P arint ilor mei [620496]

P arint ilor mei
Ion¸ siMaria

Cuprins
Introducere ix
1 Operatori de evolut ie ^ n spat ii Banach 1
1.1 Operatori de evolut ¸ie generat ¸i de ecuat ¸ii
diferent ¸iale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Operatori de evolut ¸ie abstract ¸i . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Perturbarea operatorilor de evolut ¸ie . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Comport ari asimptotice slabe 19
2.1 Stabilitate exponent ¸ial˘ a slab˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Instabilitate exponent ¸ial˘ a slab˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Comport ari asimptotice neuniforme 45
3.1 Stabilitate exponent ¸ial˘ a neuniform˘ a . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Instabilitate exponent ¸ial˘ a neuniform˘ a . . . . . . . . . . . . . 63
3.3 Dichotomie exponent ¸ial˘ a neuniform˘ a . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4 Dichotomie exponent ¸ial˘ a mixt˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.5 Trichotomie exponent ¸ial˘ a ˆ ın sens Elaydi-H´ ajek . . . . . . . . 102
Bibliograe 113

Introducere
Teoria calitativ˘ a a solut ¸iilor ecuat ¸iilor diferent ¸ialeˆ ın spat ¸ii finit sau infinit
dimensionale are un spectru de aplicabilitate foarte variat de la mecanica
fluidelor, aerodinamic˘ a, dinamica populat ¸iilor, pˆ an˘ a la controlul ingineresc,
dinamica economic˘ a etc. Plecˆ and de la o serie de rezultate clasice obt ¸inute
ˆ ın teoria stabilit˘ at ¸ii semigrupurilor de operatori liniari (vezi, de exemplu [21,
53, 132]), s-au obt ¸inut diverse caracteriz˘ ari ale stabilit˘ at ¸ii solut ¸iilor ecuat ¸iilor
de evolut ¸ie modelate cu ajutorul operatorilor de evolut ¸ie [20, 43, 44, 109, 155]
sau al cociclilor [36, 175], iar recent studiul comport˘ arilor asimptotice a fost
extins ˆ ın cadrul general al cociclilor de evolut ¸ie pe spat ¸ii Banach [55, 113,
177, 179].
Poate cel mai important rezultat din teoria stabilit˘ at ¸ii semigrupurilor de
operatori liniari a fost obt ¸inut de R. Datko ˆ ın [45]. Acesta a demonstrat
c˘ a un C0-semigrup de operatori liniari T={T(t)}t≥0definit pe un spat ¸iu
Hilbert Xverific˘ a inegalitatea
∥T(t)∥≤M0e−t,pentru orice t≥0,
unde M0≥1 ¸ siα >0 (i.e. Teste uniform exponent ¸ial stabil), dac˘ a ¸ si numai
dac˘ a pentru orice x∈Xare loc relat ¸ia
∫∞
0∥T(t)x∥2dt <∞.
A. Pazy a extins rezultatul obt ¸inut de Datko ˆ ın spat ¸ii Banach [131].
Mai mult, acesta a ar˘ atat c˘ a exponentul p= 2 poate fi ˆ ınlocuit cu orice
p∈[1,∞). O alt˘ a generalizare a rezultatului obt ¸inut de Datko a fost dat˘ a
de J. Zabczyk ˆ ın [186], acesta ˆ ınlocuind ∥T(t)x∥2cum(∥T(t)x∥), unde
ix

x
m:R+→R+este o funct ¸ie convex˘ a ¸ si strict cresc˘ atoare cu m(0) = 0. De
asemenea, W. Littman [79] a demonstrat c˘ a C0- semigrupul T={T(t)}t≥0
este uniform exponent ¸ial stabil dac˘ a ¸ si numai dac˘ a exist˘ a o funct ¸ie continu˘ a
¸ si cresc˘ atoare φ:R+→R+cuφ(0) = 0 ¸ si φ(t)>0, pentru orice t >0,
astfel ˆ ıncˆ at
∫∞
0φ(∥T(t)x∥)dt <∞,pentru orice x∈X.
Se observ˘ a c˘ a Teorema Datko-Pazy poate fi obt ¸inut˘ a imediat din acest
rezultat pentru φ(t) =tp.
Rezultatele precedente au fost extinse pentru prima dat˘ a de Datko [46]
ˆ ın cazul operatorilor de evolut ¸ie (proceselor evolutive) pe spat ¸ii Banach.
Acesta demonstreaz˘ a c˘ a un operator de evolut ¸ie continuu Ucare are cre¸ stere
exponent ¸ial˘ a uniform˘ a este uniform exponent ¸ial stabil dac˘ a ¸ si numai dac˘ a
exist˘ a p≥1 astfel ˆ ıncˆ at pentru orice x∈Xare loc relat ¸ia
∫∞
s∥U(t, s)x∥pdt≤K(x)<∞,pentru orice s≥0.
ˆIn cazul ˆ ın care U(t, s) este generat de ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ adx
dt=A(t)x,unde
[0,∞)∋t7−→A(t)∈ B(X) este o funct ¸ie operatorial˘ a tare m˘ asurabil˘ a ¸ si
local integrabil˘ a Bochner, acest rezultat a fost obt ¸inut de Daleckiˇ ı-Kreˇ ın [44,
pp. 133] pentru orice p >0, considerˆ and K(x) =K∥x∥p. Se poate ar˘ ata
c˘ a pentru p≥1, relat ¸ia precedent˘ a poate fi ˆ ınlocuit˘ a cu
sup
s≥0∫∞
s∥U(t, s)x∥pdt <∞.
Rezultatul obt ¸inut de Datko, respectiv Daleckiˇ ı-Kreˇ ın a fost extins de A.
Ichikawa [69] ˆ ın cadrul familiilor biparametrice de operatori neliniari T(t, s)
definit ¸i pe Xs⊆X¸ si care verific˘ a propriet˘ at ¸ile:
•T(t, s)Xs⊆Xt,t≥s≥0;
•T(t, t)x=x,t≥0 ,x∈Xt;
•T(t, τ)T(τ, s) =T(t, s) peXs,t≥τ≥s≥0;
•T(·, s)xeste continu˘ a pe [ s,∞) pentru orice x∈Xs.

xi
Acesta a ar˘ atat c˘ a dac˘ a g: [0,∞)→(0,∞) este o funct ¸ie continu˘ a care
verific˘ a relat ¸ia
∥T(t, s)x∥≤g(t−s)∥x∥, x∈Xs, t≥s,
atunci T(t, s) este o familie uniform exponent ¸ial stabil˘ a dac˘ a ¸ si numai dac˘ a
exist˘ a p, K > 0 astfel ˆ ıncˆ at
∫∞
s∥T(t, s)x∥pdt≤Kp∥x∥p, x∈Xs, s≥0.
Studiul stabilit˘ at ¸ii exponent ¸iale uniforme a operatorilor de evolut ¸ie a
cunoscut o dezvoltare major˘ a odat˘ a cu aparit ¸ia unui rezultat remarcabil
obt ¸inut de S. Rolewicz ˆ ın [161]. Acesta demonstreaz˘ a c˘ a dac˘ a Ueste un
operator de evolut ¸ie continuu cu cre¸ stere exponent ¸ial˘ a uniform˘ a pentru care
exist˘ a o aplicat ¸ie N:R∗
+×R+→R+care verific˘ a propriet˘ at ¸ile:
•pentru orice t >0, funct ¸ia s7−→N(t, s) este continu˘ a ¸ si cresc˘ atoare
cuN(t,0) = 0 ¸ si N(t, s)>0,∀s >0;
•pentru orice s≥0, funct ¸ia t7−→N(t, s) este cresc˘ atoare;
•pentru orice x∈Xexist˘ a α(x)>0 astfel ˆ ıncˆ at
sup
s≥0∫∞
sN(α(x),∥U(t, s)x∥)dt <∞,
atunci Ueste uniform exponent ¸ial stabil.
Folosind principiul m˘ arginirii uniforme, K.V. Storozhuk a obt ¸inutˆ ın [180]
un rezultat similar celui demonstrat de Rolewicz.
O reformulare ˆ ın cazul operatorilor de evolut ¸ie a unui rezultat obt ¸inut
de E.A. Barbashin ˆ ın [5] d˘ a o alt˘ a caracterizare a stabilit˘ at ¸ii exponent ¸iale
uniforme: orice operator de evolut ¸ie U, continuu ˆ ın topologia operatorial˘ a
uniform˘ a ¸ si avˆ and cre¸ stere exponent ¸ial˘ a uniform˘ a, este uniform exponent ¸ial
stabil dac˘ a ¸ si numai dac˘ a are loc relat ¸ia
sup
t≥0∫t
0∥U(t, τ)∥dτ <∞.

xii
Din scurta prezentare f˘ acut˘ a putem trage concluzia c˘ a teorema lui Datko
[45] poate fi considerat˘ a punctul de plecare al rezultatelor obt ¸inute ulterior
ˆ ın teoria stabilit˘ at ¸ii. Trebuie s˘ a remarc˘ am ˆ ıns˘ a c˘ a scopul pentru care Datko
a dat acest rezultat a fost de a extinde ˆ ın cadrul semigrupurilor de operatori
definit ¸i pe spat ¸ii Hilbert un vechi rezultat obt ¸inut de Lyapunov ˆ ın caz finit
dimensional.
Teorema clasic˘ a a lui Lyapunov afirm˘ a c˘ a dac˘ a A∈ M (n,C) este o
matrice p˘ atratic˘ a de ordinul n, atunci toate valorile proprii zale lui Aau
proprietatea c˘ a Re z < 0 dac˘ a ¸ si numai dac˘ a exist˘ a o unic˘ a matrice pozitiv
definit˘ a B∈ M (n,C) cuB∗=Bastfel ˆ ıncˆ at are loc relat ¸ia
A∗B+BA=−Id.
Datko demonstreaz˘ aˆ ın [45] c˘ a un C0- semigrup pe spat ¸iul Hilbert Xeste
uniform exponent ¸ial stabil dac˘ a ¸ si numai dac˘ a exist˘ a un operator B∈ B(X)
cuB∗=B¸ siB≥0 astfel ˆ ıncˆ at
< Ax, Bx > +< Bx, Ax > =− ∥x∥2,∀x∈D(A),
unde Areprezint˘ a generatorul infinitezimal al C0- semigrupului. Relat ¸ia
precedent˘ a este echivalent˘ a cu A∗Q+QA=−Id pe D(A),unde Qeste un
operator pozitiv care verific˘ a QD(A)⊆D(A∗).
Alte caracteriz˘ ari (de tip Lyapunov) pentru stabilitatea exponent ¸ial˘ a
uniform˘ a a semigrupurilor de operatori sau a operatorilor de evolut ¸ie au
fost obt ¸inute ˆ ın [54], [136], [143] ¸ si [155], dar acestea au loc doar ˆ ın spat ¸ii
Hilbert. Considerarea unor funct ¸ii Lyapunov ˆ ın cadrul general al spat ¸iilor
Banach apare ˆ ın lucr˘ arile [19] ¸ si [24].
ˆIn teoria general˘ a a stabilit˘ at ¸ii ecuat ¸iilor diferent ¸iale un loc aparte ˆ ıl are
dichotomia exponent ¸ial˘ a. Studiul acesteia s-a dezvoltat rapid, conducˆ and la
o literatur˘ a bogat˘ a care ˆ ıncepe odat˘ a cu rezultatele obt ¸inute de Perron [133]
ˆ ınc˘ a din 1930.
Teorema Datko-Pazy a fost generalizat˘ a de P. Preda ¸ si M. Megan ˆ ın
cazul dichotomiei exponent ¸iale uniforme [147] ¸ si de N. Lupa ¸ si M. Megan
ˆ ın cadrul comport˘ arilor asimptotice neuniforme [88], iar caracteriz˘ ari de tip
Lyapunov au fost obt ¸inute ˆ ın [88, 99, 155].

xiii
Una dintre cele mai importante propriet˘ at ¸i ale dichotomiei exponent ¸iale
este invariant ¸a la perturb˘ ari liniare suficient de mici.
Dintre lucr˘ arile de referint ¸˘ a ˆ ın acest domeniu amintim monografia lui
Coppel [43] ¸ si lucrarea [122], care ˆ ımbun˘ at˘ at ¸e¸ ste substant ¸ial rezultatele din
[43] atˆ at prin considerarea cazului general cu constante dichotomice diferite,
cˆ at ¸ si calitatea perturb˘ arilor. O alt˘ a lucrare de referint ¸˘ aˆ ın acest sens este cea
a autorilor N. Ju ¸ si S. Wiggins [70] ˆ ın care se obt ¸ine o perturbare superioar˘ a
calitativ fat ¸˘ a de cea din [122]. Trebuie remarcat ˆ ıns˘ a c˘ a rezultatele obt ¸inute
ˆ ın aceste lucr˘ ari sunt valabile pentru ecuat ¸ii diferent ¸iale definite pe spat ¸ii
finit dimensionale. Trecerea de la cazul finit la cel infinit dimensional a
fost f˘ acut˘ a de L.H. Popescu ˆ ın [138], folosind teorema de punct fix a lui
Banach. De asemenea, acesta demonstreaz˘ a ˆ ın [139] c˘ a proprietatea de
dichotomie exponent ¸ial˘ a uniform˘ aˆ ın cazul general al operatorilor de evolut ¸ie
(f˘ ar˘ a cre¸ stere exponent ¸ial˘ a uniform˘ a) se conserv˘ a ˆ ın urma unor perturb˘ ari
suficient de mici. ˆIn fapt, se demonstreaz˘ a c˘ a dac˘ a Ueste un operator de
evolut ¸ie pe dreapta real˘ a continuu cu proprietatea c˘ a exist˘ a o funct ¸ie local
integrabil˘ a ω:R→(0,∞) astfel ˆ ıncˆ at ∥U(t, s)∥≤e∫t
s!()d, t≥s,atunci
operatorul de evolut ¸ie perturbat r˘ amˆ ane, ˆ ın anumite condit ¸ii, exponent ¸ial
dichotomic.
Ca o generalizare natural˘ a a dichotomiei exponent ¸iale este considerat˘ a
not ¸iunea de trichotomie. Dac˘ a dichotomia invoc˘ a existent ¸a a dou˘ a familii
de proiectori complementare, trichotomia presupune existent ¸a a trei familii
de proiectori suplementare. ˆIn literatura de specialitate se disting dou˘ a
concepte de trichotomie exponent ¸ial˘ a. Astfel, primul concept de trichotomie,
introdus de Sacker-Sell ˆ ın [164], presupune descompunerea spat ¸iului st˘ arilor
ˆ ın trei subspat ¸ii ˆ ınchise (varietatea stabil˘ a, varietatea instabil˘ a ¸ si varietatea
central˘ a). Cel de-al doilea concept, introdus de Elaydi-H´ ajek ˆ ın [51], implic˘ a
existent ¸a dichotomiei exponent ¸iale pe ambele semiaxe, dar cu proiectori de
structur˘ a diferit ¸i.
Am prezentat astfel, sub forma unei sinteze, cadrul general ˆ ın care se
ˆ ınscrie monografia de fat ¸˘ a. Lucrarea este structurat˘ a pe trei capitole, tema
acesteia fiind legat˘ a de studiul a dou˘ a tipuri de comport˘ ari asimptotice
exponent ¸iale ale operatorilor de evolut ¸ie ˆ ın spat ¸ii Banach.

xiv
ˆIn primul capitol sunt prezentate not ¸iuni ¸ si rezultate fundamentale din
teoria operatorilor de evolut ¸ie. Un aspect important abordat ˆ ın acest capitol
se refer˘ a la existent ¸a operatorului de evolut ¸ie perturbat.
ˆIn capitolul doi al monografiei de fat ¸˘ a accentul este pus pe definirea,
exemplificarea ¸ si caracterizarea unor concepte de stabilitate ¸ si instabilitate
exponent ¸ial˘ a. Rezultatele prezentate sunt generaliz˘ ari sau extinderi ale unor
teoreme clasice datorate matematicienilor R. Datko [46], A. Pazy [131], S.
Rolewicz [161], J. Zabczyk [186], Ju.L. Daleckiˇ ı, M.G. Kreˇ ın [44], V. Pata
[130] ¸ si H. Zwart [189].
Capitolul trei are o structur˘ a similar˘ a celui de-al doilea, ˆ ın sensul c˘ a
sunt definite ¸ si caracterizate diverse concepte de stabilitate ¸ si instabilitate
exponent ¸ial˘ a, dar de data aceasta rezultatele sunt prezentate ˆ ıntr-un cadru
neuniform. Acestea se dovedesc a nu fi o simpl˘ a cosmetizare a celor din cazul
uniform, ci o generalizare natural˘ a ¸ si important˘ a a acestora, fapt motivat
de numeroase exemple. ˆIn plus fat ¸˘ a de capitolul precedent, sunt studiate ¸ si
concepte de dichotomie ¸ si trichotomie exponent ¸ial˘ a.
Doresc s˘ a exprim pe aceast˘ a cale profunda mea recuno¸ stiint ¸˘ a domnului
Prof. univ. Emerit Mihail Megan pentru ˆ ıncrederea acordat˘ a ¸ si sust ¸inerea
din punct de vedere profesional ¸ si uman manifestat˘ a pe parcursul form˘ arii
mele ca cercet˘ ator. De asemenea, adresez sincere mult ¸umiri domnului Conf.
dr. Liviu Horia Popescu, pentru acceptul dˆ ansului de a fi referent ¸ stiint ¸ific
al acestei monografii. Elaborarea acestei c˘ art ¸i nu ar fi fost posibil˘ a f˘ ar˘ a
ˆ ıncuraj˘ arile doamnei Lector dr. Maria Anastasia Jivulescu.
Timi¸ soara, 01.09.2014 Nicolae Lupa
Munca depus˘ a ˆ ın realizarea acestei monografii a fost finant ¸at˘ a printr-un
grant CNCS-UEFISCDI, num˘ ar de proiect PN-II-ID-JRP-2011-2.

Capitolul 1
Operatori de evolut ie ^ n spat ii Banach
1.1 Operatori de evolut ie generat i de ecuat ii
diferent iale
Fie ( X,∥ · ∥ ) un spat ¸iu Banach (real sau complex) ¸ si B(X) algebra
Banach a operatorilor liniari ¸ si m˘ arginit ¸i pe X.ˆIn cele ce urmeaz˘ a, vom
nota cu Rmult ¸imea numerelor reale ¸ si cu R+mult ¸imea numerelor reale
nenegative, respectiv cu Nmult ¸imea numerelor naturale, iar cu N∗mult ¸imea
numerelor naturale nenule. Dac˘ a I⊆Reste un interval nedegenerat, atunci
vom nota cu C(I, X) spat ¸iul liniar al funct ¸iior continue u:I→X, respectiv
cuC1(I, X) spat ¸iul funct ¸iilor de clas˘ a C1definite pe Icu valori ˆ ın spat ¸iul
Banach X.
De asemenea, fie J∈ {R+,R}. Vom nota cu ∆ Jmult ¸imea
∆J={(t, s)∈J×J:t≥s}.
ˆIn cazul ˆ ın care mult ¸imea Jeste cunoscut˘ a, pentru a nu complica prea mult
scrierea, vom utiliza ∆ +ˆ ın loc de ∆ R+, respectiv ∆ ˆ ın loc de ∆ R. O alt˘ a
notat ¸ie pe care o vom folosii este ∆ −={(t, s)∈R2: 0≥t≥s}.
Pentru T > 0, consider˘ am problema Cauchy neautonom˘ a omogen˘ a
{
˙u(t) = A(t)u(t), t∈(t0, T],
u(t0) = x0,(1.1)
unde t0∈[0, T) ¸ six0∈X, iarA(t) :D(A(t))⊆X→X,t∈[0, T], este un
operator liniar.
1

2 Capitolul 1. Operatori de evolut ie ^n spat ii Banach
Denit ia 1.1.1 Spunem c˘ a o funct ¸ie u: [t0, T]→Xeste solut ie clasic a
pentru problema Cauchy (1.1) dac˘ a satisface simultan urm˘ atoarele condit ¸ii:
•u∈ C([t0, T], X)∩ C1((t0, T], X);
•u(t)∈D(A(t)), pentru orice t∈(t0, T];
•uverific˘ a sistemul (1.1).
Lema 1.1.1 Dac a A: [0, T]→ B(X)este o aplicat ie continu a ^ n topologia
operatorial a uniform a, atunci funct ia u: [t0, T]→Xeste o solut ie clasic a
a problemei Cauchy (1.1)dac a  si numai dac a ueste continu a pe intervalul
[t0, T] si, ^ n plus, veric a ecuat ia integral a
u(t) =x0+∫t
t0A(τ)u(τ)dτ,pentru orice t∈[t0, T]. (1.2)
Demonstrat ie .Necesitatea . Presupunem c˘ a ueste o solut ¸ie clasic˘ a pentru
problema Cauchy (1 .1). Atunci
˙u(τ) =A(τ)u(τ),pentru orice τ∈(t0, T].
Fiet∈(t0, T]. Integrˆ and relat ¸ia precedent˘ a pe intervalul ( t0, t], obt ¸inem
∫t
t0˙u(τ)dτ=∫t
t0A(τ)u(τ)dτ,
ceea ce este echivalent cu u(t)−lim
→t0
 > t 0u(τ) =∫t
t0A(τ)u(τ)dτ.Cum ueste
continu˘ a ˆ ın t0¸ siu(t0) =x0, rezult˘ a
u(t) =x0+∫t
t0A(τ)u(τ)dτ,pentru orice t∈[t0, T].
Sucient a . Presupunem c˘ a funct ¸ia ueste continu˘ a pe [ t0, T] ¸ si c˘ a verific˘ a
ecuat ¸ia integral˘ a (1.2). Vom demonstra mai ˆ ıntˆ ai c˘ a ueste derivabil˘ a pe
(t0, T] cu ˙u(t) =A(t)u(t),pentru orice t∈(t0, T].ˆIntr-adev˘ ar, cum aplicat ¸ia
[t0, T]∋τ7−→A(τ)u(τ)∈X (1.3)

1.1. Operatori de evolut ie generat i de ecuat ii diferent iale 3
este continu˘ a, rezult˘ a c˘ a pentru orice t∈[t0, T] ¸ si orice ε >0 exist˘ a δ >0
astfel ˆ ıncˆ at pentru orice τ∈[t0, T] cu|τ−t|< δ, are loc
∥A(τ)u(τ)−A(t)u(t)∥<ε
2· (1.4)
Fiet∈(t0, T) ¸ siε > 0. Din continuitatea funct ¸iei date de relat ¸ia (1.3),
rezult˘ a c˘ a exit˘ a δ >0 astfel ˆ ıncˆ at are loc (1.4). Pentru h∈(0, δ) cut+h < T
avem

u(t+h)−u(t)
h−A(t)u(t)

=

1
h∫t+h
t0A(τ)u(τ)dτ−1
h∫t
t0A(τ)u(τ)dτ−A(t)u(t)

=

1
h∫t+h
tA(τ)u(τ)dτ−A(t)u(t)

=

1
h∫t+h
tA(τ)u(τ)dτ−1
h∫t+h
tA(t)u(t)dτ

≤1
h∫t+h
t∥A(τ)u(τ)−A(t)u(t)∥dτ
< ε,
ceea ce arat˘ a c˘ a ueste derivabil˘ a la dreapta pe ( t0, T). Pentru a demonstra
derivabilitatea la stˆ anga, consider˘ am t∈(t0, T] ¸ siε >0. Fie δ >0 dat de
relat ¸ia (1.4). Pentru orice h∈(0, δ) cut−h > t 0obt ¸inem

u(t−h)−u(t)
−h−A(t)u(t)

=

−1
h∫t−h
t0A(τ)u(τ)dτ+1
h∫t
t0A(τ)u(τ)dτ−A(t)u(t)

=

1
h∫t
t−hA(τ)u(τ)dτ−A(t)u(t)

=

1
h∫t
t−hA(τ)u(τ)dτ−1
h∫t
t−hA(t)u(t)dτ

≤1
h∫t
t−h∥A(τ)u(τ)−A(t)u(t)∥dτ
< ε.

4 Capitolul 1. Operatori de evolut ie ^n spat ii Banach
Deci, ueste derivabil˘ a pe ( t0, T] ¸ si ˙u(t) =A(t)u(t), pentru t∈(t0, T]. Dar
cum aplicat ¸ia definit˘ a ˆ ın (1.3) este continu˘ a, rezult˘ a c˘ a u∈ C1((t0, T], X).

Teorema 1.1.1 Dac a aplicat ia A: [0, T]→ B(X)este continu a ^ n topologia
operatorial a uniform a, atunci pentru orice t0∈[0, T) six0∈X, problema
Cauchy (1.1)admite o unic a solut ie clasic a.
Demonstrat ie . Fie t0∈[0, T) ¸ six0∈X. Pe spat ¸iul Banach Y=
C([t0, T], X), ˆ ınzestrat cu norma ||u||∞= max
∈[t0;T]||u(τ)||,definim operatorul
S:Y→Y,
(Su)(t) =x0+∫t
t0A(τ)u(τ)dτ. (1.5)
Pentru u, v∈Yobt ¸inem
∥Su(t)−Sv(t)∥=

∫t
t0A(τ)[u(τ)−v(τ)]dτ

≤∫t
t0∥A(τ)∥∥u(τ)−v(τ)∥dτ
≤M(t−t0)||u−v||∞,
pentru orice t∈[t0, T], unde M= max
∈[0;T]||A(τ)||. Plecˆ and de la acest
rezultat, vom demonstra prin induct ¸ie relat ¸ia
∥Snu(t)−Snv(t)∥≤Mn(t−t0)n
n!||u−v||∞, (1.6)
pentru orice t∈[t0, T],n∈N∗.ˆIntr-adev˘ ar, presupunem c˘ a relat ¸ia (1.6)
are loc pentru un anumit n∈N∗fixat. Pentru orice t∈[t0, T] avem
∥Sn+1u(t)−Sn+1v(t)∥ ≤∫t
t0∥A(τ)∥∥Snu(τ)−Snv(τ)∥dτ
≤Mn+1
n!∫t
t0(τ−t0)ndτ||u−v||∞
=Mn+1
n!∫t−t0
0ξndξ||u−v||∞
=Mn+1(t−t0)n+1
(n+ 1)!||u−v||∞,

1.1. Operatori de evolut ie generat i de ecuat ii diferent iale 5
¸ si deci relat ¸ia (1.6) are loc pentru orice n∈N∗. Aceasta ne conduce la
urm˘ atoarea inegalitate
∥Snu(t)−Snv(t)∥≤Mn(T−t0)n
n!||u−v||∞,pentru orice n∈N∗.(1.7)
Cum lim
n→∞Mn(T−t0)n
n!= 0, rezult˘ a c˘ a exist˘ a n0∈N∗astfel ˆ ıncˆ at
Mn0(T−t0)n0
n0!<1,
ceea ce implic˘ a faptul c˘ a Sn0este o contract ¸ie pe Y. Aplicˆ and o variant˘ a
generalizat˘ a a teoremei de punct fix a lui Banach, deducem c˘ a operatorul
Sadmite un unic punct fix u∈Y. Deci, exist˘ a o unic˘ a funct ¸ie continu˘ a
u: [t0, T]→Xastfel ˆ ıncˆ at
u(t) =x0+∫t
t0A(τ)u(τ)dτ,pentru t∈[t0, T].
Din Lema 1.1.1 rezult˘ a c˘ a pentru orice t0∈[0, T) ¸ six0∈X, problema
Cauchy (1.1) admite o unic˘ a solut ¸ie clasic˘ a pe care o vom nota cu u(·;t0, x0).

ˆIn cele ce urmeaz˘ a, vom presupune c˘ a A(t) este un operator liniar ¸ si
m˘ arginit pe Xpentru orice t∈[0, T] ¸ si c˘ a aplicat ¸ia A: [0, T]→ B (X)
este continu˘ a ˆ ın topologia operatorial˘ a uniform˘ a. Din teorema precedent˘ a
rezult˘ a c˘ a are sens s˘ a definim operatorul
U(t, t0)x0:=u(t;t0, x0),pentru 0 ≤t0≤t≤T¸ six0∈X,
unde u(·;t0, x0) este unica solut ¸ie clasic˘ a a problemei Cauchy (1.1). Vom
nota cu ∆ Tmult ¸imea ∆ T={
(t, t0)∈R2: 0≤t0≤t≤T}
.
Teorema 1.1.2 Operatorul U(t, t0)denit mai sus este un operator liniar
 si m argint pe X, adic a U(t, t0)∈ B(X), pentru 0≤t0≤t≤T si, ^ n plus,
au loc urm atoarele propriet at i:
(i)∥U(t, t0)∥≤e∫t
t0∥A()∥d, pentru (t, t0)∈∆T;
(ii)U(t0, t0) = Id (operatorul identitate pe X), pentru t0∈[0, T];

6 Capitolul 1. Operatori de evolut ie ^n spat ii Banach
(iii)U(t, s)U(s, t0) =U(t, t0), pentru 0≤t0≤s≤t≤T;
(iv) Aplicat ia ∆T∋(t, s)7−→U(t, s)∈ B(X)este continu a ^ n topologia
operatorial a uniform a;
(v)@
@tU(t, s) =A(t)U(t, s), pentru (t, s)∈∆T;
(vi)@
@sU(t, s) =−U(t, s)A(s), pentru (t, s)∈∆T.
Demonstrat ie . Evident, U(t, t0) este un operator liniar pe Xpentru orice
(t, t0)∈∆T. Fie t0∈[0, T] ¸ six0∈X. Atunci
∥U(t, t0)x0∥≤∥x0∥+∫t
t0∥A(τ)∥∥U(τ, t0)x0∥dτ,
pentru orice t∈[t0, T]. Din inegalitatea lui Gronwall rezult˘ a
∥U(t, t0)x0∥≤e∫t
t0∥A()∥d∥x0∥,pentru orice t∈[t0, T],
ceea ce implic˘ a U(t, t0)∈ B(X), pentru orice ( t, t0)∈∆T.ˆIn plus, are loc
relat ¸ia (i). Din U(t0, t0)x0=u(t0;t0, x0) =x0, pentru orice x0∈X, rezult˘ a
(ii). Fie 0 ≤t0≤s≤T¸ six0∈X. Atunci
U(t, t0)x0−U(t, s)U(s, t0)x0
=x0+∫t
t0A(τ)U(τ, t0)x0dτ−U(s, t0)x0−∫t
sA(τ)U(τ, s)U(s, t0)x0dτ
=∫t
t0A(τ)U(τ, t0)x0dτ−∫s
t0A(τ)U(τ, t0)x0dτ
−∫t
sA(τ)U(τ, s)U(s, t0)x0dτ
=∫t
sA(τ)[U(τ, t0)x0−U(τ, s)U(s, t0)x0]dτ,pentru orice t∈[s, T].
Deci, aplicat ¸ia u(t) =U(t, t0)x0−U(t, s)U(s, t0)x0, t∈[s, T],este o solut ¸ie
a ecuat ¸iei integrale u(t) =∫t
sA(τ)u(τ)dτ, t ∈[s, T].Cum funct ¸ia v(t) = 0
verific˘ a aceast˘ a ecuat ¸ie, din unicitatea solut ¸iei rezult˘ a c˘ a u(t) =v(t), pentru
orice t∈[s, T], adic˘ a are loc (iii). Pentru a studia continuitatea aplicat ¸iei

1.1. Operatori de evolut ie generat i de ecuat ii diferent iale 7
∆T∋(t, s)7−→U(t, s)∈ B(X), vom considera patru cazuri:
Cazul 1. Fie (t, s)∈∆T¸ sih >0 astfel ca t+h < T . Are loc
∥U(t+h, s)−U(t, s)∥= sup
x∈X;∥x∥=1∥U(t+h, s)x−U(t, s)x∥→0,
atunci cˆ and h→0, c˘ aci U(·, s)xeste continu˘ a pe [ s, T] pentru orice x∈X.
Cazul 2. Fie (t, s)∈∆T¸ sih >0 astfel ca t−h > s . Avem
∥U(t−h, s)−U(t, s)∥= sup
x∈X;∥x∥=1∥U(t−h, s)x−U(t, s)x∥→0,
atunci cˆ and h→0.
Cazul 3. Fie (t, s)∈∆T¸ sih > 0 astfel ca s+h < t . Folosind (i)–(iii),
obt ¸inem
∥U(t, s+h)−U(t, s)∥= sup
x∈X;∥x∥=1∥U(t, s+h)x−U(t, s)x∥
= sup
x∈X;∥x∥=1∥U(t, s+h)x−U(t, s+h)U(s+h, s)x∥
≤ ∥U(t, s+h)∥ sup
x∈X;∥x∥=1∥x−U(s+h, s)x∥
≤e∫T
0∥A()∥dsup
x∈X;∥x∥=1∥x−U(s+h, s)x∥ → 0,
atunci cˆ and h→0.
Cazul 4. Fie (t, s)∈∆T¸ sih > 0 astfel ca s−h > 0. Folosind din nou
relat ¸iile (i)–(iii), deducem
∥U(t, s−h)−U(t, s)∥= sup
x∈X;∥x∥=1∥U(t, s−h)x−U(t, s)x∥
= sup
x∈X;∥x∥=1∥U(t, s)U(s, s−h)x−U(t, s)x∥
≤ ∥U(t, s)∥ sup
x∈X;∥x∥=1∥U(s, s−h)x−x∥
=∥U(t, s)∥ sup
x∈X;∥x∥=1

∫s
s−hA(τ)U(τ, s−h)x dτ

≤ ∥U(t, s)∥∫s
s−h∥A(τ)∥e∫
sh∥A()∥ddτ
≤ ∥U(t, s)∥e∫s
sh∥A()∥d∫s
s−h∥A(τ)∥dτ→0,

8 Capitolul 1. Operatori de evolut ie ^n spat ii Banach
atunci cˆ and h→0. Din cele patru cazuri considerate anterior rezult˘ a (iv).
Din Lema 1.1.1 ¸ si relat ¸ia (iv) rezult˘ a c˘ a U(t, s) este unica solut ¸ie a
ecuat ¸iei operatoriale integrale
U(t, s) = Id +∫t
sA(τ)U(τ, s)dτ,pentru t∈[s, T]. (1.8)
Derivˆ andˆ ın relat ¸ia precedent˘ a dup˘ a t, rezult˘ a (v). Pe de alt˘ a parte, derivˆ and
dup˘ a s, obt ¸inem
∂
∂sU(t, s) =−A(s) +∫t
sA(τ)∂
∂sU(τ, s)dτ.
Deci, operatorul V(t, s) =@
@sU(t, s) este solut ¸ia ecuat ¸iei integrale
V(t, s) =−A(s) +∫t
sA(τ)V(τ, s)dτ,pentru t∈[s, T]. (1.9)
Urm˘ atorul calcul
−A(s) +∫t
sA(τ)[−U(τ, s)A(s)]dτ=−A(s)−∫t
s∂
∂τU(τ, s)A(s)dτ
=−A(s)−U(t, s)A(s) +A(s)
=−U(t, s)A(s)
implic˘ a faptul c˘ a ¸ si W(t, s) =−U(t, s)A(s) este o solut ¸ie a ecuat ¸iei (1.9),
iar din unicitatea solut ¸iei obt ¸inem (vi).

ˆIn general ˆ ıns˘ a, A(t) :D(A(t))⊂X→Xeste un operator liniar
nem˘ arginit. Spre deosebire de cazul ecuat ¸iilor diferent ¸iale autonome care
genereaz˘ a C0-semigrupuri de operatori liniari, ˆ ın teoria ecuat ¸iilor diferent ¸iale
neautonome nu exist˘ a o teorem˘ a general˘ a de tip Hille-Yosida (vezi [53, pp.
477-479]). De aceea, ˆ ın cele ce urmeaz˘ a, vom considera cazul general al
ecuat ¸iilor de evolut ¸ie “bine puse” ˆ ın sensul dat de R. Nagel ¸ si G. Nickel ˆ ın
[119]. Astfel:
Denit ia 1.1.2 Spunem c˘ a ecuat ¸ia de evolut ¸ie ˙ u(t) =A(t)u(t), t≥s,este
bine pus a dac˘ a pentru orice s∈Rexist˘ a un subspat ¸iu Ys⊂D(A(s)) dens

1.2. Operatori de evolut ie abstract i 9
ˆ ınXastfel ˆ ıncˆ at oricare ar fi x∈Ys, Problema Cauchy neautonom˘ a
{
˙u(t) = A(t)u(t), t≥s,
u(s) = x,(1.10)
admite o unic˘ a solut ¸ie clasic˘ a ( u∈C1([s,∞), X),u(t)∈D(A(t)), pentru
orice t≥s¸ si are loc (1.10)), notat˘ a cu u(·;s, x), care depinde continuu
de datele init ¸iale ale problemei, adic˘ a dac˘ a sn→s¸ siYsn∋xn→x∈Ys
ˆ ınX, atunci ˜ u(t;sn, xn)→˜u(t;s, x) ˆ ınX, uniform ˆ ın raport cu tpe orice
submult ¸ime compact˘ a din R, unde
˜u(t;s, x) :=

u(t;s, x), t≥s,
x , t < s.
Se ¸ stie (a se vedea [119]) c˘ a dac˘ a ecuat ¸ia de evolut ¸ie ˙ u(t) =A(t)u(t) este
bine pus˘ a, atunci operatorul
U(t, s)x:=u(t;s, x), t≥s, x∈Ys,
poate fi extins prin continuitate la un operator liniar ¸ si m˘ arginit pe X.ˆIn
plus, au loc urm˘ atoarele propriet˘ at ¸i:
•U(s, s) = Id, pentru orice s∈R;
•U(t, s)U(s, t0) =U(t, t0), pentru orice t≥s≥t0;
•aplicat ¸ia ∆ ∋(t, s)7−→U(t, s)x∈Xeste continu˘ a pentru orice x∈X.
1.2 Operatori de evolut ie abstract i
Denit ia 1.2.1 O aplicat ¸ie U: ∆ +→ B(X) se nume¸ ste operator de evolut ie
(proces de evolut ie saufamilie de evolut ie ) dac˘ a verific˘ a urm˘ atoarele condit ¸ii:
(e1)U(t, t) = Id, pentru orice t≥0;
(e2)U(t, s)U(s, t0) =U(t, t0), pentru orice t≥s≥t0≥0.

