Strategii didactice de dezvoltare a [621872]

Licență

Strategii didactice de dezvoltare a [621872]

Byadmin ianuarie 1, 2024

MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE
UNIVERSITATEA „LUCIAN BLAGA” DIN SIBIU
FACULTATEA DE ȘTIINȚE SOCIO -UMANE
DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA PERSONALULUI DIDACTIC

Strategii didactice de dezvoltare a
creativităț ii elevilor in predarea –
învațarea divizibilităț ii

Coordonator științific:
Prof. univ. dr. MUGUR ACU
Candidat: [anonimizat]. SOCOL -FRATU (CRAVCIUC) I. MARIANA LENUȚ A
Școala Gimnazială Părău
Jud. Brașov

Sibiu, 201 9

2

CUPRINS

ARGUMENT ………………………………………………………………………………………………………………. 4
Capitolul 1. MULȚIMILE N ȘI Z ………………………………………………………………………………… 6
1.1. Numere naturale …………………………………………………………………………………………… 8
1.1.1.Teorii ale mulțimii numerelor naturale ……………………………………………………….. 15
1.1.2. Reprezentarea pe axa numerelor naturale ………………………………………………….. 22
1.1.3. Operații cu numere naturale ………………………………………………………………………. 24
1.1.4. Relația de ordine pe ℕ ………………………………………………………………………………… 28
1.2. Numere întregi …………………………………………………………………………………………………. 30
1.2.1. Operați i cu numere întregi …………………………………………………………………………. 33
1.2.2. Reprezentarea pe axa numerelor întregi: ……………………………………………………. 34
Capitolul 2. DIVIZIBILITATEA NUMERELOR ……………………………………………………….. 35
2.1. Introducere ……………………………………………………………………………………………………… 35
2.2. Divizibilit atea numerelor natural ……………………………………………………………………… 38
2.2.1. Divizor și multiplu ……………………………………………………………………………………… 38
2.2.2. Multimea divizorilor și mulțimea multiplilor unui număr ……………………………. 39
2.2.3. Număr prim ………………………………………………………………………………………………. 39
2.2.4. Descompunerea numerelor în factori primi ………………………………………………… 42
2.2.5. Proprietatile relatiei de divizibilitate …………………………………………………………… 44
2.2.6. Relatia de divizibilitate pe multimea numerelor intregi ……………………………….. 47
2.2.7. Cel mai mare divizor comum ……………………………………………………………………… 48
2.2.8. Cel mai mic multiplu comun ………………………………………………………………………. 52
2.3. Criterii de divizibilitate …………………………………………………………………………………….. 53
2.4. Curiozitati si magie in divizibilitatea numerelor ………………………………………………… 68
2.4.1. Curiozități în domeniul divizibilității ………………………………………………………….. 68
2.4.1.1. Numere perfecte ……………………………………………………………………………………… 68
2.4.1.2. Numere prietene ……………………………………………………………………………………… 70
2.4.1.3. Alte curiozități ………………………………………………………………………………………… 70
2.4.2. Magie matematică în domeniul divizibilității ………………………………………………. 73
Capitolul 3. CONSIDERAȚII METODICE PRIVIND PREDAREA – ÎNVĂȚAREA
DIVIZIBILITATII …………………………………………………………………………………………………….. 79
3.1. Conceptul de divizibilitate ………………………………………………………………………………… 79

3

3.2. Programa școlară …………………………………………………………………………………………….. 80
3.3. Proiectarea activității instructive ………………………………………………………………………. 85
3.3.1. Proiectarea pedagogica a activitatilor de instruire si educatie. Moduri si forme
de organizare a activitatilor didactice . …………………………………………………………………. 85
3.4. Conceptul de strategie didactică ……………………………………………………………………….. 90
3.4.1. Generalități ……………………………………………………………………………………………….. 91
3.4.2. Clasificarea metodelor de învățământ …………………………………………………………. 93
3.4.3. Principalele metode de învățământ …………………………………………………………….. 95
3.5. Metode didactice clasice și moderne utilizate în predarea- învațarea divizibilitatii 109
3.5.1 Metoda activității cu fișe le …………………………………………………………………… 109
3.5.2 Experimentul cu caracter aplicativ ……………………………………………………… 111
3.5.3 Metoda lucrărilor practice – utilizarea jocurilor didactice ……………………. 118
3.5.4 Metoda cubului și turul galeriei …………………………………………………………… 119
3.5.5 Metoda ciorchinelui ……………………………………………………………………………. 123
3.5.6 Utilizarea calculatorului in predarea -invatarea divizibilitatii ………………… 125
3.6. Evaluarea rezultatelor școlare ………………………………………………………………………… 130
Capitolul 4. METODOLOGIA CERCETĂRII ………………………………………………………….. 136
4. o1. Οbіеϲtіvеlе ϲеrϲеtărіі șі іpοtеza dе luϲru………………………………………………………….. 136
4.2. Metodele utilizate în cercetare ………………………………………………………………………… 137
4.3. Evaluarea inițială a elevilor …………………………………………………………………………….. 138
4.4. Evaluarea continuă sau formativă …………………………………………………………………… 143
4.5. Evaluarea finală (cumulativă sau sumativă) a elevilor ……………………………………… 149
BIBLIOGRAFIE ……………………………………………………………………………………………………… 154
ANEXE ……………………………………………………………………………………………………………………. 156

4

ARGUMENT
Τeοrіa numerel οr o este denum іtă “reg іna matemat іϲіі“. V οrbіnd de ea o, Gauss a
afіrmat “Este remar ϲabіl ϲă οrіϲіne o se οϲuрă ser іοs de aϲ eastă șt ііnță este ϲuрrіns de o ο
adevărată рasіune“ (Gauss 1808 –ϲ ătre o рrіetenul său dі n tіnerețe B οlуaі).
Divizibilitatea este unul dintre cele mai atractive domenii ale matematicii și a
constituit multă vreme obiectul întrecerii dintre matematicieni antici și până la sfârșitul
secolului XX. Teoria divizibilității are ca scop g ăsirea diferitelor proprietăți ale acesteia,
prezentarea criteriilor de divizibilitate pentru o mulțime cât mai mare de divizori, a
modalităților de aflare a numerelor prime și a relațiilor interesante dintre anumite numere
și divizorii lor, etc. Unul d іn o рrοϲedeele іmрοrtante de rez οlvare a рrοblemel οr ϲοnstă în
reduϲerea o `rezοlvăr іі рrοbleme і date la rez οlvarea uneі рrοbleme ma і sіmрle o. Să adm іtem
ϲă trebu іe să determ іnăm da ϲă: o un număr arbі trar de maі multe ϲі fre este d іvіzіbіl o ϲu alt
număr dat. În a ϲest ϲaz nu o este neaрărat ne ϲesar de a îm рărțі aϲeste numere. o Deseοr і
rezοlvarea рrοblemeі se redu ϲe la ϲο nstatarea d іvіzіbіlіtățіі altuі o număr, ϲu ma і рuțіne
ϲіfre, al ϲătuіt, o ϲοnfοrm une і regul і, dіn ϲіfrele numărulu і dat. o Astfel іau naștere ϲrіterііle
de dіvіzіbіlіtate.
În o învățământul matemat іϲ aϲtual, este neϲ esar să înzestrăm gând іrea o ϲοрііlοr nu
numa і ϲu ϲοnϲeрte șі struϲturі matemat іϲe, o dar ș і ϲu strateg іі șі ϲaрaϲіtatea de a elab οra o
strateg іі, ϲare să -l aϳute să rez οlve o рrοbleme рraϲtіϲe dіn ϲât ma і multe d οmen іі. E st eee Este
nevoie s ă aрelăm ϲât ma і o mult la і ntuіțіa ϲοріluluі рentru a -і ϲrea o ο gând іre flex іbіlă șі
ϲreatіvă, рentru a- o l faϲe ϲaрabіl să ex рlοreze, să іnvest іgһeze, o să “g һіϲeasϲă” drumul ϲe
trebu іe urmat s рre o sοluțіa une і рrοbleme, іntuіțіa fііnd іndіsрendab іlă ϲerϲetărіі
matemat іϲe o, funϲțіοnând ϲa un fel de gând іre ant іϲірatіvă . o
A-l οbіșnuі рe elevul o de gіmnaz іu să ab οrdeze рrοbleme de matemat іϲă, a-l învăța
o ϲă рerseverența рοate înv іnge multe οbsta ϲοle, a – o l aϳuta să se regăseas ϲă în рοstura ϲeluі
ϲare o рοate rez οlva f οarte multe d іn рrοblemele рe ϲare le o întâlnește – tοate aϲ estea рοt
ϲrea ο рutern іϲă bază o mοtіvațіοnală în f οrmarea matemat іϲіі.
În asigurar еa rеușitеi șсоlarе, un r оl dеtеrminant îl ar е рrоfеsоrul рrin int еrmеdiul
unеi stratе gii dida сtiсе еfiсiеntе.

5

Strategiile didactice sunt un un important factor pentru succesul școlar al elevilor.
Ele pun în evidență capacitatea cadrului didactic de a alege și combina într -o anumită
ordine metode, procedee și mijloace de instruire, forme de grupare a elevilor, de a selecta
și structura conținutul științific în funcție de obiectivele propuse, de a opta pentru o anume
experiență de învățare ce urmează a fi trăită de elevi.
Lucrarea de față încearcă să prezinte problematica divizibilității prin prezentarea
atât a teoriei “aride”, atât de necesară cât și a părții de divertisment care asigură “sarea și
piperul” și atrage elevii, făcând matematic a mai prietenoasă și mai ușor de înțeles.
Pentru început, în Capitolul 1 am considerat necesar a face o prezentare a
mulțimilor N și Z, construcția elementelor acestora și a operațiunilor matematice, în
cadrul acestor mulțimi.
Capitolul 2 prezintă divizibilitatea sub toate aspectele ei: proprietăți, criteria de
divizibilitate, numere prime, descompunerea în factori primi, divizor, mulțimea
divizorilor, cel mai mare divisor comun, cel mai mic multiplu comun și curiozități și
magie în divizibilitatea numerelor .
Capitolul 3 tratează considerații metodice privind predarea – învățarea
divizibilității, programa școlară, proiectarea activității instructive, conceptul de strategie
didactică, metode didactice clasice și moderne utilizate în predarea divizibilității și
evaluarea rezultatelor școlare.
Partea metodologică a lucrării face în Capitolul 4 o prezentare a metodologiei
cercetării, a obiectivelor cercetării și ipoteza de lucru, metodele utilizate în cercetare,
evaluarea inițială și evaluarea finală a elevilor .
Lucrarea se încheie cu Capitolul Anexe care cuprinde materiale folosite la clasă.

6

Capitolul 1. MULȚIMILE N ȘI Z
Definiția mulțimii.
Definiția 1.1. ( Cantor ) Prin mulțime înțelegem o colecție de obiecte bine
determinate și distincte. Obiectele din care este constituită mulțimea se numesc
elementele mulțimii. Două mulțimi sunt egale dacă ele sunt formate din exact aceleași
elemente.
Notația 1.2. Dacă x este un obiect și A este o mulțime, vom nota:
– x ∈ A dacă x este element al lui A;
– x /∈ A dacă x nu este element al lui A.
Observația 1.3. Două mulțimi A și B sunt egale dacă și numai dacă are loc
echivalen ța: (x ∈ A ⇔ x ∈ B).
Moduri de a defini o mul țime:
– sintetic, prin enumerarea elementelor mulț imii, e x. A = {0, 1};
– analitic, cu ajutorul unei propriet ăți ca caracterizeaz ă elementele mul țimii:
A = {x | x are proprietatea P}
ex. A = {x | x ∈ N, x < 2} = {x ∈ R | x 2 = x}.
Mulțimi importante:
– Mul țimea numerelor naturale:

– Mul țimea numerelor î ntregi :

– Mul țimea numerelor rationale:

7

– Mul țimea numerelor reale:
– Mul țimea numerelor complexe:
– Mul țimea vid ă: ∅ = {x | x 6= x}.1
În figura 1 de mai jos avem i ncluziunea mulțimilor de numere: ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ
2
Figura nr. 1
ℕ -Mulțimea numerelor naturale
ℤ -Mulțimea numerelor întregi
ℚ -Mulțimea numerelor raționale
ℝ -Mulțimea numerelor reale
Observația 1.4. Precizăm că toate mulțimile de mai sus sunt infinite.

1 http://math.ubbcluj.ro/~bodo/for_students/Curs1.pdf
2 http://www.wikiwand.com/ro/Num%C4%83r_ra%C8%9Bional

8

1.1. Numere naturale
Numerele naturale sunt pietrele de temelie ale matematicii.
Numerele naturale sunt numerele {1, 2, 3, …} (numere întregi pozitive) sau
numerele întregi ne -negative {0, 1, 2, 3, …}. Matematicienii folosesc termenul "natural"
în ambele cazuri.
Zero simbolizează nimicul, neantul sau trecerea de la minus la plus, iar unu
simbolizează entitatea, întregul, universul.
Cele zece caractere: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, cu ajutorul cărora putem scrie astăzi
orice numere, se numesc cif re.
Putem afirma că rolul cifrelor într -un număr este același cu rolul literelor într -un
cuvânt. Așa cum "a" reprezintă atât o literă, prima din alfabet, cât și un cuvânt (a înmulți,
a socoti, a lui, etc), fiecare din cifrele 0, 1, 2, 3… este în acelaș i timp și un număr.
Pentru a ajunge însă la cifrele utilizate de noi cotidian, omenirii i- au trebuit
milenii. Cele dintâi tentative de a scrie cifrele utilizând primele zece litere ale alfabetului
au fost facute în secolul al VI -lea inainte de Hristos, de către celebrul matematician
Pitagora.
Abia în anul 610 după Hristos, un savant indian pe numelesău Aryabhata a
inventat cele nouă cifre pe care le utilizăm în prezent: 1, 2, 3,…, 9 și un punct (.) pentru
zero.
Matematicile progresau greu în Europa în Ev ul Mediu. Însă arabii au tradus
operele matematicienilor greci, iar după moartea profetului lor Mahomed, în anul 632,
triburile arabe se unifică și cuceresc imense teritorii din India până în Spania. Combinând
operele matematicienilor greci cu ale celor in dieni, ei vor pune la punct sistemul de
numerație zecimal. Pentru prima data apare zero, nume venit din latinescul zephrum , la
rândul său derivat din limba arabă.

9

Deși Gerbert d’ Aurillac (cel care avea să devină Papa Silvestru II) introduce
cifrele arab e în Europa, utilizarea lor a fost ignorată până în jurul anului 1200, cand
florentinul Fibonacci va răspândi cifrele arabe și pe zero în forma sa definitivă.
A trebuit însă, să mai treacă trei secole până când prin lucrările matematicianului
german Reise, sistemul arabo -indian se va impune în practica scrierii și utilizării
numerelor, înlocuind definitiv abacul, tabelele și cifrele romane.3
Abacul este un instrument de calcul, utilizat la inceputurile civilizatiei, de
popoare aflate la mare distanta unele de altele – etrusci, egipteni, indieni, chinezi, azteci
etc. – ceea ce conduce la ideea ca a fost inventat independent si aproape simultan, din
nevoia impusa de viata cotidiana, de a tine socoteala.4
Abacul chinez cu tehnicile sale operațio nale a fost adus in Japonia, din China, la
mijlocul secolului al XV -lea. Studiul constant și asiduu al matematicienilor japonezi a
dus la dezvoltarea unei metode proprii de folosire a Sorobanului, diferită de metoda
originală, chineză. Abacul chinezesc de mari dimensiuni și greoi a fost îmbunătățit,
transformându -se într-unul de dimensiuni mai mici, ușor de manevrat. În 1928, tehnica
Soroban a fost inclusă în manualele școlare naționale, editate de către Ministerul
Educației.
Deși Japonia este o țară foarte avansată din punct de vedere tehnologic, existând
calculatoare performante la prețuri mici, sorobanul este încă folosit și în prezent.

3 Dăncilă, I., Matematica gimnaziului între professor și elev, Editura Corint, București, 1996 , pag. 13
4 https://destepti.ro/cine -a-inventat -abacul

10

Figura nr. 2 Abacul japonez
Răbojul
Necesitatea păstrării unor evidențe cât mai corecte i-a determinat pe oameni să
găsească soluții și instrumente pentru înregistrarea tuturor socotelilor pe care le făceau,
mai ales în ceea ce privea activitățile comerciale. În societatea tradițională cel mai
cunoscut obiect folosit pentru a înregistra diverse tranzacții era răbojul. Acestaeste un băț
de formă cilindrică sau în patru muchii pe care se fac însemnări cu ajutorul crestăturilor.
Uneori răbojul a fost folosit și drept ,,chitanță”, prin efectuarea a două seturi de crestături
asemănătoare, la cele două capete al bățului; prin rupere sau tăiere, o parte revenea
datornicului, iar cealaltă creditorului.

Figura nr. 3 Răbojul

11

Scopul răbojului era acela de a însemna datoriile, numărul animalelor, cantități de
produse agricole sau sume de bani.
De obicei, o cantitate sau un număr era însemnată printr -un simbol convențional,
cel mai adesea fiind folosite crestăturile. Ciobanii foloseau în unele situații bețele
specifice, numite bâte, pentru a însemna numărul oilor, sau diferite cantități de produse
specifice m ediului pastoral.5
Vă prezentăm mai jos un tip de răboj cu țăncuță care seamănă cu o riglă de calcul
și care era utilizat în România în perioada interbelică și chiar după Cel de al doilea Război
Mondial:
6
Figura nr. 4. Răbojul cu țăncușe

5 http://www.ziartarguneamt.ro/un -vechi -instrument -de-calcul -rabojul
6 http://socmtr.ro/ObsteaBerivoesti.html

12

Sistemul de numărare pe răboj este foarte simplu: fiecărui element numărat îi
corespunde o linie. Pentru a facilita citirea numerelor mai mari se practică gruparea câte
cinci. Totuși prezintă dificultăți în reprezentarea și citirea nume relor mari.
Iată primele zece numere scrise în alte trei variante pe răboj:
7
Figura nr. 5
În continuare enumerăm alte câteva sisteme de vechi de numărare:
-Sistemul de numerație egiptean;
-Sistemul de numerație bablilonian;
-Sistemul de numerație elen;
-Sistemul de numerație roman;

7 Dăncilă, I., Matematica gimnaziului între professor și elev, Editura Corint, București, 1996 , pag. 17

13

-Sistemul de numerație mayaș;8
Dintre sistemele de numerație de mai sus cel mai cunoscut nouă este Sistemul
de numerație roman. Sistemul de numerație roman este un sistem nepozițional spre
deosebire de Sistemul de numerație arab care este un sistem de numeratie pozițional.
Fiecare cifră romană are o anumită valoare în sistemul de numerație zecimal,
după cum rezultă din tabelul de mai jos. Valoarea zecimală a unui număr scris cu cifre
romane se obține adunând val orile zecimale ale cifrelor romane citite de la stânga la
dreapta.

Figura nr. 6 Corespondența între ciftele romane și valoarea lor zecimală
Astfel, numerele scrise cu cifre romane devin în sistemul zecimal:
MDCCCCLXXXXV=1000+500+100+100+100+100+50+10+10+10+10+5=
1000+900+90+5 = 1995
DCCLIII = 500+100+100+50+1+1+1 = 753

8 ibiden, pp. 18 -22

14

Scrierea numerelor cu ajutorul cifrelor romane a fost simplificată pe parcursul
timpului prin introducerea substracției. Astfel, numărul 4 poate fi scris cu cifre romane :
4 = IIII sau prin substracție: 4 = IV
Revenind la sistemul actual observăm că orice combinație de cifre reprezintă
scrierea poziționată a unui număr în baza zece, adică sume de grupe de puteri ale lui zece.
Numerele cardinale 1, 2, 3, 4… au apărut din necesitatea comparării a două
mulțimi.
Numerele ordinale au apărut din necesitatea or donării unei mulțimi: primul, al
2-lea, al 3 -lea…
Dezvoltarea în secolul al XIX -lea a teoriei mulțimilor a creat condiții favorabile
definirii riguroase a numărului natural. Lucrări ale unor matematicieni celebri ca G.
Cantor sau W.R. Dedekind, conțin di verse variante ale definiției numărului natural în
manieră constructivistă.
Aceștia au pornit de la idea comparării grupurilor finitede obiecte, utilizând
corespondența bijectivă (făcând abstracție de particularitățile acestora). Astfel două colecții finite, între care se poate stabili o corespondență bijectivă, au prin definiție tot
atâtea elemente. Pornind de la această definiție, numărul natural apare ca o idee abstractă
comună, asociată tuturor colecțiilor finite de obiecte distincte care se pot pune, î ntre ele
două câte două, în corespondență bijectivă.
În virtutea acestei definiții numărul natural doi se asocieză tuturor perechilor de
obiecte distincte; numărul natural trei se obține prin adăugarea unui obiect la o pereche de obiecte distincte (triplet), etc.
Această definiție este foarte apropiată de idea intuitive despre numerele natural,
dar prezintă dezavantaje din punct de vedere logic și matematic, ce pot genera paradoxuri. Ideea initială a lui G. Cantor a fost abandonată și s -a recurs la adoptarea unor numere
naturale “etalon” satisfăcând rigoarea cerută de matematică.

15

1.1.1. Teorii ale mulțimii numerelor natural e
Există două teorii ale mulțimii numerelor naturale:
– Teoria naivă a mulțimii numerelor natural
– Teoria axiomatică a mulțimii numerelor naturale
1.1.1.1. Teoria naiv ă a mulțimii numerelor naturale
Astfel ținând cont că în teoria mulțimilor nu dispunem decât de clase și mulțimi,
este firesc să căutăm printre mulțimile “standard” pe acelea care ar putea ajuta la definirea
numerelor natural. Putem lua ca mulțime “standard” mulțimea vidă. Acest procedeu este
acceptat aproape în unanimitate în literature matematică privind metoda constructivistă
de definire a numerelor naturale.
Pentru o bună înțelegere (din punct de vedere l ogic) a conceptului de număr
natural, vom face câteva considerații despre clase și mulțimi și despre relația dintre ele.
Prin clasă se înțelege o colecție de obiecte oarecare, nelegată de alte
condiții.Termenul de mulțime delimitează acele clase care aparț in ca element unei clase
prealabil definite. Deci o clasă x este o mulțime dacă există o clasă y care să o conțină ca element. Această distinctive exclude multe din paradoxurile implicate de vecge
terminologie, cum este de exemplu cel referitor la “mulțime a tuturor mulțimilor”, noțiune
contradictorie.
Vom accepta că există o mulțime și numai una care prin definiție nu conține nici
un element și anume mulțimea vidă, notată cu Ø. În limbaj symbolic avem: Ø = {x │ x ≠
x}.9
Definiție: Dacă X este o mulțime, atu nci X’ = X ∪ {X}, se numește succesoarea
mulțimii X. Conform definiției rezultă că peentru cazul particular X = Ø, avem
următoarele mulțimi succesoare:

9 ASAFTEI, P., CHIRILĂ C., ASAFTEI, D. C., Elemente de aritmetică ș teoria numerelor pentru
licee și colegii pedagogice, Editura Polirom Iași, 1998, pp. 49- 50

16

Ø’ = Ø ∪ {Ø},
{Ø}’ = {Ø} ∪ {{Ø}} = { Ø;{ Ø}},
{ Ø;{ Ø}}’ = { Ø;{ Ø}} ∪ {{ Ø;{ Ø}}} = { Ø;{ Ø}; { Ø;{ Ø}}}, etc.
Observăm că fiecare din aceste mulțimi, dacă conține un element atunci îl și
include. Să exprimăm de exemplu mulțimea { Ø}’, dacă u ∈ {Ø}’, atunci evident că u =
Ø sau u = { Ø}. Dacă u = Ø atunci u = Ø ⊂ {Ø}’; dacă u = { Ø}, atunci este evident că u
= {Ø} ⊂ { Ø; {Ø}}.
În continuare vom prezenta două axiome de bază ale teoriei mulțimilor care sunt
necesare în definirea conceptului de număr natural, respectiv în construirea mulțimii
numerelor natural.
Fie U clasa tuturor mulțimilor:
Axioma infinitului
Există cel puțin o mulțime ω ∈ U, care satisfice condițiile:
1) Ø ∈ ω;
2) (∀) mulțimea X ∈ ω ⇒ X’ ∈ ω.
Axioma de regularitate
Oricare ar fi o mulțime X avem X nu ∈ X (nici o mulțime nu se include ca
element).
În definirea numărului natural vom considera clasa mulțimilor care satisfac
urmatoarele proprietăți:
1) Conțin mulțimea vidă Ø ;
2) Dacă conțin o mulțime ca element, atunci conțin și succesorul acelei mulțimi.
Axioma infinitului asigură existent unor astfel de mulțimi pe care le numim
mulțimi autosuccesoare .

17

Să notăm cu N clasa mulțimilor construită după cum urmează:
Ø, { Ø}, { Ø,{ Ø}}, { Ø,{ Ø}, { Ø,{ Ø}}}…
Constatăm că mulțimea N satisfice axioma infinitului și faptul că nici o mulțime
din N nu se autoinclude ca element. Mai mult, observăm că mulțimile astfel construite
satisfac condițiile 1) și 2). Considerând clasa ῼ a tuturor mulțimilor autosuccesive,
remarcăm faptul că N ∈ ῼ și are proprietatea de minimalitate, fiind element al oricărei
mulțimi din ῼ.
Definiție: Cardinalul unei mulțimi X din N se numește număr natural.
Prin urmare, │Ø│ = 0 este numărul natural 0;
│{ Ø}│ = 1 este numărul natural 1
│{ Ø,{ Ø}│ = 2 este numărul natural 2, etc.
Definiție: Mulțimea cardinalelor elementelor mulțimii N o numim mulțimea
numerelor naturale.
Fie n un număr natural. Conform definiției de mai sus, există o mulțime A ∈ N,
astfel ca n =│ A│, iar A și {A } sunt disjuncte.
Prin urmare: │ A’│ = │ A ∪ {A}│ = │ A│ + │ { A}│ = n + 1.
Notăm cu n’ = n + 1 și spunem că n’ este succesorul numărului natural n.
Menționăm trei proprietăți fundamentale ale mulțimii N, strict necesare pentru
înțelegerea conceptului de număr natural.10
Mulțimea N are următoarele proprietăți:
1) { Ø} ∪ { X│X ∈ N } = N;

10 ASAFTEI, P., CHIRILĂ C., ASAFTEI, D. C., Elemente de aritmetică ș teoria numerelor pentru licee
și colegii pedagogice, Editura Polirom Iași, 1998, pp. 55 -58

18

2) Oricare ar fi mulțimile A și B din N, dacă există o aplicație f: A→ B
injectivă, atunci A ⊆ B;
3) Pentru orice două mulțimi A, B ∈ N avem A ~ B ⇒ A = B.
Vom nota cu ℕ = {0,1,2,3,…,n, … } mulțimea numerelor natural. Este evident că
aplicația care asociază fiecărei mulțimi X ∈ N numărul │ X│ ∈ ℕ este bijectivă conform
propoziției precedente și prin urmare N ~ ℕ. În baza acestor considerente au loc
următoarele proprietăți:
(P1) Pentru orice n ∈ ℕ avem 0 ≠n’ (numărul natural 0 nu este succesorul nici
unui număr natural). Dacă n’ = 0, conform prop rietății 2, rezultă că Ø = X’, unde n =
│X│, X ∈ N; acest lucru este fals deoarece avem X ∈ X’.
(P2) Dacă m’ = n’, atunci m = n (două numere natural care au același successor
sunt egale).
(P3) Fie M ⊆ ℕ care satisfice condițiile: 0 ∈ M și n ∈ M atunci M = ℕ.
Proprietățile (P1), (P2), (P3) se numesc axiomele lui Peano. Un studiu sistematic
al numerelor naturale se poate dezvolta pornind de la aceste axiome. Proprietatea (P3)
este cunoscută în literatura de specialitate ca principiul inducției mate matice și are un rol
important în aplicații. Varianta utilizată în practică este cuprinsă în următoarea teoremă:
Teoremă : Fie P 0, P1, P2,… un șir de propoziții. Dacă:
(1) P0 este adevărată;
(2) Pentru orice număr natural n, P n implică P n+1, atunci propozițiile P 0, P1, P2,… sunt
adevărate.
Demonstrație : Fie M mulțimea numerelor natural n, pentru care P n este
adevărată. Condiția (1) spune că 0 ∈ M. Cea de a doua condiție afirmă că pentru un n ∈
M, P n ⇒ Pn+1 adevărată; este evident că sunt îndeplinite condițiile proprietății (P3) și avem
M = ℕ, tocmai ceea ce trebuia demonstrat.

19

Aplicație. Pentru orice număr natural n, suma pătratelor primelor numere natural
este data de S n = 𝑛𝑛(𝑛𝑛+1)(2𝑛𝑛+1)
6 . Într -adevăr pentru n = 0 este evident că afirmația are loc. Dacă
n = 1 avem:
12 = 1(1+1)(21+1)
6 = 6
6 = 1
și prin urmare propoziția P 1 este adevărată. Arătăm că P n ⇒Pn+1 este adevărată,
oricare ar fi n ∈ ℕ. Presupunem că propoziția P n: 12 + 22 + 32 + … +n2 = 𝑛𝑛(𝑛𝑛+1)(2𝑛𝑛+1)
6
este adevărată.
Pn+1: 12 + 22 + 32 + … +(n+1)2 = 𝑛𝑛(𝑛𝑛+1)(2𝑛𝑛+1)
6 + (n+1)2 = (𝑛𝑛+1)
6 (2n2 + 7n +6) =
(𝑛𝑛+1)(𝑛𝑛+2)(2𝑛𝑛+3)
6.
Prin urmare propoziția P n este adevărată pentru orice număr natural n.11
1.1.1.2. Teoria axiomatică a mulțimii numerelor naturale
Necesitatea și utilitatea introducerii axiomatice a mulțimii numerelor naturale
apare evidentă abia în secolul XIX. La începutul secolului XIX, Carl Friedrich Gauss
propune o abordare filozofică numerelor, considerând că numerele sunt concepte distincte
de spațiu și timp, în sensul că sunt o creație pură a minții umane.12
Construcția axiomatică a numerelor naturale a fost prezentată pentru prima dată
riguros de Giuseppe Peano în 1889 în faimoasa lucrare Arith metices principia, nova
methodo exposita.
În această lucrare au fost definite ceea ce mai târziu s -au numit sistemele Peano:
alți istorici ai matematicii le denumesc sisteme Peano -Dedekind (așa cum le vom numi și
noi în prezenta lucrare) pentru a marca și contribuția lui Dedekind la această construcție
fundamentală a matematicii. În mod neașteptat teorema fundamentală a sistemelor Peano –
Dedekind (așa numita "recursion theorem" ).

11 ASAFTEI, P., CHIRILĂ C., ASAFTEI, D. C., Elemente de aritmetică ș teoria numerelor pentru
licee și colegii pedagogice, Editura Polirom Iași, 1998, pp. 55- 58
12 http://www.math.uaic.ro/~bucataru/aritmetica/aritmetica.pdf accesată pe 27 .02.2018

20

O consecinț ă, printre altele, a acestei teoreme (teorema 1 de mai
jos) este unicitatea până la un izomorfism a sistemelor Peano-Dedekind,
dar și existenț a și unicitatea adunării și înmulț irii numerelor naturale.
Teorema 2 de mai jos este o reciprocă a acestei teoreme și are o demostrație foarte
elementară și nouă, fără a folosi axio ma infinitului. Aceste două teoreme împreună permit
cea mai elegantă și rapidă definiție a numerelor naturale: ele sunt obiecte initiale în
“clasa” tuturor tripletelor (A, a, λ ) formate dintr -o mulțime nevidă A, un element a ∈ A
și o funcție λ : A⇾ A.
În an ul 1908 Erns Zermelo a propus primul set de axiome care fundamentează
teoria mulțimilor: ele au fost completate ulterior de Abraham Frankel in 1922: sunt cele
zece celebre axiome numite axiomele Zermelo -Frankel care constitutie fundamentul
matematicii. Una dintre aceste axiome este așa numita axiomă a infinitului: din ea se
construiesc ușor numerele naturale și în fapt toate axiomele Peano se deduc din trei din
axiomele Zermelor -Frankel.
În final, vom demostra pe scurt teorema care construiește în mod unic adunarea
numerelor naturale și vom arăta că 1+1 = 2 este de fapt o teoremă, răspunzând în felul acesta întrebării din introducere.
Prezentăm în continuare trei dintre cele zece axiome Zermelo -Fraenkel care
fundamentează teoria mulțimilor: axioma pere chilor, axioma separarii si axioma
infinitului.
Axioma perechilor : P e n t r u o r i c e d o u ă m u l ț i m i A ș i B e x i s t ă o m u l ț i m e C c e
conține A și B și numai pe acestea.
În notația intutivă: C = {A, B}.
Axioma separării: Dacă X este o mulțime și P este o condiție pe mulțimi, atunci
există o mulțime Y ale cărei elemente sunt exact elementele mulțimii X ce satisfac condiția
P.
În notația intuitivă: Y = {x ∈ X | P(x)}.

21

Axioma infinitului: Există o mulțime X, astfel încât φ ∈ X și ∀ y ∈ X avem y ∪
{y} ϵ X.
Pentru a înțelege mai bine aceasta axiomă a infinitului vom gândi multimea X ca
o mulțime ale cărei elemente sunt mulțimi.
În cele ce urmează vom lucra cu noțiunea de funcție așa cum a fost definită de
Kuratowski în anul 1914: se numește funcție un triplet (A, B, f), unde A si B sunt două
mulțimi nevide, f ⊆ A x B este o submulțime cu propietatea: ∀ a ∈ A ∃ b∈ B a.i. (a,b) ∈
f. Daca (a, b) ∈ f vom nota acest lucru cu f(a) = b.
Sisteme Peano -Dedekind
Definitie : Se numește sistem Peano -Dedekind un triplet (N, 0, s), unde N este o
mulțime
nevidă , 0∈ N și s: N → N este o funcție a.i.:
(P1): s(x) ≠ 0, ∀ x∈ N
(P2): s este o funcție injectivă .
(P3): Dacă P ⊆ N a.i. 0 ∈ P și ∀ x∈ P avem ca s(x) ∈ P atunci P = N.
Observație: Dacă (N, 0, s) este sistem Peano -Dedekind atunci folosind axioma
(P3) pentru P={0} ∪ Im(s) obț inem imediat că N = {0} ∪ Im(s), deci ∀ y∈ N,
y ≠ 0, ∃ ! x∈ N a.i. y = s(x)
Teorema următoare, așa cum am precizat, este teorema fundamentală a sistemelor
Peano -Dedekind: ea este cunoscută sub numele de recursion theorem (teorema recursiei)
și a fost demostrată mult mai târziu: primii care au demostrat- o au fost Hilbert și Bernays
în cartea lor "Grundlangen der Mathematik" ș i independent de P. Lorenzen în 19381314.

13 L. Henkin, On Mathematical Induction, The Amer. Math. Monthly, 67(1960), pp. 323-338.
14 N. Jacobson, Basic Algebra I , W.H. Freeman and Company, San Francsco, 1973.

