Formele fundamentale ale unei suprafete [620847]

Capitolul 2
Formele fundamentale ale unei suprafete

Incepand cu acest capitol,suprafetele vor fi studiate si din punct de vedere metric .
Prima si a doua forma fundamentala ale unei suprafete, determina suprafata modulo o
izometrie a spatiului ambiant.

2.1.Prima forma fundamentala a unei suprafete

2.1.1. Notiuni de algebra liniara
Fie V un spatiu vectorial.
O forma biliniara simetrica V este o fu nctie B:V
 V→
ce satisface urmatoarele conditiile:
1)B(X,Y) = B(X, Y) ,
 X,Y
 V.
2) B(aX + bY,Z) = aB(X,Z) + bB(Y,Z),
 X,Y,Z
 V si a,b


Forma biliniara simetrica B e pozitiv definita daca B(X,X)
 0,cu egalitate daca si
numai daca X=0 .
Numim produs scalar pe spatiul vectorial V o forma biliniara <,>:V
 V→

care es te sime trica si pozitiv definita:
1)pozitiv definita : <X,X>
 0 ,
X
V;
2)biliniara:liniara in fiecare punct;
3)simetrica: <X,Y> = <Y,X> ,
 X,Y
 V.

2.1.2. Definitie

Fie f:U →
3 o suprafata parametrizata si p =(u,v)
 U.
Prima forma fundamentala a suprafetei f este forma biliniara simetrica :
g:T
p f →

g(X,Y) = <X,Y>,
X,Y
 T
pf. (2.1)

Prima forma fundamentala g este restrictia produsului scalar Euclidian la fiecare spatiu tangent al
suprafetei f. Spunem ca g este indusa pe produsul scalar Euclidian . Din punct de ve dere geometric,asa
cum vom vedea ulterior, prima forma fundamentala ne permite sa facem masurari in suprafata: unghiul
vectorilor tangenti, lungimea curbelor , aria unor regiuni,fara a se face referire la spatiul ambiant
3
in care
se afla suprafata.

2.1.3.Definitie
Functiile diferentiabile g
ij :U →
, 1
i,j
2 , definite de g
ij=g(X ,Y ) se numesc coeficie ntii primei forme
fundamentale. (2.2)

2.1.4.Observatii
i)Notatiile clasice -Gauss pentru prima forma fundamentala a unei suprafete sunt:

g
11 = E
g
12 = g
21 = F

g
22 = G.

ii) O parametrizare pentru care g
12 = 0 se numeste parametrizare ortogonala. In jurul oricarui punct exista
parametrizari ortogonale.
iii)Coeficientii primei forme fundamentale definesc matricea simetrica:
(g
ij)
1 , 2ij =
EF
FG
 , iar det ( (g
ij)
1 , 2ij ) = EG – F
2 > 0.

2.1.5.Propozitie
Prima forma fundamentala se poate scrie sub urmatoare a forma :
ds
2= g
ij du dv = E (du)
2 + 2F du dv + G (dv)
2 (2.3)
Motivul pentru care folosim notatia ds
2 este acela ca radacina patrata a primei
forme fundamentale se poate folosi pentru a calcula lungimea unor curb e de p e supraf ata.

2.1.6.Propozitie
Fie f:U →
3 o suprafata parametrizata si fie
f = f

o reparametrizare a lui f.
Fie
ijg coeficienti i primei forme fundamentale a suprafetei
f si fie g
ij coeficient ii primei forme
fundamentale a suprafetei f .
Atunci avem:
ijg =
klg
k
iu
u

l
ju
u
 , unde d
 =
i
ju
u
 .
Prima forma fundamentala este invarianta la o schimbare de parametru.
Propozitia anterioara ne arata cum se sch imba coeficientii primei forme fundamental la o
reparametrizare.

2.1.7.Teorema
Doua suprafete S si S’ sunt local izometrice daca si numai daca pentru orice punct p
 S exista
parametrizarile f si f’ astfel incat in orice punct din U coeficientii primelor forme fundamentale sa fie egali:
g
ij(u,v) = g
'
ij (u,v)
Planul
2
cu structura euclidiana canonica si cilindrul sunt doua suprafete local i zometrice.
Consideram parametrizarile standard pentru plan, respectiv cilindru:
f(u,v) = (u,v,0)
f’(u,v) = (cos u,sin u,v)
Parametrizarile au aceeasi forma fundamentala
ij ijg .
Izometria locala dintre cele doau suprafete este urmatoarea: F(u,v,0) = (cos u,sin u,v)

2.1.8 .Aplicatie -Planul
Fie P
3
un plan ce trece prin punctul p
0 = (x
0 ,y
0,z
0).
Planul P contine vectori ortonormali : w
1 = (a
1 ,a
2,a
3), w
2 = (b
1 ,b
2,b
3).
Avem parametrizarea: f(u,v) = p
0 + u w
1 + v w
2
Vrem sa calculam coeficientii primei forme fundamentale.
Mai intai calculam: f
u (u,v) = w
1
f
v(u,v) = w
2

Datorita faptului ca w
1 , w
2 sunt vectori unitari ortogonali,coeficientii primei forme
fundamentale: E,F,G sunt constanti:
E = < f
u(u,v), f
u(u,v)> = < w
1, w
1> = 1
F = < f
u(u,v), f
v(u,v)> = < w
1, w
2> = 0
G = < f
v(u,v), f
v(u,v)> = < w
2, w
2> = 1
In acest caz, prima forma fundamentala este teorema lui Pitagora in planul P, adica
patratul lungimii unui vector w ale carui coordonate sunt a, b in baza { f
u, f
v} este a
22b .

