Func ții derivabile [621100]
Capitolul 1:
INTRODUCERE
IMPORTAN ȚA TEMEI ÎN ACTUALITATE
1.1 Motivarea general ă a alegerii temei
Profunzim ea schim bărilor din societatea rom ânească și dinamica accelerat ă a acestor
schim bări ridică în permanență noi sarcini educa ției, cărora aceasta trebuie s ă le facă față.
Folosirea tehnologiilor implic ă un grad de civiliza ție, iar a vantajele c ivilizației nu n ecesită
demonstrații, o dată ce produsele revolu ției tehnologice fac parte di n mediul nostru ambiant.
“Revoluția informatic ă extin să la alte planuri (prima revolu ție global ă) constitu ie un prag al
intrării mo dernității într-o fază nouă, care dup ă depășirea unui interval de tranzi ție capătă
conturul și coeren ța unei paradigme ce poat e deveni emblematic ă în secolu l XXI:
geomodernitatea” (M. Mâlita, 2001).
Alinie rea în vățământului rom ânesc la standardele eu ropene este un obiec tiv major în
actualul context socio-econom ic, marcat de eforturile de integrare în structurile europene,. Cât este
de util ca lculato rul la r ealizare a acestui obiectiv este o întrebar e la ca re s-a răspuns deja: este o
necesitate. Societatea infor mațională produce schim bări fundam entale în existen ța colectiv ă și
individual ă.
Orice cet ățean trebu ie să înțeleagă rolul noilor tehnologii ale inform ației, să învețe să le
folosească. Este m enirea înv ățământului de a oferi suportul necesar pentru dobândirea noilor
cunoștințe și abilități în f olosirea calc ulatorului și a infor mației. Sistem ul educațional are dato ria să
ofere cuno ștințe com petitive, s ă formeze genera ții care știu să foloseasc ă noile tehnologii
informatice.
Problem a este să estimăm corect priorit ățile și să dezvoltăm stra tegii de f ormare a
utilizatorilor, înainte c ă tehnologia existent ă să fie depășită moral și să fie inoperant ă fizic.
Aceasta pen tru că, un acela și calculator poate fi folosit la c itirea unu i item cu răspuns DA
sau NU printr-o ap ăsare de buton, sau îi poate ajuta pe elevi s ă dezvolte s trategii dif erite de
2rezolvare a unei probleme; un acela și calculator poate fi folosit pentru a reda informa ția tipărită în
paginile unei c ărți sau poate simula explorarea unor fenomene și procese în dinamica lor.
Integrarea noilor tehnologii în practica ș colară asigură performan țe superioare la un num ăr
mai mare de elevi decât redarea tradi țională. În acelaș i timp elevii înva ță semnificativ mai bine cum
să învețe.
Dincolo de obiectivele din curriculumul școlar, elevii înva ță să lucreze cu calculatorul, fapt
care le deschide un orizont nou. Interac țiunea cu noile tehnol ogii informatice creeaz ă un surplus de
motivaț ie pentru înv ățare. În unele cazuri acest demers favorizeaz ă orientarea spre o profesie legat ă
de utilizarea acestor noi tehnologii.
Care este esen ța informatiz ării învăță mântului preuniversitar?
Prin stație sau tehnologie multimedia se în țelege rezultatul îmbin ării subtile a trei inova ții
ale mileniului trecut: telecomunica țiile, audio-vizualul și micro-informatica. Ca ansamblu de
servicii interactive tehnologiile multimedia utilizeaz ă un suport numeric pentru tratarea și
transmiterea informa ției sub toate formele: text, date, sunete, imagini animate reale și virtuale.
Ținând cont de aceste definiț ii constatăm că omul prin esen ță sa ș i prin sim țurile sale este o sta ție
multimedia.
Aplicaț iile multimedia cuprind o gam ă largă de resurse cum ar fi: calculatorul, Internetul,
CD-ROM – ul, softul, echipamentele video, aparatul de filmat și altele. Introducerea lor în școală
are rolul s ă asigure eficient ap licarea programelor școlare la toate disciplinele.
Atât la orele din trunchiul comun cât ș i în cele pentru curriculum la decizia școlii se poate
aloca un timp pentru utilizarea aplicaț iilor multimedia astfel încât procesul de predare – înv ățare –
evaluare să se realizeze cu o eficien ță sporită.
Multimedia, aplica țiile ei, nu reprezint ă numai o form ă de transmitere atractiv ă a
cunoș tințelor, ci mai ales, un mijloc de producere și evaluare a acestora, în cadrul unui proces
constructiv bazat pe descoperire și creativitate.
• Ce dificult ăți teoretice și practice caut ă să elucideze
În cazul simul ării unor procese și fenomene, a unor experien țe greu accesibile în
laboratoarele școlare apar probleme legate de costul ridicat, periculozitate, timpul necesar.
Randamentul instruirii nu poate fi apr eciat în mod obiectiv în multe situa ții în cadrul metodelor
clasice. Sunt doar câteva aspecte ce pot fi elucidate utilizând aplica țiile sistemului de calcul în
procesul de predare – înv ățare – evaluare.
• Soluțiile ameliorative decurg din avantajele utiliz ării aplicațiilor multimedia în
sistemul educaț ional. Câteva din acestea ar fi:
3- antreneaz ă și concentreaz ă atenția elevului
– susține învățarea activ ă și ridică valoarea lec țiilor
– se adapteaz ă individului, permiț ând elevului să înveț e în ritm propriu
– leagă cunoș tințele abstracte de lumea real ă șterge barierele dintre clas ă și
lumea real ă
– permit migrarea în timp și spațiu
– interactivitate puternic ă;
– teste de evaluare;
– difuzare în mas ă;
– posibilitatea de a fi utilizate într-un context tradi țional;
– posibilitatea de integrare a mai multor limbi pe acela și suport;
– reducerea timpului de studiu;
– formarea deprinderilor intelectuale de nivel superior (studiere-cercetare);
– activitate individual ă și spirit inovator;
– plusul cel mai evident și firesc: răbdare infinit ă, toleranta și disponibilitate
fără rival
Dezavantaj – Costuri de realizare, deservire și implementare.
Evident c ă prețul financiar poate interveni ca o restric ție.
Însă și aici solu ția este urm ătoarea:
1. Implicarea conducerii de vârf, factorilor responsabili în societate;
2. Evoluț ia accelerat ă a tehnologiilor informaț ionale conduce la reducerea preturilor
în perioade scurte;
În conturarea și rezolvarea temei trebuie avut în vedere și cum să nu fie aplica țiile
multimedia:
– să nu ofere prea multe informa ții care să ducă la supraînc ărcarea cognitiv ă (eventual
acestea să poată fi obținute numai la cererea expres ă a unor elevi interesa ți)
– să nu intre în conflict cu structura lec ției
– să nu ofere informa ție fragmentat ă
– să nu ducă la confuzie
– să nu încurajeze pasivitatea
– să nu dureze prea mult până la atingerea scopurilor educative
În școală , se pot crea condi ții similare lucrului din via ța reală unde activit ățile nu se
desfășoară izolat, aplica țiile, proiectele, dar și producția propriu-zisă este întrep ătrunsă cu o serie de
faze de lucru în care calculatorul es te un instrument de neînlocuit.
4
1.2 Motivarea personală a alegerii temei
Introducerea în școala a Internetului și a tehnologiilor moderne duce la schimb ări importante
în procesul de înv ățământ. Astfel actul înv ățării nu mai este considerat a fi efectul demersurilor și
muncii profesorului, ci rodul interac țiunii elevilor cu calculatorul și al colaboră rii cu profesorul.
Calculatorul este foarte util atât elevului cât și profesorului îns ă folosirea acestuia trebuie
realizată astfel încât să îmbunătățească calitativ procesul instructiv-educativ, nu s ă îl îngreuneze.
Calculatorul trebuie folosit astfel încât s ă urmărească achiziționarea unor cuno ștințe și
formarea unor deprinderi care s ă permită elevului s ă se adapteze cerin țelor unei societ ăți aflată într-
o permanentă evoluție. Aceștia trebuie s ă fie pregătiți, orientați cu încredere spre schimbare, ei vor
simți nevoia de a fi instrui ți cât mai bine pentru a face fat ă noilor tipuri de profesii. E șecul în
dezvoltarea capacit ății de a reacț iona la schimbare poate atrage dup ă sine lipsa de interes.
Profesorul tr ăiește el însu și într-o societate în schimbare, și din fericire, în prima linie a
schimbării, astfel încât va trebui s ă se adapteze, s ă se acomodeze, s ă se perfec ționeze continuu.
În activitatea de profesor desf ășurată până acum, venind în contact cu elevi de liceu și gimnaziu, am
constat că gradul de atractivitate al no țiunilor studiate spore ște atunci când intervine în procesul de
acumulare a cuno ștințelor și calculatorul (fie c ă erau softuri specifice sau prezent ări multimedia).
Faptul că ne îndrept ăm spre o societate informa țională , în care educatorul trebuie s ă se
schimbe în permanen ță, instruirea să fie cât mai variat ă și în profunzime, m-a determinat s ă
aprofundez domeniul matematicii cu ajutorul calculat orului iar tema ” Calculul limitelor de func ții
prin IAC cu ajutorul pachetului de programe MATLAB” a apărut ca o continuare fireasc ă a
eforturilor depuse de-a lungul anilor în încercarea de a g ăsi metode cât mai atractive de predare –
învățare – evaluare.
Personal, preocuparea de a pune cât mai mult calcu latorul în slujba procesului de predare –
învățare – evaluare s-a conturat din ce în ce mai mult în activitatea didactic ă. Pe parcursul evolu ției
tehnologiilor, aplica țiile multimedia realizate cu ajutorul instrumentelor psihopedagogice, înv ățarea
asistată de calculator, ofer ă o instruire centrat ă pe elev, stimulare multisenzorial ă, muncă în
colaborare, schimb de informa ții și multe alte avantaje ale „noii viziuni pedagogice”.
Apariția Internetului a accelerat importan ța utilizării noilor tehnologii ș i mi-a relevat
deschiderea spre noi form e de a realiza interac țiunea dintre educator – elev – disciplina de
învățământ.
Ca aspect particular tr ebuie avut în vedere c ă oricât de instructive pot fi aplica țiile web, ele
nu elimin ă și nu diminueaz ă rolul educatorului. Dimpotriv ă, rolul acestuia devine mult mai
important, întrucât el proiecteaz ă în raport cu obiectivele disciplinei sale strategiile didactice,
5monitorizeaz ă activitatea elev ilor, evalueaz ă eficiența activităț ii depuse și reglează întregul proces
de învățământ.
Proiectarea unor aplica ții folosind mijloace multimedia, cât și folosirea celor existente la
disciplinele de tehnologia informa ției pe care le predau precum și la alte discipline într-un liceu cu
profil tehnologic mi-a fost sugerat ă de practic ă școlară proprie și de faptul c ă volumul de cunoș tințe
se dubleaz ă în fiecare 10 ani, iar pentru începutul acestui mileniu, dup ă estimațiile exper ților,
volumul respectiv se va dubl ă la fiecare 5 ani.
Aceste aplica ții vor îmbina particularit ățile de vârstă și pregătire ale elevilor școlii noastre cu
nevoia realiză rii unui demers didactic modern și eficient.
Ipoteză de lucru : Implicarea mijloacelor moderne în procesul de instruire optimizeaz ă
randamentul elevilor.
Pornind de la nivelul sc ăzut de cuno ștințe al elevilor pe care încerc s ă îi educ consider un
argument forte al stimul ării lor îmbinarea modului tradi țional de educare cu cel oferit de înv ățarea
asistata de calculator.
Mulți dintre elevi vin din medii în care nu au avut acces la un calculator sau au avut foarte
puțin, deci practic nu au avut aceast ă alternativ ă. Atât ei, cât și ceilalți își pot face o cultur ă solidă la
toate disciplinele nu numai la informatic ă prin facilit ățile oferite de calculator și mijloacele
multimedia.
Pentru prezentarea și interpretarea rezultatelor am real izat un studiu comparativ între
mijloacele tradi ționale și cele moderne. Am experimentat la clas e/grupuri paralele predarea în cele
două moduri a aceluia și conținut și voi analiz ă prin teste de evaluare randamentul ob ținut.
Pe același grup de elevi se experimenteaz ă alternarea celor dou ă moduri de predare, iar apoi
prin teste psihopedagogice elevii î și exprimă preferințele.
Toate acestea vor duce la concluziile finale ale lucr ării și la propuneri privind folosirea pe o scar ă
cât mai larg ă în procesul de instruire a mijloacelor multimedia.
6
Capitolul 2 :
FUNDAMENTAREA TEORETIC Ă A TEMEI
2.1. Instruirea asistat ă de calculator (I.A.C.) –
o nouă metodă de instruire.
2.2. Pachetul de programe MATLAB
2.3. Limite de func ții. Aplicații
2.1. Instruirea asistat ă de calculator (I.A.C.) – o n ouă metodă de instruire.
Instruirea reprezintă activitatea p rincipa lă realizată în cadrul pro cesului de înv ățământ
confor m obiectivelor pedagogice generale elaborat e la nivel de sistem , în term enii de politic ă a
educației.
Instru ctoru l proiecteaz ă o acțiune bazat ă pe patru opera ții con crete:
• definirea obiectivelor pedagogice
• stabilirea co nținutului
• aplicarea m etodologiei
• asigurarea evalu ării activității didactice/educativ e respectiv e.
Conținutul conceptului de instru ire are o sfer ă mai restrâns ă în raport cu educația (care se
referă la form area–dezvoltarea perm anentă a personalit ății um ane) dar m ai largă decât înv ățarea
deoarece include m ai multe form e de m uncă intele ctuală (forme extra didactice și extrașcolare; cu
resurs e subs tanțiale; dire cte și indirecte; de natur ă morală, tehnologic ă, estetică, psihof izică).
Instruirea a sistată de calculator (IAC)
Instruirea asista tă de calculator (IAC) reprezintă o m etodă didactică sau o metod ă de
învățământ, care valorific ă principiile de m odelare și ana liză cibernetic ă a activ ității de instruir e în
contextul noilor te hnologii inform atice și de comunica ții, caracteris tice s ocietății contem porane.
7Sinteza dintre resursele pedagogi ce ale instruirii programate și disponibilit ățile tehnologice ale
calculatorului (sistemului de procesare a informa ției) confer ă acestei metode didactice (Instruirea
asistată de calculator) calități privind:
• informatizarea activit ății de predare – învăț are–evaluare;
• îmbunătățirea IAC prin intermediul unor ac țiuni de: gestionare, doc umentare, interogare;
• simulare automatizat ă interactiv ă a cunoștințelor și capacităților angajate în procesul de
învățământ, conform documentelor ofic iale de planificare a educa ției.
Metoda IAC valorifică următoarele opera ții didactice integrate la nivelul unei ac țiuni de
dirijare euristic ă și individualizat ă a activităț ilor de predare–înv ățare–evaluare:
• organizarea informa ției conform cerin țelor programei adaptabile la capacit ățile fiecărui
elev;
• provocarea cognitivă a elevului prin secven țe didactice și întrebări care vizeaz ă depistarea
unor lacune, probleme, situa ții problem ă;
• rezolvarea sarcinilor didactice prezentate anterior pr in reactivarea sau ob ținerea
informațiilor necesare de la resursele informatice apelate prin intermediul calculatorului;
• realizarea unor sinteze recapitulative după parcurgerea unor teme, module de studiu; lec ții,
grupuri de lec ții, subcapitole, capitole, discipline școlare;
• asigurarea unor exerci ții suplimentare de stimulare a creativit ății elevului.
Proiectarea instruirii implică organizarea și ordonarea materialului care urmeaz ă să fie predat
→învăț at →evaluat la nivelul corelaț iei funcțional–structurale dintre profesor ș i elev.
Profesorul s ău instructorul proiecteaz ă o acț iune bazată pe patru opera ții concrete:
• definirea obiectivelor pedagogice
• stabilirea con ținutului
• aplicarea metodologiei
• asigurarea evalu ării activit ății didactice, educative, respective.
2.1.1. Proiectarea instruirii asis tate de calculator (IAC)
Proiectarea instruirii asistate de calculator (IAC) poate fi definit ă ca fiind dezvoltarea
sistematic ă a specifica țiilor procesului de instru ire utilizând teoriile înv ățării și instruirii pentru a
asigura realizarea calit ății procesului de instruire.
8Proiectarea instruirii este definit ă de un întreg proces: de analiză a necesarului de deprinderi și
cunoș tințe și a obiectivelor învăță rii; și de concepere a unui sistem de transfer și de livrare care s ă
asigure satisfacerea acestor necesit ăți.
Proiectarea instruirii include:
• dezvoltarea unor activit ăți și materiale de instruire; și
• testarea și evaluarea tuturor activit ăților de instruire și învățare (caracteristice elevului).
Proiectarea Instruirii este considerat ă o Disciplin ă. Proiectarea Instruirii este acea ramur ă a
cunoașterii științifice care se ocup ă cu cercetarea și teoretizarea: strategiilor de instruire, cât și a
proceselor de concepere și implementare a strategiilor de instruire.
Proiectarea Instruirii este considerat ă o Ș tiință. Proiectarea Instruirii este știința creării
metodelor precise pentru conceperea, dezvoltarea, implementarea, evaluarea și exploatarea
(menținerea) structurilor funcț ionale care faciliteaz ă învățarea pentru unit ăți mici sau m ări de
subiecte științifice indiferent de complexitatea structurii acestor unit ăți.
Proiectarea Instru irii este privit ă ca o Realitate obiectivă . Proiectarea instruirii poate începe în orice etap ă a
procesului de proiectare. Cel mai adesea pornind de la o idee proiectantul creeaz ă fundamentele situa ției de instruire.
În timp se contureaz ă alcătuirea întregului proces de instruire, iar profesorul verific ă ce considerente științifice au
fundamentat procesul sistematizând munca de concep ție realizată.
Alte defini ții ale Procesului de Proiectare a Instruirii
Sistem de Instruire. Un sistem de instruire este o combina ție de mijloace (instrumente) și
proceduri care s ă ajute (deserveasc ă) desfășurarea procesului de înv ățare.
Proiectarea Instruirii este procesul sistematic de concepere și realizare a Sistemelor de
Instruire.
Dezvoltarea (elaborarea) Instruirii este procesul de implementare a sistemului s ău planului de
instruire.
Tehnologie de Instruire. Tehnologiile de instru ire constituie aplica ții sistemice și sistematice
a strategiilor derivate din teoriile comportamentale, cognitive și constructiviste în vederea
soluționării problemelor care apar în procesele de instruire. Tehnologiile de instruire sunt
reprezentate de suma dint re proiectarea instruirii și realizarea procesului de instruire. Tehnologiile
de instruire sunt de fapt aplicarea sistematic ă a teoriilor și a altor cuno ștințe sistematizate la
conceperea, proiectarea și realizarea unui proces de instruire.
92.1.2. Dezvoltarea Instruirii. Avantajele proiect ării sistematice a instruirii
Prin dezvoltarea instruirii se define ște întreg procesul de im plementare a planurilor de
proiectare a instruirii.
Proiectarea sistematic ă și metodic ă a procesului de instruire este avantajoas ă deoarece:
1. Susține instruirea centrat ă pe învăț are
2. Menț ine o instruire efectiv ă, eficient ă și atractivă
3. Susține comunicarea și colaborarea dintre proiectan ți, profesori, specialiș ti în
informatic ă aplicată (rețele informatice) și utilizatori
4. Faciliteaz ă difuzia și diseminarea cuno ștințelor pedagogice de către educatorii
profesioni ști
5. Oferă soluții practice, posibile și acceptabile pentru problemele de instruire
6. Faza de analiz ă susține de asemenea elaborarea ulterioară a unor alte tipuri de materiale didactice
7. Asigură că ceea ce se pred ă este necesar pentru realizarea obiectivelor de înv ățare ale elevilor
8. Faciliteaz ă o evaluare corect ă și precisă a procesului de instruire.
Etapele procesului de proiectare a instruirii
Modelul general reprezentat în tabelul care urmeaz ă (Tabel 1. Modelul general simplificat
al procesului de proiectare a instruirii con ținând etapele) este o versiune simplificat ă a modelului
sistematic și foarte complex a procesului de pr oiectare a unui program de instruire. Modelul
simplificat poate fi utilizat într-o prim ă abordare a proiect ării fără a conține și etapa de revizuire.
Modelul simplificat poate fi folosit și pentru a rezuma pro cesul de proiectare.
10REVIZUIREA PROIECTULUI • ANALIZAREA INSTRUIRII
Care sunt Obiectivele Instruirii?
• PROIECTAREA INSTRUIRII
Cum vor fi realizate obiectivele
instruirii?
Care este strategia procesului de învățare?
• REALIZAREA (DEZVOLTAREA)
INSTRUIRII (PROGRAMULUI DE
INSTRUIRE)
Care este mediul propriu pentru
implementarea programului de
instruire?
• IMPLEMENTAREA INSTRUIRII
Cum vor fi implementate atât
instruirea cât și materialele de instruire
într-o situaț ie reală?
• EVALUAREA INSTRUIRII
Cum vor fi evaluate atât instruirea cât și materialele de instruire? Este
procesul de instruire adecvat obiectivului general propus iniț ial?
Tabel 1. Modelul general simplificat al Procesului de Proiectare a Instruirii con ținând etapele
2. 2. Pachetul de programe MATLAB
Prescurtare de la MATrix LABoratory, MATLAB este un pachet de program e pentru calcul
numeric și reprezen tări grafice. Scrierea și rezo lvarea prob lemelor este m atematică, nu necesit ă un
limbaj de program are, deci m ediul de lucru este u șor de învățat și de utilizat.
Rezolvarea rapidă a problem elor com plicate perm ite utilizarea m ai bună a timpului
disponibil și impune M ATLAB ca instrum ent pedagogic, nu doar științific. Pute m ilustra m ulte
concepte de baz ă ale an alizei matematic e cu ajutorul posib ilităților ex celente de grafic ă ale softului
și câteva program e MATLAB.
Lucrarea de față se ax ează pe noțiunea de lim ită a unei func ții într-un punct, în principal pe
greșelile de percepere ale el evilor în ceea ce prive ște, m ai ales, nedeterm inările. Cu ajutorul
MATLAB vom prezenta dou ă moduri în ca re elevii po t ved ea dacă ceea ce intu iesc ei este corect.
Prim a metodă folosită este tabelul d e valo ri al f uncției într -o vecinătate a punctului a în care se cer e
limita, iar cea de-a doua este trasarea graficului cu MATLAB tot în vecin ătatea lu i a.
Fereastra de start al p rogram ului MATLAB este
11
12
>> a=[3;4;-2]
a =
3
4
-2
>>b=[3
4
-2]
b =
3
4
-2 Pentru realizarea tabelelo r de valori ale unei func ții în vecin ătatea unui punct se folosesc
vectori cu valori cât mai apropiate de punctul resp ectiv. Putem alege valori mai mici sau mai mari
în funcție de domeniul de definiț ie al funcției.
Vectorii linie sunt liste de num ere, separate între ele de virgul ă sau spațiu liber. Num ărul de
“intrări” reprezint ă lungimea vectorului. In MATLAB vom scrie componentele vectorului între
paranteze drepte:
>> x=[3 4 -2]
x =
3 4 -2
Vectorii coloan ă se definesc similar cu vectorii linie, elementele fiind se parate de “;” sau
fiind scrise pe linii diferite
Graficul unei func ții f:A→B, A=[a,b] se realizeaz ă generând doi vectori
x=(a,a+h,a+2h,…,a+(n-1)h,b)
y=(f(a),f(a+h),f(a+2h) ,…,f(a+(n-1)h),f(b)).
Evident cu cât h este mai mic acurate țea graficului este mai bun ă după cum putem vedea din
următorul exemplu:
>> x=[-3:1:3]
x =
-3 -2 -1 0 1 2 3
>> y=x.^2
y =
9 4 1 0 1 4 9
>> plot(x,y)
>>x=[-3:.01:3];y=x.^2;plot(x,y)
13
Pentru a pune în eviden ță importanța pasulu i h prezen tând în continu are și des enând toate cazu rile
în ace lași ecran. Pentru aceas ta vom constru i ferestre în tr-o matrice în care vom desena graficele
folosind func ția subplot.