22

Vom prezenta demonstrația în detaliu pentru a indica că toate cele trei axiome ce
definesc sistemele Peano -Dedekind sunt utilizate în cursul demostraței: în special condiția
(P2) care apare într -un singur loc, extrem de bine ascuns, și neevidențiat.
Teorema 1 : Fie (N, 0, s) un triplet Peano -Dedekind. Atunci pentru orice triplet
(A, a, λ ) format dintr -o mulțime nevidă A, un elment a ∈ A și o functie λ: A⇾A, există și
este unică o funcție f: N ⇾ A a.i. f(0) = a ș i f ° s = λ ° f.
În particular, oricare două sisteme
Peano- Dedekind sunt izomorfe: i.e. dacă
(N, 0, s) ș i (N’, 0’, s’) sunt sisteme Peano –
Dedekind atunci ∃ ! f: N ⇾ N’ o funcție
bijectivă a.i. f(0)=0’ și f ° s=s’ ° f.

Printre cele mai importante consecinț e ale Teoremei 1 sunt teoreme
care demostrează existenț a și unicitatea adunării și inmulț irii numerelor
naturale. 15
1.1.2. R eprezentarea pe axa numerelor naturale
Ce este axa numerelor?
Axa numerelor este o linie dreaptă orizontală (culcată) pe care marcăm numărul
0 (zero) printr- o liniuță. Ea este infinită, adică o putem prelungi oricât, continuă la
nesfârșit, în ambele sensuri. De aceea, noi desenăm doar o porțiune din ea.

15 D. Bușneag, F. Boboc, D. Piciu : Aritmetica și teoria numerelor , Editura Universitaria, C raiova 1999

23

Figura nr. 7
Pe această axă vom reprezenta (desena) numerele naturale. Fiecărui număr îi
corespunde un punct de pe axă. Dacă este nevoie, putem să dăm nume acestor puncte; de
obicei se folosesc literele alfabetului. Vom vedea în exemplele care urmează. E important
să păstrăm aceeași distanță între două puncte care urmează unul după altul, neîn trerupt.
În clasa a VI -a vei învăța că mai există și alte numere, în afara celor naturale. Între
numerele 1 și 2 mai există și alte numere despre care vei afla în anii următori. La fel, între
numerele 3 și 4, 4 și 5 etc. De aceea e important să stabilim de la început o unitate de
măsură pe care s -o respectăm.
Numerele naturale se află la dreapta lui 0; așezăm și noi câteva numere naturale.
Sunt o infinitate, nu vom putea să le punem pe toate pe axă. Avem 0, apoi 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7 …

Figura nr. 8

24

Numărului 0 îi corespunde punctul O, numărului 1 îi corespunde punctul A,
numărului 2 îi corespunde punctul B etc. Observăm că se păstrează aceeași distanță între
puncte pe axă.16
1.1.3. Operații cu numere naturale
1.1.3.1. Operația de adunare a numerelor naturale
În continuare vom indica aici cum este construită adunarea:
Teorema 3 : Există și este unică o funcție φ: N x N⇾ N (o vom nota φ(m,n) = m
+ n ) astfel încât:
A1) m + 0 = m, A 2) m + s(n) = s(m + n), " m, n ∈ N. Această unică functie φ se
numește adunarea numerelor naturale.
Dacă adunăm două sau mai multe numere naturale obținem tot un număr natural.
Demonstrație: Fie m ∈ N fixat. Considerăm tripletul ( N, m, s). Conform
Teoremei 1 aplicată tripletului (A, a, λ ) =( N, m, s) obținem că ∃ ! m f : N⇾ N astfel încât
m f m (0) = m și f m ° s = s ° f m.
Definim φ: NxN⇾ N, φ (m,n) := f m (n) = m+n. Arătăm că φ este funcția căutată.
Avem m + 0 = f m (0) = m si m+s(n)= φ (m, s(n)) = f m (s(n)) = s(f m(n)) = s(m + n) deci φ
îndeplinește condițiile A 1) și A 2).
Să arătăm acum unicitatea funcției φ: fie funcția ψ: N x N⇾ N astfel încât ψ (m,
0) = m și ψ (m, s(n)) = s( ψ(m, n)), pentru orice ∀ m, n ∈ N. Considerăm mulțimea P := {
n ∈ N φ(m, n) = ψ (m, n), ∀ m ∈ N }. Cum ambele funcții φ și ψ verifică proprietatea A 1)
deducem ca 0 ∈ P.

16 http://www.mathema.ro/algebra/reprezentarea- pe-axa-numerelor accesat pe 07,03,2018

25

Fie acum n ∈ P. Avem ca: φ (m, n) = ψ (m, n), ∀ m ∈ N: deci s( φ (m, n)) = s(ψ (m,
n)), " m ∈ N. Deci φ (m, s(n)) = ψ (m, s(n)) ∀ m ∈ N, i.e. s(n) ∈ P. Obtinem ca P = N, deci
cele două funcții coincid.
Observatii: i) Din Teorema 3 obținem:
1 + 1 = 1 + s(0) = s( 1+0) = s (1) = 2.
Cu alte cuvinte întrebarea din introducere capată un răspuns matematic riguros: 1
+ 1 = 2 este consecința unei teoreme! Pentru a se ajunge la ea a fost nevoie de câteva
secole de matematică, de inspirația lui Peano și mâna lui Hilbert.
ii) Se atrage atenția asupra unor erori întâlnite în unele cărți sau chiar cursuri. Este
desigur o opțiune de notație cum notam sistemele Peano- Dedekind. Peano și marea
majoritate a matematicienilor le notează cu (N, 0, s), unde 0 desemnează chiar ceea ce
intuim: vestitul zero ! Desigur în loc de zero se putea pune orice alt element n din N. Unii
autori, puțini ce e drept și prin cărți mai vechi notează sistemele Peano, riscant am spun e,
cu (N, 1, s) și apoi, uitând sau mai grav neștiind teoremele celebre de mai sus „definesc”
adunarea prin inductie în felul următor:
x + 1 := s(x) ș i x + s(y):= s (x + y) (&)
pentru orice x si y ∈ N. Se atrage atentia că o astfel de „definire” a adunării, dacă pornim
cu 1 ca element fixat în sistemul Peano este incorectă și inconsistentă în loc de 0, din relația (&) obținem pentru x =1: 1 + 1 = s(1) = 2.
Însă, Teorema 1 și axioma A1) din Teorema 3 care ne asigură unicitatea până la un izomorfism a sisteme lor Peano precum și a operatiei de adunare care poate fi definită pe
acestea, ne forțează să avem 1+1=1, relație care este în evidentă contradicție cu 1+1=2.
În concluzie, atunci când se consideră un sistem Peano -Dedekind (N, n, s) în care
elementul fixat este n, adunarea trebuie definită în modul urmîtor:
x + n:= x si x + s(y) := s (x + y).
Propoziția 1. Pentru orice numere naturale m, n, p ∈ N au loc afirmațiile:

26

1) dacă m + n = 0 , atunci m = 0 și n = 0;
2) dacă m + n = m + p, atunci n = p ;17
1.1.3.2. Operația de scădere a numerelor natural e
Acum vom cerceta operația inversă adunării în mulțimea numerelor naturale N.
Definiția 3. Fie m, n ∈ N . Vom numi diferență a numărului m prin n un număr x
∈ N astfel încât m = n + x . Se notează : x = m − n.
Propoziția . Diferența m − n există dacă și numai dacă n ≤ m . În acest caz
numărul x = m − n este unic determinat.
Demonstrație. Dacă există numărul x = m – n, atunci prin definiție m = n + x,
prin urmare n ≤ m (definiția 2). Reciproc, dacă n ≤ m , atunci conform definiției 2, există
x ∈ N încât n +x = m , adică x = m − n (definiția 3).
Dacă m = n + x 1 și m = n + x2 , atunci n + x 1 = n + x2 și din Propoziția 1, p.2),
avem x 1 = x 2 , ceea ce arată unicitatea diferenței m − n.
Astfel obținem pe N o operație parțială – scăderea numerelor naturale. În
continuare, când scriem , m − n presupunem că n ≤ m.18
Observație. Scăderea nu are proprietățile adunării numerelor natural.
1.1.3.3. Operația de înmulțire a numerelor naturale
Teorema 4 Considerăm ( ℕ, 0, σ) un sistem Peano. Există o unică lege de
compoziție ψ: N×N → N, pentru care vom folosi notația ψ(m, n) =: m·n și pe care o
numim înmulțirea numerelor naturale, care satisface următoarele axiome:
M1: ψ(m, 0) = 0 sau (m · 0 = 0), ∀ m ∈ ℕ;
M2: ψ(m, σ (n)) = ψ (m, n) + m sau (m · σ (n) = m · n + m), ∀ m, n ∈ ℕ.

17 http://www.math.md/files/download/epublications/CasuA_GoianI_SarbuP_Sisteme_numerice.pdf pag.
21
18 http://www.math.md/files/download/epublications/Cas uA_GoianI_SarbuP_Sisteme_numerice.pdf pag.
29

27

Demonstrație. Demonstrația este asemănătoare cu cea a Teoremei 3. Fie sistemul
Peano (N, 0, σ) și pentru m ∈ N fixat considerăm tripleta (m ℕ, 0, ϕ m). Conform Teoremei
Recursiei, există o funcție unică ψm: N → mN pentru care ψm(0) = 0 și următoarea
diagramă este comutativă:
(3)

Operația de înmulțire se definește astfel: ψ: ℕ × ℕ → ℕ, m·n:= ψ (m,n) = ψm(n).
Proprietatea M 2 este echivalentă cu comutativitatea diagramei (3).
Dacă înmulțim două sau mai multe numere naturale obținem tot un număr natural.
Propoziția 3 Următoarele proprietăți sunt adevărate:
M10: Dacă n · m = 0 atunci n = 0 sau m = 0.
M11: Dacă n · m = 1 atunci n = 1 și m = 1.
Demonstrație. M 10: Prin reducere la absurd presupunem n ≠ 0 și m ≠ 0. Există
deci u, v ∈ ℕ astfel încât m = σ(u), n = σ (v). Atunci 0 = m · n = σ (u) · σ (v) = u · σ (v) +
σ(v) = u · v + u + σ (v) = σ(uv + u + v), ceea ce contrazice P1.
M11: Deoarece mn = 1 ≠ 0 obținem n ≠ 0 și m ≠ 0. Există deci u, v ∈ ℕ astfel încât
m = σ(u), n = σ (v). Atunci 1 = σ (0) = mn = σ (uv + u + v). Folosind injectivitatea funcției
σ avem uv + u + v = 0. Folosind Propoziția M 10 rezultă că u = v = 0 și deci m = n = 1.19
Lemă. Înmulțirea numerelor naturale este distributivă la stânga față de adunarea
numerelor naturale.
1.1.3.4. Operația de înmpărțire a numerelor naturale
Teorema împărțirii cu rest în ℕ. Pentru oricare două numere naturale m, n cu n
≠ 0, există și sunt unice două numere naturale c și r a.î. m = n·c + r și r < n.

19 http://www.math.uaic.ro/~bucataru/aritmetica/aritmetica.pdf accesată pe data de 27.02.2018

28

1.1.4. Relația de ordine pe ℕ

În 1860, Hermann Grassmann evidențiază rolul noțiunii de succesor și al inducției
în introducerea noțiunii de număr natural și în demonstrarea unor proprietăți ale
acestora.20
Definiția 1 Pentru două numere naturale m, n ∈ ℕ spunem că:
1: m precede n, sau că m este mai mic decât n, și scriem m < n, dacă ∃u ∈ ℕ, u ≠
0 astfel încât m + u = n; mai scriu n > m și citesc n este mai mare decât m;
2: m precede sau este egal cu n, sau că m este mai mic sau egal decât n, și scriem
m ≤ n, dacă ∃u ∈ ℕ astfel încât m + u = n; mai scriu n ≥ m și citesc n este mai mare sau
egal decât m. Următoarele proprietăți se obțin imediat din definiția precedentă:
1) ∀n ∈ ℕ avem: n ≥ 0 și σ(n) > n; în plus n ∈ ℕ∗ dacă și numai dacă n > 0.
2) m < n dacă și numai dacă σ (m) ≤ n.
Principiul II al inducției matematice. (PII) Fie P(n) o propoziție ce poate fi
asociată cu orice număr natural. Dacă P(0) este adevărată și pentru un număr natural
arbitrar m avem P(r) adevărată pentru orice r < m implică P(m) adevărată, atunci P(n) este
adevărată pentru orice număr natural n.
Teorema 5 (Principiul trihotomiei, PT) Pentru două numere naturale m și n una
și numai una din următoarele relații are loc: m < n, m = n sau m > n.
Demonstrație. Se demonstrează mai întâi, prin reducere la absurd, că nu pot avea
loc simultan două dintre aceste relații. Demonstrăm apoi că are loc cel puțin una dintre
aceste relații. Fixăm m ∈ N și demonstrăm, prin inducție după n, că ∀n ∈ N are loc una
din următoarele relații: m < n, m = n sau m > n.
Observație. Folosind principiul trihotomiei se obține că pentru orice două numere
naturale m și n una din următoarele relații are loc: m ≤ n sau n ≤ m. Aceasta înseamnă că
relația ”≤” este o relație de ordine totală pe N, cu alte cuvinte (N, ≤) este total ordonată.

20 http://www.math.uaic.ro/~bucataru/aritmetica/aritmetica.pdf

29

Teorema 6 (Principiul bunei ordonări, PBO) (N, ≤) este o mulțime bine ordonată.
Aceasta înseamnă că orice s ubmulțime nevidă a mulțimii numerelor naturale admite un
prim element: ∀ A ⊂ N, A ≠ ∅, ∃a ∈ A astfel încât a ≤ x, ∀ x ∈ A.
Demonstrație. Vom nota cu M = {n ∈ N, n ≤ x, ∀ x ∈ A}, mulțimea minoranților
mulțimii A. Avem că 0 ∈ M. Dacă pentru orice număr natural n din M am obține că σ (n)
∈ M atunci conform axiomei inducției am avea că M = N. Nu este însă posibil să avem
M = N deoarece pentru un element fixat x ∈ A avem că x < σ(x) și deci σ (x) nu aparține
M. Există deci a ∈ M astfel încât σ (a) nu aparține M. În continuare trebuie demonstrat
că a ∈ A, ceea ce va însemna că a cel mai mic element al mulțimii A. Demonstrația se
face prin reducere la absurd. Presupunem că a nu aparține A ceea ce înseamnă că a < x,
∀x ∈ A de unde se obține σ(a) ≤ x, ∀x ∈ A. Aceasta înseamnă că σ(a) ∈ M ceea ce
contrazice alegerea lui a.
Obervăm că în demostrație s -a folosit pricipiul I al inducției matemtice. Cu alte
cuvinte am demostrat că P I ⇒ P BO. Vom demonstra imediat că aceste două principii
sunt de fapt echivalente.
Lema 1 Orice șir descrescător de numere naturale conține un număr finit de
termeni distincți.
Demonstrație. Fie α : N → N un șir descrescător de numere naturale. Notăm A =
{α(n), n ∈ N}. Deoarece A ≠ ∅ conform PBO există un cel mai mic elemen t a ∈ A. Dacă
a = α (m) atunci α (m) ≤ α(n), ∀n ∈ N. Deoarece șirul este descrescător atunci ∀n ≥ m avem
α(n) ≤ α(m) = a. Se obține că pentru ∀ n ≥ m avem α (n) = α (m) = a. Aceasta înseamnă că
șirul dat conține cel mult m + 1 termeni distincți, α (0), α (1), …, α (m).
Teorema 7 Orice mulțime de numere naturale nevidă și mărginită admite un ultim
element.
Demonstrație. Fie M ⊂ N o mulțime nevidă și mărginită. Aceasta înseamnă că:
∃ b ∈ N astfel încât x ≤ b, ∀ x ∈ M. Considerăm mulțimea M’ = {y ∈ N, x ≤ y, ∀ x ∈ M}.
Deoarece mulțimea M’ este nevidă (b ∈ M’), conform PBO obținem că M’ are un prim

30

element a. Este imediat căa a ∈ M și x ≤ a, ∀ x ∈ M, ceea ce înseamnă că a este ultim
element pentru M.
Teorema 8 (Echivalența principiilor inducției matematice cu principiul bunei
ordonări) Principiile I și II ale inducției matematice sunt echivalente cu principiul bunei
ordonări.
Demonstrație. Se demonstrează P I ⇒ P BO ⇒ P II ⇒ P I. Implicația P I ⇒ P BO
a fost făcută în cadrul demonstrației PBO. Vom dem onstra implicația P BO ⇒ P II.
Considerăm P(n) o propoziție matematică ce poate fi asociată unui număr natural oarecare
n astfel încât:
1) P(0) este adevărată;
2) dacă P(r) este adevărată pentru orice r < m atunci P(m) este adevărată. Trebuie
să demonstr ăm că P(n) este adevărată ∀n ∈ N. Pentru aceasta vom nota A = {n ∈ N, P(n)
nu este adevarata} și demonstrăm că A = ∅. Prin reducere la absurd presupunem că A ≠
∅. Conform PBO există un cel mai mic element a ∈ A, ceea ce înseamnă că a ∈ A, a ≤ x,
∀x ∈ A. Pentru ∀ l < a avem l nu aparține A și deci P(l) este adevărată. Conform ipotezei
obținem P(a) adevărată și deci a nu aparține A ceea ce este fals.
1.2. Numere întregi
În 1858, Julius Wilhelm Richard Dedekind propune o metodă de construc ție a
numerelor reale plecând de la cele raționale, metodă cunoscută astăzi ca metoda tăieturilor
a lui Dedekind. Numerele raționale la rândul lor pot fi construite plecând de la cele întregi,
iar acestea folosind numerele naturale.
Mulțimea numerelor într egi este reuniunea dintre mulțimea numerelor naturale cu
mulțimea numerelor opuse lor (cu semn " -").
Este o mulțime infinită.
Mulțimea numerelor întregi se notează cu ℤ sau cu ℤ *, unde:

31

În Z nu există nici un prim element și nici un ultim element.
Cercetând mulțimea numerelor naturale N, am observat pe lângă multe proprietăți
excelente, are și unele „defecte” ale acestui sistem numeric, în particular, faptul că
operațiile scăderii și împărțirii nu întotdeauna au loc, de exemplu, diferența m − n există
numai atunci când m ≥ n .
Numerele naturale nu sunt suficiente pentru a măsura mărimi care variază în două
sensuri opuse. Iată câteva din ele.
a) Inginerii, fizicienii, astronomii, medicii măsoară temperaturi care variază în
două sensuri opus e.
b) Geologii și geografii măsoară înălțimile neregularităților terenurilor, dar și
adâncurile apelor, luând drept origine nivelul mediu al mărilor.
c) Geografii, marinarii și cartografii caracterizează latitudinea și longitudinea
localităților.
d) Arhe ologii și istoricii caracterizează scara vremii, începând de la un eveniment
cunoscut.
e) Fizicienii și chimiștii au observat două tipuri de încărcături electrice.
Acestea și alte probleme au creat necesitatea extinderii sistemului numerelor
naturale. Pen tru rezolvarea ei să amintim mai întâi una din noțiunile de bază ale algebrei
– cea de inel.
Definiție. Sistem de numere întregi Z se numește un inel minimal (în raport cu
incluziunea) ce conține semiinelul numerelor naturale N, adică:
1) Z este un inel c e conține N;
2) operațiile din Z coincid cu cele din N pentru numerele naturale;

32

3) Z este minimal (în raport cu incluziunea) printre inelele cu condițiile 1) și 2).
21
Fie N mulțimea numerelor naturale. Pe mulțimea N × N definim relația ” ∼” prin
(m, n) ∼ (p, q) dacă m+q = n+p (gândiți m−n = p−q, chiar dacă nu am introdus semnul ” –
”).
Clasa de echivalență corespunzătoare perechii (m, n) se notează (m, n) = {(p, q)
∈ N×N, (m, n) ∼ (p, q)} și se numește număr întreg. Mulțimea claselor de echivalenț ă se
numește mulțimea numerelor întregi și se notează cu Z. Avem deci Z = N×N/ ∼ .22
În vederea construirii mulțimii numerelor întregi ℤ, vom prezenta la început
Teorema lui Malțev de scufundare a unui monoid comutativ cu proprietatea de
simplificare într -un grup comutativ urmând ca prin particularizarea la cazul monoidului
(ℕ, +) să obținem grupul aditiv ( ℤ, +).
TEOREMA 1. (Malțev) Fie (M, ·) un monoid comutativ cu proprietatea de
simplificare. Atunci există un grup comutativ G(M) și un morfism injectiv de monoizi
iM:M→G(M) ce verifică următoarea proprietate de universalitate:
Pentru orice grup comutativ G și orice morfism de monoizi f: M→G există un
unic morfism de grupuri f ʹ:G(M)→G a.î. diagrama este comutativă (adică f ʹ∘iM = f ).

Definiția 2. Considerăm monoidul ( ℕ, +) (ce are proprietatea de simplificare) și
urmând tehnica dată de Teorema lui Malțev, mulțimea subiacentă grupului aditiv (G( ℕ),
+) se notează prin ℤ și poartă numele de mulțimea numerelor întregi.

21 file:///C:/math/Ecuatii%20matematice/CasuA_GoianI_SarbuP_Siste me_numerice.pdf pag. 39
22 http://www.math.uaic.ro/~bucataru/aritmetica/aritmetica.pdf

33

Ținând cont de faptul că i ℕ:ℕ→ℤ , iℕ(n)=[n, 0] pentru orice n∈ℕ este morfism
injectiv de monoizi, vom identifica fiecare număr natural n∈ℕ prin elementul întreg [n,
0] astfel că ℕ va fi privită în continuare ca submulțime a lui ℤ .
Fie acum z = [m, n] ∈ ℤ. Dacă m = n, atunci z = 0. Dacă m < n, atunci există p ∈
ℕ* a.î. m+p = n (în acest caz convenim să notăm p = n – m și astfel m + (n- m) = n), iar z
= [0, p] = – [p, 0] se identifică cu numărul întreg –p iar dacă n < m, atunci există q ∈ ℕ*
a.î. n+q = m și astfel z = [q, 0] identificându- se cu numărul natural q. Ținând cont de
acestea putem scrie pe ℤ sub forma ℤ = (-ℕ*) ∪ ℕ unde -ℕ*= { -n|n∈ℕ*} sau ℤ ={0 , ±1 ,
±2 , ….}. Vom nota ℤ * = ℤ \ {0}.23
1.2.1. Operații cu numere întregi
Adunarea și înmulțirea pe N × N, defi nite sunt operații algebrice comutative și
asociative; mai mult, ele sunt legate prin legea distributivă, (0,0) și (1,0) sunt elemente
neutre pentru adunare și înmulțire, respectiv.
Demonstrația este directă și poate fi efectuată în mod independent.
Însă în N × N nu există elementul opus − (m, n) pentru fiecare m, n ∈ N.
Dacă (m , n) (p, q) = (0,0), atunci m + p = 0, n + q = 0, ceea ce nu are loc pentru
m > 0 și n > 0. Deci N × N nu formează inel în raport cu aceste operații.
LEMA 1. Fie x, y, z, t, x ʹ, yʹ, zʹ, tʹ ∈ ℕ a.î. [x, y] = [x ʹ, yʹ] și [z, t] = [z ʹ, tʹ].
Atunci [xz + yt, xt + yz] = [x ʹzʹ+yʹtʹ, xʹtʹ+yʹzʹ].
Demonstrație Din ipoteză avem x+y ʹ = y+x ʹ și z+t ʹ = zʹ+t astfel că [xz + yt, xt +
yz] = [x ʹzʹ +yʹtʹ, xʹtʹ + yʹzʹ] ⇔ (xz + yt) + (x ʹtʹ + yʹzʹ) = (xt + yz) + (x ʹzʹ+ yʹtʹ) ⇔ x(z-
t) + y(t -z) = x ʹ(zʹ-tʹ) + yʹ(tʹ-zʹ) ⇔ (x-y)(z-t) = (x ʹ-yʹ)(zʹ-tʹ) ceea ce este adevărat deoarece
x – y = x ʹ- yʹ și z –t = z ʹ- tʹ.

23 D. Bușneag, F. Boboc, D. Piciu : Aritmetica și teoria numerelor , Editura Universitaria, Craiova 1999,
pp. 22- 25

34

Fie acum α = [x, y] și β = [z, t] două numere întregi. Definind α·β = [xz+yt, xt+yz],
conform Lemei 1. deducem că această definiție este corectă .
Propoziția 2. (ℤ, +, · ) este domeniu de integritate.
Cu oricare două numere întregi se pot efectua adunarea, scăderea și înmulțirea iar
rezultatul (suma, diferența și respectiv produsul) este tot un număr întreg.
În Z nu este posibilă împărțirea dintre orice elemente.
1.2.2. Reprezentarea pe axa numerelor întregi :

Mulțimea numerelor întregi negative se notează:

Mulțimea numerelor întregi pozitive se notează:
,
Orice număr natural fiind și număr întreg, rezultă că
Au fost introduse din mai multe motive, unul ar fi: pentru rezolvarea ecuatiei x +
5 = 2, care nu avea solutii in multimea numerelor naturale.24

24 https://s ites.google.com/site/videomeditatii/clase -liceale -9-12/clasa -a-vi-a-materii -de-studiu/lectii –
de-matematica -disponibile -pentru- clasa -a-6-a/multimea -numerelor -intregi -z-axa-numerelor

35

Capitolul 2. DIVIZIBILITATEA NUMERELOR
2.1. Introducere
Înainte de a intra în subiectul principal să ne amintim de un joc al copilăriei din
epoca ce a precedat jocurile electronice:
Spânzurătoarea este un joc pe hârtie pentru doi jucători. Unul din jucători se
gândește la un cuvânt, iar celălalt încearcă să- l ghicească sugerând litere.
Cuvântul ce trebuie ghicit este reprezentat de un șir de linii, fiecare linie
reprezentând o literă a cuvântului. Dacă jucătorul care ghicește sugerează o literă ce se
află în cuvânt, celălalt jucător o completează în toate pozițiile unde aceasta apare. Dacă
litera nu se află în cuvânt, celălalt jucător desenează un element din diagrama
„spânzurătoarea”.
Jocul se încheie când:
• Jucătorul care ghicește completează tot cuvântul, sa u îl ghicește exact.
• Celălalt jucător completează diagrama.
Diagrama este gândită să semene cu cea a unui om aflat la spânzurătoare. Cu toate
ca au apărut dezbateri privind bunul gust al imaginii, aceasta încă se folosește și astăzi.
25
Figura nr. 9

25 https://ro.wikipedia.org/wiki/Sp%C3%A2nzur%C4%83toare_(joc)

36

De obicei se caută să se propună cuvinte cât mai lungi și mai deosebite pentru a fi
greu de ghicit.
Dar ce legătură are cu tema noastră?
Răspuns: Are mai multe legături, după cum vom vedea.
Se propune următorul cuvânt:
D _ __ _ __ __ __ _ __ __ __ _ __ __ A
Un cuvânt destul de lung și greu de ghicit…
De obicei nu se oferă indicații suplimentare, dar fiind la o temă de matematică se
dau ur mătoarele date:
a)-numărul total al literelor este divizibil cu numărul de vocale;
b)-una din vocale are o frecvență mai mare, iar acest număr divide numărul total
al literelor;
c)-de asemenea numărul consoanelor este divizibil cu numărul de vocale.
Să parcurgem pas cu pas pentru a descifrăm indicațiile și apoi să descoperim
cuvântul:
a)-cuvântul are 15 litere, divizorii lui 15 sunt: 1, 3, 5, 15, dar în limba română sunt
7 vocale, ceea ce înseamnă că 15 trebuie eliminate, de asemenea îl vom elimina și pe 1,
deoarece în limba română raportul între vocale și consoane este echilibrat (aproape 1:1),
iar o singură vocală nu poate să apară de atâtea ori. Cu alte cuvinte am eliminate am
eliminate divizorii improprii ai numărului 15. În concluzie cuvîntul are 3 sau 5 vocale din
cele 7 ale limbii române.
b)-una din cele 3 sau 5 vocale are o frecventa mai mare, iar această frecventa
divide numarul 15. Deci una dintre vocale (care are frecvența cea mai mare) va apare de
3 sau 5 ori, deoarece dacă ar apare o singură data contrazice informația că una din vocale are o frecvență mai mare.

37

c)-numărul de cons oane este divizibil cu 3 sau 5. Ceea ce ar însemna să fie 3, 5,
6, 9 sau 10 consoane , din care eliminăm variantele 9 și 10, deoarece ar fi prea multe
consoane.
Iată cât de lung a fost raționamentul și nu am ajuns decât la niște informații de
principiu. Să parcurgem deci regulile jocului și să întrebăm dacă una din literele de la
capetele cuvântului se regăsește și în interior, să propune mai întâi vocala A. Răspunsul
este: da, se mai afla o singură dată:
D _ __ _ __ __ __ _ __ __ __ A __ __ A
Deci dintre vocalele A, E, I, O, U, Ă, Î sau Â, vocala A apare de două ori. Să
propunem în continuare vocala I. Răspunsul este: da, apare de 5 ori
D I __ I __ I __ I __ I __ A __ __ A
Dacă vă mai dau și a treia vocală: E, intuiți c are este cuvântul?
D I __ I __ I __ I __ I __ A __ E A
Pentru a nu mări suspansul iată rezultatul final:
D I V I Z I B I L I T A T E A
Acum verificăm informațiile inițiale:
a)-numărul total al literelor (15) este divizibil cu numărul de vocale (3);
b)-una din vocale (I) are o frecvență mai mare (5), iar acest număr divide numărul
total al literelor cuvântului (15);
c)-de asemenea numărul consoanelor (6) este divizibil cu numărul de vocale (3).
Iată legătura principală între jocul Spânzurătoarea și tema noastră! Chiar dacă
cuvântul este foarte lung și greu de ghicit, divizibilitatea este foarte frumoasă și atractivă așa cum o voi demonstra.

38

2.2. Divizibilitatea numerelor natural
Definiție Date două numere naturale a și b, spunem că a divide b d acă există
numărul natural c astfel încât b = a · c.
Dacă a divide b vom nota a | b sau b ⋮ a, mai citesc a este divizor al lui b, b se
divide la a sau că b este multiplu de a. Dacă a ≠ 0 și a | b avem că restul împărțirii lui b la
a este zero.
• Orice număr natural a se divide cu 1. Scriem a ⋮ 1 (sau 1│a), oricare ar fi a
număr natural.
• Orice număr natural a se divide cu el însuși. Scriem a ⋮ a (sau a│a), oricare ar
fi a număr natural.
• Numerele 1 și a sunt divizori improprii ai lui a. Toți ceilalți divizori sunt divizori
proprii.
• Numărul 0 se divide cu orice număr natural. 0 ⋮ a (sau a│0), oricare ar fi a număr
natural.26
2.2.1. Divizor și multiplu
O definiție mai „sofisticată” a divizibilității ar fi următoarea: spunem că a este
divizibil cu b dacă există c ∈ N astfel încât a = b · c. În acest caz, b este divizor al lui a
sau, același lucru spus altfel, a este multiplu al lui b.
Exemplu: 63 se divide cu 7, deoarece există 9 ∈ N, astfel încât 63 = 7·9. De
asemena 73 | 73·4 085;
Multiplii lui 6 sunt toate numerele de forma 6k, k ∈ N.27

26 Ion Cicu • Ștefan Smarandache • Ioana Iacob • Răzvan Ceucă Manua l Matematică pentru Clasa a V -a,
Editura Intuitext 2017 pag. 83
27 https://sorinborodi.ro/MANUAL/6/VI_A_4._Divizibilitate.pdf

39

2.2.2. Multimea divizorilor și mulțimea multiplilor unui număr
Mulțimea divizorilor unui număr natural n se notează D n și este formată din toți
divizorii acestuia, atât divizorii impropri i, cât ș i divizorii proprii , scriși în ordinea mărimii
lor.
Exemplu: Mulțimea divizorilor numărului 12 este: D 12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
Mulțimea divizorilor unui număr este o mulțime finită.
Mulțimea multiplilor unui număr natural n se notează M n și este formată din toți
multiplii acestuia, scriși în ordinea mărimii lor.
Exemplu: Mulțimea multiplilor numărului 7 este: M 12 = {0; 7; 14; 21; 28; …}
Mulțimea multiplilor unui număr este o mulțime infinită.
2.2.3. Num ăr prim
Un număr prim este numărul care are ca divizori doar pe 1 și pe el însuși. Ex.: 2,
3, 5, 7, 11, 13, 17, etc. Orice număr prim are exact doi divizori.
Un număr care are și alți divizori în afară de 1 și de el însuși este număr neprim
sau compus. Numărul 1 nu este nici prim nici neprim.
Singurul număr prim par și totodată cel mai mic număr prim este 2.
Grecii antici au cunoscut bine numerele prime. Astfel, Euclid a demonstrat că
există o infinitate de numere prime, iar Eratostene a propus o metodă de aflare a
numerelor prime (ciurul lui Eratostene).
Euclid a fost un mare matematician al Greciei antice și în anul 300 Î.Hr. a
demonstrat că nu există un cel mai mare număr prim.
Astfel, el a presupus că ar exista un cel mai mare număr prim, pe care îl notăm cu
p. Considerăm acum numărul N = 2∙3∙5∙…∙p +1 format din produsele tuturor numerelor

40

prime până la p și plus 1. Acest număr nu este divizibil cu nici unul dintre numerele 2, 3,
… p. Deci numărul N ori este prim, ori este compus.
Dacă N este prim, atunci N>p și am găsit astfe l un număr prim mai mare decât p.
Dacă N este compus, el se scrie ca produs de factori primi, care sunt mai mari
decât p.
Astfel, Euclid a demonstrat că mulțimea numerelor prime este infinită . Ex.: 2∙3 +
1 = 7; 2∙3∙5 + 1 = 31 numere prime; 2∙3∙5∙7∙11∙13+1 = 30031 = 59∙509, factori mai mari decât cei din șirul produselor.
2.2.3.1. Ciurul lui Eratostene
Eratostene (275 – 194 Î. Hr.) a fost și el un mare matematician din Grecia antică
și el a propus o metodă pentru a găsi numere prime.
O modalitate simplă de a obține numere prime constă în a scrie numere naturale
succesive și a elimina multiplii numerelor care nu au fost eliminate anterior .
Astfel, pentru a găsi numere prime mai mici decât 100:
-se scriu toate numerele naturale de la 1 la 100 într -un table
-apoi tăiem pe 1 care nu este nici prim nici neprim.
-primul număr prim este 2.
-tăiem apoi toți multiplii lui 2.
-următorul număr netăiat este 3, care este prim.
-tăiem toți multiplii lui 3.
-la fel continuăm cu 5, apoi cu 7. Deoarece 7∙7 = 49< 100 și 11∙11 = 121>100,
toate numerele care au rămas după ce am tăiat și multiplii lui 7, sunt numere prime.