10 Capitolul 1. Operatori de evolut ie ^n spat ii Banach
Exemplul 1.2.1 Pentru orice funct ¸ie u:R+→(0,∞) se poate defini ˆ ın
mod canonic un operator de evolut ¸ie:
U(t, s)x=u(t)
u(s)x,pentru ( t, s, x )∈∆+×X.
Remarca 1.2.1 De multe ori (vezi [36, pp. 57]), prin operator de evolut ¸ie
se ˆ ınt ¸elege o aplicat ¸ie U: ∆→ B (X) care verific˘ a relat ¸iile ( e1) ¸ si ( e2) din
definit ¸ia precedent˘ a pentru orice t∈R, respectiv pentru orice t≥s≥t0.ˆIn
acest caz vom spune c˘ a Ueste un operator de evolut ie pe dreapta real a . De
fapt, orice operator de evolut ¸ie poate fi extins ˆ ın mod canonic la un operator
de evolut ¸ie pe dreapta real˘ a:
eU(t, s) :=U(max{t,0},max{s,0}),pentru orice t≥s.
ˆIn anumite situat ¸ii, pentru a obt ¸ine o prezentare unitar˘ a a celor dou˘ a
concepte, prin operator de evolut ¸ie vom ˆ ınt ¸elege o aplicat ¸ie U: ∆J→ B(X)
care verific˘ a relat ¸iile:
(e1′)U(t, t) = Id, pentru orice t∈J;
(e2′)U(t, s)U(s, t0) =U(t, t0), pentru orice t≥s≥t0ˆ ınJ.
Denit ia 1.2.2 O aplicat ¸ie U:R2
+→ B(X) se nume¸ ste operator de evolut ie
reversibil dac˘ a au loc urm˘ atoarele condit ¸ii:
(r1)U(t, t) = Id, pentru orice t≥0;
(r2)U(t, s)U(s, t0) =U(t, t0), pentru orice t, s, t 0≥0.
ˆIn mod analog, se define¸ ste conceptul de operator de evolut ie reversibil pe
dreapta real a .
Propozit ia 1.2.1 Dac a Ueste un operator de evolut ie reversibil, atunci
U(t, s)este un operator inversabil. ^In plus, are loc
U(t, s)−1=U(s, t),pentru orice t, s≥0.

1.2. Operatori de evolut ie abstract i 11
Demonstrat ie . Rezult˘ a imediat din relat ¸ia
U(t, s)U(s, t) =U(t, t) = Id ,pentru t, s≥0.

Reciproc, se obt ¸ine urm˘ atorul rezultat:
Propozit ia 1.2.2 Orice operator de evolut ie Ucu proprietatea c a U(t, s)
este inversabil  si U(t, s)−1∈ B(X), pentru orice t≥s≥0, poate  prelungit
peR2
+la un operator de evolut ie reversibil.
Demonstrat ie . Definim V:R2
+→ B(X),
V(t, s) =

U(t, s) , t≥s≥0,
U(s, t)−1, s≥t≥0.
Deoarece relat ¸ia ( r1) din Definit ¸ia 1.2.2 este imediat˘ a, pentru a ar˘ ata c˘ a V
este un operator de evolut ¸ie reversibil, r˘ amˆ ane s˘ a demonstr˘ am ( r2). Pentru
aceasta consider˘ am ¸ sase cazuri.
Cazul 1. Fiet≥s≥t0≥0. Are loc
V(t, s)V(s, t0) =U(t, s)U(s, t0) =U(t, t0) =V(t, t0).
Cazul 2. Dac˘ a t≥t0≥s≥0, atunci
V(t, s)V(s, t0) =U(t, s)U(t0, s)−1=U(t, t0)U(t0, s)U(t0, s)−1
=U(t, t0) =V(t, t0).
Cazul 3. Pentru s≥t≥t0≥0, obt ¸inem
V(t, s)V(s, t0) =U(s, t)−1U(s, t0) =U(s, t)−1U(s, t)U(t, t0)
=U(t, t0) =V(t, t0).
Cazul 4. Fies≥t0≥t≥0. Atunci
V(t, s)V(s, t0) =U(s, t)−1U(s, t0) = [U(s, t0)U(t0, t)]−1U(s, t0)
=U(t0, t)−1U(s, t0)−1U(s, t0)
=U(t0, t)−1=V(t, t0).

12 Capitolul 1. Operatori de evolut ie ^n spat ii Banach
Cazul 5. Pentru t0≥t≥s≥0, rezult˘ a
V(t, s)V(s, t0) =U(t, s)U(t0, s)−1=U(t, s)[U(t0, t)U(t, s)]−1
=U(t, s)U(t, s)−1U(t0, t)−1
=U(t0, t)−1=V(t, t0).
Cazul 6. Dac˘ a t0≥s≥t≥0, atunci
V(t, s)V(s, t0) =U(s, t)−1U(t0, s)−1= [U(t0, s)U(s, t)]−1
=U(t0, t)−1=V(t, t0).
Am demonstrat astfel c˘ a relat ¸ia ( r2) are loc pentru orice t, s, t 0≥0.Deci,
Veste un operator de evolut ¸ie reversibil.

Denit ia 1.2.3 Spunem c˘ a un operator de evolut ¸ie U: ∆ +→ B(X) are
•cre stere exponent ial a uniform a dac˘ a exist˘ a M≥1 ¸ siω >0 astfel ˆ ıncˆ at
∥U(t, s)∥≤Me!(t−s),pentru orice ( t, s)∈∆+;
•descre stere exponent ial a uniform a dac˘ a exist˘ a M≥1 ¸ siω > 0 astfel
ca
M∥U(t, s)x∥≥e−!(t−s)∥x∥,pentru orice ( t, s, x )∈∆+×X.
Denit ia 1.2.4 Un operator de evolut ¸ie reversibil U:R2
+→ B(X) se spune
uniform exponent ial m arginit dac˘ a exist˘ a M≥1 ¸ siω >0 astfel ˆ ıncˆ at
∥U(t, s)∥≤Me!|t−s|,pentru orice ( t, s)∈R2
+.
Denit ia 1.2.5 Un operator de evolut ¸ie U: ∆ +→ B(X) se spune
•continuu dac˘ a aplicat ¸ia ∆ +∋(t, s)7−→U(t, s)x∈Xeste continu˘ a
pentru orice x∈X;
•m asurabil dac˘ a funct ¸ia [ s,∞)∋t7−→∥ U(t, s)x∥∈R+este m˘ asurabil˘ a
pentru orice s≥0 ¸ six∈X;

1.3. Perturbarea operatorilor de evolut ie 13
•⋆-m asurabil dac˘ a aplicat ¸ia [0 , t]∋s7−→∥ U(t, s)∗x∗∥∈R+este
m˘ asurabil˘ a pentru orice t≥0 ¸ six∗∈X∗;
•injectiv dac˘ a operatorul U(t, s) :X→Xeste injectiv pentru orice
(t, s)∈∆+.
ˆIn mod analog, se pot considera acelea¸ si not ¸iuni ¸ si ˆ ın cazul operatorilor de
evolut ¸ie pe dreapta real˘ a sau a operatorilor de evolut ¸ie reversibili.
1.3 Perturbarea operatorilor de evolut ie
Pentru ˆ ınceput facem referire la un rezultat important obt ¸inut ˆ ın teoria
operatorilor de evolut ¸ie:
Teorema 1.3.1 (9.19 pp. 487 [53]) FieU: ∆→ B (X)un operator de
evolut ie pe dreapta real a continuu care are cre stere exponent ial a uniform a.
Dac a B(t) :D(B(t))⊆X→Xeste un operator ^ nchis astfel ^ nc^ at au loc
urm atoarele condit ii:
(i)U(t, s)X⊆D(B(t)), pentru orice t≥s;
(ii)aplicat ia t7−→B(t)U(t, s)este tare continu a;
(iii) exist a o funct ie local integrabil a k:R+→R+care veric a relat ia
∥B(t)U(t, s)∥≤k(t−s),pentru t > s ;
atunci exist a un unic operator de evolut ie pe dreapta real a UB, continuu  si
cu cre stere exponent ial a uniform a, astfel ^ nc^ at
UB(t, s)x=U(t, s)x+∫t
sUB(t, τ)B(τ)U(τ, s)x dτ,
pentru orice t≥s six∈X. Mai mult, pentru x∈X sis∈Ravem c a
UB(t, s)x∈D(B(t))a.p.t. t > s , aplicat ia [s,∞)∋t7−→B(t)UB(t, s)x∈X
este local integrabil a  si
UB(t, s)x=U(t, s)x+∫t
sU(t, τ)B(τ)UB(τ, s)x dτ,
pentru orice t≥s.

14 Capitolul 1. Operatori de evolut ie ^n spat ii Banach
Consider˘ am ecuat ¸ia integral˘ a Volterra
V(t, s)x=U(t, s)x+∫t
sU(t, τ)B(τ)V(τ, s)x dτ (1.11)
pentru t≥s≥0 ¸ six∈X,unde B:R+→ B (X) este un operator tare
continuu ¸ si uniform m˘ arginit, adic˘ a aplicat ¸ia R+∋t7−→B(t)x∈Xeste
continu˘ a pentru orice x∈X¸ siδ= sup
t≥0∥B(t)∥<∞.
Dac˘ a U: ∆ +→ B(X) este un operator de evolut ¸ie continuu cu cre¸ stere
exponent ¸ial˘ a uniform˘ a, atunci f˘ acˆ and apel la Teorema 1.3.1, rezult˘ a c˘ a exist˘ a
un unic operator de evolut ¸ie V: ∆ +→ B(X) care verific˘ a ecuat ¸ia integral˘ a
(1.11), numit operatorul de evolut ie perturbat .
Deoarece vom folosi acest rezultat ˆ ın studiul comport˘ arilor asimptotice
neuniforme ale operatorilor de evolut ¸ie, vom ar˘ ata c˘ a ecuat ¸ia integral˘ a (1.11)
admite o unic˘ a solut ¸ie ¸ si aceast˘ a solut ¸ie determin˘ a un operator de evolut ¸ie
ˆ ın condit ¸ii mai put ¸in restrictive decˆ at proprietatea de cre¸ stere exponent ¸ial˘ a
uniform˘ a. Urm˘ atoarea lem˘ a este crucial˘ a ˆ ın obt ¸inerea acestui rezultat:
Lema 1.3.1 ( Theorem 1 [163]) FieK: ∆→ B (X)un operator tare
continuu cu proprietatea c a exist a o funct ie local integrabil a ω:R→(0,∞)
astfel ^ nc^ at
∥K(t, s)∥≤e∫t
s!()d,pentru orice t≥s.
Dac a B:R→ B (X)este un operator tare continuu  si uniform m arginit,
atunci, pentru orice x∈X sis∈R, ecuat ia integral a
y(t) =K(t, s)x+∫t
sK(t, τ)B(τ)y(τ)dτ, t≥s,
admite o unic a solut ie continu a ys;x: [s,∞)→X. Mai mult, pentru orice
s∈R, aplicat ia
X∋x7−→ys;x(·)∈C([s,∞), X)
este continu a ^ n raport cu topologia convergent ei uniforme pe submult imi
compacte ale lui [s,∞).
ˆIn cele ce urmeaz˘ a, vom presupune c˘ a U: ∆ +→ B(X) este un operator
de evolut ¸ie continuu ¸ si ω:R+→(0,∞) este o funct ¸ie local integrabil˘ a astfel

1.3. Perturbarea operatorilor de evolut ie 15
ca
∥U(t, s)∥≤e∫t
s!()d,pentru orice t≥s≥0. (1.12)
Condit ¸ia (1.12) este mai put ¸in restrictiv˘ a decˆ at proprietatea de cre¸ stere
exponent ¸ial˘ a uniform˘ a. De fapt, am v˘ azut c˘ a orice operator de evolut ¸ie
generat de o ecuat ¸ie diferent ¸ial˘ a verific˘ a aceast˘ a inegalitate.
Folosind Lema 1.3.1, obt ¸inem c˘ a pentru orice x∈X, ecuat ¸ia integral˘ a
(1.11) admite o unic˘ a solut ¸ie, dat˘ a prin V(t, s)x=ys;x(t),pentru t≥s≥0.
ˆIn plus, aceast˘ a solut ¸ie este continu˘ a ˆ ın raport cu t. Vom ar˘ ata c˘ a V(t, s)
este un operator liniar ¸ si m˘ arginit pe X.ˆIntr-adev˘ ar, avem
αV(t, s)x+βV(t, s)y=
=U(t, s)(αx+βy) +∫t
sU(t, τ)B(τ) [αV(τ, s)x+βV(τ, s)y]dτ,
pentru α, β∈K(Kreprezint˘ a corpul numerelor reale sau a celor complexe)
¸ six, y∈X, deci αV(·, s)x+βV(·, s)yeste o solut ¸ie continu˘ a a ecuat ¸iei
integrale
y(t) =U(t, s)(αx+βy) +∫t
sU(t, τ)B(τ)y(τ)dτ,pentru t≥s≥0.
Din unicitatea solut ¸iei acestei ecuat ¸ii rezult˘ a c˘ a V(t, s) este un operator
liniar pe X. Pentru a ar˘ ata m˘ arginirea, fix˘ am t, s∈R+cut≥s. Dac˘ a
presupunem c˘ a ∥xn−x∥→0 (xn, x∈X, n ∈N), folosind continuitatea
aplicat ¸iei
X∋x7−→ys;x(·)∈C([s,∞), X),
rezult˘ a ∥ys;xn(·)−ys;x(·)∥→0 uniform pe orice compact K⊂[s,∞). Se
consider˘ a K=Kt:={t}¸ si se obt ¸ine c˘ a ∥ys;xn(t)−ys;x(t)∥→0.Echivalent
∥V(t, s)xn−V(t, s)x∥→0,de unde rezult˘ a continuitatea lui V(t, s).
Propozit ia 1.3.1 (Lemma 9 [139]) Solut ia ecuat iei (1.11) determin a un
operator de evolut ie.

16 Capitolul 1. Operatori de evolut ie ^n spat ii Banach
Demonstrat ie. Este evident c˘ a V(t, t) = Id, pentru orice t≥0. Pentru
(s, t0)∈∆+¸ six∈Xobt ¸inem
V(t, s)V(s, t0)x=U(t, s)[
U(s, t0)x+∫s
t0U(s, τ)B(τ)V(τ, t0)x dτ]
+∫t
sU(t, τ)B(τ)V(τ, s)V(s, t0)x dτ
=U(t, t0)x+∫s
t0U(t, τ)B(τ)V(τ, t0)x dτ+∫t
sU(t, τ)B(τ)V(τ, s)V(s, t0)x dτ
pentru orice t≥s, deci
V(t, t0)x−V(t, s)V(s, t0)x=∫t
sU(t, τ)B(τ) [V(τ, t0)x−V(τ, s)V(s, t0)x]dτ
pentru orice t≥s. Din relat ¸ia precedent˘ a ¸ si condit ¸ia (1.12) rezult˘ a
∥V(t, t0)x−V(t, s)V(s, t0)x∥
≤δ∫t
se∫t
!(u)du∥V(τ, t0)x−V(τ, s)V(s, t0)x∥dτ,
pentru orice t≥s. Considerˆ and funct ¸ia
f(t) =e−∫t
s!(u)du∥V(t, t0)x−V(t, s)V(s, t0)x∥,pentru t≥s,
relat ¸ia precedent˘ a este echivalent˘ a cu
f(t)≤δ∫t
sf(τ)dτ,pentru orice t≥s.
Aplicˆ and Lema lui Gronwall, obt ¸inem c˘ a f(t) = 0, pentru orice t≥s. De
aici rezult˘ a c˘ a
V(t, t0) =V(t, s)V(s, t0),pentru orice t≥s≥t0≥0,
ceea ce ˆ ıncheie demonstrat ¸ia.

ˆIn continuare vom studia ce condit ¸ii trebuie impuse unui operator de
evolut ¸ie reversibil pe dreapta real˘ a U:R2→ B(X) astfel ca ecuat ¸ia integral˘ a
Volterra
V(t, s) =U(t, s) +∫t
sU(t, τ)B(τ)V(τ, s)dτ,pentru t, s∈R,(1.13)

1.3. Perturbarea operatorilor de evolut ie 17
unde B:R→ B (X) este un operator tare continuu ¸ si uniform m˘ arginit,
integrala fiind considerat˘ a ˆ ın topologia operatorial˘ a tare (vezi [58, Theorem
3.8.2. pp. 85]), s˘ a admit˘ a o solut ¸ie unic˘ a ¸ si aceast˘ a solut ¸ie s˘ a determine un
operator de evolut ¸ie reversibil pe dreapta real˘ a.
Pentru a motiva consistent ¸a acestui studiu, consider˘ am U:R2→ B(X)
un operator de evolut ¸ie reversibil pe dreapta real˘ a ¸ si αo funct ¸ie derivabil˘ a pe
axa real˘ a. Atunci, operatorul de evolut ¸ie V(t, s) =e(t)−(s)U(t, s) verific˘ a
ecuat ¸ia (1.13) pentru B(t) =α′(t)Id.ˆIn plus, dac˘ a Ueste generat de ecuat ¸ia
diferent ¸ial˘ a dx/dt =A(t)x(t), atunci Veste generat de ecuat ¸ia perturbat˘ a
dy/dt = (A(t) +B(t))y(t).
Utilizˆ and rat ¸ionamente similare cu cele din lucrarea [163], se poate ar˘ ata
urm˘ atorul rezultat:
Lema 1.3.2 Consider am K:{
(t, s)∈R2:t≤s}
→ B(X)un operator tare
continuu cu proprietatea c a exist a o funct ie local integrabil a ω:R→(0,∞)
astfel ^ nc^ at are loc relat ia
∥K(t, s)∥≤e∫s
t!()d,pentru orice t≤s.
Atunci, pentru orice x∈X sis∈R, ecuat ia integral a
z(t) =K(t, s)x−∫s
tK(t, τ)B(τ)z(τ)dτ, t≤s,
admite o unic a solut ie continu a zs;x: (−∞, s]→X. Mai mult, pentru orice
s∈R, aplicat ia
X∋x7−→zs;x(·)∈C((−∞, s], X)
este continu a ^ n topologia convergent ei uniforme pe submult imi compacte ale
lui(−∞, s].
ˆIn cele ce urmeaz˘ a vom presupune c˘ a U:R2→ B(X) este un operator de
evolut ¸ie reversibil pe dreapta real˘ a continuu, B:R→ B(X) este un operator
tare continuu ¸ si uniform m˘ arginit cu δ= sup
t∈R∥B(t)∥¸ siω:R→(0,∞) este
o funct ¸ie local integrabil˘ a astfel ˆ ıncˆ at are loc relat ¸ia
∥U(t, s)∥≤e|∫t
s!()d|,pentru orice t, s∈R. (1.14)

18 Capitolul 1. Operatori de evolut ie ^n spat ii Banach
Din Lema 1.3.1 ¸ si Lema 1.3.2 rezult˘ a c˘ a pentru orice x∈X, ecuat ¸ia
integral˘ a
V(t, s)x=U(t, s)x+∫t
sU(t, τ)B(τ)V(τ, s)xdτ, pentru t, s∈R,(1.15)
admite o unic˘ a solut ¸ie, dat˘ a prin
V(t, s)x=

ys;x(t), t≥s,
zs;x(t), t≤s.
Mai mult, aceast˘ a solut ¸ie este continu˘ a ˆ ın raport cu t¸ siV(t, s) este un
operator liniar ¸ si m˘ arginit pe X.
Urm˘ atorul rezultat este similar Propozit ¸iei 1.3.1 ˆ ın cazul operatorilor de
evolut ¸ie reversibili pe dreapta real˘ a.
Propozit ia 1.3.2 Solut ia ecuat iei integrale (1.13) determin a un operator
de evolut ie reversibil pe dreapta real a.
Demonstrat ie. Printr-un calcul simplu obt ¸inem
V(t, s)V(s, t0)x−V(t, t0)x=∫t
sU(t, τ)B(τ) [V(τ, s)V(s, t0)x−V(τ, t0)x]dτ,
pentru t, s, t 0∈R¸ six∈X. Pentru s, t0∈R¸ six∈Xconsider˘ am funct ¸ia
φ:R→R+, dat˘ a prin
φ(t) =e−|∫t
s!()d|∥V(t, s)V(s, t0)x−V(t, t0)x∥.
Are loc
e|∫t
s!()d|φ(t)≤δ∫t
se|∫t
!(u)du|e|∫
s!(u)du|φ(τ)dτ, t∈R,
¸ si deci
φ(t)≤δ∫t
sφ(τ)dτ,pentru orice t∈R.
Din Lema lui Gronwall rezult˘ a c˘ a φ(t) = 0, pentru orice t∈R, ceea ce ne
conduce la V(t, s)V(s, t0) =V(t, t0), pentru orice t, s, t 0∈R, adic˘ a V(t, s)
determin˘ a un operator de evolut ¸ie reversibil pe dreapta real˘ a.


Capitolul 2
Comport ari asimptotice slabe
Studiul comport˘ arilor asimptotice uniforme ale operatorilor de evolut ¸ie
pare s˘ a fi atins un anumit grad de maturitate. Scopul acestui capitol este de
a prezenta, ˆ ıntr-un mod unitar, un nou tip de comport˘ ari asimptotice care
pot fi considerate generaliz˘ ari atˆ at ale celor care se refer˘ a strict la studiul
traiectoriilor generate de operatori de evolut ¸ie, cˆ at ¸ si ale celor uniforme.
2.1 Stabilitate exponent ial a slab a
Diverse ¸ si importante concepte de stabilitate au fost introduse ¸ si studiate
de-a lungul timpului atˆ at ˆ ın teoria ecuat ¸iilor diferent ¸iale, cˆ at ¸ si ˆ ın cea a
sistemelor liniare sau neliniare cu control. Dintre toate aceste concepte
poate cel mai important este acela al stabilit˘ at ¸ii exponent ¸iale.
Denit ia 2.1.1 Un operator de evolut ¸ie U: ∆ +→ B(X) se spune uniform
exponent ial stabil dac˘ a exist˘ a N≥1 ¸ siν >0 astfel ˆ ıncˆ at
∥U(t, s)∥≤Ne−(t−s),pentru orice ( t, s)∈∆+. (2.1)
Remarca 2.1.1 Operatorul de evolut ¸ie Ueste uniform exponent ¸ial stabil
dac˘ a ¸ si numai dac˘ a exist˘ a N≥1 ¸ siν >0 astfel ˆ ıncˆ at
∥U(t, s)x∥≤Ne−(t−s)∥x∥,pentru orice ( t, s, x )∈∆+×X.
19

20 Capitolul 2. Comport ari asimptotice slabe
Remarca 2.1.2 Plecˆ and de la remarca precedent˘ a, se observ˘ a c˘ a dac˘ a U
este un operator de evolut ¸ie uniform exponent ¸ial stabil, atunci are loc
lim
t→∞∥U(t, t0)x0∥= 0,pentru orice ( t0, x0)∈R+×X. (2.2)
Aceast˘ a relat ¸ie este definitorie not ¸iunii de stabilitate.
Remarca 2.1.3 Operatorul de evolut ¸ie Ueste uniform exponent ¸ial stabil
dac˘ a ¸ si numai dac˘ a exist˘ a N≥1 ¸ siν >0 astfel ˆ ıncˆ at
∥U(t, t0)x0∥≤Ne−(t−s)∥U(s, t0)x0∥,
pentru orice t≥s≥t0≥0 ¸ six0∈X.
Exemplul 2.1.1 Pe spat iul Banach X=R2^ nzestrat cu norma euclidian a
consider am operatorul de evolut ie generat de matricea
U(t, s) =A(t, s)B(s), t≥s≥0,
unde
A(t, s) =(
e−(t−s)cost et−ssint
e−(t−s)sint−et−scost)
 siB(s) =(
coss sins
sins−coss)
.
ˆIn urma unui calcul elementar obt ¸inem
U(t, s)(x1, x2) = (ξ1, ξ2),
unde
ξ1=e−(t−s)cost(x1coss+x2sins) +et−ssint(x1sins−x2coss)
ξ2=e−(t−s)sint(x1coss+x2sins)−et−scost(x1sins−x2coss)
¸ si deci are loc estimarea
∥U(t, s)∥≤et−s,pentru orice ( t, s)∈∆+,
ceea ce arat˘ a c˘ a Uare cre¸ stere exponent ¸ial˘ a uniform˘ a.

2.1. Stabilitate exponent ial a slab a 21
Presupunem c˘ a Ueste uniform exponent ¸ial stabil, adic˘ a exist˘ a N≥1 ¸ si
ν >0 astfel ˆ ıncˆ at
∥U(t, s)x∥≤N e−(t−s)∥x∥,pentru orice ( t, s, x )∈∆+×X.
Pentru s≥0 fixat ¸ si x= (sin s,−coss) obt ¸inem
∥U(t, s)x∥=∥A(t, s)(0,1)∥=∥(et−ssint,−et−scost)∥=et−s,
pentru orice t≥s, deci e(1+)(t−s)≤N,pentru orice t≥s, ceea ce este fals.
ˆIn consecint ¸˘ a, Ueste un operator de evolut ¸ie care are cre¸ stere exponent ¸ial˘ a
uniform˘ a, dar nu este uniform exponent ¸ial stabil.
Vom ar˘ ata c˘ a Uverific˘ a, ˆ ın schimb, o condit ¸ie de stabilitate mai slab˘ a
decˆ at cea uniform˘ a. Astfel, pentru orice x0= (x1, x2)∈R2exist˘ a r≥0 ¸ si
t0∈[0,2π) astfel ˆ ıncˆ at{
x1=rcost0,
x2=rsint0.
Atunci
∥U(t, t0)x0∥=∥A(t, t0)B(t0)(rcost0, rsint0)∥
=∥A(t, t0)(r,0)∥
=r∥(e−(t−t0)cost, e−(t−t0)sint)∥
=r e−(t−t0)=e−(t−s)r e−(s−t0)
=e−(t−s)∥U(s, t0)x0∥,
pentru orice t≥s≥t0.

Plecˆ and de la acest exemplu, are sens s˘ a consider˘ am urm˘ atorul concept
de stabilitate exponent ¸ial˘ a:
Denit ia 2.1.2 Un operator de evolut ¸ie U: ∆ +→ B (X) se spune slab
exponent ial stabil dac˘ a exist˘ a N≥1 ¸ siν > 0 astfel ˆ ıncˆ at pentru orice
x0∈Xexist˘ a t0=t0(x0)≥0 cu
∥U(t, t0)x0∥≤Ne−(t−s)∥U(s, t0)x0∥,pentru orice t≥s≥t0. (2.3)

22 Capitolul 2. Comport ari asimptotice slabe
Remarca 2.1.4 Din Remarca 2.1.3 rezult˘ a c˘ a orice operator de evolut ¸ie
uniform exponent ¸ial stabil este slab exponent ¸ial stabil. Reciproca este fals˘ a,
dup˘ a cum rezult˘ a din exemplul anterior.
Propozit ia 2.1.1 Operatorul de evolut ie Ueste slab exponent ial stabil dac a
 si numai dac a exist a N≥1 siν >0astfel ^ nc^ at pentru orice x0∈Xexist a
t0≥0cu
∥U(t+h, t 0)x0∥≤Ne−h∥U(t, t0)x0∥, (2.4)
pentru orice t≥t0 sih≥0.
Demonstrat ie .Necesitatea este imediat˘ a. Sucient a se obt ¸ine din relat ¸ia
U(t, t0)x0=U(s+t−s, t0)x0
¸ si condit ¸ia (2.4), considerˆ and h=t−s.

O alt˘ a definit ¸ie echivalent˘ a pentru conceptul de stabilitate exponent ¸ial˘ a
slab˘ a este dat˘ a ˆ ın propozit ¸ia urm˘ atoare:
Propozit ia 2.1.2 Operatorul de evolut ie Ueste slab exponent ial stabil dac a
 si numai dac a exist a o funct ie cresc atoare f:R+→(0,∞)cu proprietatea
c alim
t→∞f(t) = +∞ si pentru orice x0∈Xexist a t0≥0cu
f(t−s)∥U(t, t0)x0∥≤∥U(s, t0)x0∥,pentru orice t≥s≥t0. (2.5)
Demonstrat ie .Necesitatea rezult˘ a din Definit ¸ia 2.1.2, luˆ and f(t) =1
Net.
Sucient a . Din ipotez˘ a exist˘ a c >0 astfel ˆ ıncˆ at f(c)>1. Consider˘ am
ν >0 astfel ˆ ıncˆ at f(c) =ec¸ siN=f(c)
f(0)≥1. Fie x0∈X¸ sit0≥0 dat de
ipotez˘ a.
Pentru t≥s≥t0exist˘ a n∈N¸ sir∈[0, c) astfel ˆ ıncˆ at t−s=nc+r.
Succesiv, obt ¸inem
f(0)f(c)n+1∥U(t, t0)x0∥ ≤f(r)f(c)n+1∥U(t, t0)x0∥
≤f(c)n+1∥U(s+nc, t 0)x0∥
≤ ··· ≤ f(c)∥U(s, t0)x0∥,

2.1. Stabilitate exponent ial a slab a 23
adic˘ a
f(c)n+1∥U(t, t0)x0∥≤f(c)
f(0)∥U(s, t0)x0∥.
Pe de alt˘ a parte,
f(c)n+1∥U(t, t0)x0∥=e(n+1)c∥U(t, t0)x0∥≥e(t−s)∥U(t, t0)x0∥.
Am obt ¸inut astfel c˘ a
∥U(t, t0)x0∥≤Ne−(t−s)∥U(s, t0)x0∥,pentru orice t≥s≥t0,
ceea ce ˆ ıncheie demonstrat ¸ia.

Un prim rezultat important obt ¸inut este o generalizare a unei teoreme
clasice demonstrat˘ a pentru prima dat˘ a de Datko [46] ˆ ın cazul stabilit˘ at ¸ii
exponent ¸iale uniforme:
Teorema 2.1.1 FieU: ∆ +→ B(X)un operator de evolut ie m asurabil cu
cre stere exponent ial a uniform a. Atunci Ueste slab exponent ial stabil dac a
 si numai dac a exist a p, K > 0astfel ^ nc^ at pentru orice x0∈Xexist a t0≥0
cu
∫∞
t∥U(τ, t0)x0∥pdτ≤K∥U(t, t0)x0∥p,pentru orice t≥t0.(2.6)
Demonstrat ie .Necesitatea . Consider˘ am p >0 fixat ¸ si K=Np
p>0, unde
N≥1 ¸ siν >0 sunt date de Definit ¸ia 2.1.2. Atunci, pentru x0∈X¸ sit0≥0
dat de definit ¸ia stabilit˘ at ¸ii exponent ¸iale slabe, obt ¸inem
∫∞
t∥U(τ, t0)x0∥pdτ≤Np∫∞
te−p(−t)dτ∥U(t, t0)x0∥p
=K∥U(t, t0)x0∥p,
pentru orice t≥t0¸ si deci are loc relat ¸ia (2.6).
Sucient a . Presupunem c˘ a exist˘ a p, K > 0 astfel ˆ ıncˆ at pentru orice
x0∈Xexist˘ a t0≥0 care verific˘ a relat ¸ia (2.6). Fix˘ am t≥s≥t0. Dac˘ a

24 Capitolul 2. Comport ari asimptotice slabe
t≥s+ 1, obt ¸inem
∥U(t, t0)x0∥p=∫t
t−1∥U(t, t0)x0∥pdτ
≤Mpe!p∫t
t−1∥U(τ, t0)x0∥pdτ
≤Mpe!p∫∞
s∥U(τ, t0)x0∥pdτ
≤KMpe!p∥U(s, t0)x0∥p,
de unde rezult˘ a c˘ a
∥U(t, t0)x0∥≤K1=pMe!∥U(s, t0)x0∥. (2.7)
Dac˘ a t∈[s, s+ 1), atunci
∥U(t, t0)x0∥≤Me!∥U(s, t0)x0∥. (2.8)
Notˆ and cu L= max {K1=pMe!, Me!}, din relat ¸iile (2.7) ¸ si (2.8) reiese c˘ a
∥U(t, t0)x0∥≤L∥U(s, t0)x0∥,pentru orice t≥s≥t0. (2.9)
Pe de alt˘ a parte, conform ipotezei ¸ si relat ¸iei (2.9), avem
(t−s)∥U(t, t0)x0∥p=∫t
s∥U(t, t0)x0∥pdτ≤∫t
sLp∥U(τ, t0)x0∥pdτ
≤Lp∫∞
s∥U(τ, t0)x0∥pdτ≤LpK∥U(s, t0)x0∥p,
pentru orice t≥s≥t0. Deci
(t−s)1=p∥U(t, t0)x0∥≤LK1=p∥U(s, t0)x0∥, (2.10)
pentru orice t≥s≥t0. Adunˆ and relat ¸iile (2.9) ¸ si (2.10), obt ¸inem
[
1 + (t−s)1=p]
∥U(t, t0)x0∥≤L(
1 +K1=p)
∥U(s, t0)x0∥,
pentru orice t≥s≥t0. Din Propozit ¸ia 2.1.2 ¸ si relat ¸ia precedent˘ a rezult˘ a
c˘ aUeste slab exponent ¸ial stabil.


2.1. Stabilitate exponent ial a slab a 25
Cre¸ sterea exponent ¸ial˘ a uniform˘ a impus˘ a operatorului de evolut ¸ie Udin
teorema precedent˘ a nu restrict ¸ioneaz˘ a foarte mult generalizarea. Acest lucru
poate fi motivat observˆ and c˘ a operatorul de evolut ¸ie considerat ˆ ın Exemplul
2.1.1 are cre¸ stere exponent ¸ial˘ a uniform˘ a. Mai mult, analizˆ and demonstrat ¸ia
Teoremei 2.1.1, se poate formula urm˘ atorul rezultat:
Teorema 2.1.2 FieU: ∆ +→ B (X)un operator de evolut ie m asurabil.
Atunci Ueste slab exponent ial stabil dac a  si numai dac a exist a p, ω, K > 0
astfel ^ nc^ at pentru orice x0∈Xexist a t0≥0care veric a urm atoarele
condit ii:
(d1)∥U(t, t0)x0∥≤Ke!(t−s)∥U(s, t0)x0∥,pentru orice t≥s≥t0;
(d2)∫∞
t∥U(τ, t0)x0∥pdτ≤K∥U(t, t0)x0∥p,pentru orice t≥t0.
De¸ si toate rezultatele pe care le vom demonstra ˆ ın acest paragraf pot fi
formulate ˆ ın condit ¸ii similare Teoremei 2.1.2, vom considera cazul mai put ¸in
general al operatorilor de evolut ¸ie cu cre¸ stere exponent ¸ial˘ a uniform˘ a.
ˆIn continuare vom prezenta un rezultat care generalizeaz˘ a o teorem˘ a
demonstrat˘ a de V. Pata ˆ ın cazul stabilit˘ at ¸ii exponent ¸iale uniforme a C0-
semigrupurilor de operatori liniari [130], respectiv de Ju.L. Daleckiˇ ı ¸ si M.G.
Kreˇ ın ˆ ın cazul operatorilor de evolut ¸ie reversibili [44].
Teorema 2.1.3 FieU: ∆ +→ B(X)un operator de evolut ie continuu cu
cre stere exponent ial a uniform a. Urm atoarele armat ii sunt echivalente:
(i)Ueste slab exponent ial stabil;
(ii)exist a δ >0 sic∈(0,1)astfel ^ nc^ at pentru orice x0∈Xexist a t0≥0
 si exist a θ=θ(x0)∈(0, δ]cu proprietatea
∥U(t+θ, t0)x0∥≤c∥U(t, t0)x0∥, pentru orice t ≥t0; (2.11)
(iii) exist a δ >0 sic∈(0,1)astfel ^ nc^ at pentru orice x0∈Xexist a t0≥0
cu proprietatea c a pentru orice t≥t0exist a θ=θ(t, x0)∈(0, δ]astfel
ca
∥U(t+θ, t0)x0∥≤c∥U(t, t0)x0∥. (2.12)

26 Capitolul 2. Comport ari asimptotice slabe
Demonstrat ie . (i) ⇒(ii). Fie δ > 0 astfel ˆ ıncˆ at Ne−<1, unde N
¸ siνsunt date de Definit ¸ia 2.1.2, respectiv c=Ne−. Pentru x0∈X
consider˘ am t0=t0(x0)≥0 dat de Definit ¸ia 2.1.2 ¸ si θ=δ. Din Propozit ¸ia
2.1.1 obt ¸inem relat ¸ia (2.11).
Cum implicat ¸ia (ii) ⇒(iii) este evident˘ a, r˘ amˆ ane s˘ a demonstr˘ am implicat ¸ia
(iii)⇒(i). Consider˘ am ν=−lnc
>0 ¸ siN=Me(!+)≥1,unde δ >0
¸ sic∈(0,1) sunt date de (iii). Pentru orice x0∈Xexist˘ a t0=t0(x0)≥0
astfel ˆ ıncˆ at pentru orice t≥t0exist˘ a θ1∈(0, δ] care verific˘ a relat ¸ia
∥U(t+θ1, t0)x0∥≤c∥U(t, t0)x0∥.
Fiet≥t0. Pentru t1=t+θ1exist˘ a θ2∈(0, δ] astfel ˆ ıncˆ at are loc
∥U(t1+θ2, t0)x0∥≤c∥U(t1, t0)x0∥,
ceea ce este echivalent cu
∥U(t+θ1+θ2, t0)x0∥≤c2∥U(t, t0)x0∥.
Inductiv, obt ¸inem
∥U(t+sn, t0)x0∥≤cn∥U(t, t0)x0∥,pentru orice n∈N, (2.13)
unde
sn=

0, n= 0,
θ1+···+θn, n∈N∗.
Cazul 1. Dac˘ a lim
n→∞sn=∞, atunci pentru orice h > 0 exist˘ a n∈N
astfel ˆ ıncˆ at sn≤h < s n+1≤(n+ 1)δ. Folosind proprietatea de cre¸ stere
exponent ¸ial˘ a uniform˘ a a operatorului de evolut ¸ie U¸ si relat ¸ia (2.13), obt ¸inem
∥U(t+h, t 0)x0∥=∥U(t+h, t+sn)U(t+sn, t0)x0∥
≤Me!(h−sn)∥U(t+sn, t0)x0∥
≤Me!cn∥U(t, t0)x0∥
=Me!e−n∥U(t, t0)x0∥
=Me!ee−(n+1)∥U(t, t0)x0∥
≤Ne−h∥U(t, t0)x0∥.