>> subplot(121);x=[0:1:7] ;y=sin(x);plot(x,y)
>> subplot(122);x=[0:.01: 7];y=sin(x);plot(x,y)
MATLAB include aplica ții specifice num ite Toolbox-uri, utilizate pent ru a rezolva
problem e variate. Un asem enea Toolbox este Symbolic math care cuprinde calcul sim bolic și
accesu l la nucleul Maple și se f olosește ,în general, pentru calcul diferen țial și integ ral.
În MATLAB exist ă două noțiuni distincte leg ate de f uncții:
• Expresia simbolic ă, de exem plu 23
x sau log(x)
• Funcția-algoritmul( regula) care produce un output num eric pentru un input num eric sau o
mulțime de input-uri num erice
Se poate calcula lim ita unei expres ii într-un punct, dar nu lim ita unei func ții(în sensul
MATLAB).
Pentru a defini o expresie sim bolică scriem:
>> sym s x
>> f=f(x)
Calculul lim itei unei f uncții reale într-un punct, se rea lizează scriind limit(f,x,x )( lim
0xf
xx→0).
În continuare prezen tă câteva ex emple:
14
)4 (lim3
1+
−→x
x
>> sym s x
>> lim it(x^3+4,x,-1)
ans =
3
xx
xsinlim
0→; xx
xsinlim
∞→
>> sym s x
>> f=sin(x)/x
f=sin(x)/x
>> lim it(sin(x)/x,x,0)
ans =
1
>> lim it(sin(x)/x,x,inf)
ans =
0
xx1sinlim
0→; xx1sinlim
∞→
>> sym s x
>> f=sin(1/x)
f=sin(1/x)
>> lim it(sin(1/x),x,0)
ans =
-1…1
>> lim it(sin(1/x),x,inf)
ans =
0
MATLAB a re anumi te caracteristici care faciliteaz ă docum entarea și lucrul în grup. Printr e altele se
poate integra codul MA TLAB în alte lim baje și aplic ații sau se pot consider a ca program e de sine
stătătoare.
MATLAB este interoperabil cu alte program e clas ice ca MS W ord sau MS PowerPoint,
putându-se astfel im porta sau exporta f ără dificultate rezultate le obținute.
15
16
2. 3. Limite de func ții. Aplicații
2 3.1. Limita unei func ții într-un punct-introducere
In studiul unor func ții reale, inclusiv al celor care modeleaz ă procese fizice, este
importantă cunoașterea comport ării acelor func ții în vecin ătatea anumitor puncte fixate. Mai precis,
dacă f: D→ R (D ⊂ R) este o func ție reală de variabil ă reală și dacă x ∈ D este ,,apropiat" de o
valoare a, ce se poate spune despre f( x)? De exemplu, dac ă un ș ir (xn)n≥0 de puncte din D converge
către a, ce se poate spune despre convergen ța șirului (f( xn))n≥0? La astfel de întreb ări se va raspunde
în continuare, c ăutând să precizam sensul afirma ției: dacă x se apropie de a, atunci f( x) se apropie
de l.
Exemple
1) Fie funcț ia f : R → R, f(x) = x + l ș i punctul a = 2. Intr-un sens intuitiv, înc ă neprecizat, se
observă că dacă x este ,,apropiat " de 2, atunci f(x) = x + 1 este apropiat de 3. In sens mai precis,
se observă că dacă (xn)n≥0 este un ș ir convergent c ătre a =2, atunci șirul f(xn) = x n + 1 este
convergent c ătre 3. De asemenea, pentru orice interval V = (3- ε, 3 + ε), ε > 0, centrat în y = 3,
există o vecină tate U a punctului a = 2 astfel încât ∀x∈U să rezulte f(x)∈ V; anume, se poate lua
U= (2- ε, 2 + ε).
Considerăm valorile func ției într-o vecin ătate a punctului x=2. Tabelul valorilor func ției este
prezentat în tabelul urm ător
>> x=[1.9 1.92 1.94 1.96 1.98 2 2.02 2.04 2.06 2.08 2.1];
>> [x' (x+1)']
ans =
1.9000 2.9000
1.9200 2.9200
1.9400 2.9400
1.9600 2.9600
1.9800 2.9800
2.0000 3.0000
2.0200 3.0200
2.0400 3.0400
2.0600 3.0600
2.0800 3.0800
2.1000 3.1000
Observație. x’ este vectorul transpus
17x 1.9000 1.9 1.9600 1.9900 2
f(x) 2.9000 2.9300 2.9600 2.9900 3.0200 3.0500 3.0800
Graficul func ției într-o v ecinătate a lui 2 este
>> x=1.9:0.01:2.1;plot(x,x+1, 2,3,' *') 300 .0200 2.0500 2.0800
1.85 1.9 1.95 2 2.05 2.12.852.92.9533.053.1
OxOyGraficul functiei f(x)=x+ntr-o vecinatate a lui a=2
Cu ajutorul Symbolic math obținem:
>> sym s x
1
,2) 1 i
>> f= x+1
f= x+
>> lim it(f,x
ans =
18Considerăm acum func ția f(x)=x2+3 în vecin ătatea punctului x=0. Tabelul de valori în Matlab
ste
' (x.^2+3)']
00 3.0100
-0.0800 3.0064
6
-0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
3.003 3.001 3.00 3 3.00 3.001 3.003 3.006 3.01
Cu ajutorul Symbolic math obținem:
>> syms x
>> limit(x^2+3,x,2)
ns = 3
2.
e
>> x=[-0.1:.02:0.1] >> [x
ans =
-0.10
-0.0600 3.0036
-0.0400 3.0016
-0.0200 3.0004
0 3.0000
0.0200 3.0004
0.0400 3.001
0.0600 3.0036
0.0800 3.0064
0.1000 3.0100
x -0.10 -0.08
f(x) 3.01 3.006
a
3
Graficul func ției este
19
In fiecare din aceste exemple s-au considera t o func ție f : D → R (D ⊂R) și un punct a care
poate să nu aparțină lui D , dar este punct de acum ulare pentru D . Rem arcăm că în acest caz există
șiruri de puncte din D\{a} care converg c ătre a; într-adev ăr, dacă a∈ R, atunci pentru orice n ≥ 1
natura l, în v ecinătatea ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+−nana1,1 a punctului a se afla cel pu țin un punct xn ∈ D, xn≠a, |xn -a |
< n1, și, ca atare, xn → a. Intuitiv pu tem explica elevilo r că în jurul punctului a se “îngrămădesc”
puncte din D
2. 3. 2. Limita unei func ții într-un punc t
Vecinătăți
Fie a un punct fixat din R.
DEFINIȚIA 1. Se nume ște vecinătate a lui a orice m ulțime V⊂R care in clude un in terval d e forma
(a-r,a+r), r>0. Se num ește vecinătate a lui ∞ (respecti v -∞) orice m ulțime V⊂R care includ e un
interval de f orma (b, ∞] (respecti v [-∞,b) ), b∈R.
Exem ple.
1. Intervalele (-5,5), [-3,2), (-4, ∞) sunt vecin ătăți ale lu i 0 deoarece inclu d intervalu l (-1,1).
2. Un interval deschis este vecin ătate a oricărui punct al s ău. Un interva l închis e ste vecinătate a
oricărui punct al s ău cu excep ția cap etelo r.
DEFINIȚIA 2. Fie D ⊂ R. Un punct a ∈ R se num ește punct de acum ulare pentru D dac ă în orice
vecinătate a lui a există cel puțin un punct din D\{ a}. Un punct din D care nu este punct de
acum ulare se num ește punct izolat.
Exem ple.
1. Pentru D=(-3,2) , orice punct a∈[-3,2] este punct de acum ulare.
2. Pentru N, ∞ este singurul punct de acum ulare, iar pentru Z puncte de acum ulare sunt ∞ și
-∞.
3. Mulțimea D=[-2,1) ∪{4} are ca puncte de acumulare punctele m ulțimii [-2,1], iar punctul 4 este
punct izolat.
4. Subm ulțimile finite ale lui R nu au puncte de acum ulare.
Trecem acum la defini ția noțiunii de limita a une i funcții într-un punct.
Fie o func ție f : D → R(D ⊂ R), a ∈ R un punct de acum ulare pentru D și un număr l ∈ R .
DEFINIȚIA 3. Spune m că funcția f are lim ita l în punctul a, egală cu l, dacă este îndep linită
următoarea condi ție:
pentru orice vecin ătate V a lui l există o vecinătate U a punctului a astfel înc ât pen tru orice
x∈D∩U, x≠ a să rezu lte f( x)∈ V .
Notație. In acest caz se s crie
lxf
ax=
→)( lim
și se c itește: limita lui f(x), când x tinde catre a există și este egală cu l.
Observație. Nu a m dat un sens pentru x → a sau f(x) → l, luate separat, ci num ai pentru sintagm a
{x → a ⇒ f(x) → l }, echivalen tă cu .)( lim lxf
ax=
→
Condiția de mai sus expr imă faptul că pentru orice x ,,suficient de apropiat" de a, f(x) este ,,oricât de
apropiat" de l. Dacă există, lim ita unei func ții într-un p unct es te unică: dacă lxf
ax=
→)( lim și
' și dacă prin absurd l≠ l’, atunci alegem vecin ătăți disjuncte V și V’ ale punctelor l, l' lxf
ax=
→)( lim
20
și există vecinătăți U și U' ale lui a satisfăcând condi țiile din defini ție. Atunci, pentru x ∈D∩U∩U',
x ≠ a, rezultă f(x) ∈V∩V’, ceea ce este absu rd. Stabilim acum un rezultat im portant care es te și un
criteriu practic de studiu al existen ței lim itei une i functii, dup ă care vom analiza câtev a exem ple.
TEOREMA 1. (Crite riul lui He ine) Fie f : D → R (D ⊂ R) o func ție, a∈R un punct de
acumulare pentru D și l ∈R. Sunt echivalente afirma țiile:
(a) limita există și este egală cu l (, ,criteriul cu vecin ătăți") )( lim xf
ax→
(b) pentru orice șir (x n)n≥0 de puncte din D\{ a} având limita a ave m f(x n) → l (,,criter iul cu
șiruri" ).
Demonstra ție, (a) ⇒(b). Presupunem c ă există lxf
ax=
→)( lim și fie xn → a,
xn ∈D\{a}, ∀n≥ 0. Avem de de monstrat că f(xn) → l. Pentru aceasta folosim definiția lim itelor de
șiruri și fie V o vecina tate oarecare a punctului l. Confor m ipotezei, exist ă o vecinătate U a lui a
astfel încât din faptul c ă x∈D∩U, x ≠ a să rezulte f(x) ∈ V. Deoarece xn → a, rezultă că xn ∈U de la
un rang N încolo; a tunci xn ∈D∩U, xn ≠a, deci f(xn) ∈V, pent ru orice n ≥ N, deci f(xn) → l.
(b) => (a). Presupunem acum că este îndeplinit ă condiția (b) și avem de verificat condi ția din
definiție. Presupunem , prin reducere la absurd, c ă această condiție nu este îndep linită, deci că ar
există o vecinătate V a punctulu i l astfel în cât p entru o rice vecinătate U a punctului a, să existe un
punct x ∈D∩U, x≠a, cu proprietatea ca f(x) ∉ V.
Presupunem m ai întâi a∈R și luăm U = ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+−nana1,1, n≥1 fiind în treg arbitr ar. Atunci pentru
fiecare n ≥1 există xn ∈D∩U, xn ≠a, astfel înc ât f(xn) ∉ V. Deoarece xn∈U, avem | xn — a | <n1 ,
deci xn → a și confor m ipotezei (b), rezult ă f(xn) → l, ceea ce contrazice faptul c ă f(xn) ∉ V pentru
orice n . Am ajuns astfel la o contradic ție.
Dacă a = ∞, atunc i luăm U = (n, ∞], n≥1 fiind intreg arbitrar și exista xn ∈ D∩ U astfel încât
f(xn) ∉ V. Cum xn∈U, rezult ă xn > n, ∀n≥1, deci xn→ ∞ și confor m ipotezei (b) rezulta f(xn) → l,
ceea ce con travine faptului c ă f(xn) ∉ V pentru orice n. Dac ă a = – ∞ se raționează sim ilar
considerând U = [ – ∞,- n) .
Observație important ă. Pentru stu diul exis tenței lim itei unei f unctii într-un pu nct se f oloseste
adeseori con diția (b), care ar putea fi luată ca def iniție. Negația logică a condiției (b) dă un criteriu
ca o funcție f să nu aibă limită în punctul a, anum e: să existe un șir xn → a, xn ∈ D\{a}, n≥1 astfel
21
încât șirul ( f(xn))n≥1 să nu a ibă limita l. Astfel, dacă se pot construi dou ă șiruri de
numere din D\{ a} și dacă unul din șirurile (f(x’a xa xn n → → ", '
n))n≥1, (f(x"n)) n≥1 nu are limită sau dacă ambele a u
limite, dar a ceste a sunt distincte, atun ci funcția f n u are lim ită în punctul a.
Exem plu
Nu există
01limcos
x x→
Considerăm șirurile ππ π += =nxnxn n21'',21' și avem 1'1cos→
nxși .1''1cos −→
nx
O asem enea dem onstrație nu este în țeleasă de un elev de nivel m ediu. Consider c ă ilustrarea acestui
fapt în Matlab va ajuta elevul s ă perceapă fenom enul
x=[-0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 0 0.0001 0.001 0.01 0.1];
>> [x' (cos(1./x))' ]
ans =
-0.1000 -0.8391
-0.0100 0.8623
-0.0010 0.5624
-0.0001 -0.9522
0 NaN
0.0001 -0.9522
0.0010 0.5624
0.0100 0.8623
0.1000 -0.8391
în x=0 func ția nu este definit ă și în ta bel răspunsul este NaN = not a num ber
Cu Symbolic math obținem:
>> sym s x
>> lim it(cos(1/x),x,0)
ans =
NaN
>> x=-1:0.01:1;plot(x, cos(1./x))
22
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81
OxOyGraficul functiei f(x)=cos(1/x) pe [-1,1]
Rem arca următoare este importantă pentru studentul la Matem atică, dar nu este accesibil ă elevului
de nivel m ediu :
Se poate ar ăta că în cazu l când a ∈ R, este punct de acum ulare al m ulțimii D l ∈ R, afirmațiile (a),
și (b) d in criteriul lu i Heine sunt ech ivalente cu u rmătoarea:
pentru orice ε >0 ex istă δ >0 depinzând de ε astfel încât din faptul c ă x∈D\{a} și | x – a | < δ să
rezulte ⎢f(x) – l⎢ <ε (,,criteriul ε – δ").
2.3. 3. Limite laterale
Indicăm acum un nou criteriu care asigur ă existența lim itei unei functii într-un punct,
adeseori utilizat.
Fie f : D → R (D ⊂ R), a un punct de acum ulare pentru m ultimea D 1= D ∩ (-∞, a) = { x∈D | x < a}
și ls ∈R. Se spune c ă funcția f are lim ită (sau ex istă limita lu i f) la stânga în punctul x= a, egală cu
ls, dacă restricția lui f la D 1 are lim ită în punctul x = a, conform defini ției.
23
Notație. Se scrie atunci sau sim bolic f( a-0)= lsaxaxl xf=
<→)( lim
,s.
Aceasta rev ine la faptul c ă pentru orice vecin ătate V a punc tului ls există o vecinătate U a lui a,
astfel în cât x ∈ D∩U, x < a => f(x) ∈V.
In mod si milar se define ște lim ita la dreapta a lu i f în punctul a, ld= , (ldaxaxl xf=
>→)( lim
,d∈R), notată
simbolic f(a+0).
Uneori se no tează . daxsaxlxf lxf = =
↓ ↑)( lim, )( lim
Se extinde direct criteriu l cu șiruri pentru lim itele laterale (adic ă la stânga, respectiv la
dreapta), folosind șiruri xn → a, xn < a (respectiv xn→ a, xn> a).
TEOREM A 2. Fie f : D → R o func ție și a∈ R un punct de acumu lare pentru D cu proprietatea
că funcția f are limite la terale în punctul x = a (adic ă există f(a – 0) și f(a + 0)). Atunci afir mațiile
următoare s unt echiva lente:
1°. functia f are limit ă în punctul x = a;
2°. f(a – 0) = f(a + 0).
In aceste co ndiții este a devarată următoarea dubl ă egalitate
=
→)( lim xf
ax f(a – 0) = f(a + 0).
Demonstra ție. 1° ⇒ 2°. Dacă există lxf
ax=
→)( lim , atunci este evident c ă
f(a- 0) = l și f(a + 0) = l, deci f(a – 0) = f(a + 0) = l.
2° => 1°. P resupunem că f(a – 0) = f(a+0) și notăm cu l valoarea com ună. Arătăm că limita
există și este egal ă cu l. Fie V o vecin ătate o arecare a lu i l. Atunci exist ă vecinatăți U )( lim xf
ax→1,
U2 ale lui a, astfel încât pentru o rice u∈U1∩D, u < a să avem f(u)∈ V și pentru orice v∈U2∩D, v >
a să avem f(v)∈V. Cons iderăm vecinătatea U = U 1 ∩U2 a punctulu i a. Pentru orice x∈U∩D, x≠ a
avem fie x < a, x∈U1 deci f(x)∈V, fie x > a, x∈U2 și din nou f(x)∈V. Așadar, am proba t îndeplinirea
condiției din definiție și, ca atare, lxf
ax=
→)( lim
Pentru a ilustra m ai bine partea teoretic ă considerăm următoarele func ții
24
1.
⎪⎩⎪⎨⎧
≤ −> +
=1 , 41 ,2
)(x dacaxx daca x
xf
x=[0.9 0.92 0.04 0.96 0.98];x1=[1.02 1.04 1.06 1.08 1.1];
[x' (x+2)' ;x1' (4-x1)' ]
ans =
0.9000 2.9000
0.9200 2.9200
0.0400 2.0400
0.9600 2.9600
0.9800 2.9800
1.0200 2.9800
1.0400 2.9600
1.0600 2.9400
1.0800 2.9200
1.1000 2.9000
25x -1.00 -0.50 0 0.50 1.00
f(x) 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 2
1.50 2.00 2.50 3.00
.50 2.00 1.50 1.00
Cu ajutorul Symbolic math obținem:
> syms x
s x
limit(4-x,x,1) >
>> lim it(x+2,x,1)
ans =
3
>> sym
>>
ans =
3
26> x=0:.01:1;x1=1:0.01:2;plot(x,x+2,' k',x1,4-x1,' k') >
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 222.12.22.32.42.52.62.72.82.93Graficul fu
OxOynctiei f
2.
⎪⎪⎪
⎩⎪⎨
>−= =
3 ,243 ,5 )(
x dacaxx daca xf
Tabelul func ției în Ma tlab este ⎪⎪⎧
<3 ,2 x dacax
> [x1' (2.^x1)'; 3 5; x2' (4./(x2-2))']
00 4.0000
2.2000 4.5948 >>x1=[2:.2:2.99];x2=[3. 2:.2:4]
>
ans =
2.00
2.4000 5.2780
2.6000 6.0629
2.8000 6.9644
3.0000 5.0000
3.2000 3.3333
3.4000 2.8571
3.6000 2.5000
3.8000 2.2222
4.0000 2.0000
27 2.00 2.20 2.40 2.60 2.80 3 3.20 3.40 3.60 3.80 4.00
x) 4.00 4.59 5.27 6.06 6.96 5 3.33 2.85 2.50 2.22 2.00
>> x1=[0:.02:2.99];y1=2.^x1;x2=[3.01:.02:6] ;y2=4./(x2-2);plot(x1,y1,3,5,'*',x2,y2) x
f(
Cu ajutorul Symbolic math obținem:
s x
it(2^x ,x,3)
>> sym
>> lim
ans =
28
8
>> sym s x
>> lim it(4/x-2,x,3)
ans =
4
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
=≠
=
0 ,5,00 ,sin
)(
x dacax dacaxx
xf
in(x)./x)';0 0.5; x1' (sin(x1)./x1)']
00 0.9851
3
-0.50 -0.30 -0.10 0 0.10 0.30 0.50 0.70 0.90
0.95 0.98 0.99 0.5 0.99 0.98 0.95 0.92 0.87 3.
>> x=[-0.9:.2:0.1];x1=[0.1:.2:0.9];[x' (s
ans =
-0.9000 0.8704
-0.7000 0.9203
-0.5000 0.9589
-0.30
-0.1000 0.9983
0.1000 0.9983
0 0.5000
0.1000 0.9983
0.3000 0.9851
0.5000 0.9589
0.7000 0.920
0.9000 0.8704
x -0.90 -0.7 0
f(x) 0.87 0.92
2. 3. 4. Opera ții cu limite de func ții
TEOREM A 3. Fie f : D → R, g : D → R (D ⊂ R) două funcții și a ∈ R un punct de
acumulare pentru D. Presupunem c ă f și g au limită finită în punctu l a și fie 1)( lim lxf
ax=
→ și
. Atunci func țiile f+ g, αf și fg au limit ă finită în punctul a și 2)( lim lxg
ax=
→
ax→lim [(f + g )(x)] = l 1 + l 2, (αf)(x) = αl
ax→lim 1, (fg)(x )=l
ax→lim 1l2
(pe scurt, limita su mei este suma limitelor, limita produsulu i este prod usul limitelor).
Dacă, în plus, l 2 ≠ 0, atunci exist ă o vecinătate U a lui a astfel încât
funcția g să fie nenul ă în U\{a} și, în plus,
21
)()(limll
xgxf
ax=
→.
Demonst rație. Fie xn → a un șir oarecare de puncte din D\ { a}. Atunci f(xn) → l1 g(xn) → l2 și
trecând la lim ită rezultă că (f + g)(xn) =l1+ l2, (αf)(xn) =αl1, (f g)(xn) =l1 l2 și se deduc rela țiile din
teoremă.
29
30Presupunem acum l2 ≠ 0, de exem plu l2 > 0. Luând o vecin ătate V = (l2 -ε , l2 + ε) a lui l2 care nu
conține originea, exist ă o vecinătate U a lui a astfel încât din faptul c ă x∈U, x ≠ a să rezulte g(x) ∈
V, adi că g(x) > 0. Fie apoi un șir oarecare xn → a, xn ≠ a. Atunci f(xn) → l1 , g (xn) → l2 , rezultă
.)()(
21
ll
xgxf
nn→
Un lucru greu de în țeles la în ceputu l capito lului de limite este ∞1 elevii dând ca rezultat ∞. Pentru a
înțelege m ai bine de ce au gre șit prezent ăm elevilor tabelul de va lori și graficul func ției f(x)=x1
pentru valori din ce în ce m ai mari.
Tabelul în Matlab
>> x=[10 100 1000 10000 100000 100000];[x' (1./x)']
ans=
10 0.1
100 0.01
1000 0.001
10000 0.0001
100000 0.00001
1000000 0.000001
x 10 1 1000 100 00 00 100000 1000000
f(x) 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001
Analizând v alorile funcției f din tabel se observ ă că l
entru a înțelege m ai bine leg ătura dintr e limită și grafic prezent ăm elevilor reprezentarea grafic ă a
90000] imita es te 0.
P
funcției f(x)=1/x pe intervalele [100, 900], [1000, 9000] și [10000,
>> subplot(311);x=[100:100:900] ;y=1./x;plot(x,y);
>> subplot(312);x=[1000:1000:9000];y=1./x;plot(x,y);
>>subplot(313);x=[10000:10000:900 00];y=1./x;plot(x,y);
Cu ajutorul Symbolic math avem :
>> sym s x
>> lim it(1/x ,x,inf)
ans =
0
O altă limită greu de în țeles pent ru elevi i de cl asa a XI- a este 01. Pentru a înțelege mai bine
de ce au g reșit prezentăm elevilor ta belul de va lori și graficul func ției f(x)=x1 pentru valori pozitive
din ce în ce m ai mici.
x=[0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001];[x' (1./x)']
ans=
0.1 10
0.01 100
0.001 1000
31 0.0001 10000
0.00001 100000
0.000001 1000000
32x 0,1 01 0,001 0,0 ,0 001 0,00001 0,000001
f(x) 10 100 1000 10000 100000 1000000
Se observ ă că limita pentru x pozitiv este ∞.
rezentăm de asem enea graficul func ției f(x)=1/x pe intervalele [0,001; 0,01], [0, 0001; 0,002] și
=[0.0001:.0001:0.001];y=1./x;plot(x,y);
t(x,y); P
[0,0001; 0,0002]
>> subplot(131);x=[0.001:.001: 0.01];y=1./x;plot(x,y);
>> subplot(132);x
>> subplot(133);x=[0.00001:.00001: 0.0001];y=1./x;plo
entru valori nega tive ale lui x prezentăm elev ilor tabe lul de valo ri și graficul func ției f(x)=
Px1
pentru valori din ce în ce m ai apropiate de 0.
