Conduc ˘ator s ¸tiinific: Absolvent: Prof.univ.dr.T ¸ igoiu Sanda Cristian Ionela Marcela UNIVERSITATEA DIN BUCURES ¸TI FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A S… [621152]

1
UNIVERSITATEA DIN BUCURES ¸TI
FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A S ¸I INFORMATIC ˘A
LUCRARE DE LICENT ¸ ˘A
Conduc ˘ator s ¸tiinific: Absolvent: [anonimizat].univ.dr.T ¸ igoiu Sanda Cristian Ionela Marcela

UNIVERSITATEA DIN BUCURES ¸TI
FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A S ¸I INFORMATIC ˘A
Titlul lucr ˘arii de licent ¸ ˘a
Fluide V ˆascoase
Conduc ˘ator s ¸tiint ¸ific:
Prof.univ.dr. Sanda T ¸ igoiu
Absolvent: [anonimizat]
2020

Cuprins
1 Relat ¸ii constitutive 4
1.1 Principiile generale relat ¸iilor constitutive . . . . . . . . . 4
1.2 Notat ¸ii s ¸i definit ¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Materiale simple – forme reduse ale ecuat ¸iilor consti-
tutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Principiul determinismului modificat pentru materiale
simple cu leg ˘aturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.1 Materiale simple cu leg ˘aturi simple . . . . . . . . . . . . 27
1.5 Corpuri izotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Fluide v ˆascoase 37
2.1 Funct ¸ii izotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Ortogonalul subgrup maximal . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3 Fluide ˆın clasa materialelor simple . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.1 Clasa fluidelor v ˆascoase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3

Capitolul 1
Relat ¸ii constitutive
Descriu matematic comportamentul diferitelor materiale din care sunt construite
corpurile, care se deformeaz ˘a continuu sub act ¸iunea fort ¸elor.
1.1 Principiile generale relat ¸iilor constitutive
Teoria relat ¸iilor constitutive modeleaz ˘a corpurile ce se afl ˘aˆın mediul ˆınconjur ˘ator.
Aceste corpuri sunt alc ˘atuite din diverse tipuri de materiale.
Teoria general ˘a a relat ¸iilor constitutive determin ˘a restrict ¸ii asupra mis ¸c ˘arii cor-
purilor, care se deformeaz ˘a sub act ¸iunea fort ¸elor, sau a fort ¸elor, care act ¸ioneaz ˘a
asupra corpurilor (sau asupra am ˆandurora). Relat ¸iile constitutive caracterizeaz ˘a
relat ¸ia dintre mis ¸carea corpurilor s ¸i tensiunile din corp.
Aceste corpuri au o anumit ˘a consistent ¸ ˘a fizic ˘a/material ˘a.
4

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 5
1.2 Notat ¸ii s ¸i definit ¸ii
V om utiliza urm ˘atoarele notat ¸ii:
E- spat ¸iul euclidian tridimensional;
V- spat ¸iul vectorial al translat ¸iilor lui E;
C- corpul numerelor complexe;
R- corpul numerelor reale:
N- mult ¸imea numerelor reale;
Lin =Lin(V;V)=fT:V ! Vj liniar ˘ag;
Sim- mult ¸imea transform ˘arilor simetrice,
Sim =fS2LinjS=STg;
Invlin – mult ¸imea transform ˘arilor inversabile,
Invlin =fT2LinjdetT6= 0g;
Unim – mult ¸imea transform ˘arilor unimodulare,
Unim =fT2LinjjdetTj= 1g;
Psim – mult ¸imea transform ˘arilor pozitiv definite,
Psim =fS2SimjSu
u0;8u2 Vg ;
Ort- mult ¸imea transform ˘arilor ortogonale,
Ort =fQ2LinjQu
Qv=u
v;8U;v2 Vg ;
- mis ¸carea corpului,
:BR ! E ;
T(x;t)- tensiunea Cauchy;
x- pozit ¸ia particulei Xla momentul t, prin mis ¸carea ;

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 6
F- operator constitutiv;
F(X;t)- gradientul de deformat ¸ie calculat ˆın particula Xpˆan˘a la momentul t;
Definit ¸ia 1.1 Gradientul deformat ¸iei reprezint ˘a diferent ¸iala aplicat ¸iei X!k(X;t).
Acesta se scrie sub forma:
Fk(X;t) =rk(X;t),
undeFk(X;t)2Invlin .
B(X;t)- tensorul lui Cauchy-Green la st ˆanga,
B=F(X;t)FT(X;t);
C(X;t)- tensorului Cauchy-Green la dreapta,
C(X;t) =FT(X;t)F(X;t)
Mis ¸carea relativ ˘ase descrie astfel:
t(
;) :Bt!B
t(x;) =(1(x;t);)y
unde este notat astfel x=(X;t)s ¸iy=(X;).
Ft(x;)- gradientul de deformat ¸ie ˆın mis ¸carea relativ ˘a;
Ct(x;)- tensorului Cauchy-Green la dreapta ˆın mis ¸carea relativ ˘a,
Ct(x;) =FT
t(x;)Ft(x;)
Bt(x;)- tensorul lui Cauchy-Green la st ˆanga ˆın mis ¸carea relativ ˘a,
Bt(x;t) =Ft(x;)FT
t(x;);
D- difirent ¸iala;
D(x;t)- tensorul vitez ˘a de deformare
D(x;t) =1
2(L(x;t) +LT(x;t))2Sim

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 7
L(x;t)- gradientul vitezei
L(x;t) =D(x;t) +W(x;t);
W(x;t)- tensorul spin
W(x;t) =1
2(L(x;t)LT(x;t)2Asim
_F(X;t)- viteza gradientului de deformat ¸ie;
_F(X;t) =L(x;t)F(X;t);
_C(X;t)- viteza de variat ¸ie a tensorului Cauchy
_C(X;t) = _FT(X;t)F(X;t) +FT(X;t)_F(X;t)
= (L(x;t)F(X;t))TF(X;t) +FT(X;t)(L(x;t)F(X;t))
=FT(X;t)(LT(x;t) +L(x;t))F(X;t)
)_C(X;t) = 2 FT(X;t)D(x;t)F(X;t)
N- tensor simetric;
s – parametru de istorie(masoar ˘a timpul de la prezent spre trecut), s2[0;+1);
X- domeniu de valori, arbitrar;
- parametrul curent,
unde=tssit.
Teorema de descompunere polar ˘a 1.1 Pentru orice F(X;t) = FcuF2
Invlin ,9U;V2Psim , unici ˆın reperul ment ¸ionat, astfel ˆıncˆat:
F=RU (descompunerea la dreapta)
F=VR (descompunerea la st ˆanga)
undeR2Orteste tensorul rotat ¸iilor;
U2Psim este tensorul lungimilor de la dreapta;
V2Psim este tensorul lungimilor de la st ˆanga.

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 8
Istoria p ˆan˘a la momentul t al gradientului de deformat ¸ie, ˆıntr-o particul ˘a material ˘a
fixat˘a,X, este definit ˘a prin funct ¸ia:
Ft(X;
) : [0;+1)!Invlin
Ft(X;s) =F(X;ts;)8s2[0;+1) (1.1)
Dac˘as= 0 obt ¸inem valoarea curent ˘a a gradientului de deformat ¸ie, astfel
Ft(X;0) = F(X;t0) = F(X;t): (1.2)
ˆIn continuare prezent ˘am principiile generale ale reprezent ˘arilor constitutive.
1. Principiul determinismului
FieBun corp s ¸i X2 B o particul ˘a a corpuluiB.
Starea de tensiune ˆın particula Xa corpuluiBla momentul t este determinat ˘a
deistoria mis ¸c ˘arii corpuluiB.
Principul determinismului se poate scrie astfel,
T(x;t) =F(ft(Y;
)gjY2B) (1.3)
ˆIn relat ¸ia (1.3) s-a folosit urm ˘atoarele notat ¸ii:
xreprezint ˘a pozit ¸ia particulei Xla momentul t, prin mis ¸carea ,:
x=(X;t)
T(x;t)reprezint ˘a tensiunea Cauchy ˆın particula X la momentul t:

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 9
T(x;t)2Sim
Feste operatorul constitutiv definit pe istorii cu valori in Sim.
2. Principiul act ¸iunii locale
FieBun corp s ¸i X2 B o particul ˘a.
Starea de tensiune ˆın particula Xa corpuluiBla momentul t este determinat ˘a
de istoria mis ¸c ˘arii unei vacin ˘at˘at ¸i a particulei, p ˆan˘a la momentul t.
Se face urm ˘atoarea afirmat ¸ie:
FieBun corp si Xo particul ˘a a sa. Exist ˘a o vecin ˘atate a particulei materiale
X, notat ˘a cuNX B , astfel ˆıncˆat oricare ar fi dou ˘a mis ¸c ˘ari,;:BR!",
care coincid pe vecin ˘atate, atunci starea de tensiune ˆın particula Xla momentul t,
pe cele dou ˘a mis ¸cari determin ˘a o aceeasi stare de tensiune la momemntul t. Deci,
T(x;t) =F(ft(Y;
)gjY2B) =F(ft(Y;
)gjY2B) (1.4)
x=(X;t) = (X;t) (1.5)
Ment ¸ion ˘am c ˘as ¸icoincid pe vecin ˘atateaNxdac˘a(Y;)s ¸i(Y;);8Y2
Nx; 2R.
Definit ¸ia 1.2 Se numes ¸te un proces dinamic o pereche f;Tg,
unde:este o mis ¸care a corpului B;
Teste tensiunea Cauchy.
Definit ¸ia 1.3 Dou˘a perechi sunt dinamic echivalente, f;Tgsi respectivf;Tg,

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 10
dac˘a cele dou ˘a mis ¸c ˘ari,;sunt echivalente s ¸i Ts ¸Tsunt legate prin relat ¸ia
de obiectivitate.
Definit ¸ia 1.4 Spunem c ˘a mis ¸careaeste schivalent ˘a cu mis ¸carea a corpului
B, daca au loc formulele urm ˘atoare:
(X;t) =x
0(t) +Q(t)((X;t)x0);8X2 B;t2 R (1.6)
unde este notat: t=t+a, a dat s ¸i x
0(t);x02E;Q2Ort; a2R.
x=(X;t):
Observat ¸ia 1.1 Funct ¸ia x
0R! E defines ¸te o translat ¸ie, Q(t)o rotat ¸ie.
Cu alte cuvinte mis ¸c ˘ariles ¸isunt legate printr-o translat ¸ie s ¸i rotat ¸ie, deci,
printr-o mis ¸care de corp rigid.
Definit ¸ia 1.5 Cˆampurile tensoriale T(x;t)s ¸iT(x;t)(corespunz ˘atoare mis ¸c ˘arilor
echivalente s ¸i) sunt legate prin relat ¸ia de obiectivitate dac ˘a:
T(x;t) =Q(t)T(x;t)QT(t);Q(t)2Ort;8t2R (1.7)
3. Principiul obiectivit ˘at ¸ii
Fie o reprezentare constitutiv ˘a dat ˘a s ¸i fie un proces dinamic, (;T)care satis-
face reprezentarea constitutiv ˘a. Atunci, oricare ar fi procesul dinamic (;T),
cumis ¸care echivalent ˘a cus ¸iTlegat prin relat ¸ia de obiectivitate de T,

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 11
perechea (;T)satisface aceeas ¸i reprezentare constitutiv ˘a.
Reprezent ˘arile constitutive se mai numesc ecuat ¸ii constitutive.
Formaliz ˘am matematic principiul obiectivit ˘atii: Principiul obiectivit ˘at ¸ii este
satisf ˘acut doar dac ˘a operatorul constitutiv satisface urm ˘atoarea restrict ¸ie:
F(f()t)(Y;
)gjY2B) =Q(t)F(ft(Y;
)gjY2B;X)QT(t) (1.8)
Definit ¸ia 1.6 Se numes ¸te form ˘a redus ˘aa ecuat ¸iei constitutive o form ˘a care sat-
isface principiul obiectivit ˘at ¸ii.
1.3 Materiale simple – forme reduse ale ecuat ¸iilor constitutive
Definit ¸ia 1.7 Se numesc materiale simple , materialele care sunt descrise prin
reprezent ˘ari constitutive de forma:
T(x;t) =Fk(Ft
k(X;
)) (1.9)
unde: k reprezint ˘a configurat ¸ia de referintt ¸ ˘a fixat ˘a;
Fkreprezint ˘a operatorul constitutiv ˆın raport cu configurat ¸ia de referint ¸ ˘a;
F(X;t)reprezint ˘a valoarea curent ˘a a gradientului de deformat ¸ie.
Observat ¸ia 1.2 Principiul act ¸iunii locale este satisf ˘acut de c ˘atre orice material
simplu.
Cazuri particulare de materiale simple:
-corp elastic

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 12
-fluid vascos
ˆIn continuare vom demonstra restrict ¸iile impuse de principiul obiectivit ˘at ¸ii
asupra corpului elastic.
Teorema 1.2 Fie reprezentarea constitutiv ˘a a corpului elastic de forma:
T(x;t) =F(F(X;t)) (1.10)
Principiul obiectivit ˘at ¸ii este satisf ˘acut dac ˘a s ¸i numai dac ˘a este respectat ˘a urm ˘atoarea
condit ¸ie:
F(Q(t)F(X;t)) = Q(t)F(F(X;t))QT(t) (1.11)
undeQ(t)2Ort;8F(X;t)2Invlin:
Demonstrat ¸ie 1 . Prin definit ¸ie gradientul de deformat ¸ie se scrie:
F(X;t) =r(x;t), iarx=(X;t).
Demonstr ˘am c ˘a (1.11) este o condit ¸ie necesar ˘a.
Fie perechea (;T), cumis ¸care echivalent ˘a cu mis ¸carea s ¸i
T(x;t) =Q(t)T(x;t)QT(t): (1.12)
Presupunem c ˘a reprezentarea constitutiv ˘a satisface principiul obiectivit ˘at ¸ii. Pre-
supunem, pe de o parte, c ˘a perechea (;T)care satisface ecuat ¸ia (1.10) s ¸i pe de
alt˘a parte perechea (;T)satisface aceeas ¸i reprezentare constitutiv ˘a,ˆın care

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 13
. Astfel obt ¸inem:
T(x;t) =F(F(X;t)) (1.13)
undeT(x;t) =Q(t)T(x;t)QT(t)s ¸iT(x;t) =F(F(X;t)), de aici rezult ˘a
F(F(X;t)) = Q(t)F(F(X;t))QT(t); (1.14)
Leg˘atura dintre Ts ¸iTeste dat ˘a de relat ¸ia (1.12), dar
Q(t)T(x;t)QT(t) =Q(t)F(F(X;t))QT(t)
Darˆın relat ¸ia (1.13) apare gradientul de deformat ¸ie prin mis ¸carea .
Din definit ¸ia gradientului de deformat ¸ie, aplicat pentru mis ¸carea avem:
F(X;t) =r(X;t).
Ca o consecint ¸ ˘a a definit ¸iei mis ¸c ˘arilor echivalente rezult ˘a egalitatea:
r(X;t) =Q(t)r(X;t).
Astfel rezult ˘a relat ¸ia dintre gradient ¸ii deformat ¸iei, calculat ¸i pe mis ¸c ˘arile echiva-
lente:
F(X;t) =Q(t)F(X;t) (1.15)
Relat ¸ia (1.15) se ˆınlocuies ¸te ˆın (1.13) astfel rezult ˘a ca restrit ¸ia (1.11) este o condit ¸ie
necesar ˘a.
Astfel am demonstrat c ˘a este satisf ˘acut˘a condit ¸ia necesar ˘a de obiectivitate
pentru corpul elastic.

