQFLDRELHFWLY
Min Z =cxjj
jJ⋅
∈∑
5HVWULFLL
– utilizarea resurselor: ∑
∈≤⋅
Jji jij bxa , i∈I;
-XWLOL]DUHDVXSUDIHHLsxskjjk
jJ⋅≤
∈∑ , k∈K;
– satisfacerea cererii: axQdjjd
jJ⋅≥
∈∑ , d∈D;
– nenegativitate: xj > 0 , j∈J.

Modelul poate fi detaliat prin:
• localizarea geograficã a cererii de produse, caz în care în model intervine o
subproblemã de tip transport;
• dacã cererea este exprimatã la nivelXOSURGXFLHLILQDOHvQPRGHOWUHEXLH
incluse activitãLGHSãstrare, condiLRQDUHúLWUDQVIRUPDUHDSURGXVHORU
agricole;
• dacã cererea nu este punctualã, ci se exprimã ca o relaLHvQIXQFLHGHSUH
modelul se poate complica, devenind, eventual, neliniar;
• PXOLPLOHJúLIVHSRWSDUWLLRQDGLVWLQJkQGVXEPXOLPLODQLYHOXOILHFãrei
subunitãLk.
$úDFXPDIRVWIRUPXODWPRGHOXODSHOHD]mODRVHULHGHLSRWH]H
1. existã o structurã a suprafeHORUDJULFROHSãmântul neputând trece de la o
subunitate organizatoricã la alta. Dacã vrem sã renunãm la aceastã ipotezã,
atunci trebuie adãugatã o nouã restricLHFXSULYLUHODVXSUDIDDvQWUHSULQGHULL
∑sk=S;
2. existã o piaã unicã pentru produsele agricole. RestricLLOHDVXSUDFHUHULLVH
situeazã la nivel global. Dacã se partiLRQHD]ã cererea, trebuie introduse
transferuri de produse între subunitãLDQWUHQkQGFRVWXULGHWUDQVSRUWúL
lãrgind restricLLOHGHFHUHUHGXSã principiul:
ofertã + intrãri -LHúLUL≥cerere

3. existã o ceUHUHIL[DWmvQQDWXUmúLFDQWLWDWHDGLFmYDORULH[RJHQHSHQWUX
fiecare produs.
,QIRUPDLLOHIXUQL]DWHGHUH]ROYDUHDPRGHOXOXLVXQW
1. YDORDUHDIXQFLHLHFRQRPLFHZ care mãsoarã costul total al activitãLORU
2. valorile xjFDUHSHUPLWFXQRDúWHUHDUHSDUWLLHLactivitãLORUvQWUHGLIHULWH
subunitãL
3. YDORULOHYDULDELOHORUGXDOHDWDúDWHUHVWULFLLORUFDUHDXRLQWHUSUHWDUHHFRQRPLFã
foate interesantã.

4.2. Modele neliniare

Un proces economic prezintã neliniaritãLDWXQFLFkQGHIHFWHOHQXVXQW
SURSRULRQDOHFXFDX]ele, adicã atunci când "regula de trei simplã" nu se poate aplica
UHIHULWRUODLQWUmULOHúLLHúLULOHVLVWHPXOXLÌQFRPSDUDLHFXXQPRGHOOLQLDUvQFDUH
IXQFLLOHPDWHPDWLFHFDUHGHILQHVFUHVWULFLLOHúLFULWHULXOGHRSWLPVXQWIXQFLLOLQLDUH
în modeleOHQHOLQLDUHFHOSXLQXQDGLQWUHDFHVWHDHVWHRIXQFLHQHOLQLDUã. Liniaritatea
în modelarea economicã este foarte adesea o ipotezã simplificatoare, care nu permite
surprinderea unor specificitãLHFRQRPLFHFDH[LVWHQDHFRQRPLLORUGHVFDUã, riscul în
siWXDLLGHLQFHUWLWXGLQHHIHFWHOHFXPXODWLYHGDWRUDWHWLPSXOXLúD
Un model neliniar are urmãtoarea formã generalã:

[]
[]
=≤
2 q1,2,…,=j ,0),…,,(h1 ,…,21,=i ,0),…,,(),…,,(
)(
21j2121
nn in
xxxp xxxgxxxMaxf
MN

unde f, giúLhjVXQWIXQFLLUHDOHQXWRDWHOLQLDUH6HREVHUYã deci cã modelele liniare
sunt cazuri particulare ale (MN).
Notãm cu S={x∈Rn gi(x)≤0, hj(x)=0}PXOLPHDYDORULORUDGPLVLELOHDGLFã
PXOLPHDWXWXURUYHFWRULORUGLQRn care verificã restricLLOHMN). Rezolvarea unui

model neliniar presupune gãsirea unui vector x*∈S, astfel încât f(x)≤f(x*), oricare ar
fi x∈S([LVWHQDXQXLDVWIHOGHYHFWRUHVWHDVLJXUDWã de teorema lui Weierstrass:
Dacã f este o funcLHFRQWLQXmúLS HVWHRPXOLPHFRPSDFWã, atunci (MN)
DUHVROXLHRSWLPDOã.
([LVWHQDVROXLHLRSWLPHQXULGLFã probleme deoarece în modelele economice
FRQGLLLOHWHRUHPHLVXQWDGHVHDYHULILFDWH6LPSOXOIDSWFã optimul existã nu este însã
suficient. Modelatorul trebuie sã poatã gãsi acel optim, sau, cel puLQVã-l
FDUDFWHUL]H]HSULQUHODLLFDUHYRUSULPLRLQWHUSUHWDUHHFRQRPLFã. În astfel de cazuri
se aplicã metode variaLRQDOHSULQFDUHVHVWXGLD]ã comportamentul funcLHLf într-o
vecinãtate a punctului cãruia i se testeazã optimalitatea. Aceasta este numai o analizã
ORFDOmvQYHFLQmWDWHDSXQFWXOXLFRQVLGHUDW3UREOHPDPRGHODWRUXOXLHVWHGHDúWL
dacã analiza localã este suficientã pentru a caracteriza optimul global.
2SWLPXOORFDOVHGHILQHúWHGHFLFDXQYHFWRU y∈S pentru care existã o
vecinãtate V(y) astfel încât f(x)≤f(y), oricare ar fi x∈ V(y)∩S.
8QUROHVHQLDOvQvQHOHJHUHDPRGHOHORUQHOLQLDUHvOMRDFã noLXQHDGHJUDdient.

'HILQLLH: Fie f:Rn→RRIXQFLHGLIHUHQLDELOm6HQXPHúWHJUDGLHQWvQSXQFWXOx0, un
vector din Rn, notat ∇f(x0) ale cãrui componente sunt derivatele parLDOHDOHIXQFLHLf
în punctul x0:
∇f(x0) = ( ∂f(x0)/∂x1, ∂f(x0)/∂x2,…, ∂f(x0)/∂xn ).

Observãm cã dacã fHVWHRIXQFLHOLQLDUã de forma f(x) =cxjj∑, gradientul lui
f este vectorul (c1, c2,…,cn).
'LQSXQFWGHYHGHUHJHRPHWULFvQVSDLXORn, gradientul în punctul x0 aratã
'dreapta' de cea mai mare pantã care trece prin acest punct. Un punct x, vecin cu x0úL
VLWXDWSHGLUHFLDJradientului corespunde la o valoare f(x)≥f(x0). Din punct de vedere
intuitiv, x0HVWHXQPD[LPORFDODOIXQFLHLf în urmãtoarele douã cazuri:
a) gradientul este nul în x0 (dreapta de cea mai mare pantã este "orizontalã", nu
se poate "mHUJHPDLVXVvQQLFLRGLUHFLH

b) punctul x0 este situat pe frontiera domeniului SúLYHFWRUXOJUDGLHQWHVWH
orientat spre exteriorul lui SDUSXWHDFUHúWHGDUQXDUHYRLH

În modelele liniare cazul a) nu se produce niciodatã pentru cã gradientul unei
IXQFLLOLQLDUHHVWHXQYHFWRUFRQVWDQW5H]XOWã cã optimul în modelele liniare se
vQWkOQHúWHGRDUvQFD]XOEGDWGHUHODLLOHGHGXDOLWDWHFDUHH[SULPã principiul
fundamental cã: gradientul funcLHLRELHFWLYHVWHRFRPELQDLHOLQLDUã cu coeficienL
SR]LWLYLVDXQXOLDJUDGLHQLORUIXQFLLORUFDUHGHILQHVFUHVWULFLLOHVDWXUDWHODRSWLP
În cazul modelelor neliniare, cele douã situaLLDúLESRWVmVHSURGXFmúL
chiar se combinã, deoarece vectorii gradienLQXVXQWFRQVWDQLHLGHSLQGGHSXnctul
vQFDUHVXQWFDOFXODL7RWXúLSULQFLSLXOIXQGDPHQWDOH[SXVDQWHULRUSRDWHILDSOLFDW
local. Acesta este sensul teoremei lui Kuhn-Tucker, ce caracterizeazã optimele locale
într-un model neliniar. Înainte de a comenta teorema Kuhn-Tucker care dã condLLLOH
QHFHVDUHGHRSWLPDOLWDWHvQPRGHOHOHQHOLQLDUHVFULHPIXQFLDOXL/DJUDQJHDWDúDWã
(MN):

L(x) = f(x) – λi∑gi(x) – γj∑hj(x).

Teorema Kuhn-Tucker

Fie x* un optim local al (MN). Dacã cele p+q+1IXQFLLf, gi, hj VXQWFRQWLQXHúL
GLIHUHQLDELOHvQWU-o vecinãtate a lui x*úLGDFmHVWHYHULILFDWmFRQGLLDGHFDOLILFDUHD
UHVWULFLLORUDWXQFLH[LVWã p+q numere λγij,astfel încât:

1) ∂L(x*)/∂ xk = 0,k=1,2,…,n;
2) ≥iλ0, i=1,2,…,p;
3) λigi(x*) = 0,i=1,2,…,p.

Numerele λλλ12,,…,púLγγγ12,,…,q se numesc "multiplicatori Kuhn-Tucker"
ai modelului neliniar (MN). Când nu existã restricLLGHLQHJDOLWDWHp=0DFHúWLDVH
QXPHVFPXOWLSOLFDWRUL/DJUDQJH0XOWLSOLFDWRULLDVRFLDLUHVWULFLLORUGHLQHJDOLWDWH
trebuie sã fie pozitivi sau nuli (conform cu 2)), iar cei asociaLUHVWULFLLORUGHHJDOLWDWH
sunt de semn oarecare.
Principiul fXQGDPHQWDOH[SULPDWPDLvQDLQWHHVWHLOXVWUDWGHFRQGLLD
)LH$PXOLPHDUHVWULFLLORUGHLQHJDOLWDWHVDWXUDWHvQSXQFWXOx*, adicã:

A={i gi(x*) = 0}.

Proprietatea 1) se scrie atunci:

∇=∇+∇
∈∑ ∑ fx gx hxi
iAi j
jj () () ()* * *λ γ
cu λi>0 pentru i∈A.
Proprietatea aratã, deci, cã vectorul gradient al funcLHLRELHFWLYHVWHXQYHFWRU
LQGXVGHYHFWRULLJUDGLHQWDLUHVWULFLLORUDFWLYHvQSXQFWXOx* UHVWULFLLGHLQHJDOLWDWH
VDWXUDWHúLUHVWULFLLGHHJDOLWDWH&RHILFLHQLLλi sunt pozitivi sau nuli, astfel încât
IXQFLDRELHFWLYQXSRDWHFUHúWHGHFkWFãtre exteriorul domeniului admisibil S.
&RQGLLDGHFDOLILFDUHDUHVWULFLLORUDPLQWLWã în enunXOWHRUHPHLDVLJXUã
GHFRPSR]LLDJUDGLHQWXOXLIXQFLHLRELHFWLYFDRFRPELQDLHOLQLDUã de gradienLL
UHVWULFLLORUDFWLYHODRSWLP&XDOWHFXYLQWHSHQWUXFDWHRUHPD.XKQ-Tucker sã poatã
fi aplicatã, este necesar ca gradienLLUHVWULFLLORUVã fie vectori liniari independenL
Dacã aceastã condiLHQXHVWHvQGHSlinitã, multiplicatorii ar putea sã nu existe, sau sã
nu fie unici. Spunem cã restricLLOHXQXLPRGHOQHOLQLDUVDWLVIDF
FRQGLLDGHFDOLILFDUH

în punctul x* dacã:

λ γii jj gx hx ∑ ∑ ∇+∇= () ()* *0

implicã λγij==0 oricare ar fi i∈SúLj=1, 2,…, q.

