ÎNDRUMĂTOR DE LUCRĂR I DE LABORATOR ȘI CULEGERE DE PROBLEME PENTRU SEMINAR UNIVERSITATEA POLITE HNICA TIMIȘOARA 2017 PREFAȚĂ Prezenta lucrare… [620375]

MECANISME

ÎNDRUMĂTOR DE LUCRĂR I DE LABORATOR
ȘI
CULEGERE DE PROBLEME PENTRU SEMINAR

UNIVERSITATEA POLITE HNICA TIMIȘOARA
2017

PREFAȚĂ

Prezenta lucrare intitulată ”MECANISME, îndrumător de lucrări de laborator și culegere
de probleme pentru seminar” se bazează pe experiența acumulată de -a lungul anilor în redactarea
și utilizarea îndrumătoarelor anterioare editate de colectivul de autori care gestionau cursurile și
lucrările de la mecanisme . Acest îndrumător prezintă variante îmbunătățite și revizuit e ale
lucrărilor de laborator și prezintă marele avantaj de a fi o variantă electronică, afișată pe site -ul
Departamentului de Mecatronică. În acest fel studenții vor avea un acces mai facil la lucrările de
laborator și problemele pentru seminar în vederea pregătirii orelor de aplicații .
Această lucrare, prezintă și o noutate absolută prin faptul că abordează și activitatea de
seminar prin problemele rezolvate și propuse. Este prima lucrare din ultimii ani în care studenții
pot găsi probleme rezolvate și pr opuse pentru rezolvare la capitolele de structura mecanismelor,
cinematica mecanismelor cu bare si r oți dințate .
Manuscrisele aferente lucrărilor de laborator din prezenta ediție au fost elaborate și
revizuite de către coordonatoarea lucrării As.dr.ing. P op Florina , în colaborare cu Prof.dr.ing.
Maniu Inocențiu, Șl.dr.ing. Moldovan Cristian (2), Prof.dr.ing. Mesaroș -Anghel Voicu (4, 7, 9),
Prof.dr.ing. Lovasz Erwin -Christian (3, 4), Conf.dr.ing. Cărăbaș Iosif (6, 7), Șl.dr.ing. Pop
Cristian (5, 8).
Partea aferentă problemelor de seminar a fost realizată în totalitate de către
coordonatoarea lucrării As.dr.ing. Pop Florina .
Pentru viitor colectivul de autori , coordonat de As.dr.ing. Pop Florina, își propune
completarea părții aferente seminarului cu problem e din capitolele de sinteza și cinetostatica
mecanismelor.
Colectivul de autori ai acestei ediții electronice exprimă mulțumiri anticipate tuturor
studenților celor care vor utiliza materialul la orele de laborator și seminar, pentru critici, sugestii
sau sesizări menite să îmbunătățească edițiile ulterioare.

L U C R A R E A N R . 1

STRUCTURA MECANISMEL OR

1.1. Scopul lucrării:
Este însușirea de către studenți a met odologiei de analiză structurală a mecanismelor.

1.2. Noțiuni teoretice generale
Elementul este o piesă sau un grup de piese (corpuri) care formează un ansamblu teoretic
nedeformabil în raport cu alte entități similare. In tabelul 1.1 sunt prezentate schemati zat cele
mai uzuale tipuri de elemente.
Cupla cinematică este legătura
directă și mobilă a două
elemente. Cuplele cinematice pot
fi clasificate în clase.
Clasa „i“ a unei cuple cinema –
tice este dată de numărul gradelor
de libertate suprimate în mișcarea
relativă a celor două elemente
care formează cupla cinematică.
In tabelul 1.2 sunt prezentate
câteva cuple cinematice uzuale.
Cuplele cinematice sunt denu –
mite cuple inferioare , dacă con –
tactul teoretic al celor două zone
de contact se realizează după o
suprafață sau cuple superioare
dacă contactul este linear sau
punctiform.
După numărul cuplelor cinema –
tice în compunere cărora parti –
cipă un element distingem: elemente binare (participă la formarea a 2 cuple cinematice),
elemente ternare, etc.
Lanțul cinem atic reprezintă un grup de elemente legate între ele prin cuple cinematice.
Lanțul cinematic poate fi închis, dacă elementele sale descriu un contur poligonal închis sau
deschis dacă conturul poligonal este deschis.
Mecanismul este o componentă a unei mași ni sau a unui aparat, având rolul de transmitere sau
transformare a mișcării sau a sistemului de forțe. Mecanismul mai poate fi definit conform lui
Franz von Releaux, ca fiind un lanț cinematic care conține un element fix, unul sau mai multe
elemente condu cătoare (motoare) față de care celelalte elemente au mișcări bine determinate.
Schema cinematică este reprezentarea convențională în desen a elementelor, cuplelor cinematice,
mecanismelor și lanțurilor cinematice, cu respectarea dimensiunilor geometrice ca racteristice ale
elementelor componente. Tab. 1.1
Culisa Balansier Manivela Denumire
Simbol
Denumire
Simbol
Denumire
SimbolPiston, Piatra de culisa Roata dintata cilindrica si cremaliera
Roata dintata conica Cama plana rotativa si de translatie Melc-roata melcataTipuri de elemente

Schema structurală este reprezen –
tarea schematizată a modului de
legare a elementelor prin inter –
mediul cuplelor cinematice la un
mecanism dat, fără să se ia în
considerare dimensiunile geomet –
rice ale elementelor și cuplelor
cinematice.
Familia unui mecanism este dată
de numărul mișcărilor suprimate
prin construcție tuturor
elementelor mecanismului, și se
va nota cu f.
Gradul de libertate al unui lanț
cinematic este dat de numărul de
parametrii independenți necesar i
pentru a defini în mod univoc
poziția tuturor elementelor lui în raport cu un sistem de referință exterio lanțului sau de numărul
mișcărilor simple posibile de translație sau rotație pentru toate elementele lanțului cinematic.
Gradul de mobilitate al unu i mecanism reprezintă numărul de parametri independenți necesari
pentru a defini în mod univoc pozițiile tuturor elementelor mecanismului în raport cu un sistem
de referință propriu solidar cu elementul fix. Gradul de mobilitate al unui mecanism de familie f
se calculează cu relația:

5
1fiic)fi( )1n()f6( M
(1.1)
unde:
ic – numărul cuplelor cinematice de clasă „i“
astfel că pentru mecanismele plane (de familie f=3):
4 5cc2)1n(3 M 
(1.2)
unde: n – numărul de elem ente;
5c
– numărul cuplelor cinematice de clasa a V -a;
4c
– numărul cuplelor cinematice de clasa a IV -a.
In cazul în care apar legături pasive și grade le libertate de prisos (mișcări independente) atunci
gradul de mobilitate real se determină cu relația:

 m
1jidn
1ip r L L M M
(1.3)
în care: M – gradul de mobilitate calculat anterior;


n
1ipL – suma gradelor de libertate a legăturilor pasive;


m
1jidL – suma gradelor de libe rtate de prisos.
Legături pasive sunt acele lanțuri cinematice a căror funcție cinematică este realizată și de către
alte lanțuri cinematice. Gradul de libertate al legăturilor pasive se calculează cu relația:
p p p p c c n L4 52 3 
(1.4)
unde:
pn
p5c
p4c reprezintă numărul corespunzător de elemente, cuple cinematice de clasa a V -a
și a IV -a ale lanțului cinematic pasiv.
Gradele de libertate de prisos se determină considerând succesiv fix e toate elementele
mecanismului mai puțin unul și analizând mișcările simple posibile pe care acesta le poate
executa. Numărul acestor mișcări posibile reprezintă gradele de libertate de prisos. Tab. 1.2
Cupla de
translatieCupla plana
superioaraCuple cinematice
Simbol
SimbolClasa Denumire Cupla de
rotatie
V VClasa
Denumire
Clasa SimbolDenumire
II I
Cupla cilindrica
IV IVSfera-plan Sfera-jgheab
Conexiune
elasticaCupla
elicoidala
V VCupla sferica
III III
Cupla de
rostogolire
VCupla de
infasurare
VPatina-spatiala

id id id id c c n L4 52 3  (1.5)
O cuplă cinematică ar e gradul de multiplicitate „k“ dacă în punctul figurativ al acesteia concură
un număr de „k+1“ elemente. Această cuplă se va considera (număra) în calculul structural de un
număr ori egal cu gradul de multiplicitate „k“.
Un mecanism se numește desmodrom (d.p.d.v. cinematic) dacă gradul său de mobilitate este egal
cu numărul de elemente conducătoare;

mn M (1.6)
unde:
mn – numărul de elemente conducătoare.
Grupa cinematică (structurală Assur)
este lanțul cine matic deschis conținând
numai cuple cinematice inferioare, cel
mai simplu, cu grad de libertate nul.
In vederea obținerii mecanismului
înlocuitor al unui mecanism plan care
conține și cuple cinematice superioare
se procedează la înlocuirea instan –
taneu -izocinetică a cuplei plane supe –
rioare cu un element binar. In figura
1.1 sunt prezentate două cazuri de
transformare instantaneu -izocinetică.
Grupele cinematice pot fi clasificate în
funcție de clasa și ordinul acestora (v.
tabelul 1.3).
Clasa unei grupe cin ematice este dată de numărul laturilor conturului poligonal cel mai complex
conținut în grupă. Ordinul unei cuple cinematice este dat de numărul cuplelor cinematice de
legătură cu alte grupe componente ale mecanismului sau cu elementul conducător.
Un meca nism se consideră de clasa și ordinul grupei cinematice celei mai complexe din
compunerea sa.

1.3. Analiza structurală a mecanismelor
Analiza structurală a unui mecanism se realizează în scopul cunoașterii alcătuirii acestuia din
elemente și grupe cinematice respectiv din grupe cinematice. Impărțirea în grupe cinematice este
univoc determinată.
Pentru analiza structurală a unui mecanism se parcurg următoarele etape:
1. se întocmește schema cinematică a mecanismului analizat;
2. se identifică elementele (elementul) m otor;
K32Kp 
32 3p2
2K2
3K3
23
22K
32p2
K22
3p
300 K3003K300Fig.1.1
Tab. 1.3
Grupe cinematice de cls. II ord.2
Aspect 1 (RRR) Aspect 2 (RRT) Aspect 4 (TRT) Aspect 3 (RTR) Aspect 5 (RTT)
Grupe cinematice de clase si ordine superioare
Cls. III ord. 3 Cls. IV ord. 2 Cls. III ord. 4
5 5 5n = 4
c = 6n = 6
c = 9n = 4
c = 6n = 2
c = 35 5n = 2
c = 3n = 2
c = 35n = 2
c = 35n = 2
c = 35

3. se identifică particularitățile constructive ale mecanismului: cuple multiple,
lanțuri cinematice pasive și mișcările independente;
4. se identifică familia mecanismului;
5. se calculează gradul de mobilitate și se verifică dacă este îndeplinită condiția d e
desmodromie;
6. se efectuează transformările instantaneu -izocinetice ale cuplelor plane superioare
(dacă este cazul);
7. se calculează gradul de mobilitate al mecanismului înlocuitor;
8. pe schema cinematică a mecanismului înlocuitor se identifică și se separă
elementele (elementul) conducătoare și elementul fix, respectiv se se face
împărțirea începând de la elementul condus către elementele (elementul) motoare
în grupe cinematice. Se încearcă împărțire lanțului cinematic rămas al
mecanismului în grupe cinematice de clasa a II -a. Dacă în urma împărțirii nu sunt
cuprinse toate elementele în grupe cinematice se repetă operațiunea considerând
și grupe cinematice de clasă superioară.
9. se întocmesc schemele structurale ale mecanismului real și al mecanismului
instantane u-izocinetic înlocuitor;
10. se concluzionează asupra clasei și ordinului mecanismului.

1.4. Mersul lucrării
Pentru un număr de mecanisme, se va realiza analiza structurală conform metodologiei
prezentate la § 1.3.

L U C R A R E A N r. 2

MĂSURAREA VITEZEI UNGHIULARE

2.1. Generalități

Viteza unghiulară  este un parametru cinematic caracteristic mișcării de rotație, care în
sistemul internațional de măsură (SI) este o mărime derivată ce se măsoară în rad/s; ea reprezintă
unghiul elementar descris de rază raportat la un interval de timp elementar și se exprimă prin
derivata în raport cu timpul a unghiului.
Legătura între viteza unghiulară  (rad/s), medie pe ciclu cinematic și turația n (rot/min)
a elementului considerat este dată de relația:

s/rad30n (2.1)
Mijloacele de măsurare permit determinarea unei valori ce reprezintă viteza unghiulară
medie pe un ciclu de funcționare, precum și viteza unghiulară instantanee a elementului.
Cele mai răsp ândite sunt mijloacele de măsurare a vitezei unghiulare medii, care permit o
determinare directă (numite tahometre), sau indirectă (contoare ce indică un număr N de rotații
într-un anumit interval de timp).

2.2. Aparate și metode de măsurare

După prin cipiul de funcționare, aparatele pot fi: mecanice, electrice, electronice, mecano –
optice și electrono -optice.

2.2.1. Aparate de măsură a vitezei unghiulare medii

2.2.1.1. Tahometrul mecanic centrifugal

Aparatul funcționează pe principiul regulatorul ui centrifugal . În fig.2.1 este arătată
schema cinematică a tahometrului centrifugal.
Greutățile A (fig.2.1) sunt legate printr -un sistem de bare articulate C de manșonul cu
ghidaj rectiliniu, M. Prin rotirea arborelui B, greutățile A, așezate simetric fa ță de acesta, se
îndepărtează sub acțiunea forțelor de inerție (centrifuge) și deplasează manșonul M, care
provoacă rotirea acului indicator în jurul punctului O.
Întregul sistem se menține în echilibru relativ cu ajutorul forțelor elastice create de
arcurile R. Între arborele B și arborele a cărui viteză unghiulară se măsoară, se intercalează de
obicei o cutie de viteze C v prin care se obține mărirea domeniului de măsurare . Acest lucru este
întâlnit la aparatele portabile care permit măsurarea de viteze u nghiulare medii cuprinse
aproximativ între 4 și 4.800 rad/s.
Tahometrele mecanice centrifugale pot fi cuplate permanent (tahometre de tablou) sau
temporar (tahometre de mână) cu elementul a cărui viteză unghiulară se măsoară. Tahometrele
mecanice au preci zie relativ scăzută, datorită schimbării proprietăților elastice ale arcurilor,
frecării în cuplele cinematice ale mecanismelor sale, instalării incorecte a tahometrului, etc.

Fig. 2.1

Eroarea admisibilă a tahometrului mecanic poate ajunge la 5%.

2.2.1.2. Tahometrul cu curenți turbionari

Aparatul (fig.2.2.a) funcționează pe principiul interacțiunii a două câmpui magnetice: unul
produs de magneți permanenți M antrenați în mișcare de rotație, iar altul creat de curenții

a. b.
Fig. 2.2 A
A C C x
’x
M
B R R
C C
x y

O Cv
u U It ItMa MaMR
M
 = c  = c N
S M

R

T I 

turbionari, induși în tamburul T. În fig.2.2.b se prezintă schema cinematică și funcțională a
tahometrului cu curenți turbionari.
Tahometrele cu curenți turbionari se folosesc pentru domenii de măsurare cuprinse între
1,8 … 700 rad/s.
Pe arborele aparatului sunt fixați magneții permanenți M cu 4 -8 poli, ce se rotesc sincron
cu elementul a cărui viteză unghiulară se măsoară. Liniile de forță ale magneților permanenți,
intersectează tamburul T din cupru sau aluminiu, care se poate roti și parcurg apoi inelul fi x de
fier I care închide circuitul magnetic. În tambur se induc tensiuni electromotoare proporționale
cu viteza unghiulară, iar tensiunile generează curenți turbionari.
Intercațiunea dintre câmpul electromagnetic al curenților turbionari cu câmpul magneti c
al magneților permanenți, produce un cuplu de torsiune activ M a. Datorită cuplului activ M a
tamburul T se rotește tensionând arcul spiral R care produce astfel cu cuplu de torsiune rezistent
MR, proporțional cu unghiul de rotire  al acului indicator. Ta mburul T ajunge într -o poziție de
repaus când cuplul activ M a este egal cu cuplul rezistent M R.