2.1. Stabilitate exponent ial a slab a 27
Cazul 2. Dac˘ a lim
n→∞sn=γ∈R, atunci din relat ¸ia (2.13) ¸ si condit ¸ia de
continuitate a operatorului de evolut ¸ie Urezult˘ a c˘ a
U(t+γ, t 0)x0= 0.
Mai mult,
U(t+h, t 0)x0= 0,pentru orice h≥γ.
Dac˘ a h∈[0, γ), atunci exist˘ a n∈Nastfel ˆ ıncˆ at sn≤h < s n+1. Procedˆ and
la fel ca ˆ ın primul caz, avem c˘ a
∥U(t+h, t 0)x0∥≤Ne−h∥U(t, t0)x0∥.
Am obt ¸inut astfel c˘ a exist˘ a N≥1 ¸ siν > 0 astfel ˆ ıncˆ at pentru orice
x0∈Xexist˘ a t0≥0 cu proprietate c˘ a
∥U(t+h, t 0)x0∥≤Ne−h∥U(t, t0)x0∥,
pentru orice t≥t0¸ si orice h≥0. Aplicˆ and Propozit ¸ia 2.1.1, reiese c˘ a U
este slab exponent ¸ial stabil.

ˆIn cele ce urmeaz˘ a vom prezenta ˆ ın cazul stabilit˘ at ¸ii exponent ¸iale slabe
dou˘ a variante ale unei teoreme clasice demonstrat˘ a de S. Rolewicz ˆ ın [161].
Not˘ am cu R1mult ¸imea funct ¸iilor cresc˘ atoare R:R+→R+care verific˘ a
relat ¸iile:
(r1)R(ts)≤R(t)R(s), pentru orice ( t, s)∈R2
+;
(r2)R(t)>0, pentru orice t >0.
Teorema 2.1.4 FieU: ∆ +→ B(X)un operator de evolut ie continuu cu
cre stere exponent ial a uniform a. Atunci Ueste slab exponent ial stabil dac a
 si numai dac a exist a o funct ie R∈ R 1 si exist a K > 0astfel ^ nc^ at pentru
orice x0∈Xexist a t0≥0cu
∫∞
0R(∥U(t+τ, t0)x0∥)dτ≤KR(∥U(t, t0)x0∥), (2.14)
pentru orice t≥t0.

28 Capitolul 2. Comport ari asimptotice slabe
Demonstrat ie .Necesitatea . Pentru R(t) =t(t≥0) ¸ si K=N
>0, unde
N≥1 ¸ siν >0 sunt date de definit ¸ia stabilit˘ at ¸ii exponent ¸iale slabe, obt ¸inem
∫∞
0∥U(t+τ, t0)x0∥dτ≤∫∞
0Ne−∥U(t, t0)x0∥dτ
=K∥U(t, t0)x0∥,
pentru orice t≥t0.
Sucient a . Presupunem c˘ a Ueste un operator de evolut ¸ie care nu este
slab exponent ¸ial stabil. Din Teorema 2.1.3 rezult˘ a c˘ a pentru orice δ >0 ¸ si
c∈(0,1) exist˘ a x0∈Xastfel ˆ ıncˆ at pentru orice t≥0 exist˘ a τ≥tcu
∥U(τ+θ, t)x0∥> c∥U(τ, t)x0∥,pentru orice θ∈(0, δ]. (2.15)
FieK > 0 ¸ siR∈ R 1. Atunci pentru c∈(0,1) fixat ¸ si δ > KR (1
c) obt ¸inem
c˘ a exist˘ a x0∈Xastfel ˆ ıncˆ at pentru orice t≥0 exist˘ a τ≥tcu proprietatea
c˘ a are loc relat ¸ia (2.15). De aici rezult˘ a
R(1
c)∫∞
0R(∥U(τ+θ, t)x0∥)dθ≥∫∞
0R(1
c∥U(τ+θ, t)x0∥)
dθ
≥∫
0R(1
c∥U(τ+θ, t)x0∥)
dθ
≥δR(∥U(τ, t)x0∥),
deci
∫∞
0R(∥U(τ+θ, t)x0∥)dθ≥δ
R(1
c)R(∥U(τ, t)x0∥)> KR (∥U(τ, t)x0∥),
ceea ce contrazice ipoteza, deci operatorul de evolut ¸ie Ueste slab exponent ¸ial
stabil.

Not˘ am cu R2mult ¸imea funct ¸iilor cresc˘ atoare R:R+→R+care verific˘ a
relat ¸iile:
(r1′)R(ts)≥R(t)R(s), pentru orice ( t, s)∈R2
+;
(r2′)R(t)>0, pentru orice t >0.

2.1. Stabilitate exponent ial a slab a 29
Teorema 2.1.5 FieU: ∆ +→ B(X)un operator de evolut ie continuu cu
cre stere exponent ial a uniform a. Atunci Ueste slab exponent ial stabil dac a
 si numai dac a exist a o funct ie R∈ R 2 si o constant a K > 0astfel ^ nc^ at
pentru orice x0∈Xexist a t0≥0cu proprietatea
∫∞
0R(∥U(t+τ, t0)x0∥)dτ≤KR(∥U(t, t0)x0∥), (2.16)
pentru orice t≥t0.
Demonstrat ie .Necesitatea este identic˘ a cu cea din teorema precedent˘ a.
Sucient a . Presupunem c˘ a Unu este slab exponent ¸ial stabil. Fie R∈ R 2
¸ siK > 0. Pentru c∈(0,1) fixat ¸ si δ >K
R(c)obt ¸inem c˘ a exist˘ a x0∈Xastfel
ˆ ıncˆ at pentru orice t≥0 exist˘ a τ≥tcu proprietatea c˘ a are loc relat ¸ia
∥U(τ+θ, t)x0∥> c∥U(τ, t)x0∥,pentru orice θ∈(0, δ].
De aici rezult˘ a
∫∞
0R(∥U(τ+θ, t)x0∥)dθ≥∫
0R(∥U(τ+θ, t)x0∥)dθ
≥∫
0R(c∥U(τ, t)x0∥)dθ
≥δR(c)R(∥U(τ, t)x0∥).
Am obt ¸inut astfel c˘ a
∫∞
0R(∥U(τ+θ, t)x0∥)dθ > KR (∥U(τ, t)x0∥),
ceea ce este fals.

Teorema lui Datkoˆ ın cazul stabilit˘ at ¸ii exponent ¸iale slabe poate fi obt ¸inut˘ a
ca o consecint ¸˘ a natural˘ a a Teoremei 2.1.4 sau a Teoremei 2.1.5. Astfel:
Corolarul 2.1.1 FieU: ∆ +→ B(X)un operator de evolut ie continuu cu
cre stere exponent ial a uniform a. Atunci Ueste slab exponent ial stabil dac a
 si numai dac a exist a p, K > 0astfel ^ nc^ at pentru orice x0∈Xexist a t0≥0
cu∫∞
t∥U(τ, t0)x0∥pdτ≤K∥U(t, t0)x0∥p,pentru orice t≥t0.(2.17)

30 Capitolul 2. Comport ari asimptotice slabe
O variant˘ a discret˘ a a teoremelor 2.1.4 ¸ si 2.1.5 este:
Corolarul 2.1.2 FieU: ∆ +→ B(X)un operator de evolut ie continuu cu
cre stere exponent ial a uniform a. Atunci Ueste slab exponent ial stabil dac a
 si numai dac a exist a R∈ R 1∪R 2 siK > 0astfel ^ nc^ at pentru orice x0∈X
exist a t0≥0cu
∞∑
n=0R(∥U(t+n, t 0)x0∥)≤KR(∥U(t, t0)x0∥), (2.18)
pentru orice t≥t0.
Demonstrat ie .Necesitatea este o simpl˘ a verificare pentru R(t) =t,t≥0.
ˆIntr-adev˘ ar, pentru K=N
1−e, unde N≥1 ¸ siν >0 sunt date de Definit ¸ia
2.1.2, obt ¸inem
∞∑
n=0∥U(t+n, t 0)x0∥ ≤N(∞∑
n=0e−n)
∥U(t, t0)x0∥
=K∥U(t, t0)x0∥,
pentru orice t≥t0.
Sucient a . Consider˘ am R∈ R 1. Din relat ¸ia (2.18) obt ¸inem
∞∫
0R(∥U(t+τ, t0)x0∥)dτ=∞∑
n=0n+1∫
nR(∥U(t+τ, t+n)U(t+n, t 0)x0∥)dτ
≤R(Me!)∞∑
n=0R(∥U(t+n, t 0)x0∥)
≤KR(Me!)R(∥U(t, t0)x0∥),
pentru orice t≥t0.
Dac˘ a R∈ R 2, ˆ ıntr-o manier˘ a similar˘ a, rezult˘ a
R(1
Me−!)∫∞
0R(∥U(t+τ, t0)x0∥)dτ≤KR(∥U(t, t0)x0∥),
pentru orice t≥t0.
Aplicˆ and Teorema 2.1.4, respectiv Teorema 2.1.5, obt ¸inem c˘ a Ueste slab
exponent ¸ial stabil.


2.1. Stabilitate exponent ial a slab a 31
Corolarul 2.1.3 FieU: ∆ +→ B(X)un operator de evolut ie continuu cu
cre stere exponent ial a uniform a. Atunci Ueste slab exponent ial stabil dac a
 si numai dac a exist a K > 0astfel ^ nc^ at pentru orice x0∈Xexist a t0≥0
cu
∞∑
n=0∥U(t+n, t 0)x0∥≤K∥U(t, t0)x0∥,pentru orice t≥t0. (2.19)
Demonstrat ie . Rezult˘ a din Corolarul 2.1.2, considerˆ and R(t) =t,t≥0.

Rezultatul urm˘ ator poate fi considerat un alt criteriu de caracterizare a
stabilit˘ at ¸ii exponent ¸iale slabe:
Teorema 2.1.6 FieU: ∆ +→ B(X)un operator de evolut ie continuu cu
cre stere exponent ial a uniform a. Atunci Ueste slab exponent ial stabil dac a
 si numai dac a exist a K, α > 0astfel ^ nc^ at pentru orice x0∈Xexist a t0≥0
cu
sup
t>s1
t−s∫t
se(−s)∥U(τ, t0)x0∥dτ≤K∥U(s, t0)x0∥, (2.20)
pentru orice s≥t0.
Demonstrat ie .Necesitatea. Dac˘ a Ueste slab exponent ¸ial stabil, atunci
din Definit ¸ia 2.1.2 rezult˘ a c˘ a exist˘ a N≥1 ¸ siν >0 astfel ˆ ıncˆ at pentru orice
x0∈Xexist˘ a t0≥0 cu proprietatea c˘ a pentru α=
2obt ¸inem
1
t−s∫t
se(−s)∥U(τ, t0)x0∥dτ≤N
t−s∫t
se−
2(−s)dτ∥U(s, t0)x0∥
=N
t−s∫t−s
0e−
2udu∥U(s, t0)x0∥
=N(1−e−(t−s))
α(t−s)∥U(s, t0)x0∥
≤K∥U(s, t0)x0∥,
pentru orice t > s≥t0, unde K=Nsup
u>01−eu
u<∞.
Sucient a. Presupunem c˘ a Unu este slab exponent ¸ial stabil. Fie δ >0
astfel ˆ ıncˆ at e>1+2αδK, unde α¸ siKsunt date de ipotez˘ a. Din Teorema

32 Capitolul 2. Comport ari asimptotice slabe
2.1.3 pentru c=1
2, rezult˘ a c˘ a exist˘ a x0∈Xastfel ˆ ıncˆ at pentru orice t0≥0
exist˘ a s≥t0cu
2∥U(s+θ, t0)x0∥>∥U(s, t0)x0∥,pentru orice θ∈(0, δ].
Pentru t=s+δobt ¸inem
1
t−s∫t
se(−s)∥U(τ, t0)x0∥dτ=1
δ∫
0eu∥U(s+u, t0)x0∥du
≥1
2δ∫
0eudu∥U(s, t0)x0∥
=e−1
2αδ∥U(s, t0)x0∥
> K∥U(s, t0)x0∥,
care contrazice relat ¸ia (2.20), deci Ueste slab exponent ¸ial stabil.

Remarca 2.1.5 Teorema precedent˘ a poate fi considerat˘ a o generalizare a
unui rezultat obt ¸inut ˆ ın cazul stabilit˘ at ¸ii exponent ¸iale uniforme de H. Zwart
[189] pentru C0-semigrupuri de operatori, respectiv de c˘ atre C. Bu¸ se ¸ si C.P.
Niculescu ˆ ın [32] pentru operatori de evolut ¸ie.
FieU: ∆ +→ B(X) un operator de evolut ¸ie m˘ asurabil.
Denit ia 2.1.3 O aplicat ¸ie L: ∆ +×X→Rse nume¸ ste funct ie Lyapunov
^ n sens slab pentru Udac˘ a pentru orice x0∈Xexist˘ a t0≥0 astfel ˆ ıncˆ at L
verific˘ a inecuat ¸ia
L(t, t0, x0) +∫t
s∥U(τ, t0)x0∥2dτ≤L(s, t0, x0), t≥s≥t0. (2.21)
Teorema urm˘ atoare d˘ a o caracterizare a stabilit˘ at ¸ii exponent ¸iale slabe
ˆ ın termen de existent ¸˘ a a unei funct ¸ii Lyapunov ˆ ın sens slab.
Teorema 2.1.7 FieU: ∆ +→ B(X)un operator de evolut ie m asurabil cu
cre stere exponent ial a uniform a. Atunci Ueste slab exponent ial stabil dac a
 si numai dac a exist a L: ∆ +×X→R+o funct ie Lyapunov ^ n sens slab
pentru U si exist a o constant a C > 0astfel ^ nc^ at
L(t, t0, x0)≤C∥U(t, t0)x0∥2,pentru orice t≥t0. (2.22)

2.2. Instabilitate exponent ial a slab a 33
Demonstrat ie .Necesitatea . Consider˘ am funct ¸ia
L(t, s, x ) :=∫∞
t∥U(τ, s)x∥2dτ≥0,pentru ( t, s, x )∈∆+×X.
Din Definit ¸ia 2.1.2 rezult˘ a c˘ a exist˘ a N≥1 ¸ siν >0 astfel ˆ ıncˆ at pentru orice
x0∈Xexist˘ a t0≥0 cu proprietatea c˘ a pentru C=N2
2obt ¸inem
L(t, t0, x0)≤N2∫∞
te−2(−t)dτ∥U(t, t0)x0∥2=C∥U(t, t0)x0∥2,
pentru orice t≥t0. Pe de alt˘ a parte, se observ˘ a imediat c˘ a
L(s, t0, x0)−L(t, t0, x0)−∫t
s∥U(τ, t0)x0∥2dτ= 0,
pentru orice t≥s≥t0¸ si deci Leste o funct ¸ie Lyapunov ˆ ın sens slab pentru
operatorul de evolut ¸ie U.
Sucient a . Fie x0∈X¸ sit0≥0 dat de ipotez˘ a. Atunci
∫u
t∥U(τ, t0)x0∥2dτ≤L(t, t0, x0)−L(u, t 0, x0)≤L(t, t0, x0)
≤C∥U(t, t0)x0∥2,
pentru orice u≥t≥t0. F˘ acˆ and u→ ∞ ˆ ın relat ¸ia precedent˘ a, obt ¸inem
∫∞
t∥U(τ, t0)x0∥2dτ≤C∥U(t, t0)x0∥2,pentru orice t≥t0.
Din Teorema 2.1.1 rezult˘ a astfel c˘ a Ueste slab exponent ¸ial stabil.

Remarca 2.1.6 Teorema precedent˘ a r˘ amˆ ane adev˘ arat˘ a ¸ siˆ ın ipotezaˆ ın care
funct ¸ia Lverific˘ a ecuat ¸ia
L(t, t0, x0)+∫t
s∥U(τ, t0)x0∥2dτ=L(s, t0, x0),pentru t≥s≥t0.(2.23)
2.2 Instabilitate exponent ial a slab a
Denit ia 2.2.1 Un operator de evolut ¸ie U: ∆ +→ B(X) se spune uniform
exponent ial instabil dac˘ a exist˘ a N≥1 ¸ siν >0 astfel ˆ ıncˆ at
N∥U(t, s)x∥≥e(t−s)∥x∥,pentru orice ( t, s, x )∈∆+×X.

34 Capitolul 2. Comport ari asimptotice slabe
Remarca 2.2.1 Dac˘ a U: ∆ +→ B(X) este un operator de evolut ¸ie uniform
exponent ¸ial instabil, atunci rezult˘ a c˘ a
lim
t→∞∥U(t, t0)x0∥=∞,pentru orice ( t0, x0)∈R+×X, x 0̸= 0,(2.24)
aceast˘ a relat ¸ie fiind definitorie not ¸iunii de instabilitate.
Remarca 2.2.2 Operatorul de evolut ¸ie Ueste uniform exponent ¸ial instabil
dac˘ a ¸ si numai dac˘ a exist˘ a N≥1 ¸ siν >0 astfel ˆ ıncˆ at
N∥U(t, t0)x0∥≥e(t−s)∥U(s, t0)x0∥,
pentru orice t≥s≥t0≥0 ¸ six0∈X.
Denit ia 2.2.2 Un operator de evolut ¸ie Use spune slab exponent ial instabil
dac˘ a exist˘ a N≥1 ¸ siν >0 astfel ˆ ıncˆ at pentru orice x0∈Xexist˘ a t0≥0
cu
N∥U(t, t0)x0∥≥e(t−s)∥U(s, t0)x0∥,pentru orice t≥s≥t0. (2.25)
Remarca 2.2.3 Orice operator de evolut ¸ie uniform exponent ¸ial instabil
este ¸ si slab exponent ¸ial instabil. Reciproca este fals˘ a, dup˘ a cum rezult˘ a
din urm˘ atorul exemplu:
Exemplul 2.2.1 Pe spat iul Banach X=R2^ nzestrat cu norma euclidian a
consider am operatorul de evolut ie generat de matricea
U(t, s) =A(t, s)B(s), t≥s≥0,
unde
A(t, s) =(
et−scost e−(t−s)sint
et−ssint−e−(t−s)cost)
 siB(s) =(
coss sins
sins−coss)
.
Pentru orice x0∈R2exist˘ a r0≥0 ¸ sit0∈[0,2π) astfel ˆ ıncˆ at
x0= (r0cost0, r0sint0).

2.2. Instabilitate exponent ial a slab a 35
Observ˘ am c˘ a
U(t, t0)x0=A(t, t0)B(t0)x0=A(t, t0)(r0,0) = ( r0et−t0cost, r0et−t0sint)
¸ si deci
∥U(t, t0)x0∥=r0et−t0=et−s∥U(s, t0)x0∥,
pentru orice t≥s≥t0. Am obt ¸inut astfel c˘ a Ueste slab exponent ¸ial
instabil.
Pe de alt˘ a parte, pentru y0= (−sint0,cost0) rezult˘ a c˘ a
U(t, t0)y0=A(t, t0)(0,−1) = ( −e−(t−t0)sint, e−(t−t0)cost),
ceea ce implic˘ a
∥U(t, t0)y0∥=e−(t−t0)=e−(t−s)∥U(s, t0)y0∥.
A¸ sadar, operatorul de evolut ¸ie Unu este uniform exponent ¸ial instabil.

Propozit ia 2.2.1 Un operator de evolut ie Ueste slab exponent ial instabil
dac a  si numai dac a exist a N≥1 siν >0astfel ^ nc^ at pentru orice x0∈X
exist a t0≥0cu proprietatea c a
N∥U(t+h, t 0)x0∥≥eh∥U(t, t0)x0∥, (2.26)
pentru orice t≥t0 sih≥0.
Demonstrat ie .Necesitatea rezult˘ a imediat din Definit ¸ia 2.2.2.
Sucient a . Pentru orice x0∈Xexist˘ a t0≥0 astfel ˆ ıncˆ at
N∥U(t, t0)x0∥=N∥U(s+t−s, t0)x0∥≥e(t−s)∥U(s, t0)x0∥,
pentru orice t≥s≥t0, ceea ce arat˘ a c˘ a Ueste slab exponent ¸ial instabil.

Propozit ia 2.2.2 FieU: ∆ +→ B(X)un operator de evolut ie. Atunci U
este slab exponent ial instabil dac a  si numai dac a exist a o funct ie cresc atoare
f:R+→(0,∞)culim
t→∞f(t) = +∞astfel ^ nc^ at pentru orice x0∈Xexist a
t0≥0care veric a relat ia
∥U(t, t0)x0∥≥f(t−s)∥U(s, t0)x0∥,pentru orice t≥s≥t0.(2.27)

36 Capitolul 2. Comport ari asimptotice slabe
Demonstrat ie Necesitatea rezult˘ a imediat, considerˆ and f(t) =1
Net,t≥0.
Sucient a . Cum lim
t→∞f(t) = + ∞rezult˘ a c˘ a exist˘ a c > 0 astfel ˆ ıncˆ at
f(c)>1. Fie ν > 0 astfel ˆ ıncˆ at f(c) =ec¸ siN=f(c)
f(0)≥1. Din ipotez˘ a
rezult˘ a c˘ a are loc relat ¸ia (2.27).
Pentru t≥s≥t0exist˘ a n∈N¸ sir∈[0, c) astfel ˆ ıncˆ at t=s+nc+r.
Succesiv, obt ¸inem urm˘ atoarele relat ¸ii:
f(c)∥U(t, t0)x0∥ ≥f(c)f(r)∥U(s+nc, t 0)x0∥
≥f(0)f(c)∥U(s+nc, t 0)x0∥
≥ ··· ≥ f(0)f(c)n+1∥U(s, t0)x0∥
≥f(0)e(t−s)∥U(s, t0)x0∥,
pentru orice t≥s≥t0. Deci,
N∥U(t, t0)x0∥≥e(t−s)∥U(s, t0)x0∥,
pentru orice t≥s≥t0, ceea ce arat˘ a c˘ a Ueste slab exponent ¸ial instabil.

Un prim rezultat important obt ¸inut ˆ ın cadrul instabilit˘ at ¸ii exponent ¸iale
slabe este o versiune a Teoremei lui Datko:
Teorema 2.2.1 Un operator de evolut ie U: ∆ +→ B (X)m asurabil care
are descre stere exponent ial a uniform a este slab exponent ial instabil dac a  si
numai dac a exist a p, K > 0astfel ^ nc^ at pentru orice x0∈Xexist a t0≥0
cu proprietatea c a
∫t
t0∥U(τ, t0)x0∥pdτ≤K∥U(t, t0)x0∥p,pentru orice t≥t0.(2.28)
Demonstrat ie .Necesitatea . Pentru p >0 fixat ¸ si K=Np
p>0, unde N≥1
¸ siν >0 sunt date de Definit ¸ia 2.2.2, obt ¸inem c˘ a pentru orice x0∈Xexist˘ a
t0≥0 care verific˘ a
∫t
t0∥U(τ, t0)x0∥pdτ≤Np∫t
t0e−p(t−)dτ∥U(t, t0)x0∥p
≤K∥U(t, t0)x0∥p,pentru orice t≥t0.

2.2. Instabilitate exponent ial a slab a 37
Sucient a . Presupunem c˘ a exist˘ a p, K > 0 astfel ˆ ıncˆ at pentru orice
x0∈Xexist˘ a t0≥0 care verific˘ a relat ¸ia (2.28). Fie t≥s≥t0. Dac˘ a
t≥s+ 1, obt ¸inem
MpK∥U(t, t0)x0∥p≥Mp∫t
t0∥U(τ, t0)x0∥pdτ
≥∫t
se−!p(−s)dτ∥U(s, t0)x0∥p
≥∫1
0e−!pudu∥U(s, t0)x0∥p
=1−e−!p
ωp∥U(s, t0)x0∥p,
iar dac˘ a t∈[s, s+ 1), atunci
Mp∥U(t, t0)x0∥p≥e−!p∥U(s, t0)x0∥p.
Deci,
∥U(t, t0)x0∥p≥L∥U(s, t0)x0∥p,pentru orice t≥s≥t0,
unde L= min{
1
MpK1−e!p
!p,e!p
Mp}
.Pe de alt˘ a parte, are loc
K∥U(t, t0)x0∥p≥∫t
t0∥U(τ, t0)x0∥pdτ≥∫t
s∥U(τ, t0)x0∥pdτ
≥L(t−s)∥U(s, t0)x0∥p,
pentru orice t≥s≥t0. Din cele de mai sus obt ¸inem
(
1 +K1=p)
∥U(t, t0)x0∥≥L1=p[
1 + (t−s)1=p]
∥U(s, t0)x0∥,
pentru orice t≥s≥t0, ceea ce ˆ ıncheie demonstrat ¸ia.

Remarca 2.2.4 Descre¸ sterea exponent ¸ial˘ a uniform˘ a impus˘ a operatorului
de evolut ¸ie poate fi ˆ ınlocuit˘ a cu o condit ¸ie mai put ¸in restrictiv˘ a. Din motive
de redactare, pe tot parcursul acestui subcapitol vom studia totu¸ si cazul
operatorilor de evolut ¸ie care au descre¸ stere exponent ¸ial˘ a uniform˘ a.

38 Capitolul 2. Comport ari asimptotice slabe
O variant˘ a discret˘ a a teoremei precedente este prezentat˘ a ˆ ın cele ce
urmeaz˘ a:
Corolarul 2.2.1 FieU: ∆ +→ B(X)un operator de evolut ie m asurabil cu
descre stere exponent ial a uniform a. Atunci Ueste slab exponent ial instabil
dac a  si numai dac a exist a p, K > 0astfel ^ nc^ at pentru orice x0∈Xexist a
t0≥0cu proprietatea
[t−t0]∑
n=0∥U(t−n, t 0)x0∥p≤K∥U(t, t0)x0∥p,pentru orice t≥t0.(2.29)
Demonstrat ie .Necesitatea . Din Definit ¸ia 2.2.2 rezult˘ a c˘ a exist˘ a N≥1 ¸ si
ν >0 cu proprietatea c˘ a pentru orice x0∈Xexist˘ a t0≥0 astfel ˆ ıncˆ at are
loc
[t−t0]∑
n=0∥U(t−n, t 0)x0∥p≤Np
[t−t0]∑
n=0e−pn
∥U(t, t0)x0∥p
≤K∥U(t, t0)x0∥p,
pentru orice t≥t0, unde p >0 este fixat ¸ si K=Np
1−ep>0.
Sucient a . Presupunem c˘ a exist˘ a p, K > 0 astfel ˆ ıncˆ at pentru orice
x0∈Xexist˘ a t0≥0 care verific˘ a relat ¸ia (2.29). Atunci
∫t
t0∥U(τ, t0)x0∥pdτ=∫t−t0
0∥U(t−s, t0)x0∥pds
≤[t−t0]∑
n=0∫n+1
n∥U(t−s, t0)x0∥pds
≤Mp[t−t0]∑
n=0∫n+1
ne!p(s−n)ds∥U(t−n, t 0)x0∥p
≤Mpe!p[t−t0]∑
n=0∥U(t−n, t 0)x0∥p
≤KMpe!p∥U(t, t0)x0∥p,pentru orice t≥t0.
Aplicˆ and Teorema 2.2.1, obt ¸inem c˘ a Ueste slab exponent ¸ial instabil.


2.2. Instabilitate exponent ial a slab a 39
Teorema 2.2.2 FieU: ∆ +→ B(X)un operator de evolut ie continuu cu
descre stere exponent ial a uniform a. Urm atoarele armat ii sunt echivalente:
(i)Ueste slab exponent ial instabil;
(ii)exist a δ > 0 si exist a c >1astfel ^ nc^ at pentru orice x0∈Xexist a
t0≥0 siθ=θ(x0)∈(0, δ]cu
∥U(t+θ, t0)x0∥≥c∥U(t, t0)x0∥,pentru orice t≥t0;
(iii) exist a δ >0 sic >1astfel ^ nc^ at pentru orice x0∈Xexist a t0≥0
cu proprietatea c a pentru orice t≥t0exist a θ=θ(t, x0)∈(0, δ]astfel
^ nc^ at are loc
∥U(t+θ, t0)x0∥≥c∥U(t, t0)x0∥.
Demonstrat ie . (i)⇒(ii). Presupunem c˘ a Ueste slab exponent ¸ial instabil.
Din Definit ¸ia 2.2.2 rezult˘ a c˘ a exist˘ a N≥1 ¸ siν >0 astfel ˆ ıncˆ at pentru orice
x0∈Xexist˘ a t0≥0 cu proprietatea c˘ a
N∥U(t, t0)x0∥≥e(t−s)∥U(s, t0)x0∥,pentru orice t≥s≥t0.
Fieδ >0 astfel ˆ ıncˆ at1
Ne>1. Atunci pentru θ=δavem
∥U(t+θ, t0)x0∥≥1
Ne∥U(t, t0)x0∥=c∥U(t, t0)x0∥,pentru orice t≥t0
¸ si deci are loc (ii). Implicat ¸ia (ii) ⇒(iii) este evident˘ a.
(iii)⇒(i). Consider˘ am ν=lnc
>0 ¸ siN=Me(!+)≥1,unde M≥1
¸ siω > 0 sunt date de descre¸ sterea exponent ¸ial˘ a uniform˘ a. Pentru orice
x0∈Xexist˘ a t0≥0 astfel ˆ ıncˆ at pentru orice t≥t0exist˘ a θ1∈(0, δ] cu
proprietatea c˘ a
∥U(t+θ1, t0)x0∥≥c∥U(t, t0)x0∥.
Pentru t1=t+θ1exist˘ a θ2∈(0, δ] astfel ˆ ıncˆ at
∥U(t+θ1+θ2, t0)x0∥≥c2∥U(t, t0)x0∥.

40 Capitolul 2. Comport ari asimptotice slabe
Inductiv, obt ¸inem c˘ a exist˘ a un ¸ sir cresc˘ ator
sn=

0, n= 0
θ1+θ2+···+θn, n∈N∗
cusn≤nδ¸ si
∥U(t+sn, t0)x0∥≥cn∥U(t, t0)x0∥,pentru orice n∈N. (2.30)
Dac˘ a ( sn) este m˘ arginit, atunci exist˘ a γ∈Rcu lim
n→∞sn=γ. F˘ acˆ and
n→ ∞ ˆ ın relat ¸ia precedent˘ a, rezult˘ a c˘ a ∥U(t+γ, t 0)x0∥= +∞,ceea ce este
fals. Deci, ¸ sirul ( sn) este nem˘ arginit, adic˘ a lim
n→∞sn=∞. Atunci, pentru
orice h≥0 exist˘ a n∈Nastfel ˆ ıncˆ at sn≤h < s n+1≤sn+δ. Succesiv,
obt ¸inem
∥U(t+h, t 0)x0∥=∥U(t+h, t+sn)U(t+sn, t0)x0∥
≥1
Me−!(h−sn)∥U(t+sn, t0)x0∥
≥1
Me−!cn∥U(t, t0)x0∥
=1
Me−!en∥U(t, t0)x0∥
=1
Me−!e−e(n+1)∥U(t, t0)x0∥
≥1
Me−(!+)eh∥U(t, t0)x0∥.
Din relat ¸ia precedent˘ a ¸ si Propozit ¸ia 2.2.1 obt ¸inem c˘ a Ueste slab exponent ¸ial
instabil, ceea ce ˆ ıncheie demonstrat ¸ia.

O teorem˘ a de tip Rolewicz ˆ ın cazul instabilit˘ at ¸ii exponent ¸iale slabe este:
Teorema 2.2.3 FieUun operator de evolut ie continuu  si injectiv care are
descre stere exponent ial a uniform a. Atunci Ueste slab exponent ial instabil
dac a  si numai dac a exist a o funct ie R∈ R 1 si o constant a K > 0astfel
^ nc^ at pentru orice x0∈X,x0̸= 0, exist a t0≥0cu proprietatea c a
∫∞
tR(1
∥U(τ, t0)x0∥)
dτ≤KR(1
∥U(t, t0)x0∥)
,∀t≥t0.(2.31)

2.2. Instabilitate exponent ial a slab a 41
Demonstrat ie .Necesitatea . Pentru R(t) =t(t≥0) ¸ si K=N
>0,unde
N≥1 ¸ siν >0 sunt date de Definit ¸ia 2.2.2, obt ¸inem c˘ a pentru orice x0∈X,
x0̸= 0, exist˘ a t0≥0 astfel ˆ ıncˆ at
∫∞
t1
∥U(τ, t0)x0∥dτ≤N∫∞
te−(−t)dτ1
∥U(t, t0)x0∥=K
∥U(t, t0)x0∥,
pentru orice t≥t0.
Sucient a . Presupunem c˘ a Unu este slab exponent ¸ial instabil. Din
Teorema 2.2.2 rezult˘ a c˘ a pentru orice δ >0 ¸ sic >1 exist˘ a x0∈X,x0̸= 0,
astfel ˆ ıncˆ at pentru orice t0≥0 exist˘ a t≥t0cu
∥U(t+θ, t0)x0∥< c∥U(t, t0)x0∥,pentru orice θ∈(0, δ]. (2.32)
ˆIn particular, pentru δ=KR(2) + 1 ¸ si c= 2, inegalitatea (2.32) implic˘ a
R(2)∫∞
tR(1
∥U(τ, t0)x0∥)
dτ≥∫∞
0R(2
∥U(t+θ, t0)x0∥)
dθ
≥∫
0R(2
∥U(t+θ, t0)x0∥)
dθ
≥∫
0R(1
∥U(t, t0)x0∥)
dθ
> KR (2)R(1
∥U(t, t0)x0∥)
,
ceea ce contrazice ipoteza, deci Ueste slab exponent ¸ial instabil.

Rezultatul urm˘ ator ne d˘ a o alt˘ a versiune a Teoremei lui Datko:
Corolarul 2.2.2 FieU: ∆ +→ B(X)un operator de evolut ie continuu  si
injectiv cu descre stere exponent ial a uniform a. Atunci Ueste slab exponent ial
instabil dac a  si numai dac a exist a p, K > 0astfel ^ nc^ at pentru orice x0∈X,
x0̸= 0, exist a t0≥0cu proprietatea c a
∫∞
t1
∥U(τ, t0)x0∥pdτ≤K
∥U(t, t0)x0∥p,pentru orice t≥t0.
Demonstrat ie . Rezult˘ a imediat din Teorema 2.2.3 pentru R(t) =tp,t≥0.


42 Capitolul 2. Comport ari asimptotice slabe
Propozit ia 2.2.3 FieU: ∆ +→ B (X)un operator de evolut ie continuu
 si injectiv care are descre stere exponent ial a uniform a. Atunci Ueste slab
exponent ial instabil dac a  si numai dac a exist a o funct ie R∈ R 1 siK > 0
astfel ^ nc^ at pentru orice x0∈X,x0̸= 0, exist a t0≥0cu proprietatea c a
∞∑
n=0R(1
∥U(t+n, t 0)x0∥)
≤KR(1
∥U(t, t0)x0∥)
,pentru t≥t0.(2.33)
Demonstrat ie .Necesitatea . Folosind Definit ¸ia 2.2.2, exist˘ a N≥1 ¸ siν >0
astfel ˆ ıncˆ at pentru orice x0∈X,x0̸= 0, exist˘ a t0≥0 care verific˘ a
∞∑
n=01
∥U(t+n, t 0)x0∥≤N(∞∑
n=0e−n)
∥U(t, t0)x0∥=K∥U(t, t0)x0∥,
pentru orice t≥t0, unde R(t) =t(t≥0) ¸ si K=N
1−e.
Sucient a . Din relat ¸ia (2.33) deducem
∫∞
tR(1
∥U(τ, t0)x0∥)
dτ=∫∞
0R(1
∥U(t+τ, t0)x0∥)
dτ
=∞∑
n=0∫n+1
nR(1
∥U(t+τ, t0)x0∥)
dτ
≤R(Me!)∞∑
n=0R(1
∥U(t+n, t 0)x0∥)
≤KR(Me!)R(1
∥U(t, t0)x0∥)
,
pentru orice t≥t0. Din Teorema 2.2.3 obt ¸inem c˘ a Ueste un operator de
evolut ¸ie slab exponent ¸ial instabil.