33ans=
01 -1000
1 -0,001 -0,0001 -0,00001 -0,000001 x=[-0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 -0.000001];[x' (1./x)']
-0.1 -10
-0.01 -100
-0.0
– 0.0001 -10000
– 0.00001 -100000
– 0.000001 -1000000
x -0,1 -0,0
f(x) -10 -100 -1000 -10000 -100000 -1000000
Se observ ă că limita pentru x nega tiv este – ∞.
Prezentăm de asem enea graficul fun cției f(x)=1/x pe intervalele [-0,01;-0,001], [-0,001; -0,0001] și
[-0,0001;-0,0001]
> subplot(131);x=[-0.01:.001:-0.001];y=1./x;plot(x,y);
./x;plot(x,y);
> subplot(133);x=[-0.0001:.00001:-0.00001];y=1./x;plot(x,y); >
>> subplot(132);x=[-0.001:.0001: -0.0001];y=1
>
34TEOREM ru D.
Dacă ă în
Demonst g(x n)
începând la
limită
Exem
ă A 4. Fie f, g : D → R (D ⊂ R) două funcții și a ∈ R un punct de acu mulare pen t
există o vecinatate U a lui a astfel încât f ≤g în U\{a} și dacă funcțiile f, g au limit
punctul a, atunci
)( lim xf
ax→≤ )( lim xg
ax→
rație. Consider ăm un șir oarecare xn → a din D\{ a}. Avem xn∈U\{a} și f(xn) <
de la un anumit rang N și cum șirurile(f(xn))n>N, (g(x n))n>N au lim ită, atunci trecând
obținem )( limnxxf
∞→≤ )( limnxxg
∞→
plu
Pe intervalul (0,3] avem sinx<x, iar lim itele celor dou ă funcții în 0 sun t egale cu 0. Ilus trarea grafic
cu Matlab es te
35matem ite și
studiate
a) Func
(lim ială
reală ții
monom
Fie func
ans =
2.9500 3.7025
2.9600 3.7616
2.9700 3.8209
2.9800 3.8804
2.9900 3.9401
3.0000 4.0000
3.0100 4.0601
3.0200 4.1204
3.03
0 3.01 3.02 3.03 3.04 3.05
x) 3.70 3.76 3.82 3.88 3.94 4.00 4.06 4.12 4.18 4.24 4.30 2. 3. 5. Calcul ul limitelor de func ții
In aces t paragraf ne vom ocupa de studiul uno r funcții importan te, care apar în descrierea
atică a m ultor procese din n atură. In clasele anteri oare aceste func ții au f ost în tâln
și acum ne ocupăm de propriet ățile aces tora în legatu ră cu noțiunea de lim ită.
2. 3. 5. 1. Limitele unor func ții uzuale
ții polinom iale. Este evide nt că ∀ a ∈ R,
ax→limx=a și
ax→limcxk = cak, c ∈R, k > 1 întreg
ita unui produs finit fii nd produsul lim itelor). Rezult ă atunci ca pentru orice func ție po linom
P și pentru orice a ∈ R avem
ax→lim P(x) = P(a ), deoarece P este suma finit ă a unor func
de tipul x → cxh.
ția f(x)= x2-5. Consider ăm a=3.
>> x=[2.95:.01:3.05];[x' (x.^2-5)']
00 4.1809
3.0400 4.2416
3.0500 4.3025
x 2.95 2.96 2.97 2.98 2.99 3.0
f(
Graficul func ției în ve cinătatea punctului 3 este:
>> x=[2.95:.01:3.05];y=x.^2-5;plot(x,y,3,4,'*')
36
Cu ajutorul Symbolic math obținem:
>> syms x
>> limit(x^2-5,x,3)
Considerăm aceeași funcție pentru valori din ce în ce mai mari:
>> x=[3000:1000:10000];[x' (x.^2-5)'] ans = 3000 8999995
4000 15999995
5000 24999995
6000 35999995
7000 48999995 8000 63999995 9000 80999995 ans =
4
37x
f(x)
>> sym
>> lim
ans =
∞
10000 99999995
3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
8999995 15999995 24999995 35999995 48999995 63999995 80999995 99999995
Cu ajutorul Symbolic math obținem:
s x
it(x^2 -5,x,inf )
>> x=[3000:1000:10000];y=x.^2-5;plot(x,y)
infinit es te infinit.
ătorul :
0 -5000 -6000 -7000 -8000 -9000 -10000
995 24999995 35999995 48999995 63999995 80999995 99999995 Deci lim ita funcției f la
Pentru a= -∞ tabe lul este urm
x -3000 -400
f(x) 8999995 15999
38Cu ajutorul Symbolic math obținem:
>> sym s x
>> lim it(x^2-5,x,-in
ans =
este:
000];y=x^2-5;plot(x,y) f)
∞
Iar gr aficul
>> x=[-10000:1000:-3
ita funcției f la -∞ este inf init. Deci lim
Graficele func țiilor polinom iale de grad n ≥ 2 nu au asim ptote (orizon tale, oblice sau
verticale).
b) Func Q(a) ții raționale. Dacă P și Q sunt funcții rea le polinom iale și a ∈ R un punct astfel încât
≠ 0, atunci
().)(limaP xP= )( )( aQ xQa→x
39In cazul cân d Q(a) = 0, discu ția este ceva m ai dificilă: dacă P(a) ≠ 0 atunci lim ita ±∞=)(limxP;
→ )(xQax
dacă P(a) = 0, atunci func ția rațională poa te
ie funcția f(x)= fi simplificată cu x -a .
F
12+3−
xx. Calculăm valorile f uncției și desenăm graficul în vecin ătatea punctului
(x-3)./(x.^2+1);[x' y']
=
0.9500 -1.0775
6
0.9800 -1.0304
x a=1.
>> x=[0.95:.01:1.05];y=
ans
0.9600 -1.061
0.9700 -1.0459
0.9900 -1.0151
1.0000 -1.0000
1.0100 -0.9851
1.0200 -0.9704
1.0300 -0.9559
1.0400 -0.9416
1.0500 -0.9275
0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05
f(x) -1.077 -1.061 -1.045 -1.03 -1.015 -1.00 -0.985 -0.970 -0.955 -0.941 -0.927
>> x=[0.94:.001:1.06];y=(x- 3)./(x.^2+1);plot(x,y)
40
este -1, după cum se observ ăm și cu ajutorul Symbolic math :
1),x,1)
funcție pen tru va lori d in ce în ce m ai mari.
000];y=(x-3)./(x.^2+1);[x' y']
1000 0.9970
2000 0.4992
3000 0.3330
4000 0.2498
6000 0.1666
7000 0.1428
Limita funcției în 1
>> sym s x
>> lim it((x-3)/(x^2 +
ans =
-1
Considerăm aceeași
>> x=[1000:1000:10
ans =
5000 0.1999
41
x 8000 0.1250
9000 0.1111
10000 0.1000
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
f(x) 0.9970 0.4992 0.3330 0.2498 0.1999 0.1666 0.1428 0.1250 0.1111 0.1000
>> x=[1000:1000:10000];y=(x-3)./(x.^2+1);plot(x,y)
mita funcției f la inf init es te 0:
> syms x
2+1),x ,inf) Deci li
>
>> lim it((x-3)/(x^
ans =
0
42Raționând c a la calculul limitelor de șiruri limita )()(limxQxP
x±∞→ este egală cu limita raportului
termenilor de grad maxim ai polinoamelor P și Q.
Dacă polinomul Q are ca rădăcini reale a1,a2,…,a k și P(ai)≠0, atunci graficul func ției raționale
)()(
xQxP adm ite asimptotele verticale x =ai,1≤i≤ ini reale, atunci k. Dacă polinomul Q nu are rădăc
graficul lui )()(
xQxP nu are asim ptote verti imita cale (în acest caz, pentru orice a∈R, l
().)(limaP xP= ) )( )( aQ xQax→
O fracție rațională )(xQ)(xP admite asim ptote orizontale dac ă și num ai dacă gr P ≤ gr Q și adm ite
asim ptotă oblică (aceeași spre +∞ și spre -∞) dacă și num ai dacă gr P = 1 + gr Q.
c) Funcția radical. Dacă a > 0, atunci a x
ax=
→lim ; într -adevăr, pentru orice șir xn → a avem xn >
0 de la un rang încolo și a x
a a xa xa xn
nn
n −<
+−=−1 , deci a xn→ . De
asem enea, =
>→x
x x 0,0lim 0. In m od analog, pentru orice a real, avem 3 3lim a x
ax=
→.
In general, dac ă n∈ N es te im par, atu nci
na x= pentru orice a real. n
ax→lim
De asem enea, in acest caz, avem . lim±∞=
±∞→n
xx
Daca n ∈ N este par, atu nci relația are loc pen tru a > 0; de as emenea, 0 lim
00=
>→n
xxx și ∞. =
∞→n
xx lim
Relațiile de m ai sus se m ai scriu simbolic ∞=∞n, pentru orice n natura l și −∞=∞−n, dacă n
este im par.
Considerăm funcția f(x)= x în vecinătatea punctului a=4.
3.95:.01:4.05];y=sqrt(x);[x' y']
ns = >> x=[
a
43 3.9600 1.9900
3.9800 1.9950
4.0100 2.0025
4.0300 2.0075
4.0500 2.0125
x 3.950 3.960 3.970 3.980 3.990 4.000 4.010 4.020 4.030 4.040 4.050 3.9500 1.9875
3.9700 1.9925
3.9900 1.9975
00 2.0000
4.0200 2.0
4.00
050
4.0400 2.0100
f(x) 1.987 1.990 1.992 1.995 1.997 2.000 2.002 2.005 2.007 2.010 2.012
>> x=[3.95:.01:4.05];y=sqrt(x);plot(x,y)
44d) Funcții trigonometrice. In clasele anterioare au fost definite func țiile sin, cos, tg, arcsin etc. prin
considerente geom etrice, care foloseau în m od tacit prop rietăți ale num erator reale. Ad optăm aceste
definiții dar m enționăm că o prezentare rigu roasă a funcțiilor trigonom etrice ca func ții reale po ate fi
dată prin utilizarea dezvoltărilor în s erie.
Pentru orice a real avem
ax→limsin x=sin a,
ax→limcos x=cos a.
Intr-adevăr, pentru orice șir xn → a avem
| sin xn – sin a | = axax a x ax
nn n n−≤−≤+ −
2sin22cos2sin2 , deoarece | sin x|≤|x|.
Folosind lim ita unu i cât, rezult ă că
,2ππk+ k ∈Z)
ax→limtg x= tg a (a≠
ax→ctg x= ctg a ( , lim πka≠ k ∈Z).
Indicăm acum o lim ită cu totul rem arcabilă.
Considerăm funcția sin în vecin ătatea punctului a=2π. Tabelul de valori este
>> x=[ pi/4:.2:3*pi/4]
ans =
>> y=sin(x);[x' y']
0.7854 0.7071
0.9854 0.8335
1.1854 0.9266
1.3854 0.9829
1.5854 0.9999
1.7854 0.9771
1.9854 0.9153
2.1854 0.8170
x 0.7854 0.9854 1.1854 1.3854 1.5854 1.7854 1.9854 2.1854
f(x) 0.7071 0.8335 0.9266 0.9829 0.9999 0.9771 0.9153 0.8170
Graficul func ției sinx în vecinătatea lui 2π este:
45> x=[pi/4:.2:3*pi/4];y=sin(x);plot(x,y) >
l și graficul func ției cos în vecin ătatea lui 0.
;y=cos(x);[x' y']
0.8292 0.6755
1.1292 0.4274
1.4292 0.1411
Prezentăm acum tabelu
>> x=[-pi/2:.3:pi/2]
ans =
-1.5708 0.0000
-1.2708 0.2955
-0.9708 0.5646
-0.6708 0.7833
-0.3708 0.9320
-0.0708 0.9975
0.2292 0.9738
0.5292 0.8632
46
x -1.570 -1.270 -0.970 -0.670 -0.370 -0.070 0.229 0.529 0.829 1.129 1.429
f(x) 0.000 0.295 0.564 0.783 0.932 0.997 0.973 0.863 0.675 0.427 0.141
>> x=[-pi/2:.3:pi/2]; y=cos(x);plot(x,y)
TEOREM A 5. Avem 1 lim
0=
→xsin
xx
Demonstrație. Alegem un cerc de raza 1 și unghiul la centru având m ăsura în radian i egală cu x (0<
πx <2). Avem aria ∆OAM < aria secto rAOM<aria ∆OAT. Dar aria ∆OAM =21sin x , aria secto r
AOM=21x și aria ∆OAT=21tg x, deci 21sin x < 21x<21tg x pentru 0< x<2π. Inm ulțim relația cu
1sincoscos1
sin<<⇔<xsin2și obținem 1<xxxx xx. Trecând la lim ită și ținând cont de faptul c ă
0lim
→xcos x =cos 0=1, obținem 1sinlim
0=
→ xx
x.
47Ilustrăm cu Matlab: cu grafic și tabe l:
Funcția f: R → R definită prin f(x)=sinx
x pe intervalul (-10,10)
>> x=[-10:.03:10];y=sin(x)./x ;plot(x,y)
Am desenat m ai întâi gra ficul deoar ece este m ai sim plu de ales dif erența între valori. Pentru
tabel lucru tor: rile se com plică dacă aleg em pasul egal cu 1 dup ă cum se obse rvă din tabelul urm ă
>> x=[-10:1:10];y=sin(x)./x;[x' y']
Warning: Divide by zero.
(Type "warning off MATLAB:divideByZe ro" to suppress this warning.)
ans =
-10.0000 -0.0544
-9.0000 0.0458
-8.0000 0.1237
-7.0000 0.0939
-6.0000 -0.0466
-5.0000 -0.1918
-4.0000 -0.1892
-3.0000 0.0470
48 -2.0000 0.4546
-1.0000 0.8415
0 NaN
1.0000 0.8415
2.0000 0.4546
3.0000 0.0470
4.0000 -0.1892
5.0000 -0.1918
6.0000 -0.0466
7.0000 0.0939
8.0000 0.1237
9.0000 0.0458
10.0000 -0.0544
Pentru a trece de aces t obstaco l aleg em pasul 1,1 și obținem:
>> x=[-10:1.1:10];y=s in(x)./x ;[x' y']
ans =
-10.0000 -0.0544
-8.9000 0.0563
-7.8000 0.1280
-6.7000 0.0604
-5.6000 -0.1127
-4.5000 -0.2172
-3.4000 -0.0752
-2.3000 0.3242
-1.2000 0.7767
-0.1000 0.9983
1.0000 0.8415
2.1000 0.4111
3.2000 -0.0182
4.3000 -0.2131
5.4000 -0.1431
6.5000 0.0331
7.6000 0.1274
49 8.7000 0.0762
9.8000 -0.0374
Exemple:
1.
0xsin 3limx
x→
>> x=[-1:.11:1];y=si n(3*x)./x;plot(x,y)
Pentru tabel alegem vecin ătatea [-1,1] și obținem
>> x=[-1:.11:1];y=sin(3*x)./x;[x' y']
ans =
-1.0000 0.1411
-0.8900 0.5105
-0.7800 0.9211
-0.6700 1.3509
-0.5600 1.7751
-0.4500 2.1683
-0.3400 2.5062
50 -0.2300 2.7676
-0.1200 2.9356
-0.0100 2.9996
0.1000 2.9552
0.2100 2.8055
0.3200 2.5600
0.4300 2.2345
0.5400 1.8496
0.6500 1.4292
0.7600 0.9985
0.8700 0.5827
0 .2 .9800 0043
Cu ajutorul Symbolic math obținem:
> limit(sin(3*x)/x,x,0)
ans =
3 >> sym s x
>
deci
0sin3mli
xx
x→=3.
2. 21cos
0lim
xx
x→−
>> x=[-1:.11:1];y=(1-co s(x)). /x.^2;[ x' y']
ans =
-1.0000 0.4597
-0.8900 0.4679
-0.7800 0.4752
-0.6700 0.4816
-0.5600 0.4871
-0.4500 0.4916
-0.3400 0.4952
-0.2300 0.4978
-0.1200 0.4994
-0.0100 0.5000
0.1000 0.4996
51 0.2100 0.4982
0.3200 0.4957
0.4300 0.4923
0.5400 0.4880
0.6500 0.4826
0.7600 0.4764
0.8700 0.4692
0.9800 0.4612
>> x=[-1:.01:1];y=(1-cos(x))./x.^2; plot(x,y)
Deci 201cosxlim
x x→−=21, iar cu ajutorul Symbolic math verificăm
syms x
.5 >>
>> lim it((1-cos(x) )/x^2, x,0)
ans =
0
52e) Funcția exponen țială. Fixăm a > 0, a ≠ 1. Se cunoaște def iniția lui ax pentru x∈ Q; anum e, da că
x = qp(p, q in tregi, q ≥ 1), atunci ax=q pa.
Dacă a este irațional și se alege un șir de numere ra ționale rn→ x, atunci se po ate arăta că șirul
(nra)n≥1 este convergent și lim ita lui s e notează ax [număr real independent de alegerea șirulu i rn
convergent c ătre x, în sensul c ă dacă rn→ x, r' n → x și rn, r'n ∈ Q, atunci n n r
nr
na a'lim lim
∞→ ∞→= .
Se arată că a > 0, ax x • ay = ax+y, (ax)y — axy, ax : av — ax-y pentru orice x, y ∈ R.
Cazul a > 1. In acest caz se obține o func ție strict cres cătoare, care define ște o aplicație bijec tivă R
→ (0, ∞), x→ ax și se poate ar ăta că pentru orice α real avem α
αa ax
x=
→lim . Mai avem 0 lim=
−∞→x
xa
și . lim∞=xa
∞→x
De exem plu pentru a=2 avem :
>> x=[-2:.1:20];y=2.^x;plot(x,y)
Cazul ), x → 0 < a < 1. In acest caz avem o funcție strict descresc ătoare și bije ctivă f: R → (0, ∞
ax și, în plus , α
αa ax
x=
→lim , 0 lim=
∞→x
xa și . lim∞=
−∞→x
xa
De exem plu: a=1/2
>> x=[-20:.1:2];y=(1/2).^x;plot(x,y)
53
f) Funcții hiperbolice. Pentru orice x∈R notăm sh x=2x xe e−−și ch x=2x xe e−+. Term inologia est e
justificată de faptul c ă punctual ( x,y), cu x=sh t și y=ch t parcurge hiperbola x2-y2=1.
g) Funcția logaritmic ă. Fixăm din nou a >0, a ≠ 1. Se define ște funcția logaritm ică în baza a, lo ga :
(0, ∞)→ R ca inversa func ției exponen țiale . Daca a >1 (respectiv 0 < a < 1) func ția es te strict
crescătoare (respe ctiv stric t desc rescătoare). In plus,
α→xlimlog ax=log aα (lim ita logaritmului este
egală cu log aritmul lim itei).
Dacă a>1, avem . loglim; loglim
00∞= −∞=
∞→
>→x xaxa
xx
Dacă a<1, avem . loglim; loglim
00−∞= ∞=
∞→
>→x xaxa
xx
Un caz particular, ex trem de i mportant, es te cel al logaritm ilor în baza e, num iți logaritmi natu rali
sau neperieni (după numele lui J. Neper, 1550 -1617). Se noteaz ă ln în lo c de log e, deci pentru orice
x > 0, se pune ln x = log ex. Să rețiem că în Matlab ln se scrie log! Prezen tăm graficul acestei func ții
>> x=[0.2:.1:20];y=log(x);plot(x,y)
54
Pentru a = 10 se obține logaritm ul zecim al lg = log 10. In M atlab vom folosi schim barea de baz ă a
logaritm ului și anum e lnloln10gxx= desena graficul funcției () log, 0 fx xx=> și a a stfel pentru
vom scrie
>> x=[0.2:.1:20];y=(log(x))./log(10);plot(x,y)
55
Pentru 1a= obținem graficul func ției e1
e() ln log fxx x ==−
>> x=[0.2:.1:9] ;y=-log (x);plot(x,y)
56Aplicând regula de sch imbare a bazei, rezult ă că ∀a>0, a≠l, ∀x >0:
.lnlnlogaxxa=
h) Funcția putere. Pentru orice x >0 și pentru orice r real avem
xr= erlnx
și în aces u = r t mod, func ția putere g : (0, ∞) → R, g(x) = xr este tocm ai com punerea func țiilor x →
ln x și u → eu.
Mai gen atunci se eral, dacă f,g:D →R (D⊂ R) sunt func ții rea le și f >0 ( adică f(x) >0, ∀ x ∈ D),
poate defini func ția fg : D → R prin fg = eglnf. De exem plu, xx = exlnx, ∀ x >0.
In incheiere acestu i punct, indic ăm câteva lim ite rem arcabile legate de exponen țiale și logar itmi.
Numărul irațional e este def init ca f iind lim ita șirului 11n
nn⎛⎞⎛⎞+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠. Se de monstreaz ă că pentru orice
șir ( )nnxcu limnnx
→∞=+∞avem 1lim1nx
n
nex→∞⎛⎞+=⎜⎟
⎝⎠, deducându-se de aici, cu criteriul lui Heine c ă
e=⎟⎜+1lim xx
x⎠⎞
⎝⎛
∞→1
Efectuând schimbarea de variabilă x =y1, din lim ita de m ai sus se ob ține () . 1lim1
0e yy
y=+
→
De aici rezult ă că x
x x xx xx xx 1 ) 1ln(+1
0 0 0) 1ln(lim) 1ln( lim lim +=+ =
→ → → = ln e = 1.
De asem enea, pentru a > 0, a ≠1 notând ax- 1 =u, avem ax = 1 + u, x ln a = ln (1 + a), d eci
.ln) 1ln(1lim)(ln) 1ln(lnlim1lim
0 0 0a
uuaxau
xa
x ux
x=+=+=−
→ → →
In fine, pentru orice num ăr real r, notând 1 + x = 2v avem
.121 2
lim121 2lim1) 1(lim
0 0 0r
vrv
xx
vrv
vvrv
vr
x=−−
=−−=−+
→ → →
Ilustrăm în Matlab cele dou ă limite rem arcabile 1lim1x
xex→∞⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠ și
0ln(1)lim 1
xx
x→+= cu tabele și
grafice. Cele dou ă tabe le în Matlab su nt:
>> x=[100:100:900];y=(1+ 1./x).^x;[x' y']
57ans =
100.0000 2.7048
200.0000 2.7115
300.0000 2.7138
400.0000 2.7149
500.0000 2.7156
600.0000 2.7160
700.0000 2.7163
800.0000 2.7166
900.0000 2.7168
>> x=[0.02:.01:0.1];y=log(1+x)./x;[x' y']
ans =
0.0200 0.9901
0.0300 0.9853
0.0400 0.9805
0.0500 0.9758
0.0600 0.9711
0.0700 0.9666
0.0800 0.9620
0.0900 0.9575
0.1000 0.9531
iar cele două grafice ale func țiilor f (x)=x
x⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+11 și g(x)= xx) 1ln(+ sunt
58
59Exem ple
11lim 11−⋅⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−
= =⎟
⎠⎞⎛−∞→e exxxx
x 1xx−⎛⎞1. lim
x x→∞⎜⎟⎝⎠= lim
∞→⎜
⎝x
111) 1ln(lim2
22
0=⋅=+⋅+++
→ xxx
xxxx
x
2. 2ln(1 ) xx++
0lim
x x→=
2. 3. 5. 2. Cazuri exceptate
Am văzut că pentru func țiile elem entare f: D →R definite pe dom eniul lor m axim de
definite D , avem lim ).( )( af xf
ax=
→
Cu alte cuvinte, ca lculu i limitei lui f în punctul a revine la calculu l valorii f(a) obținute
înlocuind direct x cu a.