2.2.1.3. Tahogeneratorul

Tahogeneratorul se compune din două părți principale:
– un generator electric de curent continuu sau alternativ; tensiunile generate sunt
proporționale cu turația;
– un aparat de măsurare.

Tahogeneratorul cu generator de curent alternativ este frecvent întâlnit în tehnica măsurării
vitezelor unghiulare deoarece nu necesită colector și permite indicarea vitezelor unghiulare
mici și a se nsului de rotire. Tahogeneratoarele de curent alternativ se construiesc în variante
monofazate sau polifazate. Cele polifazate permit măsurarea de viteze unghiulare foarte
coborâte de ordinul 0,5 rad/s și chiar mai mici. Tahogeneratoarele polifazate sunt c onstruite
exclusiv din bobine fixe și magneți rotativi (cu 1 … 12 perechi de poli). Conform fig.2.3. a,
b, tahogeneratorul este format dintr -un generator G și un aparat de măsurare numit receptor
R.
a. b.
Fig. 2.3.
Receptorul poate fi:
– micromotor electric c u aparat indicator cu curenți turbionari;
– aparat indicator cu cadru mobil cu redresoare semiconductoare.
Tahogeneratorul permite telemăsurarea vitezei unghiulare .
Tahogeneratorul utilizat în cadrul lucrării este echipat cu generator de curent continuu și u n
receptor construit după prima variantă.

2.2.1.4. Stroboscopul

Stroboscopul este un aparat de măsurare a vitezei unghiulare ce folosește efectul
stroboscopic. r
I x 
G G
U R
x ct I
R

Este cunoscut faptul că efectul stroboscopic se bazează pe principiul inerției ochiului
omenesc în perceperea senzațiilor vizuale (imaginile care se succed cu o frecvență f  10 Hz sunt
percepute ca o singură imagine persistentă).
Dacă un corp (sau reper) se rotește cu frecvența f x și este iluminat prin impulsuri cu
frecvența f i, imaginea sa va apare staționară când există egalitatea:

Hzf fx i (2.2)
Stroboscopul permite măsurarea celor mai mari viteze unghiulare ce apar în tehnică. La
frecvențe de iluminare f i  10Hz se obține o imagine ce pâlpâie, acest dezava ntaj se elimină
folosind frecvențe de iluminare f i de k ori mai mari decât f x (k = număr întreg). În acest caz,
imaginea corpului (reperului) va apare multiplicată de k ori (în vârfurile unui poligon regulat)
când există egalitatea:

Hzkffi
x (2.3)
unde k = 1, 2, 3 … conform fig.2.4.b, viteza unghiulară fiind:
xf2 .
Fig. 2.4.

Stroboscopul mai prezintă și avantajul că nu introduce cuplu rezistent, care să
influențeze valoarea vitezei unghiulare măsurate ș i permite măsurarea vitezei unghiulare la
elemente greu accesibile.
În cadrul lucrării se va utiliza un stroboscop electronic cu lampă “Flash” și cu frecvențe
de iluminare f i = 10 … 260 Hz, a cărui schemă este prezentată în fig.2.4.a.

2.2.1.5. Numărătorul de impulsuri

Viteza unghiulară medie se măsoară și pe cale indirectă, prin înregistrarea numărului de
rotații N efectuate într -un interval de timp T secunde. În acest caz viteza unghiulară medie
are valoarea:

s/radTN2 (2.4)
Numărătorul de impulsuri poate fi electromecanic sau electronic și el însumează
semnalele electrice produse de un traductor. Traductorul de impulsuri transformă rotația unui R
R1 C1 C U
GI
fi = 10 … Hz Lampa “Flash”
Impuls comandă Reper
Disc în
mișcare de
rotație Impuls luminos fx
fx = fi
'
i x f21f

''
i x f31f

fx = ct. a.
b.

element în impulsuri electrice; el poate fi un tahogenerator cu tensiune alternat ivă, un contact ce
închide repetat un circuit electric sau un traductor fotoelectric.
Intervalul de timp T se măsoară cu un cronometru mecanic, electric sau electronic.
Cronometrul și numărătorul de impulsuri se comandă sincron. În cadrul lucrării se folos ește un
ansamblu format dintr -un numărător electronic, un cronometru și un traductor fotoelectric.
Principiul de producere a implusurilor este următorul: o fotodiodă F D este iluminată
intermitent de către o sursă luminoasă L. comanda iluminării este dată de un disc cu z fante, care
se rotește solidar cu elementul a cărui viteză unghiulară se măsoară. La fiecare iluminare,
rezistența electrică a fotodiodei scade și astfel impulsul de curent din circuit se transformă, pe
rezistența R, într -un impuls de tensi une care este transmis numărătorului electronic conform
fig.2.5.
Fig. 2.5.

La fiecare rotație corespund z impulsuri înregistrate, deci viteza unghiulară medie va fi:

s/radzTN2 (2.5)
La performanțe corespunzătoare ale numărăt orului de impulsuri, traductorului și
cronometrului, se pot măsura viteze unghiulare de orice ordin.

2.3. Instalația de măsurare

Măsurarea vitezei unghiulare medii se realizează la arborele de ieșire a unui variator cu
conuri cu curea. Arborele de intr are a variatorului este antrenat de un motor electric (fig.2.6).
Arborele de ieșire al variatorului este cuplat cu arborele tahogeneratorului și poartă discul
D1 cu un reper vopsit (pentru măsurătorile cu stroboscopul) și un alt disc D 2 cu 6 orificii, car e
permit luminarea intermitentă de către o sursă de lumină L a fotodiodei F D ale cărei impulsuri
sunt numărate de numărătorul de impulsuri N i.

2.4. Mersul lucrării

Se reglează variatorul pentru o valoare anumită a raportului de transmitere. Se măsoară
frecvența de rotație cu ajutorul tahometrului mecanic centrifugal, a tahogeneratorului (indicațiile
aparatului de împart cu 4) și a stroboscopului. Fiecare măsurătoare se repetă de trei ori apoi se
calculează viteza unghiulară corespunzătoare și în sfârșit se determină media aritmetică a
valorilor obținute. În sfârșit, se determină numărul de impulsuri emise de fotodiodă pe un anumit
interval de timp T, se împarte la 6, obținându -se valoarea N și se calculează viteza unghiulară cu
relația (2.4). se repetă m ăsurătoarea și în acest caz de trei ori și se determină media aritmetică. Disc cu fante
(z impulsuri luminoase) L FD
R B2
fx B1 Numărător
electronic  N’
[impulsuri]
 T [s]

Rezultatul obținut se consideră valoarea etalon, față de care se calculează eroarea măsurătorilor
anterioare, folosind relația:

%100
etet x
 (2.6)
Rezult atele măsurătorilor se înscriu în tabelul 2.1 și se construiește diagrama de variație
 
pentru un număr de 8 poziții de reglaj ale variatorului.
Fig. 2.6.

Măsurarea vitezei unghiulare medii
Tab. 2.1.
Aparat etalon
Numărător de impuls uri Trepte de măsurare
– 1 2 3 …. 10
et [rad/s] Aparate etalonate 1.Stroboscop
x [rad/s] 1
2
3
Media

2. Tahometru
centrifugal
x [rad/s] 1
2
3
Media

3. Tahogenerator
x [rad/s] 1
2
3
Media


x [rad/s] 1
2
3
Media
 Aparat indicator T
L
D1 Ni
FD D2

L U C R A R E A N r. 3

DETERMINAREA EXPERIMENTALĂ A PARAMETRILOR
CINEMATICI AI MECANISMULUI ARTICULAȚIEI UNIVERSALE

3.1. Scopul lucrării este de a familiariza studenții cu construcția și funcționarea
mecanismului articulației universale (în construcția monocardanică, respectiv cea bicardanică),
precum și stabilirea d ependenței funcționale dintre parametrii cinematici ai elementului condus și
ai elementului conducător.

3.2. Noțiuni generale

Mecanismul articulației universale (transmisia cardanică sau cuplajul lui Hooke) servește
la transmiterea mișcării de rotație î ntre axele necoliniare 1 și 3 care se intersectează în punctul 0,
formând unghiul 13, conform fig.3.1. Mecanismul este sferic, articulat, cu 4 elemente (2 furci
”f”, o piesă intermediară în formă de cruce “c” și elementul fix) și 4 cuple de rotație a căro r axe
se intersectează în punctul 0 (cuplele B’ și C’ sunt cuple de rotație pasive).

Fig. 3.1.

Brațele BB’ și CC’ ale crucii “c” formează un unghi de 900 cu vârful în O.
Utilizând metoda contururilor poligonale spațiale funcția de transmitere de ordinu l 0 ce
exprimă dependența între deplasarea unghiulară 3 a elementului de ieșire și deplasarea
unghiulară 1 a elementului de intrare este:



1 3 tg13 cos1arctg (3.1) A0 02
B
0 B A
O
2 23
03
3 2 f f
3
1 c

Derivând în raport cu timpul relația ( 3.1) se obține viteza u nghiulară a elementului
condus al mecanismului articulației universale sub forma:

132
12
1213
1 3cos cos sincos
 (3.2)
Dacă viteza unghiulară ω 1 a elementului conducător este constantă, viteza unghiulară ω 3
a elementului condus, variază între limite le:

131 max3cos1
 și
13 1 min3 cos (3.3)
Accelerația unghiulară 3 a arborelui condus (derivata de ordinul doi în raport cu timpul
a relației (3.1)) este:

 3 2
132
12
11 13 13
3cos 2sin cos sin2sin sin cos
  (3.4)
Gradul de neregularitate ( neuniformitate) al mișcării la ieșirea din transmisia
monocardanică, reprezentat grafic în fig.3.2, se determină cu ajutorul relației:

1min3 max3
 (3.5)
Fig. 3.2.

Asincronismul (neconcordanța dintre 3 și 1) se elimină prin utilizarea mecanismelor
policardanice sincrone obținute prin înscrierea a două sau mai multe mecanisme monocardanice.
Pentru mecansimul bicardanic prezentat în fig. 3.3, unghiul de poziție 5 al elementului
de ieșire se poate exprima în funcție de cel al elementului de intrare 1 prin relația:

    tg cos arctgtg tg coscos tg cos tgarctg35
1 1335 13 1
5 (3.6)
unde  este unghiul pe care -l închid planele formate de axa elementului 3 și axele geometrice ale
lagărelor furcilor solidare cu acest element.
În fig. 3.4 se prezintă variația di ferenței unghiurilor de poziție a elementelor 5 și 1, în
funcție de unghiul de poziție a elementului 1 și unghiul .
Se numește mecanism bicardanic sincron mecanismul pentru care:
)t( )t(1 5

Din relația 3.6 rezultă că se realizează un asemen ea mecanism pentru:

35 13 și
 k
unde k este un număr întreg. 0
2 
23 2 1 1
3
[rad/s]

1(1)

3(1)

Fig. 3.3.

Fig. 3.4

3.3. Descrierea instalației experimentale

Instalația experimentală este reprezentată în fig. 3.5. ea permite schimbarea unghiu rilor
13 și 35 în limitele 00 … 450 din 30 în 30 (pe scala 8), iar  poate lua valori în limitele 00 …
900 din 100 în 100.

Decalarea furcilor 2 ale arborelui intermediar 3 se realizează cu ajutorul unui cuplaj cu
știft 6, iar mișcarea se imprimă cu aj utorul volanului 7, urmărindu -se rotația arborilor 1, 3 și 5 pe
discurile gradate 4. De fusul 2 al articulației cardanice s -a fixat un ac indicator, iar pe lagărul
fusului s -a fixat un cadran gradat în limitele 0 … 1500 din 10 în 10, pe care se pot citi va lorile
unghiului de oscilație  al fusului crucii cardanice în lagărul furcii.

1 23 34
2
2
4
1 4

2

1

0

-1

-2

-3 51[0]
1[0]
45 90 135 180

Fig. 3.5.

3.4. Mersul lucrării. Prelucrarea datelor experimentale.

a). Determinarea parametrilor cinematici ai mecanismului monocardanic între arborii 1 și 3
se face urmâ nd succesiunea:
Se fixează un anumit unghi 13 și se rotește volanul 7 până ce acul indică valoarea 00 pe
discul gradat 4 solidar cu arborele 1. Se scot jocurile din lagăre în sens invers mișcării volanului,
se deblochează scala circulară a discului 4, sol idar cu arborele 3 și se aduce cu gradația 00 în
dreptul acului indicator.
Pentru diferite unghiuri 1 ale arborelui de intrare se notează unghiurile 3 ale arborelui
de ieșire și se calculează:

1 3 31  (3.7)
Se determină as tfel pentru un ciclu cinematic 1
 (00 … 3600) preferabil din 100 în 100,
dependența funcțională:
)(2 3 3
sau
)(1 31 31  (3.8)
se trec datele în tabelul 3.1 și se reprezintă 3 curbe pentru 3 v alori ale unghiului 13.

Tab. 3.1.
Nr.
crt. 1 13 = 13 = 13 =
3 31 3 31 3 31
1
2
……………………………………………………………………………………………………
…….
36

b). Pentru aceeași articulație cardanică între arborii 1 și 3 se determină variația u nghiului
de oscilație  al fusului crucii cardanice în lagărul furcii, în funcție de unghiul 1 pentru anumite
valori ale unghiului 13. Valorile obținute se trec în tabelul 3.2, întoc mindu -se apoi cele 3
diagrame  =  (1) pentru cele 3 unghiuri 13. 7 1 4 150
150 0 2
9 4 3 6 8
5 4 150
150 0

Tab. 4.2.
Nr.
crt. 1 
13 = 13 = 13 =
1
2
……………………………………………………………………………………………………
…….
36

c). Se studiază articulația bicardanică impunând o anumită valoare a unghiului de
decalare  între planele furcilor arborelui intermediar 3, cu a jutorul cuplajului cu știft 6 și fixând
valorile unghiurilor 13 și 35. Se rotește volanul 7 aducând inscripția 00 în dreptul acului
indicator. Se elimină jocurile din lagăr în sens invers mișcării volanului și se aduce la 00 scala
discului gradat solid ar cu arborele 5. Se rotește volanul 7 pentru un ciclu cinematic (preferabil
din 100 în 100) și se citesc valorile 1 și 5. Se calculează apoi:

1 5 51  (3.9)
Se completează cu datele obținute tabelul 3.3 și se r eprezintă grafic curbele 5 = 5(1)
sau 51 = 51(1) pentru diferite unghiuri 13 și 35.

Tab. 3.3.
Nr.
crt. 1  =  =
13 =
35 = 13 =
35 = 13 =
35 = 13 =
35 =
5 51 5 51 5 51 5 51
1
2
…………………………………………………… ………………………………………………
….
36

L U C R A R E A N r. 4

DETERMINAREA EXPERIMENTALĂ A PARAMETRILOR
CINEMATICI AI TACHETULUI LA MECANISMELE CU CAMĂ

4.1. Scopul lucrării este cunoașterea tipurilor reprezentative de mecanisme cu came,
determinarea prin măsurare a variației deplasării tachetului și determinarea, pe cale grafică, a
variației vitezei și accelerației acestuia.