Corolarul 2.2.3 FieUun operator de evolut ie continuu, injectiv  si care are
descre stere exponent ial a uniform a. Atunci Ueste slab exponent ial instabil
dac a  si numai dac a exist a p, K > 0astfel ^ nc^ at pentru orice x0∈X,x0̸= 0,
exist a t0≥0cu
∞∑
n=01
∥U(t+n, t 0)x0∥p≤K
∥U(t, t0)x0∥p,pentru orice t≥t0.

2.2. Instabilitate exponent ial a slab a 43
Demonstrat ie . Rezult˘ a din Propozit ¸ia 2.2.3, considerˆ and R(t) =tp.

O caracterizare de tip Lyapunov se poate obt ¸ine ¸ si ˆ ın cazul instabilit˘ at ¸ii
exponent ¸iale slabe:
Teorema 2.2.4 FieU: ∆ +→ B(X)un operator de evolut ie m asurabil cu
descre stere exponent ial a uniform a. Atunci Ueste slab exponent ial instabil
dac a  si numai dac a exist a L: ∆ +×X→R−, o funct ie Lyapunov ^ n sens
slab pentru U,  si exist a o constant a C > 0astfel ^ nc^ at
|L(t, t0, x0)| ≤C∥U(t, t0)x0∥2,pentru orice t≥t0. (2.34)
Demonstrat ie .Necesitatea . Consider˘ am funct ¸ia
L(t, s, x ) =−∫t
s∥U(τ, s)x∥2dτ≤0,pentru ( t, s)∈∆+¸ six∈X.
Din Definit ¸ia 2.2.2 obt ¸inem c˘ a exist˘ a N≥1 ¸ siν > 0 astfel ˆ ıncˆ at pentru
orice x0∈Xexist˘ a t0≥0 care verific˘ a
|L(t, t0, x0)|=∫t
t0∥U(τ, t0)x0∥2dτ≤C∥U(t, t0)x0∥2,
pentru orice t≥t0, unde C=N2
2>0. Pe de alt˘ a parte, are loc
L(s, t0, x0)−L(t, t0, x0)−∫t
s∥U(τ, t0)x0∥2dτ= 0,pentru orice t≥t0.
Sucient a . Presupunem c˘ a exist˘ a L: ∆ +×X→R−, o funct ¸ie Lyapunov
ˆ ın sens slab pentru U, ¸ si exist˘ a C > 0 astfel ˆ ıncˆ at are loc relat ¸ia (2.34).
Atunci
∫t
t0∥U(τ, t0)x0∥2dτ≤L(t0, t0, x0)−L(t, t0, x0)
≤ −L(t, t0, x0) =|L(t, t0, x0)|
≤C∥U(t, t0)x0∥2,
pentru orice t≥t0. Aplicˆ and Teorema 2.2.1, rezult˘ a c˘ a Ueste un operator
de evolut ¸ie slab exponent ¸ial instabil.


44 Capitolul 2. Comport ari asimptotice slabe
Remarca 2.2.5 La fel ca ˆ ın cazul stabilit˘ at ¸ii exponent ¸iale slabe, teorema
precedent˘ a r˘ amˆ ane adev˘ arat˘ a ¸ si ˆ ın ipoteza ˆ ın care Leste o solut ¸ie a ecuat ¸iei
Lyapunov (2.23).

Capitolul 3
Comport ari asimptotice neuniforme
De multe ori, atˆ at comport˘ arile asimptotice uniforme, cˆ at ¸ si cele slabe
se dovedesc a fi destul de restrictive pentru dinamica ecuat ¸iilor de evolut ¸ie.
De aceea, ˆ ın cele ce urmeaz˘ a, vom prezenta ˆ ıntr-un mod unitar principalele
comport˘ ari asimptotice neuniforme ale proceselor evolutive.
3.1 Stabilitate exponent ial a neuniform a
Una dintre cele mai importante comport˘ ari asimptotice neuniforme este
aceea a stabilit˘ at ¸ii exponent ¸iale. ˆIn acest paragraf vom prezenta diverse
concepte de stabilitate exponent ¸ial˘ a neuniform˘ a, dˆ and exemple prin care
vom clarifica relat ¸iile dintre aceste concepte ¸ si naturalet ¸ea introducerii lor.
Un prim tip de stabilitate exponent ¸ial˘ a neuniform˘ a a fost introdus de
Bu¸ se ˆ ın [19]. Astfel:
Denit ia 3.1.1 Un operator de evolut ¸ie U: ∆ +→ B (X) este neuniform
exponent ial stabil dac˘ a exist˘ a o funct ¸ie N:R+→[1,∞) ¸ si o constant˘ a
ν > 0 astfel ˆ ıncˆ at
∥U(t, s)∥≤N(s)e−(t−s),pentru orice ( t, s)∈∆+. (3.1)
Remarca 3.1.1 F˘ ar˘ a a mic¸ sora generalizarea, putem presupune c˘ a funct ¸ia
Nconsiderat˘ a ˆ ın definit ¸ia precedent˘ a este cresc˘ atoare, ˆ ın caz contrar se ia
eN(t) = sup
∈[0;t]N(τ).
45

46 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
Remarca 3.1.2 Un operator de evolut ¸ie U: ∆ +→ B (X) este neuniform
exponent ¸ial stabil dac˘ a ¸ si numai dac˘ a exist˘ a o funct ¸ie cresc˘ atoare N:R+→
[1,∞) ¸ si o constant˘ a ν > 0 astfel ˆ ıncˆ at
∥U(t, t0)x0∥≤N(s)e−(t−s)∥U(s, t0)x0∥,
pentru orice t≥s≥t0≥0 ¸ si orice x0∈X.
Remarca 3.1.3 Se poate observa imediat c˘ a dac˘ a U: ∆ +→ B(X) este un
operator de evolut ¸ie neuniform exponent ¸ial stabil, atunci are loc
lim
t→∞∥U(t, t0)x0∥= 0,pentru orice ( t0, x0)∈R+×X. (3.2)
A¸ sadar, conceptul de stabilitate exponent ¸ial˘ a considerat ˆ ın Definit ¸ia 3.1.1
p˘ astreaz˘ a una dintre propriet˘ at ¸ile importante ale stabilit˘ at ¸ii exponent ¸iale
uniforme.
Remarca 3.1.4 Dac˘ a Ueste un operator de evolut ¸ie neuniform exponent ¸ial
stabil, atunci exist˘ a dou˘ a funct ¸ii cresc˘ atoare N, f :R+→[1,∞) care verific˘ a
lim
t→∞f(t) =∞¸ si
f(t−s)∥U(t, s)∥≤N(s),pentru orice ( t, s)∈∆+. (3.3)
Spre deosebire de cazul stabilit˘ at ¸ii exponent ¸iale slabe ¸ si ˆ ın particular a
celei uniforme, reciproca nu este adev˘ arat˘ a pentru stabilitatea exponent ¸ial˘ a
neuniform˘ a.
Exemplul 3.1.1 Operatorul de evolut ie U(t, s) =s2+1
t2+1Idnu este neuniform
exponent ial stabil, dar are proprietatea c a exist a dou a funct ii cresc atoare
N, f :R+→[1,∞)culim
t→∞f(t) =∞astfel ^ nc^ at (3.3) are loc.
ˆIntr-adev˘ ar, dac˘ a presupunem c˘ a Ueste neuniform exponent ¸ial stabil,
atunci exist˘ a o funct ¸ie N:R+→[1,∞) ¸ si o constant˘ a ν >0 care verific˘ a
1
t2+ 1≤N(0)e−t,pentru orice t≥0,
ceea ce este fals. Deci, Unu este neuniform exponent ¸ial stabil. Pe de alt˘ a
parte, dac˘ a lu˘ am funct ¸iile N(t) =t2+ 1 ¸ si f(t) =t2+ 1, t≥0, obt ¸inem
relat ¸ia (3.3).


3.1. Stabilitate exponent ial a neuniform a 47
Remarca 3.1.5 Orice operator de evolut ¸ie uniform exponent ¸ial stabil este
¸ si neuniform exponent ¸ial stabil. Reciproca este fals˘ a, dup˘ a cum rezult˘ a din
urm˘ atorul exemplu:
Exemplul 3.1.2 Operatorul de evolut ie
U(t, s) =ef(t)−f(s)Id,unde f(t) =−t
2 + cos t, t≥0,
este neuniform exponent ial stabil, dar nu este uniform exponent ial stabil.
Calcul˘ am
f(t)−f(s) =−t
2 + cos t+s
2 + cos s
=t(1
3−1
2 + cos t)
−s(1
3−1
2 + cos s)
−1
3(t−s)
=t(cost−1)
3(2 + cos t)−s(coss−1)
3(2 + cos s)−1
3(t−s)
=−2tsin2t
2
3(2 + cos t)+2ssin2s
2
3(2 + cos s)−1
3(t−s)
≤2
3s−1
3(t−s), t≥s≥0.
Deci, am obt ¸inut c˘ a
∥U(t, s)∥≤e2
3se−1
3(t−s),pentru orice ( t, s)∈∆+,
ceea ce arat˘ a c˘ a Ueste neuniform exponent ¸ial stabil. Dac˘ a presupunem c˘ a
Ueste uniform exponent ¸ial stabil, atunci exist˘ a N≥1 ¸ siν >0 astfel ˆ ıncˆ at
are loc relat ¸ia
∥U(t, s)∥≤Ne−(t−s),pentru orice ( t, s)∈∆+.
ˆIn particular, pentru t= 2nπ+ 2π¸ sis= 2nπ+π,n∈N, rezult˘ a
e−
3e2
3(2n+)≤Ne−,pentru orice n∈N,
ceea ce este fals, deci Unu este uniform exponent ¸ial stabil.


48 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
Pentru a motiva definirea unui nou concept de stabilitate exponent ¸ial˘ a
(neuniform˘ a), consider˘ am ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a
˙v(t) =A(t)v(t), t≥0. (3.4)
Se ¸ stie (vezi [9]) c˘ a ˆ ın caz finit dimensional, dac˘ a are loc relat ¸ia
lim sup
t→∞ln∥v(t)∥
t<0,
ceea ce ˆ ınseamn˘ a c˘ a tot ¸i exponent ¸ii Lyapunov asociat ¸i ecuat ¸iei (3.4) sunt
negativi, atunci ˆ ın anumite condit ¸ii (vezi [6, Theorem 4.3]), inegalitatea
∥v(t)∥≤N(s)e−(t−s)∥v(s)∥, t≥s≥0,
are loc pentru N(s) =Nes,αfiind o constant˘ a nenegativ˘ a. Deci, se obt ¸ine
∥v(t)∥≤Nese−(t−s)∥v(s)∥,pentru orice t≥s≥0.
Plecˆ and de la acest fapt, vom considera un caz particular de stabilitate
exponent ¸ial˘ a neuniform˘ a, introdus de Barreira ¸ si Valls ˆ ın cazul ecuat ¸iilor
diferent ¸iale (vezi [7]). Astfel:
Denit ia 3.1.2 Spunem c˘ a un operator de evolut ¸ie U: ∆ +→ B(X) este
exponent ial stabil dac˘ a exist˘ a N≥1,α≥0 ¸ siν >0 astfel ˆ ıncˆ at
∥U(t, s)∥≤Nese−(t−s),pentru orice ( t, s)∈∆+.
ˆIn cazul particular ˆ ın care α= 0, se obt ¸ine c˘ a Ueste uniform exponent ¸ial
stabil.
Remarca 3.1.6 Operatorul de evolut ¸ie considerat ˆ ın Exemplul 3.1.2 este
exponent ¸ial stabil.
Remarca 3.1.7 Operatorul de evolut ¸ie U: ∆ +→ B(X) este exponent ¸ial
stabil dac˘ a ¸ si numai dac˘ a exist˘ a N≥1,α≥0 ¸ siν >0 astfel ca
∥U(t, s)x∥≤Nese−(t−s)∥x∥,pentru orice ( t, s, x )∈∆+×X.

3.1. Stabilitate exponent ial a neuniform a 49
Remarca 3.1.8 Un concept de stabilitate exponent ¸ial˘ a asem˘ an˘ ator celui
prezentat ˆ ın Definit ¸ia 3.1.2 a fost considerat de M. Reghi¸ s ˆ ın [158].
Remarca 3.1.9 Orice operator de evolut ¸ie care este exponent ¸ial stabil este
¸ si neuniform exponent ¸ial stabil.
ˆIn exemplul urm˘ ator ar˘ at˘ am c˘ a exist˘ a operatori de evolut ¸ie neuniform
exponent ¸ial stabili care nu sunt exponent ¸ial stabili.
Exemplul 3.1.3 Consider am funct ia u:R+→[1,∞), dat a prin
u(t) =

et2, t∈N,
1 , t /∈N.
Operatorul de evolut ie Udenit pe un spat iul Banach Xprin
U(t, s)x=u(s)
u(t)e−(t−s)x,∀(t, s, x )∈∆+×X,
este neuniform exponent ial stabil, dar nu este exponent ial stabil.
Demonstrat ie .ˆIntr-adev˘ ar, avem c˘ a
∥U(t, s)x∥≤u(s)e−(t−s)∥x∥,pentru orice ( t, s, x )∈∆+×X,
ceea ce arat˘ a c˘ a Ueste neuniform exponent ¸ial stabil. Dac˘ a presupunem c˘ a
Ueste exponent ¸ial stabil, atunci exist˘ a N≥1,α≥0 ¸ siν >0 astfel ˆ ıncˆ at
∥U(t, s)∥≤Nese−(t−s),pentru orice ( t, s)∈∆+.
ˆIn particular, pentru t=n+1
n¸ sis=n,n∈N,n≥2, rezult˘ a
en2e−1
n≤Nene−
n,∀n≥2,
ceea ce implic˘ a
en2−n≤Ne(1−)1
n,∀n≥2.
F˘ acˆ and n→ ∞ ˆ ın relat ¸ia precedent˘ a, obt ¸inem ∞ ≤ N, ceea ce este fals,
deciUnu este exponent ¸ial stabil.

Exist˘ a totu¸ si situat ¸iiˆ ın care cele dou˘ a concepte de stabilitate exponent ¸ial˘ a
neuniform˘ a coincid, dup˘ a cum rezult˘ a din urm˘ atorul rezultat:

50 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
Propozit ia 3.1.1 FieU:R2
+→ B (X)un operator de evolut ie reversibil
uniform exponent ial m arginit. Atunci Ueste neuniform exponent ial stabil
dac a  si numai dac a acesta este exponent ial stabil.
Demonstrat ie . Este suficient s˘ a demonstr˘ am necesitatea. Presupunem c˘ a
exist˘ a o funct ¸ie N:R+→[1,∞) ¸ si o constant˘ a ν >0 astfel ca
∥U(t, s)∥≤N(s)e−(t−s),pentru orice ( t, s)∈∆+.
Plecˆ and de la relat ¸ia U(t, s) =U(t,0)U(0, s),obt ¸inem
∥U(t, s)∥ ≤N(0)e−t∥U(0, s)∥
≤N(0)Me!se−t
≤N(0)Me!se−(t−s),
pentru orice ( t, s)∈∆+, deci Ueste exponent ¸ial stabil.

Rezultatul urm˘ ator poate fi privit ca o definit ¸ie echivalent˘ a a stabilit˘ at ¸ii
exponent ¸iale:
Propozit ia 3.1.2 Operatorul de evolut ie U: ∆ +→ B(X)este exponent ial
stabil dac a  si numai dac a exist a N≥1 sia, b > 0cua≤bastfel ^ nc^ at
eat∥U(t, s)x∥≤Nebs∥x∥,pentru orice (t, s, x )∈∆+×X.
Demonstrat ie .Necesitatea se obt ¸ine imediat din urm˘ atoarele calcule
∥U(t, s)x∥≤Nese−(t−s)∥x∥=Ne(+)se−t∥x∥,(t, s, x )∈∆+×X.
Sucient a rezult˘ a din
∥U(t, s)x∥≤Nebse−at∥x∥=Ne(b−a)se−a(t−s)∥x∥,
pentru orice ( t, s, x )∈∆+×X.

O alt˘ a caracterizare a stabilit˘ at ¸ii exponent ¸iale este:

3.1. Stabilitate exponent ial a neuniform a 51
Propozit ia 3.1.3 Operatorul de evolut ie U: ∆ +→ B(X)este exponent ial
stabil dac a  si numai dac a exist a N≥1,β≥0 siγ >0cuβ < γ astfel ^ nc^ at
∥U(t, s)x∥≤Nete−
(t−s)∥x∥,pentru orice (t, s, x )∈∆+×X.
Demonstrat ie .Necesitatea rezult˘ a imediat pentru β=α¸ siγ=α+ν.
Sucient a reiese din
∥U(t, s)x∥≤Nete−
(t−s)∥x∥=Nese−(
−)(t−s)∥x∥,
pentru orice ( t, s, x )∈∆+×X, considerˆ and α=β≥0 ¸ siν=γ−β >0.

T ¸ inˆ and cont de faptul c˘ a not ¸iunea de stabilitate exponent ¸ial˘ a introdus˘ a
ˆ ın Definit ¸ia 3.1.2 este motivat˘ a de teoria ergodic˘ a a sistemelor hiperbolice,
care presupune c˘ a partea neuniform˘ a a stabilit˘ at ¸ii poate fi aleas˘ a suficient de
mic˘ a pentru aproape toate ecuat ¸iile diferent ¸iale ˆ ın spat ¸ii finit dimensionale,
consider˘ am urm˘ atorul caz particular al stabilit˘ at ¸ii exponent ¸iale:
Denit ia 3.1.3 Spunem c˘ a un operator de evolut ¸ie U: ∆ +→ B(X) este
tare exponent ial stabil dac˘ a exist˘ a N≥1,α≥0 ¸ siν > 0 cu α < ν astfel
ˆ ıncˆ at
∥U(t, s)∥≤Nese−(t−s),pentru orice ( t, s)∈∆+.
Remarca 3.1.10 Operatorul de evolut ¸ie Ueste tare exponent ¸ial stabil
dac˘ a ¸ si numai dac˘ a exist˘ a N≥1,α≥0 ¸ siν >0 cuα < ν astfel ˆ ıncˆ at
∥U(t, s)x∥≤Nese−(t−s)∥x∥,pentru orice ( t, s, x )∈∆+×X.
Orice operator de evolut ¸ie tare exponent ¸ial stabil este exponent ¸ial stabil,
deci ¸ si neuniform exponent ¸ial stabil. ˆIn general, reciproca nu este adev˘ arat˘ a,
fapt ilustrat de exemplul urm˘ ator:
Exemplul 3.1.4 Operatorul de evolut ie considerat ^ n Exemplul 1.2.1 pentru
u(t) =ef(t), unde f(t) =−ωt+tsin2t,t≥0, este tare exponent ial stabil
pentru orice ω > 2, iar pentru ω= 2, acesta este exponent ial stabil  si nu
este tare exponent ial stabil.

52 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
ˆIntr-adev˘ ar, obt ¸inem
f(t)−f(s) =−(ω−1)(t−s) +t(sin2t−1)−s(sin2s−1)
=−(ω−1)(t−s)−tcos2t+scos2s
≤s−(ω−1)(t−s),
de unde rezult˘ a c˘ a
∥U(t, s)∥≤ese−(!−1)(t−s),pentru orice ( t, s)∈∆+,
¸ si deci obt ¸inem c˘ a Ueste exponent ¸ial stabil pentru orice ω > 1, iar pentru
ω > 2 este chiar tare exponent ¸ial stabil. Mai mult, procedˆ and la fel ca ˆ ın
Exemplul 3.1.2, se poate ar˘ ata c˘ a pentru orice ω >1, operatorul de evolut ¸ie
Unu este uniform exponent ¸ial stabil.
Consider˘ am ω= 2. Dac˘ a presupunem c˘ a Ueste tare exponent ¸ial stabil,
atunci exist˘ a N≥1,α≥0 ¸ siν > α astfel ˆ ıncˆ at
∥U(t, s)∥≤Nese−(t−s),pentru orice ( t, s)∈∆+.
ˆIn particular, pentru t=nπ+π/2 (n∈N) ¸ sis= 0, obt ¸inem
e−(n+=2)≤Ne−(n+=2),pentru orice n∈N.
Aceasta implic˘ a ν≤1 ¸ si deci α∈(0,1). Pentru t=nπ+π/2 ¸ sis=nπ,
n∈N, rezult˘ a
e(1−)n≤Ne(1−)=2,pentru orice n∈N,
ceea ce este fals, deci Unu este tare exponent ¸ial stabil.

Procedˆ and la fel ca ˆ ın Propozit ¸ia 3.1.2, se obt ¸ine:
Propozit ia 3.1.4 Un operator de evolut ie Ueste tare exponent ial stabil
dac a  si numai dac a exist a N≥1 sia, b > 0cua≤b <2aastfel ^ nc^ at
eat∥U(t, s)x∥≤Nebs∥x∥,pentru orice (t, s, x )∈∆+×X.

3.1. Stabilitate exponent ial a neuniform a 53
ˆIn lucr˘ arile [19], [23] ¸ si [24] au fost obt ¸inute diverse caracteriz˘ ari de tip
Datko, Datko-Rolewicz, Barbashin, Zwart ¸ si Lyapunov pentru conceptul de
stabilitate exponent ¸ial˘ a neuniform˘ a. ˆIn majoritatea rezultatelor obt ¸inute ˆ ın
aceste lucr˘ ari se presupune c˘ a operatorul de evolut ¸ie are cre¸ stere exponent ¸ial˘ a
uniform˘ a. Aceast˘ a ipotez˘ a restrict ¸ioneaz˘ a destul de mult neuniformitatea
dinamicii procesului de evolut ¸ie (se poate observa c˘ a operatorii de evolut ¸ie
considerat ¸i anterior nu au cre¸ stere exponent ¸ial˘ a uniform˘ a). ˆIn continuare
vom da condit ¸ii necesare ¸ si condit ¸ii suficiente pentru conceptele de stabilitate
exponent ¸ial˘ a introduse ˆ ın Definit ¸ia 3.1.2, respectiv Definit ¸ia 3.1.3, ar˘ atˆ and
c˘ a ˆ ın aceste situat ¸ii cre¸ sterea exponent ¸ial˘ a uniform˘ a poate fi extins˘ a ˆ ın mod
natural ˆ ın cadrul comport˘ arilor asimptotice neuniforme.
Denit ia 3.1.4 Spunem c˘ a un operator de evolut ¸ie U: ∆ +→ B (X) are
cre stere exponent ial a dac˘ a exist˘ a constantele M≥1,ε≥0 ¸ siω > 0 astfel
ˆ ıncˆ at
∥U(t, s)∥≤Me"se!(t−s),pentru orice ( t, s)∈∆+.
ˆIn cazul particular ˆ ın care ε= 0, obt ¸inem c˘ a Uare cre¸ stere exponent ¸ial˘ a
uniform˘ a.
Remarca 3.1.11 Orice operator de evolut ¸ie care are cre¸ stere exponent ¸ial˘ a
uniform˘ a are ¸ si cre¸ stere exponent ¸ial˘ a. Reciproca este fals˘ a, dup˘ a cum rezult˘ a
din urm˘ atorul exemplu:
Exemplul 3.1.5 Operatorul de evolut ie
U(t, s) =ef(t)−f(s)Id,unde f(t) =tcost,
are cre stere exponent ial a, dar nu are cre stere exponent ial a uniform a.
ˆIntr-adev˘ ar, din relat ¸ia
∥U(t, s)∥=etcost−scoss=et(cost−1)−s(coss−1)+(t−s)
=e−2tsin2t
2+2ssin2s
2+(t−s)≤e2set−s,
pentru orice ( t, s)∈∆+, obt ¸inem c˘ a Uare cre¸ stere exponent ¸ial˘ a.

54 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
Dac˘ a presupunem c˘ a Uare cre¸ stere exponent ¸ial˘ a uniform˘ a, atunci rezult˘ a
c˘ a exist˘ a M≥1 ¸ siω >0 astfel ˆ ıncˆ at
∥U(t, s)∥≤Me!(t−s),pentru orice ( t, s)∈∆+.
Pentru t= 2nπ+ 2π¸ sis= 2nπ+π,n∈N, rezult˘ a c˘ a ee4n+2≤Me!,
pentru orice n∈N,ceea ce este fals.

Remarca 3.1.12 Se observ˘ a imediat c˘ a orice operator de evolut ¸ie care este
exponent ¸ial stabil are cre¸ stere exponent ¸ial˘ a. Este natural deci ca ˆ ın studiul
stabilit˘ at ¸ii exponent ¸iale a operatorilor de evolut ¸ie s˘ a consider˘ am operatori
de evolut ¸ie care au cre¸ stere exponent ¸ial˘ a. Pe de alt˘ a parte, exist˘ a operatori
de evolut ¸ie care au cre¸ stere exponent ¸ial˘ a, dar nu sunt exponent ¸ial stabili.
De exemplu, operatorul de evolut ¸ie considerat ˆ ın exemplul precedent nu este
exponent ¸ial stabil, de¸ si are cre¸ stere exponent ¸ial˘ a.
Propozit ia 3.1.5 Fiep > 0 siU: ∆ +→ B (X)un operator de evolut ie
m asurabil. Dac a Ueste exponent ial stabil, atunci exist a K, γ > 0 siδ≥0
astfel ^ nc^ at
∫∞
tep
(−t)∥U(τ, t)x∥pdτ≤Kept∥x∥p,∀(t, x)∈R+×X. (3.5)
Demonstrat ie . Relat ¸ia (3.5) are loc pentru γ∈(0, ν) arbitrar, δ=α¸ si
K=Np
p(−
), constantele N≥1,α≥0 ¸ siν >0 fiind date de Definit ¸ia 3.1.2.
ˆIntr-adev˘ ar, obt ¸inem
∫∞
tep
(−t)∥U(τ, t)x∥pdτ≤Npept∫∞
tep
(−t)e−p(−t)dτ∥x∥p
=Npept∫∞
te−p(−
)(−t)dτ∥x∥p
=Npept∫∞
0e−p(−
)dτ∥x∥p
=Kept∥x∥p,∀(t, x)∈R+×X.


3.1. Stabilitate exponent ial a neuniform a 55
Analizˆ and demonstrat ¸ia propozit ¸iei anterioare, se poate demonstra un
rezultat mai tare decˆ at cel anterior:
Propozit ia 3.1.6 Fiep > 0 siU: ∆ +→ B (X)un operator de evolut ie
m asurabil. Dac a Ueste exponent ial stabil, atunci pentru orice constant a
pozitiv a γ < ν are loc
∫∞
tep
(−t)∥U(τ, t)x∥pdτ≤Kept∥x∥p,∀(t, x)∈R+×X, (3.6)
unde K=Np
p(−
), iar N≥1,α≥0 siν >0sunt date de Denit ia 3.1.2.
Un rezultat analog se obt ¸ine ¸ si ˆ ın cazul stabilit˘ at ¸ii exponent ¸iale tari:
Propozit ia 3.1.7 Fiep > 0 siU: ∆ +→ B (X)un operator de evolut ie
m asurabil. Dac a Ueste tare exponent ial stabil, atunci pentru orice γ∈(α, ν)
are loc relat ia (3.6) , constantele α siνind date de Denit ia 3.1.3.
O alt˘ a condit ¸ie necesar˘ a pentru existent ¸a stabilit˘ at ¸ii exponent ¸iale este
dat˘ a de o variant˘ a discret˘ a a Propozit ¸iei 3.1.6:
Propozit ia 3.1.8 Fiep > 0o constant a xat a. Dac a U: ∆ +→ B (X)
este un operator de evolut ie exponent ial stabil, atunci pentru orice constant a
pozitiv a γ < ν are loc
∞∑
n=0ep
n∥U(t+n, t)x∥p≤Kept∥x∥p,∀(t, x)∈R+×X, (3.7)
unde K=Np
1−ep(
), constantele N≥1,ν > 0 siα≥0ind date de
Denit ia 3.1.2.
Demonstrat ie . Fie γ∈(0, ν). Printr-un calcul elementar obt ¸inem
∞∑
n=0ep
n∥U(t+n, t)x∥p≤Npept(∞∑
n=0e−p(−
)n)
∥x∥p
=Np
1−e−p(−
)ept∥x∥p,
pentru orice ( t, x)∈R+×X, ceea ce implic˘ a relat ¸ia (3.7).


56 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
Propozit ia 3.1.9 Fiep >0o constant a xat a. Dac a U: ∆ +→ B(X)este
un operator de evolut ie tare exponent ial stabil, atunci pentru orice γ∈(α, ν)
are loc relat ia (3.7) ,α siνind date de Denit ia 3.1.3.
Teorema 3.1.1 FieU: ∆ +→ B(X)un operator de evolut ie m asurabil cu
cre stere exponent ial a. Dac a exist a p, K > 0,γ > ε  siα≥0astfel ^ nc^ at
relat ia (3.6)are loc, atunci Ueste exponent ial stabil, constanta ε≥0ind
dat a de cre sterea exponent ial a.
Demonstrat ie . Consider˘ am ( t, s, x )∈∆+×X. Dac˘ a t≥s+ 1, atunci
ep
(t−s)∥U(t, s)x∥p=∫t
t−1ep
(t−s)∥U(t, s)x∥pdτ
=∫t
t−1ep
(t−)ep
(−s)∥U(t, τ)U(τ, s)x∥pdτ
≤Mp∫t
t−1ep(
+!)(t−)ep"ep
(−s)∥U(τ, s)x∥pdτ
≤Mpep(
+!)ep"t∫t
t−1ep
(−s)∥U(τ, s)x∥pdτ
≤Mpep(
+!)ep"t∫∞
sep
(−s)∥U(τ, s)x∥pdτ
≤KMpep(
+!)ep"teps∥x∥p,
ceea ce ne conduce la
∥U(t, s)∥≤K1=pMe
+!e"tese−
(t−s)=N1e(+")se−(
−")(t−s).(3.8)
Dac˘ a t∈[s, s+ 1), atunci
∥U(t, s)∥≤Me"se!(t−s)≤Me
+!−"e"se−(
−")(t−s). (3.9)
Din relat ¸iile (3.8) ¸ si (3.9) rezult˘ a c˘ a exist˘ a N≥1 astfel ca
∥U(t, s)∥≤Ne(+")se−(
−")(t−s),
pentru orice ( t, s)∈∆+, ceea ce implic˘ a faptul c˘ a Ueste exponent ¸ial stabil.


3.1. Stabilitate exponent ial a neuniform a 57
Rezultatul precedent poate fi considerat o variant˘ a a teoremei lui Datko
ˆ ın cazul stabilit˘ at ¸ii exponent ¸iale.
O caracterizare de tip Barbashin ˆ ın topologia operatorial˘ a tare pentru
stabilitatea exponent ¸ial˘ a uniform˘ a a fost demonstrat˘ a ˆ ın [30]:
Teorema 3.1.2 FieU: ∆ +→ B (X)un operator de evolut ie ⋆-m asurabil
care are cre stere exponent ial a uniform a. Atunci Ueste uniform exponent ial
stabil dac a  si numai dac a exist a K > 0astfel ^ nc^ at are loc
∫t
0∥U(t, τ)∗x∗∥dτ≤K∥x∗∥,pentru orice t≥0 six∗∈X∗.
Plecˆ and de la acest rezultat, se observ˘ a imediat c˘ a au loc urm˘ atoarele
caracteriz˘ ari ale stabilit˘ at ¸ii exponent ¸iale uniforme:
Teorema 3.1.3 FieU: ∆ +→ B (X)un operator de evolut ie ⋆-m asurabil
cu cre stere exponent ial a uniform a. Urm atoarele armat ii sunt echivalente:
(i)Ueste uniform exponent ial stabil;
(ii)Exist a α, K > 0astfel ^ nc^ at
∫t
0e(t−)∥U(t, τ)∗x∗∥dτ≤K∥x∗∥,∀(t, x∗)∈R+×X∗;
(iii) Exist a α, K > 0astfel ^ nc^ at
∫t
0e−∥U(t, τ)∗x∗∥dτ≤Ke−t∥x∗∥,∀(t, x∗)∈R+×X∗;
(iv) Exist a α >0 siK:R+→(0,∞)astfel ^ nc^ at
∫t
se−∥U(t, τ)∗x∗∥dτ≤K(s)e−t∥x∗∥,∀(t, s, x∗)∈∆+×X∗;
(v)Exist a α >0 siK:R+→(0,∞)astfel ^ nc^ at
∫t
se(t−)∥U(t, τ)∗x∗∥dτ≤K(s)∥x∗∥,∀(t, s, x∗)∈∆+×X∗;

58 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
(vi) Exist a K:R+→(0,∞)astfel ^ nc^ at
∫t
s∥U(t, τ)∗x∗∥dτ≤K(s)∥x∗∥,∀(t, s, x∗)∈∆+×X∗;
(vii) Exist a K > 0astfel ^ nc^ at
∫t
0∥U(t, τ)∗x∗∥dτ≤K∥x∗∥,∀(t, x∗)∈R+×X∗.
Suficient ¸a Teoremei 3.1.2 a fost generalizat˘ a de C. Bu¸ se ˆ ın [23] pentru
stabilitatea exponent ¸ial˘ a neuniform˘ a. Vom ar˘ ata c˘ a ˆ ın cazul particular al
stabilit˘ at ¸ii exponent ¸iale are loc o condit ¸ie necesar˘ a ¸ si suficient˘ a.
Teorema 3.1.4 FieU: ∆ +→ B (X)un operator de evolut ie ⋆-m asurabil
cu cre stere exponent ial a. Atunci Ueste exponent ial stabil dac a  si numai
dac a exist a γ≥0 siK, β > 0astfel ^ nc^ at are loc
∫t
0e−
∥U(t, τ)∗x∗∥dτ≤Ke−t∥x∗∥, (3.10)
pentru orice t≥0 six∗∈X∗.
Demonstrat ie .Necesitatea . Presupunem c˘ a Ueste exponent ¸ial stabil,
adic˘ a exist˘ a N≥1,α≥0 ¸ siν > α astfel ˆ ıncˆ at
∥U(t, s)∥≤Nete−(t−s),pentru orice ( t, s)∈∆+.
Pentru γ > ν ,β=ν−α¸ siK=N

−avem
∫t
0e−
∥U(t, τ)∗x∗∥dτ≤Net∫t
0e−
e−(t−)dτ∥x∗∥
≤Ke−t∥x∗∥,
pentru orice t≥0 ¸ six∗∈X∗.

3.1. Stabilitate exponent ial a neuniform a 59
Sucient a . Pentru orice t≥s+ 1 are loc
e−
s|⟨x∗, U(t, s)x⟩|=∫s+1
se−
s|⟨x∗, U(t, s)x⟩|dτ
=∫s+1
se
(−s)e−
|⟨U(t, τ)∗x∗, U(τ, s)x⟩|dτ
≤Me
+!e"s∫s+1
se−
∥U(t, τ)∗x∗∥dτ∥x∥
≤KMe
+!e"se−t∥x∥∥x∗∥,
pentru orice x∈X¸ six∗∈X∗, constantele M≥1,ε≥0 ¸ siω >0 fiind date
de Definit ¸ia 3.1.4. Relat ¸ia precedent˘ a implic˘ a
∥U(t, s)∥≤KMe
+!e"se(
−)se−(t−s). (3.11)
Dac˘ a t∈[s, s+ 1), obt ¸inem
∥U(t, s)∥≤Me"se!(t−s)≤Me+!e"se−(t−s). (3.12)
Relat ¸iile (3.11) ¸ si (3.12) demonstreaz˘ a c˘ a Ueste exponent ¸ial stabil.

Remarca 3.1.13 Din demonstrat ¸ia teoremei precedente se observ˘ a c˘ a dac˘ a
Ueste un operator de evolut ¸ie ⋆-m˘ asurabil cu cre¸ stere exponent ¸ial˘ a uniform˘ a
¸ si care verific˘ a relat ¸ia (3.10) pentru γ∈[0, β), atunci Ueste chiar uniform
exponent ¸ial stabil.
Not˘ am cu Rmult ¸imea funct ¸iilor strict cresc˘ atoare R:R+→R+. Se
observ˘ a imediat c˘ a dac˘ a R∈ R, atunci
R(t)>0,pentru orice t >0.
Teorema urm˘ atoare poate fi privit˘ a ca un rezultat de tip Rolewicz-
Barbashin ˆ ın cazul stabilit˘ at ¸ii exponent ¸iale.
Teorema 3.1.5 FieU: ∆ +→ B (X)un operator de evolut ie ⋆-m asurabil
cu cre stere exponent ial a. Atunci Ueste exponent ial stabil dac a  si numai

60 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
dac a exist a dou a funct ii R∈ R  siK:R+→(0,∞) si exist a constantele
γ≥0 siβ >0astfel ^ nc^ at are loc
∫t
sR(
e−
∥U(t, τ)∗x∗∥)
dτ≤K(s)R(
e−t∥x∗∥)
,
pentru orice (t, s)∈∆+ six∗∈X∗.
Demonstrat ie .Necesitatea rezult˘ a din Teorema 3.1.4, observˆ and c˘ a pentru
R(t) =tare loc relat ¸ia
∫t
se−
∥U(t, τ)∗x∗∥dτ≤∫t
0e−
∥U(t, τ)∗x∗∥dτ,
pentru orice ( t, s)∈∆+¸ six∗∈X∗.
Sucient a . Fie N > K (0). Pentru t≥s+Nare loc
NR(1
Me−(
+!)Ne−"se−
s|⟨x∗, U(t, s)x⟩|)
=∫s+N
sR(1
Me−(
+!)Ne−"se
(−s)e−
|⟨U(t, τ)∗x∗, U(τ, s)x⟩|)
dτ
≤∫s+N
sR(
e−
∥U(t, τ)∗x∗∥)
dτ
≤∫t
0R(
e−
∥U(t, τ)∗x∗∥)
dτ
≤K(0)R(
e−t∥x∗∥)
,
pentru orice x∈Xcu∥x∥≤1 ¸ six∗∈X∗. Aceasta implic˘ a
∥U(t, s)∥≤Me(
+!)Ne"se(
−)se−(t−s).
Dac˘ a s≤t < s +N, atunci se observ˘ a imediat c˘ a
∥U(t, s)∥≤Me(+!)Ne"se−(t−s).
Am demonstrat astfel c˘ a Ueste un operator de evolut ¸ie exponent ¸ial stabil.