41

28
Figura nr. 9. Ciurul lui Eratostene
În figura de mai sus sunt prezentate numerele prime mai mici de 120.
Pentru a stabili dacă un număr mare, de exemplu 2311, este prim sau nu, verificăm
dacă acest număr este divizibil cu numerele prime p care au proprietatea că p2 < 2311.
Numerele prime q pentru care q2 >2311 nu pot fi divizori ai lui 2311.
Verificând pentru numerele prime mai mici decât 53, găsim că nici unul nu- l
divide pe 2311. Pentru că 472 = 2209 < 2311 și 532 = 2809>2311, ne oprim și afirmăm că
2311 este număr prim.
De-a lungul timpului s -a căutat să se găsească numere prime din ce în ce mai mari.
Astfel în 1939 s -a găsit că numărul 2127 – 1 este prim. Acest număr are 39 de cifre.
Folosindu- se calculatorul electronic în zilele noastre s -au găsit numere prime de câteva
mii de cifre.
În 1971 sa găsit o expresie for mată din 21 de variabile, de grad 21, care poate
genera orice număr prim29.
O expresie foarte simplă cu care se pot obține numere prime este n = x2 – x + 41
care pentru valori naturale ale lui x de la 0 la 40, generează numere prime cuprinse între
41 și 1601. Pentru x = 41, n = 412 – 41 + 41 = 412, care nu mai este prim.

28 https://www.concur surilecomper.ro/rip/2015/august2015/11 -FloreaAdrian -Numere_prime.pdf pag. 1
29 Gheorghe Paun Din spectacolul matematicii – Editura Albatros, 1983 pag. 129

42

O altă expresie din care rezultă și mai multe numere prime este n = x2 – 79x +
1641.
Citind un șir de numere prime observăm că există perechi de numere prime
despărțite de un singur număr compus, cum ar fi: 3 și 5, 5 și 7,…, 41 și 43,…. Aceste
perechi de numere se numesc numere gemene. Mai există astfel de perechi pentru numere
prime foarte mari? Nu s -a demonstrat încă.
În legătură cu numerele prime și cu numerele pare, matematicianul Gold bach a
făcut o observație interesantă, anume că orice număr par începând cu 4 se poate scrie ca
suma a două numere prime: 4=2+2; 6 =3+3; 8 = 3+5; 10 = 3+7 = 5 +5; 12 = 5 + 7; 14= 3
+ 11 = 7 + 7; 16 = 13 + 3; 18 = 7 + 11, etc.
Tot în legătură cu numerele p rime, s -a mai constatat că orice număr prim mai mare
decât 3, este un multiplu de 6, plus sau minus 1: 5 = 6 – 1; 7 = 6 + 1; 11 = 2∙6 – 1; 13 =
2∙6 + 1; 17 = 3∙6 – 1 ; 19 = 3∙6 + 1; … 61 = 10∙6 + 1 ; … 113 = 19∙6 – 1
Această constatare a fost făcută de un ul dintre cei mai mari matematicieni ai lumii,
G. W. Leibniz (1646- 1716). Aceste proprietăți descoperite de Goldbach și de Leibniz au
fost verificate pentru foarte multe numere, dar nu s -a găsit încă o demonstrație generală.
Numerele prime sunt în continu are o cetate încă necucerită integral de către
matematicieni!
Teorema 15 (Teorema Fundamentală a Aritmeticii) Orice număr natural n > 1
admite o scriere unică, până la ordinea factorilor, ca produs finit de numere prime.

2.2.4. Descompunerea numerelor în factori primi
Teoria fundamentală a aritmeticii spune că orice număr întreg mai mare decât 1
poate fi scris ca produsul unic a unu sau mai multe numere prime, mai puțin ordinea
factorilor primi.

43

1 nu e considerat număr prim, așa că lista numerelor prime începe cu număr ul 2.
Dacă 1 ar fi considerat număr prim, numărul 15, de exemplu, ar putea fi descompus în
două moduri diferite, ca 3 × 5 și ca 1 × 3 × 5; aceste două reprezentări ar fi considerate
ca descompuneri diferite ale numărului 15 în numere prime, iar enunțul teo remei de mai
sus ar trebui să fie modificat.
Numerele pozitive întregi care se divid doar cu ele însele și cu numărul 1 se
numesc numere prime. Dacă un număr este prim, atunci acesta nu poate fi descompus în
alți factori primi, acesta se divide doar cu 1 și cu numărul însuși, iar aceștia sunt numiți
și divizori improprii. Unii consideră că 1 nu este divizor impropriu.
Un număr compus este un întreg pozitiv care are cel puțin un divizor diferit de 1
și de numărul însuși. Un număr compus este orice număr pozitiv mai mare decât 1 care
nu e număr prim.
Un număr prim nu poate fi descompus în factori primi, dar un număr care nu e
prim (număr compus) poate fi, după cum se poate vedea mai jos:
Exemplul 1: 6 e divizibil cu 6, 3, 2 și 1, așadar 6 nu e număr prim, este compus;
6 poate fi descompus în factori în mai multe feluri: ca 1 × 6, sau 1 × 2 × 3, sau 2 × 3; însă
descompunerea în factori primi este întotdeauna aceeași: 6 = 2 × 3.
Exemplul 2: 120 poate fi descompus în mai multe feluri, ca 4 × 30 sau 2 × 2 × 2
× 15 sau 2 × 2 × 2 × 3 × 5; însă descompunerea în factori primi este întotdeauna aceasta:
120 = 23 × 3 × 5; – aceasta este forma de scriere condensată, cu exponenți, a versiunii mai
lungi: 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5.
Descompunerea numerelor întregi este importantă de știut pentru că ajută la
calcularea celui mai mare divizor comun, CMMDC – necesar atunci când simplificăm
fracții ordinare, sau la calcularea celui mai mic multiplu comun, CMMMC, a două sau
mai multor numere – necesar atunci când se adună sau se scad fracții ordinare pentru a le
putea aduce la același numitor, etc.

44

Exemple de numere prime: 2 este divizibil doar cu 2 și cu 1, deci 2 este număr
prim; 13 este divizibil doar cu 13 și cu 1, deci 13 este număr prim;30

Definiție. Orice număr natural poate fi scris ca un produs de numere naturale
prime . Scrierea unui număr natural ca un produs de numere naturale prime se
numește descompunere în factori primi.
Pentru a descompune numerele în factori primi acestea se împart la numerele
prime .
Exemple.

20 = 22 · 5

20 = 5 · 731

2.2.5. Proprietatile relatiei de divizibilitate
D1: 0 | b ⇐⇒ b = 0; a | 0, ∀ a ∈ N;
D2: 1 | b și b | b, ∀ b ∈ N ∗ ; b | 1 ⇐⇒ b = 1; ∀ b ∈ N ∗ , b ≠ 1 admite cel puțin doi
divizori;
D3: relația de divizibilitate este o relație de ordine (parțială) pe N:
– reflexivă: a | a, ∀a ∈ N;

30 http://www.numere -prime.ro/descompunerea_numerelor_in_factori_primi.php
31 https://www.mateonline.net/matematica/136/s/Descompunerea__n_factori_primi.htm 20
10
5
1 2
2
5

35
7
1 5
7

45

– antisimetrică: a | b și b | a ⇒ a = b;
– tranzitivă: a | b și b | c ⇒ a | c;
– nu este totală: ∃ a, b ∈ N astfel încât a nu | b și b nu | a.
D4: a | b ⇒ a ≤ b, relația de divizibilitate este compatibilă cu relația de ordine;
D 5 : a | b ș i a | c ⇒ a | b · x + c · y, ∀ x, y ∈ N, relația de divizibilitate este
compatibilă cu operațiile de adunare și înmulțire;
D6: a | b + c și a | b ⇒ a | c.
Demonstrație. Vom demonstra doar ultima proprietate pentru cazul a ≠ 0.
Deoarece:
• a | b + c ⇒ ∃u ∈ N astfel încât b + c = au
• a | b = ⇒ ∃v ∈ N astfel încât c = av.
În mod evident avem b + c ≥ b deci au ≥ av, a ≠ 0, de unde obținem u ≥ v. În
consecință ∃w ∈ N astfel încât u = v +w. Avem b + c = au = a(v +w) = av +aw = av + c.
Din ultima egalitate, după reducere, se obține c = aw cee ce înseamnă că a | c.
Definiția 3
1) Un număr natural p se numește indecompozabil (sau ireductibil) dacă p ≠0, p
≠ 1 și singurii săi divizori sunt 1 și p;
2) Un număr natural se numește compus ( decompozabil sau reductibil) dacă
admite mai mult de doi divizori;
3) Un număr natural p, p ≠ 0 și p ≠ 1, se numește prim dacă p | a · b implică p | a
sau p | b.
Propoziția 4 Fie a > 1 un număr natural.
1) Dacă a este decompozabil atunci există b, c ∈ N cu 1 < b, c < a astfel încât a =
b · c.

46

2) Numărul natural a admite un divizor indecompozabil.
Demonstrație.
1) Fie a > 1 un număr natural compus. Aceasta înseamnă, conform definiției, că
există b / ∈ {1, a} astfel încât b | a, de unde rezultă 1 < b < a. Există deci c ∈ N astfel încât
a = bc. Se obține imediat că c / ∈ {1, a} și deci 1 < c < a.
2) Pentru numărul natural a > 1 notăm M = {q ∈ N, q > 1, q | a}, mulțimea
divizorilor lui a. Deoarece a ∈ M avem că M ≠ ∅ și conform PBO, mulțimea M are un
cel m ai mic element b. Arătăm că b este indecompozabil. Prin reducere la absurd
presupunem că b ar fi decompozabil. Conform primei părți există numărul natural c, 1 <
c < b astfel încât c | b. Deoarece b | a se obține că c | a și cum c < b se contrazice
minimalitatea lui b.
Teorema 13 Fie p un număr natural, p > 1. Următoarele afirmații sunt echivalente:
1) p este număr prim;
2) p este număr indecompozabil.
In continuare vom folosi doar noțiunea de număr prim pentru a desemna atât
numerele prime cât și pe cele indecompozabile.
Teorema 14 ( Teorema lui Euclid) Există o infinitate de numere prime.
Demonstrația 1 (Euclid) Prin reducere la absurd presupunem că există o mulțime
finită de numere prime P = {p1, p2, …, pk}. Considerăm numărul N = p1 · p2 · · · pk +
1. Cum N > 1 există un număr prim p astfel încât p | N. Cum p prim rezultă că există i ∈
{1, 2, …, k} astfel încât p = pi. Deoarece p | N și p | p1 · p2 · · · pk obținem că p | 1 ceea
ce este fals.
Demonstrația 2 Observăm că ∀n ∈ N ∃p prim cu p > n (numărul n! + 1 are un
divizor prim p și în mod necesar p > n). Se obține atunci că pentru orice număr prim p există p’prim cu p’ > p.

47

Un număr prim este un număr natural care are exact doi divizori: numărul 1 și
numărul în sine. Acești divizor i sunt improprii. Un număr prim este deci nefactorizabil.
Opusul noțiunii de număr prim este cel de număr compus .
Cel mai mic număr prim este 2, în afară de 2 toate numerele prime sunt numere
impare.32

2.2.6. Relatia de divizibilitate pe multime a numerelor intregi
Definiție. Fie a și b douã numere întregi. Spunem că: a este un divizor al
numărului b dacă există un numãr întreg c astfel încât a = b × c.
În aceste condiții b se numește multiplu al numãrului a.
Pentru a preciza faptul că a este un di vizor al lui b folosim notația: a | b.

Observa ții.
 Numărul 0 este divizibil cu or ice număr întreg, pentru că 0 = 0 × x oricare
ar fi x din Z.
 Numărul 0 este divizor al numãrului 0 și nu este divizor pentru nici un alt
numãr.
 Numărul întreg 1 (sau +1) are 2 divizori: +1 si – 1. Aceeași proprietate o
are și -1.
Orice num ăr întreg n, diferit de 1 ș i -1, are cel puțin 4 divizori : 1, – 1, n ș i -n.
Aceș ti divizori se numesc divizorii improprii ai numă rului n. Un num ăr întreg care are
numai divizori improprii se numeste num ăr prim. 1 si – 1 nu sunt numere prime.

32 I.D. Ion ș.a. "Algebra pentru perfecționarea profesorilor" E.D.P. București, 1983, p. 77

48

Un num ăr întreg este prim dac ă și numai dac ă modulul lui este un num ăr natural
prim.
Aspectele legate de relaț ia de divizibilitate în Z sunt legate de rela ția omoloagã
din N.33
Exemple .
Dacă vom nota cu D n mulțimea divizorilor întregi a i numărului n, avem: D0 =Z, 0
aparține mul țimii divizorilor lui 0, D0, dar dacă n este diferit de 0, atunci 0 nu apar ține lui
Dn
dacă n este N, atunci D n=D -n.
D6={-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6}
Din x | 4 obț inem c ă x aparține mulțimii D4= {-4, -2, -1, 1, 2, 4}
2.2.7. Cel mai mare divizor comum

Definiția 4 Spunem că numărul natural d este cel mai mare divizor comun al
numerelor a și b (scriu d = c.m.m.d.c {a, b} sau d = (a, b)) dacă:
1: d | a și d | b;
2: pentru d 0 ∈ N avem d 0 | a și d 0 | b atunci d 0 | d.
Teorema 16 (Teorema de existență și unicitate a celui mai mare divizor comun).
Pentru orice două numere naturale a și b există și este unic cel mai mare divizor comun
al lor.
Demonstrație. Existența: ( Algoritmul lui Euclid )
Dacă a = 0 sau b = 0 atunci d = b sau d = a. Presupunem a ≠ 0 și b ≠ 0. Aplicăm
TIR, există q 0, r0

33 BECHEANU, M., NITA, C., STEFANESCU, M., DINCA, A., PURDEA, I., RADU, N., VRACIU,
C.: Algebra pentru perfecționarea profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică București, 1983, pag.
82

49

a = bq 0 + r 0, 0 ≤ r0 < b.
Dacă r 0 = 0 atunci a = bq 0 și d = (a, b) = b. Dacă r 0 ≠ 0 aplicăm din nou TIR pentru
b și r 0. Continuăm procedeul până obținem un rest nul.
b = r 0q1 + r 1, 0 < r 1 < r 0;
· · · ;
rn−2 = r n−1qn + rn, 0 < rn < r n−1; (4)
rn−1 = r nqn+1.
Algoritmul prezentat are un număr finit de pași deoarece șirul de numere naturale
b > r 0 > · · · > r n este strict descrescător. Vom demonstra că r n = (a, b). Deoarece r n | rn−1
se obține r n | ri , ∀i și r n | b, r n | a. Dacă d’ | a și d’ | b se obține d’ | r 0, …, d’ | r n. În consecin ță
rn = (a, b).
Unicitatea: Fie d și dV numere naturale care satisfac condi țiile 1) ș i 2) din
Defini ția 4. Obținem că d | d’ și apoi d’ | d’ de unde rezultă d = d’.
Observație
1) Fie numerele a și b și r 0, r1, …, r n obținute conform algoritmului lui Euclid (4).
Atunci (a, b) = (b, r 0) = (r 0, r1) = · · · = (r n−1, rn) = r n.
2) Fie Atunci cel mai mare divizor al numerelor a
și b este numărul
Definiția 5 Spunem că două numere a și b sunt prime între ele dacă (a, b) = 1.
Fie Conform observației precedente se obține că
a și b sunt prime între ele dacă și numai dacă min{ αi , β i} = 0, ∀ i ∈ {1, 2, …, n}.
Proprietăți:
1) (a, a) = a (idempotența ); (a, b) = (b, a) (simetria);
2) (a, b) = d ⇒ (ac, bc) = dc, ∀ a, b, c ∈ N;
3) (a,(b, c)) = ((a, b), c), (asociativitatea, permite să definim c.m.m.d.c. pentru mai
mult de două numere, astfel putem defini (a, b, c) := (a,(b, c)) ∀ a, b, c ∈ N);
4) (a, b) = 1 și (a, c) = 1 ⇒ (a, bc) = 1;

50

5) a | c, b | c, (a, b) = 1 ⇒ ab | c;
6) (a, b) = d ⇒ a = a 1d, b = b 1d astfel încât (a 1, b1) = 1;
7) a | b · c și (a, b) = 1 ⇒ a | c.
2.2.7.1. Algoritmul lui Euclid
Teoremă 1.2.2 (Algoritmul lui Euclid) Pentru orice două numere întregi există un
cel mai mare divizor comun.
Demonstrație. Fie a și b cele două numere întregi. Dacă b = 0, atunci, (a, b) = a.
Dacă b ≠ 0, aplicăm teorema împărțirii cu rest: Există q 2 ∈ Z, r 2 ∈ N astfel î ncât:
a = bq 2 + r 2, 0 ≤ r 2 < |b| (E1)
Cazul când un rest va fi zero va fi tratat mai târziu.
Dacă r 2 ≠ 0, există q 3 ∈ Z, r 3 ∈ N astfel încât:
b = r 2q3 + r 3, 0 ≤ r 3 < r 2. (E2)
Dacă r3 ≠ 0, exist ă q4 ∈ Z, r 4 ∈ N astfel î ncât:
r2 = r 3q4 + r 4, 0 ≤ r 4 < r 3. (E3)
.
. .
Dacă r
k ≠ 0, exist ă qk+1 ∈ Z, r k+1 ∈ N astfel î ncât:
rk−1 = rkqk+1 + r k+1, 0 ≤ r k+1 < rk (Ek)
. . .
Obținem astfel c ă resturile verific ă relaț iile:
|b |> r
2 > r 3 > . . . > r k > r k+1 ≥ 0. (1.1)
Dacă ținem cont c ă mulțimea numerelor naturale este bine ordonat ă, exist ă un
rang n astfel î ncât rn+1 = 0. Ultimele două relaț ii din lan țul de î mpărțiri cu rest sunt:

51

rn−2 = r n−1qn + r n (En−1)
rn−1 = r nqn+1 (En)
Din rela ția (En) rezult ă rn = (r n, rn−1).
Din rela țiile (E n−1), . . . ,(E k), . . . ,(E 2),(E 1), aplic ând lema anterioar ă, obținem:
rn = (rn, rn−1) = (rn−1, rn−2) = . . . = (r2, r3) = (b, r2) = (a, b).
Pentru a uniformiza rela țiile (E 1), (E2), . . . ,(E n), facem notaț iile a = r 0 și b = r 1.
Astfel, rela țiile din algoritmul lui Euclid pot fi scrise sub forma:
rk−1 = rkqk+1 + r k+1, 1 ≤ k ≤ n, r n+1 = 0. (Ek)
Dacă privim rela țiile (E k) ale algoritmului lui Euclid, ob ținem :

unde: q k+1 ∈ Z și
De aici putem concluziona că :
Forma în care folosim î mpărțiri pentru a realiza algoritmul lui Euclid nu este doar
mai rapid ă, ea are o aplicabilitate mult mai larg ă decât varianta scă derilor succesive,
putând fi folosit ă în oric e inele euclidiene, de exemplu î n inelul întregilor lui Gauss, Z [i]
34.
Aplicarea algoritmului pentru numere întregi se reduce la aplicarea acestuia pentru
numere naturale. În rolul lui b se poate alege cel mai mic dintre cele dou ă numere.
În anumite situa ții poate fi necesar s ă cunoa ștem num ărul de î mpărțiri din
algoritmul lui Euclid.35

34 Dincă, Al., Lecții de algebră, Editura Universitaria, Craiova, 2000
35 http://math.ucv.ro/~dan/courses/carte_Alg.pdf

52

2.2.8. Cel mai mic multiplu comun
Definiția 6 Spunem că numărul natural m este cel mai mic multiplu comun al
numerelor a și b (scriu m = c.m.m.m.c {a, b} sau m = [a, b]) dacă:
1) a | m, b | m;
2) dacă pentru m’ ∈ N avem a | m’ și b | m’ atunci m | m’.
Teorema 17 (Teorema de existență și unicitate a celui mai mic multiplu comun)
Pentru orice două numere naturale a și b există și este unic cel mai mic multiplu
comun al lor.
Demonstrație. Existența: Date numerele naturale a și b considerăm d = (a, b).
Aceasta înseamnă că a = da 1 și b = db 1, cu (a 1, b1) = 1. Considerăm m = ab 1 = a1b = a 1b1d.
Este evident că m satisface prima condiție din Definiția 6. Pentru a doua condiție
considerăm m’ astfel încât a | m’ și b | m’. Aceasta înseamnă că m’ = a 1dx = b 1dy, deci
a1x = b 1y. Din a 1 | b1y și (a 1, b1) = 1 rezultă a 1 | y și deci y = a 1z. Se obține m’ = b 1da1z =
mz ceea ce implică m | m’.
Demonstrați unicitatea.
Observație Fie
Atunci cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b este numărul:

Proprietăți:
1) [a, a] = a ( idempotența); [a, b] = [b, a] (simetria);
2) [a, b] = m ⇒ [ac, bc] = mc, ∀ a, b, c ∈ N;
3) [a, [b, c]] = [[a, b], c], (asociativitatea, permite să definim c.m.m.m.c. pentru
mai mult de două numere, astfel putem defini [a, b, c] := [a, [b, c]] ∀ a, b, c ∈ N);
4) (a, [a, b]) = a și [a,(a, b)] = a, ∀ a, b ∈ N (absorbție);

53

5) (a, b) · [a, b] = a · b, ∀ a, b ∈ N;
6) (a, [b, c]) = [(a, b),(a, c)] și [a,(b, c)] = ([a, b], [a, c]), ∀a, b, c ∈ N
(distributivitate);
7) a | c și b | c ⇒ [a, b] | c.36
Cel mai mic multiplu comun a două numere întregi
Definiția 11 Pentru două numere întregi a și b spunem că numărul întreg m este
cel mai mic multiplu comun al lor (scriu m = cmmmc {a; b} sau m = [a; b]) dacă:
1) a | m și b | m;
2) a | m’ și b | m’ ⇒ m | m’.
Observație Dacă m și m’ sunt cmmmc a două numere întregi a și b atunci m și
m’ sunt asociate în divizibilitate (se obține unicitate dacă cerem ca cmmmc să fie un
număr natural).
Teorema 23 (De existență a cmmmc a două numere î ntregi) Date două numere
întregi a și b există cel mai mic multiplu comun al lor și este unic până la asocierea în
divizibilitate.37
2.3. Criterii de divizibilitate
Fie numărul a = a n · · · a 1a0(10) = a n10n + · · · + a 110 + a 0. Atunci numărul a se
divide la:
CD1) 2, 5 sau 10 dacă și numai dacă ultima cifră, a 0, are această proprietate;
CD2) 2m, 5m sau 10m dacă și numai dacă numărul format cu ultimele m cifre,
am−1 · · · a 1a0, are această proprietate, m ≥ 1;
CD3) 3 sau 9 dacă și numai dacă suma cifrelor, , are această proprietate.

36 http://www.math.uaic.ro/~bucataru/aritmetica/aritmetica.pdf
37 ibidem p. 26

54

Deoarece a = a n(9 + 1)n + · · · + a 1(9 + 1) + a 0 = 9 · m +
atunci 3(9) | a ⇒ 3(9) |
CD4) 11 dacă și numai dacă 11 | .
Deoarece a = a n(11 − 1)n + · · · + a 1(11 − 1) + a 0 = 11 · m +
atunci 11 | a ⇒ 11 |
Observație Ideile folosite în demonstrația criteriilor de divizibilitate precedente
permit de asemenea să obținem mai ușor restul împărțirii numărului a = a n · · · a 1a0(10)
la diverse numere. A stfel, restul împărțirii numărului a la:
R1) 2 sau 5 este egal cu restul împărțirii ultimei cifre a 0 la 2 sau 5;
R2) 2m sau 5m este egal cu restul împărțirii numărului format cu ultimele m cifre
am · · · a 1a0(10) la 2m sau 5m;
R3) 3 sau 9 este egal cu restul împărțirii sumei cifrelor la 3 sau 9;
R4) 11 este egal cu restul împărțirii sumei alternate a cifrelor la 11.
În cele ce urmează prezentăm ca exemple criteriile principale de divizibilitate:
2.3.1. Criteriu l de divizibilitate cu 2
Un număr natural se divide cu 2 dacă și numai dacă ultima sa cifră este pară.
Dacă un număr este divizibil cu 2, atunci ultima sa cifră (cifra unităților) este 0,
2, 4, 6 sau 8.38
2│a ⇔ u(a) ∈ {0, 2, 4, 6, 8}, a ∈ N
Exercițiu: Determinați numerele de forma 23xdivizibile cu 2.

38 Ion Cicu • Ștefan Smarandache • Ioana Iacob • Răzvan Ceucă Manua l Matematică pentru Clasa a V -a,
Editura Intuitext 2017 pag. 84

55

Soluție: 2 | { } 23 0, 2, 4, 6,8xx⇔∈ , deci numerele sunt: 230, 232, 234, 236,
238.39

2.3.2. Criteriul de divizibilitate cu 3
Un număr natural se divide cu 3 dacă și numai dacă suma cifrelor sale este
multiplu de 3.
3/abcde ⇔3|(a + b +c + d + e) sau a +b + c + d + e3M∈
Exercițiu: Determinați numerele de forma 2xxdivizibile cu 3.
Soluție: ( ) 3| 2 3| 2xx x x⇔ ++ sau 2 x+23M∈
2x + 2 par { } 2 2 6,12,18x⇒ +∈ .
2x + 2 = 6 2 x + 2 = 12 2x + 2 = 18
2x = 4 2 x = 10 2x = 16
x = 2 x = 5 x = 8
Numerele sunt: 222, 525, 828
2.3.3. Criteriul de divizibilitate cu 4
Un număr natural este divizibil cu 4 dacă și numai dacă ultimele sale două cifre
formează un număr multiplu de 4.
4 4|abcde de M ⇔∈ sau 4|de
Exercițiu: Care sunt numerele de forma 312x divizibile cu 4?
Soluție: { } 4 | 312 4 | 2 2 20,24,28 x xx⇔ ⇔∈
Numerele sunt: 3120, 3124, 3128

39 Velcea Emilia, Giorgi Victoria, DIV IZIBILITATEA -SUPORT CURS OPȚIONAL -CLASELE V -VI,
pag. 6

56

2.3.4. Criteriul de divizibilitate cu 5
Un număr natural este divizibil cu 5 dacă și numai dacă ultima sa cifră este 0 sau
5.
5│a ⇔ u(a) ∈ {0, 5}, a ∈ N
Exercițiu: Determinați numerele de forma 71x divizibile cu 5.
Soluție: {} 5 | 71 0,5 xx⇔∈
Numerele sunt: 710, 71540
2.3.5.Criteriul de divizibilitate cu 9
Un număr natural se divide cu 9 dacă și numai dacă suma cifrelor sale este
multiplu de 9.
( ) 9| 9|abcde a b c d e ⇔ +++ +
Exercițiu: Determinați numerele de forma 25x divizibile cu 9.
Soluție: ( ) 9|2 5 9| 2 5 xx⇔ ++ adică 9 7xM+∈
7 + x = 9, x < 9 ⇒ x = 2
Numărul este 252.
Atentie! 9 | 234 3 | 234 ⇒ , deci un număr divizibil cu 9 este divizibil cu 3.
3 |132 dar 9 |132, deci NU orice număr divizibil cu 3 este divizibil cu 9.
2.3.6.Criteriul de divizibilitate cu 10
Un număr natural se divide cu 10 dacă ultima sa cifră este zero.

40 Velcea Emilia, Giorgi Victoria, DIVIZIBILITATEA – SUPORT CURS OPȚIONAL -CLASELE V -VI,
http://isj.gj.edu.ro/resurse/2017/12/12/divizibilitatea -suport -curs-optional -clasele -v-vi-prof-giorgi –
victoria -prof-velcea- emilia/ pag. 6

57

10|a ()0 ua⇒=
Exemplu: 10|3540
Exercițiu: Determinați numerele de forma 51 2Ax=, apoi pe cele divizibile cu
5. Care dintre ele sunt divizibile cu 10?
Soluție: : { } 2 | 51 0, 2, 4,6,8 xx⇒∈ , deci { } ' 510,512,514,516,518A=
{} 5 | 51 0,5 xx⇒∈ , deci { } " 510,515A=
10 | 51 0 xx⇒= , deci A=510
{}{} ' " 510AA A∩= =

Atentie ! Un număr este divizibil cu 10 dacă este divizibil cu 2 și 5 în același timp.
NU orice număr divizibil cu 2 este divizibil cu 10.
Exemplu: 2 | 512 și 10 |512
NU orice număr divizibil cu 5 este divizibil cu 10. Exemplu: 5 | 155 și 10
|155.
2.3.7. Criteriul de divizibilitate cu 10n n ∈ N*

58

Un număr natural a se divide cu 10n n ∈ N* dacă ultimele sale n cifre sunt 0.
Exemplu: 100 | 5600; 310 |129000 41
2.3.8. Criteriul de divizibilitate cu 25
Un număr natural este divizibil cu 25 dacă ultimele sale două cifre formează un
număr multiplu de 25.
25 25 |abcde de M ⇔∈
Exercițiu: Determinați numerele de forma 4ab divizibile cu 25.
Soluție: 25 25 | 4 ab ab M⇒∈
Numerele sunt: 400, 425, 450, 475.
Exercițiu: Există numere de forma 31xy divizibile cu 25?
Soluție: 25 25 | 3 1 1 xy y M⇒∈ , dar multiplii lui 25 sunt 0, 25, 50, 75 și nici unul
dintre ei nu începe cu cifra 1. Nu exista numere de forma 3 1 25xy.42
2.3.9. Criteriul de divizibilitate cu 7
I. Un număr natural este divizibil cu 7 dacă suma dintre câtul și restul împărțirii
numărului dat la 50 este divizibilă cu 7.
Exercițiu: Arătați că 1638 7.
Soluție: 1638 : 50 = 32 rest 38

41 Velcea Emilia, Giorgi Victoria, DIVIZIBILITATEA – SUPORT CURS OPȚIONAL -CLASELE V -VI,
http://isj.gj.edu.ro/resurse/2017/12/12/divizibilitatea -suport -curs-optional -clasele -v-vi-prof-giorgi –
victoria -prof-velcea- emilia/ pag. 8

42 Velcea Emilia, Giorgi Victoria, DIVIZIBILITATEA – SUPORT CURS OPȚIONAL -CLASELE V -VI,
http://isj.gj.edu.ro/resu rse/2017/12/12/divizibilitatea -suport -curs-optional -clasele -v-vi-prof-giorgi –
victoria -prof-velcea- emilia/ pag. 8

59

S = 32 + 38 = 70
S 7 1638 7⇒
Exercițiu: Să se arate că 785 nu este divizibil cu 7.
Soluție: 785 : 50 = 15 rest 35
S = 15 + 35 = 50
S7 785 7//⇒
II.Un număr natural 1 2 10… ,nn n N xx x xx n∗
−− = ∈se divide cu 7 dacă și numai dacă
numărul 1 2 10
1 2 10 3 3 3 … 3 3nn n
nn n Px x x x x−−
−− = ⋅ + ⋅ + ⋅ ++⋅+ ⋅ se divide cu 7.
Exercițiu: Arătați că numărul 1638 este divizibil cu 7.
Soluție: 32 1 0313 6 3338P= ⋅+ ⋅ + ⋅+ ⋅
27 1 9 6 3 3 1 8 98P= ⋅+ ⋅ + ⋅+⋅ =
7 | 98 7 |1638 ⇒
Exercițiu: Să se arate că numărul 785 nu este divizibil cu 7.
Soluție: 2103 7 3835P= ⋅+ ⋅+ ⋅
9 7 3 8 1 5 92P= ⋅ + ⋅+⋅ =
92 7 785 7//⇒
III.Un număr natural se divide cu 7 dacă suma produselor obținute prin înmulțirea
cifrei unităților cu 1, a cifrei zecilor cu 3, a cifrei sutelor cu 2, a cifrei miilor cu 6, a cifrei
zecilor de mii cu 4, a cifrei sutelor de mii cu 5, a cifrei milioanelor cu 1, a cifrei zecilor
de milioane cu 3 etc. este divizibil cu 7.
Exercițiu: Arătați ca numărul 1638 este divizibil cu 7.

60

Soluție: 1 83 32 66 1891 263 5⋅+⋅+⋅+⋅=++ + =
7 | 35 7 |1638 ⇒
Exercițiu: Să se arate ca numărul 785 nu este divizibil cu 7.
Soluție: 1 5 3 8 2 7 5 24 14 43⋅+⋅+⋅=+ + =
43 7 785 7//⇒ 43
2.3.10. Criteriul de divizibilitate cu 8
Un număr întreg este divizibil cu 8 dacă numărul format din ultimele sale trei cifre
este divizibil cu 8.
Regulă specială: Un număr de trei cifre este divizibil cu 8 dacă numărul format
de primele sale două cifre adunat cu jumătatea numărului format de cifra unităților (ultima
cifră) este divizibil cu 4.
Exemplu: Se dă numărul 592. 59 + 2 : 2 = 59 + 1 = 60.
60 se divide cu 4, deci numărul 592 se divide cu 8.
Exercițiu: Să se arate că numărul 756216 este divizibil cu 8.
Soluție: Se verifica dacă 216 este divizibil cu 8.
21+ 6 : 2 = 21 + 3 = 24
24 4 216 8 756216 8 ⇒⇒ 
Exercițiu: Să se arate că numărul 52698 nu este divizibil cu 8.
Soluție: Se verifica dacă 698 este divizibil cu 8.

43 Velcea Emilia, Giorgi Victoria, DIVIZIBILITATEA – SUPORT CURS OPȚIONAL -CLASELE V -VI,
http://isj.gj.edu.ro/resurse/2017/12/12/divizibilitatea -suport -curs-optional -clasele -v-vi-prof-giorgi –
victoria -prof-velcea- emilia/ pag. 9

61

69 + 8 : 2 = 69 + 4 = 73
73 4 698 8 52698 8// /⇒⇒ 
Observații: Un număr impar nu se divide cu 8.
În majoritatea cazurilor, suma dintre numărul de două cifre format de sute și zeci
și numărul format de jumătatea cifrei unităților va fi un număr de doua cifre. Suma va fi
de trei cifre numai pentru numerele cuprinse între 984 și 998, dar și în acest caz nu este
mai mare decât 103 (99 + 4 = 103).44
2.3.11. Criteriul de divizibilitate cu 11
I.Un număr întreg este divizibil cu 11 dacă suma dintre câtul și restul împărțirii
numărului dat la 100 este divizibilă cu 11.
Exercițiu: Arătați ca numărul 4037 este divizibil cu 11.
Soluție: 4037 : 100 = 40 rest 37
S = 40 + 37 = 77
11 4037 11S ⇒
Exercițiu: Să se arate că numărul 587 nu este divizibil cu 11.
Soluție: 587: 100 = 5 rest 87
S = 5 + 87 = 92
11 587 11S//⇒
II.Un număr întreg este divizibil cu 11 dacă suma cifrelor numărului respectiv,
adunate din doi în doi este egală cu suma celorlalte cifre rămase sau dacă diferența acestor sume (în cazul în care nu sunt egale) se divide cu 11.