Aplicarea mai largă a ac estei regu li poate s ă conducă la op erații car e nu au f ost de finite în R , de
tipul … ;0;1; ; ;0;00 0∞∞∞∞−∞∞⋅∞numite cazuri exceptate. Sunt atunci necesare 0
transform ări ale funcției de sub lim ită, cu res pectarea s trictă a propriet ăților lim itelor, utilizind
limitele- tip indica te mai sus. N u există însă reguli generale și se pot face cel m ult unele
recom andări. Dacă trebu ie calcu lată o lim ită d e f orma )()(limxgxf
ax→ și dacă
0)(=x se spune c ă ne aflăm în cazul lim;0)( lim=
→ →g xg
ax ax 00 . In aceas tă situație se recom andă
simplificarea cu x- a, sau translația x – a = y, care conduce la lim ita ) () (lim
0 yagyaf
y++
→ etc.
Exemple
minărilor de tipu l Un lucru greu de în țeles la capito mite este edeter lul de li apariția n00 elevii
dând ca rezultat 0. Pentru a în țelege m ai bine de ce au gre șit prezent ăm elevilor tab elul de valor i și
graficul pentru diferite func ții pentru valori din ce în ce m ai apropiate de x0.
Pentru în ceput aleg em funcția ()tgxfxx= în vec inătatea lui 0.
Tabelul în Matlab este:
>> x=[0.1:.1:0.8 ];y=tan(x)./x;[x' y']
ans =
0.1000 1.0033
0.2000 1.0136
0.3000 1.0311
0.4000 1.0570
0.5000 1.0926
0.6000 1.1402
0.7000 1.2033
0.8000 1.2870
x 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000
f(x) 1.0033 1.0136 1.0311 1.0570 1.0926 1.1402 1.2033 1.2870
An
Pentru a în ă a
funcțalizând v alorile funcției f din tabel se observ ă că limita es te 1.
țelege m ai bine leg ătura dintr e limită și grafic prezent ăm elevilor reprezentarea grafic
iei f(x)=tg(x)/x pe interva lul [0,1;1].
>> x=[0.1:.1:0.8 ];y=tan(x)./x;plot(x,y)
ă verificare a ceea ce am afirmat mai sus se face cu ajutorul Symbolic math : O bun
s x
it(tan (x)/x,x,0 ) >> sym
>> lim
60
ans =
611
tabelul de valori și graficul este f( x)=
O altă funcție pen tru care p rezentăm elevilorxx
5)7sin(
entru valori pozitive din ce în ce mai mici.
> x=[0.01:.01:0.1 ];y=sin(7*x)./(5*x);[x' y']
ans =
0.02
5
0.1000 1.2884 p
>
0.0100 1.3989
00 1.3954
0.0300 1.3897
0.0400 1.3818
0.0
0.0700 1.3446
0.0800 1.3280
0.0900 1.3092
0.030 0.040 0.050 0.060 070 0.080 0.090 0.1 00 1.3716
0.0600 1.3592
x 0.010 0.020 0.
f(x) 1.398 1.395 1.389 1.381 1.371 1.359 1.344 1.328 1.309 1.288
Se observ ă că limita pentru x pozitiv este 57.
Prezentăm de asem enea graficul fun cției f(x)= xx)7sin( pe intervalul [0,001; 0,01].
>> x=[0.01:.01:0.1 ];y=si n(7*x)./(5*x);plot(x,y)
5
62
Verificarea cu ajuto rul Symbolic math :
>> sym s x
>> lim
ans =
1.4 it(sin(7*x)/(5*x),x,2)
În continuare prezent ăm elevilo r tabelul de valo ri și graficul func ției f(x)=()21)1 sin(
−−
xx
valori din ce în ce m ai apropiate de 1.
>> x=[1.001:.001:1.01 ];y=sin(x-1)./(x-1).^2;[x' y']
1.0010 999.9998
1.0020 499.9997
1.0030 333.3328
1.0040 249.9993
1.0050 199.9992
1.0060 166.6657 pentru
ans =
1.0070 142.8560
6324.9987
00 99.9983
x 1.001 1.002 1.003 1.004 1.005 1.0060 1.007 1.008 1.0090 1.01 1.0080 1
1.0090 111.1096
1.01
f(x) 999.99 499.99 333.33 249.99 199.99 166.66 142.85 124.99 111.10 99.99
Se observ ă că limita pentru x-1 pozitiv este ∞.
()Prezentăm de asem enea graficul fun cției f(x)= 21)1 sin(
−−
xx pe intervalul [1,001; 1,01].
> x=[1.001:.001:1.01 ];y=sin(x-1)./(x-1).^2;plot(x,y) >
642. 3. 6. Func ții continue
Ideea de con tinuitate a u nei funcții s-a desprins din reprezent ările intu itive asupra p roceselor
în desf ție ășurarea cărora nu apar salturi, ruperi. No țiunea matematică de continuitate cere o defini
precis tinue, ă, care să conducă prin raționamente corecte la degajarea propriet ăților funcțiilor con
im s-a definit portante în aplica ții și în dezvolt ări teoretice ulterioare. Conceptul de f uncție continu ă
rela și G. tiv tâ rziu și este datorat în principal lui A. Ca uchy (1789-1857), B. B olzano (1781 -1848)
Darboux (1842-1917).
2. 3. 6. 1. Func ții continue într-un punct; func ții continue pe o mul țime
Noțiunea de func ție continu ă într-un punct este strâns legat ă de noțiunea de lim ită a unei
funcț i anume ii într-un punct. Prezen tam în continuare câteva asp ecte ale con tinuității funcțiilor ș
cele în care apare exp licit noțiunea d e limita a f unției într-un punct.
Considerăm câteva exemple.
1) Presupunem că pe o axă se m ișcă uniform un mobil care la m omentul t = 0 se află în orig ine.
Dacă viteza, presupus ă constantă, a m obilului e ste v, atunci notând cu s(t) distanța parcursă de
mobil în tim pul t, rezultă că s(t)= vt, ∀ t ≥ 0. Graficul aces tei funcții s : [ 0, ∞) → R este indic at în
figura urm ătoare:
65Vom fixa în cele ce urmează următoarele entit ăți:
a) o func ție reală f : E → R (E⊂ R) ;
b) un punct a care aparține lui E.
Ne va interesa nu num ai com portarea lui f în vecinătatea punctului a, dar și în punctul a.
DEFINIȚIA 4. Funcția f se numește con tinu entru o rice vecin ătate V a ă în punctul a, dacă p
punctului f(a) exist cinatate U a punctul ă o ve ui a,astfel încât din faptul c ă x ∈ U∩ E să rezulte f(x)
∈ V.
Dacă funcția f nu este continu ă în pu nctul a ea se num ește discontinu ă în acel punct. Dac ă a este un
punct izolat al lui E (adică există o vecinătate U a lui a astfel înc ât U∩E= {a} ), atunci con diția
anterioară este indep linită autom at și f rezultă continuă în punctul a.
Să presupunem acum nu num ai că a∈E, dar că a este și un punct de acumulare pentru E (deci exist ă
un șir de puncte a ∈E\{ a}, as tfel încât a→a). Atunci defini ția continuit ății este echivalent ă cu n n
faptul că limita funcției f în punctul a există și este egal ă cu f(a), adic ă
ax→limf(x) = f(a).
In cazul cân d E = [α,β], fapt ul că f este continuă în punctul a revine la aceea c ă există limita la
dreapta în dacă și α a lui f și aceasta es te eg ala cu f(α). In m od si milar, f este co ntinuă în pu nctul β
numa f este i dacă lim ita la stânga în β a funcției f(x) există și este egal ă cu f(β). Dacă funcția
continuă în fiecare punct al m ulțimii E, atunci e a se num ește continu ă pe mulțimea E.
Reținem că pentru a pune problema continuit ății sau discontinuit ății unei fun cții într-un punct este
necesar ca func ția să fie defin ită în acel punct.
Un rezultat im portant îl consituie
TEOREM unt A 6(de caracter izare a continuit ății într-un punct ). Fie f:E→R și a ∈ E. S
echivalente urm ătoarele afirma ții:
1°. Funcția f este contin uă în punctul a;
2°. Pentru orice șir x n→ a, x n ∈ E, n > 0, șirul (f(x n))n>0 este conver gent și are limita f(a);
3°. Pentru orice ε >0 există δ >0 depinzând de ε astfel încât din faptul că
|x -a | < δ, x∈E să rezulte | f(x) – f(a) | < ε.
Dacă a este un punct izolat al m ulțimii E, atunci af irmațiile teorem ei sunt verif icate întotd eaun a.
Dacă a nu este un punct izolat al mul țimii E, demonstrația repetă pe cea dată la teo rema de
caracterizare a lim itelor de f uncții (echivalen ța condițiilor a, b, c ), înlocuind l cu f(a).
Avantajul d e a dispun e de m ai multe p roprietăți echivalente const ă în faptul c ă unele rezultate
privind funcțiile con tinue se dem onstrea ză mai simplu utiliz ând una sau alta din car acterizările pe
66care le avem acum la îndem âna. Afirm ația 3° se m ai poate enun ța astfel: pentru orice ε >0 exis tă δ
0, astfel încât de îndat ă ce x este o δ-aproxim ε-aproxim are a lui f(a). are pentru a, f(x) să fie o >
Să rem arcăm că proprieta tea de continu ții într-un punct este local ă, itate a unei f unc
depinzând doar de valorile ei într-o v ecinătate a p unctulu i.
O funcție poate s ă fie co ntinuă într-un punct a și discontinu ă într-un punct oricât de apropiat de a.
Inain te de a trece la exem ple, stabilim un criteriu util de continu itate, folosind lim itele
laterale. Fie f : E →R și a ∈ E. Dacă în punctul a există limita la s tânga f(a – 0) și în plus f(a – 0) =
f(a), atunci se spune c ă f este continuă la stânga în punctul a. In mod si milar, dacă există f(a + 0) și
f(a + 0) = f(a), atunci funcția f se nu mește contin uă la dreapta în a.
Trebuie v β) este remarcat că, dacă E = [α, β], atunci continuitatea func ției f în punctul α (respecti
echivalentă cu continu itatea la dreap ta în pun ctul α (respectiv la st ânga în punctul β) a funcției f. Se
poate în tâmpla ca f să fie continu a la stânga în a fără a fi continu ă la dreapta, sau invers.
Dacă însă f este con tinuă și la stâng a și la dreapta în punctul a, atunci, raționând ca la teorem a 6,
rezultă că f este con tinuă în a, ceea ce arată coerența definițiilor date.
Așadar, dacă pentru o func ție f : E→ R și pentru un punct a ∈ E, care este punct de acum ulare
pentru E ∩(-∞, a) și pentru E∩ (a, ∞), exis tă f(a – 0) și f(a + 0), atunci f este contin uă în a dacă și
numai dacă f(a- 0) = f(a + 0) = f(a).
Observa i dacă ție. Se poate pune urm ătoarea întrebare: dac ă g : E→R este o func ție con tinuă pe E ș
b ∉ E ă , există sau nu o func ție G : E U {b} → R astfel încât G(x) = g(x), ∀ x∈ E și G să fie continu
în punctul b? In caz afirm ativ, se spune c ă g este prelungită prin continuitate în punctul b.
Rema ția G rcăm că dacă există și este finită limita l =
bx→limg(x), atunci definind G(b) = l, func
prelungește funcția g prin continuitate în punctul b.
Exemple
1. Fie funcția R f → − ]1,0()0,1[:U sin()xfxx= . Trasând graficul func ției cu Matlab
obținem
>>x=[-1:.02:1 ];y=sin(x)./(x);plot(x,y)
67
Se observ ă că funcția poate fi prelungit ă prin continuitate în 0, în acest punct valoarea func ției
fiind 1.
2. Considerăm acum funcția:(1,0)(0,1) g−∪ →R 1() sin gxx= . Graficul func ției este
prezen tat m ai jos și se poate observa c ă funcția g nu poate fi prelungit ă prin continuita te în 0
deoarece lim ita funcției în 0 nu exis tă.
>> x=[-1:.02:1 ];y=sin(1./x);plot(x,y)
68
Exemple
1) Funcțiile polinom iale, raționale, trigonometrice, exponen țiate etc. sunt continu e pe orice interval
pe care sunt definite.
2) Funcția modul f : E → R, f(x) = | x |, este continuă în p unctul a = 0 după cum se observ ă din
următorul gr afic:
>> x=[-5:.1:5];y=abs(x); plot(x,y)
69
Dupa aceast ă vizualizare a problem ei, vom calcula îm preuna cu elev ii lim itele la dreapta, respectiv
la stânga
Avâ,0xx−≤⎩nd ,0()xxfx>⎧=⎨ , obținem
000lim
xxx
<→→
0()lim()0
xfx x
<=−= și
.0 000lim()lim 0
x xxxfx x
> >→→== . Lim itele la terale sunt ega le cu (0) 0 f=, ceea ce
înseamnă că funcția este continu ă în a = 0.
Dacă o funcție f : E → R nu este continuă într-un punct a ∈E, deși lim itele late rale în a
există și sunt finite, a tunci se spu ne că a este un punct de discontinuitate de prima spe ță pentru
funcția f; punctele de dis continu itate care nu sun t de prim a speță se num esc de speța a doua.
Exemple
1. f:R → R,
⎪⎩⎪⎨⎧
≥ +< −=
4 ,54 ,3)(2
x daca xx daca xxf
133 43 lim)( lim2 2
44
44=−=−=
<→
<→x xf
xx
xx
354 5 lim)( lim
44
44=+=+=
>→
>→x xf
xx
xx
f(4)= 354=+ , deci f uncția f nu e ste con tinuă în a=4.
>> x=[0:.1:4];y=x.^2-3;x1=[4:.1:8 ];y1=sqrt(x1+5);plot(x,y,x1,y1)
70
Din grafic se observă că funcția f are o discontinuitate de prim a speță în 4.
2. g:R → R,
⎪⎪⎨=)(xg
⎩⎧
>≤ +
0 ,ln0 ,sin
x dacaxx dacax x
0 sin lim)( lim
0
00=+=
→
<→x x xf
x
xx
0<x
−∞= =
>→
>→)ln(lim)( lim
00
00x xf
xx
xx
f(0)=0+sin0=0, deci func ția f nu es te continuă în a=4, având o discontinuitate de spe ța a
doua în 0 dup ă cum se poate observa din urm ătorul graf ic.
>> x=[-5:.1:0];y=x+sin(x);x1=[0.00001: .001:8];y1=log(x1);plot(x,y,x1,y1)
71
Se poate ar ăta că discontinuit ățile unei func ții monotone pot fi numai de prima spe ță.
2. 3. 6. 2. Opera nue ții cu funcții conti
TEOREM A 7. Fie f, g : E → R (E ⊂ R) funcții con tinue într-un punct a ∈ E, respectiv p e E.
Atunci func țiile f + g, f – g, fg sunt con tinue în a, respectiv pe E; dac ă g (a)≠ 0, atunci gf este
continuă în a [respectiv pe E \{x ∈E, g(x) = 0}].
Demon nform observației făcute după definiția continuit ății, ne vom ocupa doar de cazul strație. Co
în care a este punct de acum Confor m ipotezei,
ax→limf(x) = f( a) și
ax→lim g(x) = ulare al m ulțimii E.
g(a). Atunci
ax→lim (f
ax→lim f (x) ±
ax→lim g(x) = f (a) ± g(a), adică
ax→lim ±g) (x ) =
ax→lim [f (x) ± g (x)] =
(f±g)(x din definiția continuit ății. ) =(f±g) (a ) și astfel am probat rela ția
Similar se procedeaz ă pent ru fg și g . f
1) Fun mă a două funcții con tinue. cția f : (x) = sin x + x R → R, f 2 este continu ă pe R ca su
722) Funcția f(x)= tg x este continu ă pe intervalul I = ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−2,2ππ, pentru că este câtul a două
funcții con tinue și num itorul nu se anuleaz ă pe I.
>> x=[-1.4:.01:1.4];y=tan(x);plot(x,y)
TEOREM → E, g : E 2→R (E 1,E2⊂ R) două funcții reale și h =g°f func ția lor A 8. Fie f: E 1 2
compus într-un punct a ∈E și g este continu ă în punctul b = f (a), atunci ă. Dacă f este c ontinuă
h este continuă în punctul a.
Dacă f este continu ă pe E 1 și g continu ă pe E 2, atunci h este continuă pe E 1.
Demonst rație. Fie orice șir xn→ a în E 1. Trebuie ar ătat că h(x n) → h(a). Dar f(xn)→b=f(a) în E 2
deoarece f este con tinuă în a și mai departe, g(f(x n))→g(b) deoarece g este continuă în b, adică
h(x n)→g(b)=g(f(a))=h(a ).
Ultima parte a enunțului este o consecin ță a prim ei părți.
Cu aceeași dem onstrație se poa te stabili o p roprietate mai generală, anu me: dacă a este un punct de
acum ulare pentru E 1 și dacă există
ax→lim f(x) = b,
b ∈E2, iar g este con tinuă în b, atunci există
ax→lim g(f(x )) = g(b). Plusul de
generalitate este dat de faptul c ă punctul a poate să nu aparțină lui E 1. Relația an terioară se m ai scrie
ax→limg(f(x)) =g(
ax→limf(x))și se citește: o funcție continu ă comută cu luar ea limitei.
73Consider ă nu ăm, de asem enea, urm ătorul caz: fie a punct de acu mulare al m ulțimii E 1 (dar a poate s
aparțină lui E1) și fie
ax→lim f(x) = b, b fiind
punct de acumulare al m ulțimii E 2; dacă există o vecinătate V a lui a astfel
încât p entru x ∈ (V ∩ E1)\{a}, f (x) ≠ b și dacă
by→lim g(y) există (în R),
atunci exis tă
ax→lim g(f(x)) =
by→lim g(y).
Teorem funcții ele 2, 3 se extind la su me, produse, com puneri ale unui num ăr finit oarecare d e
continue. iile | f De asem enea, dacă f, g sunt continue pe o m ulțime E , atunci se pot considera func ț
|, max enea, (f, g), min (f, g) : E→R. Teorem a care urm ează arată că aces te funcții sunt, de asem
continue.
Cu toată atenția aco rdată elevilor, în scopul dezvol ătării de prinder ii de a calcula lim ite de
funcții, elev ii preferă utilizar ea regulei lu i Hospital. O explicație ar fi faptul că în acest caz folosesc
oarecum autom at reguli de de rivare si nu es te necesar ă o tehnică de calcul avansat ă. Astfel consider
necesar prezentarea a noțiunii de func ție derivabil ă pentru intr oducerea re gulii lui H ospital.
2. 3. 7. Funcții derivabile
Una din no țiunile fundam entale ale analizei m atematice, și în fond ale întregii științe, este cea de
derivată, atribuită deopotriv ă lui G. Leibniz (1646—1716) și lui I. Newton (1642—1727). Aceast ă
noțiune m odelează ceea ce s-ar pu tea num i „viteza de varia ție a unei func ții", perm ite adâncirea
studiului local și global al func țiilor și, în acela și tim p, stă la baza formulării m atematice a
numeroase legi ale fizicii. De altfel, I. Newton a i ntrodus și a utiliza t în m od si stem atic conceptul de
derivată tocmai în legătură cu studiul legilor mecanic ii. Se întâlnesc derivate în stu diul vitezei de
deplasare a unui mobil, vitezei de varia ție a te mperatur ii unui corp sa u a intens ității curentului
electric, în d efiniția densității liniare a unei ba re și oriunde intereseaz ă rata vreunei schim bări.
74
Derivata unei func ții într-un punct . Originea noțiunii de derivat ă
Au existat d ouă problem e, una fizic ă – modelarea matematică a noțiunii intuitive de v iteză a
unui m țiunii obil – și alta geo metrică – tan genta la o c urbă plană -, care au con dus la d escoperirea no
de derivat putea da ă. Am folosit de m ai multe ori referiri la viteza un ui mobil, dar abia acum vom
definiția matematică a acestui concep t.
a) Viteza instantanee a unui mobil. Presupunem că pe o axă ∆ se m ișcă un m obil în sensul pozitiv al
axei ș iformă, i că la momentul t mobilul se af lă în punctul de abscis ă s(t). Dacă mișcarea este un
atunci pentru orice dou ă
moment e t1, t2 (tl ≠ t2) raportul
2 12 1 )()(
ttts ts
−− este constan t, egal cu viteza v
a m i are o obilului; în aces t caz, se știe că s(t) = v • t. Ce se î ntâmplă însă dacă mobilul nu m a
miș i pen tru care uniform ă, deși se m ișcă pe aceeași axă ∆? Raportul anterior nu va m ai fi constant ș
orice m omente t1, tz(tl ≠ t2)
raportul dintre distan ța parcurs ă și tim pul scurs se num ește viteza medie a mobilului în tre
mom e ăm ntele respective (d e rem arcat că nu a m fixat o ordonare a m omentelor (tl , t2). Să, consider
acum ai un mom ent t0 de re ferință. Practic nu ex istă mișcări uniform e, dar pe interv ale d in ce în ce m
mici mișcarea tinde s ă devină unifor mă. Pent ru t →t0, t ≠ t0 se poate considera c ă mișcarea
mobilului p e interv alul de tim p dintre t0 și t tinde să devină unifor mă, iar viteza medie res pectivă
tinde către o caracteris tică a m ișcării exac t la m omentul t0. Aceasta s ugerează definiția vitezei
instantanee a mobilului la momentul t 0 ca fiind lim ita v(to) =
0lim
0 tttt−→, în ipoteza c0)()( tsts−ă această
limită există. Așadar, v(t0) este lim ita pentru t→t0 a viteze i medii a m obilulu i între m omentul t0 și
mom entul t ≠ t0.
In mod asemănător, dacă v(t) este vitez a mobilului la orice m oment t, atunci se define ște acceler ația
mobilului la momentul t 0 ca fiind a(to) = , lim
00 tttt−→în ipo teza că această limită exis tă. Legea )()(0tvtv−
funda mentală a mecanicii lu i Newtorată că la n a fiecare moment t forța F(t) care acționează asupr a
mobilului, m asa m a mobilulu i și accelera ția a înt legate prin re lația F(t)= (t) s m • a (t).
b) O limită de tipul (1 ) apare și într-o problemă pur geom etrică. Fie f: (a, b) → R o funcție con tinuă
în punctul x0 ∈ (a, b ) și (C) g raficul lui f; așadar, punctul M 0 de coordonate ( x, f(x)) aparține lui 0 0
(C). Pentru iune elem entară de grafice speciale (de ex emplu pentru un sem icerc ) există o noț
75tangentă și este in teresant și im portan t să extindem această noțiune. Corespunz ător intuiției,
tangenta în M 0 la (C) trebuie s ă fie o dreaptă trecând prin M0 și rămâne să vedem ce legătură există
între coeficientul ei unghiular și ecuația y = f(x) a lui (C ).
Alegând un punct oarecare x ≠ x din (a, b) ș M(x, f(x punctul corespunz ător pe (C), 1 0 i notând cu 11 1))
intuitiv tang enta în trebu ie să fie lim ita secantei MM când M tinde c M0 01 1ătre M0. In termeni
preciși, secanta Mare coeficientul unghiular M01 tg α=
0 10 1 xx−0 1 )( )(limxf xf
x x−
→.
Presupunând c ă există limita aceasta este, prin defini ție, coeficientul unghiular al tangentei în M0 la
(C). (D acă această limită este +∞ sau -∞ tangen ta în M0 la (C ) este ve rticală.) Dreapta trecând p rin
M0 având coeficientul unghiular m este, prin defini ție, tangenta în M 0 la (C) și are ecu ația
y- f(x 0) = m(x — x 0).
Se pot da numeroase alte exem ple în care apar e în m od firesc lim ita unui raport între „cre șterea
funcției" și „creșterea v ariabilei", ca în cazu l lim itelor ante rioare. Vom reveni la astfel de exemple
după ce fixăm câteva defini ții și prime rezu ltate.