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 14
Pentru a demonstra reciproca presupunem c ˘a avem ecuat ¸ia constitutiv ˘a:
T(x;t) =F(F(X;t)):
Supus ˘a la urm ˘atoarea restrict ¸ie:
F(Q(t)F(X;t)) = Q(t)F(F(X;t))QT(t): (1.16)
Trebuie s ˘a demonstr ˘am c ˘a aceast ˘a reprezentare constitutiv ˘a satisface principiul
obiectivit ˘at ¸ii.
Fie o pereche (;T)care satisface relat ¸ia constitutiv ˘a (1.10). Fie o pereche
(;T),ˆın care mis ¸carea este echivalent ˘a cus ¸i exist ˘a relat ¸ia:
T(x;t) =Q(t)T(x;t)QT(t):
Din relat ¸ia dintre gradient ¸ii deformat ¸iei (1.15) s ¸tim c ˘aF(X;t) =Q(t)F(X;t).
Din (1.16) are loc egalitatea:
F(F(X;t)) =F(Q(t)F(X;t))
Folosim relat ¸ia constitutiv ˘a (1.10) ˆın relat ¸ia anterioar ˘a. Deci:
Q(t)F(F(X;t))QT(t) =Q(t)T(x;t)QT(t)

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 15
Dac˘a folosim relat ¸ia dintre tensiunile Ts ¸iT,ˆın final se obt ¸ine relat ¸ia:
T(x;t) =F(F(X;t));
care arat ˘a c˘a perechea (;T)satisface aceeas ¸i reprezentare constitutiv ˘a ca s ¸i
perechea (;T). Rezultatul a fost obt ¸inut ˆın ipoteza c ˘a are loc formula (1.11).
Am exemplificat restrict ¸ia impus ˘a de principiul obiectivit ˘at ¸ii.
ˆIn continuare vrem s ˘a g˘asim reprezent ˘ari constitutive care sunt scrise ˆıntr-o
form ˘a redus ˘a , adic ˘a o form ˘aˆın care se observ ˘a principiul obiectivit ˘at ¸ii satisf ˘acut.
Teorema 1.3 Forma redus ˘a IFie un material simplu cu urm ˘atoarea reprezentare
constitutiv ˘a:
T(x;t) =F(Ft(X;
))
O form ˘a redus ˘a a ecuat ¸iei constitutive se poate scrie sub forma:
T(x;t) =R(X;t)F(Ut(X;
))RT(X;t) (1.17)
avˆandˆın vedere c ˘aF(X;) =R(X;)U(X;);82R.
UndeR(X;t)reprezint ˘a tensorul rotat ¸iilor la momentul t;
Ut(X;
)reprezint ˘a istoria tensorului lungirilor la dreapta.
Demonstrat ¸ie 2 Vom folosi urm ˘atoarele notat ¸ii:
=+a
t=t+a

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 16
t=t=s
Folosind principiul obiectivit ˘at ¸ii avem egalitatea:
T(x;t) =F((F)t(X;
)) (1.18)
Din relat ¸ia (1.12) s ¸tim c ˘a:
T(x;t) =Q(t)T(x;t)QT(t):
Din ipotez ˘a s ¸tim c ˘aT(x;t) =F(Ft(X;
)). Din aceasta rezult ˘a:
Q(t)T(x;t)QT(t) =Q(t)F(Ft(x;
)QT(t) (1.19)
Din relat ¸iile (1.18) s ¸i (1.19) rezult ˘a urm ˘atoarea egalitate:
F((F)t(X;
)) = Q(t)F(Ft(x;
)QT(t) (1.20)
Folosim relat ¸ia dintre gradient ¸ii deformat ¸iei, calculat ¸i pe mis ¸c ˘ari echivalente.
F(X;) =Q()F(X;)
Dac˘a trecem pe istorii, relat ¸ia anterioar ˘a devine:
(F)t(X;s) =Qt(s)Ft(X;s) (1.21)

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 17
undesreprezint ˘a parametrul de istorie, s0.
Astfel rezult ˘a egalitatea istoriilor: (F)t(X;
) =Qt(
)Ft(X;
), care ˆımpreun ˘a
cu relat ¸ia (1.20) devine:
F(Qt(
)Ft(X;
)) = Q(t)F(Ft(x;
)QT(t) (1.22)
cu istoria gradientului de deformat ¸ie Ft(X;
)arbitrar, fixat ˘a s ¸i pentru orice Q(t).
Aceast ˘a relat ¸ie reprezint ˘a condit ¸ia necesar ˘a s ¸i suficient ˘a de obiectivitate ca
restrict ¸ie asupra lui F.
Folosim teorema de descompunere polar ˘a, care se enunt ¸ ˘a astfel:
Teorema de descompunere polar ˘a 1.4 Pentru orice F(X;t) =FcuF2Invlin9R2
Orts ¸i9U;V2Psim , unici ˆın reperul ment ¸ionat, astfel ˆıncˆat:
F=RU (descompunerea la dreapta)
F=VR (descompunerea la st ˆanga)
undeR2Orteste tensorul rotat ¸iilor;
U2Psim este tensorul lungirilor de la dreapta;
V2Psim este tensorul lungirilor de la st ˆanga.
FieQt(
) =RT(X;t);8t. Folosim teorema de descompunere polar ˘aˆın particula
Xla momentul obt ¸inem urm ˘atoarea egalitate:
Qt(
)Ft(X;
) =RT(X;t)(R(X;t)Ut(X;
)) = Ut(X;
)
deoarece R(X;t)este ortogonal ˘a.

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 18
Introducem egalitatea: Qt(s)Ft(X;s) =Ut(X;s), dedus ˘a pentru
Qt(
) =RT(X;t).
Particulariz ˘am transformarea ortogonal ˘aQ(), unde=ts. Astfel
egalitatea anterioar ˘a se scrie sub forma:
Q()F(X;) =U(X;) (1.23)
Introducem relat ¸ia (1.23) ˆın (1.22). Astfel rezult ˘a urm ˘atoarea egalitate:
F(Ut(X;
)) = RT(X;t)F(Ft(X;
))R(X;t)
Astfel am demonstrat c ˘aˆın mod necesar reprezentarea constitutiv ˘a se scrie sub
forma:
F(Ft(X;
)) = R(X;t)F(Ut(X;
))RT(X;t)
Reciproca: Fie reprezentarea constitutiv ˘a de tipul (1.9), cu configurat ¸ia de referint ¸ ˘a
fixat˘a,
T(x;t) =F(Ft(X;
))
Cu operatorul constitutiv de forma:
F(Ft(X;
)) = R(X;t)F(Ut(X;
))RT(X;t)
Trebuie s ˘a ar˘at˘am c ˘a operatorul constitutiv Fsatisface condit ¸ia (1.22), pentru
oriceQ(t)2Ort.

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 19
Introducem istoria ~Ft(
) =Qt(
)Ft(X;
). Folosim definit ¸ia istoriei.
Conform relat ¸iei (1.1) dac ˘as0avem relat ¸ia:
~F(X;ts) =Q(ts)F(X;ts):
Not˘am cu=ts, astfel relat ¸ia scris ˘a mai sus devine:
~F(X;) =Q()F(X;)

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 20
Din unicitatea descompunerii polare obt ¸inem urm ˘atoarele egalit ˘at ¸i:
~R(X;) =Q()R(X;)
&
~U(X;) =U(X;)
Scriem operatorul constitutiv Fpentru istoria ~Ft(
)astfel obt ¸inem:
F(Qt(
)Ft(X;
)) =F(~Ft(X;
)) = ~R(X;)F(~Ut(
)~RT(X;) (1.24)
Introducem ~Rs ¸i~Uˆın relat ¸ia (1.24) s ¸i obt ¸inem:
F(Qt(
)Ft(X;
)) = Q(t)R(X;t)F(Ut(
))RT(X;t)QT(t)
Folosind egalit ˘at ¸ile obt ¸inute din unicitatea descompunerii polare, relat ¸ia scris ˘a mai
sus devine:
F(Qt(
)Ft(X;
)) = Q(t)F(Ft(X;
))QT(t)
Astfel am demonstrat c ˘a operatorul constitutiv Fsatisface condit ¸ia de obiectivi-
tate.
Teorema 1.5 Forma redusa II Fie reprezentarea constitutiv ˘a a corpului elastic
de forma:
T(x;t) =F(Ft(X;
))

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 21
Principiul obiectivit ˘at ¸ii este satisf ˘acut dac ˘a s ¸i numai dac ˘a operatorul consti-
tutiv se reprezint ˘a sub forma:
F(Ft(X;
)) = R(X;t)F1((Ct
t(x;
))R;C(X;t))RT(X;t) (1.25)
unde PR=RTPR(tensor rotit );8P2Lins ¸iR=R(X;t).
Demonstrat ¸ie 3 Trecem la mis ¸carea relativ ˘a pentru a realiza demonstrat ¸ia
teoremei.
FieFt(x;)2Invlin gradientul deformat ¸iei relative.
Folosim teoremele de descompunere polar ˘a pentru urm ˘atoarele relat ¸ii
F(x;) =Ft(x;)F(X;t)
Ft(x;) =Rt(x;)Ut(x;)
F(X;t) =R(X;t)U(X;t)
,pentru orice x2Bt, astfel obt ¸inem egalitatea:
F(x;) =Rt(x;)R(X;t)(Ut(x;))RU(X;t); (1.26)
undeRt(x;);R(X;t)2Ort.
Presupunem c ˘a reprezentarea constitutiv ˘a satisface principiul obiectivit ˘at ¸ii.
Cu alte cuvinte avem:
F(Qt(
)Ft(X;
)) = Q(t)F(Ft(X;
))QT(t)