Teorema Kuhn-Tucker furnizeazã condiLLQHFHVDUHGHRSWLPDOLWDWHORFDOã. Ea
QXSHUPLWHvQVmVmúWLPGDFmDYHPGHDIDFHFXXQRSWLPJOREDO3HQWUXDJmVLúL
FRQGLLLOHVXILFLHQWHGHRSWLPDOLWDWHJOREDOã, trebuie studiatã convexitatea sau
FRQFDYLWDWHDIXQFLLORUFHLQWHUYLQvQPRGHOHOHQHOLQLDUH0RGHOXOMN) este o
problemã de optimizare convexã dacã funcLDf este concavã, funcLLOHgi sunt convexe
úLIXQFLLOHhj sunt afine. Majoritatea modelelor întâlnite în economie sunt de acest tip.
Rolul modelatorului este de a verifica dacã modelul pe care îl trateazã corespunde
DFHVWRUFRQGLLL8QHRULDFHVWDHVWHQHYRLWVã modifice structura modelului pentru a
ajunge la o problemã de optimizare convexã. Problemele non-convexe sunt foarte
dificil de rezolvat, mai cu seamã cele de dimensiuni mari.
Prezentãm în continuare câteva noLXQLGHDQDOL]ã convexã:

'HILQLLL
1. 2IXQFLHf:Rn→R este convexã dacã
fx yfx fy [()]()()() α αα α ⋅+−⋅≤+− 1 1 ,

oricare ar fi x, y∈Rn
úLα∈[0,1].
2IXQFLHf:Rn→R este concavã dacã:
fx yfx fy (())()()() ααα α +−≤+− 1 1 , oricare ar fi x, y∈Rn
úLα∈[ 0,1].

2PXOLPHA⊂Rn este convexã dacã x, y∈A, α∈[0,1], implicã αx+(1-α)y ∈ A.

ÌQGHILQLLLOHúLGDFã inegalitãLOHVXQWVWULFWHIXQFLLOHVHQXPHVFVWULFW
convexã, respectiv strict concavã.

ProprietãL
1. 2IXQFLHDILQmHVWHúLFRQFDYmúLFRQYH[m
2. Dacã f este convexã, atunci -f este concavã.

3. Dacã f este convexã, atunci mulLPHD$ ^[∈Rnf(x)≤E`HVWHRPXOLPH
convexã, oricare ar fi b∈R.
4. ,QWHUVHFLDDGRXã mulLPLFRQYH[HHVWHRPXOLPHFRQYH[ã.
5. Dacã fi:Rn→R, i=1,2,…,rVXQWIXQFLLFRQYH[HDWXQFLIXQFLDF definitã
prin:
F(x)=Max {f1(x),…,fr(x)} este convexã.

6. Fie f:Rn→RFRQWLQXmúLGXEOXGLIHUHQLDELOã. FuncLDf este:
• FRQYH[mGDFmúLQXPDLGDFmPDWULFHDKHVVLDQmGHILQLWmSULQ

Hxfxxxn
xixj=∂
∂∂212(,,…,)

este semipozitiv definitã pentru orice x∈Rn, adicã zT.Hx.z≥0, oricare ar
fi z∈Rn.
• strict convexã, dacã matricea Hx este pozitiv definitã, adicã
zT.Hx.z>0, oricare ar fi z∈Rn, z≠0.
7. Dacã f:Rn→RHVWHGLIHUHQLDELOãúLFRQYH[mDWXQFL
f(x) – f(y≥∇f(y)(x-y), oricare ar fi x,y∈Rn.

Teoremã: Dacã (MN) este o problemã convexã, condiLLOH.XKQ-Tucker
caracterizeazã optimul global. Acesta este unic dacã f este strict concavã.
'HPRQVWUDLH: Pentru simplificare considerãm numai cazul când q=0 (avem numai
UHVWULFLLGHLQHJDOLWDWH)LHx∈SXQSXQFWFDUHVDWLVIDFHFRQGLLLOHWHRUHPHL.XKQ-
Tucker, adicã:
• gi(x)≤0, i = 1,2,…,p;
• existã λi≥0, astfel încât ∇f(x) =λiigx∇∑()
• λigi(x) = 0.

Conform proprietãLLIXQFLDf fiind concavã, -f este convexã. Prin ipotezã gi
VXQWIXQFLLFRQYH[H$SOLFãm proprietatea 7 funcLLORUgiúL-f:
f(y) – f(x) ≤∇f(x)(y-x) [3]
gi(y) – gi(x) ≥∇gi(x)(y-x),
pentru orice y, astfel încât gi(y)≤ 0.

Se deduc inegalitãLOH

f(y)-f(x)≤∑λigi(x)(y-x)≤∑λi[gi(y)-gi(x)]≤∑λigi(y)≤0.

Deci f(y)≤f(x) ceea ce înseamnã cã x este un optim global.
Când fHVWHVWULFWFRQFDYmLQHJDOLWDWHD>@HVWHVWULFWmúL aceasta asigurã
unicitatea optimului.

Comentariu

În cazul non-convexitãLLWUHEXLHYHULILFDWHFRQGLLLOHGHRUGLQXO,,SHQWUXD
determina dacã problema este local convexã. SoluLDGDWã de teorema Kuhn-Tucker
este, în aceastã situaLHXQRSWLPORFDOVerificarea constã în:
• când problema este fãrã restricLLVHYHULILFã dacã în punctul x* matricea Hx
a criteriului de optim este semi-negativ definitã;
• FkQGSUREOHPDDUHUHVWULFLLHVWHVXILFLHQWGHDUãtat cã lagrangeanul L este o
IXQFLHFRQFDYã în x, în punctul x*.

'LQSXQFWGHYHGHUHDODSOLFDLLORUvQHFRQRPLHVXEOLQLHPvQFã o datã cã
SUREOHPHOHFRQYH[HVXQWFHOHPDLIUHFYHQWH([DPLQDUHDFRQGLLLORUGHRUGLQXO,,HVWH
foarte dificilã pentru probleme cu mai mult de trei variabile. Problemele non-convexe
întâlnite în literaturã au adesea o interpretare economicã limitatã sau inexistentã.

5H]XOWDWHOHPHQLRQDWHDXFRQGXVODDOJRULWPLGHDIODUHDVROXLHL&HOPDL
adesea este vorba despre metode de gradient, care constau în deplasarea, pornind
dintr-uQSXQFWLQLLDODOHVDUELWUDUvQGLUHFLDJUDGLHQWXOXLúLPRGLILFDUHDDFHVWHL
GLUHFLLGXSã restricLLOHvQWkOQLWH&RQYHUJHQDDOJRULWPLORUHVWHPDLPXOWVDXPDL
SXLQUDSLGã.

Exemplu

8QLQYHVWLWRUGRUHúWHVm-úLSODVH]HGLVSRQLELOLWmLOHEmQHúWLSHSLDDILQDQFLDUã.
$FWLYHOHILQDQFLDUHDFLXQLREOLJDLXQLRIHUmGLIHULWHUDWHGHUDQGDPHQWGDUúLXQ
anumit risc. Presupunem cã pe piaDILQDQFLDUã existã la un moment dat n active
caracterizate de ratele de randament r1,r2,…,rn care sunt variabile aleatoare distribuite
normal de medii miúLGLVSHUVLLDi. Ca mãsurã a riscului adoptãm mãrimea abaterii
medii pãtratice (radicalul dispersiei), pe care o notãm cu di [di=(Di)1/2] Orice
LQYHVWLWRUUDLRQDOúLULVFRIREYDFãuta sã diminueze riscul. Din teoria financiarã se
úWLHFmRSRVLELOLWDWHGHUHGXFHUHDULVFXOXLHVWHGLYHUVLILFDUHD,QYHVWLWRUXOQX-úLYD
plasa întregul capital disponibil într-un singur activ, ci va cãuta sã-úLIRUPH]HXQ
portofoliu cât mai diversificat. Fie xiSURSRULDDFWLYXOXLi în portofoliul investitorului.
$YHPUHODLDxi∑=1. Randamentul portofoliului va fi media randamentelor activelor
FHvOFRPSXQLDUULVFXOSRUWRIROLXOXLYDGHSLQGHGHGLVSHUVLDILHFmUXLDFWLYGDUúLGH
FRUHODLDGLQWUHGLYHUVHOHDFWLYH'LQVWDWLVWLFmVHúWLHFmH[SUHVLDFRHILFLHQWXOXLGH
FRUHODLHvQWUHGRXã variabile aleatoare, riúLrj este:

ρi,j = cov(ri,rj) /didj,

iar dispersia întregului portofoliu va fi:

∑∑ ∑∑∑ ∑
〉〉
+ == + =
iijjijiji iiiijji ji
iii
ddxx Dxrrxx Dx D
,22
2),cov( 2
ρ

Pentru simplificare, sã presupunem cã variabilele aleatoare reprezentând ratele
de randament ale activelor sunt independente. Acest fapt implicã cov(ri,rj)=0. Prin
urmare, abaterea medie pãtraticã a portofoliului va fi: d=(()/xDii2 12⋅∑ .
ÌQDSOLFDLDQXPHULFã ce urmeazFRQVLGHUãm trei active financiare caracterizate
GHXUPmWRDUHUDQGDPHQWHPHGLLúLDEDWHULVWDQGDUGH[SULPDWHvQSURFHQWHA1(5,2),
A2(10,8), A3(15,10). Randamentul mediu al acestui portofoliu format din trei active,
în care fiecare activ intervine cu ponderea xi, este: r=5×1+10×2+15×3, iar abaterea
standard d=(4×2
1+64×2
2+100×2
3)1/2.
Dorim sã determinãm acea structurã a portofoliului care asigurã o ratã medie a
UDQGDPHQWXOXLGHFHOSXLQFXFHOHPDLPLFLULVFXUL3RUWRIROLXORSWLPDOYDIL
VROXLDPRGHOXOXL
Min Z = 4×2
1+64×2
2+100×2
3
x1+x2+x3=1
5×1+10×2+15×3≥6
x1≥0, x2≥0, x3≥0.

$FHVWPRGHOHVWHQHOLQLDUGHRDUHFHIXQFLDGHRSWLPL]DW=HVWHQHOLQLDUã. El se
compune dintr-o rHVWULFLHGHHJDOLWDWHúLSDWUXUHVWULFLLGHLQHJDOLWDWH)RUPDVWDQGDUG
VHRELQHSULQWUDQVIRUPmULXúRDUH
Max V =-(4×2
1+64×2
2+100×2
3)
x1+x2+x3=1 [1]
– 5×1- 10×2- 15×3≤- 6 [2]
– x1≤0, – x2≤0, – x3≤0 [3]
/DJUDQJHDQXODWDúDWHVWH

)1 ()15105()100644(
3 2 13 2 14 33 22 112
32
22
1
−++++++ +++++ ++−=
xxxxxx xxxx xxL
µλλλλ

Aplicarea teoremei Kuhn-7XFNHUFRQGXFHODUHODLLOH
1) −+++= 8 5 011 4 xλλµ [4]
−+++= 128 10 022 4 xλλµ [5]
−+++= 200 15 033 4 xλλµ [6]
2) λλλλ1 2 3 4 0000 〉〉〉〉 ,,, [7]
3) λλλ1122 330 ⋅=⋅=⋅= xxx
λ41 2 3 101560 (5 ) xxx ++−= [8]

Sunt 8 necunoscute (xxx1231234 ,,,,,,, λλλλµHFXDLLGDWHGH>@>@>@
>@úL>@ODFDUHVHDGDXJmLQHJDOLWmLOH>@>@úL>@3URFHGXUDGe rezolvare, pentru
probleme de dimensiuni mici, constã în a face lista tuturor soluLLORUFDUHVDWLVIDF
UHODLLOHGHHJDOLWDWHúLVHOHFWDUHDFHORUFDUHYHULILFã inegalitãLOH&RQVLGHUkQG
multiplicatorii λi, fiecare poate lua o valoare nulã sau una pozitivã, ceea ce conduce
la 16 posibilitãLLQkQGFRQWFã λi≠0 implicã xi=0úLFmλ4=0 implicã restricLD>@
saturatã, obLQHPWDEHOXOXUPãtor:

λ1 λ2 λ3 λ4 µ x1 x2 x3 Z
1. 0 0 0 0 * * *
2. 0 0 0 0,55 4,12 0,86 0,08 0,06 3,72
3. 0 0 * 0 * * 0
4. 0 0 * * * * 0
5. 0 * 0 0 * 0 *
6. 0 * 0 * * 0 *
7. 0 * * 0 * 0 0
8. 0 * * * * 0 0
9. * 0 0 0 0 * *
10. * 0 0 * 0 * *
11. * 0 * 0 0 * 0

λ1 λ2 λ3 λ4 µ x1 x2 x3 Z
12. * 0 * * 0 * 0
13. * * 0 0 0 * 0
14. * * 0 * 0 0 *
15. * * * 0 0 0 0
16. * * * * 0 0 0

Diversele posibilitãLDVWIHOGHILQLWHVHQXPHVFUHJLPXULDOHSUREOHPHL6HIDF
FDOFXOHOHúLVHUHLQHUHJLPXOVDXUHJLPXULOHFDUHFRUHVSXQGHODYDORULSR]LWLYHvQ
locul punctelor din tabel. Aceste calcule nu sunt reproduse aici, sunt lãsate drept
exeUFLLX6ROXLDRSWLPDOã este datã de regimul 2: portofoliul este constituit din trei
DFWLYHvQSURSRULLOH$1:86%, A2:8%, A3:6%. Randamentul sperat al portofoliului este
de:
r=0,86.5+0,08.10+0,06.15=6,00%,

iar abaterea standard (riscul minim) este:
d=(3,72)1/2=1,92.