44 Velcea Emilia, Giorgi Victoria, DIVIZIBILITATEA – SUPORT CURS OPȚIONAL -CLASELE V -VI,
http://isj.gj.edu.ro/resurse/2017/12/12/divizibilitatea -suport -curs-optional -clasele -v-vi-prof-giorgi –
victoria -prof-velcea- emilia/ PAG. 9

62

Exercițiu: Arătați că numărul 4037 este divizibil cu 11.
Soluție: 1437S=+=
207 7S=+=
12 11| 4037 SS= ⇒
Exercițiu: Numărul 3528041 este divizibil cu 11 ?
Soluție: 13201 6S=+++=
25 8 4 17S=++ =
21 17 6 11 SS− = −=21 11/( ) 11| 3528041SS ⇒ −⇒
Exercițiu: Să se arate că numărul 587 nu este divizibil cu 11.
Soluție: 15 7 12S=+=
28S=
( )12 12 12 8 4 11 587 11 SS SS // − = −=⇒ − ⇒ 
Este ușor să aplicăm acest criteriu dacă vom observa că numerele:
10 +1, 100 –1, 1000 +1, 10000 –1,100000 +1, etc. se divid cu 11.
Diferențele 100 – 1= 99, 10000 – 1= 9999, etc. sunt alcătuite dintr -un număr par
de 9, deci se divid cu 11.
Analog, sumele 10 +1=11, 1000 + 1 = 990 + 10 + 1= 99 ⋅10 + 11,
100000 + 1 = 9999 ⋅10 + 11, etc. sunt divizibile cu 11 deoarece fiecare suma se
descompune în doi termini divizibili cu 11 fiecare.

63

Exemplu:
3516282 3 1000000 5 100000 1 10000 6 1000 2 100 8 10 2 = ⋅ + ⋅ +⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +
Transformăm fiecare al doilea factor al înmulțirilor în sume și diferențe de tipul
celor arătate mai înainte.
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )3516282 3 1000000 1 1 5 100000 1 1 1 10000 1 1
6 1000 1 1 2 100 1 1 8 10 1 1 2= ⋅ −+ +⋅ −+ +⋅ −+ +
+⋅ −+ + ⋅ −+ +⋅ −+ + =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )3 1000000 1 3 5 100000 1 5 1 10000 1 1
6 1000 1 6 2 100 1 2 8 10 1 8 2=⋅ − ++⋅ + −+ ⋅ − + +
+ ⋅ +− + ⋅ −+ + ⋅ +− + =
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )3 1000000 1 5 100000 1 1 10000 1 6 1000 1
2 100 1 8 10 1 3 5 1 6 2 8 2= ⋅ −+ ⋅ ++ ⋅ −+ ⋅ ++
+⋅ − + ⋅ + + − +− + − + 
Toți termenii din paranteză dreaptă se divid cu 11. Divizibilitatea cu 11 a
numărului analizat depinde de divizibilitatea numărului din paranteza mică; dacă aceasta
se divide cu 11, atunci și numărul analizat se divide cu 11.
3 – 5 +1 – 6 + 2 – 8 = 2 = –11, 11 |(–11), deci numărul 3516282 se divide cu 11
În prima paranteză este scrisă diferența cifrelor numărului dat, ordonate din 2 în
2: (2 + 2 + 1 + 3) – (8 + 6 + 5) = –11
Dacă diferența sumelor cifrelor numărului analizat, adunate din 2 în 2, nu s -ar fi
împăr țit exact la 11, nici numărul nu s -ar fi împărțit exact la 11, deci nu ar fi fost divizibil
cu 11.
III.Un număr natural 1 2 10… ,nn n N xx x xx n∗
−− = ∈este divizibil cu 11 dacă și numai
dacă numărul ()012 … 1n
n Px x x x= − + − +− ⋅ este divizibil cu 11.
Exercițiu: Arătați ca numărul 58806 este divizibil cu 11.
Soluție: P = 6 – 0 + 8 – 8 + 5 = 11

64

11|11 11| 11| 58806 P ⇒⇒
Pentru o aplicare rapidă se efectuează diferența dintre suma cifrelor numărului de
pe poziții impare și suma cifrelor de pe poziții pare. Dacă această diferență se divide cu
11, atunci numărul se divide cu 11, deci se ajunge la criteriul II de divizibilitate cu 11.
Exercițiu: Să se afle cifra a care lip sește din numărul 37 10201a și numărul x
astfel încât să aibă loc egalitatea: ( )211 492 37 10201 xa ⋅==
Soluție: ( )211| 11 492 x ⋅+, prin urmare 11| 37 10201 a .
a fiind cifră, rezultă 09a≤≤ .
Conform criteriului de divizibilitate cu 11, putem scrie:
3 + a + 0 + 0 = 7 + 1 + 2 + 1, adică a + 3 = 11, deci a = 8.
( ) ( )211 492 37810201 11 492 37810201 xx ⋅+= ⇒ ⋅+ =  
( ) 37810201 6149 11 492 6149 67 xx = ⇒ ⋅ + = ⇒=45
2.3.12. Criteriul de divizibilitate cu 13
I.Un număr natural este divizibil cu 13 dacă suma dintre câtul și restul împărțirii
numărului dat la 40 este divizibilă cu 13.
Exercițiu: Arătați că numărul 4459 este divizibil cu 13.
Soluție : 4459 : 40 = 111 rest 19
S = 111+ 19 = 130
13 4459 13S ⇒

45 Velcea Emilia, Giorgi Victoria, DIVIZIBILITATEA – SUPORT CURS OPȚIONAL -CLASELE V -VI,
http://isj.gj.edu.ro/resurse/2017/12/12/divizibilitatea -suport -curs-optional -clasele -v-vi-prof-giorgi –
victoria -prof-velcea- emilia/ Pp. 10- 11

65

Exercițiu: Să se arate că numărul 652 nu este divizibil cu 13.
Soluție: 652 : 40 = 16 rest 12
S = 16 + 12 = 28
28 13 652 13//⇒
II.Un număr natural 1 2 10… ,nn n N xx x xx n∗
−− = ∈se divide cu 13 dacă și numai dacă
numărul () ()1 2
01 2 1 3 3 … 3 3nn
nn Px x x x x−
− = − ⋅ + ⋅ − +− ⋅ +− ⋅ se divide cu 13.
Exercițiu: Arătați că numărul 4459 este divizibil cu 13.
Soluție: 239 3 5 3 4 3 4 9 15 36 108 78P= −⋅+ ⋅− ⋅ = − + − = −
13 | 78 13 | 4459 ⇒
Exercițiu: Să se arate ca numărul 652 nu este divizibil cu 13.
Soluție: 22 3 5 3 6 2 15 54 41P= −⋅+ ⋅= − + =
41 13 652 13//⇒
2.3.13. Criteriul de divizibilitate cu 7, 11 și 13
Produsul numerelor 7, 11 și 13 este 1001. 1001 = 1000 + 1, deci se divide cu 7,
11 și 13. Dacă vom înmulți cu 1001 orice număr cu trei cifre, produsul se va scrie cu
aceleași cifre ca și deînmulțitul, repetate însă de doua ori.
Fie abc un număr oarecare. Să -l înmulțim cu 1001
1001abc
abc
abc
abcabc

66

Deci toate numerele de tipul abcabc se divid cu 7, 11 și 13. De asemenea se divide
cu 7, 11 și 13 numărul 999999 = 1000000 – 1.
Aceste proprietăți ne permit să reducem rezolvarea problemei divizibilității unui
număr cu mai multe cifre cu 7, 11 și 13 la divizibilitatea cu aceste numere a unui număr
format din numai trei cifre.
Exemplu: Dacă vrem să stabilim divizibilitatea numărului 42623295 cu 7, 11 și
13, despărțim acest număr de la dreapta spre stânga în grupe de câte trei cifre (ultimul
grup de cifre din stânga poate avea mai puțin de trei cifre).
42623295 295 623 1000 42 1000000 = + ⋅ +⋅
( ) ( ) 42623295 295 623 1000 1 1 42 1000000 1 1 = + ⋅ +− + ⋅ −+ =

Numărul din paranteza mare este divizibil cu 7, 11 și 13, deci divizibilitatea
numărului dat cu 7, 11 și 13 este determinat de divizibilitatea cu 7, 11 și 13 a numărului cuprins în paranteza mică.
295 – 623 + 42 = –286
Numărul –286 se divide cu 11 și 13 dar nu se divide cu 7, deci numărul 42623295
se divide cu 11 și 13 dar nu se divide cu 7.
Se poate enunța următorul criteriu de divizibilitate cu 7, 11 și 13 a unui număr cu
mai multe cifre: dacă diferența sumelor grupelor numărului dat, adunate din 2 în 2, se divide cu 7, 11 sau 13 atunci și numărul respectiv se divide cu 7, 11 sau 13.
Este evident că divizibilitatea cu 7, 11 și 13 a numerelor formate din 4, 5 sau 6
cifre, adică a numerelor care pot fi despărțite numai în două grupe este determinate de divizibilitatea cu 7, 11 și 13 a diferenței dintre grupele numărului respectiv.
Exemplu: Dacă se dă numărul 29575, calculăm 575 – 29 = 546.

67

546 se divide cu 7 și 13, dar nu și cu 11, deci numărului 29575 se divide cu 7 și
13 dar nu se divide cu 11.
Exemplu: Pentru numărul 31218001416 calculăm :
(416 + 218) –(1+31) = 634 – 32 = 602
602 se divide cu 7, dar nu se divide cu 11 și 13, deci numărul 31218001416 se
divide cu 7 dar nu se divide cu 11 și 13. 46
2.3.14. Criteriul de divizibilitate cu 3, 7 și 19
Produsul numerelor 3, 7 și 19 este 399.
Un număr întreg este divizibil cu 3, 7 și 19 sau cu 399 dacă numărul, obținut prin
următorul procedeu, este divizibil cu 3, 7 și 19 sau 399: se despart ultimele două cifre ale
numărului dat, iar la numărul rămas se adună numărul despărțit înmulțit cu 4; dacă este
necesar se va repeta procedeul până se va obține un rezultat a cărui divizibilitate cu 3, 7
și 19 sau 399 este evidentă.
Dacă numărul obținut prin acest procedeu nu se împarte exact la 399 sau la factorii
săi, atunci nici numărul dat nu este divizibil cu 3, 7 și 19 sau 399.
Exercițiu: Verificați dacă numărul 138264 este divizibil cu 3, 7 și 19.
Soluție: 64 4 256⋅=
1382 + 256 = 1638
Se continuă procedeul: 38 4 152⋅=
16 + 152 = 168

46 Velcea Emilia, Giorgi Victoria, DIVIZIBILITATEA – SUPORT CURS OPȚIONAL -CLASELE V -VI,
http://isj.gj.edu.ro/resurse/2017/12/12/divizibilitatea -suport -curs-option al-clasele -v-vi-prof-giorgi –
victoria -prof-velcea- emilia/ pag. 12

68

168 se divide cu 3 și 7, dar nu se divide cu 19, deci numărul 138264 se divide cu
3 și 7 dar nu se divide cu 19.
Exercițiu: Verificați dacă numărul 40698 este divizibil cu 3, 7 și 19.
Soluție: 98 4 392⋅=
406 + 392 = 798
Se continuă procedeul: 98 4 392⋅=
7 + 392 = 399
399 se divide cu 3, 7 și 19, deci numărului 40698 se divide cu 3, 7 și 19.47
2.4. Curiozitati si magie in divizibilitatea numerelor
“Matematica este muzica rațiunii”, spunea James Joseph Sylvester, un
matematician englez. Cu toate acestea, mulți consideră matematica plictisitoare, o
înșiruire de teoreme, teorii, fracții și ecuatii care par să nu aibă nicio legatură cu lumea
reală. 48 Voi prezenta în continuare o lista de curiozități matematice care ar putea să
schimbe modul în care a fost vazut ă aceast ă disciplină pană acum.
2.4.1. Curiozități în domeniul divizibilității
2.4.1.1. Numere perfecte
Un număr perfect este un număr care are suma divizorilor, cu excepția lui însuși,
egală cu acel număr.49

47 Velcea Emilia, Giorgi Victoria, DIVIZIBILITATEA – SUPORT CURS OPȚIONAL -CLASELE V -VI,
http://isj.gj.edu.ro/resurse/2017/12/12/divizibilitatea -suport -curs-optional -clasele -v-vi-prof-giorgi –
victoria -prof-velcea- emilia/ pp. 12- 13
48 http://yuppy.9am.ro/stiri/Yuppy/Entertainment/269048/15 -curiozitati -matematice -pe-care- merita -sa-le-
citesti.html
49 Ioan Popovici , Arta și magia matematicii, Editura Sfera Bârlad 2010 pag. 124

69

Vechii greci aveau un respect deosebit pentru aceste numere și le numeau
„arithmosteleios” adică „num ărul limitat la el însuși”, în traducerea actual ă num ăr
perfect .
Se spune că Euclid ar fi arătat că dacă 2n – 1 este număr prim, atunci 2n – 1(2n – 1)
este num ăr perfect.
Până în prezent nu s-a găsit nici un număr perfect care să nu verifice condi ția
lui Euclid

Alte proprietăți ale numerelor perfecte:
1) Toate numerele perfecte se termină cu cifra 6 sau cu cifra 8, după cum se
poate observa în tabelul următor:

70

Numerele de forma 2n-1 se numesc Mersenne
2) Primele 4 numere în reprezentare binară sunt:

2.4.1.2. Numere prietene
Perechile de numere care se „acoperă” reciproc, se bucurau de un mare interes în
vechea Grecie și erau numite „philoi arithmoi” adică numere prietene (în unele surse le
găsim cu numele de numere amiabile ). Aici prin „acoperire” înțelegem proprietatea
că fiecare dintre cele două numere are suma divizorilor egală cu celălalt număr, cu
excepția numărului însuși .
Prima pereche de numere prietene este 220 cu 284. Suma divizorilor lui 220 este
1+ 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284, iar suma divizorilor lui 284este
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.
Matematicianul arab Tabit ibn Korra (secolul X) a găsit un algoritm de generare
a unor perechi de numere prietene. Acest algoritm a fost publicat fără demonstrație de
către Descartes în anul 1638.50
2.4.1.3. Alte curiozități
1. Cicadele folosesc numerele prime ca o strategie de supravietuire
Cicada hibernează sub pământ pentru perioade foarte lungi de timp – între 13 și
17 ani – înainte de a se împerechea. Atât 13 cât și 17 sunt numere prime.

50 https://cnamd09.wikispaces.com/file/view/0904+Numere+speciale.pdf pag. 85- 87

71

Se crede că cicadele folosesc aceste numere prime ca o strategie de supraviețuire
deoarece în timpul anilor numerotați altfel șansele să întâlnească prădători sunt mai mari.
2. Volumul pentru o pizza:
O pizza care are raza “z” și înălțimea “a”, va avea volumul: Pi × z × z × a;
5152
3. Numărul 2520
Dacă împărțim acest număr la oricare dintre numerele de la 1 la 10 se obține restul
0, ceea ce înseamnă că 2520 este multiplu comun al numerelor de la 1 la 10, mai exact
este cmmmc al acestor numere.
4. Numărul 37

51 pizzagifs.tumblr.com
52 http://yuppy.9am.ro/stiri/Yuppy/Entertainment/269048/15 -curiozitati -matematice -pe-care- merita -sa-le-
citesti.html

72

Dacă înmulțim 37 cu un multiplu al lui 3 cuprins între 3 și 27 se obțin rezultate
formate din aceeași cifră, cifra fiind egală cu multiplul lui 3 împărțit la 3:
Exemplu:
37 x 3 = 111 3: 3 = 1
37 x 6 = 222 6: 3 = 2
…
37 x 27 = 999 27 : 3 = 9
Din e xemplu l de mai sus : 37 x 12 = 444, 12: 3 =4
Și magia poate continua: suma cifrelor câtului este egală cu numărul pe care îl
înmulțim cu 37 (în cazul nostru 4+4+4=12)
5. Numărul 12345679
Dacă înmulțim numărul 12345679 cu un multiplu al lui 9 cuprins între 9 și 81 se
obțin rezultate formate din aceeași cif ră, cifra fiind egală cu multiplul lui 9 împărțit la 9
Exemplu: 12345679 x 63 = 777777777
Observăm de asemenea că acest număr magic este format din cifrele consecutive
de la 1 la 9 cu excepția lui 8.
6. Numărul 15873 Dacă înmulțim numărul 15873 cu un multipl u al lui 7 cuprins între 7 și 63 se obțin
rezultate formate din aceeași cifră, cifra fiind egală cu multiplul lui 7 împărțit la 7. Este
similar cu exemplul precedent dar avem alt număr pe care îl înmulțim cu un multiplu al
lui 7.
Exemplu: 15873 x 63 = 999999
53
Pag. 127

53 Ioan Popovici Arta și magia matematicii, Editura Sfera Bârlad 2010, pag. 127

73

7. Numerele „vampir”
Numerele vampir sunt numerele care au aceleași cifre ca și termenii operațiilor
matematice ale căror rezultate sunt. Exemplu: 51 x 3 = 153 .
În anexa „Numere vampir” de la sfârșitul cărții veți găsi cele mai importante
numere de acest gen.54
2.4.2. Magie matematică în domeniul divizibilității
1. Știți care este numărul divizibil cu toate numerele de la 1 la 10?
Matemagicianul poate obține acest număr în mintea participantului plecând de la
un număr secret ales la întâmplare astfel:
1.Alege un număr cu două sau mai multe cifre diferite, de exemplu ( 423);
2.Scrie răsturnatul lui; 324
3.Scade din cel mai mare număr pe cel mai mic; 423-324=99
4.Adună 23; 99+23=122
5.Dacă rezultatul are mai mult de o cifră adună cifrele numărului obținut;
1+2+2=5
6. Ri dică la pătrat rezultatul obținut; 52=25
7.Alipește numărul cu el însuși; 2525
8. Scade numărul pe care l -ai ridicat la pătrat; 2525- 5=2520
9.Știi că acest număr este diviz ibil cu toate numerele de la 1 la 10?
Poți obține din el un număr care împărțit la oricare din numerele de la 1 la 9 dau
restul cu 1 mai mic decât împărțitorul?
2. Numere divizibile cu 8
Matemagicianul propune:

54 Ioan Popovici Arta și magia matematicii, Editura Sfera Bârlad 2010, pag. 125

74

-Scrieți un număr oricât de mare și eu voi alipi o singură cifră pentru a obține un
număr divizibil cu 8.
Numărul propus de participant este 27548932, matemagicianul alipește la acest
număr cifra 0 și numărul devine 275489320.
Cum a făcut matemagicianul?
A împărțit numărul format din ultimele 3 ci fre la 8 așa cum am învățat sau are un
alt secret? Această metodă este mai grea decât cea pe care a
folosit -o matemagicianul:
-Astfel a adunat numărul format din ultimele două cifre ale numărului propus de
către participant cu cel mai mic număr de o cifră astfel încât să obțină un număr de 2 cifre
divizibil cu 4, iar cifra pe care o alipește este dublul cifrei adunate la numărul de două
cifre: 32 este numărul format din ultimele 2 cifre ale numărului propus de participant ,
dacă adunăm 0 sau 4 vom obține numere divizibile cu 4, 32 și 36, deci cifrele pe care le
putem aduna sunt 0x2=0 sau 4×2=8.
3. Numere divizibile cu 9
Matemagicianul propune: Scrieți un număr oricât de mare și eu voi alipi una sau
două cifre pent ru a obține un număr divizibil cu 9.
Numărul propus de participant este 27548932, iar matemagicianul alipește la
acest număr cifra 5 și numărul devine 275489325.
Cum a procedat matemagicianul?
Matemagicianul a adunat cifrele numărului ales și rezultatul l-a împărțit la 9
obținând restul 4 sau mai simplu astfel: 2+7=9, 5+4=9 8+9=17 adică 9+8, 8+3=11 adică 9+2, 2+2=4, iar până la 9 este nevoie de 5.
4. Numere divizibile cu 37
Matemagicianul propune:

75

-Scrieți un număr de 3 cifre, iar eu voi adăuga altele pentru a obține numere
divizibile cu 37.
Numărul propus de participant este 275, iar matemagicianul a alipit numărul
format din cifrele 5 0 2 obținând numărul 275502, număr care es te divizibil cu 37.
Matemagicianul, la același număr adaugă în față 201 și în spate 301 și obține numărul
201275301 care este divizibil cu 37.
Secretul matemagicianului este:
A propus numerele astfel încât sumele cifrelor corespondente să fie egale:
5+2= 0+7=2+5 pentru primul exemplu și 2+2+3=0+7+0=1+5+1.
5. Numere divizibile cu 7, 11, 13
Matemagicianul propune:
Alege un număr de trei cifre diferite, de forma abc, apoi formează cu ajutorul lor
un număr de 6 cifre alipind numărul la el însuși. Numărul obținut este divizibil prin 7, 11,
13 și prin numărul inițial deoarece:
abcabc = abc x 1001 = abc x 7 x 11 x 13
Trucul se poate repeta cerând ca cifrele numărului abc să fie consecutive, și atunci
numărul abcabc este divizibil și cu 3, iar dacă cifrele abc sunt consecutive iar a este număr
par, atunci numărul abcabc este divizibil cu 2, 3, 6, 7, 11, 13 și cu abc (numărul inițial).
6. Numere divizibile cu 3, 37 și 333667
Matemagicianul propune:
Alege un număr de trei cifre diferite, de forma abc, formează cu ajutorul lor un
număr de 9 cifre alipind numărul la el însuși de două ori. Numărul obținut abcabcabc este
divizibil prin 3, 37, 333667 și prin numărul inițial deoarece

76

abcabcabc = abc x 1001001 = abc x 3×33366755
7. Aflarea cifrei lipsă din rezultat
Matemagicianul scrie un număr cu mai multe cifre (46589355) și propune:
1.Înmulțiți acest număr cu orice număr natural pe care doriți
2.Comunicați -mi rezultatul omițând o cifră cu excepția cifrei 0
(participantul a înmulțit acest număr cu 14 și a obținut 652250970)
Participantul comunică 65250970
Matemagicianul anunță că cifra omisă este 2.
Cum a calculat matemagicianul?
Observăm că numărul propus de matemagician este divizibil cu 9 și el a apelat la
o altă proprietate a numerelor divizibile cu 9 –suma cifrelor numărului este divizibilă cu
9.
Dacă adunăm cifrele comunicate de participant observăm că ar mai trebui 2 pentru
a obține un număr divizibil cu 9.
Același truc se poate face cerând la etapa a 2 -a să omită orice cifră cu excepția
cifrei 9. Trebuie pusă condiția de la la etapa a 2 -a pentru că prin eliminarea lui 0 sau lui
9 rezultatul nu este influențat (numărul rămâne divizibil prin 9) și nu vom ști dacă a fost eliminat 0 sau 9 .
8. Aflarea rezultatului dorit
Matemagicianul scrie următorul număr de 8 cifre pe o bucată de hârtie 1 2 3 4 5 6
7 9, care este ușor de reținut. Din cifrele de la 1 la 9 lipsește cifra 8, apoi propune: vă voi spune cu cît trebuie să înmulțiți acest număr astfel încât să se obțină un rezultat format
din cifra dorită și cere unui participant să spună care este cifra dorită.

55 Ioan Popovici Arta și magia matematicii, Editura Sfera Bârlad 2010, pp. 81 -84

77

Participantul răspunde: 7
Matemagicianul: înmulțește numărul participantului cu 63
1 2 3 4 5 6 7 9 x
6 3
7 7 7 7 7 7 7 7 7
Ai obținut răspunsul format numai din cifra dorită: 7
Care este secretul matemagicianului?
Matemagicianul înmulțește în minte cifra solicitată de către participant cu 9 și
apoi îi comunică participantului numărul cu care trebuie să înmulțească numărul magic.
În cazul nostru 7×9=63
În cazul în care cifra dorită ar fi 3, numărul cu care trebuie să înmulțim numărul
magic este 3×9=27
12345679 x 7=333333333, etc56
9. Suma cifrelor unui număr la adunare
Matemagicianul propune:
1.-Alegeți un număr;
2.-Înmulțiți- l cu 10;
3.-Scădeți din rezultat numărul inițial;
4.-Adunați 23;
5.-Adunați cifrele rezultatului;
6.-Dacă ați obținut un număr cu 2 cifre adunați din nou cifrele.
Ați obținut 5?

56 Ioan Popovici Arta și magia matematicii, Editura Sfera Bârlad 2010, pp. 79 -80

78

10. Suma cifrelor unui număr la scădere II
Matemagicianul propune:
1.-Alegeți un număr ;
2.-Înmulțiți- l cu 8;
3.-Adunați cele două numere;
4.-Scădeți 11;
5.-Adunați cifrele rezultatului;
6.-Dacă ați obținut un număr cu 2 cifre adunați din nou cifrele.
Ați obținut 7?
Cum a aflat matemagicianul rezu ltatul?
Matemagicianul cunoaște una dintre proprietățile numerelor divizibile cu 9 și
anume că suma cifrelor acelui număr efectuată până când se obține un număr cu o cifră,
acest număr este 9.
Dacă la un număr divizibil cu 9 adunăm oricare număr pe care î l scriem sub forma
9n+a, suma cifrelor va fi „ a”, în exemplul F.2.1. numărul obținut după etapa a 3 -a este
divizibil cu 9, în etapa a 4- a am adunat 23 pe care îl scriem 23=9×2+5, în acest caz a=5 –
rezultatul calculului.
Dacă dintr -un număr divizibil cu 9 scădem oricare număr pe care îl scriem sub
forma 9n -b, suma cifrelor va fi „9 -b”, în exemplul F.2.2. numărul obținut după etapa a 3 –
a este divizibil cu 9, în etapa a 4- a am scăzut 11 pe care îl scriem 11=9×2 -7, în acest caz
b=7 – rezultatul calculului.
Obse rvăm că pentru astfel de trucuri de magie matematică este important să
obținem numărul divizibil cu 9, acesta se poate obține prin metodele prezentate mai sus
la care se adaugă urmăroarele:
-înmulțim un număr oarecare cu 9;
-înmulțim un număr oarecare de două ori cu 3;
-înmulțim un număr oarecare cu un multiplu al lui 9;

79

-scriem un număr cu cifre diferite și răsturnatul lui și scădem din cel mai mare pe
cel mai mic (pentru a obține un număr natural);
-scădem dintr -un număr oarecare suma cifrelor lui;
-scriem un număr din câte cifre dorim și cu aceleași cifre scrise în altă ordine
formăm alt număr, scădem din cel mai mare pe cel mai mic și obținem un număr divizibil
cu 9;
-diferența dintre două numere diferite care au suma cifrelor identică;
-numerele de forma abcabcabc;
-un număr format din 9 cifre consecutive, etc.57
Capitolul 3. CONSIDERAȚII METODICE PRIVIND
PREDAREA – ÎNVĂȚAREA DIVIZIBILITATII
3.1. Conceptul de divizibilitate
Divizibilitatea este însușirea de a putea fi divizat.
De asemenea divizibilitatea este proprietatea a două numere întregi, a două
polinoame etc. de a se împărți exact (fără rest) între ele. – Denumirea provine de
din cuvântul de origine franceză: divisibilité .58
Un număr natural a se divide cu un număr natural b, dacă exista un număr natural
c astfel încât a = b ⋅c.
Scriem: ab Citim: a este multiplu de b sau a este divizibil cu b
b |a b este divizor al lui a sau b divide a
ab/ a nu este divizibil cu b sau a nu este multiplu de b
|ba b nu divide a sau b nu este divizor al lui a
Exemplu: 4/36 sau 36 4 deoarece ∃ 9 ∈ N astfel încât 36 = 9 ⋅4
Mulțimea divizorilor numărului 36: { }361, 2,3, 4, 6,9,12,18,36 D=

57 Ioan Popovici Arta și magia matematicii, Editura Sfera Bârlad 2010, Pag. 76 -78
58 https://dexonline.ro/definitie/divizibilitate

80

1 și 36 sunt divizorii improprii ai lui 36
2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 sunt divizorii proprii ai lui 36
Mulțimea multiplilor numărului 36: M36 = {0, 36, 72, 108, …,36n, …}, n ∈ N59

3.2. Programa școlară
Programa școlară pentru clasa a V -a pentru anul școlar 2017- 2018 este
următoarea:
Domenii de
Conținuturi
Conținut

Numere 1. NUMERE NATURALE
Operații cu numere naturale

Scrierea și citirea numereor naturale; reprezentarea pe axa numerelor;
compararea și ordonarea numerelor naturale; aproximări, estimări
Adunarea numerelor naturale, proprietăți; scăderea numerelor naturale
Înmulțirea numerelor naturale, proprietăți; factor comun
Împărțirea cu rest zero a numerelor naturale; împărțirea cu rest a numerelor naturale

Puterea cu exponent natural a unui număr natural; pătratul unui număr natural; reguli de calcul cu puter i; compararea puterilor; scrierea în baza
10; scrierea în baza 2 (fără operații)

Ordinea efectuării operațiilor; utilizarea parantezelor: rotunde, pătrate și
acolade
Metode aritmetice de rezolvare a problemelor: metoda reducerii la unitate, metoda comparaț iei, metoda figurativă, metoda mersului invers,
metoda falsei ipoteze

59 Velcea Emilia, Giorgi Victoria, DIVIZIBILITATEA – SUPORT CURS OPȚIONAL -CLASELE V -VI,
pag. 5

81

Numere. 2. FRACȚII ORDINARE. FRACȚII ZECIMALE
Organizarea Fracții ordinare
datelor Fracții ordinare; fracții subunitare, echiunitare, supraunitare; procente; fracții
echivalente
(prin reprezentări)
Compararea fracțiilor cu același numitor/numărător; reprezentarea pe axa
numerelor a unei fracții ordinare
Introducerea și scoaterea întregilor dintr -o fracție
Cel mai mare divizor comun a două numere naturale (fără algoritm); amplificarea
și simplificarea fracțiilor; fracții ireductibile

Cel mai mic multiplu comun a două numere naturale (fără algoritm); aducerea
fracțiilor la un numitor comun
Adunarea și scăderea fracțiilor
Înmulțirea fracțiilor, puteri; împărțirea fracțiilor
Fracții /procente dintr -un număr natural sau dintr -o fracție ordinară

Fracții zecimale
Fracții zecimale; scrierea fracțiilor ordinare cu numitori puteri ale lui
10 sub formă de fracții zecimale; transformarea unei fracții zecimale
cu un număr finit de zecimale nenule în fracție ordinară
Aproximări; compararea, ordonarea și reprezentarea pe axa numerelor
a unor fracții zecimale cu un număr finit de zecimale nenule
Adunarea și scăderea fracțiilor zecimale cu un număr finit d e zecimale
nenule
Înmulțirea fracțiilor zecimale cu un număr finit de zecimale nenule Divizibilitatea numerelor naturale
Divizor; multiplu; divizori comuni; multipli comuni
Criterii de divizibilitate cu: 2, 5, 10n , 3 și 9; numere prime; numere compuse

82

Împărțirea a două numere naturale cu rezultat fracție zecimală;
aplicație: media aritmetică a două sau mai multor numere naturale;
transformarea unei fracții ordinare înt r-o fracție zecimală;
periodicitate
Împărțirea unei fracții zecimale cu un număr finit de zecimale nenule
la un număr natural nenul; împărțirea a două fracții zecimale cu un
număr finit de zecimale nenule
Transformarea unei fracț ii zecimale periodice în fracție ordinară
Număr rațional pozitiv; ordinea efectuării operațiilor cu numere
raționale pozitive
Metode aritmetice pentru rezolvarea problemelor cu fracții în care intervin și unități de măsură pentru lungime, arie, volum, capa citate,
masă, timp și unități monetare

Probleme de organizare a datelor; frecvență; date statistice organizate
în tabele, grafice cu bare și/sau cu linii; media unui set de date statistice

Geometrie 3. ELEMENTE DE GEOMETRIE ȘI UNITĂȚI DE MĂSURĂ
Punct, dreaptă, plan, semiplan, semidreaptă, segment (descriere, reprezentare, notații
1)
Pozițiile relative ale unui punct față de o dreaptă; puncte coliniare; „prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una”; pozițiile
relative a două drepte: dre pte concurente, drepte paralele

Distanța dintre două puncte; lungimea unui segment; segmente congruente (construcție); mijlocul unui segment; simetricul unui punct față de un punct

Unghi: definiție, notații, elemente; interiorul unui unghi, exteriorul
unui unghi
Măsura unui unghi, unghiuri congruente (măsurarea și construcția cu raportorul); clasificări de unghiuri: unghi drept, unghi ascuțit, unghi
obtuz; unghi nul, unghi alungit

Calcule cu măsuri de unghiuri exprimate în grade și minute sexagesimale

83

Figuri congruente (prin suprapunere); axa de simetrie (prin
suprapunere)
Unități de măsură pentru lungime, aplicație: perimetre; unități de măsură pentru arie , unități de măsură pentru volum

Competențe generale:
1. Identificarea unor date, mărimi ș i relații matematice, în contextul în care acestea
apar
2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse
în diverse surse informaționale
3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice
4. Exprimarea în limbajul specific matematicii a informațiilor, concluziilor și
demersurilor de rezolvare pentru o situație dată
5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situații date
6. Modelarea matematică a unei situații date, prin integrarea achizițiilor din diferite
domenii

Competențe specifice

1. Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar
1.1. Identificarea numerelor naturale în contexte variate
1.2. Identificarea fracțiilor ordinare sau zecimale în contexte variate
1.3. Identificarea noțiunilor geometrice elementare și a unităților de măsură în diferite contexte

2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în
diverse surse informaționale
2.1. Efectuarea de calcule cu numere naturale folosind operațiile aritmetice și proprietățile acestora
2.2. Efectuarea de calcule cu fracții folosind proprietăți ale operațiilor aritmetice

84

2.3. Utilizarea instrumentelor geometrice pentru a măsura sau pentru a construi
config urații geometrice
3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice
3.1. Utilizarea regulilor de calcul pentru efectuarea operațiilor cu numere naturale și pentru divizibilitate
3.2. Utilizarea de algoritmi pentru efectuarea operațiilor cu fracții ordinare sau zecimale
3.3. Determinarea perimetrelor, a ariilor (pătrat, dreptunghi) și a volumelor (cub,
paralelipiped dreptunghic) și exprimarea acestora în unități de măsură corespunzătoare
4. Exprimarea în limbajul specific matematicii a informațiilor, concluziilor și
demersurilor de rezolvare pentru o situație dată
4.1. Exprimarea în limbaj matematic a unor proprietăți referitoare la comparări,
aproximări, estimări și ale operațiilor cu numere naturale
4.2. Utilizarea limbajului specific fracțiilor/procentelor în situații date
4.3. Transpunerea în limbaj specific a unor probleme practice referitoare la perimetre,
arii, volume, utilizând transformarea convenabilă a unităților de măsură
5. Anali zarea caracteristicilor matematice ale unei situații date
5.1. Analizarea unor situații date în care intervin numere naturale pentru a estima sau pentru a verifica validitatea unor calcule
5.2. Analizarea unor situații date în care intervin fracții pentru a estima sau pentru a
verifica validitatea unor calcule
5.3. Interpretarea prin recunoașterea elementelor, a măsurilor lor și a relațiilor dintre ele,
a unei configurații geometrice dintr -o problemă dată
6. Modelarea matematică a unei situații date, prin integrarea achizițiilor din diferite
domenii 6.1. Modelarea matematică, folosind numere naturale, a unei situații date, rezolvarea
problemei obținute prin metode aritmetice și interpretarea rezultatului
6.2. Reprezentarea matematică, folosind fracțiile, a unei situații date, în context intra și
interdisciplinar (geografie, fizică, economie etc.)