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 22
Not˘am cu=ts, undes0s ¸itastfel ˆıncˆat:
(Qt(
)Ft(X;
))(s) =Q(ts)F(X;ts) =
=Q(t)Rt(x;)R(X;t)(Ut(x;))RU(X;t)(1.27)
Q(t) =RT(t) &Q() = ( Rt()R(t))T(1.28)
Din egalit ˘at ¸ile (1.22), (1.27) s ¸i (1.28) obt ¸inem urm ˘atoarea egalitate:
F((Ut
t(
))RU(t)) = RT(t)F(Ft(X;
))R(t) (1.29)
S ¸tim c ˘a
C(t) =U2(t) &Ct() = [Ut()]2: (1.30)
Avem din ipotez ˘a egalitatea ce defines ¸te tensorul rotit cu rotat ¸ia de la momentul
t,PR=RTPR. Cu ajutorul acesteia si a relat ¸iei (1.27) deducem urm ˘atoarea
egalitate:
(Ct())R= [(Ut())R]2: (1.31)
De unde rezult ˘a c˘a exist ˘a operatorul constitutiv Fastfel ˆıncˆat din relat ¸iile (1.29)
s ¸i (1.31) obt ¸inem:
F(Ft(X;
)) = R(t)F((Ut
t(
))RU(t))RT(t))
) F (Ft(X;
)) = R(t)F1((Ct
t(
))R;C(t))RT(t)(1.32)
Astfel am demonstrat c ˘a exist ˘a operatorul constitutiv F1.

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 23
Reciproca: Fie reprezentarea constitutiv ˘a:
T(X;t) =F(F(X;t)):
Unde operatorul constitutiv este de forma:
F(F(X;t)) = R(X;t)F1((Ct
t(
))R;C(t))RT(X;t) (1.33)
Demonstr ˘am c ˘a operatorul constitutiv Fare urm ˘atoarea proprietate:
F(Q(t)Ft(X;
)) = Q(t)F(Ft(X;
))QT(t) (1.34)
Introducem istoria corespunz ˘atoare unei mis ¸c ˘ariscris ˘a sub forma (F)t(X;
).
Deci,
(F)t(X;
) =Q(t)Ft(X;
)
Folosind relat ¸ia (1.1), pentru s0avem
F(X;ts) =Q(ts)F(X;ts):
Dac˘a not ˘amts=aceast ˘a relat ¸ie se scrie sub forma:
F(X;) =Q()F(X;):

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 24
Astfel rezult ˘a urm ˘atoarele egalit ˘at ¸i:
R() =Q()R()
C() =C()
Ct() =Q(t)Ct()QT(t):(1.35)
Din ipotez ˘a s ¸tim c ˘aPR=RTPR. Din aceast ˘a relat ¸ie s ¸i din (1.35) obt ¸inem:
(Ct
t(s))R=RT(t)Ct
t(s)R(t) = ( Ct
t(s))R
Scriem relat ¸ia (1.29) pentru F(X;t):
F((F)t(X;
)) = R(X;t)F1((Ct
t(
))R;C(t))(R)T(X;t)
Folosim egalit ˘at ¸ile din (1.35). Atunci relat ¸ia anterioar ˘a se poate scrie astfel:
F((F)t(X;
)) = Q(t)R(X;t)F1((Ct(t))R;C(t))RT(X;t)QT(t)
Cum s ¸tim c ˘a(F)t(X;
) =Q(t)Ft(X;
)obt ¸inem:
F(Q(t)F(X;t)) = Q(t)R(X;t)F1((Ct(t))R;C(t))RT(X;t)QT(t)
Astfel am demonstrat c ˘a operatorul constitutiv are proprietatea:
F(Q(t)F(X;t)) = Q(t)F(F(X;t))QT(t)

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 25
1.4 Principiul determinismului modificat pentru materiale sim-
ple cu leg ˘aturi
Acest principiu va inlocui principiul determinismului siprincipiul act ¸iunii lo-
cale,ˆın cazul ˆın care mis ¸carea corpului ˆıntr-o vecin ˘atate a unei particule are anu-
mite restrict ¸ii.
Definit ¸ia 1.8 Numim leg ˘atur˘a simpl ˘a o relat ¸ie scalar ˘a dependent ˘a de valoarea
curent ˘a a gradientului de deformat ¸ie scris ˘a sub forma:

(F(X;t)) = 0; (1.36)
care este o funct ¸ie obiectiv ˘a.
Datorit ˘a ipotezei de obiectivitate relat ¸ia (1.36) se reprezint ˘aˆın mod echivalent
sub forma:
(C(X;t)) = 0; (C(X;t)) =
(U(X;t)) (1.37)
undeU2(X;t) =C(X;t),U- din descompunerea polar ˘a.
Demonstrat ¸ie 4 Din definit ¸ia obiectivit ˘at ¸ii s ¸tim c ˘a o relat ¸ie este obiectiv ˘a dac ˘a
este verificat ˘a pe mis ¸carea este verificat ˘a si pe mis ¸carea . Cu alte cuvinte
avem relat ¸ia:

(F(X;t)) =
(F(X;t)) = 0: (1.38)

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 26
UndeF(X;t) =Q(t)F(X;t), astfel relat ¸ia (1.38) se poate scrie astfel:

(F(X;t)) =
(Q(t)F(X;t)) (1.39)
pentru orice Q(t)2Ort
Consider ˘am egalitatea Q(t) =RT(X;t). Din descopunerea polar ˘a s ¸tim c ˘a
F(X;t) =R(X;t)U(X;t). Astfel rezult ˘a c˘a relat ¸ia (1.39) devine:

(F(X;t)) =
(RT(X;t)R(X;t)U(X;t))
(U(X;t)):
Orice funct ¸ie U(X;t)poate fi privit ˘a ca o funct ¸ie C(X;t), cu alte cuvinte:
U2(X;t) =C(X;t):
Atunci, cum
(F(X;t))
(U(X;t)) = 0 , o funct ¸ie C(X;t)de tipul:
(C(X;t)) = 0 .
Astfel am demonstrat echivalent ¸a dintre relat ¸iile (1.36) s ¸i (1.37).
Observat ¸ia 1.3 Leg˘aturile reprezint ˘a restrict ¸ii constitutive asupra mis ¸c ˘arii cor-
pului.

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 27
1.4.1 Materiale simple cu leg ˘aturi simple
ˆIn ipoteza materialelor simple, istoria gradientului de deformat ¸ie, ˆın aceste reprezent ˘ari
constitutive, este considerat far ˘a restrict ¸ii geormetrice, abitrar.
ˆIn cazul ˆın care istoria gradientului de deformat ¸ie este compatibil ˘a cu anumite
leg˘aturi, reprezentarea constitutiv ˘a a materialelor simple se modific ˘a astfel ˆıncat
leg˘aturile s ˘a fie compatibile.
Se reformuleaz ˘a principiul determinismului tin ˆand seama de restrict ¸iile im-
puse istoriei gradientului de deformat ¸ie.
Prezent ˘am o modalitate de a prezenta acest principiul.
Axioma : Starea de tensiune este determinat ˘a prin istoria gradientului de deformat ¸ie
mai put ¸in un tensor simetric, care produce o putere mecanic ˘a nul ˘a, pentru orice
mis ¸care compatibil ˘a cu leg ˘aturile.
Fie starea de tensiune:
T(x;t) =N+F(Ft(X;
)) (1.40)
pentru8F(X;t)astfel ˆıncˆat(C(X;t)) = 0 , unde
C(X;t) =FT(X;t)F(X;t)
Consider ˘am cazul leg ˘aturilor simple de forma: (C(X;t)) = 0 .
Axioma: Starea de tensiune este determinat ˘a prin istoria gradientului de deformat ¸ie
cu operatorul constitutiv, F, mai putin un tensor simetric. Acesta se scrie sub

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 28
forma N2Sim, unde:
N
L(x;t)N
D(x;t) = 0; (1.41)
pentru orice F(X;t)cu proprietatea c ˘a(C(X;t)) = 0 .
Teorema 1.6 Fie funct ¸ia:Sim!Rde clas ˘aC1, atunci avem urm ˘atoarea
relat ¸ie:
N=qF(X;t)r(C(X;t))FT(X;t) (1.42)
unde q, funct ¸ie scalar ˘a, depinde de (x;t), iar funct ¸iar(C)2Sim.
Demonstrat ¸ie 5 Fiex2 B, fixat.
Fief(t) =(C(X;t)) = 0 , cuC(X;t) =F(X;t)TF(X;t)2Sim.
S ¸tim c ˘a valoarea funct ¸iei D(C(X;t)) :Sim!Reste liniar ˘a s ¸i continu ˘a,
din diferent ¸iabilitatea funct ¸iei .
Deriv ˘amˆın raport cu timpul funct ¸ia, t!f(t)si obt ¸inem:
_f(t) =D(C(X;t))[_C(X;t)] = 0 (1.43)
folosim un rezultat _C(X;t) = 2 F(X;t)TD(x;t)F(X;t).
Folosim teorema lui Riesz, care se enunt ˘a astfel:
Teorema lui Riesz 1.7 Fie o aplicat ¸iei F:H ! R, liniar ˘a s ¸i continu ˘a pe
spat ¸iull Hilbert, atunci exist ˘a un element a2H astfel ˆıncˆatf(u) =a
u, a este
unic.

