O not a privind transform arile [620802]

Universitatea "Aurel Vlaicu" dinArad
Referat
O not a privind transform arile
superaditive s ,i subaditive ale
funct ,iilor agregat
Profesor:
Conf. Univ. Dr. Sorin
NadabanStudenta:
Molnar
MadalinaFlorina

Rezumat
^In acest referat se vorbes ,te despre lucrarea scris a de Alexandra Siposova,
membr a a universit at ,ii de tehnologie din Bratislava, Slovacia, departamentul
de matematic a s ,i geometrie descriptiv a, lucrarea a fost trimis a revistei "Fuzzy
Sets and Systems" ^ n data de 4 martie 2015 s ,i publicat a de c atre aceasta
^ n articolul 299, paginile 98-104 ^ n 15 septembrie 2016. Siposovaextinde
fundalul teoretic al transform arilor subaditive s ,i superaditive ale funct ,iilor
agregat, recent introduse. Condit ,iile necesare s ,i suciente care asigur a c a o
transformare a funct ,iilor agregate proprii este din nou proprie, acestea ind
profund studiat s ,i exemplicate. Relat ,iile dintre acestea ind s ,i ele studiate.

1. Introducere
Motivat a de aplicat ,iile ^ n economie, transform arile subaditive s ,i superadi-
tive al funct ,iilor agregat pe R+= [0;1[ sunt recent itroduse ^ n [6]. Ocial,
ambele transform ari pot  introduse pe intervalul real impropriu [0 ;1].
Denit ,ia 1: O funct ,ie A:[0;1]n![0;1] este numit a o funct ,ie agregat
(n-ary) dac a A(0;::::;0) = 0 s ,i A este cresc atoare ^ n ecare coordonat a.
^In continuare A se va numi funct ,ie agregat(n-ary) proprie dac a satisface
urm atoarele dou a constr^ angeri suplimentare:
(i)A(x)2]0;1[ pentru unii x2]0;1[n,
(ii)A(x)<1pentru tot ,ix2[0;1[n
Des,i ^ n aplicat ,iile reale este nevoie doar de funct ,ii agregat proprii (de-
fapt sunt restrict ,ionate pe domeniul [0 ;1]), un cadru mai larg pentru toate
funct ,iile agregat (n-ary) este un avantaj ^ ntr-o descriere formal a al rezultatu-
lui, f ac^ and formularea s ,i expresiile mult mai transparente. Se observ a cadrul
care este mult mai mare fat , a de not ,iunea abstract a a funct ,iilor agregat [0 ;1]
prezentat ca s ,i-n [2, 4], care nu acoper a integrala Sugeno bazat a pe funct ,iile
agregat, de exemplu.
Se noteaz a clasa tuturor funct ,iilor agregat n-ary cu Ans,i clasa tuturor
funct ,iilor agregat proprii cu Pn. Urm atoarea denit ,ie a fost motivat a de
sarcinile optimiz arii tratate ^ n zona program arii lineare s ,i-n zonele ^ nrudite
[1], precum s ,i de conceptele recent introduse ale concavit at ,ii [3] s ,i integralelor
convexe [5].
Denit ,ia 2: Pentru orice A2Antransformarea subaditiv a A: [0;1]n!
[0;1] a lui A este dat a de
A(x) =infkX
i=1A(y(i))jkX
i=1y(i)x (1)
Similar, pentru orice A2Antransformarea superaditiv a A: [0;1]n!
1

[0;1] a lui A este dat a de
A(x) =suplX
j=1A(y(j))jlX
j=1y(j)x (2)
Transformarea de la (1) a fost prima dat a introdus a ^ n [6] pentru A2Kn
,
unde Kn
este clasa pentru toate funct ,iile agregat n-ary proprii (limitate la
[0;1[n) de asemenea s ,iAeste propriu, adic a A2Pn. Similar s ,i pentru
A, aceasta ind dat a de (2), itrodus a prima dat a ^ n [6] dar pentru A2K
n,
K
neste clasa tuturor A2Pn(limitat ,i la [0;1[n), deci s ,iA2Pn.
Teorema 2 din [6] ne d a o condit ,ie necesar a s ,i sucient a care asigur a c a
funct ,iaA2Pnare de asemenea proprietatea c a A2K
n. Autoarea dezvolt a
acest rezultat d^ andui o condit ,ie echivalent a. Mai mult, ea a caracterizat
toate funct ,iileA2Pnca indA2K
n. Abordarea ei este bazat a pe studiul
am anunt ,it al transform arilor (1) s ,i (2) pe funct ,ii agregat unare care apart ,in
luiP1. Aceast a abordare ne arat a c a pentru orice A2Pnavem inegalitatea
(A)(A).
Aceast a lucrare este organizat a ^ n felul urm ator: ^ n urm atorul paragraf
clasele K
1s,iK1
sunt complet descrise, arat^ andu-se c a propriet at ,ile ^ ntr-o
vecin atate a lui 0 sunt importante pentru caracterizarea elementelor acestor
clase. ^In paragraful 3, condit ,iile necesare s ,i suciente pentru funct ,iaA2Pn
s a apart ,in a lui K
nsau lui Kn
. Al patrulea paragraf este devotat a studiului
relat ,iilor transform arilor ( A)s,i (A). La nalul lucr arii sunt ad augate
unele observat ,ii de ^ ncheiere.
2