3.1. Stabilitate exponent ial a neuniform a 61
ˆIn continuare ne punem problema existent ¸ei unei funct ¸ii L:R+×X→R
care verific˘ a relat ¸ia
L(t, U(t, s)x) +∫t
s∥W(τ)U(τ, s)x∥2dτ≤L(s, x), (3.13)
pentru orice ( t, s, x )∈∆+×X, unde U: ∆ +→ B(X) este un operator de
evolut ¸ie m˘ asurabil ¸ si W:R+→ B (X) este un operator tare continuu. O
solut ¸ie La inecuat ¸iei (3.13) se nume¸ ste funct ie Lyapunov asociat˘ a perechii
(U, W ).
Pentru γ > 0 not˘ am cu Vs

mult ¸imea operatorilor W:R+→ B (X)
continui ˆ ın topologia operatorial˘ a tare cu proprietatea c˘ a
∥W(t)∥≤e
t,pentru orice t≥0. (3.14)
Teorema 3.1.6 FieU: ∆ +→ B (X)un operator de evolut ie m asurabil.
Dac a Ueste exponent ial stabil, atunci pentru orice constant a γ∈(0, ν) si
orice W∈ Vs

exist a o funct ie Lyapunov L:R+×X→R+asociat a perechii
(U, W )care veric a relat ia
L(t, x)≤Ke2(
+)t∥x∥2,(t, x)∈R+×X, (3.15)
pentru un anume K > 0, constantele α siνind date de denit ia stabilit at ii
exponent iale.
Demonstrat ie . Aplicˆ and Propozit ¸ia 3.1.6 pentru p= 2, rezult˘ a c˘ a pentru
orice γ∈(0, ν) are loc
∫∞
te2
(−t)∥U(τ, t)x∥2dτ≤Ke2t∥x∥2, (3.16)
pentru orice ( t, x)∈R+×X.Pentru W∈ Vs

consider˘ am funct ¸ia
L(t, x) =∫∞
t∥W(τ)U(τ, t)x∥2dτ,pentru ( t, x)∈R+×X.
Se observ˘ a imediat c˘ a Leste o funct ¸ie Lyapunov asociat˘ a perechii ( U, W ).

62 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
Mai mult, folosind relat ¸iile (3.14) ¸ si (3.16), avem
L(t, x)≤∫∞
te2
∥U(τ, t)x∥2dτ
=e2
t∫∞
te2
(−t)∥U(τ, t)x∥2dτ
≤Ke2(
+)t∥x∥2,
pentru orice ( t, x)∈R+×X, ceea ce ˆ ıncheie demonstrat ¸ia.

Remarca 3.1.14 Un rezultat analog se poate obt ine  si ^ n cazul stabilit at ii
exponent iale tari, ^ nlocuind condit ia γ∈(0, ν)cuγ∈(α, ν).
Teorema 3.1.7 FieU: ∆ +→ B (X)un operator de evolut ie m asurabil
cu cre stere exponent ial a. Dac a exist a K > 0,γ > ε  siα≥0astfel ^ nc^ at
pentru orice W∈ Vs

exist a o funct ie Lyapunov L:R+×X→R+asociat a
perechii (U, W )care veric a relat ia (3.15) , atunci Ueste exponent ial stabil,
constanta ε≥0ind dat a de cre sterea exponent ial a.
Demonstrat ie . Pentru γ > ε dat de ipotez˘ a, consider˘ am operatorul
W(t) =e
tId, t≥0.
Are loc
∫u
te2
(−t)∥U(τ, t)x∥2dτ=e−2
t∫u
t∥W(τ)U(τ, t)x∥2dτ
≤e−2
t[L(t, x)−L(u, U(u, t)x)]
≤e−2
tL(t, x)
≤Ke2t∥x∥2,
pentru orice u≥t≥0 ¸ six∈X.F˘ acˆ and u→ ∞ , se obt ¸ine relat ¸ia (3.16),
iar din Teorema 3.1.1 rezult˘ a concluzia.

Folosind acelea¸ si rat ¸ionamente ca mai sus, un rezultat similar se poate
obt ¸ine ¸ si ˆ ın cazul stabilit˘ at ¸ii exponent ¸iale uniforme:

3.2. Instabilitate exponent ial a neuniform a 63
Teorema 3.1.8 FieU: ∆ +→ B(X)un operator de evolut ie m asurabil cu
cre stere exponent ial a uniform a. Atunci Ueste uniform exponent ial stabil
dac a  si numai dac a exist a o funct ie L:R+×X→R+ si o constant a K > 0
astfel ^ nc^ at au loc relat iile:
(l1)L(t, U(t, s)x) +∫t
s∥U(τ, s)x∥2dτ≤L(s, x),∀(t, s, x )∈∆+×X;
(l2)L(t, x)≤K∥x∥2,∀(t, x)∈R+×X.
3.2 Instabilitate exponent ial a neuniform a
Problema definirii unor concepte de instabilitate neuniform˘ a pare a fi mai
dificil˘ a decˆ at ˆ ın cazul stabilit˘ at ¸ii exponent ¸iale. ˆIn [104] este dat urm˘ atorul
concept de instabilitate neuniform˘ a:
Denit ia 3.2.1 Spunem c˘ a un operator de evolut ¸ie U: ∆ +→ B(X) este
neuniform exponent ial instabil dac˘ a exist˘ a o funct ¸ie N:R+→[1,∞) ¸ si o
constant˘ a ν >0 astfel ˆ ıncˆ at
N(t)∥U(t, s)x∥≥e(t−s)∥x∥,pentru orice ( t, s, x )∈∆+×X. (3.17)
Spre deosebire de cazul stabilit˘ at ¸ii exponent ¸iale neuniforme, care este o
generalizare natural˘ a a celei uniforme, conceptul de instabiliate exponent ¸ial˘ a
neuniform˘ a prezentat mai sus nu p˘ astreaz˘ a proprietatea definitorie a not ¸iunii
de instabilitate, fapt motivat prin urm˘ atorul exemplu:
Exemplul 3.2.1 Operatorul de evolut ie
U(t, s) =e−(t−s)Id,pentru (t, s)∈∆+,
este neuniform exponential instabil, c aci
e2t∥U(t, s)x∥≥et−s∥x∥,pentru orice (t, s, x )∈∆+×X,
darlim
t→∞∥U(t, t0)x0∥= 0,pentru (t0, x0)∈R+×X.Mai mult, operatorul
de evolut ie Ueste  si uniform exponent ial stabil.

64 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
Deci, este necesar introducerea unui concept de instabilitate exponent ¸ial˘ a
(neuniform˘ a) mai put ¸in general decˆ at cel prezentat ˆ ın definit ¸ia anterioar˘ a ¸ si
care s˘ a verifice relat ¸ia (2.24).
Denit ia 3.2.2 Spunem c˘ a un operator de evolut ¸ie U: ∆ +→ B(X) este
exponent ial instabil dac˘ a exist˘ a N≥1,α≥0 ¸ siν >0 cuα < ν astfel ˆ ıncˆ at
Net∥U(t, s)x∥≥e(t−s)∥x∥,pentru orice ( t, s, x )∈∆+×X.
ˆIn cazul particular ˆ ın care α= 0, se obt ¸ine c˘ a Ueste uniform exponent ¸ial
instabil.
Remarca 3.2.1 Se observ˘ a c˘ a dac˘ a Ueste exponent ¸ial instabil, atunci
lim
t→∞∥U(t, t0)x0∥=∞,pentru orice ( t0, x0)∈R+×X, x 0̸= 0.
Deci, acest concept de instabilitate exponent ¸ial˘ a este o generalizare natural˘ a
a instabilit˘ at ¸ii exponent ¸iale uniforme.
Remarca 3.2.2 Operatorul de evolut ¸ie U: ∆ +→ B(X) este exponent ¸ial
instabil dac˘ a ¸ si numai dac˘ a exist˘ a N≥1,α≥0 ¸ siν > 0 cu α < ν astfel
ˆ ıncˆ at
∥U(s, t0)x0∥≤Nete−(t−s)∥U(t, t0)x0∥,
pentru orice t≥s≥t0≥0 ¸ six0∈X.
Orice operator de evolut ¸ie care este uniform exponent ¸ial instabil este
¸ si exponent ¸ial instabil. La fel ca ˆ ın cazul stabilit˘ at ¸ii, reciproca nu este
adev˘ arat˘ a, dup˘ a cum rezult˘ a din exemplul urm˘ ator:
Exemplul 3.2.2 Operatorul de evolut ie
U(t, s) =ef(s)−f(t)Id,
unde feste funct ia considerat a ^ n Exemplul 3.1.2 , este exponent ial instabil,
dar nu este uniform exponent ial instabil.

3.2. Instabilitate exponent ial a neuniform a 65
ˆIntr-adev˘ ar, folosind rezultatul obt ¸inut ˆ ın Exemplul 3.1.2, obt ¸inem
e2
3s∥U(t, s)x∥=e2
3se−(f(t)−f(s))∥x∥≥e2
3se−2
3se1
3(t−s)∥x∥,
pentru orice ( t, s, x )∈∆+×X, ceea ce este echivalent cu
e2
3t∥U(t, s)x∥≥et−s∥x∥,pentru orice ( t, s, x )∈∆+×X,
deciUeste exponent ¸ial instabil.
Dac˘ a presupunem c˘ a Ueste uniform exponent ¸ial instabil, atunci exist˘ a
N≥1 ¸ siν >0 astfel ˆ ıncˆ at
N∥U(t, s)x∥≥e(t−s)∥x∥,pentru orice ( t, s, x )∈∆+×X.
ˆIn particular, pentru t= 2nπ+ 2π,s= 2nπ+π(n∈N) ¸ six∈Xcu
∥x∥= 1, obt ¸inem
Ne
3e−2
3(2n+)≥e,pentru orice n∈N,
ceea ce este fals.

Propozit ia 3.2.1 Un operator de evolut ie U: ∆ +→ B(X)este exponent ial
instabil dac a  si numai dac a exist a N≥1 sia, b > 0cua≤bastfel ^ nc^ at
eat∥x∥≤Nebs∥U(t, s)x∥,pentru orice (t, s, x )∈∆+×X.
Demonstrat ie .Necesitatea este o simpl˘ a verificare pentru a=ν−α¸ si
b=ν, unde α¸ siνsunt date de Definit ¸ia 3.2.2.
Sucient a . Din a≤brezult˘ a c˘ a exist˘ a r≥0 astfel ˆ ıncˆ at b=a+r. De aici
obt ¸inem c˘ a Ueste exponent ¸ial instabil cu α=r¸ siν=b.

Propozit ia 3.2.2 Operatorul de evolut ie U: ∆ +→ B(X)este exponent ial
instabil dac a  si numai dac a exist a N≥1,β≥0 siγ >0astfel ^ nc^ at
∥x∥≤Nese−
(t−s)∥U(t, s)x∥,pentru orice (t, s, x )∈∆+×X.

66 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
Demonstrat ie .Necesitatea . Are loc
∥x∥≤Nese−(−)(t−s)∥U(t, s)x∥,pentru orice ( t, s, x )∈∆+×X,
constantele N, α ¸ siνfiind date de Definit ¸ia 3.2.2.
Sucient a . Folosind ipoteza, obt ¸inem
∥x∥≤Nete−(
+)(t−s)∥U(t, s)x∥,pentru orice ( t, s, x )∈∆+×X,
care implic˘ a faptul c˘ a Ueste exponent ¸ial instabil.

Descre¸ sterea exponent ¸ial˘ a uniform˘ a se poate extinde ˆ ın mod natural ˆ ın
cadrul comport˘ arilor asimptotice neuniforme:
Denit ia 3.2.3 Spunem c˘ a un operator de evolut ¸ie U: ∆ +→ B (X) are
descre stere exponent ial a dac˘ a exist˘ a M≥1,ε≥0 ¸ siω >0 astfel ˆ ıncˆ at
Me"t∥U(t, s)x∥≥e−!(t−s)∥x∥,pentru orice ( t, s, x )∈∆+×X. (3.18)
Pentru ε= 0 se obt ¸ine c˘ a Uare descre¸ stere exponent ¸ial˘ a uniform˘ a.
Remarca 3.2.3 Operatorul de evolut ¸ie Uare descre¸ stere exponent ¸ial˘ a dac˘ a
¸ si numai dac˘ a exist˘ a M≥1,ε≥0 ¸ siω >0 astfel ˆ ıncˆ at
∥U(s, t0)x0∥≤Me"te!(t−s)∥U(t, t0)x0∥,
pentru orice t≥s≥t0≥0 ¸ six0∈X.
Dac˘ a operatorul de evolut ¸ie Uare descre¸ stere exponent ¸ial˘ a uniform˘ a,
atunci acesta are descre¸ stere exponent ¸ial˘ a. Reciproca este fals˘ a, dup˘ a cum
rezult˘ a din exemplul urm˘ ator:
Exemplul 3.2.3 Operatorul de evolut ie
U(t, s) =ef(t)−f(s)Id,unde f(t) =−2t+tcost,
are descre stere exponent ial a, dar nu are descre stere exponent ial a uniform a.

3.2. Instabilitate exponent ial a neuniform a 67
Din relat ¸iile
f(t)−f(s) =−(t−s) +t(cost−1)−s(coss−1)
=−(t−s)−2tsin2t
2+ 2ssin2s
2
≥ −(t−s)−2t,∀t≥s≥0,
obt ¸inem
e2t∥U(t, s)x∥≥e−(t−s)∥x∥,pentru orice ( t, s, x )∈∆+×X,
deciUare descre¸ stere exponent ¸ial˘ a.
Dac˘ a presupunem c˘ a Uare descre¸ stere exponent ¸ial˘ a uniform˘ a, atunci
exist˘ a M≥1 ¸ siω >0 astfel ˆ ıncˆ at are loc relat ¸ia
M∥U(t, s)x∥≥e−!(t−s)∥x∥,pentru orice ( t, s, x )∈∆+×X.
Pentru t= 2nπ+π,s= 2nπ(n∈N) ¸ six∈Xcu∥x∥= 1, obt ¸inem
e4n≤Me−3+!,pentru orice n∈N,
ceea ce este fals.

Teorema urm˘ atoare d˘ a o condit ¸ie necesar˘ a de existent ¸˘ a a instabilit˘ at ¸ii
exponent ¸iale.
Teorema 3.2.1 Fiep > 0. Dac a U: ∆ +→ B (X)este un operator de
evolut ie exponent ial instabil, atunci pentru orice γ∈(α, ν)are loc
[t−s]∑
n=0ep
n∥U(t−n, s)x∥p≤Kept∥U(t, s)x∥p,(t, s, x )∈∆+×X,
pentru un K > 0, unde α siνsunt date de Denit ia 3.2.2.
Demonstrat ie .ˆIntr-adev˘ ar, obt ¸inem
[t−s]∑
n=0ep
n∥U(t−n, s)x∥p≤Npept
[t−s]∑
n=0e−p(−
)n
∥U(t, s)x∥p
≤Kept∥U(t, s)x∥p,

68 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
pentru orice ( t, s, x )∈∆+×X, unde K=Np
1−e(
)p.

Lema 3.2.1 Consider am U: ∆ +→ B(X)un operator de evolut ie m asurabil
cu descre stere exponent ial a. Dac a exist a p, K > 0 siβ≥0astfel ca
∫t
s∥U(τ, s)x∥pdτ≤Kept∥U(t, s)x∥p,
pentru orice (t, s, x )∈∆+×X,atunci exist a o constant a N≥1astfel ^ nc^ at
∥x∥≤Ne"set∥U(t, s)x∥, (3.19)
pentru orice (t, s, x )∈∆+×X,unde ε≥0este dat a de Denit ia 3.2.3.
Demonstrat ie . Pentru t≥s+ 1 se obt ¸ine
∥x∥p=∫s+1
s∥x∥pdτ
≤∫s+1
sMpep"ep!(−s)∥U(τ, s)x∥pdτ
≤Mpep!ep"(s+1)∫t
s∥U(τ, s)x∥pdτ
≤KpMpep(!+")ep"sept∥U(t, s)x∥p,
ceea ce este echivalent cu
∥x∥≤KMe!+"e"set∥U(t, s)x∥,
pentru orice ( t, s, x )∈∆+×Xcut≥s+ 1, constantele M≥1,ε≥0 ¸ si
ω >0 fiind date de Definit ¸ia 3.2.3. Dac˘ a t∈[s, s+ 1), deducem c˘ a
∥x∥≤Me"te!(t−s)∥U(t, s)x∥≤Me!+"e"set∥U(t, s)x∥,
ceea ce ˆ ıncheie demonstrat ¸ia.


3.2. Instabilitate exponent ial a neuniform a 69
Teorema 3.2.2 FieU: ∆ +→ B(X)un operator de evolut ie m asurabil cu
descre stere exponent ial a. Atunci Ueste exponent ial instabil dac a  si numai
dac a exist a p, K > 0,β≥0 siγ > β astfel ^ nc^ at are loc
∫t
sep
(t−)∥U(τ, s)x∥pdτ≤Kept∥U(t, s)x∥p, (3.20)
pentru orice (t, s, x )∈∆+×X.
Demonstrat ie .Necesitatea rezult˘ a prin calcul direct pentru orice p > 0
fixat, considerˆ and β=α,γ∈(α, ν) ¸ siK=Np
p(−
), constantele N≥1,ν >0
¸ siα∈[0, ν) fiind date de Definit ¸ia 3.2.2. ˆIntr-adev˘ ar, are loc
∫t
sep
(t−)∥U(τ, s)x∥pdτ≤Npept∫t
se−p(−
)(t−)dτ∥U(t, s)x∥p
≤Kept∥U(t, s)x∥p,
pentru orice ( t, s, x )∈∆+×X.
Sucient a . Se observ˘ a c˘ a dac˘ a Uare descre¸ stere exponent ¸ial˘ a, atunci
operatorul de evolut ¸ie
U
(t, s) =e−
(t−s)U(t, s),pentru ( t, s)∈∆+,
are de asemenea descre¸ stere exponent ¸ial˘ a cu acela¸ si exponent ε. Mai mult,
are loc relat ¸ia
∫t
s∥U
(τ, s)x∥pdτ≤Kept∥U
(t, s)x∥p,
pentru orice ( t, s, x )∈∆+×X. Din Lema 3.2.1 rezult˘ a c˘ a exist˘ a o constant˘ a
N≥1 astfel ˆ ıncˆ at
∥x∥≤Ne"set∥U
(t, s)x∥,pentru orice ( t, s, x )∈∆+×X,
ceea ce este echivalent cu
∥x∥≤Ne(+")te−(
+")(t−s)∥U(t, s)x∥,
pentru orice ( t, s, x )∈∆+×X.De aici rezult˘ a c˘ a Ueste exponent ¸ial instabil.


70 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
3.3 Dichotomie exponent ial a neuniform a
Pentruˆ ınceput vom face o scurt˘ a prezentare a cˆ atorva rezultate din teoria
operatorilor liniari pe care le vom folosi ˆ ın studiul dichotomiei exponent ¸iale.
Denit ia 3.3.1 O aplicat ¸ie tare continu˘ a P:J→ B (X) care verific˘ a
relat ¸ia
P2(t) =P(t),pentru orice t∈J,
se nume¸ ste familie de proiectori pe X.
Dac˘ a P:J→ B(X) este o familie de proiectori pe X, atunci vom nota
cuQ(t) = Id −P(t) proiectorul complementar lui P(t),t∈J. Se observ˘ a
imediat c˘ a P(t)Q(t) =Q(t)P(t) = 0 ¸ si
X=ImP (t)⊕KerP (t) =ImP (t)⊕ImQ (t),pentru orice t∈J.
Propozit ia 3.3.1 Dac a exist a dou a subspat ii ^ nchise X1 siX2^ nXastfel
^ nc^ at
X=X1⊕X2,
atunci exist a un proiector P∈ B(X)astfel ^ nc^ at ImP =X1 siKerP =X2.
Demonstrat ie . Cum X=X1⊕X2rezult˘ a c˘ a pentru orice x∈Xexist˘ a
ˆ ın mod unic dou˘ a elemente x1∈X1¸ six2∈X2astfel ˆ ıncˆ at x=x1+x2.
Consider˘ am Px=x1. Este evident c˘ a Peste o aplicat ¸ie liniar˘ a corect
definit˘ a care verific˘ a P2=P.
Ar˘ at˘ am c˘ a Peste un operator ˆ ınchis. ˆIntr-adev˘ ar, dac˘ a
xn→x¸ siPxn→y,
atunci cum ( Pxn)n⊂X1¸ siX1este un subspat ¸iu liniar ˆ ınchis, obt ¸inem c˘ a
y∈X1¸ siPy=y. Pe de alt˘ a parte, are loc
X2∋(Id−P)xn=xn−Pxn→x−y.
Folosind faptul c˘ a ¸ si X2este un subspat ¸iu liniar ˆ ınchis ˆ ın X, rezult˘ a c˘ a
x−y∈X2¸ siP(x−y) = 0, ceea ce implic˘ a Px=y. Am demonstrat astfel

3.3. Dichotomie exponent ial a neuniform a 71
c˘ aPeste un operator liniar ˆ ınchis pe spat ¸iul Banach X. Aplicˆ and Teorema
graficului ˆ ınchis, rezult˘ a c˘ a P∈ B(X).

Remarca 3.3.1 Condit ¸ia ca X1¸ siX2s˘ a fie subspat ¸ii liniare ˆ ınchise este
esent ¸ial˘ a ˆ ın demonstrarea rezultatului precedent.
Denit ia 3.3.2 O familie de proiectori P:J→ B (X) este invariant a ˆ ın
raport cu un operator de evolut ¸ie U: ∆J→ B (X) sau ˆ ın raport cu un
operator de evolut ¸ie reversibil U:J×J→ B(X) dac˘ a
P(t)U(t, s) =U(t, s)P(s),pentru orice ( t, s)∈∆J.
Denit ia 3.3.3 FieP:J→ B (X) o familie de proiectori invariant˘ a ˆ ın
raport cu un operator de evolut ¸ie U: ∆J→ B (X). Spunem c˘ a familia
de proiectori Peste compatibil a cu operatorul de evolut ¸ie Udac˘ a restrict ¸ia
operatorului U(t, s) laKerP (s),U(t, s)|Ker P (s):Ker P (s)→Ker P (t),
este un izomorfism pentru orice ( t, s)∈∆J. Deoarece KerP (s) =ImQ (s),
vom nota cu UQ(s, t) inversul operatorului U(t, s)|Ker P (s).
Propozit ia 3.3.2 FieP:J→ B (X)o familie de proiectori compatibil a
cu un operator de evolut ie U: ∆J→ B (X). Atunci, pentru (t, s)∈∆J,
UQ(s, t)este un izomorm de la ImQ (t)laImQ (s) si au loc urm atoarele
propriet at i:
(v1)U(t, s)UQ(s, t)Q(t) =Q(t);
(v2)UQ(s, t)U(t, s)Q(s) =Q(s);
(v3)UQ(s, t)Q(t) =Q(s)UQ(s, t)Q(t).
Mai mult, are loc
(v4)UQ(t0, s)UQ(s, t)Q(t) =UQ(t0, t)Q(t), pentru orice t≥s≥t0^ nJ.
Demonstrat ie .ˆIntr-adev˘ ar, relat ¸iile ( v1)–(v3) sunt simple consecint ¸e a
definit ¸iei operatorului UQ(s, t). Relat ¸ia ( v4) rezult˘ a din ( v1)–(v3) ¸ si definit ¸ia

72 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
operatorului de evolut ¸ie. Astfel:
UQ(t0, s)UQ(s, t)Q(t) =UQ(t0, s)UQ(s, t)U(t, t0)UQ(t0, t)Q(t)
=UQ(t0, s)UQ(s, t)U(t, s)U(s, t0)Q(t0)UQ(t0, t)Q(t)
=UQ(t0, s)UQ(s, t)U(t, s)Q(s)U(s, t0)UQ(t0, t)Q(t)
=UQ(t0, s)Q(s)U(s, t0)UQ(t0, t)Q(t)
=UQ(t0, s)U(s, t0)Q(t0)UQ(t0, t)Q(t)
=Q(t0)UQ(t0, t)Q(t)
=UQ(t0, t)Q(t).

Exemplul 3.3.1 Fieu, v:J→(0,∞)dou a funct ii reale xate. Pe spat iul
Banach X=R2^ nzestrat cu norma
∥(x1, x2)∥= max {|x1|,|x2|},
consider am operatorul de evolut ie
U(t, s)(x1, x2) =(u(s)
u(t)x1,v(t)
v(s)x2)
,(t, s, x 1, x2)∈∆J×R2. (3.21)
Familia de proiectori
P:J→ B(
R2)
, P(t)(x1, x2) = (x1,0), (3.22)
este compatibil a ^ n raport cu operatorul de evolut ie U.
ˆIntr-adev˘ ar, se observ˘ a imediat c˘ a Q(t)(x1, x2) = (0 , x2) ¸ si
U(t, s) =u(s)
u(t)P(s) +v(t)
v(s)Q(t),pentru orice ( t, s)∈∆J. (3.23)
Deoarece P(t) =P(s) pentru orice t, s∈J, rezult˘ a
P(t)P(s) =P(s), Q(t)P(s) = 0 ¸ si Q(t)Q(s) =Q(t). (3.24)
Folosind relat ¸iile (3.23) ¸ si (3.24), rezult˘ a imediat c˘ a familia de proiectori P
este compatibil˘ a cu U. Mai mult, se obt ¸ine
U(t, s)P(s) =u(s)
u(t)P(s) ¸ siUQ(s, t)Q(t) =v(s)
v(t)Q(s),(t, s)∈∆J.(3.25)

3.3. Dichotomie exponent ial a neuniform a 73

ˆIn mod analog, se pot definii familii de proiectori neconstante compatibile
cu anumit ¸i operatori de evolut ¸ie:
Exemplul 3.3.2 Fieu:J→[1,∞)o funct ie continu a  si α≥0o constant a
nenegativ a. Pe spat iul Banach X=R2^ nzestrat cu norma
∥(x1, x2)∥= max {|x1|,|x2|},
consider am familia de proiectori P:J→ B(
R2)
,
P(t)(x1, x2) = (x1+ (u(t)−1)x2,0).
Se deduce imediat c a Q(t)(x1, x2) = ((1 −u(t))x2, x2). La fel ca ^ n exemplul
precedent, au loc relat iile
P(t)P(s) =P(s), Q(t)P(s) = 0  siQ(t)Q(s) =Q(t),pentru t, s∈J.
Familia de proiectori Peste compatibil a ^ n raport cu operatorul de evolut ie
U: ∆J→ B(
R2)
, U(t, s) =(u(t)
u(s))−
P(s) +(u(t)
u(s))
Q(t),
unde ν >0este o constant a pozitiv a. De asemenea, pentru orice (t, s)∈∆J
se obt ine
U(t, s)P(s) =(u(t)
u(s))−
P(s) siUQ(s, t)Q(t) =(u(t)
u(s))−
Q(s).(3.26)
L. Barreira ¸ si C. Valls au introdus ¸ si studiat ˆ ın [7] urm˘ atorul concept de
dichotomie exponent ¸ial˘ a neuniform˘ a:
Denit ia 3.3.4 Spunem c˘ a un operator de evolut ¸ie U: ∆J→ B(X) admite
dichotomie exponent ial a (peJ) dac˘ a exist˘ a o familie de proiectori P:J→
B(X) compatibil˘ a cu U¸ si exist˘ a constantele N≥1,α≥0 ¸ siν >0 astfel
ˆ ıncˆ at
∥U(t, s)P(s)∥≤Ne|s|e−(t−s)¸ si∥UQ(s, t)Q(t)∥≤Ne|t|e−(t−s),
pentru orice ( t, s)∈∆J.ˆIn cazul particular ˆ ın care α= 0, spunem c˘ a
operatorul de evolut ¸ie Uadmite dichotomie exponent ial a uniform a .

74 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
Propozit ia 3.3.3 Operatorul de evolut ie U: ∆J→ B(X)admite dichotomie
exponent ial a dac a  si numai dac a exist a o familie de proiectori P:J→ B(X)
compatibil a cu U si exist a constantele N≥1,α≥0 siν >0astfel ^ nc^ at
(ed1)∥U(t, s)P(s)x∥≤Ne|s|e−(t−s)∥P(s)x∥,(t, s, x )∈∆J×X;
(ed2)Ne|t|∥U(t, s)Q(s)x∥≥e(t−s)∥Q(s)x∥,(t, s, x )∈∆J×X;
(ed3)∥P(t)∥≤Ne|t|,t∈J.
Demonstrat ie . Dac˘ a presupunem c˘ a Uadmite dichotomie exponent ¸ial˘ a
ˆ ın raport cu familia de proiectori P¸ si constantele N≥1,α≥0 ¸ siν >0,
atunci
∥U(t, s)P(s)x∥=∥U(t, s)P(s)P(s)x∥≤Ne|s|e−(t−s)∥P(s)x∥
¸ si
∥Q(s)x∥=∥UQ(s, t)Q(t)U(t, s)Q(s)x∥≤Ne|t|e−(t−s)∥U(t, s)Q(s)x∥,
pentru orice ( t, s, x )∈∆J×X. Relat ¸ia ( ed3) este evident˘ a. Reciproc, pentru
x∈Xcu∥x∥= 1, se obt ¸ine
∥U(t, s)P(s)x∥≤Ne|s|e−(t−s)∥P(s)x∥≤N2e2|s|e−(t−s)
¸ si
∥UQ(s, t)Q(t)x∥=∥Q(s)UQ(s, t)Q(t)x∥
≤Ne|t|e−(t−s)∥U(t, s)Q(s)UQ(s, t)Q(t)x∥
=Ne|t|e−(t−s)∥Q(t)x∥
≤Ne|t|e−(t−s)(1+∥P(t)∥)
≤2N2e2|t|e−(t−s),
pentru orice ( t, s)∈∆J. Deci, operatorul de evolut ¸ie Uadmite dichotomie
exponent ¸ial˘ a.


3.3. Dichotomie exponent ial a neuniform a 75
Remarca 3.3.2 Din relat ¸ia ( ed2) rezult˘ a c˘ a operatorul U(t, s) este injectiv
de la ImQ (s) =KerP (s) laImQ (t) =KerP (t).
Propozit ia 3.3.4 (Lemma 4.2 ^ n [117]) Dac a U: ∆J→ B (X)este un
operator de evolut ie care are cre stere exponent ial a uniform a  si P:J→ B(X)
este o familie de proiectori compatibil a cu Uastfel ^ nc^ at relat iile (ed1) si
(ed2)au loc pentru α= 0, atunci
a)sup
t≥0∥P(t)∥=δ <∞;
b)∥U(t, s)P(s)∥≤Nδe−(t−s), pentru orice (t, s)∈∆J;
c)∥UQ(s, t)Q(t)∥≤Nδe−(t−s), pentru orice (t, s)∈∆J.
Demonstrat ie . Este suficient s˘ a demonstr˘ am prima relat ¸ie. Fie t0∈J
fixat. Consider˘ am
γt0:= inf {∥x1+x2∥:x1∈ImP (t0), x2∈ImQ (t0),∥x1∥=∥x2∥= 1}.
Fiex∈XcuP(t0)x̸= 0 ¸ si Q(t0)x̸= 0. Atunci
γt0≤

P(t0)x
||P(t0)x||+Q(t0)x
||Q(t0)x||

=1
||P(t0)x||

P(t0)x+||P(t0)x||
||Q(t0)x||Q(t0)x

=1
||P(t0)x||

x+||P(t0)x|| − || Q(t0)x||
||Q(t0)x||Q(t0)x

≤1
||P(t0)x||(
||x||+||P(t0)x+Q(t0)x||
||Q(t0)x||||Q(t0)x||)
=2||x||
||P(t0)x||
¸ si deci ∥P(t0)∥≤2
γt0·R˘ amˆ ane s˘ a ar˘ at˘ am c˘ a exist˘ a o constant˘ a c > 0
(independent˘ a de t0) astfel ˆ ıncˆ at γt0≥c. Consider˘ am x1∈ImP (t0) ¸ si
x2∈ImQ (t0) astfelˆ ıncˆ at ∥x1∥=∥x2∥= 1. Folosind cre¸ sterea exponent ¸ial˘ a
uniform˘ a a operatorului de evolut ¸ie U, obt ¸inem
∥U(t, t0)(x1+x2)∥≤Me!(t−t0)∥x1+x2∥,pentru orice t≥t0.

76 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
Deci,
∥x1+x2∥ ≥M−1e−!(t−t0)∥U(t, t0)x1+U(t, t0)x2∥
=M−1e−!(t−t0)∥U(t, t0)x2−(−U(t, t0)x1)∥
≥M−1e−!(t−t0)(∥U(t, t0)Q(t0)x2∥ − ∥ U(t, t0)P(t0)x1∥).
Aplicˆ and acum relat ¸iile ( ed1) ¸ si (ed2) pentru α= 0, se obt ¸ine
∥x1+x2∥≥M−1e−!(t−t0)[
N−1e(t−t0)−Ne−(t−t0)]
=:ct−t0,
pentru orice t≥t0. Cum ct−t0→ ∞ atunci cˆ and t→ ∞ , rezult˘ a c˘ a exist˘ a
m > 0 suficient de mare astfel ca cm>0. A¸ sadar, γt0≥cm, ceea ce ˆ ıncheie
demonstrat ¸ia.

Pentru un operator de evolut ¸ie pe dreapta real˘ a ( J=R) generat de o
ecuat ¸ie de evolut ¸ie bine pus˘ a, dichotomia exponent ¸ial˘ a uniform˘ a presupune
faptul c˘ a spat ¸iul R×Xse descompune ˆ ın dou˘ a subspat ¸ii invariante ˆ ın funct ¸ie
de comport˘ arile asimptotice ale solut ¸iilor ecuat ¸iei de evolut ¸ie [142]. Astfel,
dac˘ a Uadmite dichotomie exponent ¸ial˘ a uniform˘ a ˆ ın raport cu familia de
proiectori P, atunci R×Xse poate descompune ˆ ın
•varietatea stabil˘ a, dat˘ a de solut ¸iile ecuat ¸iei de evolut ¸ie definite pe
mult ¸imea ∆+
s={t∈R:t≥s}care tind exponent ¸ial la zero;
•varietatea instabil˘ a, format˘ a din solut ¸iile ecuat ¸iei care pot fi definite
ˆ ın timp trecut, adic˘ a definite pe mult ¸imea ∆−
s={t∈R:t≤s}¸ si
care au descre¸ stere exponent ¸ial˘ a.
ˆIn cazul operatorilor de evolut ¸ie pe dreapta real˘ a U: ∆→ B (X) care
admit dichotomie exponent ¸ial˘ a uniform˘ a ˆ ın raport cu familia de proiectori
P, relat ¸iile precedente pot fi traduse astfel:
U(t, s)P(s)x→0 (exponent ¸ial) atunci cˆ and t→+∞ (3.27)
¸ si
UQ(t, s)Q(s)x→0 (exponent ¸ial) atunci cˆ and t→ −∞ (3.28)

3.3. Dichotomie exponent ial a neuniform a 77
pentru orice ( s, x)∈R×X. Mai mult, aceste relat ¸ii r˘ amˆ an adev˘ arate ¸ si
ˆ ın cazul dichotomiei exponent ¸iale. Pentru operatori de evolut ¸ie definit ¸i pe
∆+, relat ¸ia (3.28) trebuie ˆ ınlocuit˘ a cu alta care s˘ a caracterizeze varietatea
instabil˘ a. O variant˘ a ar fi ˆ ınlocuirea acesteia cu condit ¸ia
∥U(t, s)Q(s)x∥→ ∞ (exponent ¸ial) atunci cˆ and t→ ∞ , (3.29)
pentru orice ( s, x)∈R+×XcuQ(s)x̸= 0.
Cum conceptul de dichotomie exponent ¸ial˘ a considerat ˆ ın Definit ¸ia 3.3.4
nu verific˘ a relat ¸ia precedent˘ a ˆ ın cazul ˆ ın care J=R+, va trebui deci s˘ a
introducem o versiune mai tare a acestuia. Exemplul 3.3.2 ne conduce c˘ atre
definirea urm˘ atorului concept de dichotomie:
Denit ia 3.3.5 Spunem c˘ a un operator de evolut ¸ie U: ∆ +→ B(X) admite
dichotomie exponent ial a tare dac˘ a exist˘ a o familie de proiectori P:R+→
B(X) compatibil˘ a cu U¸ si exist˘ a constantele N≥1,α≥0 ¸ siν >0 astfel
ˆ ıncˆ at
∥U(t, s)P(s)∥≤Nese−(t−s)¸ si∥UQ(s, t)Q(t)∥≤Nese−(t−s),
pentru orice ( t, s)∈∆+.
Remarca 3.3.3 Dac˘ a U: ∆ +→ B (X) admite dichotomie exponent ¸ial˘ a
tare, atunci exist˘ a o familie de proiectori P:R+→ B (X) compatibil˘ a cu
U¸ si exist˘ a constantele N≥1,α≥0 ¸ siν > 0 astfel ˆ ıncˆ at pentru orice
(t, s)∈∆+¸ six∈X, avem
∥U(t, s)P(s)x∥≤Nese−(t−s)∥P(s)x∥,
respectiv
Nes∥U(t, s)Q(s)x∥≥e(t−s)∥Q(s)x∥.
Inegalit˘ at ¸ile precedente arat˘ a faptul c˘ a relat ¸iile (3.27) ¸ si (3.29) au loc. Mai
mult, familia de proiectori Peste exponent ial m arginit a , adic˘ a
∥P(t)∥≤Net,pentru orice t≥0.