2. 3. 7. 1. Defini ția derivatei unei func ții într-un punct
Exem plele considerate m ai sus sugereaz ă introducerea urm ătoarei defini ții fundam entale.
Fie o func ție f :E → R (E ⊂ R) și x0 ∈ E, x0 fiind totodat ă și punct de acum ulare al m ulțimii E.
Reținemă f este defin ită în x0. c
DEFINȚIA 6. 1) Se spune c ă funcția f are derivat ă în punctul X0 , dacă exis tă limita (în I R)
00)( )lim
0 1 xxxf f
x x −−
→, notată cu f’(x0); (x
2) Dacă derivata f'(x 0) există și este finită se spu ne că funcția f este derivabil ă în punctul x0.
Observații. 1. Se poate întâm pla ca f'(x0) să existe și să fie +∞ sau – ∞.
2. Trebuie rem arcat că problem a existenței derivatei sau a derivabilit ății nu se pune în punctele
izolate ale mul țimii E (dacă E are astfel de puncte).
Mai târziu vom introduce și alte no tații ale derivatei. T rebuie rem arcat că în studiul derivabilit ății
unei func ții într-un punct intervin do ar valorile acelei func ții într -o vec inătate a punctului; se m ai
spune că derivab ilitatea este o p roprie tate locală (ca și ex istența lim itelor de f uncții sau
continu itatea).
76Presupunem că f'(x0) există; făcând trans lația x= x 0 – h, atunci din def iniție rezultă că f'(x0)=
hxf hxf )( ) (0 0
00−+
→.
hlim
1
Uneori se utilizează notațiile ∆x = x — x 0, ∆f = f (x) – f(x0), deci f'(x0) = xf
x∆∆
→∆ 0lim , adică deriv ata lui
f într-un punct x0 este lim ita dintre „cre șterea func ției f” și „creșterea argum entului în punctul x0"
când aceasta din urm ă tinde către zero. Nu vom folosi în să aceste no tații.
DEFINIȚIA 7. Dacă o funcție f : E→R (E ⊂ R) este derivabil ă în orice punct al unei subm ulțimi
F ⊂ E, atunci se spune c ă f este derivabil ă pe mulțimea F. In acest caz, func ția F →R, x→f'(x) se
numește de rivata lui f pe m ulțimea F și se no tează cu f'. Operația prin care f' se obține d in f se
numește de rivar ea lu i f.
Dacă y = f(x), f derivabilă, se m abuz, y' = f'(x); uneori se ai scrie, prin
folosesc nota țiile echivalente y'= ()d df dy
entului. fdx dx dx== , indicându-se în raport
cu ce argument se face d erivarea și reamintind că derivata într-un pun ct este lim ita ra portulu i a două
creșteri – a f uncției și a argum
Exemple
1) Fie f : R → R, f(x) = x; în aces t caz, f este derivabil ă în orice punct din R deoarece lim ita
hxf hxf
h)( ) (lim0 0
00 1−+
→= 1)() (lim0 0
00 1=−+
→ hx hx
h
există pentru orice x0∈ R. In plus, f'(x) = 1, pentru orice x ∈ R.
1) Pentru func ția f : R→R, f (x) = x3 – x, și pentru 2 ∈ R, există f’(2)
2 26 )2( )(3
−−−=−−
xx x
xf xf și calculăm =−−+−= =−−
→ →6 3 4lim2( )(lim3
2 2 xx x x
xf xf
x x −−−
→ 2 26lim2)3
2xx x
x
.11)3 2 )(2(lim)2(3)2 )(2(lim)2(3)4 (lim2 2
2=++−=−++−=−+−=
→x x x x x xx x xx
x 2 2 22 2 − − −→ → x x xx x
Tabelul în Matlab pentru rapor tul de mai sus este:
>> x=[1.9:.021:2.1];y=(x.^3 -x-6)./(x-2);[x' y']
ans =
1.9000 10.4100
1.9210 10.5322
1.9420 10.6554
77 1.9630 10.7794
1.9840 10.9043
2.0050 11.0300
2.0260 11.1567
2.0470 11.2842
2.0680 11.4126
2.0890 11.5419
deci f este derivabilă în 2.
In Matlab de rivatele se c alculează în Sym bolic M ath folosind instru cțiunea diff
syms x
f=x^3-x; diff(f,x,2)
ans
11
Inain te de a da și alte ex emple, stabilim două rezulta te teo retice im portante.
TEOR EMA 13. Orice func ție derivabil ă într- un punct este continu ă în acel punct.
Demonstrația este im ediată: Presupunem că f : E → R este derivabil ă în punctul x0 ∈ E, deci
limita din defini ție există și este finită. Din relația f (x) – f(x0) = ) (0
0xxxx− )( )(0xf xf−−
rezultălim
xx→(f (x) – f(x0)) = f'(x 0) ()0 lim xx
xx
0 0−⋅
→ , deci lim
xx→f (x) = f(x0), adică f este co ntinuă în x0.
0
Reciproca teorem ei 1 este în gen eral falsă, așa cum o dovede ște exem plul func ției-m odul în
origin e.
* In studiul existen ței lim itei unei f uncții într-un punct un criteriu util 1-a constituit egalitatea
limitelor laterale. A daptăm acest criteriu la s tudiul d erivabilității unei func ții într-un punct, ținând
cont că existența derivatei îns eamnă în fond existen ța une i anumite lim ite.
DEFINIȚIA 8. Fie E⊂ R și x0 ∈ E un punct de acumulare pentru E ∩ (- ∞, x0)- Dacă limita
00
0)( )(lim)('
00 xxxf xfxf
xxxxs−−=
<→
există (în R), atunci aceast ă limită se numește derivata la stânga a funcției f în punctul x 0. Dacă,
în plus, aceast ă limită există și este finit ă, atunci se spune c ă f este derivabil ă la stân ga în punctul
x0.
In mod si milar se definesc derivata la dreapta și noțiunea d e funcție derivabil ă la dreapta în x0.
TEOREM A 14. Dacă : E → R este derivabil ă în punctul x 0 ∈ E, atunci f este derivabil ă la f
stânga și la dreapta în x0 și f’s(x0) = f’d(x0) = f’(x0). Reciproc, dac ă f este derivab ilă la stânga și la
dreapta în x0 și dacă f’s(x0) = f’d(x0), atunci f este derivabil ă în x0 și f’(x0) = f’s(x0).
Dacă E= [a, b], faptul ca f este derivabil ă în a (respec tiv b) revine la aceea c ă f este derivabil ă la
dreapta în p unctul a (respectiv la s tânga în b).
Exemplu
1) Pentru func ția-modul f : R →R, f (x) = ⎪ x |, avem f’s (0) = -1 și f'd (0)= l, reg ăsim faptul că f nu
este derivabil ă în punctul s= 0.
2. 3. 7. 2. Inte rpretarea geometric ă a derivatei
Dacă f: (a, b) → R este abilă într-un punct x o funcție deriv 0 ∈ (a, b), atunci co nform
formulelor anterioare graficul lui f are tangent ă în punctul (X0,f(x 0)), anum e dreapta de ecua ție y –
f(x0) = m(x – x 0), unde m = f ’(x0).
Așadar f'(x0) este coeficientul unghiular al tangentei la graficul lui f, în punctul (x0, f(x 0)). Dacă
f’(x0) = – ∞ sau -∞, atun ci tang enta în (x0, f(x 0)) este paralel ă cu axa Oy. F ără nici o dificultate, s e
poate vorbi de sem itangentă la dreapta sau la stânga în tr-un punct la un grafic, în leg ătură cu
derivatele laterale re sptive în acel punct. G etric, pentru o func ție derivabil ă într-un punct, ec eom
direcțiile sem itangentelor la dreapta și stingă la grafic în acel punct coincid.
Dac – ∞ (sau invers ), atunci ă într-un punct x0, f este continu ă și avem f’d(x0) = -∞ și f’s(x0) =
punctul x0 se num ește punct de întoarcere al graficului lui f.
Dacă o funcție f : E → R (E ⊂ B) este continu ă într-un punct x0 ∈ E, dacă exis tă ambele derivate
late ă x0 rale, cel pu țin una dintre ele fiind finit ă, dar func ția nu este derivabil ă în x0, atunci se spune c
este nghiular cele două semitangente, la stânga și punct unghiular al graf iculu i lui f . Intr-un punct u
la dreapta, f ormează un unghi α ∈ (0, π).
Exemple
1) Desenăm ecuația tangen tei la graf icul (G) al f uncției f (x) = x2 în punctul x0= 1.
>> x=[0:.5:5];y=x.^2;y1=2*x-1;plot(x,y,x,y1,1,1,'*')
78
79
2. 3. 7. 3. Derivate de ordin superior
Fie f : E → R o func ție derivabil ă pe mulțimea E ⊂ R. In acest caz este definit ă derivata f: E → R,
x →f’(x) a funcției f. Funcția f se nu mește derivabilă de două ori într-un punct x ∈ E dacă f’ este 0
derivabilă într-o ve cinătate a lu i x0 și f este derivabil ă în x0; în acest caz, derivata lu i f în
punctul x0 se num ește derivata a doua (sau de ordinul doi) a lui f în x0 și se noteaz ă f” (x ). Dacă f 0
este derivabilă pe E, atunci der ivata lui f’ se nu mește derivata a doua a lui f și se noteaz ă cu f”. In
mod sim ilar se definesc f’’’ = (f ”)', f(4) = (f'" )' și, prin induc ție, se define ște derivata de ordin n, f(n)
=
(f(n-1))', n ≥ 2. Uneori se m ai scrie nn
dxfd în loc de f(n) (x). Prin conven ție se definește derivata de
ordin zero) f(0 = f și derivata de ordin l, f(1)= f. Dacă pentru orice n ∈ N, funcția f este de n ori
derivabilă, atunci se spune c ă f este indefinit derivabil ă.
802. 3. 7. 4. Regula lui l'Hospital
In capitolul limite de func ții am dat defini ția, proprietăț ile de baz ă ale limitelor func ții și câteva
procedee de calcul efectiv al unor limite de funcț ii. Aceste procedee necesit ă o anum ită îndemînare
și mult exerci țiu pentru a fi stă pânite. Folosind derivatele se poate stabili o metod ă generală care
acoperă multe din situa țiile întâlnite și face cal culul limitelor mai simplu.
a) începem cu examinarea cazului 00, mai precis al limitelor de forma ) () (lim
0x gx f
x x→, unde
0 ) ( lim
0=
→x f
x x, 0 ) ( lim
0=
→x g
x x, X0 ∈ R. Am indicat câteva situa ții simple în care, prelucrând
convenabil raportul ) (lim
0x gx x→ și aplicând teoreme asupra limitelor, putem calcula limita acestuia. ) (x f
Dăm ac um
TEOREMA 19 (regula lui l'Hospital, 1661 -1704). Fixăm două funcții reale f, g definite pe un
interva l [a, b] și un punct x 0 ∈ [a, b]. Presupunem satisf ăcute următoarele condi ții:
1. f și g sunt derivabile pe [a, b]\{x 0} și continue în x 0;
2. f(x 0)=0 și g(x 0)=0;
3. g'(x) nu se anuleaz ă într-o vecin ătate V a lui X0;
4. există limita
0lim
x x→λ=) ( ') ( '
x gx f.
în aceste condi ții, există ) () (lim
0x gx f
x x→=λ
Demonstraț ie. Aplicând teorema lui Cauchy rezultă că pentru orice x ∈[a,b]∩V,
) ( ') ( '
) ( ) () ( ) (
) () (0
c gc f
x g x gx f x f
x gx f=−= , cu c = c x situat între x0 și x.
0−
Dacă x → x0, atunci cx → x0 și, folosind ipoteza 4, rezult ă că λ→) () (
x gx fpentru x → x0.
Trebuie observat c ă nu este nevoie ca f și g să fie derivabile și în punctul x 0; subliniem, de
asem enea, includerea cazului când λ = -∞ sau λ=∞.
Exemple
811. Calculăm xx x
x+−
→1 coslim
0. Luăm f(x)=cosx -1+x și g(x)=x și
111 sinlim)(')('lim
0 0=+=
→ →x
xgxf
x x deci, conf orm regulii lu i l' Hospita l, 1=. )()(lim
0→ xgxf
x
Ilustrarea grafic ă a acestui fapt este dat ă mai jos:
>> x=[-5:.01:5];y=(cos( x)-1+x). /x;plot(x,y )
Verificarea cu ajutorul Symbolic math :
>> sym s x
>> lim it((co x(x)-1+x )/x,x,0)
ans =
1
Limita de mai sus se poate calcula cl asic folosind for mulele trigonom etrice.
.11 lim lim lim20 0 0=+⋅ =+ = =
→ → →xx x x x xx x x 2sin2sin2 12sin211 coslim2 2 2
0− −+−−+−
→x
xxxx
x x
x
2
Preferăm calculu l cu re gula lu i l’H l sau cu Matl ab deoarece form ulele trigo nometrice ridic ă ospita
problem e mari elevilor mei mai ales ținând cont de faptul c ă la SA M se tra tează mai superf icial
partea de trigonom etrie.
822) în ca tul x0„ avem
0lim
xx→ f’(x) = f '(x0),
0lim
xx→g'(x) = g'(x 0) și zul când f’și g' sunt continue în punc
dacă g'(x 0)≠0, atunci
0lim
xx→ )(')('
)(')('
00
xgxf
xgxf= . Dacă însă f'(x0) = g'(x0) = 0, atunci ne g ăsim într-o
situație analoag ă celei inițiale, uneori m ai favorabil ă. Dacă f și g au derivate de ordin superior și
deriva tele lu i g îndeplinesc condi țiile teorem ei, atunci s e poate aplica r epetat r egula lui l' Hospital
câturilo r 'g, 'f
''g,… . Iată un exem plu: fie f, g : R → R, f(x) = sin x – x,g(x) =x''f3,
.1 coslimsinlim1 cos sin−=6 6 6 3lim)()(lim
0 02030 0lim−=−=− x x x =−=
→ → → → → x x xxx
xgxf
x x x x x
>> x=[-5:.1:5];y=(sin(x)-x)./x.^3;plot(x,y)
Problem a prezentat ă este o problem ă clasică ce po ate fi rezo lvată de un elev doar aplicând regula lui
L’Hospita l.
O situație des în tâlnită este u rmătoarea. Se cere )()(lim
0xgxf
xx→, știind c ă
)( lim0)(
0xg xf
xx→== , fără ca funcțiile f și g să fie am bele definite în punctul x0. lim
0xx→
Are loc analogul teoremei anteri oare (pentru lim ite la stânga) și anum e
83
TEOREM A 19'. R. Presupunem satisf ăcute următoarele cond iții: Fie f, g :[a, x 0] →
1°. f și g derivabile pe (a, x 0);
2°. lim
0xg xf
xx xx → →== )( lim0)(
0
3°. g(x) V a lui x 0, (∀ x ∈V ∩ (a, x 0)); și g'(x) nu se anuleaz ă într-o vecinătate
4°. Există λ=
→ )(')('lim
0xgxf
xx (în R).
In aceste co ndiții, )()(lim
0xgxf
xx→ există și este ega lă cu λ.
Dem ă x ∈ onstrația este im ediată, de îndat ă ce rem arcăm că funcțiile f1: [a, x 0] → R, f1 = f(x ), dac
[a, x 0 0] (ele ), f1(x0) =0; g 1: [a, x 0] → R, g 1 = g(x ), dacă x ∈ [a, x 0), g 1(x0) =0, sunt continue pe [a, x
sunt prelungirile prin continuitate în punctul x = x0 ale lui f , respec tiv g) și că se verific ă condițiile
teorem ei 19.
Desigur are loc și o teor emă similară, pentru lim ite la dre apta.
b) Regula lui l’Hospital ne perm ite să tratăm și alte cazu ri exceptate, de pild ă ∞∞. Dacă f(x)→∞,
g(x)→∞, atunci putem scrie
)(1)(1
)()(
xgxf
xgxf= reducându-ne la cazul 00, studiat anterior.
c) Este inte x0 resant că regula lui l'Hospita l se ap lică nu num ai pentru x0 finit, da r și în cazul cînd
este „ arunca t la inf init". A re loc a tunci:
TEOREM A 19". Fie f și g funcții reale definite pe un interval [a, ∞), a>0. Presupunem c ă:
1 . f și g su nt derivabile pe [a, ∞);
2 .
x→lim lxg xf
x= =
∞→ ∞)( lim)( , unde l= 0, ∞ sau -∞;
3. g'(x)≠ 0 pentru orice x suficient de mare (x ≥ A, A≥ a);
4 . există λ=)('limxfîn
∞→ )('xgxR.
Atunci exis tă limita )()(limxgxf
x∞→, egală cu λ.
(Un enunț similar are loc pentru x →-∞ )
84 Demonst rație. Presupu nem l = 0. Facem schim barea de variab ilă x =uInt1. ervalu l [a, ∞∞) se
transformă în (0, )a1. Notăm φ(u) = f(u1), ψ(u)= g(u1); deoarece l = 0, avem
.0)( lim)( lim
00
00= =
>→
>→u u
uu
uuψ ϕ Putem aplica func țiilor φ, ψ teorem a anterioar ă și rezu ltă:
)(limxgx∞→=)(xf=⎟
⎠⎜
⎝⋅−
= = =⎟
⎠ ufu u u u')(' )(2ϕ ϕ
⎟
⎠⎞⎜
⎝⋅−⎞⎛
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⎞⎜
⎝⎛
>→
>→
>→
>→
uguu u
ugf
uu
uu
uu
uu 1'11 1
lim)('lim)(lim11
lim
200
00
00
00 ψ ψ ⎛λ=)('xf
∞→ )('limxgx.
Cazul l=∞ sau l=- ∞ rezultă din b) etc.
Trebuie rem arcat că în d emonstrație am utilizat esențial faptul c ă în teo rema lui C auchy nu cerem
derivab ilitatea în cap etele intervalu lui consid erat, ci num ai continuitatea.
Exemple
1) 5315lim24 5
22
33
= =+−
∞→ ∞lim
→ xx
xx
x
x
Tabelul în Matlab este:
>> x=[10:1:20];y=(5*x.^3-4)./(x.^3+2);[x' y']
ans =
10.0000 4.9860
11.0000 4.9895
12.0000 4.9919
13.0000 4.9936
14.0000 4.9949
15.0000 4.9959
16.0000 4.9966
17.0000 4.9972
18.0000 4.9976
19.0000 4.9980
20.0000 4.9983
Cu ajutorul Symbolic math facem verificarea:
> limit((5* x^3-4)/(x^3 +2),x,inf) >> sym s x
>
85ns = a
5
Graficul este dat de:
>> x=[10:1:20];y=(5*x.^3-4 )./(x.^3+2);plot(x,y)
Limita de m ai sus se po ate rezolva și prin im punerea unui factor com un forțat
.521lim2lim
33=
⎟⎞⎜⎛+=+∞→ ∞→
xxx x 454 533
3 ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−− xxx
3⎠⎝ x
2) N u ării corec te a regulii lu i l'Hospital ne conduce la situa ții mai întotdeauna posibilitatea aplic
favorabile. D plu, calcu lul lim itei e exem
1lim
2+∞→xx
x conduce la o „bucl ă infinită":
…
1lim1lim
11lim lim
22
2=
+=+=
+=
∞→ ∞→xx
xx
xxx
x x
12+∞→ ∞→xx x
Cu m etode elem entare, se ob ține direc
86l =
2
22 21|| 1 1 1 xx xlim lim lim 1
11xx xxx x
xx x→∞ →∞ →∞= ==
⎝⎠
⎛⎞++ +⎜⎟
Trebuie ținut cont la scoaterea de sub radical c ă num e ă fie n eapărat pozitive. rele trebuie s
De aceea es te necesar a elevilor ă scrierea cu modul după scoaterea de sub radical și atenționare
asupra acestui aspect.
Tabelul în m atlab este in dicat m ai jos:
>> x=[5:5:50];y=x./sqrt(x.^2+1);[x' y']
ans =
5.0000 0.9806
10.0000 0.9950
15.0000 0.9978
20.0000 0.9988
25.0000 0.9992
30.0000 0.9994
35.0000 0.9996
40.0000 0.9997
45.0000 0.9998
50.0000 0.9998
>> x=[5:.5:50];y=x./sqrt(x.^2+1); plot(x,y)
87
In calculul limitelor de func ții se recomand ă combinarea metodelo r elementa re cu regula lu i
l'Hosp ital.
Cazurile co nsiderate an terior acoper ă multe din situ ațiile care po t fi întâ lnite. R eținem că în
condi itei câtulu i țiile te orem elor de m ai sus, existen ța lim itei câtulu i derivatelo r asig ură existența lim
inițial, lim itele r espective fiind egale .
Pînă acum am considerat num ai cazurile exceptate 00 și ∞∞. In cazurile exceptate 0 • ∞, ∞-∞,
0°, ∞°, l∞, nu exist ă reguli de tip l’H ospital c are să fie direct aplicate și sunt n ecesare unele
prelucrări ale func ției de sub lim ită.
De exem plu, dacă f • g corespunde cazului 0 • ∞, atunci scriind f• g=
gf
1 se obține cazul 00.
Exemplu
Calculăm l= .01 xlim lim lim ===−
∞→x
xxe
∞→ ∞→xxxx e e
Trebuie rem arcat că regula lui l'Hospita l se poate f olosi și pentru calculul unor lim ite de șiruri, dar
nu direct. Dac ă avem un șir (f(n ))n>0 calcu lăm λ=
∞→)( lim xf
xși avem λ=
∞→)( lim nf
n.
Exemple
881. Pentru a calcula nn
nlnlim
∞→ luăm ma i întăi funcția f(x)=xxln și calcu lăm )(m xf
∞. Astfel li
x→
avem )( lim xf =().01lim'lnlimlnlim == =
x∞→ '∞→ ∞→ ∞→ x xx
xx Atunci , conf orm crite riulu i lui H eine,
x x x
luâbd nxn=, avem :nnnlnlim
∞→=0.
2. O altă limită dificil de calculat la capitolul șiruri este nn
n2lim
∞→. Ca și în exem plul anterior
luăm ma i întăi funcția f(x)=x2 și calcu lăm )( lim xf
x∞→. Ave m x
)( lim xf
x∞→=().12ln2lim''2lim2lim ∞= = =
∞→ ∞→ ∞→x
xx
xx
x x x
Atunci conform criteriu lui lui H eine, luând nxn=,nn
n2lim
∞→=∞.
2. 3. 7. 5. Asim ptotele func țiilor reale
Vom da acum o primă aplicație geometrică sem nificativă legată de lim itele de func ții. In lim ba
greacă „asumptôtos" înseamnă „care nu coincid". Problem a asim ptotelor, adic ă a drep telor care „s e
apropie oricât de m ult" de graficele unor func ții, are sens pentru func ții având ram uri spre infinit
(adică funcții al căror grafic nu este c onținut într-un dreptunghi).
Fixăm un sistem ortogonal de axe:xOy relativ la care rapor tăm graficele func țiilor considera te, ca și
sensul adjectivelor „orizont al", „oblic", „vertical".
Asimptote orizontale, asimptote oblice
Considerăm o funcție f : D→R unde D este un interval de for ma (a, ∞), a ∈R. Graficul lui f are
ecuația y = f (x) și evident ar e ramuri sp re inf init. Fie l ∈ R fi xat și consider ăm dreapta y = l
(paralelă cu Ox); pentru orice x∈ D, notăm cu M (respectiv cu N) punctul de abscis ă x situat pe
dreaptă (respectiv pe graficul func ției f).
Se spune c ă dreapta y= l este asimptota orizontal ă spre +∞ a lui f dacă limita lungi mii segm entului
MN când x tinde către ∞ există și este egal ă cu zero, adic ă
0 )( lim =−
∞→lxf
x
Aceasta este echivalent ă cu faptul c ă limita )( lim xf
x∞→ există și este ega lă cu l.
O discuție sim ilară are lo c pentru – ∞ .