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 29
Din teorema lui Riesz rezult ˘a c˘a exist ˘ar(C)2Sim, astfel ˆıncˆat pentru orice
A2Sim avem urm ˘atoarea egalitate:
D(C(X;t))[A] =r(C(X;t))
A (1.44)
Din relat ¸iile (1.43) s ¸i (1.44) obt ¸inem urm ˘atoarea egalitate:
r(C(X;t))
2F(X;t)TD(x;t)F(X;t) = 0,
,F(X;t)r(C(X;t))FT(X;t)
D(x;t) = 0:(1.45)
Observ ˘am c ˘a dac ˘ar(C(X;t))
2FT(X;t)D(x;t)F(X;t) = 0;8t. Dac ˘a
integr ˘am aceast ˘a relat ¸ie obt ¸inem faptul c ˘a(C(t)) =const .
Rescriem relat ¸ia (1.41), din ipotez ˘a astfel: N
D(x;t) = 0 ,ˆın baza existent ¸ei
leg˘aturii rezult ˘aD(x;t)2Sim, astfel ˆıncatF(t)r(C(t))F(t)T
D(t) = 0 .
Elimin ˘am leg ˘atura introduc ˆand multiplicatorul lui Lagrange introduc ˆand q s ¸i
obt ¸inem astfel:
(NqF(t)r(C(t))F(t)T)
D(x;t) = 0;8D(x;t)2Sim:
Ceea ce este echvalent cu N=qF(X;t)r(C(x;t))FT(X;t).
Astfel am ˆıncheiat demonstrat ¸ia.
Consider ˘am cazul materialului incompresibil.
Propozit ¸ia 1.8 Un material incompresibil poate fi caracterizat prin setul de afirmat ¸ii
echivalente:
(x;t)=0(X),det(F(X;t)) = 1,divvtrL= 0 (1.46)

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 30
Teorema 1.9 Starea de tensiune este determinat ˘a prin istoria gradientului de
deformat ¸ie, cu except ¸ia unui tensor sferic, care determin ˘a o presiune de tip hidro-
static. Aceasta se scrie astfel:
T(x;t) =p(x;t)I+F(Ft(X;
));8Ft(X;
): (1.47)
Oricare ar fi F(X;)cu proprietatea c ˘adetF(X;) = 1 pentru orice moment
de timp2RavemdetF() = 1 .
Demonstrat ¸ie 6 Din condit ¸ia de incompresibilitate, (1.46) obt ¸inem:
divv(x;t) =trL= 0.
S ¸tim c ˘atrL=LI= 0. Astfel folosind principiul determinismului modificat
obt ¸inem urm ˘atoarea relat ¸ie:
(N+pI)
L= 0;8L2Lin,
N=pI.
Astfel am ˆıncheiat demonstrat ¸ia teoremei (1.9).
1.5 Corpuri izotrope
V om utiliza urm ˘atoarele notat ¸ii:
B=FT(X;t)F(X;t)- tensorul lui Cauchy-Green la st ˆanga;
Ct
t(
)- istoria tensorului Cauchy-Green la dreapta.
Definit ¸ia 1.9 Fie k o configurat ¸ie de referint ¸ ˘a dat ˘a, fixat ˘a.

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 31
Numim grup de simetrie a materialului, fat ¸ ˘a de configurat ¸ia k, ˆıntr-o particul ˘a
dat˘a, urm ˘atoarea mult ¸ime:
gk(X) =fH2UnimjFk(Ft(
)H) =Fk(Ft(
))g (1.48)
pentru orice Ft(
):
Numim transformare de simetrie material ˘a o transformare de tipul
H2gk(X).
Observat ¸ia 1.4 Observ ˘am c ˘a mult ¸imea definit ˘a (1.48) este un grup, ˆın raport
cu operat ¸ia de compunere a aplicat ¸iilor ˆınLin. Mai precis, este un subgrup ˆın
Unim .
Teorema 1.10 Dac˘a exist ˘aQ02Ort, atunci avem urm ˘atoarea echivalent ¸ ˘a:
Q02gk(X), F (Q0Ft(x;
)QT
0) =Q0Fk(Ft(X;
)QT
0;8Ft(X;
)(1.49)
Demonstrat ¸ie 7 FieF()2Invlin . Din ipotez ˘a s ¸tim c ˘aQ02gk(X), astfel
observ ˘am c ˘aQT
02gk(X). Din relat ¸ia (1.42) cu istoria Q0F()obt ¸inem:
Fk((Q0Ft(X;
)QT
0) =F(Q0Ft(X;
)Q0)
=F(Q0Ft(X;
));(1.50)
deoarece Q02gk(X).

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 32
Presupunem c ˘a principiul obiectivit ˘at ¸ii este satistf ˘acut. Adic ˘a operatorul con-
stitutiv,Fk, satisface urm ˘atoarea condit ¸ie:
Fk((Qt(t)Ft(X;
)) = Q(t)F(Ft(X;
))QT(t)
Dac˘aˆın relat ¸ia (1.11) not ˘amQ(t) =Q0;8t2Racesta devine:
F(Qt
0Ft(X;
)) = Q0F(Ft(X;
))QT
0 (1.51)
Rescriem egalit ˘at ¸ile (1.50) ˆımpreun ˘a cu (1.51), pentru Fk, s ¸i obt ¸inem:
Fk((Q0Ft(X;
))QT
0) =Q0F(Ft(X;
))QT
0:
Astfel am demonstrat c ˘a are loc relat ¸ia (1.48).
Reciproca: Presupunem c ˘a asupra operatorului constitutiv are loc urm ˘atoarea
restrict ¸ie:F(Q0Ft(x;
)QT
0) =Q0Fk(Ft(X;
)QT
0. Din aceasta s ¸i din principiul
obiectivit ˘at ¸ii, pentru Q(t) =Q0;8t2R(folosit ˆın membrul drept) obt ¸inem
relat ¸ia:
F((Q0Ft(X;
)QT
0) =F(Q0Ft(X;
))
Dac˘a not ˘amQ0F() = ~F())QT
02gk(X), deoarece
F(~F()QT
0) =F(~F()):
Deoarecegk(X)este subgrup, dac ˘aQT
02gk, atunci Q02gk(X), avˆandˆın

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 33
vedere c ˘a este vorba de o transformare orogonal ˘a.
Definit ¸ia 1.10 Fie corpulB, acesta este construit dintr-un material izotrop ˆın
particula Xdac˘a s ¸i numai dac ˘a exist ˘a configurat ¸ia k2C, astfel ˆıncˆat:
Ortgk(X)
Definit ¸ia 1.11 Fie corpulB, acesta este construit dintr-un material fluid ˆın par-
ticula Xdac˘a s ¸i numai dac ˘a exist ˘a configurat ¸ia k2C, astfel ˆıncˆat:
gk(X) =Unim
Definit ¸ia 1.12 Fie corpulB, acesta este construit dintr-un material solid ˆın par-
ticula Xdac˘a s ¸i numai dac ˘a exist ˘a configurat ¸ia k2C, astfel ˆıncˆat:
gk(X)Ort
Teorema 1.11 Spunem c ˘a corpulBestecorp izotrop , dac ˘a operatorul constitutiv
al acestuia este izotrop , adic ˘a
Fk(QFt(X;
)QT) =QFk(Ft(X;
))QT;8Q2Ort
Demonstrat ¸ie 8 Dinteorema 1.10 avem relat ¸ia:F(Q0Ft(X;
)QT
0) =Q0Fk(Ft(X;
)QT
0,
adev ˘arat˘a pentru Q0transformare ortogonal ˘a din grupul de simetrie material ˘a.
Dac˘a not ˘amˆın acest ˘a relat ¸ie Q0=Qobt ¸inem urm ˘atoarea egalitate:
Fk(QF(X;t)QT) =QFk(F(X;t))QT
Conform definitiei 1.8 Ortgk(X), iar noi s ¸tim c ˘aOrt\gk(X) =Ort, astfel
rezult ˘a c˘a relat ¸ia este adev ˘arat˘a pentru orice transformare ortogonal ˘a.