4.2. Noțiuni generale

Mecanismul cu camă poate fi definit, ca fiind un mecanism care conține un eleme nt
profilat conducător – cama – ce transmite direct elementului condus – tachetul – o mișcare,
univoc determinată de legea de mișcare, incorporată de profilul camei.
Mecanismele cu camă conțin trei elemente: elementul fix (batiul), elementul conducător
(cama), care poate executa o mișcare de translație, rotație sau de oscilație și elementul condus
(tachetul), care poate executa o mișcare de translație sau de oscilație.
Legătura dintre camă și tachet se realizează printr -o cuplă cinematică superioară
(cone xiune K A(-1)) fiind în contact o suprafață profilată (cama) și o rolă, un vârf, un disc plan sau
profilat (tachetul).
În cazul mecanismelor plane cu tachet în mișcare de translație, dacă direcția de translație
trece prin cupla de rotație a camei avem un m ecanism cu camă centric, în caz contrar, avem un
mecanism cu camă, excentric.
În fig. 4.1 se prezintă câteva tipuri reprezentative de mecanisme cu camă, pe baza cărora
se poate face următoarea clasificare:

a). după tipul mișcării elementului conducător ( cama)
– mecanisme cu c amă în mișcare de rotație (fig.4 .1.a, b, c, d, i, j)
– mecanisme cu cam ă în mișcare de oscilație (fig.4 .1.e, f)
– mecanisme cu camă în mișcare de translație (fig.4 .1.g, h)
b). după tipul mișcării elementului condus (tachetul)
– mecanism e cu tachet în translație (fig.4 .1.a, b, c, e, g, i)
– mecanisme cu tachet oscilant (fig.4 .1.d, f, h, j)
c). după structură
– mecanisme cu camă plană (fig.4 .1.a, b, c, d, e, f, g, h)
– mecanisme cu camă spațială (fig.4 .1.i, j)
d). după tipul camei spațiale
– mecanism e spațiale cu camă cilindrică (fig.4 .1.i)
– mecanisme spațiale cu camă globoidală (fig.4 .1.j)
Elementul conducător (cama) se află într -o mișcare de rotație/translație/oscilație în
jurul/lungul unei axe fixe, în timp ce tachetul execută o mișcare de translați e/oscilație.
Mișcarea tachetului este caracterizată, din punct de vedere pozițional, prin parametrul –
deplasare liniară, s (sau unghiulară ) – din punct de vedere al vitezei, prin parametrul – viteza
liniară, v (sau unghiulară ) – iar din punct de veder e al accelerației, prin parametrul –

accelerație liniară, a (sau unghiulară ). În cazul lucrării se vor determina, prin derivare grafică,
curbele de variație ale vitezei și accelerației tachetului.

Fig. 4.1. s
sc 2
1
0 sc 2
1 
g). h). s
2
2

0 0 1 1
e). f).
d). e e s s s s
2
2 2 2
1 1 1 1 0 0 0 0 2’
P M
 
0 2’
a). b). c). d).
i). j). 1
2
0 1
2

4.3. Derivarea grafică

Având graficul de plasării reprezentat în sistemul de axe sOt cu scările axelor ks și kt,
graficul vitezei se determină aplicând metoda coardei. Având graficul legii de variație a unei
mărimi, graficul mărimii derivatei se trasează folosind interpretarea geometrică a deriva tei și
anume că derivata unei funcții este egală cu tangenta trigonometrică a unghiului format între
tangenta geometrică la graficul său, în punctul respectiv, cu sensul pozitiv al axei absciselor.
Trasarea corectă a tangentei implică anumite complicații astfel că pentru simplificare se
aplică metoda coardei prin care se determină valoarea derivatei în punctul situat la mijlocul
abscisei intervalului considerat.
Astfel , după trasarea graficului deplasării prin unirea continuă a punctelor măsurate
(puncte d e precizie), se înlocuiesc segmentele de curbă prin segmente de dreaptă (coardele) care
unesc punctele succesive. Se acceptă că direcția coardei este paralelă cu tnagenta la grafic în
punctul corespunzător abscisei medii a intervalului și se calculează der ivata în acest punct
rezultând un punct de precizie pe graficul funcției derivate.
În cazul de față, după trasarea graficului deplasării tachetului, adică al funcției s = s (t) și
înlocuirea curbei continue cu coardele intervalelor, funcția derivată va ave a o valoare constantă
pe interval, care se atribuie abscisei medii. Se notează cu “a” și “o” incremenții abscisei și
ordonatei graficului, pe interval.
Astfel:

ts
ts
kktgk ak o
tp
dtdsv  (4.1)
rezultând:

ts
kkv tg (4.2)
Se trasea ză sistemul de axe v 0t cu ordonata în prelungirea axei 0s și se poziționează pe
abscisă, în stânga ordonatei, punctul P – polul derivării. Distanța, p = P0, se numește distanța
polară.
Se construiesc paralele la coardele graficului s = s (t), care inters ectează ordonata 0v în v.
Triunghiurile dreptunghice rezultate sunt asemenea cu cele având catetele “a” și “o”.
Dacă segmentul 0v este viteza punctului situat pe mijlocul intervalului, la scara k v, atunci rezultă
relația:

pkv
pv0tgv (4.3)
Din relațiile (a) și (b), se obține:

p k1vkkv
v ts
 (4.4)
Distanța polară “p” este un factor de scară, în funcție de care ordonatele curbei derivate
rezultă mai mari sau mai mici.
Construind din P paralele la coardele graficului funcției s = s (t), fig. 4.2 se observă că
cele corespunzătoare aripei crescătoare a graficului determină ordonate pozitive ale graficului
funcției derivate iar cele aferente aripei descrescătoare – ordonate negative. Aceasta permite
evaluarea unei imagini sugestive a graficului funcției derivate în raport cu graficul funcției.
Astfel dacă graficul deplasării are imaginea unei curbe clopot cu ordonata de același semn
(pozitiv), graficul vitezei are două zone tip clopot, una cu ordonata pozitivă – corespunză toare
aripei crescătoare a graficului deplasării și alta cu ordonata negativă – pentru aripa coborâtoare a
graficului deplasării.

Fig. 4.2.

Se reamintește că, scara unei mărimi fizice M, este definită în cadrul disciplinei de
mecanisme în felul următor:
kM = M / L (4.5)
unde:
M – valoarea reală a mărimii, M, măsurată în unități fundamentale de măsură;
L – lungimea segmentului care reprezintă mărimea M, pe desen (în unități fundamentale
de măsură pentru lungime).
Definirea scării și scărilor de terminate astfel, permit ușor exprimearea din curbele de
viteză sau accelerație, a valorilor efective ale vitezei sau accelerației, în orice moment al ciclului
cinematic.

4.4. Instalația experimentală

4.4.1. Instalația pentru studiul camelor plane.

Standul din fig.4 .3, conține un mecanism cu camă și tachet în mișcare de translație, având
tachetul cu rolă. Mecanismul este centric, fiind alcătuit din elementul conducător (cama 1),
elementul condus (tachetul 3) prevăzut cu rola (2), având posibilitatea, de a schimba cama. Pe
tachet este fixat un portcreion, P, care, înregistrează mișcarea tachetului pe hârtia fixată pe un
tambur (5) antrenat direct, printr -un angrenaj conic (4) de la arborele tamburului. Unghiul de 0
P kt s
[mm]
t[s] s = s(t) ks
v
[mm/s] kv
kt
t[s]
s
= v = s(t) 0’
 
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII 
p IV

V

III

II

VI

I

VII

XII

VIII

XI

X

IX 0 a o
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

rotație al tamburului este proporțional cu timpul, dacă viteza unghiulară este constantă. Axa
absciselor diagramei, care va fi inscripționată de creion pe tambur, va fi axa timpului, iar axa
ordonatelor va fi axa spațiului.
Scările diagramei obținute vor fi:
ks = 1 mm/mm, kt = T/ l s/mm (4.6)
unde:
T – perioada [a],
l – lungimea exterioară a tamburului [mm],
l = 2r, r – raza tamburului [mm].
Fig. 4.3.

Standul din fig. 4 .4, conține un mecanism cu camă și tachet cu vârf, în mișcare de
translație. Mecanismul este centric, fiind comp us dintr -un element conducător (cama 1), un
element condus (tachetul 2 – tija comparatorului 5), un angrenaj melc – roată melcată (3) și
elementul fix (7). Pe cadranul (4) se citește unghiul c, iar deplasarea s, a tachetului se citește
direct pe cadranul comparatorului (5). Mecanismul poate fi studiat, montând came cu profile
diferite.

Fig. 4.4. Fig. 4.6. 5
7
2
1

6

4

3 P
gros. 1 2 3
3
4 0 5 P

4.4.2. Instalația pentru studiul camelor spațiale

Standul din fig. 4.5, folosește un mecanism cu camă cilindrică spațială în mișcare de
rotați e și tachet în translație. Creionul P, solidar cu tachetul, va trasa pe hârtia solidară cu cama,
diagrama de variație a spațiului funcție de timp, întocmai ca în cazul standului descris în fig. 4.3.

4.5. Prelucrarea datelor experimentale

Antrenarea tut uror mecanismelor din standurile prezentate în fig. 4.3, fig. 4.4, fig. 4.5, se
face de la manivelele prevăzute în acest scop. Pentru fiecare mecanism luat în studiu, se va
completa o fișă, conținând următoarele:
a). denumirea, schema cinematică, dimensiunil e elementelor mecanismului (pentru
mecanismul cu camă plană se completează dimensiunile camei, conform fig. 4.6);
b). tabelul cu rezultatele măsurătorilor (Tabel 4.1).

Tab. 4.1.
Parametrul
de intrare c [0]
sc [mm] 0 10 20 ………
…. 350 360
Timp pentru
c = 1 rad/s t [s]
Parametrul
de ieșire  [0]
s [mm]

Timpul se calculează cu relația:

s t
cc
 (4.7)
c). alegerea scărilor aferente abscisei și ordonatei (k s, k, kt) și graficele  = (t) sau s =
s(t) și graficele primelor două derivate,
t ,
t sau
tv v ,
ta a
(grafice determinate prin derivare grafică);
d). calculul scărilor vitezelor (k  sau k v) și accelerațiilor (k  sau k a);
e). calc ulul valorilor maxime pentru:
– viteza –
max = …. rad/s sau
maxv = … mm/s
– accelerație –
max = …rad/s2 sau
maxa = … mm/s2
Pentru standurile prezentate în fig. 4.3 și în fig. 4.5, antrenân d mecanismul de la manivelă,
creionul P, trasează pe hârtie, legea spațiului. Apoi, prin derivare grafică, se poate obține legea
vitezei și legea accelerației.

L U C R A R E A N r. 5

DETERMINAREA EXPERIMENTALĂ A MOMENTULUI DE TORSIUNE
LA ARBORELE UNUI MECANISM CU CAMĂ

5.1. Scopul lucrării este determinarea experimentală a momentului de torsiune ce trebuie
aplicat camei ca element motor, pentru a învinge forțele rezistente ce se opun mișcării tachetului.

5.2. Considerații teoretice.

Prin moment de torsiune la arborele unei came se înțelege momentul aplicat din exterior
pentru a echilibra efectul reacțiunii din punctul de contact cu tachetul. Mărimea momentului de
torsiune se poate calcula dacă se cunosc dimensiunile / profilul came i (determinate din condiții
geometrice și cinematice) și forțele ce acționează asupra elementului condus, tachetul
mecanismului.
În cazul mecanismului din fig.5.1 asupra tachetului acționează o forță tehnologică F t,
forța elastică a arcului F e și forța de inerție corespunzătoare mișcării de translație a tachetului și a
pieselor legate rigid de el F I, neglijându -se acțiunea forțelor de frecare (aceste forțe nu apar
figurate). Valorile acestor forțe la un anumit moment, dat prin unghiul j, de rotire a camei , pot fi
determinate din diagramele lor de variație, rezultând forța rezistentă rezultantă F j.

ij ej tj j F F F F  (5.1)

Fig. 5.1.
F
T e n
n s
d
N
R 
O j
Mt

Forța tehnologică F t, are o variație în general cunoscută funcție de poziția tachetului.
Forța elastică a ar cului F e, variază liniar în raport cu poziția tachetului. Cunoscând legea de
mișcare a tachetului în raport cu timpul s = s(t) se pot obține F t = F t(t) și F e = F e(t).
Forța de inerție care acționează asupra tachetului este determinată de legea de variație a
accelerației tachetului,
a m Fi  .
Se observă în fig. 9.1 că forța rezistentă rezultantă F acționează după direcția momentană
de mișcare a tachetului (direcția de translație a tachetului la mecanismele cu tachet în mișcare de
translație, sau direcția perpendiculară pe brațul tachetului, la mecanismele cu tachet oscilant).
Între camă și tachet forța se transmite pe direcția n -n, normala comună a profilelor camei și
tachetului (dacă se neglijează frecarea).
Se observă că pentru învingerea fo rței F este necesar să se aplice la camă un moment de
torsiune.

d N Mt (5.2)
unde d reprezintă distanța centrului camei la normală.
Forța normală are modului:

cosFN (5.3)
iar distanța d se calculează cu expresia:

 sin e R cose d2 2 (5.4)
unde  este unghiul de presiune, iar R raza vectoare a profilului teoretic al camei,
corespunzătoare poziției respective a mecanismului.
Din cele de mai sus rezultă dependența momentului de torsiune M t de dimensiunile camei
și forțele ce acționează în mecanism.

 2 2
t e R tg eF d N M  (5.5)
Momentul de torsiune se poate determina pentru mai multe poziții ale camei obținând
curba de variație a lui M t pe un ciclu cinematic.

9.3. Instalația experiment ală.

Schema de principiu a dispozitivului experimental pentru măsurarea momentului de
torsiune aplicat la arborele camei este dată în fig.5.2.

Figura 9.2.
8 5
3 4 9 10 7

6

1

2 12

11

r l

Mecanismul constă din cama 10 și tachetul oscilant 11, care are lungimea brațului
tachetului r , momentul produs de forța rezultantă rezistentă fiind M r = F  r. Acest moment
rezistent se obține prin acționarea greutății 9 de valoare G atârnată de un fir înfășurat peste
sectorul circular 12 al tachetului, brațul greutății fiind l.
Mecanismul este acționat manual prin manivela 2 și roțile 3 și 4, acul indicator 6
marcând poziția camei pe scala gradată 1
0 0
j 360…0 . Pe roata 4 este fixat comparatorul 5
care palpează lamela elastică 8 deformată de furca brațului 7 solidar cu cama 10.
Pentru construcția descrisă, mărimea momentului de torsiune se determină din relația:

K Mt (5.6)
unde  este mărimea deformației citită la comparator, iar K = 35 Nmm /div este constanta
traductorului elastic.

5.4. Mersul lucrării. Prelucrarea datelor.

Se suspendă o greutate G și se acționează asupra manivelei aducând mecanismul într -o
poziție la care acul indicator pe scara gradată indică j = 0, cama fiind astfel fixată încât (în acest
caz) contactul între camă și tachet să se fa că pe cercul de bază al camei. Se rotește cadranul
comparatorului astfel încât acul indicator să fie poziționat la diviziunea 0 (tija comparatorului
trebuind să se afle la aproximativ jumătatea cursei proprii).
Se rotește cama mecanismului cu ajutorul mani velei din 10 în 10 grade și se citește de
fiecare dată indicația comparatorului, ce reprezintă deformația traductorului elastic. Din relația
(9.6) se obține valoarea momentului de torsiune M t și se trec valorile în tabelul 9.1 pentru un
ciclu cinematic.

Tab. 5.1.
Nr.crt.  [0]  [div] Mt [N mm]
1
2
……………………………………………………………………………………………………
…
36

Se reprezintă diagrama M t = M t ().

Obs.: se ține cont de semnul deformației când acul indicator al comparatorului indică
valori de o parte sau cealal tă a diviziunii zero. În acest fel se evidențiază faptul că forțele
rezistente și de inerție pot fi uneori forțe motoare pentru mecanismele cu camă.

L U C R A R E A N r. 6

DETERMINAREA RANDAMENTULUI MECANIC
AL UNUI MECANISM ȘURUB – PIULIȚĂ

6.1. Scopul lucrării este de a familiariza studenții cu studiul procesului de transmitere a
energiei mecanice în care apar forțe de frecare. Lucrul mecanic al forțelor de frecare între șurub
și piuliță se transformă în energie calorică și se trans feră mediului ambiant în mod irecuperabil
pentru sistemul mecanic mobil. Se compară valoarea randamentului mecanic al unui șurub cu
bile cu cea a unui mecanism șurub – piuliță fără bile.