89Consider ă x ăm acum o dreaptă de ecuație y = mx +n , m≠0 și fie M (resp ectiv N) punctul de abscis
∈ D n este situat pe dreapt ă (respectiv pe graficul func ției f). S e spune că dreapta y = mx +
asimptota oblica spre +∞ a lui f dacă limita lu ngim ii segm entulu i MN există și este egală cu zero
pentru x→∞, adică
0 )( lim =−−
∞→n mxxf
x
Aceasta revine mxxf
xnmxxf
xnmxxfx
x x x= ⇔=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−− ⇔=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−−
∞→ ∞→ ∞→)(lim 0)(lim 0)(lim
Din 0 )( lim =−−
∞→n mxxf rezultă () . )( lim n mxxf
x x=−
∞→
Rezumăm discuția anterioar ă în următoare a
TEOREM A 20.a) Dacă limita )( lim xf
x∞→ există și este finită, cu valoarea l, atunci dreapta y = l
este as imptota orizonta lă spre +∞ a funcției f (și reciproc).
b) Dacă există și sunt finite limite le
mxxf=)(lim ,
x∞→()n mxxf
x=−
∞→)( lim , iar m ≠0
atunci dreapta
y = mx + n
este as imptota oblică spre + ∞ a funcției f (și reciproc).
O funcție f nu poate admite atât asimptot ă orizontal ă cât și asimptot ă spre + ∞ (în caz contrar ă oblic
ar exis ta constante reale m, n, l cu m ≠0 ‚astfel în cât (),0 lim =−+
∞→ln mx
x ceea ce este absu rd).
Se trateaz ă în mod sim ilar cazu l asimptotelor o blice spre – ∞. Rem arcăm că pentru o func ție fixată
pot avea loc diverse situa ții: să existe asim ptote orizontale atât spre – ∞ cît și spre + ∞ (distincte sau
nu), să existe asim ptotă orizontal ă spre + ∞ și oblică spre – ∞ etc. Asimptotele unei func ții sunt
numite uneori asim ptote la graficul func ției.
Exemple
901. Funcția :fR→R 21(1fx)x=+apta are asimptot ă orizo ntală sp – ∞ și spre + ume dre re ∞, an
y = 0 (
Cu Symbolic math
>> sym
>> lim it(1/( x )
ans
0 axa Ox)
s x .
obținem :
^2+1),x,inf
=
x=-10:.1:0;x1=0:.1:10;plot(x,1./(x.^2+1),' k',x1,1./ (x1.^2+1),'k',x,0,'*',x1,0, '*')
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 1000.10.20.30.40.50.60.70.891
0.Oy
Oxgraficul functiei f(x)=1/(x2+1) si asimpta orizontala y=0
ot
2. :fR→R
2()
1xfx
x=
+ are asim ptotă orizontal ă spre – ∞ dreapta 1 y=− și spre + ∞, dreapta
1y=. Calculul asim ptotelor este:
=
∞→)( lim xf
x.1
11lim
11lim
1lim
222=
⎞⎜
⎝⎛+=
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+=
+∞→ ∞→ ∞→
xx
xxxx x x x x
2⎟
⎠x
=
−∞→)( lim xf
x.1
11lim lim lim lim
22−=
⎟
⎠⎞+=
⎟
⎠⎞=
−∞→ −∞→ −∞→ −∞→
xx x x
x x x x
11111
2 22⎜
⎝⎛−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+ ⎜
⎝⎛++x
xx
xxx=x
912lim
1xx
x→∞+
>> sym s x
>> lim it(x/s qrt(x^2 +1),x,inf)
ans =
1
21xlimx
x→−∞+
>> lim it(x/s qrt(x^2 +1),x ,-inf)
ans =
-1
>>x=[-6:.01:0];x1=[0:.01:6];y=x./sq lot(x,y,x1,y1,x,-1,'. ',x1,1, '.') rt(x.^2+1);y1=x1./sqrt(x1.^2+1);p
3. f:R→R, 3
2()1xfxx=+.Calculăm
=
−∞→)( lim xf
x()
()−∞=
−∞→ x2. Analog se arat ă =
∞→)( lim xf
x=+=+−∞→ −∞→x
xx
xx
x x x3lim'1'lim1lim2
23
23
∞. Deci
ă nu are asim ptote orizontale. C ăutăm asimptote oblice funcția noastr
m= =
−∞→ xx)(limf
x()
()()
().16lim'3lim3lim'lim lim22
22
33
== = =
−∞→ −∞→ −∞→ −∞→x x x x 6 '1 3 1 3 '33
+ + +=+−∞→ x x x x x x xx
x x x x x
n=()=−
−∞→mxxf
x)( lim .0
1lim
12 23
=
+−=⎟⎟
⎠⎞ ⎛−
+−∞→xxx
xx
x
este asim ptotă oblică spre -∞. Analog se de monstrează că y=x este și asim ptotă oblică
∞.
>> x=[-6:.0 1:6];y=x.^3./(x.^ 2+1);plot(x,y,x,x,'.')
lim⎜⎜
⎝−∞→x
Deci y=x
spre
Verificarea cu ajuto Symbolic math :
+1)
>> lim it(f,x,inf)
ans =
f= x3
>> lim it(f,x,-inf ) rul
>> sym s x
x^3/(x^2+1)
3 2>> f=
f= x /(x
∞
>> f= x^3/(x ^2+1)
/(x2+1)
92
ans =
-∞
>> f= x^3/(x ^2+1)
93f= x3/(x2+1)
limit(f/x,x,inf)
= x3/(x2+1)
limit(f-x,x,inf)
ns =
f= x
>> lim
ans =
1
f= x
>> lim
ans =
0
Asimptote verticale
Dac
limita la s tânga
xx
αα
<→există și este egală cu + ∞ sau – ∞,
>>
ans =
1
>> f= x^3/(x ^2+1)
f
>>
a
0
>> f= x^3/(x ^2+1)
3/(x2+1)
it(f/x,x,-inf )
>> f= x^3/(x ^2+1)
3/(x2+1)
it(f-x,x,-inf )
ă f : D → R (D ⊂ R) est e o funcție reală, α ∈ R este un punct de acum u și dacă
)( lim xflare pentru D
94 Similar, dacă lim
∞ sau – ∞,
se s
Dreapta a se num ește asimptotă verticală a lui f dacă ea este as imptotă verticală la stânga sau la
dreapta a lu
Exemple
1) Pentru f uncția f:R\{0}→R, atunci se spune c ă dreapta x = α este asimptotă verticală la stânga a lui f .
ita la d reapta
)( lim xf
xx
αα
>→există și este egală cu +
pune atunci că x = α este asimptotă verticală la dreapta a lui f.
x =
i f sau de am bele părți.
11
2)(+=xxf , verificăm dacă dreapta x = 0 este as imptotă verticală.
Avem 0 2 2lim11
00==∞−+
<→x
x și
x. 2 2lim11
00∞==∞+
>→x
xx Deci avem asimptotă verticală la dre apta în 0.
>> x=[-5:.2:5];y=2.^(1./x+1);x1=0; y1=[0:1:70];plot(x,y,x1,y1,'*')
ouă exem ple de func ții ce au asim ptote verticale și asimptote la ±∞
f:R\{1}→R,
Prezentăm acum d
1()1xfxx+=−
(x+1)./(x-1);y1=[-20:.1:20];plo t(x,y,x,1,'. ',1,y1, '.') 2)
>> x=[-10:.1:10];y=
95
rul Symbolic math :
s x
f= (x+1)/(x -1)
it(f,x,-inf )
1
Clasic s e poate ca lcula c u regula lui l’H ospita l
=
−∞→)( lim xf
xVerificarea cu ajuto
>> sym
>> f= (x+1)/(x-1)
>> lim it(f,x,inf)
ans =
1
>> lim
ans =
()
()1'1'1lim11lim =−+=−+
−∞→ −∞→ xx
xx
x x
actorului com un forțat sau cu ajutorul f
=
−∞→)( lim xf
x111lim1lim =
⎟⎞⎜⎛−=−−∞→ −∞→
xxx x. Analog calcu lăm și la ∞, deci y=1 este asim ptotă 111⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛++ xxx
⎠⎝ x
orizontală.
Limitele laterale în 1 sunt: −∞=−+=1lim)( limxxf și
96<→ 111
11 xxx
<→
xx∞=−+
>→
>→ 11
11
11 xxx
xx, deci y=1 este
asim ptotă verticală.
=lim)( limxxf
3
3). f:R\{-1,1}→R, 2()1xfxx=−
>> x=[-10:.1:10];y=(x.^3)./(x.^2-1);y1=[-20:.1:20];plot(x,y,x ,x,'.',-1,y1, '.',1,y1,'. ')
Verificarea cu ajuto rul Symbolic math :
s x
>> f= x^3/(x ^2-1)
3/(x2-1)
it(f,x,inf) >> sym
f= x
>> lim
ans =
∞
-∞ >> f= x^3/(x ^2-1)
f= x3/(x2-1)
>> lim it(f,x,-inf )
ans =
97ans =
ans =
ans =
^2-1)
culăm acum clasic
=
−∞)(xf
>> f= x^3/(x ^2-1)
f= x3/(x2-1)
>> lim it(f/x,x,inf)
1
>> f= x^3/(x ^2-1)
f= x3/(x2-1)
>> lim it(f-x,x,inf)
0
>> f= x^3/(x ^2-1)
f= x3/(x2-1)
>> lim it(f/x,x,-inf )
1
>> f= x^3/(x
f= x3/(x2-1)
>> lim it(f-x,x,-inf )
ans =
0
Cal
()
()−∞= =−=−−∞→ −∞→ −∞→ xx
xx
xx
x x x 23lim'1'lim1lim2
23
23
. Analog se arat ă =
∞→)( lim xf
x∞. In
ăutăm asim ptote oblice →lim
x
concluzie func ția no astră nu are asimptote orizontale. C
m= =
−∞→ xx)f
x(lim()
()()
().166lim'1 3'3lim1 33lim''
22
22
3==+=+=+=+−∞→ −∞→ −∞→ −∞→ −∞→ xx
xx
xx
xx
x xx
x x x x x
xlim lim33 3
x
n=() =−mxxf)( lim
−∞→.0
1lim2 2=
+−=⎟⎟
⎠⎞
⎝+−∞→ −∞→ xxx
xx x
eci y=x este asim ptotă oblică spre -∞. A
spre ∞.
1lim3
⎜⎜⎛−x
D nalog se demonstrează că y=x este și asim ptotă oblică
98
odern, tema de
a baz at pe
derat
3.1. Form ularea obiectivelor cercet ării și a ipotezelor de lucru
3.2. Metodologi a verificării ipot ezelor
3.1. Form ularea obiectivelor cercet ării și a ipotezelor de lucru
Raportându-se la obiectivele actuale și de perspectiv ă ale sis temului educativ m
cercetare a pornit de la idealul educa țional al școlii rom ânești con temporane și s-
următoarele considera ții și ipoteze :
Deziderat al procesulu i de instruire Modul de realiz are a acestui dez i
Cel m ai bun proces de instruire este:
efectiv, eficient, com petent, și interesant. Există principii a le instruirii car e se
indiferent de vârst ă și pentru toate
domeniile (indif erent de conținutul m
predate la cu rs). aplică
ateriei
Activitatea elevilor ar trebu i evalu ată în
funcție de m odul în care îndeplinesc
ivele de învățare și nu prin
rezultatele obținute de al ți Evaluarea trebuie s ă includă atât ev
instru irii cât și nivelul de perform anță al
elevului în cunoa șterea subiectulu i.
rezultatele evalu ării treb uiesc utilizate apo i
la revizuirea materialelor și procesului de
instru ire. obiect
comparație cu
elevi. aluarea
Ar trebui să existe o coincid ență între :
biective, activitățile de înv ățare și
ltatelor. Elevii treb uie să poată învăța utilizând
diferite tip uri de materiale didactice
realizate pe diferite suporturi m ediatice. o
evaluarea rezu
Obiectiv ele învățării coordoneaz ă întregul
truire. Profesorul "real" nu este necesar
întotd eauna. proces de ins
Obiectivele de lucru ale tem ei au izv orât din: Capitolul 3:
IPOTEZE DE LUCRU.
OBIECTIVELE CERCET ĂRII.
METODOLOGIA VERIFIC ĂRII
IPOTEZELOR
99
Instruir ea facilitează achiziția de către elev a cunoștințelor și dep rinder ilor
truirea necesită minimum de timp necesar în deplinirii ob iectivelo r învățării de
lev.
ie să participe activ, in teracționând m ental și fizic cu m aterialu l care trebuie
RCETARE:
alculul lim itelor de fun cții, prin IAC, cu ajutorul pachetului de programe MATLAB.
tiv ge neral
Înțelegerea faptului c ă sistem ele de calcu l dau posibilitatea ca, în aceea și situație de învățare
grupat pe un sin gur m ijloc (calcu latorul) un set de m edii va riate – sunete, vo ci,
rafice, im agini video anim ate, desene, grafice, m esaje etc. asociate în aplica ții,
ățării, în m od intera ctiv.
n acest mod, dialogul, interactivitatea elev-calculator dev ine elem entul, câștigul cel m ai
important, încât cre ște puterea lor de individualizare, de m uncă independent ă de m anifestare real ă a
tor al profesorului, de promovare a înv ățării prin cercetare. Elevii pot s tudia
mațiile com plexe în m od direct, indepen dent, s topând,
secvențe.
isiunea investigațiilor psio-pedago gice este de a devans a mom entul istoric prin form ularea
problem elor care s-au conturat la orizontul social , de a construi ipoteze plauzibile, de a verifica
exp ăti soluții potr ivite s i anticipa te. Totul este dicta t de inf ormatizare a
înv
are a
Sprijin irea înv
ientarea învățării sp re for marea de capacit ăți inte lectu ale și acționale
Efectiv itate:
practice p rescrise.
Eficiență: Ins
către e
Elevii trebu
asim ilat și învățat.
TEMA DE CE
C
Obiec
să fie utiliza t sau re
texte, im agini f otog
după obiec tivele înv
Î
rolului de îndrum ă
fenomenele, situ ațiile, procesele, infor
revenind asupra unor
M
erimental și de a p reg
ățământului și orice soft educa țional con ține în el mom ente psihologice
Obiective s pecifice și pedagogice.
♦ Orientarea înv ățării spr e acțiunile de câ știgare a experien țelor de î nvățare, de afirm
elevilor
♦ ățării în dif erite ritm uri, nive luri
♦ Stim ularea încrede rii ele vilor în înv ățarea cu ajutorul calculatorului
♦ Or
100Obiective indirecte
a)Pentru â
¾ Familiarizarea elev ilor
¾ Form area la elevi a dep me decât
cele clas ice
¾ Ilustrarea unor no țiuni clas ice prin tabele și grafice pentru o m ai bună înțelegere a
ac
b) Pentru tema de cercetare :
rgă
¾ Diversificarea s trategiei di dactice p rin form area capacit ății de structurare și adaptare a
ticii educaționale la conținuturile propriu -zise, tem a cerce tării
susține u rmătoarele ipoteze de lucru :
act l de
învățare.
3. Dacă s-ar utiliza mai m ult media ar putea f i îmbunătățită
urii
3.2.Metodologi a ve ipotezelor
ordării cercet ării :cercetare longitudinal ă de prelucrare a experien ței
pozitive acu mulate în tim p;
e; procesul de învățămnt :
cu pachetu l MATLA B
rinderii de a apela la informații prezentate sub alte for
estora
¾ Aplicarea m ijloacelo r multimedia în înv ățământ pe o scar ă cât mai la
conținuturilor la no ile m ijloace de în vățământ
Trecerea de la obiectiv ele poli
1. Este posib ilă modificarea m od
2. Este pos ibilă realizarea ului de învățare p rin diversif icarea s trategiei.
ivizării elevilor prin aternarea modurilor
mijloacele m ulti
comunicarea profesor – elev .
4. Este posib ilă revederea con ți
logice, a algoritm ilor de cunoanutului de predat, pentru evidențierea s truct
ștere, a posibilit ăților de diferen țiere.
rificării
Tipul cercet ării
După modul de abordare al tem aticii : cerce
După direcția abtare in terdis ciplinară;
După gradul de organizare : cercet are-acțiun
101după finalitate : cercetare constatativă (de cunoaștere și descriere a unor situa ții anume din
de soluții metodologice) ;
aspecte metodice practice ) și experimental ă (de introduce re a unor m ăsuri
Metodele de cercetare utilizate :
e
i interpretare a materialului documentar, metoda comparativ ă.
melio rativ, de verificare, de dezvoltare).
¾
2. Studierea bibliografiei
r.
4. Sortarea fi șelor după conținuturi.
6. Evaluarea importan ței informa țiilor pentru tema studiată .
¾Programarea din timp a cercet ării.
Anul I : Cercetarea se desf ășoară la clasa a XII a rut ă progresiv ă profil servicii . S-a
urmărit programa școlară pentru disciplina Matematic ă – Clasa a XI-a liceu și proiectat un
activitatea metodic ă, cu propuneri de optimizare ) și de dezvoltare (cu propuneri concrete și
argumentate
După metodologia utilizat ă : cercetare mixtă :neexperimental ă (de constatare, de explicare a
unor
ameliorative) ;
1. Metodele de documentare și stabilirea temei: tehnici de st udiu independent, metod
logice de analiz ă ș
2. Metode constatative: observa ția, analiza produselor activit ății elevilor, analiza
documentelor școlare, testul psihopedagogic, tehnici sociometrice.
3. Metode ameliorative, de interven ție educativ ă și de verificare a ipotezei:
experimentul pedagogic (constatativ, a
4. Metode de interpretare a rezultatelor: metode de interpretare cantitativ ă, măsurare
(metode, tehnici statistice), metode de interpretare calitativ ă, apreciere.
Organizarea cercet ării
Activitățile ce urmează a fi abordate pe parcursul derul ării cercetării:
1. Întocmirea listei bibliografice folosind urm ătoarele resurse de informare: reviste și
cărți de specialitate și de pedagogie, nout ăți legislative si metodologice, Internet,
software, … etc.
3. Întocmirea fi șelo
5. Prelucrarea informa țiilor.
7. Elaborarea con ținuturilor.
102d e-învățare) în care utilizarea MATLAB s ă fie determinat ă de o viziune
p activă a elevului, accesul la un evantai sporit de resurse,
colaborare în rezolvarea sarcinilor de lucru și o interac țiune ce permite reglarea și
perso
D
este med
L
verificare ștințelor. Acelea și lecții au fost apoi prezentate cu ajutorul pachetului
MATLAB și au fost aplicate apoi teste de aceea și dificultate. În urma testelor de evaluare s-a
c u predat lec țiile cu ajutorul calculatorului au avut rezultate cu
mult mai bune decât ceilal ți.
¾ O
Ani ș
Locul: Colegiul Tehnic de Industr ia Alimentara Craiova
Eșantionul de elevi : S-a folosit un eșantion de 22 elevi cu vârs te cuprinse între 18 și 19
Măsuri e
participative și am entru evaluare, o gam ă largă de metode de evaluare. Pe perioada
experimentului a
utilitare din program alte roluri : cel de mediu pedagogic și cel de
resursă mulți sau
An școlar : 2009-2010
Locul: Colegiul Tehnic de Industr ia Alimentara Craiova
Eșantionul: S-au fo între 18 și 19
ni
ntale: Am folosit chestionare pentru elevi și pentru profesori create cu
jutorul consilierul ui psihopedagogic al ș colii, chestionare legate de impactul lec țiilor multimedia
asu emers didactic (predar
edagogică ce solicită o participarea
nalizarea parcursului individual.
in studiul documentelor școlare (cataloagul clasei) se eviden țiază faptul că nivelul clasei
iu.
ecțiile au fost pedate în mod tradi țional, iar la sfâr șitul capitolului au fost aplicate teste de
a cuno
onstatat ca elevii dup ă ce li s-a
rganizarea situa ției experimentale
colari : 2009-2010
Clasa: a XII a profil servicii
Discipline : Matematic ă
ani
xperimentale: În procesul de predare-înv ățare am pus accent pe metodele activ –
folosit, p
m utilizat calculatorul nu numai ca instrument pentru înv ățarea programelor
ă, ci am încercat să -i confer și
hipermedia.
losit un eșantion de 22 elevi cu vârs te cuprinse
a
Măsuri experime
a
pra profesorilor si asupra elevilor.
103
Me
întregim eselor de predare înv ățare. IAC și e-learning, folosite creativ și efectiv, pot
să ofere suport, să mențină și să îmbunătățească procesul de înv ățare a elevilor. Rolul profesorului
într odifică:
de la profesor la cons ultant, la rolul de ghid și furnizor de resurse didactice;
calitatea de
r, încurajând orientarea
portante de
ă o mai mare importan ță stilurilor de înv ățare ale elevilor.
Rol de instruire în re țea se modific ă:
de la receptor pasiv la edificatori ai propriului bagaj de cuno ștințe;
fapte;
brii ai grupurilor la teme colaborative;
pului crește semnificativ;
i instrumente ca și profesioni știi din domeniul studiat;
oceselor de înv ățare;
nd opinii critice;
r de învățare;
re este mărit în mod semnificativ.
Cu certitudinea c ă tehnologiile informa ției și comunic ării – și în special computerul – sunt
instrum nte de utilitate universal ă, este necesar să se dezvolte în acest sens un nou mod de gândire
și c față oricărei noi cerin țe. Fiecare educator va trebui s ă
capete
todele tradiț ionale de predare (comunicarea de tip unu c ătre mai mulț i) nu satisfac în
e calitatea proc
-un mediu de instruire în re țea se m
profesorul devine e xpert în a pune întrebă ri, nu numai a da r ăspunsuri corecte;
profesorul devine proiectant al mediilor experimentale de instruire, dep ășind
furnizor de cuno ștințe;
profesorul ofer ă numai cadrul iniț ial al activit ății elevilo
personalizat ă;
profesorul prezint ă subiectele din perspective multiple, eviden țiind direc țiile im
studiu;
profesorul devine memb ru al grupul de studiu;
se acord
ul elevului într-un mediu
elevii devin rezolvitori de probleme co mplexe, nu doar memorizatori de
elevii văd subiectele din perspective multiple;
își formuleaz ă propriile întreb ări pentru care caut ă răspunsuri adecvate;
lucrează ca mem
interacțiunea în cadrul gru
elevii folosesc acelea ș
elevii devin manageri aut onomi ai pr
discută propriile rezultate avâ
se pune accent pe folosirea cuno ștințelor ș i asimilarea strategiilo
accesul la resursele de instrui
e
omportament care va permite s ă se facă
o formație de bază în domeniul TIC. Aceasta implic ă o serie de obiective cum ar fi: Capitolul 4:
PREZENTAREA Ș I INTERPRETAREA
REZULTATELOR
104• î
pro
• d
efe dividului și colectivit ății;
• form
conceperea unor solu ții adecvate, cu particulariz ări în elaborarea stra tegiilor curriculare;
• dezvo
pre
• cu
de
info
În vederea verific ării ipotezei de lucru, enun țare în capitolul anterior, am analizat
rez nității de învățare „Limite de func ții” la clasa XII a.
diu au cuno ștințe și abilități de a lucra cu calculatorul și tehnologia
modern
e design-ul e-learning vizeaz ă cele trei aspecte ale actului didactic
– predare, în
învăț țiilor de înv ățare, inform ării didactico-știin țifice, înv ățării
colabor
e feră
Înv ățarea eficientă într-un sistem e-learning este posibil ă numai într-un complex de
condiți în prealabil. Trebuie s ă existe o infrastructur ă de comunica ții
corespu licații pentru suport, con ținuturi,
cunoști
Competen ța vizată ca urmare a parcurgerii acestei unităț i de învățare presupune utilizarea
aplicațiilo
aplicarea opera țiilor elementare și a conceptelor de baz ă ale MATLAB
utilizarea formulelor și a funcțiilor
utilizarea unor tehnici ș i procedee de realizare de grafice și diagrame nsușirea principiilor comune care guverneaz ă aplicarea informa ției, cunoa șterea naturii,
prietățile și structurile informa ției;
ezvoltarea unei vederi de ansamblu asupra amplorii și importan ței aplicațiilor informaticii și
ctelor lor sociale și economice asupra in
area capacit ății de a identifica situa țiile în care este indicat ă utilizarea informaticii și
ltarea priceperii de a aplica noile tehnologii în activit ăți ca stocarea ș i căutarea informa ției,
lucrarea ei pentru co municare, supravegherea și controlul ei;
noașterea mijloacelor curente de comunicare cu ech ipamente informatice; stabilirea unor rela ții
cooperare cu colective de profil din alte țări; extragerea informa ției de ultima or ă de pe rețelele
rmaționale mondiale etc.
ultatele ob ținute ca urmare a parcurgerii u
Elevii participan ți la stu
ă și nu am întâmpinat dificult ăți majore în acest domeniu.