85

6.3. Analizarea unor probleme practice care includ elemente de geometrie studiate, cu
referire la unități de măsură și la interpretarea rezultatelor

3.3. Proiectarea activității instructive
3.3.1. Proiectarea pedagogica a activitatilor de instruire si educatie. Moduri si
forme de organizare a activitatilor didactice .
Proiectarea activității didactice este determinată de cerința creșterii calității și
eficienței instruirii. Orice activitate trebuie să fie eficientă și este cu atât mai eficientă cu
cât este proiectată mai bine. Proiectarea activității didactice reprezintă un ansamblu de
procese și operații de anticipare a acesteia. I se asigură un caracter sistematic, rațional.
– procesul deliberativ de fixare mentală a pașilor ce vor fi parcurși in realizarea
instrucției și educației;
– un demers de anticipare a obiectivelor conținuturilor, metodelor și mijloacele de
învățare, a instrumentelor de evaluare și a relațiilor ce se stabilesc între toate aceste
elemente.
În conducerea desfășur ării activităților instructiv -educative, profesorul exercită
mai multe funcții:
a)- orientarea și planificarea activităților instructiv -educative:
• se începe cu studiul resurselor umane, materiale, al programelor scolare și al
mijloacelor de învățământ;
• precizarea obiectivelor și a conținuturilor;
• se aleg apoi strategiile didactice, metodele, mijloacele de învățare, formele de
activitate cu elevii și instrumentele de evaluare.
b)- conceperea și desfașurarea metodică a lecțiilor în concordanță cu obiect ivele
vizate;
c)- dirijarea proceselor de predare- învățare:

86

• dirijarea directă a proceselor de predare se obține folosind metodele de
comunicare expozitive și interogative;
• dirijarea indirectă presupune folosirea parțială a metodelor interogative și, pe
scară largă, a metodelor activ –participative (euristice);
• dirijarea euristică dezvoltă la elevi creativitatea și îi ajută să redescopere noi
adevăruri prin efort propriu de gândire.
d)- reglarea procesului de învățare pe baza de feed- back:
• feed -back -ul are funcția de control, de reglare și autoreglare;
• profesorul poate regla din mers predarea și învățarea; profesorul poate să ia
microdecizii în scopul optimizarii procesului de predare -învățare mergând pâna la o
reproiectare a instruirii.
e)- controlul și evaluarea activităților de învatare a elevilor:
• prin metode de control si evaluare.
f)- optimizarea, ameliorarea și inovarea procesului de predare -invatare- evaluare;
optimizarea se realizează prin:
• precizarea obiectivelor pedagogice;
• structurare a logică a conținutului;
• adecvarea conținutului la nivelul de înțelegere al elevilor;
• folosirea mijloacelor moderne de învățământ;
• folosirea metodelor activ –participative;
•eficacitatea procesului de învățământ crește atunci când profesorul comunică
elevilor obiectivele operațiunilor (competiții specifice), îi motivează, îi determină să
participe activ la lecție;
• inovarea se obtine prin propunerea de noi mijloace si metode de invatamant, de
noi programe si materiale scolare.
g)- evaluarea ș i autoevaluarea activit ăților instructiv –educative:

• evaluarea este realizat ă prin asisten ța la ore, rapoarte de activitate, situaț ii
statistice privind rezultatele la î nvățătur ă.

87

Componentele proiectarii activităț ii didactice :
1.stabilirea obiectivelor activității
2.determinarea conținutului activităților
3.stabilirea strategiilor de predare –învățare în vederea realizarii obiectivelor
precizate
4.evaluarea rezultatelor obținute .
Cerințe didactice :
-proiectarea privește întreaga activitate instructive -educativă, indiferent de
amploarea ei și de cadrul de desfasurare
-proiectarea trebuie să fie o activitate continuă, permanentă care premerge
demersul instructive -educativ, trebuie urmărite adoptarea unor decizii anticipative și
stabilirea unui algoritm pe care trebuie să il urmeze proiectarea
-proiectarea presupune raportarea acțiunilor la trei cadre de referinta :
a) activitatea anterioară momentului în care este anticipat un anumit demers
b) situația existentă (cunoașterea condițiilor în care se va desfășura activitatea, a
resurselor, a mijloacelor disponibile)
c) stabilirea modului de organizare și desfașurare a activităților viitoare și
predicția rezultatelor ce urmează a fi obținute.
Conținuturile ș i structura proiectarii activit ății didact ice
1) cunoașterea resurselor și a condițiilor de desfasurare a procesului didactic;
trebuie cunoscute condițiile didactico -materiale la timpul de învățare
disponibil, la nivelul de pregătire al elevului, la capacitatea lui de învățare
2) organizarea conținutului procesului de instruire constă într -o analiza logico –
didactică a conținutului logico -informațional, în vederea sistematizării
acestuia, a accesibilității lui, a esențializării lui, a ritmului de parcurgere
3) precizarea scopurilor și a obiectivelor – scopul se referă la sarcina didactică
fundamentală, obiectivele la modul de realizare și evaluare a scopului stabilit.
4) stabilirea activităților de predare -învățare.

88

5) stabilirea modalității de evaluare a rezultatelor.
1, 2, 3 =condiții premergatoare activităților didactice, iar 4, 5 = moduri de
realizare și evaluare a rezultatelor obținute. Se realizează anticipat.60
Etapele proiectarii pedagogice
-definirea obiectivelor și a sistemelor de referință spațio–temporal;
-determinarea conținuturilor;
-stabilirea strategiei optime de acțiune;
-stabilirea criteriilor și a instrumentelor de evaluare
Niveluri ale proiectării pedagogice. Finalizarea proiectării pedagogice
– Proiecte elaborate pe: ciclu, an, semestru de învățământ, săptămână, oră;
– Proiecte el aborate pe: arii curriculare, disciplină școlară, temă, subiect.
1) Proiectarea anuală a activității are în vedere o perspectivă mai îndelungată
asupra predării unei discipline. Proiectarea anuală presupune:
a)definirea scopului instrucției educative urmăr ite în predarea acestei discipline
b)analiza structurilor conținutului și delimitarea lui în capitole, teme
c)stabilirea ritmului de parcurgere a materiei
d)distribuirea timpului pe activități de predare, de recapitulare și sinteză, și de
evaluare.
Rubrici : semestrul, capitolul, nr. ore alocat fiecarui capitol, forme de evaluare.
2)Proiectarea semestrială a activității este o continuare și o particularizare a
celei anuale. Consta in:
a)programarea capitolelor pe o anumită durată de timp b)stabilirea strateg iilor utilizate în parcurgerea acelor capitole, a metodelor,
procedelor, a mijloacelor de învățare, materiale didactice.

60 http://pshihopedagogie.blogspot.ro/2007/08/11- proiectarea -pedagogica -activitatilor.html

89

Rubrici: Obiective operaționale, tema capitol, perioada de realizare, nr. ore,
mijloace de învățământ.
3)Proiectarea sistemului de lecț ii adică a acelor lecții care au o anumită legatură
unele cu altele
4) Proiectarea activității pe lecții – constituirea demersului educațional concret,
desfășurat într -o ora didactică și în care trebuie să fie prevazute cel puțin unele elemente
esențiale; proiectul unei lecții anticipează modul de definire al ei. El ține de anumite
condiții (resuse materiale, umane, dar și de o oarecare doză de realism, de idealitate). În
situațiile de la clasă unele prevederi ale proiectului de lecție nu pot fi realizate.
Rubrici : obiective opearaționale, (măsurabile și evaluabile), conținutul
informațional al lecției, strategiile didactice (metode, mijloace de învățământ, mijloace
materiale), tipuri de învățare, probe de evaluare, nr. de ore, perioada
Mai exist ă proiectare elaborată pe: ciclu, an, semestru, săptămână, oră.
În funcție de orizontul de timp luat ca referință, distingem doua tipuri
fundamentale de proiectare pedagogică:
– proiectarea globală – are drept referință perioada mai mare din timpul de
instruire: de la un ciclu școlar la un an de studiu; se concretizează în elaborarea planurilor
de învățământ și a programelor școlare;
– proiectarea eșalonată – are drept referință perioade mai mici de timp și se
concretizează in:
• planificarea anuala;
• planificarea semestriala;
• proiectarea unitatilor de invatare;
• proiectarea lectiei.61

61 http://pshihopedagogie.blogspot.ro/2007/08/11- proiectarea -pedagogica -activitatilor.html

90

3.4. Conceptul de strategie didactică
Strategia didactică este un termen de origine latină, ce trimite la domeniul militar;
în context pedagogic, este definită în diverse moduri; selectăm doar câteva definiții:
-ansamblu de forme, metode, mijloace tehnice și principii de utilizare a lor, cu
ajutorul cărora se vehiculează conținuturile în vederea atingerii obiectivelor62;
-ansamblu de operațiuni și operații de preda re-învățare în mod deliberat
structurate sau programate, orientate în direcția atingerii, în condiții de maximă eficacitate
a obiectivelor prestabilite63;
-ansamblu de decizii vizând desfășurarea procesului instructiv- educativ, în
vederea atingerii unor obiective, decizii adecvate situațiilor concrete64;
-mod de abordare și rezolvare a sarcinilor concrete de instruire65;
-ansamblu complex și circular de metode, tehnici, mijloace de învățământ și forme
de organizare a învățării, complementare, pe baza cărora profesorul elaborează un plan
de lucru împreună cu elevii, pentru a asigura eficiența învățării66;
-un mod de abordare a unei situații de instruire specifice, prin care se
raționalizează conținuturile instruirii și se determină structurile acționale pertinente
pentru atingerea obiectivelor prestabilite; are o strategie multinivelară: metode de
instruire, mijloace, forme de organizare a instruirii, interacțiuni și relații instucționale,
decizia instucțională și este fundamentală în procesul de optimizare a instruirii67.
Într-o abordare sintetică, ce valorifică numeroase încercări de clasificare a
strategiilor de instruire, R. Iucu propune următoarele criterii și categorii specifice:
• după domeniul activităților instrucționale predominante:
-strategii cognitive;

62 Ionescu, M., Chiș, V., 1995, Metodologia activității didactice, Ed. Dacia, Cluj -Napoca, pag. 6
63 Cerghit, I., 2002, Sisteme de instruire alternative și complementare, Aramis, București, pag. 276
64 Noveanu, 1983, Metode de instruire formativă la disciplinele fundamentale, E.D.P., București, pag. 58
65 Albulescu, I., Albulescu, Mirela, 2000, Predarea și învățarea disciplinelor socioumane, Polirom, Iași,
pag. 80
66 Oprea, Crenguța- Lăcrămioara, 2006, Strategii didactice interactive, E.D.P., București, pag. 24
67 Iucu, R., 2008, Instruirea școlară.Perspective teoretice și aplicative, Polirom, Iași, pp. 119 -120

91

-strategii psihomotrice;
-strategii afectiv -motivaționale;
-strategii combinatorii.
• după logica procesului de gândire:
-strategii inductive (în care procesul cognitv evoluează de la percepția intuitivă la
explicație, de la concret la idee);
-strategii deductive (în care procesul cognitiv evoluează de la principiu la
exemplu, de la idee la fapt);
-strategii analogice (în care traseul cognitiv este mediat printr -un model);
-strategii transductive (în care traseul cognitiv e sinuos și apelează la raționamente
tranzitive, metaforice, eseistice etc.);
-strategii mixte (ce presupun un traseu cognitiv de tip compilativ, interactiv și
dinamic).
• după gradul de structurare a sarcinilor de instruire (directivitate/permisivitate):
-strategii algoritmice (dirijarea învățării ete strictă, cu comportamente specifice
fiecărui obiectiv);
-strategii semi- precise, nealgoritmice (învățarea nu este strict dirijată, iar
comportamentele vizate de obiective nu sunt clar conturate, lăsând loc deciziilor
secundare):
-strategii euristice (care cultivă comportamentul de căutare și descoperirea și
sprijină elevul în luarea deciziilor)68 69
3.4.1. Generalități
Din punct de vedere etimologic , termenul "metodă" provine din limba greacă
("metha" = "spre"; "odos" = "cale") și desemnează o cale eficientă de urmat pentru
atingerea anumitor scopuri.

68 Iucu, R ., 2008, Instruirea școlară.Perspective teoretice și aplicative, Polirom, Iași, pp. 121 -122
69 Mariana MOMANU, Curs Pedagogie II, Teoria și metodologia instruirii. Teoria și metodologia
evaluării, http://www.psih.uaic.ro/dppd/postuniv/15 -16/teme_pedagogieII.pdf , pp. 4 -5

92

Prin " metodă de învățământ " se înțelege, așadar, o modalitate comună de acțiune
a cadrului didactic și a elevilor în ve derea realizării obiectivelor pedagogice. Cu alte
cuvinte, metoda reprezintă „un mod de a proceda care tinde să plaseze elevul în -tr-o
situație de învățare, mai mult sau mai puțin dirijată”70
Sub raportul structurării, metoda este un ansamblu organizat de operații, de
procedee.
În anumite situații, o metodă poate deveni procedeu în cadrul altei metode (ex.
problematizarea poate fi inclusă într -o demonstrație).
Metodologia didactică desemnează sistemul metodelor utilizate în procesul de
învățământ precum și teoria care stă la baza acestuia. Sunt luate în considerare: natura,
funcțiile, clasificarea metodelor de învățământ, precum și caracterizarea, descrierea lor,
cu precizarea cerințelor de utilizare.
Metodele de învățământ sunt un element de bază al strateg iilor didactice, în
strânsă relație cu mijloacele de învățământ și cu modalitățile de grupare a elevilor. De
aceea, opțiunea pentru o anumită strategie didactică condiționează utilizarea unor metode
de învățământ specifice.
Totodată, metodele de învățământ fac parte din condițiile externe ale învățării,
care determină eficiența acesteia. De aici decurge importanța alegerii judicioase a
metodelor corespunzătoare fiecărei activități didactice.
Sistemul metodelor de învățământ conține:
– metode tradiționale , cu un lung istoric în instituția școlară și care pot fi păstrate
cu condiția reconsiderării și adaptării lor la exigențele învățământului modern;
– metode moderne , determinate de progresele înregistrate în știință și tehnică,
unele dintre acestea de exemplu, se apropie de metodele de cercetare științifică, punându –

70 Iucu Romiță, Instruirea școlară, Editura Polirom, Iași, 2001. Pag. 4

93

l pe elev în situația de a dobândi cunoștințele printr -un efort propriu de investigație
experimentală; altele valorifică tehnica de vârf (simulatoarele, cal culatorul).
În școala modernă, dimensiunea de bază în funcție de care sunt considerate
metodele de învățământ este caracterul lor activ adică măsura în care sunt capabile să
declanșeze angajarea elevilor în activitate, concretă sau mentală, să le stimuleze
motivația, capacitățile cognitive și creatoare.
Un criteriu de apreciere a eficienței metodelor îl reprezintă valențele formative ale
acestora, impactul lor asupra dezvoltării personalității elevilor.
3.4.2. Clasificarea metodelor de învățământ
Clasificarea metodelor de învățământ se poate realiza în funcție de diferite criterii.
I. după criteriul istoric:
-metode clasice ( tradiționale): expunerea, conversația, exercițiul etc.;
-metode moderne : studiul de c az, metoda proiectelor, metode de simulare,
modelarea etc.;
II. după funcția didactică prioritară pe care o îndeplinesc :
1) metode de predare -învățare propriu- zise, dintre care se disting:
a) metodele de transmitere și dobândire a cunoștințelor : expunerea,
problematizarea, lectura etc.;
b) metodele care au drept scop formarea priceperilor și deprinderilor : exercițiul,
lucrările practice etc.;
2) metode de evaluare ;
III. după modul de organizare a activității elevilor :
-metode frontale (expunerea, demonstrația); metode de activitate individuală
(lectura); metode de activitate în grup (studiul de caz, jocul cu roluri); metode combinate,
care se pretează mai multor modalități de organizare a activității (experimentul);

94

IV. după tipul de s trategie didactică în care sunt integrate :
-algoritmice (exercițiul, demonstrația);
-euristice (problematizarea);
V. după sursa cunoașterii (care poate fi experiența social -istorică a omenirii,
explorarea directă sau indirectă a realității sau activitatea personală), la care se adaugă un
subcriteriu: suportul informației (cuvânt, imagine, acțiune etc), prof. Cerghit propune o
altă clasificare71 72 și anume:
1. metode de comunicare orală: expozitive, interogative (conversative sau
dialogate); discuțiile și d ezbaterile; problematizarea;
2. metode de comunicare bazate pe limbajul intern (reflecția personală);
3. metode de comunicare scrisă (tehnica lecturii);
4. metode de explorare a realității :
a) metode de explorare nemijlocită (directă) a realității: observarea sistematică și
independentă; experimentul; învățarea prin cercetarea documentelor și vestigiilor
istorice;
b) metode de explorare mijlocită (indirectă) a realității: metode demonstrative;
metode de modelare;
5. metode bazate pe acțiune (operaționale sau practice):
a) metode bazate pe acțiune reală / autentică): exercițul; studiul de caz; proiectul
sau tema de cercetare; lucrările practice;
b) metode de simulare (bazate pe acțiune fict ivă): metoda jocurilor: metoda
dramatizărilor; învățarea pe simulatoare.

71 Cerghit Ioan, Metode de învățământ , ediția a III-a, Editura Didactică și Pedagogică R.A., București
1997
72 Cerghit Ioan, Neacșu Ioan, Negreț -Dobridor Ion, Pânișoară Ion Ovidiu, Prelegeri pedagogice , Editura
Polirom, Iași, 2001

95

Acestor categorii li se adaugă un alt tip de metode și anume metodele de
raționalizare a învățării și predării: metoda activității cu fișele; algoritmizarea; instruirea
programată; instruirea asistată de calculator (I.A.C.).73
3.4.3. Principalele metode de învățământ
Metodele expozitive (expunerea ) constau în transmiterea sistematică a unui
volum mare de cunoștințe prin intermediul cuvântului cadrului didactic. Pot îmbrăca
următoarele forme:
Povestirea constă în nararea unor fapte, evenimente, într -o formă expresivă,
menită să declanșeze stări afective la elevi. Se folosește cu prioritate la clasele primare.
Descrierea urmărește evidențierea părților componente sau caracteristicilor unui
obiect sau fenomen, de cele mai multe ori în prezența obiectului descris.
Explicația constă în clarificarea unui adevăr științific, pe baza unui șir de
argumentații.
Prelegerea const ă în transmiterea unui volum mare de informații, selectate și
organizate pe baza unui plan de idei. Pe parcursul prelegerii, profesorul recurge la
argumentări, definiții, comparații, exemple, concluzii în vederea prezentării accesibile și
convingătoare a t emei propuse.
Metodele expozitive sunt utilizate pentru transmiterea acelor cunoștințe care,
datorită volumului sau gradului de complexitate, nu pot fi dobândite de elevi prin efort
propriu.
Metodele expozitive se caracterizează printr -o serie de avantaje datorită cărora
sunt frecvent utilizate în învățământ. Dintre acestea, menționăm: reprezintă o cale simplă
și economică de comunicare a cunoștințelor (un volum mare de informații este transmis
într-un timp scurt); oferă posibilitatea unei abordări sistematizate și integrale a temei

73 Mihaela Moldoveanu Curs Metodele de învățământ, Capitolul XIII, pp. 4 59-462

96

tratate și, totodată; oferă posibilitatea clarificării noțiunilor de bază; furnizează un suport
pentru studiul individual; permit adaptarea discursului verbal la nivelul intelectual al
elevilor.
Pe de altă parte, metodele expozit ive sunt criticate pentru limitele (dezavantajele )
pe care le prezintă: determină la elevi o stare de receptare pasivă, cunoștințele fiindu -le
oferite sub formă de produse finite; conexiunea inversă nu se realizează în mod corespunzător ; nu există posibili tăți de tratare diferențiată a elevilor.
Ca variante noi ale metodelor expozitare menționăm:
– Conversația este o metodă care valorifică dialogul în vederea realizării
obiectivelor procesului de învățământ.
După funcția didactică vizată cu prioritate, se d esprind următoarele forme
principale ale conversației :
– conversația de verificare (catihetică) , în care întrebările sunt de tip reproductiv,
vizând cunoștințe predate și învățate și solicitând cu prioritate memoria;
– conversația euristică , în care întrebările sunt de tip productiv, solicitând cu
prioritate gândirea în prelucrarea și sistematizarea datelor cunoscute în vederea unor comparări, interpretări sau exprimări de opinii personale. Se ajunge astfel la cunoștințe
noi, „descoperite” de elevi prin efort personal (etimologic: "evriskein", gr. = "a
descoperi"). Se mai numește și conversație socratică; părintele ei fiind considerat filosoful
grec Socrate.
– Conversația de consolidare , prin care se urmărește repetarea și sistematizarea
cunoștințelor.
Formularea întrebărilor presupune respectarea următoarelor cerințe: să fie
formulate corect, simplu, accesibil; să fie adresate întregii clase; să nu sugereze răspunsul; să fie gradate și variate; să stimuleze operațiile gândirii, să declanșeze, pentru găsirea
răspunsului, o activitate intelectuală cât mai intensă; să fie urmate de o pauză suficientă pentru construirea răspunsului.

97

Elevii trebuie solicitați și îndrumați să adreseze și ei întrebări cadrului didactic
sau colegilor.
O altă categorie de cerințe vizează răspunsurile . Acestea vor fi: corect formulate,
din punct de vedere științific, stilistic și gramatical; complete; argumentate; sancționate
(confirmate) de cadrul didactic sau colegi.
Metoda dezbaterilor. Considerată ca variantă a metod ei conversației, metoda
dezbaterilor presupune luarea în discuție, de către un grup de cursanți, a unei probleme,
în condițiile în care: cursanții dispun de o pregătire în domeniu; există un climat favorabil
schimbului de opinii; profesorul are rolul de moderator.
Problematizarea. Esența acestei metode constă în crearea, pe parcursul învâțării,
a unor „situații -problemă” și rezolvarea acestora de către elevi care, pornind de la
cunoștințe anterior însușite, ajung la adevăruri noi. Noile cunoștințe nu mai sunt astfel „predate” elevilor gata elaborate ci sunt obținute prin efort propriu.
Problematizarea este o metodă cu un înalt potențial formativ; ea contribuie la
dezvoltarea operațiilor gândirii, a capacităților creatoare, la cultivarea motivației
intrinseci, la educarea independenței și autonomiei în activitatea intelectuală.
Problematizarea poate deveni un procedeu eficient de activare a elevilor în cadrul
altor metode (expunere, demonstrație) sau poate căpăta o extindere mai mare în metoda
studiului de caz (cazul este o problemă mai complexă).
Lectura (studiul cărții). În cazul acestei metode, sursa informațiilor o reprezintă
textul scris în primul rând manualul, dar și lucrări de specialitate, dicționare, enciclopedii,
reviste, culegeri ș.a. Elevii citesc cu intenția de a învăța, dobândind astfel cunoștințe prin
efort personal.
Observarea sistematică și independentă. Metoda presupune urmărirea,
investigarea unor obiecte sau fenomene în vederea obținerii de informații despre acestea.
Ca metodă de învățământ, observarea este intenționată, organizată și sistematică.

98

Experimentul. Ca și observarea, experimentul ca metodă didactică derivă din
metoda de cercetare cu același nume; servind însă realizării unor obiective pedagogice.
Experimentul constă în provocarea intenționată a unui fenomen în scopul studierii
lui.
Cele mai întâlnite forme ale experimentului sunt:
1. Experimentul cu caracter demonstrativ – realizat de profesor, în fața clasei, în
următoarea succesiune de etape: asigurarea unei pregătiri teoretice: sunt actualizate sau
prezentate cunoștințele teoretice care vor fi utilizate pe parcursul desfășurării activității
experimentale sau la prelucrarea datelor și stabilirea concluziilor; cunoașterea aparaturii
de către elevi: sunt descrise trusele, aparatele, instalațiile experimentale; executarea
lucrării experimentale de către profesor, cu explicarea demersurilor efectuate și asigurarea unei atitudini active din partea elevilor; elaborarea concluziilor, prin
antrenarea elevilor.
2. Experimentul cu caracter d e cercetare se aseamănă cel mai mult cu
experiemtnul ca metodă de cercetare și parcurge aproximativ etapele unei investigații
experimentale autentice: delimitarea unei probleme; emiterea de ipoteze; organizarea
unor situații experimentale; desfășurarea pro priu-zisă a experimentului, cu folosirea
aparaturii de laborator; prelucrarea și interpretarea datelor; confirmarea sau infirmarea ipotezei.
3. Experimentul cu caracter aplicativ urmărește confirmarea experimentală a unor
cunoștințe științifice anterior do bândite. Se parcurg următoarele etape: prezentarea sau
actualizarea cunoștințelor teoretice; prezentarea sarcinilor de lucru; organizarea activității elevilor: gruparea lor, repartizarea truselor; executarea activității experimentale de către
elevi sub îndrumarea cadrului didactic; consemnarea rezultatelor; comentarea rezultatelor și stabilirea concluziilor.
Utilizarea metodei experimentului este condiționată de existența unui spațiu
școlar adecvat (laborator școlar) și a unor mijloace de învățământ corespu nzătoare
(aparatură de laborator, truse, montaje etc.)

99

În cazul experimentului cu caracter de cercetare și al celui aplicativ activitatea
elevilor se poate organiza fie pe grupe, fie individual.
Ca și observarea sistematică, experimentul dispune de importante valențe
formative, stimulând activitatea de investigație personală și independența și favorizând
dezvoltarea intereselor cognitive.
Demonstrația. Această metodă constă în prezentarea, de către cadrul didactic, a
unor obiecte sau fenomene reale sau a unor substitute ale acestora, sau a unor acțiuni,
operații ce urmează a fi învățate și dirijarea, prin inter mediul cuvântului, a perceperii
acestora de către elevi. În felul acesta, se dobândesc noi cunoștințe, se confirmă adevăruri anterior însușite sau se formează modelul intern al unei noi acțiuni.
Modelarea. Această metodă constă în utilizarea modelelor ca s ursă pentru
dobândirea noilor cunoștințe.
Modelul didactic este un sistem artificial, construit prin analogie cu cel real
(originar), din care reține numai trăsăturile esențiale, semnificative. Modelul constituie
deci o simplificare, o schematizare a realu lui. Investigând modelul, operând cu acesta,
elevii dobândesc informații despre sistemul originar.
Exercițiul. Metoda se referă la executarea conștientă, sistematică și repetată a
unei acțiuni. În principal, prin această metodă se urmărește învățarea unor deprinderi, dar
mai pot fi atinse și alte obiective, cum ar fi consolidarea cunoștințelor sau stimularea unor
capacități sau aptitudini.
Exercițiul are o sferă mare de aplicabilitate, putând îmbrăca forme diferite în
funcție de obiectul de învățământ la ca re este utilizat. Pornind de la obiectivele urmărite,
exercițiile pot fi de mai multe tipuri: introductive, de bază, aplicative, de creație.
Eficiența acestei metode este condiționată de respectarea următoarelor cerințe :
pregătirea elevilor, sub aspect teo retic și motivațional, pentru executarea acțiunii;
explicarea și demonstrarea corectă a acțiunii de executat, în vederea formării modelului intern al acesteia; efectuarea repetată a acțiunii în situații cât mai variate; dozarea și
gradarea exercițiilor; cr eșterea progresivă a gradului de independență a elevilor pe

100

parcursul exersării; asigurarea unui control permanent, care să se transforme treptat în
autocontrol.
Metoda lucrărilor practice constă în efectuarea de către elevi a unor sarcini cu
caracter aplicativ: de proiectare, de execuție, de fabricație, de reparație. Prin această
metodă se realizează: învățarea de priceperi și deprinderi; achiziționarea unor strategii de
rezolvare a unor pr obleme practice; consolidarea, aprofundarea și sistematizarea
cunoștințelor.
Metoda proiectelor. Această metodă se bazează pe anticiparea mentală și
efectuarea unor acțiuni complexe, legate de o temă impusă sau aleasă de elevi. Activitatea elevilor se desf ășoară în mod independent, individual sau în grup, într -un timp mai
îndelungat (o săptămână, o lună etc.), presupune un efort de informare, investigare, proiectare sau elaborare și se soldează în final cu prezentarea unui produs finit (dispozitiv,
model, r eferat etc.), care va fi evaluat (de aceea, proiectul se întâlnește și ca metodă
complementară de evaluare).
Printre avantajele acestei metode, menționăm: posibilitatea unei abordări
interdisciplinare a temei; consolidarea și valorificarea tehnicilor de activitate intelectuală (de adunare, prelucrare și prezentare a informațiilor); stimularea inițiativei și
independenței elevilor în activități; dezvoltarea structurilor cognitive și a capacităților
creatoare ale acestora.
Metoda studiului de caz este metoda care valorifică în învățare „cazul”, adică o
situație reală, semnificativă pentru un anumit domeniu și care se cere a fi analizată și
rezolvată. „Cazul” ales trebuie să fie autentic, reprezentativ, accesibil, să conțină o
problemă de rezolvat prin adunare de informații și luarea unei decizii.
În utilizarea metodei se conturează următoarele etape : alegerea cazului de către
cadrul didactic; prezentarea lui elevilor; obținerea informațiilor necesare (cu ajutorul cadrului didactic sau în mod independent); prelucrarea informațiilor; elaborarea
variantelor de rezolvare; alegerea variantei optime; verificarea deciziei adoptate.

101

Valoarea metodei rezidă în faptul că favorizează investigarea unor situații reale,
dezvoltând capacități de analiză, interpretare, anticipa re, luare de decizii ș.a.
De cele mai multe ori metoda se bazează pe activități de grup, putând fi îmbinată
și cu jocul cu roluri.
Metode de simulare. Acest grup de metode se bazează pe simularea (imitarea)
unor activități reale, urmărindu -se în principal formarea de comportamente specifice
(cum ar fi cele profesionale).
Una dintre cele mai practicate metode de simulare este jocul cu roluri, care constă
în simularea unor funcții, relații, activități, ceea ce presupune: identificarea unei situații
ce se pret ează la simulare; distribuirea rolurilor între participanți; învățarea individuală a
rolului; interpretarea („jucarea”) rolurilor; discutarea în grup a modului în care au fost interpretate rolurile.
Eficiența metodei este condiționată de capacitatea participanților de a se transpune
î n r o l ș i d e a -și valorifica experiența în acest context. Profesorului, aflat mai ales în
ipostază de animator, i se cer și calități regizorale.
74
Alte metode de simulare se bazează pe utilizarea unor sisteme tehnice
(simulatoarele).
Metoda activității cu fișele este o metodă de învățare care presupune utilizarea
fișelor elaborate în prealabil de către profesor, conținând sarcini de lucru pe care elevii le rezolvă individual. Fișele pot avea roluri diverse: de suport în dobândirea de noi
cunoștințe, favorizând autoinstruirea; de control, de realizare a conexiunii inverse; de tratare diferențiată a elevilor, conținând sarcini diferite pentru diferitele categorii de elevi
din clasă.

74 Mihaela Moldoveanu Curs Metodele de învățământ, Capitolul XIII, pag. 471 -473

102

Instruirea programată este o metodă multifuncțională, cuprinzând o înșiruire de
algoritmi, dar și de probleme de rezolvat ,75 în cadrul căreia conținutul de învățat este
prezentat sub forma unui program.
În ultimii ani se conturează o categorie dist inctă de metode, bazată pe învățarea
prin colaborare . Învățarea prin colaborare este eficientă în funcție de luarea în
considerare a anumitor condiții : componența grupului privită sub raportul vârstei și al
nivelului intelectual al participanților, mărimii grupului și a diferențelor dintre membrii
grupului („eterogenitatea optimă”); sarcina de lucru (să se preteze la colaborare);
existența unor mijloace de comunicare adecvate. 76
Prіntrе mеtοdеlе cɑrе ɑctіvеɑză prеdɑrеɑ -învățɑrеɑ sunt șі cеlе prіn cɑrе еlеvіі
lucrеɑză pr οductіv unіі cu ɑlțіі, îșі dеzv οltă ɑbіlіtățі dе c οlɑbοrɑrе șі ɑ ϳutοr rеcіpr οc. Еlе
pοt ɑvеɑ un іmpɑct еxtrɑ οrdіn ɑr ɑsuprɑ еlеvіl οr dɑtοrіtă dеnumіrіlοr, c ɑrɑctеruluі ludіc
șі οfеră ɑltеrnɑtіvе dе învățɑrе cu ,,prіză” lɑ еlеvі.
În vеdеrе ɑ dеzv οltărіі gândіrіі crіtіcе lɑ еlеvі, trеbuіе să utіlіzăm, cu prеcădеrе
unеlе str ɑtеgіі ɑctіv -pɑrtіcіpɑtіvе, crеɑtіvе. Αcеstе ɑ nu trеbuіе ruptе dе cеlе trɑdіțі οnɑlе,
еlе mɑrcând un nіvеl supеrі οr în spіr ɑlɑ m οdеrnіzărіі str ɑtеgііlοr dіdɑctіcе.
Dіntrе mеtοdеlе m οdеrnе spеcіfіcе învățărіі ɑctіvе cɑrе p οt fі ɑplіcɑtе cu succеs lɑ
οrеlе dе m ɑtеmɑtіcă fɑc pɑrtе: brɑіnst οrmіngul, mеtοdɑ m οzɑіculuі, mеtοdɑ cubuluі,
turul gɑlеrіеі, cі οrchіnеlе.
Βrɑіnst οrmіngul еstеο mеt οdă c ɑrе ɑ ϳută lɑ crеɑrеɑ un οr іdеі șі c οncеptе crе ɑtіvе
șі іnοvɑtοɑrе. Pеntru un brɑіnst οrmіng еfіcіеnt, іnhіbіțііlе șі crіtіcіlе suspеnd ɑtе v οr fі
pusе dе -ο pɑrtе. Αstfеl еxprіmɑrеɑ vɑ dеvеnі lіbеră șі pɑrtіcіpɑnțіі lɑ un pr οcеs dе
brɑіnst οrmіng îșі v οr spunе іdеіlе șі părеrіlе fără t еɑmɑ dеɑ fі rеspіnșі sɑu crіtіcɑțі. Sе
еxpunе un c οncеpt, ο іdее s ɑu ο prοblеmă șі fіеc ɑrе îșі spunе părеrеɑ dеsprе cеlе еxpusе
șі ɑbs οlut tοt cееɑ cе lе trеcе prіn mіntе, іnclusіv іdеі c οmіcе s ɑu іnɑplіcɑbіlе.
О sеsіunе dе br ɑіnst οrmіng bіnе dіrі ϳɑtă dă fіеcăruі ɑ οcɑzіɑ dе ɑ pɑrtіcіpɑ lɑ
dеzbɑtеrі șі sе pοɑtе d οvеdі ο ɑcțіunе f οɑrtе cοnstructіvă.