78 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
ˆIn cele ce urmeaz˘ a vom puncta relat ¸iile ce se stabilesc ˆ ıntre conceptele
de dichotomie exponent ¸ial˘ a definite mai sus.
Remarca 3.3.4 Orice operator de evolut ¸ie U: ∆ +→ B (X) care admite
dichotomie exponent ¸ial˘ a uniform˘ a ˆ ın raport cu o familie de proiectori P
va admite ¸ si dichotomie exponent ¸ial˘ a tare ˆ ın raport cu aceea¸ si familie de
proiectori. Reciproca este fals˘ a, dup˘ a cum rezult˘ a din exemplul urm˘ ator.
Exemplul 3.3.3 ^In Exemplul 3.3.1 consider am u(t) =v(t) =et(3+cos2t),
pentru t≥0. Operatorul de evolut ie obt inut admite dichotomie exponent ial a
tare ^ n raport cu familia de proiectori Pconsiderat a ^ n (3.22), dar nu admite
dichotomie exponent ial a uniform a ^ n raport cu aceea si familie de proiectori.
ˆIntr-adev˘ ar, cum ∥P(t)∥=∥Q(t)∥= 1, pentru orice t≥0, din relat ¸ia
(3.25) obt ¸inem
∥U(t, s)P(s)∥=e−3(t−s)−tcos2t+scos2s≤ese−3(t−s),
respectiv
∥UQ(s, t)Q(t)∥≤ese−3(t−s),
pentru orice ( t, s)∈∆+. Deci, Uadmite dichotomie exponent ¸ial˘ a tare.
Pe de alt˘ a parte, dac˘ a presupunem c˘ a Uadmite dichotomie exponent ¸ial˘ a
uniform˘ a ˆ ın raport cu familia de proiectori P, atunci exist˘ a N≥1 ¸ siν >0
astfel ˆ ıncˆ at
∥U(t, s)P(s)∥≤Ne−(t−s),pentru orice ( t, s)∈∆+.
ˆIn particular, pentru t=nπ+π/2 ¸ sis=nπcun∈N, se obt ¸ine
e−3=2+n≤Ne−=2,pentru orice n∈N,
ceea ce este fals.

Remarca 3.3.5 Orice operator de evolut ie U: ∆ +→ B (X)care admite
dichotomie exponent ial a tare ^ n raport cu o familie de proiectori va admite  si
dichotomie exponent ial a ^ n raport cu aceea si familie de proiectori. Reciproca
este fals a, dup a cum rezult a din exemplul urm ator.

3.3. Dichotomie exponent ial a neuniform a 79
Exemplul 3.3.4 ^In Exemplul 3.3.1 consider am u(t) =et siv(t) =e−t,
pentru t≥0. Operatorul de evolut ie Uastfel obt inut admite dichotomie
exponent ial a ^ n raport cu familia de proiectori P, dar nu admite dichotomie
exponent ial a tare ^ n raport cu aceea si familie de proiectori.
ˆIntr-adev˘ ar, se obt ¸ine
∥U(t, s)P(s)∥=e−(t−s)¸ si∥UQ(s, t)Q(t)∥=et−s≤e2te−(t−s),
pentru orice ( t, s)∈∆+. Deoarece U(t, s)x→0 atunci cˆ and t→ ∞ , pentru
s≥0 ¸ six∈R2, rezult˘ a c˘ a relat ¸ia (3.29) nu este adev˘ arat˘ a ¸ si deci Unu
admite dichotomie exponent ¸ial˘ a tare ˆ ın raport cu familia de proiectori P.

Din Propozit ¸ia 3.2.2 obt ¸inem o definit ¸ie echivalent˘ a pentru dichotomia
exponent ¸ial˘ a tare:
Propozit ia 3.3.5 Operatorul de evolut ie Uadmite dichotomie exponent ial a
tare dac a  si numai dac a exist a o familie de proiectori Pcompatibil a cu U si
exist a constantele Ni≥1,αi≥0 siνi>0,i= 1,2cuα2< ν 2astfel ^ nc^ at
∥U(t, s)P(s)∥≤N1e1se−1(t−s) si∥UQ(s, t)Q(t)∥≤N2e2te−2(t−s),
pentru orice (t, s)∈∆+.
ˆIn contrast cu dichotomia exponent ¸ial˘ a uniform˘ a, caz ˆ ın care familia de
proiectori ˆ ın raport cu care operatorul de evolut ¸ie considerat este uniform
exponent ¸ial dichotomic, atˆ at pentru conceptul de dichotomie exponent ¸ial˘ a,
cˆ at ¸ si pentru cel de dichotomie exponent ¸ial˘ a tare este posibil ca ||P(t)|| → ∞
dac˘ a t→ ∞ . Chiar ¸ si a¸ sa, din Propozit ¸ia 3.3.3 ¸ si Remarca 3.3.3 rezult˘ a c˘ a
norma ∥P(t)∥nu poate cre¸ ste mai rapid decˆ at o exponent ¸ial˘ a.
Exemplul 3.3.5 Consider am operatorul de evolut ie
US(t, s) =S(t)U(t, s)S(s)−1,pentru (t, s)∈∆+,
unde Ueste operatorul de evolut ie denit ^ n Exemplul 3.3.3, iar operatorul
S(t) :R2→R2este dat prin
S(t)(x1, x2) =(
x1+t+ 1√
1 + (t+ 1)2×2,1√
1 + (t+ 1)2×2)
, t≥0.

80 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
Se poate demonstra c a S(t)este inversabil  si
S(t)−1(x1, x2) =(
x1−(t+ 1)x2,√
1 + (t+ 1)2×2)
,pentru t≥0.
Pentru orice t≥0 six= (x1, x2)∈R2, consider am
eP(t)x= (x1−(t+ 1)x2,0).
Un calcul simplu ne arat a c a ePeste o famile de proiectori compatibil a cu
operatorul de evolut ie US si
∥eP(t)x∥≤(2 +t)∥x∥,pentru orice t≥0 six∈R2.
Mai mult, cum ∥eP(t)(1,−1)∥= 2 + t, pentru orice t≥0, deducem c a
∥eP(t)∥= 2 + t≤eet,pentru orice t≥0.
Pe de alt a parte, are loc
∥S(t)x∥= max{
|x1+t+ 1√
1 + (t+ 1)2×2|,1√
1 + (t+ 1)2|x2|}
≤max{|x1|+|x2|,|x2|} ≤ 2∥x∥,
pentru orice t≥0 six= (x1, x2)∈R2 si deci ∥S(t)∥≤2, pentru orice
t≥0. De asemenea, se obt in urm atoarele relat ii:
S(t)−1P(t) =P(t) siP(t)eP(t) =eP(t),pentru t≥0,
unde Peste familia de proiectori dat a ^ n (3.22).
Folosind relat iile precedente  si faptul c a operatorul de evolut ie Uadmite
dichotomie exponent ial a tare ^ n raport cu familia de proiectori P, rezult a c a
pentru orice (t, s)∈∆+avem
∥US(t, s)eP(s)∥=∥S(t)U(t, s)S(s)−1P(s)eP(s)∥
≤2∥U(t, s)P(s)∥∥eP(s)∥
≤2ee2se−3(t−s).

3.3. Dichotomie exponent ial a neuniform a 81
Pe de alt a parte, din eQ(t)(x1, x2) = (( t+ 1)x2, x2)deducem
∥(US)eQ(s, t)eQ(t)x∥=∥S(s)UQ(s, t)S(t)−1((t+ 1)x2, x2)∥
=∥S(s)UQ(s, t)(0,√
1 + (t+ 1)2×2,0)∥
=√
1 + (t+ 1)2∥S(s)UQ(s, t)Q(t)x∥
≤2√
2ee3=2te−4(t−s)∥x∥,
pentru (t, s)∈∆+ six= (x1, x2)∈R2. Ultima inegalitate rezult a din
Exemplul 3.3.3, t in^ and cont de faptul c a
1 +(t+ 1)2
2≤et+1,pentru t≥0.
Din Propozit ia 3.3.5 se obt ine c a operatorul de evolut ie USadmite dichotomie
exponent ial a tare ^ n raport cu familia de proiectori eP. Mai mult, are loc
∥eP(t)∥= 2 + t→ ∞ atunci c^ and t→ ∞ .

Este clar c˘ a existent ¸a dichotomiei exponent ¸iale nu implic˘ a acela¸ si tip
de cre¸ stere exponent ¸ial˘ a pe ˆ ıntreg spat ¸iul X. De aceea, vom introduce
urm˘ atorul concept de cre¸ stere exponent ¸ial˘ a pentru un operator de evolut ¸ie
ˆ ın raport cu o familie de proiectori compatibil˘ a cu acesta:
Denit ia 3.3.6 Consider˘ am U: ∆ +→ B (X) un operator de evolut ¸ie ¸ si
P:R+→ B (X) o familie de proiectori compatibil˘ a cu U. Spunem c˘ a U
arecre stere exponent ial a ^ n raport cu Pdac˘ a exist˘ a M≥1,ε≥0 ¸ siω >0
astfel ˆ ıncˆ at
∥U(t, s)P(s)∥≤Me"se!(t−s)¸ si∥UQ(s, t)Q(t)∥≤Me"te!(t−s),
pentru orice ( t, s)∈∆+. Dac˘ a ε= 0, atunci spunem c˘ a Uarecre stere
exponent ial a uniform a ^ n raport cu P.
Pentru un operator de evolut ¸ie U: ∆ +→ B(X) ¸ si o familie de proiectori
P:R+→ B(X) compatibil˘ a cu U, vom nota cu
G(t, s) =

U(t, s)P(s), t > s,
−UQ(t, s)Q(s), t < s,
funct ¸ia Green asociat˘ a perechii ( U, P).

82 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
Remarca 3.3.6 Dac a operatorul de evolut ie Uare cre stere exponent ial a ^ n
raport cu familia de proiectori P, atunci are loc
∥G(t, s)∥ ≤Me"se!|t−s|,pentru orice t, s≥0, t̸=s,
constantele M≥1,ε≥0 siω >0ind date de Denit ia 3.3.6.
Propozit ia 3.3.6 Fiep >0o constant a real a pozitiv a  si U: ∆ +→ B(X)
un operator de evolut ie continuu. Dac a Uadmite dichotomie exponent ial a
tare ^ n raport cu familia de proiectori P:R+→ B(X), atunci Uare cre stere
exponent ial a ^ n raport cu P si exist a constantele K, γ > 0 siδ≥0astfel
^ nc^ at
∫∞
0ep
|−t|∥G(τ, t)x∥pdτ≤Kept||x||p,pentru t≥0 six∈X.(3.30)
Demonstrat ie . Este simplu de observat c˘ a Uare cre¸ stere exponent ¸ial˘ a ˆ ın
raport cu P, considerˆ and M=N,ε=α¸ siω > 0 arbitrar. De asemenea,
relat ¸ia (3.30) are loc pentru δ=α,γ∈(0, ν) ¸ siK=2Np
p(−
),unde N≥1,
α≥0 ¸ siν >0 sunt date de Definit ¸ia 3.3.5.

ˆIn exemplul urm˘ ator vom ar˘ ata c˘ a reciproca propozit ¸iei anterioare nu
este adev˘ arat˘ a.
Exemplul 3.3.6 Consider am u(t) =et(1+cos2t) siv(t) =etcos2t,t≥0, ^ n
Exemplul 3.3.1. Operatorul de evolut ie obt inut Uare cre stere exponent ial a
^ n raport cu P si pentru orice p >0se obt ine
∫∞
0e1
2p|−t|∥G(τ, t)x∥pdτ≤∫∞
te−1
2p(−t)e−pcos2+ptcos2tdτ∥x∥p+
+∫t
0e−1
2p(t−)e−psin2+ptsin2tdτ∥x∥p
≤ept(∫∞
te−1
2p(−t)dτ+∫t
0e−1
2p(t−)dτ)
||x||p
≤(4/p)ept||x||p,pentru t≥0 six∈R2.
Deci, (3.30) are loc pentru K= 4/p,γ= 1/2 siδ= 1. Dac a presupunem
c a operatorul de evolut ie Uadmite dichotomie exponent ial a tare ^ n raport

3.3. Dichotomie exponent ial a neuniform a 83
cu familia de proiectori P, atunci exist a N≥1,α≥0 siν >0astfel ^ nc^ at
∥UQ(s, t)Q(t)∥≤Nese−(t−s),
pentru orice (t, s)∈∆+. Consider^ and t= 2nπ+
2(n∈N)  sis= 0, se
obt ine
e(2n+=2)≤N,pentru orice n∈N,
ceea ce este fals. Am demonstrat astfel c a operatorul de evolut ie Unu admite
dichotomie exponent ial a tare ^ n raport cu familia de proiectori
P(t)(x1, x2) = (x1,0),pentru t≥0.

Teorema 3.3.1 FieU: ∆ +→ B (X)un operator de evolut ie continuu  si
P:R+→ B (X)o familie de proiectori compatibil a cu U. Dac a Uare
cre stere exponent ial a ^ n raport cu P si exist a p, K > 0,γ > ε  siδ∈[0, γ)
astfel ^ nc^ at (3.30)are loc, atunci Uadmite dichotomie exponent ial a tare ^ n
raport cu familia de proiectori P, unde εeste dat a de cre sterea exponent ial a.
Demonstrat ie . Pentru ( t, s)∈∆+cut≥s+ 1 ¸ si x∈X, se obt ¸ine
ep
(t−s)∥U(t, s)P(s)x∥p=∫t
t−1ep
(t−s)∥U(t, s)P(s)x∥pdτ
≤Mpep"t∫t
t−1ep(
+!)(t−)ep
(−s)∥U(τ, s)P(s)x∥pdτ
≤Mpep(
+!)ep"t∫∞
sep
(−s)∥U(τ, s)P(s)x∥pdτ
≤KMpep(
+!)ep"teps∥x∥p,
respectiv
ep
(t−s)∥UQ(s, t)Q(t)x∥p=∫s+1
sep
(t−s)∥UQ(s, t)Q(t)x∥pdτ
≤Mpep"s∫s+1
sep(
+!)(−s)ep
(t−)∥UQ(τ, t)Q(t)x∥pdτ
≤Mpep(
+!)ep"s∫t
0ep
(t−)∥UQ(τ, t)Q(t)x∥pdτ
≤KMpep(
+!)ep"sept∥x∥p.

84 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
Deci,
∥U(t, s)P(s)∥≤K1=pMe
+!e(+")se−(
−")(t−s)(3.31)
¸ si
∥UQ(s, t)Q(t)∥≤K1=pMe
+!e(+")te−(
+")(t−s), (3.32)
pentru ( t, s)∈∆+cut≥s+ 1.
Dac˘ a t∈[s, s+ 1), atunci
∥U(t, s)P(s)∥≤Me!+
−"e"se−(
−")(t−s)(3.33)
¸ si
∥UQ(s, t)Q(t)∥≤Me!+
e"te−(
+")(t−s). (3.34)
Din (3.31)–(3.34) rezult˘ a c˘ a exist˘ a N1, N2≥1 astfel ca
∥U(t, s)P(s)∥≤N1e(+")se−(
−")(t−s)(3.35)
¸ si
∥UQ(s, t)Q(t)∥≤N2e(+")te−(
+")(t−s), (3.36)
pentru orice ( t, s)∈∆+, ceea ce arat˘ a c˘ a Uadmite dichotomie exponent ¸ial˘ a
tare ˆ ın raport cu familia de proiectori P.

ˆIn caz uniform se obt ¸ine urm˘ atorul rezultat:
Corolarul 3.3.1 FieU: ∆ +→ B(X)un operator de evolut ie continuu  si
P:R+→ B (X)o familie de proiectori compatibil a cu U. Operatorul de
evolut ie Uadmite dichotomie exponent ial a uniform a ^ n raport cu Pdac a  si
numai dac a Uare cre stere exponent ial a uniform a ^ n raport cu P si exist a
p, γ, K > 0astfel ^ nc^ at
∫∞
0ep
|−t|∥G(τ, t)x∥pdτ≤K||x||p,∀t≥0 six∈X. (3.37)
Demonstrat ie . Dac˘ a presupunem c˘ a Uadmite dichotomie exponent ¸ial˘ a
uniform˘ a ˆ ın raport cu P, atunci, pentru α= 0 ˆ ın demonstrat ¸ia Propozit ¸iei
3.3.6, obt ¸inem ε=δ= 0 ¸ si deci (3.37) are loc pentru p >0,γ∈(0, ν) ¸ si
K=2Np
p(−
). Reciproc, considerˆ and ε=δ= 0 ˆ ın relat ¸iile (3.35) ¸ si (3.36),
rezult˘ a c˘ a Uadmite dichotomie exponent ¸ial˘ a uniform˘ a ˆ ın raport cu P.


3.3. Dichotomie exponent ial a neuniform a 85
Remarca 3.3.7 Rezultatul precedent este adev˘ arat ¸ si dac˘ a γ= 0 [147].
Pentru orice γ >0 ¸ si orice familie de proiectori P:R+→ B(X) not˘ am cu
H
(P) mult ¸imea operatorilor H:R+→ B(X) tare continui cu proprietatea
c˘ a
∥H(t)x∥≤e
t∥P(t)x∥+e−
t∥Q(t)x∥,pentru ( t, x)∈R+×X.(3.38)
Fieγ > 0 o constant˘ a real˘ a pozitiv˘ a, U: ∆ +→ B (X) un operator de
evolut ¸ie continuu, P:R+→ B (X) o familie de proiectori compatibil˘ a cu
U¸ siH∈ H
(P). Reamintim c˘ a o funct ¸ie L:R+×X→Reste o funct ie
Lyapunov dac˘ a
L(t, U(t, s)x) +∫t
s∥H(τ)U(τ, s)x∥2dτ≤L(s, x),(t, s, x )∈∆+×X.
Teorema 3.3.2 FieU: ∆ +→ B (X)un operator de evolut ie continuu
care admite dichotomie exponent ial a tare ^ n raport cu familia de proiectori
P:R+→ B(X). Atunci exist a K, γ > 0 siδ≥0astfel ^ nc^ at pentru orice
H∈ H
(P)exist a o funct ie Lyapunov L:R+×X→Rcare satisface
propriet at ile:
(L1)L(t, P(t)x)≥0 siL(t, Q(t)x)≤0;
(L2)e−2
tL(t, P(t)x)−e2
tL(t, Q(t)x)≤Ke2t∥x∥2;
pentru (t, x)∈R+×X.
Demonstrat ie . Considerˆ and p= 2 ˆ ın Propozit ¸ia 3.3.6, exist˘ a K, γ > 0 ¸ si
δ≥0 astfel ˆ ıncˆ at (3.30) are loc. Pentru orice H∈ H
(P) definim
L(t, x) = 2∫∞
0sign(τ−t)∥H(τ)G(τ, t)x∥2dτ.

86 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
Atunci
L(t, U(t, s)x) +∫t
s∥H(τ)U(τ, s)x∥2dτ=
= 2∫∞
t∥H(τ)U(τ, s)P(s)x∥2dτ−2∫s
0∥H(τ)UQ(τ, s)Q(s)x∥2dτ−
−2∫t
s∥H(τ)U(τ, s)Q(s)x∥2dτ+∫t
s∥H(τ)U(τ, s)x∥2dτ
≤2∫∞
s∥H(τ)U(τ, s)P(s)x∥2dτ−2∫s
0∥H(τ)UQ(τ, s)Q(s)x∥2dτ
=L(s, x),pentru ( t, s, x )∈∆+×X.
Deci, Leste o funct ¸ie Lyapunov. Mai mult, pentru ( t, x)∈R+×Xse obt ¸ine
L(t, P(t)x) = 2∫∞
t∥H(τ)U(τ, t)P(t)x∥2dτ≥0,
respectiv
L(t, Q(t)x) =−2∫t
0∥H(τ)UQ(τ, t)Q(t)x∥2dτ≤0.
Din relat ¸ia (3.38) ¸ si Propozit ¸ia 3.3.6 deducem
e−2
tL(t, P(t)x)−e2
tL(t, Q(t)x) = 2 e−2
t∫∞
t∥H(τ)U(τ, t)P(t)x∥2dτ
+ 2e2
t∫t
0∥H(τ)UQ(τ, t)Q(t)x∥2dτ
≤2∫∞
0e2
|−t|∥G(τ, t)x∥2dτ
≤2Ke2t∥x∥2,
pentru orice ( t, x)∈R+×X, ceea ce ˆ ıncheie demonstrat ¸ia.

Teorema 3.3.3 FieU: ∆ +→ B (X)un operator de evolut ie continuu
 siP:R+→ B (X)o familie de proiectori compatibil a cu U. Dac a Uare
cre stere exponent ial a ^ n raport cu P si exist a K > 0,γ > ε  siδ∈[0, γ)astfel
^ nc^ at pentru ecare H∈ H
(P)exist a o funct ie Lyapunov L:R+×X→R
care satisface (L1) si(L2), atunci Uadmite dichotomie exponent ial a tare ^ n
raport cu familia de proiectori P, unde εeste dat a de cre sterea exponent ial a.

3.3. Dichotomie exponent ial a neuniform a 87
Demonstrat ie . Pentru γ > ε definim
H(t)x=e
tP(t)x+e−
tQ(t)x,pentru ( t, x)∈R+×X.
Atunci
∫u
te2
(−t)∥U(τ, t)P(t)x∥2dτ+∫t
0e2
(t−)∥UQ(τ, t)Q(t)x∥2dτ
=e−2
t∫u
t∥H(τ)U(τ, t)P(t)x∥2dτ+e2
t∫t
0∥H(τ)UQ(τ, t)Q(t)x∥2dτ
≤e−2
t[L(t, P(t)x)−L(u, U(u, t)P(t)x)]
+e2
t[L(0, UQ(0, t)Q(t)x)−L(t, Q(t)x)]
≤e−2
tL(t, P(t)x)−e2
tL(t, Q(t)x)≤Ke2t∥x∥2,
pentru orice u≥t≥0 ¸ six∈X. F˘ acˆ and u→ ∞ , obt ¸inem
∫∞
0e2
|−t|∥G(τ, t)x∥2dτ≤Ke2t∥x∥2,pentru ( t, x)∈R+×X.
Din Teorema 3.3.1 rezult˘ a c˘ a Uadmite dichotomie exponent ¸ial˘ a tare ˆ ın
raport cu familia de proiectori P.

Din Remarca 3.3.7 ¸ si procedˆ and la fel ca ˆ ın demonstrat ¸iile teoremelor
3.3.2 ¸ si 3.3.3, obt ¸inem:
Corolarul 3.3.2 FieU: ∆ +→ B(X)un operator de evolut ie continuu  si
P:R+→ B (X)o familie de proiectori compatibil a cu U. Operatorul de
evolut ie Uadmite dichotomie exponent ial a uniform a ^ n raport cu familia de
proiectori Pdac a  si numai dac a Uare cre stere exponent ial a uniform a ^ n
raport cu P si exist a K > 0 si o funct ie Lyapunov L:R+×X→Rastfel
^ nc^ at
1.L(t, U(t, s)x) +∫t
s∥U(τ, s)x∥2dτ≤L(s, x);
2.L(t, P(t)x)≥0;
3.L(t, Q(t)x)≤0;
4.L(t, P(t)x)−L(t, Q(t)x)≤K∥x∥2;
pentru orice (t, s, x )∈∆+×X.

88 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
3.4 Dichotomie exponent ial a mixt a
F˘ ar˘ a a mai preciza, pe tot parcursul acestui subcapitol vom considera
U:R2→ B(X) un operator de evolut ¸ie reversibil pe dreapta real˘ a.
Denit ia 3.4.1 Spunem c˘ a operatorul de evolut ¸ie Uadmite
(i)(R+,R−)-dichotomie exponent ial a dac˘ a exist˘ a dou˘ a familii de proiec-
toriP+, P−:R→ B(X) invariante ˆ ın raport cu operatorul de evolut ¸ie
U¸ si exist˘ a N≥1 ¸ siν >0 astfel ˆ ıncˆ at au loc urm˘ atoarele condit ¸ii:
(ed1)P+(t)P−(t) =P−(t)P+(t) =P−(t),pentru t∈R;
(ed2)∥U(t, s)P+(s)∥≤Ne−(t−s),pentru t≥s≥0;
∥U(s, t)Q+(t)∥≤Ne−(t−s),pentru t≥s≥0;
(ed3)∥U(t, s)P−(s)∥≤Ne−(t−s),pentru 0 ≥t≥s;
∥U(s, t)Q−(t)∥≤Ne−(t−s),pentru 0 ≥t≥s;
(ii)(R+,R−)∗-dichotomie exponent ial a dac˘ a relat ¸iile ( ed2) ¸ si (ed3) de mai
sus r˘ amˆ an adev˘ arate, iar relat ¸ia ( ed1) este ˆ ınlocuit˘ a cu
P+(t)P−(t) =P−(t)P+(t) =P+(t),pentru t∈R.
Vom spune c˘ a un operator de evolut ¸ie reversibil pe dreapta real˘ a care verific˘ a
(ed2) admite dichotomie exponent ial a pe R+, iar dac˘ a verific˘ a ( ed3), vom
spune c˘ a acesta admite dichotomie exponent ial a pe R−.
Cele dou˘ a concepte de dichotomie exponent ¸ial˘ a prezentate ˆ ın definit ¸ia
anterioar˘ a implic˘ a existent ¸a dichotomiei exponent ¸iale pe ambele semiaxe,
dar cu proiectori de structur˘ a diferit ¸i. Din definit ¸ie nu reiese c˘ a familiile
de proiectori sunt uniform m˘ arginite pe ˆ ıntreaga dreapt˘ a real˘ a. A¸ sadar,
conceptele de dichotomie exponent ¸ial˘ a prezentate anterior se pot ˆ ıncadra ˆ ın
teoria comport˘ arilor asimptotice neuniforme.
ˆIn continuare, vom ar˘ ata c˘ a cele dou˘ a concepte de dichotomie definite
mai sus sunt duale ˆ ıntr-un anumit sens. ˆIntr-adev˘ ar, dac˘ a U:R2→ B(X)

3.4. Dichotomie exponent ial a mixt a 89
este un operator de evolut ¸ie reversibil pe dreapta real˘ a (pe spat ¸iul Banach
X), atunci consider˘ am
V(t, s) =U(s, t)∗,pentru orice t, s∈R.
ˆIn acest caz, Veste de asemenea un operator de evolut ¸ie reversibil pe dreapta
real˘ a (pe X∗), numit operatorul de evolut ie adjunct (vezi [159]).
Lema 3.4.1 Dac a Xeste un spat iu Banach re
exiv, atunci operatorul de
evolut ie Uadmite (R+,R−)-dichotomie exponent ial a (respectiv (R+,R−)∗-
dichotomie exponent ial a) dac a  si numai dac a operatorul de evolut ie adjunct
Vadmite (R+,R−)∗-dichotomie exponent ial a (respectiv (R+,R−)-dichotomie
exponent ial a).
Demonstrat ie .Necesitatea . Se observ˘ a imediat c˘ a dac˘ a operatorul de
evolut ¸ie Uadmite ( R+,R−)-dichotomie exponent ¸ial˘ a (( R+,R−)∗-dichotomie
exponent ¸ial˘ a)ˆ ın raport cu familiile de proiectori P+(t) ¸ siP−(t),t∈R, atunci
operatorul de evolut ¸ie adjunct admite ( R+,R−)∗-dichotomie exponent ¸ial˘ a
((R+,R−)-dichotomie exponent ¸ial˘ a) ˆ ın raport cu Id −P∗
+(t) ¸ si Id −P∗
−(t).
Sucient a . Presupunem c˘ a Vadmite ( R+,R−)-dichotomie exponent ¸ial˘ a
ˆ ın raport cu familiile de proiectori R+¸ siR−. Se ¸ stie c˘ a exist˘ a o transformare
continu˘ a J:X→X∗∗, definit˘ a prin
⟨x∗, Jx⟩=⟨x, x∗⟩,pentru orice x∈X¸ six∗∈X∗,
unde am notat cu ⟨x, x∗⟩=x∗(x), pentru x∈X¸ six∗∈X∗. Ca o consecint ¸˘ a
a Teoremei lui Hahn-Banach, operatorul Jeste o izometrie, deci Jeste o
funct ¸ie injectiv˘ a. Dar cum Xeste un spat ¸iu Banach reflexiv, rezult˘ a c˘ a
Jeste bijectiv˘ a. ˆIn acest caz, pentru orice t∈Rare sens s˘ a consider˘ am
operatorii
˜P+(t) : X→X,˜P+(t)x=J−1R∗
+(t)Jx,
˜P−(t) : X→X,˜P−(t)x=J−1R∗
−(t)Jx.
Este evident c˘ a ˜P+(t) ¸ si ˜P−(t) sunt proiectori pe X. Vom ar˘ ata mai ˆ ıntˆ ai
c˘ a aceste familii de proiectori sunt invariante ˆ ın raport cu operatorul de

90 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
evolut ¸ie U. Avem
⟨˜P+(t)U(t, s)x, x∗⟩=⟨x∗, J˜P+(t)U(t, s)x⟩=⟨x∗, R∗
+(t)JU(t, s)x⟩
=⟨R+(t)x∗, JU(t, s)x⟩=⟨U(t, s)x, R +(t)x∗⟩
=⟨x, U(t, s)∗R+(t)x∗⟩=⟨x, R +(s)U(t, s)∗x∗⟩
=⟨R+(s)U(t, s)∗x∗, Jx⟩=⟨U(t, s)∗x∗, R∗
+(s)Jx⟩
=⟨U(t, s)∗x∗, J˜P+(s)x⟩=⟨˜P+(s)x, U(t, s)∗x∗⟩
=⟨U(t, s)˜P+(s)x, x∗⟩,
pentru orice x∈X¸ six∗∈X∗.ˆIn mod similar rezult˘ a
⟨˜P−(t)U(t, s)x, x∗⟩=⟨U(t, s)˜P−(s)x, x∗⟩,pentru orice x∈X¸ six∗∈X∗.
Aceste relat ¸ii implic˘ a
˜P+(t)U(t, s) =U(t, s)˜P+(s) ¸ si˜P−(t)U(t, s) =U(t, s)˜P−(s),
pentru orice t, s∈R, deci ˜P+¸ si˜P−sunt familii de proiectori invariante ˆ ın
raport cu operatorul de evolut ¸ie U. Printr-un calcul direct obt ¸inem
˜P+(t)˜P−(t) =˜P−(t)˜P+(t) =˜P−(t),pentru orice t∈R.
Este simplu de observat c˘ a Uadmite ( R+,R−)∗-dichotomie exponent ¸ial˘ a ˆ ın
raport cu P+(t) = Id −˜P+(t) ¸ siP−(t) = Id −˜P−(t).
ˆIn mod similar se obt ¸ine c˘ a dac˘ a operatorul de evolut ¸ie adjunct admite
(R+,R−)∗-dichotomie exponent ¸ial˘ a, atunci Uadmite ( R+,R−)-dichotomie
exponent ¸ial˘ a.

Remarca 3.4.1 ˆIn cazul general al spat ¸iilor Banach necesitatea din lema
precedent˘ a r˘ amˆ ane adev˘ arat˘ a. ˆIn acest moment nu suntem ˆ ın m˘ asur˘ a s˘ a
spunem dac˘ a suficient ¸a este de asemenea valid˘ a.
ˆIn continuare, vom studia ˆ ın ce m˘ asur˘ a cele dou˘ a concepte de dichotomie
considerate ˆ ın Definit ¸ia 3.4.1 se conserv˘ a ˆ ın urma unor perturb˘ ari liniare
suficient de mici.

3.4. Dichotomie exponent ial a mixt a 91
FieU:R2→ B(X) un operator de evolut ¸ie reversibil pe dreapta real˘ a
continuu. Consider˘ am pentru ˆ ınceput ecuat ¸ia integral˘ a Volterra
V(t, s) =U(t, s) +∫t
sU(t, τ)B(τ)V(τ, s)dτ,pentru t, s∈R,(3.39)
unde B:R→ B(X) este un operator tare continuu ¸ si uniform m˘ arginit cu
δ= sup
t∈R∥B(t)∥<∞, integrala fiind definit˘ a ˆ ın topologia operatorial˘ a tare.
Am demonstrat c˘ a dac˘ a exist˘ a o funct ¸ie ω:R→(0,∞) local integrabil˘ a
care verific˘ a relat ¸ia
∥U(t, s)∥≤e|∫t
s!()d|,pentru orice t, s∈R, (3.40)
atunci ecuat ¸ia (3.39) admite o unic˘ a solut ¸ie continu˘ a ˆ ın raport cu t, aceast˘ a
solut ¸ie determinˆ and la rˆ andul ei un operator de evolut ¸ie reversibil pe dreapta
real˘ a, numit operatorul de evolut ie perturbat .
Teorema 3.4.1 Dac a U:R2→ B (X)este un operator de evolut ie ca
mai sus care admite (R+,R−)∗-dichotomie exponent ial a, iar δ <4
(2N+1)2,
atunci operatorul de evolut ie perturbat admite  si el (R+,R−)∗-dichotomie
exponent ial a.
Demonstrat ie . Vom prelua argumentele date ˆ ın [8], [115], [138] ¸ si [139].
Cum Uadmite ( R+,R−)∗-dichotomie exponent ¸ial˘ a, consider˘ am proiectorii
de structur˘ a P+(t) ¸ siP−(t) cu P+(t)P−(t) =P−(t)P+(t) =P+(t),pentru
orice t∈R(vezi Definit ¸ia 3.4.1), astfel ˆ ıncˆ at au loc relat ¸iile
∥U(t, s)P+(s)∥≤Ne−(t−s),∥U(s, t)Q+(t)∥≤Ne−(t−s), t≥s≥0,
¸ si
∥U(t, s)P−(s)∥≤Ne−(t−s),∥U(s, t)Q−(t)∥≤Ne−(t−s),0≥t≥s.
Pentru a face demonstrat ¸ia cˆ at mai eligibil˘ a ¸ si mai u¸ sor de urm˘ arit, vom
recurge la considerarea unor etape bine delimitate:
Etapa 1. Rezultate preliminare. Vom nota cu
∆0
+={
(t, s)∈R2:t≥s≥0}
¸ si ∆0
−={
(t, s)∈R2: 0≥s≥t}
.