Modulele implementate d
vățare, evaluare -, pentru unitatea de înv ățare precizată anterior, înglobând activităț i de
are destinate tuturor situa
ative.
Sarcinile de lucru sunt un real suport pentru consolidarea și exersarea cuno ștințelor legate
d e l u c r u l c u M A T L A B . E x e r s ările, model ările, jocurile, simulă rile, test le propuse o
beneficiarilor experien țe de învățare care se pot dobândi mai al es prin instruirea asistat ă de
calculator.
i care trebuie asigurate
nzătoare, un sistem de reglementă ri în domeniu, ap
nțe și nu în ultimul rând un context social propice.
r software specializate pentru realizarea unei foi de calcul
Competen țe specifice vizate:
105 realizarea u nor aplica ții practice.
Elevii d in clasa selectat ă sunt la p vicii, manifestă interes pentru d isciplină
în cea m ai mare parte, municare și ca su rsă de
formație. Din experien ța anilor t că unita tea de înv ățare în care se
stud
este liber să participe.
rmeni folosi ți
pe pc
rofil resurs și ser e
dar calculatorul îi atrag en mod special pentru co
precedenți, am observa î
in
iază lim itele de f uncții, nu este una deosebit de atractiv ă, apariția și utilizar ea formulelor și
funcțiilor ridicând de c ele mai multe ori d ificultăți.
De aceea, am propus elevilor clasei s ă perceapă dobândirea deprinder ilor de a lucra cu
aplic ația MATLAB ca un proiect la care fiecare
Prezentarea principalelor elem ente ale aplica ției si familiariz area cu anum iți te
arursul tutorialului.
106
e evaluare. Cele aplicate pe parcursul parcurgerii temelor studiate au avut rolul de a
evidenția progresul înregistrat de elev i realizându-se prin verifică ri sistematice ale elevilor asupra
întregii m
Pentru aceast ă cercetare pedagogic ă am folosit metode de evaluare clasice dar și cele
complementare. Pe tot pa rcursul parcur gerii unit ății de învățare “Limite de func ții” am aplicat
elevilor teste d
aterii parcurse. Efectele sale ameliorative asupra activit ății de învățare sunt considerabile,
oferind permanent posibilitatea de raportare la obiectivele pr opuse. Feedback-ul este util și
eficient, ajutând atât elevul cât și profesorul.
4.1. Teste de evaluare aplicate pe parcursul unit ății de învățare“ Limite de funcț ii”.
Formele de evaluare a activit ății didactice sunt foarte vari ate, alegerea lor este determinat ă
nu numai de valoarea acestora cât și de aplicabilitatea lor practic ă la tipul de lec ție și la colectivul
de elevi cu care se lucreaz ă.
Voi prezenta în continuare patru teste de evaluare înso țite de bareme de corectare și notare,
teste aplicate colectivului de elevi avut în vedere.
107
CLAS A a XI I a
TEST DE E VAL UARE 1
1. Calculați:
a) ()7 4 lim2
3+−
→x x
x
b) ⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ +− 2 5 4lim33x x
⎠ ⎝ +−∞→ 3 8 5 x xx
c) 2
231 lim−
∞→⎟⎞⎜⎛
−−+x
xx
3 2⎠ ⎝ x
d) ()3 2
01 lim x
xx+
→ 1
2. Verifica ți dacă următoarele func ții au lim ită în punctele indicate:
a) ⎧
f:R→R,
⎪⎩⎪⎨
−≤ −−> +=
1 ,121 ,3)(
x daca xx daca xxf , a=-1
b) f:R→R,
⎪⎩⎪⎨⎧
= −≠ −−=
0 ,40 ,3 2)(
x dacax dacaxfx
, a=0
c) f:R→R,
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎨⎧
< −=>−
=
4 , 24 ,24 ,32
)(
x dacaxx dacax dacax
xf , a=4
TEST DE EVALUARE NR. 2
1.Verifica ți dacă următoarele func ții sunt continue în punctele indicate:
a) f:R→R,
⎪⎩⎪⎨⎧
≤ +> +=
1 ,2 21 ,3)(
x daca xx daca xxf , a=1
b) f:R→R,
⎪⎩⎪⎨⎧
= +≠
=
0 ,10040 ,2sin )(
x daca xx dacaxtgx
xf , a=0
c) f:R→R,
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎨⎧
−< −−=−>
=+
3 , 23 ,23 ,2
)(3
x dacaxx dacax daca
xfx
, a=-3
1082. D
indicaeterminați necunoscutele astfel încât func țiile următoare să fie continue în punctele
te:
a) f:R→R,
⎪⎩⎪⎨⎧
≤ −>=−
2 ,22 3)(,3
x daca axx dacaxfx
, x 0=2
b) f:R→R,
⎪
⎩⎪
⎨⎧
−= −−≠+−
=
2 ,2 ,2)4 sin(
)(2
x dacaxax dacaxx
xf , x 0=-2
c) f:R→R,
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎨⎧
−> +−−=−>+
=
3 , 13 ,3 ,32
)(
x dacabxx dacaax dacax
xf , x 0=-2
TEST DE EV ALUARE NR. 3
1. Determinați asimptotele func țiilor următoare pe dom eniile m axime de def iniție:
a) xxxf3)(2−=
b) xxf)(= 2
c) xxf)(= x5 2−
d) 9 )(2−=x xf
e) 3 )(−=xexf
f)
4)(
2−=
xxf 2
109
TEST DE EVALUARE NR. 4
Calculați:
1. 4 2lim
2−→ xx 42−x
2. ()3 sin3lim
3−−
→ xx
x
3.
416lim2
4−−
→ xx
x
4. 32lim
∞→xx e3
−−x
5. x
xln lim
→ x
x00
>
6. x2 tgx
x4sinlim
0→
BAREME DE CORECTARE
TEST DE E VAL UARE NR. 1
oficiu 1 p
1. a) 1 p
b) 1 p
c)
d) 1,5 p 1 p
2. a) 1,5 p
b) 1,5 p
c) 1,5 p
Total 10 p
TEST DE EVALUARE NR. 2
oficiu 1 p
1. a) 1,5 p
b) 1,5 p
c) 1,5 p
2. a) 1,5 p
b) 1,5 p
c) 1,5 p
Total 10 p
110
TEST DE E VAL
oficiu 1 p UARE NR. 3
1. a) 1,5 p
b) 1,5 p
c) 1,5 p
d) 1,5 p
e) 1,5 p
f) 1,5 p
Total 10 p
TEST UL DE EVALUARE NR. 4
oficiu 1 p
1. 1,5 p
2. 1,5 p
3. 1,5 p
4. 1,5 p
5. 1,5 p
6. 1,5 p
Total 10 p
TEST DE E VAL UARE 1a
2. Calculați:
a) ()7 4+x lim2
3−
→x
x
>> x=[2:.1:4];y=x.^2-4*x+7;plot(x,y,3,4, '*')
>> sym s x
>> lim it(x^2-4*x+7,x,3)
ans =
4
b)
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
+−+−
∞→ 3 8 52 5 4lim33
x xx x
x
>> x=[10:1: 100];y=(4.*x.^3-5*x+2) ./(5.*x.^3-8*x+3);plot(x,y)
111
112
>> sym s x
>> lim it((4*x^3-5*x+2)/(5*x^3-8*x+3),x,inf)
ans =
0.8
c)
2
23 231 lim−
∞→⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
−−+x
x xx
>> x=[10:1: 100];y=(1+( x-3)./(2.*x.^2-3)).^(x-2);plot(x,y,'k')
>> sym s x
>> lim it((1+(x-3)/(2*x^2-3))^(x-2),x,inf)
ans =
exp(1/2)
d) ()31
2
01 xx+
>> x=[-0.01: .001:0.02];y=(1+(x.^2)).^(1./(x.^3));plot(x,y) lim
x→
>> sym s x
>> lim it((1+(x^2))^(1/(x ^3)),x,0)
ans =
∞
2. Verifica ți dacă următoarele func ții au lim ită în punctele indicate:
OxOy
113
114 a) f:R→R,
⎪⎪⎨⎧
−−> +=
11 ,3)(x daca xxf , a=-1
⎩ ≤ −,12 x daca x
>> x=[-3:.5:-1];y=2.*x-1;x1=-1:.5:2; y1=x1+3;plot(x,y,x1,y1, -1,-3,'*')
b) f:R→R,
⎪⎩⎪⎨⎧
= −≠ −−=
0 ,40 ,3 2)(
x dacax dacaxfx
, a=0
>> x=[-1:.5: 2];y=-2.^x- 3;plot(x,y,0,-4,'*')
115
c) f:R→R,
⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
⎨⎧
< −=>−
=
4 , 24 ,24 ,32
)(
x dacaxx dacax dacax
xf , a=4
>> x=4:.5:7;y=2./(x-3);x1=0:.5:4;y1=abs(x1-2);plot(x,y,x1,y1,4,2, '*')
116
TEST DE EVALUARE NR. 2a
1.Verifica ți dacă ur ii sunt continue în punctele indicate: mătoarele func ț
a) f:R→R,⎪⎨⎧
≤> +=
11 ,3)(
xx daca xxf , a=1
⎪⎩+,2 2 daca x
>> x=[-3:.5: 1];y=2.*x+ 2;x1=1:.5:4;y1=x1+3;plot(x,y,x1,y1, 1,4,'*')
117
b) f:R→R,
⎪⎩⎪⎨⎧
= +≠
=
0 ,10040 ,2sin )(
x daca xx dacaxtgx
xf , a=0
>> x=[-2:.02:2];y=(tan(x))./(sin(2.^x));plot(x,y,0,100, '*')
118 c) f:R→R,
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎨⎧
−< −−=−>
=+
3 , 23 ,23 ,2
)(3
x dacaxx dacax daca
xfx
, a=-3
>> x=-3:.05:0;y=2.^(x+3);x1=-5:.05:-3 ;y1=abs(2-x1);plot(x,y,x1,y1,-3,2, '*')
2. Determ inaț țiile următoare să fie continue în punctele
indica te: i necunoscutele astfel încât func
a) f:R→R, ⎪⎧>=−2 3)(,3x dacaxfx
, x=2
⎪⎩⎨
≤ − 2 ,2 x daca ax0
b) f:R→R,
⎪
⎩⎪
⎨⎧
−= −−≠+−
=
2 ,2 ,2)4 sin(
)(2
x dacaxax dacaxx
xf , x 0=-2
c) f:R→R,
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎨⎧
−> +−−=−>+
=
3 , 13 ,3 ,32
)(
x dacabxx dacaax dacax
xf , x 0=-2
119TEST DE EV ALUARE NR. 3a
1. Determ inați asimptotele func țiilor următoare pe dom eniile m axime de def iniție:
a) xxxf3)(2−=
>> x= [-5:.1:5];y=(x.^ 2-3)./x;y1= [-30: 1:30];plot(x, y,x,x,'*',0,y1, '*')
b) xxf2)(=
>> x= [-0.5:. 01:0. 5];y=2./x;y1= [-1000:1:1000];pl ot(x,y, x,0,'.',0,y1, '.')
120
c) xxfx5 2)(−=
>> x= [-5:.1:12];y=(2.^x- 5)./x;y1= [-200:1:400];pl ot(x,y, x,0,'.',0,y1, '.')
121 d) 9 )(2−=x xf
>> x1=[-12:.02:12];y1=sqrt(x1. ^2-9);x2=[-12:.02:0];y2=-
x2;x3=[0:.02:12];y3=x3;plot(x1,y1,x2,y2,'. ',x3,y3,'. ')
e) 3 )(−=xexf
>> x= [-2:.02:10]; y=2.71.^x-3;plot(x,y,x,0, '.')
122
f)
42)(
2−=
xxf
123TEST DE EVALUARE NR. 4a
Calculați:
1. 42−x
4 2lim
2−→ xx
>> x=[1:.002:3];y=(x.^2-4)./(2*x-4);plot(x,y,2,2, '*')
>> sym s x
>> lim it((x^2-4)/(2*x-4),x,2)
ans =
2
2. ()3 sin3lim
3−−
→ xx
x
>> sym s x
>> lim it((3-x)/sin(x-3),x ,3)
ans =
-1
124>> x=[2:.02: 4];y=(3-x)./sin(x-3);plot(x,y,3,-1, '*')
3.
416lim2
4−−
→xx
x
>> sym s x
>> lim it((x^2-16)/sqrt(x- 4),x,4)
ans =
∞
>> x=[2:.002:6];y=(x.^2- 16)./sqrt(x-4);plot(x,y)
4.
32lim3
−−
∞→xx ex
>> x=[2:.1:16];y=(x.^3-2)./(2.71.^x-3);plot(x,y)
125
126>> sym s x
>> lim it((x^2-2)/(e*x-3), x,inf)
ans =
0
5. xx
xxln lim
00
>→
>> x=0.1:.1:6;y=x.*log(x);plot(x,y)
6. xtgx
x4sinlim
0→ 2
>> sym s x
>> lim it(sin(4*x)/tan(2*x),x,0)
ans =
2
127
128aliza rezultatelor activit ăților d e evaluare
zultatele obținute sunt supuse analizei și inte rpretării de către profeso r. Analiza lo r oferă
profesorului infor mații privind calitatea procesului didac tic exprim at în nivelul de perform anță al
elevilor.
Cele m ai utiliza te metode sunt:
– numărarea ea date lor)
– ordonarea
– prelu crare
me
4.2. An
Re
(înreg istrar
a matematico-sta tistică a datelo r.
Voi prezen ta în continu are reprez entarea grafic a a m ediilor celor p atru probe de eva luare și
dia tuturor probelor.
6.55
T1 T2 T3 T4 MEDIA6.66.656.76.756.86.856.96.9577.057.1
Series1
6.86.977.17.27.37.47.57.6
T1a T2a T3a T4a MEDIASeries1
Analizând aceste diagram e se observa cu u șurință un m axim la nivelul testului patru și un
corespunz ător primului test. Se observ ă o diferen ță vizibilă încă de la p rimul tes t tendința
menținându-se pân ă la ultim ul test la care d iferența este m aximă.
129
minim
ascenden tă
că, la prim ul test dif erența între m edii este de 0, 35 puncte, la al doilea este de 0, 39
pun puncte, la al patrulea test este de 0, 48 puncte, ceea ce a dus la
concluzia c ă prin strategia de predare care s ă corespund ă stilurilor diferite de înv ățare( vizual,
auditiv, practic ) se ob țin rezultate mult m ai bune.
inarea instruir ii necesare acestei unit ăți de învățare a avut loc o evaluare sumativ ă care
onstă în rea lizarea unu i proiec t.
.3.Considerații personale în etapa de evaluare
Notarea treb uie să reflecte cât m ai exact nivelu l cunoștințelor elevulu i, să constituie indice le
unei anum ite valori. Noi, profesorii nu trebuie s ă ne lăsăm influențați în aprecierea elevulu i nici de
notele obținute la ce lelalte obiec te de învățământ, nici de disciplina sau de frecven ța lui, nici de a lte
considerente. S ă fie exclus ă orice u rmă de subiectiv ism. La aprec ierea activității prezente se poate
ține seam a de observa țiile făcute as upra uno r aspecte ale activ ității trecute ale ele vului care nu au
fost notate. Nota are o foarte m are influen ță asupra elev ului. Prim irea unei note constituie un
momenmoționant în viața lui. O not ă justă îl îndeam nă să munceasc ă stăruitor, încr edințându-l de
obiectivitatea cu care îi este apreciat ă munca; o not ă nedreapt ă, fie că este mar e, fie că este m ai
ică decât trebuia, are u n efect n egativ asupra preg ătirii lu i ulterioare. Nu este bine ca în ap recierea
nifeste prea m ultă indulgen ță. A da elevilo r note de în curajare îns eamnă a induce Se constat ă
cte la al treilea test este de 0, 43
La term
c
4
t e
m
elevulu i să se ma
130în ero a n însă nici p rocedeu l de a m anifesta o
exigență excesivă în aprecierea activit ății elevului. Sc ăderea n otei pe care o m erită un elev pentru a-
l intim
ca nota să cons tituie un m ijloc de îm bunătățire a muncii ulterioare a elev ului, es te
a respectivă, adică să i se arate ce a știut și ce nu a știut și să
i se spună ce are d e făcut pentru a ob ține în viitor note m ai mici. Nu trebuie ca noi profesorii s ă
manifestăm o atitud ine de nep ăsare față de rez ultatele m uncii e levilor, f ață de notele ob ținute de
ie să ne bucur ăm în mod sincer de succes ele realizate de elevi și să ne m anifestăm
tora. Aceas tă participare afectiv ă a profesorilor la
reciea elevilor prin note, creeaz ă un clim at favorabil muncii pers everen te și are o d eosebită
valoare educativ ă.
Utilizare a pachetu lui so ftware Matlab de c ătre elevi p rezintă următoarele avantaje:
– Intr-o lum e în care sloganul „D o you sp eak Matlab?” apare în revistele IT ,
– Noțiunile de analiz ă matematică sunt abstracte și mai greu de în țeles p entru elev ii de
ă intuiască
și greu de
– și veri fice
i orice exerci țiu
– ai mare
re pe elev, pe părinți și conducerea școlii. Nu este bu
ida, nu constituie un proced eu educativ. Un asem enea procedeu îndepărtează pe elev d e
profesor, îl descurajeaz ă și îl determină să învețe num ai de team a că va lua note m ici.
Pentru
necesar să i se explice de ce i s-a dat not
aceștia. Trebu
deschis nemul țumirea față de delăsările aces
ap re
familiarizar ea din liceu c u unele conc epte de ba ză este f oarte im portantă.
nivel cel m ult mediu. Ut ilizarea pachetului de baz ă Matlab perm ite elev ilor s
o serie de no țiuni, să vizualizeze co ncepte ce la prim a vedere sunt abs tracte
înțeles
Folosirea tool-box-lui Sy mbolic Math de la Matlab perm ite elevilor s ă-
rezultatele o bținute. Un rezultat g reșit va duce la reluarea calculelor ș
contribuie la dezvoltarea deprinderilor de calcul.
In plus, folosirea calcu latorulu i face orele m ai plăcute ceea ce conduce la o m
implicare activ ă a elev ilor și, implicit, la o m ai bună înțelegere a no țiunilor predate.
131
irii m oderne,
bazată pe cu aspec tele
teore tic inând cu cele
practice (abo gia ver ificării
otezelor și respec tiv capitolul 4 : Prezentar ea și interpretarea rezultatelor ob ținute. )
Pentru a realiza aceas tă cercetare am efectuat o cercetare pedagogic ă ce s-a desf ășurat pe
parcurs
t, pentru evidențierea structurii logic e, a
ultimedia în cad rul unor lecții la alte d iscipline decât inform atica
ar putea ameliora rezu ltatele învățării la a ceste discip line.
ia formării noilo r generații este
losirea computerului ca suport pentru înv ățare. Trebuie astfel prev ăzut și orientat im pactul T IC
asuCapitolul 5:
CONCLUZII
Lucrarea de fa ță a încercat sa surprind ă cele m ai importante aspecte ale instru
mijlo ace m ultimedia, avantaje le in struirii as istate de calcu lator, încep ând
e (sintetizate în capito lul 2 al lucr ării : fundamentarea teore tică a temei ) și term
rdate în cap itolul 3 : Ipoteze de lucru. Obiectivele cercet ării. M etodolo
ip
ul a un an școlar, ipotezele cercet ării fiind:
1. Este posib ilă modificarea m odului de înv ățare p rin diversificarea s trategiei.
2. Este posib ilă realizarea activ izării elevilo r prin a lternare a modurilo r de în vățare.
3. Dacă s-ar u tiliza m ai mult mijloace le multimedia ar pute a fi îmbunătățită com unicarea
profesor – elev – calculator.
4. Este posib ilă revederea con ținutului de preda
algoritm ilor de cunoa ștere, a posib ilităților de diferen țiere.
5. Dacă s-ar u tiliza m ijloace m
s-
Un aspect important al politicilor n aționale în d irecț
fo
pra învățării prin relevarea ex pectanțelor. TIC nu trebuie considerate numai ca unul din
elem entele de con ținut ale învățământului, ci și ca un m ijloc dida ctic (in tegrate în p redarea
diferitelor d iscipline), cu rol im portant în îm bunătățirea calității predării și ameliorarea proces ului
instru ctiv-ed ucativ. Se v or dezvo lta aptitudini de creare, tratare, ob ținere, selecționare și recuperare
a inform ației, se va dezvolta crea tivita tea și capacitatea de gândire structurat ă. Însă introducerea
TIC nu vizeaz ă num ai familiarizar ea elev ilor cu prelu crarea inf ormației, ci și cu însușirea unor
procese de înv ățare ma i puțin pasive și mai autonom e. De asem enea, se vor crea noi m edii de
învățare individual ă și în grup. Un alt efect posibil ar fi convertirea m odelului interac țiunii
educator-elev într-un m odel triunghi ular educator – com puter- elev.
1ANEXE
Colegiul Tehnic de Industr Alimentar ă Craiova
Ovidiu
Clasa U ES
a
COL
/ S
32MAT
TĂ PR
XI-a li
AR 2009-20
ĂPTĂMÂN Ă
ie Profesor:
Ă
R
Amzoiu Ma
IVĂ nuel-
M
a-X
(ATE
II-a R
Clasa
ANUL Ș
3 OREIC
OG
ceu)
10
133
CO ALIMENTAR COLAR 2009-2010
OF EL-OVIDIU
II
C1. uncți l în ca re
C2. rea d matice
C3.