6.2. Considerații teoretice

Prin definiție, se numește randament mecanic ( ), raportul dintre lucrul mecanic al
forțelor de rezistență utilă (productive) și lucrul mecanic al forțelor motoare în timpul unui ciclu
cinematic al mișcării de regim și se exprimă prin relația:

mrp
LL (6.1)
Prin randamentul cuplei șurub – piuliță se înțelege raportul dintre lucrul mecanic efectuat
de șurub în mișcarea sa față de piuliță, ținând cont de frecarea dintre acestea și lucrul mecanic
efectuat de forțele motoare ce produc mișcarea șurubului.
Pentru ca lculul randamentului la înșurubare se utilizează relația:

tgtg (6.2)
unde:
 [rad] – unghiul de înclinare al spirelor filetului pe diametrul mediu (d 2);
 [rad] = arctg  – unghiul de frecare între spirele șurubului și s pirele piuliței.
Unghiul  se determină din triunghiul dreptunghic ABC (fig. 6.1) obținut prin
desfășurarea spirei în plan:

2s
dptg (6.3)
unde:
ps este pasul șurubului și reprezintă distanța între două puncte succesive de p e
generatoarea aceleiași spire.
În cazul în care șurubul are un număr i de începuturi p s se va determina cu relația:

pi ps (6.4)
unde:
p este pasul filetului și reprezintă distanța pe generatoare între două spire vecine ale
filetului.
Pentru determinarea mărimii tg (  + ) se aplică legea conservării energiei:

r u c L L E E  (6.5)
unde:

E – energie cinetică a sistemului la un moment dat;
Ec = 0 – energie cinetică la momentul inițial (sistemul por nește din poziția de repaus);
Lu – lucrul mecanic al forțelor utile;
Lr – lucrul mecanic al forțelor rezistente.
Fig. 6.1.

6.3. Descrierea instalației experimentale

Pentru determinarea randamentului mecanic al unui mecanism șurub – piuliță se
utiliz ează montajul din fig. 6.3, prin care se realizează transformarea energiei potențiale a
greutăților G 7 în energie cinetică. Pentru determinarea randamentului mecanismului șurub –
piuliță cu bile, instalația experimentală este asemănătoare, dar între șurubul 1 și piulița 2 în locul
frecării de alunecare apare frecare de rostogolire a bilelor dintre spirele șurubului și spirele
piuliței (fig. 6.2).

Figura 6.2.

La momentul final, când întreaga energie potențială este transformată în energie cinetică,
ecuația (11.5) devine:

r uM M mv I2 2
21 (6.6) d3
d2
d1
ps B
C A 

În relația de mai sus:
I [kgm2] – momentul de inerție masic al șurubului și greutăților G în raport cu axa de
rotație;
 [rad/s] – viteza unghiulară a șurubului în momentul final al experienț ei;
Mu [Nm] – momentul forțelor utile în raport cu axa de rotație;
Mr [Nm] – momentul forțelor rezistente în raport cu axa de rotație;
m [kg] – masa șurubului împreună cu piesele ce se rotesc;
v [m/s] – viteza rectilinie a șurubului în momentul final;
 [rad] – unghiul total de rotație al șurubului.

În cazul mișcării uniform accelerate, viteza greutății a 7 (paharul 7 împreună cu greutățile
adiționale) va fi:

ts2t a v7 7  (6.7)
unde:
a7 [m/s2] – accelerația greutății 7;
s [m] – spațiul parcurs de greutatea 7 la coborâre;
t [s] – timpul de coborâre a greutății.
Viteza unghiulară a șurubului în momentul final (pentru min) se determină din relația:

Fig. 6.3.
2 27
d ts4
dv2

(6.8)
Viteza lineară a șurubului este:

2s
sd t2p s2p;2v (6.9)
Momentul forței utile, la coborâre cu accelerația constantă, se poate exprima cu relația: 11
10
1

2
3

6

4

5
8

7 G
G7

2d
ga1G2dF G M2 7
72
7i 7 u 


  (6.10)
Înlocuind pe a 7 din relația (11.7) se obține:

2d
t gs21G M2
2 7 u 



 (6.10’)
Momentul rezistent al forței de frecare se determină cu relația:

  tgG G2dM12
r (6.11)
În relația de mai sus, G 1 este greutatea șurubului [N].
Unghiul de rotire al șurub ului în radiani (pentru  mic) este:

2ds2 (6.12)
Instalația experimentală este alcătuită din: mecanismul șurub – piuliță (1 și 2), scripeții 3
peste care trec firele 4 de care este fixat suportul 5 pentru paharul 7 cu greu tăți. De stativul 6 este
fixată o riglă gradată 8 pe care se fixează două repere. Șurubul 1 se încarcă cu greutăți G (10) ce
sunt fixate de șurub prin strângere cu piulița 11.
Înlocuind mărimile cunoscute în relația (11.5) se obține expresia:
 







242 2112
1 2
22 2 7
7spmmJdts
tgsGGGtgA
(6.13)
unde:
d2 [m] – diametrul mediu al filetului;
m1 [kg], G 1 [N] – masa respectiv greutatea șurubului 1;
ps [m] – pasul șurubului;
J = J s + JG [kgm2] – momentul de inerție masic al ansamblului șurub – sarcină.

2rm J;8dm J2
G2
2
1 s   (6.14)
G [N] – greutatea de masă m ce reprezintă sarcina adăugată șurubului;
r [m] – raza greutății G;
G7 [N] – greutatea ce execută lucrul mecanic util și este alcătuită din greutatea suportului
5, greutatea paharului 7 și greutățile ce se adaugă în pahar;
s [m] – spațiul parcurs de greutatea G 7 la coborâre între repere;
t [s] – timpul în care greutatea G 7 parcurge spațiul s.
Cu relația (11.3) calculează valoarea unghiului  și apoi cu relația (11.2), randamentul
cuplei șuru b-piuliță. Unghiul de frecare  și coeficientul de frecare  se calculează cu
relațiile:

  )A( arctg (6.15)

 tg (6.16)

6.4. Mersul lucrării.

1. Se încarcă șurubul cu greutatea G strângând piulița 1.
2. Se fixează reperele 9 pe rigla gradată la distanța s.
3. Prin înșurubarea șurubului 1 se aduce suportul 5 în dreptul reperului superior, astfel
încât firele 4 să treacă peste scripeții 3 și să urmărească filetul șurubului.
4. Se încarcă paharul 7 cu greutăți, ast fel încât la căderea greutății G 7 șurubul să se
ridice lin, mișcarea fiind uniform accelerată și se cronometrează timpul în care se
parcurge distanța s.

5. Se repetă aceleași etape de trei ori pentru aceleași greutăți G și G 7, timpul t fiind
media aritmetică a celor trei determinări.
6. Se repetă experiența pentru alte sarcini G și alte greutăți G 7.
7. Determinările sunt aceleași și pentru șurubul cu bile, utilizând o instalație
experimentală asemănătoare.

6.5. Prelucrarea datelor experimentale.

a). se completează tabelul 6.1 cu mărimile caracteristice ale mecanismului cu șurub normal
și a șurubului cu bile, valoarea unghiului  se determină din relația ( 6.3);
b). se calculează valoarea lui A cu ajutorul relației ( 6.13), determinându -se apoi unghiul
de frecare  și coeficientul de frecare cu relațiile ( 6.5) și ( 6.6).
c). se determină valoarea randamentului și cu ajutorul relației ( 6.2) și se trec toate
rezultatele experimentale în tabelul 6.2 atât pentru șurubul normal cât și pentru șurubul cu bile;

Tab. 6.1.
Mărim ea Simbol UM Șurub
normal cu bile
Masa șurubului M1 Kg
Greutatea șurubului G1 N
Diametrul mediu al filetului d2 m
Pasul filetului p m
Numărul de începuturi i –
Pasul șurubului ps m
Unghiul de înclinare al filetului  rad
Diametrul exterior d m

Tab. 6.2.
Nr.
det. m
[kg] G
[N] m7
[kg] G7
[N] J
[kgm2] s
[m] t
[s] tg
(+) 
[0]  

……………………………………………………………………………………………………
…….

d). se trasează curba randamentului în funcție de încărcare,  =  (G + G 1) atât pentru
șurubul normal cât și pentru șurubul cu bile.

L U C R A R E A N r. 7

GENERAREA PROFILELOR EVOLVENTICE ALE
DINȚILOR ROȚILOR DINȚATE

7.1. Scopul lucrării constă în:
– modelarea cu ajutorul unei machete de laborator a procesulu i de generare a danturii
pe mașini unelte;
– cunoașterea particulatităților de generare a profilelor roții plane cu dantură zero și
dantură deplasată – cu ajutorul cremalierei sculă.

7.2. Considerații teoretice

Fie două roți dințate cu profil evolventic în angrenare având numerele de dinți z 1 și z 2.
Cele două roți sunt caracterizate prin cercurile de rază r b1, rw1 și respectiv r b2, rw2 (de bază și
rostogolire).
Dacă una din roți, de exemplu roata 2, are raza de rostogolire foarte mare, la limită
infinită, atunci aceasta devine o bară dințată numită cremalieră. În acest caz (fig.7.1) cercul de
rostogolire rw 2 degenerează în tangenta t – t la cercul de rază r w1, iar cercul de bază se confundă
cu tangenta K 1CK 2 – linia de angrenare.

Fig. 7.1. Fig. 7.2

Profilele evolventice ale roții 2 devin în acet caz drepte perpendiculare pe linia de
angrenare K 1CK 2, deoarece au centrele de curbură K 2 la infinit.
Pasul cremalierei “p” se măsoară pe direcția t – t iar pasul de bază “p b” de-a lungul
normalei la profilel e rectilinii ale cremalierei.
Din fig.7.1 rezultă că p b = pcosw. Se consideră profilul evolventic “e” din fig.7.2 și
dreptele 1 și 1’ tangente la cercul de bază de rază r b în punctele K și K’. K2

t t w
w
 e1
e2 K1 01
C
p pb
02

rw2
 rb1 rw1 w rw rw1’
l’ l ’w e1 k
C’
w k’
C ’w
lb1 01

Pentru fiecare dintre aceste drepte se poate defini câte un p rofil rectiliniu de cremalieră.
Cu alte cuvinte unui profil evolventic dat îi sunt conjugate o infinitate de cremaliere definite între
ele prin unghiul  de înclinare a flancului.
Dintre aceste cremaliere se admite una drept cremalieră (profil) de referin ță. La noi în
țară, ca și în majoritatea țărilor, s -a standardizat cremaliera având  = 0 = 200 (STAS 821 -82).
Profilul de referință (fig.7.3) servește la definirea dimensiunilor geometrice caracteristice
ale unei danturi evolventice.
Tab. 7.1.
Fig. 7.3.
Fig. 7.4.

În prelucrarea roților dințate cu cremalieră -sculă, aceasta se poate dispune astfel încât
linia sa de referință să nu fie suprapusă cu tangenta t – t la cercul de divizare al roții generate.
Prin r ostogolirea peste cercul de divizare al roții a dreptei t – t cu care se solidarizează
profilul de referință, acesta va genera în planul roții o dantură evolventică (ca înfășurătoare a
pozițiilor succesive ale profilelor rectilinii ale cremalierei), (vezi fig.7.4 )
Dacă linia de referință se suprapune cu dreapta t – t, se obține o dantură numită normală,
elementară sau zero. pc/2 pc/2
p
ho
hoa hof 
A Linia de
referință
co o A Mărimea Profilul
normal
m  1 pt.Mf
m  1
ho = h*
om 2,25m 2,5m
hoa = h*
oam 1m 1,1m
hof = h*
ofm 1,25m 1,4m
Co = C*
om 0,25m 0,3m
o = *
om 0,38m 0,4m

P’
P
V M’
M N N’ C
0 0  = 0
(O) (-)
(+) + xn
– xn K
t rb r
Pozițiile
liniei
de referință t

Dacă linia de referință a profilului de referință este exterioară cercului de divizare, se
obține o dantură deplasată pozitiv iar dac ă linia de referință este secantă la cercul de divizare, se
obține o dantură deplasată negativ.
Fracțiunea “x” este raportul dintre valoarea care exprimă deplasarea liniei de referință și
modul, definind coeficientul de deplasare (sau deplasarea specifică ) care este o mărime
algebrică.
În raport cu profilul dintelui danturii normale, dintele de la o dantură deplasată pozitiv
este mai gros la bază și mai subțire la vârf iar la o dantură deplasată negativ este mai gros la vârf
și mai subțire la bază.
Deplasa rea danturii se practică pentru realizarea unor avantaje cum sunt: evitarea
interferenței și subtăierii bazei dinților, realizarea unor angrenaje cu distanța între axă impusă,
obținerea unor danturi cu rezistență mărită la contact respectiv la încovoiere, etc.

7.3. Principiul rostogolirii la prelucrarea danturilor

Danturarea după principiul rostogolirii se efectuează pe mașini unelte de mortezat dantură și
pe mașini unelte de frezat dantură cu freză melc.
Mașinile de mortezat dantură folosesc cremaliere s culă (pieptene Maag) sau cuțit -roată
(roți Fellow). Aceste scule sunt prevăzute cu dinți cu profile evolventice, având muchii tăietoare.
Sculele execută o mișcare de mortezare în lungul liniei flancului dinților de prelucrat și în același
timp, mașina unea ltă comunică semifabricatului și sculei o mișcare relativă corespunzătoare
mișcărilor pe care le -ar obține dacă ele arangrena. La fiecare cursă, scula îndepărtează din
semifabricat o cantitate de material corespunzătoare poziției pe care o are față de roat a de
prelucrat. Flancurile dinților roții prelucrate apar atunci ca suprafețe ce înfășoară suprafețele
măturate de muchiile dinților sculei la curse succesive.
Aceste muchii au profile evolventice (roata Fellow) sau drepte (pieptene Maag) iar
suprafețele f lancurilor dinților sunt suprafețe cu profile evolventice conjugate suprafețelor
flancurilor dinților roții / pieptenelui sculă.
Avantajele danturării după principiul rostogolirii constau în productivitatea mare a
procedeului, posibilitatea de a obține cu scula de un anumit modul roți cu numere diferite de
dinți și cu parametri geometrici diferiți (deplasări diferite de profil).

7.4. Descrierea machetei experimentale

Instalația experimentală reproduce principiul danturării roților dințate cu ajutorul
cremalierei -sculă, imprimând “semifabricatului” o mișcare de rototranslație, cremaliera
fiind fixă.
Macheta este formată din următoarele părți principale (conf. fig.7.5):
1- disc port hârtie (“semifabricat”);
2- cremalieră – generatoare;
3- cremalieră de ghidare (m = 1);
4- placă suport;
5- disc de rostogolire;
6- roată dințată de m = 1;
7- riglă de rulare;
8- placă suport vernier;
9- piuliță;
10- șurub;
11- șurub – fixare placă;
12- piuliță fixare placă;
13- canale deplasare cremalieră – generatoare;
14- verniere;

Fig. 7.5.

În părțile laterale sunt t rasate scale gradate oentru măsurarea deplasării cremalierei.
Suportul port -hârtie este format dintr -un disc port -hârtie (1), un disc de rostogolire (5) și
o roată dințată de modul 1 (6).
Diametrul discului de rostogolire și diametrul de divizare (referi nță) al roții dințate modul
1, sunt egale cu diametrul de divizare (referință) al roții căreia urmează să i se genereze dantura.
Hârtia pe care se va desena dantura se fixează pe discul port -hârtie (1) cu ajutorul a două
șuruburi cu piuliță (9, 10).
Crem aliera generatoare este realizată din tablă și are modulul 10 (2).
Cremaliera generatoare conf.STAS 913/3 -81 este cremaliera complementară cremalierei
de referință care se potrivește în cremaliera de referință astfel încât dinții uneia să umple exact
golul dinților celeilalte (fig.7.6).
Pentru deplasarea pozitivă respectiv negativă a cremalierei generatoare, sunt prevăzute
două canale (13) prin care trec șuruburile (11, 12).
Asigurarea rulării fără alunecare între “sculă” și “semifabricat” se face prin:
– o riglă de rulare (7), montată sub cremaliera generatoare (2) peste care se rostogolește
discul de rostogolire (5); 13 14 11 3 7 8 4 6 5 1
9

10

2
12
A
A

– o cremalieră de ghidare (m=1) (3) montată sub rigla de rulare (11), cu care
angrenează roata dințată (6).
Fig. 7.6.