2. Cazul uni-dimensional
Aceast paragraf se va ^ ncepe cu unele rezultate de baz a care ne vor arat a
cum valorile transform arilor subaditive s ,i superaditive ale funct ,iilor agregat
uni-dimansionale depinde de comportamentul funct ,iilor de l^ ang a 0.
Teorema 1: Fie h o funct ,ie agregat unar a pe [0 ;1] cu limita lim inf t!0+h(t)nt=
as,i lim supt!0+h(t)nt=b, unde 0ab1 . Atunci pentru orice
x2]0;1[ avemh(x)axs,ih(x)bx.
Demonstrat ie. Fiex>0. Din denit ,iile ale luihs,ih, pentru orice ^ ntreg
pozitiv navemh(x)nh(xnn)h(x), care ^ i,
h(x)xh(x
n)
x
nh(x) (3)
Deoarece hcres,te pentru orice tastfel ^ nc^ atx
n+1tx
navem
h(x
n+1)
x
nh(t)
th(x
n)
x
n+1
Aplic^ and limitele inferioare s ,i superioare acestor inegalit at ,i cat!0+s,i
n!1 (cun+1
n!1) ne arat a c a
lim
n!1h(x
n)
x
nlim
t!o+h(t)
ts,ilim
n!1h(x
n)
x
nlim sup
t!0+h(t)
t(4)
Combin^ and (3) cu (4) reese
h(x)x
lim inf
t!0+h(t)
t=axs,i h(x)x
lim sup
t!0+h(t)
t=bx
pentru tot ,ix>0, ceea ce completeaz a demonstrat ,ia.
Valorile limitei lim inf t!0+h(t)
ts,i lim supt!0+h(t)
tpot  interpretate ca cele
mai "inferioare" s ,i "superioare" pante ale lui h ^ n punctul x= 0. Rezultatul
3

Figura 1: Un desen shematic al funct ,iei h din demostrat ,ia de la corolarul 2
precedent se poate interpreta spun^ and c a valorile lui hs,ihsunt ^ n mare
m asur a in
uent ,ate de valorile pantelor inferioare s ,i superioare ale lui h la 0.
Corolar 1: S a presupunem c a h este o funct ,ie agregat unar a pe [0;1]
astfel ^ nc^ at derivata sa h`(0+)exist a s ,i este egal a cu c2[0;1[.
(1) Dac a h este convex pe [0;1[, atuncih(x) =cxs,ih(x) =cxpentru
oricex0
(2) Dac a h este concav pe [0;1[, atuncih(x) =h(x)s,ih(x) =cx, pentru
oricex>0.
Demonstrat ie. Pentru (1) este sucient s a realiz am c a h(x)axpentru
oricex0, cerint ,a reese din teorema 1 pentru hs,i din [6] pentru h.
Demostrat ,ia lui (2) este similar a s ,i se omite.
Corolar 2: Pentru oricare a,b real astfel ^ nc^ at 0<a<b<1exist a un
num ar innit de funct ,ii agregat unare netede h pe [0;1]astfel ^ nc^ at h(x) =
axs,ih(x) =bx, pentru ecare x2[0;1[.
Demonstrat ie. (Vezi Figura12) Fie qun num ar real pozitiv astfel ^ nc^ at q <
a
b<1, ret ,inet,i c abq2j<aq2j1pentru ecare ^ ntreg pozitiv j.
Rezultatele din calcul o s a implice existent ,a de innit a mai multor funct ,ii
cresc atoate netede h(x) denite pe [0 ;1[ astfel ^ nc^ at axh(x)bxpentru
ecarex2[0;1+[,h(q2j1) =aq2j1s,ih(q2j) =bq2jpentru ecare ^ ntreg
pozitiv j.
4