75 Cucoș Constantin (coord.), Psihopedagogie pentru examenele de definitivare și grade didactice ,
Editura Polirom, Iași, 1998, pag. 159
76 Moldoveanu Mihaela, Oproiu Gabriela Carmen, Repere didactice și metodice în predarea disciplinelor
tehnice , Editura Printech, București, 2003, pag. 127

103

Еtɑpеlе unuі brɑіnst οrmіng еfіcіеnt sunt următ οɑrеlе:
• dеschіdеrеɑ sеsіunіі dе brɑіnst οrmіng în c ɑrе sе prеzіntă scοpul ɑcеstеіɑ șі sе
dіscută tеhnіcіlе șі rеgulіlе dе bɑză cɑrе v οr fі utіlіz ɑtе;
• pеrіοɑdɑ dе ɑc οmοdɑrе durеɑză 5 -10 mіnutе șі ɑrе cɑ οbіеctіv іntr οducеrе ɑ
grupuluі în ɑtm οsfеr ɑ brɑіnst οrmіnguluі, undе pɑrtіcіpɑnțіі sunt stіmulɑțі să dіscutе іdеі
gеnеrɑlе pеntru ɑ putеɑ trеcе lɑ un nі vеl supеrі οr;
• pɑrtеɑ crеɑtіvă ɑ brɑіnst οrmіnguluі ɑrе ο durɑtă dе 25 -30 dе mіnutе. Еstе
rеcοm ɑndɑbіl cɑ în tіmpul dеrulărіі ɑcеstеі еtɑpе, c οοrdοnɑtοrul (prοfеs οrul) să
ɑmіntеɑscă tіmpul cɑrеɑ trеcut șі cât tіmp ɑ mɑі rămɑs, să “prеsеzе” pɑrtіcіpɑnțіі șі în
fіnɑlul părțіі crеɑtіvе să mɑі ɑc οrdе câtе 3 -4 mіnutе în plus. În ɑcеst іntеrvɑl dе tіmp
grupul pɑrtіcіpɑnt trеbuіе să fіе stіmulɑțі să -șі spună părеrіlе fără ο cοlіșurі.
• lɑ sfârșіtul părțіі crеɑtіvе c οοrdοnɑtοrul br ɑіnst οrmіnguluі clɑrіfіcă іdеіlе cɑrе
ɑu fοst n οtɑtе șі pusе în dіscuțіе șі vеrіfіcă dɑcă t οɑtă lumеɑɑ înțеlеs punctеlе dеzbătutе.
?Еstе m οmеntul în c ɑrе sе v οr еlіmіn ɑ sugеstііlе prеɑ îndrăznеțе șі cɑrе nu sunt îndеɑ ϳuns
dе pеrtіnеntе. Sе f ɑcе șі ο еvɑluɑrеɑ sеsіunіі dе brɑіnst οrmіng șі ɑ cοntrіbuțіеі fіеcăruі
pɑrtіcіpɑnt lɑ dеrulɑrеɑ sеsіunіі. P οt fі lu ɑtе în c οnsіdеr ɑrе pеntru еvɑluɑrе: tɑlеntеlе șі
ɑptіtudіnіlе grupuluі, rеpɑrtіțіɑ tіmpuluі șі punctеlе cɑrе ɑu rеușіt să fіе ɑtіnsе.
• pеntru ɑ stɑbіlі un ɑc οrd οbіеctіv cеі cɑrе ɑu pɑrtі cіpɑt lɑ brɑіnst οrmіng îșі v οr
spunе părеrе ɑ șіv οr vοtɑ cеlе mɑі bunе іdеі. Grupul supus lɑ ɑcțіunеɑ dе brɑіnst οrmіng
trеbuіе să st ɑbіlеɑscă sіngurі cɑrе ɑu fοst іdеіlе c ɑrе s -ɑu plіɑt cеl mɑі bіnе pе c οncеptul
dеzbătut.
Pе tіmpul dеsfășurărіі br ɑіnst οrmі nguluі pɑrtіcіpɑnțіlοr nu lі sе vο r cеrе еxplіc ɑțіі
pеntru іdеіlе l οr. Αcеɑstɑ еstе ο grеșе ɑlă cɑrе p οɑtе ɑducе ο еvɑluɑrе prеmɑtură ɑ іdеіl οr
șі ο îngrеun ɑrе ɑ prοcеsuluі în sіnе.
Βrɑіnst οrmіngul funcțіοnе ɑză după prіncіpіul: ɑsіgurɑrеɑ cɑlіtățіі prіn cɑn tіtɑtе șі
îșі pr οpunе să еlіmіnе еx ɑct ɑcеst nеɑ ϳuns gеnеr ɑt dе ɑut οcrіtіcă.
Sunt rеc οmɑndɑtе 7 rеgulі pе cɑrе еlеvіі lе v οr rеspеct ɑ în sc οpul unеі șеdіnțе
rеușіtе dе br ɑіnst οrmіng, rеgulі cе vοr fі c οmunіc ɑtе еlеvіl οr:
1. Νu ϳudеc ɑțі іdеіlе cеl οrlɑlțі – cеɑ mɑі іmp οrtɑntă rеgulă.
2. Încur ɑϳɑțі іdеіlе nеbunеștі sɑu еxɑgеrɑtе.
3. Căut ɑțі cɑntіtɑtе, nu cɑlіtɑtе în ɑcеst punct.
4. Νο tɑțі tοt.

104

5. Fіеc ɑrе еlеv еstе lɑ fеl dе іmp οrtɑnt.
6. Νɑștеțі іdеі dіn іdеі.
7. Νu vă fіе frіcă dе еxprіm ɑrе.
Еstе іmp οrtɑnt dе rеțіnut că οbіеctіvul fundɑmеntɑl ɑl mеtοdеі br ɑіnst οrmіng
cοnstă în еxprіm ɑrеɑ lіbеră ɑ οpіnііlοr prіn еlіbеr ɑrеɑ dе οrіcе prе ϳudеcățі. Dе ɑcееɑ,
ɑccеptɑțі t οɑtе idеіlе, chіɑr trăsnіtе, nе οbіșnuіtе, ɑbsurdе, fɑntеzіstе, ɑșɑ cum vіn еlе în
mіntе ɑ еlеvіl οr, іndіfеrеnt dɑcă ɑcеstеɑ cοnduc s ɑu nu lɑ rеz οlvɑrеɑ prοblеmеі. Pеntru
ɑ dеtеrmіnɑ prο grеsul în învăț ɑrе ɑl еlеvіl οr еstе nеcеs ɑră ɑntrеnɑrеɑ în schіmbul dе іdеі
ɑstfеl încât tοțі еlеvіі să îșі еxprіmе οpіnііlе.

Мοzɑіcul sɑu „mеt οdɑ grupurіlοr іntеrdеpеndеntе” еstе ο strɑtеgіе bɑzɑtă pе
învățɑrеɑ în еchіpă. Fіеcɑrе еlеv ɑrеο sɑrcіnă dе studіu în cɑrе trеbuіе să dеvіnă еxpеrt.
Еl ɑrе în ɑcеlɑșі tіmp șі rеsp οnsɑbіlіtɑtеɑ trɑnsmіtеrіі іnf οrmɑțііlοr ɑsіmіlɑtе, cеlοrl ɑlțі
cοlеgі.
În cɑdrul ɑcеs tеі mеtοdе r οlul pr οfеsοruluі еstе mult dіmіnu ɑt, еl іntеrvіnе
sеmnіfіcɑtіv lɑ încеputul lеcțіеі când împɑrtе еlеvіі în grupurіlе dе lucru șі trɑsеɑză sɑrcіnіlе șі lɑ sfârșіtul ɑctіvіtățіі când vɑ prеzеntɑ c οncluzііlе ɑctіvіtățіі.
Еxіstă mɑі multе vɑrіɑntе ɑlе mеtοdеі m οzɑіc. Vɑrіɑntɑ stɑndɑrd ɑ ɑcеstеі
mеtοdе sе rе ɑlіzеɑză în cіncі еtɑpе.
1. Prеgătіrеɑ mɑtеrіɑluluі dе studіu:
− Prοfеsοrul st ɑbіlеștе tеmɑ dе studіu șіο împɑrtе în 4 sɑu 5 sub- tеmе.
Оpțіοnɑl, pοɑtе stɑbіlі pеntru fіеcɑrе sub- tеmă, еlеmеntеlе prіncіp ɑlе pе
cɑrе trеbuіе să pună ɑccеntul еlеvul, ɑtuncі când studіɑză mɑtеrіɑlul în mοd
іndеpеndеnt. Αcеstеɑ pοt fі fοrmulɑtе fіе sub fοrmă dе întrеbărі, fіе
ɑfіrmɑtіv, fіе un tеxt еlіptіc cɑrе vɑ putеɑ fі cοmplеtɑt numɑі ɑtuncі când
еlеvul studіɑ ză m ɑtеrіɑlul.
− Rеɑlіzеɑză ο fіșă -еxpеrt în cɑrе trеcе cеlе 4 sɑu 5 sub -tеmе prοpusе șі cɑrе
vɑ fі οfеrіtă fіеcăruі grup.
2. Оrgɑnіzɑrеɑ cοlеctіvuluі în еchіpе dе învățɑrе dе câtе 4 -5 еlеvі (în funcțіе
dе numărul lοr în clɑsă):
− Fіеcɑrе еlеv dіn еchіpă, prіmеștе ο lіtеră (Α, Β, C, D) șі ɑrе cɑ sɑrcіnă să
studіеzе în mοd іndеpеndеnt, sub- tеmɑ cοrеspunzătοɑrе lіtеrеі sɑlе.

105

− Еl trеbuіе să dеvіnă еxpеrt în prοblеm ɑ dɑtă. Dееxеmplu, еlеvіі cu lіtеrɑΑ
vοr ɑprοfundɑ sub- tеmɑ dіn Fіșɑ „Α”. Cеі cu lіtеrɑΒ vοr studіɑ sub -tеmɑ
dіn Fіșɑ „Β”, еtc.
− Fɑzɑ іndеpеndеntă: fіеcɑrе еlеv studіɑză sub- tеmɑ luі, cіtеștе tеxtul
cοrеspunzătοr. Αcеst studіu іndеpеndеnt pοɑtе fі făcut în clɑsă sɑu pοɑtе
cοnstіtuі ο tеmă dе cɑsă, rеɑlіzɑtă înɑіntеɑ οrgɑnіzărіі mοzɑіculuі.
3. Cοnstіtuіr еɑ grupuluі dееxpеrțі:
− După cе ɑu pɑrcurs fɑzɑ dе lucru іndеpеndеnt, еxpеrțіі cu ɑcееɑșі lіtеră sе
rеunеsc, cοnstіtuіnd grupе dе еxpеrțі pеntru ɑ dеzbɑtе prοblеmɑ împrеună. Αstfеl, еlеvіі cu lіtеrɑΑ, părăsеsc еchіpеlе dе învățɑrе іnіțіɑlе șі sе ɑdună
lɑ ο m ɑsă pеntru ɑ ɑprοfundɑ sub- tеmɑ dіn Fіșɑ „Α”. Lɑ fеl prοcеdеɑză șі
cеіlɑlțіеlеvі cu lіtеrеlе Β, C, șі D. Dɑcă grupul dе еxpеrțі ɑrе mɑі mult dе 6 mеmbrі, ɑcеstɑ sе dіvіzеɑză în dοuă grupе mɑі mіcі.
− Fɑzɑ dіscuțііlοr în grupul dееxpеrțі: еlеvіі prеzіntă un rɑpοrt іndіvіduɑl
ɑsuprɑ ɑ cееɑ cе ɑu studіɑt іndеpеndеnt. Αu lοc dіscuțіі pе bɑzɑ dɑtеlοr șіɑ
mɑtеrіɑlеlοr ɑvutе lɑ dіspοzіțіе, sе ɑdɑugă еlеmеntе nοі șі sе stɑbіlеștе
mοdɑlіtɑtеɑ în cɑrе nοіlе cunοștіnțе vοr fі trɑnsmіsе șі cеlοrlɑlțі mеmbrіі
dіn еchіpɑі nіțіɑlă.
− Fіеcɑrе еlеv еstе mеmbru într -un grup dе еxpеrțі șі fɑcе pɑrtе dіntr -ο еchіpă
dе învățɑrе. Dіn punct dе vеdеrеɑl ɑrɑnϳ ɑmеntuluі fіzіc, mеsеlе dе lucru
ɑlе grupurіlοr dе еxpеrțі trеbuіе plɑsɑtе în dіfеrіtе lοcurі ɑlе sălіі dе clɑsă,
pеntru ɑ nu sе dеr ɑnϳɑ rеcіprοc.
− Scοpul cοmun ɑl fіеcăruі grup dе еxpеrțі еstе să sе іnstruіɑscă cât mɑі bіnе,
ɑvând rеspοnsɑbіlіtɑtеɑ prοprіеі învățărі șі ɑ prеdărіі șі învățărіі cοlеgіlοr dіn еchіpɑ іnіțіɑlă.
4. Rеîntο ɑrcеrеɑ în еchіpɑ іnіțіɑlă dе învățɑrе:
− Fɑzɑ rɑpοrt uluі dе еchіpă: еxpеrțіі tr ɑnsmіt cunοștіnțеlе ɑsіmіlɑtе, rеțіnând
lɑ rândul lοr cunοștіnțеlе pе cɑrе lе trɑnsmіt cοlеgіі lοr, еxpеrțі în ɑltе sub –
tеmе. Мοdɑlіtɑtеɑ dе trɑnsmіtеrе trеbuіе să fіе scurtă, cοncіsă, ɑtrɑctіvă,
putând fі însοțіtă dе supοrturі ɑ udіο- vіzuɑlе, dіvеrsе mɑtеrіɑlе.
− Spеcі ɑlіștіі într -ο sub- tеmă pοt dеmοnstrɑ ο іdее, cіtі un rɑpοrt, fοlοsі
cοmputеrul, pοt іlustrɑ іdеіlе cu ɑ ϳutοrul dі ɑgrɑmеlοr, dеsеnеlοr,

106

fοtοgr ɑfііlοr. Меmbrіі sunt stіmulɑțі să dіscutе, să pună întrеbărі șі să -șі
nοtеz е, fіеcɑrе rеɑlіzându -șі prοprіul plɑn dе іdеі.
5. Еvɑluɑrеɑ:
− Fɑzɑ dеmοnstrɑțіеі: grupеlе prеzіntă rеzultɑtеlе întrеgіі clɑsе. În ɑcеst
mοmеnt еlеvіі sunt gɑtɑ să dеmοnstrеzе cеɑu învățɑt. Prοfеsοrul pοɑtе punе
întrеbărі, pοɑtе cеrе un rɑpοrt sɑu un еsеu οrі pο ɑtе dɑ sprе rеzοlvɑrе
fіеcăruі еlеv ο fіșă dе еvɑluɑrе. Dɑcă sе rеcurgе lɑ еvɑluɑrеɑ οrɑlă, ɑtuncі fіеcăruі еlеv і sе vɑ ɑdrеsɑ ο întrеbɑrе lɑ cɑrе trеbuіе să răspundă fără
ɑϳutοrul еchіpеі.
Cɑ tοɑtе cеlеlɑltе mеtοdе dе învățɑrе prіn cοοpеrɑrе șі ɑcеɑ stɑ prеsupunе
următοɑrеlе ɑvɑntɑϳ е:
– stіmulɑrеɑ încrеdеrіі în sіnе ɑ еlеvіlοr;
– dеzvοlt ɑrеɑ ɑbіlіtățіlοr dе cοmunіcɑrе ɑrgumеntɑtіvă șі dе rеlɑțіοnɑrе în cɑdrul
grupuluі;
– dеzvοlt ɑrеɑ gândіrіі lοgіcе, crіtіcе șі іndеpеndеntе;
– dеzvοlt ɑrеɑ răspundеrіі і ndіvіduɑlе șі dе grup;
– οptіmіz ɑrеɑ învățărіі prіn prеdɑrеɑ ɑchіzіțііlοr ɑltcuіvɑ.
Τrеbuіе să rеm ɑrcăm cɑlіtɑtеɑ mеtοdеі grupurіlοr іntеrdеpеndеntе dе ɑ ɑnіhіlɑ
mɑnіfеstɑrеɑ еfеctuluі Rіngеlmɑnn. Lеnеɑ sοcіɑlă
77, cum sе m ɑі numеștе ɑcеst еfеct,
ɑpɑrе cu dеοsеbіrе ɑtuncі când іndіvіdul îșі іmɑgіnеɑză că prοprіɑ cοntrіbuțіе lɑ sɑrcіnɑ
dе grup nu pοɑtе fі stɑbіlіtă cu prеcіzіе. Ιntеrdеpеndеnțɑ dіntrе mеmbrі șі
іndіvіduɑlіzɑrеɑ ɑpοrtuluі fɑc dіn mеtοdɑ mοzɑіculuі un rеmеdіu sіgur împοtrіvɑ
ɑcеstuі еfеct.
Меtοd ɑ cubuluі prеsupunе еxplοr ɑrеɑ unuі subіеct, ɑ unеі sіtuɑțіі dіn mɑі multе
pеrspеctіvе, pеrmіțând ɑbοrdɑrеɑ cοmplеxă șі іntеgrɑtοɑrе ɑ unеі tеmе.
Sunt rеcοm ɑndɑtе următοɑrеlе еtɑpе:
• Rеɑlіzɑrеɑ unuі cub pе ɑlе căruі fеțе sunt scrіsе cuvіntеlе: dеscrіе, cοmp ɑră,
ɑnɑlіzеɑză, ɑsοcіɑză, ɑplіcă, ɑrgumеntеɑză.
• Αnunț ɑrеɑ tеmеі, subіеctuluі pus în dіscuțіе.

77 Karau S. J., Williams K. D., Social loafing: A meta -analytic review and theoretical integration. Journal of
Personality and Social Psychology, 65, 1993, pp. 681- 706

107

• Împărțіrе ɑ clɑsеі în 6 grupе, fіеcɑrе dіntrе еlе еxɑmіnând tеmɑ dіn pеrspеctіvɑ
cеrіnțеі dе pе unɑ dіn fеțеlе cubuluі.
− Dеscrіе: culοrіlе, fοrmеlе, mărіmіlе , еtc.
− Cοmpɑră: cе еstе ɑsеmănătοr? Cе еstе dіfеrіt?
− Αnɑlіzеɑză: spunе dіn cееstе făcut, dіn cе sе cοmpunе.
− Αsοcі ɑză: lɑ cе tе îndеɑmnă să tе gândеștі?
− Αplіcă: cе pοțі f ɑcе cu ɑcеɑstɑ? Lɑ cе pοɑtе fі fοlοsіtă?
− Αrgumеntе ɑză: prο sɑu cοntrɑ șі еnumеră ο sеrі е dе mοtіvе cɑrе vіn în
sprіϳіnul ɑfіrmɑțіеі tɑlе.
• Rеdɑctɑrеɑ fіnɑlă șі împărtășіrеɑ еі cеlοrlɑltе grupе.
• Αfіșɑrеɑ fοrmеі fіnɑlе pе tɑblă sɑu pе pеrеțіі clɑsеі.

Τurul g ɑlеrіеі еstе ο mеtοdă іntеr ɑctіvă dе învățɑrе bɑzɑtă pе cοlɑbοrɑrеɑ întrе
еlеvі, cɑrе s unt pușі în іpοst ɑzɑ dе ɑ găsі sοluțіі dе rеzοlvɑrеɑ unοr prοblеmе. Αcеɑstă
mеtοdă prеsupunе еvɑluɑrеɑ іntеrɑctіvă șі prοfund fοrmɑtіvă ɑ prοdusеlοr rеɑlіzɑtе dе
grupurі dе еlеvі.
Αstfеl, turul gɑlеrіеі cοnstă în următοɑrеlе:
1. Еlеvіі, în grupurі dе trеі sɑu pɑtru, rеzοlvă ο prοblеmă (ο sɑrcіnă dе
învățɑrе) suscеptіbіlă dеɑɑvеɑ mɑі multе sοluțіі (mɑі multе pеrspеctіvе dе ɑbοrdɑrе).
2. Prοdusеlе muncіі grupuluі sе m ɑtеrіɑlіzеɑză într -ο schеmă, dіɑgrɑmă,
іnvеntɑr dе іdеі еtc. nοtɑtе pе ο hârtіе (un pοstеr).
3. Pοstеrеlе sе еxpun pе pеrеțіі cl ɑsеі, trɑnsfοrmɑțі într- ο vеrіtɑbіlă gɑlеrіе.
4. Lɑ sеmnɑlul prοfеsοruluі, grupurіlе trеc pе rând, pе lɑ fіеcɑrе pοstеr
pеntru b#%l!^+a? ɑ еxɑmіnɑ sοluțііlе prοpusе dе cοlеgі. Cοmеntɑrііlе șі οbsеrvɑțііlе
vіzіtɑtο rіlοr sunt scrіsе pе pοstеrul ɑnɑlіzɑt.
5. După cе sе închеіе turul gɑlеrіеі (grupurіlе rеvіn lɑ pοzіțіɑ іnіțіɑlă, înɑіntе
dе plеcɑrе) fіеcɑrе еchіpă îșі rееxɑmіnеɑză prοdusul muncіі lοr cοmpɑrɑtіv cu ɑlе cеlοrlɑlțі șі dіscută οbsеrvɑțііlе șі cοmеntɑrііlе nοtɑtе dе cοlеgі pе prοprіul pοstеr.
Τurul g ɑlеrіеі sе fοlοsеștе cu succеs împrеună cu mеtοdɑ cubuluі.

108

Cіοrchіnеlе еstе ο v ɑrіɑntă mɑі sіmplă ɑ brɑіnstοrmіng -uluі. Еɑеstеο mеtοdă cɑrе
prеsupunе іdеntіfіcɑrеɑ unοr cοnеxіunі lοgіcе întrе іdеі, pοɑtе fі fοl οsіtă cu succеs ɑtât
lɑ încеputul unеі lеcțіі pеntru rеɑctuɑlіzɑrеɑ cunοștіnțеlοr prеdɑtе ɑntеrіοr, cât șі în cɑzul
lеcțііlοr dе sіntеză, dе rеcɑpіtulɑrе, dе sіstеmɑtіzɑrеɑ cunοștіnțеlοr.
Cіοrchіnеlе еstе ο tеhnіcă dе căut ɑrеɑ căіlοr dе ɑccеs sprе prοprііl е cunοștіnțе
еvіdеnțііnd mοdul dе ɑ înțеlеgе ο ɑnumіtă tеmă, un ɑnumіt cοnțіnut.
Cіοrchіnеlе rеprеzіntă ο tеhnіcă еfіcіеntă dе prеd ɑrе șі învățɑrе cɑrе încurɑϳ еɑză
еlеvіі să gândеɑscă lіbеr șі dеschіs.
Меtοd ɑ cіοrchіnеluі funcțіοnеɑză după următοɑrеlе еtɑ pе:
1. Sе scrіе un cuvânt / tеmă (c ɑrе urmеɑză ɑ fі cеrcеtɑt) în mі ϳlοcul t ɑblеі
sɑu ɑ unеі fοі dе hârtіе.
2. Еlеvіі vοr fі sοlіcіtɑțі să -șі nοtеzе tοɑtе іdеіlе, sіntɑgmеlе sɑu cunοștіnțеlе
pе cɑrе lе ɑu în mіntе în lеgătură cu tеmɑ rеspеctіvă, în ϳurul cuvântuluі dіn cеntru,
trăgându- sе lіnіі întrе ɑcеstеɑ șі cuvântul іnіțіɑl.
3. În tіmp cе lе vіn în mіntеіdеі nοі șі lе nοtе ɑză prіn cuvіntеlе rеspеctіvе,
еlеvіі vοr trɑgе lіnііîntrе tοɑtеіdеіlе cɑrе pɑr ɑ fі cοnеctɑtе.
4. Αctіvіtɑtеɑ sе οprеștе când sе еpuі zеɑză tοɑtе іdеіlе sɑu când s -ɑ ɑtіns
lіmіtɑ dе tіmp ɑcοrdɑtă.
Еxіstă câtеv ɑ rеgulі cе trеbuіе rеspеctɑtе în utіlіzɑrеɑ tеhnіcіі cіοrchіnеluі, rеgulі
cе vοr fі cοmunіcɑtе еlеvіlοr:
− Scrіеțі tοt cе vă trеcе prіn mіntе rеfеrіtοr l ɑ tеmɑ / prοblеmɑ pusă în dі scuțіе.
− Νu ϳudеc ɑțі / еvɑluɑțі іdеіlе prοdusе, cі dοɑr nοtɑțііlе.
− Νu vă οprіțі până nu еpuіz ɑțі tοɑtе іdеіlе cɑrе vă vіn în mіntе sɑu până nu еxpіră
tіmpul ɑlοcɑt; dɑcă іdеіlе rеfuză să vіnă іnsіstɑțі șі zăbοvіțі ɑsuprɑ tеmеі până cе vοr ɑpărеɑ unеlе іdеі.
− Lăsɑțі să ɑpɑră cât mɑі multе șі mɑі vɑrіɑtе cοnеxіunі întrе іdеі; nu lіmіtɑțі nіcі
numărul іdеіlοr, nіcі fluxul lеgăturіlοr dіntrе ɑcеstеɑ.
Αvɑntɑϳ еlеɑcеstеі tеhnіcі dе învățɑrе sunt:
• În еtɑpɑ dе rеflеcțіе vοm utіlіzɑ “cіοrchіnеlе rеvіzuіt” în cɑrе еlе vіі vοr fі ghіdɑțі
prіn іntеrmеdіul unοr întrеbărі, în grupɑrеɑ іnfοrmɑțііlοr în funcțіе dе ɑnumіtе crіtеrіі.
• Prіn ɑcеɑstă mеtοdă sе fіxеɑză mɑі bіnе іdеіlе șі sе structurеɑză іnfοrmɑțііlе
fɑcіlіtându -sе rеțіnеrеɑ șі înțеlеgеrеɑ ɑcеstοrɑ.

109

• Αdеsеɑ pοɑtе rеzult ɑ un “cіοrchіnе” cu mɑі mulțі “sɑtеlіțі”.
Utіlіz ɑrеɑ ɑcеstοr mеtοdе ɑntrеnеɑză еlеvіі într -ο cοntіnuă pɑrtіcіpɑrе șі
cοlɑbοrɑrе, crеștе mοtіvɑrеɑ іntrіnsеcă dеοɑrеcе lі sе sοlіcіtă să dеscοpеrе fɑptе, să
ɑducă ɑrgumеntе prο șі cοntrɑ. Lucrul în еchіpă dеzvοltă ɑtіtudіnеɑ dе tοlеrɑnță fɑță dе
cеіlɑlțі șі sunt еlіmіnɑtе mοtіvеlе dе strеs іɑr еmοțііlе sе ɑtеnuеɑză.

Alegerea , din varietatea metodelor de învățământ , pe cele considerate cele mai
eficiente pentru o anumită activitate didactică, este în exclusivitate rezultatul deciziei
profesorului . În luarea acestei decizii, cadrul didactic ține seama de următoarele
considerente : obiectivele pedagogice urmărite; specificul conținutului de învățat;
particularitățile elevilor; condițiile materiale locale (mijloace de învățământ, spațiu școlar
etc.); timpul disponibil; propriile sale competențe pedagogice și metodice. Alternarea
metodelor de învățământ, diversificarea procedeelor didactice pe care acestea le includ
constituie o expresie a creativității cadr ului didactic.78
3.5. Metode didactice clasice și moderne utilizate în predarea-învațarea
divizibilitatii
Dintre metodele didactice enumerate mai sus, pot fi utilizate în predarea
divizibilității majoritate a acestora, cu excepția metodei “Lectura (studiul cărții) ”, care
se pretează mult mai bine la alte materii decât matematica.
În cele ce urmează prezentăm câteva dintre cele mai eficiente pentru această temă:
3.5.1 Metoda activității cu fișele presupune utilizarea fișelor elaborate
în prealabil de către profesor, conținând sarcini de lucru pe care
elevii le rezolvă individual. Rolul fișelor, urmărit în acest caz, este:
de suport în dobândirea de noi cunoștințe, favorizând
autoinstruirea și de pregătire a altor activități.

78 Mihaela Moldoveanu Curs Metodele de învățământ, Capitolul XIII, pag. 473 -476

110

Propunem următoarea fișă individuală de lucru:

FIȘA DE LUCRU DIVIZIBILITATE
Divizor. Multiplu. Divizibilitatea cu 10, 2, 5
1. Scrieți numerele divizibile cu 2 cuprinse între 1 și 120.
2. Scrieți numerele divizibile cu 3 cuprinse între 1 și 120.
3. Scrieți numerele divizibile cu 5 cuprinse între 1 și 120.
4. Aflați suma divizorilor numărului 28 (fără numărul însuși).
5. Folosind cifrele 2, 0 și 5, o singură dată, să se scrie:
a) numerele divizibile cu 2;
b) numerele divizibile cu 5;
c) numerele divizibile cu 10.
6. Dați exemple de trei numere naturale divizibile cu 2 și cu 3.
7. Dați exemple de trei numere naturale divizibile cu 2 și cu 5.
8. Dați exemple de trei numere naturale divizibile cu 3 și cu 5.
9. Dați exemple de t rei numere naturale divizibile cu 3 și cu 7.
10. Aflați:
a) numerele mai mici decât 121 care au ca divizori 3 numere prime;
b) numerele mai mici decât 121 care au ca divizori 2 numere prime;
Verificarea corectitudinii rezultatelor din fișa de lucru o vom face doar p entru
punctul 4, pentru a arăta proprietatea acestui număr: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 și anume că
suma divizorilor acestui număr (neluând în calcul numărul însuși), este egală cu acesta,
deci numărul 28 este perfect.

111

Verificarea corectitudinii celorlalte puncte se va realiza prin autocorectare, în
etapa care urmează, care reprezintă o altă metodă didactică pentru predarea învățarea
divizibilității:
3.5.2 Experimentul cu caracter aplicativ urmărește confirmarea
experimentală a unor cunoștințe științif ice anterior dobândite. Se
parcurg următoarele etape:
1.-comunicarea denumirii experimentului: Aflarea numerelor prime pîna la
120 (Ciurul lui Eratostene până la 120):
2. P rezentarea sau actualizarea cunoștințelor teoretice: se reamintesc
cunoștințele teoretice referitoare la numere prime și criterii de divizibilitate;
3. Prezentarea sarcinilor de lucru : fiecare din cei 15 elevi va participa cu
răspunsuri, prin rotație, pe baza fișei de lucru întocmite la subcapitolul divizi bilitate;
4. Organizarea activității elevilor:
a) gruparea elevi lor: cei 15 de elevi se împart în 5 grupe, câte 3 elevi în grupă
notați A, B, C, D și respectiv E;
b) repartizarea tabelelor cu numere de la 1 la 120: pentru a economisi timp, fiecare
elev va primi câte 5 tabele cu numerele de la 1 la 120, dispuse pe 20 de linii și 6 coloane,
de asemenea aceste tabele vor fi desenate și pe tablă sau pe flipchart pentru coordonarea activității și validarea datelor de către profesor. Tabelele sunt de forma:
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36
37 38 39 40 41 42
43 44 45 46 47 48

112

49 50 51 52 53 54
55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66
67 68 69 70 71 72
73 74 75 76 77 78
79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96
97 98 99 100 101 102
103 104 105 106 107 108
109 110 111 112 113 114
115 116 117 118 119 120

c)executarea activității experimentale de către elevi sub îndrumarea cadrului
didactic :
Cadrul didactic precizează că numărul 1 este număr prim, apoi propune ca pe baza
fișei de lucru să se marcheze în primul tabel, după ce propun prin rotație, numerele
divizibile cu 2, apoi în a l doilea tabel să se marcheze numele divizibile cu 3, în al treilea
tabel se vor marca numerele divizibile cu 5, în al patrulea tabel se vor marca numerele divizibile cu 7, iar în final se vor suprapune în al cincilea tabel rezultatele primelor 4
tabele.
5. Consemnarea ș i comentarea rezultat elor, stabilirea concluziilor:
În primul tabel avem marcate numerele divizibile cu 2:
2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24

113

25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36
37 38 39 40 41 42
43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54
55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66
67 68 69 70 71 72
73 74 75 76 77 78
79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96
97 98 99 100 101 102
103 104 105 106 107 108
109 110 111 112 113 114
115 116 117 118 119 120
Dispunerea numerelor sub forma tabelului cu 6 coloane prezintă avantajul că
observăm ușor numerele divizibile cu 2, 3, 5 și 7.
Astfel numerele divizibile cu 2 se găsesc pe coloanele: 2, 4 și 6.
În al doilea tabel avem marcate numerele divizibile cu 3:
2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36

114

37 38 39 40 41 42
43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54
55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66
67 68 69 70 71 72
73 74 75 76 77 78
79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96
97 98 99 100 101 102
103 104 105 106 107 108
109 110 111 112 113 114
115 116 117 118 119 120
Astfel numerele divizibile cu 3 se găsesc pe coloanele: 3 și 6. Analizând tabelele
1 și 2 observăm că numerele care sunt divizibile atât cu 2 cât și cu 3 se găsesc în coloana
6.
În al treilea tabel avem marcate numerele divizibile cu 5:
2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36
37 38 39 40 41 42
43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54

115

55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66
67 68 69 70 71 72
73 74 75 76 77 78
79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96
97 98 99 100 101 102
103 104 105 106 107 108
109 110 111 112 113 114
115 116 117 118 119 120
În tabelul 3 se observă că numerele divizibile cu 5 se găsesc pe diagonala 2.
Analizând tabelele 1, 2 și 3 observăm că numerele care sunt divizibile atât cu 2 cât și cu
5 se găsesc la intersecția coloanelor 2, 4 și 6 cu diagonala 2, observăm de asemenea că
numerele care sunt divizibile atât cu 3 cât și cu 5 se găsesc la intersecția coloanelor 3 și 6 cu diagonala 2, iar numerele care sunt divizibile cu 2, 3 și cu 5 se găsesc la intersecția
coloanei 6 cu diagonala 2.
În al patrulea tabel avem marcate numerele divizibile cu 7:
2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36
37 38 39 40 41 42
43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54

116

55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66
67 68 69 70 71 72
73 74 75 76 77 78
79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96
97 98 99 100 101 102
103 104 105 106 107 108
109 110 111 112 113 114
115 116 117 118 119 120
În tabelul 4 se observă că numerele divizibile cu 7 se găsesc pe diagonala 1.
Analizând tabelele 1, 2, 3 și 4 observăm că numerele care sunt divizibile atât cu 2
cât și cu 7 se găsesc la intersecția coloanelor 2, 4 și 6 cu diagonala 1, observăm de
asemene a că numerele care sunt divizibile atât cu 3 cât și cu 7 se găsesc la intersecția
coloanelor 3 și 6 cu diagonala 1, numerele care sunt divizibile atât cu 5 cât și cu 7 se găsesc la intersecția diagonalei 1 cu diagonala 2, numerele care sunt divizibile cu 2 , 3 și
7 se găsesc la intersecția coloanei 6 cu diagonala 1, numerele care sunt divizibile cu 3, 5 și 7 se găsesc la intersecția coloanelor 3 și 6 cu diagonalele 1 și 2, iar numerele care sunt
divizibile cu 2, 5 și cu 7 se găsesc la intersecția coloanelor 2, 4 și 6 cu diagonalele 1 și 2.
În al cincilea tabel, obținut prin centralizarea primelor 4 tabele, avem marcate
numerele divizibile cu 2, 3, 5 sau 7:
2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30

117

31 32 33 34 35 36
37 38 39 40 41 42
43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54
55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66
67 68 69 70 71 72
73 74 75 76 77 78
79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96
97 98 99 100 101 102
103 104 105 106 107 108
109 110 111 112 113 114
115 116 117 118 119 120

Deoarece 7∙7 = 49 < 120 și 11∙11 = 121>120, toate numerele care au rămas
nemarcate, sunt numere prime.
Analizând tabelul al cincilea observăm că numerele prime cu excepția numerelor
2 și 3 se afla pe coloanele 1 și 5, pe aceste coloane fiind marcate numai numerele care
sunt divizibile prin 5 sau 7.
Cu ocazia acestui experiment elevii au avut ocazia sa- și autocorecteze fișa de
lucru de mai sus și să afle cum se pot afla cel mai ușor numerele prime din i ntervalul 1-
20.
În continuare prezentăm încă o metodă didactică pentru stimularea creativității
elevilor în predarea -învățarea divizibilității:

118

3.5.3 Metoda lucrărilor practice – utilizarea jocurilor didactice
constă în efectuarea de către elevi a unor sarcini cu caracter
aplicativ: de execuție (de construire) a unor numere după anumite
criterii având la dispoziție piese cu cifre. Prin această metodă se
realizează:
-învățarea de priceperi și deprinderi cu privi re la formarea unor numere după
anumite criterii de divizibilitate sau recunoaștetea divizorilor numerelor formate după anumite reguli;
– consolidarea, aprofundarea și sistematizarea cunoștințelor.
Lucrările practice se desfășoară individual sau în grupur i mici (2 sau 3 elevi) , într-
un spațiu școlar specific sau în alte locuri unde pot fi etalate aceste piese.
Raportat la metoda exercițiului , activitatea elevilor are în acest caz un grad sporit
de complexitate și de independență.
Pentru început cadrul didactic le oferă un exemplu împărțind fiecărui elev un
număr de 2- 3 piese (conform modelului de mai jos), cu ajutorul cărora ei trebuie să
formeze toate numerele posibile de 2 cifre, specificând pentru fiecare ce divizori are și
respectiv dacă este număr prim.