4.3. Modele multicriteriale

Problemele reale care conduc la modele de programare matematicã, numai în
SXLQHFD]XULXUPmUHVFXQVLQJXUVFRSúLFKLDUúLDWXQFLFkQGVHvQWkPSOmDúD
evaluarea diverselor posibilitãLGHDWLQJHUHDDFHVWXia conduce la probleme de decizii
PXOWLGLPHQVLRQDOH0DLSUHFLVvQRULFHDFLXQHXPDQã îndreptatã spre atingerea unui
VFRSVHXUPmUHúWHDFHDUHDOL]DUHFDUHQHFHVLWmXQHIRUWFkWPDLPLF$SUHFLHUHD
HILFLHQHLDFLXQLLSULQFRPSDUDUHDHIHFWHORUSRVLELOHFu eforturile ocazionate poate fi
fãcutã din numeroase puncte de vedere, fiecare caracterizând un anumit aspect. Prin
urmare, dorind sã conducem o acLXQHvQPRGHILFLHQWODSDUDPHWULLRSWLPLWUHEXLHVã

analizãm deciziile pe care le luãm sub diferite faHte, luând în considerare mai multe
criterii.
Pornind de la necesitãLOHSUDFWLFHGHRSWLPL]DUHDGHFL]LLORUvQFRQGLLLOH
multidimensionalitãLLFULWHULDOHV-a dezvoltat domeniul programãrii matematice cu
PDLPXOWHIXQFLLRELHFWLYÌQFHUFkQGRdefinire a problemei de decizie multicriterialã,
trebuie avute în vedere urmãtoarele elemente:
a) Obiectivul sau obiectivele care se urmãresc, transpuse matematic într-o
IXQFLHFãreia i se cautã maximul sau minimul. MulLPHDRELHFWLYHORUXQHL
probleme decizionale trebuie sã fie completã, operaLRQDOã, neredundantã;
b) Criteriile de decizie, punctele de vedere, principiile pe baza cãrora se face o
clasificare sau o apreciere;
c) 'HFLGHQWXOLQGLYLGXDOVDXGHJUXSFDUHXUPmUHúWHVmLDRKRWmUkUHGHFL]LH
pentru reaOL]DUHDvQFHOHPDLEXQHFRQGLLLDRELHFWLYHORUSURSXVH
d) 0XOLPHDDOWHUQDWLYHORUSRVLELOHGHDFLXQHSHQWUXDWLQJHUHDRELHFWLYHORU
e) 0XOLPHDFRQVHFLQHORUHIHFWHORUDOWHUQDWLYHORUFDUHSRDWHFXSULQGHILH
H[DFWDWkWHDFRQVHFLQHFkWHDOWHUQDWLYHH[LVWã, ILHPDLPXOWHFRQVHFLQH
posibile pentru fiecare alternativã;
f) 0XOLPHDVWãrilor posibile, fiecare stare reprezentând complexul de condiLL
care determinã apariLDXQHLDQXPLWHFRQVHFLQHSHQWUXRDQXPLWã alternativã
úLRELHFWLYSUHFL]DW
g) Utilitatea pe careRDúWHDSWmGHFLGHQWXOvQXUPDUHDOL]mULLXQHLDQXPLWH
FRQVHFLQH

Orice problemã de optimizare presupune sã fie datã o funcLHRELHFWLYFDXQ
LQGLFDWRUFDQWLWDWLYDORSLXQLORUGDWH'HUHJXOã, se ia drept asemenea indicator un
etalon general acceptat pentru mãsurãtorile fizice sau economice. O descriere
adecvatã pentru un singur etalon este posibilã atunci când obiectivul cercetat este
omogen, iar legãturile sale cu alte obiective pot fi neglijate. Extinderea modelului
prin includerea unor legãturi eseQLDOHFXDOWHRELHFWHFRPSOLFã scopurile conducerii
vQDúDPmVXUmvQFkWDFHVWHDWUHEXLHVLQWHWL]DWHGXSmPDLPXOLLQGLFDWRULGHFDOLWDWHDL

RSLXQLORU,GHQWLILFDUHDXQRULQGLFDWRULGHFDOLWDWHHVHQLDOLSHQWUXPRGHOHúLD
etaloanelor corespunzãtoare conduce la probleme de optimizare vectorialã:
"sã se optimizeze (maximizeze sau minimizeze) funcLDYHFWRULDOã
F(x)=(f1(x),f2(x),…,fr(x))T, unde xDSDULQHXQHLPXOLPLX".

'LQSXQFWGHYHGHUHPDWHPDWLFSUREOHPDQXHVWHELQHSXVmGDFmQXVHGHILQHúWH
optimul vectorial. Sensul optimului vectorial este determinat ca urmare a unor analize
QHIRUPDOHúLSRDWHILGLIHULWSHQWUXGLIHULWHPRGHOHÌQOLWHUDWXUDGHVSHFLDOLWDWHH[LVWm
QXPHURDVHFRQFHSLLSULYLQGRSWLPXOYHFWRULDOXQHOHGLQWUHHOHILLQGSUH]HQWDWe în
continuare. 0XOLPHDX este datã, de obicei, de un set de restricLLgj(x)≤ 0, x∈Rn,
x=(x1,x2,…,xn)T, j=1,2,…,m.
Adoptãm urmãtoarea notaLHSHQWUXSUREOHPDGHSURJUDPDUHPXOWLFULWHULDOã:
[v-sup] F(x), X = { x∈Rn | gj(x)≤ 0, j=1,2,…,m }
(existã, deci, n variabile de decizie, mUHVWULFLLúLr obiective ).

&kWHYDGHILQLLLVXQWQHFHVDUH
1. Un vector x∈Rn
HVWHVROXLHUHDOL]DELOã a problemei multicriteriale dacã
gj(x)≤0, pentru orice j.
2. 2VROXLHx dominã soluLDy dacã F(x)≥F(y)úLH[LVWmi, 1≤i≤r astfel încât
fi(x)>fi(y).
3. 6ROXLDx este nedominatã dacã nu existã o alta care sã o domine.
4. Presupunem cã pentru fiecare i=1,2,…,r existã xi∈X astfel încât fi(xi) =
MAX [fi(x)]. Notãm fi(xi) =fi.
Vectorul Ffffr =(,,…,)12VHQXPHúWH
SXQFWXOLGHDO
DOSUREOHPHLPXOWLFULWHUiu.
5. 2VROXLHQHGRPLQDWã x*∈XVHQXPHúWHSXQFWGHPD[LPYHFWRULDODOIXQFWLHL
F pe multimea X (sau punct eficient de maxim). Analog se poate defini
minimul vectorial.

Metode de rezolvare a problemelor multicriteriu

Un prim punct de vedere stipuleazã cã optimul multicriterial este dat de
PXOLPHDVROXLLORUQHGRPLQDWH$FHVWDHVWHFXQRVFXWVXEGHQXPLUHDGHRSWLP
Pareto" dupã numele celui care a dat aceastã interpretare optimului într-o problemã
de decizie multicriterialã.
RezolvarHDSUREOHPHLDUFRQVWDvQGHWHUPLQDUHDVROXLLORUQHGRPLQDWH3HQWUX
cazul liniar a fost dezvoltat un algoritm Simplex adaptat corespunzãtor, datorat lui
Zeleny. Din pãcate acesta nu a fost programat pe calculator, astfel cã pentru probleme
de dimensiuni mari rezolvarea este foarte anevoioasã. Detalii asupra algoritmului lui
Zeleny se gãsesc în [20].
8QDOWSXQFWGHYHGHUHPDLH[LJHQWGHFkWSULPXOFHUHVROXLHLRSWLPHD
problemei multicriteriu caracterul de unicitate. Douã direcLLSULQFLSDOHV-au dezvoltat
în acest sens.
O primã grupã de metode imagineazã un selector pe mulLPHDVROXLLORU
nedominate, definit printr-o unicã funcLHRELHFWLYUH]XOWDWã din compunerea celor r
IXQFLLLQLLDOH$FHVWHPHWRGHvQFHDUFmRDúD]LVmRELHFWLYL]DUHvQDOHJerea cãilor de
atingere a punctului ideal. Cea de-a doua grupã de metode, numite interactive, se
caracterizeazã prin faptul cã decidentul participã în mod activ în procesul de
optimizare, orientând drumul ce trebuie parcurs spre 'ideal', selectând obiectivele pe
ED]DSUHIHULQHORUVDOHGkQGRRUGLQHGHSULRULWDWHvQFHOHURELHFWLYHDOHSUREOHPHL
În continuare se prezintã unele metode de alegere a soluLHLILQDOHSHQWUX
problema multicriteriu:

I. Solutia celui mai bun compromis

Aceastã metodã presupune rezolvarea într-o primã etapã a r probleme unicriteriu,
RELQkQGVROXLLOHRSWLPH[i*, 1≤i≤UúL]i* = fi(xi
YDORULOHRSWLPHDOHIXQFLLORU
obiectiv corespunzãtoare. Vectorul x* = (x1*,x2*,…,xr*) HVWHQXPLWVROXLDLGHDOã a
SUREOHPHLPXOWLFULWHULXFRQVLGHUDWHÌQJHQHUDORDVWIHOGHVROXLHQXH[LVWã, astfel cã

problema multicriteriu se considerã rezolvatã dacã se determinã o soluLHQHGRPLQDWã
care sã fie "cât mai apropiatã" într-un anumit sens de punctul ideal. Se pot da diverse
interpretãri "distanHLGHODVROXLDLGHDOã la varianta care va fi adoptatã ca o soluLH
de compromis.
Presupunem cã funcLLOHI1,…,frVXQWFRQFDYHSHPXOLPHD;FRQYH[mvQFKLVmúL
marginitã, nevidã). Atunci problemele de programare convexã:

[ sup ] fi(x), x∈X, 1≤i≤r

DXVROXLLRSWLPH0DLDGPLWHPFã max[fi(x)] =fi>0, i=1,2,…,r. În caz contrar putem
înloFXLIXQFLLOHIi cu fi'= fi+ki, unde ki>-fi3HPXOLPHD;GHILQLPRIXQFLH
GLVWDQã" prin:
d:X→R, d(x)=
1≤≤−
irffx
fii
imax().

Functia d:X→R are proprietãLOHXUPãtoare:
a) d este convexã pe X;
b) d(x)≥0, pentru orice x∈X;
FG[ GDFmúLQXPDLGDFm)[ F, unde F(x)=(f1(x) ,….., fr[úL
F=(rff,…,1 );
d) Dacã x, x'∈;úL)[≥F(x') atunci d(x)≤d(x').

2FRQVHFLQã a considerentelor anterioare este faptul cã problema:
[inf.] d(x), x∈X
este o problemã de programare convexã.

3URSR]LLH. Problema [inf.]d(x), x∈X este echivalentã cu problema:
[inf.] xn+1, xX∈,
XQGHPXOLPHDX este:

X={x=(x,xn+1)T∈Rn+1|x∈X, fi(x)+fi.xn+1≥fi, 1≤i≤r}.