Figura 2: Un desen shematic al funct ,iei h din demostrat ,ia de la corolarul 3
Din moment ce axh(x)bxpentru ecare x2[0;1[, evident avem
axh(x) s,ih(x)bxpentru ecare x0. Dar de asemenea avem
lim inft!0+h(t)
t=as,i lim supt!h(t)
t=b, datorit a valorilor lui h la punctele ^ n
punctele (q2j1)1
j=1s,i (q2j)1
j=1. Din teorema 1 avem h(x)axs,ih(x)bx
pentru ecare x0, ^ nche^ and demostrat ,ia.
Se observ a c a funct ,iile h din Corolarul 2 are proprietatea c a ( h)(x) =
ax<bx = (h)(x) pentru tot ,ix>0
Corolar 3: Exist a un num ar innit de funct ,ii agregat netede h pe [0;1]
astfel ^ nc^ at h(x) = 0 pentru orice x<1s,ih(x) =1pentru orice x>0.
Demonstrat ie. (Vezi Figura 2) Pentru orice ^ ntreg pozitiv kexk= 22k.
Pentrux0 ef(x) =x5
4s,ig(x) =x3
4; un calcul simplu ne arat a c a
g(x2j)<f(x2j1) pentru orice ^ ntreg pozitiv j. Din rezultatele cunoscute din
calcule exist a un num ar innit de funct ,ii cresc atoare netede h pe [0 ;1[ astfel
^ nc^ ath(x2j1) =f(x2j1) s,ih(x2j) =g(x2j) pentru tot ,i ^ ntregii pozitivi j.
Din moment ce pentru funct ,ia noastr a h avem lim inf t!0+h(t)
t= 0 s ,i
lim supt!0+h(t)
t= +1datorit a valorilor lui h ^ n punctele din secvent ,ele
(x2j1)1
j= 1 s ,ix(2j)1
j=1, rezultatul ind dintr-o consecint , a a teoremei 1
.
Funct ,iilehdin corolarul 3 au chiar mai multe propriet at ,i izbitoare c a
(h)(x) = 0 pentru orice x0 ^ n timp ce ( h)(x) =1pentru tot ,ix>0.
5

^In concluzia acestui paragraf se subliniaz a rolul fundamental a teoremei 1
dat de urm atoarele caracteristici complete al degener arilor uni-dimensionale.
Teorema 2: Fie h o funct ,ie agregat uni-dimensional a pe [0;1[. Urm atoarele
condit ,ii sunt echivalente:
(a) Exist a un x>0 pentru care h(x) =1,
(b)h(x) =1pentru orice x>0,
(c) lim supt!0+h(t)
t=1,
(d) supfh(t)
tjt2]0;x]g=1, pentru unii x>0
Similar, urm atoarele armat ,ii sunt echivalente:
(a`) Exist a un x>0 pentru care h(x) = 0,
(b`)h(x) = 0 pentru orice x0,
(c`) lim inf t!0+h(t)
t= 0,
(d`) inffh(t)
tjt2]0;x]g= 0, pentru unii x>0
Demonstrat ie. Evident armat ,iile (c) s ,i (d) sunt echivalente, la fel s ,i (c`) cu
(d`). Din teorema 1 , (c) implic a (b) s ,i (c`) implic a (b`). Trivial (b) implic a
(a) s ,i (b`) implic a (a`), s ,i a mia r amas de demostrat c a (a) implic a (d) s ,i (a`)
implic a (d`).
Ca s a se arate c a (a) implic a (d), se dovedes ,te contrapozitivul. Pre-
supun^ and c a sup fh(t)
tjt2]0;x]g=b <1pentru orice x > 0. Astfel,
pentru orice n-tuplu ( x1;x2;::::;xn) al numerelor pozitive reale astfel ^ nc^ atPn
i=1xixavemPn
i=1h(xi)bPn
i=1xibx. Reese c a h(x)bx <1
pentru orice x>0.
Similar, ca s a se arate c a (a`) implic a (d`) se procedeaz a la fel, demostr^ and
din nou contrapozitivul. Se presupne c a inf fh(t)
tjt2]0;x]g=b >0 pentru
oricex>0.
Aceasta ^ nseamn a c a h(t)btpentru orice t2]0;x]. Astfel, pentru orice
n-tulpu (x1:x2;:::;xn) de numere reale din ]0 ;x] astfel ^ nc^ atPn
i=1xixavemPn
i=1h(xi)bPn
i=1xibx. Reese c a h(x)bx > 0 pentru orice x >0,
^ nche^ andu-se demostrat ,ia.
6