C4. ete ș r de pr
C5.Inte exprbile mati
C6.Mod prin grare noșt ferite do
i fun num priv onotonia,m ărgia
tendința
ES
NVĂȚA
au f
elucr
meni
nire ANUL Ș
OR:AMZOI U MANU
RE
ost definite
are a acestora
i
,continu itatea, LEGIUL TEHNIC DE INDUSTRIE
CRAIOVA
PROIECT ORIEN
DIS CIPLINA :ANALIZĂ MAT
CLASA a XII-a RP
UNITATEA DE ÎNV ĂȚARE: LI
NUMĂR DE ORE : 10 ORE
COMPETEN ȚE GENERALE:
Identificarea corectă a unor date matematic
Descoperirea (alegerea ) a lgoritm ilor op tim
Utilizarea algoritmilor pentru re zolvarea un
Exprimarea cu ajutorul datelor m atematice
rpretarea rezultatelor unor ac țiuni conc
elarea m atematică a unor situații concr
COMPETEN ȚE SPECI FICE:
1.Identificarea grafic ă(vizuală) a pro prietăților
asimptotică,derivabilitatea Ă
L UNE
FUNCȚ
area în f
prelucra
practice
ții concr
mate
a cu
erice
I UNIT
e de
atel
i a a
c
ințel
ind:
ĂȚ
con
or m
lgori
or di
m
PR
I DE Î
textu
ate
milo
n di
TA
EM
MIT
e și
i ca
or p
aa u
rete
ete,
une
TIV A
ATICĂ
E DE
interpret
re permit
robleme
nor situa
ima
inte
cții
2.Asocierea datelor extrase dintr-o situație-prob lemă cu propriet ăți ale funcțiilor num erice s tudiate, de tipu l:
teorem e de convergen ță,operații cu lim ite,lim ite-tip,tabe l de d erivate
unor dom enii de activitate
.Exprimarea în lim bajul analizei m atematice a unor fenom ene concrete ,modelabile prin func ții numerice
.1.Interpretarea ,pe baza lecturii grafice, a proprietăților unor func ții care repre zintă exem ple din dom eniul
conomic ,social , științific
5.2.Verificarea experim entală a rezultatelor de matematic
6.Determ inarea unor optimuri situa ționale prin sau specifice
unor dom enii de activitate
Etape Con ținutu Evaluare 3.Aplicarea unor algoritm i specifici calculului diferen țial în rezolvarea un or problem e și modelarea unor procese
specifice
4
5
e
duse prin calcul pentru pro bleme practice expr imabile
aplicarea calculului diferențial în prpoblem e practice
ri Competen țe
specifice Activități de învățare Resurse
Reactuali zare -recapitulare
limite de șiruri și
operații cu lim ite
de șiruri 1,2
nedeterm inare manual
-materiale auxiliare-observarea
sistematic ă a
elevilor
-test de ev aluare
inițială -rezolvarea de exerciții în
care apar toate cazurile de –
Învățare
pregătitoare
rin situații
roblemă -grafice de
funcții 1 -tr i
func
-găsirea limit ei cu aj utorul
graficului -manual
-materiale auxiliare-observarea
sistematic ă a
elevilor
asarea graicului une
ții cunoscute
p
pf
134
Etape Conținuturi Competen țeActivități de învățare Resurse Evaluare
specifice
Introducerea -definirea 2 -calculul lim itelor cu -manual -observarea
suportul ui noțiunilor de
funcții într-un
punct,lim ite
laterale ajutorul de finiției sau cu
echivalent e -materiale auxiliaresistematic ă a
elevilor
noțional limită a unei ajutorul de finițiilor
Modelare -calculul 1,2 -determin
limitelor
funcțiilor folosind gra
elementare area limitel or
funcțiilor elementare
ficul funcției -manual
-materiale auxiliare-observarea
sistematic ă a
elevilor
-test de ev aluare
Exersare -calculul
direcționată limitelor
funcțiilor
compuse 2 -exerci ții de calcul a
limitelor d e funcții com puse -manual
-materiale auxiliare-test de ev aluare
-rezolvarea 2 -exerci ții de calcul de limite
Aprofundare/ cazurilor de de funcț
generalizare nedeterm inare nedeterm inări
-determin area
asim ptotelor -calculul asim
funcții date ii încare apar
ptotelor unei -manual
-materiale auxiliare
-test de ev aluare
form ativă
135
COLEGIUL TEHNIC DE INDUSTRIE ALI MENTARĂ ANUL
CR AIOVA P ROFES OR:AMZOIȘCOLAR 2009-2010
U MANUEL-OV IDIU
E GENERALE:
1.Identificarea corectă a unor date matematice și interpretarea în funcție de contex tul în care au f ost definite
a (a ilor op rm tice
o e
C4.Exprim area cu matice aa unor sit e pr
C5.Interpretarea r iuni conc rete exprim
C6.Modelar ea m a a unor situa ții concrete,prin integrarea cuno ștințelor din diferite dom enii
NȚ FICE:
ea grafică(vizuală) a pro prietăților u nei funcți ivind:monotonia,m ărginire a,continu itatea,
tendința asimptotică,derivabilitate a
2.Asocierea datelor extrase dintr-o situa ție-prob lemă cu propriet ăți ale funcțiilor num erice s tudiate, de tipu l:
PROIECT ORIENTATIV AL UNEI UNIT ĂȚI DE Î NVĂȚARE
DIS CIPLINA :ANALIZĂ MAT EMATICĂ
CLASA a XII-a RP
UNI TATEA DE ÎNV ĂȚARE: CONTINUITATE
NUM ĂR DE ORE : 6 ORE
COMPETENȚ
C
C2.Descoperire legerea ) a lgoritm timi care peit preluc rarea datelor matema
C3.Utilizarea algritmilor pentru r
ajutorul datelor mate
ezultatelor unor ac ț
tematicăzolvarea unor problem e practice
uații concre te și a algorim ilor d
abile m atematic elucrare a acestora
COMPETE
1.IdentificarE SPECI
i numerice pr
136
teo nver imite l
3.A nor a calculu i modelarea unor procese
om itate
în li atematice a unor feno n fun
etarea ,p rafice, a proprietăților ntă exem ple din dom eniul
econom ic ,social ,
5.2.Verificarea ex a rezultatelor deduse prin calcul pentru pro bleme practice expr imabile m atematic
rea un situaționale prin area c lem
unor dom enii de a
uri țe
specifice are urse reme de co
plicarea ugență,operații cu l
lgoritmi specifici ,limite-tip,tabe de derivate
ial în rezolvarea un or problem e ș lui diferenț
specifice un or d
4.Exprim area
5.1.Interprenii de activ
mbajul analizei m
e baza lecturii g
științific
perimentalămene concrete ,modelabile pri
unor funcții care repre zicții numerice
6.Determ ina or optimuri
ctivitate aplic alculului diferențial în prpob e practice sau specifice
Etape Conținut Competen Activități de învăț Res Evaluare
Reactuali
uncții
u
ții 1,2 -rezolvarea de exerciții în
care apar toate cazurile de -manual
-materiale auxiliare-observarea
sistematică a
elevilor zare -recapitulare
limite de f
și operații c
limite de funclimite de func ții
-test de ev aluare
inițială
Învățare
pregătitoare
prin sit uații
problemă 1,2 -manual
-materiale auxiliare-observarea
sistematic ă a
elevilor
-limite laterale -calculul lim itelor laterale
137
Etape Conținuturi Competen țeActivități de învățare Resurse Evaluare
Specifice
Introducerea -definirea
unei func ții într-
un punct 2,5.1 -determ inarea continuității -manual
e auxiliare-observarea
sistematic ă a
elevilor suportul ui
oțional noțiunilor de
continuitate a cu ajutorul definiției -material
n
Modelare -defini ții
echivalent1,2,5.2 -d
e eterminarea continuității
folosind di ferite defini ții -manual
-materiale auxiliare-observarea
sistematic ă a
elevilor
-test de ev aluare
Exersare -operații cu 2 -exerci ții de determinare a
continuității unor func ții -manual
-materiale auxiliare-test de ev aluare
direcționată funcții continue
obținute prin opera ții cu
funcții continue
-rezolvarea de 2 -exerci ții de existen ță a
Aprofundare/ ecuații folosind soluțiilor
generalizare continuitatea unor ecuații -manual
-materiale auxiliare
-test de ev aluare
form ativă
138
COLEGIUL TEHNIC DE INDUSTRIE ALI MENTARĂ
CR AIOVA ANUL ȘCOLAR 2009-2010
P ROFES OR:AMZOI U MANUEL-OVIDIU
ANALIZ Ă MATEM ATICĂ
Lecția: Regula lui l’Hospital
ipul de l e no
mp: 50′
COMPETEN Ț :
C1.Identificare date matemati ție de contextul în ca re
C2.Descoperirea (alegerea ) algoritmilor optimi care permi t prelucra rea datelor matematice
area a tru rez
rea cu ajutorul datelor matematice aa unor situa ții concrete și a algorimilor de p re a acestora
retarea rezultatelor unor ac țiuni concrete exprimabile matematic
C6.Model area matematic ă a unor situa ții concret e,prin integrarea cuno ștințelor din diferite domenii
Competen țe specifice : La sfârșitul lecției elevii vor fi cap abili:
PLAN DE LEC ȚIE
DISCIPLINA
CLASA a XII a
Tema:Func ții derivabile
T
Tiecție: Predare d
i cunoștiințe
E GENERALE
a corectă a unor ce și interpretarea în func au fost definite
C3.Utiliz
C4.Expri ma
C5.Interplgoritmilor pen olvarea unor probleme practice
lucrare
139
C ntif nede
C2
C – Să exemplifice diferite cazuri a formulelor
e e formulele înv ate
didact e învățământ : manualul, cret a, tabla, culeg ere de
exerci ții și probleme
și procedee: conversația, expunerea, exem plul,
țiu
zare: frontal ș
cției Activiea ivitatea elevilo etode și
procedee 1 – Să ide
– Săice cazurile de
aplice corect regulile terminare
3 de aplicare
C4 – Să aplic
Strategiaîn problem
ică: mijloace d
metode ăț
forme de organi exerci l, brainstorming
i indivi dual
Etapele le tat profesorului Act r M
1. Mom ent
organizatoric(1 ′)ța și asigu ră liniș
începe rii lecției. ietele și
manualele pe b ănci. conversația Profesorul face prezen tea în c lasă în vederea Elevii sunt aten ți și au ca
2. Verificarea
lecției fost „Derite de or
ă elev ii dac u fost
lve.
la tablă pentru a rezolva exerci ții din tem ă. Le dă
ăcut toa tă tema alte exerc iții și eventuale ind icații. Ele fică temele. Cei care au
rez ate exerci țiile lucrază
supexercițiul
anterioare (15′) Lecția ante rioară a
Profesorul întreab
au reușit să le rezo
Cheamă un elev
elevilor care au fva
ă adin superior”.
exerciții din temă pe care nu vii își veri
olvat to e
limentar.
140
Etapele
lecției Activitatea profesorului Activitatea elevilor Metode și
procedee
3. Pregătirea Anunță titlul lecției no i și îl scrie pe tablă: „Regula lui l’Hospital”. Elevii sunt aten ți și notează pe caiete
lecției no i
5′) titlul lecției și exem plul scris p e tablă. conversația
exem plul
(
4. Predarea
lecției no i
15′)
Profesorul le dicteaz ă elevilor noile cuno ștințe.
(
TEOREM A. Fixăm două funcții reale f, g definite pe un interval [a, b] și un
punct b]. Presupunem satisfăcute următoarele condi ții:
x0 ∈ [a,
1. f și g sunt derivabile pe [a, b]\{x0} și continue în x0;
2. f(x)=0 și g(x)=0; 0 0
3. g'(x) nu se anulează într-o vecinătate V a lui X0;
4. există limita lim
0xx→λ=)('xf. )('xg
)()(lim
0xgxf
x→=λ
Elevii p articipă activ la lec ție.
Demonstra ție. Aplicâ nd teor ema
lui Cauch y rezu ltă că pentru
orice x∈[a,b]∩V,
)(')('
)()()( )(
)()(
00
cgcf
xgxgxf xf
xgxf=−−= , cu c
= c x situa t între x0 și x.
Dacă x → x0, atunci cx → x0 și,
folosind ipoteza 4, rezu ltă că în aces te co ndiții, există
xλ→)(xfpentru x → x.
)(xg0
Trebuie observat c ă nu este nevoie ca f
șisă fie derivabile și în punctul x g ; 0
subliniem , de asem enea, in cluderea
cazulu i când λ = -∞ sau λ=∞. expunerea
exem plul
brainstorm ing
Exemple .
6 32−→4lim2−
xx
x
>> x=[0:.01:4];y=(x.^2-4)./( 3*x-6);p lot(x,y,2,4/3,'*')
Verificare:
>> sym s x
>> lim it((x^2-4)/(3*x-6),x,2)
ans =
1.3333
()
() 34
32lim'6 3'4lim6 34lim
22
22
2==−−=−−
→ → →x
xx
xx
x x x
141
)1 sin(1lim21−+
−→ xx
x
>> x=[-1.5:.01:0.5];y=(x+1)./sin(x.^2-1);p lot(x,y ,-1,-0.5,' *')
Verificare:
>> sym s x
>> lim it((x+1)/sin( x^2-1),x,-1)
ans =
-0.5
()
[]
21
2)1 cos(1lim21−=⋅−')1 sin('
)1 sin(lim
1 1=−1lim1
2 2+=−+
−→ x xx −→ −→ x xx
x x
x
142
Se cere λ=, știind că )( lim0)( lim
0 0xg xf
xx xx → → )()(
xgxf== , fără ca funcțiile f
și g să fie ambele definite în punctul x0.
stânga). Are loc analogul teoremei anterioa re (pentru lim ite la
Regula lui l' Hospital s e aplică nu num ai pentru x0 finit, dar și în cazu l cînd x0
este „ arunca t la inf init". Are loc a tunci:
TEOREM A .Fie f și g funcții rea le definite pe un interval [a,∞), a>0.
Presupunem c ă:
1 . f și g sunt derivabile pe [a,∞);
2 . l xg xf
x x= =
∞→ ∞→)( lim)( lim , unde l= 0, ∞ sau -∞;
3. g'(x )≠ 0 pentru orice x suficien t de mare (x ≥ A, A≥ a);
4 . există λ=
∞→ )(')('limxgxf
x în R.
Atunci exist ă limita )()(limxgxf
x∞→, egală cu λ.
(Un enunț similar are loc pentru x →-∞ ).
Exemple .
24 2lim33
+−
∞→xx
x
>> x=[5:.01:20];y=(2*x.^3-4)./(x.^3+2);plot(x,y)
()
()
236lim'2'4 2lim24 2lim
2233
33
==+−=+−
∞→∞→ ∞→
xxxx
xx
x
xx
143
>> sym s x
>> lim it((2*x^3-4)/(x^3+2),x,inf)
ans =
2
22limxx
x∞→
>> x=[5:.01:20];y=(2.^x) ./(x.^2);plot(x,y)
()
()
()
()∞=⋅==∞∞= = =
∞→∞→ ∞→ ∞→
22ln2ln2
'2'2ln2lim22ln2lim''2lim2lim2 2
x xx
xx
xx
xx x x
xx
144
Verificare:
>> sym s x
>> lim it((2^x)/(x^2),x,inf)
ans =
∞
5. Fixarea
cunoștințelor
(13′) Profesorul propune spre rezolvare problem e din m anual. âte un elev iese la tablă pt. fiecare
xercițiu și îl rezo lvă, cu ajutorul
rofesorului. exercițiul
conversația C
e
p
6. Tem a
pentru acas ă
(1′) Profesorul le spune care sunt exerci țiile pe care le au ca tem ă pentru ora
următoare. levii notează pe caiete și sunt aten ți
a indicațiile profesorului. conversația E
l
145
COLEGIUL TEHNIC DE ȘCOLAR 2009-2010
CR U MANUEL-OV IDIU
DISCIPLINA
CLASA
Tema:Func
Lecția: Asimptote
Tipul de lec
Timp: 50
COMPETEN
C1.Identificare a unor date matematice și interpretarea în func ție de contextul în ca re au fost definite
care permi t prelucra rea datelor matematice
C3.Utiliz area algoritmilor pentru re zolvarea unor probleme practice
C4.Expri marea cu ajutorul datelor matematice a unor situa ții concrete și a al gorimilor de p relucrare a acestora
C5.Interp re ezultatelor unor acțiuni concrete exprimabile matematic
C6.Model e,prin integrarea cuno ștințelor din diferite domenii
INDUSTRIE ALI MENTARĂ ANUL
AIOVA P ROFES OR:AMZOI
PLAN DE LEC ȚIE
ANALIZ Ă MATEM ATICĂ
a XII a
ții derivabile
ție: Predare de noi cuno științe
′
ȚE GENERALE:
a corectă
C2.Descoperirea (alegerea ) algoritmilor optimi
tarea r
area matematic ă a unor situa ții concret
146
Competen țe specifice
C1 – Să identifice cazurile de nedeter
C2 – Să aplice formulele
C3 – Să exem
C4 – Să aplice în probleme formul
Strategia didactic
metode
Etapele lec ției Activitatea Activitatea elevilor Metode și
procedee : La sfârșitul lecției elevii vor fi cap abili:
minare
plifice diferite cazuri de apl icare a formul elor
ele învățate
ă: mijloace de înv ățământ : manualul, cret a, tabla, culeg ere de
exerci ții și probleme
și procedee : conversația, expunerea, exem plul,
exerci țiul, brainstorm ing
forme de organi zare: frontal și indivi dual
profesorului
1. Mom ent
organizatoric(1ți și au ca ietele și
ănci. conversația
′)Profesorul face prezen ța și asigu ră liniștea în c lasă în vederea
începe rii lecției. Elevii sunt aten
manualele pe b
2. Verificarea
lecției
anterioare (15′Lecția ante rioară a fost „Regula lui l’Hospital”. Profesorul întreab ă
că au fost exerci ții din temă pe care nu au reu șit să le
tru a rezolva exerciții din tem ă. Le dă
tema alte exerc iții și eventuale ind icații. Elevii își verifică temele. Cei care au
rezolv at toate exerci țiile lucre ază
suplim entar. exercițiul
) elevii da
rezolv e.
Cheamă un elev la tabl ă pen
r care au făcut toa tă elevilo
147
Etapele Activitatea profesorului Activitatea elevilor Metode și
procedee lecției
3.
lec
(5conversația
exem plul Pregătirea
ției noi Anunță titlul lecției no i și îl scrie pe tablă: „Asim ptote”.
Elevii sunt aten ți și notează pe caiete
titlul lecției și exem plul scris pe tabl ă.
′)
4. Predarea
lecției no i
(15′)
Profesorul le dicteaz ă elevilor noile cuno ștințe.
Asimptote orizontale, asimptote oblice
Elevii p articipă activ la lec ție.
Fie funcția f(x)=12
22
+xx
Dom eniul de defini ție:
x2+1≠0⇔x∈R. Considerăm o funcție f : D→R unde D este un interval de form a (a, ∞), a ∈R.
Graficul lui f are ecuația y = f (x) și evident a re ramuri spre inf init. Fie l ∈ R
fixat și cons iderăm dreapta y = l (paralelă cu Ox); pentru orice x∈ D, notăm
cu M (resp ectiv cu N) punctul de abscis ă x situat pe dreapt ă (respectiv pe
graficul func ției f).
Se spune că dreapta y= l este asimptota orizontal ă spre +∞ a lui f dacă limita
lungim ii segm entului MN când x tinde către ∞ există și este ega lă cu zero,
adică ()=
∞→)( lim xf
x ∞→xlim1222
+xx=
∞→xlim() '12+x '22x
=lim0 )( lim =−
∞→lxf
x⇔ )( lim xf
x∞→ există și este eg ală cu l.
O discuție sim ilară are lo c pentru – ∞ .
Considerăm acum o dreaptă de ecuație y = mx +n , m≠0 și fie M (respec tiv N)
∞→x.224=xx
y=2 asimptot ă orizontală spre +∞.
expunerea
exem plul
brainstorm ing
punctul de abscis ă x ∈ D situat pe dreapt ă (respectiv pe graficul func ției f).
Se spune c ă dreapta y = mx + n este asimptota oblica spre +∞ a lui f dacă
limita lungim ii segm entului MN există și este egală cu zero pentru x→∞, ⇒
adică
148
0 )( lim =−−
∞→n mxxf
x
Aceasta revine
mxxf
xnmx xx x= ⇔=⎟
⎠⎞
⎝−
⎠∞→ ∞→)(lim 0 xf n xf⎜⎛− ⇔=⎟⎞ ⎛ )(lim 0)(mxx
x⎜
⎝−−
∞→lim
(). ) n mx Din 0 )( lim =−−
∞→n mxxf
x rezultă ( lim xf
x=−
∞→
TEOREM A a) Dac ă limita )( lim xf
x∞→ există și este finită, cu valoarea l,
atunci d reapta y = l este asim ptota orizontal ă spre +∞ a funcției f (și
recip roc).
b) Dacă există și sun t finite lim itele
mxxf
x=
∞→)(lim , ()n mxxf
x=−
∞→)( lim , iar m ≠0
atunci d reapta
y = mx + n
este asimptota oblic ă spre + ∞ a funcției f (și reciproc).
O fun ă oblică cție f nu poate admite atât asimptot ă orizontal ă cât și asim ptot
spre +
Exemple . f(x)= ∞.
12
22
+xx Fie acum funcția f:(1, ∞)→R,
xxxf1)(2+=
.1lim)( lim2
∞=+=
∞→ ∞→ xxxf
x x
calculăm acum
.11lim)(lim22
=+= =
∞→ ∞→ xx
xxfm
x x
()
.01lim1lim )( lim2
=⎞⎛==⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎛−+=− =
∞→xxxmxxf n
x
asimptotă oblică spre +∞.
⎟
⎠⎜
⎝∞→xx
⎝∞→x
⇒y=x este
149
>> x=[5:.01:40];y=(2.*x.^ .') 2)./(x.^2+1 );plo t(x,y,x,2,'
>> sym s x
>>lim it((2* x^2)/(x ^2+1 ),x,inf)
ans=
2
xxxf1)(2+=
>> x=[1:.01:7];y=(x.^2+1)./x;plot(x,y,x,x,'. ')
150
D → R (D ⊂ R) este o funcție reală, α ∈ R este un punct de
acum ulare pentru D și dacă limita la stânga
)( lim xf
xxαα
<→există și este egalău + ∞ sau – ∞,
atunci se spune c ă dreapta x = α este asimptă verticală la stânga a lui f .
Fie funcția f(x)=
Asimptote verticale
Dacă f :
c
ot
Similar, dacă limita la dreapta
122
−xx
Dom eniul de defini ție:
-1≠0⇔x≠1. x
=
<1x 1<x→)( lim
1xf
1lim
→x x.122
−∞=−xx
.122
∞=−xx =
>→)( lim
11xf
x 11lim
>→
xx x
151
)( lim xf
xα→există și este egală cu + ∞ sa
xα>u – ∞,
se spune atunci c ă x = α este asimptotă verticală la dreapta a lui f.
Dreapta x = a se num ește asimptotă verticală a lui f dacă ea este asim ptotă
verticală la stânga sau la dreapta a lui f sau de am bele părți.
Exemple .
f(x)=122
−xx
>> x=[-10:.1:10];y=(2*x.^2)./(x-1);y1= [-100:1:150];plot(x,y,x,2*x,'. ',1,y1,'.')
≠0
x
152
f(x)=xx2
>> x=[-10:.1:10];y=(2.^x)./x;x 1=[-10:.1:-2];y1=[-60:1:120];
plot(x,y,x1,0,'. ',0,y1, '.')
5. Fixarea
cunoștințelor
(13′) âte un elev iese la tabl ă pt. fiecare
exercițiu și îl rezo lvă, cu ajuto rul
profesorului. exercițiul
conversația Profesorul propune spre rezo lvare problem e din manual. C
6. Tem a
pentru acas ă
(1′) Profesorul le spu pentru ora
următoare. levii notează pe caiete și sunt aten ți la
ndicațiile profesorului. conversația ne care sunt exercițiile pe care le au ca tem ă E
i
153
154
BIBLIOGRAFIE
1. A. Adăscăliței – Instru ire asista tă de calculator – Editura Polirom , 2007
2. I. Cerghit – Metode de înv ățământ , ed. a IV-a, Ed itura Polirom , 2006
3. C. Cuco ș- Pedagogie, ed a II-a , Editura Polirom ,2002
4. C. Cucoș, Informatizar ea în educație, Editur a Polirom , Iași, 2006
5. Gorunescu, M., Calculând cu imagini în MATLAB , Editura C artea A lbastra-
Microinform atica, Cluj-N apoca, 2006, ISBN. 973-650-189-2
7. Gh. Si retchi, Calc a si
Encicloped ica
8 entele analizei m atematice, vol. 1: Analiza pe dreapta reală.
iei Rom ști, 1996.
9. , O. Stăn , T. Stoica , Matematic ă- Manual pentru clasa a XI-a, Editura
și Pedagogic , București , 1994.
10. , Matematic – Manual pentru clasa a XI-a , Editura Sigm a 2001
11. lie, M. Vl ad, E. Fr ăsineanu, Pedagogie și elemente de psihologie
12. Fundamente ale d idacticii școlar e, Editura Aram is, 2000
13. ilă, Analiz matematic ă- Ed itura Editu ra D idactică și Pedagogic ă,
14.
Resurse o nline 6. D. Branzei, Metod ica pr edarii mate maticii , ed Paralela 45, Pitesti 2007
ul d
âne, Bucure
ășilă
ă
ă
ăiferential si integ ral – (vol. 2 ), exerciti i, Ed. Stiin tific
. C. P. Niculescu, Fundam
Ed. Academ
Gh. Gussi
Didactic
P. N
E. Joi
ș
C. Postelnicu,
O.
Bucur
1.ă
ăchilă
ța, V. I
colară,Editura Arves, 2003.
Stănăș
ești, 1981
Ghiduri metodologice elaborate de MECT
www.edu.ro
2. www.1educ at.ro
onlin 3. www.acade e.ro mia
4. www.t hink.com
5. www.el earningeur opa.i nfo
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Func ții derivabile [621100] (ID: 621100)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.