Cele două piese care form ează ansamblul cremalieră generatoare (2) – cremalieră de ghidare
(3) se solidarizează cu placa (4) prin intermediul șuruburilor (11, 12).
Rolul angrenajului suplimentar este de a îndeplini alunecarea discului port -hârtie (1) în
timpul operației de generar e a danturii.
Solidare cu placa de bază sunt două verniere (14) având precizia de 0,1mm. Pe gradațiile de
pe cremalieră și vernier sunt trasate două linii mai lungi; când sunt în prelungire se obține
dantura zero.

7.5. Prelucrarea datelor experimentale

După ce s -a generat dantura pe desenul astfel obținut se trasează cercul de divizare. Se
trasează cercul de cap de diametru d a, cunoscut, care ajută la alegerea semifabricatului din
care urmează să se prelucreze roata dințată.
Cercul de picior este tangent interior la profilul obținut pentru roțile dințate, urmând ca și el
să fie desenat.

7.5.1. Date inițiale

– m, z ai roții dințate pe care urmează să o generăm;
– deplasarea x m a liniei de referință a sculei față de cercul de divizare al roții generate;
– profi lul de referință standardizată – conf.tab.7.1;
– raza cercului de cap – ra;
– două raze oarecare r y1  r și r y2  r, din zona evolventică a profilului generat.

7.5.2. Relații de calcul a mărimilor caracteristice danturii generate

– raza cercului de divizare:
2z mr
(7.1)
– raza cercului de picior a danturii:
 x c hm r r'
0*
a f 
(7.2)
– unghiul de presiune pe cercul de rază oarecare r y:




 0
yy 20cosrrarccos
(7.3)
– grosimea dintelui pe cercul de rază oarecare:

 

y0 0
y y inv 20inv 20tg x 22z1r2 s
(7.4)
unde:
m f'
0
2f'
0
2f'
0 0
h0 h0g h0f Linia de
referință

 ˆ tg inv :
radˆ (7.5)
– pasul unghiular:
z2
z
(7.6)
– raza cercului util:
0 f u c m r r 
(7.7)
– raza cercului de bază:
0
b 20cosr r
(7.8)

7.5.3. Mersul lucrării

Se fixează deplasarea impusă pe vernierul 14 cu șuruburile 11, 12. Se fixează discul de
hârtie cu piulițele 9. Impunând angrenarea între roata dințată 6 și cremaliera 3, se desene ază
succesiv pe hârtie, conturul cremalierei generatoare 2.
Se calculează r f. Se alege r y1
(rb, r) și r y2
(r, r a). Se calculează y1, y2, a cu relația
(7.3).
Se trasează cercurile de rază r f, ry1, r, r y2, ra pe discul de hârtie, după determinarea
centrului. Se calculează coardele
a 2 1 s,s,s,s cu relația:

yy
y yr 2ssin r 2 s (7.9)
argumentul fiind în radiani.
Se măsoară pe dantura desenată s u, sf, s1, s, s 2, sa și se înregistreaz ă în tabelul 7.2 (ca
medie de pe trei dinți) comparându -se cu valorile calculate corespunzătoare.
Se repetă cele de mai sus pentru diferite alte deplasări de profil comparându -se și forma
dinților obținuți:

Tab. 7.2.
Nr.
crt. X
[mm] rf
[mm] ra
[mm] ry1
[mm] ry2
[mm] su
[mm] s1
[mm] s
[mm] s2
[mm] sa
[mm]
1 +…
2 0
3 -…

Nr.
crt. X
[mm]
1s
s
2s
as
calc. măs. calc. măs. calc. măs. calc. măs.
1 +…
2 0
3 -…

L U C R A R E A N r. 8

STUDIUL EXPERIMENTAL AL CARACTERISTICILOR
UNUI REGULATOR

8.1. Scopul lucrării este aprofundarea cunoștințelor teoretice cu privire la sistemele de
reglare automată a energiei mașinii motoare a unui agregat, prin studiul experimental al
caracteristicilor unui regulator centrifugal cu bile.
Ca parte componentă a unui asemenea sistem de reglare automată, regulatorul are rolul
de a sesi za variațiile de viteză unghiulară și să le transforme în semnale de comandă.
O altă componentă a sistemului de reglare automată este organul de execuție care preia
semnalul de comandă dat de regulator și acționează asupra alimentării mașinii motoare (poz .6,
fig.8.3).
Dacă se notează cu
G
redF forța redusă la manșonul M care tinde să apropie bilele spre axa
de rotație a regulatorului (forța de readucere), forță ce depinde de greutatea bilelor, a
manșonului, a elementelor de legătură și de forța R a arcului și cu
i
redF forța redusă la manșon
care tinde să îndepărteze bilele datorată forțelor de inerție și neglijând frecările din articulații,
ecuația de echilibru a regulatorului se poate scrie astfel:

0 F FG
redi
red  (8.1)
În diagrama din fig.8.1.a s -a prezentat grafic variația celor două forțe în raport cu poziția
manșonului (caracterizată prin distanța z).
Punctul de intersecție a celor două curbe indică poziția de funcționare în echilibru a
regula torului, carcaterizată prin poziția z e a manșonului.
Dacă fără a modifica viteza unghiulară i a regulatorului se deplasează manșonul în
poziția z’  ze unde
i
redF
G
redF sau în poziția z’’  ze unde
i
redF 
G
redF, în ambele situații acesta
revine în poziția z e după ce este lăsat liber. Această proprietate de a reveni în aceiași poziție după
ce a fost scos din echilibru (la  = ct.) se numește stabilitatea regulatorului.
Dacă se modi fică viteza unghiulară a regulatorului la II  I punctul de echilibru se
mută la abscisa
'
ez  ze, deci manșonul se deplasează din poziția z e la noua poziția de echilibru
'
ez
deoarece pe acest interval apare din nou
i
redF 
G
redF.
Diferența acestor forțe se numește forța de comandă redusă la manșon:

G
redi
red C F F F  (8.2)
Variația acestei forțe se poate observa pe diagrama din fig.8.1.a (porțiunea hașurată) ș i pe
diagrama din fig.8.1.b unde s -a trasat diagrama F C (z) pentru regimul tranzitoriu de mișcare a
manșonului din z e în
'
ez .
Dacă se reduc și forțele de frecare în punctul M, ecuația de echilibru a regulatorului va
avea următoarele ex presii:

 0 F F ' FfG
redi
red  (8.3)
pentru tendințe de ridicare a manșonului și
 0 F F '' FfG
redi
red 
(8.4)
pentru tendințe de coborâre a manșonului, unde F f este forța de frecare în punctul M.

La variațiile vitezei un ghiulare  între limitele ’ și ’’ regulatorul este insensibil.
Gradul de insensibilitate al regulatorului se definește cu relațiile:

"'"'2 (8.5)
a). b).
Fig. 8.1.

Curbele de variație a poziției regulatorului z u () pentru cazul creșterii vitezei unghiulare
(urcare manșon) și respectiv z c () pentru cazul descreșterii acesteia (coborâre manșon) fig.8.2.a,
nu se vor suprapune tocmai datorită forței de frecare F.
a). b).
Fig. 8.2.

Ducând o paralelă la a xa O prin ordonata z k intersecția acestei orizontale cu cele două
curbe z u () și z c () va da puncte de abscisa
'
k și
''
k cu a căror valori se poate calcula gradul
de insensibilitate k (corespunzător valorii z k).

8.2. Standul și aparatura folosită.

Pentru desfășurarea lucrării se folosește standul prezentat în fig.8.3 sub formă de schemă
cinematică.
IIi
red,zF
Ii
red,zF

zFG
red

G
redi
red
FF
'
ez
z’ z e z’’ z
'
ez ze z FC
z
z
k
z
''
k
'
k


zm ()
Zc ()

Standul se compune în principal din motorul electric 1, variatorul mecanic 2, comandat
prin mecanismul șurub – piuliță 3, transmisie cu curea 4, regulatorul centrifugal cu bile 5,
pârghia 6 prevăzută cu un buton sferic B și un ac indicator ce se deplasează de -a lungul
sectorului gradat 7, suportul 8 ce susține lama elastică 9 și comparatorul 10.
Suportul 8 poate f i deplasat pe verticală de -a lungul ghidajului 11 cu ajutorul unui alt
mecanism șurub – piuliță 12.
Pe lângă sistemul de măsurare cu lamă elastică 9 și comparator 10 la această lucrare se
mai folosește un tahometru centrifugal pentru măsurarea vitezei un ghiulare a regulatorului și o
riglă gradată pentru măsurarea distanțelor A și C realizate de brațele pârghiei 6.
Fig. 8.3.

Forțele care încarcă lama elastică 9 se calculează în funcție de deformația măsurată de
comparatorul 10, cu relația:

c F
(8.6)
unde:
c = 1,94 [N/mm], este constanta elastică a lamei 9.
Pe sectorul gradat 7, se citesc distanțele z j.

8.3. Mersul lucrării și prelucrarea rezultatelor.

1. Se poziționează centric lama 9 peste butonul B și se cit esc valorile i, zi și c i care se
înscriu în tabelul 8.1. Se repetă aceste măsurători de 8 ori, modificând distanța z i, cu
manivela 12. Se calculează forța cu care acționează butonul B asupra lamei 9 cu
relația:
i iB c F 
(8.7) z
A C i Fz
G M R
R
 5 6 B 10 12
9 8 11
7

4

2
1 3

și forța redusă la manșon, în punctul M, cu relația:

iBi G
ired FACF , (8.8)
care se înscriu în tabelul 8.1. Se trasează diagrama forței de readucere
)z(F FiG
iredG
red
.
2. Se pornește motorul electric de antrenare reglânde viteza un ghiulară la o valoare
minimă, apoi modificând valoarea acesteia de cca 8 ori, în intervalul de fucnționare,
se citesc valorile j și z j, la ridicare și la coborâre, care se înscriu în tabelul 8.2. Cu
aceste valori se trasează diagramele
j jn n z z  și
j jc c z z  . Viteza
unghiulară se măsoară cu un tahometru centrifugal.
3. Se intersectează cele două curbe, trasate mai sus, cu paralele la abscisă rezultând z k,
’k, ’’k, cu ajutorul cărora se calculează gradul de insensibilitate k, folosind (8.5).
Valorile se înscriu în tabelul 8.3 și se trasează diagrama k = ki (z ki).
4. Se aleg două valori ale vitezei unghiulare I  II. Se reglează viteza unghiulară la
valoarea I și se poziționează lama 9 centric sub butonul B. Se mărește viteza
unghiulară la valoarea II, acționând manivela 3. Bilele regulatorului tind să se ridice
dar se opune lama 9 care se deformează. Cu manivela 12 se coboară lama 9 către
noua poziție de echilibru, consemnând perechile de valori z i și i în poziții
intermediare , care se înscriu în tabelul 8.4. Forța de comandă se calculează cu relația
8.6 și se trasează curba
i ic c zF F .

Tab. 8.1. Tab. 8.2.
i zi
[mm] di
[m] ci
[mm]
iBF
[N]
G
iredF
[N] j j
[rads-1]
juz[mm]
(urcare)
jcz[mm]
(coborâre)
1 1
…………………………………………… ………………………………………….
8 8

Tab. 8.3. Tab. 8.4.

k Zk
[mm]
'
k
[rads-1]
''
k
[rads-1]
k
I = [rads-1] II = [rads-1]
l zl
[mm] l
[mm] Fci
[N]
1 1
……………………………………………….. …………………………………………
8 8

L U C R A R E A N r. 9

ECHILIBRAREA ROTORILOR

9.1. Considerații teoretice.

Asupra elementelor mecanismelor acționează forțe de inerție provocând solicitări care se
adaugă la cele statice. Forțele de inerție având variație periodică cu ciclul egal cu ciclul
cinematic, p ot da naștere la vibrații, trepidații, zgomot, având efecte negative asupra funcționării
mașinii și mediului. În vederea eliminării acestor neajunsuri se impune anularea sistemului de
forțe de inerție care acționează asupra elementelor componente. Acest de ziderat prin atașarea la
elemente a unor piese numite contragreutăți. Determinarea prin calcul a maselor și a locurilor de
amplasare a contragreutăților se numește echilibrare.
O parte a elementelor mecanismelor execută mișcări de rotație în jurul unor ax e fixe. În
prezenta lucrare se arată modul în care se face echilibrarea acestor elemente, numite în
continuare rotori.

Fig. 9.1.

Se consideră rotorul din fig. 9.1 și se admite un sistem de axe rectangulare astfel încât axa
Oz să coincidă cu axa de rotați e. Condițiile ca rotorul să fie echilibrat sunt ca centrul său de
greutate să se găsească pe axa de rotație și axa de rotație să fie o axă principală de inerție.
Aceasta presupune ca suma momentelor statice ale maselor, în raport cu axa de rotație, ca
și momentul de inerție centrifugal în raport cu două axe perpendiculare dintre care una
confundată cu axa de rotație să fie nule. În cazul rotorilor care funcționează cu viteza unghiulară
constantă condiția a doua impune ca suma momentelor momentelor statice ale maselor
componente (incluzând și contragreutăților) să fie nulă.
Cele două condiții conduc astfel la două ecuații vectoriale care permit calculul a două
contragreutăți. Când calculul contragreutăților se face pe baza acestor condiții, rotorul este
echilibrat dinamic.
Rotoarele care au lungimea neglijabilă în raport cu diametrul și se mișcă cu viteze
unghiulare mici, se consideră echilibrate dacă prima condiție este îndeplinită. O asemenea
echilibrare se numește echilibrare statică.

y z
x O

9.2. Mersul lucră rii.

9.2.1. Echilibrarea statică a unui rotor

Se calculează masele tuturor pieselor care compun rotorul și se stabilesc centrele lor de
masă. Pentru rotoarele care se pot echilibra static, toate centrele de masă sunt în același
plan.
Se consideră masele pieselor care compun rotorul concentrate în centrele lor de masă. Se
scrie că suma vectorială a momentelor statice ale maselor pieselor componente ale rotorului și a
contragreutății de determinat, în raport cu axa de rotație este nulă adică:

0 rmrmcc ii  
(9.1)
unde:
mi – este o masă oarecare;

ir – vectorul de poziție al centrului de masă al masei “i”;
mc – masa contragreutății

cr – vectorul de poziție a centrului de masă al contragreu tății.
Construind poligonul momentelor statice la o scară aleasă arbitrar, din condiția de
închidere a acestui poligon rezultă momentul static al contragreutății. Alegând poziția centrului
de masă a contragreutății pe direcția vectorului m c
cr, se calculează masa acesteia m c.