Demonstratie. Fie x∈XúLxn+1 =
1≤≤−
irffx
fii
imax().
Rezultã cã x=(x, xn+1)T ∈X. Dacã x este soluLHRSWLPã a problemei [inf.] d(x) ,
atunci xGHILQLWFDPDLVXVHVWHRVROXLHRSWLPã a problemei echivalente.
Presupunem cã existã x'=(x', x'n+1)T∈X astfel încât x'n+1 < xn+1. Evident x'∈ XúL
xxnnffx
fii
i++−〉〉11, (),, 1≤i≤r sau
1≤≤−
irffx
fii
imax()〉
1≤≤−
irffx
fii
imax(),
ceea ce contrazice optimalitatea lui x .
Reciproc, fie x = (x,xn+1)T
RVROXLHRSWLPã a problemei echivalente. Rezultã
x∈X. Aratãm cã x e soluLHRSWLPã a problemei [inf.] d(x). Presupunem cã existã x'∈X
astfel încât d(x')<d(x). Definim:
x,
n+1=
1≤≤−
irffx
fii
imax(),
Rezultã cã (x',x'n+1)T ∈XúLx'n+1= d(x')<d(x).
Dar, cum x∈X, din fi(x) + fixn+1≥fi rezultã:
)()(
1 xd x
iii
fxff
n = >−
+
deci x'n+1<xn+1 ceea ce contrazice faptul cã xHVROXLHRSWLPã. Rezultatul stabilit mai
VXVFRQGXFHODPHWRGDGHGHWHUPLQDUHDVROXLHLQHGRPLQDWHFDUHPLQLPL]HD]ã
GLVWDQDIDmGHSXQFWXOLGHDOQXPLWmúLVROXLDFHOXLPDLEXQFRPSURPLV

Pas 1. Se rezolvã problemele de programare convexã:
[sup.] fi(x), x∈X, 1≤i≤r.
Fie fi = max fi(x) , 1≤i≤r, f=(ffr 1,…,)
Dacã fi> 0 , 1≤i≤r se trece la pasul 2.
Dacã nu, pentru fiecare i pentru care fi<0 se alege ki > -fi. Se ia
f'i'(x)=fi(x)+ki, fi,=fi+ kiúLVHWUHFHODSDVXOFXfi = fi'.

Pas 2. Se rezolvã problema de programare convexã cu funcLDRELHFWLYOLQLDUã: [inf.]
xn+1, xX∈, unde X= {x= (x,xn+1)T ∈Rn+1 | x∈X, fi(x) +fi⋅xn+1≥fi , 1≤i≤r }.
Fie λ= min xn+1. Se trece la pasul 3.

Pas 3. Se rezolvã problema de programare convexã:
sup (1/r)fxi∑(), x∈X'
X'= X∩ { x∈ Rr| fi(x)≥ (1-λ)fi, 1≤i≤r }.

)LH[
VROXLDRSWLPm$WXQFL[
HVWHQHGRPLQDWmvQ;úLPLQLPL]HD]mIXQFLD
d. Este acceptatã ca soluLHRSWLPã a problemei multicriteriu.
Observatie. În cazul liniar, adicã fi(x)=cix cu ci∈ Rn, 1≤i≤rúLPXOLPHDX datã de
X={x∈Rn|Ax = b, x≥0}SXWHPGDúLDOWHGHILQLLLGLVWDQHLIDã de punctul ideal.
1) Astfel, o primã abordare constã în rezolvarea problemei de programare liniarã:

inf (xn+1 +…+ xn+r)
Ax = b
Cx + xe = z*
x≥0 ; xe≥0

unde xn+i, 1≤i≤r sunt variabile de ecart, xe este vectorul de componente xn+i, iar z*
este vectorul de componente zi* = cixi*, 1≤i≤r, zi* fiind valoarea optimã a funcLHL
obiectiv fi. În acest fel, xn+i mãsoarã diferenDGLQWUHYDORDUHDRSWLPã zi*úLYDORDUHD
"de compromis" realizatã cu ajutorul soluLHLx∈X.
2VROXLHRSWLPã a problemei de mai sus realizeazã minimul sumei acestor
GLIHUHQH'DFã (xxe,HVWHVROXLHRSWLPã a problemei, atunci x este nedominatã.
Pentru a arãta cã o soluLHRSWLPã a problemei anterioare este nedominatã pentru
problema multicriteriu, presupunem cã x este dominatã, deci existã x∈ X astfel încât
Cx >> Cx. Rezultã cã x [úLxe= z* – CxHVWHRVROXLHDGPLVLELOã a problemei.

Avem: eTxe = eT(z* – Cx) = eT(xe+ Cx – Cx) = eTxe + eT(Cx-Cx) > eTx, úL
se contrazice faptul cã (xxe,HVWHVROXLHRSWLPã. Rezultã cã presupunerea cã x este
GRPLQDWmHIDOVmúLDWXQFLx este nedominatã.
2) O altã modalitate de definire a distanHLIDã de ideal este:

dx
ircz
cii
ij()max*=∑≤≤−
12.

Functia d(x) este convexã (deci existenDYDORULLPLQLPHHVWHDVLJXUDWã), dar
neliniarã, fapt care îngreuneazã determinarea numericã efectivã a soluLHLRSWLPH
3) Mai general, se poate considera cã soluLDSUREOHPHLPXOWLFULWHULXx* este vectorul
care minimizeazã un criteriu de optim de forma:
Φ (x*) = min h( d1(x-x1*), … ,dr(x-xr*) )
în care xi*=(x1i,…,xni) , 1≤i≤rHVWHVROXLDRSWLPã pentru funcLDRELHFWLYIi, iar di
HVWHRIXQFLHGHGLVWDQã dintre vectorul x∈XúLVROXLDRSWLPã xi* a functiei fi.
Alegerea concretã a funcLLORUhúLdiSHUPLWHRELQHUHDGHFD]XULSDUWLFXODUHDOH
criteriului de optim, ca de exemplu:
a) h(x) = () αi jjixx ∑∑−2, αi≥0

b) h(x) = αi jjixx∑∑− , αi≥0

c) h(x) =()
1≤≤−
iri idxx max*

d) h(x) = dxxi i()*−∏

Dacã se alege di(x-xi*) = αi |fi(xi*) – fi(x)|, iα>0úLIXQFLDh de forma d)
atunci vectorul x* se determinã astfel încât
Φ(x*) = ()()
xXiii i fxfx
∈−∑min*α .

II. Metoda ponderãrii

În aceastã metodã, soluLDRSWLPã a problemei multicriteriu este consideratã o
soOXLHQHGRPLQDWã în X care maximizeazã o funcLHRELHFWLY-sintezã a celor rIXQFLL
obiectiv. Astfel, dacã fi, 1≤i≤rVXQWIXQFLLFRQFDYHGHILQLWHSHPXOLPHDFRQYH[ã,
vQFKLVmúLPmUJLQLWmX, atunci problema:

[sup.] fw(x), x∈X ,

unde: fw(x) =wfxii⋅∑(), wi ≥ 0, 1≤i≤r, wi∑= 1, este o problemã de programare
convexã.
Ponderile wi reprezintã "iPSRUWDQDDFRUGDWã de decident criteriilor
FRQVLGHUDWH6ROXLDRSWLPã a problemei multicriteriu depinde de alegerea ponderilor
wi. Metoda este valabilã într-un context limitat, iar în cazul în care criteriile sunt
necomparabile nici nu putem vorbi despre o ierarhizare corectã a acestora. Problema
centralã a acestei metode constã în determinarea ponderilor wi. Dãm în continuare o
metodã de determinare a acestora.
Se poate demonstra cã pentru orice sistem de ponderi wi≥0, wi∑ = 1,
problema [sup.] fw(x)DUHFHOSXLQRVROXLHRSWLPã care sã fie nedominatã. De
asemenea, dacã wi > 0, pentru toti iRULFHVROXLHRSWLPã a problemei parametrice
asociate este nedominatã. Definind
X* = X∩{ x∈Rn| fw(x) ≥γ},
atunci X*HVWHWRWRPXOLPHFRQYH[ã. Procedeul de determinare a ponderilor asociate
IXQFLLORURELHFWLYfiIDFHOHJmWXUDvQWUHSUREOHPDPXOWLFULWHULXúLWHRULDMRFXULORU(O
constã din urmãtoarele etape:

Pas 1. Se rezolvã r probleme de programare convexã:
sup fi(x) , 1≤i≤r, x∈X

6HRELQVROXLLOHxi, 1≤i≤rúLfi(xi) = max fi(x).
Pas 2. Se calculeazã fij = fi(xj, i,,j = 1,2,…,r.
Pas 3. Se aleg constantele ki astfel:



≤ −>>
=
≤≤≤≤
0 pentru0 pentru ,0
minmin
min
11
ij ij
rjijrj
i
f ff
k

Pas 4. Se calculeazã matricea A = (aij), 1≤i,,j≤r, unde aijfk
fkiji
iii=+
+ i,j = 1,2,…,r.
Pas 5. Se rezolvã problema de programare liniarã:
[inf.]zi∑, z∈ Z, Z = { z∈Rr| ATz≥e, z≥0 }, e = ( 1,…,1 )
Fie z o soOXLHRSWLPã a acestei probleme.
Pas 6. Se calculeazã:
wiz
Mi
izj
Mj=
∑, unde Mi = fii + ki
wi, 1≤i≤rFRQVWLWXLHVLVWHPXOGHSRQGHULDVRFLDWHIXQFLLORURELHFWLYfi.
2EVHUYDLH. Constantele ki s-au introdus cu scopul ca elementele aijVmILHSR]LWLYHúL
HOHQXLQIOXHQHD]ã caracterul optim al unei decizii. Marimea fij reprezintã valoarea
SHFDUHRLDIXQFLDRELHFWLYfi pentru solutia posibila xj care maximizeazã criteriul fj,
iar fii este chiar fi. CantitãLOHaijSRWILLQWHUSUHWDWHGUHSWJUDGGHSUHIHULQã" acordat
VROXLHLxj relativ la criteriul i. Având în vedere cã aij ∈@úLaii = 1, 1≤ i≤r,
matricei A i se pRDWHDWDúDXQMRFPDWULFLDOILQLWGHGRXmSHUVRDQHFXVXPmQXOmvQ
care strategiile pure ale celor doi jucãtori coincid cu 1,2,…,rLDUFkúWLJXOSULPXOXL
jucãtor corespunzãtor perechii de strategii (i,,j) este aij. Conform teoriei jocurilor
matriciale, existã puncte de echilibru formate din strategii mixte. Dacã A≥0, orice
strategie optimã a primului jucãtor s1=(λ1,…, λr) este definitã prin: λiz
zi
i=∑, unde
() zzzr =1,…,HVWHRVROXLHRSWLPã a problemei de programare liniarã de la pas 5.

Deoarece λi≥0, λi∑=1, numerele λi pot constitui un sistem de ponderi. Prin
FRQVWUXFLDGHODSDVHOHVXQWDVRFLDWHIXQFLLORU

gifk
Mii
i=+
, i = 1,2,…,r.

Într-o combiQDLHOLQLDUã de forma λ∑iig, λi este coeficientul lui fi/Mi sau,
λi/Mi este coeficientul lui fi. Pentru ca numerele λi/Mi sã constituie un sistem de
ponderi (neavând suma egalã cu 1) este necesar sã le împãrLPODVXPDORUUH]XOWkQG
wi ca în pas 6.
3ULQFLSDODRELHFLHFHSRDWHILDGXVã procedeului descris este aceea cã
RSWLPXOPXOWLFULWHULXHVWHvQHOHVvQWHUPHQLLWHRULHLMRFXULORUDQWDJRQLVWHúLGDFã
unul din jucãtori este factorul de decizie, celãlalt nu poate fi decât "natura", adicã
DQVDPEOXOGHFRQGLLLQHFRQWURODWHGHGHFLGHQWúLFDUH-i limiteazã posibilitãLOHGH
DFLXQH
Acceptând punctul de vedere al optimizãrii prin ponderare, plecând deci, de la un
sistem de ponderi wi dat de decident sau stabilit prin procedeul descrLVVROXLDRSWLPã
DSUREOHPHLPXOWLFULWHULXVHRELQHGXSã cum urmeazã:

Pas 1. Fie wi un sistem de ponderi (construit dupã procedeul descris sau dat de
decident).
Pas 2. Dacã wi > 0 , 1≤i≤r se trece la pas 3.
Dacã mulLPHDI = { i| wi = 0 } nu este vidã se trece la pas 4.

Pas 3. Se rezolvã problema de programare convexã:
[sup.] fw(x) , x∈X.
2ULFHVROXLHRSWLPã a acestei probleme poate fi consideratã drept soluLH
optimã a problemei multicriteriu.
Pas 4. Fie γ = max fw(x).

Pas 5. Se rezolvã problema de programare convexã:
() sup1
card i
iIfx I
∈∑ , x∈X*, X* = X∩{x∈Rn| fw(x) ≥γ}.
2ULFHVROXLHRSWLPã a acestei probleme este consideratã drept soluLHRSWLPã a
problemei multicriteriu.

III. Metoda mãrginirii obiectivelor

Aceastã metodã constã în selectarea unei singure funcLLRELHFWLYGLQFHOHU
dupã care sã se facã opWLPL]DUHDSHQWUXFHOHODOWHIXQFLLLQGLFkQGX-se de cãtre
GHFLGHQWQLYHOHOHPLQLPHúLPD[LPHDFFHSWDELOHúLFXSULQGHUHDORUvQVLVWHPXOGH
UHVWULFLLDGLFã:
max fi(x)
gk(x) ≤0, k=1,2,….,m;
Lj≤ fj(x) ≤Hj, j=1,2,…,r; i≠j.

Este foarte important de gãsit nivelurile LjúLHj care sã nu conducã la restricLL
inconsistente (care genereazã domeniu vidGDUúLDOHJHUHDIXQFLHLfi(x) care se
optimizeazã nu este de mai micã importanã.