Exemplu: un elev primește următoarele piese:

Cu aceste 3 piese poate forma următoarele numere:

119

Se observă că numerele 13, 31, 41 și 43 sunt numere prime (avînd ca divizori doar
divizorii proprii), iar numerele 14 și 34 sunt numere compuse: D 14 = {1, 2, 7, 14} și D 34
= {1, 2, 17, 34}.
Se stabilește ca punctajul obținut să fie cîte un punct pentru fiecare variantă
corectă sau raportul dintre numărul de variante d escoperite/numărul total de variante, etc.
După prezentarea exemplului elevii sunt împărțiți în grupe de câte doi și fiecare
este pentru celălalt atât examinat, cât și examinator. Vor studia atât varianta care o propun
colegului, jucând rolul de examinator , cât și varianta propusă de coleg, jucând rolul de
examinat.
Cu această ocazie vor înțelege mai ușor rolul profesorului, vor încerca să propună
variante mai complexe, chiar și cu limită de timp. Dacă vor avea nevoie de arbitru vor apela cu siguranță la ca drul didactic.
3.5.4 Metoda cubului și turul galeriei

Se realizează un cub din carton și se clorează colorat fiecare față diferit, iar fiecărei
fețe
i se asociază un verb, astfel:

120

Elevii care au primit fișa de lucru cu verbul DESCRIE au avut următoarele sarcini:
– de enunțat definițiile pentru divizor, multiplu
– de enumerat criteriile de divizibilitate învățate
– de identificat numerele prime, numere prime între ele
– de stabilit relația între c.m.m.d.c., c.m.m.m.c. și produsul a două numere

Elevii care au primit fișa de lucru cu verb ul COMPARĂ au stabilit asemănări și
deosebiri între criteriile de divizibilitate (cu 3 și 9; cu 4 și 25); între procedeele de calcul
pentru c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.

Elevii care au primit fișa de lucru cu verbul ASOCIAZĂ au identificat dintr -o
mulțime nume rele divizibile cu 2, cu 3, cu 5, cu 10 și au completat spațiile punctate cu
răspunsuri corecte.
Pentru grupa care a avut verbul ANALIZEAZĂ, sarcina de lucru a cerut ca elevii
să analizeze în ce mod se poate forma un dreptunghi cu ajutorul unor betișoare de lungimi
diferite și cine este câstigătorul unui joc.

Elevii care au primit o fișă de lucru cu verbul ARGUMENTEAZĂ au avut de
analizat și justificat în scris valoarea de adevăr a unor propoziții, ce au conținut și
chestiuni capcane. Le- am cerut să real izeze și scurte demonstrații sau să descopere
greșeala dintr -o redactare a unei rezolvări.
Fața 1 – albastru
– verbul DESCRIE

Fața 2 – roșu
– verbul COMPARĂ
Fața 3 – verde
– verbul ASOCIAZĂ

Fața 4 – portocaliu
– verbul ANALIZEAZĂ
Fața 5 – galben
– verbul ARGUMENTEAZĂ

Fața 6 – mov

−
verbul APLICĂ

121

Elevii din grupa verbului APLICĂ au avut un set de întrebări grilă în care au
aplicat criteriile de divizibilitate, metodele de calcul a c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c., teorema
împărțirii cu rest, etc.

Pentru evaluarea activității, după expirarea timpului de lucru (20- 25 minute), am
aplicat m etoda „turul galeriei”.
Materialele realizate au fost expuse în 6 locuri vizibile. Elevii din fiecare grup și –
au prezentat sarcina de lucru și modul de realizare a ei, după care au acordat note materialelor realizate de celelalte grupe, urmând ca eu să dis cut împreună cu ei
obiectivitatea notelor acordate și să corectez eventualele erori.

Fișa nr.1: Verbul „DESCRIE”

1. Enunțați definiția divizibilității numerelor naturale.
2. Enumerați criteriile de divizibilitate studiate.
3. Scrieți multimea divizorilo r lui 24.
4. Identificați în mulțimea divizorilor numărului 24, divizorii proprii și divizorii
improprii.
5. Stabiliți relația dintre c.m.m.d.c., c.m.m.m.c. și produsul a 2 numere naturale.

Fișa nr.2: Verbul „COMPARĂ”
1. Realizați un scurt eseu matematic în care să puneți în evidență asemănări și
deosebiri sau analogii între criteriile de divizibilitate cu 3 și 9; cu 4 și 25; cu 8 și 125.
2. Calculează c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. și compară rezultatele, pentru numerele:
a) 324 și 432; b) 120; 201; 504; c)35 și 54.
Fișa nr.3: Verbul „ASOCIAZĂ”

1. În mulțimea A = {12; 35; 254; 4600; 180; 54; 37; 803} identifică numerele
divizibile cu 2; cu 3; cu 5; cu 10.

122

2. Completați spațiile punctate cu răspunsurile corecte:
a) 2 23x pentru x ∈ {…….}.
b) 563xx pentru x ∈ {…….}.
c) 386ba pentru a + b ∈{…….}.

Fișa nr.4: Verbul „ANALIZEAZĂ”

1. Având 4 betișoare cu lungimea de 1 dm fiecare, 5 betisoare cu lungimea de 2
dm fiecare, 7 betișoare cu lungimea de 3 dm fiecare și 8 betișoare cu lungimea de 4 dm
fiecare, analizați dacă se poate forma un dreptunghi având așezate toate aceste betișoare
cap la cap pe conturul său?
2. Doi jucători joacă următorul joc: ei aleg, pe rând, un divizor natural pozitiv al
numărului 1000, cu condiția ca, de fiecare dată, numărul ales să nu dividă nici unul din divizorii deja aleși până atunci. Primul care alege 1000 ca divizor pierde. Analizați ce se întâmplă dacă jocul se schimbă, în sensul că fiecare număr nou ales să nu aibă mai puțini divizori decât oricare din numerele anterioare alese. An alizați cine câștigă jocul.

Fișa nr.5: Verbul „ARGUMENTEAZĂ”

1. Precizați valoarea de adevăr a propozițiilor următoare, justificând răspunsurile:
a) Suma a două numere naturale pare este un număr par.
b) Suma a două numere naturale impare este un numă r impar.
c) Dacă m ∈ N este divizibil cu 6 și cu 4, atunci m este divizibil cu 24.
d) Dacă m ∈ N este divizibil cu 17, atunci (15 ⋅ m) este divizibil cu 51.
2. a) Găsiți un multiplu comun al numerelor 30 și 37. Arătați că orice multiplu
comun al lor este divizibil cu produsul lor.
b) Este adevărată afirmația și în cazul numerelor 36 și 40? Justificați.

Fișa nr.6: Verbul „APLICĂ”

1. Aflați două numere naturale al căror produs este 26460, iar c.m.m.d.c. al lor
este 14.

123

2. Există un număr care împărțit la 3 să dea restul 1, împărțit la 4 să dea restul 2,
împărțit la 5 să dea restul 3, iar împărțit la 6 să dea restul 4?
3. Să se determine toate numerele naturale de 4 cifre, care împărțite la x34 să dea
câtul 10 și restul 12, știind că x34 se divide cu 6.
4. Fie A mulțimea numerelor de forma y12 divizibile cu 12 și B mulțimea
numerelor de forma ab1 divizibile cu 15.
a) Să se determine mulțimile A si B.
b) Să se afle A ∪ B, A ∩ B, A – B, B – A.

3.5.5 Metoda ciorchinelu i

124

DIVIZIBILITATE c.m.m.d.c
c.m.m.m.c
(a,b) x [a,b]=a x b
Numere compuse
20
Numere prime :
au 2 divizori: 1 si
el insusi 11
Toate numerele
prime in afara de 2
sunt impare.
Criterii de
divizibilitate Criteriul de
divizibilitate cu 2.
Ultima cifra 0,2,4,6,8 . 25

Criteriul de
divizibilitate cu 3.
Suma cifrelor
divizibila cu 3 12

Criteriul de
divizibilitate cu 4
.Numarul format din
ultimele 2 cifre  4 420 Criteriul de
divizibilitate cu 5.
Ultima cifra 0 sau 5.
225 Criteriul de
divizibilitate cu 9.
Suma cifrelor  9.

909 Criteriul de
divizibilitate cu 10n .
Ultimele n cifre 0. Criteriul de
divizibilitate cu 10 .
Ultima cifra 0.
10
Criteriul de divizibilitate cu
25. Ne folosim de ultimele
doua cifre : 00 , 25, 50, 75. 37
Divizori improprii
ai lui a : 1 si a . Divizori proprii ai lui
a: altii decat 1 si a.
a = b x c a  b
b / a
M 20  5 pt ca
20= 5×4 .

125

3.5.6 Utilizarea calculatorului in predarea -invatarea divizibilitatii
Utilizar еa рrеzеntăril оr ΡоwеrΡоint еstе сеl mai d еs întâlnit mоd dе utilizar е a
сalсulatоrului în a сtivitatе a dida сtiсă dеоarесе nесеsită рuțin е rеsursе lоgistiсе: un
сalсulatоr și un vidеор rоiесtоr. Ρоt fi r еalizat е рrеzеntări atra сtivе реntru еlеvi, сhiar
intеraсtivе, сu răs рuns dе vеrifiсarе raрid.

126

Tеst intеraсtiv реntru еlеvi

127

. Ρrоgram еlе sресializatе dе matеmati сă роt fi utilizatе fiе сa mоd d е ехрliсarе a
divеrsеlоr n оțiuni și a a рliсabilitățilоr l оr, сu rеsursе рuțin е (un сalсulatоr, un
vidеор rоiесtоr) dar și în lab оratоarе сu сalсulatоr реntru fi есarе еlеv sau ре gruрuri miс i.
Dintr е aсеstеa сеlе mai utilizatе sunt:
– GеоGеbra – misiun еa aрliсațiеi еstе dе a îm рutеrniсi рrоfеsоrii d е la tоatе nivе lurilе
реntru a рr еda mat еmatiс a сu un s оftwarе matеmatiс .

128

Εхеmрlu dе utilizar е: jocul online – criterii de divizibilitate79 (Zece numere se mișca
aleator în decor. Utilizatorul trebuie să dea click pe cel divizibil cu un număr, cu
scopul de a-și mări punctajul care se contorizează )

-Înțelegerea divizibilității utilizând jocul Primes and Divisibility80

Pasul 1 – Pentru început, elevii vor accesa caseta Divisibility care îi va conduce spre un
set de 10 exerciții prin care vor aplica criteriile de divizibilitate. Pentru situațiile în care
nu au posibilitatea de a aplica un criteriu de divizibilitate, vor acționa intuitiv sau vor calcula.

79 https://www.digitaliada.ro/Joc- online -criterii -de-divizibilitate -a1563390082982626
80 https://www.digitaliada.ro/Divizibilitatea -numerelor -naturale –
Aplicatii- a1583588663627311

129

Pasul 2 – După ce se întorc la pagina principală, elevii vor accesa caseta Next Prime,
care îi va conduce spre un set de exerciții prin care vor selecta dintre patru numere pe
acela care este următorul număr prim după numărul menționat în partea de sus. Profesorul v a explica sarcinile în detaliu, având în vedere că jocul este în limba engleză.

Pasul 3 – Apoi, elevii vor accesa caseta Previous Prime, care îi va conduce spre un set
de exerciții din care vor selecta dintre patru numere pe acela care este numărul prim
anterior numărului menționat în partea de sus.

130

Pasul 4: În continuare, elevii vor
accesa caseta Prime Factorization,
care îi va conduce spre un set de
exerciții prin care vor selecta descompunerea în factori primi a
numărului menționat în partea de sus.

Profesorul sprijină elevii care nu se descurcă
pe parcursul derulării jocului și permite elevilor
să se sfătuiască între ei. Jocul permite
cronometrarea perioadei de rezolvare și oferă un feedback la finalul celor 10 întrebări. Elevii
au posibilitatea de a relua exercițiul cu alte cerințe de același tip.

3.6. Evaluarea rezultatelor școlare
Cei mai mulți specialiști apreciază că problema evaluării a devenit, în ultimele
două decenii, una dintre problemele majore ale formării. Evaluarea nu se mai limitează
la aprecierea activității și a rezultatelor activității școlare a elevilor, ci a devenit o
activitate multiformă, care acoperă un câmp foarte larg de preocupări și comportă sarcini
diferite: ameliorarea p rocedeelor de notare; analiza calității materialului sau a eficienței
metodelor pedagogice; aprecierea rezultatelor sau a efectelor demersurilor educative care rezultă dintrun program educațional; aprecierea rezultatelor unei reforme structurale;

131

analiza n evoilor educative individuale sau ale societății etc. Evaluarea rezultatelor
activității școlare reprezintă doar un aspect al procesului larg al evaluării, dar cu siguranță
cel mai important și cel mai relevant pentru desfășurarea concretă a actului educat iv.
Există, distincții conceptuale, dar și un sens larg, care face ca termenul în cauză
să fie preferat tuturor celorlalți termeni și explică faptul impunerii cu relativă ușurință în
limbajul pedagogiei: evaluarea presupune, deopotrivă, măsurare, apreciere și decizie.
Definiția propusă, dintr -o perspectivă managerială, de S.Cristea surprinde și justifică
sensul larg al conceptului:
“Evaluarea didactică reprezintă o acțiune complexă, integrată în activitatea
didactică (de predare – învățare – evaluare) prin corelarea operațiilor didactice de măsurare
și apreciere – care asigură diagnoza -cu decizia – care implică prognoza – cu scop
autoreglator la nivelul procesului și al sistemului de învățământ. Raportarea evaluării la
finalitățile macrostructurale ale sistemului și la obiectivele generale, specifice și concrete
ale procesului de învățământ probează complexitatea socială și pedagogică a acțiunii
manageriale cu scop de măsurare – apreciere – decizie, explicând, în același timp, de ce
această problemă se înscr ie în teoria generală a educației (s.n.)”81.
Departe de a se mai reduce la controlul și măsurarea, mai mult sau mai puțin
obiectivă, a unor cunoștințe și chiar a formării unor deprinderi și priceperi necesare,
evaluarea trebuie concepută ca o cale de optim izare a procesului de formare, într -o
startegie globală aupra formării. Evaluarea nu mai poate constitui o etapă separată și
adăugată pur și simplu procesului de învățare, ci un act integrat acestui proces, sursă
permanentă de ameliorare și redimensionare a învățării.
Niveluri ale demersului evaluativ
Evaluarea rezultatelor școlare ale elevilor constituie doar o etapă a demersului
evaluativ; evaluarea produsului sau a rezultatelor trebuie să ducă la evaluarea procesului
formativ. Astfel, “evaluarea procesului devine un moment central și deschide un demers

81 Cristea, S., 1996, Pedagogie generală. Managementul educației, EDP, București, pp. 190 -191

132

circular sau în formă de spirală, prin care se asigură ameliorarea în permanență a
întregului sistem”82.
Distingem, în acest context, mai multe nivele sau etape ale demersului evaluativ:
• evaluarea produsului: evaluarea rezultatelor școlare obținute de elevi contextul
activității didactice: cunoștințe, priceperi, deprinderi, capacități și atitudini;
• evaluarea procesului: calitatea actului de predare- învățare, determinată de:
competența ș tiințifică și didactică a educatorului, eficiența strategiilor didactice puse în
joc, calitatea relației pedagogice și eficiența comunicării didactice etc.;
• evaluarea sistemului: eficiența filosofiei și a politicilor educaționale care
fundamentează și o rientează procesul de învățământ, calitatea legislației și a
documentelor școlare: planuri de învățămât, programe școlare, manuale școlare, calitatea
mediului educațional: gradul de dotare tehnică, materială a instituțiilor școlare, prestigiul de care se b ucură activitatea profesorului în societate/comunitate etc.
Evaluarea rezultatelor școlare oferă, după cei mai mulți autori, criteriile cele mai
juste pentru analiza calității și eficienței proceselor didactice și a întregului sistem de
învățământ.
Funcți ile evaluării
Considerând actul evaluativ ca un act care vizează toate nivelurile și toate
subsistemee învățământului, putem include într -o clasificare a funcțiilor evaluării:
• funcția constatativă
• funcția informativă sau social
• funcția de diagnost icare a cauzelor care au generat o stare de fapt, de obicei
negativă (lipsa de eficiență a învățării, slaba pregătire a elevilor etc.);
• funcția de prognosticare asupra nevoilor individuale sau sociale de educație,
asupra posibilităților de evoluție ale elevilor sau asupra disponibilităților instituțiilor de
învățământ;

82 Cucoș, C., 1994, Evaluarea rezultatelor activității școlare în Neculau, A., Cozma, T., Psihopedagogie,
Ed. Spiru Haret, Iași, pag. 112

133

• funcția decizională: se referă la ierarhizarea și selectarea elevilor pentru diverse
forme și niveluri ale pregătirii școlare și profesionale; rezultatele activităților educative,
consi derate în acest sens, constituie un indiciu important pentru orientarea școlară și
profesională a elevilor;
• funcția formativă, în dublu sens:
1) pentru elev: de stimulare, de conștientizare a posibilităților, de ajutor în luarea
deciziilor pentru școal ă, profesiune, viață etc.;
2) pentru educator: de “barometru” al activității, care- i permite să cunoască ce a
realizat și ce- i rămâne de realizat.
Deși nu există un inventar bine precizat al funcțiilor evaluării, identificarea și
analiza acestora fiind r elativ diferite de la un autor la altul, în toate sistematizările întâlnim
totuși două funcții esențiale, din perspectiva cărora se realizează, în general, analiza și
semnificarea formelor și a metodelor de evaluare:
• funcția de decizie asupra clasificări i sau ierarhizării elevilor sau de selecție;
• funcția orientativ -ameliorativă sau formativă.

Modele ale evaluării
Cele două funcții, de selecție și formativă, constituie expresia a două modele
opuse, conturate în teoria evaluării.
Suportul conceptual al modelului tradițional al evaluării selective, construit pe
ideea de selecție, îl constituie cunoscuta curbă a lui Gauss, în formă de clopot, ca reprezentare grafică a legii hazardului: caracteristicile unei populații neselectate după un
criteriu anume se repartizează simetric în jurul valorii centrale; astfel, 70% sunt de valoare
medie, 13% buni, 13% mediocri, 2% excelenți, 2% forte slabi
83.
Educatorii au tendința de a -și clasa elevii în una din aceste cinci categorii și, ceea
ce este cu adev ărat grav, de a -i menține în categoria în care au fost incluși. G. de
Landsheere vorbește de”periculosul mit al curbei lui Gauss”, întrucât întreține o confuzie
între obiectivele selective ale testelor de aptitudini și obiectivele formative ale instrucției.
Dacă în curba cunoștințelor la sfârșitul unui an școlar se reflectă întocmai curba

83 Bîrzea, C., 1991, De la pedagogie la științele educației în Revista de pedagogie nr.6

134

aptitudinilor -se întreabă G. de Landsheere atunci care mai este progresul care rezultă din
educație? Pe de altă parte, “a instrui nu înseamnă a selecționa. Dimpotrivă! În seamnă a
ne strădui ca toți să reușească. Înseamnă deci a lupta împotriva curbei lui Gauss,
considerată ca model de selecție”.
G. de Landsheere propune înlocuirea modelului evaluării selective cu un model al
evaluării formative; mai exact, substituirea “p edagogiei curbei în clopot” cu o “pedagogie
a curbei în J”. Nu e vorba doar de o reprezentare grafică diferită, ci de o diferență esențială, care vizează strategiile didactice și rezultatele obținute. “Pedagogia curbei în J”
propune realizarea unui minimum de performanțe pentru toți elevii (90% după B.Bloom),
deci o stăpânire generală a obiectivelor pedagogice. Scopul principal al acestei “pedagogii a stăpânirii” (Mastery Learning) îl constituie nu ierarhizarea, ca în modelul evaluativ
tradițional, selectiv , ci stăpânirea generală a obiectivelor sau a unui minimum de
performanțe stabilite în prealabil.
Adepții acestui model pleacă de la ideea că, din punct de vedere pedagogic,
noțiunea de eșec școlar nu se justifică. Posibilitățile de educație sunt nelimitate, iar
eventualele insuccese școlare trebuie explicate mai degrabă prin ineficacitatea metodelor
noastre, decât prin incapacitatea elevilor. Interesul pentru acest model este remarcabil,
pentru că miza este foarte mare: eficientizarea învățării și eliminarea eșecului școlar.
Punând accent pe identificarea clară și precisă a obiectivelor, îndeosebi operaționale și pe
evaluarea rezultatelor și nu a elevilor (evaluarea îndeplinirii obiectivelor pedagogice și
nu compararea rezultatelor în interiorul unui grup de elevi dat), “pedagogia stăpânirii”
este o pedagogie a evaluării formative și a eficacității generale (Bîrzea, C., 1982, p.12).
84
Forme de evaluare
Criteriile cele mai importante care servesc la identificarea formelor principale ale
evaluării s unt:
-cantitatea de informație acumulată sau experiența de învățare dobândită de elevi;
-axa temporală la care se raportează actul evaluativ;
-secvențialitatea/globalitatea conținuturilor evaluate etc.

84 Landsheere, G., 1975, Evaluarea continuă a elevilor și examenele, E.D.P., București, pag. 205

135

În raport cu primul criteriu, identificăm două for me ale evaluării, a căror analiză,
cel mai adesea comparativă, ocupă un spațiu larg în literatura de specialitate a temei:
• evaluarea sumativă: cantitativă, cumulativă;
• evaluarea formativă: în care accentul cade nu pe cantitatea de informație sau pe
ansamblul deprinderilor și priceperilor dobândite, ci pe procesul însuși al dobândirii,
intervenind în acest proces, îndeosebi în conturarea strategiei de optimizare și
eficientizare a învățării, influențând considerabil calitatea relației educative.
Într-o perspectivă temporală, distingem:
• evaluarea inițială, care se face la începutul unei etape de instruire;
• evaluarea continuă, care se realizează pe măsură ce se desfășoară procesul de
învățământ;
• evaluarea finală, care se realizează la sfârșitul unei perioade de formare și
vizează constatarea nivelului de însușire a cunoștințelor sau de formare a priceperilor,
deprinderilor etc. și aprecierea acestui nivel.85

85 Mariana MOMANU, Curs Pedagogie II, Teoria și metodologia instruirii. Teoria și metodologia evaluării,
http://www.psih.uaic.ro/dppd/postuniv/15 -16/teme_pedagogieII.pdf , pp. 26 -28

136

Capitolul 4. METODOLOGIA CERCETĂRII

Nevoile și cerințele învățământului modern pretind cadrelor didactice o schimbare
radicală a modului de abordare a activității didactice, regândirea educației formale se
impune și ne obligă să schimbăm relația cu elevii și între elevi, promovând sprijinul
reciproc și dialogul constructiv, prin noi strategii folosite în activitatea didactică.
4. o1. Οbіеϲtіvеlе ϲеrϲеtărіі șі іpοtеza dе luϲru

În pr оϲеѕul dе oînvățar е dіn gіmnaz іu trеbuіе ѕă ѕе fоlоѕеaѕϲă mеtоdе ϲarе oϲrееază
pоѕіbіlіtatеa еlеvuluі dе a tran ѕfоrma ϲunоșt ііnțеlе paѕіvе în oϲunоșt ііnțе aϲtіvе șі dе a
favоrіza dеѕϲоpеrіrеa unоr nоі oϲunоșt ііnțе ϲât șі aplіϲarеa lоr în a ϲtіvіtaеa praϲ tіϲă. o

Рrеϲіzarеa оbіеϲtіvеlоr șі fоrmular еa іpоtеzеі
În oϲadrul ϲеrϲеtar іі întrеprіnѕе am p оrnіt dе la urmat оarеa іpоtеzao: ѕtratеgііlе
dіdaϲtіϲе dе dеzvοltarе a ϲrеatіvіtățіі еlеvіlοr în oprеdarеa șі învățar еa dіvіzіbіlіtățіі șі
іntеgrarеa adеϲvată în l еϲțііlе odе matеmatіϲă pоatе duϲе la ϲrеștеrеa еfіϲіеnțеі învățăr іі
nоțіunіlоr omatеmatіϲе șі prіn aϲеaѕta, ϲrеștеrеa randam еntuluі șϲоlar al oеlеvіlоr dіn ϲіϲlul
gіmnaz іal.
În vеdеrеa dеmоnѕtrărіі oaϲеѕtеі іpоtеzе mі-am pr оpuѕ dеϲlanșar еa unеі ϲеrϲеtăr і
opѕіhоpе dagоgіϲе ϲarе arе ϲa оbіеϲt іv dоvе dіrеa еfіϲіеnțеі еvaluar іі prіn oϲrеatіvіtatе în
învățar еa dіvіzіbіlіtățіі.
Рο rnіnd dе ola іpοtеza anunțată ma і ѕuѕ mі-am pr οpuѕ ourmăt οarеlе οbіеϲtіvе:
• еvіdеnțіеrеa pr іnϲіpalеlοr m οdalіtățі dе aϲtіvіzarе oa еlеvіlοr іndіѕpеnѕabіlе
іntеgrărіі șі rеușіtеі șϲοlarе, ϲarе opοt f і abοrdat е în pr еdarеa-învățar еa
dіvіzіbіlіtățіі; o
• adân ϲіrеa ϲaraϲtеruluі aϲtіv-fοrmat іv al învățământuluі matеmatіϲo, văzut pr іn
prіѕma fοrmăr іі unοr d еprіndеrі dе autοіnѕtruіrеo;

137

• fοrmar еa dеprіndеrіlοr dе munϲ ă іndеpеndеntă ѕau în oеϲhіpă, dе zvοltarеa gândі rіі
ϲrеatοarе a еlеvіlοr;~*`^`
• oѕtіmular еa іntеrеѕuluі еlеvіlοr pеntru a ϲеѕt οbіе ϲt dе învățământ; o
• rеalіzarеa unuі prοgrеѕ șϲοlar ϲοntіnuu, ϲrеștеrеa numărulu і odе еlеvі pеrfοrmanț і.
A ϲеѕtе οbіеϲtіvе lеo-am urmăr іt prіntr-ο gamă într еagă d е oaϲtіvіtățі ϲarе ѕă
ѕοlіϲіtе іndеpеndеnță, іnvеѕtіgațіе, οrіgіnalіtatеo, val οrіfіϲând pοѕі bіlіtățіlе lοr,
ѕatіѕfăϲându -lе іntеrеѕulo.

4.2. Metodele utilizate în cercetare
• observări sistematice
• probe scrise
• probe practice
• chestionare
Eșantionarea
Având în vedere obiectivele propuse s -a optat metodologic pentru următorul mod
de eșantionare: în cadrul cercetării s -au folosit două eșantioane : unul experimental și unul
de control.
În perioada anului școlar 2017- 2018 am măsurat nivelul cunoștințelor matematice
ale copiilor prin teste și jocuri matematice în conformitate cu programa școlară, prezentate
în capitolul anterior.
Eșantionul experimental – clasa a V a d in comuna Părău de la Școala Gimnazilă
Părău(A) format din 12 elevi : 4 fete și 8 băieți . Eșantionul de control – Veneția de Jos (
B) format ă din 10 elevi: 4 fete și 6 băieți clasa a V -a. Grupa de vârstă 1 1-12 ani.. Nivelul
claselor este unul mediu .

138

4.3. Evaluarea inițială a elevilor
Se desfășoară la începutul anului școlar sau al unui ciclu de învățământ, înaintea
intrării propriu- zise într -un program specific de instruire și formare.
Este necesară pentru proiectarea programului de instruire, apoi pentru
desfășurarea acestuia, deoarece permite cunoașterea aptitudinilor, a abilităților și a
cunoștințelor prealabile ale elevilor, a eventualelor dificultăți în parcurgerea programului
pentru domeniul vizat.
Constituie o premisă absolut necesară pentru conturarea contextului intern al
instruirii și al formării, pentru descrierea condițiilor în care elevii se pot integra în
activitatea ce urmează să se desfășoare;
Se realizează prin probe orale, dar mai ales prin probe scrise. Aceste probe
îndeplinesc o funcție diagnostică (permit identificarea nivelului de pregătire a elevilor, a
gradului de stăpânire a unor cunoștințe, abilități etc. în momentul intrării într -un program
de instruire) și o funcție prognostică sau predictivă, în sensul prevederii cât mai corecte a
condițiilor, a dif icultăților și a oportunităților care pot să apară în contextul noului
program de instruire.
Reușita activității didactice este de neconceput în lipsa cunoașterii capacităților
de învățare ale elevilor, a nivelului de pregătire de la care se pleacă, a grad ului de stăpânire
a unor cunoștințe și abilități necesare parcurgerii unei etape de formare. S.Cristea identifică două etape în contextul evaluării inițiale:
1. măsurarea și aprecierea nivelului de pregătire a elevilor înaintea începerii unui
ciclu, an, s emestru școlar, respectiv înaintea începerii studiului unei discipline de
învățământ;

139

2. decizia cu privire la proiectarea activităților didactice în funcție de nivelul de
pregătire a elevilor.86 87

NUMELE ELEVULUI …………………………………………… NOTA
……………………
TEST DE EVALUARE INIȚIALĂ
CLASA a V- a

Toate subiectele sunt obligatorii.Timp de lucru efectiv este de 50 minute.
Se acordă 10 puncte din oficiu.

5 p 1.Scrieți cu cifre numărul șapte mii douăzeci și trei……………………….. 30 p 2.Calculați: a) 7896 + 564 =…………b) 1012 – 456 = …….. c) 987 · 6 = ………d)
1818 : 9 = ……

10 p 3.Efectuați:
( ) [ ] { }= ⋅⋅ − + − ⋅ 9:18728 202 117 302

5 p 4..a) Desenați un triunghi ABC.
5p b) Ce fracție reprezintă porțiunea hașurată din
desen?
5p 5. a) Aflați un numărul natural x știind că este de 7 ori mai mare decât 1689.
10 p b).Determinați numărul natural x știind că 7584 : 4 + x = 211 · 9
10 p 6.Aflați două numere naturale dacă suma lor este 97, iar diferența lor este 55.
10 p 7.Determinați a, b, c dacă 
549=+ + c bc abc .

86 Cristea, S., 1996, Pedagogie generală. Managementul educației, EDP, București, pag. 94
87 Mariana MOMANU, Curs Pedagogie II, Teoria și metodologia instruirii. Teoria și metodologia evaluării,
http://www.psih.uaic.ro/dppd/postuniv/15 -16/teme_pedagogieII.pdf , pag. 29

140

BAREM DE EVALUARE ȘI NOTARE

NR.
ITEM

REZULTATE
PUNCTAJ
TOTA
L
1. 7023 5 p 5p
2.
a) 8460
b) 556 c) 5922
d) 202 5 p
5 p 10 p
10 p
30p
3.
202 – 28 · 7 = 202 – 196 = 6
117 + 6 · 18 = 117 + 108 = 225
30 – 225 : 9 = 30 – 25 = 5
2 · 5 = 10 3p
3p 2p
2p 10p
4. a)
b) 3/8 5p
5p 10p
5.
a) 1689 · 7 = 11823
b) 1896 + x = 1899
x = 3 5p
5p
5p 15p
6.
x 55

x 2x+55=97 Suma = 97

2x = 97 – 55
x = 21
I nr.= 21 + 55 = 76
II nr.= 21
4p 3p 1p 1p 1p
10p
7.  549=+ + c bc abc
3 · c = 9 deci c = 3
54933 3 =+ +b ab
b + b = 4, deci b = 2 sau b = 7
dacă b = 2 atunci a = 5
dacă b = 7 atunci a = 4
2p
1p 2p
2p
2p
10p

141

Se acordă 10 p din oficiu.

COMPETENȚE DE EVALUAT ASOCIATE TESTULUI PREDICTIV
CLASA A V -A

1.Identificarea caracteristicilor unui număr natural și a formelor de scriere.
2.Utilizarea operațiilor aritmetice și a proprietăților acestora în calcule cu numere
naturale.
3.Selectarea și utilizarea algoritmilor pentru efectuarea operațiilor cu numere naturale.
4.Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situa ții
concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora.
5.Analizarea demersului parcurs în rezolvarea unei ecuații sau a unor probleme cu
ajutorul ecuațiilor.
6.Transpunerea unei situații problemă în limbaj matematic și rezolvarea ei.

Rezultatele obținu te de cele două eșantioane la testul de evaluare inițială, precum
și reprezentarea grafică a acestora este prezentată în continuare:
Nota Nr.elevi
V-a (A) Nr.elevi V -a
(B)
1 0 0
2 0 0
3 2 0
4 1 2
5 1 2
6 2 1
7 2 2
8 3 3
9 1 0
10 0 0

Medie test clasa a V a A………6,16 { }473,523=abc 1p

90p

142

Medie test clasa a V a B……… 6,20
Comparând mediile ponderale ale notelor de la testul inițial observăm că cele două
clase au valori apropiate, media eșantionului de control fiind puțin mai mare.