92 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
Consider˘ am spat ¸iile Banach
B+={
X+: ∆0
+→ B(X)|X+este tare continuu ¸ si m˘ arginit}
¸ si
B−={
X−: ∆0
−→ B(X)|X−este tare continuu ¸ si m˘ arginit}
,
ˆ ınzestrate cu normele
∥X+∥= sup
(t;s)∈∆0
+∥X+(t, s)∥,respectiv ∥X−∥= sup
(t;s)∈∆0
∥X−(t, s)∥.
Definim operatorii I:B+→ B +¸ siJ:B−→ B −,
(IX+) (t, s) =U(t, s)P+(s) +∫t
sU(t, u)P+(u)B(u)X+(u, s)du
−∫∞
tU(t, u)Q+(u)B(u)X+(u, s)du,pentru t≥s≥0,
respectiv
(JX−) (t, s) =U(t, s)Q−(s) +∫t
−∞U(t, u)P−(u)B(u)X−(u, s)du
−∫s
tU(t, u)Q−(u)B(u)X−(u, s)du,pentru 0 ≥s≥t
(integralele sunt considerate ˆ ın topologia operatorial˘ a tare).
Vom ar˘ ata mai ˆ ıntˆ ai c˘ a ace¸ sti operatori sunt corect definit ¸i. ˆIntr-adev˘ ar,
pentru x∈Xcu∥x∥= 1 avem
∥(IX+)(t, s)x∥ ≤Ne−(t−s)+N∫t
se−(t−)∥B(τ)∥∥X+(τ, s)∥dτ
+N∫∞
te−(−t)∥B(τ)∥∥X+(τ, s)∥dτ
≤N+2Nδ
ν∥X+∥<∞,∀(t, s)∈∆+,
de unde rezult˘ a c˘ a IX+∈ B +. Analog se arat˘ a c˘ a JX−∈ B−.
Folosind un calcul similar celui precedent, obt ¸inem
∥ IX+− IY+∥≤2Nδ
ν∥X+−Y+∥,pentru orice X+, Y+∈ B +,

3.4. Dichotomie exponent ial a mixt a 93
respectiv
∥ JX−− JY−∥≤2Nδ
ν∥X−−Y−∥,pentru orice X−, Y−∈ B−.
Se observ˘ a c˘ a dac˘ a δ <4
(2N+1)2, atunci δ <
2N, ceea ce este echivalent cu
2N
<1 ¸ si deci I¸ siJsunt contract ¸ii. Aplicˆ and Teorema de punct fix a
lui Banach, rezult˘ a c˘ a acestea admit un unic punct fix, notat cu X+(t, s)
pentru I, respectiv X−(t, s) pentru J.
Pentru considerentele urm˘ atoare vom aminti un rezultat demonstrat de
L.H. Popescu ˆ ın [139]:
Lema 3.4.2 Punctele xe ale operatorilor I siJveric a relat iile:
X+(t, s)X+(s, t0) =X+(t, t0), t≥s≥t0≥0;
X−(t0, s)X−(s, t) =X−(t0, t),0≥t≥s≥t0.
^In plus, au loc urm atoarele inegalit at i:
∥X+(t, s)∥ ≤Ke−e(t−s), pentru t≥s≥0;
∥X−(s, t)∥ ≤Ke−e(t−s), pentru 0≥t≥s;
constantele K sieνind date prin eν=√
ν2−2δNν  siK=N(e+)
e+−N.
Vom nota cu eP+(t) =X+(t, t) ¸ sieQ−(t) =X−(t, t). Din Lema 3.4.2
rezult˘ a c˘ a ace¸ sti operatori sunt proiectori. ˆIn plus, au loc identit˘ at ¸ile:
eP+(t) =P+(t)−∫∞
tU(t, u)Q+(u)B(u)X+(u, t)du, pentru t≥0, (3.41)
eQ−(t) =Q−(t) +∫t
−∞U(t, u)P−(u)B(u)X−(u, t)du, pentru t≤0. (3.42)
Considerˆ and eQ+(t) = Id −eP+(t) ¸ sieP−(t) = Id −eQ−(t), obt ¸inem:
eQ+(t) =Q+(t) +∫∞
tU(t, u)Q+(u)B(u)X+(u, t)du,pentru t≥0,(3.43)
eP−(t) =P−(t)−∫t
−∞U(t, u)P−(u)B(u)X−(u, t)du,pentru t≤0.(3.44)

94 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
Se observ˘ a c˘ a
P+(t)X+(t, s) =U(t, s)P+(s) +∫t
sU(t, u)P+(u)B(u)X+(u, s)du, t≥s≥0,
care implic˘ a
P+(t)eP+(t) =P+(t),pentru orice t≥0.
Pe de alt˘ a parte, din relat ¸ia
X+(t, s)P+(s) =U(t, s)P+(s) +∫t
sU(t, u)P+(u)B(u)X+(u, s)P+(s)du
−∫∞
tU(t, u)Q+(u)B(u)X+(u, s)P+(s)du,pentru t≥s≥0,
rezult˘ a c˘ a X+(t, s)P+(s) este de asemenea punct fix pentru I¸ si deci are loc
X+(t, s) =X+(t, s)P+(s),pentru t≥s≥0.
ˆIn particular, obt ¸inem
eP+(t)P+(t) =eP+(t),pentru orice t≥0.
Folosind acelea¸ si argumente, se poate ar˘ ata
eQ−(t)Q−(t) =eQ−(t) ¸ siQ−(t)eQ−(t) =Q−(t),pentru orice t≤0.
Etapa 2. Existent a dichotomiei exponent iale pe R+ si pe R−.
Vom ar˘ ata c˘ a operatorul de evolut ¸ie perturbat Vadmite dichotomie
exponent ¸ial˘ a atˆ at pe R+, cˆ at ¸ si pe R−, ˆ ın raport cu proiectorii
ˆP+(t) =V(t,0)eP+(0)V(0, t),pentru t≥0,
respectiv
ˆP−(t) =V(t,0)eP−(0)V(0, t),pentru t≤0.
Pentru considerentele urm˘ atoare facem apel la un rezultat demonstrat de
L.H. Popescu ˆ ın [139]:
X+(t, s) =V(t, s)eP+(s),pentru orice t≥s≥0. (3.45)

3.4. Dichotomie exponent ial a mixt a 95
Astfel, folosind relat ¸ia precedent˘ a ¸ si Lema 3.4.2, rezult˘ a
eP+(t)ˆP+(t) =X+(t, t)V(t,0)eP+(0)V(0, t) =X+(t, t)X+(t,0)V(0, t)
=X+(t,0)V(0, t) =V(t,0)eP+(0)V(0, t)
=ˆP+(t),pentru t≥0,
care implic˘ a
X+(t, s)ˆP+(s) =X+(t, s)eP+(s)ˆP+(s) =V(t, s)ˆP+(s),
pentru orice t≥s≥0. Plecˆ and de la acest rezultat ¸ si folosind din nou Lema
3.4.2, obt ¸inem urm˘ atoarea estimare
∥V(t, s)ˆP+(s)∥≤Ke−e(t−s)∥ˆP+(s)∥,pentru t≥s≥0. (3.46)
Not˘ am cu ˆQ+(t) = Id −ˆP+(t),pentru t≥0. Se observ˘ a c˘ a
V(t, s)ˆQ+(s) =V(t, s)V(s,0)eQ+(0)V(0, s) =V(t,0)eQ+(0)V(0, s),
pentru orice t≥s≥0. Plecˆ and de la relat ¸ia
V(t, s) =U(t, s) +∫t
sU(t, τ)B(τ)V(τ, s)dτ,
obt ¸inem
V(t,0) = U(t,0) +∫t
0U(t, τ)B(τ)V(τ,0)dτ
¸ si deci
V(s,0)eQ+(0) = U(s,0)eQ+(0) +∫s
0U(s, τ)B(τ)V(τ,0)eQ+(0)dτ.
ˆInmult ¸ind relat ¸ia precedent˘ a la stˆ anga cu U(t, s)Q+(s), are loc
U(t, s)Q+(s)V(s,0)eQ+(0)
=U(t,0)eQ+(0) +∫s
0U(t, τ)Q+(τ)B(τ)V(τ,0)eQ+(0)dτ,
ceea ce este echivalent cu
U(t,0)eQ+(0)
=U(t, s)Q+(s)V(s,0)eQ+(0)−∫s
0U(t, τ)Q+(τ)B(τ)V(τ,0)eQ+(0)dτ.

96 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
Astfel, are loc
V(t,0)eQ+(0)
=U(t, s)Q+(s)V(s,0)eQ+(0) +∫t
0U(t, τ)P+(τ)B(τ)V(τ,0)eQ+(0)dτ
−∫s
tU(t, τ)Q+(τ)B(τ)V(τ,0)eQ+(0)dτ,
pentru orice s≥t≥0, de unde rezult˘ a
V(t, s)ˆQ+(s) =U(t, s)Q+(s)ˆQ+(s) +∫t
0U(t, τ)P+(τ)B(τ)V(τ, s)ˆQ+(s)dτ
−∫s
tU(t, τ)Q+(τ)B(τ)V(τ, s)ˆQ+(s)dτ, (3.47)
pentru s≥t≥0.
Folosind eventual Lema 2 din [122] pentru u(t) =∥V(t, s)ˆQ+(s)x∥, cu
x∈Xfixat, obt ¸inem
∥V(s, t)ˆQ+(t)∥≤Ke−e(t−s)∥ˆQ+(t)∥,pentru t≥s≥0. (3.48)
Calcul˘ am
ˆP+(t)−P+(t) =Q+(t)ˆP+(t) +ˆP+(t)−Q+(t)ˆP+(t)−P+(t)
=Q+(t)ˆP+(t) +P+(t)ˆP+(t)−P+(t)
=Q+(t)ˆP+(t)−P+(t)ˆQ+(t),
pentru orice t≥0,deci am obt ¸inut
ˆP+(t)−P+(t) =Q+(t)ˆP+(t)−P+(t)ˆQ+(t),pentru orice t≥0.(3.49)
Deoarece
Q+(t)eP+(t) =−∫∞
tU(t, τ)Q+(τ)B(τ)X+(τ, t)dτ,
rezult˘ a ∥Q+(t)eP+(t)∥≤N2
e+−N¸ si deci
∥Q+(t)ˆP+(t)∥≤δN2
eν+ν−δN∥ˆP+(t)∥,pentru orice t≥0. (3.50)

3.4. Dichotomie exponent ial a mixt a 97
Pe de alt˘ a parte, dac˘ a punem t=sˆ ın (3.47), avem
ˆQ+(t) =Q+(t)ˆQ+(t) +∫t
0U(t, τ)P+(τ)B(τ)V(τ, t)ˆQ+(t)dτ,
ceea ce implic˘ a
P+(t)ˆQ+(t) =∫t
0U(t, τ)P+(τ)B(τ)V(τ, t)ˆQ+(t)dτ
¸ si prin urmare, are loc
∥P+(t)ˆQ+(t)∥≤δN2
eν+ν−δN∥ˆQ+(t)∥,pentru orice t≥0. (3.51)
Din relat ¸iile (3.49), (3.50) ¸ si (3.51) rezult˘ a
∥ˆP+(t)−P+(t)∥≤δN2
eν+ν−δN(
∥ˆP+(t)∥+∥ˆQ+(t)∥)
,pentru t≥0.
Se observ˘ a astfel c˘ a au loc urm˘ atoarele inegalit˘ at ¸i:
∥ˆP+(t)∥≤δN2
eν+ν−δN(
∥ˆP+(t)∥+∥ˆQ+(t)∥)
+N (3.52)
¸ si
∥ˆQ+(t)∥≤δN2
eν+ν−δN(
∥ˆP+(t)∥+∥ˆQ+(t)∥)
+N. (3.53)
Adunˆ andu-le, obt ¸inem
(
1−2δN2
eν+ν−δN)(
∥ˆP+(t)∥+∥ˆQ+(t)∥)
≤2N. (3.54)
ˆIn condit ¸iile ˆ ın care δ <4
(2N+1)2, relat ¸ia (3.54) este echivalent˘ a cu
(
∥ˆP+(t)∥+∥ˆQ+(t)∥)
≤2N
1−2N2
e+−N,pentru t≥0. (3.55)
Din (3.46), (3.48) ¸ si (3.55) deducem
∥V(t, s)ˆP+(s)∥≤2NK
1−2N2
e+−Ne−e(t−s),pentru t≥s≥0,

98 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
respectiv
∥V(s, t)ˆQ+(t)∥≤2NK
1−2N2
e+−Ne−e(t−s),pentru t≥s≥0.
Am demonstrat astfel c˘ a operatorul de evolut ¸ie perturbat admite dichotomie
exponent ¸ial˘ a pe R+ˆ ın raport cu familia de proiectori
ˆP+(t) =V(t,0)eP+(0)V(0, t), t≥0,
¸ si constantele eν=√
ν2−2δNν ¸ sieN=2NK
1−2N2
e+N, unde K=N(e+)
e+−N.ˆIn
mod absolut analog se demonstreaz˘ a c˘ a Vadmite dichotomie exponent ¸ial˘ a
peR−.
Etapa 3. Existent a dichotomiei exponent iale mixte.
Estim˘ am diferent ¸a

eP+(t)−P+(t)

≤∫∞
t∥U(t, u)Q+(u)∥∥B(u)∥∥X+(u, t)∥du
≤∫∞
tNe−(u−t)δKe−e(u−t)du
=δN2(eν+ν)
eν+ν−δN∫∞
te−(u−t)e−e(u−t)du
=δN2
eν+ν−δN,pentru t≥0.
Similar, se poate ar˘ ata

eP−(t)−P−(t)

≤δN2
eν+ν−δN,pentru t≤0.
Definim operatorul
S(0) = Id +eP+(0)−eP−(0) + P−(0)−P+(0).
Folosind relat ¸iile precedente, rezult˘ a
∥S(0)−Id∥ ≤

eP+(0)−P+(0)

+

eP−(0)−P−(0)

≤2δN2
eν+ν−δN
<1,

3.4. Dichotomie exponent ial a mixt a 99
ultima inegalitate este adev˘ arat˘ a pentru c˘ a δ <4
(2N+1)2, deci S(0) este un
operator inversabil. Deoarece P+(t)P−(t) =P−(t)P+(t) =P+(t),pentru
orice t∈R, printr-un calcul elementar se obt ¸ine
S(0)P+(0) =(
Id +eP+(0)−eP−(0) + P−(0)−P+(0))
P+(0)
=eQ−(0)P+(0) +eP+(0)
=eQ−(0)Q−(0)P+(0) +eP+(0)
=eQ−(0) (Id −P−(0))P+(0) +eP+(0)
=eP+(0),
respectiv
S(0)Q−(0) =(
Id +eP+(0)−eP−(0) + P−(0)−P+(0))
Q−(0)
=Q−(0) +eP+(0)Q−(0)−eP−(0)Q−(0)
=eQ−(0)Q−(0) +eP+(0)Q−(0)
=eQ−(0),
c˘ acieP+(0)Q−(0) =eP+(0)P+(0) (Id −P−(0)) = 0. Consider˘ am familiile de
proiectori
eeP+(0) = S(0)P+(0)S−1(0),
eeP−(0) = S(0)P−(0)S−1(0).
Din calculele f˘ acute anterior obt ¸inem
eeP+(0)eP+(0) = S(0)P+(0)S−1(0)eP+(0) =eP+(0)P+(0) =eP+(0).
Notˆ and cueeQ−(0) = Id −eeP−(0) ¸ si procedˆ and la fel ca mai sus, au loc
urm˘ atoarele relat ¸ii:
eP+(0)eeP+(0) =eeP+(0),
eeQ−(0)eQ−(0) =eQ−(0),
eQ−(0)eeQ−(0) =eeQ−(0).

100 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
T ¸ inˆ and cont de Etapa 2 ¸ si de egalit˘ at ¸ile precedente, putem trage concluzia
c˘ a operatorul de evolut ¸ie perturbat admite dichotomie exponent ¸ial˘ a atˆ at pe
R+, cˆ at ¸ si pe R−ˆ ın raport cu proiectorii
eeP+(t) =V(t,0)eeP+(0)V(0, t),
eeP−(t) =V(t,0)eeP−(0)V(0, t).
ˆIn plus, se obt ¸ine c˘ aeeP+(t)eeP−(t) =eeP−(t)eeP+(t) =eeP+(t),pentru orice t∈R,
ceea ce arat˘ a c˘ a Vadmite ( R+,R−)∗-dichotomie exponent ¸ial˘ a.

Folosind dualitatea dintre cele dou˘ a concepte de dichotomie exponent ¸ial˘ a,
are loc urm˘ atorul rezultat:
Corolarul 3.4.1 Dac a Xeste un spat iu Banach re
exiv  si operatorul de
evolut ie Uadmite (R+,R−)-dichotomie exponent ial a, iar δsatisface condit ia
din teorema precedent a, atunci operatorul de evolut ie perturbat admite de
asemenea (R+,R−)-dichotomie exponent ial a.
ˆIn urma acestui rezultat se poate pune urm˘ atoarea ˆ ıntrebare: R am^ ane
adev arat a concluzia din corolarul precedent  si ^ n spat ii Banach nere
exive ?
Urm˘ atoarea teorem˘ a d˘ a un r˘ aspuns afirmativ acestei ˆ ıntreb˘ ari.
Teorema 3.4.2 ^In orice spat iu Banach X, dac a operatorul de evolut ie U
admite (R+,R−)-dichotomie exponent ial a  si δ <4
(2N+1)2, atunci operatorul
de evolut ie perturbat admite (R+,R−)-dichotomie exponent ial a.
Demonstrat ie . Vom folosi construct ¸iile ¸ si notat ¸iile din primele dou˘ a etape
ale Teoremei 3.4.1. Consider˘ am operatorul
S(0) = Id +(
eQ+(0)−Q+(0))
−(
eQ−(0)−Q−(0))
.
Utilizˆ and acelea¸ si argumente ca ˆ ın teorema precedent˘ a, se poate ar˘ ata c˘ a
S(0) este inversabil ¸ si deci are sens s˘ a definim operatorii
eeP+(0) = S−1(0)P+(0)S(0) ¸ sieeQ+(0) = Id −eeP+(0),

3.4. Dichotomie exponent ial a mixt a 101
respectiv
eeP−(0) = S−1(0)P−(0)S(0) ¸ sieeQ−(0) = Id −eeP−(0).
Mai mult, se observ˘ a imediat c˘ a ace¸ stia sunt proiectori. Au loc relat ¸iile:
Q+(0)S(0) = Q+(0) +eQ+(0)−Q+(0) =eQ+(0)
¸ si
P−(0)S(0) = P−(0)−eQ−(0) + Q−(0) =eP−(0).
Calcul˘ am
eeP+(0)eP+(0) = (Id −S−1(0)Q+(0)S(0))eP+(0)
=eP+(0)−S−1(0)Q+(0)S(0)eP+(0)
=eP+(0)−S−1(0)eQ+(0)eP+(0)
=eP+(0)
¸ si
eP+(0)eeP+(0) = (Id −eQ+(0))(Id −S−1(0)Q+(0)S(0))
= Id−eQ+(0)−eeQ+(0) +eQ+(0)S−1(0)Q+(0)S(0)
= Id−eQ+(0)−eeQ+(0) + Q+(0)eQ+(0)
=eeP+(0).
De asemenea, avem
eeQ−(0)eQ−(0) = S−1(0)Q−(0)S(0)eQ−(0) = S−1(0) (Id −P−(0))S(0)eQ−(0)
=eQ−(0)−P−(0)S(0)eQ−(0) =eQ−(0)−eP−(0)eQ−(0)
=(
Id−eP−(0))
eQ−(0) =eQ−(0)
¸ si
eQ−(0)eeQ−(0) =(
Id−eP−(0))(
Id−S−1(0)P−(0)S(0))
= Id−eP−(0)−S−1(0)P−(0)S(0) +eP−(0)S−1(0)P−(0)S(0)
= Id−eP−(0)−eeP−(0) + P−(0)eP−(0)
= Id−eP−(0) =eQ−(0).

102 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
Aceste calcule arat˘ a c˘ a operatorul de evolut ¸ie perturbat Vadmite dichotomie
exponent ¸ial˘ a pe ambele semiaxe ˆ ın raport cu familiile de proiectori
eeP+(t) =V(t,0)eeP+(0)V(0, t),
eeP−(t) =V(t,0)eeP−(0)V(0, t).
ˆIn plus, are loc relat ¸iaeeP+(0)eeP−(0) =eeP−(0)eeP+(0) =eeP−(0), deci Vadmite
(R+,R−)-dichotomie exponent ¸ial˘ a, ceea ce ˆ ıncheie demonstrat ¸ia.

3.5 Trichotomie exponent ial a^ n sens Elaydi-H ajek
Dac˘ a dichotomia exponent ¸ial˘ a presupune existent ¸a a dou˘ a familii de
proiectori complementare, trichotomia presupune existent ¸a a trei familii de
proiectori.
ˆIn literatura de specialitate se disting dou˘ a concepte de trichotomie,
ˆ ın funct ¸ie de comport˘ arile asimptotice impuse dinamicii operatorului de
evolut ¸ie ˆ ın raport cu cele trei familii de proiectori.
Primul concept, introdus de Sacker-Sell ˆ ın [164], invoc˘ a descompunerea
spat ¸iului ˆ ın trei subspat ¸ii ˆ ınchise (varietatea stabil˘ a, varietatea instabil˘ a ¸ si
varietatea central˘ a). Cel de-al doilea concept, introdus de Elaydi-H´ ajek ˆ ın
[51], implic˘ a existent ¸a dichotomiei exponent ¸iale pe ambele semiaxe, dar cu
proiectori de structur˘ a diferit ¸i.
ˆIn acest subcapitol vom studia trichotomia exponent ¸ial˘ a de tip Elaydi-
H´ ajek, extinzˆ and acest concept ˆ ın cazul operatorilor de evolut ¸ie nereversibili
ˆ ın spat ¸ii Banach. De asemenea, plecˆ and de la subcapitolul precedent, vom
considera un nou concept de trichotomie care este dual celui prezentat de
Elaydi-H´ ajek ˆ ın [51].
Denit ia 3.5.1 FieU: ∆→ B (X) un operator de evolut ¸ie pe dreapta
real˘ a ¸ si P:R→ B (X) o familie de proiectori invariant˘ a ˆ ın raport cu U.
Spunem c˘ a Peste
•compatibil a cuUdac˘ a U(t, s)|ImP (s):ImP (s)→ImP (t) este un
izomorfism pentru orice ( t, s)∈∆;

3.5. Trichotomie exponent ial a^n sens Elaydi-H ajek 103
•compatibil a la st^ anga cuUdac˘ a U(t, s)|ImP (s):ImP (s)→ImP (t)
este un izomorfism pentru orice ( t, s)∈∆−;
•compatibil a la dreapta cuUdac˘ a U(t, s)|ImP (s):ImP (s)→ImP (t)
este un izomorfism pentru orice ( t, s)∈∆+.
ˆIn toate cele trei situat ¸ii inversul operatorului U(t, s)|ImP (s)va fi notat cu
UP(s, t),t≥s.
De¸ si not ¸iunea de compatibilitate din definit ¸ia precedent˘ a este diferit˘ a
fat ¸˘ a de cea din Definit ¸ia 3.3.3, am folosit aceea¸ si terminologie, iar ˆ ın acest
subcapitol o vom folosi pe cea de mai sus.
Denit ia 3.5.2 Trei familii de proiectori Pi:R→ B (X),i∈ {1,2,3}, se
spun suplementare dac˘ a
1.P1(t) +P2(t) +P3(t) = Id ,pentru t∈R;
2.Pi(t)Pj(t) = 0, pentru t∈R¸ sii, j∈ {1,2,3}, i̸=j.
Denit ia 3.5.3 Spunem c˘ a un operator de evolut ¸ie pe dreapta real˘ a Ueste
s- exponent ial trichotomic dac˘ a exist˘ a trei familii de proiectori suplementare
P1,P2,P3:R→ B(X) ¸ si exist˘ a constantele K≥1 ¸ siν >0 astfel ˆ ıncˆ at
l1)P1este invariant˘ a ˆ ın raport cu U;
l2)P2este compatibil˘ a cu U;
l3)P3este compatibil˘ a la stˆ anga cu U;
l4)∥U(t, s)P1(s)∥≤Ke−(t−s),pentru orice ( t, s)∈∆;
l5)∥UP2(s, t)P2(t)∥≤Ke−(t−s),pentru orice ( t, s)∈∆;
l6)∥U(t, s)P3(s)∥≤Ke−(t−s),pentru orice ( t, s)∈∆+;
l7)∥UP3(s, t)P3(t)∥≤Ke−(t−s),pentru orice ( t, s)∈∆−.
Conceptul de s-trichotomie exponent ¸ial˘ a a fost introdus ˆ ın [51] pentru
ecuat ¸ii diferent ¸ialeˆ ın spat ¸ii finit-dimensionale ¸ si generalizat mai apoiˆ ın [141]
pentru operatori de evolut ¸ie reversibili.

104 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
Remarca 3.5.1 Dac˘ a ˆ ın definit ¸ia precedent˘ a consider˘ am P3(t) = 0 pentru
orice t∈R, atunci obt ¸inem conceptul de dichotomie exponent ¸ial˘ a uniform˘ a
peR. Cu alte cuvinte, orice operator de evolut ¸ie pe dreapta real˘ a care
admite dichotomie exponent ¸ial˘ a uniform˘ a este s- exponent ¸ial trichotomic.
Exemplul 3.5.1 Operatorul de evolut ie U: ∆→ B(
R3)
denit prin
U(t, s)(x1, x2, x3) =(
e−a(t−s)x1, ea(t−s)x2, e−a(|t|−|s|)x3)
,
unde a >0, este s- exponent ial trichotomic.
Teorema 3.5.1 Un operator de evolut ie pe dreapta real a U: ∆→ B (X)
estes- exponent ial trichotomic dac a  si numai dac a exist a dou a familii de
proiectori P+, P−:R→ B(X)invariante ^ n raport cu U si exist a constantele
K≥1 siν >0astfel ^ nc^ at:
1.P+(t)P−(t) =P−(t)P+(t) =P−(t), pentru orice t∈R;
2.sup
t≤0∥P+(t)∥≤M+<∞ sisup
t≥0∥P−(t)∥≤M−<∞;
3.U(t, s)|ImQ +(s):ImQ +(s)→ImQ +(t)este un izomorsm pentru
orice (t, s)∈∆+;
4.U(t, s)|ImQ(s):ImQ −(s)→ImQ −(t)este un izomorsm pentru
orice (t, s)∈∆−;
5.∥U(t, s)P+(s)∥≤Ke−(t−s),pentru orice (t, s)∈∆+;
6.∥UQ+(s, t)Q+(t)∥≤Ke−(t−s),pentru orice (t, s)∈∆+;
7.∥U(t, s)P−(s)∥≤Ke−(t−s),pentru orice (t, s)∈∆−;
8.∥UQ(s, t)Q−(t)∥≤Ke−(t−s),pentru orice (t, s)∈∆−;
unde Q+(t) = Id −P+(t) siQ−(t) = Id −P−(t),t∈R.
Demonstrat ie .Necesitatea. Consider˘ am
P+(t) =P1(t) +P3(t) ¸ siP−(t) =P1(t),pentru t∈R.

3.5. Trichotomie exponent ial a^n sens Elaydi-H ajek 105
Este simplu de observat c˘ a au loc primele dou˘ a condit ¸ii ¸ si
Q+(t) =P2(t) ¸ siQ−(t) =P2(t) +P3(t),pentru t∈R.
Acestea implic˘ a faptul c˘ a operatorul U(t, s)|ImQ +(s):ImQ +(s)→ImQ +(t)
este un izomorfim pentru orice ( t, s)∈∆+cu inversul
UQ+(s, t) =UP2(s, t),
respectiv U(t, s)|ImQ(s):ImQ −(s)→ImQ −(t) este un izomorfim pentru
orice ( t, s)∈∆−, avˆ and inversul
UQ(s, t) =UP2(s, t)P2(t) +UP3(s, t)P3(t).
Deci,
UQ(s, t)Q−(t) =UP2(s, t)P2(t) +UP3(s, t)P3(t),pentru ( t, s)∈∆−.
Vom ar˘ ata mai ˆ ıntˆ ai c˘ a UQ(s, t) este corect definit. ˆIntr-adev˘ ar, pentru
orice x∈ImQ −(t), avem
UQ(s, t)x=UP2(s, t)P2(t)x+UP3(s, t)P3(t)x
=P2(s)UP2(s, t)P2(t)x+P3(s)UP3(s, t)P3(t)x
=P2(s)(UP2(s, t)P2(t)x+UP3(s, t)P3(t)x)+
+P3(s)(UP2(s, t)P2(t)x+UP3(s, t)P3(t)x)
=Q−(s)(UP2(s, t)P2(t)x+UP3(s, t)P3(t)x)∈ImQ −(s).
Mai mult, are loc
U(t, s)UQ(s, t)Q−(t) =Q−(t)
¸ si
UQ(s, t)U(t, s)Q−(s) =Q−(s),
pentru ( t, s)∈∆−.
Pentru ( t, s)∈∆+deducem
∥U(t, s)P+(s)∥ ≤∥ U(t, s)P1(s)∥+∥U(t, s)P3(s)∥≤2Ke−(t−s)

106 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
¸ si
∥UQ+(s, t)Q+(t)∥=∥UP2(s, t)P2(t)∥≤Ke−(t−s),
iar dac˘ a ( t, s)∈∆−, se obt ¸ine
∥U(t, s)P−(s)∥=∥U(t, s)P1(s)∥≤Ke−(t−s)
¸ si
∥UQ(s, t)Q−(t)∥ ≤∥ UP2(s, t)P2(t)∥+∥UP3(s, t)P3(t)∥≤2Ke−(t−s).
Sucient a. Definim
P1(t) =P−(t), P2(t) =Q+(t) ¸ siP3(t) =P+(t)−P−(t), t∈R.
Observ˘ am mai ˆ ıntˆ ai c˘ a
Q+(t)Q−(t) =Q−(t)Q+(t) =Q+(t) (3.56)
¸ si
P+(t)−P−(t) =P+(t)Q−(t) =Q−(t)P+(t). (3.57)
Operatorul U(t, s)|ImP 2(s):ImP 2(s)→ImP 2(t) este inversabil pentru orice
t≥s, iar din relat ¸ia (3.56) se obt ¸ine
UP2(s, t)P2(t) =

UQ+(s, t)Q+(t), dac˘ a t≥s≥0,
Q+(s)UQ(s, t)Q−(t)Q+(t), dac˘ a 0 ≥t≥s,
Q+(s)UQ(s,0)Q−(0)UQ+(0, t)Q+(t),dac˘ a t≥0≥s.
De asemenea, U(t, s)|ImP 3(s):ImP 3(s)→ImP 3(t) este inversabil pentru
orice ( t, s)∈∆ cu 0 ≥t≥s¸ si, din relat ¸ia (3.57), deducem
UP3(s, t)P3(t) =P+(s)UQ(s, t)Q−(t)P+(t).
Verific˘ am acum inegalit˘ at ¸ile din Definit ¸ia 3.5.3, considerˆ and trei cazuri:
1) Dac˘ a t≥s≥0, atunci
∥U(t, s)P1(s)∥=∥U(t, s)P+(s)P−(s)∥≤M−Ke−(t−s)
∥UP2(s, t)P2(t)∥=∥UQ+(s, t)Q+(t)∥≤Ke−(t−s)
∥U(t, s)P3(s)∥=∥U(t, s)P+(s)Q−(s)∥≤(1 +M−)Ke−(t−s).

3.5. Trichotomie exponent ial a^n sens Elaydi-H ajek 107
2) Pentru 0 ≥t≥s, se obt ¸ine
∥U(t, s)P1(s)∥=∥U(t, s)P−(s)∥≤Ke−(t−s)
∥UP2(s, t)P2(t)∥ ≤∥ Q+(s)∥∥UQ(s, t)Q−(t)∥∥Q+(t)∥
≤(1 +M+)2Ke−(t−s)
∥UP3(s, t)P3(t)∥ ≤∥ P+(s)∥∥UQ(s, t)Q−(t)∥∥P+(t)∥
≤M2
+Ke−(t−s).
3) Dac˘ a t≥0≥s, atunci rezult˘ a
∥U(t, s)P1(s)∥=∥U(t, s)P−(s)∥=∥U(t,0)P+(0)U(0, s)P−(s)∥
≤∥U(t,0)P+(0)∥∥U(0, s)P−(s)∥
≤Ke−tKes
=K2e−(t−s)
¸ si
∥UP2(s, t)P2(t)∥ ≤∥ Q+(s)∥∥UQ(s,0)Q−(0)∥∥UQ+(0, t)Q+(t)∥
≤(1 +M+)KesKe−t
= (1 + M+)K2e−(t−s).

Plecˆ and de la acest rezultat, avem o conexiune clar˘ a ˆ ıntre dichotomia
exponent ¸ial˘ a uniform˘ a pe ambele semiaxe ¸ si existent ¸a a trei proiectori, i.e.
trichotomie.
Teorema 3.5.2 Un operator de evolut ie pe dreapta real a U: ∆→ B (X)
estes- exponent ial trichotomic dac a  si numai dac a exist a dou a familii de
proiectori P, Q :R→ B(X)invariante ^ n raport cu U si exist a constantele
K≥1 siν >0astfel ^ nc^ at:
1.P(t) +Q(t)−P(t)Q(t) = Id  siP(t)Q(t) =Q(t)P(t), pentru t∈R;
2.sup
t≤0∥P(t)∥≤M1<∞ sisup
t≥0∥Q(t)∥≤M2<∞;

108 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
3.U(t, s)|Im(Id−P(s)):Im(Id−P(s))→Im(Id−P(t))este un izomorsm
pentru orice (t, s)∈∆cut≥0;
4.U(t, s)|ImQ (s):ImQ (s)→ImQ (t)este un izomorsm pentru orice
(t, s)∈∆−;
5.∥U(t, s)P(s)∥≤Ke−(t−s),pentru (t, s)∈∆+;
6.∥UId−P(s, t)(Id−P(t))∥≤Ke−(t−s),pentru (t, s)∈∆cut≥0;
7.∥U(t, s)(Id−Q(s))∥≤Ke−(t−s),pentru (t, s)∈∆cus≤0;
8.∥UQ(s, t)Q(t)∥≤Ke−(t−s),pentru (t, s)∈∆−.
Demonstrat ie .Necesitatea. Consider˘ am
P(t) =P1(t) +P3(t) ¸ siQ(t) =P2(t) +P3(t),pentru t∈R.
Este simplu de observat c˘ a P(t)Q(t) =Q(t)P(t) =P3(t). Deci,
P(t) +Q(t)−P(t)Q(t) = Id .
Pe de alt˘ a parte, cum Id −P(t) =P2(t), se obt ¸ine c˘ a U(t, s)|Im(Id−P(s))este
un izomorfism de la Im(Id−P(s)) la Im(Id−P(t)) pentru orice ( t, s)∈∆
cut≥0 ¸ si are loc
UId−P(s, t) =UP2(s, t).
Folosind acelea¸ si argumente ca ˆ ın Teorema 3.5.1, rezult˘ a c˘ a U(t, s)|ImQ (s)
este un izomorfim de la ImQ (s) laImQ (t) pentru ( t, s)∈∆−¸ si
UQ(s, t)Q(t) =UP2(s, t)P2(t) +UP3(s, t)P3(t).
Pentru ( t, s)∈∆+, avem
∥U(t, s)P(s)∥ ≤∥ U(t, s)P1(s)∥+∥U(t, s)P3(s)∥≤2Ke−(t−s),
iar pentru ( t, s)∈∆−, se obt ¸ine
∥UQ(s, t)Q(t)∥ ≤∥ UP2(s, t)P2(t)∥+∥UP3(s, t)P3(t)∥≤2Ke−(t−s).

3.5. Trichotomie exponent ial a^n sens Elaydi-H ajek 109
Dac˘ a ( t, s)∈∆ cu t≥0, atunci
∥UId−P(s, t)(Id−P(t))∥=∥UP2(s, t)P2(t)∥≤Ke−(t−s),
iar dac˘ a ( t, s)∈∆ cu s≤0, atunci
∥U(t, s)(Id−Q(s))∥=∥U(t, s)P1(s)∥≤Ke−(t−s).
Sucient a. Consider˘ am
P1(t) = Id −Q(t), P2(t) = Id −P(t) ¸ siP3(t) =P(t)Q(t),pentru t∈R.
Observ˘ am c˘ a Id −P(t) =Q(t)(Id−P(t)) = (Id −P(t))Q(t),t∈R. Este
simplu de observat acum c˘ a U(t, s)|ImP 2(s):ImP 2(s)→ImP 2(t) este un
izomorfism pentru t≥s¸ si
UP2(s, t)P2(t) =

UId−P(s, t)(Id−P(t)), t≥scut≥0,
(Id−P(s))UQ(s, t)Q(t)(Id−P(t)),0≥t≥s.
La fel, restrict ¸ia U(t, s)|ImP 3(s):ImP 3(s)→ImP 3(t) este un izomorfism
pentru ( t, s)∈∆−¸ si
UP3(s, t)P3(t) =P(s)UQ(s, t)Q(t)P(t).
Fie (t, s)∈∆. Dac˘ a t≥s≥0, atunci
∥U(t, s)P1(s)∥=∥U(t, s)(Id−Q(s))∥=∥U(t, s)P(s)(Id−Q(s))∥
≤∥U(t, s)P(s)∥∥Id−Q(s)∥
≤(1 +M2)Ke−(t−s)
∥UP2(s, t)P2(t)∥=∥UId−P(s, t)(Id−P(t))∥≤Ke−(t−s)
∥U(t, s)P3(s)∥ ≤∥ U(t, s)P(s)∥∥Q(s)∥≤M2Ke−(t−s).
Dac˘ a 0 ≥t≥s, atunci
∥U(t, s)P1(s)∥=∥U(t, s)(Id−Q(s))∥≤Ke−(t−s)
∥UP2(s, t)P2(t)∥ ≤∥ Id−P(s)∥∥UQ(s, t)Q(t)∥∥Id−P(t)∥
≤(1 +M1)2Ke−(t−s)
∥UP3(s, t)P3(t)∥ ≤∥ P(s)∥∥UQ(s, t)Q(t)∥∥P(t)∥≤M2
1Ke−(t−s).

110 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
ˆIn final, dac˘ a t≥0≥s, atunci
∥U(t, s)P1(s)∥=∥U(t, s)(Id−Q(s))∥≤Ke−(t−s)
∥UP2(s, t)P2(t)∥=∥UId−P(s, t)(Id−P(t))∥≤Ke−(t−s).
Deci, Uestes- exponent ¸ial trichotomic.

Un concept de trichotomie dual celui considerat ˆ ın Definit ¸ia 3.5.3 este
dat mai jos:
Denit ia 3.5.4 Spunem c˘ a un operator de evolut ¸ie pe dreapta real˘ a Ueste
d- exponent ial trichotomic dac˘ a exist˘ a trei familii de proiectori suplementare
P1,P2,P3:R→ B(X) ¸ si exist˘ a constantele K≥1 ¸ siν >0 astfel ˆ ıncˆ at
r1)P1este invariant˘ a ˆ ın raport cu U;
r2)P2este compatibil˘ a cu U;
r3)P3este compatibil˘ a la dreapta cu U;
r4)∥U(t, s)P1(s)∥≤Ke−(t−s),pentru orice ( t, s)∈∆;
r5)∥UP2(s, t)P2(t)∥≤Ke−(t−s),pentru orice ( t, s)∈∆;
r6)∥U(t, s)P3(s)∥≤Ke−(t−s),pentru orice ( t, s)∈∆−;
r7)∥UP3(s, t)P3(t)∥≤Ke−(t−s),pentru orice ( t, s)∈∆+.
Remarca 3.5.2 La fel ca ˆ ın cazul s- trichotomiei exponent ¸iale, dac˘ a ˆ ın
definit ¸ia precedent˘ a consider˘ am P3(t) = 0 pentru orice t∈R, atunci obt ¸inem
conceptul de dichotomie exponent ¸ial˘ a uniform˘ a pe R. Cu alte cuvinte, orice
operator de evolut ¸ie pe dreapta real˘ a care admite dichotomie exponent ¸ial˘ a
uniform˘ a este d- exponent ¸ial trichotomic.
Exemplul 3.5.2 Operatorul de evolut ie U: ∆→ B(
R3)
denit prin
U(t, s)(x1, x2, x3) =(
e−a(t−s)x1, ea(t−s)x2, ea(|t|−|s|)x3)
,
unde a >0, este d- exponent ial trichotomic.