2.1.9.Aplicatie -Sfera
Fie suprafata f:
3 ( , )22E  

f(u,v) = (r cos u cos v, r cos u sin v, r sin u), r>0.
Imaginea aplicatiei f este sfera S
2 din care sunt scosi polul nord si polul sud.
Coeficientii primei forme fundamentale sunt urmat orii:

E = g
11 (u,v)=<f
u (u,v), f
u(u,v)>
E = <(-r sin u cos v, -r sin u sin v,r cos u),( – r sin u cos v, -r sin u sin v,r cos u)>
E = (-r sin u cos v)
2 + (-r sin u sin v)
2 + (r cos u)
2
E = r
2sin
2u cos
2 v + r
2 sin
2u sin
2 v + r
2cos
2 u
E = r
2sin
2u (cos
2 v + sin
2 v ) + r
2 cos
2 u
E = r
2sin
2u
1 + r
2 cos
2 u= r
2 ( sin
2u + cos
2 u) = r
2

F = g
12 = g
21 =< f
u (u,v),f
v(u,v)>
F = <(-r sin u cos v, -r sin u sin v,r cos u),( -r cos u sin v, r cos u cos v,0)>
F = r
2sin u cos v cos u sin v + r
2 sin u sin v cos u cos v + 0 = 0

G = g
22 (x) =< f
v (u,v), f
v(u,v)>
G = <(-r cos u sin v, r cos u cos v,0),( -r cos u sin v, r cos u cos v,0)>
G = r
2cos
2 u sin
2 v + r
2 cos
2 u cos
2 v + 0 = r
2cos
2 u (sin
2 v + cos
2 v )
G = r
2cos
2 u
Am obtinut : ( g
ij)
1 , 2ij =
2
220
0 cosr
ru



2.2.A doua forma fundamentala a unei suprafete

Fie U o multime deschisa in
2
si p = (u,v)
 U.
Fie f:U→E
3 o suprafata. F ie aplicatia Gauss N:U →S
2.
Consideram reperul Gauss in punctul f(p): {f
u ,f
v,N}.
Consideram derivatele de ordinul 2,f
ij si derivatele de ordinul intai N
i .
N este unitar,deci <N
i ,N> = 0,deci N
i sunt vectori tangenti.

2.2.1.Definitie
A doua forma fundamentala a suprafetei f este o forma biliniar a simetrica h,definita pe
fiecare spatiu tangent T
p f, astfel:
h(X,Y) = -<dN
p X ,df
p X> (2.4)

2.2.2.Observatii
i)Functiile diferentiabile h
ij:U

, 1
i,j
2, definite de h
ij = <f
ij ,N> (2.5) , se numesc
coeficientii cele de -a doua forme fundamentale.
ii)Pentru coeficientii formei a doua avem urmatoarele notatii clasice :
h
11 = e h
12 = h
21 = f h
22 = g,
Aceste a definesc matricea simetrica:
(h
ij) =
ef
fg

iii)Daca w = w
i f
i si v= v
i f
i apartin spatiului tangent T
p f, atunci: h(v,w) = h
ij v
i w
i

2.2.3 .Definitie
Fie f:U
3
o suprafata regulata.
Se numeste operatorul lui Weingarten sau operatorul forma , aplicatia liniara
L:T
( , )f u v f→ T
( , )f u v f reprezentand derivata negativa a vectorului unitar normal N al
suprafetei f.
L(f
u ) = -N
u (2.6)
L(f
v) = -N
v (2.7)

2.2.4.Propozitie
Operatorul lui Weingarten il putem exprima in functie de f
u si f
v astfel:
-L(f
u ) = N
u =
2fF eG
EG F
 f
u+
2eF fE
EG F
 f
v (2.8)
-L(f
v) = N
v =
22 uvgF fG fF gEffEG F EG F   (2.9)

Stim ca E,F,G sunt coeficientii primei forme fundamentale, iar e,f,g sunt coeficientii
formei a doua fundamentale.