3. Cazul multi-dimensional
Bazat pe rezultatele din cazul uni-dimensional demostrate ^ n paragfraful
2, astfel se v-a continua s a se prezinte exemple de funct ,ii agregat A cu pro-
prietatea c a valorile lui ( A)sunt mai mici dec^ at valorile lui ( A)pentru
tot,i vectorii diferit ,i de zero,x2[0;1[n.
Metoda este bazat a pe observat ,ia c a valorile lui As,iApe tot spat ,iul
[0;1[nsunt in
uent ,ate de comportamentul funct ,iei diagonale uni-dimensionale
A(x;:::x ) ^ ntr-o vecin atate arbitrar a mic a a lui zero. Se prezint a detalii refe-
ritoare doar sferelor extensiilor cororalului 3 la o dimensiune arbitrar a.
Fiexo medie aritmetic a al intr arilor lui x, care sunt, dac a x= (x1;x2;:::;xm),
atunci
x=(x1+x2+:::+xm)
m):
Teorema 3: Exist a un innit de funct ,ii agregat A denite pe [0;1]nca s ,i
(A)(x) = 0 pentru tot ,ix2[o;1]n^ n timp ce (A)(x) =1pentru tot ,i x
diferit ,i de zerox2[0;1]n.
Demonstrat ie. Este sucient s a lu am orice funct ,iehdin corolarul 3 s ,i denim
A pentru orice x2[0;1[nprinA(x) =h(x). L as amx=x, pentru orice
x6= 0 s ,i avem exact ca-n demostrat ,ia Teoremei 1 ,
A(x)nh(x=n)x
lim inf
t!0+h(t)
t
s,i
A(x)nh(x=n)x
lim sup
t!0+h(t)
t:
Cerint ,a reese din corolarul 3.
Bine^ nt ,eles c a se pot folosi numeroase alte compozit ,ii pentru funct ,iileh
din corolarul 3 cu funct ,ii agregat simple (cum ar  media ponderat a, media
geometric a, etc.) pentru a asigura exemple pentru teorema 3. De asemenea
scriitoare v-a dovedi condit ,iile suciente diferite pentru valorile lui As,iA
pentru a expune comportamentul extrem descris ^ n teorema 3.
7