3.5. Trichotomie exponent ial a^n sens Elaydi-H ajek 111
Procedˆ and la fel ca ˆ ın Teorema 3.5.1 ¸ si Teorema 3.5.2, se obt ¸ine:
Teorema 3.5.3 FieU: ∆→ B (X)un operator de evolut ie pe dreapta
real a. Urm atoarele armat ii sunt echivalente:
(i)Uested- exponent ¸ial trichotomic;
(ii) Exist˘ a dou˘ a familii de proiectori P+, P−:R→ B (X) invariante ˆ ın
raport cu U¸ si exist˘ a constantele K≥1 ¸ siν >0 astfel ˆ ıncˆ at:
1.P+(t)P−(t) =P−(t)P+(t) =P+(t), pentru t∈R;
2.sup
t≤0∥P+(t)∥≤M+<∞¸ si sup
t≥0∥P−(t)∥≤M−<∞;
3.U(t, s)|ImQ +(s):ImQ +(s)→ImQ +(t) este un izomorfism pentru orice
(t, s)∈∆+;
4.U(t, s)|ImQ(s):ImQ −(s)→ImQ −(t) este un izomorfism pentru orice
(t, s)∈∆−;
5.∥U(t, s)P+(s)∥≤Ke−(t−s),pentru ( t, s)∈∆+;
6.∥UQ+(s, t)Q+(t)∥≤Ke−(t−s),pentru ( t, s)∈∆+;
7.∥U(t, s)P−(s)∥≤Ke−(t−s),pentru ( t, s)∈∆−;
8.∥UQ(s, t)Q−(t)∥≤Ke−(t−s),pentru ( t, s)∈∆−;
unde Q+(t) = Id −P+(t) ¸ siQ−(t) = Id −P−(t),t∈R;
(iii) Exist˘ a dou˘ a familii de proiectori P, Q :R→ B (X) invariante ˆ ın
raport cu U¸ si exist˘ a constantele K≥1 ¸ siν >0 astfel ˆ ıncˆ at:
1.P(t)Q(t) =Q(t)P(t) = 0, pentru t∈R;
2.sup
t≤0∥P(t)∥≤M1<∞¸ si sup
t≥0∥Q(t)∥≤M2<∞;
3.U(t, s)|Im(Id−P(s)):Im(Id−P(s))→Im(Id−P(t)) este un izomorfism
pentru orice ( t, s)∈∆+;
4.U(t, s)|ImQ (s):ImQ (s)→ImQ (t) este un izomorfism pentru orice
(t, s)∈∆ cu s≤0;

112 Capitolul 3. Comport ari asimptotice neuniforme
5.∥U(t, s)P(s)∥≤Ke−(t−s),pentru ( t, s)∈∆ cu t≥0;
6.∥UId−P(s, t)(Id−P(t))∥≤Ke−(t−s),pentru ( t, s)∈∆+;
7.∥U(t, s)(Id−Q(s))∥≤Ke−(t−s),pentru ( t, s)∈∆−;
8.∥UQ(s, t)Q(t)∥≤Ke−(t−s),pentru ( t, s)∈∆ cu s≤0.
Teorema precedent˘ a motiveaz˘ a ˆ ınc˘ a o dat˘ a dualitatea dintre cele dou˘ a
concepte de trichotomie de tip Elaydi-H´ ajek considerate mai sus.

Bibliograe
[1]A.I. Alonso, Jialin Hong, R. Obaya, Exponential dichotomy and tri-
chotomy for difference equations, Comput. Math. Appl. 38(1999),
41-49.
[2]J. Appell, O.W. Diallo, P.P. Zabrejko, On linear integro-differential
equations of Barbashin type in spaces of continuous and measurable
functions, J. Integral Equations Appl. 1(1988), 227-248.
[3]J. Appell, V. Lakshmikantham, Nguyen Van Minh, P.P. Zabreiko, A
general model of evolutionary processes. Exponential dichotomy-I, II,
Nonlinear Anal. 21(1993), 207-218, 219-225.
[4]B. Aulbach, Nguyen Van Minh, Nonlinear semigroups and the exis-
tence and stability of solutions of semilinear nonautonomous evolution
equations, Abstr. Appl. Anal. 1(1996), 351-380.
[5]E.A. Barbashin, Introduction to Stability Theory [in Russian], Nauka,
Moscow, 1967.
[6]L. Barreira, Ya.B. Pesin, Lyapunov Exponents and Smooth Ergodic
Theory, Univ. Lecture Ser., Vol. 23, Amer. Math. Soc., Providence,
RI., 2002.
[7]L. Barreira, C. Valls, Stability of Nonautonomous Differential Equa-
tions, Lecture Notes in Math., Vol. 1926 , Springer, 2008.
113

114 BIBLIOGRAFIE
[8]L. Barreira, C. Valls, Robustness of nonuniform exponential di-
chotomies in Banach spaces, J. Differential Equations 244 (2008),
2407-2447.
[9]L. Barreira, C. Valls, Optimal estimates along stable manifolds of
non-uniformly hyperbolic dynamics, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect.
A138 (2008), 693-717.
[10] L. Barreira, C. Valls, Robustness of nonuniform exponential tri-
chotomies in Banach spaces, J. Math. Anal. Appl. 351(2009), 373-381.
[11] L. Barreira, C. Valls, Quadratic Lyapunov functions and nonuniform
exponential dichotomies, J. Differential Equations 246 (2009), 1235-
1263.
[12] L. Barreira, C. Valls, Robustness via Lyapunov functions, J. Differen-
tial Equations 246 (2009), 2891-2907.
[13] L. Barreira, C. Valls, Existence of nonuniform exponential dichotomies
and a Fredholm alternative, Nonlinear Anal. 71(2009), 5220-5228.
[14] L. Barreira, C. Valls, Robustness of discrete dynamics via Lyapunov
sequences, Comm. Math. Phys. 290 (2009), 219-238.
[15] L. Barreira, C. Valls, Lyapunov functions for trichotomies with growth
rates, J. Differential Equations 248 (2010), 151-183.
[16] S. Bˆ arz˘ a, C. Bu¸ se, J. Peˇ cari´ c, New characterizations of asymptotic sta-
bility for evolution families on Banach spaces, Electron. J. Differential
Equations, Vol. 2004 (2004), No. 38, pp. 1-9.
[17] C.J.K. Batty, R. Chill, Y. Tomilov, Strong stability of bounded evo-
lution families and semigroups, J. Funct. Anal. 193 (2002), 116-139.
[18] L. Biri¸ s, On uniform exponential instability property of evolution oper-
ators in Banach spaces, An. Univ. Timi¸ soara Ser. Mat.-Inform. XLVII
(2009), 3-8.

BIBLIOGRAFIE 115
[19] C. Bu¸ se, On nonuniform exponential stability of evolutionary process,
Rend. Sem. Mat. Univ. Politec. Torino 52(1994), 395-406.
[20] C. Bu¸ se, Comport˘ ari asimptotice ale proceselor evolutive, Ed. Sedona,
Timi¸ soara, 1998.
[21] C. Bu¸ se, Semigrupuri liniare pe spat ¸ii Banach ¸ si semigrupuri de
evolut ¸ie pe spat ¸ii de funct ¸ii aproape periodice, Ed. Eubeea, Timi¸ soara,
2003.
[22] C. Bu¸ se, A characterization of exponential stability for periodic evo-
lution families in terms of lower semicontinuous functionals, Electron.
J. Qual. Theory Differ. Equ. 5(2004), 1-7.
[23] C. Bu¸ se, Real integrability conditions for the nonuniform exponential
stability of evolution families on Banach spaces, Internat. Ser. Numer.
Math. 157 (2009), 31-42.
[24] C. Bu¸ se, D. Barbu, The Lyapunov equations and nonuniform expo-
nential stability, Stud. Cerc. Mat. 49(1997), 25-31.
[25] C. Bu¸ se, N.S. Barnett, P. Cerone, S.S. Dragomir, Integral characteri-
zations for exponential stability of semigroups and evolution families
on Banach spaces, Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 13(2006),
345-353.
[26] C. Bu¸ se, P. Cerone, S.S. Dragomir, A. Sofo, Uniform stability of pe-
riodic discrete systems in Banach spaces, J. Difference Equ. Appl. 11
(2005), 1081-1088.
[27] C. Bu¸ se, A.D.R. Choudary, S.S. Dragomir, M.S. Prajea, On uniform
exponential stability of exponentially bounded evolution families, In-
tegral Equations Operator Theory 61(2008), 325-340.
[28] C. Bu¸ se, S.S. Dragomir, A new proof for a Rolewicz¸ s type theorem:
An evolution semigroup approach, Electron. J. Differential Equations,
Vol.2001 (2001), No. 45, pp. 1-5.

116 BIBLIOGRAFIE
[29] C. Bu¸ se, S.S. Dragomir, A theorem of Rolewicz¸ s type for measurable
evolution families in Banach spaces, Electron. J. Differential Equa-
tions, Vol. 2001 (2001), No. 70, pp. 1-5.
[30] C. Bu¸ se, M. Megan, M.S. Prajea, P. Preda, The strong variant of a
Barbashin theorem on stability of solutions for non-autonomous differ-
ential equations in Banach spaces, Integral Equations Operator The-
ory59(2007), 491-500.
[31] C. Bu¸ se, C.P. Niculescu, A condition of uniform exponential stability
for semigroups, Math. Inequal. Appl. 11(2008), 529-536.
[32] C. Bu¸ se, C.P. Niculescu, An ergodic characterization of uniformly
exponentially stable evolution families, Bull. Math. Soc. Sci. Math.
Roumanie 52(2009), 33-40.
[33] C. Bu¸ se, C.P. Niculescu, J. Peˇ cari´ c, Asymptotic stability and integral
inequalities for solutions of linear systems on Radon-Nikod´ ym spaces,
Math. Inequal. Appl. 8(2005), 347-356.
[34] C. Bu¸ se, A. Pogan, Individual exponential stability for evolution fami-
lies of linear and bounded operators, New Zealand J. Math. 30(2001),
15-24.
[35] Y.H. Chang, G.C. Jau, Trichotomies for abstract semilinear differen-
tial equations, J. Math. Anal. Appl. 275 (2002), 312-332.
[36] C. Chicone, Y. Latushkin, Evolution Semigroups in Dynamical Sys-
tems and Differential Equations, Math. Surveys Monogr., Vol. 70,
Amer. Math. Soc., Providence, RI., 1999.
[37] C. Chil˘ arescu, A. Pogan, C. Preda, A characterization of the expo-
nential stability of evolutionary processes in terms of the admissibilty
of Orlicz spaces, Rend. Sem. Mat. Univ. Politec. Torino 63(2005),
169-178.
[38] S.K. Choi, N.J. Koo, S. Dontha, Asymptotic property in variation for
nonlinear differential systems, Appl. Math. Lett. 18(2005), 117-126.

BIBLIOGRAFIE 117
[39] S.N. Chow, H. Leiva, Dynamical spectrum for time dependent linear
systems in Banach spaces, Japan J. Indust. Appl. Math. 11(1994),
379-415.
[40] S.N. Chow, H. Leiva, Existence and roughness of the exponential di-
chotomy for skew-product semiflow in Banach spaces, J. Differential
Equations 120 (1995), 429-477.
[41] S.N. Chow, H. Leiva, Two definitions of exponential dichotomy for
skew-product semiflow in Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 124
(1996), 1071-1081.
[42] S.N. Chow, H. Leiva, Unbounded perturbation of the exponential di-
chotomy for evolution equations, J. Differential Equations 129(1996),
509-531.
[43] W.A. Coppel, Dichotomies in Stability Theory, Lecture Notes in
Math., Vol. 629, Springer, 1978.
[44] Ju.L. Daleckiˇ ı, M.G. Kreˇ ın, Stability of Solutions of Differential Equa-
tions in Banach Space, Transl. Math. Monogr., Vol. 43, Amer. Math.
Soc., Providence, RI., 1974.
[45] R. Datko, Extending a theorem of A.M. Liapunov to Hilbert space, J.
Math. Anal. Appl. 32(1970), 610-616.
[46] R. Datko, Uniform asymptotic stability of evolutionary processes in a
Banach space, SIAM J. Math. Anal. 3(1972), 428-445.
[47] L. Dieci, C. Elia, E. Van Vleck, Exponential dichotomy on the real
line: SVD and QR methods, J. Differential Equations 248 (2010),
287-308.
[48] N.H. Du, L.H. Tien, On the exponential stability of dynamic equations
on time scales, J. Math. Anal. Appl. 331 (2007), 1159-1174.
[49] N. Dunford, J.T. Schwartz, Linear Operators, Part I: General Theory,
Pure Appl. Math. (N.Y.), Vol. VII, Wiley-Interscie., Hoboken, NJ.,
1958.

118 BIBLIOGRAFIE
[50] T. Eisner, B. Farkas, Weak stability for orbits of C0-semigroups on
Banach spaces, in: H. Amann, W. Arendt, M. Hieber, F. Neubrander,
S. Nicaise, J. von Below (Eds): Functional Analysis and Evolution
Equations. The G¨ unter Lumer Volume, pp. 201-208, Birkh¨ auser Verlag
Basel/Switzerland, 2007.
[51] S. Elaydi, O. Hajek, Exponential trichotomy of differential systems, J.
Math. Anal. Appl. 129 (1988), 362-374.
[52] S. Elaydi, O. Hajek, Exponential dichotomy and trichotomy of non-
linear differential equations, Differential Integral Equations 3(1990),
1201-1224.
[53] K.J. Engel, R. Nagel, One-Parameter Semigroups for Linear Evolution
Equations, Grad. Texts in Math., Vol. 194, Springer, 2000.
[54] B.Z. Guo, H. Zwart, On the relation between stability of continuous-
and discrete-time evolution equations via the Cayley transform, Inte-
gral Equations Operator Theory 54(2006), 349-383.
[55] Pham Viet Hai, Continuous and discrete characterizations for the uni-
form exponential stability of linear skew-evolution semiflows, Nonlin-
ear Anal. 72(2010), 4390-4396.
[56] L. Hatvani, On the asymptotic stability for functional differential
equations by Lyapunov functionals, Nonlinear Anal. 47 (2001), 4333-
4343.
[57] L. Hatvani, On the asymptotic stability for nonautonomous functional
differential equations by Lyapunov functionals, Trans. Amer. Math.
Soc.354 (2002), 3555-3571.
[58] E. Hille, R.S. Phillips, Functional Analysis and Semi-Groups, Amer.
Math. Soc. Colloq. Publ., Vol. 31, Amer. Math. Soc., Providence, RI.,
1957.

BIBLIOGRAFIE 119
[59] D. Hinrichsen, A. Ilchmann, A.J. Pritchard, Robustness of stability
of time-varying linear systems, J. Differential Equations 82(1989),
219-250.
[60] Jialin Hong, Exponential trichotomy and uniformly characteristic ex-
ponents of differential systems, Ann. Differential Equations 7(1991),
272-277.
[61] Jialin Hong, Exponential trichotomies and Fredholm operators, Ann.
Differential Equations 9(1993), 37-43.
[62] Jialin Hong, R. Obaya, A.S. Gil, Exponential trichotomy and a class of
ergodic solutions of differential equations with ergodic perturbations,
Appl. Math. Lett. 12(1999), 7-13.
[63] Jialin Hong, R. Obaya, A. Sanz, Existence of a class of ergodic so-
lutions implies exponential trichotomy, Appl. Math. Lett. 12(1999),
43-45.
[64] N.T. Huy, Exponentially dichotomous operators and exponential di-
chotomy of evolution equations on the half-line, Integral Equations
Operator Theory 48(2004), 497-510.
[65] N.T. Huy, Exponential dichotomy of evolution equations and admis-
sibility of function spaces on a half-line, J. Funct. Anal. 235 (2006),
330-354.
[66] N.T. Huy, Existence and robustness of exponential dichotomy of lin-
ear skew-product semiflows over semiflows, J. Math. Anal. Appl. 333
(2007), 731-752.
[67] N.T. Huy, Stable manifolds for semi-linear evolution equations and
admissibility of function spaces on a half-line, J. Math. Anal. Appl.
354 (2009), 372-386.
[68] N.T. Huy, Nguyen Van Minh, Exponential dichotomy of difference
equations and applications to evolution equations on the half-line,
Comput. Math. Appl. 42(2001), 301-311.

120 BIBLIOGRAFIE
[69] A. Ichikawa, Equivalence of Lpstability and exponential stability for
a class of nonlinear semigroups, Nonlinear Anal. 8(1984), 805-815.
[70] N. Ju, S. Wiggins, On roughness of exponential dichotomy, J. Math.
Anal. Appl. 262 (2001), 39-49.
[71] M.A. Kaashoek, S.M. Verduyn Lunel, An integrability condition on
the resolvent for hyperbolicity of the semigroup, J. Differential Equa-
tions 112 (1994), 374-406.
[72] Y. Latushkin, S. Montgomery-Smith, T. Randolph, Evolutionary
semigroups and dichotomy of linear skew-product flows on locally com-
pact spaces with Banach fibers, J. Differential Equations 125 (1996),
73-116.
[73] Y. Latushkin, A. Pogan, The dichotomy theorem for evolution bi-
families, J. Differential Equations 245 (2008), 2267-2306.
[74] Y. Latushkin, A. Pogan, R. Schnaubelt, Dichotomy and Fredholm
properties of evolution equations, J. Operator Theory 58(2007), 387-
414.
[75] Y. Latushkin, T. Randolph, R. Schnaubelt, Exponential dichotomy
and mild solutions of nonautonomous equations in Banach spaces, J.
Dynam. Differential Equations 10(1998), 489-510.
[76] Y. Latushkin, R. Schnaubelt, Evolution semigroups, translation alge-
bras and exponential dichotomy of cocycles, J. Differential Equations
159 (1999), 321-369.
[77] H. Leiva, H.M. Rodrigues, Relative asymptotic equivalence of evolu-
tion equations, Nonlinear Anal. 47(2001), 4579-4590.
[78] B.M. Levitan, V.V. Zhikov, Almost Periodic Functions and Differen-
tial Equations, Cambridge Univ. Press, 1983.
[79] W. Littman, A generalization of a theorem of Datko and Pazy, Lecture
Notes in Control and Inform. Sci. 130 (1989), 318-323.

BIBLIOGRAFIE 121
[80] M. Lizana, Roughness of ( µ1;µ2)-dichotomies under small perturba-
tions in L∞, Divulg. Mat. 6(1998), 133-138.
[81] N. Lupa, On exponential instability of evolution operators in Banach
spaces, Proceedings of the Twelfth Symposium of Mathematics and
its Applications, 140-146, Ed. Politeh., Timi¸ soara, 2010.
[82] N. Lupa, Necessary and sufficient conditions for weak exponential in-
stability of evolution operators, Int. J. Pure Appl. Math. 62(2010),
no. 3, 263-273.
[83] N. Lupa, On a concept of nonuniform exponential instability of evolu-
tion operators in Banach spaces, Int. J. Open Problems Compt. Math.
3(2010), no. 5, 98-105.
[84] N. Lupa, Roughness of ( Z+,Z−)–nonuniform exponential dichotomy
for difference equations in Banach spaces, Sci. World J., Vol. 2014 ,
Article ID 819046, 6 pages, 2014.
[85] N. Lupa, M. Megan, A note on existence and uniqueness of the per-
turbed evolution family in Banach spaces, Proceedings of the Inter-
national Conference on Theory and Applications of Mathematics and
Informatics, ICTAMI 2011, Alba Iulia, in: Acta Univ. Apulensis Math.
Inform., Special Issue, pp. 341-348, Aeternitas Publishing House, 2011.
[86] N. Lupa, M. Megan, Rolewicz type theorems for nonuniform exponen-
tial stability of evolution operators on the half-line, Proceedings of the
23rd International Conference on Operator Theory, Timisoara, 2010,
in: An Operator Theory Summer, pp. 63-68, Theta, 2012.
[87] N. Lupa, M. Megan, Generalized exponential trichotomies for abstract
evolution operators on the real line, J. Funct. Spaces Appl., Vol. 2013 ,
Article ID 409049, 8 pages, 2013.
[88] N. Lupa, M. Megan, Exponential dichotomies of evolution operators
in Banach spaces, Monatsh. Math. 174 (2014), 265-284.

122 BIBLIOGRAFIE
[89] N. Lupa, M. Megan, I.-L. Popa, On weak exponential stability of evo-
lution operators in Banach spaces, Nonlinear Anal. 73(2010), 2445-
2450.
[90] N. Lupa, I.-L. Popa, On a concept of exponential stability in Banach
spaces, Proceedings of the International Symposium Research and Ed-
ucation in an Innovation Era, Second Edition, pp. 70-77, 2008, ISSN
2065-2569.
[91] N. Lupa, I.-L. Popa, On exponential stability of linear skew-evolution
semiflows in Banach spaces, Proceedings of the 5th International Con-
ference ”Dynamical Systems and Applications”, in: Ovidius University
Annals Series: Civil Engineering, Vol. 1, Special Issue 11, 2009, pp.
175-184.
[92] M. Malisoff, F. Mazenc, Constructions of Strict Lyapunov Functions,
Comm. Control Engrg. Ser., Springer, 2009.
[93] L. Maniar, Robustness of asymptotic properties of evolution families
under perturbations, Differential Integral Equations 17(2004), 1309-
1319.
[94] J.L. Massera, J.J. Sch¨ affer, Linear Differential Equations and Func-
tion Spaces, Pure Appl. Math., Vol. 21, Academic Press, New York-
London, 1966.
[95] J.L. Massera, J.J. Sch¨ affer, Linear differential equations and functional
analysis, Ann. of Math. 67(1958), 517-573.
[96] S. Matucci, The lptrichotomy for difference systems and applications,
Arch. Math. (Brno) 36(2000), 519-529.
[97] C. van der Mee, Nonautonomous exponential dichotomy, Integral
Equations Operator Theory 59(2007), 591-596.
[98] M. Megan, C. Bu¸ se, On uniform exponential dichotomy of observable
evolution operators, Rend. Sem. Mat. Univ. Politec. Torino 50(1992),
183-194.

BIBLIOGRAFIE 123
[99] M. Megan, C. Buse, Dichotomies and Lyapunov functions in Banach
spaces, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie 37(1993), 103-114.
[100] M. Megan, R. Latcu, Exponential dichotomy of evolution operators in
Banach spaces, Proceedings of the First Franco-Romanian Conference
on Optimization, Optimal Control and Partial Differential Equations,
in: Internat. Ser. Numer. Math., Vol. 107 (1992), 47-52.
[101] M. Megan, D.R. Latcu, On uniform exponential N-dichotomy, Ann.
Math. Blaise Pascal 1(1994), 33-41.
[102] M. Megan, A. Pogan, On exponential h-expansiveness of semigroups
of operators in Banach spaces, Nonlinear Anal. 52(2003), 545-556.
[103] M. Megan, P. Preda, On exponential dichotomy in Banach spaces,
Bull. Austral. Math. Soc. 23(1981), 293-306.
[104] M. Megan, A.L. Sasu, B. Sasu, Nonuniform exponential unstability of
evolution operators in Banach spaces, Glas. Mat. Ser. III 36(2001),
287-295.
[105] M. Megan, A.L. Sasu, B. Sasu, Perron conditions and uniform expo-
nential stability of linear skew-product semiflows on locally compact
spaces, Acta. Math. Univ. Comenian. LXX (2001), 229-240.
[106] M. Megan, A.L. Sasu, B. Sasu, On uniform exponential stability of
linear skew-product semiflows in Banach spaces, Bull. Belg. Math.
Soc. Simon Stevin 9(2002), 143-154.
[107] M. Megan, A.L. Sasu, B. Sasu, Discrete admissibility and exponential
dichotomy for evolution families, Discrete Contin. Dyn. Syst. 9(2003),
383-397.
[108] M. Megan, A.L. Sasu, B. Sasu, Banach function spaces and exponen-
tial instability of evolution families, Arch. Math. (Brno) 39(2003),
277-286.

124 BIBLIOGRAFIE
[109] M. Megan, A.L. Sasu, B. Sasu, The Asymptotic Behaviour of Evolu-
tion Families, Ed. Mirton, 2003.
[110] M. Megan, A.L. Sasu, B. Sasu, Perron conditions for pointwise and
global exponential dichotomy of linear skew-product flows, Integral
Equations Operator Theory 50(2004), 489-504.
[111] M. Megan, B. Sasu, A.L. Sasu, On uniform exponential stability of
evolution families, Riv. Mat. Univ. Parma (6) 4(2001), 27-43.
[112] M. Megan, B. Sasu, A.L. Sasu, On nonuniform exponential dichotomy
of evolution operators in Banach spaces, Integral Equations Operator
Theory 44(2002), 71-78.
[113] M. Megan, C. Stoica, Exponential instability of skew-evolution semi-
flows in Banach spaces, Stud. Univ. Babe¸ s-Bolyai Math. LIII (2008),
17-24.
[114] M. Megan, C. Stoica, On uniform exponential trichotomy of evolution
operators in Banach spaces, Integral Equations Operator Theory 60
(2008), 499-506.
[115] O. M´ endez, L.H. Popescu, On admissible perturbations for exponential
dichotomy, J. Math. Anal. Appl. 337 (2008), 425-430.
[116] Nguyen Van Minh, J. Wu, Invariant manifolds of partial functional
differential equations, J. Differential Equations 198 (2004), 381-421.
[117] Nguyen Van Minh, F. R¨ abiger, R. Schnaubelt, Exponential stabil-
ity, exponential expansiveness and exponential dichotomy of evolution
equations on the half-line, Integral Equations Operator Theory 32
(1998), 332-353.
[118] J.S. Muldowney, Dichotomies and asymptotic behavior for linear dif-
ferential systems, Trans. Amer. Math. Soc. 283 (1984), 465-484.
[119] R. Nagel, G. Nickel, Wellposedness for nonautonomous abstract
Cauchy problems, in: Progr. Nonlinear Differential Equations Appl.,
Vol.50(2002), 279-293.

BIBLIOGRAFIE 125
[120] R. Naulin, A remark on exponential dichotomies, Rev. Colombiana
Mat. 33(1999), 9-13.
[121] R. Naulin, M. Pinto, Roughness of (h,k)-dichotomies, J. Differential
Equations 118 (1995), 20-35.
[122] R. Naulin, M. Pinto, Admissible perturbations of exponential di-
chotomy roughness, Nonlinear Anal. 31(1998), 559-571.
[123] J.M.A.M. van Neerven, Exponential stability of operators and opera-
tor semigroups, J. Funct. Anal. 130 (1995), 293-309.
[124] J.M.A.M. van Neerven, Characterization of exponential stability of a
semigroup of operators in terms of its action by convolution on vector-
valued function spaces over R+, J. Differential Equations 124 (1996),
324-342.
[125] J.M.A.M. van Neerven, Lower semicontinuity and the theorem of
Datko and Pazy, Integral Equations Operator Theory 42(2002), 482-
492.
[126] J.M.A.M. van Neerven, On individual stability of C0-semigroups,
Proc. Amer. Math. Soc. 130 (2002), 2325-2333.
[127] D.G. Obert, Examples and bounds in the general case of exponential
dichotomy roughness, J. Math. Anal. Appl. 174 (1993), 231-241.
[128] K.J. Palmer, Exponential dichotomies and Fredholm operators, Proc.
Amer. Math. Soc. 104 (1988), 149-156.
[129] K.J. Palmer, Exponential dichotomy and expansivity, Ann. Mat. Pura
Appl. 185 (2006), S171-S185.
[130] V. Pata, A remark on the decay of strongly continuous semigroups of
bounded linear operators, Rendiconti dell ˆIstituto Lombardo di Scienze
e Lettere A 131 (1997), 143-149.
[131] A. Pazy, On the applicability of Lyapunov¸ s theorem in Hilbert space,
SIAM J. Math. Anal. 3(1972), 291-294.

126 BIBLIOGRAFIE
[132] A. Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial
Differential Equations, Appl. Math. Sci., Vol. 44, Springer, 1983.
[133] O. Perron, Die Stabilit¨ atsfrage bei Differentialgleichungen, Math. Z.
32(1930), 703-728.
[134] V.A. Pliss, G.R. Sell, Robustness of exponential dichotomies in
infinite-dimensional dynamical systems, J. Dynam. Differential Equa-
tions 11(1999), 471-513.
[135] V.A. Pliss, G.R. Sell, Perturbations of normally hyperbolic manifolds
with applications to the Navier-Stokes equations, J. Differential Equa-
tions 169 (2001), 396-492.
[136] A. Pogan, C. Preda, P. Preda, A discrete Lyapunov theorem for the ex-
ponential stability of evolution families, New York J. Math. 11(2005),
457-463.
[137] I.-L. Popa, M. Megan, T. Ceau¸ su, Exponential dichotomies for linear
discrete-time systems in Banach spaces, Appl. Anal. Discrete Math. 6
(2012), 140-155.
[138] L.H. Popescu, Exponential dichotomy roughness on Banach spaces, J.
Math. Anal. Appl. 314 (2006), 436-454.
[139] L.H. Popescu, Exponential dichotomy roughness and structural sta-
bility for evolution families without bounded growth and decay, Non-
linear Anal. 71(2009), 935-947.
[140] L.H. Popescu, N. Lupa, M. Megan, Exponential trichotomy on Banach
spaces, Preprint Ser. Seminar of Mathematical Analysis and Applica-
tions in Control Theory, Univ. Timi¸ soara (2010).
[141] L.H. Popescu, T. Vesselenyi, Trichotomy and topological equivalence
for evolution families, Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 18(2011),
679-694.

BIBLIOGRAFIE 127
[142] C. P¨ otzsche, Geometric theory of discrete nonautonomous dynamical
systems, Lecture Notes in Math., Vol. 2002, Springer (2010)
[143] G. Da Prato, A. Ichikawa, Liapunov equations for time-varying linear
systems, Systems Control Lett. 9(1987), 165-172.
[144] P. Preda, On a Peron condition for evolutionary processes in Banach
space, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie 32(1988), 65-70.
[145] P. Preda, D.R. Lat ¸cu, C. Preda, On uniform and nonuniform expo-
nential stability for evolutionary processes, An. Univ. Timi¸ soara Ser.
Mat. Inform. XL(2002), 127-140.
[146] P. Preda, M. Megan, Nonuniform dichotomy of evolutionary processes
in Banach spaces, Bull. Austral. Math. Soc. 27(1983), 31-52.
[147] P. Preda, M. Megan, Exponential dichotomy of evolutionary processes
in Banach spaces, Czechoslovak Math. J. 35(1985), 312-323.
[148] P. Preda, A. Pogan, C. Preda, Discrete characterizations of exponen-
tial dichotomy for evolution families, Irish Math. Soc. Bull. 52(2003),
19-30.
[149] P. Preda, A. Pogan, C. Preda, Admissibility and exponential di-
chotomy of evolutionary processes on half-Line, Rend. Sem. Mat. Univ.
Politec. Torino 61(2003), 461-473.
[150] P. Preda, A. Pogan, C. Preda, ( Lp, Lq)-admissibility and exponential
dichotomy of evolutionary processes on the half-line, Integral Equa-
tions Operator Theory 49(2004), 405-418.
[151] P. Preda, A. Pogan, C. Preda, On ( a, b)-dichotomy for evolutionary
processes on a half-line, Glasg. Math. J. 46(2004), 217-225.
[152] P. Preda, A. Pogan, C. Preda, Schffer spaces and uniform exponential
stability of linear skew-product semiflows, J. Differential Equations
212 (2005), 191-207.

128 BIBLIOGRAFIE
[153] P. Preda, A. Pogan, C. Preda, Individual stability for evolutionary
processes, Dyn. Contin. Discrete Impuls. Syst. Ser. A Math. Anal. 13
(2006), 525-536.
[154] P. Preda, A. Pogan, C. Preda, Schffer spaces and exponential di-
chotomy for evolutionary processes, J. Differential Equations 230
(2006), 378-391.
[155] C. Preda, P. Preda, Comport˘ ari asimptotice ale proceselor evolutive,
Ed. Mirton, 2007.
[156] C. Preda, P. Preda, The Lyapunov operator equation for the exponen-
tial dichotomy of one parameter semigroups, Systems Control Lett. 58
(2009), 259-262.
[157] F. R¨ abiger, R. Schnaubelt, Absorption evolution families with appli-
cations to non-autonomous diffusion processes, T¨ ubinger Ber. Funk-
tionalanalysis 5(1995/1996), 335-354.
[158] M. Regish, On nonuniform asymptotic stability, Prikl. Mat. Mekh. 27
(1963) 231-243 (Russian), English translation, J. Appl. Math. Mech.
27(1963), 344-362.
[159] H.M. Rodrigues, J.G. Ruas-Filho, Evolution equations: Dichotomies
and the Fredholm Alternative for bounded solutions, J. Differential
Equations 119 (1995), 263-283.
[160] H.M. Rodrigues, M. Silveira, On the relationship between exponential
dichotomies and the Fredholm Alternative, J. Differential Equations
73(1988), 78-81.
[161] S. Rolewicz, On uniform N-equistability, J. Math. Anal. Appl. 115
(1986), 434-441.
[162] S. Ruan, W. Zhang, Exponential dichotomies, the Fredholm alterna-
tive, and transverse homoclinic orbits in partial functional differential
equations, J. Dynam. Differential Equations 17(2005), 759-777.

BIBLIOGRAFIE 129
[163] B. Rzepecki, On some classes of Volterra integral equations in Banach
space, Colloq. Math. 47(1982), 79-89.
[164] R.J. Sacker, G.R. Sell, Existence of dichotomies and invariant split-
tings for linear differential systems III, J. Differential Equations 22
(1976), 497-522.
[165] R.J. Sacker, G.R. Sell, Dichotomies for linear evolutionary equations
in Banach spaces, J. Differential Equations 113 (1994), 17-67.
[166] A.L. Sasu, Exponential dichotomy for evolution families on the real
line, Abstr. Appl. Anal. (2006), Article ID 31641, 1-16.
[167] A.L. Sasu, Integral equations on function spaces and dichotomy on
the real line, Integral Equations Operator Theory 58(2007), 133-152.
[168] A.L. Sasu, B. Sasu, Exponential stability for linear skew-product flows,
Bull. Sci. Math. 128 (2004), 727-738.
[169] B. Sasu, Generalizations of a theorem of Rolewicz, Appl. Anal. 84
(2005), 1165-1172.
[170] B. Sasu, Uniform dichotomy and exponential dichotomy of evolution
families on the half-line, J. Math. Anal. Appl. 323(2006), 1465-1478.
[171] B. Sasu, Integral conditions for exponential dichotomy: A nonlinear
approach, Bull. Sci. Math. 134 (2010), 235-246.
[172] B. Sasu, A.L. Sasu, Exponential trichotomy and p-admissibility for
evolution families on the real line, Math. Z. 253 (2006), 515-536.
[173] B. Sasu, A.L. Sasu, Exponential dichotomy and ( lp, lq)-admissibility
on the half-line, J. Math. Anal. Appl. 316 (2006), 397-408.
[174] R. Schnaubelt, Well-posedness and asymptotic behaviour of non-
autonomous linear evolution equations, A. Lorenzi, B. Ruf (Eds.):
Evolution Equations, Semigroups and Functional Analysis, Birkhuser,
2002, pp. 311-338.

130 BIBLIOGRAFIE
[175] G.R. Sell, Y. You, Dynamics of Evolutionary Equations, Appl. Math.
Sci., Vol. 143, Springer, 2002.
[176] S.M. Song, D.M. Im, G.S. Lee, Asymptotic behaviour for semilinear
differential systems, J. Appl. Math. Comput. 15(2004), 527-537.
[177] C. Stoica, Pointwise trichotomy for skew-evolution semiflows on Ba-
nach spaces, J. Math. Sci. 161 (2009), 327-336.
[178] C. Stoica, M. Megan, Uniform exponential instability of evolution
operators in Banach spaces, An. Univ. Timi¸ soara Ser. Mat.-Inform.
XLIV (2006), 143-148.
[179] C. Stoica, M. Megan, On uniform exponential stability for skew-
evolution semiflows on Banach spaces, Nonlinear Anal. 72(2010),
1305-1313.
[180] K.V. Storozhuk, On the Rolewicz theorem for evolution operators,
Proc. Amer. Math. Soc. 135 (2007), 1861-1863.
[181] R.E. Vinograd, Exact bounds for exponential dichotomy roughness I.
Strong dichotomy, J. Differential Equations 71(1988), 63-71.
[182] R.E. Vinograd, Exact bounds for exponential dichotomy roughness
II. An example of attainability, J. Differential Equations 90(1991),
203-210.
[183] R.E. Vinograd, Exact bounds for exponential dichotomy roughness III.
Semistrong dichotomy, J. Differential Equations 91(1991), 245-267.
[184] Vu Quoc Phong, On the exponential stability and dichotomy of C0-
semigroups, Studia Math. 132 (1999), 141-149.
[185] Vu Quoc Phong, On stability of C0-semigroups, Proc. Amer. Math.
Soc.129 (2001), 2871-2879.
[186] J. Zabczyk, Remarks on the control of discrete-time distributed pa-
rameter systems, SIAM J. Control Optim. 12(1974), 721-735.

BIBLIOGRAFIE 131
[187] W. Zeng, Exponential dichotomies and transversal homoclinic orbits
in degenerate cases, J. Dynam. Differential Equations 7(1995), 521-
548.
[188] W.N.A. Zhang, The Fredholm alternative and exponential dichotomies
for parabolic equations, J. Math. Anal. Appl. 191 (1995), 180-201.
[189] H. Zwart, Boundedness and strong stability of C0-semigroups on a
Banach space, Ulmer Seminare 8(2003), 380-383.