2.2.5 .Corolar
Fie (h
i
j )
1 , 2ij matricea operatorului Weingarten.
Avem formula urmato are :
h
ij = h
k
i g
kj, unde h
j
ieste componenta lui N
i pe f
j (2.10)

2.2.6.Propozitie
Coeficientii celei de -a doua forme fundamentale sunt dati de urmatoarele formule:

e = -<N
u ,f
u> = <N,f
uu > (2.11)

f = -<N
vf
u> = -<N
u ,f
v> = <N,f
uv > = <N,f
vu > (2.12)

g = -<N
v,f
v> = <N,f
vv > (2.13)

Forma a doua fundamentala se poate scrie si astfel:

h = edu
2 +2f du dv + gdv
2 (2.14)

2.2.7.Propozitie
Fie f:U
3E o suprafata.
Fie {f
u,f
v,N} reperul Gauss intr -un punct oarecare f(p) al suprafetei,p=(u,v).
Fie h
ij coeficientii celei de -a doua forme fundamentale si fie h
i
j elementele matricei
operatorului Weingarten.
Atunci avem formula lui Gauss: f
ij =
k
ij f
k + h
ij N (2.15)
Avem de asemea si formula Weingarten : N
i = -h
j
i f
j (2.16)

Demonstratie:
Exprimam f
ij (u,v) in fiecare punct p = (u,v) ca o combinatie liniara de vectorii reperului
Gauss astfel: f
ij =
k
ij i ija f a N , unde
,k
ij ijaa sunt functii diferentiabile. (2.17)
Inmultim scalar relatia (2.17) cu N si rezulta: a
ij = <N, f
ij> = h
ij
Inlocuim a
ij in relatia (2.17) si aceasta devine f
ij =
k
ij k ija f h N (2.17’)
Inmultim din nou scalar relatia (2.17’) cu f
s si obtinem:
< f
ij, f
s> = <
k
ij kjag ,
k
ija> = a
k
ji (2.18)
Derivam in raport cu p
j ,p=(u,v) relatia : g
,is i s ff  si obtine m:
,,is
ij s i sj jgf f f fp  
(2.19)
Din ultimele doua relatii rezulta :
kk is
ij ks sj ki jga g a gp (2.20)
Daca per mutam circular indicii i,s,j obtin em relatiile analoage:
sj kk
si kj ji ks iga g a gp
(2.20’ )

ji kk
js ki is kj sga g a gp
(2.20’’)
Din ultimele trei relatii obtinem :
sj
ig
p
 +
ji
sg
p
 –
is
jg
p
 = 2a
k
is kjg sau
2
,is j = 2a a
k
is kjg (2.20’’’)

Inmultim relatia (2.20’’’) cu g
jr si sumam. De aici rezulta : a
rr
is is
Inlocuim ultima relatie in relatia (2.17’) si obtine m formulele lui Gauss.
Vectorul N
i apartine spatiului tangent pentru orice punct din multime , deci avem:
N
i = b
j
ijf (2.21)
Inmultim scalar cu f
s si obtinem: -h
is = b
j
i jsg sau <N
i , f
s> = b
j
i jsg
Inmultim cu g
sr si sumam.
Obtinem: b
r sr
i sigh .
Adica: -b
rr
iih , elementele matricei operatorului Weingarten.

2.2.8. Propozitie
Fie f :
2
3E
o suprafata .
Fie {f
u,f
v,N} reperul Gauss intr -un punct oarecare f(p) al suprafetei,p=(u,v).
Fie
 (t) = f(u(t),v(t)) o curba regulata si fie {e
1 ,e
2,e
3} reperul Frenet asociat curbei
 .
Fie K curbura a curbei
 si fie
 unghiul dintre vectorul unitar normal al suprafetei f si
normala principala e
2 a curbei
 .Vectorii N si e
2 sunt unitari:
Atunci avem formula lui Meusnier: K cos
 =
''
''( , )
( , )h
g
 , unde h,g sunt prima respectiv a
doua forma fundamentala. (2.22)
Kcos
 se numeste curbura normala a curbei
 .

2.2.9 .Definitii
Un vector w al spatiului tangent T
p f se numeste directie asimptotica daca
w
0 si h(w,w) = 0.
O curba regulata
 pe suprafata :
2
3E
se numeste linie asimptotica daca vectorul

'
este directie asimptotica, deci daca si numai daca h(
'', ) = 0 sau curbura normala K = 0.

2.3.A treia forma fundamentala a unei suprafete
Fie U o multime deschisa in
2
si x=(u,v)
 U.
Fie f:U→E
3 o suprafata si fie aplicatia Gauss N:U →S
2.
Consideram reperul Gauss in punctul f(x): {f
u ,f
v,N}.

2.3.1.Definitie

A treia forma fundamentala a unei suprafete este o forma biliniara simetrica, definita pe
fiecare spatiu tangent, data de relatia: III(X,Y) = <dN
p X,dN
p Y> (2.23)

2.3.2.Definitie

Functiile diferentiabile e
ij : U→
definite de relatia: e
ij (u,v) = g
rs (u,v) h
ri (u,v) h
sj (u,v)
se numesc coeficientii formei a treia fundamentale.

2.3.3 .Propozitie

A treia forma fundamentala poate fi exprima ta in functie de prima si cea de -a doua forma
fundamentala: g respectiv h, astfel: I II – 2 H h + K g = 0, unde K, Hsunt curbura Gauss a
unei , respectiv curbura medie , notiuni ce vor fi studiate intr -un capitol ulterior.