9.2.2. Echilibrarea dinamică a unui rotor.

Se calculează masele tuturor pieselor care compun rotorul și se stabilesc centrele lor de
masă. Ele se vor găsi în plane transversale diferite.
Se aleg planele transv ersale I și II de amplasare a contragreutăților, astfel ca planul I să
treacă prin originea sistemului de referință (rezultă
0 zi0 ) iar planul II să fie strict la
distanța aleasă z cII.
Se scrie ecuația momentelor momentelor statice car e conține o singură necunoscută –
momentul momentului static al contragreutății c II, contragreutatea c I având momentul
momentului static nul (z cI =0).
0 rm zrm zcII1c cII ii i   
(9.2)
unde:
mi – este masa piesei “i”;

ir – vectorul de poziție al centrului de masă al piesei “i” în raport cu axa de rotație;
iz
– vectorul -distanță considerat pe axa de rotație de la origine până la planul în care se
găsește centrul de masă amintit mai sus;

1cm – masa contragreutății

cIr – vectorul de poziție a centrului de masă al contragreutății
cIz
– vectorul -distanță aferent planului ales pentru amplasarea contragreutății c I.
Din condiția ( 9.2) se determină pr odusul
cIm
cIr și alegând modulul (
cIr ) al vectorului de
poziție, rezultă masa
cIm a contragreutății.
În vederea aducerii centrului de greutate al rotorului pe axa de rotație, s e așează a doua
contragreutate în planul xOy, astfel încât:

0 rm rm rmIccI cIIcII ii 
(9.1’)
unde
cIm
cIr este momentul static al celei de a doua contragreutăți.

9.3. Exemple

9.3.1. Echilibrarea stat ică a unui rotor

Se consideră prima fază a calculelor efectuată. În tabelul 9.1 sunt trecute masele pieselor
care compun rotorul, coordonatele polare ale centrelor de masă și modulele momentelor statice
ale maselor respective în raport cu axa de rotație. În fig. 9.2.a, este reprezentat rotorul cu masele
concentrate în centrele de masă.

Tab. 9.1.
Nr.crt. m [gr] r [mm] [grade] mr [grmm]
1 150 17,5 300 2625
2 160 15,0 900 2400
3 400 10 1500 4000
Contra –
greutatea 120 17,5 3020 2100

a). k l = 7,07 mm/mm b). k m = 7,07 grmm/mm
Fig. 9.2.

În aceste condiții ecuația ( 9.1) se scrie sub forma:

0 mr mr mr mrc c 3 3 2 2 1 1  (9.1’’)
În fig. 9.2.b s -a reprezentat poligonul vectorial al momentelor statice. Segmentul
1cc
care în chide acest poligon reprezintă momentul static al masei contragreutății. Modulul său este:

grmm 2100 7,297,70 cc k rm 1m cc 
Alegând centrul de masă la raza r c = 17,5 mm, rezultă masa contragreutății:

gr 1205,172100
rr mm
cc c
c  
Direcția pe care trebuie să s e găsească centrul de masă al contragreutății este paralelă cu
segmentul
1cc . Rezultă c = 3020.
Datele cu privire la contragreutate au fost trecute și în tabelul 9.1.
1r m2
mc m1
m3 2
c 3 1
2r
3r

cr mc
cr m2
2r
m1
1r m3
3r
c
c
c1

9.3.2. Echilibrarea dinamică a unui rotor

Se consideră calcula te masele pieselor care compun rotorul și determinate pozițiile
centrelor lor de greutate. În tabelul 9.2 sunt trecute masele, coordonatele polare ale centrelor de
masă, distanțele planelor în care se găsesc aceste mase până la originea sistemului de refer ință,
modulul momentelor statice ale maselor în raport cu axa de rotație și modulul momentelor statice
în raport cu originea sistemului de coordonate.

Tab. 9.2.
Nr.crt. m [gr] r [mm] [grade] z [mm] mr [grmm] zmr [grmm2]
1 200 15 600 10 3000 30000
2 600 10 1500 20 6000 120000
3 250 12 3000 30 3000 90000
contra –
greutate I 57,06 17,5 3500 40 1000 40000
contra –
greutate II 171,2 17,5 2920 0 3000 0

În fig. 9.3.a, este reprezentată schema rotorului. În fig. 9.3.c, s -a trasat poligonul vectorial
al mome ntelor momentelor statice, după relația:

0 rm z rm z rm z rm zcIIcII cII 33 3 22 2 11 1  (9.2’)
Vectorul
i1cc care închide acest poligon reprezintă momentul momentului static al masei
contragreutății 1. Modulul său este:

40000 14,14 2828 cc k r m z'
11 2m cI cI cI  gr mm2
Alegând centrul de masă la distanța
cIIr =17,5 mm de axa de rotație și cunoscând
cIIz =40
mm, rezultă masa contragreutății 1.

gr06,575,17 4040000
r zr m zm
cII cIIcII cII cII
IIc 
Unghiul de poziție al contragreutății rezultă din poli gonul fig. 9.3:

0
cII 350
În fig. 9.3.b, s -a trasat poligonul vectorial al momentelor statice, după relația:
0 rm rm rm rm rmcIIcII cIcI 33 22 11 
(9.1’’)
Vectorul
'
22cc care închide poligonul reprezintă momentul static al mase i contragreutății
I. Modului său este:
3000 21 141 cc k r m'
22 1m cI cI 
gr.mm

a). k l = 7,07 mm/mm

b). k m = 141 grmm/mm c).
mmk = 2828 grmm2/mm
Fig. 9.3.

Alegând centrul de masă la distanța
2cr =17,5 mm de axa de rotație și cunoscând
cIIz =40
mm, rezultă masa contragreutății II.

gr2,1715,173000
rr mm
cIIc cI
cI  
Unghiul de poziție al centrului de masă al contragreutății I rezultă:

0
cI 292
Datele cu privire la contragreutăți sunt trecute în tabelul 9.2.

23
1c
cI

cIIcIIrm
33rm
22rm
IcIcrm

11rm
33rm
c2
'
2c

22 2 rm z
33 3 rm z

IIccI Ic rm z
33 1 rm z
'
1c

c1
2c
cII

cIIr
2cr

cIIm
2r
3
1r m2
cIm
m1
m3 2
1
3r

cIr

2cr

cIIm m2 m1
m3
z1
cIm
z2
z3
cIIz

I II

I Analiza structurală a mecanismelor

Analiza structural a unui mecanism implică parcurgerea următoarelor etape:

a) identificarea elementelor și a cuplelor cinematice ale mecanismului;
b) identificarea elementului(lor) mo toare;
c) identificarea particularităților de aplicare a formulelor structurale;
d) determinarea gradului de mobilitate al mecanismului și verificarea desmodromiei
mecanismului;
e) identificarea conexiunilor K A(0);
f) trasarea mecanismului instantaneu izoc inetic înlocuitor;
g) determinarea gradului de mobilitate al mecanismului instantaneu izocinetic;
h) împărțirea lanțului cinematic al mecanismului instantaneu izocinetic în grupe cinematice;
i) deteminarea tipului, ordinului și a clasei grupelor cinematice .

Exemple de analiză structurală:

1. Analiza structurală a mecanismului de acționare a unei scene mobile

Etapele de efectuare a analizei structurale a mecanismului de acționare a platformei mobile,
conform enunțului, sunt:

a) identificarea elementelor și a cuplelor cinematice a mecanismului;
Se vor numerota elementele și denumi cuplele cinematice ale mecanismului conform fig.1 .1.
Se vor determina:
1. Nu mărul elementelor mecanismului:
8n ,
2. Numărul cuplelor cinematice de clasa a V -a:
),,,,,,,(80 0 5 GFDCBBAA c ,
3. Numărul cuplelor cinematice de clasa a IV -a:
),(24 HF c .

h
13
45 8 7
6A0B0C
2A
00
D
EF
G
BH
Fig.1.1. Mecanismului de acționare a unei scene mobile
h

b) identificarea elementului( lor) motor;
Mecanismul din figura 1 conține un element motor (2).
Numărul elementelor motoare:
1 nm .

c) identificarea particularităților de aplicare a formulelor structurale;
Mecanismul conține 2 elemente cu mișcări independente: role le (6) și (7).
Gradul de libertate al unei role se determină conform relației:

101213 c c2 n3 Lid4 id5 id id  ,
G
6

unde:
1 nid (rola),
)G(1 cid5 .

d) determinarea gradului de mobilitate al mecanismului ș i verificarea desmodromiei
mecanismului;
Gradul de mobilitate al mecanismului se determină cu relația:

10)12(282)18(3 L L cc2)1n(3Mp id 4 5   .
Mecanismul este desmodrom fiindcă este satisfăcută relația:

1 nMm .

e) identificarea conexiunilor de tip K A(-1);
Conexiunilor de tip K A(-1) sunt marcate în figura 1 printr -un dreptunghi de culoare roșie.

f) trasarea mecanismului instantaneu izocinetic înlocuitor;
Mecanismul instantaneu izocinetic înlocuitor este reprezentat în figura 1.2.

Grupa cinematica cl.2, ord.2, aspect RTR
Grupa cinematica cl.2,
ord.2, aspect TRRGrupa cinematica cl.2,
ord.2, aspect RRT
2B04
A
00
1A0F
B38
5
C
h
E
00D67GH
00
Fig. 1.2

g) determinarea gradului de mobilitate al mecanismului instantaneu izocinetic;
Se vor numerota elementele și denumi cuplele cinematice ale mecanismului instantaneu
izocinetic înlocuitor conform fig. 2.
Se vor determina:
1. Numărul elementelor mecanismului:
8n ,
2. Numărul cuplelor cinematice de clasa a V -a:
) ,,,,,,,,,(100 0 5   HGFEDCBBAA c .
Gradul de mobilitate al mecanismului instantaneu izocinetic înlocuitor se determină cu relația:

1102)18(3 2)1(34 5  cc n M .

h) împărțirea lanțului cinematic al mecanismului instantaneu izocinetic în grupe cinematice;
Lanțul cinematic al mecanismului instantaneu izocinetic înlocuitor conține 3 grupe cinematice
(conform fig. 1.2).

i) deteminarea clasei, ordinu lui și aspectului grupelor cinematice.
Grupele cinematice sunt de clasa a 2 -a, ordinul 2, având aspectele RTR, TRR și RRT (conform
fig.1.2).

2. Analiza structurală a supapei de admisie/evacuare a unui motor cu ardere internă.

Analiza structurală a mecanism ului de acționare a supapei de admisie/evacuare a unui tip de
motor cu ardere internă se va realiza conform etapelor enunțate anterior.

a) identificarea elementelor și a cuplelor cinematice ale mecanismului;
Se vor numerota elementele și denumi cuplele ci nematice ale mecanismului conform fig. 2.1.
Se vor determina:
1. Numărul elementelor mecanismului:
n=7 ,
2. Numărul cuplelor cinematice de clasa a V -a:
0 0 01 02 50c =7 (A ,B ,B,E ,G,G ,G )   ,
3. Numărul cuplelor cinematice de clasa a IV -a:
4c = 3 (C,D,F) .

b) identificarea elementului motor;
Mecanismul din fig. 2.1 conține un element motor, acesta fiind elementul (2) – cama.

2
1A0B
00
0BD
FE0
G
G
00
01
0
020G345
6
700
00
C

Fig. 2.1 M ecanismul de acționare a supapei de admisie/evacuare
al unui tip de motor cu ar dere internă.

1. Numărul elementelor motoare:
mn = 1 .

c) identificarea particularităților de aplicare a formulelor structurale;
Mecanismul conține 2 elemente cu mișcări independente: rolele (4) și (6). Gradul de libertate
al unei role se deter mină conform relației:

id id 5id 4idL = 3 n – 2 c – c = 3 1- 2 1-0=1    ,
4B

unde:
idn = 1 (rola),
5idc =1 (G) .
Deasemenea mecanismul conține o cuplă de translație pasivă (de ex.
02G ). Gradul de
libertate al lanțului cinematic pasiv se va determina conform relației:

5 p p p 4pL = 3 n – 2 c – c = 3 0 – 2 1-0= -2    ,

0G02
0
unde:
pn = 0 (rola),
02 5pc = 1 (G ) .

d) determinarea gradului de mobilitate al mecanismului și verific area desmodromiei
mecanismului;
Gradul de mobilitate al mecanismului se determină cu relația:
r 5 4 id pM = 3 (n -1)- 2 c – c – L – L = 3 (7 -1)- 2 7 – 3 -(2 1)-(-2)= 1      
.
Mecanismul este desmodrom fiindcă este satisfăcută relația:

rmM = n =1 .

e) identificarea conexiunilor de tip K A(-1);
Conexiun ilor de tip K A(-1) sunt marcate în fig. 2.1 printr -un dreptunghi.
f) trasarea mecanismului instantaneu izocinetic înlocuitor;
Mecanismul instantaneu izocinetic înlocuitor este reprezentat în fig. 2.2.

g) determinarea gradului de mobilitate al mecanismului inst antaneu izocinetic;
2
1A0B
00
0
CBDE0
G
G
00
01356
7
8
A00
00
0F
0
4
Grupa cinematica cl.2,
ord.2, aspect TRTGrupa cinematica cl.2,
ord.2, aspect TTRGrupa cinematica cl.2,
ord.2, aspect RTR

Fig. 2.2 Mecanismul instantaneu izocinetic înlocuitor al m ecanismului de acționare
al supapei de admisie/evacuare a unui tip de motor cu ardere internă.

Se vor numerota elementele și denumi cuplele cine matice ale mecanismului instantaneu
izocinetic înlocuitor, conform fig. 2.2.
Se vor determina:
1. Numărul elementelor mecanismului:
n= 8 ,
2. Numărul cuplelor cinematice de clasa a V -a:
0 0 01 50c =10 (A ,A,C ,B ,B,D ,E ,F ,G,G )     .
Gradul de mobilitate al mecanismului instantaneu izocinetic înlocuitor se determină cu
relația:

54 M = 3 (n -1)- 2 c – c = 3 (8 -1)- 2 10=1    .

h) împărțirea lanțului cinematic al mecanismului instantaneu izocinetic în grupe cinematice;
Lanțul cinematic al mecanismului instantaneu izocinetic înlocuit or conține 3 grupe
cinematice (conform fig. 2.2).

j) deteminarea clasei, ordinului și aspectului grupelor cinematice.
Grupele cinematice sunt de clasa a 2 -a, ordinul 2, având aspectele TRT, RTR și TTR
(conform fig. 2.2).

3. Probleme propuse de analiză struct urală

Pentru mecanismele având schemele cinematice date în figurile de mai jos, se cere să se
realizez e analiza structurală:

Problema: 1
Mecanismul de tracțiune de la locomotive. Problema: 2
Mecanismul de acționare din figură.
Problema: 3
Mecanismul de acționare a presei cu
genunchi

Problema: 4
Mecanismul de acționare a unei prese.
Problema: 5
Mecanismul de acționare a supapei de
admisie/evacuare a unui tip de motor cu
ardere internă

Problema: 6
Mecanismul de acționare a supapei de admi sie/evacuare
a unui tip de motor cu admisie/evacuare a unui
motor cu ardere ardere internă.

Problema: 7
Mecanismul de acționare a supapei de
admisie/evacuare a unui tip de motor cu
ardere internă

Problema: 8
Mecanismul de acționare a degetului unei proteze de
mână.

Problema: 9
Mecanismul de alimentare cu hârtie de la o
mașină tipografică.

Problema: 10
Mecanismul de escamotare al unui tip de tren de
aterizare al unui avion.

Problema : 11
Mecanismul de acționare a unei proteze de
genunchi.
Problema: 12
Mecanismul amplificator al unui microcomparator.