IV. Metoda minimizãrii abaterilor

Se considerã un vector () fffr =1,…, ale cãrui componente reprezintã nivelurile
FDUHWUHEXLHDWLQVHGHIXQFLLOHRELHFWiv. Evident, acestea pot fi chiar valorile optime
ale acestora (punctul ideal). Pentru un anumit x∈X vor exista abateri (în plus sau în
minus) între fi(x)úLfiúLQHSURSXQHPVmPLQLPL]mPDFHVWHDEDWHUL'HGDWDaceasta,
ca mãsurã a apropierii între vectorii fúLfYRPFRQVLGHUDQRUPDGLIHUHQHLYHFWRULORU
fúLfÌQVSDLXORr al obiectivelor vom considera normele:
||x||p = (∑|xi|p)1/p

||x||1 = ∑|xi|
||x||2 = (∑|xi|2)1/2
||x||∞ =
1≤≤irixmax

&RQVLGHUkQGPXOLPHDX = {x∈Rn | x≥0, Ax=b}úLQRUPHOHSHQWUXf-f),
RELQHPXUPãtoarele modele care rezolvã problema multicriteriu:
(a)
xXpiipff ffp
∈−=−
 




∑ min1

(b) { }
xXii ff ff
∈−=−∑ min1
c)

− =−∑
∈22
21
) ( min ii
Xxff ff
(d) 
−=−∑
∈2
2 min ii
Xxff ff
(e)
xX irii ff ff
∈ ≤≤−= −minmax
1

([LVWHQDYDORULLPLQLPH este asiguratã deoarece ||.||pHVWHRIXQFLHFRQYH[ã
(în baza inegalitãLLOXL+ROGHU
Minimizarea normei ||f-f||p pentru p≥2 conduce la probleme neliniare în timp
ce pentru normele ||f-f||1úL__I-f||∞ rezolvarea modelelor se poate face prin
programare liniarã.

V. Metoda Geoffrion

)DFHSDUWHGLQFDWHJRULDPHWRGHORULQWHUDFWLYHúLVHED]HD]mSHDOJRULWPXO
Frank-Wolfe, specific programãrii neliniare. Problema multicriteriu devine:
xX∈maxU(f1(x),f2(x),…,fr(x))
$SOLFDELOLWDWHDPHWRGHLHVWHFRQGLLRQDWã de:
1. XFRQYH[múLFRPSDFWm

2. U(f)GLIHUHQLDELOmúLFRQFDYmvQx;
IXQFLLOHfi sunt concave.
4. ∂
∂U
f1> 0, utilitatea marginalã este pozitivã în vecinãtatea lui xi (xvQLWHUDLDi), iar
f1(x)HVWHRELHFWLYXOGHUHIHULQã.

Se presupune cã funcLLOHRELHFWLYfi(x)úLPXOLPHDX sunt cunoscute explicit,
în timp ce U(f) este cunoscutã doar implicit. Metoda constã în aproximãri liniare.
Fiind datã o soluLHUHDOL]DELOã xi, fie yiVROXLDSUREOHPHLFDUHDUHDFHOHDúLUHVWULFLL
GDUIXQFLDRELHFWLYHVWHRDSUR[LPDUHOLQLDUã în xi a lui U(f)$WXQFLGLUHFLDGH
FUHúWHUHDVROXLHLzi= yi-xiHVWHFKLDUGLUHFLDFmXWDWmSHQWUXFUHúWHUHDOXLU(f).
Algoritmul este urmãtorul:
Pas 06HDOHJHXQSXQFWLQLLDOxi∈X. Facem i=1.
Pas 1. Se determinã o soluLHRSWLPDOã yi pentru problema determinãrii direcLHL

()() ( )
yXxi
riiUfxfxy
∈∇ ⋅ max ,…,1 .

Se ia zi = yi – xi .
Pas 2. Se determinã o solutie optimala ti pentru problema determinãrii lungimii
pasului:
()() ( )
011
≤≤+ +
tiii
riii
iUfxtzfxtz max,…, .

Se ia xi+1 = xi + tizi , i = i+1úLVHUHLD3DV
Criteriul de oprire a calculelor este (în mod teoretic) xi = xi+1$úDGDUvQSDV
1 se determinã cea mai bunã direcLHGHPLúFDUHGLQSXQFWXOFXUHQW[i, iar pasul 2
determinã (cu intervenLDGHFLGHQWXOXLFkWGHGHSDUWHPHUJHDFHDVWã direcLH
,QWHUYHQLDGHFLGHQWXOXLVHGDWRUHD]ã faptului cã U(f) nu este cunoscutãH[SOLFLWúLHO
trebuie sã poatã estima importanDDRULFãror douã obiective în orice punct xi. Aceasta

VHUYHúWHODHVWLPDUHDGLUHFLHLJUDGLHQWXOXLOXLU(f)ODILHFDUHVROXLHLQWHUPHGLDUã. În
SDVIXQFLDRELHFWLYVHSRDWHH[SULPDDVWIHO

()() ( )()()
()
()i i
jxr
jfUi
xxxff
fffU i i
ri
x
yxfy yxfxfU
i
jinr
ir
⋅


∇ ==⋅ ⋅ =⋅ ∇
∑
=1,…,,…,
,…, 111
1,…,
∂∂∂∂
∂∂

unde ∂
∂U
fjiHVWHGHULYDWDSDULDOã a lui U în raport cu obiectivul j, evaluatã în punctul
(f1(xi),…,fr(xi)), iar ()∇xjifx este gradientul lui fj evaluat în xi'HRDUHFHVROXLD
problemei nu este afectatã prinPXOWLSOLFDUHDIXQFLHLRELHFWLYFXXQVFDODUvPSãrLQG
la ∂
∂U
fi
1, problema determinãrii direcLHLGHYLQH
()
yXji
xjiiwfxy
∈∇ ⋅ ∑max ,
unde wjiUf
Ufji
i=∂∂
∂∂/
/1, j = 1,2,…,r.
Ponderile wji reflectã importanDDFRUGDWã de decident fiecãUHLIXQFLLRELHFWLY
IDã de funcLDf1 aleasã drept criteriu de referinã. Aceste ponderi sunt solicitate
înainte ca procesul sã poatã continua. O modalitate de alegere ar fi:
wji = – Δfi/Δfj ,
adicã wji este rata marginalã de substituire a obiectivelor.
Algoritmul cere decidentului sã stabileascã în pasul 2 lungimea deplasãrii.
$SOLFDUHDFRQFUHWmDDOJRULWPXOXLSUHVXSXQHúLXQFULWHULXGHRSULUHDFDOFXOHORU
Existã încã multe alte metode multicriteriale. Noi am prezentat aici doar unele
mai des utilizate.

4.4. Modele econometrice

În modelele econometrice se studiazã un fenomen economic prin reprezentarea
acestuia cu ajutorul comportamentului unei variabile. Aceastã variabilã economicã
GHSLQGHHDvQVmúLGHDOWHYDULDELOHOegate între ele printr-RUHODLHPDWHPDWLFã.
Sã luãm un exemplu. Dacã studiem oferta (OúLFHUHUHDC) unui anumit
SURGXVSHSLDmVHúWLHFmOúLCGHSLQGGHSUHXOp al produsului. Se poate scrie cã O
este o anumitã funcLHGHSUHC este o altã funcLHGHDFHODúLSUHLDUODHFKLOLEUXSH
SLDã, avem C=O. Construim, deci, un model elementar:

O = f(p)
C = g(p)
C = O.

Adeseori CúLOGHSLQGúLGHDOWHYDULDELOHGHFkWSUHXO'HH[HPSOXFHUHUHDGH
anumite produse alimentare depinde de venitul familiiORUGHSUHXOSURGXVHORU
analoage, etc. Dacã este vorba despre un produs comestibil, atunci oferta depinde de
SUHXODQXOXLSUHFHGHQW5H]XOWã modelul:

Ct = f(pt, x1t, x2t,…, xnt)
Ot = g(pt-1, x1t,…, xmt)
Ct = Ot.

În model s-au introdus diferite variabile explicative X1,…,XnúLV-a considerat
realizarea acestor variabile la momentul t.
Remarcãm cã modelele propuse comportã mai multe ecuaLL6HVSXQHFã sunt
PRGHOHFXHFXDLLPXOWLSOH3HQWUXvQFHSXWHVWHPDLVLPSOXGHUDLRQDWSHXQPRGHOFX
o singurã ecuaLH

Sã presupunem cã dorim sã studiem consumul Ci dintr-un anumit produs
pentru o familie. Acesta depinde, între altele, de venitul Vi al familiei. Modelul cel
mai elementar constã în explicitarea lui CivQIXQFLHGHVi'HVLJXUFmúLDOLIDctori,
GLQWUHFDUHXQLLVXQWSDULDOQHFXQRVFXLGHWHUPLQã deasemenea pe Ci. Putem
FRQVLGHUDHIHFWHOHDFHVWRUDOLIDFWRULvQWU-un singur factor aleator εi6HRELQH
modelul aleator:
Ci = f(Vi) +εi [1].

εi se supune unei legi de probabilitate care va trebui precizatã în cadrul
ipotezelor fãcute asupra modelului. Odatã construit modelul va trebui sã ne asigurãm
cã clasa de funcLLDOHDVã pentru f nu este în contradicLHFXUH]XOWDWHOHH[SHULHQHL'H
exemplu, dacã alegem pentru f o funcLHGH gradul întâi, f(Vi)=a.Vi+b, modelul
devine:
Ci = a.Vi+b+εi [2].

Fãcînd sã varieze i pentru diferite familii cercetate, ne asigurãm cã relaLD>@
este bine satisfãcutã. Se spune cã se "testeazã" modelul. Dacã s-DRELQXWXQUH]XOWDW
convenabil, se trece la "estimarea" parametrilor aúLb$SRLVHGHILQHúWHRUHJXOmGH
previziune" care sã permitã, cunoscând Vi, determinarea lui Ci.
Într-un model econometric se disting douã tipuri de variabile:
• exogene: sunt variabilele explicative ale variabilei studiate. Ele sunt
considerate ca date autonom. Astfel, în modelul [1], Vi este o variabilã
exogenã sau explicativã. Valoarea sa pentru un i dat permite determinarea
lui CiFXDSUR[LPDLDεi.
• endogene: sau variabile de explicat. Ci este variabilã endogenã în modelul
precedent. Prin intermediul lui εi variabila Ci este o variabilã aleatoare.

'LVWLQFLDvQWUHQDWXUDYDULDELOHORUHVWHIRDUWHLPSRUWDQWmúLYDWUHEXLWRWGHDXQD
precizatã înainte de studiul modelului.
Un model econometric se spune cã este "specificat" atunci când i se dã acestuia
formularea matematicã definitivã.
0XOLPHDSDUDPHWULORUFDUHGHILQHVFFRPSOHWPRGHOXOFRQVWLWXLHVWUXFWXUD
acestuia. De exemplu, presupunând cã a=0,3; b úLε urmeazã o lege normalã de
PHGLHúLGLVSHUVLHDWXQFLPXOLPHDa=0,3; b=16; m=0; σ=3 constituie
structura modelului [2].
Scopul econometriei este de a determina structura adevãratã a modelului,
cunoscând cuplurile (Ci, Vi) asociate diferitelor familii. Aceasta înseamnã cã, plecând
dHODXQVSDLXHúDQWLRQGHILQLWGHPXOLPHDCi, Vi), sã se determine structura
adevãratã a modelului în spaLXOFXWUHLGLPHQVLXQLa,b,σ$LFLLQWHUYLQHLQGXFLD
statisticã. Obiectul acesteia este de a determina o procedurã care, pornind numai de la
obsHUYDLLOHGLVSRQLELOHVã permitã trecerea din spaLXOHúDQWLRQvQVSDLXOVWUXFWXULORU
Modelul fiind ales, se admite cã existã un triplet (a,b,σ) care permite reprezentarea
exactã a procesului prin care valorile variabilelor observate au fost determinate. În
FXUVXOLQGXFLHLVWDWLVWLFHPRGHOXOQXVHPDLPRGLILFã. Procedura aleasã va consta în
RELQHUHDGHHVWLPDWRULSHQWUXSDUDPHWULLDúLEFDUHVã permitã determinarea celor
mai bune valori reale ale parametrilor. Acestea sunt apreciate cu ajutorul intervalelor
GHvQFUHGHUHDOHVHFXXQQLYHOGHVHPQLILFDLHGDW'HH[HPSOXSHQWUXPRGHOXO
SUH]HQWDWúLSHQWUXRDQXPLWmVHULHGHREVHUYDLLJãsim, cu o probabilitate de 95%, cã
a∈>@úLE∈[14; 16].
ConsidHUmPPRGHOXO>@úLVmSUHVXSXQHPFmSURFHGXUDXWLOL]DWmSHQWUX
GHWHUPLQDUHDSDUDPHWULORUSRUQLQGGHODLQIRUPDLLOHFXOHVHGHVSUHCi, Vi), nu
FRQGXFHODRVROXLHXQLFã, ci la douã structuri distincte. Este evident cã legea de
probabilitate definitã pentru εSUHFL]HD]múLOHJHDYDULDELOHLHQGRJHQHC. Fiecare din
cele douã structuri, LQkQGFRQWGHYDORULOHGDWHYDULDELOHORUH[RJHQHúLGHOHJHDOXLε,
conduce la o lege de probabilitate pentru C. Sunt posibile douã cazuri:

• sau cele douã structuri sunt distLQFWHúLDWXQFLQXSXWHPDOHJHvQWUHHOH6H
VSXQHFmVWUXFWXULOHFRQVLGHUDWHQXVXQWLGHQWLILFDELOHúLGHFLPRGHOXOQX
este identificabil, nu se pot determina valorile parametrilor modelului;
• sau cele douã structuri nu sunt distincte, intersecLDORUQX e vidã. Se va putea
LGHQWLILFDRSDUWHGLQSDUDPHWULPRGHOXOXLFHLFDUHDSDULQLQWHUVHFLHLFHORU
douã structuri. Se spune, în acest caz, cã structurile sunt echivalente, dar nu
permit o identificare completã a modelului.