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 34
Teorema 1.12 FieBun corp izotrop, atunci acesta este un solid izotrop sau un
fluid ˆın particula X.
Demonstrat ¸ie 9 Folosim maximalitatea lui Ort ˆın Unim, ceea ce ˆınseamn ˘a c˘a
dac˘a exist ˘a un grup g, subgrup ˆınUnim s ¸i careOrtg, atunci avem
g=Ortsaug=Unim .
Din definit ¸ia 1.8 observ ˘am c ˘a exist ˘a o configurat ¸ie de tipul k2 C astfel:
Ortgk(X))gk(X) =Ort)gk(X)Ort (1.52)
atunci din definit ¸ia 1.10 deducem c ˘aBeste un solid izotrop ˆın particula X
sau
Ortgk(X))gk(X) =Ort)gk(X) =Unim: (1.53)
astfel din definit ¸ia 1.9 c˘aBeste un fluid ˆın particula X.
Teorema 1.13 Fie reprezentarea constitutiv ˘a:
T(x;t) =F1(Ct
t(
);B(t))QT:
Din aceasta se obt ¸ine forma redusa II pentru corpuri izotrope ˆıntr-o particula.
Forma redusa II este izotrop ˘aˆın ambele argumente, astfel:
F1(QCt
t(
)QT;QB(t)QT) =QF1(Ct
t(
);B(t))QT: (1.54)

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 35
Demonstrat ¸ie 10 Fie procesul !F()2Invlin s ¸i fieF()astfel ˆıncˆat:
~F() =F()RT(X;t);
pentru orice R(X;t)2Ort, unde t este fixat.
Dac˘a aplicam teorema de descompunere polar ˘a s ¸i unicitatea acesteia obt ¸inem:
~R() =R()RT(X;t)
~U() =R(X;t)U()RT(X;t)
)~C(t) =R(X;t)C(t)RT(X;t):
S ¸tim c ˘aF
t() =Ft())C
t() =Ct().
Conform principiului obiectivit ˘at ¸ii avem urm ˘atoarea relat ¸ie:
F(F(X;t)) = R(X;t)F1((Ct
t(
))R;C(t))RT(X;t)
S ¸tim c ˘a t este fixat, iar deoarece corpul este izotrop RT(X;t)2gk(X))
F(Ft(X;
)) =F(~Ft(X;
)) = ~R(X;t)F1((Ct
t(
))~R;~C(t))~RT(X;t)
F(Ft(X;
)) =F1(Ct
t(
);B(t))
Deci, reprezentarea constitutiv ˘a este de forma:
T(x;t) =F1(Ct
t(
);B(t))QT:

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II CONSTITUTIVE 36
ˆIn continuare demonstr ˘am c ˘a operatorul constitutiv este izotrop cu ambele argu-
mente.
Fie istoria de deformat ¸ie F();82Rs ¸i istoria procesului ~F()astfel
ˆıncˆat:
~F() =QF()QT;8Q2Ort
)~Ft() =QFt()QT
~Ct() =QCt()QT
~B() =QB()QT
Scriem reprezentarea constitutiv ˘a pentru istoria procesului ~F()s ¸i obt ¸inem:
F(~Ft(X;
)) =F1(~Ct
t(
);~B(t)) =F1(QCt
tQT;QB(t)QT) (1.55)
Folosind teorema 1.10 obt ¸inem:
F(~Ft(X;
)) =F(QFt(X;
)QT) =QF(F(X;t))QT;8Q2Ort:
Dac˘a not ˘amF=F1obt ¸inem urm ˘atoarele egalit ˘at ¸i :
F(QFt(X;
)QT) =F1(QCt
t(
)QT;QB(t)QT)
&
QF(Ft(X;
))QT=QF1(Ct
t(
);B(t))QT.
Astfel deducem condit ¸ia de izotripie: F(QFt(X;
)QT) =QF1(Ct
t(
);B(t))QT,
ceea ce trebuia de demonstrat.

Capitolul 2
Fluide v ˆascoase
2.1 Funct ¸ii izotrope
Funt ¸iile izotrope sunt strict legate de reprezent ˘arile constitutive pentru materiale
izotrope, ˆın particular pentru clasa fluidelor v ˆascoase.
V om prezenta cateva definit ¸ii ce ne vor ajuta in demonstrarea fiec ˘arei teoreme.
Prezent ˘am definit ¸ia funct ¸iei invariante.
Definit ¸ia 2.1 Fie funct ¸ia ':A Lin!R. Spunem c ˘a funct ¸ia'este
invariant ˘aˆın raport cuG, undeG Ort, dac ˘a s ¸i numai dac ˘aAesteinvariant
ˆın raport cuG, cu proprietatea c ˘a pentru orice A2 A s ¸iQ2 G avem:
'(A) ='(QAQT):
Cu alte cuvinte,Aeste invariant ˆın raport cuGastfel c ˘a8A2A s ¸iQAQT2A.
37

CAPITOLUL 2. FLUIDE V ˆASCOASE 38
Definit ¸ia 2.2 O funct ¸ie invariant ˘aˆın raport cu Ortse numes ¸te funct ¸ie izotrop ˘a.
Prezent ˘am teoremaa funct ¸iilor scalare izotrope.
Teorema 2.1 Funct ¸ia scalar ˘a:':A Sim!R esteizotrop ˘adac˘a s ¸i numai
dac˘a exist ˘a'0:j(A)!R astfel ˆıncˆat'(A) ='0(jA)
UndejAreprezint ˘a un set de invariant ¸i pentru A::
FiejA=ftrA;trA2;trA3g
FiejA=ftrA;IIA;detAg
undeIIAse noteaz ˘a cuIIA=1
2f(trA)2tr(A2)g
Demonstrat ¸ie 11 Fie':A ! R cu valori scalare. Presupunem c ˘a'este o
funct ¸ie izotrop ˘a.
Presupunem c ˘a exist ˘aA,B2Sim, arbitrari, cu acelasi set de invariat ¸i. Atunci
avem'(A) ='(B).
Folosim teorema de reprezentare spectral ˘a, care se enunt ¸ ˘a astfel:
Teorema de reprezentare spectral ˘a 2.2 FieT2Sim, exist ˘a valori proprii !i2
Rs ¸i vectori proprii ortonormat ¸i ei2, undei2 f1;3gˆın as ¸a fel ˆıncˆat :
T=3X
i=1!iei
ei: (2.1)
Conform teoremei enunt ¸at ˘a anterior exist ˘a bazele ortonormate feig;ffig, de vec-
tori proprii, astfel ˆıncˆat obt ¸inem urm ˘atoarele egalit ˘at ¸i:

CAPITOLUL 2. FLUIDE V ˆASCOASE 39
A=3X
i=1!iei
ei;B=3X
i=1!ifi
fi: (2.2)
Consider ˘amQ1astfel ˆıncˆat avem egalitatea: Q1ei=fi, pentru orice i2f1;3g.
De aici obt ¸inem faptul c ˘a:
A=Q0BQT
0 (2.3)
Conform definit ¸iei funct ¸iilor izotrope relat ¸ia (2.3) devine:
'(A) ='(Q0BQT
0):
Folosind ipoteza demonstr ˘am c ˘a'depinde doar de valorile proprii:
'(A) ='(Q0BQT
0) ='(B): (2.4)
Astfel se ˆıncheie demonstrat ¸ia teoremei.
Reciproca: Fie funct ¸ia':ASim!R cu proprietatea c ˘a'(A) ='0(jA).
Atunci, rezult ˘a c˘a funct ¸ia'este izotrop ˘a.
Cu alte cuvinte '(QAQT) ='(A). Dar conform ipotezei membrul st ˆang
este scris ca fiind '0(jQAQT)I+'1(jQAQT)QAQT+'2(jQAQT)QA2QT:Unde
trQAQT=QAQT
I
tr(QAQT)2=QAQT
QAQT
tr(QAQT)3=QAQT
QA2QT(2.5)