Cilindru
Tibie-PeroneuFemur
3020

II Analiza cinematic ă a mecanismelor cu roți dințate

Analiza cinematică a unui mecanism cu roți dințate implică următoarelor etape:

a) identificarea cuplelor cinematice de rotație cu axa de rotație mobilă ;
b) segmentarea mecanismului cu roți dințate în mecanism(e) cu roți dințate ordinare și roți
dințate ciclodale, daca este cazul ;
c) calculul gradului de mobilitate al mecansimelor cicloidale, pentru identificarea
transmisiilor cu roți dințate planetare sau diferențiale ;
d) calculul raportului de transmitere pentru fiecare mecanism cu roți dințate în parte,
cunoscând numarul de dinți ai fiecărei roți dințate ;
e) calculul raportului de transmitere total (în cazul mecanismelor cu roți dințate ordinare și
planetare înseriate) ;
f) calcului vitezei unghiulare a elementului de ieșire , cunoscând viteza unghiulară a
elementului (elor) de intrare ;
g) determinarea sensului de rotație a elementulu i de ieșire, dacă se cunoaște sensul de rotație
a elementului de intrare;

Exemple de analiză cinematică a unui mecanism cu roți dințate:

1. Analiza cinematică a unui mecanism diferențial cu roți dințate din figură.

a) identificarea cuplelor cinematice de r otație cu axa de rotație mobilă;
Cuple cinematice de rotație cu axa fixă: A, C, G, H, J
Cuplă cinematică de rotație cu axa mobilă: F
1(z )
1
22(z )2´2´(z )
5
33(z )
514(z )4
3´(z )3´6(z )6
4´(z )4´.621Mecanism diferential
cu roti dintate coniceMecanism ordinar cu
roti dintate cilindrice 1Mecanism ordinar cu
roti dintate cilindrice 2
AB
C
D
EG, HIJ
F

b) segmentarea mecanismului cu roți dințate în mecanism(e) cu roți dințate ordi nare și roți
dințate ciclodale, daca este cazul;
Mecanismul cu roți dințate este compus din:
– mecanism ordinar cu roți dințate cilindrice 1;
– mecanism cicloidal cu roți dințate conice;
– mecanism ordinar cu roți dințate cilindrice 1;

c) calculul gradului de m obilitate al transmisiilor cicloidale, pentru identificarea
mecanismelor cu roți dințate planetare sau diferențiale;
Se vor determina:
1. Nu mărul elementelor mecanismului cicloidal : n = 5 ,
2. Numărul cuplelor cinematice de clasa a V -a: c5 = 4 (C, E, G, H) ,
3. Numărul cuplelor cinematice de clasa a IV -a: c4 = 2 (D, F) .

Gradul de mobilitate al mecanismului cicloidal cu roți dințate se determină cu relația:
M = 3 ·(n – 1) – 2·c5 – c4= 3·4- 2·4- 2 = 2.

Mecanismul cicloidal cu roți dințate este un mecanism diferențial cu roți dințate conice care are
două intrări:
– prin elementul 2
– prin elementul 4
și o ieșire prin elementul 5

d) calculul raportului de transmitere pentru fiecare mecanism cu roți dințate în parte,
cunoscând numarul de dinți ai fiecărei roți di nțate;

Mecanismul ordinar cu roți dințate cilindrice 1
12
21
12zzi


1
21
2zz
Mecanismul ordinar cu roți dințate cilindrice 2
64
46
64zzi


6
46
4
zz
Conform depenenței dintre vitezele unghiulare ale elementelor 6 și 1 și sensului acestora, adică
1 6 2
, viteza unghiulară a elementului 4 devine:
1
46
42
zz

Mecanismul diferențial cu roți dințate conice

Nr. Elem. 0 2 3 4 5
Mișc. real
0
2
3
4
5
Mișc. imag
5
5 2
5 3
5 4
0

)5(
4)5(
2 )5(
24i

5 45 2 )5(
24i
unde:
34
23 )5(
24zz
zzi


f) calcului vitezei unghiulare a elementului de ieșire, cunoscând viteza unghiulară a
elementului(elor) de intrare;

Din ultimele relații rezultă
1)5(
242 4)5(
24
5ii


3 2 4 32 3 2 4 4 3
5zzzzzz zz

  
Prin înlocuirea expresiilor vitezelor unghiulare
2 și
4 în ultima relație rezultă viteza
unghiulară
5 :
1
3 2 4 3 4 24 3 2 1 6 4 3 2
5) (
   
zz zz zzzzzzzzzz

g) determinarea sensului de rotație a elementului de ieșire, dacă se cunoaște sensul de rotație
a elementului de intrare;

Din analiza relației vitezei unghiulare de ieșire
5, ținând cont că numerele de dinți ale roților
dințate sunt numere naturale diferite de zero (
*
5 3 2 2 1 ,,,, Nzzzzz  ), rezultă că numărătorul

fracției este întotdeauna pozitiv. Astfel, sensul vitezei unghiulare
5 este identic cu cel al vitezei
unghi ulare
1 dacă:
03 2 4 3   zz zz
(7)
respectiv, sensul vitezei unghiulare
5 este invers sensului vitezei unghiulare
1 dacă:
03 2 4 3   zz zz
(8)

2. Analiza cinematică a unui mecanism diferențial c u roți dințate înseriat din figură.

a) identificarea cuplelor cinematice de rotație cu axa de rotație mobilă :
Cuple cinematice de rotație cu axa fixă: A, C, E, F, H, J
Cuplă cinematică de rotație cu axa mobilă: H

1(z )
1
22(z )
2´2´(z )533(z )
14(z )4
1´(z )1´
3´(z )3´Mecanism planetar
cu roti dintate coniceMecanism planetar cu
roti dintate cilindrice
5A
B
CDE,FG
H
I
J

b) segmentarea mecanismului cu roți dințate în mecanism(e) cu roți dințate ordinare și roți
dințate ciclodale, daca este cazul;
Mecanismul cu roți dințate este compus din:
– mecanism ordinar cu roți dințate cilindrice și con ice înseriate ;
– mecanism cicloidal cu roți dințate cilindrice ;

c) calculul gradului de mobilitate al transmisiilor cicloidale, pentru identificarea
mecanismelor cu roți dințate planetare sau diferențiale;
Se vor determina:
1. Nu mărul elementelor mecanismul ui cicloidal: n = 5 ,
2. Numărul cuplelor cinematice de clasa a V -a: c5 = 4 (E, F, H, J) ,
3. Numărul cuplelor cinematice de clasa a IV -a: c4 = 2 ( G, I) .
Gradul de mobilitate al mecanismului cicloidal cu roți dințate se determină cu relația:
M = 3 ·(n – 1) – 2·c5 – c4= 3·4- 2·4- 2 = 2.

Mecanismul cicloidal cu roți dințate este un mecanism diferențial cu roți dințate cilindrice care
are două intrări:
– prin elementul 1
– prin elementul 3
și o ieșire prin elementul 5 .

d) calculul raportului de transmitere pen tru fiecare mecanism cu roți dințate în parte,
cunoscând numarul de dinți ai fiecărei roți dințate;

Raportul de transmitere al m ecanismul ordinar cu roți dințate conice

32 12 13  iii

23
12
31

zz
zz


1
32
21
3 
zz
zz

Mecanismul diferențial cu roți dințate cilindrice

Nr. elem . 0 1 3 4 5
Mișc. real
0
1
3
4
5
Mișc. imag .
5
0
5 3
5 4
0

)5(
3)5(
1 )5(
13i

5 35 1 )5(
13i
unde:
13
43
14 5
13
 
zz
zz
zzi

f) calcului vitezei unghiulare a elementului de ieșire, cunoscând viteza unghiulară a
elementului(elor) de intrare;

Din ultimele relații rezultă
1)5(
131 3)5(
13
5ii


1 31 1 3 3
5
 
z zz z
Prin înlocuirea relației vitezei unghiulare
3 în ultima relație rezultă viteza unghiulară
5 :
1
1 3 3 23 2 1 2 1 3
5) (
 
z zzzzzz zzz

g) determinarea sensului de rotație a elementului de ieșire, dacă se cunoaște sensul de rotație
a elementului de intrare;

Din analiza relației relației vitezei unghiulare
5 , ținând cont că numerele de dinți ale roților
dințate sunt numere naturale diferite de zero (
*
3 3 2 2 11 ,,,,, Nzzzzzz    ), rezultă că numitorul și
numărătorul fracției sunt totdeauna pozitive. Astfel, sensul vitezei un ghiulare
5 este identic cu
cel al vitezei unghiulare
1 (conform figurii)

3. Probleme propuse de analiză cinematică a mecansimelor cu roți dințate

Pentru mecanismele cu roți dințate din figurile de mai jos, având cunoscute numerele de dinți
ale roților dințate (0,…,j) și viteza unghiulară a elementului (elementelor) motor(e) ω 1, se cere:
a) determinarea raportului de transmitere al mecanismului cu roți dințate ;
b) determinarea modului vitezei unghiulare a ele mentului condus ;
c) determinarea sensului de rotație a elementului condus;

Problema: 1

1(z )
1
22(z )2´2´(z )400(z )3´3´(z )
44(z )
55(z )33(z )

51

Problema: 2

11(z )
22(z )2´2´(z )4
00(z )3´3´(z )
44(z )
55(z )33(z )
51
Problema: 3

1(z )
1
22(z )
2´2´(z )4
00(z )3´3´(z )
33(z )
51
5(z )54(z )4

Problema: 4

122(z ) 2´2´(z )
1
00(z )
3´3´(z )44(z )
55(z )
33(z )
54´(z )4´
Problema: 5

22(z )
3
00(z )4´4´(z )
44(z )55(z )33(z )
51
1(z )1

Problema: 6

1(z )1
22(z )23´3´(z )33(z ) 
14´(z )4´
00(z )44(z )55(z )
5

Problema: 7

1(z )
1 22(z )
2´2´(z )43´3´(z )
44(z )55(z )
33(z )

51
00(z )
Problema: 8
7 3
1(z )122(z )
3(z )344(z )
0(z )0
5(z )55´5´(z )6(z )6
0´0´(z )71

Problema: 9
1(z )1
22(z )
2´2´(z )4
00(z )3´3´(z )
44(z )
55(z )33(z )

51
Problema: 10

1(z )1
2´2´(z )4
00(z )3´3´(z )

4
12(z )23(z )3

Problema: 11

1(z )
1
22(z )
2´2´(z )455(z )3´3´(z ) 33(z )

41
6(z )67(z )7 Problema: 12

1(z )112(z )2
5
3´(z )3´4´(z )
3(z )3 5(z )14´
54(z )42´(z )2´

III Analiza cinematic ă a mecanismelor cu bare

Analiza cinematică a unu i mecanism cu bare implică următoarelor etape:

a) identificarea și notarea elementelor și a cuplelor cinematice;
b) segmentarea mecanismului cu în grupe cinematice ;
c) definirea planului vitezelor (polul vitezelor și scara)
d) determinarea vitezei butonul ui manivelei sau a pistonului și reprezentarea în planul
vitezelor ;
e) determinarea succesivă a vitezei cuplelor de rotație ale elementelor grupelor cinematice și
reprezentarea lor în planul vitezelor ;
f) determinarea vitezelor unghiulare și sensului de ro tație ale elementelor în mișcare plană
de rotație ;
g) determinarea vitezei punctului caracteristic pe baza reprezentării în planul vitezelor ;
h) definirea planului acceleraților (polul vitezelor și scara)
i) determinarea accelerației butonului manivelei sa u a pistonului și reprezentarea în planul
accelerațiilor ;
j) determinarea succesivă a accelerației cuplelor de rotație ale elementelor grupelor
cinematice și reprezentarea lor în planul accelerațiilor ;
k) determinarea accelerațiilor unghiulare și sensului pentru elementele în mișcare plană
de rotație ;
l) determinarea accelerației punctului caracteristic pe baza reprezentării în planul
accelerațiilor ;

1. Analiza cinematică a unui mecanism cu bare înseriate.

Exemplu prezintă determinarea pe cale grafico -analit ică a stării de mișcare a unui mecanism
patrulater articulat înseriat cu un mecanism manivelă piston, aflate în mișcarea plană. Pentru
mecanismul dat este cunoscută viteza unghiulară a elementului motor
.ct21 , lungimile
elementelor, poziț iile cuplelor și poziția elementului motor.
Se cere determinarea stării de mișcare a punctului M.

a) identificarea și notarea elementelor și a cuplelor cinematice;
Se vor nota elementele și cuplele cinematice conform figurii de mai jos.

D
( ) ( B B)___l _( DM)_
c)=
c
( CD)(v )
__Cp=a=b0
0
_0(v )D_
_
( )51_
xl CDd=m
(v )B(v )M_
b31 ABxy
2
k vA
B A
10 0
( AB)
_
(v )Aa __
_x
a)213C4
5B
(a )(a )= ( AC)__
B B( )
l AB( )
d)AB ( )__
31l x( B B)__
0D
2
( AB)_1
__
312.(a )
x( )_41_
B Bl
0M
_
B
_
2l .410
( AB)A
__(a )__
( B B)_M0D( )
_
_
( )( CD) k
( )_51a
__
_
l
_CDx3( CD)_
_
(a )_( A A)_
CDl .251
_
C06( )A00B
( )B0
b)A0
0 00C
D=M

b) segmentarea mecanismului cu în grupe cinematice;
Mecanismul cu bare înseriate conține următoarele grupe cinematice:
– Grupa cinematică de clasa a II ord. 2 ABB 0 de aspect RRR
– Grupa cinematică de clasa a II ord. 2 CDD 0 de aspect RRT

Pozițiile elementelor mecanismului se vor determina grafic conform schemei prezentate în fig. b.
Astfel, în originea unui sistem de coordonate ales se reprezintă cupla A 0 și se trasează manivela
(2) în poziția impusă la scara ks, rezultând poziția articulaț iei A. De asemenea se reprezintă în
sistemul de coordonate cupla B, a cărei poziție este cunoscută. Poziția articulației B rezultă prin
alegerea convenabilă, dictată de poziția de montaj a mecanismului, a unui punct de intersecție
dintre cercului cu centru l în A de rază l AB și cercul cu centrul în B 0 de rază l B0B. Cunoscând
pozițiile cuplelor B 0 și B respectiv lungimile laturilor elementului ternar se determină prin
construirea triunghiului B 0BC. Punctul D se obține apoi prin alegerea convenabilă a unui pun ct
de intersecție dintre cercul cu centrul în C de rază l CD și direcția de translație (Δ) a pistonului (6).
Succesiunea prezentată în fig. b se va utiliza și la determinarea vitezei și accelerației punctului M
(implicit și a pistonului (6)).
c) definirea pl anului vitezelor (polul vitezelor și scara)
Se alege polul vitezelor într -un punct p în planul vitezelor și se alege corespunzător scara
vitezelor kv (eventual modificată ulterior funcție de lungimea vectorilor reprezentați)
d) determinarea vitezei butonul ui manivelei sau a pistonului și reprezentarea în planul
vitezelor ;

Viteza punctului A se va determina cu relația:
AAAA A A l v v
00 0 21
0  
.
și se va reprezenta planul vitezelor ținând cont de direcțiile vectorilor și a produsului vectorial
prin vectorul
)(pa .
D
( ) ( B B)___l _( DM)_
c)=
c
( CD)(v )
__Cp=a=b0
0
_0(v )D_
_
( )51_
xl CDd=m
(v )B(v )M_
b31 ABxy
2
k vA
B A
10 0
( AB)
_
(v )Aa __
_x
a)213C4
5B
(a )(a )= ( AC)__
B B( )
l AB( )
d)AB ( )__
31l x( B B)__
0D
2
( AB)_1
__
312.(a )
x( )_41_
B Bl
0M
_
B
_
2l .410
( AB)A
__(a )__
( B B)_M0D( )
_
_
( )( CD) k
( )_51a
__
_
l
_CDx3( CD)_
_
(a )_( A A)_
CDl .251
_
C06( )A00B
( )B0
b)A0
0 00C
D=M

e) determinarea succesivă a vitezei cuplelor de rotație ale elementelor grupelor cinematice și
reprezentarea lor în planul vitezelor ;

Viteza punctului B a grupei cinematice ABB 0 rezultă din siste mul de ecuații vectoriale:
ABAB A B l v v
31
,
BBBB B B l v v
00 0 41
0  
,

unde: necunoscutele scalare sunt modulul și direcția vectorului
Bv respectiv modulele produselor
vectoriale
ABl31 și
BBl
0 41 . Conturul poligonal, determinat de ecuațiile vectoriale și
reprezentat la scara k v, se închide în punctul b. Segmentul
)(pb reprezintă la scara k v viteza
Bv .