Problema identificãrii intervine în special atunci când se studiazã modele cu
HFXDLLPXOWLSOH
Un model econometric a cãrui structurã este determinatã, prezintã interes
pentru utilizarea lui la previzionarea, într-o etapã viitoare sau într-RFLUFXPVWDQã datã
dacã e vorba despre obsHUYDLLOXDWHODDFHODúLPRPHQWYDORULORUYDULDELOHORU
endogene atunci când cele exogene sunt fixate.
Fie, de exemplu, modelul:
yt=a1x1t+a2x2t+b+εt, t=1,2,…,T
în care Y este volumul importurilor dintr-o anumitã marfã, X1HVWHSURGXFLDLQWHUQã,
iar X2 este stocul din marfa respectivã. Presupunem cã se cunosc datele
corespunzãtoare pe perioada 1985-REVHUYDLLOHILLQGDQXDOH6HJãsesc ca
estimãri punctuale ale parametrilor: â1=0,140; â2=0,60; b=6. Modelul estimat se
scrie:
yt=0,140x1t+0,60x2t+6.
3UHVXSXQHPFmVHGRUHúWHVmVHSUHYL]LRQH]HLPSRUWXOSHQWUXDQXOúWLLQG
cã în 1999 producLDLQWHUQã a fost de X1 vQPOGOHLSUHXULLDUVWRFXOGH
marfã în 1999 a fost de X2 2ELQHP ca previziune pentru Y:
y2000=(0,140)(1030)+(0,60)(12,7)+6,
sau, în general:
θ θ θ θ ε++=22 11ˆ ˆ xaxay ,
θ fiind perioada de previziune.

În legãturã cu valoarea previzionatã pentru Y se impun remarcile:
• s-au ales arbitrar valorile x1úLx2LQkQGFRQWGHHYROXLDORUWUHFXWã;
• specificarea modelului nu este perfectã. Forma funcLHLDOHVHSHQWUXH[SOLFDUHD
HYROXLHLOXLY nu este suficient precizatã;
• este posibil ca variabilele care explicã, în modelul nostru, evoluLDOXLY sã nu mai
LQWHUYLQmvQDFHODúLPod ca atunci când s-a studiat fenomenul pe perioada 1985-
1999. Altfel spus, poate avea loc o rupturã a echilibrului între variabilele care
explicã fenomenul la momentul previziunii. PãrLOHUHVSHFWLYHSHFDUHHOHOH
reprezintã în variaLDOXLY nu mai suntDFHOHDúL(VWHHYLGHQWFmSUHYL]LXQHDYDIL
serios deplasatã.
Cele trei cauze evocate sunt surse de eroare pentru previziune. Econometria
studiazã diferite metode ce permit minimizarea acestor erori.
5HLQHPXUPmWRDUHOHHWDSHvQFRQVWUXLUHDúLXWLOL]DUHD modelelor econometrice:
• specificarea modelului;
• HVWLPDUHDSDUDPHWULORUúLWHVWDUHDPRGHOXOXL
• previziunea variabilei endogene.
&HOPDLVLPSOXúLPDLXWLOL]DWPRGHOHFRQRPHWULFHVWHPRGHOXOOLQLDUGH
regresie simplã. Într-un astfel de model, o variabilã endogenã reprezintã evoluLD
IHQRPHQXOXLVWXGLDWúLDFHDVWmHYROXLHHVWHH[SOLFDWã de o singurã variabilã exogenã.
Considerãm modelul: yt=axt+b+εt, t=1,2,…,T în care Y reprezintã o variabilã
endogenã, XRYDULDELOmH[RJHQmúLε o variabilã aleatoare ale cãrei caracteristici sunt
precizate în ipoteze. Se dispune de T cupluri (xt,yt) care sunt realizãrile variabilelor X
úLY. Parametri aúLbVXQWQHFXQRVFXLúLVHHVWLPHD]ã pe baza observaLLORUxt,yt)
cunoscute.

Ipoteze fundamentale
1. xtúLyt sunt mãrimi numerice observate fãrã erori. Y este aleator prin
intermediul lui ε. X, variabila explicativã, este consideratã cunoscutã în
model.

LSRWH]HUHIHULWRDUHODGLVWULEXLDHURULORU
a) ε este distribuitã dupã o lege independentã de timp.
M(εt) = 0, oricare ar fi t=1,2,…,T
D(εt) = M [εt – M(εt) ]2 = M(εt2) = σε2, finitã.

Realizãrile lui ε sunt independente de valorile luate de X în timp. Atunci când
este satisfãcutã aceastã ipotezã se spune cã existã homoscedasticitate, în caz contrar
avem heteroscedasticitate.
b) Douã erori relative la douã observaLLGLIHULWHtúLt' sunt independente
între ele, ceea ce implicã: cov(εt, εt')=0
c) Presupunem cã legea de probabilitate a lui ε este o lege normalã.
3. ipoteze referitoare la variabila explicativã X:
Se presupune cã primele momente empirice ale lui X sunt finite când T devine
foarte mare. Ipoteza este utilã pentru precizarea proprietãLORUDVLPSWRWLFHDOH
estimatorilor parametrilor aúLb.
Estimatorii aúLb se pot determina prin metoda celor mai mici pãtrate
(MCMMP), adicã astfel încât realizãrile lor sã minimizeze suma pãtratelor erorilor:
εt2∑→min6HRELQH[SUHVLLOH

()()
()ayyxx
xxt t
t=−⋅−
−∑
∑2 ,  byax=−

Se demonstreazã cã estimatorii aúLbau proprietãLOH
– aúLbVXQWHVWLPDWRULQHGHSODVDLDLOXLaúLb;
– aúLb sunt estimatori conveUJHQLDLOXLaúLb;
– aúLb sunt estimatori exhaustivi ai lui aúLb.

Ipotezele fãcute asupra modelului permit determinarea de intervale (regiuni) de
încredere pentru aúLbODXQQLYHOGHVHPQLILFDLHGDW7otodatã, atunci când se
previzioneazã variabila endogenã, se determinã eroarea de previziune.
Studiul unui fenomen economic necesitã adesea introducerea mai multor
variabile explicative. O variabilã endogenã se exprimã atunci în funcLHGHPDLPXOWH
variabile exogene. Modelul devine:

yt = a1x1t+a2x2t+…+apxpt+εt , t=1,2,…,T

în care: y este variabila endogenã, x1,x2,…,xp sunt variabile exogene, iar a1,a2,…,ap
VXQWSDUDPHWULQHFXQRVFXLFDUHWUHEXLHHVWLPDL
Notând: Y = (y1,…,yT)' , a = (a1,…,ap)', ε = (ε1,…, εT)'

X=




pT Tpp
xxxxxx
……………………..
12 121 11

modelul se scrie sub formã matricialã astfel:
Y = X a + ε
$GmXJkQGODLSRWH]HOHImFXWHPDLvQDLQWHúLSHFHDUHIHULWRDUHODDEVHQD
coliniaritãLLYDULDELOHORUH[RJHQHVHDUDWã cã vectorul â al estimatorilor parametrilor
ai se determinã cu relaLD
â= ( X ' X)-1X ' Y

ILLQGHVWLPDWRULQHGHSODVDLSHQWUXai.
Econometria studiazã proprietãLOHHVWLPDWRULORURELQXLSULQGLIHULWHPHWRGHúL
VWDELOHúWHFRQGLLLOHGHYDODELOLWDWHSHQWUXSUHGLFLLOHYDULDELOHi endogene.
Adesea, în studiul fenomenelor economice cu ajutorul modelelor econometrice,
alãturi de valorile luate de variabila endogenã la un moment tILJXUHD]múLYDORULOH

OXDWHGHDFHHDúLYDULDELOmODPRPHQWHOHt-1, t-2,…,t-h. În acest caz ne gãsim în
SUH]HQDXQRUPRGHOHDXWRUHJUHVLYH8QDVWIHOGHPRGHOVHVFULH

yt = a1yt-1+a2yt-2+…+ahyt-h+ εt

VDXFkQGDSDUúLYDULDELOHH[RJHQH
yt=a1yt-1+…+ahyt-2+b1x1t+b2x2t+…+brxrt+ εt.

'DFmVHDSOLFmPHWRGHGHHVWLPDUHRELúQXLWHGHH[HPSOX0&003HVWLmatorii
RELQXLQXPDLSRVHGã proprietãLOHPHQLRQDWHDQWHULRU

4.5. 0RGHOHGHFRPSHWLLH

Modelele studiate în paragrafele precedente presupuneau implicit cã existã un
decident unic care cautã sã-úLRSWLPL]H]HDFLXQLOHVDOHvQWU-un mediu pe care îl
stãpâneúWHÌQHFRQRPLHVHvQWkOQHVFvQVmVLWXDLLQXPHURDVHGHFRQIOLFWúLFRRSHUDUH
GHLQIRUPDLHúLUDLRQDOLWDWHGHGHFL]LHFROHFWLYã care nu pot fi analizate corect cu
WHKQLFLOHGH]YROWDWHDQWHULRU$WXQFLFkQGXQGHFLGHQWGHYLQHFRQúWLHQWFmPHGLXOvQ
carHDFLRQHD]ã este constituit din decidenLFDúLHOUHOL]HD]ã de fapt cã acLXQLOH
DOWRUDFDúLDOHVDOHVXQWLQWHUGHSHQGHQWHLQIOXHQkQGVLWXDLDILHFmUXLD&RQúWLLQD
comunã asupra acestor interdependenHDPXOLPLLGHFLGHQLORUGmQDúWHUHQRLXQLLGe
joc'HFLGHQLLGHYLQMXFãtori. Teoria jocurilor a devenit un cadru metodologic
HVHQLDODOúWLLQHLHFRQRPLFH
Numim jocRULFHVLWXDLHvQFDUHPDLPXOLGHFLGHQLDXWRQRPLVXQWFRQVWUkQúL
sã ia decizii asupra rezultatului acLXQLLORU)LHFãrui decident îi este afectat un
UH]XOWDWGDUDFHVWUH]XOWDWGHSLQGHGHPXOLPHDGHGHFL]LLOXDWHGHWRLGHFLGHQLL
$VWIHOGHVLWXDLLvQWkOQLPvQDIDUDVIHUHLHFRQRPLFXOXLMRFXOGHúDKGXHOXOUãzboiul
HWFGDUúLRULFHVLWXDLHGHFRQFXUHQã în economie poate fi modelatã în acest fel. Ne
vom referi aici doar la jocurile ne-FRRSHUDWLYHvQFDUHGHFLGHQLLMXFmWRULLDFWRULLvúL

conservã autonomia decizionalã. Excludem, deci, situaLLOHFkQGDSDUFRDOLLLvQWUH
jucãtori.
Un joc este definit prin patru concepte de bazã:
A2PXOLPHILQLWã de situaLLGHMRFQRWDWã X, care descrie stãrile posibile ale
jocului în derularea sa;
BQPXOLPLGHPXWãri", Gi, prin care jucãtorul i are posibilitatea de a
WUDQVIRUPDVLWXDLLOHGHMRF'LQSXQFWGHYHGHUHIRUPDO o mutare a jucãtorului i este
RDSOLFDLHgi:X→X∪{ω} unde ω este un element suplimentar al lui X introdus
pentru a identifica mutãrile posibile. gi(x)=ω aratã cã mutarea gi nu poate fi jucatã în
VLWXDLDx.
Fie:
• G=G1 ∪ G2 ∪ … ∪ Gn PXOLPHDmutãrilor tuturor jucãtorilor;
• A(x)={g∈G/g(x)≠ω}PXOLPHDPXWãrilor posibile pornind din situaLDGHMRFx;
• F = {x∈X/A(x) = φ}PXOLPHDVLWXDLLORUILQDOHGHMRFvQFDUHQLFL-o mutare nu
este posibilã.
C2SDUWLLHHDPXOLPLLX\FvQPXOLPLGHLQIRUPDLL2PXOLPHGH
LQIRUPDLHh∈HFRQLQHWRDWHVLWXDLLOHGHMRFFDUHODXQVWDGLXDOMRFXOXLQXSRWIL
distinse de jucãtorul care este la mutare. HVHQXPHúWHVWUXFWXUmGHLQIRUPDLHD
jocului.
D. nIXQFLLGHFkúWLJv1,v2,…,vnGHILQLWHSHPXOLPHD F care determinã
FkúWLJXULOHUHDOL]DWHGHFHLQMXFmWRULDWXQFLFkQGMRFXODMXQJHvQWU-RVLWXDLHILQDOã.
vi(z)HVWHFkúWLJXOUHDOL]DWGHMXFmWRUXOLDWXQFLFkQGMRFXOVHWHUPLQmvQVLWXDLDz∈F.
Cele patru concepte de bazã care definesc jocul satisfac urmãtoarele grupe de
ipoteze:

,,SRWH]HVSHFLILFHPXOLPLORU;úL*
• LSRWH]DH[LVWmRVLQJXUmXQDúLQXPDLXQDVLWXDLHGHMRFQRWDWã x0) care nu
rezultã din nici-o mutare jucatã. Existã, deci, o singurã situaLHGHMRFDVWIHOvQFkW

oricare ar fi x∈XúLRULFDUHDUILg∈G, g(x)≠ x0. Aceastã situaLHHVWHGHEXWXO
jocului.
• LSRWH]DRVLWXDLHGHMRFGDWã nu poate rezulta din douã mutãri diferite: oricare ar
fi x,x'∈X, x≠x' avem g(x)≠g'(x') oricare ar fi g,g'∈G. Aceastã ipotezã revine la a
spune cã oriFHVLWXDLHGHMRFFRQLQHvQHDWRWWUHFXWXOGLQFDUHDUH]XOWDW
• ipoteza 3: Într-RVLWXDLHQH-finalã datã, un singur jucãtor poate juca: oricare ar fi
x∈X\F, existã i unic aparLQkQGPXOLPLL{1,2,…,n} astfel încât A(x)⊆Gi. Aceastã
ipotezã implicã faptul cã orice situaLHGHMRFQH-finalã este afectatã unui jucãtor.
Altfel spus, existã o aplicaLH
d:X-F→{1,2,…,n} astfel încât A(x)⊇Gd(x), oricare ar fi x∈X-F.
$SOLFDLDdDORFVLWXDLLOHGHMRFMXFãtorilor care trebuie sã joace.

II. Ipoteze specificHVWUXFWXULLGHLQIRUPDLH+
• ipoteza 4: Pornind de la douã situaLLGHMRFDSDULQkQGDFHOHLDúLVWUXFWXULGH
LQIRUPDLHDFHOHDúLPXWãri sunt posibile: oricare ar fi h∈HúLRULFDUHDUILx,y∈h,
avem A(x)=A(y). Notãm cu A(h)PXOLPHDPXWãrilor realizabile pornind de la
RULFHVLWXDLHGLQPXOLPHDGHLQIRUPDLHh.
ÌQYLUWXWHDLSRWH]HLDFHVWHVLWXDLLUHYLQWRDWHDFHOXLDúLMXFãtor, adicã: oricare ar
fi h∈HúLRULFDUHDUILx,y∈h, rezultã d(x)=d(y). Notãm cu d(h) jucãtorul afectat
PXOLPLLGHLQIRUPDLHh. Jucãtorul d(h) nu poate distinge douã situaLLGHMRF
GLIHULWHvQPXOLPHDh0XOLPHDGHLQIRUPDLHUH]XPmFHHDFHúWLHMXFmWRUXO
Notãm cu h(x)PXOLPHDGHLQIRUPDLHODFDUHDSDULQHVLWXDLDx3DUWLLDH se
GHVFRPSXQHDVWIHOvQQSDUWLLLGLVWLQFWHHi, i=1,2,…,n)LHFDUHSDUWLLHHi
regrupeazã mulLPLOHGHLQIRUPDLHFkQGMXFãtorul i trebuie sã joace: h∈Hi
GDFmúL
numai dacã d(h) = i.
• ipoteza 5: Orice mutare transformã o situaLHGHMRFGLQWU-RPXOLPHGHLQIRUPDLH
într-RVLWXDLHFDUHQXDSDULQHDFHVWHLPXOLPLRULFDUHDUILh∈H, x∈h, g∈G, avem
g(x)∉h. Ipoteza aratã cã fiecare jucãtor conservã totdeauna amintirea mutãrii pe
care o face. Altfel spus, jucarea unei mutãri modificã situaLDMRFXOXLvQWU-o

manierã care îi este perceptibilã. Ipoteza intrã în calcul la jocurile în care fiecare
jucãtor poate juca de mai multe ori în continuare. Când existã alternanã între
jucãtorii aflaLODPXWDUHLSRWH]DHVWHVDWLVIãcutã totdeauna.
• LSRWH]D'HEXWXOMRFXOXLFRLQFLGHFXPXOLPHDVDGHLQIRUPDLHH(x0)={x0}.
,SRWH]DDUDWmFmFHOFDUHMRDFmSULPXOFXQRDúWHH[DFWVLWXDLDGHMRFFDUHLVH
prezintã la acel moment.

În fomulare clasicã, jocul este definit ca un graf arbore (X, Γ)vQFDUHVLWXDLLOH
de joc corespund nodurilor, iar arcele reprezintã mutãrile posibil a fi jucate pornind
din acel nod.
Γ(x) = {y∈X / existã g∈A(x), y=g(x)}HVWHPXOLPHDGHVXFFHVRULLPHGLDLDL
nodului xLQkQGFRQWGHLSRWH]DRULFHQRGx≠x0 este succesor imediat al unui
singur nod p(x), numit predecesor imediat al lui x. Drumul este o succesiune de
noduri {x1,x2,…,xp} astfel încât p(xk)=xk-1(VWHXúRUGHYm]XWFmH[LVWmXQVLQJXUGUXP
care leagã nodul iniLDOx0 de orice nod x. Drumul rezumã istoria care a condus la
VLWXDLDGHMRFx.
Un joc dat sub formã de graf se zice cã este reprezentat în forma dezvoltatã.
([LVWmúLRDOWmUHSUH]HQWDUHDMRFXOXLVXEIRUPDXQXLWDEHOvQFDUHVXQWWUHFXWH
FkúWLJXULOHMXFmWRULORUSHQWUXGLIHULWHOHPXWmULSRVLELOH$FHDVWDHVWHIRUPDnormalã a
MRFXOXL&kQGFHHDFHFkúWLJmXQMXFmWRUSierde celãlalt, jocul este "cu sumã nulã".
Rezolvarea unui joc constã în gãsirea unui cuplu de decizii (mutãri) asupra
cãrora jucãtorii sunt în consens înainte de a juca. Un astfel de cuplu, dacã existã, se
QXPHúWH"echilibrul jocului".

'HILQLLD Un joFHVWHFXLQIRUPDLHFRPSOHWã" dacã, înainte sã înceapã jocul,
ILHFDUHMXFmWRUFXQRDúWHPXOLPHD{A, B, C, D} datã mai sus, adicã: regulile jocului,
FkúWLJXULOHSRVLELOHDILUHDOL]DWHSULQXQDVDXDOWDGLQHYROXLLOHMRFXOXLDVWIHOFã
fiecare jucãtor poate lua locul adversarului pentru a-úLLPDJLQDFHHDFHDFHVWDYD
decide.

6LWXDLLOHFXLQIRUPDLHLQFRPSOHWã sunt mai dificil de analizat. Ele corespund
VLWXDLLORUvQFDUHDQXPLWHLQIRUPDLLGHED]mVXQWFXQRVFXWHGHXQMXFmWRUúL
necunoscute de altul. În astfel de cazuri existã DVLPHWULHGHLQIRUPDLH. Tratãm aici
QXPDLMRFXULOHFXLQIRUPDLHFRPSOHWã.

'HILQLLD: Se spune cã jucãtorul iDUHLQIRUPDLHSHUIHFWã dacã fiecare din mulLPLOH
GHLQIRUPDLLHQXFRQLQGHFkWXQVLQJXUHOHPHQW-RFXOHVWHFXLQIRUPDLHSHUIHFWã"
dacã toLFHLQMXFãtori au informaLHSHUIHFWã.

'HILQLLD: O "strategie" a unui jucãtor este o listã de mutãri pe care acesta se
angajeazã sã o joace, înainte de debutul jocului, în funcLHGHWRDWHVLWXDLLOHFDUHLVH
pot prezenta.
)RUPDORVWUDWHJLHDMXFmWRUXOXLLHVWHXQúLUGHPXWmULsi, (si
h∈A(h), h∈Hi).
Altfel spus, o strategie afecteazã o mutare posibilã la orice mulLPHGHLQIRUPDLHD
jucãtorului i. Mutarea si
h va fi numitã strategia localã a mulLPLLGHLQIRUPDLHh.
Alegerea unei strategii încorporeazã toate posibilitãLOHGHHYROXLHDMRFXOXLFRQIRUP
regulilor sale. Notãm Si
PXOLPHDGHVWUDWHJLLDMXFãtorului i. Considerãm un nod ne-
final xúLs=[s1,s2,…,sn] un n-uplu de strategii ale jucãtorilor. Ele definesc un drum
unic pornind din nodul x, definit de procedura urmãtoare: x1=x; xk+1=()()()kxd
xhxsk
k. Cu
alte cuvinte, fiecare nod xk al drumului este urmat de nodul care rezultã din aplicarea,
în xk, a strategiei jucãtorului care trebuie sã joace atunci când jocul ajunge în
PXOLPHDGHLQIRUPDLHGHFDUHDSDULQHxk. Jocul se terminã în punctul final z(s,x)
FDUHGHSLQGHGHQRGXOLQLLDOúLGHWRDWHVWUDWHJLLOHXWLOL]DWHGHMXFmWRUL&kúWLJXOPi
realizat de jucãtorul ivQDFHVWHFRQGLLLHVWHPi(s,x) = vi(z(s,x))&kúWLJXOGHSLQGH
GHFLGHVWUDWHJLLúLGHVLWXDLDGHSOHFDUHDOHDVã. Când nodul de plecare este debutul
jocului, x0
FkúWLJXOVHQRWHD]mVLPSOXPi(s).

'HILQLLD:6HQXPHúWH"echilibru Nash"DOMRFXOXLRPXOLPHGHQVWUDWHJLL
s*=[s1*,s2*,…,sn*] astfel încât pentru orice i=1,2,…,n:
Pi(s1*,s2*,…,si,…,sn*)dPi(s1*,s2*,…,si*,…,sn*),
oricare ar fi si ∈ Si.