CAPITOLUL 2. FLUIDE V ˆASCOASE 40
Din propriet ˘at ¸ile de la produsul scalar s ¸tim c ˘a
QAQT=A
QTQ
(QAQT)2=QA2QT=A2
QTQ
(QAQT)2=QA3QT=A3
QTQ:
Astfel relat ¸ia (2.5) se poate scrie astfel:
trQAQT=trA
ItrA
tr(QAQT)2=trA2
ItrA2
tr(QAQT)3=trA3
ItrA3(2.6)
DeciAs ¸ijAau acelas ¸i set de invariant ¸i. Astfel am demontrat c ˘a'este izotrop ˘a.
Definit ¸ia 2.3 Fie funct ¸ia tensorial ˘aS:A Lin!Sim. Spunem c ˘a funct ¸ia
S este invariant ˘aˆın raport cuG, dac ˘a s ¸i numai dac ˘aAeste invariat ˘aˆın raport cu
G, undeG 2Ort, s ¸i are proprietatea c ˘a pentru orice A2A s ¸iQ2Gavem:
QS(A)QT=S(QAQT)
ˆIn continuare enunt ¸ ˘am teorema funct ¸iilor izotrope cu valori tensori simetrici.
Teorema 2.3 Fie funct ¸ia':Sim!Sim. Spunem c ˘a'este izotrop ˘a dac ˘a exist ˘a
'k:j(A)!Rastfel ca:
'(A) ='0(jA)I+'1(jA)A+'2(jA)A2;pentru8A2Sim:

CAPITOLUL 2. FLUIDE V ˆASCOASE 41
Demonstrat ¸ie 12 FieA=3X
i=1!iei
eipentru!16=!26=!36=!1,evector
propriu al lui A.
Lema 2.4 FieS:A Sim!Sim izotrop ˘a, astfel orice vector propriu al
luiA2A Sim este vector propriu al lui S(A)(S(A)- compunere de funct ¸ii
scalare).
DinLema 2.4 deducem faptul c ˘a :
S(A) =3X
i=1iei
ei: (2.7)
Folosim relat ¸ia SpfI;A;A2g=Spfe1
e1;e2
e2;e3
e3g, undefI;A;A2g
sunt liniari independent ¸i, s ¸i obt ¸inem urm ˘atoarea egalitate:
S(A) ='0I+'1A+'2A2: (2.8)
ˆIn continuare ar ˘at˘am c ˘a funct ¸iile scalare 'jsunt izotrope s ¸i c ˘a depind doar
dejA.
Din definit ¸ia 2.2 avem egalitatea: QS(A)QT=S(QAQT),
QS(A)QTS(QAQT) = 0
Din izotropia funct ¸iei S obt ¸inem c ˘a:

CAPITOLUL 2. FLUIDE V ˆASCOASE 42
('0(A)'0(QAQT))I+ ('1(A)'1(QAQT))QAQT+
('2(A)'2(QAQT))QA2QT= 0
,('0(A)'0(QAQT))I+ ('1(A)'1(QAQT))A+
('2(A)'2(QAQT))A2= 0(2.9)
ˆIn baza liniar independent ˘a coeficient ¸ii scalari sunt nuli.
Obt ¸inem astfel:
'j(A)'j(QAQT) = 0;8j=f0;3g: (2.10)
Astfel am demonstrat c ˘a'j(A) ='j(QAQT), ceea ce aveam de demonstrat.
Prezent ˘am teorema funct ¸iilor tensoriale liniare s ¸i izotrope, enunt ¸at ˘a astfel:
Teorema 2.5 Dac˘a exist ˘a;2Rastfel ˆıncˆat:
S(A) =(trA)I+ 2A: (2.11)
atunci funct ¸ia S:Sim!Sim este izotrop ˘a, unde S este funct ¸ie liniar ˘a.
Demonstrat ¸ie 13 ˆIncepem demonstrat ¸ia prin a presupune c ˘a S este o funct ¸ie
izotrop ˘a.
Fiee2Sim s ¸iA=e
e, avem!16=!2=!3cufI;Agliniari independent ¸i
s ¸iSpfI;Ag=Spfe
e;Ie
eg. S ¸tiu c ˘atrA=e.

CAPITOLUL 2. FLUIDE V ˆASCOASE 43
S(A) =S(e
e) =!1e
e+!2(Ie
e)(e)I+ 2(e)e
e. (10)
Din definit ¸ia 2.2 s ¸tim c ˘aQS(A)QT=S(QAQT) (11)
Din izotropia funct ¸iei S observ ˘a c˘a relat ¸ia (11) se poate scrie astfel:
QS(e
e)QT=S(Qe
eQT),
QS(e
e)QTS(Qe
eQT) = 0 (12)
Rescriem egalitatea (12) folosind reprezentarea (10):
((e)(Qe) + 2((e)(Qe))Q(e
e)QT= 0 (13)
((e(Qe))I+ 2((e)(Qe))e
e= 0
Astfel rezult ˘a c˘a cele dou ˘a funct ¸ii,s ¸i, sunt izorope ˆın raport cu variabila
vectorial ˘a, adic ˘a:
(e) =(Qe);  (e) =(Qe);8Q2Ort.
Consider ˘amf2, undejfj=jejs ¸iQ2Ort astfel ˆıncˆat avem
egalitatea: Qe=f. Obt ¸inem astfel egalit ˘at ¸ile:
(e) =(f) &(e) =(f);8f;e2, undejfj=jej. (12)
FieA2Sim, din teorema de reprezentare spectral ˘a s ¸tim c ˘a:
A=P3
i=1!iei
eis ¸i folosind liniaritatea aplicat ¸iei S obt ¸inem urm ˘atoarea
relat ¸ie:
S(A) =P3
i=1!iS(ei
ei) =P3
i=1!if(ei)I+ 2(ei)ei
eig (13)
,(e1) =(e2) =(e3) =
&
(e1) =(e2) =(e3) =.
Din relat ¸ia (13) rezult ˘a urm ˘atoarea egalitate:
S(A) =P3
i=1!iI+ 2P3
i=1!iei
ei)

CAPITOLUL 2. FLUIDE V ˆASCOASE 44
S(A) = 2A+trA I
ceea ce ˆıncheie demonstrat ¸ia teoremei.
2.2 Ortogonalul subgrup maximal
Teorema 2.6 Fie g un subgrup, unde gUnim , unde avem Unim notat astfel:
Unim =fH2LinjjdetHj= 1g.
Spunem c ˘aOrt este un subgrup maximal ˆın Unim, unde Ort =Q2
LinjQTQ=Ig, dac ˘aOrtgUnim avem urm ˘atoarele afirmat ¸ii:
g=Ort &g=Unim
2.3 Fluide ˆın clasa materialelor simple
Teorema fundamental ˘a a fluidelor: Pentru orice corpBce este construit dintr-
un material fluid ˆıntr-o particula Xexist ˘a o ecuat ¸ie de tipul:
T(x;t) =p()I+R(Ct
t(
);); (2.12)
ce are urm ˘atoarele propriet ˘at ¸i:
i)R(QCt
t(
)QT;) =QR(Ct
t(
);)QT;8Q2Ort
ii)R(It(
);) = 0 , unde am notat It(s)I
Demonstrat ¸ie 14 Fie corpulBalc˘atuit dintr-un fluid.

CAPITOLUL 2. FLUIDE V ˆASCOASE 45
Folosim teorema 1.12, din care s ¸tim c ˘aOrtgk(X) =Unim , de unde
deducem faptul c ˘a este ˆın particular izotrop.
Fie urm ˘atoarea reprezentare constitutiv ˘a:
T(x;t) =F(Ft(X;t))
Folosim teorema 1.14, cu operatorul constitutiv izotrop ˆın ambele argumente, ast-
fel reprezentarea constututiv ˘a devine:
F(Ft(X;t)) =F1(Ct
t(
);B(t)) (2.13)
Fie transformarea de simetrie material ˘aH2Unim cuH=F1(t),unde
se poate nota astfel: 3=jdetF(t)j, unde t este fixat, sau 3=0
.
Folosind valoarea lui ,Hse poate scrie astfel:
H= (0
)1=3F1(t) (2.14)
FieF()fixat s ¸i ~F()astfel ˆıncˆat avem egalitatea: ~F() = F()H, de unde
obt ¸inem:
~B(t) =F(t)HHTFT(t): (2.15)
Din relatia (2.4) obt ¸inem urm ˘atoarele egalit ˘at ¸i:
~Ft() =Ft()
~Ct() =Ct()

CAPITOLUL 2. FLUIDE V ˆASCOASE 46
~F(t) = (0
)1=3I
~B(t) = (0
)2=3Isau~B= (detB(t))1=3I
Folosim egalit ˘at ¸ile ment ¸ionate mai sus pentru a rescrie relat ¸ia (2.2). Acesta
se scrie sub forma:
F(~Ft(X;
)) =F1(Ct
t(
);(detB(t))1=3I (2.16)
Din aceast ˘a relat ¸ie observ ˘am c ˘a valoarea curent ˘a a tensiunii este dependent ˘a de
densitate.
Fie operatorulR(Ct
t(
);)definit astfel:
R(Ct
t(
);) =F1(Ct
t(
);(detB(t))1=3I)T0 (2.17)
unde am notat T0astfel: T0=F1(It(
);(detB(t))1=3I).
Scriem reprezentarea constitutiv ˘a pentru T0:
T(x;t) = (F1(Ct
t(
);(detB(t))1=3I)T0) +T0:
Folosim relat ¸ia (2.5) s ¸i observ ˘am c ˘a reprezentarea constitutiv ˘a devine:
T(x;t) =R(Ct
t(
);) +T0:
De aici rezult ˘a c˘aR(It(
);) = 0 . Astfel am demonstrat c ˘a proprietatea ii) este
adev ˘arat˘a.