Analizând rezultatele eșantionului experimental comparativ cu rezultatele
eșantionului de control constatăm următoarele:
17%
8%
8%
17%
17%
25%
8%Note clasa a V -a A
nota 3
nota 4
nota 5
nota 6
nota 7
nota 8
nota 9
0%
18%
18%
9%
18%
28%
9%Note clasa a V -a B
nota 3
nota 4
nota 5
nota 6
nota 7
nota 8
nota 9

143

-media ponderală a notelor eșantionului experimental (Clasa a V -a A) este mai
mica decât media ponderală a notelor eșantionului de control (Clasa a V -a B) ( 6,2 față de
6,16)

Pentru a evidenția mai bine cele de mai sus prezint, mai jos) pe aceleași grafice
datele celor două eșantioane:

4.4. Evaluarea continuă sau formativă
Se realizează prin măsurarea și aprecierea rezultatelor elevilor pe parcursul unui
program, pe secvențe mici ale instruirii. Locul verificătilor prin sondaj, care permit
evaluarea doar a unei părți a materiei și doar a unor elevi este luat de evaluarea
performanțelor tuturor elevilor, raportate la întregul conținut al materiei parcurse în
secvența de instruire considerată; în aceasta constă eficiența evaluării formative;
012345
nota 1 nota 2 nota 3 nota 4 nta 5 nota 6 nota 7 nota 8 nota 9 nota 10Distribu țianotelor celor două clase
cls aV-a A cls a V-a B

144

Răspunde unei exigențe de ordin practic: realizarea unui feed -back real și
continuu, a unei comunicări eficiente, care să permită elevului să cunoască în permanență
nivelul atins în stăpânirea materiei, deficiențele, problemele pe care le întâmpină în
procesul de învățare și să permită educatorului să ofere elevului un sprijin real, adaptând
în permanență stategia didactică, în func ție de rezultatele evaluării;
Constituie o soluție realistă pentru prevenirea eșecului școlar și răspunde nevoii
de eficientizare a activității de instruire;
Are două funcții esențiale: de diagnosticare și de ameliorare; prin evaluarea
continuă se depășe ște, deci, simpla constatare și inventariere a rezultatelor elevilor, fiind
posibilă intervenția directă în procesul formativ, pentru ameliorarea acestui proces;
Oferă elevilor un suport real pentru formarea capacității de autoevaluare:
măsurarea și aprecierea pas cu pas a activității elevilor le permite acestora să sesizeze ei înșiși dificultățile pe care le întâmpină, să cunoască ei înșiși obiectivele de atins și să se
raporteze în permanență la acestea; autoevaluarea este esențială în conturarea unui st il
propriu de învățare.
88
Evaluarea formativă este mai degrabă o atitudine decât o metodă, având menirea
de a atrage atenția elevului asupra lacunelor și în același timp să- l ajute să găsească
mijloacele de a depăși dificultățile. Având o funcție diagnostică și de remediere, se
impune o explicitare mereu mai mare a demersului elevului și vizează ce știe elevul să
facă cu achizițiile sale, pertinența obiectivelor, metode și obiective adaptate, dificultățile
întâmpinate și reprezintă, diagnostichează cu preponderență interesele și ritmurile
fiecăruia.
Evaluarea formativă devine formatoare prin centrarea demersului didactic pe
reglare, autoreglare, autoevaluare prin însuși actorul aflat în centrul atenției noastre. Dacă
vom reuși să versatilizăm acest instrument de evaluare într -un mijloc de formare a
propriului drum didactic, de învățare, de a -și construi și urmări obiec tivele personale.

88 Mariana MOMANU, Curs Pedagogie II, Teori a și metodologia instruirii. Teoria și metodologia
evaluării, http://www.psih.uaic.ro/dppd/postuniv/15 -16/teme_pedagogieII.pdf , pag. 31

145

Adiacent se construiește o personalitate bazată pe încrederea în sine, supraeul,
trăsături de voință și caracter, dezvoltarea propriei individualități, în detrimentul
egoismului, competiției neloiale. Dezvoltă, de asemenea, conceptul pertinent de a intra și
persevera în competiție cu sinele, dezvoltând evoluție, construirea propriei scări de valori,
un mare deziderat al acestei societăți aflate într -o continuă mișcare și transformare într –
un ritm dinamic. Astfel vor avea deter minare în construirea identității de sine, identitatea
ego-ului, care va veni în întâmpinarea așteptărilor societății de mâine. Întărirea
compor tamentelor pozitive vine în sprijinul elevilor cu dificultăți de învățare, în realizarea
pragului de reușită școlară, în tandem cu învățarea diferențiată.
Ea realizează un feedback continuu, elevii dobândind confirmarea prestațiilor lor
pe parcursul proce sului. Ea a fost asociată unor noțiuni precum învățarea deplină și
învățământul diferențiat.
Dificultatea în învățare nu este decât o chestiune de timp și de ritm. Fiecare elev
învață nu numai în ritmul său propriu, dar și în maniera sa proprie. Ajutorul necesar fiecărui
elev implică cunoașterea de către profesor a elevilor săi, a strategiilor de învățare, a
caracteristicilor lor socio -afective și intelectuale.
Evaluarea formativă dobândește un caracter formator de care elevul va dispune
pentru a urmări obiectivele personale și pentru a -și construi propriul parcurs de învățare.
Mai mult, învață să- și gestioneze erorile în cadrul autoevaluării, se pun în mâinile elevului
instrumente de reglare a învățării. Din perspectiva evaluării formatoare, mecanismul de
autoreglare prezintă un aspect de feedback și de ajustare. În acest demers prezența elevului
este activă, construind sintagmă, stăpânire anticipată a demersului didactic în complexitatea
sa – autoevaluare – autocorectare.89
Numele și prenumele elevului Nota
………………………………………………………..
Test de evaluare
Clasa V -a-Divizibilitate

(5p) 1 . Multiplii lui 4 cuprinși între 6 si 26 sunt……………………………………

89 http://www.tribunainvatamantului.ro/strategii- de-evaluare -un-contract -pedagogic/

146

(5p) 2. Divizorii numărului 14 sunt ………………………………………….
(5p) 3. Numerele prime cuprinse între 6 si 22 sunt………………………………………..
(5p) 4. Numerele de forma 25 𝑥𝑥⋮2 sunt………………………………………
(5p) 5. Divizorii proprii ai numărului 10 sunt ……………………………………
(5p) 6 . Cel mai mare număr natural de forma 16𝑥𝑥𝑥𝑥⋮5 este……………..
(5p) 7. Cel mai mare număr natural de două cifre divizibil cu 2
este………………………..
(15p) 8. Fie numerele 14, 75, 35, 89, 700, 77, 27, 84
a) numerele de mai sus care sunt multiplii lui 7
sunt…………………………………
b) numerele de mai sus care sunt divizibile cu 5 sunt
………………………………..
c) numerele de mai sus care sunt divizibile cu 2 sunt …………………………………
(10p) 9. Află media aritmetică a multiplilor lui 6 cuprinși între 8 și 20
(5p) 10. Verifică dacă 6 | (1 + 2+ 3 + 4+ ………………+ 24 )
(5p) 11. Află numerele naturale n știind că 2n + 1 divide pe 15
(5p) 12 . Determinați toate numerele de forma 34𝑎𝑎 5
𝑏𝑏 stiind ca sunt divizibile la 5
și suma cifrelor numărului este 18
(5p) 13 .Suma a 3 numere impare consecutive este 69. Aflați numerele
(5p) 14. Determinați numerele naturale x știind că: x+ 2 ⋮ 5 si 23 ≤ x ≤ 44
(5p) 15. Verifică dacă: ( 34 + 23 + 40 ) ⋮5
Se acordă 10 puncte din oficiu
Timp de lucru- 50 minute
Prezint în continuare pentru eșantionul experimental rezultatele comparative între
evaluarea inițială și evaluarea continua:

147

Nota Evaluare
inițială Evaluare
continuă
1 0 0
2 0 0
3 2 0
4 1 1
5 1 1
6 2 3
7 2 2
8 3 2
9 1 2
10 0 1

Medie test clasa a V a A evaluare inițială………6,16
Medie test clasa a V a A evaluare continuă………7,08
În continuare avem reprezentarea grafică a datelor de la evaluarea continuă , sub
formă de grafic cu bare, precum și tip plăcintă, apoi poligonul frecvențelor:

01234
nota 1 nota 2 nota 3 nota 4 nota 5 nota 6 nota 7 nota 8 nota 9 nota 10Evaluare continuă

148

Analizând rezultatele de la evaluarea continuă a eșantionului experimental
comparativ cu rezultatele de la evaluarea inițială a aceluiași eșantion constatăm
următoarele:
-media ponderală a notelor eșantionului experimental (Clasa a V -a A) la evaluare
continuă este mai mare decât media ponderală a notelor eșantionului experimental (Clasa
a V-a A) la evaluarea inițială (7,08 față de 6,16)
Pentru a evidenția mai bine cele de mai sus prezint, mai jos) pe aceleași grafice
datele celor două evaluări

8%
8%
25%
17%
17%
17%
8%Evaluare continuă
nota 4
nota 5
nota 6
nota 7
nota 8
nota 9
nota 10
01234
nota 1 nota 2 nota 3 nota 4 nota 5 nota 6 nota 7 nota 8 nota 9 nota 10Comparație evaluări

149

4.5. Evaluarea finală (cumulativă sau sumativă) a elevilor
-Se realizează la sfârșitul unei perioade instrucționale mai mari (semestru, an
școlar sau ciclu de învățământ) și are un caracter retrospectiv, în sensul că se raportează
la o perioadă de formare care s -a scurs, fără a fi posibilă o implicare decizională care să
vizeze o recuperare imediată a elevilor cu dificultăți de învățare;
-Constituie expresia modelului evaluativ tradițional, cu funcție principală de
ierarhizare și selecșie a elevilor pe cri teriul performanțelor obținute,
Este mai degrabă o formă a controlului social, interesând mai mult instituțiile cu
putere de control și decizie, decât educatorii, implicați direct în actul formativ și
preocupați mai mult de recuperarea lipsurilor într -un regim specific (cât se poate de
individualizat) decât de ierarhizarea elevilor;
-Se realizează mai ales prin probe scrise, dar și prin examinări orale și oferă o
diagnoză a pregătirii elevilor, dar și o prognoză, deoarece rezultatele obținute stabilesc contextul și condițiile în care elevii vor reuși să asimileze conținuturile noului program
de instruire.
Principalul merit al evaluării cumulative este acela că permite constatarea
progresului obținut prin compararea rezultatelor cu obiectivele propuse, dar și cu nivelul
la care se aflau subiecții la începutul acțiunii.
Principalul neajuns al evaluării cumulative pare a fi acela că răspunde doar parțial
scopului propus de orice acțiune de evaluare, pentru că “orice estimare finală servește
sistemului pentru a reformula eventual strategia instructiv -educativă, dar nu și elevilor
care au parcurs un ciclu de instruire și nu- și mai pot ameliora deficiențele eventual
constatate”.
90

90 A.Neculau, Dinamica grupurilor și a echipei, Editura Polirom, Iași; 1983, pag . 186

150

Evaluarea sumativă nu oferă, deci, informații complete cu privire la progresele
sau nereușitele parțiale ale fiecărui elev și nu -i poate ajuta pe elevi să -și corecteze
greșelile, să- și completeze cunoștințele.
Evaluarea cumulativă servește ca mijloc de diagnosticare, apreciază I.T.Radu,
oferind informațiile necesare care, în cele din ur mă, duc la ameliorarea strategiei de
învățare, la adoptarea unei “politici” noi pentru stadiul următor; principala problemă, din
care decurg toate criticile aduse acestei forme de evaluare, constă în faptul că aceste
ameliorări nu mai pot ajuta cu nimic elevii care au parcurs perioada de instruire evaluată.
Un alt reproș adus evaluării sumative este acela că nu poate oferi informații
complete asupra măsurii în care fiecare elev stăpânește un anumit conținut, deoarece nu
însoțește procesul didactic pas cu pas, secvență cu secvență.91

CLASA a 5 -a
TEST DE EVALUARE FINALĂ
PARTEA I
9 pct. 1. a) Rezultatul calculului 7 ⋅5 – 3⋅2 =
b) Rezultatul calculului
53
32
54⋅− =
c) Știind că a = 107 + 25 – 9; b = 2.a+27 iar c = 437 calculați a + b + c
9pct. 2. a) 8 m3 + 450 l + 1700 cm3 = …….. m3.
b) 2,5 ore = …….. minute
c) 3700 m = …..hm

91 Radu, I.T., Elemente de docimologie didactică, Editura Dacia, Cluj -Napoca, 1995

151

9 pct. 3. a) Numerele naturale de forma x24 divizibile cu 5 sunt ….
b) 20% din 20 este egal cu……..
c) Câte numere până la 100 sunt scrise cu două cifre identice?
9 pct 4. a) Suma numerelor prime cuprinse intre 50 si 70 este …..
b) Numărul 15 are ca di vizori proprii pe ….. și …….
c) Cel mai mic multiplu comun al numerelor 72 ; 48 și 64 este ………
9 pct 5. a) Trei surori au împreună 20 de ani. Câți ani vor avea împreună peste 5
ani?
b) Numerele întregi cu proprietatea că | x | ≤ 1 , sunt ….
c ) Care este zecimala de pe poziția 2006 a fracției zecimale 14,2(375).
PARTEA II
9 pct. 1. a) Diferența a două numere naturale este 34. Suma dintre triplul
primului număr și dublul celui de -al doilea este 187. Aflați numerele.
b) Ordonați crescător fracțiile: 2,6 ;
511; 2,58.
c) Transformați în fracție ordinară: 1,3(12).
9pct. 2. a) Efectuați: 2,06 ⋅ 5,4 – 8,6 =
b) Cât la sută reprezintă 45 din 30?
c) Un biciclist parcurge 63 Km în 3 ore. În cât timp va parcurge 105 Km
mergând la fel de repede?
9 pct. 3. Un călător parcurge un drum în 3 zile. În prima zi parcurge
154 din drum,
a doua zi parcurge jumătate din distanța rămasă și încă 5 km, iar în a treia zi
restul de 17 km.
a) Calculați lungimea drumului parcurs de călător.
b) Cât a parcurs în prima zi?
c) Cât a parcurs în cea de- a doua zi?

9 pct 4. a) Într-o curte sunt porumbei și iepuri, în total 15 capete și 42 de
picioare. Câți porumbei și câți iepuri sunt?
b)Calculați volumul paralelipipedului dreptunghic cu L=12dm , l=100
cm si h medie aritmetică intre lungime si lățime .
c) Fie mulțimile A = { }5321;;; , B = { }6420;;; , C = { }87631 ;;;; . Calculați
( ) .C BA ∩ ∪
9 pct 5 Un bazin în formă de cub are latura de 120 cm

152

a) Volumul bazinului este …… m3.
b) Numărul maxim de litri care încap în bazin este ……
c) Efectuați S =
33312…972
752
532
⋅++⋅+⋅+⋅.
Din oficiu se acordă 10 pct.

Rezultatele obținute de cele două eșantioane la testul de evaluare finală, precum
și reprezentarea grafică a acestora este prezentată în continuare:
Nota Nr.elevi
V A Nr.elevi
V B
1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 1 2
5 2 1
6 2 1
7 3 3
8 1 2
9 3 1
10 0 0

Medie test clasa a V a A………6,83
Medie test clasa a V a B……… 6,50
Comparând mediile ponderale ale notelor de la testul final observăm că eșantionul
experimental față de eșantionul de control are o medie a notelor mai mare , ceea ce
demonstrează eficiența utilizării strategiilor moderne de predare -invățare.

153

Concluzii
Analizând rezultatele cercetării constatăm că se confirmă următoarele ipoteze ale
cercetării:
1. Dacă se introduce în activități metode moderne , atunci elevii vor obține
rezultate superioare celor obținute în condițiile utilizării metodelor tradiționale. Se
confirmă comparând rezultatele evaluării finale ale eșantionului experimental cu
rezultatele evaluării finale ale eșantionului de control .
2. Dacă elevii lucrează în grupuri, devenind atât examinați cât și examinatori,
atunci învățarea este mai productivă. Se confirmă această ipoteză, comparând rezultatele
evaluării continuie cu rezultatele evaluării inițiale ale eșantionului experimental .

01234
nota 1 nota 2 nota 3 nota 4 nota 5 nota 6 nota 7 nota 8 nota 9 nota 10Comparație evaluări

154

BIBLIOGRAFIE
1. Aсu D., Aritmеtiсa și Tеоria numеrеlоr, Εditura Luсian Вlaga, Sibiu, 1999
2. Ardеlеan L., Sесеlеan Ν. A., Didaсtiсa matеmatiсii, Εditura Luсian Вlaga, Sibiu,
2007
3. Asaftei, P., Chirilă c., A saftei, d. C., E lemente de aritmetică ș teoria numerelor
pentru licee și colegii pedagogice, editura P olirom Iași, 1998;
4. Becheanu, M., Nita , C., Stefanescu, M., Dinca, A., Purdea, I., Radu, N., Vraciu,
C.: Algebra pentru perfecționarea profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică București, 1983;
5. Bușneag D, F. Boboc, D. Piciu : Aritmetica și teoria numerelor , Editura
Universitaria, Craiova 1999;
6. Ϲеrghit, I.: Меtоdе dе învățământ, Εditura Ρо lirоm, 2008
7. Ϲhiș V., A сtivitatе a рrоfеsоrului într е сurriсulum și еvaluar е, Εditura Ρrеsa
Univ еrsitară Ϲluјеană, Ϲluј-Νaросa, 2001
8. Ϲirјan F., Dida сtiсa mat еmatiс ii, Εditura Ϲ оrint, В uсurеști, 2008
9. Ϲrеțu D., Ν iсu A., Ρеdagоgi е și еlеmеntе
dе рsihоlоgiе реntru f оrmar еa соntinuă
a сadrеlоr dida сtiсе, Ε ditura Luс ian Вlaga, Sibiu, 2004
10. Iucu R ., Instruirea școlară, Editura Polirom, Iași, 2001
11. Oprea, Crenguța -Lăcrămioara, 2006, Strategii didactice interactive, E.D.P.,
București
12. Moldoveanu M ., Oproiu G ., Repere didactice și metodice în predarea
disciplinelor tehnice , Editura Printech, București, 2003
13. Popovici I. Arta și magia matematicii, Editura Sfera Bârlad 2010
14. Velcea E ., Divizibilitatea – Suport Curs Opțional -Clasele V -Vi
15. http://math.ubbcluj.ro/~bodo/for_students/Curs1.pdf
16. http://www.math.uaic.ro/~bucataru/aritmetica/aritmetica.pdf
17. http://fmi.unibuc.ro/ro/pdf/2007/catedre/algebra/g_militaru/AA_GM_Peano.pdf
18. https://destepti.ro/cine -a-inventat -abacul
19. http://www.ziartarguneamt.ro/un- vechi -instrument -de-calcul -rabojul
20. https://sorinborodi.ro/MANUAL/6/VI_A_4._Divizibilitate.pdf

155

21. https://www.concursurilecomper.ro/rip/2015/august2015/11- FloreaAdrian –
Numere_prime.pdf
22. https://www.digitaliada.ro/Divizibilitatea -numerelor -naturale- Aplicatii-
a1583588663627311
23. http://programe.ise.ro/Portals/1/Curric ulum/2017- progr/24- Matematica.pdf

156

ANEXA 1

ȘCOALA GIMNAZIALĂ PĂRĂU Clasa: a V -a / 4 ore săpt.
Disciplina: Matematică An școlar 2017- 2018
Unitatea de învățare : Divizibilitate a numerelor naturale Prof. CRAVCIUC MARIANA
Nr. ore alocate: 10

Proiectul unității de învățare

Conținutul Nr.
ore Săpt. Competențe
specifice Activități de învățare Resurse Evaluarea
Divizor. Multiplu.

Divizori comuni.
Multiplii comuni

Aplicații ale divizibilității 1

1
1 (S10)

13 – 17 XI 1.4, 2.3
-exerciții de identificare a
divizorilor sau multiplilor unui
număr;
-exerciții de completare a
mulțimii multiplilor unui număr identificând regula de completare. -Manual,
culegere.
-Seturi cu
exerciții create de profesor
-Raportare frontală a
opiniei grupului;
-Analiza observațiilor.

157

Criterii de divizibilitate cu
10,2,5,3,9,4 2 (S 11)

20 – 24 XI 1.4, 3.2 -exerciții de identificare a
numerelor divizibile cu 2, 5, 10
dintr -o mulțime de numere;
-Manual,
culegere.
-Exerciții scrise
pe tablă. -Evaluare frontală;
-Analiza observațiilor.

Proprietăți ale relației de
divizibilitate în N 1 (S11)

20 –24 XI
4.1, 2.3
– Exprimarea unor
caracteristici ale relației de
divizibilitate în mulțimea numerelor naturale, în exerciții și probleme care se rezolvă folosind divizibilitatea
-Manual,
culegere.
-Exerciții scrise
pe tablă. -Evaluare frontală;
-Analiza observ ațiilor.

Numere prime și numere
compuse. 1 (S11)

20 – 24 XI
1.4, 2.3
-exerciții de completare a unor
șiruri de numere prime
-Activitate în
grup
-Exerciții scrise
pe tablă -Evaluare frontală;
-Observația sistematică;
-Analiza răspunsurilor
scrise ale elevilor.
La dispoziția profesorului 2 (S12)

27 – 1 XII 1.4, 2.3
3.2 -exerciții recapitulative pentru
pregătirea lucrării de evaluare Manual,
culegere -Autoevaluare
Test de evaluare 1 (S12)
27 – 1 XII

158

ANEXA 2

PROIECT DE LECȚIE

CLASA: a V -a
PROFESOR : Cravciuc Mariana
DISCIPLINA: Matematică
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE :Numere naturale
TEMA LECȚIEI : Criterii de divizibilitate cu 2, 5 și 10
TIPUL LECTIEI : Însușire de noi cunoștințe
SCOPUL LECȚIEI: Formarea și dezvoltarea deprinderilor de a cunoaște criteriile de divizibilitate cu 2, 5 și 10

COMPETENȚE GENERALE:
1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite

159

2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice
3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete
4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora
5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații- problemă
6. Modelarea matematică a unor contexte problematic e variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii

COMPETENȚE SPECIFICE:

1. Selectarea și utilizarea de algoritmi pentru efectuarea operațiilor cu numere naturale și pentru divizibilitateda cu 10, 2 și 5.
2. Deducerea unor proprietăți ale operațiilor cu numere naturale pentru a estima sau pentru a verifica validarea unor calcule.
3. Utilizarea operațiilor aritmetice și a proprietăților acestora în calcule cu numere naturale.

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

La sfârșitul lecției, elevii vor fi capabili:

160

– să folosească corect notațiile relației de divizibilitate;
– să identifice numerele divizibile cu 2, 5 sau 10 dintr -un șir de numere naturale;
– să utilizeze criteriile de divizibilitate pentru numerele scrise în baza 10 care au în componența lor litere în loc de cifre;
– să conștientizeze necesitatea recapitulării active a noțiunilor predate anterior;
– să-și dezvolte interesul pentru studiul matematicii.

STRATEGII DIDACTICE:

– METODE ȘI PROCEDEE: conversația, învățarea prin descoperire, exercițiul, problematizarea, explicația, munca independentă.
– MIJLOACE DE ÎNVĂȚĂMÂNT : fișe de lucru, manualul/culegerea de matematică, flip-chart, marker, tablă, cretă, video -proiector,
calculator.
– FORMA DE ORGANIZARE : frontal, individual și pe grupe.
– RESURSE
1. umane : 12 elevi;
2. temporale: 50 minute;
3. spațiale: sala de clasă.

161

Scenariul didactic

Etapele lecției Activitatea profesorului Activitatea elevilor Metode Forma de Evaluare
organizare
I. Verificarea prezenței elevilor și a condițiilor Elevii se pregătesc cu cele -conversația -frontal
Moment optime necesare desfășurării lecției. necesare pentru lecție.
organizatoric Elevii sunt împărțiți în grupe de câte 5 -6
(2 min) elevi.
II. Se verifică frontal tema, eventual se lucrează la Elevii compară răspunsurile din -observația; -frontal Aprecieri
Verificarea temei caiete și argumentează -conversația; verbale
pentru acasă să le efectueze elevii acasă. răspunsurile lor, corectând -explicația.
(2 min) eventualele greșeli.

II. Elevii sunt antrenați în găsirea unui cuvânt Elevii vor nota răspunsurile pe -conversația; -pe grupe Aprecieri
Captarea atenției cheie a lecției de zi prin rezolvarea unui flip-chart. -explicația. verbale
(5) rebus.
III. Lecția de azi se numește: Elevii scriu titlul lecției noi în -conversația
Anunțarea temei și a Criteriul de divizibilitate cu 2, 5 și 10. În caiete.
obiectivelor cadrul lecției ne propunem consolidarea

162

(3 min) cunoștințelor dobândite anterior, notarea
corectă a relației de divizibilitate,
identificarea numerelor divizibile cu 2, 5 sau
10 dintr -un șir de numere naturale și utilizarea
criteriilor de divizibilitate pentru numerele
scrise în baza 10 care au în componența lor
litere în loc de cifre.

V. Întrebări adresate elevilor: Elevii vor nota răspunsurile pe -conversația; -frontală

Dirijarea invatarii „Care sunt primii 6 multipli ai lui 2?” tablă și în caiete sub forma unor -explicația

„Care sunt primii 6 multipli ai lui 5?” coloane. -individual ă
„Care sunt primii 6 multipli ai lui 10?”
În continuare, elevii vor primi câte o fișă de
lucru, cu trei aplicații (aflate pe fișa de lucru
A), pe care le vor rezolva singuri, apoi cu
ajutorul calculatorului vor verifica rezultatele. Prima aplicație, pe o foaie de flip-chart: Alegeți dintre perechi le de
numere de mai jos, în ordinea în care sunt
așezate (22 -I, 55-L, 37 -O, 26 -S, 59 -A, 70 -Se scrie răspunsul sub forma unui
tabel pe tablă.

Se va completa foaia de flip -chart
cu numerele corecte și cuvântul
obținut.
Aprecierea

163

T, 64 -E, 43 -M, 11 -U, 88 -T), pe cele care
sunt divizibile cu 2 și scrieți în casuțele
libere literele care le corespund. Veți obține
astfel un cuvânt.

Apoi, elevii vor răspunde la întrebarea
următoare: Care este ultima cifră a numerelor alese?

Enunțarea criteriului de divizibilitate cu 2
„Un număr natural este divizibil cu 2 dacă ultima sa cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8”

A doua aplicație se realizează cu ajutorul
calculatorului: Alegeți dintre numerele de mai jos (25, 40, 67, 99, 75, 80) pe cele care sunt divizibile cu 5. Dând clic pe ele, vom
obține câteva imagini cu animale. Haideți să
le descoperim!

Din nou elevilor li se adresează întrebarea: Care este ultima cifră a numerelor alese?
Enunțarea criteriului de divizibilitate cu 5

Se vor scrie la tablă
răspunsurile corecte.

Se scrie răspunsul sub forma
unui tabel pe tablă.

Se vor scrie la tablă numerele
corecte.

164

„Un număr natural este divizibil cu 5 dacă
ultima sa cifră este 0 sau 5”
Aplicația a treia se realizează tot cu ajutorul
calculatorului: Alegeți dintre numerele de
mai jos (82, 50, 77,120, 35, 68, 300) pe cele
care

REBUS
DIVIZIBILITATE
A

165

Orizontal:

1.Cum citim simbolul ”|” din relația „7|14”.

2.Numărul a cu proprietatea că a=b⋅ c , unde a,b,c, sunt numere naturale, se numește …………….. al lui b.

3.Mulțimea divizorilor pari ai lui 9.

4.Numărul de divizori ai lui 16.

5.Număr natural care este multiplu al oricărui număr natural nenul.

6.Numărul de divizori ai unui număr prim.

7.Numărul de divizori ai lui 49.

Vertical ………………………………….

166

Fișa de lucru A

1. Alegeți dintre perechile de numere de mai jos, în ordinea în care sunt așezate, numerele care sunt divizibile cu 2 și scrieți in
casuțele libere literele care le corespund. Veți obține un cuvânt.

2. Alegeți dintre numerele de mai jos pe cele care sunt divizibile cu 5. Dând clic pe ele, vom obține câteva imagini cu animale.
Haideți să le descoperim!

3. Alegeți dintre numerele de mai jos pe cele care sunt divizibile cu 10. Dând clic pe ele, numerele își vor schimba

culoarea. Haideți să le descoper im împreună!

167

ANEXA 3
Școala Gimnazială Părău Numele elevului ………………………………
Clasa a V -a
Criterii de divizibilitate cu: 2, 5, 10, 3 și 9

Fie a un număr natural, 1 ,0≠ ≠a a

{ }8,6,4,2,0)( 2 ∈ ⇔ aU a
1) Scrieți numerele divizibile cu 2 cuprinse între
10 și 20.
2) Aflați toate numerele de forma ba71 ,
divizibile cu 2 și a + b = 11.

{}5,0)( 5 ∈ ⇔ aU a
1) Scrieți numerele divizibile cu 5 cuprinse între
12 și 52.
2) Aflați toate numerele de forma yx7, divizibile
cu 5 și x – y = 3.

168

{}0)( 10 ∈ ⇔ aU a

1) Calculați suma numerelor de forma ba3
divizibile cu 10.
2) Determinați numerele de forma:
a) 10 3ba
b) 100 8ab
c) 310 12 dcba
d) 410 2 xyztk
e) 510 7  abcdefgh

( )3 … 3 ….   z yx z xya +++ ⇔ =
1) Determinați numerele de forma 334a .
2) Arătați că:
a) ,0 ,3 ≠∀x xxx cifră;
b) orice număr format din trei cifre consecutive
este divizibil cu 3.

( )9 … 9 ….   z yx z xya +++ ⇔ =
1) Determinați numerele de forma 91xx .
2) Arătați că:
a) {}9,0 918 ∈ ⇔x x ;
b) dacă 9 0,0 ,9   zyx z x xyz ⇒≠ ≠ .

169

ANEXA 4

Numele ……………………………………………..

Labirintul multiplilor lui 3

– Divizibilitate. Divizor. Multiplu. Criteriul de divizibilitate cu 3. –

Pentru a vă deplasa prin labirint, determinați multiplii lui 3!

Amintiți- vă că numerele trebuie să își atingă pătrățelele în care sunt scrise chiar și printr -un colț!
Feriți- vă de distractori (numere care sunt multipli de 3, dar nu își ating pătrățelele în care sunt scrise).
Succes! 

170

Labirintul multiplilor lui 3

– Divizibilitate. Divizor. Multiplu. Criteriul de divizibilitate cu 3. –
Pentru a vă deplasa prin labirint, determinați multiplii lui 3!

Amintiți- vă că numerele trebuie să își atingă pătrățelele în care sunt scrise chiar și printr- un
colț! P.S. Feriți- vă de distractori (numere care sunt multipli de 3, dar nu își ating pătrățelele în
care sunt scrise).

Succes! 

171

Soluții

172

ANEXA 5
FISA DE LUCRU -DIVIZIBILITATE
1. Completati pentru a obtine propozitii adevarate folosind cuvintele „divizor”,
„multiplu” si simbolurile ⋮ , |, ∤:
a) Numarul 6 este……………………..numarului 12 si scriem 6 12.
b) Numarul 8 este………………………numarului 24 si scriem 8 24.
c) Numarul 10 este………………………numarului 2 si scriem 10 2.
d) Numarul 18 este………………………numarului 6 si scriem 18 6.
e) Numarul 8 nu este………………………numarului 20 si sc riem 8 20.
f) Numarul 15 este………………………numarului 5 si scriem 15 5 .
g) Numarul 12 este………………………numarului 4 si scriem 12 4.
h) Numarul 6 este………………………numarului 24 si scriem 36 24.
i) Numarul 8 nu este………………………numarului 21 si scriem 8 21.
j) Numarul 15 este………………………numarului 30si scriem 15 30.
k) Numarul 24 este………………………numarului 24 si scriem 24 24.
l) Numarul 9 este………………………numarului 27 si scriem 9 27.
m) Numarul 3 este………………………numarului 24 si scriem 3 24.
n) Numarul 64 este………………………numarului 4 si scriem 64 4.
o) Numarul 9 nu este………………………numarului 29 si scriem 9 29.
p) Numarul 1 este………………………numarului 23 si scriem 1 23.
q) Numarul 80 este………………………..numarului 20 si scriem 80 20.
r) Numarul 0 este………………………numarului 14 si scriem 0 14.

2. a) Scrieti divizorii numerelor: 12, 35, 24, 18, 45, 36, 20, 100, 48,27, 54. b) Scrieti multiplii numarului 5 cuprinsi intre 23 si 46.
c) Scrieti multiplii numarului 15 cuprinsi intre 23 si 96.
d) Scrieti multiplii numarului 10 cuprinsi intre 230 si 300.
e) Scrieti multiplii numarului 12 cuprinsi intre 21 si 86.
f) Scrieti multiplii numarului 16 cuprinsi intre 30 si 126.

173

3. Scrieti numerele de forma 34𝑥𝑥 divizibile cu : a)2 ; b) 3 ; c) 4; d) 5; e) 9 ; f) 10

4. Scrieti numerele de forma 204𝑥𝑥 divizibile cu : a)2 ; b) 3 ; c) 4; d) 5; e) 9 ; f) 10

5.Scrieti numerele de forma 𝑥𝑥4𝑥𝑥 divizibile cu : a)2 ; b) 3 ; c) 4; d) 5; e) 9 ; f) 10

6.Scrieti numerele de forma 231𝑥𝑥 divizibile cu : a)2 ; b) 3 ; c) 4; d) 5; e) 9 ; f) 10

174

ANEXA 6
Fișă de lucru – Divizori comuni. Multipli comuni
1. Stabiliți valoarea de adevăr a relațiilor de mai jos:
a) 26 (A)(F); b) 2|4 (A)(F); c) 550(A)(F); d) (A)(F);

2. Completați tabelul de mai jos:
Număr
natural Divizorii
proprii Divizorii
improprii
5
6
27
36
100
3. Completați tabelul de mai jos:
Număr
natural Primii cinci multipli Observații
7
25
31
50
100

175

4. Completați tabelul de mai jos:
Numere
naturale Divizorii numărului Divizori comuni
4

6

12

18

20

30

5. Completați tabelul de mai jos:
Numere
naturale Multiplii numărului Multipli i comuni
4

6

12

18

20

30

Copyright Notice

© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.

Acest articol: Strategii didactice de dezvoltare a [621872] (ID: 621872)

Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.

Strategii didactice de dezvoltare a [621872]

Copyright Notice

Științe administrative [607567]

Chemical Bulletin of Politehnica University of Ti misoara, ROMANIA [623658]

(A)Demographic Profiling of Respondents [628524]

OPTIMIZAREA SEC ȚIEI DE PRODUC ȚIE A SIFOANELOR PENTRU [621921]

I.1. Repere ale dezvoltării neuro-psiho-motorii [311619]

T 2 N21 Economia Turismului.pdf [603618]

Copyright Notice

Similar Posts