Proposition 0.1. Fie A o funct ,ie agregat pe [0;1]ns,i l as amA=A(x;x;:::;x )
pentru orice x0.
1. (1) Dac a exist a o serie divergent aP1
j=1ajcu termenii pozitivi des-
cresc atori ca s ,i seriaP1
j=1A(aj)converge, atunci A(x) = 0 pentru
oricex2[0;1[n
2. (2) Dac a exist a o serie convergent aP1
j=1ajcu termenii pozitivi des-
cresc atori ca s ,i seriaP1
j=1A(aj)diverge, atunci A(x) = +1pentru
oricex6= 0;x2[0;1]n.
Demonstrat ie. Las amh(x) =A(x;x;:::;x ) pentrux0. Se va ar ata c a
presupunerea de la (1) implic a faptul c a lim inf j!1h(aj)=aj= 0 s ,i (2) implic a
lim supj!1h(aj)=aj= +1
^Intradev ar, se presupune c a lim inf j!1h(aj)=aj=c>0. Aceasta^ nseamn a
c a pentru orice >0 avemh(aj)(c)
ajpentru tot ,i dar un num ar nit
al ^ ntregului pozitiv j. Dar atunci divergent ,a luiP
jajimplic a divergent ,a
luiP
jh(aj), contrar armat ,iei lui (1).
Similar, dac a lim supj!1h(aj)=aj=c <+1, atunci pentru orice  >
0 vom avea h(aj)(c+)ajpentru tot ,i dar mai mult j-lui nit. Dar
convergent ,a luiP
jajv-a implica convergent ,a luiP
jh(aj), contradict ,ie.
Acestea ne arat a c a lim inf t!0+h(t)=t= 0 ^ n cazul (1) s ,i lim supt!0+h(t)=t=
+1^ n cazul (2). Rezultatul reese din teoremele 1 s ,i 3.
Ca s ,i exemple se poate lua funct ,iaf(x) =x1+pentru un > 0 mic
arbitrar, sau f(x) =x=ln2(x) s,i se iaP1
j=1ajca serie armonic a pentru a
construi funct ,iile agregat A ca s ,iA(x) =f(x) pe un interval mic arbitrar
(0;), rezultatele de la (1) ne d a A(x) = 0 pe [0 ;1[n. Similar, se poate
lua funct ,iag(x) =x1pentru un > 0 arbitrar mic sau g(x) =xln2(x),
s,i se ia seriaP1
j=1ajcuaj=g1(1=j) pentru a obt ,ine funct ,ii agregat A
ca s,iA(x) =g(x) pe un interval mic (0 ;); rezultatul lui (2) ne arat a c a
A(x) = +1pentru tot ,ix6= 0;x2[0;1[n. Cu ajutorul rezultatului din
paragraful 2 se poate decide relat ,iile ^ nK
ns,iKn
uit^ andu-ne la cazul uni-
dimensional. Pentru o funct ,ie agregat A pe [0 ;1]n, eAdenit a pe [0 ;1],
eA(x) =A(x;x;:::;x ) s,i pentru orice i2f1;2;3;:::;ng, eAidenit pe
[0;1] deAi(x) =A(xei), undeeieste al i-lea vector unitate.
Teorema 4: Fie A o funct ,ie agregat pe [0;1]n. Atunci,
1. (i) A | [0;1[ndac a s ,i numai dac a Aj[0;1[2K
1, s,i
2. (i) A| [0;1[n2Kn
, dac a s ,i numai dac a Aij[0;1[2K1
pentru c^ at ,iva
i2f1;2;:::;ng.
8

Demonstrat ie. (i) Este nevoie doar de a ar ata c a A(x) =1pentru unii
vectorix6= 0;x2[0;1[ndac a s ,i numai dac a ( A)=1pentru unii x>0.
Pentru implicarea direct a, este sucient s a lu am prin monotonie, pentru un
vector x nenul dat, valoarea x va  egal a cu maximul coordonatelor lui x;
implicarea invers a reese prin luarea vectorului x= (x;x;:::;x ), pentru un
x > 0 dat. (ii) Aici este nevoie doar de a ar ata c a A(x) = 0 pentru unii
vectori x nenuli x2[0;1[ndac a s ,i numai dac a ( Ai)(x) = 0 pentru unii
x >0 s,i uniii21;2;:::;n . Pentru implicarea direct a este sucient s a lu am
uni21;2;:::;n pentru care coordonata al i-lea a lui x are o valoare x
nenul a; prin monotonia avem ( Ai)(x) = 0. Implicarea invers a reese prin
luarea simpl a a lui x=ei.
Ca s ,i exemple al acestui rezultat se consider a funct ,ia agregat A denit a
pentru orice x2[0;1]3lu^ andA(x) ca ind media coordonatelor vectorului
x. Din teorema 4 reese imediat c a Aj[0;1[32K
3dar nu apart ,ine luiK3
1.
9

4. Compararea lui (A)cu
(A)
^In acest paragraf autoarea demostreaz a c a valorile lui ( A)nu pot  nici-
odat a mai mari ca valorile lui ( A)pentru o funct ,ie agregat A denit a pe
[0;1]n. Demonstrat ,ia depinde foarte mult de faptul c a A este denit pentru
vectorii nenuli ai [0 ;1]ncare sunt aproape arbitrari vectorului zero. Teo-
rema 5: FieA: [0;1]n![0;1]o funct ,ie agregat. Atunci (A)(A).
Demonstrat ie. Pentru funct ,ia agregat dat a A s ,i pentru orice i2f1;2;:::;ng
eAi: [0;1[![0;1[ s a e marginea funct ,iei A considerat a ^ nainte ^ n
demostart ,ia teoremei 4 , dat de Ai(x) =A(xei) =A(0;:::;x;:::; 0), unde x
apare ^ n coordonata al i-lea. Nu este greu de vericat c a
A(x1;:::;xn)nX
i=1(Ai)(xi) s,i A(x1;:::;xn)nX
i=1(Ai)(xi):
Reese c a
(A)(x1;:::;xn)nX
i=1((Ai))(xi) s,i(A)(x1;:::;xn)nX
i=1((Ai))(xi)
Fie acum
ai= lim inf
t!0+Ai(t)
ts,i bi= lim sup
t!0+Ai(t)
t:
Din teorema 1 din paragraful 2 avem:
(Ai)(x)aixbix(Ai)(x)
care implic a faptul c a
((Ai))(x)aixbix((Ai))(x):
10

