1.1 Definiție. Proprietăți generale. O Algebră Booleană este un sistem {𝐵, ∨, ⋅, ′, 0, 1 }, unde: 𝐵 este o mulțime nevidă. ∨ și ⋅ sunt două operații… [621829]
1 Algebre Booleene.
1.1 Definiție. Proprietăți generale.
O Algebră Booleană este un sistem {𝐵, ∨, ⋅, ′, 0, 1 }, unde:
𝐵 este o mulțime nevidă.
∨ și ⋅ sunt două operații pe B, astfel:
∨:B×B → B (𝐝𝐢𝐬𝐣𝐮𝐧𝐜𝐭𝐢𝐞 )
⋅:B×B → B (𝐜𝐨𝐧𝐣𝐮𝐧𝐜𝐭𝐢𝐞 ) , cu proprietățile: (1.1) … (1.9′)
′ este un operator:
′:B → B (𝐧𝐞𝐠𝐚ț𝐢𝐞) , cu proprietățile: (1.10) … (1.12′)
iar 0 și 1 sunt două elemente din B, cu 0 ≠ 1 astfel încât pentru ∀ x,y,z ∈ B avem:
𝑥∨𝑦=𝑦∨𝑥 (1.1)
𝑥⋅𝑦 = 𝑦⋅𝑥 (1.1′)
(𝑥∨𝑦)∨𝑧 = 𝑥∨(𝑦∨𝑧) (1.2)
(𝑥⋅𝑦)⋅𝑧 = 𝑥⋅(𝑦⋅𝑧) (1.2′)
𝑥∨𝑥⋅𝑦 = 𝑥 (1.3)
𝑥⋅(𝑥∨𝑦) = 𝑥 (1.3′)
𝑥∨𝑦⋅𝑧 = (𝑥∨𝑦)⋅(𝑥∨𝑧) (1.4)
𝑥⋅(𝑦∨𝑧) = 𝑥⋅𝑦∨𝑥⋅𝑧 (1.4′)
𝑥∨1 = 1 (1.5)
𝑥⋅0 = 0 (1.5′)
𝑥∨𝑥′ = 1 (1.6)
𝑥⋅𝑥′ = 0 (1.6′)
Observații:
Un sistem {𝐵, ∨, ⋅} cu proprietățile de comutativitate ((1.1), (1.1′)), asociativitate
((1.2), (1.2′)) și absorbție ((1.3), (1.3′)) se numește latice;
O latice împreună cu proprietatea de distributivitate ((1.4), (1.4′)), elementul
unitate (1.5), elementul nul (1.5′) și cu proprietatea că elementul unitate și
elementul nul sunt complementare ((1.6), (1.6′)) este o Algebră Booleană .
Exemple:
1. Fie Bଶ= {0, 1} și fie ∨, ⋅,′ definite astfel:
0∨0 = 0 0⋅0 = 0
0∨1 = 1 0⋅1 = 0
1∨1 = 1 1⋅1 = 1
0′ = 1 1′ = 0
Observăm că proprietățile (1.1) – (1.6′) sunt verificate. Bଶ se numește algebra cu
două elemente .
2. Fie X o mulțime nevidă și A ⊆ X. Considerăm operațiile ∪, ∩,′ astfel încât având
mulțimile B,C ⊆ X au loc următoarele:
𝐵∪𝐶 = { 𝑥 ∈𝑋 | 𝑥∈𝐵 𝑠𝑎𝑢 𝑥∈𝐶}
𝐵∩𝐶 = { 𝑥 ∈𝑋 | 𝑥∈𝐵 ș𝑖 𝑥∈𝐶}
B′ = {x ∈ X|x ∉ B}
Atunci { X, ∪, ∩, ᇱ, ∅,𝐴} este o Algebra Booleană.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: 1.1 Definiție. Proprietăți generale. O Algebră Booleană este un sistem {𝐵, ∨, ⋅, ′, 0, 1 }, unde: 𝐵 este o mulțime nevidă. ∨ și ⋅ sunt două operații… [621829] (ID: 621829)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.