Drumul determinat de s* care pleacã din x0
VHQXPHúWHGUXPGHHFKLOLEUX
&RQFHSWXOGHHFKLOLEUX1DVKHVWHHVHQLDOvQWHRULDMRFXULORUúLvQHFRQRPLHvQ
JHQHUDO,SRWH]HOHGHUDLRQDOLWDWHSHFDUHOHSUHVXSXQHFRQGLLLOHGHH[LVWHQmúL
unicitate constituie probleme grele de demonstrat. Interpretarea acestui concept este
XUPWRDUHDHFKLOLEUXO1DVKHVWHPXOLPHDVWUDWHJLLORUDVWIHl încât nici-un jucãtor nu
FkúWLJmGDFmVHDEDWHXQLODWHUDO$OWIHOVSXVGDFmILHFDUHMXFmWRUDQWLFLSHD]mFm
SDUWHQHULLGHMRFDGRSWmVWUDWHJLLOHORUGHHFKLOLEUXDWXQFLúLHOYDMXFDVWUDWHJLDVDGH
HFKLOLEUXúLMRFXOVHGHUXOHD]mGXSmGUXPXOGHHFKLOLEUX'LILFXOWDWHDGHvQHOHJHUHD
conceptului rezidã în faptul cã definiLDVWUDWHJLLORUHVWHRDUHFXPVRILVWLFDWã. Sã luãm,
GHH[HPSOXXQMRFGHGRXmSHUVRDQHúLVmGmPMRFXOXLRUHSUH]HQWDUHWDEHODUm
__________________________________________________________________
A s1A s2A ….. sjA …..
B
__________________________________________________________________
s1B
s2B
.
.
.
siB ………….. PA(siB,sjA), PB(siB,sjA) ……….
.
.
__________________________________________________________________

Pe coloane sunt trecute strategiile jucãtorului A, pe linii, cele ale lui B, iar în
fiecare cãsumDWDEHOXOXLVHWUHFHFkúWLJXOILHFmUXLMXFmWRUFRUHVSXQ]mWRUVWUDWHJLLORU
respective. Un echilibru Nash corespunde unei linii iúLFRORDQHjDVWIHOvQFkWFkúWLJXO
jucãtorului A care figureazã în cãsuDi,jHVWHVXSHULRUVDXHJDOFkúWLJXULORUDFHVWXL
jucãtor din linia i/DIHOFkúWLJXOMXFmWRUXOXLBGLQFVXDi,j) este superior sau egal
FkúWLJXULORUDFHVWXLD din coloana j.
([LVWHQDHFKLOLEUXOXLHVWHHVHQLDOm$WXQFLFkQGDFHVWDOLSVHúWHVHFDXWmVmVH
lãrgeascã spaLXOVWUDWHJLLORUGHRDUHFHDEXQGHQDVWUDWHJLLORUIDYRUL]HD]ã emergenD
XQXLHFKLOLEUX$FHDVWDVHSRDWHUHDOL]DILHSULQFUHúWHUHDQXPmUXOXLGHPXOLPLGH
LQIRUPDLHIDYRUL]kQGFRPXQLFDUHDvQWUHMXFmWRULFUHúWHH), fie prin îmbogãLUHD
PXOLPLLGHFL]LLORUSRVLELOHSULQDGãugarea de noi decizii (mutãri) definite ca o
FRPELQDLHDFHORULQLLDOHFUHúWHGÌQFHSULYHúWHSULPXODVSHFWVSDLXO strategiilor
FUHúWHFXLQIRUPDLDGLVSRQLELOmúLVHGHPRQVWUHD]mFmRULFHMRFILQLWFXLQIRUPDLH
perfectã admite un echilibru (teorema Zermelo-von Neumann-Kuhn). Sub al doilea
aspect, jocul se extinde presupunând cã, în orice mulLPHGHLQIRUPDLHh∈Hi,
jucãtorul i poate juca mutarea în probabilitãLVHGHILQHúWHDVWIHORVWUDWHJLHORFDOã
mixtã" ca o distribuLHGHSUREDELOLWDWHSHPXOLPHDA(h), adicã o aplicaLH
pi
h:A(h)→[0,1], astfel încât ()1=∑api.
Lista tuturor strategiilor locale mixte definite pe Hi reprezintã strategia de
comportament a jucãtorului i. Se demonstreazã cã într-un joc cu memorie perfectã,
adicã atunci când jucãtorii conservã în fiecare fazã a jocului amintirea tuturor
deciziilor anterioare, orice strategie de comportament se exprimã ca o strategie mixtã,
adicã o distribuLHGHSUREDELOLWDWHpi
SHPXOLPHDVWUDWHJLLORUSi
QXPLWHúLVWUDWHJLL
pure). Altfel spus, o strategie de comportament este o listã de distribuLLGH
probabilitate, în timp ce o strategie mixtã este RGLVWULEXLHGHSUREDELOLWDWHSHROLVWã
de strategii. Teorema lui Nash aratã cã existã totdeauna un echilibru al jocului în
strategii mixte.
,QWURGXFHUHDVWUDWHJLLORUPL[WHHVWHXQPLMORFGHDIDFHFRQYH[HVSDLLOH
deciziilor. Aceasta revine de fapt la a defini extensia mixtã a jocului. Fie un joc cu

VXPmQXOmvQFDUHPHVWHQXPmUXOGHVWUDWHJLLSXUHDOHMXFmWRUXOXLúLQFHOHDOH
MXFmWRUXOXL&kúWLJXOUHDOL]DWGHFkQGVHMRDFmHIHFWLYVWUDWHJLLOHiúLj este aij. Fie
A=(aij)PDWULFHDFkúWLJXULORUMucãtorului1. În aceste condiLLVSHUDQDPDWHPDWLFã a
FkúWLJXOXLUHDOL]DWDWXQFLFkQGVXQWDGRSWDWHVWUDWHJLLOHPL[WHxúLy, este
V(x,y)=xTAy=yTATx(FKLOLEUXOMRFXOXLVHRELQHGHWHUPLQkQGSHQWUXILHFDUHMXFãtor
IXQFLDFHOXLPDLEXQUãspuns", adicã cea mai bunã strategie pe care acesta o va
adopta, oricare ar fi strategia adversarului. Astfel, pentru jucãtorul 1, se rezolvã
programul liniar PL1(y), cu y fixat:
Max{xTAy},VXEUHVWULFLLOH1mx=1, x≥0,
unde 1m este vectorul coloanã cu m componente egale cu 1. Programul dual PD1(y)
DWDúDWHVWHMin{v}VXEUHVWULFLLOHv1m≥Ay6ROXLDSURJUDPXOXLGXDOHVWHLPHGLDWã,
v(y)=Max(Ay))XQFLDv(y)HVWHFkúWLJXOPD[LPUHDOL]DWvQVWUDWHJLLSXUHGHMXFmWRUXO
1 ca rãspuns la strategia mixtã a lui 2.
În mod asemãnãtor, pentru jucãtorul 2 avem programul PL2(x), cu x fixat:
Min{xTAy}VXEUHVWULFLLOH1ny=1, y≥0, respectiv PD2(x): Max{w}VXEUHVWULFLLOH
w1n≤ATx6ROXLDGXDOXOXLHVWHw(x)=Min(ATx), adicã pierderea minimã realizatã în
strategii pure de jucãtorul 2, când jucãtorul 1 joacã strategia mixtã x.
5HXQLQGFRQGLLLOHGHRSWLPDOHSURJUDPHORUPL1úLPL2, rezultã cã echilibrul
jocului constã în mulLPHDGHYDULDELOH>x*,y*,v*,w*] astfel încât: x*≥0, y*≥0,
1mx*=1, 1ny*=1, v*1m≥Ay*, w*1n≤ATx*, v*=w*=x*TAy*5HODLile anterioare sunt
FRQGLLLOHGHRSWLPSHQWUXGRXã programe liniare duale. Programul L1 corespunde
comportamentului jucãtorului 1, iar dualul L2, jucãtorului 2. Aceste programe sunt:
{}wMax
xw, {}vMin
yv,
w1n≤ATx v1m≥Ay
1mx=1 1ny=1
x≥0 y≥0

✔ Programul L1 exprimã faptul cã jucãtorul 1 cautã o strategie mixtã x care sã-i
asigure maximum din minimul w al FkúWLJXOXLSHFDUHDGYHUVDUXODUSXWHDVm-l
FkúWLJHMXFkQGVWUDWHJLLOHOXLSXUH
✔ Programul L2 exprimã faptul cã jucãtorul 2 cautã o strategie mixtã y care sã-i
asigure minimum din maximul v al pierderii pe care adversarul sãu ar putea sã i-o
facã jucând strategiile sale pure;
✔ 6WUDWHJLDPL[WmDXQXLMXFmWRUGHILQHúWHYDULDELOHOHGXDOHDOHSURJUDPXOXLOLQLDU
asociat celuilalt jucãtor;
✔ )LHFDUHMXFmWRUGHWHUPLQmVWUDWHJLDVDPL[WmFDúLFXPDGYHUVDUXOVmXMRDFmvQ
strategii pure.
7RDWHVLWXDLLOHFODVLFHGHFRQFXUHQã (monopolul, duopolul, concurenD
monopolisticã etc.) pot fi modelate cu ajutorul teoriei jocurilor.

REZUMATUL CAPITOLULUI
1.ÌQFXSULQVXOFDSLWROXOXLVXQWWUDWDWHSULQFLSDOHOHSUREOHPHOHJDWHGHPRGHODUHDIHQRPHQHORUúLSURFHVHORUHFRQRPLFH
prin XQHOHFODVHX]XDOHGHPRGHOHPRGHOHOLQLDUHPRGHOHQHOLQLDUHPRGHOHPXOWLFULWHULDOHOLQLDUHúLQHOLQLDUHPRGHOH
econometrice etc.
2. Atunci când se modeleazã "procese de producLHRPRJHQHGHJUDGXOúLFXUDQGDPHQWHGHVFDUã constante, realitatea
complexã poate fi cercetatã cu modele liniare.
3. În modelele liniare nu pot fi aplicate tehnicile clasice ale analizei matematice referitoare la problemele de extremum
FXUHVWULFLLGLQFDX]DOLQLDULWãLLUHODLLORUIXQFLRQDOHFDUHLQWHUYLQvQPRGHO
4. 2ELQHUHDVROXLLORURSWLPHvQPRGHOHOHOLQLDUHVHIDFHFXWHKQLFLVSHFLILFHDOHDOJHEUHLOLQLDUHDOJRULWPXOVLPSOH[
5. Adesea în economie apar neliniaritãLHIHFWHOHQXVXQWSURSRULRQDOHFXFDX]HOH0RGHOHOHQHOLQLDUHSUH]LQWã cel
SXLQRUHODLHIXQFLRQDOã neliniarã.
([LVWHQDVROXLHLRSWLPHvQPRGHOHQHOLQLDUHHVWHDVLJXUDWã de teorema lui Weierstras. Caracterizarea optimelor locale
este datã de teorema Kuhn-7XFNHUFDUHVWDELOHúWHFRQGLLLOHQHFHVDUHGHRSWLPvQPRGHOHOHQHOLQLDUH&RQGLLLOH
suficiente pentru optimul global sunt îndeplinite în problemele de optimizare convexã.
7. Majoritatea deciziilor economice se adoptã având în vedere mai multe criterii. Modelarea conduce în acest caz la
probleme de optimizare vectorialã (mulicriterialã). Existã mai multe accepLXQLDOHRSWLPXOXLPXOWLFULWHULDO
8. Metodele de rezolvare a modelelor multicriteriale mai frecvent utilizate sunt: metoda celui mai bun compromis,
PHWRGDSRQGHUmULLPHWRGDPmUJLQLULLRELHFWLYHORUPHWRGDPLQLPL]mULLDEDWHULORUúD
9. Modelele econometrice reprezintã fenomenul sau procesul economic studiat prin comportamentul unei variabile care,
la rândul ei, depinde de alte variabile economice.
10. Variabilele care apar într-un model econometric sunt: endogene (deH[SOLFDWúLH[Rgene (explicative). Acestea sunt
legate între ele printr-RUHODLHPDWHPDWLFã.

0XOLPHDSDUDPHWULORUFDUHLQWHUYLQvQWU-XQPRGHOHFRQRPHWULFFRQVWLWXLHVWUXFWXUDDFHVWXLD0RGHODWRUXOXUPmUHúWH
GHWHUPLQDUHDVWUXFWXULLDGHYmUDWHSRUQLQGGHODXQHúDQWLRQGHYDORULDOHYDULDELOHORUHQGRJHQHúLH[RJHQHSULQLQGXFLH
statisticã.
ÌQFRQVWUXLUHDúLXWLOL]DUHDXQXLPRGHOHFRQRPHWULFVHSDUFXUJHWDSHOHVSHFLILFDUHDPRGHOXOXLIRUPXODUHD
PDWHPDWLFmGHILQLWLYmHVWLPDUHDSDUDPHWULORUúLWHVWDUHDPRGHOXOXL, previziunea variabilei endogene.
2ULFHVLWXDLHvQFDUHPDLPXOLGHFLGHQLDXWRQRPLVXQWFRQVWUkQúLVã ia decizii asupra rezultatelor acLXQLORUORUVH
QXPHúWHMRF([LVWmMRFXULFRRSHUDLYHúLQHFRRSHUDWLYH
14. Un joc poate fi reprezentat sub formã dezvoltatã (graf) sau sub formã normalã (tabel).
15. Strategia unui jucãtor este o listã de "mutãri" (decizii) pe care o va juca, înainte de debutul jocului, în funcLHGH
WRDWHVLWXDLLOHGHMRFFDUHLVHSRWSUH]HQWD$FHDVWDHVWHVWUDWHJLDSXUã".
16. O strategie mixtã este o distribuLHGHSUREDELOLWDWHSHPXOLPHDVWUDWHJLLORUSXUH
17. A rezolva un joc înseamnã a determina echilibrul jocului, adicã o pereche de strategii (pure sau mixte), fiecare
reprezentând cel mai bun rãspuns la orice strategie a adversarului.
(FKLOLEUXOOXL1DVKHVWHGDWGHDFHOHVWUDWHJLLDOHMXFmWRULORUSHQWUXFDUHQLFLXQXOQXFkúWLJmGDFmGHYLD]mXQLODWHUDO
5HFRPDQGmULELEOLRJUDILFH>@>@>@>@>@>@úD