Prin urmare, pentru orice x= (x1;:::;xn)2[0;1[navem:
(A)(x)nX
i=1((Ai))(xi)nX
i=1aixinX
i=1bixinX
i=1((Ai))(xi) = (A)(x)
ceea ce ^ ncheie demostrat ,ia.
De asemenea autoarea include o observat ,ie despre cealalt a extrem a, care
este, c^ and ( A)= (A). O caracterizare a funct ,iilor agregat A pe [0 ;1]n
pentru care egalitatea exist a este c a tot o problem a deschis a. Exemplele unor
asemenea funct ,ii uni-lineare pot  construite, de exemplu folosind cororarul
1 ^ mbinat cu teorema 3. ^In orice caz, dac a ( A)= (A)putem cel put ,in s a
spunem c a rezultatul este o funct ,ie aditiv a, de exemplu, o funct ,ie D satisface
D(x+y) =D(x) +D(y) pentru orice x;y2[0;1[n.
Siposovaa formulat s ,i dovedit rezultattul ^ ntr-o generalitate put ,in mai
mare.
Corolar 4: Fie B s ,i C dou a funct ,ii agregat pe [0;1]nca s ,iB(x) =
C(x)pentru orice x2[0;1[n. Atunci funct ,iaD=B=Ceste aditiv a,
D(x) =Pn
i=1wi
xi, pentru unii w= (w1;:::;wn)2[0;1]n.
Demonstrat ie. Din rezultatul lui [6], Beste subaditiv a s ,iCeste superadi-
tiv a, reese c a D este ambele, adic a s ,i subaditiv a s ,i superaditiv a, prin urmare
aditiv a.
Exemplul 1: (i) Denim A2AnprinA(x1;:::;xn) =max(x1;:::;xn):
AtunciA2Pns,iA=A,A(x1;:::;xn) =Pn
i=1xis,i (A)= (A)=A.
(ii) Consider am B;C2Andat deB(x1;:::;xn) = ln(Qn
i=1(1 +xi)) s,i
(x1;:::;xn) = (Pn
i=1exi)n. AtunciB=B;C=Cs,iB=Ceste dat de
B(x1;::;xn) =Pn
i=1xi.
11

5. Concluzii
Scopul principal al autoarei a fost s a caracterizeze funct ,iile agregat pro-
prii A cu proprietatea c a A(s,i similarA) este proprie de asemenea. ^In
decursul investigat ,iilor autoarea a obt ,inut un num ar de rezultate legate de
comportamentul transform arilor subaditive s ,i superaditive As,iA. Referi-
tor la repet arile acestor transform ari autoarea a ar atat c a ( A)(A)s,i
astfel cele dou a funct ,ii pot  arbitrar departe una de cealalt a.
Pe scurt s ,i intr-o oarecare situat ,ie abstract a, autoarea a claricat con-
str^ angerile pentru funct ,iile agregat admit ,^ and superaditivitatea/ subaditivi-
tatea transform arilor f ar pierdere complet a de informat ,ii. Transform arile
considerate sunt legate de probelemele de optimizare, de exemplu funct ,iile
de product ,ie in problemele de economie. Pentru o discut ,ie mai am anunt ,it a
autoarea recomand a [6].
12

Bibliograe
[1] Eric V. Denardo. Linear Programming and Generalizations . Springer,
Berlin, 2011.
[2] A. Pradera G. Beliakov and T. Calvo. Aggregation Functions: A Guide
of Practitioners . Springer, 2007.
[3] E. Lehrer. A new integral for capacities. Econ. Theory , 39(1):157{176,
2009.
[4] R.Mesiar M.Grabisch, J.-L.Marichal and E.Pap. Aggregation functions.
Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, Cambrigde University
Press , 2009.
[5] E.Pap R.Mesiar, J.Li. Superdecomposition integrals. Fuzzy Sets and
Systems , 259:3{11, 2015.
[6] F.Rindone S.Greco, R.Mesiar and L. Sipeky. Superadditive and subaddi-
tive transformations of integrals and aggregation functions. Fuzzy Sets
and Systems , 291:40{53, Mai 2015.
13