CAPITOLUL 2. FLUIDE V ˆASCOASE 47
Folosind relat ¸ia (2.5) ˆın proprietatea de izotropie a operatorului constitutiv
(2.2),8Q2Ort, aceasta se poate scrie astfel:
F1(QCt
t(
)QT;Q(detB(t))1=3IQT) =QF1(Ct
t(
)(detB(t))1=3I)QT(2.18)
Particulariz ˘amˆın descrierea relativ ˘a istoria tensorilor Cauchy-Green
Ct
t(
) =It(
), astfel obt ¸inem urm ˘atoarea relat ¸ie:
T0=QT 0QT
,T0=p()I;(2.19)
pentru orice Q2Ort, Relat ¸ia (2.7) este o consecint ¸ ˘a a tensorului simetric.
Acesta permut ˘a orice transformare ortogonal ˘a, dac ˘a este tensor sferic.
Rescriem relat ¸ia operatorului Rˆın funct ¸ie de relat ¸ia 2.7 s ¸i obt ¸inem:
F1(QCt
t(
)QT;Q(detB(t))1=3IQT)T0=R(QCt
t(
)QT;): (2.20)
Din relat ¸ia 2.8 s ¸tim c ˘aT0=QT0QTdeducem urm ˘atoarea egalitate:
R(QCt
t(
)QT;) =QF1(Ct
t(
);(detB(t))1=3I)QTQT0QT(2.21)
Din relat ¸iile (2.9) s ¸i (2.10) observ ˘am c ˘a proprietatea de izotropie i) este adev ˘arat˘a.
Astfel am demonstrat c ˘aBeste un corp fluid ce admite propiet ˘at ¸ile i) s ¸i ii).

CAPITOLUL 2. FLUIDE V ˆASCOASE 48
2.3.1 Clasa fluidelor v ˆascoase
Definit ¸ia 2.4 Numim fluid de tip v ˆascos un corp,B, care admite urm ˘atoarea
reprezentare constitutiv ˘a:
T(x;t) =h(L(x;t);(x;t);v(x;t)x;X;t): (2.22)
Aceast ˘a reprezentare constitutiv ˘a se poate realiza pentru o anumit ˘a mis ¸care dat ˘a,
unde avem urm ˘atoarele notat ¸ii:
L(x;t) =rx(x;t)
v(x;t) =@
@t(X;t)jx=1(x;t)
x=(X;t)
(x;t) =0(X)
jdetF(X;t)j(2.23)
Teorema 2.7 FieBun corp de tip fluid v ˆascos. Pentru ca principiul obiectivit ˘at ¸ii
s˘a fie satisf ˘acut reprezentarea constitutiv ˘a a acestui fluid trebuie s ˘a fie de forma
T(x;t) = h(D;;X) (2.24)
avˆandˆın vedere urm ˘atoarea egalitatea
h(QDQT;;X) =Qh(D;;X)QT:
Atunci, egalit ˘at ¸ile enuntate sunt echivalente cu ecuat ¸ia Reiner-Rivlin.

CAPITOLUL 2. FLUIDE V ˆASCOASE 49
Aceast ˘a ecuat ¸ie se scrie sub forma
T(x;t) ='0(jD;)I+'1(jD;)D+'2(jD;)D2(2.25)
undejD=ftrD;trD2;trD3g.
Demonstrat ¸ie 15 Fie procesul dinamic (;T)care satisface reprezentarea con-
stitutiv ˘a (2.22).
Presupunem c ˘a exist ˘a un proces dinamic (;T)care satisface aceeas ¸i reprezentare
constitutiv ˘a (2.22). Atunci, conform principiului obiectivit ˘at ¸ii, reprezentarea con-
stitutiv ˘a are urm ˘atoarea restrict ¸ie:
T(x;t) =Q(t)T(x;t)QT(t);
pentru orice Q(t)2Ort. Astfel rezult ˘a urm ˘atoarea egalitate:
h(L(x;t);(x;t);v(x;t)x;X;t) =
=Q(t)h(L(x;t);(x;t);v(x;t)x;X;t)QT(t)(2.26)
unde, conform definit ¸iei pentru echivalent ¸a mis ¸c ˘arilor avem t=t+a; a2Rs ¸i
x
0(t);x02E.

CAPITOLUL 2. FLUIDE V ˆASCOASE 50
Folosind relat ¸iile de legatur ˘a pentru perechile de mis ¸c ˘ari echivalente relat ¸iile
(2.23) devin:
(x;t) =(x;t)
v(x;t) = _x
0(t) +Q(t)v+_Q(t)QT(xx0)
L(x;t) =Q(t)L(x;t)QT(t) + _Q(t)QT(t)(2.27)
Folosim egalit ˘at ¸ile de la (2.27) ˆın relat ¸ia (2.26). Deci, obt ¸inem urm ˘atoarea relat ¸ie:
h(Q(t)L(x;t)QT(t) + _Q(t)QT(t); (x;t);_x
0+Q(t)v(x;t) +
+_Q(t)QT(t)(xx0);x
0+Q(xx0);X;t+a) =
=Q(t)h(L(x;t);(x;t);v(x;t)x;X;t)QT(t):(2.28)
Introducem urm ˘atoarele valori:
t+a= 0;x0= 0
x
0=x;_x
0=v
Q(t) =I;_Q(t) = 0:
Rescriem relat ¸ia (2.28) folosind egalit ˘at ¸ile ment ¸ionate mai sus
h(L(x;t);0;(x;t);v(x;t);x;X;t) =
=h(L(x;t);0;(x;t);0;0;X;0):(2.29)

CAPITOLUL 2. FLUIDE V ˆASCOASE 51
Not˘am membrul st ˆang al relat ¸iei (2.29) astfel:
h(L(x;t);0;(x;t);0;0;X;0) = h(L(x;t);(x;t);X): (2.30)
Fieh(
;) :Sim!Sim.
Folosim restrict ¸ia principiului obiectivit ˘at ¸ii asupra aceastei funct ¸ii. Deci avem
h(Q(t)L(x;t)QT(t) + _Q(t)QT(t);(x;t);X) =
=Q(t)h(L(x;t);(x;t);X)QT(t)(2.31)
pentru orice t2 R;Q(t)2Orts ¸i unde _Q(t)QT(t)2Asim .
Introducem ur ˘atoarele valori:
_Q(t) =W(x;t)
Q(t) =I:(2.32)
S ¸tim din not ¸iunile introductive relat ¸iile:
L(x;t) =D(x;t) +W(x;t)
D(x;t) =1
2(L(x;t) +LT(x;t))
W(x;t) =1
2(L(x;t)LT(x;t)):(2.33)
Folosind relat ¸iile (2.32) s ¸i (2.33) rezult ˘a:
h(L(x;t);(x;t);X) = h(D(x;t);(x;t);X): (2.34)

CAPITOLUL 2. FLUIDE V ˆASCOASE 52
Avˆand restrict ¸ia principiului obiectivit ˘at ¸ii
h(Q(t)D(x;t)QT(t);(x;t);X) =Q(t)h(D(x;t);(x;t);X)QT(t):
Astfel am demonstrat c ˘aD(x;t)este o funct ¸ie izotrop ˘a.ˆIn continuare trebuie s ˘a
demonstr ˘am existent ¸a relat ¸iei (2.25).
Pentru a demonstra existent ¸a acestei relat ¸ii folosim teorema pentru funct ¸ii
izotrope cu valori tensori simetrici.
FieD!h(D;) :Sim!Sim funct ¸ie izotrop ˘a. Din relat ¸ia SpfI;A;A2g=
Spfe1
e1;e2
e2;e3
e3g, undefI;A;A2gsunt liniari independent ¸i, s ¸i
obt ¸inem urm ˘atoarea egalitate:
h(D;) ='0I+'1A+'2A2(2.35)