Viteza punctului C se determină conform teoremei a semănării după Mehmke:
,0 0 bcb CBB

,)()()(
0 00 0
BC CB BB lbc
lcb
lbb
unde
p b0 fiindcă
0
0Bv . Segmentul
)(pc reprezintă la scara k v viteza
Cv .
Viteza punctului D care se deplase ază după direcția (Δ) se obține din ecuația vectorială:
CDCD C D l v v
 51
)(||
.
Analog, prin închiderea conturului poligonal, determinat de ecuația vectorială, se determină
punctul d și segmentul
)(pd reprezintă la scara k v viteza
Dv .

f) determinarea vitezelor unghiulare și sensului de rotație ale elementelor în mișcare plană
de rotație ;

Vitezele unghiulare ale elementelor se determină:

ABv
labk )(
31 ,

BBv
lbbk
0)(0
41 ,

CDv
lcdk )(
51 .
Sensurile de rotații fiind indicate alăturat modulului vitezei unghiulare.

g) determinarea vitezei punctului caracteristic pe baza reprezentării în pl anul vitezelor ;

Viteza punctului M aparținând elementului (6) care se află în mișcare de translație este identică
cu viteza
Dv (D aparține tot elementului (6)). Astfel:
pmk vv M
.
h) definirea planului accelerațilo r (polul vitezelor și scara)
Se alege polul accelerațiilor într -un punct p în planul accelerațiilor și se alege
corespunzător scara accelerațiilor ka (eventual modificată ulterior funcție de lungimea vectorilor
reprezentați)
i) determinarea accelerației bu tonului manivelei sau a pistonului și reprezentarea în planul
accelerațiilor ;

Accelerația punctului A se va determina, cu relația:
0AA 21
AA||AA2
21
0A A0
00 0l l a a
 
.
cunoscând viteza unghiulară
.21ct și accelerația unghiulară
021 .

j) determinarea succesivă a accelerației cuplelor de rotație ale elementelor grupelor
cinematice și reprezentarea lor în planul accelerațiilor ;

Accelerația punctului B rezultă din sistemul de ecuații vectoriale:
ABAB
ABAB A B l l a a
31
||2
31
,

BBBB
BBBB B B l l a a
00
00 0 41
||2
41
0  ,
unde: necunoscutele scalare sunt modulul și direcția accelerația
Ba respectiv modulele
produselor vectoriale
ABl31 și
BBl
0 41 . Conturul poligonal al accelerațiilor, determinat de
ecuațiile vectoriale și reprezentat la scara k a, se închide în punctul β. Segmentul
)( reprezintă
la scara ka accelerația
Ba .
D
( ) ( B B)___l _( DM)_
c)=
c
( CD)(v )
__Cp=a=b0
0
_0(v )D_
_
( )51_
xl CDd=m
(v )B(v )M_
b31 ABxy
2
k vA
B A
10 0
( AB)
_
(v )Aa __
_x
a)213C4
5B
(a )(a )= ( AC)__
B B( )
l AB( )
d)AB ( )__
31l x( B B)__
0D
2
( AB)_1
__
312.(a )
x( )_41_
B Bl
0M
_
B
_
2l .410
( AB)A
__(a )__
( B B)_M0D( )
_
_
( )( CD) k
( )_51a
__
_
l
_CDx3( CD)_
_
(a )_( A A)_
CDl .251
_
C06( )A00B
( )B0
b)A0
0 00C
D=M

Analog, accelerația punctului C se determină conform teoremei asemănării după Mehmke:
,0 0 CBB

,)()()(
0 00 0
BC CB BB l l l
Segmentul
)( reprezintă la scara k a viteza
Ca .
Accelerația punctului D se situează tot după direcția (Δ) și se obține din ecuația vectorială:
CDCD
CDCD C D l l a a
 51
||2
51
)(||
.
Analog, prin închiderea conturului poligonal al accelerațiilor, determinat de ecuația vectorială, se
determină punctul δ. Segmentul
)( reprezintă la scara k a accelerația
Da .

k) determ inarea accelerațiilor unghiulare și sensului pentru elementele în mișcare plană
de rotație ;

Accelerațiile unghiulare ale elementelor se determină, cu relațiile:

ABa
lk )(1
31 ,
BBa
lk
0)(2
41 ,
CDa
lk )(3
51 .
Sensurile de rotații fiind indicate alăturat modulului accelerației unghiulare.

l) determinarea accelerației punctului caracteristic pe baza reprezentării în planul
accelerațiilor ;

Accelerația punctului M este identică cu accelerația
Dv . Astfel:
a Mk a
.

3. Probleme propuse de analiză cinematică a mecansimelor cu bare

Pentru pozițiile date ale mecanismelor din figurile de mai jos, având cunoscute lungimile
elementelor lj, și viteza unghiulară a elementului motor (notat cu 2) ω 2, se cere:

a) determinarea vitezei și accelerației punctului M prin metoda grafo -analitică;

Problema: 1

B510B
5B
C=M6B03
B
5C1
B0A
422
0A
A0
2210BA
31
2
1
4
A
3A
2026
0C
00
M
6
22A3
10A
41A2
0
4BM D D
00
0B
4
C
56A
10
A 32
A2
B03B
4CA6
32
0A
4A2B25C00D0
24
C0
6
5M
10
002AM
3
B04
2
A02A
43A
102
B0BA3
D0
A
0BC=M
B56C
C00
0B
0
5
12
2
4
C10A2A
3
D 02
B0BM1M=D5
6M
A0
A32
46M0B4A3
2B
5
C
0D
0
0 M65D0
00C 6MMC5
D
B0
60
0D
0BC6
DM5
B
A
10A
2 2
B03
540B
82
FA
6
B
0
0F 5
071
A0C
23
D
006M4
E0
00

Problema: 2

B510B
5B
C=M6B03
B
5C1
B0A
422
0A
A0
2210BA
31
2
1
4
A
3A
2026
0C
00
M
6
22A3
10A
41A2
0
4BM D D
00
0B
4
C
56A
10
A 32
A2
B03B
4CA6
32
0A
4A2B25C00D0
24
C0
6
5M
10
002AM
3
B04
2
A02A
43A
102
B0BA3
D0
A
0BC=M
B56C
C00
0B
0
5
12
2
4
C10A2A
3
D 02
B0BM1M=D5
6M
A0
A32
46M0B4A3
2B
5
C
0D
0
0 M65D0
00C 6MMC5
D
B0
60
0D
0BC6
DM5
B
A
10A
2 2
B03
540B
82
FA
6
B
0
0F 5
071
A0C
23
D
006M4
E0
00

Problema: 3

B510B
5B
C=M6B03
B
5C1
B0A
422
0A
A0
2210BA
31
2
1
4
A
3A
2026
0C
00
M
6
22A3
10A
41A2
0
4BM D D
00
0B
4
C
56A
10
A 32
A2
B03B
4CA6
32
0A
4A2B25C00D0
24
C0
6
5M
10
002AM
3
B04
2
A02A
43A
102
B0BA3
D0
A
0BC=M
B56C
C00
0B
0
5
12
2
4
C10A2A
3
D 02
B0BM1M=D5
6M
A0
A32
46M0B4A3
2B
5
C
0D
0
0 M65D0
00C 6MMC5
D
B0
60
0D
0BC6
DM5
B
A
10A
2 2
B03
540B
82
FA
6
B
0
0F 5
071
A0C
23
D
006M4
E0
00

Problema: 4

B510B
5B
C=M6B03
B
5C1
B0A
422
0A
A0
2210BA
31
2
1
4
A
3A
2026
0C
00
M
6
22A3
10A
41A2
0
4BM D D
00
0B
4
C
56A
10
A 32
A2
B03B
4CA6
32
0A
4A2B25C00D0
24
C0
6
5M
10
002AM
3
B04
2
A02A
43A
102
B0BA3
D0
A
0BC=M
B56C
C00
0B
0
5
12
2
4
C10A2A
3
D 02
B0BM1M=D5
6M
A0
A32
46M0B4A3
2B
5
C
0D
0
0 M65D0
00C 6MMC5
D
B0
60
0D
0BC6
DM5
B
A
10A
2 2
B03
540B
82
FA
6
B
0
0F 5
071
A0C
23
D
006M4
E0
00

Problema: 5

B510B
5B
C=M6B03
B
5C1
B0A
422
0A
A0
2210BA
31
2
1
4
A
3A
2026
0C
00
M
6
22A3
10A
41A2
0
4BM D D
00
0B
4
C
56A
10
A 32
A2
B03B
4CA6
32
0A
4A2B25C00D0
24
C0
6
5M
10
002AM
3
B04
2
A02A
43A
102
B0BA3
D0
A
0BC=M
B56C
C00
0B
0
5
12
2
4
C10A2A
3
D 02
B0BM1M=D5
6M
A0
A32
46M0B4A3
2B
5
C
0D
0
0 M65D0
00C 6MMC5
D
B0
60
0D
0BC6
DM5
B
A
10A
2 2
B03
540B
82
FA
6
B
0
0F 5
071
A0C
23
D
006M4
E0
00
Problema: 6

B510B
5B
C=M6B03
B
5C1
B0A
422
0A
A0
2210BA
31
2
1
4
A
3A
2026
0C
00
M
6
22A3
10A
41A2
0
4BM D D
00
0B
4
C
56A
10
A 32
A2
B03B
4CA6
32
0A
4A2B25C00D0
24
C0
6
5M
10
002AM
3
B04
2
A02A
43A
102
B0BA3
D0
A
0BC=M
B56C
C00
0B
0
5
12
2
4
C10A2A
3
D 02
B0BM1M=D5
6M
A0
A32
46M0B4A3
2B
5
C
0D
0
0 M65D0
00C 6MMC5
D
B0
60
0D
0BC6
DM5
B
A
10A
2 2
B03
540B
82
FA
6
B
0
0F 5
071
A0C
23
D
006M4
E0
00

Problema: 7
B510B
5B
C=M6B03
B
5C1
B0A
422
0A
A0
2210BA
31
2
1
4
A
3A
2026
0C
00
M
6
22A3
10A
41A2
0
4BM D D
00
0B
4
C
56A
10
A 32
A2
B03B
4CA6
32
0A
4A2B25C00D0
24
C0
6
5M
10
002AM
3
B04
2
A02A
43A
102
B0BA3
D0
A
0BC=M
B56C
C00
0B
0
5
12
2
4
C10A2A
3
D 02
B0BM1M=D5
6M
A0
A32
46M0B4A3
2B
5
C
0D
0
0 M65D0
00C 6MMC5
D
B0
60
0D
0BC6
DM5
B
A
10A
2 2
B03
540B
82
FA
6
B
0
0F 5
071
A0C
23
D
006M4
E0
00
Problema: 8

B510B
5B
C=M6B03
B
5C1
B0A
422
0A
A0
2210BA
31
2
1
4
A
3A
2026
0C
00
M
6
22A3
10A
41A2
0
4BM D D
00
0B
4
C
56A
10
A 32
A2
B03B
4CA6
32
0A
4A2B25C00D0
24
C0
6
5M
10
002AM
3
B04
2
A02A
43A
102
B0BA3
D0
A
0BC=M
B56C
C00
0B
0
5
12
2
4
C10A2A
3
D 02
B0BM1M=D5
6M
A0
A32
46M0B4A3
2B
5
C
0D
0
0 M65D0
00C 6MMC5
D
B0
60
0D
0BC6
DM5
B
A
10A
2 2
B03
540B
82
FA
6
B
0
0F 5
071
A0C
23
D
006M4
E0
00
Problema: 9
B510B
5B
C=M6B03
B
5C1
B0A
422
0A
A0
2210BA
31
2
1
4
A
3A
2026
0C
00
M
6
22A3
10A
41A2
0
4BM D D
00
0B
4
C
56A
10
A 32
A2
B03B
4CA6
32
0A
4A2B25C00D0
24
C0
6
5M
10
002AM
3
B04
2
A02A
43A
102
B0BA3
D0
A
0BC=M
B56C
C00
0B
0
5
12
2
4
C10A2A
3
D 02
B0BM1M=D5
6M
A0
A32
46M0B4A3
2B
5
C
0D
0
0 M65D0
00C 6MMC5
D
B0
60
0D
0BC6
DM5
B
A
10A
2 2
B03
540B
82
FA
6
B
0
0F 5
071
A0C
23
D
006M4
E0
00

Problema: 10
2A
5
4
1
5D
0
M
C4
3
3 
B
6
C=MB
0
43
B
51
B02
A2
C6C
00
04

A2
3A01
2
22
A0A3M1A2 2A
0C3
A00A
12
B0D5B
10
4B
00
0D6
M
1
2A
0A2
B01
6
C=M
B0B5C04B B
00
0
6C5
3
1
C42
0A2A
D3
10A2
2A
B04
BD6M=D
4
MM
BC
5
66
3
A 2

1A0
2
B0
M4B
C5B2
A
A026
351
C
00
05 A3
0A2
2M
M
A2A
023B041A02
D
4
B0B
5
D
00
0DCB0
MB5
6
B8
A
2
0
1A25
0BC34BF
B02 A
6
005 F07M
D
00
06
M500
06M0
06

Problema: 11
3 462AA 
B
B1
C=M65B0
4
3AA
202
2
12
0A
4A3C=M2
B
5C31
B0A
40A
212
0A2
0B
2
C0
0 6
0
M
610A2
4BAD D000
M
30 A B2
10A
2
2A2
5
BC
B0B5
410A
DD
00
03
M6C06000
C
15A02
B02BDM10
A346M4
B02
50
C A34B0B
125
A0
42
A3B
5C
B5126
0C
0
01
M

A02A
B43 BD0
5
A02C600
A3
B204M
B0
1 MA0223A
4
B5
8
6
M=D6M
B
5
3C C000MD
00
0200D0DC
5A
C
1A02
B0
63
54B
M600ACE 1
B
D62
F
0
B6A
520
7F
00
0 MD 03 4
Problema: 12

3 462AA 
B
B1
C=M65B0
4A
32A02
2
12
0A
4A3C=M2
B
5C31
B0A
40A
212
0A2
0B
C0
0 6
0
M2
610A2
4BAD D000
M
30 A B2
10A
2
2A2
5
BCB
B05
410A
DD
00
03
M6C06000
C
15A02
B02BDM10
A346M4
B02
50
C A34B0B
125
A0
42
A3B
5C
B5126
0C
0
01
M

A02A
B43 BD0
5
A02C600
A3
B204M
B0
1 MA0223A
4
B5
8
6
M=D6M
B
5
3C C000MD
00
0200D0DC
5A
C
1A02
B0
63
54B
M600ACE 1
B
D62
F
0
B6A
520
7F
00
0 MD 03 4

Problema: 11
3 462AA 
B
B1
C=M65B0
4A
32A02
2
12
0A
4A3C=M2
B
5C31
B0A
40A
212
0A2
0B
C0
0 6
0
M2
610A2
4BAD D000
M
30 A B2
10A
2
2A2
5
BCB
B05
410A
DD
00
03
M6C06000
C
15A02
B02BDM10
A346M4
B02
50
C A34B0B
125
A0
42
A3B
5C
B5126
0C
0
01
M

A02A
B43 BD0
5
A02C600
A3
B204M
B0
1 MA0223A
4
B5
8
6
M=D6M
B
5
3C C000MD
00
0200D0DC
5A
C
1A02
B0
63
54B
M600ACE 1
B
D62
F
0
B6A
520
7F
00
0 MD 03 4
Problema: 12
B510B
5B
C=M6B03
B
5C1
B0A
422
0A
A0
2210BA
31
2
1
4
A
3A
2026
0C
00
M
6
22A3
10A
41A2
0
4BM D D
00
0B
4
C
56A
10
A 32
A2
B03B
4CA6
32
0A
4A2B25C00D0
24
C0
6
5M
10
002AM
3
B04
2
A02A
43A
102
B0BA3
D0
A
0BC=M
B56C
C00
0B
0
5
12
2
4
C10A2A
3
D 02
B0BM1M=D5
6M
A0
A32
46M0B4A3
2B
5
C
0D
0
0 M65D0
00C 6MMC5
D
B0
60
0D
0BC6
DM5
B
A
10A
2 2
B03
540B
82
FA
6
B
0
0F 5
071
A0C
23
D
006M4
E0
00